Hướng dẫn học tập Toán chuyên ngành - TS. Lê Bá Long

246 trang phuongnguyen 1310

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Hướng dẫn học tập Toán chuyên ngành - TS. Lê Bá Long", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

huong_dan_hoc_tap_toan_chuyen_nganh_ts_le_ba_long.pdf

Nội dung text: Hướng dẫn học tập Toán chuyên ngành - TS. Lê Bá Long

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG === === SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP TOÁN CHUYÊN NGÀNH (Dùng cho sinh viên ngành ĐT-VT hệ đào tạo đại học từ xa) Lưu hành nội bộ HÀ NỘI - 2006
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP TOÁN CHUYÊN NGÀNH Biên soạn : Ts. LÊ BÁ LONG
LỜI NÓI ĐẦU Tiếp theo chương trình toán học đại cương bao gồm giải tích 1, 2 và toán đại số. Sinh viên chuyên ngành điện tử-viễn thông còn cần trang bị thêm công cụ toán xác suất thống kê và toán kỹ thuật. Để đáp ứng nhu cầu học tập của sinh viên chuyên ngành điện tử viễn thông của Học viện, chúng tôi đã biên soạn tập bài giảng Toán kỹ thuật từ năm 2000 theo đề cương chi tiết môn học của Học viện. Qua quá trình giảng dạy chúng tôi thấy rằng cần hiệu chỉnh và bổ sung thêm để cung cấp cho sinh viên những công cụ toán học tốt hơn. Trong lần tái bản lần thứ hai tập bài giảng được nâng lên thành giáo trình, nội dung bám sát hơn nữa những đặc thù của chuyên ngành viễn thông. Chẳng hạn trong nội dung của phép biến đổi Fourier chúng tôi sử dụng miền tần số f thay cho miền ω . Dựa vào tính duy nhất của khai triển Laurent chúng tôi giới thiệu phép biến đổi Z để biểu diễn các tín hiệu rời rạc bằng các hàm giải tích. Tuy nhiên do đặc thù của phương thức đào tạo từ xa nên chúng tôi biên soạn lại cho phù hợp với loại hình đào tạo này. Tập giáo trình bao gồm 7 chương. Mỗi chương chứa đựng các nội dung thiết yếu và được coi là các công cụ toán học đắc lực, hiệu quả cho sinh viên, cho kỹ sư đi sâu vào lĩnh vực viễn thông. Nội dung giáo trình đáp ứng đầy đủ những yêu cầu của đề cương chi tiết môn học đã được Học viện duyệt. Trong từng chương chúng tôi cố gắng trình bày một cách tổng quan để đi đến các khái niệm và các kết quả. Chỉ chứng minh các định lý đòi hỏi những công cụ vừa phải không quá sâu xa hoặc chứng minh các định lý mà trong quá trình chứng minh giúp người đọc hiểu sâu hơn bản chất của định lý và giúp người đọc dễ dàng hơn khi vận dụng định lý. Các định lý khó chứng minh sẽ được chỉ dẫn đến các tài liệu tham khảo khác. Sau mỗi kết quả đều có ví dụ minh hoạ. Cuối cùng từng phần thường có những nhận xét bình luận về việc mở rộng kết quả hoặc khả năng ứng dụng chúng. Tuy nhiên chúng tôi không đi quá sâu vào các ví dụ minh hoạ mang tính chuyên sâu về viễn thông vì sự hạn chế của chúng tôi về lãnh vực này và cũng vì vượt ra khỏi mục đích của cuốn tài liệu. Thứ tự của từng Ví dụ, Định lý, Định nghĩa, được đánh số theo từng loại và chương. Chẳng hạn Ví dụ 3.2, Định nghĩa 3.1 là ví dụ thứ hai và định nghĩa đầu tiên của chương 3 Nếu cần tham khảo đến ví dụ, định lý, định nghĩa hay công thức nào đó thì chúng tôi chỉ rõ số thứ tự của ví dụ, định lý, định nghĩa tương ứng. Các công thức được đánh số thứ tự theo từng chương. Hệ thống câu hỏi ôn tập và bài tập của từng chương có hai loại. Loại trắc nghiệm đúng sai nhằm kiểm tra trực tiếp mức độ hiểu bài của học viên còn loại bài tập tổng hợp giúp học viên vận dụng kiến thức một cách sâu sắc hơn. Vì nhận thức của chúng tôi về chuyên ngành Điện tử Viễn thông còn hạn chế nên không tránh khỏi nhiều thiếu sót trong việc biên soạn tài liệu này, cũng như chưa đưa ra hết các công cụ toán học cần thiết cần trang bị cho các cán bộ nghiên cứu về chuyên ngành điện tử viễn thông. Chúng tôi rất mong sự đóng góp của các nhà chuyên môn để chúng tôi hoàn thiện tốt hơn tập tài liệu này. Tác giả xin bày tỏ lời cám ơn tới PGS.TS. Lê Trọng Vinh, TS Tô Văn Ban, đã đọc bản thảo và cho những ý kiến phản biện quý giá và đặc biệt tới KS Nguyễn Chí Thành người đã giúp tôi biên tập hoàn chỉnh cuốn tài liệu.
Chương 1: Hàm biến số phức Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ sự cám ơn đối với Ban Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu Chính Viễn Thông, Trung tâm Đào tạo Bưu Chính Viễn Thông 1 và bạn bè đồng nghiệp đã khuyến khích, động viên, tạo nhiều điều kiện thuận lợi để chúng tôi hoàn thành tập tài liệu này. Hà Nội 5/2006 Tác giả 4
Chương 1: Hàm biến số phức CHƯƠNG I: HÀM BIẾN SỐ PHỨC PHẦN GIỚI THIỆU Giải tích phức là một bộ phận của toán học hiện đại có nhiều ứng dụng trong kỹ thuật. Nhiều hiện tượng vật lý và tự nhiên đòi hỏi phải sử dụng số phức mới mô tả được. Trong chương này chúng ta tìm hiểu những vấn đề cơ bản của giải tích phức: Lân cận, giới hạn, hàm phức liên tục, giải tích, tích phân phức, chuỗi số phức, chuỗi lũy thừa, chuỗi Laurent Để nghiên cứu các vấn đề này chúng ta thường liên hệ với những kết quả ta đã đạt được đối với hàm biến thực. Mỗi hàm biến phức wfzfxiyuxyivxy==+=+() ( ) (, ) (, ) tương ứng với hai hàm thực hai biến uxy(, ), vxy(, ). Hàm phức f ()z liên tục khi và chỉ khi uxy(, ), vxy(, ) liên tục. f ()z khả vi khi và chỉ khi uxy(, ), vxy(, ) có đạo hàm riêng cấp 1 thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann. Tích phân phức tương ứng với hai tích phân đường loại 2 Mỗi chuỗi số phức tương ứng với hai chuỗi số thực có số hạng tổng quát là phần thực và phần ảo của số hạng tổng quát của chuỗi số phức đã cho. Sự hội tụ hay phân kỳ được xác định bởi sự hội tụ hay phân kỳ của hai chuỗi số thực này. Từ những tính chất đặc thù của hàm biến phức chúng ta có các công thức tích phân Cauchy. Đó là công thức liên hệ giữa giá trị của hàm phức tại một điểm với tích phân dọc theo đường cong kín bao quanh điểm này. Trên cơ sở công thức tích phân Cauchy ta có thể chứng minh được các kết quả: Mọi hàm phức giải tích thì có đạo hàm mọi cấp, có thể khai triển hàm phức giải tích thành chuỗi Taylor, hàm giải tích trong hình vành khăn được khai triển thành chuỗi Laurent. Bằng cách tính thặng dự của hàm số tại điểm bất thường cô lập ta có thể áp dụng để tính các tích phân phức và tích phân thực, tính các hệ số trong khai triển Laurent và phép biến đổi Z ngược. Dựa vào tính duy nhất của khai triển Laurent ta có thể xây dựng phép biến đổi Z.Phép biến đổi Z cho phép biểu diễn dãy tín hiệu số rời rạc bằng hàm giải tích. Để học tốt chương này học viên cần xem lại các kết quả của giải tích thực. NỘI DUNG 1.1. SỐ PHỨC 1.1.1. Dạng tổng quát của số phức Số phức có dạng tổng quát zxiy=+ , trong đó x, y là các số thực; i2 = −1. x là phần thực của z , ký hiệu Re z . y là phần ảo của z , ký hiệu Im z . Khi y = 0 thì zx= là số thực; khi x = 0 thì ziy= gọi là số thuần ảo. Số phức x − iy , ký hiệu z , được gọi là số phức liên hợp với số phức zxiy=+ . 5
Chương 1: Hàm biến số phức Hai số phức zxiy11= + 1 và zxiy22= + 2 bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng bằng nhau. ⎧x12= x zxiyzxiyzz11=+ 122,; =+ 2 12 = ⇔⎨ (1.1) ⎩y12= y Tập hợp tất cả các số phức ký hiệu . 1.1.2. Các phép toán Cho hai số phức zxiy11=+ 1 và zxiy22= + 2, ta định nghĩa: a) Phép cộng: Số phức zxxiyy=++()12( 12 +) được gọi là tổng của hai số phức z1 và z2, ký hiệu zz=+12 z. b) Phép trừ: Ta gọi số phức −=−−zxiy là số phức đối của zxiy= + . Số phức zz=+−=121212() z() x − x + iyy( −) được gọi là hiệu của hai số phức z1 và z2 , ký hiệu zz=−12 z. c) Phép nhân: Tích của hai số phức z1 và z2 là số phức được ký hiệu và định nghĩa bởi biểu thức: zzzxiyx==+12() 1 1( 2 += iyxxyyixyyx 2) ( 12 − 12) +( 12 + 12) . (1.2) 1 d) Phép chia: Nghịch đảo của số phức zxiy= +≠0 là số phức ký hiệu hay z−1, thỏa z mãn điều kiện zz−1 =1. Vậy nếu zxiy−1 = ''+ thì ⎧xx''1−= yy x −y ⎨ ⇒=xy',' = . (1.3) ⎩yx''0+= xy x22++yxy 22 x xyyyxxy+− Số phức zzz==−1 12 12 + i 12 12 được gọi là thương của hai số phức z và 12 22 22 1 x22++yxy 22 z1 z2 , ký hiệu z = ( z2 ≠ 0 ). z2 Ví dụ 1.1: Cho zxiy=+ , tính zzz2 , . 2 Giải: zxiyxyixy222=+() =() − +()2 , zz= x22+ y . Ví dụ 1.2: Tìm các số thực x, y là nghiệm của phương trình 51( x ++−++=−yixii)( ) ( 23311)( ) i. Giải: Khai triển và đồng nhất phần thực, phần ảo hai vế ta được ⎧2523xy++= 7 ⎨ ⇒=−=xy3, . ⎩456xy+−=− 11 5 6
Chương 1: Hàm biến số phức ⎧ziw+=1 Ví dụ 1.3: Giải hệ phương trình ⎨ . ⎩21zw+ =+ i Giải: Nhân i vào phương trình thứ nhất và cộng vào phương trình thứ hai ta được 12++ii(12+−ii)( 2 ) 43 ()212+=+⇒=iz i z = = , 255+ i ⎛⎞−+13ii 3 + ⇒=wiz() −=1 i⎜⎟ =− . ⎝⎠55 Ví dụ 1.4: Giải phương trình zz2 ++=250. 222 Giải: zz2 ++=++=+−25() z 1 4 ()()( z 1 2 i =+− z 12 izi )() ++ 12. Vậy phương trình có hai nghiệm zizi12= −+12, =−− 12. 1.1.3. Biểu diễn hình học của số phức, mặt phẳng phức Xét mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy , có véc tơ đơn vị trên hai trục tương ứng là JG JG y i và j . Mỗi điểm M trong mặt phẳng này hoàn toàn được xác định bởi tọa độ (;x y ) của nó thỏa JJJJGJGJG mãn OM=+ x i y j . y M JJG Số phức zxiy=+ cũng hoàn toàn được j xác định bởi phần thực x và phần ảo y của nó. JJG O i x x Vì vậy người ta đồng nhất mỗi điểm có tọa độ (;x y ) với số phức zxiy= + , lúc đó mặt phẳng này được gọi là mặt phẳng phức. 1.1.4. Dạng lượng giác của số phức y Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn JJG Oxy , nếu ta chọn Ox làm trục cực thì điểm y M M (;xy ) có tọa độ cực ()r;ϕ xác định bởi JJG r JJG JJJJG j ϕ rOM==,,ϕ OxOM ( ) JJG O i x x ⎧xr= cosϕ thỏa mãn ⎨ ⎩yr= sinϕ Ta ký hiệu và gọi zrOMx== =22 + y (1.4) Argz= ϕ +∈k 2π , k (1.5) là mô đun và argument của số phức zxiy= + . 7
Chương 1: Hàm biến số phức Góc ϕ của số phức zxiy=+ ≠0 được xác định theo công thức sau ⎪⎧tg ϕ = y/x (1.6) ⎨ 2 2 ⎩⎪cos ϕ = x/ x + y Giá trị của Argz nằm giữa − π và π được gọi là argument chính, ký hiệu arg z . Vậy −π <≤arg z π . Từ công thức (1.4) ta có zxiyr=+ =(cosϕ + i sinϕ ) (1.7) gọi là dạng lượng giác của số phức. Sử dụng khai triển Maclaurin có thể chứng minh được công thức Euler eiiϕ =+cosϕ sinϕ (1.8) eeiiϕ +−− ϕϕϕ ee ii− Do đó cosϕϕ== , sin . (1.9) 22i Từ (1.7)-(1.8) ta có thể viết số phức dưới dạng mũ zze= iϕ (1.10) Các tính chất của số phức ⎛⎞zz11 zz1212+=+ zz;; zzzz 1212 =⎜⎟ = . (1.11) ⎝⎠z2 z2 zz+− zz Rezz== ; Im . zzz∈ ⇔=. (1.12) 22i ⎪⎪⎧⎧zz12== zz 12 zz12=⇔⎨⎨ ⇔ (1.13) ⎩⎩⎪⎪argzz12==+ arg Arg zzk 12 Arg 2π 2 1 z z zzz zz= z , = = , 112= . (1.14) z 2 z 2 zz z 2 z2 z1 z1 zz12==+≤+ z 1 z 2,, z 1 z 2 z 1 z 2. (1.15) zz22 ⎛⎞z1 Arg()zz12=+ Arg z 1 Arg z 2 , Arg⎜⎟ =− Arg z 1 Arg z 2 (1.16) ⎝⎠z2 ⎪⎧ x ≤ z z = x + iy ⇒ ⎨ và z ≤ x + y (1.17) ⎩⎪ y ≤ z 8
Chương 1: Hàm biến số phức Ví dụ 1.5: a) Tập các số phức z thỏa mãn z − 23= tương ứng với tập các điểm có khoảng cách đến I(2;0) bằng 3, tập hợp này là đường tròn tâm I bán kính 3. b) Tập các số phức z thỏa mãn zz− 24=+ tương ứng với tập các điểm cách đều A(2;0) và B(4;0)− đó là đường trung trực của đoạn AB có phương trình x =−1. 1.1.5. Phép nâng lũy thừa, công thức Moivre n Lũy thừa bậc n của số phức z là số phức zzzz= " n lÇn Từ công thức (1.15)-(1.16) ta có công thức Moivre: n zzn =+()cos ninϕ sinϕϕπ , Arg z =+ k 2 . (1.18) Đặc biệt, khi z =1 ta có ()cosϕϕ+=+inin sinn ( cos ϕ sin ϕ) (1.18)' 10 Ví dụ 1.6: Tính ()−+13i . 10 10 ⎡⎤⎛⎞⎛⎞2π 2πππ10 20 20 Giải: ()−+13ii =⎢⎥ 2cossin⎜⎟⎜⎟ + = 2cos + i sin ⎣⎦⎝⎠⎝⎠33 3 3 10⎛⎞22ππ 10⎛⎞ 13 9 9 =+=−+=−+2cossin⎜⎟iii 2⎜⎟ 2 32. ⎝⎠33⎝⎠ 22 1.1.6. Phép khai căn Số phức ω được gọi là căn bậc n của z , ký hiệu ω = n z , nếu ωn = z . Nếu viết dưới dạng lượng giác: z = r(cosϕ + isin ϕ), ω = ρ(cosθ + isin θ) thì n n ⎧ ρ = r n ⎪⎧ ρ = r ⎪ z = ω ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ϕ + k2π . (1.19) ⎩⎪ nθ = ϕ + k2π , k ∈ ⎪ θ = ⎩ n Vì Argument của một số phức xác định sai khác một bội số nguyên của 2π nên với mỗi số phức z ≠ 0 có đúng n căn bậc n . Các căn bậc n này có cùng mô đun là n r , Argument nhận ϕ k2π các giá trị θ = + ứng với k = 0, 1, , n −1, vì vậy nằm trên đỉnh của n-giác đều nội tiếp n n y trong đường tròn tâm O bán kính n r . i 4 z Ví dụ 1.7: Giải phương trình z +1 = 0 1 z0 Giải: Nghiệm của phương trình là căn bậc 4 π của −1 = cos π + isin π tương ứng là: 4 1 O x 9 z2 z3
Chương 1: Hàm biến số phức π π 1+ i z0 = cos + isin = , 4 4 2 P −1+ i (S ) z1 = iz0 = , 2 −1− i z2 = −z0 = , • 2 ω 1− i z3 = −iz0 = . 2 O y x • 1.1.7. Các khái niệm cơ bản của giải tích phức z 1.1.7.1. Mặt cầu phức Trong 1.1.3 ta đã có một biểu diễn hình học của tập các số phức bằng cách đồng nhất mỗi số phức z = x + iy với điểm M có tọa độ (x; y) trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy . Mặt khác nếu ta dựng mặt cầu (S ) có cực nam tiếp xúc với mặt phẳng Oxy tại O, khi đó mỗi điểm z thuộc mặt phẳng Oxy sẽ tương ứng duy nhất với điểm ω là giao điểm của tia Pz và mặt cầu (S ) , P là điểm cực bắc của (S ) . Vậy mỗi điểm trên mặt phẳng Oxy được xác định bởi một điểm trên mặt cầu (S ) ngoại trừ điểm cực bắc P. Ta gán cho điểm cực bắc này số phức vô cùng ∞ . Tập hợp số phức thêm số phức vô cùng được gọi là tập số phức mở rộng . Như vậy toàn bộ mặt cầu (S ) là một biểu diễn hình học của tập số phức mở rộng. z Quy ước: = ∞ (z ≠ 0), z∞ = ∞ (z ≠ 0), z + ∞ = ∞, ∞ − z = ∞ . 0 1.1.7.2. Lân cận, miền a. Lân cận Khái niệm ε − lân cận của z0 ∈ được định nghĩa hoàn toàn tương tự với ε − lân cận trong 2 , đó là hình tròn có tâm tại điểm này và bán kính bằng ε . Bε (z0 ) = {z ∈ z − z0 N}∪{∞} (1.23)’ b. Điểm trong, tập mở Giả sử E là một tập các điểm của mặt phẳng phức hoặc mặt cầu phức. Điểm z0 được gọi là điểm trong của E nếu tồn tại một lân cận của z0 nằm hoàn toàn trong E . Tập chỉ gồm các điểm trong được gọi là tập mở. 10
Chương 1: Hàm biến số phức c. Điểm biên Điểm z1 , có thể thuộc hoặc không thuộc E , được gọi là điểm biên của E nếu mọi lân cận của z1 đều có chứa các điểm thuộc E và các điểm không thuộc E . Tập hợp các điểm biên của E được gọi là biên E , ký hiệu ∂E . Hình tròn mở {z ∈ z − z0 r} là các tập mở có biên lần lượt là {z ∈ z − z0 = r} và {z ∈ z − z0 = r}∪{∞}. Hình tròn đóng {z ∈ z − z0 ≤ r} không phải là tập mở vì các điểm biên z − z0 = r không phải là điểm trong. d. Tập liên thông, miền Tập con D của mặt phẳng phức hay mặt cầu phức được gọi là tập liên thông nếu với bất kỳ 2 điểm nào của D cũng có thể nối chúng bằng một đường cong liên tục nằm hoàn toàn trong D . Một tập mở và liên thông được gọi là miền. Miền D cùng biên ∂D của nó được gọi là miền đóng, ký hiệu D = D ∪ ∂D . Miền chỉ có một biên được gọi là miền đơn liên, trường hợp ngược lại gọi là miền đa liên. Ta qui ước hướng dương trên biên của miền là hướng mà khi ta đi trên biên theo hướng đó thì miền D ở bên tay trái. Miền D được gọi là bị chặn nếu tồn tại R > 0 sao cho z ≤ R, ∀z ∈ D . 1.2. HÀM BIẾN PHỨC 1.2.1. Định nghĩa hàm biến phức Định nghĩa 1.1: Một hàm biến phức xác định trên tập con D của hoặc là một quy luật cho tương ứng mỗi số phức z ∈ D với một hoặc nhiều số phức w , ký hiệu w = f ()z , z ∈ D . Nếu với mỗi z chỉ cho tương ứng duy nhất một giá trị w thì f (z) được gọi là hàm đơn trị. Trường hợp ngược lại f được gọi là hàm đa trị. Hàm số w = f (z) = z 2 + 3 là một hàm đơn trị, còn hàm số w = f (z) = z là một hàm đa trị. Tập D trong định nghĩa trên được gọi là tập xác định. Ta chỉ xét tập xác định D là một miền, vì vậy D được gọi là miền xác định. Thông thường người ta cho hàm phức bằng công thức xác định ảnh f ()z , khi đó miền xác định D là tập các số phức z mà f ()z có nghĩa. z Hàm số w = f ()z = có miền xác định là Dzzi= { ≠± } . z 2 +1 Ta có thể biểu diễn một hàm phức bởi hai hàm thực của hai biến (x, y) như sau: 11
Chương 1: Hàm biến số phức ⎧ u = u(x, y) z = x + iy và w = f (z) = u + iv thì ⎨ (1.24) ⎩ v = v()x, y Gọi u()x, y là phần thực, v()x, y là phần ảo của hàm f (z) . 2 2 2 2 2 2 ⎪⎧ u = x − y + 3 Hàm số w = z + 3 = (x + iy) + 3 = (x − y + 3) + i2xy có ⎨ . ⎩⎪ v = 2xy Trường hợp miền xác định D ⊂ thì ta có hàm phức biến số thực, ta ký hiệu w = f (t) có biến số là t thay cho z . Trường hợp miền xác định D là tập số tự nhiên thì ta có dãy số phức zn = f ()n , n ∈, ∞ ta thường ký hiệu dãy số là ()zn n∈ hay (zn )n=1 . 1.2.2. Giới hạn ∞ Định nghĩa 1.2: Dãy số ()zn n=1 hội tụ về z0 = x0 + y0 , ký hiệu lim zn = z0 , nếu n→∞ ∀ε > 0, ∃N > 0 : n ≥ N ⇒ zn − z0 0, ∃N > 0 : n ≥ N ⇒ zn > ε (1.26) Từ (1.17) suy ra rằng ⎧ lim xn = x0 ⎪ n→∞ lim zn = z0 = x0 + iy0 ⇔ ⎨ (1.27) n→∞ ⎪ lim yn = y0 ⎩ n→∞ Định nghĩa 1.3: Ta nói hàm phức w = f (z) xác định trong một lân cận của z0 có giới hạn là L khi z tiến đến z0 , ký hiệu lim f (z) = L , nếu với mọi lân cận Bε ()L tồn tại lân cận z→z0 Bδ ()z0 sao cho với mọi z ∈ Bδ ()z0 , z ≠ z0 thì f (z)∈ Bε (L). Trường hợp z0 , L ∈ định nghĩa trên được viết dưới dạng cụ thể sau: lim f (z) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀z, 0 < z − z0 < δ ⇒ f ()z − L < ε (1.28) z→z0 Từ (1.17), (1.24), tương tự (1.27) ta có: ⎧ lim u(x, y) = u0 ⎪ (x,y)→(x0,y0 ) lim f ()z = L ⇔ ⎨ (1.29) lim v(x, y) = v z→z0 ⎪ 0 ⎩ (x,y)→(x0,y0 ) trong đó z0 = x0 + iy0 , L = u0 + iv0 . 12
Chương 1: Hàm biến số phức 1.2.3. Liên tục Định nghĩa 1.4: Hàm phức w = f (z) xác định trong miền chứa điểm z0 được gọi là liên tục tại z0 nếu lim f ()z = f (z0 ). Hàm phức w = f (z) liên tục tại mọi điểm của miền D được z→z0 gọi là liên tục trong D . Từ (1.29) suy ra rằng một hàm phức liên tục khi và chỉ khi hai hàm thực hai biến (phần thực, phần ảo) xác định bởi (1.24) là liên tục. Do đó ta có thể áp dụng các tính chất liên tục của hàm thực hai biến cho hàm phức. 1.2.4. Hàm khả vi, điều kiện Cauchy-Riemann Định nghĩa 1.5: Giả sử z = x + iy là một điểm thuộc miền xác định D của hàm phức đơn trị w = f ()z . Nếu tồn tại giới hạn f (z + Δz)− f (z) lim (1.33) Δz→0 Δz thì ta nói hàm w = f (z) khả vi (hay có đạo hàm) tại z , còn giới hạn đó được gọi là đạo hàm tại z , ký hiệu f '()z hoặc w'()z . Ví dụ 1.8: Cho w = z 2 , tính w'()z . Δw Giải: Δw = ()z + Δz 2 − z 2 = 2zΔz + Δz 2 ⇒ = 2z + Δz , Δz Δw Do đó w'()z = lim = lim ()2z + Δz = 2z . Δz→0 Δz Δz→0 Định lý 1.1: Nếu hàm phức w = f (z) = u(x, y)+ iv(x, y) khả vi tại z = x + iy thì phần thực u()x, y và phần ảo v()x, y có các đạo hàm riêng tại (x, y) và thỏa mãn điều kiện Cauchy- Riemann ⎧ ∂u ∂v ⎪ ()x, y = ()x, y ⎪ ∂x ∂y ⎨ (1.34) ∂u ∂v ⎪ ()x, y = − ()x, y ⎩⎪ ∂y ∂x Ngược lại, nếu phần thực u()x, y , phần ảo v(x, y) khả vi tại (x, y) và thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann thì w = f ()z khả vi tại z = x + iy và ∂u ∂v ∂v ∂u f '()z = ()x, y + i ()x, y = ()x, y − i ()x, y . (1.35) ∂x ∂x ∂y ∂y ⎧ ∂u ∂v ⎪ = 2x = 2 2 2 ⎪ ∂x ∂y Ví dụ 1.8: Hàm w = z = x − y + i2xy ở Ví dụ 1.7 có ⎨ , do đó hàm khả vi ∂u ∂v ⎪ = −2y = − ⎩⎪ ∂y ∂x tại mọi điểm và w'()z = 2x + i2y = 2z . 13
Chương 1: Hàm biến số phức ∂u ∂v Ví dụ 1.9: Hàm w = z = x − iy có = 1, = −1 không thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann, ∂x ∂y do đó hàm không khả vi tại bất kỳ điểm nào. 1.2.5. Hàm giải tích Định nghĩa 1.6: Hàm đơn trị w = f (z) khả vi trong một lân cận của z được gọi là giải tích tại z . Nếu f ()z khả vi tại mọi điểm của D thì ta nói f (z) giải tích trong D. f ()z giải tích trong D nếu nó giải tích trong một miền chứa D . Khái niệm khả vi và đạo hàm của hàm phức được định nghĩa tương tự như trường hợp hàm thực. Vì vậy các tính chất và quy tắc tính đạo hàm đã biết đối với hàm thực vẫn còn đúng đối với hàm phức. ()f ()zgz±=± ()' fzgz '() '(). ()f ()zgz ()'=+ f '() zgz () f () zg '() z . (1.38) ' ⎛⎞fz() f '()() zgz− fzgz () '() . ⎜⎟= 2 ,()0gz≠ ⎝⎠gz() ()gz() ()f ()u(z) ' = f '(u).u'(z) . 1.2.6. Các hàm phức sơ cấp cơ bản 1.2.6.1. Hàm lũy thừa w = z n , n nguyên dương ≥ 2. Hàm số xác định và giải tích với mọi z , đạo hàm w = nz n−1 . Nếu z = r()cosϕ + isin ϕ thì w = r n (cosnϕ + isin nϕ). Vậy ảnh của đường tròn z = R là đường tròn w = Rn . Ảnh cúa tia Arg z = ϕ + k2π là 2π tia Arg w = nϕ + k'2π . Ảnh cúa hình quạt 0 < arg z < là mặt phẳng w bỏ đi trục thực dương. n y v 2π n O x u Z w 14
Chương 1: Hàm biến số phức 1.2.6.2. Hàm căn w = n z Hàm căn bậc n : w = n z là hàm ngược của hàm lũy thừa bậc n . Mọi số phức khác 0 đều có đúng n căn bậc n, vì vậy hàm căn là một hàm đa trị. 1.2.6.3. Hàm mũ w = e z Mở rộng công thức Euler (1.12) ta có định nghĩa của hàm mũ w = ez = e x+iy = e x (cos y + isin y) (1.39) ♦ w = e x , Arg w = y + k2π . ' ♦ Hàm mũ giải tích tại mọi điểm và (eezz) = z e 1 n ♦ ez1 ez2 = ez1 + z2 , = ez1 − z2 , (eeznz) = , ez+ik2π = ez . (1.40) ez2 π i ♦ e0 =1 , e 2 = i, eiπ = −1 . ♦ Qua phép biến hình w = e z , ảnh của đường thẳng x = a là đường tròn w = ea , ảnh của đường thẳng y = b là tia Argw = b + k2π . Ảnh của băng 0 < y < 2π là mặt phẳng w bỏ đi nửa trục thực dương. v y x = a b y = b a O e u O x W Z 1.2.6.4. Hàm lôgarit Hàm ngược của hàm mũ được gọi là hàm lôgarit. w = Ln z ⇔ z = ew w = Ln z = u + iv ⇔ z = ew = eu +iv = eu (cosv + isin v) ⎧ Re w = ln z Vậy w = Lnz ⇔ ⎨ (1.41) ⎩ Imw = arg z + k2π 15
Chương 1: Hàm biến số phức Điều này chứng tỏ hàm lôgarit phức là hàm đa trị. Ứng với mỗi z có vô số giá trị của w , những giá trị này có phần thực bằng nhau còn phần ảo hơn kém nhau bội số nguyên của 2π. Với mỗi k = k0 cố định ta được một nhánh đơn ta trị của hàm w = Ln z . w = ln z + i(arg z + k0 2π) Nhánh đơn trị ứng với k = 0 được gọi là nhánh đơn trị chính và được ký hiệu ln z . ln z = ln z + i arg z trong đó ln ở vế trái là hàm biến phức, còn ở vế phải là hàm biến thực. Một số tính chất của hàm lôgarit. Ln()−1 = ln −1 + i()arg(−1) + k2π = (2k +1)πi ⇒ ln(−1) = iπ ⎛ z1 ⎞ n Ln()z1z2 = Ln ()()z1 + Ln z2 , Ln⎜ ⎟ = Ln()z1 − Ln (z2 ), Ln z = nLn z . ⎝ z2 ⎠ Các nhánh đơn trị của hàm lôgarit giải tích trên nửa mặt phẳng phức Z bỏ đi nửa trục thực âm (x 1, sin ni = > 1. 2 2i 16
Chương 1: Hàm biến số phức 1.2.6.6. Các hàm lượng giác hyperbolic phức e z + e−z ez − e−z sh z ch z ch z = , sh z = , th z = , coth z = (1.43) 2 2 ch z sh z Các hàm lượng giác hyperbolic phức giải tích trong miền xác định 1 −1 ()sh z ' = ch z , ()ch z ' = sh z , ()th z ' = , ()coth z ' = . ch2 z sh2 z ch z + sh z = e z , ch z − sh z = e−z , sin iz = ish z , cosiz = ch z . ch2 z − sh 2 z = 1, sh 2z = 2ch z sh z , ch 2z = ch2 z + sh 2 z . 1.3. PHÉP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC Nhiều vấn đề trong khoa học và thực tiễn (ví dụ bài toàn nổ mìn, bài toán thiết kế cánh máy bay ) đưa đến bài toán: Tìm phép biến hình bảo giác biến miền D thành miền Δ nào đó mà ta đã biết hoặc dễ dàng khảo sát hơn. Trong mục này ta đưa ra vài nguyên lý và phương pháp tìm phép biến hình trong những trường hợp đơn giản. 1.3.1. Định nghĩa phép biến hình bảo giác Định nghĩa 1.7: Phép biến hình w = f (z) được gọi là bảo giác tại z nếu thoả mãn hai điều kiện sau: i. Bảo toàn góc giữa hai đường cong bất kỳ qua điểm z ( kể cả độ lớn và hướng). ii. Có hệ số co dãn không đổi tại z , nghĩa là mọi đường cong đi qua điểm này đều có hệ số co dãn như nhau qua phép biến hình. Phép biến hình w = f ()z được gọi là bảo giác trong miền D nếu nó bảo giác tại mọi điểm của miền này. Định lý sau đây cho điều kiện đủ của phép biến hình bảo giác. Định lý 1.2: Nếu hàm w = f ()z khả vi tại z và f '(z) ≠ 0 thì phép biến hình thực hiện bởi hàm w = f ()z bảo giác tại điểm z , đồng thời arg f '(z) là góc quay và f '()z là hệ số co giãn tại điểm z của phép biến hình đó. Từ định lý này ta suy ra rằng nếu w = f (z) giải tích trong D và f '(z) ≠ 0, ∀z ∈ D thì nó là một phép biến hình bảo giác trong D. 1.3.2. Phép biến hình tuyến tính w = az + b, a ≠ 0 Phép biến hình này bảo giác trong toàn miền vì w'(z) = a ≠ 0, ∀z . Nếu a = a eiϕ thì w = a eiϕ z + b . Điều này chứng tỏ phép biến hình tuyến tính là hợp của ba phép biến hình sau: Phép vị tự tâm O tỷ số k = a , Phép quay tâm O, góc quay ϕ , 17
Chương 1: Hàm biến số phức Phép tịnh tiến theo véc tơ b . Vậy phép biến hình tuyến tính là một phép biến hình đồng dạng (hợp của một phép vị tự, phép quay, phép tịnh tiến). Nó biến một hình bất kỳ thành một hình đồng dạng với nó. Đặc biệt biến một đường tròn thành một đường tròn, biến một đường thẳng thành một đường thẳng, một đa giác thành một đa giác đồng dạng. Ví dụ 1.10: Tìm phép biến hình bảo giác biến tam giác vuông cân có các đỉnh A()− 7 + 2i , B()− 3 + 2i , C()− 5 + 4i thành tam giác vuông cân có các đỉnh A1(2i), B1()0 , C1()1+ i . Giải: Hai tam giác vuông cân bất kỳ đều đồng dạng với nhau nên tồn tại một phép đồng dạng w = az + b, a ≠ 0 biến ΔABC thành ΔA1B1C1. Phép biến hình này biến A thành A1 , biến B thành B1 , do đó a, b thỏa mãn hệ phương trình ⎧ i a = − ⎧ 2i = a()− 7 + 2i + b ⎪ 2 i 3 ⎨ ⇒ ⎨ ⇒ w = − z −1− i . 0 = a()− 3 + 2i + b 3 2 2 ⎩ ⎪ b = −1− i ⎩⎪ 2 i 3 Thay zi=−54 + ta có wiii=−(5 − + 4)1 − − = 1 + . 22 y v C A1 4i 2i A B 2i i C1 − 7 − 3 x B1 1 u Z W 1 1.3.3. Phép nghịch đảo w = z 1 Phép biến hình w = có thể mở rộng lên mặt phẳng phức mở rộng bằng cách cho ảnh z của z = 0 là ∞ và ảnh của z = ∞ là w = 0 . −1 Đạo hàm w'()z = ≠ 0, ∀z ≠ 0, ∞ nên phép biến hình bảo giác tại mọi điểm z ≠ 0, ∞ . z 2 Hai điểm A, B nằm trên một tia xuất phát từ tâm I của đường tròn (C ) bán kính R được gọi là liên hợp hay đối xứng qua ()C nếu IA.IB = R 2 . 18
Chương 1: Hàm biến số phức 1 1 Vì Arg = −Arg z = Arg z nên z và w = cùng nằm trên một tia xuất phát từ O. z z 1 1 Ngoài ra z . = 1, do đó z và w = đối xứng nhau qua đường tròn đơn vị. z z 1 Vậy phép biến hình nghịch đảo w = là hợp của phép đối xứng qua đường tròn đơn vị và z phép đối xứng qua trục thực. Phép biến hình này biến: Một đường tròn đi qua O thành một đường thẳng. Một đường tròn không đi qua O thành một đường tròn. Một đường thẳng đi qua O thành một đường thẳng qua O. Một đường thẳng không đi qua O thành một đường tròn đi qua O. 1 Nếu ta xem đường thẳng là một đường tròn (có bán kính vô hạn) thì phép biến hình w = z biến một đường tròn thành một đường tròn. 1 Ảnh của đường tròn z = R là đường tròn w = , ảnh của hình tròn z . Ảnh của M trên tia OB là N trên tia OB', B' là đối xứng của B qua trục R thực và OM.ON = 1. v y M B • O x O u B' • N Z W az + b 3.4. Phép biến hình phân tuyến tính w = ; c ≠ 0, ad − bc ≠ 0 cz + d az + b Ta có thể mở rộng hàm phân tuyến tính w = lên mặt phẳng phức mở rộng bằng cz + d d a cách cho ảnh của z = − là ∞ và ảnh của z = ∞ là w = . c c 19
Chương 1: Hàm biến số phức ad − bc d Đạo hàm w'()z = ≠ 0, ∀z ≠ − , ∞ nên phép biến hình bảo giác tại mọi điểm ()cz + d 2 c d z ≠ − , ∞ . c az + b acz + bc a()cz + d + bc − ad a bc − ad 1 w = = = = + ⋅ . cz + d c()cz + d c()cz + d c c cz + d Do đó phép biến hình phân tuyến tính là hợp của 3 phép biến hình: ♦ Phép biến hình tuyến tính: z 6 cz + d , 1 ♦ Phép nghịch đảo: cz + d 6 , cz + d 1 bc − ad 1 a ♦ Phép biến hình tuyến tính: 6 ⋅ + . cz + d c cz + d c Vì các phép biến hình tuyến tính và nghịch đảo biến một đường tròn thành một đường tròn và bảo toàn tính đối xứng của 2 điểm đối xứng qua đường tròn, nên phép biến hình phân tuyến tính cũng có tính chất đó. az + b Phép biến hình w = , c ≠ 0 có thể viết lại cz + d a b z + a z + b z + b w = c c = 1 1 hoặc w = k 2 (1.44) d z + d z + d z + 1 2 c vì vậy chỉ phụ thuộc 3 tham số. Do đó một hàm phân tuyến tính hoàn toàn được xác định khi biết ảnh w1, w2, w3 của 3 điểm khác nhau bất kỳ z1, z2 , z3 . Để xác định 3 tham số a1, b1, d1 ta giải hệ phương trình sau đây. a1z1 + b1 a1z2 + b1 a1z3 + b1 w1 = , w2 = , w3 = (1.45) z1 + d1 z2 + d1 z3 + d1 Hoặc hàm phải tìm có thể xác định bởi phương trình w − w w − w z − z z − z 1 ⋅ 2 1 = 1 ⋅ 2 1 (1.46) w − w3 w2 − w3 z − z3 z2 − z3 Đặc biệt nếu w(z0 ) = 0 và w()z1 = ∞ , theo (1.44) ta có z − z w = k 0 (1.47) z − z1 20
Chương 1: Hàm biến số phức 1.3.5. Các nguyên lý tổng quát của phép biến hình bảo giác a. Sự tồn tại của phép biến hình Định lý 1.3 (Định lý Riemann): Nếu D và Δ là hai miền đơn liên (không phải là mặt phẳng phức mở rộng hay mặt phẳng phức mở rộng bỏ đi một điểm) thì tồn tại phép biến hình w = f (z) giải tích, bảo giác đơn trị hai chiều biến D thành Δ . Hơn nữa nếu cho trước z0 ∈ D, w0 ∈ Δ và θ0 ∈ thì chỉ có duy nhất w = f ()z thoả mãn w0 = f ()z0 , Arg f '(z0 ) = θ0 . Định lý Riemann chỉ cho ta biết sự tồn tại của phép biến hình chứ không cho ta cách tìm cụ thể phép biến hình này. Trong thực hành, để tìm phép biến hình biến miền D thành miền Δ người ta tìm phép biến hình biến D, Δ về hình tròn đơn vị z 0 thành hình tròn w 0 . 21
Chương 1: Hàm biến số phức Giải: Vì z0 đối xứng với z0 qua Ox , ∞ đối xứng với 0 qua w = 1, do đó theo nguyên lý tương ứng biên ta chỉ cần tìm hàm phân tuyến tính biến trục thực Im z = 0 lên w = 1 và bảo toàn chiều. Hai miền đã cho không đồng dạng nên c ≠ 0 . Mặt khác w(z0 ) = 0 và tính chất bảo toàn tính đối xứng nên w(z0 )= ∞ , do đó theo (1.47) ta có thể xét hàm phân tuyến tính dạng z − z x − z x − z w = k 0 . Khi z = x ∈ thì w(x) = 1 ⇒ k 0 = k 0 = 1 ⇒ k = 1. z − z0 x − z0 x − z0 z − z ⇒ k = eiϕ . Vậy w = eiϕ 0 . z − z0 Ví dụ 1.12: Tìm phép biến hình bảo giác w = f (z) biến hình tròn z 0 và ξ(eiπ / 6 )= eiπ / 2 = i, ξ(0) = 0 . Theo Ví dụ 1.11, phép biến hình w = eiϕ biến ξ + i Imξ > 0 thành w < 1 thỏa mãn w()i = 0 , w(− i) = ∞ . 22
Chương 1: Hàm biến số phức 0 − i Nếu ta thêm điều kiện w()0 = i thì i = eiϕ ⇒ eiϕ = −i . 0 + i z3 − i Vậy phép biến hình cần tìm là w = −i . z3 + i ⎧ z ⎩ 2 2 −1 < Re w < 1 . az + b Giải: Phép biến hình phân tuyến tính ξ = biến i, 0,− i lần lượt thành ∞, i,− i , do z − i đó ξ biến miền D thành băng −1 < Imξ < 1 . Phép quay w = iξ biến băng −1 < Imξ < 1 thành băng −1 < Re w < 1 . − 3iz +1 3z + i Vậy phép biến hình cần tìm là w = i = . z − i z − i −+31iz ξ = zi− wi= ξ i i • 1 −i 1.4. TÍCH PHÂN PHỨC, CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY Trong mục này ta nghiên cứu các tính chất và các biểu diễn của hàm phức giải tích, vì vậy ta chỉ xét các hàm đơn trị. 1.4.1. Định nghĩa và các tính chất của tích phân phức Khái niệm tích phân phức dọc theo một đường cong được định nghĩa tương tự tích phân đường loại 2. Giả sử w = f ()z = u (x, y )+ iv(x, y) xác định đơn trị trong miền D. L là đường cong (có thể đóng kín) nằm trong D có điểm mút đầu là A mút cuối là B. Chia L thành n đoạn bởi các điểm A ≡ z0 , z1, z2 , , zn ≡ B nằm trên L theo thứ tự tăng dần của các chỉ số. 23
Chương 1: Hàm biến số phức y • B ≡ zn ζ k • zk zk−1 • A ≡ z0 O x Chọn trên mỗi cung con zk−1, zk của đường cong L một điểm bất kỳ ζ k = ξk + iηk . Đặt zxiykk=+ k, Δ=zzzkkk −−−11, Δ= xxx kkk − , Δ= yyy k kk − − 1 ; k = 1,2, , n . n Sn = ∑ f ()ζ k Δzk (1.48) k=1 được gọi là tổng tích phân của hàm f (z) trên L ứng với phân hoạch và cách chọn các điểm đại diện trên. Tổng này nói chung phụ thuộc vào hàm f (z), đường L, cách chia L bởi các điểm zk và cách chọn các điểm ζk . Nếu khi max Δzk → 0 tổng Sn tiến tới giới hạn I ∈ không phụ thuộc cách chia đường 1≤k≤n L và chọn các điểm ζ k thì I được gọi là tích phân của hàm f (z) dọc theo đường cong L từ A đến B, ký hiệu ∫ f ()zdz. Vậy pAB n I ==∫ fzdz() lim ∑ f()ζ kk Δ z (1.49) maxΔ→zk 0 pAB 1≤≤kn k=1 Tổng tích phân (1.48) có thể phân tích thành tổng của 2 tổng tích phân đường loại 2. nn ∑∑f ()ζξηξηkkΔ=zu⎣⎦⎡⎤ ( kk,, ) + ivxiy ( kk )( Δ+Δ k k ) kk==11 nn =Δ−Δ+Δ+Δ∑∑⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤uxvyivxuy()ξηkk,, k () ξη kk k () ξη kk ,, k () ξη kk k (1.50) kk==11 Tương tự (1.27), áp dụng (1.17) ta có ⎧ maxΔxk → 0 ⎪1≤≤kn maxΔ→zk 0 ⇔⎨ 1≤≤kn ⎪ maxΔyk → 0 ⎩1≤≤kn Vì vậy tích phân phức (1.49) tồn tại khi và chỉ khi hai tích phân đường loại 2 có tổng tích phân (1.50) tồn tại và có đẳng thức 24
Chương 1: Hàm biến số phức ∫∫f ( z) dz=−++ udx vdy i ∫ vdx udy (1.51) ppAB AB pAB Nếu hàm w = f ()z = u (x, y )+ iv(x, y) liên tục trên D và cung pAB trơn từng khúc thì tồn tại hai tích phân đường loại 2 ở vế phải của (1.51) do đó tồn tại tích phân phức tương ứng. Đẳng thức (1.51) suy ra rằng tích phân phức có các tính chất như các tính chất của tích phân đường loại 2. ∫∫∫()f ()zgzdzfzdzgzdz+= () ( ) +( ) . pABp ABp AB ∫∫kf() z dz= k f() z dz ; k − const . pABp AB ∫∫f ()zdz=− f() zdz. pAB BAp ∫ f ()z dz ≤ ∫ f ()z ds , L L vế phải của bất đẳng thức là tích phân đường loại 1 trên cung L có vi phân cung là ds== dz dx22 + dy . Đặc biệt, nếu f (z) ≤ M , ∀z ∈ L và l là độ dài của đường cong L thì ∫ f ()zdz≤ Ml. (1.52) L Khi A trùng với B thì L là đường cong kín (ta chỉ xét các đường cong kín không tự cắt, gọi là đường Jordan). Tích phân trên đường cong kín L được quy ước lấy theo chiều dương, ký hiệu là v∫ f ()zdz. L Ví dụ 1.15: Tính tích phân I = ∫ zdz2 ; A = 1+ i, B = 2 + 4i pAB 2 1. Dọc theo parabol y = x , 1 ≤ x ≤ 2 . y 2. Dọc theo đường thẳng nối A và B. Giải: 4i B i A O 1 2 x 25
Chương 1: Hàm biến số phức 2 I ==++=−−++−∫∫z22222 dz()() x iy dx idy ∫( x y) dx22 xydy i ∫ xydx() x y dy pABp ABp ABp AB 1. Nếu lấy tích phân dọc theo y = x2 thì dy = 2xdx 2 2 − 86 ⇒ I = []()x2 − x4 − 4x4 dx + i [2x3 + ()x2 − x4 2x]dx = − 6i . ∫ ∫ 3 1 1 2. Nếu lấy tích phân dọc theo đường thẳng nối từ A đến B thì y = 3x − 2 , dy = 3dx 22 2 2 −86 I =−−−−⎡⎤xx2 32 2323 xxdxixx +⎡⎤ 2323 −+−− xx2 32 dxi =− 6. ∫∫⎣⎦()()⎣⎦⎢⎥ ()() () 11 3 Qua ví dụ trên ta nhận thấy giá trị của tích phân không phụ thuộc vào đường lấy tích phân từ A đến B. Các định lý sau cho điều kiện cần và đủ để tích phân phức không phụ thuộc vào đường lấy tích phân nối hai đầu mút của đường. 1.4.2. Định lý tích phân Cauchy Định lý 1.6: Điều kiện cần và đủ để tích phân của hàm f (z) trong miền D không phụ thuộc vào đường lấy tích phân là tích phân của f (z) dọc theo mọi đường cong kín bất kỳ (không tự cắt nhau) trong D phải bằng 0. Định lý 1.7: Nếu hàm phức w = f (z) giải tích trong miền đơn liên D thì tích phân của f ()z dọc theo mọi đường cong kín L bất kỳ trong D đều bằng 0. Chứng minh: Áp dụng định lý Green để đưa tích phân đường loại 2 về tích phân kép và công thức (1.51) ta có ⎛⎞⎛⎞∂∂vu ∂∂ uv vv∫∫f ()z dz=−++=−− udx vdy i v ∫ vdx udy ∫∫∫∫⎜⎟⎜⎟ dxdy + i − dxdy LL L ΔΔ⎝⎠⎝⎠∂∂xy ∂∂ xy trong đó Δ là hình phẳng giới hạn bởi đường cong kín L nằm trong D. Vì w = f ()z giải tích trong miền đơn liên D nên các hàm dưới dấu tích phân trong hai tích phân kép ở trên đều bằng 0 do thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann. Vậy v∫ fzdz() = 0 . L Hệ quả 1: Nếu w = f ()z giải tích trong miền kín, đơn liên D thì. v∫ fzdz() = 0 . ∂D Chứng minh: Tồn tại miền đơn liên G ⊃ D và f (z) giải tích trong G. Áp dụng định lý 1.9 cho hàm f ()z trong G và tích phân lấy trên đường cong kín ∂D ⊂ G . Hệ quả 2: Giả sử hàm f ()z giải tích trong miền kín đa liên D có biên ngoài là Γ0 và biên trong là Γ1, ,Γn thì n vv∫∫f ()zdz= ∑ f () zdz (1.53) k =1 ΓΓ0 k 26
Chương 1: Hàm biến số phức Chứng minh: Γ1 Γ n Γ0 Cắt D theo các lát cắt nối Γ0 với Γ1, , Γn thì ta được một miền đơn liên. Tích phân trên biên của miền này bằng 0 và chú ý rằng lúc đó tích phân trên đường nối Γ0 với Γ1, , Γn được n lấy hai lần ngược chiều nhau vì vậy tích phân trên biên bằng vv∫∫fzdz()− ∑ fzdz () = 0 . k =1 ΓΓ0 k Có thể chứng minh được rằng hệ quả 1 và hệ quả 2 còn đúng khi f ()z giải tích trong D và liên tục trong D . dz Ví dụ 1.16: Tính tích phân In= ; ∈ trong đó L là đường cong kín bất kỳ n v∫ n L ()za− không đi qua a . Giải: Gọi D là miền được giới hạn bởi L. C r • a L 1 Nếu a ∉ D thì f ()z = giải tích trong D nên In = 0 . ()z − a n Nếu a ∈ D . Gọi Cr = {z ∈ z − a = r} là đường tròn tâm a bán kính r . Chọn r đủ bé để Cr ⊂ D . Xét D' là miền nhị liên có được bằng cách lấy miền D bỏ đi hình tròn tâm a bán 1 kính r . D' có biên ngoài là L, biên trong là Cr . f ()z = giải tích trong D'. Theo hệ quả ()z − a n 2 ta có: dz dz I ==. n vv∫∫nn LC()za−−r () za it Phương trình tham số của Cr : z = a + re ; 0 ≤ t ≤ 2π . Do đó 27
Chương 1: Hàm biến số phức ⎧ 2π ⎪ idt khi n = 1 2π ∫ rieit ⎪ ⎧ 2πi khi n = 1 I = dt = 0 = (1.54) n ∫ n int ⎨ 2π ⎨ r e ⎪ 1 ⎩ 0 khi n ≠ 1. 0 ei(1−n)t dt khi n ≠ 1 ⎪ n+1 ∫ ⎩⎪ r 0 1.4.3. Tích phân bất định, nguyên hàm Hàm F()z được gọi là một nguyên hàm của hàm phức f (z) nếu Fz'()= fz (). Tương tự như hàm thực, ta có thể chứng minh được rằng nếu F(z) là một nguyên hàm của f ()z thì F()z + C cũng là một nguyên hàm của f (z) và mọi nguyên hàm của f ()z đều có dạng như thế. Tập hợp các nguyên hàm của f (z) được gọi là tích phân bất định của f ()z , ký hiệu ∫ f ()z dz . Định lý 1.8: Giả sử hàm f ()z giải tích trong miền đơn liên D, z0 ∈ D . Khi đó z Fz()==∫∫ fzdz () fzdz () p z0 zz0 là một nguyên hàm của f ()z . Trong đó vế phải của đẳng thức trên là tích phân phức được lấy theo đường cong bất kỳ nằm trong D nối z0 đến z . Định lý 1.9: (Công thức Newton - Lepnitz) Nếu hàm f ()z giải tích trong miền đơn liên D thì tồn tại một nguyên hàm F()z . Khi đó, với mọi z0 , z1 ∈ D ta có: z1 z1 f ()zdzFz==− () Fz (10 ) Fz() (1.55) ∫ z0 z0 z n+1 Ví dụ 1.17: e zdz = e z + C , z ndz = + C , sin zdz = −cos z + C ; ∫ ∫ n +1 ∫ 2+4i z3 2+4i 86 z 2dz = = − − 6i . ∫ 3 1+i 3 1+i 1.4.4. Công thức tích phân Cauchy Định lý 1.10: Giả sử f ()z giải tích trong miền D (có thể đa liên) có biên là ∂D . Khi đó, với mọi a ∈ D ta có: 1 fz( ) f ()adz= v∫ (1.56) 2πiza∂D − tích phân được lấy theo chiều dương của ∂D . 28
Chương 1: Hàm biến số phức Chứng minh: Với mọi ε > 0 chọn r đủ bé để đường tròn tâm a bán kính r : Cr ⊂ D và ' f ()z − f ()a 0 bé tuỳ ý cho trước nên vv∫∫dz−=⇒= f() a0 f() a dz . 22ππiza∂∂DD−− iza 1.4.5. Đạo hàm cấp cao của hàm giải tích Định lý 1.11: Hàm f ()z giải tích trong D thì có đạo hàm mọi cấp trong D và với mọi a ∈ D ta có: n! fz( ) f ()n adz= (1.57) () v∫ n+1 2πi C ()za− Từ (1.56)-(1.57) ta có công thức tích phân Cauchy: fz() fz( ) 2πi dz= 2π if a , dz= f()n a (1.58) v∫ () v∫ n+1 () ∂D za− C ()za− n! trong đó C là đường cong kín bất kỳ bao quanh a nằm trong D. Nhận xét: 1. Định lý trên suy ra rằng đạo hàm của một hàm giải tích là một hàm giải tích. 2. Kết hợp định lý 1.7 và định lý 1.10, ta suy ra rằng: điều kiện cần và đủ để hàm đơn trị f ()z có nguyên hàm trong miền D là giải tích trong D. cos z Ví dụ 1.18: Tính tích phân I = dz , trong đó C là đường tròn: z −1 = 3 . v∫ 2 C ()zz+1 1 Giải: Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta có thể phân tích thành tổng các phân ()z +1 z 2 1 1 1 1 thức hữu tỷ tối giản = − + + . ()z +1 z 2 z z 2 z +1 29
Chương 1: Hàm biến số phức cosz cos zzz cos cos Do đó I ==−++dz dz dz dz . v∫∫∫∫22 vvv CCCC()zz++11 z z z Các điểm z = 0 và z = −1 đều nằm trong hình tròn giới hạn bởi C. Áp dụng công thức (1.56)' và (1.57)' ta có: Iiziz=−2ππ coszzz===−001 + 2() cos ' + 2 π izi cos = 2 π( − 1 + cos1) . 1.4.6. Bất đẳng thức Cauchy và định lý Louville Từ công thức (1.58) suy ra rằng, nếu đường tròn CR : z − a = R nằm trong D và f ()z ≤ M với mọi z ∈CR thì nnMR!!2fz() π fa()n ()=≤⋅ dz 22ππv∫ nn++11R CR ()za− hay n!M f (n) ()a ≤ ; n = 0, 1, (1.59) Rn Bất đẳng thức (1.58) được gọi là bất đẳng thức Cauchy. Định lý 1.12 (định lý Louville): Nếu f ()z giải tích trong toàn mặt phẳng và bị chặn thì nó là một hàm hằng. Chứng minh: Theo giả thiết, tồn tại M > 0 sao cho f (z) ≤ M với mọi z ∈ . Áp dụng M bất đẳng thức Cauchy (1.58) với n =1, ta được fa'()≤ với mọi R > 0 suy ra fa'0( ) = R với mọi a ∈ . Áp dụng công thức Newton - Lepnit, ta có z ' f ()z − f (z0 )= ∫ f ()z dz = 0 ⇒ f ()z = f (z0 ), ∀z ∈ . z0 1.5. LÝ THUYẾT CHUỖI PHỨC 1.5.1. Chuỗi số phức ∞ ∞ Cho dãy số phức {}u n n = 0 , ta định nghĩa một cách hình thức ∑un là một chuỗi các số n=0 phức mà số hạng thứ n là un . Tổng Sn = u0 + u1 +"+ un được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi trên. 30
Chương 1: Hàm biến số phức ∞ ∞ Nếu dãy các tổng riêng {}Sn n=0 có giới hạn hữu hạn là S ∈ thì ta nói chuỗi ∑un hội n=0 ∞ tụ và S được gọi là tổng của chuỗi, ký hiệu S = ∑un . n=0 ∞ Trong trường hợp ngược lại, dãy {Sn }n=0 không có giới hạn hoặc có giới hạn bằng ∞ thì ta nói chuỗi phân kỳ. ∞ Tương tự (1.27), mỗi chuỗi phức ∑un hội tụ khi và chỉ khi hai chuỗi số thực tương ứng n=0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∑an , ∑bn hội tu và ∑un = ∑an + i ∑bn ; trong đó uaibnn= + n. n=0 n=0 n=0 n=0 n=0 Với nhận xét này, ta có thể áp dụng các kết quả đã biết đối với chuỗi số thực cho các chuỗi số phức. Chẳng hạn: ∞ ♦ Điều kiện cần để chuỗi ∑un hội tụ là lim un = 0 . n=0 n→∞ ∞ ∞ ♦ Nếu chuỗi các môđun ∑ un hội tụ thì chuỗi ∑un cũng hội tụ. Khi đó ta nói chuỗi n=0 n=0 ∞ ∞ ∞ ∑un hội tụ tuyệt đối. Nếu chuỗi ∑un hội tụ nhưng chuỗi các môđun ∑ un không hội tụ thì n=0 n=0 n=0 ta nói chuỗi bán hội tụ. 1.5.2. Chuỗi luỹ thừa Chuỗi có dạng ∞ n ∑cn ()z − a , với cn , z , a ∈ (1.60) n=0 được gọi là chuỗi luỹ thừa tâm a . Khi cho z một giá trị cụ thể ta được một chuỗi số phức, chuỗi số phức này hội tụ hoặc phân kỳ. Miền hội tụ của chuỗi (1.60) là tập hợp các giá trị z mà chuỗi này hội tụ. Rõ ràng rằng mọi chuỗi luỹ thừa tâm a bất kỳ có thể đưa về chuỗi luỹ thừa tâm 0 bằng cách đặt ξ = z − a : ∞ n ∑ cnξ , với cn, ξ∈ . (1.61) n=0 Vì vậy để đơn giản, trong các trường hợp sau ta chỉ xét sự hội tụ của chuỗi lũy thừa tâm 0. 31
Chương 1: Hàm biến số phức ∞ Một ví dụ đặc biệt của chuỗi luỹ thừa là chuỗi cấp số nhân ∑ z n , có tổng riêng là tổng của n=0 1− z n+1 các số hạng của cấp số nhân S = 1+ z + z 2 +"+ z n = với z ≠ 1, do đó n 1− z 1 ∞ ⎧ n ⎪ khiz z1 . ∞ n n Chứng minh: Chuỗi ∑cn z0 hội tụ suy ra lim cn z0 = 0 , vì vậy tồn tại M > 0 sao cho n=0 n→∞ n z n z c z n ≤ M , ∀ n = 0, 1, 2, Do đó c z n = c z n ≤ M ⋅ . n 0 n n 0 n n z0 z0 n ∞ z ∞ Chuỗi M ⋅ hội tụ khi z R . c Định lý 1.14: Nếu ρ = lim n+1 (tiêu chuẩn D'Alembert) n→∞ cn n hoặc ρ = lim cn (tiêu chuẩn Cauchy) thì n→∞ ⎧ 0 nuÕ ρ =∞ ⎪ ⎪ 1 R = ⎨ nuÕ 0< ρ <∞ (1.62) ⎪ ρ ⎩⎪ ∞ nuÕ ρ = 0 là bán kính hội tụ của chuỗi (1.61). 32
Chương 1: Hàm biến số phức Nhận xét: Định lý trên cho ta cách xác định bán kính hội tụ của chuỗi (1.61). Để tìm miền hội tụ của chuỗi này ta chỉ cần xét thêm sự hội tụ của chuỗi trên đường tròn z = R . ∞ n Định lý 1.15: a) Nếu chuỗi (1.61) có bán kính hội tụ R thì tổng của chuỗi f ()z = ∑cn z n=0 ∞ ' n−1 là một hàm giải tích trong hình tròn hội tụ z < R , đạo hàm f ()z = ∑ncn z . n=1 ∞ c b) F()z = ∑ n z n+1 là một nguyên hàm của f (x) . n=0 n +1 ∞ ∞ n−1 cn n+1 c) ∑ ncn z , ∑ z cũng có bán kính hội tụ là R. n=1 n=0 n +1 1.5.3. Chuỗi Taylor Định nghĩa 1.9: Chuỗi lũy thừa có dạng ∞ f (n) (a) ∑ (z − a)n (1.63) n=0 n! được gọi là chuỗi Taylor của hàm f (z) tại a . Định lý 1.16: 1) Chuỗi luỹ thừa bất kỳ là chuỗi Taylor của hàm tổng của nó trong hình tròn hội tụ. 2) Ngược lại, mọi hàm f ()z giải tích tại a thì có thể được khai triển thành chuỗi Taylor trong lân cận z − a < R . Có thể chọn R là số thực dương lớn nhất sao cho f (z) giải tích trong lân cận z − a < R . Nhận xét: Nếu hàm f ()z giải tích tại a thì hàm có thể khai triển duy nhất thành chuỗi luỹ thừa tâm a , đó chính là chuỗi Taylor của f (z) tại a . Vì vậy, nếu có thể bằng một phương pháp ∞ n khác, ta có khai triển f ()z = ∑ cn (z − a ) thì n=0 f (n) (a) 1 fz( ) c = cdz= (1.64) n n v∫ n+1 n! 2πi C ()za− Chuỗi Taylor tại điểm a = 0 được gọi là chuỗi Mac Laurin. 1.5.4. Khai triển thành chuỗi Mac Laurin của các hàm số sơ cấp cơ bản a. Hàm f ()z = ez Với mọi n, f (n) ()z = ez ⇒ f (n) (0) = 1. Vậy 33
Chương 1: Hàm biến số phức z z 2 z n ∞ z n ez = 1+ + +"+ +"= ∑ 1! 2! n! n=0 n! Hàm giải tích tại mọi điểm nên bán kính hội tụ của chuỗi là R = ∞ . b. Hàm f ()z = sin z nn eeiz− − iz 1 ⎡ ∞∞()iz()− iz ⎤ sin z ==⎢ − ⎥ 22iin∑∑ ! n ! ⎣⎢nn==00⎦⎥ 1 ∞ (iz)n ∞ z 2n+1 = ∑ (1− (−1)n )= ∑(−1)n . 2i n=0 n! n=0 (2n +1)! Hàm giải tích tại mọi điểm nên bán kính hội tụ của chuỗi là R = ∞ . c. Hàm f ()z = cos z ∞ (2n +1)z 2n+1 ∞ z 2n cos z = ()sin z ' = ∑(−1)n = ∑(−1)n . n=0 (2n +1)! n=0 (2n)! Hàm giải tích tại mọi điểm nên bán kính hội tụ của chuỗi là R = ∞ . 1 d. Hàm f ()z = z +1 1 1 ∞ = = ∑(−1)n z n . z +1 1− (−z) n=0 Bán kính hội tụ của chuỗi là R = 1 vì hàm số không giải tích tại −1. e. Nhánh chính của hàm lôgarit và hàm lũy thừa 1 ∞ z n+1 Vì hàm ln(1+ z) là một nguyên hàm của nên ln(1+ z) = ∑(−1)n . z +1 n=0 n +1 Bán kính hội tụ của chuỗi là R = 1. Hàm lũy thừa m ∈ : m(m −1) m(m −1) (m − n +1) ()1+ z m = 1+ mz + z 2 +"+ z n +" 2! n! Bán kính hội tụ của chuỗi là R = 1. 1 3 ⋅ 1 1 1 ∞ (−1)n (2n)! Đặc biệt: = 1+ z − = 1− z + 2 2 z 2 +"= z n . ()2 ∑ 2n 2 1+ z 2 2! n=0 2 (n!) 1.5.5. Không điểm của một hàm giải tích, định lý về tính duy nhất Định nghĩa 1.10: Điểm a được gọi là không điểm của hàm giải tích f ()z nếu f ()a = 0 . 34
Chương 1: Hàm biến số phức Khai triển Taylor của f ()z tại không điểm a có dạng ∞ ∞ (k) n n+1 k f ()a k f ()()()z = cn z − a + cn+1 z − a +" = ∑ck ()z − a = ∑ ()z − a . k =n k =n k! f (n) (a) Số tự nhiên n bé nhất sao cho c = ≠ 0 thì được gọi là cấp của không điểm a . n n! Nếu n là cấp của không điểm a thì n f ()z = (z − a) ϕ(z), với ϕ(a) = cn ≠ 0 . (1.65) ϕ()z là tổng của một chuỗi luỹ thừa có cùng bán kính hội tụ với chuỗi Taylor của f ()z tại a nên giải tích trong lân cận của a . Định lý 1.17: Giả sử f ()z giải tích tại a và không đồng nhất bằng 0 trong bất kỳ lân cận nào của a . Khi đó, nếu a là không điểm của f (z) thì tồn tại một lân cận của a sao cho trong lân cận này không có một không điểm nào khác. Chứng minh: Vì a là không điểm của f (z) nên có thể biểu diễn dưới dạng (1.65) trong đó hàm giải tích ϕ()z thỏa mãn ϕ()a ≠ 0 . Vì vậy tồn tại một lân cận của a để trong lân cận này ϕ()z ≠ 0 , do đó f ()z cũng khác 0. ∞ Hệ quả: Nếu f (z) giải tích tại a và tồn tại dãy không điểm {an}n=0 có giới hạn là a khi n → ∞ , thì f ()z đồng nhất bằng 0 trong một lân cận của a . Định lý 1.18 (định lý về tính duy nhất): Nếu f (z) , g(z) là hai hàm giải tích trong miền D và trùng nhau trên một dãy hội tụ về a trong D thì f (z) = g(z), ∀z ∈ D . 1.5.6. Chuỗi Laurent và điểm bất thường Có thể xảy ra trường hợp hàm f (z) không giải tích tại a nhưng giải tích trong một lân cận của a bỏ đi điểm a : 0 < z − a < R hoặc giải tích trong hình vành khăn r < z − a < R . Trong trường hợp này hàm f ()z không thể khai triển thành chuỗi luỹ thừa (chuỗi Taylor) tại a . Tuy nhiên, có thể khai triển được dưới dạng chuỗi Laurent tại a như sau. 1.5.6.1. Chuỗi Laurent Định nghĩa 1.11: Giả sử hàm f (z) giải tích trong hình vành khăn KzrzaR=<−<{ }; 0 ≤ r < R ≤ ∞ . Khi đó chuỗi ∞ 1 fz( ) c z − a n , với cdz= (1.66) ∑ n () n v∫ n+1 n=−∞ 2πi C ()za− được gọi là chuỗi Laurent của hàm đó tại a, trong đó C là đường cong kín bất kỳ nằm trong K bao quanh a . 35
Chương 1: Hàm biến số phức ∞ ∞ c Tổng f z = c z − a n được gọi là phần đều và f z = −n được gọi là 1()∑ n ( ) 2 () ∑ n n=0 n=1 ()z − a phần chính của chuỗi Laurent (1.66). Định lý 1.19 (định lý tồn tại và duy nhất của chuỗi Laurent): 1. Mọi hàm f ()z giải tích trong hình vành khăn K: r 1 y L2 L1 Γ1 • • • O 1 2 x Γ2 a. Khai triển Laurent trong miền 011< z −<: 1 1 Chọn đường cong kín L bao quanh 1 nằm trong miền này. cdz= z − 2 . 1 n 2πi v∫ n+2 L1 ()z −1 n + 2 ≤ 0 ⇒ cn = 0 (theo định lý 1.7). 1 11z − 2 nc=−11 ⇒−1 = dz = =− (theo công thức (1.56) định lý 1.9). 21πizv∫ −− z 2z=1 L1 36
Chương 1: Hàm biến số phức (1)n+ 11⎛⎞ 1(1)(1)!−+n+1 n nc≥⇒=01n ⎜⎟ =n+2 =− (theo công thức (nz+− 1)!⎝⎠ 2z=1 ( n + 1)! ( − 1) (1.57) định lý 1.11). ∞ ∞ n n Vậy f ()z = ∑cn (z −1 )= − ∑ (z −1 ) . n=−∞ n=−1 b. Khai triển Laurent trong miền z −11> : Chọn đường cong kín L2 bao quanh 1 nằm trong miền này. 11 cdz= . n 2πi v∫ n+2 L2 ()()zz−−21 Chọn Γ1, Γ2 lần lượt là 2 đường cong kín nằm trong L2 bao quanh 1, 2. Áp dụng công thức (1.53) hệ quả 2 của định lý 1.7 ta có: 1 1 n+2 11 1()zz−−21 1() cdzdzdz==+ n 2222πππiiizvvv∫∫∫nn++22− L212()()zz−−21ΓΓ() z − 1 () 1 1 ()z − 2 ⎧−12nÕu n ≤− Tương tự trên ta có dz = ⎨ 2πi v∫ n+2 01nÕu n ≥− Γ1 ()z −1 ⎩ 1 n+2 11()z −1 dz = =1 với mọi n . v∫ n+2 22πizΓ ()− z −1 2 ()z=2 ⎧ 0 nÕu n ≤ −2 ∞ ∞ 1 Vậy c = ⇒ f z = c z −1 n = . n ⎨ ()∑ n ( ) ∑ n ⎩ 1 nÕu n ≥ −1 n=−∞ n=2 ()z −1 Ta cũng có thể khai triển Laurent của hàm f (z) cách phân tích thành tổng của các phân thức hữu tỉ tối giản 111 fz()==−. (1)(2)2zz−− z − z − 1 1 −1 ∞ ∞ Trong miền 011 ===∑∑nn+1 z − 2 ⎛⎞1 nn==01()zz−−11() ()z −−11⎜⎟ ⎝⎠z −1 37
Chương 1: Hàm biến số phức ∞ 1 1 ∞ 1 ⇒ f z = − = . () ∑ n ∑ n n=1()z −1 z −1 n=2()z −1 1.5.6.2. Điểm bất thường cô lập Định nghĩa 1.12: Nếu hàm f (z) giải tích trong hình vành khăn 0 < z − a < R và không giải tích tại a thì a được gọi là điểm bất thường cô lập hay kỳ dị cô lập của hàm f ()z . Theo định lý 1.19 có thể khai triển thành chuỗi Laurent của hàm trong hình vành khăn ứng với điểm bất thường cô lập. Có ba trường hợp xảy ra: a. Nếu khai triển Laurent của hàm chỉ có phần đều, nghĩa là 2 f ()z = c0 + c1(z − a)+ c2 (z − a) +" thì tồn tại lim f ()z = c0 . Do đó nếu đặt f (a) = c0 thì f ()z giải tích trong hình tròn z→a z − a < R . Vì vậy a được gọi là điểm bất thường bỏ được. b. Nếu phần chính chỉ có một số hữu hạn các số hạng, nghĩa là c−n c−1 2 f ()z = +"+ + c0 + c1()()z − a + c2 z − a +" ()z − a n z − a trong đó c−n ≠ 0 thì a được gọi là cực điểm và n được gọi là cấp của cực điểm. Cực điểm cấp 1 được gọi là cực điểm đơn. c. Nếu phần chính có vô số số hạng thì a được gọi là điểm bất thường cốt yếu. z3 z5 z7 sin z z 2 z 4 z 6 Ví dụ 1.20: sin z = z − + − +" ⇒ = 1− + − +" 3! 5! 7! z 3! 5! 7! Vậy z = 0 là điểm bất thường bỏ được. 1 Hàm fz()= trong ví dụ 1.19 có z = 1 là cực điểm cấp 1. ()()zz−−12 1 1 1 1 Hàm e z = 1+ + +"+ +" có z = 0 là điểm bất thường cốt yếu. z 2!z 2 n!z n 1.6. THẶNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG 1.6.1. Định nghĩa thặng dư Giả sử f ()z giải tích trong hình vành khăn Kz=<−<{ 0 zaR} có a là điểm bất thường cô lập. Từ hệ quả 2 của định lý 1.10 ta suy ra rằng tích phân lấy theo mọi đường cong kín C bất kỳ bao điểm a nằm trong hình vành khăn K là một số phức không phụ thuộc vào đường C. Ta gọi số phức này là thặng dư của f (z) tại a , ký hiệu 1 ⎣⎦⎡⎤Resf ()za ; = v∫ fzdz() (1.67) 2πi C 38
Chương 1: Hàm biến số phức 1.6.2. Cách tính thặng dư a. Từ công thức khai triển Laurent của hàm trong hình vành khăn K : 0 < z − a < R (công thức (1.67)), ta có ⎣⎦⎡⎤Resf ( za) ; = c−1 (1.68) 1 trong đó c là hệ số của số hạng ứng với trong khai triển Laurent của hàm f ( z). −1 z − a ⎡⎤1 Chẳng hạn, từ ví dụ 1.19 ta có ⎢⎥Res ;1= − 1 ⎣⎦()()zz−−12 b. Thặng dư tại cực điểm đơn Nếu a là cực điểm đơn của f ()z thì ⎡⎤Resf ( za) ;=− lim( zafz) ( ) (1.69) ⎣⎦za→ ϕ()z Đặc biệt, nếu f ()z = thỏa mãn điều kiện ϕ(a) ≠ 0, ψ(a)()= 0, ψ' a ≠ 0 thì ψ()z ⎡⎤ϕϕ( za) ( ) ⎢⎥Res ;a = (1.70) ⎣⎦ψψ()za'() ⎡⎤11 cos() 0 Ví dụ 1.21: ⎢⎥Res ; 2= lim= 1. []Res cotgz ;0== 1. ⎣⎦(1)(2)zz−−z→2 z − 1 ()sin z ' z=0 c. Thặng dư tại cực điểm cấp m Giả sử a là cực điểm cấp m của f (z) thì m−1 1 d m ⎡ ⎤ (1.71) ⎣⎦⎡⎤Resf ()za ;=− lim m−1 ()() za fz (1)!mdz− za→ ⎣ ⎦ ⎡⎤111121d 2 ⎡⎤ ⎛ ⎞ Ví dụ 1.22: Res ;−= 2 lim = lim =−. ⎢⎥323⎢⎥ ⎜⎟ ⎣⎦zz(2)+ 2!zz→−22 dz⎣⎦ z 2! →− ⎝ z ⎠ 8 1.6.3. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư Định lý 1.21: Cho miền đóng D có biên là ∂D . Giả sử f (z) giải tích trong D , ngoại trừ tại một số hữu hạn các điểm bất thường cô lập a1, , an ∈ D . Khi đó n f zdz= 2Res;π i⎡ f z a⎤ (1.72) v∫ ()∑ ⎣ () k ⎦ ∂D k =1 ez Ví dụ 1.23: Tính tích phân I = , trong đó v∫ 2 C (1)(3)zz−+ 39
Chương 1: Hàm biến số phức 3 a. C là đường tròn: z = . 2 b. C là đường tròn: z = 10 . ez Giải: Hàm có z = 1 là cực điểm đơn và z = −3 cực điểm kép. (z −1)(z + 3)2 ⎡⎤eeezz ⎢⎥Res22 ;1== lim , ⎣⎦(1)(3)zz−+z→1 (3)16 z + zz −3 ⎡⎤⎡⎤edee1115z ⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥Res22 ;−= 3 lim = lime ⎢⎥ − =− ⎣⎦⎣⎦(1)(3)zz−+ 1!zz→→11 dzz − 1⎣⎦ z − 1(1) z − 16 3 a. Khi C là đường tròn z = thì trong C hàm đã cho chỉ có một cực điểm z = 1 . 2 e eπi Vậy I = 2πi = . 16 8 b. Khi C là đường tròn. z = 10 thì trong C hàm đã cho có hai cực điểm z = 1 và z = −3. ⎛ e 5e−3 ⎞ πi e4 − 5 Do đó I = 2πi⎜ − ⎟ = ( ) . ⎜ ⎟ 3 ⎝16 16 ⎠ 8e 1.6.4. Áp dụng lý thuyết thặng dư để tính các tích phân thực ∞ P()x 1.6.4.1. Tính tích phân I = dx , trong đó P(x), Q(x) là hai đa thức thực. ∫ Q()x −∞ Bổ đề: Giả sử hàm f ()z giải tích trong nửa mặt phẳng Im z ≥ 0 , trừ ra tại một số hữu hạn các điểm bất thường cô lập và thoả mãn: lim zf (z) = 0 (1.73) Im z≥0; z→∞ Khi đó lim f ()z dz = 0 , trong đó CR = {z ∈ z = R, Im z ≥ 0 }. R→∞ ∫ CR Định lý 1.22: Giả sử P()z , Q(z) là hai đa thức hệ số thực biến phức, bậc của P()z lớn hơn bậc của Q()z ít nhất là hai. Nếu Q()x ≠ 0, ∀x ∈ và a1, , an là các cực điểm nằm trong nửa P(z) mặt phẳng Im z > 0 của phân thức R()z = . Khi đó Q()z ∞ n R xdx= 2Res;π i⎡ Rz a⎤ (1.74) ∫ ()∑ ⎣ () k ⎦ −∞ k =1 40
Chương 1: Hàm biến số phức ∞ dx Ví dụ 1.24: Tính tích phân I = . ∫ 2 2 0 ()x +1 11 Giải: Hàm Rz()==222 có cực điểm kép z = i nằm trong nửa mặt ()z2 +1 ()()zi−+ zi phẳng Im z > 0 . Vậy ∞ ⎡⎤ 111dx d ⎡⎤ 12− π Iiiii==⋅=2Resπππ⎢⎥ ; lim ==. ∫ 2223⎢⎥ 2222⎢⎥zi→ dz⎣⎦ ()(2)4 z+ i i −∞ ()xz++11⎣⎦() ∞ ∞ 1.6.4.2. Tích phân dạng ∫ R()xxdxcos β , ∫ R()xxdxsin β −∞ −∞ ∞ Hai tích phân trên là phần thực và phần ảo của tích phân ∫ R()xeixβ dx. −∞ Bổ đề: Giả sử hàm f ()z giải tích trong nửa mặt phẳng Im z ≥ 0 , trừ tại một số hữu hạn các điểm bất thường cô lập và thoả mãn: M f ()z ≤ , ∀ z ∈CR ; k > 0, M là hằng số (1.75) Rk iλz thì lim e f ()z dz = 0 , với mọi λ > 0 . Trong đó CR = {z ∈ z = R, Im z ≥ 0 }. R→∞ ∫ CR P(z) Định lý 1.23: Giải sử R()z = là một phân thức hữu tỷ thoả mãn các điều kiện sau: Q(z) i. R(z) giải tích trong nửa mặt phẳng Im z > 0 ngoại trừ tại một số hữu hạn các cực điểm a1, , an . ixβ ii. R(z) có thể có m cực điểm b1, , bm trên trục thực và Rxe() khả tích tại những điểm này. iii. Bậc của Q(z) lớn hơn bậc của P(z) ít nhất là 1. Khi đó ∞ nm R xeixββ dx=+2Res;ππ i⎡⎤⎡⎤ Rze iz a i Res; Rze iz β b (1.76) ∫ ()∑∑⎣⎦⎣⎦ ()kk () −∞ kk==11 ∞ cosλx Ví dụ 1.25: Tính tích phân Idxa= ,(,λ > 0). ∫ 22 0 xa+ Giải: Vì hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn nên 41
Chương 1: Hàm biến số phức 1cos∞∞λπx 1⎛⎞eeeixλ 1⎛⎞⎡⎤ ixλλ− a Idxdxiai==Re = Re 2π Res ; =. ∫∫22⎜⎟ 22⎜⎟⎢⎥ 22 22−∞x ++axaxaa⎝⎠ −∞ 2⎝⎠⎣⎦ + 2 ∞ sin x Ví dụ 1.26: Tính tích phân I = dx . ∫ x 0 ∞ ∞ 1 sin x 1 ⎛ eix ⎞ Giải: Vì hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn nên I = dx = Im⎜ dx⎟ . 2 ∫ x 2 ⎜ ∫ x ⎟ −∞ ⎝ −∞ ⎠ 1 Hàm R(z) = thoả mãn các điều kiện của định lý 1.23, có cực điểm đơn duy nhất z = 0 z 11⎛⎞⎡⎤eiz π trên trục thực. Do đó Ii===Im⎜⎟ππ⎢⎥ Res ;0 Im () i. 222⎝⎠⎣⎦z 2π 1.6.4.3. Tích phân dạng ∫ R()cosnx,sin nx dx . 0 z n + z −n z n − z −n dz Đặt z = eix thì cosnx = , sin nx = , dx = 2 2i iz Khi x biên thiên từ 0 → 2π thì z = eix vạch lên đường tròn đơn vị C theo chiều dương. Vì vậy 2π ⎛⎞zzzznnnn+−−− dz ∫∫RnxnxdxR()cos ,sin= v ⎜⎟ , (1.77) 0 C ⎝⎠22iiz 2π dx Ví dụ 1.27: Tính tích phân I = ∫ 5 + 3sin x 0 2 2 i Giải: Vì hàm số = chỉ có một cực điểm đơn z = − nằm ⎛ 10i ⎞ ⎛ i ⎞ 3 3⎜ z 2 + z −1⎟ 3⎜ z + ⎟()z + 3i ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ trong đường tròn đơn vị C, do đó ⎡⎤ 12dz dz⎢⎥ 2 i π Ii===vv∫∫2Resπ ⎢⎥ ; −=. 3⎛⎞⎛⎞⎛⎞ 1iz 22 10ii⎢⎥ 10 32 CC53131+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟zzzzz +− +− 23iz⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎢⎥ 3 1.7. PHÉP BIẾN ĐỔI Z Dựa vào tính chất xác định duy nhất của hàm số giải tích trong hình vành khăn r < z < R bởi dãy các hệ số trong khai triển Laurent của nó (1.66) - định lý 1.19, người ta xây dựng phép biến đổi Z và sử dụng để biểu diễn các tín hiệu rời rạc qua các hàm giải tích trong hình vành khăn. 42
Chương 1: Hàm biến số phức Phép biến đổi Z có rất nhiều ứng dụng trong lý thuyết xử lý tín hiệu và lọc số, vì nói chung việc khảo sát các hàm giải tích sẽ thuận lợi và dễ dàng hơn so với khảo sát các dãy rời rạc. 1.7.1. Định nghĩa phép biến đổi Z ∞ Định nghĩa 1.13: Biến đổi Z của dãy tín hiệu {x(n)}n=−∞ là hàm phức ∞ ∞ n X (z) = ∑ x(n)z −n = ∑ x(n)(z−1) (1.78) n=−∞ n=−∞ Miền hội tụ của chuỗi (1.78) là miền xác định của biến đổi Z. ∞ Trường hợp dãy tín hiệu {}x(n) n=−∞ chỉ xác định với n ≥ 0 , nghĩa là xn()= 0, ∀n 3 ∞ 3 8 4 2 −1 Giải: X (z) = x(n)z −n = 2n z −n = + + +1+ 2n z −n . ∑ ∑ 3 2 ∑ n=−∞ n=−∞ z z z n=−∞ Đổi m = −n vào chuỗi cuối cùng vế phải ở trên ta được: m −1 ∞ ∞ ⎛ z ⎞ 1 2 1+ 2n z −n = 1+ 2−m z m = ⎜ ⎟ = = , với z < 2 . ∑ ∑ ∑ 2 z 2 − z n=−∞ m=1 m=0⎝ ⎠ 1− 2 8 4 2 2 Vậy X (z) = + + + với 0 < z < 2 . z3 z 2 z 2 − z 1.7.2. Miền xác định của biến đổi Z Để tìm miền xác định của phép biến đổi Z ta có thể áp dụng tiêu chuẩn Cauchy hoặc tiêu chuẩn D'Alembert (định lý 1.14, công thức (1.62)). Ta tách chuỗi vô hạn hai phía thành tổng của 2 chuỗi: ∞ ∞ −n −1 n X (z) = ∑ x(n)z = ∑ x(n)(z ) = X1(z) + X 2 (z) . n=−∞ n=−∞ ∞ −1 ∞ −1 n −1 n m trong đó X1(z) = ∑ x(n)()z , X 2 (z) = ∑ x(n)(z ) = ∑ x(−m)z (đặt m = −n ). n=0 n=−∞ m=1 Có hai tiêu chuẩn sau về miền xác định của X (z) . ♦ Tiêu chuẩn D'Alembert Nếu x(n +1) 1 x(n) r = lim và = lim (2.79) n→∞ x(n) R n→−∞ x(n +1) 43
Chương 1: Hàm biến số phức thì X (z) xác định khi r 3 ⇒ r = 0 . x(n) 2n 1 x(n) = 2n , ∀n ≤ 3 ⇒ = = x(n +1) 2n+1 2 −n 1 hoặc −n x(n) = 2n = , ∀n . 1 ∑ 4 ∑ 4z 3 4z − 3 4z 4 n=0⎝ ⎠ n=0⎝ ⎠ 1− 4z −1 −1 −n ∞ m −1 n ⎛ 3 ⎞ −1 n ⎛ 3z ⎞ X 2 (z) = ∑ x(n)()z = ∑ ⎜ ⎟ ()z = ∑ ⎜ ⎟ (đặt m = −n ) n=−∞ n=−∞⎝ 4 ⎠ m=1⎝ 4 ⎠ m ∞ ⎛ 3z ⎞ 1 4 3z 3z 4 = ⎜ ⎟ −1 = −1 = −1 = , với < 1 hay z < . ∑ 4 3z 4 − 3z 4 − 3z 4 3 m=0⎝ ⎠ 1− 4 4z 3z 7z 3 4 Vậy X (z) = + = , với < z < . 4z − 3 4 − 3z ()()4z − 3 4 − 3z 4 3 n ⎛ 3 ⎞ 3 Ta cũng thấy rằng r = lim n x(n) = lim n ⎜ ⎟ = . n→∞ n→∞ ⎝ 4 ⎠ 4 −n n ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ 3 4 lim −n x(n) = lim −n ⎜ ⎟ = lim n ⎜ ⎟ = ⇒ R = . n→ − ∞ n→ −∞ ⎝ 4 ⎠ n→∞ ⎝ 4 ⎠ 4 3 1.7.3. Biến đổi Z ngược Theo định lý 1.19, mỗi hàm phức X (z) giải tích trong hình vành khăn r < z < R , ( 0 ≤ r < R ≤ ∞ ) đều có thể khai triển thành chuỗi Laurent: 44
Chương 1: Hàm biến số phức ∞ 1()Xz X (z) = c z n với cdz= , ∑ n n v∫ n+1 n=−∞ 2πizC C là đường cong kín bao quanh gốc O và nằm trong hình vành khăn r 1 b. Miền 20nÕu n 45
Chương 1: Hàm biến số phức c. Miền 3 < z : −−1111∞∞∞∞ X ()zzzzz=+=+=−+∑∑∑∑ 2−nn−−−−−− 3 nn 2 nn 3 n1 nVậy ⎛⎞⎛⎞132zznnnn===0011 21zz⎜⎟⎜⎟−− 1 ⎝⎠⎝⎠2zz ⎧ 00nÕu − ∞<n ≤ xn() . = ⎨ nn−−1 ⎩ 32−≥nÕu n 1 TÓM TẮT Dạng tổng quát của số phức zxiy=+ , trong đó x, y là các số thực; i2 = −1. Dạng lượng giác, dạng mũ của số phức zxiyr=+ =(cosϕ + i sinϕ ) , zze= iϕ . Trong đó zrOMx== =22 + y, Argz= ϕ +∈k 2π , k . ε − lân cận của z0 ∈ : Bε ()z0 = {z ∈ z − z0 < ε}. Miền Điểm z0 được gọi là điểm trong của E nếu tồn tại một lân cận của z0 nằm hoàn toàn trong E . Tập chỉ gồm các điểm trong được gọi là tập mở. D là tập liên thông nếu với bất kỳ 2 điểm nào của D cũng có thể nối chúng bằng một đường cong liên tục nằm hoàn toàn trong D . Một tập mở và liên thông được gọi là miền. Hàm biến phức Một hàm biến phức xác định trên tập con D của hoặc là một quy luật cho tương ứng mỗi số phức z ∈ D với một hoặc nhiều số phức w , ký hiệu w = f (z), z ∈ D . ⎧ u = u(x, y) z = x + iy và w = f ()z = u + iv thì ⎨ . Gọi u(x, y) là phần thực, v(x, y) là ⎩ v = v()x, y phần ảo của hàm f (z) . ⎧ lim u(x, y) = u0 ⎪ (x,y)→(x0 ,y0 ) lim f ()z = u + iv ⇔ ⎨ 0 0 lim v(x, y) = v z→z0 ⎪ 0 ⎩ (x,y)→(x0 ,y0 ) Hàm phức liên tục khi và chỉ khi phần thực, phần ảo là hai hàm thực hai biến liên tục. Hàm khả vi, điều kiện Cauchy-Riemann. Hàm giải tích f (z + Δz)− f (z) Nếu tồn tại đạo hàm f '(z) = lim ta nói hàm khả vi tại z . Δz→0 Δz 46
Chương 1: Hàm biến số phức Nếu hàm phức w = f ()z = u (x, y )+ iv(x, y) khả vi tại z = x + iy thì phần thực u(x, y) và phần ảo v()x, y có các đạo hàm riêng tại (x, y) và thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann ⎧ ∂u ∂v ⎪ ()x, y = ()x, y ⎪ ∂x ∂y ⎨ ∂u ∂v ⎪ ()x, y = − ()x, y ⎩⎪ ∂y ∂x Ngược lại, nếu phần thực u()x, y , phần ảo v(x, y) khả vi tại (x, y) và thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann thì w = f ()z khả vi tại z = x + iy và ∂u ∂v ∂v ∂u f '()z = ()x, y + i ()x, y = ()x, y − i ()x, y . ∂x ∂x ∂y ∂y Hàm đơn trị w = f ()z khả vi trong một lân cận của z được gọi là giải tích tại z . Nếu f ()z khả vi tại mọi điểm của D thì ta nói f (z) giải tích trong D. f (z) giải tích trong D nếu nó giải tích trong một miền chứa D . Phép biến hình bảo giác Phép biến hình w = f ()z được gọi là bảo giác tại z nếu thoả mãn hai điều kiện sau: i. Bảo toàn góc giữa hai đường cong bất kỳ qua điểm z ( kể cả độ lớn và hướng). ii. Có hệ số co dãn không đổi tại z , nghĩa là mọi đường cong đi qua điểm này đều có hệ số co dãn như nhau qua phép biến hình. Phép biến hình w = f ()z được gọi là bảo giác trong miền D nếu nó bảo giác tại mọi điểm của miền này. Nếu hàm w = f ()z khả vi tại z và f '(z) ≠ 0 thì phép biến hình thực hiện bởi hàm w = f ()z bảo giác tại điểm z , đồng thời arg f '(z) là góc quay và f '(z) là hệ số co giãn tại điểm z của phép biến hình đó. Nếu w = f (z) giải tích trong D và f '(z) ≠ 0, ∀z ∈ D thì nó là một phép biến hình bảo giác trong D. Tích phân phức Giả sử w = f ()z = u (x, y )+ iv(x, y) xác định đơn trị trong miền D. L là đường cong (có thể đóng kín) nằm trong D có điểm mút đầu là A mút cuối là B. Chia L thành n đoạn bởi các điểm A ≡ z0 , z1, z2 , , zn ≡ B nằm trên L theo thứ tự tăng dần của các chỉ số. Chọn trên mỗi cung con zk−1, zk của đường cong L một điểm bất kỳ ζ k = ξk + iηk . Đặt zxiykk=+ k, Δzk = zk − zk−1 ; k = 1,n . n I = ∫ f ()z dz = lim ∑ f ()ζ k Δzk . max Δzk →0 AB 1≤k≤n k=1 ∫ f (z)dz = ∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udy . AB AB AB 47
Chương 1: Hàm biến số phức Công thức tích phân Cauchy Giả sử f ()z giải tích trong miền D (có thể đa liên) có biên là ∂D . Khi đó, với mọi a ∈ D ta có: 1 fz() n! fz( ) f adz= ; f ()n adz= () v∫ () v∫ n+1 2πiza∂D − 2πi C ()za− tích phân được lấy theo chiều dương của ∂D . Chuỗi Taylor ∞ f (n) (a) Chuỗi lũy thừa có dạng ∑ (z − a)n được gọi là chuỗi Taylor của hàm f ()z tại a . n=0 n! 1) Chuỗi luỹ thừa bất kỳ là chuỗi Taylor của hàm tổng của nó trong hình tròn hội tụ. 2) Ngược lại, mọi hàm f ()z giải tích tại a thì có thể được khai triển thành chuỗi Taylor trong lân cận z − a < R . Chuỗi Laurent Giả sử hàm f ()z giải tích trong hình vành khăn KzrzaR= { <−<}; ∞ 1 fz() 0 ≤ r < R ≤ ∞ . Khi đó chuỗi c z − a n , với cdz= được gọi là ∑ n () n v∫ n+1 n=−∞ 2πi C ()za− chuỗi Laurent của hàm đó tại a, trong đó C là đường cong kín bất kỳ nằm trong K bao quanh a . Thặng dư Giả sử f ()z giải tích trong hình vành khăn Kz=<−<{ 0 zaR} có a là điểm bất thường cô lập. Ta gọi số phức sau đây là thặng dư của f (z) tại a , ký hiệu 1 ⎣⎦⎡⎤Resf ()za ; = v∫ fzdz() . 2πi C Cho miền đóng D có biên là ∂D . Giả sử f (z) giải tích trong D , ngoại trừ tại một số hữu hạn các điểm bất thường cô lập a1, , an ∈ D . Khi đó n f zdz= 2Res;π i⎡ f z a⎤ . v∫ ()∑ ⎣ () k ⎦ ∂D k =1 Biến đổi Z ∞ ∞ ∞ −n −1 n Biến đổi Z của dãy tín hiệu{}x(n) n=−∞ là hàm phức X (z) = ∑ x(n)z = ∑ x(n)(z ) n=−∞ n=−∞ 48
Chương 1: Hàm biến số phức ∞ 1 n−1 Ngược lại dãy {x(n)}n=−∞ xác định bởi công thức x()nzXzdz= v∫ () được gọi là 2πi C biến đổi ngược của biến đổi Z của X (z) . CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP 1.1. Nếu hàm phức w = f (z) có đạo hàm tại z0 thì có đạo hàm mọi cấp tại z0 . Đúng Sai . 1.2. Hàm phức w = f (z) giải tích tại z0 thì có thể khai triển thành tổng của chuỗi lũy thừa tâm z0 . Đúng Sai . 1.3. Hàm phức w = f (z) có đạo hàm khi và chỉ khi phần thực và phần ảo u()x, y , v()x, y có đạo hàm riêng cấp 1. Đúng Sai . 1.4. Nếu z0 là điểm bất thường cô lập của hàm phức w = f (z) thì có thể khai triển Laurent của hàm số này tại z0 . Đúng Sai . 1.5. Tích phân của hàm phức giải tích w = f (z) trong miền đơn liên D không phụ thuộc đường đi nằm trong D . Đúng Sai . 1.6. Tích phân trên một đường cong kín của hàm phức giải tích w = f (z) trong miền đơn liên D luôn luôn bằng không. Đúng Sai . 1.7. Thặng dư của hàm phức w = f (z) tại z0 là phần dư của khai triển Taylor của hàm này tại z0 . Đúng Sai . 1.8. Hàm phức w = f (z) có nguyên hàm khi và chỉ khi giải tích. Đúng Sai . 1.9. Tích phân của một hàm phức w = f (z) chỉ có một số hữu hạn các điểm bất thường cô lập trên một đường cong kín C (không đi qua các điểm bất thường) bằng tổng các thặng dư của w = f (z) nằm trong đường C . Đúng Sai . 1.10. Có thể tìm được một hàm phức bị chặn và giải tích tại mọi điểm. Đúng Sai . 1.11. Rút gọn các biểu thức sau 49
Chương 1: Hàm biến số phức 1 1 a. 2()5 − 3i − 3(− 2 + i)(+ 5 i − 3 ) , b. − , 1+ 3i 1− 3i 10 ⎛1− i ⎞ (12342++iii)( )( −) c. ⎜ ⎟ , d. . ⎝1+ i ⎠ ()()12+−ii3 1 1.12. Giải các phương trình sau a. z 2 + z +1 = 0 , b. z3 − 2z − 4 = 0 , 1.13. Tính: a. 3 −1+ i , b. 3 4 2 + 4 2i . 1.14. Tính quỹ tích những điểm trong mặt phẳng phức thoả mãn π a. z − 3 − 4i = 2 , b. arg()z − i = , 4 c. z − 2 + z + 2 = 6 , d. z + 2 = 2 z −1 . 1.15. Tính phần thực và phần ảo của các hàm số sau 1 a. w = z3 b. w = c. w = e3z . 1− z 1 1.16. Cho w = z + . Tìm đạo hàm w'(z) trực tiếp từ định nghĩa. Với giá trị nào của z thì hàm z số không giải tích. 1.17. Chứng minh hàm w = z z không giải tích tại mọi z . 1.18. Chứng minh rằng hàm 1 a. w = z 4 b. w = , z ≠ ±i z 2 +1 thoả mãn điều kiện Cauchy-Riemann. Tính w'(z) trong mỗi trường hợp trên. 1.19. Tìm hàm phức giải tích w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) biết phần thực a. u(x, y) = x3 − 3xy2 , b. u(x, y) = x2 − y2 + 2x , 1.20. Tìm hàm phức giải tích w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) biết phần ảo − y a. v(x, y) = , b. v(x, y) = 2xy + 3x , (x +1)2 + y 2 1 1.21. Tìm ảnh của các đường cong sau đây qua phép biến hình w = . z a. x2 + y 2 = 4 , b. y = x , c. ∞, 0, 1, d. (x −1)2 + y2 = 1 . 50
Chương 1: Hàm biến số phức π 1+ z 1.22. Tìm ảnh của đường thẳng nằm trên tia Arg z = + kπ qua phép biến hình w = . 3 1− z 1.23. Cho phép biến hình tuyến tính w = (1+ i)z −1 a. Tìm ảnh của đoạn thẳng nối z1 = 1− i và z2 = −i . b. Tìm ảnh của đường tròn z − (1+ i) = 2 . 1.24. Tìm phép biến hình bảo giác biến hình tròn z 0 sao cho các điểm −1, 1, i biến lần lượt thành ∞, 0, 1. 1.25. Tính tích phân I = ∫ z dz trong hai trường hợp sau C a. C là đoạn thẳng nối 2 điểm −1 và +1. b. C là nửa cung tròn tâm 0 nằm trong nửa mặt phẳng trên đi từ điểm −1 đến điểm 1. 1.26. Cho C là đường tròn z −1 = 3 , tính các tích phân sau: cos z ez a. v∫ dz , b. v∫ dz . C z −π C zz(1)+ 1.27. Tính tích phân I = ∫ zdz trong đó C là đường gấp khúc có đỉnh lần lượt là − 2, −1+ 2i, C 1+ i, 2. π z sin 1.28. Tính tích phân I = 4 dz trong đó C là đường tròn x2 + y 2 − 2x = 0 . v∫ 2 C z −1 dz 1.29. Tính tích phân I = trong các trường hợp sau: v∫ 33 C ()()zz+−11 a. C là đường tròn z −1 = R, R < 2 , b. C là đường tròn z +1 = R, R < 2 , c. C là đường tròn z = R, R < 1. 1.30. Tìm miền hội tụ của các chuỗi sau: ∞ z n ∞ (z − i)3n a. , b. . ∑ 2 n ∑ n n=1 n 2 n=0 3 + n 1.31. Viết bốn số hạng đầu trong khai triển Taylor của hàm số dưới đây tại z = 0. 1 1 a. w = e1−z , b. w = sin . 1− z 51
Chương 1: Hàm biến số phức z +1 1.32. Khai triển Laurent của hàm số w = z 2 + z − 2 a. Trong hình vành khăn 1 2 . dz 1.33. Tính tích phân , C là đường tròn x2 + y 2 = 2x + 2y . v∫ 2 2 C ()zz−+11() dz 1.34. Tính tích phân , C là đường tròn x2 + y2 = 2x . v∫ 4 C z +1 1.35. Tính các tích phân thực sau ∞ ∞ x2 +1 dx a. I = dx ; b. I = . ∫ 4 ∫ 2 2 2 −∞ x +1 −∞ (x + 4)(x +1) 1.36. Tính các tích phân thực sau ∞ ∞ xsin 2x sin x a. I = dx ; b. I = dx ; ∫ 2 ∫ 2 2 0 x + 4 0 x()x +1 1.37. Tính các tích phân thực sau 2π 2π dx dx a. I = ; b. I = . ∫ 2 − cos x ∫ sin x + cos x + 2 0 0 1.38. Chứng minh các tính chất sau đây của phép biến đổi Z : Tín hiệu: x(n) Biến đổi Z tương ứng: X (z) a. ax1(n) + bx2 (n) aX1(z) + bX 2 (z) (tính tuyến tính). −n0 b. x(n − n0 ) z X (z) (tính trễ). ⎛ z ⎞ c. an x(n) X ⎜ ⎟ (tính đồng dạng). ⎝ a ⎠ dX (z) d. nx(n) − z (đạo hàm ảnh) dz ∞ e. x1(n)* x2 (n) = ∑ x1(k)x2 (n − k) X1(z)X 2 (z) (tích chập). k =−∞ 1.39. Ta gọi và ký hiệu dãy tín hiệu xác định như sau là tín hiệu bước nhảy đơn vị: 52
Chương 1: Hàm biến số phức ⎧ 0 nÕu n . z3 (2z −1) 2 53
Chương 2: Các phép biến đổi tích phân CHƯƠNG II: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN GIỚI THIỆU Trong chương I chúng ta đã sử dụng tính duy nhất của khai triển Laurent của hàm giải tích trong hình vành khăn để xây dựng phép biến đổi Z. Nhờ phép biến đổi Z ta có thể biểu diễn tín hiệu số {x() n } bởi hàm giải tích X() z . Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu hai phép biến đổi tích phân là biến đổi Laplace và biến đổi Fourier. Nhiều vấn đề trong kỹ thuật, trong điện tử viễn thông, trong lý thuyết mạch , đưa về giải các phương trình, hệ phương trình chứa đạo hàm, tích phân của các hàm nào đó, nghĩa là phải giải các phương trình vi phân, tích phân hay phương trình đạo hàm riêng. Việc giải trực tiếp các phương trình này nói chung rất khó. Kỹ sư Heaviside là người đầu tiên đã vận dụng phép biến đổi Laplace để giải quyết các bài toán liên quan đến mạch điện. Phép biến đổi Laplace biến mỗi hàm gốc theo biến t thành hàm ảnh theo biến s . Với phép biến đổi này việc tìm hàm gốc thoả mãn các biểu thức chứa đạo hàm, tích phân (nghiệm của phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng ) được quy về tính toán các biểu thức đại số trên các hàm ảnh. Khi biết hàm ảnh, ta sử dụng phép biến đổi ngược để tìm hàm gốc cần tìm. Trong mục ta này giải quyết hai bài toán cơ bản của phép biến đổi Laplace là tìm biến đổi thuận, biến đổi nghịch và một vài ứng dụng của nó. Các hàm số trong chương này được ký hiệu là x( t ), y ( t ), thay cho f( x ), g ( x ), vì x( t ), y ( t ) được ký hiệu cho các tín hiệu phụ thuộc vào thời gian t . Phép biến đổi Fourier hữu hạn được phát triển trên ý tưởng của khai triển hàm số tuần hoàn thành chuỗi Fourier, trong đó mỗi hàm số hoàn toàn được xác định bởi các hệ số Fourier của nó và ngược lại. Có ba dạng của chuỗi Fourier: dạng cầu phương (công thức 2.57, 2.57'), dạng cực (công thức 2.63) và dạng phức (công thức 2.64, 2.68). Phần 1 của mục này sẽ trình bày ba dạng này của chuỗi Fourier, các công thức liên hệ giữa chúng và kèm theo lời nhận xét nên sử dụng dạng nào trong mỗi trường hợp cụ thể. Trường hợp hàm không tuần hoàn phép biến đổi Fourier rời rạc được thay bằng phép biến đổi Fourier, phép biến đổi ngược duy nhất được xây dựng dựa vào công thức tích phân Fourier. Khi các hàm số biểu diễn cho các tín hiệu thì biến đổi Fourier của chúng được gọi là biểu diễn phổ. Tín hiệu tuần hoàn sẽ có phổ rời rạc, còn tín hiệu không tuần hoàn sẽ có phổ liên tục. Đối số của hàm tín hiệu là thời gian còn đối số của biến đổi Fourier của nó là tần số, vì vậy phép biến đổi Fourier còn được gọi là phép biến đổi biến miền thời gian về miền tần số. Phép biến đổi Fourier rời rạc được sử dụng để tính toán biến đổi Fourier bằng máy tính, khi đó các tín hiệu được rời rạc hoá bằng cách chọn một số hữu hạn các giá trị mẫu theo thời gian và phổ cũng nhận được tại một số hữu hạn các tần số. Tuy nhiên để thực hiện nhanh phép biến đổi Fourier rời rạc, người ta sử dụng các thuật toán biến đổi Fourier nhanh. 54
Chương 2: Các phép biến đổi tích phân Hướng ứng dụng vào viễn thông: Phân tích phổ, phân tích truyền dẫn tín hiệu, ghép kênh vô tuyến, ghép kênh quang, đánh giá chất lượng WDM NỘI DUNG 2.1. PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 2.1.1. Định nghĩa biến đổi Laplace Định nghĩa 2.1: Giả sử x t)( là hàm số thực xác định với mọi t > 0 . Biến đổi Laplace của hàm số x t)( được định nghĩa và ký hiệu: ∞ L {}x()()() t= X s = ∫ e−st x t dt (2.1) 0 Phép biến đổi Laplace của hàm số x() t gọi là tồn tại nếu tích phân (2.1) hội tụ với giá trị s thuộc miền nào đó. Trường hợp ngược lại ta nói phép biến đổi Laplace của hàm số x() t không tồn tại. Phép biến đổi Laplace là thực hay phức nếu biến số s của hàm ảnh X() s là thực hay phức. Theo thói quen người ta thường ký hiệu các hàm gốc bằng các chữ thường x( t ), y ( t ), còn các biến đổi của nó bằng các chữ in hoa X( s ), Y ( s ), Đôi khi cũng được ký hiệu bởi ~x( s ), ~ y( s ), 2.1.2. Điều kiện tồn tại Định nghĩa 2.2: Hàm biến thực x() t được gọi là hàm gốc nếu thoả mãn 3 điều kiện sau: 1) x( t )= 0 với mọi t 0, α0 ≥ 0 sao cho x( t )≤ Meα0t , ∀ t > 0 . (2.2) α0 được gọi là chỉ số tăng của x t)( . Rõ ràng α0 là chỉ số tăng thì mọi số α1> α0 cũng là chỉ số tăng. Ví dụ 2.1: Hàm bước nhảy đơn vị (Unit step function) ⎧ 0 nÕu t < 0 η()t = ⎨ (2.3) ⎩1 nÕu t ≥ 0 Hàm bước nhảy đơn vị η t)( liên tục với mọi t ≥ 0 , không tăng hơn ở mũ với chỉ số tăng α0 = 0 . 55
Chương 2: Các phép biến đổi tích phân Ví dụ 2.2: Các hàm sơ cấp cơ bảnx t)( đều liên tục và không tăng nhanh hơn hàm mũ. Nhưng vẫn chưa phải là hàm gốc vì không thoả mãn điều kiện 1) của định nghĩa 2.2. Tuy nhiên hàm số sau: ⎧ 0 nÕu t α0 và limX ( s )= 0 . Re(s )→∞ Hơn nữa hàm ảnh X() s giải tích trong miền Re(s ) > α0 với đạo hàm ∞ X'()()() s=∫ − t e−st x t dt (2.5) 0 −st (α0 −α )t Chứng minh: Với mọi s=+α iβ sao cho α > α0 , ta có: xte() ≤ Me mà ∞ ∞ ∫e()αα0 − t dt hội tụ, do đó tích phân ∫ x() t e−st dt hội tụ tuyệt đối. Vì vậy tồn tại biến đổi Laplace 0 0 ∞∞ ∞ X() s và X() s≤=∫∫ xte ()−−st dt xte () αβt e− i t dt = ∫ xte() −αt dt 00 0 ∞ ∞ ()αα− t ()αα− t Me 0 M ≤==∫ Me0 dt . α00−−ααα 0 0 M Ngoài ra lim=⇒ 0 limXs ( ) = 0 . α→∞ αα− 0 Re(s )→∞ ∞ ∞ ∞ ∂ Tích phân x() t e−st dt hội tụ và tích phân ()x() t e−st dt= x()() t e−st − t dt hội tụ đều ∫ ∫ ∂s ∫ 0 0 0 trong miền {ssRe( ) ≥ α1} với mọi α1, α1> α0 (theo định lý Weierstrass), suy ra hàm ảnh có ∞ ∂ đạo hàm X'()() s = (x t e−st ) dt tại mọi s thuộc các miền trên. Vì vậy X() s giải tích trong ∫ ∂s 0 miền Re(s ) > α0 . 56
Chương 2: Các phép biến đổi tích phân Nhận xét: 1. Theo định lý trên thì mọi hàm gốc đều có ảnh qua phép biến đổi Laplace. Tên gọi "hàm gốc" là do vai trò của nó trong phép biến đổi này. 2. Từ ví dụ 2.2, công thức (2.4) suy ra rằng mọi hàm sơ cấp cơ bản x() t đều có biến đổi Laplace L {x()() tη t }. Tuy nhiên, để đơn giản thay vì viết đúng L {x()() tη t } thì ta viết tắt L {x() t }. Chẳng hạn ta viết L {sin t} thay cho L {η(t )sin t}, L {1} thay cho L {}η()t . 3. Ta quy ước các hàm gốc liên tục phải tại 0. Nghĩa là limx ( t )= x (0) . t →0+ Ví dụ 2.3: Vì hàm η()t có chỉ số tăng α0 = 0 do đó biến đổi ∞ ∞ e−st 1 L {}1 =e−st dt = = với mọi s, Re( s )> 0 . ∫ − s s 0 0 Ví dụ 2.4: Hàm sint có chỉ số tăng α0 = 0 do đó biến đổi ∞ L {}sint= X ( s ) = ∫ e−st sin t dt tồn tại với mọi s, Re( s )> 0 . 0 Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được: ∞∞ ∞∞ X ()s=− ocs te−−st − sest ocs t dt= 1 − se−st nis t− s2 e −stnis t dt 00∫∫( ) 00 1 ⇒()1 +s2 X ( s ) = 1 ⇒X ( s ) = . 1+ s2 2.1.3. Các tính chất của phép biến đổi Laplace 2.1.3.1. Tính tuyến tính Định lý 2.2: Nếu x(),() t y t có biến đổi Laplace thì với mọi hằng số A, B, Ax()() t+ By t cũng có biến đổi Laplace và L {}Ax()()()() t+ By t= AL { x t}+ BL { y t }. (2.6) 5 4 Ví dụ 2.5}: LLL5+ 4sin {{}}{t = 5 1 + 4 sin t = + . s s 2 +1 2.1.3.2. Tính đồng dạng Định lý 2.3: Nếu X()() s= L { x t } thì với mọi a > 0 , 1 ⎛ s ⎞ L {}x() at = X ⎜ ⎟ . (2.7) a ⎝ a ⎠ 1 1 ω Ví dụ 2.6: L {}sin ωt = ⋅ = . ω ()s /ω2 + 1 s 2+ ω 2 57
Chương 2: Các phép biến đổi tích phân 2.1.3.3. Tính dịch chuyển ảnh Định lý 2.4: Nếu X()() s= L { x t } thì với mọi a ∈ , L {eat x() t}= X( s − a) . (2.8) 1 ⎪⎧eωt+ e −ω t ⎪⎫ s Ví dụ 2.7: eat = eat ⋅1 = . ⇒{}ch ωt = = ; LL{ }{ } LL ⎨ ⎬ 2 2 s− a ⎩⎪ 2 ⎭⎪ s − ω ⎪⎧eωt− e −ω t ⎪⎫ ω ω {}sh ωt = = . eat sin ω t = . LL ⎨ ⎬ 2 2 L { } 2 2 ⎩⎪ 2 ⎭⎪ s − ω ()s− a + ω 2.1.3.4. Tính trễ Định lý 2.5: Nếu X()() s= L { x t } thì với mọi a ∈ , L {}η()()t − a x t − a = e−sa X( s). (2.9) Đồ thị của hàm η()()t − a x t − a có được bằng cách tịnh tiến đồ thị của η()()t x t dọc theo trục hoành một đoạn bằng a . Nếu x() t biểu diễn tín hiệu theo thời gian t thì x() t− a biểu diễn trễ a đơn vị thời gian của quá trình trên. x x η()()t x t η()()t− a x t − a O t O a t e−as Ví dụ 2.8: L {}η()t − a = . s Ví dụ 2.9: Hàm xung (Impulse) là hàm chỉ khác không trong một khoảng thời gian nào đó. ⎧ 0 nÕu t b Hàm xung đơn vị trên đoạn []a; b : ⎧ 0 nÕu t b Hàm xung bất kỳ (2.10) có thể biểu diễn qua hàm xung đơn vị xtttbttta()=−η ( )ϕη () −− ( ) ϕη () =ab, () ϕ ()t (2.12) 58
Chương 2: Các phép biến đổi tích phân ee−as− − bs LL{}ηηab),a=−=−− ({}{} ()ttat L η () . s x x ϕ()t 1 O a b t O a b t x Ví dụ 2.10: Tìm biến đổi Laplace của hàm bậc thang 4 ⎧ 0 nÕu t 3 ⎪ ⎪ 2nÕu 0 π Theo công thức (2.12) ta có thể viết x( t )= η ( t )sin t− η ( t − π )sin t= η ( t )sin t+ η ( t− π )sin( t − π ) . 1 e−πs 1+ e−πs Vậy L {}x() t = + = . s2+1s 2 + 1 s2 +1 2.1.3.5. Biến đổi của đạo hàm Định lý 2.6: Giả sử hàm gốc x() t có đạo hàm x'() t cũng là hàm gốc. Nếu X()() s= L { x t } thì L {x'() t}= sX( s)− x(0) . (2.13) Tổng quát hơn, nếu x() t có đạo hàm đến cấp n cũng là hàm gốc thì 59
Chương 2: Các phép biến đổi tích phân L {xtsXsxs()nn()} =−−−() n−−1(0) sx n 2 '(0)" x( n − − )1 (0) . (2.14) ' ⎪⎧⎛ sin ωt ⎞ ⎪⎫ 1 ω s Ví dụ 2.12: LL{}cosωt = ⎨⎜ ⎟ ⎬ = ⋅s ⋅ −sin 0 = . ω ω 2 2 2 2 ⎩⎪⎝ ⎠ ⎭⎪ s + ω s + ω Hệ quả: Với giả thiết của định lý 2.6 thì limsX ( s )= x (0) . Re(s )→∞ Chứng minh: Áp dụng định lý 2.1 cho đạo hàm x'() t ta có limsX ( s )− x (0) = 0. Re(s )→∞ 2.1.3.6. Biến đổi Laplace của tích phân t Định lý 2.7: Nếu hàm gốc x() t có X()() s= L { x t } thì hàm số ϕ()()t = ∫ x u du cũng là 0 hàm gốc và t ⎪⎧ ⎪⎫ X() s L ⎨ x() u du⎬ = . (2.15) ∫ s ⎩⎪0 ⎭⎪ 2.1.3.7. Đạo hàm ảnh Định lý 2.8: Giả sử x() t là một hàm gốc có X()() s= L { x t } thì d n L {tn x( t )}=() − 1 n X() s . (2.16) dsn d n ⎛ 1⎞ n ! Ví dụ 2.13: t n = −1 n = . L { } () n ⎜ ⎟ n+1 ds ⎝ s ⎠ s x Ví dụ 2.14: Hàm dốc ⎧ 0 nÕu t < 0 1 ⎪ ⎪ t xt()= ⎨ nÕu 0 ≤≤ta a ⎪ O a t ⎩⎪1 nÕu ta≥ t t t t t− a x()()() t = ηt + η t − a =η−η−+η−()()()()()t t a t a =η−t ηt − a . a 0a a a a a x 1 e−as 1− e−as ⇒ L {}x() t = − = . as2as 2 as2 Ví dụ 2.15: Hàm xung tam giác đơn vị 1 O 1 2 t 60
Chương 2: Các phép biến đổi tích phân ⎧ 0 nÕu t 2 Λ()t = t[] η () t − η (1) t − +() 2 − t[η (1) t− − η (2) t − ] =t η() t − 2( t − 1)( η t − 1) + ( t− 2)(η t − 2) . 2 1 2e−se −2 s(e − s −1) ⇒L {} Λ()t = − + = . s2s 2 s2 s2 2.1.3.8. Tích phân ảnh x() t Định lý 2.9: Giả sử là một hàm gốc (chẳng hạn x() t là một hàm gốc và tồn tại t x() t lim hữu hạn). Đặt X()(), s= L { x t} s ∈ thì t →0+ t ∞ ⎧ x() t ⎫ L ⎨ ⎬ = X() u du . (2.17) t ∫ ⎩ ⎭ s sin t 1 Ví dụ 2.16: Vì lim = 1 và {}sin t = . L 2 t →0+ t s +1 ∞ ⎧sin t ⎫ du ∞ π 1 ⇒ L ⎨ ⎬ = = arctg u = −arctg s =arcotg s = arctg . t ∫ 2 s 2 s ⎩ ⎭ s u + 1 t t sin u ⎪⎧ sin u ⎪⎫ 1 1 Hàm tích phân sin: Sit = du, t > 0 có biến đổi Laplace L ⎨ du⎬ = arctg . ∫ u ∫ u s s 0 ⎩⎪0 ⎭⎪ 2.1.3.9. Biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn Định lý 2.10: Giả sử x() t là một hàm gốc tuần hoàn chu kỳ T > 0 thì T ∫ e−st x() t dt X()() s=L {} x t = 0 . (2.18) 1− e−sT Ví dụ 2.17: Tìm biến đổi Laplace của hàm gốc tuần hoàn chu kỳ 2a > 0 sau: 1 a 2a 3a 4a t −1 61
Chương 2: Các phép biến đổi tích phân 2 22aaa aa2 −as ee−−st st (e −1) extdtedtedt−−−st () =−st st =−= . ∫∫∫−−ss s 00a 0 a 2 as as as −as − sh ()e −1 11−−eee−as 1 221 1 as ⇒Xs() = =⋅ =⋅ =⋅2 =⋅th . −2as −as as as as se()1− ss1+ e − ssch 2 ee22+ 2 2.1.3.10. Ảnh của tích chập Định nghĩa 2.3: Tích chập của hai hàm số x(),tytt ();≥ 0 là hàm số được ký hiệu và xác định bởi công thức t x()tytxuytudu∗= ()∫ ( ) ( − ) (2.19) 0 Tính chất: ♦ x()tytytxt∗=∗ () () () (tích chập có tính giao hoán) ♦ Nếu x( t ), y ( t ) là hai hàm gốc thì tích chập của chúng x()tyt∗ () cũng là hàm gốc. Định lý 2.11: Nếu X()() s= L {} x t , Y()() s= L { y t } thì L {x()tytXsYs∗= ()} () () (2.20) Ngoài ra nếu x'( t ), y '( t ) cũng là hàm gốc thì ta có công thức Duhamel: LL{x(0)()yt+∗ x '() t yt ()} ={ xt () y (0) +∗ xt () y '() t} = sXsY () () s (2.21) 11 Ví dụ 2.17: LLL{}{}{}tt∗=⋅sin tsin t =⋅ ss22+1 111 ==−=−L {}ttsin . ss22()+1 ss22+1 Do tính duy nhất của biến đổi ngược (định lý 2.12) ta suy ra: t*sin t= t − sin t . 2.1.4. Phép biến đổi Laplace ngược Từ ví dụ 2.17 cho thấy cần thiết phải giải bài toán ngược: Cho hàm ảnh, tìm hàm gốc. Trong mục này ta sẽ chỉ ra những điều kiện để một hàm nào đó là hàm ảnh, nghĩa là tồn tại hàm gốc của nó, đồng thời cũng chỉ ra rằng hàm gốc nếu tồn tại là duy nhất. Định nghĩa 2.4: Cho hàm X() s , nếu tồn tại x t)( sao cho L {x()() t}= X s thì ta nói x() t là biến đổi ngược của X() s , ký hiệu x()() t= L −1{ X s }. 2.1.4.1. Tính duy nhất của biến đổi ngược Định lý 2.12: Nếu x t)( là một hàm gốc với chỉ số tăng α0 và L {x()() t}= X s thì tại mọi điểm liên tục t của hàm x t)( ta có: 62
Chương 2: Các phép biến đổi tích phân α+i ∞ 1 x() t = est X() s ds (2.22) 2πi ∫ α−i ∞ trong đó tích phân ở vế phải được lấy trên đường thẳng Re(s ) = α theo hướng từ dưới lên, với α là số thực bất kỳ lớn hơn α0 . Công thức (2.22) được gọi là công thức tích phân Bromwich. Công thức Bromwich cho thấy biến đổi Laplace ngược nếu tồn tại thì duy nhất. 2.1.4.2. Điều kiện đủ để một hàm có biến đổi ngược Định lý 2.1 cho thấy không phải mọi hàm phức giải tích nào cũng có biến đổi ngược. Chẳng hạn hàm X() s= s2 không thể là ảnh của hàm gốc nào vì limX ( s ) = ∞ . Re(s )→∞ Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ để hàm giải tích có biến đổi ngược Định lý 2.13: Giả sử hàm phức X() s thoả mãn 3 điều kiện sau: i. X() s giải tích trong nửa mặt phẳng Re(s ) > α0 , ii. X() s≤ M R với mọi s thuộc đường tròn s= R và limM R = 0 , R→∞ α+i ∞ iii. Tích phân ∫ X() s ds hội tụ tuyệt đối. α−i ∞ Khi đó X() s có biến đổi ngược là hàm gốc x t)( cho bởi công thức (2.22). Độc giả có thể tìm hiểu chứng minh định lý 2.12, định lý 2.13 trong Phụ lục C của [2] hoặc định lý1 trang 29 của [5]. 2.1.4.3. Một vài phương pháp tìm hàm ngược a. Sử dụng các tính chất của biến đổi thuận và tính duy nhất của biến đổi ngược Từ tính duy nhất của biến đổi ngược, ta suy ra rằng tương ứng giữa hàm gốc và hàm ảnh là tương ứng 1-1 . Vì vậy ta có thể áp dụng các tính chất đã biết của phép biến đổi thuận để tìm hàm ngược. ⎪⎧ 1 ⎪⎫ ⎧ 1 ⎫ t 5 Ví dụ 2.18: −1 = e−4t − 1 = e−4t L ⎨ 6 ⎬ L ⎨ 6 ⎬ ⎩⎪()s + 4 ⎭⎪ ⎩s ⎭ !5 ⎪⎧ e5− 3s ⎪⎫ ⎪⎧ e−3s ⎪⎫ ()t − 3 5 ⇒ −1 = e5− 1 = e5 e− 4()t − 3 η(t − 3) . L ⎨ 6 ⎬ L ⎨ 6 ⎬ ⎩⎪()s + 4 ⎭⎪ ⎩⎪()s + 4 ⎭⎪ !5 b. Khai triển thành chuỗi lũy thừa a a a a a Nếu X() s =0 +1 +2 +3 +4 +" thì s s2 s3 s4 s5 63
Chương 2: Các phép biến đổi tích phân a t 2 a t3 a t 4 x()() t= L −1{} X s= a + a t +2 +3 +4 +" (2.23) 0 1 2! 3! 4! Ví dụ 2.19: −1 11111111111⎡⎤ e s =−+−1 + −−+=−"" + − sss⎣⎦⎢⎥2!sss234 3! 4! s ssss 23452! 3! 4! ⎧⎫−1 234 −1⎪⎪1 ttt ⇒=xt() L ⎨⎬ +−−= es 1 t +−" s 222 ⎩⎭⎪⎪ (2!) (3!) (4!) 246 8 ()222ttt()()( 2 t) =−12 + − + −" =Jt 28 2 6 2 4 2 2 6 2 4 2 22240 () 2222 trong đó J0 là hàm Bessel bậc 0 (xem chương III). c. Sử dụng thặng dư của tích phân phức Với điều kiện của định lý 2.13 thì X() s có biến đổi ngược x() t xác định bởi công thức Bromwich y (2.22). CR Mặt khác giả sử hàm X() s chỉ có một số hữu B • a1 a2 • hạn các điểm bất thường cô lập a1, a 2 , , an trong nửa mặt phẳng Re(s ) α0 . O A α x Chọn R đủ lớn sao cho các điểm bất thường này • an đều nằm trong phần của mặt phẳng được giới hạn bởi B' đường tròn CR tâm O bán kính R và đường thẳng Re(s ) = α . Khi đó n −1 st x( t )= L {} X ( s )= ∑ [ Rese X ( s ); ak ] (2.24) k=1 P() s Đặc biệt nếu X() s = , trong đó bậc của đa thức Q() s lớn hơn bậc của đa thức P() s . Q() s Giả sử Q() s chỉ có các không điểm đơn là a1, a 2 , , an và chúng không phải là không điểm của P() s thì ta có công thức Heavyside: n −1⎧⎫Ps() Pa()at x()t==L ⎨⎬∑ k ek (2.25) ⎩⎭Qs()k =1 Q (' ak ) 2 −1⎪⎧ s+3 s + 5 ⎪⎫ Ví dụ 2.20: Tìm hàm gốc x() t = L ⎨ ⎬ . ⎩⎪(s− 1)( s + 2)( s + 3)⎭⎪ 64
Chương 2: Các phép biến đổi tích phân P() s s2 +3 s + 5 Giải: Hàm ảnh = có các cực điểm đơn là 1,− 2, − 3 . Q() s (s− 1)( s + 2)( s + 3) P() s 3 P() s P() s 5 3 5 = , = −1 , = ⇒x() t = et − e−2 t + e− 3 t . Q'() s s=1 4 Q'() s s=−2 Q'() s s=−3 4 4 4 ⎪⎧ 332ss2 ++ ⎪⎫ Ví dụ 2.21: Tìm hàm gốc xt()= −1 . L ⎨ 2 ⎬ ⎪⎩⎭(2)48sss−++()⎪ Ps() 3 s2 ++ 3 s 2 Giải: Hàm ảnh = có các cực điểm đơn là 2,− 2 + 2i , − 2− 2 i . Qs() (2)48sss−++()2 P() s P() s i P() s ⎛ P(− 2 + 2 i ) ⎞ i i = 1, =1 + , = ⎜ ⎟ =1 + =1 − . Q'() s s=2 Q'() s s=−2 + 2 i 4 Q'() s s=−2 − 2 i ⎝ Q'(− 2 + 2 i ) ⎠ 4 4 ⎛ i ⎞ ⎛ i ⎞ ⇒x( t ) = e2t +⎜ 1 + ⎟e−2t + 2 it +⎜1 − ⎟e−2t − 2 it ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ i ⎛ 1 ⎞ =e2t + e− 2 t() e 2 it+ e− 2 it + e−2t( e 2 it− e− 2 it) = e 2 t + e− 2 t ⎜2cos2t− sin 2 t ⎟ . 4 ⎝ 2 ⎠ d. Tìm hàm gốc của các phân thức hữu tỉ P() s Mọi phân thức hữu tỉ có dạng X() s = , trong đó bậc của Q() s lớn hơn bậc của P() s Q() s đều có thể phân tích thành tổng của các phân thức tối giản loại I và loại II. 1 1 ♦ Các phân thức hữu tỉ loại I: hay , a ∈ có hàm gốc: s− a ()s− a n ⎧ 1 ⎫ ⎪⎧ 1 ⎪⎫ t n−1 −1 = eat , −1 = eat . (2.26) L ⎨ ⎬ L ⎨ n ⎬ ⎩s− a ⎭ ⎩⎪()s− a ⎭⎪ (n − 1)! Ms+ N ♦ Các phân thức hữu tỉ loại II: n , M,,, N a ω∈ . ()()sa++22ω Sử dụng tính chất dịch chuyển ảnh ta có thể đưa các phân thức tối giản loại II về một trong hai dạng sau: s 1 n hoặc n (2.27) ()s22+ω ()s22+ω ♦ Trường hợp n =1 , từ ví dụ 2.6 và ví dụ 2.12 ta có: −1⎧ s ⎫ −1⎧ 1⎫ sin ωt L ⎨ ⎬ =cos ωt , L ⎨ ⎬ = (2.28) ⎩s2+ ω 2 ⎭ ⎩s2+ ω 2 ⎭ ω 65
Chương 2: Các phép biến đổi tích phân ♦ Trường hợp n = 2 : ⎧⎫ ⎧⎫ −1⎪⎪stssinωt−1⎪⎪ o ncωtt−ωω t 1si L ⎨⎬= , L ⎨⎬= (2.29) 222 2ω 22232ω ⎩⎭⎪⎪()s +ω ⎩⎭⎪⎪()s +ω ⎧⎫ 2 −1⎪⎪stttsinω −ωω cos t ♦ Trường hợp n = 3: L ⎨⎬= , 22238ω ⎩⎭⎪⎪()s +ω s⎧⎫ o−−ω 22 ctttωω 3n ωt 3si −1⎪⎪1 ( ) L ⎨⎬= (2.30) 22238ω ⎩⎭⎪⎪()s +ω 332ss2 ++ Ví dụ 2.22: Hàm ảnh ở ví dụ 2.21. Xs()= có thể phân tích thành tổng (2)48sss− ()2 ++ các phân thức tối giản 1 2s + 3 1 2(s + 2) 1 X() s = + = + − s − 2 s2 +4 s + 8 s − 2 (s + 2)2 + 4 (s + 2)2 + 4 ⎧⎫2 −−12⎪⎪332ss++ tt21−2 t x()te==L ⎨⎬+2e cos2t−e nsi2t. 2 2 ⎩⎭⎪⎪(2)48sss−++() 5s2 − 15 s − 11 Ví dụ 2.25: Tìm hàm gốc của X() s = . (s+ 1)( s − 2)3 Ta có thể phân tích X() s thành tổng các phân thức tối giản 1 1 − 5s2 − 15 s − 11 4 − 7 X() s = = 3 + 3 + + (s+ 1)( s − 2)3 s+1 s − 2 (s− 2)2 ( s − 2)3 ⎪⎧5s2 − 15 s − 11⎪⎫ 1 1 7 x() t = −1 = −e−t + e2 t +4 te 2 t − t 2 e 2t . L ⎨ 3 ⎬ ⎩⎪(s+ 1)( s − 2) ⎭⎪ 3 3 2 2.1.5. Ứng dụng của biến đổi Laplace 2.1.5.1. Ứng dụng của biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân tuyến tính a. Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng dn x dn−1 x dx an + an−1 +" +a1 +a 0 x = y() t (2.31) dt n dt n−1 dt thỏa mãn điều kiện đầu (n− 1) x(0)= x0 , x '(0)= x1 , , x (0) = xn−1 (2.32) 66
Chương 2: Các phép biến đổi tích phân Ta tìm nghiệm là hàm gốc bằng cách đặt X()() s= L { x t }, Y()() s= L {} y t . Áp dụng công thức biến đổi Laplace của đạo hàm (2.13), (2.14) với điều kiện đầu (2.32), L {}a0 x()() t= a0 X s L {}a1 x'()() t= a1( sX s− x0 ) ()nnn−1 L {axnn() t} =−−−− a( sX () s s x02" sxn− xn−1). (2.33) Thay vào (2.31) ta được nn−−11n n−2 ()asnn++++=++++ a−−1100 s"" as a X() s Y () s x( asn a n 1 s a1) nn−−23 ++++++x112(asnn a−− s"" a) xn1 an. Y()() s+ B s Vậy phương trình ảnh có dạng: A()()()()() s X s= Y s + B s ⇒ X s = . A() s Ảnh ngược x()() t= L −1{ X s } là nghiệm cần tìm. Ví dụ 2.27: Tìm nghiệm của phương trình: x)4( +2 x " + x = sin t thỏa mãn điều kiện đầu x(0)= x '(0) = x "(0) = x )3( (0) = 0. 42 11 Giải: Phương trình ảnh: ()s++21() s Xs =23 ⇒Xs () = . s +1 ()s2 +1 (3sin3cos−−ttt2 ) t Áp dụng công thức (2.30) ta có nghiệm xt()==L −1{} X ( s ) . 8 Ví dụ 2.28: Tìm nghiệm của phương trình: x"+ x = et thỏa mãn điều kiện đầu x(1)= 1 , x'(1)= 0 . Giải: Bằng cách đặt u= t −1 ta đưa điều kiện đầu t = 1 về điều kiện đầu u = 0 . Đặt y( u )= x ( u+ 1)= x ( t ) . Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta có: dy dx dx dt dx d2 y d2 x = = ⋅ = , tương tự = . du du dt du dt du 2 dt 2 Do đó phương trình đã cho có thể viết lại tương ứng: y"( u )+ y ( u ) = eu +1 với điều kiện đầu y(0)= 1, y '(0) = 0 . Đặt Y( s )= LL{} y ( u )⇒ {y "( u ) }= s2 Y ( s ) − s . 2 ees Phương trình ảnh: ()sYs+=+⇒=1() sYs() +2 . ss−11(1)1ss−+()2 + 67
Chương 2: Các phép biến đổi tích phân e e ⎛ e⎞ s e ⎛ e ⎞ e ⇒Y() s = 2 +⎜1 − ⎟ − 2 ⇒y() u =eu +⎜1 − ⎟cosu + sin u . (s − 1) ⎝ 2 ⎠ s2+1 s 2 +1 2 ⎝ 2 ⎠ 2 1 ⎛ e ⎞ e Vậy phương trình đã cho có nghiệm x() t= et +⎜1 − ⎟cos(t − 1) +sin(t − 1) . 2 ⎝ 2 ⎠ 2 b. Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng Ví dụ 2.29: Tìm nghiệm của hệ phương trình vi phân: ⎧ x'= 2 x − 3 y ⎧ x(0)= 8 ⎨ với điều kiện đầu ⎨ . ⎩ y'= y − 2 x ⎩ y(0)= 3 Giải: Đặt X()() s= L {} x t , Y()() s= L { y t } ⇒ L {x( t )}{}= sX− 8,L y ( t )= sY − 3 . Thay vào hệ phương trình trên ta có hệ phương trình ảnh: ⎧sX−8 = 2 X − 3 Y ⎧(s− 2) X + 3 Y = 8 ⎨ hay ⎨ ⎩sY−3 = Y − 2 X ⎩2X+ ( s − 1) Y = 3 Giải hệ phương trình ảnh ta có nghiệm: ⎧ 8s − 17 5 3 ⎪X = = + −t4 t ⎪ (s+ 1)( s − 4) s+1 s − 4 ⎪⎧x( t )= 5 e + 3 e ⎨ ⇒ ⎨ 3s − 22 5 2 −t4 t ⎪Y = = − ⎩⎪y( t )= 5 e − 2 e . ⎩⎪ (s+ 1)( s − 4) s+1 s − 4 c. Phương trình vi phân tuyến tính hệ số biến thiên Ví dụ 2.31: Giải phương trình tx"+ x'+=40 tx dX Đặt X(s)= L { x(t)} thì L {}44tx(t ) =− , L {x'( t )} =− sX x(0 ) . ds ddX )t("xtL {}+−=−−=−() sX()x()s'x22002 Xss ()x0. ds ds dX dX Phương trình ảnh: −−200sX s2 + x( ) +−− sX x( ) 4 =0. ds ds dX dX s Hay (s2 +=⇒=4 ) sX ds. ds X s2 + 4 C Giải phương trình này ta được: X(s)= . s2 + 4 −1 ⎧⎫C Nghiệm của phương trình là hàm gốc x(t)==L ⎨⎬CJ0 (2 t). ⎩⎭s2 + 4 Để xác định C ta thay t = 0 vào 2 vế của đẳng thức trên: x()J()CC00= 0 = . Vậy nghiệm của phương trình là: x(t)= x(02 )J0 ( t). 68
Chương 2: Các phép biến đổi tích phân 2.1.5.2. Ứng dụng của biến đổi Laplace để giải phương trình tích phân Xét phương trình tích phân dạng tích chập t A x()()()() t+ B∫ x u k t− u du = C f t (2.34) 0 A,,B C là các hằng số, f( t ), k ( t ) là các hàm gốc. Giải phương trình (2.34) là tìm tất cả các hàm thực x() t thỏa mãn đẳng thức với mọi t thuộc một miền nào đó. Giả sử x() t là hàm gốc. Đặt X()() s= L { x t }, F()() s= L { f t }, K()() s= L {} k t . C F() s Phương trình ảnh AXs()()()()()+ BXsKs= CFs⇒ Xs = . A+ B K() s Nghiệm −1⎧ C F() s ⎫ x() t = L ⎨ ⎬ (2.35) ⎩ A+ B K() s ⎭ Ví dụ 2.33: Giải phương trình tích phân Abel: t xu() du= f();0 t <<α 1. ∫ α 0 ()tu− Γ(1−α ) Giải: Ta có ABC= 0,= = 1; Ks() t−α . ==L { } 1−α s Fs() s1−α Do đó X ()sF== ()s. Nghiệm của phương trình x()() t= L −1 { X s }. Ks()Γ− 1(α ) 1 11 2 Chẳng hạn α ==+,()1f tt+t2 thì Γ(1−=απ ) ,Fs ( ) =++. 2 s ss23 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ s ⎛ 1 1 2⎞ 1 1 1 2 1 2 ⇒X() s = ⎜ + + ⎟ = ⎜ + + ⎟ ⇒x() t = ()3+ 6t + 8 t . π ⎝ s s2 s 3 ⎠ π ⎜ 1 3 5 ⎟ 3π t ⎝ s2 s2 s 2 ⎠ 2.1.5.3. Ứng dụng của biến đổi Laplace để giải các bài toán mạch điện Một số bài toán về tính toán các mạch điện được đưa về giải phương trình vi phân, phương trình tích phân, hoặc phương trình đạo hàm riêng Vì vậy, nếu chuyển qua ảnh của biến đổi Laplace thì việc giải các bài toán sẽ đơn giản hơn. Giả sử trên một đoạn mạch có điện trở R, một cuộn dây có hệ số tự cảm L và một tụ điện có điện dung C . JJG i L R ⎯⎯→ C u u1 u2 u3 4 69
Chương 2: Các phép biến đổi tích phân Gọi u() t là hiệu điện thế của hai đầu đoạn mạch, i() t là cường độ dòng điện của mạch tại thời điểm t . u() t và i() t thỏa mãn các đẳng thức sau: t di() t 1 ⎛ ⎞ u() t= u − u = Ri() t ; u− u = L ; u− u = ⎜ i() t dt+ q ⎟ . (2.36) 2 1 3 2 dt 4 3 C ⎜ ∫ 0 ⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎧ t ⎫ ⎧di() t ⎫ ⎪ ⎪ I q0 Đặt I()() s= L {} i t ,U()() s= L { u t } thì L ⎨ ⎬ =sI − i(0) , L ⎨ i() t dt+ q ⎬ = + . dt ∫ 0 s s ⎩ ⎭ ⎩⎪ 0 ⎭⎪ Trong đó q0 là điện lượng ban đầu (t = 0 ) trên các thành tụ điện. Trong các bài toán đóng mạch các điều kiện ban đầu đều bằng 0: q0 = 0, i (0)= 0 . Lúc đó tỉ số giữa điện thế ảnh và cường U độ ảnh gọi là trở kháng ảnh Z = . Như vậy các trở kháng ảnh của điện trở R, cuộn dây có hệ số I tự cảm L và tụ điện có điện dung C tương ứng là: 1 Z= R;; Z = Ls Z = (2.37) Cs Khi tính toán một mạng gồm nhiều mạch điện kín ta áp dụng định luật thứ nhất của Kirchoff (Kiếchốp) cho từng nút và định luật thứ hai cho từng mạch kín, sau đó chuyển các phương trình tìm được sang phương trình ảnh. Áp dụng hai định luật Kirchoff ta có thể tìm trở kháng ảnh tương đương của mạch mắc nối tiếp và mạch song song cơ bản sau: ¾ Trở kháng ảnh tương đương Z của hai trở kháng ZZ1, 2 mắc nối tiếp bằng tổng hai trở kháng này. Z1 Z2 A B C Gọi u1,, u 2 u lần lượt là hiệu điện thế giữa A, B; B, C và A, C. theo định luật 1 Kirchoff ta có u= u1 + u 2 . Chuyển qua ảnh U= U1+ U 2 ⇒ ZI= Z1 I+ Z 2 I . Vậy ZZZ= 1+ 2 (2.38) ¾ Nghịch đảo của trở kháng ảnh tương đương của hai trở kháng ZZ1, 2 mắc song song bằng tổng nghịch đảo hai trở kháng này. Z1 I1 I A B I 2 Z 2 70
Chương 2: Các phép biến đổi tích phân Gọi III1,, 2 lần lượt là cường độ ảnh trong mạch 1, mạch 2 và mạch chính. U là điện thế ảnh giữa A và B. U U U Áp dụng định luật 2 Kirchoff tại nốt A ta có III= 1+ 2 ⇒ = + . Vậy: Z Z1Z 2 1 1 1 = + (2.39) ZZZ1 2 Ví dụ 2.34: Một tụ điện có điện dung C được nạp điện có điện lượng q0 . Tại thời điểm t = 0 , ta mắc nó vào 2 mút của 1 cuộn dây có điện cảm L . Tìm điện lượng q() t của tụ điện và cường độ i() t của dòng điện trong mạch tại thời điểm t > 0. Giải: Áp dụng định luật Kirchoff thứ nhất cho mạch vòng ta có: t C di 1 ⎛ ⎞ L +⎜ i dt + q ⎟ = 0 . i dt C ⎜∫ 0 ⎟ ⎝ 0 ⎠ dq Vì i() t = nên phương trình trên trở thành dt L t d2 q 1 ⎛ dq ⎞ d2 q q L + ⎜ dt+ q ⎟ =0 ⇒ L + = 0 . 2 C ⎜∫ dt 0 ⎟ 2 C dt ⎝ 0 ⎠ dt Đặt Q()() s= L { q t }, vì q(0)= q0 , q '(0)= i (0)= 0 . Do đó ta có phương trình ảnh: Q s L() s2 Q− sq + =0 ⇒Q = q . 0 C 0 1 s2 + CL t dq q0 t Vậy q( t )= q0 cos ;i ( t ) = = − sin . CL dt CL CL 2.2. PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER 2.2.1. Chuỗi Fourier 2.2.1.1. Khai triển Fourier của hàm tuần hoàn chu kỳ 2π Định nghĩa 2.5: Cho x() t là một hàm tuần hoàn chu kỳ 2π , chuỗi ∞ a0 ++∑ ()anbntnncos sin t (2.40) 2 n=1 có các hệ số xác định bởi 2π 2π 2π 1 1 a= x(); t dt a= x( t )cos ntdt ; b= x ( t )sin ntdt ; n = 1, 2, (2.41) 0 π ∫ n π ∫ n ∫ 0 0 0 71