Bài tập Lượng giác

Nội dung text: Bài tập Lượng giác

1. G.NTH 1. Các kiến thức cần nắm 1.1. Các hệ thức cơ bản 1 p + cos2 a + sin 2 a =1 + 1 + tg2a = (a ạ + kp ) cos2 a 2 kp 1 + tga . cotga = 1 (a ạ ) + 1 + cotg2a = (a ạ kp ) 2 sin 2 a 1.2. Công thức cộng góc + cos(a ± b ) = cosa cosb  sina sinb + sin(a ± b ) = sina cosb ± cosa sinb tga ± tgb p + tg (a ± b ) = (a ;b ạ + kp ) 1 tga tgb 2 cot ga .cot gb 1 + cotg(a ± b ) =  (a ;b ạ kp ) cot ga ± cot gb 1.3. Công thức nhân + sin2a = 2 sina cosa + cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1 = 1 - 2sin2a 2tga p p + tg2a = (a ạ + k ) 1- tg2a 4 2 cot g2a - 1 kp + cotg2a = (a ạ ) 2cot ga 2 + sin3a = 3sina - 4sin3a + cos3a = 4cos3a - 3cosa 3tga - tg3a p p + tg3a = (a ạ + k ) 1- 3tg3a 6 3 1.4. Công thức hạ bậc 1+ cos 2a 1- cos2a + cos2a = + sin2a = 2 2 1- cos 2a p + tg2a = (a ạ + kp ) 1+ cos 2a 2 1.5. Công thức biến đổi tổng thành tích: a + b a - b + cosa + cosb = 2cos cos 2 2 a +b a b + cosa - cosb = - 2sin sin 2 2 a + b a b + sina + sinb = 2sin cos 2 2 a + b a - b + sina - sinb = = - 2cos sin 2 2 1
2. G.NTH sin(a ± b ) p + tga ± tgb = (a ;b ạ + kp ) cosa .cosb 2 1.6. Công thức biến đổi tích thành tổng: 1 + cosa .cosb = [cos(a + b ) + cos(a - b )] 2 1 + sina .sinb = [cos(a - b ) + cos(a + b )] 2 1 + sina .cosb = [sin(a +b ) + sin(a - b )] 2 Biểu thức lượng giác Biểu thức đại số Công thức lượng giác tương tự 1 1 + x2 1 + tan2t 1+tan2t = cos2 t 4x3 - 3x 4cos3t - 3cost 4cos3t - 3cost = cos3t 2x2 - 1 2cos2t - 1 2cos2t - 1 = cos2t 2x 2 tan t 2 tan t = tan2t 1- x 2 1- tan 2 t 1- tan 2 t 2x 2 tan t 2 tan t = sin2t 1+ x 2 1+ tan 2 t 1+ tan 2 t x + y tan + tan tan + tan   = tan(a +b ) 1- xy 1- tan tan  1- tan tan  1 1 x2 - 1 - 1 - 1 = tan2a cos2 a cos2 a một số phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số I. Dạng 1: Sử dụng hệ thức sin2 + cos2 = 1 1) Phương pháp: ỡ x = sin a a) Nếu thấy x2 + y2 = 1 thì đặt ớ với a ẻ [0, 2p ] ợ y = cosa ỡ x = r sin b) Nếu thấy x2 + y2 = r2 (r > 0) thì đặt ớ với a ẻ [0, 2p ] ợ y = r cos 2. Các ví dụ minh hoạ: VD1: Cho 4 số a, b, c, d thoả mãn: a2 + b2 = c2 + d2 = 1 Chứng minh rằng: - 2 Ê a(c+d) + b(c-d) Ê 2 2
3. G.NTH Giải: ỡ a = sinu ỡ c = sin v Đặt ớ và ớ ị S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv) ợ b = cosu ợ d = cos v ị P = a(c+d) + b(c-d) = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) - cos(u+v) ộ p ự Û S= 2sinờ (u + v)- ỳ ẻ [- 2, 2]ị - 2 Ê S= a(c+d)+b(c- d)Ê 2 (đpcm) ở 4ỷ ổ 1 ử 2 ổ 1 ử 2 25 VD2: Cho a2 + b2 = 1. Chứng minh rằng: ỗ a 2 + ữ + ỗ b2 + ữ ³ ố a 2 ứ ố b2 ứ 2 Giải: Đặt a = cosa và b = sina với 0 Ê a Ê 2p . Thế vào biểu thức vế trái rồi biến đổi. ổ 1 ử 2 ổ 1 ử 2 ổ 1 ử 2 ổ 1 ử 2 ỗ a 2 + ữ + ỗ b2 + ữ =ỗ cos2 a + ữ + ỗ sin 2 a + ữ ố a 2 ứ ố b2 ứ ố cos2 a ứ ố sin 2 a ứ 1 1 cos4 a + sin 4 a = cos4a + sin4a + + + 4 = cos4 a + sin 4 a + + 4 cos4 a sin 4 a cos4 a .sin 4 a ổ 1 ử = (cos4 a + sin 4 a )ỗ 1+ ữ+ 4 ố cos4 a .sin 4 a ứ ổ 1 ử = [(cos2 a + sin 2 a )- 2cos2 a sin 2 a ]ỗ 1+ ữ+ 4 ố cos4 a .sin 4 a ứ ổ 1 ử ổ 16 ử ổ 1 ử 17 25 = ỗ 1- sin 2 2a ữỗ 1+ ữ+ 4 ³ ỗ 1- ữ(1+16) + 4 = + 4 = (đpcm) ố 2 ứ ố sin 4 2a ứ ố 2 ứ 2 2 Bây giờ ta đẩy bài toán lên mức độ cao hơn một bước nữa để xuất hiện a2+b2=1 VD3: Cho a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0. Chứng minh rằng: A = a 2 - b2 + 2 3ab - 2(1+ 2 3)a + (4 - 2 3)b + 4 3 - 3 Ê 2 Giải: Biến đổi điều kiện: a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0Û (a-1)2 + (b-2)2 = 1 ỡ a - 1= sin a ỡ a =1+ sin a Đặt ớ ị ớ ị A = sin2 a - cos2 a + 2 3sin a cosa ợ b - 2 = cosa ợ b = 2 + cosa 3 1 p A = 3sin 2a - cos 2a = 2 sin 2a - cos 2a = 2sin(2a - ) Ê 2 (đpcm) 2 2 6 VD4: Cho a, b thoả mãn : 5a +12b + 7 = 13 3
4. G.NTH Chứng minh rằng: a2 + b2 + 2(b-a) ³ - 1 Giải: Biến đổi bất đẳng thức: a2 + b2 + 2(b-a) ³ - 1 Û (a-1)2 + (b + 1)2 ³ 1 ỡ a - 1 = R sin a ỡ a = R sin a +1 Đặt ớ với R ³ 0 Û ớ Û (a - 1)2 + (b +1)2 = R 2 ợ b +1 = R cosa ợ b = R cosa - 1 Ta có: 5a +12b + 7 =13 Û 5(R sin a +1) +12(R cosa - 1) + 7 =13 5 12 ổ 5 ử Û 5Rsina +12Rcosa =13Û 1= R sina + cosa = Rsinỗ a +arccos ữÊ R 13 13 ố 13ứ Từ đó ị (a-1)2 + (b+1)2 = R2 ³ 1 Û a2 + b2 + 2(b - a) ³ - 1 (đpcm) II. Dạng 2: Sử dụng tập giá trị | sin a |Ê 1 ; | cosa | Ê 1 1. Phương pháp: ộ ộ ự ờ x=sin khi ẻ - ờ ; ỳ a) Nếu thấy |x| Ê 1 thì đặt ờ ở2 2 ỷ ởờ x=cos khi ẻ [ 0; ] ộ ộ ự ờ x= msin khi ẻ - ờ ; ỳ b) Nếu thấy |x| Ê m ( m ³ 0 ) thì đặt ờ ở2 2 ỷ ởờ x= mcos khi ẻ [ 0; ] 2. Các ví dụ minh hoạ: VD1: Chứng minh rằng: (1+x)p + (1-x)p Ê 2p " |x| Ê 1 ; " P ³ 1. Giải: Đặt x = cosa với a ẻ [0, p ], khi đó (1 + x)p + (1 - x)p = (1+cosa )p + (1-cosa )p ổ a ử p ổ a ử p ổ a a ử ổ a a ử = ỗ 2cos2 ữ + ỗ 2sin 2 ữ = 2p ỗ cos2p + sin 2p ữÊ 2p ỗ cos2 + sin 2 ữ= 2p ố 2 ứ ố 2 ứ ố 2 2 ứ ố 2 2 ứ (đpcm) 3 - 2 3 + 2 VD2: Chứng minh rằng: Ê 3x 2 + x 1- x 2 Ê 2 2 Giải: Từ đk 1 - x2 ³ 0 Û |x| Ê 1 nên Đặt x = cosa với 0 Ê a Ê p ị 1- x 2 = sina . Khi đó ta có: P= 2 3x 2 + 2x 1- x 2 = 2 3 cos 2 + 2cos sin = 3(1+ cos 2 ) + sin 2 4
5. G.NTH ộ 3 1 ự ổ p ử =2ờ cos2a + sin2a ỳ + 3 = 2sinỗ 2a + ữ+ 3 ị 3 - 2 Ê A Ê 3 + 2(đpcm) ở 2 2 ỷ ố 3ứ VD3: Chứng minh rằng: 1+ 1- a2 [ (1+ a)3 - (1- a)3 ]Ê 2 2 + 2 - 2a2 (1) Giải: Từ đk |a| Ê 1 nên a a Đặt a=cosa với a ẻ [0,p ] ị 1- a = 2 sin ; 1+ a = 2 cos ; 1- a 2 = sin a 2 2 a a ộ 3 a 3 a ự a a (1)Û 1+ 2sin cos .2 2ờ cos - sin ỳ Ê 2 2 + 2 2 sin cos 2 2 ở 2 2 ỷ 2 2 ổ a a ử ổ a a ử ổ a a a a ử a a Û ỗ sin + cos ữỗ cos - sin ữỗ cos2 + sin cos + sin2 ữÊ 1+ sin cos ố 2 2 ứ ố 2 2 ứ ố 2 2 2 2 ứ 2 2 ổ a a ử ổ a a ử a a Û ỗ sin + cos ữỗ cos - sin ữ= cos2 - sin 2 = cosa Ê 1 đúng ị (đpcm) ố 2 2 ứ ố 2 2 ứ 2 2 VD4: Chứng minh rằng: S = 4( (1- a2 )3 - a3 )+ 3(a - 1- a2 ) Ê 2 Giải: Từ đk |a| Ê 1 nên: Đặt a = cosa với a ẻ [0, p ] ị 1- a 2 = sina . Khi đó biến đổi S ta có: S= 4(sin3 a - cos3 a ) + 3(cosa - sin a ) = (3sin a - 4sin3 a ) + (4cos3 a - 3cosa ) ổ p ử = sin 3a + cos3a = 2 sinỗ 3a + ữ Ê 2 ị (đpcm) ố 4 ứ VD5: Chứng minh rằng A = a 1- b2 + b 1- a2 + 3(ab - (1- a2 )(1- b2 )) Ê 2 Giải: Từ điều kiện: 1 - a2 ³ 0 ; 1 - b2 ³ 0 Û |a| Ê 1 ; |b| Ê 1 nên. ộ p p ự Đặt a = sina , b = sin b với a , b ẻ ờ - ; ỳ ở 2 2ỷ Khi đó A = sin a cosb + cosa sin b - 3 cos(a + b ) = 1 3 ộ p ự = sin(a +b )- 3cos(a +b ) = 2 sin(a +b )- cos(a +b ) = 2sinờ (a +b )- ỳ Ê 2 2 2 ở 3ỷ (đpcm) VD6: Chứng minh rằng: A = |4a3 - 24a2 + 45a - 26| Ê 1 " a ẻ [1; 3] 5
6. G.NTH Giải: Do a ẻ [1, 3] nên |a-2| Ê 1 nên ta đặt a - 2 = cosa Û a = 2 + cosa . Ta có: A = 4(2+cosa )3 - 24(2+cosa )2 +45(2+cosa )- 26= 4cos3 a - 3cosa = cos3a Ê 1 (đpcm) VD7: Chứng minh rằng: A = 2a- a2 -3 + a Ê 3 " 2 ẻ a [0,2] Giải: Do a ẻ [0, 2] nên |a-1| Ê 1 nên ta đặt a - 1 = cosa với a ẻ [0, p ]. Ta có: A = 2(1 + cos a ) - (1 - cos a )2 - 3(1 + cos a ) + 3 = 1 - cos 2 a - 3 cos a ổ 1 3 ử ổ p ử = sin a - 3 cosa = 2ỗ sin a - cosa ữ = 2sinỗ a + ữ Ê 2 (đpcm) ố 2 2 ứ ố 3 ứ 1 1 p III. Dạng 3: Sử dụng công thức: 1+tg2 = Û tg2a = - 1 (a ạ +kp ) cos2a cos2a 2 1) Phương pháp: a) Nếu |x| ³ 1 hoặc bài toán có chứa biểu thức x 2 - 1 1 ộ p ử ộ 3p ử thì đặt x = với a ẻ ờ 0; ữẩ ờ p , ữ cosa ở 2 ứ ở 2 ứ b) Nếu |x| ³ m hoặc bài toán có chứa biểu thức x 2 - m2 m ộ p ử ộ 3p ử thì đặt x = với a ẻ ờ 0; ữẩ ờ p , ữ cosa ở 2 ứ ở 2 ứ 2. Các ví dụ minh hoạ: a2 -1 + 3 VD1: Chứng minh rằng A = Ê2 " ³ a 1 a Giải: Do |a| ³ 1 nên : 1 ộ p ử ộ 3p ử 2 2 Đặt a = với a ẻ ờ 0; ữẩ ờ p , ữị a - 1 = tg a = tga . Khi đó: cosa ở 2 ứ ở 2 ứ a2 - 1+ 3 ổ p ử A = = (tga + 3)cosa = sina + 3cosa = 2sinỗ a + ữÊ 2 (đpcm) a ố 3 ứ 5 - 12 a 2 - 1 VD2: Chứng minh rằng: - 4 Ê A = Ê 9 "a ³ 1 a 2 Giải: 6
7. G.NTH Do |a| ³ 1 nên: 1 ộ p ử ộ 3p ử 2 2 Đặt a = với a ẻ ờ 0; ữẩ ờ p , ữị a - 1 = tg a = tga . Khi đó: cosa ở 2 ứ ở 2 ứ 5- 12 a2 - 1 5(1+cos2a ) A = = (5-12tga )cos2a = 5cos2a -12sina cosa = - 6sin2a a2 2 5 13ổ 5 12 ử 5 13 ổ 5 ử = + ỗ cos2a - sin 2a ữ= + cosỗ 2a + arccos ữ 2 2 ố 13 13 ứ 2 2 ố 13ứ 5 13 5 13 ổ 5 ử 5 13 ị - 4 = + (- 1) Ê A = + cosỗ 2a + arccos ữÊ + .1 = 9 (đpcm) 2 2 2 2 ố 13ứ 2 2 a 2 - 1 + b2 - 1 VD3: Chứng minh rằng: A = Ê 1 "a; b ³ 1 ab Giải: Do |a| ³ 1; |b| ³ 1 nên . 1 1 ộ p ử ộ 3p ử Đặt a = ; b = với a ẻ ờ 0; ữẩ ờ p , ữ. Khi đó ta có: cosa cosb ở 2 ứ ở 2 ứ A = (tga + tgb )cosa cosb = sin a cosb + sin b cosa = sin(a + b ) Ê 1(đpcm) a VD4: Chứng minh rằng: a + ³ 2 2 "a > 1 a 2 - 1 Giải: Do |a| > 1 nên: 1 ổ p ử a 1 1 1 Đặt a = với a ẻ ỗ 0; ữị = . = . Khi đó: cosa ố 2 ứ a 2 - 1 cosa tg2a sin a a 1 1 1 1 2 2 a+ = + ³ 2. . = ³ 2 2 (đpcm) a 2 - 1 cosa sin a cosa sin a sin 2a VD5: Chứng minh rằng y x 2 - 1 + 4 y2 - 1 + 3 Ê xy 26 "x; y ³ 1 Giải: 2 - ổ 2 - ử Û x 1 + 1 ỗ 4 y 1 + 3 ữÊ Bất đẳng thức ỗ ữ 26 (1) x x ố y y ứ 1 1 ổ p ử Do |x|; |y| ³ 1 nên Đặt x = ; y= với a , b ẻ ỗ 0, ữ. cos a cosb ố 2ứ 7
8. G.NTH Khi đó: (1) Û S = sina + cosa (4sinb + 3cosb ) Ê 26 Ta có: S Ê sina + cosa (42 + 32 )(sin 2 b + cos2 b ) = sin a + 5cosa Ê (12+ 5)(sin 2 2 + cos 2 ) = 26 ị (đpcm) 1 IV. Dạng 4: Sử dụng công thức 1+ tg2 = cos2 a 1. Phương pháp: ổ p p ử a) Nếu x ẻ R và bài toán chứa (1+x2) thì đặt x = tga với a ẻ ỗ - , ữ ố 2 2ứ ổ p p ử b) Nếu x ẻ R và bài toán chứa (x2+m2) thì đặt x = mtga với a ẻ ỗ - , ữ ố 2 2ứ 2. Các ví dụ minh hoạ: 3x 4x3 VD1: Chứng minh rằng: S = - Ê 1 1+ x2 (1+ x2 )3 Giải: ổ p p ử 1 Đặt x = tga với a ẻ ỗ - , ữ ị 1+ x2 = , khi đó biến đổi S ta có: ố 2 2ứ cosa S = |3tga .cosa - 4tg3a .cos3a | = |3sina - 4sin3a | = |sin3a | Ê 1 (đpcm) 3 + 8a 2 +12a 4 VD2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = (1+ 2a 2 )2 Giải: ộ p p ự 3 + 4tg2a + 3tg4a Đặt a 2 = tga với a ẻ ờ - , ỳ thì ta có: A = ở 2 2ỷ (1+ tg2a )2 3cos4 a + 4sin 2 a cos2 a + 3sin 4 a = = 3(sin2 a + cos2 a )2 - 2sin 2 a cos2 a (cos2 a + sin 2 a )2 sin 2 2a 5 1 sin 2 2a 0 = 3 - ị = 3 - Ê A = 3 - Ê 2 - = 3 2 2 2 2 2 p 1 5 Với a = 0 ị a = 0 thì MaxA = 3 ; Với a = ị a = thì MinA = 4 2 2 (a + b)(1- ab) 1 VD3: Chứng minh rằng: Ê " a, b ẻ R (1+ a 2 )(1+ b2 ) 2 Giải: 8
9. G.NTH (a + b)(1- ab) (tga + tgb )(1- tga tgb ) Đặt a = tga , b = tgb . Khi đó = (1+ a2 )(1+ b2 ) (1+ tg2a )(1+ tg2b ) sin(a + b ) cosa .cosb - sin a .sinb = cos2 a cos2 b . . cosa .cosb cosa .cosb 1 1 = sin(a + b )cos(a + b ) = sin[2(a + b )] Ê (đpcm) 2 2 |a- b| |b- c| |c- a| VD4: Chứng minh rằng: + ³ " a,b,c (1+a2)(1+b2) (1+b2)(1+c2) (1+c2)(1+a2) Giải: Đặt a = tga , b = tgb , c = tgg . Khi đó bất đẳng thức Û a - b b - g g - a Û | tg tg | + | tg tg | ³ | tg tg | (1 + tg 2 a )(1 + tg 2b ) (1 + tg 2b )(1 + tg 2 g ) (1 + tg 2 g )(1 + tg 2 a ) sin(a - b ) sin(b - g ) sin(g - a ) Û cosa cosb . + cosb cos g . ³ cos g cosa . cosa .cosb cosb .cos g cos g .cosa Û |sin(a -b )|+|sin(b -g )| ³ |sin(g -a )|. Biến đổi biểu thức vế phải ta có: |sin(g -a )|= |sin[(a -b )+(b -g )]| = |sin(a -b )cos(b -g )+sin(b -g )cos(a -b )| Ê |sin(a -b )cos(b -g )|+|sin(b -g )cos(a -b )|=|sin(a -b )||cos(b -g )|+|sin(b -g )||cos(a -b )| Ê |sin(a -b )|.1 + |sin(b -g )|.1 = |sin(a -b )| + |sin(b -g )| ị (đpcm) VD5: Chứng minh rằng: ab + cd Ê (a + c)(b + d) (1) " a,b,c,d >0 Giải: cd Û ab cd 1 (1) + Ê 1 Û + ab Ê 1 (a + c)(b + d) (a + c)(b + d) ổ c ử ổ b ử ổ c ử ổ b ử ỗ 1 + ữỗ 1 + ữ ỗ 1 + ữỗ 1 + ữ ố a ứ ố d ứ ố a ứ ố d ứ c d ổ p ử Đặt tg2a = , tg2b = với a ,b ẻ ỗ 0, ữ ị Biến đổi bất đẳng thức a b ố 2 ứ 1 tg2a .tg2b Û + = cos2 a cos2 b + sin2 a sin2 b Ê 1 (1+ tg2a )(1+ tg2b ) (1+ tg2a )(1+ tg2b ) Û cosa cosb + sina sinb = cos(a -b ) Ê 1 đúng ị (đpcm) c d Dấu bằng xảy ra Û cos(a -b ) = 1 Û a =b Û = a b 6a + 4 | a 2 - 1| VD6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = a 2 +1 9
10. G.NTH Giải: a a a a + 2 - 2 - a 6tg 4 | tg 1| 2tg tg 1 2 2 = 2 + 2 Đặt a = tg . Khi đó A = a 3. a 4. a 2 tg2 +1 1+ tg2 tg2 +1 2 2 2 A = 3sin a + 4 |cosa | ³ 3 sina + 4.0 = 3sina ³ 3.(-1) = -3 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có: A2 = (3sina + 4 |cosa |)2 Ê (32 + 42)(sin2a + cos2a ) = 25 ị A Ê 5 sin a | cosa | Với sina = 1 Û a = 1 thì MinA = - 3 ; với = thì MaxA = 5 3 4 V. Dạng 5: Đổi biến số đưa về bất đẳng thức tam giác 1) Phương pháp: ỡ p ỡ x;y;z > 0 ù A;B;Cẻ (0; ) a) Nếu ớ thì $ D ABC: ớ 2 ợ 2 + 2 + 2 + = x y z 2xyz 1 ợù x = cos A; y = cos B;z = cosC ỡ p ỡ x;y;z > 0 ù A;B;Cẻ (0; ) b) Nếu ớ thì $ D ABC: ớ 2 ợ x + y + z = xyz ợù x = tgA; y = tgB;z = tgC ộ ỡ p ờ ù A;B;Cẻ (0; ) ờ ớ 2 ỡ x; y,z > 0 ờ ợù x = cot gA; y = cot gB;z = cot gC c) Nếu ớ thì $ D ABC: ờ ợ xy + yz + zx =1 ỡ A;B;Cẻ (0;p ) ờ ù ờ ớ A B C ờ ù x = tg ; y = tg ;z = tg ở ợ 2 2 2 2. Các ví dụ minh hoạ: VD1: Cho x, y, z > 0 và zy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. 1 1 1 S = + + - 3(x + y + z) x y z Giải: a b g ổ p ử Từ 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg ; y = tg ; z = tg với a , b , g ẻ ỗ 0, ữ 2 2 2 ố 2 ứ a b b g g a Do xy + yz + zx = 1 nên tg tg + tg tg + tg tg = 1 2 2 2 2 2 2 10
11. G.NTH b g tg + tg a ổ b g ử b g 1 ổ b g ử a Û tg ỗ tg + tg ữ = 1 - tg tg Û 2 2 = Û tgỗ + ữ= cot g ố ứ b g a ố ứ 2 2 2 2 2 1- tg tg tg 2 2 2 2 2 2 ổ b g ử ổ p a ử b g p a a + b + g p Û tgỗ + ữ= tgỗ + ữÛ + = - Û = Û a + b + g = p ố 2 2 ứ ố 2 2 ứ 2 2 2 2 2 2 1 1 1 a b g ổ a b g ử S = + + - 3(x + y + z) = cotg + cotg + cotg -3ỗ tg + tg + tg ữ x y z 2 2 2 ố 2 2 2 ứ ổ a a ử ổ b b ử ổ g g ử ổ a b g ử S = ỗ cot g - tg ữ+ ỗ cot g - tg ữ+ ỗ cot g - tg ữ- 2ỗ tg + tg + tg ữ ố 2 2 ứ ố 2 2 ứ ố 2 2 ứ ố 2 2 2 ứ ổ a b g ử S = 2(cotga +cotgb +cotgg ) - 2ỗ tg + tg + tg ữ ố 2 2 2 ứ g a b S = (cotga +cotgb -2tg ) + (cotgb +cotgg -2tg ) +(cotga +cotgb -2tg ) 2 2 2 sin(a + b ) 2sin g 2sin g Để ý rằng: cotga + cotgb = = = sin a .sinb 2sin a .sinb cos(a - b ) - cos(a + b ) g g 4sin cos 2sin g 2sin g g g ³ = = 2 2 = 2tg ị cot ga + cot gb - 2tg ³ 0 - a + b + g g 1 cos( ) 1 cos 2cos2 2 2 2 1 T đó suy ra S ³ 0. Với x = y = z = thì MinS = 0 3 x y z 4xyz VD2: Cho 0 < x, y, z < 1 và + + = 1- x 2 1- y2 1- z2 (1- x 2 )(1- y2 )(1- z2 ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x2 + y2 + z2 Giải: a b g ổ p ử Do 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg ; y = tg ; z = tg với a , b , g ẻ ỗ 0, ữ 2 2 2 ố 2 ứ 2x 2y 2z Khi đó tga = ; tgb = ; tgg = và đẳng thức ở giả thiết 1- x 2 1- y2 1- z2 2x 2y 2z 8xyz Û + + = Û tga +tgb +tgg = tga .tgb .tgg 1- x 2 1- y2 1- z2 (1- x 2 )(1- y2 )(1- z2 ) 11
12. G.NTH tga + tgb Û tga + tgb = - tgg (1-tga .tgb ) Û = - tgg Û tg(a +b ) = tg(-g ) 1- tga .tgb ổ p ử Do a , b , g ẻ ỗ 0, ữ nên a + b = p - g Û a + b + g = p . Khi đó ta có: ố 2 ứ a b b g g a tg tg + tg tg + tg tg = 1 Û xy + yz + zx = 1. Mặt khác: 2 2 2 2 2 2 1 (x2 + y2 + z2) - (xy + yz + zx) = [(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 ]³ 0 2 1 ị S = x2 + y2 + z2 ³ xy + yz + zx = 1. Với x = y = z = thì MinS = 1 3 ỡ x, y,z > 0 x y z 9 VD3: Cho ớ . Chứng minh rằng: S = + + Ê ợ x + y + z =1 x + yz y + zx z + xy 4 Giải: yz a xz b xy g ổ p ử Đặt = tg ; = tg ; = tg với a , b , g ẻ ỗ 0, ữ x 2 y 2 z 2 ố 2 ứ yz zx zx xy xy yz Do . + . + . . = x + y + z = 1 x y y z z x a b b g g a nên tg tg + tg tg + tg tg = 1 2 2 2 2 2 2 ổ b g ử a ổ b g ử ổ p a ử b g p a Û tgỗ + ữ = cotg Û tgỗ + ữ = tgỗ - ữÛ + = - ố 2 2 ứ 2 ố 2 2 ứ ố 2 2 ứ 2 2 2 2 a + b + g p Û = Û a + b + g = p 2 2 x y z 1 ộ ổ 2x ử ổ 2y ử ổ 2z ử ự 3 S = + + = ờ ỗ - 1ữ+ ỗ - 1ữ+ ỗ - 1ữỳ + x + yz y + zx z + xy 2 ở ố x + yz ứ ố y + zx ứ ố z + xy ứ ỷ 2 ổ yz zx xy ử ỗ 1- 1- 1- ữ 1 ổ x - yz y - zx z - xy ử 3 1 ỗ y ữ 3 = ỗ + + ữ+ = x + + z + 2 ố x - yz y + zx z + xy ứ 2 2 ỗ yz zx xy ữ 2 ỗ 1+ 1+ 1+ ữ ố x y z ứ 1 3 1 3 = (cos + cosb + cosg ) + = [(cosa +cosb ).1- (cosa cosb - sina +sinb )]+ 2 2 2 2 12
13. G.NTH 1 ộ 1 2 1 2 2 ự 3 3 3 9 Ê ờ ((cosa +cosb ) +1)+ (sin a +sin b )- cosa cosb ỳ + = + = (đpcm) 2ở 2 2 ỷ 2 4 2 4 3. Các bài toán đưa ra trắc nghiệm Trước khi tôi dạy thử nghiệm nội dung sáng kiến của tôi cho học sinh của 2 lớp 11A1 và 11A2 ở trường tôi, tôi đã ra bài về nhà cho các em, cho các em chuẩn bị trước trong thời gian 2 tuần. Với các bài tập sau: Bài 1:Cho a2 + b2 = 1. CMR: | 20a3 - 15a + 36b - 48b3| Ê 13. Bài 2:Cho (a-2)2 + (b-1)2 = 5. CMR: 2a + b Ê 10. ỡ a;b ³ 0 Bài 3:Cho ớ CMR: a4 + b4 ³ a3 + b3 ợ a + b = 2 ổ 1 ử ổ 1 ử ổ 1 ử ổ 1 ử ổ 1 ử ổ 1 ử Bài 4:Cho a; b ; c ³ 1 CMR: ỗ a - ữỗ b - ữỗ c - ữ³ ỗ a - ữỗ b - ữỗ c - ữ ố b ứ ố c ứ ố a ứ ố a ứ ố b ứ ố c ứ ỡ x; y;z > 0 Bài 5:Cho ớ CMR: ợ x2 + y2 + z2 + 2xyz=1 1 a) xyz Ê 8 3 b) xy + yz + zx Ê 4 3 c) x2 + y2 + z2 ³ 4 1 d) xy + yz + zx Ê 2xyz + 2 1- x 1- y 1- z e) + + ³ 3 1+ x 1+ y 1+ z 1 1 2 Bài 6:CMR: + Ê " a, b ẻ (0, 1] 1+ a 2 1+ b2 1+ ab Bài 7:CMR: (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ³ 9 (ab + bc + ca) " a, b, c > 0 ỡ x, y,z > 0 x y z 3 3 Bài 8:Cho ớ CMR : + + ³ ợ xy + yz + zx =1 1- x2 1- y2 1- z2 2 ỡ x, y, z > 0 x y z 3 Bài 9:Cho ớ CMR : + + Ê ợ x + y + z = xyz 1+ x 2 1+ y2 1+ z2 2 13
14. G.NTH ỡ x,y,z>0 1 1 1 2x 2y 2z Bài 10: Cho ớ CMR: + + ³ + + ợ xy+yz+zx=1 1+x2 1+y2 1+z2 1+x2 1+y2 1+z2 14