Lý thuyết luyện thi đại học môn Toán

56 trang phuongnguyen 6450

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Lý thuyết luyện thi đại học môn Toán", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

ly_thuyet_luyen_thi_dai_hoc_mon_toan.pdf

Nội dung text: Lý thuyết luyện thi đại học môn Toán

Trường Khoa Lý thuyết luyện thi đại học mơn tốn
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam b c KHẢO SÁT HÀM SỐ S x x x ; x .x x .x x .x ; 1 2 3 a 1 2 2 3 3 1 a d P x .x .x Vấn đề 1: ƠN TẬP – CƠNG THỨC 1 2 3 a I. Tam thức bậc hai: III. Đạo hàm: a b 0 BẢNG ĐẠO HÀM c0  x , ax2 bx c 0 (kx)' k (ku)' k.u' a0 1 1 (x )' .x (u )' .u '.u . 0 a b 0 1 u' ( x) ' ( u) ' c0 2x 2u  x , ax2 bx c 0 ' ' a0 11 1 u ' 2 2 0 xx uu  Cho phương trình : ax2 + bx + c = 0 (sin x)' cos x (sin u)' u'.cosu Giả sử phương trình cĩ 2 nghiệm x12 ;x thì: (cos x)' sin x (cosu)' u'.sin u b c S x x ; P x .x 12 a 12 a 1 u' (tan x)' (tan u)' a0 cos2 x cos2 u Pt cĩ 2 nghiệm phân biệt 0 1 u' (cot x)' (cot u)' a0 sin2 x sin2 u Pt cĩ nghiệm kép 0 xx uu (e )' e (e )' u '.e a0 a0 1 u' Pt vơ nghiệm b0  (ln x)' (ln u)' 0 x u c0 1 u' Pt cĩ 2 nghiệm trái dấu P0 log x ' log u ' a x ln a a u ln a 0 Pt cĩ 2 nghiệm cùng dấu (axx )' a .ln a (auu )' u'.a .lna P0 Pt cĩ 2 nghiệm phân biệt cùng dương Quy tắc tính đạo hàm 0 (u v) = u v (uv) = u v + v u P0 S0 u u v v u y x y u .u x 2 (v 0) Pt cĩ 2 nghiệm phân biệt cùng âm vv 0 Đạo hàm của một số hàm thơng dụng P0 ax b ad bc 1. y y' S0 cx d cx d 2 II. Đa thức bậc ba: 3 2 ax22 bx c adx 2aex be cd  Cho phương trình : ax + bx + cx + d = 0 2. y y' dx e dx e 2 Giả sử phương trình cĩ 3 nghiệm x1 ;x 2 ;x 3 thì: Trang 1
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam Vấn đề 2: CÁC BƢỚC KHẢO SÁT HÀM SỐ. 1. Các bƣớc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Tìm tập xác định của hàm số. Xét sự biến thiên của hàm số: y‟ = 0 vơ nghiệm D‟ = b2 – 3ac 0 a 0 a 0 Các dạng đồ thị: a > 0 a 0 a > 0 a 0 a < 0 c Trang 2
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam d Đồ thị cĩ một tiệm cận đứng là x và một CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN c a KHẢO SÁT HÀM SỐ tiệm cận ngang là y . Giao điểm của hai tiệm c cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Vấn đề 1. SỰ TIẾP XÚC GIỮA HAI Các dạng đồ thị: ĐƢỜNG, TIẾP TUYẾN CỦA ad – bc > 0 ad – bc < 0 ĐƢỜNG CONG Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số gĩc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0 x 0 ;f (x 0 ) . Khi đĩ phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 x 0 ;f (x 0 ) là: y – y = f (x ).(x – x ) (y = f(x )) 0 0 0 0 0 ax2 bx c Dạng 1: Lập phƣơng trình tiếp tuyến của 5. Hàm số hữu tỷ y đƣờng cong (C): y = f(x) a 'x b' ( a.a ' 0,tử khơng chia hết cho mẫu) Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y =f(x) tại điểm M x ;y b' 0 0 0 Tập xác định D = R\ . a' Nếu cho x0 thì tìm y0 = f(x0). b' Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm của phương Đồ thị cĩ một tiệm cận đứng là x và một a' trình f(x) = y0. tiệm cận xiên. Giao điểm của hai tiệm cận là tâm Tính y = f (x). Suy ra y (x0) = f (x0). đối xứng của đồ thị hàm số. Phương trình tiếp tuyến là: Các dạng đồ thị: y – y = f (x ).(x – x ) y = 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt 0 0 0 a0 a0 Bài tốn 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y =f(x), biết cĩ hệ số gĩc k cho trước. Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm. Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Tính f (x0). cĩ hệ số gĩc k f (x0) = k (1) Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0 = f(x0). Từ đĩ viết phương trình của . Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc. y = 0 vơ nghiệm Phương trình đường thẳng cĩ dạng: y = kx + m. y y tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau cĩ nghiệm: f (x) kx m 0 x 0 x (*) f '(x) k Giải hệ (*), tìm được m. Từ đĩ viết phương trình của . Trang 3
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam Chú ý: Hệ số gĩc k của tiếp tuyến cĩ thể Dạng 3: Tìm những điểm trên đƣờng thẳng d được cho gián tiếp như sau: mà từ đĩ cĩ thể vẽ đƣợc 1, 2, 3, tiếp  tạo với chiều dương trục hồnh gĩc thì tuyến với đồ thị (C): y = f(x) k = tan Giả sử d: ax + by +c = 0. M(xM; yM) d.  song song với đường thẳng Phương trình đường thẳng qua M cĩ hệ số d: y = ax + b thì k = a gĩc k: y = k(x – xM) + yM  vuơng gĩc với đường thẳng tiếp xúc với (C) khi hệ sau cĩ nghiệm: 1 f(x) k(x x)MM y (1) d: y = ax + b (a 0) thì k = a f '(x) k (2)  tạo với đường thẳng d: y = ax + b một Thế k từ (2) vào (1) ta được: ka f(x) = (x – x ).f (x) + y (3) gĩc thì tan M M 1 ka Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm Bài tốn 3: Viết phương trình tiếp tuyến của x của (3) (C): y = f(x), biết đi qua điểm A(xAA ;y ). Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm. Dạng 4: Tìm những điểm mà từ đĩ cĩ thể vẽ đƣợc 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) Gọi M(x ; y ) là tiếp điểm. Khi đĩ: 0 0 và 2 tiếp tuyến đĩ vuơng gĩc với nhau y0 = f(x0), y 0 = f (x0). Phương trình tiếp tuyến tại M: Gọi M(xM; yM). Phương trình đường thẳng qua M cĩ hệ số y – y0 = f (x0).(x – x0) gĩc k: y = k(x – x ) + y đi qua A(x ;y )nên: M M AA tiếp xúc với (C) khi hệ sau cĩ nghiệm: yA – y0 = f (x0).(xA – x0) (1) f(x) k(x x)MM y (1) Giải phương trình (1), tìm được x0. Từ đĩ f '(x) k (2) viết phương trình của . Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc. Thế k từ (2) vào (1) ta được: Phương trình đường thẳng đi qua f(x) = (x – xM).f (x) + yM (3) A(xAA ;y )và cĩ hệ số gĩc k: y – yA = k(x – xA) Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) (3) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương cĩ 2 nghiệm phân biệt x1, x2. trình sau cĩ nghiệm: Hai tiếp tuyến đĩ vuơng gĩc với nhau f (x1).f (x2) = –1 f (x) k(x xAA ) y (*) Từ đĩ tìm được M. f '(x) k Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đĩ viết cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục hồnh phương trình tiếp tuyến . (3)có2nghiệm phân biệt thì f(x12 ).f(x ) < 0 Dạng 2: Tìm điều kiện để hai đƣờng tiếp xúc Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) Vấn đề 2. SỰ TƢƠNG GIAO CỦA và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau cĩ nghiệm: CÁC ĐỒ THỊ f (x) g(x) 1. Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x). (*) f '(x) g '(x) Để tìm hồnh độ giao điểm của (C1) và (C2) Nghiệm của hệ (*) là hồnh độ của tiếp điểm ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là của hai đường đĩ. phương trình hồnh độ giao điểm). Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao Trang 4
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam điểm của hai đồ thị. 2. Đồ thị hàm số bậc ba Bài tốn 1: Biện luận số nghiệm của phƣơng y ax32 bx cx d (a 0) cắt trục hồnh tại 3 trình bậc 3 điểm phân biệt Trƣờng hợp 1: (1) chỉ cĩ 1 nghiệm (C) và Phương trình ax32 bx cx d 0 cĩ 3 Ox cĩ 1 điểm chung nghiệm phân biệt. f không có cực trị (h.1a) 32 f có 2 cực trị Hàm số y ax bx cx d cĩ cực đại, cực (h.1b) yCĐ .y CT >0 tiểu và yCĐ .y CT 0. Vấn đề 3. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) Trƣờng hợp 2: (1) cĩ đúng 2 nghiệm (C)  Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao tiếp xúc với Ox điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) f có 2 cực trị  Nghiệm của phương trình (1) là hồnh độ (h.2) yCĐ .y CT =0 giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về một trong các dạng sau: Dạng 1: F(x, m) = 0 f(x) = m (1) Khi đĩ (1) cĩ thể xem là phương trình hồnh độ giao điểm của hai đường: (C): y = f(x) và d: y Trƣờng hợp 3: (1) cĩ 3 nghiệm phân biệt = m (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt d là đường thẳng cùng phương với Ox f có 2 cực trị Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm (h.3) y .y 0, x CT > 0 a.f(0) < 0 (hay ad < 0) Đặc biệt: Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bậc ba bằng đồ thị Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình bậc ba: ax32 bx cx d 0(a 0) (1) cĩ đồ thị (C)  Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hồnh Trƣờng hợp 2: (1) cĩ 3 nghiệm cĩ âm phân Trang 5
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam biệt (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt cĩ hồnh Vấn đề 5. ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN độ âm ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ f có 2 cực trị yCĐ .y CT 0 (hay ad > 0) d: y = ax + b Cơ sở của phƣơng pháp: A, B đối xứng nhau qua d d là trung trực của đoạn AB Phương trình đường thẳng vuơng gĩc 1 với d: y = ax + b cĩ dạng: : y x m a Phương trình hồnh độ giao điểm của và 1 (C): f(x) = xm (1) Vấn đề 4. HÀM SỐ CĨ CHỨA DẤU a Tìm điều kiện của m để cắt (C) tại 2 GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI điểm phân biệt A, B. Khi đĩ xA, xB là các 1. Đồ thị hàm số y = f x (hàm số chẵn) nghiệm của (1). Tìm toạ độ trung điểm I của AB. Gọi (C): y f(x) và (C ) : y f x ta thực hiện 1 Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d I các bước sau: d, ta tìm được m xA, xB yA, yB A, B. Bƣớc 1. Vẽ đồ thị (C) và chỉ giữ lại phần đồ thị nằm phía bên phải trục tung. Bƣớc 2. Lấy đối xứng phần đồ thị ở bước 1 qua trục tung ta được đồ thị (C1). 2. Đồ thị hàm số y = f(x) Gọi (C): y f(x) và (C2 ) : y f (x) ta thực hiện các bước sau: Chú ý: Bƣớc 1. Vẽ đồ thị (C). A, B đối xứng nhau qua trục hồnh Bƣớc 2. Giữ lại phần đồ thị của (C) nằm phía xxAB trên trục hồnh. Lấy đối xứng phần đồ thị nằm yy phía dưới trục hồnh của (C) qua trục hồnh ta AB được đồ thị (C2). A, B đối xứng nhau qua trục tung xx AB 3. Đồ thị hàm số y = f x yyAB Gọi (C1 ) : y f x , (C2 ) : y f (x) và A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = b xx (C ) : y f x . Dễ thấy để vẽ (C ) ta thực hiện AB 3 3 y y 2b các bước vẽ (C1) rồi (C2) (hoặc (C2) rồi (C1)). AB A, B đối xứng nhau qua đường thẳng x = a xAB x 2a yyAB Trang 6
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam Dạng 2: Tìm cặp điểm trên đồ thị LƢỢNG GIÁC (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b) Cơ sở của phƣơng pháp: A, B đối xứng nhau Vấn đề 1: ƠN TẬP qua I I là trung điểm của AB. I. Gĩc và cung lƣợng giác: Phương trình đường thẳng d qua I(a; b), cĩ hệ số gĩc k cĩ dạng: y k(x a) b. 1. Giá trị lượng giác của một số gĩc: Phương trình hồnh độ giao điểm của (C) Α 0 và d: f(x) = k(x a) b (1) 6 4 3 2 1 2 3 Tìm điều kiện để d cắt (C) tại 2 điểm phân Sinα 0 1 biệt 2 2 2 A, B. khi đĩ x , x là 2 nghiệm của (1). 3 2 1 A B Cosα 1 0 Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I I là 2 2 2 trung điểm của AB, ta tìm được k xA, xB. 3 Tanα 0 1 3 Chú ý: 3 xxAB 3 A, B đối xứng qua gốc toạ độ O Cotα 3 1 0 yyAB 3 2. Cung liên kết: (cos đối, sin bù, phụ chéo) Dạng 3: Khoảng cách –x – x – x + x + x Kiến thức cơ bản: 2 2 1. Khoảng cách giữa hai điểm A, B: Sin –sinx sinx cosx –sinx cosx AB = (x x )22 (y y ) – BABA Cos cosx –cosx sinx –sinx cosx 2. Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng : ax + by + c = 0: Tan –tanx –tanx cotx tanx –cotx ax by c d(M, ) = 00 Cot –cotx –cotx tanx cotx –tanx 22 ab II. Cơng thức lƣợng giác: 3. Diện tích tam giác ABC: 1. Cơng thức cơ bản: 11  2 22 S = AB.AC.sin A AB22 .AC AB.AC sin a cos a 1 22 tana.cot a 1 1 1 tan2 a Nhận xét: Ngồi những phương pháp đã nêu, bài cos2 a tập phần này thường kết hợp với phần hình học 1 1 cot2 a giải tích, định lý Vi-et nên cần chú ý xem lại các sin2 a tính chất hình học, các cơng cụ giải tốn trong 2. Cơng thức cộng: hình học giải tích, áp dụng thành thạo định lý Vi-et trong tam thức bậc hai. cos(  ) cos .cos  sin .sin  cos(  ) cos .cos  sin .sin  sin(  ) sins .cos  cos .sin  sin(  ) sins .cos  cos .sin  tan tan  tan(  ) 1 tan .tan  tan tan  tan(  ) 1 tan .tan  Trang 7
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam 3. Cơng thức nhân đơi, nhân ba: Vấn đề 2: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG cos 2 cos2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2 GIÁC (cos sin )(cos sin ) I. Phƣơng trình cơ bản: sin2 2sin .cos x k2 3  cos3 4cos 3cos sin x sin k x k2 3 sin3 3sin 4sin x k2 4. Cơng thức hạ bậc: cos x cos k  x k2 1 cos 2x cos22 x 1 sin x tan x tan x k k  2 cot x cot x k k  (1 cos x)(1 cos x) Trường hợp đặc biệt: 1 cos 2x sin22 x 1 cos x sinx 0 x k,k  2 sin x 1 x k2 k  (1 cos x)(1 sin x) 2 5. Cơng thức biến đổi tổng thành tích: sin x 1 x k2 k  x y x y 2 cos x cos y 2cos cos 22 cos x 0 x k k  x y x y 2 cos x cos y 2sin sin 22 cosx 1 x k2 k  x y x y II. Phƣơng trình bậc hai hay bậc n của một sin x sin y 2sin cos 22 hàm lƣợng giác: x y x y asin2 x bsinx c 0(1) sin x sin y 2cos sin 22 a cos2 x bcosx c 0 (2) 6. Cơng thức biến đổi tích thành tổng: a tan2 x btan x c 0(3) 1 a cot2 x a cot x c 0(4) cos cos   cos(  ) cos(  ) 2 Cách giải: 1 sin sin   cos(  ) cos(  ) - Đặt t là một trong các hàm lượng giác. 2 Giải phương trình theo t và dễ dàng tìm được 1 nghiệm của phương trình đã cho. sin cos   sin(  ) sin(  ) 2 III. Phƣơng trình a.sin x b.cosx c  Một số chú ý cần thiết: Cách giải: sin4 x cos 4 x 1 2.sin 2 x.cos 2 x - Nếu a2 b 2 c 2 : phương trình vơ nghiệm 2 2 2 sin6 x cos 6 x 1 3.sin 2 x.cos 2 x - Nếu a b c : Ta chia hai vế của 22 sin8 x cos 8 x (sin 4 x cos 4 x) 2 2sin 4 x.cos 4 x phương trình cho ab . Pt trở thành: 2 2 2 4 4 a b c (1 2sin x.cos x) 2sin x.cosx sin x cos x a2 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 1 42 sin 2x sin 2x 1 c 8 cos .sin x sin .cos x Trong một số phương trình lượng giác, đơi ab22 khi ta phải sử dụng cách đặt như sau: c sin(x ) Đặt t tan x ab22 2 2t 1 t ba Khi đĩ: sin 2x 22 ; cos2x Lƣu ý: sin ;cos 1 t 1 t 2 2 2 2 a b a b Trang 8
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam Biến thể: VI. Phƣơng trình A.B 0 a.sin x b.cosx csin y dcos y Cách giải: 2 2 2 2 - Dùng các cơng thức biến đổi đưa về Trong đĩ: a b c d dạng A.B 0 a.sin x b.cos x csin y (cĩ thể c.cos y) A0 Trong đĩ: a2 b 2 c 2 A.B 0 B0 IV. Phƣơng trình a.sin22 x b.sin x.cosx c.cos x d Cách giải: Vấn đề 3: KĨ THUẬT NHẬN BIẾT Cách 1: Xuất hiện 3 nghĩ đến phương trình III. - Xét cos x 0 x k2 ,k  Xuất hiện và gĩc lượng giác lớn nghĩ đến 2 dạng biến thể của phương trình III. Pt trở thành: a = d.(kiểm tra đúng sai và két luận Xuất hiện gĩc lớn thì dùng cơng thức tổng cĩ nhận nghiệm cos x 0 hay khơng?) thành tích để đưa về các gĩc nhỏ. - Xét cos x 0 x k2 ,k  Xuất hiện các gĩc cĩ cộng thêm 2 2 k ,k ,k thì cĩ thể dùng cơng thức tổng thành Chia hai vế của phương trình cho cos x . Phương 42 trình trở thành: tích, tích thành tổng hoặc cung liên kết, hoặc 22 a.tan x b.tan x c d(1 tan x) cơng thức cộng để làm mất các Đặt t tan x ta dễ dàng giải được phương trình. Cách 2: Xuất hiện 2 thì nghĩ đến phương trình III Dùng cơng thức hạ bậc đưa về phương trình III. hoặc cũng cĩ khả năng là các vế cịn lại nhĩm Chú ý: Đối với dạng phƣơng trình thuần được (sin x cos x) để triệt vì nhất bậc 3 hay bậc 4 đối với sin và cos ta cũng t sin x cos x 2 sin x cĩ cách giải hồn tồn tương tự. 4 V. Phƣơng trình Khi đã đơn giản các gĩc, mà chưa đưa về a(sin x cosx) b.sin x.cosx c 0 được phương trình quen thuộc thì nghĩ ngay đến Cách giải: khả năng “nhĩm nhà, nhĩm cửa”. Lưu ý, khả Đặt t sin x cosx năng tách phương trình bậc hai theo sin (hoặc cos) về tích hai phương trình bậc nhất. Điều kiện: t 2 Do t 2 sin x Chú ý: Gĩc lớn là gĩc cĩ số đo lớn hơn 2x. 4 Ta chỉ sử dụng cơng thức nhân ba khi đã đưa bài 2 2 Ta cĩ: t2 sin 2 x cos 2 x 2sin x.cosx tốn về sinx, sin x hoặc cosx, cos x . 2 t1 sin x.cos x 2 Vấn đề 4: GIẢI TAM GIÁC t12 I. Cơng thức sin, cos trong tam giác: Pt trở thành: a.t b c 0 2 Do ABC nên: Ta dễ dàng giải được. a. sin(A B) sinC Chú ý: Đối với dạng phương trình b. cos(A B) cosC a(sin x cosx) b.sin x.cosx c 0 ABC Do nên: 2 2 2 2 Bằng cách đặt t sin x cos x 2 sin x ABC 4 a. sin( ) cos ta sẽ giải được với cách giải hồn tồn tương tự 2 2 2 như trên. Trang 9
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam ABC b. cos( ) sin ĐẠI SỐ 2 2 2 II. Định lí hàm số sin: a b c Vấn đề 1: PHƢƠNG TRÌNH BẬC 2R SinA SinB SinC HAI III. Định lí hàm số cosin: I. Phƣơng trình bậc hai a2 b 2 c 2 2bccosA Cho phương trình bậc hai ax2 bx c 0 IV. Cơng thức đƣờng trung tuyến: (a 0) cĩ b2 4ac . 2b2 2c 2 a 2  0 : phương trình vơ nghiệm. m 2 a b 4  0: phương trình cĩ nghiệm kép x . V. Cơng thức đƣờng phân giác: 2a A  0: (3) cĩ hai nghiệm phân biệt 2bc.cos 2 l 2 b b b 4ac a x bc 1,2 2a 2a VI. Các cơng thức tính diện tích tam giác: II. Định lý Vi–et (thuận và đảo) 1 1 abc S ah bcsin A pr  Cho phương trình ax2 bx c 0 cĩ hai 2a 2 4R b S x x p(p a)(p b)(p c) 12 a nghiệm x12 , x thì c P x .x 12 a S x y  Nếu biết thì x, y là nghiệm của P x.y 2 phương trình X SX P 0 . III. Bảng xét dấu của tam thức bậc hai 2 f(x) = ax + bx + c 0: x y Cùng dấu a 0: x x0 y Cùng dấu a 0 Cùng dấu a 0: x x x 1 2 y Cùng 0 trái 0 Cùng IV. Cách xét dấu một đa thức: Tìm nghiệm của đa thức gồm cả nghiệm tử và nghiệm mẫu (nếu đa thức là phân thức) Lập bảng xét dấu Xét dấu theo quy tắc “Thượng cùng, lẻ đổi, chẵn khơng” Chú ý: Khơng nhận những điểm mà hàm số khơng xác định. Trang 10
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam Vấn đề 2: PHƢƠNG TRÌNH BẬC Lúc đĩ ta cĩ: CAO a12 a a I. Phƣơng trình bậc 3: a1 a 2 b 1 b 2 b 32 ax bx cx d 0(a 0) a1 b 2 a 2 b 1 c Bước 1: nhẩm 1 nghiệm x b12 b d 32 Bước 2: chia ax bx cx d cho Tiếp theo tiến hành nhẩm tìm các hệ số a1; b1; ( x ) (dùng sơ đồ Horner), đưa (4) về phương a2 ; b2 . Bắt đầu từ b1b2 = d và chỉ thử với các giá trình tích (x )(ax2 Bx C) 0. trị nguyên. Chú ý: trường hợp nghiệm phương trình bậc lớn Chú ý: Phương pháp hệ số bất định này cịn hơn 3 ta cũng cĩ thể giải tương tự. áp dụng rất nhiều ở các dạng tốn địi hỏi nhĩm  Cách nhẩm nghiệm hữu tỉ: Nghiệm là một trong các tỉ số (ước của d với ước của a) đặt thừa số chung hay phân chia phân số. II. Phƣơng trình bậc 4 đặc biệt: III. Phƣơng pháp tham số, hằng số biến thiên: 1. Phƣơng trình trùng phƣơng: Phương pháp: Coi các giá trị tham số, hằng số là 4 2 ax + bx + c = 0 ( a0 ) biến. Cịn biến được coi làm hằng số. 2 2 Đặt t = x , t0 . (5) at + bt + c = 0. IV. Phƣơng trình 2. Phƣơng trình đối xứng: 22 ax4 + bx3 + cx2 bx + a = 0 ( a0 ) a f(x) b.f(x).g(x) cg(x)  0 2 Bước 1: Chia 2 vế cho x , Trong đĩ bậc f(x) và g(x) 2. 11 2 Xét g(x) = 0 thỏa phương trình? pt a x 2 b x c 0. xx Xét g(x) 0 chia hai vế cho g(x) 2 đặt 1   Bước 2: Đặt tx , đưa (8) về phương trình f (x) x t . bậc hai theo t. g(x) 3. Phƣơng trình trùng phƣơng tịnh tiến: (x + a)4 + (x + b)4 = c ab Vấn đề 3: PHƢƠNG TRÌNH – BẤT Đặt tx , đưa (7) về phương trình trùng PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ. 2 phương theo t I. Các cơng thức: 4. Phƣơng trình cân bằng hệ số theo phép 1. Các hằng đẳng thức đáng nhớ: cộng: 2 A, A 0 (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + c = b + d AA A, A 0 Đặt t = (x + a)(x + c), đưa (6) về phương 2 2 trình bậc 2 theo t 22 B 3B A AB B A 5. Phƣơng trình cân bằng hệ số theo phép 24 nhân: (A B)3 A 3 B 3 3ABA B 2 x a x b x c x d mx với ab=cd=p 2 2 b ad ax bx c a x Đặt tx hoặc t (x a)(x d) 2a 4a 2 2. Phƣơng trình – bất phƣơng trình chứa 6. Phƣơng pháp hệ số bất định: dấu giá trị tuyệt đối: Giả sử phương trình bậc 4: ABABAB 22 x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 B0 và cĩ phân tích thành AB 2 2 AB (x + a1x + b1) ( x + a2x + b2) = 0 Trang 11
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam ABBAB f x h x k x g x B0 Bình phương, giải phương trình hệ quả. AB BAB  33ABC 3 B0 A B 33 A.B33 A B C AB B0 ABAB  Sử dụng phép thế : 33ABC 3. Phƣơng trình – bất phƣơng trình vơ tỷ: Ta được phương trình: A 0  B 0 AB A B 33 A.B.C C AB Thử lại nghiệm. 2 A B B 0  A B b. Đặt ẩn phụ: A B 0 A B 0 Dạng 1: Đặt ẩn phụ đƣa về phƣơng trình 1 ẩn B0 mới: AB ab AB ax22 bx c px qx r trong đĩ pq A 0  B 0 AB 2 Cách giải: Đặt t px2 qx r điều kiện t0 AB Dạng 2: Phƣơng trình dạng: B0 B0 AB  A0 AB 2 P x Q x  P x Q x 33ABAB 2 P x .Q x  0 22  0 2n 1 ABAB 2n 1 Cách giải: Đặt t P x Q x 2n 2n A 0  B 0 AB t2 Px Qx 2Px.Qx AB B0 Dạng 3: Phƣơng trình dạng: 2n AB 2n P(x)  Q(x)  P(x).Q(x) 0  0 AB II. Các dạng tốn thƣờng gặp: Cách giải: 1. Phƣơng trình vơ tỷ: P x 0 a. Dạng cơ bản: * Nếu P x 0 pt Q x 0  fx gx fx g(x)0 * Nếu P x 0 chia hai vế cho Px sau đĩ đặt g x 0 Qx  f x g x 2 t với t0 f x g x Px  f x g x h x . Đặt điều kiện Dạng 4: Phƣơng trình đối xứng với hai căn bình phương hai vế thức: Chú ý: Ở đây ta cĩ thể khơng đặt điều kiện, acx bcxd acxbcx n cứ bình phương các vế để mất căn, phương trình mới là phương trình hệ quả của phương trình đã Cách giải: Đặt t a cx b cx cho. Do đĩ khi giải tìm nghiệm ta phải thử lại. a b t 2 a b  f x g x h x k x Dạng 5: Phƣơng trình dạng: Với f x h x g x k x 22 xa b2axb xa b2axb Ta biến đổi phương trình về dạng cx m Cách giải: Đặt t x b điều kiện: t0 Trang 12
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam Đưa phương trình về dạng: Ta nên biến đổi để nhân cho lượng liên hiệp t a t a c(t2 b) m tổng để việc chứng minh nghiệm duy nhất được dễ dàng. Dạng 6: Phƣơng pháp tham số, hằng số biến e. Phương pháp hàm số: thiên. Dạng 1: Chứng minh nghiệm duy nhất 6x22 10x 5 4x1 6x 6x 5 0 Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) c. Sử dụng ẩn phụ đưa về hệ đối xứng, hệ cĩ nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau: nửa đối xứng: Chọn được nghiệm x0 của phương trình. Dạng 1: Phƣơng trình dạng Xét các hàm số y = f(x) (C1) và y = g(x) xn a bn bx a (C2). Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến. Khi đĩ (C1) và (C2) n Cách giải: Đặt y bx a khi đĩ ta cĩ hệ: giao nhau tại một điểm duy nhất cĩ hồnh độ x0. n Đĩ chính là nghiệm duy nhất của phương trình. x by a 0 Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm yn bx a 0 hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng. Dạng 2: Phƣơng trình dạng: Dạng 2: Biện luận tham số m ax b r ux v 2 dx e Đặt ẩn phụ theo các phương pháp trên. trong đĩ a,u,r 0 và u ar d,v br e Chuyển m theo ẩn phụ m Dùng cơng cụ đạo hàm để định m thỏa bài Cách giải: Đặt uy v ax b khi đĩ ta cĩ hệ: tốn. 2 uy v r ux v dx e f. Phương pháp đánh giá: 2 Phương pháp này chủ yếu dựa vào các bất ax b uy v đẳng thức, đạo hàm để dánh giá so sánh vế trái và vế phải. Nghiệm bài tốn là khi ta đi giải quyết Dạng 3: Phƣơng trình dạng: dấu bằng xảy ra khi nào của các đẳng thức trái và nma f x b f x c phải. Cách giải: Đặt u nm a f x ,v b f x 2. Bất phƣơng trình vơ tỷ: Khi đĩ ta cĩ hệ: Phương pháp giải bất phương trình cũng được chia thành các dạng giống như giải phương u v c trình. nm u v a b Chú ý: d. Nhân lượng liên hiệp: Luơn đặt điều kiện trước khi bình phương. Dạng 1: Phương trình cĩ dạng: Một số cơng thức bổ sung: f x a f x b f (x) f (x) 0 f (x) 0 a. 0 hoặc Cách giải: Nhân lượng liên hợp của vế trái khi đĩ g(x) g(x) 0 g(x) 0 ta cĩ hệ: f (x) f (x) 0 f (x) 0 b. 0 hoặc f x a f x b g(x) g(x) 0 g(x) 0 a A B0 f x a f x c. 1 b 2 B AB Dạng 2: Phương trình dạng: B0 A B0 f x g x a f x g x d. 1 hoặc A0 B A0 2 Chú ý: Bài tốn nhân liên hiệp thường dùng nếu AB ta nhẩm được nghiệm của bài tốn và nghiệm đĩ là nghiệm duy nhất. Trang 13
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam Vấn đề 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH V. Hệ đẳng cấp bậc 2: 22 a1 x b 1 xy c 1 y d 1 I. Hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn: 22 a x b y c a2 x b 2 xy c 2 y d 2 1 1 1 Cách giải: a2 x b 2 y c 2 Cách giải: Xét y = 0. ab cb ac Xét y0 khi đĩ đặt x ty và giải Đặt D 11, D 11, D 11 phương trình bậc hai ẩn t ab x cb y ac 22 22 22 VI. Hệ bậc hai mở rộng: 1. D0 : Hệ phương trình cĩ nghiệm duy f(x,y) 0 f(x,y) 0 x Dx / D nhất . g(x,y) 0 .f(x,y)  .g(x,y) 0 y Dy / D f (x, y) 0 2. D 0, D 0 hoặc D0 : Hệ phương x y (ax by c)(px qy r) 0 trình vơ nghiệm. Chú ý: Một số bài tốn cần phải đặt ẩn phụ để 3. D = Dx = Dy = 0: Hệ cĩ vơ số nghiệm thỏa chuyển về các dạng tốn đã biết. Ngồi ra phương a1x + b1y = c1 hoặc a2x + b2y = c2. pháp đánh giá và phương pháp hàm số cũng cĩ II. Hệ chứa một phƣơng trình bậc nhất: thể được dùng để giải. 1 y c ax ax by c b f (x, y) d 1 f x, c ax d b III. Hệ đối xứng loại 1: f (x, y) 0 f(x,y) f(y,x) với g(x, y) 0 g(x,y) g(y,x) u x y 2 Cách giải: Đặt với u 4v v xy IV. Hệ đối xứng loại 2: f (x, y) 0 f(x,y) g(y,x) Dạng 1: với g(x, y) 0 g(x,y) f(y,x) Cách giải: f(x;y) g(x;y) 0 (x y)h(x;y) 0 f(x;y) 0 f(x;y) 0 x y 0 h(x; y) 0  f (x; y) 0 f (x; y) 0 f (x, y) 0 Dạng 2: trong đĩ chỉ cĩ một phương g(x, y) 0 trình đối xứng. Cách giải: Cách 1: Đưa phương trình đối xứng về dạng tích giải y theo x rồi thế vào phương trình cịn lại. Cách 2: Đưa phương trình đối xứng về dạng f(x) f(y) x y với hàm f đơn điệu. Trang 14
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam MŨ - LOGARIT a1 x :f(x),g(x) 2. aaf (x) g(x) 0 a 1 Vấn đề 1: CƠNG THỨC x f (x) g(x) I. Hàm số mũ y = a (a > 0) 1. Tập xác định: D b0 2. Tập giá trị: G (0; ) f (x) ab f (x) loga b 3. 3. Tính đơn điệu: 0 a 1 b0 0 1: Hàm số đồng biến trên 4. Một số cơng thức cơ bản: b0 f (x) f (x) log b 1 ab a 0 n 4. a 1 (a 0) a n a a1 b0 am .a n a m n am :a n a m n x : f (x) n f (x) g(x) aam m.n (ab)m a m .b m aa 5. f (x) g(x) 0 a 1 m m m aa f (x) g(x) n n m m aa aa bb 6. f (x) g(x) a1 II. Hàm số logarit y = logax (0 a 1) y IV. Phƣơng trình và bất phƣơng trình logarit Định nghĩa: y = logax x = a cơ bản: 1. Tập xác định: D (0; ) loga f (x) b b 2. Tập giá trị: G 1. f (x) a 0 a 1 3. Tính đơn điệu: 0 1: Hàm số đồng biến trên D 0 a 1 f (x) g(x) 4. Một số cơng thức cơ bản: loga f (x) b b log x ln x 3. 0 f (x) a axa ex 0 a 1 2n logbb c log a log x 2n log x ac aa loga f (x) b 4. f (x) a b  1 a1 log b log b log b a a a logb a logaa f(x) log g(x) 5. 0 g(x) > 0 log (bc) log b log c a a a a1 b V. Các dạng tốn thƣờng gặp: loga log a b log a c c 1. Phƣơng trình mũ: III. Phƣơng trình và bất phƣơng trình mũ cơ a. Đưa về cùng cơ số: bản: Với a > 0, a 1: af (x) a g(x) f(x) g(x) abf (x) b0 Chú ý: Trong trường hợp cơ số cĩ chứa ẩn số thì: 1. aMN a (a 1)(M N) 0 0 a 1 f (x) loga b b. Logarit hố: f (x) g(x) a b f(x) logb.g(x)a Trang 15
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam c. Đặt ẩn phụ: f (x) g(x) log f(x) log g(x) Dạng 1: aa f(x) 0 (g(x) 0) t af (x) , t 0 b. Mũ hĩa P(af (x) ) 0 , P(t) 0 Với a > 0, a 1: log f(x) b aloga f (x) ab trong đĩ P(t) là đa thức theo t. a Dạng 2: c. Đặt ẩn phụ d. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số a2f(x)  (ab) f(x)  b 2f(x) 0 e. Đưa về phương trình đặc biệt Cách giải: f. Phương pháp đối lập f (x) Chú ý: 2f (x) a Chia 2 vế cho b , rồi đặt t Các phương pháp liệt kê khơng nêu cách b giải cĩ cách giải tương tự phương trình mũ. Dạng 3: Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều af (x) b f (x) m , với ab 1. kiện để biểu thức cĩ nghĩa. f (x) f (x) 1 Với a, b, c > 0 và a, b, c 1 thì: Cách giải: Đặt t a b log c log a t acbb d. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số: 4. Bất phƣơng trình logarit: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) Cách giải: Tương tự như phần phương trình. Chú ý: Trong trường hợp cơ số a cĩ chứa ẩn Đốn nhận x0 là một nghiệm của (1). số thì: Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy nhất. loga B 0 (a 1)(B 1) 0 ; Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì log A a 0 (A 1)(B 1) 0 f(u) f(v) u v loga B e. Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt: 5. Hệ phƣơng trình mũ – logarit: A0 Cách giải: Kết hợp các cách giải của phương trình Phương trình tích: A.B = 0 B0 mũ – logarit ở trên và phần giải phương trình và hệ phương trình đại số. A0 Phương trình A22 B 0 B0 f. Phương pháp đối lập: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) f (x) M Nếu ta chứng minh được: thì g(x) M f (x) M (1) g(x) M 2. Bất phƣơng trình mũ: Cách giải: Tương tự như phương trình mũ. Chú ý: Trong trường hợp cơ số a cĩ chứa ẩn số thì: aMN a (a 1)(M N) 0 3. Phƣơng trình logarit: a. Đưa về cùng cơ số Với a > 0, a 1: Trang 16
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Như vậy: f x dx F x C II. Tính chất: BẢNG NGUYÊN HÀM 1. kf x dx k f x dx; k 0 Hàm Họ nguyên Hàm số Họ nguyên hàm số f(x) hàm F(x) f(x) F(x)+C 2. fx gx dx fxdx gxdx a ax + C 3. f x dx F x C thì f u du F u C α+1 1 x 1 (ax b) x +C (ax b) C α +1 a 1 Vấn đề 2: TÍCH PHÂN 1 1 1 ln x C ln ax b C I. Định nghĩa: x ax b a b b a x f x dx F x F b F a a x C a ln a a 1 II. Tính chất: x x ax b ax b e eC e eC ba a 1. f x dx f x dx sin(ax+b) 1 ab sinx -cosx + C cos(ax b) C a bb 2. kf xdx kf xdx(k 0) cos(ax+b) 1 aa cosx sinx + C sin(ax b) C a b b b 3. fx gx dx fxdx gxdx 1 1 1 a a a 2 tgx + C 2 tg(ax b) C cos x cos (ax b) a b c b 4. fxdx fxdx fxdx 1 1 1 a a c 2 -cotgx + C 2 cot g(ax b) C sin x sin (ax b) a b 5. Nếu f x 0,  x  a;b thì f x dx 0 u' (x) 1 1 x a ln u(x) C ln C a 22 u(x) xa 2a x a bb 6. Nếu f x g x thì f x dx g x dx , 1 22 tgx ln cos x C ln x x a C aa xa22  x a;b cotgx ln sin x C 7. Nếu m f x M,  x  a;b thì b Vấn đề 1: NGUYÊN HÀM m b a f x dx M b a a I. Định nghĩa: Chú ý: Hàm số Fx gọi là nguyên hàm của hàm số - Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải fx trên a,b nếu F x f x ,  x a,b . biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm. Chú ý: Nếu Fx là nguyên hàm của fx thì - Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số mọi hàm số cĩ dạng F x C( C là hằng số) cũng hữu tỷ cĩ bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu ta phải thực hiện phép chia tử cho mẫu. là nguyên hàm của fx và chỉ những hàm số cĩ dạng F x Cmới là nguyên hàm của fx . Ta gọi F x Clà họ nguyên hàm hay tích phân bất định của hàm số fx và ký hiệu là f x dx . Trang 17
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam b Vấn đề 3: TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ Bước 3: Tính uv và suy nghĩ tìm cách a I. Cơng thức: b  b tính tiếp vdu a f x . x dx f t dt a II. Những cách đặt thơng thƣờng: II. Những phép đổi biến phổ thơng: u dv n Hàm số cĩ chứa  (x) Đặt t (x) P(x).ex dx P(x) ex dx Hàm số cĩ mẫu số Đặt t là mẫu số P(x).cos xdx P(x) cos xdx Đặt t (x) hay Hàm số cĩ chứa (x) P(x).sin xdx P(x) sin xdx t (x) dx P(x).ln xdx lnx P(x) Tích phân chứa Đặt t ln x x Chú ý : Tích phân chứa ex Đặt te x Tích phân hàm hữu tỉ: dx - Nếu mẫu là bậc nhất thì lấy tử chia mẫu Tích phân chứa Đặt tx x - Nếu mẫu là bậc hai cĩ nghiệm kép thì đưa về dx 1 hằng đẳng thức Tích phân chứa Đặt t x 2 x - Nếu mẫu là bậc hai cĩ hai nghiệm thì đồng nhất thức Tích phân chứa cos xdx Đặt t sin x dx - Nếu mẫu là bậc hai vơ nghiệm thì đổi biến số. Tích phân chứa Đặt t tgx Tích phân hàm lƣơng giác: cos2 x dx - Nếu sinx,cosx cĩ số mũ chẳn thì hạ bậc Tích phân chứa Đặt t cot gx . 221 cos2x 1 cos2x sin2 x sin x ;cos x 22 Đặt x = asint, - Nếu sinx,cosx cĩ số mũ lẻ thì tách ra rồi đặt t Tích phân chứa ax22 t ; - Nếu cĩ tan2x hoặc cot2x thì thêm bớt 1 22 - Nếu cĩ tanx,cotx cĩ thể đưa về sinx,cosx rồi Đặt x = atant, 1 đặt t Tích phân chứa ax22 t ; - Nếu cĩ sina.cosb,sina.sinb,cosa.cosb thì dùng 22 cơng thức biến đổi tích thành tổng. - Nhiều bài chúng ta phải biến đổi các hàm lượng giác để đưa về các dạng cĩ khả năng tính Vấn đề 4: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN được. Chú ý: Tích phân trong các đề thi đại học thường I. Cơng thức: ra dưới dạng kết nhiều dạng tính tích phân. Vì bb b uv dx uv vu dx thế, từ tích phân ban đầu ta biến đổi về tổng hoặc a aa hiệu các tích phân. Khi đĩ, từng tích phân dễ bb dàng tích được bằng các phương pháp trên. b hay udv uv vdu (thường là một tích phân đổi biến và một tích a aa phân từng phần). Các bước thực hiện: Bước 1: u u(x) du u (x)dx (Đạohàm) Đặt dv v (x)dx v v(x) (nguyên hàm) Bước 2: Thế vào cơng thức (1). Trang 18
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam Vấn đề 5: TÍCH PHÂN CĨ CHỨA II. Tính thể tích khối trịn xoay: DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI 1. Trƣờng hợp 1. b Thể tích khối trịn xoay V do hình phẳng giới Giả sử cần tính tích phân I f (x) dx . hạn bởi các đường a y f (x) 0  x a; b, y = 0, x = a và x = b Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) (a < b) quay quanh trục Ox là: trên đoạn [a; b], giả sử f(x) cĩ BXD: b 2 X a x1 x2 b V f (x)dx f(x) + 0 – 0 + a Bƣớc 2. Tính 2. Trƣờng hợp 2. bbxx12 Thể tích khối trịn xoay V do hình phẳng giới I f(x)dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx . hạn bởi các đường a a x12 x x g(y) 0  y c; d, x = 0, y = c và y = d Chú ý: Nếu trong khoảng (a; b) phương trình f(x) = 0 khơng cĩ nghiệm thì: (c < d) quay quanh trục Oy là: bb d 2 f(x)dx f(x)dx V g (y)dy aa c 3. Trƣờng hợp 3. Thể tích khối trịn xoay V Vấn đề 6: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y g(x) , x = a và x = b PHÂN a b, f(x) 0, g(x) 0  x a; b quay I. Tính diện tích hình phẳng:   1. Trƣờng hợp 1: quanh trục Ox là: b Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các 22 đường y f(x), y g(x), x a, x b là: V f(x) g(x)dx a b S f(x) g(x)dx 4. Trƣờng hợp 4. Thể tích khối trịn xoay V a do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = f(y), x g(y) , y = c và y = d 2. Trƣờng hợp 2: Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các c d, f (y) 0, g(y) 0  y  c; d quay đường y f(x), y g(x) là: quanh trục Oy là:  d 22 S f(x) g(x)dx V f(y) g(y)dy c Trong đĩ , là nghiệm nhỏ nhất và lớn Chú ý: Cách giải tích phân cĩ dấu giá trị nhất của f(x) = g(x). tuyệt đối đã nêu ở trên. Chú ý:  Nếu trong khoảng ; phương trình f (x) g(x) khơng cĩ nghiệm thì:  f(x) g(x)dx f(x) g(x)dx    Nếu tích S giới hạn bởi x = f(y) và x = g(y) thì ta đổi vai trị x cho y trong cơng thức trên. Trang 19
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam Chuyên đề: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I. Kiến thức cơ bản: 1. Kiến thức hình học 9 – 10: 1.1 Hệ thức lƣợng trong tam giác vuơng: Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ đường cao AH, đường trung tuyến AM. Ta cĩ: AB2 AC 2 BC 2 AH2 BH.CH AB2 = BH.BC AC2 CH.BC 1 1 1 AH.BC AB.AC AH2 AB 2 AC 2 b c b c sin B , cosB , tan B ,cot B a a c b M là trung điểm BC nên MA = MB = MC và M là tâm đƣờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC 1.2 Hệ thức lƣợng trong tam giác thƣờng: Cho tam giác ABC cĩ các cạnh lần lượt là a, b, c, đường trung tuyến AM. Định lý hàm cos: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA b2 c 2 a 2 cos A 2bc Định lý hàm sin: a b c 2R sin A sin B sin C Định lý đƣờng trung tuyến: 2(b2 c 2 ) a 2 m22 AM a 4 1.3 Các cơng thức tính diện tích: Tam giác ABC: Hình thang ABCD Hình vuơng ABCD cạnh a: 1 (AB // CD), đƣờng cao DH: S AB.AC S BC.AH p.r ABCD ABC 2 1 S (AB CD).DH 1 2 abc 1 ABCD AC.BD a .AB.AC.SinA 2 2 4R 2. p(p a)(p b)(p c) Hình chữ nhật ABCD: Diện tích hình thoi ABCD: Diện tích hình trịn: S AB.AD 1 S .R2 ABCD S AC.BD (O;R) ABCD 2 Diện tích hình bình hành: Diện tích tam giác đều: Tam giác vuơng tại A: S = cạnh đáy x chiều cao a32 1 S S AB.AC ABC 4 2 Trang 20
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam 1.4 Tam giác - Các trường hợp bằng nhau - đồng dạng của tam giác: a. Trường hợp bằng nhau và đồng dạng của tam giác thường: Tam giác ABC cĩ các gĩc A;B;C các cạnh đối diện tương ứng a;b;c. Chu vi 2p. Diện tích S Tính chất: Hai tam giác bằng nhau thì các yếu tố tương ứng bằng nhau. Hai tam giác đồng dạng thì : Tỷ số giữa các yếu tố( khơng kể gĩc; và diện tích) tương ứng bằng nhau và bằng tỷ số đồng dạng. Tỷ số diện tích bằng bình phương tỷ số đồng dạng. Hai tam giác đồng dạng nếu cĩ 1 yếu tố về độ dài tương ứng bằng nhau thì bằng nhau. b. Trường hợp bằng nhau và đồng dạng của tam giác vuơng: Do 2 tam giác vuơng cĩ gĩc vuơng tương ứng bằng nhau nên cĩ sự đặc biệt so với tam giác thường: Hai cạnh gĩc vuơng bằng nhau (tỷ lệ ). Một gĩc nhọn tương ứng bằng nhau và 1 cạnh gĩc vuơng bằng nhau (tỷ lệ). Một cạnh gĩc vuơng và cạnh huyền bằng nhau (tỷ lệ). 1.5 Định lý Thalet: Những đường thẳng song song định ra trên 2 cát tuyến những đoạn thẳng tỷ lệ. Trong tam giác 1 đường thẳng song song với cạnh đáy khi và chỉ khi nĩ định ra trên 2 cạnh kia những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ. Trong tam giác đường thẳng song song với một cạnh thì tạo với 2 cạnh kia 1 tam giác đồng dạng với tam giác đã cho ban đầu. 1.6 Các yếu tố cơ bản trong tam giác: 2 Ba đường trung tuyến đồng quy tại 1 điểm: trọng tâm G cách đỉnh bằng mỗi đường. 3 Mỗi đường trung tuyến chia tam giác thành hai phần cĩ diện tích bằng nhau. Ba đường cao đồng quy tại một điểm: trực tâm H. Ba đường trung trực đồng quy tại một điểm gọi là tâm đường trịn ngoại tiếp, cịn gọi là tâm của tam giác. Ba đường phân giác trong đồng quy tại một điểm gọi là tâm đường trịn nội tiếp. Mỗi đường phân giác chia cạnh đối diện thành hai phần tỉ lệ với hai cạnh bên tương ứng. 1.7 Các tính chất đặc biệt: Cho tam giác nhọn ABC, nội tiếp đường trịn tâm O, đường kính AA‟, M trung điểm BC, H là trực tâm, H‟ đối xứng với H qua BC. Ta cĩ: - BHCA‟ là hình bình hành cĩ tâm là M nên A‟ là điểm đối xứng của H qua M - H‟ nằm trên đường trịn tâm O. - 9 điểm gồm trung điểm 3 cạnh tam giác, trung điểm AH, BH, CH, và các chân đường cao nằm trên một đường trịn cĩ tâm là trung điểm OH được gọi là đường trịn Euler. Trang 21
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam 2. Kiến thức hình học 11: Quan hệ song song: Bài 1: ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Định nghĩa: a Một đường thẳng và một mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng a / / (P) a  (P)  khơng cĩ điểm chung. (P) Định lý: ĐL1: Nếu đường thẳng d khơng d d (P) nằm trên mặt phẳng (P) và song song với đường thẳng a nằm trên d / /a d / /(P) a mặt phẳng (P) thì đường thẳng d a (P) (P) song song với mặt phẳng (P) (Q) ĐL2: Nếu một đường thẳng song a / /(P) a song với mặt phẳng thì nĩ song a (Q) d / /a d song với giao tuyến của mặt phẳng (P) (Q) d đĩ và mặt phẳng bất kỳ chứa nĩ. (P) ĐL3: Nếu một đường thẳng song (P) (Q) d d song với 2 mặt phẳng cắt nhau thì (P) / /a d / /a nĩ song song với giao tuyến của hai a Q mặt phẳng đĩ. (Q) / /a P Bài 2: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là song P song nếu chúng khơng cĩ điểm (P) / /(Q) (P)  (Q)  Q chung. Định lý: ĐL1: Điều kiện cần và đủ để 2 mặt a,b (P) a phẳng song song là trong mặt P I a b I (P) / /(Q) b phẳng này chứa 2 đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt a / /(Q),b / /(Q) Q phẳng kia. ĐL2: Nếu 2 mặt phẳng song song a với nhau thì mọi đường thẳng nằm (P) / /(Q) P a / /(Q) trong mặt phẳng này đều song song a (P) Q với mặt phẳng kia. Trang 22
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam R ĐL3: Cho 2 mặt phẳng song song. (P) / /(Q) Mặt phẳng nào cắt mặt phẳng này P a (R) (P) a a//b thì cũng cắt mặt phẳng kia và 2 Q b giao tuyến song song với nhau. (R) (Q) b Quan hệ vuơng gĩc: Bài 1: ĐƢỜNG THẲNG VUƠNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG Định nghĩa: Đường thẳng vuơng gĩc với mặt a phẳng khi và chỉ khi nĩ vuơng gĩc a (P) a  c,  c  (P) với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đĩ. P c Định lý: ĐL1: Nếu đường thẳng d vuơng d a , d b d gĩc với hai đường thẳng cắt nhau a a ,b (P) d  (P) và b cùng nằm trong mp(P) thì đường thẳng d vuơng gĩc với a b A b mp(P). P a ĐL2: (định lý 3 đƣờng vuơng gĩc): Cho đường thẳng a cĩ hình a (P),b (P) a chiếu trên mặt phẳng (P) là đường b a b  a ' thẳng a’. Khi đĩ một đường thẳng b chứa trong (P) vuơng gĩc với a khi a ' a / (P) a' b và chỉ khi nĩ vuơng gĩc với a’. P Bài 2: HAI MẶT PHẲNG VUƠNG GĨC Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là vuơng gĩc với nhau nếu gĩc giữa chúng (P) (Q) ((P),(Q)) 900 bằng 900. Định lý: ĐL1: Nếu một mặt phẳng chứa một Q đường thẳng vuơng gĩc với một a (P) a (Q) (P) mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng a (Q) đĩ vuơng gĩc với nhau. P ĐL2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) (P) (Q) P vuơng gĩc với nhau thì bất cứ a (P) (Q) d a  (Q) đường thẳng a nào nằm trong (P), vuơng gĩc với giao tuyến của (P) a (P),a d d Q và (Q) đều vuơng gĩc với (Q). Trang 23
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) (P) (Q) P vuơng gĩc với nhau và A là một a A (P) điểm trong (P) thì đường thẳng a đi a (P) A qua điểm A và vuơng gĩc với (Q) Aa sẽ nằm trong (P) a (Q) Q ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau P Q (P) (Q) a a và cùng vuơng gĩc với mặt phẳng (P) (R) a  (R) thứ ba thì giao tuyến của chúng vuơng gĩc với mặt phẳng thứ ba. (Q) (R) R Bài 3: MỐI LIÊN HỆ QUAN HỆ SONG SONG VÀ VUƠNG GĨC a / /b aP P//Q 1. bP 2. a / /b 3. aQ aP bP aP aP ab 4. P//Q 5. a / / P haya P Pb aQ Bài 4: KHOẢNG CÁCH 1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đƣờng thẳng, đến 1 mặt phẳng: O Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm O và H, O trong đĩ H là hình chiếu của điểm O trên đường thẳng a H H (hoặc trên mặt phẳng (P)) a P d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH 2. Khoảng cách giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng a O song song: Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với đường thẳng a là khoảng cách từ điểm O H P bất kỳ thuộc đường thẳng a đến mặt phẳng (P) 3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: O Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng P cách từ điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. H Q 4. Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau : A a Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuơng gĩc chung của hai đường thẳng đĩ. b B Trang 24
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam Phƣơng pháp: Dựng đoạn vuơng gĩc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau a và b. a Cách 1: Giả sử a  b: Dựng mặt phẳng (P) chứa b và vuơng gĩc với a tại A. A b Dựng AB  b tại B B AB là đoạn vuơng gĩc chung của a và b. Cách 2: Sử dụng mặt phẳng song song. a Dựng mặt phẳng (P) chứa b và song song với a. A Dựng hình chiếu vuơng gĩc a‟ của a trên (P). Từ giao điểm B của a‟ và b, dựng đường thẳng a' vuơng gĩc với (P) rồi lấy giao điểm A của đường thẳng này với a. B b AB là đoạn vuơng gĩc chung của a và b. Cách 3: Sử dụng mặt phẳng vuơng gĩc. Dựng mặt phẳng (P)  a tại O. Dựng hình chiếu b của b trên (P). a Dựng OH  b tại H. b Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b tại A B B. O b' H Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a tại A. AB là đoạn vuơng gĩc chung của a và b. Chú ý: d(a,b) = AB = OH. Bài 5: GĨC 1. Gĩc giữa 2 đƣờng thẳng trong khơng gian: Gĩc giữa 2 đường thẳng trong khơng gian là gĩc hợp a a' bởi hai đường thẳng cùng phương với chúng, xuất phát từ cùng một điểm. b' Lƣu ý: 000 a,b 90 b 2. Gĩc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng: a Đường thẳng khơng vuơng gĩc với mặt phẳng: Là gĩc giữa đường thẳng đĩ và hình chiếu của nĩ lên mặt phẳng. Đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng: gĩc giữa a' 0 P chúng bẳng 90 Phƣơng pháp: Xác định gĩc giữa đƣờng thẳng a và mặt phẳng (P). Tìm giao điểm O của a với (P). Chọn điểm A a và dựng AH  (P). Khi đĩ AOH (a,(P)) Trang 25
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam 3. Gĩc giữa hai mặt phẳng: Gĩc giữa 2 mặt phẳng là gĩc tạo bởi 2 đường thẳng lần lượt vuơng gĩc với 2 mặt phẳng Hoặc là gĩc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt a b a b phẳng cùng vuơng gĩc với giao tuyến tại 1 điểm P Q P Q Phƣơng pháp: Muốn tìm gĩc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta cĩ thể sử dụng một trong các cách sau: Tìm hai đường thẳng a, b: a  (P), b  (Q). Khi đĩ: (P),(Q) a,b . a (P),a c  Giả sử (P)  (Q) = c. Từ I c, dựng (P),(Q) a,b b (Q),b c [Tìm mặt phẳng (R) vuơng gĩc với giao tuyến c = (P)  (Q) (R)  (P) = a; (R)  (Q) = b (P),(Q) a,b ] S 4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong mặt phẳng (P) và S‟ là diện tích hình chiếu (H‟) của (H) trên (P‟). C Khi đĩ ta cĩ: S' S.cos P,P' A B Lưu ý: Ngồi những vấn đề đã nêu thêm phương pháp giải, học sinh nên chú ý các định lý được in nghiêng cũng chính là phương pháp thường được sử dụng để giải quyết các vấn đề. MỘT SỐ HÌNH THƢỜNG GẶP  Hình lăng trụ: là hình đa diện cĩ 2 đáy song song và các cạnh khơng thuộc hai đáy thì song song và bằng nhau và gọi là các cạnh bên.  Hình hộp: là hình lăng trụ cĩ đáy là hình bình hành  Hình lăng trụ đứng: là hình lăng trụ cĩ cạnh bên vuơng gĩc với đáy.  Hình lăng trụ đều: là lăng trụ đứng và cĩ đáy là đa giác đều.  Hình hộp đứng: là hình hộp cĩ cạnh bên vuơng gĩc với đáy.  Hình hộp chữ nhật: là hình hộp đứng cĩ đáy là hình chữ nhật . Ba độ dài của ba cạnh xuất phát từ một đỉnh gọi là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.  Hình lập phƣơng: là hình hộp chữ nhật cĩ ba kích thước bằng nhau.  Hình chĩp: là hình đa diện cĩ một mặt là một đa giác cịn các mặt khác đều là các tam giác cĩ chung đỉnh.  Hình tứ diện: là hình chĩp cĩ đáy là hình tam giác.  Hình chĩp đều: là hình chĩp cĩ đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau. Đường thẳng nối từ đỉnh đến tâm đa giác đều gọi là trục của hình chĩp. Trục của hình chĩp vuơng gĩc với mặt phẳng đáy.  Hình chĩp cụt: là hình đa diện tạo ra từ hình chĩp cĩ hai đáy là hai đa giác đồng dạng nằm trong hai mặt phẳng song song, các mặt bên là các hình thang. Trang 26
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam 3. Kiến thức hình học 12: Diện tích – thể tích khối đa diện:  Diện tích xung quanh: bằng tổng diện tích các mặt bên.  Diện tích tồn phần: bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy. 1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V = B.h với B: là diện tích đáy hình lăng trụ h: là đường cao hình lăng trụ THỂ TÍCH KHỐI HỘP CHỮ NHẬT: V = a.b.c Với a, b c là chiều dài, chiều rộng, chiều cao của hình hộp chữ nhật. THỂ TÍCH HÌNH LẬP PHƢƠNG: V = a3 Với a là độ dài cạnh hình lập phương 2. THỂ TÍCH KHỐI CHĨP: 1 V = B.h 3 với B: là diện tích đáy h: là đường cao 3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: Cho khối tứ diện SABC và A‟, B‟, C‟ là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta cĩ: V SA SB SC SABC VSA'B'C' SA' SB' SC' A' 4. THỂ TÍCH KHỐI CHĨP CỤT: B' h C' V B B' BB' 3 A B với B, B’: là diện tích đáy h: là đường cao C Trang 27
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam KHỐI TRỊN XOAY MẶT CẦU I. Định nghĩa: 1. Tập hợp các điểm trong 2. Tập hợp các điểm trong 3. Khối cầu B(O;R) là khơng gian cách điểm O cố khơng gian nhìn đoạn AB cố tập hợp các điểm M trong định một khoảng R khơng đổi định dưới một gĩc vuơng gọi là khơng gian sao cho OM R gọi là mặt cầu tâm O và bán mặt cầu đường kính AB. B(O;R) M / OM R kính bằng R. 0 S(AB) M /  AMB 90  S(O;R) M / OM R B R O A II. Vị trí tƣơng đối giữa mặt cầu và mặt phẳng: Cho mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của O lên mặt phẳng (P) và đặt d = OH  d > R: (P)  (S) =   d = R: (P) tiếp xúc (S) tại  d R: ∆ và mặt cầu  d = R: ∆ và mặt cầu  d < R: ∆ cắt mặt cầu tại khơng cĩ điểm chung cĩ 1 điểm chung là H. ∆ gọi hai điểm phân biệt. là tiếp tuyến của mặt cầu tại H. H là tiếp điểm của ∆ và mặt cầu. Trang 28
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam IV. Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp khối đa diện: Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp Hình đa diện Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều Tất cả các mặt của hình đa diện đều tiếp nằm trên mặt cầu xúc với mặt cầu Hình trụ Hai đường trịn đáy của hình trụ nằm Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và mọi trên mặt cầu đường sinh của hình trụ Hình nĩn Mặt cầu đi qua đỉnh và đường trịn đáy Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi của hình nĩn đường sinh của hình nĩn V. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện:  Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện. Tâm là điểm cách đều các đỉnh của hình đa diện, bán kính là khoảng cách từ tâm đến một trong các đỉnh đĩ.  Cách xác định tâm mặt cầu: Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh của đa diện nhìn hai đỉnh cịn lại dưới một gĩc vuơng thì tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đĩ. Cách 2: Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp. o Xác định trục của đáy ( là đường thẳng vuơng gĩc với đáy tại tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy). o Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên. o Giao điểm của (P) và là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp. VI. Xác định tâm mặt cầu nội tiếp hình chĩp:  Mặt cầu nội tiếp hình chĩp là mặt cầu ở trong hình chĩp và tiếp xúc với tất cả mặt bên và mặt đáy của hình chĩp đĩ. Tâm là điểm cách đều tất cả các mặt bên và đáy, bán kính là khoảng cách từ tâm đến một trong các mặt ấy.  Tứ diện luơn cĩ mặt cầu nội tiếp, các hình chĩp khác cĩ thể khơng cĩ mặt cầu nội tiếp.  Cách xác định tâm mặt cầu: Tâm mặt cầu nội tiếp (nếu cĩ) là giao điểm các mặt phân giác của các nhị diện hợp bởi các mặt bên và đáy. 3V  Bán kính: r Stp DIỆN TÍCH – THỂ TÍCH Cầu Trụ Nĩn Sxq 2 Rh Sxq Rl Diện tích S 4 R2 Stp S xq 2Sđáy SSStp xq đáy 4 1 Thể tích VR 3 V R2 h V R2 h 3 3 Trang 29
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam x x x HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY x ABC G 3 6. Trọng tâm G: y y y y ABC Vấn đề 1: TỌA ĐỘ PHẲNG G 3   I. Định lý: AH.BC 0 7. Trực tâm H: Giải hệ: Cho ,   A(xAABB , y ), B(x , y ) a (a12 ,a ) BH.AC 0  1. AB (x x ;y y )  BABA EB AB  8. E chân phân giác trong:  2. AB AB (x x)22 (y y) . EC AC BABA  FB AB 3. a a22 a F chân phân giác ngồi:  12 FC AC II. Tính chất vectơ: 9. Tâm đường trịn ngoại tiếp ABC 22 Cho a (a12 ,a ) , b (b12 ,b ) IA IB Giải hệ: 22 ab11 IA IC 1. ab ab22 2. ka (ka12 ,ka ) Vấn đề 2: ĐƢỜNG THẲNG I. Phƣơng trình đƣờng thẳng: 3. a b (a1 b 1 ;a 2 b 2 ) qua M(x00 ;y ) 4. ma nb (ma1 nb 1 ;ma 2 nb 2 ) 1. Phương trình tổng quát : VTPT : n = (A;B) 5. a.b a1 b 1 a 2 b 2 : A(x-x00 )+B(y-y )=0 a k.b 6. a cùng phương b : Ax + By +C = 0 a1 b 2 a 2 b 1 0 qua M(x00 ;y ) 2. Phương trình tham số : 7. a b a.b0  ab1 1 ab 2 2 0 VTCP : a = (a1 ;a2 ) a.b a1 b 1 a 2 b 2 8. cos(a;b) x = x01 + a t ab a2 a 2 b 2 b 2 : (t R) 1 2 1 2 y = y + a t   02 9. AB (a ,a ) , AC (b ,b ) 12 12 qua M(x00 ;y ) 3. Phương trình chính tắc : 1 S a b a b VTCP : a = (a1 ;a2 ) ABC2 1 2 2 1 x -x y -y III. Dạng tốn thƣờng gặp: : 00=   aa 1. A, B, C thẳng hàng AB cùng phương AC. 12  II. Vi trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng: 2. A, B, C lập thành tam giác AB khơng  AB11 cùng phương AC. 1. ()( 12  )   AB22 3. A,B,C,D là hình bình hành AD BC. ABC1 1 1 x x y y 2. (Δ12 ) / / (Δ ) ABAB ABC 4. M trung điểm AB: M; 2 2 2 22 ABC111 5. M chia AB theo tỉ số k 1: 3. (Δ12 ) (Δ ) ABC222 xABAB k.x y k.y M; III. Vị trí tƣơng đối của hai điểm đối với một 1 k 1 k đƣờng thẳng: Trang 30
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam Cho hai điểm M(x;1 1 y), 1 M 2 (x 2 ; y 2 ) và  Cho (Δ): Ax By C 0 đường thẳng (d): Ax + By + C = 0, ta cĩ: 1. (d) / / (Δ) (d): Ax By m 0  M1 hoặc M2 nằm trên (d) 2. (d) (Δ) (d): Bx Ay m 0 (Ax1 By 1 C)(Ax 2 By 2 C) 0. VII. Dạng tốn thƣờng gặp: Dạng 1 : Tìm hình chiếu của một điểm M trên  M12 , M nằm khác phía so với một đƣờng thẳng d : (d) (Ax By C)(Ax By C) 0. 1 1 2 2 Cách 1:  M , M nằm cùng phía so với (d) 12 Bƣớc 1: Gọi H là hình chiếu của M trên d suy (Ax By C)(Ax By C) 0. ra tọa độ của H theo t 1 1 2 2  IV. Gĩc của hai đƣờng thẳng: Bƣớ c 2: Tìm tọa độ vectơ MH theo t , tìm AABB VTCP u của d cos 1 2 1 2  2 2 2 2 ABAB1 1 2 2 Bƣớc 3: Giải phương trình MH . u = 0 cĩ t V. Khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng suy ra tọa độ H thẳng: Cách 2: Cho (Δ): Ax By C 0 và M(x ;y ) Bƣớc 1: Viết phương trình đường thẳng qua 00 d‟ qua M và vuơng gĩc với d Ax By C d (M, ) 00 d AB22 Bƣớc 2: Giải hệ : cĩ tọa độ điểm H d' VI. Chú ý: Dạng 2 : Tìm điểm đối xứng của một điểm M  Trục Ox cĩ pttq : y0 qua một đƣờng thẳng d  Trục Oy cĩ pttq : x0 Bƣớc 1: Tìm hình chiếu H của M trên d  Đường thẳng song song hoặc trùng với Oy : Bƣớc 2: gọi M‟ là hình điểm đối xứng cửa M ax c 0 b0 qua d thì H là trung điểm của đoạn MM‟ , dựa  Đường thẳng song song hoặc trùng với Ox : vào cơng thức tọa độ trung điểm suy ra tọa độ M‟ by c 0 a0  Đường thẳng đi qua gốc tọa độ: Vấn đề 3: ĐƢỜNG TRỊN ax by 0 c0 I. Phƣơng trình đƣờng trịn: 1. Phương trình chính tắc đường trịn (C) tâm  Đường thẳng cắt Ox tại A a;0 và Oy I(a;b) , bán kính R: tại B 0;b (C): (x a)2 (y b) 2 R 2 xy 1 a,b 0 2. Phương trình tổng quát đường trịn (C) tâm ab I(a;b) , bán kính R: 2 2  Đường thẳng qua điểm M x00 ; y và cĩ hệ số (C): x + y − 2ax − 2by + c = 0 2 2 22 gĩc k là : y y00 k x x (ĐK:a + b −c > 0) và R = a b c  Đường thẳng d qua điểm M x00 ; y và song song với đường thẳng :ax by c 0 cĩ II. Phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng trịn: phương trình tổng quát là: 1. Phương trình tiếp tuyến TẠI M(x00 ;y ) : a x x b y y 0 00 qua M(x00 ; y ) :   Đường thẳng d qua điểm M x00 ; y và vuơng VTPT IM (x00 a; y b) gĩc với đường thẳng :ax by c 0 cĩ phương : (x0 a)(x x) 0 (y 0 b)(y y) 0 0 trình tổng quát là : : x.x0 y.y 0 a(x x) 0 b(y y) 0 c 0 b x x a y y 0 00 2. Điều kiện tiếp xúc: d(I, ) R Trang 31
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam III. Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua 2 tiếp MF1M a e.x điểm: 8. Bán kính qua tiêu điểm : MF2M a e.x Cho M(x ;y ) nằm ngồi đường trịn tâm MM 9. Phương trình cạnh hình chữ nhật cơ sở: I(a;b) bán kính R. Từ M dựng 2 tiếp tuyến tiếp xa xúc đường trịn tại 2 điểm A, B. Phương trình đường thẳng AB cĩ dạng: yb x a x a y b y b R2 a 2 MM 10. Phương trình đường chuẩn x IV. Phƣơng trình tiếp tuyến chung của hai c đƣờng trịn: IV. Phƣơng trình tiếp tuyến của Elip: Bƣớc 1: Xét tiếp tuyến vuơng gĩc với 0x : 1. Phương trình tiếp tuyến TẠI M(x00 ;y ) : và . Kiểm tra tiếp tuyến thỏa x a R x a R x.x y.y mãn điều kiện đầu bài? :00 1 (a,b 0) ab22 Bƣớc 2: Xét tiếp tuyến khơng vuơng gĩc với 0x cĩ dạng: y kx m. Để tìm k và m: Ta giải hệ 2. Điều kiện tiếp xúc: 22 lập được từ điều kiện tiếp xúc. xy Cho: (E)22 1 (a,b 0) và đường Nếu (C1) và (C2) ngồi nhau: cĩ 4 tiếp tuyến ab chung. thẳng (Δ): Ax By C 0 2 2 2 2 2 Nếu (C1) và (C2) tiếp xúc ngồi: cĩ 3 tiếp (Δ) tiếp xúc (E) A a B b C tuyến chung. Nếu (C1) và (C2) cắt nhau: cĩ 2 tiếp tuyến chung. Vấn đề 5: Các dạng tốn tam giác Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết Nếu (C1) và (C2) tiếp xúc trong: cĩ 1 tiếp tuyến chung. điểm C(a;b) và hai đường thẳng cắt nhau d12 ,d Nếu (C1) và (C2) lồng nhau: khơng cĩ tiếp khơng đi qua C lần lượt cĩ phương trình tham số : tuyến chung. x x1 a 1 t 1 x x2 a 2 t 2 d:1 và d:2 y y1 b 1 t 1 y y2 b 2 t 2 Vấn đề 4: ELÍP Hãy tìm tọa độ các đỉnh A, B trong các trường I. Định nghĩa: hợp : Cho F1 ,F 2 cố định và F 1 F 2 = 2c (c > 0) Dạng 1: d12 ,d là hai đƣờng cao. Giả sử d là đường cao AM , d là đường cao BN M (E) MF12 MF 2a (a c 0) 1 2 II. Phƣơng trình chính tắc: Viết phương trình BC: (BC cĩ VTCP là VTPT của d1 đi qua C) xy22 (E)22 1 (a,b 0) BC ab Giải hệ tọa độ điểm B d III. Các tính chất: 2 Tương tự : 1. Tiêu điểm : F12 ( c;o), F (c;o) . Viết phương trình AC (AC cĩ VTCP là 2. Tiêu cự : FF12 2c. VTPT của d2 và đi qua C) 3. Đỉnh trục lớn: A ( a;0), A (a;0). 12 AC Giải hệ cĩ tọa độ điểm A 4. Đỉnh trục bé : B12 (0; b), B (0;b) . d1 5. Độ dài trục lớn: A12 A 2a . Dạng 2: d12 ,d là hai đƣờng trung tuyến. 6. Độ dài trục bé : B B 2b . 12 Giả sử d1: là trung tuyến AM ; d2 là trung tuyến c BN 7. Tâm sai : e1 . a M d1 suy ra tọa độ M theo t1 M là trung điểm CB suy ra tọa độ B theo t1 Trang 32
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam B d2 nên cĩ hệ theo t1 và t2 . Giải hệ cĩ t1 CB suy ra tọa độ điểm B Giải hệ tọa độ điểm B d2 Tương tự : Tìm tọa độ điểm C2 là điểm đối xứng của C N d2 suy ra tọa độ N theo t2 qua d2 ( C2 thuộc AB) N là trung điểm CA suy ra tọa độ A theo t2 Viết phương trình BC2 (BA) A d1 nên cĩ hệ theo t1 và t2 . Giải hệ cĩ t2 BA suy ra tọa độ điểm A Giải hệ tọa độ điểm A . Chú ý: Cĩ thể giải theo cách khác : d1 Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ; Dạng 6: d1 là trung tuyến , d2 là phân giác Tìm điểm đối xứng D của C qua G trong Viết phương trình đường thẳng qua d‟1 qua D Giả sử d1: đường trung tuyến AM; d2: phân giác song song với d2 trong BN Viết phương trình đường thẳng qua d‟ qua D 2 Md 2 song song với d 1 MA MC tọa độ điểm B. d'1 Giải hệ tọa độ A ; Ad 1 d1 Tìm C2 là điểm đối xứng của C qua d2 d'2 Viết phương trình tham số BC (BA) Giải hệ tọa độ B 2 d2 BA Giải hệ tọa độ điểm A Dạng 3: d12 ,d là hai đƣờng phân giác trong d1 của gĩc A và gĩc B. Nhận xét: Tìm tọa độ điểm C1 là điểm đối xứng của C Học sinh chỉ cần nắm kĩ các dạng 1, 2, 3 thì qua d1; C1 AB các dạng khác đơn giản hơn. Tìm tọa độ điểm C2 là điểm đối xứng của C Nếu bài tốn cĩ liên quan đến đường cao cần chú ý đến điểm hình chiếu của đỉnh đã biết qua d2; C2 AB trên đường cao hoặc VTPT của đường cao Viết phương trình tham số C C là phương 1 2 hoặc tìm VTCP của cạnh và viết phương trình trình của AB tham số của cạnh tam giác CC12 Tọa độ của A là nghiệm của hệ : N ế u bài tốn cĩ liên quan đến trung tuyến cần d1 lưu ý đến tính chất trung điểm . Nếu bài tốn cĩ yếu tố đường phân giác trong CC12 Tọa độ của B là nghiệm của hệ : c ầ n lưu ý đ ế n đi ể m đ ố i xứng của đỉnh đã biết d2 qua đường phân giác trong đĩ. Dạng 4: d1 là đường cao, d2 là trung tuyến. Chú ý: Đề thi đại học thường sử dụng các Giả sử d : đường cao AM; d : trung tuyến BN tính ch ất đối xứng tâm (điểm), đối xứng trục 1 2 (đường) – liên quan đến Phép biến hình 11. Ngồi Viết phương trình cạnh CB (như trên) ra sự kết hợp giữa các tính chất của đường trịn và CB tam giác cũng là dạng tốn rất thường gặp. Giải hệ tìm tọa độ điểm B d2 Dùng tính chất trung điểm N thuộc BN , N là trung điểm AC và A thuộc AM suy ra tọa độ điểm A Dạng 5: d1 là đƣờng cao , d2 là phân giác trong. Giả sử d1: đường cao AM; d2: phân giác trong BN Viết phương trình cạnh CB Trang 33
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXYZ 2. Vectơ tích cĩ hướng c a,b vuơng gĩc vơi hai vectơ a và b . Vấn đề 1: TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ 3. a,b a b sin(a,b) . VECTƠ 1   I. Tọa độ của véctơ: 4. SABC [AB,AC] . 2 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oyz    5. VHộpABCDA’B’C’D’ = [AB,AD].AA' . 1. a (a;a;a)1 2 3 a ai 1 aj 2 ak 3 1    2. i (1,0,0); j (0,1,0) ; k (0,0,1) 6. VTứdiện ABCD = [AB,AC].AD . 6 a (a ;a ;a ) b (b ;b ;b ) 3. Cho 1 2 3 và 1 2 3 ta cĩ : IV. Điều kiện khác: ab11 1. a và b cùng phương: a b a22 b a kb 11 ab 33 a,b 0  kR:akb a22 kb a kb a b (a1 b 1 ;a 2 b 2 ;a 3 b 3 ) 33 k.a (ka ;ka ;ka ) 2. a và b vuơng gĩc: 1 2 3 222 a.b 0 a .b a .b a .b 0 a a a a 1 1 2 2 3 3 1 2 3 3. Ba vectơ a, b, c đồng phẳng a, b .c 0 a.b a . b cos(a;b) a1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 4. A,B,C,D là bốn đỉnh của tứ diện Tọa độ điểm :    II. AB, AC, AD khơng đồng phẳng. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz  5. G là trọng tâm của tam giác ABC: 1. Mx;y;z MMMMMM OM xiyjzk xABC x x xG 2. Cho A xAAA ; y ;z và B xBBB ; y ;z ta cĩ: 3  yABC y y AB xBABABA x ;y y ;z z yG 3 2 2 2 AB (xBABABA x) (y y) (z z) zABC z z zG 3 3. Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k   6. G là trọng tâm tứ diện ABCD MA kMB thì ta cĩ :     GA GB GC GD 0 xABABAB kx y ky z kz xABCD x x X xMMM ; y ; z x 1 k 1 k 1 k G 4 (Với k ≠ –1) yABCD y y y yG  Đặc biệt khi M là trung điểm AB (k = – 1 ) thì 4 ta cĩ: zABCD z z z x x y y z z zG x ABABAB ; y ;z 4 MMM2 2 2 7. G là trọng tâm của tứ diện ABCD: III. Tích cĩ hƣớng của hai vectơ và ứng     dụng: GA GB GC GD 0. 8. Chiều cao AH kẻ từ đỉnh A của tứ diện 1. Nếu a (a1 ;a 2 ;a 3 ) và b (b1 ;b 2 ;b 3 ) thì: ABCD: a a a a aa 2 3 3 1 12 3V a,b ; ; AH = ABCD b2 b 3 b 3 b 1 b 1 b 2 S BCD Trang 34
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam Vấn đề 2: MẶT PHẲNG A.A' B.B' C.C' 00 0 90 I. Phƣơng trình mặt phẳng: ABC.A'B'C'2 2 2 2 2 2   1. Trong khơng gian Oxyz phương trình dạng 0 90 nPQ  n hai mặt phẳng vuơng gĩc 2 2 2 Ax + By + Cz + D = 0 với A + B + C ≠ 0 nhau. là phương trình tổng quát của mặt phẳng, trong V. Các dạng bài tập: đĩ n (A;B;C) là một vectơ pháp tuyến của nĩ. Dạng 1: Viết phƣơng trình mặt phẳng: 2. Mặt phẳng (P) đi qua điểm M (x ;y ;z ) và 0 0 0 0 Tìm VTPT n A;B;C và điểm đi nhận vectơ n (A;B;C) làm vectơ pháp tuyến cĩ qua M x ;y ;z dạng : 0 0 0 0 A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 Dạng: A x x0 B y y 0 C z z 0 0 3. Mặt phẳng (P) đi qua M (x ;y ;z ) và nhận 0 0 0 0 Dạng 2: Viết phƣơng trình mặt phẳng qua ba a (a ;a ;a ) và b (b ;b ;b ) làm cặp vectơ điểm A, B, C: 1 2 3 1 2 3   chỉ phương thì mặt phẳng (P) cĩ vectơ pháp Tính AB,AC tuyến:   Mp (ABC) cĩ VTPT là n AB,AC và a2 a 3 a 3 a 1 a12 a n a,b ; ; . qua A b b b b b b 2 3 3 1 1 2 Kết luận. II. Vị trí tƣơng đối của hai mặt phẳng: Dạng 3: Viết phƣơng trình mặt phẳng đi 1. Cho hai mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 qua điểm A và vuơng gĩc BC và (Q):A‟x + B‟y + C‟z + D‟ = 0 Mặt phẳng  BC nên cĩ VTPT là BC qua A (P) cắt (Q) A : B : C ≠ A‟: B‟: C‟ Chú ý: (P) // (Q) A : A‟ = B : B‟ = C : C‟ ≠ D : D‟ Trục Ox chứa i 1;0;0 (P) ≡ (Q) A : B : C : D = A‟: B‟: C‟: D‟ Trục Oy chứa j 0;1;0 2. Cho hai mặt phẳng cắt nhau : Trục Oz chứa k 0;0;1 P : Ax By Cz D 0 . Q :A‟x B‟y C‟z D‟ 0 Dạng 4: Viết phƣơng tình mp  là mặt Phương trình chùm mặt phẳng xác định bởi phẳng trung trực của AB. (P) và (Q) là: Mặt phẳng   AB. Nên cĩ VTPT là AB đi m(Ax + By + Cz + D) + n(A‟x + B‟y + C‟z + D‟) qua I là trung điểm của AB 2 2 = 0 (với m + n ≠ 0) Kết luận. III. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng: Dạng 5: Viết phƣơng tình mặt phẳng  đi Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0. qua điểm M0 x 0 ;y 0 ;z 0 và song song với mặt Ax0 By 0 Cz 0 D phẳng : Ax By Cz D 0 d(M0 , ) ABC222  // . Nên phương trình  cĩ dạng: IV. Gĩc gữa hai mặt phẳng: Ax + By + Cz + D‟= 0 Gọi φ là gĩc giữa hai mặt phẳng : MD'0  P : Ax By Cz D 0 . Ta cĩ: Kết luận. Q :A‟x B‟y C‟z D‟ 0 Dạng 6: Viết phƣơng trình mp (P) đi qua hai   điểm A, B và vuơng gĩc với mp (Q)   nPQ .n  cos cos(nPQ ,n )   Mặt phẳng (P) cĩ cặp VTCP là: AB và VTPT nPQ . n của (Q) là nQ Trang 35
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam  Mặt phẳng (P) cĩ VTPT là n AB,n và Q Vấn đề 3: ĐƢỜNG THẲNG qua A I. Phƣơng trình đƣờng thẳng: Kết luận. 1. Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng: Dạng 7: Viết phƣơng trình mp đi qua các Cho điểm M0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) là điểm thuộc đường thẳng và a (a ;a ;a ) là VTCP của đường điểm là hình chiếu của điểm M x0 ;y 0 ;z 0 1 2 3 trên các trục toạ độ. thẳng . Phương trình tham số của đường thẳng : Gọi M1, M2, M3 lần lượt là hình chiếu của điểm M trên Ox, Oy, Oz. Thì M1(x0;0;0), x x01 a t M (0;y ;0), M (0;0;x ) 2 0 3 0 y y02 a t (t R) Phương trình mặt phẳng là: z z03 a t x y z 2. Phƣơng trình chính tắc của đuờng thẳng: 1 x00 y z Cho điểm M (x ;y ;z ) là điểm thuộc đường 0 0 0 0 Dạng 8: Viết phƣơng trình mp đi qua thẳng và a (a1 ;a 2 ;a 3 ) là VTCP của đường điểm M0 và vuơng gĩc với hai mặt phẳng (P) thẳng . Phương trình chính tắc của đường thẳng và (Q). : (P) cĩ VTPT là n P x x0 y y 0 z z 0 a1 a 2 a 3 (Q) cĩ VTPT là nQ II. Vị trí tƣơng đối của các đƣờng thẳng và Mp cĩ VTPT là n ,n và qua M PQ o các mặt phẳng: Kết luận. 1. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng: ’ Dạng 9: Tọa độ điểm M đối xứng của M qua Cho hai đường thẳng ( ) đi qua M cĩ VTCP mặt phẳng a và ( ‟) đi qua M‟ cĩ VTCP a'.   Gọi M‟ (x‟; y‟; z‟ ) là điểm đối xứng của M ( ) chéo ( ‟) a,a ' .MM ' 0 qua    ( ) cắt ( ‟) a,a ' .MM ' 0 với a,a ' 0 Gọi d là đường thẳng đi qua M và d  .  Nên d cĩ VTCP là n  ' [a,a ']=0 a;a = 0 Viết phương trình tham số của d ( ) // ( ‟) hoặc M'  a;MM' = 0 Gọi Hd   Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình  a;a' = 0 d: [a,a ']=0 Tọa độ điểm H ( ) ≡ ( ‟) hoặc M'  : a;MM' = 0 Vì H là trung điểm của MM‟ Tọa độ điểm 2. Vị trí tƣơng đối của đƣờng thẳng và mặt M‟ phẳng: Dạng 10: Viết phƣơng trình mặt phẳng tiếp Cho đường thẳng ( ) đi qua diện của mặt cầu (S) tại tiếp điểm A. M (x ;y ;z ) cĩ VTCP a (a ;a ;a ) và mặt Xác định tâm I của mặt cầu (S) 0 0 0 0 1 2 3  phẳng (α): Mặt phẳng : Mp tiếp diện cĩ VTPT : IA Ax By Cz D 0 cĩ VTPT n (A;B;C) . Viết phương trình tổng quát. ( ) cắt (α) a.n 0 a.n 0 ( ) // (α) M() Trang 36
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam a.n 0 Viết phương trình chính tắc theo cơng thức. ( ) nằm trên (α) Dạng 2: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng khi: M() A1 x B 1 y C 1 z D 1 0 III. Khoảng cách: : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0 1. Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng ( ) đi qua M0 cĩ VTCP a . BCCAAB1 1 1 1 1 1  cĩ VTCP là : a ; ; BCCAAB [M0 M,a] 2 2 2 2 1 2 d(M, ) a Cho z = 0 tìm được điểm M0. 2. Khoảng cách giữa hai đƣờng chéo nhau : Viết phương trình đường thẳng. Dạng 3: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi quaM0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) quaM'0 (x' 0 ;y' 0 ;z' 0 ) : ; ':  qua điểm M0 x 0 ;y 0 ;z 0 và vuơng gĩc với mặt VTCPa VTCPa '   phẳng : Ax By Cz D 0 [a,a '].MM ' d( , ')  Mp cĩ VTPT là n A;B;C [a,a '] Đư ờng thẳng đi qua điểm M0 và cĩ VTCP Chú ý : là n * Nếu ( ) và ( ‟) cắt nhau hoặc trùng nhau thì: Viết phương trình đường thẳng. d(( ),( ‟)) = 0 Dạng 4: Viết phƣơng trình hình chiếu của d * Nếu ( ) và ( ‟) song song thì: trên mặt phẳng d(( ),( ‟)) = d(M , ( ‟)) = d(N , ( )) Gọi d‟ là hình chiếu của d trên mp ( trong đĩ M ( ) và N ( ‟)) Gọi  là mặt phẳng chứa d và   IV. Gĩc: Nên  cĩ cặp VTCP là VTCP của d là ud 1. Gĩc giữa hai đƣờng thẳng: và n là VTPT của mặt phẳng quaM0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) quaM'0 (x' 0 ;y' 0 ;z' 0 ) : ; ':  Mp  cĩ VTPT n  ud ,n  đi qua điểm VTCPa VTCPa '  M0 d  a.a ' Viết phương trình tổng quát của Mp  cos cos(a,a ')  a . a ' : Phương trình đường thẳng d‟: a.a' a.a' a.a' 1 1 2 2 3 3  : 2 2 2 2 2 2 a1 a 2 a 3 . a ' 1 a ' 2 a ' 3 Chuyển về phương trình chính tắc (tham số). 2. Gĩc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng: Dạng 5: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua ( ) đi qua M0 cĩ VTCP a (a ;a ;a ) , mp(α) cĩ điểm M0 x 0 ;y 0 ;z 0 và vuơng gĩc với hai 1 2 3 VTPT n (A;B;C) .Gọi φ là gĩc hợp bởi ( ) và đƣờng 1 và 2 mp(α) , ta cĩ: 1 cĩ VTCP u1 Aa1 +Ba 2 +Ca 3 sin cos(a, n) 2 cĩ VTCP u 2 2 2 2 2 2 2 A B C . a1 a 2 a 3 d vuơng gĩc với 1 và 2 . Nên d cĩ VTCP là V. Dạng tốn thƣờng gặp: ud  u 1 ,u 2  Dạng 1: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng : Dạng 6: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi Cần biết VTCP a a1 ;a 2 ;a 3 và điểm qua điểm A và cắt cả hai đƣờng 1 và 2 . M0 x 0 ;y 0 ;z 0 Thay toạ độ A vào phương trình 1 và 2 Viết phương trình tham số theo cơng thức. A,A 12 Trang 37
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A và chứa Gọi M 1 và N 2 (M, N dưới dạng tham  1 số). Tính MN .   Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua điểm A và chứa MN.u1 0 2 Giải hệ:   . Tìm được tham số MN.u2 0 P Phương trình đường thẳng d: tìm được tọa độ điểm M, N viết phương Q trình MN. Chuyển về phương trình chính tắc (tham số) Dạng 10: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d vuơng gĩc (P) và cắt hai đƣờng thẳng và Dạng 7: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d 1 2  P cắt cả hai đƣờng và . Gọi là mặt phẳng chứa 1 và cĩ một 1 2  VTCP là n ( VTPT của (P) ) Gọi AP 1  P Gọi BP  Gọi  là mặt phẳng chứa 2 và cĩ một 2  Đường thẳng chính là đường thẳng AB VTCP là n P ( VTPT của (P) ) Dạng 8: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d // d1 Đường thẳng d   và cắt cả hai đƣờng và . 1 2 Dạng 11: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi Gọi (P) là mặt phẳng chứa và (P) // d1 1 qua điểm M0 vuơng gĩc với đƣờng thẳng 1 và Gọi (Q) là mặt phẳng chứa 2 và (Q) // d1 cắt đƣờng thẳng 2 d  P Q Gọi là mặt phẳng đi qua M0 và vuơng gĩc P: 1 Phương trình đường thẳng d Gọi  là mặt phẳng đi qua điểm M và Q: 0 Dạng 9: Viết phƣơng trình đƣờng vuơng gĩc chứa 2 chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau 1 và Đường thẳng d   2 . Dạng 12: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi Cách 1: qua giao điểm của đƣờng thẳng và mặt phẳng và d ,d  Gọi u1 và u 2 lần lượt là VTCP của 1 và 2  Gọi A  Gọi v  u12 ,u    Gọi (P) là mặt phẳng chứa 1 và cĩ một Gọi  là mặt phẳng đi qua A và vuơng gĩc VTCP là v . Nên cĩ VTPT là nP1  u ,v với . Nên  cĩ VTPT là VTCP của phương trình mặt phẳng (P)  Đường thẳng d   Gọi (Q) là mặt phẳng chứa 2 và cĩ một Dạng 13: Tìm tọa độ điểm M' đối xứng của M0 VTCP là v . Nên cĩ VTPT là nQ2  u ,v qua đƣờng thẳng d phương trình mặt phẳng (Q)  Gọi M‟ (x‟ ; y‟ ; z‟ )  Phương trình đường vuơng gĩc chung của 1 Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm M0 và Pd . Nên (P) nhận VTCP của d làm P và 2 : VTPT Q  Gọi H  d P Cách 2:  Chuyển phương trình đường thẳng và M‟ là điểm đối xứng của M0 qua đường thẳng d. Nên H là trung điểm của đoạn M M‟ về dạng tham số. 0 Trang 38
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam x x ' III. Vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng và mặt x 0 H 2 cầu: 2 2 2 y y' Cho mặt cầu (S):(x – a) +(y – b) +(z – c) = Ta cĩ: y 0 M‟ H x x01 a t 2 R2 và đường thẳng (d) : y y a t z0 z ' 02 zH 2 z z03 a t Dạng 14: Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng Muốn tìm giao điểm giữa (d) và (S) , ta thay x, chéo nhau và ' y, z trong phương trình (d) vào phương trình (S)  Gọi u và u' lần lượt là VTCP của và ' ta được một phương trình bậc hai theo t . Nếu phương trình theo t vơ nghiệm thì (d) và đi qua điểm M0 , M''0   (S) khơng cĩ điểm chung u,u ' .M M ' 00 Nếu phương trình theo t cĩ một nghiệm t thì d , '  u,u ' (d) tiếp xúc với (S) . Khi đĩ (d) gọi là tiếp tuyến của mặt cầu (S) và điểm chung gọi là tiếp điểm . Nếu phương trình theo t cĩ hai nghiệm phân biệt Vấn đề 3: MẶT CẦU t1; t2 thì (d) cắt (S) tại hai điểm phân biệt. I. Phƣơng trình mặt cầu: IV. Dạng tốn thƣờng gặp: 1. Phƣơng trình mặt cầu tâm I(a;b;c) bán Dạng 1: Viết phƣơng trình mặt cầu kính R Xác định tâm I(a ; b ; c) của mặt cầu x a 2 x b 2 x c 2 R2 . Bán kính R Viết phương trình mặt cầu 2. Phƣơng trình mặt cầu tâm , bán x a 2 x b 2 x c 2 R2 kính R a2 b 2 c 2 d : 2 2 2 Dạng 2: Viết phƣơng trình mặt cầu đƣờng x y z – 2ax – 2by – 2cz d 0 kính AB 2 2 2 với a + b + c – d > 0 Gọi I là trung điểm của AB. Tính toạ độ I II. Vị trí tƣơng đối của mặt cầu và mặt phẳng: I là tâm mặt cầu Cho mặt cầu 1 Bán kính R AB (S): 2 tâm bán kính R và mặt phẳng (P): Viết phương trình mặt cầu Ax + By + Cz + D = 0. Dạng 3: Viết phƣơng trình mặt cầu (S) cĩ tâm Nếu d(I,(P)) > R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu I (a; b; c) và tiếp xúc với : (S) khơng cĩ điểm chung. Ax + By + Cz + D = 0 Nếu d(I,(P)) = R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu Mặt cầu (S) cĩ tâm I và tiếp xúc với . Nên (S) tiếp xúc nhau. Khi đĩ (P) gọi là tiếp diện của cĩ bán kính mặt cầu (S) và điểm chung gọi là tiếp điểm Ax By Cz D Nếu d(I,(P)) < R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu R d I, III (S) cắt nhau theo giao tuyến là đường trịn cĩ ABC222 phương trình: Viết phương trình mặt cầu 2 2 2 x a y b z c R2 Dạng 4: Viết phƣơng trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD Ax By Cz D 0 Phương trình mặt cầu (S) cĩ dạng Trong đĩ bán kính đường trịn x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By +2Cz + D = 0 22 r R d(I,(P)) và tâm H của đường trịn là A, B, C, D thuộc (S). Ta cĩ hệ phương trình hình chiếu của tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng Giải hệ phương trình tìm A, B, C, D (P). Kết luận Trang 39
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam Dạng 5: Lập phƣơng trình mặt cầu đi qua ba phẳng, giữa hai đường thẳng, gĩc giữa hai mặt điểm A, B, C cĩ tâm nằm trên mặt phẳng Oxy phẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai đường thẳng Gọi I(xI ; yI ; 0) là tâm của mặt cầu, I Oxy 2 2 2 Vì vậy giải bài tốn thuần túy hình học cĩ Ta cĩ AI = BI = CI thể đưa về một bài tốn hình học giải tích nếu ta AI22 BI xây dựng một hệ trục Oxyz hợp lý. Ta cĩ hệ phương trình 22 Nhận xét: AI CI - Ƣu: Giải bài tốn chỉ đơn thuần là tính tốn, Giải hệ phương trình tâm I IA = R khơng suy nghĩ nhiều. Kết luận - Khuyết: Khơng thấy được cái hay của hình học thuần túy, tính tốn phải hết sức cẩn thận. Vấn đề 5: Các dạng tốn tam giác Một số cách chọn hệ trục Oxyz thƣờng dùng: Trong khơng gian Oxyz cho tam giác ABC 1. Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ biết điểm C(a;b;c) và hai đường thẳng cắt nhau nhật ABCD.A'B'C'D' d ,d khơng đi qua C lần lượt cĩ phương trình 2. Với hình hộp đáy là hình thoi 12 ABCD.A'B'C'D' tham số : 3. Với hình chĩp tứ giác đều S.ABCD x x1 a 1 t 1 x x2 a 2 t 2 4. Với hình chĩp tam giác đều S.ABC d1 : y y 1 b 1 t 1 và d2 : y y 2 b 2 t 2 5. Với hình chĩp S.ABCD cĩ ABCD là hình z z1 c 1 t 1 z z2 c 2 t 2 chữ nhật và SA  (ABCD) Hãy tìm tọa độ các đỉnh A, B trong các trường 6. Với hình chĩp S.ABC cĩ ABCD là hình hợp : thoi và SA  (ABCD) d ,d là hai đường cao của tam giác . 7. Với hình chĩp S.ABC cĩ SA  (ABC) và 12 ABC vuơng tại A. d12 ,d là hai đường trung tuyến của tam giác. 8. Với hình chĩp S.ABC cĩ SA  (ABC) và ABC vuơng tại B. d12 ,d là hai đường phân giác trong gĩc A , B d là đường cao, d là trung tuyến của tam 9. Với hình chĩp S.ABC cĩ (SAB)  (ABC), 1 2 SAB cân tại S và ABC vuơng tại C giác 10. Với hình chĩp S.ABC cĩ (SAB)  (ABC), d1 là đường cao, d2 là phân giác trong của SAB cân tại S và ABC vuơng tại A tam giác 11. Với hình chĩp S.ABC cĩ (SAB)  (ABC), d1 là trung tuyến, d2 là phân giác trong của SAB cân tại S và ABC vuơng cân tại C tam giác  Phƣơng pháp: Tương tự như trong hình học phẳng. Chú ý: Hình học giải tích khơng gian đề thi đại học thường tập trung vào các dạng tốn thường gặp của phương trình đường thẳng, các dạng tốn khoảng cách, điểm đối xứng nên học sinh cần nắm kĩ (vì hình học giải tích trong Oxy đề thi đã khai thác yếu tố tam giác) Vấn đề 6: Ứng dụng hình học giải tích giải các bài hình học thuần. Cơ sở lý luận: Như ta đã biết trong với cơng cụ giải tích ta cĩ thể tính được diện tích một đa giác, thể tích một khối đa diện, khoảng cách giữa hai mặt Trang 40
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam SỐ PHỨC Vấn đề 1: CÁC ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT. I. Khái niệm số phức Tập hợp số phức: C Số phức (dạng đại số) : z a bi (a, b R , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = –1) z là số thực phần ảo của z bằng 0 (b = 0) z là thuần ảo phần thực của z bằng 0 (a = 0) Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. Hai số phức bằng nhau: a a ' a bi a'b'i (a,b,a',b' R) b b' 2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b R) được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi u (a; b) trong mp(Oxy) (mp phức) Một cách tổng quát: Chọn trước hệ trục Oxy nằm trong mặt phẳng đáy dựa trên các tính chất vuơng gĩc (O nằm ở gĩc vuơng). Sau đĩ dựng tia Oz vuơng gĩc với Oxy tại O. 3. Cộng và trừ số phức: a bi a'b'i aa' bb'i a bi a'b'i aa' bb'i Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi u biểu diễn z, u' biểu diễn z' thì u u ' biểu diễn z + z‟ và u u ' biểu diễn z – z‟. 4. Nhân hai số phức: a bi a' b'i aa' bb' ab' ba'i k(a bi) ka kbi (k R) 5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z a bi z z ; z z' z z' ; Trang 41
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam zz z r(cos isin ) (r > 0) là dạng lương z.z' z.z'; 11 zz 22 22 22 r a b z.z a b a z là số thực zz ; giác của z = a + bi (z 0) cos z là số ảo zz r b 6. Mơđun của số phức: z = a + bi sin  r z a22 b zz OM là một acgumen của z, (Ox,OM) z 0,  z C , z 0 z 0 z 1 z cos isin ( R) z.z' z . z' 11. Nhân, chia số phức dƣới dạng lƣợng giác: zz z r(cos isin ) , z' r'(cos ' isin ') z' z' z.z' rr'. cos( ') isin( ') z z' z z' z z'   zr 7. Chia hai số phức: cos( ') isin( ') z' r ' 1 zz 1 (z 0) 12. Cơng thức Moa–vrơ: z 2 r(cos isin )n rn (cosn isin n ) , z' 1 z'.z z'.z   z'z * zz 2 z.z ( nN ) z' cos isin n cosn isin n w z' wz z 13. Căn bậc hai của số phức dƣới dạng lƣợng 8. Căn bậc hai của số phức: giác: z x yi là căn bậc hai của số phức Số phức z r(cos isin ) (r > 0) cĩ hai 22 căn bậc hai là: 2 x y a w a bi zw 2xy b r cos isin hoặc r cos isin 22 22 w = 0 cĩ đúng 1 căn bậc hai là z = 0 w 0 cĩ đúng hai căn bậc hai đối nhau r cos isin Hai căn bậc hai của a > 0 là a 22 Hai căn bậc hai của a 0) cĩ n căn bậc n là: (A, B, C là các số phức cho trước, A 0 ). k2 k2 n r cos isin , k 0,1, ,n 1 B2 4AC nn 0: (*) cĩ hai nghiệm phân biệt B  Vấn đề 2: CÁC DẠNG TỐN z1,2 , (  là 1 căn bậc hai của ) 2A I. Thực hiện các phép tốn cộng trừ, nhân 0: (*) cĩ 1 nghiệm kép: chia số phức. B zz Áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia 12 2A hai số phức, căn bậc hai của số phức. Chú ý: Nếu z0 C là một nghiệm của (*) Chú ý các tính chất giao hốn, kết hợp đối với các phép tốn cộng và nhân. thì z0 cũng là một nghiệm của (*). 10. Dạng lƣợng giác của số phức: II. Giải phƣơng trình - hệ phƣơng trình số phức: - Giả sử z = x + yi. Giải các phương trình ẩn z là tìm x, y thoả mãn phương trình. - Giải phương trình bậc hai trong tập số phức, kết hợp với định lý Vi-et. Trang 42
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam - Chú ý: là độ lớn của một số phức chứ ĐẠI SỐ TỔ HỢP – XÁC SUẤT khơng phải là trị tuyệt đối. (trị tuyệt đối là trường hợp riêng của độ lớn được định nghĩa trên trục số thực). Vấn đề 1: HỐN VỊ – CHỈNH HỢP – III. Tập hợp điểm. TỔ HỢP - Giả sử số phức z = x + yi được biểu diển V. Quy tắc đếm, cộng và nhân: điểm M(x; y). Tìm tập hợp các điểm M là tìm hệ 1. Quy tắc đếm: thức giữa x và y. - Chú ý: Các dạng phương trình đường a. Quy tắc: thẳng, đường trịn, conic. Với điều kiện là khoảng cách giữa các số bằng IV. Dạng lƣợng giác. nhau (cách đều), ta cĩ: số lớn nhất số nhỏ nhất - Áp dụng như các cơng thức đã nêu. số các số 1. khoảng cách giữa 2 số liền kề Chú ý: Việc kết hợp khai triển nhị thức Newton b. Các dấu hiệu chia hết: trong tập số phức để chứng minh các đẳng thức Chia hết cho 2: số cĩ chữ số tận cùng là 0, 2, 4, cũng hay được sử dụng. 6, 8. Chia hết cho 3: số cĩ tổng các chữ số chia hết cho 3. Chia hết cho 4: số cĩ 2 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 4. Chia hết cho 5: số cĩ chữ số tận cùng là 0, 5. Chia hết cho 6: số chia hết cho 2 và 3. Chia hết cho 8: số cĩ 3 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 8. Chia hết cho 9: số cĩ tổng các chữ số chia hết cho 9. Chia hết cho 10: số cĩ chữ số tận cùng là 0. Chia hết cho 11: số cĩ hiệu của tổng các chữ số ở hàng lẻ và tổng các chữ số ở hàng chẵn chia hết cho 11 (VD: 1345729 vì (1+4+7+9) – (3+5+2) = 11). Chia hết cho 25: số cĩ 2 chữ số tận cùng là 00, 25, 50, 75. 2. Quy tắc cộng: 1) Nếu một quá trình (bài tốn) cĩ thể thực hiện được một trong hai cách (trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ nhất cho m kết quả và cách thứ hai cho n kết quả. Khi đĩ việc thực hiện quá trình trên cho m + n kết quả. 2) Nếu một quá trình (bài tốn) cĩ thể thực hiện được k cách (trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ nhất cho m1 kết quả, cách thứ hai cho m2 kết quả, , cách thứ k cho mk kết quả. Khi đĩ việc thực hiện quá trình trên cho m + m + + m 1 2 k kết quả. 3. Quy tắc nhân: Trang 43
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam 1) Nếu một quá trình (bài tốn) được thực hiện VII. Phƣơng pháp giải tốn đếm: theo hai giai đoạn (bước) liên tiếp nhau sao cho 1. Phƣơng pháp 1. cĩ m cách thực hiện giai đoạn thứ nhất, đồng thời Bƣớc 1. Đọc kỹ các yêu cầu và số liệu của đề bài. ứng với mỗi cách đĩ cĩ n cách để thực hiện giai Phân bài tốn ra các trường hợp, trong mỗi trường đoạn thứ hai. Khi đĩ cĩ mn cách thực hiện quá hợp lại phân thành các giai đoạn. trình trên. Bƣớc 2. Tùy từng giai đoạn cụ thể và giả thiết bài 2) Nếu một quá trình (bài tốn) được thực hiện tốn để sử dụng quy tắc cộng, nhân, hốn vị, theo k giai đoạn (bước) liên tiếp nhau sao cho cĩ chỉnh hợp hay tổ hợp. m1 cách thực hiện giai đoạn thứ nhất, với mỗi Bƣớc 3. Đáp án là tổng kết quả của các trường cách đĩ cĩ m2 cách để thực hiện giai đoạn thứ hợp trên. hai, , cĩ mk cách thực hiện giai đoạn thứ k. Khi đĩ, tồn bộ quá trình cĩ m1.m2 mk cách thực 2. Phƣơng pháp 2. hiện. Đối với nhiều bài tốn, phương pháp 1 rất dài. Do VI. Hốn vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp: đĩ ta sử dụng phương pháp loại trừ (phần bù) 1. Hốn vị: theo phép tốn AAXAX\A . Định nghĩa. Cho tập hợp X gồm n phần tử phân Bƣớc 1: Chia yêu cầu của đề thành 2 phần là yêu biệt n0 . Mỗi cách sắp xếp n phần tử của X cầu chung X (tổng quát) gọi là loại 1 và yêu cầu theo một thứ tự nào đĩ được gọi là một hốn vị riêng A. Xét A là phủ định của A, nghĩa là khơng của n phần tử. Số các hốn vị của n phần tử được thỏa yêu cầu riêng gọi là loại 2. ký hiệu là Pn. Bƣớc 2: Tính số cách chọn loại 1 và loại 2. Bƣớc 3: Đáp án là số cách chọn loại 1 trừ số cách Pn = n! = 1.2 n chọn loại 2. 2. Chỉnh hợp: Chú ý: Định nghĩa. Cho tập hợp X gồm n phần tử phân 1) Cách phân loại 1 và loại 2 cĩ tính tương đối, biệt n0 . Mỗi cách chọn ra k 0 k n phần phụ thuộc vào chủ quan của người giải. tử của X và sắp xếp theo một thứ tự nào đĩ được 2) Giải bằng phương pháp phần bù cĩ ưu điểm là gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số các ngắn tuy nhiên nhược điểm là thường sai sĩt khi chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là tính số lượng từng loại. k An . 3*) Thường thì ta xử lý các điều kiện trước, hoặc đơn giản các điều kiện rồi giải quyết bài tốn. k n! An VIII. Phƣơng pháp phƣơng trình, bất (n k)! phƣơng trình, hệ đại số tổ hợp: 3. Tổ hợp: Bƣớc 1: Đặt điều kiện cho bài tốn. Định nghĩa. Cho tập hợp X gồm n phần tử phân - Px cĩ điều kiện là x biệt n0 . Mỗi cách chọn ra k 0 k n phần - , cĩ điều kiện là k,n và 0 kn tử của X được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Số các tổ hợp chập k của n phần tử được Bƣớc 2: Áp dụng cơng thức tính để đưa bài tốn k về các phương trình, hệ phương trình quen thuộc. ký hiệu là Cn . Bƣớc 3: Giải phương trình, bất phương trình, hệ k n! phương trình rồi so điều kiện chọn nghiệm. Cn k!(n k)! Chú ý: Do tính đặc biệc của nghiệm là số tự Nhận xét: nhiên nên đơi khi một số bài ta phải nhẩm nghiệm, cịn đối với những bài bất phương trình 1) Điều kiện để xảy ra hốn vị, chỉnh hợp và tổ đơi khi ta cũng cần liệt kê các nghiệm. hợp là n phần tử phải phân biệt. 2) Chỉnh hợp và tổ hợp khác nhau ở chỗ là sau khi chọn ra k trong n phần tử thì chỉnh hợp cĩ sắp thứ tự cịn tổ hợp thì khơng. Trang 44
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam Vấn đề 2: NHỊ THỨC NEWTON Tiếp tục đạo hàm 2 vế của (2) ta được (3): 1.2C2 2.3C 3 x 3.4C 4 x 2 (n 1)nC n x n 2 I. Định nghĩa: n n n n n2 Nhị thức Newton là khai triển tổng lũy thừa cĩ n(n 1)(1 x) . dạng: Nhân x vào 2 vế của (2) ta được (4): n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 1 2 2 3 3 n n n1 a b Cn a C n a b C n a b Cn x 2C n x 3C n x nC n x nx 1 x . n k n k k n n k n k k Đạo hàm 2 vế của (4) ta được (5): Cn a b C n b C n a b  21 22 232 2nn1 k0 1C 2Cx 3Cx nCx n n n n k n k k n2 Số hạng thứ k+1 là Tk 1 C n a b n(1 nx)(1 x) thường được gọi là số hạng tổng quát. 3. Dạng tích phân: k Các hệ số Cn được tính theo cơng thức tổ  Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng hợp chập hoặc dựa vào tam giác Pascal sau: trước tổ hợp (và lũy thừa) là phân số giảm 1 1 Tính chất dần từ 1 đến hoặc tăng dần từ k n k n1 n1 1) Cnn C (0 k n) đến 1. k k 1 k 2) Cn C n C n 1 (1 k n) . Xét khai triển (1): n 0 1 2 2 n 1 n 1 n n II. Phƣơng pháp giải tốn: 1x Cn CxCx n n Cx n Cx n 1. Dạng khai triển: Lấy tích phân 2 vế của (1) từ a đến b ta  Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng được: trước tổ hợp và lũy thừa là 1 hoặc 1 và – 1 xen kẽ b b b b nhau. 1 xn dx C0 dx C 1 xdx C n x n dx n n n Khai triển ab n hoặc ab n . a a a a b n1 b 2bb n 1 Cộng hoặc trừ hai vế của 2 khai triển trên. 1x 0x 1 x n x Cn C n C n 2. Dạng đạo hàm: n 1 1a 2 n 1 a aa a. Đạo hàm cấp 1: 2 2 n 1 n 1 b a0 b a 1 b a n  Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng Cn C n C n trước tổ hợp và lũy thừa tăng dần từ 1 đến n (hoặc 1 2 n 1 (1 b)n 1 (1 a) n 1 giảm dần từ n đến 1). . Xét khai triển (1): n1 Chú ý: Trong thực hành, ta dễ dàng nhận biết 1x n C0 Cx 1 Cx 2 2 Cx k k Cx n n n n n n n giá trị của n. Để nhận biết 2 cận a và b ta nhìn vào Đạo hàm 2 vế của (1). ban 1 n 1 số hạng Cn . Thay số thích hợp vào (1) sau khi đạo hàm. n1 n b. Đạo hàm cấp 2: 4. Tìm số hạng trong khai triển nhị thức  Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng Newtơn: trước tổ hợp và lũy thừa tăng (giảm) dần a. Dạng tìm số hạng thứ k: từ 1.2 đến (n–1).n hoặc tăng (giảm) dần từ Số hạng thứ k trong khai triển (a b)n là 12 đến n2. Ck 1 a n (k 1) b k 1 . Xét khai triển (1): n b. Dạng tìm số hạng chứa xm: 1x n C0 CxCx 1 2 2 Cx n 1 n 1 Cx n n n n n n n Số hạng tổng quát trong khai triển (a b)n Đạo hàm 2 vế của (1) ta được (2): k n k k f (k) là Cn a b M(k).x (a, b chứa x). 1 2 3 2 n n 1 n1 Cn 2C n x 3C n x nC n x n 1 x Trang 45
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam Giải phương trình f (k) m k0 , số hạng a. Khái niệm: Cho phép thử T cần tìm là Ck0 a n k 0 b k 0 và hệ số của số hạng chứa - Biến cố A liên quan đến phép thử T là một sự n kiện mà việc xảy ra hay khơng xảy ra của A phụ xm là M(k ). 0 thuộc vào kết quả của phép thử T . Chú ý: Số hạng khơng chứa x thì m = 0 - Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra c. Dạng tìm số hạng hữu tỉ: gọi là một kết quả thuận lợi cho A . Tập hợp các n Số hạng tổng quát trong khai triển (a b) kết quả thuận lợi cho A kí hiệu là : A . Khi đĩ ta mr nĩi biến cố A được mơ tả bởi tập A . k n k k k pq là Cnn a b C . .  ( , là hữu tỉ). b. Chú ý: m - Biến cố của một phép thử ta hay kí hiệu là : A , B , C , D hoặc A1 , A2 , p Giải hệ (k ,0 k n) k0 . - Ta luơn cĩ : A   r - Biến cố chắc chắn là biến cố luơn xảy ra khi q thực hiện phép thử T. Biến cố chắc chắn được mơ k0 n k 0 k 0 tả bởi tập  là khơng gian mẫu của phép thử T. Số hạng cần tìm là Cn a b . - Biến cố khơng thể là biến cố khơng bao giờ xảy d. Dạng tìm hệ số lớn nhất trong khai ra khi thực hiện phép thử T . Biến cố khơng thể triển Newton: được mơ tả bởi tập rỗng  . n Xét khai triển (a bx) cĩ số hạng tổng II. Xác suất của biến cố k n k k k quát là Cn a b x . 1. Định nghĩa: Đặt u Ck a n k b k , 0 k n ta cĩ dãy hệ - Cho phép thử T với khơng gian mẫu  là một kn tập hữu hạn phần tử và các kết quả của phép thử số là uk . T là đồng khả năng . Để tìm số hạng lớn nhất của dãy ta giải hệ - Gọi A là một biến cố liên quan đến phép thử T và A là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A . uuk k 1 bất phương trình k0 . uu - Khi đĩ xác suất của A là một số , kí hiệu P(A) , k k 1 được xác định bởi cơng thức : Hệ số lớn nhất là Ck0 a n k 0 b k 0 . n  PA() A  Vấn đề 3: XÁC XUẤT Trong đĩ I. Phép thử ngẫu nhiên và khơng gian mẫu + A là số phần tử của A . 1. Phép thử ngẫu nhiên: +  là số phần tử của  . a. Khái niệm: Phép thử ngẫu nhiên (phép Vậy để tính xác suất của biến cố A của phép thử ) là một thí nghiệm hay hành động mà: thử T ta làm theo các bƣớc sau : - Kết quả của nĩ khơng đốn trước được . - Xác định khơng gian mẫu  và đếm số phần tử - Cĩ thể xác định được tập hợp các kết quả cĩ thể của nĩ (số kết quả cĩ thể xảy ra của phép thử T ). sảy ra của phép thử đĩ. - Xác định số kết quả thuận lợi cho A ( là số phần b. Kí hiệu: tử của A). Phép thử ngẫu nhiên hay kí hiệu là : T - Áp dụng cơng thức. 2. Khơng gian mẫu của phép thử: 2. Chú ý: a. Khái niệm : Tập hợp tất cả các kết quả cĩ 0 P(A) 1 thể xảy ra của phép phép thử gọi là khơng gian P() = 1 , P() = 0 mẫu của phép thử đĩ Xác suất là một số dương nhỏ hơn 1, xác b. Kí hiệu suất của biến cố chắc chắn bằng 1, xác suất của Khơng gian mẫu được kí hiệu là :  biến cố khơng thể bằng 0. 3. Biến cố của phép thử: III. Biến cố đối Trang 46
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam 1. Định nghĩa BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ Cho A là một biến cố . Khi đĩ biến cố “ khơng xảy ra A ”, kí hiệu là A , được gọi là biến cố đối Dạng tốn này là một dạng tốn khĩ của A. thường nằm câu V trong đề thi đại học. Ở đây xin chỉ nêu ngắn gọn các phương pháp. Bạn cĩ thể 2. Nhận xét: xem kĩ hơn trong “Chuyên đề bất đẳng thức – cực Gọi  là khơng gian mẫu trị”. Gọi  là tập kết quả thuận lợi cho A A Vấn đề 1: Các tính chất. Khi đĩ tập kết quả thuận lợi cho là : 1.  a, b R cĩ một và chỉ một trong ba quan =  \  A A hệ: a > b, a = b, a b, b > c thì a > c. 1. Biến cố hợp: 3. a, b R mà a > b thì a + c > b + c Cho hai biến cố A và B. Biến cố “A hoặc 4. Nếu a > b và c > d thì a + c > b + d. B xảy ra” gọi là biến cố hợp của hai biến cố A và ( Khơng được trừ hai bất đẳng thức). B, và kí hiệu là AB . 5. Nếu a > b và c > 0 thì ac > bc 2. Biến cố xung khắc: ( c b > 0 và c > d > 0 thì ac > bd > 0. B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra 1 1 thì biến cố kia khơng xảy ra. 7. Nếu a > b > 0 thì 0 0. Chứng P(A1 A2 A3) = P(A1).P(A2).P(A3) minh thì ta cũng cĩ thể xét trên miền a b c 1, (do bất đẳng thức đúng với Chú ý: Học kĩ các cơng thức kết hợp phương (a,b,c)thì cũng đúng với (ta, tb, tc)). Cố gắng pháp đếm ở phần đại số tổ hợp. chọn miền hợp lý để bài tốn được đơn giản. Trang 47
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam    Vấn đề 3: Bất đẳng thức B.C.S a b a b . Đẳng thức xảy ra khi a,b I. Phát biểu: cùng hướng  Cho 2 cặp số:       a1 a 2 a a 1 a 2 a . Đẳng 2 2 2 2 nn a1 .b 1 a 2 .b 2 (a1 a 2 )(b 1 b 2 )    thức xảy ra khi a11 ,a , ,an cùng hướng. aa Dấu „=‟ xảy ra khi 12 bb Trong Oxy: a (a,a);b1 2 (b,b) 1 2 12 (Nếu bỏ dấu thì cần thêm điều kiện 0) Trong Oxyz: a (a,a1 2 ;a 3 );b (b,b;b) 1 2 3  Cho 3 cặp số: II. Một số lƣu ý: Chọn các điểm cĩ tọa độ thích hợp. 2 2 2 2 2 2 a1 .b 1 a 2 .b 2 a 3 b 3 (a1 a 2 a 3 )(b 1 b 2 b 3 ) Thường dùng để đưa nhiều căn thức bậc hai về một căn thức bậc hai. aa12a3 Dấu „=‟ xảy ra khi b1 b 2 b 3 Vấn đề 5: Dùng điều kiện cĩ nghiệm (Nếu bỏ dấu thì cần thêm điều kiện 0) của hệ tìm max, min  Cho n cặp số: Bài tốn: 2 2 2 2 a1 .b 1 a n b n (a 1 a n )(b 1 b n ) Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện a a a G(x, y) 0 (hoặc G(x,y) 0;G(x,y) 0). Tìm Dấu „=‟ xảy ra khi 1 2 n giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất (nếu cĩ) của b b b 1 2 n P F(x, y) (Nếu bỏ dấu thì cần thêm điều kiện 0) Cách giải: Hệ quả: Cho các số khơng âm: Đặt F(x,y) = m. Ta cĩ hệ: 2 a2 a 2 a 2 a a a G(x, y) 0 G(x, y) 0 G(x, y) 0 1 2 n 1 2 n ( hoặc ; F(x, y) m F(x, y) m F(x, y) m b1 b 2 b n b 1 b 2 b n a a a Biện luận m để hệ trên cĩ nghiệm. Từ đĩ suy Dấu “=” xảy ra khi 1 2 n ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P. b b b 1 2 n Lƣu ý: Các phương pháp giải hệ phương trình, hệ II. Một số lƣu ý: bất phương trình. Dùng nhập các tổng bình phương thành một. Hệ quả B.C.S cho phép chúng ta gộp mẫu. Chú ý: các kĩ thuật thêm bớt. Vấn đề 6: Cơng cụ đạo hàm I. Chứng minh bất đẳng thức: Vấn đề 4: Bất đẳng thức Vectơ Phƣơng pháp: I. Phát biểu: Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, , ). Xét hàm số y = f(x) trên tập xác Sử dụng quy tắc ba điểm và bất đẳng thức định do đề bài chỉ định. trong tam giác, chú ý trường hợp bất đẳng thức trở thành đẳng thức. Xét dấu f (x). Suy ra hàm số đồng biến hay Các bất đẳng thức: nghịch biến.    Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch a . b a.b . Đẳng thức xảy ra khi a,b cùng biến để kết luận. phương Chú ý:    a b a b . Đẳng thức xảy ra khi a,b 1. Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f (x) thì ta đặt h(x) = f (x) và quay lại tiếp tục xét cùng hướng dấu h (x) cho đến khi nào xét dấu được thì thơi. Trang 48
LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam 2. Nếu bất đẳng thức cĩ hai biến thì ta đưa bất MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC đẳng thức về dạng: f(a) < f(b). Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b). II. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất: KHỐI A – 2010 Phƣơng pháp: Câu I: Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của 3 2 hàm số trên một khoảng. Cho hàm số y = x – 2x + (1 – m)x + m (1), m là số thực Tính f (x). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của Xét dấu f (x) và lập bảng biến thiên. hàm số khi m = 1. Dựa vào bảng biến thiên để kết luận. 2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hồnh tại 3 điểm phân biệt cĩ hồnh độ x1, x2, x3 hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]. 222 thỏa mãn điều kiện : x x x 4 Tính f (x). 1 2 3 Câu II: Giải phương trình f (x) = 0 tìm được các 1. Giải phương trình: nghiệm x1, x2, , xn trên [a; b] (nếu cĩ). Tính f(a), f(b), f(x ), f(x ), , f(x ). 1 2 n (1 sin x cos 2x)sin x 4 1 So sánh các giá trị vừa tính và kết luận. cos x 1 tan x 2 M max fx ( ) max fafbfx ( ), ( ), (1 ), , fx (n ) [;]ab 2. Giải bất phương trình : m min fx ( ) min fafbfx ( ), ( ), ( ), , fx ( ) 1 n  xx [;]ab 1 1 2(x2 x 1) Câu III: TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 x2 e x 2x 2 e x Tính tích phân : I dx x 0 1 2e 1. Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Câu IV: 2. Phương trình, hệ đại số Trần Phương 3. Và tài liệu của các Thầy Cơ trên trang web: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung  www.mathvn.com điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của  www.boxmath.vn CN và DM. Biết SH vuơng gĩc với mặt phẳng  www.violet.vn (ABCD) và SH = a3. 1. Tính thể tích khối chĩp S.CDNM. Trong quá trình tổng hợp, biên soạn các kiến thức khơng tránh khỏi sai sĩt, mong Thầy Cơ và 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng các bạn nhận xét, gĩp ý. DM và SC theo a. Xin chân thành cảm ơn. Câu V: Giải hệ phương trình: 2 Cao Hồng Nam (4x 1)x (y 3) 5 2y 0 (x, y R). Email: caohoangnamvn@gmail.com 22 4x y 2 3 4x 7 Điện thoại: 0907894460 Câu VI (A): (Chƣơng trình chuẩn) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1: 3x y 0 và d2: 3x y 0 . Như một mĩn quà thay cho lời cảm ơn đến “đồn thỉnh kinh”, Gọi (T) là đường trịn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 “gia đình nhĩm TN” của TốnA(06 -10) ĐHSP. Cảm ơn mọi tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuơng người đã đồng hành cùng tơi suốt chặng đường Đại học, cho nhau bao tiếng cười và niềm vui. tại B. Viết phương trình của (T), biết tam giác Trang 49