Kiến thức cơ bản Toán học

69 trang phuongnguyen 5010

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Kiến thức cơ bản Toán học", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

kien_thuc_co_ban_toan_hoc.pdf

Nội dung text: Kiến thức cơ bản Toán học

Kiến Thức Cơ Bản Toán Học Nguyễn phú Khánh_Đà Lạt
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn KIẾN THỨC CƠ BẢN: A≥ B ⇔ AB − ≥ 0 1. Định nghĩa:  A≤ B ⇔ AB − ≤  0 2. Tính chất: 1. a> bc, >⇒+>+ d ac bd 7. ab> ⇔ an > b n ,n chẵn 2. a> bc, − d ac bd 8. a> b ⇔ an > b n ,n chẵn 3. a> bc, >⇒ 0 ac > bc 9. mn>>0, a >⇒ 1 abn > n a=⇒1 abnn = ;0 bc, bab, >⇒ ≥0, cd >≥⇒ 0 acbd > 11. AB+ ≥ A + B . Đẳng thức xảy ra khi AB.> 0 6. ab>>0 ⇒ abn > n 12. AB− ≤ A − B . Đẳng thức xảy ra khi AB. ;a , b , c ∈ ℤ+ a a a+ b a + bc + ⇒ ≤ bc+1 ab + 1 3. 1 1  11. 4a + 1 + 1 ()a+ b  +  ≥ 4 ; 41a+=() 41.1 a +≤ =+ 21 a a b  2 1 1 1  ()a++ b c  ++  ≥ 9 a b c  4. 2 2ab a+ b 12. 1 1 2 ()a+≥ b4 ab ⇒ ≤ + ≥ a+ b 2 1−x2 1 − y 2 1 − xy 5. 2 13. ab2+ 2  ab +  a 2 1 a abc+ + ≥  ; ≤ = ≥ 2 2  1 + a2 22a b+ c2 a 6 2 14. 1 1 4 a+ b  2 + ≥;a , b ≥ 0   ≥ ab hay (a+ b) ≥ 4 ab a b a+ b 2  7 a b 1 2 15. 1 4 +≥2;a +≥ b 2 ab ⇔ ≥ ≥ 2 baab ab+ x. y ()x+ y 8 16. 1 2 2 ab+ ≤2( ab + ) = > =+−2( k 1 k ) kkkk+ +1 + k 17. 1 2 2 = < =−−2( k k 1 ) k k+ k k + k − 1 1 www.mathvn.comŀ
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Đẳng thức thường dùng : 2 (AB+) =+ A22 ABB + 2 2 (ABC++) =+++ A2 B 2 C 2 2 AB + 2 AC + 2 BC 3 (AB+=+) A33 AB 2 + 3 AB 23 + B Chứng minh rằng với mọi số thực a, b , c ta luôn có: a2+ b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ac Giải: a222++≥++⇔++−−−≥ b c abbc ac a 222 b c abacbc 0 a2 bc 22  ac 22  b 2  ⇔ −+ab + −+ ac + −+ bc ≥     0 2 22  22  2  2 2 2 a2−+2 abb 22 c −+ 2 aca 22 c −+ 2 cbb 2 ()ab−() ca −() cb − ⇔ + + ≥⇔++≥0 0 đúng. 2 2 2 222 Đẳng thức xảy ra khi a= b = c . 2 ()a+ b a+ b Chứng minh rằng với mọi số thực a, b không âm ta luôn có: + ≥ab + ba 2 4 Giải: 2 ()a+ b a+ b a + b 1  1  + =ab ++≥  abab ++  . 242 2  2  Xét hiệu : 2 2 1  1  11  abab++− abab += abab  ++−−= ab  ab a −+− b  ≥ 0 đúng 2( ) 2 22      2 ()a+ b a+ b Vậy: + ≥ab + ba . 2 4 Chứng minh rằng với mọi số thực abcd,,, , e ta luôn có: a2+++ b 2 c 2 d 2 +≥ e 2 abcde( +++ ) Giải: abcdeabcde2++++≥ 2 2 2 2 ( +++⇔) 4( abcde2 ++++ 2 2 2 2 ) ≥ 4 abcde( +++ ) ⇔−++−+(a244 abb 22) ( a 44 acc 22) +−+( a 44 ad d 22) +−+( a 440 acc 2 ) ≥ 2 2 2 2 ⇔−(ab2) +−( ac 2) +−( ad 2) +−( ac 20) ≥ đúng. 2 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn a Đẳng thức xảy ra khi b= c = d = e = . 2 2 2 Chứng minh rằng với mọi số thực a, b , c , d ta luôn có: ()()ac−+− bd ≤ ab22 ++ cd 2 + 2 Giải: 2 2 ()()ac−+− bd ≤ ab22 ++ cd 2 + 2 2 2 ⇔−+−≤++++()()ac bd abcd22222 ( abcd 2222 +)( + ) 2 2 ⇔−−++−−+≤(ac) ( ac22) ( bd) ( bd 22) 2 ( abcd 2222 +)( + ) ⇔−−≤222acbd( abcd2 + 2)( 2 +⇔− 2 ) ()() 1 acbd +≤( abcd2 + 2)( 2 + 2 ) 2 2 22222 ⇔+≤+()acbd( a2 bc 2)( 2 +⇔+ d 2 ) ()()()()()()()() ac2 acbd +≤+++ bd ac ad bc bd 222 2 2 ⇔2(acbd)( ) ≤+⇔−( ad) ( bc) ( ad) 200( adbc)( ) +≥⇔−≥( bc) ( adbc ) Đẳng thức xảy ra khi ad= bc . CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH CÁC SỐ HẠNG HOẶC TÁCH CÁC THỪA SỐ MỘT VẾ 11 1 1 Chứng minh rằng với mọi n∈ N , ta có : +++ < 1.5 5.9 (4n− 3)(4 n + 1) 4 Giải: 1 14 1 1  =. = . 1 −  1.5 4 1.5 4 5  1 14 111  = . = .  −  Ta có : 5.9 45.9 4 5 9  1 11 1  =. −  (4nn−+ 3)(4 1) 4 4 n − 3 4 n + 1  11 1 1111 1 1  Cộng vế theo vế ta được : +++ =−+−++ 1 −  1.5 5.9 (4nn−+ 3)(4 1) 4 559 4 nn −+ 3 4 1  1114  n n n 1 =−1  = . = <= . 4 41n+  441414 n + n + n 4 PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI. 3 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn NHỮNG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG COSI. NHỮNG QUY TẮC CHUNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI Quy tắc song hành : hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử dụng các chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung ra được kết quả nhanh chóng và định hướng cách giả nhanh hơn. Quy tắc dấu bằng : dấu bằng "= " trong BĐT là rất quan trọng. Nó giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh. Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi của BĐT. Chính vì vậy mà khi dạy cho học sinh ta rèn luyện cho học sinh có thói quen tìm điều kiện xảy ra dấu bằng mặc dù trong các kì thi học sinh có thể không trình bày phần này. Ta thấy được ưu điểm của dấu bằng đặc biệt trong phương pháp điểm rơi và phương pháp tách nghịch đảo trong kỹ thuật sử dụng BĐT Cô Si. Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng : không chỉ học sinh mà ngay cả một số giáo viên khi mới nghiên cứu và chứng minh BĐT cũng thương rất hay mắc sai lầm này. Áp dụng liên tiếp hoặc song hành các BĐT nhưng không chú ý đến điểm rơi của dấu bằng. Một nguyên tắc khi áp dụng song hành các BĐT là điểm rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu "= " phải được cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến. Quy tắc biên : Cơ sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch tuyến tính, các bài toán tối ưu, các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng. Ta biết rằng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên. Quy tắc đối xứng : các BĐT thường có tính đối xứng vậy thì vai trò của các biến trong BĐT là như nhau do đó dấu "= " thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau. Nếu bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉ ra dấu "= " xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể. Chiều của BĐT : "≤ , ≥ " cũng sẽ giúp ta định hướng được cách chứng minh: đánh giá từ TBC sang TBN và ngược lại. Dạng tổng quát ( số): x x x ta có: n ∀1, 2 , ,n ≥ 0 x+ x + x 1 2 n n ••• Dạng 1: ≥ x x. x n 1 2 n ••• Dạng 2: xx xnxxn x 12+ + n ≥ 12 n n x+ x + x  ••• Dạng 3: 1 2 n  ≥ x x x   1 2 n n  Dấu xảy ra khi và chỉ khi: "= " x1= x 2 = = x n Hệ quả 1 : n S  Nếu: x x x S const thì: Pxx x 1+ 2 + n = = max ()1 2 n =   n  S khi x== x == x 1 2 n n Hệ quả 2: Nếu: x x x= P = const thì: Sxx++ += xnPn 1 2 n min ( 1 2 n ) khi n xx1== 2 == xPn Chứng minh rằng nếu mọi số thực a, b , c ta luôn có : (a2+ bb 22) ( + cc 22)( +≥ a 2 ) 8 abc2 2 2 Giải: 4 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn a2+ b 2 ≥ 2 ab ≥ 0   bc22+ ≥ 20 bc≥⇒+()()() abbcca 222222 + +≥ 88 abc222 = abc 222  c2+ a 2 ≥ 2 ca ≥ 0  Bình luận: ••• Chỉ nhân các vế của BĐT cùng chiều ( kết quả được BĐT cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không âm. ••• Cần chú ý rằng: x2+ y 2 ≥ 2 xy vì x, y không biết âm hay dương. ••• Nói chung ta ít gặp bài toán sử dụng ngay BĐT Cô Si như bài toán nói trên mà phải qua một và phép biển đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng BĐT Cô Si. ••• Trong bài toán trên dấu "≥ " ⇒ đánh giá từ TBC sang TBN. 8 = 2.2.2 gợi ý đến việc sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số, 3 cặp số. 1 1 11 Chứng minh rằng nếu a, b , c > 0 và thỏa mãn a. b . c = 1 thì + + ≤ ab22++23 bc 22 ++ 23 ca 22 ++ 23 2 Giải: 1 1 1 Ta có : ab22+≥2; abb 2 +≥⇒++≥12 ba 22 232 b() abb ++⇒ 1 ≤ . . a2+2 b 2 + 3 2ab+ b + 1 111 1 11 Tương tự : ≤. ; ≤ . bc2++23 2 21bc++ c ca2 ++ 23 2 21 ac ++ a   1 1 111 1 1 Cộng vế theo vế : + + ≤ ++ . 22 22 22   ab++23b23 ++ c ca ++ 2 3 2abb++ 1 bcc ++ 1 aca ++ 1  1 1 1 1 ab b Mặt khác : ++=+ + abb++++1 bcc 1 aca ++ 1 abb ++ 1 abc2 + abc + ab abcabb ++ 1ab b 1 + abb + = + + = = 1. abb++1 abb ++ 1 abb ++ 1 abb ++ 1 1 1 11 Vậy : + + ≤ . ab22++23 bc 22 ++ 23 ca 22 ++ 23 2 2 Lời bình : Bài toán trên sử dụng đến bất đẳng thức cơ bản (x− y ) ≥ 0 đúng với mọi x, y ∈ ℝ . Cho x, y là các số thực dương khác 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1x10 y 10  1 2 Q= +  +x16 +−+ y 16 1 xy 2 2 . 2 2  ()() 2y x  4 Giải: 1 x10 y 10  + ≥ x4 y 4 . Đẳng thức xảy ra khi x12= y 12 2 2  2 y x  1 1 x16+ y 16 ≥ xy 8 8 . Đẳng thức xảy ra khi x16= y 16 . 4() 2 5 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 12 12 11 2 2 1 ⇒≥Qxyxy8844 +−+1 xy 22 = xyxy 8844 + 211 +−+ xy 22 −= xy 44 +− 11 xy 22 +− 2() 2()() 22()() 2 2 2 2   44 22 Mặt khác : ()()()1122+xy 22 +≥+ 1 2 xy 22 1 hay 2(xy+ 1) ≥( xy + 1 ) . Đẳng thức xảy ra khi   x2 y 2 = 1 . 2 1124 1 42 11 2  55 ⇒()xy44 +≥1() xy 22 +⇒≥ 1 Qxy()() 22 +− 11 xy 22 +−=() xy 22 +−−≥− 14 28 8 28  22 Đẳng thức xảy ra khi x2 y 2 = 1 . 5 Vậy : minQ= − khi x2= y 2 = 1. 2 2 2 2 xz  yx  zy  Cho x, y , z là các số thực dương. Chứng minh rằng: +  ++  ++  ≥ 12 3  3  3  yxyz  z xyz  x xyz  Giải: Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân: xz xzyx yxzy zy +≥2; +≥ 2; +≥ 2 y3xyz y 33 xyz z xyz z 33 xyz x xyz x 3 xyz 2 2 2 xz  yx  zy   xz yx zy  ⇒+  ++  ++  ≥4  + +  y3  z 3  x 3   333  xyz  xyz  xyz   y xyz z xyz x xyz  Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân: xz yx zy  xz yx yx 4++≥  4.33 . . = 12. 3 3 3  333 yxyz zxyz xxyz  yxyzzxyzzxyz 2 2 2 xz  yx  zy  Vậy : +  ++  ++  ≥ 12 . 3  3  3  yxyz  z xyz  x xyz  1 Cho n nguyên và n ≥ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A= x + x n Giải: n xxx1 x  1 n + 1 A=++++≥+ n n+1 ≥ n ( 1)   n nnnx n  x n+1 nn x n so n x 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi = ⇔x = n+1 n n x n 6 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn n + 1 Giá trị nhỏ nhất của A = n+1 nn 1 Cho n nguyên và n ≥ 2 và x≥ k > n+1 n . Tìm giá trị nhỏ nhất của A= x + x n Giải: Với x≥ k > n+1 n 11 11111 1  fxfkx( )≥ ( ) ⇔+−−≥⇔−+− k 0 xk + + ++ ≥ 0 n n nnn n  xkx k xxkxkk−−−1 2 32 − 1   111 1 1   ⇔−−()1x k + + ++ ≥ 0  nnn−−−1 2 32 n − 1    xk x xkxk k   ()x− k   111 1   ⇔xk −++ ++ ≥ 0  nnn−−−1 2 32 n − 1   xk  x xkxk k   11 1 1 n n Ta có: + + ++≤ n+1 n . Giá trị nhỏ nhất của A= k + khi x= k . k n Cách 2 : n x x1 nx x 1  n  Nháp : A=++++−≥+ xnn+1 +− x n (1)n  1  mmx m m x  m  x n so , m > 0 m x= k  n+1 n + 1 Ta chọn m sao cho:  x 1 ⇒m = x = k  = m x n n xx1 nx x 1  n  Bài giải: A=++++−≥+ xn ( 1)n+1 +− x 1 n++11 nnn + 1 nn + 1  n + 1  k kxk kx  k  x n so kn +1 (n+ 1) n  1 Vì x≥ k > n +1 n nên n< k n +1 suy ra: A≥ +− k1 =+= k fk ( ) n n+1  n k k  k Cho hai số thực x≠0, y ≠ 0 thay đổi và thỏa mãn điều kiện: (x+ yxy) =+− x2 y 2 xy . Tìm giá trị lớn nhất 1 1 của biểu thức : A = + . x3 y 3 Đề thi Đại học khối A năm 2006 7 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn Giải: Xét (x+ yxy) =+− x2 y 2 xy (*) . Chia cả hai vế cho x2 y 2 1 1 Đặt u=, v = . x y 2 1 1 1 1 1 2 3(u+ v ) Ta được +=+−⇒+=+−⇒+uvu2 v 2 uv() uv −+=( uv ) 3 uv ≤ . xyx2 y 2 xy 4 2 ⇒(uv +) −4( uv +≤⇒≤+≤ ) 0 0 uv 4 x3+ y 3()( xyx ++− 2 y 2 xy )()() xyxyxy ++ x2 ++ y 2 2 xy Khi đó : A == = = xy33 xy 33 xy 33 xy 22 1 1 2 ⇒=A ++ =+( u v )2 ≤ 16 . x2 y 2 xy 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi u= v = 2 hay x= y = . 2 x2 y 2 z 2 Cho 3 số thực dương x, y , z thoả : x+ y + z ≥ 3 .Tìm GTNN của A = + + x+ yz y + zx z + xy Giải: 2 x2 y 2 z 2 ()x+ y + z + + ≥ . x+ yz y + zx z + xy xyz +++++ yz zx xy Ta có : yz+ zx + xy ≤++ x y z . 2 xyz2 2 2 ()x+ y + z xyz+ + 3 Suy ra : ++≥ =≥ x+ yz y + zx z + xy x+ yz + + x + yz + 2 2   x+ y + z = 3  Đẳng thức xảy ra khi: xyz== ⇔=== xyz 1  x y z  = = x+ yz y + zx z + xy 1 Cho x, y , z > 0 và thoả mãn điều kiện x2+ y 2 + z 2 ≥ .Tìm giá trị nhỏ nhất của: 3 x3 y 3 z 3 T = + + . 235523352xyz++ xyz ++ xyz ++ 8 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn Giải: 2 2 2 2 x4 y 4 z 4 (x+ y + z ) T = + + ≥ xxyz()235++ yxyz() 523 ++ zxyz() 352 ++ 2()x2++ y 2 z 2 + 8 () xy ++ yz zx 2 2 222 222 (xyz++) ( xyz ++ ) x2+ y 2 + z 2 1 T ≥ ≥ ≥ ≥ 2()()xyz222+++ 8 xyz 222 ++ 10 () xyz 222 ++ 10 30 Đẳng thức xảy ra khi :  x4 y 4 z 4  = = xxyz()235++ yxyz() 523 ++ zxyz() 352 ++  1 x= y = z ⇔x = y = z = 3  1 x2+ y 2 + z 2 = 3  Cho x, y , z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện x. y . z = 1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức xyz2( +) yzx 2( +) zxy 2 ( + ) P = + + yy+2 zz zz + 2 xx xx + 2 yy Đề thi Đại học khối A năm 2007 Giải: Cách 1: 222xxxyz yyxyz zzxyz2xx 2 yy 2 zz P ≥ + + ≥ + + yy+2 zz zz + 2 xx xx + 2 yy yy + 2 zz zz + 2 xx xx + 2 yy  1 xx=(2 − abc + 4 + ) a= yy + zz  2  9   1 Đặt: bzz= +2 xx ⇒  yy =−+ (24) ab c   9 c= xx + 2 yy 1   zz=(4 ab + − 2 c )  9 224 −++abcabcabc −+ 244 +− 22  bac  cab   Khi đó: P ≥ + + ≥−++++++ .   6 4     9  a b c9   acbabc    2 Hay P ≥() −+6 4.3 + 3 = 2 . 9 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức của P = 2 khi a= b = c = 1. Lời bình: Lời giải trên khá phức tạp , việc đặt ẩn a, b , c gặp nhiều khó khăn đối với HSPT. Cách 2: Phân tích bài toán: Để tiện cho việc trình bày , tạm đặt a= xb, = yc , = z 9 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn Bài toán trở thành : Cho a, b , c là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện abc = 1.Tìm giá trị nhỏ abc422( +) bca 42( + 2) cab 422( + ) nhất của biểu thức P = + + bc33+2 ca 33 + 2 ab 33 + 2 2 Bài giải: Dễ thấy: bc22+≥2 bc =⇒ abc 422 +≥ 2 a 3 . Tương tự bca422+≥2 bcab 3422 ; +≥ 2 c 3 a () ( ) ( ) 2a3 b 3 c 3 Khi đó P ≥ + + b3+2 cc 33 + 2 aa 33 + 2 b 3  4n+ p − 2 m a 3 =  3 3  m= b + 2 c  9  3 3  3 4pmn+− 2 24 npmpmnmnp +− 24 +− 24 +− 2  Đặt ncab=+⇒=2  ⇒≥ P  + +  m n p 3 3  9 9   p= a + 2 b 4m+ n − 2 p  c3 =  9 2 npm  pmn   2 ⇒≥P 4 +++++−≥   64.336  () +−⇒≥P 2 9 mnp  mnp   9 Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x+ y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=(4 x2 + 34 yy)( 2 ++ 3 x) 25 xy . Đề thi Đại học khối D năm 2009 Giải: Nhận xét: vai trò giống nhau (đối xứng) của x, y . S=12( xy3322 ++) 16 xy +=+ 34 xy 12( xyxyxy)( 22 +−+) 16 xy 22 + 34 xy 2 2  2 2 1  191 Hay S=+12()() xyxy +−+ 3 xy  16 xy +=−+ 34 xy 4 xy    4  16 2 x+ y  1 Vì x, y không âm và thỏa mãn x+ y = 1 suy ra 0 ≤xy ≤  = 2  4 2 1 13 1  19125 ⇒−≤4xy −≤⇒≤ 0 4 xy −  + ≤ . 4 44 4162  25 1 Vậy giá trị lớn nhất của S = khi x= y = và giá trị nhỏ nhất của S = 0 khi x=0, y = 1 . 2 2 3 Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãn (x+ y) +4 xy ≥ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=3( xyxy4 ++ 4 22) − 2( xy 22 ++) 1 Đề thi Đại học khối B năm 2009 Giải: 10 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 3  ()x+ y +4 xy ≥ 2  3 2 2  ⇒()()xy + ++ xy ≥⇒+≥2 xy 1 . x+ y ≥ xy () 4  3 A=3 xyxy4422 ++ − 21 xy 22 ++= xyxyxy 444422 ++++ 221 − xy 22 ++ ()() 2 ()() 3 3 2 A= xy44 ++ xy 22 +−2 xy 22 ++ 1 2() 2 ()() 2 2 1 2 Mà xyxy4422+=+ −2 xyxy 2222 ≥+ −+⇒+≥ xy 44 xy 44 xy 22 + ()()() 2 () 32 3 2 9 2 Khi đó Axy≥22 ++ xy 22 +−2 xy 22 ++ 1 hay A≥ xy22 + −2 xy 22 ++ 1 4() 2 ()() 4 ()() 2 ()1x+ y 2 9 1 Đặt txyt=+2 2 , ≥ ≥⇒≥ A ttt2 –21, +≥ . () 22 4 2 9 2 1  Xét hàm số ft() = t– 2 t + 1 xác định và liên tục trên nửa khoảng  ;+∞  . 4 2  9 9 1 1  Ta có f'() t= t –2 ≥−> 10 , t≥ ⇒ f() t đồng biến trên nửa khoảng  ;+∞  . 2 4 2 2  1  9 1 Khi đó minA= min ftf() =  = . Đẳng thức xảy ra khi t = . 1  t∈ ; +∞  2  16 2 2  ĐIỂM RƠI TRONG BẤT DẲNG THỨC COSI Bài toán mở đầu : Cho a, b > 0 và thỏa mãn a+ b ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 P = + . 1 +a2 + b 2 2ab Giải: 11 4 44 Lời giải 1 . Ta có: P = +≥ = ≥= 2 1++ab222ab aabb 2 +++ 2 2 1()1 ab ++ 2 2 1++=a2 b 2 2 ab  ()10 ab −+= 2 Đẳng thức xảy ra ⇔ ⇔  . Hệ vô nghiệm. Vậy không tồn tại min P . ab+= ab += 1  1 111 4 1 4 1 Lời giải 2 . Ta có: P = ++≥ += + 1++ab2263abab aabb 22 +++ 61()14 3 ab ab +++ 2 ab 3 ab 2 a+ b  1 4 1 8 Mặt khác ab ≤ = . Vậy P ≥ + ≥ .   2 2 2  4 ab+   ab +  3 2+   6   2   2  11 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 1+a2 + b 2 = 3 ab  1 Đẳng thức xảy ra ⇔=ab ⇔== ab . 2 a+ b =  1 1 1 4 Lời bình: lời giải 1 . và lời giải 2 gần như tương tự nhau, cùng áp dụng bất đẳng thức + ≥ . Tại sao a b a+ b 1 1 1 trong cùng một bài toán mà có đến hai đáp số ? Do đâu mà lời giải 2 tại sao lại tách = + ?. Đó 2ab 6 ab 3 ab chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức. Các bất đẳng thức trong các đề thi đại học thông thường là đối xứng với các biến và ta dự đoán dấu bằng xảy ta khi các biến bằng nhau và xảy ra tại biên. 1 Cho x ≥ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P= x + x Giải: Phân tích bài toán: 1 Với α+ β =1; αβ , > 0 , thì P=α x + + β x . x 1 1 Ta luôn có : Px=++≥α β x2 α x . + β x x x 1 1 1 13 Dấu đẳng thức xảy ra khi αx=⇔= x ⇔=2 ⇔=⇒= α β x α α 4 4 Bài giải: 1113  113 5 Px=+= x ++≥  x2 x . + .2 = x4 x  4 4 x 42 5 Vậy min P = khi x = 2 . 2 1 1 Cho a, b > 0 và thỏa mãn a+ b ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= + + 4 ab . a2+ b 2 ab Giải: 1 Do P là biểu thức đối xứng với a, b , ta dự đoán min P đạt tại a= b = . 2 11 114  11 Ta có: P= ++++≥4 ab + 24. ab + ≥ 7 2 2   2 2 ab+2ab 44 abab  ( ab + ) 2 ab a+ b  4   2  12 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn a2+ b 2 = 2 ab   1 1 Đẳng thức xảy ra ⇔ab2 2 = ⇔== ab .  16 2 a+ b = 1  1 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 7 đạt tại a= b = . 2 Tham khảo hai lời giải khác : Lời giải 1: 11 114  11 11 P= ++++≥4 ab 24. ab +≥++=+ 426 2 2   2 a+ b ab44 ab  ab()a+ b 24 abab 44 ab ab a2+ b 2 = 2 ab   1 1 1 Đẳng thức xảy ra ⇔ab2 2 = ⇔== ab . Thay a= b = vào ta được P ≥ 7 .  16 2 2 a+ b = 1  1 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 7 đạt tại a= b = . 2 Lời bình 1: 1 Qua cách giải trên ta đã chọn đúng dấu đẳng thức xảy ra khi a= b = nên dẫn đến việc tách các số hạng và 2 1 giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 7 đạt tại a= b = là đúng , nhưng bước cuối cùng ta đã làm sai , ví dụ 2 2 2  (1 −a) + a ≥ a , đẳng thức xảy ra khi a=⇒1 min() 1 −+= aaa ?.   Lời giải 2: 111 41 41  P= +++≥4 ab ++= 4 ab ++ 4 ab . 2 2 2 2 2   ab+22abab abab + + 2 2 ab()a+ b  2 ab  1 1 Mặt khác +4ab ≥ 2 .4 ab = 22 . Vậy P≥+4 2 2 ⇒ min P = 2 2 + 2 2ab 2 ab ( ) Lời bình 2: 1 1 1 Thoạt nhìn thấy bài toán đã giải đúng . Thực tế thì sao? . Việc tách = + để làm xuất hiện đẳng ab2 ab 2 ab 2 thức a2++ b 2 2 ab =( ab + ) . a= b   1 minP= 2( 2 + 2) ⇔ = 4 ab . Hệ vô nghiệm. Đẳng thức không xảy ra , do đó không tồn tại min P . 2ab a+ b = 1  13 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn (x3+ y 3) −( x 2 + y 2 ) Cho x, y là hai số thực dương lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = ()()x−1 y − 1 Giải: 3 3 2 2 2 2 (x+ y) −( x + y ) xx( −1) + yy( − 1 ) x2 y 2 2 xy P = = =+≥ . ()()xy−−11()() xy −− 11 y−1 x − 1 ()()x−1 y − 1 x2 y 2 Đẳng thức xảy ra khi : = . y−1 x − 1 x−1 + 1 x Mặt khác x−=−≤1() x 1 .1 = . Đẳng thức xảy ra khi : x−1 = 1 ⇔ x = 2 . 2 2 y−1 + 1 y y−=−1() y 1.1 ≤ = . Đẳng thức xảy ra khi : y−1 = 1 ⇔ y = 2 . 2 2 2xy ⇒P ≥ = 8 . Đẳng thức xảy ra khi x= y = 2 . x y . 2 2 Vậy minP = 8 khi x= y = 2 . Tương tự : Cho a, b , c là hai số thực dương và thỏa mãn b2+ c 2 ≤ a 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1  P= bc2 ++ 2 a 2 + . 2()  2 2  a b c  Cho x, y , z là 3 số thực dương thay đổi . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x1  y 1  z 1  Px= ++  y ++  z +  2yz  2 zx  2 xy  Đề thi Đại học khối B năm 2007 Giải: Cách 1: Phân tích bài toán: Dự đoán điểm rơi x= y = z . x1  y 1  z 1  x2 1 x 2 11  Khi đó Px=+++++= y z += ++     3. 3. 3   2yz  2 zx  2 xy  2 x 222 x x  x 2 11 9 9 x 2 1 ⇒≥P3.33 . . ⇒≥⇒ P min P = .Đẳng thức xảy ra khi = ⇔x = 1 . 222x x 2 2 2 2 x 9 Vậy ta dự đoán min P = khi x= y = z = 1. 2 Bài giải: x222++ y z x 222 ++ y z x 222 ++ y z xyyzzx ++ P = + ≥ + 2xyz 2 xyz 14 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn xyzx22221 1 1 11  y 2 11  z 2 11  P ≥ +++++= ++ ++++++     2x 2 y 2 z 222 xx  222 yy  222 zz  x211 y 2 11 z 2 11 9 Hay P ≥3 3 + 3 3 + 3 3 ⇒≥P 222xx 222 yy 222 zz 2 9 Vậy min P = khi x= y = z = 1. 2 Cách 2: x1  y 1  z 1  xyzxyz2 2 2 Px= ++  y ++  z +  =+++++ 2yz  2 zx  2 xy  222 yz zx xy 222111 222  11  Pxyz=++() + =() xyz ++ 1 ++  2xyz 2  xyz xyz  13 2 2 2 1 9 P≥9 xyz . 3 = . 2x2 y 2 z 2 2 Đẳng thức xảy ra khi x= y = z = 1. 9 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 Cho các số thực x, y , z thỏa mãn điều kiện x+ y + z = 0 . Chứng minh rằng : 34+x + 34 ++ y 34 + z ≥ 6 Đề thi Dự bị Đại học khối D năm 2005 Giải: Phân tích bài toán: Dự đoán điểm rơi x= y = z = 0 . Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân 3 34+++++≥x 34 y 34 z 334.34.34 + xyz + += 33434346 ( + xyz)( +)( + ) 34+x =+++ 1114 x ≥ 444 x   y yy4 x y z6 4 xyz Mặt khác 34+=+++≥ 1114 44 ⇒+++++≥ 34 34 34 344.4.43 ≥ 6  34+z =+++ 1114 z ≥ 444 z  Đẳng thức xảy ra khi x= y = z = 0 . Cho a, b , c > 0 thỏa mãn điều kiện a+ b + c = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Q=3 ab ++2 3 bc ++ 2 3 ca + 2 . Giải: Trước hết dự đoán đẳng thức xảy ra khi a= b = c = 1. Suy ra MaxQ = 33 3 . 15 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân cho ba số a+ 2 b , 3,3 , ta được 1 133(2)6+++ab ++ ab 2 3 ab+=23 3.3( ab +≤ 2 ) . = . 39 3 93 393 62++bc 62 ++ ca Tương tự: 3bc+≤2 ; 3 ca +≤ 2 393 39 3 6++ab 26 ++ bc 26 ++ ca 2 Suy ra: Q ≤ + + = 33 3 393 39 3 39 3 Đẳng thức xảy ra khi a= b = c = 1và MaxQ = 33 3 . Tham khảo lời giải khác : 11(+++ab 2)2 ++ ab 2 Ta có: 3 1.1(a+ 2 b ) ≤ = , tương tự ta có: 3 3 22++bc 22 ++ ca 3 1.1()bc+≤ 2 ;1.13 () ca +≤ 2 3 3 2++ab 22 ++ bc 22 ++ ca 2 Suy ra : Q=+++++≤3 ab2 3 bc 2 3 ca 2 + + = 5 3 3 3 Lời bình : Thoạt nhìn thấy lời giải của bài toán đã giải đúng . Thực tế thì sao? Q ≤ 5 a+2 b = 1  b+2 c = 1 MaxQ =5 ⇔  hệ vô nghiệm.Vậy Q 0 thỏa mãn điều kiện a+ b + c = .Chứng minh rằng: 4 3ab++3 3 bc ++ 3 3 ca + 33 ≤ 1 1 1 Cho x, y , z > 0 và thỏa mãn + + = 4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x y z 1 1 1 P = + + 2xyzx++ ++ 2 yzxy ++ 2 z Đề thi Đại học khối D năm 2007 Giải: Cách 1:  1 11111   ≤ +++  2xyz+ + 16  xxyz   1 11111  1211   121  112    ≤ +++⇒≤ P   ++++++++     = 1 xyz+2 + 16 xyyz  16   xyz  xyz  xyz    1 11111   ≤ +++  xyz+ + 2 16  xyzz  16 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 4 Vậy: MaxP = 1 khi x= y = z = . 3 4 Lời bình : Dự đoán MaxP đạt được tại x= y = z = nên tách các số 2x=+ xxy ;2 =+ yyz ;2 =+ zz ra 3 cho dấu bằng xảy ra. Cách 2 : 11 4 1 111  Áp dụng mệnh đề “nếu a, b > 0 , thì +≥ ⇔ ≤ +  ”. abab+ ab + 4  ab  1 11 1  11111   1111  ≤ +  ≤ ++=++    2xyz+ + 42 xyz +  424 x  yz  822 xyz  1 1111  1 1111   Tương tự : ≤++ ; ≤++   xyz++2 82 xyzxyz 2  ++ 2822  xyz  Cộng vế theo vế ta được đpcm. 1 1 4 Lời bình : Nếu a, b > 0 thì + ≥ . a b a+ b 2 ()a+ b a2 b 2  Tổng quát : Cho x y > và hai số a b bất kỳ, ta luôn có : hay , 0 , ≤ +  xy+  x y  2 a2 b 2  ()a+ b a b . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = . +  ≥ x y  xy+ x y 111 1 n2 Mở rộng: Nếu aaa1, 2 , 3 , , a n ≥ 0 thì : + + ++ ≥ . aaa123 aaaan 123+ + + + a n a+ a + a ++ a ≥ naaaan  123n 123 n Chứng minh : Với aaa1, 2 , 3 , , a n ≥ 0 ,  111 1 1  + + ++ ≥ n n aaa a aaaa  123n 123 n 1111  2 1 ⇒++++aaa a ++++  ≥ naaaan n ()1 2 3 n aaa a  1 2 3 n aaaa 1 2 3 n  1 2 3 n 111 1 n2 ⇔ + + ++ ≥ aaa123 aaaan 123+ + + + a n Đẳng thức xảy ra khi aaa1= 2 = 3 = = a n Thực tế cách 2 và cách 1 không có sự khác biệt. Tương tự : 1. Cho tam giác có độ dài 3 cạnh là a, b , c và p là nửa chu vi . Chứng minh rằng : 1 1 1 111  + + ≥2 ++  . papbpc− − −  abc  2. Cho a, b , c là các số thực dương. Chứng minh rằng : 17 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 1 1 1 1111  a. ++≤  ++  abbcca+ + + 2  abc  1 1 1 111 b. + + ≤ + + 2abca++ ++ 2 bcab ++ 2333 ca + bb + cc + a 1 1 11111  c. + + ≤++  23a++() bc 23 b ++() ca 23 c ++() ab 4 ab+ bc + ca +  1 1 11111  d. + + ≤ + +  abcbcacab++23 ++ 23 ++ 2322 acbacb + + 2 + 2  1 1 Cách 3: Ta có 2xyz++=+++≥ x xyz 4 4 xxyz ⇒ ≤ và 2x+ y + z 4 4 x2 yz 111111111  1 1211  4 . . . ≤ +++⇒  ≤  ++ ⊲ , tương tự ta có: xxyz4 xxyz  2 xyz+ + 16  xyz 1 1121 1 1112  ≤ ++; ≤  ++ xyz++2 16 xyzxyz ++ 2 16  xyz 1 1 11  4 P ≤.4 ++=  1 . Đẳng thức xảy ra khi x= y = z = 16 x y z  3 4 Vậy: MaxP = 1 khi x= y = z = . 3 Tham khảo hai lời giải khác : Lời giải 1: 1111  1111  1111  5111  10 Ta có P ≤ +++  +++  ++  = ++=  92xyz  92 xyz  9 xyz 218  xyz  9 10 ⇒MaxP = 9 Lời giải 2: 1 1 1 111111111111111    10 P ≤ + + ≤ +++  +++  ++=  323xyz 3.2 3 x yz 3 3 xy 2 z 332xyz  33 xyz 2  33 xyz 2  9 Lời bình : Thoạt nhìn thấy lời giải 1, lời giải 2 của bài toán đã giải đúng . Thực tế thì sao? 2x= y = z  2y= x = z 10  10 MaxP = ⇔ 2z= x = y hệ vô nghiệm nghĩa là không tồn tại (xyz, , ) ∈ D đểP = 9  9 1 1 1  + + = 4 x y z Nguyên nhân sai lầm : Cả hai lời giải trên đều đã biết hướng “đích” song chưa biết chọn điểm rơi. Tương tự : 18 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 1 1 1 1. Cho x, y , z > 0 và thỏa mãn + + ≤ 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x y z 1 1 1 P = + + . 2xyzx++ + 2 yzxy + ++ 2 z 3 2 2. Cho x, y , z > 0 và thỏa mãn x+ y + z = 1. Chứng minh rằng : + > 14 . xy+ yz + zx x2+ y 2 + z 2 1 1 1 3. Cho x, y , z > 0 và thỏa mãn x+ y + z ≤ 1. Chứng minh rằng : + + ≥ 9 . x2+2 yz y 2 + 2 zx z 2 + 2 xy 1 1 4 Cách 4: Nếu a, b > 0 thì + ≥ . a b a+ b 111  11  11  11  4 4 4 8= 2 ++=+++++≥     + + ()1 xyz  xy  yz  zx  xyyzzx+ + + 4 Đẳng thức xảy ra khi x= y = z = . 3 111  11  11  11  2++  = +++++    xyyzzx xyyz yzzx zxxy +++  ++  ++  ++  4 4 4 ≥ + + ()2 2xyzx++ ++ 2 yzxy ++ 2 z Đẳng thức xảy ra khi x= y = z . Từ (1)và (2) suy ra 111  111 8 + +  ≤⇔8 + + ≤ 1 222xyz++ yxz ++ zxy ++  222 xyz ++ yxz ++ zxy ++ 4 Vậy: MaxP = 1 khi x= y = z = . 3 Lời bình : Thực tế cách 1 và cách 4 không có sự khác biệt. abbcca+ + +  c a b  Chứng minh rằng nếu a, b , c > 0 thì ++ ≥2 ++    c a b abbcac+ + +  Giải: Áp dụng bất đẳng thức x+ y ≤2( xy + ) , ta có : abbcca+ + + 1 ab  1 bc  1 cb  ++ ≥ ++  ++  +      c a b 2cc  2 aa  2 aa  a11  b 11  c 11  = ++  ++  +  . 2cb  2 ac  2 ab  19 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 1 1 4 Áp dụng bất đẳng thức + ≥ , ta có : x y x+ y a11  b 11  c 11  22 abc 22 22 ++  ++  +≥  + + 2cb  2 ac  2 abbcacab  + + + Áp dụng bất đẳng thức x+ y ≤2( xy + ) , ta có : 22abc 22 22 22 a 22 b 22 c + + ≥ + + bc+ ac + ab + 2()bc+ 2() ac + 2 () ab + c b a  =2 + +  .   ab+ ac + bc +  1 1 4 Lời bình : Bài toán trên sử dụng đến hai bất đẳng thức cơ bản + ≥ và x+ y ≤2( xy + ) . x y x+ y ab bc ca a+ b + c Chứng minh rằng mỗi số thực dương a, b , c ta luôn có: + + ≤ a++32 b cbcacab ++ 32 ++ 32 6 Giải: ab ab ab 1 1 1  Ta có : = ≤. ++  . abc++32()()ac+ + bc + + 2 b 9 acbcb ++Ŏ 2  bc bc111  ac ac  111  Tương tự : ≤++ , ≤++   . bca++329 abacc ++ 2  cab ++ 329  bcaba ++ 2  Cộng vế theo vế ta được ab bc ca1 bcacbcababac+ + +  1 + + ≤ ++  +++()a b c abcbcacab++3232329 ++ ++ ab + ac + bc +  18 ab bc ca1 1 a+ b + c Hay + + ≤+++()abc() abc ++= . a++32 b cbcacab ++ 32 ++ 329 18 6 111 9 Lời bình : Bài toán trên sử dụng đến bất đẳng thức cơ bản + + ≥ . x y z xyz+ + 2 2 2 Cho a, b , c > 0 và thoả mãn điều kiện a. b . c = 1 . Chứng minh rằng: + + ≥ 3 abc3()+ bca 3() + cab 3 () + IMO năm 1995 Giải: Cách 1: 1 1 2 b+ c Phân tích bài toán: Dự đoán điểm rơi a= b = c = 1 và = = = a3 () b+ c 2 4 4 bc Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân 20 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 1bc+ 1 bc + 111111  +≥2 . =⇒ ≥−+  abc3()+4bc abc 3() + 4 bca abc 3 () + abc 4   1 1111 1 1111  Chứng minh tương tự, ta được ≥−+; ≥−+  bca3 ()+bca4 cab3 () + cab 4  Cộng vế theo vế ta được điều chứng minh. Cách 2: 1 1 1 Đặt : a =;b = ; c = . Từ giả thiết suy ra x. y . z = 1 . x y z 2 222x2 222 y2 22 z 2 ==; == ; == abc3 ()+111yz+ bac3 () + 111  xz + cba3 () + 111  yx + +  +  + x3 yz y3  xz z 3  yx 2 2 2 2222x2 y 2 z 2 2()xyz++ 2 () xyz ++ ⇒ + + =++≥ = ≥33 xyz = 3 abc3()+ bca 3() + cab 3 () + yz+ xz + yx + 2()x+ y + z 2 Đẳng thức xảy ra khi x= y = z = 1. Lời bình : Bài toán trên sử dụng đến việc Đổi Biến Để Chứng Minh Bất ĐẳngThức. Đôi khi chứng minh một bài toán BĐT có rất nhiều cách khác nhau để giải, song không phải cách nào cũng thuận lợi cho việc chứng minh BĐT, có nhiều BĐT đề ra phức tạp làm cho ta cảm giá rối, nhưng qua việc đưa về biến mới thì bài toán trở nên dễ hơn. Bài viết này xin nêu ra một số cách đổi biến để chứng minh BĐT được dễ dàng hơn. Tương tự: a b c 3 1. Cho 3 số thực dương a, b , c . Chứng minh rằng : + + ≥ . bc+ ca + ab + 2  y+ z − x a = x= b + c  2   x+ z − y Gợi ý : Đặt : yca=+ ⇒  b = . Bất đẳng thức cần chứng minh   2 z= a + b x+ y − z  c =  2 1yzx+− xzyxyz +− +−  3 ⇔ + +  ≥ 2x y z  2 xy  yz  zx  xy yz zx ⇔+++++≥    2. + 2. + 2. = 6 đúng. yx  zy  xz  yx zy xz xy yz zx 2. Cho 3 số thực dương x, y , z thoả mãn: x2+ y 2 + z 2 = 3 . Chứng minh rằng : + + ≥ 3. z x y 21 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn  xy a =  z  yz Gợi ý : Đặt : b = với a, b , c > 0 . Từ x2+ y 2 + z 2 =⇔3ab ++ bc ca = 3 . Bất đẳng thức cần chứng  x zx c =  y minh ⇔ a+ b + c ≥ 3 Để ý : a2++≥++⇔++≥ b 2 c 2 abbcca abc3( abbcca ++ ) = 3 . 1 4 9 3. Cho 3 số thực dương x, y , z thoả mãn: x+ y + z = 1. Chứng minh rằng : + + ≥ 36 . x y z  a x =  a+ b + c  b Gợi ý : Đặt : y = với a, b , c > 0 . Bất đẳng thức cần chứng minh  a+ b + c c z =  a+ b + c abc++ abc ++ abc ++ bc a c a b ⇔ +4. + 9. ≥⇔+++++≥ 36 4. 4. 9. 9. 22 a b c aabbcc baca   cb  ba ca cb ⇔+++++≥4.  9.  4. 9.  2 .4. + 2 .9. + 24 9. = 22 đúng. abac   bc  ab ac bc 4. Cho 3 số thực dương x, y , z . Chứng minh rằng : xyz≥+−( x y zy)( +− z xz)( +− x y ) . x= b + c  Gợi ý : Đặt : y= c + a với a, b , c > 0 . Bất đẳng thức cần chứng minh (a+ bb)( + cc)( +≥ a) 8 abc . z= a + b  5. Cho 3 số thực dương a, b , c và thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng : 1  1  1  a−+1  b −+ 1  c −+ 11  ≤ . b  c  a   x a =  y  y Gợi ý : Do abc = 1 gợi ý đặt : b = với x, y , z > 0 . Bất đẳng thức cần chứng minh  z z c =   x x zy  xz  y  −+1  −+ 1  −+≤ 11  . y yz  zx  x  6. Cho 3 số thực dương x, y , z và thỏa mãn xyz= x + y + z + 2 . Chứng minh rằng : 3 x+ y + z ≤ xyz . 2 22 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 1 1 1 Gợi ý : Từ xyz=+++⇔ x y z 2 + + = 1 1+x 1 + y 1 + z 111 1−+abc 1 −+ bac 1 −+ cab Đặt : =abcx,, = =⇒== , y == , z == với a, b , c > 0 . 1+xyz 1 + 1 + aabb cc ab bc ca 3 Bất đẳng thức cần chứng minh .+ . + . ≤ . bcca++ caab ++ abbc ++ 2 ab1 abbc 1  bc ca 1  ca Để ý : .≤+ ;. ≤+  ;;. ≤+  bcca++2 acbc ++++ caab 2  baca ++ abbc ++ 2  cbab ++ 3 Cho 3 số thực dương a, b , c thoả mãn a+ b + c ≤ . Chứng minh rằng : 2 1 1 1 15 1. a+++ b c + + ≥ . a b c 2 1 1 1 3 17 2. a2++ b 2 ++ c 2 +≥ . a2 b 2 c 2 2 1 1 1317 3. a2++ b 2 + + c 2 + ≥ . b2 c 2 a 2 2 Giải: 1 1 1 15 1. a+++ b c + + ≥ a b c 2 111 1 1 Ta có thể phạm sai lầm: a+++++≥ b c33 abc + 3 ≥ 6. 3 abc = 6 a b c 3abc 3 abc 3 Dấu đẳng thức xảy ra khi a= b = c = 1nhưng khi đó a+ b + c =3 > ( trái giả thiết ) . 2 Phân tích bài toán : 3 Từ giả thiết a, b , c dương thoả mãn a+ b + c ≤ , gợi ý hướng giải bất đẳng thức trung bình cộng, trung 2 3 1 1 bình nhân. ≥++≥a b c3 3 abc ⇒ 3 abc ≤ . Đặt: x=3 abc ≤ 2 2 2 1113 1 1  1 Khi đó : abc+++++≥3 abc + 3 = 3  x +  . Dự đoán đẳng thức xảy ra khi x = abc3 abc  x  2  1 x =  1 Ta chọn α > 0 sao cho:  2 ⇒α =x 2 = . x 1  = 4 α x Bài giải: 111 1 1  1 915 abc+++++≥3 x +≥ 34 xx +− 3  ≥ 3.24. xx −=−= 9 12 abc x x  x 2 2 23 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 1 Đẳng thức xảy ra khi a= b = c = . 2 1 1 1 3 17 2. a2++ b 2 ++ c 2 +≥ . a2 b 2 c 2 2 Phân tích bài toán : 3 Từ giả thiết a, b , c dương thoả mãn a+ b + c ≤ , gợi ý hướng giải bất đẳng thức trung bình cộng, trung 2 3 1 1 1 bình nhân. ≥++≥a b c3 3 abc ⇒ 3 abc ≤ . Đặt: x=3 abc ≤ ,đẳng thức xảy ra khi x = . 2 2 2 2  1 x = 1  1 Xét x 2 + , chọn α > 0 sao cho:  2 ⇒α = = 16 . 2 1 4 x x 2 = x  αx 2 1 Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân cho 17 số, trong đó 16 số là và số x 2 : 16 x 2 −15 16 17 221 1 2 1  2 117 x xx+=+16. ≥ 17 17 x  ⇒+≥ x . x216 x 2 16 x 2  x 2 32 217 −15 − 15 − 15 17 17 17 21 17a 2 117 b 2 1 17 c ⇒+≥a; b +≥ ; c +≥Ŏ a2 32 b 2 32 c 2 32 217 2 17 2 17 1 1 1 117−−−15 15 15  17 −−− 15 15 15  3 ⇒+++++≥a2 b 2 c 2  abc17 ++ 17 17  ≥ .3 abc 17 17 17  a2 b 2 c 2 32  32  217   2 17  1 1 1317−5 31715 317 a2+++++≥ b 2 c 2 () abc 17 ≥.2 17 = . a2 b 2 c 232 32 2 217 2 17 1 Đẳng thức xảy ra khi a= b = c = . 2 Cách khác : 1  1  1 Chọn : ua=;, vb =  ;, wc =  ; a  b  c Dùng bất đẳng thức vecto u+ v + w ≥ uvw ++ 2 1112  111  1 a2+++++≥+++++≥ b 2 c 2 abc33 ( abc ) 2 + 2 2 2 ()   a b c a b c  3 (abc ) 2 2 2 3 a+ b + c  1 Tương tự trên , ta đặt x=( abc ) ≤  ≤ . 3  4 24 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 1 1 1 1 115x 115 a2+++++≥+=++≥ b 2 c 2 3 x 3 x 32. + a2 b 2 c 2 x16 xx 16 16 xx 16 1 1 1 115 115317 a2+++++≥ b 2 c 2 3 + ≥ 3 += . a2 b 2 c 2 216x 24 2 1 Đẳng thức xảy ra khi a= b = c = . 2 Hướng phân tích khác : 2 2 1112  1112  9 a2++ b 2 ++ c 2 +≥ abc +++++ ≥ abc +++ 2 2 2 () ()  a b c abc  abc+ + 111 9 Lời bình : Nếu a, b , c > 0 , thì + + ≥ . a b c abc+ + 2 a2 b 2 c 2 ()a+ b + c Tổng quát : Cho x, y , z > 0 và ba số a, b , c bất kỳ, ta luôn có : + + ≥ (Bất đẳng thức s x y z xyz+ + a b c vac). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = = . x y z 1 1 1  n2 Nếu : a>0, i = 1, nnN , ∈ ,thì a+++ a a  +++  ≥ i ()1 2 n aa aaa  + + + a 12n  12 n Tương tự: Cho 3 số thực dương x, y , z thoả mãn x+ y + z ≤ 1 . Chứng minh rằng : 1 1 1 x2++ y 2 ++ z 2 +≥ 82 . Đề thi Đại học khối A năm 2003 x2 y 2 z 2 1 1 1317 3. a2++ b 2 + + c 2 + ≥ . b2 c 2 a 2 2  1 x= y = 2 1  2 1 Tương tự trên . Xét x + , chọn α > 0 sao cho:  ⇒α = = 16 2 1 2 2 y x 2 = x y 2  αy 1 Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân cho 17 số, trong đó 16 số là và số x 2 : 16 y2 1− 16 16 1 1 1  1 17 x17 y 17 xx22+=+16. ≥ 17 17 x 2 ⇒+≥ x 2 . 2 2 2  2 32 y16 y 16 y  y 217 116− 116 − 116− 117ab17 17 117 bc 17 17 117 ca 17 17 ⇒+≥a2 ; b2 +≥ ; c 2 +≥ b2 32 c 2 32 a 2 32 217 2 17 2 17 25 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 1 1 1171− 16 1 − 16 1 − 16  317−5 31715 317 a2+++≥+ b 2 + c 2  abbcca17 17 ++≥ 17 17 17 17  () abc 17 ≥217 = b2 c 2 a 2 32   32 32 2 217   217 2 17 1 Đẳng thức xảy ra khi a= b = c = . 2 2005 2005 a+ b ≤ 1 Cho các số không âm a, b , x , y thỏa các điều kiện  . Chứng minh rằng : x2005+ y 2005 ≤  1 a1975. x 30+ b 1975 . y 30 ≤ 1 Toán tuổi thơ 2 – số 27 Giải: Nhận xét : Các đa thức tham gia trong bài toán cùng bậc 2005= 1975 + 30 , đồng thời số mũ của các biến tương ứng bằng nhau. Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân cho 1975 số a2005 và 30 số x 2005 1975.a2005+ 30. x 2005 1975 30 ≥2005 ()()a2005. x 2005 = ax 1975 . 30 () 1 ()1975+ 30 1975.b2005+ 30. y 2005 1975 30 Tương tự ≥2005 ()()b2005. y 2005 = by 1975 . 30 () 2 ()1975+ 30 Từ (1)và (2) suy ra 1975.(ab2005++ 2005) 30.( xy 2005 +≥ 2005) 2005.( axby 1975 . 30 + 1975 . 30 ) ( 3 ) 2005 2005 a+ b ≤ 1 Từ  ⇒≥20051975.ab2005 ++ 2005 30. xy 2005 + 2005 () 4 x2005+ y 2005 ≤ ()()  1 Từ (3) và (4) suy ra 20052005.≥(axby1975 . 30 +⇒+≤ 1975 . 30) axby 1975 . 30 1975 . 30 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi a1975= xb 30, 1975 = y 30 . mn+ mn + a+ b ≤ 1 Tổng quát : Cho các số không âm a, b , x , y thỏa các điều kiện  . Chứng minh rằng : xmn++ y mn + ≤  1 axmn.+ by mn . ≤ 1 . Cho x, y , z là các số dương thỏa mãn điều kiện: x2+ y 2 + z 2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: xy yz zx A = + + . z x y Giải: 2 2 2 2 xy  yz  zx 2 2 2 Ta có : A= +  +  +++2() yzx . z  x  y 26 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn Áp dụng bất đẳng thức: x2+ y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx Ta được: Ayzx2222≥+++( )2( yzx 222 ++= )3( yzx 222 ++= )3. xy yz xz 1 Đẳng thức xảy ra ⇔ = = ⇒===x y z . z x y 3 1 Vậy minA = 3 đạt được khi x= y = z = . 3 Cho 3 số thực dương a, b , c thoả mãn a2+ b 2 + c 2 = 1 . Chứng minh rằng : a b c 3 3 + + ≥ bc22+ ca 2 + 2 ab 22 + 2 Phân tích bài toán : • Trường hợp tổng quát , giả sử 0 <a ≤ b ≤ c thoả mãn điều kiện a2+ b 2 + c 2 = 1, vậy ta có thể suy ra 0<a ≤ b ≤ c < 1 hay không?. Như vậy điều kiện a, b , c không chính xác vì dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi 0 <a = b = c 1   ⇒a, b , c ∈  0;  . a2+ b 2 + c 2 =  1 3  • Ta thấy mối liên hệ gì của bài toán ?. Dễ thấy a2+ b 2 + c 2 = 1 và b2+ cc 22, + aa 22 , + b 2 . Gợi ý ta đưa bài a b c 3 3 toán về dạng cần chứng minh : + + ≥ . 1−a2 1 − b 2 1 − c 2 2 • Vì vai trò a, b , c như nhau và 2 ý phân tích trên gợi ý ta đưa đến cách phân tích  a 3 3  ≥ a2 1 − a 2 2 a b c 3 3  b 3 3 + + ≥a2 ++ b 2 c 2 và cần chứng minh ≥ b2 . 2 2 2 ()  2 1−a 1 − b 1 − c 2 1 − b 2  c 3 3 ≥ c2  2 1 − c 2 • Ta thử đi tìm lời giải : a 33 1332 42 8 2 ≥a2 ⇔ ≥ a ⇔≥−⇔≥−⇔≥ aa12 aa 22 1 21 aa 22 − 2 2 () () () 1−a2 1 − a 23 3 27 27  2 21aa2( − 2) = 21 aa 2( − 2)( 1 − a 2 ) Dễ thấy  21a2+− a 2 +− 1 a 2 = 2  ()() Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân 22=+−+−≥a2( 1 a 2) ( 1 a 2) 3213 aaa 222( −)( 1 − ) 2 8 2 ⇒≥3 211aaa222 − −⇔≥ 21 aa 22 − 3() 27 () Tương tự cho các trường hợp còn lại. Giải : hs tự giải 27 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn Phương pháp tiếp tuyến: a3 b 3 c 3 1 Cho 3 số thực dương a, b , c . Chứng minh rằng : + + ≥++()a b c . bca()+ cab() + abc() + 2 Phân tích bài toán : • Đẳng thức cần chứng minh đưa về dạng : a3 b3 c 3 +macnb() +++ ++++ kbapc() +++≥ ibcja() 0. bca()+ cab() + abc() + • Giả sử 0 0 Cho 3 số thực dương a, b , c thoả mãn a+ b + c = 1 . Chứng minh rằng : 7 c 3ab++ 3 bc ++ 3 ca +≤ 3 . a. a++1 b ++ 1 c +< 1 . 18 2 1 1 1 d. a+++ b c + + ≥ 10 b. ab++ bc ++ ca +≤ 6 . a b c Giải: 7 a. a++1 b ++ 1 c +< 1 2 28 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn (a +1) + 1 a  a+=1 1.() a +≤ 1 =+ 1  2 2  ()b +1 + 1 b abc+ + 7 bb+=11.1() +≤ =+⇒+++++≤ 1 abc 111 += 3 2 2  2 2 ()c +1 + 1 c  c+=11.1() c +≤ =+ 1  2 2  Đẳng thức xảy ra khi a+=+=+=⇔===⇒++=≠1111 b c abc 0 abc 01 7 Vậy a++1 b ++ 1 c + 0 , ta luôn có : ab+=() abm + ≤   . Vấn đề bây giờ ta dự m m 2  đoán m > 0 bao nhiêu là phù hợp?. a+ b = m  2 Dễ thấy đẳng thức xảy ra khi  1 ⇔m = . a= b = 3  3 Giải : Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân 29 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn  2 AM_ GM a+ b +  3 2 3 ()  ab+= .() ab + . ≤ . 3  2 3 22  2 AM_ GM b+ c +  3 2 3 () 3  bc+= .() bc + . ≤ .  2 3 22  2 AM_ GM c+ a +  3 2 3 () ca+= . ca + . ≤ . 3  2() 3 22   2 2a+ b + c + 3. 3() 3 ⇒+++++≤ab bc ca .3 = .2 = 6 (đpcm). 2 2 2 1 Đẳng thức xảy ra khi a= b = c = . 3 c. 3ab++ 3 bc ++ 3 ca +≤ 3 18 . • Trường hợp tổng quát , giả sử 0 <a ≤ b ≤ c thoả mãn điều kiện a+ b + c = 1, dấu đẳng thức chỉ xảy ra  2 a+ b =  3 0 <a = b = c 1  2 2 khi ⇒===abc ⇒  bc += . Hằng số cần thêm là a+ b + c =  1 3 3 3 2 c+ a =  3 • Từ giả thiết gợi ý ta đưa đến cách phân tích 3ab++ 3 bc ++ 3 ca +≤3 18 ( abc ++ ) hay 22 22 22 ()ab+++() bc +++() ca +++ T=+++++≤3 ab 3 bc 3 ca 33 + 33 + 33 3 3 3 Giải : Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân  2 2 a+ b + +  9 2 2 ()  3 ab+=3. 3 () ab + . . ≤ 3 3  4 33 3 2 2  ()b+ c + +  3 9 2 2 3 3  bc+=3 .3 () bc + . . ≤  4 33 3 2 2  c+ a + +  9 2 2 () 3 ca+=3 .3 ca + . . ≤ 3 3  4() 33 3   92(a+ b + c ) + 4 9 6 ⇒=+++++≤T3 ab 3 bc 3 ca 3. = 3 .18 = 3 (đpcm). 4 3 43 30 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi a= b = c = . 3 1 1 1 d. a+++ b c + + ≥ 10 a b c Phân tích bài toán : • Trường hợp tổng quát , giả sử 0 0 , ta luôn có : ma+ ≥ 2 m . a  1 ma = Đẳng thức xảy ra khi :  a ⇔m = 9 . 1 a =  3 111 111 • Vì thế mà Tabc=+++++=9() abc +++++− 8 () abc ++ abb abb Giải :  1 9a + ≥ 6  a  1 Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân 9b + ≥ 6  b 1 9c + ≥ 6  c 1 1 1 ⇒=Tabc9() +++++− 8()() abc ++≥ 3.68 − abc ++= 10 (đpcm). a b b 1 Đẳng thức xảy ra khi : a= b = c = . 3 Bài tập tương tự Cho các số thực dương x, y , z và thỏa mãn mx+ ny + pz ≥ d trong đó m, n , p , d ∈ ℝ . Tìm giá trị lớn nhất biểu thức A= ax2 + by 2 + cz 2 Hướng dẫn : Thực hiện việc chọn điểm rơi : ax2= by 2 = cz 2 = β Chứng minh rằng nếu xy+ yz + zx = 5 thì 3x2+ 3 y 2 + z 2 ≥ 10 . Phân tích bài toán : • Trước hết ta để ý mối liên hệ giữa 3,3,x2 y 2 z 2 , xy , yz , zx cho ta điều gì ?, phải chăng những hằng đẳng thức 2 2 2 có dạng : (ax− by) ≥⇔0( ax) +( by) ≥ 2?. axby • Phân tích : 31 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn ax2+ ay 2 ≥ 2 axy .Đẳng thức xảy ra khi x= y by2+ cz 2 ≥ 2 bcyz .Đẳng thức xảy ra khi by2= cz 2 cz2+ bx 2 ≥ 2 cbzx . Đẳng thức xảy ra khi cz2= bx 2  a+ b =3 a = 1   Bây giờ ta chọn a, b , c sao cho : 2c= 1 ⇔  b = 2 a= bc  1  c =  2 Giải : x2+ y 2 ≥ 2 xy .Đẳng thức xảy ra khi x= y 1 1 2y2+ z 2 ≥ 2 yz .Đẳng thức xảy ra khi 2y2= z 2 2 2 1 1 z2+2 x 2 ≥ 2 zx . Đẳng thức xảy ra khi z2= 2 x 2 2 2 Cộng vế theo vế ta được : 33x2++≥ y 2 z 2 2( xyyzzx ++⇒) 33 x2 + y 2 +≥ z 2 10 (đpcm). x= y   21 2 2y= z x= y = 1 Đẳng thức xảy ra khi : 2 ⇔  1z = 2  z2= 2 x 2  2 xy+ yz + zx = 5 47 235 Cho 3 số thực dương x, y , z thoả mãn x+ y + z = . Chứng minh rằng : 3x2+ 4 y 2 + 5 z 2 ≥ 12 12 Phân tích bài toán : 235 • Trước hết ta để ý mối liên hệ giữa 3x2 ,4 y 2 ,5 zxyz 2 ,,, cho ta điều gì ?, gợi ý : 3x2+ 4 y 2 + 5 z 2 ≥ được 12 biến đổi về dạng 3x2++ m 4 y 2 ++ n 5 z 2 +≥ pk ,0( 0 . Đẳng thức xảy ra khi 3x2 = m 4y2 + n ≥ 24, nyn > 0 . Đẳng thức xảy ra khi 4y2 = n 5z2 + p ≥ 25, pzp > 0 . Đẳng thức xảy ra khi 5z2 = p 32 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn  5 x =    3 3x2 = m 5  y = 4y2 = n  4   z = 1 Bây giờ ta chọn x, y , z sao cho : 5z2 = p ⇔  25   m = 3m= 4 n = 5 p  3 47  25 x+ y + z =  n =  12  4 p =  5 Giải : 25 25 25 3x2 + ≥ 23. x . Đẳng thức xảy ra khi 3x 2 = . 3 3 3 25 25 25 4y2 + ≥ 2 4. y . Đẳng thức xảy ra khi 4y2 = . 4 4 4 5z2 + 5 ≥ 2 5.5 z . Đẳng thức xảy ra khi 5z 2 = 5 . 235 235 Cộng vế theo vế ta được 3x2+ 4 y 2 + 5 z 2 ≥ 10 () xyz ++− = (đpcm). 12 12  5 x =  3  5 Đẳng thức xảy ra khi y = .  4 z = 1  Cho 3 số thực không âm a, b , c . Chứng minh rằng : 1+3 abc ≤+3 ( 111 a)( + b)( + c ) . Giải : 1+3 abc ≤+++⇔3 ( 1 abc)( 1)( 1) 3 1.1.1 + 3 abc ≤+++3 ( 1 abc)( 1)( 1) 1.1.1 abc ⇔3 +3 ≤ 1 ()()()111+++abc()()() 111 +++ abc 1.1.1 abc Đặt : T =3 + 3 ()()()111+++abc()()() 111 +++ abc 11 1 1  1 a b c  T ≤ +++  ++  31+++abc 1 1  31 +++ abc 1 1  1a+ 1 b + 1 c + 11  T ≤ ++  ==.3 1 31+a 1 + b 1 + c  3 Dấu đẳng thức xảy ra khi a= b = c ≥ 0 . 33 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn Tổng quát : Chứng minh rằng với mọi ab,> 0 i = 1, n thì ta luôn có : i i ( ) n aa a+n bb b ≤++n abab ab + 12 n 12 n ( 12 )( 12 ) ( n n ) 1  1  1  Cho số thực dương a b c thoả mãn a+ b + c = . Chứng minh rằng : − − −≥ . 3 , , 1 1  1  18  a  b  c  Giải : 111     1−a  1 − b  1 − c  bccaab +++ VT =−−−= = 111        abc     abc    abc AM_GM 2bc 2 ca 2 ab VT ≥ . . = 8 (đpcm) a b c Tổng quát :  xxx1, 2 , 3 , , x n > 0 Cho  .Chứng minh rằng : xxx+ + + += x 1  1 2 3 n 111     1  n −111  −  −  −≥ 1 ()n − 1 . xxx     x  1  2  3  n  1 1 1 1 1 Cho 4 số thực dương a, b , c , d thoả mãn + + + ≥ 3 . Chứng minh rằng : abcd ≤ 1+a 1 + b 1 + c 1 + d 81 Giải : 1 1  1  1  b c d ≥ +−+− ++ 1 -  1  1  = 1+a 1 + b  1 + c  1111 ++++ dbcd  1 AM_ GM bcd ≥ 3 3 1 + a ()()()1+b 1 + c 1 + d  1 bcd  ≥ 3 3 1 + a ()()()1+b 1 + c 1 + d   1 cda ≥ 3  + b 3 1 ()()()1+c 1 + d 1 + a Vậy:   1 dca ≥ 3 3 1 + c 1+d 1 + c 1 + a  ()()()  1 abc  ≥ 3 3 1 + d 1+a 1 + b 1 + c  ()()() 34 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 1abc d 1 ⇒ ≥ 81 ⇒abcd ≤ ()()()()1111++++abcd()()()() 1111 ++++ abcd 81 Tổng quát : xxx, , , , x n > 0  1 2 3 Cho :  111 1 . Chứng minh rằng : + + + + ≥−n 1  xxx x 111+++1 2 3 1 + n 1 xxx x ≤ . 1 2 3 n ()n − 1 n Bài tương tự Cho 3 số thực dương a, b , c thoả mãn a+ b + c = 3 . Chứng minh rằng : a b c 3 a b c 3 a2 b 2 c 2 a. + + ≥ . b. + + ≥ . c. + + ≥ 1. 1+b2 1 + c 2 1 + a 2 2 ab+2 bc + 2 ca + 2 2 ab+22 bc + 2 2 ca + 2 2 Hướng dẫn : a+ b + c = 3 a.  2 ab++ bc ca ≤++ a b c ⇒++≤ ab bc ca 3()() 3  a a(1+ b2 ) − ab 2 ab 2  = =a − a ab 2 2 2 ⇒ ≥a − 1+b 1 + b 1 + b 2  +b2 ≥ b 1 + b 2 1 2 b bc2 bc c ca2 ca Tương tự : =−b ≥− b, =− c ≥− c 1+c2 1 + c 22 1 + a 2 1 + a 2 2 a b c ab+ bc + ca 3 3 Cộng vế theo vế : + + ≥++−a b c ≥−=3 . 1+b2 1 + c 2 1 + a 2 2 2 2 Cho 3 số thực dương a, b , c thoả mãn a. b . c = 1 . Chứng minh rằng : a3 b 3 c 3 3 1 1 1 a. + + ≥ . b. + + ≤ 1 ()()11++bc()() 11 ++ ca()() 11 ++ ab 4 2+a 2 + b 2 + c a2 b 2 c 2 1 Cho 3 số thực dương a, b , c thoả mãn a+ b + c = 1 . Chứng minh rằng : + + ≥ bc+ ca + ab + 2 Giải : abc2221  a 2  b 2  c 2  1 a b c abc + + ≥⇔ ++  ++  +≥+++  () bccaab+++2  bc +  ca +  ab +  2 2 2 2 a++ abc( ) b ++ bca( ) c ++ cab( ) 1 ⇔ + + ≥+ 1 bc+ ca + ab + 2 aabc( ++) bbca( ++) ccab( ++ ) 3 ⇔ + + ≥ bc+ ca + ab + 2 35 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn a b c 3 ⇔ + + ≥ vì a+ b + c = 1. bc+ ca + ab + 2 Cho 3 số thực dương a, b , c thoả mãn a+ b + c = 1 . Chứng minh rằng : ab bc ca 1 + + ≤ ab++2 cbc ++ 2 aca ++ 24 b 1 1 4 Hướng dẫn : Dùng bất đẳng thức + ≥ . a b a+ b Cho 3 số thực dương a, b , c . Chứng minh rằng : a3 b 3 c 3 1 a. + + ≥++()a b c ()()abbc++()() bcca ++()() caab ++ 4 a3 b 3 c 3 1 b. + + ≥++()a b c bca()+ cab() + abc() + 2 Hướng dẫn :  a3 abbc+ + 3  8a 3  + + ≥ a  +()()ab + + bc + ≥ 6 a ()()a+ b b + c 8 8 4 ()()a+ b b + c    b3 bcca+ + 3  8b3 a.Cách 1 :  + + ≥ b Cách 2:  +()()bc + + ca + ≥ 6 b ()()b+ c c + a 8 8 4 ()()b+ c c + a  c3 caab+ + 3  8c3  + + ≥ c  +()()ca + + ab + ≥ 6 c c+ a a + b 8 8 4 c+ a a + b ()() ()()  4a 3  a3 bca+ 3  +2b +() ca + ≥ 6 a  + + ≥ a b() c+ a b() c+ a 2 4 2    4b3  b3 cab+ 3 b. Cách 1:  +2c +() ab + ≥ 6 b Cách 2:  + + ≥ b c() a+ b c() a+ b 2 4 2  4c3  c3 abc+ 3  +2a +() bc + ≥ 6 c  + + ≥ c a b+ c a b+ c 2 4 2  ()  () Cho ba số dương x, y , z thỏa mãn : x2+ y 2 + z 2 = 3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x5 y 5 z 5 S= + + +++ xyz4 4 4 . yz33+ zx 3 + 3 xy 33 + Giải: Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số ta có : x5 yz 32+ x 4 3 + + ≥ x 3 y3+ z 2 4 2 2 36 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn y5 zxy 324+3 z 5 xyz 324 + 3 tương tự + +≥y3, + +≥ z 3 zx3+ 2 422 xy3 + 2 422 x 4 1 y 4 1 z 4 1 + ≥ x 2 tương tự + ≥ y2 , + ≥ z 2 2 2 2 2 2 2 Cộng vế với vế các BĐT trên ta được x5 y 5 z 5 5 3 3 S= + + +++≥ xyzxyzxyz444 333 +++ 222 ++− 32 3 2 32 () () yz+ zx + xy + 4 4 2 Mà x3+ x 3 +1 ≥ 3 x 2 hay 2x3+ 1 ≥ 3 x 2 tương tự 2y3+ 1 ≥ 3 y 2 , 2z3+ 1 ≥ 3 z 2 9 Do đó 2xyz333++ ≥ 3 xyz 222 ++ −=⇒++≥⇒≥ 36 xyz 333 3 S ()() 2 Dấu bằng xảy ra ⇔x = y = z = 1 Cho 3 số thực dương x, y , z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x2 y 2 z 2 M = + + ()()2323yzzy++()() 2323 zxxz ++()() 2323 xyyx ++ Giải : 13 25 ()()2323yzzy+ +=++≤++ 6 yz22 13 yz 6 yz 22 yz 22 += yz 22 + ()() 2() 2 () x22 x 2 ⇒ ≥ ()()2y+ 3 z 2 z + 3 y 25 ()y2+ z 2 y22 y 2 z 2 2 z 2 Tương tự : ≥, ≥ . ()()2323zxxz++25()zx2+ 2 ()() 2323 xyyx ++ 25 () xy2 + 2 222x2 y 2 z 2 1 1 M ≥ + + ⇒≥⇒=fxyz(); ; min M . 25()yz22+ 25() zx 22 + 25 () xy 22 + 25 25 x y z 3 Với x, y , z là số dương và x. y . z ≥ 1 .Chứng minh rằng: + + ≥ x+ yz y + zx z + xy 2 Hướng dẫn. Đặt a= xb, = yc , = z Bài toán trở thành : a, b , c là số dương và a. b . c ≥ 1 . Chứng minh rằng: a2 b 2 c 2 3 + + ≥ a2+ bc b 2 + ac c 2 + ab 2 2 a2 b 2 c 2 ()a+ b + c Dễ thấy : + + ≥ ()* a2+ bc b 2 + ac c 2 + ab a 22 +++++ bc b ac c 2 ab Bình phương hai vế bất đẳng thức: 37 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 2 2 4 ()abc++  () abc ++ VT 2 * ≥  = () 2 2 2  2 a++ bc b ++ ac c + ab  a2++ bc b 2 ++ ac c 2 + ab      4 4 4 ()abc++() abc ++() abc ++ ≥ ≥ ≥ 2 2 2 2 2 3(a+ b + c + ab + bc + ac ) 3()()a++− b c 3 ab ++ bc ac  3() a ++− b c 3     2 2 ( Vì ab++≥ bc ac33 () abc ≥⇒= 3t () a ++≥ b c 9 ) ttt2 315+− 3 3 3.915 + t − 33 9 9 Ta có: = ++≥ +2 . =⇒VT 2 () * ≥ 3(3)t− 12 12 t − 3 12 12 t − 32 2 Dấu bằng xảy ra khi x= y = z = 1 ⇒ điều phải chứng minh xx xn x x x Tổng quát : ta có bài toán sau: với 1, 2 , ,n ( ≥ 2 ) là số dương và 1. 2 n ≤ 1 x x x n Cmr: 1+ 2 ++ n ≥ . 2 x123+ xxx. n x 234 + xxx . nnn x + xxx 121 . − Tương tự: Cho 3 số thực dương a, b , c . Chứng minh rằng : 1 1 1 111 a. + + ≤++ . abbcca+3 + 3 + 3444 a b c 1 1 1 111 b. + + ≤++ . abcbcacab++2 ++ 2 ++ 2444 a b c 1 1 1 1111  c. + + ≤++  . ()()abac++()() bcba ++()() cacb ++ 2 a b c  ad− bb − bc − ca − d. + + + ≥ 0 db+ bc + ca + ad + 1 1 1  81 Cho x; y ; z ∈  0;1  . Chứng minh rằng : 2x++ 2 y 2 z ++ < .   ()x y z  2 2 2  8 Giải : x y z Đặt a=2, b = 2, c =⇒ 2 abc ,, ∈  1;2  1 1 1  81   Bài toán trở thành : Cho a, b , c ∈  1;2  . Chứng minh rằng : ()a++ b c  ++  < . a b c  8 11181  22281  2229 Thật vậy : ()abc++ ++<⇔++() abc  ++<⇔() abc ++  ++< abc8  abc 4  abc 2 2 12≤≤⇔−a aa 120 −≤⇔−+≤⇔+≤ aa2 320 a 2 23 aa ⇔+≤ 3 ()() a 2 2 2 2 2  Tương tự : b+ ≤3, c + ≤ 3 ⇒()a +++ b c  ++  ≤ 9() 1 b c a b c  38 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân : 222  222 ⇒+++++≥()abc2() abc ++  ++ () 2 abc  abc 222  22281 Từ (1) và (2) suy ra 2()abc++ ++ ≤⇔++ 9() abc  ++≤ () 3 abc  abc 4 1 1 1  81 Đẳng thức không xảy ra . ()()3 ⇔++a b c  ++  0 ta luôn có a+≥ b aba() + b , ≤ .  +  và với mọi a, b ta luôn có a+ b ≥ 2 ab . ab+ 4  ab    ab ab ab 1 1 ≤ ≤ +  a3+ b 3 + ac 2 + bc 2 abababc+++2 2 4 ab a+ b abc2 + 2  () () () ()    ab11 ab  111  ⇒ ≤+ ≤+  abab+++ abc224ab+ abc 22 +  4 abc + 2 () () ()    ab 11 1  11 ≤ + + . 1 3 3 2 2   () a+ b + ac + bc 16a b  8 c Tương tự : bc 11 1  11 ≤ + + . 2 3 3 2 2   () b+ c + ba + ca 16b c  8 a ca 11 1  11 ≤ + + . 3 3 3 2 2   () c+ a + cb + ab 16c a  8 b Cộng vế theo vế đẳng thức (1), (2) và (3) ta được đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi a= b = c = 1. Cho tam giác ABC có 3 cạnh : AB= cBC, = aAC , = b thoả mãn a3= b 3 + c 3 .Chứng minh rằng : A là góc nhọn và thoả : 600<A < 90 0 . Giải : 39 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 3 2 b  b  b  0  ⇒ bcc 2) ab( 2 −+⇒>−+ bcc 222) a b bcc 2 bca222+− bca 222 +− 1 ⇒ A 60 0 bc2 bc 2 Vậy 600<A < 90 0 . 111  111  Cho các số thực dương a, b , c thỏa mãn điều kiện : 15++  = 10 ++  + 2007 . Tìm giá a2 b 2 c 2 ab bc ca  1 1 1 trị lớn nhất của P = + + 522a2++ abb 22 522 b ++ bcc 22 522 c ++ caa 2 Giải : 111 9 Áp dụng đẳng thức : + + ≥ . Đẳng thức xảy ra khi x= y = z . x y z xyz+ + 2 2 22 2 1 1 1111  5a++=++−≥+⇒ 2 abb 2 (2 ab )( ab )(2 ab ) ≤ ≤++  . 5a2+ 2 ab + 2 b 2 2ab+ 9  aab  Đẳng thức xảy ra khi a= b  1 1 1111   ≤ ≤ ++   5b2+ 2 bc + 2 c 2 2bc+ 9  bbc  11 1 1  Tương tự :  . Do đó P ≤ + +  1 1 1111  3 a b c   ≤ ≤ ++   5c2+ 2 ca + 2 a 2 2ca+ 9  cca  2  1 1 1 1111   ++ ≥ ++ 2 2 2   a b c 3 a b c  Mặt khác :  2  1 1 1 1111   ++ ≤ ++  ab bc ca3  a b c  111  111  1 1 1 6021 Mà giả thiết : 15++ = 10 ++ + 2007 . Do đó : + + ≤ 2 2 2   a b c ab bc ca  a b c 5  a= b = c  1 6021 Đẳng thức xảy ra khi : 1 1 1 6021 ⇔a = b = c =  + + = 3 5 a b c 5 1 6021 1 6021 Vậy max P = , khi a= b = c = 3 5 3 5 40 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn Cho 3 số thực dương a, b , c thoả mãn điều kiện ab+ bc + ca = abc . Chứng minh rằng : ab44+ bc 44 + ca 44 + + + ≥ 1. aba()33+ b bcb() 33 + c cac() 33 + a Giải: 1 1 1 Ta có : ab++ bc ca = abc ⇔++= 1. a b c 1 1 1 Đặt :x=; y = ; z =⇒ xyz ++ = 1 . Khi đó ta có : a b c 1 1 2 + 3 3 ab44+x4 y 4 xyx 446 + y 6 ()x+ y = == + ≥ abab3+ 3 1 1 1  x3+ y 3 xxyyxy233+ 233 + xyxy 3322 ++ () + () () ()() 3 3  xy x y  2 2 2 abxyx4+ 4 3 + 3 2 y 2 (x+ y ) xyxy2+ 2 + ≥= + ≥ =≥ . abab()33+x2+ y 2 xxy() 2222 + yxy() +++() xyxy() 22 x+ y 2 bc44+ yz + ca 44 + zx + Tương tự : ≥ ; ≥ . bc() b33+ c2 ca() c 33 + a 2 ab44+ bc 44 + ca 44 + Cộng vế theo vế , ta được : + + ≥++=x y z 1 aba()33+ b bcb() 33 + c cac() 33 + a Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các góc của nó luôn thỏa mãn đẳng thức sau: A B C tan tan tan 1 2+ 2 + 2 = BC CA AB ABC 1+ tan .tan 1 + tan .tan 1 + tan .tan 4tan .tan .tan 22 22 22 222 Giải : A B C Đặt x=tan , y = tan , z = tan thế thì x, y , z dương và xy+ yz + zx = 1 2 2 2 x y z 1 Hệ thức trở thành: + + = . 1+yz 1 + zx 1 + xy 4 xyz Ta có: xyz x y z ++= + + ≤ 1+yz 1 + zx 1 + xy ( xy +++ yz )( zx yz )( xy +++ zx )( yz zx )( xy +++ yz )( zx xy ) 1xx  1 yy  1 zz  ≤ ++  ++  +=  4xy++ yz zx yz  4 xy ++ zx yz zx  4 xy ++ yz zx xy  41 www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 1xz+++ xy yz  1111 xyyzzx ++ 1 = + +  =++= = 4xy+ yz zx + yz xy + zx  4 x y z 44 xyz xyz Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x= y = z hay tam giác ABC đều. Vấn đề liên quan tam giác , hẹn các em ở một chuyên đề khác . Chúc các em ôn tập tốt!!!. Góp ý gởi về Email: phukhanh@moet.edu.vn 42 www.mathvn.com
a 1 n n ≥ 2 a A= x + x n n xxx1 x  1 n + 1 A=++++≥+ n n+1 ≥ n ( 1)   n nnnx n  x n+1 nn x n so n x 1 a = ⇔x = n +1 n n x n n + 1 a A = n+1 nn 1 n n ≥ 2 x≥ k > n+1 n a A= x + x n x≥ k > n+1 n 11 11111 1  fxfkx( )≥ ( ) ⇔+−−≥⇔−+− k 0 xk  + + ++  ≥ 0 xkn n x k xxkxkknnn−−−1 2 32 n − 1   111 1 1   ⇔−−()1x k + + ++ ≥ 0  nnn−−−1 2 32 n − 1    xk x xkxk k   ()x− k   111 1   ⇔xk −++ ++ ≥ 0  nnn−−−1 2 32 n − 1   xk  x xkxk k   11 1 1 n n a + + ++≤ n+1 n 1 a A= k + x= k k n n xx1 nx x 1  n  A=++++−≥+ xnn+1 +− x n (1)n  1  mmx m m x  m  x n so , m > 0 m www.mathvn.com
a x= k  n+1 n + 1 a m a  x 1 ⇒m = x = k  = m x n n x x1 nx x 1  n  A=++++−≥+ xn (1)n+1 +− x 1 n++11 nnn + 1 nn + 1  n + 1  k kxk kx  k  x n so kn +1 (n+ 1) n  1 x≥ k > n+1 n n< k n+1 aA≥ +− k1 =+= k fk ( ) n n+1  n k k  k a x≠0, y ≠ 0 aa (x+ yxy) =+− x2 y 2 xy 1 1 a A = + x3 y 3 (x+ yxy) =+− x2 y 2 xy (*) 1 1 u=, v = x y 2 1 1 1 1 1 2 3(u+ v ) aư +=+− ⇒+=+−⇒+uvu2 v 2 uv() uv −+=( uv ) 3 uv ≤ xyx2 y 2 xy 4 2 ⇒()uv + −4( uv +≤⇒≤+≤ ) 0 0 uv 4 x3+ y 3()( xyx ++− 2 y 2 xy )()() xyxyxy ++ x2 ++ y 2 2 xy A == = = xy33 xy 33 xy 33 xy 22 1 1 2 ⇒=A ++ =+( u v )2 ≤ 16 x2 y 2 xy 1 a u= v = 2 ax= y = 2 x, y , z 3 ươaa x1  y 1  z 1  Px= ++  y ++  z +  2yz  2 zx  2 xy  x1  y 1  z 1  xyzxyz2 2 2 Px= ++  y ++  z +  =+++++ 2yz  2 zx  2 xy  222 yzzxxy www.mathvn.com
a 222111 222  11  Pxyz=++()  + =() xyz ++ 1 ++  2xyz 2  xyz xyz  13 2 2 2 1 9 P≥9 xyz . 3 = 2x2 y 2 z 2 2 a x= y = z = 1 9 a P = 2 x, y , z ươa x. y . z = 1 a xyz2( +) yzx 2( +) zxy 2 ( + ) P = + + yy+2 zz zz + 2 xx xx + 2 yy 222xxxyz yyxyz zzxyz2xx 2 yy 2 zz P ≥ + + ≥ + + yy+2 zz zz + 2 xx xx + 2 yy yy + 2 zz zz + 2 xx xx + 2 yy  1 xx=(2 − abc + 4 + ) a= yy + zz  2  9   1 bzz= +2 xx ⇒  yy =−+ (24) abc   9 c= xx + 2 yy 1   zz=(4 ab + − 2 c )  9 224 −++abcabcabc −+ 244 +− 22  bac  cab   P ≥ + + ≥−++++++6 4     9  a b c9   acbabc    2 a P ≥() −+6 4.3 + 3 = 2 9 aa P = 2 a= b = c = 1 x, y aax+ y = 1 a S=(4 x2 + 34 yy)( 2 ++ 3 x) 25 xy ao aaa x, y www.mathvn.com
a S=12( xy3322 ++) 16 xy +=+ 3412 xy( xyxyxy)( 22 +−+) 16 xy 22 + 34 xy 2 2   2 2 1  191 a S=+12()() xyxy +−+ 3 xy  16 xy +=−+ 34 xy 4 xy    4  16 2 x+ y  1 x, y a x+ y = 1 a 0 ≤xy ≤  = 2  4 2 1 13 1  19125 ⇒−≤4xy −≤⇒≤ 0 4 xy −  + ≤ 4 44 4162  25 1 a S = x= y = a S = 0 x=0, y = 1 2 2 3 x, y aa ()x+ y +4 xy ≥ 2 a A=3( xyxy4 ++ 4 22) − 2( xy 22 ++) 1 3  ()x+ y +4 xy ≥ 2  3 2 2  ⇒()()xy + ++ xy ≥⇒+≥2 xy 1 x+ y ≥ xy  () 4  3 A=3 xyxy4422 ++ − 21 xy 22 ++= xyxyxy 444422 ++++ 221 − xy 22 ++ ()() 2 ()() 3 3 2 A= xy44 ++ xy 22 +−2 xy 22 ++ 1 2() 2 ()() 2 2 1 2 xyxy4422+=+ −2 xyxy 2222 ≥+ −+⇒+≥ xy 44 xy 44 xy 22 + ()()() 2 () 32 3 2 9 2 Axy≥22 ++ xy 22 +−2 xy 22 ++ 1 a A≥ xy22 + −2 xy 22 ++ 1 4() 2 ()() 4 ()() 2 ()1x+ y 2 9 1 txyt=+2 2 , ≥ ≥⇒≥ A ttt2 –21, +≥ () 22 4 2 9 2 1  ft() = t– 2 t + 1 a  ; +∞  4 2  9 9 1 1  a f'() t= t –2 ≥−> 10 t≥ ⇒ f() t a  ; +∞  2 4 2 2  1  9 1 minA= min ftf() =  = a t = 1  t∈ ; +∞  2  16 2 2  www.mathvn.com
a a, b > 0 a a+ b ≤ 1a 1 1 P = + 1 +a2 + b 2 2ab 11 4 44 a P = +≥ = ≥= 2 1++ab222ab aabb 2 +++ 2 2 1()1 ab ++ 2 2 1++=a2 b 2 2 ab  ()10 ab −+= 2 "= " a ⇔ ⇔  min P ab+= ab += 1  1 111 4 1 4 1 . a P = ++≥ += + 1++ab2263abab aabb 22 +++ 61()14 3 ab ab +++ 2 ab 3 ab 2 a+ b  1 4 1 8 ab ≤ = P ≥ + ≥   2 2 2  4 ab+   ab +  3 2+   6   2   2  1+a2 + b 2 = 3 ab  1 "= " a ⇔=ab ⇔== ab 2 a+ b =  1 1 1 4 ưươa + ≥ a a b a+ b 1 1 1 a 2 a = + 2ab 6 ab 3 ab ơo ưa aaa 1 1 a, b > 0 a a+ b ≤ 1a P= + + 4 ab a2+ b 2 ab 1 P a, b a min P a= b = 2 11 114  11 a P= ++++≥4 ab + 24. ab + ≥ 7 2 2   2 2 ab+2ab 44 abab  ( ab + ) 2 ab a+ b  4   2  www.mathvn.com
a a2+ b 2 = 2 ab   1 1 "= " a ⇔ab2 2 = ⇔== ab  16 2 a+ b = 1  1 a P = 7 a= b = 2 aooa 11 114  11 11 P= ++++≥4 ab 24. ab +≥++=+ 426 2 2   2 a+ b ab44 ab  ab()a+ b 24 abab 44 ab ab a2+ b 2 = 2 ab   1 1 1 "= " a ⇔ab2 2 = ⇔== ab a a= b = aư P ≥ 7  16 2 2 a+ b = 1  1 a P = 7 a= b = 2 1 aaa a= b = 2 1 a P = 7 a= b = ưưaa 2 2 2  ()1 −a + a ≥ a a a=⇒1 min1() −+= aaa ?.   111 41 41  P= +++≥4 ab ++= 4 ab ++ 4 ab 2 2 2 2 2   ab+22abab abab + + 2 2 ab()a+ b  2 ab  1 1 +4ab ≥ 2 .4 ab = 22 P≥+4 22 ⇒ min P = 22 + 2 2ab 2 ab ( ) 1 1 1 a = + ab2 ab 2 ab 2 a2++ b 2 2 ab =() ab + a= b   1 minP= 22( + 2) ⇔ = 4 ab a min P 2ab a+ b = 1  3 3 ươ a, b , c a+ b + c ≤ www.mathvn.com2
a 1 1 1 15 a+++ b c + + ≥ a b c 2 1 1 1317 a2++ b 2 ++ c 2 +≥ a2 b 2 c 2 2 1 1 1317 a2++ b 2 + + c 2 + ≥ b2 c 2 a 2 2 1 1 1 15 a+++ b c + + ≥ a b c 2 111 1 1 aa a+++++≥ b c33 abc + 3 ≥ 6. 3 abc = 6 a b c 3abc 3 abc 3 a a= b = c = 1ư a+ b + c =3 > 2 3 a, b , c ươ a+ b + c ≤ ư 2 3 1 1 ≥++≥a b c3 3 abc ⇒ 3 abc ≤ x=3 abc ≤ 2 2 2 1113 1 1  1 abc+++++≥3 abc + 3 = 3  x +  a x = abc3 abc  x  2  1 x =  1 a α > 0 a  2 ⇒α =x 2 = x 1  = 4 α x 111 1 1  1 915 abc+++++≥3 x +≥ 34 xx +− 3  ≥ 3.24. xx −=−= 9 12 abc x x  x 2 2 1 a a= b = c = 2 1 1 1317 a2++ b 2 ++ c 2 +≥ a2 b 2 c 2 2 3 a, b , c ươ a+ b + c ≤ ư 2 3 1 1 1 ≥++≥a b c3 3 abc ⇒ 3 abc ≤ x=3 abc ≤ a x = 2 2 2 2  1 x = 1  1 x 2 + α > 0 a  2 ⇒α = = 16 2 1 4 x x 2 = x www.mathvn.com αx 2
a 1 17 16 x 2 16 x 2 −15 16 17 221 1 2 1  2 117 x xx+=+16. ≥ 17 17 x  ⇒+≥ x x216 x 2 16 x 2  x 232 217 −15 − 15 − 15 1 17a17 1 17 b 17 1 17 c 17 ⇒+≥a2; b 2 +≥ ; c 2 +≥ a2 32 b 2 32 c 2 32 217 2 17 2 17 1 1 1 117−−−15 15 15  17 −−− 15 15 15  3 ⇒+++++≥a2 b 2 c 2  abc17 ++ 17 17  ≥ .3 abc 17 17 17  a2 b 2 c 2 32  32  217   2 17  1 1 1317−5 31715 317 a2+++++≥ b 2 c 2 () abc 17 ≥.2 17 = a2 b 2 c 2 32 32 2 217 2 17 1 a a= b = c = 2 1  1  1 ua=;, vb =  ;, wc =  ; a  b  c e u+ v + w ≥ uvw ++ 2 1112  111  1 a2+++++≥+++++≥ b 2 c 2 abc33 ( abc ) 2 + 2 2 2 ()   a b c a b c  3 (abc ) 2 2 2 3 a+ b + c  1 ươa x=( abc ) ≤  ≤ 3  4 1 1 1 1 115x 115 a2+++++≥+=++≥ b 2 c 2 3 x 3 x 32. + a2 b 2 c 2 x16 xx 16 16 xx 16 1 1 1 115 115317 a2+++++≥ b 2 c 2 3 + ≥ 3 += a2 b 2 c 2 216x 24 2 1 a a= b = c = 2 1 1 1317 a2++ b 2 + + c 2 + ≥ b2 c 2 a 2 2  1 x= y = 2 1  2 1 ươ x + α > 0 a  ⇒α = = 16 2 1 2 2 y x 2 = x y 2  αy www.mathvn.com
a 1 17 16 x 2 16 y2 1− 16 16 1 1 1  117 x17 y 17 xx22+=+16. ≥ 17 17 x 2 ⇒+≥ x 2 2 2 2  2 32 y16 y 16 y  y 217 1− 16 1 − 16 1− 16 117ab17 17 117 bc 17 17 117 ca 17 17 ⇒+≥a2 ; b2 +≥ ; c 2 +≥ b2 32 c 2 32 a 2 32 217 2 17 2 17 1 1 1171− 16 1 − 16 1 − 16  317−5 31715 317 a2+++≥+ b 2 + c 2  abbcca17 17 ++≥ 17 17 17 17  () abc 17 ≥217 = b2 c 2 a 2 32   32 32 2 217   217 2 17 1 a a= b = c = 2 1 1 1 x, y , z > 0 a + + = 4 a x y z 1 1 1 P = + + 2xyzx++ ++ 2 yzxy ++ 2 z 2005 2005 a+ b ≤ 1 a, b , x , y a  x2005+ y 2005 ≤  1 a1975. x 30+ b 1975 . y 30 ≤ 1 oơ aaa 2005= 1975 + 30 a ươa 2005 2005 www.mathvn.com 1975 a 30 x
a 1975.a2005+ 30. x 2005 1975 30 ≥2005 ()()a2005. x 2005 = ax 1975 . 30 () 1 ()1975+ 30 1975.b2005+ 30. y 2005 1975 30 ươ ≥2005 ()()b2005. y 2005 = by 1975 . 30 () 2 ()1975+ 30 (1) (2) a 1975.(ab2005++ 2005) 30.( xy 2005 +≥ 2005) 2005.( axby 1975 . 30 + 1975 . 30 ) ( 3 ) 2005 2005 a+ b ≤ 1  ⇒≥20051975.ab2005 ++ 2005 30. xy 2005 + 2005 () 4 x2005+ y 2005 ≤ ()()  1 (3) (4) a 20052005.≥(axby1975 . 30 +⇒+≤ 1975 . 30) axby 1975 . 30 1975 . 30 1 a a1975= xb 30, 1975 = y 30 mn+ mn + a+ b ≤ 1 a, b , x , y a  xmn++ y mn + ≤  1 axmn.+ by mn . ≤ 1 x, y , z ươax2+ y 2 + z 2 = 1. a xy yz zx A = + + . z x y 2 2 2 2 xy  yz  zx 2 2 2 a A= +  +  +++2() yzx . z  x  y x2+ y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx aưAyzx2222≥+++( ) 2( yzx 222 ++= ) 3( yzx 222 ++= ) 3. xy yz xz 1 a ⇔ = = ⇒===x y z . z x y 3 1 minA = 3 ư x= y = z = 3 3ươ a, b , c a2+ b 2 + c 2 = 1 a b c 3 3 + + ≥ bc22+ ca 2 + 2 ab 22 + 2 www.mathvn.com
a • ư 0 <a ≤ b ≤ c a2+ b 2 + c 2 = 1aa 0<a ≤ b ≤ c < 1 aư a, b , c a  <a = b = c 0 1   ⇒ a, b , c ∈ 0; 2 2 2 3   a+ b + c = 1 2 2 2 2 22 22 2 • aa a+ b + c = 1 b+ cc, + aa , + b aưa a b c 3 3 + + ≥ 1−a2 1 − b 2 1 − c 2 2 • a a, b , c ưa 2 aưa  a 3 2  2 ≥ a 1 −a 2  a b c 3 3 2 2 2  b 3 2 2+ 2 + 2 ≥()a ++ b c  2 ≥ b 1−a 1 − b 1 − c 2 1 −b 2  c 3 2  2 ≥ c 1 −c 2 • a a 31332 4 8 ≥a2 ⇔ ≥ a ⇔≥−⇔≥−⇔≥ aa(12 ) aa 222 (1 ) 2 aa 222 (1 − ) 1−a22 1 − a 2 23 3 27 27  2 22 2 2 2 2aa (1− ) = 2 aa (1 − )(1 − a )  a2 a 2 a 2 2+− (1 ) +− (1 ) = 2 2=+−+−≥ 2a2 (1 a 2 ) (1 a 2 ) 33 2 aaa 222 (1 − )(1 − ) 2 8 ⇒≥3 2aaa22 (1 − )(1 −⇔≥ 2 ) 2 aa 222 (1 − ) 3 27 ươư a3 b 3 c 3 1 3ươ a, b , c + + ≥++()a b c bca()+ cab() + abc() + 2 • ưa a3 b 3 c 3 +macnb() +++ ++++ kbapc() +++≥ ibcja() 0 bca()+ cab() + abc() + • 0 <a ≤ b ≤ c a a= b = c www.mathvn.com
a a 3 ư +m() a ++ c nb ≥ 33 mna a b() c+ a  3  1 a 3 m =  =ma() + c = nb a  4 b() c+ a ⇔ =ma() + a = na ⇔  a() a+ a 1 a= b = c  n =   2 ươư a 3 1 1 3 a 3 1 1 +b +() ca +≥ a a =b =() c + a b() c+ a 2 4 2 b() c+ a 2 4 b3 1 1 3 b3 1 1 +c +() ba +≥ b a =c =() b + a c() a+ b 2 4 2 c() a+ b 2 4 c3 1 1 3 c3 1 1 +a +() bc +≥ c a =a =() b + c a() b+ c 2 4 2 a() b+ c 2 4 a3 b 3 c 3 1 eaư + + ≥++()a b c a bca()+ cab() + abc() + 2 a= b = c > 0 3ươ a, b , c a+ b + c = 1 7 a. a++1 b ++ 1 c +< 1 2 b. ab++ bc ++ ca +≤ 6 c. 3ab++ 3 bc ++3 ca +≤ 3 18 1 1 1 d.a+++ b c + + ≥ 10 a b c 7 a. a++1 b ++ 1 c +< 1 2 (a +1) + 1 a  a+=11.1() a +≤ =+ 1  2 2  ()b +1 + 1 b abc+ + 7 bb+=11.1() +≤ =+⇒+++++≤ 1 abc 111 += 3 2 2  2 2 ()c +1 + 1 c  c+=11.1() c +≤ =+ 1  2 2  a a+=+=+=⇔===⇒++=≠1111 b c abc 0 abc 01 7 a++1 b ++ 1 c +< 1 2 b. ab++ bc ++ ca +≤ 6 www.mathvn.com
a • ư 0 0 a ab+=() abm + ≤   a m m 2  m > 0 a a+ b = m  2 a  1 ⇔m = a= b = 3  3  2 AM_ GM ()a+ b +  3 2 3 3  ab+= .() ab + . ≤ .  2 3 22  b+ c + 2  3 2AM_ GM 3 ()  bc+= .() bc + . ≤ . 3  2 3 22  2  3 2AM_ GM 3 ()c+ a +  ca+= .() ca + . ≤ . 3  2 3 22  2 32()a+ b + c + 3. 3 ⇒+++++≤ab bc ca .3 = .2 = 6 2 2 2 1 a a= b = c = 3 3 3 3 3 c. ab++ bc ++ ca +≤ www.mathvn.com18
a • ư 0 0 a ma+ ≥ 2 m a 1 ma =  a a  ⇔m = 9 1 a =  3 111 111 • Tabc=+++++=9() abc +++++− 8 () abc ++ abbwww.mathvn.com abb
a 1 9a + ≥ 6  a   1 9b + ≥ 6  b  1 9c + ≥ 6  c 1 1 1 ⇒=Tabc9() +++++− 8()() abc ++≥ 3.68 − abc ++= 10 a b b 1 a a= b = c = 3 ơ ươ x, y , z a mx+ ny + pz ≥ d m, n , p , d ∈ » A= ax2 + by 2 + cz 2 ươ ax2= by 2 = cz 2 = β xy+ yz + zx = 5 3x2+ 3 y 2 + z 2 ≥ 10 • ưaa 3x2 ,3, y 2 z 2 , xyyzzx , , a 2 2 ()ax− by ≥⇔0() ax2 +() by ≥ 2 axby ?. • ax2+ ay 2 ≥ 2 axy a x= y by2+ cz 2 ≥ 2 bcyz a by2= cz 2 cz2+ bx 2 ≥ 2 cbzx a cz2= bx 2  a+ b = 3 a = 1    a a, b , c a 2c= 1 ⇔  b = 2   a= bc 1   c =  2 x2+ y 2 ≥ 2 xy a x= y 1 1 2y2+ z 2 ≥ 2 yz a 2y2= z 2 2 2 1 1 z2+2 x 2 ≥ 2 zx a z2= 2 x 2 2 www.mathvn.com2
a eaư 33x222++≥ y z 2() xyyzzx ++⇒ 33 x 222 ++≥ y z 10 x= y  1 2y2= z 2 2 x= y = 1 a ⇔  1 z = 2  z2= 2 x 2  2 xy+ yz + zx =  5 47 235 3ươ x, y , z x+ y + z = 3x2+ 4 y 2 + 5 z 2 ≥ 12 12 235 • ưaa 3x2 ,4 y 2 ,5 zxyz 2 ,,, a 3x2+ 4 y 2 + 5 z 2 ≥ 12 ư 3x2++ m 4 y 2 ++ n 5 z 2 +≥ pk,( 0 0 a 3x2 = m 4y2 + n ≥ 24, nyn > 0 a 4y2 = n 5z2 + p ≥ 25, pzp > 0 a 5z2 = p  5 x =  3 2  3x= m  5  y = 2  4 4y= n   z = 1 2  a x, y , z a 5z= p ⇔  25   m = 3m= 4 n = 5 p  3   47 25 x+ y + z =  n = 12  4 p  = 5 25 25 25 3x2 + ≥ 2 3. x a 3x 2 = 3 3 3 25 25 25 4y2 + ≥ 24. y a 4y2 = 4 4 4 5z2 + 5 ≥ 2 5.5 z a 5z 2 = 5 235 235 eaư 3x2+ 4 y 2 + 5 z 2 ≥ 10 () xyz ++ − = 12 12 www.mathvn.com
a 5 x =  3   5 a y =  4 z = 1  3 a, b , c 1+3 abc ≤+3 ( 111 a) ( + b)( + c ) 1+3 abc ≤+++⇔3 ( 1 abc)( 1)( 1) 3 1.1.1 +3 abc ≤+++3 ( 1 abc) ( 1)( 1) 1.1.1 abc ⇔3 +3 ≤ 1 ()111+++abc()() () 111 +++ abc()() 1.1.1 abc T = 3 + 3 ()111+++abc() () () 111 +++ abc()() 11 1 1  1 a b c  T ≤ +++   ++  31+++abc 1 1  31 +++ abc 1 1  1a+ 1 b + 1 c + 11  T ≤ ++  ==.3 1 31+a 1 + b 1 + c  3 a a= b = c ≥ 0 ab i n a i, i > 0( = 1, ) n   n aa an+ bb b n ≤++n  abab  () abn + n 12 12 11  () 12 1  1  1  3ươ a, b , c a+ b + c = 1 −1  − 1  −≥ 18  a  b  c  111     1−a 1 − b   1 − c b+ cc + aa + b VT =−111  −  −  =  .  .  = . . abc     abc   a b c AM_GM 2bc 2 ca 2 ab VT ≥ . .= 8 a b c  xxx1, 2 , 3 , , x n > 0  xxx+ + + += x 1  1 2 3 n www.mathvn.com
a 111     1  n −111  −  −  −≥ 1 ()n − 1. xxx     x  1  2  3  n  1 1 1 1 4 ươ a, b , c , d + + + ≥ 3 1+a 1 + b 1 + c 1 + d 1 abcd ≤ 81 1 1  1  1  b c d ≥1 -  +−+− 1  1  = ++ 1+a 1 + b  1 + c  1111 ++++ dbcd  1 AM_ GM bcd ≥ 3 3 1 + a ()1+b() 1 + c() 1 + d  1 bcd  ≥ 3 3 1 + a ()1+b() 1 + c() 1 + d   1 cda  ≥ 33 1 +b ()1+c() 1 + d() 1 + a   1 dca ≥ 3 1 + c 3 +d + c + a  ()1()() 1 1  1 abc  ≥ 33 1 + d +a + b + c  ()1() 1() 1 1abc d 1 ⇒ ≥ 81 ⇒abcd ≤ ()1111++++abcd()()() () 1111 ++++ abcd()()() 81 xxx, , , , x n > 0  1 2 3  111 1  + + + + ≥−n 1 111+++xxx1 2 3 1 + x n 1 xxx x ≤ 1 2 3 n ()n − 1 n ươ 3ươ a, b , c a+ b + c = 3 a b c 3 a. + + ≥ 1+b2 1 + c 2 1 + a 2 2 www.mathvn.com
a a b c 3 b. + + ≥ ab+2 bc + 2 ca + 2 2 a2 b 2 c 2 c. + + ≥ 1 a+2 b2 bc + 2 2 ca + 2 2 ư a+ b + c = 3 a.  ab++ bc ca ≤++ a b c2 ⇒++≤ ab bc ca 3( ) ( ) 3  aa(1+ b2 ) − ab 2 ab 2  2= 2 =a − 2 a ab 1+b 1 + b 1 + b ⇒ 2 ≥a −  2 1 +b 2 1+b ≥ 2 b b bc2 bc c ca2 ca ươ =−b ≥− b, =− c ≥− c 1+c2 1 + c 22 1 + a 2 1 + a 2 2 a b c ab+ bc + ca 3 3 e + + ≥++−a b c ≥3 − = 1+b2 1 + c 2 1 + a 2 2 2 2 3ươ a, b , c a. bc .= 1 a3 b 3 c 3 3 a. + + ≥ (1++bc )(1 ) (1 ++ ca )(1 ) (1 ++ ab )(1 ) 4 1 1 1 b. + + ≤ 1 2+a 2 + b 2 + c ư a. 3ươ a, b , c a+ b + c = 1 a2 b 2 c 2 1 + + ≥ bc+ ca + ab + 2 abc2221 a 2 b 2 c 2 1 + + ≥⇔( ++a )( ++ b )( +≥+++ c )( abc ) bccaab+++2 bc + ca + ab + 2 www.mathvn.com
a a2++ abc() b 2 ++ bca () c 2 ++ cab () 1 ⇔ + + ≥+ 1 bc+ ca + ab + 2 aabc(++ )( bbca ++ )( ccab ++ ) 3 ⇔ + + ≥ bc+ ca + ab + 2 a b c 3 ⇔ + + ≥ a+ b + c = 1 bc+ ca + ab + 2 3ươ a, b , c a+ b + c = 1 ab bc ca 1 a. + + ≤ ab++2 cbc ++ 2 aca ++ 24 b ư 1 1 4 a. + ≥ a b a+ b 3ươ a, b , c a3 b 3 c 3 1 a. + + ≥++()a b c (abbc++ )( )( bcca ++ )( )( caab ++ )( )4 a3 b 3 c 3 1 b. + + ≥++(a b c ) bc(+ a )( ca + b )( ab + c )2 ư  a3 abbc+ + 3  8a3  + + ≥ a  +(ab + )( + bc + )6 ≥ a (a+ bb )( + c ) 8 8 4 (a+ bb )( + c )  b3 bcca+ + 3  8b3 a.  + + ≥ b  +(bc + )( + ca + )6 ≥ b (b+ cc )( + a ) 8 8 4 (b+ cc )( + a )  c3 caab+ + 3  8c3  + + ≥ c  +(ca + )( + ab + )6 ≥ c (c+ aa )( + b ) 8 8 4 (c+ aa )( + b )  4a3  a3 bca+ 3  +2b + ( ca + )6 ≥ a  + + ≥ a b( c+ a ) b( c+ a )2 4 2  4b3  b3 cab+ 3 b.  +2c + ( ab + )6 ≥ b  + + ≥ b c( a+ b ) c( a+ b )2 4 2  4c3  c3 abc+ 3  +2a + ( bc + )6 ≥ c  + + ≥ c a( b+ c ) a( b+ c )2 4 2 www.mathvn.com
a 3ươ x, y , z x+ y + z ≥ 3 a x2 y 2 z 2 A = + + x+ yz y + zx z + xy 2 x2 y 2 z 2 ()x+ y + z + + ≥ x+ yz y + zx z + xy xyz +++++ yz zx xy a yz+ zx + xy ≤++ x y z 2 xyz2 2 2 ()x+ y + z xyz+ + 3 a ++≥ =≥ x+ yz y + zx z + xy x+ yz + + x + yz + 2 2   x+ y + z = 3  a xyz== ⇔=== xyz 1  x y z  = = x+ yz y + zx z + xy aươ x, y , z a x2+ y 2 + z 2 = 3 a x5 y 5 z 5 S= + + +++ xyz4 4 4 yz33+ zx 3 + 3 xy 33 + 3 a x5 yz 32+ x 4 3 + + ≥ x 3 y3+ z 2 4 2 2 y5 zxy 324+3 z 5 xyz 324 + 3 ươ + +≥y3, + +≥ z 3 zx3+ 2 422 xy3 + 2 422 x 4 1 y 4 1 z 4 1 + ≥ x 2 ươ + ≥ y 2 + ≥ z 2 2 2 2 2 2 2 aư x5 y 5 z 5 5 3 3 S= + + +++≥ xyzxyzxyz444 333 +++ 222 ++− 32 3 2 32 () () yz+ zx + xy + 4 4 2 x3+ x 3 +1 ≥ 3 x 2 a 2x3+ 1 ≥ 3 x 2 ươ 2y3+ 1 ≥ 3 y 2 2z3+ 1 ≥ 3 z 2 9 2xyz333++ ≥ 3 xyz 222 ++ −=⇒++≥⇒≥ 36 xyz 333 3 S ()() 2 a ⇔x = y = z = 1 www.mathvn.com
a 3ươ x, y , z a x2 y 2 z 2 M = + + (2yzzy++ 3 )(2 3 ) (2 zxxz ++ 3 )(2 3 ) (2 xyyx ++ 3 )(2 3 ) 13 25 (2yzzy+ 3 )(2 +=++≤++ 3 ) 6 yz22 13 yzyz 6 22 yz 22 += yz 22 + ()() 2() 2 () x22 x 2 ⇒ ≥ (2y+ 3 z )(2 z + 3 y ) 25(y2+ z 2 ) y22 y 2 z 2 2 z 2 ươ ≥, ≥ (2zxxz++ 3 )(2 3 )25(zx2+ 2 ) (2 xyyx ++ 3 )(2 3 ) 25( xy2 + 2 ) 222x2 y 2 z 2 1 1 M ≥+ + ⇒≥⇒=f() xyz; ; min M 25(yz22+ ) 25( zx 22 + ) 25( xy 22 + ) 25 25 x y z 3 x, y , z ươx. y . z ≥ 1 + + ≥ x+ yz y + zx z + xy 2 ư a= xb, = yc , = z a, b , c ươ a. b . c ≥ 1 a2 b 2 c 2 3 + + ≥ a2+ bc b 2 + ac c 2 + ab 2 2 a2 b 2 c 2 ()a+ b + c + + ≥ ()* a2+ bc b 2 + ac c 2 + ab a 22 +++++ bc b ac c 2 ab ươa 2 2 4 ()abc++  () abc ++ VT 2 * ≥  = () 2 2 2  2 a++ bc b ++ ac c + ab  a2++ bc b 2 ++ ac c 2 + ab      4 4 4 ()abc++() abc ++() abc ++ ≥ ≥ ≥ 2 2 2 2 2  3(a+ b + c + ab + bc + ac ) 3()()abc++− 3 abbcac ++ 3() abc ++− 3    2 2 abbcac++≥33 () abc ≥⇒= 3t () abc ++≥ 9 ttt2 315+− 3 3 3.915 + t − 33 9 9 a = ++≥ +2 . =⇒VT 2 () * ≥ 3(3)t− 12 12 t − 3 12 12 t − 32 2 a x= y = z = 1 ⇒ xx xn x x x aa 1, 2 , ,n ( ≥ 2 ) ươ 1. 2 n ≤ 1 www.mathvn.com
a x x x n 1+ 2 ++ n ≥ 2 x123+ xxx n x 234 + xxx nnn x + xxx 121 − 3ươ a, b , c 1 1 1 111 a. + + ≤++ abbcca+3 + 3 + 3444 a b c 1 1 1 111 b. + + ≤++ abcbcacab++2 ++ 2 ++ 2444 a b c 1 1 1 1111  c. + + ≤++  ()abac++() ()() bcba ++() cacb ++() 2 a b c  ad− bb − bc − ca − d. + + + ≥ 0 db+ bc + ca + ad + x y z 1 1 1  81 x; y ; z ∈ [0;1 ] ()2++ 2 2 x ++ y z  < 2 22  8 a=2,x b = 2, y c =⇒ 2 z abc ,, ∈ [1;2 ] 1 1 1  81 a, b , c ∈ [1;2 ] ()a++ b c  ++  < a b c  8 11181   22281  2229 ()abc++ ++<⇔++  () abc ++<⇔() abc ++  ++< abc  8 abc 4  abc 2 2 12≤≤⇔−a()() aa 120 −≤⇔−+≤⇔+≤ aa2 320 a 2 23 aa ⇔+≤ 3 a 2 2 ươ b+ ≤3, c + ≤ 3 b c 2 2 2  ⇒()a +++ b c  ++  ≤ 9() 1 a b c  222  222 ⇒+++++≥()abc2() abc ++  ++ () 2 abc  abc 222  22281 (1) (2) a 2()abc++ ++ ≤⇔++ 9() abc  ++≤ () 3 abc  abc 4 1 1 1  81 a ()3 ⇔++()a b c  ++  < a b c  8 www.mathvn.com
a a, b , c ươ ab+ bc + ca = 3 abc ab bc ca 3 + + ≤ a3322+++ b acbc b 332 +++ c baca 2 c 332 +++ a cbab 2 4 a 1 1 1 ab++ bc ca =3 abc ⇔++= 3 a b c 3 3 1 111  a, b > 0 a a+≥ b aba() + b , ≤. +  ab+ 4  ab  a, b a a2+ b 2 ≥ 2 ab ab ab ab 1 1  ≤ ≤ + 3322 22 22  abacbcabab+++()() +++ abc4aba (+ b ) () abc +  ab11 ab  111  ⇒22 ≤+≤+ 22   abab()()+++ abc4ab+ () abc +  4 abc + 2  ab 11 1  11 ≤ +  + .() 1 a3+ b 3 + ac 2 + bc 2 16a b  8 c ươ bc 11 1  11 ≤ +  + .() 2 b3+ c 3 + ba 2 + ca 2 16b c  8 a ca 11 1  11 ≤ +  + .() 3 c3+ a 3 + cb 2 + ab 2 16c a  8 b e (1) (2) (3) aưa a= b = c = 1 a ABC 3 AB= cBC, = aAC , = b a3= b 3 + c 3 A 600 0 0 ⇒ bcc 22) ab( −+⇒>−+ bcc 222) a b bcc 2 bca222+− bca 222 +− 1 ⇒ A 60 0 bc2 bc 2 600<A < 90 0 www.mathvn.com
a 111  111  ươ a, b , c a 15++  = 10 ++  + 2007 a2 b 2 c 2 ab bc ca  1 1 1 a P = + + 522a2++ abb 22 522 b ++ bcc 22 522 c ++ caa 2 111 9 + + ≥ a x= y = z x y z xyz+ + 2 2 22 2 1 1 1111  5a++=++−≥+⇒ 2 abb 2 (2 ab )( ab )(2 ab ) ≤ ≤++  5a2+ 2 ab + 2 b 2 2ab+ 9  aab  a a= b  1 1 1111   ≤ ≤ ++   5b2+ 2 bc + 2 c 2 2bc+ 9  bbc  ươ  1 1 1111   ≤ ≤ ++   5c2+ 2 ca + 2 a 2 2ca+ 9  cca  11 1 1  P ≤ + +  3 a b c  2  1 1 1 1111   ++ ≥ ++  a2 b 2 c 2 3 a b c   2  1 1 1 1111   ++ ≤ ++  ab bc ca3  a b c  111  111  15++  = 10 ++  + 2007 a2 b 2 c 2 ab bc ca  1 1 1 6021 + + ≤ a b c 5  a= b = c  1 6021 a 1 1 1 6021 ⇔a = b = c =  + + = 3 5 a b c 5 1 6021 1 6021 a P = a= b = c = 3 5 3 5 www.mathvn.com