›
›

Tuyển tập bất đẳng thức

pdf 23 trang phuongnguyen 3140
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tuyển tập bất đẳng thức", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftuyen_tap_bat_dang_thuc.pdf

Nội dung text: Tuyển tập bất đẳng thức

  1. Tuyển tập bất đẳng thức
  2. III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN 2 2 2 2 2 1. Chứng minh: (ab + cd) ≤ (a + c )(b + d ) BĐT Bunhiacopxki I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 3 2. Chứng minh: sinx+≤cosx2 a33++bæöab 2 2 1. Cho a, b > 0 chứng minh: ≥ç÷ 3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a + 4b ≥ 7. 22èø 2 2 725 4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a + 5b ≥ . a++bab22 47 2. Chứng minh: ≤ 22 2464 5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a2 + 11b2 ≥ . a++bab33 137 3. Cho a + b ≥ 0 chứng minh: ≥3 6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a4 + b4 ≥ 2. 22 1 ab 7. Cho a + b ≥ 1 Chứng minh: ab22+≥ 4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: +≥+ab 2 ba 112 Lời giải: 5. Chứng minh: Với a ≥ b ≥ 1: +≥ 1++a221b 1+ab 222 I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 6. Chứng minh: a++bc+3≥2(a++bc) ; a , b , c Î R 3 a33++bæöab 7. Chứng minh: a22++bc222+d+e≥a(b+c++de) 1. Cho a, b > 0 chứng minh: ≥ç÷ (*) 22 èø 8. Chứng minh: x2+y22+z≥xy++yzzx 33 3 a++bæöab 3 2 (*) Û -³ç÷0 Û (a+b)(a-³b0) . ĐPCM. a+b+cab++bcca 22 8 9. a. Chứng minh: ≥≥;a,b,c0 èø 33 22 a++bab 222 2 2. Chứng minh: ≤ («) a+b+cæöa++bc 22 b. Chứng minh: ≥ç÷ 33èø ÷ a + b ≤ 0 , («) luôn đúng. 2 2 a 22 a2+b2++2abab22 (ab-) 10. Chứng minh: +b+c≥ab-+ac2bc ÷ a + b > 0 , («) Û -£0 Û ≥0 , đúng. 4 42 4 11. Chứng minh: a22+b+1≥ab++ab a++bab22 Vậy: ≤ . 12. Chứng minh: x2+y22+z≥2xy-+2xz2yz 22 4422 3 13. Chứng minh: x+y+z+1≥2xy(xy-x++z1) a++bab33 (a++b)ab33 3. Cho a + b ≥ 0 chứng minh: ≥3 Û ≤ 1 22 82 14. Chứng minh: Nếu a + b ≥ 1 thì: ab33+≥ 4 22 2 Û 3(b-a)(a-£b0) Û -3(b-a)(a+≤b0) , ĐPCM. 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: ab a. ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 0 . Chứng minh: +≥+ab («) ba b. abc ≥ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) c. 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0 («) Û aa+bb≥+abba Û (a-b)a-(a-³b)b0 2 Û (a-b)(a-³b0) Û (a-b)(a+≥b0), ĐPCM. 112 5. Chứng minh: Với a ≥ b ≥ 1: +≥ («) 22 1++a1b 1+ab 4 1
  3. II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 20. Cho a , b , c > 0. C/m: 1111 ++≤ 1. Chứng minh: 333333 (a+b)(b+c)(c+a)≥≥8abc;a,b,c0 a+b+abcb+c+abcc++aabc abc 2. Chứng minh: (a+b+c)(a222+b+c)≥≥9abc;a,b,c0 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: 4 3 a. a+b+c+≥d4abcd với a , b , c , d ≥ 0 (Côsi 4 số) ( )( )( ) 3 3. Chứng minh: 1+a1+b1+c≥+(1abc) với a , b , c ≥ 0 3 mm b. a+b+≥c3abc với a , b , c ≥ 0 , (Côsi 3 số ) æaböæö m1+ + 333222 4. Cho a, b > 0. Chứng minh: ç1+÷+ç÷12+≥ , với m Î Z 22. Chứng minh: a+b+c≥abc++baccab ; a , b , c > 0 èbaøèø 23. Chứng minh: 2a+339b+≥44c9abc bccaab 5. Chứng minh: ++≥a+b+≥c;a,b,c0 x18 abc 24. Cho y =+ , x > 0. Định x để y đạt GTNN. 2x xy69+ 6. Chứng minh: ≥3x23y-³16;x,y0 x2 4 25. Cho y=+>,x1 . Định x để y đạt GTNN. 2x1- 1 7. Chứng minh: 2a42+³-3a1. 3x1 1a+ 2 26. Cho y=+,x1>- . Định x để y đạt GTNN. 2x1+ 1995 8. Chứng minh: a>-1995(a1) , a > 0 x51 27. Cho y=+>,x . Định x để y đạt GTNN. 9. Chứng minh: a2(1+b2) +b2(1+c2) +c22(1+≥a) 6abc . 32x- 12 abc1æö111 x5 10. Cho a , b > 0. Chứng minh: ++≤ç÷++ 28. Cho y =+ , 0 0 . Định x để y đạt GTNN. 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) x2 3 13. Cho a > b > c, Chứng minh: a≥3(a b)(bcc) . x2 ++4x4 30. Tìm GTNN của f(x) = , x > 0. 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: x a) b + c ≥ 16abc. 2 b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc 31. Tìm GTNN của f(x)x=+2 , x > 0. 3 æ1öæ11öæö x c) ç1+÷ç1+÷ç÷1+≥64 32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) èaøèbcøèø 33. Cho y = x(6 – x) , 0 ≤ x ≤ 6 . Định x để y đạt GTLN. 1 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh: x3+≥ 5 x- yy 34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 ≤ x ≤ . Định x để y đạt GTLN ( ) 2 16. Chứng minh: 5 x22 + x8+ a52 + 35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , -≤≤x5 . Định x để y đạt GTLN a) ≥ 2 ,"x Î R b) ≥ 6 , "x > 1 c) ≥ 4 2 2 x1- 2 1 5 x1+ a1+ 36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , - ≤ x ≤ . Định x để y đạt GTLN abbccaa++bc 2 2 17. Chứng minh: ++≤>;a,b,c0 x a+++bbcca2 37. Cho y = . Định x để y đạt GTLN 2 x22y1 x2+ 18. Chứng minh: +≤ , "x , y Î R 2 44 x 1++16x116y 4 38. Cho y = . Định x để y đạt GTLN 3 abc3 (x22 + ) 19. Chứng minh: ++≥ ; a , b , c > 0 b+++cacab2 2 3
  4. 1 22 7. Chứng minh: 2a42+³-3a1 («) 1111 ab aabb 2 Û + ³0 Û +≥0 1a+ 1++a221b 1++ab1ab (1+a22)(1+ab) (1++b)(1ab) 1 («) Û a4+a4+a22+1+≥4a . a(b a) b(ab) b- aæöab 2 Û +≥0 Û ç÷-³0 1a+ (1+a22)(1+ab) (1++b)(1ab) 1+ab èø1++a221b 1 Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm: a4,a42,a+ 1, 22 2 2 b-aæöa+ab bba (b a)(ab1) 1a+ Û ç÷≥ 0 Û ≥ 0 , ĐPCM. 1+ab èø(1++a22)(1b) (1+ab1)(++a22)(1b) 442114422 a+a+a+1+≥44 aa(a+=1) 4a ÷ Vì : a ≥ b ≥ 1 Þ ab ≥ 1 Û ab – 1 ≥ 0. 1++a221a 6. Chứng minh: a222++bc+3≥2(a++bc) ; a , b , c Î R 8. Chứng minh: a1995 >-1995(a1) («) , a > 0 ( )2( )22( ) («) Û a1995>1995a-1995Ûa1995 +>19951995a Û a-1+b-1+c-³10. ĐPCM. 7. Chứng minh: a22++bc222+d+e≥a(b+c++de) a1995+1995>a1995+1994=a1995+1+1+ +1≥=19951995 a1995 1995a a2a2aa22 14243 Û -ab+b2+-ac+c2+-ad+d22+-ae+≥e0 1994soá 4444 2222 9. Chứng minh: a2(1+b2) +b2(1+c2) +c22(1+≥a) 6abc . æaaöæöæaaöæö Û ç-b÷+ç-c÷+ç-d÷+ç÷-³e0. ĐPCM ° a2(1+b2) +b2(1+c2) +c2(1+a2) =a2+a2b22+b+b2c2++c2ca22 è2øè2øè22øèø ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 6 số không âm: 8. Chứng minh: x2+y22+z≥xy++yzzx 2222222226666 ° a+ab+b+bc+c+ca≥=6abc6abc Û 2x2+2y22+2z 2xy2yz-³2zx0 abc1æö111 222 10. Cho a , b > 0. Chứng minh: ++≤ç÷++ Û (x-y) +(x-z) +(y-³z0) a2+b2b2++c2ac222èøabc a+b+cab++bcca aa1 bb1 cc1 9. a. Chứng minh: ≥≥;a,b,c0 ° ≤= , ≤= , ≤= 33 ab22+ 2ab2b bc22+ 2bc2c ac22+ 2ac2a 222 abc1æö111 ÷ a+b+c≥ab++bcca ° Vậy: ++≤ç÷++ 2 222 a2+b2b2++c2ac222èøabc æöa+b+ca++bc+2ab+2bc+2caab++bcca ÷ ç÷=≥ 11. Cho a , b ≥ 1 , chứng minh: ab≥ab-1+-ba1. èø393 ( ) ( ) a+b+cab++bcca ° a=a-1+1≥2a-1,b=b-1+1³-2b1 Û ≥ ° ab≥2ba-1,ab³-2ab1 33 2 a2+b22+cæöa++bc ° ab≥ab-1+-ba1 b. Chứng minh: ≥ ç÷ 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) 33èø ° x=(x-1) +1=(x-1) ++xy+-z3 ÷ 3(a22+b+c2) =a22++bc2+2(a222++bc) 222 2 =(x-1)+(x-1)+(y-1)+(z-1)≥44 (x-1)2 (y 1)(z1) ≥a++bc+2(ab+bc+ca)=(a++bc) 222 2 2 2 a+b+cæöa++bc Tương tự: y≥44 (x-1)(y 1) (z1) ; z≥44 (x-1)(y 1)(z1) Þ ≥ ç÷ 33èø Þ xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1). 2 a 22 13. Cho a > b > c, Chứng minh: a≥33(a b)(bcc) . 10. Chứng minh: +b+c≥ab-+ac2bc 4 ° a=(a-b) +(b-c) +c≥33(a b)(bcc) 8 5
  5. 2 2 II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: a 22 æöa Û -a(b-c) +b+c-³2bc0 Û ç÷-(b-³c0) . 4 èø2 1. Chứng minh: (a+b)(b+c)(c+a)≥≥8abc;a,b,c0 22 11. Chứng minh: a+b+1≥ab++ab ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm: 22 Û 2a+2b+2-2ab-2a-³2b0 Þ a+≥b2ab , b+≥c2bc , a+≥c2ac 2222 Û a-2ab+b+a+2a+1++b2b+≥10 Þ (a+b)(b+c)(a+c) ≥=8a222bc8abc . 222 Û (a-b) +(a-1) +(b-³10) . 2. Chứng minh: (a+b+c)(a222+b+c)≥≥9abc;a,b,c0 12. Chứng minh: x2+y22+z≥2xy-+2xz2yz ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: Û x2+yz22+-+2xy2xz-³2yz0 Û (x – y + z)2 ≥ 0. Þ a+b+≥c33abc , a22+b+≥c233a222bc 13. Chứng minh: x4+y4+z22+1≥2x(xy-x++z1) Þ (a+b+c)(a22+b+c2) ≥=93a333bc9abc . 3 Û x4+y4+z2+1-2x2y22+2x-2xz-³2x0 3. Chứng minh: (1+a)(1+b)(1+c) ≥+(13 abc) , với a , b , c ≥ 0. 2 22 ÷ (1+a)(1+b)(1+c) =1+a+b+c+ab+ac++bcabc. Û (x22-y) +(x-z) +(x-³10) . ÷ a+b+≥c33abc , ab+ac+≥bc33a2bc22 331 14. Chứng minh: Nếu a + b ≥ 1 thì: ab+≥ 3 4 ÷ (1+a)(1+b)(1+c) ≥1+333abc+33 a2b22c+abc=+(1abc) 3 3 2 3 ° a + b ≥ 1 Þ b ≥ 1 – a Þ b = (1 – a) = 1 – a + a – a mm æaböæö + 2 4. Cho a, b > 0. Chứng minh: 1++12+≥m1+ , với m Î Z 3 3 æö111 ç÷ç÷ Þ a + b = 3aç÷-+≥. èbaøèø èø 244 mmmmm 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: æaöæböæaöæböæöba ç1+÷+ç1+÷≥2ç1+÷.ç1+÷=22ç÷++ a. ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 b-c,b>a-c,c>-ab bccaab 222222222 5. Chứng minh: ++≥a+b+>c;a,b,c0 Þ a>b-+2bcc , b>a-+2acc , c>a-+2abb abc 2 2 2 Þ a + b + c a (bc) Þ a2 >(a+c-b)(a+-bc) +≥=22c , +≥=22b , abab acac 2 ÷ b22>b (ac) Þ b2 >(b+c-a)(a+-bc) caaba2bc 22 2 2 +≥=22a ÷ c>c (ab) Þ c>(b+c-a)(a+-cb) bcbc 222 Þ a222bc>(a+b-c)(a+c-b)(b+-ca) bccaab Þ ++≥a++bc. Û abc>(a+b-c)(a+c-b)(b+-ca) abc 2 2 2 2 2 2 4 4 4 c. 2a b + 2b c + 2c a – a – b – c > 0 69 xy+ 23 Û 4a2b2 + 2c2(b2 + a2) – a4 – b4 – 2a2b2 – c4 > 0 6. Chứng minh: ≥3xy-³16;x,y0 («) 4 Û 4a2b2 + 2c2(b2 + a2) – (a2 + b2)2 – c4 > 0 3 3 Û (2ab)2 – [(a2 + b2) – c2]2 > 0 Û [c2 – (a – b)2][(a + b)2 – c2] > 0 («) Û x6+y9+≥6412xy23 Û (x2) +(y3) +≥4312xy23 Û (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . đúng Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm: ° Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác 233332323 Þ c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0. (x)+(y)+4≥=3xy412xy . 6 7
  6. x- 12 éx3= 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: ° Dấu “ = ” xảy ra Û =Û(x-14)2=Û 2x1- êx=-1(loaïi) a) b + c ≥ 16abc. ë 2 22 5 æöbc+ æb+-cöæö1a ( )2 Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTNN bằng ° ç÷≥bc Û 16abc≤16aç÷=16aç÷=-4a1a 2 èø2 è22øèø 3x1 ° 4a(1-a)22=(1-a)(4a-4a2)=(1-a)éù1-(1-2a) ≤1-a=+bc 26. Cho y=+,x1>- . Định x để y đạt GTNN. ëû 2x1+ b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc 3(x+ 1)13 (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b) ÷ y=+- ° ≥ 2bc.2ac.2ab= 8abc 2x+12 æ1öæ11öæö c) ç1+÷ç1+÷ç÷1+≥64 3(x+11) abc ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm , : èøèøèø 2x1+ 42 æ1öæöa+a++bc4abc ° 1+=≥ 3(x++1) 133(x1)133 ç÷ç÷ y=+-≥2.6-=- èaøèøaa 2x++122x122 144abc2 144abc2 ° Dấu “ = ” xảy ra Û ° 1+≥ ° 1+≥ bb cc é 6 êx1=- æ1öæ11öæö 3(x+1) 122 3 ÷ ç1+÷ç1+÷ç÷1+≥64 Û =Û(x1+)=Ûê èaøèbcøèø 2x+13ê 6 1 êx= 1(loaïi) 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh: x3+≥ ë 3 (x-yy) 6 3 Vậy: Khi x1=- thì y đạt GTNN bằng 6- 1 (x-yy) 3 2 ÷ VT=(x-y)+y+≥=333 (x y)y(xyy) x51 27. Cho y=+>,x . Định x để y đạt GTNN. 16. Chứng minh: 32x-12 x22+ 2x- 151 a) ≥2 Û x22+2≥+2x1 Û x22+1+1≥+2x1 ÷ y=++ 2 62x-13 x1+ 2x-15 x8+ x-+1999 ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm , : b) = =x-1+≥2x-=16 62x1- x1- x-1x 1x1 2x-1512x-+151301 a52+ y=++≥2.+= c. (a2+1) +4≥24(a22+1) =+4a1 Û ≥4 62x 1362x133 a12+ Dấu “ = ” xảy ra abbccaa++bc é 301+ 17. Chứng minh: ++≤>;a,b,c0 êx= a+++bbcca2 2x-15 2 2 Û =Û(2x-1)=Û30 ê ° Vì : a+≥b2ab 62x1- ê-+301 êx= (loaïi) ababab bcbcbc acacac ë 2 Þ ≤= , ≤= , ≤= a+b22ab b+c22bc a+c22ac 301+ 301+ Vậy: Khi x= thì y đạt GTNN bằng ° a+b+c≥ab++bcca , dựa vào: a222+b+c≥ab++bcca . 2 3 x5 abbccaab+bc+aca++bc 28. Cho y=+ , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN. ° ++≤≤ 1-xx a+++bbcca22 12 9
  7. x22y1 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: 18. Chứng minh: +≤ , "x , y Î R 4 1++16x44116y 4 a. a+b+c+≥d4abcd với a , b , c , d ≥ 0 (Côsi 4 số) ÷ a+b≥2ab,c+≥d2cd x2x22x1 ° =≤= 4 1+ 16x41+ (4x)222.4x 8 ÷ a+b+cd≥2(ab+cd)≥≥2(2ab.cd) 4abcd y2y22y1 b. a+b+≥c33abc với a , b , c ≥ 0 , (Côsi 3 số ) ° =≤= 1+ 16y4222.4y 8 a+b+ca++bc 1+ (4y) ÷ a+b+c+≥4.4abc 33 x22y1 ÷ +≤ 4 44 a+b+ca++bc æöa+b+ca++bc 1++16x116y 4 Û ≥ 4 abc Û ç÷≥abc 33èø33 abc3 19. Chứng minh: ++≥ ; a , b , c > 0 3 æöa++bc 3 b+++cacab2 Û ç÷≥abc Û a+b+≥c3abc . Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b. èø3 1 22. Chứng minh: a3+b3+c3≥a2bc++b22accab ; a , b , c > 0 ° a + b + c = (X + Y + Z) 2 ° a32+≥abc2abc , b32+≥abc2bac , c32+≥abc2cab Y+Z-XZ+X-YX+-YZ ° a=,b==,c ° a3+b3+c3+3abc≥2(a2bc++b22accab) 222 333222 abc1éùæYXöæZXöæöZY Þ 2(a+b+c) ≥2(abc++baccab) , ° ++=êúç+÷+ç++÷ç÷+-3 333 b+ca+ca+b2ëûèXYøèXZøèøYZ vì : a+b+≥c3abc 13 Vậy: a3+b3+c3≥a2bc++b22accab ≥[2++223-=] . 22 23. Chứng minh: 2a+339b+≥44c9abc Cách khác: ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 9 số không âm: abcæaöæbcöæö 33394444 ° ++=ç+11÷+ç+÷+ç÷+-13 ° VT=a+a+b+b++bc+c+c+≥c9abc b+ca+ca+bèb+cøèa++cøèøab x18 1æö111 24. Cho y =+ , x > 0. Định x để y đạt GTNN. =[(a+b)+(b++c)(c+a3)]ç÷++- 2x 2èøb+++cacab x18x18 ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: y=+≥=2.6 2x2x 1( ) ( ) ( ) æö11193 ° [ a+b+++bcc+a3]ç÷++≥-= x18 2èøb+++cacab22 ° Dấu “ = ” xảy ra Û =Ûx2 =36Ûx6=± , chọn x = 6. 20. Cho a , b , c > 0. C/m: 2x 1111 Vậy: Khi x = 6 thì y đạt GTNN bằng 6 ++≤ 333333 x2 a+b+abcb+c+abcc++aabc abc 25. Cho y=+>,x1 . Định x để y đạt GTNN. 2x1- ° a3+b3=(a+b)(a22-ab+a) ≥+(ab)ab x- 121 33 ( ) ( ) ÷ y =++ Þ a+b+abc≥a+bab+abc=aba++bc, tương tự 2x- 12 33 ° b+c+abc≥(b+c)bc+abc=bc(a++bc) x-12 ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm , : ° c33+a+abc≥(c+a)ca+abc=ca(a++bc) 2x1- 1111æöa++bc x 121x1215 ÷ VT ≤++=ç÷ y=++≥2.+= ab(a+b+c) bc(a+b+c) ca(a+b+c) a++bcèøabc 2x 122x122 10 11
  8. ° 23æö49 22 2 2 735 x5()1-x+5xxx 1x1x ° 3a-5b≤ç÷++(3a5b ) Û 3a + 5b ≥ . f(x)=+=+5+5≥25+5=+255 35 èø35 47 1-xx1 xx1xx 2 2 2 2464 x1 xæöx55 5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a + 11b ≥ . Dấu “ = ‘ xảy ra Û =5Ûç÷=5xÛ= (0 0 . Định x để y đạt GTNN. 711 x2 3 35æö925 22 2 2 2464 x+ 11xx1xx13 ° 7a-11b≤ç÷++(7a11b ) Û 7a + 11b ≥ . ° =x3+=++≥=3 711 èø711 137 x2x222xx222 234 6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a4 + b4 ≥ 2. xx1 3 ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski: ° Dấu “ = ‘ xảy ra Û == Û x2=. 22x2 22 2 2 ° 2=a+b≤(1++1)(ab) Û a + b ≥ 2 3 ° Vậy: GTNN của y là khi x2= 3 3 ° 2≤(a2+b2) ≤(1++1)(ab44) Û a4 + b4 ≥ 2 4 2 1 x++4x4 7. Cho a + b ≥ 1 Chứng minh: ab22+≥ 30. Tìm GTNN của f(x) = , x > 0. 2 x 1 x2++4x444 ° 1≤a+b≤(12+12)(a2+b2)Ûab22+≥ ° =x++4≥2x.+=48 2 xxx 4 ° Dấu “ = ‘ xảy ra Û x= Û x = 2 (x > 0). x ° Vậy: GTNN của y là 8 khi x = 2. 2 31. Tìm GTNN của f(x)x=+2 , x > 0. x3 3 2222æö 2 22xxx115xæö15 ° x5+=++++≥=ç÷ç÷ x33333x3xx3èøèø3527 2 x1 ° Dấu “ = ‘ xảy ra Û =Û=x35 Û x = 2 (x > 0). 3x3 5 ° Vậy: GTNN của y là khi x3= 5. 5 27 32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) 2 2 æ211xöæö1111 ° f(x) = –10x + 11x – 3 = -10çx-÷-3=-10xç÷-+≤ è10øèø204040 11 ° Dấu “ = “ xảy ra Û x= 20 13 16
  9. 11 1 ° Vậy: Khi x = 1 thì y đạt GTLN bằng 9. ° Vậy: Khi x = thì y đạt GTLN bằng . x 20 40 37. Cho y = . Định x để y đạt GTLN 33. Cho y = x(6 – x) , 0 ≤ x ≤ 6 . Định x để y đạt GTLN. x22 + ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0 ≤ x ≤ 6): 1x 1 ° 2+x22≥=22x2x2 Û ≥ Þ y ≤ ° 6=x+(6-x) ³-2x(6x) Þ x(6 – x) ≤ 9 22 2x+ 2 22 ° Dấu “ = “ xảy ra Û x = 6 – x Û x = 3 ° Dấu “ = “ xảy ra Û x2=Þ2vàx>0x=2 ° Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTLN bằng 9. 1 5 ° Vậy: Khi x2= thì y đạt GTLN bằng . 34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 ≤ x ≤ . Định x để y đạt GTLN. 2 22 x2 1 38. Cho y = . Định x để y đạt GTLN ÷ y = (x + 3)(5 – 2x) = (2x + 6)(5 – 2x) 3 2 (x22 + ) 5 æö 3 2 ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 6 và 5 – 2x , ç÷-3x≤≤ : 2223 22x1 èø2 ° x+2=x+1+≥13x.1.1 Û (x+2) ≥27x ⇒≤ 2327 1 121 (x2+) °11=(2x++6) (5-2x) ≥2(2x+-6)(52x) Þ (2x + 6)(5 – 2x) ≤ 2 8 ° Dấu “ = “ xảy ra Û x2 =1Ûx1=± 1 1 ° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 6 = 5 – 2x Û x =- ° Vậy: Khi x1=± thì y đạt GTLN bằng . 4 27 1 121 ° Vậy: Khi x =- thì y đạt GTLN bằng . 4 8 III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 5 35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , -≤≤x5 . Định x để y đạt GTLN. 1. Chứng minh: (ab + cd)2 ≤ (a2 + c2)(b2 + d2) («) BĐT Bunhiacopxki 2 222222222222 1 («) Û ab+2abcd+cd≤ab+ad++cbcd ÷ y = (2x + 5)(5 – x) = (2x + 5)(10 – 2x) 2222 2 2 Û ad+cb-³2abcd0 Û (ad-³cb0) . æö5 2. Chứng minh: sinx+≤cosx2 ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 5 , 10 – 2x , ç÷-≤≤x5: èø2 ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx : 1 625 ° (2x+5) +(10-2x) ≥2(2x+-5)(102x) Þ (2x + 5)(10 – 2x) ≤ ° sinx+=cosx 1.sinx+1.cosx≤(12+12)(sin22x+=cosx2) 2 8 3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a2 + 4b2 ≥ 7. 5 ° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 5 = 10 – 2x Û x = ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 3,3a,4,4b: 4 5 625 ( )( 22) 2 2 ° Vậy: Khi x = thì y đạt GTLN bằng ° 3a+4b=+3.3a4.4b≤3++43a4b Û 3a + 4b ≥ 7. 4 8 2 2 725 1 5 4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a + 5b ≥ . 36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , - ≤ x ≤ . Định x để y đạt GTLN 47 2 2 23 ÷ y = 3(2x + 1)(5 – 2x) ÷ 2a-3b=-3a5b 35 æö15 ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x , ç÷-≤≤x : 23 èø22 ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số ,3a,- ,5b: 35 ° (2x+1) +(5-2x) ≥2(2x+-1)(52x) Þ (2x + 1)(5 – 2x) ≤ 9 ° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 1 = 5 – 2x Û x = 1 14 15
  10. a222++bc PHẦN II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC x+yz+≤ (a, b, c là các cạnh của DABC, R là 2R 1. (CĐGT II 2003 dự bị) bán kính đường tròn ngoại tiếp). Dấu “=” xảy ra khi nào? 36. (Đại học 2002 dự bị 3) Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR: x2+xy+y2+x2+xz+z2≥+y22yz+z 5 2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = . Tìm 3 3 3 4 Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng: x + y + z ≥ x + y + z. 41 3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = + x4y Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 111 37. (Đại học 2002 dự bị 5) thức: A = x + y + z + ++ Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a 0 thì (x + 1) èøxx ≥ 16. 39. (Đại học khối A 2003) Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z ≤ 1. Chứng minh rằng: 7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006) a+b+ca+b+ca++bc 111 Cho 3 số dương a, b, c. Ch. minh rằng: ++≥9 x2++y22++z+≥82 222 abc xyz 8. (CĐKTYTế1 2006) 40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1) Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y ≤ 0; x2 + x = y + 12. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = sin5x + 3cosx Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17 41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2) 9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng: Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz. ì4p(p-£a)bc(1) 10. (Học viện BCVT 2001) ï Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1 í ABC233- ïsinsinsin= (2) 111æöabc î 2228 thì: ++≥3ç÷++ 3a3b3cèø3a33bc a++bc trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p = . 11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) 2 Cho ba số dương a, b, c thoả a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh: 42. (Đại học khối A 2005) abc33 111 ++≥ Cho x, y, z là các số dương thoả mãn : ++=4. 222222 2 xyz b+cc++aab 12. (ĐH Kiến trúc HN 2001) 20 17
  11. a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c) ïìa2+b22+=c2 Cho các số a, b, c thoả: í 24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) îïab+bc+=ca1 Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 444444 bccaab Chứng minh: -≤a≤;-≤b≤;c-≤≤ biểu thức: P = ++ 333333 a2b+a2cb2c++b2ac22acb 13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001) 25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Cho DABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có: 3 111æö111 3 ++≥2ç÷++ (a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥ (1+ abc) p-ap bpcèøabc 26. (ĐH Y HN 2000) 14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) 23 Cho 3 số x, y, z > 0. Chứng minh rằng: Giả sử x, y là hai số dương thoả điều kiện +=6 . Tìm giá trị nhỏ nhất 2x2y 2z111 xy ++≤++ 323232222 của tổng x + y. x+yy++zzxxyz 27. (ĐH An Giang khối D 2000) 15. (ĐH PCCC khối A 2001) Cho các số a, b, c ≥ 0. Chứng minh: ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1) Ch. minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: logb+ca+logc++ab+>logabc1 28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) 16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) 18xyz a CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx > Ch. minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi a > 1 ta luôn có: x + a – 1 ≥ ax. 2+ xyz Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì: 29. (ĐH An Ninh khối A 2000) n + 1 n ab333cabc Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 3 ta đều có: n > (n + 1) ++≥++ 30. (CĐSP Nha Trang 2000) b3ca33bca Cho 2 số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 và a + b = 1. Tìm giá trị lớn 17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) nhất của biểu thức: A = a+1++b1 Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng: ab-1+ba-£1ab (*) 31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) 18. (ĐH Vinh khối A, B 2001) Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi 2 2 2 1119 bằng 3 thì: 3a + 3b + 3c + 4abc ≥ 13 khác không: ++≥ 19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) x2y2z2x2++yz22 222 BĐT cuối cùng luôn đúng Þ BĐT cần chứng minh đúng. Cho a, b, c là những số dương và a + b = c. Ch. minh rằng: a3+>bc33 32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999) 20. (ĐHQG HN khối A 2000) ab222cabc Cho 3 số a, b, c khác 0. Chứng minh: ++≥++ Với a, b, c là 3 số thực bất kì thoả điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh 222 ab c a b c bca rằng: 8 + 8 + 8 ≥ 2 + 2 + 2 bca 21. (ĐHQG HN khối D 2000) 33. (ĐH Hàng hải 1999) Với a, b, c là 3 số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc. Chứng Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3. Chứng minh rằng: xyz3111 b2+2a2c2++2b2a222c ++≤≤++ minh rằng: ++≥3 1+x21++y221z 21+x1++y1z abbcca 22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000) 34. (ĐH An ninh HN khối D 1999) Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh rằng: 33 3 a++bæöab 2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 (*) Cho 2 số a, b thoả điều kiện a + b ≥ 0. Ch. minh rằng: ≥ ç÷ 22èø 35. (Đại học 2002 dự bị 1) 23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của DABC có 3 góc Cho 3 số a, b, c bất kì. Chứng minh các BĐT: nhọn đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: 18 19
  12. bdbd 111 + 0) Û (x + 1) ≥ 4x Û (x – 1) ≥ 0 (2) èøx 44. (Đại học khối D 2005) (2) luôn đúng nên (1) được chứng minh. Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: 7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006) 1+x3+y31++yz33 1++zx33 bcacab ++≥33 Xét vế trái của BĐT đã cho: VT = 1++++11++++ xyyzzx aabbcc Khi nào đẳng thức xảy ra? æbaöæcaöæöcb 45. (Đại học khối A 2005 dự bị 1) = 3 + ç+++÷ç÷++ç÷ èabøèacøèøbc Cho 3 số x, y, z thoả x + y + z = 0. CMR: 3+4x+3+4yz++34≥ 6 Do a, b, c > 0 nên theo BĐT Côsi ta có: 46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2) baba bcbc caca 2 +≥=2.2; +≥=2.2; +≥=2.2 æöy9æö abab cbcb acac Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có: (1+x)ç÷11++ç÷ ≥ 256 èøxç÷y Khi đó: VT ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 (đpcm). èø 8. (CĐKTYTế1 2006) Đẳng thức xảy ra khi nào? y ≤ 0, x2 + x = y + 12 Þ x2 + x – 12 ≤ 0 Þ – 4 ≤ x ≤ 3 47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1) 2 3 2 3 y = x + x – 12 Þ A = x + 3x – 9x – 7 Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = . Chứng minh rằng: Đặt f(x) = A = x3 + 3x2 – 9x – 7 với – 4 ≤ x ≤ 3 4 f¢(x) = 3x2 + 6x – 9 ; f¢(x) = 0 Û x = 1 hoặc x = – 3 3a+3b+33b+3c+c+≤3a3 f(–4) = 13, f(–3) = 20, f(1) = –12, f(3) = 20 Khi nào đẳng thức xảy ra? Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10). 48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2) 9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) 1 2 Chứng minh rằng nếu 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 thì xy-£yx . Ta có: x + y + z ≥ 3 3 xyz Û xyz ≥ 3 3 xyz Û (xyz) ≥ 27 Û xyz ≥ 3 3 4 Đẳng thức xảy ra khi nào? Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = 3. 49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2) Vậy minA = 3 3. xy222z3 10. (Học viện BCVT 2001) Cho x, y, z là 3 số dương và xyz = 1. CMR: ++≥ 1 1+y1++z1x2 Ta có hàm số f(x) = là hàm nghịch biến nên: 50. (Đại học khối A 2006) 3x Cho 2 số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thay đổi và thoả mãn điều kiện: æö11 (x + y)xy = x2 + y2 – xy. (a – b) ç÷- ≤ 0, "a, b. èø33ab 11 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = + . abba xy33 Þ +≤+, "a, b. (1) 3a3b33ab 51. (Đại học khối B 2006) bcbc Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Tương tự: +≤+ (2) 22 3b3c33cb A = (x-1) +y22+(x+1) +y+-y2 24 21
  13. LỜI GIẢI 3 3(t2-1) æù1 f¢(t) = 3 – = 0 Û ≥ 3 2 3 æöyz3æö22 xyz BC = ç÷-+ç÷(y+z)=+yyz+z èø222ç÷ 12 12 12 èø x + ≥, y + ≥, z + ≥ Với 3 điểm A, B, C ta luôn có: AB + AC ≥ BC 9x3 9y3 9z3 Þ x2+xy+y2+x2+xz+z2≥+y22yz+z æ1öæ1öæö18æö111 83 Từ đó: A= çx+÷+çyz+÷+ç÷++ç÷++ ≥ 2 + ≥ 10 2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) è9xøè9yøèø9z9èøxyz 93 xyz x3 + y3 + z3 ≥ 3 3x3yz33 Þ 2(x3 + y3 + z3) ≥ 6 1 1 Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = .Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z = 3 3 3 3 3 3 x + 1 + 1 ≥ 3 x Þ x + 2 ≥ 3x (1) 4. (CĐSPHCM khối ABT 2006) Tương tự: y3 + 1 + 1 ≥ 3 3y3 Þ y3 + 2 ≥ 3y (2) 5 Ta có: x + y = Û 4x + 4y – 5 = 0 3 3 3 4 z + 1 + 1 ≥ 3 z3 Þ z + 2 ≥ 3z (3) 41 41 4 1 Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. A = + = +4x++-4y5 Þ A ≥ 2 .4x + 2 .4y – 5 3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) x4y x4y x 4y • Cách 1: Þ A ≥ 5 Theo BĐT Côsi: 1 ≥ x + y + z ≥ 3 3 xyz > 0 ì4 ï = 4x 1113 x ++≥ ï xyz 3 ï 1 ìx1= xyz ï = 4y ï Dấu "=" xảy ra Û í4y Û í 1. Vậy Amin = 5. 3 3 y= Từ đó: A ≥ 3 xyz + ï 5 îï 4 3 xyz ïxy+= ï 4 1 Đặt: t = 3 xyz , điều kiện: 0 3 5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) 3 1 Xét hàm số f(t) = 3t + với 0 0 nên ta luôn có: t 3 acac +<+=1 a+b+cc+d+aa++cac 22 23
  14. éù333 caac +≤+ (3) 1êúæaö2æbö22æöc3 caca ç÷+ç÷+≥ç÷ 3333 2êúèbøècøèøa2 êú abcabc ëû Mặt khác: ++=++ (4) Cộng 4 BĐT trên, vế theo vế, ta có: 3a3b3c3a33bc éù333 Cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được: 3æaö2æbö22æcö33éùabc3 êú+++≥+++ æabcöæö111 êúç÷ç÷ç÷ êú 3ç++÷≤(a+b+c)ç÷++ 2èbøècøèaø22ëûbca2 è3a3b3cøèø3a33bc ëûêú 333 æöabc111 Hay 3ç÷++≤++ (vì a + b + c = 1) æaö2æbö22æöcabc èø3a3b3c3a33bc Suy ra: ç÷+ç÷+ç÷≥++ èbøècøèøabca 1 Dấu “=” xảy ra Û a = b = c = . 17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) 3 ab 1ba1 1æ1ö11æö 11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) BĐT (*) Û +≤1 Û ç1-÷+ç÷11-£ (1) abab bèbøaaèø aaa2 Do a2 + b2 + c2 = 1 nên == (1) 11æö b2+c21 a22a(1a) +-ç÷1 1æö11bb 3 Theo BĐT Côsi ta có: èø 222 3 ç÷1-≤= 2 2 2 æö2a+(1-a)+-(1a)2æö bèøb22 Mà 2a .(1 – a ) ≤ ç÷=ç÷ ç÷33èø 11æö èø +-ç÷1 42 1æö11aaèø Þ a2.(1 – a2)2 ≤ Þ a(1 – a2) ≤ (2) ç÷1-≤= aèøa22 27 33 Cộng 2 BĐT lại ta được BĐT cần chứng minh. a33 Từ (1), (2) suy ra: ≥ a2 ì 111 22 2 =1-= bc+ ïbb2 Dấu “=” xảy ra Û í Û a = b = 2. abc3322233 111 Do đó: ++≥(a+b+=c) ï=1-= b2+c2c2++a2ab22 22 îïaa2 ì2a22=-1a 18. (ĐH Vinh khối A, B 2001) ï ï 22 1 Ta có: 3 – 2a = a + b + c – 2a = b + c – a > 0. Dấu “=” xảy ra Û í2b=-1b Û a = b = c = . Do đó theo BĐT Côsi ta có: ï 22 3 3 ï2c=-1c æö3-2a+3-2b+-32c î (3 – 2a)(3 – 2b)(3 – 2c) ≤ ç÷ = 1 12. (ĐH Kiến trúc HN 2001) èø3 222 22 Þ 27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤ 1 ïìa+b+=c2 ïì(a+b)-2ab=-2c Ta có: í Û í Û 27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤ 1 îïab+bc+=ca1 îïc(a+b)+=ab1 Û 4abc ≥ 6(ab + bc + ca) – 14 2 2 2 2 2 2 ìa+=bS 2 Û 3(a + b + c ) + 4abc ≥ 3(a + b + c ) + 6(ab + bc + ca) – 14 Ta xem đây là hệ phương trình của a, b và đặt í (S – 4P ≥ 0) = 3(a + b +c)2 – 14 = 13 îabP= Đẳng thức xảy ra Û 3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c Û a = b = c = 1. ïìS22-2P=-2c(1) 19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) Ta được hệ: í 22 îïcS+P=1(2) ab ab æaö33æöbab Từ (2) Þ P = 1 – cS, thay vào (1) ta được: Từ giả thiết ta có: + = 1 Þ 0 + = 1 cc cc ècøèøccc 28 25
  15. 2 2 2 2 éS= c2 11æö11 2x1æö11 S – 2(1 – cS) = 2 – c Û S + 2cS + c – 4 = 0 Û ê ≤+ç÷ Þ ≤+ç÷ S=-+c2 ç÷22 32ç÷22 ë xy2èøxy x+ y2 èøxy 2 • Với S = – c – 2 Þ P = 1 + c(c + 2) = c + 2c + 1 Tương tự ta cũng có: BĐT: S2 – 4P ≥ 0 Û (–c – 2)2 – 4(c2 + 2c + 1) ≥ 0 2y 1æö11 2z1æö11 2 4 ≤+ç÷; ≤+ç÷ Û –3c – 4c ≥ 0 Û -≤≤c0 (3) 322 ç÷22 322 22 3 y+ zèøyz z+ xèøzx • Với S = –c + 2 Þ P = 1 – c(–c + 2) = c2 – 2c + 1 2x2y 2z111 2 2 2 Suy ra: ++≤++ BĐT: S – 4P ≥ 0 Û (–c + 2) – 4(c – 2c + 1) ≥ 0 x3+y2y3++z2z3x2x2yz22 2 4 Û –3c + 4c ≥ 0 Û 0c≤≤ (4) ïìx3=y2ïïììy3==z2zx32 3 Dấu “=” xảy ra Û ívaøíívaø Û x = y = z = 1 44 îïx=yîîïïy==zzx Từ (3), (4) ta được: -≤≤c 33 15. (ĐH PCCC khối A 2001) 44 Trước hết chú ý rằng nếu a > 1, x > 1 thì hàm số y = logxa là đồng biến Tương tự ta chứng minh được: -≤≤a,b,c 33 và dương. 13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001) 1 Do đó hàm số y = logxa = là nghịch biến. Trước hết, ta dễ dàng chứng minh được nếu x, y > 0 thì: logxa 114 Vì vai trò của a, b, c là như nhau, nên ta có thể giả thiết a ≥ b ≥ c. Ta +≥ (1) xyxy+ được: Dấu “=” xảy ra Û x = y. VT= logb+ca+logc+ab+loga+bc≥loga+ba+loga+bb+=loga++bclogababc 1144 Vì a, b, c ≥ 2 nên abc ≥ 2ab = ab + ab > a + b Áp dụng (1) ta được: +≥= Do đó VT ≥ log abc > log (a + b) = 1. p-ap-bp-a+-pbc a+b a+b 16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) 1144 a +≥= • Xét f(x) = x – ax + a – 1 (x ≥ 0) p-bp-cp-b+-pca f¢(x) = a(xa – 1 – 1); f¢(x) = 0 Û x = 1 1144 +≥= p-cp-ap-c+-pab Cộng 3 BĐT trên vế theo vế, ta được: æö111æö111 24ç÷++≥ç÷++ Û đpcm p-ap bpcabc a èøèø Vậy với "x ≥ 0 và a > 1 thì f(x) ≥ 0 hay x + a – 1 ≥ ax. Dấu “=” xảy ra Û a = b = c. • BĐT cần chứng minh: 333 14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) æaö2æbö22æöcabc 3 2 ç÷+ç÷+ç÷≥++ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương x , y ta có: èbøècøèøabca 2x2x1 x3 + y2 ≥ 2 x32y= 2xyx Þ ≤= 3 32 Áp dụng BĐT đã chứng minh với a = , ta có: xy+2xyx xy 2 11 3 3 3 Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương , ta có: æöa2 13a æöb2 13b æöc2 13c xy22 ç÷+≥. ; ç÷+≥. ; ç÷+≥. èøb22b èøc22c èøa22a Mặt khác, theo BĐT Côsi ta có: 26 27
  16. 31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) 222 333 æy2z2öæx2z2öæöxy22 Từ đó suy ra: a+>bc BĐT cần chứng minh Û ç1+++÷ç+11++÷ç÷++≥ 9 ç22÷ç22÷ç÷22 20. (ĐHQG HN khối A 2000) èxxøèyyøèøzz Đặt x = 2a, y = 2b, z = 2c thì x, y, z > 0. a+b+c æy2z2öæx2z2öæöxy22 Đ.kiện a + b + c = 0 Û xyz = 2 = 1, do đó theo BĐT Côsi: x + y + z ≥ 3 Û 3 + ç+÷+ç+++÷ç÷ ≥ 9 3 3 ç22÷ç22÷ç÷22 Mặt khác: x + 1 + 1 ≥ 3x Þ x ≥ 3x – 2 xxyyzz 3 3 èøèøèø Tương tự: y ≥ 3y – 2; z ≥ 3z – 2 32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999) Þ x3 + y3 + z3 ≥ 3(x + y + z) – 6 = (x + y + z) + 2(x + y + z – 3) ≥ x + y + z Áp dụng BĐT Côsi ta có: Þ 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c ab22c2a2bc22 21. (ĐHQG HN khối D 2000) * ++≥=33 3 (1) b2c2a2b2ca22 b2++2a2b222a11 Ta có: ==+2. aa2 bb2 cc2 ab a2b2ab22 * +≥12; +≥12; +≥12 2 b 2 c 2 a 1 1 1 b c a Đặt x = ; y = ; z = thì ab222cæöabc a b c Þ ++≥23ç÷++- (2) 222 bca ìa,b,c0> ìx,y,z0> bca èø giả thiết í Û í Kết hợp (1) và (2) ta được: îab+bc+=caabc îx+y+=z1 æöab222cæöabc 222222 22ç÷++≥++ và đpcm Û x+2y+y+2z+z+≥2x3 ç÷222 ç÷ èøbca èøbca Theo BĐT Bunhiacopxki ta có: 3(x2 + 2y2) = 3(x2 + y2 + y2) ≥ (x + y + y)2 ab222cabc Þ ++≥++ 221 b2ca22bca Þ x+2y≥+(x2y) 3 33. (ĐH Hàng hải 1999) Viết 2 BĐT tương tự, rồi cộng lại, ta có: 2 2 2x • Do (x – 1) ≥ 0 nên x + 1 ≥ 2x Û ≤ 1 2222221 1x+ 2 x+2y+y+2z+z+2x≥(3x+3y+=3z)3 3 2y 2z Tương tự ta cũng có: ≤ 1; ≤ 1 1 1y+ 2 1z+ 2 Đẳng thức xảy ra Û x = y = z = Û a = b = c = 3 3 2x 2y 2z Do đó: + + ≤ 3 22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000) 1x+ 2 1y+ 2 1z+ 2 33 3 a++bæöab 3 3 3 Ta có: ≥ Û 4(a + b ) ≥ (a + b) xyz3 ç÷ Hay: ++≤ (1) 22èø 1+x21++y221z 2 Û (a + b) [4(a2 + b2 – ab) – (a2 + b2 + 2ab)] ≥ 0 2 2 2 • Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm ta có: Û (a + b)(3a + 3b – 6ab) ≥ 0 Û (a + b)(a – b) ≥ 0 111 BĐT cuối cùng này đúng, nên BĐT cần chứng minh là đúng. ++ 1+x1++y1z 11 Đẳng thức xảy ra Û a = ± b. ≥=3 23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) 3 3(1+++x)(1y)(1z) (1+x)(1++y)(1z) a) a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ca 3 (1+x)+(1+y)++(1z) Þ a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca. Þ ≤3(1+x)(1++y)(1z) ≤ ≤ 2 111 3 Đẳng thức xảy ra Û a = b = c ++ 2 2 2 2 1+x1++y1z b) (ab + bc + ca) = (ab) + (bc) + (ca) + 2(abbc + bcca + caab) ≥ ≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c) 24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) 32 29
  17. 1 27. (ĐH An Giang khối D 2000) bcbc12 c c c + 1 c + 1 c – 1 c – 1 Ta có: ===a Giả sử a ≥ b ≥ 0 Þ a (a – b) ≥ b (a – b) Þ a + b ≥ ab(a + b ) 222 ab++aca(bc) 2æö11 11 28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) a ç÷++ èøbc bc Áp dụng BĐT Côsi cho 6 số dương ta có: 111 2 = x + y + z + x + y + z ≥ 6 3 xyz (1) Đặt x = ; y = ; z = thì abc và xy + yz + zx ≥ 3 3x2yz22 (2) ìa, b, c > 0 ìx,y,z0> x2yz22 giả thiết í Û í và P = ++ Nhân các BĐT (1) và (2) vế theo vế ta được: îabc = 1 îxyz=1 y+zz++xxy 2(xy + yz + zx) ≥ 18xyz (3) Theo BĐT Bunhiacopxki ta có: Mặt khác ta có: xyz(xy + yz + zx) > 0 (4) 2 Cộng các BĐT (3) và (4) vế theo vế ta được: æöxyz (y + z + z + x + x + y).P ≥ y+z.+z+x.++xy. 18xyz ç÷ (xy + yz + zx)(2 + xyz) > 18xyz Þ xy + yz + zx > (vì 2 +xyz > 0) èøy+zz++xxy 2+ xyz 2 1 11 29. (ĐH An Ninh khối A 2000) Þ 2(x + y + z).P ≥ (x + y + z) Þ P ≥ (x + y + z) ≥ .33 xyz= .3 4 3 4 3 2 22 Ta có: 3 = 81, 4 = 64 Þ 3 > 4 Þ BĐT cần chứng minh đúng với n = 3. nn 3 æön1+ æö1 Þ P ≥ Với n > 3, đpcm Û n > ç÷ Û ç÷1+ 0. < 1 + 1 + ++ < 1 + 1 + ++ < n1- 26. (ĐH Y HN 2000) 2!n! 2 2 2 11 1 2æö23æö23 < 1 + 1 + ++ + = 1 + = 3 2+3=.x+.y≤++(xy) = 6(x + y) 2 n1- 1 ( ) ç÷ç÷ 2 1- èøxyèøxy 2 2 n 23+ æö1 ( ) Þ ç÷1+ < 3 < n Þ (1) Þ x + y ≥ n 6 èø 30. (CĐSP Nha Trang 2000) ì 23 2 ï :x= :y ì 2(2+3) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai cặp số (1, 1), ( a++1,b1), ta có: 23+ xyïx= ( ) ï ï 6 A = 1.a+1++1.b1 ≤ (1+1)(a+1++b1) Giá trị đạt được Û í 2 Ûí 6 ï ï 3(2+3) ( 23+ ) y= mà a + b = 1 nên A ≤ 6 ïxy+= ï î 6 1 î 6 Dấu “=” xảy ra Û a+1=+b1 Û a = b Û a = b = ( do a + b = 1) 5+ 26 2 Vậy min(x + y) = 1 6 Vậy maxA = 6 khi a = b = 2 30 31
  18. 9 9 æù1 æù1 3111 Đặt Q(t) = 9t + ÞQ¢(t) = 9 – < 0, "tÎ ç0; ú ÞQ(t) giảm trên ç0; ú Û ≤++ (2) t t2 èû9 èû9 21+++x1y1z æö1 Kết hợp (1) và (2) ta được BĐT cần chứng minh. Þ Q(t) ≥ Q ç÷ = 82. Vậy P ≥ Q(t)≥ 82 34. (ĐH An ninh HN khối D 1999) èø9 Vì 0 ≤ x, y, z ≤ 1 nên x2 ≥ x3; y2 ≥ y3; z2 ≥ z3. 1 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = . Suy ra: 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) 3 Do đó nếu ta chứng minh được: 2 2 2 2 2 2 • Cách 2: Ta có: 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ 3 (1) 2 2 thì (*) đúng. 2 æö111 2 æö111 2 2 2 2 2 (x + y + z) + ç÷++ = 81(x + y + z) + ç÷++ – 80(x + y + z) Ta có: (1 – y)(1 + y – x ) ≥ 0 Û x + y – x y – 1 ≤ 0 (2) xyz xyz èø èø éy1= æö111 2 ê ≥ 18(x + y + z). ç÷++ – 80(x + y + z) ≥ 162 – 80 = 82 Dấu “=” ở (2) xảy ra Û êìx1= èøxyz í ëêîy0= Vậy P ≥ 82 Tương tự ta cũng có: x2 + z2 – z2x – 1 ≤ 0 (3) 1 y2 + z2 – y2z – 1 ≤ 0 (4) Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = . 3 Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta được: 2 2 2 2 2 2 40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1) 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ 3 • Tìm max: y = sin5x + 3 cosx ≤ sin4x + 3 cosx (1) Vậy (1) đúng Þ (*) đúng 4 Nhận xét: Dấu “=” ở (*) xảy ra Û (x; y; z) Î (1;1;1),(1;1;0),(1;0;1),(0;1;1) Ta chứng minh: sin x + 3 cosx ≤ 3 , "x Î R (2) { } 4 2 2 35. (Đại học 2002 dự bị 1) Û 3 (1 – cosx) – sin x ≥ 0 Û 3 (1 – cosx) – (1 – cos x) ≥ 0 Û (1 – cosx).[ 3 – (1 – cosx)(1 + cosx)2 ] ≥ 0 (3) 111 æö111 x+y+z=.ax++.by.cz ≤ ç÷++ (ax+by+cz) Theo BĐT Côsi ta có: abc èøabc 1 (1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) = (2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) ≤ æö111 æö111abc ab++bcca 2 ≤ ç÷++ .2S = ç÷++ = èøabc èøabc2R 2R 3 1æö432 222 ≤ ç÷=<3 a++bc 2èø327 ≤ 2R Vậy BĐT (3) đúng Þ (2) đúng Þ y ≤ 3 , "x. Dấu “=” xảy ra khi cosx = 1 ìa==bc ìDABCñeàu Û x = k2p. Vậy maxy = 3 . Dấu “=” xảy ra Û í Û í îx==yz îMtruøngvôùitroïngtaâmGcuûaDABC • Tìm min: Ta có y = sin5x + 3 cosx ≥ – sin4x + 3 cosx. 36. (Đại học 2002 dự bị 3) Tương tự như trên, ta được miny = – 3 , đạt được khi x = p + k2p. 111115 5.5 41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2) • Cách 1: S = ++++≥ ≥ = 5 xxxx4y 5x.x.x.x.4y xx++x++x4y (a+b+c)(b+-ca) (b+-c)a22 2bc(1+ cosA) (1) Û ≤ 1 Û ≤ 1 Û ≤ 1 ì 11 bc bc bc ï = x4y ìx1= 2 A1 2 A3 A3 A p ï ï Û cos ≤ Û sin ≥ Û sin ≥ (do 0 < < ) (3) minS = 5 Û íx= 4y Û í 1 24 24 22 22 y = ï 5 îï 4 Biến đổi vế trái của (2) như sau: ïxy+= ABC1AæöB-CB+C 1AAæö îï 4 sinsinsin=-sinç÷coscos ≤ sinç÷1- sin = 22222èø22222èø 36 33
  19. 41 5 Từ BBT suy ra khi b biến thiên từ 2 đến 7, f(b) giảm rồi chuyển sang tăng • Cách 2: S = + = f(x), 0 44 ï 350175 400200175 f¢(x) = -+ ; f¢(x) = 0 Û Û x = 1 22 í 5 x(5-4x) ï0x b (c, b Î N) nên c ≥ b + 1 thành thử: 2 æö111 ac 1b1+ b++b50 Áp dụng BĐT Côsi ta có: (a + b + c) ç÷++ ≥ 9 S = + ≥ + = èøabc bd b50 50b Vậy BĐT của đề ra đã được chứng minh. 3 æö111æö1119 và vì S = , nên ta có: ç÷++ç÷++≥=3 ìa1= 2 èøabcèøhahbch3 ï Dấu “=” xảy ra Û íd= 50 39. (Đại học khối A 2003) ï rr rrrr îc=+b1 Với mọi u,v ta có: u+v≤+uv (*) b2 ++b50 b11 ræ1örræö11æö Để tìm minS, ta đặt = ++ và xét hàm số có biến số Đặt a=çx;÷;b==ç÷y;;cç÷z; 50b 50b50 èxøèøyzèø rrrrrrrrr liên tục x: Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có: a+b+c≥a+b+c≥a++bc x11 f(x) = ++ (2 ≤ x ≤ 48) 2 50x50 212211 2 æö111 Vậy P = x++yz+++ ≥ (x+y+z) +ç÷++ 11x2 - 50 ïìx2= 50 x2yz22 xyz f¢(x) = -= ; f¢(x) = 0 Û x= 52 èø 22 í 50 x50x îï2≤≤x48 • Cách 1: Bảng biến thiên: 2 2 æö111 2 æö1 9 52 Ta có: P≥ (x+y+z)2 +++ ≥ 33 xyz3+ 3 = 9t + ç÷( ) ç÷ èøxyz èøxyz t 2 3 2 æöx++yz1 với t = (xyz) Þ 0 < t ≤ ç÷≤ b2 ++b50 èø39 Chuyển về biểu thức f(b) = (2 ≤ b ≤ 48, b Î N) 50b 34 35
  20. T 49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2) éù2 2 1æö2AA 1æöA1111æöA1 22 = – ç÷sin-sin = – êç÷sin ú = ç÷sin x1++yx1y 222 22248222 Ta có: +≥=2.x èøëûêúèø èø 1++y41y4 2 ABC11æö31 11 y221++zy1z Do (3) suy ra: sinsinsin ≤ ç÷ = (423) +≥=2.y 22282ç÷22 88 1++z41z4 èø z221++xz1x 233- +≥=2.z = 1++x41x4 8 Cộng 3 bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta có: ì B-C ïcos1= 0 222 ïï2 ìA= 120 æx1+++yöæy1zöæöz1x Dấu “=” xảy ra Û Û ç+÷+ç+÷+ç÷+≥xyz++ íí0 ç÷ç÷ç÷ ï A3ïB==C30 è1+y4øè1++z4øèø1x4 sin = î îï 22 xy222z3x++yz 3(x++yz)3 Û ++≥ +xyz++ ≥ - 42. (Đại học khối A 2005) 1+y1++z1x44 44 Với a, b > 0 ta có: 33933 2 1ab+11æö11 ≥ .3 -=-= (vì x + y + z ≥ 3 3 xyz = 3) 4ab ≤ (a + b) Û ≤ Û ≤+ç÷ 44442 a+b4ab a+b4èøab xy222z3 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b. Vậy: ++≥. Áp dụng kết quả trên ta có: 1+y1++z1x2 11æö11 1éù11æö11 1æö111 50. (Đại học khối A 2006) ≤+ç÷ ≤ êú++ç÷ = ç÷++ (1) • Cách 1: 2x+y+z4èø2xyz+4ëû2x4èøyz 8èøx2y2z 11111 Tương tự: Từ giả thiết suy ra: +=+-. xyxy22xy 11æö11 1éù11æö11 1æö111 ≤+ç÷≤ êú++ç÷ = ç÷++ (2) 11 x+2y++z4èø2yxz 4ëû2y4èøxz 8èøy2z2x Đặt = a, = b, ta có: a + b = a2 + b2 – ab (1) xy 11æö11 1éù11æö11 1æö111 3 3 2 2 2 ≤+ç÷≤ êú++ç÷ = ç÷++ (3) A = a + b = (a + b)(a – ab + b ) = (a + b) xy+++2z4èø2zxy 4ëû2z4èøxy 8èøz2x2y Từ (1) suy ra: a + b = (a + b)2 – 3ab. 1111æö11 2 Vậy: ++≤++1 = 1 æöab+ 2 32 ç÷ Vì ab ≤ ç÷ nên a + b ≥ (a + b) – (a+ b) 2x+y+zx+2y+zxy++2z4èøxyz 2 4 èø Ta thấy trong các bất đẳng thức (1), (2), (3) thì dấu "=" xảy ra khi và chỉ Þ (a + b)2 – 4(a + b) ≤ 0 Þ 0 ≤ a + b ≤ 4 2 khi Suy ra: A = (a + b) ≤ 16 3 1 x = y = z. Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = . Với x = y = thì A = 16. Vậy giá trị lớn nhất của A là 16. 4 2 43. (Đại học khối B 2005) • Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có: 2 Đặt S = x + y, P = xy với S – 4P ≥ 0. Từ giả thiết Þ S, P ¹ 0. xxxx xx 2 æ12öæ15öæ12öæö15 æ12öæö15 x 2 S ç÷+≥ç÷2.ç÷ç÷ Þ ç÷+ç÷≥ 2.3 (1) Ta có: SP = S – 3P Û P = è5øè4øè54øèø è54øèø S3+ Tương tự ta có: 33 22 22 11 xy+ (x+y)(x+-yxy) (x+ y)xy (x+ y) xx xx A = + = = = = æ12öæö20 x æ15öæö20 x xy33 xy33 xy33 xy33 xy22 ç÷+ç÷≥ 2.4 (2) ç÷+ç÷ ≥ 2.5 (3) è53øèø è43øèø 40 37
  21. T Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), chia 2 vế của bất đẳng thức nhận a+3b++111 Ta có: 3 (a+3b).1.1≤=(a++3b2) được cho 2 ta có đpcm. 33 Đẳng thức xảy ra (1), (2), (3) là các đẳng thức x = 0. Û Û b+3c++111 44. (Đại học khối D 2005) 3 (b+3c).1.1≤=(b++3c2) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có: 33 c+3a++111 1++xy33 3 3 (c+3a).1.1≤=(c++3a2) 1 + x3 + y3 ≥ 3 3 1.x33.y = 3xy Û ≥ (1) 33 xy xy 333 1 13éù Suy ra: a+3b+b+3c+c+3a≤[4(a+b++c)6] ≤ êú4.6+ = 3 1++yz33 3 1++z33x3 3 34ëû Tương tự: ≥ (2); ≥ (3) yz yz zx zx ì 3 ïa+bc+= 1 Dấu "=" xảy ra Û í 4 Û a = b = c = 333333 ï 4 Mặt khác ++≥33 îa+3b=b+3c=+c3a=1 xyyzzxxyyzzx • Cách 2: 333 3 3 3 3 Þ ++≥33 (4) Đặt x = a+ 3b Þ x = a + 3b; y = b+ 3c Þ y = b + 3c; xyyzzx z = 3 c+ 3a Þ z3 = c + 3a Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta có đpcm. 3 Þ x3 + y3 + z3 = 4(a + b + c) = 4. = 3. BĐT cần ch. minh Û x + y + z ≤ 3 Đẳng thức xảy ra Û (1), (2), (3), (4) là các đẳng thức Û x = y = z = 1. 4 45. (Đại học khối A 2005 dự bị 1) Ta có: x3 + 1 + 1 ≥ 3 3 x3.1.1 = 3x; y3 + 1 + 1 ≥ 3 3 y3.1.1 = 3y; Ta có: 3 + 4x = 1 + 1 + 1 + 4x ≥ 4 4 4x 3 3 3 x4xx8 z + 1 + 1 ≥ 3 z.1.1 = 3z Þ 3+4≥=2424 3 3 3 Þ 9 ≥ 3(x + y + z) (vì x + y + z = 3) Tương tự: 3+≥4yy248; 3+≥4zz248 Vậy x + y + z ≤ 3 333 888 3 8 xyz ì a+3b=b+3c=+c3a=1 Vậy 3+4x+3+4yz++34≥ 2 éù4xyz++44≥ 64.4.4 x=y==z1 ì êú ï ï ëû Dấu "=" xảy ra Û í 3 Û í 3 ïa+bc+= ïa+b+c= ≥ 6 24 4x++yz = 6 î 4 î 4 46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2) 1 Û a = b = c = xxxx3 4 Ta có: 1 + x = 1 + ++≥44 48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2) 333 33 Ta có: 0 ≤ x ≤ 1 Þ x ≥ x2 y yyyy3 1 + = 1 + ++≥44 1 1 33 xy-£yx Û xy≤+yx (1) x 3x3x3x 3x 4 4 2 9 33333 æö936 12211 1 1 + = 1 + ++≥44 Þ ç÷1+≥164 Theo BĐT Côsi ta có: yx+≥yx+≥=2yx.xyÞ xy-£yx ç÷ 3 444 4 y yyy y3 èøy y ì 2 336 ï0≤y≤≤x1 æöy9æö xy3 ìx1= Vậy: (1+x)ç÷11++ç÷≥ 256 4 = 256 ï 2ï xç÷ 3333 Dấu "=" xảy ra Û ííxx=Û1 èøèøy 33xy y = ïï1 î4 47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1) ïyx2= • Cách 1: î4 38 39
  22. T S2 æöS3+ Þ A = = ç÷ 2 S P èø 2 æöS1- 2 2 4S 2 ç÷ S1- Đk: S – 4P ≥ 0 Û S – ≥ 0 Û S S3+ ≥ 0 Û ≥ 0 (vì S¹0) S3+ èø S3+ éS3 0 Þ += > 0 èø24 xyxy 2 11 xy33+ æö11 11 A = + = = ç÷+ Þ A =+ xy33 xy33 èøxy xy 3 æöa++bab33 Dễ chứng minh được: ç÷≤ (với a + b > 0) èø22 dấu "=" xảy ra khi a = b. 1 1 Áp dụng với a = , b = , ta có: x y 3 3 3 æö11 æö11æö + ç÷+ç÷ 3 ç÷xy èøxy æöAA ç÷ èø ≤ A 16. ≤ Ûç÷ Û ≤ ç÷22èø22 ç÷ èø 11 Dấu "=" xảy ra khi ==2 . Vậy Max A = 16. xy • Cách 4: S2 S3S A = , suy ra A == P2 P S2-SP 43 41
  23. P 1- S2 - SP P1 S2 – 4P ≥ 0 Û S2 – 4 ≥ 0 Û14- S ≥ 0 Û ≥ (chia cho S2) 3 3 S4 S2 1 Nên: A = ≤ 16. Vậy Max A = 16 (khi x = y = ). P2 2 51. (Đại học khối B 2006) Trong mpOxy, xét M(x – 1; –y), N(x + 1; y). Do OM + ON ≥ MN nên: 22 (x-1)+y2+(x+1)+y2≥4+4y22=+21y Do đó: A ≥ 2 1+y2 +-y2 = f(y) 2y • Với y ≤ 2 Þ f(y) = 2 1y+ 2 + 2 – y Þ f¢(y) = – 1 y12 + ïìy0≥ 1 f¢(y) = 0 Û 2y = 1y+ 2 Û Û y = í 22 îï4y=+1y 3 Do đó ta có bảng biến thiên như trên • Với y ≥ 2 Þ f(y) ≥ 2 1y+ 2 ≥ 2 5 > 2 + 3 . Vậy A ≥ 2 + 3 với mọi số thực x, y. 1 Khi x = 0 và y = thì A = 2 + 3 3 Nên giá trị nhỏ nhất của A là 2 + 3 . 42