15 Bộ đề Lý thuyết trường điện từ (Có đáp án)

83 trang phuongnguyen 21711

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "15 Bộ đề Lý thuyết trường điện từ (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

15_bo_de_ly_thuyet_truong_dien_tu_co_dap_an.doc

Nội dung text: 15 Bộ đề Lý thuyết trường điện từ (Có đáp án)

Khoa c«ng nghÖ th«ng tin céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam Bé m«n ®iÖn tö – viÔn th«ng §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc ĐỀ THI SỐ 1 Môn: Lý thuyết trường điện từ Thời gian : 90 phút Hình thức thi : Viết Câu 1 : (3 điểm) Trình bày phương trình 1 và 2 của Maxwell và ý nghĩa vật lý của chúng. Câu 2 : (3 điểm) Trình bày về khái niệm về môi trường không đẳng hướng Câu 3 : (2 điểm) Cho một hình cầu tích điện bán kính là a. Giả sử điện tích phân phố đều trên bề 2 mặt của nó với mật độ điện tích mặt ρ s = Q/4лa . Tính cường độ điện trường tại những điểm ở ngoài và ở trong hình cầu Câu 4 : (2 điểm) 3 Đất khô có  4 0 , 10 Ci / m(1/ m) . Hãy tìm giới hạn theo bước sóng để từ đó xem đất khô là dẫn điện và điện môi. Đáp án: Câu 1 : (3 điểm)
1. Phương trình Maxwell thứ nhất. Bằng cách bổ sung thành phân dòng điện dịch vào vế phải của biểu thức định luật dòng toàn phần cùng với dòng điện dân phương trình thứ nhất như sau: D Hdl JdS dS (1) l S S t Phương trình (1.1.31) mô tả mối quan hệ giữa các vectơ của trường điện từ (H, D ) trong một vòng kín bất kì các dòng điện dẫn chảy qua nó, mô tả nó trong không gian: D Hdl rotHdS JdS dS (2) l S S S t Vì mặt S là tuỳ ý nên ta nhận được phương trình Maxwell thứ nhất dạng vi phân như sau: D rotH J J J (3) t dc (1 điểm) Nếu môi trường có độ dẫn điện riêng σ=0 thì J E => J 0 nên phương trình có dạng: E rotH  J (4) 0 t dco Phương trình chỉ ra : Dòng điện dich hay điện trường biến thiên cũng tạo ra từ trường xoáy tương đương dòng điện dẫn 2. Phương trình Maxwell thứ hai: Maxwell cho rằng biểu thức của định luật cảm ứng điện từ áp dụng không chỉ cho một vòng dây dẫn kín mà mà còn đúng cho bất kì một vòng kín nào( không nhất thiết dẫn điện) trong không gian. Trong trường hợp tổng quát vòng kín này có thể một phân nằm trong trân không, phân khác nằm trong điện môi hay trong kim loại. Ta nhân được phương trình sau: B Edl dS (5) l S t (2 điểm) Nếu áp dụng định lý Grin Stốc cho vế trái với S là tuỳ ý nhân được phương trình sau:
B rotE (6) t Vậy từ trường biến thiên tạo ra điên trường xoáy 3. Ý nghĩa vật lý của phương trình thứ nhất và thứ hai của Maxwell: Bất kỳ sự biến thiên nào của điện trường đều gây nên từ trường xoáy(đường sức khép kín) và ngược lại. Điện trường và từ trường biến thiên không thể tồn tại độc lập với nhau, chúng luôn liên hệ mật thiết với nhau và liên tục chuyển từ dạng này sang dạng khác tạo nên sóng điện từ truyền lan với vận tốc ánh sáng. (3 điểm) Câu 2 : (3 điểm) Môi trường đẳng hướng là môi trường mà tính chất của nó ở mọi điểm là như nhau. Trong các môi trường này các véc tơ H, B và E, D là song song với nhau từng đôi: B H, D .E Nếu chiếu các phương trình véc tơ trên xuống các trục tọa độ ta được các phương trình vô hướng: Bx H x Dx Ex By H y Dy E y Bz H z Dz Ez (1 điểm) Đối với các môi trường bất đẳng hướng mối quan hệ giữa các véc tơ trên được xác định qua các phương trình: Bx  xx H x  xy H y  xz H z By  yx H x  yy H y  yz H z Bz  zx H x  zy H y  zz H z Dx  xx Ex  xy E y  xz Ez Dy  yx Ex  yy E y  yz Ez Dz  zx Ex  zy E y  zz Ez Các hằng số , có thể được viết dưới dạng như sau:
 xx  xy  xz B  H   yx  yy  yz  zx  zy  zz  xx  xy  xz D E   yx  yy  yz   zx  zy  zz (2 điểm)  gọi là tenxơ độ từ thẩm  gọi là tenxơ độ điện thẩm Trong thực tế không tồn tại các môi trường mà cả  và đều mang tính tenxơ. Môi trường bất đẳng hướng có tenxơ độ từ thẩm điển hình là pherít được từ hóa bởi từ trường không đổi; còn môi trường có tenxơ độ điện thẩm điển hình là môi trường ion hóa( môi trường plasma). (3 điểm) Câu 3 : (2 điểm) Áp dụng phương trình 3 của Maxwell dạng tích phân: D d S q S Lấy S là mặt cầu bán kính a. Do tính chất đối xứng nên D tại mọi điểm trên hình cầu là như nhau D d S D .4 r 2 (1 điểm) S a) Xét trường hợp thứ nhất: Điểm M ở ngoài hình cầu(r>a) Ta có: q = Q 2 2 D.4 л r = Q = ρS.4 лa 2 2 D = ρS.(a /r ) b) Trường hợp thứ hai: Điểm M ở trong hình cầu(r<a) Ta có: q = 0, D = 0. (2 điểm) Câu 4 : (2 điểm)
 Ta có:   j (  hằng số phức tuyệt đối) p  p * * J dân  E * * J dân  J dich j E (j 1 ) J dich  Tỷ số giữa phần ảo và phần thực của εp chính là tỷ số giữa dòng điện dẫn và dòng điện dịch (dòng điện dịch chảy trong điện môi, còn dòng điện dẫn di chuyển trong kim loại).   - Nếu  (hay 1) thì đất có tính chất của chất điện môi     - Nếu  (hay 1) thì đất có tính chất dẫn điện.   (1 điểm) Giới hạn theo bước sóng để từ đó xem đất khô là dẫn điện hay điện môilà:     hay 1 hay 1   4 0  60 1 1 2 Mà  60 = (2/3).10 1  3 (m)  0 4 15 15.10  càng lớn thì đất càng có tính dẫn điện hơn Từ đây ta có thể kết luận là: - Với λ > (2/3).102 m thì đất có tính dẫn điện. - Với λ < (2/3).102 m thì đất có tính điện môi. (2 điểm) Khoa c«ng nghÖ th«ng tin céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam Bé m«n ®iÖn tö – viÔn th«ng §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc ĐỀ THI SỐ 2 Môn: Lý thuyết trường điện từ Thời gian : 90 phút Hình thức thi : Viết
Câu 1 : (3 điểm) Trình bày phương trình 3 và 4 của Maxwell và ý nghĩa vật lý của chúng. Câu 2 : (3 điểm) Hãy trình bày về sự phân cực của sóng điện từ Câu 3 : (2 điểm) Một điện tích dòng Q phân bố đều theo thể tích quả cầu có bán kính là a, với môi độ điện thẩm ε đặt trong không khí. Hãy tìm cường độ điện trường E ở trong và ở ngoài quả cầu đó Câu 4 : (2 điểm) Sóng phẳng truyền trong môi trường điện môi đồng nhất đẳng hướng rộng vô hạn có tham số ε = 4ε0;  0 ; 0 ; biên độ cường độ điện trường của sóng Em = 10-3 (V/m) và f = 106Hz. Lập biểu thức giá trị tức thời cường độ từ trường của sóng và mật độ dòng công suất trung bình. Đáp án: Câu 1 : (3 điểm) Maxwell coi định luật Gauss và nguyên lý liên tục của từ thông áp dụng cho cả trường hợp điện trường và từ trường là tĩnh, không đổi cũng như với trường hợp tổng quát của điện từ trường biến thiên theo thời gian. Ta có: DdS dV Q (1) S V divBdV 0 (2) V
Vì thể tích V là tuỳ ý nên nhận được các phương trình Maxwell thứ 3 và thứ 4 như sau: divD (3) divB 0 (4) (1 điểm) Để tiện cho việc theo dõi, ta viết thành hai dạng sau: Dạng tích phân: D Hdl JdS dS t l S S B Edl dS l S t (5) Ddl dV Q S V BdS 0 S Dạng vi phân: D rotH J t B rotE (6) (2 điểm) t divD  divB 0 Ý nghĩa vật lý của phương trình 3 và 4 của Maxwell: ≠ 0:D itavD thấy đường sức của điện trường là những đường cong không khép kín mà có điểm đầu tại điện tích +q, điểm cuối tại –q. DivD = 0: điện trường sinh ra chỉ do sự biến thiên của từ trường. Đường sức của nó hoặc khép kín hoặc tiến ra vô cực.  D đườngivB 0sức của từ trường vừa khép kín vừa tiến xa vô cực. (3 điểm) Câu 2 : (3 điểm) Ta có các loại sóng phân cực cơ bản được sử dụng : - Phát hình : Sóng phân cực ngang - Phát thanh: Sóng phân cực đứng hoặc ngang
- Sóng ngắn : Sóng phân cực ngang - Sóng FM: Sóng phân đứng hoặc ngang Sự phụ thuộc hướng của vectơ E vào thời gian và không gian gọi là sự phân cực phân cực. Sóng điện từ khi truyền lan vectơ cường độ điện trường và từ trường có thể thay đổi cả về chỉ số và hướng. Vì vậy khi sóng truyền lan nếu quan sát điểm cuối của vectơ E thì ta thấy nó vẽ lên một quỹ đạo nào đó Xét tại một điểm cố định trong không gian cùng với thời gian điểm cuối của vectơ E thực hiện một chuyển động tịnh tiến dọc theo một đường thẳng thì ta nói sóng điện từ phân cực thẳng(phân cực tuyến tính). Tương tự nếu điểm cuối của vectơ E vẽ nên một hình elip ta có phân cực elip, còn vẽ nên đường tròn ta có phân cực tròn. Nếu nhìn theo hướng truyền sóng vectơ E quay theo chiều kim đồng hồ ta có phân cực tròn quay phải, ngược lại có phân cực tròn quay trái. Giả sử có hai sóng phẳng phân cực tuyến tính vuông góc với nhau ta có: E1 x0 Emx cos(t z) E2 y0 Emy cos(t z ) (1 điểm) Ở đây Emx, và Emy là biên độ các sóng thành phần, φ là góc lệch pha ban đầu của hai sóng phẳng 2 2 E E E E Suy ra 1 2 2 1 2 cos sin 2 Emx Emy E mx E my Phương trình này biểu diễn một hình elip (2 điểm) Elip có trục lớn làm một góc φ với trục ox 2Emx Emy tg2 2 2 cos ; với Emx > Emy E mx E my - Khi Emx =Emy; φ = ±π/2 thì phân cực lúc này là phân cực tròn. - Khi φ = nπ (n = ±1, ±2, ) thì là phân cực thẳng. Như vậy khi t thay đổi véc tơ E sẽ quay cùng về phía ngược chiều kim đồng 2 hồ, với chu kỳ: T , đầu nút của nó vạch thành đường elíp. Chiều quay  của E là chiều quay về phía thành phần trường chậm pha.
(3 điểm) Câu 3 : (2 điểm) Áp dụng phương trình 3 của Maxwell dạng tích phân: D d S q S Lấy S là mặt cầu bán kính a. Do tính chất đối xứng nên D tại mọi điểm trên hình cầu là như nhau D d S D .4 r 2 q S a) Xét trường hợp thứ nhất: Điểm M ở ngoài hình cầu(r>a) Ta có: q = Q D.4 л r2 = Q Q D 4 r 2 Môi trường là không khí nên ε = ε0 Q Q Mà D = ε.E = E = 4 r 2 4 r 2 (1 điểm) b) Trường hợp thứ hai: Điểm M ở trong hình cầu(r<a) Q Ta chứng minh được q .r 3 từ công thức tính mật độ điện tích a 3 Q 4 q . .r 3 4 và .a 3 3 3 Q 4 Q q . .r 3 .r 3 4 3 .a 3 3 a 3 q Q Q Mặt khác ta có D D .r 3 r 4 r 2 4 r 2 .a 3 4 .a 3 Q Mà D = ε.E E r 4  .a 3 (2 điểm) Câu 4 : (2 điểm)
E   120 Ta có  m mà  0 60 () H m  4 0 2 E 10 3 H m (A/ m) (1) m  60 Biểu thức giá trị tức thời của cường độ từ trường: H H cos(t kt) (1) (1 điểm) 1 8 1 4 f Với k   2 f 4 0 0 và C 3.10 (m / s) k 2 f . 8  0 0 C 3.10 Biểu thức tức thời của mật độ dòng công suất trung bình là: 1  E H , với Hm có biểu thức như (1). (2 điểm) tb 2 m m Khoa c«ng nghÖ th«ng tin céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam Bé m«n ®iÖn tö – viÔn th«ng §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc ĐỀ THI SỐ 3 Môn: Lý thuyết trường điện từ Thời gian : 90 phút Hình thức thi : Viết Câu 1 : (3 điểm) Hãy xác định điều kiện bờ đối với thành phần tiếp tuyến của véc tơ cường độ điện trường và từ trường trên bề mặt phân cách giữa hai môi trường. Câu 2 : (3 điểm) Hãy trình bày về sóng điện từ phẳng trong môi trường dẫn điện. Câu 3 : (2 điểm) Tính trường và thế tạo ra bởi một trục tích điện có mật độ điện tích dài là ρ L, tại điểm cách trục 1 khoảng r. Câu 4 : (2 điểm) Cho tham số điện của đất khô: Hằng số điện môi tương đối  4
Độ dẫn điện riêng δ = 10-3 1/Ωm. Chứng tỏ rằng đối với sóng cực dài( λ = 104 → 105 m) thì mặt đất có tính dẫn điện tốt hơn, còn đối với sóng cực ngắn(λ = 10-3 → 10 m)thì mặt đất có tính dẫn điện kém. Đáp án: Câu 1 : (3 điểm) Áp dụng phương trình Maxwell dạng tích phân cho một hình trụ ta được , ,, kết quả sau: (D1n0 D2 n0 ) S  xq s S Để xét điều kiện bờ với thành phần tiếp tuyến của E và H ta xét 1 khung chữ nhật nhỏ ABCD vuông góc với mặt phẳng S 12. vì ABCD nhỏ nên giao tuyến ab của S12 với ABCD có thể coi là đường thẳng và trường điện từ có thể coi là không đổi khi đi từ điểm A đến điểm B và từ điểm C đến điểm D (0,5 điểm) Các vectơ đơn vị : l0 Là vectơ tiếp tuyến với mặt phân cách S12 n0 là pháp tuyến với S12 S0 Vuông góc với mặt ABCD.
Điều kiện bờ đối với Eζ Áp dụng địmh luật hai ở dạng tích phân: B Edl dS l S t Lấy l làm chu vi của ABCD vế trái có thể viết thành : Edl E dl E dl E dl E dl 1 12 2 21 l AB BC CD DA Trong đó: E1 E2 là các vectơ trong môi trường (MT) 1 và môi trường 2 E12 và E21 là các vectơ vừa ở trong MT1 và MT2 Khi ∆h → 0 thì AB → ab và CD → ba BC và AD → 0 (1 điểm) Như vậy: b a b Edl E1dl E2 dl (E1 E2 )dl lim a b a S 0 l B lim dS 0 vế phải : S 0 S t b b Do đó : (E1 E2 )dl 0 (E1 E2 )dl 0 E1 E2 a a Như vây: Thành phần tiếp tuyến của vectơ cường độ điện trường không thay đổi khi đi qua bề mặt phân cách giữa hai môi trường. Thành phần tiếp tuyến của vectơ điện cảm D thay đổi hướng theo ε khi chuyển qua bề mặt phân cách : D1ζ = (ε1/ε2)D2ζ (1,5 điểm) Điều kiện bờ đối với thành phần tiếp tuyến của vectơ cường độ từ trường : D D Ta có :rotH J Hdl ( j )dS d d t l S t B B rotE Edl dS t l S t
divD 0 DdS dV S V divB 0 BdS 0 S (2 điểm) D Xét phương trình sau: Hdl ( j )dS d l S t Khi ∆h → 0 làm tươngtự như phần trước ta có: b b (٭) Hdl (H1 H 2 )dl (H1 H 2 )l0 dl lim a a h 0 l Khi đó vế phải phương trình trên là : D D (J )dS J dS dS lim d lim d lim h 0 S t h 0 S h 0 S t D Do D hữu hạn nên: lim dS 0 h 0 S t b Còn J dS J ( ) ٭٭ lim d dien h 0 S a : ta có (٭٭) và (٭) JS là vectơ mật độ dòng điện mặt từ b b (H1 H 2 )l0 dl J S l0 dl H1 H 2 J S a a Như vậy vectơ cường độ từ trường có thành phần tiếp tuyến thay đổi một lượng mật độ dòng điện mặt khi đi qua bề mặt phân cách giữa hai môi trường (3 điểm) Câu 2 : (3 điểm) Trong môi trường dẫn điện thay ε = εp Trong môi trường dẫn điện k là một số phức  k   p      Đặt k = p-jα
  2   ( 1 1) 2  2 2 Với   2  ( 1 1) 2  2 2 (1 điểm) Biểu thức trường lúc này có dạng: jkz j( j )z E m Em .e Em .e z jz E Em .e .e z Dạng phụ thuộc vào thời gian: E Em .e cos(t z) Như vậy sóng điện từ truyền lan trong môi trường dẫn điện biên độ của nó sẽ bị suy giảm theo quy luật hàm số mũ âm( e z ). Tốc độ pha trong trường hợp  này là: v pha  (2 điểm) vpha phụ thuộc vào tần số. Môi trường mà vận tốc pha phụ thuộc vào tần số gọi là môi trường tán sắc(môi trường tán sóng). ω,σ mà tăng thì suy ra tăng suy giảm càng nhiều. Nếu môi trường có độ dẫn điện rất lớn thì coi σ = ∞, khi đó   2 2 V pha  φ ≈ π/4 (3 điểm) Câu 3 : (2 điểm) Áp dụng phương trình 3 của Maxwell dạng tích phân: D d S q S Lấy S là hình trụ thẳng dài vô hạn D tại mọi điểm trên diện tích xung quanh(Sxq) của hình trụ như nhau.
L Ta có: Sxq = 2лr.l (l →∞) và q = ρL.l D.Sxq = q và D.2лrl = ρL.l D 2 r Mà D = εE E L (1 điểm) 2 r  Thế tại điểm cách trục một khoảng r là: Ed r L dr M M 2 r Tương tự tại điểm cách trục một khoảng x: Điện trường: E L 2  x L Thế: Ed x dx r r 2 x 1 L ln x L ln C 2  r 2  r (2 điểm) Câu 23: Mật độ dòng điện dịch chảy qua hai bản tụ là: E E U J   Mà E . Từ đây ta suy ra được: Dich t 0 t d   J 0 U cost Dich d m  r 2 Mà I J * S J * .r 2 0 1 U cost dich dich 1 dich 1 d m Áp dụng định luật dòng điện toàn phần của Ampe H d l  I (1 điểm) L Lấy L là chu vi của đường tròn bán kính r = 1cm. Do tính chất đối xứng nên H tại mọi điểm trên đường cong L là như nhau. H.2 r  I Còn tổng đại số các dòng điện xuyên qua đường cong L là:  I J dich .S (S là diện tích của đường tròn bán kính r).
J . r 2 J   I J . r 2 H dich dich .r 0 rU cost  dich 2 r 2 2d m (2 điểm) Câu 4 : (2 điểm) Ta có hằng số điện môi phức tương đối của đất được biểu diễn như sau:  p  j60  đặc trưng cho tính chất điện môi 60 đặc trưng cho tính chất dẫn điện. Ta thấy  càng lớn thì đất càng có tính dẫn điện hơn. (1 điểm) - Với λ = 104m thì 60 60.104.10 3 600  4 . Từ đây ta suy ra được đất có tính dẫn điện tốt. Vậy với sóng cực dài λ = 104 → 105 m thì đất có tính dẫn điện tốt. - Với λ = 10 m 60 60.10.10 3 0,06  4 đất có tính dẫn điện kém Vậy với λ = 10-3 → 10 m đất có tính dẫn điện kém. (2 điểm)
Khoa c«ng nghÖ th«ng tin céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam Bé m«n ®iÖn tö – viÔn th«ng §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc ĐỀ THI SỐ 4 Môn: Lý thuyết trường điện từ Thời gian : 90 phút Hình thức thi : Viết Câu 1 : (3 điểm) Hãy xác định điều kiện bờ đối với thành phần pháp tuyến của véc tơ cường độ điện trường và từ trường trên bề mặt phân cách giữa hai môi trường Câu 2 : (3 điểm) Trình bày sóng phẳng trong môi trường điện môi lý tưởng Câu 3 : (2 điểm) Có 1 tụ phẳng không khí tạo thành từ hai bản tròn bán kính r 1 =2cm, và khoảng cách giữa chúng d = 0,5 cm. Tụ điện này là một phần của mạch dòng điện. Trên 6 hai bản tụ có một điện áp biến đổi u m =sinωt; Um = 500V; ω = (2/7).10 rad/s. Hãy tìm dòng điện dịch toàn phần chảy qua hai bản tụ với bán kính r = 1cm. Câu 4 : (2 điểm) Cho cáp đồng trục được tạo bởi hai hình trục dẫn điện, hình trụ trong có bán kính a, trong đó có dao điện I chảy dọc theo dây. Và hình trụ ngoài có bán kính b, trong đó dòng điện cũng bằng I nhưng chảy ngược chiều. Hãy tính cường độ từ trường tại các điểm sau: a ≤ r ≤ b, r >b. Đáp án:
Câu 1 : (3 điểm) Để xét điều kiện bờ đối với E1n và Hn ta xét hình trụ có đáy S1và S2 nhỏ và độ cao ∆h . - Đối với En Ta xét phương trình Maxwell dạng vi phân sau đây: DdS dV có thể viết như sau với vế trái của phương trình: S V DdS D dS D dS D dS 1 2 12 xq S S1 S 2 Sxq Khi ∆h → 0 ta có :DdS (D D )dS (D D )n dS (1) lim 1 2 12 1 2 0 12 h 0 S S12 S12 * S12 là giao tuyến giữa mặt phân cách và hình trụ (1 điểm) Từ vế phải của biểu thức (1) ta có : dV n dS lim S 0 12 h 0 V S12 từ đó ta có từ vế trái và vế phải ta được biểu thức sau đây: D1n - D2n =ρs ε1E1n - ε2E2n =ρs ρs là mật độ điện tích mặt Như vậy thành phần pháp tuyến của vectơ điện cảm D khi chuyển quabề mặt phân cách 2 môi trường thay đổi một lượng bằng mật độ điện tích mặt ρs. (2 điểm) - Điều kiện bờ đối với Hn Xét phương trình Maxwell
BdS 0 B B 0 B B 1n 2n 1n 2n S µ1H1n - µ2H2n=0 Như vậy thành phần pháp tuyến của vectơ từ cảm B n liên tục khi đi qua bề mặt phân cách hai môi trường. (3 điểm) Câu 2 : (3 điểm) jkz Ta khảo sát sóng phẳng E Eme Dạng phụ thuộc vào thời gian(dạng tức thời) như sau: E Em cos(t kz) Trong môi trường điện môi lý tưởng σ = 0 thì k là số thực: k   Phương trình mặt đồng pha của sóng: t kz const.  H E (3.5) y  x Suy ra: z = 1/k(ωt –cosnt) (1 điểm) Ở mỗi thời điểm t mặt đồng pha của sóng là mặt phẳng z = const.Vận tốc pha là vận tốc di chuyển của mặt đồng pha, ký hiệu là dz   1 v pha dt k    1 Trong không gian tự do: v pha c  E E H m cos(t kz). Và    z c  (2 điểm)
(3 điểm) Câu 3 : (2 điểm) Mật độ dòng điện dịch chảy qua hai bản tụ là: E E U J   Mà E . Từ đây ta suy ra được: Dich t 0 t d   J 0 U cost Dich d m  r 2 Mà I J * S J * .r 2 0 1 U cost dich dich 1 dich 1 d m Áp dụng định luật dòng điện toàn phần của Ampe H d l  I L (1 điểm) Lấy L là chu vi của đường tròn bán kính r = 1cm. Do tính chất đối xứng nên H tại mọi điểm trên đường cong L là như nhau. H.2 r  I Còn tổng đại số các dòng điện xuyên qua đường cong L là:  I J dich .S (S là diện tích của đường tròn bán kính r). J . r 2 J   I J . r 2 H dich dich .r 0 rU cost  dich 2 r 2 2d m (2 điểm) Câu 4 : (2 điểm) Áp dụng định luật dòng điện toàn phần của Ampe
n H d l I  i L i 1 Xét L là đường tròn có tâm nằm trên trục của cáp đồng trục bán kính r. L vuông góc với trục của cáp. Do tính chất đối xứng của cáp nên H tại mọi điểm trên L là như nhau: n H.2 r  I i i 1 (1 điểm) n I - Trường hợp r>b thì  I i I I 0 H 0 I i 1 n - Trường hợp a≤ r ≤b thì  I i I 2b i 1 I H.2 r I H 2 r (2 điểm) Khoa c«ng nghÖ th«ng tin céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam Bé m«n ®iÖn tö – viÔn th«ng §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc ĐỀ THI SỐ 5 Môn: Lý thuyết trường điện từ Thời gian : 90 phút Hình thức thi : Viết
Câu 1 : (3 điểm) Hãy chứng minh và phát biểu định luật bảo toàn năng lượng đối với trường điện từ. Véc tơ Poynting. Câu 2 : (3 điểm) Hãy trình bày về hiệu ứng bề mặt vật dẫn. Câu 3 : (2 điểm) Có dòng điện không đổi I chảy theo dây dẫn hình trụ tròng bán kính a. Hãy tìm cường độ trường tại điểm bất kỳ cách trục dây dẫn 1 khoảng r cho hai trường hợp r>a và r 0 là môi trường dẫn điện, cụ thể là kim 7 loại đồng có độ dẫn điện riêng  5,8.10 (1/ m); 0 ; 0  0 , theo phương trục z truyền một sóng thẳng đồng nhất với tần số f = 105Hz. Hãy xác định vận tốc pha, bước sóng, trở kháng sóng, hệ số suy giảm và độ thấm sâu của trường(∆) trong kim loại đồng của sóng. Biên độ cường độ trường sẽ giảm đi bao nhiêu lần so với bề mặt kim loại khi sóng đi sâu vào được một khoảng d = 1mm. Đáp án: Câu 1 : (3 điểm) Trường điện từ là một dạng đặc biệt của vật chất, nên nó cũng tuân theo định luật bảo toàn năng lượng. Từ vật lý năng lượng điện từ trong một đơn vị thể tích : E 2 H 2 W ( )dV V 2 2 H và E thay đổi theo thời gian và không gian, suy ra W cũng thay đổi Áp dụng phương trình 1 và 2 củ Maxwell : D H rotH J ; rotE  d t t
E rotH J  J d t e (1 điểm)   E H Vậy ta có : ErotH HrotE J E E J E H d t e t rotH J d   Ta có E rot H H rot E div [ E .H ] E 1 E 2 E  t 2 t H 1 H 2 H  t 2 t J d E  E 2 H 2 div[E.H ] ( ) E 2 J E t 2 2 e Lấy tích phân theo thể tích V 2 vế rồi áp dụng định luật Lý Ôtstrôgratski – Gauss.  E 2 H 2 E.H dS ( )dV E 2 dV J EdV (1)   e S t V 2 2 V V W E.H dS E 2 dV J EdV (2)   e S t V V (2 điểm) Xét ý nghĩa: 2 E dV là công suất tiêu hao dưới dạng nhiệt trong thể tích V kí hiệu Pt V J EdV là Công suất do nguồn ngoài sinh ra trong thể tích V ký hiệu P e e V W là tốc độ biến thiên năng lượng điện từ trong V t E.H dS là công suất chảy ngoài V qua diện tích S. S Tóm lại: Công suất do nguồn ngoài sinh ra trong thể tích V bằng tổng công suất tiêu hao dưới tác dụng nhiệt trong V, công suất chảy ra ngoài V qua diện tích S
và công suất làm thay đổi điện từ trường trong V. Đó chính là định luật bảo toàn năng lượng đối với trường điện từ. (3 điểm) Câu 2 : (3 điểm)  Trong vật dân điện tốt (σ >>1) ta có :  (1) 2 Khi σ rât lớn thì α cũng rất lớn dẫn đến suy giảm càng nhiều, ta thấy biên độ cường độ trường suy giảm rất nhanh khi truyền vào trong vật dẫn. Nghĩa là sóng điện từ chỉ tồn tại ở một lớp rất mỏng sát bề mặt của vật dẫn điện tốt. Khi cho dòng điện cao tần chảy trong vật dẫn điện tốt người ta cũng thấy dòng điện này chỉ tồn tại trên một lớp theo định luật Ôm. Jd = σE -αz -jβz đối với dạng khảo sát: E=Eme e -αz -jβz -αz -jβz Jd =σ Eme e =J0e e (2) J0 là mật độ dòng chên bề mặt vật chất J0 = σEm (1 điểm) Mật độ dòng điện sẽ giảm dần khi đi vào sâu trong vật dẫn theo quy luật giống như biên độ cường độ điện trường Hiện tượng sóng điện từ hay sóng điện cao tân khi truyền trong vật dẫn điện tốt chỉ tập chung ở một lớp rất mỏng trên bề mặt của nó gọi là hiệu ứng bề mặt, hay hiệu ứng Skin Để đặc trưng cho hiệu ứng bề mặt người ta đưa vào khai niệm độ thấm sâu của trường hay độ sâu thâm nhập của trường ∆, đó là khoảng cách mà ứng với nó biên độ cường độ trường suy giảm đi e lần: e ≈2,718 z Eme Ta có : (z ) e Eme eα∆ = e suy ra ∆ = 1/α 1 2  (2 điểm)
Hiệu ứng bề mặt được áp dụng trong thực tế (mạ vàng, bạc), khi làm giảm tiêu hao khi truyền sóng điện từ người ta chỉ mạ một lớp mỏng vàng hoặc bạc lên bề mặt kim loại. Khi tính toán các bài toán người ta thấy khái niệm trở kháng mặt của kim loại: ZS = RS + ρXS  RS là trở đặc trưng cho công suất tiêu hao R S 2 XS là cảm kháng của mặt riêng ZS  2 Vận tốc pha: V pha p  (3 điểm) Câu 3 : (2 điểm) Áp dụng định luật dòng điện toàn phần của Ampe n H d l I  i L i 1 Lấy L là chu vi của đường tròn bán kính r. Do tính chất đối xứng nên H tại mọi điểm trên đường cong L là như nhau. n H d l H .2 r I  i L i 1 (1 điểm) n I - Trường hợp r>a:  I i I H i 1 2 r n I r 2 Ir I J r 2 r 2 I H - Trường hợp r<a:  i S 2 2 2 i 1 a a 2 a (2 điểm) Câu 4 : (2 điểm)  2 f .4 .10 7.5,8.107 Ta có  lớn nên  4782,7 2 2  2 f 2 .105 Vận tốc pha: v 560,4 pha   1120,7 v 560,4 Mà  pha 5,604.10 3 f 105
0 Và Z C 120  0 2 2,09.10 4 2 f .4 .10 7.5,8.107 (1 điểm) z Ta có: E Em .e cos(t z) (1) mà trên bề mặt thì z = 0 nên biên độ của phương trình (1) là Em. Khi sóng đi sâu một đoạn d = 1mm, lúc đó biên độ của phương trình (1) là d Em .e Em d 10 3. biên độ sóng suy giảm: d e lân e 119 lần Em .e (2 điểm) Khoa c«ng nghÖ th«ng tin céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam Bé m«n ®iÖn tö – viÔn th«ng §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc ĐỀ THI SỐ 6 Môn: Lý thuyết trường điện từ Thời gian : 90 phút Hình thức thi : Viết Câu 1 : (3 điểm) Hãy trình bày về hệ phương trình Maxwell dạng biên độ phức. Câu 2 : (3 điểm) Trình bày sóng phẳng trong môi trường điện môi lý tưởng Câu 3 : (2 điểm) Áp dụng định luật Biôxava để tính từ trường tạo bởi một dây dẫn mảnh có dòng điện I tại điểm cách trục một khoảng r. Câu 4 : (2 điểm) Sóng phẳng truyền trong môi trường điện môi đồng nhất đẳng hướng rộng vô hạn có tham số ε = 4ε0;  0 ; 0 ; biên độ cường độ điện trường của sóng Em =
10-3 (V/m) và f = 106Hz. Lập biểu thức giá trị tức thời cường độ từ trường của sóng và mật độ dòng công suất trung bình. Đáp án: Câu 1 : (3 điểm) Trong thực tế thường gặp các dao động điều hòa. Mặt khác 1 dao động điều hòa không phải là điều hòa thì bằng phép biến đổi Fourier bao giờ cũng có thể phân tích thành tổng của các dao động điều hòa. Vì vậy việc nghiên cứu trường điều hòa như một tập hợp riêng của trường điện từ là rất cần thiết. Cho dao động điều hòa: A Am cos(t ). Ta đã biết phương pháp biên độ phức làm cho phương trình phân tích các dao động điều hòa trở nên đơn giản đi rất nhiều. Sử dụng phương pháp biên độ phức ta đưa vào phương trình trên như sau: j(t ) A Am.e j jt A Ame e jt A Am e (1 điểm) j Trong đó: Am Ame : Biên độ phức của véc tơ A Áp dụng định công thức ơle: e j(t ) cos(t ) j sin(t )
Ta có: A Re(A) Như vậy đối với trường điều hòa tương ứng với các véc tơ E ,D ,B ,H , J, ta có dạng biên độ phức tương ứng Em ,Dm ,B m ,H m , J m , m . Hệ phương trình Maxwell ở dạng biên độ phức: - Phương trình 1: E rotH  J 0 t d Sử dụng phương pháp biên độ phức ta đưa vào ký hiệu: jt E E m e jt H H m e jt J d J m e (2 điểm) Thay vào phương trình 1 của Maxwell ta có: jt  jt jt rot H m e  (E m e ) J m e 0 t jt jt jt rot H m e j 0 .E m .e J m e rot H m j 0 . E m J m - Tương tự với các phương khác ta có được hệ phương trình Maxwell dạng biên độ phức: rot H m j 0 . E m J m rot E m j.H m Div D m m
Div B m 0 (3 điểm) Câu 2 : (3 điểm) jkz Ta khảo sát sóng phẳng E Eme Dạng phụ thuộc vào thời gian(dạng tức thời) như sau: E Em cos(t kz) Trong môi trường điện môi lý tưởng σ = 0 thì k là số thực: k   Phương trình mặt đồng pha của sóng: t kz const.  H E (3.5) y  x Suy ra: z = 1/k(ωt –cosnt) (1 điểm) Ở mỗi thời điểm t mặt đồng pha của sóng là mặt phẳng z = const.Vận tốc pha là vận tốc di chuyển của mặt đồng pha, ký hiệu là dz   1 v pha dt k    1 Trong không gian tự do: v pha c  E E H m cos(t kz). Và    z c  (2 điểm)
(3 điểm) Câu 3 : (2 điểm) Áp dụng định luật Biôxava(Định luật Ampe) I dl.r H  0  2 4 l r d O M Mà ta códl.r0  dl sin .i . Từ đây ra suy ra: I dl sin H .i l 4 r 2 r d Từ hình vẽ ta thấy r Idl sin (1 điểm) I sin H dl (1) 4 d 2 l ( ) sin l 1 dl d vacot g d dl d (2) d sin 2 d sin 2 Khi l biến đổi từ -∞ → +∞ thì biến đổi từ 0 đến л. Thay (2) vào (1) ta có: I sin d I sin I I H . d d cos 2 4 d 2 sin 4 d 4 2 d 0 ( ) 0 0 sin
(2 điểm) Câu 4 : (2 điểm) E   120 Ta có  m mà  0 60 () H m  4 0 2 E 10 3 H m (A/ m) m  60 Biểu thức giá trị tức thời của cường độ từ trường: H H cos(t kt) (1) (1 điểm) 1 8 1 4 f Với k   2 f 4 0 0 và C 3.10 (m / s) k 2 f . 8  0 0 C 3.10 Biểu thức tức thời của mật độ dòng công suất trung bình là: 1  E H , với Hm có biểu thức như (1). tb 2 m m (2 điểm)
Khoa c«ng nghÖ th«ng tin céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam Bé m«n ®iÖn tö – viÔn th«ng §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc ĐỀ THI SỐ 7 Môn: Lý thuyết trường điện từ Thời gian : 90 phút Hình thức thi : Viết Câu 1 : (3 điểm) Trình bày về hằng số điện môi phức và góc tiêu hao điện môi trong trường điều hòa. Câu 2 : (3 điểm) Trình bày về thế chậm của lưỡng cực điện (dipole điện ) Câu 3 : (2 điểm) Một điện tích dòng Q phân bố đều theo thể tích quả cầu có bán kính là a, với môi độ điện thẩm ε đặt trong không khí. Hãy tìm cường độ điện trường E ở trong và ở ngoài quả cầu đó. Câu 4 : (2 điểm) Trong nửa không gian ứng với tọa độ z>0 là môi trường dẫn điện, cụ thể là kim 7 loại đồng có độ dẫn điện riêng  5,8.10 (1/ m); 0 ; 0  0 , theo phương trục z truyền một sóng thẳng đồng nhất với tần số f = 105Hz. Hãy xác định vận tốc pha, bước sóng, trở kháng sóng, hệ số suy giảm và độ thấm sâu của trường(∆) trong kim loại đồng của sóng. Biên độ cường độ trường sẽ giảm đi bao nhiêu lần so với bề mặt kim loại khi sóng đi sâu vào được một khoảng d = 1mm.
Đáp án: Câu 1 : (3 điểm) - Từ phương trình 1 của Maxwell dạng biên độ phức: rot H m j 0 .E m J m J ngm Và ta có J m .E m rot H m j 0 . E m  . E m J ngm  rot H m j( 0 j ) E m J ngm  rot H m J   p . E m J ngm  Trong đó : làp hằng  số điệnj môi phức tuyệt đối của môi  trường  p   p  j là hằng số điện môi phức tương đối của môi trường.  0  c   j60 ( 2 f ; p f  Có thể chứng minh rằng tỷ số giữa phần ảo và phần thực của  p là : là  tỷ số điện dẫn và điện dịch, nó đặc trưng cho tiêu hao trong môi trường điện môi.  Đặt tg = ;  là góc tiêu hao điện môi  Nếu là chất điện môi: tg 100
Bán dẫn 0,01 < tg <100 (3 điểm) Câu 2 : (3 điểm) a) Định nghĩa và các giả thiết Định nghĩa : Lưỡng cực điện là một dạng dây dẫn thẳng, mảnh ngắn trên nó có dòng điện biến đổi do nguồn ngoài cung cấp. Trong thực tế kỹ thuật, lưỡng cực điện là phần tử cơ bản để cấu tạo nên các Ăngten dây, Ăngten chấn tử, Trường bức xạ của Ăngten này là chồng chất trường bức xạ của tập hợp vô số các lưỡng cực điện đặt nối tiếp nhau. Các giả thiết : - Môi trường bao quanh lưỡng cực điện là điện môi lý tưởng (ε,µ= hằng số và σ = 0 ). - Chiều dài của lưỡng cực l<<λ( bước sóng). - Dòng điện nuôi lưỡng cực điện là điều hoà với tần số ω (1 điểm) b) Thế chậm của lưỡng cực điện Đặt lượng cực điện vào hệ toạ độ cầu, trục của lưỡng cực đặt theo trục OZ Dòng điện điều hoà nuôi lưỡng cực có dạng: it I z z0 I m .Se S là tiết diện ngang của lưỡng cực điện
J m J m .z0 J em J ngm 1 g(t).e jkr Áp dụng công thức thế chậm  dV (1) cho véc tơ A của (t) em 4 V r  z .J .e ikr phương trình sóng (1)ta được: A 0 m dV em 4 V r (2 điểm) Vì dòng điện trong lưỡng cực chỉ chảy theo phương trục z nên Ae mcũng hướng theo trục z. Vì V=S*l là thể tích của lưỡng cực điện nên tích phân trên có thể viết dưới dạng gọn hơn:  J e ikr  I e ikr A z m dV z m dl (2) em 0 0 4 V r 4 l r Vì l rất mảnh và ngắn nên có thể coi dòng tại mọi điểm trên lưỡng cực điện có biên độ và pha như nhau. Hơn nữa r >> l nên:  I l e ikr A z m . (3) en 0 4 r r Vì z0 r0 cos  0 sin  I l e ikr Nên A m (r cos  sin ) (4) em 4 r r 0 0 1 Ae Từ biểu thức nếu sử dụng biểu thức H rotAe và E grad e ta  t sẽ tìm được các véc tơ H , E . (3 điểm) Câu 3 : (2 điểm) Áp dụng phương trình 3 của Maxwell dạng tích phân: D d S q S
Lấy S là mặt cầu bán kính a. Do tính chất đối xứng nên D tại mọi điểm trên hình cầu là như nhau D d S D .4 r 2 q S c) Xét trường hợp thứ nhất: Điểm M ở ngoài hình cầu(r>a) Ta có: q = Q D.4 л r2 = Q Q D 4 r 2 Môi trường là không khí nên ε = ε0 Q Q Mà D = ε.E = E = 4 r 2 4 r 2 (1 điểm) d) Trường hợp thứ hai: Điểm M ở trong hình cầu(r<a) Q Ta chứng minh được q .r 3 từ công thức tính mật độ điện tích a 3 Q 4 q . .r 3 4 và .a 3 3 3 Q 4 Q q . .r 3 .r 3 4 3 .a 3 3 a 3 q Q Q Mặt khác ta có D D .r 3 r 4 r 2 4 r 2 .a 3 4 .a 3 Q Mà D = ε.E E r 4  .a 3 (2 điểm) Câu 4 : (2 điểm)  2 f .4 .10 7.5,8.107 Ta có  lớn nên  4782,7 2 2  2 f 2 .105 Vận tốc pha: v 560,4 pha   1120,7
v 560,4 Mà  pha 5,604.10 3 f 105 0 Và Z C 120  0 2 2,09.10 4 2 f .4 .10 7.5,8.107 (1 điểm) z Ta có: E Em .e cos(t z) (1) mà trên bề mặt thì z = 0 nên biên độ của phương trình (1) là Em. Khi sóng đi sâu một đoạn d = 1mm, lúc đó biên độ của phương trình (1) là d Em .e Em d 10 3. biên độ sóng suy giảm: d e lân e 119 lần Em .e (2 điểm) Khoa c«ng nghÖ th«ng tin céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam Bé m«n ®iÖn tö – viÔn th«ng §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc ĐỀ THI SỐ 8
Môn: Lý thuyết trường điện từ Thời gian : 90 phút Hình thức thi : Viết Câu 1 : (3 điểm) Trình bày nguyên lý xếp chồng và nguyên lý đổi lẫn của trường điện từ. Câu 2 : (3 điểm) Trình bày về thế chậm của trường điện từ. Câu 3 : (2 điểm) Cho một hình cầu tích điện bán kính là a. Giả sử điện tích phân phố đều trên bề 2 mặt của nó với mật độ điện tích mặt ρ s = Q/4лa . Tính cường độ điện trường tại những điểm ở ngoài và ở trong hình cầu. Câu 4 : (2 điểm) Cho cáp đồng trục được tạo bởi hai hình trục dẫn điện, hình trụ trong có bán kính a, trong đó có dao điện I chảy dọc theo dây. Và hình trụ ngoài có bán kính b, trong đó dòng điện cũng bằng I nhưng chảy ngược chiều. Hãy tính cường độ từ trường tại các điểm sau: a ≤ r ≤ b, r >b. Đáp án: Câu 1 : (3 điểm) Nói chung khi giải các bài toán về điện từ trường là một công việc phức tạp. Vì vậy trong một số trường hợp để giải các bài toán một cách đơn giản và nhanh chóng hơn người ta áp dụng một số nguyên lý cơ bản của trường điện từ. 1. Nguyên lý xếp chồng
Đối với môi trường tuyến tính phương trình vi phân viết cho các véc tơ điện từ trường cũng là tuyến tính. Từ giáo trình toán học ta đã biết tổng các nghiệm riêng của bất kỳ phương trình vi phân tuyến tính nào cũng là nghiệm riêng của phương trình này. Do đó ta có thể thấy rằng: trường do một số nguồn nào đó sẽ là tổng véc tơ các trường của từng nguồn. Đây chính là nội dung của nguyên lý xếp chồng. Nhưng có một điều là nguyên lý này không được áp dụng đối với công suất hoặc năng lượng. Thí dụ: Giả sử có n nguồn dòng J1, J 2 , , Jn Gọi E1, H 1 là trường do Jgây1 ra khi J 2 J 3 , , Jn 0 Tương tự: E1, H 1 là trường do Jgây2 ra khi J1 J 3 , , Jn 0 En , H n là trường do Jgây1 ra khi J n J 1, , J n 1 0 Từ đây ta suy ra trường E do J1, J 2 , , Jn gây ra là: E(J 1 , J 2 , , J n ) E1 (J 1 ) E 2 (J 2 ) E n (J n ). H (J 1 , J 2 , , J n ) H 1 (J 1 ) H 2 (J 2 ) H n (J n ). (1 điểm) 2. Nguyên lý đổi lẫn a, Nguyên lý đổi lẫn được suy ra từ tính chất đối xứng của các phương trình Maxwell. Xét phương trình Maxwell ở đó không có nguồn ngoài. E E rotH  rotE  (a) t (b) t divH 0 divE 0 Nếu điều kiện phép đổi lẫn: E H; . thì hệ (a) trở thành hệ (b) và ngược lại. Điều này có nghĩa là: Nếu như có hai bài toán điện động mà tất cả các điều kiện đối với (hoặcH ) củaE bài toán này sẽ trở thành các điều kiện đối với E (hoặc H ) của bài toán kia. Khi thực hiện phép đổi lẫn thì nếu biết nghiệm của bài toán thứ nhất ta có thể suy ra được nghiệm của bài toán thứ 2. (2 điểm)
Thí dụ: Nếu như ta tìm được các biểu thức đối với các hệ số tích phân được xác định từ điều kiện thành phần tiếp tuyến của véc tơ E = 0. Trên bề mặt biên giới của 2 môi trường thì khi thực hiện phép đổi lẫn: E H; . ta sẽ được biểu thức đối với màH thành phần tiếp tuyến của cũngH bằng không trên bề mặt phân cách. b, Nguyên lý đổi lẫn cũng áp dụng được đối với không gian ở đó có nguồn điện từ trường. Lúc này hệ phương trình Maxwell có dạng:  H E rot E  rotH  J (a ) t (b ) t div D divB 0 Để (a ) và (b ) đối xứng ta phải đưa vào các đại lượng quy ước J M , M J M : mật độ dòng từ M : mật độ khối từ tích. - Các đại lượng J M , M trong tự nhiên không có, ta đưa vào chỉ nhằm mục đích làm cho hệ phương trình Maxwell đối xứng với E , H. Do đó có thể áp dụng nguyên lý đổi lẫn: E H;  ; M ; J J M Hệ phương trình Maxwell là:  H E rot E  J M rotH  J t t div D divB M (3 điểm) Câu 2 : (3 điểm) Muốn tìm H , E ta phải giải các phương trình sóng Đalămbe. So sánh với các phương trình Đalămbe ta thấy chúng đều có dạng giống nhau. Do vậy, chỉ cần tìm nghiệm của 1 phương trình có dạng sau:  2  2 . g (1) t Trong đó:  đại diện cho Ae , e , Am , m
g đại diện cho phương trình vế phải của các phương trình sóng. Có thể tìm được nghiệm của phương trình sóng Đalămbe(1) có dạng như sau: r g(t ) 1  v dV (3) (t) 4 V r (1 điểm) V: là thể tích chứa nguồn r: là khoảng cách từ điểm tính trường M tới các điểm nguồn(vi phân thể tích dV) 1 v :là vận tốc truyền sóng trong môi trường  Từ phương trình (3) ta thấy rằng trường tại điểm khảo sát ở thời điểm t được xác định không phải bởi giá trị nguồn tại thời điểm t mà được xác định bởi 1 giá trị của nguồn ở thời điểm sớm hơn t một khoảng thời gian là t , t chính v là khoảng thời gian để truyền từ nguồn đến điểm quan sát với vận tốc v hữu hạn. Như vậy trường ở điểm quan sát chậm pha so với nguồn một khoảng thời gian t . Do đó nghiệm (3) đúng là thế chậm của trường điện từ. (2 điểm) Nếu trường là điều hòa thì: r r j(t ) g(t ) g .e v g e jt .e jkr g(t).e jkr v m m  Với k   : là số sóng trong môi trường. v Do đó thế chậm của trường điện từ có dạng: 1 g(t).e jkr  dV (4) (t) 4 V r Trường tại điểm khảo sát chậm pha so với trường tại điểm nguồn một lượng là –kr. (3 điểm) Câu 3 : (2 điểm) Áp dụng phương trình 3 của Maxwell dạng tích phân:
D d S q S Lấy S là mặt cầu bán kính a. Do tính chất đối xứng nên D tại mọi điểm trên hình cầu là như nhau D d S D .4 r 2 S (1 điểm) c) Xét trường hợp thứ nhất: Điểm M ở ngoài hình cầu(r>a) Ta có: q = Q 2 2 D.4 л r = Q = ρS.4 лa 2 2 D = ρS.(a /r ) d) Trường hợp thứ hai: Điểm M ở trong hình cầu(r b thì  I i I I 0 H 0 I i 1 n - Trường hợp a≤ r ≤b thì  I i I 2b i 1 I H.2 r I H 2 r
(2 điểm) Khoa c«ng nghÖ th«ng tin céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam Bé m«n ®iÖn tö – viÔn th«ng §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc ĐỀ THI SỐ 9 Môn: Lý thuyết trường điện từ Thời gian : 90 phút Hình thức thi : Viết Câu 1 : (3 điểm) Hãy xác định điều kiện bờ đối với thành phần pháp tuyến của véc tơ cường độ điện trường và từ trường trên bề mặt phân cách giữa hai môi trường Câu 2 : (3 điểm) Hãy trình bày về sóng điện từ phẳng trong môi trường dẫn điện Câu 3 : (2 điểm) Có dòng điện không đổi I chảy theo dây dẫn hình trụ tròng bán kính a. Hãy tìm cường độ trường tại điểm bất kỳ cách trục dây dẫn 1 khoảng r cho hai trường hợp r>a và r <a. Câu 4 : (2 điểm)
3 Đất khô có  4 0 , 10 Ci / m(1/ m) . Hãy tìm giới hạn theo bước sóng để từ đó xem đất khô là dẫn điện và điện môi. Đáp án: Câu 1 : (3 điểm) Để xét điều kiện bờ đối với E1n và Hn ta xét hình trụ có đáy S1và S2 nhỏ và độ cao ∆h . - Đối với En Ta xét phương trình Maxwell dạng vi phân sau đây: DdS dV có thể viết như sau với vế trái của phương trình: S V DdS D dS D dS D dS 1 2 12 xq S S1 S 2 Sxq Khi ∆h → 0 ta có :DdS (D D )dS (D D )n dS (1) lim 1 2 12 1 2 0 12 h 0 S S12 S12 * S12 là giao tuyến giữa mặt phân cách và hình trụ (1 điểm)
Từ vế phải của biểu thức (1) ta có : dV n dS lim S 0 12 h 0 V S12 từ đó ta có từ vế trái và vế phải ta được biểu thức sau đây: D1n - D2n =ρs ε1E1n - ε2E2n =ρs ρs là mật độ điện tích mặt Như vậy thành phần pháp tuyến của vectơ điện cảm D khi chuyển quabề mặt phân cách 2 môi trường thay đổi một lượng bằng mật độ điện tích mặt ρs. (2 điểm) - Điều kiện bờ đối với Hn Xét phương trình Maxwell BdS 0 B B 0 B B 1n 2n 1n 2n S µ1H1n - µ2H2n=0 Như vậy thành phần pháp tuyến của vectơ từ cảm B n liên tục khi đi qua bề mặt phân cách hai môi trường. (3 điểm) Câu 2 : (3 điểm) Trong môi trường dẫn điện thay ε = εp Trong môi trường dẫn điện k là một số phức  k   p      Đặt k = p-jα   2   ( 1 1) 2  2 2 Với   2  ( 1 1) 2  2 2 (1 điểm) Biểu thức trường lúc này có dạng: jkz j( j )z E m Em .e Em .e
z jz E Em .e .e z Dạng phụ thuộc vào thời gian: E Em .e cos(t z) Như vậy sóng điện từ truyền lan trong môi trường dẫn điện biên độ của nó sẽ bị suy giảm theo quy luật hàm số mũ âm( e z ). Tốc độ pha trong trường hợp này là:  v pha  (2 điểm) vpha phụ thuộc vào tần số. Môi trường mà vận tốc pha phụ thuộc vào tần số gọi là môi trường tán sắc(môi trường tán sóng). ω,σ mà tăng thì suy ra tăng suy giảm càng nhiều. Nếu môi trường có độ dẫn điện rất lớn thì coi σ = ∞, khi đó   2 2 V pha  φ ≈ π/4 (3 điểm) Câu 3 : (2 điểm) Áp dụng định luật dòng điện toàn phần của Ampe n H d l I  i L i 1 Lấy L là chu vi của đường tròn bán kính r. Do tính chất đối xứng nên H tại mọi điểm trên đường cong L là như nhau. n H d l H .2 r I (1 điểm)  i L i 1 n I - Trường hợp r>a:  I i I H i 1 2 r n I r 2 Ir I J r 2 r 2 I H - Trường hợp r<a:  i S 2 2 2 i 1 a a 2 a (2 điểm)
Câu 4 : (2 điểm)  Ta có:   j (  hằng số phức tuyệt đối) p  p * * J dân  E * * J dân  J dich j E (j 1 ) J dich  Tỷ số giữa phần ảo và phần thực của εp chính là tỷ số giữa dòng điện dẫn và dòng điện dịch (dòng điện dịch chảy trong điện môi, còn dòng điện dẫn di chuyển trong kim loại).   - Nếu  (hay 1) thì đất có tính chất của chất điện môi     - Nếu  (hay 1) thì đất có tính chất dẫn điện.   (1 điểm) Giới hạn theo bước sóng để từ đó xem đất khô là dẫn điện hay điện môilà:     hay 1 hay 1   4 0  60 1 1 2 Mà  60 = (2/3).10 1  3 (m)  0 4 15 15.10  càng lớn thì đất càng có tính dẫn điện hơn Từ đây ta có thể kết luận là: - Với λ > (2/3).102 m thì đất có tính dẫn điện. - Với λ < (2/3).102 m thì đất có tính điện môi. (2 điểm) Khoa c«ng nghÖ th«ng tin céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam Bé m«n ®iÖn tö – viÔn th«ng §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc
ĐỀ THI SỐ 10 Môn: Lý thuyết trường điện từ Thời gian : 90 phút Hình thức thi : Viết Câu 1 : (3 điểm) Hãy trình bày về định luật bảo toàn điện tích. Câu 2 : (3 điểm) Hãy trình bày về trường tĩnh điện. Câu 3 : (2 điểm) Có 1 tụ phẳng không khí tạo thành từ hai bản tròn bán kính r 1 =2cm, và khoảng cách giữa chúng d = 0,5 cm. Tụ điện này là một phần của mạch dòng điện. Trên 6 hai bản tụ có một điện áp biến đổi u m =sinωt; Um = 500V; ω = (2/7).10 rad/s. Hãy tìm dòng điện dịch toàn phần chảy qua hai bản tụ với bán kính r = 1cm. Câu 4 : (2 điểm) Cho tham số điện của đất khô: Hằng số điện môi tương đối  4 Độ dẫn điện riêng δ = 10-3 1/Ωm. Chứng tỏ rằng đối với sóng cực dài( λ = 104 → 105 m) thì mặt đất có tính dẫn điện tốt hơn, còn đối với sóng cực ngắn(λ = 10-3 → 10 m)thì mặt đất có tính dẫn điện kém. Đáp án: Câu 1 : (3 điểm) Điện tích có thể phân bố gián đoạn hay liên tục. Nó không tự nhiên sinh ra và cũng không tự nhiên mất đi. Điện tích tuân theo định luật bảo toàn. Định luật
bảo toàn điện tích (do Farađây tìm ra qua thực nghiệm năm 1843) được phát biểu như sau: Lượng điện tích đi ra khỏi một mặt kín S bao quanh thể tích V trong một khoảng thời gian nào đó bằng lượng điện tích ở trong thể tích này bị giảm đi trong khoảng thời gian ấy. Đi xác định dạng toán học của định luật: Giả sử trong thể tích V tùy ý của môi trường vật chất được bao bởi mặt kín S tại thời điểm t chứa mội lượng điện tích là Q với mật độ khối ρ: Q dV (1) V (1 điểm) Sau một khoảng thời gian dt lượng điện tích trong thể tích V giảm đi 1 lượng là dQ. Theo định luật bảo toàn điện tích lượng điện tích giảm đi trong V bằng lượng điện tích đi ra khỏi V qua mặt S trong khoảng thời gian dt để tạo ra dòng điện dân I. d I dV (2) dt V Vì thể tích V đứng yên nên chúng ta có hên thức sau đây:  JdS dV (3) S t (2 điểm) Định luật trên là dạng tích phân, nếu áp dụng biểu thức định lý Ôtstrogratski – Gauss cho vế trái ta được:  JdS divJdV dV (4) S V V t Vì thể tích V là tùy ý nên suy ra:  divJ 0 (5) t Biểu thức trên đây là dạng vi phân của định luật bảo toàn điện tích hay gọi là phương trình liên tục. (3 điểm) Câu 2 : (3 điểm)
Trường tĩnh điện là trường được tạo ra bởi các điện tích đứng yên và không đổi theo thời gian. rotE 0  Hay J = 0; 0 divD (1) t D .E Trường tĩnh điện là 1 trường thế ngoài có rotE 0 nên có thể biểu diễn  qua 1 biến mới E grad l (2) ( vì thế rotE rot(grad ) 0 ). 0 t Thế φ của trường điện tĩnh theo (2) có thể xác định bằng biểu thức: Edl (3) (1 điểm) Công A của trường tĩnh điện theo 1.18 được thực hiện khi di chuyển 1 điện tích điểm(+) q = 1C từ điểm M1 đến điểm M2 là: M 2 M 2 A Fdl Edl (M1 ) (M 2 ) (4) M1 M1 Trong đó , là thế của trường tĩnh điện tại M M (M1 ) (M 2 ) 1, 2. E d l ; E d l ; ( M 1 ) ( M 2 ) M 1 M 2 Edl 0 ( Tích phân theo đường cong L khép kín) divD divE divgrad Ta có:   (5) Ta có: grad  ; divv v  2  (6) Phương trình (6) gọi là phương trình Poison. Phương trình này liên hệ thế và điện tích tại một điểm bất kỳ của trường. 2 - Tại những điểm mà ở đó mật độ điện trường bằng không thì ta có  0, phương trình (6) trở thành phương trình Laplas. 1 ( )dV Giải phương trình Poison có nghiệm: r (7) 4  V
r là khoảng cách từ điểm tính trường đến vi phân thể tích dV. (2 điểm) - Đối với điện tích điểm ta có: q 4 ..r (8) Ta có: 1 E grad grad dV 4  V r 1 E grad dV V 4  r 1 1 r 0 r grad gradr r r 2 r 2 r 3 1 E rdV Ta được: 3 (9) 4 V r Trường hợp điện tích điểm ta có: r E .q (10) 4 r 3 Nếu đưa vào trường của điện tích q một điện tích thử q1, ta có: qq1 F q E r (11) 1 4 r 3 Biểu thức (11) chính là định luật Culông. Vì vậy định luật Culông là hệ quả của phương trình Maxwell đối với trường tĩnh điện. (3 điểm) Câu 3 : (2 điểm) Mật độ dòng điện dịch chảy qua hai bản tụ là: E E U J   Mà E . Từ đây ta suy ra được: Dich t 0 t d   J 0 U cost Dich d m
 r 2 Mà I J * S J * .r 2 0 1 U cost dich dich 1 dich 1 d m Áp dụng định luật dòng điện toàn phần của Ampe H d l  I L (1 điểm) Lấy L là chu vi của đường tròn bán kính r = 1cm. Do tính chất đối xứng nên H tại mọi điểm trên đường cong L là như nhau. H.2 r  I Còn tổng đại số các dòng điện xuyên qua đường cong L là:  I J dich .S (S là diện tích của đường tròn bán kính r). J . r 2 J   I J . r 2 H dich dich .r 0 rU cost  dich 2 r 2 2d m (2 điểm) Câu 4 : (2 điểm) Ta có hằng số điện môi phức tương đối của đất được biểu diễn như sau:  p  j60  đặc trưng cho tính chất điện môi 60 đặc trưng cho tính chất dẫn điện. Ta thấy  càng lớn thì đất càng có tính dẫn điện hơn. (1 điểm) - Với λ = 104m thì 60 60.104.10 3 600  4 . Từ đây ta suy ra được đất có tính dẫn điện tốt. Vậy với sóng cực dài λ = 104 → 105 m thì đất có tính dẫn điện tốt. - Với λ = 10 m 60 60.10.10 3 0,06  4 đất có tính dẫn điện kém Vậy với λ = 10-3 → 10 m đất có tính dẫn điện kém. (2 điểm)
Khoa c«ng nghÖ th«ng tin céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam Bé m«n ®iÖn tö – viÔn th«ng §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc ĐỀ THI SỐ 11 Môn: Lý thuyết trường điện từ Thời gian : 90 phút Hình thức thi : Viết Câu 1 : (3 điểm) Hãy chứng minh và phát biểu định luật bảo toàn năng lượng đối với trường điện từ – Định lý Umốp-Poynting Câu 2 : (3 điểm) Trình bày về từ trường của dòng điện không đổi. Câu 3 : (2 điểm)
Tính trường và thế tạo ra bởi một trục tích điện có mật độ điện tích dài là ρ L, tại điểm cách trục 1 khoảng r. Câu 4 : (2 điểm) Sóng phẳng truyền trong môi trường điện môi đồng nhất đẳng hướng rộng vô hạn có tham số ε = 4ε0;  0 ; 0 ; biên độ cường độ điện trường của sóng Em = 10-3 (V/m) và f = 106Hz. Lập biểu thức giá trị tức thời cường độ từ trường của sóng và mật độ dòng công suất trung bình. Đáp án: Câu 1 : (3 điểm) Trường điện từ là một dạng đặc biệt của vật chất, nên nó cũng tuân theo định luật bảo toàn năng lượng. Từ vật lý năng lượng điện từ trong một đơn vị thể tích : E 2 H 2 W ( )dV V 2 2 H và E thay đổi theo thời gian và không gian, suy ra W cũng thay đổi Áp dụng phương trình 1 và 2 củ Maxwell : D H rotH J ; rotE  d t t E rotH J  J d t e (1 điểm)   E H Vậy ta có : ErotH HrotE J E E J E H d t e t
rotH J d   Ta có E rot H H rot E div [ E .H ] E 1 E 2 E  t 2 t H 1 H 2 H  t 2 t J d E  E 2 H 2 div[E.H ] ( ) E 2 J E t 2 2 e Lấy tích phân theo thể tích V 2 vế rồi áp dụng định luật Lý Ôtstrôgratski – Gauss.  E 2 H 2 E.H dS ( )dV E 2 dV J EdV (1)   e S t V 2 2 V V W E.H dS E 2 dV J EdV (2)   e S t V V (2 điểm) Xét ý nghĩa: 2 E dV là công suất tiêu hao dưới dạng nhiệt trong thể tích V kí hiệu Pt V J EdV là Công suất do nguồn ngoài sinh ra trong thể tích V ký hiệu P e e V W là tốc độ biến thiên năng lượng điện từ trong V t E.H dS là công suất chảy ngoài V qua diện tích S. S Tóm lại: Công suất do nguồn ngoài sinh ra trong thể tích V bằng tổng công suất tiêu hao dưới tác dụng nhiệt trong V, công suất chảy ra ngoài V qua diện tích S và công suất làm thay đổi điện từ trường trong V. Đó chính là định luật bảo toàn năng lượng đối với trường điện từ. (3 điểm) Câu 2 : (3 điểm)
Trạng thái riêng quan trọng thứ 2 là từ trường do dòng điện không đổi tạo ra. Đây  là trạng thái dừng của trường điện từ: J 0, 0 t rot H J rot E 0 div D (1) div B 0 (2) D  .E B  H Tương tự như trường tĩnh điện, đối với trường dừng ta cũng có những nhận xét sau: - Điện trường và từ trường dừng không độc lập với nhau nữa mà liên tục với nhau thông qua J . - Trường dừng có rotE 0 nên điện trường dừng là một trường thế có thể đặt E grad l - Từ trường dừng có tính chất xoáy vì rotH J ( 0) nên không thể dùng thế m và có thể biểu diễn qua biến mới B rot Am (3) Vì divB divrot Am 0 trong đó Am là véc tơ thế, ta có: 2 rotrot A m  J graddiv A m  A m Để xác địnhAm đơn trị thì ta thêm một điều kiện tùy ý. Để đơn giản ta lấy 2 divAm 0  Am J (4) . Biểu thức (4) gọi là phương trình Poison cho Am . Phương trình véc tơ này tương đương với (5) phương trình sau: 2  Ax J x 2  A y J y (5) 2  Az J z (1 điểm)  J A x,y,z dV Nghiệm của phương trình (5) là mx,y,z (6) 4 V r
 J Dạng véc tơ của nó là: Am dV (7) 4 V r Biểu thức xác định B và H là:  J B rot dV (8) 4 V r 1 J H rot dV (9) 4 V r Trường hợp dòng điện chảy trong dây dẫn có thiết diện ngang nhỏ có thể bỏ qua so với chiều dài dây dẫn và khoảng cách từ dây đến điểm quan sát. Véc tơ thế lúc này có dang:  J  dl I dl Am d sdl Jd s (10) 4 l S r 4 l r S 4 l r I dl I dl Và H rot (11) hay H rot (12) 4 l r 4 l r (2 điểm) Áp dụng hằng đẳng thức véc tơ: 1 rot grad .v  rot v lấy ; v d l ta có: v r d l 1 1 rot grad .d l rotd l r r r Bởi vì trường được tính ở điểm quan sát M với tọa độ x, y, z mà dl không d l 1 phụ thuộc vào điểm M nên ro tdl 0 rot grad , và.d l r r 1 r 0 grad thay vào biểu thức (12) ta có: r r 2 I d l.r 0 H   2 (10) 4 l r
Biểu thức (10) là biểu thức dạng tích phân của định luật Biôxava. Còn dạng vi phân như sau: I d l.r 0  d H . (11) 4 r 2 Kết luận: định luật Biôxava là hệ quả của phương trình Maxwell đối với trường dừng. (3 điểm) Câu 3 : (2 điểm) Áp dụng phương trình 3 của Maxwell dạng tích phân: D d S q S Lấy S là hình trụ thẳng dài vô hạn D tại mọi điểm trên diện tích xung quanh(Sxq) của hình trụ như nhau. L Ta có: Sxq = 2лr.l (l →∞) và q = ρL.l D.Sxq = q và D.2лrl = ρL.l D 2 r Mà D = εE E L 2 r  (1 điểm) Thế tại điểm cách trục một khoảng r là: Ed r L dr M M 2 r Tương tự tại điểm cách trục một khoảng x: Điện trường: E L 2  x L Thế: Ed x dx r r 2 x 1 L ln x L ln C 2  r 2  r (2 điểm) Câu 4 : (2 điểm) E   120 Ta có  m mà  0 60 () H m  4 0 2
E 10 3 H m (A/ m) m  60 Biểu thức giá trị tức thời của cường độ từ trường: H H cos(t kt) (1) (1 điểm) 1 8 1 4 f Với k   2 f 4 0 0 và C 3.10 (m / s) k 2 f . 8  0 0 C 3.10 Biểu thức tức thời của mật độ dòng công suất trung bình là: 1  E H , với Hm có biểu thức như (1). tb 2 m m (2 điểm)
Khoa c«ng nghÖ th«ng tin céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam Bé m«n ®iÖn tö – viÔn th«ng §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc ĐỀ THI SỐ 12 Môn: Lý thuyết trường điện từ Thời gian : 90 phút Hình thức thi : Viết Câu 1 : (3 điểm) Hãy xác định điều kiện bờ đối với thành phần tiếp tuyến của véc tơ cường độ điện trường và từ trường trên bề mặt phân cách giữa hai môi trường. Câu 2 : (3 điểm) Hãy trình bày nguyên lý Huy ghen – Kiếc hốp và nguyên lý dòng tương đương về hiện tượng nhiễu xạ. Câu 3 : (2 điểm) Áp dụng định luật Biôxava để tính từ trường tạo bởi một dây dẫn mảnh có dòng điện I tại điểm cách trục một khoảng r. Câu 4 : (2 điểm) 3 Đất khô có  4 0 , 10 Ci / m(1/ m) . Hãy tìm giới hạn theo bước sóng để từ đó xem đất khô là dẫn điện và điện môi. Đáp án: Câu 1 : (3 điểm)
Áp dụng phương trình Maxwell dạng tích phân cho một hình trụ ta được kết quả sau: , ,, (D1n0 D2 n0 ) S  xq s S Để xét điều kiện bờ với thành phần tiếp tuyến của E và H ta xét 1 khung chữ nhật nhỏ ABCD vuông góc với mặt phẳng S 12. vì ABCD nhỏ nên giao tuyến ab của S12 với ABCD có thể coi là đường thẳng và trường điện từ có thể coi là không đổi khi đi từ điểm A đến điểm B và từ điểm C đến điểm D (0,5 điểm) Các vectơ đơn vị : l0 Là vectơ tiếp tuyến với mặt phân cách S12 n0 là pháp tuyến với S12 S0 Vuông góc với mặt ABCD. Điều kiện bờ đối với Eζ Áp dụng địmh luật hai ở dạng tích phân: B Edl dS l S t Lấy l làm chu vi của ABCD vế trái có thể viết thành : Edl E dl E dl E dl E dl 1 12 2 21 l AB BC CD DA Trong đó: E1 E2 là các vectơ trong môi trường (MT) 1 và môi trường 2
E12 và E21 là các vectơ vừa ở trong MT1 và MT2 Khi ∆h → 0 thì AB → ab và CD → ba BC và AD → 0 (1 điểm) Như vậy: b a b Edl E1dl E2 dl (E1 E2 )dl lim a b a S 0 l vế phải : B lim dS 0 S 0 S t b b Do đó : (E1 E2 )dl 0 (E1 E2 )dl 0 E1 E2 a a Như vây: Thành phần tiếp tuyến của vectơ cường độ điện trường không thay đổi khi đi qua bề mặt phân cách giữa hai môi trường. Thành phần tiếp tuyến của vectơ điện cảm D thay đổi hướng theo ε khi chuyển qua bề mặt phân cách : D1ζ = (ε1/ε2)D2ζ (1,5 điểm) Điều kiện bờ đối với thành phần tiếp tuyến của vectơ cường độ từ trường : Ta có : D D rotH J Hdl ( j )dS d d t l S t B B rotE Edl dS t l S t divD 0 DdS dV S V divB 0 BdS 0 S (2 điểm) Xét phương trình sau: D Hdl ( j )dS d l S t
Khi ∆h → 0 làm tươngtự như phần trước ta có: b b (٭) Hdl (H1 H 2 )dl (H1 H 2 )l0 dl lim a a h 0 l Khi đó vế phải phương trình trên là : D D (J )dS J dS dS lim d lim d lim h 0 S t h 0 S h 0 S t D Do D hữu hạn nên: lim dS 0 h 0 S t b Còn J dS J ( ) ٭٭ lim d dien h 0 S a : ta có (٭٭) và (٭) JS là vectơ mật độ dòng điện mặt từ b b (H1 H 2 )l0 dl J S l0 dl H1 H 2 J S a a Như vậy vectơ cường độ từ trường có thành phần tiếp tuyến thay đổi một lượng mật độ dòng điện mặt khi đi qua bề mặt phân cách giữa hai môi trường (3 điểm) Câu 2 : (3 điểm) 1. Nguyên lý HUYGHEN – KIẾCHỐP Nguyên lý cho ta được nghiệm của phương trình sóng thuần nhất đối với mội hàm vô hướng nào đó hoặc một thành phần vuông góc bất kỳ của vectơ cường độ điện trường. Nó được áp dụng giả bài toán nhiễu xạ gần đúng. Tìm nghiệm của phương trình sau:  2 k 2 0 Tại điểm P bất kì trong vùng V được giới hạn bởi mặt kín S. Áp dụng định lý Grin cho hàm  và     2  2 dV   dS V S n n ở đây hàm Φ là tuỳ ý, chọn sao cho e ikr  r
Ở đây r là khoảng cách từ điểm tính trường P đến điểm bất kỳ trong vùng V. tai đây Φ → ∞ khi r → 0 khi đó ta có:       dS   dS n n n n S00 S Các đạo hàm theo pháp tuyến trên S và S0 hướng ra ngoài vùng V. Do đó trên mặt S0 ta có:     ; n r n r   e ikr 1 e ikr ik n r r r r ikR0 ikR0   1 e 2 e  2 I   dS ik  4 R 4 R 0 n n R R tb 0 R r 0 S00 0 0 0 tb (1 điểm) 2. Nguyên lý dòng tương đương Giả sử các nguồn q1, q2, q3, q4, qn đặt trong vùng V giới hạn bởi mặt kín S chúng ta cần tim trường ở điểm P bất kì trong không gian V’ ngoài mặt S. Theo nguyên lý Huyghen-Kiêchôp ta có thể tính trường tại P trong V ’ của các nguồn đẵ cho qua các nguồn bức xạ nguyên tố phân bố trên mặt S tạo ra. Các nguồn nguyên tố phân bố trên mặt S được gọi là các nguồn dòng tương đương . Các thành phần tiếp tuyến của điện trường và từ trường sát bên trong mặt S bằng không. ' ' E ngS H ngS 0 (1)
Theo nguyên lý nghiệm duy nhất, mốn để nguồn đã cho và trường của nguồn dòng tương đương tạo ra ở điểm P trong vùng V ’ trung với nhau phải có điều kiện là: các thành phần tiếp tuyến của cường độ điện trường và từ trường của hai trường này trên mặt S ở phía bên ngoài phải bằng nhau và chúng khác không: E’τng = Eτng ≠ 0 H’τng = Hτng ≠ 0 (2) (2 điểm) Từ biểu thức (1)và (2)chúng ta thấy các thành phần tiếp tuyến của cường độ trường của nguồn dòng tương đương biến đổi nhảy vọt từ 0 sang khác không khi qua mặt giới hạn S. Tồn tại dòng điện mặt IS và từ mặt ISM: I n H S  0 ng S I n E (3) SM  0 ng S ở đây n0 là vectơ đơn vị pháp tuyến ngoài của mặt giới hạn S. Áp dụng phương pháp thế điện động chúng ta tìm được biểu thức cho các thế chậm vectơ điện và ’ từ do các nguồn dòng tương đương IS và ISM trên S tạo ra tai điểm P trong V lúc đó ta có: ikr ikr  I Se  ' e (4) Ae dS n H ng dS  0  4 S r 4 S r ikr ikr  I SM e  ' e AM dS n E ng dS  0  4 S r 4 S r Trong công thức (4) các tham số như ε, μ và số sóng k phải tính trong môi trường ở vùng không gian ngoài V’ Các biểu thức (3) và (4) là biểu thức nguyên lý dòng tương đương của trường điện từ. Nguyên lý này được ứng dụng để giải bài toán nhiễu xã sóng điện từ rất lợi. (3 điểm) Câu 3 : (2 điểm) Áp dụng định luật Biôxava(Định luật Ampe)
I dl.r H  0  2 4 l r Mà ta códl.r0  dl sin .i . Từ đây ra suy ra: I dl sin H .i 4 r 2 d O M d Từ hình vẽ ta thấy r sin l r (1 điểm) I sin H dl (1) Idl 4 d 2 l ( ) sin l 1 dl d vacot g d dl d (2) d sin 2 d sin 2 Khi l biến đổi từ -∞ → +∞ thì biến đổi từ 0 đến л. Thay (2) vào (1) ta có: I sin d I sin I I H . d d cos 2 4 d 2 sin 4 d 4 2 d 0 ( ) 0 0 sin (2 điểm) Câu 4 : (2 điểm)  Ta có:   j (  hằng số phức tuyệt đối) p  p * * J dân  E * * J dân  J dich j E (j 1 ) J dich  Tỷ số giữa phần ảo và phần thực của εp chính là tỷ số giữa dòng điện dẫn và dòng điện dịch (dòng điện dịch chảy trong điện môi, còn dòng điện dẫn di chuyển trong kim loại).   - Nếu  (hay 1) thì đất có tính chất của chất điện môi     - Nếu  (hay 1) thì đất có tính chất dẫn điện.  
(1 điểm) Giới hạn theo bước sóng để từ đó xem đất khô là dẫn điện hay điện môilà:     hay 1 hay 1   4 0  60 1 1 2 Mà  60 = (2/3).10 1  3 (m)  0 4 15 15.10  càng lớn thì đất càng có tính dẫn điện hơn Từ đây ta có thể kết luận là: - Với λ > (2/3).102 m thì đất có tính dẫn điện. - Với λ < (2/3).102 m thì đất có tính điện môi. (2 điểm) Khoa c«ng nghÖ th«ng tin céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam Bé m«n ®iÖn tö – viÔn th«ng §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc ĐỀ THI SỐ 13 Môn: Lý thuyết trường điện từ Thời gian : 90 phút Hình thức thi : Viết Câu 1 : (3 điểm) Hãy trình bày về hệ phương trình Maxwell dạng biên độ phức. Câu 2 : (3 điểm) Trình bày về trường tĩnh điện. Câu 3 : (2 điểm)
Có dòng điện không đổi I chảy theo dây dẫn hình trụ tròng bán kính a. Hãy tìm cường độ trường tại điểm bất kỳ cách trục dây dẫn 1 khoảng r cho hai trường hợp r>a và r b. Đáp án: Câu 1 : (3 điểm) Trong thực tế thường gặp các dao động điều hòa. Mặt khác 1 dao động điều hòa không phải là điều hòa thì bằng phép biến đổi Fourier bao giờ cũng có thể phân tích thành tổng của các dao động điều hòa. Vì vậy việc nghiên cứu trường điều hòa như một tập hợp riêng của trường điện từ là rất cần thiết. Cho dao động điều hòa: A Am cos(t ). Ta đã biết phương pháp biên độ phức làm cho phương trình phân tích các dao động điều hòa trở nên đơn giản đi rất nhiều. Sử dụng phương pháp biên độ phức ta đưa vào phương trình trên như sau: j(t ) A Am.e j jt A Ame e jt A Am e
(1 điểm) j Trong đó: Am Ame : Biên độ phức của véc tơ A Áp dụng định công thức ơle: e j(t ) cos(t ) j sin(t ) Ta có: A Re(A) Như vậy đối với trường điều hòa tương ứng với các véc tơ E ,D ,B ,H , J, ta có dạng biên độ phức tương ứng Em ,Dm ,B m ,H m , J m , m . 1. Hệ phương trình Maxwell ở dạng biên độ phức - Phương trình 1: E rotH  J 0 t d Sử dụng phương pháp biên độ phức ta đưa vào ký hiệu: jt E E m e jt H H m e jt J d J m e (2 điểm) Thay vào phương trình 1 của Maxwell ta có: jt  jt jt rot H m e  (E m e ) J m e 0 t jt jt jt rot H m e j 0 .E m .e J m e rot H m j 0 . E m J m - Tương tự với các phương khác ta có được hệ phương trình Maxwell dạng biên độ phức:
rot H m j 0 . E m J m rot E m j.H m Div D m m Div B m 0 (3 điểm) Câu 2 : (3 điểm) Trường tĩnh điện là trường được tạo ra bởi các điện tích đứng yên và không đổi theo thời gian. rotE 0  Hay J = 0; 0 divD (1) t D .E Trường tĩnh điện là 1 trường thế ngoài có rotE 0 nên có thể biểu diễn  qua 1 biến mới E grad l (2) ( vì thế rotE rot(grad ) 0 ). 0 t Thế φ của trường điện tĩnh theo (2) có thể xác định bằng biểu thức: Edl (3) (1 điểm) Công A của trường tĩnh điện theo 1.18 được thực hiện khi di chuyển 1 điện tích điểm(+) q = 1C từ điểm M1 đến điểm M2 là: M 2 M 2 A Fdl Edl (M1 ) (M 2 ) (4) M1 M1 Trong đó , là thế của trường tĩnh điện tại M M (M1 ) (M 2 ) 1, 2. E d l ; E d l ; ( M 1 ) ( M 2 ) M 1 M 2 Edl 0 ( Tích phân theo đường cong L khép kín)
divD divE divgrad Ta có:   (5) Ta có: grad  ; divv v  2  (6) Phương trình (6) gọi là phương trình Poison. Phương trình này liên hệ thế và điện tích tại một điểm bất kỳ của trường. 2 - Tại những điểm mà ở đó mật độ điện trường bằng không thì ta có  0, phương trình (6) trở thành phương trình Laplas. 1 ( )dV Giải phương trình Poison có nghiệm: r (7) 4  V r là khoảng cách từ điểm tính trường đến vi phân thể tích dV. (2 điểm) - Đối với điện tích điểm ta có: q 4 ..r (8) Ta có: 1 E grad grad dV 4  V r 1 E grad dV V 4  r 1 1 r 0 r grad gradr r r 2 r 2 r 3 1 E rdV Ta được: 3 (9) 4 V r Trường hợp điện tích điểm ta có: r E .q (10) 4 r 3 Nếu đưa vào trường của điện tích q một điện tích thử q1, ta có:
qq1 F q E r (11) 1 4 r 3 Biểu thức (11) chính là định luật Culông. Vì vậy định luật Culông là hệ quả của phương trình Maxwell đối với trường tĩnh điện. (3 điểm) Câu 3 : (2 điểm) Áp dụng định luật dòng điện toàn phần của Ampe n H d l I  i L i 1 Lấy L là chu vi của đường tròn bán kính r. Do tính chất đối xứng nên H tại mọi điểm trên đường cong L là như nhau. n H d l H .2 r I  i L i 1 (1 điểm) n I - Trường hợp r>a:  I i I H i 1 2 r n I r 2 Ir I J r 2 r 2 I H - Trường hợp r b thì  I i I I 0 H 0 i 1 I I 2b
n - Trường hợp a≤ r ≤b thì  I i I i 1 I H.2 r I H (2 điểm) 2 r Khoa c«ng nghÖ th«ng tin céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam Bé m«n ®iÖn tö – viÔn th«ng §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc ĐỀ THI SỐ 14 Môn: Lý thuyết trường điện từ Thời gian : 90 phút Hình thức thi : Viết Câu 1 : (3 điểm) Trình bày về hằng số điện môi phức và góc tiêu hao điện môi trong trường điều hòa. Câu 2 : (3 điểm) Hãy trình bày về hiệu ứng bề mặt vật dẫn. Câu 3 : (2 điểm) Cho một hình cầu tích điện bán kính là a. Giả sử điện tích phân phố đều trên bề 2 mặt của nó với mật độ điện tích mặt ρ s = Q/4лa . Tính cường độ điện trường tại những điểm ở ngoài và ở trong hình cầu. Câu 4 : (2 điểm) Cho tham số điện của đất khô: Hằng số điện môi tương đối  4 Độ dẫn điện riêng δ = 10-3 1/Ωm. Chứng tỏ rằng đối với sóng cực dài( λ = 104 → 105 m) thì mặt đất có tính dẫn điện tốt hơn, còn đối với sóng cực ngắn(λ = 10-3 → 10 m)thì mặt đất có tính dẫn điện kém.
Đáp án: Câu 1 : (3 điểm) - Từ phương trình 1 của Maxwell dạng biên độ phức: rot H m j 0 .E m J m J ngm Và ta có J m .E m rot H m j 0 . E m  . E m J ngm  rot H m j( 0 j ) E m J ngm  rot H m J   p . E m J ngm  Trong đó : làp hằng  số điệnj môi phức tuyệt đối của môi  trường  p   p  j là hằng số điện môi phức tương đối của môi trường.  0  c   j60 ( 2 f ; p f  Có thể chứng minh rằng tỷ số giữa phần ảo và phần thực của  p là : là  tỷ số điện dẫn và điện dịch, nó đặc trưng cho tiêu hao trong môi trường điện môi.  Đặt tg = ;  là góc tiêu hao điện môi  Nếu là chất điện môi: tg 100 Bán dẫn 0,01 < tg <100 (3 điểm)
Câu 2 : (3 điểm) Trong vật dân điện tốt (σ >>1) ta có :   (1) 2 Khi σ rât lớn thì α cũng rất lớn dẫn đến suy giảm càng nhiều, ta thấy biên độ cường độ trường suy giảm rất nhanh khi truyền vào trong vật dẫn. Nghĩa là sóng điện từ chỉ tồn tại ở một lớp rất mỏng sát bề mặt của vật dẫn điện tốt. Khi cho dòng điện cao tần chảy trong vật dẫn điện tốt người ta cũng thấy dòng điện này chỉ tồn tại trên một lớp theo định luật Ôm. Jd = σE đối với dạng khảo sát: -αz -jβz E=Eme e -αz -jβz -αz -jβz Jd =σ Eme e =J0e e (2) J0 là mật độ dòng chên bề mặt vật chất J0 = σEm (1 điểm) Mật độ dòng điện sẽ giảm dần khi đi vào sâu trong vật dẫn theo quy luật giống như biên độ cường độ điện trường Hiện tượng sóng điện từ hay sóng điện cao tân khi truyền trong vật dẫn điện tốt chỉ tập chung ở một lớp rất mỏng trên bề mặt của nó gọi là hiệu ứng bề mặt, hay hiệu ứng Skin Để đặc trưng cho hiệu ứng bề mặt người ta đưa vào khai niệm độ thấm sâu của trường hay độ sâu thâm nhập của trường ∆, đó là khoảng cách mà ứng với nó biên độ cường độ trường suy giảm đi e lần: e ≈2,718 z Eme Ta có : (z ) e Eme eα∆ = e suy ra ∆ = 1/α 1 2  (2 điểm) Hiệu ứng bề mặt được áp dụng trong thực tế (mạ vàng, bạc), khi làm giảm tiêu hao khi truyền sóng điện từ người ta chỉ mạ một lớp mỏng vàng hoặc bạc lên bề mặt kim loại.
Khi tính toán các bài toán người ta thấy khái niệm trở kháng mặt của kim loại: ZS = RS + ρXS  RS là trở đặc trưng cho công suất tiêu hao R S 2 XS là cảm kháng của mặt riêng ZS  2 Vận tốc pha: V pha p  (3 điểm) Câu 3 : (2 điểm) Áp dụng phương trình 3 của Maxwell dạng tích phân: D d S q S Lấy S là mặt cầu bán kính a. Do tính chất đối xứng nên D tại mọi điểm trên hình cầu là như nhau D d S D .4 r 2 S (1 điểm) a) Xét trường hợp thứ nhất: Điểm M ở ngoài hình cầu(r>a) Ta có: q = Q 2 2 D.4 л r = Q = ρS.4 лa 2 2 D = ρS.(a /r ) b) Trường hợp thứ hai: Điểm M ở trong hình cầu(r<a) Ta có: q = 0, D = 0. (2 điểm) Câu 4 : (2 điểm) Ta có hằng số điện môi phức tương đối của đất được biểu diễn như sau:  p  j60  đặc trưng cho tính chất điện môi 60 đặc trưng cho tính chất dẫn điện.
Ta thấy  càng lớn thì đất càng có tính dẫn điện hơn. (1 điểm) - Với λ = 104m thì 60 60.104.10 3 600  4 . Từ đây ta suy ra được đất có tính dẫn điện tốt. Vậy với sóng cực dài λ = 104 → 105 m thì đất có tính dẫn điện tốt. - Với λ = 10 m 60 60.10.10 3 0,06  4 đất có tính dẫn điện kém Vậy với λ = 10-3 → 10 m đất có tính dẫn điện kém. (2 điểm) Khoa c«ng nghÖ th«ng tin céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam Bé m«n ®iÖn tö – viÔn th«ng §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc ĐỀ THI SỐ 15 Môn: Lý thuyết trường điện từ Thời gian : 90 phút
Hình thức thi : Viết Câu 1 : (3 điểm) Trình bày phương trình 3 và 4 của Maxwell và ý nghĩa vật lý của chúng. Câu 2 : (3 điểm) Trình bày về từ trường của dòng điện không đổi. Câu 3 : (2 điểm) Tính trường và thế tạo ra bởi một trục tích điện có mật độ điện tích dài là ρ L, tại điểm cách trục 1 khoảng r. Câu 4 : (2 điểm) Trong nửa không gian ứng với tọa độ z>0 là môi trường dẫn điện, cụ thể là kim 7 loại đồng có độ dẫn điện riêng  5,8.10 (1/ m); 0 ; 0  0 , theo phương trục z truyền một sóng thẳng đồng nhất với tần số f = 105Hz. Hãy xác định vận tốc pha, bước sóng, trở kháng sóng, hệ số suy giảm và độ thấm sâu của trường(∆) trong kim loại đồng của sóng. Biên độ cường độ trường sẽ giảm đi bao nhiêu lần so với bề mặt kim loại khi sóng đi sâu vào được một khoảng d = 1mm. Đáp án: Câu 1 : (3 điểm) Maxwell coi định luật Gauss và nguyên lý liên tục của từ thông áp dụng cho cả trường hợp điện trường và từ trường là tĩnh, không đổi cũng như với trường hợp tổng quát của điện từ trường biến thiên theo thời gian. Ta có: DdS dV Q (1) S V divBdV 0 (2) V
Vì thể tích V là tuỳ ý nên nhận được các phương trình Maxwell thứ 3 và thứ 4 như sau:divD (3) divB 0 (4) (1 điểm) Để tiện cho việc theo dõi, ta viết phương trình Maxwell thành hai dạng sau: Dạng tích phân: D Hdl JdS dS t l S S B Edl dS l S t (5) Ddl dV Q S V BdS 0 S Dạng vi phân: D rotH J t B rotE (6) t divD  divB 0 (2 điểm) Ý nghĩa vật lý của phương trình 3 và 4 của Maxwell: ≠ 0:D itavD thấy đường sức của điện trường là những đường cong không khép kín mà có điểm đầu tại điện tích +q, điểm cuối tại –q. DivD = 0: điện trường sinh ra chỉ do sự biến thiên của từ trường. Đường sức của nó hoặc khép kín hoặc tiến ra vô cực.  D đườngivB 0sức của từ trường vừa khép kín vừa tiến xa vô cực. (3 điểm) Câu 2 : (3 điểm)
Trạng thái riêng quan trọng thứ 2 là từ trường do dòng điện không đổi tạo ra. Đây  là trạng thái dừng của trường điện từ: J 0, 0 t rot H J rot E 0 div D (1) div B 0 (2) D  .E B  H Tương tự như trường tĩnh điện, đối với trường dừng ta cũng có những nhận xét sau: - Điện trường và từ trường dừng không độc lập với nhau nữa mà liên tục với nhau thông qua J . - Trường dừng có rotE 0 nên điện trường dừng là một trường thế có thể đặt E grad l - Từ trường dừng có tính chất xoáy vì rotH J ( 0) nên không thể dùng thế m và có thể biểu diễn qua biến mới B rot Am (3) Vì divB divrot Am 0 trong đó Am là véc tơ thế, ta có: 2 rotrot A m  J graddiv A m  A m Để xác địnhAm đơn trị thì ta thêm một điều kiện tùy ý. Để đơn giản ta lấy 2 divAm 0  Am J (4) . Biểu thức (4) gọi là phương trình Poison cho Am . Phương trình véc tơ này tương đương với (5) phương trình sau: 2  Ax J x 2  A y J y (5) (1 điểm) 2  Az J z  J A x,y,z dV Nghiệm của phương trình (5) là mx,y,z (6) 4 V r
 J Dạng véc tơ của nó là: Am dV (7) 4 V r Biểu thức xác định B và H là:  J B rot dV (8) 4 V r 1 J H rot dV (9) 4 V r Trường hợp dòng điện chảy trong dây dẫn có thiết diện ngang nhỏ có thể bỏ qua so với chiều dài dây dẫn và khoảng cách từ dây đến điểm quan sát. Véc tơ thế lúc này có dang:  J  dl I dl Am d sdl Jd s (10) 4 l S r 4 l r S 4 l r I dl I dl Và H rot (11) hay H rot (12) 4 l r 4 l r (2 điểm) Áp dụng hằng đẳng thức véc tơ: 1 rot grad .v  rot v lấy ; v d l ta có: v r d l 1 1 rot grad .d l rotd l r r r Bởi vì trường được tính ở điểm quan sát M với tọa độ x, y, z mà dl không d l 1 phụ thuộc vào điểm M nên ro tdl 0 rot grad , và.d l r r 1 r 0 grad thay vào biểu thức (12) ta có: r r 2 I d l.r 0 H   2 (10) 4 l r
Biểu thức (10) là biểu thức dạng tích phân của định luật Biôxava. Còn dạng vi phân như sau: I d l.r 0  d H . (11) 4 r 2 Kết luận: định luật Biôxava là hệ quả của phương trình Maxwell đối với trường dừng. (3 điểm) Câu 3 : (2 điểm) Áp dụng phương trình 3 của Maxwell dạng tích phân: D d S q S Lấy S là hình trụ thẳng dài vô hạn D tại mọi điểm trên diện tích xung quanh(Sxq) của hình trụ như nhau. L Ta có: Sxq = 2лr.l (l →∞) và q = ρL.l D.Sxq = q và D.2лrl = ρL.l D 2 r Mà D = εE E L (1 điểm) 2 r  Thế tại điểm cách trục một khoảng r là: Ed r L dr M M 2 r Tương tự tại điểm cách trục một khoảng x: Điện trường: E L 2  x L Thế: Ed x dx r r 2 x 1 L ln x L ln C 2  r 2  r (2 điểm) Câu 4 : (2 điểm)  2 f .4 .10 7.5,8.107 Ta có  lớn nên  4782,7 2 2
 2 f 2 .105 Vận tốc pha: v 560,4 pha   1120,7 v 560,4 Mà  pha 5,604.10 3 f 105 0 Và Z C 120  0 2 2,09.10 4 2 f .4 .10 7.5,8.107 (1 điểm) z Ta có: E Em .e cos(t z) (1) mà trên bề mặt thì z = 0 nên biên độ của phương trình (1) là Em. Khi sóng đi sâu một đoạn d = 1mm, lúc đó biên độ của phương trình (1) là d Em .e Em d 10 3. biên độ sóng suy giảm: d e lân e 119 lần Em .e (2 điểm)