Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao môn Toán

Nội dung text: Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng cao môn Toán

1. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Sởgiáodụcđotạo Kìthihọcsinhgiỏithnhphố hnội Năm học 1994- 1995 Mônthi:Toán9(Vòng1) Thờigian:150phútkhôngkểchépđề Ngythi:5tháng01năm1995 Bi1(4điểm) XétsốA= vB=1644428 4441 4 4 2 4 4 34 1995 chu so 9 HỏisốAcóchiahếtchosốBhaykhông,tạisao? Bi2(4điểm) BạnViệtnóivớibạnNam:“Nếumộttứgiáccóhaigócđốibngnhauđồng thờicómộtđ−ờngchéođiquatrungđiểmcủađ−ờngchéokiathìtứgiácđólhình bìnhhnh.”.BạnNamnói“Điềubạnnóilsairồi!”.Ainóiđúng,ainóisai.Tại sao? Bi3(4điểm) Giảiph−ơngtrình: 1 5 8x 2 + = x 2 Bi4(4điểm) Cho ∆ABCvuôngtạiA.Mộtđ−ờngtròn(O)thayđổiluônluônđiquahai điểmA,BvcắtcáccạnhAC,BCtạicácđiểmthứhait−ơngứngD,E.GọiFl điểmđốixứngvớiEquaODvIlgiaođiểmcủaBFvớiđ−ờngtrungtrựccủaAF .TìmquĩtíchđiểmI. Bi5(4điểm) S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 1
   
2. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Trênmặtphẳngcó1994điểmtôxanhsaochokhôngcó3điểmnothẳnghng. Chứngminhrằngcóthểkẻđ−ợchaiđ−ờngthẳngcắt nhautạothnhcặpgócđối đỉnhsaochovớimỗicặpgócđốiđỉnhđó,sốđiểmxanhtrênmiềntronggócny bằngsốđiểmxanhtrênmiềntronggóckia. Sởgiáodụcđotạo Kìthihọcsinhgiỏithnhphố hnội Năm học 1994- 1995 Mônthi:Toán9(Vòng2) Thờigian:180phútkhôngkểchépđề Ngythi:13tháng01năm1995 Bi1(4điểm) Xét1995sốtựnhiêna1 ,a2 , a 1 9 9 5 cótổngbằng1994x1995. 3 3 3 3 ĐặtP=a1 +a2 +a 3 + a 1 9 9 5 .ChứngminhrằngPchiahếtcho3. Bi2(4điểm) ChongũgiácABCDEnộitiếpđ−ờngtròn(O;R).GọiM,Nlầnl−ợtltrung điểmcủaCD,EA.BiếtAB=CD=DE=R.Chứngminhrằng∆BMNđều. Bi3(4điểm) Giảiph−ơngtrình:(x+2) 2 +(x+3) 3 +(x+4) 4 =2 Bi4(4điểm) ChotứgiácABCDnộitiếpđ−ờngtròn(O).GọiA / B / C / D / lảnhcủatứgiác ABCDtrongphépquaytâmD.Chứngminhrằngcácđ−ờngthẳngAA / , BB / , CC / , DD / đồngquitạimộtđiểm. Bi5(4điểm) CholụcgiácđềuABCDEF,cácđiểmM,N,Ptheothứ tựlgiaođiểmcủa cáccặpđ−ờngthẳng:ABvớiCD;CDvớiEF;EFvới AB.Ng−ờitatôcácđiểm A,B,C,D,E,F,M,N,Phoặcxanhhoặhđỏ.Hỏicócáchnotôsaochobấtcứbađiểm nocùngmầuđềukhôngphảilbađỉnhcủamọttam giácvuônghaykhông,tại sao? S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 2
   
3. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Sởgiáodụcđotạo Kìthihọcsinhgiỏithnhphố hnội Năm học 1994- 1995 Mônthi:Toán9(Vòng3) Thờigian:180phútkhôngkểchépđề Ngythi:14tháng01năm1995 Bi1(4điểm) XétbiểuthứcN=a 1 9 9 5 +b 1 9 9 5 +c1 9 9 5 +d 1 9 9 5 Trongđóa,b,c,dlcácsốtựnhiênsaochoab= cd ≠0.ChứngminhrằngNl hợpsố. Bi2(4điểm) Chohaiđ−ờngtròn(O),(O / )cắtnhautạiA,B,haicáttuyênMAN,PAQbằng nhau(M,P ∈(O);N,Q(O / )).GọiI,Klầnl−ợtlgiaođiểmcủacácđ−ờngthẳng MN,PQvớiOO / .SosánhBIvớiBK. Bi3(4điểm) 3 Giảiph−ơngtrình: 2−x + x−1 −1 = 0 Bi4(4điểm) ChogócxOycóđộlớnbằng α (0 0 < α < 45 0 )vđiểmPởbêntronggócấy. Dựng góc x / Oy / cóđộlớnbằng2α ; Px / cắtOxtạiđiểmA;Py / cắtOytạiđiểmB saochohaitamgiácOPA,OPBcódiệntíchbằngnhau. Bi5(4điểm) Ng−ờitadùngmmầuđểtôcácmặtcủahaihìnhlập ph−ơngsaochotrong mỗihìnhkhôngcóhaimặtnocùngmầu,đồngthờikhôngcóbamầunođôimột kềnhautrongcảhaihình(haimầukềnhautrongmộthìnhnếuchúngđ−ợctôtrên haimặtkềnhaucủahìnhấy).Hytìmsốmbénhất. S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 3
   
4. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Sởgiáodụcđotạo Kìthihọcsinhgiỏithnhphố hnội Năm học 1995- 1996 Mônthi:Toán9(Vòng1) Thờigian:150phútkhôngkểchépđề Ngythi:5tháng01năm1996 Bi1(4điểm) Giảiph−ơngtrình: 4x 4 –x 3 –16x 2 +4x–1995=0vớix∈N Bi2(4điểm) / 2 Cho hai đ−ờng tròn (O,r),(O ; r ) tiếp xúc trong với nhau tại điểmA.Kẻ 3 đ−ờngkínhABcủađ−ờngtròn(O).DâyBCcủađ−ờngtròn(O)cắtđ−ờngtròn(O / ) tạihaiđiểmD,E.TínhBCtheor,biếtrằngEltrungđiểmcủaDC. Bi3(4điểm) Cho bốn số a,b,c,d có tổng bằng 1996. Chứng minh rằng trong ba số m=ab+cd;n=ac+bd;P=ad+bcphảicóítnhấtmộtsốbéhơn500000. Bi4(điểm) ChotamgiácABCvớiđiểmMnằmgiữaB,C. Dựngđ−ờngtrònquaA,McắtAB,ACtạicácđiểmthứhait−ơngứngPQsaocho PQ//BC Bi5(4điểm) Ng−ờitatôđỏ7cạnhcủamộthìnhlậpph−ơngmộtcáchhúhoạ.Mõiđỉnhkề vớiítnhấthaicạnhđỏdềuđ−ợcgọilđỉnhđỏ.Chứngminhrằngcóítnhấtmộtmặt củalậpph−ơngđóchứaítnhất3đỉnhđỏ. Sởgiáodụcđotạo Kìthihọcsinhgiỏithnhphố hnội Năm học 1997- 1998 Mônthi:Toán9(Vòng2) Thờigian:150phútkhôngkểchépđề S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 4
   
5. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Ngythi:15tháng01năm1998 Câu1(5điểm) 2 1) Chox 1 ,x 2 l2nghiệmcủaph−ơngtrìnhx –2x–1=0 2 k 2 k Chứngminhrằngx 1 +x 2 +2lsốchínhph−ơngvớimọisốtựnhiênchẵnk. 2) Chom,nlhaisốtựnhiênthoảmn: m 1 1 1 1 1 1 = 1− + − + − + n 2 3 4 1329 1330 1331 Chứngminhrằngm Μ1997 Câu2(4điểm) Hygiảivbiệnluậnph−ơngtrình: x 4 –4x 3 +x 2 +6x–m=0 Theothamsốm Câu3(3điểm) 5 1 Chobiểuthức A = + ,với0<x<1 1− x2 x2 HytìmgiátrịnhỏnhấtcủaA. Câu4(4điểm) Cho37điểm,khôngcó3điểmnothẳnghng,nằmbêntronghìnhvuôngcó cạnhbằng1.Chứngminhrằngluôntìmđ−ợc5điểmtrong37điểmđchothoả 1 mn:Cáctamgiácđ−ợctạobởi3điểmbấtkìtrong5điểmđócódiệntíchS ≤ . 18 Câu5(5điểm) Cho∆ABCvuôngởC.Mộtđ−ờngthẳngdđiquaAkhôngsongsongvớiBCvcắt đ−ờngtrungtrựccủađoạnABtạiE.GọiHlhìnhchiếuvuônggóccủaBtrênd,K lhìnhchiếuvuônggóccủaEtrênBC.Hydựngđ−ờngthẳngdthoảmngócCHK bằng30 3 . S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 5
   
6. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Đề thi thuyển sinhvào lớp 10 tr−ờngquốchọchuế năm học 2004 thờigianlmbi120phút (THTT52005) Bi1(1,5điểm) b ab − a 2 Chobiểuthức: A = − a a 1) Tìmđiềukiệnđốivớia,bđểbiểuthứcAđ−ợcxácđịnh. 2) RútgọnbiểuthứcA. Bi2(2điểm) 2 x + 3y = 1 1) Giảihệph−ơngtrình:  3x 2 − y = 1 2) Giảibấtph−ơngtrình: x+x1>5 Bi3(1,5điểm) Chứngminhrằng,nếuph−ơngtrình X 2 +2mx+n=0(1)  1   1 2 cónghiệm,thìph−ơngtrình: x 2 + 2k + mx + nk +  = 0 (2)  k   k  cũngcónghiệm.(m,n,klcácthamsố:k≠0) Bi4(1,5điểm) Chohmsốy=ax+bcóđồthị(D)vhmsốy=kx 2 cóđồthị(P). a) tìma,bbiếtrằng(D)điquaA(1;3)vB(2;0) b) Tìmk(k≠0)saocho(P)tiếpxúcvớiđ−ơừngthẳng(D)vờatìmđ−ợc.Viết ph−ơngtrìnhcủa(P). Bi5(3,5điểm) Cho ∆ABCkhôngcâncóbagócnhọnnộitiếptrongđ−ờngtròntâmO.Hai đ−ờngcaoAI,BEcắtnhautạiH. S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 6
   
7. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao 1) Chứngminh:GócCHI=gócCBA. 2) Chứngminh:EI⊥CO. 3) ChogócACB=60 0 .ChứngminhCO=CH. đềthituyểnsinhlớp10khốiTHPTchuyên tr−ờngđạihọcs−phạmvinh2005 (dnhchomọithísinh.Thòiganlmbi150phút) THTH10–2005 Vòng 1 Câu1. 8 + 15 8 − 15 a) Rútgọnbiểuthứcsau: A = + 2 2 b) Giảiph−ơngtrình: x + 5 + 3 − x = 4 Câu2. 3 Chứngminhrằng(n +17n) Μ6vớimọisốtựnhiênn. Câu3. x 2 − 4x Giảsửph−ơngtrìnhx 1 ,x 2 lhainghiệmcủaph−ơngtrình = 3x + m , 1− x Trongđómlthamsố.Tìmmđểbiểuthứcx 1 x 2 đạtgiátrịnhỏnhất. Câu4. ChohìnhvuôngABCD.HaiđiểmI,Jlầnl−ợtthuộchaicạnhBC,CDsaochogóc IAJ=45 0 .Đ−ờngchéoBDcắtAI,AJt−ơngứngtạiH,K.Tínhtỉsố HK IJ Câu5. Chohaiđ−ờngtròn(O 1 ;R 1 )v (O 2 ;R 2 )có R 1 > R 2 tiếpxúcngoivớinhautạiA. Đ−ờngthẳngdđiquaAcắtđ−ờngtròn(O1 ;R 1 )tạiMvcắtđ−ờngtròn(O 2 ;R 2 ) tại N(CácđiểmM,NkhácA). a) Xácđịnhvịtrícủađ−ờngthẳngdđểđộdiđoạnthẳngMNlớnnhất. b) TìmtậphợpcáctrungđiểmIcủacácđoạnthẳngMN khiđ−ờngthẳngdquay quanhđiểmA. Vòng 2 S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 7
   
8. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Câu6. Câu7. Câu8. Câu9. Câu10. S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 8
   
9. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Sở giáo dục và đào tạo Kỳthituyểnsinhvolớp10 hà nội Tr−ờngChuVănAn&Amsterdam Nămhọc`19911992 *MônToán*Ngythi6/8/1991 *Thờigian150phút Bi1: Trênmộtđ−ờnggiaothôngđiquabatỉnhA,B,C(BnằmgiữaA,C)cóhaing−ời chuyểnđộngđều:MxuấtphấttừAđibằngôtôv NxuấtpháttừBđibằngxe đạp.HọxuấtphátcùngmộtlúcvđivềphíaC.ĐếnCthìMquaytrởlạiAngay vvềđếnBđúngvolúcNđếnC.Tínhqungđ−ờngACbiếtrằngqungđ−ờngBC digấpđôiqungđ−ờngABvkhoảngcáchgiữahai địađiểmhọgặpnhautrên đ−ờngđi(mộtlầnkhihọđicùngchiều,mộtlầnkhihọđing−ợcchiều)l8km. Bi2: Chohaisốtựnhiêna,bsaochoa.b=1991 1 9 9 2 .Hỏitổnga+bcóthểchiahếtcho 1992haykhông?tạisao? Bi3: ChogócnhọnxAyvớitiaphângiácAz,mộtđiểmBcốđịnhtrênAz(B ≠ A). Ng−ờitakẻmộtđ−ờngtròntâmOđiquaA,BcắtAx,Aylầnl−ợttạicácđiểmM, N.GọiIltrungđiểmcủaMN,dựnghìnhvuôngACID.TìmtậphợpC,tậphợpD khiđ−ờngtròn(O)thayđổiluônluônquaA,B. S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 9
   
10. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Sở giáo dục và đào tạo Kỳthituyểnsinhvolớp10 hà nội Tr−ờngChuVănAn&Amsterdam Nămhọc`19921993 *MônToán*Ngythi11/6/1992 *Thờigian150phút Bi1:(2,5điểm) Xétbiểuthức: 1 1 a 2 + 2 P = + − 2()1+ a 2()1− a 1− a 3 a) RútgọnP. b) TìmgiátrịnhỏnhấtcủaP. Bi2:(2,5điểm) MộtôtôđitừAđếnBvớivậntốc30Km/h.Sauđómộtthờigian,mộtxecon cũngxuấtpháttừAvớivậntốc40Km/hvnếukhôngcógìthayđổithìđuổikịpô tôtảitạiB.Nh−ngngaysaukhiđ−ợcnửaqungđ−ờngABthìxecontăngvậntốc thnh45Km/hnênsauđó1hthìđuổikịpôtôtải.Tínhqungđ−ờngAB. Bi3:(4điểm) Chonửađ−ờngtrònđ−ờngkínhABtrênđócómộtđiểmM.Trênđ−ờngkínhABcó mộtđiểmCsaochoAC<CB.TrênnửamặtphẳngbờABcóchứađiểmM,ng−ờita kẻcáctiaAx,ByvuônggócvớiAB;đ−ờngthẳngquaMvuônggócvớiMCcắtAx tạiP;đ−ờngthẳngquaCvuônggócvớiCPcắtBytạiđiểmQ.GọiDlgiaođiểm củaCP,AM;ElgiaođiểmcủaCQ,BM. a) ChứngminhrằngcáctứgiácACMP,CDMEnộitiếpđ−ợc. b) Chứngminhrằnghaiđ−ờngthẳngAB,DEsongsong. c) ChứngminhrằngbađiểmP,M,Qthẳnghng. d) NgoiđiểmMra,cácđ−ờngtrònngoạitiếpcáctamgiácDMP,EMQcòncó điểmchungnonữakhông,tạisao? Bi4:(1điểm) Giảiph−ơngtrình: 2x 4 –x 3 –5x 2 +x+2=0 S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 10
    
11. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Sở giáo dục và đào tạo Kỳthituyểnsinhvolớp10 hà nội Tr−ờngChuVănAn&Amsterdam Nămhọc`19921993 *MônToán*Ngythi12/6/1992 *Thờigian150phút Bi1:(2,5điểm) Mộtgiađìnhlớngồm4thếhệ,trongđócó7cặpôngnội–cháunội.Biếtrằng tronggiađìnhđó,mỗing−ờichỉcónhiềunhất2con.Hỏigiađìnhđócóítnhất mấynamgiới?tạisao? Bi2: Trênmặtphẳngcho9điểmA 1 , A 2 , , A 9 ,trongđókhôngcóbađiểmnothẳng hng.Ng−ờitakểtêncáctamgiácmcácđỉnhl3trong9điểmđcho,saocho bấtcứ2tamgiácnocũngchỉcónhiềunhất1đỉnhchung. a) Hỏimỗicáchkểtênnh−trêncónhiềunhấtbaonhiêutamgiác?tạisao? b) Hynêumộtcáchkểtênvớisốtêntamgiácnhấtcóthểđ−ợc. Bi3: ChohìnhlụcgiácđềuABCDEG.Ng−ờitatôđỏ2đỉnhA,Dvtôxanhtấtcả4 đỉnhcònlại.Sauđó,ng−ờitađổimầucácđỉnhđótheoquytắcsauđây: Mỗilầnđổimầuphảichọn3đỉnhcủamộttamgiáccân,đổimầuđồngthời3đỉnh ấy(đỏthnhxanh,xanhthnhđỏ).Hỏisaumộtsốlầnthựchiệnquytắcđó,thìcó thểthuđ−ợckếtquảlđỉnhCđỏcòn5đỉnhcònlạilxanhkhông?tạisao? Bi4: ĐểkỉniệmkỳthiToánQuốctếlầnthứXXIII,mộthọcsinhđlấymộtsốnbằng 23 2 rồighitấtcảcácsốtựnhiên:1,2, ,nvo tấtcảcácôcủamộthìnhvuông cỡ23ì23ôvuông,saocho: a) Mỗimộthngđềucóítnhấtmộtôlôlớnnhấttrongcộtchứanó,vítnhất mộtôlônhỏnhấttrongcộtchứanó. b) Mỗimộtcột,đềucóítnhấtmộtôlôlớnnhấttronghngchứanó,vít nhấtmộtôlônhỏnhấttronghngchứanó. Hỏi,cóthểthoảmnđồngthờicảhaiđiềukiệna) vb)haykhông?tạisao?(Ô nylớnhơnhoặcnhỏhơnôkiatuỳtheosốghitrongôđólớnhơnhoặcnhỏhơnsố ghitrongôkia). S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 11
    
12. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Sở giáo dục và đào tạo Kỳthituyểnsinhvolớp10 hà nội Tr−ờngChuVănAn&Amsterdam Nămhọc`19931994 *MônToán*Ngythi8/7/1993 *Thờigian150phút Bi1:(2,5điểm)     3 1− a a  1+ a a  (1− a) Xétbiểuthức: P =  +1 ⋅ − a  :  a − a   1+ a  1+ a a) RútgọnP. b) Vớiđiềukiệnđể P cónghĩa,hysosánh P vớiP. Bi2:(2,5điểm) HaibếnsôngA,Bcáchnhau40km.CùngmộtlúcvớicanôxuôitừbếnAcómột chiếcbètrôitừbếnAvớivậntốc3km/h.SaukhiđếnbếnB,canôtrởvềbếnA ngayvgặpbèđtrôiđ−ợc8km.Tínhvậntốcriêngcủacanô,biếtreawngfvận tốcriêngcủacanôkhôngđổi. Bi3:(4điểm) Cho∆ABCcóbagócnhọn,trựctâmlH.Ng−ờitadựnghìnhbìnhhnhBHCDv gọiIlgiaođiểmcủahaiđ−ờngchéo. a) ChứngminhtứgiácABDCnộitiếpđ−ợc b) SosánhcácgócBAHvOAC(Oltâmđ−ờngtrònngoạitiếp∆ABC) c) GọiGlgiaođiểmcủaAIvOH.ChứngminhGltrọngtâmcủa∆ABC. d) TìmđiềukiệnrằngbuộcgiữacácgócBvCđểOHsongsongvớiBC. Bi4:(1điểm) Tìmđiềukiệncầnvđủđểph−ơngtrìnhbậchai: ax 2 +bx+c=0(a≠0) cónghiệmnygấp1993lầnnghiệmkia. S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 12
    
13. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Sở giáo dục và đào tạo Kỳthituyểnsinhvolớp10 hà nội Tr−ờngChuVănAn&Amsterdam Nămhọc`19931994 *MônToán*Ngythi9/7/1993 *Thờigian150phút Bi1:(4điểm) Tìmtấtcảcácsốcó4chữsốabcdsaocho: a+b=cd c+d=ab Bi2:(4điểm) Cho ∆ABCdựngcáctamgiáccânABX,BCY,CAZđồngdạngnh−sau:đỉnhXở cùngphíavớiCsovớicạnhAB,đỉnhYởkhácphíavớiAsovớicạnhBCvđỉnh ZởkhácphíavớiBsovớicạnhCA. a) Chứng minh rằng nếu 4 điểm X, Y, Z, C không thẳng hng , thì tứ giác XYCZlhìnhbìnhhnh. b) Khino4điểmX,Y,Z,Cthẳnghng? Bi3:(4điểm) ChosốA=111 11có1993chữsố1.Cóhaykhôngbộisốd−ơngcủaA,mtổng cácchữsốcủanónhỏhơn1992? Bi4:(4điểm) Cácđ−ờngchéocủatứgiácABCDcắtnhautạiOởtrongtứgiác.Gọidiệntíchcủa cáctamgiácAOB,CODlầnl−ợtlS 1 vS 2 ,dieenhjtíchtứgiácABCDbằngS. a) Chứngminhrằng: (*) S1 + S2 ≤ S b) Hệthứ(*)trênsẽnh−thếnokhiABCDlhìnhthang? Bi5:(4điểm) 3 Chứngminhrằngph−ơngtrình: x 6 − x 5 + x 4 − x 3 + x 2 − x + = 0 4 khôngcónghiệm. S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 13
    
14. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Sở giáo dục và đào tạo Kỳthituyểnsinhvolớp10 hà nội Tr−ờngChuVănAn&Amsterdam Nămhọc`19941995 *MônToán*Ngythi7/7/1994 *Thờigian150phút Bi1:(2,5điểm) Xétbiểuthức:      2 x 1   x  P =  −  : 1+   x x + x − x −1 x −1  x +1 a) RútgọnP. b) TìmxđểP≤0 Bi2:(2,5điểm)Chohệph−ơngtrình: (a −1)x − 2y = 1  3x + ay = 1 a) Giảihệph−ơngtrìnhvới a = 3 +1 b) Chứngminhrằngvớimọia,hệcónghiệmduynhất. c) Tìmađểx–yđạtgiátrịlớnnhất. Bi3:(4điểm) Chođ−ờngtròn(O;R)v ∆ABCcân(AB=AC>R)nộitiếpđ−ờngtrònấy.Kẻ đ−ờngkínhAI.GọiMlmộtđiểmbấtkìtrêncungnhỏAC;Mxltiađốicủatia MC.TrêntiađốicủatiaMBlấymộtđiểmDsaochoMD=MC. a) ChứngminhrằngtiaMAlphângiáccủagócBMx. b) GọiKlgiađiểmthứhaicủađ−ờngthẳngDCvớiđ−ờngtròn(O).Tứgiác MIKDlhìnhgì,tạisao? c) GọiGltrọngtâm ∆MDK.ChứngminhrằngkhiMdiđộngtrêncungnhỏ ACthìGluônnằmtrênmộtđ−ờngtròncốđịnh. d) GọiNlgiaođiểmthứhaicủađ−ờngthẳngADvớiđ−ờngtròn(O);Plgiao điểmthứhaicủaphângiácgócIBNvớiđ−ờngtròn(O).Chứngminhrằng đ−ờngDPluônđiquamộtđiểmcốđịnhkhiMdiđộngtrêncungnhỏAC. Bi4:(1điểm) TìmđathứcP(x)biếtP(x)chiachox–2d−2;chiachox+2d−–2;chiacho x 2 –4đ−ợcth−ơnglxvcònd−. S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 14
    
15. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Sở giáo dục và đào tạo Kỳthituyểnsinhvolớp10 hà nội Tr−ờngChuVănAn&Amsterdam Nămhọc`19941995 *MônToánchuyên*Ngythi8/7/1994 *Thờigian150phút Bi1:(2,5điểm) 2 a) Tìmx,ynguyênd−ơngđểphânsố x + x +1 nhậngiátrịnguyên. xy −1 b) Tồntạihaykhôngcácsốa,b,c,dhữutỷsaocho: 1994 1994 (a + b 2) + (c + d 2) = (5 + 4 2) Bi2:(2,5điểm) a) Chox>0,y>0vx 3 +y 3 =xy Chứngminhrằng: x 2 +y 2 <1. b) Tìmgiátrịnhỏnhấtcủa: y = − x 2 + 3x +18 − − x 2 + 4x + 5 Bi3:(3điểm) ChotứgiáclồiABCDvhìnhchữnhậtMNEFsaochoM,EltrungđiểmcủaAB, CD;N∈BC;F∈DA. a) ChứngminhdiệntíchtứgiácABCDbằnghailầndiệntíchhìnhchữMNEF. 1 b) ChứngminhrằngdiệntíchtứgiácABCDkhôngv−ợtquá: (AB.CD + BC.DA) 2 Bi4:(2điểm) Chomộtsốhữuhạnhìnhtrònchiếmtrênmặtphẳngmộtdiệntíchbằng1.Chứng minhrằng,cóthểchọnramộtvihìnhtrònđôimộtkhôngcóđiểmchungtrong cáchìnhtrònđcho,cótổngdiệntíchkhônglớnhơn1/9. S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 15
    
16. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Sở giáo dục và đào tạo Kỳthituyểnsinhvolớp10 hà nội Tr−ờngChuVănAn&Amsterdam Nămhọc`19951996 *MônToán*Ngythi11/7/1995 *Thờigian150phút Bi1:(2điểm) Chocácbiểuthức: 3 2x − 3 x − 2 x − x + 2x − 2 A = v B = x − 2 x + 2 a) RútgọnAvB. b) TìmgiátrịxđểA=B. Bi2:(3điểm) Choph−ơngtrình:x 2 –2(m1)x+m–5=0 (xlẩn) a) Xácđịnhmđểph−ơngtrìnhcómộtnghiệmx=1vtìmnghiệmcònlại. b) Chứngminhrằngph−ơngtrìnhluônluôncóhainghiệmphânbiệtx 1 ;x 2 vớimọi giátrịcủam. 2 2 c) Vớigiátrịnocủamthìx 1 +x 2 đạtgiátrịnhỏnhấtvtìmgiátrịnhỏnhấtđó. Bi3:(4điểm) Chođ−ờngtròn(O)đ−ờngkínhAB=2RvmộtđiểmCtrênđ−ờngtròn(Ckhông trùngvớiAvB).TrênnửamặtphẳngbờABcóchứađiểmC,kẻtiaAxtiếpxúc vớiđ−ờngtròn(O).GọiMlđiểmchínhgiữacủacungnhỏAC;Plgiaođiểmcủa AC,BM.TiaBCcắtcáctiaAM,Axlầnl−ợttạiNvQ. a) Chứngminh∆ABNcân. b) TứgiácAPNQlhìnhgì,tạisao? c) GọiKlđiểmchínhgiữacủacungABkhôngchứađiểmC.Hỏicóthểxẩyra bađiểmQ,M,Kthẳnghngđ−ợckhông,tạisao? d) XácđịnhvịtrícủađiểmCđểđ−ợcđ−ờngtrònngoại tiếp ∆MNQtiếpxúc vớiđ−ờngtròn(O). Bi4:(1điểm) 1 Giảiph−ơngtrình: x − 2 + y +1995 + z −1996 = ()x + y + z 2 S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 16
    
17. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Sở giáo dục và đào tạo Kỳthituyểnsinhvolớp10 hà nội Tr−ờngChuVănAn&Amsterdam Nămhọc`19951996 *MônToánchuyên*Ngythi12/7/1995 *Thờigian150phút Bi1:(1,5điểm) Giảiph−ơngtrình: x − 94 + 96 − x = x 2 −190x + 9027 Bi2:(1,5điểm) Cho40sốnguyênd−ơngthoảmn: 1≤a1 <a2 < <a 2 0 ≤200 1≤b 1 <b 2 < <b 2 0 ≤200 Chứngminhrằngtồntạicácsố: 1≤i+j≤40v1≤k+1≤40saocho: ai a j =b k b i Bi3:(2điểm) HytínhA=3x 3 +3x 2 +1 1  23 + 513 23 − 513  Với  3 3 1 x =  + −  3  4 4  Bi4:(1điểm).Giảiph−ơngtrìnhtìmnghiệmnguyên: x 2 +x=y 4 +y 3 +y 2 +y Bi5:(4điểm) a) Chođ−ờngtròntâmOvmộtđ−ờngthẳngdcắtđ−ờngtròntạihaiđiểmAv B.TừmộtđiểmMbấtkìtrêndvnằmbênngoiđ−ờngtròn,kẻhaitiếp tuyếnMEvMF(EvFlhaitiếpđiểm).Tìmtậphợptâmcácđ−ờngtròn ngoạitiếptamgiácMEF,khiMdiđộngtrênd. b) Cho∆ABC,cácđ−ờngphângiáctrongvngoicủagócCcắtđ−ờngthẳng ABtạiPvQ.ChứngminhrằngnếuCP=CQthì4R 2 =CB 2 +CA 2 .Trongđó Rlbánkínhđ−ờngtrònngoạitiếp∆ABC. S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 17
    
18. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Sở giáo dục và đào tạo Kỳthituyểnsinhvolớp10 hà nội Tr−ờngChuVănAn&Amsterdam Nămhọc`19961997 *MônToán*Ngythi2/7/1996 *Thờigian150phút Bi1:(2,5điểm) 3a + 9a − 3 a − 2 1 Xétbiểuthức: P = − + −1 a + a − 2 a −1 a + 2 1. RútgọnP. 2. TìmađểP=1. 3. Tìmcácgiátrịcủaa∈NsaochoP∈N. Bi2:(2,5điểm) Mộtlâmtr−ờngdựđịnhtrồng75harừngtrongmộtsốtuầnlễ.Domỗituầntrồng v−ợtmức5hasovớikếhoạchnênđtrồngđ−ợc80 havhonthnhsớmhơn1 tuần.Hỏimỗituầnlâmtr−ờngdựđịnhtrồngbaonhiêuharừng? Bi3:(4điểm) ChođoạnthẳngABvđiểmMnằmgiữaAvB.Trongcùngmộtnửamặtphẳngbờ lđ−ờngthẳngABdựngcáchìnhvuôngAMCDvMBEF.Haiđ−ờngthẳngAFv BCcắtnhauởN. 1. ChứngminhAFvuônggócvớiBC,suyrađiểmNnằmtrênhaiđ−ờngtròn ngoạitiếpcáchìnhvuôngAMCDvMBEF. 2. ChứngminhbađiểmD,N,EthẳnghngvMN⊥DEtạiN. 3. ChoA,BcốđịnhcònMdiđộngtrênđoạnAB.Chứngminhđ−ờngthẳngMN luônđiquamộtđiểmcốđịnh. 4. TìmvịtríđiểmMsaochođoạnthẳngMNcóđộdilớnnhất. Bi4:(1điểm) Chohaiph−ơngtrình:ax 2 +bx+c=0(1)vcx 2 +bx+a=0(2)vớia.c<0.Gọi α v βt−ơngứnglnghiệmlớnnhấtcủaph−ơngtrình(1) vph−ơngtrình(2), Chứngminhrằngα+β≥2. S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 18
    
19. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Sở giáo dục và đào tạo Kỳthituyểnsinhvolớp10 hà nội Tr−ờngChuVănAn&Amsterdam Nămhọc`19961997 *MônToánchuyên*Ngythi3/7/1996 *Thờigian150phút Bi1:(4điểm) Viếtcácsốliêntiếp111,112,113, ,887,888,tađ−ợcsố A=111112113 887888. ChứngminhrằngAchiahếtcho1998 Bi2:(3điểm) Giảiph−ơngtrình:x 4 +(x1)(x 2 –2x+2)=0 Bi3:(3điểm) Chocácsốd−ơnga,b,ccótổngbằng2.Chứngminhbấtđẳngthức: a 2 b 2 c 2 + + ≥ 1 b + c c + a a + b Bi4:(5điểm) Cho∆ABCnộitiếpđ−ờngtrònO.Đ−ờngphângiácgócAcắtđ−ờngtròn (O)ởD.Mộtđ−ờngtròn(O)thayđổinh−ngluônđi quahaiđiểmAv D,cắthaiđ−ờngthẳngABvACởgiaođiểmthứhailMvN(cóthể trùngvớiA). 1. ChứngminhrằngBM=CN. 2. TìmtậphợptrungđiểmcủaMN. 3. Xácđịnhvịtrícủađ−ờngtròn(L)saochođoạnMNcóđộdinhỏ nhất. Bi5:(5điểm) Hìnhchữnhậtkíchth−ớc3ì4đ−ợcchiabởicácđ−ờngthẳngsongsong vớicáccạnhthnh12hìnhvuôngđơnvị.Chứngminhrằngvới7điểm bấtkìnằmtronghìnhchữnhậtluôncóthểchọnra 2điểmcókhoảng cáchkhôngv−ợtquá 5 .Chứngminhkếtluậncủabitoánvẫnđúng khisốđiểml6vkhôngcònđúngkhisốđiểml5. S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 19
    
20. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Sở giáo dục và đào tạo Kỳthituyểnsinhvolớp10 hà nội Tr−ờngChuVănAn&Amsterdam Nămhọc`19971998 *MônToán*Ngythi8/.7/1997 *Thờigian150phút Bi1:(2,5điểm) Xétbiểuthức: (3 x + x − )3 x + 3 x − 2 P = + − x + x − 2 x + 2 x −1 a) RútgọnP. 15 b) Tìmxđể P < 4 Bi2:(2,5điểm) Mộtmáybơmdùngđểbơmn−ớcđầybển−ớccódungtích60m 3 vớithờigianđịnh tr−ớc.Khiđbơmđ−ợc1/2bể,thìmấyđiệntrong 48phút.Đếnlúccóđiệntrở lại,ng−ờitasửdụngthêmmáybơmthứhaicócôngsuất10m 3 /h.Cảhaimấybơm cùnghoạtđộngđểbơmđầybển−ớcđúngthờigiandựkiến.Tínhcôngsuấtmáy bơmthứnhấtvthờigianmấybơmđóhoạtđộng. Bi3:(4điểm) Cho ∆ABCvớibagócnhọnnộitiếpđ−ờngtròn(O).tiaphângiáctrong gócBcắtđ−ờngtròntạiD,tiaphângiáctrongcủagócCcắtđ−ờngtròn tạiE;haiphângiácnycắtnhautạiF.GọiI,Ktheothứtựlgiaođiểm củadâyDEvớicáccạnhAB,AC. a) ChứngminhrằngCáctamgiácEBF,ADFcân b) ChứngminhtứgiácDKCFnộitiếpvFKsongsongvớiAB. c) TứgiácAIFKlhìnhgì?tạisao? d) TìmđiềukiệncủatamgiácABCđểtứgiácAEFDlhình thoi, đồngthờicódiệntíchgấp3lầndiệntíchtứgiácAIFK. Bi4:(1điểm) Tìmnhữnggiátrịcủaxthoảmnhệthứcsau: x (2 − 3) + 7( − 4 3)(2 + )3 x = 4(2 − 3) S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 20
    
21. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Sở giáo dục và đào tạo Kỳthituyểnsinhvolớp10 hà nội Tr−ờngChuVănAn&Amsterdam Nămhọc`19971998 *MônToánchuyên*Ngythi9/7/1998 *Thờigian150phút Bi1:(2điểm) Chobốnsốd−ơnga,b,c,d.Chứngminhrằng: ab + cd ≤ (a + d )(b + c) Khinoxảyradấuđẳngthức? Bi2:(1,5điểm) Giảiph−ơngtrìnhsau: 3 x 2 − 4x + 31 + x 2 = 4x −1 Bi3:(3điểm) Cho ∆ABCcóbagócnhọnnộitiếpđ−ờngtròntâmO,bánkínhR.Kẻcácđ−ờng caoAA / ,BB / ,CC / .GọiSldiệntích∆ABCvS / ldiệntích∆A / B / C / . a) ChứngminhrằngAOvuônggócvớiB / C / . b) Chứngminh:S=1/2.P.R;trongđóPlchuvi∆A / B / C / . S / c) Chứngminhhệthức: cos2 A + cos2 B + cos2 C = 1− S Bi4:(2điểm) Xétnhữngsốđ−ợctạobởibằngcáchviết2nchữsố0xenkẽvới(2n+1)chữsố1 códạngnh−sau: 10101;1010101; ;1010 101; (nlsốnguyênd−ơng) Chứngminhrằngcácsốtrênđềulhợpsố. Bi5:(2điểm) Chohìnhvuôngcạnhn(nlsốnguyênlớnhơn1)đ−ợcchiathnhnìn ô vuông nhỏ.Trongmỗiônhỏnychỉghimộttrongbasố:1;0;1.Hìnhvuôngnh−thế đ−ợcgọil“bảngsốvuôngcạnhn” a) Hylậpmộtbảngsốvuôngcạnh6saochotổngcácsốghitrongbảngtheo mọihng,cộtđềukhácnhau. b) Cóhaykhôngbảngsốvuôngcạnhnnođómtổngcácsốghitrongbảng theomọihng,cộtvtheo2đ−ờngchéođềukhácnhau? S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 21
    
22. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Sở giáo dục và đào tạo Kỳthituyểnsinhvolớp10 hà nội Tr−ờngChuVănAn&Amsterdam Nămhọc`19981999 *MônToán*Ngythi8/6/1998 *Thờigian150phút Bi1:(2điểm)  xy x   xy x  Chobiểuthức:  x +1 +   + x +1  P =  + +1 : 1− −   xy +1 1− xy   xy −1 xy +1 a) RútgọnP. 1 1 b) Cho + = 6 ,tìmgiátrịlớnnhấtcủaP. x y Bi2:(3điểm) Choph−ơngtrình:(x+1) 4 –(m1)(x+1) 2 –m 2 +m–1=0 (*) a) Giảiph−ơngtrình(*)vớim=1. b) Chứngtỏrằngph−ơngtrình(*)luôncóhainghiệmphân biệtx 1 ,x 2 vớimọi giátrịcủathamsốm. c) Tìmcácgiátrịcủamđểx 1 +x 2 =2 Bi3:(4điểm) Chođ−ờngtròn(O;R),đ−ờngkínhAB;kẻtiếptuyếnAxvtrênđólấy mộtđiểmP(AP>R).TừPkẻtiaPMtiếpsúcvới đ−ờngtròn(O)tại M. a) TứgiácOBPMlhìnhgì?tạisao? b) Cho AP = R 3 ,chứngminhtamgiácPAMcótrựctâmHnằmtrên (O;R). c) ChứngminhrằngkhiPdiđộngtrêntiaAx(AP>R)thìtrựctâmH củatamgiácPAMchạytrênmộtcungtròncốđịnh. d) DựnghìnhchữnhậtPAON,chứngminhB,M,Nthẳnghng. S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 22
    
23. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Sở giáo dục và đào tạo Kỳthituyểnsinhvolớp10 hà nội Tr−ờngChuVănAn&Amsterdam Nămhọc`19981999 *MônToántin*Ngythi9/6/1998 *Thờigian150phút Bi1:(2điểm) Choph−ơngtrìnhx 3 –2mx 2 +(m 2 +1)x–m=0(*)vớimlthamsố Tìmcácgiátrịcủamđểmọinghiệmcủa(*)đềuthuộckhoảng(1;1) Bi2:(2điểm) Chứngminhbấtđẳngthức: a b c + + > 2 b + c + d a + c + d b + a + d Bi3:(3điểm) XéthìnhthangABCDvuônggóctạiAvD(AB k (n;0) (0;0) S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 23
    
24. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Sở giáo dục và đào tạo Kỳthituyểnsinhvolớp10 hà nội Tr−ờngChuVănAn&Amsterdam Nămhọc`19992000 *MônToán*Ngythi17/6/1999 *Thờigian150phút Bi1:(3điểm)     Chobiểuthức:  x + 3 x + 2 x + 2  1 P =  + +  : 1−   x − 2 3 − x x − 5 x + 6   x +1 1. RútgọnP. 2. TìmcácgiátrịnguyêncủaxđểP<0. 1 3. Vớigiátrịnocủaxthìbiểuthức đạtgiátrịnhỏnhất. P Bi2:(3điểm) Choph−ơngtrình: x 2 –mx+m 2 –5=0 (mlthamsố) 1. Giảiph−ơngtrìnhvới m = 1+ 2 2. Tìmmđểph−ơngtrìnhcóhainghiệmtráidấu. 3. Vớinhữnggiátrịcủammph−ơngtrìnhcónghiệm,hytínhtìmgiátrịlớn nhấtvgiátrịnhỏnhấttrongtấtcảcácnghiệmđó. Bi3:(4điểm) Cho ∆ABCcógócAtù,đ−ờngtròn(O)đ−ờngkínhABcắtđ−ờng tròn (O/)đ−ờngkínhACtạigiaođiểmthứhailH.Mộtđ−ờngthẳng(d)quay quanhAcắtđ−ờngtròn(O)vđ−ờngtròn(O/)lầnl−ợttạiMvNsao choAnằmgiữaMvN. 1. Chứng minh H thuộc cạnh BC v tứ giác BCNM l hình thang vuông. 2. Chứngminhtỷsố HM khôngđổi. HN 3. GọiIltrungđiểmcủaMN,KltrungđiểmcủaBC.Chứngminh 4điểmA,H,K,Ithuộcmộtđ−ờngtrònvIdichuyểntrênmột cungtròncốđịnh. 4. Xácđịnhvịtrítrícủađ−ờngthẳng(d)đểdiệntích∆HMNlớnnhất. S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 24
    
25. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Sở giáo dục và đào tạo Kỳthituyểnsinhvolớp10 hà nội Tr−ờngChuVănAn&Amsterdam Nămhọc`19992000 MônToánNgythi18/6/1999 Thờigian150phút Bi1:(2điểm) Giảiph−ơngtrình: x 4 + x 2 +1999 = 1999 Bi2:(2điểm) Tìmthamsốmđểhaibấtph−ơngtrìnhsaukhôngcónghiệmchung: mx+1>4m(1) ;x 2 –9<0(2) Bi3:(3điểm) ∆ABCcótrựctâmH,tâmđ−ờngtrònngoạitiếplO,bánkínhđ−ờngtrònnộitiếp lr.Gọid a ,d b ,d c lầnl−ợtlkhoảngcáchtừOtới3cạnhBC,CA,AB. a) ChứngminhHA+HB+HC=2(d a +d b +d c ). b) GiảsửABCnhọn,ChứngminhHA+HB+HC≥6r (*) c) Bấtđẳngthức(*)cònđúngkhôngkhi∆ABCcógócAtùkhông,vìsao? Bi4:(1,5điểm) Tìmcácchữsốbiểuthịbởicácchữcáitrongphépnhânsau: BIT 8 BiếtrằngT=2Evchữcáikhácnhauứngvớichữsốkhácnhau. BYTE Bi5:(1,5điểm) Ng−ờitakẻnđ−ờngthẳngsaochokhôngcó2đ−ờngnosongsongv3 đ−ờngnođồngquyđểchiamặtphẳngthnhcácmiềncon.GọiSnlsố miềnconcóđ−ợctừnđ−ờngthẳngđó. a) TìmS3;S4. b) ChứngminhSn=Sn1+n 2 n +n+2 c) ChứngminhSn= 2 S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 25
    
26. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Sở giáo dục và đào tạo Kỳthituyểnsinhvolớp10 hà nội Tr−ờngChuVănAn&Amsterdam Nămhọc20002001 MônToánNgythi15/6/2000 Thờigian150phút Bi1:(3điểm) 2x + 2 x x −1 x x +1 Chobiểuthức: P = + − x x − x x + x 1. RútgọnP. 2. SosánhPvới5. 3. VớimọigiátrịcủaxlmPcónghĩa,chứngminhrằngbiểuthức 8 chỉnhận P đúngmộtgiátrịnguyên Bi2:(3điểm) TrongmặtphẳngtoạđộOxycho: Đ−ờngthẳng(d):y=mx+1vParabol(P):y=x 2 1. VẽParabol(P)vđ−ờngthẳng(d)khim=1. 2. Chứngminhrằngvớimọigiátrịcủathamsốm,đ−ờngthẳng(d)luônđiqua mộtđiểmcốđịnhvluôngcắtParabol(P)tạihaiđiểmphânbiệtAvB. 3. Tìmgiátrịcủathamsốmđểdiệntích∆OABbằng2(đơnvịdiệntích). Bi3:(4điểm) ChođoạnthẳngAB=2acótrungđiểmO.TrêncùngnửamặtphẳngbờABkẻ cáctiaAx,ByvuônggócvớiAB.Mộtđ−ờngthẳng(d)thayđổicắtAxởM, cắtByởNsaocholuôncó:AM.BN=a2. 1. Chứngminh∆AOM∼∆BNOvgócMONvuông. 2. GọiHlhìnhchiếucủaOtrênMN,chứngminhrằng đ−ờngthẳng(d) luôntiếpxúcvớimộtnửađ−ờngtròncốđịnhtạiH. 3. ChứngminhrằngtâmtâmIcủađ−ờngtrònngoạitiếp ∆MONchạytrên mộttiacốđịnh. 4. Tìmvịtrícủađ−ờngthẳng(d)saochochuvi∆AHBđạtgiátrịlớnnhất, tínhgiátrịlớnnhấtđótheoa. S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 26
    
27. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Sở giáo dục và đào tạo Kỳthituyểnsinhvolớp10 hà nội Tr−ờngChuVănAn&Amsterdam Nămhọc20002001 MônToánNgythi16/6/2000 Thờigian150phút Bi1:(2điểm) Tìmtấtcảcácgiátrịcủaxđểhmsốy=x 2 +x+16+x 2 +x6đạtgiá trịnhỏnhấtvtínhgiátrịnhỏnhấtđó. Bi2:(2điểm) Tìmkđểph−ơngtrình:(x 2 +2)[x 2 –2x(2k1)+5k 2 –6k+3]=2x+1 Bi3:(3điểm) ChogócnhọnxOyvđiểmCcốđịnhthuộctiaOx.ĐiểmAdichuyển trêntiaOxphíangoiđoạnOC;điểmBdichuyểntrêntiaOysaocho luôncóCA=OB. TìmquỹtíchtâmIcủađ−ờngtrònngoạitiếp∆OAB Bi4:(2điểm) Tìmcácchữsốa,b,cbiếtrằng abc = (a + b) c Bi5:(1điểm) MộtlớphọccósốhọcsinhđạtloạiGiỏiởmỗimônhọc(trong11môn) đềuv−ợtquá50%.Chứngminhrằngcóítnhất3họcsinhđ−ợcxếploại Giỏitừ2môntrởlên. S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 27
    
28. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Sở giáo dục và đào tạo Kỳthituyểnsinhvolớp10 hà nội Tr−ờngChuVănAn&Amsterdam Nămhọc`20012002 MônToánNgythi21/6/2001 Thờigian150phút Bi1:(2điểm)      x + 2 x + 3 x + 2  x  Chobiểuthức: P =  − −  :2 −   x −5 x + 6 2 − x x −3  x +1 1. RútgọnP. 1 5 2. Tìmxđể ≤ − P 2 Bi2:(3điểm) 2 Choph−ơngtrình: x−m =3− 2−mx2 (1) 1. Tìmthamsốmđểph−ơngtrìnhcónghiệmduynhất, tínhnghiệmđóvới m = 2 +1 2. Tìmcácgiátrịcủamđểph−ơngtrình(1)nhận x = 5 2 − 6 lnghiệm. 3. Gọi m 1 , m 2 lhainghiệmcủaph−ơngtrình(1)(ẩnm).Tìmxđể m 1 , m 2 l số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 4 2 − 2 Bi3:(4điểm) R Chohaiđ−ờngtròn(O),bánkínhRvđ−ờngtròn(O / )bánkính tiếpxúcngoi 2 tạiA.Trênđ−ờngtròn(O)lấyBsaochoAB=RvđiểmMtrêncunglớnAB.tia AMcắtđ−ờngtròn(O / )tạiđiểmthứhailN.QuaNkẻđ−ờngthẳngsongsongvới ABcắtđ−ờngthẳngMBtạiQvcắtđ−ờngtròn(O/ )tạiP. 1. Chứngminh∆OAM∼∆O / AN. 2. ChứngminhđộdiNQkhôngphụthuộcvovịtríđiểmM. 3. TứgiácABQPlhìnhgì?tạisao? 4. XácđịnhvịtríđiểmMđểdiệntíchtứgiácABQNđạtgiátrịlớnnhất,tính giátrịlớnnhấtđótheoR. Bi4:(1điểm)Chobiểuthức:A=x 2 –y 2 +xy+2x+2y Tìmcặpsố(x;y)đểbiểuthứcAđạtgiátrịlớnnhấtvtìmgiátrịlớnnhấtđó. S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 28
    
29. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Sở giáo dục và đào tạo Kỳthituyểnsinhvolớp10 hà nội Tr−ờngTHPTChuVănAn&Amsterdam Nămhọc`20012002 MônToánNgythi21/6/2001 Thờigian150phút Bi1:(2điểm) 1 1 4 16 64 Choa,b,c,d>0.Chứngminhrằng: + + + ≥ a b c d a + b + c + d Khinoxảyradấuđẳngthức? Tổngquáthoávchứngminhbitoánvớinsốd−ơngx i (i=1,n;n∈N;n≥1) Bi2:(2điểm) Choph−ơngtrình: m x 6 +1 = 3(x 4 + 2) 1. giảiph−ơngtrìnhvớim=10. 2. Tìmmđểph−ơngtrìnhcóđúnghainghiệm. Bi3:(3điểm) Chođ−ờngtròn(O;R),mộtdâycốđịnhAB<2R,điểmCdiđộngtrên cunglớnABsaocho ∆ABCcó3gócnhọn.Cácđ−ờngcaoAA/ ; BB/ ; CC/của∆ABCđồngquytạiH.GọiIvMlầnl−ợtltrungđiểmcủaCH vAB. 1. ChứngminhđiểmIchạytrênmộtcungtròncốđịnhvđ−ờngthẳng MIltrungtrựccủaA/B/. 2. Hai phân giác đ−ờng phân giác trong góc CAH v góc CBH cắt nhautạiK.TínhđộdiIKtheoRva. Bi4:(2điểm) Chứngminhrằngvớimọik∈Ntaluôntìmđ−ợcn∈Nsaocho: k n + 2001k + n = 1+ 2002    Bi5:(1điểm) Cho5đ−ờngtròntrongđómỗibộ4đ−ờngtrònđềucómộtđiểmchung. Chứngminhrằng5đ−ờngtròncùngđiquamộtđiểm. S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 29
    
30. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Sở giáo dục và đào tạo Kỳthituyểnsinhvolớp10 hà nội Tr−ờngChuVănAn&Amsterdam Nămhọc`20022003 MônToánNgythi21/6/2002 Thờigian150phút Bi1:(3điểm) x +1 x + 2 x +1 Chobiểuthức P = − − x −1 x x −1 x + x +1 1. RútgọnP. 2 2. Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức Q = + x P Bi2:(3điểm) Chohệph−ơngtrìnhhaiẩnx;yvớimlthamsố mx − y = 2 )1(   2( − m)x + y = m )2( 1. Giảihệvới m = − 3 2. TrongmặtphẳngtoạđộxOyxéthaiđ−ờngthẳngcóph−ơngtrìnhl(1)v (2). a. Chứngminhrằngvớimọigiátrịcủam,đ−ờngthẳng (1)điquađiểm cốđịnhBvđ−ờngthẳng(2)điquađiểmcốđịnhC. b. TìmmđểgiaođiểmAcủahaiđ−ờngthẳngthoảmnđiềukiệngóc BACvuông.TínhdiệntíchtamgiácABCứngvớigiátrịđócủam. Bi3:(4điểm) Chonửađ−ờngtròntâmO,đ−ờngkínhBCvmộtđiểmAtrênnửađ−ờngtròn(A khácBvC).HạAHvuônggócvớiBC(HthuộcBC). TrênnửamặtphẳngbờBC chứaA,dựnghainửađ−ờngtrònđ−ờngkínhHB,HC,chúnglầnl−ợtcắtABvAC tạiEvF. 1. ChứngminhAE.AB=AF.AC 2. ChứngminhEFltiếptuyếnchungcủahainửađ−ờngtrònđ−ờngkínhHB vHC. 3. GọiIvKlầnl−ợtlhaiđiểmđốixứngvớiHqua ABvAC.Chứngminh bađiểmI,A,Kthẳnghng. 4. Đ−ờngthẳngIKcắttiếptuyếnkẻtừBcủanửađ−ờngtròn(O)tạiM.Chứng minhMC,AH,EFđồngquy. S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 30
    
31. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Sở giáo dục và đào tạo Kỳthituyểnsinhvolớp10 hà nội Tr−ờngChuVănAn&Amsterdam Nămhọc`20022003 MônToánNgythi22/6/2002 Thờigian150phút Bi1:(2điểm) x − 2001 x − 2002 Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức: A = + x + 2 x Bi2:(2điểm) 3 2 ChođathứcP o (x)=x +22x –6x+15 + Vớin∈Z tacóP n (x)=P n 1 (xn) TínhhệsốcủaxtrongP 2 1 (x) Bi3:(3điểm) Cho∆ABC,trựctâmH.LấyKđốixứngvớiHquaBC. 1. ChứngminhtứgiácABKCnộitiếpđ−ờngtròn(O). 2. ChoMlmộtđiểmdichuyểntrêncungnhỏACcủađ−ờng tròn (O).ChứngminhtrungđiểmIcủaKMchạytrêncungtròncốđịnh. 3. GọiEvFlầnl−ợtlhìnhchiếuvuônggóccủaMtrêncácđ−ờng thẳngABvAC.Chứngminhđ−ờngthẳngEFđiquatrung điểm củađoạnHM. Bi4:(1,5điểm) TrongtậpN*xétcácsốP=1.2.3 (n1)nvS=1+2+3+ +(n1)+n Hytìmcácsốn(n≥3)saochoPchiahếtchoS. Bi5:(1,5điểm) Trênmộtđ−ờngtrònchosẵn2000điểmphânbiệt.Ng−ờitagánsố1vo mộtđiểm,từđiểmđótheochiềukimđồnghồtađếm tiếphaiđiểmnữa vgánsố2vođiểmthứhai,lạiđếmtiếpbađiểmvgánsố3vođiểm thứba cứnh−vậyđếnđiểmđ−ợcgánsố2003.Trong2000điểmđ cho,cónhữngđiểmđ−ợcgánsốnhiềulầnvnhữngđiểmkhôngđ−ợc gánsố,hytìmsốtựnhiênnhỏnhấtđ−ợcgáncùngvịtrívớisố2003. S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 31
    
32. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Sở giáo dục và đào tạo Kỳthituyểnsinhvolớp10 hà nội Tr−ờngChuVănAn&Amsterdam Nămhọc`20032004 MônToánNgythi20/6/2003 Thờigian150phút Bi1:(3điểm) x 2 − x 2x + x 2(x −1) Chobiểuthức P = − + x + x +1 x x −1 1. RútgọnP 2. TìmgiátrịnhỏnhấtcủaP. 2 x 3. Tìmxđểbiểuthức Q = nhậngiátrịlsốnguyên. P Bi2:(3điểm) TrongmặtphẳngtoạđộOxy,choParabol(P):y=x 2 vđ−ờngthẳng(d)điqua điểmI(0;1)cóhệsốgóck. 1. Viếtph−ơngtrìnhcủađ−ờngthẳng(d).Chứngminhvớimọigiátrịcủak, (d)luôncắtPtạihaiđiểmphânbiệtAvB. 2. GọihonhđộcủaAvBlx 1 vx 2 ,chứngminhx 1 x 2 ≥2 3. Chứngminh∆ABOvuông. Bi3:(4điểm) ChođoạnthẳngAB=2acótrungđiểmO.Trêncùngnửamặtphẳngbờ ABdựngnửađ−ờngtròn(O)đ−ờngkínhABvnửađ−ờngtròn(O/) đ−ờngkínhAO.Trên(O/)lấyM(KhácAvO),tiaOMcắt(O)tạiC, gọiDlgiaođiểmthứhaicủaCAvới(O/). 1. Chứngminh∆ADMcân. 2. TiếptuyếntạiCcủa(O)cắtODtạiE,xácđịnhvịtrít−ơngđốicủa đ−ờngthẳngEAđốivới(O)v(O/). 3. Đ−ờngthẳngAMcắtODtạiH,đ−ờngtrònngoạitiếp ∆COH cắt (O)tạiđiểmthứhailN.ChứngminhbađiểmA,M vNthẳng hng. 4. TạivịtrícủaMsaochoME//AB,hytínhđộdiđoạnthẳngOM theoa. S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 32
    
33. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Sở giáo dục và đào tạo Kỳthituyểnsinhvolớp10 hà nội Tr−ờngChuVănAn&Amsterdam Nămhọc`20032004 MônToánNgythi21/6/2003 Thờigian150phút Bi1:(1,5điểm) Chohaisốtựnhiênavb,chứngminhrằngnếua2+b2chiahếtcho3thìavb chiahếtcho3 Bi2:(2điểm)  1 2  1 2 Choph−ơngtrình:   +   = m  x   x +1 1. Giảiph−ơngtrìnhvớim=15. 2. Tìmmđểph−ơngtrìnhcó4nghiệmphânbiệt. Bi3:(2điểm) Chox,ylcácsốnguyênd−ơngthoảmn:x+y=2003 Tìmgiátrịnhỏnhất,lớnnhấtcủabiểuthức:P=x(x 2 +y)+y(y 2 +x) Bi4:(3điểm) Chođ−ờngtròn(O)vớidâyBCcốđịnh(BC<2R)vđiểmAtrêncunglớnBC(A khôngtrùngvớiB,Cvđiểmchínhgiữacủacung).GọiHlhìnhchiếucủaAtrên BC,EvFlầnl−ợtlhìnhchiếucuaeBvCtrênđ−ờngkínhAA / . 1. ChứngminhHEvuônggócvớiAC. 2. Chứngminh∆HEFđồngdạngvới∆ABC. 3. KhiAdichuyển,chứngminhtâmđ−ờngtrònngoạitiếp∆HEFcốđịnh. Bi5:(1,5điểm) Lấy4điểmởmiềntrongcủamộttứgiácđểcùngvới4đỉnhtađ−ợc8 điểm,trongđókhôngcó3điểmnothẳnghng.Biếtdiệntíchtứgiácl 1,chứngminhrằngtồntạimộttamgiáccó3đỉnhlấytừ8điểmđcho 1 códiệntíchkhôngv−ợtquá . 10 Tổngquáthoábitoánchongiáclồivớinđiểmnằmởmiềntrongcủa đagácđó. S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 33
    
34. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Sở giáo dục và đào tạo Kỳthituyểnsinhvolớp10 hà nội Tr−ờngChuVănAn&Amsterdam Nămhọc`20042005 MônToánNgythi18/6/2004 Thờigian150phút Bi1:(2điểm)    2 Chobiểuthức:  x −1 x +1  1 x  P =  −  ⋅ −   x +1 x −1  2 x 2  1. RútgọnP. P 2. Tìmxđể > 2 x Bi2:(2điểm) Choph−ơngtrình:x2–(m2)x–m2+3m–4=0(mlthamsố) 1. Chứngminhph−ơngtrìnhcó2nghiệmphânbiệtvớimọigiátrịcủam. 2. Tìmmđểtỷsốgiữahainghiệmcủaph−ơngtrìnhcógiátrịtuyệtđốibằng2. Bi3:(2điểm) Trênmặtphẳngtoạđộchođ−ờngthẳng(d)cóph−ơngtrình: 2kx+(k1)y=2 (klthamsố) 1. Với giá trị no của k thì đ−ờng thẳng (d) song song với đ−ờng thẳngy=x. 3?Khiđóhytínhgóctạobởi(d)vớitiaOx. 2. Tìmkđểkhoảngcáchtừgốctoạđộđếnđ−ờngthẳng (d)llớn nhất. Bi4:(4điểm) ChogócvuôngxOyvhaiđiểmA,BtrêncạnhOx(A nằmgiữaOvB),điểmM bấtkìtrêncạnhOy.Đ−ờngtròn(T)đ−ờngkínhABcắttiaMA,MBlầnl−ợttại điểmthứhailC,E.TiaOEcắtđ−ờngtròn(T)tạiđiểmthứhailF. 1. Chứngminh4điểmO.A,E,Mnằmtrênmộtđ−ờngtròn,xácđịnhtâmcủa đ−ờngtrònđó. 2. TứgiácOCFMlhìnhgì?Tạisao? 3. Chứngminhhệthức:OE.OF+BE.BM=OB 2 . 4. XácđịnhvịtrícủađiểmMđểtứgiácOCFMlhình bìnhhnh,tìmmối quanhệgữaOAvABđểtứgiáclhìnhthoi. S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 34
    
35. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Sở giáo dục và đào tạo Kỳthituyểnsinhvolớp10 hà nội Tr−ờngChuVănAn&Amsterdam Nămhọc`20042005 MônToánNgythi19/6/2004 Thờigian150phút Bi1:(2điểm) Sở giáo dục và đào tạo Kỳthituyểnsinhvolớp10 hà nội Tr−ờngChuVănAn&Amsterdam Nămhọc`20052006 MônToánNgythi21/6/2005 Thờigian150phút Bi1:(2điểm) x x −1 x x +1 x +1 Chobiểuthức: P = − + x − x x + x x 1. RútgọnP. 9 2. Tìmxđể P = 2 Bi2:(2điểm) Chobấtph−ơngtrình:3(m1)x+1>2m+x (mlthamsố) 1. Giảiph−ơngvới m = 1− 2 2 2. Tìmmđểấtph−ơngtrìnhnhậnmọigiátrịx>1lnghiệm. Bi3:(2điểm) TrongmặtphẳngtoạđộOxychođ−ờngthẳng(d):2x–y–a 2 =0vParabol(P): y=ax 2 (althamsốd−ơng). 1. Tìmađể(d)cắt(P)tạihaiđiểmphânbiệtAvB.Chứngminhrằngkhiđó AvBnằmbênphảitrụctung. 2. Gọix A vx B lhonhđộcủaAvB,tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức 4 1 T= + x A + xB x A xB Bi4:(3điểm) Đ−ờngtròntâmOcódâycungABcốđịnhvIlđiểmchínhgiữacủacunglớn AB.LấyđiểmMbấykỳtrêncunglớnAB,d−ợngtiaAxvuônggócvớiđ−ờngthẳng MItạiHvcắttiaBMtạiC. S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 35
    
36. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao 1. Chứngminhcác∆AIBv∆AMCltamgiáccân. 2. KhiđiểmMdiđộng,chứngminhrằngđiểmCdichuyểntrênmộtcungtròn cốđịnh. 3. XácđịnhvịtrícủadiểmMđểchuvi∆AMCđạtgiátrịlớnnhất. Bi5:(2điểm) Cho∆ABCvuôngởAcóAB<ACvtrungtuyếnAM,gócACBbằngα,gócAMB bằngβ.Chứngminhrằng:(sinα+cosα) 2 =1+sinβ Sở giáo dục và đào tạo Kỳthituyểnsinhvolớp10ChuyênTHPT hà nội Nămhọc`20062007 MônToánNgythi17/6/2006 Thờigian150phút Bi1:(2điểm) x 6 −1 x 2 −1 Choph−ơngtrìnhẩnx: − ()2a +1 + 2a − 3 = 0 (*) x3 x 1. Giảiph−ơngtrình(*)khia=1 2. Tìmađểph−ơngtrình(*)cónhiềuhơn2nghiệmd−ơngphânbiệt. Bi2:(2điểm) Chodycácsốtựnhiên2,6,30,210, đ−ợcxácđịnhnh−sau:sốhạng thứkbằngtíchksốnguyêntốđầutiên(k=1,2 ,3, ).Biếtrằngtồntại2số hạngcủadycóhiệubằng30000,tìm2sốhạngđó. Bi3:(2điểm) Tìmcácsốnguyênx,y,zthoảmn:  2x y 2 − z 4 ≥ 7    1   − x 2 y 2 + 8xy + 9 − x 2 − 4 ≥ 2 x +    x  Bi4:(3điểm) Chonửađ−ờngtrònđ−ờngkínhAB=2R.GọiClđiểmtuỳýtrênnửađ−ờng tròn,DlhìnhchiếuvuônggóccủaCtrênAB.TiaphângiácgócACDcắtđ−ờng trònđ−ờngkínhACtạiđiểmthứhailE,cắttiaphângiácgócABCtạiH. 1. ChứngminhAE//BH. 2. TiaphângiácgócCABcắtđ−ờngtrònđ−ờngkínhAC tạiđiểmthứhailF, cắtCEtạiI.TínhdiệntíchtamgiácFIDtrongtr−ờnghợptamgiácđóđều. S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 36
    
37. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao 3. TrênđoạnBHlấyđiểmKsaochoHK=HD,gọiJl giaođiểmAFvBH. XácđịnhvịtrícủaCđểtổngcáckhoảngcáchtừcácđiểmI,J,Kđếnđ−ờng thẳngABđạtgiátrịlớnnhất. Bi5:(1điểm) Chứngminhrằngtrong2007sốkhácnhautuỳýđ−ợclấyratừtậphợp 2 0 0 7 A={1,2,3, ,2006 },cóítnhấthaisốx,ythảomn: 0 1 1 1 − ()m −1 m +1 − ()m +1 m −1 m +1 m −1 1. Kíhiệu m −1 = a , m +1 = b .ViếtbiểuthứcCtheoa,b. 2. RútgọnbiểuthứcC,từđóchứngminhC>0. Bi3:(2điểm) 1.Vẽđồthịhaihmsốy=x 2 –1 (1) S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 37
    
38. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao y=x 2 –2x+3(2) Trêncùngmộthệtrụctoạđộ. 2.Chứngminhcácgiaođiểmcủahaiđồthị(1)v(2)thuộcđồthicủahmsố: 1 y = [()1− k x 2 − 2kx + 3k −1] vớik≠±1 k +1 Bi4:(3điểm) Chođ−ờngtròntâmObánkínhRvmộtđiểmAởngoiđ−ờngtròn.Từmộtđiểm Mchuyểnđộngtrênđ−ờngthẳngdvuônggócvớiOAtạiAvẽcáctiếptuyếnMI, MJvớiđ−ờngtròn.DâyIJcắtOMtạiNvcắtOAtạiB. 1. ChứngminhOA.OB=OM.ON=R 2 . 2. GọiCltâmđ−ờngtrònnộitiếp ∆MIJ.ChứngminhCthuộcnửađ−ờngtròn cốđịnh. 3. ChogócMIJ=α.ChứngminhdiệntíchtứgiácMOIJbằngR 2 .tgα. Bi5:(1điểm) Chobasốnguyênd−ơnga,b,ckhácnhauvxếptheothứtựtăngdần.Biếtrằng tổngcácnghịchđảocủachúnglmộtsốnguyênk.Tìmk,a,b,c. Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 1992 Môn thi : toán Thờigian:150phút Ngythi:0281992 Bi1: Tìmcácsốnguyêna,bđể x = 1+ 3 lmộtnghiệmcủaph−ơngtrình: 3x 3 +ax 2 +bx+12=0 Bi2: Haiđộihọcsinhthamgialaođộng.Nếulmchungthìsẽhonthnhcôngviệc trong4giờ.Nếumỗiđộilmmộtmìnhthìđộinycóthểlmxongviệcnhanhhơn độikia6giờ.Tínhxemnếumỗiđộilmmộtmìnhthìsaubaolâusẽhonthnh côngviệc. Bi3: S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 38
    
39. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Chokvnlhaisốtựnhiên,k≥2,n≥2.Chứngminh: 1 1 1 a) < − k 2 k −1 k 1 1 1 b)1+ +⋅⋅⋅⋅⋅+ < 2 − 22 n 2 n Bi4: Chođ−ờngtròntâmObánkínhRvmộtđiểmAởngoiđ−ờngtrònlđ−ờng thẳngvuônggócvớiOAtạiA.TừMthuộcd,vẽhai tiếptuyếnMPvMP / với đ−ờngtròn.DâyPP / cắtOMtạiN,cắtOAtạiB. a) ChứngminhOA.OB=OM.ON=R 2 . b) TìmtậphợpItâmđ−ờngtrònnộitiếp∆MPP / khiMdiđộngtrênd. c) Giảsử∆MPP / cốđịnhvgócMPP / =2α.TínhdiệntíchtứgiácMPOP / theo Rvα. Bi5: Haiđ−ờngchéocủamộttứgiácABCDchiatứgiáclm4tamgiácnhỏcódiệntích l4sốtựnhiên.Chứngminhtíchcủacácsốtựnhiênấylbìnhph−ơngcủamộtsố tựnhiên. Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 1993 Môn thi : toán Thờigian:150phút Ngythi:0881993 Bi1:(2,5điểm)    2x + x −1 2x x − x + x  x − x Cho A = 1+  −  ⋅  1− x 1− x x  2 x −1 a) TìmđiềukiệnđểAcónghĩa. 6 − 6 b) Tìmxnếu A = 5 2 c) Chứngtỏrằng A ≤ lbấtđẳngsai. 3 Bi2:(2điểm) S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 39
    
40. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Tìmđathứcf(y)biếtrằng: f(y)chiacho(y1)cònd−–3 f(y)chiacho(y+1)cònd−3 f(y)chiacho(y1)(y+1)đ−ợcth−ơngl3yvcònd− Bi3:(1điểm) Giảiph−ơngtrình: x 2 − 2x − 7 + 3 (x +1)(x − )3 = 0 Bi4:(3,5điểm) a) Cho∆ABCvớitrungtrungtuyếnAM.Chứngminhrằng: BC 2 AB 2 + AC 2 = + .2 AM 2 2 b) Từkếtquảtrêngiảibitoán: Cho∆ABCđềucạnhlanộitiếpđ−ờngtròn.
    ChoIlmộtđiểmthuộcđ−ờngtròn,chứngminhgiátrịcủabiểuthức: IA 2 +IB 2 +IC 2 khôngphụthuộcvovịtrívịtrịđiểmI.
    ChođiểmMthoảmnMA 2 +MB 2 +MC 2 =13a2 ,hytìmtậphợpđiểmM. Bi5:(1điểm) Tìmgiátrịlớnnhấtcủahmsốsau: 1993 y = 4x 2 +12x + 29 Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 1994 Môn thi : toán Thờigian:150phút Ngythi:0881994 Bi1:(1,5điểm) Chứngminhrằng: 3 5 2 + 7 − 3 5 2 − 7 = 2 Bi2:(1,5điểm) Giảiph−ơngtrình: x 4 –4x 3 +8x+3=0 Bi3:(2điểm) S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 40
    
41. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Tìmđathứcf(x)biếtrằng: f(x)chiacho(x1)cònd−–3 f(x)chiacho(x+1)cònd−3 f(x)chiacho(x1)(x+1)đ−ợcth−ơngl2xvcònd− Bi4:(4điểm) Cho∆ABCcóbagócnhọnvcácđ−ờngcaoAA / ,BB / ,CC / cắtnhautạiH.Vẽ hìnhbìnhhnhBHCD.Đ−ờngthẳngquaDvsongsongvớiBCcắtđ−ờngthẳng AHtạiM. a) Chứngminhcácđiểm A,B,C,D,Mcùngthuộcmộtđ−ờngtròn. b) GọiOltâmđ−ờngtrònngoạitiếp∆ABC.ChứngminhgócBAM=gócOAC vBM=CD. c) GọiEltrungđiểmcủaBC,đ−ờngthẳngAEcắtOHtạiG,chứngminhGl trọngtâmcủa∆ABC. d) Tìmhệthứcliênhệgiữacáctỷsốl−ợnggiácgócB,CđểOH//BC. Bi5:(1điểm) − 2x 2 + x + 3 Chứngminhrằnghmsố y = đồngbiếntrongkhoảng(1945;1994) 1− x Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 1995 Môn thi : toán Thờigian:150phút Ngythi:3071995 Bi1:(2điểm) Tìmcácsốnguyêna,bđể x = 1+ 3 lmộtnghiệmcủaph−ơngtrình: 3x 3 +ax 2 +bx+12=0 Bi2:(2điểm) a) Chứngminhrằng: M = 3 5 2 + 7 − 3 7 − 5 2 lmộtsốnguyên. b) Giảiph−ơngtrình: 3( x − 3)(x + )3 +16 + (5 x − 2)(x + )4 + 54 = 5 − (x + )1 2 Bi3:(3,5điểm) S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 41
    
42. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Chohaiđ−ờngtròntâmOtâmIcắtnhautạiM,N.Mộtđ−ờngthẳngdquayquanh M,cắtđ−ờngtròn(O)v(I)lầnl−ợttạiAvB. 1. ChứngminhrằnggócANBcógiátrịkhôngđổi. 2. GọiClgiaođiểmcủaAO,BI.Chứngminhrằngcác điểmO,C,N,I cùngthuộcmộtđ−ờngtròn. 3. GọiE,Flầnl−ợtltrungđiểmcủaMA,MB.KltrungđiểmcủaEF.Khi đ−ờngthẳngdquayquanhMthìKchuyểnđộngtrênđ−ờngno?vìsao? 4. Tìmvịtrícủađ−ờngthẳngdđểchuvitamgiácABNllớnnhất. Bi4:(1điểm) ChohìnhvuôngABCDthuộcmặtphẳng(P)vSAvuônggócvớimp(P).GọiAE, AFlầnl−ợtlđ−ờngcaocủatamgiácSAB,SAD. 1.ChứngminhAE⊥mp(SBC). 2.ChứngminhSC⊥mp(AEF). Bi5:(1điểm) Choa,b,cthoảmnđiềukiệna+b+c=0.Chứngminhrằng: 1 a5 (b2 + c 2 ) + b5 (a 2 + c 2 ) + c5 (b2 + a 2 ) = (a 4 + c 4 + b 4 ).(a 3 + c3 + b3 ) 2 Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 1996 Môn thi : toán Thờigian:150phút Ngythi:2871996 Bi1:(2điểm) 2 x − 9 x + 3 2 x +1 Chobiểuthức: A = − − x − 5 x + 6 x − 2 3 − x 1. TìmđiềukiệncủaxđểbiểuthứcAcónghĩavrútgọnbiểuthứcA. 2. TìmcácsốnguyênxđểgiátrịbiểuthứcAcũnglsốnguyên. Bi2:(2,5điểm) Chohmsốy=ax 2 +bx+c (a≠0) 1. Xácđịnhcáchệsốa,b,c;biếtrằnggiátrịcủahmsốbằng1khix=0v x=1;đồngthờiđồthịcủahmsốđiquađiểm(1;3) 2. Gọi(d)lđ−ờngthẳngđiquagốctoạđộcóph−ơngtrìnhy=mx.Vớigiátrị nocủamthì(d)tiếpxúcvớiđồthịhmsốy=x 2 x+1. S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 42
    
43. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao 3. GọiMvM / lgiaođiểmcủađồthịhmsốy=x 2 x+1vớiđ−ờngthẳng (d).TìmtậphợpcáctrungđiểmIcủađoạnMM / khimthayđổi. Bi3:(1,5điểm) Chohaiph−ơngtrình:x 2 –(a+3b)x–6=0 (1) x 2 –(2a+b)x–3a=0 (2) Tìmavbđểhaiph−ơngtrìnhcócùngtậphợpnghiệm. Bi4:(3điểm) Chođ−ờngtròntâmOđ−ờngkínhABvmộtđiểmPchuyểnđộngtrênđ−ờng trònđó(P ≠A,B).TrêntiaPBlấyQsaochoPQ=PA.DựnghìnhvuôngAPQR. TiaPRcắtđ−ờngtrònởC. 1. ChứngminhAC=BCvCltâmđ−ờngtrònngoạitiếptamgiácAQB. 2. GọiIltâmđ−ờngtrònnộitiếptamgiácAPB.Chứngminh4điểmI,A,Q, Bcùngthuộcmộtđ−ờngtròn. 3. GọiHlchânđ−ờngcaohạtừPxuốngcạnhhuyềnABcủatamgiácvuông PAB. Gọi r 1 , r 2 , r 3 lcácbánkínhđ−ờngtrònnộitiếpcáctamgiácAPB, APH,BPH.XácđịnhvịtríđiểmPđểtổngr 1 +r 2 +r 3 đạtgiátrịlớnnhất. Bi5:(1điểm) Phầnnguyên[x]củasốxlsốnguyênlớnnhất,nhỏhơnhoặcbằngx.Hytìm phầnnguyêncủasố: B = x 2 + 4x 2 + 36x 2 +10x + 3 . Trongđóxlsốnguyênd−ơng. Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 1997 Môn thi : toán Thờigian:150phút Ngythi:381997 Bi1:(2điểm) a 2 − a a 2 + a Cho M = − a + a +1 a − a +1 Rútgọnbiểuthức P = M + a +1 −1 Bi2:(1,5điểm) S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 43
    
44. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Tìmcácgiátrịcủaasaochohaiph−ơngtrìnhx 2 ax+2a+1=0 (1)v ax 2 –(2a+1)x+1=0(2)cónghiệmchung. Bi3:(2,5điểm) Chohmsốy=x 2 –(2m+1)x+m 2 +9/4 a. Khim=3,hytínhgiátrịcủaxthoảmny=0. b. ChứngminhđồthịcủahmsốkhôngthểcắttrụcOxtạiđiểmcóhonhđộ . x0 = 1− 2 c. TìmgiátrịcủamđểhmsốcắttrụcOxtạihaiđiểmphânbiệtAvBsao choAltrungđiểmcủađoạOB. Bi4:(3điểm) ChobađiểmcốđịnhA,B,Cthẳnghng(theothứtựđó).Mộtđ−ờngtròn(O)thay đổinh−ngluônđiquaBvC.TừAkẻtiếptuyếnAM,ANđếnđ−ờngtròn(O).Il trungđiểmBC.MNcắtAOvAClầnl−ợtởH,K. a. ChứngminhM,Ndiđộngtrênđ−ờngtròncốđịnhkhiđ−ờngtròn(O)thay đổi. b. NIcắtđ−ờngtròn(O)ởP.ChứngminhMP//BC. c. Chứngminhđ−ờngtrònngoạitiếp∆OHKluônđiquahaiđiểmcốđịnhkhi đ−ờngtròn(O)thayđổi. d. ChogócMON=2α.Tínhbánkínhrcủađ−ờngtrònnộitiếp∆AMNtheoα vbánkínhRcủađ−ờngtròn(O). Bi5:(1điểm) Tìmcácsốnguyêna,b,cthoảmncácđiềukiện: a < b  a + 3 = b + c  a 3 = b3 + c3 +1 Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 1998 Môn thi : toán Thờigian:150phút Ngythi:1971998 Câu1:(2,5điểm) S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 44
    
45. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao  2xy x 2xy y    Chobiểuthức  +   2xy 2xy  A = 1+   :  +   x + y   x + xy y + xy  1. RútgọnA. 2. Tìmmđểph−ơngtrìnhA=m–1cónghiệmx,ythoảmn x + y = 6 Câu2:(2,5điểm) 2 2 1. Tìmmđểph−ơngtrìnhsau:x –(2m+1)x+m –1=0cónghiệmx 1 ; x 2 2 2 saocho:x 1 +x 2 =5 2. Chohmsốy=x 2 (2m+1)x+m 2 –1,tìmmđểđồthịhmsốcắttrục honhtạihaiđiểmcóhonhđộx 1 ;x 2 thoảmnx 1 0vx 2 >x 1  Câu3:(4điểm) Chođ−ờngtròntâmOvđiểmAcốđịnhthuộcđ−ờng tròn.HaiđiểmBvC chuyểnđộngtrênđ−ờngtròn(O)saochogócBAC= αkhôngđổi(α >90 0 ).Qua B dựngmộttiasongsongvớitiaAC,QuaCdựngmộttiasongsongvớitiaAB.Hai tianycắtnhauởD.GọiEltrựctâm ∆BCD,Fltrựctâm ∆ABCvIltrung điểmcủaBC.Chứngminhrằng: 1. ĐộdidâyBCkhôngđổi. 2. ĐiểmEcốđịnh. 3. BađiểmE,I,Fthẳnghng. 4. ĐiểmIthuộcmộtđ−ờngtròncốđịnh. Câu4:(1điểm) Chocácsốd−ơngx,y,zthoảmn:x 2 +y 2 +z 2 ≥1.Chứngminhrằng: x3 y 3 z 3 + + ≥ 1 y z x Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 1999 Môn thi : toán Thờigian:150phút Ngythi:2571999 Câu1:(2điểm) S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 45
    
46. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao 1+ x 1 Chobiểuthức: P = : x x + x + x x − x 2 1. TìmđiềukiệncủaxđểPcónghĩavhyrútgọnP. 2 2 2. TìmcácsốnguyênxđểgiátrịcủabiểuthứcQ= P + x cũnglsốnguyên. x +1 Câu2:(2điểm) Choph−ơngtrình:(m1)x 2 –2mx+m+2=0 (vớimlthamsố) 1. Tìmmđểph−ơngtrìnhtrêncóhainghiệmphânbiệt x 1 ; x 2 .Khiđótìmhệ thứcliênhệgiữax 1 ;x 2 khôngphụthuộcvom. 2. Tìmmđểph−ơngtrìnhtrêncó2nghiệmphậnbiệtx 1 ;x 2 thoảmnhệthức: x x 1 + 2 + 6 = 0 x2 x1 Câu3:(2điểm) Chohmsốy=mx 2 +3(m1)x+2m+1 (1) 1. Khim=1,hmsố(1)cóđồthị(C).Gọi(d)lđ−ờngthẳngđiquađiểm A(0;2)vcóhệsốgóck.Tìmkđểđ−ờngthẳng(d)tiếpxúcvớiđồthị(C). 2. Chứngminhrằngđồthịhmsố(1)luônđiquahaiđiểmcốđịnhvớimọigiá trịcủam. Câu4:(3điểm) Chođ−ờngtròntâmObánkính.Đ−ờngkínhABcốđịnh.Đ−ờngthẳngxyl tiếptuyếnvớiđ−ờngtròntạiB.Đ−ờngkínhMNquayquanhO(MNkhácABv MNkhôngvuônggócvớiAB).GọiC,Dlầnl−ợtlgiaođiểmcủacácđ−ờngthẳng AM,ANvớixy. 1. ChứngminhtứgiácMNDCnộitiếpđ−ợctrongmộtđ−ờngtròn. 2. GọiIltâmcủađ−ờngtrònngoạitiếptứgiácMNDCvKltrungđiểmcủa CD.ChứngminhAOIKlhìnhbìnhhnh. 3. GọiHltrựctâm∆MCD.ChứngminHthuộcmộtđ−ờngtròncốđịnh. Câu5:(1điểm) x 4 +1 Tìmgiátrịlớnnhấtvnhỏnhấtcủabiểuthức: 2 ()x 2 +1 Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2000 S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 46
    
47. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Môn thi : toán Thờigian:150phút Ngythi:2372000 Bi1:(3điểm)     Chobiểuthức:  2x −1+ x 2x x + x − x   (x − x )(1− x ) M = 1−  +  ⋅   1− x 1+ x x   2 x −1  1. TìmcácgiátrịcủaxđểMcónghĩa,khiđóhyrútgọnM. 2. Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức(2000M)khiđóx≥4. 3. TìmcácsốnguyênxđểgiátrịcủaMcũnglsốnguyên. Bi2:(1,5điểm) Giảiph−ơngtrình: (x1)(x+2)(x6)(x3)=34. Bi3:(1,5điểm) Tìmph−ơngtrìnhcácđ−ờngthẳngđiquađiểmI(0;1)vcắtParaboly=x2tại haiđiểmphânbiệtMvNsaochođộdiđ−ợnthẳngMNbằng 2 10 Bi4:(3điểm) Cho∆ABCngoạitiếpđ−ờngtrònO.TrênđoạnBClấyđiểmM;trênđoạnBAlấy điểmN,trênđoạnCAlấyPsaochoBM=BNvCM=CP. 1. ChứngminhrằngOltâmvòngtrònngoạitiếp∆MNP. 2. ChứngminhrằngtứgiácANOPnộitiếpđ−ợc. 3. TìmmộtvịtrícủaM,N,PsaochođộdiNPnhỏnhất. Bi5:(1điểm) Giảihệph−ơngtrìnhsauvớiẩnsốx,y: x 2 + y 2 = 1  1999 x − 1999 y = ()2000 y − 2000 x ()x + y + xy + 2001 Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2001 Môn thi : toán S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 47
    
48. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Thờigian:150phút Ngythi:172001 Bi1:(2điểm)    3x + 9x − 3 1 1  1 Chobiểuthức: P =  + + − 2 :  x + x − 2 x −1 x + 2  x −1 1. TìmđiềukiệncủaxđểPcónghi,KhiđóhyrútgọnP. 2. Tìmcácsốtựnhiênxđể 1 lsốtựnhiên. P 3. TímgiátrịcủaPvới x = 4 − 2 3 Bi2:(2điểm) Giảiph−ơngtrình: x + 2x − 5 − 2 + x − 3 2x − 5 + 2 = 2 2 Bi3:(2điểm) 1 TrongmặtphẳngtoạđộOxychoParabol(P)cóph−ơngtrình y = − x 2 , 2 điểmI(0;2)vđiểmM(m;0)vớimlthamsốkhác0. 1. HyvẽParabol(P). 2. Viếtph−ơngtrìnhđ−ờngthẳng(d)điquahaiđiểmM,I.Chứngminhrằng (d)luôncắt(P)tạihaiđiểmphânbiệtA,BcóđộdiAB>4. Bi4:(3điểm) Chođ−ờngtròn(O;R)vđiểmAcốđịnhvớiOA=2R,đ−ờngkínhBCquay quanhOsaochobađiểmA,B,Ckhôngthẳnghng.Đ−ờngtrònngoạitiếp ∆ABC cắtđ−ờngthẳngOAtạiđiểmthứhaiI.Đ−ờngthẳngAB,AClạicắt(O,R)lầnl−ợt tạiD,E.NốiDEcắtđ−ờngthẳngOEtạiK. 1. ChứngminhrằngOI.OA=OB.OCvAK.AI=AE.AC. 2. TínhđộdiđoạnOIvđoạnAKtheoR. 3. Chứngminhrằngđ−ờngtrònngoạitiếp∆ADEluônđiquamộtđiểmcốđịnh FKhácAkhiBCquayquanhO Bi5:(1điểm) x 2 Tìmgiátrịlớnnhấtcủahmsố f (x) = x 2 − 2x + 2002 S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 48
    
49. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2002 Môn thi : toán Thờigian:150phút Ngythi:3062002 Bi1:(2điểm) 1. Chứngminhrằng:(x+y+z) 3 –x 3 –y 3 –z 3 =3(x+y)(y+z)(z+x) 2. Chứngminhrằngvớimọia,b,c∈Zthì: 3. (a+b+c) 3 –(a+b–c) 3 –(b+c–a) 3 –(c+ab) 3 chiahếtcho24 Bi2:(2điểm) Giảiph−ơngtrình:4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12)=3x 2 Bi3:(2điểm) Chứngminhrằng: 1. a2 +b 2 +c2 ≥ab+bc+ca 2. x 4 +y 4 +z 4 ≥xyz(x+y+z) Bi4:(3điểm) Cho ∆ABCnhọnnộitiếpđ−ờngtròntâmO.Cácđ−ờngcaoAD,BP,CKcắtnhau tạiH. 1. Chứngminh:gócHAB=gócOAC 2. GọiE,Mt−ơngứngltrungđiểmcủaAH,BC.ChứngminhrằngKEPMnội tiếp. 3. QuaAdựngđ−ờngthẳngAxvuônggócvớiKP.Chứngminhrằngđ−ờng thẳngAxluônđiquađiểmcốđịnhkhiA,B,Ccủatamgiácthayđổitrên đ−ờngtròn(O) Bi5:(1điểm) Tìmnghiệmnguyêncủaph−ơngtrình: 2x 6 –2x 3 y+y 2 =64 Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2003 Môn thi : toán S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 49
    
50. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Thờigian:150phút Ngythi:1762003 Bi1:(2,5điểm) x + 2 x +1 1 Chobiểuthức: A = + − x x −1 x + x +1 x −1 1. TìmđiềukiệncủaxđểPcónghi,KhiđóhyrútgọnP. 2. TínhAvới x = 33 − 8 2 1 3. Chứngminhrằng: A < 3 Bi2:(2điểm) 1. Phântíchbiểuthứcx 2 +x–xy–2y 2 –2ythnhnhântử. x 2 + x − xy − 2y 2 − 2y = 0 2. Giảihệph−ơngtrình:  x 2 + y 2 = 1 Bi3:(1,5điểm) 2x 2 + 6 (x 2 + )1 (x − 2) + 5 Chohmsố y = f (x) = x 2 + 3x − 4 1. Tìmtậpxácđịnhcủahmsốy=f(x) 2. Chứngminhrằngy≤3.Chỉrõdấubằngxảyrakhixbằngbaonhiêu? Bi4:(3điểm) Chođ−ờngtròn(O)vdâyAB.GọiMlđiểmchính giữacủacungAB; điểm C bấtkỳnằmgiữaAvB.TiaMCcắtđ−ờngtròn(O)tạiD. 1. ChứngminhMA 2 =MC.MD. 2. KẻBttiếpxúcvớiđ−ờngtrònngoạitiếp∆BCD.ChứngminhBMvBtcùng thuộcmộtđ−ờngthẳng. 3. GọiO 1 ltâmđ−ờngtrònngoạitiếp∆BCD;O 2 ltâmđ−ờngtrònngoạitiếp ∆ACD.ChứngminhrằngkhiCchuyểnđộngtrênABthìtổngbánkínhcủa haiđ−ờngtròn(O 1 )v(O 2 )khôngđổi. Bi5:(1điểm) Choph−ơngtrình(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=m. Biếtrằngph−ơngtrìnhcó4nghiệmphânbiệtx 1 ;x 2 ;x 3 ;x 4 .Chứngminh: S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 50
    
51. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao x 1 .x 2 .x 3 .x 4 =24–m Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2004 Môn thi : toán Thờigian:150phút Ngythi:1362004 Câu1:(2,0điểm)   Chobiểuthức  2x x + x − x x + x  x −1 x M =  −  ⋅ +  x x −1 x −1  2x + x −1 2 x −1 a. HytìmđiềukiệncủaxđểbiểuthứcMcónghĩa,sauđórútgọnM. b. VớigiátrịnocủaxthìbiểuthứcMđạtgiátrịnhỏnhấtvtìmgiátrị nhỏnhấtđócủaM? Câu2:(2,0điểm) a. Giảiph−ơngtrình:(x 2 +3x+2)(x 2 +7x+12)=24 b. Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức:P=15x 2 –y 2 –4xy+2x Câu3:(2,0điểm) 6x 2 − 3xy + x = 1− y Giảihệph−ơngtrình  x 2 + y 2 = 1 Câu4:(3,0điểm) Chođ−ờngtròn(O)vdaycungBCcốđịnh.GọiAlđiểmdiđộngtrêncunglớn BCcủađ−ờngtròn(O),(AkhácB,C).TiaphângiáccủagócACBcắtđ−ờngtròn (O)tạiđiểmDkhácC,lấyđiểmIthuộcđoạnCDsaochoDI+DB.Đ−ờngthẳngBI cắtđ−ờngtròn(O)tạiKkhácđiểmB. a. Chứngminh∆KACcân. b. Chứngminhđ−ờngthẳngAIluônđiquamộtđiểmJcốđịnh,từđóhyxác địnhvịtrícủaAđểđộdiAIllớnnhất. c. TrêntiađốicủatiaABlấyMsaochoAM=AC.TìmtậphợpcácđiểmMkhi AdiđộngtrêncunglớnBCcủađ−ờngtròn(O). Câu5:(1,0điểm) Hytìmcặpsố(x;y)saochoynhỏnhấtthoảmn:x 2 +5y 2 +2y–4xy–3=0 S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 51
    
52. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2005 Môn thi : toán Thờigian:150phút Ngythi:1262005 Câu1:(2,0điểm) 1. Rútgọnbiểuthức: 1 1 1 A = + + + 2 1 +1 2 3 2 + 2 3 2005 2004 + 2004 2005 2. Chođẳngthức: (xy) 2 +(yz) 2 +(zx) 2 =(x+y–2z) 2 +(y+z–2x) 2 +(x+z2y) 2 Chứngminhrằngx=y=z Câu2:(3,0điểm) 1. Giảiph−ơngtrình:(x 2 –3x+3)(x 2 –2x+3)=2x 2 2. Choph−ơngtrình:x 2 –(m+5)x–m+6=0 (1),vớimlthamsố. Tìmmđểgiữahainghiệmx 1 ;x 2 củaph−ơngtrình(1)cóhệthức 2x 1 +3x 2 =13 Câu3:(1,0điểm) Choph−ơngtrình:(m 2 +1)x 2 + 2(m 2 +1)x–m=0(1),vớimlthamsố.Tìm 2 2 giátrịlớnnhấtvnhỏnhấtcủa:A=x 1 + x 2 với x 1 ; x 2 lnghiệmcủaph−ơng trình(1) Câu4:(3,0điểm) Cho ∆ABCnộitiếpđ−ờngtròntâm(O),cócácđ−ờngphân giáccắtnhautạiI. Cácđ−ờngthẳngAI,BI,CIcắtđ−ờngtròn(O)t−ơngứngtạicácđiểmM,N,P. 1. Chứngminh∆NICcântạiN 2. ChứngminhrằngđiểmIltrựctâmcủa∆MNP. 3. GọiElgiaođiểmcủaMNvAC,FlgiaođiểmcủaPMvAB.Chứng minhrằng:bađiểmE,I,Fthẳnghng. 4. GọiKltrungđiểmcủaBCvgiảsửrằngBIvuônggócvớiIK,BI=2.IK. HytínhgócAcủa∆ABC. Câu5:(1,0điểm)Giảiph−ơngtrình:5x 3 +6x 2 +12x+8=0 S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 52
    
53. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2006 Môn thi : toán Thờigian:150phút Ngythi:1162006      x   1 2 x  Câu1:(2,điểm)Chobiểuthức: P = 1+  :  −  −1  x +1  x −1 x x + x − x −1 a) tìmđiềukiệncủaxđểbiểuthứcPcónghĩavrútgọnbiểuthứcP. b) Tìmcácgiátrịnguyêncủaxđểbiểuthức Q = P − x nhậngiátrịnguyên Câu2:(2điểm) a)Giảiph−ơngtrình: x 4 –4x 3 –2x 2 +4x+1=0 x 2 − 3xy + 2y 2 = 0 b)Giảihệph−ơngtrình:  2x 2 − 3xy + 5 = 0 Câu 3 : (2 điểm)Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) có ph−ơng trình − x 2 y = .Gọi(d)lđ−ờngthẳngđiquađiểmI(0;2)vcóhệsốgóck. 2 a) Viếtph−ơngtrìnhđ−ờngthẳng(d).Chứngminhrằngđ−ờngthẳng(d) luôn cắtparabol(P)tạihaiđiểmphânbiệtAvBkhikthayđổi. b) GọiH,KtheothứtựlhìnhchiếuvuônggóccủaAvBlêntrụchonh. ChứngminhrằngtamgiácIHKvuôngtạiI. Câu 4 : (3 điểm)Chođ−ờngtròntâmO,bánkínhRvABlđ−ờngkínhcốđịnh củađ−ờngtròn(O).Đ−ờngthẳng dltiếptuyếncủađ−ờngtròn(O)tạiB.MNl đ−ờngkínhthayđổicủađ−ờngtròn(O)saochoMNkhôngvuônggócvớiABv M≠A,M≠B.Cácđ−ờngthẳngAMvANcắtđ−ờngthẳngdt−ơngứngtạiCvD. GọiIltrungđiểmcủađoạnthẳngCD,HlgiaođiểmcủaAIvMN.KhiMN thayđổi,chứngminhrằng: a) TíchAM.ACkhôngđổi. b) BốnđiểmC,M,N,Dcùngthuộcmộtđ−ờngtròn. c) ĐiểmHluônthuộcmộtđ−ờngtròncốđịnh. d) TâmJcủađ−ờngtrònngoạitiếptamgiácHIBluônthuộcmộtđ−ờngthẳng cốđịnh. Câu 5 : (1 điểm)Chohaisốd−ơngx,ythoảmnđiềukiệnx+y=1.Hytìmgiá 1 1 trịnhỏnhấtcủabiểuthức: A = + x 2 + y 2 xy S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 53
    
54. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên, lớp chất luợng ccaoao S−utầmvbiênsoạn:NguyễnĐứcTr−ờngNguyễnĐứcTr−ờngTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnTHCSĐaTốnGiaLâmGiaLâmGiaLâmHNộiHNội 54