Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình chứa căn thức

Nội dung text: Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình chứa căn thức

1. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC I. Một số dạng cơ bản của phương trình, bất phương trình chứa căn thức. 1. Phương trình f x 0 a) f x g x f x g x g x 0 b) f x g x 2 f x g x Ví dụ 1: Giải phương trình sau: x2 3x 2 x 1 1 Hướng dẫn: Nhận xét: Phương trình có dạng f x g x nên ta giải như sau Ta có x 1 0 1 2 2 x 3x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 Vậy S 1 Ví dụ 2: Giải phương trình: x2 5x 4 2x2 3x 12 2 Hướng dẫn: Ta có 2 x2 5x 4 2x2 3x 12 x2 5x 4 0 2 2 x 5x 4 2x 3x 12 x 1 x 4 0 2 3x 2x 8 0 x 1 x 4 8 x 2 x 6 8 x 6 8 Vậy S  6 1 Nguyễn Tăng Vũ – Nguyễn Ngọc Duy
2. 2. Bất phương trình g x 0 a) f x g x 2 0 f x g x g x 0 f x 0 b) f x g x g x 0 2 f x g x Ví dụ 3: Giải các bất phương trình sau: a) x 1 2 x2 1 2 14 b) 2x 5 x 4x 3 , S 1; 5 Hướng dẫn a) Ta có : x 1 x 1 0 2 2 x 1 2 x 1 2 2 x 2x 3 0 x 1 2 x 1 0 2 x 1 0 x 1 x 1 1 x 3 1 x 3 x 1 x 1 Vậy tập nghiệm S 1;3 1 2x 5 0 1 x2 4x 3 0 2 b)Ta có 2x 5 x 4x 3 2x 5 0 2 2 2 2x 5 x 4x 3 Giải (1) 5 x 5 1 2 1 x 2 1 x 3 Giải (2) 2 Nguyễn Tăng Vũ – Nguyễn Ngọc Duy
3. 5 5 x x 2 5 14 2 2 x 2 14 2 4 5x 24x 28 0 2 x 5 14 Từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S 1; 5 II. CÁC PHƯƠNG PHÁP 1. Phương pháp bình phương liên tiếp Sử dụng phương pháp bình phương liên tiếp nhằm biến đổi phương trình, bất phương trình về dạng không còn chứa căn thức. Tuy nhiên khi bình phương hai vế của phương trình, bất phương trình nhớ sử đặt điều kiện cho hai vế cùng dấu (đối với phương trình có thể giải bằng phương trình hệ quả sau đó thử lại kết quả, còn đối với bất phương trình bắt buộc phải đặt điều kiện cho hai vế cùng dấu) Ví dụ 1. Giải phương trình 3x 1 2x 1 6 x Hướng dẫn: 3x 1 0 1 Điều kiện 2x 1 0 x 6 2 6 x 0 Với điều kiện trên ta có 3x 1 2x 1 6 x 3x 1 6 x 2x 1 3x 1 6 x 2x 1 2 6 x 2x 1 2x 4 2 6 x 2x 1 x 2 6 x 2x 1 x 2 x2 4x 4 2x2 13x 6 3x2 17x 10 0 x 5 2 x l 3 Vậy S 5 1 3 Ví dụ 2. Giải bất phương trình 2 x 3 9 2x 2 2 2 Hướng dẫn x 3 0 9 Điều kiện 3 x 9 2x 0 2 Với điều kiện trên ta có 3 Nguyễn Tăng Vũ – Nguyễn Ngọc Duy
4. 1 3 2 2 x 3 9 2x 2 2 1 9 3 4 x 3 9 2x 9 2x 4 4 2 16x 48 18 2x 6 9 2x 18x 64 0 9x 33 3 9 2x 2 9x 33 9 9 2x 32 x 32 9 x 9 28 x 4 x 81x2 576x 1008 0 9 x 4 9 Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là S 4; 2 2. Phương pháp đặt ẩn phụ Mục đích của phương pháp đặt ẩn phụ là đưa phương trình bất phương trình về dạng cơ bản hoặc là dạng đã biết cách giải. Từ nghiệm của phương trình, bất phương trình mới ta suy ra nghiệm của phương trình, bất phương trình ban đầu. Chú ý: Phương trình, bất phương trình mới không tương đương với phương trình bất phương trình cũ (vì khác tập hợp nghiệm) mà chỉ tương đương theo nghĩa từ phương trình ,bất phương trình này ta suy ra nghiệm của phương trình, bất phương trình kia và ngược lại. Dạng 1. Đặt ẩn phụ khi thấy các biểu thức có dạng giống nhau. Đặt t f x , đưa phương trình, bất phương trình theo biến x về phương trình bất phương trình theo biến t (Chú ý đặt điều kiện cho biến t (nếu có)). Ví dụ 1 Giải phương trình 3x2 2x 9 3x2 2x 2 7 Nhận xét: Ta thấy biểu thức dưới dấu căn đều có số hạng 3x2 2x , và đây là biểu thức chung, chú ý rằng chúng ta quan tâm đến nhũng biểu thức chung chứa biến, còn nếu có thêm hằng số cũng không quan trọng, và ta có thể đặt ẩn t 3x2 2x , để đưa phương trình về dạng cơ bản, tuy nhiên để bài toán được gọn hơn ta thường đặt ẩn phụ cho nguyên biểu thức căn, tức là đặt t 3x2 2x 2 Ta giải bài toán này như sau: Đặt t 3x2 2x 2 điều kiện t 0 . Khi đó 3x2 2x 9 t 2 7 . Phương trình trở thành 4 Nguyễn Tăng Vũ – Nguyễn Ngọc Duy
5. t 2 7 t 7 t 2 7 7 t t 2 7 7 t 2 dk t 7 t 2 7 t 2 14t 49 t 3 Với t 3 ta có 3x2 2x 2 3 3x2 2x 2 9 3x2 2x 7 0 1 22 x 3 1 22 x 3 1 22 1 22 Vậy S ; 3 3 Ví dụ 2 Giải bất phương trình x 1 x 4 5 x2 5x 28 Hướng dẫn: Ta có: x 1 x 4 5 x2 5x 28 x2 5x 4 5 x2 5x 28 Đặt t x2 5x 28 điều kiện t 0 . Khi đó bất phương trình trở thành: t 2 24 5t t 2 5t 24 0 3 t 8 Kết hợp với điều kiện ta có 0 t 8 (1) Với t 8 ta có: x2 5x 28 8 x2 5x 28 0 x ¡ 9 x 4 2 2 2 x 5x 28 64 x 5x 36 0 Với t 0 x2 5x 28 0 x ¡ (3) Từ (1), (2) và (3) ta có nghiệm của bất phương trình là S 9;4 Ví dụ 3 Giải bất phương trình: 2x x 1 1 x2 x 1 Hướng dẫn: 5 Nguyễn Tăng Vũ – Nguyễn Ngọc Duy
6. Đặt t x2 x 1 , điều kiện t 0 , suy ra 2x x 1 2 t 2 1 Bất phương trình trở thành: 2 t 2 1 1 t 2t 2 t 1 0 1 t l 2 t 1 2 2 2 x 0 Với t 1 ta có x x 1 1 x x 1 1 x x 0 x 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S ;0  1; Dạng 2. Các phương trình, bất phương trình có biểu thức A B m AB trong đó t 2 A B A B là hằng số. Khi đó đặt t A B , suy ra AB . Đưa phương 2 trình bất phương trình về ẩn t . Ví dụ 4 Giải phương trình: x 2 5 x (x 2)(5 x) 4 Hướng dẫn: Điều kiện 2 x 5 Đặt t x 2 5 x (điều kiện t 0 ). t 2 7 Suy ra t 2 7 2 x 2 5 x 7 2 x 2 5 x x 2 5 x 2 Khi đó phương trình trở thành: t 2 7 t 4 2 t 2 2t 15 0 t 5 l t 3 n Với t 3 ta có: x 2 5 x 3 7 2 x 2 5 x 9 x 2 5 x 1 3 3 5 x n 2 2 x 3x 9 0 3 3 5 x n 2 6 Nguyễn Tăng Vũ – Nguyễn Ngọc Duy
7. 3 3 5 3 3 5  Vậy tập nghiệm của phương trình là S ;  2 2  Ví dụ 5 Giải bất phương trình: 2x 1 9 2x 3 2x 1 9 2x 13 Hướng dẫn 1 9 Điều kiện x 2 2 t 2 10 Đặt t 2x 1 9 2x (điều kiện t 0 ). Suy ra 2x 1 9 2x 2 Bất phương trình trở thành t 2 10 t 3. 13 2 3t 2 2t 56 0 14 t l 3 t 4 n Với t 4 ta có 2x 1 9 2x 4 10 2 2x 1 9 2x 16 2x 1 9 2x 9 16x 4x2 0 0 x 4 Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là S 0;4 A Dạng 3. Các phương trình có dạng m A n B p 4 AB . Khi đó đặt t 4 (xét B B 0, B 0 ) Hoặc đặt u 4 A,v 4 B . Tính u theo v . x2 x 2 Ví dụ 6 Giải phương trình x 1 x 2 4 4 Hướng dẫn x 1 0 x 1 Điều kiện x 2 0 x 2 x 2 2 x 1 x x 2 0 x 2 7 Nguyễn Tăng Vũ – Nguyễn Ngọc Duy
8. Đặt a 4 x 1,b 4 x 2 điều kiện a,b 0 a 2b 2 2 ab 2 2 Khi đó phương trình trở thành a b 2a 2b ab 0 1 2 a b 2 Với a 2 2 b ta có 4 x 1 4 x 2. 2 x 1 4 x 2 x 3 1 1 Với a b ta có 4 x 1 4 x 2 x 1 x 2 0 vn 2 2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 3 2x2 3x 1 Ví dụ 7 Giải bất phương trình 3 2x 1 4 x 1 4 36 Hướng dẫn 2x 1 0 Điều kiện x 1 0 x 1 2 2x 3x 1 Ta thấy x 1 là nghiệm của bất phương trình. Xét x 1 , chia hai vế của bất phương trình cho 4 2x2 3x 1 ta có 2x 1 x 1 1 3.4 4.4 x 1 2x 1 6 2x 1 x 1 1 Đặt t 4 4 (Điều kiện t 0 ). Khi đó bất phương trình trở thành x 1 2x 1 t 16 t l 4 1 6 6 3t 3 6t 2 t 4 6 0 t 6 3 t n 2 3 2x 1 3 2x 1 9 x 5 Với t ta có 4 0 1 x 5 2 x 1 2 x 1 4 4 x 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 1;5 Dạng 4. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình x3 1 Ví dụ 8 Giải phương trình: 3 2x 1 2 Hướng dẫn t3 1 Đặt t 3 2x 1 x 2 8 Nguyễn Tăng Vũ – Nguyễn Ngọc Duy
9. 3 x 1 2t 1 Khi đó ta có hệ 3 t 1 2x 2 Lấy (1) trừ (2) ta có: x3 t3 2t 2x x t x2 xt t 2 2 x t 0 x t x2 xt t 2 2 0 x t 0 2 2 2 t 3 2 (Vì x xt t 2 x t 2 0 ) 2 4 Với t x ta có x3 1 2x x3 2x 1 0 x 1 x2 x 1 0 x 1 1 5 x 2 1 5 x 2 1 5 1 5  Vậy phương trình có 3 nghiệm S 1; ;  2 2  Ví dụ 9Giải phương trình: 3 x 34 3 x 3 1 * Hướng dẫn 3 u x 34 3 3 Đặt: u v 37 3 v x 3 * u v 1 3 3 u v 37 1 Ta có hệ: u v 1 2 2 u v 1 3 , sau đó thay vào 1 ta có: v 1 3 v3 37 v 3 v 4 v 3 3 x 3 3 x 30 v 4 3 x 3 4 x 61 Ví dụ 10 Giải phương trình: 7 4x2 5x 1 14 x2 3x 3 17x 13 * Hướng dẫn 9 Nguyễn Tăng Vũ – Nguyễn Ngọc Duy
10. * 7 4 x2 3x 3 17x 13 14 x2 3x 3 17x 13 u 13 x u 17x 13 17 Đặt: 2 2 2 v x 3x 3 v 0 2 u 13 u 13 u 25u 373 v 3 3 17 17 289 * trở thành 7 4v2 u 14v u 7 4v2 u 14v u 1 Ta có hệ: u2 25u 373 v2 2 289 1 49 4v2 u 14v u 2 49u 28uv u2 u u 28v 49 0 u 0 u 49 28v 13 u 0 x 17 u 49 28v Thay vào 2 : 49 28v 2 25 49 28v 373 v2 289 289v2 784v2 2044v 1549 495v2 2044v 1549 0 x 1 x 2 v 1 x2 3x 3 1 746 1549 2 1549 x v x 3x 3 495 495 495 2231 x 495 746 Thay các giá trị vào phương trình đầu ta nhận nghiệm: x 2, x 495 746 13  Vậy S ; ;2 495 17  Chú ý: Từ phương trình ta suy ra hệ, nên khi giải ra nghiệm ta phải thử lại. 10 Nguyễn Tăng Vũ – Nguyễn Ngọc Duy
11. Phương pháp này chỉ hiệu quả trong việc giải phương trình, còn bất phương trình thì rất khó sử dụng. 3. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Ví dụ 11 Giải phương trình x 2 10 x x2 12x 40 Hướng dẫn Đặt: t x 2 10 x, t 0 2 BCS t 2 x 2 10 x 12 12 x 2 10 x 16 t 4 0 t 4 Dấu " " xảy ra x 2 10 x x 6 Mặt khác: x2 12x 40 x 6 2 4 4 , dấu " " xảy ra x 6 x 2 10 x x2 12x 40 Vậy S 6 4. Dùng khảo sát hàm số để biện luận phương trình, bất phương trình chứa tham số Ví dụ 12. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3 x 6 x 3 x 6 x m Hướng dẫn Điều kiện: x  3;6 Đặt t 3 x 6 x, x  3;6 1 1 6 x 3 x t 2 3 x 2 6 x 2 6 x 3 x 3 t 0 x t 3 2 2 Ta có: x 3 t 3 2 và t 2 3 x 6 x 9 2 3 x 6 x x 6 t 3 Bảng biến thiên: 3 6 x t’ + 0 - 11 Nguyễn Tăng Vũ – Nguyễn Ngọc Duy
12. 3 2 t 3 3 t 3;3 2 Xét t 2 9 f t t , t 3;3 2 2 9 f t 1 t, f 3 3, f 3 2 3 2 2 Bảng biến thiên: t 3 3 2 f t – 3 f t 9 3 2 2 9 Vậy m 3;3 2 thì phương trình có nghiệm. 2 BÀI TẬP ÁP DỤNG I. Giải các phương trình sau: 1)x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 5 S 1;10 x 14 2) x 5 3 S 3;14 x x 5 3) x 2 2x 3 4x 7 S 2 4 2 4) x x 2 0 S  x 2 3 2 1 17 1 21  5) x x 5 5 S ;  2 2  6) 3 2 x 1 x 1 S 1;2 12 Nguyễn Tăng Vũ – Nguyễn Ngọc Duy
13. 7) 3 x2 26 3 x x 3 8 S 1 1 1 1 1  8) 3 x x 1 S ;  2 2 2 2 1 1 1 5  9) x 1 x S  x x 2  24  10) 1 x 1 1 x 1 2x S ;0 25  II. Giải bất phương trình 3x 1) 2 x 2 S ;1 2 x 2x2 7x 4 1 1 8 2) S ; 4  ; x 4 2 2 7 3) x 2 x 3 2x 4 0 S  2; 4) x2 3x 2 x2 4x 3 2 x2 5x 4 S 1 4; 1 3x 2 2 5 5) 2 1 S 1;  ;1 1 x 1 x2 2 5 x 3 5 5 6) x S 1;  5; x2 1 2 2 2 2 3 3 7) 1 x 1 3 x S 1;  ,1 2 2 8 3 8) 5 x 3 x 1 4 x 5 3 x S 5; 2 x2 9) 1 x 1 x 2 S  1;1 4 10) 5x 1 x 1 2x 4 S 2;10 2 2 x 16 7 x 11) x 3 S 4; x 3 x 3 III. Tìm m để: 1) x 9 x x2 9x m có nghiệm x2 2) 12 2m x có hai nghiệm. 3 3) x 2 x m 3 x2 2x 5 có nghiệm chứa 0;1 . 4) 3 x 1 m x 1 2 4 x2 1 có nghiệm. 13 Nguyễn Tăng Vũ – Nguyễn Ngọc Duy
14. 5) x2 mx 2 2x 1 có 2 nghiệm phân biệt. IV. Phương trình và bất phương trình chứa căn thức trong các đề thi đại học gần đây 1) (D – 2002) Giải bất phương trình x2 3x 2x2 3x 2 0 1 S ;  2 3; 2 2 2 x 16 7 x 2) (A – 2004) Giải bất phương trình 11) x 3 x 3 x 3 S 4; 3) (B – 2004) Xác định m để phương trình sau có nghiệm: m x2 1 1 x2 2 2 1 x4 1 x2 1 x2 Đs: 2 1 m 1 4) (A – 2005) Giải bất phương trình 5x 1 x 1 2x 4 Đs: 2 x 10 5) (D – 2005) Giải phương trình: 2 x 2 2 x 1 x 1 4 Đs: S 3 6) (B – 2006) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt x2 mx 2 2x 1 9 Đs: m 2 7) (D – 2006) Giải phương trình 2x 1 x2 3x 1 0 Đs: S 1;2 2 8) (A – 2007) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực 3 x 1 m x 1 2 4 x2 1 Đs: 1 1 m 3 9) (B – 2007) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m , phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x2 2x 8 m x 2 Đs: m 0 10) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt 4 2x 2x 2 4 6 x 2 6 x m Đs: 2 6 2 4 6 m 3 2 6 V. Các bài trong các đề thi dự bị đại học 1) Giải phương trình 3x 2 x 1 4x 9 2 3x2 5x 2 (Dự bị B – 2006) Đs: S 2 2) Giải phương trình x 2 7 x 2 x 1 x2 8x 7 1 Đs: S 4;5 2 3) Tìm m để bất phương trình m x 2x 2 1 x 2 x 0 có nghiệm x 0;1 3 2 (Dự bị A – 2007) Đs: m 3 4) Tìm m để phương trình 4 x2 1 x m có nghiệm (Dự bị B – 2007) 0 m 1 14 Nguyễn Tăng Vũ – Nguyễn Ngọc Duy
15. 5) Tìm m để phương trình x 3 2 x 4 x 6 x 4 5 m có đúng hai nghiệm. (Dự bị D – 2007) Đs: 2 m 4 6) Tìm m để phương trình sau 4 x4 13x m x 1 0 có đúng một nghiệm thực. (Dự bị A – 2007) 3 Đs: m ,m 12 2 15 Nguyễn Tăng Vũ – Nguyễn Ngọc Duy