›
›

Bài giảng Bài 2: Đạo hàm và vi phân - Phần 1

ppt 38 trang phuongnguyen 12510
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Bài 2: Đạo hàm và vi phân - Phần 1", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_bai_2_dao_ham_va_vi_phan_ham_nhieu_bien_phan_1.ppt

Nội dung text: Bài giảng Bài 2: Đạo hàm và vi phân - Phần 1

  1. Chương 1: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Phần 1
  2. Nội dung 1.Đạo hàm riêng cấp 1 của z = f(x,y) 2.Đạo hàm riêng cấp cao của z = f(x,y) 3.Sự khả vi và vi phân.
  3. ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP 1 Đạo hàm riêng cấp 1 của f(x, y) theo biến x tại (x0, y0) f f(,)(,) x0+− x y 0 f x 0y 0 fx ( x0 , y 0 )== ( x 0 ,y 0 ) lim x →x 0 x (Cố định y0, biểu thức là hàm 1 biến theo x, tính đạo hàm của hàm này tại x0) Đạo hàm riêng cấp 1 của f theo biến y tại (x0, y0) f fx(,)(,)0y 0+− y f x 0 y 0 fy ( x0 , y 0 )== ( x 0 , y 0 ) lim y →y 0 y
  4. Ý nghĩa của đhr cấp 1 Cho mặt cong S: z = f(x, y), xét f’x(a, b), với c = f(a, b) Xem phần mặt cong S gần P(a, b, c) Mphẳng y = b cắt S theo gt C1 đi qua P. (C1) : z = g(x) = f(x,b) g’(a) = f’x(a, b)
  5. f’x(a, b) = g’(a) là hệ số góc tiếp tuyến T1 của C1 tại x = a. f’y(a, b) là hệ số góc tiếp tuyến T2 của C2 ( là phần giao của S với mp x = a) tại y = b
  6. Các ví dụ về cách tính. 1/ Cho f(x,y) = 3x2y + xy2 Tính ffxy (1,2), (1,2) fx (1,2) : cố định y0 = 2, ta có hàm 1 biến f(,) x2 =+64 x2 x 2 fx (1,2) = (6 x + 4 x ) |x=1 =12x + 4 |x=1 = 16
  7. f(x,y) = 3x2y + xy2 fy (1,2) cố định x0 = 1, ta có hàm 1 biến f(1 , y )=+ 3 y y 2 2 fy (1,2) = (3 y + y ) |y=2 =(3 + 2y ) |y=2 = 7
  8. 2/ f(x,y) = 3x2y + xy2 Tính fxy ( x , y ), f ( x , y ) với mọi (x, y) R2 fx (,) x y Xem y là hằng, tính đạo hàm f(x, y) theo x 2 fx (,),(, x y=6x y + y  x y) Áp dụng tính: 2 fx (1,2) = (6xy+= y ) |xy==1, 2 16 (Đây là cách thường dùng để tính đạo hàm tại 1 điểm)
  9. f(x,y) = 3x2y + xy2 fy (,) x y Xem x là hằng, tính đạo hàm f(x, y) theo y 2 fy ( x , y )= 3 x +x2y , (, x y ) Áp dụng tính: 2 fx (1,2) = (3x+= 2 xy ) |xy==1, 2 7
  10. y 2/ Tính ffxy (1,1), (1,1) với f(x, y) = x y −1 fx ( x , y )= yx ,  x 0 11− fx (1,1) = 1 1 = 1; y fy ( x , y )= x ln x ,  x 0 1 fy (1,1) = 1 ln1 = 0
  11. xy ,(xy , ) (0,0) 22 3/ Cho f(,) x y = xy+ 0, (xy , )= (0,0) a/ Tính fx (0,1) b/ Tính fx (0,0)
  12. xy ,(xy , ) (0,0) 22 f(,) x y = xy+ 0, (xy , )= (0,0) a/ Tính fx (0,1) (0,1) không phải là điểm phân chia biểu thức. y( x2+− y 2 ) 2 x 2 y fx (,) x y= ,(,)(0,0)  x y ()xy2+ 2 2 =fx (0,1) 1
  13. xy ,(xy , ) (0,0) 22 f(,) x y = xy+ 0, (xy , )= (0,0) (0,0) là điểm phân chia biểu thức b/ Tính fx (0,0) Tính bằng định nghĩa f(,)(,) x0+ x y 0 − f x 0 y 0 fx ( x00 , y )= lim →x 0 x f(0+ x ,0) − f (0,0) fx (0,0)= lim = lim 0 = 0 xx →00 x →
  14. −+xy22 4/ Cho f(,) x y= e tính fx (,) x y Hàm f xác định tại, mọi (x,y) x −+xy22 fx (,) x y=− e , (xy , ) (0,0) xy22+ Công thức trên không đúng cho (x, y) = (0, 0)
  15. 22 f(,) x y= e−+xy • Tại (0, 0): tính bằng định nghĩa 2 f(0+ x ,0) − f (0,0) e− x −1 = x x 2 e− x −1 =lim 1 →x 0 x f không có đạo hàm theo x tại (0, 0) (f’x(0,0) không tồn tại) .
  16. Ví dụ cho hàm 3 biến (Tương tự hàm 2 biến) Cho f(,,) x y z=+ x yexz Tính fx ,, f y f z tại (0,− 1,2) xz fx =+1 yze fx (0, − 1,2) = 1 − 2 = − 1 xz fey = xz fz = xye
  17. ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO Xét hàm 2 biến f(x,y) f’x, f’y cũng là các hàm 2 biến Đạo hàm riêng cấp 2 của f là các đhr cấp 1( nếu có) của f’x, f’y 2 2  f  f  f  f ffxx == 2 = fxy = = x x2 xx xy y x 2f  f 2f  f fyx = = ffyy = 2 = = yx x y y yy yy 
  18. VÍ DỤ f( x , y )= x2 + xy + cos( y − x ) Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của f fx =2x + y + sin( y − x ) fy =x −sin( y − x ) f = (f ) xx x x =(2x + y+ sin( y − x )) x =2 − cos(yx − ) fxy = (fx ) y =1 + cos(yx − )
  19. fy =x −sin( y − x ) f = f =1 + cos(yx − ) yx ( y ) x f = f = −cos(yx − ) yy ( y ) y ffyx (0, )== 0, yy (0, ) 1 ffxx (0, )== 3, xy (0, ) 0
  20. Tổng quát thì các đạo hàm hỗn hợp không bằng nhau ffxy yx Định lý Schwartz: nếu f(x, y) và các đạo hàm riêng fx ,,, f y f xy f yx liên tục trong miền mở chứa (x0, y0) thì fxy (,)(,) x0 y 0= f yx x 0 y 0 (VD 2.28 trang 53, Toán 3, Đỗ Công Khanh) •Đối với các hàm sơ cấp thường gặp, định lý Schwartz luôn đúng tại các điểm đạo hàm tồn tại. •Định lý Schwartz cũng đúng cho đạo hàm cấp 3 trở lên. fxxy == f xyx f yxx
  21. Cách viết đạo hàm cấp cao và cách tính: mn+ n m ()mn+  f Ý  f f mn = mmn = n x y x y y x Lưu ý: đối với các hàm sơ cấp tính theo thứ tự nào cũng được.
  22. Ví dụ xy 1/ Cho f(,) x y= e tính ffxx , xyy , f (,) x y= yexy 2 xy x fxx = y e xy fxy ( x , y )=+ (1 xy ) e xy 2 xy fxyy ( x , y )= x + (1 + xy ) x e =+(2x x y ) e
  23. Cách 2: f(,) x y= exy 2 xy fyy = x e 2 xy ffxyy = yyx =+(2x x y) e Lấy theo thứ tự này nhanh hơn cách trước.
  24. 10f 2/ Cho f( x , y )=+ ln(2 x 3 y ) Tính (− 1,1) xy73 Đạo hàm f: 7 lần theo x, 3 lần theo y 7f (−− 1)7− 1 (7 1)!2 7 27 6! (,)xy = = x7 (2xy+ 3 )7 (2xy+ 3 )7 10ff  3  7 7 3(,)(,)x y= 3 7 x y x  y  y  x
  25. 37 f 37 2 6! 37 (,)xy = 37 yx +y (2 x 3 y ) =27 6!3 3 ( − 7)( − 7 − 1)( − 7 − 2)(2xy + 3 )− 10 = −27 9! 3 3 (2xy + 3 )− 10 10f (− 1,1) = − 273 9! 3 xy73
  26. SỰ KHẢ VI VÀ VI PHÂN (CẤP 1) f khả vi tại (x0, y0) nếu tồn tại 2 hằng số A, B sao cho: fx(,)(,)0+ xy 0 + yfxy − 0 0 = AxByo + + ( ) o() = o x22 + y là VCB bậc cao hơn khi ( ) x, y → 0 df(,) x00 y= A x + B y vi phân của f tại (x0, y0)
  27. Điều kiện cần của sự khả vi: 1. f khả vi tại (x0, y0) thì f liên tục tại (x0, y0). 2. f khả vi tại (x0, y0) thì f có các đạo hàm riêng tại (x0, y0) và fxy (,),(,) x0 y 0== A f x 0 y 0 B Vi phân của hàm 2 biến thường viết dạng: dfxy(,)(,)(,)0 0=+ fxydxxy 0 0 fxydy 0 0
  28. Điều kiện đủ của khả vi: Cho f xác định trong miền mở chứa (x0, y0), nếu các đhr f’x, f’y liên tục tại (x0, y0) thì f khả vi tại (x0, y0). Các hàm sơ cấp thường gặp đều thỏa mãn điều kiện này. VD: cho f(,) x y= x23 y tính df(,) x y df(,)(,)(,) x y=+ fxx x y dx f x y dy =+23xy3 dx x 2 y 2 dy
  29. Các công thức tính vi phân: như hàm 1 biến d(), f= df R d(), f g = df dg Sau đó gom lai theo dx, dy d(.) f g=+ gdf fdg f gdf− fdg d = g g 2 Vi phân hàm n biến: z= f( x12, x , , xn ) dz= f dx + f dx + + f dx x1212 x xn n
  30. VI PHÂN CẤP CAO Vi phân cấp 2 của f là vi phân của df(x,y) khi xem dx, dy là các hằng số. (ta chỉ xét trường hợp các đhr hỗn hợp bằng nhau) Cách viết: d2f(x, y) = d(df(x, y)) 2 d f=+ d( fxy dx f dy ) =+d()() fxy dx d f dy =()()fxx dx + f xy dy dx + f yx dx + f yy dy dy
  31. 2 2 2 d f( x , y )= fxx dx + 2 f xy dxdy + f yy dy hay 2f  2 f  2 f d2 f( x , y )= dx 2 + 2 dxdy + dy 2 xy22xy Công thức trên áp dụng khi x, y là các biến độc lập .
  32. VÍ DỤ Tìm vi phân cấp 1, 2 tại (0, 1) của f(,) x y=− x2 y 2 y 3 ex 2 3xx 2 2 * fxy = 2 xy − y e , f = 2 x y − 3 y e df(0,1)= fxy (0,1) dx + f (0,1) dy = − dx − 3 dy 23x 2 x * fxx =− 2 y y e , fxy =−43 xy y e 2 x fyy =−26 x ye
  33. 2 3x 2 x 2 x * fxx = 2 yyef − , xy = 4 xyyef − 3 , yy = 2 x − 6 ye 2 2 2 d f(0,1)= fxx (0,1) dx + 2 f xy (0,1) dxdy + f yy (0,1) dy =dx22 +2 ( − 3) dxdy − 6 dy
  34. Công thức tổng quát cho vi phân cấp cao dnf = d(dn-1f ) Vi phân cấp n là vi phân của vi phân cấp (n – 1). (Chỉ áp dụng khi f là biểu thức đơn giản theo x, y (thường là hợp của 1 hàm sơ cấp với 1 đa thức bậc 1 của x, y).
  35. Công thức hình thức: (trường hợp biến độc lập) n n  d f(,)(,) x y=+ dx dy f x y xy Trong khai triển nhị thức Newton, thay các lũy thừa của  bởi cấp đhr tương ứng của f, lũy thừa của dx, dy tính như thường.
  36. cụ thể: 2 2  d f(,) x y=+ dx dy f xy 2f  2 f  2 f =dx22 +2 dxdy + dy xy22xy 3 3  d f(,) x y=+ dx dy f xy 3f  3 f  3 f  3 f =dx3 +33 dx 2 dy + dxdy 2 + dy 3 x3  x 2  y  x  y 2  y 3
  37. Ví dụ Tính vi phân cấp 3 của z== f(,) x y exy+ xy+ Cách 1: dz= d() e =+ex++ y dx e x y dy =+exy+ () dx dy dz2 = ddz()() = de( xy+ dx + dy ) (dx, dy là hằng) =d( ex++ y )( dx + dy ) = e x y ( dx + dy )2 dzddz3=()()() 2 = de( x++ y dxdy + 2) = e x y dxdy + 3
  38. Cách 2: f(,) x y= exy+ 3f  3 f  3 f  3 f d3 z= dx 3 +33 dx 2 dy + dxdy 2 + dy 3 x3  x 2  y  x  y 2  y 3 d3 z= exy+ ( dx 3 +33 dx 2 dy + dxdy 2 + dy 3 ) d33 z = exy+ () dx + dy