›
›

Một số bài tập toán nâng cao

doc 43 trang phuongnguyen 2530
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Một số bài tập toán nâng cao", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docmot_so_bai_tap_toan_nang_cao.doc

Nội dung text: Một số bài tập toán nâng cao

  1. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 1 Một số bài tập tốn nâng cao
  2. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 2 PHẦN I: ĐỀ BÀI 1. Chứng minh 7 là số vơ tỉ. 2. a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacơpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) 3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2. a b 4. a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : ab . 2 bc ca ab b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : a b c a b c c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab. 5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3. 6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b. 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) 8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng : a b a b 9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8 10. Chứng minh các bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 11. Tìm các giá trị của x sao cho : a) | 2x – 3 | = | 1 – x | b) x2 – 4x ≤ 5 c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1. 12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đĩ. 14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0. 15. Chứng minh rằng khơng cĩ giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0 1 16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A x2 4x 9 17. So sánh các số thực sau (khơng dùng máy tính) : a) 7 15 và 7 b) 17 5 1 và 45 23 2 19 c) và 27 d) 3 2 và 2 3 3 18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vơ tỉ lớn hơn 2 nhưng nhỏ hơn 3 19. Giải phương trình : 3x2 6x 7 5x2 10x 21 5 2x x2 . 20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4. 1 1 1 1 21. Cho S . 1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998 1 1998 Hãy so sánh S và 2. . 1999 22. Chứng minh rằng : Nếu số tự nhiên a khơng phải là số chính phương thì a là số vơ tỉ. 23. Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng : x y a) 2 y x x2 y2 x y b) 2 2 0 y x y x x4 y4 x2 y2 x y c) 4 4 2 2 2 . y x y x y x
  3. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 3 24. Chứng minh rằng các số sau là số vơ tỉ : a) 1 2 3 b) m với m, n là các số hữu tỉ, n ≠ 0. n 25. Cĩ hai số vơ tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ khơng ? x2 y2 x y 26. Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng : 2 2 4 3 . y x y x x2 y2 z2 x y z 27. Cho các số x, y, z dương. Chứng minh rằng : . y2 z2 x2 y z x 28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vơ tỉ là một số vơ tỉ. 29. Chứng minh các bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 2 2 2 2 c) (a1 + a2 + + an) ≤ n(a1 + a2 + + an ). 30. Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2. 31. Chứng minh rằng : x y x y . 1 32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A . x2 6x 17 x y z 33. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A với x, y, z > 0. y z x 34. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x2 + y2 biết x + y = 4. 35. Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1. 36. Xét xem các số a và b cĩ thể là số vơ tỉ khơng nếu : a a) ab và là số vơ tỉ. b a b) a + b và là số hữu tỉ (a + b ≠ 0) b c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0) 37. Cho a, b, c > 0. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) a b c d 38. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh : 2 b c c d d a a b 39. Chứng minh rằng 2x bằng 2x hoặc 2x 1 40. Cho số nguyên dương a. Xét các số cĩ dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; ; a + 15n. Chứng minh rằng trong các số đĩ, tồn tại hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96. 41. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau cĩ nghĩa : 1 1 1 2 A= x2 3 B C D E x 2x x2 4x 5 x 2x 1 1 x2 3 x G 3x 1 5x 3 x2 x 1 42. a) Chứng minh rằng : | A + B | ≤ | A | + | B | . Dấu “ = ” xảy ra khi nào ? b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : M x2 4x 4 x2 6x 9 . c) Giải phương trình : 4x2 20x 25 x2 8x 16 x2 18x 81 43. Giải phương trình : 2x2 8x 3 x2 4x 5 12 . 44. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau cĩ nghĩa : 1 1 A x2 x 2 B C 2 1 9x2 D 1 3x x2 5x 6
  4. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 4 1 x 2 2 E G 2 x 2 H x 2x 3 3 1 x 2x 1 x x 4 x2 3x 45. Giải phương trình : 0 x 3 46. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A x x . 47. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : B 3 x x 3 1 48. So sánh : a) a 2 3 và b= b) 5 13 4 3 và 3 1 2 c) n 2 n 1 và n+1 n (n là số nguyên dương) 49. Với giá trị nào của x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất : A 1 1 6x 9x2 (3x 1)2 . 50. Tính : a) 4 2 3 b) 11 6 2 c) 27 10 2 d) A m2 8m 16 m2 8m 16 e) B n 2 n 1 n 2 n 1 (n ≥ 1) 8 41 51. Rút gọn biểu thức : M . 45 4 41 45 4 41 52. Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : (2x y)2 (y 2)2 (x y z)2 0 53. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P 25x2 20x 4 25x2 30x 9 . 54. Giải các phương trình sau : a) x2 x 2 x 2 0 b) x2 1 1 x2 c) x2 x x2 x 2 0 d) x x4 2x2 1 1 e) x2 4x 4 x 4 0 g) x 2 x 3 5 h) x2 2x 1 x2 6x 9 1 i) x 5 2 x x2 25 k) x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1 l) 8x 1 3x 5 7x 4 2x 2 x2 y2 55. Cho hai số thực x và y thỏa mãn các điều kiện : xy = 1 và x > y. CMR: 2 2 . x y 56. Rút gọn các biểu thức : a) 13 30 2 9 4 2 b) m 2 m 1 m 2 m 1 5 c) 2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3 d) 227 30 2 123 22 2 6 2 7. Chứng minh rằng 2 3 . 2 2 58. Rút gọn các biểu thức : 6 2 6 3 2 6 2 6 3 2 9 6 2 6 a) C b) D . 2 3 59. So sánh : a) 6 20 và 1+ 6 b) 17 12 2 và 2 1 c) 28 16 3 và 3 2 60. Cho biểu thức : A x x2 4x 4 a) Tìm tập xác định của biểu thức A. b) Rút gọn biểu thức A. 61. Rút gọn các biểu thức sau : a) 11 2 10 b) 9 2 14
  5. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 5 3 11 6 2 5 2 6 c) 2 6 2 5 7 2 10 1 1 1 1 1 1 62. Cho a + b + c = 0 ; a, b, c ≠ 0. Chứng minh đẳng thức : a 2 b2 c2 a b c 63. Giải bất phương trình : x2 16x 60 x 6 . 64. Tìm x sao cho : x2 3 3 x2 . 65. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = x2 + y2 , biết rằng : x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 (1) 1 16 x2 66. Tìm x để biểu thức cĩ nghĩa: a) A b) B x2 8x 8 . x 2x 1 2x 1 x x2 2x x x2 2x 67. Cho biểu thức : A . x x2 2x x x2 2x a) Tìm giá trị của x để biểu thức A cĩ nghĩa. b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm giá trị của x để A 0 và a + b ≤ 1. 82. CMR trong các số 2b c 2 ad ; 2c d 2 ab ; 2d a 2 bc ; 2a b 2 cd cĩ ít nhất hai số dương (a, b, c, d > 0). 83. Rút gọn biểu thức : N 4 6 8 3 4 2 18 . 84. Cho x y z xy yz zx , trong đĩ x, y, z > 0. Chứng minh x = y = z. n 85. Cho a1, a2, , an > 0 và a1a2 an = 1. Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2) (1 + an) ≥ 2 . 2 86. Chứng minh : a b 2 2(a b) ab (a, b ≥ 0). 87. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng cĩ độ dài a, b, c lập được thành một tam giác thì các đoạn thẳng cĩ độ dài a , b , c cũng lập được thành một tam giác.
  6. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 6 ab b2 a (x 2)2 8x 88. Rút gọn : a) A b) B . 2 b b x x a 2 2 89. Chứng minh rằng với mọi số thực a, ta đều cĩ : 2 . Khi nào cĩ đẳng thức ? a 2 1 90. Tính : A 3 5 3 5 bằng hai cách. 3 7 5 2 91. So sánh : a) và 6,9 b) 13 12 và 7 6 5 2 3 2 3 92. Tính : P . 2 2 3 2 2 3 93. Giải phương trình : x 2 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2 . 1.3.5 (2n 1) 1 94. Chứng minh rằng ta luơn cĩ : P ; n Z+ n 2.4.6 2n 2n 1 a 2 b2 95. Chứng minh rằng nếu a, b > 0 thì a b . b a x 4(x 1) x 4(x 1) 1 96. Rút gọn biểu thức : A = . 1 . x2 4(x 1) x 1 a b b a 1 97. Chứng minh các đẳng thức sau : a) : a b (a, b > 0 ; a ≠ b) ab a b 14 7 15 5 1 a a a a b) : 2 c) 1 1 1 a (a > 0). 1 2 1 3 7 5 a 1 a 1 98. Tính : a) 5 3 29 6 20 ; b) 2 3 5 13 48 . c) 7 48 28 16 3 . 7 48 . 99. So sánh : a) 3 5 và 15 b) 2 15 và 12 7 16 c) 18 19 và 9 d) và 5. 25 2 100. Cho hằng đẳng thức : a a 2 b a a 2 b a b (a, b > 0 và a2 – b > 0). 2 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2 2 Áp dụng kết quả để rút gọn : a) ; b) 2 2 3 2 2 3 17 12 2 17 12 2 2 10 30 2 2 6 2 c) : 2 10 2 2 3 1 101. Xác định giá trị các biểu thức sau : xy x2 1. y2 1 1 1 1 1 a) A với x a , y b (a > 1 ; b > 1) xy x2 1. y2 1 2 a 2 b
  7. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 7 a bx a bx 2am b) B với x , m 1 . a bx a bx b 1 m2 2x x2 1 102. Cho biểu thức P(x) 3x2 4x 1 a) Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x). b) Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x).P(- x) 0. Chứng minh : . b c c a a b 2 112. Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1. Chứng minh : a) a 1 b 1 c 1 3,5 b) a b b c c a 6 . 113. CM : a 2 c2 b2 c2 a 2 d2 b2 d2 (a b)(c d) với a, b, c, d > 0. 114. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A x x . (x a)(x b) 115. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A . x 116. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5. 117. Tìm giá trị lớn nhất của A = x + 2 x . 118. Giải phương trình : x 1 5x 1 3x 2 119. Giải phương trình : x 2 x 1 x 2 x 1 2 120. Giải phương trình : 3x2 21x 18 2 x2 7x 7 2 121. Giải phương trình : 3x2 6x 7 5x2 10x 14 4 2x x2 122. Chứng minh các số sau là số vơ tỉ : 3 2 ; 2 2 3 123. Chứng minh x 2 4 x 2 .
  8. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 8 124. Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương pháp hình học : a 2 b2 . b2 c2 b(a c) với a, b, c > 0. 125. Chứng minh (a b)(c d) ac bd với a, b, c, d > 0. 126. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng cĩ độ dài a, b, c lập được thành một tam giác thì các đoạn thẳng cĩ độ dài a , b , c cũng lập được thành một tam giác. (a b)2 a b 127. Chứng minh a b b a với a, b ≥ 0. 2 4 a b c 128. Chứng minh 2 với a, b, c > 0. b c a c a b 129. Cho x 1 y2 y 1 x2 1 . Chứng minh rằng x2 + y2 = 1. 130. Tìm giá trị nhỏ nhất của A x 2 x 1 x 2 x 1 131. Tìm GTNN, GTLN của A 1 x 1 x . 132. Tìm giá trị nhỏ nhất của A x2 1 x2 2x 5 133. Tìm giá trị nhỏ nhất của A x2 4x 12 x2 2x 3 . 134. Tìm GTNN, GTLN của : a) A 2x 5 x2 b) A x 99 101 x2 a b 135. Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn 1 (a và b là hằng số dương). x y 136. Tìm GTNN của A = (x + y)(x + z) với x, y, z > 0 , xyz(x + y + z) = 1. xy yz zx 137. Tìm GTNN của A với x, y, z > 0 , x + y + z = 1. z x y x2 y2 z2 138. Tìm GTNN của A biết x, y, z > 0 , xy yz zx 1 . x y y z z x 2 139. Tìm giá trị lớn nhất của : a) A a b với a, b > 0 , a + b ≤ 1 4 4 4 4 4 4 b) B a b a c a d b c b d c d với a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1. 140. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3x + 3y với x + y = 4. b c 141. Tìm GTNN của A với b + c ≥ a + d ; b, c > 0 ; a, d ≥ 0. c d a b 142. Giải các phương trình sau : a) x2 5x 2 3x 12 0 b) x2 4x 8 x 1 c) 4x 1 3x 4 1 d) x 1 x 1 2 e) x 2 x 1 x 1 1 g) x 2x 1 x 2x 1 2 h) x 2 4 x 2 x 7 6 x 2 1 i) x x 1 x 1 k) 1 x2 x x 1 l) 2x2 8x 6 x2 1 2x 2 m) x2 6 x 2 x2 1 n) x 1 x 10 x 2 x 5 o) x 1 x 3 2 x 1 x2 3x 5 4 2x p) 2x 3 x 2 2x 2 x 2 1 2 x 2 . q) 2x2 9x 4 3 2x 1 2x2 21x 11 143. Rút gọn biểu thức : A 2 2 5 3 2 18 20 2 2 .
  9. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 9 1 1 1 144. Chứng minh rằng, n Z+ , ta luơn cĩ : 1 2 n 1 1 . 2 3 n 1 1 145. Trục căn thức ở mẫu : a) b) . 1 2 5 x x 1 146. Tính : a) 5 3 29 6 20 b) 6 2 5 13 48 c) 5 3 29 12 5 147. Cho a 3 5. 3 5 10 2 . Chứng minh rằng a là số tự nhiên. 3 2 2 3 2 2 148. Cho b . b cĩ phải là số tự nhiên khơng ? 17 12 2 17 12 2 149. Giải các phương trình sau : a) 3 1 x x 4 3 0 b) 3 1 x 2 3 1 x 3 3 5 x 5 x x 3 x 3 c) 2 d) x x 5 5 5 x x 3 150. Tính giá trị của biểu thức : M 12 5 29 25 4 21 12 5 29 25 4 21 1 1 1 1 151. Rút gọn : A . 1 2 2 3 3 4 n 1 n 1 1 1 1 152. Cho biểu thức : P 2 3 3 4 4 5 2n 2n 1 a) Rút gọn P. b) P cĩ phải là số hữu tỉ khơng ? 1 1 1 1 153. Tính : A . 2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100 1 1 1 154. Chứng minh : 1 n . 2 3 n 155. Cho a 17 1 . Hãy tính giá trị của biểu thức: A = (a5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2000. 156. Chứng minh : a a 1 a 2 a 3 (a ≥ 3) 1 157. Chứng minh : x2 x 0 (x ≥ 0) 2 158. Tìm giá trị lớn nhất của S x 1 y 2 , biết x + y = 4. 3 1 2a 1 2a 159. Tính giá trị của biểu thức sau với a : A . 4 1 1 2a 1 1 2a 160. Chứng minh các đẳng thức sau : a) 4 15 10 6 4 15 2 b) 4 2 2 6 2 3 1 2 c) 3 5 3 5 10 2 8 d) 7 48 3 1 e) 17 4 9 4 5 5 2 161. 2 Chứng minh các bất đẳng thức sau : 5 5 5 5 a) 27 6 48 b) 10 0 5 5 5 5 5 1 5 1 1 c) 3 4 2 0,2 1,01 0 1 5 3 1 3 5 3
  10. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 10 2 3 1 2 3 3 3 1 d) 3 2 0 2 6 2 6 2 6 2 6 2 e) 2 2 2 1 2 2 2 1 1,9 g) 17 12 2 2 3 1 2 2 3 2 2 h) 3 5 7 3 5 7 3 i) 0,8 4 1 162. Chứng minh rằng : 2 n 1 2 n 2 n 2 n 1 . Từ đĩ suy ra: n 1 1 1 2004 1 2005 2 3 1006009 2 3 4 3 163. Trục căn thức ở mẫu : a) b) . 2 3 6 8 4 2 3 2 3 4 3 2 3 2 164. Cho x và y= . Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2. 3 2 3 2 2002 2003 165. Chứng minh bất đẳng thức sau : 2002 2003 . 2003 2002 x2 3xy y2 166. Tính giá trị của biểu thức : A với x 3 5 và y 3 5 . x y 2 6x 3 167. Giải phương trình : 3 2 x x2 . x 1 x 1 168. Giải bất các pt : a) 3 3 5x 72 b) 10x 14 1 c) 2 2 2 2x 4 . 4 169. Rút gọn các biểu thức sau : a 1 a) A 5 3 29 12 5 b) B 1 a a(a 1) a a x 3 2 x2 9 x2 5x 6 x 9 x2 c) C d) D 2x 6 x2 9 3x x2 (x 2) 9 x2 1 1 1 1 E 1 2 2 3 3 4 24 25 1 170. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức A . 2 3 x2 2 1 171. Tìm giá trị nhỏ nhất của A với 0 < x < 1. 1 x x x 1 y 2 172. Tìm GTLN của : a) A x 1 y 2 biết x + y = 4 ; b) B x y 173. Cho a 1997 1996 ; b 1998 1997 . So sánh a với b, số nào lớn hơn ? 1 174. Tìm GTNN, GTLN của : a) A b) B x2 2x 4 . 5 2 6 x2 175. Tìm giá trị lớn nhất của A x 1 x2 . 176. Tìm giá trị lớn nhất của A = | x – y | biết x2 + 4y2 = 1. 177. Tìm GTNN, GTLN của A = x3 + y3 biết x, y ≥ 0 ; x2 + y2 = 1. 178. Tìm GTNN, GTLN của A x x y y biết x y 1 .
  11. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 11 x 1 179. Giải phương trình : 1 x x2 3x 2 (x 2) 3 . x 2 180. Giải phương trình : x2 2x 9 6 4x 2x2 . 1 1 1 1 181. CMR, n Z+ , ta cĩ : 2 . 2 3 2 4 3 (n 1) n 1 1 1 1 182. Cho A . Hãy so sánh A và 1,999. 1.1999 2.1998 3.1997 1999.1 183. Cho 3 số x, y và x y là số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số x ; y đều là số hữu tỉ 3 2 184. Cho a 2 6 ; b 3 2 2 6 4 2 . CMR : a, b là các số hữu tỉ. 3 2 2 a a 2 a a a a 1 185. Rút gọn biểu thức : P . . (a > 0 ; a ≠ 1) a 2 a 1 a 1 a a 1 a 1 1 186. Chứng minh : 4 a a 4a . (a > 0 ; a ≠ 1) a 1 a 1 a x 2 2 8x 187. Rút gọn : (0 < x < 2) 2 x x b ab a b a b 188. Rút gọn : a : a b ab b ab a ab 5a 2 189. Giải bất phương trình : 2 x x2 a 2 (a ≠ 0) x2 a 2 1 a a 1 a a 190. Cho A 1 a 2 : a a 1 1 a 1 a a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A với a = 9. c) Với giá trị nào của a thì | A | = A. a b 1 a b b b 191. Cho biểu thức : B . a ab 2 ab a ab a ab a) Rút gọn biểu thức B. b) Tính giá trị của B nếu a 6 2 5 . c) So sánh B với -1. 1 1 a b 192. Cho A : 1 a a b a a b a b a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm b biết | A | = -A. c) Tính giá trị của A khi a 5 4 2 ; b 2 6 2 . a 1 a 1 1 193. Cho biểu thức A 4 a a a 1 a 1 a a) Rút gọn biểu thức A. 6 b) Tìm giá trị của A nếu a . c) Tìm giá trị của a để A A . 2 6
  12. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 12 a 1 a a a a 194. Cho biểu thức A . 2 2 a a 1 a 1 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của A để A = - 4 1 a 1 a 1 a 1 a 195. Thực hiện phép tính : A : 1 a 1 a 1 a 1 a 2 3 2 3 196. Thực hiện phép tính : B 2 2 3 2 2 3 197. Rút gọn các biểu thức sau : x y 1 1 1 2 1 1 a) A : . . 3 xy xy x y x y 2 xy x y x y với x 2 3 ; y 2 3 . x x2 y2 x x2 y2 b) B với x > y > 0 2(x y) 2a 1 x2 1 1 a a c) C với x ; 0 0 và ab + bc + ca = 1 c2 1 x 2 x 1 x 2 x 1 e) E . 2x 1 x 2x 1 x 2x 1 x2 4 x2 4 2x 4 198. Chứng minh : x x với x ≥ 2. x x x 1 2 1 2 199. Cho a , b . Tính a7 + b7. 2 2 200. Cho a 2 1 a) Viết a2 ; a3 dưới dạng m m 1 , trong đĩ m là số tự nhiên. b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số an viết được dưới dạng trên. 201. Cho biết x = 2 là một nghiệm của phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 với các hệ số hữu tỉ. Tìm các nghiệm cịn lại. 1 1 1 202. Chứng minh 2 n 3 2 n 2 với n N ; n ≥ 2. 2 3 n 203. Tìm phần nguyên của số 6 6 6 6 (cĩ 100 dấu căn). 2 3 204. Cho a 2 3. Tính a) a b) a . 205. Cho 3 số x, y, x y là số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số x , y đều là số hữu tỉ 1 1 1 1 206. CMR, n ≥ 1 , n N : 2 2 3 2 4 3 (n 1) n 1 1 1 1 207. Cho 25 số tự nhiên a1 , a2 , a3 , a25 thỏa đk : 9 . Chứng minh rằng a1 a 2 a3 a 25 trong 25 số tự nhiên đĩ tồn tại 2 số bằng nhau.
  13. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 13 2 x 2 x 208. Giải phương trình 2 . 2 2 x 2 2 x 1 x 1 x 209. Giải và biện luận với tham số a a . 1 x 1 x x 1 y 2y 210. Giải hệ phương trình y 1 z 2z z 1 x 2x 211. Chứng minh rằng : 7 a) Số 8 3 7 cĩ 7 chữ số 9 liền sau dấu phẩy. 10 b) Số 7 4 3 cĩ mười chữ số 9 liền sau dấu phẩy. * 212. Kí hiệu an là số nguyên gần n nhất (n N ), ví dụ : 1 1 a1 1 ; 2 1,4 a 2 1 ; 3 1,7 a3 2 ; 4 2 a 4 2 1 1 1 1 Tính : . a1 a 2 a3 a1980 213. Tìm phần nguyên của các số (cĩ n dấu căn) : a) a n 2 2 2 2 b) a n 4 4 4 4 c) a n 1996 1996 1996 1996 214. Tìm phần nguyên của A với n N : A 4n2 16n2 8n 3 200 215. Chứng minh rằng khi viết số x = 3 2 dưới dạng thập phân, ta được chữ số liền trước dấu phẩy là 1, chữ số liền sau dấu phẩy là 9. 250 216. Tìm chữ số tận cùng của phần nguyên của 3 2 . 217. Tính tổng A 1 2 3 24 218. Tìm giá trị lớn nhất của A = x2(3 – x) với x ≥ 0. 219. Giải phương trình : a) 3 x 1 3 7 x 2 b) 3 x 2 x 1 3 . 220. Cĩ tồn tại các số hữu tỉ dương a, b khơng nếu : a) a b 2 b) a b 4 2 . 221. Chứng minh các số sau là số vơ tỉ : a) 3 5 b) 3 2 3 4 a b c 222. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy với 3 số khơng âm : 3 abc . 3 a b c d 1 223. Cho a, b, c, d > 0. Biết 1 . Chứng minh rằng : abcd . 1 a 1 b 1 c 1 d 81 x2 y2 z2 x y z 224. Chứng minh bất đẳng thức : với x, y, z > 0 y2 z2 x2 y z x 225. Cho a 3 3 3 3 3 3 3 3 ; b 2 3 3 . Chứng minh rằng : a < b. n 1 226. a) Chứng minh với mọi số nguyên dương n, ta cĩ : 1 3 . n b) Chứng minh rằng trong các số cĩ dạng n n (n là số tự nhiên), số 3 3 cĩ giá trị lớn nhất 227. Tìm giá trị nhỏ nhất của A x2 x 1 x2 x 1 . 228. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2(2 – x) biết x ≤ 4.
  14. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 14 229. Tìm giá trị lớn nhất của A x2 9 x2 . 230. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = x(x2 – 6) biết 0 ≤ x ≤ 3. 231. Một miếng bìa hình vuơng cĩ cạnh 3 dm. Ở mỗi gĩc của hình vuơng lớn, người ta cắt đi một hình vuơng nhỏ rồi gấp bìa để được một cái hộp hình hộp chữ nhật khơng nắp. Tính cạnh hình vuơng nhỏ để thể tích của hộp là lớn nhất. 232. Giải các phương trình sau : a) 1 3 x 16 3 x 3 b) 3 2 x x 1 1 c) 3 x 1 3 x 1 3 5x d) 2 3 2x 1 x3 1 3 2 2 x 3x x 1 x 4 3 7 x 3 x 5 e) 3 2 3 g) 6 x 2 3 7 x 3 x 5 h) 3 (x 1)2 3 (x 1)2 3 x2 1 1 i) 3 x 1 3 x 2 3 x 3 0 k) 4 1 x2 4 1 x 4 1 x 3 l) 4 a x 4 b x 4 a b 2x (a, b là tham số) 3 a 4 3 a 2b2 3 b4 233. Rút gọn A . 3 a 2 3 ab 3 b2 234. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A x2 x 1 x2 x 1 235. Xác định các số nguyên a, b sao cho một trong các nghiệm của phương trình : 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0 là 1 3 . 236. Chứng minh 3 3 là số vơ tỉ. 237. Làm phép tính : a) 3 1 2.6 3 2 2 b) 6 9 4 5.3 2 5 . 238. Tính : a 3 20 14 2 3 20 14 2 . 239. Chứng minh : 3 7 5 2 3 7 2 5 2 . 240. Tính : A 4 7 48 4 28 16 3 .4 7 48 . 241. Hãy lập phương trình f(x) = 0 với hệ số nguyên cĩ một nghiệm là : x 3 3 3 9 . 1 242. Tính giá trị của biểu thức : M = x3 + 3x – 14 với x 3 7 5 2 . 3 7 5 2 243. Giải các phương trình : a) 3 x 2 3 25 x 3 . b) 3 x 9 (x 3)2 6 c) x2 32 2 4 x2 32 3 244. Tìm GTNN của biểu thức : A x3 2 1 x3 1 x3 2 1 x3 1 . 245. Cho các số dương a, b, c, d. Chứng minh : a + b + c + d ≥ 4 4 abcd . 8 x 3 x2 2 3 x 3 x2 4 246. Rút gọn : P : 2 3 x ; x > 0 , x ≠ 8 3 3 3 3 2 2 x 2 x x 2 x 2 x 247. CMR : x 3 5 17 3 5 17 là nghiệm của phương trình x3 – 6x – 10 = 0. 1 248. Cho x 3 4 15 . Tính giá trị biểu thức y = x3 – 3x + 1987. 3 4 15 a 2 5. 9 4 5 249. Chứng minh đẳng thức : 3 a 1 . 3 2 5.3 9 4 5 3 a 2 3 a
  15. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 15 3 3 3 250. Chứng minh bất đẳng thức : 9 4 5 2 5 . 5 2 2,1 0 . 251. Rút gọn các biểu thức sau : 1 1 2 3 3 a 4 3 a 2b2 3 b4 b 4b 24 a) A b) . b 3 2 3 3 2 3 1 a ab b b 8 3 b 2 1 2. b 8 3 b a 3 a 2a 3 b 3 a 2b2 3 a 2b 3 ab2 1 c) C . . 3 2 3 3 3 3 2 a ab a b a 252. Cho M x2 4a 9 x2 4x 8 . Tính giá trị của biểu thức M biết rằng: x2 4x 9 x2 4x 8 2. 253. Tìm giá trị nhỏ nhất của : P x2 2ax a 2 x2 2bx b2 (a 0 ; y > 0. x y x y 2 x y 4xy x y x y 265. Chứng minh giá trị biểu thức D khơng phụ thuộc vào a: 2 a a 2 a a a a 1 D với a > 0 ; a ≠ 1 a 2 a 1 a 1 a c ac 1 266. Cho biểu thức B a . a c a c a c ac c ac a ac a) Rút gọn biểu thức B. b) Tính giá trị của biểu thức B khi c = 54 ; a = 24 c) Với giá trị nào của a và c để B > 0 ; B < 0. 2mn 2mn 1 267. Cho biểu thức : A= m+ 2 m 2 1 2 với m ≥ 0 ; n ≥ 1 1+n 1 n n
  16. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 16 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của A với m 56 24 5 . c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. 1 x 1 x 1 1 x x 268. Rút gọn D 2 1 1 x 1 x 1 x2 1 x x x 1 x 1 x2 1 2 x 2 x 269. Cho P : 1 với x ≥ 0 ; x ≠ 1. x 1 x x x x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm x sao cho P 1. Chứng minh rằng : y - | y | = 0 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của y ? PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI m m2 1. Giả sử 7 là số hữu tỉ 7 (tối giản). Suy ra 7 hay 7n2 m2 (1). Đẳng thức này chứng tỏ n n2 m2 7 mà 7 là số nguyên tố nên m  7. Đặt m = 7k (k Z), ta cĩ m2 = 49k2 (2). Từ (1) và (2) suy ra 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3). Từ (3) ta lại cĩ n2  7 và vì 7 là số nguyên tố nên n  7. m và n cùng chia hết cho 7 nên m phân số khơng tối giản, trái giả thiết. Vậy 7 khơng phải là số hữu tỉ; do đĩ 7 là số vơ tỉ. n 2. Khai triển vế trái và đặt nhân tử chung, ta được vế phải. Từ a) b) vì (ad – bc)2 ≥ 0. 3. Cách 1 : Từ x + y = 2 ta cĩ y = 2 – x. Do đĩ : S = x2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + 2 ≥ 2. Vậy min S = 2 x = y = 1. Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta cĩ : (x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1) 4 ≤ 2(x2 + y2) = 2S S ≥ 2. mim S = 2 khi x = y = 1 bc ca bc ab ca ab 4. b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương và ; và ; và , ta lần lượt cĩ: a b a c b c bc ca bc ca bc ab bc ab ca ab ca ab 2 . 2c; 2 . 2b ; 2 . 2a cộng từng vế ta được bất a b a b a c a c b c b c đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. 3a 5b c) Với các số dương 3a và 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta cĩ : 3a.5b . 2 12 12 (3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b) 122 ≥ 60P P ≤ max P = . 5 5 Dấu bằng xảy ra khi 3a = 5b = 12 : 2 a = 2 ; b = 6/5. 5. Ta cĩ b = 1 – a, do đĩ M = a3 + (1 – a)3 = 3(a – ½)2 + ¼ ≥ ¼ . Dấu “=” xảy ra khi a = ½ . Vậy min M = ¼ a = b = ½ . 6. Đặt a = 1 + x b3 = 2 – a3 = 2 – (1 + x)3 = 1 – 3x – 3x2 – x3 ≤ 1 – 3x + 3x2 – x3 = (1 – x)3. Suy ra : b ≤ 1 – x. Ta lại cĩ a = 1 + x, nên : a + b ≤ 1 + x + 1 – x = 2. Với a = 1, b = 1 thì a3 + b3 = 2 và a + b = 2. Vậy max N = 2 khi a = b = 1. 7. Hiệu của vế trái và vế phải bằng (a – b)2(a + b). 8. Vì | a + b | ≥ 0 , | a – b | ≥ 0 , nên : | a + b | > | a – b | a2 + 2ab + b2 ≥ a2 – 2ab + b2 4ab > 0 ab > 0. Vậy a và b là hai số cùng dấu. 9. a) Xét hiệu : (a + 1)2 – 4a = a2 + 2a + 1 – 4a = a2 – 2a + 1 = (a – 1)2 ≥ 0. b) Ta cĩ : (a + 1)2 ≥ 4a ; (b + 1)2 ≥ 4b ; (c + 1)2 ≥ 4c và các bất đẳng thức này cĩ hai vế đều dương, nên : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 ≥ 64abc = 64.1 = 82. Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8.
  17. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 17 10. a) Ta cĩ : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2). Do (a – b)2 ≥ 0, nên (a + b) 2 ≤ 2(a2 + b2). b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2. Khai triển và rút gọn, ta được : 3(a2 + b2 + c2). Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2). 4 2x 3 1 x 3x 4 x 11. a) 2x 3 1 x 3 2x 3 x 1 x 2 x 2 b) x2 – 4x ≤ 5 (x – 2)2 ≤ 33 | x – 2 | ≤ 3 -3 ≤ x – 2 ≤ 3 -1 ≤ x ≤ 5. c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1 (2x – 1)2 ≤ 0. Nhưng (2x – 1)2 ≥ 0, nên chỉ cĩ thể : 2x – 1 = 0 Vậy : x = ½ . 12. Viết đẳng thức đã cho dưới dạng : a 2 + b2 + c2 + d2 – ab – ac – ad = 0 (1). Nhân hai vế của (1) với 4 rồi đưa về dạng : a2 + (a – 2b)2 + (a – 2c)2 + (a – 2d)2 = 0 (2). Do đĩ ta cĩ : a = a – 2b = a – 2c = a – 2d = 0 . Suy ra : a = b = c = d = 0. 13. 2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998 M ≥ 1998. a b 2 0 Dấu “ = “ xảy ra khi cĩ đồng thời : a 1 0 Vậy min M = 1998 a = b = 1. b 1 0 14. Giải tương tự bài 13. 15. Đưa đẳng thức đã cho về dạng : (x – 1)2 + 4(y – 1)2 + (x – 3)2 + 1 = 0. 1 1 1 1 16. A . max A= x 2 . x2 4x 9 x 2 2 5 5 5 17. a) 7 15 9 16 3 4 7 . Vậy 7 15 2. . ab a b 1999 22. Chứng minh như bài 1. x y x2 y2 2xy (x y)2 x y 23. a) 2 0 . Vậy 2 y x xy xy y x x2 y2 x y x2 y2 x y x y b) Ta cĩ : A 2 2 2 2 2 . Theo câu a : y x y x y x y x y x
  18. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 18 2 2 x2 y2 x y x y A 2 2 2 2 1 1 0 y x y x y x x4 y4 x2 y2 x y c) Từ câu b suy ra : 4 4 2 2 0 . Vì 2 (câu a). Do đĩ : y x y x y x x4 y4 x2 y2 x y 4 4 2 2 2 . y x y x y x 24. a) Giả sử 1 2 = m (m : số hữu tỉ) 2 = m2 – 1 2 là số hữu tỉ (vơ lí) 3 3 b) Giả sử m + = a (a : số hữu tỉ) = a – m 3 = n(a – m) 3 là số hữu tỉ, vơ lí. n n 25. Cĩ, chẳng hạn 2 (5 2) 5 x y x2 y2 x2 y2 26. Đặt a 2 a 2 . Dễ dàng chứng minh 2 nên a2 ≥ 4, do đĩ y x y2 x2 y2 x2 | a | ≥ 2 (1). Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : a2 – 2 + 4 ≥ 3a a2 – 3a + 2 ≥ 0 (a – 1)(a – 2) ≥0 (2) Từ (1) suy ra a ≥ 2 hoặc a ≤ -2. Nếu a ≥ 2 thì (2) đúng. Nếu a ≤ -2 thì (2) cũng đúng. Bài tốn được chứng minh. 27. Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : x4z2 y4x2 z4x2 x2z y2x z2y xyz 0 . x2y2z2 Cần chứng minh tử khơng âm, tức là : x3z2(x – y) + y3x2(y – z) + z3y2(z – x) ≥ 0. (1) Biểu thức khơng đổi khi hốn vị vịng x y z x nên cĩ thể giả sử x là số lớn nhất. Xét hai trường hợp : a) x ≥ y ≥ z > 0. Tách z – x ở (1) thành – (x – y + y – z), (1) tương đương với : x3z2(x – y) + y3x2(y – z) – z3y2(x – y) – z3y2(y – z) ≥ 0 z2(x – y)(x3 – y2z) + y2(y – z)(yx2 – z3) ≥ 0 Dễ thấy x – y ≥ 0 , x3 – y2z ≥ 0 , y – z ≥ 0 , yx2 – z3 ≥ 0 nên bất đẳng thức trên đúng. b) x ≥ z ≥ y > 0. Tách x – y ở (1) thành x – z + z – y , (1) tương đương với : x3z2(x – z) + x3z2(z – y) – y3x2(z – y) – z3y2(x – z) ≥ 0 z2(x – z)(x3 – zy2) + x2(xz2 – y3)(z – y) ≥ 0 Dễ thấy bất đẳng thức trên dúng. Cách khác : Biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : 2 2 2 x y z x y z 1 1 1 3. y z x y z x 28. Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tổng của số hữu tỉ a với số vơ tỉ b là số hữu tỉ c. Ta cĩ : b = c – a. Ta thấy, hiệu của hai số hữu tỉ c và a là số hữu tỉ, nên b là số hữu tỉ, trái với giả thiết. Vậy c phải là số vơ tỉ. 29. a) Ta cĩ : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2). b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2. Khai triển và rút gọn ta được : 3(a2 + b2 + c2). Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) Tương tự như câu b 30. Giả sử a + b > 2 (a + b)3 > 8 a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8 2 + 3ab(a + b) > 8 ab(a + b) > 2 ab(a + b) > a3 + b3. Chia hai vế cho số dương a + b : ab > a2 – ab + b2 (a – b)2 < 0, vơ lí. Vậy a + b ≤ 2. 31. Cách 1: Ta cĩ : x ≤ x ; y ≤ y nên x + y ≤ x + y. Suy ra x + y là số nguyên khơng vượt quá x + y (1). Theo định nghĩa phần nguyên, x y là số nguyên lớn nhất khơng vượt quá x + y (2). Từ (1) và (2) suy ra : x + y ≤ x y . Cách 2 : Theo định nghĩa phần nguyên : 0 ≤ x - x < 1 ; 0 ≤ y - y < 1. Suy ra : 0 ≤ (x + y) – (x + y ) < 2. Xét hai trường hợp :
  19. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 19 - Nếu 0 ≤ (x + y) – (x + y ) 0 do đĩ : A lớn 1 nhất nhỏ nhất x2 – 6x + 17 nhỏ nhất. A 1 Vậy max A = x = 3. 8 33. Khơng được dùng phép hốn vị vịng quanh x y z x và giả sử x ≥ y ≥ z. Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương x, y, z : x y z x y z A 33 . . 3 y z x y z x x y z x y z Do đĩ min 3 x y z y z x y z x x y z x y y z y x y Cách 2 : Ta cĩ : . Ta đã cĩ 2 (do x, y > 0) nên để chứng minh y z x y x z x x y x x y z y z y 3 ta chỉ cần chứng minh : 1 (1) y z x z x x (1) xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz) xy + z2 – yz – xz ≥ 0 y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 (x – z)(y – z) ≥ 0 (2) (2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đĩ (1) đúng. Từ đĩ tìm được giá trị nhỏ nhất x y z của . y z x 34. Ta cĩ x + y = 4 x2 + 2xy + y2 = 16. Ta lại cĩ (x – y)2 ≥ 0 x2 – 2xy + y2 ≥ 0. Từ đĩ suy ra 2(x2 + y2) ≥ 16 x2 + y2 ≥ 8. min A = 8 khi và chỉ khi x = y = 2. 35. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số khơng âm : 1 = x + y + z ≥ 3.3 xyz (1) 2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3.3 (x y)(y z)(z x) (2) 3 3 2 Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều khơng âm) : 2 ≥ 9.A A ≤ 9 3 2 1 max A = khi và chỉ khi x = y = z = . 9 3 36. a) Cĩ thể. b, c) Khơng thể. 37. Hiệu của vế trái và vế phải bằng (a – b)2(a + b). 1 4 38. Áp dụng bất đẳng thức với x, y > 0 : xy (x y)2 a c a 2 ad bc c2 4(a 2 ad bc c2 ) (1) b c d a (b c)(a d) (a b c d)2 b d 4(b2 ab cd d2 ) Tương tự (2) c d a b (a b c d)2 a b c d 4(a 2 b2 c2 d2 ad bc ab cd) Cộng (1) với (2) = 4B b c c d d a a b (a b c d)2 1 Cần chứng minh B ≥ , bất đẳng thức này tương đương với : 2
  20. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 20 2B ≥ 1 2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) ≥ (a + b + c + d)2 a2 + b2 + c2 + d2 – 2ac – 2bd ≥ 0 (a – c)2 + (b – d)2 ≥ 0 : đúng. 39. - Nếu 0 ≤ x - x < ½ thì 0 ≤ 2x - 2x < 1 nên 2x = 2x . - Nếu ½ ≤ x - x < 1 thì 1 ≤ 2x - 2x < 2 0 ≤ 2x – (2x + 1) < 1 2x = 2x + 1 40. Ta sẽ chứng minh tồn tại các số tự nhiên m, p sao cho : 96000 00 ≤ a + 15p < 97000 00 m chữ số 0 m chữ số 0 a 15p Tức là 96 ≤ < 97 (1). Gọi a + 15 là số cĩ k chữ số : 10k – 1 ≤ a + 15 < 10k 10m 10m 1 a 15 a 15p 15 1 (2). Đặt x . Theo (2) ta cĩ x1 < 1 và < 1. 10 10k 10k n 10k 10k 10k Cho n nhận lần lượt các giá trị 2, 3, 4, , các giá trị của xn tăng dần, mỗi lần tăng khơng quá 1 đơn vị, khi đĩ sẽ trải qua các giá trị 1, 2, 3, Đến một lúc nào đĩ ta cĩ = 96. Khi đĩ 96 ≤ x < 97 tức là 96 ≤ xn  xp p a 15p < 97. Bất đẳng thức (1) được chứng minh. 10k 10k 42. a) Do hai vế của bất đẳng thức khơng âm nên ta cĩ : | A + B | ≤ | A | + | B | | A + B |2 ≤ ( | A | + | B | )2 A 2 + B2 + 2AB ≤ A2 + B2 + 2| AB | AB ≤ | AB | (bất đẳng thức đúng) Dấu “ = “ xảy ra khi AB ≥ 0. b) Ta cĩ : M = | x + 2 | + | x – 3 | = | x + 2 | + | 3 – x | ≥ | x + 2 + 3 – x | = 5. Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi (x + 2)(3 – x) ≥ 0 -2 ≤ x ≤ 3 (lập bảng xét dấu) Vậy min M = 5 -2 ≤ x ≤ 3. c) Phương trình đã cho | 2x + 5 | + | x – 4 | = | x + 9 | = | 2x + 5 + 4 – x | (2x + 5)(4 – x) ≥ 0 -5/2 ≤ x ≤ 4 x 1 43. Điều kiện tồn tại của phương trình : x2 – 4x – 5 ≥ 0 x 5 Đặt ẩn phụ x2 4x 5 y 0 , ta được : 2y2 – 3y – 2 = 0 (y – 2)(2y + 1) = 0. 45. Vơ nghiệm 46. Điều kiện tồn tại của x là x ≥ 0. Do đĩ : A = x + x ≥ 0 min A = 0 x = 0. 47. Điều kiện : x ≤ 3. Đặt 3 x = y ≥ 0, ta cĩ : y2 = 3 – x x = 3 – y2. 13 13 13 11 B = 3 – y2 + y = - (y – ½ )2 + ≤ . max B = y = ½ x = . 4 4 4 4 48. a) Xét a2 và b2. Từ đĩ suy ra a = b. b) 5 13 4 3 5 (2 3 1) 4 2 3 3 1 . Vậy hai số này bằng nhau. c) Ta cĩ : n 2 n 1 n 2 n 1 1 và n+1 n n 1 n 1. Mà n 2 n 1 n 1 n nên n+2 n 1 n 1 n . 49. A = 1 - | 1 – 3x | + | 3x – 1 |2 = ( | 3x – 1| - ½ )2 + ¾ ≥ ¾ . Từ đĩ suy ra : min A = ¾ x = ½ hoặc x = 1/6 51. M = 4 52. x = 1 ; y = 2 ; z = -3. 2 3 53. P = | 5x – 2 | + | 3 – 5x | ≥ | 5x – 2 + 3 – 5x | = 1. min P = 1 x . 5 5 54. Cần nhớ cách giải một số phương trình dạng sau : A 0 (B 0) B 0 A 0 a) A B b) A B 2 c) A B 0 A B A B B 0
  21. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 21 B 0 A 0 d) A B A B e) A B 0 . B 0 A B a) Đưa phương trình về dạng : A B . b) Đưa phương trình về dạng : A B . c) Phương trình cĩ dạng : . A B 0 d) Đưa phương trình về dạng : A B . e) Đưa phương trình về dạng : | A | + | B | = 0 g, h, i) Phương trình vơ nghiệm. k) Đặt x 1 = y ≥ 0, đưa phương trình về dạng : | y – 2 | + | y – 3 | = 1 . Xét dấu vế trái. l) Đặt : 8x 1 u 0 ; 3x 5 v 0 ; 7x 4 z 0 ; 2x 2 t 0 . u v z t Ta được hệ : . Từ đĩ suy ra : u = z tức là : . 2 2 2 2 8x 1 7x 4 x 3 u v z t 55. Cách 1 : Xét x2 y2 2 2(x y) x2 y2 2 2(x y) 2 2xy (x y 2)2 0 . 2 2 2 x2 y2 x y Cách 2 : Biến đổi tương đương 2 2 8 (x2 + y2)2 – 8(x – y)2 ≥ 0 x y x y 2 (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2 – 2) ≥ 0 (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2) + 16 ≥ 0 (x2 + y2 – 4)2 ≥ 0. Cách 3 : Sử dụng bất đẳng thức Cauchy : x2 y2 x2 y2 2xy 2xy (x y)2 2.1 2 1 (x y) 2 (x y). (x > y). x y x y x y x y x y 6 2 6 2 6 2 6 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi x ; y hoặc x ; y 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2(c b a 62. 2 2 2 2 2 2 2 = a b c a b c ab bc ca a b c abc 1 1 1 = . Suy ra điều phải chứng minh. a2 b2 c2 2 x 6 x 16x 60 0 (x 6)(x 10) 0 63. Điều kiện : x 10 x 10 . x 6 0 x 6 x 6 Bình phương hai vế : x2 – 16x + 60 6. Nghiệm của bất phương trình đã cho : x ≥ 10. 64. Điều kiện x2 ≥ 3. Chuyển vế : x2 3 ≤ x2 – 3 (1) x 3 x2 3 0 Đặt thừa chung : x2 3 .(1 - x2 3 ) ≤ 0 x 2 2 1 x 3 0 x 2 Vậy nghiệm của bất phương trình : x = 3 ; x ≥ 2 ; x ≤ -2. 65. Ta cĩ x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 (x2 + y2)2 – 4(x2 + y2) + 3 = - x2 ≤ 0. Do đĩ : A2 – 4A + 3 ≤ 0 (A – 1)(A – 3) ≤ 0 1 ≤ A ≤ 3. min A = 1 x = 0, khi đĩ y = ± 1. max A = 3 x = 0, khi đĩ y = ± 3 . 66. a) ½ ≤ x ≠ 1.
  22. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 22 4 x 4 16 x2 0 4 x 4 x 4 2 2 1 b) B cĩ nghĩa 2x 1 0 (x 4)2 8 x 4 2 2 . 2 2 x 4 2 2 x 8x 8 0 1 x 1 2 x 2 2 x 2x 0 x(x 2) 0 x 2 67. a) A cĩ nghĩa 2 2 2 x x 2x x x 2x x 0 b) A = 2 x2 2x với điều kiện trên. c) A b rồi biến đổi tương đương : 3 3 3 2 2 1 3 3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 27 8 4 8 2 15 8 2 225 128 . Vậy a > b là đúng. b) Bình phương hai vế lên rồi so sánh. 76. Cách 1 : Đặt A = 4 7 4 7 , rõ ràng A > 0 và A2 = 2 A = 2 Cách 2 : Đặt B = 4 7 4 7 2 2.B 8 2 7 8 2 7 2 0 B =
  23. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 23 0. 2 3 2.3 2.4 2 4 2 3 4 2 2 3 4 77. Q 1 2 . 2 3 4 2 3 4 78. Viết 40 2 2.5 ; 56 2 2.7 ; 140 2 5.7 . Vậy P = 2 5 7 . 79. Từ giả thiết ta cĩ : x 1 y2 1 y 1 x2 . Bình phương hai vế của đẳng thức này ta được : y 1 x2 . Từ đĩ : x2 + y2 = 1. 80. Xét A2 để suy ra : 2 ≤ A2 ≤ 4. Vậy : min A = 2 x = ± 1 ; max A = 2 x = 0. 2 2 2 81. Ta cĩ : M a b a b a b 2a 2b 2 . a b 1 max M 2 a b . a b 1 2 82. Xét tổng của hai số : 2a b 2 cd 2c d 2 ab a b 2 ab c d 2 cd a c = 2 2 = a c a b c d a c 0 . 83. N 4 6 8 3 4 2 18 12 8 3 4 4 6 4 2 2 = 2 2 = 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 . 2 2 2 84. Từ x y z xy yz zx x y y z z x 0 . Vậy x = y = z. 85. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 1 và ai ( i = 1, 2, 3, n ). 86. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số a + b ≥ 0 và 2ab ≥ 0, ta cĩ : 2 a b 2 ab 2 2(a b) ab hay a b 2 2(a b) ab . Dấu “ = “ xảy ra khi a = b. 2 2 87. Giả sử a ≥ b ≥ c > 0. Ta cĩ b + c > a nên b + c + 2bc > a hay b c a Do đĩ : b c a . Vậy ba đoạn thẳng a , b , c lập được thành một tam giác. 88. a) Điều kiện : ab ≥ 0 ; b ≠ 0. Xét hai trường hợp : b.( a b) a a b a * Trường hợp 1 : a ≥ 0 ; b > 0 : A 1 . b. b b b b ab b2 a a a a * Trường hợp 2 : a ≤ 0 ; b 2 thì | x – 2 | = x – 2 và B = x
  24. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 24 2 2 a 2 2 a 1 1 1 89. Ta cĩ : a 2 1 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: a 2 1 a 2 1 a 2 1 1 1 a 2 2 a 2 1 2 a 2 1. 2 . Vậy 2 . Đẳng thức xảy ra khi : a 2 1 a 2 1 a 2 1 1 a 2 1 a 0 . a 2 1 93. Nhân 2 vế của pt với 2 , ta được : 2x 5 3 2x 5 1 4 5/2 ≤ x ≤ 3. 94. Ta chứng minh bằng qui nạp tốn học : 1 1 a) Với n = 1 ta cĩ : P (*) đúng. 1 2 3 1 1.3.5 (2k 1) 1 b) Giả sử : P (1) k 2k 1 2.4.6 2k 2k 1 c) Ta chứng minh rằng (*) đúng khi n = k + 1 , tức là : 1 1.3.5 (2k 1) 1 P (2) k 1 2k 3 2.4.6 (2k 2) 2k 3 2k 1 2k 1 Với mọi số nguyên dương k ta cĩ : (3) 2k 2 2k 3 Nhân theo từng vế các bất đẳng thức (1) và (3) ta được bất đẳng thức (2). Vậy  n Z+ ta cĩ 1.3.5 (2n 1) 1 P n 2.4.6 2n 2n 1 a 2 b2 a3 b3 95. Biến đổi tương đương : a b a b b a ab ( a b)(a ab b) 2 a b ab a ab b a b 0 (đúng). ab x 4(x 1) 0 x 4(x 1) 0 1 x 2 96. Điều kiện : x2 4(x 1) 0 x 2 x 1 0 2 2 Xét trên hai khoảng 1 2. Kết quả : A và A= 1 x x-1 105. Cách 1 : Tính A 2 . Cách 2 : Tính A2 Cách 3 : Đặt 2x 1 = y ≥ 0, ta cĩ : 2x – 1 = y2. 2x 2 2x 1 2x 2 2x 1 y2 1 2y y2 1 2y y 1 y 1 A 2 2 2 2 2 2 1 Với y ≥ 1 (tức là x ≥ 1), A (y 1 y 1) 2 . 2 1 1 2y Với 0 ≤ y < 1 (tức là ≤ x < 1), A (y 1 y 1) y 2 4x 2 . 2 2 2 108. Nếu 2 ≤ x ≤ 4 thì A = 22 . Nếu x ≥ 4 thì A = 2x 2 . 109. Biến đổi : x y 2 2 x y . Bình phương hai vế rồi rút gọn, ta được :
  25. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 25 2(x y 2) xy . Lại bình phương hai vế rồi rút gọn : (2 – y)(x – 2) = 0. Đáp : x = 2 , y ≥ 0 , x ≥ 0 , y = 2. 110. Biến đổi tương đương : (1) a2 + b2 + c2 + d2 + 2 a2 b2 c2 d2 ≥ a2 + c2 + 2ac + b2 + d2 + 2bd a2 b2 c2 d2 ≥ ac + bd (2) * Nếu ac + bd 0. Ta cĩ : a O d 2 2 2 2 2 2 2 2 D AB a c ; BC b c ; AD a d ; CD b d A AC = a + b ; BD = c + d. Cần chứng minh : AB.BC + AD.CD ≥ AC.BD. Thật vậy ta cĩ : AB.BC ≥ 2SABC ; AD.CD ≥ 2SADC. Suy ra :
  26. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 26 Suy ra : AB.BC + AD.CD ≥ 2SABCD = AC.BD. Vậy : a2 c2 b2 c2 a2 d2 b2 d2 (a b)(c d) . Chú ý : Giải bằng cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki : (m2 + n2)(x2 + y2) ≥ (mx + ny)2 với m = a , n = c , x = c , y = b ta cĩ : (a2 + c2)(c2 + b2) ≥ (ac + cb)2 a2 c2 c2 b2 ≥ ac + cb (1) Tương tự : a2 d2 d2 b2 ≥ ad + bd (2) . Cộng (1) và (2) suy ra đpcm. 2 1 1 1 1 114. Lời giải sai : A x x x . Vậy min A . 2 4 4 4 1 1 Phân tích sai lầm : Sau khi chứng minh f(x) ≥ - , chưa chỉ ra trường hợp xảy ra f(x) = - 4 4 1 Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi x . Vơ lí. 2 Lời giải đúng : Để tồn tại x phải cĩ x ≥ 0. Do đĩ A = x + x ≥ 0. min A = 0 x = 0. (x a)(x b) x2 ax+ bx+ab ab 115. Ta cĩ A x (a b) . x x x ab 2 Theo bất đẳng thức Cauchy : x 2 ab nên A ≥ 2ab + a + b = a b . x ab 2 x min A = a b khi và chi khi x x ab . x 0 116. Ta xét biểu thức phụ : A2 = (2x + 3y)2. Nhớ lại bất đẳng thức Bunhiacơpxki : (am + bn)2 ≤ (a2 + b2)(m2 + n2) (1) Nếu áp dụng (1) với a = 2, b = 3, m = x, n = y ta cĩ : A2 = (2x + 3y)2 ≤ (22 + 32)(x2 + y2) = 13(x2 + y2). Vĩi cách trên ta khơng chỉ ra được hằng số α mà A2 ≤ α. Bây giờ, ta viết A2 dưới dạng : 2 A2 = 2. 2x 3. 3y rồi áp dụng (1) ta cĩ : 2 2 2 2 A2 2 3 x 2 y 3 (2 3)(2x2 3y2 ) 5.5 25 x y Do A2 ≤ 25 nên -5 ≤ A ≤ 5. min A = -5 x y 1 2x 3y 5 x y max A = 5 x y 1 2x 3y 5 117. Điều kiện x ≤ 2. Đặt 2 x = y ≥ 0, ta cĩ : y2 = 2 – x. 2 2 1 9 9 9 1 7 a 2 y y y max A= y x 2 4 4 4 2 4 118. Điều kiện x ≥ 1 ; x ≥ 1/5 ; x ≥ 2/3 x ≥ 1. Chuyển vế, rồi bình phương hai vế : x – 1 = 5x – 1 + 3x – 2 + 2 15x2 13x 2 (3) Rút gọn : 2 – 7x = 2 15x2 13x 2 . Cần cĩ thêm điều kiện x ≤ 2/7. Bình phương hai vế : 4 – 28x + 49x2 = 4(15x2 – 13x + 2) 11x2 – 24x + 4 = 0 (11x – 2)(x – 2) = 0 x1 = 2/11 ; x2 = 2. Cả hai nghiệm đều khơng thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm. 119. Điều kiện x ≥ 1. Phương trình biến đổi thành :
  27. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 27 x 1 1 x 1 1 2 x 1 x 1 1 1 * Nếu x > 2 thì : x 1 x 1 1 1 x 1 1 x 2 , khơng thuộc khoảng đang xét. * Nếu 1 ≤ x ≤ 2 thì : x 1 1 x 1 1 2 . Vơ số nghiệm 1 ≤ x ≤ 2 Kết luận : 1 ≤ x ≤ 2. 120. Điều kiện : x2 + 7x + 7 ≥ 0. Đặt x2 7x 7 = y ≥ 0 x2 + 7x + 7 = y2. Phương trình đã cho trở thành : 3y2 – 3 + 2y = 2 3y2 + 2y – 5 = 0 (y – 1)(3y + 5) = 0 y = - 5/3 (loại) ; y = 1. Với y = 1 ta cĩ x2 7x 7 = 1 x2 + 7x + 6 = 0 (x + 1)(x + 6) = 0. Các giá trị x = - 1, x = - 6 thỏa mãn x2 + 7x + 7 ≥ 0 là nghiệm của (1). 121. Vế trái : 3(x 1)2 4 5(x 1)2 9 4 9 5 . Vế phải : 4 – 2x – x2 = 5 – (x + 1)2 ≤ 5. Vậy hai vế đều bằng 5, khi đĩ x = - 1. Với giá trị này cả hai bất đẳng thức này đều trở thành đẳng thức. Kết luận : x = - 1 5 a2 122. a) Giả sử 3 2 = a (a : hữu tỉ) 5 - 26 = a2 6 . Vế phải là số hữu tỉ, vế trái là 2 số vơ tỉ. Vơ lí. Vậy 3 2 là số vơ tỉ. b) Giải tương tự câu a. 123. Đặt x 2 = a, 4 x = b, ta cĩ a2 + b = 2. Sẽ chứng minh a + b ≤ 2. Cộng từng vế bất đẳng thức : a2 1 b2 1 a ; b . A 2 2 124. Đặt các đoạn thẳng BH = a, HC = c trên một đường thẳng. b Kẻ HA  BC với AH = b. Dễ thấy AB.AC ≥ 2SABC = BC.AH. a c 125. Bình phương hai vế rồi rút gọn, ta được bất đẳng thức tương B C đương : (ad – bc)2 ≥ 0. Chú ý : Cũng cĩ thể chứng minh bằng bất đẳng thức Bunhiacơpxki. 126. Giả sử a ≥ b ≥ c > 0. Theo đề bài : b + c > a. Suy ra : b + c + 2bc > a 2 2 b c a b c a Vậy ba đoạn thẳng cĩ độ dài b , c , a lập được thành một tam giác. 127. Ta cĩ a, b ≥ 0. Theo bất đẳng thức Cauchy : (a b)2 a b a b 1 1 a b ab a b 2 4 2 2 2 1 Cần chứng minh : ab a b ≥ a b b a . Xét hiệu hai vế : 2 2 2 1 1 1 1 ab a b - ab a b = ab a b a b = =ab a b ≥ 0 2 2 2 2 1 Xảy ra dấu đẳng thức : a = b = hoặc a = b = 0. 4 b c b c b c a 128. Theo bất đẳng thức Cauchy : .1 1 : 2 . a a 2a a 2a b 2b c 2c Do đĩ : . Tương tự : ; b c a b c a c a b c a b a b c a b c 2(a b c) Cộng từng vế : 2 . b c c a a b a b c
  28. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 28 a b c Xảy ra dấu đẳng thức : b c a a b c 0 , trái với giả thiết a, b, c > 0. c a b Vậy dấu đẳng thức khơng xảy ra. 129. Cách 1 : Dùng bất đẳng thức Bunhiacơpxki. Ta cĩ : 2 x 1 y2 y 1 x2 x2 y2 1 y2 1 x2 . Đặt x2 + y2 = m, ta được : 12 ≤ m(2 - m) (m – 1)2 ≤ 0 m = 1 (đpcm). Cách 2 : Từ giả thiết : x 1 y2 1 y 1 x2 . Bình phương hai vế : x2(1 – y2) = 1 – 2y1 x2 + y2(1 – x2) x2 = 1 – 2y1 x2 + y2 0 = (y - 1 x2 )2 y = 1 x2 x2 + y2 = 1 . 130. Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | . min A = 2 1 ≤ x ≤ 2 . 131. Xét A2 = 2 + 21 x2 . Do 0 ≤ 1 x2 ≤ 1 2 ≤ 2 + 21 x2 ≤ 4 2 ≤ A2 ≤ 4. min A = 2 với x = ± 1 , max A = 2 với x = 0. 132. Áp dụng bất đẳng thức : a2 b2 c2 d2 (a c)2 (b d)2 (bài 23) A x2 12 (1 x)2 22 (x 1 x)2 (1 2)2 10 1 x 1 min A 10 2 x . x 3 x2 4x 12 0 (x 2)(6 x) 0 133. Tập xác định : 1 x 3 (1) 2 x 2x 3 0 (x 1)(3 x) 0 Xét hiệu : (- x2 + 4x + 12)(- x2 + 2x + 3) = 2x + 9. Do (1) nên 2x + 9 > 0 nên A > 0. 2 Xét : A2 (x 2)(6 x) (x 1)(3 x) . Hiển nhiên A2 ≥ 0 nhưng dấu “ = ” khơng xảy ra (vì A > 0). Ta biến đổi A2 dưới dạng khác : A2 = (x + 2)(6 – x) + (x + 1)(3 – x) - 2(x 2)(6 x)(x 1)(3 x) = = (x + 1)(6 – x) + (6 – x) + (x + 2)(3 – x) – (3 – x) - 2 (x 2)(6 x)(x 1)(3 x) = (x + 1)(6 – x) + (x + 2)(3 – x) - 2(x 2)(6 x)(x 1)(3 x) + 3 2 = (x 1)(6 x) (x 2)(3 x) 3 . A2 ≥ 3. Do A > 0 nên min A = 3 với x = 0. 134. a) Điều kiện : x2 ≤ 5. * Tìm giá trị lớn nhất : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki : A2 = (2x + 1.5 x2 )2 ≤ (22 + 11)(x2 + 5 – x2) = 25 A2 ≤ 25. x 0 x 2 5 x A2 25 2 x2 4(5 x2 ) x 2 . 2 2 x 5 x 5 Với x = 2 thì A = 5. Vậy max A = 5 với x = 2. * Tìm giá trị nhỏ nhất : Chú ý rằng tuy từ A2 ≤ 25, ta cĩ – 5 ≤ x ≤ 5, nhưng khơng xảy ra A2 = - 5. Do tập xác định của A, ta cĩ x2 ≤ 5 - 5 ≤ x ≤ 5 . Do đĩ : 2x ≥ - 25 và 5 x2 ≥ 0. Suy ra :A = 2x + 5 x2 ≥ - 25 . Min A = - 25 với x = - 5 b) Xét biểu thức phụ | A | và áp dụng các bất đẳng thức Bunhiacơpxki và Cauchy :
  29. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 29 A x 99. 99 1. 101 x2 x (99 1)(99 101 x2 ) x .10. 200 x2 x2 200 x2 10. 1000 2 x2 101 99 99 A 1000 x 10. Do đĩ : - 1000 < A < 1000. 1 101 x2 2 2 x 200 x min A = - 1000 với x = - 10 ; max A = 1000 với x = 10. a b ay bx 135. Cách 1 : A = x + y = 1.(x + y) = x y a b . x y x y ay bx ay bx Theo bất đẳng thức Cauchy với 2 số dương : 2 . 2 ab . x y x y 2 Do đĩ A a b 2 ab a b . ay bx x y 2 a b x a ab min A a b với 1 x y y b ab x, y 0 Cách 2 : Dùng bất đẳng thức Bunhiacơpxki : 2 a b a b 2 A (x y).1 (x y) x. y. a b . x y x y Từ đĩ tìm được giá trị nhỏ nhất của A. 136. A = (x + y)(x + z) = x2 + xz + xy + yz = x(x + y + z) + yz 2 xyz(x y z) 2 min A = 2 khi chẳng hạn y = z = 1 , x = 2 - 1. xy yz xy yz 137. Theo bất đẳng thức Cauchy : 2 . 2y . z x z x yz zx zx xy Tương tự : 2z ; 2x . Suy ra 2A ≥ 2(x + y + z) = 2. x y y z 1 min A = 1 với x = y = z = . 3 x2 y2 z2 x y z 138. Theo bài tập 24 : . Theo bất đẳng thức Cauchy : x y y z z x 2 x y y z z x x+y+z xy yz zx 1 xy ; yz ; zx nên . 2 2 2 2 2 2 1 1 min A = x y z . 2 3 2 2 2 139. a) A a b a b a b 2a 2b 2 . a b 1 max A 2 a b a b 1 2
  30. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 30 4 4 4 b) Ta cĩ : a b a b a b 2(a 2 b2 6ab) 4 4 a c 2(a 2 c2 6ac) ; a d 2(a 2 d2 6ad) 4 4 Tương tự : b c 2(b2 c2 6bc) ; b d 2(b2 d2 6bd) 4 c d 2(c2 d2 6cd) Suy ra : B ≤ 6(a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd) = 6(a + b + c + d)2 ≤ 6 a b c d 1 max B 6 a b c d a b c d 1 4 140. A 3x 3y 2. 3x.3y 2 3x y 2. 34 18 . min A = 18 với x = y = 2. 141. Khơng mất tính tổng quát, giả sử a + b ≥ c + d. Từ giả thiết suy ra : a b c d b c . 2 b c b c c c a b c d c d c d A c d a b c d c d a b 2(c d) c d a b Đặt a + b = x ; c + d = y với x ≥ y > 0, ta cĩ : x y y y x 1 y x y 1 x y 1 1 A 1 2. . 2 2y y x 2y 2 x 2y x 2 2y x 2 2 1 min A 2 d 0 , x y 2 , b c a d ; chẳng hạn khi 2 a 2 1,b 2 1,c 2,d 0 142. a) (x 3)2 ( x 3)2 0 . Đáp số : x = 3. b) Bình phương hai vế, đưa về : (x2 + 8)(x2 – 8x + 8) = 0. Đáp số : x = 4 + 22 . c) Đáp số : x = 20. d) x 1 2 x 1 . Vế phải lớn hơn vế trái. Vơ nghiệm. e) Chuyển vế : x 2 x 1 1 x 1 . Bình phương hai vế. Đáp số : x = 1. 1 g) Bình phương hai vế. Đáp số : ≤ x ≤ 1 2 h) Đặt x 2 = y. Đưa về dạng y 2 y 3 = 1. Chú ý đến bất đẳng thức : y 2 3 y y 2 3 y 1. Tìm được 2 ≤ y ≤ 3. Đáp số : 6 ≤ x ≤ 11. 16 i) Chuyển vế :x 1 x 1 x , rồi bình phương hai vế. Đáp : x = 0 (chú ý loại x = ) 25 16 k) Đáp số : . 25 l) Điều kiện : x ≥ 1 hoặc x = - 1. Bình phương hai vế rồi rút gọn : 2 2(x 1)2 (x 3)(x 1) x2 1. Bình phương hai vế : 8(x + 1)2(x + 3)(x – 1) = (x + 1)2(x – 1)2 (x + 1)2(x – 1)(7x + 25) = 0 25 x loại. Nghiệm là : x = ± 1. 7 m) Vế trái lớn hơn x, vế phải khơng lớn hơn x. Phương trình vơ nghiệm. n) Điều kiện : x ≥ - 1. Bình phương hai vế, xuất hiện điều kiện x ≤ - 1. Nghiệm là : x = - 1. o) Do x ≥ 1 nên vế trái lớn hơn hoặc bằng 2, vế phải nhỏ hơn hoặc bằng 2. Suy ra hai vế bằng 2, khi đĩ x = 1, thỏa mãn phương trình.
  31. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 31 p) Đặt 2x 3 x 2 y ; 2x 2 x 2 z (1). Ta cĩ : y2 z2 1 2 x 2 ; y z 1 2 x 2 . Suy ra y – z = 1. Từ đĩ z x 2 (2). Từ (1) và (2) tính được x. Đáp số : x = 2 (chú ý loại x = - 1). q) Đặt 2x2 – 9x + 4 = a ≥ 0 ; 2x – 1 ≥ b ≥ 0. Phương trình là : a 3 b a 15b . Bình phương hai vế rồi 1 rút gọn ta được : b = 0 hoặc b = a. Đáp số : ; 5 2 1 2 2 2 k 1 k 144. Ta cĩ : 2 k 1 k . k 2 k k k 1 k 1 k k 1 k 1 1 1 Vậy : 1 2( 2 1) 2( 3 2) 2( 4 3) 2( n 1 n) = 2 3 n = 2( n 1 1) (đpcm). 150. Đưa các biểu thức dưới dấu căn về dạng các bình phương đúng. M = -2 151. Trục căn thức ở mẫu từng hạng tử. Kết quả : A = n - 1. 1 152. Ta cĩ : ( a a 1) P ( 2 2n 1) . a a 1 P khơng phải là số hữu tỉ (chứng minh bằng phản chứng). 1 1 1 9 153. Ta hãy chứng minh : A (n 1) n n n 1 n n 1 10 1 1 1 1 1 154. 1 .n n . 2 3 4 n n 155. Ta cĩ a + 1 = 17 . Biến đổi đa thức trong ngoặc thành tổng các lũy thừa cơ số a + 1 A = [(a + 1)5 – 3(a + 1)4 – 15(a + 1)3 + 52(a + 1)2 – 14(a + 1)]2000 = (25917 - 22517 - 3417 - 1)2000 = 1. 1 1 156. Biến đổi : a a 1 ; a 2 a 3 . a a 1 a 2 a 3 2 2 2 1 2 1 1 1 1 157. x x x x x x x x 0 . 2 4 4 2 2 1 1 Dấu “ = “ khơng xảy ra vì khơng thể cĩ đồng thời : x và x . 2 2 168. Trước hết ta chứng minh : a b 2(a 2 b2 ) (*) (a + b ≥ 0) Áp dụng (*) ta cĩ : S x 1 y 2 2(x 1 y 2) 2 3 x x 1 y 2 2 maxS 2 x y 4 5 y 2 * Cĩ thể tính S2 rồi áp dụng bất đẳng thức Cauchy. 1 180. Ta phải cĩ  A  ≤ 3 . Dễ thấy A > 0. Ta xét biểu thức : B 2 3 x2 . Ta cĩ : A 0 3 x2 3 3 3 x2 0 2 3 2 3 x2 2. 1 min B 2 3 3 3 x2 x 0 . Khi đĩ max A 2 3 2 3
  32. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 32 1 max B 2 3 x2 0 x 3 . Khi đĩ min A = 2 2x 1 x 181. Để áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta xét biểu thức : B . Khi đĩ : 1 x x 2x 1 x 2x 1 x (1) B 2 . 2 2. B 2 2 1 x x 1 x x 0 x 1 (2) Giải (1) : 2x2 = (1 – x)2  x2  =  1 – x . Do 0 < x < 1 nên x2 = 1 – x 1 x = 2 1 . 2 1 Như vậy min B = 22 x = 2 - 1. 2 1 2x 1 x 2 2x 1 1 x Bây giờ ta xét hiệu : A B 2 1 3 1 x x 1 x x 1 x x Do đĩ min A = 22 + 3 khi và chỉ khi x = 2 - 1. 182. a) Điều kiện : x ≥ 1 , y ≥ 2. Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm giảm một tổng : a b ab . Ở đây ta muốn làm tăng một tổng. Ta dùng bất đẳng thức : a b 2(a 2 b2 ) 2 A x 1 y 2 2(x 1 y 3) 2 x 1 y 2 x 1,5 max A 2 x y 4 y 2,5 Cách khác : Xét A2 rồi dùng bất đẳng thức Cauchy. a b b) Điều kiện : x ≥ 1 , y ≥ 2. Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm trội một tích : ab 2 2(y 2) Ta xem các biểu thức x 1 , y 2 là các tích : x 1 1.(x 1) , y 2 2 x 1 1.(x 1) 1 x 1 1 Theo bất đẳng thức Cauchy : x x 2x 2 y 2 2.(y 2) 2 y 2 1 2 y y 2 2y 2 2 2 4 1 2 2 2 x 1 1 x 2 max B 2 4 4 y 2 2 y 4 1 1 183. a , b . Ta thấy 1997 1996 1998 1997 1997 1996 1998 1997 Nên a < b. 1 184. a) min A = 5 - 26 với x = 0. max A = với x = ± 6 . 5 b) min B = 0 với x = 1 ± 5 . max B = 5 với x = 1 x2 (1 x2 ) 1 185. Xét – 1 ≤ x ≤ 0 thì A ≤ 0. Xét 0 ≤ x ≤ 1 thì A x2 (1 x2 ) . 2 2 1 x2 1 x2 2 max A x 2 x 0 2 186. A =  x – y  ≥ 0, do đĩ A lớn nhất khi và chi khi A2 lớn nhất. Theo bđt Bunhiacơpxki :
  33. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 33 2 2 2 1 1 2 2 5 A (x y) 1.x .2y 1 (x 4y ) 2 4 4 2 5 2 5 2y 1 x x 5 5 5 max A = x 2 hoặc 2 2 2 5 5 x 4y 1 y y 10 10 187. a) Tìm giá trị lớn nhất : Từ giả thiết : 0 x 1 x3 x2 x3 y3 x2 y2 1 3 2 0 y 1 y y x3 x2 max A 1 x 0, y 1 V x 1, y 0 3 2 y y x y b) Tìm giá trị nhỏ nhất : (x + y)2 ≤ 2(x2 + y2) = 2 x + y ≤ 2 1. Do đĩ : 2 x3 y3 x y x3 y3 . Theo bất đẳng thức Bunhiacơpxki : 2 2 2 2 2 2 (x3 y3 )(x y) x3 y3 x y x3 . x y3 . y = (x2 + y2) = 1 1 2 min A x y 2 2 188. Đặt x a ; y b , ta cĩ a, b ≥ 0, a + b = 1. A = a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab = 1 – 3ab. Do ab ≥ 0 nên A ≤ 1. max A = 1 a = 0 hoặc b = 0 x = 0 hoặc x = 1, y = 0. (a b)2 1 1 1 1 1 Ta cĩ ab ab 1 3ab . min A x y 4 4 4 4 4 4 189. Điều kiện : 1 – x ≥ 0 , 2 – x ≥ 0 nên x ≤ 1. Ta cĩ : x 1 1 x (x 1)(x 2) x 2 3 x 2 1 x (x 1)(x 2) (x 1)(x 2) 3 1 x 3 x 8 . 190. Ta cĩ : 6 + 4x + 2x2 = 2(x2 + 2x + 1) + 4 = 2(x + 1)2 + 4 > 0 với mọi x. Vậy phương trình xác định với mọi giá trị của x. Đặt x2 2x 3 = y ≥ 0, phương trình cĩ dạng : y 3 2 y2 - y2 - 12 = 0 (y - 32 )(y + 22 ) = 0 y 2 2 (loai vì y 0 Do đĩ x2 2x 3 = 32 x2 + 2x + 3 = 18 (x – 3)(x + 5) = 0 x = 3 ; x = -5 . 1 1 1 1 1 1 1 1 191. Ta cĩ : k. k k (k 1) k (k 1)k k k 1 k k 1 k k 1 k 1 1 1 1 1 = 1 . Do đĩ : 2 . k 1 k k 1 (k 1) k k k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Vậy : 2 1 2 2 2 3 2 4 3 (n 1) n 2 2 3 n n 1
  34. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 34 1 = 2 1 2 (đpcm). n 1 1 2 192. Dùng bất đẳng thức Cauchy (a, b > 0 ; a ≠ 0). ab a b 193. Đặt x – y = a , x + y = b (1) thì a, b Q . a) Nếu b = 0 thì x = y = 0, do đĩ x , y Q . x y a a b) Nếu b ≠ 0 thì Q (2). x y x y b b 1 a 1 a Từ (1) và (2) : x b Q ; y b Q . 2 b 2 b 199. Nhận xét : x2 a 2 x x2 a 2 x a 2 . Do đĩ : 2 2 2 2 5a 2 5 x a x x a x 2 x x2 a 2 (1) 2 x x2 a 2 x2 a 2 x2 a 2 Do a ≠ 0 nên : x2 a 2 x x2 x x x 0 . Suy ra : x2 a 2 x 0 , x. x 0 2 2 2 2 2 2 Vì vậy : (1) 2 x a 5 x a x 5x 3 x a x 0 2 2 2 25x 9x 9a x 0 3 3 x a . 0 x a 4 4 1 2a 1 207. c) Trước hết tính x theo a được x . Sau đĩ tính 1 x2 được . 2 a(1 a) 2 a(1 a) Đáp số : B = 1. d) Ta cĩ a2 + 1 = a2 + ab + bc + ca = (a + b)(a + c). Tương tự : b2 + 1 = (b + a)(b + c) ; c2 + 1 = (c + a)(c + b). Đáp số : M = 0. 2x 4 208. Gọi vế trái là A > 0. Ta cĩ A2 . Suy ra điều phải chứng minh. x 1 1 3 209. Ta cĩ : a + b = - 1 , ab = - nên : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = 1 + . 4 2 2 9 1 17 3 7 a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = ; a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = - 1 - 4 9 8 4 4 7 17 1 239 Do đĩ : a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = . 1 . 4 8 64 64 210. a) a 2 ( 2 1)2 3 2 2 9 8 . a3 ( 2 1)3 2 2 6 3 2 1 5 2 7 50 49 . b) Theo khai triển Newton : (1 - 2 )n = A - B2 ; (1 + 2 )n = A + B2 với A, B N Suy ra : A2 – 2B2 = (A + B2 )(A - B2 ) = [(1 + 2 )(1 - 2 )]n = (- 1)n. Nếu n chẵn thì A2 – 2b2 = 1 (1). Nếu n lẻ thì A2 – 2B2 = - 1 (2). Bây giờ ta xét an. Cĩ hai trường hợp : * Nếu n chẵn thì : an = (2 - 1)n = (1 - 2 )n = A - B2 = A2 2B2 . Điều kiện A2 – 2B2 = 1 được thỏa mãn do (1).
  35. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 35 * Nếu n lẻ thì : an = (2 - 1)n = - (1 - 2 )n = B2 - A = 2B2 A2 . Điều kiện 2B2 – A2 = 1 được thỏa mãn do (2). 211. Thay a = 2 vào phương trình đã cho : 22 + 2a + b2 + c = 0 2 (b + 2) = -(2a + c). Do a, b, c hữu tỉ nên phải cĩ b + 2 = 0 do đĩ 2a + c = 0. Thay b = - 2 , c = - 2a vào phương trình đã cho : x3 + ax2 – 2x – 2a = 0 x(x2 – 2) + a(x2 – 2) = 0 (x2 – 2)(x + a) = 0. Các nghiệm phương trình đã cho là: ± 2 và - a. 1 1 1 212. Đặt A . 2 3 n a) Chứng minh A 2 n 3 : Làm giảm mỗi số hạng của A : 1 2 2 2 k 1 k . k k k k 1 k Do đĩ A 2 2 3 3 4 n n 1 2 n 1 2 2 n 1 2 2 2 n 1 3 2 n 3 . b) Chứng minh A 2 n 2 : Làm trội mỗi số hạng của A : 1 2 2 2 k k 1 k k k k k 1 Do đĩ : A 2 n n 1 3 2 2 1 2 n 2 . 213. Kí hiệu a n 6 6 6 6 cĩ n dấu căn. Ta cĩ : a1 6 3 ; a 2 6 a1 6 3 3 ; a3 6 a 2 6 3 3 a100 6 a99 6 3 3Hiển nhiên a100 > 6 > 2. Như vậy 2 < a100 < 3, do đĩ [ a100 ] = 2. 214. a) Cách 1 (tính trực tiếp) : a2 = (2 + 3 )2 = 7 + 43 . Ta cĩ 4 3 48 nên 6 < 43 < 7 13 < a2 < 14. Vậy [ a2 ] = 13. Cách 2 (tính gián tiếp) : Đặt x = (2 + 3 )2 thì x = 7 + 43 . Xét biểu thức y = (2 - 3 )2 thì y = 7 - 43 . Suy ra x + y = 14. Dễ thấy 0 < 2 - 3 < 1 nên 0 < (2- 3 )2 < 1, tức là 0 < y < 1. Do đĩ 13 < x < 14. Vậy [ x ] = 13 tức là [ a2 ] = 13. b) Đáp số : [ a3 ] = 51. 215. Đặt x – y = a ; x y b (1) thì a và b là số hữu tỉ. Xét hai trường hợp : x y a a a) Nếu b ≠ 0 thì x y là số hữu tỉ (2). Từ (1) và (2) ta cĩ : x y b b 1 a 1 a x b là số hữu tỉ ; y b là số hữu tỉ. 2 b 2 b b) Nếu b = 0 thì x = y = 0, hiển nhiên x , y là số hữu tỉ. 1 n 1 1 1 1 1 1 216. Ta cĩ n n (n 1) n n(n 1) n n 1 n n 1 n n 1 n 1 1 1 1 1 2 . Từ đĩ ta giải được bài tốn. n 1 n n 1 n n 1 217. Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử trong 25 số tự nhiên đã cho, khơng cĩ hai số nào bằng nhau. Khơng mất tính tổng quát, giả sử a1 < a2 < . < a25. Suy ra : a1 ≥ 1 , a2 ≥ 2 ,
  36. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 36 1 1 1 1 1 1 a25 ≥ 25. Thế thì : (1). Ta lại cĩ : a1 a 2 a 25 1 2 25 1 1 1 1 2 2 2 1 25 24 2 1 25 25 24 24 2 2 2 2 2 1 2 25 24 24 23 2 1 1 24 24 23 23 2 2 2 25 1 1 9 (2) 1 1 1 Từ (1) và (2) suy ra : 9 , trái với giả thiết. Vậy tồn tại hai số bằng nhau trong 25 số a1 a 2 a 25 a1 , a2 , , a25. 218. Điều kiện : 0 ≤ x ≤ 4. Đặt 2 x a 0 ; 2 x b 0 . a 2 b2 Ta cĩ : ab =4 x , a2 + b2 = 4. Phương trình là : 2 2 a 2 b a2 2 - a2b + b2 2 + ab2 = 2 (2 - b2 + a2 - ab) 2 (a2 + b2 – 2 + ab) – ab(a – b) = 2(a – b) 2 (2 + ab) = (a – b)(2 + ab) (chú ý : a2 + b2 = 4) a – b = 2 (do ab + 2 ≠ 0) Bình phương : a2 + b2 – 2ab = 2 2ab = 2 ab = 1 4 x = 1. Tìm được x = 3 . a 1 219. Điều kiện : 0 0 2y 2y Từ hệ phương trình đã cho ta cĩ : x y . 1 y 2 y Tương tự y z ; z x . Suy ra x = y = z. Xảy ra dấu “ = ” ở các bất đẳng thức trên với x = y = z = 1. Kết luận : Hai nghiệm (0 ; 0 ; 0) , (1 ; 1 ; 1). 1 221. a) Đặt A = (8 + 37 )7. Để chứng minh bài tốn, chỉ cần tìm số B sao cho 0 0 vì 8 > 37 . Ta cĩ 8 + 37 > 10 suy ra : 1 1 7 1 8 3 7 7 7 7 8 3 7 10 10 Theo khai triển Newton ta lại cĩ : A = (8 + 37 )7 = a + b7 với a, b N. B = (8 - 37 )7 = a - b7 . Suy ra A + B = 2a là số tự nhiên. 1 Do 0 B và A + B là số tự nhiên nên A cĩ bảy chữ số 9 liền sau dấu phẩy. 107 Chú ý : 10- 7 = 0,0000001. b) Giải tương tự như câu a.
  37. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 37 222. Ta thấy với n là số chính phương thì n là số tự nhiên, nếu n khác số chính phương thì n là số vơ tỉ, * nên n khơng cĩ dạng ,5 . Do đĩ ứng với mỗi số n N cĩ duy nhất một số nguyên an gần n nhất. Ta thấy rằng, với n bằng 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, thì an bằng 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, Ta sẽ chứng minh rằng an lần lượt nhận các giá trị : hai số 1, bốn số 2, sáu số 3 Nĩi cách khác ta sẽ chứng minh bất phương trình : 1 1 1 x 1 cĩ hai nghiệm tự nhiên. 2 2 1 1 2 x 2 cĩ bốn nghiệm tự nhiên. 2 2 1 1 3 x 3 cĩ sáu nghiệm tự nhiên. 2 2 1 1 Tổng quát : k x k cĩ 2k nghiệm tự nhiên. Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với : k2 – k + 2 2 1 1 < x < k2 + k + . Rõ ràng bất phương trình này cĩ 2k nghiệm tự nhiên là : k2 – k + 1 ; k2 – k + 2 ; 4 4 ; k2 + k. Do đĩ : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2.44 88 . a a a 1 1 2 2 2 2 44 44 44 1 2 1980   2 số 4 số 88 số 223. Giải tương tự bài 24. a) 1 < an < 2. Vậy [ an ] = 1. b) 2 ≤ an ≤ 3. Vậy [ an ] = 2. c) Ta thấy : 442 = 1936 < 1996 < 2025 = 452, cịn 462 = 2116. a1 = 1996 = 44 < a1 < 45. Hãy chứng tỏ với n ≥ 2 thì 45 < an < 46. Như vậy với n = 1 thì [ an ] = 44, với n ≥ 2 thì [ an ] = 45. 224. Cần tìm số tự nhiên B sao cho B ≤ A < B + 1. Làm giảm và làm trội A để được hai số tự nhiên liên tiếp. Ta cĩ : (4n + 1)2 < 16n2 + 8n + 3 < (4n + 2)2 4n + 1 < 16n2 8n 3 < 4n + 2 4n2 + 4n + 1 < 4n2 + 16n2 8n 3 < 4n2 + 4n + 2 < 4n2 + 8n + 4 (2n + 1)2 < 4n2 + 16n2 8n 3 < (2n + 2)2. Lấy căn bậc hai : 2n + 1 < A < 2n + 2. Vậy [ A ] = 2n + 1. 225. Để chứng minh bài tốn, ta chỉ ra số y thỏa mãn hai điều kiện : 0 < y < 0,1 (1). x + y là một số tự nhiên cĩ tận cùng bằng 2 (2). 200 Ta chọn y = 3 2 . Ta cĩ 0 < 3 2 < 0,3 nên 0 < y < 0,1. Điều kiện (1) được chứng minh. Bây giờ ta chứng minh x + y là một số tự nhiên cĩ tận cùng bằng 2. Ta cĩ : 200 200 100 100 x y 3 2 3 2 5 2 6 5 2 6 . n n Xét biểu thức tổng quát Sn = a + b với a = 5 + 26 , b = 5 - 26 . n n Sn = (5 + 26 ) = (5 - 26 ) A và b cĩ tổng bằng 10, tích bằng 1 nên chúng là nghiệm của phương trình X2 -10X + 1 = 0, tức là : a2 = 10a – 1 (3) ; b2 = 10b – 1 (4). Nhân (3) với an , nhân (4) với bn : an+2 = 10an+1 – an ; bn+2 = 10bn+1 – bn. Suy ra (an+2 + bn+2) = 10(an+1 + bn+1) – (an + bn), tức là Sn+2 = 10Sn+1 – Sn , hay Sn+2  - Sn+1 (mod 10) Do đĩ Sn+4  - Sn+2  Sn (mod 10) (5) 0 0 Ta cĩ S0 = (5 + 26 ) + (5 - 26 ) = 1 + 1 = 2 ; S1 = (5 + 26 ) + (5 - 26 ) = 10. Từ cơng thức (5) ta cĩ S2 , S3 , , Sn là số tự nhiên, và S0 , S4 , S8 , , S100 cĩ tận cùng bằng 2, tức là tổng x + y là một số tự nhiên cĩ tận cùng bằng 2. Điều kiện (2) được chứng minh. Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
  38. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 38 250 125 226. Biến đổi 3 2 5 2 6 . Phần nguyên của nĩ cĩ chữ số tận cùng bằng 9. (Giải tương tự bài 36) 227. Ta cĩ : A 1 3 4 8 9 15 16 24 Theo cách chia nhĩm như trên, nhĩm 1 cĩ 3 số, nhĩm 2 cĩ 5 số, nhĩm 3 cĩ 7 số, nhĩm 4 cĩ 9 số. Các số thuộc nhĩm 1 bằng 1, các số thuộc nhĩm 2 bằng 2, các số thuộc nhĩm 3 bằng 3, các số thuộc nhĩm 4 bằng 4. Vậy A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.9 = 70 x x 228. a) Xét 0 ≤ x ≤ 3. Viết A dưới dạng : A = 4. . .(3 – x). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số 2 2 3 x x 3 x x x x x 2 2 khơng âm , , (3 – x) ta được : . .(3 – x) ≤ 1 . 2 2 2 2 3 Do đĩ A ≤ 4 (1) x 3 x b) Xét x > 3, khi đĩ A ≤ 0 (2). So sánh (1) và (2) ta đi đến kết luận max A 4 2 x 2 . x 0 229. a) Lập phương hai vế, áp dụng hằng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta được : x 1 7 x 3.3 (x 1)(7 x).2 8 (x 1)(7 x) 0 x = - 1 ; x = 7 (thỏa) b) Điều kiện : x ≥ - 1 (1). Đặt 3 x 2 y ; x 1 z . Khi đĩ x – 2 = y2 ; x + 1 = z2 y z 3 (2) nên z2 – y3 = 3. Phương trình đã cho được đưa về hệ : z2 y3 3 (3) z 0 (4) Rút z từ (2) : z = 3 – y. Thay vào (3) : y3 – y2 + 6y – 6 = 0 (y – 1)(y2 + 6) = 0 y = 1 Suy ra z = 2, thỏa mãn (4). Từ đĩ x = 3, thỏa mãn (1). Kết luận : x = 3. 1 1 230. a) Cĩ, chẳng hạn : 2 . 2 2 b) Khơng. Giả sử tồn tại các số hữu tỉ dương a, b mà a b 4 2 . Bình phương hai vế : a b 2 ab 2 2 ab 2 (a b) . Bình phương 2 vế : 4ab = 2 + (a + b)2 – 2(a + b)2 2(a + b) 2 = 2 + (a + b)2 – 4ab Vế phải là số hữu tỉ, vế trái là số vơ tỉ (vì a + b ≠ 0), mâu thuẩn. m m3 231. a) Giả sử 3 5 là số hữu tỉ (phân số tối giản). Suy ra 5 = . Hãy chứng minh rằng cả m lẫn n đều n n3 m chia hết cho 5, trái giả thiết là phân số tối giản. n m b) Giả sử 3 2 3 4 là số hữu tỉ (phân số tối giản). Suy ra : n m3 3 m 6m 3 2 3 4 6 3.3 8. 6 m3 6n3 6mn2 (1) m3  2 m  2 n3 n n Thay m = 2k (k Z) vào (1) : 8k3 = 6n3 + 12kn2 4k3 = 3n3 + 6kn2. Suy ra 3n3 chia hết cho 2 n3 chia m hết cho 2 n chia hết cho 2. Như vậy m và n cùng chia hết cho 2, trái với giả thiết là phân số tối giản. n
  39. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 39 a b c 232. Cách 1 : Đặt a = x3 , b = y3 , c = z3. Bất đẳng thức cần chứng minh 3 abc tương đương với 3 x3 y3 z3 xyz hay x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ 0. Ta cĩ hằng đẳng thức : 3 1 x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)[(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2]. (bài tập sbt) 2 a b c Do a, b, c ≥ 0 nên x, y, z ≥ 0, do đĩ x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ 0. Như vậy : 3 abc 3 Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c. Cách 2 : Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho bốn số khơng âm. Ta cĩ : a b c d 1 a b c d 1 4 ab cd ab. cd abcd 4 2 2 2 2 4 a b c d a b c Trong bất đẳng thức abcd , đặt d ta được : 4 3 4 a b c a b c 4 3 a b c a b c a b c abc. abc. . 4 3 3 3 a b c Chia hai vế cho số dương (trường hợp một trong các số a, b, c bằng 0, bài tốn được chứng minh) : 3 3 a b c a b c 3 abc abc . 3 3 a b c Xảy ra đẳng thức : a = b = c = a = b = c = 1 3 b c d a 1 233. Từ giả thiết suy ra : 1 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số b 1 c 1 d 1 a 1 a 1 1 b c d bcd dương : 3.3 . Tương tự : a 1 b 1 c 1 d 1 (b 1)(c 1)(d 1) 1 acd 3.3 b 1 (a 1)(c 1)(d 1) 1 abd 3.3 c 1 (a 1)(b 1)(d 1) 1 abc 3.3 d 1 (a 1)(b 1)(c 1) 1 Nhân từ bốn bất đẳng thức : 1 81abcd abcd . 81 x2 y2 z2 234. Gọi A . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki : y2 z2 x2 2 x2 y2 z2 x y z 3A 2 2 2 (1 1 1) (1) y z x y z x x y z x y z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số khơng âm : 3.3 . . 3 (2) y z x y z x
  40. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 40 2 x y z x y z x y z Nhân từng vế (1) với (2) : 3A 3 A y z x y z x y z x 235. Đặt x 3 3 3 3 ; y 3 3 3 3 thì x3 + y3 = 6 (1). Xét hiệu b3 – a3 , ta được : b3 – a3 = 24 – (x + y)3 = 24 – (x3 + y3) – 3xy(x + y) Do (1), ta thay 24 bởi 4(x3 + b3), ta cĩ : b3 – a3 = 4(x3 + y3) – (x3 + y3) – 3xy(x + y) = 3(x3 + y3) – 3xy(x + y) = = 3(x + y)(x2 – xy + y2 – xy) = 3(x + y)(x – y)2 > 0 (vì x > y > 0). Vậy b3 > a3 , do đĩ b > a. 236. a) Bất đẳng thức đúng với n = 1. Với n ≥ 2, theo khai triển Newton, ta cĩ : n 1 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n 2) 1 n(n 1) 2.1 1 1 1 n. . 2 . 3 . n n n 2! n 3! n n! n 1 1 1 22. Với n ≥ 3, ta chứng minh n n n 1 n 1 (2). Thật vậy : n n(n 1) n(n 1) (n 1)n 1 n 1 n n n 1 (3) (2) n 1 n (n 1) n n n 1 n n n n 1 Theo câu a ta cĩ 1 3 , mà 3 ≤ n nên (3) được chứng minh. n Do đĩ (2) được chứng minh. 237. Cách 1 : A2 2 x2 1 x4 x2 1 4 . min A = 2 với x = 0. Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A 2 4 (x2 x 1)(x2 x 1) 2 4 x4 x2 1 2 min A = 2 với x = 0. 238. Với x < 2 thì A ≥ 0 (1). Với 2 ≤ x ≤ 4, xét - A = x2(x – 2). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số khơng âm : 3 x x x 2 3 A x x 2 2 2x 2 . .(x 2) 8 4 2 2 3 3 - A ≤ 32 A ≥ - 32. min A = - 32 với x = 4. 239. Điều kiện : x2 ≤ 9. 2 2 3 x x 2 2 2 9 x x x A2 x4 (9 x2 ) 4. . (9 x2 ) 4 2 2 4.27 2 2 3 max A = 6 3 với x = ± 6 . 240. a) Tìm giá trị lớn nhất : Cách 1 : Với 0 ≤ x < 6 thì A = x(x2 – 6) ≤ 0. Với x ≥ 6 . Ta cĩ 6 ≤ x ≤ 3 6 ≤ x2 ≤ 9 0 ≤ x2 – 6 ≤ 3.
  41. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 41 Suy ra x(x2 – 6) ≤ 9. max A = 9 với x = 3. Cách 2 : A = x(x2 – 9) + 3x. Ta cĩ x ≥ 0, x2 – 9 ≤ 0, 3x ≤ 9, nên A ≤ 9. max A = 9 với x = 3 b) Tìm giá trị nhỏ nhất : Cách 1 : A = x3 – 6x = x3 + (2 2 )3 – 6x – (22 )3 == (x + 22 )(x2 - 22 x + 8) – 6x - 16 2 = (x + 22 )(x2 - 22 x + 2) + (x + 22 ).6 – 6x - 162 = (x + 22 )(x - 2 )2 - 42 ≥ - 42 . min A = - 42 với x = 2 . Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với 3 số khơng âm : 3 3 3 x + 22 + 22 ≥ 3.x .2 2.2 2 = 6x. x x x 3-2x x Suy ra x3 – 6x ≥ - 42 . min A = - 42 với x = 2 . 241. Gọi x là cạnh của hình vuơng nhỏ, V là thể tích của hình hộp. 3-2x 2 x x Cần tìm giá trị lớn nhất của V = x(3 – 2x) . x x Theo bất đẳng thức Cauchy với ba số dương : 3 4x 3 2x 3 2x 1 4V = 4x(3 – 2x)(3 – 2x) ≤ = 8 max V = 2 4x = 3 – 2x x = 3 2 1 Thể tích lớn nhất của hình hộp là 2 dm3 khi cạnh hình vuơng nhỏ bằng dm. 2 242. a) Đáp số : 24 ; - 11. b) Đặt 3 2 x a ; x 1 b . Đáp số : 1 ; 2 ; 10. 5 c) Lập phương hai vế. Đáp số : 0 ; ± 2 d) Đặt 3 2x 1 = y. Giải hệ : x3 + 1 = 2y , y3 + 1 = 2x, được (x – y)(x2 + xy + y2 + 2) = 0 1 5 x = y. Đáp số : 1 ; . 2 1 e) Rút gọn vế trái được : x x2 4 . Đáp số : x = 4. 2 g) Đặt 3 7 x a ; 3 x 5 b . Ta cĩ : a3 + b3 = 2, a3 – b3 = 12 – 2x, do đĩ vế phải của phương trình đã cho a3 b3 a b a3 b3 là . Phương trình đã cho trở thành : = . 2 a b 2 a b a3 b3 Do a3 + b3 = 2 nên (a – b)(a3 + b3) = (a + b)(a3 – b3) a b a3 b3 Do a + b ≠ 0 nên : (a – b)(a2 – ab + b2 = (a – b)(a2 + ab + b2). Từ a = b ta được x = 6. Từ ab = 0 ta được x = 7 ; x = 5. h) Đặt 3 x 1 a ; 3 x 1 b . Ta cĩ : a2 + b2 + ab = 1 (1) ; a3 – b3 = 2 (2). Từ (1) và (2) : a – b = 2. Thay b = a – 2 vào (1) ta được a = 1. Đáp số : x = 0. i) Cách 1 : x = - 2 nghiệm đúng phương trình. Với x + 2 ≠ 0, chia hai vế cho 3 x 2 . x 1 x 3 Đặt 3 a ; b . Giải hệ a3 + b3 = 2, a + b = - 1. Hệ này vơ nghiệm. x 2 x 2 Cách 2 : Đặt 3 x 2 = y. Chuyển vế : 3 y3 1 3 y3 1 y . Lập phương hai vế ta được : y3 – 1 + y3 + 1 + 3.3 y6 1 .(- y) = - y3 y3 = y. 3 y6 1 . 2 3 6 6 6 Với y = 0, cĩ nghiệm x = - 2. Với y ≠ 0, cĩ y = y 1 . Lập phương : y = y – 1. Vơ n0. Cách 3 : Ta thấy x = - 2 nghiệm đúng phương trình. Với x - 2, phương trình vơ nghiệm, xem bảng dưới đây : x 3 x 1 3 x 2 3 x 3 Vế trái x - x > - 1 > 0 > 1 > 0
  42. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 42 k) Đặt 1 + x = a , 1 – x = b. Ta cĩ : a + b = 2 (1), 4 ab 4 a 4 b = 3 (2) m n Theo bất đẳng thức Cauchy mn , ta cĩ 2 a b 1 a 1 b 3 a. b 1. a 1. b 2 2 2 1 a 1 b a b a b 1 1 2 3 . 2 2 2 Phải xảy ra dấu đẳng thức, tức là : a = b = 1. Do đĩ x = 0. l) Đặt 4 a x m 0 ; 4 b x n 0 thì m4 + n4 = a + b – 2x. Phương trình đã cho trở thành : m + n = 4 m4 n4 . Nâng lên lũy thừa bậc bốn hai vế rồi thu gọn : 2mn(2m2 + 3mn + 2n2) = 0. Suy ra m = 0 hoặc n = 0, cịn nếu m, n > 0 thì 2m2 + 3mn + 2n2 > 0. Do đĩ x = a , x = b. Ta phải cĩ x ≤ a , x ≤ b để các căn thức cĩ nghĩa. Giả sử a ≤ b thì nghiệm của phương trình đã cho là x = a. 243. Điều kiện để biểu thức cĩ nghĩa : a2 + b2 ≠ 0 (a và b khơng đồng thời bằng 0). x4 x2y2 y4 x4 2x2y2 y4 2x2y2 Đặt 3 a x ; 3 b y , ta cĩ : A = x2 xy y2 x2 xy y2 2 x2 y2 (xy)2 x2 y2 xy x2 y2 xy x2 y2 xy . x2 xy y2 x2 y2 xy Vậy : A 3 a 2 3 b2 3 ab (với a2 + b2 ≠ 0). 244. Do A là tổng của hai biểu thức dương nên ta cĩ thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A x2 x 1 x2 x 1 2 x2 x 1. x2 x 1 2 4 (x2 x 1)(x2 x 1) = = 2 4 x4 x2 2 2 . Đẳng thức xảy ra khi : x2 x 1 x2 x 1 x 0 .Ta cĩ A ≥ 2, đẳng thức xảy ra khi x = 0. Vậy : min A = 2 x = 0. 4 2 x x 1 1 245. Vì 1 + 3 là nghiệm của phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0, nên ta cĩ : 3(1 + 3 )3 + a(1 + 3 )2 + b(1 + 3 ) + 12 = 0. Sau khi thực hiện các phép biến đổi, ta được biểu thức thu gọn :(4a + b + 42) + (2a + b + 18) 3 = 0. Vì a, b Z nên p = 4a + b + 42 Z và q = 2a + b + 18 Z.Ta phải tìm các số nguyên a, b sao cho p + q3 = 0. p Nếu q ≠ 0 thì 3 = - , vơ lí. Do đĩ q = 0 và từ p + q3 = 0 ta suy ra p = 0. q Vậy 1 + 3 là một nghiệm của phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0 khi và chỉ khi : 4a b 42 0 . Suy ra a = - 12 ; b = 6. 2a b 18 0 p p p3 246. Giả sử 3 3 là số hữu tỉ ( là phân số tối giản ). Suy ra : 3 = . Hãy chứng minh cả p và q cùng q q q3 p chia hết cho 3, trái với giả thiết là phân số tối giản. q 2 247. a) Ta cĩ : 3 1 2 6 1 2 6 1 2 2 2 6 3 2 2 . 2 Do đĩ : 3 1 2.6 3 2 2 6 3 2 2.6 3 2 2 6 32 2 2 1 .
  43. CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 43 b) 6 9 4 5.3 2 5 1 . 248. Áp dụng hằng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta cĩ : a3 20 14 2 20 14 2 33 (20 14 2)(20 14 2).a a3 40 33 202 (14 2)2 .a a3 – 6a – 40 = 0 (a – 4)(a2 + 4a + 10) = 0. Vì a2 + 4a + 10 > 0 nên a = 4. 249. Giải tương tự bài 21. 250. A = 2 + 3 2 . 251. Áp dụng : (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b). Từ x = 3 3 3 9 . Suy ra x3 = 12 + 3.3x x3 – 9x – 12 = 0. 252. Sử dụng hằng đẳng thức (A – B)3 = A3 – B3 – 3AB(A – B). Tính x3. Kết quả M = 0 253. a) x1 = - 2 ; x2 = 25. u v3 6 b) Đặt u = 3 x - 9 , v = x - 3 , ta được : u = v = - 2 x = 1. 3 v u 6 c) Đặt : 4 x2 32 y 0 . Kết quả x = ± 7. 254. Đưa biểu thức về dạng : A x3 1 1 x3 1 1 . Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | min A = 2 -1 ≤ x ≤ 0. 255. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai lần. 256. Đặt 3 x y thì 3 x2 y2 P 2 3 x 2 2 2 258. Ta cĩ : P x a x b = | x – a | + | x – b | ≥ | x – a + b – x | = b – a (a c ; b + c > a ; c + a > b. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho từng cặp số dương (a b c) (b c a) (b c a) (c a b) (a b c)(b c a) b (b c a)(c a b) c 2 2 (c a b) (a b c) (c a b)(a b c) a 2 Các vế của 3 bất dẳng thức trên đều dương. Nhân 3 bất đẳng thức này theo từng vế ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a + b – c = b + c – a = c + a – b a = b = c (tam giác đều). 260. x y (x y)2 (x y)2 4xy 4 4 2 2 . 261. 2A = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2. Ta cĩ : c – a = - (a – c) = - [(a – b) + (b – c)] = - (2 + 1 + 2 - 1) = - 22 . Do đĩ : 2A = (2 + 1)2 + (2 - 1)2 + (-22 )2 = 14. Suy ra A = 7. 2 2 2 262. Đưa pt về dạng : x 2 1 y 3 2 z 5 3 0 . 263. Nếu 1 ≤ x ≤ 2 thì y = 2. 264. Đặt : x 1 y 0. M x 1 x 1 2 3 x 1 . 265. Gọi các kích thước của hình chữ nhật là x, y. Với mọi x, y ta cĩ : x2 + y2 ≥ 2xy. Nhưng x2 + y2 = (82 )2 = 128, nên xy ≤ 64. Do đĩ : max xy = 64 x = y = 8. 266. Với mọi a, b ta luơn cĩ : a2 + b2 ≥ 2ab. Nhưng a2 + b2 = c2 (định lí Pytago) nên : a b c2 ≥ 2ab 2c2 ≥ a2 +b2 + 2ab 2c2 ≥ (a + b)2 c2 ≥ a + b c ≥ . 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. 2 2 2 267. Biến đổi ta được : a 'b ab' a 'c ac' b'c bc' 0 268. – 2 ≤ x ≤ - 1 ; 1 ≤ x ≤ 2. Hết