Một số đề toán thi học sinh giỏi - Nguyễn Văn Xá

pdf

164 trang phuongnguyen 3910

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Một số đề toán thi học sinh giỏi - Nguyễn Văn Xá", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

mot_so_de_toan_thi_hoc_sinh_gioi_nguyen_van_xa.pdf

Nội dung text: Một số đề toán thi học sinh giỏi - Nguyễn Văn Xá

www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá MT S ð TOÁN THI HC SINH GII 1. ð THI CHN HSG 12 TNH BC NINH 2009 Bài 1 (6 ñim) 1/ So sánh hai s 20092010 và 20102009.  1 1  2/ Tìm gii hn lim  −  . x→0 + + 3 2 3 3x ( 1 4 x 1) 2x ( (1+ 6 x ) + 1 + 6 x + 1) Bài 2 (4 ñim) 1/ Cho ba s thc không âm x, y, z tho mãn x2009 + y2009 + z2009 = 3. Tìm giá tr ln nht ca F = x2 + y2 + z2. 1+ 1 + + 1 < 1 2/ Cho s nguyên dương n. Chng minh rng 1 2 n+1 . C2009 C 2010 C2009+n 2007 Bài 3 (4 ñim) Hình chóp S.ABC có tng các mt (góc ñnh) ca tam din ñnh S bng 180o và các cnh bên SA = SB = SC = 1. Chng minh rng din tích toàn phn ca hình chóp này không ln hơn 3 . Bài 4 (4 ñim) 1/ Gi m, n, p là 3 nghim thc ca phương trình ax3 + bx2 + cx – a = 0 (a≠0). Chng minh rng 1 2 2+ 3 + - ≤ m+2 n+ 2 p 2 . m n p x3+ y 3 + x 2 ( y + z ) = xyz + 14  3 3 2 2/ Gii h phương trình y+ z + y( z + x ) = xyz − 21.  3+ 3 + 2 + = +  z x z( x y ) xyz 7 Bài 5 (2 ñim) 1/ Chng minh rng bn ñưng tròn có các ñưng kính là bn cnh ca mt t giác li thì ph kín min t giác ñó. 3 5 2n+1 2 2/ Cho y = a0x + a1x + a2x + + anx + tho mãn (1 – x )y’ – xy = 1, ∀x ∈(-1;1). Tìm các h s a0, a1, a2, , an. 2. ð THI HC SINH GII NĂM HC 2006 -2007 BÀI 1: (3 ñim) Tìm tt c các giá tr a sao cho bt phương trình sau có mt s hu hn nghim và tính các nghim này: tan2 (cos4π 2−x 2 ) − 4. a tan ( cos4π 2−x 2 ) + 220 + a ≤ . BÀI 2: (3 ñim) x3 2 x Vi nhng giá tr nào ca a thì hàm s f()()() x= x1 − a + 3 1 − 2 a sin + sin +πa có không quá 3 2 3 hai ñim cc tr trên khong (π; 5 π ) ? BÀI 3: (4ñim) ð thi HSG môn Toán Trang 1
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá Vi nhng giá tr nào ca a tp hp nghim ca bt phương trình sau cha không quá bn giá tr x nguyên. x( x−4) + a2 ( a + 4) ≤ ax( a + 1). ðÁP ÁN BÀI 1 (3 ñim) π 2− 2 ≤ ∈[ − ] ðt t =tan(cos 4 x ) , vi t tan1 . D thy rng vi t0 tan1, tan 1 phương trình t2 −4 at + 2 + 2 a ≤ 0 tan(cos 4π 2− x 2 ) = t có s nghi m h u h n. Do ó ta tìm t t c a sao cho h  có s 0 ñ  −tan1 ≤ t ≤ tan 1 nghim hu hn. ðiu này ch có th khi h có ñúng mt nghim. Nu biu thc ∆ ca tam thc bc hai tương ng âm thì rõ ràng h vô nghim. 1 Nu ∆ = 0, tc là a = 1 hay a = − , thì nghim ca bt phương trình th nht ca h s ch là 2 1 1 mt ñim t = 2a. T hai giá tr tìm ñưc ca a ch có a = − là thích hp, vi a = − ta ñưc 2 2 π 2 2 t = 1∈[ −tan1; tan 1] t ñây suy ra tan(cos 4π 2− x 2 ) = 1 hay cos 4π −x = − + nπ , vi n∈ Z . 4 π 2 2 Phương trình này có nghim ch khi n = 0. Lúc ñó cos 4π −x = − hay 4 π 2 2   4π −x = ±π − arccos  + k2π , vi k∈ Ζ . D thy rng phương trình này có nghim:  4   π  2 x = ±4π2 − π ± arccos  .  4  ∆ [ ] Nu > 0 thì nghim ca bt phương trình s là ñon t1, t 2 , ñon này phi có ch mt ñim − chung vi ñon [ tan1, tan 1] . Suy ra t1 = tan1 hay t2 = -tan1 . Lúc ñó giá tr cn tìm ca tham s ñưc tìm bng cách gii tp hp hai h sau :  f( tan1) = 0  f(− tan1) = 0  hay  v i f(t) = t2 – 4at +2 + 2a .  tan1 t0  tan1 t0  2 +  −2 + = tan 1 2 (tan 1 2) a a =  4tan 1− 2  + Suy ra  hay  4tan 1 2 .  1  1 a> tan1 a< − tan1  2  2 D thy rng h th nht có nghim , còn h th hai vô nghim. Giá tr va tìm ca tham s tương 2 2 ng t = tan1. Suy ra tan(cos 4π − x ) = tan1, cos 4π 2−x 2 =1 + nπ , n∈ Ζ . Phương trình này ch có ba nghim x1 = 0 , x2 = -2π , x3 = 2π . Kt lun : π 2 1 2   Nu a = thì x = ±4π − π ± arccos  . 2  4  ð thi HSG môn Toán Trang 2
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá 2 + = tan 1 2 Nu a , thì x1 = 0 , x2 = -2π , x3 = 2π . 4tan 1− 2 Vi các giá tr còn li ca a phương trình vô nghim hoc có vô s nghim . BÀI 2 (3 ñim) x2 x Ta có f' ()() x=1 − a + 1 − 2 a cos + cos . Nghim ca phương trình f' ( x) = 0 s là các ñim 3 3 x2 x ti hn ca hàm f . Ta vit : 1−a +() 1 − 2 a cos +cos = 0 3 3  x = − 1 cos D thy rng phương trình này tương ñương vi tp hp: 3 2 .  x  cos = a  3 Phương trình th nht ca tp hp có hai nghim x1= 2π và x2 = 4π trên khong (π ,5π ). Các '  x 1  x  ñim này là ñim ti hn ca hàm f . Khi vit ño hàm dưi dng f() x =2 cos + cos − a  3 2  3  1 1 d thy rng các ñim ti hn tr thành ñim cc tr ch khi a ≠ − (nu a = − thì ño hàm không ñi 2 2 du , và do ñó hàm f không có ñim cc tr ). 1 Như vy nu a ≠ − thì hàm f có ít nht hai ñim cc tr trên khong ñưc xét . Do ñó , cn tìm 2 các giá tr a sao cho phương trình th hai không có thêm ñim cc tr . x − 1  Trên khong (π ,5π ) hàm y = cos nhn tt c các giá tr thuc ñon 1;  3 2  9 8 7 6 5 4 3 2 1 E -4 -2 F 2 4 6 8 D 10 12 14 16 -1 -2 -3 -4  1  1 Nu a ∈ − ,1  và a ≠ − thì hàm f s có 4 cc tr . Có nghĩa là vi nhng giá tr a khác hàm  2  2 f s có không quá hai cc tr . 1 1 Kt lun : a ≥ , a = − , a ≤ −1. 2 2 ð thi HSG môn Toán Trang 3
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá BÀI 3 (4 ñim)  x≤ a 2  x≥ a 2 Bt phương trình ñã cho tương ñương vi tp hp hai h:  hay  . Nh tp x≥ a + 4 x≤ a + 4 hp này ta biu din nghim ca bt phương trình ban ñu. K các ñưng thng x = k , vi k ∈ Ζ . 14 12 10 8 x=a+4 6 x=a2 4 2 A -5 - 6 12 5 10 15 Lúc ñó giá tr a0 mà vi nó ñưng thng a = a0 ct các ñưng thng x = k không quá 4 ñim trong tp hp ñã ñưc ñánh du, s là giá tr cn tìm. Căn c vào hình v ta có các giá tr a cn tìm là : −6 < 0 , 0<a<1, 1<a < 12 . 3. KÌ THI CHN ðI TUYN TOÁN BC NINH D THI HSG QUC GIA LP 12 NĂM 2007 Câu 1: (4 ñim) 3x+ 2 = cos y + cos z  Gii h phương trình: 3y+ 2 = cos z + cos x .  3z+ 2 = cos x + cos y Câu 2: (4 ñim)  x = 3 { }  0 Cho dãy s xn tho mãn:  3 . Tìm lim xn . − = + n→+∞ xn+13 x n + 1 xn 2 Câu 3: (4 ñim) * Tìm tt c các hàm s f(x) liên tc trên R + và tho mãn: ð thi HSG môn Toán Trang 4
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá  f (1)= 5   2 2 4  f( x )− x f ( x ) = − 4x , ∀ x > 0 .  x 2 Câu 4: (4 ñim) Trên mt phng cho hình vuông ABCD cnh a và ñim M thay ñi. Tìm giá tr nh nht ca mi tng sau: 2 2 2 2 1) T2 = 2.MA + MB + MC + MD . 2) T1 = 2.MA + MB + MC + MD. Câu 5: (4 ñim) Cho tp hp A = {0,1,2, ,2006}. Mt tp con T ca A ñưc gi là tp con “ngoan ngoãn” nu vi bt kì x, y ∈ T (có th x = y) thì | x – y | ∈ T. 1) Tìm tp con “ngoan ngoãn” ln nht ca A và khác A. 2) Tìm tp con “ngoan ngoãn” bé nht ca A cha 2002 và 2005. 4. ð THI HC SINH GII KHI 12 (2006-2007) x x−1 Bài 1: (4ñ) Gii phương trình : ( 3)− 2 = 1.  3x+ 2 y ≤ 6 Bài 2: (4ñ) Tìm giá tr ln nht ca biu thc x2 + y 2 nu :  .  7x− 3 y ≤ 4  = 1  x1 Bài 3: (4ñ) Cho dãy x1 ,x 2 , ,x n , vi  2 . Hãy tìm phn nguyên ca A  =2 + = xn+ 1 x n x,(nn 1,2, ) 1 1 1 A = + + + bit + + + . x1 1 x2 1 x100 1  = 1  a 1  2 Bài 4: (4ñ) Cho dãy (a ) vi :  . Chng minh tng tt c các s hng ca dãy nh n − − 2  1 1 a n a + =  n 1 2 hơn 1,03. Bài 5: (4ñ) Cho t din ABCD trong tam giác BCD chn ñim M và k qua M các ñưng thng song song vi các cnh AB,AC,AD ct các mt (ACD), (ABD) và (ABC) ti A,B,C1 1 1 . Tìm v trí ca M ñ th tích hình t din MA1 B 1 C 1 ln nht. 5. THI HC SINH GII LNG SƠN 1− x 2 Câu 1: Gii BPT: ln(x4+ 2 x 3 + 2 x 2 − 2 x + 1)ln( − x3 + x 2 )ln ≤ . x Câu 2: Cho tam giác ABC ñu. Tìm tp hp các ñim M nm trong tam giác tho mãn h thc: MA2 = MB2 + MC 2 . ð thi HSG môn Toán Trang 5
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá 1 1 Câu 3: Cho 2 s thc dương x, y tho mãn: x + y =1. Tìm min ca biu thc: A= + . x2+ y 2 8xy  = x1 2 Câu 4: Cho dãy (x ) xác ñnh:  (n >0). Tìm lim x . n = + n xn+1 2 xn Câu 5: Cho tam giác ñu ABC cnh bng 1. Trên dt (d) vuông góc vi mf (ABC) ti A ly ñim M tuỳ ý. Gi H là trc tâm tam giác MBC. Khi M chy trên dt (d), tìm max V(HABC) Câu 6: Tìm các ña thc P(x) tho mãn: P(x+1)=P(x) +2x+1 + Câu 7: Vi mi s t nhiên n, gi P(n) là tp hp các s t nhiên k sao cho: 50n 0 Tính un vaø chöùng minh raèng u1 + u2 + + un ≥ 1 + [1 − ( )] . n Baøi 6: (2 ñieåm). 4 2 3 2 3 2 Cho ña thöùc f(x)=x + ax + bx + b coù ba nghieäm x1, x2, x3 vaø ña thöùc g(x) = x + bx + bx + a. Tính toång S = g(x1) + g(x2) + g(x3) theo a, b. ð thi HSG môn Toán Trang 6
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá HÖÔÙNG DAÃN CHAÁM VAØ BIEÅU ÑIEÅM MOÂN TOAÙN Baøi 1: (5 ñieåm). Caâu Ñaùp aùn Ñieåm a)(3 ñieåm) + Bieán ñoåi: x(x+m2) -m(x+m2) = -1. 0.5 + (x+m2)(x-m) = -1. 0.5 +  x + m 2 = 1 (a) 0.5  x− m = −1 x+ m2 = −1 hoaëc  (b) x− m =1 0.5 +Giaûi (a) m =1 hoaëc m =-2. 0.5 +Giaûi (b) voâ nghieäm. 0.5 +Vaäy m =1 hoaëc m =-2. Caâu Ñaùp aùn Ñieåm b)(2 ñieåm) + Bieán ñoåi: −x + + +x − ≤ log(2 2 1) 3 log(2 2 1) 1 2 (1) 0.5 −x + +x − ≥ ⇔ +Vì (log2 ( 2 1) 3)(log2 ( 2 1) 1) 0 −x + + +x − = + ≥ + log(2 2 1) 3 log(2 2 1) 1 2, ABAB 0.5 neân + (− log( 2 + 1)x + 3)(log( 2+ 1)x − 1) ≥ 0 ⇔ 2 2 0.5 ≤ +x ≤ 1 (log2 ( 2 1) 3 ≤ ≤ +Vaäy log2+ 1 2x 3log2+ 1 2 0.5 Baøi 2: (5 ñieåm). Caâu Ñaùp aùn Ñieåm ð thi HSG môn Toán Trang 7
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá a)(2 ñieåm) Bieán ñoåi 4sin25x+1-sin2x+4sin5xcosx=3sin2x 4sin25x+4sin5xcosx+cos2x=3sin2x (2sin5x+cosx)2=3sin2x 0.5 2sin5x+ cos x = ± 3sin x ⇔ 3 1 sin 5x = ±sin x −cos x ⇔ 2 2 0.5 π sin 5x= sin( x − ) 6 5π 0.5 sin 5x= sin( x − ) 6 Vaäy nghieäm π π hoaëc 7 π π hoaëc x= − + k x= + k 24 2 36 3 5π π x = − + k hoaëc 11π π 0.5 24 2 x= + k 36 3 Caâu Ñaùp aùn Ñieåm b)(3 ñieåm) + Bieán ñoåi = + + + S 2(sin x1 cos x 1 2 sin x2 . 2 cos x2 n sin xn . n cos xn ) 0.5 +Baát ñaúng thöùc Bunhiacopxki ,ta coù: S≤ 2 (sin2 x+ 2sin2 x + + n sin2 x )(cos2 x+ 2cos2 x + + n cos2 x ) 1 2 n 1 2 n S ≤2 a (1 − sin2 x + 2 − 2sin2 x + + n − n sin2 x ) 1 2 n 0.5 ≤ + + + −2 +2 + + 2 0.5 S2 a [(1 2 n ) (sin x1 2sin x2 n sin xn )] n( n + 1) S ≤ 2 a [ − a] 0.5 2 sin x 2 sin x nsin x +Daáu = xõy ra khi 1 = 2 = = n cos x1 2 cos x2 ncos xn = = = hay tanx1 tan x2 tan xn  2 +2 + + 2 sinx1 2sin x2 n sin xn  > sin 2xi 0 hay = = = = α x1 x 2 xn  n( n + 1)  sin 2 α = a  2 0.5 ≤ ≤ π 0 2xi ð thi HSG môn Toán Trang 8
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá  0.5 x= x = = x = α  1 2 n n( n + 1)  2a Vaäy Max S= 2a [− a ] khi sinα = 2  n( n + 1)  π 0 ≤α ≤  2 Baøi 3: (4 ñieåm). Caâu Ñaùp aùn Ñieåm a)(2 ñieåm) Aùp duïng baát ñaúng thöùc Bunhiacopxki ,ta coù 1 1 1 ( + + 4)(a2 ( b 2+ c 2 ) + b 2 ( c 2 + a 2 ) + c 2 ( a 2 + b 2 )) ≥ 0.5 a6()()() b 2+ c 2 b 6 c 2 + a 2 c 6 a 2x += b 2 . 3 1 1 1 ≥( )a b2 + c 2 + b c 2 + a 2 + c a2 + b 2 2 = 3 2+ 2 3 2 + 2 3 2 + 2 a b c b c a c a b 1 1 1 =() + + 2 a2 b 2 c 2 b2 c 2+ c 2 a 2 + a 2 b 2 = ()2 a2 b 2 c 2 0.5 =()b2 c 2 + c 2 a 2 + a 2 b 2 2 ⇒ 1 1 1 (b2 c 2+ c 2 a 2 + a 2 b 2) 2 0.5 ( + + ) ≥ = a6()() b 2+ c 2 b 6 c 2 + a 2 cab622()()()()+ abc 222+ + bca 222 + + cab 222 + 2 2 2 2 2 2 3 b c+ c a + a b3 a4 b 4 c 4 3 = ≥ = . 2 2 2 0.5 Caâu Ñaùp aùn Ñieåm b)(2 ñieåm) +Bieán ñoåi ,ta coù AB+ AB+ 0.5 (cotAB+ cot )2 = 4cot2 ( )⇔ cotAB + cot = 2cot( ) 2 2 +Bieán ñoåi veá traùi sin(AB+ ) 2sin(AB+ ) 2sin(AB+ ) cotAB+ cot = = ≥ sinABABABAB sin cos(− ) − cos( + ) 1 − cos( + ) 0.5 ()()ABAB+ + + 4sin cos 0.5 ()AB+ cot AB+ cot ≥ 2 2 = 2cot ()AB+ 2sin2 2 2 + Daáu = xaõy ra khi cos(A-B)=1 hay A=B 0.5 Vaäy tam giaùc ABC caân taïi C. ð thi HSG môn Toán Trang 9
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá Baøi 4: (2 ñieåm). Caâu Ñaùp aùn Ñieåm 2 ñieåm + Goïi S laø dieän tích tam giaùc ABC,ta coù = + + SSSS1 2 3 s MA' s AA' 1 = ⇒ = Ta coù s AA' s1 MA' 0.5 s− s AA''− MA MA 1 +Suy ra 1 = = = s MA''MA x s1 s 0.5 +Suy ra 1 = x ⇒ 1 = x⇒ s= x() s + s . − + 1 2 3 s s1 s2 s 3 +Töông töï =+ =+ =++=+++++ s2 ysss( 313 ), zssSsss ( 12 ); 123 xss()()() 23 yss 31 zss 12 Vaäy (y+z-1) s1+(x+z-1)s2 +(x+y-1)s3 =0 0.5 0.5 Baøi 5: (2 ñieåm). Caâu Ñieåm Ñaùp aùn 2 ñieåm +Ñaët π u =tanα > 0,0 < α < n 2 ta coù 1 − 2 1 0.5 1+ tanα − 1 cosα α u + = = = tan n 1 tanα sinα 2 cosα +Vì π 0 <α < ⇒ α< tan α 2 = + + + sn u1 u 2 un maø π π π π 0.5 u =1 = tan = tan⇒ u = tan , ,u = tan 1 4 2.22 2.22 n 2.2n + π π π s =tan + tan + + tan ≥ 0.5 n 2.2 2.22 2.2n π π π π ≥+ ++ =+1 ++=+ 1 − 1 n−1 12 n 1 (2 n )1 (1()) 0.5 + Suy ra2.2 ñpcm 2.2 22 2 4 2 Baøi 6: (2 ñieåm). Caâu Ñieåm Ñaùp aùn ð thi HSG môn Toán Trang 10
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá 2 ñieåm +Theo ñònh lyù Vi eùt,ta coù p1=x1+x2+x3=-a ; p2=x1x2+x2x3+x3x1=b, p3=x1x2x3=-b. 0.5 +Ta coù x2 + x2 + x2 = p2 −2 p = a2 − 2 b 1 2 3 1 2 3 +3 +3 =3 − + = −3 + − x1 x2 x3 p1 3 p1 p 2 3 p 3 a3 ab 3 b 0.5 + =3 +3 +3 +2 +2 +2 + + + + Sxxxbxxx( 1 2 3 )( 1 2 3 )( bxxx1 2 3 ) 3 a 0.5 + = −3 + − +2 − + − + S( a 3 ab 3 b ) b ( a 2 b ) b ( a ) 3 a 0.5 S=( a − b )( − a2 + 2 b + 3) Chuù yù : hoïc sinh coù theå ñöa ra phöông aùn giaûi quyeát vaán ñeà khaùc neáu keát quaû ñuùng, hôïp loâ gic khoa hoïc vaãn cho ñieåm toái ña cuûa phaàn ñoù. 7. KỲ THI HC SINH GII THÀNH PH HÀ NI 1995 Bài I. Xét ñưng cong: y= mx3 − nx 2 − mx + n (C). Tìm các cp s (m; n) sao cho trong các giao ñim ca (C) vi trc hoành có hai giao ñim cách nhau 1995 ñơn v và khong cách t tâm ñi xng ca (C) ñn trc hoành là 2000 ñơn v. Bài II π   3 2 2 Vi nhng giá tr nào ca m thì ∀ x ∈ 0;  ta luôn có: msinα+ 2 mc os α ≤ 3sin m α c os α . 2  Bài III 3 ai Cho hai dãy s ()a và ()b trong ñó vi mi i = 1, 2, 3 ta luôn có: a+ = a − và b= a . n n i1 i 4 i i () Chng minh rng: có ít nht mt giá tr ca ai sao cho dãy bn có gii hn khác 0. Bài IV x2 y 2 Cho hình Elíp + =1 vi tâm O và các tiêu ñim FF, . Qua O, F v các ñưng song song a2 b 2 1 2 1 OM.' OM MOM', MF1N'. Tính t s: . FNFN1.' 1 8. KỲ THI HC SINH GII THÀNH PH HÀ NI 1996 Bài I 2 3 Cho dãy (x ) xác ñnh bi ñiu kin: x1 = a ; x+ − x + x = ; ( n = 1; 2; 3 ). n n1 n n 4 Tìm giá tr ca a sao cho: x1996 = x1997. ð thi HSG môn Toán Trang 11
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá Bài II Hàm s f(x) ñưc xác ñnh bng h thc: f(1− x ) + 2 f ( x ) = sin2 x . 2 Chng minh rng: sinf(x) < . 2 Bài III Cho phương trình: cos 2x+() m + 3 cos 2α = 8sin3 α − 2cos2 x + 2 m sinα + m + 4. Hãy xác ñnh giá tr ca m sao cho vi mi giá tr ca α thì phương trình có nghim. Bài IV Trên mt phng to ñ vuông góc Oxy, cho các ñim A(-1; 0); B(2; 0); H(-2; 0); và M(-1; -0,6). K ñưng thng ()∆ vuông góc vi AB ti H và ñưng tròn (C) nhn AB làm ñưng kính. Tìm qu tích tâm I ca ñưng tròn tip xúc vi ()∆ và tip xúc trong vi (C) sao cho ñim M nm bên ngoài ñưng tròn (I). 9. KỲ THI HC SINH GII THÀNH PH HÀ NI 1997 e2x Câu 1 (5 ñim): Cho hàm s f() x = . e2 + e   1. Tìm giá tr nh nht và giá tr ln nht ca hàm s trên ñon ln 2;ln 5  . 1 2   3   1996   1997  2. Tính tng S= f( ) + f  + f   + +f   + f   . 1998 1998   1998   1998   1998  Câu 2 (5 ñim): Tìm a ñ phương trình sau có ñúng 3 nghim: 2−x − sin a + 1 −x2 −4 x 1 3 logπ ()x2 + 4 x + 6 + () 3 logπ = 0 . 2( x− sin a + 1 + 1) Câu 3 (5 ñim): π π Cho ≤x,,, x x x ≤ . Chng minh rng: 61 2 3 4 4 2   4() 3+1 ( ) 1 1 1 1 ≤ cotx1 +cotx 2 +cotx 3 +cotx 4  + + +  .  cotx1 cotx 2 cotx 3 cotx 4  3 Câu 4 (5 ñim): 3 17 Trong h to ñ trc chun xOy cho ñưng thng (d) có phương trình: y= x + . 4 12 1. Tìm ñim M(a; b) vi a , b∈ Z sao cho khong cách t M ti (d) nh nht và ñ dài ñon OM ngn nht. 2. Cho ñưng tròn (C) tâm M(-2; 0) tip xúc vi Oy. Tìm tp hp tâm các ñưng tròn tip xúc vi Ox và tip xúc ngoài vi ñưng tròn (C). ð thi HSG môn Toán Trang 12
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá 10. KỲ THI HC SINH GII THÀNH PH HÀ NI 1998 Câu 1 (5 ñim): 3 2 Cho h ñưng cong (Cm): y= x −3 x + mx + 4 − m ( m là tham s). ðưng thng (d): y=3-x ct mt ñưng cong bt kỳ (C) ca h (Cm) ti 3 ñim phân bit A, I, B (theo th t), tip tuyn ti A và tip tyun ti B ca (C) ln lưt ct ñưng cong ti ñim th hai là M và N. Tìm m ñ t giác AMBN là hình thoi. Câu 2 (5 ñim):  x− y = sinx e  siny  Gii h phương trình: 10 x6 + 1 = 3()y4 + 2 .  5π π 2, vi ∀a làm v trái có nghĩa. 1+c os4a 1 + c os8a 1 − c os12a Có th thay s 2 v phi bng mt s vô t ñ có mt bt ñng thc ñúng và mnh hơn không? Câu 4 (5 ñim): Cho 2 ñưng tròn thay ñi (C) và (C') luôn tip xúc vi mt ñưng thng ln lưt ti 2 ñim A và A' c ñnh. Tìm qu tích giao ñim M ca (C) và (C') bit rng chúng luôn ct nhau dưi mt gócα cho trưc (α là góc to bi hai tip tuyn ca hai ñưng tròn ti M ). 11. KỲ THI HC SINH GII THÀNH PH HÀ NI 1999 Câu 1 (5 ñim): x Cho hai hàm s f() x = và g ( x )= arctanx . 1+ x 1. Cmr: ñ th ca chúng tip xúc nhau. 2. Gii bt phương trình: f ( x )≥ g ( x ) + x . Câu 2 (5 ñim): 2+ 2 + 2 4(ma m b m c ) 2 ABC Cho tam giác ABC tho mãn: = 3 ()abc cot cot cot . 3( cotABC+ cot + cot ) 2 2 2 Cmr: tam giác ABC ñu. Câu 3 (5 ñim): Tìm tham s a sao cho phương trình sau có ít nht mt nghim nguyên  a2+4π 2 + 4  log   −( x −5 a + 10π − 34)( π −x − a +2 + π ) = 0 . 1  −2 − −π − + π  π  4x x 2() a 2 x 2 4 a  ð thi HSG môn Toán Trang 13
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá Câu 4 (5 ñim): Trong h to ñ trc chun Oxy cho ñưng tròn (C) có phương trình: x2+ y 2 = 4 . 1. Tìm tham s m ñ trên ñưng thng y = m có ñúng 4 ñim sao cho qua mi ñim có 2 ñưng thng to vi nhau góc 450 và chúng ñu tip xúc vi ñưng tròn (C). 2. Cho 2 ñim A(a;b), B(c;d) thuc ñưng tròn (C) chng minh: 4−a − b 3 + 4 − c − d 3 + 4 − ac − bd ≤ 3 6 . 12. KỲ THI HC SINH GII THÀNH PH HÀ NI 2001 Câu 1 (4 ñim): Cho hàm s y= x4 −2 m 2 x 2 + n . Tìm các giá tr ca tham s m và n ñ ñ th có 3 ñim cc tr là các ñnh ca mt tam giác ñu ngoi tip mt ñưng tròn có tâm là gc to ñ. Câu 2 (4 ñim): −1 a 2a3 + 1 Tìm tt c các giá tr ca a và b tho mãn ñiu kin a ≥ và >1 sao cho biu thc P = ñt 2 b b() a− b giá tr nh nht. Tìm giá tr nh nht ñó. Câu 3 (4 ñim): 2+ log x 6 Gii bt phương trình: 3 < . x−1 2 x − 1 Câu 4 (4 ñim): Tìm các giá tr ca x, ñ vi mi giá tr ca y luôn tn ti giá tr ca z tho mãn: 3 y − 1 π  2 sin()x+ y + z = y + c os 2x+  + . 2 3  2c osx Câu 5 (4 ñim): Cho Elíp (E) có 2 tiêu ñim là F1 và F2. Hai ñim M và N trên (E). Chng minh rng: 4 ñưng thng MF1, MF2, NF1, NF2 cùng tip xúc vi mt ñưng tròn. 13. KỲ THI HC SINH GII THÀNH PH HÀ NI 2003 Câu 1 (4 ñim): Gii và bin lun theo tham s a s nghim ca phương trình: + + + (n+ 2) xn 3 − 2003( n + 3) xn2 + a n 3 = 0 (vi n là s t nhiên l cho trưc). Câu 2 (4 ñim): ð thi HSG môn Toán Trang 14
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá Cho ñưng cong (C) có phương trình y= − x4 +4 x 2 − 3 .Tìm m và n ñ ñưng thng y= mx + n ct ñưng 1 cong (C) ti 4 ñim phân bit A, B , C, D ( theo th t ) sao cho AB= CD = BC . 2 Câu 3 (4 ñim): Cho tam giác ABC có trng tâm G. Gi R và R' ln lưt là bán kính ñưng tròn ngoi tip tam giác ABC và bán kính ñưng tròn ngoi tip tam giác có ñ dài 3 cnh là GA, GB, GC. Chng minh nu có 9R'= 2R(sinA+sinB+sinC) thì tam giác ABC ñu. Câu 4 (4 ñim): Gii các phương trình sau: 1./ 2cosx+sin19x-5 2= sin 21x − 3 2 sin10 x . 2./ 32x5− 40 x 3 + 10 x − 3 = 0 . Câu 5 (4 ñim): Trong mt phng to ñ Oxy cho Parabol (P): y2 = 2 px (p > 0), tiêu ñim là F. T mt ñim I k 2 ñưng thng tip xúc vi (P) ti M và N. 1. Cmr: ∆FIM ñng dng vi ∆FIN . 2. Mt ñưng thng (d) tuỳ ý tip xúc vi (P) ti T và ct IM, IN ti Q và Q'. FQ.FQ' Cmr: không ph thuc v trí ca (d). FT 14. KỲ THI HC SINH GII THÀNH PH HÀ NI 2004 Bài 1 (4 ñim): 4 m 2 Cho hàm s: f(x) = mx4 − x 5 +1 và g() x =x3 −2004 x − 12 có ñ th là (C) và (C’). Hy tìm tt c 5 3 cac giá tr ca tham s m ñ tn ti 4 ñưng thng khác nhau, cùng song song vi trc tung và mi ñưng trong chúng ñu ct (C) và (C’) ti hai ñim sao cho tip tuyn tương ng ca (C)và (C’) ti hai ñim ñó song song vi nhau. Bài 2 (4ñim): Cho bt phương trình: x2 x− x2 1. Bài 3 (4ñim): x x 2 2 ( )2− 3 9 − 4( ) Gii phương trình: 3cosx+ 2 sin x = 2π + 2 π . Bài 4 (4ñim): 3 3 Mt t giác có ñ dài ba cnh bng 1 và din tích bng . Hãy tính ñ dài cnh còn li và ñ ln các 4 góc ca t giác ñó. Bài 5 (4ñim): ð thi HSG môn Toán Trang 15
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá Cho t din ABCD DA = a, DB = b, DC = c ñôi mt vuông góc vi nhau. Mt ñim M tuỳ ý thuc khi t din. 1.Gi các góc to bi tia DM vi DA, DB, DC là α , β , γ . Cmr: sin2 α+ sin2 β + sin2 γ = 2 . 2.Gi SSSSABCD, , , ln lưt là din tích các mt ñi din vi ñnh A, B, C, D ca khi tư din. Tìm giá = + + + tr nh nht ca biu thc: Q MAS A MBSB MCSC MDS D . 15. KỲ THI HC SINH GII THÀNH PH HÀ NI 2006 Câu 1 (5 ñim): () =4 − 2 2 + + 4 Gi Cm là ñ th ca hàm s y x6 m x 4 mx 6 m ( m là tham s). () 1. Tìm các giá tr ca m ñ Cm có 3 ñim cc tr A, B, C. 2. Chng minh rng tam giác ABC có trng tâm c ñnh khi tham s m thay ñi. Câu 2 (3 ñim): Gii các phương trình sau: 1. 15x5+ 11 x 3 + 28 = 1 − 3x . 2. ()4x− 1 1 + x2 = 2 x 2 + 2 x + 1. Câu 3 (3 ñim): Tam giác ABC có ñ dài các cnh là a, b, c và bán kính R ca ñưng tròn ngoi tip tho mãn h thc: bc3= R 2() b + c − a  . Chng minh rng tam giác ñó là tam giác ñu. Câu 4 (4 ñim): Tìm các giá tr ca tham s a ñ h phương trình sau có nghim:  πy π y π y π ()x−2 y − 1 12c os− 5 − 12c os − 7 + 24c os+ 13 = 11 − sin  2 2 2 3  .  2 2 3 2x2 +() y − a  − 1 = 2 x2 +() y − a −    4 Câu 5 (5 ñim): Cho t din ñu ABCD có cnh bng 1. Các ñin M, N ln lưt chuyn ñng trên các ñon AB, AC sao cho mt phng (DMN) luôn vuông góc vi mt phng (ABC). ðt AM = x, AN = y. 1. Cmr: mt phng (DMN) luôn cha mt ñưng phng c ñnh và x + y = 3xy. 2. Xác ñnh v trí ca M, N ñ din tích toàn phn t din ADMN ñt giá tr nh nht và ln nht.Tính các giá tr ñó. 16. ð THI TH HSG VÒNG TNH LN 3 - THPT CAO LÃNH 2 NĂM 2008 Bài 1: (2.0 ñim) Vi a,b,c > 0 tha mãn ñiu kin abc =1. Chng minh rng: ð thi HSG môn Toán Trang 16
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá a 3 b3 c 3 3 + + ≥ . (1+b )(1 + c ) (1+c )(1 + a ) (1+a )(1 + b ) 4 2x+ () x-5logx-2x+ 6 = 0 Bài 2: (3.0 ñim) Gii phương trình: log 2 2 . Bài 3: (3.0 ñim) Tìm ña thc P (x) tha mãn ñiu kin:  P(3)= 6  . xP( x− 1) = ( x − 3) P ( x ), ∀ x ∈ R Bài 4: (2.0 ñim) Cho dãy s dương (xn) xác ñnh xác ñnh như sau: x = 1 0  . x = 45  1  x=45 x − 7 x (n ≥ 0)  n+2 n + 1 n 1) Xác nh s h ng t ng quát theo n ñ xn 2) Tính s ưc dương ca biu thc x2 − x .x . n+1 n n+2 Bài 5: (3.0 ñim) Cho t giác ABCD ni tip trong ñưng tròn tâm O. Các ñưng thng AB,CD, ct nhau E, AD, BC ct nhau F, AC, BD ct nhau M. Các ñưng tròn ngoi tip ca các tam giác CBE, CDF ct nhau N. Chng minh rng O,M, N thng hàng. Bài 6 : (2.0 ñim) Tìm nghim nguyên ca phương trình x3 + (x + 1)3 + + (x + 7)3 = y3 (1). Bài 7: (2.0 ñim) Chng minh rng, Trong mi tam giác ta luôn có: sinA sinB sinC + + cosx , ∀ x ∈ (0; ). x 2 Bài 2. ( 6.0 ñim ) 1. Cho hai s thc x , y tho mãn: x≥0; y ≥ 1; x + y = 3 . Tìm giá tr ln nht và nh nht ca biu thc: P = x3+2 y 2 + 3 x 2 + 4 xy − 5 x .  x− y = sinx  e  siny  2. Gii h phương trình 3 8x2 + 3 + 1 = 6 2y2 − 2 y + 1 + 8 y .  π  x, y ∈ (0; )  4 ð thi HSG môn Toán Trang 17
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá Bài 3. ( 2,5 ñim ) 1 − + = Chng minh rng: vi mi s nguyên dương n luôn tn ti duy nht s thc xn sao cho x xn n 0. 2008 n − Xét dãy s ( xn )tìm gii hn : lim(xn+1 x n ). Bài 4. ( 5,5 ñim ) 3 a) Trong mt phng to ñ Oxy cho tam giác ABC có din tích bng . Bit A(2;-3) , B(3,-2) và trng 2 tâm G thuc ñưng thng d có phương trình : 3x – y – 8 = 0. Tính bán kính ñưng tròn ni tip △ABC. b) Trong mt phng có ñưng tròn tâm O , bán kính R và ñưng thng d tip xúc vi ñưng tròn (O,R) ti ñim A c ñnh . T ñim M nm trên mt phng và ngoài ñưng tròn (O,R) k tip tuyn MT ti ñưng tròn (O, R) (T là tip ñim). Gi H là hình chiu vuông góc ca M lên d. Chng minh rng ñưng tròn tâm M có bán kính MT luôn tip xúc vi mt ñưng tròn c ñnh khi M di ñng trên mt phng sao cho: MT = MH. 18. KỲ THI CHN HC SINH GII LP 12 THPT 2007 QUNG NAM x − 4 Câu 1 (3 ñim): Gii bt phương trình sau : ()x −1 +2 ≥ 0 . x − 1 Câu 2 (3 ñim): Gii h phương trình sau : x2 y 2 −2 x + y2 = 0  . 2x3+ 3 x 2 + 6 y − 12 x + 13 = 0 Câu 3 (3 ñim): Tìm tt c các hàm s f tha mãn : x−3   x + 3  f + f   = x, ∀ x ∈ R , x ≠ 1. x+1   1 − x  Câu 4 (3 ñim): Tìm tt c các nghim nguyên ca phương trình: x2 – 4xy + 6y2 – 2x – 20y = 29. Câu 5 (3 ñim): Tìm s hng tng quát un ca dãy s (un) tha mãn ñiu kin sau: u= a,,, u = b a ∈ R+ b ∈ R +  1 2  1 .  =()23 ∀ ∈ * un+2 u n., u n+ 1 n N Câu 6 (3 ñim): Cho ∆ABC. Trên hai cnh AB và AC ln lưt ly ñim D và E sao cho DE song song vi 1 cnh BC và tip xúc vi ñưng tròn ni tip ∆ABC. Chng minh rng: DE ≤ ( AB + BC + CA). 8 Câu 7 (2 ñim): ðt x = a + b – c , y = a + c – b , z = b + c – a, vi a, b, c là các s nguyên t. Cho bit x2 = y và hiu z− y là bình phương ca mt s nguyên t. Xác ñnh tt c giá tr ca a, b, c. ð thi HSG môn Toán Trang 18
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá 19. ð THI CHN HC SINH GII BC PTTH THA THIÊN HU NĂM HC 1999-2000. Bài 1: ( 2.5 ñim) Cho phương trình: 5x 2 − 34x + a −4 (x − 1)(x − 33) = 1. a/ Gii phương trình khi a = 64. b/ Tìm a ñ phương trình có nghim. Bài 2:(2.5 ñim) Cho hai s a1, b1 vi 0 0 và công sai d > 0. Vi mi s n nguyên dương, trên các tia Ox, Oy, Oz theo th t ly các ñim An, Bn, Cn sao cho OA = an.OAn ; OB = an+1.OBn ; OB = an+2.OCn. Chng minh các mt phng (An, Bn, Cn ) luôn luôn ñi qua mt ñưng thng c ñnh. Bài 4:(2.5 ñim) Tp hp M gm hu hn ñim trên mt phng sao cho vi mi ñim X thuc M tn ti ñúng 4 ñim thuc M có khong cách ñn X bng 1. Hi tp hp Mcó th cha ít nht là bao nhiêu phn t? HƯNG DN CHM Bài 1: (2.5 ñim) Câu a: ( 2 ñim) +(0.25 ñ) ðt u = 5 x2 − 34x + a v = 4 (x− 1)(x − 33) u5 − (u − 1)4 = a − 33 +(0.25 ñ) Ta có h  (I). v= u − 1 ≥ 0 +(1.00 ñ) Hàm s f(u) = u5 – (u – 1)4 có f’(u) = 5u4 – 4(u – 1)3 > 0 ∀u∈ [1; + ∞), nên f(u) tăng trên [1; + ∞). +(0.50 ñ) a = 64, f(u) = 31 = f(2) và f(u) tăng nên h (I) ch có mt nghim: (u = 2,v = 1) t ñó ta có nghim ca phương trình là: x = 17 ± 257 . Câu b: ( 0.5 ñim) + f(u) tăng trên [1; + ∞) mà f(1) = 1 nên phương trình có nghim khi a – 33 ≥ 1 hay a ≥ 34. Bài 2: (2.5 ñim) π +(0.50 ñ) Tính a2, b2 vi 0 < b1 = a < 1 ta có th chn 0 < a < sao cho: b1 = cosa, 1 2 2 suy ra a1 = cos a. 1 1 a a= (cosa2 + cosa) = cosa(cosa+ 1) = cosa.cos2 2 2 2 2 a a b= cos acos2 cosa= cosacos 2 2 2 +(0.75 ñ) Bng quy np, chng minh ñưc: ð thi HSG môn Toán Trang 19
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá a a a a a a= cosacos cos cos (1) b= cosacos cos (2) n 2 2n− 1 2 n− 1 n 2 2n− 1 a +(0.75 ñ) Nhân hai v ca (1) và (2) cho sin và áp dng công thc sin2a ñưc: 2n− 1 a sin 2a.cos n− 1 sin 2a a= 2 , b = . n a n a 2n .sin 2 n .sin 2n− 1 2n− 1 +(0.50 ñ) Tính gii hn: = sin 2a = sin 2a liman , limbn n→∞ 2a n→∞ 2a Bài 3: (2.5 ñim) +(0.50 ñ) Phát biu và chng minh mnh ñ: Nu hai ñim X,Y phân bit. ðiu kin cn và ñ ñ ñim S thuc ñưng thng XY là tn ti cp s thc x, y tha: OS= xOX + yOY  , vi ñim O tùy ý. x+ y = 1 an+ 1 a n +(0.25 ñ) T gi thit: (an) là cp s cng công sai d > 0 nên: an+1 = an + d − =1. d d +(0.75 ñ) áp dng nhn xét trên, ta có: a a =n+ 1 − n ∈ OI OBn OAn thì I AnBn. d d và OA= a OA ; OB= a OB ( do a ,a> 0) n n n + 1 n n n+ 1 OB OA 1 Th vào trên ta ñưc: OI = − =AB , ∀ n=1,2 suy ra I c ñnh, nên ñưng thng AnBn luôn d d d ñi qua mt ñim c ñnh I. +(0.50 ñ) Tương t, chng minh ñưc: 1 • BnBn luôn ñi qua mt ñim c ñnh J xác ñnh bi: OJ= BC . d 1 • AnCn luôn ñi qua mt ñim c ñnh K xác ñnh bi: OK= AC 2d Vy các ñưng thng AnBn, BnCn, AnCn ln lưt ñi qua ba ñim I, J, K c ñnh. +(0.50 ñ) Chng minh ba ñim thng hàng: 1 1 1 Ta có: OI= AB , OJ= BC , OK= AC . d d 2d 1 1 1 1 Do ñó: OK= AC = (AB + BC) = (d.OI + d.OJ) = (OI + OJ) 2d 2d 2d 2 Vy I, J, K thng hàng. ðiu này chng t mt phng AnBnCn luôn ñi qua mt ñưng thng c ñnh. Bài 4: (2.5 ñim) +(0.50 ñ) Rõ ràng có ít nht hai ñim P,Q thuc M sao cho PQ ≠ 1. Ký hiu : MP = {X ∈ M / PX = 1}. T gi thit |MP| = 4 ta có: |Mp ∩ Mq| ≤ 2. Nu tn ti P, Q sao cho |Mp ∩ Mq| ≤ 1 thì M cha ít nht 9 ñim. +(1.50 ñ) Trưng hp vi mi P,Q sao cho PQ ≠ 1 và |Mp ∩ Mq| = 2. ð thi HSG môn Toán Trang 20
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá Khi ñó Mp ∩ Mq = {R,S}, lúc ñó MP = {R,S,T,U} và Mq = {R,S,V,W} và gi s M = {P,Q,R,S,T,U,V,W} ta có TQ ≠ 1, UQ ≠ 1, VP ≠ 1, WP ≠ 1. • Nu TR,TS,UR,US khác 1: suy ra Mt ∩ Mq = Mu ∩ Mq = {V,W} suy ra T hay U trùng vi Q, vô lý. • Nu TR,TS,UR,US có mt s bng 1: Không gim ñi tính tng quát, gi s TV = 1 lúc ñó TS ≠ 1 và TV = 1 hay TW = 1. Gi s TV = 1 lúc ñó TW≠ 1 suy ra TU = 1, và Mt = {P,R,U,V} và Mu = {P,T,V,W} lúc ñó UTV, RPT,UTV là các tam giác ñu cnh 1, ta có hình 1. ðiu này mâu thun vì VR>2. +(0.50 ñ) Vy M cha ít nht là 9 ñim. Du bng xy ra vi hình2. Vy M có th cha ít nht là 9 ñim. A5 V T R A9 A6 U P A1 A2 A3 A7 A8 A4 20. ð THI CHN HC SINH GII BC PTTH THA THIÊN HU NĂM HC 1998 -1999. Bài 1 (5 ñim) Cho phương trình: cos3x + asinx.cosx + sin3x = 0. a/ Gii phương trình khi a = 2 . b/ Vi giá tr nào ca a thì phương trình có nghim. Bài 2 (5 ñim) Gi s phương trình x3 + x2 + ax + b = 0 có 3 nghim phân bit. Hãy xét du ca biu thc: a2 – 3b. Bài 3 (5 ñim) Tìm các ñưng tim cn ca ñ th hàm s: 1 y = (1 + ax ) x , (a > 0). Bài 4 (5 ñim) Cho hình chóp S.ABCD, ñáy ABCD là hình ch nht có AB = a, BC = b, SA = SB = SC = SD = c. K là hình chiu vuông góc ca P xung AC. a/ Tính ñ dài ñon vuông góc chung ca SA và BK. b/ Gi M, N ln lưt là trung ñim ca ñon thng AK và CD. Chng minh: Các ñưng thng BM và MN vuông góc nhau. ð thi HSG môn Toán Trang 21
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá HƯNG DN CHM Bài 1: ( 5ñim) cos3x + asinx.cosx + sin3x = 0. π (0.5 ñ) + ðt t = sinx + cosx = 2cos(x− ), |t| ≤ 2. 4 cos3x + sin3x = (cosx + sinx)(sin2x + cos2x – sinxcosx) = (cosx + sinx)(1 – sinxcosx) t2 − 1 t vì t2 = 1 + 2sinxcosx nên sinxcosx = và cos3x + sin3x = (3− t2 ) . 2 2 (0.5 ñ) + Phương trình (1) tr thành: t t2 − 1 (3− t2 ) + a. = 0 ⇔ t3 – at2 – 3t + a = 0 (2). 2 2 Câu a / (1 ñ) + Vi a = 2 : (2) tr thành: t3 – 2 t2 – 3t + 2 = 0 ⇔ (t + 2 )(t2 - 2 2 t + 1) = 0 ⇔ (t + 2 )(t - 2 + 1)(t - 2 - 1) = 0 ⇔ t = - 2 hay t = 2 - 1 hay t = 2 + 1. (1 ñ) + so li ñiu kin: | t | ≤ 2 nên phương trình (1) tương ñương vi: π π  π  − = − =5 + π 2 cos(x− ) = − 2 cos(x ) 1 x k2  4 4 4  ⇔  ⇔  ,k∈ Z . π π − π −  − = −  2 1  2 1 2 cos(x ) 2 1 cos(x− ) = x= ± ar cos+ k2 π  4  4 2  4 2 Câu b / (0.25ñ) + Phương trình (1) có nghim khi và ch khi f(t) = t3 – at2 – 3t + a = 0 có nghim t ∈[- 2 ; 2 ] (1.25ñ) + f(t) liên tc trên R f(- 2 ) = 2 - a ; f( 2 ) = - 2 - a; f(0) = a. • a = 0: f(t) có nghim t = 0 ∈ [- 2 ; 2 ] • a 0: f(0).f( 2 ) = a(- 2 - a) 0 (0.25 ) + Suy ra: (x , x là hai nghi m c a ph ng trình 3x2 + 2x + a = 0). ñ  < 1 2 ươ f (x1 ).f (x 2 ) 0 (1 ñ) + Thc hin phép chia ña thc ta ñưc: 3 2 1 1  1 f(x) = x + x + ax + b = x+  y' +[ (6a − 2)x + 9b − a]. 3 9  9 1 1 Suy ra f(x1) = [(6a− 2)x + 9b − a] ; f(x2) = [(6a− 2)x + 9b − a] 9 1 9 2 2 2 (0.5 ñ) + f(x1).f(x2) < 0 ⇒ (6a-2) x1x2 + (6a-2)(9b-a)(x1 + x2) + (9b-a) < 0. ð thi HSG môn Toán Trang 22
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá 2 (1 ñ) + Vì x1, x2 là 2 nghim ca phương trình: 3x + 2x + a = 0 2 a nên x1 + x2 = − ; x1.x2 = . 3 3 a 2 Do ñó: (6a− 2)2 − (6a − 2)(9b − a) + (9b − a)2 0. Bài 3: ( 5ñim) (1 +â Tçm) tiãûm cáûn âæïng: Táûp xaïc âënh: R\{0}. 1 x 0+ thç → +∞ vaì ax 1. x 1 x x Do âoï : lim (1 + a ) nãn x = 0 laì âæåìng tiãûm cáûn âæïng. x 0 a/+ Xeït træåìng håüp: 0 0 ) nãn: 1 ≤ lim (1 + ax ) x ≤lim 2x = 1 x x→ + ∞ x→+∞ 1 Do âoï: lim(1+ ax )x = 1 nãn y = 1 laì âæåìng tiãûm cáûn ngang nhaïnh phaíi. x→ 0+ (1 â) 1 x + ∀x∈ (- ∞ ; 0): 0  1 +    ≥ 2 ( vç 1. (1 â +) ∀x∈ (- ∞; 0) : 0 (1 + ax ) x > 2x ( vç 0 ) nãn 1 ≤ lim1 +    ≤ lim 2 = 1 a   x x→+∞ a   x→+∞ 1 1 x x 1   x 1 1   x   x x   Do âoï: lim 1 +    =1 nãn lim (1+ a ) = lim a  1 +    = a x→+∞ a   x→+∞ x→+∞ a   ð thi HSG môn Toán Trang 23
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá Váûy y = a laì âæåìng tiãûm ngang nhaïnh phaíi. _S Bài 4: ( 5ñim) _D _N _C _K _M _O _A _B Câu a / (2.5 ñim) (0.25+ Theo gi thit ta ñưc: SO ⊥ (ABCD) ⇒ (SAC) ⊥ (ABCD). â) Mà BK ⊂ (SAC) và BK ⊥ AC ⇒ BK ⊥ SA. (0.5+ Gi H là hình chiu ca K xung SA â) ⇒ HK ⊥ SA và HK ⊥ BK ( vì HK ⊂ (SAC)) ⇒ HK là ñon vuông góc chung ca SA và BK. Suy ra ñưc: BH ⊥ SA và ∆HBK vuông ti K. 2 2 (0.5 1 1 1 2 a b + Do ∆ABC vuông ñnh A nên: = + ⇒ BK = . â) BK2 AB 2 BC 2 a2+ b 2 a 2 c2 − .a (0.5 SI.AB 4 + ∆SAB cân ñnh S, BH là ñưng cao nên HB = = â) SA c (0.5 + Do ∆HBK vuông ti K nên: â) (4c2− a 2 )a 2 a 2 b 2 HK2= HB 2 − BK 2 = − 4c2 a2+ b 2 (4c2− a 2 − b 2 )a 4 a2 (4c 2− a 2 − b 2 ) HK2 = ⇒ HK = 4c2 (a 2+ b 2 ) 2c (a2 + b 2 ) Câu b (2.5 ñ im) (0.5+ 2BM= BA + BK ( vì M là trung ñim ca AK) (0.5â) 1 1 + MN= MB + BC + CN = (AB + KB) + BC + BA â) 2 2 (1.75 1 + MN= KB + BC . â) 2 + Do ñó: ð thi HSG môn Toán Trang 24
www.VNMATH.com Nguy n V n Xá ă 4BM.MN= (BA + BK).(KB + 2BC) = BA.KB+ 2BA.BC + BK.KB + 2BK.BC = BA.KB+ BK.KB + 2BK.BC = KB.(BA+ BK − 2.BC) = KB.(BA− BC + BK − BC) = KB.(CA+ CK) = KB.CA + KB.CK = 0 Vy: BM ⊥ MN. ( Có th tính và áp dng ñnh lý Pythagor).bv 21. ð THI CHN HC SINH GII TOÁN 12 Câu 1 : (2,5 ñim) Cho hàm s f : [0;1]→ [0;1] liên tc trên ñon [0;1], có ño hàm trong khong (0;1) và f(0) = 0 và f(1) = 1. a) Chng minh rng tn ti s c thuc khong (0;1) sao cho : f(c) = 1-c. b) Chng minh rng tn ti hi s a, b phân bit thuc khong (0;1) sao cho : f '(a).f '(b) = 1. Câu 2 : (2,5 ñim) : Cho cp s thc (x;y) tho mãn ñiu kin : x - 2y + 4 = 0. Tìm giá tr nh nht ca biu thc P = x2+ y 2 −6 x − 12 y + 45 + x2 + y 2 −10 x − 16 y + 89 . Câu 3 : (3ñim) Cho tam giác ABC .Tìm tp hp các ñim M trong mt phng sao cho : 3 a) MA+ MB + MC =MB + MC . 2 b) 2MA+ MB =4 MB − MC . Câu 4 : (2 ñim) π a) Chng minh rng tan= 2 − 1. 8 u = 2  1 b) Cho dãy s (un) xác ñnh bi :  u +2 − 1 . Tính u2006 . = n = un+1 (n 1,2,3, ) + −  1 (1 2)un ðÁP ÁN + BIU ðIM CHM TOÁN 12 (HC SINH GII) Câu 1 : (2,5 ñim) a) * ðt g(x) = f(x) + x -1 vi x thuc ñon [0;1] thì g(x) cũng liên tc trên ñon [0;1] (0,5ñ) * g(0) = -1 0. Suy ra tn ti c thuc khong (0;1) sao cho g(c)= 0 ⇔ f(c) +c -1 = 0 hay f(c) = 1-c (0,5ñ) b) áp dng ñnh lí Lagrăng cho f(x) trên ñon [0;c] và ñon [c;1] ta có : f( c )− f (0) f() c ∃a thuc(0;c) sao cho : f '(a) = = (0,5ñ) c − 0 c f(1)− f ( c ) 1− f ( c ) ∃b thuc (c;1) sao cho : f '(b) = = (0,5ñ) 1− c 1− c f() c 1− f ( c ) 1− c c * Rõ ràng a khác b và tích f '(a).f '(b) = . = . = 1 (0,5ñ) c 1− c c 1− c ð thi HSG môn Toán Trang 25
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá Câu 2: (2,5ñim) * Bin ñi P = (x− 3)2 + ( y − 6)2 + (x − 5)2 + ( y − 8) 2 Trong mt phng vi h to ñ Oxy, gi ∆ là ñưng thng có phương trình x-2y+4=0 Và các ñim M(x;y), A(2;3), B(5;8) thì P = MA + MB (0,5ñ) *Bài toán tr thành tìm to ñ ñim M thuc ∆ sao cho tng MA+MB ñt giá tr nh nht, rõ ràng A,B nm v 1 phía ca ∆, Tìm ñưc to ñ ñim A', ñi xng ca A qua ∆, ñó là A'(5;2) (0,5ñ) *Vi M thuc ∆ ta có : MA+MB=MA' +MB≥ A'B (không ñi) ðng thc xy ra khi và ch khi A',M,B thng hàng hay M chính là giao ñim ca ∆ vi ñưng thng A'B (0,5ñ) * Tìm ñưc phương trình ca ñưng thng A'B là : x-5 = 0 (0,25ñ) * Gii h phương trình x-5=0 và x-2y+4 = 0 cho x=5 và y = 9/2 (0,25ñ) * Kt lun Min P = 6 khi x=5 và y=9/2 (0,25ñ) B 8 A 6 M 4 2 Á' -5 O 3 5 -2 hình v0,25ñ Câu 3 : (3ñim) a) Gi G là trng tâm tam giác ABC, I là trung ñim ca ñon thng BC, ta có G và I c ñnh (0,25ñ) 3 * M thuc qu tích ⇔ MA+ MB + MC =MB + MC 2 3 ⇔ 3MG = 2MI ⇔ MG = MI (0,5ñ) 2 *Vy qu tích các ñim M là ñưng trung trc ca ñon thng GI (0,25ñ) b) *Gi P là ñim sao cho 2PA+ PB = 0 (tc là P chia ñon AB theo t s k= -0,5 (0,5ñ) * Gi Q là ñim sao cho 4QB− QC = 0 (tc là Q chia ñon BC theo t s k= 0,25) (0,5ñ) * M thuc qu tích ⇔2MA + MB =4 MB − MC ⇔2(MP + PA ) + ( MP + PB ) =4(MQ + QB ) − ( MQ + QC ) ⇔ 3MP + 2 PA + PB =3 MQ + 4 QB − QC (0,5ñ) ð thi HSG môn Toán Trang 26
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá ⇔3MP = 3 MQ ⇔ MP = MQ .Vy qu tích các ñim M là trung trc ca ñon PQ (0,5ñ) Câu 4 : (2ñim) : − 2 π 1 π π a) tan2 =2 =( 2 − 1)2 , vì tan> 0 nên ta có tan= 2 − 1 (0,5ñ) 8 2 8 8 1+ 2 + − un 2 1 b)Ta có : u + = . ðt u1 = tana . n 1 − − 1 ( 2 1)un π π π u + tan tan(a + ) + tan 1 π u +2 − 1 π Ta có : u=8 =tan( a + ) , u =2 =8 8 = tan(a + 2. ) (0,5ñ) 2 π 8 3 − − π π 8 1− u .tan 1 ( 2 1)u2 1− tan(a + ).tan 1 8 8 8 * Bng qui np , ta chng minh ñưc : π u=tan[ a + ( n − 1) ] , vi mi n nguyên dương (0.5ñ) n 8 π 5π 5 π π 1 * Vi n = 2006, ta có : u=tan( a + 2005. ) = tan(25π + ) = tan = − cot = 2006 8 8 8 8 1− 2 (0.5ñ) *GHI CHÚ : Mi cách gii khác, nu ñúng cho ñim ti ña. 22. THI HSG LP 11 NĂM 2002 Câu 1 (5 ñim) 1) Chng minh vi mi x ta có sinx+1 − sinx ≥ 1. 2) Gii phương trình sinx+1 − sinx = 2 cxc os − os2 x . Câu 2 (5 ñim)  b2+ c 2 ≤ a 2 Tính các góc ca △ABC nu tam giác ñó tha mãn  . sinA+ sinB + sinC =1 + 2 Câu 3 (7 ñim) Trong mt phng (P) cho ñưng tròn (O) bán kính R và ñim A c ñnh trên ñưng tròn (O). T giác ABCD bin thiên, ni tip trong (O) sao cho 2 ñưng chéo luôn vuông góc vi nhau. Trên ñưng thng (d) vuông góc vi (P) ti A ta ly ñim S. Ni S vi A, B, C, D. 1./ Chng minh BD⊥SC. 2./ Nêu cách xác ñnh ñim I cách ñu 5 ñim A, B, C, D, S. 3./ T giác ABCD là hình gì ñ din tích ca nó ln nht. Tìm giá tr ln nht ñó theo R. Câu 4 (3 ñim) Cho các s thc a, b, c, d tha mãn (133a+ 29 b + 7 c + 2 d − 7)(91 a + 25 b + 7 c + 2 d − 7) < 0. Chng minh rng tn ti 2 s thc u, v sao cho u+ v = 7 và a( u3+ v 3 ) + b ( u 2 + v 2 ) + c ( u + v ) + 2 d = 7. ð thi HSG môn Toán Trang 27
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá 23. THI HSG LP 11 NĂM 2004 Câu 1 (6 ñim) Cho phương trình (m+ 3) sinx3 + (1)os m − c3 x + cosx − ( m + 2) sinx = 0. 1./ Gii PT khi m = 5. π 2./ Tìm m t PT có úng m t nghi m trên π ; 5  . ñ ñ 4  Câu 2 (4 ñim) Trên mt phng cho t giác li ABCD có AB = BC = CD = a. a) Nu ∠ABC = ∠ BCD = 120o thì din tích t giác ABCD bng bao nhiêu (tính theo a) ? b) Gi s t giác ABCD thay ñi mà AB = BC = CD = a không ñi. Tìm giá tr ln nht ca din tích t giác ABCD. Câu 3 (7 ñim) Cho hình chóp tam giác ñu S.ABC có cnh ñáy là a. 1. Ta coi hình ñã cho là t din SABC có trng tâm O. Gi α là góc gia (SAB) và (ABC). Hãy tính cosα ñ O cách ñu tt c các mt ca SABC. 2. Bit ∠ASB = 30o . Xét mt phng (P) thay ñi ñi qua Avà ct SB ti B’, ct SC tai C’. Tìm giá tr nh nht ca chu vi △AB’C’ theo a. Câu 4 (3 ñim) 3− 2 + = Chng minh PT x3 x 1 0 có ba nghim phân bit x1, x 2 , x 3 . Gi s x1 (2x1 )(2 x 2 )(2 x 3 ) 27 24. THI HSG LP 12 NAM ðNH NĂM HC 2004 - 2005 Câu 1 (6 ñim) Cho hàm s f() x= − 2 mx − x2 + 2 x + 2 m , ( m là tham sô') . 3 a. Khi m = − , hãy tìm các khong ñng bin, nghch bin ca hàm s. 2 b. Xác ñnh m ñ hàm s ñng bin trên ℝ. Câu 2 (4 ñim) 1 x2 +1 Tính tích phân I = dx . ∫ 4+ 2 +x + −1 (x x 1)( e 1) Câu 3 (7 ñim) Trên mt phng Oxy cho (P) y= x2 và (C) x2+ y 2 −2 x − 6 y + 1 = 0. 1) Chng minh (P) và (C) có ñúng 4 giao ñim phân bit. 2) Lp phương trình ñưng tròn ñi qua M(2 ; -1) và tip xúc vi (C) ti A(1 ; 6) ∈(C). 3) Gi s ñưng thng (d) thay ñi ñi qua ñim A sao cho (d) ct (P) tai hai ñim phân bit T1 , T 2 . Gi ( d1 ), ( d2 ) theo th t là tip tuyn ca (P) ti T1 , T 2 . Bit rng ( d1 ) ct ( d2 ) N. Chng minh N nm trên mt ñưng thng c ñnh. ð thi HSG môn Toán Trang 28
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá Câu 4 (3 ñim) π Chng minh 3 cosxsinx. (+ 1) −3 cosx ( + 1). sinx > 3 cosxcosx. (+ 1), ∀ x ∈ (0; − 1). 2 (?) 25. THI NGÀY 18/04/2009 △ Bài 1: Cho ABC nhn ni tip ñưng tròn tâm O, gi ABC1,, 1 1 ln lưt là chân ñưng vuông góc h t A, B, C xung các cnh di din, ABC2,, 2 2 ln lưt là ñim ñi xng ca ABC1,, 1 1 qua trung ñim các cnh BC, CA, AB. Các ñưng tròn ngoi tip các tam giác AB2 C 2,, BC 2 A 2 CA 2 B 2 ct (O) ti các ñim th hai là ABC3,, 3 3 . Chng minh AABBCC1 3,, 1 3 1 3 ñng quy. Bài 2: Cho ña thc P() x= rx3 + qx 2 + px +1, ( r > 0) ch có mt nghim thc và nghim ñó không phi là  a=1; a = − p ; a = p2 − q ; nghim bi. Dãy s ()a xác ñnh như sau  0 1 2 . Chng minh rng dãy s n = − − − ∈ an+3 pan+ 2 qa n + 1 ra n , n N này cha vô s s hng âm. Bài 3: Cho a, b là các s nguyên dương không chính phương, ab cũng không chính phương. Chng minh rng ít nht mt trong hai phương trình ax2− by 2 =1; ax2 − by 2 = −1 không có nghim nguyên dương. 26. THI NGÀY 19/04/2009 Bài 1: Tìm các giá tr ca r ñ BDT sau ñúng vi mi a,b,c dương: a b c 1 (r+ )( r + )( r + ) ≥ ( r + )3 . b+ c c + a a + b 2 Bài 2: Cho ñưng tròn (O) ñưng kính AB, M là ñim tùy ý trong (O).ðưng phân giác t M ca △AMB ct (O) ti N. Phân giác ngoài góc ∠AMNB ct NA, NB ti P, Q. PQ ct ñưng tròn ñưng kính NQ ti ñim th hai R. BM ct ñưng tròn ñưng kính NP ti ñim th hai S. Chng minh ñưng trung tuyn k t N ca △NSR ñi qua ñim c ñnh. ð thi HSG môn Toán Trang 29
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá Bài 3: Có 6n + 4 nhà toán hc tham d 1 hi ngh, trong ñó có 2n + 1 bui tho lun. Mi bui tho lun ñu có 1 bàn tròn cho 4 ngưi ngi và n bàn tròn cho 6 ngưi ngi. Bit rng 2 ngưi bt kỳ không ngi cnh nhau hoc ñi din nhau quá 1 ln. a. Hi có th thc hin ñưc không vi n = 1? b. Hi có th thc hin ñưc không vi n > 1? Bài 4: Cho hàm s f(x) liên tc trên [0; 1] và tha ñiu kin f(0) = f(1). Chng minh rng ∀α ∈(0;1) , ít nht mt trong 2 mnh ñ sau ñây là ñúng: 1. ∃x ∈[0;1 −α] :f ( x + α ) = f ( x ). 2. ∃x ∈[0;α] : f ( x + 1 − α ) = f ( x ). 27. THI HSG BC NINH LP 12 NĂM HC 2007 – 2008 Câu 1: 2a+ x 1 Tìm a ñ tp xác ñnh ca hàm s f() x = cha tp giá tr ca hàm s g() x = . 2a− x x2 +2 x + 4 a − 2 Câu 2: x4+ x 2 y 2 − x 3 y =1 Gii h PT  .  x2 y− x 2 + xy = −1 Câu 3: Cho x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ 3. Tìm giá tr ln nht ca biu thc yz x−1 + zx y − 2 + xy z − 3 f(,,) x y z = . xyz Câu 4: S 3 Gi V, S ln lưt là th tích và din tích toàn phn ca khi t din ABCD. Chng minh > 288. V 2 Câu 5: Gii PT nghim nguyên x2 y 2− x 2 −8 y 2 = 2 xy . Câu 6: Tìm hàm s kh vi f : (-1 ; 1) → ℝ tha mãn x+ y f() x+ f () y = f ( ), ∀ x , y ∈ (1; − 1). 1+ xy 28. THI HSG LP 10 HÀ NI VÒNG 1 (1991 – 1992) Bài 1 (5 ñim) 1991− sinx 1992 1991 Chng minh + ≥1 , ∀x ∈ℝ. 1992 1992− sinx 1992 ð thi HSG môn Toán Trang 30
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá Bài 2 (5 ñim) Cho t giác ABCD v i M, N theo th t là trung ñim AC, BD. Tìm h thc gia AD, CD, MN ñ góc gia hai vecto AB , CD là góc tù. Bài 3 (5 ñim)  a+ b = m +1 Cho a, b tha mãn ñiu kin  . Tìm giá tr ca m ñ a2+ b 2 ñt giá tr ln nht và ab= m2 −2 m + 2 nh nht có th ñưc. Bài 4 (5 ñim) Cho △ABC n i ti p ng tròn (O) và có tr c tâm H. Ch ng minh r ng : ñư 1. OA + OB + OC = OH . 2. OAsin. 2 A+ OBsin . 2 B + OCsin . 2 C = 0, vi gi thit thêm rng △ABC có ba góc nhn. 29. THI HSG LP 10 HÀ NI VÒNG 2 (1991 – 1992) Bài 1 (4 ñim) Gii và bin lun phương trình a− a + x = x (x là n, a là tham s). Bài 2 (4 ñim) 3 Cho △ABC vuông ti A và mt ñim M tha mãn AM= BA + CA. Chng minh tanBMCˆ ≤ . 4 Bài 3 (4 ñim) 1 1 Cho f(x) = x2 + −(2 m + 3)( x + ) + 4 m + 5. Tìm m ñ f(x) ≥ 0 vi ∀x ≠ 0 . x2 x Bài 4 (4 ñim) Chng minh rng trong các tam giác ni tip ñưng tròn (O ; R) thì tam giác ñu có din tích ln nht. Bài 5 (4 ñim) Cho hai ñưng tròn (O), (O’) ct mhau ti A, B, các tip tuyn chung MN, PQ (M, N, P, Q là tip ñim). Ngưi ta v ñưng tròn (I) qua ba ñim M, N, A và ñưng tròn (K) qua ba ñim P, Q, A. Hi ngoài A ra, hai ñưng tròn (I), (K) còn có ñim chung nào na không ? Ti sao ? 30. THI HSG LP 10 HÀ NI VÒNG 1 (1992 – 1993) Bài 1 (6 ñim) Tìm giá tr ln nht và nh nht ca hàm s y= x −1992 + 1993 − x . Bài 2 (6 ñim) Cho △ABC và mt ñim M bt kì. a. Chng minh vecto u=3 MA − 5 MB + 2 MC không ph thuc vào v trí ca ñim M. b. Chng minh nu H tha mãn OA+ OB + OC = OH (O là tâm ñưng tròn ngoi tip △ABC) thì H là trc tâm △ABC. c. Tìm tp hp ñim M tha mãn 3MA+ 2 MA − 2 MC = MB − MC . Bài 3 (4 ñim) ð thi HSG môn Toán Trang 31
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá  a+ b + c + d = 5 Cho bn s thc a, b, c, d tha mãn  . Tìm giá tr ln nht, nh nht có th có ca a2+ b 2 + c 2 + d 2 = 7 mi s ñó. Bài 4 (4 ñim) Cho △ABC, ñưng tròn (O) bàng tip góc Aˆ , tip xúc vi các tia AB, AC ln lưt ti P, Q và tip xúc vi cnh BC ti T. Gi giao ñim ca tia QT vi AP là R. Chng minh bn ñim A, B, R, P lp thành mt hàng ñim ñiu hòa. 31. THI HSG LP 10 HÀ NI VÒNG 2 (1992 – 1993) Bài 1 x2 +1 x2 +1 Cho P(x) = ( )2 − 2(m + 1) + m2 −1. x x a. Tìm m ñ phương trình P(x) = 0 có nghim. b. Tìm m ñ P(x) > 0, ∀x ≠ 0 . Bài 2 Cho t giác ABCD ni tip ñưng tròn (O) và ngoi tip ñưng tròn (I). Gi M, N, P, Q là các tip ñim ca (I) vi AB, BC, CD, DA. 1. Ch ng minh MP⊥NQ. 2. Chng minh IA. sinA+ IB . sinB + IC . sinC + ID . sinD = 0. 3. Gi J, K ln lưt là trung ñim ca AC, BD. Chng minh I, J, K thng hàng. Bài 3  − + − + + − =  1x1 1 x2 1 x1993 1992.1993 Gii h phương trình  . + + + + + + =  1x1 1 x2 1 x1993 1993.1994 Bài 4 Cho ñưng tròn (O) và mt ñim A trên ñưng tròn. Mt ñưng tròn (O’) tip xúc vi (O) ti I và ct tip tuyn ca (O) k t A ti B, C (B nm gia A, C) sao cho C, O, O’ không thng hàng. Các tia AI, BI theo th t ct (O’) và (O) ti D, E. Hãy dng ñưng tròn (O’) như th sao cho C, D, E thng hàng. 32. THI HSG LP 10 HÀ NI VÒNG 1 (1993 – 1994) Bài 1 Cho 1994 s dương a1, a 2 , , a 1994 có tng bng 1. Tìm giá tr nh nht ca biu thc 1 1 1 P = + + + . − − − 1a1 1 a 2 1 a1994 Bài 2 Cho △ABC vi trc tâm H và ni tip trong ñưng tròn (O). Gi A’, B’, C’ theo th t là trung ñim BC, CA, AB, và G, A 0, B 0 , C0 l n lưt là trng tâm các tam giác ABC, HBC, HCA, HAB. 1. Ch ng minh OA+ OB + OC = 5 OG . 0 0 0 2. Tính A'A.A'H+B'B.B'H+C'C.C'H theo a, b, c là s ño các cnh △ABC. Bài 3 ð thi HSG môn Toán Trang 32
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá Gii bt phương trình x−1 + 3 − x + 4 x 2 x ≤ x3 + 10. Bài 4 Cho hình ch nht ABCD ni tip ñưng tròn (O). Mt ñon thng MN nm ngoài (O) sao cho MN//AB và AM ct DN ti I trên (O). Chng minh giao ñim K ca CM, BN cũng nm trên (O). 33. THI HSG LP 10 HÀ NI VÒNG 2 (1993 – 1994) Bài 1  x4+ y 4 +4 z 4 ≤ 1993 Gii h  . x2−16 y 2 + 4 z 2 = 1994 Bài 2 Cho ñưng tròn (O ; R) và mt dây cung AB c ñnh (AB < 2R). Gi M là mt ñim sao cho MA MB + = 2 vi A’, B’ ln lưt là giao ñim ca MA, MB vi (O). Xác ñnh v trí ca M ñ dienj tích MA'' MB hình tròn ngoi tip △MAB ñt giá tr nh nht. Bài 3  y− x2 ≥1 Cho x, y tha mãn  . Tìm giá tr ln nht ca biu thc P = y2−3 x 2 + 2 x . 3x2 − 2 x + y ≤ 1 Bài 4 Cho △ABC vuông A và mt ñim M di ñng. Gi N, P ln lưt là ñim ñi xng vi M qua AB, BC. Tìm tp hp các ñim M sao cho A, N, P thng hàng. 34. THI HSG LP 11 HÀ NI VÒNG 1 (1989 – 1990) Bài 1 Gii phương trình cos1990 x− sin 1990 x =1. Bài 2 Xét △ABC trên mt mp(P) ñã cho. Mt ñưng thng d ñi qua A và to vi các ñưng thng AB, BC, CA nhng góc bng nhau. Gi S là ñim trên d và khác A, gi H, I ln lưt là trc tâm ca các tam giác ABC, SBC. a. Chng minh d ⊥ (P). b. Chng minh HI ⊥ (SBC). c. Tìm v trí S sao cho khong cách t I ñn (P) ln nht. Bài 3 Cho △ABC trên mt mp(P). Hãy dng ñim M sao cho các góc ∠AMB = ∠ BMC = ∠ CMA = 900 . Bài 4 Xét dãy s dương tăng a1, a 2 , , a 1990 trong ñó a1990 < 1. + + + + + + Hãy so sánh log1 (a1 a 2 a1989 ) và log1 (a1 a 2 a1990 ) . 1989 1990 ð thi HSG môn Toán Trang 33
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá 35. THI HSG LP 11 HÀ NI VÒNG 2 (1989 – 1990) Bài 1 Chng minh bt ñng thc 2(sin1990 x+ cos 1990 x) ≥ sin1988 x + cos 1988 x, ∀ x ∈ℝ. Bài 2 Cho ñon thng AB, hai ñưng thng d1, d2 vuông góc vi nhau, cùng vuông góc vi AB, và ln lưt ñi qua A, B. ðưng thng d3 ct d1, d2 ln lưt ti M, N. Gi α,, β γ ln lưt là ñ ln ca góc gia d3 vi AB, d1, d2. a. Chng minh cn và ñ ñ MN có ñ dài không ñi là α không ñi. b. Chng minh sin2α+ sin 2 β + sin2 γ = 2. Bài 3 Cho △ABC trên mt mp(P), mt na ñưng thng Bx vuông góc vi (P). Trên Bx ly ñim S khác B và k ñưng cao BH ca △SAB. Gi K là ñim ñi xng vi H qua tâm A. Chng minh ñưng tròn ngoi tip △SCK luôn luôn ñi qua hai ñim c ñnh khi S thay ñi trên Bx. Bài 4 { } =3 − − = Xét dãy s ai trong ñó ai+1 a i3 a i ( a i 1), i 1,2,3 Xác ñnh a1 sao cho −2 = − − (a5 a 3 ) ( a 5 2).(2 a3 ). 36. THI HSG LP 11 HÀ NI (1990 – 1991) Bài 1 Cho phương trình n x vi α là tham s x2 −(2sinα − 1).x + 1 − sinα = 0. 1. Tìm α ñ phương trình có nghim kép. + − 2. Tìm giá tr ln nht, nh nht ca A = x1 x 2 x 1 x 2 . Bài 2 Tính tng S =1.20 + 2.2 1 + 3.2 2 + + 1991.21990 . Bài 3 Cho ba ñưng thng a, b, c ñôi mt chéo nhau và cùng song song vi mp(P), mt ñưng thng d cùng to vi a, b, c mt góc α . Chng minh α = 900. Bài 4 logx log y Gii phương trình a = a (vi a > 1, b > 1 là hng s). logb y logb x Bài 5 Cho hai ñưng thng chéo nhau d1, d2 và mt ñim M không nm trên d1, d2. Hãy dng qua M ñưng thng d sao cho d chéo nhau vi d1, và d chéo nhau vi d2, các ñon vuông góc chung ca d và d1, ca d và d2 cùng bng ñ dài ℓ cho trưc. 37. THI HSG LP 11 HÀ NI VÒNG 1 (1992 – 1993) ð thi HSG môn Toán Trang 34
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá Bài 1 Cho P(x) = mcosx – sin2x + 2. Tìm m ñ: 1. Phương trình P(x) = 0 có nghim. 2. Bt phương trình P(x) ≥ 0 nghim ñúng vi mi x ∈ℝ. Bài 2 Cho t din ñu ABCD có các cnh bng a. Trên CD ly ñim M, ñt CM = x (0 x2. 2 thì >16. sin2 x .cos 2 x Bài 4 Xét dãy s gm 2n + 1 s t nhiên liên tip sao cho tng các bình phương ca n + 1 s hng ñu bng tng các bình phương ca n s hng còn li. Hi có giá tr nào ca n sao cho trong dãy 2n + 1 s ñó có mt s hng bng 1993 hay không, ti sao ? 39. THI HSG LP 12 QUC GIA 2008 ð thi HSG môn Toán Trang 35
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá Câu 1  x2+ y 3 = 29 Hãy xác ñnh s nghim ca h phương trình  . = log3x .log 2 y 1 Câu 2 Cho △ABC có ∠BEC là góc nhn, vi E là trung ñim ca AB. Trên tia EC ly ñim M sao MC cho ∠BME = ∠ ECA . Kí hiu α = ∠BEC . Tính t s theo α . AB Câu 3 ðt m = 20072008 . Hi có tt c bao nhiêu s t nhiên n mà n < m và n(2n + 1)(5n + 2) chia ht cho m? Câu 4 −x n 1 Cho dãy s thc ()x xác ñnh bi x=0; x = 2; x + = 2 + , ∀n ∈ℕ*. Chng minh dãy s có gii n 1 2 n 2 2 hn hu khi n → + ∞ . Tìm gii hn ñó. Câu 5 Có tt c bao nhiêu s t nhiên chia ht cho 9 mà mi s gm ti ña 2008 ch s và trong ñó có ít nht 2 ch s 9 ? Câu 6 Cho ba s thc không âm x, y, z ñôi mt khác nhau. Chng minh rng 1 1 1 (xy+ yz + zx )( + + ≥ 4. ()()()x− y2 y − z2 z − x 2 Du bng xy ra khi nào ? Câu 7 Cho △ABC, trung tuyn AD. Cho ñưng thng d vuông góc vi AD. Xét ñim M ∈ d. Gi E, F ln lưt là trung ñim ca MB, MC. ðưng thng ñi qua E và vuông góc vi d, ct AB P. ðưng thng ñi qua F, vuông góc vi d, ct AC ti Q. Chng minh ñưng thng ñi qua M vuông góc vi PQ luôn ñi qua mt ñim c ñnh khi M di ñng trên d. 40. CHN ðI TUYN TOÁN 2005 Bài 1 Tìm tt c các hàm s f :ℕ*→ℕ* tha mãn vi mi cp s nguyên dương (x, y) ñu tn ti s nguyên (())f x2 + f ().() x f y + (()) f y 2 dương z sao cho f( x ). f ( y )≤ f ( z ) ≤ . 3 Bài 2 Cho dãy s dương không tăng {an} có tính cht: tng ca mt s hu hn bt kì các s hng ca dãy ñu nh hơn 1. Chng minh rng lim (na )= 0. n→+∞ n Bài 3 Trong mt phng cho ba ñim A, B, C phân bit, thng hàng, B nm gia A, C nhưng không trùng vi i m c a AC. V hai ng tròn ( )và ( ) thay i t ng ng i qua các c p i m A, B và B, C. Hai ñ ñư ω1 ω2 ñ ươ ñ ñ ñưng tròn này ct nhau ti ñim th hai D khác B. Gi E là trung ñim ca cung DA không cha ñim B ca (ω1) và F là trung ñim ca cung DC không cha B ca (ω2 ) . Chng minh trung ñim ca ñon thng EF luôn nm trên mt ñưng thng c ñnh. ð thi HSG môn Toán Trang 36
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá Bài 4 Có 2005 cái hp xp quanh mt sân vn ñng. Gi s ta có trong tay mt s lưng ñ ln các qu bóng. Thc hin mt trò chơi như sau: Ln th nht b vào mt s hp nào ñó mt s qu bóng mt cách tùy ý, ln th hai tr ñi mi ln cho phép ta chn 6 cái hp nm liên tip và b thêm vào mi hp 1 qu bóng. Hi có th làm cho 2005 hp ñó có s lưng bóng bng nhau ñưc không? Bài toán s thay ñi th nào nu xung quanh sân vn ñng không phi 2005 mà là 2006 cái hp? Gii thích. 41. THI HSG LP 12 HI PHÒNG BNG A (2008 – 2009) không chuyên Bài 1 (3 ñim) 2x + 1 Cho hàm s y= ( C ). x − 2 1. Chng minh rng mi tip tuyn ca (C) lp vi hai ñưng tim cn ca (C) thành mt tam giác có din tích không ñi. 2. Tìm các ñim thuc (C) tha mãn tip tuyn ti ñó ca (C) lp vi hai ñưng tim cn ca (C) thành mt tam giác có chu vi nh nht. Bài 2 (1 ñim) Chng minh rng tn mt tam giác có ba góc cùng tha mãn phương trình (65sinx − 56)(80 − 64sinx − 65cos2 x ) = 0. Bài 3 (3 ñim) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là na lc giác ñu cnh a, ñưng cao SA = h. 1. Tính th tích khi chóp S.ABCD. 2. Mt phng ñi qua A và vuông góc vi SD ct SB, SC, SD theo th t ti B’, C’, D’. Chng minh t giác AB’C’D’ ni tip trong mt ñưng tròn. 3. Chng minh AB’ > C’D’. Bài 4 (2 ñim) Bit rng phương trình ax3 + 21x2 + 13x + 2008 = 0 có 3 nghim thc phân bit, hi phương trình 4(ax3 + 21x2 + 13x + 2008)(3ax + 21) = (3ax2 + 42x + 13)2 có ti ña bao nhiêu nghim thc ? Bài 5 (1 ñim) cosx = x2 Chng minh h phương trình  có duy nht mt nghim (x ; y) tha mãn 0 < x < y < 1. ytan y = 1 42. THI CHN ðI TUYN QUC GIA NĂM HC 2008 – 2009 TP HI PHÒNG (VÒNG 2) Bài 1 Tìm nghim nguyên dương ca phương trình x2 + y2 + z2 + t2 = 10.22008. Bài 2 Cho các s thc dương x, y, z tha mãn x + y + z + 1 = 4xyz. Chng minh xy + yz + zx ≥ x + y + z. Bài 3  f(1)= 2; f (2) = 0; f (3 k ) = 3 f ( k ) + 1; Cho hàm s f : ℕ* → ℕ tha mãn  (∀k ∈ ℕ*). Hi có th  f(3 k+ 1) = 3() f k + 2; f (3 k + 2) = 3() f k tn ti hay không mt s nguyên dương n sao cho f(n) = n + 2008 ? Bài 4 ð thi HSG môn Toán Trang 37
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá Cho △ABC và O, I theo th t là tâm ñưng tròn ngoi tip, ni tip tam giác này. Chng minh rng ñiu kin cn và ñ ñ ∠AIO ≤ 900 là AB + AC ≥ 2BC. Bài 5  u =1;  1 n u Cho dãy s ()u xác ñnh bi  2 Tính giá tr L = lim (i ) . n un n→+∞ ∑ u+ = u +, n ∈ N *. i=1 ui+1  n 1 n 2008 43. THI HSG 12 THPT NHƯ NGUYT VÒNG 1 Bài 1 x4 +1 1 Tìm giá tr nh nht ca hàm s y = () 2 . x3 − x Bài 2 1 1+ 1 1 1+ 1 2 Tìm nghim dương ca phương trình x ln(1+ )x −x3 ln(1 + )x = 1 − x . x x2 Bài 3 Cho (d) 2x – 2y + 1 = 0 và A(0 ; 4), B(5 ; 0). Tìm hai ñưng thng ln lưt ñi qua A, B và nhn (d) làm ñưng phân giác. 44. THI HSG 12 THPT NHƯ NGUYT VÒNG 2 Bài 1 n−1 2007 2007 k Cho dãy s {xn} tha mãn x0 = 2007, xn = - .∑ xi , n = 1, 2, 3, Tính S = ∑ 2 .xk . n i=0 k=0 Bài 2 Chng minh rng nu mt tam thc bc hai có hai nghim thc phân bit thì tn ti nguyên hàm ca nó là ña thc bc ba có ba nghim thc phân bit. Bài 3 Cho t din ABCD ni tip mt cu (O). Xác ñnh v trí ñim M trên mt cu (O) sao cho MA2 + MB2 + MC2 ñt giá tr nh nht. Bài 4 Có tn ti hay không mt s chính phương có tng các ch s bng 2006 ? Ti sao ? 45. ð THI HSG BC GIANG LP 11 NĂM HC 2000 – 2001 Câu 1 (5 ñim) 2k .cos x+ k + 1 Cho hàm s y = . k cosx+ sin x + 2 1. Tìm giá tr ln nht, nh nht ca y0 (ng vi k = 0). 2. ðnh k ñ giá tr ln nht ca yk ñt nh nht. ð thi HSG môn Toán Trang 38
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá Câu 2 (5 ñim) 1. Tính A = (sin750 + c os750 ) 2000 . 2. Cho f(x) = cos2x + a.cosx + b.sinx. Tìm a, b ñ f(x) ≥ - 1, ∀ x ∈ R. Câu 3 (5 ñim) Cho dãy s (an) tha mãn a1 = 1, a2 = 3, an+2 = 2an+1 – an +1, ∀ n ∈ N*. n( n + 1) 1. Chng minh an = , ∀n ∈N*. 2 2. Chng minh rng A = 4anan+1 + 1 là s chính phương (xem li). Câu 4 (5 ñim) Cho n s dương x1, x 2 , , xn có tng nh hơn 1. Chng minh x. x x[ 1− ( x + x + + x )] 1 1 2 n 1 2 n ≤ . + + + − − − n+1 (x1 x 2 xn )(1 x1 )(1 x 2 ) (1 xn ) n 46. THI HSG LP 10 ðU NĂM 2007 – 2008 (CHN) Câu 1 a. Tính P = 7− 2 3 + 7 + 2 3 . (a− b )2 + 4 ab a b − b a b. Chng minh . =a − b (ñk: a > 0, b > 0). a+ b ab Câu 2  x( y− 2) = ( x + 2)( y − 4) Gii h phương trình  . (2y+ 7)( x − 3) = ( y + 3)(2 x − 7) Câu 3 9 Tìm m ñ (d) y = mx + m2 + và (P) y = (4m2 + 1)x2 cùng ñi qua giao ñim (- 1; 2). Vi m tìm ñưc 4 hãy tìm giao ñim th hai ca (d) và (P). Câu 4 Cho dây cung BC c ñnh ca ñưng tròn (O). Ly A nm trên cung BC ln sao cho △ABC nhn. K ñưng cao AD, BE, CF ca tam giác này (D, E, F là chân ñưng cao). H là giao ñim ca ba ñưng cao. a. Chng minh t giác BCEF ni tip. T ñó suy ra AC.AE = AF.AB. b. Gi A’ là trung ñim ca BC. Chng minh AH = 2A’O. c. K tip tuyn d ca (O) ti A. Chng minh d // EF. Câu 5 abc= a + 2009  Chng minh không tn ti các s nguyên a, b, c tha mãn abc= b + 2007 .  abc= c + 2005 47. THI HSG LP 12 THPT YÊN PHONG 2 ðT 1 NĂM HC 2000 – 2001 ð thi HSG môn Toán Trang 39
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá Câu 1 − Tính tng S=1 + 2 x + 3 x2 + + nxn 1 . Câu 2 x+ my −10 = 0 Cho h phương trình  .  x2+ y 2 − x = 0 1. Bim lun theo m s nghim ca h phương trình. 2 2 2. Tìm m ñ h phương trình có hai nghim (x1 ; y1), (x2 ; y2) tha mãn A = (x2 – x1) + (y2 – y1) ñt giá tr ln nht. Câu 3 π sinβ− sin α sinβ− sin α Cho 0 <α < β < . Chng minh <β − α < . 2 cosαcos β Câu 4 Cho (d) 2x – 2y + 1 = 0 và A(0 ; 4), B(5 ; 0). Tìm hai ñưng thng ln lưt ñi qua A, B và nhn (d) làm ñưng phân giác. Câu 5 3.F ( n )+ 1 Cho F(0) = a, F(n + 1) = ,∀n ∈N*. Tính F(2000). (Xem li ?) 3− F ( n ) 48. THI HSG LP 12 THPT YÊN PHONG 2 NĂM HC 2001 – 2002 Câu 1 Cho hàm s f(x) có ño hàm trên R và tha mãn f(2x) = 4cosx.f(x) – 2x, ∀x∈R. Tính f ’(0) bng ñnh nghĩa. Câu 2 ABC 1. Cho △ABC. Tìm giá tr nh nht ca biu thc PABC=cot + cot + cot + tan + tan + tan . 2 2 2 x3− xy 2 +2000 y = 0 2. Gii h phương trình  .  y3− x 2 y −500 x = 0 Câu 3 2k+ 1 − 2 kx 1. Bin lun theo k s nghim ca phương trình (1− x )ln −1 = 0. 2kx− 2 k + 1 1 1+ 1 1 1+ 1 2 2. Tìm nghim dương ca phương trình x ln(1+ )x −x3 ln(1 + )x = 1 − x . x x2 Câu 4 Cho t din ABCD có BC = DA = a, CA = DB = b, AB = DC = c. Gi G là trng tâm t din và x, y, z, t ln lưt là khong cách t G ñn các mt phng (DBC), (DCA), (DAB), (ABC). a. Tìm mi liên h gia a, b, c ñ GA + GB + GC + GD = 3(x + y + z + t). b. Gi α,, β γ là góc gia các cp ñưng thng tương ng BC và DA, CA và DB, AB và DC. Gi s c < b < a . Hi ba ñon thng a cosα , b c os β , c c os γ có th dng ñưc mt tam giác hay không ? ð thi HSG môn Toán Trang 40
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá 49. THI HSG GII TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CM TAY LP 12 BC NINH 2008 Bài 1 Tính gn ñúng giá tr ln nht, nh nht ca f(x) = 5x – 3 + 10x− x2 − 8 . Bài 2 Tính gn ñúng (ñn ñ, phút, giây) nghim ca phương trình 3cos2x + 4cos3x = 1. Bài 3 2 2 f(1). f (3) (2 n − 1) Vi mi n∈N* ñt f(n) = (n + n + 1) + 1 và an = . Tính gn ñúng 2009a2008. f(2). f (4) f (2 n ) Bài 4 sin n D ñoán lim( +1)n . n Bài 5 x2 Gii gn ñúng phương trình ex − sinx + −3 = 0 . 2 Bài 6 Mt ñt nưc có 80 sân bay mà khong cách gia các cp sân bay bt kì ñu khác nhau và không có ba sân bay nào thng hàng. Cùng mt thi ñim t mi sân bay có mt chic máy bay ct cánh và bay ñn sân bay nào gn nht. Trên bt kì sân bay nào cũng không th có quá n máy bay bay ñn. Tìm n. Bài 7 Hình chóp t giác ñu có tâm mt cu ngoi tip trùng vi tâm mt cu ni tip. Tính gn ñúng góc gia mt bên và mt ñáy. Bài 8  xy( x+ y ) = 6  Gii gn ñúng h phương trình yz( y+ z ) = 30 .   zx( z+ x ) = 12 Bài 9 1 2 2008 Trên bng có 2008 s , , , . Mi ln xóa ñi hai s a và b bng ñó ngưi ta vit vào 2008 2008 2008 bng s (a + b – 2ab). Hi sau 2007 ln xóa như vy s còn li trên bng là s nào ? Bài 10 Cho hai ñưng tròn (O1 ; R1), (O2 ; R2) ct nhau. Bit rng O2 nm trên (O1 ; R1) và din tích phn R1 chung ca hai hình tròn này bng na din tích ca hình tròn (O1 ; R1). Tính gn ñúng t s . R2 50. CHN ðI TUYN TOÁN BC NINH D THI HSG 12 TOÀN QUC (2007 – 2008) Bài 1 Tìm m ñ 2x+ 3 x + 4 x ≥ 3 +mx , ∀ x ∈R. Bài 2 29 Trên mt phng Oxy cho ñưng tròn (C) x2 + y2 -2x – 4y – 20 = 0 và hai ñim A( ;2), B(- 9 ; - 6). 4 Tìm ñim M∈(C) sao cho 4MA + 5MB ñt giá tr nh nht. Bài 3 ð thi HSG môn Toán Trang 41
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá Gii phương trình nghim nguyên 24(x2+ y 2 ) + 10( x + y ) + 5 y + 2 = 1040 + 2 3x + 2 . Bài 4 Cho △ABC có góc Aˆ tù. Dng △ABD vuông cân ti D và △ACE vuông cân ti E sao cho C, D khác phía so vi AB còn B, E cùng phía so vi AC. Gi I, K ln lưt là các tâm ñưng tròn ni tip △ABD và IK △ACE. Tính t s và góc gia hai ñưng IK, BC. BC Bài 5  ≠ 1  x1  2 Tìm gii hn ca dãy (x ) cho bi  n x2 x =n , ∀n ∈ N *.  n+1 −  2xn 1 Bài 6 24 10 24 10 Xác ñnh hàm s f(x) liên tc trên R + và tha mãn f(x ) + f(x ) = 2007(x + x ), ∀x∈R. Bài 7 Trên bàn có 2007 viên bi gm 667 bi xanh, 669 bi ñ, 671 bi vàng. C mi ln ly ñi 2 viên bi khác màu, ngưi ta li thêm vào 2 viên bi có màu còn li. Hi có th ñn mt lúc nào ñó trên bàn ch còn các bi cùng màu hay không ? 51. THI HSG TOÁN 10 THPT YÊN PHONG 2 NĂM HC 1999 – 2000 Bài 1 Cho parabol (P) y = x2 – 3x + 3. 1 a – Vit phương trình ñưng thng ñi qua A(1 ; ) và tip xúc vi (P). 2 1 b – M là ñim bt kì thuc ñưng thng y = . Chng minh qua M luôn v ñưc hai tip tuyn vi (P) và 2 hai tip tuyn y vuông góc vi nhau. a2+ b 2 + c 2 = 2 4 4 Bài 2 Cho ba s a, b, c tha mãn  . Áp dng h thc VIET chng minh a, b, c ∈ [- ; ]. ab+ bc + ca =1 3 3 Bài 3  x+ y + x − y = 4 a) Gii h phương trình  .  x2+ y 2 =128 b) Tìm m ñ phương trình x+5 + 4 − x = m có nghim duy nht. Bài 4 Cho hình ch nht ABCD, ñim M bt kì. Ch ng minh r ng: a. MA AD= MB BC . b. MA MC= MB MD . Bài 5 Cho △ABC cân (AB = AC) vi Aˆ = 2α , các ñưng cao AH, BI. Chng minh rng: a> sin 2α = 2sinα.cosα. b> 1 – cos2α = 2sin2α. Suy ra 1 + cos2α = 2cos2α. 52. THI ðNH KÌ LP CHN 10A LN I TRƯNG THPT YÊN PHONG 2 (1999 – 2000) ð thi HSG môn Toán Trang 42
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá Bài 1 (1 ñim) Tìm tp xác ñnh ca hàm s x2 −2 x − 4 (x+ a )( x + b )( x + c ) a. y = . b. y = (a, b, c là ñ dài 3 cnh 1 tam giác thưng). 2x + 3 a+ b − c Bài 2 (3 ñim) a – V ñ th hàm s y=2 x2 − 3 x + 1. b – Dùng ñ th trên bin lun theo m s nghim ca phương trình 2x2 − 3 x + m = 0 . 2 2 Bài 3 (2 ñim) Tìm k ñ phương trình (k− 5 k + 3) x + (3 k − 1) x + 2 = 0 có hai nghim x1, x2 tha mãn x2 = 2x1. Bài 4 (2 ñim) Các cnh AB và CD ca t giác ABCD kéo dài thì vuông góc vi nhau. Hãy tính din tích ca t giác này nu AB = 12cm, BC = 17cm, CD = 4cm, DA = 5cm. Bài 5 (2 ñim) Cho △ABC có góc Aˆ nhn. V ra bên ngoài △ABC các tam giác vuông cân ñnh A là △ABD, △ACE. Gi M là trung ñim ca BC. Chng minh rng AM ⊥DE. 53. THI HSG LP 10 THPT YÊN PHONG 2 (ñt 1) Câu 1 Gii phương trình 2 a. x3 +1 = 23 2 x − 1 . b. 1+x − x2 = x + 1 − x . 3 Câu 2 Gii h phương trình xy =12  2 + +2 =  2 2 − +2 = x xy y 3  = x y2 x y 0 1.  4 4 . 2. yz 20 . 3.  2 3 .  x+ y =17  2x+ y + 3 − 4 x = 0  zx =15 Câu 3 Tìm m ñ bt phương trình x2 + mx + m2 + 6m < 0 có ít nht mt nghim x tha mãn 1 < x < 2. Câu 4 Cho hình vuông ABCD có cnh bng 1, hai ñim M, N di chuyn trên AD và CD nhưng luôn có ∠MBN = 450. Xác ñnh v trí ca M, N ñ din tích △MBN ñt giá tr ln nht và nh nht. Câu 5 Cho hai ñưng tròn (O) và (O’), ñim M nm ngoài c hai ñưng tròn này. Dng ñưng thng d ñi qua M và ct c hai ñưng tròn (O), (O’) to ra hai dây cung bng nhau. 54. THI LP 10 CHT LƯNG CAO NĂM HC 2002 – 2003 Câu I Cho A = x−2 − 2 x − 3 . 1. Tìm x ñ A có nghĩa. 2. Tính giá tr ca A vi 3 ≤ x ≤ 4. Câu II Cho phương trình x2 – (2m + 1)x + m2 + m -1 = 0. a. CMR vi mi m phương trình luôn có nghim. b. Tìm mt h thc liên h gia các nghim ca phương trình và không ph thuc vào m. Câu III 1. Tìm mt ña thc bc nh nht h s nguyên và nhn x = 2 - 3 làm nghim. 2. Cho f(x) = x4 – 3x3 + 5x2 – 3x +1. Tính f(2 - 3 ). ð thi HSG môn Toán Trang 43
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá Câu IV Mt t giác ABCD có hai cnh AB và CD ct nhau M tha mãn MA.MB = MC.MD. Chng minh: 1. △MAD ñng dng vi △MCB. 2. ABCD là t giác ni tip. Câu V Cho ñim M nm trong △ABC. Gi x, y, z là khong cách t M ti A, B, C, gi p, q, r là khong cách t M ti BC, CA, AB tương ng. Chng minh rng: cq+ br 1. x ≥ . 2. x + y + z ≥ 2(p + q + r). a 55. ð THI HSG LP 11 THPT YÊN PHONG 2 (2000 – 2001) sinx+ 2cos x + 1 Bài 1 Tìm giá tr ln nht và nh nht ca hàm s y = . sinx+ cos x + 2 Bài 2 Chng minh 4cos360 + cot730'0 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 . 1+ 2x −3 1 + 3 x Bài 3 Tính gii hn lim . x→0 x2 1 1 1 Bài 4 Chng minh vi mi △ABC ta có + + ≥ 12 . ABC sin2 sin2 sin2 2 2 2 Bài 5 Cho tam din vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz ly ln lưt các ñim A, B, C. Gi H là hình chiu ca O trên (ABC). Gi α,, β γ ln lưt là góc ga OH vi Ox, Oy, Oz. Chng minh rng cos2α+ c os2 β + c os2 γ = 1. 56. THI HSG LP 12 THPT YÊN PHONG 2 (2000 – 2001) Bài 1 Cho hàm s y = x3 – 6x2 + 3(m + 2)x – m – 6. a/ Xác ñnh m sao cho hàm s có cc tr. b/ Xác ñnh m ñ hàm s có hai cc tr và các giá tr cc tr cùng du. a b c Bài 2 Cho m > 1 và ba s a, b, c tha mãn + + = 0 . Chng minh phương trình m+2 m + 1 m ax2 + bx + c = 0 có nghim x ∈(0;1). 5 − − = > 9 Bài 3 Chng minh phương trình x x 2 0 có nghim duy nht x0 trên ñon [1 ;2] và x0 8 . Bài 4 a/ Cho F(-3 ;0) và (△) 3x + 25 = 0. Tìm qu tích ñim M trong mt phng sao cho 5FM = 3MK vi K là hình chiu ca M trên (△). 2 2 2 b/ Tìm qu tích tâm ca ñưng tròn (Cα) x + y – 2xcosα + 4ysinα + 3sin α - sinα + 1 = 0 (α ∈R). ð thi HSG môn Toán Trang 44
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá 57. THI HSG KHÁNH HÒA VÒNG 1 (23-3-2007) 1 3 Bài 1 Gii phương trình: x4 - 3x2 + - - 2 = 0. x4 x2 Bài 2 Cho tam giác ABC cân ti ñnh A, v các ñưng cao AH, BK (K thuc AC, H thuc BC). Chng 1 1 1 minh rng = + . BK2 BC 2 4 AH 2 1 1 1 1 1 1 Bài 3 Cho ba s dương x , y, z tha mãn + + = 4. Chng minh + + ≤1. x y z 2x+ y + x x +2 y + z x + y +2 z Bài 4 Trong mt phng ta ñ Oxy cho ñim M (1; 4). Vit phương trình ñưng thng d ñi qua M ct hai na trc dương Ox và Oy ln lưt ti A, B sao cho OA + OB nh nht. Bài 5 Cho na ñưng tròn tâm O ñưng kính BC và 1 ñim A trên na ñưng tròn (A khác B, C). K ñưng cao AH (H thuc BC). Trên na mt phng b BC cha ñim A ta v na ñưng tròn (O1;R1) ñưng kính HB và (O2;R2) ñưng kính HC và chúng ln lưt ct các cnh AB, AC ti ñim th hai E và F. Các tip tuyn ca ñưng tròn (O) v t A và B ct nhau ti M. a) Chng minh BEFC ni tip. b) Chng minh 3 ñưng MC, AH, EF ñng quy. c) Gi (I; r) là ñưng tròn tip xúc ngoài vi (O1) và (O2), và tip xúc EF ti D ( D thuc EF). Chng 1 1 1 minh rng = + . r R1 R 2 58. THI HSG KHÁNH HÒA VÒNG 2 (24-3-2007) Bài 1: Trong mt phng ta ñ Oxy cho hai ñưng thng (d1) (m-1)x + y = 3m – 4, (d2) x + (m-1)y = m (vi m là tham s ). 1. Tìm giá tr nguyên ca m ñ giao ñim M ca hai ñưng thng ñó có ta ñ là cp s nguyên. 2. Tìm giá tr m ñ giao ñim M ca 2 ñưng thng ñó thuc ñưng tròn (O; 2 3 ). Bài 2 Cho tam giác ABC vuông ti A, AB =7, AC = 8. Tính bán kính ñưng tròn ñi qua các ñim B, C và trung ñim M ca AC. Bài 3 (?) Bài 4 Tìm giá tr nh nht và giá tr ln nht ca A = x3 + y3x3(x3 + 2y3 – 3) + (y3 – 2)2 – 1 = 0 (vi mi x, y không âm). 2 Bài 5 Cho tam giác ABC cân ti A, AB = BC, ñưng cao AE (E thuc cnh BC). ðưng tròn tâm O 3 ni tip △ABC tip xúc vi AC ti F . a) Chng minh BF là tip tuyn ca ñưng tròn ngoi tip t giác OECF. b) Gi M là giao ñim ca BF vi (O) .Chng minh BMOC là t giác ni tip ñưng tròn. 59. THI HSG LP 11 TNH BC NINH (10 – 4 – 2001) Bài 1 (4 ñim) Gii phương trình 1. (2 ñim) sinx(cos2x + cos6x) + cos2x = 2. ð thi HSG môn Toán Trang 45
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2. (2 ñim) ()()()()()()()()()2x− x +2 x + 2 x − x +2 x = 2 x + x + 2 x . 5 204 5 153 4 123 u Bài 2 (4 i m) Cho dãy (u ) th a mãn u = - 2, u =n , n ∈N*. ñ n 1 n+1 − 1 un 1. Chng minh un < 0, ∀n∈N*. 1+ u 2. Vi mi n∈N* ñt vn = n . Chng minh (vn) là mt cp s cng và suy ra biu thc ca vn và un. un  1+ 1 = 5  x x  4 27 6  − ≥ 1 Bài 3 (4 ñim) Gii h log27y log 4 x .  6  27y − 4x ≤ 1   Bài 4 (4 ñim) Chng minh rng nu ba s nguyên t to thành mt cp s cng có công sai không chia ht cho 6 thì s bé nht trong chúng là 3. Bài 5 (4 ñim) Cho hình chóp S.ABC có SA = 1cm, SB = 2cm, Sc = 3cm, th tích bng 1cm3. Chng minh rng SA, SB, SC ñôi mt vuông góc. 60. THI CHN LP 12A THPT YÊN PHONG 2 NĂM HC 2001 – 2002 Câu 1 Gii phương trình − + + = + = a/. 1 sinx 1 sinx 2cos x . b/. log2 (1x ) log3 x . x 2000 = 4 = i Câu 2 Cho hàm s f() x x . Tính A∑ f () . 2+ 4 i=1 2001 + Câu 3 Gii bin lun phương trình 4sinx+ 2 1 sinx = m (m là tham s). Câu 4 Cho hình chóp ñu S.ABC có trung ñon bng a và lp vi ñáy mt góc mt góc α . a – Tìm tâm và bán kính mt cu ngoi tip hình chóp S.ABC. b – Tìm khong cách t A ti (SBC). 61. ð THI CHN ðI TUYN HC SINH GII TNH 2008 - 2009 Bài 1: (8 ñim) a. Gii phương trình x+4 x − 4 + x + x −4 = 6 . x2+ y 2 =2(1 + a ) b. Tìm các giá tr ca a ñ h sau có ñúng 2 nghim  . (x+ y )2 = 4 Bài 2: (6 ñim) Trong mt phng to ñ Oxy cho A (1;2), B(0;1), C(-2;1). a. Vit phương trình ñưng tròn (T) ngoi tip tam giác ABC. ð thi HSG môn Toán Trang 46
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá b. Gi s M là ñim chuyn ñng trên (T). Chng minh rng trng tâm G ca tam giác ABC thuc mt ñưng tròn c ñnh. Vit phương trình ñưng tròn ñó. Bài 3: (2 ñim) Cho tam giác ABC. Gi ma, mb, mc ln lưt là ñ dài các ñưng trung tuyn thuc các 3 3 cnh BC = a, CA = b, AB = c và có mc = c . Chng minh rng: ma + mb + mc = ()a+ b + c . 2 2 Bài 4: (4 ñim) Cho hai s thc x, y dương tho mãn ñiu kin x + y ≤ 1. Tìm giá tr nh nht ca biu 1 1 thc: P = + + 4xy . x2+ y 2 xy ðÁP ÁN VÀ SƠ LƯC - THANG ðIM –––––––––– Bài 1: (8 ñim) a. (3 ñim) ðK: x ≥ 4 (0,5 ñim) (x − 4 + 2)2 +x + x −4 = 6 (2 ñim) ⇔ 2x− 4 = 4 − x ⇔ x = 4 x2+ y 2 =2(1 + a )  x+ y =1 − a b. Cách 1:  ⇔  (2 ñim) (x+ y )2 = 4 x+ y = ±2 Vy x và y là nghim ca phương trìnb bc 2: X2 −2 X + 1 − a = 0 (1)  (1 ñim) X2 +2 X + 1 − a = 0 (2) H ñã cho có 2 nghim ⇔ (1) và (2) ñu có nghim kép ⇔ ∆'(1) =∆'(2) = 0 (2 ñim) ⇔ a = 0 Cách 2: S dng tính ñi xng gia các nghim. Cách 3: Dùng ñ th. Bài 2: (6 ñim) a. E(x;y) tâm ñưng tròn (T) ⇔ EA2 = EB2 = EC2 (1 ðim) ⇔ (x-1)2 + (y-2)2 = x2 + (y - 1)2 = (x+2)2 + (y-1)2 (x− 1)2 + ( y − 2)2 = x 2 + ( y − 1)2  x = −1 ⇔  ⇔  (x+ 2)2 + ( y − 1)2 = x 2 + ( y − 1)2 y = 3 Vy (T) có phương trình: (x+1)2 + (y-3)2 = 5 (1 ñim) ð thi HSG môn Toán Trang 47
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá ðưng tròn (T) có tâm E (-3;1) bán kính R = 5 b. Gi I là trung ñim BC ta có: I (-1; 1) (1 ñim) K GK // ME, K ∈ EI 5 KE = -2 KI ⇒ K (-1; ) (2 ñim) 3 1 5 Mt khác: KG = EM = 3 3 5 Vy trng tâm G ca tam giác MBC nm trên ñưng tròn tâm K, bán kính . Phương trình ñưng 3 5 5 tròn này là: (x+1)2 + (y- )2 = . (1 ñim) 3 9 Bài 3: (2 ñim) 2+ 2 − 2 3 2 32 2(a b ) c 3 2 2 2 2 Ta có mc = c ⇒ mc = c ⇔ =c ⇔ a + b = 2 c (1 ñim) 2 4 4 4  = 3  2+ 2 − 2 = 2  2= 2 ma b 2(b c ) a 3 b 4ma 3 b  2 ⇒  ⇒  ⇒  (1 ñim) 2(a2+ c 2 ) − b 2 = 3 a 2  4 m2= 3 a 2  3 b m= a  b 2 3 ⇒ ma + mb + mc = ()a+ b + c 2 Bài 4: (4 ñim) 1 1 4 + Trưc ht ta chng minh: + ≥, ∀a , b > 0 (1) (1 ñim) a b a+ b + Áp dng (1) vào biu thc P ta ñưc 1 1  1 1 1  1  P = + + 4xy =  + + +  + 4xy  (1 ñim) x2+ y 2 xy  x2+ y 2 2 xy 4 xy  4 xy  4 1 ≥ + + 2 (1 ñim) x2+ y 2 + 2 xy 4 xy 4 1 5 ≥ + +2 = +2 ≥ 7 ()()()x+ y2 x + y2 x+ y 2 1 Vy Min P = 7 khi x = y = . (1 ñim) 2 ð thi HSG môn Toán Trang 48
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá 62. THI HSG 12 CP TRƯNG (NAM ðNH 2008 – 2009) 2(x2 − x ) ex+2009 khi x≠ 0 Câu 1. Cho hàm s y = f(x) =  . 0 khi x=0 a. Tính ño hàm ca hàm s ti x = 0. b. Lp phương trình tip tuyn ca hàm s bit tip tuyn có h s góc nh nht. 2sinx+ 1 = −2009 −2008 + + + Câu 2. Cho phương trình: 2009 log2009 (m 2 sin)2(2 x 1)sinx m 1. a. Gii phương trình vi m = 2009. b. Tìm m ñ phương trình có nghim. 0 1 1 2 n−1 n1 n+1 n Câu 3. Cho n∈N*. Chng minh: CCCCCCCC+ + + =+ − . n n n n n n 2 2(n 1) 2 n Câu 4. x2 y 2 1. Cho elip (E) có phương trình: + =1, A và B là hai ñim chy trên elip tho mãn OA⊥OB. 16 9 1 1 a. Chng minh rng: + không ñi OA2 OB 2 b. Tìm A, B ñ S∆OAB nh nht . 2. Cho hình lp phương ABCDA’B’C’D’ cnh a 2 . a. Tính khong cách gia CD và AC’. b. Gi G1, G2 ln lưt là trng tâm ∆C’DB, ∆C’A’B và M là ñim chy trên ñan AA’. Tìm v trí ñim M ñ th tích MDG1G2 ln nht. x2 x 3 xn Câu 5. Chng minh phương trình 1+ x + + + + = 0 có không quá mt nghim ( 2 ≤ n∈N). 2 3 n 63. THI CHN HC SINH GII 12 SÓC TRĂNG (2008 – 2009) Bài 1: (2 ñim) Cho a và b là hai s thc tha mãn ñiu kin: a, b ≥ – 1 và a + b = 1. Chng minh rng: a+1 + b + 1 ≤ 6 .  3 3  x+ y = 65 Bài 2: (4 ñim) Gii h phương trình  . 2 2  x y+ y x = 20 Bài 3: (2 ñim) Tìm tt c các hàm s f tha mãn ñiu kin: f(2 – x) + xf(x) = x (x ∈ R\{1}). Bài 4: (4 ñim) Gii phương trình: tanx + tan2x + tan3x + cotx + cot2x + cot3x = 6. Bài 5: (4 ñim) Cho tam giác ABC có s ño các góc A, B, C theo th t ñó lp thành mt cp s nhân vi 1 1 1 công bi q = 2. Chng minh rng: = + . sinABC sin sin Bài 6: (4 ñim) Cho hình chóp t giác S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông, chân ñưng cao trùng vi tâm O ca ñáy. T trung ñim I ca ñưng cao SO h ñon vuông góc vi cnh bên SC và ñon vuông góc vi mt bên SBC, hai ñon vuông góc này có ñ dài ln lưt là a và b. Tính th tích khi chóp S.ABCD theo a và b. ð thi HSG môn Toán Trang 49
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá Hưng dn chm Bài 1: Áp dng bt ñng thc Bunhiacopski ñi vi 2 cp s (1 ; 1) và ( a+1; b + 1 ): 1.a+ 1 + 1. b + 1 ≤( 1 + 1)( 1 +a + b + 1) (1 ñim) ⇔ a+1 + b + 1 ≤ 6 (vì a + b = 1) (0,5 ñim) 1 du “=” xy ra khi a + 1 = b + 1 ⇔ a = b = (0,5 ñim) 2  x3+ y 3 = 65 Bài 2:  . ðiu kin: x ≥ 0, y ≥ 0, h phương trình bin ñi thành: (0,5 ñim) 2 2  x y+ y x = 20  2  ()x+ y() x + y −3 xy  = 65     (1) (1 ñim)  ()+ =  xy x y 20 ðt u = x+ y , v = xy (u, v ≥ 0) (1) tr thành:  2 60  u( u2 −3 v) = 65 u u −  = 65   u  (1 ñim) uv = 20   uv = 20 u = 5  x+ y = 5 ⇔  =  (0,5 ñim) v 4  xy = 4 x = 16 x = 1 Gii h này ñưc nghim:  hoc  (1 ñim) y = 1 y = 16 Bài 3: T f(2 – x) + xf(x) = x (1) Thay x bi 2 – x ta ñưc: f(x) + (2 – x)f(2 – x) = (2 – x) (2) (0,5 ñim) Nhân (1) cho 2 – x: (2 – x)f(2 – x) + x(2 – x)f(x) = x(2 – x) (3) (0,5 ñim) (2) – (3): f(x) – x(2 – x)f(x) = (2 – x) – x(2 – x) f(x)(1 – x(2 – x)) = x2 – 3x + 2 f(x)(x2 – x2 + 1) = x2 – 3x + 2. Vi x ≠ 1 thì: x2 −3 x + 2 x − 2 f() x = = (0,5 ñim) x−2 x + 1 x −1 x − 2 Th li thy hàm s f() x = tha mãn ñiu kin. x −1 x − 2 Vy hàm s cn tìm là: f() x = (0,5 ñim) x −1 π Bài 4: ðiu kin: x ≠ k (0,5 ñim) 2 tanx + tan2x + tan3x + cotx + cot2x + cot3x = 6 ⇔ (tanx + cotx) + (tanx + cotx)2 – 2 + (tanx + cotx)3 – 3(tanx + cotx) = 6 ⇔ (tanx + cotx)3 + (tanx + cotx)2 – 2(tanx + cotx) – 2= 6 ðt t = tanx + cotx (t  ≥ 2), ta ñưc: t3 + t2 – 2t – 8= 0 (1 ñim) ð thi HSG môn Toán Trang 50
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá ⇔ (t – 2)(t2 + 3t + 4) = 0 ⇔ (t – 2) = 0 (vì t2 + 3t + 4>0) ⇔ t = 2 (1 ñim) Vy: tanx + cotx = 2 1 ⇔ tanx + = 2 ⇔ tan2x – 2tanx + 1 = 0 ⇔ tanx = 1 tan x π ⇔ x= + kπ () k ∈ Z . (1 ñim) 4 Tha mãn ñiu kin. Vy nghim ca phương trình là: π x= + kπ () k ∈ Z (0,5 ñim) 4 Bài 5: Ta có: ABC+ + = π  = π2 π 4 π BA2 ⇔ABC =;; = =  7 7 7 CA= 4 (1 ñim) 1= 1 + 1 Ta cn chng minh: π2 π 4 π . Ta có: sin sin sin 7 7 7 4π 2 π 3π π π sin+ sin 2sin .cos 2cos 1 1 7 7 7 7 7 3π 4 π + = = = sin= sin 2π 4 π 2 π 4 π 2π 4 π π π (vì ) sin sin sin .sin sin .sin 2sin .cos 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 = 1 π (ñpcm) (3 ñim) sin 7 Bài 6: S K IK ⊥ SC K IH ⊥ SE ⇒ IH ⊥ (SBC) K (0,5ñim) H Gi x, y ln lưt là cnh ñáy và chiu I cao ca khi chóp, ta có: 1 2 V= x y 3 D C O Xét hai tam giác ñng dng SHI và SI IH E SOE= ta có: ⇒ SI EO= IH SE SE EO A B 2 2 2 y x 2 2 2 2x  2 2 2 2 2 16b y = b SE⇒ x y=16 b y +  =16b y + 4 b x⇒ x = ()1 2 2 4  y2− 4 b 2 Xét hai tam giác ñng dng SKI và SOC ta có: (1 ñim) ð thi HSG môn Toán Trang 51
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá SI KI = ⇒ SI OC= KI SC SC OC y x 2 x2  8a2 y 2 .= aSC .⇒ xy2 2= 8 ay 2 2 +  = 8 ayax2 2 + 4 2 2 ⇒ x2 = () 2 2 2 2  y2− 4 a 2 (1 ñim) 4a2 b 2 2ab 8a2 b 2 ⇒ 2 = ⇒ = ⇒ x2 = (1) & (2) y 2 2 y 2 2 (1 ñim) 2b− a 2b2− a 2 a− b 2 2 3 3 1 8a b 2 ab = 16a b Vy V = 2 2 (0,5 ñim) 3 a− b 2b2− a 2 3() a 2 − b 2 2 b 2 − a 2 64. KỲ THI CHN HC SINH GII 12 THA THIÊN HU (2008 – 2009) Bài 1: (3.0 ñim) 1. Gii phương trình: 2 cos2 x+ 2 3 sin x cosx+ 1 = 3(sin x + 3 cosx) (1) 2. Tam giác nhn ABC tha h thc: 1 1 1 1 + + = . tan3 B.tan 3 C− tan2 B.tan 2 C tan3 C.tan 3 A− tan2 C.tan 2 A tan3 A.tan 3 B− tan2 A.tan 2 B 6 Chng minh tam giác ABC ñu. Bài 2: (3.0 ñim) Cho tam giác ABC. Trên cnh AB ly ñim M di ñng, trên cnh AC ly ñim N di 1 1 1 ñng sao cho + = (không ñi).Chng minh rng ñưng thng MN ñi qua mt ñim c ñnh. AM AN l Bài 3: (3.0 ñim) 6 3 2 2 2 2 3 1.Gii phương trình nghim nguyên dương sau: x+ z −15 x z = 3 x y z − ( y + 5) . 2. Chng minh rng: 20072009+ ++2009 2007 chia ht cho 8. + un 1 Bài 4: (3.0 ñim) Cho dãy s (un) xác ñnh bi u1 = a (-1 <a < 0), u + = −1,n = 1,2,3 n 1 2 + un 1 1. Chng minh rng: - 1 < un < 0 vi ∀n∈N* và (un) là mt dãy s gim. 2. Tìm limun. a3+ b 3 + c 3 a 2 + b 2 b 2 + c 2 c 2 + a 2 9 Bài 5: (2.0 ñim) Chng minh bt ñng thc sau: + + + ≥ . 2abc c2+ ab a 2 + bc b 2 + ca 2 Bài 6: (3.0 ñim) Cho hình vuông ABCD cnh a. Trên hai cnh AB và AD ln lưt ly hai ñim di ñng E, F sao cho: AE + EF + FA = 2a. 1. Chng t rng ñưng thng EF luôn tip xúc vi mt ñưng tròn c ñnh. 2. Tìm v trí ca E, F sao cho din tích tam giác CEF ln nht. Bài 7: (3.0 ñim) 1. Cho các s 1,2,3,4,5,6,7. Tìm các s t nhiên gm 5 ch s ly t 7 ch s trên sao cho không tn cùng là ch s 4. 2.Có hai bóng ñin vi xác sut hng là 0,1 và 0,2 (vic chúng hng là ñc lp vi nhau). Tính xác sut ñ mch không có ñin do bóng hng nu: ð thi HSG môn Toán Trang 52
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá a. Chúng ñưc mc song song. b. Chúng ñưc mc ni tip. 65. THI HSG TRƯNG THPT DÂN TC NI TRÚ THA THIÊN HU 2008 – 2009 Câu1(4ñim): Tìm a ñ h phương trình sau có nghim duy nht: 2 x +x = y + x2 + a  . x2+ y 2 = 1 Câu 2(4 ñim): Trong mt phng vi h to ñ Oxy, cho tam giác ABC có : B(-1;3), C(3;1), din tích S =3 và trng tâm G nm trên ñưng thng x-y = 0. Tìm to ñ ca ñim A. Câu 3(5ñim) : Chng minh rng th tích V ca khi nón tròn xoay và din tích xung quanh S ca hình 3  6VS 2  2  nón tương ng luôn luôn tho mãn bt ñng thc:   ≤   . Du ñng thc xy ra khi nào ?  π   π 3  x 4log +1 Câu 4(3ñim): Tính tích các nghim ca phương trình (5x ) 2 = 2008x 5 . Câu 5(4 ñim): Tính gii hn ca dãy s và hàm s sau : 1 1 a) A = lim (cos + 2008sin ) n . n→+∞ n n 2 2x − cos x b) B = lim . x→0 2x 2 ðÁP ÁN Câu 1: (4ñim) * Nhn xét nu (x;y) là mt nghim ca h thì (-x;y) cũng là mt nghim ca h (0.5ñ) *ðiu kin cn : Ga s h có nghim duy nht là (x;y), ta suy ra x = - x hay x = 0 1 =y + a Thay x = 0 vào h phương trình , ta có :  . Suy ra a=0 hay a = 2 (0.5ñ) y 2 = 1 2 x +x = y + x 2 )1( *Th li : Vi a= 0, h tr thành :  (0.5ñ) x2+ y 2 = 1 (2) T (2) ta suy ra : x≤1 , y ≤ 1 (0.5ñ) 2 T (2) ta suy ra : y=2 x + x − x 2 ≥ 1(vì 2x ≥ 1,x ≤ 1 ⇒ x≥ x ) (1ñ)  y ≤ 1 Vy ta có :  ⇔y = 1 . Suy ra x=0. H có nghim duy nht (x;y) = (0;0) (0.5ñ) y ≥ 1 2 x +x = y + x 2 + 2 *Vi a=2, H tr thành :  x2+ y 2 = 1 D dàng thy (1;0), (-1;0) là hi nghim ca h, nên h không có nghim duy nht Kt lun a = 0. (0;5ñ) Câu 2 (4ñim): * Gi A(x;y) là ñnh cn tìm. ð thi HSG môn Toán Trang 53
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá *BC : x+2y-5 = 0 , BC = 2 5 x+2 y − 5 Chiu cao ca tam giác ABC là : h = d(A,BC) = (1ñ) 5 1 x+2 y − 5 *S = 3 ⇔ BC. h = 3 ⇔ 5. =3 ⇔x + 2 y − 5 = 3 (1) (1ñ) 2 5  x+ y y + 4  x+ 2 y + 4 *G ;  thuc ñưng thng x-y = 0 khi và ch khi : = ⇔x − y = 2 (2)  3 3  3 3 (1ñ) *Gii h phương trình (1) và(2) cho ta (x;y) = (4;2) , (x;y) = (2;0) Vy A(4;2) hay A(2;0) (1ñ) Câu 3(5ñ) :* Gi R, l ln lưt là bán kính ñáy, ñưng sinh ca hình nón. 1 Ta có : S= π Rl và V= πR2 l 2− R 2 (0 0) 3 1 − 6 1 *f’’(x) = -6x, f’’( ) = 0 Vi ñiu kin trên , phương trình tương ñương : x (4lg +1)(lg5 + lgx ) = lg2008 + 5lg x (1ñ) 2 ⇔ (4lgx − 4lg2+ 1)(lg5+ lgx )= lg2008+ 5lg x (1ñ) ⇔ 4(lgx )2 + 4(lg5 − lg2 − 1)lgx + lg5(1 − 4lg2) − lg2008 = 0 * Rõ ràng các h s ca phương trình bc hai là : a = 4 > 0 và c = lg5(1-4lg2)-lg2008 <0 . Do ñó , phương trình có hai nghim : lg x1 < 0 < lg x2 (1ñ) * Theo ñnh lí Viét : lg x1+lg x2 = 1+lg2-lg5 ⇔ = ⇔ = lg(x1 x 2 ) lg 4 x1 x 2 4 * Vy, phương trình có hai nghim và tích hai nghim bng 4. ð thi HSG môn Toán Trang 54
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá Câu 5(4ñ)  1 1  n  1 1 1  n cos + 2008sin  =1 − 2sin 2 + 2.2008sin .cos   n n   2n 2n2 n  a) (2.5ñ) Un = n (0.5ñ)  1  1 1  =1 − 2sin sin − 2008cos   2n 2 n 2n  1  1 1  * ðt t = − 2sin sin − 2008cos  (0.5ñ) 2n 2 n 2n  1 n 1 tn  .t     + t  = + t  * Ta có : un = (1t )  (1t )  (0.5ñ)     1  1 1  − 2n sin sin − 2008cos  2n 2 n 2n  1 * tn = − sin (0.5ñ)  1 1  = 2n . sin − 2008cos  1  2n 2n  2n * Khi n → +∞ thì : t→ 0 tn →-1(0-2008.1) = 2008 1 (1+t )t → e = = 2008 Suy ra : Alim un e (0.5ñ) n→+∞ b) (1.5ñ) 2 2 2x − cos x 2x − 1 1− cos x B = lim = lim + lim (0.5ñ) x→0 2x 2 x←0 2x 2 x→0 2x 2 2 2x − 1 ln 2 * lim = (0.5ñ) x→0 2x 2 2 1− cos x 1 * lim = x→0 2x 2 4 ln 2 1 4ln 2+ 2 *Vy B = + = (0.5ñ) 2 4 8 66. ð THI CHN HC SINH GII THPT HƯƠNG THY Câu1: Gii phương trình: 1+ 1 −x2 [ (1 − x )3 − (1 + x )3 ] = 2 + 1 − x 2 (1) x6+ y 8 + z 10 ≤1 Câu2: Gii h bt phương trình:  . x2003 + y2005 + z 2007 ≥1 Câu3: ð thi HSG môn Toán Trang 55
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá a. Chng minh rng: x4 + px + q ≥0, ∀ x ⇔ 256 q3 ≥ 27 p 4 (*) b. Chng minh rng nu p, q nghim ñúng (*) thì qx4+ px 3 +1 ≥ 0, ∀x . Câu4: Cho hàm s f( x )= 2 x2 − x − m . ðnh m ñ giá tr ln nht ca hàm f trên ñon [– 1 ; 1] ñt giá tr nh nht. Câu5: Hai cnh ñi din ca mt t din có ñ dài bng x, các cnh khác ñu có ñ dài bng 1. Vi giá tr nào ca x th tích ca t din ñt giá tr ln nht ? ð thi HSG môn Toán Trang 56
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá ðáp án Câu1 Ni dung 2.50ñ 1−x ≥ 0  ðiu kin: 1+x ≥ 0 ⇔ −1 ≤x ≤ 1  0.50ñ 1−x2 ≥ 0 2 2 0.50ñ ðt x = cost vi t ∈[0,π ]⇒ 1−x =sin t = sin t , khi ñó: (1)⇔ 1 + sint[ (1 − cos t )3 − (1 + cost )3 ] = 2 + sin t 2  3 3   t t   t   t  ⇔ sin + cos    2sin 2  − 2cos2   =2 + sin t 2 2  2 2           t t   t t  ⇔sin + cos .2 2 sin 3 − cos3  =2 + sin t  2 2   2 2   2 t2 t 2 t2 t t t  ⇔ 2 2 sin − cos sin +cos + sin cos  =2 + sin t 1.00ñ  2 2  2 2 2 2  ⇔ − 2 cost (2+ sin t ) = 2 + sin t 0.50ñ 1 ⇔x =cos t = − 2  6+ 8 + 10 ≤ x y z 1 (1) Câu2 Gii h bt phương trình:   2003 2005 2007 2.50ñ x+ y + z ≥ 1 (2) T (1) suy ra: x ≤ 1 ; y ≤ 1 ; z ≤ 1 (*) 0.25ñ Ta có: ( x2003 +y2005 + z2007 ) – ( x6 + y8 + z10 ) ≥ 0 0.25ñ ⇒ x6 ( x1997 – 1 ) + y8 ( y1997 – 1 ) + z10 ( z1997 – 1) ≥ 0 0.25ñ Mt khác (*) cho x6 ( x1997 – 1 ) + y8 ( y1997 – 1 ) + z10 ( z1997 – 1) ≤ 0 0.25ñ Do vy x6 ( x1997 – 1 ) + y8 ( y1997 – 1 ) + z10 ( z1997 – 1) = 0 0.50ñ Nên: x6 ( x1997 – 1 ) = 0 ; y8 ( y1997 – 1 ) = 0 ; z10 ( z1997 – 1) = 0 0.50ñ ⇔ x = 0 hoc x = 1 ; y = 0 hoc y = 1 ; z = 0 hoc z = 1 0.25ñ Ta nhn thy ch có : (x = 0 ; y = 0 ; z = 1) (x = 0 ; y = 1 ; z = 0) (x = 1 ; y = 0 ; z = 0) tha h phương trình. Vy h có ba nghim là: (1 ; 0 ; 0) ; (0 ; 1 ; 0) ; (0 ; 0 ; 1) 0.25ñ ð thi HSG môn Toán Trang 57
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá Câu3 a. Chng minh rng: 4 3 4 x+ px + q ≥0, ∀ x ⇔ 256 q ≥ 27 p (*) 1.50ñ b. Chng minh rng nu p, q nghim ñúng (*) thì 4 3 qx+ px +1 ≥ 0, ∀x ( ) 4 a. Xét hàm s y= x + px + q / 3 p Ta có: y=4 x + p = 0 ⇔ x =3 − 4 0.25ñ Và y// =12 x2 ≥ 0, ∀ x 0.25ñ Suy ra:  p 4 p 3 p Miny =3  −  +p3 − +4 = −p3 + q  4  4 4 4 Do ñó: 0.25ñ 4 3 p 3 4 x+ px + q ≥,0 ∀ x ⇔ − p3 +q ≥0 ⇔ 256q ≥ 27 p (*) 4 4 b. x = 0 thì ( ) ñúng x ≠ 0 thì ( ) tương ñương: 1 1 4 q+ p. +   ≥ 0 x x  0.25ñ 1 4 ðt: t = ⇒ t+ pt + q ≥ 0 x 0.50ñ B t ng th c này úng vì p, q th a (*). ñ ñ Câu4 2 Cho hàm s f( x )= 2 x − x − m . ðnh m ñ giá tr ln nht ca hàm f trên ñon 2.50ñ [– 1 ; 1] ñt giá tr nh nht. 2 1 Parabol y = 2x – x + m có hoành ñ ñnh là xo = ∈ [– 1 ; 1] nên 4 ð thi HSG môn Toán Trang 58
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá   − 1 Maxf(x) = max  f( 1), f ( ) , f (1)   4  0.25ñ  1  = max  −3 +m , + m, − 1 + m  = M  8  0.25ñ 1 Nu m > 0: tacó +m ≥ −1 + m 8 0.25ñ Nu m < 0: m ñ ln ta có – 3 + m ≥ – 1 + m  Vy:   = − +1 + M Max 3m ; m  0.50  8  ñ   Do ñó: M ≥ – 3 + m 0.25ñ 1 M ≥ + m 0.25ñ 8 1 1 25 ⇒ 2M ≥ – 3 + m + + m ≥ 3 −m + + m = 0.50 8 8 8 ñ 25 ⇒ M ≥ 16 25 1 Suy ra Min(M) = .Du “ = ’’ xãy ra khi 3 −m = m + 16 8 0.25ñ 23 ⇔m = 16 Câu5 Hai cnh ñi din ca mt t din có ñ dài bng x, các cnh khác ñu có ñ dài bng 1. Vi giá tr nào ca x th tích ca t din ñt giá tr ln nht ? 1.00ñ S D 0.25ñ A C H I B ð thi HSG môn Toán Trang 59
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá Gi s SA = BC = x, các cnh khác ca t din có ñ dài bng 1. Gi I, D ln lưt là trung ñim ca BC & SA. Ta có: SA ⊥ (BCD). Do ñó: 1 1 V= dt ∆ BCD. SA = BC ID SA 3 6 x 2 mà ID = CD2 – CI2 = SC2 – SD2 – CI2 = 1 – 2 Suy ra: 0.50ñ 2 1 2 x 1 2 2 V= x 1 − =x4 − 2 x 6 2 12 0.25ñ Vì vy: = 2 2 3 MaxV ñt ti x = 0.25ñ 9 3 3 67. ð THI HC SINH GII NĂM HC 2008-2009 BÀI I: x2 x n 1.Chng minh rng ∀x > 0 và n nguyên dương ta có ex >1 + x + + + . 2! n! 1 2.Chng minh rng vi 0 Ta phi chng minh vi mi x>0 và n nguyên dương : fn ( x ) 0 = Tht vy ta có vi mi n nguyên dương : f n (0) 0 ð thi HSG môn Toán Trang 60
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá =x − + ' =x − > Xét f1 ( x ) e (1 x ) => f1 ( x ) e 1 0 Vy f1 () x tăng => vi mi x>0 , f1 () x > f1 )0( = 0. Vy công thc ñúng vi n = 1 2 n−1 x x x Gi s công thc ñúng vi n-1 ta có f− ( x )= e − (1 + x + + + )> 0 n 1 2! (n − 1)! 2 n−1 ' x x x Ta có f() x = e−1( + x + + + )=f− ( x ) > 0 n 2! (n − 1)! n 1 ∀ > > = Vy fn ( x ) tăng khi x>0 => x 0 : fn ( x ) f n (0) 0 x2 x n => ex −1( + x + + +) > 0 ( ∀x > 0 ) 2! n! x2 x n => ex >1 + x + + + ( ∀x > 0 ). 2! n! 1 1 2. Ta phi chng minh : x2n (1− x ) e ⇔ ln   >1 ⇔ ln(2n + 1) − ln(2) n > . 2n+ 1  e 2 n  2n  2n + 1 1 Áp dng ñnh lí Lagrange cho hàm s f(x) = lnx trên ñon [2n, 2n+1], vi f' () x = , ta có : x ln(2n+1) - ln(2n) = (2n+1-2n)f' ( c ) vi 2n (ñpcm). 2n +1 BÀI II : Phương trình ñã cho luôn xác ñnh vi mi giá tr ca x. − + = − + = − 1 − + Ta có log(2x a 2) log−2 (2x a 2) log (2x a 2) 1 ()3 3 3 2 Phương trình ñã cho tương ñương vi phương trình 1 2 − + − 1 + = − log (x 2 x 3) 2 log (2x _ a 2) 0 22 x a 3 2 x−2 x + 1 3 ⇔ x2 −2 x + 3 2 − + = 2x− a + 2 + 2 log(3 x 2 x 3)2 log(2_3 x a 2) (1) = t = [ +∞) [ +∞) Hai hàm s f( t ) 2 và g( t ) log 3 t ñu ñng bin trên ;2 và ly giá tr dương trên ;2 nên = t [ +∞) hàm s f( t ) g ( t ) 2 log 3 t ñng bin trên ;2 Hơn na x2 −2 x + 3 = ( x − 1)2 + 2 ≥ 2 và 2 x− a +2 ≥ 2 vi mi x ∈ . Do ñó phương trình (1) tương ñương vi phương trình ð thi HSG môn Toán Trang 61
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá x2 −2 x + 3 = 2 x − a + 2 2(x− a ) = ( x − 1)2  x2 − 4 x + 2 a + 1 = 0 (2) ⇔2x − a = ( x − 1)2 ⇔  ⇔  2(x− a ) = − ( x − 1)2 x 2 = 2 a − 1 (3) T ñó suy ra rng phương trình ñã cho có 3 nghim trong 3 trưng hp sau : 1/Phương trình (2) có nghim kép và phương trình (3) có hai nghim phân bit khác nghim ca (2). 2/Phương trình (3) có nghim kép và phương trình (2) có hai nghim phân bit khác nghim ca (3). 3/Hai phương trình (2) và (3) ñu có hai nghim phân bit trong ñó có mt nghim chung . Ta ln lưt xét 3 trưng hp trên : 3 1/Phương trình (2) có nghim kép x = 2 khi và ch ∆' =3 − 2a = 0 ⇔ a = 2 khi ñó phương trình (3) có hai nghim x = ± 2 (khác 2) 3 Vy a = tha mãn ñiu kin ca bài toán . 2 1 2/ Phương trình (3) có nghim kép x = 0 khi và ch khi 2a - 1 = 0 ⇔a = , khi ñó phương trình (2) tr 2 thành x2 - 4x + 2 = 0 có hai nghim khác 0. 1 Vy a = tha mãn ñiu kin ca bài toán . 2  2 − + + = x0 4 x0 2 a 1 0 3/Nu x0 là mt nghim chung ca (2) và (3) thì  2 = −  x0 2 a 1 T ñó suy ra a = 1 khi ñó phương trình (2) tr thành x2 - 4x + 3 = 0 có nghim x=1 , x = 3 và phương trình (3) tr thành x2 = 1 có nghim x = ±1. Vy a =1 tha ñiu kin ca bài toán. 1 3 Kt lun a = , a = , a =1 là các giá tr cn tìm. 2 2 BÀI III : b β a α γ c a 2 b 2 c 2 Ta có cos 2 α = , cos 2 β = , cos 2 γ = . a 2+b 2+c 2 a 2+b 2+c 2 a 2+b 2+c 2 3 3 3 a6 ( a2+ b 2 + c 2 ) b6 ( a2+ b 2 + c 2 ) c6 ( a2+ b 2 + c 2 ) Suy ra: = , = , = . cos12 α cos6 α cos12 β cos 6 β cos12 γ cos 6 γ 3 3 a6 b6 c6 ( abc2+ 2 + 2 ) ( abc2+ 2 + 2) 3 ( abc2+ 2 + 2 ) Suy ra : + + = + + cos12 αcos12 βcos12 γ cos6 α cos6 β cos 6 γ ð thi HSG môn Toán Trang 62
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá 2 2 2 3  1 1 1  =()a + b + c  + +  (1)  cos 6 αcos6 βcos6 γ  3 Áp dng bt ñng thc Côsi , ta có : (a2+ b 2 + c 2 ) ≥ 27 a2 b 2 c 2 (2) Vn theo bt ñng thc Côsi , thì 1 1 1 3 3 + + ≥ ≥ cos6 αcos6 βcos6 γcos2 α .cos2 β .cos 2 γcos2 α+ cos2 β + cos 2 γ 27 1 1 1 Vì cos2 α+ cos2 β + cos2 γ = 1 nên + + ≥ 81 (3) cos6 αcos6 βcos 6 γ a6 b6 c 6 Do V=abc nên t (1) , (2) , (3) suy ra : + + ≥ 2187V 2 cos12 αcos12 βcos12 γ Du bng xy ra khi và ch khi α = β = γ (tc là hình hp ñã cho là hình lp phương) BÀI IV: Trong 64 khi lp phương nh có : (1) 8 khi ñưc sơn 3 mt (2) 24 khi ñưc sơn 2 mt (3) 24 khi ñưc sơn 1 mt (4) 8 khi không ñưc sơn mt nào . Rõ ràng là nu mun khi lp phương nhn ñưc bên ngoài có sơn thì các khi loi (1) phi ñt ñnh và mi khi có th ñt theo 3 cách , do ñó có 38.8! cách . Tương t , ñi vi loi (2) có 224.24! cách sp xp , loi (3) có 424.24! cách sp xp và loi (4) có 248.8! cách sp xp . Vy có tt c là 38.8!.224.24!. 424.24! .248.8! = (38.248.8!.24!)2 68. ð THI CHN HC SINH GII TRƯNG THPT QUC HC HU NĂM HC 2008-2009 Bài 1. Cho phương trình: cos3x +asinx.cosx +sin3x = 0 a. Gii phương trình khi a = 2 b. Vi giá tr nào ca a thì phương trình có nghim. Bài 2. Gi s phương trình x3 + x2 +ax +b = 0 có 3 nghim phân biêt. Hãy xét du ca biu thc: a2 – 3b.  1 x2(1− cos ) khi x ≠ 0 Bài 3. Cho hàm s f(x) =  x  = 0. khi x 0 a. Tìm ño hàm ca hàm s và chng minh hàm s ñt cc tiu ti x =0. 1 b. Tìm s a nh nht ñ cho: x2 (1 –cos ) < a , vi mi x ≠ 0. x Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD, ñáy ABCD là hình ch nht có AB = a, BC = b, SA = SB = SC = SD = c. K là hình chiu vuông góc ca B xung AC. a. Tính ñ dài ñon vuông góc chung ca SA và BK. ð thi HSG môn Toán Trang 63
www.VNMATH.com Nguyn Văn Xá b. Gi M, N ln lưt là trung ñim ca ñon thng AK và CD. Chng minh: Các ñưng thng BM và MN vuông góc vi nhau. ðÁP ÁN Bài 1. (5 ñim). cos3x +asinx.cosx +sin3x = 0 (1) π (0,5ñ) + ðt t = sinx + cosx = 2 cos(x - ), │t│ ≤ 2 4 cos3x +sin3x = (cosx +sinx) (sin2x +cos2x –sinxcosx) = (cosx +sinx)(1- sinxcosx) t 2 −1 t Vì t2 =1 +2sinxcosx nên sinxcosx = và cos3x +sin3x = (3- t2) 2 2 t t 2 −1 (0,5ñ) + Phương trình (1) tr thành: (3- t2) +a. = 0 ⇔ t3- at2 -3t +a = 0 (2) 2 2 Câu a. (1ñ) + Vi a = 2 : (2) tr thành: t3 - 2 t2 -3t + 2 = 0 ⇔ (1 + 2 )(t2-2 2 t +1) = 0 ⇔ t = - 2 hay t = 2 -1 hay t = 2 +1 (1ñ) + ði chiu vi ñiu kin: │t│ ≤ 2 nên phương trình (1) tương ñương vi: π  π  =5 + π 2 cos(x −) = − 2 x k2  4 4  ⇔  ,k∈ Z π π −  − = −  2 1 2 cos(x ) 2 1 x = ± arccos + k2π  4  4 2 Câu b. (0,25ñ) + Phương trình (1) có nghim khi và ch khi f(t) = t3 –at2- 3t +a = 0 có nghim t∈[- 2 ; 2 ] (1,5ñ) + f(t) liên tc trên R f(- 2 ) = 2 - a; f( 2 ) = - 2 -a; f(0) = a. * a = 0: f(t) có nghim t = 0∈[- 2 ; 2 ] * a 0: f(0).f( 2 ) = a(- 2 -a) 0 (0,5ñ) + Suy ra: (x , x là 2 nghi m c a ph ng trình 3x2 +2x +a =0)  < 1 2 ươ  f( x1 ). f ( x 2 ) 0 (1ñ) + Thc hin phép chia ña thc ta ñưc: ð thi HSG môn Toán Trang 64