Luận văn Tính toán mối hàn bằng phương pháp phần tử hữu hạn (Phần 1)

Nội dung text: Luận văn Tính toán mối hàn bằng phương pháp phần tử hữu hạn (Phần 1)

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ NGUYỄN QUỐC TUẤN TÍNH TOÁN MỐI HÀN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN NGÀNH: KỸ THUẬT CƠ KHÍ CHẾ TẠO MÁY - 605204 S KC 0 0 0 2 6 9 Tp. Hồ Chí Minh, 2005
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ NGUYỄN QUỐC TUẤN TÍNH TOÁN MỐI HÀN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Chuyên ngành: Công nghệ Chế tạo máy. Mã số ngành: 605204 Người hướng dẫn: GS.TSKH Nguyeãn Ñaêng Höng Người đồng hướng dẫn: TS Nguyễn Hoài Sơn Tp. Hồ Chí Minh, 2005
3. LÔØI CAÛM ÔN Vôùi thôøi gian haïn heïp, khoái löôïng coâng vieäc töông ñoái nhieàu, lónh vöïc ñang nghieân cöùu ôû Vieät Nam chöa ñöôïc phaùt trieån. Tuy nhieân vôùi söï giuùp ñôõ cuûa thaày höôùng daãn chính vaø ñaëc bieät laø thaày höôùng daãn Nguyeãn Hoaøi Sôn. Ngöôøi ñaõ ñònh höôùng vaø cung caáp nhöõng thoâng tin, kieán thöùc boå ích ñeå toâi hoaøn thaønh taäp luaän vaên naøy. Toâi xin chaân thaønh caûm ôn GS.TSKH Nguyeãn Ñaêng Höng ngöôøi höôùng daãn chính, GVC. TS Nguyeãn Hoaøi Sôn ngöôøi ñoàng höôùng daãn ñaõ theo saùt trong quaù trình thöïc hieän. 1
4. MUÏC LUÏC Trang Chöông 1: Toång quan 3 1.1 Tình hình nghieân cöùu ngoaøi nöôùc 3 1.2 Tình hình nghieân cöùu trong nöôùc. 3 1.3 Tính khoa hoïc, thöïc tieãn ñeà taøi. 4 1.4 Muïc tieâu, phöông phaùp nghieân cöùu ñeà taøi. 4 1.5 Keát luaän. 10 Chöông 2: Cô sôû lyù thuyeát 11 2.1 Vaán ñeà öùng suaát dö vaø bieán daïng dö trong moái haøn. 11 2.2 Thieát laäp phaàn töû cô nhieät 2 D. 12 2.3 Keát luaän. 22 Chöông 3: Caáu truùc döõ lieäu vaø sô ñoà phaàn töû höõu haïn vôùi Matlab 23 3.1 mieàn hình hoïc 23 3.2 Caáu truùc döõ lieäu cuûa mieàn 24 3.3 Giaûi thuaät phaùt sinh löôùi 24 3.4 Giaûi thuaät tính toaùn ,laép gheùp treân mieàn 25 3.5 Giaûi thuaät maõ hoùa baäc töï do cuûa mieàn trong toaøn keát caáu 25 3.6 Giaûi thuaät laép gheùp mieàn vaøo toaøn keát caáu 25 3.7 Giaûi thuaät khai baùo taûi troïng taäp trung treân nuùt vaø taûi troïng phaân boá treân caïnh 26 3.8 Giaûi thuaät aùp ñaët ñieàu kieän bieân treân nuùt vaø treân caïnh 26 3.9 Giaûi thuaät giaûi heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính 26 Chöông 4: Tính moät soá moái haøn baèng phöông phaùp phaàn töû höõu haïn 28 4.1 Moái haøn choàng. 28 4.2 Moái haøn goùc 31 4.3 Moái haøn giaùp noái 42 4.4 Moái haøn phöùc taïp. 49 4.5 Keát luaän 52 Chöông 5: Keát luaän vaø höôùng phaùt trieån cuûa ñeà taøi 53 4.1 Keát luaän veà caùc keát quaû ñaït ñöôïc. 53 4.2 Höôùng phaùt trieån ñeà taøi. 54 2
5. Chöông 1: TOÅNG QUAN 1.1 Tình hình nghieân cöùu ngoaøi nöôùc: Moái gheùp baèng haøn coù nhieàu öu ñieåm neân ñöôïc duøng ngaøy caøng roäng raõi trong caùc ngaønh coâng nghieäp. Trong quaù trình haøn, caùc chi tieát ñöôïc ñoát noùng cuïc boä cho tôùi nhieät ñoä noùng chaûy hoaëc deûo vaø gaén laïi vôùi nhau nhôø löïc huùt giöõa caùc phaàn töû kim loaïi. Hieän nay treân theá giôùi, coù nhieàu phöông phaùp haøn khaùc nhau tuy nhieân ta coù theå phaân theo caùc nhoùm phöông phaùp haøn nhö sau: - Caùc phöông phaùp haøn ñieän, bao goàm caùc phöông phaùp duøng ñieän naêng bieán thaønh nhieät naêng ñeå cung caáp cho quaù trình haøn nhö laø: Haøn hoà quang, haøn ñieän tieáp xuùc - Caùc phöông phaùp haøn cô hoïc: Bao goàm caùc phöông phaùp söû duïng cô naêng ñeå laøm bieán daïng kim loaïi taïi caùc khu vöïc caàn haøn vaø taïo ra lieân keát haøn nhö laø: Haøn nguoäi, haøn ma saùt, haøn sieâu aâm - Caùc phöông phaùp haøn hoùa hoïc: Bao goàm caùc phöông phaùp söû duïng naêng löôïng do caùc phaûn öùng hoùa hoïc taïo ra ñeå cung caáp cho quaù trình haøn nhö laø: Haøn khí, haøn hoùa nhieät Hieän nay treân theá giôùi ñaõ söû duïng haøn ñeå cheá taïo nhieàu saûn phaåm khaùc nhau nhö laø cheá taïo noài hôi, oáng bình chöùa, söôøn nhaø, taøu thuyeàn, thaân maùy bay, voû maùy, teân löûa, toa xe, oâtoâ vaø ngay caû ñeán taøu vu haønh vuõ truï. Noùi chung, nhöõng boä phaän maùy coù hình daùng phöùc taïp phaûi chòu löïc töông ñoái lôùn, maø laïi phaûi moûng ñeàu phaûi cheá taïo baèng phöông phaùp haøn. Ñeå tính toaùn moái haøn ngöôøi ta duøng nhöõng coâng thöùc trong söùc beàn vaät lieäu nhöng ñoái vôùi nhöõng chi tieát phöùc taïp thì gaëp khoù khaên. Vaøo cuoái nhöõng naêm 50 ñaõ xuaát hieän yù töôûng cuûa phöông phaùp phaàn töû höõu haïn vaø nhôø vaøo söï phaùt trieån cuûa maùy tính ñaëc bieät laø Myõ maø töø ñoù phöông phaùp phaàn töû höõu haïn phaùt trieån raát nhanh, cuï theå laø caùch ñaây khoaûng 40 naêm caùc nhaø khoa hoïc Myõ ñaõ duøng phöông phaùp phaàn töû höõu haïn ñeå tính toaùn thaân maùy bay Boeing. Töø ñoù trôû ñi caùc nhaø laäp trình haøng ñaàu theá giôùi thieát laäp, naâng caáp, caäp nhaät thöôøng xuyeân vaø hoaøn thieän daàn nhö: SAP, ANSYS, COSMOS, NASTRAN, 1.2 Tình hình nghieân cöùu trong nöôùc: Trong nhöõng phöông phaùp haøn thì phöông phaùp haøn hoà quang tay, haøn khí, haøn hoà quang döôùi lôùp thuoác baûo veä vaø trong moâi tröôøng khí baûo veä ñöôïc öùng duïng phoå bieán nhaát ôû nöôùc ta, caùc phöông phaùp naøy coù chi phí khoâng cao. Haøn ñöôïc duøng trong cô khí nhö cheá taïo taøu, voû maùy, vaø trong xaây döïng nhö laø thieát keá caùc daøn xöôûng coâng nghieäp. Tröôùc ñaây vieäc tính toaùn moái haøn thöôøng raát haïn cheá chæ tính ñöôïc caùc lieân keát thoâng duïng quen thuoäc maø ta söû duïng caùc coâng thöùc trong taøi lieäu chi tieát maùy ôû phaàn 3
6. gheùp baèng haøn, nhöng gaàn ñaây ñaõ duøng phöông phaùp phaàn töû höõu haïn ñeå tính toaùn nhôø söï trôï giuùp cuûa maùy tính coù theå tính toaùn ñöôïc caùc lieân keát haøn coù bieân daïng baát kyø maø tröôùc ñoù chöa laøm ñöôïc. ÔÛ nöôùc ta taïi caùc vieän nghieân cöùu, caùc Tröôøng Ñaïi hoïc cuõng daàn daàn aùp duïng phöông phaùp phaàn töû höõu haïn ñeå tính toaùn cho caùc baøi toaùn cô hoïc noùi chung, lieân keát moái gheùp baèng haøn noùi rieâng. Vaø cuõng ñöa vaøo söû duïng nhöõng phaàn meàm tính toaùn cô hoïc nhö: SAP2000, ANSYS ñeå thieát keá caùc keát caáu, chi tieát, thöïc chaát caùc phaàn meàm naøy ñöôïc xaây döïng nhö treân nguyeân lyù cuûa phöông phaùp phaàn töû höõu haïn. Cuï theå laø taïi xöôûng ñoùng taøu Vieät nam ñaõ duøng phaàn meàm SAP2000, ANSYS ñeå tính toaùn noäi löïc trong heä keát caáu cuõng nhö caùc moái haøn ñeå thieát keá caùc chieác taøu. 1.3 Tính khoa hoïc, thöïc tieãn cuûa ñeà taøi: Haøn tieát kieäm ñöôïc kim loaïi do söû duïng maët caét laøm vieäc cuûa chi tieát haøn trieät ñeå hôn so vôùi taùn ri veâ, bu long. Söû duïng haøn trong xaây döïng nhaø cao cho pheùp giaûm 15% trong löôïng söôøn,keøo, ñoàng thôøi vieäc cheá taïo vaø laép raùp chuùng cuõng ñöôïc giaûm nheï, ñoä cöùng cuûa keát caáu cuõng taêng , giaûm ñöôïc thôøi gian vaø giaù thaønh cheá taïo keát caáu. Haøn cuõng coù naêng suaát cao so vôùi caùc phöông phaùp khaùc do giaûm ñöôïc soá löôïng nguyeân coâng, giaûm ñöôïc cöôøng ñoä lao ñoäng vaø taêng ñoä beàn chaéc cuûa keát caáu, haøn coù theå noái ñöôïc caùc kim loaïi coù tính chaát khaùc nhau, thieát bò haøn töông ñoái ñôn giaûn vaø deã cheá taïo. Vieäc tính toaùn moái gheùp baèng haøn baèng phöông phaùp phaàn töû höõu haïn, cuõng nhö caùc phaàn meàm tính toaùn cô hoïc nhö SAP2000, ANSYS seõ coù keát quaû chính xaùc vaø ñoàng thôøi cuõng coù theå moâ phoûng ñoà hoïa cuûa chi tieát, keát caáu sau khi chòu taûi troïng taùc duïng. Ñieàu ñoù raát thuaän tieän veà maët khoa hoïc trong vieäc thieát keá moái gheùp baèng haøn noùi rieâng vaø keát caáu noùi chung.Tröôùc daây chæ tính ñöôïc caùc lieân keát haøn ñôn giaûn döïa vaøo taøi lieäu chi tieát maùy.Trong ñeà taøi naøy ta choïn phöông phaùp soá ñeå tính toaùn lieân keát haøn cuï theå laø phöông phaùp phaàn töû höõu haïn,phöông phaùp naøy coù hieäu quaû hôn so vôùi phöông phaùp tính toaùn döïa taøi lieäu chi tieát maùy ôû choã laø coù theå tính toaùn ñöôïc caùc bieân daïng haøn phöùc taïp baát kyø,keát quaû thu ñöôïc ñaùng tin caäy 1.4 Muïc tieâu, phöông phaùp nghieân cöùu ñeà taøi: Ta chia nhoû keát caáu haøn thaønh caùc phaàn töû, sau ñoù tính chuyeån vò taïi caùc nuùt cuûa heä vaø tìm öùng suaát hieäu duïng vonmises treân caùc phaàn töûù. Nhöng ôû ñaây ta caàn quan taâm ñeán phaàn töû taïi choã haøn vì taïi ñoù chính laø nôi bò phaù hoaïi khi keát caáu haøn chòu löïc taùc duïng. 2 2 2 σ vm = σ 1 + σ 2 + σ 3 −σ 1σ 2 −σ 2σ 3 −σ 3σ 1 Sau ñoù tìm öùng suaát trong caû heä,roài so saùnh öùng suaát naøy vôùi öùng suaát cho pheùp cuûa moái haøn [σ]. Khi tính xong kieân keát moái haøn baèng phöông phaùp phaàn töû höõu haïn ta laáy keát quaû naøy so vôùi caùch tính trong taøi lieäu chi tieát maùy: Theo tính toaùn trong taøi lieäu chi maùy: 4
7. a) – Moái haøn giaùp noái. b) – Moái haøn choàng. c) – Moái haøn goùc a. Moái haøn giaùp noái: Moái haøn giaùp moái raát ñöôïc thoâng duïng vì noù ñôn giaûn vaø ñaûm baûo hôn caùc loaïi moái haøn khaùc. Tuøy theo beà daøy cuûa caùc thaønh phaàn gheùp, coù theå haøn theo caùc phöông aùn trình baøy treân hình 2.1 sau F F b δ < 8mm F F 0 60 ÷ 70 δ < 16mm 60 ÷ 700 δ < 40mm Hình 1.1: Caùc phöông aùn haøn ™ Giaùp moái thaúng goùc: Ñoái vôùi ñöôøng haøn giaùp moái, vì caùc thaønh phaàn ñöôïc haøn laïi thaønh moät theå nhö nguyeân veïn cho neân trong tính toaùn cuõng aùp duïng caùc coâng thöùc duøng cho caùc chi tieát maùy nguyeân veïn. Ñöôøng haøn giaùp moái ñöôïc xem nhö phaàn töû keùo daøi cuûa theùp cô baûn neân caùch tính gioáng nhö theùp cô baûn F σ ' = ≤ []σ ' k δ.l k Hoaëc theo öùng suaát neùn: 5
8. F σ ' = ≤ []σ ' n δ.l n F F δ l Hình 1.2: Moái haøn giaùp moái chòu keùo Trong ñoù: ' ' σ k , σ n : ÖÙng suaát tính toaùn moái haøn khi keùo vaø neùn F : Taûi troïng keùo hoaëc neùn caùc chi tieát gheùp δ : Chieàu daøy nhoû nhaát trong caùc chi tieát gheùp L : Chieàu daøi moái haøn ' ' [σ k ], [σ n ] : ÖÙng suaát cho pheùp moái haøn khi keùo vaø neùn. ™ Ñöôøng haøn giaùp moái xieân goùc: Khi ñöôøng haøn giaùp moái thaúng goùc khoâng ñuû khaû naêng chòu löïc, coù theå taêng tieát dieän ñöôøng haøn baèng caùch söû duïng ñöôøng haøn xieân. Ñöôøng haøn giaùp moái xieân goùc chòu caû hai löïc: Löïc phaùp tuyeán vaø löïc caét δ τ’ F F α σ ’k Hình 1.3: Moái haøn giaùp moái xieân goùc chòu keùo Ñieàu kieän beàn: 6
9. F.sinα σ ' = ≤ []σ ' k δ.l k F.cosα τ ' = ≤ []τ ' δ.l ' ' [σ k ], [τ ]: ÖÙng suaát cho pheùp moái haøn khi chòu keùo vaø caét. b. Moái haøn choàng: - Moái haøn doïc. - Moái haøn ngang. - Moái haøn xieân. Ñoái vôùi moái haøn choàng ta tính theo öùng suaát caét naèm treân maët phaúng phaân giaùc goùc vuoâng maët caét ngang cuûa moái haøn. ™ Moái haøn ngang: Moái haøn ngang chòu taùc duïng cuûa löïc keùo nhö hình 1.4 L 0 c ≥ 4δ k L 0 k F l F Hình 1.4: Moái haøn ngang Ñieàu kieän beàn: F τ = ≤ []τ ' 2.()0.7kl ™ Moái haøn doïc: Moái haøn doïc chòu taùc duïng cuûa löïc keùo nhö hình 1.5 7
10. F k l ≤ 50k Hình 1.5: Moái haøn doïc Ñieàu kieän beàn: F τ = ≤ []τ ' 2.()0.7kl Trong ñoù: τ ' : ÖÙng suaát tính toaùn trong moái haøn l : Chieàu daøi moái haøn [τ ' ] : ÖÙng suaát caét cho pheùp cuûa moái haøn k : Beà roäng caïnh haøn ™ Moái haøn xieân: Hình 1.6 F F α Hình 1.6: Moái haøn choàng daïng Moái haøn xieân Ñieàu kieän beàn: F τ = ≤ [τ ' ] ()0.7kl 8
11. c. Moái haøn goùc: Coù hai loaïi - Kieåu chöõ k - Moái haøn goùc kieåu haøn 2 beân Moái haøn goùc duøng ñeå gheùp caùc chi tieát maùy coù beà maët vuoâng goùc vôùi nhau. ™ Moái haøn chöõ K: Chòu keùo nhö hình 1.7 F l L 0 k δ k Hình 1.7: Moái haøn chöõ K Ñieàu kieän beàn: F τ = ≤ []σ ' δ.l ™ Moái haøn goùc kieåu haøn 2 beân: hình 1.8 F L L 0 δ k k Hình 1.8: Moái haøn goác kieåu haøn hai beân 9
12. Ñieàu kieän beàn: F τ '= ≤ []τ ' 2.()0.7kl τ ': ÖÙng suaát tieáp tính toaùn trong moái haøn [τ ']: ÖÙng suaát tieáp cho pheùp cuûa moái haøn Tröôøng hôïp Haøn chöõ K tính toaùn nhö moái haøn giaùp noái, kieåu haøn hai beân tính toaùn nhö moái haøn choàng. ÖÙNG SUAÁT CHO PHEÙP CUÛA MOÁI HAØN THEÙP KHI CHÒU TAÛI TROÏNG TÓNH ÖÙNG SUAÁT CHO PHEÙP CUÛA MOÁI HAØN PHÖÔNG PHAÙP HAØN KEÙO [σ]’k NEÙN [σ]’k CAÉT [σ]k Haøn hoà quang, baèng tay, duøng que haøn ∋42 vaø ∋50. 0,9 [σ]’ [σ] 0,6 [σ] Haøn khí k k k Haøn hoà quang töï ñoäng döôùi lôùp thuoác haøn; haøn baèng tay, duøng que haøn ∋42A vaø ∋50A. Haøn tieáp xuùc giaùp [σ]k [σ]k 0,65 [σ]k moái Haøn tieáp xuùc ñieåm 0,6 [σ]k [σ]k – öùng suaát keùo cho pheùp cuûa kim loaïi ñöôïc haøn khi chòu taûi troïng tónh. Heä soá an toaøn cuûa caùc keát caáu kim loaïi [s] ≈ 1,2 ÷ 1,8. 1.5 Keát luaän - Nhö ñaõ noùi ôû phaàn treân, haøn ñöôïc öùng duïng raát nhieàu trong cô khí, xaây döïng. - Vieäc tính toaùn moái haøn seõ laøm cho chi phí giaûm trong vieäc cheá taïo laép gheùp caùc chi tieát vôùi nhau. 10
13. Chöông 2 : CÔ SÔÛ LYÙ THUYEÁT 2.1 Vaán ñeà öùng suaát dö vaø bieán daïng dö trong moái haøn: ÖÙng suaát vaø bieán daïng haøn laø traïng thaùi öùng suaát vaø bieán daïng do quaù trình haøn gaây ra vaø toàn taïi trong keát caáu haøn sau khi haøn. Noù aûnh höôûng nhaát ñònh ñeán chaát löôïng vaø khaû naêng laøm vieäc cuûa keát caáu haøn.Vieäc tìm hieåu nguyeân nhaân sinh ra öùng suaát vaø bieán daïng haøn vaø tìm phöông phaùp ñeå ñeà phoøng, haïn cheá aûnh höôûng cuûa chuùng laø moät vaán ñeà quan troïng ngay caû ñoái vôùi ngöôøi thôï haøn khi tham gia cheá taïo keát caáu haøn. Quaù trình haøn laø quaù trình nung noùng cuïc boä khu vöïc caàn haøn trong thôøi gian ngaén tôùi nhieät ñoä raát cao. Khi nguoàn nhieät haøn di ñoäng leân phía tröôùc, thì khoái löôïng kim loaïi ñöôïc nung noùng nguoäi daàn veà nhieät ñoä ban ñaàu vaø keøm theo nhöõng bieán daïng nhieät. Do söï phaân boá nhieät raát khaùc nhau (khoâng ñoàng ñeàu) ôû caùc vuøng xung quanh moái haøn neân söï thay ñoåi theå tích (co, giaõn) ôû caùc vuøng ñoù cuõng raát khaùc nhau vaø aûnh höôûng laãn nhau. Ñieàu naøy daãn ñeán söï taïo thaønh noäi löïc, öùng suaát, bieán daïng haøn. Coù theå keå ra 3 nguyeân nhaân chính sau ñaây gaây ra söï xuaát hieän öùng suaát vaø bieán daïng haøn: 1. Nung noùng khoâng ñeàu kim loaïi ôû vaät haøn. 2. Ñoä co ngoùt cuûa kim loaïi noùng chaûy ôû moái haøn sau khi keát tinh. 3. Söï thay ñoåi toå chöùc cuûa vuøng kim loaïi laân caän moái haøn. Nung noùng khoâng ñeàu kim loaïi vaät haøn laøm cho nhöõng vuøng ôû xa nguoàn nhieät khoâng hoaëc raát ít bò bieán daïng nhieät, chuùng seõ caûn trôû söï bieán daïng ôû vuøng laân caän moái haøn. Do vaäy seõ xuaát hieän öùng xuaát trong moái haøn vaø vuøng kim loaïi laân caän ñoù. Thöôøng öùng suaát naøy vaãn toàn taïi caû khi ñaõ keát thuùc quaù trình haøn vaø vaät haøn ñaõ trôû veà nhieät ñoä bình thöôøng (ñaõ nguoäi hoaøn toaøn). Kim loaïi loûng ôû moái haøn bò giaûm theå tích do keát quaû ñoäng ñaëc töông töï nhö ñuùc. Do söï co ngoùt cuûa kim loaïi trong moái haøn xuaát hieän caùc löïc neùn theo phöông doïc cuõng nhö phöông ngang so vôùi truïc moái haøn vaø taïo ra tröôøng öùng suaát dö ôû ñoù. Nhöõng thay ñoåi toå chöùc kim loaïi trong vuøng laân caän moái haøn laø nhöõng thay ñoåi veà kích thöôùc vaø vò trí saép xeáp cuûa caùc tinh theå kim loaïi, ñoàng thôøi keùo theo söï thay ñoåi theå tích cuûa kim loaïi trong vuøng aûnh höôûng nhieät. Söï thay ñoåi cuïc boä nhö vaäy daãn ñeán taïo thaønh noäi öùng suaát. Khi haøn caùc theùp hôïp kim vaø cacbon cao coù khuynh höôùng toâi thì caùc öùng suaát naøy coù theå ñaït ñeán nhöõng giaù trò raát cao. ÖÙng suaát dö trong vaät haøn keát hôïp vôùi öùng suaát sinh ra do ngoaïi löïc taùc duïng khi laøm vieäc coù theå laøm giaûm khaû naêng laøm vieäc cuûa keát caáu vaø laøm xuaát hieän nhöõng veát nöùt, gaõy. 11
14. Bieán daïng haøn khi laøm sai leäch hình daùng, kích thöôùc cuûa caùc keát caáu haøn, vaät haøn, do ñoù sau khi haøn thöôøng phaûi tieán haønh caùc coâng vieäc söûa, naén, v.v raát phöùt taïp vaø toán keùm. 2.2 Thieát laäp phaàn töû cô nhieät 2D Baøi toaùn öùng suaát phaúng trong ñaøn hoài z Oy x Hình 2. 1 : Keát caáu taám cho baøi toaùn öùng suaát phaúng y x taám Moâ hình toaùn hoïc Ω Maët phaúng S trung hoùa Hình 2.2 : Moâ hình toaùn hoïc Vôùi caùc vaät theå moûng (giaû söû kích thöôùc theo phöông Z raát nhoû so vôùi hai phöông coøn laïi) chòu taùc duïng cuûa caùc löïc trong maët phaúng xy, ngöôøi ta coù theå chaáp nhaän giaû thuyeát σ Z = τ yz = τ zx = 0 Ta bieát raèng trong baøi toùan khoái ta coù quan heä giöõa bieán daïng vaø öùng suaát nhö sau: 12
15. σ −Vσ ⎡ 1 - V - V ⎤ ⎧ x y ⎫ ⎢ 0 0 0 ⎥ ⎪ ⎪ E E E ⎪ E ⎪ ⎢ ⎥ σ −Vσ ⎢−V 1 - V ⎥ ⎪ y x ⎪ ⎧ε x ⎫ 0 0 0 ⎧σ x ⎫ ⎪ ⎪ ⎢ E E E ⎥ E ⎪ε ⎪ ⎪σ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y ⎪ ⎢ ⎥⎪ y ⎪ σ + σ ⎢−V - V 1 ⎥ ⎪ x y ⎪ ⎪ ⎪ 0 0 0 ⎪ ⎪ ⎪−V. ⎪ ⎪ε z ⎪ ⎢ E E E ⎥⎪σ z ⎪ ⎪ E ⎪ ⎨ ⎬ = ⎢ ⎥⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ γ xy 1 τ xy τ ⎪ ⎪ ⎢ 0 0 0 0 0 ⎥⎪ ⎪ ⎪ xy ⎪ ⎪ ⎪ G ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ γ yz ⎢ ⎥ τ yz G ⎪ ⎪ ⎢ 1 ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪γ ⎪ ⎪τ ⎪ τ yz ⎩ zx ⎭ ⎢ 0 0 0 0 0 ⎥⎩ zx ⎭ ⎪ ⎪ ⎢ G ⎥ ⎪ G ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ 1 ⎥ τ ⎢ 0 0 0 0 0 ⎥ ⎪ zx ⎪ ⎣ G ⎦ ⎩⎪ G ⎭⎪ Ñoái vôùi baøi toaùn öùng suaát phaúng ta coù: ⎡ 1 V ⎤ ⎢ - 0 ⎥ ⎧ ⎫ E E ⎧ ⎫ ε x ⎢ ⎥ σ x ⎪ ⎪ ⎢ 1 1 ⎥ ⎪ ⎪ ⎨ε y ⎬ = − 0 ⎨σ y ⎬ ()1 ⎢ E E ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎩γ xy ⎭ 1 ⎩τ xy ⎭ ⎢ 0 0 ⎥ ⎣⎢ G ⎦⎥ σ + σ ε = −V x y x E γ yz = 0 γ zx = 0 Vì theá caùc bieán sô caáp laø caùc thaønh phaàn öùng suaát, bieán daïng trong maët phaúng xy. Baøi toùan öùng suaát phaúng coù theå phaùt bieåu theo caùc thaønh phaàn chuyeån vò u, v trong maët phaúng xy nhö sau: Caùc thaønh phaàn öùng suaát: {σ x σ y τ xy } Caùc thaønh phaàn bieán daïng: {ε x ε y γ xy } Quan heä bieán daïng – chuyeån vò (vôùi giaû thuyeát chuyeån vò beù): ⎧ ∂u ⎪ε x = ⎪ ∂u ⎪ ∂v ⎨ε y = ⎪ ∂y ⎪ ∂u ∂v ⎪γ xy = + ⎩ ∂y ∂x Quan heä giöõa öùng suaát vaø bieán daïng: 13
16. σ y τ xy σ x Hình 2. 3 : Noäi löïc trong phaàn töû cuûa taám öùng suaát phaúng ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ σ x ⎢1 v 0 ⎥ ε x ⎪ ⎪ E ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎨σ y ⎬ = 2 ⎢v 1 0 ⎥ ⎨ε y ⎬ ⇔ {}σ = []C {}ε ; (2) ⎪ ⎪ 1- V ⎪ ⎪ σ ⎢ 1- v⎥ γ ⎩ xy ⎭ ⎢0 0 ⎥ ⎩ xy ⎭ ⎣ 2 ⎦ Khi coù söï thay ñoåi nhieät ñoä ΔT, vectô bieán daïng ban ñaàu coù daïng: σ + σ {}{ε = αΔT αΔT 0 }T ; ε = −V x y + αΔT 0 z E α : Heä soá giaûn nôû vì nhieät {}σ = [C]{}ε − ε { { o }} ™ Caùc phöông trình PTHH: Ñoái vôùi baøi toaùn phaúng, vieäc giaû söû chieàu daøy h theo phöông z laø haèng soá daãn ñeán caùc tích phaân theå tích seõ trôû thaønh caùc tích phaân dieän tích phaàn töû, caùc tích phaân maët seõ trôû thaønh caùc tích phaân treân bieân phaàn töû. Taûi troïng taùc duïng chæ coù caùc thaønh phaàn trong maët phaúng xy. Do ñoù caùc phöông trình phaân töû cho baøi toùan phaúng coù theå thieát laäp nhö sau: 14
17. Lôøi giaûi giaû ñònh: ⎧u1 ⎫ ⎪v ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎧u⎫ ⎡N1 0 N 2 0 N 3 0 ⎤⎪u2 ⎪ T U(x,y) = ⎨ ⎬ = ⎢ ⎥⎨ ⎬ ≡ []N {}d (3) ⎩v⎭ ⎣ 0 N1 0 N 2 0 N 3 ⎦⎪v2 ⎪ ⎪u ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎩⎪v3 ⎭⎪ Quan heä bieán daïng – chuyeån vò: ⎧ ⎫ ⎧u1 ⎫ ∂u ⎡ ∂N ∂N ∂N ⎤ ⎪ ⎪ ⎢ 1 0 2 0 3 0 ⎥⎪ v ⎪ ⎧ ⎫ ∂x ⎪ 1 ⎪ ε x ⎪ ⎪ ⎢ ∂x ∂x ∂x ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ∂v ⎪ ∂N ∂N ∂N ⎪u 2 ⎪ T {}ε = ε = = ⎢ 0 1 0 2 0 3 ⎥ ≡ []B {}d ()4 ⎨ y ⎬ ⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ∂y ⎪ ∂y ∂y ∂y ⎪v 2 ⎪ γ ⎢ ⎥ ⎩ xy ⎭ ⎪ ⎪ ∂N 1 ∂N 1 ∂N 2 ∂N 2 ∂N 3 ∂N 3 ⎪ ⎪ ∂u ∂v ⎢ ⎥ u 3 ⎪ + ⎪ ⎪ ⎪ ∂x ∂y ⎣⎢ ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ⎦⎥ ⎩ ⎭ ⎩⎪v3 ⎭⎪ Quan heä öùng xöû: {}σ = []c []{}ε − {ε0 } Vôùi baøi toùan öùng suaát phaúng: ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧⎧ ⎫ ⎫ σ x ⎢1 v 0 ⎥ ε x ⎧α Δ T ⎫ ⎪ ⎪ E ⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎨σ y ⎬ = 2 ⎢ v 1 0 ⎥ ⎨⎨ε y ⎬ − ⎨α Δ T ⎬⎬ ()5 ⎪ ⎪ 1 − V ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ τ ⎢ 1 - v ⎥ γ 0 ⎩ xy ⎭ ⎢0 0 ⎥ ⎩⎪⎩ xy ⎭ ⎩ ⎭⎭⎪ ⎣ 2 ⎦ Heä phöông trình phaàn töû: []K {}d = {rq }+ {}rb + {}rε (6 ) Ma traän ñoä cöùng cuûa phaàn töû: []K = h ∫∫ [][]B C [B ]T dA (7 ) A Vectô taûi töông ñöông do taûi phaân boá ⎧q x ⎫ {}rq = h {}N c ⎨ ⎬dc ()8 ∫ q c ⎩ y ⎭ {Ne} : Caùc haøm noäi suy chuyeån vò theo toïa ñoä bieân c cuûa phaàn töû Vectô taûi töông ñöông do taûi theå tích 15
18. ⎧bx ⎫ {}rb = h {}N ⎨ ⎬dA ()9 ∫∫ b A ⎩ y ⎭ Vectô taûi töông ñöông do söï thay ñoåi nhieät ñoä ban ñaàu r = h B C ε dA 10 {}ε ∫∫ [][]{ 0 } ( ) A Phaàn töû tam giaùc 3 nuùt: Hình 4 moâ taû phaàn töû tam giaùc 3 nuùt cho baøi toaùn phaúng ñaøn hoài trong heä toïa ñoä Oxy, vôùi caùc nuùt laø (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Caùc aån chuyeån vò taïi 3 nuùt ñöôïc goïi laø caùc baäc töï do taïi nuùt u1.v1, u2.v2, u3.v3. Phöông phaùp tuyeán ngoaøi vaø toïa ñoä bieân c cuûa moãi caïnh ñöôïc moâ taû treân hình 2.4. Ñeå ñôn giaûn trong vieäc laáy tích phaân, ngöôøi ta giaû söû raèng caùc löïc taùc duïng laø haèng soá treân moãi phaàn töû. u6 (x3,y3) u5 3 n n c c v3 u4 u3 3 u3 n c n 2 c y v2 u2 (x ,y ) u c 2 2 y 2 2 n 1 u1 v1 c u n (x1,y1) 1 1 x x σ yy σ xx σ σ xx xy σ yy Hình 2.4 : Phaàn töû tam giaùc 3 nuùt cho baøi toùan phaúng ñaøn hoài. Lôøi giaûi giaû ñònh treân phaàn töû ñöôïc vieát nhö sau: 16
19. ⎧u1 ⎫ ⎪v ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎧u⎫ ⎡N1 0 N 2 0 N 3 0 ⎤⎪u2 ⎪ T u()x, y ≡ ⎨ ⎬ = ⎢ ⎥⎨ ⎬ ≡ []N {}d (11 ) ⎩v⎭ ⎣0 N1 0 N 2 0 N 3 ⎦⎪v2 ⎪ ⎪u ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎩⎪v3 ⎭⎪ Caùch thaønh laäp haøm daïng, Lôøi giaûi xaáp xæ PTHH caàn coù daïng Beân trong phaàn töû: ⎧u1 ⎫ ⎪ ⎪ T u()x, y = {}N 1 ()x, y N 2 ()x, y N 3 ()x, y ⎨u 2 ⎬ = []N {}d (12 ) ⎪ ⎪ ⎩u 3 ⎭ ÔÛ treân bieân: ⎧u 1 ⎫ ⎪ ⎪ T u ()c = {}{}{}()N 1 ()c N 2 ()c N 3 ()c ⎨u 2 ⎬ = N c d 13 ⎪ ⎪ ⎩u 3 ⎭ Thaät vaäy, lôøi giaûi giaû ñònh treân phaàn töû ñöôïc choïn döïa treân ña thöùc tuyeán tính trong mieàn hai chieàu. ⎧c 0 ⎫ ⎪ ⎪ u ()x, y = c 0 + c1 x + c 2 y = {1 x y }⎨c1 ⎬ ()14 ⎪ ⎪ ⎩c 2 ⎭ Bieåu dieãn caùc heä soá C0, C1, C2, theo caùc baäc töï do nuùt ⎧u1 ⎫ ⎡1 x 1 y1 ⎤⎧c0 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u = ⎢1 x y ⎥ c 15 ⎨ 2 ⎬ ⎢ 2 2 ⎥⎨ 1 ⎬ () ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎩u 3 ⎭ ⎣1 x 3 y 3 ⎦⎩c2 ⎭ ⎧c0 ⎫ ⎡x2 y3 − x3 y2 x3 y1 − x1 y3 x1 y2 − x2 y1 ⎤⎧u1 ⎫ ⎪ ⎪ 1 ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⇒ ⎨c1 ⎬ = y2 − y3 y 3 − y1 y1 − y2 ⎨u 2 ⎬ ()16 2A ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎩c2 ⎭ ⎣ x 3 − x2 x 1 − x3 x 2 − x1 ⎦⎩u3 ⎭ Goïi A laø dieän tích tam giaùc cho bôûi: 17
20. 1 x 1 y 1 1 1 A = ()− x y + x y + x y − x y − x y + x y = 1 x y ()17 2 2 1 3 1 1 2 3 2 1 3 2 3 2 2 2 1 x 3 y 3 Thay (16, (17) vaøo (14), ta coù: ⎡x2 y3 − x3 y2 x 3 y1 - x1 y3 x1 y2 - x 2 y1 ⎤⎧u1 ⎫ 1 ⎢ ⎥⎪ ⎪ u(){x, y = 1 x y }. y2 − y3 y3 - y1 y1 - y 2 ⎨u 2 ⎬ ()18 2A ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎣x2 − x3 x 1 - x 3 x 2 - x1 ⎦⎩u3 ⎭ Ñaët: f1 = x2y3 – x3y2 ; f2 = x3y1 – x1y3 ; f3 = x1y2 – x2y1 b1 = y2 – y3 ; b2 = x3 – y1 ; b3 = y1 – y2 (19) c1 = x3 – y2 ; c2 = x1 – x3 ; c3 = x2 – x1 ⎡f 1 f 2 f 3 ⎤⎧u 1 ⎫ 1 ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⇒ u (){x, y = 1 x y }. b 1 b 2 b 3 ⎨u 2 ⎬ ()20 2 A ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎣c 1 c 2 c 3 ⎦⎩u 3 ⎭ ⎧u1 ⎫ ⎪ ⎪ T ⇔ u(){x, y = N1 N 2 N 3 }⎨u2 ⎬ = []N {}d , hay ta coù : ⎪ ⎪ ⎩u3 ⎭ 1 1 N = ()x ()()()y − y + x y − y + x − y + y = ()xb + yc + f 1 2 A 3 2 2 3 2 3 2 A 1 1 1 1 1 N = ()x ()()()− y + y + x y − y + x − y + y = ()()xb + yc + f 21 2 2 A 3 1 1 3 3 2 A 2 2 2 1 1 N = ()x ()()(y − y + x y − y + x − y + y )= ()xb + yc + f 3 2 A 2 1 1 2 1 2 2 A 3 3 3 Löu yù raèng moãi haøm noäi suy ôû treân thoûa tích chaát delta Kronecker, töùc laø coù giaù trò baèng 1 taïi chính nuùt ñoù vaø baèng khoâng taïi taát caû caùc nuùt coøn laïi. Töø ñoù ta coù: u ⎧ ∂u ⎫ ⎧ 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪v ⎪ ⎧ ⎫ ∂x ⎪ 1 ⎪ ε x ⎪ ⎪ ⎡b1 0 b 2 0 b 3 0 ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ∂v ⎪ 1 ⎪u 2 ⎪ T ε = = ⎢0 c 0 c 0 c ⎥ ≡ B d 22 ⎨ y ⎬ ⎨ ⎬ ⎢ 1 2 3 ⎥⎨ ⎬ []{} ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ∂y ⎪ 2 A ⎪v 2 ⎪ γ ⎢c b c b c b ⎥ ⎩ xy ⎭ ⎪ ∂u ∂v ⎪ ⎣ 1 1 2 2 3 3 ⎦⎪u ⎪ ⎪ + ⎪ ⎪ 3 ⎪ ∂y ∂x ⎩ ⎭ ⎩⎪v3 ⎭⎪ Do [B] laø ma traän cuûa caùc haèng soá, neân ma traän ñoä cöùng phaàn töû coù theå tính toaùn moät caùch deã daøng. 18
21. [K ]= h ∫∫ [][][]B C B T dA = hA []B [C ][B ]T (23 ) A Trong ñoù [C] laø ma traän öùng xöû töông öùng Vôùi baøi toùan öùng suaát phaúng: ⎡ ⎤ ⎢1 v 0 ⎥ E ⎢ ⎥ []C = 2 v 1 - v 0 ⎥ ()24 1 − V ⎢ ⎢ 1 - 2v ⎥ ⎢0 0 ⎥ ⎣ 2 ⎦ Vectô taûi troïng nuùt töông ñöông do löïc theå tích: ⎧h N b dA ⎫ ∫∫ 1 x ⎪ A ⎪ ⎪ ⎪ h N b dA ⎪ ∫∫ 1 y ⎪ ⎪ A ⎪ ⎪ ⎪ h N b dA ⎪ ∫∫ 2 x ⎪ ⎧bx ⎫ ⎪ A ⎪ {}rb = h {}N ⎨ ⎬dA = ⎨ ⎬ (25 ) ∫∫ b A y h N b dA ⎩ ⎭ ⎪ ∫∫ 2 y ⎪ ⎪ A ⎪ ⎪ ⎪ h N b dA ⎪ ∫∫ 3 x ⎪ ⎪ A ⎪ ⎪h N b dA⎪ ⎪ ∫∫ 3 y ⎪ ⎩ A ⎭ Vôùi giaû söû löïc theå tích laø haèng soá treân phaàn töû ta coù: hA {}r = {}b b b b b b T ()26 b 3 x y x y x y Vectô taûi troïng nuùt töông ñöông do söï thay ñoåi nhieät ñoä: r = h B C ε dA = hA B C ε 27 {}ε ∫∫[][][]0 [][][]0 ( ) A T Vôùi: {}{ε 0 = αΔT αΔT 0 } Vectô taûi troïng nuùt töông ñöông do löïc phaân boá: ⎧q x ⎫ {}rq = h {}N e ⎨ ⎬dc ()28 ∫ q e ⎩ y ⎭ Trong ñoù c laø phaàn bieân coù löïc phaân boá taùc duïng. Trong tröôøng hôïp toång quaùt, caùc löïc maët taùc duïng leân bieân coù theå phaân thaønh 2 thaønh phaàn: Moät theo phöông phaùp tuyeán, moät theo phöông tieáp tuyeán vôùi bieân. Neáu ta goïi qn, qt laø caùc thaønh phaàn phaùp tuyeán, tieáp tuyeán töông öùng vôùi bieân, qx, qy laø caùc thaønh phaàn theo phöông x, y töông öùng, ta coù moái quan heä: 19