Phương pháp proper generalized decomposition cho bài toán phi tuyến

Nội dung text: Phương pháp proper generalized decomposition cho bài toán phi tuyến

1. PHƯƠNG PHÁP PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION CHO BÀI TOÁN PHI TUYẾN Phan Đức Huynh1 , Kiều Quốc Anh1 1 Trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật Thành phố Hồ Chí Minh ABSTRACT In numerical approximate method, for highly exact requirement the ones often mesh space and time very smooth, which common discrete methods spend a lot of time for solving that model. This studying presents a discretization technique, the Proper Generalized Decomposition (PGD), and use its ability to solve the non-linear problem such as heat tranfer and fluid flow. Applying PGD to solve Poisson equation of the two-dimensional incompressible fluid and comparing to the Successive over-relaxation (SOR), the result show that PGD is faster than SOR about 200 times with the element number is about 10000. KEY WORDS: Proper Generalized Decomposition, Incompressible fluid flow, Heat transfer. 1. GIỚI THIỆU 2. PHƯƠNG PHÁP SỐ Trong phương pháp xấp xỉ số, việc giải một PGD được minh họa bởi phương trình đối lưu mô hình bài toán với yêu cầu độ chính xác khuếch tán: cao thường đòi hỏi việc chia lưới mịn về u u v  u f(,) x t (3) không gian và thời gian. Chi phí tính toán sẽ t nhiều khi ta sử dụng các phương pháp rời rạc Trong đó là hệ số khuếch tán và v là trường thông thường. Từ ý tưởng của việc tách biến, vận tốc. PGD được giới thiệu như là phương pháp có Sử dụng ý tưởng của phương pháp tách biến, khả năng đẩy nhanh tốc độ việc giải bài toán ta có: [1-8]. Về cơ bản, tách biến biểu diễn một hàm N chung u( x1 , , xD ) như sau: u(,)()() x t  Tii t X x (4) i 1 N 1 D u( x1 , , xD )  F i ( x 1 ) F 1 ( x D ) (1) Giả sử rằng ta biết kết quả đến bước lặp thứ n i 1 nN Giả thiết u(,) x t là một hàm, thỏa mãn yêu cầu D n của bài toán. Trong đó, x   R( d 1,2,3) ()n u(,)()() x t  Tii t X x (5) và t  I R . Sau đó, hàm u được giải sử i 1 dụng ý tưởng tách biến: Sau đó, kết quả tại bước lặp thứ n+1là: N n u(n 1) (,)()() x t T t X x T X (6) u(,)()() x t  Xii x T t (2)  i i n 11 n i 1 i 1 Trong phần tiếp theo, tác giả minh họa những Đặt R()(),()() t Tnn 11 t S x X x . Đó là ứng dụng của PGD để giải các bài toán phi những hàm mà ta phải tìm. tuyến như truyền nhiệt trong thanh, sự chuyển n (n 1) động của dòng chảy không nén được, và kết u(,)()() x t  Tii t X x RS (7) quả của PGD được so sánh với phương pháp i 1 khác. Ta có dạng yếu của phương trình (3) với hàm trọng số u R S RS :
2. t max tmax R R SR RS S SR () v  S R dxdt * t Rx  x a x R dx x 0 0 t n T f(,) x t X i n tmax  i T i 1 t i i (11) ()SR RS dxdt ()t nn tmax xx x 0 i 1 t  Xi T i v  X i T i dt ii 11 n 0  iiaT (8)  x x i i 1 Để giải phương trình phi tuyến này, ta làm Với ,,,,,, i   i   i  là các hàm của theo 2 bước như sau: x x x x x x x R,,, T f t Bước 1: (ODE bậc 2) cho R , tìm được S Dạng mạnh như sau: Bước 2: (ODE bậc 1) cho S, tìm được R R Giải tìm hàm S(x):  a  R  () t xt x x x Đầu tiên, giả sử biết trước hàm R là một hàm nn (12) * iT i i bất kỳ R(t)=Tn(t) , từ sự giả định này hàm R i x aT x  x i sẽ bị triệt tiêu trong công thức (8). Sau đó ta iit có dạng yếu như sau: Với các hệ số là hằng số, ta dễ dàng tìm được S* S  S v  S  dx kết quả phù hợp với điều kiện biên. t t t  3. KẾT QUẢ SỐ n i 3.1 Truyền nhiệt trên thanh: dẫn nhiệt  t()xX  t i S* i dx không ổn định một chiều nn  ii  t X i  t v  X i ii (9) ,,,, ii    R,,, T f t Với t t t t t là các hàm của Hình 1. Mô hình dẫn nhiệt * Công thức dạng yếu (9) thỏa mãn với mọi S , Phương trình vi phân mô tả: nên ta có dạng mạnh như sau: uu2 S  S v  S   () x 0 (13) t t t t tx2 n n n (10) i i i Điều kiện đầu và điều kiện biên như sau:  tX i   t X i   t v  X i i i i Điều kiện đầu: u( x , t 0) ex 1 Với các hệ số đều là hằng số. Ta có thể giải tt 1 phương trình (10) bằng các phương pháp số Điều kiện biên: u0 ( t ) e 1; uL ( t ) e như phần tử hữu hạn, sai phân hay Runge x Kutta Sử dụng phương pháp PGD để giải phương trình vi phân (13) Giải tìm hàm R(t): n Từ hàm R(x) vừa tìm được, hàm R(t) được tìm un 1 (,)()()()() xt TtXx RtSx (14) *  ii tương tự. Trong trường hợp S triệt tiêu, công i 1 thức (8) thành: Kết quả phương pháp PGD được so sánh với kết quả giải tích ở hình 2, với ví dụ này bài toán hội tụ rất nhanh:
3. (n 1)  u u(nn 1) u ( )  tt (17) (n 1)  v v(nn 1) v ( )  tt Phương trình (15) thành: p u(n 1) F t x (18) p v(n 1) G t y Trong đó: 1 2u  2 u  u 2  uv F u n t f 22 x (19) Re x  y  x  y 2 2 2 n 1 v  v  uv  v G v t f 22 y Re x  y  x  y Từ công thức (18), công thức (16) được viết: 22p n 11  p n 1  F n  G n (20) 22 x  y t  x  x Công thức (20) là phương trình Poisson cho Hình 2. Nhiệt truyền trên thanh được giải áp suất của dòng chảy không nén được 2 bằng giải tích và PGD chiều. Phương trình Poisson này được giải rất 3.2 Dòng chảy không nén được 2 chiều nhanh bởi PGD. Bên cạnh đó, đạo hàm bậc 2 của p trong phương trình Poisson có thể giải Phương trình Navier-Stokes mô tả dòng chảy rời rạc bằng FDM, sau đó ta dùng phương 2 chiều không nén được: pháp lặp Gauss-Seidel hoặc Successive Over- u  u2  uv  p1  2 u  2 u Relaxation (SOR) để giải phương trình (20) 22 fx t  x  y  xRe  x  y Giải thuật để tìm các biến u,v và p : 2 2 2 v  uv  v  p1  v  v n n 22 f y Bước 1: Tính F và G trong t  x  y  yRe  x  y phương trình (19) từ u n và v n . (15) Bước 2: Giải phương trình Poisson Có 3 hàm ẩn trong 2 phương trình phi tuyến. cho áp suất (20) Phương trình thứ 3 là phương trình liên tục: Bước 3: Tính u n 1 và v n 1 theo công uv 0 (16) thức (18) xy Vấn đề 1:Vận tốc và áp suất của dòng chảy Dựa trên phương pháp sai phân hữu hạn, tự do chúng ta sử dụng sai phân tiến để rời rạc các đạo hàm bậc nhất trong công thức (15):
4. Hình 3. Mô hình bài toán Trường áp suất của dòng chảy tự do tại thời điểm t=1 được biểu diễn ở hình 4, hình 5 bằng phương pháp PGD và SOR Hình 6. So sánh thời gian giải của 2 phương pháp PGD và SOR Vấn đề 2: Giải phương trình Poisson cho áp suất trong dòng chảy nhớt không nén được qua trụ tròn Kết quả đường dòng và trường áp suất được biểu diễn trong hình 7 và hình 8 Hình 4. Sử dụng phương pháp PGD Hình 7. Đường dòng tại thời điểm t=0.3 Hình 5. Sử dụng phương pháp SOR Khi ta giải với cùng điều kiện đầu vào, điều kiện biên thì thời gian tính toán: (Điều kiện dừng: P<10-8) • Bằng phương pháp PGD: 2.193 giây • Bằng phương pháp SOR: 27.023 giây Hình 8. Phân bố áp suất tại t=0.3
5. 4. KẾT LUẬN Heat and Mass Transfer 35 (8) (2008) Trong nghiên cứu này, tác giả trình bày một 1024–1031. số ứng dụng của phương pháp Proper 6. Francisco Chinesta, Amine Ammar, Elías Generalized Decomposition. Theo kết quả đạt Cueto, Recent Advances and New được, phương pháp có thể giải bài toán với Challenges in the Use of the Proper miền lưới bất kỳ, nó rất hữu ích cho những Generalized Decomposition for Solving bài toán đơn giản lưới chia lớn nhưng kết quả Multidimensional Models, 12/2009 vẫn tốt. 7. A.Dumon, C.Allery, A.Ammar, Proper General Decomposition (PGD) for the Với cùng một kích thước lưới, mối quan hệ resolution of Navier-Stokes equations, giữa số lượng nghiệm và số lượng biến như 11/2010 sau: tổng số lượng biến của công thức là n, thì 8. F. Chinesta, A. Ammar, A. Leygue, R. số lời giải của phương pháp PGD là Keunings, An overview of the proper Nx Nx Nx , với phương pháp SOR 12 n generalized decomposition with sẽ là Nx12 Nx Nxn . Vì thế, thời gian giải applications in computational rheology, của PGD sẽ nhanh hơn rất nhiều. 1/2011 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO 9. Ch. Ghnations, F. Masson, A.Huerta. E.Cueto, F. Chinesta, Proper Generalized 1. C. Allery, S. Guerin, A. Hamdouni, A. Decomposition Based Dynamic Data- Sakout, “Experimental and numerical pod Driven Control of Thermal Processes, study of the coanda effect used to reduce 10/2010 self- sustained tones”, Mechanics 10. A. Rajabpour, F. Kowsary, Research Communications 31 (1) (2004) V.Esfahanian, Reduction of the 105–120. computational time and noise filtration in 2. C. Allery, C. Beghein, A. Hamdouni , “On the ihcp by using the proper orthogonal investigation of particle dispersion by a decomposition (pod) method, International pod approach”, International Applied Communications in Heat and Mass Mechanics 44 (2008) 133–142. Transfer 35 (8) (2008) 1024–1031 3. E. Liberge, A. Hamdouni . “Reduced order modelling method via proper orthogonal decomposition (pod) for flow Xác nhận đồng ý cho đăng của GVHD around an oscillating cylinder”, Journal of Fluids and Structures 26 (2) (2010) 292– 311. 4. T.K. Sengupta, V. Suman, N. Singh, “Solving Navier–Stokes equation for flow past cylinders using single-block structured and overset grids”, Journal of Computational Physics 229 (1) (2010) TS. PHAN ĐỨC HUYNH 178–199. 5. A. Rajabpour, F. Kowsary, V. Esfahanian, “Reduction of thecomputational time and noise filtration in the ihcp by using the proper orthogonal decomposition(pod) method”, International Communications in
6. BÀI BÁO KHOA HỌC THỰC HIỆN CÔNG BỐ THEO QUY CHẾ ĐÀO TẠO THẠC SỸ Bài báo khoa học của học viên có xác nhận và đề xuất cho đăng của Giảng viên hướng dẫn Bản tiếng Việt ©, TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP. HỒ CHÍ MINH và TÁC GIẢ Bản quyền tác phẩm đã được bảo hộ bởi Luật xuất bản và Luật Sở hữu trí tuệ Việt Nam. Nghiêm cấm mọi hình thức xuất bản, sao chụp, phát tán nội dung khi chưa có sự đồng ý của tác giả và Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh. ĐỂ CÓ BÀI BÁO KHOA HỌC TỐT, CẦN CHUNG TAY BẢO VỆ TÁC QUYỀN! Thực hiện theo MTCL & KHTHMTCL Năm học 2016-2017 của Thư viện Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp. Hồ Chí Minh.