Ôn tập tóm tắt chương trình thi đại học môn Toán

Nội dung text: Ôn tập tóm tắt chương trình thi đại học môn Toán

1. Ơn tập tĩm tắt chương trình thi đại học mơn Tốn
2. PHẦN MỘT: ÔN TẬP TÓM TẮT CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN I- GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1. Giai thừa : n! = 1.2 n 0! = 1 n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) n 2. Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn; mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là : m + n. 3. Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là : m x n. 4. Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : Pn = n !. !n 5. Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn : Ck = n k!(n− k)! 6. Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số n! cách : A,Akk==C.Pk nn(n− k)! nk Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vị 7. Tam giác Pascal : 0 1 C0 0 1 1 1 CC1 1 0 1 2 1 2 1 CCC2 2 2 0 1 2 3 1 3 3 1 CCCC3 3 3 3 0 1 2 3 4 1 4 6 4 1 CCCCC4 4 4 4 4 Tính chất : C0 = Cn = 1, Ck = Cn− k n n n n k− 1 k k CCCn +n = n+ 1 8. Nhị thức Newton : n 0 n 0 1 n− 1 1 n 0 n * (a+ b) = Cn a b + Cn a b+ + Cn a b 01 nn a = b = 1 : CC C2nn+++= n Với a, b ∈ {±1, ±2, }, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa : 0 1 n Cn ,Cn , , Cn n 0 n 1 n− 1 n n * (a+ x) = Cn a + Cn a x + + Cn x 0 1 n Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa Cn ,Cn , , Cn bằng cách : - Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, a = ±1, ±2, TRANG 1
3. - Nhân với xk , đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, , a = ±1, ±2, ±1 ±2 β - Cho a = ±1, ±2, , ∫hay ∫ hay ∫ 0 0 α Chú ý : n knkk− m * (a + b) : a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x : Can b= Kx Giải pt : m = 0, ta được k. * (a + b)n : a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ. mr knkk− pq Can b= Kcd ⎧m / p ∈ Z Giải hệ pt : ⎨ , tìm được k ⎩r / q∈ Z k k * * Giải pt , bpt chứa An ,Cn : đặt điều kiện k, n ∈ N , k ≤ n. Cần biết đơn giản các giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung. * Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vị (xếp, không bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc rồi xếp). * Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường hợp. * Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau : số cách chọn thỏa p. = số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p. Cần viết mệnh đề phủ định p thật chính xác. * Vé số, số biên lai, bảng số xe : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang phải). * Dấu hiệu chia hết : - Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8. - Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4. - Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8. - Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3. - Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9. - Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5. - Cho 6 : chia hết cho 2 và 3. - Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75. II- ĐẠI SỐ ⎡b= c = 0 1. Chuyển vế : a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔ ⎢⎧ b≠ 0 ⎢⎨ ⎣⎩ a= c/ b ⎧ a= bc a/b = c ⇔ ⎨ ; a2n+ 1 = b ⇔ a = 2n+ 1 b ⎩ b≠ 0 TRANG 2
4. 2n 2n ⎧ b = a ab=⇔±= 2n ab = 2n ,a ⇔⎨ b ⎩ a0≥ ⎧ b= ± a a a= b ⇔ ⎨ ,a= logα b ⇔ b = α ⎩ a≥ 0 b= 0,c> 0 ⎧ b> 0 a+ b c/ b 2. Giao nghiệm : ⎧ x> a ⎧ x max{a,b} ; ⎨ ⇔x b ⎩ x ∨a)ubaxáen(b 0,y ↑ nếua > 1, y ↓ nếu0 < a < 1. TRANG 3
5. a1;a0m==−+/nmmnmn 1/a;a.aan = a/amn=== a mnmnm.nnn− ;(a) a ;a/b (a/b) n ann .b==⇔= 1) am n(nếu0 0 , 0 1, y↓ nếu 0 logMlogN > = ax b R, t x2 0, t x 0,t x 0,t ax 0,t log x ∈ R a Nếu trong đề bài có điều kiện của x, ta chuyển sang điều kiện của t bằng cách biến đổi trực tiếp bất đẳng thức. b. Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t. Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác định của f. c. Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện của t. d. Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên. 5. Xét dấu : a. Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu. b. Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) 0. c. Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính liên tục và đơn điệu của f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x) = 0, phác họa đồ thị của f , suy ra dấu của f. 6. So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với α : f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) * S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a TRANG 4
6. Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với đẳng thức g(x1,x2) = 0 ⎧ g = 0 ⎪ không đối xứng, giải hệ pt : ⎨ S= x1 + x 2 ⎪ ⎩ P= x1 .x 2 2 2 Biết S, P thỏa S – 4P ≥ 0, tìm x1, x2 từ pt : X – SX + P = 0 * Dùng Δ, S, P để so sánh nghiệm với 0 : ⎧ Δ > 0 ⎪ x1 0 ⎪ ⎩ S> 0 ⎧ Δ > 0 ⎪ x1 0 ⎪ ⎩ S 0 ⎧ Δ > 0 ⎪ ⎪ α 0 ; x1 0 ⎪ ⎪ ⎩ α 0 ; x1 0 ⎪ ⎪ ⎩ α 0 3 nghiệm phân biệt ⇔ ⎨ ⎩f(α ) ≠ 0 ⎧Δ > 0 ⎧Δ = 0 2 nghiệm phân biệt ⇔ ⎨ ∨ ⎨ ⎩f(α ) = 0 ⎩f(α ) ≠ 0 ⎧Δ = 0 1 nghiệm ⇔ Δ < 0hay⎨ ⎩f()α = 0 • Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao giữa (C) : y = f(x) và (d) : y = m. • Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao giữa (Cm) : y = f(x, m) và (Ox) : y = 0 TRANG 5
7. ⎧Δ'y > 0 3 nghiệm ⇔ ⎨ ⎩yCĐ .y CT 0 2 nghiệm ⇔ ⎨ ⎩yCĐ .y CT = 0 ⎧Δ'y > 0 1 nghiệm ⇔ Δy' ≤ 0 ∨ ⎨ ⎩yCĐ .y CT > 0 c. Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành CSC : ⎧Δ'y > 0 ⇔ ⎨ ⎩yuốn = 0 d. So sánh nghiệm với α : 2 • x = xo ∨ f(x) = ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc 2 f(x) với α. • Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của f(x) = y: (C) và y = m: (d) , đưa α vào BBT. • Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương 3 2 giao của (Cm) : y = ax + bx + cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox) ⎧ Δ>y' 0 ⎪ α ⎪ y.y0CĐ CT 0 ⎪ ⎪ yCĐ .y CT 0 ⎪ ⎩ α 0 ⎪ y .y y' 0 ⎪ x1 x α ⎪ y.y0CĐ CT ) 0 ⎪ ⎩ xCT <α 8. Phương trình bậc 2 có điều kiện : TRANG 6
8. f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), x ≠ α ⎧ Δ > 0 ⎨ ⎧ f(α ) ≠ 0 ⎩ f(α ) = 0 2 nghiệm ⇔ ⎨ , 1 nghiệm ⇔ ⎩ Δ > 0 ⎧ Δ = 0 ⎨ ⎩ f(α ) ≠ 0 ⎧ Δ = 0 Vô nghiệm ⇔ Δ 0 ⎪ ⎧ P= 0 4 nghiệm ⇔ ⎨ P> 0 ; 3 nghiệm ⇔ ⎨ ⎪ ⎩ S> 0 ⎩ S> 0 ⎧ P= 0 P 0 ⎨ ⎩ S/ 2= 0 ⎧ Δ ≥ 0 ⎧ ⎪ ⎪ VN ⇔ Δ 0 ⇔ Δ 0 ⎪ ⎪ ⎩ S< 0 ⎩ S < 0 ⎧ 0< t1 < t 2 4 nghiệm CSC ⇔ ⎨ ⎩ t2= 3 t 1 ⎧ t2= 9t 1 ⎪ Giải hệ pt : ⎨ S= t1 + t 2 ⎪ ⎩ P= t1 .t 2 1 b. ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0. Đặt t = x + . Tìm đk của t bằng BBT : t≥ 2 x 1 c. ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = 0. Đặt t = x – . Tìm đk của t bằng BBT : t ∈ R. x d. (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d. Đặt : t = x2 + (a + b)x. Tìm đk của t bằng BBT. a+ b e. (x + a)4 + (x + b)4 = c. Đặt : t= x + , t ∈ R. 2 TRANG 7
9. ⎧ ax +by = c 10. Hệ phương trình bậc 1 : ⎨ . Tính : ⎩ a'x+ b'y = c' a b c b a c D = , Dx = , Dy = 'a 'b 'c 'b 'a 'c D ≠ 0 : nghiệm duy nhất x = Dx/D , y = Dy/D. D = 0, Dx ≠ 0 ∨ Dy ≠ 0 : VN D = Dx = Dy = 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết). 11. Hệ phương trình đối xứng loại 1 : Từng phương trình đối xứng theo x, y. Đạt S = x + y, P = xy. ĐK : S2 – 4P ≥ 0. Tìm S, P. Kiểm tra đk S2 – 4P ≥ 0; Thế S, P vào pt : X2 – SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y. (α, β) là nghiệm thì (β, α) cũng là nghiệm; nghiệm duy nhất ⇒ α = β ⇒ m = ? Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không. 12. Hệ phương trình đối xứng loại 2 : Phương trình này đối xứng với phương trình kia. Trừ 2 phương trình, dùng các hằng đẳng thức đưa về phương trình tích A.B = 0. Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1. ⎧ ax2 + bxy + cy2 = d 13. Hệ phương trình đẳng cấp : ⎨ 2 2 ⎩ a'x+ b'xy + c'y = d' Xét y = 0. Xét y ≠ 0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t. Còn 1 phương trình theo y, giải ra y, suy ra t, suy ra x. Có thể xét x = 0, xét x ≠ 0, đặt y = tx. 14. Bất phương trình, bất đẳng thức : * Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của ,. , log, mũ có thể giải trực tiếp, các dạng khác cần lập bảng xét dấu. Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét dấu A, B rồi AB. * Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều số âm : có đổi chiều Chia bất phương trình : tương tự. * Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm. * Bất đẳng thức Côsi : a+ b a, b ≥ 0 : ≥ ab 2 Dấu = xảy ra chỉ khi a = b. a+ b+ c a, b, c ≥ 0 : ≥ 3 abc 3 Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c. * Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2).(c2 + d2); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d 15. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm : TRANG 8
10. Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m. Số nghiệm bằng số điểm chung. Nếu có điều kiện của x ∈ I, lập BBT của f với x ∈ I. 16. Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x ∈ I : Nếu tách được m, dùng đồ thị, lập BBT với x ∈ I. f(x) ≤ m : (C) dưới (d) (hay cắt) f(x) ≥ m : (C) trên (d) (hay cắt) III- LƯỢNG GIÁC + 0 1. Đường tròn lượng giác : −π2 2π Trên đường tròn lượng giác, góc α đồng nhất với cung AM, đồng nhất với điểm M. Ngược lại, 1 điểm trên đường tròn −π2 0 2π lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2π. Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt : M π 1 π 1 bội của ( cung phần tư) và ( cung phần tư) 6 3 4 2 α A 0 2kπ x = α + : α là 1 góc đại diện, n : số điểm cách đều x+k2 π n trên đường tròn lượng giác. sin tg M cotg 2. Hàm số lượng giác : cos M 3. Cung liên kết : chiếu ⊥ chiếu xuyên tâm * Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệu π (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos đối, tg cotg hiệu π). * Đổi hàm, không đổi dấu : phụ π * Đổi dấu, đổi hàm : hiệu (sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu). 2 4. Công thức : a. Cơ bản : đổi hàm, không đổi góc. b. Cộng : đổi góc a ± b, ra a, b. c. Nhân đôi : đổi góc 2a ra a. d. Nhân ba : đổi góc 3a ra a. e. Hạ bậc : đổi bậc 2 ra bậc 1. Công thức đổi bậc 3 ra bậc 1 suy từ công thức nhân ba. a f. Đưa về t= tg : đưa lượng giác về đại số. 2 g. Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a ± b) / 2. h. Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a ± b. TRANG 9
11. 5. Phương trình cơ bản : sinα = 0⇔ cosα = – 1 hay cosα = 1⇔ α = kπ, π π sinα = 1 ⇔ α = + k2π; sinα = –1 ⇔ α = – + k2π, 2 2 π cosα = 0 ⇔ sinα = –1 hay sinα = 1 ⇔ α = + kπ, 2 cosα = 1 ⇔ α = k2π, cosα = – 1 ⇔ α = π + k2π sinu = sinv ⇔ u = v + k2π ∨ u = π – v + k2π cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π tgu = tgv ⇔ u = v + kπ cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ 6. Phương trình bậc 1 theo sin và cos : asinu + bcosu = c * Điều kiện có nghiệm : a2 + b2 ≥ c2 * Chia 2 vế cho a2+ b 2 , dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản. u (cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo t= tg ) 2 7. Phương trình đối xứng theo sin, cos : Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos. ⎛⎞π t12 − Đặt : t = sinu + cosu = 2sin⎜⎟ u+−≤≤ , 2 t 2,sinu.cosu = ⎝⎠42 8. Phương trình chứa ⏐sinu + cosu⏐ và sinu.cosu : ⎛⎞π t 2 −1 Đặt : t=+ sinu cosu =202 sin⎜⎟ u + , ≤≤ t ,sinu.cosu = ⎝⎠42 9. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu : ⎛⎞π 1t− 2 Đặt : t=− sin u cosu = 2 sin⎜⎟ u −−≤≤ , 2 t 2,sin u.cosu = ⎝⎠42 10. Phương trình chứa ⏐sinu – cosu⏐ và sinu.cosu : ⎛⎞π 1− t 2 Đặt : t=− sinu cosu =202 sin⎜⎟ u − , ≤≤ t ,sinu.cosu = ⎝⎠42 11. Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu và cosu) : Xét cosu = 0; xét cosu ≠ 0, chia 2 vế cho cos2u, dùng công thức 1/cos2u = 1 + tg2u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tgu. 12. Phương trình toàn phương mở rộng : * Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos3u. * Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu. 13. Giải phương trình bằng cách đổi biến : Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt : * t = cosx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x. * t = sinx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π – x. * t = tgx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π + x. * t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng TRANG 10
12. x * t = tg : nếu cả 3 cách trên đều không đúng. 2 14. Phương trình đặc biệt : ⎧ u= 0 * u2+ v 2 = 0 ⇔ ⎨ ⎩ v= 0 ⎧ u= v ⎪ ⎧ u= C * ⎨ u≤ C ⇔ ⎨ ⎪ ⎩ v= C ⎩ v≥ C ⎧ u≤ A ⎪ ⎧ u= A * ⎨ v≤ B ⇔ ⎨ ⎪ ⎩ v= B ⎩ u+ v = A + B ⎧ sin u= 1 ⎧ sin u= − 1 * sinu.cosv = 1 ⇔ ⎨ ∨ ⎨ ⎩ cosv= 1 ⎩ cosv= − 1 ⎧ sin u= 1 ⎧ sin u= − 1 * sinu.cosv = – 1 ⇔ ⎨ ∨ ⎨ ⎩ cosv= − 1 ⎩ cosv= 1 Tương tự cho : sinu.sinv = ± 1, cosu.cosv = ± 1. 15. Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg ⎧ F(x)± F(y) = m (1) a. Dạng 1 : ⎨ . Dùng công thức đổi + thành nhân, ⎩ x± y = n (2) ⎧ x +y = a thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình : ⎨ ⎩ x− y = b ⎧ F(x).F(y)= m b. Dạng 2 : ⎨ . Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành ⎩ x± y = n +. ⎧ F(x) / F(y)= m c. Dạng 3 : ⎨ . ⎩ x± y = n a c a+ c a− c Dùng tỉ lệ thức : = ⇔ = biến đổi phương trình (1) rồi dùng b d b+ d b− d công thức đổi + thành x. d. Dạng khác : tìm cách phối hợp 2 phương trình, đưa về các pt cơ bản. 16. Toán Δ : * Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C = π * A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2. * A, B, C ∈ (0, π) ; A/2, B/2, C/2 ∈ (0, π/2) A + B ∈ (0, π) ; (A + B)/2 ∈ (0, π/2) ; A – B ∈ (– π, π) , (A – B)/2 ∈ (– π/2, π/2) Dùng các tính chất này để chọn k. * Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng định lý hàm sin : TRANG 11
13. a = 2RsinA hay định lý hàm cos : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA 1 1 abc * S =ah = absin C = = pr 2 a 2 4R =p(p − a)(p − b)(p − c) 1 * Trung tuyến : m =2b2 + 2c 2 − a 2 a 2 A 2bccos 2 * Phân giác : ℓa = b+ c IV- TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa, công thức, tính chất : * F là 1 nguyên hàm của f ⇔ f là đạo hàm của F. Họ tất cả các nguyên hàm của f : ∫ f(x)dx = F(x) + C (C ∈ R) uα+1 * du=+ u C ; uα du = + C , α ≠ – 1 ∫∫α+1 du =+ln u C; euu du += e C; au du= a u / ln a + C ∫∫u ∫ ∫ sinudu=− cosu + C ; ∫ cos udu= sin u + C ∫ du / sin2 u= − cot gu + C ; ∫ du / cos2 u= tgu + C b * f(x)dx==− F(x)b F(b) F(a) ∫ a a a b a c b c * =0 ; = − , = + ∫a ∫∫∫a ∫b a a ∫b b b b b b ∫(f+ g) = ∫ f + ∫ g ;∫∫ kf= k f a a a a a 2. Tích phân từng phần : ∫∫udv=− uv vdu Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợp. a. ∫∫xn e x , x n sin x ; ∫ xn cos x : u= xn b. ∫ xn ln x : u= ln x c. ∫∫ex sin x , ex cos x : u= ex hay dv= ex dx từng phần 2 lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ 3. Các dạng thường gặp : TRANG 12
14. a. ∫sinm x.cos 2n+ 1 x : u = sinx. ∫ cosm x.sin 2n+ 1 x : u = cosx. ∫sin2m x.cos 2n x : hạ bậc về bậc 1 b. ∫ tg2m x / cos2n x : u = tgx (n ≥ 0) ∫ cot g2m x / sin 2n x : u = cotgx (n ≥ 0) c. ∫ chứa a2 – u2 : u = asint ∫ chứa u2 – a2 : u = a/cost ∫ chứa a2 + u2 : u = atgt d. ∫ R(sin x,cos x) , R : hàm hữu tỷ R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) : u = tgx ∨ u = cotgx x R đơn giản : u= tg 2 π/ 2 π :thử đặt u = − x ∫ 2 0 π ∫ :thử đặt u= π − x 0 e. ∫ xm (a+ bxn ) p/ q , (m+ 1)/ n ∈ Z : uq = a + bxn m+ 1 p f. xm (a+ bxn ) p/ q , + ∈Z : uq x n = a + bxn ∫ n q 1 g. dx /[(hx+ k) ax2 + bx + c : hx + k = ∫ u h. ∫ R(x, (ax+ b)/(cx + d) , R là hàm hữu tỷ : u= (ax + b)/(cx + d) i. ∫ chứa (a + bxk)m/n : thử đặt un = a + bxk. 4. Tích phân hàm số hữu tỷ : ∫ P(x)/ Q(x) : bậc P < bậc Q * Đưa Q về dạng tích của x + a, (x + a)n, ax2 + bx + c (Δ < 0) * Đưa P/Q về dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số của Q : A A A A x+ a → , (x+ a)n → 1 + 2 + + n x+ a x+ a (x+ a)2 (x+ a)n A(2ax+ b) B ⎛ dx ⎞ ax2 + bx + c( Δ < 0) → + ⎜ (Δ < 0) = du/(u2 + a 2 ) :đặt u= atgt⎟ ax2 + bx + c ax2 + bx + c ⎝∫∫ax2 + bx + c ⎠ TRANG 13
15. 5. Tính diện tích hình phẳng : b a. D giới hạn bởi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) : SD = ∫ f(x) dx a f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở ⏐.⏐; f(x) : hàm lượng giác : xét dấu f(x) trên cung [a, b] của đường tròn lượng giác. b. D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x) b (C') : y = g(x) : SD =∫ f(x) − g(x) dx a Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/. c. D giới hạn bởi (C1) : f1(x, y) = 0 , (C2) : f2 (x, y) = 0 f(x) b α / Sf(x)=−g(x) dx D ∫ g(x) a x=a x=b b y=b β/ Sf(=−y) g(y)dy D ∫ g(y) f(y) a y=a Với trường hợp α) : nếu biên trên hay biên dưới bị gãy, ta cắt D bằng các đường thẳng đứng ngay chỗ gãy. Với trường hợp β) : nếu biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D bằng các đường ngang ngay chỗ gãy. Chọn tính ∫ theo dx hay dy để ∫ dễ tính toán hay D ít bị chia cắt. Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm. Cần biết vẽ đồ thị các hình thường gặp : các hàm cơ bản, các đường tròn, (E) , (H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ, hàm . . Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = 0 và biết chọn + hay − (y= + : trên,y= − : dưới,x= + : phải,x= − : trái) 6. Tính thể tích vật thể tròn xoay : a. D như 5.a/ xoay quanh (Ox) : f(x) b 2 a b V= π∫[] f(x) dx a b f(y) b a b. V= π∫[] f(y)2 dy a f(x) TRANG 14 g(x a b
16. b c. V= π∫ [f2 (x) − g 2 (x)]dx a b b f(y) d. V= π∫ [f2 (y) − g 2 (y)]dy g(y) a a f(x) f(x) -g(x) c b ab e. V= π∫ f2 (x)dx+ π ∫ g2 (x)dx a c a c b g(x c b b f(y) f. V= π∫ g2 (y)dy+ π ∫ f2 (y)dy a c c a -g(y) Chú ý : xoay quanh (Ox) : ∫ dx ; xoay quanh (Oy) : ∫ dy. V- KHẢO SÁT HÀM SỐ 0 1. Tìm lim dạng , dạng 1 ∞ : 0 P(x) (x− a)P (x) P a. Phân thức hữu tỷ : lim (dạng 0 / 0)= lim 1 = lim 1 x→ a Q(x) x→ a (x− a)Q1 (x) x→ a Q1 f(x) sin u b. Hàm lg : lim (dạng0/ 0),dùng côngthứclim = 1 x→ a g(x) u→ 0 u f(x) c. Hàm chứa căn : lim (dạng0/ 0), dùng lượng liên hiệp : x→ a g(x) a2 – b2 = (a – b)(a + b) để phá , a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) để phá 3 d. Hàm chứa mũ hay log (dạng 1∞) : dùng công thức lim(1+ u)1/ u = e u→ 0 2. Đạo hàm : f(x) − f(xo ) a. Tìm đạo hàm bằng định nghĩa : f'(x0 )= lim x→ xo x− xo Tại điểm xo mà f đổi công thức, phải tìm đạo hàm từng phía : / / / / f (x )= lim ,f (x )= lim . Nếu f (x )= f (x ) thì f có đạo hàm tại xo. + o + − o − + o − o x→ xo x→ xo b. Ý nghĩa hình học : α TRANG 15 f(x) M
17. / k = tgα = f (xM) c. f/ + : f ↑ , f/ – : f ↓ f// + : f lõm , f// – : f lồi ⎧ f/ (x )= 0 d. f đạt CĐ tại M ⇔ M ⎨ // ⎩ f (xM ) 0 // // M là điểm uốn của f ⇔ f (xM) = 0 và f đổi dấu khi qua xM. e. Tính đạo hàm bằng công thức : C/ = 0, (xα)/ = αxα–1 , (lnx)/ = 1/x , 1 ()log x ′ = , (ex)/ = ex a xlna (ax)/ = ax.lna, (sinx)/ = cosx , (cosx)/ = – sinx, (tgx)/ = 1/cos2x, (cotgx)/ = –1/sin2x, (ku)/ = ku/ , (u ±v)/ = u/ ± v/, (uv)/ = u/v + uv/ , (u/v)/ = (u/v – uv/)/v2 / / / * Hàm hợp : (gof) = g [f(x)] . f (x) * Đạo hàm lôgarit : lấy log (ln : cơ số e) 2 vế , rồi đạo hàm 2 vế; áp dụng với hàm [f(x)]g(x) hay f(x) dạng tích, thương, chứa n f. Vi phân : du = u/dx 3. Tiệm cận : lim y = ∞ ⇒ x = a : tcđ xa x→ a y ∞ ∞ x −∞ +∞ lim y = b ⇒ y = b : tcn x→∞ y b b x −∞ +∞ lim[y −(ax + b)] = 0 ⇒ y = ax + b : tcx x→∞ y ∞ ∞ * Vẽ đồ thị có tiệm cận : - t c đ : khi y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c . - t c x :khi x và y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c. - t c n :khi x càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c. )x(P * Xét y = Q(x) TRANG 16
18. • Có tcđ x = a khi Q(a) = 0, P(a) ≠ 0 • Có tcn khi bậc P ≤ bậc Q : với x → ∞, tìm lim y bằng cách lấy số hạng bậc cao nhất của P chia số hạng bậc cao nhất của Q. P (x) • Có tcx khi P hơn Q 1 bậc, khi đó chia đa thức ta có : f(x)= ax + b + 1 , tcx Q(x) là y = ax + b. Nếu Q = x – α, có thể chia Honer. * Biện luận tiệm cận hàm bậc 2 / bậc 1 : c yaxb=++ ( d ≠ 0 ) dx+ e • a ≠ 0, c ≠ 0 : có tcđ, tcx • a = 0, c ≠ 0 : có tcn, tcđ. • c = 0 : (H) suy biến thành đt, không có tc. 4. Đồ thị các hàm thường gặp : a 0 b/ y = ax2 + bx + c c/ y = ax3 + bx2 + c + d a > 0 a 0 : Δy′ = 0 Δy′ 0 a 0 ab 0 a 0 ad - bc 0 Δy′ > 0 Δy′ = 0 Δy′ < 0 TRANG 17
19. ad b g(x) = f(–x) : đx qua (Oy) b y = b g(x) = – f(x) : đx qua (Ox) a y a (C/) : y = f )x( : giữ nguyên phần (C) bên trên y = 0, lấy phần (C) bên dưới y = 0 đối xứng qua (Ox). (C/) : y = f )x( : giữ nguyên phần (C) bên phải x = 0, lấy phần (C) bên phải x = 0 đối xứng qua (Oy). 6. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA (Cm) : y = f(x, m) a/ Điểm cố định : M(xo, yo) ∈ (Cm), ∀m ⇔ yo = f(xo, m), ∀m ⇔ Am + B = 0, ⎧ A= 0 2 ⎧ A= 0 ⎪ ∀m (hay Am + Bm + C = 0, ∀m) ⇔ ⎨ (hay ⎨ B= 0 ). Giải hệ, được M. ⎩ B= 0 ⎪ ⎩ C= 0 b/ Điểm (Cm) không đi qua, ∀m : M(xo, yo) ∉ (Cm), ∀m ⇔ yo ≠ f(xo,m), ∀m ⇔ 2 yo = f(xo, m) VN m ⇔ Am + B = 0 VN m (hay Am + Bm + C = 0 VN m) ⇔ ⎧ A= 0 ⎧ A= 0 ⎪ ⎧A≠ 0 ⎨ (hay ⎨ B= 0 ∨ ⎨ ). Giải hệ , được M. ⎩ B≠ 0 ⎪ ⎩Δ < 0 ⎩ C≠ 0 A ⎧B≠ 0 Chú ý : = C VN ⇔ B = 0 ∨ ⎨ B ⎩A= BC VN c/ Điểm có n đường cong của họ (Cm) đi qua : Có n đường (Cm) qua M(xo, yo) ⇔ yo = f(xo, m) có n nghiệm m. Cần nắm vững điều kiện có n nghiệm của các loại phương trình : bậc 2, bậc 2 có điều kiện x ≠ α, bậc 3, trùng phương. 7. TIẾP XÚC, PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN : ⎧y= y a. (C) : y = f(x), tx (C/) : y = g(x) khi hệ phương trình sau có nghiệm : C C/ . ⎨ / / ⎩yC = y C/ Nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp điểm. b. Tìm tiếp tuyến với (C) : y = f(x) * Tại M(xo, yo) : y = f'(xo)(x – xo) + yo. * Qua M (xo, yo): viết phương trình đường thẳng qua M : (d) : y = k(x – xo) + yo. Dùng điều kiện tx tìm k. Số lượng k = số lượng tiếp tuyến (nếu f bậc 3 hay bậc 2 / bậc 1 thì số nghiệm x trong hệ phương trình đk tx = số lượng tiếp tuyến). TRANG 18
20. * // (Δ) : y = ax + b : (d) // (Δ) ⇒ (d) : y = ax + m. Tìm m nhờ đk tx. 1 * ⊥ (Δ) : y = ax + b (a ≠ 0) : (d) ⊥ (Δ) ⇒ (d) : y = − x + m. Tìm m nhờ đk tx. a c. Bài toán số lượng tiếp tuyến : tìm M ∈ (C/) : g(x, y) = 0 sao cho từ M kẻ được / đến (C) đúng n tiếp tuyến (n = 0, 1, 2, ), M(xo,yo) ∈ (C ) ⇔ g(xo,yo) = 0; (d) qua ⎧yC= y d M : y = k(x – xo) + yo; (d) tx (C) : ⎨ / (1). Thế k vào (1) được phương trình ⎩yC = k ẩn x, tham số xo hay yo. Đặt đk để phương trình này có n nghiệm x (số nghiệm x = số tiếp tuyến), tìm được xo hay yo. 8. TƯƠNG GIAO : * Phương trình hđ điểm chung của (C) : y = f(x) và (C/) : y = g(x) là : f(x) = g(x). Số nghiệm pt = số điểm chung. / * Tìm m để (Cm) : y = f(x, m) và (C m) : y = g(x, m) có n giao điểm : Viết phương trình hoành độ điểm chung; đặt đk để pt có n nghiệm. Nếu pt hoành độ điểm chung tách được m sang 1 vế : F(x) = m : đặt điều kiện để (C) : y = F(x) và (d) : y = m có n điểm chung. / * Biện luận sự tương giao của (Cm) và (C m) : • Nếu pt hđ điểm chung dạng : F(x) = m : lập BBT của F; số điểm chung của / (Cm) và (C m) = số điểm chung của (C) và (d). • PThđ điểm chung, không tách được m, dạng f(x) = ax2 + bx + c = 0 (x ≠ α) hay dạng bậc 3 : x = α ∨ f(x) = 0 : lập Δ, xét dấu Δ, giải pt f(x) = 0 để biết m nào thì α là nghiệm của f, với m đó, số nghiệm bị bớt đi 1. 9. CỰC TRỊ : * f có đúng n cực trị ⇔ f/ đổi dấu n lần. ⎧ f/ (x )= 0 * f đạt cực đại tại x ⇔ o o ⎨ // ⎩ f (xo ) 0 Δ * f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị ⇔ f có CĐ và CT ⇔ f / > 0 * f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị : / • Bên phải (d) : x = α ⇔ y = 0 có 2 nghiệm α 0 ⎪⎧ f / • 1 bên (Ox) ⇔ ⎨ ⎩⎪ y.yCD CT > 0 Δ>0 ⎪⎧ f / • 2 bên (Ox) ⇔ ⎨ ⎩⎪ y.yCD CT 0) có thể thay bởi y = 0 VN (có 2 nghiệm.). TRANG 19
21. * Tính yCĐ.yCT : / • Hàm bậc 3 : y = y (Ax + B) + (Cx + D) / yCĐ.yCT = (CxCĐ + D).(CxCT + D), dùng Viète với pt y = 0. u • Hàm bậc 2/ bậc 1 : y = v / / u (xCĐ ).u (xCT ) / yCĐ.yCT = / / , dùng Viète với pt y = 0. v (xCĐ ).v (xCT ) * Đường thẳng qua CĐ, CT : • Hàm bậc 3 : y = Cx + D • Hàm bậc 2 / bậc 1 : y = u/ / v/ * y = ax4 + bx2 + c có 1 cực trị ⇔ ab ≥ 0, 3 cực trị ⇔ ab 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng) ii) a 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm tăng ( đồng biến) trên từng khỏang xác định. ii) Nếu a.m 0 và y = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực đại tại x1 và đạt cực xx12+ p tiểu tại x2 thỏa x1 < x2 và =− . 2m / iv) Nếu a.m < 0 và y = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực xx12+ p đại tại x2 thỏa x1 < x2 và =− . 2m c. Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc 1 đồng biến (nghịch biến) trên miền x ∈ I : đặt đk để I nằm trong miền đồng biến (nghịch biến) của các BBT trên; so sánh nghiệm pt bậc 2 y/ = 0 với α. 11. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ : TRANG 20
22. a. Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang 1 vế : f(x) = m; lập BBT của f (nếu f đã khảo sát thì dùng đồ thị của f), số nghiệm = số điểm chung. b. Với pt mũ, log, ,. , lượng giác : đổi biến; cần biết mỗi biến mới t được mấy biến cũ x; cần biết đk của t để cắt bớt đồ thị f. 12. QUỸ TÍCH ĐIỂM DI ĐỘNG M(xo, yo) : Dựa vào tính chất điểm M, tìm 2 đẳng thức chứa xo, yo, m; khử m, được F(xo, yo) = 0; suy ra M ∈ (C) : F(x, y) = 0; giới hạn quỹ tích : M tồn tại ⇔ m ? ⇔ xo ? (hay yo ?) • Nếu xo = a thì M ∈ (d) : x = a. • Nếu yo = b thì M ∈ (d) : y = b. 13. TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG : a. CM hàm bậc 3 có tâm đx (điểm uốn), hàm bậc 2/bậc 1 có tâm đx (gđ 2 tc) tại I : đổi tọa độ : x = X + xI, y = Y + yI; thế vào hàm số : Y = F(X), cm : F(–x) = – F(x), suy ra F là hàm lẻ, đồ thị có tđx là gốc tọa độ I. b. CM hàm bậc 4 có trục đx // (Oy) : giải pt y/ = 0; nếu x = a là nghiệm duy nhất hay là nghiệm chính giữa của 3 nghiệm : đổi tọa độ x = X + a, y = Y; thế vào hàm số : Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy ra F là hàm chẵn, đồ thị có trục đối xứng là trục tung X = 0, tức x = a. c. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I : giải hệ 4 pt 4 ẩn : ⎧ xx2xMN+=I ⎪ ⎪ yy2yMN+=I ⎨ ⎪ yf(x)MM= ⎪ ⎩ yf(x)NN= d. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm đ/x qua đt (d) : y = ax + b : dt ⊥ (d) là 1 (d') : y = – x + m; lập pt hđ điểm chung của (C) và (d'); giả sử pt có 2 nghiệm xA, a xB, tính tọa độ trung điểm I của AB theo m; A, B đối xứng qua (d) ⇔ I ∈ (d) ⇔ m?; thay m vào pthđ điểm chung, giải tìm xA, xB, suy ra yA, yB.B c 14. Tìm điểm M ∈ (C) : y = ax + b + có tọa độ nguyên (a, b, c, d, e ∈ Z) : dx+ e ⎧ c ⎧ c y= ax + b + ⎪ y= ax + b + ⎪ MM dx+ e giải hệ MM ⇔ M ⎨ dxM + e ⎨ c ⎪ ⎪ ⎩ xMM ,y∈ Z xM , ∈ Z ⎩⎪ dxM + e ⎧ c ⎪ yMM= ax + b + ⇔ ⎨ dxM + e ⎪ ⎩ xM ∈ Z,dxM + e = ướcsố củac 15. Tìm min, max của hàm số y = f(x) Lập BBT, suy ra miền giá trị và min, max. TRANG 21
23. 16. Giải bất phương trình bằng đồ thị : ⎡ x g ⇔ ⎢ ⎣ b< x g ⎡ x≤ a f ≤ g ⇔ a ≤ x ≤ b , f ≥ g ⇔ ⎢ ⎣ x≥ b a b VI- HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 1. Tọa độ , vectơ : * (a,b) ± (a/, b/) = (a ± a/, b ± b/) k(a, b) = (ka, kb) ⎧ a= a/ (a, b) = (a/, b/) ⇔ ⎨ / ⎩ b= b (a, b).(a/,b/) = aa/ + bb/ (a,b)= a2 + b 2 v.vrr/ cos( v,vrr/ ) = v.vrr/ AB= (xBABA − x ,y − y ),AB = AB M chia AB theo tỉ số k ⇔ MA = kMB x− kx y− ky ⇔ x = AB , y = AB (k ≠ 1) M 1− k M 1− k x+ x y+ y M : trung điểm AB ⇔ x = AB , y = AB M 2 M 2 ⎧ xABC+ x + x ⎪xM = M : trọng tâm ΔABC ⇔ 3 ⎨ y+ y + y ⎪y = ABC ⎩ M 3 (tương tự cho vectơ 3 chiều). * Vectơ 3 chiều có thêm tích có hướng và tích hỗn hợp : / v= (a,b,c),v= (a',b',c') ⎛ b c c a a b ⎞ v,vr r / = ⎜ , , ⎟ []⎜ ////// ⎟ ⎝ b c c a a b ⎠ [v,vrr// ]= v r . vr .sin(v,v rr/ ) [v,vr r// ]⊥ v,vr r * vr ⊥ vr / ⇔ v.vr r / = 0 ; v//vrr//⇔ [vv, rr ]= 0 ; v,vr r / ,vr // đồng phẳng ⇔ [v,vr r / ].vr // = 0 TRANG 22
24. 1 S ABC = [AB,AC] Δ 2 1 VS.ABC = []AB,AC .AS 6 / VABCD.A'B'C'D' = [AB,AD].AA uuuruuur A, B, C thẳng hàng ⇔ AB//AC ⎪⎧ AH.BC= 0 * Δ trong mp : H là trực tâm ⇔ ⎨ ⎩⎪ BH.AC= 0 ⎪⎧ AH.BC= 0 H là chân đường cao ha ⇔ ⎨ ⎩⎪ BH // BC ∧ AB M là chân phân giác trong A ⇔ MB = − MC AC ∧ AB M là chân phân giác ngòai A ⇔ MB = + MC AC I là tâm đường tròn ngoại tiếp ⇔ IA = IB = IC. ∧ I là tâm đường tròn nội tiếp ⇔ I là chân phân giác trong B của ΔABM với M ∧ là chân phân giác trong A của ΔABC. 2. Đường thẳng trong mp : * Xác định bởi 1 điểm M(xo,yo) và 1vtcp v = (a,b) hay 1 pháp vectơ (A,B) : ⎧x= xo + at x− x y− y (d) : ⎨ , (d) : o = o ⎩y= yo + bt a b (d) : A(x – xo) + B(y – yo) = 0 x y * (d) qua A(a, 0); B(0,b) : + = 1 a b x− x y− y * (AB) : A = A xBA− x yBA− y * (d) : Ax + By + C = 0 có v= ( − B,A);n= (A,B) * (d) // (Δ) : Ax + By + C = 0 ⇒ (d) : Ax + By + C′ = 0 * (d) ⊥ (Δ) ⇒ (d) : – Bx + Ay + C/ = 0 * (d), (d/) tạo góc nhọn ϕ thì : uuruuur n.n d d / uuruuur cosϕ = ≠ cos( n ,n/ ) uuruuur ()d d n.n d d / Ax +BCy + * d(M,(d)) = M M AB2+ 2 * Phân giác của (d) : Ax + By + C = 0 và (d/) : A/x + B/y + C/ = 0 là : TRANG 23
25. Ax+ By + C A/// x+ B y + C = ± AB2+ 2 AB/ 2+ / 2 n .n > 0 : phân giác góc tù + , nhọn – d d/ n .n < 0 : phân giác góc tù – , nhọn + d d/ * Tương giao : Xét hpt tọa độ giao điểm. 3. Mặt phẳng trong không gian : * Xác định bởi 1 điểm M(xo, yo, zo) và 1 pháp vectơ : n = (A, B, C) hay 2 vtcp v , v' . (P) : A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0 n = [ v , v' ] (P) : Ax + By + Cz + D = 0 có n = (A, B, C). (P) qua A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c) ⇔ (P) : x/a + y/b + z/c = 1 * Cho M(xo, yo, zo), (P) : Ax + By + Cz + D = 0 Ax +By + Cz + D d(M,(P)) = o o o ABC2+ 2 + 2 / * (P) , (P ) tạo góc nhọn ϕ thì : cosϕ = cos(n(P) ,n (P') ) / / * (P) ⊥ (P ) ⇔ n(P)⊥ n (P') , (P) // (P ) ⇔ n(P) // n (P') 4. Đường thẳng trong không gian : * Xác định bởi 1 điểm M (xo, yo, zo) và 1 vtcp v = (a, b, c) hay 2 pháp vectơ : n , n' : ⎧ x= xo + at ⎪ x− xo y− yo z− zo (d) : ⎨ y= yo + bt :)d(, = = ⎪ a b c ⎩ z= zo + ct v= [ n , n' ] x −−−xyyzz * (AB) : AA==A xBA−−−xyyzz BA BA / ⎧Ax+++= By Cz D 0 * (d) = (P) ∩ (P ) : ⎨ ⎩A' x+++= B' y C' z D' 0 * (d) qua A, vtcp v thì : [AM, v ] d(M,(d)) = v * ϕ là góc nhọn giữa (d), (d/) thì : cosϕ = cos( v , v ) d d/ * ϕ là góc nhọn giữa (d), (P) thì : TRANG 24
26. sinϕ = cos( vd , n p ) * (d) qua M, vtcp v , (P) có pvt n : (d) cắt (P) ⇔ n.v ≠ 0 (d) // (P) ⇔ n.v = 0 và M ∉ (P) (d) ⊂ (P) ⇔ n.v = 0 và M ∈ (P) * (d) qua A, vtcp v ; (d /) qua B, vtcp 'v : (d) cắt (d/) ⇔ [ v , v' ] ≠ 0 , [ v , v' ] AB = 0 (d) // (d/) ⇔ [ v , v' ] = 0 , A ∉ (d/) (d) chéo (d/) ⇔ [ v , v' ] ≠ 0 , [ v , v' ] AB ≠ 0 (d) ≡ (d/) ⇔ [ v , v' ] = 0 , A ∈ (d/) [ v , v' ] AB * (d) chéo (d/) : d(d, d/) = [ v , v' ] * (d) chéo (d/) , tìm đường ⊥ chung (Δ) : tìm n= [ v , v' ] ; tìm (P) chứa (d), // n ; tìm (P/) chứa (d/), // n ; (Δ) = (P) ∩ (P/). * (d) ⊥ (P), cắt (d/) ⇒ (d) nằm trong mp ⊥ (P), chứa (d/). * (d) qua A, // (P) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, // (P). * (d) qua A, cắt (d/) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, chứa (d/). * (d) cắt (d/), // (d//) ⇒ (d) nằm trong mp chứa (d/), // (d//). * (d) qua A, ⊥ (d/) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, ⊥ (d/). * Tìm hc H của M xuống (d) : viết pt mp (P) qua M, ⊥ (d), H = (d) ∩ (P). * Tìm hc H của M xuống (P) : viết pt đt (d) qua M, ⊥ (P) : H = (d) ∩ (P). * Tìm hc vuông góc của (d) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d), ⊥ (P); (d/) = (P) ∩ (Q) * Tìm hc song song của (d) theo phương (Δ) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d) // (Δ); (d/) = (P) ∩ (Q). 5. Đường tròn : * Đường tròn (C) xác định bởi tâm I(a,b) và bk R : (C) : (x – a)2 + (y – b)2 = R2 * (C) : x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 có tâm I(–A,–B), bk R = ABC2+ 2 − * (d) tx (C) ⇔ d(I, (d)) = R, cắt ⇔ R. * Tiếp tuyến với (C) tại M(xo,yo) : phân đôi t/độ trong (C) : (xo–a)(x–a) + (yo–b)(y–b) = R hay xox + yoy + A(xo + x) + B(yo + y) + C = 0 2 2 * Cho (C) : F(x,y) = x + y + 2Ax + 2By + C = 0 thì PM/(C) = F(xM, yM) = MA.MB = MT2 = MI2 – R2 với MAB : cát tuyến, MT : tiếp tuyến ; M ∈ (C) ⇔ PM/(C) = 0 , M trong (C) ⇔ PM/(C) 0. * Trục đẳng phương của (C) và (C/) :2(A – A/)x + 2(B – B/)y + (C – C/) = 0 TRANG 25
27. * (C), (C/) ngoài nhau ⇔ II/ > R + R/ : (có 4 tiếp tuyến chung); tx ngoài ⇔ = R + R/ (3 tiếp tuyến chung); cắt ⇔ RR− / R. * Pt tiếp diện với (S) tại M : phân đôi tđộ (S). * Cho (S) : F(x, y, z) = 0. PM/(S) = F (xM, yM, zM); PM/(S) = 0 ⇔ M ∈ (S), 0 ⇔ M ngoài (S). * Mặt đẳng phương của (S) và (S/) : 2(A – A/)x + 2(B – B/)y + 2(C – C/)z + (D – D/) = 0 * Tương giao giữa (S), (S/) : như (C), (C/). * Khi (S), (S/) tx trong thì tiết diện chung là mặt đẳng phương. * Khi (S), (S/) cắt nhau thì mp qua giao tuyến là mặt đẳng phương. 7. Elip : * cho F1, F2, F2F2 = 2c, cho a > c > 0 M ∈ (E) ⇔ MF1 + MF2 = 2a. x2 y2 * (E) : + = 1 (a > b > 0) : tiêu điểm : F1(–c,0), F2(c,0); đỉnh A1(–a,0); a2 b2 A2(a,0); B1(0,–b); B2(0,b); tiêu cự : F1F2 = 2c, trục lớn A1A2 = 2a; trục nhỏ B1B B2B = 2b; tâm sai e = c/a; đường chuẩn x = ± a/e; bk qua tiêu : MF1 = a + exM, MF2 = a – exM; tt với (E) tại M : phân đôi tọa độ (E), (E) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a2A2 + b2B2 = C2 ; a2 = b2 + c2. x2 y2 * (E) : + = 1 (a > b > 0) : không chính tắc; tiêu điểm : F1(0,–c), F2(0,c); b2 a2 đỉnh A1(0,–a), A2(0,a), B1(–b,0), B2(b,0), tiêu cự : F1F2 = 2c; trục lớn A1A2 = 2a; trục nhỏ B1B2B = 2b; tâm sai e = c/a; đường chuẩn y = ± a/e; bán kính qua tiêu MF1 = a + eyM, MF2 = a – eyM; tiếp tuyến với (E) tại M : phân đôi tọa độ (E); (E) tiếp xúc (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a2B2 + b2 A2 = C2; a2 = b2 + c2 (Chú ý : tất cả các kết quả của trường hợp này suy từ trường hợp chính tắc trên bằng cách thay x bởi y, y bởi x). 8. Hypebol : * Cho F1, F2, F2F2 = 2c, cho 0 < a < c. M ∈ (H) ⇔ MF1− MF 2 = 2a x2 y2 (H) : − = 1 (pt chính tắc) a2 b2 tiêu điểm F1(–c,0), F2(c,0); đỉnh tr.thực A1(–a,0), A2(a,0); đỉnh trục ảo TRANG 26
28. B1B (0,–b), B2(0,b); tiêu cự F1F2 = 2c; độ dài trục thực A1A2 = 2a; độ dài trục ảo B1B B2B = 2b; tâm sai : e = c/a; đường chuẩn : x = ± a/e; bán kính qua tiêu : M ∈ nhánh phải MF1 = exM + a , MF2 = exM – a , M ∈ nhánh trái MF1 = – exM – a, MF2 = –exM + a; tiếp tuyến với (H) tại M : phân đôi tọa độ (H); b (H) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a2A2 – b2B2 = C2 > 0; tiệm cận y = ± x a hình chữ nhật cơ sở : x = ± a, y = ± b; c2 = a2 + b2. y2 x2 (H) : − =1 (pt không chính tắc) a2 b2 tiêu điểm F1(0,–c), F2(0,c); đỉnh trục thực A1(0,–a), A2(0,a); đỉnh trục ảo B1(– b,0), B2(b,0); tiêu cự F1F2 = 2c; độ dài trục thực A1A2 = 2a; độ dài trục ảo B1B1B = 2b; tâm sai : e = c/a; đường chuẩn : y = ± a/e; bán kính qua tiêu : M ∈ nhánh trên MF1 = eyM + a, MF2 = eyM – a; M ∈ nhánh dưới MF1 = –eyM – a, MF2 = – eyM + a; tiếp tuyến với (H) tại M : phân đôi tọa độ (H); b (H) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a2B2 – b2A2 = C2 > 0; tiệm cận x = ± y a hình chữ nhật cơ sở : y= ± a, x = ± b; c2 = a2 + b2 (chú ý : tất cả các kết quả của trường hợp này suy từ trường hợp chính tắc bằng cách thay x bởi y, y bởi x). 9. Parabol : * Cho F, F ∉ (Δ) M ∈ (P) ⇔ MF = d(M,(Δ)) (P) : y2 = 2px (p > 0) (phương trình chính tắc). tiêu điểm (p/2, 0), đường chuẩn x = – p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 + xM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) tại M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ pB2 = 2AC (p : hệ số của x trong (P) đi với B : hệ số của y trong (d)); tham số tiêu : p. (P) : y2 = – 2px (p > 0) (phương trình không chính tắc). tiêu điểm (–p/2, 0), đường chuẩn x = p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 – xM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) tại M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ pB2 = – 2AC. (P) : x2 = 2py (p > 0) (phương trình không chính tắc). tiêu điểm (0, p/2), đường chuẩn y = – p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 + yM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) tại M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ pA2 = 2BC (p : hệ số của y trong (P) đi với A : hệ số của x trong (d)). (P) : x2 = – 2py (p > 0) (phương trình không chính tắc). tiêu điểm (0, – p/2), đường chuẩn y = p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 – yM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) tại M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ pA2 = – 2BC . CHÚ Ý : * Cần có quan điểm giải tích khi làm toán hình giải tích : đặt câu hỏi cần tìm gì? (điểm trong mp M(xo,yo) : 2 ẩn ; điểm trong không gian (3 ẩn); đường thẳng trong mp Ax + By + C = 0 : 3 ẩn A, B, C - thực ra là 2 ẩn; đường tròn : 3 ẩn a, b, TRANG 27
29. R hay A, B, C; (E) : 2 ẩn a, b và cần biết dạng ; (H) : như (E); (P) : 1 ẩn p và cần biết dạng; mp (P) : 4 ẩn A, B, C, D; mặt cầu (S) : 4 ẩn a, b, c, R hay A, B, C, D; đường thẳng trong không gian (d) = (P) ∩ (Q); đường tròn trong không gian (C) = (P) ∩ (S). * Với các bài toán hình không gian : cần lập hệ trục tọa độ. HÀ VĂN CHƯƠNG- PHẠM HỒNG DANH-NGUYỄN VĂN NHÂN. (TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC VĨNH VIỄN) TRANG 28