›
›

Luận văn Điều kiện đủ cấp 2 cho cực tiểu địa phương chặt cấp 2

pdf 54 trang phuongnguyen 3090
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Luận văn Điều kiện đủ cấp 2 cho cực tiểu địa phương chặt cấp 2", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfluan_van_dieu_kien_du_cap_2_cho_cuc_tieu_dia_phuong_chat_cap.pdf

Nội dung text: Luận văn Điều kiện đủ cấp 2 cho cực tiểu địa phương chặt cấp 2

  1. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––––––––––– NGUYỄN HUY HÙNG ĐIỀU KIỆN ĐỦ CẤP 2 CHO CỰC TIỂU ĐỊA PHƯƠNG CHẶT CẤP 2 Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS Đỗ Văn Lưu THÁI NGUYÊN – 2011  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  2. 1 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 2 Chương 1. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CẤP 2 CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN VỚI RÀNG BUỘC TẬP 5 1.1. CÁC KẾT QUẢ BỔ TRỢ 5 1.2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU 7 1.3. BÀI TOÁN VỚI HỮU HẠN RÀNG BUỘC 17 Chương 2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CẤP 2 CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN CÓ RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC 23 2.1. CÁC ĐIỀU KIỆN ĐỦ CẤP 2 23 2.2. SO SÁNH VỚI ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CỦA A. D. IOFFE 40 2.3. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU DƯỚI NGÔN NGỮ HÀM LAGRANGE 45 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  3. 2 MỞ ĐẦU Lý thuyết các bài toán tối ưu có nhiều ứng dụng trong kinh tế và nhiều ngành kỹ thuật. Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho phép ta nhận được các điểm cực tiểu địa phương chặt cấp 2. Các điều kiện tối ưu cấp 2 cổ điển thường được thiết lập dưới ngôn ngữ các gradient và Hessian của hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc của bài toán. Với bài toán tối ưu mà dữ liệu là các hàm Lipschitz địa phương, người ta thường dùng gradient suy rộng và Jacobian suy rộng Clarke thay thế vai trò của gradient và Hessian. R.W. Chaney [7] đã thiết lập các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 tổng quát dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke cho bài toán với ràng buộc trong không gian Euclide n-chiều. Ở đây hàm mục tiêu là Lipschitz địa phương, ràng buộc là một tập đóng trong Rn. Phương pháp chứng minh phản chứng cùng với các điều kiện cần tối ưu cấp 1 của Clarke [3] đã được tác giả sử dụng để dẫn đến các điều kiện đủ tối ưu cấp 2. Các điều kiện đủ cấp 2 cho bài toán trên với các hàm bán trơn và chính quy dưới vi phân cùng được thiết lập. Trong [6] R.W. Chaney đã dẫn các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho bài toán với hữu hạn ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức Lipschitz địa phương. Ở đây các điều kiện đủ cấp 2 được thiết lập dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke của các hàm được xây dựng kiểu hàm “quy gọn” của Ioffe [9] (“quy gọn” bài toán xuất phát có ràng buộc hàm thành bài toán không ràng buộc với hàm mục tiêu “quy gọn”). Luận văn trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 của Chaney [6,7] cho các bài toán với ràng buộc tập và bài toán với hữu hạn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  4. 3 ràng buộc hàm, trong đó dữ liệu của các bài toán là các hàm Lipschitz địa phương. Các điều kiện đủ cấp 2 được trình bày dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke của hàm bổ trợ cho hàm mục tiêu, và hàm quy gọn kiểu Ioffe. Các điều kiện đủ cấp 2 cho bài toán trên với các hàm bán trơn và chính quy dưới vi phân cũng được trình bày trong luận văn. Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 tổng quát cho cực tiểu địa phương chặt cấp 2 của bài toán tối ưu với ràng buộc tập, trong đó hàm mục tiêu là Lipschitz địa phương, còn ràng buộc là một tập đóng trong Rn. Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 được trình bày trong chương này là của R.W. Chaney [7] dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke. Các điều kiện đủ cấp 2 cho bài toán với các hàm bán trơn và chính quy dưới vi phân cũng được trình bày trong chương này. Chương 2 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho bài toán tối ưu có hữu hạn ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức. Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 được trình bày trong chương này là của R.W. Chaney [6] được thiết lập dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke của các hàm H và M được xây dựng theo kiểu hàm quy gọn của Ioffe [9]. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy giáo PGS.TS Đỗ Văn Lưu, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau Đại học trường Đại học sư phạm – Đại học Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy khóa học, xin chân thành cảm ơn gia Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  5. 4 đình, bạn bè đồng nghiệp và các học viên lớp Cao học Toán K17 đã luôn quan tâm, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011 NGUYỄN HUY HÙNG Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  6. 5 Chương 1. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CẤP 2 CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN VỚI RÀNG BUỘC TẬP Chương 1 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 tổng quát cho cực tiểu địa phương chặt cấp 2 của bài toán tối ưu với ràng buộc tập, trong đó hàm mục tiêu là Lipschitz địa phương và ràng buộc là một tập đóng trong Rn. Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 được thiết lập dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke. Trường hợp bài toán với các hàm bán trơn và chính quy dưới vi phân cũng được trình bày trong chương này. Các kết quả được trình bày trong chương này là của R.W.Chaney [7]. 1.1. CÁC KẾT QUẢ BỔ TRỢ Gradient suy rộng Cho W là một tập mở trong Rn. Giả sử f là một hàm giá trị thực xác định trên W. Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên W nếu với mỗi điểm x thuộc W tồn tại một lân cận V x và một số K x sao cho: f()()() z f y K x z y với mọi z và y thuộc V x . Trong đó z y là chuẩn Euclide của z y Định nghĩa 1.1 Giả sử f là Lipschitz địa phương trên W. Theo Định lý Rademacher [12], f là khả vi hầu khắp nơi trên W. Ký hiệu f là gradient của f tại x (khi nó tồn tại). Gọi E là tập hợp tất cả các điểm z trong W mà f là khả vi tại z. Giả sử x thuộc W. Gradient suy rộng của f Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  7. 6 tại x, ký hiệu là f (x), là bao lồi của tập của tất cả các điểm giới hạn của dãy hội tụ f() xk , trong đó xk k 1 là một dãy trong E hội tụ đến x. Đạo hàm theo phương suy rộng của f tại x theo phương d được định nghĩa bởi f (x v td) f (x v) f 0 (x,d) limsup . v 0 t0 t Ta có (xem [1]): f (x)  Rn : ,u f o (x;u), u Rn Nhận xét 1.1 Ta liệt kê một số sự kiện về các gradient suy rộng mà ta sẽ sử dụng sau này (xem [1]). Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương tại x với hằng số k. Khi đó, (a) Hàm f o (x;.) hữu hạn, thuần nhất dương, dưới cộng tính trên Rn và f o (x;v) k v . (b) f o (y,v) nửa liên tục trên theo (y,v); f o (x;.) Lipschitz (theo v) với hằng số k trên Rn . (c) f (x) 0, lồi, compact và  k    f() x (d) f 0 (x;d) max v.d : v f (x),với mọi x thuộc W và d thuộc Rn . Nói cách khác, f 0 (x;.) là hàm tựa của tập lồi f (x). (e) Cho x thuộc W, hàm f 0 (x;.) lồi trên Rn . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  8. 7 (f) Hàm đa trị x  f() x là nửa liên tục trên W;. Do đó, nếu xk  và n vk  hội tụ tương ứng với x W và v R và nếu vk f (x) với mỗi k, thì v f (x). (g) Định lý giá trị trung bình của Lebourg. Giả sử x và y W. Giả sử đoạn thẳng L nối x và y nằm trong W. Khi đó tồn tại z L và v f (z) sao cho z x, z y và f (x) f (y) v.(x y) với v nào đó thuộc Rn và với mọi d Rn ta có f()() x t f x v. d limsup d t 0 t thì v f (x). 1.2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU Giả sử S là một tập hợp con đóng của không gian n–chiều Rn và W là một tập mở trong Rn . Giả sử điểm x * SW và f là một hàm Lipschitz địa phương giá trị thực trên W . Ta xét bài toán (P) : minf ( x ) x S  W Nhắc lại [5], tập S là chính quy tiếp tuyến tại x* nếu nón tiếp liên K( S , x *) và nón tiếp tuyến Clarke T( S , x *) trùng nhau. Nón tiếp tuyến Clarke T( S , x *) của S tại x* bao gồm tất cả các y Rn sao cho với mọi dãy tk   0 và xk  hội tụ tới x* với mỗi xk S, thì tồn tại dãy yk  hội tụ đến y sao cho xk t k y k S với mọi k. Nón tiếp liên K(S, x*) n của S tại x* bao gồm tất cả các y R nên tồn tại các dãy tk  các số Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  9. 8 dương và xk  hội tụ tới x* với mỗi xk S và xk x*/ t k hội tụ đến y. Hai nón K(S, x*) và T(S, x*) là đều đóng nhưng chỉ T(S, x*) lồi. Hơn nữa, T (S, x*)  K(S, x*). Ta đưa vào một số ký hiệu. Nếu x và y Rn và nếu  0 thì x là chuẩn Euclide của x , x .y là tích vô hướng thông thường của x và y, B(x,) là tập hợp z Rn , z x  . Nếu C là một tập đóng lồi trong Rn và nếu x C, ta ký hiệu N(C, x) các nón pháp tuyến của C tại x . Nếu C chỉ là một tập đóng, thì nón pháp tuyến của C tại x được cho bởi N(C, x) = N(T (C, x), 0). Định nghĩa 1.2 n Cho xk  là một dãy trong R hội tụ đến x và cho d là một vectơ n đơn vị trong R . Khi đó xk  hội tụ tới x theo phương d nếu dãy {(xk – x) / | xk – x |} hội tụ đến d. Định nghĩa 1.3 Cho x W và d là một vectơ đơn vị trong Rn . Ta định nghĩa n d f() x là tập hợp tất cả các v R sao cho tồn tại các dãy xk  trong n W và vk  trong R mà: (a) xk  hội tụ tới x theo phương d; (b) vk  hội tụ đến v; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  10. 9 (c) vk f(xk) với mỗi k. Ta định nghĩa L(f, x*) là tập của tất cả các điểm td, trong đó n d R, | d | 1, t 0, và v0. d 0 với v0 nào đó trong d f( x *) . Tập L(f, x*) là một nón đóng. Định lý 1.1 Giả sử S, W, x*, f như trên, g là một hàm Lipschitz địa phương giá trị thực trên W mà g(x*) = f(x*) và g(x) f(x) với mỗi x S  W . Giả sử rằng, với mỗi vectơ đơn vị d* thuộc tập hợp K(S, x*)  L(f, x*), có tương ứng với một nón lồi đóng C(d*) mà d* C(x*). Ta cũng giả sử rằng: (a) ta có w.d 0 khi d là vectơ đơn vị bất kỳ trong C(d*) với d* nào đó thuộc K(S, x*)  L(f, x*) và w là gradient suy rộng thuộc d g( x *) . (b) tồn tại m* 0 sao cho 2 limsupwk .( x k x *)/ | x k x *| m * với mọi dãy xk  và wk  và các vectơ đơn vị d, d* thỏa mãn: (i) xk  hội tụ tới x* theo phương d, (ii) d* K(S, x*)  L(f, x*) và d* C(x*), (iii) wk g(x*) với mỗi k, (iv) wk  hội tụ đến w trong – N(C(d*) + x*, x*). Khi đó, tồn tại  0 sao cho Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  11. 10 f( x ) f ( x *) m * /2 x x * 2 với mọi x B( x *, )  S . Chứng minh Giả sử kết luận là sai và chọn một dãy k  các số dương giảm đến 0 với 1 1. Với k cho trước, tồn tại zk trong B(x*, k ) ∩ S sao cho 2 f( zk ) f ( x *) m * /2 z k x * . Đặt 2 h( x ) g ( x ) m * /2 x x * . Chú ý rằng zk ≠ z với mỗi k. Ta có 2 h( zk ) g ( z k ) m * /2 z k x * 2 ≤ f()(*/2) zk m z k x * f (*) x h (*) x . Đặt ek = (zk – x*) /|zk – x*|, ta có thể giả sử ek  hội tụ đến một vectơ đơn vị d* trong K(S, x*). Theo Định lý giá trị trung bình Lebourg [5], ta có f(zk) – f(x*) = vk* (zk – x*), trong đó v*k thuộc f(θkzk + (1 – θk) x*) với 0 < θk <1. * Ta có thể giả sử vk  hội tụ đến v trong d*f(x*) và ta có vd* = lim v*kek ≤ 0. Do đó, d* L(ƒ, x*). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  12. 11 n n Với mỗi k, ta xác định ánh xạ tuyến tính Tk từ R vào R bằng cách đặt Tk(x) = x + (xd*) (ek – d*). Với I là ánh xạ đồng nhất, ta có || Tk – I || ≤ |ek – d*|. Ta có thể giả sử |ek – d*| 0 và dk = (xk – x*) / tk. Theo [14], tồn tại ck ≥ 0 và vectơ pháp tuyến uk của tập Ak + {x*} tại xk sao cho vk + ckdk + uk = 0 với mọi k. Do đó, tồn tại wk trong g(xk) sao cho vk = wk – m* (xk – x*) với mọi k và như vậy wk – m* (xk – x*) + ck dk + uk = 0, k ≥ 1 (1.1) Bởi vì xk thuộc Ak + {x*}, ta có dk thuộc Ak. Từ đó suy ra xk ± tkdk xk thuộc Ak + {x*}, và do đó uk. dk = 0. Từ (1.1), ta nhận được wk.dk + ck = m* tk, k ≥ 1. (1.2) n Ta có thể giả sử {dk} hội tụ đến một vectơ đơn vị d trong R . Ta có thể giả sử {wk} hội tụ đến w dg(x*), và vì vậy (1.2) kéo theo {ck} hội tụ đến một số không âm c. Do đó, theo (1.1), {uk} hội tụ đến vectơ u. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  13. 12 Bây giờ ta muốn chỉ ra rằng d C(d*). Với mỗi k, tồn tại d*k trong –1 C(d*) sao cho dk = Tk(dk*). Bởi vì | dk | = 1 với mọi k và Tk bị chặn đều, ~ ta suy ra {d*k} bị chặn và vì vậy ta có thể giả sử nó hội tụ đến d trong C(d*). Bởi vì |dk* – Tk(dk*)| ≤ |ek – d* | | dk* |, ta có ~ d – d = lim (dk* – Tk(dk*)) = 0 Do đó, d C(d*). Từ giả thiết (a) ta khẳng định rằng w.d ≥ 0. Từ (1.2), ta nhận được wd + c = 0, và vì vậy, do c ≥ 0, ta có c = wd = 0. Từ (1.1), ta nhận được w + u = 0. Để thấy rằng u thuộc N(C(d*) + x*, x*), ta giả sử e thuộc C(d*). Khi đó, với k cho trước, Tk(e) thuộc Ak , và như vậy (Tk(e) + x* – xk). uk ≤ 0. Bởi vì {Tk(e)} hội tụ đến e, ta suy ra e.u ≤ 0, và do đó u không thuộc N(C(d*) + x*, x*). Bởi vì các điều kiện (i) – (iv) thỏa mãn, ta phải có limsup wk.dk /tk > m*. Nhưng, từ (1.2), ta có wk.dk ≤ m*.tk với mọi k. Vì vậy ta đã đi đến một mâu thuẫn và chứng minh là hoàn tất. □ Nhận xét 1.2 Để áp dụng Định lý 1.1, cần lựa chọn nón C(d*). Các lựa chọn khác nhau có thể làm và ta sẽ mô tả một vài cách chọn. Trước hết ta chú ý rằng ta có thể chọn C(d*) = Rn với mỗi d* K(S, x*) L(f, x*). Cách lựa chọn này là tự nhiên cho trường hợp không có ràng buộc (tức là, khi S là một lân cận của x*). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  14. 13 Ta có thể chọn C( d *) td *: t 0 với mỗi d* K(S, x*) L(f, x*) Bây giờ, ta trở về hai cách lựa chọn cho C(d*) mà dẫn đến kết quả mới. Hệ quả 1.1.1 Cho S, W, x*, f như trong trên. Giả sử g là hàm Lipschitz địa phương giá trị thực trên W mà g(x*) = f(x*) và g(x) ≤ f(x) với mọi x trong S ∩ W, S là chính quy tiếp tuyến tại x*. Giả sử rằng: (a) w.d ≥ 0 khi d là vectơ đơn vị trong K(S, x*) và w ∂dg(x*); 2 (b) tồn tại m* ≥ 0 sao cho limsupwk. (xk – x*) / | xk – x*| > m* với mọi dãy {xk} và {wk} mà trong đó {xk} hội tụ tới x* theo phương d K(S, x*), wk ∂ g(xk) với mỗi k, và {wk} hội tụ đến một điểm trong –N(S, x*). Khi đó, tồn tại δ > 0 sao cho f(x) ≥ f(x*) + (m* / 2) │x – x*│2 . với mọi x thuộc B(x*, δ) ∩ S. Chứng minh Nón K(S, x*) = T (S, x*) là lồi và vì vậy ta có thể chọn C(d*) = K(S, x*) với mỗi d* trong Định lý 1.1. □ Nhắc lại [5], hàm Lipschitz địa phương f giá trị thực trên W là chính quy dưới vi phân tại x trong W nếu đạo hàm theo phương f '(x; d) tồn tại với mọi d trong Rn và f 0(x;d) = f '(x; d) với mọi d. Hàm f được gọi là bán trơn tại x trong W nếu {vk.d} luôn hội tụ khi {xk} và {vk} là các dãy sao cho {xk} hội tụ tới x theo phương đơn vị d và vk ∂f(xk) với mỗi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  15. 14 k. Mifflin đã chỉ ra rằng, nếu f là bán trơn tại x, thì với mỗi vectơ đơn vị d, đạo hàm theo phương f’(x; d) tồn tại và bằng limvk .d, trong đó {vk} là dãy được như trong định nghĩa vừa nêu. Bây giờ giả sử f là bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x*. Khi đó L(f, x*) = {d Rn : f 0 (x, d) ≤ 0} theo [8]; vì thế, nón L(f, x*) lồi. Do đó, nếu S là chính quy tiếp tuyến tại x*, nón K(S,x*) ∩ L(f,x*) lồi. Điều này dẫn đến hệ quả sau đây. Hệ quả 1.1.2 Giả sử f là bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x*. Giả sử tất cả các giả thiết của Hệ quả 1.1.1 đúng, trong (a) và (b) ta thay thế K(s, x*) bởi K(s, x*) ∩ L(f, x*) và trong (b ) ta thay thế – N(S, x*) bởi –N(K(S, x*) ∩ L(f, x*), 0). Khi đó tồn tại δ > 0 sao cho f(x) ≥ f(x*) + (m*/2) | x – x* |2 , với mọi x thuộc B(x*, δ) ∩ S. (Hơn nữa, nếu g cũng bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x*, thì ta có thể thay thế giả thiết (a) bằng giả thiết: tập g(x*) ∩ –N(K(S, x*) ∩ L(f , x*), 0) khác rỗng.) Chứng minh Ta chọn C(d*) = K(S, x*) ∩ L(f, x*) với mỗi d*. Với cách lựa chọn đó, ta dùng Định lý 1.1. Chỉ cần xem xét phát biểu cuối cùng. Như vậy, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  16. 15 giả sử v* ∂g(x*) ∩ –N(K(S, x*) ∩ L(f, x*), 0). Ta phải chứng minh rằng (a) đúng. Như vậy, nếu d K(S, x*) ∩ L(f, x*) và w ∂dg(x*), ta có w. d = g'(x*; d) = g0 (x*; d) ≥ v *. d ≥ 0. □ Ví dụ 1.1 Trong Định lý 1.1, ta chọn C(d*) = {td*: t ≥ 0} với mỗi d*. Ta muốn chỉ ra cách lựa chọn khác có thể được, ngay cả khi S không phải là chính quy tiếp tuyến tại x*. Cho S là tập của tất cả các điểm trong R2 mà tồn tại tọa độ cực (r, ) với –0.75π ≤  ≤ 0.75π và 0 ≤ r ≤ 2 2cos . Như vậy, S là tập hợp bị chặn. Với x* = (0, 0), ta có T(S, x*) = {(u, v) R2: u ≥ | v |} K(S, x*) = {(u, v) R2: u ≥ – |v |} Do đó, S không là chính quy tiếp tuyến tại x*. Với d* = (v*, u*) K(S, x*), ta chọn C(d*) = {(u, v) R2: u ≥ v} khi u* ≥ v*, và C(d*) = {(u, v) R2: u + v ≥ 0} khi u* < v*. Với cách lựa chọn đó, mỗi nón pháp tuyến N(C(d*) + x*, x*) chỉ gồm một tia. Ví dụ 1.2 Ta chỉ ra rằng Định lý 1.1 là sai nếu (b) (i) được thay thế bằng "{xk} hội tụ tới x* theo phương d với xk S với mỗi k". Cho S = {(x, y) R2: –1 ≤ x ≤ 1 và x4 – x2 ≤ y ≤ 1}. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  17. 16 Cho f(x, y) = 3x2 + (2y+1)2 và lấy g = f. Lấy x* = (0, 0). Ta thấy rằng K(S, x*) = {(c, d) R2: d ≥ 0}. Ta chọn C(d*) là K(S, x*). Vì f lớp C1, ta có ∂f(x, y) = {(6x, 8y + 4)}. Nếu d ≥ 0 thì (c, d). (0, 4) = 4d ≥ 0, và vì vậy (a) của Định lý 1.1 đúng. Bây giờ ta giả sử {(xk, yk)} và {wk} thỏa mãn (i) – (iv) của (b) và giả sử mỗi (xk, yk) thuộc S. Khi đó, với zk = (xk, yk) và chú ý wk = (6xk, 8yk + 4), ta có 2 2 2 2 wk. (zk – x*) / | zk – x* | = 6 + (2yk + 4 yk) / (xk + yk ). 4 2 Do yk ≥ xk – xk , ta có 2 2 limsup wk. (zk – x*) / (xk + yk ) ≥ 4. Tuy nhiên, x* = (0, 0) là cực tiểu địa phương của f trên S. Thật vậy, lấy (x, y) với x nhỏ và dương và y = x4 – x2. Khi đó, f(x, y) = 3x2 + (2x4 – 2x2 + 1)2 = 1 – x2{1 – 8x2 + 8x4 – 4x6} <1 = f(0, 0), nếu x đủ gần 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  18. 17 1.3. BÀI TOÁN VỚI HỮU HẠN RÀNG BUỘC Nhận xét 1.3 Ta sẽ xét bài toán P ở đây với S = S1 ∩ S2, mà S2 là một tập đóng và m q n n (3) S1 =  {x R : gi (x) ≤ 0} ∩  {x R : gi (x) = 0}, (1.3) i 1 i m 1 ở đây mỗi hàm gi là Lipschitz địa phương trên W. Điều kiện cần để x* là cực tiểu địa phương của bài toán này đã xét trong [14]. Theo [14], nếu bài toán P là yên tĩnh (calm) tại x* thì tồn tại các nhân tử a1, , aq sao cho ai ≥ 0 với i = 1, , m, (1.4) aigi (x*) = 0, với i = 1, , m, (1.5) 0 {f + a1g1 + a2g2 + + aqgq + 2} (x*). (1.6) Trong (1.6), 2 là hàm chỉ của tập S2, ta có 2(x) = 0 nếu x S2 và 2 (x) = + nếu x S2 . Nếu các nhân tử a1, , aq thỏa mãn (1.4) – (1.6) tồn tại, ta xác định hàm Lagrange L bởi L = f + a1g1 + aqgq và chú ý rằng ta có thể lấy hàm bổ trợ g trong Định lý 1.1 là L. Ta phát biểu một Định lý mà các hàm là bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x*. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  19. 18 Định lý 1.2 Giả sử các hàm f, g1, , gm là bán trơn và chính quy dưới vi phân 1 tại x* và các hàm gm +1, , gq thuộc lớp C ở gần x*. Gọi I là tập tất cả các chỉ số i mà 1 ≤ i ≤ m và gi (x*) = 0. Giả sử 0 không thuộc bao lồi của hợp các tập ∂gi (x*) với i I và các tập ∂ gi (x*) – ∂ gi (x*) với i = m+1, , q. Giả sử T (S1, x*) ∩ intT(S2, x*) 0 hoặc int T(S1, x*) ∩ T (S2, x*) 0. Giả sử S2 là chính quy tiếp tuyến tại x*. Giả sử tồn tại hệ số a1, , aq thỏa mãn (1.4) – (1.6) và đặt L = f + a1g1 + + aqgq. Cuối cùng, giả sử tồn tại m* ≥ 0 sao cho: 2 limsup wk. (xk – x*) / | xk – x* | > m*, với mọi dãy {xk} và {wk} thỏa mãn: (v) {xk} hội tụ tới x* theo phương d trong T(S, x*) mà g'i (x*; d) = 0 với mọi i I sao cho ai > 0; (vi) wk ∂ L(xk) với mỗi k; (vii) {wk} hội tụ đến một điểm trong – N(L(f, x*) ∩ T (S, x*), 0). Khi đó, tồn tại δ > 0 sao cho f(x) ≥ f(x*) = (m* / 2) | x – x* |2 với mọi x B(x*, δ) ∩ S. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  20. 19 Chứng minh Ta chứng minh Định lý này từ Định lý 1.1. Trước hết chú ý rằng f(x*) = L(x*) và L ≤ f trên S ∩ W. Từ [8] suy ra L là bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x*. Ta có tập L(f, x*) là một nón lồi đóng. Từ [13, Hệ quả 2 đến Định lý 5] ta suy ra S1 là chính quy tiếp tuyến tại x* và do đó từ [13, Hệ quả 4 của Định lý 2] ta suy ra S là chính quy tiếp tuyến tại x*. Do đó, nón đóng K(S, x*) ∩ L(f, x*) lồi; với mỗi d* K(S, x*) ∩ L(f, x*), ta đặt C(d*) = K(S, x*) ∩ L(f, x*). Để chứng minh rằng (a) đúng trong Định lý 1.1, ta lấy d K(S, x*)  L(f, x*) và w ∂d L(x*). Từ [13, Hệ quả 2 của Định lý 2], ta suy ra rằng (1.6) kéo theo sự tồn tại của v* L(x*) sao cho –v* N(S2, x*). Vì L là bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x*, ta có w. d = L '(x *; d) = L0 (x*; d) ≥ v *. d ≥ 0 (1.7) Ta chỉ còn phải kiểm tra (b) của Định lý 1.1 đúng. Vì vậy, ta giả sử {xk} và {wk} thỏa mãn (i) – (iv) của Định lý 1.1 với g lấy là L. Khi đó (vi) và (vii) của Định lý này rõ ràng đúng. Như trong (1.7), ta có w.d = L '(x *; d) ≥ 0 và vì vậy f '(x*; d) + a1g1 (x*; d) + + aqg’q (x*; d) ≥ 0. (1.8) Vì d L(f, x*), ta có f '(x*, d) ≤ 0. Vì d K(S, x*), ta có g1' (x*, d) = 0 với i > m và gi' (x*; d) ≤ 0 với i I. Do đó, từ (1.8) suy ra gi'(x*; d) = 0 với i I mà ai > 0. Ta suy ra {xk} và d thỏa mãn (v). Vì vậy, từ (v) – (vii), ta nhận được Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  21. 20 2 lim sup wk. (xk – x*) / | xk – x* | > m* . Như vậy (b) đúng. □ Nhận xét 1.4 Trong Định lý 1.2 đòi hỏi 0 không thuộc bao lồi của các dưới vi phân là một điều kiện chính quy. Đó là một tổng quát hóa của điều kiện chính quy Mangasarian_Fromovitz. Nhận xét 1.5 Có thể xây dựng các dạng khác của Định lý 1.1 bằng cách sử dụng một số hàm bổ trợ khác. Ta sẽ thảo luận ở đây một ví dụ. Ta tiếp tục làm bài toán với S = S1 ∩ S2 , với S1 cho bởi (1.3). Ta giả sử r và m* là các số dương. Lấy x* S ∩ W như trước. Ta xác định hàm M trên W bằng cách lấy M(x) là số lớn nhất trong các số g1(x), , gm(x), và 2 f(x) – f(x*) – (m* / 2) | x – x* | + r | gm + 1 (x) | + + r | gq (x) |. Chú ý rằng M(x*) = 0, vì x* S. Ta sử dụng hàm M là do nhận xét rằng: Nếu x* làm cực tiểu M trên B(x*, δ) ∩ S2 thì ta có f(x) ≥ f(x*) + (m* / 2) | x – x* |2 với mọi x B(x*, δ) ∩ S. Định lý 1.3 Cho W, f và x* như trên, và S = S1 ∩ S2 . Cho g là một hàm Lipschitz địa phương giá trị thực trên W mà g(x*) = M (x*) = 0 và g(x) ≤ M (x) với mọi x S ∩ W. Giả sử rằng, với mỗi vectơ đơn vị Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  22. 21 d* K(S, x*) ∩ L(f, x*), có tương ứng một nón lồi đóng C(d*) mà d* C(d*). Ta cũng giả thiết rằng: (a) Ta có w. d ≥ 0 với mọi vectơ đơn vị d C(d*) với d* nào đó trong K(S, x*) ∩ L(f, x*) và w là gradient suy rộng bất kỳ trong ∂dg(x*); 2 (b) Ta có limsup wk.(xk – x*) / |xk – x*| > 0 với bất kỳ các dãy {xk} và {wk} và d*, d là các vectơ đơn vị thỏa mãn (i) {xk} hội tụ tới x* theo phương d, (ii) d* K(S, x*) ∩ L(f, x*) và d C(d*), (iii) wk ∂ g(xk) với mỗi k, (iv) {wk} hội tụ đến một điểm w –N(C(d*) + x*, x*). Khi đó, tồn tại δ > 0 sao cho f(x) ≥ f(x*) + (m* / 2) │x – x*│ với mọi x B(x*, δ) ∩ S. Chứng minh Giả sử kết luận là sai và ta chọn dãy { δ k} gồm các số dương giảm về 0 với δ1 < 1. Với k cho trước, tồn tại zk B(x*, δk) ∩ S sao cho 2 f(zk) –. f( x*) <(m* / 2) │zk – x* │ . Đặt h = g và chú ý rằng zk ≠ x* với mỗi k. Ta có h(zk) = g(zk) ≤ M (zk) ≤ 0 = M (x*) = h(x*) với mỗi k. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  23. 22 Phần còn lại của chứng minh có thể được làm như chứng minh Định lý 1.1 với một vài thay đổi nhỏ. □ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  24. 23 Chương 2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CẤP 2 CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN CÓ RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC Chương 2 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho bài toán tối ưu với hữu hạn ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức là các hàm Lipschitz địa phương. Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 được trình bày dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke của các hàm H và M được xây dựng kiểu hàm quy gọn của Ioffe [9]. Các kết quả được trình bày trong chương này là của Chaney [6]. 2.1. CÁC ĐIỀU KIỆN ĐỦ CẤP 2 Giả sử W là một tập mở trong không gian Euclide thực n–chiều n n R . g0 , g1, g2 , gq là các hàm giá trị thực trên R , Lipschitz địa phương trên W. Giả sử m q n S  x g1( x ) 0   x R : g 1 ( x ) 0 (2.1) i 1 i m 1  Ta xét các bài toán: P1: min g0 (x) với x S W . Ta cũng xét bài toán không bị ràng buộc: P1*: min F x với x W; ở đây, F là hàm giá trị thực Lipschitz địa phương trên W. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  25. 24 Điều kiện đủ đầu tiên cho bài toán (P1) được cho dưới ngôn ngữ các hàm bổ trợ H và M. Giả sử x* S W và r 0 và m 0. Với x W, ta đặt q  Hx max gxgxro ( )  gx i ;1 im  (2.2) i m 1  q 2  M(x)= gxgxmo() o (*) ( */2)| xxr *|  | gxg i ()|; i (x): i 1, , m  . i m 1  (2.3) Chú ý rằng các hàm H và M phụ thuộc vào x* và r, và M cũng phụ thuộc vào m*. Hàm H là hàm quy gọn kiểu Ioffe [9]. Ta đưa vào một số ký hiệu. Nếu x và y thuộc Rn ta ký hiệu xy là tích vô hướng thông thường của x và y, và B(x, ) z Rn : x z  . Định nghĩa 2.1 Cho xk  là một dãy trong W hội tụ đến x W và giả sử xk x n với mọi k. Cho d là một vectơ khác không trong R . Khi đó xk  được gọi là hội tụ tới x theo hướng d nếu {(xk x)/ | xk x |} hội tụ đến d/ d . Định nghĩa 2.2 Lấy x W và d là một vectơ khác không trong Rn . Ta định nghĩa n d f() x là tập tất cả các v trong R sao cho tồn tại các dãy xk  trong n W và vk  trong R sao cho Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  26. 25 (a) xk  hội tụ tới x theo hướng d; (b) vk  hội tụ đến v; (c) vk thuộc f (x) với mỗi k. (Chú ý rằng, ta có d f (x)  f (x) . Có thể xem như d f (x) là tập các gradient suy rộng tại x mà "phát sinh" từ phương d. Giả sử các hàm g0 , g1, g2 , gq Lipschitz địa phương trên W và tập S có dạng (2.1). Ta định nghĩa m S1 { x W : gi ( x ) 0}, i 1 và xác định hàm fo trên W bởi q fo() x g o () x  r |()|; g i x x W. i m 1 Định lý 2.1 Giả sử x* thuộc tập SW , hàm M như trong (2.3). Giả sử: (a) Ta có v. d 0 khi mà d là một vectơ khác không trong Rn và v d f() x ; 2 (b) Ta có limsupvk .( x k x *)/ | x k x *| 0, với mọi dãy xk , vk  và vectơ d trong Rn thỏa mãn các điều kiện sau : (i) xk  hội tụ đến x* theo phương d với xk S1 với mọi k; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  27. 26 (ii) vk  hội tụ về 0 với vk M xk với mỗi k; (iii) Tồn tại vo trong df0 (x*) sao cho v0.d 0 . Khi đó, tồn tại số dương δ sao cho 2 go () x g0 (*) x ( m */2)| x x *| với mọi x B( x *, )  S . Chứng minh Giả sử kết luận là sai. Chọn một dãy k các số dương giảm đến không. Khi đó, với k cho trước, tồn tại zk trong B( x *, )  S sao cho 2 go( z k ) g0 (*) x (*/2)| m z k x *| . Chú ý rằng M( zk ) 0 M ( x *) , và như vậy M có một cực tiểu xk trên B( x *, ) khác x*. Đặt tk | x k x *| và xác định dk ( x k x *) / t k . Ta có thể giả sử dk  hội tụ đến vectơ đơn vị d. Từ Định lý của Clarke về điều kiện cần cấp 1 [3] ta suy ra tồn tại vk M(xk) sao cho vk thuộc nón pháp tuyến của tập lồi B( x *, ) tại xk . Nhưng khi đó ta có vk c k. d k với ck 0 nào đó, và như vậy vk c k d k 0, với mọi k (2.4) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  28. 27 Ta có thể giả sử vk  hội tụ đến v trong d M (x*) . Ta có thể giả sử ck  hội tụ đến c 0. Ta nhận được v cd 0. Do đó, |v |2 c ( d . v ) 0. Theo giả thiết (a), ta có d. v 0, và như vậy v 0. Theo Định lý giá trị trung bình của Lebourg tồn tại z0k và v0k sao cho z0k là điểm trong của đoạn thẳng nối xk và x*, v0k f0 z 0k và f0( xk ) f 0 ( x *) v 0 k .( x k x *) . Như trước, ta có thể giả sử {v0k } hội tụ đến v0 trong d f0 x * . Bởi vì m * 2 f0( xk ) f 0 ( x *) M ( x k ) | x k x *| 2 m 2 m 2 M( x *) | xk x *| | x k x *| 2 2 ta có v0. d 0 . Do đó, từ giả thiết (b) ta có thể giả sử v .d lim k k 0 (2.5) tk Ở đây, vế trái của (2.5) có thể nhận giá trị Từ (2.4), ta nhận được 2 vk. d k c k | d k | 0, do đó vk. d k 0 với mọi k. Điều này cho ta một mâu thuẫn với (2.5). Định lý được chứng minh. □ Bây giờ ta trình bày một điều kiện đủ cho bài toán P1* . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  29. 28 Hệ quả 2.1.1 Giả sử x* W và F là một hàm Lipschitz địa phương giá trị thực trên W. Giả sử n (a) vk. d k 0 khi mà d là một vectơ khác không trong R và v dF(x*); (b) tồn tại m* 0 sao cho 2 limsupvk ( x k x *)/ | x k x *| m * với mọi dãy {xk} trong W hội tụ đến x* mà xk x *với mọi k và {vk} là n dãy trong R hội tụ đến 0 với vk  F(xk) với mọi k. Khi đó, tồn tại một số dương δ sao cho m* 2 F( x ) F ( x *) | xk x *| 2 với mọi x B( x *, ). Chứng minh Xác định một hàm F* trên W bởi F*() x F () x ( m */2)| x x *|2 , với x W. Ta sẽ áp dụng Định lý 2.1 với M = F*. Chú ý rằng, ta có F*(){ x v m *( x x *): v  F ()} x , với x W. Do đó F*( x *)  F ( x *) và dF*( x *)  d F ( x *) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  30. 29 với mỗi vectơ d khác không trong Rn . Hơn nữa, nếu x W và nếu v* v m *( x x *) với v nào đó trong F() x , thì ta có v*.( x x *) v .( x x *) m *| x x *|2 . Từ Định lý 2.1 ta suy ra điều phải chứng minh. □ Ví dụ 2.1 Xác định một hàm F trên R bằng cách đặt F( x ) max x2 ,2 x x 2 với mọi x R. Rõ ràng là x* = 0 làm cực tiểu F(x) trong R. Lưu ý rằng F không lồi trên lân cận bất kỳ của 0 và F mà không khả vi tại x = 0 và x = 1. Ta muốn chỉ ra x* = 0 thỏa mãn các giả thiết (a) và (b) của Hệ quả 2.1. 1. Đối với điều kiện (a), lưu ý rằng nếu d > 0 thì v.d = 2d> 0 với mọi v trong d F(0) , còn nếu d < 0 thì vd = 0 với mọi v trong d F(0) . Giả sử xk  hội tụ về 0 với xk 0 với mỗi k và vk  hội tụ về 0 với vk F() xk với mỗi k. Do đó, xk 0 với mọi k đủ lớn và vì vậy 2 2 vk. x k / | x k | 2 x k . x k / | x k | 2 với mọi k đủ lớn. Do đó, giả thiết (b) của Hệ quả 2.1.1 thỏa mãn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  31. 30 Nhận xét 2.1 Ta muốn kiểm tra giả thiết (a) của Định lý 2.1 với các giả thiết thêm về hàm gi . Ta giả sử rằng mỗi gi là bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x*. Định nghĩa 2.3 Giả sử f là Lipschitz địa phương trên W và x W. Khi đó, f là bán trơn tại x nếu dãy vk .d có đúng một điểm tụ khi mà d là một vectơ n n khác không trong R , k và vk  là các dãy trong R , tk  là một dãy trong R thỏa mãn (i) tk  giảm đến 0 , n (ii) k/ t k  hội tụ đến 0 trong R , (iii) vk f() x tk d  k với mỗi k . Nhận xét 2.2 Mifflin [11] đã chỉ ra rằng, nếu f là bán trơn tại x thì với mỗi vectơ d khác không trong Rn , đạo hàm theo phương f'(;) x d tồn tại và bằng limvk .d , trong đó vk  là dãy bất kỳ chọn như trong Định nghĩa 2.3 ở trên, Mifflin [11] cũng chỉ ra rằng các hàm lồi là bán trơn và các hàm khả vi liên tục là bán trơn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  32. 31 Định nghĩa 2.4 Giả sử f là Lipschitz địa phương trên W và giả sử x W. Khi đó, f là chính quy dưới vi phân tại x nếu đạo hàm theo phương f'(;) x d tồn tại với mọi d Rn và f0(;)(;) x d f ' x d với mọi d. Nhận xét 2.3 Các hàm lồi và các hàm khả vi liên tục trên W là chính quy dưới vi phân tại tất cả các điểm của W. Lưu ý rằng ta luôn có f0 ( x ; d ) f '( x ; d ) khi f'( x ; d ) tồn tại. Mệnh đề 2.1 Cho f và g là các hàm giá trị thực trên W, x W và a là một số. (a) Nếu f và g là bán trơn tại x, thì f g và af cũng bán trơn tại x. (b) Nếu f và g là chính quy dưới vi phân tại x, thì f + g và af (a 0) cũng chính quy dưới vi phân tại x. Chứng minh (a) Khẳng định cho af là có ngay do (af )( x ) a (  f ( x )). Giả sử f và g là bán trơn tại x và đặt h f g . Lấy d là một vectơ khác không n trong R , và giả sử các các dãy vk ; k  và tk  là như trong Định nghĩa 2.3 (i) – (iii), với f thay thế bằng h. Ta có, h()()() y   f y  g y với mỗi y, và do đó tồn tại v1k trong f() x tk d  k và v2k trong g() x tk d  k sao cho vk v1 k v 2 k . Theo giả thiết, các dãy {.}v1k d và {.}v2k d hội tụ. Vì vậy, {.}vk d hội tụ. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  33. 32 (b) Giả sử f và g là chính quy dưới vi phân tại x và h f g . Ta có h' h0 nếu h' tồn tại. Vì vậy hxd'; hxd0 (;) f 0 xd ; gxd 0 (; ) f' x ; d g '(;) x d h' x ; d . Tiếp theo, nếu a 0, ta có (af )( x ) a (  f ( x )) và af ' af 0 . □ Định lý 2.2 Giả sử x* S W , H và M được định nghĩa như trong (2.2) và (2.3). Giả sử các hàm g0 , g1, g2 , , gq là bán trơn tại x* và các hàm g0, g 1 , g 2 , , gm , g m 1 , , g q là chính quy dưới vi phân tại x*. Khi đó giả thiết (a) của Định lý 2.1 đúng nếu và chỉ nếu H x * chứa vectơ không. Chứng minh Theo [3] cực đại của một số hữu hạn các hàm chính quy dưới vi phân là chính quy dưới vi phân. Theo [11] cực đại của một số hữu hạn các hàm bán trơn là bán trơn. Bởi vì gi max{ g i , g i }, cho nên gi là chính quy dưới vi phân và bán trơn tại x*. Từ Mệnh đề 2.1 suy ra f0 là chính quy dưới vi phân và bán trơn tại x*. Những nhận xét trên cho thấy H và M cũng có các tính chất đó. Hơn nữa, H x * M x * . Bây giờ giả sử rằng giả thiết (a) của Định lý 2.1 đúng. Ta có H0( x *; d ) M 0 ( x *; d ) 0 với mọi d Rn. Do đó, theo [14, thm.13.1], vectơ không thuộc H x * . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  34. 33 Ngược lại, giả sử 0 H(x*). Do H(x*) = M(x*), ta có M'(*;) x d M0 (*;) x d H 0 (*;)0 x d . Từ Nhận xét 2.2 ta suy ra giả thiết (a) Định lý 2.1 đúng. □ Nhận xét 2.4 1 Để |gi| là chính quy dưới vi phân tại x*, ta giả sử gi thuộc lớp C gần x* là được. Ví dụ 2.2 Giả sử trong Hệ quả 2.1.1 hàm F là hai lần khả vi liên tục tại x*. Ta muốn chỉ ra các giả thiết (a) và (b) của Hệ quả 2.1.1 được quy về các điều kiện đủ thông thường trong trường hợp này. Đầu tiên, ta chú ý rằng, do Định lý 2.2, giả thiết (a) cho ta F( x *) 0. Nhắc lại rằng gradient suy rộng chỉ bao gồm gradient trong trường hợp này. Bây giờ, gọi 2F( x *) là Hessian của F tại x. Giả thiết (b) trở thành: 2 limsupF ( xk ).( x k x *)/ | x k x *| m * với mọi dãy {xk} hội tụ đến x*. Ta có F( x *).( xk x *)  F ( x k )  F ( x *) .( x k x *) 2 2 (xk x *).  F ( x *).( x k x *) o | x k x *| . Do đó, giả thiết (b) trở thành: 2 2 limsup(xk x *).  F ( x *).( x k x *)/ | x k x *| m * Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  35. 34 với mọi dãy {xk} hội tụ tới x* (với xk x*). Nhưng điều kiện này tương đương với d.2F( x *) d > m* với mọi vectơ đơn vị d trong Rn. Định nghĩa 2.5 Với x S ∩ W, nón tiếp tuyến T(S, x) của S tại x được định nghĩa n là tập tất cả các d trong R sao cho tồn tại các các dãy {xk} trong S ∩ W và {tk} các số dương mà {xk} hội tụ đến x và {(xk x ) / t k } hội tụ đến d. Định lý 2.3 Giả sử x* S ∩ W, M và fo được định nghĩa như trong Định lý 2.1. Giả sử h là một hàm Lipschitz địa phương giá trị thực xác định trên W sao cho: (a) h (x*) = M (x*); (b) h (x) < M(x) với mọi x S ∩ W ; 2 (c) ta có limsupvk .( x k x *)/ | x k x *| 0 với mọi dãy {xk} trong W hội tụ đến x* theo phương d trong T (s, x*) mà v0.d 0 với v0 nào đó trong n df o ( x *) và {vk} trong R mà vk h() xk với mọi k. Khi đó, tồn tại một số dương δ sao cho: m* 2 go( x ) g o ( x *) | x x *| , 2 với mọi x B( x *, )  S . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  36. 35 Chứng minh Giả sử kết luận là sai. Chọn một dãy {δk} của số dương giảm đến 0. Khi đó, với k cho trước, tồn tại zk B( x *, )  S sao cho : 2 g0 zk – g 0 x * m */2 z k - x * . Đặt sk = | zk – x* |> 0 và dk = (zk – x*) / sk với mỗi k. Bây giờ xác định Ck là nón lồi nhỏ nhất chứa dk. Ta có thể giả sử dãy {dk} hội tụ đến một vectơ đơn vị d trong T (s, x*). Cũng lưu ý rằng 2 f0 zk – f 0 x * m */2 z k - x * . Sử dụng Định lý Lebourg như trong chứng minh Định lý 2.1 ta có v0. d 0 với v0 nào đó trong df o ( x *). Theo các giả thiết (a) và (b), ta có h() zk M ()0 z k M (*) x h (*) x . Vì vậy, h nhận giá trị cực tiểu trên tập B( x *, ) ( Ck x *) tại điểm xk ≠ x*. Đặt tk = | xk – x* |> 0. Chú ý rằng (xk x *) / t k d k với mỗi k và {xk} hội tụ tới x* theo hướng d. Theo Định lý Clarke về điều kiện cần [3], tồn tại vk trong h() xk sao cho – vk là pháp tuyến của tập lồi B( x *, ) ( Ck x *) tại xk. Ta áp dụng [14, Cor. 23.8.1] và suy ra tồn tại một số ck không âm và uk là pháp tuyến của Ck + x* tại xk sao cho vk c k d k u k 0 (2.6) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  37. 36 Bởi vì xk + tk dk và xk – tk dk thuộc Ck x *, ta có uk dk = 0. Vì vậy, từ (2.6) ta nhận được 2 vk d k c k d k 0 Từ đó suy ra limsupvk . d k / t k 0 . (2.7) Bởi vì (2.7) mâu thuẫn với giả thiết (c) nên bài toán được chứng minh. □ Nhận xét 2.5 Giả sử x* W. F là hàm Lipschitz địa phương giá trị thực trên W. Đặt K (F) = {d Rn : F0 ( x *; d ) 0}. Khi đó K(F) là một nón lồi đóng. Định lý 2.4 Giả sử x* S ∩ W, M và f0 như trong Định lý 2.3. Giả sử các hàm g0, g1 ,g2 , ,gq là bán trơn tại x* và các hàm g0, |gm+1|, ,|gq| là chính quy dưới vi phân tại x*. Khi đó, vo. d 0 với v0 nào đó trong df o ( x *) khi và chỉ khi d K() f0 . Chứng minh Ta chỉ ra rằng f0 là bán trơn và chính quy dưới vi phân cũng như ta đã làm trong việc chứng minh Định lý 2.2. Như vậy, bằng Nhận xét 2.2, 0 ta có f0( x *; d ) f ' 0 ( x *; d ) v 0 . d nếu v0 df o ( x *). Từ đó suy ra kết luận của Định lý. □ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  38. 37 Ví dụ 2.3 Giả sử x* S ∩ W và các hàm gi là hai lần khả vi liên tục ở gần x*. Ta giả sử rằng điều kiện đủ cấp 2 đúng tại x* và ta sẽ chỉ ra rằng các giả thiết của Định lý 2.3 thỏa mãn. Như vậy, ta giả sử số y1, y2 , yq tồn tại sao cho yi ≥ 0 và yigi (x*) = 0 với i = 1 m và q g0 ( x *)  yi  g i ( x *) 0 (2.8) i 1 Nếu ta đặt L(x) = g0 (x) + y1g1 (x) + + yqgq (x).với x W. thì ta có d.2 L ( x *) d m * với vectơ đơn vị d bất kỳ thuộc T(S,x*) mà gi ( x *). d 0 với i I = {i: 1 ≤ i ≤ m và yi> 0}. Để thấy rằng Định lý 2.3 áp dụng được trong tình huống này, ta phải chọn r > 0. Lấy r = 1 nếu không có số khác không trong {ym 1 , , y q }và r max yi : i m 1, , q trong trường hợp ngược lại. Xác định h trên W bởi 2 h x L x g0 x* m * /2 x x * , x W . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  39. 38 Khi đó, các điều kiện (a) và (b) của Định lý 2.3 đúng, vì h(x*) = 0 với x S ∩ W 2 h x L x - g0 x * - m * / 2 x-* x 2 go x - g0 x * - m * / 2 x- x * M() x . Bây giờ giả sử {xk} là dãy trong W hội tụ đến x* theo phương d trong T(S, x*), giả sử v0. d ≤ 0 với vo nào đó trong df o ( x *), và vk h() xk với mỗi k. Như trong chứng minh Định lý 2.2, ta thấy rằng fo là bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x*. Theo Định lý 2.4, d K (fo). Do đó ta có q {f0 ( xk ) f 0 ( x *)} 0 lim g0 ( x *). d  r |  gi ( x *). d | 0 tk i m 1 Bởi vì L( x *) 0 và gi ( x *). d 0 với mỗi i I, ta có m q 0 ygxdi  i ( *).  gxd0 ( *).  ygxd i  i ( *). i 1 i m 1 q g0( x *). d  r  gi ( x *). d 0. i m 1 Bởi vì gi ( x *). d 0 và yi > 0 với mỗi i I, ta suy ra gi ( x *). d 0 với mỗi i I. Vì vậy, ta có d.2 L ( x *) d m *. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  40. 39 Bây giờ vk  L( x k ) m *( x k x *) với mỗi k. Đặt tk | x k x *|và dk | x k x *| / t k với mỗi k. Ta nhận được 2 vdk. k  Lxdmtd (). k k *||{() k k  Lx k  Lxdmt (*). k * k . Nên 2 limsup.vk d k / t k d .  L (*) x d m *0 . Do đó các giả thiết của Định lý 2.3 thỏa mãn. Hệ quả 2.4.1 Giả sử F là hàm Lipschitz địa phương giá trị thực xác định trên W và x* W. Giả sử h là hàm Lipschitz địa phương giá trị thực xác định trên W mà (a) h (x*) = F (x*); (b) h (x) ≤ F (x) với mọi x W (c) tồn tại m* ≥ 0 sao cho 2 limsupvk .( x k x *)/ | x k x *| m * với bất kỳ dãy {xk} trong W hội tụ đến x* theo phương d mà v0. d ≤ 0 với n v0 nào đó trong d F( x *)và {vk} là dãy trong R mà vk h() xk với mỗi k. Khi đó, tồn tại số dương δ sao cho F x F x* m * /2 | x x *|2 , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  41. 40 với mọi x B( x *, ). Chứng minh Ta xác định hàm h* và F* trên W bởi F* x = F x m * /2 | x x *|2 , h* x h x m * /2 | x x *|2 , với x W. Bây giờ ta làm như trong chứng minh Hệ quả 2.1.1, áp dụng Định lý 2.3 cho F* và h*. □ 2.2. SO SÁNH VỚI ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CỦA A. D. IOFFE Nhận xét 2.6 Giả sử g là hàm dưới tuyến tính xác định trên Rm. Như vậy, g là lồi, thuần nhất dương, và dưới cộng tính trên Rm. Giả sử các hàm giá trị n thực G1, G2., , Gm là hai lần khả vi liên tục trên tập mở WR chứa điểm x*. Ta xác định hàm G bởi G x G1 x , G 2 x , , Gm x với x W. Đặt f = g G và xét bài toán (P ): minf ( x ). x W Đây là dạng hữu hạn chiều của bài toán trên không gian Banach đã xét bởi Ioffe [10]. Ta có thể nhận được Định lý Ioffe [10] từ Hệ quả 2.4.1. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  42. 41 Nhận xét 2.7 Gradient suy rộng của f có thể biểu diễn qua Jacobian J của G và dưới vi phân g của hàm lồi g. Từ Định lý của Rockafellar [13] ta suy ra f là chính quy dưới vi phân tại mỗi điểm của W và fx(){() JxyyT :  gGx (())}, xW . (2.9) Ở đây, chỉ số trên T ký hiệu phép chuyển vị. Miffin đã chỉ ra rằng hàm hợp của 2 hàm bán trơn là hàm bán trơn. Từ Nhận xét 2.2 suy ra f là bán trơn tại mỗi điểm của W. Một vài sự kiện về g được liệt kê dưới đây: g (0) = 0; (2.10) Nếu y g (u) thì g (u) = y.u ; (2.11) với mỗi u Rm, ta có g( u )   g (0); (2.12) Từ (2.10) và (2.12) suy ra Nếu u Rm và y g (0), thì y.u< g(u). Định nghĩa 2.6 Với k và x* như trên, đặt (x *) { y  g ( G ( x *)) : J ( x *)T y 0}, và n KC {d RgGx :((*) tJxd (*)) gGx ((*), với t 0 nào đó} Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  43. 42 Cuối cùng, ta định nghĩa hàm L* trên WR m bởi Lxy*(,) yGx1 1 () yGx 2 2 () yGxm m () , m với x W và y R . (Ioffe [9] chỉ ra rằng KC là một nón lồi đóng) Ta phát biểu và chứng minh điều kiện đủ của Ioffe. Định lý 2.5 [9, dạng hữu hạn chiều] Với f và x* ở trên, giả sử tập (x *) khác rỗng. Giả sử tồn tại các số dương m1 và m2 sao cho n (i) với d R , tồn tại z KC sao cho | d –z | ≤ m2 {g (G (x*) + J (x*) d) – g (G (x*))}; (ii) với d KC, tồn tại y (x *) sao cho 2 2 d.xx L *( x *, y ) d m1 | d | . Khi đó, tồn tại số dương δ sao cho 2 f (x) –f (x*) ≥ (m1/ 2) | x – x* | với mọi x B (x*, δ). Chứng minh Bởi vì tập (x *) là không rỗng, ta có thể xác định hàm h trên W bởi h(x) = max {y. G (x): y (x *) }, x W. Ta muốn áp dụng Hệ quả 2.4.1. Trước hết ta chú ý rằng, do tập (x *) là không rỗng, từ (2.9) ta suy ra f( x *) có chứa các vectơ không. Từ (2.11) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  44. 43 và (2.13) suy ra h(x*) = f(x*) và h(x) f(x) với mọi x W. Theo [3, thm.2.1], ta có hx Jxyy T :  x * vàhx yGx .  (trong đó, rõ ràng là h( x *) {0}). Để áp dụng Hệ quả 2.4.1 ta chỉ còn phải kiểm chứng giả thiết (c) của Hệ quả 2.4.1. Ta giả sử {xk} hội tụ tới x* theo phương d trong K(f) (ở đây, ta sử dụng Định lý 2.4) và giả sử vk h() xk với mỗi k. Với mỗi k, tồn tại * T * * yk (x *) sao cho vk J() x k y k và h().() xk y k G x k . Vì f là bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x*, ta có (với tk = |xk – x*| và dk = (xk – x*) / tk) 0 0 f ( x *; d ) limsup{ g ( G ( xk )) g ( G ( x *))} / t k . Bởi vì G là Lipschitz, từ Định lý của Taylor, ta nhận được : {((g G x )) g ((*) G x t J (*) x d )} limsupk k k 0. tk Vì như vậy {(()g G x t J (*) x d ) g ((*))} G x 0 limsup k k . tk Theo giả thiết (i), với mỗi k, tồn tại điểm zk KC sao cho |zk td k k | mgGx2 {((*) tJxd k (*)) k gGx ((*))} Đặt ek = zk / tk với mỗi k. Nó Khi đó các dãy {dk – ek} hội tụ đến 0. Ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  45. 44 2 * * *tk 2 * 2 yGxk.() k yGx k .(*) yJxtd k .(*) k k d k .  Lxyd *(*,) k k ot () k 2 t2 k e. 2 L *( x *, y * ) e o ( t 2 ) (2.14) k k k k 2 Với mỗi k, giả sử yk là một phần tử của (x*) thỏa mãn 2 2 ek.xx L *( x *, y k ) e k m 1 | e k | . * * Bởi vì yk.()() G x k h x k y k và yk.(*) G x y k .(*) G x h (*) x , ta có yGxk.() k yGx k .() k yGx k .(*) yGx k .() k yGx k .(*) t2 t2 k e. 2 L *( x *, y ) e o ( t 2 ) k m| e |2 o ( t 2 ) (2.15) kxx k k k 1 k k 2 2 Tiếp theo, ta thấy rằng TTT vk. dk = J() xk y k . d k {() J x k J (*)}. x y k d k 2 * L*( x *, yk ) t k d k . d k o ( t k ) 2 * L*( x *, yk ) t k e k . e k o ( t k ) . Từ (2.14) và (2.15), ta nhận được vk. d k 2 m1 | ek | o (1). tk Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  46. 45 vk. d k 2 Vì vậy limsup m1 | d | m 1 . □ tk 2.3. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU DƯỚI NGÔN NGỮ HÀM LAGRANGE Nếu các hàm g0, g1,. . . , gq trong bài toán P1 là hai lần khả vi liên tục tại x*, thì điều kiện đủ cấp 2 cổ điển cho bài toán P1 cho dưới ngôn ngữ hàm Lagrange. Ta sẽ trình bày một Định lý về điều kiện đủ tối ưu dưới ngôn ngữ các nhân tử. Định lý 2.6 [Clarke]. Giả sử x* W là một cực tiểu địa phương của bài toán P1. Khi đó, tồn * * tại các số ai và các vectơ vi với i = a, 1, , q sao cho * (a) ai khác không với ít nhất một trong {0,1, , q}; * (b) ai ≥ 0 với i = 0,1, , m; * (c) ai gi (x*) = 0 với i = 1, , m; * (d) vi gi(x*) với mọi i = 0,1, q; (e) 0 = a0 v 0 a 1 v 1 aq v q Dưới đây ta cũng sẽ giả sử * (f) a0 = 1 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  47. 46 nếu chẳng hạn bài toán P1 là “yên tĩnh” [3] Nhận xét 2.8 Giả sử x* W, các hàm gi là bán trơn tại x*, có hàm g0, , gma*m+1 gm +1, , a*qgq là chính quy dưới vi phân tại x*, và Định lý 2.6 (a) – (f) đúng. (phải nhấn mạnh rằng ta không giả thiết x* là một cực tiểu địa phương). Bây giờ ta định nghĩa một hàm giá trị thực L trên W q * L( x )  ai g i ( x ), x W . i 0 Từ Mệnh đề 2.1 ta suy ra L là bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x* và q * L( x *)  ai  g i ( x *) (2.16) i 0 Từ Định lý 2.6 (e) và (2.16) suy ra 0 L (x*). Căn cứ như trong Nhận xét 2.5, ta có thể đưa vào nón lồi đóng K K( L ) { d Rn : L0 ( x *; d ) 0}. Định lý 2.7 Giả sử x* S ∩ W, các hàm gi là bán trơn tại x*, và các hàm g0, g1, gm, gma*m+1 gm +1, , a*qgq là chính quy dưới vi phân tại x*, trong đó ta giả sử x*, a*, và v*0, v*1, , v*q thỏa mãn Định lý 2.6 (a) – (f). Ký * hiệu I { i :1 i m , & ai 0}. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  48. 47 Giả sử 2 limsupvk .( x k x *)/ | x k x *| 0, với mọi dãy {xk} và {vk} thỏa mãn các điều kiện: (i) {xk} hội tụ tới x* theo phương d với xk S với mỗi k; (ii) {vk} hội tụ về 0 với vk ∂L(xk) với mỗi k; (iii) g'i (x*; d) = 0 với mọi i I Khi đó, nếu C là một nón đóng mà CKint( )  {0} tồn tại số dương δ sao cho g0(x)> g0(x*) với mọi x B( x *, ) ( C x *)  S và x x*, ở đây int(K) ký hiệu phần trong của K. Chứng minh Giả sử kết luận là sai. Chọn một dãy {δk} các số dương giảm đến 0. Với mỗi số nguyên dương k, tồn tại xk B( x *, ) ( C x *)  S sao cho xk x *và g0( xk ) g 0 ( x *) 0 . (2.17) Đặt tk = | xk – x* |> 0, và dk = (xk – x*) / tk. Mỗi dk C và do đó ta có thể giả sử {dk} hội tụ đến một vectơ đơn vị d trong C. Ta áp dụng Định lý giá trị trung bình của Lebourg và nhận được zk và zki trong phần trong của các đoạn thẳng nối xk với x*, vectơ vk ∂L(zk) và vki ∂gi(xki) sao cho L (xk) – L (x*) = vk. tkvk , k 1, (2.18) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  49. 48 gi( x k ) g i ( x *) v ki . t k d k, k 1, i 0,1, , q . (2.19) ~ Như trước, ta có thể giả sử {vk} hội tụ đến v trong d L( x *) và {vki} hội ~ tụ đến vi trong dg i ( x *) (với i = 0, 1, , p). Bởi vì mỗi xk S, theo Định lý 2.5 (b), (c), ta có L(xk) – L (x*) ≤ g0(xk) – g0(x*). Từ (2.17), (2.18) và (2.19) ta suy ra với mọi k vk. d k v k0 . d k 0, vki. d k 0, với i I, với m i q (2.20) vki. d k 0, ~ ~ ~ Từ (2.20), ta có v. d 0, vi . d 0 với i I{0}, và v. d 0 với m 0). Do đó, d không thể thuộc int (K), mâu thuẫn. Vì vậy, ta đã chỉ ra được v~ = 0. Do (2.20), ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  50. 49 v. d limsupk k 0. (2.21) tk Như vậy, nếu ta có thể chỉ ra rằng g’i(x*; d) = 0 với mọi i I, thì (2.21) sẽ cho ta mâu thuẫn. Do v~ =0, ta có q ~ * ~ * ~ * ~ 0 vd .  avdi (.) i  avdavd i (.)(.) i 0 0 . i 0 i I ~ ~ Bởi vì vi . d 0 với mọi i I {0}, ta suy ra vi . d 0 với mọi i I. ~ Bởi vì mỗi gi là bán trơn và mỗi vi ∂dgi (x*), ta nhận được ~ ' 0 vi . d g i ( x *; d ) với mọi i I. □ Nhận xét 2.9 Giả sử rằng, trong Định lý 2.6, các hàm gi là khả vi liên tục tại x*. Khi đó Định lý 2.6 (e) trở thành L( x *) 0 và ta có K = Rn. Trong trường hợp này, ta chọn C = K = Rn và như vậy ta nhận được một điều kiện đủ tối ưu. Nếu các hàm gi là hai lần khả vi liên tục ở gần x*, ta có thể tiến hành như trong ví dụ 2.2 và từ Định lý 2.6 ta nhận được một điều kiện đủ tối ưu cấp hai cổ điển. Sử dụng Định lý 2.6 và phương pháp chứng minh của Định lý 2.1 ta nhận được Định lý sau đây: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  51. 50 Định lý 2.8 Giả sử rằng giả thiết của Định lý 2.6 đúng, loại trừ điều kiện liên quan đến nón C, H như trong (2.2) và b(K(L)) là biên của nón K(L). Giả sử v.( x x *) k k , limsup2 0 |xk x *| với mọi dãy {xk} và {vk} thỏa mãn điều kiện (i) – (iii) của Định lý 2.1 và điều kiện d b (K(L)). Khi đó, tồn tại số dương δ sao cho g0( x ) g 0 ( x *) với mọi x B(x*, X)  S, x ≠ x*. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  52. 51 KẾT LUẬN Luận văn đã trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho cực tiểu địa phương chặt cấp 2 của Chaney [6,7] cho bài toán với ràng buộc tập và bài toán với hữu hạn ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức, trong đó hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc là Lipschitz địa phương. Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 được phát biểu dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke của hàm bổ trợ cho hàm mục tiêu và hàm quy gọn kiểu Ioffe [9]. Luận văn cũng trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho các bài toán trên với các hàm bán trơn theo nghĩa Mifflin [11] và hàm chính quy dưới vi phân theo nghĩa Clarke [5]. Lý thuyết các điều kiện cần và đủ tối ưu cấp 2 cho các bài toán không trơn dưới ngôn ngữ các dưới vi phân khác nhau đã và đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  53. 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU TIẾNG VIỆT [1] Đỗ Văn Lưu (1999), Giải tích Lipschitz, NXB Khoa học & Kỹ thuật, Hà Nội. [2] Đỗ Văn Lưu và Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học & Kỹ thuật, Hà Nội. TÀI LIỆU TIẾNG ANH [3] F.H. Clarke, A new approach to Lagrange multipliers, Math. Operations Res, 1(1976), pp.165–174. [4] F.H. Clarke, Generalized gradients and applications, Trans. Amer. Math. Soc, 205 (1975),pp. 247–262. [5] F.H. Clarke (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley Interscience, New York, USA. [6] R.W. Chaney (1982), Second-order sufficiency conditions for nondifferentiable programming problems, SIAM J. Control and optimization, vol 20, 20 – 33. [7] R.W. Chaney (1983), A general sufficiency theorem for nonsmooth nonlinear programming, Transactions of the American Mathematical Society, vol 276, 235 – 245. [8] R. W. Chaney (1982), Second–order sufficiency conditions for nondifferentiable programming problems, SIAM J. Control Optim. vol 7, 463–475. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  54. 53 [9] A.D.Ioffe, Necessary andsufficient conditions for a local minimum . 1: A reduction theorem and first–order conditions, SIAM J. Control and optimization, 17 (1979), pp. 245–250. [10] A.D.Ioffe, Necessary and sufficient conditions for local minimum. 3; Second–order conditions and augmented duality, SIAM J. Control and optimization, 17 (1979), pp. 266–288. [11] R. Mifflin (1977),Semismooth and semiconvex functions in constrained optimization, this Journal, 15, pp. 959–972. [12] R.T. Rockafellar, Convex Analysis, Princeton Univesity Press, Princeton, NJ, 1970. [13] R.T. Rockafellar, Directionally Lipschitzian functions in and subdifferential calculus, Proc London Math. Soc., 39 (1979) pp. 331– 355. [14] R.T. Rockafellar (1982), Lagrange Multipliers and subderivatives of optimal value functions in nonlinear programming, Math. Programming study 17, 28 – 66. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên