Phương trình Đại số

Nội dung text: Phương trình Đại số

1. PHÖÔNG TRÌNH A. CAÙC PHÖÔNG TRÌNH CÔ BAÛN Phaàn naøy ñeà caäp ñeán caùc phöông phaùp giaûi caùc phöông trình coù baäc nhoû hôn 5 I. Phöông trình baäc nhaát Daïng toång quaùt : ax+=bc Bieän luaän : b · a ¹ 0 : phöông trình coù nghieäm duy nhaát x =- a · a = 0 : phöông trình coù daïng 0xb=- b ¹ 0 : phöông trình voâ nghieäm b = 0: phöông trình coù voâ soá nghieäm II. Phöông trình baäc hai Daïng toång quaùt : ax2 +bx+ca=¹0 ( 0) (1) Bieän luaän : Ta xeùt D=-b2 4ac · D 0 : phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät : x = , x = 1 2a 2 2a Ví dụ. Chứng minh rằng phöông trình x2 +(a+b+c) x+ab+bc+=ca 0 voâ nghieäm vôùi abc,, laø 3 caïnh cuûa moät tam giaùc . Giaûi. Ta coù D=(ab++c)2-42(ab+bc+ca)=a2+b22+c-()ab++bcca Maø D 0 vaø S > 0 - Phöông trình coù hai nghieäm traùi daáu ÛD³0 vaø P 0 vaø S < 0
2. Thí duï . Tìm m sao cho phöông trình x2 -2(m+2) xm+6+=10 (*) coù hai nghieäm khoâng nhoû hôn 2 Giaûi Ñaët tx=-2 thì phöông trình ñaõ cho trôû thaønh t2 -2mtm+2-=30 ( ) Phöông trình (*) coù hai nghieäm lôùn hôn hoaëc baèng 2 Û phöông trình ( ) coù hai nghieäm khoâng aâm ì D³'0 ì m2 -2m+³30 ï ï 3 Û³í S 0 Û³í 2m 0 Û³m ï ï 2 îP ³ 0 î 2m -³30 3 Vaäy m ³ thì phöông trình (*) coù hai nghieäm lôùn hôn hoaëc baèng 2 2 III. Phöông trình baäc ba Daïng toåûng quaùt : ax32+bx+cx+da=¹0 ( 0) Ta ñöa veà daïng : x32+ax+bxc+=0 (2) a Ñaët xy=- thì phöông trình (2) ñöôïc vieát laïi döôùi daïng y3 -pyq-=0 (2’) trong ñoù 3 a2 -2a3 ab pb=- vaø qc=+-. Coâng thöùc nghieäm cuûa phöông trình (2’) laø : 3 273 q q2 p3 q q2 p3 y = 3 - + + + 3 - - + ñöôïc goïi laø coâng thöùc Cardano , laáy teân cuûa nhaø 2 4 27 2 4 27 toaùn hoïc Italia. Cardan theo học trưòng đai học Pavie, rồi đại học Padoue và nhận bằng tốt nghiệp Y khoa năm 1526 Cardan viết khá nhiều về Toán, cũng như một số ngành khác. Ông đặt vấn đề giải phương trình bậc ba cụ thể là xx3 +=620. Bây giờ ta nói tổng quát là x3 +=pxq. Phương pháp của 1 Cardan như sau: thay x=-uv vaø đặt uv, như thế nào đó để tích uv = ( hệ số của x trong 3 phương trình bậc ba đang khảo sát ). Nghĩa là 2 = uv . Từ phương trình xx3 +=620 ta có (u-v)3+3uv(u-v) =uv33-=20. Khử v từ 2= uv và từ uv33-=20 ta có u6=20uu33+8 Þ =+10810 . Từ x=-uv và uv33-=20 , ta có x =33108+10 10810 . Cardan cho một công thức tương đương đối với phương trình x3 +=pxq là: qqq2p3qp23 x =-33-+++ + 24272427
3. Caùc daïng phöông trình baäc ba thöôøng gaëp vaø phöông phaùp giaûi 1. Giaûi phöông trình khi bieát moät nghieäm cuûa phöông trình Giaû söû ta bieát ñöôïc nghieäm x0 cuûa phöông trình (2) baèng caùch ñoaùn nghieäm ( thöôøng laø 32 caùc nghieäm nguyeân ñôn giaûn töø –3 ñeán +3 ) töùc laø ax0+bx00+cxd+=0 . Khi ñoù phöông 3232 trình (2) Ûax+bx+cx+d=ax0+bx00++cxd 22 Û(x-x0)(ax+(ax0+b) x+ax00+bxc+=) 0 éxx= 0 Û ê 22 ëax+()ax0+bx+ax00+bxc+=0 2 2 Xeùt D=()ax0+b-4a(ax00++bxc) i) Neáu D<0 thì phöông trình (2) coù nghieäm duy nhaát xx= 0 ii) Neáu D³0 thì phöông trình (2) coù caùc nghieäm éxx=0 ê -()axb+±D êx= 0 ëê 2a Thí duï. Giaûi phöông trình x32-xx+3-=100 Giaûi Nhaän thaáy x = 2 laø 1 nghieäm cuûa phöông trình Phöông trình ( x-2)(x2 +xx+5) =02Û= Vaäy phöông trình ñaõ cho coù duy nhaát 1 nghieäm x = 2 2. Phöông trình baäc ba ñoái xöùng Daïng toång quaùt ax32+bx+bx+aa=¹0 ( 0) Phöông trình baäc ba ñoái xöùng luoân nhaän x =-1 laøm nghieäm Thaät vaäy, ta coù phöông trình Û(x+10)(ax2 +(b-a) xa+=) éx =-1 Ûê 2 ëax+()b-axa+=0 Môû roäng Moät soá tính chaát cuûa phöông trình heä soá ñoái xöùng (PT HSÑX) nn-1 Daïng toång quaùt cuûa PT HSÑX anx+an 1x+ +a1x+a0=0 (ann==a0, aa11, ) 1 Tính chaát 1. PT HSÑX neáu coù nghieäm x0 thì x0 ¹ 0 vaø cuõng laø nghieäm x0 Tính chaát 2. PT HSÑX baäc leû ( nk=+21) nhaän x =-1 laø nghieäm Tính chaát 3. Neáu fx( ) laø ña thöùc baäc leû coù heä soá ñoái xöùng thì f( x) =+( x1) gx( ) , trong ñoù gx( ) laø ña thöùc baäc chaün coù heä soá ñoái xöùng Thaät vaäy, ta xeùt ña thöù c baäc 5 laøm thí duï ax5+bx43+cx+cx2+bx+a=(x+1)(ax4+(b-a) x32+(c+a-b) x+(b-+a) xa)
4. Vaäy vieäc giaûi moät phöông trình coù heä soá ñoái xöùng baäc n leû töông öùng vôùi vieäc giaûi moät phöông trình coù heä soá ñoái xöùng baäc n -1 chaün 3. Phöông trình baäc ba hoài quy Daïng toång quaùt ax3+bx2+cx+d=0 (a,d¹=0,ac33db ) -d q Töø ñieàu kieän ta thaáy neáu c = 0 thì b = 0 Þ phöông trình (2b) coù nghieäm x = 3 a 3 dcæö q Neáu c ¹ 0 thì b ¹ 0 , ñieàu kieän Û=ç÷. abèø c Ñaët =-t thì c=-bt vaø d=-at 3 b khi ñoù phöông trình trôû thaønh ax3+bx23-btx-=at 0 22 Û(x-t) ëûéùax+(at+b) x+=at 0 éxt= Ûê22 ëax+()at+bx+=at 0 c 2 Vaäy x =- laø 1 nghieäm cuûa phöông trình . Neáu D=()at+ba-³402 thì phöông trình coù b -()atb+±D theâm caùc nghieäm laø x= 2a Thí duï. Giaûi phöông trình 8x32-2xx-+=10 1 Ñaùp soá. x =- 2 IV. Phöông trình baäc boán Daïng toång quaùt at4+bt32+ct+dt+ea=¹0 ( 0) Ta ñöa veà daïng t4+at32+bt+ctd+=0 (3) a Ñaët tx=- thì phöông trình (3) ñöôïc ñöa veà daïng x42=px++qxr (3’) trong ñoù 4 ì 3a2 pb=- ï 8 ï ï a31 íq=-+-abc ï 82 ï1 42 ïr=()3a-16ab+-64acd256 î256 Phöông trình (3’) x4+2αx2+α222=( p+2α) x+qx+(rR+Îαα) ( ) 2 Û(x2+α) =()p+2ααx22+qxr++( ) (3*) Ta tìm α thoûa heä thöùc q22=42( pr++αα)( ) ñeå vieát veá phaûi thaønh 2 éùq ( p + 2α ) êúx + ëû2(p + 2)α
5. 2 22 éùq Khi ñoù ta ñöôïc ()x+αα=()px++2êú (3 ) ëû22()p+α 2 § Neáu p+=20α thì phöông trình (3*) Û(xr22+αα)=+ (Baïn ñoïc töï bieän luaän tieáp) § Neáu p+ 20αthì phöông trình (3 ) Ûx=±px+2ααêú+- ëû22()p+α Đây laø phöông trình baäc 2 theo x, caùc baïn töï bieän luaän Thí duï. Giaûi phöông trình x42-2xx-8-=30 (*) Giaûi. Phöông trình (*) Ûx42=2xx++83 Ta choïn α thoûa 64=4(2++23αα)(2). Deã daøng nhaän thaáy α = 1 thoaû Phöông trình (*) Ûx4+2x22+1=4xx++84 ( coäng moãi veá moät löôïng 21x2 +) 2 Û(xx2+1)=+41()2 éxx2+1=+21() Û ê2 ëêxx+1=-+21() Vaäy caùc nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø x=±15 Caùc daïng phöông trình baäc boán thöôøng gaëp vaø phöông phaùp giaûi 1. Phöông trình baäc boán truøng phöông: Daïng toång quaùt ax42+bx+ca=¹0 (0) Phöông phaùp giaûi raát ñôn giaûn baèng caùch ñaët yx=³2 0 ñeå ñöa phöông trình veà daïng phöông trình baäc hai ay2 +byc+=0 vaø bieän luaän 2. Phöông trình baäc boán ñoái xöùng Daïng toång quaùt ax4+bx32+cx+bx+aa=¹0 (0) Do a¹0 neân x=0 khoâng laø nghieäm cuûa phöông trình, ta coù theå chia caû 2 veá cuûa phöông ba trình cho x2 ¹0 vaø ñöôïc ax2 +bxc+++=0 xx2 æ211öæö Ûaçx+2÷+bç÷xc++=0 (*) èxxøèø 1 11 Ñaët yx=+ ( ñieàu kieän : y³2 ) Þy2=x2++22Þxy22+=- x xx22 Khi ñoù phöông trình (*) trôû thaønh ay2 +by+ca-=20 vaø deã daøng giaûi ñöôïc
6. Löu yù Ngoaøi kieåu phöông tình baäc boán ñoái xöùng nhö treân coøn coù phöông trình baäc boán coù heä soá ñoái xöùng leäch ax4+bx32+cx-bxa+=0 ( a¹0) Phöông phaùp giaûi töông töï nhö treân, xin giaønh cho baïn ñoïc Thí duï: Cho phöông trình : 8x4 – 5x3 + mx2 + 5x + 8 = 0. a) Giaûi phöông trình khi m = -16. b) Tìm m ñeå phöông trình voâ nghieäm . 5 + 281 5 - 281 Ñaùp soá: a) x1 = 1, x2 = -1, x3 = , x4 = 16 16 -487 b) m £ . 32 3.Phöông trình baäc boán hoài quy : Daïng toång quaùt : ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 , (a ¹0) trong ñoù ad2 = eb2 (*) q Neáu b = 0 thì d = 0 phöông trình trôû thaønh phöông trình truøng phöông : ax4 + cx2 + e = 0 vaø ta giaûi quyeát ñöôïc theo phöông phaùp 1. 2 eæöd q Neáu b ¹ 0 thì d ¹0 , ñieàu kieän ó = ç÷ aèøb d Ñaët = t thì e = at2 vaø d = bt thì phöông trình (*) trôû thaønh: b ax4 + bx3 + cx2 + btx + at2 = 0. ( ) Do x = 0 khoâng laø nghieäm cuûa phöông trình ( ) neân ta chia 2 veá phöông trình ( ) cho 2 2 2 bt at x ¹0 ta ñöôïc ax + bx + c + + = 0 xx2 2 2 t t ó a(x + ) + b(x + ) + c = 0 ( ) x2 x 2 2 t 2 2 t 2 2 t 2 Ñaët x + = y (ñieàu kieän : y ³ 4t) Þ x + + 2t = y Þ x + = y – 2t. x x2 x2 Phöông trình ( ) trôû thaønh : ay2 + by + c – 2at = 0 laø phöông trình baäc hai theo y , ta seõ tìm ñöôïc nghieäm y Þ tìm ñöôïc x. Thí duï : giaûi phöông trình 2x4 – 21x3 + 34x2 + 105 x + 50 = 0. 5 Höùông daãn: Ñaët x - = y ta thu ñöôïc phöông trình : 2y2 –21y + 54 = 0 coù nghieäm x 9 y1 = 6, y2 = 2 o Vôùi y1 = 6 thì ta thu ñöôïc caùc nghieäm : x1 = 3 + 14 , x2 = 3 - 14 . 9 9 + 161 9 - 161 o Vôùi y2 = thì ta thu ñöôïc : x3 = , x4 = . 2 4 4
7. 4.Phöông trình baäc boán daïng (x + a)4 + (x + b)4 = c , (c > 0) : (3d) a + b Phöông phaùp giaûi phöông trình loaïi naøy laø ñaët x = y - . Khi ñoù phöông trình (3d) trôû 2 thaønh: 44 æa böæöab a - b çy+÷+ç÷yc-=. Ñaët α = ñeå ñöôïc phöông trình goïn hôn : è22øèø 2 2 y+α4+y-α4=cÛéùy+α2+y-α2-2y+αα22yc-= ()()ëû()()()() 22 Û2y2+22αα2-yc22-= ( ) ( ) Û2y4+12yc2αα24+2-=0 (*) (*) laø phöông trình truøng phöông theo y. Ta giaûi quyeát tieáp baøi toaùn theo phöông phaùp 1. Thí duï : Giaûi phöông trình (x – 2004)4 + (x – 2006)4 = 2 Ñaùp soá: x = 2005 5. Phöông phaùp heä phöông trình ñoái xöùng 2 Khi ta gaëp caùc phöông trình daïng a(ax22+bx+c) +b(ax+bx+c) +c=¹xa ()0 (4e) thì ta chuyeån veà heä phöông trình baèng caùch ñaët y=ax2 ++bxc. Luùc ñoù ta coù heä ñoái xöùng ìax² + bx += cy í Ta tröø veá theo veá hai phöông trình cuûa heä vaø thu ñöôïc îay² + by += cx a(x-y)(x+y) +b(x-y) =y-xÛ(x-y)(ax+ayb++=10) éxy= éx=ax2++bxc éax2+(b-10) xc+= ê ê ê Û-+()b1ÛÛ-+()b1 b++ac 1 êxy+= êx+ax2+bxc+= êax2+()bx+10+= ëêêa ëê a ëa Giaûi 2 phöông trình baäc hai naøy ta thu ñöôïc nghieäm cuûa phöông trình 2 Thí duï. Giaûi phöông trình (x22+xx-24) += Giaûi 2 Phöông trình Û(x22+x-2) +(x+xx-22) -= 2 ìx² += xy -2 Ñaët y=xx+-2 thì ta coù heä : í îy² += yx -2 Tröø veá theo veá ta ñöôïc (x-y)(xy++=20) éx=yéx=xx2 +-2 éx=± 2 ÛÛÛ êê2 ê ëxy++=20 ëx+xx+-2+=20 ëxx=02Ú=- Vaäy phöông trình ñaõ cho coù 4 nghieäm x Î{ 2,2,0,2} 6. Phöông trình baäc boán daïng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) =m (ab++cd+=β ) Phöông trình Û(x22+ββx+ab)(x+x+=cdm)
8. Ñaët x2 +=β xy thì ta ñöôïc phöông trình ( y+ab)( y+=cdm) Ûy2 +(ab+cd) y+abcdm-=0 Giaûi ra ta tìm ñöôïc y roài thay vaøo phöông trình ban ñaàu ñeå tìm x Thí duï. Giaûi phöông trình ( x-1)( x-3)( xx+5)( +=7) 297 Giaûi Ñeå yù thaáy (-1) + 5 = (-3) + 7 cho neân tabieán ñoåi laïi nhö sau: Phöông trình Û( x-1)( x+5)( xx-3)( +=7) 297 Û( x22+4x-5)( xx+4-=21) 297 Ûy-5y-21=297 y=+xx24 ()() () Ûyy2-26-=1920 Ûyy12=32, =-6 7. Phöông trình baäc boán daïng ( x+a)( x+b)( x+c)( x+d) =mx2 (ad==bc β ) Phöông trình Û( x+a)( x+d)( x+b)(x+=c) mx2 222 Ûëéx+(a+d) x+ββûùëûéùx+(b+c) x+=mx Ta chæ quan taâm ñeán tröôøng hôïp β ¹ 0 . Khi ñoù x = 0 khoâng laø nghieäm phöông trình treân Chia 2 veá phöông trình treân cho x2 ¹ 0 ta ñöôïc æββöæö çx++a+b÷ç÷x++c+=dm èxxøèø β Ñaët yx=+ ta thu ñöôïc phöông trình x ( y+a+b)( y+c+d) =mÛy2 +(a+b+c+d) y+(a+b)(c+dm) -=0 Giaûi phöông trình treân ta thu ñöôïc y töø ñoù tìm ñöôïc x Thí duï. Giaûi phöông trình (x2+3x+2)( x22+9xx+=18) 168 Höôùng daãn. æ66öæö Phöông trình Ûçxx++7÷ç÷++=5168 èxxøèø æö6 Û(y+7)()y+5=168 ç÷yx=+ èøx 2 é y = 7 Ûyy+12-1330=Ûê ëy=-19 é 6 x+=7Ûxx==1,6 êx 12 Ûê ê 6-±19337 xx+=-19 Û= ëê x 2 ïïìü-19+337 19337 Vaäy caùc nghieäm cuûa phöông trình laø xÎ íý1,6,, îþïï22
9. B. CAÙC PHÖÔNG TRÌNH KHOÂNG MAÃU MÖÏC Trong phaàn naøy toâi xin giôùi thieäu cuøng baïn ñoïc moät soá phöông trình thöôøng gaëp trong caùc kì thi nhö : phöông trình chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái , phöông trình voâ tyû, phöông trình chöùa aån ôû maãu. I.Phöông trình chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái : ì A neáu A ³ 0 Moät soá tính chaát cuûa A : A = í "A ÎR î- A neáu A < 0 1) A+B£+AB. Daáu “=” xaûy ra Û AB ³ 0. Chöùng minh : Bình phöông 2 veá : A2 + 2AB + B2 £ A2 + 2 AB + B2 ó AB £ AB : luoân ñuùng. 2) A - B ³ A - B . Daáu “=” xaûy ra Û B(A – B) ³ 0 Chöùng minh: AÙp duïng tính chaát 1 ta coù : A = (A - B) + B £ A - B + B Û A - B ³ A - B : ñpcm. Löu yù: A2 = A Thí duï :giaûi phöông trình x2 - 2x +1 + x2 - 4x + 4 = 1 2 2 Giaûi: phöông trình Û ()x-1+()x-2=1 Û x -1 + 2 - x = 1 . (Ñeå yù x - 2 = 2 - x ) AÙp duïng tính chaát 1 ta coù x -1 + 2 - x ³ (x -1)+ (2 - x) Û x -1 + 2 - x ³ 1. Daáu “=” Û (x – 1)(2 – x) ³ 0 Û 1 £ x £ 2 v Moät soá daïng thöôøng gaëp: 1.Phöông trình daïng A = B (5a) éAB= Phöông trình (5a) Û ê ëAB=- 2.Phöông trình daïng A =B (5b) ì B ³ 0 Phöông trình (5b) Û í hoaëc îA = B hay A = - B ì A ³ 0 ì A < 0 Phöông trình (5b) Û í hay í îA = B îA = - B 3.Phöông trình cöù nhieàu daáu giaù trò tuyeät ñoái : Phöông phaùp thöøông duøng laø xeùt nghieäm cuûa phöông trình treân töøng khoaûng giaù trò cuûa TXÑ. Thí duï :giaûi phöông trình 3x + 3 + x - 5 = 2x - 4 (5c). Giaûi: Nghieäm cuûa caùc phöông trình (3x + 3) , (x – 5), (2x – 4) laàn löôït laø –1, 5, 2. o Khi x ³ 5 thì phöông trình (5c) trôû thaønh :(3x + 3) + (x – 5) = (2x – 4) Û x = -1 (loaïi do khoâng thuoäc khoaûng ñang xeùt ) o Khi 2 £ x < 5 thì phöông trình (5c) trôû thaønh (3x + 3) + (5 – x) = (2x – 4) Þ voâ nghieäm .
10. o Khi –1£ x 0 thì thu ñöôïc : x - 2 + x - 5 = x + 3 . Bình phöông 2 veá khoâng aâm cho ta phöông trình : 2x – 7 + 2 x - 2 x - 5 = x+3 Û 2 x - 2 x - 5 = 10 – x. ì10 - x ³ 0 ì10 ³ x -10 Û Û Û x = 6 (thoaû), x = (loaïi) í 2 í 2 1 2 î4(x - 2)(x - 5) = (10 - x) î3x - 8x - 60 = 0 3 Xeùt x £ -3 Þ -x > 0 : phöông trình (6a) Û (-x)(2 - x) + (-x)(5 - x) = (-x)(-x - 3) (6a1) Chia 2 veá phöông trình (6a1) cho (-x) ta ñöôïc : 2 - x + 5 - x = - 3 - x . Roõ raøng VT > VP Þ voâ nghieäm . Vaäy phöông trình coù nghieäm duy nhaát :x = 6. 2.Phöông phaùp trò tuyeät ñoái hoùa: Trong moät vaøi tröôøng hôïp ta coù theåñöa bieåu thöùc chöùa aån döôùi caên thöùc veà ñöôïc daïng bình phöông. Khi ñoù ta ñöôïc bieåu thöùc chöùa trong daáu giaù trò tuyeät ñoái nhôø tính chaát : A2 = A Thí duï : giaûi phöông trình x + 2 + 2 x +1 + x +10 - 6 x +1 = 2 x + 2 - 2 x +1 (6b)
11. Höôùng daãn: (6b) Û (x +1) + 2 x +1 +1 + (x +1) - 6 x +1 + 9 = 2 (x +1) - 2 x +1 +1 2 2 2 Û ( x +1 +1) + ( x +1 - 3) = 2 ( x +1 -1) Û x +1 +1 + x +1 - 3 = 2 x +1 -1 Ñaët x +1 = y thì ta ñöôïc phöông trình chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái quen thuoäc: y +1 + y - 3 = 2 y -1 3.Phöông phaùp höõu tyû hoaù: Ñaây laø phöông phaùp chuyeån phöông trình chöùa caên thöùc veà daïng phöông trình höõu tyû (coù baäc nguyeân) baèng caùch ñaët aån phuï. Thí duï 1) giaûi phöông trình : x2 + 8x + 12 - 2 x2 + 8x + 8 = 3 (6c1) Giaûi: Ñaët x2 + 8x + 8 = y (y > 0) thì x2 + 8x + 12 = (x2 + 8x + 8) + 4 = y2 + 4. Phöông trình 2 2 (6c1) trôû thaønh: y + 4 - 2y = 3 Û y = 1 (thoûa ñieàu kieän ). Þ x + 8x + 8 = 1 Þ x1 = -1, x2 = -7. Vaäy phöông trình coù 2 nghieäm :x1 = -1, x2 = -7. Thí duï 2) Giaûi phöông trình 4 5 - x + 4 x -1 = 2 (6c2) Giaûi: Ñieàu kieän :1 £ x £ 5 . Ta ñaët 4 x -1 = y + m ( m laø haèng soá) Þ x = (y + m)4 + 1 . Do 1 £ x £ 5 neân -m £ y £ -m + 2 . Khi ñoù 4 5 - x = 4 4 - (y + m)4 , phöông trình (6c2) trôû thaønh: y + m + 4 4 - (y + m)4 = 2 (6c3) Û 4 4 - (y + m)4 = 2 - y – m . Do y £ -m + 2 neân 2 - y – m ³ 0 . Phöông trình (6c3) Û 4 – (y + m) 4 = ( 2 - y – m)4. Û ( 2 - y – m)4 + (y + m) 4 = 4 2 2 2 2 2 Û [ ( 2 - y – m) + (y + m) ] - 2( 2 - y – m) (y + m) = 4. (6c4). Ñeán ñaây ta choïn m toát nhaát sao cho phöông trình (6c4) trôû thaønh phöông trình baäc boán truøng phöông, nghóa laø 2 - y – m vaø y + m phaûi laø 2 löôïng lieân hôïp 2 2 2 Û 2 - m = m Û m = Þ - £ y £ 2 2 2 Phöông trình (6c4) trôû thaønh 2 2 2 2 2 2 2 2 2 [ ( - y ) + ( + y ) ] - 2( - y ) ( + y) = 4 2 2 2 2 1 7 Û (1 + 2y2)2 – 2( - y2)2 = 4 Û 2y4 + 6y2 - = 0 2 2 2 2 Û y1 = - , y2 = . 2 2 2 2 2 4 · y1 = - thì x1 = ( - + ) +1 =1 2 2 2
12. 2 2 2 4 · y2 = thì x2 = ( + ) + 1 = 5. 2 2 2 Vaäy phöông trình ñaõ cho coù nghieäm : x1 = 5, x2 = 1. Ñieàu caàn löu yù ôû caùc baøi toaùn daïng naøy laø choïn m thích hôïp ñeå laøm baøi toaùn goïn hôn, ñôn giaûn hôn. Moät soá daïng phöông trình thöôøng gaëp : i) a + cx + b - cx + d (a + cx)(b- cx) = n (c > 0, d ¹ 0) (6c) Phöông phaùp giaûi: - a b Ñieàu kieän : a + cx ³ 0 vaø b – cx ³ 0 Þ £ x £ vaø a + b ³ 0. c c 2 Ñaët y = a + cx + b - cx thì y ³ 0 vaø y £ 2(a + b) (baïn ñoïc töï chöùng minh !) 2 2 Þ 2 (a + cx)(b - cx) = y – a – b (6c1)Þ y ³ a + b. Phöông trình (6c) trôû thaønh 2y + d(y2 – a – b) = n ó dy2 + 2y – (a + b + n). (6c2) . Ñieàu kieän cuûa y laø: a + b £ y £ 2 a + b . Giaûi phöông trình (6c2) ta coù y , thay y vaøo phöông trình (6c1) roài bình phöông 2 veá ta tìm ñöôïc x . Thí duï : giaûi phöông trình x + 4 + 1- x - (x + 4)(1- x) = 1 Ñaùp soá: x = 0 ii) x+a2 -b+-2axb + x+c2 -b+-2cxb = dx + m . (a ¹ 0) (6d) Phöông phaùp giaûi: Ñieàu kieän : x ³ b. 2 2 Phöông trình (6d) Û ( x - b + a) + ( x - b + c) = dx + m Û x - b + a + x - b + c = dx + m Ñaët x - b = y (y ³ 0) roài giaûi phöông trình chöù a daáu giaù trò tuyeät ñoái theo y. Töø ñoù suy ra x. Thí duï : giaûi phöông trình x + 3 - 4 x -1 + x + 8 - 6 x -1 = 2x -1 Ñaùp soá : x = 2 4.Phöông phaùp heä phöông trình hoùa: Trong phaàn naøy toâi xin trình baøy caùch chuyeån moät phöông trình voâ tyû veà heä phöông trình höõu tyû cuõng baèng caùch ñaët aån phuï. i) Phöông trình baäc hai chöùa caên : Daïng toång quaùt : ax + b = r(ux + v)2 + dx + e (a, u , r ¹ 0) (6e) Phöông phaùp giaûi: Ñieàu kieän :ax + b ³ 0 . Ñaët ax + b = uy + v (uy + v ³ 0) ó ax + b = (uy + v)2 (6e1) Phöông trình (6e) trôû thaønh
13. r(ux + v)2 = uy + v – dx – e (6e2) 2 ìu = ar + d ïìr(uy + v) = arx + br Neáu thì töø (6e1) vaø (6e2) ta coù heä sau í í 2 îv = br + e îïr(ux + v) = uy + (ar - u)x + br Tröø veá theo veá hai phöông trình cuûa heä ta ñöôïc : r(uy+v)2 – r(ux+v)2 = ux – uy Û u(y – x)(ruy + rux + 2rv +1) = 0 2 ééx=yux+v=+uyv é()ux+v=+axb ê ÛêêÛÛ êê11êæö1 uy=-ux-22v-ax+b-v=-uxv ê ax+b=-ç÷uxv++ ëërrë èør Giaûi 2 phöông trình treân ta tìm ñöôïc nghieäm phöông trình . 2 Thí duï : giaûi phöông trình 2x + 5 = 32x + 32x . (6e3) Giaûi : - 5 Ñieàu kieän : x ³ 2 Phöông trình (6e3) Û 2x + 5 = 2(4x + 2)2 – 8. ì 2 - 5 ï(4y+2) = 2x + 5 Ñaët 2x + 5 = 4y + 2 ( y ³ ) thì ta coù heä í 2 2 ï î(4x+2) = 2y + 5 Tröø veá theo veá ta ñöôïc éyx= é 2x+5=+4xe2 (64) 2(y – x)(4y + 4x + 5) = 0 ÛÛê ê4yx= 45 ë ëê2x+5-2= 4xe5 ()65 ì 1 ïx ³ - - 7 + 65 o Giaûi (6e4) : phöông trình (6e4) Û í 2 Û x = 2 16 îï2x + 5 = 16x +16x + 4 ì 5 3 ï- £ x £ - -11- 57 o Giaûi (6e5) : phöông trình (6e5) Û í 2 4 Û x = ï 2 16 î2x + 5 = (4x + 3) - 7 + 65 -11- 57 Vaäy phöông trình ñaõ cho coù 2 nghieäm laø : x1 = , x2 = 16 16 Löu yù. Caùch giaûi hoaøn toaøn töông töï khi ta xeùt phöông trình baäc ba coù chöùa caên baäc ba : 3 ìu = ar + d 3 ax + b = r(ux + v) + dx + e vôùi ñieàu kieän í (Xin giaønh cho baïn ñoïc !) îv = br + e Thí duï :giaûi phöông trình 3 3x - 5 = 8x3 – 36x2 + 53x – 25. Höôùng daãn : Bieán ñoåi phöông trình thaønh 3 3x - 5 = (2x – 3)3 – x + 2 vaø giaûi. ii) Phöông trình daïng a - f(x) + b + f(x) = c. Trong ñoù f(x) laø moät haøm soá chöùa bieán x, f(x) thöôøng baèng kx, kx2, k x - d Caùch giaûi phöông trình loaïi naøy laø ñaët aån phuï vaø ñöøng queân tìm ñieàu kieän ñeå caên coù nghóa !
14. ïìu = a - f(x) Ta ñaët í (I) îïv = b + f(x) ìu + v = c ìu + v = c ï Þ Û 2 . í 2 2 í c - a - b îu + v = a + b uv = îï 2 Theo ñònh lyù Viet ñaûo ta coù u, v laø 2 nghieäm cuûa phöông trình : 2 - a - b X2 – cX + c = 0. 2 Giaûi ra ta tìm ñöôïc u, v Þ tìm ñöôïc f(x) Þ tìm ñöôïc x. Löu yù: f(x) laø nghieäm chung cuûa heä (I). . Caùc daïng thöôøng gaëp cuûa loaïi phöông trình naøy laø: · a + f(x) - b - f(x) = c · 3 a + f(x) ± 3 b - f(x) = c · 4 a + f(x) ± 4 b - f(x) = c · 5 a + f(x) ± 5 b - f(x) = c Thí duï :giaûi phöông trình 3 -1+ x + 3 3 - x = 2 Ñaùp soá : x = 4 Ngoaøi ra coøn coù daïng sau: m a - f(x) + n b + f(x) = c (m ¹ n, max{m, n} = 4) Sau khi ñaët aån phuï ta thu ñöôïc phöông trình coù baäc nhoû hôn 5 . 5.Phöông phaùp löôïng lieân hôïp: Vieäc nhaân moät löôïng lieân hôïp vaøo moät bieåu thöùc laøm cho vieäc giaûi phöông trình trôû neân deã daøng hôn. Phöông phaùp naøy ñöôïc söû duïng trong nhieàu muïc ñích khaùc nhau, ôû ñaây toâi xin ñöa ra 3 lôïi ích khi söû duïng phöông phaùp naøy : v Nhaèm taïo ra moät nhaân töû chung vôùi veá coøn laïi. Thí duï : giaûi phöông trình 2x+1 - x - 2 = x + 3 (7a) Giaûi: Ñieàu kieän : x ³ 2 Ñeå yù thaáy (2x + 1) – (x – 2) = x + 3 = VP. Do ñoù ta nhaân löôïng lieân hôïp vaøo 2 veá cuûa phöông trình : ( 2x+1 - x - 2 ) ( 2x+1 + x - 2 ) = (x + 3)( 2x+1 + x - 2 ) Û x + 3 = (x + 3)( 2x+1 + x - 2 ) éx =-3 Ûê = 1 Þ phöông trình voâ nghieäm ëê 2x+1+-x2 v Nhaèm taïo ra ôû moãi veá moät nhaân töû chung. Thí duï : giaûi phöông trình 2x2-1 + x2 -3x - 2 = 2x2 + 2x + 3 + x2 - x + 2 (7b)
15. Giaûi : - 2 3 + 17 Ñieàu kieän : x £ hoaëc x ³ . 2 2 (7b) Û 2x2-1 - 2 x2 + 2x + 3 = x2 - x + 2 - x2 -3x - 2 (2x2-1-2x2+2x+3)(2xx22-1+2++2x3) Û 222-1+2++2x3 xx (x2-x+2-x2-3x-2)(xx22-x+2+ 3x2) = xx22-x+2+ 3x2 -(2x++4)2x4 Û= 2x2-1+2x2+2x+3xx22-x+2+ 3x2 Û x = -2 ( thoûa ñieàu kieän ). Vaäy phöông trình coù duy nhaát 1 nghieäm :x = -2 v Nhaèm chöùng minh phöông trình coù nghieäm duy nhaát. x + 3 + x - 3 3 2 Thí duï : giaûi phöông trình = x + x2 - 9 - 9 + (7c) 2 2 Giaûi : Ñieàu kieän :x ³ 3. x+3-22x 32 Phöông trình (7c) Û+=(x-5)+(x 2 94) 22 (x+3-22)(x+3+22)(x-3-2)(x-+32) Û+ 2(x+3+22)2(x-+32) xx22-9-4)(-+94) =(x-+5) x2-+94 x-5xx-5(-+5)(x5) Û+=(x-+5) 2(x+3+22)2(x-+32) x 2-+94 éx = 5 Û+ê 11x5 (7c1) ê+=+1 ëê2(x+3+22)2(x-+32) x 2 -+94 1 1 Xeùt phöông trình (7c1) . Ta coù VT < + < 1 < VP suy ra (7c1) voâ nghieäm . 2( 6 + 2 2) 2 2 Vaäy phöông trình coù nghieäm duy nhaát : x = 5. III.Phöông trình chöùa aån ôû maãu : Đối với phương trình loại này chúng ta cần lưu ý tìm điều kiện của x để mẫu khác 0 Sau đây là một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu 1. Phương pháp khử phân thức Mục đích của phương pháp là dùng để triệt tiêu và rút gọn các phân thức của mẫu để làm bài toán trở nên đơn giản hơn Thí dụ
16. 1111 ++= x2+9x+20x22+11x+30xx++134218 Giải Điều kiện xRÎ\{-4,-5, 6,7} Phương trình trên tương đương æ11öæ11öæö111 ç-+÷ç-÷+ç÷-= èx+4x+5øèx+5x+6øèøxx++6718 111 Û-= xx++4718 2 éx=2 Ûxx+11-260=Ûê ëx=-13 2. Phương pháp nhân tử hóa Phương pháp này được dùng để biến đổi các phân thức của phương trình sao cho mỗi phân thức có chứa nhân tử chung bằng cách thêm bớt các lượng thích hợp Thí dụ 1. Giải phương trình x-305xxx-307 309401 +++=4 1700169816961694 Giải Phương trình trên tương đương æx-305öæx-307öæxx 309öæö401 ç-1÷+ç-1÷+ç-1÷+ç÷-=10 è1700øè1698øè1696øèø1694 x-2005x-2005xx 20052005 Û+++=0 1700169816961694 Û=x2005 Thí dụ 2. 4x2 +18579 -=+ x2+7x2+2xx22++46 Giải Phương trình trên tương đương æö4x2 +18æ579öæöæö ç÷2-3=ç222-1÷+ç-11÷+-ç÷ x+7èxxx+++246øèøèø èø x2-33-x233 xx22 Û=++Ûx=± 3 x2+7x2+++2xx2246 3. Phương pháp lượng liên hợp Phương pháp này đã được đề cập đến khá kĩ ở phần phương trình vô tỉ. Ở đây tôi chỉ ra một ứng dụng khác của phương pháp lượng liên hợp đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu Thí dụ 111 ++=1 x+3+x+2x+2+x+11xx++ Giải Điều kiện x³0
17. Phương trình trên tương đương x+3-x+2xx+21-+ + ()x+3+x+23()x+-x+2()x+2-x+1()xx+21++ xx+-1 +=1 ()x+11-x()xx++ Û()x+3-x+2+()x+2-x+1+()xx+11-= Ûxx+31-= Û=x1 4. Phương pháp chia xuống Ý tưởng của phương pháp là áp dụng tính chất của việc chia cả tử và mẫu cho một lượng khác không thì không đổi. Thí dụ: Giải phương trình: xx2 +=-1 x22+3x+13xx++53 Giải: Điều kiện ìxx2 +3+¹10 -±35 x í2 Û¹ î3xx+5+¹30 2 Nhận thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình. Ta chia cả tử và mẫu của các phân xx2 thức , cho x ¹0 thì phương trình trên trở thành : x22+3x+13xx++53 12 +=-1 13 xx+3+35++ xx 1 Đặt y=xy+³(2) , ta thu được: x 12 +=-1 yy++335 Û3yy2 +19+=260 é y=-2 Ûê -13 êy= ë 3 Với y=-2 thì x=-1. 13 -±13133 Với y=- thì x= . 3 6 Các nghiệm trên đều thoả điều kiện của phương trình. 5.Phương pháp đánh giá. Đây là một phương pháp hay và thường đưa tới lời giải đẹp ngắn gọn. Phương pháp này sử dụng các bất đẳng thức và cách đánh giá như sau.
18. ìf(x)=gx() ï íf(x)³aÞf(x)==g()xa ï îg()xa£ Thí dụ: Gỉai phương trình: 3x2+6x+7+5x22+10x+14=42 xx Giải: Phương trình trên tương đương với: 3(x+1)2+4+5(xx+1)22+9=5-+(1) Nhận xét : ì22 ï3(xx+1)+4+5(+1)+9³4+=95 2 í Þ(xx+1)=01Û=- 2 îï5-(x+£1)5 Ngoài ra ta còn có thể biến đổi phương trình thành dạng tổng các bình phuơng: 222 f12(x)+f(x)+ +=fxn()0 Khi đó f12(x)=f(x)= ==fxn()0 Nghiệm của phương trình là nghiệm chung của fi(x)==0,in1, . Thí dụ: Giải phương trình: x42-x+3xx+5-2+=20 Giải: Điều kiện x³-2. Phương trình đã cho tương đương (x2+2x+1)+(x42-2x+1)+(xx+2-2+2+=10) 2 Û(x+1)2+(xx22-1)+()+2-=10 Þx=-1 Thật quá đẹp phải không các bạn ☺ Phương trình sử dụng phương pháp này thường chỉ có 1 nghiệm x0 và nghiệm này thường dễ đoán . Cách đánh giá dựa trên việc xét xx> 0 và xx 1 ïì 5-x6 1+=12 Khi x>1
19. ïì5-x6 >=42 í . Suy ra phương trình vô nghiệm. 34 1 îï3x-2+1<1+=12 Vậy phương trình chỉ có nghiệm x=±1. Một số tính chất cơ bản thường dùng 0£x£1Þxn£x,."ÎnN 1£xÞxn³x,."ÎnN Thí dụ: Giải phương trình. 1-x22+4x+xx-1+611-= Giải: Điều kiện đơn giản, các bạn có thễ dễ dàng xác định. Đặt a=1-x22,b=4x+x-1,1cx=-6 thì ta có hệ: ìa+b+c=£1 ìaa2 ï2464ï ííab++c=1Þ0£a,b,1c£Þ£bb ïïabc,,0³6 î îcc£ ìaa2= 2464ï Þ11=ab++c£a+b+c=Þ=íbb ï6 îcc= Giải ra ta được nghiệm duy nhất là x=1. Bài tập tổng hợp Bài 1: Giải phương trình: (x+3x+2)(x+9xx+=18) 168 Bài 2: Giải phương trình: 82014 +=-3 x2+4xx22++1610 Bài 3: Giải phương trình: x6+3x5+6x4+76x32+xx+3+=10 Bài 4: Giải phương trình: (x-1)(x-5)(xx-3)(-=7)20 Bài 5: Giải phương trình: 2xx2 -1520 += x2xx2 13 Bài 6: Giải phương trình: (xx-1)8+()-=2110 Bài 7: Giải phương trình: x-8-=24 Bài 8: Giải phương trình: x+3+4x-1+xx+15-8-=16
20. Bài 9: Giải phương trình: xx2 -+=55 Bài 10: Giải phương trình: 8x32-2xx-+=10 Bài 11: Giải phương trình: xx42=-43 Bài 12: Giải phương trình: 2x2 -6xx-1=+45 Bài 13: Giải phương trình: (xx+3)44+(+=5)4 Bài 14: Giải phương trình: x+1x+6xx++25 +=+ x2+2xx2+12x+35x22+4x+3xx++1024 Bài 15: Giải phương trình: x2 +3xx+3=+23 Bài 16: Giải phương trình: 6-+2xx628 += 55-+xx3 I.Các hệ phương trình cơ bản A. Hệ phương trình đối xứng : ïì f(xy,0) = Dạng í mà ở đó vai trò của xy, như nhau. îïg()xy,0= ì f(x,y)= f(yx,). Tức là í îg(x,y)= g(yx,). Cách giải: · Thông thường người ta đặt ẩn phụ: S=+xy hay S=-xy P= xy ïì f(SP,0) = Þ í sau đó tìm được SP, và tìm được các nghiệm (xy,) îïg()SP,0= Ví dụ: Giải hệ ìx22y+=xy 6 í îxy+xy+=5 Như đã nói ở trên, ta hãy đặt S=x+=y; Pxy và hệ đã cho trở thành ìSPS==6ìì2S=3 íÞíí hay îS+PP==5îî3P=2 Từ đây ta dễ dàng tìm được các nghiệm (xy,) sau: (xy,)= (1,2);(2,1)
21. · Nhưng để phương pháp trên áp dụng hữu hiệu thì ta nên biến đổi một chút các ẩn số để sau khi đặt ẩn phụ, ta được những phương trình nhẹ nhàng hơn ïìxy+xy+=5 Ví dụ 1: í 33 îï(xy+1)+()+=135 Đặt S=(x+1)+(y+1);P=(xy++11)() ta sẽ có hệ phương trình sau ïìP=6 ìSx==5ìì3x=2 í2 ÞÞ í íí hay îïS()SP-=335 îPy==6îî2y=3 ìx+y+xy22+=8 Ví dụ 2: í îxy(xy+1)(+=1)12 ìS=+xy Ở đây theo thông lệ chúng ta hãy thử đặt í , ta thu được hệ sau: îP=xy ìS2 +SP-=28 í îP(PS++=1)12 Rõ ràng mọi chuyện không đơn giản chút nào. Tuy nhiên có lẽ các bạn cũng sẽ nhận ra sự tinh tế trong bài tóan, đó là ở bậc của mỗi phương trình. Phương trình đầu tiên bậc 2 có lẽ chứa P. Thể nhưng nó không ở một dạng tích thuận tiện nào,trong khi phương trình thứ hai lại ở dạng tích và bậc 4,gấp đôi bậc 2. Nếu các bạn nhìn trong biểu thức S và P,bậc của P gấp đôi bậc của S,như vậy phải chăng phương trình thư nhất là S,thứ hai là P. Nếu vậy thì các giá trị x và y trong P là gì. Quan sát phương trình thứ hai các bạn có thể dễ dàng nhận ra sự tinh tế này, đó là xx(+1) và yy(+1) . Từ ý tưởng này ta đặt: a=+xx(1) b=+yy(1) Hệ đã cho tương đương với: ììa+ba=8ì=6a=2 í Þ íí hay îîabb==12î2b=6 Như vậy (xy,) là nghiệm của các phương trình sau: i) t2 +t=2Þ=tt1 Ú =-2 12 2 ii)t+t=6Þtt33=2 Ú =-3 Tóm lại nghiệm của hệ đã cho là: (xy,)=(1,-2);(-2,1);(2, 3);(3,2) B. Phương trình đối xứng lọai 2: ìf(xy,)=0. í îf(yx,)=0. Đối với dạng hệ phương trình này, ta có thể đưa về một dạng hệ tương đương sau: ìf(x,y)-=f(yx,)0 í îf(x,y)+=f(yx,)0.
22. Hệ phương trình mới mà các bạn thu được là một hệ đối xứng hay nửa đối xứng mà ta đã ìh(x,y)=-f(x,y)f(yx,) xét ở phần trên. Thật vậy nếu đặt í . Ta sẽ đưa hệ về dạng: îg(x,y)=+f(x,y)f(yx,) ìh(xy,)0= ìh(x,y)=-h(yx,) í . Ở đó í îg(xy,)0= îg(x,y)=g(yx,). Có thể các bạn thấy rằng h(xy,) không đối xứng hòan tòan (nửa đối xứng). Tuy nhiên ở đây có thể chấp nhận được bởi lẽ hệ ta ở dạng h(xy,)= 0.(Nếu các bạn vẫn thấy ray rứt vì điều này thì các bạn hãy viết dưới dạng h2 (xy,)0= ,chẳng phải h2 (xy,) đối xứng đó sao .Chú ý thêm là tác giả chỉ muốn các bạn nắm bắt mối quan hệ của sự đối xứng và nửa đối xứng một cách rõ ràng hơn, chứ trong lúc giải bài tập các bạn chớ bình phương lên nhé. ☺) C. Phương trình đẳng cấp. ì f(x,ya)= (1) ì f(tx,ty)= tk f(xy,) mà ở đó : í í k îg(x,yb)= (2) î g(tx,ty)= tg(xy,) Ở đây điều kiện thứ hai các bạn có thể hiểu một cách đơn giản là các đơn thức trong các hàm f và g là đồng bậc (bậc của đơn thức hai biến x,y là tổng các bậc của x và y). Nhận xét này sẽ giúp cho các bạn nhận biết được phương trình đẳng cấp một cách dễ dàng hơn. Cách giải tổng quát ở đây là đưa về phương trình: bf(x,y)-=ag(xy,)0,ở dó ab, không đồng thời bằng 0. Nếu a,b đồng thời bằng 0. Ta giải riêng các phương trình f(x,y)==0;g(xy,)0 và so sánh nghiệm. Cách giải tương tự như phương trình bf(x,y)-=ag(xy,)0nên các bạn có thể tham khảo bên dưới. Ta xét 2 trường hợp. ix)0= là nghiệm của hệ phương trình. Điều này thì các bạn chỉ cần thế x = 0 và giải phương trình một biến theo y. Trường hợp này ta thu được nghiệm (x,yy)= (0,1 ) k ii) Trường hợp này ta sẽ tìm các nghiệm khác (0,y1) Chia hai vế cho x trong đó k là x bậc của f . Đặt t = . Ta đưa về phương trình theo ẩn t . Giải phương trình này ta tìm y x được tỉ số .Sau đó thay x thành ty trong (1) . Giải phương trình này theo ẩn y, ta sẽ rút y ra được các nghiệm của bài toán (tyy0 ,)o . Ví dụ: ì3x22-2xyy+=27 í 22 îx+6xyy-38=- Giải: Hệ đã cho tương đương với: ì24x22-16xyy+=1656 í 22 î7x+-42xyy21=-56
23. ì24x22-16xyy+=1656 Ûí22 î31x+26xyy-=50(*) Ta giải (*). 31x22+26xyy-=50 Û(31x-5y)(xy+=)0( ) é31xy-=50(1) Ûê ëxy+=0(2) Từ đây ta có thể dễ dàng giải được bằng cách thế vào hệ phương trình ban đầu II.Các phương pháp giải hệ không mẫu mực: A.Dùng bất đẳng thức : Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương pháp này là ta sẽ thấy số phương trình trong hệ ít hơn số ẩn . Ví dụ1 Giải hệ phương trình nghiệm dương : x+yz+=3 ïì í 3 1+x1+y11+z=+3xyz îï()()()() Giải: 2 3 VT= 1+x+y+z+()xy+yz+zx+³xyz 1+333xyz+313()xyz+xyz=+(xyz ) Suy ra dấu bằng xảy ra khi x==yz=1 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình : ïìx+1+x+3+x+5=y-1+yy-35+- í22 îïx+y+xy+=80 Giải: Đk: xy³-³1;5 Giả sử x>y-6Þ>VTVP x<y-6Þ<VTVP Suy ra xy=-6 Đến đây bạn đọc có thể tự giải Ví dụ 3: Giải hệ : ì3x42yz ï++=1 íx+1yz++11 ï9342 î8.1xyz = Giải: -Bài tóan này có số ẩn nhiều hơn số phương trình vì vậy ta sẽ sự dụng bất đẳng thức -Nhận xét : bậc của x,y,z khác nhau nên ta sử dụng Cauchy sao cho xuất hiện bậc giống hệ 12x42yz =++ Ta có: x+1x+1yz++11
24. Áp dụng Cauchy 8 số: 1 xxyyyyzzx2yz42 = +++++++³8 8 x +1 x+1x++111yy+y+1y+++111zz (x+1)2(yz++11)42() Hòan tòan tương tự : 1 x3yz32 ³88 y+1 (x+1)3(yz++11)32() 1 x3yz41 ³8 8 z+1 (xyz+1)3(++11)41() Từ các bất đẳng thức thu được ta có: 243216 1119 xyz ³88 ()1+xy3()1+4()1+z2(1+x)24(11++yz)32()16 Þ£819x3yz42 xyz11 dấu bằng xảy ra Û ===Ûx=yz== x+1yz++1198 ì42697 ïxy+= Ví dụ 4: giải hệ: í 81 ï22 îx+y+xy-3xy-4+=40 Giải: -Ví dụ này chúng tôi muốn giới thiệu công cụ xác định miền giá trị của x,y nhờ điều kiện có nghiệm của tam thức bậc hai -Xét phương trình bậc hai theo x: x22+x( y-3) +yy-4+=40 22 7 =(y-3)-4(y-2)£0Û(y-1)()3yy-7£01Û££ 3 4 Tương tự xét phương trình bậc hai theo y thì ta có 0 ££x 3 42 42æ4öæö7697 Suy ra: xy+£ç÷+=ç÷ è3øèø381 4 7 Þ=x và y = .Tuy nhiên thế vào hệ thì bộ nghiệm này không thỏa 3 3 Vì vậy hệ phương trình vô nghiệm Ví dụ 5: Giải hệ:
25. ìx5-x42+=22xy ï542 íy-y+=22yz ï542 îz-z+=22zx Ý tưởng của bài tóan này là ta phải đóan nghiệm của hệ là x=yz==1,sau đó chứng minh là x>1 hay x 1Þ2=z5-z4+2z2x>z5-z4+2z24Þ0>(z-1)(zz++22) Do zz4 ++22 luôn dương nên 1>z Tương tự Þyx>11Þ<ÞVô lí Tương tự x<Þ1vô lí.Vậy x=1Þyz=11Þ= Bài tập luyện tập Giải các hệ: ìy 21+=6y1988 2 ï 2 ìx=(yz-+12)( ) ïx ìx+yz+=2 ï ïz 1) 2) 2 3) í 2 íy=(zx-+12)() í212 +=6z1988 î24xyz-= ï ïy z2=xy-+12 îï()() ïx ï21+=6x1988 îz2 ì2x2 =y ï1+x2 ï ì222 2 x+yz+=3 ï2y ï222 4) í2 =z 5) íxyz ïy+1 ï++=9 îyzx ï2z2 ï =x îz2 +1 B.Đặt ẩn phụ: Đôi khi bài tóan sẽ phức tạp nếu ta giải hệ với ẩn (x,y,z, ) nhưng chỉ sau một phép đặt a=f(x),b==f(y),cfz(), Ví dụ 1:Giải hệ ìxy 12 = ïxy+5 ï ïyz 18 í = ïyz+5 ïxz 36 ï = îxz+13 111 Hướng dẫn: Đặt a=,bc==,. xyz
26. Ví dụ 2: Giải hệ: ì x2(y+z)2=(3x2++x1) yz22 ï22222 íy(x+z)=(4y++y1) xz ï22222 îz(x+y)=(5z++z1) xy Nếu x = 0 dễ dàng suy ra được: yz==0 .Như vậy (x,yz,)= (0,0,0) là một nghiệm của hệ. Ta tìm các nghiệm khác (0,0,0) Chia hai vế cho x2yz22 ta thu được hệ tương đương: 2 ìæöyz+ 11 ïç÷=3++2 ïèøyzxx ï 2 ïæöxz+ 11 íç÷=4 ++2 ïèøxzyy ï 2 æöxy+ 11 ï =5 ++ ïç÷ 2 îèøxyzz 111 Ta lại đặt a=;;bc== ta nhận được: xyz ì(a+b)22=cc++5(1) ï 22 í(b+c)=aa++3(2) ï 22 î(a+c)=bb++4(3) (2)-(3)Þ(a-b)(2(abc++)+=11) Lấy (1)-(2)Þ(b-c)(2(a+bc+)+=1)1 Từ đây suy ra a-b=-bcÞa+=cb2 Thay vào (2) ta được 3bb2 -+=40. Từ đây các bạn có thể dễ dàng giải tiếp bài toán. Ví dụ 3: Giải hệ ìxy3 (6+=21)1 í 3 îxy(-=6)21 Nếu giải hệ với ẩn (xy,) thì ở đây ta thật khó để thấy đwocj hướng giải. 1 Nhưng mọi chuyện sẽ rõ ràng khi ta đặt x = . z ìzy3 =+216 í 3 îyz=+216 Đây là hệ đối xứng mà ta có thể dễ dàng tìm ra đước hướng giải. ☺ Sau đây là bài tập áp dụng dành cho bạn đọc: Bài tập luyện tập. Bài 1: Giải hệ: ì2x22+2xy++=26 í îxy(xy+xy++=1)4 Bài 2: Giải hệ:
27. ì(x+y+=zt)3312 ï ï(y+z+=tx)3312 í 33 ï(z+t+=xy)12 33 îï(t+x+=yz)12 C.Tính các đại lượng chung Ý tưởng của phương pháp này là tính các đại lượng trong đó. Ví dụ 1:Giải hệ: ìxy+yx+2+=24 ï íyz+2zy+=36(*) ï îxz+zx+=35 ì(xy+1)(+=2)6 ï (*)Ûí(y+2)(z+3)=12Þ(x+1)(yz+2)(+3)=±24 ï î(zx+3)(+=1)8 Từ đây các bạn có thể có thể giải tiếp một cách dễ dàng. Ví dụ 2:Giải hệ: ìuv+=2(1) ï ïux+=vy 3(2) í22 ïux+=vy 5(3) 33 îïux+=vy 9(4) Giải: Nhân xy+ vào (3) Þux3+vy3+ux22y+vxy=+5()xy Þ9+3xy=+5()xy Nhân xy+ vào (2) Þuy+vx=2(xy+-)3 Nhân xy22+ vào (2) 3(x22+y)=9+xy(uy+vx)=9+xy[2(xy+-)3] Đặt a=x+=y;bxy . Đến đây các bạn có thễ dễ dàng giải tiếp ☺. Bài tập luyện tập Bài 1: Giải hệ ìx2+y2+zt22+=50 ï ïx2-y2+zt22-=-24 í ï xz= yt îï x-y+zt+=0. Bài 2:Giải hệ ì y2 -=xzb ï 2 íz-=xyc (abc,, là những hằng số) ï 2 îx-=yza
28. Bài 3:Giải hệ ìax+by=-()xy2 ï 2 íby+cz=-()yz (a,,bc là những hằng số) ï 2 îcz+ax=-()zx Bài 4:Giải hệ. ìx32+x(yz-=)2 ï 32 íy+y(zx-=)30 ï 32 î z+z(xy-=)16 D.Nhân liên hợp. Phương pháp này chủ yếu bỏ dâu căn thức đễ dễ tính toán hay để xuất hiện những đại lượng có thể đặt ẩn phụ. Ví dụ 1:Giải hệ: ïìxy+=4 í (1) îïxy+5++=56 Giải: Ta có: ïìx+5+x+yy+5+=13 (1) Û í îï x+5-+xyy+52-= ì x+x+5+yy++=513 ï Ûí 55 ï+=2 îx+x+55yy++ Đặt u=xx++5 v=yy++5 Ta suy ra: ìuv+=10 ï í112 += îïuv5 ìuv+=10 Þí îuv =25 Þu=v=5Þxy==2. Ví dụ 2: Giải hệ: ìæö5 ïç÷3-=24y ïèøyx+42 í æö5 ï32+=x ïç÷ îèøyx+42 Giải: Từ hệ ta suy ra điều kiện: xy,0> Hệ đã cho tương đương với:
29. ì 42 ï +=6 ï 2yx í 1024 ï =- îïyx+42 xy2 1512 Þ=- y+42xxy Þ15xyy=(-+2x)(yx42) Þy22+25xyx-=840 Þ(3x-y)(yx+=28)0 é3xy= Þê ëyx+=280 Trường hợp thứ hai ta loại do không thỏa điều kiện xy,0> . Thay vào hệ ban đầu ta thu được nghiệm sau: æö5++26526 (xy,),=ç÷ èø279 Bài tập luyện tập Bài 1: Giải hệ ïìxy+6++=15 í îï xy+1++=65 Bài 2: Giải hệ ïì-x+y+xy +1=-52 í îï (xy-1)(-=1)1 Bài 3: Giải hệ ì xy ïx+11+x-=yy++- í 22 ï î y+x+2(xy+1)(+=1)0 Kết thúc bài viết là phần bài tập tổng hợp các mục về hệ phương trình mà ta đã xem xét: III)Bài tập tổng hợp. Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: ìx22y+=xy 6. a) í îxy+xy+=5. ìx4+x2yy24+=21 b) í 22 îx-xyy+=7 Bài 2: Giải hệ phương trình sau:
30. ì x+y+xy22+=8 í îx(x+1)+yy(+=1)12 Bài 3:Giải hệ phương trình sau: 3223 ïìx+y+x+2xy+20xyy+= í îï xy=-2. Bài 4:Giải hệ phương trình sau: ìxy-=6 í33 îxy-=126 Bài 5:Giải hệ phương trình sau: ìx22+=ya2 í î2xya+=12