›
›

Luận văn Dạng tự đẳng cấu và biểu diễn nhóm GL(2;R)

pdf 41 trang phuongnguyen 2940
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Luận văn Dạng tự đẳng cấu và biểu diễn nhóm GL(2;R)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfluan_van_dang_tu_dang_cau_va_bieu_dien_nhom_gl2r.pdf

Nội dung text: Luận văn Dạng tự đẳng cấu và biểu diễn nhóm GL(2;R)

  1. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THU HOÀI DẠNG TỰ ĐẲNG CẤU VÀ BIỂU DIỄN NHÓM GL(2,R) LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN HỌC Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số: 60.46.01 Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Đỗ Ngọc Diệp Thái Nguyên - 2011 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  2. Mục lục Mởđầu 2 Chương 1. LÝ THUYẾT DẠNG TỰ ĐẲNG CẤU TRÊN GL(2,R) . . . . . . 4 1.1. Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Toán tử trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. Đại số Lie và đại số phổ dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Bài toán phổ cho thương compact của nửa mặt phẳng trên . . . . . 9 1.4.1. Lý thuyết phổ của các dạng tự đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2. Xác định phổ của toán tử đối xứng không bị chặn trên L2(Γ\H, χ,k). . . . . . . 11 1.4.3. Khai triển không gian Hilbert L2(Γ\G, χ) thành các không gian con bất khả qui . 12 Chương 2. BIỂU DIỄN NHÓM GL(2,R) 15 2.1. Dạng tự đẳng cấu trên GL(2,R) 15 2.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2. Các dạng tự đẳng cấu trên Γ\H 16 2.2. Biểu diễn của các nhóm compact địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3. Biểu diễn của đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 + 2.4. Phân loại các (g,K)-module bất khả quy của G = GL(2,R) . . 25 Chương 3. MỘT SỐ TÍNH TOÁN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Kếtluận 39 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  3. MỞ ĐẦU Dạng tự đẳng cấu là khái niệm lần đầu được đưa vào bởi Poincaré: hàm số trên không gian đối xứng G/K, G là nhóm Lie, K là nhóm con compact cực đại, biến đổi theo một công thức đơn giản với tác động của một nhóm con số học. G. Gelfand nhìn dạng tự đẳng cấu theo góc độ của các biểu diễn tự đẳng cấu, một bộ phận của lý thuyết biểu diễn vô hạn chiều và nghiên cứu phổ, giá trị riêng của toán tử Hecke Mục đích của luận văn này là tìm hiểu lý thuyết dạng tự đẳng cấu và biểu diễn trong trường hợp nhóm GL(2,R). Ta sẽ nghiên cứu mối liên hệ giữa lý thuyết biểu diễn nhóm GL(2,R) và các dạng tự đẳng cấu trên nửa mặt phẳng trên Poincaré. Ta sẽ tập trung vào lý thuyết phổ trong trường hợp thương compact. Luận văn với đề tài “Dạng tự đẳng cấu và biểu diễn nhóm GL(2,R)” gồm 3 chương: • Chương 1: Lý thuyết dạng tự đẳng cấu trên GL(2,R). • Chương 2: Biểu diễn nhóm GL(2,R). • Chương 3: Một số tính toán. Trong chương 1 chúng tôi trình bày một số khái niệm liên quan đến lý thuyết dạng tự đẳng cấu trên nhóm GL(2,R), nhắc lại một số khái niệm về toán tử trong không gian Hilbert, sơ lược về nhóm Lie, đại số Lie và xây dựng đại số phổ dụng của nó. Đặc biệt, trọng tâm của chương này chính mối liên hệ giữa bài toán phổ với thương compact của nửa mặt phẳng Poincaré. Trong chương 2, từ lý thuyết của các dạng tự đẳng cấu, chúng tôi trình bày một số biểu diễn, chẳng hạn biểu diễn của nhóm compact địa phương, 2 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  4. biểu diễn của đại số Lie và một kết quả quan trọng là sự phân loại các + (g,K)-module bất khả quy của nhóm G = GL(2,R) . Trong chương 3 chúng tôi trình bày một số kết quả liên quan đến biểu diễn của nhóm GL(2,R). Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn GS.TSKH Đỗ Ngọc Diệp người thầy đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trường Đại học sư phạm thuộc Đại học Thái Nguyên và các thầy cô giáo Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy, giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa học. Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Trường Cao đẳng Công nghiệp Nam Định, gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình tác giả học tập. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011 3 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  5. Chương 1 LÝ THUYẾT DẠNG TỰ ĐẲNG CẤU TRÊN GL(2,R) Trong chương này, chúng tôi giới thiệu lý thuyết phổ của các dạng tự đẳng cấu. Trong trường hợp Γ\H, phổ của toán tử Laplace-Beltrami là rời rạc. Ngoài ra không gian Hilbert L2(Γ\G, χ) khai triển thành các không gian bất khả qui. 1.1. Một số khái niệm cơ bản Cho H là nửa mặt phẳng Poincaré: H = {x + iy ∈ C|y > 0}. Đặt G = + GL(2,R) là nhóm các ma trận thực cấp 2 với định thức dương. Khi đó G tác động trên H bởi phép biến đổi phân thức tuyến tính. Nghĩa là nếu + g ∈ GL(2,R) và z = x + iy ∈ H, y > 0 thì tác động của g tại z cho bởi: az+b g(z) = cz+d . Cho Γ là nhóm con rời rạc của G, sao cho Γ\H là compact, hoặc ít nhất có diện tích hữu hạn. Giả thiết rằng −I ∈ Γ, bởi vì nếu −I ∈/ Γ, thay Γ bởi nhóm sinh bởi Γ và –I.(I là ma trận đơn vị cấp 2). Mặt khác, không mất tính tổng quát, giả thiết rằng Γ ⊂ SL(2,R) (nhóm các ma trận cấp 2 với hệ số thực và định thức bằng 1). Định nghĩa 1.1.1. Cho H là một nhóm, đặc trưng của H là một đồng cấu × χ : H → C . Đặc trưng unitary là một đặc trưng thoả mãn |χ(γ)| = 1 với 4 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  6. mọi γ. Định nghĩa 1.1.2. Giả sử Γ là nhóm con đồng dư, P1(Q) = Q ∪ {∞} là đường xạ ảnh trên Q Do SL(2,Z) tác động bắc cầu trên P1(Q), nên nhóm con chỉ số hữu hạn chỉ có thể có quỹ đạo hữu hạn trên tập này. Một quỹ đạo của Γ trong P1(Q) được gọi là điểm nhọn của Γ. Tổng quát hơn, nếu Γ không giả thiết là nhóm con đồng dư, mà chỉ là một nhóm rời rạc tác động trên H với Γ\H có diện tích hữu hạn, thuật ngữ điểm nhọn được dùng để chỉ là một trong hai trường hợp: - Điểm a ∈ P1(R) = R ∪ {∞} sao cho Γ chứa một phần tử parabolic γ 6= I với γ(a) = a. - Quỹ đạo của các điểm nói trên dưới tác động của Γ. Định nghĩa 1.1.3. Giả sử k là "trọng", nó có thể là số nguyên dương hoặc nguyên âm. Xem z = x + iy và z¯ = x − iy là các biến phức độc lập, ta có các đạo hàm riêng tương ứng ∂ 1  ∂ ∂  ∂ 1  ∂ ∂  = − i , = + i . ∂z 2 ∂x ∂y ∂z¯ 2 ∂x ∂y Ta định nghĩa các toán tử vi phân Maass trên C∞(H), không gian các hàm trơn của H ∂ ∂ k ∂ k R = iy + y + = (z − z¯) + , k ∂x ∂y 2 ∂z 2 ∂ ∂ k ∂ k L = −iy + y − = −(z − z¯) − k ∂x ∂y 2 ∂z 2 và toán tử Laplace suy rộng  ∂ 2 ∂ 2  ∂ ∆ = −y2 + + iky . k ∂x2 ∂y2 ∂x Dễ dàng chứng minh được k  k k  k ∆ = −L R − 1 + = −R L + 1 − . k k+2 k 2 2 k−2 k 2 2 5 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  7. + Với mỗi k, định nghĩa tác động của G = GL(2,R) trên C∞(H) bởi công thức: !  cz¯+ d k az + b a b f |kg = f , g = . |cz + d| cz + d c d Bổ đề 1.1.4. Nếu f ∈ C∞(H), g ∈ G, thì (Rk f )|k+2g = Rk ( f |kg), (Lk f )|k−2g = Lk ( f |kg), và (∆k f )|kg = ∆k ( f |kg). 1.2. Toán tử trong không gian Hilbert Nhắc lại một số khái niệm cơ bản sau: Định nghĩa 1.2.1. Giả sử H là không gian Hilbert. Toán tử trên H được định nghĩa là biến đổi tuyến tính trên tập con trù mật, tức là một cặp có thứ tự (T,DT ), trong đó DT là không gian con tuyến tính trù mật của H, được gọi là miền xác định của T, và T : DT → H là phép biến đổi tuyến tính. + Toán tử T được gọi là đóng nếu đồ thị của nó {( f ,T f )| f ∈ DT } là không gian con đóng của H × H. + Toán tử T được gọi là không bị chặn nếu nó không liên tục khi DT được xem như một không gian con topo của H. + Toán tử T được gọi là đối xứng nếu hT f ,gi = h f ,Tgi với f ,g ∈ DT , trong đó h,i là tích vô hướng trong không gian Hilbert H. ∗ + Toán tử T được gọi là tự liên hợp nếu DT = DT∗ và T = T , trong đó ∗ T là liên hợp của T, DT∗ là không gian của ∀g ∈ H sao cho f 7→ hT f ,gi ∗ là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên DT . Toán tử (T ,DT∗) được gọi là liên hợp của T. 6 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  8. Nếu H là không gian Hilbert tách được thì: + Toán tử tuyến tính T : H → H được gọi là bị chặn nếu miền xác định của nó là toàn bộ H, và nếu tồn tại hằng số C sao cho |Tx| ≤ C |x| với ∀x ∈ H. Hằng số C nhỏ nhất như vậy được gọi là chuẩn toán tử của T, và kí hiệu là |T|. + Toán tử T : H → H được gọi là compact, hoặc hoàn toàn liên tục, nếu T chuyển các tập bị chặn thành các tập compact. Do H là tách, tập con của H là compact nếu và chỉ nếu nó là compact dãy. Vì vậy T là compact nếu và chỉ nếu với mỗi dãy xn ⊂ H của các vectơ đơn vị, tồn tại dãy con yn sao cho T(yn) là hội tụ. Định nghĩa 1.2.2. Giả sử L2(H) là không gian Hilbert các hàm đo được trên H có bình phương khả tích tương ứng với độ đo G-bất biến y−2dx∧dy. ∞ Khi đó ∆k được xác định trên không gian con trù mật Cc (H) của L2(H). (Nếu M là một đa tạp khả vi, thì C∞(M) là không gian các hàm ∞ trơn trên M và Cc (M) là không gian con các hàm giá compact. Nếu X là không gian tôpô, Cc(X) là không gian các hàm liên tục giá compact trên X). 2 2 Cho ∆ = ∂ + ∂ là toán tử Laplace. Kí hiệu d là đạo hàm ngoài, đưa e ∂x2 ∂y2 1-dạng vi phân thành 2-dạng vi phân. Giả sử f và g là các hàm trơn xác định trong lân cận của một miền bị chặn Ω ⊂ C, mà biên là đường cong trơn (hoặc hợp của các đường cong trơn) ∂Ω. Ta có đồng nhất thức  ∂ f ∂ f  ∂g ∂g  d g ∂x dy − ∂y dx − f ∂x dy − ∂y dx = (g∆e f − f ∆eg)dx ∧ dy. Theo định lý Stokes, ta có R (g∆e f − f ∆eg)dx ∧ dy Ω R  ∂ f ∂ f  ∂g ∂g  = g ∂x dy − ∂y dx − f ∂x dy − ∂y dx . ∂Ω 7 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  9. Hướng của đường lấy tích phân là (biên ∂Ω) lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ. Đồng nhất thức này được biết đến như công thức Green. 2 Mệnh đề 1.2.3. Laplace ∆k là toán tử đối xứng trên L (H) với miền xác ∞ định Cc (H). 1.3. Đại số Lie và đại số phổ dụng Định nghĩa 1.3.1. Nhóm Lie là một nhóm, đồng thời là một đa tạp khả vi hữu hạn chiều, trong đó các phép toán nhân và phép nghịch đảo là các ánh xạ trơn. Định nghĩa 1.3.2. Đại số Lie là không gian vec tơ (thực hoặc phức) g được trang bị phép toán song tuyến tính, được gọi là móc Lie, thỏa mãn một số tiên đề sau: Phép toán móc, biểu diễn bởi X,Y 7→ [X,Y] với X,Y ∈ g, được giả thiết thỏa mãn [X,Y] = −[Y,X], [X,X] = 0, và “đồng nhất Jacobi” [[X,Y],Z] + [[Y,Z],X] + [Z,[X,Y]] = 0. Trong trường hợp đại số Lie liên kết với đại số kết hợp A, phép toán móc Lie được định nghĩa bởi [X,Y] = XY − YX, trong đó phép nhân ở vế phải là phép nhân trong đại số A. Định nghĩa 1.3.3. Hàm tử [X,Y] = XY − YX, ứng một đại số kết hợp A với đại số Lie Lie(A). Ta cũng tương ứng một đại số Lie g với một đại số kết hợp U(g), được gọi là đại số bao phổ dụng của g. Nói chung, dù g là hữu hạn chiều, U(g) sẽ là vô hạn chiều. Để xây dựng U(g), ta bắt đầu với đại số tenxơ ⊗g, ∞ ⊕ ⊗kg, ⊗kg = g ⊗ ⊗ g, k=0 | {z } k 8 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  10. k l k+l trong đó phép nhân ⊗ g × ⊗ g = ⊗ g là tích tenxơ (⊗ = ⊗R hoặc ⊗C tùy thuộc g là đại số Lie thực hoặc phức). Định nghĩa 1.3.4. Giả sử V là không gian vectơ thực, U(g) là đại số bao phổ dụng của g. Phức hóa của U(g) là VC = C⊗RV, tức là không gian vectơ phức, với luật nhân C ×VC → VC, thỏa mãn a(b ⊗ v) = (ab) ⊗ v, a,b ∈ C, v ∈ V. Số chiều phức của VC bằng số chiều thực của V. Cho g là đại số Lie thực, phức hóa gC của g là đại số Lie phức. Cho ρ : g → End(V) là biểu diễn của đại số Lie thực, trong đó V là không gian vectơ phức. Khi đó ta có thể mở rộng ρ thành biểu diễn gC → End(V) như sau: Nếu X ∈ gC, viết X = X1 + iX2. Khi đó, đặt ρ(X) = ρ(X1) + iρ(X2). 1.4. Bài toán phổ cho thương compact của nửa mặt phẳng trên 1.4.1. Lý thuyết phổ của các dạng tự đẳng cấu Cho χ là đặc trưng của Γ, C∞(Γ\H, χ,k) là không gian của các hàm trơn trên H sao cho !  cz¯+ d k az + b a b χ(γ) f (z) = f , γ = ∈ Γ. |cz + d| cz + d c d Nếu f ,g ∈ C∞(Γ\H, χ,k), thì f g¯ là bất biến theo Γ, vì vậy ta có thể định nghĩa Z dxdy h f ,gi = f (z)g(z) . y2 Γ\H L2(Γ\H, χ,k) là không gian Hilbert đầy đủ, f ,g ∈C∞(Γ\H, χ,k) tương ứng với tích trong trên. 9 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  11. Bổ đề 1.4.1. Giả sử ω là 1-dạng vi phân trơn sao cho γ(ω) = ω với mọi γ ∈ Γ. Khi đó R dω = 0. Γ\H Chứng minh. Nếu M là một đa tạp đóng định hướng n chiều, thì theo định lý Stokes, khi ω là (n -1)-dạng, ta có Z Z dω = ω = 0, M ∂M vì ∂M là tập rỗng. Đặc biệt, giả sử M = Γ\H. Tính chất tuần hoàn của ω có nghĩa là có thể coi ω như là một dạng vi phân trên M, vậy ta có điều phải chứng minh. ∞ Mệnh đề 1.4.2. Các toán tử Rk và Lk là ánh xạ từ C (Γ\H, χ,k) vào các không gian C∞(Γ\H, χ,k + 2) và C∞(Γ\H, χ,k − 2) tương ứng. Không ∞ gian C (Γ\H, χ,k) là bất biến theo ∆k. Mệnh đề 1.4.3. Nếu f ∈ C∞(Γ\H, χ,k) và g ∈ C∞(Γ\H, χ,k + 2), thì hRk f ,gi = h f ,−Lk+2gi. Chứng minh. Đặt ω = y−1 f (z)g(z)dz¯, trong đó dz¯ = dx − idy. Ta sẽ thấy rằng γ(ω) = ω với mọi γ ∈ Γ. ! a b Thật vậy, đặt ω = u + iv = γ(z). Cho γ = , mà ad - bc = 1 do c d Γ ⊂ SL(2,R). Ta có cz + d  f (z)g(z) = f (ω)g(ω), cz¯+ d v = |cz + d|−2y, dω = (cz + d)−2dz, dω = (cz¯+ d)−2dz¯. Do đó v−1 f (ω)g(ω)dω¯ = y−1 f (z)g(z)dz¯. 10 11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  12. Từ Bổ đề 1.4.1 ta có R −1 R h ∂ −1 ∂ −1 i 0 = d(y f (z)g(z)dz¯) = −∂y(y f g¯) − i∂x(y f g¯) dx ∧ dy Γ\H Γ\H      = − R iy∂ f + y∂ f g − iy∂g + y∂g f − f g dx∧dy ∂x ∂y ¯ ∂x ∂y ¯ y2 Γ\H h i = − R (R f )g + f (L g) dx∧dy, k ¯ k+2 y2 Γ\H từ đó ta có hRk f ,gi = h f ,−Lk+2gi. Mệnh đề 1.4.4. ∆k là toán tử đối xứng (không bị chặn) trên không gian Hilbert L2(Γ\H, χ,k). 1.4.2. Xác định phổ của toán tử đối xứng không bị chặn trên L2(Γ\H, χ,k) Nếu Γ\H là compact, thì tồn tại một dãy đếm được các giá trị riêng 0 = λ0,λ1,λ2, ứng với các véc tơ riêng 1 = φ0,φ1,φ2, tạo thành một 2 cơ sở trực giao của L (Γ\H, χ,k). Hơn nữa, các giá trị riêng λi → ∞, và do đó không có điểm tụ trong C. Trong trường hợp này, toán tử Laplace có phổ rời rạc. Định nghĩa 1.4.5. Độ đo Haar bất biến trái trên nhóm compact địa phương G là độ đo Borel dLg bất biến theo tác động trái của G vào chính nó. Tức R R là f (xg)dLg = f (g)dLg với mọi x ∈ G và hàm khả tích f. G G Tương tự tồn tại độ đo Haar bất biến phải dRg. Các độ đo này có thể hoặc không trùng nhau. Nếu độ đo Haar trái và độ đo Haar phải bằng nhau thì nhóm G được gọi là unimodular và độ đo Haar được gọi là bất biến hai phía. Định lý 1.4.6. (Định lý phổ của toán tử compact) Cho T là toán tử compact tự liên hợp trên không gian Hilbert tách được H. Khi đó H có một cơ sở trực giao φi(i = 1,2,3, ) gồm các vectơ riêng của T, để Tφi = λiφi. Các giá trị riêng λi → 0 khi i → ∞. 11 12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  13. Bổ đề sau là kết quả quen biết trong Giải tích hàm. Bổ đề 1.4.7. Cho T là toán tử bị chặn trên không gian Hilbert H. Giả thiết rằng với mỗi ε > 0 tồn tại toán tử compact Tε sao cho |T − Tε| 0. Biểu diễn (1.1) là duy nhất, trừ θ chỉ xác định theo modulo 2π. 12 13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  14. Sử dụng x, y, u và κθ trong biểu diễn (1.1). Nếu F là một phần tử của ∞ ikθ C (Γ, χ,k), từ phương trình F(gκθ ) = e F(g) ta có ∂F = ikF. ∂θ Định nghĩa 1.4.9. Các toán tử vi phân trên G  ∂ ∂ 1 ∂  R = e2iθ iy + y + , ∂x ∂y 2i ∂θ  ∂ ∂ 1 ∂  L = e−2iθ −iy + y − , ∂x ∂y 2i ∂θ và toán tử Laplace - Beltrami  ∂ 2 ∂ 2  ∂ 2 ∆ = −y2 + + y . ∂x2 ∂y2 ∂x∂θ Định lý 1.4.10. Không gian L2(Γ\G, χ) phân tích được thành tổng trực tiếp Hilbert của các không gian con bất biến và bất khả qui theo biểu diễn chính qui phải ρ. Chứng minh. Cho Σ là tập tất cả các tập S của các không gian con bất biến bất khả qui của L2(Γ\G, χ) sao cho các phần tử của S là trực giao với nhau. Sử dụng bổ đề Zorn, Σ có phần tử cực đại S. Cho H là phần bù trực giao của bao đóng của tổng trực tiếp các phần tử của S. Ta có H = 0. Nếu H 6= 0, ta có thể chọn 0 6= f ∈ H. Tồn tại một không gian con bất biến của H, điều này mâu thuẫn với tính cực đại của Σ. Chọn φ để ρ(φ) là tự liên hợp, và ρ(φ) 6= 0. ρ(φ) là toán tử tự liên hợp khác không trên H, và do đó có giá trị riêng khác không λ. Cho L ⊂ H là không gian riêng của ρ(φ). L là không gian vectơ hữu hạn chiều. Cho L0 là không gian con khác không nhỏ nhất của L. Sự tồn tại của L0 do L là hữu hạn chiều. Cho V là giao của tất cả các không gian con bất biến đóng của W của 13 14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  15. H sao cho L0 = L ∩ W. Ta có V là bất khả quy. Nếu V không bất khả quy thì V = V1 ⊕V2, trong đó V1,V2 là các không gian con bất biến nhỏ hơn. Cho 0 6= f0 ∈ L0. Đặt f0 = f1 + f2, trong đó fi ∈ Vi(i = 1,2). Từ định nghĩa của của ρ(φ), bất kỳ không gian con đóng nào của V là bất biến theo tác động của G là bất biến theo ρ(φ). Đặc biệt, V1,V2 là bất biến theo ρ(φ). Do đó ρ(φ) fi − λ fi ∈ V(i = 1,2). Vì fi ∈ Vi (ρ(φ) f1 − λ f1) + (ρ(φ) f2 − λ f2) = (ρ(φ) f0 − λ f0) = 0. Nên fi là các hàm riêng của ρ(φ) với giá trị riêng λ. Không mất tính tổng quát, giả thiết rằng f1 6= 0. Khi đó f1 ∈ L ∩V1 ⊆ L0, vì L0 là không gian con nhỏ nhất của L do đó L ∩V1 = L0. Mà V là giao của tất cả các không gian con bất biến W của H sao cho L0 = L ∩ W, nhưng V1 là không gian con thật sự của V. Điều này là mâu thuẫn. Hệ quả 1.4.11. L2(Γ\G, χ) = ⊕ L2(Γ\G, χ,k), trong đó L2(Γ\G, χ,k) là k∈Z không gian con của L2(Γ\G, χ) bất biến dưới tác động của biểu diễn ρ. 2 Chứng minh. Thật vậy, L (Γ\G, χ) = ⊕ Vλ (theo Định lý 1.4.10, với Vλ λ∈I bao gồm các f sao cho ρ(φ) f = λ f . Vì biểu diễn ρ là unitary và nhóm K = SO(2) là compact nên ta có λ = k. 14 15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  16. Chương 2 BIỂU DIỄN NHÓM GL(2,R) Trong chương này, chúng tôi xét một số biểu diễn, biểu diễn của các nhóm compact địa phương, biểu diễn của đại số Lie. Từ đó cho một số kết quả từ lý thuyết biểu diễn và giới thiệu (g,K)-module, trong đó có sự phân loại các (g,K)-module bất khả quy chấp nhận được của nhóm G = GL(2,R). 2.1. Dạng tự đẳng cấu trên GL(2,R) 2.1.1. Định nghĩa Giả sử G là nhóm reductive, A× là xuyến xòe của G, ω là một đặc trưng của xuyến xòe. Cho A(Γ\G, χ,ω) là không gian của các hàm trơn φ : G → C sao cho 1.    z1  .   × φ  g = ω(z)φ(g), z = (z1, ,zn) ∈ A ,    zn 2. φ(γg) = φ(g), γ ∈ GL(n,A), 3. φ là K hữu hạn, φ là Z hữu hạn, trong đó K là nhóm con compact cực đại, Z là tâm của đại số bao phổ dụng. 15 16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  17. + K-hữu hạn có nghĩa là các tịnh tiến bởi k ∈ K sinh ra không gian con hữu hạn chiều. + Z- hữu hạn có nghĩa là các tác động của Z là φ sinh ra không gian con hữu hạn chiều. N 4. φ có tăng vừa phải tức là |φ(g)| ≤ Ckgk , g ∈ G,C ∈ R+,N ∈ N. Hàm φ như vậy được gọi là dạng tự đẳng cấu. 2.1.2. Các dạng tự đẳng cấu trên Γ\H Trong trường hợp nhóm GL(2,R), các dạng tự đẳng cấu gồm: a) Các dạng modula chỉnh hình × Cho χ : Γ → C là một đặc trưng, và cho k là một số nguyên dương sao k cho χ(−I) = (−1) , giả sử −I ∈ Γ. Cho Mk(Γ, χ) là không gian của tất cả các hàm chỉnh hình f : H → C mà thoả mãn các điều kiện: ! a b i) f (γz) = χ(γ)(cz + d)k f (z) với γ = ∈ Γ. c d ii) f chỉnh hình tại các điểm nhọn của Γ. Phần tử của Mk(Γ, χ) được gọi là các dạng modula chỉnh hình. Hơn nữa nếu f triệt tiêu tại các điểm nhọn, thì f được gọi là dạng nhọn chỉnh hình. Không gian các dạng nhọn ký hiệu là Sk(Γ, χ). b) Các dạng Maass Cho Γ(1) = SL(2,Z) là hàm trơn trên H sao cho: i) f (γ(z)) = f (z), γ ∈ Γ(1).  2 2  ii) f là hàm riêng của ∆, ∆ = −y2 ∂ + ∂ . ∂ 2x ∂ 2y iii) f (x + iy) = O(yN) khi y → ∞ với một số N. 16 17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  18. 1 Hơn nữa, nếu R f (z + x)dx = 0 ta gọi f là dạng nhọn Maass. Các dạng 0 Maass cũng như các dạng modula chỉnh hình, chúng đều là các hàm trên nửa mặt phẳng trên, tuy nhiên nó không chỉnh hình. c) Hàm hằng Hàm hằng f (z) = 1 với ∀z ∈ H, được xem là một dạng tự đẳng cấu. Nó là bất biến theo nhóm rời rạc Γ. Tổng quát hơn, cho s ∈ C bất kỳ, xét hàm f (g) = det(g)s trên G; nó là bất biến phải bởi ( ! ) a b 2 2 K = SO(2) = a + b = 1 , −b a và do đó có thể coi như một hàm trên H. Hơn nữa, hàm này có thể coi như là một dạng tự đẳng cấu. 2.2. Biểu diễn của các nhóm compact địa phương Định nghĩa 2.2.1. Cho G là một nhóm compact địa phương. Biểu diễn (π,H) của G là một cặp thứ tự trong đó H là không gian vectơ tôpô và π : G → End(H) là một đồng cấu sao cho ánh xạ G × H → H cho bởi (g, f ) 7→ π(g) f là liên tục theo hai biến g và f . Nếu H là không gian Hilbert, và nếu π(g) : H → H là toán tử unitary với mọi g ∈ G thì phép biểu diễn đó được gọi là unitary. + Cho Z là tâm của G = GL(2,R) bao gồm nhóm các ma trận vô hướng, ! z Z+ là nhóm các ma trận có dạng với z > 0. Cho C∞(Γ\G, χ) là z không gian của các hàm giá trị phức trơn F trên G thỏa mãn F(γgu) = χ(γ)F(g), γ ∈ Γ, u ∈ Z+, g ∈ G, 17 18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  19. và C(Γ\G, χ) là không gian của các hàm liên tục cũng có tính chất này. Cho H = L2(Γ\G, χ) là không gian Hilbert của các hàm đo được thỏa mãn điều kiện trên, có bình phương khả tích tương ứng với độ đo Haar + ∼ trên G/Z = G1 với G1 = SL(2,R). Định nghĩa 2.2.2. Cho φ1 và φ2 là các hàm liên tục trên G và một trong các hàm đó là giá compact. Khi đó tích chập của hai hàm φ1 và φ2 là Z Z −1 −1 (φ1 ∗ φ2)(g) = φ1(gh)φ2(h )dh = φ1(h)φ2(h g)dh. G G Mệnh đề 2.2.3. Không gian C∞(Γ\G, χ) là trù mật trong L2(Γ\G, χ). Định nghĩa 2.2.4. Định nghĩa biểu diễn chính qui phải và trái 1. Biểu diễn ρ : G → End(h) cho bởi (ρ(g) f )(x) = f (xg), g,x ∈ G, (2.1) được gọi là biểu diễn chính quy phải. 2. Biểu diễn λ : G → C∞(G) cho bởi (λ(g) f )(x) = f (g−1x), g,x ∈ G, được gọi là biểu diễn chính quy trái. Phép biểu diễn chính quy trái và phải giao hoán với nhau, λ(g1) ◦ ρ(g2) = ρ(g2) ◦ λ(g1). Mệnh đề 2.2.5. Tác động (ρ(g) f )(x) = f (xg), g,x ∈ G là biểu diễn của G. 2.3. Biểu diễn của đại số Lie Định nghĩa 2.3.1. Phép biểu diễn của đại số Lie g là một đồng cấu đại số Lie, tức là ánh xạ tuyến tính π : g → End(V) từ g tới không gian các tự 18 19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  20. đồng cấu của không gian vectơ V sao cho với ∀X,Y ∈ g ta có π ([X,Y]) = π(X) ◦ π(Y) − π(Y) ◦ π(X). Định nghĩa 2.3.2. Cho A là đại số kết hợp, biểu diễn của A là một phép đồng cấu đại số từ A vào End(V), trong đó V là một số không gian vectơ. Định nghĩa 2.3.3. Cho X ∈ g, tự đồng cấu dπ(X) của V được xác định bởi công thức d (dπ(X))(v) = π (exp(tX)) v| , (2.2) dt t=0 trong đó "ánh xạ hàm số mũ" g → G được xác định bởi 1 1 1 eX = exp(X) = I + X + X2 + X3 + + Xn + 2! 3! n! Để dπ : g → End(V) là một biểu diễn thì nó phải thỏa mãn phương trình π ([X,Y]) = π(X) ◦ π(Y) − π(Y) ◦ π(X). Biểu diễn dπ đại số Lie xác định bởi (2.2) được gọi là vi phân của biểu diễn π nhóm Lie G. Định nghĩa 2.3.4. Cho W và U là các không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường F, ánh xạ toàn phương W → U là một hàm đa thức có các thành phần là các đa thức thuần nhất bậc 2 với hệ số trong F. Bổ đề 2.3.5. Cho W và U là các không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường F đặc số khác 2, và cho q là ánh xạ toàn phương W → U. Khi đó tồn tại duy nhất ánh xạ song tuyến tính đối xứng B :W × W → U sao cho q(ω) = B(ω,ω). Ánh xạ song tuyến tính B được gọi là sự phân cực của q. 19 20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  21. Chứng minh. Không mất tính tổng quát, giả thiết W = Fn và U = Fm, vì vậy các phần tử của W là n-bộ ω = (ω1,ω2, ,ωn). Theo định nghĩa, q là đa thức thuần nhất bậc hai, do đó, tồn tại các hệ số aijk ∈ F (1 ≤ i ≤ j ≤ n,1 ≤ k ≤ m) sao cho ! q(ω) = ∑ ai j1ωiω j, , ∑ ai jmωiω j . 1≤i≤j≤n 1≤i≤j≤n Định nghĩa ! 0 0 0 B1(ω,ω ) = ∑ ai j1ωiω j, , ∑ ai jmωiω j 1≤i≤j≤n 1≤i≤j≤n 0 0 0 0 n với ω = (ω1,ω2, ,ωn) và ω = (ω 1,ω 2, ,ω n) ∈ F . Khi đó B1 là ánh xạ song tuyến tính sao cho q(ω) = B1 (ω,ω). Hơn nữa B1 không đối xứng, vì vậy chúng ta định nghĩa. 0 1  0 0  B(ω,ω ) = 2 B1(ω,ω ) + B1(ω ,ω) . Điều này là có thể vì đặc số của F là khác 2. + Mệnh đề 2.3.6. Cho G = GL(2,R) , and cho g = gl(2,R) là đại số Lie của nó. Cho (π,V) là phép biểu diễn hữu hạn chiều của G sao cho g 7→ π (g) là hàm trơn với mọi v ∈ V . Khi đó dπ : g → End(V) là biểu diễn đại số Lie của g. Chứng minh. Trong trường hợp tổng quát, mệnh đề là hệ quả rút ra từ công thức Van Campbell - Hausdorff - Dynkin. Tuy nhiên, với nhóm ma trận GL(2,R) có thể đơn giản hóa như sau: để chứng minh dπ là phép biểu diễn của g ta phải chứng minh dπ(X) ◦ dπ(Y) − dπ(Y) ◦ dπ(X) = dπ([X,Y]). Ta biết rằng có hai đường t 7→ exp(tX) và t 7→ I +tX là tiếp tuyến trong + G. (Với X ∈ g và t ∈ R đủ nhỏ, I +tX nằm trong G = GL(2,R) ). Do đó, 20 21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  22. ta có thể đơn giản hoá phương trình (2.2) để được d (dπ(X))(v) = π (I +tX) v| . dt t=0 Cho v ∈ V, vì π(g)v là hàm trơn, ánh xạ X 7→ π (I + X)v có khai triển Taylor tại X = 0 trong g. Do đó tồn tại các ánh xạ đa thức thuần nhất ci : g → V (cùng bậc i) và phần dư r : g → V sao cho π (I + X)v = c0(X) + c1(X) + c2(X) + r(X), trong đó r(X) triệt tiêu cấp 3 tại X = 0, c0(X) = c0 là hằng số, và cho B : g × g → V là sự phân cực của c2 như trong Bổ đề 2.3.5, do đó π(I + X)v = c0 + c1(X) + B(X,X) + r(X). Ta có d (dπ(X))(v) = dt π(I +tX)v|t=0 d 2  = dt c0 +tc1(X) +t B(X,X) + r(tX) t=0 = c1(X). Mà d  (dπ(X) ◦ dπ(Y))(v) = (dπ(X)) duπ (I + uY) v|u=0 ∂ ∂ = ∂t ∂u π ((1 +tX)(1 + uY))v|t=u=0 ∂ ∂ =∂t ∂u (c0 + c1 (tX + uY +tuXY) +)+)|t=u=0 +B(tX + uY +tuXY,tX + uY +tuXY) +r(tX + uY +tu XY))|t=u=0. Bỏ qua r từ phép toán này, vì nó triệt tiêu tới cấp 3. Mở rộng các ánh xạ tuyến tính và song tuyến tính c1 và c2, ta có ∂ ∂ (dπ(X) ◦ dπ(Y))(v) = ∂t ∂u(c0 +tc1(X) + uc1 (Y) +tuc1 (XY) +t2B(X,X) + u2B(Y,Y) +t2u2B(XY,XY) 2 2 +2tuB(X,Y) + 2t uB(X, XY) + 2tu B(Y,XY) t=u=0 = c1(XY) + 2B(X,Y). 21 22Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  23. Tương tự ta có (dπ(Y) ◦ dπ(X))(v) = c1(YX) + 2B(X,Y). Trừ vế theo vế ta được (dπ(X) ◦ dπ(Y) − dπ(Y) ◦ dπ(X))(v) = c1(XY −YX) = dπ ([X,Y])(v). Ta có dπ(X) ◦ dπ(Y) − dπ(Y) ◦ dπ(X) = dπ([X,Y]). + Xét biểu diễn chính quy phải ρ : G → End(H) của G = GL(2,R) trên C∞(G) được xác định bởi (2.1). Nếu X ∈ g = gl(2,R), ký hiệu dρ(X) là dX. Với g ∈ G, f ∈ C∞(G) ta có d d (dX f )(g) = (ρ(exp(tX)) f )(g)| = f (gexp(tX))| . (2.3) dt t=0 dt t=0 Như trên ta có thể viết lại phương trình trên như sau: d (dX f )(g) = f (g(I +tX))| . dt t=0 Mệnh đề 2.3.7. Ta có dX ◦ dY − dY ◦ dX = d ([X,Y]). (2.4) Do đó X → dX là phép biểu diễn đại số Lie của g trên C∞(G). Chứng minh. Ta cố định hàm f ∈ C∞(G) và phần tử g ∈ G. Cho X gần 0 f (g(I + X)) = c0 + c1(X) + B(X,X) + r(X), trong đó c1 là tuyến tính, B là đối xứng và song tuyến tính, và r triệt tiêu tới cấp 3 tại X = 0. Như trong trong chứng minh của Mệnh đề 2.3.6, ta có (dX f )(g) = c1(X), 22 23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  24. (dX ◦ dY f )(g) = c1(XY) + 2B(X,Y). Từ đó ta có (dX ◦ dY − dY ◦ dX f )(g) = c1(XY −YX) = (d [X,Y] f )(g). Tính chất phổ dụng của đại số tenxơ Cho V là một không gian vectơ, A là đại số kết hợp, và l : V → A là ánh xạ tuyến tính. Khi đó tồn tại duy nhất một phép đồng cấu đại số L : ⊗V → A mở rộng l. Mệnh đề 2.3.8. Cho g là đại số Lie, và cho U(g) là bao đại số của nó. Cho π : g → End(V) là phép biểu diễn. Khi đó π được mở rộng duy nhất thành một phép biểu diễn của đại số kết hợp U(g). Chứng minh. Dễ dàng kiểm tra trên các phần tử thuần nhất bậc k có L(v1 ⊗ vk) = l(v1) l(vk). Sử dụng tính chất phổ dụng của đại số tenxơ để mở rộng π tới một đồng cấu ⊗g → End(V). Mà U(g) được định nghĩa là thương ⊗g/I, trong đó I là iđean sinh bởi các phần tử có dạng X ⊗Y −Y ⊗ X = [X,Y], X,Y ∈ g. Iđean I này được chứa trong hạch của đồng cấu tới End(V). Thật vậy, đây là hệ quả của giả thiết rằng π là biểu diễn số Lie. Do đó đồng cấu đại số U(g) → End(V) là cảm sinh. + Bổ đề 2.3.9. Cho G = GL(2,R) , và cho X là phần tử của đại số Lie g = gl(2,R) của G. Giả sử rằng φ ∈ C∞(G × R) thỏa mãn ∂ φ(g,t) = dXφ(g,t) ∂t và điều kiện biên φ(g,0) = 0. Khi đó φ(g,t) = 0 với mọi t ∈ R. 23 24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  25. + Mệnh đề 2.3.10. Cho G = GL(2,R) , và g = gl(2,R) là đại số Lie của G. Cho D là phần tử của tâm của U(g). Khi đó toán tử vi phân D bất biến theo cả hai phép biểu diễn chính quy trái và phải của G. Chứng minh. Toán tử vi phân D là bất biến trái theo biểu diễn chính qui của G đã được chứng minh. Chứng minh toán tử vi phân D bất biến phải theo biểu diễn chính qui của G. Theo giả thiết thì D nằm trong tâm của U(g). Nó là đủ để chứng minh rằng ρ(h)◦ D = D ◦ ρ(h) cho h trong tập các hàm sinh của G. Lân cận bất kì của đơn vị sinh ra nhóm con mở của G, vì G là liên thông, do đó nó được sinh ra bởi lân cận bất kì của đơn vị. Vì ảnh của exp : g → G chứa lân cận của đơn vị, nó là đủ để thấy rằng ρ(gt) ◦ D = D ◦ ρ(gt), gt ∈ exp(tX), với X ∈ g, t ∈ R. Cho φ(g,t) = (Dρ (exp(tX)) f − ρ (exp(tX))D f )(g). Chứng minh φ(g,t) thoả mãn + φ (g,0) = 0 ∂ + ∂t φ (g,t) = dXφ (g,t) Điều kiện biên thứ nhất là hiển nhiên. Kiểm tra điều kiện thứ hai ta có ∂ ∂ ∂ ∂t φ (g,t) = ∂uφ (g,t + u)|u=0 = ∂u ((Dρ (exp(t + u)X)) f )(g)|u=0 ∂ −∂u (ρ (exp((t + u)X)D f ))(g)|u=0 ∂ = ∂u (Dρ (exp(uX))ρ (exp(tX)) f )(g) ∂ − ∂u (ρ (exp(uX))ρ (exp(tX))D f )(g)|u=0 =(DdXρ (exp(tX)) f − dXρ (exp(tX))D f )(g). Vì D nằm trong tâm của U(g), nó giao hoán với dX, ta có (dX Dρ (exp(tX)) f − dXρ (exp(tX))D f )(g) = dXφ(g,t). 24 25Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  26. Vậy φ (g,t) = 0 với mọi t, có nghĩa là D giao hoán với ρ (tX). Cho g = gl(2,R), xây dựng phần tử của tâm của U(g) ! ! ! ! 0 1 0 0 1 0 1 0 Rˆ = ,Lˆ = ,Hˆ = , Z = . (2.5) 0 0 1 0 0 −1 0 1 Ta có Hˆ ,Rˆ = 2Rˆ, Hˆ ,Lˆ = −2Lˆ, Rˆ,Lˆ = Hˆ . (2.6) Cho −4C = Hˆ 2 + 2RˆLˆ + 2LˆRˆ ∆ được gọi là phần tử Casimir. Định lý 2.3.11. Phần tử C của U(g), trong đó g = gl(2,R), nằm trong tâm của U(g). Chứng minh. Từ phương trình (2.6) ta có các đồng nhất thức sau trong U(g). Hˆ 2Rˆ = RˆHˆ 2 + 2RˆHˆ + 2Hˆ Rˆ, Hˆ RˆLˆ = RˆLˆHˆ , Hˆ LˆRˆ = LˆRˆHˆ RˆLˆRˆ = Rˆ2Lˆ − RˆHˆ , LˆRˆ2 = RˆLˆRˆ − Hˆ Rˆ, RˆLˆ 2 = LˆRˆLˆ + Hˆ Lˆ LˆRˆLˆ = Lˆ 2Rˆ + LˆHˆ Hˆ 2Lˆ = Lˆ 2Hˆ − 2LˆHˆ − 2Hˆ Lˆ Từ các đồng nhất thức, ta có C giao hoán với Hˆ ,Rˆ,Lˆ. Nó cũng giao hoán với Z, vì Z nằm trong tâm của g. Hˆ ,Rˆ,Lˆ, và Z sinh ra g như là một không gian vectơ, và do đó sinh ra U(g) như một đại số R. Vậy C nằm trong tâm của U(g). 2.4. Phân loại các (g,K)-module bất khả quy của G = GL(2,R)+ Định nghĩa 2.4.1. Cho G là nhóm Lie, K là nhóm con compact cực đại của G, và g là đại số Lie của nó. (g,K)-module là không gian vectơ V cùng 25 26Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  27. với biểu diễn π của K và biểu diễn của g thỏa mãn các điều kiện sau: i) V phân tích thành tổng trực tiếp đại số của các không gian con bất biến hữu hạn chiều theo tác động của K. ii) Biểu diễn của g và K tương thích trong phương trình d 1  π(X) f = X f = π (exp(tX)) f |t=0 := lim π (exp(tX)) f − f (2.7) dt t→0 t với X ∈ k và f ∈ V. iii) π(g)π(X)π(g−1) f = π (Ad(g)X) f với g ∈ K và X ∈ g. - (g,K)-module được gọi là chấp nhận được nếu trong phân tích của V thành các biểu diễn bất khả quy, các thành phần là hữu hạn chiều. - (g,K)-module được gọi là bất khả quy nếu không có không gian con nào khác không mà bất biến theo cả K và g. + Cho G = GL(2,R) và K = SO(2) là nhóm compact lớn nhất của nó. ˆ ˆ ˆ Cho H,R,L,Z,H,R,L và W là các phần tử của gC được xác định ở trên, C ∈ U(g) là phần tử Casimir. Cho V là (g,K)-module bất khả quy chấp nhận được. π : K → End(V) là tác động của K trên V. Ta khai triển V = ⊕V(σ), (2.8) trong đó V(σ) là K "đẳng kiểu". Vì V là chấp nhận được, các không gian V(σ) là hữu hạn chiều. Công thức (2.8) được gọi là tổng đại số trực tiếp. Mệnh đề 2.4.2. Cho V là (g,K)-module bất khả quy chấp nhận được của + G = GL(2,R) . Cho D là phần tử của tâm của U(g). Khi đó D tác động vô hướng trên V. Tức là, tồn tại hằng số λ sao cho Dx = λx với ∀x ∈ V. Chứng minh. Từ điều kiện (iii) trong định nghĩa (g,K)-module mà D ◦ π(κ) = π(κ) ◦ D với κ ∈ K. Do đó, không gian con "đẳng kiểu" V(σ) trong phương trình (2.8) là ổn định theo D. Vì các không gian này là hữu 26 27Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  28. hạn chiều, D có vectơ riêng khác không trong mỗi không gian V(σ) khác không. Cho λ ∈ C sao cho Dx0 = λx0 với 0 6= x0 ∈ V, cho V0 là tập tất cả x sao cho Dx = λx. Vì D ∈ U(g), D giao hoán với tác động của g trên V, từ phương trình trong điều kiện (iii) định nghĩa (g,K)-module và Bài tập 2.2.5 [3] thì D cũng giao hoán với tác động của K. Do đó V0 là không gian con bất biến khác không của V, và vì V bất khả quy, ta có V = V0. Mệnh đề 2.4.3. Cho V là (g,K)- module bất khả qui chấp nhận được của + G = GL(2,R) (i) V(k) là không gian của tất cả các vectơ x ∈ V sao cho Hx = kx. (ii) Nếu x ∈ V(k), thì Rx ∈ V(k + 2) và Lx ∈ V(k − 2). (iii) Nếu 0 6= x ∈ V(k), Cx = V(k), CRnx = V(k + 2n), CLnx = V(k − 2n), và n n V = Cx ⊕ ⊕ CR x ⊕ ⊕ CL x. (2.9) n>0 n>0 (iv) Mỗi không gian V(k) có chiều nhỏ hơn hoặc bằng một. Nếu V(k) và V(l) cả hai là khác không, thì k – l là một số nguyên chẵn. (v) Giả sử rằng λ là giá trị riêng của ∆ trên V. Nếu x ∈ V(k) thì  k  k  k  k LRx = −λ − 1 + x, RLx = −λ + 1 − x. (2.10) 2 2 2 2 (vi) Giả sử rằng λ là giá trị riêng của ∆ trên V. Nếu 0 6= x ∈ V(k) và k k  k k  Rx = 0, thì λ = −2 1 + 2 trong khi nếu Lx = 0, thì λ = 2 1 − 2 . k k  (vii) Giả sử rằng λ = 2 1 − 2 và x ∈V(l). Nếu Rx = 0, thì hoặc l = −k hoặc l = k − 2, và nếu Lx = 0, thì hoặc l = k hoặc l = 2 − k. Chứng minh. Nếu x ∈ V(k), ta có d d d Wx = π(etW )x| = π(κ )x| = eikt x| = ikx. dt t=0 dt t t=0 dt t=0 27 28Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  29. Vì H = iW, ta có Hx = kx với x ∈ V(k). Áp dụng (2.8) ta có V = ⊕ V(k), (2.11) k∈Z trong đó V là tổng trực tiếp của V(k), vì vậy ta có thể đặc trưng V(k) như không gian riêng của H với giá trị riêng k. Điều này chứng minh (i). Để chứng minh (ii), giả sử x ∈ V(k), do Hx = kx, từ phương trình (2.6) ta có [H,R] = 2R, vì vậy HRx = [H,R]x + RHx = 2Rx + Rkx = (k + 2)Rx, do đó Rx ∈ V(k + 2). Chứng minh tương tự ta có Lx ∈ V(k − 2). Ta có chứng minh (2). Tiếp theo ta chứng minh (iii). Từ (i) và (ii) ta có n n Cx ⊆ V(k),CR x ⊆ V(k + 2n),CL x ⊆ V(k − 2n). Từ phương trình (2.11), tổng ở vế phải của phương trình (2.9) là trực tiếp. Ta sẽ chứng minh rằng vế phải của phương trình (2.9) là bất biến theo K và g; nó khác không vì nó chứa x, như vậy vì V là bất khả qui, suy ra n vế phải bằng V. Điều này có nghĩa là Cx = V(k) và CR x = V(k + 2n), và n CL x = V(k − 2n). Vì mỗi số hạng trong phương trình (2.9) là một không gian riêng của K, vế phải của phương trình (2.9) là bất biến theo K. Để thấy rằng nó là bất biến theo g, nó là đủ để kiểm tra tính bất biến theo H, R, L và Z. Tính bất biến theo H suy ra từ (i), vì mỗi số hạng được chứa trong V(l) với một số l. Tính bất biến theo Z suy ra từ Mệnh đề (2.4.2). Ta kiểm tra tính bất biến theo R và L. Ta thấy rằng nếu ξ ∈ V(l), thì RLξ, LRξ ∈ C(l). Lưu ý rằng điều này sẽ chứng minh tính bất biến của phương trình (2.9) theo R và L, vì với (ii) mỗi số hạng trong phương trình (2.9) được chứa trong một số V(l). Thật 28 29Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  30. vậy, bằng Mệnh đề 2.4.2, tồn tại hằng số λ sao cho ∆v = λv với mọi v ∈ V. Ta có −4C = H2 + 2RL + 2LR = H2 + 2H + 4LR (2.12) = H2 − 2H + 4RL. Do đó − 4λξ = (l2 + 2l)ξ + 4LRξ = (l2 − 2l)ξ + 4RLξ. (2.13) Điều này có nghĩa rằng LRξ,RLξ là bội của ξ, ta có chứng minh (iii). Phần (iv) suy ra từ phần (iii). Phần (v) suy ra từ phương trình (2.13) với ξ = x và l = k. Phần (vi) suy ra từ phần (v), vì nếu Rx = 0, thì LRx = 0. Phần (vii) được suy ra từ phần (vi). Nếu Rx = 0, thì với (vi), ta có l l  k k  −2 1 + 2 = λ = 2 1 − 2 , có nghĩa là hoặc l = −k hoặc l = k − 2. Chứng minh tương tự nếu Lx = 0. Định nghĩa 2.4.4. Cho V là (g,K)-module bất khả quy chấp nhận được. K- kiểu của V là tập Σ của các số nguyên k ∈ Z để V(l) 6= 0. Đặc trưng trung tâm của V được cho bởi giá trị riêng α của Z. Đặc trưng vô cùng bé được cho là giá trị riêng ω của Ω. Định lý 2.4.5. Cho λ và µ là các số phức. Giả sử rằng λ không có dạng k k  2 1 − 2 với k là số nguyên chẵn (tương ứng k là số nguyên lẻ). Khi đó tồn tại nhiều nhất một lớp đẳng cấu của (g,K)- module V chẵn (tương ứng, lẻ) mà trên đó C và Z có các giá trị riêng tương ứng là λ và µ. Cho mỗi V như vậy, tập K- kiểu của V bao gồm tất cả các số nguyên chẵn k (tương ứng, số nguyên lẻ k). Chứng minh. Chứng minh V(k) 6= 0 với mọi k chẵn (tương ứng k lẻ). Sử dụng Mệnh đề 2.4.3 (iii) và (iv). Chọn 0 6= x ∈ V(l) với một số l, giả 29 30Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  31. k k  thiết λ không có dạng 2 1 − 2 với k là số nguyên chẵn (tương ứng k là số nguyên lẻ), Ln(x) 6= 0, ∀n. Thay k bởi -k trong giả thiết ta thấy λ cũng k k  không có dạng −2 1 + 2 với k là số nguyên chẵn (tương ứng k lẻ), do đó Rn(x) 6= 0, ∀n. Điều này cho ta các vectơ khác không trong V(k + 2n) và V(k − 2n) với mọi n. Cho V 0 là (g,K)-module khác. Xây dựng một phép đẳng cấu V → V 0. Cho k là số nguyên, cho 0 6= x ∈ V(k) và 0 6= x0 ∈ V 0(k). Khi đó x, Ln(x) và Rn(x),(n > 0) tạo thành một cơ sở của không gian vectơ V, x0, Ln(x0) và Rn(x0) tạo thành cơ sở của V 0. Do đó, tồn tại một phép đẳng cấu tuyến tính φ : V → V 0 sao cho φ(x) = x0, φ(Lnx) = Lnx0 và φ(Rnx) = Rnx0. Vì ánh xạ này có mỗi không gian con "đẳng kiểu" của V vào không gian con "đẳng kiểu" tương ứng của V 0, nó thỏa mãn φ ◦ π(κ) = π0(κ) ◦ φ với κ ∈ K Do đó φ là phép đẳng cấu của module đại số Lie g. Nó là đủ để thấy rằng φ ◦ X = X ◦ φ khi X = H, R, L và Z vì đó là cơ sở của gC. Điều này rõ ràng cho H và Z, mà tác động như các vô hương cùng nhau trên V(k) và V 0(k). Như với R và L, ta cần kiểm tra rằng φ(RLnx) = RLnx0 và φ(LRnx) = LRnx0, điều này được suy ra từ Mệnh đề 2.4.3 (v), với Ln−1x hoặc Rn−1x thay thế x và với k − 2n + 2 hoặc k + 2n − 2 thay thế k. k k  Định lý 2.4.6. Cho k ≥ 1 là một số nguyên, và cho λ = 2 1 − 2 . Giả sử V là một (g,K)-module bất khả qui chấp nhận được với tính chẵn lẻ tương tự của k. Cho Σ là tập của K-kiểu của V. Khi đó Σ là một trong các tập sau: Σ+(k) = {l ∈ Z|l ≡ kmod2,l ≥ k}; Σ−(k) = {l ∈ Z|l ≡ kmod2,l ≤ −k}; . Σ0(k) = {l ∈ Z|l ≡ kmod2, − k<l < k} Tồn tại nhiều nhất một lớp đẳng cấu của (g,K)-module với mỗi Σ. (Trường hợp Σ = Σ0(k) rõ ràng không thể xẩy ra nếu k = 1). 30 31Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  32. Chứng minh. Giả sử V(k) 6= 0. Cho 0 6= x ∈ V(k). Chứng minh Lx = 0. Nếu L(x) 6= 0, cho y = L(x) ∈ V(k − 2). Theo Mệnh đề 2.4.3 (iv) ta có Ry = 0 và do đó ⊕ Lnx đóng theo cả R và L, nó cũng là đóng theo H, Z và n≥0 tác động của K. Vì vậy nó là module con bất biến khác không của V, do nó chứa y, nhưng nó không chứa x, mâu thuẫn với tính bất khả qui của V. Do đó Lx = 0. ⊕ Rnx đóng theo R và L và do đó là một module con bất biến của V và n≥0 do đó bằng V. Không có vectơ Rnx ∈ V(k + 2n) nào là vectơ không, bằng Mệnh đề 2.4.3 (vii), ta có Σ = Σ+. Giả sử V(k) = 0 nhưng V(k − 2) 6= 0. Cho 0 6= x ∈ V(k − 2). Từ Mệnh đề 2.4.3 (vii) suy ra Lx,L2x, ,Lk−2x là các vectơ khác không trong V(k - 2), , V(2 - k). Ta chứng minh Lk−1x = 0. Đặt Lk−1x = y. Nếu y 6= 0, khi đó Ry = RL(Lk−2x) = 0, vì Lk−2x ∈ V(2 − k), và RL triệt tiêu không gian này bởi phương trình 2.10. ⊕ Lny đóng theo R và L, nó cũng là đóng theo H, Z và tác động của K, n≥0 vì vậy nó là module con bất biến của V mà không chứa x, mâu thuẫn với tính bất khả qui của V. Do đó Lk−1x = 0. k−2 ⊕ Lnx đóng theo R và L và do đó là module con bất biến của V và do n=0 đó bằng V. Trong trường hợp này, ta thấy rằng Σ = Σ0. Giả sử V(k) = 0 và V(k - 2) = 0. Cho l là số nguyên bất kỳ sao cho V(l) 6= 0. Với giả thiết, tính chẵn lẻ của V là tương tự k, vì vậy l ≡ k mod 2. Ta sẽ thấy rằng l ≤ −k và sẽ có những mâu thuẫn khác biệt trong các trường hợp l ≥ k và 2 − k ≤ l ≤ k − 2. + Nếu l ≥ k, và nếu V(l) 6= 0, khi đó áp dụng nhiều lần L tới V(l) để có một phần tử khác không của V(k); cho x ∈ V(l) với l > k, L(x) 6= 0 bởi Mệnh đề 2.4.3 (vii). Điều này mâu thuẫn với giả thiết là V(k) = 0. + Nếu 2−k ≤ l ≤ k−2, và nếu V(l) 6= 0, khi đó tương tự áp dụng nhiều 31 32Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  33. lần R để có vectơ khác không trong V(k − 2); một lần nữa, ta dùng Mệnh đề 2.4.3 (vii) để thấy rằng R(x) 6= 0 nếu 0 6= x ∈ V(l) với 2−k ≤ l ≤ k −2. Điều này mâu thuẫn với giả thiết là V(2 − k) = 0. + l ≤ −k và l ≡ k mod 2. Áp dụng R nhiều lần, ta có 0 6= x ∈ V(−k). Khi đó Rx = 0 vì Rx ∈ V(2 − k). Hơn nữa Lnx 6= 0 với n ≥ 0, và do đó Σ = Σ−. Chứng minh tồn tại nhiều nhất một lớp đẳng cấu của (g,K)-module với mỗi Σ tương tự như chứng minh trong Định lý 2.4.5. + Định lý 2.4.7. Phân loại các (g,K)-module của GL(2,R) Sau đây là danh sách đầy đủ các (g,K)-module bất khả quy chấp nhận được khi g = gl(2,R) và K = SO(2). Mỗi (g,K)-module bất khả quy chấp nhận được có thể được thực hiện như không gian của K vectơ hữu hạn + trong biểu diễn chấp nhận được của G = GL(2,R) trên không gian Hilbert. Cho λ và µ là các số phức, và cho ε = 0 hoặc 1. k k  i) Nếu λ không có dạng 2 1 − 2 , trong đó k là số nguyên đồng dư với ε mod 2, tồn tại duy nhất (g,K)-module bất khả quy chấp nhận được với tính chẵn lẻ ε mà ∆ và Z tác động bởi vô hướng λ và µ. Tập K- kiểu trong (g,K) module này là tập của tất cả các số nguyên đồng dư với ε mod 2. k k  ii) Nếu λ không có dạng 2 1 − 2 , trong đó k ≥ 1 là số nguyên đồng dư với ε mod 2, tồn tại ba (g,K)-module bất khả quy chấp nhận được với tính chẵn lẻ ε mà ∆ và Z tác động bởi vô hướng λ và µ, ngoại trừ nếu k = 1, chỉ có 2 (g,K) module bất khả quy chấp nhận được. Trong các ký hiệu của Định lý 2.4.6, các tập của K kiểu có các biểu diễn là Σ±(k) và Σ0(k) (nếu k > 1). Định lý này là kết quả của các Định lý 2.4.5 và Định lý 2.4.6 ở trên. 32 33Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  34. Chương 3 MỘT SỐ TÍNH TOÁN Trong chương này, chúng tôi chứng minh một số kết quả liên quan đến các dạng tự đẳng cấu và biểu diễn nhóm GL(2,R). Mệnh đề 3.1 Sử dụng tọa độ trong phương trình (1.1). Ta có ∂ ∂ ∂ dRˆ = ycos(2θ) + ysin(2θ) + sin2(θ) , (3.1) ∂x ∂y ∂θ ∂ ∂ ∂ dLˆ = ycos(2θ) + ysin(2θ) − cos2(θ) , (3.2) ∂x ∂y ∂θ ∂ ∂ ∂ dHˆ = −2ysin(2θ) + 2ycos(2θ) + sin(2θ) , (3.3) ∂x ∂y ∂θ  ∂ ∂ 1 ∂  dR = e2iθ iy + y + , (3.4) ∂x ∂y 2i ∂θ  ∂ ∂ 1 ∂  dL = e−2iθ −iy + y − , (3.5) ∂x ∂y 2i ∂θ và ∂ dH = −i . (3.6) ∂θ ∞ Chứng minh. Đặt gX (t) = gexp(tX) trên C (G). Ta có 33 34Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  35. φ (gX (t)) = φ (uX (t),xX (t),yX (t),θX (t)), và duX (t) ∂φ dxX (t) ∂φ dyX (t) ∂φ dθX (t) ∂φ dX φ(g) = | + | + | + | . dt t=0 ∂u dt t=0 ∂x dt t=0 ∂y dt t=0 ∂θ Ta có ! a b ai + b i = = x + iy, (3.7) c d ci + d coi x, y như là hàm của a, b, c, d. Ta cũng có thể suy ra từ công thức ! ! a b ycos(θ) − xsin(θ) ysin(θ) + xcos(θ) = uy−1/2 . c d −sin(θ) cos(θ) Từ đẳng thức d −ic = teiθ ⇒ t = |d − ic| và θ là argument của nó. Đặc biệt ta có d − ic = eiθ . |d − ic| Từ công thức (3.7), ta có ad − bc y = . |ci + d|2 ! ! 0 1 1 t + Với Rˆ = ⇒ exp(tRˆ) = . 0 0 0 1 ! ! ! a b 1 t a at + b Vậy gRˆ(t) = = . c d 0 1 c ct + d Từ đó ta có ai + at + b g (t)i = = x (t) + iy (t) = z (t). Rˆ ci + ct + d Rˆ Rˆ Rˆ dzRˆ ad − bc |t=0 = . dt (ci + d)2 34 35Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  36. Vế phải, nhân cả tử và mẫu với lượng liên hợp của mẫu ta có 2 2 dzRˆ ad − bc (d − ci) ad − bc (d − ci) l |t=0 = = dt (ci + d)2 (d − ci)2 |ci + d|2 |d − ci|2 = ye2iθ = y(cos(2θ) + isin(2θ)), từ đó, ta có các công thức 0 0 xRˆ(0) = ycos(2θ), yRˆ(0) = ysin(2θ). Ta tính đạo hàm của θ ct + d − ic ct + d − ic iθ (t) = log = log , Rˆ |ct + d − ic| q (ct + d)2 + c2 ic2 c2 iθ 0 (t) = ⇒ θ 0 (t) = = sin2θ. Rˆ c2 + d2 Rˆ c2 + d2 Đạo hàm của u bị triệt tiêu vì det(g) = u2 và detexp(tRˆ) = 1. Từ các tính toán ở trên ta có công thức (3.1). Tính toán tương tự ta có công thức (3.2). + Với H = −iW, ! ! 0 1 cos(t) sin(t) W = ⇒ exp(tW) = , −1 0 −sin(t) cos(t) ! ! ! u 0 y1/2 xy−1/2 cos(θ +t) sin(θ +t) gexp(tW) = , 0 u 0 y−1/2 −sin(θ +t) cos(θ +t) và ta có ∂ ∂ dW = ⇒ dH = −i . ∂θ ∂θ Ta có công thức (3.6) 35 36Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  37. ! ! 1 0 aet be−t + Với Hˆ = ⇒ gexp(tHˆ ) = , 0 −1 cet de−t iaet + be−t gexp(tHˆ )i = = x (t) + iy (t), icet + de−t Hˆ Hˆ de−t − icet de−t − icet iθ ˆ (t) = log = log √ . H |de−t − icet| c2e2t + d2e−2t Từ đó ta có công thức (3.3) Bây giờ ta có thể tính toán các đạo hàm Lie dH,dR,dL như sự kết hợp tuyến tính với các hệ số phức của dRˆ,dW,dHˆ . ! ! ! 1 i 1 −i 0 1 Với R = 1 , L = 1 , H = −i , 2 i −1 2 −i −1 −1 0 các phần tử này thỏa mãn [H,R] = 2R, [H,L] = −2L, [R,L] = H. Ta có i 1  ∂ ∂ i ∂  dR = idRˆ − dW + dHˆ = e2iθ iy + y − , 2 2 ∂x ∂y 2 ∂θ Vậy ta có công thức (3.4) i 1  ∂ ∂ i ∂  dL = −idRˆ + dW + dHˆ = e−2iθ −iy + y + . 2 2 ∂x ∂y 2 ∂θ Vậy ta có công thức (3.5) Mệnh đề 3.2 Không gian H∞ (H∞ là không gian của các vectơ trơn và là không gian con tuyến tính trù mật của H) là bất biến theo tác động của G. Chứng minh. Cho g ∈ G và X ∈ g. Cho Ad(g)(X) = gXg−1, trong đó phép nhân ở vế phải là phép nhân ma trận. Ta có 1 X (π(g) f ) = lim t (π(exp(tX)g) f − π(g) f ) t→0   = π(g) lim 1 π exptAd(g−1)X f − f . t→0 t 36 37Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  38. Giới hạn này tồn tại và liên tục nếu f là C1, do đó π(g) f là C1 nếu f là C1, tiếp tục như vậy ta có π(g) f là Ck với mọi k nếu f là vectơ trơn, và do đó là π(g) f . Mệnh đề 3.3 Cho (π,H) là biểu diễn không gian Hilbert của nhóm + G = GL(2,R) hoặc G = GL(2,R) . Khi đó tác động của g trên không gian H∞ của các vectơ trơn được xác định bởi phương trình (2.7) là biểu diễn đại số Lie. + Chứng minh. Giả thiết G = GL(2,R) . Thật vậy nếu G = GL(2,R), thì + hạn chế của π tới G = GL(2,R) là một biểu diễn. Hai nhóm G = GL(2,R) + và G = GL(2,R) đều có cùng đại số Lie, và rõ ràng không phải định nghĩa của H∞ cũng không phải tác động của g phụ thuộc vào nhóm mà ta sử dụng. Ta phải chứng minh nếu X f được xác định bởi phương trình (2.7) thì X(Y f ) −Y(X f ) = [X,Y] f , (3.8) với X,Y ∈ g = gl(2,R), f ∈ H∞. Với mỗi φ ∈ H, ta có hX(Y f ) −Y(X f ),φi = h[X,Y] f ,φi (3.9) Cho φ cố định. Ta định nghĩa ánh xạ L : H∞ → C∞(G) bởi (L f )(g) = hπ(g) f ,φi. Ta phải kiểm tra L f là hàm trơn. Ta có ((dX ◦ L) f )(g) = ((L ◦ X) f )(g), (3.10) vì từ phương trình (2.3) ta có d tX  VT = ((dX ◦ L) f )(g) = (L f ) ge dt t=0 . d tX  = dt π (g)π e f ,φ t=0 = hπ (g)X f ,φi = ((L ◦ X) f )(g) = VP 37 38Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  39. Giả thiết của ta là f trơn nghĩa là cho X1, ,Xr ∈ g,X1 ◦ ◦ Xr f xác định, và do phương trình, (3.10) ta có dX1 ◦ ◦ dXrL f xác định. Theo Bổ đề 2.4.2 [3] ta có L f là trơn. Từ (3.10) và (2.4), ta có L(X(Y f ) −Y(X f ) − [X,Y] f ) = 0. Do đó X(Y f ) −Y(X f ) − [X,Y] f trực giao với vectơ φ. Vậy ta có phương trình (3.9) từ đó ta có phương trình (3.8). Mệnh đề 3.4 Cho (π,H) là biểu diễn không gian Hilbert của một trong + hai nhóm G = GL(2,R) hoặc G = GL(2,R) . ∞ ∞ (i) Nếu φ ∈ Cc (G), f ∈ H, thì π(φ) f ∈ H . (ii) Không gian H∞ là trù mật trong H. Chứng minh. (i) Ta có d tX  d R tX  Xπ(φ) f = dt π e π(φ) f |t=0 = dt φ(g)π e g f dg|t=0 G d R −tX R = dt φ(e g)π (g) f dg|t=0 = φX (g)π (g) f dg, G G d −tX  trong đó φX (g) = dt φ e g t=0. Do đó Xπ(φ) f = π(φX ) f , 1 Mà π(g)π(φX ) f liên tục. Vì vậy π(φ) f là C , và tiếp tục như vậy π(φ) f là Ck với mọi k. Vậy π(φ) f ∈ H∞. (ii) Cho ε > 0. Vì ánh xạ G × H → H cho bởi (g, f ) 7→ π(g) f là liên tục, nên tồn tại một lân cận U của đơn vị trong G sao cho |π(g) f − f | < ∞ ε với ∀g ∈ U. Lấy φ ∈ Cc (G) là giá trị dương có giá trong U, sao cho R φ(g)dg = 1. Khi đó G Z Z |π(φ) f − f | = φ(g)(π(g) f − f )dg ≤ φ(g)|π(g) f − f |dg ≤ ε. G G Điều này chứng tỏ H∞ là trù mật trong H. 38 39Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  40. KẾT LUẬN Luận văn có mục đích nghiên cứu dạng tự đẳng cấu và biểu diễn nhóm GL(2,R). Trong luận văn này chúng tôi đã nghiên cứu các vấn đề sau: - Trình bày một số khái niệm và kết quả về lý thuyết dạng tự đẳng cấu. - Trình bày chi tiết một số mệnh đề về biểu diễn nhóm và định lý phân loại các (g,K)-module của GL(2,R). - Một số tính toán liên quan. Với khuôn khổ, thời gian và năng lực của chúng tôi còn nhiều hạn chế, nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong nhận được sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của các thầy, sự hợp tác của các bạn để luận văn hoàn thiện hơn. 39 40Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  41. Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Xuân Liêm (2002), Giải tích hàm, NXB Giáo dục. [2] Borel, A. and H. Jacquet (1979), Automorphic forms and automor- phic representations, pp. [3] Daniel Bump (1997), Automorphic forms and representation, Cam- bridge University Press. [4] Harish-Chandra (1966), Discrete series for semisimple Lie group, Acta. Math.116 , pp. 1-111. [5] Kirillov, A. (2008), An Introduction to Lie group and Lie Algebras, Cambridge University Press, pp. 4-130. [6] Lang, S. (1976), Modular forms, Springer Verlag. [7] Ngo Bao Chau (2011), Automorphic forms on GL2 , University of Chicago, Lectures. 40 41Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên