›
›

Lý thuyết hệ nhiều hạt

pdf 23 trang phuongnguyen 3210
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Lý thuyết hệ nhiều hạt", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfly_thuyet_he_nhieu_hat.pdf

Nội dung text: Lý thuyết hệ nhiều hạt

  1. Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software For evaluation only. NGUYỄN VĂN TRUNG : 0915192169 Lí THUYẾT HỆ NHIỀU HẠT Chương 1: Tớnh chất chung của hệ nhiều hạt 0- Khỏi niệm về hệ nhiều hạt 0.1- Nhiều : N 2 : Vấn đề kỹ thuật : số biến ; tương tỏc ; thay đổi về chất 0.2- Nhiều (N >>1) : khụng làm thay đổi chất 0.3- Nhiều (N >> 1) : làm thay đổi chất 0.4- Hệ nhiều hạt ở T=0K. 0.5- Hệ kớn. 0.6- Hệ ở T 0K. Quan hệ giữa Cơ học và Vật lý thống kờ (bao gồm cả cổ điển và lượng tử) 1- Hệ hạt đồng nhất: 1.1- Nguyờn lý khụng phõn biệt cỏc hạt đồng nhất trong cơ học lượng tử 1.2- Hàm súng của hệ cỏc hạt đồng nhất 1.2.1- Tớnh đối xứng của hàm súng ˆ Pij  (q1, , qi , , qj , , qN) =  (q1, , qj , , qi , , qN) (1.1) + (q1, , qi , , qj , , qN) = + (q1, , qj , , qi , , qN) (1.2) - (q1, , qi , , qj , , qN) = - - (q1, , qj , , qi , , qN) (1.3) 1.2.2- Đặc điểm của tính đối xứng của hàm sóng 1.2.2.1- Tính đối xứng là như nhau đối với tất cả các cặp biến : 1.2.2.2- Tính đối xứng của hàm sóng phụ thuộc vào spin : Spin nguyên (0 ; 1 ; 2 ; ) Spin bán nguyên (1/2 ; 3/2 ; 5/2 ; ) 1.2.2.3- Tính đối xứng của hàm sóng là vĩnh cửu : 1.2.3- Dạng của hàm sóng của hệ hạt đồng nhất không tương tác ()()()q  r  s q (,) r s p (,) ni pi i ni i i ; i i i ; i (1.4) (q ) ( q ). dq dr  ( r )  ( s )  ( r )  ( s )    pi i p k i i i ni i i nk i  i ni, nk  pi p k (1.5) Si dri dx i dy i dz i .  (q , q , , q ) c ( q ) ( q ) ( q ) (1.6a) 1 2N p1 1 p 2 2 pN N ()q (q ) ( q ) ( q ) p11 p 1 2 p 1 N (q ) ( q ) ( q ) 1 p21 p 2 2 p 2 N  (q1 , q 2 , , qN ) N! (1.7a) (q ) ( q ) ( q ) pNNN1 p 2 p N Định thức Slater chứa đựng Nguyên lý loại trừ Pauli . 2- Các đại lượng bảo toàn của hệ nhiều hạt. 2.1-Hamiltonian của hệ nhiều hạt. N 2 (2.1a) H ( / 2) ( i / m i ) V ( r1 , r 2 , , rN ) i 1 N 1  1   1  2 H ( 2 / 2) r 2 sin V(,,) r  (2.1b)  2 i 2 i 2 2 2 i 1 ri ri ri risin  i i i risin  i  ( r( r1 , r 2 , , rNNN ) ;  (  1 ,  2 , ,  ) ;   (  1 ,  2 , ,  ) )
  2. Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software For evaluation only. 2.2- Bảo toàn động lượng của hệ nhiều hạt. ˆ N P i  k (2.2) k 1 N N ˆ 1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ N Do đó: P ()()() PH HP PV VP  k V V  k  kVFFFF  k int ext ext (2.3) i i  k 1 k 1k 1 FFFint  i  ij 0. Nừu: Fext = 0 i i j 2.3- Bảo toàn mô men động lượng của hệ nhiều hạt. N N N ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  L  k ; Lz i  kz ; thay kz i  /  k , Lz i  (2.4) k 1 k 1 k 1 k N N ˆ 1 ˆ ˆ V Lz (L z H HL z )   M k z (2.5a) i k 1 k k 1 N  MMMMk z z,int z , ext z (2.5b) k 1 CM : M z,int 0 2 Với Lz và L bảo toàn. 3- Biểu diễn tương tác  t)( Biểu diễn Shrodinger : i S H  t)( (3.1) t S SH(t ) [exp( iHt / )]  (3.2) ˆ iH t //ˆ iH t  Biểu diễn Heisenberg : FH () t e FS e (3.3) HS [exp(iHt / )]  ( t ) (3.4) ˆ Biểu diễn tương tác : HHV 0 (3.5) ˆ iH0 t //ˆ iH 0 t  Fi t)( e FS e (3.6) i(t ) [exp( iH0 t / )]  S ( t ) (3.7)   ()t i i Vˆ ()() t  t (3.8) t i i ˆ iH0 t //ˆ iH 0 t  Vi t)( e VS e (3.9) t ()()(/)t  t i Vˆ (')(')' t  t dt (3.10) i i0 i i t0 (0) (1) (2)  i()t  i () t  i () t  i () t (3.11) ˆ it)( S(,)() t t0  i t 0 (3.16) t t t1 Sˆ( t , t ) 1 ( i / ) Vˆ ( t ) dt (1/  ) 2 Vˆ () t dt Vˆ ( t ) dt 0 i 1 1 i 1 1 i 2 2 t0t 0t 0 t t1 tn 1 (/) i n Vˆ () t dt Vˆ ( t ) dt Vˆ ( t ) dt (3.17) i 1 1 i 2 2 i n n t0t 0 t0 t  ˆ ˆ ˆ S(,) t t0 Texp ( i / ) Vi (')' t dt  (3.18) t0  ˆ ˆ ˆ SttStt(,)2 1(,) 1 0 Stt(,); 2 0 t 2 t 1 t 0 (3.19) ˆ ˆ Coi : V( tV ) 0 Ký hiệu : S() t S(,) t tV (3.20)
  3. Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software ˆ ˆ ˆ 1 For evaluation only. S(,)()() t2 t 1 S t 2 S t 1 (3.21) ˆ Từ (3.2) : SH(t ) [exp( iHt / )]  . Trong đú :i()t S()() t  i t V (3.22) i(t ) [exp( iH0 t / )]. [exp( iHt /  )]  H ; thay t tV ==> i()t V  H ˆ i()()t S t  H (3.23) ˆ ˆ ˆ ˆ 1 Fi() t S() t F H t)( S t)( (3.24) 0*ˆ ˆ ˆ ˆ 0 M HHHHH T[ A() t B t)'( C( t '') ]  (3.25) Giả thiết t > t’ > t’’ > 0*ˆ 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 M H S() T[ A i t)( B i t)'( C i( t '') S( )]  H (3.26) ˆ 0i 0 S() H e  H (3.27) 0*ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 HT[ A i t)( B i t)'( C i( t '') S( )]  H Cuối cùng : M (3.28) 0*ˆ 0 HHS()  Chương 2 : Một số phương phỏp giải bài toỏn hệ nhiều hạt 4- Phương pháp tách chuyển động khối tâm của hệ : 4.1- Đặc điểm của thế tương tác: N 2 (4.1a) H ( / 2) ( i / m i ) V ( r1 , r 2 , , rN ) i 1 Vrr(,1 2 , , rNNN ) Vrrrr ( 1 2 , 1 3 , , r 1 r ) (4.1b) Sự phụ thuộc này dẫn đến kết quả là Décartes r(,,) x y z Jacobi (,,)   : 1 (:)m 1 x 1 m 1 x 2 ;  2 ():()m 1 x 1 m 2 x 2 m 1 m 2 x 3 ; k k , với k = 1 , 2 , , N –1 (4.2a) k m j x j :  mj xk 1 j 1 j 1 N N (4.2b)  N m i x i :  m i i 1 i 1 Tương tự cho các toạ độ i và  i . N N Có thể chứng minh được : (4.3a) (/)(/) r, im i  ,i i i 1 i 1  2  2  2  2  2  2 trong đó : ; (4.3b) r, i 2 2 2 , i 2 2 2 xi y i z i i  i  i k và : 1 1 1 khi k = 1 , 2 , , N –1 (4.3c) ()()() k  m j m k 1 j 1 N  N  m i (4.3d) i 1 N 2 Khi đó H( r1 , r 2 , , rN ) ( / 2) ( r, i / m i ) V ( r1 , r 2 , , rN ) i 1 N 2 HV'( 1 , 2 , , N ) ( / 2) ( , i /  i ) '( 1 , 2 , , N ) (4.4) i 1 r r a ; H()() r H r a , ==> V()() r V r a : Vrr(1 , 2 , , rN ) Vxayazaxayaza ( 1 x , 1 yz , 1 , 2 x , 2 y , 2 zNxNyNz , , x ay , az , a ) V'(1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , ,N a x , N a y , N a z )
  4. Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software For evaluation only. V'(1 ,  1 ,  1 ,  2 ,  2 ,  2 , , N a x ,  N a y ,  N a z ) V '(,,1 1 1 ,, 2 2 , 2 , ,NNN , , ), N Kết quả là 2 (4.5) HV'( 1 , 2 , , N ) ( / 2) ( , i /  i ) '( 1 , 2 , , N 1 ) i 1 4.2- Phương trình Shrodinger cho hệ đã tách chuyển động khối tâm:  ( 1 , 2 , , NNN )  ( 1 , 2 , , 1 )G ( ) (4.6) N 2 [(  /2) ( , i / i ) VGEG '(  1 , 2 , ,NNNNN 1 )]( 1 , 2 , , )( )  ( 1 , 2 , , )( ) i 1 N 1 2 1 2  [ ( / 2) ( ,i / i ) V '( 1 , 2 , , N 1 )]  [/] ,NN GE (4.7)  i 1 2G N 1 2 [ ( / 2) ( ,i / i ) VE '(  1 , 2 , ,NNN 1 )] ( 1 , 2 , , 1 ) 1  ( 1 , 2 , , 1 ) (4.8a) i 1 2 [/]()() GEG (4.8b) 2 ,NNNN 2 Với E1 + E2 = E (4.8c) Ví dụ : Xét hệ gồm 2 hạt (N =2): Bài tập 5- Phương pháp trường trung bình 5.1- ý tưởng của phương pháp trường trung bình HE  (5.1) 2 N H() r u() r (5.2) H  Hi( r i ) (1/ 2)  Vji ( ri , r j ) i i i i i i 1i , j 2mi N 2 H  H'()i r i với H'()i r i i u i()() r i V ef r i (5.3) i 1 2mi N  (r , r , , r ) ( r ) (5.4) 1 2 N pi i i 1 N 2 [ u( r ) V ( r )] ( r )  ( r ) i E (5.5) i i i ef i pi i i p i i 2m i i 1 Q[][] * H E  dq (5.6) N N dq dq , còn q (,) r s ; dq dr (5.7)  i i i i  i  i 1 i 1 Si Q[  ]  * [ H E ]  dq 0 (5.8) 5.2- Thế hiệu dụng Vef đối với hệ các hạt boson N ()q  ()[ q H ()(1/2) r V (,) r r E ]  dq  pii p k k i i  i j i j i k i 1i , j N * [H ()(1/2) r V (,) r r E ] () q  () q dq 0 , (5.9) i i  i j i j pi i p k k i 1i , j i k N dq () q ()[ q H ()(1/2) r V (,) r r E ]  dq k pk k  p i i i i  i j i j i i k i 1i , j i k N dq () q ()[ qHr* ()(1/2) VrrE* (,) ]  * dq 0 (5.10) k pk k  p i i i i  ij i j i i k i 1 i, j i k N * ()[q H ()(1/2) r V (,) r r E ]  dq 0 (5.11) pi i i i  i j i j  i i ki 1 i , j i k
  5. Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software For evaluation only. ' 2 ''VV  Vji (,) ri r j  ik  ij (5.12) i, j i i k j k c * ( q )[ H ( r )] ( q ) dq (5.13a) 1  pii i i  p i i i i k i k i k i k c *'( q )[(1/ 2) V ( r , r )] ( q ) dq (5.13b) 2  pii ij i j  p i i i i k i k i k i k j k V() r *' ()[ q V (,)] r r () q dq (5.14) ef k  pii ik i k  p i i i i k i i k i k * (q )[ H ( r )]  dq [ c H ( r )] ( q ) (5.15a)  pii i i  i 1 k k p k k i k i i k *'(q )[(1/ 2) V ( r )]  dq [ c V ( r )] ( q ) (5.15b)  pii ij i  i 2 ef k p k k i k i, j i k * ()()q E  dq E q (5.15c)  pii i p k k i k i k [H ( r ) V ( r )] ( q )  ( q ) (5.17a) k k ef k pk k k p k k k = E – c1 – c2 (5.17b) 5.3- Thế hiệu dụng đối với hệ các hạt fermion 1 (,)q1 q 2 [ ( q 1 ) ( q 2 ) ( q 2 ) ( q 1 )] (1.7b) 2 1 2 1 2 [ * (q ) * ( q )  * ( q ) * ( qHHVE )]( )[ ( q ) ( q ) ( q ) ( qdqdq )] 11 22 12 21 1 2 12 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 [ * (q ) * ( q ) * ( q ) * ( qHHVE )]( )[  ( q ) ( q )  ( q ) ( qdqdq )] 0 (5.18) 11 22 12 21 1 2 12 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2  * ()()()()()q * qHHV E q qdqdq 12 21 1 2 12 1 2 2 1 1 2  * ()()()()()q * qHHV E q qdqdq 11 22 1 2 12 1 1 2 2 1 2 *()()()()()q * q H H V E  q q dq dq  ()()()()()q  qHHV E  q  qdqdq 12 21 1 2 12 1 2 2 1 1 2 11 2 2 1 2 12 1 1 2 2 1 2 * * * *  ()()()()q1 q2 V 12 q 2 q 1 dq 1 dq 2  ()()()()q q V q q dq dq 1 2 1 2 12 21 12 1 1 2 2 1 2 * * * * ()()()()q1 q2 V 12  q 2 q 1 dq 1 dq 2 ()()()()q q V  q q dq dq 1 2 1 2 12 21 12 1 1 2 2 1 2  * ()()(q * q H H E )()() q q dq dq 0 11 22 1 2 1 2 2 1 1 2  * ()()(q * qHHE )()() q qdqdq 0 12 21 1 2 1 1 2 2 1 2 * ()()(q * q H H E )()()  q q dq dq 0 11 22 1 2 1 2 2 1 1 2 * ()()(q * qHHE )()()  q qdqdq 0 12 21 1 2 1 1 2 2 1 2 * *  ()()()()()q q H H V E q q dq dq ()()()()q1  q 2 V 12  q 2  q 1 dq 1 dq 2 11 22 1 2 12 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 * * * * ()()()()()q1 qHHV2 1 2 12 E  q 1 qdqdq 2 1 2 (q ) ( q ) V  ( q ) ( q )] dq dq 0 1 2 1 2 12 21 12 1 1 2 2 1 2 * * * và dq1 ( q1 ){[ ( qHHVE2 ) ( 1 2 12 ) ( qdq 2 ) 2 ] ( q 1 ) ()()()}q V  q  q dq 1 2 2 1 22 12 1 2 2 1 2 * * * * dq1 ( q 1 ){[ ( qHHVEqdq 2 )( 1 2 12 ) (2 ) 2 ] ( q1 ) (q ) V ( q ) ( q ) dq } 0 1 2 2 1 22 12 12 2 1 2 [H V ( r )] ( q )   ( q ) (5.19a) 1ef 1 11 1 1 1 1 trong đó  E  , H ()() q  q 1 02 22 2 02 2 2 ()q1 V()()(,)() r * q V r r q dq 2 * ()(,)()q V r r q dq (5.20a) ef 1 1 22 12 1 2 2 2 2 ()q 22 12 1 2 1 2 2 1 1
  6. Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software [H V ( r )] ( q )  ( q ) For evaluation (5.19b) only. 2ef 22 2 2 2 2 2 E  01 ; H1 1()() q 1  01 1 q 1 ()q2 V()()(,)() r * q V r r q dq 1 * ()(,)()q V r r q dq ef 2 1 1 12 1 2 1 1 1 11 12 1 2 2 1 1 (5.20b) ()q2 2 ()q V()()(,)() r '*'* q V r r q dq j i ()(,)()q V r r q dq (5.20c) efi i pi j ij i j p j j j  p j j ij i j p i j j j j i()q i 6- Phương pháp lượng tử hoá lần thứ hai. 6.1- ý tưởng của phương pháp  (q , q , , q ) c ( q ) ( q ) ( q ) (6.1) 1 2N p1 1 p 2 2 pN N ()q 6.2- Toán tử sinh hạt, toán tử huỷ hạt và toán tử số hạt cho hệ hạt boson: aˆ  N  (6.2) i , Ni i , N i 1 aˆ  N 1  (6.3) i , Ni i , N i 1 aˆ a ˆ N a ˆ  N N  N  (6.4) iiN ,i iiN , i 1 iiN , i iN , i ˆ Ký hiệu Ni aˆ i a ˆ i (6.5) chúng ta được : NNˆ   (6.6) i , Ni i , N i Do đó : aˆi a ˆ k a ˆ k a ˆ i  ik (6.7) aˆi a ˆ k a ˆ k a ˆ i 0 và aˆi a ˆ k a ˆ k a ˆ i 0 (6.8) 6.3- Toán tử sinh hạt, toán tử huỷ hạt và toán tử số hạt cho hệ hạt fermion: Ni = 0 hoặc 1 : aˆ  0 ; aˆ   i , Ni 0, i , N i 1, , N i 0, aˆ  0 ; aˆ   i , Ni 1, i , N i 0, , N i 1, aˆ  N  ; aˆ  1 N  (6.9) i ,, Ni i , N i 1, i , Ni 1, i , N i , aˆ  1 N  ; aˆ  N  (6.10) i , Ni , i , N i 1, i , Ni 1, i , N i , Nˆ  aˆ a ˆ  N a ˆ  N  (6.11a) i , Ni , i i , N i , i i , N i 1, i , N i , ˆ Ni aˆ i a ˆ i (6.11b) aˆk a ˆ i a ˆ i a ˆ k  ik (6.12) aˆi a ˆ k a ˆ k a ˆ i 0 và aˆi a ˆ k a ˆ k a ˆ i 0 (6.13) 6.4- Hamilton trong phương pháp lượng tử hoá lần thứ hai HHVV  a  a, b  a,, b c (6.14) a a, b a,, b c 2 H a a u() r a (6.15) 2ma  HNa i i (6.16) a i * i i H a i i()() q a H a i q a dq a (6.17) ˆ Ha i N i  i aˆ i a ˆ i (6.18) a i i V * ()(,)() q V q q q dq dq ik i a a b k b a b (6.19)
  7. Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software For evaluation only. Vik => VikNk => VikNkNi => VNNik i k 2 i, k 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ VVNNa, b  ik i k Va, b  V ik N i N k  V ik a i a i a k a k (6.21) a,, b 2 i k a,,, b2 i k 2 i k 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H  i a i a i  Vik a i a i a k a k (6.22) i 2 i, k 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H () Ha i, k a i a k () Va,, b ik m a i a  a k a m (6.23a) i, k 2 i,,, k m Trong đó: ()()()H  * q H q dq (6.23b) aik,, ik ia aka a V ()()(,)()() q q V q q q q dq dq ik, m i a k b a b  a m b a b (6.23c) ˆ ˆ ()()qa  i q a a i (6.24a) i ˆ * ˆ ()()qa  i q a a i (6.24b) i ˆ ()qa ˆ (') q b ˆ (') q a ˆ()(') q b  q a q b  ab (6.25a) ˆ ()qa ˆ(') q a ˆ(') q a ˆ( q a ) 0 (6.25b) ˆ ()qa ˆ (') q a ˆ (') q a ˆ ( q a ) 0 (6.25c) ˆ )1( ˆ F  f() qa (6.26) a Fˆ (1) ˆ ()()() q fˆ q  ˆ q dq (6.27) a a a a 1 H ˆ () q H ˆ() q dq ˆ () q ˆ ()(,) q V q q ˆ() q ˆ() q dq dq (6.28) aaaa2 a babbaab Chương 3: Hamiltonian và phương trỡnh Shrodinger cho một số hệ nhiều hạt 7- Phương trỡnh Shrodinger cho hệ cỏc electron và cỏc ion trong tinh thể 7.1- Phương trỡnh Shrodinger tổng quỏt cho hệ cỏc electron và cỏc ion H(,)(,) r R E  r R (7.1) 2  2 H V(,) r R (7.4) ri  RJ i2m J 2 M J V(,)(,)() r R V1 r R V 2 R (7.5) V1 (,)()(,) r R Ve e r V e I r R (7.6) VRVR2 ()() II 7.2- Gần đỳng đoạn nhiệt và cỏc phương trỡnh Shrodinger cho hệ cỏc electron và cho hệ cỏc ion  (,)(,)()r R  r R  R 1 2 (7.7)  2 2 [ V( r , R )]  ( r , R )  ( R ) [ V2 ( R )]  1 ( r , R )  2 ( R ) E  1 ( r , R )  2 ( R )  ri 1 1 2  RJ i 2m J 2M J  1  2 1  2 (r , R ) 0, [ r V1( r , R )]  1 ( r , R ) [ VRRE2( )]  2 ( ) 1 i  RJ X J 1 (,)r R i2m  2 ()R J 2M J 2  [ V( r )]  ( r )   ( r )  ri 1 1 1 V()(,) r V r R 2 m 1 1 i  2 [ VRVRRWR( ) ( )]  ( )  ( )  RJ 2ef 2 2 J 2M J Với : WEE e (7.13) 8- Trạng thỏi và năng lượng của electron trong mạng tinh thể
  8. Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software For evaluation only. 2 V()()() r r   r (8.1a)  ri 1 ef i 1 1 i 2m 2 [ V( r )] ( r )   ( r ) r i 1 ef i ni i i ni i (8.1b) 2 m ()   i ; V1ef()()(,)(,) r i V ef e r i V i I r i R I V i J r i R J (8.2) i 2 2 zI e zJ e Vi I(,) r i R I Vi J(,) r i R  4  0 ri R I JI 4  0 ri R J 8.1- Phương trỡnh Shrodinger cho electron trong trường hợp liờn kết mạnh Nguyờn tử cụ lập Tinh thể f ℓ=3 7N d ℓ=2 5N 4s 3p p 3N ℓ=1 s ℓ=0 1N a) b) Hỡnh 8.1 : Cỏc mức năng lượng của electron a) trong nguyờn tử cụ lập Hỡnh 8.2 : Hiện tượng chồng miền b) trong tinh thể 8.2- Phương trỡnh Shrodinger cho electron trong trường hợp liờn kết yếu nj()r i  V()()(,)() r '*'* r V r r  r dr  ()(,)()r V r r  r dr ef e i nj j ij i j nj j j   nj j ij i j ni j j (8.5) j j ni()r i  (r )  ( r )exp( ikr ) (8.6) ;  ()()r a  r (8.7) k k  2 k k [ V ( r )]  ( r )   ( r ) (8.1b) 2m ri ef e i ni i i ni i Vi Mụ hỡnh Kronig-Penney : V0 Vef e()() X J a V i X J (8.8) V()() X   X na ef e J J c n b x  lim (cV0 ) const c 0 V0 O a Hỡnh 8.3 Sơ đồ thế năng của mụ hỡnh Kronig-Penney
  9. Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software 9- Dao động mạng tinh thể For evaluation only. 9.1- Phương trỡnh Shrodinger cho cỏc dao động mạng tinh thể trong biểu diễn toạ độ VRVRVRJ()()() 2 ef (9.1) un (,,) un , x u n , y u n , z = độ lệch của nguyờn tử khỏi vị trớ cõn bằng ở nỳt mạng thứ n VJ( R ) V J ( u ) V J (0)  (  V J /  u n, ) 0 u n , n, 2 3 (1/2) ( VJ /u  n,  un', )uu 0 n , n ',  (1/ 6) ( VJ /  u n,  un',  u n '',  ) 0 u n , u n ',  u n '',  n, n ', ,  n, n ', n '', ,  ,  (VJ /  u n, ) 0 0 9.2- Phương trỡnh Shrodinger cho cỏc phonon trong biểu diễn lượng tử hoỏ lần thứ hai VJ() R  A n,'' n x n x n n ,' n (9.4) 2 VJ() R  A n x n (9.5) n ˆ 2 2ˆ 2 Hph  p n/(2 M n ) M n n x n 2/   H n (9.6) n 2 2 2 n trong đú Hn pˆ n/(2 M n ) M n n xˆ n 2/ (9.7) Aˆ M2/ xˆ i(1/ 2 M  ) pˆ (9.8a) Aˆ M2/ xˆ i(1/ 2 M  ) pˆ (9.8b) AAAˆ ˆ ˆ Aˆ  (9.9) ˆ ˆ HHAA n ( / 2)  (9.10) HEEE  (9.11) ˆ ˆ ˆ ˆ => HAEE () E  A  ; HAEE () E  A  (9.13) ˆ A0 0 ==> E0  2/ (9.16) 1 Từ (9.13) ==> E ( n) ; n = 0 , 1, 2 , 3 , (9.21) n 2 ˆ n CAn n ( ) 0 (9.22) 2 ˆ nˆ nˆ nˆ n ==> CAAAAn ( )(0)  0  0( )  0 (9.23) Aˆ n( Aˆ ) n Aˆ n 1 n ( Aˆ ) n 1 Aˆ n 1 ( Aˆ ) n Aˆ 2 ˆ n 1ˆ n 1 2 n 2 Cn n 0 A( A)! 0 n  Cn 1 n  C0 2 n n C0 = 1 ; do đú Cn n! và Cn n! n 1 Aˆ Cuối cựng :   (9.24) n 0 n!  ˆ A0 0 => [M / 2 x  (1/ 2 M  )(  /  x )] 0 ( x ) 0 (9.25) 2 0 (x ) C .exp[ m  x / 2 ] (9.26) 4/1 2 m m  (x ) dx 1 ==> C , do đú  (x ) .1/ 4 exp[ m x 2 / 2 ] (9.27) 0 0   10- Hamiltonian cho hệ cỏc spin 10.1- Trường hợp hệ cỏc electron linh động NN M g    (10.1) B V NNN  (10.2)
  10. Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software For evaluation only. HHH 1 2 (10.3a) N  2 (10.3b) H H V() r 1  2 m r i 2  1ef i (10.3c) i 1 i N 1 nj()r i  H  * ()(,)()r V r r  r dr 2   nj j ij i j ni j j (10.3d) 2 i, j 1 ni()r i i j EH   (10.4) (q ) ( q ) ( q ) p11 p 1 2 p 1 N (q ) ( q ) ( q ) 1 p21 p 2 2 p 2 N   (q1 , q 2 , , qN ) (10.5) N! (q ) ( q ) ( q ) pNNN1 p 2 p N 1 p(q j )  ( rj ).  ( s j ) exp(ik j r j ).  ( s j ) (10.6) j k j V N 2 *  E  H  ( q , q , , q ) ( )  (q , q , , q ) dq , dq , , dq (10.7) d1 1 2 N  ri 1 2 N 1 2 N i 1 2m dq dri (10.8a) i  S i dri dx i dy i dz i (10.8b) N 2 2 2 2  k j  k EHd 1   2  (10.9) j 1 2m k kF 2m V kd dk dk dk dk  3 x y z k 8 k V 2 V 2 F V 2 k 5 E k2 dk k4 dk F (10.10) d 8m 3 2m 2 10m 2 ki kF 0 V V kF Vk 3 N 2 1 kd 4 k2 dk F (10.11)  3 3 2 k kF 4 4 0 3 V2 k 5 3  2N k 2 3  2k 2 E FF N ( Trong đú: F ) d 10m 2 10m 5 F F 2m k V V F V k 3 N 1 kd 4 k2 dk F (10.14a)   8 3 8 3 6 2 k kF 0 V k 3 N 1 F (10.14b)   6 2 k k F Vk3 Vk 3 Vk 3 k3 k 3 NNN FF  F FF  k 3   6 2 6 2 3 2 2 2 F EHt 2  (10.16) 1 N  H exp[ i ( k k )( r r )] V ( r , r ) dr 2  j i j i ij i j j (10.17) 2V i, j 1 i j e2 Vi, j(,) r i r j (10.18) 4  0 ri r j
  11. Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software 1 N  N For evaluation only. H exp[ i ( k k ) r ] V ( r ) dr V() k k 2  j i ij  j i (10.19) 2V i, j 12V ,ji 1 i j i j e 2 V() kj k i 2 (10.20)  0 kj k i e2 1 EHt 2 2 (10.21) V  0 k k', kF k k' 2 e2 V dk' dk e2 V k E k F() kd t 3 2 2 3 F (10.22) V0 8 4  8 k k kFF k' k k k' 0 k kF F 1 x 2 1 x F( x ) 1 ln (10.23) 2x 1 x 3 E N k a R (10.24) t2 F0 y 2 4 4  0 me a0 2 (10.25) ; Ry 2 2 (10.26) me 2 (4  0 ) 3 3 E N k a R N k a R (10.27) t 2 F 0y 2 F 0 y 3 3 E N() k a2 R N() k a2 R (10.28) d 5 F 0 y 5 F 0 y 3 3 3 3 EEE N[ () ka2 ( kaRNka )] [ () 2 ( kaR )] (10.29) d t 5 FF0 2 0Y 5 FF 0 2  0 Y 3 3 NNN 2/ , k k k : E E E N[ () k a2 ( k a )] R (10.30)   FF  F N dN tN5 F0 2 F0 Y 3/1 NN và N 0 , kF 2 kF ; kF 0 . 3 3 E E E N[ .23/2 ( k a )2 .2 1/ 3 ( k a )] R (10.31) M dM tM5 F0 2 F0 Y 5 1 EE k a 0,352125 (10.32) EE (10.33) MN F 0 2 2 3/1 1 t d í nghĩa của điều kiện (10.32) 2 2  k e 1 H a a 2 a a a a (10.34) 2m k,, k  2V  k,  k ,  k ',  k ',   ,k kFF0  ,,'k k k k k ' 10.2- Mụ hỡmh Heisenberg H(,)(,) r r E  r r (10.35) 1 2 1 2 H H1 H 2 V(,) r 1 r 2 (10.36a) 2 2 2  2 e 1 e 1 H i  i ,i 1 , 2 (10.36b) 2m 4 4  0 ri R1 0 r i R2 e2 1 V(,) r1 r 2 (10.36c) 4  0r 1 r 2 (,,,)(,)(,)r1 r 2 s 1 s 2  r 1 r 2  s 1 s 2 (10.37) as 1,,;,,;,,;,, sbs 2  1 scs 2  1 sds 2  1 s 2 (10.38) S s1 s 2, s 1 s 2 (1/ 2) (10.39)
  12. Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software (,),,S S Cs1 s 2 S s s  s s For evaluation (10.40a) only. z s1z s 2 z S z 1 1z 2 2 z s1z s 2 z S z C s1 s 2 S ( Với s1z s 2 z S là cỏc hệ số Clebsch-Gordan, và s1z, s 2 z (1/ 2) ). (0,0) (1/ 2)[ (1/ 2) ,   (1/ 2)  ,  (1/ 2)  ,   (1/ 2)  ,  ] (10.40b) (1,0) (1/ 2)[ (1/ 2) ,   (1/ 2)  ,  (1/ 2)  ,   (1/ 2)  ,  ] (10.40c) (1,1) (1/ 2) ,   (1/ 2)  ,  (10.40d) (1, 1) (1/ 2) ,   (1/ 2)  ,  (10.40e) Es  s(,)(,) r1 r 2 H  s r 1 r 2 (10.41a) Et  a(,)(,) r1 r 2 H  a r 1 r 2 (10.41b) S2 ( s s )2 s2 s2 2 s s (10.42) 1 2 1 2 1 2 He spin [( E s 3 E t ) / 4] J12 s 1 s 2 (10.43) JEE12 s t (10.44) He spin J12 s 1 s 2 (10.45) Hspin  J ij s i s j (10.46) i j 10.3- Mụ hỡnh Hubbard HHH h p (10.47) ' ˆ ˆ Hh  t x y a y,, a x  (10.48) x,, y  ˆ ˆ HUNNp  x x,, x  (10.49) x ˆ Nx,,, aˆ x  a ˆ x  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ * ˆ ax c i ci,,,  i () x a x  ax,,  i () x c i ,  x i ' ˆ * ˆ ˆ ˆ Hh  t x y i,,,() y c i  j () x c j ,    i j c i,, c j  x,,, y i j i,, j  ' * i j  t x y i,,()() y j  x i,,(x ) k  ( x ) ~ exp ( ikx ) x, y ' * i j  t x y i,,( y ) j  ( x ) ~ exp[i k ( x 1)].exp( i k ' x )~ exp[(i k k ') x ~( k k ')  i j x, y x x ˆ ˆ Hh  i c i,, c i  i  i i (10.52) i ,  H  cˆ c ˆ c ˆ c ˆ p i, m j i  m j  (10.53) i,,, j m  U ()()()() x x x x i , m j x j m   i  (10.54) x H  cˆ c ˆ  cˆ c ˆ c ˆ c ˆ  i i,, i   i, m j i  m j  (10.47b) i,  i,,, j m 11- Phương trỡnh Shrodinger cho cặp Cooper 11.1- Trạng thỏi liờn kết hai electron trong lý thuyết BCS Cặp Cooper SS 0 p ; p 0 H  E 1 2 1 2 HHV 0
  13. Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software For evaluation only. p  k H 0  k k k  a (H 0 V E )  ak '' k 0  k k k k' kF ( E ) a a V 0 k k k'' kk * k' k F Vkk' k V k ' dr V 0 khi   ;     0 F k k ' FD V kk ' V 0 khik ,  k ' ngoa ` i khoa ? ng0 tre ^ n ( E ) a V0  a 0 a a k k k ' k ()  E k ' 1k' kF 1 k k' kF  VE()  0 k kF k 1 1  VE()  (11.11)0 k kF k   0 C F F + D E  k  F , E > 0 Trạng thỏi liờn kết    lk F C E   /1 V CF 0 (11.12) 1 1  VE() 0 k kF k C FD   FD   1 g (  ) d  1 d FCD E   g()() g  F g() g( )ln V () E V F () E F  E 0 F C 0  F C FC 1    ln lk D  g() V g()  V  F 0  lk  F  C   exp( 1/ ) F 0 lk lk D kT  C lk T CD ( / k )exp( 1/ ) 11.2- Toỏn tử hai hạt và trạng thỏi chõn khụng của hệ siờu dẫn ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ck a k a k ; ck a k a k H ( / 2)( aˆ a ˆ a ˆ a ˆ ) (1/ 2) V aˆ a ˆ a ˆ a ˆ  k k k k k  kk''' k k k k k k,' k nˆ 0 ; nˆ n ˆ n ˆ n ˆ n ˆ k nk 0k n k 1 n k 1 k  k  k  k  ˆˆ ˆˆˆˆ ˆˆˆˆ ˆˆ ˆ ˆ cckk aaaa kkkk aaaa kkkk nn kk n k n k H  cˆ c ˆ )2/1( V cˆ c ˆ  k k k  kk'' k k k k,' k ˆ ˆ k(0) u k k (0) v k c k k(0) ( u k v k c k) k (0) 2 2 uk v k 1 (0) (u v cˆ ) (0)  k k k k k ˆ và : ck (0) 0
  14. Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software cˆ )0( cˆ [ u v cˆ ] n 0 aˆ a ˆ [ u v aˆ a ˆ ] n 0 For evaluation only. k k k''' k k k k  k  k'''' k k  k  k k ' k ' [u v aˆ a ˆ ].  k'''' k k k  n 0 .aˆ a ˆ [ u v aˆ a ˆ ][ n 0 u v aˆ a ˆ ] n 0 k k  k  k k k  k  k k k k  k  k k' k k' k aauˆ ˆ n 0 vaa ˆ ˆ n 0 uvaa ˆ ˆ n 0[ aaˆ ˆ n 0 ] k  k  k k k k  k  kk k k  k  kk k  k uvaaaaˆ ˆ [ ˆ ˆ n 0] n 0 uvaaaaˆ ˆ ˆ ˆ n 0 n 0 k k k  k  k  k  k kk k k  k  k  k  k k u v aˆ a ˆ a ˆ a ˆ n 0 n 0 k k k  k  k  k  k k aˆ a ˆ v a ˆ a ˆ )0( v aˆ a ˆ )0( ~ v aˆ a ˆ )0( aˆ v a ˆ a ˆ a ˆ (0) 0 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k Chương 4: Phương pháp hàm Green lượng tử ý tưởng của phương pháp 12- Phương pháp hàm Green lượng tử ở nhiệt độ T=0K 12.1- Định nghĩa hàm Green lượng tử ở nhiệt độ T= 0K ˆ G  x x)',( i T[ˆHH () x ˆ  x )]'( (12.1a) ˆ ˆ T[ˆi () x ˆ i  x)'( S( )] G  ( x , x ') i (12.1b) Sˆ() ilim G ( x , x ') dr aˆi a ˆ i N t ' t 0  r' r i Vì : N n() r dr => n( x ) i lim G ( x , x ') (12.2) t ' t 0 r' r )1( FH ( t ) i [ lim f  ( x ) G  ( x , x ')] dr (12.3) t ' t 0 ,  r' r 12.2- Hàm Green cho hệ hạt fermion i H t / i H t /  i H t '/  i H t '/  iG(,')[ x x T eˆ S () q e e ˆ S (')] q e  i E0 ( t t ') / *ˆ i H ( t t ') /  ˆ T[()(') e i r  k r ai e ak ] i k i E0 ( t t ') /  *ˆ i H ( t t ') /  ˆ iG(,')[()(') x x T e i r i r a i e ai ] i d4 p G(') x x G(,); p ei[ p ( r r ')  t ] d 4 p dpd  (12.4) (2 ) 4 1 i p r /  i H t // i H t  0 0 ˆ H (,)r t e e aˆ p e  V p i ( p '') aˆ a ˆ t /  i 0( p '') aˆp '' a ˆ p '' 0 ()/ p t   0p '' p ''  p '' p '' aˆp e e a ˆ p i ( p '') aˆ a ˆ t /  i 0( p '') aˆp '' a ˆ p '' 0 ()/ p t   0p '' p ''  p '' p '' aˆp e e a ˆ p 1 i[()]/ p r  p t  0 ˆ H (,)r t e aˆ p  V p ˆ ()x ˆ ('),' x t t )0( ˆ HH G(,') x x i T[ˆ HH() x ˆ ( x ')] i ˆ (')x ˆ (),' x t t HH
  15. Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software For evaluation only. 1 N , t t ' (0) i i [ p ( r r ')  ( p )( t t ')]/  p G(,') x x e 0  V p Np ,' t t 1 , p p 0 Np aˆ p a ˆ p 0 , p p0 1 N , t 0 (0) i i [ p r  ( p ) t ]/  p G() x e 0  V p Np , t 0 1 N , t 0 (0) (0) i [( pr / )  t ] i[()/]  p t p G(,)() p G x e dr dt i dt e 0 N , t 0 p i[()/]  p t i[()/]   p t 1 ,z 0 i()() p p dt e0 i  p p dt e 0 0 0 ( Với:  ()z ) 0 0 0 ,z 0 ist ist  t 1 ds F() s e dt lim e dt i lim F( s ) ds i F (0)  0  0 0 0 s i s i s ()p p ()p p 1 G)0( (,) p  0 0  0 ()p i   0 ()p i   0()()p i  sign p p 0 12.3- Hàm Green phonon D(,') x x i Tˆ[ˆ () x ˆ ( x ')] HH k i[()][()] k r  k t i k r  k t uˆ(,) r t uˆ (,) r t e0 uˆ (,) r t e 0  k k  k k ˆ [ui( r , t ), uˆ j( r ', t )] i  ( r r ')  ij ˆ ˆ bk 2 0 ( k ) /  uk ˆ ˆ bk 2 0 ( k ) /  u k ˆ 2 Kˆ [ u( r , t )] dr 2 1 kk ' i[ kr  ( k ) t ] i [ k ' r  ( k ') t ] i[ kr  ( k ) t ] i [ k ' r  ( k ') t ] ˆ  ()(')k  k bˆ b ˆ e0 e 0 b ˆ b ˆ e 0 e 0 EHK 2  0 0 k k ' k k '  2 k,' k kk' E ( / 2) ( k ) [ bˆ bˆ bˆ bˆ ]   ( k ) [ N (1/ 2)]  0 k k'' k k  0 k k k H  ()[ k Nˆ (1/ 2)]  0 k k 1 i[()][()] k r  k t i k r  k t ˆ ()x  (k ) / 2 bˆ e0 b ˆ e 0 H  0 k k  V k i D)0( () x ()()()k  t ei[()][()] k r 0 k t  t e i k r  0 k t  0  2V k i[()]  k t 0 (0) (0) i [ k r  t ] i0 () k e, t 0 D(,)() k D x e dr dt dt 2 i[()] 0 k t e, t 0 i0 () k i[()][()]  k t i   k t  dt e0 dt e 0  2 0 0 
  16. Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software For evaluation only.  ()k 1 1   2 ()k D)0( (,) k  0  0 2 2 2  0()k i    0 () k i    0 ()k i  12.4- Định lý Wick *)0( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ )0( HTAqtBqtCqt[ (,)1 1(,) 2 2( 3 , 3 ) Xq(,) m 1 t m 1 Yqt( m , m )]  H ˆ ˆ (,)qn t ˆ (,) q n t n ==> T[ˆ(,) qn t ˆ ( q n , t n )] ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ TAqtBqtCqtDqt[ (,)1 1(,) 2 2(,) 3 3( 4 , 4 ) Xq(,)m 1 t m 1 Yqt( m , m )] ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ TAqtBqt[ (,)1 1( 2 , 2 )] TCqtDqt[ (,) 3 3( 4 , 4 )] TXq [ (,)m 1 t m 1 Yqt( m , m )] ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ TAqtCqt[ (,)1 1( 3 , 3 )] TBqtDqt[ (,) 2 2( 4 , 4 )] TXq [ (,)m 1 t m 1 Yqt( m , m )] Tˆ[ˆ() x ˆ (') x Sˆ( )] G(,') x x i Sˆ() t1 Sˆ( ) 1 ( i / ) Vˆ( t ) dt (1/  ) 2 Vˆ() t dt Vˆ( t ) dt 1 1 1 1 2 2 t1tn 1 (/) i n Vˆ() t dt Vˆ( t ) dt Vˆ( t ) dt 1 1 2 2 n n Vˆ() t g ˆ () x ˆ() x ˆ() x dr 2 2  g 2 p0 m )1( (/)g  ˆ ˆ G(,') x x dx1 T[ ˆ() x ˆ (') x ˆ () x 1 ˆ() x 1 ( x 1 )] Sˆ() ˆ ˆ T[ˆ() x ˆ ( x ')] T[ ˆ () x1 ˆ( x 1 )] [  ( x 1 )] [  ( x 1 )] 0 )1( [ (x1 )] 0 G(,') x x = 0. Dễ dàng chứng tỏ rằng tất cả các bậc lẻ của gia số hàm Green G(2n 1) (,') x x cũng bằng không. 2 )2( i(/) g  ˆ G(,') x x dx1 dx 2 T[ ˆ() x ˆ (') x ˆ () x 1 ˆ() x 1 ˆ() x 1 ˆ () x 2 ˆ () x 2 ˆ( x 2 )] Sˆ() ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ T[ˆ() x ˆ (') x S( )] T[ ˆ() x ˆ (') x S( )]  k S() ˆ ˆ G(,') x x i T[ˆ() x ˆ (') x S( )]  k (12.1c) => Hàm Green G(,') x x có thể biểu thị qua các hàm Green của hệ các hạt không tương tác G)0( (,') x x . 13- Phương pháp hàm Green lượng tử ở nhiệt độ T 0K. Khụng học vỡ trong mụn Phương phỏp hàm Green cú một chương vờ hàm Green nhiệt độ T 0K 14- Giản đồ Feynman. 14.1- Giản đồ Feynman trong trường hợp T=0K 14.1.1- Những quy tắc chủ yếu của kỹ thuật giản đồ Tˆ[ˆ() x ˆ (') x Sˆ( )] G(,') x x i Sˆ() 1 Sˆ() Sˆ( , ) 1 ( i / ) Vˆ() t dt Vˆ() t dt Vˆ( t ) dt 1 1 2 1 1 2 2 2 () i n Vˆ() t dt Vˆ( t ) dt Vˆ( t ) dt n 1 1 2 2 n n n! i () i n t G( x , x ') dt dt T [ˆ ( x )  ˆ ( x ') Vˆ ( t ) V ˆ ( t )] ˆ  n 1n 1 n S() n 0 n! 
  17. Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software 1 For evaluation only. Vˆ ˆ () r ˆ ()() rUrr ˆ () r ˆ () rdrdr SS2 1  2 1 2  2 1 1 2 Ký hiệu: ()()()x1 x 2 U r 1 r 2 t 1 t 2 1 Vˆ() t dt ˆ () x ˆ ()() x  x x ˆ () x ˆ () x d4 x d4 x 1 12 1  2 1 2  2 1 1 2 Khi : n=1. (1) 1 4 4 G dxdxTxx1 2 [ˆ () ˆ (') ˆ () x 1 ˆ () x 2 ˆ () x 2 ˆ  ( x 1 )]  ( xx 1 2 ) 2 Sˆ() ˆ ˆ T[ˆ () x ˆ (') x ˆ () x1 ˆ () x 2 ˆ () x 2 ˆ  ( x 1 )] T[ˆ ( x )  ˆ  ( x1 )] T [  ˆ  ( x 2 )  ˆ  ( x 2 )] T [  ˆ  ( x 1 )  ˆ  ( x ')] ˆ T[ˆ () x ˆ ( x1 )] T [ ˆ () x 2 ˆ ( x 1 )] T [ ˆ () x 2 ˆ  ( x ')] ˆ T[ˆ () x ˆ ( x2 )] T [ ˆ () x 1 ˆ ( x 1 )] T [ ˆ () x 2 ˆ  ( x ')] ˆ T[ˆ () x ˆ ( x2 )] T [ ˆ () x 1 ˆ ( x 2 )] T [ ˆ () x 1 ˆ  ( x ')] ˆ T[ˆ () x ˆ ( x ')] T [ ˆ () x1 ˆ ( x 1 )] T [ ˆ () x 2 ˆ  ( x 2 )] ˆ T[ˆ () x ˆ ( x ')] T [ ˆ () x1 ˆ ( x 2 )] T [ ˆ () x 2 ˆ  ( x 1 )] Thay G )0( : (0) (0) (0) )0( )0( )0( )0( )0( )0( iG ( x , x1 ) G  ( x 2 , x 2 ) G  ( x 1 , x ') iG (,)(,)(,') x x1 G  x1 x 2 G  x2 x iG (,)(,)(,') x x2 G  x1 x 1 G  x2 x )0( )0( )0( (0) (0) )0( iG (,)(,)(,') x x2 G  x2 x 1 G  x1 x iG (,')(,)(,) x x G  x1 x 1 G  x2 x 2 (0) (0) )0( i G (,')(,)(,) x x G  x2 x 1 G  x1 x 2 Giản đồ Feynman: G )1( phự hợp với 6 giản đồ trờn hỡnh 14.1 x 2 x1 a) b) a’) b’) x x x’ x x 1 x1 2 x’ x x2 x’ x x2 x1 x’ x 1 x2 x1 x c) d) 2 x x x’ x’ 14.1 Hỡnh Giản đồ liờn kết: x x’ x x’ a) b) Hỡnh 14.2 () i n T[ˆ ( x )  ˆ ( x ') Sˆ ( )] dt dt T [ˆ() x ˆ (') x Vˆ( t ) Vˆ( t )]  n 1n 1 n n 0 n! n () i n A( n , m ) dt dt T [ˆ() x ˆ (') x Vˆ( t ) Vˆ( t )] .  n 1m 1 m k n 0m 0 n!
  18. Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software  For evaluation only. . dt dt T [ Vˆ( t ) Vˆ( t )] m 1 n m 1 n   n! A(,) n m . m! ( n m )! n () i m T[ˆ () x ˆ (') x Sˆ( )] dt dt T [ˆ() x ˆ (') x Vˆ( t ) Vˆ( t )] .  m 1m 1 m k n 0m 0 m! () i n m  . dt dt T [ Vˆ( t ) Vˆ( t )] n m m 1 n m 1 n  (n m )!  () i m dt dt T [ˆ() x ˆ (') x Vˆ( t ) Vˆ( t )] .  m 1m 1 m k m 0 m! () i k . dt dt T [ Vˆ( t ) Vˆ( t )] (14.7)  k m 1 m k m 1 m k k 0 k! dt dt T [ Vˆ( t ) Vˆ( t )] dt dt T [ Vˆ( t ) Vˆ( t )] Vỡ m 1 m k m 1 m k 1 k 1 k () i k dt dt T [ Vˆ( t ) Vˆ( t )] Sˆ() (14.8a)  k m 1 m k m 1 m k k 0 k! () i m dt dt T [ˆ() x ˆ x)'( Vˆ( t ) Vˆ( t )] T [ ˆ() x ˆ x)'( Sˆ( )] (14.8b)  m 1m 1 m k k m 0 m! ˆ ˆ ˆ T[ˆ() x ˆ (') x S( )] T [ ˆ() x ˆ (') x S( )] k S() (14.9) ˆ G(,')[ x x i Tˆ () x ˆ (') x S( )] k (14.10) 14.1.2- Kỹ thuật giản đồ trong khụng gian tọa độ. Xột Tương tỏc hai hạt: a) b) c) d) ) h) i) k) e) g) Hỡnh14.3 4 4 4 4 )0( )0( )0( (0) (0) a) dxdxdxdxG1 2 3 4 ( xxG 1 )   ( x1 xG 2 )   ( x2 xG ')   (0) G   (0)( Vx1 xVx 3 )( 2 x 4 ) 1 1 2 2 3 3 4 4 4 4 4 4 )0( )0( )0( )0( )0( b) dxdxdxdxG()( xxG x xG )( x xG )( x xG )(')( x xVx xVx )( x ) 1 2 3 4 11  1  21 2  3  32 3  4  42 4  4  4 1 2 3 4 4 4 4 4 )0( )0( )0( )0( )0( c) dxdxdxdxG1 2 3 4 ( xxG 1 )( x1 xG 2 )( x2 xG 3 )( x3 xG ')(0)( Vx1 xVx 4 )( 2 x 3 ) 1  1  2  3  3  3   4  4
  19. Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software 4 4 4 4 )0( )0( )0( )0( For evaluation only. d) dxdxdxdxG( xxG )( x xG )( x xG )( x xG ')(0)( Vx xVx )( x ) 1 2 3 4 11  1  21 2  3  32 3  3 3  4  4 1 2 3 4 4 4 4 4 )0( )0( )0( )0( )0( đ) dxdxdxdxG1 2 3 4 ()(')( xxG 1 x1 xG x2 xG 3 )( x3 xG 4 )( x4 xVx 2 )( 1 xVx 2 )( 3 x 4 ) 1  1   2  3  3  4  4  2 4 4 4 4 )0( )0( )0( )0( )0( e) dxdxdxdxG1 2 3 4 ( xxG 1 )( x1 xG ')( x2 xG 3 )( x3 xG 2 )(0)( Vx1 xVx 2 )( 3 x 4 ) 1  1   2  3  3  2  4  4 4 4 4 4 )0( )0( )0( )0( )0( g) dxdxdxdxG( xxG )( x xG )( x xG )( x xG ')(0)( Vx xVx )( x ) 1 2 3 4 11  1  21 2  3  32 3  3 3  4  4 1 3 2 4 h) dxdxdxdxG4 4 4 4 )0( ()()()()(')()() xxG )0( x xG)0( x xG)0( x xG)0( x xVx xVx x 1 2 3 4 11  1  21 2  3  32 3  4  43 4  4  4 1 4 2 3 4 4 4 4 )0( )0( )0( )0( )0( i) dxdxdxdxG()( xxG x xG )( x xG )( x xG )(')( x xVx xVx )( x ) 1 2 3 4 11  1  21 2  3  32 3  4  43 4  4  4 1 3 2 4 4 4 4 4 )0( )0( )0( )0( )0( k) dxdxdxdxG()( xxG x xG )(')( x xG x xG )( x xVx )( xVx )( x ) 1 2 3 4 11  1  21 2  2 2  3  43 4  4  3 4 3 1 3 2 4 1 Vˆ() t dt ˆ () x ˆ ()() x  x x ˆ () x ˆ () x dx dx 1 12 1  2 1 2  2 1 1 2 1 ˆ ()x ˆ ()()()() x  x x  x x  x x   ˆ () x ˆ () x dx dx dx dx 2 11  2 2121324  1  3  2  4  4 4  3 31234 1 ˆ ()x ˆ ()()()() x  xx  xx  xx   ˆ () x ˆ () xdxdxdxdx 2 11  2 2121423  1  4  2  3  4 4  3 31234 1 )0( ˆ ()x ˆ ()(,) x  x x x x ˆ () x ˆ () x dx dx dx dx 4 11  2 2  1  2  3  41 2 3 4  4 4  3 3 1 2 3 4 )0( (,)(xxxx  xxxxxx )[( )(  )    ( xxxx )(  )   ] 1  3  2  4 1234 1213241  3  2  4 1423  1  4  2  3 (1)1 4 4 )0( G dxdx1 4     ( xxxxTxxx1 2 , 3 4 ) [ˆ () ˆ )'( ˆ () 1 ˆ () x 2 ˆ () x 4 ˆ  ( x 3 )] 4 1 2 3 4 1 2 4 3 4 4 )0( )0( )0( )0( i dxdx  ( xxxxGxxGxxGxx , ) ( ) ( ) ( ') 1 4 1  2  3  4 1 2 3 4 1 3 2 4 )0(     (,)x1 x 2 x 3 x 4 = một hỡnh vuụng (14.13) = giản đồ 14.4. 1 3 2 4 cỏc giản đồ 14.3 a , b , c , d ==> 14.5 a ; cỏc giản đồ 14.3 đ , e , g , h ==> 14.5 b ; cỏc giản đồ 14.3 i , k ==> 14.5 c. c) a) b) Hình 14.4 Hình14.5 )0( )0( a) dxdx4 4  ( xxxx , )  ( xxxx , ). 1 8 1  2  3  41 2 3 4  5  6  7  8 5 6 7 8 )0( )0( )0( )0( )0( .()(GxxGxxGxxGxxGxx 1 3 5 )(7 ')(4 2 )(8 6 ) 4 4 )0( )0( b) dxdx1 8  ( xxxx1 2 , 3 4 )  ( xxxx5 6 , 7 8 ). 1  2  3  4  5  6  7  8 )0( )0( )0( )0( )0( .()(')(GxxGxxGxxGxxGxx 1 3 4 5 )(7 2 )(8 6 )
  20. Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software 1 For evaluation only. 4 4 )0( )0( c) dxdx1 8     ( xxxx1 2 , 3 4 )      ( xxxx5 6 , 7 8 ). 2 1 2 3 4 5 6 7 8 )0( )0( )0( )0( )0( .()(GxxGxxGxxGxxGxx 1 3 5 )(7 2 )(4 6 )(')8 Quy tắc tớnh phần bổ sung bậc n của hàm Green : 1) Vẽ tất cả cỏc giản đồ liờn kết cú cú cấu trỳc tụ pụ khụng tương đương nhau; )0( 2) Mỗi đường cho tương ứng với một hàm Green G  () xi x j ; 3) Mỗi tứ giỏc cho tương ứng với một hàm  )0( (,)x x x x ; 1  3  2  4 1 2 3 4 4) Lấy tớch phõn theo cỏc tọa độ của tất cả cỏc đỉnh và lấy tổng theo cỏc biến spin ; 5) Biểu thức nhận được nhõn với hệ số (i)n(1/2)n-(m/2), trong đú m là số giản đồ trong biểu diễn khụng đối xứng tương ứng với giản đồ đối xứng đang xột. Dấu của giản đồ cũng tương ứng với dấu trong trường hợp khụng đối xứng. Giản đồ bậc ba vẽ trờn hỡnh 14.6 Hỡnh 14.6 3 i)( 4 4 )0( )0( )0( dxdx1 12  ( xxxx1 2 , 3 4 )   ( xxxx5 6 , 7 8 )   ( xxxx9 10 , 11 12 ). 2 1234 5678 9101112 )0( )0( )0( )0( )0( )0( )0( .()(GxxGxxGxxGxxGx 1 3 5 )(7 9 )(4 10 )(12 xGxxGx 6 )(8 2 )(11 x ') 14.1.3- Kỹ thuật giản đồ trong khụng gian xung lượng Xột Tương tỏc hai hạt G(1b )(,')()()(')() xx iGxxGxxGx (0) )0( )0( x  xxdxdx 4 4  1 1 2  2 1 2 1 2 4 )0( d p (0 )ip ( x1 x 2 ) /  G () x1 x 2 G  () p e (2  ) 4 4 d q iq()/ x1 x 2  ()x1 x 2 ()q e (2  ) 4 G(0)()() p G (0) x e ipx / d 4 x   p (,) p  , q (,) q  , p()()() x1 x 2 p r 1 r 2  t 1 t 2 . G(1b )( xx , ') i (2  ) 16 dpdpdpdqdxdxe 4 4 4 4 4 4 ipxx[1 ( 1 ) pxx 1 ( 1 2 ) pxxqxx 1 ( 2 ') ( 1 2 )]/  .  1 2 3 1 2 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) .()()()()G  p1 G  p2 G  p3  q i(2  ) 8 dpdpdpdqe 4 4 4 4 i[ p1 x p 2 x ']/  ( ppqppq )  ( ). 1 2 3 1 2 2 3 )0( )0( )0( .()()()()G  p1 G  p2 G  p3  q i(2  ) 8 dpdpdpdqe 4 4 4 4 i[ p1 x p 2 x ']/  ( ppqppq )  ( ). 1 2 3 1 2 2 3 )0( )0( )0( .()()()()G  p1 G  p2 G  p3  q G(1b )( ppi , ') dpdqe 4 4 i[ p1 x p 2 x '] /  ( ppqppq )  ( ' ).  2 2 2 ( 0 ) (0 ) )0( .()()(')()G  p G  p2 G  p q (1b ) (1 b ) 4 G (,') p p G ()( p p p ')(2)  
  21. Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software d4 q For evaluation only. G(1b )()() p iG (0) p G(0)()()() p q  q G (0) p (2  )4 4 p 1 q (1a ) (0) d p1 )0( i t )0( b) G( p ) 2 iG ( p )  (0) 4 G( p1 )lim e G ( p ) a) 0 t 0 p p-q p (2  ) p p Hỡnh14.10 p1+q1+q 2+q 3 p1+q 2+q 3 p1 p1+q 3 q1+q2+q 3 q1 q2 q 3 p-q1-q 2 p-q4 p p-q1 p p-q1-q 2-q 4 q4 p-q1-q 2-q 3-q 4 Hình 14.11   (0) 2 4 4 i[ Gp ( )] dqdqqqqqqqq1 4  ( 1 )  ( 2 )  ( 3 )  ( 4 )  ( 1 2 3 ). (2  ) 20 )0( )0( )0( )0( )0( .GpqGpqqGpqqqGpqqqqGpq ( 1 ) ( 1 2 ) ( 1 2 4 ) ( 1 2 3 4 ) ( 4 ). .()()()()dpGpGpqGpqqGpqqq4 )0( )0( )0( )0( 1 1 1 3 1 2 3 1 1 2 3 14.1.4- Phương trỡnh Dyson c) a) b) Hình14.5 GGGG (0) (1) (2) = + + + + + + + +
  22. Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software For evaluation only. + + + + + + + . = + + [ + + + + { + + + + ] [ + + + + + ] + + [ + + + + + ] + . . + [ ] + [ ] [ . ] + } [ ] = [ + + + + + + ] =
  23. Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software For evaluation only. + [ . ] + [ . ] + GGGG (0) (0)   = + + + + + + +  1  2  3 d4 p  )1( ()p i 1  )0( (,;,)()p p p p G p 1  (2 )4 , 1 1  1 ==> : Hỡnh 14.16 Hỡnh 14.17 8 => 6 Hỡnh 7.5 c Hỡnh 7.6 8 7 8 1 4 5 8 1 4 5 7 5 6 2 3 6 7 6 Hỡnh 7.17 2 3 Hỡnh 7.6 )2(   ()p = 2 = giản đồ vẽ trờn hỡnh 14.18 1  )2( ()p )0( (p , p ; p , p p p ).  2 ,  1 2 1 2 .,  (p 2 , p p 1 p 2 ; p 1 , p ). ==> 4 4 d p1 d p2 .()()()G p2 G  p 1 G  p p 1 p 2 8 (2 ) Hỡnh 14.18 (1) (2) 1 Thay    vào phương trỡnh (14.19) (chỳ ý G )0( ) :  E0 () p d4 p [ E ( p )] G ( p ) i 1 )0( (,;,)()()p p p p G p G p 0  (2 )4 , 1 1  1  1 )0( (pppppp , ; , )  ( pppppp , ; , ). 2 , 1 2 1 2  ,  2 1 2 1 d4 p d4 p .()()()G p G p G p p p 1 2 G() p  2  1  1 2 (2 )8  