Bài tập Chuỗi lũy thừa (Có lời giải)

ppt 36 trang phuongnguyen 68610
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Chuỗi lũy thừa (Có lời giải)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_tap_chuoi_luy_thua_co_loi_giai.ppt

Nội dung text: Bài tập Chuỗi lũy thừa (Có lời giải)

  1. BÀI TẬP CHUỖI LŨY THỪA
  2. Bài tập 1. Tìm bán kính hội tụ của các chuỗi sau: n 2 n 21n +−( ) (n −1) n+1 ax) n bx)2  ( − )  3 2 2n !! n=2 nn− n=0 ( ) 2n n−1 1 x cx) − 1 1 − n d ( ) )  n n=1 n n=1 3.n 2 2nn−+ 3 1 2 n −1 n n fx) n ex)1 n+1 ( + )   n=2 n + 2 n=2 8+ 3lnn
  3. Hướng dẫn n 21n n2 +−( ) ax) n  3 2 n=2 nn− 1 n nn2/3− 1/2 R ==lim lim nn→ n → n ||an 1 21n +− 2 n nn2/3− 1/ 2 1 ==lim n→ n 1/n 1 2 21 +− 2
  4. (n −1) n+1 b)  (x − 2) n=0 (2n)!! an−1 (2n + 2) !! R ==limn lim . nn→ → an+1 (2 n) !! n n −1 =lim .( 2n + 2) = + n→ n
  5. n−1 2 n cx) ( − 1) 1 − n=1 n a n−+21 n R =limn = lim . = 1 nn→ → an+1 n n −1 x 2n d = ax2n )  n  n n=1 3.n n=1 1 R = lim = lim3n n = 3 n→ n n→ an
  6. 2 n n e x )  n+1 ( +1) n=2 8+ 3lnn 1n 8n+1 + 3ln n R ==lim lim nn→ n → n 2 an n 1/n ln n 8 8+ 3 n 8 8.80 = lim ==8 n→ n n2 1
  7. 2 2nn−+ 3 1 n −1 n f )  x n=2 n + 2 2nn2 −+ 3 1 1 n + 2 n R = lim = lim n→ n n→ n an −1 2nn2 −+ 3 1 3 n =+lim 1 n→ n −1 3 2nn2 −+ 3 1 . n−1 nn−1 3 3 =+lim 1 = e6 n→ n −1
  8. 2. Tìm miền hội tụ của các chuỗi sau: n n n (−1) x n + 3 n a) bx)1 −  n  ( ) n=0 (2n + 5) .3 n=1 21n + nn 2 n 23 cx) 2n + 5 dxn+1  ( ) )  n + 2 n=0 n=1 3 n n (x −8) e)  2n n=1 (n!)
  9. Hướng dẫn n (−1) x n a)  n R = 3 n=1 (23n + 5.) Khoảng hội tụ: (−3,3) nn (−−13) ( ) 1 x =−3 = n nn==11(2nn++ 5) .3( 2 5) 1 Chuỗi phân kỳ vì cùng bản chất với  1/2 n=1 n
  10. n (−1) x n  n n=1 (2n + 5) .3 nn (−−1) 3n ( 1) x = 3 = n nn==11(2nn++ 5) .3( 2 5) 1 Chuỗi đan dấu với an =0 (25n + ) Chuỗi ht theo tc Leibnitz. MHT: D =−( 3,3
  11. n n + 3 n b)  (x −1) R = 2 n=1 21n + Khoảng hội tụ: (1− 2,1 + 2) =( − 1,3) x =−1 nn nn++3 nn 2 6  (−21) =  ( −) = an n=1 2nn++ 1 n = 1 2 1 n = 1
  12. nn nn++3 nn 2 6  (−21) =  ( −) = an n=1 2nn++ 1 n = 1 2 1 n = 1 nn 2n + 6 5 =+ 1 2nn++ 1 2 1 5 .n 21n+ 21n+ 5 5 n→ 5/2 =+ 1 ⎯⎯⎯→ e 21n + →an 0 Chuỗi pk theo đk cần
  13. n n + 3 n  (x −1) n=1 21n + x = 3 nn nn++3 n 2 6  2 ==  an n=1 2nn++ 1 n = 1 2 1 n = 1 →an 0 Chuỗi pk theo đk cần MHT: D =−( 1,3)
  14. 2 n cx)  2n ( + 5) R = 0 n=0 Chuỗi chỉ hội tụ tại: x =−5
  15. nn nn2 2 3 n+1 2 .n + 9 d) + x = xn+1  3n n2  n 2 n=1 n=1 3.n 1 R = 3 1 2nn .n2 + 9 1 n x =−  n 2 − 3 n=1 3 .n 3 n n 2 (−1) = − + 2  n n=1 9 HT HT HT
  16. 1 2nn .n2 + 9 1 n x =  n 2 3 n=1 3 .n 3 n 21 =+ 2 n=1 9 n HT HT HT 11 MHT: D =− , 33
  17. n (x −8) e)  2n R = + n=1 (n!) MHT: D =( − , + )
  18. 3. Tìm khai triển Maclaurin của các hàm số sau: 2x a) f( x) = sin2 x b) f( x) = (1− x)2 c) f( x) =( 2 − x) ln( 1 − 2 x) 2x d) f( x) = 3+ x
  19. Hướng dẫn a) f (xx) = sin2 1 =−(1 cos2x) 2 2n 11 2 (2x) = −( −1)  n 2 2n=0 ( 2) !
  20. 2x b) f (x) = (1− x)2 (−2)( − 3) 23( − 2)( − 3)( − 4) =2x 1 − 2( − x) +( − x) +( − x) + 2! 3! =2x( 1 + 2 x + 3 x23 + 4 x + +( n + 1) x n + ) ĐKKT: −x ( −1,1)
  21. c) f( x) =(2 − x) ln( 1 − 2x) n n−1 (−2x) =(21 −x)( − ) −1 − 2x 1 n=1 n 1 = ( −22n++11xx n + n n ) n=1 n −2n+1 2nn−1 x =  xn +  n=1 n n=2 n −1
  22. 4. Tìm khai triển Taylor của các hàm số sau: 1 a) f( x) = , x = 3 x −1 0 b) f( x) = sin x , x = 2 c) f( x) = arctan x − , x = 44
  23. 4. Tính tổng của các chuỗi lũy thừa sau: xn 1)  , x ( − 1,1) n=1 n( n++12)( n ) n−1 nx( + 3) 2)  n=1 (n + 1)!
  24. Hướng dẫn xn 1)  , x −( 1,1) n=1 n( n++1)( n 2) 1 1 1 1 1 n S( x) = − + x n=1 2n n++ 1 2 n 2 11 xn x n x n = −  +  2n=1n n = 1 n++ 1 2 n = 1 n 2 1 1 xxnn++12 1 1 xx = −ln( 1 −) − + .2 , ( − 1,1) \ 0 2xnn==11 n++ 1 2 x n 2
  25. 1 1 xxnn++12 1 1 xx = −ln( 1 −) − + .2 , ( − 1,1) \ 0 2xnn==11 n++ 1 2 x n 2 1 1 xxnn 1 xx = −ln( 1 −) − +2 , ( − 1,1) \ 0 22xnn==22 n x n 11 = −ln( 1 −x) − − ln( 1 − x) − x 2 x 1 x 2 +2 −ln( 1 −x) − x − , x ( − 1,1) \ 0 22x
  26. 1 1 1 3 1 S( x) = − − +2 ln( 1 − x) + − , x ( − 1,1) \ 0 2x 2 x 4 2 x x = 0 0n S (00) == n=1 n( n++12)( n )
  27. n−1 nx( + 3) 2)  MHT: D= R n=1 (n + 1)! n−1 (nx+1 − 1)( + 3) Sx( ) =  n=1 (n + 1)! nn−−11 (xx++33) ( ) = − nn==11nn! (+ 1)! nn+1 11 (xx++33) ( ) =−2 x++3nn==11 n !(x + 3) ( n 1) ! x −3
  28. nn+1 11 (xx++33) ( ) =−2 x++3nn==11 n !(x + 3) ( n 1) ! n 11x+3 (x + 3) =(e −1) − 2  xn+ 3!(x + 3) n=2 11xx++33 =(e −1) −2 ( e − 1 − x − 3) x −3 x + 3 (x + 3) n.0n−1 1 S (−3) = = n=1 (n +1) ! 2
  29. 4. Tính tổng của các chuỗi số sau: 1 43− n 1)  n 2)  n n=1 (−+3) (n 1)! n=1 (−7) 1 1 4) 3)  n  n n=1 (−+3) (2n 1)! n=1 (−3) (2n )!! 1 5)  n=1 n( n++12)( n )
  30. 1 1)  n n=1 (−+3) (1n )! nn+1 (−−1/ 3) ( 1/ 3) = = −3 n==11(nn++ 1)!n ( 1)! n (−1/ 3) −1/3 1 = −33 = −. e −1 + n=2 n!3
  31. n 43− n 1 2)  n =( − 3 − 3n + 7) − n=1 (−7) n=1 7 nn −11 = −3(n + 1) + 7 − nn==11 77 −1/ 7 = −3S( − 1/ 7) + 7. 1+ 1/ 7 Trong đó S(-1/7) tương ứng với S( x) =+( n1) xn n=1
  32. Tính S(x) x x S( t) dt= xn+1 = x. , x ( − 1,1) 0  n=1 1− x x22 2 x− x S( x) = =2 , x ( − 1,1) 1− x (1− x) 2 43− n 2.(− 1/ 7) −( − 1/ 7) 7 11  n = −3 2 − = − n=1 (−7) (1+ 1/ 7) 8 64
  33. 1 3)  n n=1 (−3) (2n + 1)! 2nn 2+ 1 11 nn33 =( −1) . = 3( − 1) . n=1 (2nn++ 1) !n=1 ( 2 1) ! 2n+ 1 1 1/ 3 1/ 3 n ( ) 0 ( ) =3 − 1 . − − 1 ( ) ( ) n=0 (2n + 1) ! 1! 11 =−3 sin 33
  34. 1 4)  n n=1 (−3) (2n )!! 1 =  n n n=1 (−3) .2 .n ! n (−1/ 6) = =e−1/6 −1 n=1 n!
  35. 1 5)  n=1 n( n++12)( n ) Không dùng chuỗi lũy thừa, chỉ qua giới hạn của dãy tổng riêng phần Sn 1 1 1 1 1 1 = − + n( n+1)( n + 2) 2 n n + 1 2 n + 2 Snn= a12 + a + + a
  36. 1 1 1 1 11 Sn = 1 + + + + 2 2 3 n 2 k 1 1 1 1 1 − + + + + − 2 3nn+ 1 k +1 1 1 1 1 1 11 + + + + + 2 3n n++ 1 n 2 22k + 1 1 1 1 1 1 1 = 1 + − + + + 2 2 2n+ 1 2 n + 1 n + 2 n→ 1 1 1 1 ⎯⎯⎯→ 1+ − = 2 2 2 4