›
›

Luận văn Hiệu chỉnh tìm nghiệm chung của một họ hữu hạn phương trình với ánh xạ liên tục Lipschitz với J-Đơn điệu

pdf 32 trang phuongnguyen 5410
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Luận văn Hiệu chỉnh tìm nghiệm chung của một họ hữu hạn phương trình với ánh xạ liên tục Lipschitz với J-Đơn điệu", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfluan_van_hieu_chinh_tim_nghiem_chung_cua_mot_ho_huu_han_phuo.pdf

Nội dung text: Luận văn Hiệu chỉnh tìm nghiệm chung của một họ hữu hạn phương trình với ánh xạ liên tục Lipschitz với J-Đơn điệu

  1. „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC o0o HI›U CHŸNH TœM NGHI›M CHUNG CÕA MËT HÅ HÚU H„N PH×ÌNG TRœNH VÎI NH X„ LI–N TÖC LIPSCHITZ V€ J-ÌN I›U LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Chuy¶n ng nh: To¡n Ùng Döng M¢ sè: 60.46.01.12 Håc vi¶n thüc hi»n: Qu¡ch Thà Y¸n Lîp: Cao håc To¡n K6C Gi£ng vi¶n h÷îng d¨n: GS. TS Nguy¹n B÷íng THI NGUY–N - 2014
  2. Möc löc Möc löc i Líi c£m ìn ii Mët sè k½ hi»u v chú vi¸t t­t iii Mð ¦u 1 1 C¡c kh¡i ni»m v v§n · cì b£n 3 1.1 Khæng gian Hilber v Banach . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 B i to¡n °t khæng ch¿nh . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Kh¡i ni»m b i to¡n °t khæng ch¿nh . . . . . . 11 1.2.2 V½ dö v· b i to¡n °t khæng ch¿nh . . . . . . . 12 1.3 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov . . . . . . . . . . . 14 2 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh cho h» ph÷ìng tr¼nh phi tuy¸n vîi to¡n tû J-ìn i»u v li¶n töc Lipschitz tr¶n khæng gian Banach 16 2.1 T¼m nghi»m chung cho mët hå ph÷ìng tr¼nh to¡n tû ìn i»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Nghi»m chung cho mët hå ph÷ìng tr¼nh to¡n tû J-ìn i»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 K¸t luªn 26 T i li»u tham kh£o 27 i
  3. Lái c£m ìn Trong suèt qu¡ tr¼nh l m luªn v«n, tæi luæn nhªn ÷ñc sü h÷îng d¨n v gióp ï nghi¶m tóc cõa GS.TS. Nguy¹n B÷íng (Vi»n Cæng ngh» thæng tin, Vi»n H n l¥m Khoa håc v Cæng ngh» Vi»t Nam). Tæi xin ch¥n th nh b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n Th¦y v k½nh chóc Th¦y còng gia ¼nh luæn luæn m¤nh khäe. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c quþ th¦y, cæ gi£ng d¤y t¤i ¤i håc Th¡i Nguy¶n v t¤i Vi»n To¡n håc, Vi»n H n l¥m Khoa håc v Cæng ngh» Vi»t Nam ¢ mang l¤i cho tæi nhi·u ki¸n thùc bê ½ch trong khoa håc v quan t¥m gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu. Tæi công xin c£m ìn c¡c b¤n çng mæn ¢ gióp ï tæi trong suèt thíi gian håc tªp t¤i ¤i håc Th¡i Nguy¶n v trong qu¡ tr¼nh ho n th nh luªn v«n n y. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 9 - 2014 Ng÷íi vi¸t Luªn v«n Qu¡ch Thà Y¸n ii
  4. Mët sè k½ hi»u v chú vi¸t t­t E∗ Khæng gian li¶n hñp cõa khæng gian Banach E. A∗ : Y ∗ → X∗ To¡n tû èi ng¨u cõa to¡n tû tuy¸n t½nh A : X → Y . I To¡n tû ìn và D(A) Mi·n x¡c ành cõa to¡n tû A. R(A) Mi·n £nh cõa to¡n tû A. A−1 To¡n tû ng÷ñc cõa to¡n tû A. hx, yi T½ch væ h÷îng cõa x v y trong khæng gian Hilbert. kxkE Chu©n cõa x trong khæng gian E. ∅ Tªp réng. xn * x D¢y xn hëi tö y¸u tîi x. xn → x D¢y xn hëi tö m¤nh x. θ Ph¦n tû khæng trong khæng gian Banach. iii
  5. Mð ¦u Nhi·u v§n · trong thüc t¸ chóng ta g°p ph£i nh÷ khoa håc, cæng ngh», kinh t¸, , tçn t¤i mët lîp c¡c b i to¡n m nghi»m khæng ên ành theo ngh¾a mët thay êi nhä cõa dú li»u ¦u v o s³ d¨n ¸n nhúng thay êi lîn cõa dú li»u ¦u ra (nghi»m cõa b i to¡n), thªm ch½ cán l m cho b i to¡n trð l¶n væ nghi»m. Ng÷íi ta nâi nhúng b i to¡n â khæng ch½nh quy hay °t khæng ch¿nh. V¼ vªy c¦n ph£i câ nhúng ph÷ìng ph¡p gi£i ên ành c¡c b i to¡n °t khæng ch¿nh sao cho khi sai sè cõa dú li»u c ng nhä th¼ nghi»m x§p x¿ t¼m ÷ñc c ng g¦n vîi nghi»m óng cõa b i to¡n xu§t ph¡t. Do t¦m quan trång °c bi»t cõa lþ thuy¸t n y m nhi·u nh to¡n håc n÷îc ngo i v Vi»t Nam ¢ d nh ph¦n lîn thíi gian v cæng sùc cõa m¼nh cho vi»c nghi¶n cùu c¡c ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh º gi£i c¡c b i to¡n °t khæng ch¿nh. Trong khuæn khê luªn v«n n y chóng tæi xin ÷ñc tr¼nh b y · t i: Hi»u ch¿nh t¼m nghi»m chung cõa mët hå húu h¤n ph÷ìng tr¼nh vîi ¡nh x¤ li¶n töc Lipschitz v J-ìn i»u. Luªn v«n ÷ñc têng hñp tø b i b¡o cõa GS.TS Nguy¹n B÷íng còng vîi cëng sü Nguy¹n ¼nh Dông. Möc ½ch cõa luªn v«n n y l sû döng ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Browder-Tikhonov t¼m nghi»m chung cõa mët hå húu h¤n ph÷ìng tr¼nh vîi to¡n tû J− ìn i»u v li¶n töc Lipschitz tr¶n khæng gian Banach. Trong â giîi thi»u ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh t¼m nghi»m cõa hå húu h¤n ph÷ìng tr¼nh khi h» ph÷ìng tr¼nh to¡n tû ch¿ câ nhi¹u ð v¸ ph£i v h» ph÷ìng tr¼nh khi c£ v¸ ph£i v to¡n tû ·u câ nhi¹u. 1
  6. Ngo i ph¦n mð ¦u, k¸t luªn, danh möc c¡c t i li»u tham kh£o, bè cöc cõa luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng. Ch÷ìng 1. Tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m cì b£n v· khæng gian Hilbert v khæng gian Banach. Ti¸p theo giîi thi»u b i to¡n °t khæng ch¿nh. çng thíi công tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov gi£i ph÷ìng tr¼nh vîi to¡n tû ìn i»u. Ch÷ìng 2. Ph÷ìng ph¡p t¼m nghi»m chung cho mët hå ph÷ìng tr¼nh to¡n tû ìn i»u, hi»u ch¿nh cho h» ph÷ìng tr¼nh vîi to¡n tû J-ìn i»u v li¶n töc Lipschitz tr¶n khæng gian Banach ph£n x¤ v lçi ch°t câ chu©n kh£ vi Gateaux ·u. Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i håc Th¡i Nguy¶n d÷îi sü h÷îng d¨n cõa GS.TS Nguy¹n B÷íng. M°c dò t¡c gi£ ¢ h¸t sùc cè g­ng nh÷ng do v§n · nghi¶n cùu l kh¡ phùc t¤p v kinh nghi»m nghi¶n cùu cán h¤n ch¸ n¶n khæng tr¡nh khäi thi¸u sât. Trong qu¡ tr¼nh vi¸t luªn v«n công nh÷ xû lþ v«n b£n ch­c ch­n khæng tr¡nh khäi nhúng sai sât nh§t ành. T¡c gi£ r§t mong nhªn ÷ñc nhúng þ ki¸n âng gâp cõa quþ th¦y cæ v c¡c b¤n º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn. 2
  7. Ch÷ìng 1 C¡c kh¡i ni»m v v§n · cì b£n Ch÷ìng n y gçm 3 möc, tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m cì b£n ÷ñc sû döng li¶n quan tîi nëi dung nghi¶n cùu cõa · t i. Möc 1. Giîi thi»u c¡c kh¡i ni»m, t½nh ch§t, sü hëi tö trong khæng gian Hilbert v khæng gian Banach, ngo i ra cán mët sè ành ngh¾a, bê ·, c¦n sû döng º chùng minh c¡c k¸t qu£ trong ch÷ìng 2. Möc 2. Kh¡i ni»m v v½ dö v· b i to¡n °t khæng ch¿nh. Möc 3. Tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov gi£i b i to¡n °t khæng ch¿nh. C¡c ki¸n thùc tr¼nh b y trong ch÷ìng n y ÷ñc tham kh£o chõ y¸u tø c¡c t i li»u [1], [6] v [7]. 1.1 Khæng gian Hilber v Banach • Khæng gian Hilbert ành ngh¾a 1.1. Khæng gian tuy¸n t½nh E ÷ñc gåi l khæng gian ti·n Hilbert hay cán gåi l khæng gian câ t½ch væ h÷îng, n¸u tr¶n E x¡c ành mët h m thüc hai bi¸n, k½ hi»u hx, yi v ÷ñc gåi l t½ch væ h÷îng cõa x v y n¸u thäa m¢n i·u ki»n sau: 1. Vîi méi x, y ∈ E, hx, yi = hy, xi; 2. Vîi méi x, y, z ∈ E, hx + y, zi = hx, zi + hy, zi; 3. Vîi méi x, y ∈ E vîi sè thüc β b§t k¼ hβx, yi = β hx, yi; 4. Vîi méi x ∈ E, hx, xi ≥ 0 v hx, xi = 0 khi v ch¿ khi x = 0. 3
  8. Vîi h m kxk = hx, xi1/2 th¼ E trð th nh mët khæng gian ành chu©n. Khæng gian vîi t½ch væ h÷îng ¦y õ ÷ñc gåi l khæng gian Hilbert. • Khæng gian Banach ành ngh¾a 1.2. Khæng gian ành chu©n l khæng gian tuy¸n t½nh E trong â ùng vîi méi ph¦n tû x ∈ E ta câ mët sè k x k gåi l chu©n cõa x, thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: 1. k x k> 0, ∀x 6= 0, k x k= 0 ⇔ x = 0, 2. k x + y k≤k x k + k y k, ∀x, y ∈ E, (b§t ¯ng thùc tam gi¡c) 3. k αx k= |α| k x k, ∀x ∈ E, α ∈ R. Khæng gian ành chu©n ¦y õ gåi l khæng gian Banach. V½ dö 1.1. Khæng gian Lp[a, b] vîi 1 ≤ p < ∞ l khæng gian Banach vîi chu©n: b Z p 1 p k ϕ k= ( |ϕ(x)| dx) p , ϕ ∈ L [a, b], a n V½ dö 1.2. Khæng gian Euclide n-chi·u R l khæng gian Banach. n Trong khæng gian R chu©n v kho£ng c¡ch ÷ñc x¡c ành nh÷ sau: n X 21/2 kxk = |xi| , i=1 d(x, y) = kx − yk, n n x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ R , y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ R . ành ngh¾a 1.3. Gi£ sû E l mët khæng gian Banach thüc v E∗ l khæng gian èi ng¨u. º cho ìn gi£n, chu©n cõa E v E∗ ÷ñc kþ hi»u bði k . k. C£ hai câ chu©n ÷ñc kþ hi»u l hx∗, xi. Vîi gi¡ trà cõa phi¸m h m tuy¸n t½nh li¶n töc x∗ ∈ E∗, x ∈ E. Mët ¡nh x¤ J tø E v o E∗ ÷ñc gåi l mët ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c cõa E n¸u: 4
  9. hx, j(x)i = k x k.k j(x) k, v k x k=k j(x) k, ∀x ∈ X, j(x) ∈ J(X). • Sü hëi tö trong khæng gian Banach Trong khæng gian Banach E, d¢y {xn} ⊂ E ÷ñc gåi l hëi tö y¸u tîi x ∈ E, n¸u vîi måi x∗ ∈ E∗ , ta câ: ∗ ∗ lim hxn, x i = hx, x i , n→∞ D¢y hëi tö y¸u ÷ñc k½ hi»u: xn * x khi n → ∞. D¢y {xn} ⊂ E ÷ñc gåi l hëi tö m¤nh tîi x ∈ E n¸u nâ hëi tö theo chu©n, tùc l kxn − xk → 0 khi n → ∞. • Khæng gian ph£n x¤ ành ngh¾a 1.4. Gi£ sû E l khæng gian ành chu©n tr¶n R, E∗ l khæng gian li¶n hñp cõa E v gåi E∗∗ = L(E∗,R) l khæng gian li¶n hñp thù hai cõa E. Ta cho t÷ìng ùng vîi méi x ∈ E mët phi¸m h m tuy¸n t½nh li¶n töc x∗∗ tr¶n E∗∗ nhí h» thùc hx∗∗, fi = hf, xi, ∀f ∈ X∗∗, ð ¥y hf, xi l k½ hi»u gi¡ trà phi¸m h m tuy¸n t½nh li¶n töc f ∈ E∗ t¤i x ∈ E. Ta câ k x k=k x∗∗ k. °t h(x) = x∗∗, n¸u h : E → E∗∗ l to n ¡nh th¼ khæng gian E ÷ñc gåi l khæng gian ph£n x¤. V½ dö 1.3. Ta câ (Rn)∗ = Rn suy ra (Rn)∗∗ = ((Rn)∗)∗ = (Rn)∗ = Rn. V ph²p nhóng chu©n t­c H : Rn −→ (Rn)∗∗ l mët ìn ¡nh tuy¸n t½nh v¼ H l mët ph²p ¯ng cü tuy¸n t½nh. Do â H l to n ¡nh tuy¸n t½nh. Vªy Rn l khæng gian ph£n x¤. V½ dö 1.4. Khæng gian Lp[0, 1] vîi p > 1 l khæng gian ph£n x¤. Måi khæng gian ành chu©n húu h¤n chi·u ·u ph£n x¤. 5
  10. • Khæng gian E-S (Ephimov Stechkin ) ành ngh¾a 1.5. Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l khæng gian Ephi- mov Stechkin (hay khæng gian câ t½nh ch§t E-S) n¸u E ph£n x¤ v trong E sü hëi tö y¸u c¡c ph¦n tû (xn * x) v sü hëi tö chu©n (k xn k→k x k) luæn k²o theo sü hëi tö m¤nh (k xn − x k→ 0). V½ dö 1.5. Khæng gian Hilbert câ t½nh ch§t E-S • Phi¸m h m nûa li¶n töc d÷îi ành ngh¾a 1.6. Cho E l mët khæng gian Banach thüc ph£n x¤, E∗ l khæng gian li¶n hñp cõa E. ϕ : X → R S{∞} l mët phi¸m h m tr¶n E a) Phi¸m h m ϕ(x) vîi x ∈ E ÷ñc gåi l lçi, n¸u ϕ(αx + (1 − α)y) ≤ αϕ(x) + (1 − α)ϕ(y), ∀α ∈ [0, 1], x, y ∈ E. b) Phi¸m h m ϕ(x) x¡c ành tr¶n khæng gian Banach E ÷ñc gåi l nûa li¶n töc d÷îi tr¶n E, n¸u limy→x ϕ(y) ≤ ϕ(x), ∀x ∈ E . c) Phi¸m h m ϕ(x) x¡c ành tr¶n khæng gian Banach E ÷ñc gåi l nûa li¶n töc d÷îi y¸u t¤i iºm , n¸u lim inf x0 ∀{xn } : ϕ(x0) ≤ ϕ(xn). • To¡n tû ìn i»u ành ngh¾a 1.7. Cho E l khæng gian Banach ph£n x¤ vîi khæng gian li¶n hñp cõa nâ l E∗.Cho to¡n tû A vîi mi·n x¡c ành l D(A) ⊆ E v mi·n £nh R(A) ⊆ E∗. a) To¡n tû A ÷ñc gåi l ìn i»u n¸u: hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A), b) To¡n tû A ÷ñc gåi l ìn i»u ch°t n¸u d§u b¬ng ch¿ ¤t ÷ñc khi x = y. Trong tr÷íng hñp A l to¡n tû tuy¸n t½nh th¼ t½nh ìn i»u t÷ìng ÷ìng vîi t½nh khæng ¥m cõa to¡n tû. c) To¡n tû A ÷ñc gåi l d-ìn i»u, n¸u tçn t¤i mët h m khæng ¥m d(t), khæng gi£m vîi t ≥ 0, d(0) = 0 v thäa m¢n t½nh ch§t: 6
  11. hA(x) − A(y), x − yi ≥ [d(k x k) − d(k y k)](k x k − k y k), ∀x, y ∈ D(A). d) To¡n tû A ÷ñc gåi l ìn i»u ·u n¸u tçn t¤i mët h m khæng ¥m δ(t), khæng gi£m vîi t ≥ 0, δ(0) = 0 v hA(x) − A(y), x − yi ≥ δ(k x − y k), ∀x, y ∈ D(A). 2 N¸u δ(t) = CAt vîi CA l mët h¬ng sè d÷ìng th¼ to¡n tû A ÷ñc gåi l ìn i»u m¤nh. V½ dö 1.6. To¡n tû tuy¸n t½nh A : RM → RM ÷ñc x¡c ành bði A = BT B, vîi B l mët ma trªn vuæng c§p M, l mët to¡n tû ìn i»u. Nhªn x²t 1.1. N¸u to¡n tû A câ t½nh ch§t tuy¸n t½nh th¼ A ÷ñc gåi l ìn i»u m¤nh n¸u 2 hAx, xi ≥ mA k x k , mA > 0, ∀x ∈ D(A). V½ dö 1.7. H m sè f : R → R ÷ñc x¡c ành bði f(x) = 2012x l to¡n tû tuy¸n t½nh ìn i»u m¤nh. • To¡n tû h-li¶n töc, d-li¶n töc To¡n tû A ÷ñc gåi l h−li¶n töc tr¶n X n¸u A(x + ty) * Ax khi + t → 0 , ∀x, y ∈ X, v A ÷ñc gåi l d-li¶n töc tr¶n E n¸u tø xn → x suy ra Axn * Ax khi n → ∞. V½ dö 1.8. H m hai bi¸n ϕ(x, y) = xy2(x2 + y4)−1 khæng li¶n töc, nh÷ng li¶n töc theo tøng bi¸n t¤i (0, 0), do â nâ l h-li¶n töc t¤i (0, 0). ành ngh¾a 1.8. To¡n tû A : E −→ E ÷ñc gåi l : a) J−ìn i»u tr¶n E, n¸u tçn t¤i j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho 7
  12. hA(x) − A(y), j(x − y)i ≥ 0, vîi ∀x, y ∈ E. b)J−ìn i»u m¤nh tr¶n E vîi h¬ng sè α, n¸u tçn t¤i mët h¬ng sè α > 0 sao cho hA(x) − A(y), j(x − y)i ≥ α k x − y k2, ∀x, y ∈ E, c) Li¶n töc Lipchitz tr¶n E, n¸u kA(x) − A(y)k ≤ Lkx − yk, ∀x, y ∈ E, Ð ¥y, L l h¬ng sè d÷ìng. Khi L = 1 th¼ A ÷ñc gåi l to¡n tû khæng gi¢n. d) Ng÷ñc J−ìn i»u m¤nh vîi h¬ng sè λ tr¶n E, n¸u tçn t¤i mët h¬ng sè d÷ìng λ sao cho hA(x) − A(y), j(x − y)i ≥ λkA(x) − A(y)k2, ∀x, y ∈ E, Rã r ng, n¸u A l to¡n tû ng÷ñc J− ìn i»u m¤nh vîi h¬ng sè λ th¼ A l li¶n töc Lipschitz vîi h¬ng sè (1/λ). e) m− J− ìn i»u trong E, n¸u A l J− ìn i»u v R(A+λI) = E , ∀λ ≥ 0. Ð ¥y R(A) ÷ñc k½ hi»u l kho£ng bi¸n thi¶n cõa A v I l to¡n tû çng nh§t tr¶n E. Chó þ 1.1. N¸u E l mët khæng gian Hilbert th¼ kh¡i ni»m to¡n tû m-J-ìn i»u tròng vîi kh¡i ni»m to¡n tû ìn i»u cüc ¤i. D¹ d ng nhªn th§y r¬ng mët ¡nh x¤ tuy¸n t½nh v x¡c ành khæng ¥m l mët ¡nh x¤ ìn i»u. • To¡n tû gi£ co ành ngh¾a 1.9. To¡n tû T ÷ñc gåi l gi£ co ch°t tr¶n khæng gian Banach E trong thuªt ngú cõa Browder [7] n¸u tçn t¤i λ ∈ [0, 1) sao cho ∀x, y ∈ E ta câ hT x − T y, j(x − y)i ≤ k x − y k2 - λ k x − y − (T x − T y) k2 8
  13. Hay câ thº vi¸t d÷îi d¤ng: h(I − T )x − (I − T )y, j(x − y)i ≥ λ k (I − T )x − (I − T )y k2 Do â, I − T l ng÷ñc J−ìn i»u m¤nh vîi h¬ng sè λ. N¸u λ = 0, th¼ T ÷ñc gåi l gi£ co. Rã r ng, n¸u T l gi£ co th¼ A := I − T l mët ¡nh x¤ J− ìn i»u, v ng÷ñc l¤i, n¸u A l J− ìn i»u th¼ T = I − A l gi£ co. V½ dö 1.9. L§y f(x) = e−x vîi x ∈ (−∞, +∞) → (−∞, 0). Khi â, f l mët h m sè ìn i»u gi£m v do â f l mët ¡nh x¤ gi£ co. Sau ¥y l mët sè lþ thuy¸t ÷ñc sû döng º chùng minh c¡c k¸t qu£ trong ph¦n sau. ành ngh¾a 1.10. Cho E l khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n thüc v S1(0) := {x ∈ E : kxk = 1}, Khæng gian E ÷ñc gåi l câ chu©n kh£ vi G¥teaux (ho°c trìn) n¸u kx + tyk − kxk ∃ lim , ∀x, y ∈ S1(0). t→0 t Khæng gian E ÷ñc gåi l câ chu©n kh£ vi G¥teaux ·u n¸u giîi h¤n n¶u ð tr¶n ·u vîi x ∈ S1(0). Khæng gian E ÷ñc gåi l lçi ch°t n¸u ∀x, y ∈ S1(0) vîi x 6= y, ta câ k (1 − λ)x + λy k < 1, ∀λ ∈ (0, 1). ành ngh¾a khæng gian lçi ch°t cán ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l lçi ch°t n¸u vîi måi x, y ∈ E, x 6= y m k x k= 1, k y k= 1, ta câ: x + y || || < 1. 2 V½ dö 1.10. Khæng gian Lp[a, b] l khæng gian lçi ch°t. 9
  14. ∞ ∞ ành ngh¾a 1.11. Cho khæng gian Banach l vîi (a1, a2, ) ∈ l v chu©n k a k∞= supi∈N |ai| v µ l phi¸m h m tuy¸n t½nh li¶n töc ∞ tr¶n l . K½ hi»u µk(ak) := µ((a1, a2, )), khi â µ ÷ñc gåi l giîi h¤n Banach n¸u µ thäa m¢n k µ k = µk(1) =1, µk(ak+1) = µk(ak), ∞ vîi (a1, a2, ) ∈ l . Vîi giîi h¤n Banach µ, ta câ lim inf ak ≤ µk(ak) ≤ lim sup ak k→∞ k→∞ ∞ ∞ ∞ Vîi méi (a1, a2, ) ∈ l . N¸u a = (a1, a2, ) ∈ l , b = (b1, b2, ) ∈ l v ak −→ c, (t÷ìng ùng ak − bk −→ 0 khi k −→ ∞) Ta câ µk(ak) = µ(a) = c (t÷ìng ùng µk(ak) = µk(bk)). Bê · 1.1. [6] Cho C l mët tªp con lçi cõa khæng gian Banach E câ chu©n l kh£ vi G¥teaux ·u. Gi£ sû {xk} l mët tªp con giîi nëi trong E, z ∈ C v µ l giîi h¤n Banach, th¼ 2 2 µk k xk − z k = min k xk − u k , u∈C khi v ch¿ khi µkhu − z, J(xk − z)i ≤ 0 vîi måi u ∈ C. Trong [7] ch¿ ra ÷ñc vîi to¡n tû J- ìn i»u v li¶n töc Lipschitz tr¶n E l m-J - ìn i»u. èi vîi méi to¡n tû A l m-J -ìn i»u trong E v iºm b§t ëng f ∈ E. To¡n tû u = Tf (x) ÷ñc x¡c ành tø ¯ng thùc A(u) + u = f + x, (1.1) vîi méi x ∈ E. Khi â Tf thäa m¢n c¡c t½nh ch§t sau: • Tf l khæng gi¢n 10
  15. • F ix(Tf ) = S, ð ¥y F ix(Tf ) ÷ñc ành ngh¾a l tªp c¡c iºm b§t ëng cõa Tf . F ix(Tf ) = {x ∈ E : x = Tf (x)}. 1.2 B i to¡n °t khæng ch¿nh 1.2.1 Kh¡i ni»m b i to¡n °t khæng ch¿nh Kh¡i ni»m b i to¡n ch¿nh ÷ñc J. Hadamard ÷a ra khi nghi¶n cùu v· £nh h÷ðng cõa c¡c i·u ki»n bi¶n l¶n nghi»m cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh Eliptic công nh÷ parabolic. X²t b i to¡n Cauchy èi vîi ph÷ìng tr¼nh Laplace ∂2u ∂2u n + n = 0, −∞ 0. Vi»c t¼m nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh to¡n tû Ax = f, f ∈ Y, (1.2) công ph£i düa v o dú ki»n ban ¦u f, câ ngh¾a l x = R(f). Ta s³ coi nghi»m công nh÷ c¡c dú ki»n â l nhúng ph¦n tû thuëc khæng gian X v Y vîi c¡c ë o t÷ìng ùng l ρX(x1, x2) v ρY (f1, f2), x1, x2 ∈ X, f1, f2 ∈ Y . Gi£ sû câ mët kh¡i ni»m th¸ n o l nghi»m cõa mët b i to¡n. Khi â b i to¡n t¼m nghi»m x = R(f) ÷ñc gåi l ên ành tr¶n c°p khæng gian (X, Y ), n¸u vîi méi sè ε > 0 câ thº t¼m ÷ñc mët sè δ(ε) > 0, sao cho tø ρY (f1, f2) ≤ δ(ε) cho ta ρX(x1, x2) ≤ ε, ð ¥y x1 = R(f1), x2 = R(f2); x1, x2 ∈ X; f1, f2 ∈ Y. 11
  16. ành ngh¾a 1.12. B i to¡n t¼m nghi»m x ∈ X theo dú ki»n f ∈ Y ÷ñc gåi l b i to¡n °t ch¿nh tr¶n c°p khæng gian metric (X, Y ), n¸u câ: 1. Ph÷ìng tr¼nh (1.2) câ nghi»m x0 vîi måi f ∈ Y , 2. Nghi»m x0 ÷ñc x¡c ành mët c¡ch duy nh§t, 3. Nghi»m x0 phö thuëc mët c¡ch li¶n töc v o f. N¸u ½t nh§t mët trong ba i·u ki»n tr¶n khæng ÷ñc thäa m¢n th¼ b i to¡n (1.2) ÷ñc gåi l °t khæng ch¿nh. èi vîi c¡c b i to¡n phi tuy¸n th¼ i·u ki»n thù hai g¦n nh÷ khæng thäa m¢n. Do vªy h¦u h¸t c¡c b i to¡n phi tuy¸n ·u l b i to¡n °t khæng ch¿nh. Trong nhi·u ùng döng th¼ v¸ ph£i cõa (1.2) th÷íng ÷ñc cho bði o ¤c, ngh¾a l thay cho gi¡ trà ch½nh x¡c f, ta ch¿ bi¸t x§p x¿ fδ cõa nâ thäa m¢n k fδ − f k≤ δ. Gi£ sû xδ l nghi»m cõa (1.2) vîi f thay bði fδ (gi£ thi¸t r¬ng nghi»m tçn t¤i). Khi δ → 0 th¼ fδ → f nh÷ng vîi b i to¡n °t khæng ch¿nh th¼ xδ khæng hëi tö tîi x. 1.2.2 V½ dö v· b i to¡n °t khæng ch¿nh Sau ¥y ta s³ ch¿ ra mët sè v½ dö v· to¡n tû A m (1.2) l b i to¡n °t khæng ch¿nh. V½ dö 1.11. Ta x²t b i to¡n cê iºn. â l b i to¡n khæi phöc h m sè khi bi¸t h» sè Fourier cõa nâ. Gi£ sû ϕk(t) l mët h» trüc chu©n ¦y õ câ sup |ϕk(t)| ≤ C0, v h» sè Fourier a = (a1, a2 ) cõa h m t∈[a,b] ∞ P f(t) = akϕk(t), k=1 Thay cho ak ÷ñc cho x§p x¿ bði ck , ck thäa m¢n i·u ki»n : 12
  17. ∞ P 2 2 (ak − ck) ≤ δ , k=1 ∞ P H m fe(t) = akϕk(t), fe(t) 6= f(t), t¤i t. Gi£ thi¸t Max|ϕk(t)| ≤ C0. k=1 t∈[a,b] T¼m x§p x¿ cõa f(t0) 6= fe(t0). L§y h m: n(δ) P fen(δ)(t0) = ckϕk(t0), k=1 chån sao cho : , η(δ) n(δ) n(δ) → ∞, δ → ∞ n(δ) = [ δ2 ], η(δ) → 0, δ → 0, Thªt vªy : n(δ) ∞ n(δ) P P P |f(t0) − fen(δ)(t0)| = | akϕk(t0) + akϕk(t0) − ckϕk(t0)| ≤ k=1 k=1+n(δ) k=1 n(δ) ∞ P P |ak − ck||ϕk(t0)| + | akϕk(t0)|, k=1 k=1+n(δ) ∞ n(δ) P P V¼ chuéi akϕk(t0) hëi tö, cho n¶n ph¦n d÷ | akϕk(t0)| → 0 k=1 k=1+n(δ) khi n(δ) → ∞. Ngo i ra: n(δ) n(δ) n(δ) P P 2 P 2 1/2 |ak − ck||ϕk(t0)| ≤ ( |ak − ck| . |ϕk(t0)| ) k=1 k=1 k=1 q p η(δ) p khi ≤ C0δ n(δ) = C0δ. [ δ2 ] = C0 η(δ) → 0 δ → 0, V½ dö 1.12. Cho A l mët to¡n tû ìn i»u, Cho X = Y = R3, A l mët ma trªn ÷ñc x¡c ành bði ma trªn vuæng c§p 3. To¡n tû 3 3 A : R → R ÷ñc x¡c ành bði ma trªn 1 0 0 ! A = 0 1 0 0 0 0 D¹ th§y r¬ng 2 2 3. Suy ra hAx, xi = x1 +x2 ≥ 0, ∀x = (x1, x2, x3) ∈ R A l mët to¡n tû ìn i»u. 13
  18. Khi â h» ph÷ìng tr¼nh tr¶n câ d¤ng x1 = f1, x2 = f2, 0x1 + 0x2 + 3 0x3 = f3 vîi f = (f1, f2, f3) ∈ R . Hiºn nhi¶n, h» ph÷ìng tr¼nh n y câ nghi»m khi f = (f1, f2, 0), vîi f1, f2 tòy þ. Khi v¸ ph£i ÷ñc cho x§p x¿ bði δ vîi δ th¼ h» fδ = (f1, f2, f3 ) f3 6= 0 ph÷ìng tr¼nh tr¶n trong tr÷íng hñp n y væ nghi»m. 1.3 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov º t¼m nghi»m x§p x¿ cõa b i to¡n (1.2) khi khæng bi¸t thæng tin v· nghi»m ch½nh x¡c x0, A.N. Tikhonov ¢ ÷a ra mët sè kh¡i ni»m mîi. â l ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh düa tr¶n vi»c x¥y düng to¡n tû hi»u ch¿nh v c¡ch chån gi¡ trà cõa mët tham sè mîi ÷a v o. −1 Gi£ sû A khæng li¶n töc v thay cho f ta bi¸t fδ : ρY (fδ, f) ≤ δ → 0. B i to¡n °t ra l düa v o thæng tin v· (A, fδ) v mùc sai sè δ, t¼m mët ph¦n tû xδ x§p x¿ nghi»m ch½nh x¡c x0 cõa b i to¡n (1.2). Rã −1 r ng l khæng thº x¥y düng ph¦n tû xδ theo quy t­c xδ = A fδ. V¼ thù nh§t l A−1 câ thº khæng x¡c ành vîi f ∈ Y , thù hai A−1 khæng −1 −1 li¶n töc n¶n A fδ n¸u tçn t¤i công ch÷a ch­c ¢ x§p x¿ A f. Tham sè δ ch¿ cho ta ë sai sè v¸ ph£i cõa (1.2). V¼ vªy mët i·u tü nhi¶n n£y sinh l li»u câ thº x¥y düng ph¦n tû x§p x¿ phö thuëc v o mët tham sè n o â v tham sè n y ÷ñc chån t÷ìng th½ch vîi δ sao cho khi δ → 0 th¼ ph¦n tû n y x§p x¿ hëi tö ¸n nghi»m x0. Ta công th§y n¸u ÷ñc th¼ tø fδ ∈ Y ta câ ph¦n tû x§p x¿ thuëc E, tùc l tçn t¤i mët to¡n tû n o â t¡c ëng tø khæng gian Y v o khæng gian X. ành ngh¾a 1.13. To¡n tû R(f, α) phö thuëc tham sè α, t¡c ëng tø Y v o X ÷ñc gåi l mët to¡n tû hi»u ch¿nh cho b i to¡n (1.2) n¸u: 1. Tçn t¤i hai sè d÷ìng δ1 v α1 sao cho to¡n tû R(f, α) x¡c ành vîi måi α ∈ (0, α1) v vîi måi fδ ∈ Y : ρY (fδ, f) ≤ δ, δ ∈ (0, δ1); 14
  19. 2. Tçn t¤i mët sü phö thuëc α = α(fδ, δ) sao cho vîi måi ε > 0, ∃δ(ε) ≤ δ1 º vîi måi fδ ∈ Y thäa m¢n ρY (fδ, f) ≤ δ ≤ δ1 th¼ ρX(xα, x0) ≤ ε, ð ¥y x0 l nghi»m ch½nh x¡c cõa (1.2) v xα ∈ R(fδ, α(fδ, δ)); Ph¦n tû xα ∈ R(fδ, α) ÷ñc gåi l nghi»m hi»u ch¿nh cõa b i to¡n (1.2) v α = α(fδ, δ) = α(δ) ÷ñc gåi l tham sè hi»u ch¿nh. Công d¹ d ng nhªn th§y tø ành ngh¾a tr¶n, nghi»m hi»u ch¿nh ên ành vîi dú ki»n ban ¦u. Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov l mët trong nhúng ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh nêi ti¸ng v ÷ñc sû döng nhi·u cho vi»c nghi¶n cùu v gi£i c¡c b i to¡n °t khæng ch¿nh trong c¡c l¾nh vüc kh¡c nhau cõa to¡n håc. Chó þ 1.2. Trong tr÷íng hñp α = δ, ành ngh¾a v· to¡n tû hi»u ch¿nh câ d¤ng ìn gi£n sau: To¡n tû R(f, δ) t¡c ëng tø Y v o X ÷ñc gåi l mët to¡n tû hi»u ch¿nh, n¸u: 1. Tçn t¤i mët sè d÷ìng δ1 sao cho to¡n tû R(f, δ) x¡c ành vîi måi 0 ≤ δ ≤ δ1 v vîi måi f ∈ Y sao cho ρY (f, f0) ≤ δ; 2. Vîi ε > 0 b§t k¼, tçn t¤i δ0 = δ0(ε, fδ) ≤ δ1 sao cho tø ρY (fδ, f0) ≤ δ ≤ δ0 ta câ ρX(xδ, x0) ≤ ε, ð ¥y xδ ∈ R(fδ, δ) 15
  20. Ch÷ìng 2 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh cho h» ph÷ìng tr¼nh phi tuy¸n vîi to¡n tû J-ìn i»u v li¶n töc Lipschitz tr¶n khæng gian Banach Trong ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè v§n · cì b£n cõa luªn v«n nh÷ sau: Giîi thi»u v· ph÷ìng ph¡p t¼m nghi»m chung cho mët hå ph÷ìng tr¼nh vîi to¡n tû ìn i»u. Tø â tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p t¼m nghi»m chung cho h» ph÷ìng tr¼nh vîi to¡n tû J−ìn i»u v li¶n töc Lipschitz tr¶n khæng gian Banach thæng qua hai ành lþ ¢ ÷ñc chùng minh. C¡c k¸t qu£ n y ÷ñc tham kh£o trong c¡c t i li»u [2], [3], [4] v [5]. 2.1 T¼m nghi»m chung cho mët hå ph÷ìng tr¼nh to¡n tû ìn i»u Trong luªn v«n n y, chóng tæi x²t b i to¡n t¼m nghi»m chung cõa mët h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh Ai(x) = fi, i = 0, 1, , N, (2.1) Ð ¥y N l ph¦n tû trong , ¡nh x¤ l mët {fi}i=0 N + 1 E A0 L0− Lipschitz li¶n töc v J− ìn i»u v ¡nh x¤ Ai l mët γi ng÷ñc J− ìn i»u m¤nh tr¶n E, vîi méi i = 1, 2, , N. 16
  21. ành ngh¾a Si l tªp nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh thù i cõa h» (2.1). Ta gi£ thi¸t TN . S := i=0 Si 6= ∅ Chóng ta °c bi»t quan t¥m trong tr÷íng hñp c¡c dú li»u cho ð ¥y khæng ch½nh x¡c, khi ÷ñc x§p x¿ bði δ thäa m¢n fi fi δ (2.2) k fi − fi k≤ δ, δ −→ 0. Nh÷ ta ¢ bi¸t méi ph÷ìng tr¼nh trong (2.1) l b i to¡n °t khæng ch¿nh theo ngh¾a nghi»m b i to¡n khæng phö thuëc mët c¡ch li¶n töc v o dú ki»n fi, v¼ vªy h» nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh công l khæng ch¿nh. ∗ N«m 2006, gi£i ph÷ìng tr¼nh (2.1) vîi fi = 0, khi Ai : E −→ E , i = 0, 1, , N l N + 1 ¡nh x¤ h-li¶n töc, ìn i»u v câ t½nh ch§t th¸ n«ng tr¶n E, ÷a ra [2], Gi¡o s÷ Nguy¹n B÷íng ¢ · xu§t ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Browder-Tikhonov N X µi h (2.3) α Ai (x) + αJ(x) = 0, i=0 µ0 = 0 0 xα τ {δ, h} J çng thíi l li¶n töc y¸u tr¶n , v th¼ τ , E (δ + h)/α −→ 0 xα −→ y∗ mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh A(x) = f vîi k f − fδ k ≤ δ. 17
  22. Khi Ai l li¶n töc v âng y¸u tr¶n E ≡ H l mët khæng gian Hilbert trong [4]. Mîi ¥y Gi¡o s÷ Nguy¹n B÷íng v cëng sü Dông düa tr¶n cì sð t¼m nghi»m cõa b i to¡n tèi ÷u khæng r ng buëc ¢ sû döng ph÷ìng ph¡p cüu tiºu phi¸m h m hi»u ch¿nh Tikhonov: N X 2 + 2 k Ai(x) − fi k +α k x − x k , (2.5) i=1 Ð ¥y x+ ∈ H v gi£ thi¸t ban ¦u ¢ cho. N¸u méi ¡nh x¤ Ai l tuy¸n t½nh v giîi nëi tr¶n H, b i to¡n (2.5) t÷ìng ÷ìng vîi h» ph÷ìng tr¼nh sau N N X ∗ + X ∗ (2.6) Ai Ai(x) + α(x − x ) = Ai fi, i=1 i=1 Nghi¶n cùu ð [5] vîi A∗ l li¶n hñp cõa A. Trong luªn v«n n y º gi£i ph÷ìng tr¼nh (2.1) chóng ta x²t ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Browder-Tikhonov düa tr¶n ph÷ìng tr¼nh to¡n tû vîi c¡c k¸t qu£ hi»u ch¿nh cho h» ph÷ìng tr¼nh (2.1) ÷ñc ÷a ra trong tr÷íng hñp to¡n tû Ai l J− ìn i»u v ng÷ñc J− ìn i»u m¤nh tr¶n khæng gian Banach ph£n x¤ v lçi ch°t vîi chu©n kh£ vi ·u Gauteaux. Gi£ thi¸t to¡n tû v v¸ ph£i ÷ñc x§p x¿ bði h v Ai fi Ai δ v thäa m¢n , . º t¼m nghi»m cõa b i to¡n , ta x²t fi (2.2) (2.4) (2.1) ph÷ìng tr¼nh hi»u ch¿nh düa tr¶n cì sð t¼m nghi»m cõa b i to¡n N X h µe h δ + δ (2.7) A0(x) + α (Ai (x) − fi ) + α(x − x ) = f0 , i=1 Ð ¥y h câ t½nh ch§t gièng nh÷ trong (2.4) v l h¬ng Ai Ai µ ∈ (0, 1) sè cè ành. 18
  23. 2.2 Nghi»m chung cho mët hå ph÷ìng tr¼nh to¡n tû J-ìn i»u Tr÷îc ti¶n, x²t ph÷ìng tr¼nh to¡n tû: N X µe δ + δ (2.8) A0(x) + α (Ai(x) − fi ) + α(x − x ) = f0 , i=1 ð ¥y, l mët h¬ng sè d÷ìng cè ành, l tham sè hi»u µe ∈ [0, 1] α ch¿nh. ành lþ sau ch¿ ra sü hëi tö cõa nghi»m hi»u ch¿nh v· nghi»m chung cõa h» trong tr÷íng hñp ch¿ câ nhi¹u ð v¸ ph£i. ành l½ 2.1. Cho E l mët khæng gian Banach thüc, ph£n x¤, lçi ch°t vîi chu©n kh£ vi G¥uteaux ·u, A0 l to¡n tû J-ìn i»u v li¶n töc Lipschitz, Ai l to¡n tû ng÷ñc J-ìn i»u m¤nh vîi h¬ng sè γi tr¶n E, méi i = 1, 2, N. Ta câ: 1. Méi v δ , ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t δ . α > 0 fi ∈ E (2.8) xα 2. N¸u v ph¦n tû δ thäa m¢n i·u ki»n vîi S 6= θ fi (2.2) i = 0, N v tham sè ÷ñc chån sao cho th¼ δ hæi tö m¤nh α α, δ/α −→ 0 xα tîi mët ph¦n tû p∗ ∈ S thäa m¢n + hp∗ − x , j(p∗ − p)i ≤ 0, ∀p ∈ S. (2.9) Chùng minh (1) V¼ Ai l J− ìn i»u v li¶n töc Lipschitz tr¶n E, vîi méi N µ P i = 0, 1, N. To¡n tû A := A0 + αe Ai công l mët J− ìn i»u i=1 v li¶n töc Lipschitz tr¶n E, vªy, E công câ t½nh ch§t m − J− ìn i»u, do â, ph÷ìng tr¼nh câ mët nghi»m l δ , vîi méi (2.8) xα α > 0 v δ fi ∈ E Nghi»m n y l duy nh§t bði v¼ (A + α(I − x+))(.) l J− ìn i»u m¤nh vîi h¬ng sè α. 19
  24. (2) Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû r¬ng Nαµ ≤ 1. Tø (2.8) ta câ: N δ µ P δ δ δ hA0(xα) − A0(p) + α (Ai(xα) − Ai(p) − (fi − fi)) + α(xα − i=1 + δ = δ δ , vîi méi . x ),J(xα − p)i hf0 − f0,J(xα − p)i p ∈ S Do â: δ + δ 1 δ δ hxα − x ,J(xα − p)i ≤ α hf0 − f0,J(xα − p)i N + αµ P δ δ , α hfi − fi,J(xα − p)i i=1 Bði v¼ méi Ai l mët J− ìn i»u vîi i = 0, 1, N, n¶n δ 2 + δ δ δ , k xα − p k ≤ hx − p, Jxα − p)i + 2α k xα − p k, ∀p ∈ S vªy, δ l giîi nëi n¶n tçn t¤i mët h¬ng sè d÷ìng sao cho vîi måi xα M1 δ , , suy ra k xα k≤ M1 ∀α, δ > 0 δ k xδ − p k2≤ hx+ − p, J(xδ − p)i + 2 (M + k p k), (2.10) α α α 1 1 T÷ìng tü tø (2.8) v Ai l - Lipschitz li¶n töc, vîi i = 1, 2, N, ta γi thu ÷ñc N δ δ + µ P σ k A0(xα) − f0 k≤ α k xα − x k +α k Ai(xα) − Ai(p) k +2δ i=1 N δ + µ P 1 , ≤ α k xα − x k +α γ (M1+ k p k) + 2δ i=1 i K²o theo δ (2.11) lim k A0(xα) − f0 k= 0, α,δ/α−→0 Tø (2.8) v A0 l J-ìn i»u v Ai l ng÷ñc J− ìn i»u m¤nh vîi h¬ng sè γi n¶n ta câ N N P δ 2 P δ δ γi k Ai(xα) − fi k ≤ hAi(xα) − fi,J(xα − p)i i=1 i=1 1−µ + δ δ µ δ ≤ α hx − xα,J(xα − p)i + (δ/α + Nδ) k J(xα − p) k 1−µ + 1−µ ≤ (α k x − p k +(α /α + Nδ))(M1+ k p k), 20
  25. Suy ra δ (2.12) lim k Ai(xα) − fi k= 0, i = 1, 2, N, α,δ/α−→0 f X²t to¡n tû Ti = I − Ai v T i = Ti + fi, d¹ th§y p ∈ S khi v ch¿ khi TN f i . V¼ l ìn i»u, l to¡n tû gi£ p ∈ i=0 F ix(T ) Ai J− Ti co tr¶n E, n¶n to¡n tû T f i công gi£ co tr¶n E. Tø (2.11), (2.12) ta câ f i δ v khi . D¹ th§y k (I − T )xα k−→ 0 α, δ/α −→ 0 i = 0, 1, N f −1 Λi = (2I − T i ) l to¡n tû khæng gi¢n. f f Thüc vªy, 2I − T i = I + I − T i = I + Ai − fi l mët J− ìn i»u m¤nh tr¶n E. Vªy R(2I − T fi ) = E. Tø (1.1) ta câ f f (2I − T i )x = (I + I − T i )x = (I + Ai)x − fi, i −1 To¡n tû A (x) = Ai(x)−fi l m−J− ìn i»u, v (I +Ai) l khæng gi¢n, theo â, Λi công l khæng gi¢n. f Rã r ng, F ix(Λi) = F ix(T i ) = Si, vªy δ fi δ fi δ δ −1 δ δ xα − T xα = (2I − T )xα − xα = Λi xα − xα, v −1 δ δ ΛiΛi xα = xα, Suy ra δ δ −1 δ δ −1 δ δ fi δ k xα − Λixα k=k ΛiΛi xα − Λixα k≤k Λi xα − xα k=k (I − T )xα k, vªy δ δ khi k xα − Λixα k−→ 0 α, δ/α −→ 0. Cho l d¢y con cõa δ vîi khi Ta x²t {xk} {xα} αk, δk/αk → 0 k → ∞ 2 h m ϕ(x) = µk k xk − x k , vîi måi x ∈ E. Ta câ ϕ(x) −→ ∞ khi k x k→ ∞, vîi ϕ l h m lçi, li¶n töc. 21
  26. Vªy E l khæng gian ph£n x¤, tçn t¤i p ∈ E sao cho ϕ(p) = minϕ(x) e e x∈E suy ra tªp C∗ := {u ∈ E : ϕ(u) = minϕ(x)}= 6 ∅. x∈E D¹ th§y r¬ng C∗ l tªp con lçi âng cõa E, V¼ k xk − Λixk k→ 0. Ta câ: 2 2 ϕ(Λipe) = µk k xk − Λipe k = µk k Λixk − Λipe k 2 ≤ µk k xk − pe k = ϕ(pe), ∗ ∗ ∗ Suy ra ΛiC ∈ C , v C l Λib§t bi¸n vîi i = 0, 1, 2, N. M°t kh¡c tçn t¤i iºm b§t ëng cõa N thuëc ∗. {Λi}i=0 C Thªt vªy: V¼ E l khæng gian Banach ph£n x¤ v lçi ch°t, C∗ l tªp Chebyshev trong E, suy ra TN , n¶n tçn t¤i duy nh§t p ∈ i=0 F ix(Λi) iºm ∗ sao cho pe ∈ C k p − pe k= inf k p − x k, x∈C∗ V¼ v ∗. Ta câ p = Λip Λipe ∈ C k p − Λipe k=k Λip − Λipe k≤k p − pe k, Suy ra . Vªy, tçn t¤i TN T ∗, Λipe = pe pe ∈ i=0 F ix(Λi) C Tø Bê · 1.1 ta câ k¸t qu£ sau: (2.13) µkhx − p,e J(xk − pe)i ≤ 0, ∀x ∈ E. Chån trong v + trong , ta câ 2 p = pe (2.10) x = x (2.13) µk k xk −pe k = 0 Suy ra tçn t¤i mët d¢y con {x } cõa d¢y {x } hëi tö m¤nh tîi p ki k e khi i → ∞. Tø (2.11) v t½nh li¶n töc y¸u cõa chu©n to¡n tû èi ng¨u J tr¶n tªp con giîi nëi E. Ta câ N + \ (2.14) hp − x ,J(pe− p)i ≤ 0, ∀p ∈ S = F ix(Λi), i=0 V¼ , S l mët tªp âng lçi b¬ng c¡ch thay trong , bði p, pe ∈ S p (2.14) 22
  27. , vîi . sp + (1 − s)pe s ∈ (0, 1) dòng t½nh ch§t ¢ bi¸t: , trong â , cho ta ÷ñc J(s(pe− p)) = sJ(pe− p) s > 0 s → 0 + hpe− x ,J(pe− p)i ≤ 0, ∀p ∈ S. V¼ trong l duy nh§t n¶n . Vªy, δ hëi tö m¤nh tîi p∗ (2.9) pe = p∗ {xα} p∗ khi α, δ/α → 0. ành lþ n y ¢ ÷ñc chùng minh. Trong tr÷íng hñp têng qu¡t, khi v¸ ph£i v to¡n tû câ nhi¹u ta câ ành lþ sau ch¿ ra sü hëi tö cõa nghi»m hi»u ch¿nh v· nghi»m chung cõa h». ành l½ 2.2. Cho E l mët khæng gian Banach thüc, ph£n x¤, lçi ch°t câ chu©n kh£ vi G¥uteaux ·u, h l to¡n tû li¶n töc Lipschitz v Ai J− ìn i»u tr¶n E, thäa m¢n i·u ki»n (2.4), g(t) khæng ¥m v giîi nëi, vîi h > 0. Khi â, ta câ: 1. Méi v δ , ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m chung duy α > 0 fi ∈ E (2.7) nh§t τ xα, τ = (δ, h) 2. N¸u v ph¦n tû δ thäa m¢n i·u ki»n vîi S 6= θ fi (2.2) i = 0, N v lüa chån tham sè sao cho khi τ hæi tö m¤nh α α, δ/α −→ 0 xα tîi mët ph¦n tû p∗ ∈ S thäa m¢n (2.9) Chùng minh (1) V¼ h l li¶n töc Lipschitz v ìn i»u tr¶n vîi , Ai J− E i = 0, N to¡n tû N h µ P h δ + , A0(.) + αe (Ai (.) − fi ) + α (x − x )(.) i=1 li¶n töc Lipschitz v J− ìn i»u m¤nh vîi h¬ng sè α, suy ra ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t τ , vîi méi . (2.7) xα τ > 0, α > 0 23
  28. (2) Tø (2.7) ta câ: N h τ h µ P h τ h τ + τ hA0(xα) − A0(p) + αe (Ai (xα) − Ai (p)) +α(xα − x ),J(xα − p)i i=1 N δ µ P δ τ = hf0 − f0 + αe (fi − fi),J(xα − p)i i=1 N h µ P h τ +hA0(p) − A0(p) + αe (Ai(p) − Ai (p)),J(xα − p)i, i=1 Ð ¥y p ∈ S, suy ra: τ + τ 1 δ τ hxα − x ,J(xα − p)i ≤ αhf0 − f0),J(xα − p)i N µ−1 P δ τ +hαe (fi − fi,J(xα − p)i i=1 1 h τ +α k A0(p) − Ao (p) kk xα − p k N µ−1 P h τ +αe k Ai(p) − Ai (p) kk xα − p k, i=1 V¼ h l ìn i»u, n¶n ta câ Ai J− τ 2 + τ δ+hg(kpk) τ k xα − p k ≤ hx − p, J(xα − p)i + 2 α k xα − p k, ∀p ∈ S. suy ra τ giîi nëi. N¶n tçn t¤i h¬ng sè sao cho τ {xα} M2 > 0 k xα k≤ M2, ∀α, δ, h > 0 v thäa m¢n (h + δ)/α → 0, suy ra ∀p ∈ S ta luæn câ δ + hg(k p k) k xτ − p k2≤ hx+ − p, j(xτ − p)i + 2 (M + k p k), ∀p ∈ S. α α α 2 (2.15) T÷ìng tü tø (2.7) v (N − 1)αµe ≤ 1 ta câ N h τ τ + µ P h τ µ k A0(xα)−f0 k≤ α k xα−x k +αe k Ai (xα)−Ai(p) k +(1+Nα )δ i=1 N τ + µ P h τ τ ≤ α k xα − x k +αe k Ai (xα) − Ai(xα) k i=1 N + µ P τ αe k Ai(xα) − Ai(p) k +2δ i=1 N τ + τ µ P 1 τ ≤ α k xα − x k +hg(k xα k) + α γ k x − p k +2δ i=1 i N τ + µ P 1 ≤ α k xα − x k +hgm + α γ (M2+ k p k) + 2δ. i=1 i 24
  29. Ð ¥y gm = sup{g(s): s ∈ (0,M2)}. Vîi α, (h + δ)/α → 0 suy ra h τ lim k A0(xα) − f0 k= 0, α,(h+δ)/α→0 v tø (2.4) ta luæn câ τ lim k A0(xα) − f0 k= 0, α,(h+δ)/α→0 T÷ìng tü nh÷ trong ành lþ , ta câ τ , vîi méi 2.1 k Ai(xα) − fi k→ 0 v . Luæn thu ÷ñc τ i = 1, 2, N α, (h + δ)/α → 0 xα → y∗ ành lþ ÷ñc chùng minh. 25
  30. K¸t luªn Luªn v«n ¢ · cªp ¸n c¡c v§n · sau: • Nghi¶n cùu vi»c t¼m nghi»m chung cho mët hå ph÷ìng tr¼nh to¡n tû ìn i»u, sü hëi tö cõa nghi»m hi»u ch¿nh; • p döng ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov gi£i b i to¡n phùc t¤p trong khæng gian Banach trong tr÷íng hñp c¡c to¡n tû câ t½nh ch§t J-ìn i»u v li¶n töc Lipschitz tr¶n khæng gian Banach ph£n x¤ v lçi ch°t câ chu©n kh£ vi ·u Gauteaux ·u. • ÷a ra ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh v ch¿ ra ÷ñc t½nh duy nh§t cõa nghi»m hi»u ch¿nh. 26
  31. T i li»u tham kh£o [1] Nguy¹n B÷íng, Ph¤m K¼ Anh, B i to¡n °t khæng ch¿nh, Nh xu§t b£n ¤i Håc Quèc Gia H Nëi, 2005. [2] Buong Ng, Regularization for unconstrained vector optimiza- tion of convex functionals in Banach spaces, Zh. Vychisl. Mat. i Mat. Fiziki, 46(3) (2006) 372-378 [3] Alber Ya. I, On solution by the method of Regularization for op- erator equation of the first kind involving accretive mapping in Banach spaces,, Differential Equation SSSR, 1975, T.11, P.2242- 2248 [4] Buong Ng, Dung Ng D, Regularization for a Common so- lution of a System of Nonlinear Ill- posed Equations, Int. Journal of Math. Analysis, Vol. 3,2009, no. 34, 1693 - 1669. [5] Buong Ng, Dung Ng D, Regularization for a Common solution of a finite system of nonlinear ill- posed Equations involving Lipschitz continuous and accretive mappings on Banach spaces. Hëi th£o Quèc gia l¦n thù XV: Mët sè v§n · chån låc cõa CNTT v TT H Nëi 03-04/12/2012 [6] Takahashi W., Ueda Y, On Reich's strong convergence the- orem for resolvents of accretive operators , J. Math. Anal. Appl.1984, V.104, P.546-553. 27
  32. [7] Browder F.E, Nonlinear mapping of nonexpansive and ac-cretive type in Banach spaces , Bull. Amer. Math. Soc.1967, V.73, P.857 - 882. 28