Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính

Nội dung text: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính

1. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Ví dụ : Tính tích phân I =+ cos( x y ) dxdy trong đó D π π D là miền giới hạn bởi : /4≤max{|x|,|y|} ≤ /2 Miền D được chia thành 4 phần D3 − x − , − y ( D 1) 2 4 2 2 − x , − y − ( D 2) D4 4 4 2 4 D1 − x , y ( D 3) 4 4 4 2 D2 x , − y ( D 4) 4 2 2 2 −− 4 2 4 I= dxcos( x + y )dy = sin( x + y ) 2 dx 1 − − − − 2 2 2 2
2. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính − 4 I1 = (cos x − ( − cos x )) dx = 0 − 2 Tương tự, ta tính cho 3 tích phân trên 3 miền còn lại. Ta còn có thể tính tích phân này bằng cách tính tích phân trên hình vuông lớn trừ tích phân trên hình vuông nhỏ 2 2 4 4 I= dx cos( xydy + ) − dx cos( xydy + ) − − − − 2 2 4 4
3. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính 2 Ví dụ: Tính tích phân kép I=− y x dxdy D D là miền giới hạn bởi -1≤x≤≤x≤1, 0≤y≤≤y≤1 22 I= ( xy) dxdy = y − x dxdy + y − x dxdy D DD12 22 = y − x dxdy + x − y dxdy D ( ) ( ) 1 DD12 1 1 1 x2 22 D D = dx ( y − x) dy + dx ( x − y) dy 2 2 −−1x2 1 0 11 I = 15
4. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính x Ví dụ: Tính tích phân I= ey dxdy D Với D là miền giới hạn bởi x= y2, x = 0, y = 1 Nếu chỉ nhìn vào miền lấy tích phân này thì ta chiếu D xuống trục nào cũng như nhau. 1 Tuy nhiên, hàm dưới dấu tích phân sẽ buộc ta phải chiếu D xuống trục Oy 1 2 1 y x 11x 2 y y y y I= dy e dx = ()()ye0 dy = ye − y dy 00 0 0
5. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính 2 y Ví dụ : Đổi thứ tự lấy tích phân sau I= dy f(,) x y dx 0 y 2 −2 Ta vẽ miền lấy tích phân ïì 02 y 2 D: íï 2 îï y-2 £ x £ y D2 Chiếu miền D vừa vẽ xuống D1 trục Ox -2 2 Ta thấy phải chia D thành 2 phần D1 và D2 0xx++ 2 2 2 I=+ dx f(,)(,) x y dy dx f x y dy −2 0 0 x
6. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Nhắc lại về tọa độ cực Điểm M có tọa độ là (x,y) trong tọa M(x,y) độ Descartes. r → → Đặt : = g()Ox,OM φ r= OM Khi đó, mối liên hệ giữa x, y và r, φ là ïì 22 xr= cos ï r=+ x y ï yr= sin Û í y ï j = arctan îï x
7. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ: Đổi các phương trình sau sang tọa độ cực 1. (x-a)2 + y2 = a2 ↔ x2 + y2 = 2ax ↔ r = 2acosφ xy22 Đổi sang tọa độ cực mở rộng bằng 2. +=1 ab22 cách đặt : x=a.r.cosφ, y = b.r.sinφ Thì ta được pt r = 1 3 3. x = 3 ↔ rcosφ = 3 ↔ r = cosj
8. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Công thức đổi biến sang tọa độ cực f( x , y ) dxdy= J f ( r cos , r sin ) drd Trong đó D(,)(,) x y D r D(,) x y xxr J == = r D(r, ) yyr Thông thường, ta sẽ đổi tích phân kép sang tọa độ cực nếu miền lấy tích phân kép là 1 phần hình tròn hoặc ellipse
9. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ : Tính tích phân I=− ( x 2 y ) dxdy D Trong đó D giới hạn bởi : x22+ y =2 x , y = 0( y 0) Để xác định cận của tích phân theo φ, ta quét từ dưới lên theo ngược chiều kim đồng hồ bởi các tia màu đỏ. π Ta được φ đi từ 0 đến /2 Còn để xác định cận của tích phân theo r, ta sẽ đi theo 1 tia màu vàng từ trong gốc tọa độ ra, gặp đường nào trước thì pt đường đó (trong tọa độ cực) là cận dưới, đường nào trước thì pt đường đó là cận trên.
10. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Nếu chỉ gặp 1 đường như trong ví dụ này thì cận dưới ta sẽ lấy là 0, cận trên là pt đường tròn sau khi đổ sang tọa độ cực: r = 2cosφ Vậy : 2 2cos I=− d r( r cos 2 r sin ) dr 00 2 3 r 2cos =− ((cos 2sin ) )0 d 0 3 2 1 3 =− (cos 2sin )8cos d 3 0
11. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực 22 Ví dụ : Tính tích phân I=+ x y dxdy D Trong đó D giới hạn bởi x2+ y 2 = a 2, x = 0, y = 3 x ( x , y 0) y π y=√3x ↔ /x = √3 ↔ φ = /3 Suy ra: pp££j 32 Đi từ trong gốc tọa độ ra chỉ gặp 1 đường nên 0 ≤ r ≤ a 2 a r 3 I= d r r dr =( − )( )a = a3 2 3 30 18 0 3
12. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ : Tính tích phân I= xydxdy D Trong đó D giới hạn bởi x22+ y 2 y , x + y 0 3π y > 0, x+y=0 ↔ φ = /4 3π Suy ra : /4 ≤φ ≤ π x2+y2 = 2y ↔ r = 2sinφ Suy ra : 0 ≤ r ≤ 2sinφ 2sin I= d r. r cos . r sin dr 3 0 4
13. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ : Tính tích phân I=− (2 y 1) dxdy D Trong đó D giới hạn bởi : 2x x22 + y 4 x , − 3 x y 0 2x ≤ x2+y2 ≤4x ↔ 2cosφ ≤ r ≤ 4cosφ -3xy £ £0 « -p £j £ 0 3 Đây là trường hợp ta có thể không cần vẽ hình cũng lấy được cận tích phân 0 4cos I=− d r(2 r sin 1) dr − 2cos 3
14. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ : Tính tích phân I= xdxdy D Trong đó D giới hạn bởi (x− 2)22 + y 1,0 y Ta đi tích phân này bằng cách dời hình tròn để tâm 1 hình tròn là (0,0), sau đó mới đổi sang tọa độ cực. 1 2 Thực hiện 2 việc trên bằng 1 -1 phép đổi biến sang tọa độ cực mở rộng như sau: đặt xr=+2 cos yr= sin
15. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực 0 Khi đó, miền D giới hạn bởi 01 r 1 Vậy : I=+ d r(2 r cos ) dr 00
16. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực 22 Ví dụ : Tính tích phân xy I= 1 −22 − dxdy D ab xy22 Trong đó D giới hạn bởi + 1,x 0 ab22 Ta đổi biến sang tọa độ cực b mở rộng bằng cách đặt x= ar cos =J abr a y= br sin Thì D giới hạn bởi 3 3 2 1 2 22 I = d abr1 − r dr 01 r 0 2