Nội suy và xấp xỉ hàm số

Nội dung text: Nội suy và xấp xỉ hàm số

1. Chương 3 Nội suy và xấp xỉ hàm số 1
2. 3.1. Số gia hữu hạn Cho giá trị của hàm số (x) tại các điểm mốc Là , 1. Số gia hữu hạn tiến - Số gia hữu hạn tiến bậc 1 của hàm (x) tại điểm x là 2
3. - Số gia hữu hạn tiến bậc 2 và bậc cao hơn: . k=1,2, 3
4. Hoặc là một số (hệ số binôm) 4
5. 2. Số gia hữu hạn lùi Số gia hữu hạn lùi bậc 1, 2 và bậc cao hơn của hàm (x) tại điểm x 5
6. 3. Số gia hữu hạn trung tâm Số gia hữu hạn trung tâm bậc 1, 2 và bậc cao hơn của hàm (x) tại điểm x 6
7. 3.2.3.2. CácCác bảngbảng sốsố giagia Bảng số gia hữu hạn tiến 7
8. Bảng số gia hữu hạn lùi 8
9. 3.3. Các phương pháp nội suy 1. Nội suy với mốc cách đều xét cách biểu diễn một đa thức theo số gia hữu hạn • Nếu thay cho việc dùng biến x khi các mốc cách đều ta dùng biến • Thì các mốc được thay thế bằng u = -m , -m+1, , 0 , 1 , , m 10
10. NộiNội suysuy Gregory-NewtonGregory-Newton tiếntiến Ta dùng một loại đa thức được gọi là đa thức giai thừa 11
11. Khi đó, theo định nghĩa (3.1), số gia hữu hạn tiến bậc 1 của u[k] Tương tự 12
12. (N+1) • Nếu | (x)|<M1, M1 là một số dương đủ nhỏ thì công thức nội suy Gregory-Newton tiến với sai số EN là i i • y0 = PN (x0), i =0, 1, 2, , N • yj = PN (xj) = (xj) , j = 0, 1, 2, , N, x0 <  < xN • Tại điểm x = x0 + ph 15
13. NộiNội suysuy Gregory-NewtonGregory-Newton lùilùi Ta dùng một loại đa thức được gọi là đa thức giai thừa 16
14. Khi đó, theo định nghĩa (3.2), số gia hữu hạn lui bậc 1 của u[k] Tương tự Ta nhận thấy u1 = u[1], u2 = u(u+1)-u = u[2] - u[1], u3 = u(u+1)(u+2) + 3u(u+1) + u = u[3] -3 u[2] + u[1] 17
15. Tức là uk có thể biểu diễn thành một đa thức của các đa thức giai thừa u[i], i = 1, 2, , k và do PN(x) = PN(x0+ uh) Là một đa thức bậc N của u[i] , cho nên ta có thể viết Tính c0, c1, ,cN : Tại thời điểm x=x0 hay u=0 ta tính PN(x) k và  PN(x) 18
16. Như vậy: 19
17. (N+1) • Nếu | (x)|<M1, M1 là một số dương đủ nhỏ thì công thức nội suy Gregory-Newton lui với sai số EN là i i •  y0 =  PN (x0), i =0, 1, 2, , N • yj = PN (xj) = (xj) , j = 0, 1, 2, , N, x0 <  < xN • Tại điểm x = x0 + ph 20
18. NộiNội suysuy GaussGauss • Gauss tiến: [2k] 2k •Nếu số hạng cuối cùng là (u+k-1)  yo/(2k)! thì sai số là: •Nếu số hạng cuối là thì sai số là 21
19. • Gauss lùi Nếu số hạng cuối cùng là thì sai số là: Nếu số hạng cuối là thì sai số là 22
20. 2. Nội suy với mốc không cách đều Nội suy Lagrange Trên đoạn a≤x≤b cho một lưới các điểm chia (điểm nút) xi, i = 0, 1, 2, , n: a ≤ x0, x1, x2, , xn ≤ b tại các nút xi cho giá trị của hàm số y = f(x) là yi = f(xi), i = 0, 1, 2, , n 23
21. Nội suy bằng đa thức Newton 27
22. • Phương pháp xấp xỉ bình phương cực tiểu Giả sử có 2 dạng đại lượng x và y có liên hệ phụ thuộc nhau theo một dạng đã biết: y = a + bx + cx2 + . Chưa biết các giá trị cụ thể a, b, c Các cặp giá trị tương ứng (xi , yi) đã biết: 31
23. • Trường hợp y = a + bx Ta có yi – a – bxi = i i = 1, 2, 3, ., n Là các sai số tại xi, do đó: 2 S = (yi – a – bxi) là tổng bình phương của các sai số S phụ thuộc a, b, còn xi, yi đã biết Xác định a, b sao cho S bé nhất a,b là nghiệm của hệ pt: na + bxi = yi 2 axi + bxi = xiyi 32
24. • Trường hợp: y = a + bx + cx2 Thì a, b, c là nghiệm của hệ chính tắc: 2 na + bxi + cxi = yi 2 3 axi + bxi + cxi = xiyi 2 3 4 2 a xi + bxi + cxi =  xi yi 33