›
›

Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

doc 51 trang phuongnguyen 6420
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docmot_so_phuong_phap_xac_dinh_cong_thuc_tong_quat_cua_day_so.doc

Nội dung text: Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

  1. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số SỞ GIÁO DỤC & ðÀO TẠO ðỒNG NAI Trường THPT BC Lê Hồng Phong Giáo viên thực hiện NGUYỄN TẤT THU Năm học: 2008 – 2009 - 1 -
  2. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số MỤC LỤC MỤC LỤC 1 LỜI MỞ ðẦU 3 I. SỬ DỤNG CSC – CSN ðỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ CĨ CƠNG THỨC TRUY HỒI ðẶC BIỆT. 4 II. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ðỂ XÁC ðỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ 24 III. ỨNG DỤNG BÀI TỐN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ DÃY SỐ - TỔ HỢP 30 BÀI TẬP ÁP DỤNG 41 KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 - 2 -
  3. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số LỜI MỞ ðẦU Trong chương trình tốn học THPT các bài tốn liên quan đến dãy số là một phần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 , học sinh thường gặp nhiều khĩ khăn khi giải các bài tốn liên qua đến dãy số và đặc biệt là bài tốn xác định cơng thức số hạng tổng quát của dãy số . Hơn nữa ở một số lớp bài tốn khi đã xác định được cơng thức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài tốn gần như được giải quyết. Do đĩ xác định cơng thức tổng quát của dãy số chiếm một vị trí nhất định trong các bài tốn dãy số. Chuyên đề “Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số ” nhằm chia sẻ với các bạn đồng nghiệp một số kinh nghiệm giải bài tốn xác định CTTQ của dãy số mà bản thân đúc rút được trong quá trình học tập và giảng dạy. Nội dung của chuyên đề được chia làm ba mục : I: Sử dụng CSC – CSN để xây dựng phương pháp tìm CTTQ của một số dạng dãy số cĩ dạng cơng thức truy hồi đặc biệt. II: Sử dụng phương pháp thế lượng giác để xác định CTTQ của dãy số III: Ứng dụng của bài tốn xác định CTTQ của dãy số vào giải một số bài tốn về dãy số - tổ hợp . Một số kết quả trong chuyên đề này đã cĩ ở một số sách tham khảo về dãy số, tuy nhiên trong chuyên đề các kết quả đĩ được xây dựng một cách tự nhiên hơn và được sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp giúp các em học sinh nắm bắt kiến thức dễ dàng hơn và phát triển tư duy cho các em học sinh. Trong quá trình viết chuyên đề, chúng tơi nhận được sự động viên, giúp đỡ nhiệt thành của BGH và quý thầy cơ tổ Tốn Trường THPT BC Lê Hồng Phong. Chúng tơi xin được bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc. Vì năng lực và thời gian cĩ nhiều hạn chế nên ở chuyên đề sẽ cĩ những thiếu sĩt. Rất mong quý Thầy – Cơ và các bạn đồng nghiệp thơng cảm và gĩp ý để chuyên đề được tốt hơn. - 3 -
  4. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ðỊNH CƠNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ I. SỬ DỤNG CSC – CSN ðỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ CĨ CƠNG THỨC TRUY HỒI ðẶC BIỆT. Trong mục này chúng tơi xây dựng phương pháp xác định CTTQ của một số dạng dãy số cĩ cơng thức truy hồi dạng đặc biệt. Phương pháp này được xây dựng dựa trên các kết quả đã biết về CSN – CSC , kết hợp với phương pháp chọn thích hợp. Trước hết chúng ta nhắc lại một số kết quả đã biết về CSN – CSC . 1. Số hạng tổng quát của cấp số cộng và cấp số nhân 1.1: Số hạng tổng quát của cấp số cộng u u d ðịnh nghĩa: Dãy số (un ) cĩ tính chất n n 1 n 2 , d là số thực khơng đổi gọi là cấp số cộng . d : gọi là cơng sai của CSC; u1 : gọi số hạng đầu, un gọi là số hạng tổng quát của cấp số u u (n 1)d ðịnh lí 1: Cho CSC (un ) . Ta cĩ : n 1 (1). ðịnh lí 2: Gọi S n là tổng n số hạng đầu của CSC (un ) cĩ cơng sai d. Ta cĩ: n S [2u (n 1)d ] (2). n 2 1 1. 2: Số hạng tổng quát của cấp số nhân ðịnh nghĩa: Dãy số (un ) cĩ tính chất un 1 q.un n ℕ * gọi là cấp số nhân cơng bội q . u u q n 1 ðịnh lí 3: Cho CSN (un ) cĩ cơng bội q . Ta cĩ: n 1 (3). ðịnh lí 4: Gọi S n là tổng n số hạng đầu của CSN (un ) cĩ cơng bội q . Ta cĩ: 1 - qn S u (4). n 1 1 - q - 4 -
  5. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số 2. Áp dụng CSC – CSN để xác định CTTQ của một số dạng dãy số đặc biệt Ví dụ 1.1: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được xác định bởi: u1 1, un un 1 2 n 2 . Giải: Ta thấy dãy (un ) là một CSC cĩ cơng sai d 2 . Áp dụng kết quả (1) ta cĩ: un 1 2(n 1) 2n 3 . Ví dụ 1.2: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được xác định bởi: u1 3, un 2un 1 n 2 . Giải: n 1 Ta thấy dãy (un ) là một CSN cĩ cơng bội q 2 . Ta cĩ:un 3.2 . Ví dụ 1.3: Xác định số hạng tổng quát của dãy (un ) được xác định bởi: u1 2, un 3un 1 1 n 2 . Giải: Trong bài tốn này chúng ta gặp khĩ khăn vì dãy (un ) khơng phải là CSC hay CSN! Ta thấy dãy (un ) khơng phải là CSN vì xuất hiện hằng số 1 ở VT. Ta tìm cách làm mất 1 đi và chuyển dãy số về CSN. 3 1 Ta cĩ: 1 nên ta viết cơng thức truy hồi của dãy như sau: 2 2 1 3 1 u 3u 3(u ) (1). n 2 n 1 2 n 1 2 1 5 ðặt v u v và v 3v n 2 . Dãy (v ) là CSN cơng bội q 3 n n 2 1 2 n n 1 n 5 1 5 1 v v .q n 1 .3n 1 . Vậy u v .3n n 1, 2, , n 1 2 n n 2 2 2 3 1 Nhận xét: Mẫu chốt ở cách làm trên là ta phân tích 1 để chuyển cơng thức 2 2 truy hồi của dãy về (1), từ đĩ ta đặt dãy phụ để chuyển về dãy (vn ) là một CSN. Tuy nhiên việc làm trên cĩ vẻ khơng tự nhiên lắm! Làm thế nào ta biết phân tích 3 1 1 ? Ta cĩ thể làm như sau: 2 2 - 5 -
  6. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số 1 Ta phân tích 1 k 3k k . 2 u 1 x 0 Với cách làm này ta xác định được CTTQ của dãy (u ) : . n u au b n 2 n n 1 Thật vậy: * Nếu a 1 thì dãy (un ) là CSC cĩ cơng sai d b nên un u1 (n 1)b . ab b * Nếu a 1 , ta viết b . Khi đĩ cơng thức truy hồi của dãy được viết như a 1 a 1 b b b b sau: u a(u ), từ đây ta cĩ được: u (u )an 1 n a 1 n 1 a 1 n a 1 1 a 1 a n 1 1 Hay u u an 1 b . n 1 a 1 Vậy ta cĩ kết quả sau: Dạng 1: Dãy số (un ) : u1 x 0, un aun 1 b n 2 (a,b 0 là các hằng số) cĩ CTTQ là: u (n 1)b khi a 1 1 u n 1 . n n 1 a 1 u .a b khi a 1 1 a 1 Ví dụ 1.4: Xác định CTTQ của dãy (un ) được xác định : u1 2; un 2un 1 3n 1 . Giải: ðể tìm CTTQ của dãy số ta tìm cách làm mất 3n 1 để chuyển về dãy số là một CSN. Muốn làm vậy ta viết : 3n 1 3n 5 2 3(n 1) 5 (2). Khi đĩ cơng thức truy hồi của dãy được viết như sau: u 3n 5 2 u 3(n 1) 5 . n n n 1 n 1 ðặt vn un 3n 5 , ta cĩ: v1 10 và vn 2vn 1 n 2 vn v1.2 10.2 n Vậy CTTQ của dãy (u n ) : u n v n 3n 5 5.2 3n 5 n 1, 2, 3, . Chú ý : 1) ðể phân tích được đẳng thức (2), ta làm như sau: - 6 -
  7. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số a b 2 a 3 3n 1 an b 2 a(n 1) b . Cho n 1;n . 2 ta cĩ: b 5 b 5 u1 2) Trong trường hợp tổng quát dãy u : , trong đĩ f (n) n u au f (n) n 2 n n 1 là một đa thức bậc k theo n , ta xác định CTTQ như sau: Phân tích f (n) g(n) ag(n 1) (3) với g(n) cũng là một đa thức theo n . Khi đĩ ta cĩ: u g(n) a u g(n 1) an 1 u g(1) n n 1 1 Vậy ta cĩ: u u g(1) an 1 g(n) . n 1 Vấn đề cịn lại là ta xác định g(n) như thế nào ? Ta thấy : *Nếu a 1 thì g(n) ag(n 1) là một đa thức cĩ bậc nhỏ hơn bậc của g(n) một bậc và khơng phụ thuộc vào hệ số tự do của g(n) , mà f (n) là đa thức bậc k nên để cĩ (3) ta chọn g(n) là đa thức bậc k 1 , cĩ hệ số tự do bằng khơng và khi đĩ để xác định g(n) thì trong đẳng thức (3) ta cho k 1 giá trị của n bất kì ta được hệ k 1 phương trình, giải hệ này ta tìm được các hệ số của g(n) . * Nếu a 1 thì g(n) ag(n 1) là một đa thức cùng bậc với g(n) nên ta chọn g(n) là đa thức bậc k và trong đẳng thức (3) ta cho k 1 giá trị của n thì ta sẽ xác định được g(n) . Vậy ta cĩ kết quả sau: u x Dạng 2: ðể xác định CTTQ của dãy (u ) được xác định bởi: 1 0 , trong n u a.u f (n) n n 1 đĩ f (n) là một đa thức bậc k theo n ; a là hằng số. Ta làm như sau: Ta phân tích: f (n) g(n) a.g(n 1) với g(n) là một đa thức theo n . Khi đĩ, ta đặt g(n) ta cĩ được: u u g(1) a n 1 g(n) . vn un n 1 Lưu ý nếu a 1, ta chọn g(n) là đa thức bậc k 1 cĩ hệ số tự do bằng khơng, cịn nếu a 1 ta chọn g(n) là đa thức bậc k . u 1 2 Ví dụ 1.5: Cho dãy số (u ) : . Tìm CTTQ của dãy (u ) . n u u 2n 1 n n n 1 Giải: Ta phân tích 2n 1 g(n) g(n 1) a n 2 (n 1)2 b n (n 1) - 7 -
  8. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số ( trong đĩ g(n) an 2 bn ). a b 1 a 1 2 Cho n 0, n 1 ta cĩ hệ: g(n) n 2n . a b 3 b 2 2 u n n 2n 1 . u 1 1 Ví dụ 1.6: Cho dãy số (u ) : .Tìm CTTQ của dãy (u ) . n u 3u 2n ; n 2, 3, n n n 1 Giải: Ta vẫn bắt chước cách làm trong các ví dụ trên, ta phân tích: 2n a.2n 3a.2n 1 . Cho n 1 , ta cĩ: a 2 2n 2.2n 3.2.2n 1 n n 1 n 1 Nên ta cĩ: un 2.2 3(u n 1 2.2 ) 3 (u 1 4) n 1 n 1 Vậy un 5.3 2 . n Chú ý : Trong trường hợp tổng quát dãy (un ) : un a.un 1 b. , ta phân tích n k. n ak. n 1 với (a ) . n n 1 n 1 Khi đĩ: u n kb. a u n 1 kb. a u 1 bk n 1 n Suy ra u n a (u 1 bk ) bk. . Trường hợp a , ta phân tích n n. n (n 1). n 1 n n 1 n 1 un bn. un 1 b(n 1). (u1 b ) n n 1 un b(n 1) u1 . Vậy ta cĩ kết quả sau. u1 Dạng 3: ðể xác định CTTQ của dãy (u ) : , ta làm như n u a.u b.n n 2 n n 1 sau: n n 1 Nếu a un b(n 1) u1 . n n n 1 n 1 n Nếu a , ta phân tích k. ak. . Khi đĩ: u n a (u 1 bk ) bk. Ta tìm được: k . a - 8 -
  9. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số u 1 2 Ví dụ 1.7: Tìm CTTQ của dãy (u ) : . n u 5u 2.3 n 6.7 n 12 ; n 2, 3, n n 1 3 n k.3n n 1 k 3 5k.3 2 n n 1 Giải: Ta cĩ: l.7 5l.7 cho n 1 , ta được: n 7 7 l 2 Hơn nữa 12 3 5.3 nên cơng thức truy hồi của dãy được viết lại như sau: n n n 1 n 1 n 1 un 3.3 21.7 3 5 un 1 3.3 21.7 3 5 (u1 9 147 3) n 1 n 1 n 1 Vậy un 157.5 3 3.7 3 . u 1 1 Ví dụ 1.8: Tìm CTTQ của dãy (u ) : . n u 2u 3n n; n 2 n n 1 n n n 1 3 3.3 2.3.3 Giải: Ta phân tích: nên ta viết cơng thức truy hồi của dãy n n 2 2 (n 1) 2 như sau: u 3.3n n 2 2 u 3.3n 1 (n 1) 2 2n 1(u 12) n n 1 1 n 1 n 1 Vậy un 11.2 3 n 2 . u 1 p Dạng 4: ðể xác định CTTQ của dãy (u ) : , trong n u a.u b. n f (n); n 2 n n 1 đĩ f (n) là đa thức theo n bậc k , ta phân tích n và f (n) như cách phân tích ở dạng 2 và dạng 3. Ví dụ 1.9: Xác định CTTQ của dãy (un ) : u0 1, u1 3, un 5un 1 6un 2 n 2. Giải: ðể xác định CTTQ của dãy số trên, ta thay thế dãy (un ) bằng một dãy số khác là một CSN. Ta viết lại cơng thức truy hồi của dãy như sau: - 9 -
  10. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số x1 x2 5 un x1.un 1 x2 (un 1 x1un 2 ) , do đĩ ta phải chọn x1, x2 : hay x1, x2 là x 1x 2 6 2 nghiệm phương trình : x 5x 6 0 x 2; x 3 . Ta chọn x1 2; x2 3 . Khi đĩ: n 1 n 1 un 2un 1 3(un 1 2un 2 ) 3 (u1 2u0 ) 5.3 n 1 n n un 2un 1 5.3 . Sử dụng kết quả dạng 3, ta tìm được: un 5.3 6.2 . Chú ý : Tương tự với cách làm trên ta xác định CTTQ của dãy (un ) được xác định bởi: u0 ; u1 2 , trong đĩ a,b là các số thực cho trước và a 4b 0 u a.u b.u =0 n 2 n n 1 n 2 như sau: 2 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình : x ax b 0 (4) ( phương trình này được gọi là phương trình đặc trưng của dãy). n 1 Khi đĩ: u n x 1 .u n 1 x 2(u n 1 x 1.u n 2 ) x 2 (u 1 x 1 .u 0 ) . Sử dụng kết quả của dạng 3, ta cĩ các trường hợp sau: x2 .u0 u1 n u1 x.u0 n n n Nếu x1 x2 thì un x1 x2 . Hay un k.x1 l.x2 , trong đĩ x2 x1 y x k l u0 k,l là nghiệm của hệ: . x .k x .l u 1 2 1 n 1 u0a au0 n 1 Nếu x1 x2 thì un (u1 )n , hay un (kn l ) , trong 2 2 l .u0 đĩ k,l là nghiệm của hệ: . k l u 1 Vậy ta cĩ kết quả sau: u0 ; u1 Dạng 5: ðể xác định CTTQ của dãy (un ) : , trong u n a.u n 1 b.u n 2 0 n 2 đĩ a,b,c là các số thực khác khơng; a 2 4b 0 ta làm như sau: 2 Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình đặc trưng: x ax b 0 . - 10 -
  11. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số n n k l u0 Nếu x x thì u k.x l.x , trong đĩ k,l là nghiệm của hệ : . 1 2 n 1 2 x .k x .l u 1 2 1 n 1 l .u0 Nếu x x thì u (kn l ) , trong đĩ k,l là nghiệm của hệ: . 1 2 n k l u 1 u0 1; u1 2 Ví dụ 1.10: Cho dãy số un được xác định bởi : . un 1 4u n u n 1 n 1 Hãy xác định CTTQ của dãy (un ) . Giải: 2 Phương trình x 4x 1 0 cĩ hai nghiệm x1 2 5; x 2 2 5 . k l 1 n n u k.x l.x . Vì u 1;u n 1 2 0 1 (2 5)k (2 5)l 2 2 nên ta cĩ hệ: 1 1 k l . Vậy u (2 5)n (2 5)n . 2 n 2 u 0 1;u 1 3 Ví dụ 1.11: Xác định CTTQ của dãy: (u ) : . n u 4u 4u 0 n 2, 3, n n 1 n 2 Giải: 2 n 1 Phương trình đặc trưng x 4x 4 0 cĩ nghiệm kép x 2 nên un (kn l )2 l 2 Vì u 1; u 3 nên ta cĩ hệ: k 1;l 2 . 0 1 k l 3 n 1 Vậy un (n 2)2 . u 0 1;u 1 3 Ví dụ 1.12: Cho dãy (un ) : 2 . Xác định u n 5u n 1 6u n 2 2n 2n 1; n 2 CTTQ của dãy (un ) . Giải: Với cách làm tương tự như Ví dụ 1.4, ta phân tích: 2n 2 2n 1 - 11 -
  12. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số (kn 2 ln t) 5 k(n 1)2 l(n 1) t 6 k(n 2)2 l(n 2) t (5) 19k 7l 2t 1 k 1 Ở (5) cho n 0; n 1;n 2 ta cĩ hệ: 7k 5l 2t 5 l 8 . k 3l 2t 13 t 19 2 ðặt vn u n n 8n 19 v 0 20; v 1 25 và vn 5v n 1 6v n 2 0 n n 20 15 v .3 .2 . Ta cĩ hệ:  n 3 2 25 35  n n n n 2 vn 15.3 35.2 u n 15.3 35.2 n 8n 19 . u 0 ; u 1 Chú ý : ðể xác định CTTQ của dãy số: (u ) : , n u a.u b.u f (n) ; n 2 n 1 n n 1 ( trong đĩ f (n) là đa thức bậc k theo n và a 2 4b 0 ) ta làm như sau: Ta phân tích f (n) g(n) ag(n 1) bg(n 2) (6) rồi ta đặt vn un g(n) v0 u0 g(0); v1 u1 g(1) Ta cĩ được dãy số (v ) : . ðây là dãy số mà ta đã xét n v av bv 0 n 2 n n 1 n 2 trong dạng 5. Do đĩ ta sẽ xác định được CTTQ của vn un . Vấn đề cịn lại là ta xác định g(n) như thế nào để cĩ (6) ? Vì f (n) là đa thức bậc k nên ta phải chọn g(n) sao cho g(n) ag(n 1) bg(n 2) là một đa thức bậc k theo n . Khi đĩ ta chỉ cần thay k 1 giá trị bất kì của n vào (6) ta sẽ xác định được g(n) . m m 1 Giả sử g(n) a m n a m 1 n a 1 n a 0 (a m 0 ) là đa thức bậc m . Khi đĩ hệ số của x m và x m 1 trong VP là: a .(1 a b) và (a 2b)m.a (1 a b)a . m m m 1 Do đĩ : i) Nếu PT: x 2 ax b 0 (1) cĩ nghiệm hai nghiệm phân biệt khác 1 thì 1 a b 0 nên VP(6) là một đa thức bậc m . ii) Nếu PT (1) cĩ hai nghiệm phân biệt trong đĩ cĩ một nghiệm x 1 1 a b 0 và (a 2b)m.am (1 a b)am 1 (a 2b).m.am 0 nên VP(6) là một đa thức bậc m 1 . iii) Nếu PT (1) cĩ nghiệm kép x 1 a 2;b 1 nên VP(6) là một đa thức bậc m 2 . Vậy để chọn g(n) ta cần chú ý như sau: - 12 -
  13. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số Nếu (1) cĩ hai nghiệm phân biệt, thì g(n) là một đa thức cùng bậc với f (n) Nếu (1) cĩ hai nghiệm phân biệt, trong đĩ một nghiệm bằng 1 thì ta chọn g(n) n.h(n) trong đĩ h(n) là đa thức cùng bậc với f (n) . Nếu (1) cĩ nghiệm kép x 1 thì ta chọn g (n ) n 2 .h (n ) trong đĩ h(n) là đa thức cùng bậc với f (n) . u 0 ; u 1 Dạng 6: ðể tìm CTTQ của dãy (u ) : , n u a.u b.u f (n) ; n 2 n n 1 n 2 ( trong đĩ f (n) là đa thức theo n bậc k và b2 4ac 0 ) ta làm như sau: k Xét g(n) là một đa thức bậc k : g(n) ak n a1k a0 . Nếu phương trình : x 2 ax b 0 (1) cĩ hai nghiệm phân biệt, ta phân tích f (n) g(n) ag(n 1) bg(n 2) rồi đặt vn un g(n) . Nếu (1) cĩ hai nghiệm phân biệt trong đĩ một nghiệm x 1 , ta phân tích f (n) n.g(n) a(n 1)g(n 1) b(n 2)g(n 2) rồi đặt vn un n.g(n). Nếu (1) cĩ nghiệm kép x 1 , ta phân tích 2 2 2 2 f (n) n .g(n) a(n 1) .g(n 1) b(n 2) .g(n 2) rồi đặt vn u n n .g(n) . u 0 1;u 1 4 Ví dụ 1.13: Xác định CTTQ của dãy (u ) : . n u 3u 2u 2n 1 n 2 n n 1 n 2 Giải: Vì phương trình x 2 3x 2 0 cĩ hai nghiệm x 1; x 2 nên ta phân tích 2n 1 n(kn l ) 3(n 1) k(n 1) l 2(n 2) k(n 2) l , cho n 0;n 1 ta 5k l 1 cĩ hệ: k 1;l 6 . 3k l 3 ðặt vn un n(n 6) v0 1;v1 11 và vn 3vn 1 2vn 2 0 n n 1 v .2 .1 với , : 10; 9 n 2 11 n n 1 2 vn 10.2 9 u n 5.2 n 6n 9 n 0, 1, 2, . - 13 -
  14. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số u 0 1;u 1 3 Ví dụ 1.14: Tìm CTTQ của dãy số (u ) : . n u 4u 3u 5.2 n n 2 n n 1 n 2 Giải: Ta phân tích 2n a.2n 4a.2n 1 3a.2n 2 . Cho n 2 ta cĩ: 4 4a 8a 3a a 4 n ðặt vn un 5.4.2 v0 19;v1 43 và vn 4vn 1 3vn 2 0 2 n n Vì phương trình x 4x 3 0 cĩ hai nghiệm x 1, x 3 nên vn .3 .1 19 n Với , : 12; 7 v 12.3 7 . 3 43 n n 1 n 2 Vậy un 4.3 5.2 7 n 1, 2, . Chú ý : Với ý tưởng cách giải trên, ta tìm CTTQ của dãy số (un ) được xác định bởi: u ;u 0 1 2 (với a 4b 0 ) như sau: u a.u b.u c. n n 2 n n 1 n 2 Ta phân tích n k n a.k. n 1 b.k. n 2 (7). Cho n 2 thì (7) trở thành: k( 2 a. b) 2 2 Từ đây, ta tìm được k khi khơng là nghiệm của phương trình : 2 a b x 2 ax b 0 (8). n v0 u0 kc; v1 u1 kc Khi đĩ, ta đặt vn u n kc. , ta cĩ dãy (v n ) : vn a.v n 1 bv n 2 0 n 2 n n vn p.x1 q.x2 (x1, x2 là hai nghiệm của (8)). n n n un p.x1 q.x2 kc. . Vậy nếu x là một nghiệm của (8), tức là: 2 a b 0 thì ta sẽ xử lí thế nào ? Nhìn lại cách giải ở dạng 3, ta phân tích : n kn. n a.k(n 1) n 1 bk(n 2) n 2 (9). a Cho n 2 ta cĩ: k(2 a) 2 k(2 a) k ( ). 2 a 2 (2) cĩ nghiệm k là nghiệm đơn của phương trình (8). n n n - 14 -
  15. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số Khi đĩ: u n p.x1 q.x2 kcn. . - 14 -
  16. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số a Cuối cùng ta xét trường hợp x là nghiệm kép của (8). Với tư tưởng như trên, 2 ta sẽ phân tích: n kn 2 . n a.k(n 1)2 n 1 bk(n 2)2 n 2 (10). 1 Cho n 2 ta cĩ: (10) 2 4k. 2 ak. k . 4 a 2 1 Khi đĩ: u p.x n q.x n cn 2 . n . n 1 2 2 Vậy ta cĩ kết quả sau: u0 ;u1 Dạng 7: Cho dãy số (un ) xác định bởi: n . u n a.u n 1 b.u n 2 c. ; n 2 ðể xác định CTTQ của dãy (un ) ta làm như sau: Xét phương trình : x 2 ax b 0 (11) Nếu phương trình (11) cĩ hai nghiệm phân biệt khác thì 2 n n n un p.x1 q.x2 kc. với k . 2 a b Nếu phương trình (11) cĩ nghiệm đơn x thì u p.xn q.x n kcn. n với k. n 1 2 2 a 1 Nếu x là nghiệm kép của (11) thì : u (p qn cn 2 ). n . n 2 u 0 1; u 1 3 Ví dụ 1.15: Xác định CTTQ của dãy (u ) : . n u 5u 6u 5.2 n n 2 n n 1 n 2 Giải: 2 Phương trình x 5x 6 0 cĩ hai nghiệm x1 2; x2 3 , do đĩ n n n u n p.2 q.3 5kn.2 . - 15 -
  17. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số 2 k 2 2 a 4 5 Với p q 1 k 2; p 26;q 25 . 2p 3q 10k 3 n n n n n 1 Vậy un 26.2 25.3 10n.2 25.3 2 (5n 13) n 1, 2, . u0 1; u1 3 Ví dụ 1.16: Tìm CTTQ của dãy (u n ) : n . u n 4 u n 1 4 u n 2 3.2 Giải: 3 Phương trình x 2 4x 4 0 cĩ nghiệm kép x 2 nên u (p qn n 2 )2n n 2 p 1 Dựa vào u , u ta cĩ hệ:  p 1;q 1 . 0 1 p q 0  2 n 1 Vậy un (3n 2n 2)2 n 1, 2, . Với cách xây dựng tương tự ta cũng cĩ được các kết quả sau: u 0 , u 1 , u 2 Dạng 8: Cho dãy (u ) : .ðể xác định CTTQ n u au bu cu 0 n 3 n n 1 n 2 n 3 của dãy ta xét phương trình: x 3 ax 2 bx c 0 (12) . n n n Nếu (12) cĩ ba nghiệm phân biệt x1, x2 , x 3 un x1 x2 x 3 . Dựa vào u0 , u1, u2 ta tìm được , , . Nếu (12) cĩ một nghiệm đơn, 1 nghiệm kép: n n x1 x2 x 3 un ( n)x1 .x 3 Dựa vào u0, u1, u2 ta tìm được , , . 2 n Nếu (12) cĩ nghiệm bội 3 x1 x2 x 3 un ( n n )x 1 . Dựa vào u0, u1, u2 ta tìm được , , . u1 0, u2 1, u3 3, Ví dụ 1.17: Tìm CTTQ của dãy (un ) : un 7u n 1 11.un 2 5.u n 3 , n 4 - 16 -
  18. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số Giải : Xét phương trình đặc trưng : x 3 7x 2 11x 5 0 Phương trình cĩ 3 nghiệm thực: x1 x2 1, x 3 5 n Vậy an n 5 Cho n 1, n 2, n 3 và giải hệ phương trình tạo thành, ta được 1 3 1 , , 16 4 16 1 3 1 Vậy a n 1 .5n 1 . n 16 4 16 u0 2; un 2un 1 v Ví dụ 1.18: Tìm CTTQ của dãy số (u ),(v ) : n 1 n 1 . n n v 1; v u 2v 0 n n 1 n 1 Giải: Ta cĩ: un 2un 1 un 2 2vn 2 2un 1 un 2 2(un 1 2un 2 ) un 4un 1 3un 2 và u1 5 1 3n 1 1 3n 1 Từ đây, ta cĩ: u v u 2u . n 2 n n 1 n 2 Tương tự ta cĩ kết quả sau: xn px n 1 qyn 1 ; x 1 Dạng 9: Cho dãy (x ), (y ) : . ðể xác định CTTQ của hai dãy n n y ry sx ; y n n 1 n 1 1 (xn ),(yn ) ta làm như sau: Ta biến đổi được: xn (p s)xn 1 (ps qr )xn 2 0 từ đây ta xác định được xn , thay vào hệ đã cho ta cĩ được yn . Chú ý : Ta cĩ thể tìm CTTQ của dãy số trên theo cách sau: q r x y( p s )( x y n n n 1 Ta đưa vào các tham số phụ , ' ) s p n 1 q ' r x ' y (p ' s)(x y ) n n n 1 p ' s n 1 - 17 -
  19. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số q r s p xn y n (p s)(x n 1 y n 1 ) Ta chọn , ' sao cho q ' r x ' y (p ' s)(x ' y ) ' n n n 1 n 1  ' s p n 1 xn y n (p s) (x 1 y 1 ) giải hệ này ta tìm được xn , yn . x ' y (p ' s)n 1(x ' y ) n n 1 1 u 1 1 Ví dụ 1.19: Tìm CTTQ của dãy (un ) : 2un 1 . u n n 2 3un 1 4 1 3un 1 4 3 1 1 Giải: Ta cĩ 2 . ðặt xn , ta cĩ: un 2un 1 2 un 1 un x 1 1 5.2 n 1 3 2 x u . 3 n n n 1 x 2x 2 5.2 3 n n 1 2 u 2 1 Ví dụ 1.20: Tìm CTTQ của dãy số (u ) : 9u 24 . n n 1 n 2 un 5un 1 13 Giải: Bài tốn này khơng cịn đơn giải như bài tốn trên vì ở trên tử số cịn hệ số tự do, do đĩ ta tìm cách làm mất hệ số tự do ở trên tử số. Muốn vậy ta đưa vào dãy phụ bằng cách đặt un xn t . Thay vào cơng thức truy hồi, ta cĩ: 2 9xn 1 9t 24 ( 9 5t)xn 1 5t 22t 24 xn t x n 5xn 1 5t 13 5xn 1 5t 13 2 Ta chọn t : 5t 22t 24 0 t 2 x1 4 x 1 3 1 11.3 n 1 10 4 x n 1 5 x n n n 1 5xn 1 3 x n x n 1 x n 4 11.3 10 22.3n 1 24 un xn 2 . 11.3n 1 10 - 18 -
  20. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số pun 1 q Dạng 10: Cho dãy (un ): u1 ; un n 2 . ðể tìm CTTQ của dãy (xn) ru n 1 s ta làm như sau: ðặt un xn t , thay vào cơng thức truy hồi của dãy ta cĩ: 2 px n 1 pt q ( p rt)x n 1 rt (p s)t q xn t (13). run 1 rt s rx n 1 rt s 2 1 1 Ta chọn t : rt (s p)t q 0 . Khi đĩ ta chuyển (13) về dạng: a b x n xn 1 1 Từ đây ta tìm được , suy ra un . xn u 1 2 Ví dụ 1.21: Xác định CTTQ của hai dãy số (u ),(v ) : và n n v 1 1 u u2 2v2 n n 1 n 1 n 2 . v 2u v n n 1 n 1 Giải: 2 2 2 u n u n 1 2vn 1 un 2v n (u n 1 2v n 1 ) Ta cĩ: 2v 2 2u v u 2v (u 2v )2 n n 1 n 1 n n n 1 n 1 2n 1 2 n 1 u n 2v n (u 1 2v 1) (2 2) n 1 n 1 u 2v (u 2v )2 (2 2)2 n n 1 1 1 2n 1 2n 1 u (2 2) (2 2) n 2 . 1 n 1 n 1 2 2 v n (2 2) (2 2)  2 2 - 19 -
  21. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số 2 u n 1 2 2 2 2 2 v u u 2v u u 2v n 1 Nhận xét: Từ n n 1 n 1 n n 1 n 1 vn 2un 1vn 1 vn 2un 1vn 1 u 2 n 1 vn 1 x 2 u 1 Do vậy nếu ta đặt x n ta được dãy số (x ) : x 2 2 . Ta cĩ bài tốn sau: n v n n 1 n xn 2xn 1 x 2 1 Ví dụ 1.22: Xác định CTTQ của dãy số (x ) : x 2 2 . n x n 1 n 2 n 2x n 1 Giải: 2 2 u 1 2 u u 2v Xét hai dãy (u ),(v ) : và n n 1 n 1 n 2 . n n v 1 v 2u v 1 n n 1 n 1 un Ta chứng minh xn (14). vn u2 n 2 x 2 2 n 2 (14) đúng. v2 2 2 2 u n 1 x n 1 2 un 1 2v n 1 u n Giả sử xn 1 xn (14) được chứng v n 1 2xn 1 2u n 1 v n 1 v n minh n 1 n 1 (2 2)2 (2 2)2 Theo kết quả bài tốn trên, ta cĩ: x 2 . n n 1 n 1 (2 2)2 (2 2)2 Dạng 11: 1) Từ hai ví dụ trên ta cĩ được cách tìm CTTQ của hai dãy số (un ),(vn ) được xác định u u2 a.v2 ; u bởi: n n 1 n 1 1 (trong đĩ a là số thực dương) như sau: v 2v u ; v n n 1 n 1 1 - 20 -
  22. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số 2 2 2 u n u n 1 a.vn 1 u n au n 1 (u n 1 au n 1 ) Ta cĩ: a .v 2 a .v u u au (u au )2 n n 1 n 1 n n 1 n 1 n 1 1 2 n 1 2n 1 u ( a ) ( a ) n 2 . 1 n 1 n 1 2 2 v n ( a ) ( a )  2 a x 1 2) Áp dụng kết quả trên ta tìm được CTTQ của dãy (x ) : 2 . n x n 1 a xn 2xn 1 u u 2 a.v2 ; u Xét hai dãy (u ),(v ) : n n 1 n 1 1 n n v 2v u ; v 1 n n 1 n 1 1 2n 1 2n 1 un ( a ) ( a ) Khi đĩ: xn a . v 2n 1 2n 1 n ( a ) ( a ) u 1 1 Ví dụ 1.23: Cho dãy (u ) : . Tìm u ? n u 5u 24u2 8 n 2 n n n 1 n 1 Giải: Ta cĩ: u2 9; u3 89;u4 881. Giả sử: un xun 1 yun 2 9x y 89 x 10 . Ta chứng minh: u 10u u n 3 89x 9y 881 y 1 n n 1 n 2 2 2 Từ cơng thức truy hồi của dãy ta cĩ: (u n 5u n 1 ) 24u n 1 8 2 2 un 10un un 1 un 1 8 0 (15) thay n bởi n 1 , ta được: 2 2 un 2 10un 2un 1 un 1 8 0 (16). 2 2 Từ (15),(16) un 2 , un là hai nghiệm của phương trình : t 10un 1t un 1 8 0 Áp dụng định lí Viet, ta cĩ: un un 2 10un 1 . 6 2 n 1 6 2 n 1 Vậy un 5 2 6 5 2 6 . - 21 -
  23. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số 2 6 2 6 - 22 -
  24. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số Dạng 12: u 1 1 1) Dãy (u ) : là dãy nguyên a 24 . n u 5u au2 8 n 2 n n 1 n 1 2 2 Thật vậy: u2 5 a 8 5 t (t a 8 ℕ ) u3 5 (t 8)(t 5) 8 2 2 2 u3 ℤ f (t) (t 8)(t 5) 8 m (m ℤ) . Mà (t 2 5t 4)2 f (t) (t 2 5t 14)2 kết hợp với f (t) là số chẵn ta suy ra m t 2 5t x với x 6, 8, 10, 12 . Thử trực tiếp ta thấy t 4 a 24 . u 1 2 2) Với dãy số (u ) : , với a b 1 ta xác định n u au bu2 c n 2 n n 1 n 1 CTTQ như sau: 2 2 2 2 Từ dãy truy hồi (u n au n 1 ) bu n 1 c un 2au n u n 1 u n 1 c 0 2 2 Thay n bởi n 1 , ta cĩ: u n 2 2au n 1 u n 2 u n 1 c 0 u n u n 2 2au n 1. u1 3) Với dãy (u ) : u ,trong đĩ 0;a 1 ; a 2 b 1 ta n u n 1 n 2 n a cu2 b n 1 xác định CTTQ như sau: 1 a b 1 Ta viết lại cơng thức truy hồi dưới dạng: c . ðặt x u u 2 n u n n 1 un 1 n 2 Ta cĩ u n au n 1 bx n 1 c đây là dãy mà ta đã xét ở trên. u u 1 1 2 Ví dụ 1.24: Cho dãy (u ) : 2 . Tìm u ? n un 1 2 n u n n 2 un 2 Giải: Ta cĩ: u3 3; u4 11;u5 41. Ta giả sử un xun 1 yun 2 z .Từ u3 3; u4 11; - 22 -
  25. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số x y z 3 x 4 u5 41 ta cĩ hệ phương trình: 3x y z 11 y 1 un 4un 1 un 2 11x 3y z 41 z 0 u 1 u 2 1 Ta chứng minh (u ) : . n u 4u u n 3 n n 1 n 2 Với n 3 u3 4u2 u1 3 n 3 đúng Giả sử uk 4uk 1 uk 2 . Ta cĩ: 2 2 4u u 2 2 2 uk 2 k 1 k 2 16u k 1 8u k 1 u k 2 uk 2 2 uk 1 u k 1 u k 1 u k 1 2 16u k 1 8u k 1 u k 2 u k 1 u k 3 16uk 1 8u k 2 u k 3 uk 1 4(4uk 1 uk 2 ) (4uk 2 uk 3 ) 4uk uk 1 3 1 n 1 3 1 n 1 Theo nguyên lí quy nạp ta cĩ đpcm u n 2 3 2 3 . 2 3 2 3 - 23 -
  26. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số II. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ðỂ XÁC ðỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ Nhiều dãy số cĩ cơng thức truy hồi phức tạp trở thành đơn giản nhờ phép thế lượng giác. Khi trong bài tốn xuất hiện những yếu tố gợi cho ta nhớ đến những cơng thức lượng giác thì ta cĩ thể thử với phương pháp thế lượng giác. Ta xét các ví dụ sau 1 u1 Ví dụ 2.1: Cho dãy (un ) : 2 . Xác định CTTQ của dãy (un ) . u 2u2 1 n 2 n n 1 Giải: Từ cơng thức truy hồi của dãy, ta liên tưởng đến cơng thức nhân đơi của hàm số cơsin 1 2 Ta cĩ: u cos u 2 cos2 1 cos 1 2 3 2 3 3 2 4 8 u 2 cos2 1 cos u cos 3 3 3 4 3 2n 1 Ta chứng minh u cos . Thật vậy n 3 22 1 2 Với n 2 u cos cos (đúng) 2 3 3 2n 2 2n 1 2n 1 Giả sử u cos u 2u2 1 2 cos2 1 cos n 1 3 n n 1 3 3 2n 1 Vậy u cos n 1 . n 3 u1 Dạng 13: ðể xác định CTTQ của dãy số (u n ) : 2 ta làm như un 2u n 1 1 n 2 sau: n 1 Nếu | u1 | 1 , ta đặt u1 cos . Khi đĩ ta cĩ: un cos 2 . 1 1 Nếu | u | 1 ta đặt u (a ) ( trong đĩ a 0 và cùng dấu với u ). 1 1 2 a 1 1 2 1 1 2 1 1 4 1 Khi đĩ u2 (a 2 ) 1 (a ) u 3 (a ) 2 a 2 2 a 2 2 a 4 - 24 -
  27. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số 1 n 1 1 Ta chứng minh được u (a 2 ) n 1. Trong đĩ a là nghiệm (cùng dấu n n 1 2 a 2 2 với u1 ) của phương trình : a 2u1a 1 0 . Vì phương trình này cĩ hai nghiệm cĩ tích bằng 1 nên ta cĩ thể viết CTTQ của dãy như sau 2n 1 2n 1 1 2 2 u u u 1 u u 1 . n 2 1 1 1 1 3 u1 Ví dụ 2.2: Xác định CTTQ của dãy số (un ) : 2 . u 4u 3 3u n 2 n n 1 n 1 Giải: 3 32 Ta cĩ: u cos u 4 cos3 3 cos cos 3 u cos 1 2 6 2 6 6 6 3 6 3n 1 Bằng quy nạp ta chứng minh được: u cos . n 6 Dạng 14: u 1 p 1) ðể tìm CTTQ của dãy (un ) : 3 , ta làm như sau un 4u n 1 3u n 1 n 2 Nếu | p | 1 0; : cos p . n 1 Khi đĩ bằng quy nạp ta chứng minh được : un cos 3 . 1 1 Nếu | p | 1 , ta đặt u1 a (a cùng dấu với u1 ) 2 a 1 n 1 1 Bằng quy nạp ta chứng minh được u a 3 . n n 1 2 a 3 3n 1 3n 1 1 2 2 Hay u u u 1 u u 1 . n 2 1 1 1 1 2) Từ trường hợp thứ hai của bài tốn trên, ta cĩ cách tìm CTTQ của dãy số - 25 -
  28. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số u 1 p 1 1 (u n ) : 3 bằng cách đặt u1 (a ) . Khi đĩ bằng quy nạp u n 4u n 1 3u n 1 n 2 2 a ta chứng minh được : 3n 1 3n 1 1 3n 1 1 1 2 2 u n a u 1 u 1 1 u 1 u 1 1 . 2 3n 1 2 a Chú ý : Trong một số trường hợp ta xác định được CTTQ của dãy (un ) cho bởi: u1 . u u3 au 2 bu c n 2 n n 1 n 1 n 1 Bằng cách đưa vào dãy phụ để chuyển dãy đã cho về một trong hai dạng ở trên. 3 Ví dụ 2.3: Xác định CTTQ của dãy (un ) : u1 và 6 3 2 un 24un 1 12 6un 1 15un 1 6 n 2 . Giải: ðặt un x.vn y . Thay vào cơng thức truy hồi của dãy, biến đổi và rút gọn ta được 3 3 2 2 2 2 x.vn y 24x vn 1 12(6x y 6x )vn 1 3(24xy 8 6xy 5x )vn 1 24y 3 12 6y2 15y 6 . 2 2 6x y 6x 0 1 Ta chọn y : y . 24y 3 12 6y2 15y 6 y 6 3 3 2 3 1 Khi đĩ: x.vn 24x v n 1 3x.vn 1 v n 24x v n 1 3v n 1 . Ta chọn x 6 3 vn 4vn 1 3vn 1 và v1 2 . 1 n 1 v (2 5)3 (2 5)3 . n 1 n 2 1 n 1 n 1 1 Vậy u (2 5)3 (2 5) 3 n 1, 2, . n 2 6 6 - 26 -
  29. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số 3 u1 Ví dụ 2.4: Xác định CTTQ của dãy (un ) : 2 . u 2 u2 n 2 n n 1 3 Giải: ðặt cos , ; , khi đĩ : 4 2 2 u1 2 cos u2 2(1 2 cos ) 2 cos 2 . n 1 Bằng quy nạp ta chứng minh được un 2 cos 2 . 1 u1 2 Ví dụ 2.5: Tìm CTTQ của dãy số (u ) : . n 2 2 2 1 u u n 1 n 2 n 2 Giải: Từ cơng thức truy hồi của dãy, gợi ta nhớ đến cơng thức lượng giác sin2 cos2 1 1 sin2 cos2 . 2 2 1 sin2 2(1 cos ) 1 6 Ta cĩ: u sin u 6 sin 1 2 6 2 2 2 2.6 Bằng quy nạp ta chứng minh được: un sin . 2n 1.6 Ví dụ 2.6: Cho a,b là hai số thực dương khơng đổi thỏa mãn a b và hai dãy (an ), (bn ) a b a ; b b. a 1 1 1 được xác định: 2 . Tìm a và b . a b n n a n 1 n 1 ;b a b n 2 n 2 n n n 1 Giải: a a Ta cĩ: 0 1 nên ta đặt cos với 0; b b 2 b cos b b(1 cos ) Khi đĩ: a b cos2 và b b.b cos2 b cos 1 2 2 2 1 2 2 - 27 -
  30. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số b cos2 b cos a 1 b 1 2 2 2 a 2 b cos . cos và b2 b cos cos . 2 2 2 22 2 22 Bằng quy nạp ta chứng minh được: 2 a n b cos cos cos và bn b cos cos cos . 2 22 2n 2 22 2n u 1 3 Ví dụ 2.7: Cho dãy (u ) : . Tính u (Trích đề thi n u n 1 2 1 2003 u n n 2 1 (1 2)un 1 Olympic 30 – 4 – 2003 Khối 11). un 1 tan Giải: Ta cĩ tan 2 1 u 8 8 n 1 tan u 8 n 1 tan tan Mà u 3 tan u 3 8 tan( ) 1 3 2 3 8 1 tan tan 3 8 Bằng quy nạp ta chứng minh được un tan (n 1) . 3 8 2002 ( 3 2). Vậy u 2003 tan tan 3 8 3 4 u a 1 Chú ý : ðể tìm CTTQ của dãy (un ) : un 1 b . u n n 2 1 bun 1 Ta đặt a tan ;b tan , khi đĩ ta chứng minh được: un tan (n 1) u 1 3 Ví dụ 2.8: Tìm CTTQ của dãy số (u ) : u . n u n 1 n 2 n 1 1 u2 n 1 - 28 -
  31. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số 1 1 1 1 Giải: Ta cĩ: 1 . ðặt x khi đĩ ta được dãy (xn ) được xác u u 2 n u n n 1 un 1 n 1 2 định như sau: x1 và xn x n 1 1 xn 1 . 3 1 cos 1 Vì x cot x cot 1 cot2 3 cot 1 3 2 3 3 2.3 3 sin 3 Bằng quy nạp ta chứng minh được: xn cot un tan n 1, 2, 2n 1.3 2n 1.3 - 29 -
  32. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số III. ỨNG DỤNG BÀI TỐN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ DÃY SỐ - TỔ HỢP Trong mục này chúng tơi đưa ra một số ví dụ các bài tốn về dãy số và tổ hợp mà quá trình giải các bài tốn đĩ chúng ta vận dụng một số kết quả ở trên. Ví dụ 3.1: Cho dãy số (an ) : a0 0, a1 1, an 1 2an an 1 1 n 1 . Chứng minh rằng A 4anan 2 1 là số chính phương. Giải: Từ cơng thức truy hồi của dãy ta thay n 1 bởi n ta được: an 1 2an an 1 1 an 1 3a n 3a n 1 a n 2 0 . a n 2a n 1 a n 2 1 Xét phương trình đặc trưng 3 3 2 3 1 0 1 1 a ( n n 2 ) , do a 0,a 1,a 3 0, . n 0 1 2 2 1 a (n n 2 ) A n(n 1)(n 2)(n 3) (n 2 3n 1)2 đpcm. n 2 Ví dụ 3.2: Cho dãy số (xn ) : x1 7, x2 50; xn 1 4xn 5xn 1 1975 n 2 . Chứng minh rằng x1996 ⋮1997 (HSG Quốc Gia – 1997 ) Giải: Vì 1975 22(mod 1997) do đĩ ta chỉ cần chứng minh dãy xn 1 4xn 5xn 1 22⋮1997 . ðặt yn 1 axn 1 b a(4xn 5xn 1 22) b 4(axn b) 5(axn 1 b) 22a 8b 4yn 5yn 1 22a 8b . Ta chọn a, b sao cho: 22a 8b 0 , ta chọn a 4 b 11 . yn 1 4xn 1 11 y1 39, y2 211;yn 1 4yn 5yn 1 8( 1)n 25.5n 8 25.51996 Từ đây ta cĩ được: y y . n 3 1996 3 1996 Vì 8 25.5 1 1 0(mod 3) y1996 ℤ 1996 Theo định lí Fecma 5 1(mod 1997) y1996 11(mod 1997) 4x1996 11 11(mod 1997) x1996 0(mod 1997) . - 30 -
  33. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số Nhận xét: Từ bài tốn trên ta cĩ kết quả tổng quát hơn là: x p 1 ⋮ p với p là số nguyên tố lẻ. u 0 20; u 1 100 Ví dụ 3.3: Cho dãy số (u ) : .Tìm số nguyên dương n u 4u 5u 20 n 2 n 1 n n 1 h bé nhất sao cho: un h un ⋮1998 n ℕ * (HSG Quốc Gia Bảng A – 1998 ). Giải: a0 45;a1 205 ðặt an 2un 5 , ta cĩ dãy (a n ) : an 1 4a n 5a n 1 n 2 10 125 125 5 5 a ( 1)n .5n u .5n ( 1)n . n 3 3 n 6 3 2 2 3 Vì an h an 2(un h un ) un h un ⋮1998 an h an ⋮ 2.1998 2 .3 .37 ( 1) n .10 125.5 n Mà a a ( 1)h 1 (5h 1) n h n 3 3 5h 1 4 n ⋮ 125.5 h h Nếu h chẵn a n h an (5 1)⋮ 4.27.37 5 1⋮ 81 (17) 3 5h 1 37 ⋮ k 36 Gọi k là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn 5 1⋮ 37 . Vì 5 1⋮ 37 36⋮k k 1, 2, 3, 4, 12, 18, 36 thử trực tiếp ta thấy chỉ cĩ k 36 thỏa mãn h 5 1⋮ 37 h⋮ 36 (18) h Chứng minh tương tự, ta cũng cĩ: 5 1⋮ 81 h⋮ (81) 54 (19) Từ (18) và (19) ta suy ra (17) h ⋮ 36, 54 108 h 108 . Nếu h lẻ: Vì un h un (mod 1998) u h u 0 20(mod 1998) Nên ta cĩ: 5u u 4u 20 0(mod 1998) u u 100(mod 1998) h 1 h 1 h h 1 1 uh 1 ⋮ 0(mod 1998) 125 25 125 5 Vì h lẻ h 1 chẵn u .5h và u .5h 1 h 6 6 h 1 6 6 uh 5uh 1 0(mod 1998) mâu thuẫn với uh 20(mod 1998). - 31 -
  34. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số Với h 108 ta dễ dàng chứng minh được un h un (mod 1998) n 1 . Vậy h 108 là giá trị cần tìm. 2xn 1 Ví dụ 3.4: Cho dãy (x n ) : x 0 2; xn 1 xn 2 1) Tính x2000 ? 2000 2) Tìm phần nguyên của A  xi (Olympic 30 – 4 – 2000 khối 11 ). i 1 xn 1 1 3 1 Giải: Ta cĩ: x n 1 1 1 . ðặt an a0 1 và xn 2 xn 1 1 xn 1 xn 1 3n 1 1 2 an 1 3an 1 an xn 1 . 2 3n 1 1 32001 1 a) Ta cĩ: x2000 32001 1 2000 1 2 2000 1 b) Ta cĩ: A 2000 2 2000 A 2000 2001  i 1  i i 1 3 1 3 i 1 3 Vậy [A] 2000 . 2 (2 cos 2 )xn cos Ví dụ 3.5: Cho dãy (xn ) : x1 1; xn 1 . (2 2 cos 2 )xn 2 cos 2 n 1 ðặt yn  n 1 . Tìm để dãy số (yn ) cĩ giới hạn hữu hạn và tìm giới i 1 2xi 1 hạn đĩ. ( HSG Quốc Gia Bảng A – 2004 ). Giải: 1 2 sin2 1 1 1 1 Ta cĩ (1 ) sin2 n n 1 2xn 1 1 3 3(2x n 1) 2x n 1 3 3 n 1 n 1 n 1 1 1 3 1 y sin2 (1 ) (1 ) [n (1 )]sin2 n   i  i 1 n n i 1 2xi 1 i 1 3 i 1 3 2 3 2 3 1 Vì lim 0 nên dãy (yn ) cĩ giới hạn hữu hạn sin 0 k 3n - 32 -
  35. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số 1 Khi đĩ lim y . n 2 2 2 x1 1 xn 1 3x n 2x n y n 8y n Ví dụ 3.6: Cho hai dãy (x ),(y ) : và n 1 . n n y 1 y 2x 2 3x y 2y2 1 n 1 n n n n Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho x p yp khơng chia hết cho p . (TH&TT – 327 ) Giải: 2 2n 1 Ta cĩ: xn 2yn (xn 1 2yn 1 ) (x1 2y1 ) 1 (20) Giả sử cĩ một số tự nhiên k để yk 2xk yk 1 0 . Khi đĩ, ta cĩ: x 3x 2 k 2 k 1 vơ lí. Vậy y (2x y )(x 2y ) 0 n . x 1 n 1 n n n n k 2 x (3x 4y )(x 2y ) 3x 4y Suy ra : n 1 n n n n n n . yn 1 (2xn yn )(xn 2yn ) 2xn yn xn 1 3an 4 ðặt an 1 a1 1;an 1 yn 1 2an 1 n 1 an 2 1 5 1 1 2( 5) an 1 2 2 2an 1 an 1 2 an 2 an 2 3 1 4.( 5)n 1 x a n (21) n n 1 1 2.( 5) yn 1 4.( 5)n 1 1 2.( 5)n 1 2 2( 5)n 1 Từ (20) và (21) x ; y x y . n 3 n 3 n n 3 * Nếu p 2 x2 y2 4 ⋮ 2 p 2 khơng thỏa yêu cầu bài tốn. * Nếu p 3 x 3 y3 16 khơng chia hết cho 3 p 3 thỏa yêu cầu bài tốn. * Nếu p 5 ta thấy cũng thỏa yêu cầu bài tốn. p 1 * Nếu p 5 ( 5) 1(mod p) x p yp 0(mod p) Vậy p 3, p 5 là hai giá trị cần tìm. - 33 -
  36. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số 2 u 1 3 Ví dụ 3.7: Cho dãy (u ) : . Tính tổng của 2001 số n u n 1 un n 2 2(2n 1)un 1 1 hạng đầu tiên của dãy (un ) (HSG Quốc Gia – 2001 ). Giải: 1 1 Ta cĩ: 4n 2 (22). un un 1 Ta phân tích 4n 2 k n 2 (n 1)2 l n (n 1) . Cho n 0; n 1 , ta cĩ hệ k l 2 k 2;l 0 . k l 2 1 1 1 1 Suy ra (22) 2n 2 2(n 1)2 2 un un 1 u1 2 1 4n 2 1 (2n 1)(2n 1) un 2 2 2 1 1 u n (2n 1)(2n 1) 2n 1 2n 1 2001 2001 1 1 1 4002  ui  1 . i 1 i 1 2i 1 2i 1 4003 4003 2 x n x n 1 1 x n 1 x1 3  Ví dụ 3.8: Cho hai dãy số (x n ); (y n ) xác định : và y n 1 y 3 y n 1 1 1 y n 1 n 2 . Chứng minh rằng 2 xn yn 3 n 2 . (Belarus 1999). Giải: cos 1 Ta cĩ: x 3 cot x cot 1 cot2 6 cot 1 6 2 6 6 2.6 sin - 34 -
  37. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số 6 - 35 -
  38. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số Bằng quy nạp ta chứng minh được: xn cot . 2n 1.6 Theo kết quả của ví dụ 2.8, ta cĩ: y n tan 2n 1.3 ðặt n xn cot n ; yn tan 2 n xn .yn tan 2 n . cot n 2n.3 2t 1 2 ðặt t tan n tan 2 n . cot n . . 1 t 2 t 1 t 2 1 2 2 Vì n 2 0 n 0 t tan 1 t 1 6 6 3 3 2 2 3 2 xn yn 3 n 2 đpcm. 1 t 2 | x | 1 1 2 Ví dụ 3.9: Cho dãy số (xn ) : x 3 3x . xn n n 2 2n 1 1) Cần cĩ thêm điều kiện gì đối với x1 để dãy gồm tồn số dương ? 2) Dãy số này cĩ tuần hồn khơng ? Tại sao ? (HSG Quốc Gia 1990). Giải: Vì | x1 | 1 nên tồn tại ; : sin x1 . Khi đĩ: 2 2 1 3 x sin cos sin( ) 2 2 2 3 1 3 x sin( ) | cos( ) |. 3 2 3 2 3 Nếu x sin 6 2 3 2 Nếu x sin( ) . 2 6 3 3 Bằng quy nạp ta chứng minh được: sin khi n 2k 1 i) Nếu thì: xn 6 2 sin( ) khi n 2k 3 - 35 -
  39. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số 2 sin( ) khi n 2k 1 3 ii) Nếu thì: x k 1 . 2 6 n sin( ) khi n 2k 3 sin 0 0 1) Dãy gồm tồn số dương 2 0 . sin 0 3 3 6 3 3 Vậy 0 x là điều kiện cần phải tìm. 1 2 2) Dựa vào kết quả trên ta cĩ: 1 Nếu sin sin x1 . Khi đĩ từ (1) ta cĩ được 3 6 2 x1 x2 xn (x n ) là dãy tuần hồn. 1 x 1 1 Nếu 2 thì dãy số cĩ dạng x , x , x , x , 1 1 2 1 2 x 1 2 1 Nếu 1 x thì dãy số cĩ dạng x , x , x , x , x 1 2 1 2 3 2 3 Ví dụ 3.10: Tính tổng S n 1 3 5 2n 1 , với n là số tự nhiên n 1. Giải: Ta cĩ: S1 1 và Sn Sn 1 2n 1. 2 2 2 2 Mà: 2n 1 n (n 1) Sn n Sn 1 (n 1) S1 1 0 2 Vậy S n n . 2 2 2 2 Ví dụ 3.11: Tính tổng S n 1 2 3 n với n là số tự nhiên n 1. 2 Giải: Ta cĩ S1 1 và Sn Sn 1 n (23). Ta phân tích: n 2 k n 3 (n 1)3 l n 2 (n 1)2 t n (n 1) - 36 -
  40. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số k l t 0 1 1 1 Cho n 0;n 1; n 2 , ta cĩ hệ: k l t 1 k ;l ;t 3 2 6 7k 3l t 4 1 3 1 2 1 1 3 1 2 1 (23) Sn n n n Sn 1 (n 1) (n 1) (n 1) 3 2 6 3 2 6 3 2 1 3 1 2 1 2n 3n n n(n 1)(2n 1) S n n n n S1 1 0 Sn . 3 2 6 6 6 Ví dụ 3.12: Tính tổng S n 1.2.3 2.3.4 n(n 1)(n 2) n 1 . Giải: Ta cĩ: S1 6 và Sn Sn 1 n(n 1)(n 2) n 2 . 1 1 Do n(n 1)(n 2) (n 1)4 n 4 (n 1)3 n 3 4 2 1 1 (n 1)2 n 2 (n 1) n . 4 2 1 1 1 1 ðặt f (n) (n 1)4 (n 1)3 (n 1)2 (n 1) 4 2 4 2 Sn f (n) Sn 1 f (n 1) S1 f (1) 0 n(n 1)(n 1)(n 3) S f (n) . n 4 Ví dụ 3.13: Trong mp cho n đường thẳng, trong đĩ khơng cĩ ba đường nào đồng quy và đơi một khơng cắt nhau. Hỏi n đường thẳng trên chia mặt phẳng thành bao nhiêu miền ? Giải: Gọi an là số miền do n đường thẳng trên tạo thành. Ta cĩ: a1 2 . Ta xét đường thẳng thứ n 1 (ta gọi là d ), khi đĩ d cắt n đường thẳng đã cho tại n điểm và bị n đường thẳng chia thành n 1phần, đồng thời mỗi phần thuộc một miền của an . Mặt khác với mỗi đoạn nằm trong miền của an sẽ chia miền đĩ thành 2 miền, nên số miền cĩ thêm là n 1 . Do vậy, ta cĩ:an 1 an n 1 n(n 1) Từ đây ta cĩ: a 1 . n 2 - 37 -
  41. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số Chú ý : Với giả thiết ở trong ví dụ trên nếu thay yêu cầu tính số miên bằng tính số đa giác tạo (n 2)(n 1) thành thì ta tìm được: a . n 2 Ví dụ 3.14: Trong khơng gian cho n mặt phẳng, trong đĩ ba mặt phẳng nào cũng cắt nhau và khơng cĩ bốn mặt phẳng nào cùng đi qua qua một điểm. Hỏi n mặt phẳng trên chia khơng gian thành bao nhiêu miền ? Giải: Gọi bn là số miền do n mặt phẳng trên tạo thành Xét mặt phẳng thứ n 1 (ta gọi là (P ) ). Khi đĩ (P ) chia n mặt phẳng ban đầu theo n n(n 1) giao tuyến và n giao tuyến này sẽ chia (P ) thành 1 miền, mỗi miền này nằm 2 n 2 n 2 trong một miền của b và chia miền đĩ làm hai phần.Vậy b b . n n 1 n 2 (n 1)(n 2 n 6) Từ đĩ, ta cĩ: b . n 6 Ví dụ 3.15: Trong một cuộc thi đấu thể thao cĩ m huy chương, được phát trong n ngày 1 thi đấu. Ngày thứ nhất, người ta phất một huy chương và số huy chương cịn lại. 7 1 Ngày thứ hai, người ta phát hai huy chương và số huy chương cịn lại. Những ngày 7 cịn lại được tiếp tục và tương tự như vậy. Ngày sau cùng cịn lại n huy chương để phát . Hỏi cĩ tất cả bao nhiêu huy chương và đã phát trong bao nhiêu ngày? (IMO 1967). Giải: Gọi ak là số huy chương cịn lại trước ngày thứ k a1 m , khi đĩ ta cĩ: k 1 6 6k 6 ak 1 ak ak (m 36) 6k 42 7 7 7 n 1 n 1 6 7 an n (m 36) 6n 42 m 36 7(n 6) 7 6 Vì 6, 7 1 và 6n 1 n 6 nên ta cĩ n 6 0 n 6 m 36 . Vậy cĩ 36 huy chương được phát và phát trong 6 ngày. - 38 -
  42. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số Ví dụ 3.16: Cĩ bao nhiêu xâu nhị phân độ dài n trong đĩ khơng cĩ hai bit 1 đứng cạnh nhau? Giải: Gọi cn là số xâu nhị phân độ dài n thỏa mãn điều kiện đầu bài. Ta cĩ c1 2 ; c2 3 . Xét xâu nhị phân độ dài n thỏa mãn điều kiện đầu bài cĩ dạng anan 1an 2 a2a1 . Cĩ hai trường hợp an 1. Khi đĩ an 1 0 và an 2 a2a1 cĩ thể chọn là một xâu bất kỳ độ dài n 2 thỏa điều kiện. Cĩ cn 2 xâu như vậy, suy ra trường hợp này cĩ cn 2 xâu. an 0 . Khi đĩ an 1 a2a1 cĩ thể chọn là một xâu bất kỳ độ dài n 1 thỏa điều kiện. Cĩ cn 1 xâu như vậy, suy ra trường hợp này cĩ cn 1 xâu. Vậy tổng cộng xây dựng được cn 1 cn 2 xâu, hay cn cn 1 cn 2 . n 1 n 1 5 2 1 5 2 5 1 5 c . n 5 2 5 2 Ví dụ 3.17: Cho số nguyên dương n . Tìm tất cả các tập con A của tập X 1, 2, 3, , 2n sao cho khơng tồn tại hai phần tử x, y A thỏa mãn: x y 2n 1 (Thụy Sỹ 2006). Giải: ðể giải bài tốn này ta sẽ đi đếm số tập con A của X thỏa mãn luơn tơn tại hai phần tử x, y A sao cho x y 2n 1 (ta gọi tập A cĩ tính chất T ). Gọi an là số tập con A của tập 1, 2, , 2n cĩ tính chất T Khi đĩ các tập con A 1, 2, , 2n, 2n 1, 2n 2 xảy ra hai trường hợp. TH1: Trong tập A chứa hai phần tử 1 và 2n 2 , trong trường hợp này số tập A cĩ tính chất T chình bằng số tập con của tập gồm 2n phần tử 2, 3, 4, , 2n, 2n 1 và số tập con của tập này bằng 22n . TH2: Trong tập A khơng chứa đầy đủ hai phần tử 1 và 2n 2 . Khi đĩ A phải chứa một tập A ' là tập con của tập 2, 3, 4, , 2n, 2n 1 sao cho cĩ hai phần tử x ', y ' A ' : x ' y ' 2n 3 . Ta thấy số tập con A ' như trên chính bằng số tập con của tập {1, 2, , 2n} cĩ tính chất T (Vì ta trừ các phần tử của 2, 3, 4, , 2n, 2n 1 đi một đơn vị ta được tập {1, 2, , 2n} - 39 -
  43. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số và x ', y ' A ' : x ' y ' 2 n 1 ) - 40 -
  44. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số Hơn nữa với mỗi tập A ' ta cĩ được ba tập A (bằng cách ta chọn A là A ' hoặc {1} A ' hoặc {2n 2} A ' ) 2n n n Do vậy: an 1 3a n 2 a n 4 3 n n Vậy số tập con thỏa mãn yêu cầu bài tốn là: 4 an 3 . - 40 -
  45. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số Bài tập áp dụng Bài 1: Tìm CTTQ của các dãy số sau 1) u1 1; u2 0, un 1 2un un 1 n 1, n 2 n 2) u1 0; u2 0, un 1 2un un 1 3.2 , n 2 n 3) u1 0; u2 0, un 1 2un 3un 1 n 2 , n 2 4) u1 0, u2 1, u3 3, un 7un 1 11.un 2 5.un 3 , n 4 3 u 1 3 5) . u 2 3 n 1 un n 2 1 ( 3 2)u n 1 bn 2.bn 1 bn 2 Bài 2: Cho dãy số bn xác định bởi : n N n 3 b 1, b 2 1 2 n 5 Chứng minh rằng bn , n N 2 u Z , N n Bài 3: Cho dãy số un thoả mãn như sau : u0 1, u1 9 u 10.u u n N , n 2 n n 1 n 2 Chứng minh : k N , k 1 . 2 2 1) uk uk 1 10uk .uk 1 8 2 2) 5.uk uk 1 ⋮ 4 và 3.uk 1⋮ 2 x 0 1; x1 0 Bài 4: Cho dãy số xn xác định như sau: . xn 2x n 1 x n 2 2 n 2 Xác định số tự nhiên n sao cho : xn 1 xn 22685 . - 41 -
  46. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số x 0 1; x1 5 Bài 5: Cho dãy (x n ) được xác định bởi . xn 1 6xn x n 1 n 1 Tìm lim xn 2xn (TH&TT T7/253). 1 1 2 2 2 1 1 (1 a n ) Bài 6: Xét dãy (an ) : a1 và an 1 n 1. 2 2 Chứng minh rằng: a1 a2 a2005 1, 03 (TH&TT T10/335). 2 Bài 7: Cho dãy (an ) : a 0 2;a n 1 4a n 15a n 60 n 1. Hãy xác định CTTQ 1 của a và chứng minh rằng số (a 8) cĩ thể biểu diễn thành tổng bình phương của n 5 2n ba số nguyên liên tiếp với n 1 (TH&TT T6/262). Bài 8: Cho dãy số p(n) được xác định như sau: p(1) 1; p(n) p(1) 2p(2) (n 1)p(n 1) n 2 . Xác định p(n) (TH&TT T7/244). u 1 2 Bài 9: Xét dãy (u n ) : 3 2 . Chứng minh rằng u n 3u n 1 2n 9n 9n 3 n 2 p 1 với mỗi số nguyên tố p thì 2000  ui chia hết cho p (TH&TT T6/286). i 1 x0 a Bài 10: Dãy số thực (x ) : . n x 2x 2 1 n 0 n 1 n Tìm tất cả các giá trị của a để xn 0 n 0 (TH&TT T10/313). 1 xn 1.xn Bài 11: Dãy số (xn ) : x 0 1, x1 và xn 2 2 2002x n 1 2001xn 2000x n 1 x n n 0 . Hãy tìm CTTQ của xn (TH&TT T8/298). 1 a 1 2 Bài 12: Cho dãy số (a n ) được xác định như sau: (a n ) : . an 1 a n n 1 T h a1 a2 ín tổng - 42 -
  47. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số 2nan 1 1 a19 98 . - 43 -
  48. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số Bài 13: Cho dãy số (an ) được xác định bởi : a1 1.2.3, a2 2.3.4, , an n(n 1)(n 2) . ðặt Sn a1 a2 an . Chứng minh rằng 4Sn 1 là số chính phương . (HSG Quốc Gia – 1991 Bảng B ) Bài 14: Cho hai dãy số (an ), (bn ) được xác định như sau: a0 2;b0 1 và 2anbn a n 1 , bn 1 a n 1 b n n 0 . an bn Chứng minh rằng các dãy (an ) và (bn ) cĩ cùng một giới hạn chung khi n . Tìm giới hạn chung đĩ. ( HSG Quốc Gia – 1993 Bảng A ngày thứ 2) Bai 15: Cho các số nguyên a,b . Xét dãy số nguyên (an ) được xác định như sau a0 a;a1 b;a2 2b a 2; an 3 3an 2 3an 1 an n 0 a) Tìm CTTQ của dãy (an ). b) Tìm các số nguyên a,b để an là số chính phương với n 1998 . (HSG Quốc Gia – 1998 Bảng B). n a 0 3 1 Bài 16: Cho dãy số (a ) : . Tính  n (3 a )(6 a ) 18 n 1 n n 1 i 1 ai (Trung Quốc – 2004 ). a 1 0 2 Bài 17: Cho dãy số (an ) : 7a 45a 36 . Chứng minh a n 1 n 1 n 1 2n 1) an là số nguyên dương với n 0 . 2) an 1an 1 là số chính phương n 0 . ( Trung Quốc – 2005 ). 2 u 1 1;u 2 2 u 1 Bài 18: Cho dãy số (u ) : . Chứng minh rằng n là số n u 4u u n 3 n n 1 n 2 3 chính phương ( Chọn đội tuyển Nghệ an – 2007 ). 3 2007 b0 12;b 1 Bài 19: Cho dãy số (bn ) : 2 . Tính  bi ( Moldova 2007). b b b . 3 n 2 i 0 n n 1 n 2 - 43 -
  49. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số Bài 20: Cĩ n tấm thẻ được đánh số từ 1 đến n . Cĩ bao nhiêu cách chọn ra một số thẻ (ít nhất 1 tấm) sao cho tất cả các số viết trên các tấm thẻ này đều lớn hơn hoặc bằng số tấm thẻ được chọn. u1 1; un 0 n 1 Bài 21: Cho dãy (u ) được xác định bởi: 2 . Chứng minh n 1 un 1 1 u n n 2  un 1 1 n 1 rằng u 1 u 2 u n 1 1 ( ) (HSG Quảng Bình 2008 – 2009 ). 4 2 3 Bài 22: Cho dãy đa thức : P(x ) x 6x 9 và Pn (x ) P(P( (P(x )))) n lần. Tìm số nghiệm cảu P(x ) và Pn (x ) ? (Dự tuyển Olympic). Bài 23: Xác định hệ số x 2 trong khai triển chính quy của đa thức 2 2 2 2 2 Qk (x ) ( (((x 2) 2) 2) ) 2) (cĩ k dấu ngoặc). Bài 24: Cho dãy xn : x 0 1, x1 1, xn 1 4xn xn 1 n 1 và dãy số yn : y0 1, y1 2, yn 1 4yn yn 1 n 1 . Chứng minh rằng: 2 2 yn 3x n 1 n 0 (Canada – 1998 ). Bài 25: Cĩ bao nhiêu tam giác cĩ độ dài các cạnh là các số tự nhiên khơng vượt quá 2n (Macedonian – 1997 ). Bài 26: Cho dãy số (un ) được xác định như sau: u0 u1 1 và un 1 14un un 1 với n 1 . Chứng minh rằng với n 0 thì 2an 1 là một số chính phương (Chọn đội tuyển Romania 2002). - 44 -
  50. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung liên quan đến chuyên đề với sự gĩp ý của đồng nghiệp vận dụng chuyên đề vào giảng dạy đã thu được một số kết quả sau 1) Học sinh trung bình trở lên cĩ thể vận dụng một số kết quả cơ bản trong chuyên đề vào giải bài tốn xác định CTTQ của một số dạng dãy số cĩ dạng truy hồi đặc biệt. 2) Học sinh giỏi cĩ thể vận dụng các kết quả trong chuyên đề để tham khảo phục vụ trong những kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh và cấp Quốc Gia. 3) Tạo được sự hứng thú cho học sinh khi học về bài tốn dãy số. 4) Là tài liệu tham khảo cho học sinh và giáo viên. 5) Qua đề tài giáo viên cĩ thể xây dựng các bài tốn về dãy số. Bên cạnh những kết quả thu được, chuyên đề cịn một số hạn chế sau: 1) Trong chuyên đề chưa xây dựng được phương pháp xác định CTTQ của một số dãy số mà các hệ số trong cơng thức truy hồi biến thiên. 2) Chưa đưa vào một số phương pháp xác định CTTQ của dãy số dựa vào một số kiến thức liên quan đến Tốn cao cấp như phương pháp hàm sinh Hy vọng các đồng nghiệp sẽ phát triển, mở rộng và khắc phục một số hạn chế nĩi trên. - 45 -
  51. Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] ðại Số và Giải Tích lớp 11 Nâng Cao [2] Các bài thi Olympic Tốn THPT Việt Nam, Tủ sách TH&TT – NXB GD 2007 [3] Một số bài tốn chọn lọc về dãy số , Nguyễn Văn Mậu, NXBGD – 2003 [4] Các phương pháp đếm nâng cao, Trần Nam Dũng [5] Tạp chí Tốn Học Và Tuổi Trẻ [6] Các diễn đàn Tốn học như: maths.vn ; diendantoanhoc.net ; mathscop.org [7] Tuyển tập các chuyên đề thi Olympic 30 – 4 Khối 11 [8] Phép quy nạp trong hình học, Yaglom – L.I.Golovina – IM (Khổng Xuân Hiển dịch xuất bản năm 1987) - 46 -