Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

101 trang phuongnguyen 5730

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

phuong_phap_toa_do_trong_mat_phang.pdf

Nội dung text: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng www. saosangsong.com.vn 1
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng § 1. Phương trình tổng quát của đường thẳng A. Tóm tắt giáo khoa . 1. Vectơ n khác 0 vuông góc đường thẳng ∆ gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của ∆ . • Phương trình của đường thẳng qua M0( x0 ; y0 ) và có VTPT n = (a ; b) là : a(x – x0) + b(y – y0) • Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng : ax + by + c = 0 trong đó n = (a ; b) là một VTPT . n • ∆ vuông góc Ox Ù ∆ : ax + c = 0 ∆ vuông góc Oy Ù ∆ : by + c = 0 a ∆ qua gốc O Ù ∆ : ax + by = 0 xy ∆ ∆ qua A(a ; 0) và B(0 ; b) Ù ∆ : + =1 ( Phương ab φ trình theo đọan chắn ) • Phương trình đường thẳng có hệ số góc là k : y = kx + M m với k = tanφ , φ là góc hợp bởi tia Mt của ∆ ở phía trên Ox và tia Mx 2. Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2 : a2x + b2y + c 2 = 0 Tính D = a1 b 2 – a2 b1, Dx = b1 c 2 – b2 c1 , Dy = c 1 a 2 – c2 a1 • ∆1 , ∆2 cắt nhau Ù D ≠ 0 . Khi đó tọa độ giao điểm là : ⎧ D x = x ⎪ D ⎨ D ⎪y = y ⎩⎪ D ⎧D0= ⎪ • ∆1 // ∆2 Ù ⎨⎡D0x ≠ ⎪⎢D0≠ ⎩⎣ y • ∆1 , ∆2 trùng nhau Ù D = Dx = Dy = 0 Ghi chú : Nếu a2, b2 , c2 ≠ 0 thì : a1 b1 • ∆1 , ∆2 cắt nhau Ù Ù ≠ . a2 b2 2
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng a1 b1 c1 • ∆1 // ∆2 Ù = ≠ a2 b2 c2 a1 b1 c1 • ∆1 , ∆2 trùng nhau Ù = = a2 b2 c2 B. Giải tóan . Dạng tóan 1 : Lập phương trình tổng quát của đường thẳng : Cần nhớ : • Phương trình đường thẳng qua điểm M(x0 ; y0 ) và vuông góc n = (a; b) là : a(x – x0 ) + b(y – y0) = 0 • Phương trình đường thẳng qua điểm M(x0 ; y0 ) và cùng phương x − x o y − y o a = (a1;a 2 ) là : = a1 a 2 • Phương trình đường thẳng song song đường thẳng : ax + by + c = 0 có dạng : ax + by + m = 0 với m ≠ c . • Phương trình đường thẳng qua M(x0 ; y0 ) : 2 2 a(x – x0 ) + b(y – y0) = 0 ( a + b ≠ 0 ) xy • Phương trình đường thẳng qua A(a ; 0) và B(0 ; b) là : +=1 ab Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC có A(3 ; 2) , B(1 ; 1) và C(- 1; 4) . Viết phương trình tổng quát của : a) đường cao AH và đường thẳng BC . b) trung trực của AB c) đường trung bình ứng với AC d) đuờng phân giác trong của góc A . Giải a) Đường cao AH qua A(3 ; 2) và vuông góc BC = (- 2 ; 3) có phương trình là : - 2( x – 3) + 3(y – 2) = 0 Ù - 2x + 3y = 0 Đường thẳng BC là tập hợp những điểm M(x ; y) sao cho BM = (x −1; y −1) x1− y1− cùng phương BC = (−2;3) nên có phương trình là : = ( điều kiện cùng −23 phương của hai vectơ) Ù 3(x – 1) + 2(y – 1) = 0 Ù 3x + 2y – 5 = 0 b) Trung trực AB qua trung điểm I( 2 ; 3/2 ) của AB và vuông góc AB = (- 2 ; - 1) nên có phương trình tổng quát là : 2(x – 2) + 1.(y – 3/2) = 0 Ù 4x + 2y – 11 = 0 3
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng c) Đường trung bình ứng với AB qua trung điểm K( 0 ; 5/2) và cùng phương AB = (- 2 ; - 1) . Đường này là tập hợp những điểm M(x ; y) sao cho 5 KM = (x − 0; y − ) cùng phương AB = (−2;−1) nên có phương trình là : 2 x0− y5/2− = ( điều kiện cùng phương của hai vectơ) 21 Ù x – 2y + 5 = 0 d) Gọi D(x ; y) là tọa độ của chân đường phân giác trong . Theo tính chất của DB AB phân giác : =− DC AC Mà AB = 2122+= 5,AC42 = 2 + 2 = 25 , do đó : DB 1 =− 2DC =− DC DC 2 ⎧⎧2(1−=+ x) x 1 x = 1/ 3 Ù ⎨⎨ ⎩⎩2(1−=− y) y 4 y = 2 Vậy D = (1/3 ; 2) . Vì yA = yD = 2 nên phương trình AD là y = 2 . Ví dụ 2 : Cho hình chữ nhật ABCD , phương trình của AB : 2x – y + 5 = 0 , đường thẳng AD qua gốc tọa độ O , và tâm hình chữ nhật là I( 4 ; 5 ) . Viết phương trình các cạnh còn lại Giải Vì AD vuông góc với AB nên VTPT n = (2 ; - 1) của AB là VTCP của AD xy Phương trình AD qua O là : = Ù x + 2y = 0 21− ⎧2x− y+= 5 0 Tọa độ A là nghiệm của hệ : ⎨ A B ⎩x2y0+= Giải hệ này ta được : x = - 2 ; y = 1 => A(- 2 ; 1) I I là trung điểm của AC , suy ra : ⎧⎧xx2x8AC+= I = x10 C = ⎨⎨ : C(10 ; 9) ⎩⎩yy2y10y9AC+= I = C = D C Đường thẳng CD song song với AB nên n = (2 ; - 1) cũng là VTPT của CD . CD qua C(10 ; 9) , do đó phương trình CD là : 2(x – 10) - (y – 9) = 0 Ù 2x – y – 11 = 0 Đường thẳng BC qua C và song song AD , do đó phương trình BC là : 4
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Ù(x – 10) + 2(y – 9) = 0 Ù x – 2y – 28 = 0 Ví dụ 3 : Cho đường thẳng d : 3x – 4y – 12 = 0 . a) Tính diện tích của tam giác mà d hợp với hai trục tọa độ . b) Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng của d qua trục Ox . c) Viết phương trình đường thẳng d” đối xứng của d qua điểm I(- 1 ; 1) . Giải : a) Cho x = 0 : - 4y – 12 = 0 Ù y = - 3 => d cắt Oy tai A(0 ; - 3) Cho y = 0 : 3x – 12 = 0 Ù x = 4 => d cắt Ox tai B(4 ; 0) Diện tích tam giác vuông OAB là : ½ .OA.OB = ½ . 3. 4 = 6 đvdt b) Gọi A’(0 ; 3) là đối xứng của A y qua Ox . Ta có d’ qua A’ và B , A’ cùng phương A'B = (4;−3) có B1 I B x − 0 y − 3 x phương trình là : = Ù 4 − 3 3x + 4y – 12 = 0 c) Gọi B1là đối xứng của B qua I A => B1 (- 6 ; 2) . Đường thẳng d” qua B1và song song với d , có phương trình : 3(x + 6) – 4(y - 2) = 0 Ù 3x – 4y + 26 = 0 *Ví dụ 4 : Viết phương trình đường thẳng qua M(3 ; 2) , cắt tia Ox tại A, tia Oy tại B sao cho : a) OA + OB = 12 b) hợp với hai trục một tam giác có diện tích là 12 Giải : Gọi A(a ; 0) và B(0 ; b) với a > 0 , b > 0 , B phương trình đường thẳng cần tìm có dạng : xy +=1 . Vì đường thẳng qua M(3 ; 2) nên : ab 32 +=1 (1) ab A 5
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng a) OA + OB = 12 Ù a + b = 12 Ù a = 12 – b (2) 32 Thế (2) vào (1) : +=1 12− b b Ù 3b + 2(12 – b) = (12 – b)b Ù b2 – 11b + 24 = 0 Ù b = 3 hay b = 8 xy • b = 3 : a = 9 , phương trình cần tìm : + = +1x3y90 −= 93 xy • b = 8 : a = 4 , phương trình cần tìm : + = +1 2xy80 −= 48 b) Diện tích tam giác OAB là ½ OA.OB = ½ ab = 12 Ù a = 24/b (3) 3b 2 Thế (3) vào (1) : +=1 Ù b2 + 16 = 8b 24 b Ù (b – 4)2 = 0 Ù b = 4 xy Suy ra : a = 6 , phương trình cần tìm là : + =1 Ù 2x + 3y – 12 = 0 64 Dạng 3 : Tìm vị trí tương đối của hai đường thẳng . Ví dụ 1 : Tìm vị trí tương đối của cac đường thẳng sau : a) 9x – 6y – 1 = 0 , 6x + 4y – 5 = 0 b) 10x – 8y + 2/3 =0 ; 25x – 20y + 5/3 = 0 96− Giải a) Ta có : ≠ nên hai đường thẳng cắt nhau . 64 10− 8 2 / 3 2 b) Ta có : = == nên hai đường thẳng trùng nhau . 25− 20 5/ 3 5 * Ví dụ 2 : Cho d : (m + 1)x – 2y + m + 1 = 0 d’ : mx - 3y + 1 = 0 a) Định m để hai đường thẳng cắt nhau . Tìm tọa độ giao điểm M. b) Tìm m ∈ Z để tọa độ giao điểm là số nguyên . ⎧(m1)x2ym10(1)+−++= Giải a) Tọa độ giao điểm M là nghiệm của hệ : ⎨ ⎩mx−+= 3y 1 0 (2) m +1 − 2 Hai đường thẳng cắt nhau Ù D = = −3(m +1) + 2m = −m − 3 ≠ 0 m − 3 Ù m ≠ - 3 6
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng − 2 m +1 Ta có : Dx = = - 2.1 + 3(m + 1) = 3m +1 − 3 1 m +1 m +1 2 Dy = = m(m + 1) – 1.(m+1) = m - 1 1 m ⎧ D - 3m -1 x = x . = ⎪ D m + 3 Tọa độ giao điểm M : ⎨ D - m 2 +1 ⎪y = y = ⎩⎪ D m + 3 −++3(m 3) 8 8 b) Ta có : x = = - 3 + m3+ m3+ 8 y = − m + 3 − m + 3 Để x và y ∈ Z thì 8 chia hết cho (m + 3) Ù (m + 3) ∈ { ± 1 ; ± 2 ; ± 4 ; ± 8 } Ù m ∈ {- 2 ; - 4 ; - 1 ; - 5 ; 1 ; - 7 ; 5 ; - 11 } Ví dụ 3 : Cho đường thẳng d : 2x + y - 13 = 0 và điểm A (1 ; 1) a) Viết phương trình đường thẳng d’ qua A và vuông góc d . b) Tìm tọa độ hình chiếu của A lên d và tọa độ điểm A’ , đối xứng của A qua A . Giải a) Đường thẳng d’ vuông góc d nên VTPT n = (2 ; 1) của d là VTCP của d’ . Suy ra phương trình của d’ là : x1− y1− = Ù x – 2y + 1 = 0 21 A b) Tọa độ giao điểm H của d và d ‘ thỏa hệ : ⎧2x+ y−= 13 0 ⎧x5= H ⎨ Ù ⎨ : H(5 ; 3) , là hình chiếu của ⎩x2y10−+= ⎩y3= A lên d H là trung điểm của AA’ , suy ra : ⎧x A' = 2x H − x A = 9 ⎨ : A'(9 ; 5) A’ ⎩y A' = 2y H − y A = 5 . C. Bài tập rèn luyện 3.1. Cho đường thẳng d : y = 2x – 4 7
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng a) Vẽ đường thẳng d . Xác định giao điểm A và B của d với Ox và Oy.Suy ra diện tích tam giác OAB và khoảng cách từ O tới d. b) Viết phương trình đường thẳng d’ song song với d , cắt Ox tại M , Oy tại N sao cho MN = 3 5 3.2. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d : a) qua điểm A(1 ; - 2) và có hệ số góc là 3 . b) qua B ( - 5; 2 ) và cùng phương a = ( 2 ; - 5) 23− x c) qua gốc O và vuông góc với đường thẳng : y = 4 d) qua I(4 ; 5) và hợp với 2 trục tọa độ một tam giác cân . e) qua A(3 ; 5) và cách xa điểm H(1 ; 2) nhất. 3.3 . Chứng minh các tập hợp sau là các đường thẳng : a) Tập hợp những điểm M mà khoảng cách đến trục hoành gấp đôi khoảng cách đến trục tung . b) Tập hợp những điểm M thỏa MA22+= MB 2MO 2 với A(2 ; 1 ) và B( 1 ; - 2) 3. 4 . Cho tam giác ABC có A(4 ; 1) , B(1 ; 7) và C(- 1; 0 ) . Viết phương trình tổng quát của a) Đường cao AH , đường thẳng BC . b) Trung tuyến AM và trung trực của AB c) Đường thẳng qua C và chia tam giác thành hai phần , phần chứa điểm A có diện tích gấp đối phần chứa điểm B . 3. 5. Cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng AB, BC và CA là : AB : x – 3 = 0 BC : 4x – 7y + 23 = 0 AC : 3x + 7y + 5 = 0 a) Tìm tọa độ A, B, C và diện tích tam giác . b) Viết phương trình đường cao vẽ từ A và C . Suy ra tọa độ của trực tâm H 3. 6.Cho hai đường thẳng d : mx – y + m + 1 = 0 và d’ : x – my + 2 = 0 a) Định m để hai đường thẳng cắt nhau . Tìm tọa độ giao điểm M , suy ra M di động trên một đường thẳng cố định . b) Định m để d và d’ và đường thẳng ∆ : x + 2y – 2 = 0 đồng quy. 8
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 3. 7. Cho hai điểm A(5 ; - 2) và B(3 ; 4) . Viết phương trình của đường thẳng d qua điểm C(1 ; 1) sao cho A và B cách đều đường thẳng d . 3.8. Cho hình bình hành hai cạnh có phương trình 3x – y – 2 = 0 và x + y – 2 = 0 . Viết phương trình hai cạnh còn lại biết tâm hình bình hành là I(3 ; 1) . * 3. 9 . Cho tam giác ABC có trung điểm của AB là I(1 ; 3) , trung điểm AC là J(- 3; 1) . Điểm A thuộc Oy và đường BC qua gốc tọa độ O . Tìm tọa độ điểm A , phương trình BC và đường cao vẽ từ B . * 3.10. Cho điểm M(9 ; 4) . Viết phương trình đường thẳng qua M , cắt hai tia Ox và tia Oy tại A và B sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất . * 3.11. Cho điểm M(3 ; 3) . Viết phương trình đường thẳng qua M , cắt Ox và Oy tại A và B sao cho tam giác MAB vuông tại M và AB qua điểm I(2 ; 1) . D. Hướng dẫn hay đáp số : 3.1. a) A(2 ; 0) , B(0 ; - 4) ; S = 4 đvdt . 1 1 1 1 1 5 4 Ta có : = + = + = => OH = OH 2 OA 2 OB2 4 16 16 5 b) Phương trình d’ có dạng : y = 2x + m , cắt Ox tại M(- m/2 ; 0) , cắt Oy | m | 5 tại N(0 ; m) . Ta có MN = OM 2 + ON 2 = = 3 5 2 Suy ra : m = ± 6 . 3.2 . a) y + 2 = 3(x – 1) Ù y = 3x – 5 x + 5 y − 2 b) = 5x + 2y + 21 = 0 2 − 5 4 c) y = x ( hai đường thẳng vuông góc Ù tích hai hệ số góc là – 1) 3 d) Vì d hợp với Ox một góc 450 hay 1350 nên đường thẳng có hệ số góc là tan 450 = 1 hay tạn0 = - 1 , suy ra phương trình là : y = x + 1 ; y = - x + 9 e) Đường thẳng cần tìm qua A và vuông góc AH = (−2;−3) . 3.3 . a) Gọi (x ; y) là tọa độ của M : |y| = 2|x| Ù y = 2x hay y = - 2x b) MO2 = x2 + y2 , MA2 = (x – 2)2 +(y – 1)2 , MB2 = (x – 1)2 + (y + 2)2 . 9
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Suy ra : 3x – y – 5 = 0 3. 4 . c) Đường thẳng cần tìm qua điểm D sao cho : DA= − 2DB Ù D = (2 ; 5) 3. 5. a) A(3 ; - 2) ; B(3 ; 5) ; C(- 4 ; 1) , S = ½ .AB . CH = 47/ 2 đvdt b) AH : y = 1 , AK : 7x + 4y – 13 = 0 , H(9/7 ; 1) 3. 6 . a) D = 1 – m2 ≠ 0 Ù m ≠ ± 1 , tọa độ giao điểm : 3 ⎧ Dm21+ x1==−=−−x ⎪ Dm1m1++ ⎨ => x + y + 1 = 0 => M di động trên đường D 1 ⎪y ==y ⎩+⎪ Dm1 thẳng : x + y + 1 = 0 b) Thế tọa độ của M vào đường thẳng x + 2y – 2 = 0 , ta được : m = - 2/3 3. 7. d là đường thẳng qua C : • và qua trung điểm I(4 ; 1) của AB • hay cùng phương AB = (−2;6) 3.8. Gọi AB : 3x – y – 2 = 0 và AD : x + y – 2 = 0 . Giải hệ , ta đuợc A = (1 ; 1) . Suy ra C = (5 ; 1 ) . CD : 3x – y – 14 = 0 ; BC : x + y – 6 = 0 * 3. 9 . A = (0 ; a) => B(2 ; 6 – a) và C(- 6 ; 2 – a) BC qua gốc O nên OB và OC cùng phương Ù 2(2 – a) = (6 – a) ( - 6) Ù a = 5 . 3. 10. Đặt A(a ; 0) và B(0 ; b) ,với a , b > 0 .Phương trình đường thẳng cần tìm x y 9 4 có dạng : + = 1. Đường này qua I Ù + = 1 a b a b 9 4 9 4 12 Áp dụng bđt Côsi cho hai số : 1 = + ≥ 2 . = a b a b ab 1 => ab ≥ 12 => S = ab ≥ 72 OAB 2 10
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 9 4 1 Vậy tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất là 72 khi = = a = 18 ;b = 8 a b 2 x y và PT đường thẳng cần tìm là : + = 1 4x + 9y − 72 = 0 18 8 3.11. Đặt A(a ; 0) , B(0 ; b) , ta có : MA.MB = (a − 3)(−3) + (−3)(b − 3) = 0 Ù a + b = 6 (1) x y Mặt khác phương trình đường thẳng AB : + = 1. a b 2 1 (AB) qua I(2 ; 1) Ù + = 1 Ù 2b + a = ab (2) a b Thế (1) vào (2) : 2b + (6 – b) = (6 – b)b Ù b2 – 5b + 6 = 0 Ù b = 2 hay b = 3 . Suy ra : (a = 4 ; b = 2) hay (a = 3 ; b = 3) § 2. Phương trình tham số của đường thẳng A. Tóm tắt giáo khoa 1. a khác 0 cùng phương với đường thẳng ∆ gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của ∆ . • Phương trình tham số của đường thẳng qua M0 (x0 ; y0) n ⎧xx=+o1 ta và có VTCP a = (a1 ; a2 ) là : ⎨ ⎩yy=+o2 ta a • Phương trình chính tắc của đường thẳng qua M0 (x0 ; y0) và ∆ xx− oo yy− có VTCP a = (a1 ; a2 ) là : = ( a1 ≠ 0 và a2 ≠ aa12 0) M 2. Nếu n = (a; b) là VTPT của ∆ thì a = (b ; - a) hay ( - b ; a) là một VTCP của ∆ . B. Giải toán. Dạng toán 1 : Lập PT tham số . . . của đường thẳng 11
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng • Tìm một điểm M(x0 ; y0 ) và một VTCP (a 1 ; a2) : ⎧x = xo + a1t ¾ phương trình tham số là : ⎨ ⎩y = yo + a2t xx− o0 yy− ¾ phương trình chính tắc là : =− (a1, 2 ≠ 0) aa12 ¾ phương trình tổng quát là : a2(x – x0) – a1( y – y0) = 0 • Tìm một điểm M(x0 ; y0 ) và một VTPT (a ; b) => VTCP (b ; - a) . Áp dụng như trên . Ví dụ : Cho A( 1 ; 2) , B(3 ; - 4) , C(0 ; 6) . Viết PT tham số , chính tặc và tổng quát của : a) đường thẳng BC . b) đường cao BH c) đường thẳng qua trọng tâm G của tam giác ABC và song song với d : 3x -7y = 0 Giải a) BC qua B(3 ; - 4) và có VTCP BC = (−3;10) nên có PTTS là : ⎧x = 3 − 3t x − 3 y + 4 ⎨ => PTCT là : = ⎩y = −4 +10t − 3 10 và PTTQ là : 10(x − 3) + 3(y + 4) = 0 Ù 10x + 3y -18 = 0 b) Đường cao BH qua B(3 ; - 4) và vuông góc AC(−1; 4) nên có VTCP là (4 ; 1) . Suy ra PTTS : ⎧x = 3 + 4t ⎨ ⎩y = −4 + t x − 3 y + 4 PTCT : = 4 1 PTTQ : 1(x – 3) – 4(y + 4) = 0 Ù x – 4y – 19 = 0 c) Đường thẳng song song với d : 3x – 7y = 0 nên vuông góc VTPT nd (3 ; - 7) , suy ra VTCP là (7 ; 3) . Tọa độ trọng tâm G là : (4/3 ; 4/3 ) . ⎧x = 4 / 3 + 7t PTTS của đường thẳng cần tìm : ⎨ ⎩y = 4 / 3 − 3t 12
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 4 4 x − y − PTCT : 3 = 3 7 3 16 PTTQ : 3(x – 4/3) – 7(y – 4/3) = 0 Ù 3x – 7y + = 0 3 Dạng toán 2 : Tìm điểm của đường thẳng Tọa độ điểm M của đường thẳng cho bởi PTTS . Ứng với mỗi t , ta được một điểm của đường thẳng. Bài toán thường đưa về việc giải một phương trình hay hệ phương trình mô tả tính chất của điểm ấy. ⎧x = 3 − 2t Ví dụ : Cho đường thẳng d : ⎨ ⎩y = 1+ 3t a) Tìm trên d điểm M cách điểm A(4 ; 0) một khoảng là 5 . b) Biện luận theo m vị trí tương đối của d và d’: (m + 1)x + my – 3m – 5 = 0 Giải : a) Tọa độ điểm M thuộc d cho bởi phương trình tham số của d : M = (3 – 2t ; 1 + 3t) . Ta có : AM = (-1 – 2t ; 1 + 3t ) => AM2 = (1 + 2t)2 + (1 + 3t)2 = 13t2 + 10t + 2. Ta có : AM2 = 25 Ù 13t2 + 10t + 2 = 25 Ù 13t2 + 10t – 23 = 0 Ù t = 1 hay t = - 23/13 Ù M = (1 ; 4) hay M = ( 85/13; - 56/13) b) Thế phương trình tham số của d vào phương trình của d’ , ta được phương trình tính tham số t của giao điểm , nếu có : (m + 1)(3 – 2t) + m(1 + 3t) – 3m – 5 = 0 Ù (m – 2)t + m – 2 = 0 (1) • m – 2 = 0 Ù m = 2 : (1) thỏa với mọi m Ù d và d’ có vô số điểm chung Ù d , d’ trùng nhau. • m – 2 ≠ 0 Ù m ≠ 2 : (1) có ngh duy nhất Ù d và d’ cắt nhau . Ghi chú : Có thể biến đổi d về dạng tổng quát : 3x + 2y – 11 = 0 và biện luận theo hệ phương trình 2 ẩn . C. Bài tập rèn luyện . 2t 5t 3.12 : Cho đường thẳng d có hương trình tham số : x = 3 + ; y = 2 - (1) 3 6 a) Tìm một VTCP của d có tọa độ nguyên và một điểm của d . Viết một phương trình tham số khác của d 13
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng b) Tìm trên d một điểm A có hoành độ gấp đôi tung độ . c) Tìm trên d một điểm B cách gốc O một khoảng là 58 . 3. 13 . Cho tam giác ABC có A(1 ; - 2) , B(0 ; 4) và C(6; 3) . Tìm một VTCP, suy ra phương trình tham số và chính tắc của các đường thẳng sau : a) Đường thẳng d qua A và có một VTCP là (3 ; - 2 ) b) Đường trung trực của BC . c) Đường thẳng AB d) Đường trung bình của tam giác ABC ứng với cạnh BC . e) Đường phân giác ngoài của của góc B 3.14 . Cho tam giác ABC với BC : 2x – y – 4 = 0 , đường cao BH : x + y - 2 = 0 , đường cao CK : x + 3 y + 5 = 0 . Viết phương trình các cạnh tam giác . 3.15. Cho hình chữ nhật ABCD có AB : 2x – y – 1 = 0 , AD qua M(3 ; 1) và tâm I có tọa độ là ( - 1 ; ½ ) . Viết phương trình các cạnh AD , BC và CD . *3. 16. Cho tam giác ABC có trung điểm M của AB có tọa độ (- ½ ; 0) , đường cao CH với H(- 1; 1) , đường cao BK với K(1 ; 3) và biết B có hoành độ dương . a) Viết phương trình AB . b) Tìm tọa độ B, A và C 3.17 . Chọn câu đúng : Phương trình nào dưới đây là phương trình tham số của đường trung trực của AB với A(3 ; - 5) và B(5 ; 9) : ⎧⎧x =+41txt =+ ab))⎨⎨ ⎩⎩yt=+27 yt =+ 77 ⎧⎧x =+47txt =+ 47 cd))⎨⎨ ⎩⎩yt=+22 yt =− 3.18 . Chọn câu đúng : Phương trình nào dưới đây là phương trình tổng quát của ⎧x =+43t đường thẳng qua A(4 ; - 5) và vuông góc với đường thẳng d : ⎨ là : ⎩yt=−12 + a) 3x + 2y – 2 = 0 b) 3x - 2y – 12 = 0 c) 2x – 3y – 23 = 0 d) 4x + 5y – 22 = 0 14
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng x + 32y − 3.19 . Chọn câu đúng : Đường thẳng d : = xác định với hai trục tọa 52 độ một tam giác có diện tích là : a) 64/5 b) 128/5 c) 16/ 5 d) đáp số khác 3.20 . Chọn câu đúng : Gọi d là đường thẳng qua M(4 ; - 3) và song song với đường thẳng y = 2x – 4 . a) d qua điểm ( 10 ; 10) b) trên d không có điểm nào có tọa độ là số nguyên chẵn . c) Cả (a) và (b) đều sai d) Cả (a) và (b) đều đúng . 3.21 . Chọn câu đúng : Cho tam giác ABC cân tại A(1 ; - 2) , trọng tâm là G(5 ; 6) . Phương trình đường thẳng BC là : A a) x + 2y + 27 = 0 b) x + 2y – 27 = 0 c) x – 2y – 27 = 0 d) 2x – y – 4 = 0 C. Hướng dẫn hay đáp Số. 3.12. a) a = ( 4 ; - 5) , x = 3 + 4t , y = 2 – 5t b) Giải xA = 2yA Ù t = 1/14 G c) Dùng phương trình tham số của d : (3 + 4t)2 + (2 – 5t)2 = 58 B C 3.13. a) x = 1 + 3t , y = - 2 – 2t b) x = 3 + 8t , y = 7/2 + 3t c) Trung trực vuông góc BC = (6 ;−1) nên cùng phương vectơ (1 ; 6) . Suy ra ⎧x = t phương trình tham số là : ⎨ ⎩y = 4 + 6t 3.14 . BC và BH cắt nhau tại B(2 ; 0) . BC và CK cắt nhau tại C(1 ; - 2) . Phương trình AB qua B và vuông góc CK là : 3(x – 2) – 1(y – 0) = 0 . . . 3.15. AD qua M và vuông góc AB có phương trình : 1.(x – 3) + 2(y – 1) = 0 Ù x + 2y – 5 = 0 . Suy ra tọa độ A = AB ∩ AD = (7/5 ; 9/5) . Suy ra tọa độ C , đối xứng của A qua I 15
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng . . . *3. 16. a) Phương trình AB qua H và M : 2x + y + 1 = 0 b) B thuộc AB Ù B = (b ; - 2b – 1) A đối xứng của B qua M Ù A = (- 1 – b ; 2b + 1) . Mặt khác AK BK = 0 Ù 5b2 + 5b – 10 = 0 Ù b = 1 . Vậy B = (1 ; - 3) , A = (- 2 ; 3) , C = (3 ; 3) 3.17 . (d) 3.18. (a) 3.19. (a) 3.20. (b) 3.21. (b) § 3. Khoảng cách và góc A. Tóm tắt giáo khoa . I. 1. Khỏang cách từ M (x0 ; y0 ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 là : | ax + by + c | d(M, ∆) = 0 o a 2 + b 2 M *2. Gọi M’ là hình chiếu của M lên ∆ , thế thì : ax + by + c M 'M = k.n = M M . Suy ra : a 2 + b 2 M’ • M, N nằm cùng phía đối với ∆ Ù (axM + byM + c)( (axN+ byN + c) > 0 ∆ • M, N nằm khác phía đối với ∆ Ù (axM + byM + c)( (axN+ byN + c) < 0 * 3. Phương trình hai đường phân giác của góc hợp bởi hai đường thẳng : a1x + b1 y + c1 = 0 và a2x + b2 y + c2 = 0 là : a x + b y + c a x + b y + c 1 1 1 ± 2 2 = 0 2 2 2 2 a1 + b1 a2 + b2 II. Góc ( không tù ) tạo ∆1: a1x+ b1y + c1 = 0 và ∆2 : a2x + b2y + c 2 = 0 là : | a1a2 + b1b2 | cos(∆1 ; ∆2 ) = 2 2 2 2 a1 + b1 a2 + b2 ∆1 ┴ ∆2 Ù a1a2 + b1b2 = 0 B. Giải toán . 16
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng Dạng 1 : Tính khỏang cách và lập phương trình đường thẳng liên quan đến khỏang cách Ví dụ 1 : a) Tính khoảng cách từ điểm A(1 ; 3) đến đường thẳng d : 3x – 4y + 4 = 0 b) Tình bán kính đường tròn tâm O tiếp xúc đường thẳng d : 2x +y + 8 = 0 ⎧x = 2 + t ⎨ c) Tính khoảng cách từ điểm P(3 ; 12) đến đường thẳng : ⎩yt= 53− d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song : d : 5x + 3y – 5 = 0 và d’ : 5x + 3y + 8 = 0 3443.14.34xy−+ −+ 5 Giải a) d(A, d) = AA= ==1 3422+ 55 b) Bán kính đường tròn là khoảng cách từ O đến đường thẳng d 2.0++ 0 8 8 d :R = d(O , d) = = O 2122+ 5 c) Ta viết phương trình dưới dạng tổng quát : x −−25y = −−=−3(xy 2) 5 13− d M Ù 3x + y - 11 = 0 3.3+− 12 11 10 d(P, ∆ ) = ==10 22 31+ 10 d' d) Chọn trên d : 5x + 3y - 5 = 0 điểm M ( 1; 0 ) , thế thì : 5.1++ .0 8 13 13 d(d , d’ ) = d(M, d) = == 5122+ 26 2 Ví dụ 2 : a) Tìm trên trục hoành điểm cách đường thẳng : 2x + y – 7 = 0 một khoảng là 2 5 17
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng b) Tìm trên đường thẳng d : x + y + 5 = 0 điểm cách đường thẳng d ‘ : 3x – 4y + 4 = 0 một khoảng là 2 . c) Cho điểm M ( m – 2 ; 2m + 5 ) di động và điểm A (2 ; 1) cố định . Tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách AM khi m thay đổi . Giải a) Gọi M(x , 0 ) là điểm cần tìm , ta có : 27x − d(M , d) = 2 2 Ù = 25=−= 2x 7 10 5 Ù 2x – 7 = 10 hay 2x – 7 = - 10 Ù x = 17/2 hay x = - 3/2 Vậy ta tìm được hai điểm M(17/2 ; 0 ) và M(- 3/2 ; 0 ) b) Gọi x là hoành độ của điểm M cần tìm , tung đô của M là : y = - x – 5 . Ta có phương trình : d(M, d’ ) = 1 M 346x −+y d Ù MM= 2 5 Ù 34(5)410xx−−−+= Ù | 7x +24 | = 10 Ù 7x + 24 = 10 hay 7x + 24 = -10 Ù x = - 2 hay x = - 34/ 7 A Vậy ta tìm được hai điểm M(- 2; 0 ) và M(- 34/7 ; 0 ) ⎧x = m − 2 x + 25y − c) Ta có : ⎨ Ù = 290xy − + = ⎩ym= 25+ 12 Vậy M di động trên đường thẳng d : 2x – y + 9 = 0 . Suy ra khoảng cách nhỏ 2.2−+ 1 9 12 nhất của AM chính là : d(A, d) = = 55 Ví dụ 3 : a) Viết phương trình đường thẳng song song và cách đều hai đường thẳng song song d : x – 3y – 1 = 0 và d’ : x – 3y + 7 = 0 b) Viết phương trình đường thẳng d :song song với đường thẳng d’ : 3x + 2y - 1 = 0 và cách d’ một khoảng là 13 và nằm trong nữa mặt phẳng bờ d’ và chứa điểm gốc O. 18
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng c) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A( 6 ; 4) và cách điểm B( 1 ; 2) một khoảng là 5 . GIẢI a) Đường thẳng cần tìm là tập hợp những điểm M(x ; y) sao cho : | x − 3y −1| | x − 3y + 7 | d(M, d) = d(M, d’) Ù = 12 + 32 12 + 32 ⎡x − 3y −1 = x − 3y + 7 (VN) Ù ⎢ ⎣x − 3y −1 = −x + 3y − 7 Ù 2x – 6y + 6 = 0 d’ Ù x – 3y + 3 = 0 O b) Phương trình đường thẳng d song song d với d’ có dạng : 3x + 2y + m = 0 . Ta định d’ m để d(d , d’ ) = 13 . A Chọn trên d điểm A(0 ; ½) , ta có : d(d, d’) 5 = d(A ,d’ ) = 13 Ù 1 3.0++ 2. m 2 = +=13 1m 13 13 Ù m + 1 = 13 hay m + 1 = - 13 Ù m = 12 hay m = - 14 Ù d’ : 3x + 2y + 12 = 0 hay d’ : 3x + 2y – 14 = 0 • Xét d’ : 3x + 2y + 12 = 0 . Chọn điểm M’ (0 ; - 6) thuộc d’ Thế tọa độ M’ vào d : 0.3 + 2( - 6) – 1 = - 13 > 0 Thế tọa độ O(0 ; 0) vào d : 0.3 + 0(2) – 1 = - 1 < 0 Vậy O và M’ cùng một phía đối với d tức d’ : 3x + 2y + 12 = 0 là đường thẳng cần tìm . Cách khác : Gọi M(x ; y) là điểm bất kì , ta có : M(x ; y) ∈ d’ Ù d(M, d) 13 và O và M nằm cùng phía đối với d 19
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng ⎧| 3x − 2y −1| ⎪ = 13 3x − 2y −1 Ù ⎨ 13 = − 13 ⎪ 13 ⎩(3x − 2y −1)(3.0 − 2.0 −1) > 0 Ù 3x – 2y + 12 = 0 c) Phương trình d là đường thẳng qua A (6 ; 4) có dạng : a(x – 6) + b(y – 4) = 0 với a2 + b2 ≠ 0 . Ù ax + by – 6a – 4b = 0 (1) |1.a + 2b − 6a − 4b | Ta có : d(B, d) = 5 Ù = 5 Ù (5a + 2b) 2 = 25(a 2 + b 2 ) a 2 + b 2 Ù 20ab – 21b2 = 0 Ùb(20a – 21b) = 0 21b Ù b = 0 hay a = 20 * Với b = 0 : (1) thành ax – 6a = 0 Ù x – 6 = 0 (chia hai vế choa a ≠ 0 , coi như chọn a = 1) 21b 21 41b * Với a = : (1) thành bx + by − = 0 20 20 20 Ù 21x + 20y – 41 = 0 ( Chia hai vế cho b/20 , coi như chọn b = 20 => a = 21 ) Vậy có hai đường thẳng thỏa đề bài là : 21x + 20y – 41 = 0 và x = 6 . Cáck khác : Có thể xét * d : x = 6 ( qua A và vuông góc Ox , không có hệ số góc ). * d : y = k(x – 6) + 4 Ù kx – y – 6k + 4 = 0 Giải : d(B , d) = 5 Ù k = - 21/ 20 . Dạng 2 : Viết phương trình phân giác , phân giác trong , ngoài . Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC với AB : 3x – 4y + 6 = 0 AC : 5x + 12y – 25 = 0 , BC : y = 0 a) Viết phương trình các phân giác của góc B trong tam giác ABC . b) Viết phương trình phân giác trong của góc A trong tam giác ABC. 20
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng Giải : a) AB cắt BC tại B(- 2 ; 0) , AC cắt BC tại C( 5 ; 0) Phương trình các phân giác của góc B trong tam giác ABC là phân giác của góc hợp bởi AB và BC A , là : 3x − 4y + 6 y ± = 0 5 1 B C Ù 3x + y + 6 = 0 hay 3x – 9y + 6 = 0 b) Phương trình các phân giác của góc A , tạo bởi AB và AC là : 3x − 4y + 6 5x +12y − 25 (t) : + = 0 64x + 8y − 47 = 0 (1) 5 13 3x − 4y + 6 5x +12y − 25 (t’) : − = 0 14x −112y + 203 = 0 5 13 Thế tọa độ B(- 2 ; 0) vào (1) : 64(-2) – 47 0 Vậy B và C nằm khác phía đối với (t) , nên (t) là phân giác trong của góc A . * Ví dụ 4 : Cho d : 3x – 4y + 5 = 0 và d’ : 5x + 12y – 1 = 0 a) Viết phương trình các phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng b) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua gốc O và tạo với d, d’ một tam giác cân có cạnh đáy là ∆ . Giải a) Phân giác (t) của góc tạo bởi d , d’ : 3x − 4y + 5 5x +12y −1 t1 ∆1 ± = 0 5 13 d Ù 13(3x – 4y + 5) = 5(5x + 12y – 1) hay 13(3x – 4y + 5) = - 5( 5x + 12y – 1) t2 Ù (t1) : 14x - 112y + 70 = 0 hay ∆2 (t2) : 64x + 8y + 60 = 0 O d’ 21
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng Đó là hai đường phân giác cần tìm . b) Nhận xét trong tam giác cân , phân giác trong của góc tại đỉnh thì vuông góc với cạnh đáy . Ta được hai đường thẳng ∆ : • ∆1 qua O và vuông góc t1 có phương trình 112x + 14y = 0 • ∆2 qua O và vuông góc t2 có phương trình 8x – 64y = 0 Dạng 3 : Tính góc của hai đường thẳng và lập phương trình đường thẳng liên quan đến góc \ Ví dụ 1 : Tính góc hai đường thẳng sau : a) 2x + y – 3 = 0 ; 3x - y + 7 = 0 ⎧x =+2 t b) 3x + 4y - 2 = 0 , ⎨ ⎩yt=−5 2.3+− 1( 1) 1 Giải a) cos = = => = 450 5. 10 2 b) VTPT của hai đường thẳng là : nn==(3;4) , ' (1;1) . Suy ra : 3.1+ 4.1 7 cosα = cos(nn , ') == 34112222++52 Ví dụ 2 : Tìm k biêt đường thẳng y = kx + 1 hợp với đường thẳng : x – y = 0 một góc bằng 600 Giải : Ta có kx – y + 1 = 0 . Ta có phương trình : k.1+ 1 1 cos 600 = = 2(kk + 1)22 = + 1 k 2 +12 2 Ù kk2 +410 + = k = − 2 ± 3 22
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng *Ví du 3 : Cho hình vuông ABCD có đường chéo BD : x + 2y – 5 = 0 , đỉnh A(2 ; - 1) . Viết phương trình cạnh AB và AD biết AB có hệ số góc dương . Giải : Gọi k là hệ số góc của AB , AD , phương trình AB , AD có dạng : y = k(x – 2 ) – 1 Ù kx – y – 2k – 1 = 0 Ta có AB và AD đều hợp với BD một góc 450 k − 2 1 Ù cos 450 = = 2(kk − 2)22 = 5( + 1) 51k 2 + 2 Ù 3k2 + 8k – 3 = 0 Ù k = 1/3 ( đường AB) , k = - 3 ( đường AD ) . Vậy phương trình AB : - 3x – y + 5 = 0 , AD : x – 3y – 5 = 0 hay ngược lại C. Bài tập rèn luyện . 3.22. Chọn câu đúng : Gọi là góc của hai đường thẳng : x - y – 3 = 0 và 3x + y – 8 = 0 , thế thì cosα = a) 1/ 5 b) 2/ 5 c) 2/ 10 d) đáp số khác 3.23. Chọn câu đúng : Khoảng cách từ A(1 ; 3) đến đường thẳng 3x – 4y + 1 = 0 là : a) 1 b) 2 c) 3 d) đáp số khác 3.24. Chọn câu đúng : Có 2 giá trị m để đường thẳng x + my – 3 = 0 hợp với x + y = 0 một góc 600 . Tổng 2 giá trị ấy là : a) – 1 b) 1 c) – 4 d) 4 3.25. Chọn câu đúng : Cho A(3; 4) , B(1; 1) , C(2 ; - 1) . Đường cao tam giác vẽ từ A có độ dài là : 1 7 13 a) b) c) d) đáp số khác 5 5 5 23
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng ⎧x = 3 + t 3.26. Chọn câu đúng : Điểm A ( a, b) thuôc đường thẳng : ⎨ cách đường ⎩yt= 2 + thẳng d : 2x – y – 3 = 0 một khoảng 2 5 và a > 0 , thế thì a + b = a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 3.27 Cho tam giác ABC với B(1 ; 2) và C(4 ; - 2) . a) Viết phương trình đường thẳng BC và tính độ dài đường cao AH . b) Tìm tọa độ điểm A biết diện tích tam giác là 10 và A thuộc trục tung . 3.28 Cho tam giác ABC có AB : 2x + y – 3 = 0 ; AC : 3x - y + 7 = 0 và BC : x – y = 0 . a) Tính sinA , BC và bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC . b) Viết phương trình đường thẳng đối xứng của AB qua BC . 3.29. Cho hình vuông ABCD có tâm I ( 2; – 3) , phương trình AB : 3x + 4y – 4 = 0 . a) Tính cạnh hình vuông . b) Tìm phương trình các cạnh CD , AD và BC . 3. 30. Cho hình vuông ABCD có AB : 3x – 2y – 1 = 0 , CD : 3x – 2y + 5 = 0 và tâm I thuộc d : x + y – 1 = 0 a) Tìm tọa độ I . b) Viết phương trình AD và BC * 3.31. Cho tam giác đều có A( 3 ; - 5) và trọng tâm G (1 ; 1) . a) Viết phương trình cạnh BC . b) Viết phương trình cạnh AB và AC . *3.32. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(2 ; - 3) , B(3 ; - 2) , diện tích tam giác bằng 3/2 và trọng tâm G thuộc đường thẳng d : 3x – y – 8 = 0 . Tìm tọa độ đỉnh C . * 3.33. Cho hình thoi ABCD có A(- 2; 3) , B(1 ; - 1) và diện tích 20 . 24
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng a) Tính đường cao hình thoi và phương trình cạnh AB . b) Tìm tọa độ điểm D biết nó có hoành độ dương . * 3.34. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(2 ; 2) , AB : x – 2y – 3 = 0 và AB = 2AD và yA > 0 . a) Tìm tọa độ hình chiếu K của I lên AB. b) Tìm tọa độ A và B. * 3.35. Cho đường thẳng d : x + 2y – 4 = 0 và A(1 ; 4) , B(6 ; 4) a) Chứng minh A, B nằm một phía đối với d. Tìm tọa độ A’ đối xứng của A qua d . b) Tìm M ∈ d sao cho tổng MA + MB nhỏ nhất . c) Tìm M ∈ d sao cho | MA – MB| lớn nhất . * 3.36. Cho hình thoi có phương trình ba cạnh là : 5x – 12y – 5 = 0 , 5x – 12y + 21 = 0 và 3x + 4y = 0 . Viết phương trình cạnh còn lại . *3.37. Viết phương trình 4 cạnh hình vuông biết 4 cạnh lần lượt qua bốn điểm I(0 ; 2) , J(5 ; - 3) , K(- 2 ; - 2) và l(2 ; - 4) . D. Hướng dẫn hay đáp số 3.22. (a) 3.23. (d) 3.24. (c) 3.25. (b) 3.26. (d) 3.27. a) BC : 4x + 3y – 10 = 0 . 2S Ta có BC = 5 , suy ra AH = ABC = 4 . BC b) Gọi A( 0 ; a) . Ta có : d(A, BC) = 4 Ù | 3a −10 | = 4 A 5 C Ù a = 10 hay a = - 10/3 D 3.28. a)Ta có : sinA = sin(AB, AC) = 1− cos 2 A | 2.3 +1(−1) | 1 1 |cosA| = = => sinA = . 5. 10 2 2 B 25
A Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng G B C I Tọa độ B , giao điểm của AB và BC , là ( 1 ; 1) . Tọa độ C , giao điểm của AC và BC , là (- 7/2 ; - 7/2 ) . BC 9 2 Suy ra : R = = = 9 / 2 2sin A 1 4. 2 b) Phương trình đường thẳng cần tìm BD qua B có dạng y = k(x – 1) + 1 Ù kx – y – k + 1 = 0 | 2.1+1(−1) | | k.1+1| Ta có : cos (BA, BC) = cos (BD, BC) Ù = 5. 2 2. k 2 +1 Ù k2 + 1 = 5(k + 1)2 Ù 4k2 + 10k + 4 = 0 Ù k = - ½ hay k = - 2 . Chú ý k = - 2 là ứng với hệ số góc của BA nên bị lọai , ta nhận k = - ½ . Phương trình đường thẳng BD : x + 2y - 3 = 0 3.29. a) Cạnh hình vuông bằng 2.d(I, AB) = 4 b) * Phương trình CD : 3x + 4y + m = 0 với 3(2) + 4(−3) + m 3(2) + 4(−3) − 4 = − Ù - 6 + m = 2 Ù m = 8 5 5 => CD : 3x + 4y + 8 = 0 * Phương trình AD và BC : 4x – 3y + m = 0 |17 + m | Ta có : d(I, AB) = d(I, AD) Ù 2 = 5 Ù m = - 7 hay m = - 27 AD : 4x – 3y - 7 = 0 , BC : 4x – 3y – 27 = 0 hay ngược lại . 3.30. a) I ∈ d => I = (x ; 1 – x) . Ta có : d(I, AB) = d(I, CD) Ù x = 0 => y = 1 : I(0 ; 1) b) Như câu b ( bài 3. 29) 26
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 3.31. a) Gọi I là trung điểm BC , ta có : ⎧x A + x B + x C = 3x G ⎧x A + 2x I = 3x G ⎨ => ⎨ => I = (0 ; 4) ⎩y A + y B + yC = 3yG ⎩y A + 2y I = 3yG Phương trình BC qua I và vuông góc AI = (−3 ; 9) : - (x – 0 ) + 3(y – 4) = 0 Ù - x + 3y – 12 = 0 b) Phương trình AB, AC qua A có dạng : kx - y – 3k A - 5 = 0 Ta có : cos(AB, BC) = cos60 = ½ Ù | k + 3 | 1 = G 10. k 2 +1 2 B C I 6 ± 5 3 Ù 3k2 – 12k – 13 = 0 Ù k = . Phương trình 3 AB và AC : AB : (6 ± 5 3)x − 3y + 3 ±15 3 = 0 AC : (6 ∓ 5 3)x − 3y + 3 ∓15 3 = 0 3.32 . G ∈ d => G = (a ; 3a - 8) . Ta có ; SGAB = 1/3 . SABC = ½ . Mà AB = 2 , suy ra : d(G; AB) = 1/ 2 Phương trình AB : x – y - 5 = 0 , suy ra : | a − 3a + 8 − 5 | 1 = | 3 − 2a | = 1 2 2 Ù . . . . . . S 3.33. a) Ta có : h = ABCD = 4 . AB : 4x + 3y – 1 = 0 AB ⎧d(D,AB) = 4 b) Gọi D = (x ; y) với d > 0 . Ta có : ⎨ ⎩AD = AB = 5 27
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng ⎧| 4x + 3y −1| ⎪ = 4 (1) Ù ⎨ 5 ⎪ 2 2 ⎩(x + 2) + (y − 3) = 25 (2) − 4x + 21 − 4x −19 (1) Ù y = hay y = 3 3 Thế vào (2) , giải ta được : x = 3 => y = 3 . Vậy D = (3 ; 3) 3. 34. a) Phương trình IK : 2x + y – 6 = 0 . Suy ra K(3 ; 0) c) Vì AB = 2AD nên KA = 2KI (1) . Tọa độ K(2y + 3 ; y ) ∈ AB . Giải (1) , ta được : y = 2 , suy ra A(7 ; 2) 3.35. a) A’(- 1; 0 ) b) Ta có : MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B = 65 Vậy GTNN là 65 Ù M = A’B ∩ d . Viết phương trình A’B , suy ra : M = (4/3 ; 4/3) c) Ta có : |MA – MB| ≥ AB = 5 . Vậy GTNN là 5 Ù M = giao điểm của d và AB kéo dài Ù M = ( - 4 ; 4) 3.36. Chú ý trong hình thoi khỏang cách giũa hai cạnh bằng nhau . AB : 5x – 12y – 5 = 0 , CD : 5x – 12y + 21 = 0 . Chọn M(1 ; 0) ∈ AB , ta có : d(AB, CD) = d(M, CD) = 2 AD : 3x + 4y = 0 , BC : 3x + 4y + m = 0 . Chon O(0 ; 0) ∈ AD , ta có : d(AD, BC) = d(O, BC) = 2 Ù m = ± 10 . => BC : 3x + 4y ± 10 = 0 3.37. Phương trình AB qua I : ax + by – 2 = 0 Phương trình CD qua K : ax + by + 2a + 2b = 0 A B I Phương trình BC qua J : bx – ay – 5b – 3a = 0 J D C 28
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng Phương trình AD qua L : bx – ay – 2b – 4a = 0 | 4b + 2a | | 3b − a | Ta có : d(I, CD) = d(J, AD) Ù = a 2 + b 2 b 2 + a 2 Ù b = - 3a hay a = - 7b ⎧a = 1 ⎧a = 7 Chọn : ⎨ hay ⎨ ⎩b = −3 ⎩b = −1 § 4. Đường tròn A. Tóm tắt giáo khoa . 1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , phương trình đường tròn y tâm I(h ; k) bán kính R là : (x – h)2 + (y – k)2 = R2 . 2 2 2 • Phương trình đường tròn (O, R) là : x + y = R I 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , mọi phương trình có dạng : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 với a2 + b2 – c > 0 là phương trình đường tròn : O • Tâm I(- a ; - b) x • Bán kính R = abc22+ − 3. Tiếp tuyến với đường tròn T (x – h)2 + (y – k)2 = R2 tại tiếp điểm T(x ; y ) là : 0 0 R ∆ đường thẳng qua T và vuông góc IT = (x 0 − h; y0 − k) có phương trình : (x0 – h)(x – x0) + (y0 – k)(y – y0) = 0 • Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (I, R) I Ù d(I, ∆) = R B . Giải tóan Dạng toán 1 : Xác định tâm và bán kính . Điều kiện để một phương trình là đường tròn . Ví dụ 1 : Xác định tâm và bán kính các đường tròn sau : a) (x + 1)2 + ( y – 4)2 = 1 b) (x – 2)2 + y2 = 5 c) x2 + y2 + 8x – 4y – 5 = 0 d) 3x2 + 3y2 + 4x + 1 = 0 Giải : a) Đường tròn tâm I(- 1 ; 4) , bán kính R = 1 29
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng b) Đường tròn tâm I(2 ; 0) , bán kính R = 5 c) a = - 4 , b = 2 , c = - 5 => I(- 4 ; 2) , R = abc22+ −= 4255 22 + += d) Viết lại phương trình đường tròn bằng cách chia hai vế cho 3 : 41 x2 + y2 + x0+= 33 2 2 ⎛⎞213 Tâm I( - ;0) , bán kính R = ⎜⎟−= 3 ⎝⎠393 Ví dụ 2 : Cho phương trình : x2 + y2 + 2mx – 2my + 3m2 – 4 = 0 (1) a) Định m để (1) là phương trình một đường tròn . b) Chúng minh tâm các đường tròn này di động trên một đọan thẳng khi m thay đổi . c) Viết phương trình đường tròn (1) biết nó có bán kính là 1 . d) Tính bán kính đường tròn (1) biết nó tiếp xúc với ∆ : 2x – y = 0 Giải : a) Ta có : a = m , b = - m , c = 3m2 – 4 . Để (1) là phương trình đường tròn thì : a2 + b2 – c > 0 Ù m2 + m2 – (3m2 – 4) > 0 Ù 4 – m2 > 0 Ù - 2 xI + yI = 0 ⎩y I = −b = m Lại có : - 2 < m < 2 Ù - 2 < xI < 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra tập hợp của I là đọan AB có phương trình x + y = 0 ( - 2 < x < 2) b) Với – 2 < m < 2 , đường tròn có bán kính là R = 4m− 2 . Ta có : R = 1 Ù 4 – m2 = 1 Ù m 2 = 3 Ù m = ± 3 • m = 3 : phương trình đường tròn là : x2 + y2 – 2 3 x + 2 3 y + 5 = 0 • m = - 3 : phương trình đường tròn là : x2 + y2 + 2 3 x - 2 3 y + 5 = 0 c) Đường tròn tiếp xúc Ù d(I, ∆ ) = R |2mm|−− Ù =−4m2 5 Ù 9m2 = 5(4 – m2 ) ( bìng phương hai vế) 30
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 10 Ù 14m2 = 20 Ù m = ± 7 Ví dụ 3 : Cho đường tròn (C ) : x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 a) Tìm tâm và bán kính của (C). b) Cho A(3 ; -1) , chúng minh A là điểm ở trong đường tròn .Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt (C) theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất . c) Cho d : 3x – 4y = 0 , chúng minh d cắt (C) . Tính độ dài dây cung . Giải : a) a = 1 ; b = - 2 , c = - 4 => tâm I có tọa độ (1 ; - 2) , bán kính R = abc322+ −=. b) Ta có : IA2 = (3 – 1)2 + (- 1 + 2)2 = 5 => IA d cắt (C) theo một dây cung MN . 3122+ 10 5 Kẻ IH vuông góc MN , thế thì : IH = , IM = R = 3 , suy ra : 10 25 65 13 MH2 = IM2 – IH2 = 9 - = = 10 10 2 13 Vậy độ dài MN = 2MH = 2. = 26 2 Cần nhớ : Cho đường tròn (I , R) và đường thẳng Δ : • Δ tiếp xúc (I) Ù d(I, Δ) = R • Δ cắt (I) Ù d(I, Δ) R Dạng toán 2 : Thiết lập phương trình đường tròn . Có 2 cách để thiết lập phương trình đường tròn : 1. Tìm tọa độ (h ; k) của tâm và tính bán kính R , phương trình đường tròn cần tìm là : (x – h)2 + (y – k)2 = R2 . 2. Tìm a , b, c , phương trình đường tròn cần tìm là : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 31
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng Cần nhớ : 2 2 • Đường tròn (I, R) qua M(x0 ; y0) Ù IM = R 2 2 2 Ù (x0 – h) + (y0 – k) = R ∆ 2 2 Ù x0 + y0 + 2ax0 + 2by0 + c = 0 • Đường tròn (I, R) tiếp xúc ∆ Ù d(I, ∆) = R I • Đường tròn (I, R) tiếp xúc trục Ox Ù |h| = R • Đường tròn (I, R) tiếp xúc trục Oy Ù |k| = R O Ví dụ 1 : Viết phương trình đường tròn : a) đường kính AB với A(3 ; 1) và B(2 ; - 2) . b) có tâm I(1 ; - 2) và tiếp xúc với đường thẳng d : x + y – 2 = 0 c) có bán kính 5 , tâm thuộc Ox và qua A(2 ; 4) . d) có tâm I (2 ; - 1) và tiếp xúc ngòai với đường tròn : (x – 5)2 + (y – 3)2 = 9 e) tiếp xúc hai trục và có tâm trên đường thẳng ∆ : 2x – y – 3 = 0 Giải : a) Tâm đường tròn là trung điểm I của AB, có tọa độ ⎛⎞⎛⎞xxyyABAB++ 51 ⎜⎟⎜⎟;;= − ⎝⎠⎝⎠22 22 22 ⎛⎞13 ⎛⎞ 10 Bán kính R = IA = ⎜⎟+= ⎜⎟ . Phương trình đường tròn là : ⎝⎠22 ⎝⎠ 2 52 1 5 (x - )(y)22++ = 222 |1− 2− 2| 3 b) Bán kính đường tròn là R = d(I, d) = = 1122+ 2 9 Phương trình đường tròn là : (x – 1)2 + (y + 2)2 = 2 c) Vì tâm I ∈ Ox nên I = (h ; 0) . Ta có : IA = R Ù (h – 2)2 + (4 – 0)2 = 25 Ù (h – 2)2 = 9 Ù h – 2 = 3 hay h – 2 = - 3 Ù h = 5 hay h = - 1 . Phương trình đường tròn cần tìm : (x – 5)2 + y2 = 25 hay (x + 1)2 + y2 = 25 d) Đường tròn (x – 5)2 + (y – 3)2 = 9 có tâm K(5 ; 3) , bán kính r = 3 Đường tròn (I, R) cần tìm tiếp xúc ngòai với (K) Ù IK = R + r Mà IK = (5− 2)22++ (3 1) = 5 , suy ra : R = 5 – r = 2 . Vậy phương trình đường tròn (I) là : (x – 2)2 + (y + 1)2 = 4 32
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng I b I K a O e) Gọi (h; k) là tâm và R là bán kính đường tròn . Ta có : ⎧d(O,Ox) =| k |= R (I) tiếp xúc Ox , Oy Ù ⎨ ⎩d(O,Oy) =| h |= R Suy ra : |h| = |k| Ù h = k (1) hay h = - k ( 2) Mặt khác : I ∈ ∆ Ù 2h – k – 3 = 0 (3) • Giải (1) và (3) : h = k = 3 => R = 3 • Giải (2) và (3) : h = 1 , k = - 1 => R = 1 . Phương trình đường tròn cần tìm : (x – 3)2 + (y – 3)2 = 9 hay (x – 1)2 + (y + 1)2 = 1 Ví dụ 2 : Viết phương trình đường tròn : a) qua A(- 2 ; - 1) , B(- 1 ; 4) và C(4 ; 3) b) qua A(0 ; 2) , B(- 1; 1) và có tâm trên đường thẳng 2x + 3y = 0 c) qua A(5 ; 3) và tiếp xúc đường thẳng d : x + 3y + 2 = 0 tại điểm T(1 ; - 1) Giải a) Phương trình đường tròn có dạng (C) : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 (C) qua A(- 2 ; - 1) Ù 22 + 12 + 2a(-2) + 2b(-1) + c = 0 Ù 4a + 2b - c = 5 (1) (C) qua B(- 1 ; 4) Ù 2a – 8b - c = 17 (2) (C) qua C(4 ; 3) Ù 8a + 6b + c = - 25 (3) Giải hệ (1), (2), (3) , ta được : a = b = - 1 , c = - 11 Phương trình đường tròn cần tìm là :x2 + y2 – 2x – 2y – 11 = 0 b) Phương trình đường tròn có dạng (C) : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 (C) qua A(0 ; 2) Ù 4b + c = - 4 (1) (C) qua B(- 1 ; 1) Ù - 2a + 2b + c = - 2 (2) Tâm I(a ; b) ∈ ∆ Ù 2a + 3b = 0 (3) Giải hệ (1), (2), (3), ta được a = - 3 , b = 2 , c = - 12 . Phương trình đường tròn cần tìm là : x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 33
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng c) Phương trình đường tròn có dạng (C) : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 (C) qua A(5 ; 3) Ù 10a + 6b + c = - 34 (1) (C) qua T( 1 ; - 1) Ù 2a - 2b+ c = - 2 (2) Tâm I(a ; b) ∈ đường thẳng vuông góc với d : x + 3y + 2 = 0 tại I T(1 ; - 1) có phương trình là : 3(x – 1) – (y + 1) = 0 Ù 3x – y – 4 = 0 Do đó : - 3a + b = 4 (3) . Giải hệ (1), (2), (3), ta được : a = b = - 2 , c = - 2 . Phương trình T đường tròn cần tìm là : x2 + y2 – 4x – 4y – 2 = 0 d Ví dụ 3 : Cho A(2 ; 0) và B(0 ; 1) , chúng minh tập hợp những điểm M thỏa MA2 – MB2 = MO2 là một đường tròn . Xác định tâm và bán kính đường tròn ấy . Giải Gọi (x ; y) là tọa độ của M , ta có : MA2 – MB2 = MO2 Ù [(x – 2)2 + y2 ] – [(x2 + (y – 1)2 ] = x2 + y2 Ù x2 + y2 + 4x – 2y – 3 = 0 Đây là phương trình đường tròn tâm I(- 2 ; 1) , bán kính R = 2 2 . Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn . Cần nhớ : Cho đường tròn tâm I(a ; b) , bán kính R : • Nếu biết tiếp điểm là T (x0 ; y0) thì phương trình tiếp tuyến là đường thẳng qua (x0 ; y0) và vuông góc với IT = (x0 – h ; y0 - k) • Nếu không biết tiếp điểm thì dùng điều kiện sau để giải : ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (I, R) Ù d(I, ∆) = R Ví dụ 1 ( Tiếp tuyến tại một điểm cho trước) a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25 tại điểm có hoành độ là – 1 . b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x – 2y – 5 = 0 tại điểm mà đường tròn cắt trục Ox. Giải a) Tâm I(3 ; - 1) , bán kính r = 5 Thế x = - 1 vào phương trình đường tròn , ta có : 16 + (y + 1)2 = 25 Ù (y + 1)2 = 9 Ù y + 1 = ± 3 Ù y = 2 hay y = - 4 . Vậy tọa độ tiếp điểm là (- 1 ; 2) hay ( - 1 ; - 4) • Với tiếp điểm T (- 1; 2) , tiếp tuyến vuông góc IT = (- 4 ; 3) có phương trình là : - 4(x + 1 ) + 3(y – 2 ) = 0 Ù - 4x + 3y – 10 = 0 34
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng • Với tiếp điểm (- 1; - 4 ) , tiếp tuyến vuông góc IT = (- 4 ; - 3) có phương trình là : 4(x + 1) + 3(y + 4) = 0 Ù 4x + 3y + 16 = 0 b) Thế y = 0 vào phương trình đường tròn : x2 + 4x – 5 = 0 Ù x = 1 hay x = - 5 Vậy tọa độ tiếp điểm là (1 ; 0) hay ( - 5 ; 0) . Đường tròn có tâm là I(- 2 ; 1) . • Tiếp tuyến tại T(1 ; 0) vuông góc với IT = ( 3 ; - 1) có phương trình : 3(x – 1) – 1.(y – 0) = 0 Ù 3x – y – 3 = 0 • Tiếp tuyến tại T(- 5 ; 0) vuông góc với IT = ( - 3 ; - 1) có phương trình : 3(x + 5) – 1.(y – 0) = 0 Ù 3x – y + 15 = 0 Ví dụ 2 ( Tiếp tuyến có phương cho trước ) a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn x2 + y2 = 2 biết tiếp tuyến có hệ số góc là 1 . b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) : x2 + (y – 1) 2 = 25 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 3x – 4y = 0 Giải : a) Đường tròn có tâm O(0 ; 0) , bán kính 2 . Phương trình đường thẳng d có hệ số góc là 1 có dạng : x – y + m = 0 ( m là số chưa biết) . Ta có : d tiếp xúc (C) Ù d(I, d) = R |m| Ù = 2|m|2 = 1122+ Ù m = ± 2 Vậy phương trình tiếp tuyến là : x – y ± 2 = 0 b) Đường tròn có tâm I(0 ; 1) , bán kính R = 5 . Phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với 3x – 4y = 0 có dạng : 4x + 3y + m = 0 . ∆ tiếp xúc (C) Ù d(I, ∆) = R |4.0+ 3.1+ m| Ù = 5 Ù |3 + m| = 25 4322+ Ù m = 22 hay m = - 28 . Vậy phương trình tiếp tuyến là : 4x + 3y = 22 hay 4x + 3y – 28 = 0 Ví dụ 3 ( Tiếp tuyến qua một điểm cho trước ) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn : x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0 tâm I(2 ; 1) , bán kính R = 3 biết tiếp tuyến qua điểm A(- 1 ; 2) . 35
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng Giải a) Đường tròn có tâm I(2 ; 1) , bán kính R = 3 . Phương trình đường thẳng ∆ qua A(- 1 ; 2) có dạng : y – 2 = k(x + 1) Ù kx – y + k + 2 = 0 (*) , k là hệ số góc của ∆ . ∆ tiếp xúc (C) Ù d(I, ∆) = R |2.k1k2|− ++ Ù = 3Ù | 3k + 1 | = 3. k12 + k12 + Bình phương hai vế : 9k2 + 6k + 1 = 9(k2 + 1) Ù 6k = 8 Ù k = 4/3 Thế vào (*) , ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm : ( 4/3) x – y + 4/3 + 2 = 0 Ù 4x - 3y + 10 = 0 . Ghi chú : Thường từ một điểm có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đường tròn , ở đây ta chỉ được một là vì ta đã chưa xet đến đường thẳng qua A vuông góc với Ox, đường này không có hệ số góc * Xét ∆ : x – 2 = 0 ( qua A và vuông góc Ox) : ||−− 1 2 | Ta tính d(I, ∆) = = 3 , vậy d(I, ∆) = R , do đó ∆ : x – 2 = 0 cũng là một 1 tiếp tuyến cần tìm . Qua A(2 ; 1) có hai tiếp tuyến là : x – 2 = 0 và 4x - 3y + 10 = 0 . Ghi chú : Có thể viết phương trình tiếp tuyến qua A( - 1 ; 2) dưới dạng tổng quát : a(x + 1) + b(y – 2)= 0 Ù ax + by + a – 2b = 0 . | 2.a + b.1+ a − 2b | Điều kiện tiếp xúc : d(I, Δ) = R Ù = 3 a 2 + b 2 Ù (3a – b)2 = 9(a2 + b2 ) Ù b(8b + 6a) = 0 Ù b = 0 hay a = - 4b/3 * Ví dụ 34 : Cho (C) : x2 + y2 = 1 và (C’) : (x – 2)2 + (y – 3)2 = 4 . Viết phương trình tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn . Giải (C) có tâm O , bán kính 1 và (C’) có tâm I , bán kính 2 . Phương trình tiếp tuyến chung d có dạng : ax + by + c = 0 ( a2 + b2 ≠ 0 ) thỏa : 36
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng ⎧ | c | ⎪d(O,d) = 1 a 2 + b 2 ⎪ ⎧ | c | ⎪ | 2a + 3b + c | ⎪ = 1 (1) ⎨d(I,d) = = 2 ⎨ a 2 + b 2 ⎪ a 2 + b 2 ⎪ ⎩2a + 3b + c = −2c (2) ⎪c(2a + 3b + c) < 0 (O và I cùng mot phía vói d ) ⎪ ⎩ 2a + 3b Từ (2) : c = - . Thế vào (1) và bình phương : 3 2 ⎛ 2a + 3b ⎞ a2 + b2 = ⎜ ⎟ Ù 5a2 – 12ab = 0 Ù a(5a – 12b) = 0 ⎝ 3 ⎠ 12b Ù a = 0 hay a = . Phương trình hai tiếp tuyến cần tìm : 5 y – 1 = 0 hay 12x + 5y – 13 = 0 C. Bài tập rèn luyện . 3. 38. Tìm tâm và bán kính các đường tròn sau : a) (2x + 5)2 + (2y – 3)2 = 4 b) x2 + y2 + x + y – 1 = 0 2 2 2 2 c) x + y + 3x + 1 = 0 d) 2x + 2y – 4x + 3y = 0 3. 39. Tìm điều kiện của tham số để các phương trình sau là phương trình đường tròn và tìm tập hợp tâm các đường tròn khi tham số thay đổi. a) x2 + y2 – 2(m + 1)x + 4(m – 2)y – 1 = 0 b) x2 + y2 + 2mx – 2my + 2m2 + m = 0 c) x2 + y2 – 2mx + 4my + 6m2 – 1 = 0 2 2 3.40. Cho (Cm) : x + y + 2mx – 2(m + 1)y – 2m – 4 = 0 a) Chúng minh (Cm) là đường tròn với mọi m . b) Viết phương trình (Cm) có bán kính nhỏ nhất . c) Chúng minh có hai đường tròn (Cm) tiếp xúc với đường thẳng x + y + 5 = 0 3.41. Cho đường tròn (C) : x2 + y2 - 2x + 2y – 3 = 0 a) Tìm độ dài dây cung mà (C) chắn trên trục Ox. b) Tìm độ dài tiếp tuyến vẽ từ A ( - 2 ; 3) đến đường tròn (C) . 37
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng c) Tìm tâm và bán kính đường tròn (C’) : x2 + y2 + 6x + 6y + 13 = 0 . Chúng minh (C) và (C’) tiếp xúc ngòai tại T . Viết phương trình tiếp tuyến chung tại T. 3.42. Cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x – 6y + 7 = 0 a) Điểm M(- 1; 1) ở trong hay ở ngòai đường tròn . Lập phương trình dây cung qua M và có độ dài ngắn nhất . b) Lâp phương trình đường thẳng qua O và cắt (C) theo một dây cung có độ dài là 2 . 3. 43. L ập phương trình đường tròn : a) có tâm I(3 ; - 2) , bán kính 2 b) có tâm I(2 ; - 4) và qua gốc tọa độ c) có tâm I(1 ; - 2) và tiếp xúc đường thẳng x – y 0 * 3. 44. Lập phương trình đường tròn : a) qua A(1 ; 2) và tiếp xúc hai trục tọa độ . b) tiếp xúc hai đường thẳng song song : 2x – y – 3 = 0 , 2x – y + 5 = 0 và có tâm trên Oy. c) tiếp xúc đường thẳng 2x + y – 5 = 0 tại điểm T(2 ; 1) và có bán kính 2 5 * d) tiếp xúc với hai đường thẳng .x – 2y + 5 = 0 và x + 2y + 1 = 0 và qua gốc O. 3.45. Lập phương trình đường tròn : a) qua A(0 ; 4) , B( - 2; 0) và C(4 ; 3) b) qua A(2 ; - 1), B(4 ; 1) và có tâm trên Ox . c) qua A(3 ; 5) và tiếp xúc đường thẳng x + y – 2 = 0 tại điểm T(1 ; 1) . 3.46. Cho đường tròn (C) : (x – 2)2 + (y + 1)2 = 4 . a) Tìm trên Oy điểm từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến của (C) và hai tiếp tuyến vuông góc nhau . b) Tìm trên (C) điểm ở gần gốc O nhất. 3.47. Chứng minh đường thẳng Δ :2x – y = 0 và đường tròn : x2 + y2 – 4x + 2y – 1 = 0 cắt nhau . Tìm độ dài dây cung tạo thành . 2 2 2 2 3.48. Cho hai đường tròn ( C) : x + y – 2x – 4y + 1 = 0 và (C’) : x + y + 4x + 4y - 1 = 0 . a) Chứng minh hai đường tròn tiếp xúc ngòai . Tìm tọa độ tiếp điểm T. b) Viết phương trình tiếp tuyến chung tại T. 38
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng * 3. 49. Cho đường tròn (x – 3)2 + (y + 2)2 = 9 và điểm M(- 3 ; 1) a) Chứng minh M ở ngòai đường tròn . b) Tính phương tích của M đối với đường tròn và tính độ dài tiếp tuyến MT. * 3.50. Cho hai đường tròn (C ) : x2 + y2 – 2x – 2y + 1 = 0 và (C’) : x2 + y2 – 4x + 6y + 9 = 0 a) Chứng minh hai đường tròn có 4 tiếp tuyến chung . b) Chứng minh bốn điểm chia các đọan tiếp tuyến chung theo tỉ số - 2 cùng nằm trên một đường tròn . 3.51. a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn x2 + y2 – 2x + 4y – 5 = 0 tại điểm (2 ; 1) . b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (x + 1)2 + (y - 3)2 = 5 tại điểm mà đường tròn cắt Oy . *3.52.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn x2 + y2 – 2x + 8y – 1 = 0 : a) biết tiếp tuyến song song đường thẳng x – y + 3 = 0 b) biết tiếp tuyến qua điểm (2 ; 1) . *3.53.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn x2 + y2 – 2x - 4y – 5 = 0 : a) biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng 3x + y = 0 b) biết tiếp tuyến phát xúât từ điểm A(3 ; - 2) . c) Viết phương trình đường tròn ngọai tiếp tam giác AT1T2 và đường thẳng qua hai tiếp điểm T1, T2 . *3.54.Cho hai đường tròn : x2 + y2 – 2x - 2y – 2 = 0 và x2 + y2 – 8x – 4y + 16 = 0 a) Chứng minh hai đường tròn bằng nhau và cắt nhau . b) Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm của hai đường tròn . b) Tìm phương trình tiếp tuyến chung của chúng . *3.55. Cho A(3 ; 0) và B(0 ; 4) . Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB . *3.56. Biện luận theo m vị tri tương đối của đường thẳng Δ và đường tròn (C ) a) Δ : x + 3y + m = 0 ; (C) : (x – 2)2 + y2 = 10 b) Δ : x – my + m – 4 = 0 ; (C ) : x2 + y2 - 2x – 4y + 4 = 0 *3.57. Cho hai đường thẳng Δ : x + 1 = 0 và Δ’ : x – 1 = 0 , cắt Ox tại A và B . . M và N là hai điểm di động trên Δ và Δ’ có tung độ là m và n sao cho luôn có : mn = 4. a) Viết phương trình đường thẳng AN và BM . 39
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng b) Chứng minh giao điểm I của AN và BM thuộc một đường tròn cố định . 3.58. Chọn câu đúng : Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn (x + 2)2 + (y – 1)2 = 4 a) I(2 ; - 1), R = 2 b) I(- 2 ; 1), R = 2 c) I(2 ; - 1) , R = 4 d) I(- 2 ; 1) , R = 4 3.59. Chọn câu đúng : Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn : 2x2 + 2y2 – 3x + 4y - 1 = 0 1 29 33 a) I(3/2 ; - 2) , R = b) I(- ¾ ; 1) , R = 2 4 33 17 c) I(3/4 ; - 1) , R = d) I(3/4 ; - 1) , R = 4 4 3. 60 Chọn câu đúng : Có bao nhiêu số nguyên m để : x2 + y2 – 2(m + 1)x + 2my + 3m2 + 2m – 12 = 0 là phương trình một đường tròn ? a) 5 b) 7 c) 9 d) vô số 3.61. Chọn câu đúng : Cho A(1 ; 1) và B(2 ; 3) , tập hợp các điểm M thỏa : 3MA2 – 2MB2 = 6 là một đường tròn . Bán kính của nó là : a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 3.62. Chọn câu đúng : Có hai đường tròn có tâm trên Ox , bán kính 5 và qua điểm A(1 ; - 38) . Khỏang cách hai tâm của chúng là : a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 3. 63. Chọn câu đúng : Đường tròn qua A(1 ; 0), B(2 ; 0) và C(0 ; 3) có bán kính gần nhất với số nào dưới đây ? a) 1, 1 b) 1, 2 c) 1, 3 d) 1, 4 D. Hướng dẫn hay đáp số : 3 3. 38. a) I (- 5/.2 ; 3/2 ) , R = 1 b) I(- ½ ; - ½ ) , R = 2 5 c) ( - 3/2 ; 0), R = d) I(1 ; - 3/2) , R = 5/4 2 3.39. a) ∀ m , tập hợp I là đường thẳng 2x + y – 6 = 0 b) m 0 c) – 1 0 , ∀ m b) Bán kính nhỏ nhất khi m = - 1 . c) Điều kiện tiếp xúc Ù 2m2 + 4m – 26 = 0 : phương trình này có hai 40
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng nghiệm . 3.41. a) 4 b) 2 5 c) Vì khỏang cách hai tâm bằng tổng hai bán kính . Phương trình tiếp tuyến chung là : 2x + y + 4 = 0 3.42. a) ở ngòai vì IM > R . Dây cung qua M và vuông góc IM . b) Vì dây cung có độ dài 2 nên khỏang cách từ I đến đường thẳng là : R12 −= 5 . Phương trình đường thẳng ∆ : kx – y = 0 . Giải : d(I, ∆) = 5 , ta được k . 3.44. Gọi I(h ; k) là tâm và R là bán kính : ⎧| h | = | k | = R (1) a) Ta có hệ : ⎨ 2 2 2 ⎩(h −1) + (k − 2) = h (2) Thế lần lượt k = h và k = - h vào (2) , ta được phương trình tính h . ⎧d(I,Δ )=Δ d(I, ') b) I(0 ; k) , ta có hệ phương trình : ⎨ ⎩d(I,Δ= ) R ⎧| 2h + k − 5 | = 2 5 ⎪⎧d(I,Δ) = 2 5 ⎪ 5 c) Ta có hệ : ⎨ Ù ⎨ ⎪ h − 2 k −1 ⎩IT // n ⎪ = ⎩⎪ 2 1 ⎧⎡2h + k − 5 = 10 ⎪⎢ Ù ⎨⎣2h + k − 5 = −10 ⎪ ⎩h − 2k = 0 3.45. Phương trình đường tròn có dạng : x2 + y2 + 2a + 2by + c = 0 a) Thế tọa độ A, B, C , ta được hệ phương trình tính a, b, c . b) Ta có : b = 0 , thế tọa độ A và B , ta có hệ tính a và c . c) Phương trình đường thẳng qua T và vuông góc x + y – 2 = 0 là : x – y = 0 . Ta có hệ : ⎧34 + 6a +10b + c = 0 ⎪ ⎨2 + 2a + 2b + c = 0 ⎪ ⎩− a + b = 0 qua A(3 ; 5) và tiếp xúc đường thẳng x + y – 2 = 0 tại điểm T(1 ; 1) . 41
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 3.46. a) Điểm cần tìm cách tâm một khỏang là R 2 . b) Điểm cần tìm là giao điểm của OI và đường tròn . 3.47. a) Đường tròn có tâm I(2 ; - 1) , bán kính R = 6 5 Ta có : d(I, Δ) = = 5 Δ cắt đường tròn . 5 Độ dài dây cung : 2 R 2 − d 2 = 2 3. 48. (C) có tâm I(1 ; 2) . (C’) có tậm I’(- 2 ; - 2). ⎪⎧x 2 + y 2 - 2x − 4y + 1 = 0 (1) Điểm chung của hai đường tròn thỏa hệ : ⎨ 2 2 ⎩⎪ x + y + 4x + 4y - 1 = 0 .(2) − 4y +1 Lây (1) trừ (2) : - 6x – 8y + 2 = 0 Ù x = . 3 Thế vào (1) : (5y – 2)2 = 0 Ù y = 2/5 => x = - 1/5 . Hai đường tròn có một điểm chung T nên tiếp xúc nhau tại T(- 1/5 ; 2/5) .Lại có xI’ R = 3 b) Phương tích của M là : IM2 – R2 = 28 và độ dài tiếp tuyến là 28 = 2 7 Ghi chú : Tổng quát có thê chứng minh được rằng : Phương tích của điểm M(x0 ; 2 2 2 2 y0) đối với đường tròn : x + y + 2ax + 2by + c = 0 là : x 0+ y 0+ 2ax0 + 2by0 + c . 3.50. a) (C) có tâm I(1 ; 1 ) , bán kính R = 1 . (C’) có tâm I’(2 ; - 3) , bán kính R’ = 2 . Vì II’ = 17 > R + R’ = 3 nên hai đường tròn cắt nhau . Suy ra chúng có 4 tiếp tuyến chung . b) Gọi M là điểm chia đọan tiếp tuyến chung TT’ theo tỉ số - 2 , thế thì : MT = 2MT’ Ù MT2 = 4MT’ 2 Ù IM2 – R2 = 4(I’M2 – R’2 ) 42
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng Ù x2 + y2 – 2x – 2y + 1 = 4(x2 + y2 – 4x + 6y + 9 ) Ù 3x2 + 3y2 - 14x + 26y + 35 = 0 Đây là phương trình một đường tròn . 3.51. a) x + 3y – 5 = 0 b) x + 2y – 10 = 0 hay x + 2y – 6 = 0 3.52 a) x – y + 1 = 0 , x – y – 11 = 0 b) x + y – 3 = 0 , 7x – 17y + 3 = 0 3.53. c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AT1T2 có đường kính là AI , có phương trình : x2 + y2 – 4x – 1 = 0 . * Tọa độ các điểm T1 , T2 thỏa hệ : T1 ⎪⎧x 2 + y 2 − 4x −1 = 0 nên cũng thỏa : ⎨ 2 2 ⎩⎪x + y − 2x − 4y − 5 = 0 (x2 + y2 – 4x – 1) – (x2 + y2 – 2x – 4y – 5) = 0 A Ù - 2x + 4y + 4 = 0 Ù x – 2y – 2 = 0 I Do đó phương trình đường thẳng T1T2 là x – 2y – 2 = 0 3.54. a) (C) có tâm I(1 ; 1) , R = 2 . (C’) có T2 tâm I’(4 ; 2) . R’ = 2 . Vì R – R’ chúng cũng thỏa phương trình : ⎨ 2 2 ⎩⎪x + y + 2a'x + 2b' y + c'= 0 (2) (1) – (2) : 2(a – a’)x + 2(b – b’)y + c – c’ = 0 c) Tiếp tuyến chung có VTCP là (3 ; 1) và cách I một khoảng là 2 . S 3.55. Bán kinh đường tròn là r = = 1. Phương trình phân giác trong góc O là p x – y = 0 . Tọa độ I là (1 ; 1) . Phương trình đường tròn nội tiếp là : (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1 . | 2 + m | 3.56. a) (C) có tâm I(2 ; 0) , R = 10 . d = d(I, Δ) = 10 ¾ d < R Ù - 12 < m < 8 : d và (C) cắt nhau ¾ d = R Ù m = 8 hay m = - 12 : d và (C) tiếp xúc 43
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng ¾ d > R Ù m 8 : d và (C) ngòai nhau . | m + 3 | b) (C ) có tâm I (1 ; 2) , R = 1 . d = d(I, Δ) = m 2 +1 | m + 3 | ¾ d 6m + 8 m R Ù m > - 4/3 : d và (C) ngòai nhau 3. 57. a) Phương trình chính tắc AN x +1 y qua A(- 1; 0) và N(1 ; n) : = (1) 2 n Phương trình chính tắc BM qua B(1 ; 0) N x −1 y và M(- 1 ; m) : = (2) 2 − m b) Tọa độ (x ; y) của I thỏa (1) và (2) M I x +1 x −1 y y => (x ; y) thỏa : . = . 2 2 n − m x 2 −1 y 2 y 2 B Ù = − = − Ù x2 + y2 = 1 A 4 mn 4 Vậy I thuộc đường tròn (O ; 1) 3. 58 (b) 3.59.(c) 3.60. (b) 3.61. (d) 3.62 (d) 3.63 (d) &5 .Êlip A. Tóm tắt giáo khoa 1. Định nghĩa . Cho hai điểm cố định F1 , F2 với FF12= 2 c và một độ dài không đổi 2a ( a > c) Elip là tập hợp những điểm M sao cho : FM+ FM= 2 a 12 y B F1 , F2 : tiêu điểm , F1F2 : tiêu cự , F1M 2 M , F2M : bán kính qua tiêu . 2. Phương trình chính tắc . x Với F1( - c ; 0) , F2(c ; 0) : F F2 A A1 1 O 2 B1 44
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng xy22 M(x ; y) ∈ (E) Ù + = 1 với b2 = a2 - c 2 . ( 1) ab22 (1) : phương trình chính tắc của (E) 3. Hình dạng của elip .- * A1 ( - a ; 0 ) , A2 ( a ; 0 ) , B1(0 ; - b) , B2 ( 0 ; b) : đỉnh . * Đoạn A1A2 = 2a : trục lớn , B1B2 = 2b : trục nhỏ . * Hình chữ nhật giới hạn bởi các đường x = ± a, y = ± b gọi là hình chữ nhật cơ sở của elip. c * e = a = 2 và b = 1 Suy ra A1 (- 2; 0 ) , A2 (2 ; 0 ) , B1(0 ; - 1 ) , B2 ( 0 ; 1) Độ dài trục lớn 2a = 4 , trục nhỏ 2b = 2 . 22 Ta có : c = ab−=3 . Tiêu cự 2c = 2 3 , tiêu điểm F1( - 3 ; 0 ) , F2 ( 3 ; 0 ) . Tâm sai : e = c/a = 3/2 . xy22 c) Viết lại phương trình (E) : + = 1 => a2 = 16 ; b2 = 9 => a = 4 , b = 3 và c 16 9 = ab22−=7 Suy ra A1 (- 4; 0 ) , A2 (4 ; 0 ) , B1(0 ; - 3 ) , B2 ( 0 ; 3) Độ dài trục lớn 2a = 8 , trục nhỏ 2b = 6 . Tiêu cự 2c = 2 7 , tiêu điểm F1( - 7 ; 0 ) , F2( 7 ; 0 ) . 7 Tâm sai e = c/a = 4 45
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng y y x O x O Dạng toán 2 : Lập phương trình chính tắc của êlip : Từ giả thiết , lập hệ phương trình theo a và b . Giải hệ , tìm được a , b . Suy ra 22 xyoo phương trình (E) . Cân nhớ : M(x0 ; y0) ∈ (E) Ù + =1 ab22 Ví dụ 1 : Lập phương trình của elip (E) biết : a) Có độ dài hai trục là 6 , 4 . b) (E) có một đỉnh là ( 5 ; 0 ) và tiêu cự là 6 . c) (E) có một đỉnh là (0 ; 3 ) và (E) qua điểm M( 4 ; 1) . 3 2 d) (E) qua hai điểm ( 1 ; ) và (- 2 ; ) . 2 2 e) (E) có tiêu điểm F2 ( 2 ; 0 ) và qua điểm (2, 5/3) Giải a) 2 a = 6 = > a = 3 , 2b = 4 = > b = 2 . Phương trình elip là : xy22 +=1 94 xy22 b) Phương trình (E) : +=1 ab22 Đỉnh (5 ; 0 ) ∈Ox do đó nó là đỉnh A2 (a ; 0 ) . Suy ra : a = 5 Tiêu cự = 2c = 6 Ù c = 3 . Suy ra : b2 = a2 - c2 = 25 – 9 = 16 xy22 Vậy phương trình (E) là : + = 1 25 16 xy22 c) Phương trình (E) : +=1 ab22 Đỉnh (0 ; 3 ) ∈Oy do đó nó là đỉnh B2 ( 0 ; b ) . Suy ra : b = 3 và : x22y (E) : + = 1 a2 9 46
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 412 168 M(4; 1) ∈ (E) Ù + = =118 =a2 aa2299 xy22 Vậy phương trình (E) : +=1 18 9 xy22 d) Phương trình (E) : +=1 ab22 3 13 ( 1 ; ) ∈ (E) Ù + = 1 (1) 2 ab224 2 22 N(- 2 ; ) ∈(E) Ù + = 1 (2) 2 ab224 11 Giải hệ (1) và (2) với hai ẩn là : u = ,v = , ta được : u = ¼ , v = 1 . ab22 xy22 Vậy phương trình (E) : +=1 41 e) F2( 2 ; 0 ) => c = 2 . Suy ra : F1 ( - 2 ; 0 ) . 2 2 2 ⎛⎞55 2 ⎛⎞513 Ta có : F2M = (2−+ 2) ⎜⎟ = , F1M = (2++ 2) ⎜⎟ = ⎝⎠33 ⎝⎠33 13 5 Theo định nghĩa elip : 2a = F1M + F2M = + = 6 => a = 3 . 33 x22y Suy ra : b2 = a2 – c2 = 5 và phương trình eip là : + 95 xy22 Cách khác : c= 2 = > a2 = b2 + 4 . Phương trình elip : + = 1 ab22 Thế tọa độ của M , ta được : 425 + =1 36bb22 + 25 + 100 = 9 bb 42 + 36 bb22+ 49 Ù 9b4 – 25b2 – 100 = 0 . Giải phương trình trùng phương này , ta được : b2 =5 . Suy ra a2 = 9 . Ví dụ 2 : Cho đoạn AB có độ dài không đổi bằng 3 . Đầu A( 0 ; a) di động trên truc hoành , đầu B (b ; 0) di động trên trục tung . M là điểm chia đoạn AB theo tỉ số – 2. Tìm tọa độ của M , suy ra M di động trên một elip . Giải Gọi (x; y) là tọa độ của M , ta có : 47
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng ⎧ xx+ 2 2b x ==AB ⎪ 33 MAMB=−2. Ù ⎨ yy+ 2 a ⎪y ==AB ⎩⎪ 33 2 22 2 2 2 2 ⎛⎞3x xy Vì a + b = AB = 3 , suy ra : (3y) + ⎜⎟ = 9 Ù + = 1 ⎝⎠2 41 xy22 Vậy M di động trên elip có phương trình + = 1 41 Dạng toán 3 : Tìm điểm thuộc (E) 22 xyoo Cân nhớ : * M(x0 ; y0) ∈ (E) Ù + =1Ù F1M + F2M = 2a . ab22 cx M cx M * F1M = a + ; F2M = a − a a xy22 Ví dụ 1 : Cho elip (E) : + = 1 62 a) Tìm trên (E ) điểm M có hoành độ là 2 . b) Tìm tọa độ giao điểm của (E) và đường thẳng y = x 3 - 2 . 0 c) Tìm trên (E) điểm M sao cho góc F1MF2 = 90 . d) Tìm trên (E) điểm M thỏa F1M – F2M = 6 GIẢI a) Thế x = 2 vào phương trình của (E) : (2)22y 4 2 += = =±1 yy2 62 3 3 2 2 Ta tìm được 2 điểm M có tọa độ (2 ; ) , ( 2 ; - ) . 3 3 ⎧ xy22 ⎪ +=1(1) b) Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ : ⎨ 62 ⎪ ⎩yx=−32(2) Thế (2) vào (1) : x2 + 3(x 3 -2)2 = 6 Ù x2 + 3(3x2 – 4x 3 + 4) = 6 Ù 5x2 - 6x 3 + 3 = 0 48
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 3 Phương trình này có 2 nghiệm : xx==3; 125 7 Thế vào (2) : yx=−==−=−321; yx 32 11 2 2 5 Ta được 2 điểm có tọa độ (x1 ; y1) , (x2 ; y2 ) . 0 c) Gọi (x; y) là tọa độ của M . Ta có : F1MF2 = 90 Ù OM = OF1 = OF2 22 22 2 2 2 Ù xyc+ = xy + = 4 ( c = a – b M = 6 – 2 = 4 ) Mặt khác vì M ∈ (E) nên tọa độ E thỏa : 2 2 2x + 6y = 12 F1 F2 ⎪⎧2612xy22+= Ta có hệ : ⎨ 22 ⎩⎪xy+=4 ⎧⎪⎪x2 = 3 ⎧x =± 3 Ù ⎨⎨2 ⎩⎪y = 1 ⎩⎪y =±1 Ta tìm được 4 điểm có tọa độ ( 3 ; 1) , ( 3 ; - 1) , (- 3 ; 1) , ( - 3 ; - 1) d) Theo định nghĩa : F1M + F2M = 2a = 2 6 mà F1M – F2M = 6 36 6 Suy ra : F1M = , F2M = 2 2 36 cx M 36 2x M 3 Từ đó : = a + Ù = 6+ Ù xM = 2 a 2 6 2 Thế lại vào phương trình (E) , ta được : 91555y2 + =1 yy2 = = = ± 24 2 48 16 4 35 35 Vậy tọa độ điểm cần tìm ( ;) và ( ;) 24 24 49
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng xy22 Ví dụ 4 : Cho elip (E) : + = 1 có tiêu điểm F1 , F2. M là điểm bất kì ab22 trên (E) . 2 2 a) Tìm trên (E) : x + 4y = 4 điểm M sao cho F1M = 2F2M 2 2 2 b) Chứng minh F1M . F2M + OM = a + b . xy22 Giải a) Viết lại phương trình (E) : + = 1 => a2 = 4 ; b2 = 1 => c2 = 3 41 c c Theo chúng minh trên : F1M = 2F2M Ù a + x = 2( a - x ) a a 3cx a2 Ù = =ax ac3 4 Thế a2 = 4 , c = 3 : x = . Thế vào phương trình (E) , ta được : 33 2 ⎛⎞42322 23 ⎜⎟+= =44yyÙ y = ± ⎝⎠33 27 27 2 cc22c b) Ta có : F1M . F2M = (a + x)(ax− ) = ax− ( 1) aa a2 OM2 = x2 + y2 (2) 2 2 2 c 2 2 Cộng (1) và (2) : F1M . F2M + OM = a + (1 - ) x + y a2 bx22 bx 22+ ay 22 = a2 + +=+ya22 aa22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Vì M ∈ (E) nên b x + a y = a b , suy ra : F1M . F2M + OM = a + b : giá trị không đổi . C. Bài tập rèn luyện. 3.64 . Xác định độ dài các trục , tọa độ đỉnh , tiêu điểm và vẽ các elip sau : xy22 xy22 a) +=1 b) +=1 c) 4x2 + 9y2 = 36 12 9 51 50
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng x2 3. 65 . Cho elip (E) : +=y2 1. Tìm trên (E) : 4 a) điểm M có tung độ ½ . b) điểm N có tung đô gấp đôi hoành độ . 0 c) điểm P sao cho góc F1PF2 = 90 . d) tọa độ các đỉnh của hình vuông nội tiếp (E) biết hình vuông có các cạnh song song với các trục tọa độ . ⎛⎞32 3.66. Cho elip (E) có độ dài trục lớn là 6 và qua điểm M( ⎜⎟;2 ⎝⎠2 a) Lập phương trình (E) . b) Tính độ dài dây cung của (E) vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm . 11 c) Tìm trên (E) điểm M cách tâm O một khoảng là . . 2 3.67. Lập phương trình (E) biết : a) tiêu cự 4 và khoảng cách từ một đỉnh đến tiêu điểm là 5 . b) độ dài trục nhỏ là 4 và một tiêu điểm là ( 2 ; 0 ) c) một tiêu điểm là F2 ( 5 ; 0 ) và khoảng cách giưa hai đỉnh là 9. 3.68. Lập phương trình (E) biết : a) độ dài trục lớn là 8 và qua điểm ( 3 ; 2) . ⎛⎞⎛⎞221 5 b) qua hai điểm P . ⎜⎟⎜⎟;,2;Q ⎝⎠⎝⎠33 3 2 c) có tiêu cự là 4 và qua điểm ( 1 ; ) 5 ⎛⎞34 0 d) qua điểm M⎜⎟; và F1MF2 = 90 . ⎝⎠55 3.69 . Cho (E) : 4x2 + 9y2 = 36 a) Xác định tiêu điểm , độ dài các trục . b) Một đường thẳng thay đổi d : y = x + m . Định m để d cắt (E) tại hai điểm P, Q . c) Tìm tọa độ trung điểm I của PQ . Chứng tỏ I di động trên một đoạn cố định khi d thay đổi . d) Gọi P’ và Q’ lần lượt là đối xứng của P và Q qua gốc O . Tứ giác PQP’Q’ là hình gì ? Định m để nó là hình thoi . 51
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 3.70. Cho hai êlip : x2 + 8y2 = 16 và 4x2 + 9y2 = 36 . Viết phương trình đường tròn qua các giao điểm của hai êlip . 3.71. Cho đường tròn tâm F1 ( - 2; 0) và bán kính 6 và điểm F2 (2 ; 0) . M là tâm đường tròn di động qua F2 và tiếp xúc trong với (F1) . Chứng minh M thuộc một êlip (E) . Viết phương trình (E). * 3.72.a) Viết phương trình của (E) biết nó có một tiêu điểm là F(- 2 ; 0) và khoảng cách từ F đến đỉnh trên trục nhỏ là 3 . b) Hai đường thẳng d : mx – y = 0 và d’ : x + my = 0 lần lượt cắt (E) tại M , P và N, Q . Tứ giác MNPQ là hình gì? Tính diện tích của nó theo m . c) Định m để MNPQ là hình vuông . 2 2 *3.73. Cho êlip : 5x + 9y = 45 có tiêu điểm F1 , F2 . M là điểm bất kì trên (E) . a) Chứng minh chu vi tam giác F1MF2 không đổi . Tìm m để diện tích tam giác F1MF2 là 2 đvdt. 1 1 b) Tim M sao cho : T = F1M + F2 M + + lớn nhất . F1M F2 M *3.74. Cho đường tròn tâm O , bán kính 2 . AB là đường kính trên Ox. Gọi M, N là hai điểm di động trên tiếp tuyến của (C) tại A và B , có tung độ là m, n luôn thỏa mn = 4. a) Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn (O). b) AN và BM cắt nhau tại I. Chứng minh I di động trên một elip (E). c) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AM và BN .Chứng minh đường tròn đường kính HK qua hai tiêu điểm của (E). *3.75. Cho điểm M di động trên êlip : 9x2 + 16y2 = 144 . H, và K là hình chiếu của M lên hai trục . Tìm M để diện tích OHMK lớn nhất . *3.76. Cho M, N là hai điểm bất kì trên êlip : 4x2 + 9y2 = 36 và không trùng với các đỉnh .Gọi I là trung điểm của MN. a) Chứng minh tích hệ số góc của đường thẳng MN và đường thẳng OI có giá trị không đổi . b) Viết phương trình đường thẳng MN biết trung điểm I có tọa độ (1 ; 1) * 3. 77. Cho đường tròn (O; a) và elip (E) : bx2 + ay2 = a2b2 . b a) Chứng minh phép co về trục hòanh theo hệ số k = biến (O) thành (E). a 52
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng b) Gọi T, M là hai điểm trên (O) ( MT cắt Ox ) , phép co trên biến đường thẳng MT thành đường thẳng nào . Chứng minh hai đường thẳng đó đồng qui . Khi M tiến về T ( T cố định ) thì MT , M’T’ tiến đến vị trí nào . Suy ra cách vẽ tiếp tuyến của (E) tại một điểm cho trước . Tìm phương trình tiếp tuyến biết tiếp điểm T’ có tọa độ (x0 ; y0) . c) Phép co trên biến một hình vuông đơn vị có các canh song song với các trục hay nằm trên hai trục thành hình gì , có diện tích bao nhiêu . Từ đó hãy suy đóan công thức tính diện tích hình êlip. 3.78. Chọn câu đúng : Cho (E) : 6x2 + 9y2 = 54 . Khoảng cách từ tiêu điểm đến đỉnh trên trục nhỏ là : a) 6 b) 3 c) 15 d) 6 3.79 . Chọn câu đúng : Cho (E) : 4x2 + 5y2 = 20 . Khoảng cách giữa hai tiêu điểm là : a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 5 3.80. Chọn câu đúng : Cho (E) : 3x2 + 4y2 = 12. Điểm M có hoành độ là 1 thuộc (E) . Thế thì F1M = ( F1 là tiêu điểm bên trái ) 13 35 a) 3/2 b) c) 5/2 d) 2 2 3.81. Chọn câu đúng : Cho (E) : 4x2 + 9y2 = 36 . Tính độ dài dây cung vuông góc với Ox và qua tiêu điểm F . a) 3 b) 4/3 c) 5 d) 8/3 x2 3.82. Chọn câu đúng : Tung giao điểm của (E) : + y2 = 1 với đường tròn 4 x2 + (y – 1)2 = 1 gần nhất với số nào dưới đây ? a) 0 , 86 b) 0 , 88 c) 0, 9 d) 0, 92 3.83. Chọn câu đúng : Elip có hình bên có tiêu cự là : B1 a) 4 b) 6 6 4 c) 2 11 d) 214 A 1 F1 O 53
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 3.84. Chọn câu đúng : Elip có hình dưới bên trái có độ dài trục nhỏ gần đúng với số nào dưới đây ? 8 8 a) 4 b) 8 c) 2 96 d) đáp số khác 3 3 M(- 2;4) M(2;2) O O N(-1 ; - 3) B(0; - 5) 3.85. Chọn câu đúng : Elip có hình trên bên phải có độ dài trục lớn là : a) 5/ 3 b) 8/3 b) 3 d) 10/3 D. Hướng dẫn giải hay đáp số 3.65. a) Thế y = ½ vào phương trình (E) b) Thế y = 2x vào phương trình (E) . c) Tọa độ (x ; y) của P thỏa phương trình (E) và OM2 = c2 Ù x2 + y2 = 3 d) Gọi(x ; y) là tọa độ một đỉnh bất kì của hình vuông , ta có hệ : : x2 + 4y2 = 4 và x2 = y2 . 92 xy22 3.66. a) a = 3 và +=1 => (E) : + = 1 => c = 5 2ab22 94 b) Thế x = 5 : y = ± 4/ 3 => độ dài dây cung là 8/ 3. ⎧4936xy22+ = ⎪ c) Điểm (x ; y) cần tìm thỏa hệ : ⎨ 2211 ⎪xy+= ⎩ 4 3.67. a) c = 2 . Phân biệt cac trường hợp : 54
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 22 (1) B2F2 = bc+== a5. (2) A2F2 = a – c = 5 => a = 7 (3) A2F1 = a + c = 5 => a = 3 b) b = 2 , c = 2 . c) c = 5 . Phân biệt 2 trường hợp : (1) B1B2 = 2b = 9 Ù b = 9/ 2 (2) A1A2 = 2a = 9 Ù a = 9/2 +=981 ab và a – b = c = 25 94 3. 68. a) a = 4 và +=1 ab22 ⎧ 81 +=1 ⎪ 22 ⎪99ab 14 2 2 b) ⎨ c) c = 2 và + = 1. Thế a = b + 4 45 ab225 ⎪ +=1 ⎩⎪ab229 916 d) OM2 = c2 = +=5 . Giải như bài © . 55 3.69 . b) Thế y = x + m : 4x2 + 9(x + m)2 = 36 Ù 13x2 + 18mx + 9m2 – 36 = 0 (1) YCBT Ù ∆’ ≥ 0 Ù m2 ≤ 13 Ù - 13≤≤m 13 (*) ⎧ xx+ −9m x ==12 ⎪ 213 9 99 c ) I ⎨ => y = - x với - ≤≤x do (*) 4m 4 13 13 ⎪yxm=+ = ⎩⎪ 13 9 99 => I di động trên đoạn thgẳng có phương trình y = - x với ≤≤x 4 13 13 d) Do đối xứng PQP’Q’ là hình bình hành . Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) lần lượt là tọa độ của P và Q , trong đó x1, 2 là nghiệm của phương trình (1) và y1,2 = x1, 2 + m . YCBT Ù OP⊥ OQ x12 x + y 1.0 y 2 = x 12 x + ( x 1 + m )()0 x 2 + m = 2 Ù 2x1x2 + m(x1 + x2 ) + m = 0 2 Thế x1 + x2 = - 18m/ 13 , x1x2 = (9m – 36) /13 ( định lí Viet của phương trình (1) ) , ta được phương trình tính m . 55
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng ⎪⎧x 2 + 8y 2 = 16 3.70. Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ : ⎨ 2 2 ⎩⎪4x + 9y = 36 ⎧ 2 144 ⎪x = ⎪ 23 2 2 172 Ù ⎨ => x + y = : Đây là 28 23 ⎪y 2 = ⎩⎪ 23 phương trình cần tìm . r M 3.71. Gọi r = MF2 là bán kính đường tròn (M) r .Ta có : MF1 + MF2 = MF2 + r = 6 . Do đó M F 1 F2 thuộc êlip có 2a = 6 và 2c = 4 . Suy ra : b2 = a2 – x 2 y 2 c2 = 9 – 4 = 5 Phương trình (E) là : + = 1 9 5 xy22 3.72. a) c = 2 , a = 3 : +=1 95 ⎧ 5 ⎪x =±3 ⎧5945xy22+= ⎪ 95m2 + b) Tọa độ M, P : ⎨⎨ ⎩ymx= ⎪ 5 ym=±3 ⎩⎪ 95m2 + ⎧ 5 ⎪y =±3 ⎧5945xy22+= ⎪ 59m2 + Tương tự , tọa độ N, Q : ⎨⎨ ⎩xmy=− ⎪ 5 xm= ∓3 ⎩⎪ 59m2 + Tứ giác là hình thoi vì d và d’ vuông góc . Diện tích hình thoi MNPQ : 4. SOMN = 2 . OM. ON = 2 . 2222 xMMNN++yxy. 2 2 5 5 90(m + 1) = 18(m + 1) 22. = 9559mm++(9mm22+ 5)(5+ 9) 56
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng c) YCBT Ù OM = ON Ù 9m2 + 5 = 5m2 + 9 Ù m = ± 1 3.73.a) Chu vi là : 2a + 2c = 6 + 4 = 10 . Diện tích tam giác là : ½ .|yM| . 2c = 2 Ù |yM| = 1 . Suy ra xM. 2 2 2a 2 c x 4 2 b) T = 2a + mà F1M.F2M = a - 2 = 9 - x ( - 3 ≤ x ≤ 3) F1M.F2 M a 9 2 Vậy T lớn nhất Ù F1M.F2M nhỏ nhất Ù x = 3 3.74. a) Phương trình MN : (n – m)x + 4y + 2(m + n) = 0 | 2(m + n) 2 | m + n | Ta có : d(O; MN) = = = 2 ( vì mn = 4) m 2 + n 2 − 2mn +16 m 2 + n 2 + 2mn => MN tiếp xúc đường tròn (O; 2) . b) Xem bài tập 3.57 . c) Ta chứng minh : F1,2 H.F1,2 K = 0 3.75. Dùng bất đẳng thức Cô si cho hai số 2 2 2 2 3.76. a) Ta có : 4xM + 9yM = 36 (1) và 4xN + 9yN = 36 (2) . 2 2 2 2 Lây (1) – (2) : 4(xM – xN ) = - 9(yM – yN ) Ù 4(xM – xN) (xM + xN) = - 9(yM – yN) (yM + yN) y I y M − y N 4 Ù . = − Ù kOI . kMN = - 4/9 x I x M − x N 9 b) Hệ số góc của OI là 1 , do đó kMN = - 4/9 . Vậy phương trình MN là : . . . . . 3.77. b) Các đường thẳng qua T , M và vuông góc với Ox cắt (E) lần T lượt tại T’ và M’ . Đường thẳng TM co lại thành đường thẳng M T’M’. Hai đường thẳng này đồng T’ M’ qui tại K ∈ Ox . O K I Khi M tiến về T , đường thẳng TM biến thành tiếp tuyến của (O) tại T , khi đó đường thẳng T’M’ biến thành tiếp tuyến của (E) tại T’ . Hai tiếp tuyến này đồng qui tại I với IT vuông góc bán kính OT. 57
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng a Nếu (x0 ; y0) là tọa độ của T’ thì (x0 ; y ) là tọa độ của T. Phương trình tiếp b o a tuyến của đường tròn tại T vuông góc OT = (x ; y ) là : o b o a a x0 (x – x0) + y (y − y ) = 0 b o b o 2 2 2 2 2 2 2 Ù b x0 x + abyo y = b x0 + a yo = a b (TI) a Thay y bằng y và giữ nguyên x , ta đươc phương trình tiếp tuyến IT’ của êlip b 2 2 2 x o x y o y tại T’ : b x0 x + aby y = a b Ù + = 1 o a 2 b 2 c) Phép co về Ox hệ số k , biến hình vuông đơn vị có cạnh song song hay nằm trên hai trục thanh hình chữ nhật có cạnh song song hay nằm trên hai trục có diện tích là k đvdt . Diện tích hình tròn là ∏ a2 . Với sự chọn đon vị độ dài đủ nhỏ tương ứng với việc làm tròn số ∏ , hình tròn coi như chứa ∏ a2 hình vuông đơn vị . Suy ra qua b phép co , hình êlip coi như chứa ∏a2 hình chữ nhật có diện tích đvdt . Do đó a b hình êlip có diện tích là : ∏a2 . = ∏ab . a 3.78 (b) . FB = bc22+= a= 3 3.79 (b) F1F2 = 2c = 2 2 2 ⎛⎞3 3.80 (b) . yM = ± 3 /2 => F1M = (1+ 1) +=⎜⎟ 5/2 ⎝⎠2 3.81 (d) . Thế x = 5 = c : 9y2 = 36 – 20 = 16 Ù y = ± 4/3 Vậy độ dài dây cung là 8/ 3 . 3.82 (a). Thế x2 = 1 – (y – 1)2 vào phương trình (E) : 1 – (y – 1)2 + 4y2 = 4 Ù 3y2 + 2y – 4 = 0 −−113 −+ 113 Phương trình này có 2 nghiệm : yy==; 1233 Vì x2 = 1 - (y – 1)2 ≥ 0 Ù (y – 1)2 ≤ 1 Ù - 1 ≤ ( y – 1)2 ≤ 1 Ù 0 ≤ y ≤ 2 13− 1 nên chỉ nhận y = ≈ 0,868 3 58
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 3.83 (d) . BF = cb22+= a = 5 , ab22+=6 Ù b2 = 36 – B 25 = 11. 1 6 Suy ra : c= 25−= 11 14 4 Vậy tiêu cự là 2 14 A 1 F1 O 3.84 (b). Ta có hệ : ⎧ 44 +=1 ⎪ab22 ⎨ 19 ⎪ +=1 ⎩⎪ab22 Nhân phương trình sau cho 4 rồi trừ với phương trình đầu , ta được : 32 32 = =3 b . b2 3 32 8 Độ dài trục nhỏ là 2 = 8 3 3 M(- 2;4) 3.85 (d) .Ta có hệ : ⎧b = 5 ⎪ ⎨ 416 =>a = 10 / 3 +=1 ⎩⎪a2 25 O Độ dài trục lớn là : 20 / 3 . B(0; - 5) 59
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng * §6. Hypebol A. Tóm tắt giáo khoa 1.Định nghĩa .Cho hai điểm cố định F1 , F2 với FF12= 2 c và một độ dài không đổi 2a ( a > c) . Hypebol là tập hợp những điểm M sao cho : FM12−= FM2 a F1 , F2 : tiêu điểm , F1 F2 : tiêu cự . 2. Phương trình chính tắc : Với F1( - c ; 0) , F2(c ; 0) : xy22 M(x ; y) ∈ (H) Ù − = 1 với b2 = c2 - a 2 ( 1) ab22 (1) : phương trình chính tắc của hypebol . 3. Hình dạng của hypebol .- * A1 ( - a ; 0 ) , A2 ( a ; 0 ) : đỉnh . * Ox : trục thực , độ dài 2a . Oy : trục ảo , độ dài 2b . * Hypebol gồm 2 nhánh : nhánh trái gồm những điểm có x ≤ - a, nhánh phải gồm những điểm có x ≥ a . * Hình chữ nhật giới hạn bởi các đường x = ± a , y = ± b gọi là hình chữ nhật cơ sở của hypebol. b * Đường thẳng y = ± x gọi là hai a tiệm cận . c * Tâm sai : e = > 1 a A1 A2 * FM = F2 1 F1 ⎧c x + a ,M ∈ nhánh phai ⎪a M ex M + a = ⎨ c ⎪− x − a , M ∈ nhánh trái ⎩⎪ a M ⎧c x − a ,M ∈ nhánh phai ⎪a M F2M = ex M − a = ⎨ c ⎪− x + a , M ∈ nhánh trái ⎩⎪ a M 60
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng B. Giải toán . Dạng toán 1 : Xác định các yếu tố của hypebol Ví dụ : Hãy xác định đỉnh , độ dài các trục , tiêu cự , tiêu điểm , tiệm cận , tâm sai và vẽ hypebol có phương trình sau : xy22 a) (H) : −=1. b) (H) : 16x2 – 9y2 = 144 42 Giải : a) Ta có : a2 = 4 , b2 = 2 => a = 2 và b = 2 Suy ra đỉnh A1 (- 2; 0 ) , A2 (2 ; 0 ) . Độ dài trục thực 2a = 4 , trục ảo 2b = 2 2 . 22 Ta có : c = ab+=6 . Tiêu cự 2c = 2 6 , tiêu điểm F1( - 6 ; 0 ) , F2( 6 ; 0 ) . b 2 Tiệm cận : y = ±=±x x . Tâm sai e = c/a = 6/2 a 2 xy22 b) Viết lại phương trình (H) : − = 1 => a2 = 9 ; b2 = 16 916 => a = 3 , b = 4 và c = ab22+ = 5 Suy ra A1 (- 3; 0 ) , A2 (3 ; 0 ) . Độ dài trục thực 2a = 6 , trục ảo 2b = 8 . Tiêu cự 2c = 10 , tiêu điểm F1( - 5 ; 0 ) , F2(5; 0 ) . b 4 Tiệm cận : y = ± x =± x . Tâm sai e = c/a = 5/3 a 3 F F1 A A F2 F1 2 1 2 A1 A2 Dạng toán 2 : Lập phương trình chính tắc của hypebol 61
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng Từ giả thiết , lập hệ phương trình theo a và b . Giải hệ , tìm được a , b . Suy ra phương trình (H) . 2 2 x o yo Cân nhớ : M(x0 ; y0) ∈ (H) Ù − = 1 a 2 b 2 Ví dụ 1 : Lập phương trình của hypebol (H) biết : a) (H) có độ dài trục thực là 6 , tiêu điểm là ( 4; 0 ) b) (H) có một đỉnh là ( 5 ; 0 ) và tiệm cận là y = 2x . c) (H) có một tiệm cận là y = - 2 x và qua điểm M( 4 ; 2 ) . d) (H) qua hai điểm ( 1 ; 3 ) và (- 2 ; 2 2 ) . 4 e) (H) có tiêu điểm F2 ( 3 ; 0 ) và qua điểm ( 3; ) 5 Giải a) 2 a = 6 = > a = 3 , c = 4 = > b 2 = c2 – a2 = 16 – 9 = 7 . Phương trình hypebol là : xy22 −=1 97 xy22 b) Phương trình (H) : −=1 ab22 Đỉnh (5 ; 0 ) do đó a = 5. b Tiêu cận y = 2x => = 2 Ù b =10 . a xy22 Vậy phương trình (H) là : − = 1 25 100 xy22 c) Phương trình (H) : −=1 ab22 b Tiệm cận y = - 2 x => = 2 Ù b2 = 2a2 (1) a 16 2 M(4 ; 2 ) thuộc (H) Ù − = 1(2) ab22 15 Thế (1) vào (2) : = =115a2 . Suy ra b2 = 30 . a2 xy22 Vậy phương trình (H) : − = 1= 1 15 30 xy22 d) Phương trình (H) : −=1 ab22 62
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 13 ( 1 ; 3 ) ∈ (H) Ù − = 1 (1) ab22 28 N(- 2 ; 2 2 ) ∈(H) Ù −=1(2) ) ab22 11 Giải hệ (1) và (2) với hai ẩn là : u = ,v = , ta được : u = 5/2 , v = 1/ 2 . ab22 xy22 Vậy phương trình (H) : − = 1 5/2 2 e) F2( 3 ; 0 ) => c = 3 . Suy ra : F1 ( - 3 ; 0 ) . xy22 c = 3 = > a2 = 9 – b2 . Phương trình hypebol : − = 1 ab22 Thế tọa độ của M , ta được : 916 − =1 45bbbb2222 − 16(9 − ) = (9 − )5 95− bb22 Ù 45b2 – 144 + 16b2 = 45b2 – 5b4 Ù 5b4 + 16b2 – 144 = 0 Giải phương trình trùng phương này , ta được : b2 = 4 . Suy ra a2 = 5 . y xy22 Vậy phương trình (H) : − = 1 54 C Ví dụ 2 : Cho đường tròn (M) di động luôn chắn trên hai trục tọa độ hai dây cung có độ dài là 6 và 4 . M Chứng minh tâm đường tròn di động trên một K hypebol cố định . r r Giải D x Gọi M(x ; y) là tâm các đường tròn (M) . Kẻ MH , O A H B MK vuông góc Ox và Oy , ta có : HA = HB = 3 , KC = KD = 2 2 2 2 Suy ra : MB = MD = r Ù MH2 + HB2 = MK2 + KD2 Ù y2 + 9 = x2 + 4 x 2 y 2 Ù x2 – y2 = 5 Ù − = 1 5 5 x 2 y 2 Chứng tỏ M ∈ (H) : − = 1 . 5 5 Dạng toán 3 : Tìm điểm trên hypebol 63
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 2 2 x o yo Cân nhớ : * M(x0 ; y0) ∈ (H) Ù − = 1 a 2 b 2 Ù | F1M + F2M| = 2a . cx M cx M * F1M = | + a | ; F2M = | − a | a a xy22 Ví dụ 1 : Cho hypebol (H) : − = 1 93 a) Tìm trên (E ) điểm M có tung độ là 3 . 0 b) Tìm trên (H) điểm M sao cho góc F1MF2 = 90 . c) Tìm trên (H) điểm M sao cho F1M = 2F2M Giải a) Thế y = 3 vào phương trình của (H) : x22(3) 4 − =19.23 xx2 = = ± 93 3 Ta tìm được 2 điểm M có tọa độ (2 3 ; 3 ) , ( - 2 3 ; 3 ) . 0 b) Gọi (x; y) là tọa độ của M . Ta có : F1MF2 = 90 Ù OM = OF1 = OF2 Ù xyc22+= += xy 2212 ( c2 = a2 + b2 = 9 + 3 = 12 ) Mặt khác vì M ∈ (H) nên tọa độ E thỏa : 3x2 - 9y2 = 27 ⎧ 2 45 ⎧ 35 22 x = ⎪x =± ⎪⎪⎧3927xy−= ⎪ ⎪ Ta có hệ : 4 Ù 2 ⎨⎨22 ⎨ ⎩⎪xy+=12 2 3 ⎪ 3 ⎪y = y =± ⎩⎪ 4 ⎩⎪ 2 35 3 35 3 35 3 Ta tìm được 4 điểm có tọa độ ( ; ) , ( ; - ), (- ; ) , 2 2 2 2 2 2 35 3 ( - ; - ) 2 2 c) Vì F1M = 2F2M => F1M > F2M => M thuộc nhánh phải và F1M – F2M = 2a = 6 Suy ra F2M = 6 và F1M = 12 . c 2 3 93 Mà F1M = x + a = x + 3 = 12 Ù x = a M 3 M 2 64
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 69 Thế vào phương trình (H) , ta suy ra : y = ± . Tọa độ điểm cần tìm : 2 93 69 ( ;)± . 22 xy22 Ví dụ 2 : a) Cho hypebol (H) : − = 1 có tiêu điểm F1 , F2. ab22 M là điểm bất kì trên (H) . a) Chứng minh tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận có giá trị không đổi xy22 b) Cho hypebol (H) : − = 1. Một đường thẳng d bất kì : y = x + m cắt 12 (H) tại M, N và hai tiệm cận tại P và Q . Chứng minh MP = NQ . Giải a) Phương trình hai tiệm cận : ∆1 : bx + ay = 0 và ∆2 : bx – ay = 0 . Gọi (x; y) là tọa độ của M , ta có : bx+ ay bx− ay d(M; ∆1) = , d(M, ∆2) = ab22+ ab22+ bx+− ay bx ay bx22− ay 22 d(M,∆1).d(M,∆2) = . = 22 ab22++ ab 22 ab+ xy22 Vì M(x; y) thuộc (H) : − =1 bx22 − ay 22 = ab 22suy ra : ab22 ab22 ab 22 d(M,∆1).d(M,∆2) = = : giá trị không đổi . ab22+ c 2 M P M Q N 65
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng b) (H) : 2x2 – y2 = 2 . Phương trình hoành độ giao điểm M, N : 2x2 – (x + m)2 = 2 ( thế y = x + m vào phương trình của (H) ) Ù x2 – 2mx – m2 –2 = 0 (1) Phương trình hai tiệm cận : ( 2 x + y)( 2x – y) = 0 Ù 2x2 – y2 = 0 Phương trình hoành độ giao điểm P, Q : 2x2 – (x + m)2 = 0 ( thế y = x + m vào phương trình hai tiệm cận ) Ù x2 – 2mx – m2 = 0 (2) Nếu (1) có hai nghiệm x1, x2 , thế thì hoành độ trung điểm của MN là : ½ (xM + xN ) = ½ . 2m = m ( định lí Viet của (1)) Nếu (2) có hai nghiệm x3, x4 , thế thì hoành độ trung điểm của PQ là : ½ (xP + xQ ) = ½ . 2m ( định lí Viet của (2) ) Chứng tỏ MN và PQ có cùng trung điểm hay MP = NQ. Ghi chú : Tính chất này đúng với mọi hypebol C. Bài tập rèn luyện . 3.86 . Xác định độ dài các trục , tọa độ đỉnh , tiêu điểm , tiệm cận và vẽ các hypebol sau : xy22 xy22 a) −=1 b) − = 1 c) 4x2 - 9y2 = 36 45 44 y2 3.87 . Cho hypebol (H) : x2 − = 1. 4 Tìm trên (H) : a) điểm M có hoành độ 2 . b) điểm N cách đều hai trục tọa độ . 0 c) điểm P sao cho góc F1PF2 = 90 . d) tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật nội tiếp (H) biết hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục tọa độ và có diện tích là 8 2 đvdt. e) điểm Q sao cho F2Q = 2F1Q . 3.88. Cho hypebol (H) có độ dài trục thực là 4 và qua điểm M ( 5; 2) a) Lập phương trình (H) . 66
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng b) Tính độ dài dây cung của (H) vuông góc với trục thực tại tiêu điểm . c) Tìm giao điểm của (H) và đường tròn đường kính F1F2 , F1 , F2 là các tiêu điểm của (H) . 3.89. Lập phương trình (H) biết : a) tiêu cự 8 và khoảng cách từ đỉnh trên trục thực đến tiêu điểm là 1 . b) độ dài trục ảo là 4 và một tiêu điểm là ( 3 ; 0 ) c) một tiêu điểm là F2 ( 5 ; 0 ) và một tiệm cận là y = 2x . d) một tiệm cận là y = 3 x và qua điểm ( 3 ; 15 ) e) một tiêu điểm là ( 2 ; 0) và qua điểm (3 ; 2 ) . 3.90. Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) biết : a) độ dài trục thực là 6 và qua điểm ( 10 ; 2) . ⎛⎞5 b) qua hai điểm P ()10 ;2 ,Q⎜⎟ ;1 . ⎝⎠2 c) có tiêu cự là 4 2 và qua điểm ( 3 ; 5 ) 3.91. Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) biết : 0 a) qua điểm M ()3;1 và F1MF2 = 90 b) một tiêu điểm (2 ; 0 ) và khoảng cách từ nó đến tiệm cận là 1. c) tiêu điểm là( 3 ; 0) và dây cung qua tiêu điểm và vuông góc Ox có độ dài là 5 . d) một tiệm cận có hệ số góc 2/ 5 và khỏang cách từ tiêu điểm đến tiệm cận là 2 . 3.92 Cho đường tròn tâm I( - 6; 0) , bán kính 4 và điểm J(6 ; 0 ) . (M) là đường tròn di động luôn qua J và tiếp xúc với (I) . Chứng minh tậphợp tâm M các đường tròn M là một hypebol . Viết phương trình hypebol . 3.93 . Cho (H) : 9x2 - 4y2 = 36 a) Xác định tiêu điểm , độ dài các trục và tiệm cận . Vẽ (H) . + 2 2 b) M tùy ý của (H) , chứng minh rằng : (F1M F2M) – 4OM là một hằng số . c) Một đường thẳng thay đổi d : x + y + m = 0 . Chứng minh d luôn cắt (H) tại hai điểm phân biệt P, Q . Tính độ dài đoạn PQ theo m . 67
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 3. 94. a) Viết phương trình của (H) biết nó có một đỉnh là (1 ; 0) và một tiêu điểm là ( 5,0) . b) Định m để hai đường thẳng d : mx – y = 0 và d’ : x + my = 0 đều cắt (H) . c) Gọi M , P và N, Q lần lượt là giao điểm của d và d’ với (H) . Tứ giác MNPQ là hình gì ? Tính diện tích của nó khi m = 2 . 3.95. Cho (H) : 5x2 – 4y-2 = 20 và đường thẳng d : 2x – y + m = 0 a) Định m để d cắt (H) tại 2 điểm M, N phân biệt . b) Tìm tập hợp trung điểm của MN c) Gọi P, Q lần lượt là đối xứng của M, N qua O . Định m để MNPQ là hình thoi. 3.96. Cho (H) : x2 – 3y2 = 12 a) Tìm các đỉnh, tiêu điểm , tiệm cận . 0 b) Tìm trên (H) điểm M sao cho góc F1MF2 = 120 . 1 1 c) Tìm M ∈ (H) sao cho : T = F1M – F2M + − lớn nhất F2 M F1M d) Cho M bât kì ∈ (H) , tính tích các khỏang cách từ M đến hai tiệm cận . 3.97. Cho êlip (E) và hypebol (H) biết chúng có cùng tiêu điểm F(2 ; 0) , tiệm cận của (H) chứa đường chéo của hình chữ nhật cơ sở của (E) và hợp với Ox một góc 300 . a) Viết phương trình chính tắc của (E) và (H) . b) Viết phương trình đường tròn qua các giao điểm của (E) và (H) . 3. 98 .Cho hai điểm A1 ( – 2; 0) và A2( 2 ; 0 ) . Gọi (I) là đường tròn di động qua A1 , A2 và MM’ là đường kính của (I) cùng phương với Ox . Chứng minh tập hợp những điểm M, M’ là một hypebol . 3.99. Cho đường tròn tâm O , bán kính 1 . Gọi A và A’ là hai điểm trên đường tròn có hoành độ là – 1, 1 . Đường thẳng di động x = m ( m ≠ 0,± 1 ) cắt đường tròn tại M và M’ ( M có tung độ dương) . a) Tìm tọa độ M và M’ . b) Viết phương trình đường thẳng AM và A’M’ . Chứng minh giao điểm của AM và A’M’ di động trên một hypebol cố định. 3. 100. Chọn câu đúng : Cho (H) : 6x2 - 9y2 = 54 . Phương trình một tiệm cận là : 68
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 6 3 6 9 a) y = x b) y = x c) y = x d) y = x 3 6 9 6 3.101 . Chọn câu đúng : Cho (H) : 4x2 - 5y2 = 20 . Khoảng cách giữa hai tiêu điểm là : a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 3. 102. Chọn câu đúng : Cho (H) : 3x2 - y2 = 3. Điểm M có tung độ là 3 thuộc (H) . Thế thì F1M = ( F1 là tiêu điểm bên trái ) a) 3 b) 4 c) 5 d) đáp số khác 3.103. Chọn câu đúng : Cho (H) : 4x2 - 9y2 = 36 . Tính khoảng cách từ tiêu điểm đến một tiệm cận là : 213 a) 2 b) 3 c) d) 4/ 13 3 x2 3.104. Chọn câu đúng : Cho điểm M(x ; y) bất kì thuộc (H) : −=y2 1. Thế 4 2 2 2 thì :F1M + F2M - 2OM = a) 6 b) 10 c) 2 5 d) có giá trị thay đổi theo M 3.105. Chọn câu đúng : Hypebol (H) có khoảng cách giữa tiêu điểm bên phải và đỉnh bên trái là 5 và độ dài trục ảo là 25 . (H) qua điểm M có hoành độ 3 và tung độ dương gần nhất với giá trị : a) 2, 1 b) 2, 2 c) 2, 3 d) 2, 4 3.106. Chọn câu đúng : Hypebol (H) qua điểm M ( 5; 2 ) và tiệm cận qua điểm ( 3 2; 6) . Vậy tiêu cự của (H) là : a) 2 b) 4 c) 2 3 d) 43 3.107. Chọn câu đúng : Hypebol (H) có hai tiệm cận vuông góc nhau và qua điểm M ( 5; 4) . a) (H) chỉ qua duy nhất điểm M có tọa độ nguyên dương . b) Mỗi đường thẳng y = x + m cắt (H) nhiều nhất tại một điểm c) Cả (a) và (b) đều đúng . d) Cả (a) và (b) đều sai . 69
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng D. Hướng dẫn hay đáp số 3.87. b) Thế y = x và y = - x . c) Tọa độ P thỏa x2 + y2 = c2 d) Gọi (x; y) là tọa độ một đỉnh của hình chữ nhật . Ta có : |xy| = 2 2 2 2 e) F2Q – F1Q = 2a = 2 Ù F1Q = 1 , F2Q = 2 . Lại có : F1Q – F2Q = 4cxM . x22y 3.88 a) − = 1 . 48 c) Phương trình đường tròn là : x2 + y2 = 12 3.89 . a) c = 4 , a = 3 . b) b = 2 , c = 3 c) c = 5 , b = 2a 915 92 d) b2 = 3a2 , −=1 e) a2 = 4 – b2 , − = 1 ab22 ab22 xy22 3.90 a) a = 3 , b = 6 b) − = 1 c) x2 – y2 = 4 54 3.91. a) x2 – y2 = 2 bc b) Khoảng cách từ tiêu điểm đến tiệm cận là : = 1 ab22+ b2 c) Độ dài dây cung là : 2. a 3.92. a) Gọi T là tiếp điểm của (M) và (I) , ta có : MT = MJ Ù MI - IT = MJ ( tiếp xúc ngoài) hay MI + IT = MJ ( tiếp xúc trong) MI – MJ = IT = 4 hay MI – MJ = - IT = - 4 Ù |MI – MJ| = 4 Vì I , J cố định nên tập hợp những điểm M là hypebol tiêu điểm I(- 6 ; 0) và J(6 ; 0) và 2a = 8 . Suy ra : b2 = c2 – a2 = 36 – 16 = 20 . 70
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng xy22 Vậy phương trình (H) là : − = 1 16 20 y T y x M I O J M T x I O J 3.93. b) Thế y = - x – m vào phương trình (H) , ta được phương trình hoành độ giao điểm : 5x2 – 8mx – 4m2 – 36 = 0 . Phương trình này có ∆ ‘ > 0 , với mọi m nên luôn có 2 nghiệm phân biệt . 12 PQ = 2(m2 + 5) 5 x22y 3. 94 . a) (H) : − = 1 14 ⎡1 2 m ⎢2 b) ⎨ ⎢ . 410m2 −> 1 ⎩⎪ ⎢−2 0 Ù m 11 71
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng ⎧ x + x 8m ⎪x = 1 2 = − b) Tọa độ trung điểm I của MN thỏa : ⎨ I 2 11 ⎪ ⎩y I = 2x I + m ⎧ 11x m = − I ⎪ 8 Ù ⎨ 11x 5x ⎪y = 2x − I = I ⎩⎪ I I 8 8 8 8 Vì m 11 Ù − T F2M và F1M – F2M = 2a = 4 3 . Suy ra : 4 3 T = 4 3 + với x2 ≥ a2 = 12 . Vậy T lớn nhất khi x2 = 12 và 4x 2 −12 3 GTLN của T là 5 3 d) Xem ví dụ 2( Dạng toán 3) x 2 y 2 x 2 y 2 3.97. a) (E) : + = 1 ;(H) : − = 1 a 2 b 2 A 2 B2 72
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng b B 1 Ta có : a2 - b2 = A2 + B2 = 4 ; = = tg300 = a A 3 Suy ra : a2 = 6, b2 = 2 ; A2 = 3 và B2 = 1 x 2 y 2 (E) : + = 1 x 2 + 3y 2 = 6 (1) 6 2 x 2 y 2 (H) : − = 1 x 2 − 3y 2 = 3 (2) 3 1 b) Giải (1) và (2) : x2 = 9/2 ; y2 = 1/2 => x2 + y2 = 5 : phương trình đường tròn cần tìm 2 2 3.98. Gọi (x ; y) là tọa độ của M , M’ . Ta có : IM = IA1,2 = R Ù x = y + 4 Ù x2 - y2 = 4 . 3.99. a) Phương trình đường tròn : x2 + y2 = 1 => A( - 1 ; 0) , A’(1 ; 0) . Tọa độ M ( m; 1)− m2 , tọa độ M’ ( (;mm−− 12 ). b) Phương trình đường thẳng A’M : x +−10y = (1) m +1 10−−m2 Phương trình đường thẳng AM’ y x −−10y : = (2) I m −1 −−10m2 − M Nhân (1) và (2) : => x2 - y2 = 1 2 2 => M thuộc hypebol : x – y = 1 x A O m A' 3. 100(a) M' 3.101(d) 3.102(c) 3.103(a) 2 2 2 2 2 2 2 3. 104(b) Ta biết : F1M + F2M = 2( x + y + c ) = 2OM + 2c 2 2 2 2 => F1M + F2M - 2OM = 2c = 10 3.105(d) . Ta có a + c = 5 và b2 = c2 – a2 = 5 . Suy ra : c – a = 1 . Vậy c = 3, a = 2 . xy22 Phương trình (H) : −=1 . Thế x = 3 : y = 2, 5 45 73
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng b 3.106. (d) Tiệm cận : y = x qua điểm (3 2; 6) => b2 = 2a2 . a 52 Lại có : −=1. Suy ra : a2 = 4 , b2 = 8 => c = 2 3 . ab22 3.107. ( c) Ta có : b = a = 3 . Phương trình (H) : x2 – y2 = 9 (1) * (1) Ù (x + y)(x – y) = 9. 1 Vì x, y nguyên dương nên x + y = 9 , x – y = 1 Ù x = 5 ; y = 4 . Vậy (a) đúng . * Phương trình hoành độ giao điểm : x2 – (x + m)2 = 1 Ù 2mx = m2 + 1 : phương trình này có nghiệm duy nhất nếu m khác 0 và vô nghiệm nêu m = 0 : (b) đúng . Vậy (c) đúng . * §7. Parabol A. Tóm tắt giáo khoa 1. Định nghĩa : Cho điểm F và đường thẳng (∆) không chứa F . Parabol là tập hợp các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến F luôn bằng khoảng cách từ M đến (∆) . F : tiêu điểm , (∆) : đường chuẩn của parabol . P = d(F, Δ ) : tham số tiêu y M 2. Phương trình chính tắc của parabol . p p K Với F( ;0) và ∆ : x = - ( p > 0 ) . 2 2 M(x ; y) ∈ (P) Ù y2 = 2px (1) . x (1) : phương trình chính tắc của parabol . F 3. Hình dạng của parabol H O * O là đỉnh của parabol * (P) có trục đối xứng là Ox . * Độ dài của dây cung vuông góc với trục đối xứng tại F có độ dài là 2p. Tính chất này thường dùng để vẽ parabol . p * MF = MK = + x 2 M Ngoài dạng trên , ta còn nhớ các đồ thị các hàm số y = ax2 và y = ax2 + bx + c cũng là parabol. 74
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng B. Giải toán Dạng toán 1 : Xác định các yếu tố của parabol Ví dụ 1 : Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của các parabol sau và vẽ các parabol đó : y2 = 6x 3 Giải 2p = 6 => p = 3 . Tiêu điểm F( ;0) , đường chuẩn : x = - 3/2 . 2 Dạng toán 2 : Lập phương trình chính tắc của parabol Ví dụ 1 : Lập phương trình chính tắc của parabol biết : a) tiêu điểm F( 5; 0 ) . b) qua điểm ( 2 ; - 4) . c) qua điểm M có hoành độ 2 và cách tiêu điểm F một khoảng 3 GIẢI a) Phương trình (P) có dạng : y2 = 2px ( p > 0 ) . Tiêu điểm (5 ; 0 ) => p/2 = 5 Ù p = 10 . Vậy phương trình (P) : y2 = 20x . b) Phương trình (P) có dạng : y2 = 2px ( p > 0 ) . M(2 ; - 4) thuộc (P) Ù ( - 4 )2 = 2p. ( 2) Ù p = 4 Vậy phương trình (P) : y2 = 8x p p c) Ta có : +=x FM , suy ra : + 23= Ù p = 2 . 2 M 2 Vậy phương trình (P) là : y2 = 4x . Ví dụ 2 : Cho điểm F ( 4 ; 0 ) . Gọi (M) là đường tròn tâm M di động nhưng luôn tiếp xúc với trục tung và qua F . Chứng minh tập hợp những điểm M là một parabol mà ta phải viết phương trình của nó . Giải Vì (M) tiếp xúc với d nên khoảng cách từ y tâm M đến đường thẳng Oy bằng bán kính đường tròn tức bằng FM ( vì (M) qua F) ) . M Vậy tập hợp những điểm M là parabol (P) tiêu H điểm F , đường chuẩn là Oy . x Đặt M = (x ; y) , ta có : O F 75
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng M(x ; y) ∈ (P) Ù MF = MH Ù (x − 4) 2 + y 2 = |x| 2 2 2 2 Ù x – 8x + 16 + y = x Ù y = 8(x – 2) Dạng toán 3 : Tìm điểm thuộc parabol Ví dụ 1 : Cho (P) : y2 = 4x . a) Tìm trên (P) điểm M cách F một khoảng là 4 . b) Tìm trên (P) điểm M ≠ O sao khỏang cách từ M đến Oy gấp hai lần khỏang cách từ M đến Ox . Giải p = 2 p Ta có : FM = + x = 4 Ù 1 + xM = 4 Ù xM = 3 2 M 2 Suy ra : yM = 12 Ù yM = ± 2 3 . Ta được 2 điểm M(3 ; ± 2 3 ) b) Gọi M (x ; y) , ta có :|x| = 2|y| ≠ 0 Thế x = |x| = 2|y| vào phương trình y2 = 4x : y2 = 8|y| Ù |y| = 8 Suy ra : M = (16 ; 8) hay M = (16 ; - 8) Ví dụ 2 : Cho parabol (P) : y2 = 4x và đường thẳng d luôn qua tiêu điểm F và có hệ số góc là 1/ k ( k ≠ 0 ) a) Viết phương trình đường thẳng d và viết phương trình tung độ giao điểm của d và (P) . Chứng minh d luôn cắt (P) tại hai điểm M, N và tích khoảng cách từ M và N đến trục đối xứng của parabol có giá trị không đổi . b) Định k để MN = 2 5 . c) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M và N lên đường chuẩn ∆ . Chứng minh đường tròn đường kính MN luôn tiếp xúc với đường chuẩn . GIẢI a) Tiêu điểm F có tọa độ ( 1 ; 0 ) . Phương trình đường thẳng d : 1 y - 0 = ( x - 1 ) Ù x = ky + 1 k Phương trình tung độ giao điểm của d và (P) : y2 = 4 ( ky + 1 ) Ù y2 – 4ky - 4 = 0 (1) 76
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng ∆’ = 4k2 + 4 > 0 với mọi k nên (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt , chứng tỏ d luôn cắt (P) tại 2 điểm . Chú ý trục đối xứng của (P) là Ox và khoảng cách từ M và N đến Ox chính là | yM | và | yN | . Do đó tích các khoảng cách này là : c | yM | . | yN | = | | yM yN | = | | = | - 4 | = 4 ( định lí Viet của (1)) ( giá trị a không đổi ) . b) Gọi x 1 , x2 lần lượt là hoành độ của M , N . Ta có : p p FM = +=+x 1 x , FN = + x =+1 x 2 11 2 22 Lại có : x1 = ky1 + 1 , x2 = ky2 + 1 , do đó : MN = FM + FN = 4 + k( y1 + y2 ) Thế : y1 + y2 = 4k ( định lí Viet của ( 1) ) , ta được : 2 4 + k( y1 + y2 ) = 4 + 4k . Và YCBT Ù 4 + 4k2 = (2 5 )2 Ù k2 = 4 Ù k = ± 2 . y M c) Kẻ MH , NK vuông góc Δ . Ta chứng minh khoảng cách từ H tâm I của đường tròn đến đường chuẩn ∆ thì bằng bán kính đường tròn . Theo định nghĩa parabol : I FM = MH , FN = NK O x Suy ra : M N = FM + FN = MH + NK = 2 d( I , ∆ ) với I là F K trung điểm của MN , cũng là tâm đường tròn đường kính MN N MN . Hay : d(I , ∆) = = bán kính ( đpcm) 2 BÀI TẬP 3.108. Tìm tiêu điểm , đường chuẩn và vẽ parabol các phương trình sau : a) y2 = 5x b) y2 = 6x 3.109. Cho parabol (P) : y2 = 8x . a) Tìm độ dài dây cung AB của parabol biết hoành độ A và B là 1 . b) Tìm trên (P) điểm cách tiêu điểm F một khoảng là 5 . c) Tìm m để đường thẳng d : x + y + m = 0 có với (P) điểm chung duy nhất . 3.110. Cho (P) : y2 = 4x . 77
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng a) Tìm trên (P) điểm cách đường thẳng d : 3x – 4y + 10 = 0 một khoảng ngắn nhất . b) Cho A và B là hai điểm trên (P) có tung độ - 2 và 4 . M là điểm cung AB co tung độ y ( - 2 ≤ y ≤ 4) .Tính diện tích tam giác MAB theo y . Định y để diện tích tam giác MAB nhỏ nhất . c) Tìm m sao cho đường thẳng y = x + m cắt (P) tại hai điểm M, N và FM = 2FN . 3.111. Lập phương trình chính tắc của parabol : a) qua điểm ( 2; 2) . b) có đường chuẩn qua điểm ( 5; 7) . c) biết khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là 6 . d) biết nó qua điểm có hoành độ là 4 và cách đường chuẩn một khoảng là 6. 3.112. Lập phương trình chính tắc của parabol : a) biết nó qua điểm có tung độ là 4 và cách tiêu điểm một khoảng là 5. b) biết nó qua hai điểm M , N có tung độ là - 1, 3 và thẳng hàng với tiêu điểm . c) biết nó qua điểm M có tung độ là 2 và cách đường chuẩn một khỏang là 5/2 . 3.113. Cho parabol (P) : y2 = 2px . AB là dây cung di động của (P) . a) Biết AB có hệ số góc không đổi là k khác 0 , chứng minh trung điểm I của AB di động trên đường thẳng cố định . b) Viêt phương trình đường thẳng AB biết trung điểm của nó có tọa độ (2 ; 4) 3.114. Cho đường tròn ( C) : x2 + y2 – 4x = 0 và đường tròn (M) di động tâm M luôn tiếp xúc ngoài với (C ) và trục Oy tại hai điểm phân biệt . Chứng minh M di động trên một parabol cố định mà ta phải viết phương trình của nó . 3.115. Cho đường tròn (O) : x2 + y2 = 4 . M là điểm tùy ý trên (O) có hình chiếu là H lên Ox. Gọi A là điểm trên (O) có tung độ – 2 . . a) Gọi (x0 ; y0 ) là tọa độ của M , viết phương trình OM và AH . b) Suy ra giao điểm I của OM và AH di động trên một parabol . 78
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 1 3.116. Cho parabol (P) : y = x2 4 a) Xác định đường chuẩn ∆ , tiêu điểm F và vẽ (P) . b) M là điểm di động trên ∆ và có hoành độ là m . Viết phương trình trung trực (t) của FM . c) Chứng minh (t) và (P) có điểm chung duy nhất Tìm tọa độ điểm chung. 3.117. Cho parabol (P) : y2 = 4x . Một đường thẳng d qua tiêu điểm F và có hệ số góc là k ≠ 0 cắt (P) tại M, N . a) Chứng minh tích các khỏang cách từ M và N đến trục Ox có giá trị không đổi . b) Tìm k sao cho FM = 4FN. c) Chứng minh góc MON luôn tù . 3.118. Cho (P) : y2 = 8x . a) Xác định tiêu điểm F , đường chuẩn Δ . b) Một đường thẳng quay quanh tiêu điểm F có hệ số góc k ≠ 0 , cắt (P) tại M , N . Chứng minh tích các khỏang cách từ M, N đến trục tung có giá trị không đổi . c) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M, N lên đường chuẩn . Tính diện tích hình thang MNHK theo k . 1 3.119. Cho (P) : y = x 2 . 4 a) Tìm tiêu điểm F và đường chuẩn của (P) . b) Một đường thẳng bất kì qua F có hệ số góc là m cắt (P) tại M, N . Tìm tọa độ trung điểm I của MN . Suy ra I di động trên một parabol cố định . 3.120. Cho parabol (P) : y2 = 2x . Hai đường thẳng qua O và vuông góc có hệ số góc lần lượt là k và – 1/k ( k ≠ 0 ) lại cắt (P) tại M và N . a) Tìm tọa độ M, N . b) Chứng minh đường thẳng MN luôn qua một điểm cố định . c) Chứng minh trung điểm của MN ∈ một parabol cố định . 79
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 3.121. Cho parabol (P) : y2 = 4x và đường thẳng Δ di động có phương trình y = m ( m ≠ 0 ) . a) Xác định tiêu điểm F và đường chuẩn Δ . b) Δ lần lượt cắt Δ , Oy và (P) lần lượt tại K, H , M. Tìm tọa độ các điểm đó c) Gọi I là trung điểm OH . Viết phương trình đường thẳng IM và chứng tỏ đường thẳng IM cắt (P) tại một điểm duy nhất . d) Chứng minh MI vuông góc KF . Từ đó suy ra MI là phân giác của góc KMF. 3.122. Trong mặt phẳng Oxy, cho A(1 ; 1) , A’ (1 ; - 1) . Gọi M là điểm di động trên Oy có tung độ là m . a) Viết phương trình hai đường cao của tam giác MAA’ . b) Chứng minh trực tâm H của tam giác MAA’ thuộc một parabol cố định 3.123. Chọn câu đúng : Phương trình chính tắc của parabol mà khỏang cách từ đỉnh tới tiêu điểm bằng 3/ 4 là : 3 3 a) y2 = x b) y2 = x c) y2 = 3x d) y2 = 6x 4 2 3.124 . Chọn câu đúng : Điểm M ∈ (P) : y2 = 4x và FM = 3 thì hòanh độ của M là a) 1 b) 3 c) 3/2 d) 2 3. 125. Chọn câu đúng : Đường thẳng d : x – 2y + 5m - 1 = 0 có một điểm chung duy nhất với (P) : y2 = mx ( m ≠ 0 ) , vậy m là : a) số nguyên lẻ b) số nguyên chẵn c) số hữu tỷ không nguyên d) số vô tỉ 3.126. Chọn câu đúng : Một tam giác đều OMN có 3 điểm thuộc (P) : y2 = 8x . Vậy cạnh tam giác đều gần nhất với số nào dưới đây : a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 3.127. Chọn câu đúng : Có hai parabol qua điểm M có tung độ là 6 và cách tiêu điểm một khỏang là 19 .Tổng hai tham số tiêu của chúng là : a) 38 b) 72 c) 18 d) đáp số khác 80
Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 3.128. Chọn câu đúng : Cho parabol (P) , độ dài dây cung MN của parabol vuông góc Ox là 3 . Vậy khỏang cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là : a) 12 b) 3 c) 6 d) đáp số khác 3.129. Chọn câu đúng : Cho (P) : y2 = 16x . Một đường thẳng qua tiêu điểm F và có hệ số góc là 1 cắt (P) tại M, N . Tính độ dài MN . a) 28 b) 32 c) 40 d) 20 3. 130. Chọn câu đúng : Cho (P) : y2 = 8x . Một đường thẳng qua tiêu điểm F và có hệ số góc là m > 0 , cắt (P) tại M, N . Biết |FM – FN| = 3 , thế thì m = a) 2 2 b) 22 / 3 c) 2 d) 2/ 3 D. Hướng dẫn hay đáp số 3.109. a) Tọa độ A( 1 ; 2 2 ) và B(1 ; 2 2 ) . Độ dài AB = 4 2 . p b) Gọi x0 là hoành độ điểm cần tìm , ta có : FM = + x = 2 + x0 = 5 Ù x0 = 3 2 o Suy ra tọa độ điểm cần tìm là ( 3 ; ± 6 2 ) c) Thế x = - y – m vào phương trình của (P) , ta được phương trình tung độ giao điểm của d và (P) : y2 = 8(- y – m ) Ù y2 + 8y + 8m = 0 (1) YCBT Ù (1) có nghiệm duy nhất Ù ∆’ = 16 – 8m = 0 Ù m = 2 3.110 a) Gọi M(x0 ; y0 ) là điểm cần tìm , ta có : 345xy−+ 345xy− + d(M , d) = oo = oo 3422+ 5 2 yo Thế x0 = ( vì M ∈(P) ) , ta được : d(M , d) = y 4 2 yo 3410−+yo 2 4 31640yyoo−+ M = 520 x O F 81