›
›

Bài giảng Giải tích nhiều biến số - Phó Đức Anh

pdf 289 trang phuongnguyen 1880
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Giải tích nhiều biến số - Phó Đức Anh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_giai_tich_nhieu_bien_so_pho_duc_anh.pdf

Nội dung text: Bài giảng Giải tích nhiều biến số - Phó Đức Anh

  1. Giải tích nhiềubiếnsố Bài giảng 1-Toán II (Khóa 49) Phó ĐứcAnh Trường ĐạihọcThủylợi II/2008 BG_1_TII_PDA 1
  2. Giải tích nhiềubiếnsố Bài giảng 9-Toán II (Khóa 49) Phó ĐứcAnh Trường ĐạihọcThủylợi IV/2008 BG_9_TII_PDA 1
  3. Chương II- Tích phân bội(tiếp) Nội dung buổi ba/năm • Các ứng dụng vậtlýcủa Tích phân bội hai (Mục 20.3) • Tính diện tích mặt cong (Mục 20.8) IV/2008 BG_9_TII_PDA 2
  4. Tiếtthứ nhất • Các ứng dụng vậtlýcủa Tích phân bội hai (Mục20.3) 1). Tính khốilượng tấmphẳng 2). Mô men đốivớicáctrụcOx, Oy 3). Tọa độ khốitâmcủatấmphẳng 4). Mô men quán tính IV/2008 BG_9_TII_PDA 3
  5. 1). Tính khốilượng tấmphẳng •Tấmphẳng D⊂(xy) có khốilượng riêng (tỷ trọng, mật độ) phụ thuộcvàotừng điểm δδ= ( xy, ) •Khốilượng củayếutố diệntíchdAlà: δ ()xydA, • Công thức tính khối lượng củatấmphẳng M = ∫∫ δ ()x, y dA D IV/2008 BG_9_TII_PDA 4
  6. Hình 20.14 (trang 129) DT yếutố: dA KL yếutố: δ.dA D D IV/2008 BG_9_TII_PDA 5
  7. Trong hình vẽ trên • Ta coi x là khoảng cách từ khốilượng yếu tố: δ(x, y)dA đếntrụcy, •y làkhoảng cách từ khốilượng yếutố: δ(x, y)dA đếntrụcx • Khi xét tác dụng quay củakhốilượng quanh mộttrục, ngườitađưa ra khái niệm mô men đốivớitrục (bằng tích giữakhối lượng và khoảng cách từ nó đếntrục(còn gọilàcánh tay đòn)) IV/2008 BG_9_TII_PDA 6
  8. 2).Mô men •Khốilượng củayếutố diệntíchdAcómô men đốivớitrụcx; yxydAxxydAδδ( ,;(,)) ( ) (trụcy) ⎧MyxydA= δ , x ∫∫ () ⎪ D • Công thức tính mô ⎨ men đốivớitrụcx; MxxydA= δ , ⎪ y ∫∫ () trụcy củatấmphẳng ⎩ D IV/2008 BG_9_TII_PDA 7
  9. 3). Tọa độ khốitâmcủatấmphẳng • Tọa độ khốitâmcủa ⎧ xδ ()xydA, M ∫∫ tấmphẳng D, với ⎪ y D ⎪x == hàm khốilượng riêng M δ x, ydA (tỷ trọng, mật độ): ⎪ ∫∫ () ⎪ D ⎨ δδ= ( x, y) ⎪ yxydAδ (), M ∫∫ được tính theo công ⎪y ==x D thức: ⎪ M δ ()x, ydA ⎪ ∫∫ ⎩ D IV/2008 BG_9_TII_PDA 8
  10. 4). Mô men quán tính • Mô men quán tính IyxydA= 2δ (, ) củatấmphẳng D đối x ∫∫ với trụcx; (trụcy) D ((,))IxxydA= 2δ y ∫∫ D • Mô men quán tính I =+()(,)xy22δ xydA củatấmphẳng D đối O ∫∫ với gốcO D IV/2008 BG_9_TII_PDA 9
  11. Tấmphẳng đồng chất •Khốilượng riêng δ(x, y) = ρ = hằng số tại ∀(x, y) ∈D •Khiđó các công thứctrênsẽđơngiản hơn •Cácbạn tự viếtlại các công thứctính khốilượng, mô men và mô men quán tính đốivới hai trục, đốivớigốcO vàcông thứcchotọa độ khốitâmcủatấmphẳng đồng chất IV/2008 BG_9_TII_PDA 10
  12. Ví dụ 1 •Biếtkhốilượng riêng theo M(x, y) là δ(M) = xy. Tính khốilượng, mô men và mô men quán tính đốivớitrụcx, đốivớigốc O và xác định tọa độ khốitâmcủa hình vuông OABC, biết A(a, 0); B(a, a); C(0, a) • HD. Khốilượng aa aaa24 M ==∫∫xydA ∫ ∫ xydydx == ∫ xdx() DVKL D 00 0 24 IV/2008 BG_9_TII_PDA 11
  13. Mô men đốivớitrục x, trụcy •Mômen củatấm vuông OABC đốivớitrụcy Mxxydxdy= () y ∫∫ D aa aax22 a 5 ===∫∫x2 ydydx ∫ dx 00 0 26 •Do tính đốixứng, Mô men củatấm vuông OABC đốivớitrụcx cũng bằng: a5/6 IV/2008 BG_9_TII_PDA 12
  14. Tọa độ khốitâm củatấm vuông OABC đượctính ⎧ M y 2a theo công thức: ⎪x ==; ⎪ M 3 ⎨ M 2a ⎪y ==x ⎩⎪ M 3 IV/2008 BG_9_TII_PDA 13
  15. Mô men quán tính • đốivớitrụcOx; trụcOyvàđốivớigốcO Iyxydxdy= 2 () x ∫∫ D aa aax46 a ===xy3 dydx dx I ∫∫ ∫ y 00 0 48 a6 IxyxydxdyII=+()()22 =+= 0 ∫∫ xy D 4 IV/2008 BG_9_TII_PDA 14
  16. Ví dụ 2 •Xácđịnh tọa độ khối • Hình 20.19, trang 135 tâm của hình tim đồng chấtcóbiên: r = a(1+cosθ) • HD. Do tính đốixứng, khốitâmcủa hình tim sẽ nằmtrêntrụcx, nghĩalà: IV/2008 BG_9_TII_PDA 15
  17. xdA ∫∫ 2 yx===0; D xdA 2 ∫∫ Aa3π D π a(1+ cosθ ) ∫∫xdA== ∫∫ r22cosθ drdθθθ 2 ∫ ∫ r cos drd DD1 00 25aa33π π 5a =∫(1 + cosθθθ )3 cos dx =⋅⋅⋅= → = 340 6 IV/2008 BG_9_TII_PDA 16
  18. Tiếtthứ hai • Các ứng dụng của Tích phân bội hai (Ôn tập và nâng cao) 1). Diện tích mặt cong (Mục 20. 8) 2). Ví dụứng dụng IV/2008 BG_9_TII_PDA 17
  19. 1). Diệntíchmặt cong (Mục 20. 8) •Xétmặt cong có phương trình z = f(x, y) xác định trên miềnhữuhạnD ⊂ (xy) • Hình chiếu vuông góc củaphầnmặt cong khá bé (vớidiệntíchdS) xuống (xy) là mộthình phẳng trong D có diệntíchdA= dxdy • Theo định lý về diệntíchhìnhchiếu, ta có: dS. cosγ = dA •với γ là góc giữa pháp tuyếntạimột điểmtrên dS vớichiềudương củatrụcz IV/2008 BG_9_TII_PDA 18
  20. Hình 20.35, trang 158 IV/2008 BG_9_TII_PDA 19
  21. Hình 20.36, trang 159 IV/2008 BG_9_TII_PDA 20
  22. Tính dS GG nk. (.0.01.1)−−zz + cosγ ==GG xy 22 nk. 1++zzxy dA dS ==++1.z22 z dA cosγ xy S=++=++1.1. z22 zdA z22 zdxdy ∫∫xy ∫∫ xy DD IV/2008 BG_9_TII_PDA 21
  23. 3). Ví dụ 1 •TínhDT nửamặtcầu bán kính a bằng TP bộihai (Hình 20.37, trang 160) • HD. Xét nửamặtcầu trên: • ĐầutiênhãytínhdS? •Sauđó, xác định miềnlấy TP bội hai (Nên tính theo hệ tọa độ nào?) IV/2008 BG_9_TII_PDA 22
  24. Tính vi phân diệntíchdS zaxy=−+222(); xy zz=−;; =− xyzz xy22+ adxdy dS =+1 2 dxdy = z ax222−+()y IV/2008 BG_9_TII_PDA 23
  25. Diện tích nửacầutrên dxdy SdSa== ∫∫ ∫∫ 222 DDaxy−+() 2π a 1 rdrdθ a − ==−−−adθ ()()a22r2da 22r ∫∫22 2 ∫ ∫ D1 ar− 00 22a 2 =−aar.2ππ . −0 = 2 a IV/2008 BG_9_TII_PDA 24
  26. Ví dụ 2 •TínhDT phầnmặt • Hình 20.38, trang 161 cong parabôlôít tròn xoay: z = x2 + y2 nằmtrongmặtcầu: x2 + y2 + z2 = 6 • HD. Tìm z, zx, zy. •TínhdS •Xácđịnh miềnlấyTP và xác định các cận TP IV/2008 BG_9_TII_PDA 25
  27. HD giảiVD 2 2 2 •z = x + y →zx = 2x; zy = 2y; • dS = [1+ 4(x2 + y2)]1/2dxdy • Giảiphương trình: [x2 + y2 ]2=6-(x2 + y2) được: x2 + y2 = 2 (loại giá trị: x2 + y2 = - 3) •Suyrahình chiếu trên (xy) củaphầnmặt parab tròn xoay là hình tròn: x2 + y2 ≤ 2 • Nên tính TP trong HTĐ cựctrênmiềnD1: 0 ≤θ≤2π; 0 ≤ r ≤ √2 IV/2008 BG_9_TII_PDA 26
  28. Thựchiệnphéptính Srrdrd=+∫∫ 142 θ = D1 π 1 2 2 1 4⋅++∫∫drdrθ (14)222 (14) 8 00 ππ213 3 =⋅(1 + 4rD22 )2 = (VDT ) 43 0 3 IV/2008 BG_9_TII_PDA 27
  29. 2). Ví dụứng dụng •Tínhkhốilượng và xác định tọa độ khối tâm của tam giác OAB biết A(a, 0) B( 0, a) và O(0, 0). Cho khốilượng riêng δ = x2+ y2 aa− x M =+∫∫()x22 y dxdy = ∫ ∫ () x22 + y dydx D 00 a 34 ⎡⎤2 ()ax− a =−+=∫ ⎢⎥xa() x dx() DVKL 0 ⎣⎦36 IV/2008 BG_9_TII_PDA 28
  30. aa− x M =+()xy23 y dxdy = () xy23 + y dydx x ∫∫ ∫ ∫ D 00 a 245 ⎡⎤2 ()()ax−− ax a 2 a ∫⎢⎥xd+=→=xy 0 ⎣⎦24155 aa5 2 M=+( x32 xy ) dxdy = →= x y ∫∫ D 15 5 IV/2008 BG_9_TII_PDA 29
  31. Nội dung BG-10-TII-(Tuần thứ 10) • Tích phân bộibavàứng dụng (Mục 20.5) •Cácbạn nên đọctrước để hiểusơ lược những ý chính trong các mụcsẽ học •Hết BG-9-Toán II (Ngày 15/4/2008) IV/2008 BG_9_TII_PDA 30
  32. Chương I- Không gian ba chiềuvà Hàm nhiềubiến •Thờilượng: 6 buổi •Nội dung buổithứ nhất: – Phép tính véc tơ: Mục 17.3; 18.1; 18.2;18.3 (Tựđọc) –Giảitíchcủa hàm véc tơ mộtbiến(Mục 17.4; 17.6) – Đường thẳng và mặtphẳng-Mục 18.4 (Tự đọc) –Mặttrụ, Mặttrònxoay, Mặtbậc hai (Mục 18.5; 18.6) II/2008 BG_1_TII_PDA 2
  33. Tiếtthứ nhất Giải tích Hàm véc tơ mộtbiếnsố (Mục 17.4, tr.551 và 17.6, trang 566) 1). Các khái niệmcơ bản 2). Nghiên cứu hàm véc tơ mộtbiếnsố theo phương pháp tọa độ 3). Nghiên cứu hàm véc tơ mộtbiếnsố theo đường đầutốc. Ứng dụng củaGiải tích véc tơ II/2008 BG_1_TII_PDA 3
  34. I).Các khái niệmcơ bảnvề Hàm véc tơ củamộtbiếnsố •Véctơ vậntốc, véc tơ gia tốccủamộtchất điểmchuyển động thường thay đổiphương, hướng hoặc độ dài theo thời gian. Ta nói: VVtaat==(); () •Ngườitacóthể mô tả: Kim đồng hồ, cánh quạt, dòng nước chuyển động bằng những véctơ biến đổi theo thờigiant II/2008 BG_1_TII_PDA 4
  35. Định nghĩa hàm véc tơ mộtbiếnsố rrt= () •Nếu ứng vớimỗi giá trị biếnsố (thường là thời gian) t ∈T⊂ℜ, ta có quy luật để xác định mộtvéctơ r (về cả phương, hướng và độ lớn(môđun)) thì ta nói có một hàm véc tơ theo biếnsố t trên T II/2008 BG_1_TII_PDA 5
  36. Giớihạn • Xét hàm véc tơ mộtbiếnsố: rrt= () •Giớihạn được định nghĩanhư sau: limrt ( ) =↔ a tt→ 0 ∀>ε 0 ∃>δδε0:0 <−tt < ⇒ rta() − < {}0 II/2008 BG_1_TII_PDA 6
  37. Tính liên tụcvàĐạohàm •Hàmvéctơ liên tục tạit nếu 0 limrt ( )= rt (0 ) tt→ 0 • Đạo hàm của hàm véc tơ tạimột điểm: dr() t rt()− rt (0 ) Δr rt'(0 ) ==tt= lim =lim 0 tt→Δt→0 dt 0 t−Δ t0 t II/2008 BG_1_TII_PDA 7
  38. Ý nghĩacơ họccủa ĐH cấpI, cấpII •Tương tự như khi ta xét hàm mộtbiếnsố: – Đạo hàm cấpmộtcủamột hàm véc tơ tạimột điểmchotavéctơ vậntốc, thể hiệnsuấtbiến đổi theo biếnsố của hàm véc tơ tại điểm đó – Đạo hàm cấp hai củamột hàm véc tơ tạimột điểmchotavéctơ gia tốc, thể hiệnsuấtbiến đổi theo biếnsố của hàm vậntốctại điểm đó •Sauđây, ta sẽ xét các công thức tính đạo hàm II/2008 BG_1_TII_PDA 8
  39. Công thứctínhđạo hàm củatích dd rt() (())ααr t == ( αconst ) dt dt d dr() t dr () t (()rtrtii ())=+ rt ()21 rt () i dt 12 1 dt2 dt d ⎡dr() t ⎤⎡ dr() t ⎤ ⎡⎤rtrt(); ()=+12 ; rt () rt (); ⎣⎦12 ⎢ 2⎥⎢ 1 ⎥ dt ⎣ dt ⎦⎣dt ⎦ II/2008 BG_1_TII_PDA 9
  40. Các công thức ĐH khác như • ĐH củamộttổng (hiệu) các vt • ĐH hàm hợp • ĐH của hàm vt có phương không đổi tương tự như các công thức đãhọc đốivới ĐH của hàm mộtbiếnsố. Chẳng hạn: dr du du dr rrut=→=⋅=⋅[]() rt '() du dt dt du II/2008 BG_1_TII_PDA 10
  41. 2). Nghiên cứu hàm véc tơ theo các tọa độ trong KG •Nếu rrtxti==() () +y ()t j +ztk () •thì rrtxtiytjztk'== '() '() + '() + '() II/2008 BG_1_TII_PDA 11
  42. Các đạohàmcấpcao rrtxtiytjztk''== ''( ) ''( ) + ''( ) + ''( ) ()nn () rrtxtiytjztk==()()nn () + () () + () n () II/2008 BG_1_TII_PDA 12
  43. Như vậy: •Ta cóthể xét sự liên tục cũng như tính đạo hàm các cấp củamột hàm véc tơ thông qua các hàm tọa độ củanó •Ta còncóthể xác định độ lớn, phương hướng củacácvéctơđạo hàm và ứng dụng các phép tính đó trong cơ học •Sauđây ta xét mộtvàiứng dụng của Giải tích véc tơ trong mặtphẳng xy II/2008 BG_1_TII_PDA 13
  44. Các ví dụ •Vídụ 1. (Trang 607) Cho hàm véc tơ: rt()=+ 4cos2. ti 3sin2. tj •CoigốcO làđiểm đầu chung cho các VT, Xác định quỹ tích điểmcuối (đường đầutốc). Tính đạo hàm và tìm thời điểm tại đó đạo hàm đạt giá trị lớnnhất II/2008 BG_1_TII_PDA 14
  45. Hướng dẫn • Ta có: x(t) = 4cos2t; y(t) = 3sin2t, đường đầutốc là một ellip có phương trình: xy22 + =1 16 9 rt'( )=− 8sin 2 ti . + 6 cos 2 tj . II/2008 BG_1_TII_PDA 15
  46. Nghiên cứu thêm về VT Đạo hàm rt'( )=+=+ 64sin22 2 t 36cos 2 t 36 28sin 2 2t 8sin2tt6cos2 cos(rti '( ), )=− ;cos(rt '( ), j ) = rt'( ) rt'( ) ππ GTLN r'( t )==±↔=+∈ 8 khi sin 2 t 1 t k ( k Z ) 42 π GTBN r'( t )==↔=∈ 6 khi sin 2 t 0 t k ( k Z ) 2 II/2008 BG_1_TII_PDA 16
  47. 3). Nghiên cứu hàm véc tơ theo Đường đầutốc • Đưacácvéctơ xác định theo từng thời điểmvề cùng mộtgốc O(0; 0). Khi đó, các điểmngọncủavéctơ tạo thành một đường đầutốc (còn gọilàtốc đồ) •Vẽ hai véc tơ có gốcO ứng vớithời điểmt và t + Δt, ta có thể biểudiễn được véc tơ hiệu Δr sau đóchoΔt→0 để xác định phương củavéctơ giớihạn(VTđạo hàm) II/2008 BG_1_TII_PDA 17
  48. Véc tơđạo hàm tiếpxúcđường đầutốctại P (H.17-36) II/2008 BG_1_TII_PDA 18
  49. ĐH vt có độ dài không đổi •Giả sử hàm véc tơ chỉ biến đổiphương hướng theo t nhưng giữ nguyên độ dài. Khi đó, véc tơđạo hàm tạimỗi điểm luôn có phương vuông góc vớivéctơđó. Thật vậy: 2 2 rt()==→⋅= rt () const 2 rtrt () '() 0 ↔⊥rt ( ) r '( t ) II/2008 BG_1_TII_PDA 19
  50. Giải thích cách khác • Xét hàm véc tơđơnvị: rij()θ =+ cos.θθ sin. •Khiđó ĐH sẽ là VT đơnvị vuông góc vì: rij'(θ )=− sinθθ . + cos . →=rr().'()0θθ II/2008 BG_1_TII_PDA 20
  51. Ví dụ 2- Chuyển động tròn đều •Xétmộtchất điểm M quay ngượcchiềukim đồng hồ theo đường tròn: x2+ y2= R2 vớitốc độ v không đổi. Tính gia tốccủachất điểmvàxác định lực gây nên chuyển động này • Theo Hình 17.39-tr.555, Ta có: rOMR==(cos)θ i + (cos); Rθ j s ()OM==↔= Rθθ s R II/2008 BG_1_TII_PDA 21
  52. Hình 17.39-Trang 555 II/2008 BG_1_TII_PDA 22
  53. Tính vậntốc •VT vậntốclà: dr dθ ds dr v =⋅= ⋅ ddtRdtdθθ v =⋅−⎡ R sinθθ ⋅+iR cos ⋅ j⎤ R ⎣ ⎦ ⎡⎤ =−vij⎣⎦ sinθθ ⋅+ cos ⋅ II/2008 BG_1_TII_PDA 23
  54. Tính gia tốc •VT giatốclà: dv dθ ds dv a =⋅= ⋅ dθθ dt Rdt d v2 =− ⋅⎡ cosθθ ⋅ij + sin ⋅ ⎤ R ⎣ ⎦ II/2008 BG_1_TII_PDA 24
  55. Vậy trong chuyển động tròn đều • Vậntốcchất điểm có phương tiếptuyến vớiquỹđạo (vuông góc với bán kính OM), có hướng theo chiều quay, có độ lớn không đổilàtốc độ v • Gia tốcchất điểm hướng về tâm O, có độ lớnbằng v2/R •Lực gây nên chuyển động này chính là lực hướng tâm, có độ lớnbằng F = m. v2/R II/2008 BG_1_TII_PDA 25
  56. Tương tự ta có thể nghiên cứu các chuyển động khác • VT đạo hàm cấpIcho ta vậntốcbiến thiên của hàm vt tạithời điểm đượcxét • VT đạo hàm cấpIIchotagiatốcbiến thiên (hay là vậntốcbiến thiên của ĐH cấpI) của hàm vt tạithời điểm đượcxét • Cách dùng tọa độ dễ hiểuvàdễ tính nhưng không trực quan bằng cách dùng tốc đồ (đường đầutốc) II/2008 BG_1_TII_PDA 26
  57. Tọa độ tự nhiên trên quỹđạo •Trênquỹđạocủa động điểm, ta chọnmột điểmgốcP0, quy định một chiềudương và một đơnvịđộdài (H.17.36) •Khiđóvị trí động điểmP đượcxácđịnh nhờ mộtsốđạisố s, có giá trị bằng độ dài cung P0 P, ngườitagọis làtọa độ tự nhiên của P trên quỹđạo đượcxét • Khi biếtphương trình quỹđạovàtọa độ (x; y) của P ta có thể tính được TĐTN s II/2008 BG_1_TII_PDA 27
  58. Điềungượclại không đơngiản trong mọitrường hợp, nghĩalà, khi có TĐTN ta không thể xác định dễ dàng (x; y) trong nhiềutrường hợp •Tuyvậy, TĐTN có tính trực quan hơn, và người ta vẫn hay dùng tọa độ này trong cơ học thay cho tham số t (thờigian) • Khi dùng TĐTN phương trình chuyển động của chất điểm là: s = s(t); v(t) = s’(t); trong chuyển động thẳng thì gia tốc a(t) = s’’(t) = v’(t) II/2008 BG_1_TII_PDA 28
  59. Véc tơ tiếptuyến đơnvị • Hình 17.40 trang 556 drΔ r ==limT ; dsΔ→∞s Δ s dT TT=⊥1; ds II/2008 BG_1_TII_PDA 29
  60. Véc tơ vậntốc •Ta cóthể tính như sau: dr dr ds = ⋅=vt() ⋅ T dt ds dt II/2008 BG_1_TII_PDA 30
  61. VT gia tốc •Ta có: dv dT avtTvt=='( ) ⋅+⋅ ( ) dt dt dT =⋅+⋅⋅stT''() vt () st '() ds dT dθ =⋅+⋅⋅stT''() vt2 () ddsθ dT =⋅+⋅⋅stT''() vt2 () k dθ II/2008 BG_1_TII_PDA 31
  62. VậyVTgiatốcgồm hai thành phần • Thành phầntiếptuyến: ds2 aT= t dt 2 II/2008 BG_1_TII_PDA 32
  63. Và thành phầnthứ hai là • Thành phần pháp tuyến(hướng tâm) với k là độ cong củaquỹđạotại điểm được xét (k = 1/ρ với ρ là bán kính cong): 2 akvnn = II/2008 BG_1_TII_PDA 33
  64. Khi họcmônCơ họclýthuyết các bạnsẽ gặplại các công thứctrên •Khiđócầnnhớ công thứctínhđộ cong của (C): y = y(x) tạimột điểm (x; y): 1 y '' k == ρ 3 (1+ y '2 ) 2 II/2008 BG_1_TII_PDA 34
  65. Vậy, véc tơ gia tốcbằng ds22 v aa+= T + n tndt 2 ρ II/2008 BG_1_TII_PDA 35
  66. Chú ý •Giatốc pháp liên quan đến lựchướng tâm mà ta đãhọctrongmônVậtlý. Lựcnàyphụ thuộc vào tốc độ của động điểmvàđộ cong củaquỹ đạotạithời điểm đượcxét • Trong chuyển động thẳng, do quỹđạocóđộ cong k = 0 tạimọi điểm, thành phầngiatốc pháp triệt tiêu • Trong chuyển động tròn đều, bán kính cong bằng R tạimọi điểm, thành phầngiatốctiếptriệt tiêu • Nghiên cứuvậntốcvàgiatốc theo cách này trực quan hơn II/2008 BG_1_TII_PDA 36
  67. Tiếtthứ hai Mặttrụ, Mặttrònxoay, Mặtbậc hai 1). Mặttrụ 2). Mặttrònxoay(Mục 18.5, trang 41) 3). Mặtbậc hai (Mục 18.6, trang 46) II/2008 BG_1_TII_PDA 37
  68. 1).Phương trình đường trong (xy) •Ta đãbiếtrằng: Trong mặtphẳng xy, một đường thường đượcbiểudiễnbằng một phương trình F(x; y) = 0, ví dụ: xy22 Fxy(; )=+−= 1 0; ab22 Fxy(; )=++ x22 y 2 ax + 2 byc += 0; Fxy(; )=++= axbyc 0 II/2008 BG_1_TII_PDA 38
  69. Phương trình mặt trong không gian • Trong không gian ba chiều xyz, mộtmặt thường đượcbiểudiễnbằng một phương trình F(x; y; z) = 0, ví dụ: F(; x y ;) z=+++= ax by cz d 0; Fxyz(; ;)=+++ x222 y z2 ax + 2 by + 2 czd += 0; xyy222 Fxyz(; ;)=++−=1 0; abb222 Fxyz( ; ; )=+−= x22 y 25 0; II/2008 BG_1_TII_PDA 39
  70. Mặttrụ •Làmộtmặttạobởimột đường thẳng di động, có phương không đổi và luôn tựa vào một đường cong phẳng cốđịnh gọilà đường chuẩn (Đường thẳng di động không song song hoặcnằm trong mặt phẳng chứa đường chuẩn) • Xem hình vẽ 18.25 trang 41 (SGK-Giải tích nhiềubiếnsố) •Mỗivị trí của ĐT cho ta một đường sinh II/2008 BG_1_TII_PDA 40
  71. Hình 18.25 trang 41 Mặttrụ tổng quát II/2008 BG_1_TII_PDA 41
  72. Các ví dụ về mặttrụ • Mặtphẳng là mộtmặttrụ với đường chuẩnlà một đường thẳng • Mặttrụ tròn xoay có đường chuẩnlàmột đường tròn và đường sinh vuông góc vớimặt phẳng chứa đường chuẩn • Phương trình: x22+ yR= 2 biểudiễnmộtmặttrụ tròn xoay. (Các bạntự vẽ hình biểudiễn) II/2008 BG_1_TII_PDA 42
  73. Hình 18.26- Mặttrụ trong không gian 3 chiều II/2008 BG_1_TII_PDA 43
  74. Hình 18.27-Mặt trụ elliptic (tr.42) xy22 +=1 94 II/2008 BG_1_TII_PDA 44
  75. Hình 18.28-Mặt trụ parabôlic (tr.43) z x2 II/2008 BG_1_TII_PDA 45
  76. 2). Mặttrònxoay •Mặttrònxoaylàmặt sinh ra do một đường cong phẳng quay mộtvòng quanh một đường thẳng cốđịnh nằm trong mặtphẳng chứa đường cong đó •Mặttrụ tròn xoay, mặtcầu, mặt nón tròn xoay là các mặt tròn xoay quen thuộcmà ta đãgặptrongmônHìnhhọcsơ cấp II/2008 BG_1_TII_PDA 46
  77. Cách thiếtlậpPTr. Mặttrònxoay • Ví dụ: Cho đường cong (C) ⊂ (yz) có phương trình: f(y; z ) = 0 quay một vòng quanh trụcz •Khiđó điểmQ(0, y0, z0 )∈(C)(f(y0,z0)= 0) sẽ quay tròn quanh trụcz vàtạo thành các điểm P(x, y, z0). Hình vẽ 18.29 trang 43 cho ta hệ thức: 22 y0 = ±+xy II/2008 BG_1_TII_PDA 47
  78. Hình vẽ 18.29 (tr.43) II/2008 BG_1_TII_PDA 48
  79. Suy ra, phương trình mặttrònxoay sẽ là: fxyz(,)0±+22 = •Cóthể bỏ dấucănnhờ các phép biến đổi tương đương • Ví dụ 3: Viếtphương trình mặttrònxoaytạo bởi đường thẳng z = 3y trong (yz) quay một vòng quanh trục z? (Xem trang 44) II/2008 BG_1_TII_PDA 49
  80. Hướng dẫngiải VD 3 (trang 44) •Xuất phát từ f(y, z) = 3y – z = 0 là phương trình đường thẳng đã cho trong (yz) •Lậpluậnnhư trên sẽ có phương trình mặttròn xoay phải tìm: fxyz(,)30±+22 =±+−= xyz22 •Tương đương với: z222=+9(xy ) II/2008 BG_1_TII_PDA 50
  81. 3). Đường và Mặtbậc hai •Tựđọcmục 15.6 để hiểurõthêmvề đường bậc hai • Trong (xy) phương trình f(x, y) = Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 vớicáchệ số A,B, ,F cho trước (A, B, C không đồng thờitriệt tiêu) biểudiễnmột đường cônic (E,H,P) hoặcsuybiến thành cặp đường thẳng, một điểm hay tậprỗng II/2008 BG_1_TII_PDA 51
  82. Mặtbậc hai • Trong KG ba chiều (xyz) phương trình f(x, y, z) = Ax2 + By2 + Cz2 + + Dxy+ Eyz+ Fzx+ + Gx + Hy + Iz +J = 0 vớicáchệ số A,B, ,J cho trước (A, B, C không đồng thờitriệt tiêu) sẽ biểudiễn mộtmặtbậchaihoặcmột vài hình suy biếnkhác II/2008 BG_1_TII_PDA 52
  83. 6 dạng mặtbậc hai hay gặp Ngoài các mặtbậc hai như mặttrụ E, trụ H, trụ P còn có: 1. Ellipsôit 2. Hypecbôlôit mộttầng 3. Hypecbôlôit hai tầng 4. Mặt nón elliptic 5. Parabôlôit elliptic 6. Parabôlôit hypecbôlic (Xem trang 46) II/2008 BG_1_TII_PDA 53
  84. Nguyên tắc chung để vẽ MBH • Chú ý tính đốixứng qua tâm, qua trục, qua mặtphẳng (nếucó) •Chúý tớicácđiềukiệnxácđịnh cho x, y, z • Giao tuyếncủa6 loạiMBH kể trên (nếu có) vớicácmặtphẳng song song vớicác mp tọa độ là các đường cônic, hãy xác định trước các giao tuyến này •Nênxácđịnh giao tuyến kín (E hay đường tròn) trước, giao tuyến không kín sau II/2008 BG_1_TII_PDA 54
  85. VD-1 trang 47 về mặt Ellipsoit •Phương trình: xyz222 ++=1 abc222 (,,abc> 0) II/2008 BG_1_TII_PDA 55
  86. VD-2- Hypecboloit mộttầng •Phương trình: xyz222 +−=1 abc222 (,,abc> 0) II/2008 BG_1_TII_PDA 56
  87. VD-3-tr.48- Hypecboloit hai tầng •Phương trình: xyz222 +−=−1 abc222 (,,abc> 0) II/2008 BG_1_TII_PDA 57
  88. VD-4-tr.49- Mặt nón elliptic •Phương trình: xyz222 +−=0 abc222 (,,abc> 0) II/2008 BG_1_TII_PDA 58
  89. VD-5-tr.50- Mặt Parabôlôit elliptic •Phương trình: z =+ax22 by (,ab> 0) II/2008 BG_1_TII_PDA 59
  90. VD-6- Mặt Parabôlôit hypecbolic •Phương trình: z =−ax22 + by (,ab> 0) II/2008 BG_1_TII_PDA 60
  91. Ví dụ và Bài tậplẻ •Nhớđọckỹ các ví dụ, tự làm các BT số lẻ (trước khi tham khảophần Hướng dẫn) củacácmục: 17-4; 17-6; 18-5; 18-6 • Nghiên cứu thêm về mặtkẻ, mặtkẻ hai lần trong các bài tập 23, 24, 25 trang 51 II/2008 BG_1_TII_PDA 61
  92. BG-2-TII-(Tuần thứ hai) • Hệ tọa độ trụ, Hệ tọa độ cầu(Mục 18-7) • Chương 19- Các mục 19-1; 19-2; 19-4 •Cácbạn nên đọctrước để hiểusơ lược các ý chính trong các mụcsẽ học •Hết BG-1-Toán II (Ngày 14/2/2008) II/2008 BG_1_TII_PDA 62
  93. Giải tích nhiềubiếnsố Bài giảng 3-Toán II (Khóa 49) Phó ĐứcAnh Trường ĐạihọcThủylợi III/2008 BG_3_TII_PDA 1
  94. Chương I- Không gian ba chiềuvà Hàm nhiềubiến(tiếp) Nội dung buổithứ ba/sáu • Mặtphẳng tiếpxúcvớimặt cong (Mục 19.3) • Bổ túc thêm về: Đạo hàm và vi phân hàm nhiềubiến III/2008 BG_3_TII_PDA 2
  95. Tiếtthứ nhất Mặtphẳng tiếpxúcvớimặt cong (Mục 19.3) 1). Ví dụ mởđầu 2). Thiếtlậpphương trình tiếpdiện (MPTX) 3). Các ví dụ III/2008 BG_3_TII_PDA 3
  96. 1). Ví dụ mởđầu •Xétmặt cong z = 4 – x2 –y2 và hai mặt phẳng x = 1; y = 1 • Giao tuyếncủamặt cong và hai mặt phẳng này là các đường parabôn cùng đi qua điểmP0(1,1,2) •HaitiếptuyếntạiP0 của hai đường parabôn nói trên nằm trong một mặt phẳng tiếpxúcvớimặt cong tạiP0. III/2008 BG_3_TII_PDA 4
  97. Hình vẽ minh họa III/2008 BG_3_TII_PDA 5
  98. Nhậnxétmộtcáchtrực quan •Mặtphẳng chứa hai tiếptuyến nói trên sẽ chứa tấtcả các tiếptuyếnkhác(củacácđường cong nằmtrênmặt) tại (1,1,2) •Mặtphẳng tiếpxúckhá gầnvới mặt cong tại điểm (1,1,2) (Tiếpdiện) •Mặt cong bấtkỳ chưachắccótiếpdiệntại mọi điểm (Tạimỗi điểm (khác đỉnh) trên mặt nón có mộtMPTX, chứa đường sinh qua điểm đó, nhưng tại đỉnh nón thì không có tiếpdiện) III/2008 BG_3_TII_PDA 6
  99. 2).Thiết lậpphương trình tiếpdiện • z – 2 = A(x – 1) + B(y – 1 ) •Trênmặtphẳng y = 1, ta có: z – 2 = A(x – 1) (PTr đường thẳng) •Chứng tỏ A là hệ số góc của đường thẳng này→A= zx(1,1,2) = -2 •Tương tự, B = zy(1,1,2)= -2 → z –2 = –2(x –1) –2(y –1 ) ↔2x + 2y + z – 6 = 0 III/2008 BG_3_TII_PDA 7
  100. Tổng quát •Phương trình tiếpdiệncủamặt cong: z = z(x, y) tại điểmP0(x0 , y0, z0) là: zz−=0000 zxyxxx (, )( − ) + zy (xy00 , )( y− y 0 ) III/2008 BG_3_TII_PDA 8
  101. 3). Các ví dụ • Ví dụ 1. Tìm mặtphẳng tiếpxúcvớimặt cong z= f( x , y ) = 23 xy − 2 5 x tại điểm (3, 2, 3). • HD. Điểm đãchocónằmtrênmặt cong hay không? •Tínhfx và fy tại điểm này, sau đóthế vào phương trình tiếpdiện III/2008 BG_3_TII_PDA 9
  102. Ví dụ 2 •Viếtphương trình mặtphẳng tiếpxúcvới mặtcầu x2+ y 2 + z 2 14 = tại điểm (1, 2, −3) • HD. Điểm đãchothuộcnửacầudưới, có phương trình là: z = −−−14 xy22 III/2008 BG_3_TII_PDA 10
  103. Tính các hệ số x 1 ffxx==;(1,2) 14 −−xy22 3 y 2 ffyy==;(1,2) 14 −−xy22 3 12 zx+=3(1)(2) − + y − 33 III/2008 BG_3_TII_PDA 11
  104. Cách dùng ĐH hàm ẩn xyz222++=→14 ∂∂z zx 22xz+=→=− 0 ∂x ∂xz III/2008 BG_3_TII_PDA 12
  105. (tiếptục) xyz222++=→14 ∂∂z zy 22yz+=→=− 0 ; ∂∂yyz 12 z ==→;XzPTrMPT xy33 III/2008 BG_3_TII_PDA 13
  106. Kếtluận • MPTX củanửacầudướitại (1,2,-3) có phương trình: x + 2y -3z -14 = 0 •Cácbạncóthể nhận đượcphương trình tiếpdiệnmặtcầubằng phương pháp phân đôi tọa độ •Hãytự chứng minh công thức phân đôi tọa độ cho tiếpdiệnmặtcầuvàmặt ellip- xôít III/2008 BG_3_TII_PDA 14
  107. Hình vẽ minh họa III/2008 BG_3_TII_PDA 15
  108. Ví dụ 3 •Viếtphương trình tiếpdiệncủamặt nón z2 = a(x2+ y2) tạimột điểmchotrước (x0,y0, z0) (khác với đỉnh nón) • Dùng hàm ẩnhoặc tính trựctiếpsẽ có: zx và zy tại điểm đã cho, thay vào PT sẽ có: xy00 z −=za00() xxa − + () yy − 0 zz00 III/2008 BG_3_TII_PDA 16
  109. (Biến đổitiếp) ↔−=−+−z00()()(z z ax 000 x x ay y y 0 ) ↔=zz000 axx() + yy • Nhận xét: Các MPTX đềucómột điểm chung(?) • Pháp tuyếncủa MPTX tại điểm (x0, y0, z0) có phương trình tham số là: x = x0 + ax0t; y = y0 + ay0t; z = z0 -az0t III/2008 BG_3_TII_PDA 17
  110. Làm các bài tậplẻ (Trang 74,75) • Chú ý BT 18 chính là ví dụ 3 vừa đượcxét •Hãytự viếtphương trình mộtmặt nón cụ thể và phương trình tiếpdiệncủanótại một điểm. Viếtphương trình tham số của pháp tuyếnmặt nón tại điểm này •Bàitập 17, 19, 20 cũng có dạng như BT 18 III/2008 BG_3_TII_PDA 18
  111. Tiếtthứ hai Đạo hàm và vi phân hàm nhiềubiến (Bổ sung các ví dụ) 1). Đường mứcvàMặtmức 2).Tính giớihạn hàm 2,3 biến 3). Xét tính liên tục 4). Ứng dụng của đạo hàm riêng 5). Bổđềcơ bản. Tính vi phân và ứng dụng III/2008 BG_3_TII_PDA 19
  112. 1). Đường mứcvàMặtmức •Biểudiễn hàm đãchobằng mộtsốđường mức(BT lẻ từ 15 đến 23, trang 62) • BT 15. z = x2 + 2y2 (Parabôlôít Eliptic) Các đường mứccóphương trình: z = c ≥ 0; x2 + 2y2 = c. Đó là các ellip nằm trong các mặtphẳng nằm ngang có tâm đốixứng nằmtrêntrụcz III/2008 BG_3_TII_PDA 20
  113. Hình vẽ các đường mức III/2008 BG_3_TII_PDA 21
  114. Mặtmứccủa hàm 3 biến • f(x, y, z) = x2+ y2-z2 là tậphợpcácđiểm trong không gian thỏa mãn phương trình: x2+ y2-z2 = c •Mặtmức chứa (0,0,0) (c = 0) là mặt nón: x2+ y2-z2 = 0 •Mặtmứcchứa (0,a,a) (c = 0) cũng là mặt nón: x2+ y2-z2 = 0 •Mặtmứcchứa (a,a,a) (c = a2 ) là mặt: x2+ y2-z2 = a2.(Hypecboloit mộttầng) III/2008 BG_3_TII_PDA 22
  115. Mặtmức(tiếp) •Mặtmứcchứa (0,1,2) (c = -3 ) là mặt: x2+ y2-z2 = -3.(Hypecboloit hai tầng) •Vídụ nàychotathấy điềugì? • Giá trị c tạitừng mặtmứcsẽ tăng hay giảm theo quy luật nào? Suy nghĩ về câu hỏi này từ các ví dụđơngiảnvớihàm u = ax + by + cz hoặcu = x2+ y2+ z2 và sau này, ta sẽ có câu trả lờitổng quát III/2008 BG_3_TII_PDA 23
  116. 2). Giớihạn hàm hai biến xy22− xy lim ==?; lim ?; (,)xy→→ (0,0)xy22+ (,)xy (0,0)39−+xy sin(xy ) 1 lim = ?; lim (xy22+= )sin ? (,)xy→→ (0,0) xy (,)xy (∞ ,∞ ) x22+ y lim sin⎡⎤ ln(xy42+= ) ? (,)xy→ (0,0) ⎣⎦ III/2008 BG_3_TII_PDA 24
  117. VD khác về giớihạn •Chứng tỏ rằng có thể cho (x, y)→(0, 0) theo một cách nào đó để hàm z = x/(y-x) tiến đếnbấtkìgiátrị k ≠ 0 nào cho trước •Thựcvậy, cho y = mx vớim≠0 và m ≠1. Dễ thấy là hàm z →1/(m -1), cho giá trị này bằng k ≠ 0 ta sẽ tìm đượcm. Chẳng hạnnếu k = 3 thì m = 4/3; k=2 thì m = 3/2 III/2008 BG_3_TII_PDA 25
  118. 3). Xét tính liên tục •Tìmtập các điểmgiánđoạn củamỗi hàm 2 biếnsauđây: 1 z = ; sin22ππxy+ sin 1 z = (1)(1)xy22+ −−− xy 22 III/2008 BG_3_TII_PDA 26
  119. Xéttínhliêntục hàm 3 biến •Tìmtập các điểmgiánđoạn củamỗi hàm 3 biếnsauđây: 11 uu==;; xyz222+− xyz 222 +−−1 1 u = xyz222+−+1 III/2008 BG_3_TII_PDA 27
  120. 4). Ứng dụng của ĐHR •a) Măt cong: z = x2/(y2-3) giao vớimặt phẳng x = 3 theo một đường cong. Viết phương trình tiếptuyếncủa giao tuyến này tại điểmcóy = 2 • HD. Giao tuyếncóphương trình: z = 9/(y2-3); x = 3. 2 2 Hệ số góc zy = -18 /(y -3) ; bằng (-18) tại y = 2→z – 9 = -18(y – 2); x = 3 → (?) III/2008 BG_3_TII_PDA 28
  121. (tiếp) •b) Chứng tỏ rằng mỗi hàm số u(x,t) sau đây: u = (x + at)3; u = (x – at)5; u = sin(x + at)3; u = ex -at thỏamãn 2 phương trình truyền nhiệt: a uxx= utt. • HD. Tính các ĐHR rồi thay vào PT. Có thể mở rộng nghiệmphương trình cho các hàm số u = u(x±at) với u là hàm bấtkìcó ĐHR cấp hai theo x và theo t hay không? III/2008 BG_3_TII_PDA 29
  122. 5).Tính vi phân toàn phần •Choz = x2 + 3xy – y2.Tính dz tại điểm (2, 3) với Δx = 0,05; Δy = -0,04. So sánh dz và Δz • dz = (2x+3y) Δx + (3x – 2y) Δy Tại (2,3) dz = 0,65 • Δz = z(2,05; 2,96) – z(2, 3) = 0,6449 •Vậydz ≈ Δz nhưng tính dz dễ hơn III/2008 BG_3_TII_PDA 30
  123. Công thứcgần đúng •z(x+Δx; y + Δy) ≈ z(x; y) + dz •Ápdụng để tính gần đúng: A =+9.(1,95)22 (8,1) ; B =+sin8900 cos61 III/2008 BG_3_TII_PDA 31
  124. HD tính gần đúng A •Chọn hàm hai biếnz(x, y) z =+9.x22y •Chọn điểm x = 2; y = 8 →Δx và Δy • Tính vi phân dz tại(x, y) • Tính giá trị xấpxỉ của z(2-0,5; 8+0,1) •Cácbạntự tính và so sánh với cách tính khác III/2008 BG_3_TII_PDA 32
  125. HD tính gần đúng B •Chọn hàm hai biến z(x, y) = sinx + cosy •Chọn điểmx = π/2; y = π/3 →Δx và Δy • Tính vi phân dz tại(x, y) • Tính giá trị xấpxỉ của z(x+Δx, y+Δy) •Cácbạntự tính và so sánh với cách tính khác III/2008 BG_3_TII_PDA 33
  126. Nội dung BG-4-TII-(Tuần thứ tư) • Trường vô hướng, Đạo hàm theo hướng, Véc tơ gradien (Mục 19.5) • Quy tắc dây chuyền, Đạo hàm dướidấu tích phân (Mục 19.6) •Cácbạn nên đọctrước để hiểusơ lược các ý chính trong các mụcsẽ học •Hết BG-3-Toán II (Ngày 6/3/2008) III/2008 BG_3_TII_PDA 34
  127. Giải tích nhiềubiếnsố Bài giảng 5-Toán II (Khóa 49) Phó ĐứcAnh Trường ĐạihọcThủylợi III/2008 BG_5_TII_PDA 1
  128. Chương I- Không gian ba chiềuvà Hàm nhiềubiến(tiếp) Nội dung buổithứ năm/sáu • Cựctrị (Cực đạivàCựctiểu) của hàm nhiềubiến(Mục 19.7 ) • Cựctrị có điềukiệncủa hàm nhiềubiến. Phương pháp Nhân tử Lagrange (Mục19.8) III/2008 BG_5_TII_PDA 2
  129. Tiếtthứ nhất • Cựctrị tự do của hàm nhiềubiến(Cực đại, cựctiểu, GTLN. GTBN) (Mục 19.7) 1). Các định nghĩavề cựctrị 2). ĐiềukiệncầnvàĐiềukiện đủ củacựctrị 3). Các ví dụ III/2008 BG_5_TII_PDA 3
  130. 1). Cựctrị của hàm f(x, y) • Cựctiểu(tương đối) • Cực đại(tương đối) • f(x, y) ≥ f(x0, y0) ∀(x,y) • f(x, y) ≤ f(x0, y0) ∀(x,y) thuộclâncận điểm thuộclâncận điểm (x0, y0) (Điểm trong TXĐ) (x0, y0) (Điểm trong TXĐ) • f(x, y) = f(x0, y0) ↔ • f(x, y) = f(x0, y0) ↔ (x, y) ≡ (x0, y0) (x, y) ≡ (x0, y0) • Tạicácđiểm khác trong • Tạicácđiểm khác trong lân cậnthì: lân cậnthì: f(x, y) > f(x0, y0) f(x, y) < f(x0, y0) • f(x0, y0)= fCT (GTCT) • f(x0, y0)= fCĐ (GTCĐ) III/2008 BG_5_TII_PDA 4
  131. Hình 19.13 (trang 92) III/2008 BG_5_TII_PDA 5
  132. Giá trị bé nhất, Giá trị lớnnhất • Cựctiểu (tuyệt đối) • Cực đại (tuyệt đối) • f(x, y) ≥ f(x0, y0) ∀(x,y) • f(x, y) ≤ f(x0, y0) ∀(x,y) thuộcmiền đượcxét thuộcmiền được xét • f(x, y) = f(x , y ) xẩy ra 0 0 • f(x, y) = f(x0, y0) xẩyra tạiítnhấtmột điểm tạiítnhấtmột điểm • Điểmcựctiểutuyệt đối • Điểmcực đạituyệt đối không nhấtthiếtphảilà không nhấtthiếtphảilà điểm trong của TXĐ. điểm trong của TXĐ • ĐCTTĐ có thể là điểm • ĐCĐTĐ có thể là điểm biên, có thể tạonênmột biên, có thể tạonênmột miềnliêntục miềnliêntục • f(x , y )= f (GTBN) 0 0 BN • f(x0, y0) = fLN (GTLN) III/2008 BG_5_TII_PDA 6
  133. 2).Điều kiệncầncủacựctrị •Nhớ lại định lý Phéc ma về ĐK cầncủa cựctrị hàm mộtbiến: y = f(x) •Nếu hàm y = f(x) đạt cựctrị tạix = x0 và có đạohàm f’(x0) tại điểm này thì f’(x0) = 0 • Ý nghĩahìnhhọc: Tiếptuyếncủa ĐTHS tại điểmcựctrị nằm ngang (song song hoặc trùng vớitrục hoành) III/2008 BG_5_TII_PDA 7
  134. Với hàm 2 biến: f(x, y) •Nếu hàm z = f(x; y) đạtcực đạihoặccực tiểutại(x0, y0) và có các ĐHR: fx và fy tại điểm này, thì ∂∂ff = 0;= 0 ∂∂xy(,)xy00 (,)xy00 JJJJJGG ↔=grad f ( x00 , y ) 0 III/2008 BG_5_TII_PDA 8
  135. Suy ra •Cựctrị của hàm hai biến(nếucó) chỉ có thểđạttạicácđiểmtớihạn củanó • Điểmtớihạn bao gồmcácđiểmdừng (Tại đócác ĐHR triệt tiêu) và các điểmtại đócóítnhấtmột ĐHR không xác định • Trong giáo trình này, ta chỉ xét các điểm tớihạnlàđiểmdừng III/2008 BG_5_TII_PDA 9
  136. Quy tắc tìm Điểmdừng • Điểmdừng (x0, y0) của hàm f(x, y) có tọa độ là nghiệmcủahệ: ⎧∂f = f = 0; ⎪∂x x ⎨ ⎪∂f = f y = 0 ⎩⎪∂y III/2008 BG_5_TII_PDA 10
  137. Điềukiện đủ củacựctrị •Với hàm mộtbiến y = f(x), ĐK: f’(x0) = 0 chưa đủ để kếtluậnlàhàmcócựctrị tại x0. ĐK đủ để hàm y = f(x) có cựctrị là gì? • Quy tắcI. f’(x0) = 0 và f’(x) đổidấu qua x0. Khi nào có CT? (CĐ)? • Quy tắc II. f’(x0) = 0 và f’’(x0) ≠ 0 (f’’(x0) > 0 thì x0 là ĐCT tương đối; f’’(x0) < 0 thì x0 là ĐCĐ tương đối III/2008 BG_5_TII_PDA 11
  138. Với hàm hai biếnf(x, y) •Cócác ĐHR liên tục đếncấp 2 trong một lân cận điểmdừng (x0, y0) • Tính A = fxx; B = fxy; C = fyy tại điểm này 2 2 •Tínhbiệtsố D = AC – B = fxx. fyy -fxy ; •Cáctrường hợpxẩyranhư sau: I. D>0 và A>0↔ ĐTH là điểmcựctiểu II. D>0 và A<0↔ ĐTH là điểmcực đại III. D<0 ↔ ĐTH là điểm yên ngựa, tại đó không có cựctrị IV. D = 0 ↔Nghi vấn(?). Phải dùng cách khác III/2008 BG_5_TII_PDA 12
  139. 3).Ví dụ1, trang 92 • Tìm các kích thướccủamộthìnhhộpchữ nhật, có thể tích V= 4 cho trướcsaocho tổng diện tích xung quanh và một đáy của nó đạt giá trị bé nhất? • HD. Gọibakíchthướccủahộplàx, y, z (z là chiềucao; x,y,zđềudương). • Ta có: diện tích S = xy+2yz+2xz → GTBN • Do xyz = 4 nên S = xy + 8/x + 8/y III/2008 BG_5_TII_PDA 13
  140. Ví dụ 1 (tiếp) (trang 93) •Giảihệ Sx = 0; Sy = 0 sẽ có x = y = 2; z = 1. Ta có một điểmdừng (2, 2, 1) •Xétđiềukiện đủ: D>0; A>0 có ĐCT • Chú ý: Khi có duy nhấtmộtcựctrị, cực trị này sẽ vừalàtương đối, vừalàtuyệt đối • KL: Hộpcóđáy là hình vuông, cạnh bằng 2, chiềucaohộp là 1(ĐVĐD) thỏamãn yêu cầu bài toán III/2008 BG_5_TII_PDA 14
  141. Ví dụ 2 (trang 93) • Tìm và phân loạicácđiểmtớihạncủa hàm z =3x2+2xy+y2+10x+2y+1 • HD.Tìm TXĐ và các ĐHR: zx, zy. •Tìmđượcmột điểmtớihạn(cũng là điểm dừng): (2, 1) •Tínhcác ĐHR cấp 2: A = 6; B = 2; C = 2→D= AC –B2 = 8>0; A(C)>0→Hàm có cựctiểu(cũng là GTBN): z(-2,1)= - 6 III/2008 BG_5_TII_PDA 15
  142. Tiếtthứ hai • Cựctrị có điềukiệnvàPhương pháp nhân tử Lagrange (Mục 19.8) 1). Bài toán tìm Cựctrị có điềukiện 2). Phương pháp nhân tử Lagrange 3). Các ví dụ và bài tập III/2008 BG_5_TII_PDA 16
  143. Hình vẽ minh họa III/2008 BG_5_TII_PDA 17
  144. 1). Bài toán tìm cựctrị có ĐK •Tìmcựctrị của hàm hai biến z = f(x, y) thỏamãnđiềukiện g(x, y) = 0 • Ví dụ. z = x2 + y2 (a) với ĐK: x+y = 1 (b) •Nhậnthấy (a) biểudiễnmộtmặt tròn xoay còn (b) biểudiễnmộtmặtphẳng song song vớitrụcz •Haimặt này cắt nhau theo một đường cong→(Có thể dùng (b)để đưaz về 1 biến) III/2008 BG_5_TII_PDA 18
  145. Hình vẽ minh họacózBN III/2008 BG_5_TII_PDA 19
  146. Với bài toán trên • Trong (xy), xét các đường mức: x2 + y2 = c = r2 là các đường tròn có bán kính r tăng dầntừ 0 đến+ ∞ và đường thẳng (b) •Nhậnthấykhir = √2/2, đường mứctiếp xúc với đường thẳng: x + y = 1 •Tạitiếp điểm (1/2, 1/2), hai pháp tuyến của đường mứcvàcủa đường thẳng cùng phương(vtgradf= λgradg) III/2008 BG_5_TII_PDA 20
  147. Hình vẽ chứng tỏ: zBN = z(P)=1/2 Y gradf = k. gradg P(1/2,1/2) X III/2008 BG_5_TII_PDA 21
  148. Tổng quát hơn • ĐK g(x, y) = 0 được minh họabởimột đường cong trong (xy) • z = f(x, y) biểudiễnmộtmặt cong trong không gian vớicácđường mức trong (xy) đượcvẽ trên hình 19.16 trang 98 • (Trên hình có 4 đường mức ứng vớicác giá trị ci tăng dần)→f(x,y) đạtmax tại đâu? III/2008 BG_5_TII_PDA 22
  149. Hình 19.16 trg 98 chỉ rõ ĐCĐ P0 III/2008 BG_5_TII_PDA 23
  150. Để tìm điểmP0, ta có hệ JJJJJG JJJJJG JJJJJGG grad f=↔−=λλ gradg grad()0 f g ⎧∂∂Lf ∂ g ⎪ =−λ =0; ⎪ ∂∂xx ∂ x ⎪∂∂Lf ∂ g ↔=−=⎨ λ 0; (Lf =−λ g ) ⎪ ∂∂yy ∂ y ⎪∂L ⎪ =−gxy(, ) = 0 ⎩∂λ III/2008 BG_5_TII_PDA 24
  151. 2). Phương pháp Nhân tử Lagrange •Thiếtlập Hàm Lagrange: L(x, y, λ) = f(x, y) - λg(x, y) •Giảihệ phương trình (L) để tìm các điểm dừng của hàm Lagrange (Trong hệ này ta đã coi g(x, y) = -∂L/∂λ và xét BT cựctrị tự do của hàm ba biến) •Kếtluậnvề cựctrị có điềukiện( tương đối hoặctuyệt đối) III/2008 BG_5_TII_PDA 25
  152. Tương tự cho hàm ba biến • f(x, y, z) với một điềukiện g(x, y, z) =0 •Thiếtlập Hàm Lagrange: L(x, y, z, λ) = f(x, y, z) - λg(x, y, z) •Giảihệ 4 phương trình (L) để tìm các điểmdừng của hàm Lagrange •Kếtluậnvề cựctrị có điềukiện( tương đốihoặctuyệt đối) III/2008 BG_5_TII_PDA 26
  153. Cụ thể là phảigiảihệ JJJJJG JJJJJG JJJJJGG grad f= λλ gradg↔−= grad()0 f g ⎧∂∂Lf ∂ g =−λ =0; ⎪ ∂∂xx ∂ x ⎪ ∂∂Lf ∂ g ⎪ =−λ =0; ⎪ ∂∂yy ∂ y ↔=⎨ ()Lf−λg ∂∂Lf ∂ g ⎪ =−λ =0; ⎪ ∂∂zz ∂ z ⎪ ∂L ⎪ =−gxyz(, ,) = 0 ⎪⎩∂λ III/2008 BG_5_TII_PDA 27
  154. Khi có hai điềukiện g(x, y, z) =0 và h(x, y, z) =0 •Thiếtlập Hàm (L) với hai nhân tử: L(x, y, z, λ, μ) = f(x, y, z) - λg(x, y, z) -μh(x, y, z) •Giảihệ 5 phương trình (L) để tìm các điểmdừng của hàm Lagrange •Kếtluậnvề cựctrị có điềukiện( tương đốihoặctuyệt đối) III/2008 BG_5_TII_PDA 28
  155. Cụ thể là phảigiảihệ JJJJJG JJJJJG JJJJJG JJJJJGG grad f=+↔−−=λμ gradg gradh grad()0 f λμ g h ⎧∂∂Lf ∂ g ∂ h =−λμ − =0; ⎪ ∂∂xx ∂ x ∂ x ⎪ ∂∂Lf ∂ g ∂ h ⎪ =−λμ − =0; ⎪ ∂∂yy ∂ y ∂ y ↔=⎨ ()L fg−λ ∂∂Lf ∂ g ∂ h ⎪ =−λμ − =0; ⎪ ∂∂zz ∂ z ∂ z ⎪∂∂LL ⎪ =−gxyz(, ,) = 0; =− hxyz (, ,) = 0 ⎩⎪∂∂λμ III/2008 BG_5_TII_PDA 29
  156. 3). Các ví dụ • Tìm kích thướccủamộthìnhchữ nhật, nội tiếp trong nửa hình tròn, bán kính a sao cho diện tích củanólớnnhất •(Đãgiải bài này trong phầnToánI ) • HD. Yêu cầu bài toán dẫn đến tìm x, y dương thỏamãnđiềukiện: x2 + y2 = a2 sao cho hàm A = 2xy đạtGTLN •Khiđó: Hàm L = 2xy - λ(x2 + y2 -a2) III/2008 BG_5_TII_PDA 30
  157. Hình 19.15 (trang 97) III/2008 BG_5_TII_PDA 31
  158. Hướng dẫngiảiVídụ 1(tiếp) • Hàm Lagrange: L = 2xy - λ(x2 + y2 –a2) •Viếthệ 3 phương trình (L) •Từ hai phương trình đầu, rút ra: y = λx và x = λy. •Thế vào phương trình thứ ba, sẽ có: λ(x2 + y2)=a2 →λ= ±1 •Với λ = -1, ta có y = -x (loại do x, y đều dương). Với λ=1 →x = y = a√2/2 →KL III/2008 BG_5_TII_PDA 32
  159. Ví dụ 2 (trang 101) •TìmđiểmP nằmtrênmặtphẳng: x + 2y + 3z = 6 sao cho khoảng cách P tớigốctọa độ đạtGTBN • HD. L = x2+y2+z2 - λ(x + 2y + 3z - 6) •Cácbạntự viếthệ 4 phương trình (L) •Giải được: λ = 6/7→ P(3/7, 6/7, 9/7) • (Vì sao biếtkhoảng cách OP là cựctiểuvà cũng là GTBN ?) III/2008 BG_5_TII_PDA 33
  160. Ví dụ 3 (trang 101) •TìmđiểmP nằm trên giao tuyến hai mặt phẳng: x+y+z=1; 3x + 2y + z = 6 sao cho khoảng cách từ P tớigốctọa độ đạtGTBN • HD. L = x2+y2+z2 - λ(x + y + z -1) -μ(3x + 2y + z - 6) •Cácbạntự viếthệ 5 phương trình (L) •Giải được: μ = 4; λ = -22/3 → P(7/3, 1/3, -5/3) III/2008 BG_5_TII_PDA 34
  161. Nội dung BG-6-TII-(Tuần thứ sáu) • Phương trình Laplace, Phương trình truyền nhiệt, Phương trình truyềnsóng (Mục19.8) • Hàm ẩnvàđạo hàm hàm ẩn(Mục 19.9) •Cácbạn nên đọctrước để hiểusơ lược những ý chính trong các mụcsẽ học •Hết BG-5-Toán II (Ngày 21/3/2008) III/2008 BG_5_TII_PDA 35
  162. Giải tích nhiềubiếnsố Bài giảng 6-Toán II (Khóa 49) Phó ĐứcAnh Trường ĐạihọcThủylợi III/2008 BG_6_TII_PDA 1
  163. Chương I- Không gian ba chiềuvà Hàm nhiềubiến(tiếp) Nội dung buổithứ sáu/sáu • Phương trình Laplace, Phương trình truyền nhiệt, Phương trình truyềnsóng (Mục19.8) • Hàm ẩnvàĐạo hàm hàm ẩn(Mục 19.9) III/2008 BG_6_TII_PDA 2
  164. Tiếtthứ nhất • Phương trình Laplace, Phương trình truyền nhiệt, Phương trình truyềnsóng (Mục19.8) 1). Về ba phương trình nêu trên 2). Ví dụ và Bài tập III/2008 BG_6_TII_PDA 3
  165. Phương trình Đạo hàm riêng • Phương trình vi • Phương trình Đạo phân thường hàm riêng • F(x, y(x), y’(x), • F(x, y, z, w(x, y, z), , y (n) (x)) = 0 wx, wy, wz, wxyz ) = 0 • Ví dụ • Ví dụ 2xy + y’’ = 6x y∂w/∂x+4(x-y).∂2w/∂x2=0 (3xy – 4)dx+(x2-y2)dy = ∂2w/∂x2+ ∂2w/∂y2=0 0 . III/2008 BG_6_TII_PDA 4
  166. 1). Phương trình Laplace • Phương trình Laplace: Δw =∇2w= 0 • Hoặc trong KG hai chiều: Δw=∇2w = 0 III/2008 BG_6_TII_PDA 5
  167. Phương trình truyền nhiệt •TrongKG ba chiều: •TrongKG mộtchiều III/2008 BG_6_TII_PDA 6
  168. Phương trình truyền sóng •TrongKG ba chiều: •TrongKG mộtchiều III/2008 BG_6_TII_PDA 7
  169. 2).Ví dụ và Bài tập •A).Chứng tỏ rằng hàm 3 biếnsauthỏa mãn phương trình Laplace: III/2008 BG_6_TII_PDA 8
  170. HD giảiBàitậpA) • Đặtr = • Tính đạohàmcủa w = 1/r (r>0) ∂w1xx−− xx =−11 =− ; ∂xrr23 r ∂∂2w13(x −−xx ) r 13(x )2 =− +11 ⋅ =− + ∂∂xr23 r 4 xrr 3 5 III/2008 BG_6_TII_PDA 9
  171. Tương tự, ta tính được: 2 2 ⎧∂ w13(xx− 1 ) ⎪ 23=− + 5; ⎪ ∂xr r 2 2 ⎪∂ w13(yy− 1 ) ⎨ 23=− + 5; ⎪ ∂yr r ⎪∂2w13(zz− )2 ⎪ =− + 1 ; ⎩ ∂zr23 r 5 ∂∂∂222www ⇒Δw0 = + + = ∂∂∂xyz222 III/2008 BG_6_TII_PDA 10
  172. B). Viếtphương trình Laplace trong hệ tọa độ cực •Giả sử ta có hàm w = f(x, y) thỏamãnPT Laplace trong KG hai chiều: wxx + wyy = 0 •Dùnghệ tọa độ cực, ta tính các ĐHR cấp1: (Chú ý: x = rcosθ; y = rsinθ) ⎧∂∂∂www cos . . cos .w .w ; ⎪ =+=+θθsin θθxysin ⎪ ∂∂∂rxy ⎨ ⎪∂∂∂www =−rsinθθ. + r cos . =−rsin θθ.wx + r cos .w y ⎩⎪ ∂∂∂θ xy III/2008 BG_6_TII_PDA 11
  173. (tính tiếp ĐHR hai lầntheor) ∂∂2w ==wcos.wsin.w⎡⎤θθ + ∂∂rr2 rr ⎣⎦x y ∂w ∂w =+ cosθθx sin y ∂∂rr ⎡⎤ =+ cosθθ⎣⎦ cos .wxx sin θ .w xy ⎡ ⎤ ++ sinθθ⎣ cos .wyx sin θ .w yy ⎦ 22 =+ cosθθθθ .wxx 2sin .cos .wxyy + sin .w y III/2008 BG_6_TII_PDA 12
  174. (tính tiếp ĐHR hai lầntheoθ) ∂∂2w =−⎡⎤rrsinθθ .w + .cos .w ∂∂θθ2 ⎣⎦xy ⎡⎤ =−r ⎣⎦ cosθθ .wxy + sin .w ∂w ∂w −+rr sinθθ .x cos . y ∂∂θθ ⎡⎤ =−rr wrx − sinθθ⎣⎦ − r sin .wx + r cos θ .w xy ⎡⎤ +−rr .cosθθ⎣⎦ sin .wyx + r cos θ .w yy 2 2 2 ⎤ =−rr wr + [ sinθ .w2sin.cos.wcos.wxxx−+θθyy θy⎦ ∂∂∂∂∂22w1w 1 w2 w2 w ⇒+⋅+⋅=+=0 ∂∂∂∂∂rrrr22θ 222 x y III/2008 BG_6_TII_PDA 13
  175. C).GiảiPhương trình truyền nhiệt mộtchiều, dạng: • HD. Hãy tìm nghiệm w(x, t) củaPT dưới dạng tách biến: w(x, t) = G(x).H(t) với G và H là hai hàm có ĐHR liên tục đến cấpcầnthiết III/2008 BG_6_TII_PDA 14
  176. (HD tiếpC) •Như vậy: wxx = G’’(x).H(t); wt = G(x).H’(t) •PT đưavề dạng phân li biếnsố: •a2G’’H = GH’→a2G’’/G = H’/H •Do vế phảilàhàmcủa t, trong khi vế trái là hàm của x, ta có hai vếđềulàmộthằng số λ→a2G’’= λG và H’ = λH. GiảicácPT vi phân thường này sẽ có G(x) và H(t) •Chẳng hạnnếu λ = - 1, ta sẽ có: III/2008 BG_6_TII_PDA 15
  177. Nghiệmcủa 2 phương trình •a2G’’(x)= -G(x) là các hàm: G(x) = C1sinax + C2cosax vớiC1và C2 là hai hằng số tùy ý • H’(t) = -H(t)↔dH/H = dt (Tích phân hai vế theo t) → lnlHl = -t + C, hay là H(t) = k.e-t. •Vậy nghiệmcủaPT truyền nhiệtvới λ = -1 -t là: w = k.e . (C1sinax + C2cosax) •Cáchằng số C1, C2 và k được XĐ theo ĐK III/2008 BG_6_TII_PDA 16
  178. Phương trình truyềnsóng mộtchiềucódạng: •Hãychứng tỏ rằng các hàm w có dạng: w = F(x + at) + G(x – at) với F và G là hai hàm có ĐHR liên tục đến cấp hai (a là hằng số) đều nghiệm đúng PT( Xem lại BT 30, trang 70 và BG-3-TII) III/2008 BG_6_TII_PDA 17
  179. Tiếtthứ hai • Hàm ẩnvàĐạo hàm hàm ẩn(Mục 19.9) 1). Các định lý về hàm ẩn 2). Tính đạo hàm hàm ẩn 3). Các ví dụ và bài tập III/2008 BG_6_TII_PDA 18
  180. 1). Các định lý về hàm ẩn •Ta đã làm quen với hàm ẩnvàđạo hàm hàm ẩn trong phần Toán I •Chẳng hạnhệ thức: x2 + y2 = 1 chứacáchàm ẩn: y = ±√(1-x2) • Đạo hàm dy/dx = y’(x) = -x/y (y ≠ 0) • Hai câu hỏi đặtralà: + Khi nào tồntạihàmẩn y = y(x) trong hệ thức F(x, y) = c (Hằng số) + Khi có hàm ẩn y = y(x), tính y’(x) như thế nào? III/2008 BG_6_TII_PDA 19
  181. Định lý 1 về sự tồntạicủa hàm ẩn Nếu • hàm F(x, y) có đạo hàm riêng Fx, Fy liên tụctạimọi điểmthuộc lân cận(x0, y0) •F(x0, y0) = c (hằng số); Fy(x0, y0) ≠ 0 thì •tồntạimột hàm ẩn y = f(x) khả vi (có đạo hàm) trên mộtkhoảng I chứax0, sao cho y0 = f(x0) và F[x, f(x)] = c III/2008 BG_6_TII_PDA 20
  182. Theo định lý này •Hệ thức: x2 + y2 = 25 (C) có chứa hàm ẩn: y = f(x) do F(x, y) = x2 + y2 thỏamãncác giả thiết đã nêu • ĐiềukiệnFy ≠ 0 chínhlày ≠ 0 • dy/dx = y’(x) = -x/y • Tính y’(3); y’(-4); y’(±5) • Tính các HSG tiếptuyến đường tròn (C) tạicácđiểm(3, ±4), (-4, ±3), (±5,0). Vẽ hình minh họa III/2008 BG_6_TII_PDA 21
  183. Ví dụ 1 (trang113) •Hệ thức F(x, y) = x2y5 - 2xy + 1 = 0 thỏa mãn các giả thiếtcủa định lý trên tại (1,1) • (F có các ĐHR liên tụctạimọi điểm (x, y); Điểm (1,1) thỏa mãn F(1, 1) = 0 và Fy(1,1) ≠ 0) •Suyra, tồntại hàm ẩn y = f(x) khả vi trên mộttập I nào đóchứa điểm1, hơnnữata còn có: f(1) = 1 và F(x, f(x)) = 0 • Tính y’(x) và y’(1) như thế nào? III/2008 BG_6_TII_PDA 22
  184. 2).Tính Đạo hàm hàm ẩn •F(x, y) = x2y5 - 2xy + 1 = 0 • Cách 1. Đạo hàm hai vế theo x, coi y là hàm củax, tacó: 2xy5 -2y + (5x2y4-2x)y’ = 0→y’ = ? (ĐK?) →y’(1) = ? ∂∂FF ∂ Fdy =+⋅=() 0 • Cách 2. Suy từ ∂∂xxyHS= ∂ ydx ∂F →=−≠yx '( )∂x ( F 0) ∂F y ∂y III/2008 BG_6_TII_PDA 23
  185. Định lý 2 về sự tồntạicủa hàm ẩn Nếu • hàm F(x, y, z) có các đạo hàm riêng liên tụctạimọi điểmthuộc lân cận(x0, y0,,z0) •F(x0, y0,,z0) = c (hằng số); Fz (x0, y0,,z0) ≠ 0 thì •tồntại hàm ẩn z = f(x,y) khả vi (có đạo hàm liên tục) trên mộtmiềnD chứa điểm (x0, y0,) sao cho: z0 = f (x0, y0,) và F[x,y, f(x,y)] = c III/2008 BG_6_TII_PDA 24
  186. Tính ĐH hàm ẩn (VD 2, trg.114) • F(x, y, z) = x2z+yz5 + 2xy3 =13 và (1, 2, -1) • Cách 1. Đạo hàm hai vế theo x, coi z là hàm của x và y (còn y là hằng số),ta có: 3 2 4 2xz +2y + (x + 5yz )zx = 0→zx = ? (ĐK?) →zx(1,2) = ? • Tương tự, Đạo hàm hai vế theo y, coi z là hàm của x và y (còn x là hằng số),ta có: 5 2 2 4 z +6xy + (x + 5yz )zy = 0→zy = ? (ĐK?) →zy(1,2) = ? III/2008 BG_6_TII_PDA 25
  187. Cách hai để tính zx và zy ∂∂FF ∂∂ Fz =+⋅=() 0; ∂∂xxyz, = HS ∂∂ zx ∂∂FF ∂∂ Fz =+⋅=() 0; ∂∂yyxz, = HS ∂∂ zy ∂F ∂F () ()xz, = HS ∂∂zzyz, = HS ∂y →=−∂x ; =− (F ≠ 0) ∂∂xy∂∂FFz ∂∂zz III/2008 BG_6_TII_PDA 26
  188. Tìm cựctrị hàm ẩn • Ví dụ. Cho đường cong: x3+y3 = 3xy (C) (x, y > 0) tạo nên một lá Đề-các. Tìm tọa độ điểm cao nhấttrên(C) • HD. Hệ thức (C) có chứa hàm ẩn y= y(x) •Tính ĐH hàm ẩn: y’=(y –x2)/(y2 – x) (y2≠x) • Điểm cao nhất ứng với tung độ y đạtcực đại(cũng là GTLN), nghĩalàtại đóy’= 0 •Giảihệ: y = x2; x3+y3 = 3xy→(x = 21/3,y = 41/3) thỏa mãn ĐK III/2008 BG_6_TII_PDA 27
  189. Đề cương ôn tập Chương I -TII 1). Quỹđạo, Vậntốc, Gia tốc 2). Mặttrụ, Mặttrònxoay, Mặtbậc hai. Vẽ hình và thiếtlậpphương trình của chúng 3). Tọa độ trụ, Tọa độ cầu. Mặt cong trong các hệ tọa độ trụ và cầu 4). Hàm 2, 3 biến: MXĐ, Tính liên tục, Đường mức, Mặtmức 5). Đạo hàm riêng và Vi phân củaHàm nhiềubiến III/2008 BG_6_TII_PDA 28
  190. (tiếp) 6). Đường thẳng tiếpxúc, Mặtphẳng tiếp xúc vớimặt cong tạimột điểm 7). Đạo hàm hàm hợp(Quytắc dây chuyền) 8). Đạo hàm theo hướng và véc tơ gradien 9). Cựctrị và cựctrị có điềukiệncủa hàm nhiềubiến 10). PT Laplace, PT truyền nhiệtvàPT truyền sóng 11). ĐH hàm ẩn, Cựctrị hàm ẩn III/2008 BG_6_TII_PDA 29
  191. Nội dung BG-7-TII-(Tuần thứ bẩy) •Chương II. Tích phân bội(gồm5 Bài giảng) • BG 7: Tính thể tích bằng tích phân lặp (Mục 20.1) Tích phân bộihai(Mục 20.2; 20.3) •Cácbạn nên đọctrước để hiểusơ lược những ý chính trong các mụcsẽ học •Hết BG-6-Toán II (Ngày 27/3/2008) III/2008 BG_6_TII_PDA 30
  192. Giải tích nhiềubiếnsố Bài giảng 7-Toán II (Khóa 49) Phó ĐứcAnh Trường ĐạihọcThủylợi IV/2008 BG_7_TII_PDA 1
  193. Chương II- Tích phân bội Nội dung buổimột/năm • Tính thể tích bằng tích phân lặp (Mục 20.1) • Tích phân bội hai (Mục 20.2) IV/2008 BG_7_TII_PDA 2
  194. Tiếtthứ nhất • Tính thể tích bằng tích phân lặp (Mục 20.1) 1). Các ví dụ mởđầu 2). Tính thể tích bằng Tích phân lặp 3). Các ví dụ về tính thể tích và diện tích IV/2008 BG_7_TII_PDA 3
  195. 1). Các ví dụ mởđầu •Ta đãhọccôngthứctínhthể tích: b VAxdx= ∫ () a •Khiđã tính đượcdiện tích thiếtdiện A(x) thì chỉ cần tích phân từ a đếnb, sẽ nhận đượcV • Để tính A(x), nhiềukhitaphải dùng tích phân IV/2008 BG_7_TII_PDA 4
  196. Ví dụ 1 •Tínhthể tích tứ diện • Hình 20.3 (Trang 117) giớihạnbởibamặt phẳng tọa độ và mặt phẳng: x + y + z = 1 • Dùngcôngthức: 1 VAxdx= ∫ () 0 • Trong đó: A(x) là DT tam giác vuông cân IV/2008 BG_7_TII_PDA 5
  197. Tính A(x) bằng tích phân 11−−xx Ax()==−−∫∫ zdy (1 x ydy ) 00 yx22(1− ) =−−()yxy yx=−1 = 22y=0 1 (1−−xx )23 ( 1) 1 Vdx===1 ∫ 0 0 266 IV/2008 BG_7_TII_PDA 6
  198. Ví dụ 2 •Tínhthể tích củamộtlăng trụ cong, đáy là một hình chữ nhật(D): 0≤ x ≤ 2; 1≤ y ≤ 2, các mặt bên thẳng đứng, phía trên là mặt cong: z = f(x, y) ≥ 0 trên miền(D) •Khiđó 22 VAxdxAxfxydy==∫∫() ;() (,) 01 IV/2008 BG_7_TII_PDA 7
  199. Tính A(x) trong VD2 22 A()x==∫∫ zdy f (, x y ) dy 11 22⎡⎤ V==∫∫⎢⎥ f(, x y ) dy dx 01⎣⎦ 22 = ∫∫ fxydydx ( , ) 01 IV/2008 BG_7_TII_PDA 8
  200. 2). Tính V bằng Tích phân lặp •Như vậythể tích lăng trụ cong đãchosẽ là: 22⎡⎤22 V==∫∫⎢⎥ f(, x y ) dy dx ∫∫ f (, x y ) dydx 01⎣⎦01 • Tích phân trên đượcgọilàTích phân lặp • Cho z = f(x, y) = xy2, ta sẽ có V = 14/3 (ĐVTT) (Các em tự kiểmtrakếtquả) IV/2008 BG_7_TII_PDA 9
  201. Tổng quát •Thể tích củamột hình trụ cong (H. 20.1, trang116) đượctính theo công thức: b ⎡⎤yx2 () V= ∫∫⎢⎥ f() x, y dy dx ayx⎣⎦⎢⎥1 () IV/2008 BG_7_TII_PDA 10
  202. Khi cắthìnhtrụ cong ở hình 20.1 bởimộtmặtphẳng vuông góc vớiOy, ta có công thức: d ⎡⎤xy2 () Vfxydxdy= ∫∫⎢⎥(), cxy⎣⎦⎢⎥1 () IV/2008 BG_7_TII_PDA 11
  203. Chú ý việcxácđịnh cậnlấyTP • Xem hình 20.2 (trang 117) IV/2008 BG_7_TII_PDA 12
  204. 3).Ví dụ 2, trang 118 •Xácđịnh miềnlấy • Hình 20.4 tích phân D ⊂ (xy) đốivớiTP lặpsau đây: 24 ∫∫f (,x y ) dydx −1 x2 IV/2008 BG_7_TII_PDA 13
  205. Ví dụ 3 (trang 118) •TínhTP lặp: • Hình 20.5 1 x ∫∫2ydydx 0 x2 IV/2008 BG_7_TII_PDA 14
  206. Hai cách tính • Cách 1. (TP theo y trước) 11x 2()ydydx= y2 x dx ∫∫ ∫ x2 00x2 1 2 =−∫ ()xxdx24 = 0 15 IV/2008 BG_7_TII_PDA 15
  207. Hai cách tính (tiếp) • Cách 2 (TP theo x trước) 11y 2(2.)ydxdyy= xdxy= y ∫∫ ∫ xy= 00y 1 3 2 =−∫ (2yydy2 22 ) = 0 15 IV/2008 BG_7_TII_PDA 16
  208. Tính DT hình phẳng bằng TP lặp •Xemlại hình 20.2 (trang 117) IV/2008 BG_7_TII_PDA 17
  209. Công thức tính diện tích •Chọn hàm f(x, y) ≡ 1, diện tích hình phẳng sẽ tính đượcnhờ hai công thức: bbyx2 () Vd==−ydx (()())y x y xdx ∫∫ ∫[]21 ay1 () x a ddxy2 () Vdxd==−y (()())x y x y dy ∫∫ ∫[]21 cx1 () y c IV/2008 BG_7_TII_PDA 18
  210. Ví dụ: Diện tích miềnD1 •giớihạnbởi: y = x2; • Hình 20.5 y = x bằng: 11yx= ∫∫dydx=− ∫() x x2 dx 00yx= 2 11xy= ∫∫dxdyy=− ∫()ydx 00xy= 1 = (DVDT ) 6 IV/2008 BG_7_TII_PDA 19
  211. Ví dụ: Diện tích miềnD2 •giớihạnbởi: -1≤x≤2; • Hình 20.4 x2 ≤y ≤4. 24 2 ∫∫dydx=− ∫(4 x2 ) dx −−11x2 x3 =−(4x )2 = 9(DVDT ) 3 −1 IV/2008 BG_7_TII_PDA 20
  212. Tiếtthứ hai • Tích phân bội hai (Mục 20.2) 1). Định nghĩaTP bội hai (TP hai lớp, Tích phân kép) 2). TP bội hai và TP lặp 3). Các ví dụ IV/2008 BG_7_TII_PDA 21
  213. 1). Định nghĩaTP bộihai • Xét hàm hai biến f(x, y) xác định và bị chặn trên miềnphẳng hữuhạnD⊂ (xy) • Chia miền D thành n miềncon không dẫm lên nhau (các điểm chung (nếucó) đều nằm trên biên các miềncon). Kíhiệu ΔAk là miền con thứ k và cũng là DT củanó • Chọn trong miềnthứ k một điểmMk tùy ý • Lậptổng TP: n ∑ f ()MAkkΔ k =1 IV/2008 BG_7_TII_PDA 22
  214. Hình 20.6 (trang 122) IV/2008 BG_7_TII_PDA 23
  215. Cho “đường kính” λk lớnnhất củacácmiền con tiến đến0. Nếugiớihạncủa tổng TP nói trên tồntại, không phụ thuộccách chia miền D, không phụ thuộccáchchọn điểm Mk thì ta nói hàm f(x, y) khả tích trên D và: n limf (MA )Δ= fxydA ( , ) ∑ kk∫∫ maxλk → 0 k =1 D IV/2008 BG_7_TII_PDA 24
  216. Ý nghĩahìnhhọccủaTP bội hai •Với f(x, y) ≥ 0 trên toàn miềnD (hữuhạn) • f(x, y) liên tục trên D, TP bội hai của f(x, y) trên D có giá trị bằng thể tích củamột hình trụ cong có đáy là D, giớihạn phía trên bởimặt cong z = f(x. y), giớihạn xung quanh bởimặttrụ (nhận biên củaD là đường chuẩn, đường sinh có phương Oz) • Đặcbiệt, khi f(x, y)≡0 TPBội2 bằng 0; khi f(x, y)≡1, TPBội2 chotaDT miềnD IV/2008 BG_7_TII_PDA 25
  217. Hình 20.7 (trang 123) IV/2008 BG_7_TII_PDA 26
  218. Chú ý • Khi hàm f(x, y) khả tíchtrênmiền D, nghĩalà TP bộihaixácđịnh (không phụ thuộcvào cách chia D, cách chọnMk) ta có thể chia D bằng mộtmạng lưới các đường thẳng song song vớiOx vàOy •Khiđó, ta có thể viết dA = dxdy và TP bộihai: I = ∫∫ fxydxdy(, ) D IV/2008 BG_7_TII_PDA 27
  219. Chú ý (tiếp) Nếu •miềnD hữuhạn, giớihạnbởimộtsố hữuhạn đường cong trơntừng mảnh (Mỗimảnh đềucótiếptuyếnbiến thiên liên tục) • hàm f(x, y) liên tụctrênD thì •TP bội hai của hàm f(x, y) trên mìềnD tồntạivàchotamột giá trị xác định IV/2008 BG_7_TII_PDA 28
  220. 2). Tích phân bội hai và TP lặp • Xét hai loạimiềnphẳng D: • LoạiI.D giớihạnbởi: a ≤ x ≤ b; y1(x) ≤ y ≤ y2(x) (Miền đơngiản có hai cạnh thẳng đứng) • Loại II. D giớihạnbởi c ≤ y ≤ d; x1(y) ≤ x ≤ x2(y) (Miền đơngiản có hai cạnh nằm ngang) IV/2008 BG_7_TII_PDA 29
  221. MiềnD loạiI vàloạiII • Hình 20.8 (trg.124) • Hình 20.9 (trg.125) IV/2008 BG_7_TII_PDA 30
  222. Với hai miềnloạiI vàloại II •Ta cóthể tính TP bội hai bằng các tích phân lặp ∫∫ fxydxdy(, ) D b ⎡ yx2 () ⎤ = ∫∫⎢ f (x ,y )dy⎥dx ayx⎣⎢ 1 () ⎦⎥ d ⎡ xy2 () ⎤ = ∫∫⎢ f (x ,y )dx⎥ dy cxy⎣⎢ 1 () ⎦⎥ IV/2008 BG_7_TII_PDA 31
  223. Vớicácmiền D khác •Ta sẽ chia D thành mộtsố hữuhạncác miềnloạiI vàloại II, sau đóvậndụng tính chất cộng tính củaTP để tínhtrêntừng miềncon rồicộng lại •Chúý tìmcách lặpthíchhợp để tính TP bội hai mộtcáchđơngiảnnhất •Muốn làm thành thạocầnphảiluyệntập nhiều IV/2008 BG_7_TII_PDA 32
  224. 3). Ví dụ 1 (trang 124) •TínhTPB2 theo hai • Hình 20.10 (trang cách khác nhau 125) I = ∫∫ 2xydxdy D ⎧xy= 2 ; D : ⎨ ⎩yx= IV/2008 BG_7_TII_PDA 33
  225. Chú ý xác định đúng các cậnTP • Hai cách tính cho cùng mộtkếtquả: 11yx= 11 2()()xydydx==−= xy22yx= dx x x3 dx ∫∫ ∫yx= ∫ 00yx= 012 11xy= 1 1 2()()xydxdy==−= x23 yxy= dy y y5 dx ∫∫ ∫xy= 2 ∫ 00xy= 2 012 IV/2008 BG_7_TII_PDA 34
  226. Ví dụ 2 (trang 125) • Tính TPB2 • Hình 20.11 • I =+∫∫ (1 2xdA ) D ⎧xy= 2 ; D : ⎨ ⎩xy−=2 IV/2008 BG_7_TII_PDA 35
  227. Chú ý chọnthứ tự tính TP •NếuTP theo x trướcrồitheoy, ta có: 22xy=+2 (1+=+ 2x )dxdy ( x x22 ) xy=+ dy ∫∫ ∫ xy= 2 −−11xy= 2 2 189 =+−∫ (6 5yydy4 ) = −1 10 IV/2008 BG_7_TII_PDA 36
  228. Nếu đổithứ tự lấyTP •Kếtquả vẫnthế, nhưng việc tính toán phứctạp hơnrấtnhiều(TP theo y trước) 14yx=+ yx=+ ∫∫(12)+++xdydx ∫∫ (12)xdydx 01yx=− yx=−2 14 =++−++=∫∫2(12)xxdxxx ( 2)(12) xdx 01 IV/2008 BG_7_TII_PDA 37
  229. Trường hợp không thểđổithứ tự •Xétvídụ 3 (trang126) • Hình 20.12 (Trang •TínhTP 126) 12 2 ∫∫4edxdyx 02y IV/2008 BG_7_TII_PDA 38
  230. Tại sao không tính đượcTP theo x trước? • Tính TP theo y trướccóđược không? Tại sao? • Chú ý khi đổithứ tự lấyTP, cần đổicận x y= 12 2 2 22 ∫∫44edxdyxx= ∫ ∫ edydx 02yy0= 0 2 22 ===−21xexx dx e24 e ∫ 0 0 IV/2008 BG_7_TII_PDA 39
  231. Nội dung BG-8-TII-(Tuần thứ tám) • Đổibiến trong Tích phân bội hai (Mục 20.9) • TP bội hai trong hệ tọa độ cực(Mục20.4) • Các ứng dụng củaTíchphânbội hai (Mục 20.3) •Cácbạn nên đọctrước để hiểusơ lược những ý chính trong các mụcsẽ học •Hết BG-7-Toán II (Ngày 2/4/2008) IV/2008 BG_7_TII_PDA 40
  232. Giải tích nhiềubiếnsố Bài giảng 8-Toán II (Khóa 49) Phó ĐứcAnh Trường ĐạihọcThủylợi IV/2008 BG_8_TII_PDA 1
  233. Chương II- Tích phân bội Nội dung buổi hai/năm • Tích phân bội hai trong tọa độ cực (Mục 20.4) • Đổibiến trong Tích phân bội hai (Mục 20.9) IV/2008 BG_8_TII_PDA 2
  234. Tiếtthứ nhất • Tích phân bội hai trong tọa độ cực (Mục 20.4) 1). Yếutố diện tích trong hệ tọa độ cực 2). Tính Tích phân bội hai trong tọa độ cực 3). Các ví dụ IV/2008 BG_8_TII_PDA 3
  235. 1). Yếutố DT trong hệ tọa độ cực •Tronghệ tọa độ vuông góc, ta đã tính yếu tố diện tích: dA = dx.dy •(Dựa trên cách chia miềnlấyTP bội hai bằng mộtlưới các hình chữ nhật, xem lại hình 20.6, trang 122) •Tronghệ tọa độ cực, các đường r = hằng số, θ = hằng số sẽ chia miềnlấyTP bội hai theo một cách khác IV/2008 BG_8_TII_PDA 4
  236. Hai cách chia miềnphẳng R •Hệ TĐ vuông góc •Hệ tọa độ cực IV/2008 BG_8_TII_PDA 5
  237. Yếutố diện tích trong TĐ cực • Hình 20.17, trang 133 IV/2008 BG_8_TII_PDA 6
  238. (tiếp) • dA = rdrdθ • Tích phân bội hai trong hệ tọa độ cực được tính như sau (R1 là ảnh củamiềnphẳng R trong phép đổibiến): ∫∫f (,x y )dxdyf= ∫∫ (cos,rrrdrdθ sin)θθ RR1 IV/2008 BG_8_TII_PDA 7
  239. 2). Tính TP bội hai trong tọa độ cực •Thayx bởircosθ, thay y bởirsinθ trong hàm f(x, y) dướidấuTP • Thay dA = dxdy bởirdrdθ •Xácđịnh cậncủamiền ảnh R1 trong phép đổibiếntừ (x, y)→(r, θ) • Tính tích phân lặptrênmiền ảnh β r2 (θ ) ∫∫f (,xydA ) = ∫ ∫ f() rcos,θ r sinθθ rdrd Rrαθ1() IV/2008 BG_8_TII_PDA 8
  240. Hình 20.18, trang 134 IV/2008 BG_8_TII_PDA 9
  241. 3).Ví dụ 1, trang 134 •TínhDT hình tim giới • Hình 20.19, trang 135 hạnbởi:r = a(1+ cosθ) π a(1+ cosθ ) Sd= 2∫∫θ rdr 00 π 2 ⎡⎤1cos2+ θ =+ad∫ ⎢⎥12cosθ + θ 0 ⎣⎦2 3 Sa= π 2 2 IV/2008 BG_8_TII_PDA 10
  242. Ví dụ 2, trang 135 • Tính TT hình cầu bán • Hình 20.20, trang 135 kính R π 2 a V==88∫∫ zdA ∫ ∫ a22 − r rdrdθ R 00 π 2 a 1 =−4(∫∫ ardard22 − )(2 22 − )θ 00 π 242 3 =−4. (ar22 − ) 2 ra= dθ = π a3 ∫ r=0 330 IV/2008 BG_8_TII_PDA 11
  243. Ví dụ 3, trang 136 •TínhTP suy rộng loạiI:•Dễ thấy là ta không thể tìm đượcmột nguyên hàm củahàmmộtbiến đãcho(mặcdùbiếtrõlà +∞ có tồntại NH trên (0, + ∞) −x2 Iedx= •Vìthế không thể tính ∫ TPSR trên bằng Giới 0 hạn • Tuy nhiên ta lạicóthể tính đượcI2 nhờ tích phân bội hai IV/2008 BG_8_TII_PDA 12
  244. Tính TPSR I +∞ +∞ +∞ +∞ 2(⎛⎞⎛⎞⎛⎞−−xy22 − x 2+y2) I==⎜⎟⎜⎟⎜⎟∫∫∫∫ e dx. e dy e dy dx ⎝⎠⎝⎠⎝⎠00 00 π 2 +∞ 22 2 2 π ===e−+()xy dydx e−r rdrdθθ d e−r rdr ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ 4 RR1 00 π →=I 2 IV/2008 BG_8_TII_PDA 13
  245. Ví dụ 4 •Tínhdiện tích củamột •Hìnhvẽ: cánh hoa hồng trong hình hoa hồng 4 cánh giớihạnbởi đường cong: • r = 2cos2θ •Xácđịnh cậnchonửa cánh hoa: •0 ≤ r ≤ 2cos2θ •0 ≤θ≤ π/4 IV/2008 BG_8_TII_PDA 14
  246. Tính diệntíchmộtcánhhoa π 4 2cos2θ Srdrddrdr==22∫∫θθ ∫ ∫ D 00 ππ 44 π ==+=4cos2∫∫2 θθdd 2(1cos4)θ θ 00 2 IV/2008 BG_8_TII_PDA 15
  247. Ví dụ 5 •Tínhdiện tích củamiền •Hìnhvẽ: phẳng nằm trong đường tròn r = a và ngoài đường hình tim • r = a(1+ cosθ) •Xácđịnh cận nửahình • a(1+ cosθ) ≤ r ≤ a • π/2 ≤θ≤π IV/2008 BG_8_TII_PDA 16
  248. Tính DT miềntômàuđỏ π a Sd= 2∫∫θ rdr π a(1+ cosθ ) 2 π 2 ⎡ 1cos2+ θ ⎤ =−ad∫ ⎢2cosθ + ⎥ θ π ⎣ 2 ⎦ 2 (8−π )a2 S = 4 IV/2008 BG_8_TII_PDA 17
  249. Tiếtthứ hai • Đổibiến trong Tích phân bội hai (Mục 20.9) 1). Phép đổibiếntổng quát và Định thức Jacobi (Jacobian) 2). Công thức đổibiếnchoTP bội hai 3). Các ví dụ IV/2008 BG_8_TII_PDA 18
  250. 1). Phép đổibiếnTQ và ĐT Jacobi • Xét phép đổibiến (x, y)→(u, v) với: x = x(u, v); y = y(u, v) là hai hàm có các ĐHR liên tục theo các biếnu, v Ví dụ. x = 2u – 3v; y = 3u – 2v • Định thứccấp hai sau đây đượcgọilàĐT Jacobi hay là Jacobian cho phép đổibiến (x, y)→(u, v) IV/2008 BG_8_TII_PDA 19
  251. Định thức Jacobi ∂∂xx ∂∂uv∂(,x y ) = ∂∂yy∂(,)uv ∂∂uv IV/2008 BG_8_TII_PDA 20
  252. Đảolại ∂∂uu −1 ∂∂xy∂∂(,)uv⎡ (, xy )⎤ == ∂∂vv∂∂(,xy )⎢ (,) uv⎥ ⎣ ⎦ ∂∂xy IV/2008 BG_8_TII_PDA 21
  253. Tính Jacobian •Bạn hãy viết ĐT Jacobi cho phép đổibiếntừ TĐ vuông góc sang TĐ cực ∂∂xx ∂(,xy ) ∂∂r θ cosθθ − r sin == =r ∂(,r θ ) ∂∂yysinθθ r cos ∂∂r θ IV/2008 BG_8_TII_PDA 22
  254. 2). Công thức đổibiếnchoTP bội hai •Thayx bởi x(u, v), thay y bởi y(u, v) trong hàm f(x, y) dướidấuTP •Thaydxdybởi ⎢J ⎢dudv •Xácđịnh cậncủamiền ảnh R1 củaR trong phép đổibiếntừ (x, y)→(u, v) • Tính tích phân lặptrênmiền ảnh R1. IV/2008 BG_8_TII_PDA 23
  255. 3). Ví dụ 1 •TínhTP bộihai Iyxdxdy=−∫∫ () D ⎧yx=+1; yx =− 3 ⎪ D : ⎨ xx7 yy= −+;5 =−+ ⎩⎪ 39 3 IV/2008 BG_8_TII_PDA 24
  256. Dùng cách đổibiến (x,y)→(u, v) • Đặt y – x = u; y + x/3 = v • Ta có x = 3(v-u)/4; y = (u + 3v)/4 • ∂(x, y)/∂(u, v) = -3/4 (Có thể hiểulà: dxdy = 3dudv/4; dudv = 4dxdy/3) 3315 38 u−= dudv udu dv =− ∫∫44 ∫ ∫ 3 D1 −37/9 IV/2008 BG_8_TII_PDA 25
  257. Ví dụ 2 •Tínhdiệntíchhìnhphẳng D: ⎧ 5 yxyx22==; ⎪ 2 D : ⎨ y ⎪xyx22= 2; = ⎩⎪ 3 IV/2008 BG_8_TII_PDA 26
  258. HD giảiVídụ 2 • Đặty2/ x = u; x2/y = v •Ta có1≤ u ≤ 5/2; 1/3 ≤ v ≤ 2 • Định thức Jacobi ∂(u,v)/∂(x,y) = -3 •Nghĩa là dudv = 3dxdy ↔dxdy = dudv/3 •Diệntíchcần tìm là: 11515 dxdy==−−= dudv (1)(2) (DVDT ) ∫∫ ∫∫ 33236 DD1 IV/2008 BG_8_TII_PDA 27
  259. Nội dung BG-9-TII-(Tuần thứ chín) • Các ứng dụng vậtlýcủaTích phân bội hai (Mục20.3) •Cácbạn nên đọctrước để hiểusơ lược những ý chính trong các mụcsẽ học •Hết BG-8-Toán II (Ngày 5/4/2008) IV/2008 BG_8_TII_PDA 28
  260. Giải tích nhiềubiếnsố Bài giảng 9-Toán II (Khóa 49) Phó ĐứcAnh Trường ĐạihọcThủylợi IV/2008 BG_9_TII_PDA 1
  261. Chương II- Tích phân bội(tiếp) Nội dung buổi ba/năm • Các ứng dụng vậtlýcủa Tích phân bội hai (Mục 20.3) • Tính diện tích mặt cong (Mục 20.8) IV/2008 BG_9_TII_PDA 2
  262. Tiếtthứ nhất • Các ứng dụng vậtlýcủa Tích phân bội hai (Mục20.3) 1). Tính khốilượng tấmphẳng 2). Mô men đốivớicáctrụcOx, Oy 3). Tọa độ khốitâmcủatấmphẳng 4). Mô men quán tính IV/2008 BG_9_TII_PDA 3
  263. 1). Tính khốilượng tấmphẳng •Tấmphẳng D⊂(xy) có khốilượng riêng (tỷ trọng, mật độ) phụ thuộcvàotừng điểm δδ= ( xy, ) •Khốilượng củayếutố diệntíchdAlà: δ ()xydA, • Công thức tính khối lượng củatấmphẳng M = ∫∫ δ ()x, y dA D IV/2008 BG_9_TII_PDA 4
  264. Hình 20.14 (trang 129) DT yếutố: dA KL yếutố: δ.dA D D IV/2008 BG_9_TII_PDA 5
  265. Trong hình vẽ trên • Ta coi x là khoảng cách từ khốilượng yếu tố: δ(x, y)dA đếntrụcy, •y làkhoảng cách từ khốilượng yếutố: δ(x, y)dA đếntrụcx • Khi xét tác dụng quay củakhốilượng quanh mộttrục, ngườitađưa ra khái niệm mô men đốivớitrục (bằng tích giữakhối lượng và khoảng cách từ nó đếntrục(còn gọilàcánh tay đòn)) IV/2008 BG_9_TII_PDA 6
  266. 2).Mô men •Khốilượng củayếutố diệntíchdAcómô men đốivớitrụcx; yxydAxxydAδδ( ,;(,)) ( ) (trụcy) ⎧MyxydA= δ , x ∫∫ () ⎪ D • Công thức tính mô ⎨ men đốivớitrụcx; MxxydA= δ , ⎪ y ∫∫ () trụcy củatấmphẳng ⎩ D IV/2008 BG_9_TII_PDA 7
  267. 3). Tọa độ khốitâmcủatấmphẳng • Tọa độ khốitâmcủa ⎧ xδ ()xydA, M ∫∫ tấmphẳng D, với ⎪ y D ⎪x == hàm khốilượng riêng M δ x, ydA (tỷ trọng, mật độ): ⎪ ∫∫ () ⎪ D ⎨ δδ= ( x, y) ⎪ yxydAδ (), M ∫∫ được tính theo công ⎪y ==x D thức: ⎪ M δ ()x, ydA ⎪ ∫∫ ⎩ D IV/2008 BG_9_TII_PDA 8
  268. 4). Mô men quán tính • Mô men quán tính IyxydA= 2δ (, ) củatấmphẳng D đối x ∫∫ với trụcx; (trụcy) D ((,))IxxydA= 2δ y ∫∫ D • Mô men quán tính I =+()(,)xy22δ xydA củatấmphẳng D đối O ∫∫ với gốcO D IV/2008 BG_9_TII_PDA 9
  269. Tấmphẳng đồng chất •Khốilượng riêng δ(x, y) = ρ = hằng số tại ∀(x, y) ∈D •Khiđó các công thứctrênsẽđơngiản hơn •Cácbạn tự viếtlại các công thứctính khốilượng, mô men và mô men quán tính đốivới hai trục, đốivớigốcO vàcông thứcchotọa độ khốitâmcủatấmphẳng đồng chất IV/2008 BG_9_TII_PDA 10
  270. Ví dụ 1 •Biếtkhốilượng riêng theo M(x, y) là δ(M) = xy. Tính khốilượng, mô men và mô men quán tính đốivớitrụcx, đốivớigốc O và xác định tọa độ khốitâmcủa hình vuông OABC, biết A(a, 0); B(a, a); C(0, a) • HD. Khốilượng aa aaa24 M ==∫∫xydA ∫ ∫ xydydx == ∫ xdx() DVKL D 00 0 24 IV/2008 BG_9_TII_PDA 11
  271. Mô men đốivớitrục x, trụcy •Mômen củatấm vuông OABC đốivớitrụcy Mxxydxdy= () y ∫∫ D aa aax22 a 5 ===∫∫x2 ydydx ∫ dx 00 0 26 •Do tính đốixứng, Mô men củatấm vuông OABC đốivớitrụcx cũng bằng: a5/6 IV/2008 BG_9_TII_PDA 12
  272. Tọa độ khốitâm củatấm vuông OABC đượctính ⎧ M y 2a theo công thức: ⎪x ==; ⎪ M 3 ⎨ M 2a ⎪y ==x ⎩⎪ M 3 IV/2008 BG_9_TII_PDA 13
  273. Mô men quán tính • đốivớitrụcOx; trụcOyvàđốivớigốcO Iyxydxdy= 2 () x ∫∫ D aa aax46 a ===xy3 dydx dx I ∫∫ ∫ y 00 0 48 a6 IxyxydxdyII=+()()22 =+= 0 ∫∫ xy D 4 IV/2008 BG_9_TII_PDA 14
  274. Ví dụ 2 •Xácđịnh tọa độ khối • Hình 20.19, trang 135 tâm của hình tim đồng chấtcóbiên: r = a(1+cosθ) • HD. Do tính đốixứng, khốitâmcủa hình tim sẽ nằmtrêntrụcx, nghĩalà: IV/2008 BG_9_TII_PDA 15
  275. xdA ∫∫ 2 yx===0; D xdA 2 ∫∫ Aa3π D π a(1+ cosθ ) ∫∫xdA== ∫∫ r22cosθ drdθθθ 2 ∫ ∫ r cos drd DD1 00 25aa33π π 5a =∫(1 + cosθθθ )3 cos dx =⋅⋅⋅= → = 340 6 IV/2008 BG_9_TII_PDA 16
  276. Tiếtthứ hai • Các ứng dụng của Tích phân bội hai (Ôn tập và nâng cao) 1). Diện tích mặt cong (Mục 20. 8) 2). Ví dụứng dụng IV/2008 BG_9_TII_PDA 17
  277. 1). Diệntíchmặt cong (Mục 20. 8) •Xétmặt cong có phương trình z = f(x, y) xác định trên miềnhữuhạnD ⊂ (xy) • Hình chiếu vuông góc củaphầnmặt cong khá bé (vớidiệntíchdS) xuống (xy) là mộthình phẳng trong D có diệntíchdA= dxdy • Theo định lý về diệntíchhìnhchiếu, ta có: dS. cosγ = dA •với γ là góc giữa pháp tuyếntạimột điểmtrên dS vớichiềudương củatrụcz IV/2008 BG_9_TII_PDA 18
  278. Hình 20.35, trang 158 IV/2008 BG_9_TII_PDA 19
  279. Hình 20.36, trang 159 IV/2008 BG_9_TII_PDA 20
  280. Tính dS GG nk. (.0.01.1)−−zz + cosγ ==GG xy 22 nk. 1++zzxy dA dS ==++1.z22 z dA cosγ xy S=++=++1.1. z22 zdA z22 zdxdy ∫∫xy ∫∫ xy DD IV/2008 BG_9_TII_PDA 21
  281. 3). Ví dụ 1 •TínhDT nửamặtcầu bán kính a bằng TP bộihai (Hình 20.37, trang 160) • HD. Xét nửamặtcầu trên: • ĐầutiênhãytínhdS? •Sauđó, xác định miềnlấy TP bội hai (Nên tính theo hệ tọa độ nào?) IV/2008 BG_9_TII_PDA 22
  282. Tính vi phân diệntíchdS zaxy=−+222(); xy zz=−;; =− xyzz xy22+ adxdy dS =+1 2 dxdy = z ax222−+()y IV/2008 BG_9_TII_PDA 23
  283. Diện tích nửacầutrên dxdy SdSa== ∫∫ ∫∫ 222 DDaxy−+() 2π a 1 rdrdθ a − ==−−−adθ ()()a22r2da 22r ∫∫22 2 ∫ ∫ D1 ar− 00 22a 2 =−aar.2ππ . −0 = 2 a IV/2008 BG_9_TII_PDA 24
  284. Ví dụ 2 •TínhDT phầnmặt • Hình 20.38, trang 161 cong parabôlôít tròn xoay: z = x2 + y2 nằmtrongmặtcầu: x2 + y2 + z2 = 6 • HD. Tìm z, zx, zy. •TínhdS •Xácđịnh miềnlấyTP và xác định các cận TP IV/2008 BG_9_TII_PDA 25
  285. HD giảiVD 2 2 2 •z = x + y →zx = 2x; zy = 2y; • dS = [1+ 4(x2 + y2)]1/2dxdy • Giảiphương trình: [x2 + y2 ]2=6-(x2 + y2) được: x2 + y2 = 2 (loại giá trị: x2 + y2 = - 3) •Suyrahình chiếu trên (xy) củaphầnmặt parab tròn xoay là hình tròn: x2 + y2 ≤ 2 • Nên tính TP trong HTĐ cựctrênmiềnD1: 0 ≤θ≤2π; 0 ≤ r ≤ √2 IV/2008 BG_9_TII_PDA 26
  286. Thựchiệnphéptính Srrdrd=+∫∫ 142 θ = D1 π 1 2 2 1 4⋅++∫∫drdrθ (14)222 (14) 8 00 ππ213 3 =⋅(1 + 4rD22 )2 = (VDT ) 43 0 3 IV/2008 BG_9_TII_PDA 27
  287. 2). Ví dụứng dụng •Tínhkhốilượng và xác định tọa độ khối tâm của tam giác OAB biết A(a, 0) B( 0, a) và O(0, 0). Cho khốilượng riêng δ = x2+ y2 aa− x M =+∫∫()x22 y dxdy = ∫ ∫ () x22 + y dydx D 00 a 34 ⎡⎤2 ()ax− a =−+=∫ ⎢⎥xa() x dx() DVKL 0 ⎣⎦36 IV/2008 BG_9_TII_PDA 28
  288. aa− x M =+()xy23 y dxdy = () xy23 + y dydx x ∫∫ ∫ ∫ D 00 a 245 ⎡⎤2 ()()ax−− ax a 2 a ∫⎢⎥xd+=→=xy 0 ⎣⎦24155 aa5 2 M=+( x32 xy ) dxdy = →= x y ∫∫ D 15 5 IV/2008 BG_9_TII_PDA 29
  289. Nội dung BG-10-TII-(Tuần thứ 10) • Tích phân bộibavàứng dụng (Mục 20.5) •Cácbạn nên đọctrước để hiểusơ lược những ý chính trong các mụcsẽ học •Hết BG-9-Toán II (Ngày 15/4/2008) IV/2008 BG_9_TII_PDA 30