Luận văn Nghiên cứu ổn định nền đường đất đắp trên nền thiên nhiên

119 trang phuongnguyen 2480

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Luận văn Nghiên cứu ổn định nền đường đất đắp trên nền thiên nhiên", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

luan_van_nghien_cuu_on_dinh_nen_duong_dat_dap_tren_nen_thien.pdf

Nội dung text: Luận văn Nghiên cứu ổn định nền đường đất đắp trên nền thiên nhiên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI ĐỖ THẮNG NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH NỀN ĐƯỜNG ĐẤT ĐẮP TRÊN NỀN THIÊN NHIÊN Chuyên ngành: Xây dựng đường ô tô và đường thành phố. Mã số: 62.58.02.05.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. GS.TSKH. HÀ HUY CƯƠNG 2. TS. VŨ ĐỨC SỸ Hà Nội - 2014
i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả luận án Đỗ Thắng
ii LỜI CẢM ƠN Tác giả luận án xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới GS.TSKH Hà Huy Cương và TS Vũ Đức Sỹ đã tận tình hướng dẫn về khoa học, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án. Tác giả xin chân thành cảm ơn các Giáo sư, Phó Giáo sư, Tiến sỹ, các chuyên gia, các nhà khoa học trong và ngoài Trường Đại học Giao thông Vận tải đã có nhiều ý kiến đóng góp và chỉ dẫn quý báu cho luận án. Tác giả xin trân trọng cảm ơn cán bộ, giảng viên của Bộ môn Đường bộ, Khoa Công trình, Phòng Đào tạo Sau đại học - Trường Đại học Giao thông Vận tải đã tạo điều kiện, giúp đỡ cho tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu tại Nhà trường. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Kiến trúc & Công trình - Trường Đại học Dân lập Phương Đông, nơi tác giả đang công tác, đã tạo điều kiện để tác giả có thể hoàn thành được luận án. Cuối cùng, tác giả muốn bày tỏ lòng biết ơn đối với những người thân trong gia đình đã động viên khích lệ và chia sẻ khó khăn với tác giả trong suốt thời gian thực hiện luận án. Tác giả luận án Đỗ Thắng
iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU vi DANH MỤC CÁC BẢNG vii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ viii MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 3 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3 4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 3 5. Bố cục của luận án 4 6. Đóng góp mới của luận án 5 Chương 1 TỔNG QUAN VỀ NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH NỀN ĐƯỜNG ĐẤT ĐẮP TRÊN NỀN THIÊN NHIÊN 7 1.1. Phân tích các nghiên cứu liên quan ở trong và ngoài nước 7 1.1.1. Các dạng mất ổn định nền đắp trên nền thiên nhiên 7 1.1.2. Phương pháp nghiên cứu ổn định nền đường 9 1.1.2.1. Các liên hệ cơ bản của vật liệu đàn dẻo lý tưởng 9 1.1.2.2. Phương pháp nghiên cứu ổn định khối đất 16 1.1.2.3. Cường độ giới hạn nền thiên nhiên 17 1.1.2.4. Phương pháp nghiên cứu ổn định mái dốc 27 1.2. Những vấn đề còn tồn tại trong nghiên cứu ổn định nền đường đất đắp trên nền thiên nhiên 33 1.3. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của luận án 34 Chương 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH NỀN ĐƯỜNG ĐẤT ĐẮP TRÊN NỀN THIÊN NHIÊN 36
iv 2.1. Lý thuyết min (max) 36 2.1.1. Trường ứng suất đàn hồi trong đất 37 2.1.2. Trường ứng suất dựa trên lý thuyết min (max) 40 2.2. Xây dựng bài toán xác định trường ứng suất trong đất 44 2.3. Phương pháp sai phân hữu hạn để giải bài toán 46 2.4. Lời giải bài toán Flamant bằng số 48 2.5. Lời giải bài toán phẳng theo lý thuyết min (max) 52 2.6. Kết quả và bàn luận 54 Chương 3 BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ TẢI TRỌNG GIỚI HẠN VÀ ỔN ĐỊNH MÁI DỐC 56 3.1. Trạng thái ứng suất tự nhiên của nền đất trong nửa không gian vô hạn 56 3.2. Bài toán Prandtl 57 3.3. Bài toán góc dốc giới hạn của khối cát khô 61 3.4. Kết quả và bàn luận 67 Chương 4 NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH KHỐI ĐẤT CÓ MÁI DỐC THẲNG ĐỨNG 69 4.1. Nghiên cứu ổn định mái dốc thẳng đứng do tải trọng ngoài 69 4.2. Nghiên cứu ổn định mái dốc thẳng đứng do trọng lượng bản thân 77 4.3. Kết quả và bàn luận 83 Chương 5 PHƯƠNG PHÁP MỚI NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH NỀN ĐƯỜNG ĐẤT ĐẮP TRÊN NỀN THIÊN NHIÊN 85 5.1. Nghiên cứu ổn định nền đường đất đắp trên nền thiên nhiên 85 5.1.1. Xây dựng bài toán 85 5.1.2. Khảo sát ảnh hưởng của lưới sai phân đến chiều cao giới hạn nền đắp 87 5.1.3. Khảo sát ảnh hưởng của bề rộng nền đắp đến chiều cao giới hạn nền đắp 87 5.1.4. Khảo sát ảnh hưởng của độ dốc taluy đến chiều cao giới hạn nền đắp 88
v 5.1.5. Khảo sát ảnh hưởng của lực dính đơn vị đến chiều cao giới hạn nền đắp 89 5.1.6. Khảo sát ảnh hưởng của góc nội ma sát đến chiều cao giới hạn nền đắp 90 5.1.7. So sánh kết quả tính toán chiều cao giới hạn nền đắp theo phương pháp phân tích giới hạn với phương pháp cân bằng giới hạn 92 5.1.8. Khảo sát ảnh hưởng của nền đất không đồng nhất đến chiều cao giới hạn nền đắp 94 5.2. Ứng dụng phương pháp mới nghiên cứu ổn định nền đường trong tính toán thiết kế 99 5.3. Kết quả và bàn luận 100 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 102 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ 104 TÀI LIỆU THAM KHẢO 105
vi DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU B Bề rộng nền đường c Lực dính đơn vị c0 Lực dính đơn vị của nền thiên nhiên c1 Lực dính đơn vị của nền đắp E Môđun đàn hồi G Môđun trượt H Chiều cao nền đắp Hgh Chiều cao giới hạn nền đắp i, j Thứ tự hàng và cột trong lưới sai phân K0 Hệ số áp lực đất tĩnh m, n Số nút lưới sai phân theo trục y và theo trục x Nc, Nq, N Hệ số tải trọng giới hạn p Tải trọng tác dụng pgh Tải trọng giới hạn x, y Kích thước ô lưới sai phân theo trục x và trục y Góc nội ma sát 0 Góc nội ma sát của nền thiên nhiên 1 Góc nội ma sát của nền đắp  Trọng lượng thể tích  Biến dạng tương đối  Hệ số Poisson  Ứng suất nén x, y Ứng suất pháp theo phương x, y 1, 2 Các ứng suất chính  Ứng suất tiếp f Ứng suất tiếp giới hạn max Ứng suất tiếp lớn nhất xy, yx Các ứng suất tiếp
vii DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1. Ứng suất pháp y theo lý thuyết đàn hồi tại vị trí giữa dải tải trọng 50 Bảng 4.1. Tải trọng giới hạn khối đất có mái dốc thẳng đứng 71 Bảng 4.2. Tải trọng giới hạn khối đất có mái dốc thẳng đứng 73 Bảng 4.3. Chiều cao giới hạn khối đất có mái dốc thẳng đứng 79 Bảng 4.4. Chiều cao giới hạn khối đất có mái dốc thẳng đứng 80 Bảng 5.1. Chiều cao giới hạn nền đường theo bề rộng ô lưới sai phân 87 Bảng 5.2. Chiều cao giới hạn nền đường theo chiều rộng nền đường 88 Bảng 5.3. Chiều cao giới hạn nền đường theo độ dốc taluy 88 Bảng 5.4. Chiều cao giới hạn nền đường theo lực dính đơn vị 89 Bảng 5.5. Chiều cao giới hạn nền đường theo góc nội ma sát 91 Bảng 5.6. Chiều cao giới hạn nền đường theo phương pháp phân tích giới hạn 92 và phương pháp cân bằng giới hạn đối với trường hợp đất dính lý tưởng (m) 92 Bảng 5.7. Chiều cao giới hạn nền đường theo phương pháp phân tích giới hạn 93 và phương pháp cân bằng giới hạn đối với trường hợp đất thông thường (m) 93 Bảng 5.8. Quan hệ giữa tỷ số Hgh*/c0 với góc nội ma sát và tỷ số lực dính đơn vị 97
viii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ Hình 1.1. Các hiện tượng mất ổn định nền đường đắp 7 Hình 1.2. Mô hình đàn dẻo lý tưởng 10 Hình 1.3. Vòng tròn Mohr 11 Hình 1.4. Điều kiện chảy dẻo Mohr-Coulomb 12 Hình 1.5. Mặt chảy dẻo và vectơ tốc độ biến dạng dẻo 14 Hình 1.6. Sơ đồ tính toán theo định lý giới hạn dưới 17 Hình 1.7. Sơ đồ tính toán theo định lý giới hạn trên 19 Hình 1.8. Sơ đồ tải trọng và vùng cân bằng giới hạn 19 Hình 1.9. Sơ đồ khả năng chịu tải của nền theo Terzaghi 20 Hình 1.10. Sơ đồ khả năng chịu tải của nền theo Berezansev 21 Hình 1.11. Sơ đồ xác định trạng thái ứng suất trường hợp tải trọng hình băng phân bố đều 22 Hình 1.12. Sơ đồ xác định trạng thái ứng suất trường hợp tải trọng hình băng phân bố dạng tam giác 24 Hình 1.13. Đường đẳng Kmin và bề rộng vùng dẻo R 26 Hình 1.14. Sơ đồ tính ổn định mái dốc 28 Hình 1.15. Trường ứng suất giả thiết 31 Hình 1.16. Mặt trượt giả thiết dạng xoắn ốc logarit 32 Hình 2.1. Đầm chặt đất 36 Hình 2.2. Ứng suất trên phân tố đất 37 Hình 2.3. Ứng suất tiếp max (max) 40 Hình 2.4. Sơ đồ tính nền đắp hình thang 44 Hình 2.5. Mặt thoáng nằm ngang 45 Hình 2.6. Mặt thoáng nghiêng 45 Hình 2.7. Ô lưới sai phân tính toán 46 Hình 2.8. Sơ đồ giải bài toán Flamant 48 Hình 2.9. Sơ đồ tính toán theo phương pháp sai phân 49 Hình 2.10. Biểu đồ các đường đẳng ứng suất pháp y (kPa) theo lý thuyết đàn hồi 50
ix Hình 2.11. Biểu đồ ứng suất pháp y (kPa) tại vị trí giữa dải tải trọng theo phương pháp sai phân hữu hạn và giải tích 51 Hình 2.12. Biểu đồ các đường đẳng ứng suất pháp y (kPa) theo lý thuyết min (max) 53 Hình 2.13. Biểu đồ ứng suất pháp y (kPa) tại vị trí giữa dải tải trọng theo lý thuyết đàn hồi và lý thuyết min (max) 53 Hình 3.1a. Biểu đồ ứng suất x (kPa) 56 Hình 3.1b. Biểu đồ ứng suất y (kPa) 56 Hình 3.2. Ứng suất tiếp xúc dưới móng cứng 58 Hình 3.3. Sơ đồ giải bài toán Prandtl 60 Hình 3.4. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo 61 Hình 3.5. Sơ đồ tính toán góc dốc giới hạn 62 Hình 3.6. Sơ đồ giải bài toán góc dốc giới hạn của khối cát khô 64 Hình 3.7. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo 65 Hình 3.8. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo 65 Hình 3.9. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo 66 Hình 3.10. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo 67 Hình 4.1. Sơ đồ tính ổn định của mái dốc thẳng đứng do tải trọng ngoài 69 Hình 4.2. Sơ đồ giải bài toán tải trọng giới hạn của mái dốc thẳng đứng 71 Hình 4.3. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo 72 Hình 4.4. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo 73 Hình 4.5. Sơ đồ tính ổn định của mái dốc thẳng đứng trong trường hợp đặt tải trọng rải đều vào phía trong 74 Hình 4.6. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo 75 Hình 4.7. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo 76 Hình 4.8. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo 77 Hình 4.9. Sơ đồ tính ổn định của mái dốc thẳng đứng do trọng lượng bản thân 77 Hình 4.10. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo 79 Hình 4.11. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo 81 Hình 4.12. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo 82
x Hình 4.13. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo 83 Hình 5.1. Sơ đồ xác định chiều cao giới hạn nền đắp 85 Hình 5.2. Sơ đồ lưới sai phân dùng để tính chiều cao giới hạn nền đắp 86 Hình 5.3. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo 90 Hình 5.4. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo 91 Hình 5.5. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo 95 Hình 5.6. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo 96 Hình 5.7. Toán đồ xác định tỷ số Hgh*/c0 98 Hình 5.8. Trắc dọc thiết kế 100
1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Nền đường là bộ phận quan trọng của đường ôtô. Bảo đảm ổn định nền đường là điều kiện tiên quyết để bảo đảm ổn định của kết cấu áo đường. Hai vấn đề quan trọng nhất đối với nền đường là ổn định và lún. Theo tiêu chuẩn thiết kế nền đường ôtô hiện hành, nền đường đắp trên nền thiên nhiên phải đảm bảo các yêu cầu sau đây: - Nền đường phải đảm bảo ổn định toán khối, không bị sụt trượt mái taluy; trượt trồi, lún sụt nền đắp trên đất yếu; trượt phần đắp trên sườn dốc, - Nền đường phải đảm bảo đủ cường độ, không xuất hiện vùng biến dạng dẻo nguy hiểm có thể gây cho kết cấu mặt đường bị lượn sóng, thậm chí gây phá hoại kết cấu mặt đường bên trên. Phương pháp nghiên cứu ổn định nền đường được sử dụng rộng rãi trong thiết kế hiện nay là phương pháp cân bằng giới hạn. Hệ phương trình cơ bản của phương pháp này bao gồm hai phương trình cân bằng (bài toán ứng suất phẳng) và điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb. Vì không coi đất là vật liệu đàn hồi nên phải đưa thêm điều kiện chảy dẻo Mohr-Coulomb để có đủ phương trình để xác định trạng thái ứng suất trong đất. Những điểm trong khối đất thỏa mãn ba phương trình trên là những điểm ở trạng thái chảy dẻo. Sự xuất hiện một điểm chảy dẻo hoặc nhiều điểm chảy dẻo cục bộ chưa thể gây phá hoại khối đất. Khối đất chỉ bị phá hoại khi xuất hiện các lưới đường trượt (lưới các điểm chảy dẻo) cho phép các phần khối đất trượt tự do tương đối với nhau. Rankine (1857) là người đầu tiên giải hệ phương trên theo ứng suất để tìm phân bố lực ngang và hệ số áp lực ngang trong đất, áp lực chủ động và áp lực bị động tác dụng lên tường chắn [48]. Prandtl (1920) dựa trên ứng suất tìm được cường độ giới hạn của nền đất dưới tác dụng của áp lực truyền qua móng cứng (trình bày trong chương 1). Chiều cao giới hạn của mái dốc thẳng đứng cũng có thể tìm được từ việc xét trạng thái ứng suất trong khối đất (trình bày trong chương 1).
2 Tuy nhiên phương pháp sử dụng trạng thái ứng suất để nghiên cứu ổn định khối đất cho ta rất ít kết quả. Phương pháp nghiên cứu hiệu quả và được dùng rộng rãi là phương pháp mặt trượt. Coulomb (1776) là người đầu tiên dùng giả thiết mặt trượt phẳng để nghiên cứu áp lực đất tác dụng lên tường chắn. Felenius (1926) dùng mặt trượt trụ tròn để đánh giá ổn định mái dốc (trường phái Thụy điển). Tuy nhiên, để có được mặt trượt đúng, thì cần biến đổi hệ phương trình trên về hệ phương trình trong tọa độ cong mà tiếp tuyến của đường cong trùng với vectơ đường trượt như Koiter (1903) đã làm. Prandtl (1920) là người đầu tiên tìm được hàm giải tích của đường trượt cho trường hợp móng cứng đặt trên nền đất không trọng lượng (trình bày trong chương 1): đó là họ các mặt trượt phẳng và họ các mặt trượt xoắn ốc logarit Sokolovski (1965) dùng phương pháp sai phân hữu hạn để giải hệ phương trình vi phân đường trượt và nhận được kết quả số cho nhiều trường hợp tính toán khác nhau. Terzaghi (1943) và Berezansev (1958) cũng sử dụng họ các mặt trượt trong nghiên cứu ổn định khối đất. Chú ý rằng điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb đối với đất có ma sát làm thay đổi thể tích khối đất khi chảy dẻo, vi phạm quy tắc chảy dẻo kết hợp. Để tránh điều này, W. F. Chen đã dùng mặt trượt xoắn ốc logarit khi tính ổn định mái dốc [34]. Mặt trượt giữ vai trò quan trọng trong nghiên cứu ổn định khối đất cho nên W. F. Chen (1975) đã đưa ra phương pháp xây dựng mặt trượt giữa các khối đất cứng, giữa các khối bê tông và khối đá [34]. Từ cách làm đó đã hình thành nên lý thuyết đường trượt (slip-line field theory) hiện nay [41], [44]. Những vấn đề trên là cơ sở lý thuyết của các phương pháp tính toán thực hành và nghiên cứu ổn định khối đất được trình bày trong chương tổng quan của luận án. Phương pháp cân bằng giới hạn với hai cách giải nêu trên, như W. F. Chen đã nhận xét [34], chưa phải là ứng dụng đúng đắn của phương pháp phân tích giới hạn (limit analysis) của lý thuyết đàn - dẻo lý tưởng bởi vì chưa xét đến hiện tượng thể tích khối đất bị thay đổi khi dùng điều kiện chảy dẻo Mohr-Coulomb. Mặt khác, hệ phương trình cơ bản nêu trên không cho phép xác định trạng thái ứng suất tại những điểm chưa chảy dẻo, tức là không xét được trạng thái ứng suất của toàn khối
3 đất. Vì vậy, trong luận án “Nghiên cứu ổn định nền đường đất đắp trên nền thiên nhiên” được trình bày sau đây, bằng cách sử dụng lý thuyết min (max), tác giả có thể áp dụng trực tiếp định lý giới hạn để nghiên cứu ổn định của khối đất nói chung và ổn định của nền đất đắp trên nền thiên nhiên. 2. Mục đích nghiên cứu Xây dựng phương pháp mới (phương pháp áp dụng trực tiếp định lý giới hạn) đánh giá ổn định nền đất phù hợp với sự làm việc thực của môi trường đất, góp phần phát triển nghiên cứu về ổn định nền đường. Áp dụng phương pháp trên để xây dựng một số chương trình tính, lập được bảng tra và toán đồ giúp người kỹ sư nhanh chóng xác định được chiều cao và độ dốc giới hạn của nền đắp. Ngoài ra, sử dụng định lý giới hạn dưới của lý thuyết phân tích giới hạn cho ta biết được phân bố ứng suất trong khối đất trước khi phá hỏng và các mặt trượt xảy ra trong khối đất, từ đó có thể đưa ra các biện pháp phù hợp nâng cao ổn định nền đất khi cần thiết. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Nền đường đắp đất trên nền thiên nhiên. Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu vấn đề ổn định của nền đường đắp đất trên nền thiên nhiên xét trong trường hợp bài toán phẳng. 4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Đất không phải là vật liệu đàn hồi nên trong bài toán phẳng, hai phương trình cân bằng không đủ để xác định được ba thành phần ứng suất. Tác giả dùng thêm điều kiện min (max) để có đủ phương trình xác định trạng thái ứng suất trong toàn khối đất và áp dụng trực tiếp định lý giới hạn để nghiên cứu ổn định đồng thời nền đắp và nền thiên nhiên. Trong luận án trình bày các bài toán ổn định khác nhau: cường độ giới hạn của nền đất nằm ngang dưới tải trọng móng cứng (bài toán Prandtl), mái dốc của khối cát khô, mái dốc thẳng đứng trên nền thiên nhiên dưới tác dụng của tải ngoài và trọng lượng bản thân, nền đắp hình thang trên nền thiên nhiên dưới tác dụng của
4 trọng lượng bản thân. Từ những nghiên cứu đó có thể rút ra các kết luận và nhận xét định tính và định lượng sau đây: - Điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb cho biết vật liệu có nội ma sát càng lớn thì sức chịu tải càng lớn. Tuy nhiên đối với vật liệu xây dựng nền đắp như đất, cát các loại, đá dăm vụn thì vật liệu có lực dính đơn vị lớn mới là vật liệu bảo đảm ổn định mái dốc tốt hơn. Thực tiễn xây dựng nền đường đắp ở nước ta đã chứng thực điều đó. - Mặt trượt xuất hiện trên mái dốc và mặt nền đắp khi có tải trọng ngoài tác dụng. - Khi nghiên cứu ổn định nền đường đắp mà chỉ xét trọng lượng bản thân của đất thì không xuất hiện mặt trượt trên mái dốc và mặt nền đắp. - Tùy theo cường độ (c, ) của vật liệu nền đắp và nền thiên nhiên mà xảy ra các trường hợp phá hoại: cường độ vật liệu đắp càng lớn thì chiều cao giới hạn nền đắp càng lớn, độ dốc taluy càng lớn. Khi nền đắp có cường độ (c, ) bằng hoặc nhỏ hơn cường độ nền thiên nhiên thì mặt trượt chỉ xuất hiện ở chân taluy nền đắp, Khi nền đắp có cường độ lớn hơn nền thiên nhiên thì mặt trượt ăn sâu vào nền thiên nhiên. - Những tính toán so sánh cho thấy chiều cao giới hạn nền đắp theo phương pháp của tác giả xấp xỉ với chiều cao có chiết giảm theo các phương pháp mặt trượt (lấy hệ số an toàn lớn hơn 1). Điều này giải thích được bởi vì phương pháp mặt trượt cho ta giới hạn trên của chiều cao nền đắp. Tác giả đã xây dựng một số chương trình tính, lập được bảng tra và toán đồ giúp người kỹ sư nhanh chóng xác định được chiều cao và độ dốc giới hạn của nền đắp. Ngoài ra, từ biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo sẽ xác định được lưới mặt trượt nên có thể đưa ra được các biện pháp gia cường phù hợp, đúng vị trí để nâng cao ổn định nền đường khi cần. 5. Bố cục của luận án Luận án gồm những phần và chương sau: - Mở đầu
5 - Chương 1: Tổng quan về nghiên cứu ổn định nền đường đất đắp trên nền thiên nhiên - Chương 2: Cơ sở lý thuyết nghiên cứu ổn định nền đường đất đắp trên nền thiên nhiên - Chương 3: Bài toán cơ bản về tải trọng giới hạn và ổn định mái dốc - Chương 4: Nghiên cứu ổn định khối đất có mái dốc thẳng đứng - Chương 5: Phương pháp mới nghiên cứu ổn định nền đường đất đắp trên nền thiên nhiên - Kết luận và kiến nghị - Phần phụ lục 6. Đóng góp mới của luận án 1- Khác với các phương pháp truyền thống của cơ học đất, tác giả sử dụng lý thuyết min (max) để có thể áp dụng trực tiếp lý thuyết phân tích giới hạn vào nghiên cứu ổn định nền đất (không cho trước trạng thái ứng suất và hoặc dạng mặt trượt). Sử dụng định lý giới hạn dưới của lý thuyết phân tích giới hạn cho ta biết được phân bố ứng suất trong khối đất trước khi phá hỏng và các mặt trượt xảy ra trong khối đất, từ đó có thể đưa ra các biện pháp phù hợp nâng cao ổn định nền đất khi cần thiết. 2- Khác với phương pháp truyền thống là phương pháp nghiên cứu tách rời ổn định mái dốc với cường độ giới hạn của nền thiên, tác giả xây dựng bài toán ổn định tổng thể của nền đắp trên nền thiên nhiên để có thể xét được ảnh hưởng qua lại giữa chúng. 3- Các bài toán ổn định khối đất trình bày trong luận án là đúng đắn về cơ học, chặt chẽ về toán học và mới. Xét về mặt toán thì đó là các bài toán quy hoạch phi tuyến do có ràng buộc là điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb. Phương pháp giải số là phương pháp sai phân hữu hạn và để sử dụng các hàm tối ưu có sẵn, tác giả lập trình trên phần mềm Matlab để giải. Sơ đồ sai phân dùng trong luận án cho kết quả với độ chính xác cao, ví dụ như bài toán Flamant bằng số, góc dốc giới hạn của vật liệu có nội ma sát không dính đúng bằng góc nội ma sát của vật liệu, tải trọng giới
6 hạn của mái dốc thẳng đứng trùng với công thức lý thuyết (kết quả này cũng là mới), v.v 4- Phương pháp nghiên cứu ổn định nền đường đất đắp trên nền thiên nhiên trình bày trong luận án là phương pháp mới. Tác giả đã xây dựng một số chương trình tính, lập được bảng tra và toán đồ giúp người kỹ sư nhanh chóng xác định được chiều cao và độ dốc giới hạn của nền đắp. Ngoài ra, từ biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo sẽ xác định được lưới mặt trượt nên sẽ đưa ra được các biện pháp gia cường phù hợp, đúng vị trí để nâng cao ổn định nền đường khi có yêu cầu.
7 Chương 1 TỔNG QUAN VỀ NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH NỀN ĐƯỜNG ĐẤT ĐẮP TRÊN NỀN THIÊN NHIÊN Trong chương này trình bày các nghiên cứu về ổn định nền đường đất đắp trên nền thiên nhiên đã và đang được áp dụng ở Việt Nam và các nước trên thế giới. Tiếp theo, tác giả phân tích ưu, nhược điểm và các tồn tại của các phương pháp đó. Cuối cùng trình bày mục tiêu và nội dung nghiên cứu của đề tài luận án. 1.1. Phân tích các nghiên cứu liên quan ở trong và ngoài nước 1.1.1. Các dạng mất ổn định nền đắp trên nền thiên nhiên Theo tiêu chuẩn thiết kế đường ôtô TCVN 4054-2005 [7], nền đường phải đảm bảo ổn định, duy trì được các kích thước hình học, có đủ cường độ để chịu được các tác động của tải trọng xe và các yếu tố thiên nhiên trong suốt thời gian sử dụng. Do đó, với nền đường đắp phải đảm bảo không bị các hiện tượng như: trượt lở mái taluy, trượt phần đắp trên sườn dốc, trượt trồi, lún sụt nền đắp trên đất yếu (hình 1.1). Hình 1.1. Các hiện tượng mất ổn định nền đường đắp a. Trượt mái dốc nền đắp b. Trượt phần đắp trên sườn dốc c. Lún sụt trên đất yếu d. Trượt trồi trên đất yếu Tiêu chuẩn hiện hành ở nước ta có các quy định để đảm bảo ổn định nền đắp trên nền thiên nhiên cho từng trường hợp như sau:
8 Trường hợp chiều cao mái dốc đắp lớn Khi chiều cao mái dốc đắp lớn hơn 12m phải kiểm toán ổn định [7], [8]. Với mái dốc bằng vật liệu rời rạc, ít dính thì nên áp dụng phương pháp mặt trượt phẳng; với đất dính kết thì nên dùng phương pháp mặt trượt tròn, hệ số ổn định nhỏ nhất phải bằng hoặc lớn hơn 1,25. Trên thực tế thường sử dụng phương pháp phân mảnh cổ điển do Fellenius đề xuất từ năm 1926 [38] và phương pháp Bishop (1955) [32] để kiểm toán ổn định mái dốc. Phương pháp phân mảnh cổ điển giả thiết khối đất trên mái dốc khi mất ổn định sẽ trượt theo mặt trượt hình trụ tròn nhưng không xét đến tác dụng của các lực giữa các phân mảnh, còn phương pháp Bishop có xét đến các lực đẩy ngang tác dụng từ hai phía của mảnh trượt (không quan tâm đến điểm đặt của hai lực ngang đó). Trường hợp nền đắp trên sườn dốc Khi xây dựng nền đường trên sườn dốc [5], để đảm bảo điều kiện ổn định, việc tính toán, thiết kế cần đáp ứng được hai yêu cầu sau: - Nền đường phải đặt trên một sườn dốc ổn định và bản thân sườn dốc đó vẫn ổn định sau khi xây dựng nền đường. - Trên cơ sở một sườn dốc chắc chắn ổn định, nền đắp phải không bị trượt trên mặt dốc đó và bản thân mái ta luy của nền đường phải đảm bảo ổn định. Đánh giá sự ổn định của sườn dốc thường dựa vào cách tính toán trên cơ sở xét điều kiện cân bằng tĩnh của khối trượt trên mặt trượt dự kiến (hoặc mặt trượt đã điều tra được). Các phương pháp thường được sử dụng là phương pháp Maslov, phương pháp Shakhunyants cho mặt trượt gẫy khúc và phương pháp mặt trượt trụ tròn khi khó xác định mặt trượt. Trường hợp nền đắp trên đất yếu Nền đắp trên đất yếu [6] phải đảm bảo ổn định, không bị phá hoại do trượt trồi trong quá trình thi công đắp (đắp phần nền theo thiết kế hoặc đắp cao hơn cao độ thiết kế để gia tải trước) và trong suốt quá trình đưa vào khai thác sử dụng sau đó.
9 Phương pháp được sử dụng để tính toán đánh giá mức độ ổn định của nền đắp trên đất yếu là phương pháp phân mảnh cổ điển hoặc phương pháp Bishop với mặt trượt tròn khoét xuống vùng đất yếu. Có thể nói yêu cầu vừa nêu trên của quy trình khảo sát thiết kế nền đường ôtô đắp trên đất yếu không đảm bảo điều kiện an toàn và không phù hợp với truyền thống nghiên cứu ổn định khối đất. 1.1.2. Phương pháp nghiên cứu ổn định nền đường Đất là vật liệu phức tạp, chúng ta chưa biết được đầy đủ các đặc trưng cơ lý của nó. Tuy nhiên, nghiên cứu mẫu đất trong phòng thí nghiệm cũng như thí nghiệm tấm ép ở hiện trường cho thấy có thể coi đất là vật liệu đàn dẻo lý tưởng tuân theo điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb [34] để có thể sử dụng phương pháp cân bằng giới hạn hoặc tổng quát hơn là các định lý về phân tích giới hạn để nghiên cứu ổn định của khối đất. Vì vậy, trong mục này, trước khi giới thiệu các phương pháp nghiên cứu ổn định nền đất, tác giả trình bày các liên hệ cơ bản của vật liệu đàn dẻo lý tưởng. 1.1.2.1. Các liên hệ cơ bản của vật liệu đàn dẻo lý tưởng Để trình bày ngắn gọn, ta sẽ dùng các quy tắc chỉ số sau: a a a 2 a 2 a 2 i i 1 2 3 (1.1a) a kk a1 a 2 a3 Hệ số Kronecker ij 0 nếu i j (1.1b) ij 1 nếu i j Tenxơ môđun đàn hồi E  E (    ) (1.1c) ijkl 1  lk ij 1 2 ij kl Biến dạng dẻo Trên hình 1.2 trình bày quan hệ ứng suất biến dạng của vật liệu đàn dẻo lý tưởng khi chịu ứng suất một chiều [2], [41]. Ứng suất tăng từ không đến giới hạn
10 đàn hồi E thì ta có biến dạng đàn hồi, khi đạt giới hạn này thì ứng suất không tăng nhưng biến dạng vẫn tăng. Khi dỡ tải, đường dỡ tải song song với đường đặt tải và biến dạng không hồi phục hoàn toàn, đó là biến dạng dẻo. Ta thấy biến dạng dẻo phụ thuộc vào quá trình (lịch sử) đặt tải. Ứng suất E còn được gọi là giới hạn dẻo.Vật liệu đất được xem là vật liệu đàn dẻo lý tưởng.  E E O P E    Hình 1.2. Mô hình đàn dẻo lý tưởng Hàm giới hạn chảy dẻo Vấn đề đầu tiên cần nghiên cứu là đưa ra các điều kiện chảy dẻo cho trường hợp vật liệu làm việc ở trạng thái ứng suất phức tạp. Các điều kiện chảy dẻo cũng phải được kiểm tra bằng thí nghiệm. Đối với vật liệu đàn dẻo lý tưởng, điều kiện chảy dẻo được viết dưới dạng sau: f (ij) k 0 (1.2) trong đó: ij biểu thị trạng thái ứng suất tại một điểm trong vật thể; k là thông số vật liệu. Hiện nay, trong tính toán thường dùng các điều kiện chảy dẻo sau: điều kiện chảy dẻo Tresca, điều kiện chảy dẻo Von Mises, điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb, điều kiện chảy dẻo Drucker- Prager [34]. Điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb sẽ được dùng trong luận án này nên được giới thiệu ở đây. Vòng tròn Mohr Khi biết trạng thái ứng suất tại một điểm thì sử dụng vòng tròn Mohr ta có thể biết được trạng thái ứng suất trên các bề mặt khác nhau qua điểm đó. Như vậy, để vẽ vòng tròn Mohr (hình 1.3), trước hết ta vẽ hệ trục tọa độ vuông góc O với
11 trục hoành là ứng suất pháp và trục tung là ứng suất tiếp . Biết trạng thái ứng suất của một điểm ta có thể xác định được ứng suất chính lớn nhất 1 và ứng suất chính nhỏ nhất 2. Vẽ vòng tròn Mohr qua hai điểm trên trục hoành có hoành độ 1 và 2, tâm C trên trục hoành có hoành độ bằng 1/2(1+2), bán kính bằng 1/2(1-2).   1  A  2       2 2 C 1  B 1 Hình 1.3. Vòng tròn Mohr Các thành phần ứng suất trên mặt phẳng bất kỳ nghiêng một góc bằng so với phương ứng suất chính nhỏ nhất 2 được xác định bởi điểm A trên vòng Mohr có: ứng suất pháp  là hoành độ điểm A; ứng suất tiếp  là tung độ điểm A. Các giá trị này được xác định như sau:      1 2 1 2 cos2 2 2 (1.3)    1 2 sin 2 2 Điểm B trên vòng tròn Mohr đối xứng với điểm A qua tâm C xác định các thành phần ứng suất trên mặt vuông góc với mặt đang xét. Điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb Năm 1776 Charles-Augustin de Coulomb, nhà khoa học người Pháp có những đóng góp quan trọng vào lý thuyết điện, đã sử dụng sự tương tự với một khối trượt để đề nghị ứng suất tiếp giới hạn f trong đất như sau [48]:
12 f =tg +c (1.4) trong đó:  là ứng suất nén vuông góc với mặt phẳng đang xét; c là lực dính đơn vị; là góc nội ma sát. Hiểu một cách đơn giản là nếu ứng suất tiếp trên tất cả các mặt phẳng nhỏ hơn ứng suất tiếp giới hạn f thì biến dạng sẽ bị giới hạn. Nếu ứng suất tiếp trên một mặt phẳng nào đó lớn hơn ứng suất tiếp giới hạn f thì xuất hiện biến dạng trượt trong đất. Bây giờ ta có thể xác định bán kính vòng tròn Mohr khi ứng suất thỏa mãn điều kiện chảy dẻo Coulomb. Trên hình 1.4, vòng tròn Mohr tiếp xúc với hai đường ứng suất tiếp giới hạn tạo với trục hoành một góc và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng c được gọi là vòng tròn Mohr giới hạn. Chiếu đoạn OC có chiều dài bằng (1+2)/2 và đoạn OF có chiều dài bằng c lên trục CD ta lần lượt được được các đoạn CO’ và O’D. Do đó, ta có bán kính vòng tròn Mohr giới hạn được xác định theo công thức sau:   R CD 1 2 sin c.cos (1.5) gh 2  tg c    D f O' F c  O 2  C 1 E Hình 1.4. Điều kiện chảy dẻo Mohr-Coulomb
13 Do bất biến thứ nhất của trạng thái ứng suất có: 1+2=x+y, nên phương trình (1.5) có thể viết thông qua ứng suất thành phần như sau:   R x y sin c.cos (1.6) gh 2 trong đó: x, y là các ứng suất pháp theo phương x, y. Khi ứng suất tiếp max (max) trong các mặt phẳng đi qua trọng tâm của một phân tố thỏa mãn điều kiện:    x y sin c.cos (1.7) max 2 thì xuất hiện biến dạng dẻo trong đất. Trường hợp tổng quát ta có thể viết:    x y sin c.cos 0 (1.8) max 2 Điều kiện (1.8) thường gọi là điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb. Nhân cả 2 vế của phương trình (1.5) với cos (chính là phép chiếu đoạn CO’ và đoạn O’D lên trục tung), ta được điều kiện chảy dẻo như (1.4): f tg c Các liên hệ cơ bản giữa ứng suất và biến dạng Có rất nhiều mô hình toán khác nhau nhằm xác lập quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của vật liệu dẻo. Cho đến nay các nhà nghiên cứu đều thống nhất sử dụng mô hình xác định tốc độ biến dạng dẻo theo phương trình sau [35], [36],[40], [41]: p f (ij )  ij  (1.9) ij trong đó: là hệ số tỉ lệ; ≥ 0 nếu f = k và f ' = 0 (k là giới hạn chảy dẻo); = 0 nếu f < k hoặc f = k và f ' < 0.
14 Quan hệ (1.9) cho thấy chiều của biến dạng dẻo trùng với pháp tuyến của mặt dẻo khi xây dựng mặt dẻo trong tọa độ ứng suất. Trên hình 1.5 trình bày mặt dẻo trong tọa độ hai chiều. . P f( ij )  ij ij TiÕp tuyÕn . P a ij Th¼ng duy nhÊt .P a E ij a   ij ij f '( ) = 0 ij ij .P c ij c E d d ij ij . ij P ij ij b ij §µn håi b f '( ij ) < 0 .P ij Gãc Hình 1.5. Mặt chảy dẻo và vectơ tốc độ biến dạng dẻo Cho nên công thức (1.9) được gọi là quy tắc pháp tuyến, còn gọi là quy tắc chảy kết hợp, xem chiều của tốc độ biến dạng dẻo trùng với gradient của hàm chảy dẻo. Các điều kiện chảy dẻo Tresca và Von Mises [49], [50] không phụ thuộc vào bất biến ứng suất thứ nhất nghĩa là xem biến dạng dẻo thể tích luôn bằng không ( kk 0 ). Điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb như đã trình bày trên phụ thuộc vào bất biến ứng suất thứ nhất cho nên biến dạng dẻo thể tích khác không. W. F. Chen đã xét đến tính chất vừa nêu trên, hay còn gọi là quy tắc chảy không kết hợp, để nghiên cứu ổn định mái dốc và cường độ giới hạn của khối đất [25], [34]. Tính lồi của hàm chảy dẻo cùng với quy tắc pháp tuyến cho ta bất đẳng thức quan trọng sau: 0 p (ij ij ) ij 0 (1.10) p 0 Ở đây  ij là tốc độ biến dạng dẻo ứng với ij , còn ij là ứng suất bất kỳ thỏa 0 p mãn điều kiện f (ij ) k . Tích ijij được gọi là năng lượng dẻo khuếch tán.
15 Dựa vào bất đẳng thức (1.10) để chứng minh các định lý phân tích giới hạn trình bày ở phần sau và đó là ý nghĩa quan trọng của nó. Từ hình 1.2, ta có thể viết: E P ij ij ij (1.11) E R do đó: ij ij ij (1.12) R Ở đây ij là trạng thái ứng suất dư sau khi dỡ tải, cho nên trạng thái ứng suất dư phải là trạng thái ứng suất tự cân bằng. Biến dạng đàn hồi được xác định theo định luật Hooke tuyến tính. Ta có các quan hệ sau để xác định biến dạng và chuyển vị đối với vật thể đàn dẻo lý tưởng: 1 E 1 E (uE uE ) ijkl kl 2 i, j j,i 1 P E 1 R (uR uR ) (1.13) ij ijkl kl 2 i, j j,i E R ui ui ui ui ký hiệu: ui,j x j Có thể thấy bài toán dẻo rất phức tạp vì tính chất phi tuyến. Tuy nhiên, người thiết kế thường quan tâm đến lực giới hạn, hoặc tải trọng giới hạn của kết cấu, tức là lực gây ra phá hoại kết cấu. Trong trường hợp đó sử dụng “phương pháp phân tích giới hạn” là phương pháp đơn giản mà người thiết kế rất quan tâm [25], [33], [34], [48]. Nền tảng của phương pháp này là hai định nghĩa và định lý sau: Định nghĩa 1: Trường ứng suất tĩnh học cho phép (hay trường ứng suất cân bằng) là trường ứng suất thỏa mãn các điều kiện sau đây: a. Điều kiện cân bằng tại mọi điểm của vật thể; b. Điều kiện biên ứng suất; c. Điều kiện chảy dẻo không bị vượt quá tại bất kỳ điểm nào của vật thể. Định lý giới hạn dưới: Trong tất cả các trạng thái cân bằng, tải trọng phá hoại thực lớn hơn tải trọng lớn nhất tìm được ở trạng thái cân bằng. Định nghĩa 2: Trường chuyển vị động học cho phép (hay cơ chế phá hoại) là trường chuyển vị và biến dạng thỏa mãn các điều kiện sau đây:
16 a. Trường chuyển vị là liên tục, tức là không có những chỗ đứt đoạn hoặc trùng nhau kéo dài trong vật thể (cho phép trượt phần này dọc theo phần khác); b. Điều kiện biên chuyển vị và biến dạng; c. Bất kỳ vị trí nào có biến dạng thì ứng suất tại đó thỏa mãn điều kiện chảy dẻo. Nhận xét: Từ định nghĩa 2 ta thấy kết cấu hoặc ở trạng thái cứng, hoặc là dẻo (hệ cứng dẻo). Định lý giới hạn trên: Trong tất cả các trạng thái chuyển vị động học cho phép, tải trọng phá hoại thực phải nhỏ hơn tải trọng nhỏ nhất của cơ chế. Ở đây, tải trọng phá hoại của cơ chế được xác định theo nguyên lý công ảo. Từ các định nghĩa và định lý giới hạn trên ta thấy: giới hạn dưới - trường ứng suất cân bằng; giới hạn trên - trường ứng suất chỉ xác định tại các điểm chảy dẻo. Giới hạn trên chỉ cho ta biết dạng phạm vi chảy dẻo hoặc đường trượt nên để xác định được tải trọng giới hạn thì không thể dùng giới hạn trên riêng biệt mà phải dùng cả giới hạn dưới. Lời giải đúng khi giới hạn trên bằng giới hạn dưới. 1.1.2.2. Phương pháp nghiên cứu ổn định khối đất Phương pháp nghiên cứu ổn định khối đất (cường độ giới hạn nền thiên nhiên và ổn định mái dốc) trong bài toán phẳng là phương pháp giải hệ phương trình sau:  x yx 0 x y  y xy  0 (1.14) y x x y max sin c.cos 2 trong đó: x, y, xy, yx là trạng thái ứng suất tại một điểm trong đất; là góc nội ma sát; c là lực dính đơn vị.
17 Phương trình thứ ba của hệ (1.14) là điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb viết dưới dạng ứng suất thành phần. Hệ (1.14) gồm ba phương trình chứa ba ẩn ứng suất x, y, xy nên bài toán là xác định. Giải hệ trên theo ứng suất dùng định lý giới hạn dưới phải giả thiết trạng thái ứng suất của từng vùng trong khối đất thỏa mãn phương trình cân bằng và điều kiện Mohr-Coulomb, do đó đây là cách làm gián tiếp. Theo cách này, có thể kể đến lời giải của Prandtl về tải trọng giới hạn, hoặc bài toán xác định chiều cao giới hạn của mái dốc thẳng đứng. Giải hệ trên theo đường trượt dùng định lý giới hạn trên bằng cách viết hệ phương trình trong tọa độ cong. Koiter (1903) là người đầu tiên đưa ra cách viết này, còn Prandtl (1920) là người đầu tiên giải được bằng giải tích và nhận được họ các đường trượt trong trường hợp đất không trọng lượng. 1.1.2.3. Cường độ giới hạn nền thiên nhiên Lời giải Prandtl Prandtl (1920) là người đầu tiên giải bằng giải tích hệ phương trình trên cho trường hợp bài toán móng băng khi không xét trọng lượng thể tích đất. Xét trường hợp một móng băng cứng chiều rộng B, có đáy trơn nhẵn (ma sát giữa đáy móng và mặt nền bằng không) đặt trên nền không trọng lượng. Dùng định lý giới hạn dưới, Prandtl đã phân chia một phạm vi dưới tải trọng thành ba vùng I, II và III với giả thiết trạng thái ứng suất của mỗi vùng đều thỏa mãn hai phương trình cân bằng và điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb như hình 1.6 [33], [34], [48]. p A B E III I II C D Hình 1.6. Sơ đồ tính toán theo định lý giới hạn dưới
18 Vùng I, các thành phần ứng suất được giả thiết x= 2c; y=0 và xy=0. Ứng suất tại mặt tiếp giáp giữa vùng I và vùng II (mặt BD) là cơ sở để xác định ứng suất vùng II. Trong vùng II, ứng suất trong hệ tọa độ cực của tất cả các điểm trong vùng là rr  (khi đường trục trùng với trục thẳng đứng thì x y ) và r r c. Ứng suất tại mặt tiếp giáp giữa vùng II và III (mặt BC) là cơ sở để xác định ứng suất vùng III là: x= c, y=( +2)c, xy=0 Các ứng suất vùng III phải thỏa mãn điều kiện biên tại mặt tiếp giáp tải trọng (mặt AB). Vì vậy, tải trọng tác dụng là p = y = ( +2)c. Lời giải này phù hợp với tất cả các điều kiện của một hệ cân bằng. Tải trọng giới hạn của Prandtl: pgh = ( +2)c = 5,14c (1.15) Prandtl đã xác định được mặt trượt khi nền đất ở trạng thái cân bằng giới hạn với bài toán không trọng lượng (hình 1.6). Mặt trượt phân cắt khối đất thành hai phần: phần dưới mặt trượt và khối đất trượt, chỉ những điểm thuộc mặt trượt ở trạng thái cân bằng giới hạn, đất thuộc khối trượt coi như vật thể cứng. Từ cứng ở đây được hiểu theo nghĩa động học là các chất điểm của mỗi miền có vectơ dịch chuyển cùng phương, cùng chiều và cùng trị số, không có sự dịch chuyển tương đối giữa các hạt đất. Mặt trượt gồm hai đoạn thẳng AC và DE nối với nhau bằng đoạn cong CD dạng xoắn ốc logarit. Khối trượt được chia làm ba miền. Miền chủ động dạng tam giác ACB ngay dưới đáy móng có xu hướng dịch chuyển xuống theo móng, miền bị động BDE có xu hướng chuyển động lên trên, miền trung gian BCD kẹp giữa miền chủ động và miền bị động. Dùng định lý giới hạn trên, Prandtl đã vẽ được lưới mặt trượt cho phép (thỏa mãn các điều kiện chuyển vị biến dạng cho phép) như hình 1.7.
19 Hình 1.7. Sơ đồ tính toán theo định lý giới hạn trên Prandtl xác định tải trọng giới hạn: pgh = ( +2)c = 5,14c (1.16) Tải trọng giới hạn được xác định từ định lý giới hạn dưới và định lý giới hạn trên cho kết quả bằng nhau nên có thể coi lời giải của Prandtl là lời giải đúng của phương pháp phân tích giới hạn. Trường hợp móng đặt sâu vào trong nền đất, coi trọng lượng lớp đất hai bên móng như một tải trọng bên phân bố đều q như hình 1.8 [10], [30], [48]. Hình 1.8. Sơ đồ tải trọng và vùng cân bằng giới hạn Tải trọng giới hạn pgh ứng với sơ đồ trên được xác định theo công thức: 1 sin p (q c.cotg ) e .tg c.cotg (1.17) gh 1 sin trong đó: e là cơ số logarit tự nhiên; Khi nền thiên nhiên thuộc loại đất dính lý tưởng có =0, c≠0, tải trọng giới hạn của nền pgh là:
20 pgh ( 2)c q (1.18) Nhìn vào công thức (1.17) và (1.18), ta thấy tải trọng giới hạn tính theo Prandtl không phụ thuộc vào bề rộng móng B. Novotortsev (1938) giải bài toán tổng quát khi cho tải trọng tác dụng xiên góc so với phương đứng. Lời giải toán học chính xác cho vấn đề quan trọng là xét trọng lượng thể tích của đất nền rất phức tạp. Do vậy, rất nhiều phương pháp giải gần đúng đã được phát triển. Sokolovski (1965) đưa ra phương pháp giải số trên cơ sở gần đúng bằng sai phân hữu hạn. Thực tế xây dựng và thí nghiệm mô hình đã chứng tỏ rằng khi khối đất bị phá hoại, các điểm của khối đất không đạt trạng thái phá hoại cùng lúc mà có nơi vẫn đang ở trạng thái cân bằng bền [24]. Phương pháp Terzaghi (1943) Phương pháp này thực tế là mở rộng, cải tiến phương pháp của Prandtl khi có xét đến ma sát giữa đáy móng và nền đất, tức là coi móng thô ráp (gồ ghề), điều này sẽ gần với thực tế hơn [4], [10], [24], [45], [47]. Terzaghi cũng bỏ qua ảnh hưởng của trọng lượng đất đến hình dạng mặt trượt như Prandtl để giải (hình 1.9). Hình 1.9. Sơ đồ khả năng chịu tải của nền theo Terzaghi Để xét đến trọng lượng của đất nền, Terzaghi xét sự cân bằng tĩnh của phần khối đất trượt để đưa ra công thức xác định tải trọng giới hạn như sau: 1 p N ..B N .q N .c (1.19) gh 2  q c trong đó: B là chiều rộng móng; q là tải trọng bên;  là trọng lượng thể tích của đất;
21 c là lực dính đơn vị của đất; N, Nq, Nc là các hệ số khả năng chịu tải, phụ thuộc vào góc nội ma sát , được xác định theo bảng lập sẵn. Phương pháp Berezansev Bằng thực nghiệm, Berezansev phát hiện thấy khi bị trượt đáy móng gắn với một nêm đất do ma sát giữa móng và đất (hình 1.10). Ông cũng nhận thấy rằng khi móng khá nông (h/b < 0.5) thì nêm đất có dạng tam giác cân với góc ở đáy = /4. Hình 1.10. Sơ đồ khả năng chịu tải của nền theo Berezansev Từ đó, Berezansev đưa ra công thức xác định tải trọng giới hạn như sau [14], [23], [47]: pgh N ..B Nq.q Nc.c (1.20) trong đó: N, Nq, Nc là các hệ số khả năng chịu tải, phụ thuộc vào góc nội ma sát , được xác định theo bảng lập sẵn. Ngoài ra, còn có nhiều phương pháp tính tải trọng giới hạn giới hạn khác mà mặt trượt được xác định từ phương pháp cân bằng giới hạn như: phương pháp Vesic, Ebdokimov, Meyerhof, Hansen, . Các phương pháp này tuy dựa vào các thuật toán và giả thiết khác nhau nhưng về cấu trúc, các công thức tính tải trọng giới hạn đều gồm ba số hạng gắn với các hệ số N, Nq, Nc. Các hệ số Nq, Nc liên quan đến chiều sâu đặt móng và lực dính của đất không khác nhau nhiều giữa các phương pháp. Riêng hệ số N khác nhau đáng kể vì phương thức xét ảnh hưởng của trọng lượng đất khác nhau [24].
22 Phương pháp dựa trên lý thuyết đàn hồi Phương pháp này dùng để xác định tải trọng giới hạn hay tải trọng giới hạn đàn hồi của riêng nền thiên nhiên còn nền đắp coi như tải trọng ngoài. Tải trọng tác dụng vào nền đất mà trong nền đất có một điểm chảy dẻo được gọi là tải trọng giới hạn đàn hồi [10], [17], [20], [24], [26], [47]. Trạng thái ứng suất tại bất kỳ một điểm trong đất được xác định dựa trên lý thuyết đàn hồi và có thể xác định được nhờ bài toán phẳng Flamant. Để đơn giản trong tính toán, trường hợp hình dạng nền đắp gần với dạng phân bố chữ nhật (phân bố đều) thì có thể đưa về dạng phân bố đều để tính toán, nếu hình dạng nền đắp gần với dạng tam giác thì có thể đưa về dạng tam giác bằng một tiết diện tương đương có cùng đáy. a) Trường hợp nền chịu tải trọng dạng phân bố đều Khi không xét trọng lượng thể tích của đất, trạng thái ứng suất tại điểm M được xác định theo lời giải Flamant [48] như sau (hình 1.11): b p x O 1 2 Phân giác   2 M y Hình 1.11. Sơ đồ xác định trạng thái ứng suất trường hợp tải trọng hình băng phân bố đều p  (2 sin 2cos2) y p x (2 sin 2cos2) (1.21) p xy sin 2cos2 Từ mối liên hệ giữa ứng suất chính với ứng suất thành phần theo công thức:
23 2 x y x y 2 1,2 xy (1.22) 2 2 ta có ứng suất chính lớn nhất và nhỏ nhất tại điểm M như sau: p  (2 sin 2) 1 (1.23) p  (2 sin 2) 2 Theo Mohr- Coulomb thì điểm M ở trạng thái chảy dẻo khi (1.19) thỏa mãn điều kiện để vòng tròn Mohr tiếp xúc với với đường Coulomb. Ta có:   sin 1 2 (1.24) 1 2 2c.cot g Hoặc là:      1 2 1 2 sin c.cos (1.25) max 2 2 trong đó: c là lực dính đơn vị của đất; là góc nội ma sát của đất. Khi nền thiên nhiên thuộc loại đất dính lý tưởng có =0, c≠0, thay (1.23) vào (1.25), ta được: p  sin 2 c (1.26) max Từ (1.26) ta thấy ứng suất tiếp max đạt giá trị lớn nhất tại điểm có sin2=1 và vị trí xuất hiện chảy dẻo sớm nhất là tại hai mép dải tải trọng. Do đó tải trọng giới hạn đàn hồi của nền p0 là: p0 .c (1.27) Khi xét trọng lượng thể tích của đất, tải trọng giới hạn đàn hồi p0 trong trường hợp tổng quát được xác định theo công thức của Puzyrevsky như sau: .(.h c.cotg ) p h (1.28) 0 cotg 2
24 trong đó:  là trọng lượng thể tích của đất; h là chiều sâu đáy nền đắp so với mặt tự nhiên. b) Trường hợp nền chịu tải trọng phân bố dạng tam giác b b p x O 0.5b M y Hình 1.12. Sơ đồ xác định trạng thái ứng suất trường hợp tải trọng hình băng phân bố dạng tam giác Theo N. N. Maslov [8], [24], với tải trọng phân bố dạng tam giác hoặc hình thang nhưng gần với dạng tam giác thì điểm đầu tiên xuất hiện chảy dẻo nằm trên trục đối xứng của tải trọng và cách đáy nền đường một độ sâu bằng 0.5b (hình 1.12). Khi đó, ứng suất tiếp max được xác định theo công thức: max 0,25p (1.29) Khi nền thiên nhiên thuộc loại đất dính có =0, c≠0, thay (1.29) vào (1.25), ta được tải trọng giới hạn đàn hồi của nền p0 là: p0 4.c (1.30) Giáo sư Lê Bá Lương [21] khi nghiên cứu về sự xuất hiện và biến đổi vùng trạng thái ứng suất giới hạn trong nền thiên nhiên đã đưa ra công thức xác định tải trọng giới hạn đàn hồi khi tải trọng nền đắp phân bố dạng tam giác hoặc gần với tam giác như sau:
25 2c.cos .b.sin p0 (1.31) 0 trong đó: 0 là hệ số phụ thuộc vào góc nội ma sát tương ứng với trường hợp vùng dẻo mới hình thành tại một điểm và có bảng tra sẵn. Khi nền thiên nhiên thuộc loại đất dính lý tưởng có =0, c≠0, tra bảng được 0=0,5, thay vào (1.31), ta cũng được tải trọng giới hạn đàn hồi của nền là p0 4.c như ở (1.30). Ngoài ra, ta có thể dùng phương pháp đường đẳng K để đánh giá khả năng chịu tải của nền thiên nhiên [17], [21], [26]. Hệ số ổn định tại điểm M theo một hướng bất kỳ qua M là:  .tg c K (1,1, ) (1.32)  trong đó:  ,  là ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt đang xét; 1, 2 là các thành phần ứng suất chính; c là lực dính đơn vị; là góc nội ma sát; là góc nghiêng của mặt đang xét so với mặt chính. Muốn biết theo mặt nào nguy hiểm nhất tức là trên mặt đó có hệ số ổn định nhỏ nhất (Kmin) cần lập và giải phương trình: dK 0 (1.33) d Từ đó rút ra được tương ứng với Kmin và thay trị số vào biểu thức của K ta được: K min 2 A(A f ) (1.34)  .tg c trong đó: A 1 1 2 f tg
26 M Nếu K min 1 thì ở tại điểm M chắc chắn không phát sinh chảy dẻo. Sau khi tính được trị số Kmin ở rất nhiều điểm trong đất ta sẽ vẽ được các “đường đẳng Kmin” như hình 1.13. Hình 1.13. Đường đẳng Kmin và bề rộng vùng dẻo R Nếu trong đất không có điểm nào có Kmin < 1,0, tức là không có điểm nào phát sinh chảy dẻo thì nền đắp chắc chắn sẽ rất ổn định. Ngược lại, vùng có Kmin < 1,0 sẽ phát sinh vùng dẻo. Nếu vùng dẻo càng rộng và lan ra phía hai mép chân taluy nền đắp thì đất yếu sẽ bị đẩy trượt trồi ra hai bên và nền đắp chắc chắn sẽ mất ổn định. Xét đến điều kiện kinh tế và theo kinh nghiệm của nước ngoài [17], [21], nếu nền thiên nhiên có vùng dẻo R thỏa mãn điều kiện: 1 R B (1.35) 2 với B là bề rộng đáy nền đắp, thì nền đắp vẫn có thể ổn định. Khi tính toán kiểm tra hệ số Kmin bao giờ cũng tiến hành kiểm tra cho các điểm nằm trên trục tim của nền đắp trước, vì tại đó thường chịu ứng suất lớn nhất. Nếu tại các điểm đó đều Kmin ≥ 1 thì chắc chắn nền đắp ổn định.
27 Giáo sư Đặng Hữu [20], khi kiểm tra sự xuất hiện vùng dẻo đã đưa ra khái niệm ứng suất cắt hoạt động a và công thức xác định như sau:     1 1 2 1 2 sin c (1.36) 2 2 cos Vế trái của (1.32) là ứng suất cắt hoạt động a và đây cũng là một cách viết khác của điều kiện chảy dẻo Mohr-Coulomb. Để thuận lợi cho việc tính toán, giáo sư Đặng Hữu đã lập toán đồ xác định trị số a/p tùy thuộc vào góc nội ma sát của nền tự nhiên và hình dạng của nền đắp hình thang khi không xét và có xét trọng lượng thể tích của nền thiên nhiên. Có thể thấy rằng, kết quả tính toán giới hạn đàn hồi được coi là chặt chẽ về mặt lý thuyết khi trong nền đất mới xuất hiện một điểm chảy dẻo, tức là trạng thái ứng suất được xác định trực tiếp từ lý thuyết đàn hồi. Tuy nhiên, thực tế cho thấy khi một điểm chảy dẻo hoặc khi xuất hiện chảy dẻo cục bộ công trình vẫn làm việc bình thường. Trường hợp cho phép vùng dẻo phát triển thành miền, lời giải nêu trên không xét đến sự phân bố lại ứng suất trong miền đàn hồi vì công nhận vòng tròn Mohr cắt đường giới hạn Coulomb và cứ lớn dần mãi khi tải trọng ngoài tăng sẽ dẫn đến sai số càng lớn khi kích thước cùng dẻo càng lớn [24]. 1.1.2.4. Phương pháp nghiên cứu ổn định mái dốc a. Phương pháp giả định mặt trượt Phương pháp phân mảnh cổ điển Trên thực tế thường phổ biến sử dụng phương pháp phân mảnh cổ điển để kiểm toán ổn định mái dốc. Phương pháp này do W.Fellenius người Thụy Điển đề xuất từ năm 1926 với giả thiết khối đất trên mái dốc khi mất ổn định sẽ trượt theo mặt trượt hình trụ tròn nhưng không xét đến tác dụng của các lực giữa các phân mảnh [3], [4], [6], [10], [14], [17], [23], [24], [26], [38].
28 Hình 1.14. Sơ đồ tính ổn định mái dốc a. Fellenius b. Bishop Xét bài toán phẳng như hình 1.14a, phân khối đất trượt hình trụ tròn thành các mảnh và giả thiết khi trượt cả khối trượt sẽ cùng trượt một lúc do đó giữa các mảnh không có lực ngang tác dụng lên nhau; trạng thái giới hạn chỉ xảy ra trên mặt trượt. Như vậy mỗi mảnh trượt i sẽ chịu tác dụng của trọng lượng bản thân Pi; Pi phân thành hai thành phần: lực tiếp tuyến tại mặt trượt Ti=Pi.sin i và lực pháp tuyến Ni=Picos i; lực tiếp tuyến gây trượt. còn lực pháp tuyến gây ra lực ma sát Ni.tg i (với tg i là hệ số ma sát của phần đất trên đáy mặt trượt thuộc phạm vi mảnh i). Lực ma sát cùng với lực dính ci.li dưới đáy mảnh trượt sẽ là những thành phần cản trở trượt (li và ci là chiều dài và lực dính đơn vị của phần đất trên đoạn mặt trượt thuộc phạm vi mảnh i). Nếu cần xét tác dụng của động đất thì mỗi mảnh trượt còn chịu thêm một lực gây trượt Wi có cánh tay đòn so với tâm O là Zi. So sánh tổng mô men đối với tâm trượt O do các lực gây trượt Ti và Wi của các mảnh i với tổng mô men cản trở trượt Ni.tg i+ci.li của các mảnh i, ta sẽ biết được mức độ ổn định của taluy đối với mặt trượt giả thiết (có tâm O và bán kính R), cụ thể hệ số ổn định K được xác định như sau:
29 n n (Ni.tg i ci .li ) (Pi.cos i.tg i ci.li ) 1 1 K n n (1.37) Zi Zi (Ti Wi ) (Pi .sin i Wi ) 1 R 1 R Trên đây mới chỉ xác định được hệ số ổn định K ứng với một mặt trượt nào đó nhưng chưa chắc mặt trượt này đã là mặt trượt nguy hiểm nhất. Chúng ta cần giả thiết nhiều mặt trượt khác nhau, tương ứng với mỗi mặt trượt sẽ tính được hệ số K, từ đó lấy trị số K nhỏ nhất (Kmin) trong số các trị số K tính được. Trị số Kmin này mới biểu thị cho mức độ ổn định của mái taluy đó. Phương pháp Bishop Theo phương pháp này, việc tính toán ổn định taluy cũng giống như phương pháp phân mảnh cổ điển, chỉ khác là ở mỗi mảnh trượt, Bishop có xét đến các lực đẩy ngang Ei+1 và Ei-1 (hình 1.14b) tác dụng từ hai phía của mảnh trượt (không quan tâm đến điểm đặt của hai lực ngang đó) [3], [4], [6], [10], [14], [17], [23], [24], [26], [32]. Đối với toàn bộ khối trượt trụ tròn thì phải có:  Ei =  Ei+1 - Ei-1) = 0 (do toàn bộ khối trượt ở vào trạng thái cân bằng) và không quan tâm đến vị trí điểm đặt của các lực ngang như trên đã giả thiết, do đó mômen do  Ei của các mảnh trượt gây ra đối với tâm trượt O cũng sẽ bằng không. Từ đó, hệ số ổn định K tương ứng với một mặt trượt tròn đã biết vẫn được xác định như sau: n (Ni .tg i ci .li ) 1 K n (1.38) Zi (Ti Wi ) 1 R Tuy nhiên, ở đây các thành phần Ti và Ni không phải chỉ do trọng lượng mảnh trượt Pi gây ra, mà còn do cả các lực ngang chưa biết Ei+1, Ei-1 gây ra, tức là không được xác định chúng như ở phương pháp Fellenius với Ni=Picos i và Ti=Pi.sin i, mà phải xác định chúng theo quan hệ sau (xuất phát từ phương trình cân bằng lực theo phương thẳng đứng của mảnh i): Ni .cos i Ti .sin i Pi (1.39)
30 Giả sử khi trượt, các mảnh trượt có cường độ kháng cắt ở đáy mỗi mảnh trượt i đều đạt tới trạng thái cân bằng giới hạn với cùng một hệ số an toàn K như nhau thì ứng với mỗi mảnh sẽ có: 1 (c .l N .tg ) T (1.40) K i i i i i Như vậy, với 3 phương trình (1.38), (1.39), (1.40) ta sẽ tìm được 3 ẩn Ni, Ti và K; cụ thể với (1.39) và (1.40) ta tìm được: cili sin i Pi N K (1.41) i tg cos i sin i K i Thay Ni tìm được ở (1.41) vào (1.38) ta có: n Pi .tg i   ci.li mi 1 cos i K n Zi (1.42)  Pi .sin i Wi  1 R 1 1 với mi 1 tg i tg i K  Theo (1.42) ta có thể tính được hệ số ổn định của taluy ứng với một mặt trượt tròn đã cho theo phương pháp Bishop. Ở đây lưu ý rằng: vì mi=f(K) nên quá trình tìm hệ số ổn định K là quá trình tính lặp. Ngoài ra, việc mò tìm hệ số ổn định nhỏ nhất Kmin (tìm mặt trượt nguy hiểm nhất) cũng tương tự như phương pháp phân mảnh cổ điển nói trên. Ngoài hai phương pháp nêu trên còn rất nhiều các phương pháp theo cách phân mảnh khác như: phương pháp Janbu, Morgenstern-Price, Spencer, hiệp hội kỹ sư Mỹ, hoặc phương pháp dựa vào lý thuyết cân bằng giới hạn tổng quát GLE (General Limit Equilibrium), Các phương pháp này có xét đến lực tác dụng giữa các mảnh nhằm phản ánh sát với thực tế nhất sự tương tác giữa các mảnh. Tuy nhiên, phương pháp của Bishop, dù ra đời đầu tiên và sử dụng những giả thiết khá
31 sơ đẳng nhưng lại cho kết quả rất sát so với những phương pháp phức tạp sau này như Morgenstern-Price hay GLE của Fredlund [39], [42], [43], [51]. b. Phương pháp giả thiết trường ứng suất Để xác định chiều cao giới hạn của mái dốc thẳng đứng theo định lý giới hạn dưới, W. F. Chen [33], [34] đã giả thiết trường ứng suất tại ba vùng I, II, III thỏa mãn hai phương trình cân bằng như hình 1.15. Hình 1.15. Trường ứng suất giả thiết Có thể thấy trường ứng suất W. F. Chen giả thiết tại vùng III có y=x, tức là  x hệ số áp lực ngang K 0 1.  y Tiến hành vẽ vòng tròn Mohr cho mỗi vùng và nhận được điểm chân mái dốc đứng ứng với vùng I đạt giới hạn chảy dẻo đầu tiên (vòng tròn Mohr tiếp xúc với đường Coulomb) khi tăng dần chiều cao mái dốc H. Khi đó ta có: 1 1 H c.cos H.sin (1.43) 2 2 Do đó, chiều cao giới hạn theo định lý dưới được xác định theo công thức sau: 2c 0 Hgh(dưới) tg(45 ) (1.44)  2 Ngoài ra, W. F. Chen [33], [34] còn xác định chiều cao giới hạn của mái dốc thẳng đứng bằng cách giả thiết mặt trượt dạng xoắn ốc logarit như hình 1.16. Khi bị phá hoại, khối trượt như một vật thể cứng, trượt trên mặt xoắn ốc logarit trong khi
32 khối đất phía dưới đứng yên. Bài toán được giải với giả thiết công của nội lực chỉ thực hiện dọc mặt trượt. Ta có chiều cao giới hạn theo định lý giới hạn trên được công thức xác định như sau: 3,83c 0 Hgh(trên) tg(45 ) (1.45)  2 Hình 1.16. Mặt trượt giả thiết dạng xoắn ốc logarit Ta thấy chiều cao giới hạn của mái dốc thẳng đứng được xác định theo định lý giới hạn dưới và định lý giới hạn trên không bằng nhau, nên đây không phải là lời giải đúng. Vì vậy, lời giải chính xác H nằm trong phạm vi: 90o 2c 3,83c tg(45o ) H tg(45o ) (1.46)  2 90o  2 Theo tác giả, nguyên nhân dẫn đến sự chênh lệch lớn này là do: Khi dùng định lý giới hạn dưới, có rất nhiều trạng thái ứng suất có thể thỏa mãn hai phương trình cân bằng, nhưng W. F. Chen lại chỉ chọn một trường hợp mà không chọn một vài trường hợp để so sánh. Khi dùng định lý giới hạn trên, W. F. Chen đã giả thiết khối trượt như một vật thể cứng nên sự chảy dẻo chỉ xảy ra dọc mặt trượt xoắn ốc logarit mà không thực hiện ở các vị trí khác. Tuy nhiên, chiều cao giới hạn theo định lý giới hạn trên xấp xỉ với kết quả tính của Fellenius khi giả thiết mặt trượt có dạng trụ tròn. Tiếp đến, ông xem xét chiều cao giới hạn của mái dốc nghiêng sử dụng mặt trượt xoắn ốc logarit đi qua chân bởi vì nó tương tự như đối với sự ổn định của
33 trường hợp mái dốc thẳng đứng. Sau đó, ông giải quyết tiếp hai vấn đề: một là, trường hợp mặt trượt xoắn ốc logarit có thể trượt qua dưới chân; hai là, trường hợp khối đất không đẳng hướng và không đồng nhất. Ông cho rằng, vì trường ứng suất không được xem xét nên lời giải cơ chế phá hoại dạng xoắn ốc logarit có thể tốt nhất cho giới hạn trên trong vấn đề này. W. F. Chen đã lập thành bảng tính sẵn với nhiều kết quả và có thể áp dụng được rất thuận tiện. 1.2. Những vấn đề còn tồn tại trong nghiên cứu ổn định nền đường đất đắp trên nền thiên nhiên Phương pháp nghiên cứu ổn định nền đường được sử dụng rộng rãi trong thiết kế hiện nay là phương pháp cân bằng giới hạn hay là phương pháp giải hệ phương trình (1.14) gồm hai phương trình cân bằng và điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb (bài toán ứng suất phẳng). Giải hệ trên theo ứng suất dùng định lý giới hạn dưới phải giả thiết trạng thái ứng suất của từng vùng trong khối đất thỏa mãn phương trình cân bằng và điều kiện Mohr-Coulomb, do đó đây là cách làm gián tiếp. Giải hệ trên theo đường trượt dùng định lý giới hạn trên bằng cách viết hệ phương trình trong tọa độ cực. Tuy nhiên, đối với mái dốc áp dụng cách giải trên là rất khó khăn nên phải giả định trước mặt trượt. Phương pháp được sử dụng phổ biến hiện nay là phương pháp phân mảnh cổ điển và phương pháp Bishop với giả thiết mặt trượt dạng trụ tròn. W. F. Chen dùng mặt trượt dạng xoắn ốc logarit để tính toán và lập được bảng biểu với nhiều kết quả rất thuận tiện cho người sử dụng. Phương pháp cân bằng giới hạn với hai cách giải nêu trên, như W. F. Chen đã nhận xét [34], chưa phải là ứng dụng đúng đắn của phương pháp phân tích giới hạn (limit analysis) của lý thuyết đàn - dẻo lý tưởng bởi vì chưa xét đến hiện tượng thể tích khối đất bị thay đổi khi dùng điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb. Mặt khác, hệ phương trình cơ bản nêu trên không cho phép xác định trạng thái ứng suất tại những điểm chưa chảy dẻo, tức là không xét được trạng thái ứng suất của toàn khối đất vì đất không phải là vật liệu đàn hồi nên với hai phương trình cân bằng mà có ba ẩn, do đó không thể xác định được trạng thái ứng suất trong đất.
34 1.3. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của luận án Ngô Thị Thanh Hương khi nghiên cứu tính toán ứng suất trong nền đất các công trình giao thông [19], dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Hà Huy Cương đã kết hợp điều kiện ứng suất tiếp lớn nhất đạt giá trị nhỏ nhất (min (max)) với hai phương trình cân bằng trong bài toán phẳng để được hệ phương trình sau: 2   0 x y  yx x 0 (1.47) x y   y xy  0 y x 2 2 với 2 là ký hiệu ngắn gọn của toán tử Laplace, 2 y2 x 2 Hệ (1.47) có ba phương trình để tìm ba ẩn chưa biết là x, y và xy nên bài toán là xác định. Do đó, dùng hệ phương trình này ta có thể xác định được trạng thái ứng suất trong toàn khối đất. TS Ngô Thị Thanh Hương trong luận án của mình đã áp dụng lý thuyết trên để giải được các bài toán sau: - Trạng thái ứng suất chưa tới hạn nền đất thiên nhiên chịu tác dụng của trọng lượng bản thân. - Góc dốc tới hạn của khối cát khô. - Sức chịu tải của đất nền dưới móng băng khi không xét đến trọng lượng bản thân. TS Nguyễn Minh Khoa trong luận án của mình đã phát triển lý thuyết để giải bài toán ứng suất giới hạn trong nền đất tự nhiên dưới tải trọng tác dụng của nền đường đắp và bệ phản áp. Tuy nhiên, tải trọng nền đường đắp và bệ phản áp được quy thành tải trọng phân bố, tức là chưa xét đồng thời nền đắp và nền thiên nhiên
35 Vì vậy, tác giả cũng dựa trên lý thuyết min (max) nên có thể áp dụng trực tiếp định lý giới hạn để nghiên cứu ổn định nền đường (nghiên cứu ổn định đồng thời nền đắp và nền thiên nhiên). Tác giả chỉ cần dùng định lý giới hạn dưới mà không cần dùng thêm định lý giới hạn trên bằng cách giả thiết rằng tất cả các điểm đều có khả năng chảy dẻo. Đối với bài toán phẳng, ta có: 1 2 Z max f (x) dV min (1.48) V G   trong đó: f (x) x y sin c.cos ; 2 G là mô đun trượt của đất. Trong ngoặc [ ] là điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb viết dưới dạng ứng suất thành phần. Nội dung nghiên cứu được trình bày trong các chương như sau: 1- Cơ sở lý thuyết, cách xây dựng bài toán và phương pháp giải dùng để nghiên cứu ổn định nền đường đất đắp trên nền thiên nhiên được trình bày trong chương 2. 2- Để kiểm chứng tính đúng đắn của lý thuyết sử dụng, tác giả trình bày một số bài toán cổ điển sau đó so sánh kết quả với các lời giải trước đây và thực tế được đề cập trong chương 3. 3- Để nghiên cứu sự hình thành mặt trượt và cơ chế phá hoại của khối đất trong trường hợp chỉ do tải trọng ngoài và trong trường hợp do trọng lượng bản thân, tác giả trình bày bài toán nghiên cứu ổn định của khối đất có mái dốc thẳng đứng trong chương 4. 4- Áp dụng lý thuyết đã trình bày trên để nghiên cứu ổn định nền đắp trên nền thiên nhiên được đề cập trong chương 5.
36 Chương 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH NỀN ĐƯỜNG ĐẤT ĐẮP TRÊN NỀN THIÊN NHIÊN Trong chương này trình bày lý thuyết min (max) và phân biệt với lý thuyết đàn hồi, tiếp theo trình bày cách xây dựng bài toán xác định trường ứng suất trong đất. Cuối cùng trình bày phương pháp giải theo sai phân hữu hạn và một số kết quả tính để chứng tỏ có thể sử dụng lý thuyết này để nghiên cứu ổn định nền đường đất đắp trên nền thiên nhiên. 2.1. Lý thuyết min (max) Đất là sản phẩm của quá trình phong hóa lớp trên cùng của vỏ trái đất, trầm tích lại mà hình thành. Kích thước hạt đất thay đổi rất nhiều từ m (hạt keo) đến vài chục cm (đá trong đất). Trong điều kiện tự nhiên, đất là vật liệu nhiều pha: pha rắn (hạt), pha lỏng và khí. Các tính chất cơ học của đất rất phức tạp, phụ thuộc trực tiếp vào tương tác của ba pha này với nhau. Tuy nhiên, trong quá trình trầm tích do có trọng lượng bản thân nên cùng với thời gian thì đất càng ngày càng “ổn định”. Trong thực tế, đê, đập được đắp bằng đất có thể không cần đầm hoặc công đầm rất ít nhưng không bị phá hỏng mặc dù k (kN/m3 ) thường xuyên tiếp xúc với nước. §êng cong no níc G=1 Công tác đầm chặt đất ở hiện n=100 trường cũng như thí nghiệm đầm chặt n=60 đất bằng cối Proctor cho thấy, với n=30 kmax công đầm nén nhất định, ở độ ẩm tốt n=20 G=0,8 W(%) nhất Wtn, đất đạt được độ chặt và Wtn trọng lượng thể tích khô lớn nhất Hình 2.1. Đầm chặt đất kmax (hình 2.1). Hoặc nói cách khác, công đầm nén là ít nhất để đất đạt được độ chặt yêu cầu là tại độ ẩm tốt nhất. Công đầm nén càng lớn thì trọng lượng thể tích khô càng lớn. Tuy nhiên, khi thí nghiệm các mẫu đất sau lu lèn ngâm vào nước thì mẫu có công đầm nén lớn nhưng không phải ở độ ẩm tốt nhất sẽ bị phá hỏng trước so với các mẫu có công đầm nén ít hơn nhưng ở độ ẩm tốt nhất. Có thể nói, độ ẩm
37 tốt nhất khi đầm chặt đất là độ ẩm của đất hình thành trong quá trình nén chặt tự nhiên của đất. Điều này đã được áp dụng rất hiệu quả trong thực tế, đó là đất sau khi đào từ phạm vi nền đường đào hoặc từ mỏ đất được vận chuyển về đắp ngay mà không phải chờ một thời gian rồi mới đắp sẽ tiết kiệm được công đầm nén rất nhiều. Một ví dụ khác của A.Verruijt [48], lớp đất phía trên có thể vân vê được nhưng sâu khoảng 15m thì có thể chịu được lực rất lớn của cọc truyền vào. Nguyên nhân là do đất phân bố trên bề mặt rời rạc nên max lớn, lớp dưới đất chặt nênmax nhỏ vì vậy mới chịu được cọc truyền xuống. Từ những nhận xét trên, ta có thể nói quá trình hình thành đất là quá trình dẫn đến ổn định max → min. Để phân biệt lý thuyết min (max) với lý thuyết đàn hồi, tác giả đi nghiên cứu trường ứng suất trong đất theo hai lý thuyết này. 2.1.1. Trường ứng suất đàn hồi trong đất Nếu coi đất là vật liệu đàn hồi thì trường ứng suất đàn hồi trong đất có thể được xác định thông qua trường chuyển vị, biến dạng của nó. Trong trường hợp dùng ứng suất là ẩn thì dựa trên các phương trình cân bằng và điều kiện cực trị của thế năng biến dạng để xác định trường ứng suất đàn hồi trong đất. Đối với bài toán phẳng, ta có: 2 2 2 2  1  x y  xy  yx Z . . (1 ) dV min E 2 x y 2 V  yx ràng buộc: x 0  (2.1) x y   y xy 0 y x  trong đó: Z là thế năng biến dạng đàn hồi o x dx x trong trường hợp bài toán phẳng [1]; y y yx xy x, y, xy, yx là trạng thái ứng  xy xy  x suất tại một điểm trong đất (hình 2.2); dy  x  x dx x x E,  là môđun đàn hồi và hệ số yx yx  y  y dy y y Poisson của đất. y Hình 2.2. Ứng suất trên phân tố đất
38 Trong bài toán (2.1) không xét tác dụng của lực khối (trọng lượng đất). V là diện tích khối đất. Bằng phép tính biến phân [13], [16] ta có thể chỉ ra rằng bài toán cực trị trên cho ta đầy đủ các phương trình để xác định trạng thái ứng suất trong đất. Chú ý rằng các ứng suất là hàm của tọa độ x (x,y), y (x,y), xy (x,y) là các hàm cần xác định. Phiếm hàm Lagrange mở rộng của bài toán (2.1) được viết như sau: 2 2 2 2 1 x  y xy yx F .x . y (1 ) dV V E 2 2 (2.2)    x yx y xy 1(x,y) dV  2 (x,y) dV min V x y V y x Bài toán cực trị có ràng buộc (2.1) được đưa về bài toán cực trị không ràng buộc (2.2). 1, 2 là các thừa số Lagrange và là các ẩn của bài toán. Từ phép tính biến phân ta nhận được 6 phương trình Euler- Lagrange sau: 1  ( . ) 1 E x y x 1  ( . ) 2 E y x y 1    1 yx E y (2.3) 1   2 xy E y   x yx 0 x y   y xy 0 y x Hệ (2.3) là hệ 6 phương trình chứa 6 hàm là ẩn số chưa biết, gồm: x, y, yx, xy, 1và 2. Trong bài toán này, ứng suất tiếp xy = xy (khi không có mô men khối). Cộng hai phương trình thứ ba và thứ tư của (2.3), ta được: E 1 2 1 2 xy yx G (2.4) 2(1 ) y x y x
39 E trong đó: G là môđun trượt của đất; G 2(1 ) Bằng cách cân bằng thứ nguyên, ta thấy 1 và 2 có thứ nguyên của chuyển vị, hơn nữa 1 là chuyển vị theo phương x, 2 là chuyển vị theo phương y. Phương trình (2.4) là phương trình liên hệ giữa ứng suất tiếp và chuyển vị của môi trường đàn hồi. Giải bài toán bằng cách loại bỏ hai hàm ẩn 1và 2 trong hệ phương trình (2.3). Bốn phương trình đầu của hệ (2.3) có thể dẫn về một phương trình của ứng suất như sau: Đạo hàm phương trình đầu tiên của (2.3) theo y và kết hợp với phương trình thứ ba, nhận được :      1      E 1 E 1 E yx (1 ) xy (2.4a) y x y y x x y E x x Đạo hàm phương trình thứ hai của (2.3) theo x và kết hợp với phương trình thứ tư của (2.3), nhận được:      1      E 2 E 2 E xy (1 ) xy (2.4b) x y x x y y x E y y Đạo hàm phương trình (2.4a) theo y, ta được: 2 2   xy x y (1 ) (2.4c) y2 xy Đạo hàm phương trình (2.4b) theo x, ta được:  2  2   (1 ) xy (2.4d) x 2 y x xy Cộng (2.4c) với (2.4d) ta được :  2  2  2     2(1 ) xy (2.4e) y2 x y x 2 y x xy Đạo hàm phương trình thứ 5 theo x và phương trình thứ 6 theo y của (2.3) rồi cộng lại ta được :
40 2 2 2 2 xy x y (2.4f) xy x 2 y2 Thay (2.4f) vào phương trình (2.4.e), rút gọn ta được: 2 2     0 (2.5) x2 x y y2 x y Phương trình (2.5) chính là phương trình tương thích dưới dạng chỉ chứa ứng suất pháp. Vậy với trạng thái ứng suất phẳng, tập hợp các phương trình trên dẫn đến 3 phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi sau:  2   0 x y  yx x 0 (2.6) x y   y xy 0 y x  2 2 với 2 là ký hiệu ngắn gọn của toán tử Laplace, 2 y2 x 2 Trình bày trên cho thấy bài toán (2.1) là bài toán xác định trường ứng suất đàn hồi trong đất. Khi dùng ứng suất là ẩn thì trường ứng suất có thể xác định theo bài toán thế năng cực trị hoặc hệ (2.6). 2.1.2. Trường ứng suất dựa trên lý thuyết min (max) Trên hình 2.3 biểu diễn các thành y phần ứng suất trên các mặt của một yx phân tố trong bài toán phẳng. Nếu như    xy xét một mặt phẳng bất kỳ đi qua trọng x  max   x tâm phân tố thì trên mặt phẳng ấy ta có xy ứng suất tiếp  và ứng suất pháp . Ta yx y cũng tìm được mặt phẳng trên đó có Hình 2.3. Ứng suất tiếp max (max) ứng suất tiếp max (max).
41 Ứng suất tiếp max (max) và ứng suất pháp tương ứng () trên mặt này được xác định theo công thức sau:    1 2 max 2 (2.7)    1 2 2 trong đó: 1, 2 là các thành phần ứng suất chính, được xác định thông qua ứng suất trong hệ tọa độ vuông góc theo công thức sau: 2     x y x y 2 1 xy 2 2 (2.8) 2     x y x y 2 2 xy 2 2 Thay (2.8) vào phương trình thứ nhất của hệ (2.7), ta có ứng suất tiếp max (max) được xác định thông qua ứng suất thành phần như sau: 2 x y 2 max xy (2.9) 2 Với giả thiết trên, bài toán phẳng xác định trường ứng suất trong đất như sau:   2  x y 2 max xy min 2  yx ràng buộc: x 0  (2.10) x y   y xy  0 y x  trong đó:  là trọng lượng thể tích của đất. Để chứng tỏ rằng bài toán (2.10) là xác định, dùng phép tính biến phân [13], [16] ta có thể chỉ ra rằng bài toán cực trị trên cho ta đầy đủ các phương trình để xác định trạng thái ứng suất trong đất.
42 Phiếm hàm Lagrange mở rộng của bài toán (2.10) được viết như sau: 2 2 1 x y xy yx F dV V G 2 2 (2.11)    x yx y xy 1(x, y) dV 2 (x,y)  dV min V x y V y x trong đó: 1, 2 là các thừa số Lagrange và là các ẩn của bài toán; x, y, xy là trạng thái ứng suất tại một điểm trong đất; G là môđun trượt của đất. Từ phép tính biến phân đối với hàm mục tiêu (2.11), ta nhận được 6 phương trình Euler- Lagrange sau: 1    1 2G x y x 1    2 2G y x y 1 1 xy yx 2G y (2.12) 1    2 2G xy yx x   x yx 0 x y   y xy  0 y x Bằng cách cân bằng thứ nguyên, ta thấy 1 và 2 có thứ nguyên của chuyển vị, hơn nữa 1 là chuyển vị theo phương x, 2 là chuyển vị theo phương y. Cộng 2 phương trình đầu của hệ (2.12) ta được:   1 2   0 (2.13) x y x y Từ phương trình (2.13) ta thấy, dựa trên lý thuyết min (max) thì biến dạng thể tích bằng 0. Đây chính là yếu tố quan trọng để ta có thể áp dụng đúng quy tắc chảy kết hợp của vật liệu đàn dẻo lý tưởng mà điều kiện chảy dẻo là Mohr- Coulomb.
43 Đạo hàm phương trình đầu tiên của (2.12) theo y và kết hợp với phương trình thứ ba, nhận được :         2G 1 2G 1   (2.13a) y x y y x x y x xy yx Đạo hàm phương trình thứ hai của (2.12) theo x và kết hợp với phương trình thứ tư, nhận được:         2G 2 2G 2   (2.13b) x y x x y y x z xy yx Đạo hàm phương trình (2.13a) theo y, ta được:  2  2     (2.13c) y2 x y xy xy yx Đạo hàm phương trình (2.13b) theo x, ta được:  2  2     (2.13d) x 2 y x yx xy yx Vế phải của (2.13c) và (2.13d) bằng nhau, nên ta lấy (2.13c) trừ (2.13d) ta được :  2  2  2  2   0 (2.14) 2 2 x 2 2 y y x y x Hệ phương trình (2.12) bây giờ chỉ còn 3 phương trình sau : 2   0 x y  yx x 0 (2.15) x y   y xy  0 y x 2 2 với 2 là ký hiệu ngắn gọn của toán tử Laplace, 2 y2 x 2 Hệ (2.15) có ba phương trình để tìm ba ẩn chưa biết là x, y và xy. Vì vậy, bài toán xác định trạng trạng thái ứng suất trong đất (2.10) là có nghiệm.
44 So sánh hệ (2.6) của bài toán xác định trường ứng suất đàn hồi trong đất và hệ (2.15) của bài toán xác định trường ứng suất dựa trên lý thuyết min (max) ta thấy sự khác nhau về dấu “±” của phương trình đầu tiên. Bây giờ, ta có trường ứng suất trong đất là trường tĩnh học xác định, đủ phương trình để giải. Do đó, bài toán cơ học đất là bài toán xác định, ta có thể dùng để giải cho các bài toán trạng thái ứng suất khác nhau (ví dụ như tải trọng ngoài). 2.2. Xây dựng bài toán xác định trường ứng suất trong đất Sau khi có những kết quả trên, bài toán xác định trường ứng suất trong đất của các công trình đường, nhà, đê, đập hoàn toàn có thể thực hiện được. Trong các bài toán cần phải xét thêm các điều kiện ràng buộc. Để trình bày rõ ràng hơn, ta đi xét bài toán trạng thái ứng suất nền đắp trên nền thiên nhiên do trọng lượng bản thân và tải trọng ngoài (hình 2.4). n n n p 2 0 3 O x 1 y 1 c1 ,1 n m'1 n1 4 m1 0 c0 ,0   m2 m'2  Hình 2.4. Sơ đồ tính nền đắp hình thang Điều kiện biên ứng suất + Trên mặt nằm ngang n2-n0 (hình 2.5): y = 0; xy = 0 khi chỉ xét trọng lượng bản thân (2.16) y ≠ 0; xy = 0 trong phạm vi có tải trọng ngoài tác dụng. (2.17) + Trên mặt nghiêng (mái dốc):
45 Do không có tải trọng ngoài tác dụng lên mái dốc nên các thành phần ứng suất thỏa mãn điều kiện biên trên mặt thoáng là: ứng suất nén theo phương vuông góc với mái dốc n=0 và ứng suất tiếp trên mặt mái dốc n=0 (hình 2.6). Các thành phần ứng suất biểu diễn trong hệ trục tọa độ xOy là x ≠ 0; y ≠ 0; xy ≠ 0 thỏa mãn:   cos2 (x,n)  cos2 (y,n) 2. .cos(x,n).cos(y,n) (2.18) n x y xy y yx n n M m¸i dèc M  Hình 2.5. Mặt thoáng nằm ngang Hình 2.6. Mặt thoáng nghiêng + Trên mặt nằm ngang m1-n1: y = 0; xy = 0 khi không có phụ tải (2.19) + Trên biên m1-m2: Ta hình dung khối đất nằm trong môi trường vô hạn nên khi ở càng xa nền đắp thì trạng thái ứng suất trên hai mặt m1 - m2 và m1’- m2’ càng gần giống nhau. Do đó, dưới dạng bình phương tối thiểu ta có: (1,m) (2,m) 2 (x x ) min (2.20) (1,m) (2,m) 2 (xy xy ) min + Trên mặt đáy: Chiều sâu lớp đất càng lớn thì trạng thái ứng suất của lớp đất càng gần nhau. Dưới dạng bình phương tối thiểu ta có: (m2,n) (m2 1,n) 2 ( y y . y) min (2.21) (m2,n) (m2 1,n) 2 (xy xy ) min
46 Điều kiện đất không có khả năng chịu kéo Các ứng suất nén thỏa mãn điều kiện sau: x 0 và  y 0. (2.22) Điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb Trạng thái ứng suất trong đất phải thỏa mãn điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb sau:    x y sin c.cos 0 (2.23) max 2 Điều kiện các điểm đều có khả năng chảy dẻo 1 x  y 2 (max sin c.cos ) dxdy min (2.24) V G 2 trong đó: G là môđun trượt của đất. 2.3. Phương pháp sai phân hữu hạn để giải bài toán Giải trực tiếp bài toán trên rất khó, nhất là khi xét đến trọng lượng thể tích của đất. Vì vậy, tác giả giải bài toán bằng phương pháp sai phân hữu hạn [15], [22]. Chia khối đất thành các ô vuông (hình 2.4), mỗi điểm nút có 3 ứng suất chưa biết, trừ các điểm nút trên biên đã nói ở trên. Một cách tổng quát tại mỗi nút có 3 ẩn là x, y,xy. Xét 1 ô lưới hình vuông có các ẩn ứng suất tại các nút như hình 2.7. i,j i,j i,j i+1,j i+1,j i+1,j x y xy x y xy x y i,j+1 i,j+1 i,j+1 i+1,j+1 i+1,j+1 i+1,j+1 x y xy x y xy Hình 2.7. Ô lưới sai phân tính toán
47 Phương trình cân bằng được viết cho điểm nằm giữa của ô lưới nên hai phương trình cân bằng dạng sau: (i 1, j 1) (i 1, j) (i, j 1) (i, j) x x x x 1 2 2 x (i 1, j 1) (i, j 1) (i 1, j) (i, j) 1 xy xy xy xy 0; 2 2 y (2.25) (i 1, j 1) (i, j 1) (i 1, j) (i, j) y y   1 x x 2 2 y (i 1, j 1) (i 1, j) (i, j 1) (i, j)     1 xy xy xy xy 0. 2 2 x Hàm mục tiêu của (2.10) được viết cho điểm nằm giữa của ô lưới như sau: 2 (i, j) (i 1, j) (i, j 1) (i 1, j 1) (i, j) (i 1, j) (i, j 1) (i 1, j 1) x x x x y y y y  4 4 max 2 (2.26) 0.5 2 (i, j) (i 1, j) (i, j 1) (i 1, j 1) xy xy xy xy min 4 Trường hợp xem đất như vật thể đàn hồi tuyến tính, hàm mục tiêu của (2.1) cũng được viết cho điểm nằm giữa của ô lưới như sau: 2 (i,j) (i 1,j) (i,j 1) (i 1, j 1) 2 (i,j) (i 1, j) (i,j 1) (i 1,j 1)         x x x x y y y y 1 4 4 Z  i j E 2 (i, j) (i 1, j) (i,j 1) (i 1,j 1) (i, j) (i 1, j) (i,j 1) (i 1,j 1) (2.27)  x x x x y y y y 4 4 2 (i,j) (i 1,j) (i,j 1) (i 1, j 1) (1 ) xy xy xy xy x y min 4 Bài toán có hàm mục tiêu dạng bình phương, ràng buộc là các phương trình tuyến tính và phi tuyến. Có rất nhiều phương pháp giải bài toán quy hoạch phi tuyến
48 trên [29], nhưng để tận dụng các hàm cực trị có sẵn [37], tác giả sử dụng cách lập trình trên phần mềm Matlab để giải. 2.4. Lời giải bài toán Flamant bằng số Để kiểm chứng tính đúng đắn của phương pháp giải và chương trình tính, tác giả giải bài toán Flamant bằng phương pháp sai phân hữu hạn, sau đó so sánh với lời giải giải tích. Bài toán Flamant là bài toán xác định trường ứng suất đàn hồi trong đất do tải trọng hình băng phân bố đều trên nền đất đồng nhất giới hạn bởi mặt phẳng nằm ngang. Như đã trình bày ở phần trên, đây chính là bài toán (2.1) với các ràng buộc (2.16), (2.17), (2.20), (2.21). Sai phân hóa biểu thức của (2.1) ta được hệ (2.25) và (2.27). Sơ đồ giải bài toán được trình bày trên hình 2.8. Rời rạc hóa khối đất Chọn ẩn là ứng suất: x, y,xy Hai phương trình cân bằng được viết cho điểm giữa ô lưới sai phân, hệ (2.25) Hàm mục tiêu được viết cho điểm giữa ô lưới (2.27) Điều kiện biên trên mặt nằm ngang (2.16), (2.17) và ở vô cùng (2.20), (2.21) Giải hệ phương trình Nghiệm: ứng suất  ,  , x y xy Hình 2.8. Sơ đồ giải bài toán Flamant
49 Tác giả viết chương trình Dothang1 và Dothang1a để giải bài toán. Số liệu tính toán: Nền đất có: mô đun đàn hồi E=30000kPa, hệ số Poisson =0.3. Tải trọng phân bố đều trên bề rộng 2a=10m, cường độ p=30kPa. Lưới sai phân có bề rộng 40m với ptx phần tử và chiều sâu 40m với pty phần tử. Do dải tải trọng dài vô hạn, nên trạng thái ứng suất trong nền đất được xem là bài toán phẳng. Sơ đồ tính theo phương pháp sai phân được trình bày như trên hình 2.9. n0 2a=10m p O x n1 y  c,   h=40m m1 b=40m  Hình 2.9. Sơ đồ tính toán theo phương pháp sai phân Lần lượt tính toán ứng suất pháp y tại vị trí giữa dải tải trọng với số lượng phần tử theo mỗi phương là 16, 32 và 40, ta được kết quả như bảng 2.1.
50 Bảng 2.1. Ứng suất pháp y theo lý thuyết đàn hồi tại vị trí giữa dải tải trọng (kPa) Lần 1 Lần 2 Lần 3 Sai số của Sai số của Chiều ptx=pty=16 ptx=pty=32 ptx=pty=40 l ầ n 1 so với lần 2 so với sâu x = y= x = y= x = y= lần 3 l ầ n 3 (m) 2,5m 1,25m 1,0m (%) (%) 0 30 30 30 0 0 10 18,25 17,12 17,08 6,86 0,27 20 9,72 8,93 8,91 9,09 0,30 30 6,90 6,21 6,01 14,69 3,21 40 6,00 5,34 4,75 26,44 12,52 Từ bảng 2.1, ta thấy khi càng tăng số lượng phần tử thì sai số càng giảm. Vì vậy, phương pháp giải bằng sai phân hữu hạn cho nghiệm hội tụ và ta có thể chọn số lượng phần tử theo mỗi phương bằng 40 để dùng trong tính toán. Kết quả tính toán ứng suất pháp theo phương đứng y theo lý thuyết đàn hồi bằng phương pháp sai phân hữu hạn được trình bày trên hình 2.10. Hình 2.10. Biểu đồ các đường đẳng ứng suất pháp y (kPa) theo lý thuyết đàn hồi
51 Dưới tác dụng của dải tải trọng phân bố đều, ứng suất pháp theo phương đứng y không chỉ phát sinh trong phạm vi tải trọng mà ra phía ngoài khá xa. Theo phương ngang ứng suất y đạt giá trị cực đại tại vị trí nằm trên đường trục đối xứng của dải tải trọng, càng ra xa ứng suấty càng giảm. Trong phạm vi dải tải trọng, giá trị ứng suất y giảm theo chiều sâu. Từ những nhận xét trên, ta thấy đây là những đặc điểm của vật liệu đàn hồi. Theo lời giải giải tích bài toán Flamant (1892), ta được ứng suất pháp theo phương đứng y tại vị trí giữa dải tải trọng như sau: 2p a ay  y arctan( ) 2 2 (2.28) y a y trong đó: a là nửa bề rộng dải tải trọng; y là chiều sâu điểm tính toán. Kết quả tính toán ứng suất pháp theo phương đứng y tại vị trí giữa dải tải trọng theo phương pháp sai phân hữu hạn và giải tích được thể hiện trên hình 2.10. Hình 2.11. Biểu đồ ứng suất pháp y (kPa) tại vị trí giữa dải tải trọng theo phương pháp sai phân hữu hạn và giải tích
52 Từ biểu đồ hình 2.11, ta thấy lời giải theo phương pháp sai phân hữu hạn bài toán Flamant cho kết quả xấp xỉ với lời giải giải tích (sai khác nhỏ hơn 5%). Sự khác nhau là do số lượng phần tử của lưới sai phân chưa đủ lớn. 2.5. Lời giải bài toán phẳng theo lý thuyết min (max) Để so sánh trường ứng suất theo lý thuyết min (max) với trường ứng suất đàn hồi, ta đi giải bài toán xác định trường ứng suất trong đất do tải trọng hình băng phân bố đều trên nền đất đồng nhất giới hạn bởi mặt phẳng nằm ngang theo lý thuyết min (max). Như đã trình bày ở phần trên, đây là bài toán (2.10) với các ràng buộc (2.17), (2.19), (2.20), (2.21). Sai phân hóa biểu thức của (2.10) ta được hệ (2.25) và (2.26). Sơ đồ giải bài toán tương tự như trường hợp đàn hồi (hình 2.8), chỉ thay hàm mục tiêu (2.27) thành (2.26). Tác giả viết chương trình Dothang2 và Dothang2a để giải bài toán. Số liệu tính toán: Nền đất chịu tải trọng phân bố đều trên bề rộng 2a=10m, cường độ p=30kPa. Lưới sai phân có bề rộng 40m với ptx=40 phần tử và chiều sâu 40m với pty=40 phần tử. Sơ đồ tính như trên hình 2.9. Kết quả tính toán ứng suất pháp theo phương đứng y dựa trên lý thuyết min (max) được trình bày trên hình 2.12 và so sánh ứng suất tại vị trí giữa dải tải trọng với trường hợp đàn hồi được trình bày trên hình 2.13.
53 Hình 2.12. Biểu đồ các đường đẳng ứng suất pháp y (kPa) theo lý thuyết min (max) Hình 2.13. Biểu đồ ứng suất pháp y (kPa) tại vị trí giữa dải tải trọng theo lý thuyết đàn hồi và lý thuyết min (max)
54 Từ hình 2.10 và 2.12 ta thấy sự phân bố ứng suất y theo phương ngang và theo chiều sâu trường hợp coi đất là đàn hồi rộng hơn và sâu hơn dựa trên lý thuyết min (max). Nguyên nhân là do ảnh hưởng của môđun đàn hồi E và tăng hệ số Poisson  khi coi đất là đàn hồi. Khi càng giảm môđun đàn hồi E và tăng hệ số Poisson  thì sự phân bố ứng suất đàn hồi càng rộng và sâu hơn. Từ hình 2.13 ta thấy ứng suất y dựa trên lý thuyết min (max) càng xuống sâu càng giảm nhanh hơn so với trường hợp coi đất là đàn hồi. Sự phân bố ứng suất dựa trên lý thuyết min (max) là phù hợp với tính chất của đất, vì cùng một lớp đất nhưng càng xuống sâu thì đất càng chặt hơn (cứng hơn) mà ứng suất sẽ tập trung vào các phần có độ cứng lớn nên ứng suất ở phía dưới giảm. 2.6. Kết quả và bàn luận 1- Vấn đề xác định trường ứng suất trong đất là rất cần thiết. Tuy nhiên, hiện nay bài toán trường ứng suất là không xác định. 2- Nếu coi đất là đàn hồi thì dùng 2 phương trình cân bằng kết hợp với điều kiện thế năng cực tiểu. Bằng phép tính biến phân được hệ (2.6) gồm 3 phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi. 3- Xuất phát từ điều kiện min (max), kết hợp với hai phương trình cân bằng, ta có thể xây dựng trường ứng suất trong đất. Bằng phép tính biến phân ta được hệ (2.15) gồm 3 phương trình. Ta có thể giải bài toán bằng 3 phương trình trên hoặc bài toán cực trị (2.10), nhưng để thống nhất trong luận án, tác giả dùng bài toán cực trị. 4- Để có được lời giải số, tác giả sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn. Các phương trình cân bằng được viết cho điểm giữa, hệ (2.25); hàm mục tiêu dựa trên điều kiện min (max), (2.26), hoặc coi đất là đàn hồi, (2.27); các điều kiện ràng buộc (2.16), (2.17), (2.18), (2.19), (2.20), (2.21), (2.22), (2.23), (2.24). 5- Để kiểm tra tính hội tụ khi dùng phương pháp sai phân, tác giả đã lập chương trình tính Dothang1 và Dothang1a cho tải trọng phân bố đều trên mặt phẳng nằm ngang và so sánh với lời giải của Flamant cho kết quả sai khác nhỏ hơn 5%.
55 6- Để so sánh trường ứng suất dựa trên lý thuyết min (max) với trường ứng suất đàn hồi, tác giả đã lập chương trình tính Dothang2 và Dothang2a cho tải trọng phân bố đều hình băng trên mặt phẳng nằm ngang. Kết quả cho thấy sự phân bố ứng suất dựa trên lý thuyết min (max) phù hợp với tính chất của đất hơn trường hợp coi đất là đàn hồi.
56 Chương 3 BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ TẢI TRỌNG GIỚI HẠN VÀ ỔN ĐỊNH MÁI DỐC Trong chương này trước hết trình bày bài toán cơ bản là trạng thái ứng suất tự nhiên của nền đất trong nửa không gian vô hạn để xác định hệ số áp lực ngang của đất. Tiếp theo, sử dụng lý thuyết min (max) và phương pháp phân tích giới hạn để giải bài toán Prandtl về tải trọng giới hạn và bài toán góc dốc giới hạn của khối cát khô. 3.1. Trạng thái ứng suất tự nhiên của nền đất trong nửa không gian vô hạn Để xác định thông số rất quan trọng trong địa kỹ thuật là hệ số áp lực ngang của đất, tác giả nghiên cứu bài toán trạng thái ứng suất tự nhiên của nền đất trong nửa không gian vô hạn do trọng lượng bản thân gây ra. Bài toán xác định trạng thái ứng suất trong nền thiên nhiên là bài toán (2.10) với các ràng buộc (2.16), (2.19), (2.20), (2.21). Sai phân hóa cho biểu thức của (2.10) ta được hệ (2.25) và (2.26). Sơ đồ giải bài toán tương tự như hình 2.8, chỉ thay hàm mục tiêu (2.27) thành (2.26) và điều kiện biên (2.17) thành (2.19). Tác giả viết chương trình Dothang3 để giải bài toán. Số liệu tính toán: Đất nền có =17 kN/m3, kích thước ô lưới sai phân x= y=1m. Kết quả tính toán ứng suất nén x và y tại các điểm nút tính toán của các cột đất theo chiều sâu được trình bày trên hình 3.1a và hình 3.1b. Hình 3.1a. Biểu đồ ứng suất x (kPa) Hình 3.1b. Biểu đồ ứng suất y (kPa)
57 Từ hình 3.1a và hình 3.1b ta thấy, giá trị ứng suất nén x, y tại các cột đất là bằng nhau, tăng tuyến tính theo chiều sâu với quy luật x= y= .y Giá trị ứng suất tiếp xy tại các nút tính toán xấp xỉ bằng không. Nhận xét - Quy luật thay đổi giá trị của ứng suất nén x và y theo chiều sâu do tác dụng của trọng lượng bản thân trong nửa không gian vô hạn là x= y= .y. Hệ số  x áp lực ngang tính toán ở trạng thái tự nhiên (hệ số áp lực đất tĩnh) K 0 1.  y - Trạng thái ứng suất của nền đất trong trường hợp này là x= y= .y, xy = yx = 0. Kết quả này trùng với nghiệm riêng của hệ (2.15) trong trường hợp đất ổn định nhất (bài toán nhận được từ phép tính biến phân). - Trạng thái ứng suất x= y= .y, xy = yx = 0 là trạng thái ứng suất nén hai chiều. Từ kết luận trên cho ta nhận định rằng khi xác định các chỉ tiêu cơ lý của đất nên dùng thí nghiệm nén ba trục với áp lực nén ban đầu tác dụng theo ba phương có giá trị bằng áp lực khi mẫu ở trong đất là .h (h là chiều sâu lấy mẫu đất). - Ứng suất tiếp xy tại các nút tính toán đều gần như bằng không, các giá trị này phù hợp với điều kiện đất ổn định và tính chất vô hạn của bài toán (đất trong bán không gian vô hạn nên bất kỳ mặt phẳng thẳng đứng nào cũng được coi là mặt phẳng đối xứng, trên mặt phẳng đối xứng ứng suất tiếp bằng không). 3.2. Bài toán Prandtl Xác định tải trọng giới hạn của nền thiên nhiên do tác dụng của tải trọng phân bố đều trên móng băng đặt trên mặt đất, sau đó so sánh với lời giải giải tích của Prandtl để kiểm chứng tính đúng đắn của lý thuyết min (max) và cách áp dụng trực tiếp định lý giới hạn của phương pháp phân tích giới hạn cho bài toán tải trọng giới hạn của nền đất. Theo lý thuyết đàn hồi, ở mép móng cứng thường xuất hiện hiện tượng tập trung ứng suất, khi đó ứng suất tiếp xúc y ở mép móng cứng là rất lớn. Trong khi
58 đó ứng suất y tại các điểm trong phạm vi móng thường khác với cường độ y≠p (hình 3.2). p x p yz Hình 3.2. Ứng suất tiếp xúc dưới móng cứng Vì vậy, trong tính toán cần đưa các điều kiện biên về ứng suất tiếp xúc y như sau: Ở mép móng: y=p 2 Ở các điểm trong phạm vi của móng thì (y p) min và theo lời giải V của Prandtl có y x và xy 0 . Trong bài toán này tải trọng p tại mép móng là ẩn và tải trọng giới hạn của nền đất cần tìm thông qua giá trị lớn nhất của p (pmax). Theo phương pháp phân tích giới hạn, trạng thái ứng suất được xác định theo định lý giới hạn dưới và định lý giới hạn trên. Tuy nhiên như đã trình bày ở phần trên, ta chỉ cần dùng định lý giới hạn dưới kết hợp với điều kiện các điểm đều có khả năng chảy dẻo. Hàm mục tiêu viết lại như sau: 2 1 (  )2 (  ) Z x y 2 x y sin c.cos dV p min (3.1) 1 G 4 xy 2 V Kết hợp với điều kiện min (max), ta có bài toán xác định tải trọng giới hạn của nền thiên nhiên như sau:
59 2 1 (  )2 (  ) x y 2 x y Z xy sin c.cos dV V G 4 2 (3.2) 2 1   x y 2 dV p min G 2 xy V Hàm mục tiêu (3.2) phải thỏa mãn hai phương trình cân bằng và các điều kiện ràng buộc sau: - Điều kiện đất không có khả năng chịu kéo (2.22); - Điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb (2.23); - Điều kiện biên (2.17), (2.19), (2.20), (2.21). Vì vậy, bài toán xác định tải trọng giới hạn của nền thiên nhiên là bài toán tìm cực tiểu của (3.2) với các ràng buộc (2.17), (2.19), (2.20), (2.21), (2.22), (2.23), (2.25). Sơ đồ giải bài toán Prandtl như hình 3.3. Rời rạc hóa khối đất Chọn ẩn là x, y,xy và p Hai phương trình cân bằng được viết cho điểm giữa ô lưới sai phân, hệ (2.25) Hàm mục tiêu (3.2) được viết cho điểm giữa ô lưới Điều kiện đất không có khả năng chịu kéo (2.22) Điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb (2.23)
60 Điều kiện biên trên mặt nằm ngang (2.17), (2.19) và ở vô cùng (2.20), (2.21) Giải hệ phương trình Nghiệm:  ,  , , p (p ) x y xy gh Hình 3.3. Sơ đồ giải bài toán Prandtl Tác giả viết chương trình Dtlim4, Dtlim4a và Dtlim4b để giải bài toán. Số liệu tính toán: Bề rộng móng b=2m; đất nền có c=10kPa, =00, kích thước ô lưới sai phân x= y=1.0m, bề rộng lưới sai phân 24m với ptx=24 phần tử và chiều sâu 12m với pty=12 phần tử. Kết quả tính toán như trên hình 3.4 với tải trọng giới hạn pgh=5c. Trong đó, các số ghi trên đường đẳng trị khả năng chảy dẻo là giá trị của   biểu thức:  x y sin c.cos . Đường có giá trị bằng không là đường đi max 2 qua các điểm đạt giới hạn chảy dẻo, các đường còn lại đều có giá trị nhỏ hơn không tức là khu vực đó các điểm chưa chảy dẻo và không có điểm nào vượt quá giới hạn chảy dẻo (thỏa mãn định lý giới hạn dưới).
61 Hình 3.4. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo Từ hình 3.4 ta thấy ứng với tải trọng giới hạn pgh=5c các điểm chảy dẻo phát triển và nối liền thành đường trượt dài đến mặt thoáng (đường tô đậm và có giá trị bằng không). Khi đó, có thể xem trong nền đất đã hình thành một cơ chế phá hoại cho phép. Đó là sức chịu tải hay tải trọng giới hạn của nền đất. Ngoài ra, ta cũng nhận được vùng biến dạng dẻo và nêm đất cứng dưới đáy móng tương tự như lời giải của Prandtl. Tải trọng giới hạn của nền đất xấp xỉ với lời giải của Prandtl, pgh=5,14c (sai khác 2,8%). Sai khác này là do trong lời giải của Prandtl chỉ xét trạng thái ứng suất của vùng biến dạng dẻo giới hạn trong một phạm vi nhất định dưới móng, lời giải của tác giả cho phép xác định trạng thái ứng suất của toàn khối đất nghiên cứu. 3.3. Bài toán góc dốc giới hạn của khối cát khô Cát là loại vật liệu đang được dùng nhiều nhất trong xây dựng đường ở nước ta hiện nay. Tuy nhiên, theo tiêu chuẩn thiết kế đường ôtô TCVN 4054-2005 [7] và tiêu chuẩn thi công và nghiệm thu nền đường ôtô TCVN 9436-2012 [9] nền đường đắp bằng cát phải được đắp bao bằng đất loại sét cả hai bên mái dốc và cả phần đỉnh
62 nền phía trên để chống xói lở bề mặt. Tác giả giải lại bài toán góc dốc giới hạn của khối cát khô ngoài mục đích củng cố tính đúng đắn của lý thuyết min (max) và phương pháp phân tích giới hạn cho bài toán ổn định mái dốc còn để tìm hình dạng ổn định của khối cát và nhận thức đầy đủ về vai trò của đất đắp bao. Bài toán xác định góc dốc giới hạn của khối cát khô xây dựng như sau [19]: Xét khối cát khi có góc dốc ban đầu 0 nhỏ hơn rất nhiều so với góc nội ma sát (hình 3.5). Chiều cao AO không đổi hay y không đổi. Khi góc dốc  tăng lên, cạnh x y.cotg thay đổi. Thay cho ẩn , ta chọn x là ẩn của bài toán và điều kiện để góc dốc  đạt đến giá trị lớn nhất gh là: x min (3.3) A yZ  x 0 O Hình 3.5. Sơ đồ tính toán góc dốc giới hạn Hàm mục tiêu của bài toán xác định góc dốc giới hạn của khối cát khô được viết lại như sau: 2 1 (  )2 (  ) Z x y 2 x y sin c.cos dV x min (3.4) 1 G 4 xy 2 V Các phương trình cân bằng tổng quát: Z2 max min   x yx 0 x y (3.5)   y xy 0 y x Hai hàm mục tiêu của bài toán có chứa biểu thức min ( x) (biểu thức (3.3) và trong ràng buộc của nó chứa biểu thức min(Z2) (ràng buộc (3.5)). Điều kiện bổ
63 sung min(Z2) không đòi hỏi điều kiện min( x). Vì vậy, để bài toán trên có nghiệm, tác giả đưa thêm ẩn là đại lượng y với điều kiện y const (ở đây lấy y=0,01m). Hàm mục tiêu được viết lại như sau: 2 1 (  )2 (  ) Z x y 2 x y sin c.cos dV ( x 1)2 ( x. y)2 min 3 G 4 xy 2 V 2 Điều kiện min( x. y) trong phiếm hàm Z3 khác với điều kiện min( x) trong Z1 ở chỗ là nó đối xứng với trục x và trục y, nên mặc định min(Z1) không đòi hỏi min( x. y)2 nhưng khi đưa nó vào thì trạng thái ứng suất tổng quát vẫn có nghiệm. Bài toán tìm góc dốc giới hạn của khối cát khô như sau: 2 1 (  )2 (  ) x y 2 x y Z3 xy sin c.cos dV V G 4 2 (3.6) 2 1   x y 2 dV ( x 1)2 ( x. y)2 min G 2 xy V Hàm mục tiêu (3.6) phải thỏa mãn hai phương trình cân bằng và các điều kiện ràng buộc sau: - Điều kiện đất không có khả năng chịu kéo (2.22) ; - Điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb (2.23); - Điều kiện biên (2.18). Vì vậy, bài toán xác định góc dốc giới hạn của khối cát khô là bài toán tìm cực tiểu của (3.6) với các ràng buộc (2.18), (2.22), (2.23), (2.25). Sơ đồ giải bài toán góc dốc giới hạn của khối cát khô như hình 3.6.
64 Rời rạc hóa khối cát khô Chọn ẩn là x, y,xy và x Hai phương trình cân bằng được viết cho điểm giữa ô lưới sai phân, hệ (2.25) Hàm mục tiêu (3.6) được viết cho điểm giữa ô lưới Điều kiện đất không có khả năng chịu kéo (2.22) Điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb (2.23) Điều kiện biên trên mái dốc (2.18) Giải hệ phương trình Nghiệm:  ,  , , x x y xy Hình 3.6. Sơ đồ giải bài toán góc dốc giới hạn của khối cát khô Tác giả viết chương trình Dtlim5, Dtlim5a và Dtlim5b để giải bài toán. Số liệu tính toán: Kích thước ô lưới sai phân y=0.01m. Các tính chất cơ lý của đất được lựa chọn tính toán cho trong bốn trường hợp sau: Trường hợp 1: Đất cát khô có c=0; =200;  = 18kN/m3 Kết quả tính toán kích thước ô lưới sai phân theo phương ngang x và góc 0 dốc giới hạn tương ứng là: x=0,025 m và gh=20,00 = .
65 0 Với góc dốc giới hạn gh=20 , mái dốc ở trạng thái ứng suất giới hạn và xuất hiện vùng dẻo. Kết quả các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo được trình bày trên hình 3.7, trong đó đường tô đậm và có giá trị bằng không cho ta thấy hình dạng ổn định của khối cát. gh Hình 3.7. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo Trường hợp 2: Đất cát khô có c=0; =250;  = 18kN/m3. Kết quả tính toán kích thước ô lưới sai phân theo phương ngang x và góc 0 dốc tới hạn tương ứng là: x=0,019 m và gh=25,00 = . 0 Với góc dốc giới hạn gh=25 , mái dốc ở trạng thái ứng suất giới hạn và xuất hiện vùng dẻo. Kết quả các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo được trình bày trên hình 3.8. Ta cũng nhận được hình dạng ổn định của khối cát từ đường tô đậm tương tự như trường hợp 1. gh Hình 3.8. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo
66 Trường hợp 3: Đất cát khô có c=0; =300;  = 18kN/m3. Kết quả tính toán kích thước ô lưới sai phân theo phương ngang x và góc 0 dốc tới hạn tương ứng là: x=0,016 m và gh=30,00 = . 0 Với góc dốc giới hạn gh=30 , mái dốc ở trạng thái ứng suất giới hạn và xuất hiện vùng dẻo. Kết quả các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo và hình dạng ổn định của khối cát được trình bày trên hình 3.9. gh Hình 3.9. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo Trường hợp 4: Đất cát khô có c=0; =300;  = 19kN/m3. Kết quả tính toán kích thước ô lưới sai phân theo phương ngang x và góc 0 dốc giới hạn tương ứng là: x=0,016 m và gh=30,00 = . 0 Với góc dốc giới hạn gh=30 , mái dốc ở trạng thái ứng suất giới hạn và xuất hiện vùng dẻo. Kết quả các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo và hình dạng ổn định của khối cát được trình bày trên hình 3.10.
67 gh Hình 3.10. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo Từ kết quả tính toán góc dốc giới hạn gh trong bốn trường hợp trên ta thấy góc dốc tới hạn gh của khối cát khô đúng bằng góc nội ma sát của cát (gh= ) và hình dạng ổn định là giống nhau. Từ biểu đồ hình 3.9 và hình 3.10 ta thấy khi đất có cùng góc nội ma sát ( =300) nhưng trọng lượng thể tích khác nhau thì sự phân bố ứng suất khác nhau. Ta thấy rằng nghiên cứu góc dốc giới hạn của khối cát khô theo cách của TS Ngô Thi Thanh Hương [19] cho ta đầy đủ trạng thái ứng của toàn khối cát, trong khi cách giải trước đây chỉ xét được cân bằng của phân tố trên mái dốc. Từ việc giải lại bài toán góc giới hạn của cát, tác giả nhận được hình dạng ổn định của khối cát (đường tô đậm trên hình 3.7; 3.8; 3.9; 3.10). Vì vậy, ta thấy đất đắp bao ngoài nhiệm vụ chống xói lở bề mặt còn có nhiệm vụ quan trọng khác là giữ ổn định mái taluy nền đường do góc dốc taluy thường lớn hơn góc nội ma sát của cát. Ngoài cách đắp bao bằng đất loại sét ta có thể dùng vải địa kỹ thuật để giữ ổn định cho mái taluy. 3.4. Kết quả và bàn luận 1- Dựa trên lý thuyết min (max) ta có thể xác định được trạng thái ứng suất tự nhiên của nền đất trong nửa mặt phẳng vô hạn do trọng lượng bản thân gây ra, quy luật thay đổi giá trị ứng suất nén theo chiều sâu là x=y=.y, ứng suất tiếp xy 0 và hệ số áp lực đất tĩnh tính toán K0 1.
68 2- Tải trọng giới hạn của nền đất trong trường hợp không xét đến trọng lượng bản thân xấp xỉ với lời giải của Prandtl (sai khác 2.8%). Sai khác này là do trong lời giải của Prandtl chỉ xét trạng thái ứng suất của vùng biến dạng dẻo giới hạn trong một phạm vi nhất định dưới móng, lời giải của tác giả cho phép xác định trạng thái ứng suất của toàn khối đất nghiên cứu. 3- Từ việc giải lại bài toán góc dốc giới hạn của khối cát khô bằng góc nội ma sát, tác giả nhận được hình dạng ổn định của khối cát và vấn đề mới về vai trò của đất đắp bao nền đường sử dụng cát để đắp là ngoài việc chống xói lở bề mặt còn có nhiệm vụ quan trọng khác là giữ ổn định mái taluy do góc dốc taluy thường lớn hơn góc nội ma sát của cát. Từ những nghiên cứu trên cho thấy tính chất đúng đắn của lý thuyết min (max) và cách áp dụng trực tiếp định lý giới hạn của phương pháp phân tích giới hạn.
69 Chương 4 NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH KHỐI ĐẤT CÓ MÁI DỐC THẲNG ĐỨNG Trong chương này, sử dụng lý thuyết min (max) và phương pháp phân tích giới hạn để nghiên cứu ổn định khối đất có mái dốc thẳng đứng trong trường hợp do tác dụng của tải trọng ngoài và trường hợp do trọng lượng bản thân. 4.1. Nghiên cứu ổn định mái dốc thẳng đứng do tải trọng ngoài Xét một mái dốc thẳng đứng không trọng lượng (= 0), chịu tải trọng ngoài như hình 4.1. p gh O x n1 n0 c , y H 1 1 1 m1  c0 , 0  m2  Hình 4.1. Sơ đồ tính ổn định của mái dốc thẳng đứng do tải trọng ngoài Ta thấy rằng, khi tăng dần tải trọng ngoài thì trạng thái ứng suất trong đất tăng lên và khi tải trọng đạt giá trị mà khối đất bắt đầu hình thành cơ chế phá hoại được gọi là tải trọng giới hạn pgh. Tải trọng p là ẩn của bài toán. Hàm mục tiêu của bài toán ổn định mái dốc thẳng đứng được viết như sau: 2   2   1 x y 2 x y Z1 xy sin c.cos dV V G 2 2 (4.1) 2 1   x y 2 dV p min G 2 xy gh V
70 Hàm mục tiêu (4.1) phải thỏa mãn hai phương trình cân bằng và các điều kiện ràng buộc sau: - Điều kiện đất không có khả năng chịu kéo (2.22); - Điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb (2.23); - Điều kiện biên (2.17), (2.18), (2.19), (2.20), (2.21). Vì vậy, bài toán xác định tải trọng giới hạn của mái dốc thẳng đứng là bài toán tìm cực tiểu của (4.1) với các ràng buộc (2.17), (2.18), (2.19), (2.20), (2.21), (2.22), (2.23) và (2.25). Sơ đồ giải bài toán được trình bày trên hình 4.2. Rời rạc hóa khối đất có mái dốc thẳng đứng Chọn ẩn là x, y,xy và pgh Hai phương trình cân bằng của lớp đất trên và lớp đất dưới được viết cho điểm giữa ô lưới sai phân, hệ (2.25) Hàm mục tiêu (4.1) được viết cho điểm giữa ô lưới Điều kiện đất không có khả năng chịu kéo (2.22) Điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb (2.23) Điều kiện biên trên mặt nằm ngang (2.17), (2.19) trên mái dốc (2.18) và ở vô cùng (2.20), (2.21)