Bài giảng môn Toán cao cấp - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính

Nội dung text: Bài giảng môn Toán cao cấp - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính

1. C2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1 Các khái niệm 2 HPTTT Crame 3 Phương pháp Gauss 4 HPTTT Thuần nhất 5 Một số ứng dụng 32
2. I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN I.1. Dạng tổng quát hệ phương trình tuyến tính: 1. Định nghĩa: là một hệ phương trình đại số bậc nhất gồm m phương trình n ẩn có dạng: a x a x a x b 11 1 12 2 1n n 1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 (1) am1x1 am2x2 amnxn bm xj là biến aij được gọi là hệ số (của ẩn) b : được gọi là hệ số tự do i 33
3. I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN a11 a12 a1n a21 a22 a2n 2. Ma trận các hệ số: A am1 am2 amn 3. Ma trận cột của ẩn và ma trận cột của hệ số tự do: x1 b1 x2 T b2 T X x1 x2 xn  B b1 b2 bm xn bm Hệ phương trình (1) có thể viết: AX = B 34
4. I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 4. Ma trận bổ sung: a11 a12 a1n b1 a a a b A (A,b) 21 22 2n 2 am1 am2 amn bm Đây là dạng viết tắt của hệ PTTT 35
5. II.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME 2.1. Định nghĩa: Hệ phương trình Crame là một hệ PTTT n phương trình, n ẩn và det(A) 0. 2.2. Định lý Crame: Hệ phương trình Crame có nghiệm duy nhất tính bằng công thức: X = A-1B Aj x j A Aj là ma trận thu được từ A bằng cách thay cột thứ j bằng cột các phần tử tự do. 36
6. II.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME Ví dụ: Giải hệ phương trình: x1 2x2 x3 2 x1 3x2 2x3 3 2x1 5x2 4x3 7 37
7. III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS 3.1. Định nghĩa: Hệ PTTT có số phương trình và số ẩn khác nhau hoặc det(A)=0 3.2. Phương pháp: Nghiệm của hệ PTTT không đổi nếu: 1. Đổi chỗ hai phương trình của hệ 2. Nhân một phương trình của hệ với số thực k 0 3. Nhân một phương trình của hệ với với một số thực sau đó cộng vào một phương trình khác • Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp biến ma trận bổ sung về ma trận bậc thang. 38
8. III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS Ví dụ: Giải hệ phương trình: 2x1 4x 2 3x3 4 3x1 x2 2x3 2 4x1 11x 2 7x3 7 x1 2x2 4x3 3x 4 1 3x1 5x2 6x3 4x 4 2 4x1 5x2 2x 3 3x 4 1 3x1 8x2 24 x3 19x 4 5 39
9. III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS Hệ quả của định lý Kronecker-Capelli: • r(A) r(A,b): Hệ vô nghiệm • r(A) = r(A,b): Hệ có nghiệm • r(A) = n: Hệ có 1 nghiệm • r(A) = k < n: Hệ có vô số nghiệm, k ẩn phụ thuộc n-k ẩn còn lại. Ví dụ: Xác định tham số a để phương trình có nghiệm: ax1 x2 x3 1 x1 ax2 x3 1 x x ax 1 1 2 3 40
10. IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT 4.1. Định nghĩa: a x a x a x 0 11 1 12 2 1n n a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n am1x1 am2x2 amnxn 0 4.2. Nghiệm của hệ: • Hệ luôn có nghiệm tầm thường X=(0,0, 0)T • Hệ có nghiệm không tầm thường khi hệ có vô số nghiệm (r(A)<n) 41
11. IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT 4.3. Hệ nghiệm cơ bản: Trường hợp hệ có vô số nghiệm (r(A) = k < n):. x1 x2 xk xk+1 xk+2 xn c11 c12 c1k 1 0 0 c11 c12 c1k 0 1 0 cn-k,1 cn-k,2 cn-k,k 0 0 1 Hệ này được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ PTTT 42
12. IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT Hệ nghiệm cơ bản: x1 = -1+8x3-7x4 x2 = 1-6x3+5x4 x3 x4 7 -5 1 0 -8 6 0 1 43
13. V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG 5.1. Mô hình cân bằng thị trường: 1. Thị trường 1 loại hàng hóa: Hàm cung : Qs = -a0 + a1P Hàm cầu : Qd = b0 - b1P ai,bi ≥ 0, P giá sản phẩm • Mô hình cân bằng: Qs = Qd => (a1+b1)P = (a0+b0) Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có các thông tin: Hàm cung : Qs = -1 + P Hàm cầu : Qd = 3 - P 44
14. V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG 2. Thị trường 2 loại hàng hóa: • Sản phẩm 1: Q a a P a P s1 10 11 1 12 2 Q b b P b P d1 10 11 1 12 2 • Sản phẩm 2: Q a a P a P s2 20 21 1 22 2 Q b b P b P d2 20 21 1 22 2 Q Q s1 d1 Mô hình cân bằng: Q Q s2 d2 45
15. V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG 3. Thị trường n loại hàng hóa: • Sản phẩm i: Q a a P a P a P si i0 i1 1 i2 2 in n Q b b P b P b P di i0 i1 1 i2 2 in n • Hệ phương trình cân bằng: QS1 QD1 QS2 QD2 QSn QDn 46
16. V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG Ví dụ: Giả sử thị trường có 3 sản phẩm: Q 5 4P P P s1 1 2 3 Q 8 2P P P d1 1 2 3 Q 2 P 4P P s2 1 2 3 Q 10 P 2P P d2 1 2 3 Q 1 P P 4P s3 1 2 3 Q 14 P P 2P d3 1 2 3 47
17. V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG 5.2.Mô hình cân đối liên ngành (I/O): Giả sử một quốc gia có nhiều ngành sản xuất Tổng cầu ngành: - Cầu trung gian: sản phẩm dịch vụ hàng hoá ngành này là yếu tố đầu vào phục vụ ngành khách. - Cầu tiêu dùng và xuất khẩu (cầu cuối cùng): phục vụ cho hộ gia đình, chính phủ và xuất khẩu. 48
18. V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG xi : tổng cầu của ngành i xịj : là giá trị sản phẩm hàng hóa, dịch vụ của ngành i mà ngành j làm yếu tố đầu vào. bi : giá trị sản phẩm hàng hóa dịch vụ ngành i cho tiêu dùng và xuất khẩu. I/O N1 N2 Nn bi N1 x11 x12 x1n b1 N2 x21 X22 x2n b2 Nn xn1 xn2 xnn bn 49
19. V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG Tổng cầu của ngành i: xi xi1 xi2 xin bi xi1 xi2 xin xi x1 x2 xn bi x1 x2 xn xij Đặt: aij xj • aij: Để SX ra 1$ GTSP thì Nj mua của Ni aij$ GTSP • Trong tổng GTSP Nj Ni tham gia vào aij100% 50
20. V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG x1 a11x1 a12x2 a1nxn b1 xij x2 a21x1 a22x2 a2nxn b2 Từ aij xj xn an1x1 an2x2 annxn bn (1 a11)x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1 (1 a22)x2 a2nxn b2 an1x1 an2x2 (1 ann)xn bn 51
21. V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG a11 a12 a1n a21 a22 a2n A (I A)X B an1 an2 ann • A: ma trận hệ số kỹ thuật hay ma trận chi phí trực tiếp • aij: hệ số chi phí cho nhập lượng hay hệ số kỹ thuật • Dòng i: giá trị sản phẩm ngành i bán cho mỗi ngành • Cột j: giá trị sản phẩm ngành j mua mỗi ngành • [I-A] là ma trận Leontief. 52
22. V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG Ví dụ 1: Giả sử nền kinh tế có 3 ngành, ma trận hệ số kỹ thuật như sau: 0,2 0,3 0,2 A 0,4 0,1 0,2 0,1 0,3 0,2 1) Giải thích ý nghĩa con số 0,4 trong ma trận A 2) Cho biết tỷ trọng giá trị gia tăng của các ngành đóng góp cho nền kinh tế. 3) Biết mức cầu cuối cùng là b1=10,b2=5,b3=6. Hãy xác định mức tổng cầu của mỗi ngành. 53
23. V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG Ví dụ: Giả sử nền kinh tế có 3 ngành, thông tin về quan hệ trao đổi như sau: I/ O N1 N2 N3 bi N1 30 50 20 60 N2 40 20 90 20 N3 50 40 40 50 1) Hãy giải thích ý nghĩa của số 90 trong ma trận 2) Hãy xác lập ma trận hệ số kỹ thuật của nền kinh tế 54