Hướng dẫn học tập Giải tích 2 - TS. Vũ Gia Tê

160 trang phuongnguyen 2620

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Hướng dẫn học tập Giải tích 2 - TS. Vũ Gia Tê", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

huong_dan_hoc_tap_giai_tich_2_ts_vu_gia_te.pdf

Nội dung text: Hướng dẫn học tập Giải tích 2 - TS. Vũ Gia Tê

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP GIẢI TÍCH 2 (Dùng cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa) Lưu hành nội bộ HÀ NỘI - 2006
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP GIẢI TÍCH 2 Biên soạn : Ts. VŨ GIA TÊ
LỜI GIỚI THIỆU GIAỈ TÍCH 2 (TOÁN CAO CẤP A 3 ) là học phần tiếp theo các học phần GIẢI TÍCH 1, ĐẠI SỐ ( TOÁN CAO CẤP A1 , A 2 ) dành cho sinh viên năm thứ nhất thuộc các nhóm ngành khối kĩ thuật. Giáo trình này dùng làm tài liệu học tập cho sinh viên đại học với hình thức đào tạo từ xa. Giáo trình được biên soạn theo chương trình qui định năm 2001 của Bộ Giáo dục- Đào tạo và theo đề cương chương trình của Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông phê duyệt năm 2006 cho hệ đào tạo chính qui. Ở Việt nam, hình thức đào tạo từ xa tuy đã triển khai và nhân rộng từ 10 năm nay nhưng vẫn còn khá mới mẻ. Với cách học này, đòi hỏi người học phải làm việc độc lập nhiều hơn, lấy tự học, tự nghiên cứu là chính. Do đó tài liệu học tập, cụ thể là các giáo trình phải được coi là phương tiện cơ bản và quan trọng nhất. Các yếu tố trên được chúng tôi chú ý khi viết giáo trình này, cụ thể là: Nội dung được trình bày ngắn gọn, chính xác. Trừ một số định lí có chứng minh nhằm rèn luyện tư duy và củng cố kiến thức, còn hầu hết các định lí đưa ra được thừa nhận với mục đích áp dụng. Tương ứng mỗi nội dung kiến thức đều có ví dụ minh họa nhằm hướng người học hiểu sâu sắc và biết cách áp dụng. Trong mỗi chương đều có mục đích, yêu cầu và phần tóm tắt nội dung để người học dễ đọc, dễ thuộc. Các câu hỏi mang tính trắc nghiệm cuối mỗi chương là cơ sở đánh giá kiến thức có được của người học về nội dung chương đó. Giáo trình gồm 5 chương, tương ứng với 4 đơn vị học trình (60 tiết). Chương 1 .Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số. Chương 2. Tích phân bội. Chương 3. Tích phân đường và tích phân mặt. Chương 4. Lý thuyết trường. Chương 5. Phương trình vi phân. Mặc dù cố gắng rất nhiều, song không tránh khỏi các sơ suất về nội dung cũng như các lỗi về ấn loát, chúng tôi rất mong được sự góp ý kiến và rất cám ơn về điều đó. Nhân đây, chúng tôi chân thành cám ơn Ban Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông, Trung tâm Đào tạo Bưu chính Viễn thông 1, đặc biệt Phòng Đào tạo Đại học từ xa và các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ chúng tôi hoàn thành giáo trình này. Hà Nội, 7-2006 Tác giả
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số CHƯƠNG 1. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ GIỚI THIỆU Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số là sự mở rộng một cách tự nhiên và cần thiết của phép tính vi phân hàm số một biến số. Các bài toán thực tế thường xuất hiện sự phụ thuộc một biến số vào hai biến số hoặc nhiều hơn, chẳng hạn nhiệt độ T của một chất lỏng biến đổi theo độ sâu z và thời gian t theo công thức Tez= −t , nhiệt lượng toả ra trên dây dẫn phụ thuộc vào điện trở của dây, cường độ của dòng và thời gian dẫn điện theo công thức QRIt= 0, 24 2 ,v.v Vì vậy, khảo sát hàm số nhiều biến số vừa mang tính tổng quát vừa mang tính thực tiễn. Để học tốt chương này, ngoài việc nắm vững các phép tính đạo hàm của hàm một biến số, người học phải có các kiến thức về hình học không gian (xem [2]).Trong chương này, yêu cầu người học nắm vững các nội dung chính sau: 1. Các khái niệm chung của không giann (n chiều). Mô tả được miền xác định và đồ thị của hàm hai biến. 2. Phép tính đạo hàm riêng và vi phân toàn phần. Nắm vững các qui tắc tính đạo hàm riêng trên cơ sở tính đạo hàm của hàm một biến. Công thức tính đạo hàm riêng của hàm số ẩn. Công thức vi phân toàn phần và biết cách áp dụng vào phép tính gần đúng. 3. Nắm vững khái niệm và cách tính đạo hàm theo hướng. Giải thích được đạo hàm riêng theo các biến x, y, z chính là đạo hàm theo hướng các trục Ox, Oy, Oz. 4. Bài toán tìm cực trị. Qui tắc tìm cực trị tự do, phương pháp nhân tử Lagrange. NỘI DUNG 1.1. Các khái niệm chung 1.1.1. Không gian n chiều * Ta đã biết mỗi điểm trong không gian 3 chiều được đặc trưng hoàn toàn bởi bộ 3 số (x, y, z) là 3 tọa độ Descartes của nó: x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ. Tổng quát như sau: Mỗi bộ có thứ tự n số thực (x1 , x2 , , xn ) gọi là một điểm n chiều. Kí hiệu M (x1 , x2 , , xn ) có nghĩa là điểm n chiều M có các toạ độ x1 , x2 , , xn . Tập các điểm n M (x1 , x2 , , xn ) gọi là không gian Euclide n chiều. Kí hiệu tập này là . n n * Cho M (x1 , x2 , , xn ) ∈ , N (y1 , y2 , , yn ) ∈ . Gọi khoảng cách giữa M và N, kí hiệu d(M, N), là số thực tính theo công thức: 3
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số n 2 2 2 d(M , N) = (x1 − y1 ) + + (xn − yn ) = ∑(xi − yi ) i=1 Tương tự như trong ,,23 ta nhận được bất đẳng thức tam giác trong n . Tức là với 3 điểm A, B, C bất kỳ trong n ta có: d(A,C) ≤ d(A, B) + d(B,C) 0 0 0 n n * Cho M 0 (x1 , x2 , , xn ) ∈ vàε > 0. Tập Ωε (M00 )=∈{ M :d(M,M ) 0) . n Điểm N∈ gọi là điểm biên của E nếu bất kỳ Ωε (M ) đều chứa những điểm thuộc E và điểm không thuộc E(∀ε > 0) . Tập E gọi là mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong, gọi là đóng nếu nó chứa mọi điểm biên của nó. Tập các điểm biên của E kí hiệu ∂E . Bao đóng của E hay tập E đóng ký hiệu E và có E = E ∪ ∂E (H.1.1a). * Tập E gọi là bị chặn hay giới nội nếu như tồn tại số N sao cho E(0)⊂ΩN . * Tập E gọi là liên thông nếu mỗi cặp điểm M1, M2 trong E đều được nối với nhau bởi một đường cong liên tục nào đó nằm trọn trong E. Tập liên thông E gọi là đơn liên nếu nó bị giới hạn bởi một mặt kín (một đường cong kín trong 2 ; một mặt cong kín trong 3 ) (H.1.1a). Tập liên thông E gọi là đa liên nếu nó bị giới hạn bởi từ hai mặt kín trở lên rời nhau từng đôi một (H.1.1b). Ví dụ 1: Xét các tập sau trong 2 . A = {(x, y) : x 2 + y 2 < 4} B = {}(1,2),(−1,0),(0,0) và 2 Giải: ∂A = {(x, y) : x 2 + y 2 = 4} - đường tròn tâm O bán kính 2, A = {(x, y) : x 2 + y 2 ≤ 4} - hình tròn kể cả biên. A, 2 là các tập liên thông, B không liên thông (gồm 3 điểm rời rạc). 4
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số A, B là các tập giới nội, 2 không giới nội (cả mặt phẳng 0xy). 1.1.2. Định nghĩa hàm nhiều biến số Cho D ⊂n . Gọi ánh xạ: f : D → R Hay là M(x12 , x , , x n )∈== D u f (M) f (x 12 , x , , x n ) ∈ là một hàm số của n biến số xác định trên D. D gọi là miền xác định của hàm số f; x1, x2 , , xn là các biến số độc lập, còn u gọi là biến số phụ thuộc. 1.1.3. Miền xác định của hàm nhiều biến số Người ta quy ước: Nếu cho hàm số u = f(M) mà không nói gì về miền xác định D của nó thì phải hiểu rằng miền xác định D của hàm số là tập hợp các điểm M sao cho biểu thức f(M) có nghĩa. Miền xác định của hàm số thường là tập liên thông. Sau đây là một số ví dụ về miền xác định của hàm số 2 biến số, 3 biến số. Ví dụ 2: Tìm miền xác định của các hàm số sau và mô tả hình học các miền đó: y a) z = 1− x 2 − y 2 , b) z = ln(x + y) , c) u = 9 − x 2 − y 2 − z 2 Giải: a. Miền xác định là tập (x,y)∈2 sao cho 1− x 2 − y 2 ≥ 0 hay x 2 + y 2 ≤ 1. Đó là hình tròn đóng tâm O bán kính bằng 1 (H.1.2a). Hình tròn đóng này có thể mô tả bởi hệ bất phương trình: ⎪⎧−1 ≤ x ≤ 1 ⎨ 2 2 ⎩⎪− 1− x ≤ y ≤ 1− x b. Miền xác định là tập (x,y)∈2 thoả mãn x + y > 0 hay y > -x. Đó là nửa mặt phẳng có biên là đường y = -x (H.1.2b). Nửa mặt phẳng này được mô tả bởi hệ bất phương trình: ⎧− ∞ < x < +∞ ⎨ ⎩− x < y < +∞ c. Miền xác định là tập (x,y,z)∈3 thoả mãn x 2 + y 2 + z 2 < 9 . Đó là hình cầu mở tâm O bán kính bằng 3 (H.1.2c). Hình cầu mở này mô tả bởi hệ bất phương trình: ⎧− 3 < x < 3 ⎪ ⎪ 2 2 ⎨− 9 − x ≤ y ≤ 9 − x ⎪ 2 2 2 2 ⎩⎪− 9 − x − y ≤ z ≤ 9 − x − y 5
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 1.1.4. Ý nghĩa hình học của hàm hai biến số Cho hàm 2 biến z = f(x,y) với (x, y)∈ D . Tập các điểm (x,y,z)∈3 với z = f(x,y) gọi là đồ thị của hàm số đã cho. Như thế đồ thị của hàm 2 biến thường là một mặt cong trong không gian 3 chiều 0xyz. Đồ thị của hàm số mô tả một cách trực quan hàm số thể hiện được ý nghĩa hình học của hàm số. Dưới đây ta xét các mặt cong đặc biệt và đơn giản, thông dụng trong toán học và ứng dụng. A. Mặt phẳng: Mặt phẳng là đồ thị của hàm hai biến tuyến tính, nói cách khác phương trình mặt phẳng có dạng: Ax + By + Cz + D = 0 trong đó A2 + B 2 + C 2 > 0. Chẳng hạn C ≠ 0 có 1 z = − (D + Ax + By) , hàm số này xác định trên 2 . C B. Ellipsoid Ellipsoid là mặt cong, phương trình chính tắc của nó có dạng (H.1.3) x 2 y 2 z 2 + + = 1 a 2 b2 c 2 Đây là hàm hai biến cho dưới dạng không tường minh (dạng ẩn). Hàm số là đa trị. Chẳng hạn coi z là biến phụ thuộc vào x và y thì miền xác định là hình ellipse có các bán trục xy22 a và b: +≤1 ab22 6
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số Khi a = b = c = R ta có mặt cầu tâm gốc toạ độ và bán kính là R: x 2 + y 2 + z 2 = R 2 C. Paraboloid elliptic x 2 y 2 Phương trình chính tắc của paraboloid elliptic có dạng (H.1.4): + = z a 2 b2 Miền xác định của hàm số trên là 2 . Khi a = b tức là phương trình có dạng: x 2 + y 2 = a 2 z Gọi đó là paraboloid tròn xoay. D. Mặt trụ bậc 2 * Mặt trụ elliptic (H.1.5) có phương trình chính tắc: x 2 y 2 + = 1 a 2 b2 * Mặt trụ hyperbolic (H.1.6) có phương trình chính tắc: x2 y 2 − = −1 a 2 b2 * Mặt trụ parabolic (H.1.7) có phương trình chính tắc: 7
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số y 2 = 2 px E. Mặt nón bậc 2 Phương trình chính tắc của mặt nón có dạng (H.1.8) x 2 y 2 z 2 + − = 0 a 2 b2 c2 1.1.5. Giới hạn của hàm số nhiều biến số Khái niệm giới hạn của hàm số nhiều biến số cũng được đưa về khái niệm giới hạn của hàm một biến số. Ở đây một biến số đóng vai trò là khoảng cách d(M0, M) giữa hai điểm M0 và M trong không gian n . Để đơn giản trong cách viết chúng ta xét trong không gian 2 chiều 2 . * Nói rằng dãy điểm Mn(xn, yn) dần đến điểm M0(x0, y0); kí hiệu M n → M 0 khi n → ∞ ⎧lim xn = x0 ⎪n→∞ nếu limd(M 0 ,M n ) = 0 hay là ⎨ n→∞ lim yn = y0 ⎩⎪n→∞ * Cho hàm z = f(x,y) xác định ở lân cận M0(x0, y0), có thể trừ điểm M0. Ta nói rằng hàm f(M) có giới hạn là l khi M(x,y) dần đến M0(x0, y0) nếu mọi dãy điểm Mn(xn, yn) thuộc lân cận dần đến M0 ta đều có: limf (xn , yn ) = l n→∞ Thường kí hiệu lim f (M ) = l hay limf (xy , ) = l (,)(,)xy→ x y M →M 0 00 Sử dụng ngôn ngữ "ε,δ" có thể định nghĩa như sau: Hàm số f(M) có giới hạn l khi M → M 0 nếu ∀ε > 0,∃δ > 0 : 0 0,∃δ = ε khi 00<xy22 +<⇒<⇒δ yδδε −≤<= y xy22+ 8
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số x 2 y Vậy lim = 0 ( x,y)→(0,0) x 2 + y 2 b. Cho M (x, y) → O(0,0) theo đường y = Cx, C = const (hằng số) xy Cx 2 xy C thì = ⇒lim = chứng tỏ dãy giá trị hàm có giới hạn khác nhau x 2 + y 2 (1+ C 2 )x 2 x→0 x 2 + y 2 1+ C 2 phụ thuộc vào C. Theo chú ý 2,.suy ra hàm không có giới hạn. xy x xy c. −≤0.yy. ≤ Tương tự a. suy ra lim = 0 xy22++ xy 22 ( x,y)→(0,0) x 2 + y 2 1.1.6. Sự liên tục của hàm số nhiều biến số A. Định nghĩa * Hàm số f(M) xác định trên miền D và M 0 ∈ D . Ta nói rằng hàm số f(M) liên tục tại M 0 nếu lim f (M ) = f (M 0 ) . M →M 0 * Hàm số f(M) xác định trên miền D. Nói rằng hàm số liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm M ∈ D . * Hàm số f(M) liên tục trên miền đóng D nếu nó liên tục trên miền D và liên tục tại mọi điểm N ∈∂D theo nghĩa lim f (M ) = f (N ),M ∈ D . M →N * Nếu đặt Δf (x0 , y0 ) = f (x0 + Δx, y0 + Δy) − f (x0 , y0 ) gọi là số gia toàn phần của hàm số tại (x0,y0) thì hàm số f(x,y) liên tục tại (x0, y0) nếu như Δf (x0 , y0 ) → 0 khi Δx → 0 và Δy → 0 . B. Tính chất Hoàn toàn tương tự như hàm một biến số ta có tính chất quan trọng sau đây: Định lý 1.1. Nếu f(x,y) liên tục trong miền đóng D giới nội thì nó đạt giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất trong miền D tức là: ∃M 1 ∈ D,M 2 ∈ D để có bất đẳng thức kép: f (M 1 ) ≤ f (M ) ≤ f (M 2 ), ∀M ∈ D 1.2. Đạo hàm và vi phân 1.2.1. Đạo hàm riêng Cho hàm số u = f(x,y) xác định trong miền D và M 0 (x0 , y0 ) ∈ D . Thay y = y0 vào hàm số đã cho sẽ nhận được hàm số một biến số u = f(x, y0). Nếu hàm số này có đạo hàm tại x0 thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của f(x, y) đối với x tại M0(x0, y0) và kí hiệu như sau: ∂u ∂f u′ (x , y ) hay (x , y ) hay f ′(x , y ) hay (x , y ) x 0 0 ∂x 0 0 x 0 0 ∂x 0 0 9
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số Đặt Δ x f (x0 , y0 ) = f (x0 + Δx, y0 ) − f (x0 , y0 ) gọi đó là số gia riêng của hàm f(x, y) theo biến x tại (x0, y0) và ta có: ∂f Δ x f (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) = lim ∂x Δx→0 Δx Tương tự ta có định nghĩa đạo hàm riêng của hàm số đối với y tại M0(x0, y0) và ký hiệu: ∂u ∂f u′ (x , y ) , (x , y ) , f ′(x , y ) , (x , y ) y 0 0 ∂y 0 0 y 0 0 ∂y 0 0 Chú ý: Có thể chuyển toàn bộ các phép tính đạo hàm của hàm một biến số: cộng, trừ, nhân, chia, sang phép tính đạo hàm riêng. Ví dụ 4: Tính đạo hàm riêng sau: 3/ a. uxyu= ,xy (1,2), u′ (1,1) . y b. u = x (x > 0), u′x (x, y), u′y (x, y) . y c. u = x 2 zarctg , u′ (x, y, z), u′ (x, y, z), u′ (x, y, z) . z x y z Giải: 2 a. u′x (x, y) = 3x y ⇒ u′x (1, 2) = 6 , 3 u′y (x, y) = x ⇒ u′y (1,1) = 1. y−1 y b. u′x = yx , u′y = x ln x y c. u′ (x, y, z) = 2xzarctg , x z 2 2 2 1 1 x z u′y (x, y, z) = x z = , z y 2 y 2 + z 2 1+ z 2 2 y 2 y 1 2 y yz u′z (x, y, z) = x arctg − x z = x (arctg − ) . z z 2 y 2 z y 2 + z 2 1+ z 2 1.2.2. Vi phân toàn phần A. Định nghĩa * Cho hàm số u = f(x, y) xác định trong miền D chứa (x0, y0). Nếu số gia toàn phần của hàm số tại (x0, y0) ứng với số gia ΔΔx, y của các đối số có dạng: Δf (x0 , y0 ) = A.Δx + B.Δy +α.Δx + β.Δy (1.1) trong đó A, B là những số chỉ phụ thuộc vào (x0, y0), còn α, β dần đến 0 khi M → M 0 tức là khi 10
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số Δx → 0, Δy → 0 thì nói rằng hàm số f(x, y) khả vi tại M0, còn biểu thức A.Δx + B.Δy được gọi là vi phân toàn phần của hàm số tại M0 và kí hiệu là df(x0, y0), hay du(x0, y0). Như vậy df (x0 , y0 ) = A.Δx + B.Δy * Hàm số u = f(x, y) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm của miền D. B. Điều kiện cần của hàm số khả vi Định lý 1.2. Nếu f(x, y) khả vi tại (x0, y0) thì liên tục tại đó. Từ (1.1) suy ra Δf (x0 , y0 ) → 0 khi Δx → 0, Δy → 0. Định lý 1.3. Nếu f(x, y) khả vi tại (x0, y0) thì hàm có các đạo hàm riêng tại (x0, y0) và A = f x′(x0 , y0 ), B = f y′(x0 , y0 ) . Chứng minh: Từ (1.1) suy ra: Δ f (x , y ) Δ f (x , y ) x 0 0 = A +α, y 0 0 = B + β Δx Δy Vậy f x′(x0 , y0 ) = A, f y′(x0 , y0 ) = B chứng tỏ dfxyfxyxfxyy(,00 )=Δ+Δxy′′ (, 00 ) (, 00 ) (1.2) C. Điều kiện đủ của hàm số khả vi Định lý 1.4. Nếu hàm số u = f(x, y) có các đạo hàm riêng f x′(x, y), f y′(x, y) liên tục tại M0(x0,y0) thì f(x, y) khả vi tại M0(x0, y0). Chứng minh: Ta có Δf (x0 , y0 ) = f (x0 + Δx, y0 + Δy) − f (x0 , y0 ) = []f (x0 + Δx, y0 + Δy) − f (x0 , y0 + Δy) + [ f (x0 , y0 + Δy) − f (x0 , y0 )] Áp dụng công thức số gia hữu hạn (công thức Lagrange) cho hàm một biến số f(x, y0 + ∆y) tại lân cận x0 và f(x0, y) ở lân cận y0 sẽ nhận được: f (x0 + Δx, y0 + Δy) − f (x0 , y0 + Δy) = f x′(x0 +θ1Δx, y0 + Δy)Δx f (x0 , y0 + Δy) − f (x0 , y0 ) = f y′(x0 , y0 +θ2Δy)Δy Trong đó 0 < θ1 < 1, 0 < θ2 < 1 Cũng theo giả thiết f x′(x, y), f y′(x, y) liên tục tại (x0, y0) nên: f x′(x0 +θ1Δx, y0 + Δy) = f x′(x0 , y0 ) +α(Δx,Δy) f y′(x0 , y0 +θ2 Δy) = f y′(x0 , y0 ) + β (Δx,Δy) Trong đó α → 0, β → 0 khi Δx → 0, Δy → 0. Từ đó nhận được: 11
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số Δf (x0 , y0 ) = f x′(x0 , y0 )Δx + f y′(x0 , y0 )Δy +αΔx + βΔy chứng tỏ hàm số khả vi tại (x0, y0). Nếu xét các hàm số h(x, y) = x và g(x, y) = y trong 2 thì rõ ràng: dh(x, y) = dx = 1.∆x dg(x, y) = dy = 1.∆y Vậy vi phân toàn phần của hàm số f(x, y) tại (x0, y0) có thể viết dưới dạng: df (x0 , y0 ) = f x′(x0 , y0 )dx + f y′(x0 , y0 )dy (1.2)’ D. Ý nghĩa của vi phân toàn phần Nếu hàm số f(x, y) khả vi tại (x0, y0) thì rõ ràng: Δf (x0 , y0 ) = df (x0 , y0 ) +αΔx + βΔy αΔx + βΔy Vì rằng ≤ α + β → 0 khi Δx → 0, Δy → 0. Δx 2 + Δy 2 Suy ra df(x0, y0) khác số gia toàn phần ∆f(x0, y0) một vô cùng bé có bậc cao hơn vô cùng bé ρ =Δx22 +Δy khi Δx → 0, Δy → 0. Vậy với Δx , Δy khá bé sẽ nhận được: Δf ≈ df (1.3) Công thức (1.3) thường được sử dụng để tính gần đúng giá trị của hàm số. Chú ý: Tính khả vi của tổng, tích, thương hai hàm cũng giống như hàm một biến số. Ví dụ 5: Thực hiện phép tính vi phân các hàm số: ⎛ π ⎞ a. Cho f(x,y) = x cos xy, tính df ⎜1, ⎟ với Δx = 0,01 , Δy = 0,02. ⎝ 4 ⎠ 2 b. Cho f(x,y) = xy2, (x − y)e xy . Tính df(x,y). Giải: ⎛ π ⎞ 2 ⎛ π ⎞ a. f x′(x, y) = cos xy − xy sin xy , f x′⎜1, ⎟ = ⎜1− ⎟ , ⎝ 4 ⎠ 2 ⎝ 4 ⎠ 2 ⎛ π ⎞ 2 f y′(x, y) = −x sin xy , f y′⎜1, ⎟ = − , ⎝ 4 ⎠ 2 ⎛ π ⎞ 2 ⎛ π ⎞ 2 2 ⎛ π ⎞ df ⎜1, ⎟ = ⎜1− ⎟.0,01− .0,02 = − ⎜1+ ⎟.0,01. ⎝ 4 ⎠ 2 ⎝ 4 ⎠ 2 2 ⎝ 4 ⎠ xy 2 2 xy2 b. f x′(x, y) = e + y (x − y)e , xy 2 xy2 f y′ (x, y) = −e + 2yx(x − y)e , 2 df (x, y) = e xy {}[]1+ y 2 (x − y) dx + [2xy(x − y) −1]dy . 12
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số Ví dụ 6: 1,05 a. Tính gần đúng arctg . 0,97 b. Một hình trụ bằng kim loại có chiều cao h = 20 cm và bán kính đáy r = 4 cm. Khi nóng lên h và r nở thêm các đoạn Δh = Δr = 0,1 cm. Hãy tính gần đúng thể tích hình trụ khi nóng lên. Giải: 1,05 1+ 0,05 x a. Ta viết arctg = arctg . Xét hàm số f (x, y) = arctg 0,97 1 − 0,03 y 1,05 Rõ ràng arctg = f (x + Δx, y + Δy) , trong đó x0 = y0 = 1, Δx = 0,05 và Δy=-0,03. 0,97 0 0 Áp dụng công thức xấp xỉ (1.3) ta có: f (x0 + Δx, y0 + Δy) ≈ f (x0 , y0 ) + df (x0 , y0 ) = f (1,1) + f x′(1,1).0,05 + f y′ (1,1).(−0,03) 1 1 y x 1 x f ′(x, y) = = , f ′(x, y) = − = − x y x 2 y 2 + x 2 y y 2 x 2 y 2 + x 2 1+ 1+ y 2 y 2 11 1 π fx(+Δ xy , +Δ y ) ≈ arctg + .0,05 + .0,03 = + 0,04 = 0,785 + 0,04 = 0,825. 00 12 2 4 2 2 b. Ta có V = πr h,Vr′ = 2πrh,Vh′ = πr Áp dụng công thức (1.3): V (r + Δr,h + Δh) ≈ πr 2h + 2πrhΔr + πr 2Δh ≈ π.42.20 + 2π.4.20.0,1+ π.42.0,1 ≈ π.337,6 cm3 0,3π 1 Chứng tỏ sai số tuyệt đối không quá 0,3π cm3 và sai số tương đối không quá ≈ . 337π 100 1.2.3. Đạo hàm riêng cấp cao Đạo hàm riêng cấp hai của một hàm là đạo hàm riêng các đạo hàm riêng cấp một của nó. Hàm hai biến f(x,y) có 4 đạo hàm riêng cấp hai sau đây: ∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂ ⎛ ∂f ⎞ f ′′2 = , f ′′ = , f ′′ = ⎜ ⎟, f ′′2 = ⎜ ⎟ x ⎜ ⎟ xy ⎜ ⎟ yx ⎜ ⎟ y ⎜ ⎟ ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂x ⎠ ∂x ⎝ ∂y ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f hay , , , ∂x 2 ∂x∂y ∂y∂x ∂y 2 Hoàn toàn tương tự ta cũng có các định nghĩa đạo hàm riêng cấp cao hơn của hàm nhiều biến hơn. Ví dụ 7: Tính các đạo hàm riêng f (3) , f (3) , f (3) biết f (x, y, z) = e x−2 y+4z . x2 y xyx xyz 13
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số Giải: x−2 y+4z x−2 y+4z (3) x−2 y+4z f ′ = e , f ′′2 = e , f 2 = −2e x x x y x−2 y+4z (3) x−2 y+4z (3) x−2 y+4z f xy′′ = −2e , f xyx = −2e , f xyz = −8e (3) (3) Nhận xét: Trong ví dụ trên có f 2 = f . x y xyx Định lý 1.5(Schwarz). Nếu f(x,y) có các đạo hàm riêng hỗn hợp f xy′′ và f yx′′ trong lân cận Ωδ (M 0 ) và liên tục tại M0(x0, y0) thì các đạo hàm hỗn hợp bằng nhau tại M0: f xy′′ (M 0 ) = f yx′′ (M 0 ) . Chứng minh: Lấy t, s đủ bé. Lập các hàm số sau đây trong lân cận M0: g(x, y) = f(x + t, y) – f(x, y) h(x, y) = f(x, y + s) – f(x, y) Rõ ràng g(x0, y0 + s) – g(x0, y0) = h(x0 + t, y0) – h(x0, y0) Áp dụng định lý Lagrange cho hàm g(x0, y) tại y0 nhận được: g(x0 , y0 + s) − g(x0 , y0 ) = s.g′y (x0 , y0 +θ1s) = s[f y′(x0 + t, y0 +θ1s) − f y′(x0 , y0 +θ1s] Tiếp tục áp dụng định lý Lagrange cho hàm f y′(x, y0 +θ1s) tại x0 nhận được: g(x0 , y0 + s) − g(x0 , y0 ) = stf yx′′ (x0 +θ2t, y0 +θ1s) Hoàn toàn tương tự cũng có: h(x0 + t, y0 ) − h(x0 , y0 ) = stf xy′′ (x0 + γ 1t, y0 + γ 2 s) Cho t,s → 0 , do tính liên tục nhận được f xy′′ (x0 , y0 ) = f yx′′ (x0 , y0 ) Chú ý: Định lý trên cũng mở rộng cho các đạo hàm cấp cao hơn và hàm nhiều biến hơn. 1.2.4. Vi phân cấp cao Ta nhận thấy df (x, y) = f x′(x, y)dx + f y′(x, y)dy cũng là một hàm số của x, y nên có thể xét vi phân của nó. Nếu df(x,y) khả vi thì vi phân của nó gọi là vi phân cấp hai của f(x, y), kí hiệu d 2 f (x, y) = d(df (x, y)) và nói rằng f(x, y) khả vi đến cấp 2 tại (x, y). Tổng quát vi phân cấp n, nếu có sẽ kí hiệu: d n f (x, y) = d(d n−1 f (x, y)) Công thức vi phân cấp 2 như sau: 2 ∂ ⎛ ∂f ∂f ⎞ ∂ ⎛ ∂f ∂f ⎞ d f (x, y) = d(df (x, y)) = ⎜ dx + dy⎟dx + ⎜ dx + ⎟dy ∂x ⎝ ∂x ∂y ⎠ ∂y ⎝ ∂x ∂y ⎠ ∂ 2 f ⎛ ∂ 2 f ∂ 2 f ⎞ ∂ 2 f = dx 2 + ⎜ + ⎟dxdy + dy 2 2 ⎜ ⎟ 2 ∂x ⎝ ∂x∂y ∂y∂x ⎠ ∂y 14
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số Giả sử các đạo hàm riêng hỗn hợp liên tục, theo định lý Schwarz ta có: ∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f d 2 f (x, y) = dx 2 + 2 dxdy + dy 2 (1.4) ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 Người ta dùng kí hiệu luỹ thừa tượng trưng để viết gọn như sau: ⎛ ∂ ∂ ⎞ df (x, y) = ⎜ dx + dy⎟ f (x, y) ⎝ ∂x ∂y ⎠ n n ⎛ ∂ ∂ ⎞ Tổng quát có d f (x, y) = ⎜ dx + dy⎟ f (x, y) (1.5) ⎝ ∂x ∂y ⎠ 1.2.5. Đạo hàm của hàm số hợp Cho D ⊂n và các ánh xạ ϕ→:D m f:ϕ→ (D) Ánh xạ tích fDϕ : → cụ thể là u=ϕ f( (M)), M ∈ D, ϕ (M) ⊂m gọi là hàm số hợp. Để cho đơn giản, sau đây ta xét n = 2, m = 2, khi đó hàm hợp f ϕ xác định trên miền phẳng D Định lý 1.6. Cho u = f(x,y) với x = x(s, t); y = y(s, t) thoả mãn: Các biến trung gian x(s, t), y(s, t) có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (a, b), f(x, y) khả vi tại điểm (x0, y0) = (x(a, b), y(a, b)). Khi đó hàm hợp u = u(s, t) có đạo hàm riêng cấp 1 tại (a, b) tính theo công thức: ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y = + ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y = + (1.6) ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t Công thức (1.6) có thể viết dưới dạng ma trận: ⎛⎞∂∂xx ⎛⎞∂∂uu⎛⎞ ∂∂ uu⎜⎟∂∂st ⎜⎟= ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠∂∂st⎝⎠ ∂∂ xy⎜⎟∂∂yy ⎜⎟ ⎝⎠∂∂st ⎛∂x ∂x⎞ ⎜ ⎟ ∂s ∂t ⎜ ⎟ được gọi là ma trận Jacobi của x, y đối với t, s; còn định thức của ma trận này ⎜∂y ∂y⎟ ⎜ ⎟ ⎝∂s ∂t ⎠ gọi là định thức Jacobi của x, y đối với t, s hay Jacobian của x, y đối với t, s và ký hiệu: 15
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số ∂x ∂x D(x, y) ∂s ∂t = (1.7) D(s,t) ∂y ∂y ∂s ∂t Ví dụ 8: Tính các đạo hàm riêng u = e x ln y, x = st, y = s 2 − t 2 . Giải: ∂u x x 1 st ⎡ 2 2 2s ⎤ = e ln y. t + e . .2s = e t ln(s − t ) + , ∂s y ⎣⎢ s 2 − t 2 ⎦⎥ ∂u x x 1 st ⎡ 2 2 2t ⎤ = e ln y.s + e . .(−2t) = e sln(s − t ) − . ∂t y ⎣⎢ s 2 − t 2 ⎦⎥ 1 2 2 2 Ví dụ 9: Cho u = , r = x + y + z . Chứng minh Δu = u′′2 + u′′2 + u′′2 = 0 . r x y z Giải: 1 Nhận xét: hàm số u = đối xứng với x, y, z. Do đó ta chỉ cần tính u′′2 , sau đó thay x bởi y r x và z. 1 x x u′ = u′.r′ = − . = − , x x r 2 r r 3 1 1 x 1 3x 2 u′′2 = − + 3x. . = − + , x r 3 r 4 r r 3 r 5 3 3(x 2 + y 2 + z 2 ) 3 3 Suy ra Δu = − + = − + = 0. r 3 r 5 r 3 r 3 Chú ý: Nếu u = f(x, y), y = y(x) khi đó u là hàm số hợp của một biến x. Do vậy người ta du ∂f ∂f đưa ra khái niệm đạo hàm toàn phần và công thức tính sẽ là: = + .y′ . dx ∂x ∂y 1.2.6. Vi phân của hàm hợp Xét hàm hợp u = f(x, y), x = x(s, t), y = y(s, t). ∂u ∂u Nếu hàm hợp có các đạo hàm riêng , liên tục thì nó khả vi và ta có: ∂s ∂t ∂u ∂u du = ds + dt ∂s ∂t Bây giờ ta biểu diễn du qua biến trung gian x, y theo công thức (1.6) có: ⎛ ∂u ∂x ∂u ∂y ⎞ ⎛ ∂u ∂x ∂u ∂y ⎞ du = ⎜ + ⎟ds + ⎜ + ⎟dt ⎝ ∂x ∂s ∂y ∂s ⎠ ⎝ ∂x ∂t ∂y ∂t ⎠ 16
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số ∂u ⎛ ∂x ∂x ⎞ ∂u ⎛ ∂y ∂y ⎞ = ⎜ ds + dt⎟ + ⎜ ds + dt⎟ ∂x ⎝ ∂s ∂t ⎠ ∂y ⎝ ∂s ∂t ⎠ ∂u ∂u = dx + dy . ∂x ∂y Như vậy dạng của công thức vi phân cấp 1 không đổi dù x, y là các biến độc lập hay là hàm của các biến s, t. Tính chất này gọi là tính chất bất biến dạng của vi phân cấp 1. Chú ý: Cũng như hàm một biến số, vi phân cấp cao không có tính bất biến dạng. 1.2.7. Đạo hàm của hàm số ẩn A. Hàm ẩn một biến Cho một hệ thức giữa hai biến, x, y dạng: F(x, y) = 0 (1.8) trong đó F(x, y) là hàm hai biến xác định trong miền mở D chứa (x0, y0) và F(x0, y0) = 0. Giả sử rằng ∀x ∈ (x0 − δ , x0 + δ ), ∃ y(x) sao cho (,x yx ())∈ D và F(x, y(x)) = 0. Hàm số y = y(x) gọi là hàm ẩn của x xác định bởi phương trình (1.8). Định lý 1.7. Nếu F(x, y) thoả mãn các điều kiện: F liên tục trong lân cận Ωδ (M 0 ) và F(M0) = 0. ∂F ∂F ∂F Các đạo hàm riêng , liên tục và (x , y ) ≠ 0 trong lân cận Ω (M ) thì phương ∂x ∂y ∂y 0 0 δ 0 trình (1.8) xác định một hàm ẩn y(x) khả vi liên tục trong khoảng (x0 − ε, x0 + ε ) và ta có: dy F′ = − x (1.9) dx Fy′ Chú ý: Để nhận được công thức (1.9) chúng ta chỉ việc lấy vi phân 2 vế của (1.8) trong đó có y = y(x) và áp dụng tính bất biến của dạng vi phân cấp 1. Thật vậy dF(x, y) = 0 hay Fx′dx + Fy′dy = 0 hay Fx′ + Fy′.y′ = 0 . Từ đó suy ra (1.9). Ví dụ 10: Tính y′(1) biết xy − e x sin y = π Giải: Lấy đạo hàm toàn phần (hay vi phân) và coi y là hàm của x hai vế của phương trình đã cho có: y + xy′ − e x sin y − e x cos y.y′ = 0 Thay x = 1 vào phương trình hàm ẩn, nhận được: yey(1)−π = sin (1) . Dùng phương pháp đồ thị giải phương trình này, nhận được nghiệm y(1) = π . Vậy π + y′(1) − esinπ − ecosπ.y′(1) = 0 π y′(1) = − . 1+ e Ví dụ 11: Tính y′, y′′biết x − y + arctgy = 0 17
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số Giải: Lấy đạo hàm toàn phần hai vế coi y = y(x) y′ 1+ y 2 1− y′ + = 0 ⇒ y′ = ⇒ y 2 y′ = 1+ y 2 1+ y 2 y 2 2(1)yy′′−+ 2(1 y2 ) Lấy đạo hàm tiếp ta có 2yy′2 + y 2 y′′ = 2yy′ ⇒=yy′′ ⇒=− ′′ . yy5 B. Hàm ẩn hai biến Định lý 1.8. Cho phương trình hàm ẩn F(x, y, z) = 0 và F(x, y, z) thoả mãn các điều kiện: F(x, y, z) liên tục trong hình cầu mở Ωδ (M 0 ) và F(M0) = F(x0, y0, z0) = 0; Các đạo hàm riêng Fx′, Fy′, Fz′liên tục và Fz′(x0 , y0 , z0 ) ≠ 0 trong hình cầu Ωδ (M 0 ) Khi đó phương trình hàm ẩn xác định một hàm ẩn z = z (x, y) có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận Ωε (x0 , y0 ) đồng thời: ∂z F′ ∂z F′ = − x , = − y (1.10) ∂x Fz′ ∂y Fz′ Tương tự như định lý 1.7. ta không chứng minh định lý này. Cũng như trong trường hợp hàm ẩn một biến, để tính các đạo hàm riêng cũng như vi phân ∂z ∂z của hàm ẩn ta lấy vi phân toàn phần hai vế của phương trình hàm ẩn sau đó đi tìm , , dz ∂x ∂y Ví dụ 12: Cho xyz= x + y + z. Coi z là hàm số ẩn, hãy tính z′x , z′y , dz . Giải: Lấy vi phân toàn phần phương trình hàm ẩn sẽ có: d(xyz) = d(x + y + z) yz dx + zx dy + xy dz = dx + dy + dz (xy – 1) dz = (1- yz) dz + (1-zx) dy 1 dz = − []( yz −1)dx + (zx −1)dy xy −1 yz −1 xz −1 ⇒ z′ = − , z′ = − . x yx −1 y xy −1 18
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 1.2.8. Đạo hàm theo hướng. Građiên (Gradient) A. Định nghĩa: 3 Cho u(x, y, z) xác định trên miền D ⊂ và M 0 (x0 , y0 , z0 )∈ D , một hướng được đặc trưng bởi véc tơ có véc tơ đơn vị 0 (cosα, cosβ, cosγ ) , tức là: αβγ===(Ox, ), (Oy , ), ( Oz , ) . Người ta gọi cosα , cosβγ , cos là các côsin chỉ phương của . Rõ ràng cos222αβγ++=cc os os 1.(H.1.9) Δu u(M ) − u(M ) Lấy M ∈ D sao cho M M = ρ , lập tỉ số = 0 0 0 ρ ρ Nếu tỉ số trên có giới hạn hữu hạn khi ρ → 0 thì giới hạn ấy được gọi là đạo hàm của hàm ∂u u(M) theo hướng tại M0 và kí hiệu là (M 0 ) tức là: ∂ 0 u(M ) − u(M 0 ) ∂u lim = (M 0 ) ρ→0 ρ ∂ Chú ý: 1. Cũng giống như ý nghĩa của đạo hàm, có thể coi rằng đạo hàm theo hướng biểu thị tốc độ biến thiên của hàm u(M) theo hướng . 2. Nếu có hướng của trục Ox thì 0 (1,0,0) . Giả sử M 0 (x0 , y0 , z0 ) thì M (x0 + ρ, y0 , z0 ) khi đó: ∂u u(x0 + ρ, y0 , z0 ) − u(x0 , y0 , z0 ) ∂u (M 0 ) = lim = (M 0 ) ρ→0 ρ ∂x ∂ 0 Chứng tỏ các đạo hàm riêng u′x , u′y , u′z là đạo hàm của hàm u theo hướng của các trục Ox, Oy, Oz. B. Công thức tính 19
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số Định lý 1.9. Nếu hàm số u(x, y, z) khả vi tại M0(x0, y0, z0) và bất kỳ có các côsin chỉ phương cosα, cosβ, cosγ thì: ∂u ∂u ∂u ∂u (M 0 ) = (M 0 )cosα + (M 0 )cosβ + (M 0 )cosγ (1.11) ∂ ∂x ∂y ∂z Chứng minh: Theo ý nghĩa của hàm khả vi ta có: Δ=uuMuM()() −00 = uM′xyz () Δ+ xuM′′ () 0 Δ+ yuM () 0 Δ+ zo ()ρ trong đó o()ρ là VCB bậc cao hơn ρ khi ρ → 0 . Mặt khác Δx = ρ cosα, Δy = ρ cosβ , Δz = ρ cosγ suy ra: ∂uo()ρ =+++uM′′′( )cosαβγ uM ( )cos uM ( )cos . ρ xyz000ρ Chuyển qua giới hạn khi ρ → 0 sẽ có (1.11) C. Građiên 3 Cho u(x, y, z) có các đạo hàm riêng tại M(x,y,z)0000∈ D⊂ . Gọi véc tơ (u′x (M 0 ), u′y (M 0 ), u′z (M 0 )) là građiên của hàm u(x, y, z) tại M0 và kí hiệu là grad u(M0). grad u(M 0 ) = (u′x (M 0 ), u′y (M 0 ), u′z (M 0 )) = u′x (M 0 )i + u′y (M 0 ) j + u′z (M 0 )k (1.12) trong đó i, j, k là các véc tơ đơn vị của các trục Ox, Oy, Oz. D. Liên hệ giữa građiên và đạo hàm theo hướng. Định lý 1.10. Nếu u(M) khả vi tại M0 thì tại đó có: ∂u = ch gradu . (1.13) ∂ Chứng minh: Ta có 0 = cosα i + cosβ j + cosγ k nên (1.11) có thể viết như sau: ∂u (M 0 ) = grad u(M 0 ). 0 = 0 grad u(M 0 ) cosθ ∂ trong đó θ là góc giữa hai véc tơ và grad u(M0), mà 0 = 1, grad u(M ) cosθ = ch grad u(M ) . Vậy nhận được công thức (1.13) 0 0 20
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số ∂u Chú ý: Từ (1.13) suy ra max (M 0 ) = grad u(M 0 ) khi cosθ = 1, tức là cùng ∂ phương với grad u(M0) chứng tỏ grad u(M0) cho ta biết phương theo nó tốc độ biến thiên của u tại M0 có giá trị tuyệt đối cực đại. 3 3 3 Ví dụ 13: Cho u = x + y + z + 3xyz , M0(1, 2, -3), (2, 1, -2). ∂u Tính grad u(M0) và (M 0 ) . ∂ Giải: 2 2 2 u′x = 3x + 3yz, u′y = 3y + 3zx, u′z = 3z + 3xy Vậy grad u(1, 2, -3) = (3 – 18, 12 – 9, 27 + 6) = (-15, 3, 33) = 3(-5, 1, 11) ⎛ 2 1 2 ⎞ ∂u ⎛ 2 1 2 ⎞ (2, 1, -2) ⇒ 0 = ⎜ , , − ⎟ ⇒ (1,2,−3) = 3⎜− 5. +1. −11. ⎟ = −31 ⎝ 3 3 3 ⎠ ∂ ⎝ 3 3 3 ⎠ 1.3. Cực trị của hàm nhiều biến 1.3.1. Cực trị tự do A. Định nghĩa và điều kiện cần của cực trị 2 Điểm M(x,y)000∈ gọi là điểm cực đại (địa phương) của hàm f(M) nếu có lân cận đủ bé của M0 để trong lân cận đó (trừ M0) xảy ra bất đẳng thức f(M) f (0,0) và f (x2 , y2 ) 0, y1 > 0, x2 0). B. Điều kiện đủ của cực trị 21
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số Trong thực tế thường gặp hàm hai biến f(x, y) và để tìm cực trị của nó, người ta thường sử dụng định lí sau đây, coi như là điều kiện đủ để hàm đạt cực trị. Ta không chứng minh định lý này. Định lý 1.12. Giả sử f(x, y) có đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại lân cận điểm dừng (x0, y0) và gọi: ∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f A = (x , y ), B = (x , y ), C = (x , y ) và Δ = B 2 − AC (1.14) ∂x 2 0 0 ∂x∂y 0 0 ∂y 2 0 0 Nếu Δ > 0 thì hàm số không đạt cực trị tại (x0, y0) Nếu Δ = 0 thì chưa kết luận gì được về (x0, y0) Nếu Δ 0. Ví dụ 14: Xét cực trị của hàm số z = x 4 + y 4 − x 2 − 2xy − y 2 . Giải: Nhận xét: Hàm số z khả vi mọi cấp trên 2 , ta có thể áp dụng định lý 1.12. * Tìm điểm dừng: 3 3 3 ⎪⎧z′x = 4x − 2x − 2y = 0 ⎪⎧x = y ⎧x = y ⎨ ⇒ ⎨ ⇒ ⎨ ′ 3 3 2 ⎩⎪z y = 4y − 2y − 2x = 0 ⎩⎪2x − x − y = 0 ⎩x(x −1) = 0 Nhận được ba điểm dừng: ⎧x = 0 ⎧x = 1 ⎧x = −1 ⎨ , ⎨ , ⎨ ⎩y = 0 ⎩y = 1 ⎩y = −1 * ′′ 2 2 A = z x2 = 12x − 2, B = −2, C = 12y − 2 Δ = 4 − 4(6x 2 −1)()6y 2 −1 Δ(0,0) = 0 Nhận thấy z(0,0) = 0. 1 ⎛ 1 1 ⎞ 2 ⎛ 1 ⎞ Với x = y = thì z⎜ , ⎟ = ⎜ − 2⎟ 1 n ⎝ n n ⎠ n 2 ⎝ n 2 ⎠ 1 1 ⎛ 1 1 ⎞ 2 Với x = , y = - thì z⎜ ,− ⎟ = > 0. n n ⎝ n n ⎠ n 4 Như vậy trong bất kỳ lân cận nào của gốc toạ độ ta luôn tìm được các điểm (tìm được n) để hàm đổi dấu, chứng tỏ hàm không đạt cực trị tại (0, 0) Δ (1, 1) = Δ (-1, -1) = -96 0. Vậy hàm đạt cực tiểu tại (1,1) và (-1, -1) Giá trị cực tiểu là z (1,1) = z(-1, -1) = -2. 22
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 1.3.2. Cực trị có điều kiện A. Định nghĩa và điều kiện cần 2 Điểm M0(x0, y0) ∈ gọi là điểm cực đại của hàm số f(x, y) với ràng buộc (hoặc có điều kiện) ϕ(x, y) = 0 nếu thoả mãn ϕ(M 0 ) = 0 đồng thời tồn tại lân cận đủ bé của M 0 trên đường cong ràng buộc ϕ(x, y) = 0, trong lân cận đó có bất đẳng thức f(M) 0. Giải: 23
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số y c (x0 , y0 ) b (x, y) x 0 c a H.1.10 Về hình học, đây là bài toán tìm cực trị của bình phương khoảng cách từ gốc toạ độ đến các điểm trên đường thẳng (H.1.10). Vậy bài toán có duy nhất cực tiểu đó là chân đường vuông góc hạ từ O tới đường thẳng. Lập hàm Lagrange: L = x2 + y2 + λ(ax + by + c) ⎧Lx′ = 2x + λa = 0 ⎪ Tìm điểm dừng của L: ⎨L′y = 2y + λb = 0 ⎪ ⎩Lλ′ = ax + by + c = 0 λa λb Thay x = − , y = − vào phương trình cuối nhận được: 2 2 λ 2c − (a 2 + b 2 ) = −c, λ = 2 a 2 + b 2 ac bc ⇒ x = − , y = − a 2 + b 2 a 2 + b 2 ⎛ ac bc ⎞ Điểm dừng duy nhất M0 ⎜− , − ⎟ là điểm cực tiểu và giá trị cực tiểu bằng ⎝ a 2 + b 2 a 2 + b 2 ⎠ c 2 . a 2 + b 2 B. Điều kiện đủ Định lý 1.14. Giả sử f(x, y) và ϕ(x, y ) có đạo hàm riêng cấp 2 liên tục ở lân cận (x0,y0) và (x0, y0, λ) là điểm dừng của hàm Lagrange. Khi đó: 2 2 2 * Nếu d L x , y , L′′2 (x , y , )dx 2L′′ (x , y , )dxdy L′′2 (x , y , )dy ()0 0 λ = x 0 0 λ + xy 0 0 λ + y 0 0 λ xác định dấu đối với dx, dy trong miền thoả mãn ràng buộc: 2 2 dϕ(x0 , y0 ) = ϕ′x (x0 , y0 )dx + ϕ′y (x0 , y0 )dy = 0, dx + dy ≠ 0 2 thì f(x,y) đạt cực trị có ràng buộc tại (x0, y0). Đạt cực đại nếu d L(x0, y0,λ) >0 và đạt cực tiểu 2 nếu d L(x0, y0,λ) <0. 24
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 2 * Nếu d L(x0, y0,λ) không xác định dấu trong miền nói trên thì hàm không đạt cực trị ràng buộc tại (x0, y0). ⎧ext() x+ y+ z ⎪ Ví dụ 16: Giải bài toán ⎨xyz =1 ⎪ ⎩xyz>>>0, 0, 0 Giải: * Hàm Lagrange: L(x,y,z,λ ) = x + y + z + λ(xyz - 1) * Tìm điểm dừng: / ⎧Lyzx =+10λ = ⎪ / ⎪Lzxy =+10λ = ⎨ / ⎪Lxyz =+10λ = ⎪ ⎩xyz −=10 Nhân 2 vế của phương trình thứ nhất với x và để ý đến phương trình thứ tư sẽ nhận được λ = −1 và x = y = z = 1 * Xét dấu của d2L(1,1,1,-1) với dx, dy, dz thoả mãn d(xyz) = 0 và x= y=z=1 dx2 + dy2 + dz2 ≠ 0 Ta có L′′2 = 0 L′′2 L′′2 , L′′ = −z, L′′ = −x, L′′ = −y x = y = z xy yz zx Suy ra d 2 L(1,1,1,−1) = −2(dxdy + dydz + dzdx ) Mặt khác d(xyz) = (yzdx + zxdy + xydz) = dx + dy + dz = 0 (1,1,1) (1,1,1) Suy ra dz = - dx – dy d 2 L(1,1,1,−1) = −2(dxdy − (dx + dy) 2 ) = (dx + dy) 2 + dx 2 + dy 2 > 0khi dx2 + dy2+dz2> 0 Vậy hàm số đạt cực tiểu có ràng buộc tại (1,1,1) và min (x + y + z) = 3 TÓM TẮT CHƯƠNG 1. 22 • Giới hạn : lim f (M ) = l hay lim f (xn , yn ) = l , dMM(,000 )=−+− ( x x ) ( y y ) M →M 0 (x,y)→(x0 ,y0 ) nếu ∀ε > 0,∃δ > 0 : 0 < d(M 0 , M ) < δ ⇒ f (M ) − l < ε • Sự liên tục của hàm số: Hàm số f(M) xác định trên miền D và M 0 ∈ D . Ta nói rằng hàm số f(M) liên tục tại M 0 nếu lim f (M ) = f (M 0 ) M →M 0 25
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số • Đạo hàm riêng: Đặt Δ x f (x0 , y0 ) = f (x0 + Δx, y0 ) − f (x0 , y0 ) gọi đó là số gia riêng của hàm f(x, y) theo biến x tại (x0, y0) và ta có: ∂f Δ x f (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) = lim , fx′(,xy00 ), ∂x Δx→0 Δx Tương tự ta có định nghĩa đạo hàm riêng của hàm số đối với y tại M0(x0, y0) và ký hiệu: ∂u ∂f u′ (x , y ) , (x , y ) , f ′(x , y ) , (x , y ) y 0 0 ∂y 0 0 y 0 0 ∂y 0 0 Có thể chuyển toàn bộ các phép tính đạo hàm của hàm một biến số: cộng, trừ, nhân, chia, sang phép tính đạo hàm riêng. • Vi phân toàn phần của hàm số f(x, y) tại (x0, y0) : df (x0 , y0 ) = f x′(x0 , y0 )dx + f y′(x0 , y0 )dy Δf ≈ df hay f (,x0+ Δ+Δ≈ xy 0 y )(,)(,) fx 00 y + dfxy 00 • Đạo hàm riêng cấp cao ∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂ ⎛ ∂f ⎞ f ′′2 = , f ′′ = , f ′′ = ⎜ ⎟, f ′′2 = ⎜ ⎟ x ⎜ ⎟ xy ⎜ ⎟ yx ⎜ ⎟ y ⎜ ⎟ ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂x ⎠ ∂x ⎝ ∂y ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f hay , , , ∂x 2 ∂x∂y ∂y∂x ∂y 2 • Công thức Schwarz : f xy′′ (M 0 ) = f yx′′ (M 0 ) . • Vi phân cấp cao ∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f d 2 f (x, y) = dx 2 + 2 dxdy + dy 2 ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 Người ta dùng kí hiệu luỹ thừa tượng trưng để viết gọn như sau: n n ⎛⎞∂∂ d f(, x y )=+⎜⎟ dx dy f (, x y ) ⎝⎠∂∂xy • Đạo hàm của hàm số hợp ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y = + , = + ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t dy F′ ∂z F′ ∂z F′ • Đạo hàm của hàm ẩn = − x , = − x , = − y dx Fy′ ∂x Fz′ ∂y Fz′ • Đạo hàm theo hướng. Nếu hàm số u(x, y, z) khả vi tại M0(x0, y0, z0) và bất kỳ có các côsin chỉ phương cosα, cos β, cosγ thì: ∂u ∂u ∂u ∂u (M 0 ) = (M 0 )cosα + (M 0 )cosβ + (M 0 )cosγ ∂ ∂x ∂y ∂z 26
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số • Građiên: grad u(M 0 ) = (u′x (M 0 ), u′y (M 0 ), u′z (M 0 )) = u′x (M 0 )i + u′y (M 0 ) j + u′z (M 0 )k trong đó i, j, k là các véc tơ đơn vị của các trục Ox, Oy, Oz. ∂u = ch gradu ∂ / ⎪⎧ fxyx (,00 )0= • Cực trị: Giải hệ ⎨ / ⎩⎪ fxyy (,00 )0= ∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f A = (x , y ), B = (x , y ), C = (x , y ) Gọi Δ = B 2 − AC ∂x 2 0 0 ∂x∂y 0 0 ∂y 2 0 0 Nếu Δ > 0 thì hàm số không đạt cực trị tại (x0, y0) Nếu Δ = 0 thì chưa kết luận gì được về (x0, y0) Nếu Δ 0 • Cực trị có điều kiện. Phương pháp nhân tử Lagrange ⎧ fxyxx′′(, )+=λϕ (, xy ) 0 ⎪ Tìm (,xy00 ,)λ thoả mãn hệ phương trình: ⎨ fxyyy′′(, )+=λϕ (, xy ) 0 ⎪ ⎩ϕ(,xy )= 0 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 1 1.1. Miền liên thông D là miền có biên chỉ là một đường cong kín. Đúng Sai 1.2. Nếu tồn tại limf (xy0 , ) thì tồn tại limf (xy , ) và chúng bằng nhau. yy→ 0 (,)(,)xy→ x00 y Đúng Sai 1.3. Hàm số f(x,y) có đạo hàm riêng tại (,x00y )thì khả vi tại đó. Đúng Sai 1.4. Hàm số f(x,y) khả vi tại (,x00y )thì liên tục tại đó . Đúng Sai 1.5. Hàm số f(x,y) khả vi tại (,x00y )thì có các đạo hàm riêng tại đó . Đúng Sai // // // // 1.6. Tồn tại fxy (,xy00 ),(, f yx00 xy )thì fxy (,xy00 )= f yx00 (, xy ) Đúng Sai 27
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 1.7. Nếu f(x,y) có đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai và x = xt(), y= yt ()khả vi đến cấp hai thì d2//2////2 f=+ f dx2. f dx dy + f dy xy22xy Đúng Sai 1.8. Hàm số f(x,y) đạt cực trị và khả vi tại (,x00y )thì các đạo hàm riêng triệt tiêu tại đó. Đúng Sai 1.9. Các đạo hàm riêng triệt tiêu tại (,x00y )thì hàm số đạt cực trị tại đó Đúng Sai 1.10. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại (,x00yD )∈ thì đạt cực trị tại đó Đúng Sai 1.11. Tìm miền xác định của các hàm số sau: a. zxy= ln , b. zxyxy= 91−−22 − 22 +−, 11 1 c. z =−, d. z = . x + yxy− y − x2 1.12. Tính đạo hàm riêng các hàm số sau: x a. zxxy=++ln(22 ), b. zy= 2 sin , y 3 y c. zxx=>y ,0, d. z = arctg . x 1.13. Chứng minh các hệ thức sau đây với các điều kiện tương ứng // 22 a. xzxy+= yz 2 , với zxxyy=++ln( ) . // 22 b. yzxy+= xz 0 , với zfxy=−(),f(t) khả vi. 1.14. Tính đạo hàm của các hàm số hợp sau: 22 a. ze==uv−222,osx,v=x uc + y. x b. zuvuxyv=+==ln(22 ), , . y 1.15. Tính vi phân toàn phần của các hàm số sau: y a. ztg= ln . x b. zec= x (osy + xsiny). 1.16. Tính đạo hàm của các hàm số ẩn xác định bởi các phương trình tương ứng a. xy332−= yx a, a = c onst , tính y/ . 28
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số x+y y b. arctg== ,ac onst, tính y/ . a a z // c. x+ y+z = e , tính zzx , y 333 // d. x + y +z = 3xyz , tính zzx , y . 1.17. Chứng minh các hệ thức sau đây, với các điều kiện tương ứng x a. zz// //= () z // 2 , với zxf= (), f(t) khả vi liên tục đến cấp hai. xy22 xy y ∂∂22uu 1 b. +=0 , với urxy= ln , =+22. ∂∂xy22 r ∂∂22uu c +=0 , với urrxy= ln222 , =+. ∂∂xy22 ∂∂∂222uuu 1 d. ++=0 , với urxyz= , =++222. ∂∂∂xyz222 r 23 ∂uM()0 1.18. Cho uxyz= , MM01(1,2,− 1), (0,4,− 3). Tính . ∂M 01M x222yz ∂uM() 1.19. Cho u = ++, rxyz= (, ,),. Tính , r gọi là véc tơ bán kính. abc222 ∂r ∂uM() Khi nào = gradu ∂r 11 ∂uM() 1.20. Cho u == , lc= ( osα ,cosβγ ,cos ) .Tính ? r x222++yz ∂l ∂uM() Khi nào = 0 . ∂l 1.21. Tìm cực trị của các hàm số a. z = e x (x + y)(x − y + 4) . b. z = x 3 + y 3 − 3xy . c. z = (2ax − x 2 )(2by − y 2 ), ab ≠ 0 . d. z = x 2 + xy + y 2 − 4ln x −10ln y. e. z = x 3 + y 3 − x − y . 29
Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số f. z = x 4 + y 4 − 2x 2 + 4xy − 2y 2 . 50 20 g. z = xy + + , với x > 0, y > 0 . x y h. z = x 3 + y 3 − x 2 y . 1.22. Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng x + 2y + 3z = 3. xy22 1.23. Cho ellipse +=1, tìm các điểm trên đó có khoảng cách gần nhất đến đường 49 thẳng 3x – 4y = 0. 30
Chương 2. Tích phân bội CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN BỘI GIỚI THIỆU Ta đã biết, ứng dụng của tích phân xác định, từ hình học, cơ học đến vật lý, kỹ thuật là rất đa dạng. Tuy nhiên các đại lượng đề cập đến chỉ phụ thuộc vào một biến số, đó là sự hạn chế đáng kể. Sự mở rộng tự nhiên của hàm một biến kéo theo sự mở rộng của tích phân đơn (tích phân xác định) đã làm tăng khả năng ứng dụng, chẳng hạn tính khối lượng của vật thể hai chiều, ba chiều, từ đó có thể tính được khối tâm, các mô men quán tính của vật thể, v.v Chương này cho chúng ta phương pháp tính tích phân bội hai, bội ba và trên nguyên tắc có thể mở rộng cho tích phân bội n (n lớp). Các khái niệm về tích phân bội cũng giống như tích phân xác định, đều dựa trên sơ đồ vi phân (tính yếu tố vi phân rồi lấy tổng). Sự tồn tại, cũng như tính chất của tích phân bội giống như tích phân xác định. Chính vì thế, để học tốt chương này, chúng ta cần nắm vững các phương pháp tính tích phân xác định và mô tả được miền xác định của hàm nhiều biến. Trong chương này, yêu cầu nắm vững các nội dung chính sau đây: 1. Tích phân bội hai. Mô tả được miền lấy tích phân bội hai bằng hình học và hệ các bất phương trình. Từ đó suy ra các cận của các tích phân đơn. Trong một số trường hợp nên thực hiện phép đổi biến số để tính dễ dàng hơn, đặc biệt thường chuyển sang tọa độ cực. 2. Tích phân bội ba. Tương tự như tích phân bội hai, phải mô tả được miền lấy tích phân bội ba. Trên cơ sở đó tìm được các cận của các tích phân đơn. Tùy từng hàm dưới dấu tích phân và miền lấy tích phân có thể thực hiện phép đổi biến số, đặc biệt thường chuyển sang tọa độ cầu hoặc tọa độ trụ để tính toán cho đơn giản. NỘI DUNG 2.1 Tích phân bội hai ( Tích phân kép) 2.1.1 Bài toán mở đầu Bài toán: Cho vật thể V ∈ 3 giới hạn bởi các mặt sau đây: mặt phẳng Oxy, mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz và đường chuẩn L là biên của miền đóng hữu hạn D ⊂ 2 và mặt cong cho bởi phương trình z= f(x,y), (x, y)∈ D , trong đó f(x,y) liên tục và không âm trên miền D. Hãy tính thể tích vật thể V ( thường gọi V là hình trụ cong). Cách tính: 31
Chương 2. Tích phân bội z = f (x, y) ΔSi Chia hình trụ cong V thành n hình trụ cong bằng cách chia miền D thành n mảnh không dẫm lên nhau bởi một lưới các đường cong trong mặt phẳng Oxy. Gọi tên và diện tích các mảnh đó là ΔSi , ( i= 1, n ) . Dựng các hình trụ cong có các đáy dưới là ΔSi ; đáy trên là phần của mặt phẳng cong z= f(x,y) , đường sinh song song với trục Oz. Gọi tên và thể tích các hình trụ cong thành phần là ΔVi ( i = 1, n ). n Như vậy V= ∑ ΔVi i=1 Nhận xét: Lấy tuỳ ý M i ( xi , yi ) ∈ ΔSi ( i= 1, n ). Vì miền ΔSi là nhỏ và hàm f(x,y) liên tục nên trên miền ΔSi nên giá trị f(x,y) khác f( xi , yi ) rất ít, do đó ΔVi ≈ f (xi , yi ) ΔSi . Như n vậy V ≈ ∑ f (xi , yi ) ΔSi i=1 Gọi d i là đường kính của mảnh ΔSi ( i= 1, n ) (ta gọi đường kính của miền E là số d = Sup{}d(P,Q) , P ∈ E,Q ∈ E) Rõ ràng sự xấp xỉ theo công thức trên của V càng chính xác nếu ta chia càng nhỏ miền D . Vậy thể tích V sẽ bằng giới hạn nếu có của tổng ở vế phải khi n → ∞ sao cho max di → 0 . n Vlimf(x,y)= iiΔSi max d→ 0 ∑ i i1= Chú ý: Ý tưởng tính thể tích hình trụ cong hoàn toàn như tính diện tích hình thang cong , ở đó dẫn đến khái niệm tích phân xác định, còn ở đây sẽ dẫn đến khái niệm tích phân kép. 2.1.2 Định nghĩa tích phân kép. Cho hàm z= f(x,y) xác định trên miền đóng D ⊂ 2 * Chia miền D thành n miền nhỏ bởi một lưới các đường cong, gọi tên và diện tích các miền là Δsi ( i= 1, n ) đồng thời kí hiệu d i là đường kính mảnh thứ i ( i= 1, n ) 32
Chương 2. Tích phân bội * Lấy tuỳ ý M i ( xi , yi ) ∈ Δsi ( i= 1, n ) . n * Gọi I n = ∑ f (xi , yi ) ΔSi là tổng tích phân cuả f(x,y) trên miền D ứng với một phân i=1 hoạch và một cách chọn các điểm M1 , M 2 , ,M n . Khi n → ∞ sao cho maxd i → 0 mà I n hội tụ về I không phụ thuộc vào phân hoạch ΔSi và cách chọn M i ∈ ΔSi (i = 1, n ) thì số I gọi là tích phân kép của f(x,y) trên miền D và kí hiệu là ∫∫ f (x, y)dS . D n Như vậy f (x, y)dS = lim f (xi , yi )ΔSi (2.1) ∫∫ max d →0 ∑ D i i=1 Có được công thức trên thì nói rằng f(x,y) khả tích trên miền D; f(x,y) là hàm dưới dấu tích phân còn x, y là các biến tích phân, dS là yếu tố diện tích. Chú ý: a. Vì tích phân kép không phụ thuộc vào cách chia miền D nên có thể chia D bởi một lưới các đường thẳng song song với các trục toạ độ Ox, Oy. Khi đó ΔSi = Δxi Δyi suy ra dS = dx.dy. Do đó là tích phân kép thường kí hiệu là: ∫∫ f (x, y)dxdy D b. Cũng như tích phân xác định, kí hiệu biến lấy tích phân kép cũng không làm tích phân kép thay đổi, tức là: ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (u, v)dudv D D c. Nếu f(x,y) ≥ 0 trên D thì thể tích hình trụ cong đã xét trong phần 2.1.1 được tính theo công thức V= ∫∫ f (x, y)dxdy (2.2) d. Nếu f(x,y)=1 trên D thì số đo diện tích miền D tính theo công thức S= ∫∫ f (x, y)dxdy (2.3) D 2.1.3. Điều kiện khả tích Tương tự như tích phân xác định, ta có: * Nếu hàm số f(x,y) khả tích trên miền D thì f(x,y) bị chặn trên miền D ( điều kiện cần của hàm khả tích ). * Nếu hàm số f(x,y) liên tục trên miền D, tổng quát hơn: nếu hàm số f(x,y) chỉ có gián đoạn loại 1 trên một số hữu hạn cung cong của miền D thì khả tích trên miền D. 2.1.4. Tính chất của tích phân kép. Từ định nghĩa của tích phân kép, tương tự như tích phân xác định, suy ra được các tính chất sau: 33
Chương 2. Tích phân bội a. Nếu D được chia thành 2 miền D1, D2 mà DD12∩ =φ thì f(x,y) khả tích trên D khi và chỉ khi nó khả tích trên D1 và D2 đồng thời. ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (x, y)dxdy + ∫∫ f (x, y)dxdy (2.4) D D1 D2 b Nếu f(x,y) khả tích trên D và k là hằng số thì: ∫∫ k. f (x, y)dxdy = k.∫∫ f (x, y)dxdy (2.5) D D c.Nếu f(x,y), g(x,y) khả tích trên D thì ∫∫[]f (x, y) + g(x, y) dxdy = ∫∫ f (x, y)dxdy + ∫∫ g(x, y)dxdy (2.6) D D D d. Nếu f(x,y), g(x,y) cùng khả tích trên D và f (x, y) ≤ g(x, y) ∀(x, y)∈ D thì: ∫∫ f (x, y)dxdy ≤ ∫∫ g(x, y)dxdy (2.7) D D e. Nếu f(x,y) khả tích thì f (x, y) khả tích và ∫∫ f (x, y)dxdy ≤ ∫∫ f (x, y)dxdy (2.8) D D f. Nếu f(x,y) khả tích trên D và thoả mãn m ≤ f (x, y) ≤ M , ∀(x, y)∈ D thì mS ≤ ∫∫ f (x, y)dxdy ≤ MS (2.9) D trong đó S là diện tích miền D. 2.2. Tính tích phân kép. 2.2.1. Công thức tính tích phân kép trong tọa độ đề các (Descartes). Định lí 2.1. Nếu hàm số f(x,y) liên tục trên miền D cho bởi hệ bất phương trình ⎧a ≤ x ≤ b ⎨ ⎩ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2 (x) b ϕ2 (x) thì ∫∫f (x, y)dxdy = ∫dx ∫ f (x, y)dy (2.10) D a ϕ1 (x) 34
Chương 2. Tích phân bội z S(x) 0 ϕ1(x) ϕ2 (x) y a x b x H.2.2 Chứng minh: Trước hết xét f (x, y) ≥ 0 và liên tục trên miền D : ⎧a ≤ x ≤ b ⎨ ⎩ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ 2 (x) Trong đó ϕ1 (x),ϕ 2 (x) liên tục trên [a,b]. Theo ý nghĩa hình học ta có: V = ∫∫ f (x, y)dxdy D Trong đó V là thể tích hình trụ cong. Mặt khác, ứng dụng tích phân xác định ta lại có: b V = ∫ S(x)dx Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của hình trụ cong do mặt phẳng vuông góc với a trục 0x tại điểm x tạo ra. (H.2.2).Từ hình 2.2 ta thấy S(x) là diện tích hình thang cong nằm trên mặt phẳng Oyz (bằng phép tịnh tiến) giới hạn bởi trục 0y, các đường y = ϕ1 (x), y = ϕ 2 (x) và ϕ2 ( x) đường cong z = f(x,y), với x cố định. Theo ý nghĩa tích phân xác định ta có: S(x) = ∫ f (x, y)dy ϕ1 ( x) b ⎛ϕ2 ( x) ⎞ Suy ra f (x, y)dxdy = ⎜ f (x, y)dy⎟dx ∫∫ ∫∫⎜ ⎟ D a ⎝ ϕ1 ( x) ⎠ Tích phân lặp trên được qui ước viết theo dạng: b ⎛ϕ2 ( x) ⎞ b ϕ2 ( x) ⎜ f (x, y)dy⎟dx = dx f (x, y)dy ∫∫⎜ ⎟ ∫ ∫ a ⎝ ϕ1 ( x) ⎠ a ϕ1 ( x) Bây giờ xét f(x,y) liên tục và có dấu bất kỳ trên miền D. Xét các hàm số phụ sau: 35
Chương 2. Tích phân bội ⎧ f (x, y) ∀(x, y), f (x, y) ≥ 0 f1 (x, y) = ⎨ ⎩0 ∀(x, y), f (x, y) < 0 ⎧− f (x, y) ∀(x, y), f (x, y) < 0 f 2 (x, y) = ⎨ ⎩0 ∀(x, y), f (x, y) ≥ 0 Các hàm số f1(x,y), f2(x,y) liên tục và không âm trên miền D đồng thời f (x, y) = f1 (x, y) − f 2 (x, y) . Theo tính chất c. của tích phân bội và kết quả trên, ta được: f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy − f (x, y)dxdy ∫∫ ∫∫ 1 ∫∫ 2 D D D b ϕ2 ( x) b ϕ2 ( x) = dx f (x, y)dy − dx f (x, y)dy ∫ ∫ 1 ∫ ∫ 2 a ϕ1 ( x) a ϕ1 ( x) b ϕ2 ( x) = dx f (x, y) − f (x, y) dy ∫ ∫[]1 2 a ϕ1 ( x) b ϕ2 ( x) = ∫ dx ∫ f (x, y)dy a ϕ1 ( x) Vậy ta nhận được công thức (2.10). Như vậy, để tính tích phân kép ta đưa về tính tích phân lặp. Công thức (2.10) thể hiện tính tích phân theo biến y (trong khi tính coi x là hằng số) trước và theo biến x sau Chú ý: a. Nếu miền D cho bởi hệ bất phương trình: ⎧cyd≤≤ ⎨ ⎩ψ≤≤ψ12(y) x (y) thì nhận được công thức tính tích phân kép tương tự là: d ψ 2 ( y) ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫ dy ∫ f (x, y)dx (2.11) D c ψ1 ( y) b. Công thức thay đổi thứ tự lấy tích phân hay gọi là công thức Fubini. Trong trường hợp này, miền D có tính chất: Mỗi đường thẳng song song với các trục toạ độ cắt miền D nhiều nhất ở hai điểm. Khi đó tồn tại hình chữ nhật: ⎧a ≤ x ≤ b ⎨ ⎩c ≤ y ≤ d có cạnh tiếp xúc với biên của miền D (H.2.3) Giả sử ADB, ACB có phương trình là: y = ϕ1 (x), y = ϕ 2 (x),a ≤ x ≤ b , CAD, CBD có phương trình là: x =ψ 1 ( y), x =ψ 2 ( y),c ≤ y ≤ d Từ công thức (2.10), (2.11) nhận được công thức Fubini sau đây: 36
Chương 2. Tích phân bội b ϕ2 ( x) d ψ 2 ( y) ∫ dx ∫ f (x, y)dy = ∫ dy ∫ f (x, y)dx (2.12) a ϕ1 ( x) c ψ1 ( y) c. Khi miền D không có tính chất đã nêu trên thì có thể chia miền D thành một số hữu hạn các miền D1, D2, , Dn có tính chất mô tả ở hình H.2.3 sau đó áp dụng tính chất a. của tích phân kép. d. Khi miền D là hình chữ nhật a ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d và hàm f (x, y) = h1 (x).h2 ( y) thường gọi f(x,y) là hàm có biến số phân li thì công thức (2.10) trở thành: b d ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫ h1 (x)dx.∫ h2 (y)dy D a c Ví dụ 1: Tính tích phân sau: ∫∫ x 2 ydxdy D trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = 0, y = 2x và x = a, a>0 Giải: Để có hệ phương trình mô tả miền D trước hết phải vẽ miền D (H.2.4). ⎧0 ≤ y ≤ 2a ⎧0 ≤ x ≤ a ⎪ Vậy D: ⎨ hoặc D: ⎨ y ⎩0 ≤ y ≤ 2x ≤ x ≤ a ⎩⎪ 2 a 2 x a y 2 2x a x 2 ydxdy = dx x 2 ydy = x 2 dx = 2 x 4dx ∫∫ ∫ ∫ ∫ 2 0 ∫ D 0 0 0 0 2 a 2 = x 5 = a 5 5 0 5 37
Chương 2. Tích phân bội y 2a y=2x 0 x a H.2.4 Ví dụ 2: Tính tích phân: I = ∫∫ xydxdy 0 với D giới hạn bởi các đường y = x − 4 và y2x.2 = Giải: Vẽ miền D (H.2.5) Để vẽ được miền D trước hết phải tìm giao của các đường bằng cách giải hệ phương trình: ⎧y = x − 4 ⎨ 2 ⎩y = 2x 2 2 ⎧ y 2 ⎧ y ⎡⎧x = 2 ⎪x = ⎧ y ⎪x = ⎢⎨ ⎪ 2 ⎪x = ⎪ 2 ⎩y = −2 Ta suy ra: ⎨ ⇒ ⎨ 2 ⇒ ⎨ ⇒ ⎢ 2 ⎡ y = 4 x = 8 ⎪ y ⎪ 2 ⎪ ⎢ ⎧ y = − 4 ⎩y − 2y − 8 = 0 ⎢ ⎢ ⎨ ⎩⎪ 2 ⎩⎪⎣ y = −2 ⎣ ⎩y = 4 Ta mô tả miền D như sau: 2x = y2 D2 x = y + 4 D1 38
Chương 2. Tích phân bội ⎧− 2 ≤ y ≤ 4 ⎪ 2 D: ⎨ y hoặc D = D1 ∪ D2 ≤ x ≤ y + 4 ⎩⎪ 2 ⎧0 ≤ x ≤ 2 ⎧2 ≤ x ≤ 8 với D1 : ⎨ D2 : ⎨ ⎩− 2x ≤ y ≤ 2x ⎩x − 4 ≤ y ≤ 2x Trong trường hợp này nên áp dụng công thức (2.11) tức là lấy tích phân lặp theo biến x trước và theo biến y sau: y4+ 44y4+ x2 Idyxydxy.dx==y2 ∫∫ ∫2 −−22y2 2 2 1y4 4 =++−∫ y(y2 8y 16 )dy 24−2 11 8 y6 4 =++−= ( y432 y 8y ) 90. 24 3 24−2 Ví dụ 3: Hãy thay đổi thứ tự lấy tích phân sau: 1 2−x2 I = ∫ dx ∫ f (x, y)dy 0 x Giải: Vẽ miền D trên cơ sở đã biết các cận của tích phân. theo đầu bài miền D giới hạn bởi các đường : x0,x1,yx,y2x.===−2 2 2 2 ⎧x + y = 2 Đường có phương trình y = 2 − x chính là nửa đường tròn : ⎨ ⎩y ≥ 0 2 D2 D1 2 Do tính không trơn của biên miền D nên ta mô tả: D = D1 ∪ D2 39
Chương 2. Tích phân bội ⎧0 ≤ y ≤ 1 ⎪⎧1 ≤ y ≤ 2 trong đó: D1 : ⎨ ,D2 : ⎨ 0 ≤ x ≤ y 2 ⎩ ⎩⎪0 ≤ x ≤ 2 − y 2 1 2−x2 1 y 2 2− y Vậy I = ∫∫dx f (x, y)dy = ∫ dy∫ f (x, y)dx + ∫ dy ∫ f (x, y)dx 0 x 0 0 1 0 Ví dụ 4: Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi các mặt z = 0, x 2 + y 2 = R 2 , z = y 2 Giải: Vật thể được mô tả bởi hình H.2.7. Vật thể đối xứng qua mặt tọa độ 0xz và 0yz. ta xét phần vật thể trong góc phần tám thứ nhất, phần vật thể này được giới hạn bởi các mặt z = 0, x 2 + y 2 = R 2 , x ≥ 0, y ≥ 0 và z = y 2 . Vậy V = 4∫∫ y 2dxdy trong đó D là phần tư hình tròn x 2 + y 2 = R 2 , x ≥ 0, y ≥ 0. D ⎪⎧0 ≤ x ≤ R Rõ ràng D : ⎨ 2 2 ⎩⎪0 ≤ y ≤ R − x R2 R R 2 2 R R −x 4 R 3 V = 4∫ dx ∫ y 2dy = ∫ (R 2 − x 2 ) 2 dx 0 0 3 0 Đổi biến x = Rcost,dx = −Rsintdt 40
Chương 2. Tích phân bội π 4 0 4 2 V = − R 4 sin 4 tdt = R 4 sin 4 tdt 3 ∫ 3 ∫ π 0 2 4 π 3!! πR 4 = R 4 = 3 2 4!! 4 (Xem công thức Wallis, Tr.139, Toán cao cấp A1 ) 2.2.2. Công thức tính tích phân kép trong toạ độ cực Trước khi đưa ra công thức tính tích phân kép trong toạ độ cực, ta thừa nhận định lý sau liên quan đến phép đổi biến tích phân kép. Định lý 2.2: Giả sử f(x,y) liên tục trên miền D ⊂ 0xy đồng thời tồn tại các hàm số ⎧x = x(u,v) ⎨ thoả mãn : ⎩y = y(u,v) * là song ánh tử D lên Δ D(x, y) * có đạo hàm riêng liên tục trong miền Δ ⊂ 0uv và định thức Jacobi ≠ 0 trong D(u,v) miền Δ ( hoặc chỉ bằng 0 ở một số điểm cô lập) khi đó: D(x, y) ∫∫ f (x,y)dxdy = ∫∫ f []x(u,v), y(u,v) . dudv (2.13) D Δ D(u,v) a. Hệ toạ độ cực Để xác định vị trí của các điểm trong mặt phẳng, ngoài hệ toạ độ Descartes, người ta còn dùng hệ toạ độ cực được định nghĩa như sau: Chọn điểm 0 tuỳ ý gọi là cực và một trục 0x gọi là trục cực. Vị trí của điểm M bất kỳ được xác bởi hai số: góc ϕ giữa trục 0x và véctơ 0M gọi là góc cực và r = 0M gọi là bán kính véctơ. Cặp (r,ϕ) gọi là toạ độ cực của M và kí kiệu M (r,ϕ) . Tất cả các điểm trên mặt phẳng sẽ ứng với ϕ biến thiên từ 0 đến 2π hoặc ϕ biến thiên từ - 2π đến 0 và r biến thiên từ 0 đến ∞ . Nếu chọn hệ trục toạ độ Descartes 0xy tức là 0 trùng với cực, trục hoành trùng với trục cực thì ta nhận được liên hệ sau đây giữa các toạ độ Descartes và toạ độ cực của điểm M (xem H.2.8): 41
Chương 2. Tích phân bội M ( r , ϕ ), M ( x , y ) r ϕ ⎧x = r cosϕ ⎨ ⎩y = r sinϕ ⎧r 2 = x 2 + y 2 ⎪ và ngược lại: ⎨ y , x cùng dấu với cosϕ hoặc y cùng dấu với sinϕ . ⎪tgϕ = ⎩ x b. Phương trình đường cong trong hệ toạ độ cực Hệ thức F(r,ϕ) = 0 hoặc r = r(ϕ) hay ϕ = ϕ(r) gọi là phương trình đường cong trong toạ độ cực, chẳng hạn r = a là phương trình đường tròn bán kính bằng a và tâm ở gốc toạ độ, ϕ = ϕ 0 là phương trình nửa đường thẳng xuất phát từ gốc toạ độ và lập với trục cực một góc là ϕ 0 . c. Công thức tích phân kép trong toạ độ cực Ta thực hiện phép đổi biến số: ⎧x = r cosϕ ⎨ ⎩y = rsinϕ D(x, y) cosϕ − rsinϕ Do đó: = = r D(r,ϕ) sinϕ r cosϕ Từ công thức (2.13) suy ra: ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (rcosϕ,rsinϕ)rdrdϕ (2.14) D Δ 42
Chương 2. Tích phân bội r2(ϕ) r1(ϕ) ϕ2 ϕ1 Thường gặp miền Δ được giới hạn bởi hai tia ϕ = ϕ1 ,ϕ = ϕ 2 và đường cong r = r1(ϕ), r = r2 (ϕ) (H.2.9), tức là trong hệ toạ độ cực, miền D được mô tả bởi hệ bất phương trình: ⎧ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ 2 D : ⎨ ⎩r1 (ϕ) ≤ r ≤ r2 (ϕ) Khi đó công thức (2.15) sẽ có dạng: ϕ2 r2 (ϕ ) ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫ dϕ ∫ f (rcosϕ,rsinϕ)rdr (2.15) D ϕ1 r1 (ϕ ) Chú ý: * Mối quan hệ giữa các định thức Jacôbi của phép biến đổi thoả mãn D(x, y) D(u,v) .1= D(u,v) D(x, y) * Nếu cực là điểm trong của miền D và mọi bán kính cực cắt biên miền D tại một điểm có bán kính r(ϕ) thì 2π r(ϕ ) ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫ dϕ ∫ f (rcosϕ,rsinϕ)rdr D 0 0 Ví dụ 5: Tính ∫∫ x x 2 + y 2 dxdy = I trong đó D là hình tròn (x − R)2 + y 2 ≤ R 2 D Giải: Đường tròn (x− R)2 + y 2 = R 2 chuyển sang toạ độ cực có phương trình: π π (rcosϕ − R)2 + r 2 sin 2 ϕ = R 2 hay r = 2Rcosϕ,− ≤ ϕ ≤ 2 2 Tương tự đường tròn x 2 + ( y − R)2 = R 2 chuyển sang toạ độ cực có phương trình r = 2R sinϕ,0 ≤ ϕ ≤ π (H.2.10) 43
Chương 2. Tích phân bội r = 2Rsinϕ r = 2R cos ϕ Vậy miền D trong hệ toạ độ cực được mô tả: ⎧ π π ⎪− ≤ ϕ ≤ ⎨ 2 2 ⎩⎪0 ≤ r ≤ 2Rcosϕ Theo công thức (2.15) sẽ có: π 2 2Rcosϕ I=ϕ∫∫ d r.cos ϕ .r.rdr −π 0 2 ππ 221 2R cosϕ =ϕ cos r445 d ϕ=ϕϕ 8R cos d ∫∫4 0 −π 0 2 4!! 2.4 64R 4 == 8R44 8R = . 5!! 3.5 15 (Xem công thức Wallis,Tr139 Toán cao cấp A1) Ví dụ 6: Tính I = ∫∫(x + y)dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường thẳng: D y=− x,y =− x + 3,y = 2x − 1,y = 2x + 1. 44
Chương 2. Tích phân bội y 3 1 − 1 1 3 x 2 0 2 - 1 H.2.11 Giải: Phương trình các đường thẳng tạo ra miền D viết lại dưới dạng: x + y = 0, x + y = 3, 2x − y = 1, 2x − y = −1 (xem H.2.11) ⎧u = x + y D(u, v) 1 1 Đổi biến ⎨ , khi đó = = −3 ⎩v = 2x − y D(x, y) 2 −1 ⎧0 ≤ u ≤ 3 Δ : ⎨ ⎩−1≤ v ≤1 1131 2u2 3 Suy ra I=−∫∫ u. dudv = ∫ udu. ∫ dv = = 3. Δ−3301 320 Nhận xét: Nếu giải ví dụ trên bằng cách trực tiếp dùng công thức tính tích phân kép trong hệ toạ độ đề các thì phải chia miền D thành các miền thành phần rồi áp dụng tính chất a của tích phân kép. Như vậy sẽ phức tạp hơn. Ta có thể kiểm tra lại kết quả bằng cách dùng công thức (2.10) hoặc (2.11). 2.3. Tích phân bội ba ( Tích phân 3 lớp) 2.3.1. Bài toán mở đầu: Tính khối lượng vật thể. Bài toán: Cho vật thể V không đồng chất, biết khối lượng riêng là ρ = ρ(x, y, z), (x, y, z)∈V Hãy tính khối lượng của vật thể V. Cách tính: Tương tự như tích phân bội hai, ta chia V tuỳ ý làm n phần không dẫm lên nhau bởi một hệ thống các mặt cong. Gọi tên và thể tích các phần đó là ΔVi (i = 1,n) . Trong mỗi phần thứ i lấy điểm Pi (xi , yi , zi ) tuỳ ý và gọi đường kính của phần đó là d i ,(i = 1,n) . Khối n n lượng xấp xỉ của vật thể là : m = ∑ ρ(Pi )ΔVi = ∑ ρ(xi , yi , zi )ΔVi . i=1 i=1 45
Chương 2. Tích phân bội n Nếu tồn tại giới hạn lim ρ(xi , yi , zi )ΔVi thì đó chính là khối lượng của vật thể đã max d →0 ∑ i i=1 cho. Trong thực tế nhiều bài toán dẫn đến việc tìm giới hạn hạn của tổng dạng trên. Chính vì thế cần phải có định nghĩa toán học tích phân bội ba. 2.3.2. Định nghĩa tích phân bội ba. Cho hàm số f(x,y,z) xác định trên miền V ⊂3 * Chia V tuỳ ý thành n mảnh nhỏ. Gọi tên và thể tích các mảnh đó là ΔVi ,(i = 1,n) , ký hiệu đường kính mảnh ΔVi là di . * Lấy tuỳ ý Pi (xi , yi , zi )∈ ΔVi ,(i = 1,n) n * Lập tổng I n = ∑ f (xi , yi , zi )ΔVi , gọi đó là tổng tích phân bội ba của hàm f(x,y,z) lấy i=1 trên miền V ứng mới một phân hoạch và các điểm Pi ∈ ΔVi ,(i = 1,n) Khi n → ∞ sao cho max di → 0 mà In hội tụ về I không phụ thuộc vào phân hoạch ΔV1 và cách chọn điểm Pi ∈ ΔVi ,(i = 1,n) thì số I gọi là tích phân bội ba của f(x,y,z) trên miền V, ký hiệu là ∫∫∫ f (x, y, z)dV . V n Như vậy: f (x, y, z)dV = lim f (x , y , z )ΔV (2.16) ∫∫∫ ∑ i i i i max di →0 V i=0 Tương tự, ta cũng nói rằng f(x,y,z) khả tích trên miền V. Chú ý: * Giống như tích phân kép, yếu tố thể tích dV được thay bằng dxdydz và khi đó thường ký hiệu tích phân bội ba là: ∫∫∫ f (x, y,z)dxdydz. V * Tương tự như tích phân kép, tích phân bội ba không phụ thuộc vào ký hiệu biến lấy tích phân: ∫∫∫f (x, y,z)dxdydz=ωω ∫∫∫ f (u, v, )dudvd . VV * Ý nghĩa cơ học: Nếu f (x, y, z) ≥ 0 trên miền V thì ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz là khối lượng V của vật thể V khi vật thể đó có khối lượng riêng (mật độ hay tỉ khối) là f(x,y,z). * Rõ ràng thể tích V của vật thể V tính theo công thức: V = ∫∫∫dxdydz (2.17) V * Điều kiện khả tích và tính chất của tích phân bội ba tương tự như tích phân kép. 46
Chương 2. Tích phân bội 2.4. Tính tích phân bội ba 2.4.1. Công thức tính tích phân bội ba trong hệ toạ độ đề các Định lý 2.3: Nếu f(x,y,z) liên tục trong miền V cho bởi hệ bất phương trình: ⎧a ≤ x ≤ b ⎪ ⎨y1 (x) ≤ y ≤ y2 (x) (2.18) ⎪ ⎩z1 (x, y) ≤ y ≤ z2 (x, y) b y2 ( x) z2 ( x,y) thì ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = ∫ dx ∫ dy ∫ f (x, y, z)dz (2.19) V a y1 ( x) z1 ( x, y) Hệ bất phương trình (2.18) mô tả miền V là một hình trụ cong giới hạn phía trên bởi mặt zz(x,y),= 2 giới hạn phía dưới bởi mặt z = z1(x, y) và giới hạn xung quanh bởi mặt trụ có đường sinh song song với trục 0z, đường chuẩn là biên của miền D (miền Dxy là hình chiếu của V trên mặt phẳng 0xy (H.2.12), cụ thể miền D cho bởi hệ bất phương trình: ⎧a ≤ x ≤ b ⎨ ⎩y1 (x) ≤ y ≤ y2 (x) z2(x,y) y2 (x) y1(x) z1(x, y) Công thức (2.19) chứng tỏ để tính tích phân bội ba ta đưa về tính tích phân lặp. Khi tính tích phân theo biến z ta coi x,y là hằng số. Khi tính tích phân theo biến y coi x là hằng số. Cuối cùng tính tích phân theo biến x. Chú ý: a. Từ công thức (2.10) suy ra công thức (2.119) có thể viết lại như sau: 47
Chương 2. Tích phân bội z2 ( x,y) ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = ∫∫ dzdy ∫ f (x, y, z)dz (2.19)’ V Dxy z1 ( x, y) b. Thay đổi vai trò của các biến x,y,z ta cũng có công thức thay đổi thứ tự lấy tích phân bội ba: z2 ( x, y) x2 ( y,z) ∫∫ dxdy ∫ f (x, y, z)dz = ∫∫ dydz ∫ f (x, y, z)dx (2.19)” Dxy z1 ( x,y) Dyz x1 ( y,z) trong đó Dyz là hình chiếu của miền V lên mặt phẳng 0yz, còn x = x1 ( y, z) và x = x2 ( y, z) là các mặt cong dưới và trên theo hướng 0y để tạo ra miền V. z2 ( x,y) y2 ( x,z) Tương tự: ∫∫ dxdy ∫ f (x, y, z)dz = ∫∫ dzdx ∫ f (x, y, z)dy (2.19)’’’ Dxy z1 ( x,y) Dzx y1 ( x,z) dxdydz Ví dụ 7: Tính I = trong đó miền V được cho giới hạn bởi các mặt ∫∫∫ 3 V (1+ x + y + z) phẳng x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 1, x + y – z = 0. Giải: Vẽ miền V (H.2.13). V là hình chóp tứ giác có đỉnh là gốc toạ độ, đáy là hình chữ nhật ABCD. Mặt trên của V (tam giác OCD) là mặt phẳng có phương trình z = x + y. Mặt dưới của V (tam giác OAB ) là mặt phẳng có phương trình z = 0 . Chiếu V lên mặt phẳng Oxy được tam giác OAB cho bởi hệ bất phương trình: ⎧0 ≤ x ≤ 1 ⎨ ⎩0 ≤ y ≤ 1− x Từ đó theo công thức (2.19) có: 48
Chương 2. Tích phân bội x+ y x+ y 1 1−x dz 1 1 1−x dy I = dx dy = − dx ∫∫∫ 3 ∫ ∫ 2 1+ x + y + z 2 1+ x + y + z 000 ()0 0 ()0 1 1 1−x ⎡ 1 1 ⎤ = − dx − dy ∫ ∫ ⎢ 2 2 ⎥ 2 0 0 ⎣()1+ 2x + 2y ()1+ x + y ⎦ 1 1−x 1 1 1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎛ 1 1 ⎞ = ⎜ − ⎟ dx = ⎜ − ⎟dx − ⎜ − ⎟dx 2 ∫ ⎜ 2()1+ 2x + 2y 1+ x + y ⎟ 4 ∫ 3 1+ 2x 2 ∫ 2 1+ x 0 ⎝ ⎠ 0 0 ⎝ ⎠ 0 ⎝ ⎠ 1 1 1 1 1 = − − ln1+ 2x + ln1+ x 6 8 0 2 0 111⎛⎞ =−−⎜⎟ln 2 ln 3 . 243⎝⎠ Ví dụ 8: Tính I = ∫∫∫ xdxdydz với V cho bởi hệ bất phương trình: V ⎧x ≥ 0 ⎪ ⎨y ≥ 0 ⎪ 2 2 ⎩x + y ≤ z ≤ 4 Giải: Miền V cho bởi H.2.14. Ta thấy mặt trên của V là z = 4 , mặt dưới là paraboloid tròn xoay z = x 2 + y 2 . Hình chiếu D của V lên mặt Oxy là phần tư hình tròn: ⎪⎧0 ≤ x ≤ 2 ⎨ 2 ⎩⎪0 ≤ y ≤ 4 − x Do đó: 49
Chương 2. Tích phân bội 4 2 4−x2 I = ∫∫ dxdy ∫ xdz = ∫∫ x()4 − x 2 − y 2 dxdy = ∫ dx ∫ x ()4 − x 2 − y 2 dy D x2 + y2 D 0 0 2 2 x 4−x2 = x(4 − x 2 ) 4 − x 2 dx − y 3 dx ∫ ∫ 0 0 0 3 3 2 112642 2 5 =−(4 − x22 ) d(4 − x ) =− . (4 − x 2 )2 = . 33515∫ 0 0 Tương tự như tích phân kép, ta cũng có công thức đổi biến số trong tích phân bội ba dưới đây. Định lý 2.4: Cho hàm f (x, y, z) liên tục trên miền VOxyz⊂ đồng thời tồn tại các hàm số: ⎧x =x(u,v,w) ⎪ ⎨y =y(u,v,w) ⎪ ⎩z= z(u,v,w) (u, v, w)∈Ω thoả mãn các điều kiện: - là song ánh từ V lên Ω - có các đạo hàm riêng liên tục trong miền Ω ⊂ 0uvw và định thức Jacobi D(x, y, z) ≠ 0trong miền Ω (hoặc chỉ bằng 0 ở một số điểm cô lập). Khi đó: D(u,v, w) D(x, y,z) ∫∫∫f (x, y,z)dxdydz= ∫∫∫ f[] x(u, v, w), y(u, v, w),z(u, v, w) dudvdw (2.20) V Ω D(u,v,w) 2.4.2. Công thức tính tích phân bội ba trong toạ độ trụ a. Toạ độ trụ : Toạ độ trụ của điểm M (x, y, z)∈0xyz là bộ ba số sắp thứ tự (r,ϕ, z) trong đó (r,ϕ) là toạ độ cực của điểm M’(x,y), hình chiếu của M lên mặt phẳng 0xy (H.2.15). Vậy với mọi điểm của không gian, ta có: r ≥ 0,0 ≤ ϕ < 2π ,−∞ < z < +∞ . 50
Chương 2. Tích phân bội ϕ r Giữa toạ độ đề các và toạ độ trụ của điểm M có mối liên hệ: ⎧x = r cosϕ ⎪ ⎨y = r sinϕ ⎪ ⎩z = z cosϕ − rsinϕ 0 D(x, y, z) Trong trường hợp này = sinϕ r cosϕ 0 = r (2.21) D(r,ϕ, z) 0 0 1 b. Phương trình mặt cong trong toạ độ trụ Hệ thức F (r,ϕ, z) = 0 hoặc giải ra được đối với các biến số r = r(ϕ, z), z = z(r,ϕ) hoặc ϕ = ϕ(r, z) gọi là phương trình mặt cong trong toạ độ trụ. Các trường hợp đặc biệt thường gặp sau đây: r = r0 là phương trình mặt trụ tròn xoay bán kính là r0 và trục đối xứng là Oz (Trong hệ toạ độ Oxyz , mặt trụ này có phương trình x 2 + y 2 = r 2 ). ϕ = ϕ 0 là phương trình nửa mặt phẳng lập với mặt phẳng Ozx một góc là ϕ 0 (tương ứng trong Oxyz phương trình là y = tgϕ 0 .x với x.cosϕ 0 ≥ 0 ). z = z0 là phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxy cắt trục Oz tại điểm có toạ độ z0 . Như vậy mặt cong được mô tả trong hệ toạ độ trụ đôi khi có phương trình rất đơn giản so với trong hệ toạ độ Đề các. c. Công thức tính tích phân bội ba trong toạ độ trụ Từ công thức (2.20) và (2.21) ta nhận được: ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ f (r cosϕ,rsinϕ, z)rdrdϕdz (2.22) V Ω Thông thường miền Ω trong toạ độ trụ mô tả bởi hệ bất phương trình: 51
Chương 2. Tích phân bội ⎧ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 ⎪ ⎨r1 (ϕ) ≤ r ≤ r2 (ϕ) ⎪ ⎩z1(r,ϕ) ≤ z ≤ z2 (r,ϕ) Khi đó (2.22) trở thành: ϕ2 r2 (ϕ ) z2 (r,ϕ ) ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = ∫ dϕ ∫ rdr ∫ f (r cosϕ,rsinϕ, z)dz (2.23) V ϕ1 r1 (ϕ ) z1 (r,ϕ ) Ví dụ 9: Tính I = ∫∫∫(x 2 + y 2 )dxdydz trong đó V giới hạn bởi các mặt V z = 0, a 2 z 2 = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = R 2 , z ≥ 0,a > 0 . Giải: Miền V nằm trong góc phần tám thứ nhất được cho trên hình H.2.16 được giới hạn bởi mặt 0xy, mặt nón, mặt trụ. Các mặt nón và mặt trụ có phương trình viết trong toạ độ trụ là: az = r,r = R (nhận được bằng cách thay x = rcosϕ, y = rsinϕ vào phương trình các mặt cong đã cho). Như vậy miền Ω cho bởi hệ bất phương trình: ⎧ ⎪0 ≤ ϕ ≤ 2π ⎪ ⎨0 ≤ r ≤ R ⎪ r ⎪0 ≤ z ≤ ⎩ a r 2π R a 2π R 2π Suy ra I = ∫ dϕ ∫ r 3dr∫ dz = ∫ r 4dr = R5 0 0 0 a 0 5a 52
Chương 2. Tích phân bội Chú ý: Khi miền V có dạng hình trụ và hàm dưới dấu tích phân chứa các biểu thức x 2 + y 2 thì thường tính tích phân trong toạ độ trụ sẽ đơn giản hơn trong toạ độ đề các. 2.4.3. Công thức tính tích phân bội ba trong toạ độ cầu a. Toạ độ cầu: Toạ độ cầu của một điểm M (x, y, z) ∈0xyz là bộ ba số (r,θ,ϕ) trong đó r = OM ,θ là góc giữa trục 0z và 0M và ϕ là góc giữa trục 0x và 0M ' , ở đây M’ là hình chiếu của M trên 0xy (H.2.17). Vậy với mọi điểm của không gian sẽ có: r ≥ 0,0 ≤ θ ≤ π ,0 ≤ ϕ < 2π . Dễ thấy giữa các toạ độ đề các và toạ độ cầu có mối quan hệ: ⎧x = r sinθ cosϕ ⎪ ⎨y = r sinθ sin ϕ ⎪ ⎩z = r cosθ sinθ cosϕ r cosθ cosϕ − sinθ sinϕ D(x, y, z) Và như vậy = sinθ sinϕ r cosθ cosϕ rsinθ cosϕ = −r 2 sinθ (2.24) D(r,θ,ϕ) cosθ − rsinθ 0 z z r M (x, y, z) θ y 0 y ϕ x M '(x, y,0) x H.2.17 b. Phương trình mặt cong trong toạ độ cầu Hệ thức F(r,θ,ϕ) = 0 hoặc giải ra được đối với các biến số r = r(θ,ϕ);θ = θ (ϕ,r);ϕ = ϕ(r,θ ) gọi là một phương trình mặt cong trong toạ độ cầu. Các trường hợp đặc biệt thường gặp sau đây: r = r0 mô tả mặt cầu tâm gốc toạ độ 0 và bán kính r0 ( trong hệ toạ độ 0xyz, mặt cầu này có 2 2 2 2 phương trình x + y + z = r0 ). θ = θ0 là phương trình của mặt nón tròn xoay, đỉnh 0 và trục đối xứng là 0z có góc mở là 2θ (mặt nón này trong hệ 0xyz có phương trình x 2 + y 2 = tgθ.z ). ϕ = ϕ 0 là phương trình nửa mặt phẳng lập với mặt phẳng 0xy một góc ϕ 0 (nửa mặt phẳng này trong hệ toạ độ 0xyz có phương trình y = tgϕ 0 .x với xcosϕ 0 ≥ 0 ). 53
Chương 2. Tích phân bội c. Công thức tính tích phân bội ba trong toạ độ cầu Từ công thức (2.20) và (2.24) ta nhận được: ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ f (rsinθ cosϕ,rsinθ sinϕ,rcosθ )r 2 sinθdrdθdϕ (2.25) V Ω Ta hay gặp miền Ω trong toạ độ cầu mô tả bởi hệ bất phương trình: ⎧ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ 2 ⎪ ⎨θ1 (ϕ) ≤ θ ≤ θ 2 (ϕ) ⎪ ⎩r1 (θ,ϕ) < r ≤ r2 (θ,ϕ) Khi đó công thức (2.25) trở thành: ϕθϕ22() r(,) 2 θϕ ∫∫∫f (x, y,z)dxdydz=ϕ ∫ d ∫ sin θθ d ∫ f (r sin θϕ cos ,r sin θϕ sin ,r cos θ )r2 dr (2.26) V()r(,)ϕθϕ11 θϕ 1 Ví dụ 10: Tính I = dxdydz , trong đó V là miền giới hạn bởi hai mặt ∫∫∫ 2 2 2 V x + y + z cầu x 2 + y 2 + z 2 = 1 và x 2 + y 2 + z 2 = 4 Giải: Chuyển sang toạ độ cầu, hai mặt cầu đã cho có phương trình lần lượt là r = 1,r = 2 . Gốc toạ độ là điểm trong của miền V nên miền Ω cho bởi hệ bất phương trình: ⎧0 ≤ ϕ ≤ 2π ⎪ ⎨0 ≤ θ ≤ π ⎪ ⎩1 ≤ r ≤ 2 Do đó : 22ππ 11π 2 Idsind.rdr2(cos)r=ϕ∫∫ θθ ∫22 =π−θ =π 6. 00 1r201 Ví dụ 11: Tính I = ∫∫∫(x 2 + y 2 )dxdydz trong đó V là miền ngoài giữa hình trụ V x 2 + y 2 ≤ R 2 và hình cầu xyz4R.222++≤ 2 Giải: Một thiết diện của miền V cho trên hình H.2.18. Xét trong hệ toạ độ cầu, mặt cầu có R phương trình r = 2R , mặt trụ có phương trình r = (thay x = rsinθ cosϕ, y = rsinθ sinϕ sinθ vào phương trình x 2 + y 2 = R 2 sẽ nhận được kết quả trên). Để tìm sự biến thiên của θ ta xét giao R 1 π 5π của mặt cầu và mặt trụ: r = 2R = . Suy ra sinθ = ,⇒ θ = ,θ = sinθ 2 6 6 54
Chương 2. Tích phân bội π 6 Vì V là vật thể tròn xoay nhận Oz làm trục đối xứng, nhận mặt phẳng Oxy làm mặt phẳng đối xứng và hàm dưới dấu tích phân chẵn đối với x, y cho nên π π 2π 2 2R 2 1 I = 2 dϕ sinθdθ r 4 sin 2 θdr = 4 πR5 (32 − ) sin 3 θdθ ∫∫ ∫5 ∫ 5 0 π R π sin θ 6 sinθ 6 π π ⎡ ⎤ π 2 2 5 4 ⎢ dθ ⎥ 4 ⎡ 1 ⎤ 2 = πR5 ⎢32 sinθ (1 − cos 2θ )dθ − ⎥ = πR 32(− cosθ + cos3 θ ) + cot gθ ∫ ∫ 2 ⎢ ⎥ π 5 ⎢ π π sin θ ⎥ 5 ⎣ 3 ⎦ 6 ⎣⎢ 6 6 ⎦⎥ 44 3 =πR.5 5 Chú ý: Khi miền V có dạng hình cầu, hàm dưới dấu tích phân chứa các biểu thức dạng x 2 + y 2 hoặc x 2 + y 2 + z 2 nên chuyển sang toạ độ cầu, hoặc toạ độ trụ để tính toán cho đơn giản hơn.Ta có thể kiểm tra lại kết quả của ví dụ trên bằng cách dùng toạ độ trụ. TÓM TẮT CHƯƠNG 2. • Tính tích phân kép trong toạ độ đề các Nếu hàm số f(x,y) liên tục trên miền D cho bởi hệ bất phương trình b ϕ (x) ⎧a ≤ x ≤ b 2 ⎨ thì ∫∫f (x, y)dxdy = ∫dx ∫ f (x, y)dy ⎩ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2 (x) D a ϕ1 (x) • Tính tích phân kép trong toạ độ cực Nếu hàm số f(x,y) liên tục trên miền Δ cho bởi hệ bất phương trình 55
Chương 2. Tích phân bội ϕ2 r2 (ϕ ) ⎧ϕϕϕ12≤≤ ⎨ thì f (x, y)dxdy = dϕ f (r cosϕ,rsinϕ)rdr rrr()ϕ ≤≤ ()ϕ ∫∫ ∫ ∫ ⎩ 12 D ϕ1 r1 (ϕ ) • Thay đổi thứ tự lấy tích phân (công thức Fubini ) b ϕ2 ( x) d ψ 2 ( y) ∫ dx ∫ f (x, y)dy = ∫ dy ∫ f (x, y)dx a ϕ1 ( x) c ψ1 ( y) • Tính tích phân bội ba trong toạ độ đề các Nếu f(x,y,z) liên tục trong miền V cho bởi hệ bất phương trình: ⎧a ≤ x ≤ b ⎪ ⎨y1 (x) ≤ y ≤ y2 (x) ⎪ ⎩z1 (x, y) ≤ y ≤ z2 (x, y) b y2 ( x) z2 ( x,y) thì ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = ∫ dx ∫ dy ∫ f (x, y, z)dz V a y1 ( x) z1 ( x, y) • Tính tích phân bội ba trong toạ độ trụ Nếu f(x,y,z) liên tục trong miền Ω mô tả bởi hệ bất phương trình: ⎧ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 ⎪ ⎨r1(ϕ) ≤ r ≤ r2 (ϕ) ⎪ ⎩z1(r,ϕ) ≤ z ≤ z2 (r,ϕ) ϕ2 r2 (ϕ ) z2 (r,ϕ ) thì ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = ∫ dϕ ∫ rdr ∫ f (r cosϕ,rsinϕ, z)dz V ϕ1 r1 (ϕ ) z1 (r,ϕ ) CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 2. 2.1. Dùng tích phân bội hai có thể xác định được diện tích hình phẳng D Đúng Sai 2.2. Khi hàm dưới dấu tích phân bội hai có dạng biến số phân ly thì tích phân bội hai sẽ là tích của hai tích phân xác định. Đúng Sai 2.3. Khi gốc toạ độ là điểm trên biên của miền D thì chuyển sang toạ độ cực ta có ϕ biến thiên từ 0 đến 2π . Đúng Sai 2.4. Khi gốc toạ độ là điểm trong của miền D thì chuyển sang toạ độ cực ta có ϕ biến thiên từ 0 đến 2π . Đúng Sai 2.5. Có thể tính khối lượng vật thể khi biết hàm mật độ ρ nhờ vào tích phân bội 3. Đúng Sai 56
Chương 2. Tích phân bội 2.6. Có thể tính thể tích vật thể nhờ tích phân bội 3 Đúng Sai 2.7. Có thể biểu diễn tích phân bội 3 qua tích phân lặp gồm tích phân xác định tích phân bội 2. Đúng Sai 2.8. Hình chiếu miền V lên mặt phẳng Oxy nhận gốc toạ độ là điểm trong thì chuyển sang toạ độ trụ hoặc toạ độ cầu sẽ có 02≤≤ϕ π Đúng Sai 2.9. Hình chiếu miền V lên trục Oz nhận gốc toạ độ là điểm trong thì chuyển sang toạ độ cầu sẽ có 02≤≤θ π . Đúng Sai 2.10. Đổi thứ tự tích phân các tích phân sau: 24 a. ∫∫dx f(, x y ) dy , −2 x2 3 2 y b. ∫∫dy f(, x y ) dx , 10 π 4 cosx c. ∫∫dx f(, x y ) dy , π − 0 2 22xx− 2 d. ∫∫dx f(, x y ) dy . 12−x 2.11. Tính các tích phân bội hai sau: dxdy a. ,(,):1,1,3.Dxyxyxy=≥≥+≤ ∫∫ 3 {} D (x+y) b. ∫∫ x+=≤≤ y dxdy,(,):1,1. D{ x y x y } D c. ∫∫ ln(x+ y ) dxdy , D là miền giới hạn bởi các đường x =1,yy==+ 1, 1 x . D d. ∫∫ x2 ()y− x dxdy , D là miền giới hạn bởi các đường y ==xx22,. y D 2.12. Tính các tích phân bội hai sau: a. ∫∫ x22+ ydxdy D D là miền giới hạn bởi các đường tròn xyaxy22222+ =+=>,4,0 aa 2 b. ∫∫ (1)x22++ydxdy, D là miền giới hạn bởi đường xyx22+ −=0 D 57
Chương 2. Tích phân bội c. ∫∫ (21)x ++ydxdy, D là giao của hai hình tròn x22+ yyxyx≤+≤2, 22 2 D d. ∫∫ 4,(,):0,2.−−x22ydxdyD ={ xy y ≥ x 22 + y ≤ x} D 2.13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a. xyyxy=−4,2 += 6 b. y232==−xy,8(6) x 3 x c. yy==−=2,x , y 4 2 51 d. y2222===xy,,,2. xx yx y 23 2.14. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt: a. zx=+22 yzxy, =+ b. x222++=yz2, zxyz 222 += . 2.15. Tính các tích phân bội ba sau: ⎧⎫1 22 a. ∫∫∫ zdxdydz,(,,):0, V=≤≤≤≤≤≤−−⎨⎬ x y z x x y 2,01 x z x y V ⎩⎭4 b. ∫∫∫ (1−−−x y zdxdydzV ) , ={ ( xyz , , ) : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x ++≤ y z 1} V c. ∫∫∫ xyz dxdydz,(,,):0, V=≤≤+≤{ x y z z a x22 y 2 z} V ⎧ xy22+ z 2 ⎫ d. (),(,,):1,0.xyzdxdydzVxyz222++ = + ≤ a > ∫∫∫ ⎨ 22 ⎬ V ⎩⎭aa3 58
Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt CHƯƠNG 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT GIỚI THIỆU Tích phân đường và tích phân mặt là sự mở rộng của tích phân nhiều lớp trên hai phương diện: lấy tích phân trên các cung cong thay cho trên đoạn thẳng, tích phân trên mặt cong thay cho miền phẳng, đặc biệt để ý đến việc định hướng của đường cong và mặt cong. Chính vì thế ý nghĩa thực tiễn của tích phân đường, tích phân mặt là rất lớn. Hầu hết các bài toán kỹ thuật liên quan đến trường véctơ đều liên quan đến tích phân đường, tích phân mặt: tính công của lực, tính thông lượng của trường. Tính tích phân đường dẫn đến tính tích phân xác định, tính tích phân mặt dẫn đến tính tích phân bội hai, vậy một lần nữa yêu cầu người học phải có kĩ năng tính tích phân xác định. Trong chương này yêu cầu nắm vững các nội dung chính sau đây: 1. Tích phân đường loại 1 Trước hết nhớ lại công thức vi phân cung (xem công thức 4.26, mục 4.4.2,TOÁN CAO CẤP A 1 ) và để ý rằng cận trên luôn luôn lớn hơn cận dưới. 2. Tích phân đường loại 2 Khi tính phải lưu ý đến hướng của đường cong tùy theo hướng đã định mà tìm cận trên, cận dưới của tích phân xác định. Trường hợp đường cong kín nên vận dụng công thức Green nếu các điều kiện của định lí được thỏa mãn, tổng quát hơn phải sử dụng công thức Xtốc. 3. Tích phân mặt loại 1 Chú ý đến công thức tính yếu tố diện tích của mặt cong cho bởi phương trình dạng tường minh (chẳng hạn z = z (x,y)) để từ đó đưa về tính tích phân bội hai trên hình chiếu của mặt cong lên mặt phẳng tọa độ tương ứng (mặt phẳng tọa độ Oxy). 4. Tích phân mặt loại 2 Để tính tích phân mặt loại hai, trước hết phải xác định các phía của mặt cong đã định hướng thông qua các côsin chỉ phương của véctơ pháp tuyến. Tiếp theo, tìm hình chiếu của mặt cong lên các mặt phẳng tọa độ. Khi mặt cong kín thường sử dụng công thức Ôxtrôgratxki. 59
Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt NỘI DUNG. 3.1. Tích phân đường loại một. 3.1.1. Định nghĩa A i Mi Δyi Ai −1 Δxi Cho hàm số f (x, y) xác định trên một cung phẳng AB (H.3.1) * Chia cung AB là n cung nhỏ bởi các điểm chia A0 ≡ A, A1, , Ai−1, Ai , An ≡ B gọi độ dài cung AAii−1 là Δsi ,(i = 1,n) * Lấy tuỳ ý Miii(,xy )∈= A i−1 A i ,(1,) i n n * Lập tổng I n = ∑ f (xi , yi )Δsi gọi là tổng tích phân đường loại một của hàm f (x, y) lấy i=1 trên cung AB ứng với một phân hoạch và một cách chọn tuỳ ý các điểm Miii∈=AAi−1 ,( 1, n ). Nếu khi n → ∞ sao cho max Δsi → 0, I n hội tụ về số I không phụ thuộc cách chia cung AB và cách chọn Miii∈=AAi−1 ,( 1, n )thì số I gọi là tích phân đường loại một của f(x,y) dọc theo cung AB và ký hiệu ∫ f (,xyds ) AB n Vậy I =Δ=lim∑ fxy (ii , ) s i fxyds ( , ) (3.1) maxΔ→s 0 ∫ i i=1 AB Nếu có tích phân (3.1) thì nói rằng f(x,y) khả tích trên AB .Trong tích phân (3.1), ds ký hiệu độ dài yếu tố của cung AB hay vi phân của cung AB . Mở rộng: Nếu f(x,y,z) khả tích trên cung AB ⊂3 thì tích phân đường loại một của f(x,y,z) trên cung AB ký hiệu là 60
Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt I = ∫ fxyzds(, ,) (3.2) AB Chú ý: a. Từ định nghĩa trên ta thấy chiều đi của cung AB không đóng vai trò gì cả vì In không phụ thuộc vào hướng của cung AB . Vậy ∫∫f (,xyds )= f (, xyds ) (3.3) AB BA b. Rõ ràng nếu gọi l là độ dài cung AB thì lds= ∫ (3.4) AB c. Nếu một dây vật chất có dạng cung AB và mật độ khối lượng là ρ(x, y) thì khối lượng của dây vật chất đó tính theo công thức: mxyds= ∫ ρ(, ) (3.5) AB d. Người ta đã chứng minh được: nếu cung AB là cung trơn (tiếp tuyến của cung biến thiên liên tục) hoặc trơn từng khúc (chia cung AB thành hữu hạn các cung thành phần, các cung thành phần là các cung trơn) và f(x,y) liên tục trên cung AB thì f(x,y) khả tích trên cung AB. e. Vì định nghĩa trên tương tự với tích phân xác định, tích phân bội nên tích phần đường loại một có các tính chất giống như tích phân xác định. 3.1.2. Công thức tính tích phân đường loại một Định lý 3.1. Giả sử cung AB trơn cho bởi phương trình: y = y(x), a ≤ x ≤ b và hàm số f(x,y) liên tục trên cung AB . Khi đó: b ∫∫f (,x y ) ds=+ f (, x y ())1 x y '()2 x dx (3.6) AB a Chứng minh: Thực hiện phép chia cung AB bởi các điểm Ai (xi , yi ),i = 1,n như định nghĩa đã trình bày. Gọi Δxi = xi − xi−1 ,Δyi = yi − yi−1 (i = 1,n) (xem H.3.1). Với Δxi ,Δyi khá bé thì: 2 2 Δyi 2 Δsi ≈ Δxi + Δyi = 1 + ( ) .Δxi Δxi Δyi Theo công thức Lagrange, ta có =ξy'(iii1i ), ξ∈ (x− , x ),i = 1, ,n Δxi / 2 Suy ra Δsi ≈ 1 + y (ξi ) Δxi ,ξi ∈(xi−1, xi ) Sau khi thực hiện phép chia cung AB , ta chọn Mii(,())ξξyAAin i∈= i−1 i , 1, 61
Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt Vậy tổng tích phân tương ứng sẽ là: n n 2 I n = ∑ f (ξi , y(ξi ))Δsi ≈ ∑ f (ξi , y(ξi )) 1 + y' (ξi ) Δxi i=1 i=1 Cho n → ∞ sao cho max Δxi → 0 hay max Δsi → 0 thì do sự tồn tại của tích phân đường loại một nên vế trái dần đến ∫ f (,xyds ) , còn vế phải chính là tích phân xác định của hàm số AB f (x, y(x)) 1 + y'2 (x) trên [a,b] nghĩa là ta nhận được công thức (3.6). Nếu cung AB cho bởi phương trình tham số: ⎧xx(t)= ⎨ , t12≤ t≤ t ⎩yy(t)= y'(t) 1 thì y'(x) = ,dx = x'(t)dt, 1+ y'2 (x) = x'2 (t) + y'2 (t) x'(t) x'(t) Vì a ≤ b và t1 ≤ t2 nên công thức (3.6) trở thành : t2 ∫∫f (,xyds )=+ fxt [(),()] yt x '()22 t y '() tdt (3.7) AB t1 Đặc biệt khi AB cho trong toạ độ cực r = r(ϕ), ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ 2 . Ta có thể coi rằng AB cho dưới dạng tham số: ⎧x = r(ϕ)cosϕ ⎨ ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ 2 ⎩y = r(ϕ)sinϕ Khi đó x′2 (ϕ) + y′2 (ϕ) = r 2 (ϕ) + r′2 (ϕ) . Suy ra (3.6) có dạng: ϕ2 ∫∫f(x,y)ds= f[] r(ϕϕϕϕ )cos ,r( )sin r22 ( ϕ+ϕϕ ) r′ ( )d (3.8) AB ϕ1 ⎧x = x(t) 3 ⎪ Tổng quát cung AB ⊂ cho bởi phương trình tham số ⎨y = y(t) t1 ≤ t ≤ t2 ⎪ ⎩z = z(t) và nếu f(x,y,z) khả tích trên cung đó thì: t2 ∫∫f (xyzds , , )=++ f ( xt (),(),()) yt zt x′′′222 () t y () t z () tdt S (3.9) AB t1 Ví dụ 1: Tính ∫ (x + y)ds , C là biên tam giác với các đỉnh O (0,0), A (1,0), B (0,1). C Giải: Đường C cho bởi H (3.2) 62
Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt Theo tính chất của tích phân ta có: ∫∫∫∫=++ C OA AB BO Đoạn OA có phương trình y = 0, 0 ≤ x ≤ 1 1 1 1 1 ∫ (x + y)ds = ∫ x 1+ 0dx = x 2 = OA 0 2 0 2 Đoạn AB có phương trình: y = 1− x, 0 ≤ x ≤ 1 1 ∫ (x + y)ds = ∫1 1+1dx = 2 AB 0 Đoạn BO có phương trình: x = 0, 0 ≤ y ≤ 1 1 1 1 1 (x + y)ds = y 1 + 0dy = y 2 = ∫ ∫ 2 2 BO 0 0 (Sử dụng công thức (3.6) trong đó thay đổi vai trò các biến x và y cho nhau) ∫ (x+=+ y)ds 1 2. C Ví dụ 2: Tính I = ∫ x 2 + y 2 ds , L là đường tròn xy2x.22+= L Giải: Đường tròn L cho bởi H 3.3. y L 0 12 x H.3.3 63
Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt π π Trong toạ độ cực phương trình đường L có dạng r = 2cosϕ, − ≤ ϕ ≤ . Theo công thức 2 2 (3.8) thì: ππ 22π 22 I=ϕϕ+ϕϕ=ϕϕ=ϕ= 2cos 4cos 4sin d 8 cos d 8sin2 8. ∫∫0 π − 0 2 Bạn đọc có thể giải ví dụ 2 bằng cách viết phương trình đường tròn x 2 + y 2 = 2x dưới dạng ⎧x1cost=+ tham số: ⎨ −π≤t. ≤π ⎩ysint= 3.2. Tích phân đường loại hai 3.2.1. Bài toán mở đầu: Tính công của lực biến đổi Bài toán: Một chất điểm M di chuyển dọc theo một cung phẳng AB từ điểm A đến điểm B dưới tác dụng của lực F()MPMiQMjPQMAB=+ () () = (,), ∈ . Hãy tính công W của lực đó sinh ra. Cách tính: Chia cung AB làm n cung nhỏ bởi các điểm chia A0 , A1, , An . Gọi Δsi là độ dài cung AAii−1 và các thành phần của véc tơ Ai−1 Ai là Δxi ,Δyi ; i = 1,n (H 3.4) y B Ai M iΔ y i Ai−1 A Δ x i x ab0 H.3.4 Lấy tuỳ ý Miii(,xy )∈ A i−1 A i. Nếu cung AAii−1 khá nhỏ có thể coi nó xấp xỉ dây cung Ai−1 Ai và F(M ) không đổi (cả chiều và độ lớn) trên cung đó. Vì thế có thể coi rằng công của lực sinh ra khi chất điểm di chuyển từ Ai-1 đến Ai theo cung AAii−1 sẽ xấp xỉ bằng F(M i ).Ai−1 Ai = P(M i )Δxi + Q(M i )Δyi Suy ra công W của lực sinh ra sẽ xấp xỉ là: 64
Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt n W ≈ ∑P(xi , yi )Δxi + Q(xi , yi )Δyi i=1 Như vậy giới hạn của tổng trên khi n → ∞ sao cho max Δsi → 0 chính là công của lực: n W = lim P(xi , yi )Δxi + Q(xi , yi )Δyi max Δs →0 ∑ i i=1 Ý tưởng tính công của lực dẫn đến khái niệm tích phân đường loại hai. 3.2.2. Định nghĩa Cho hai hàm số P(x,y), Q(x,y) xác định trên cung L (hay cung AB ) * Chia cung L thành n cung nhỏ bởi các điểm chia: A ≡ A0 , A1, Ai−1 , Ai , , An ≡ B Gọi tọa độ của vectơ Ai−1 Ai là Δxi ,Δyi và độ dài cung AAii−1 là Δsi ,i = 1,n . * Lấy tuỳ ý Miii(,xy )∈= A i−1 Ai i , 1, n. n * Lập tổng I n = ∑P(M i )Δxi + Q(M i )Δyi , gọi đó là tổng tích phân đường loại hai của i=1 hàm số P(x, y),Q(x, y) dọc theo L đi từ A đến B ứng với một phân hoạch của L và một cách chọn Miii∈ AA−1 . * Khi n → ∞ sao cho max Δsi → 0 hay max Δxi → 0 và max Δyi → 0 mà I n hội tụ về số I không phụ thuộc cách chia cung L và cách chọn tuỳ ý Miii∈ AA−1 thì số I gọi là tích phân đường loại hai của các hàm P(x,y),Q(x,y) dọc theo cung AB đi từ A đến B và ký hiệu là ∫ PxydxQxydy(, )+ (, ) . AB n * Như vậy ∫ PxydxQxydy(, )+= (, ) lim∑ Px (ii , y ) Δ+Δ x i Qx ( ii , y ) y i (3.10) Δ→xi 0 AB i=1 Δ→yi 0 Chú ý: a. Khác với tích phân đường loại một, ở tích phân đường loại hai, hướng lấy tích phân của L là quan trọng. Nếu ta dọc theo cung AB đi từ B đến A thì các vectơ AAii−1 đổi hướng, tức là các thành phân của vectơ đó là − Δxi ,−Δyi ,(i = 1,n) . Vậy tổng tích phân sẽ đổi dấu, suy ra: ∫∫PxydxQxydy(, )+=−+ (, ) PxydxQxydy (, ) (, ) (3.11) AB BA b. Công sinh ra do lực FP(x,y)iQ(x,y)j=+ để chất điểm dịch chuyển từ A đến B theo cung AB sẽ là: WP(x,y)dx(,)=+∫ Qxydy (3.12) AB 65
Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt c. Nếu AB là đường cong trong không gian có ba hàm số P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) xác định trên cung AB thì tích phân đường loại hai của ba hàm số đó cũng được ký hiệu là: ∫ P(, x y ,) z dx++ Q (, x y ,) z dy R (, x y ,) z dz (3.13) AB d. Cho L là đường cong phẳng (nằm trên mặt phẳng 0xy) và kín. Người ta qui ước gọi hướng dương của đường cong L là hướng sao cho một người đi dọc L theo hướng đó thì thấy miền giới hạn bởi L gần mình nhất ở bên trái. Tích phân lấy theo hướng dương thường ký hiệu là : ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy L+ Còn tích phân lấy theo hướng ngược lại sẽ dùng dấu ∫ L− e. Tương tự tích phân đường loại một, người ta cũng chứng minh về sự tồn tại tích phân đường loại hai: Nếu cung AB trơn hoặc trơn từng khúc và các hàm P(x,y), Q(x,y) liên tục trên cung đó thì tồn tại tích phân đường loại hai của hai hàm P(x,y), Q(x,y) lấy theo cung AB. f. Tích phân đường loại hai cũng có các tính chất tương tự như tích phân xác định. 3.2.2. Công thức tính tích phân đường loại hai. Định lý 3.2. Giả sử hai hàm số P(x,y), Q(x,y) liên tục trên cung AB trơn cho bởi phương ⎧x = x(t) trình tham số: ⎨ ⎩y = y(t) Điểm A ứng với giá trị tham số t = t A , B ứng với giá trị tham số tB . Khi đó: tB ∫∫PxydxQxydy(,)+= (,) [((),())'() Pxt yt x t + Qxt ((),())'()] yt y t dt (3.14) AB tA Chứng minh: Ta thực hiện phép chia cung AB như đã trình bày trong phần định nghĩa. Khi đó đoạn []t A ,tB tương ứng được chia thành n đoạn bởi các số ti tương ứng với các điểm Ai ,i = 1,n t A ≡ t0 ,tB ≡ tn và theo định lý Lagrange ta có: Δx = x(t ) − x(t ) = x'(t * )Δt i i i−1 i i Δyi = y(ti ) − y(ti−1 ) = y'(ti )Δti * trong đó ti ,ti là điểm nằm trong khoảng (ti−1 ,ti ),Δti = ti − ti−1 . Để lập tổng tích phân n * * ∑P(xi , yi )Δxi , ta chọn các điểm Miii(,xy )∈ A i−1 A i, sao cho xi = x(ti ), yi = y(ti ) . Khi đó i=1 n * Pxydx(,)=Δ lim∑ Pxt ((),())'()ii yt x t ii t ∫ maxΔ→t 0 AB i i=1 66
Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt Vì điều kiện đủ tồn tại tích phân đã thoả mãn nên với cách chọn M i như trên ta có: tB ∫∫Pxydx(, )= Pxt ((),())'() yt x tdt (3.15) AB tA tB Lý luận tương tự ta có: ∫∫Qxydy(, )= Qxt ((),())'() yt y tdt (3.16) AB tA Vậy cuối cùng ta nhận được công thức (3.14). Trường hợp đường cong AB trong không gian 0xyz cho bởi phương trình tham số: ⎧x = x(t) ⎪ ⎨y = y(t) ⎪ ⎩z = z(t) Các điểm A,B tương ứng với các tham số t A ,tB khì đó chứng minh hoàn toàn tương tự, ta có: : tB P(,,) x y z dx++= Q (,,) x y z dy R (,,) x y z dz⎡ P ((),(),())() x t y t z t x/// t ++ Q ( ) y () t R ( ) z () t⎤ dt ∫∫⎣ ⎦ AB tA (3.17) Khi cung AB phẳng cho bởi phương trình dạng tường minh y=y(x), A,B có hoành độ tương ứng là a, b thì theo công thức (3.14) , coi x là tham số, ta nhận được: b ∫∫PxydxQxydy(, )+= (, )[] Pxyx (, ()) + Qxyx (, ())'() y x dx (3.18) AB a hoặc nếu AB cho bởi phương trình x=x(y) , A,B có tung độ tương ứng là c,d thì d ∫∫P(, x y ) dx+= Q (, x y ) dy[] P ((),)'() x y y x y + Q ((),) x y y dy (3.19) AB c x 2 y 2 Ví dụ 3: Tính công sinh bởi lực F = − yi + x j sinh ra dọc theo ellipse + = 1và theo a 2 b2 hướng dương của nó. Giải: Phương trình tham số của đường ellipse đã cho là: ⎧x = a cost ⎨ 0 ≤ t ≤ 2π ⎩y = bsint t tăng từ 0 đến 2π ứng với hướng dương của đường ellipse. Do đó công sinh bởi lực F sẽ là: 67
Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt 2π A=−=∫∫ xdy ydx (a cos t.bcost + bsin t.a sin t)dt + L 0 2π ==π ab∫ dt 2 ab. 0 Ví dụ 4: Tính I = ∫ (2xy − x 2 )dx + (x + y 2 )dy trong đó L là cung của parabôn y = 1− x 2 L đi từ điểm A(0,+1) đến điểm B(-1,0). Giải: y = 1− x 2 ⇒ dy = −2xdx −1 22 24 I2x(1x)x(x12xx)(2x)dx=−−++−+−∫ ⎣⎦⎡⎤ 0 −1 7 =−∫ (2x532 + 2x − 3x)dx = . 0 6 3.3. Công thức Grin (Green) Giả sử D là miền liên thông, bị chặn có biên là L gồm một hay nhiều đường cong kín trơn hoặc trơn từng khúc. Sau đây ta sẽ đưa ra công thức liên hệ giữa tích phân đường loại hai dọc theo L và tích phân bội hai trên miền D có tính chất đã nêu ra. Định lý 3.3. Cho các hàm số P(x,y), Q(x,y) liên tục cùng các đạo hàm riêng cấp một trong miền D có biên là đường L, khi đó: ∂Q ∂P ∫∫( − )dxdy = ∫ Pdx + Qdy (3.20) D ∂x ∂y L+ y2(x) y1(x) Chứng minh: a. Trước hết xét miền D đơn liên và đơn giản theo nghĩa nó được mô tả bởi hệ bất phương trình: (Xem H.3.5) ⎧a ≤ x ≤ b ⎨ ⎩y1 (x) ≤ y ≤ y2 (x) ⎧c ≤ y ≤ d hoặc ⎨ ⎩x1 ( y) ≤ x ≤ x2 ( y) 68
Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt LABBCCA=∪∪ AC có phương trình : y = y1 (x), a ≤ x ≤ b BC có phương trình x = b, y1 (b) ≤ y ≤ y2 (b) AB có phương trình y = y2 (x), a ≤ x ≤ b Theo công thức tính tích phân kép ta có: ∂P b y2 ( x) ∂P b y (x) ∫∫ dxdy = ∫ dx ∫ dy = ∫ P(x, y) 2 dx ∂y ∂y y1 (x) D a y1 ( x) a b b = P(x, y (x))dx − P(x, y (x))dx ∫ 2 ∫ 1 a a Theo công thức tính tích phân đường loại hai (3.18) và chú ý a. ta có: bb ∫∫∫∫P(, x y21 ()) x dx== P (, x y ) dx , P (, x y ()) x dx P (, x y ) dx ,suy ra aaAB AC ∂P dxdy=+ P(, x y ) dx P (, x y ) dx ∫∫∂y ∫ ∫ D AB CA Mặt khác ∫ Pxydx(, )= 0 vì BC có phương trình x=b nên dx=0. Vậy BC ∂P dxdy=++= P(, x y ) dx P (, x y ) dx P (, x y ) dx P (, x y ) dx ∫∫∂y ∫ ∫ ∫ ∫ DLAB BC CA ∂Q Tương tự ta có: ∫∫ dxdy = ∫Q(x, y)dy D ∂x L Từ các kết quả này suy ra công thức Green (3.20) b. Xét D là miền đơn liên bất kỳ (H.3.6). Ta luôn có thể phân hoạch miền D thành hữu hạn các miền đơn giản, chẳng hạn có thể chia D thành 3 miền có chung biên là đoạn AB và BC. Theo tính chất của tích phân bội hai và kết quả đã chứng mình phần trên, ta có y C D2 B p m D1 n D 3 x 0 b A H.3.6 69
Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt ∂Q ∂P ( − )dxdy = + + ∫∫ ∂x ∂y ∫∫ ∫∫ ∫∫ D D1 D2 D3 ∂QP∂ ∫∫()−=+++++dxdy ∫ Pdx Qdy ∫ Pdx Qdy ∫ Pdx Qdy ∂∂xy D1 AB BC CmA ∂∂QP ∫∫()−=+++dxdy ∫ Pdx Qdy ∫ Pdx Qdy ∂∂xy D2 CB BpC ∂∂QP ∫∫()−=+++dxdy ∫ Pdx Qdy ∫ Pdx Qdy ∂∂xy D3 BA AnB Cộng các vế với các hệ thức trên và để ý đến chú ý a. của tích phân đường loại hai, ta nhận được được công thức Green (3.20). c. Trường hợp D là miền đa liên, chẳng hạn D là miền nhị liên (H.2.7), biên L gồm hai đường L1 và L2 rời nhau. Ta có thể chia miền D thành 4 miền nhỏ. Áp dụng công thức Green cho cả 4 miền và sử dụng chú ý a, ta cũng nhận được công thức (3.20). Trong trường hợp này cần lưu ý: Tích phân dọc theo L1 có hướng ngược chiều kim đồng hồ, còn tích phân dọc theo L2 có hướng thuận chiều kim đồng hồ. Như vậy tích phân ∫ Pdx + Qdy đúng là lấy theo hướng dương của L+ biên L như đã qui ước ở chú ý d. y L 2 L 1 x 0 H.3.7 Chú ý: Công thức Green (3.20) cho ta công thức tính diện tích miền phẳng D nhờ vào tích phân đường loại hai như sau: ∂P ∂Q Lấy trong (3.20) các hàm P(x, y) = − y và Q(x, y) = x thì = −1, = 1 ∂y ∂x 1 Suy ra: S = ∫ xdy − ydx trong đó S là diện tích miền D. (3.21) 2 L+ Ví dụ 5: Tính diện tích ellipse với các bán trục a,b. x 2 y 2 Giải: Có thể coi ellipse có phương trình + = 1 hay dạng tham số a 2 b2 x = a cost , y = bsint, 0 ≤ t ≤ 2π . 70
Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt 1 1 2π Áp dụng (3.21) có S = ∫ xdy − ydx = ∫ (abcos2 t + absin 2 t)dt = πab 2 L+ 2 0 3 Ví dụ 6: Tính I = ∫ (xarctgx + y 2 )dx + (x + 2xy + y 2 e − y )dy L+ L là biên nửa hình tròn cho bởi bất phương trình x 2 + y 2 ≤ 2y, x ≥ 0 . Giải: Đường L cho trên hình H.3.8 đó là biên của nửa hình tròn bán kính là 1. Đặt: ∂P P = xarctgx + y 2 ⇒ = 2y ∂y 3 ∂Q Q = x + 2yx + y 2 e − y ⇒ = 2y +1 ∂x ∂Q ∂P π Vậy: I = ∫∫ ( − )dxdy = ∫∫ dxdy = (nửa diện tích hình tròn bán kính là 1). D ∂x ∂y D 2 3 Ví dụ 7: Tính J = ∫ (xarctgx + y 2 )dx + (x + 2yx + y 2 e − y )dy với C là nửa đường tròn C bên phải đi từ gốc toạ độ đến A(0,2): x 2 + y 2 = 2y, x ≥ 0 . Giải: Gọi L là đường cong gồm nửa đường tròn C và đoạn OA. Rõ ràng : 3 I =+J∫ ()(2) xarctgx + y22 dx + x + yx + y e− y dy AO trong đó I là tích phân của ví dụ 6. Đoạn thẳng AO có phương trình x0,= 0y2≤≤⇒ dx0 =. Áp dụng công thức tính tích phân đường (3.19) ta có: 00 3331 ∫∫∫()(2)xarctgx++++ y222 dx x yx y e−−−yyy dy = y e dy =−− e d () y 3 3 AO 22 1113 0 =−e− y = ( − 1). 332 e8 π 11 Cuối cùng J(1).=+ − 23 e8 71
Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt Chú ý: Trong ví dụ 7 ta đã thêm một đường thẳng thích hợp để áp dụng công thức Green, đương nhiên sau đó phải bớt đi tích phân lấy dọc theo đoạn thẳng đó (hay cộng với tích phân lấy theo hướng ngược lại). Nhiều bài toán phải làm như vậy bởi vì nếu tính trực tiếp sẽ rất khó khăn. 3.4. Định lý bốn mệnh đề tương đương Xuất phát từ công thức Green (3.20), sau đây ta sẽ nhận được các điều kiện để biểu thức P(x,y)dx+ Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó; để tích phân đường của một biểu thức không phụ thuộc vào dạng đường cong lấy tích phân. Trong các trường hợp này, miền liên thông D phải là đơn liên (biên có duy nhất một đường cong kín). Định lý 3.4: Giả sử các hàm P(x,y), Q(x,y) liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng trong miền đơn liên D. Khi đó bốn mệnh đề sau đây tương đương với nhau: ∂P ∂Q (1). = , ∀(x, y) ∈ D ∂y ∂x (2). ∫ Pdx + Qdy = 0 , L là đường cong kín bất kỳ nằm trong miền D. L (3). ∫ Pdx+ Qdy , trong đó cung AB nằm trong miền D, chỉ phụ thuộc vào 2 điểm A,B AB mà không phụ thuộc dạng cung AB . (4). Biểu thức Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó trên miền D. Chứng minh: Định lý được chứng minh theo sơ đồ sau: (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1) (1) ⇒ (2) : Gọi D1 là miền giới hạn bởi L, L ⊂ D suy ra D1 ⊂ D . Áp dụng công thức Green (3.20) cho miền D1 ta có: ∂QP∂ ∫∫∫∫∫Pdx+= Qdy ( − )dxdy = 0dxdy = 0 + ∂∂xy L DD11 Suy ra ∫ Pdx + Qdy = 0, ∀L ⊂ D L (2) ⇒ (3) : Lấy A∈ D, B ∈ D và AmB⊂⊂ D, AnB D (dạng của các cung là tuỳ ý. H.3.9) Suy ra đường cong kín AmBnA⊂ D . Theo (2) ta có: ∫ Pdx+ Qdy = 0 hay : AmBnA ∫∫Pdx++ Qdy Pdx += Qdy 0 AmB BnA Suy ra : ∫∫Pdx+= Qdy Pdx + Qdy. AmB AnB Chứng tỏ các tích phân không phụ thuộc vào dạng cung AB . (3) ⇒ (4) : Ta sẽ xây dựng hàm u(x,y) dưới đây sao cho: du(x, y) = Pdx + Qdy 72
Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt M 1 A( x0 , y0 ) Lấy A(x0,y0) cố định thuộc D và điểm M(x,y) chạy trong miền D (H.3.10). Xét hàm số uxy(, )=++∫ PdxQdyCvới AMD⊂ , C là hằng số tuỳ ý. (3.22) AM Rõ ràng hàm số này phụ thuộc vào điểm M(x,y) chứ không phụ thuộc dạng cung AM và ∂u u(x , y ) = C . Ta sẽ chứng minh = P(x, y) . Thật vậy, theo định nghĩa đạo hàm riêng tại 0 0 ∂x (x,y) ta có ∂+−uuxhyuxy(,)(,)1 ==+−+lim lim (∫∫Pdx Qdy Pdx Qdy ) ∂xhhhh→→00 AM1 AM trong đó M1 và M cùng có tung độ là y, còn hoành độ của M1 là x+h với h đủ bé để M 1 ∈ D . Theo (3) có thể lấy AM1 gồm cung AM và đoạn thẳng nằm ngang MM1. Vậy ∂u 1 =+lim ∫ Pdx Qdy ∂xhh→0 MM1 Đoạn MM1 vuông góc với trục Oy và hướng đi từ M(x,y) đến M1(x+h,y), suy ra dy=0 ∂u 1 x+h Vậy: = lim P(x, y)dx h→0 ∫ ∂x h x Theo định lý về giá trị trung bình của tích phân xác định thì: x+h ∫ P(x, y)dx = P(x* , y)h x trong đó x* = x + θ.h, 0 < θ < 1, từ đó ta có: ∂u = lim P(x* , y) ∂x h→0 73
Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt ∂u Do tính liên tục của hàm P(x,y) vậy = P(x, y) . ∂x ∂u Tương tự ta chứng minh được = Q(x, y). Vậy tồn tại hàm u(x,y) cho bởi (3.22) để có ∂y du = P(x,y)dx+Q(x,y)dy ∂u ∂u (4) ⇒ (1) : ∃u(x, y) để du = Pdx+Qdy hay = P, = Q . Suy ra: ∂x ∂y ∂ 2u ∂P ∂ 2u ∂Q = , = ∂x∂y ∂y ∂y∂x ∂x ∂ 2u Do các đạo hàm riêng của P,Q liên tục trên miền D nên các đạo hàm hỗn hợp và ∂x∂y ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u cũng liên tục trên D. Theo định lý Schwarz, ta có = hay là: ∂y∂x ∂x∂y ∂y∂x ∂P ∂Q = , ∀(x, y) ∈ D ∂y ∂x Hệ quả 1: Nếu du(x, y) = Pdx + Qdy trong miền D thì : ∫ Pdx+= Qdy u() B − u () A (3.23) AB Chứng minh: ∫∫Pdx+= Qdy du(, x y ) AB AB Giả sử AB cho bởi phương trình y=y(x) và A(xA,yA),B(xB,yB) rõ ràng yA=y(xA),yB=y(xB). Chuyển tích phân đường về tích phân xác định theo công thức (3.18), ta có: xB x ∫∫duxy(, )===− duxyx (, ()) uxyx (, ())B uB ( ) uA ( ) xA AB xA Hệ quả 2: Nếu Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) trên toàn mặt phẳng R2 thì hàm u(x,y) cho bởi công thức: x y u(x, y) = ∫ P(x, y)dx + ∫ Q(x0 , y)dy + C (3.24) x0 y0 hoặc x y u(x, y) = ∫ P(x, y0 )dx + ∫ Q(x, y)dy + C (3.25) x0 y0 2 2 trong đó A(x0 , y0 ) ∈ R , M (x, y) ∈ R 74
Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt y y0 x0 x Chứng minh: Lập hàm số u(x,y) theo công thức (3.22). Vì tích phân không phụ thuộc dạng AM vì thế có thể chọn AM là đường gấp khúc ANM hoặc ALM (H.3.11) Đoạn AL song song với trục 0y nên dọc theo nó dx=0. Đoạn LM song song với trục 0x nên dọc theo nó dy=0. u(, x y )=∫∫∫ Pdx ++= Qdy C Pdx ++ Qdy Pdx ++ Qdy C AM AL LM =+∫∫Qxydy ( , ) PxydyC ( , ) + AL LM Áp dụng công thức (3.18) có: y x u(x, y) = Q(x , y)dy + P(x, y)dx + C ∫ 0 ∫ y0 x0 Tương tự, lấy tích phân theo đường ANM sẽ nhận được công thức (3.25) Chú ý: a. Các hàm u(x,y) nếu tồn tại sẽ sai khác nhau hằng số cộng C. b. Thông thường lấy (x0 , y0 ) = (0,0) thì tính tích phân (3.24) hoặc (3.25) sẽ đơn giản hơn. Ví dụ 8: Chứng minh biểu thức: (x 2 − 2xy 2 + 3)dx + ( y 2 − 2x 2 y + 3)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) trên R2 và hãy tìm hàm đó. Giải: Đặt: ∂P P(x, y) = x 2 − 2xy 2 + 3 ⇒ = −4xy ∂y ∂Q ∂P Q(x, y) = y 2 − 2x 2 y + 3 ⇒ = −4xy = ,∀(x, y)∈ R 2 ∂x ∂y Vậy có hàm số u(x,y) để du=Pdx+Qdy. Ta có: 75
Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt x y u(x, y) = ∫ P(x, y)dx + ∫Q(0, y)dy + C 0 0 x y = ∫ (x 2 − 2xy 2 + 3)dx + ∫ ( y 2 + 3)dy + C 0 0 1 = (x 3 + y 3 ) − x 2 y 2 + 3(x + y) + C 3 xdy− ydx Ví dụ 9: Tính IAB= , (1,1), (2,4) ∫ xy22+ AB a. Cung AB cho bởi phương trình: y = x 2 , 1 ≤ x ≤ 2 , b. Cung AB bất kỳ tạo với đoạn AB thành đường cong kín không bao gốc toạ độ. c. Cung AB bất kỳ tạo với đoạn AB thành đường cong kín bao gốc toạ độ Giải: Đặt y ∂P y 2 − x 2 P = − ⇒ = x 2 + y 2 ∂y (x 2 + y 2 )2 x 2 ∂Q y 2 − x 2 ∂P Q = ⇒ = = , ∀(x, y) ≠ (0,0) x 2 + y 2 ∂x (x 2 + y 2 )2 ∂y a. y = x 2 ⇒ dy = 2xdx ,(cung AnB) 2 2x 2 − x 2 2 2dx 2 π I = dx = dx = arctgx = arctg2 − ∫ 2 4 ∫ 2 1 x + x 1 1+ x 1 4 b. Vì các hàm P, Q thoả mãn định lí 4 mệnh đề tương đương trên bất kì một miền đơn liên không chứa gốc toạ độ ,do đó tích phân đã cho không phụ thuộc vào dạng cung AB ,sao cho cung π đó tạo với đoạn AB một đường cong kín không bao gốc toạ độ (H.3.12). Vậy Iarctg2.=− 4 c. Khi cung AB tạo với đoạn AB một đường cong kín bao gốc tạo độ thì không thể áp dụng định lý 4 mệnh đề tương đương được nữa do P,Q không liên tục trong miền đơn liên chứa 76
Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt gốc toạ độ. Trước hết, từ công thức Green suy ra: Tích phân không phụ thuộc dạng cung AB , miễn là cung đó tạo với đoạn AB thành đường cong kín bao gốc toạ độ. Bây giờ ta vẽ đường tròn C tâm gốc toạ độ, bán kính đủ bé r. Xét miền liên thông nhị liên D có biên là C và đường cong kín. Theo công thức Green ta có: ∂∂QP 0(=− )dxdy = Pdx +++++ Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy ∫∫∂∂xy ∫ ∫ ∫ D AnB BmA C− Suy ra: π Pdx+= Qdy arctg2 −− Pdx + Qdy ∫∫4 C+ AmB C cho bởi phương trình tham số: ⎧x = r cosϕ ⎨ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π ⎩y = r sinϕ 2π r 2 cos2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ Pdx + Qdy = dϕ = 2π ∫ ∫ 2 C + 0 r 9π Vậy IPdxQdyarctg=+=−2. ∫ 4 AmB 3.5. Tích phân mặt loại một 3.5.1. Định nghĩa Cho hàm số f (M ) = f (x, y, z) xác định trên mặt cong S. * Chia mặt cong S thành n mảnh không dẫm lên nhau, gọi tên và diện tích của mảnh thứ i là ΔSi ,i =1, n và ký hiệu đường kính của mảnh thứ i là di , i1,n.= * Lấy tuỳ ý M i (xi , yi , zi )∈ ΔSi ,i =1, n n * Lập tổng I n = ∑ f (M i )ΔSi gọi là tổng tích phân mặt loại một ứng với một cách chia i=1 mặt cong S và một cách chọn M i ∈ ΔSi ,i =1, n Nếu khi n → ∞ sao cho max di → 0 mà I n hội tụ về số I không phụ thuộc cách chia mặt cong S và cách lấy điểm M i ∈ ΔSi ,i =1, n thì số I gọi là tích phân mặt loại một của f(M) trên mặt cong S ký hiệu ∫∫ f (x, y, z)dS . S n Như vậy f (x, y, z)dS = lim f (xi , yi , zi )ΔSi (3.26) ∫∫ max d →0 ∑ S i i=1 77
Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt Chú ý: a. Từ định nghĩa ta thấy công thức tính diện tích mặt cong S nhờ vào tích phân mặt loại một: S = ∫∫ dS (3.27) S b. Nếu S là mặt cong vật chất có hàm mật độ khối lượng là ρ(x, y, z) thì khối lượng của mặt cong vật chất đó sẽ là: m = ∫∫ ρ(x, y, z)dS (3.28) S c. Người ta đã chứng minh được rằng: Nếu mặt cong S trơn (mặt cong S có pháp tuyến biến thiên liên tục) hoặc là trơn từng mảnh (chia S thành hữu hạn các mặt cong trơn) và hàm số f (x, y, z) liên tục hoặc liên tục từng mảnh trên mặt cong S thì tồn tại tích phân mặt loại một của hàm số đó trên S. d. Tương tự, tích phân mặt loại một có các tính chất giống như tích phân kép. 3.5.2. Công thức tính tích phân mặt loại một Định lý 3.5: Giả sử hàm số f(x,y,z) liên tục trên mặt cong S trơn cho bởi phương trình z = z(x, y),(x, y)∈ D . Khi đó: 2 2 ∫∫ f (x, y, z)dS = ∫∫ f (x, y, z(x, y)) 1 + z'x (x, y) + z' y (x, y)dxdy (3.29) S D Chứng minh: Trước hết, ta thừa nhận các kết quả sau: Nếu mặt cong S cho bởi phương trình F(x, y, z) = 0 thì các côsin chỉ phương của véctơ pháp tuyến tại M(x,y,z) được tính theo công thức: ' ' F Fy cosα = ± x , cos β = ± 2 2 2 2 2 2 F'x +F' y +F'z F'x +F' y +F'z (3.30) F ' cosγ = ± z 2 2 2 F'x +F' y +F'z Trong công thức (3.30), α, β,γ là góc lập bởi véctơ pháp tuyến của mặt cong S tại M(x,y,z) với các trục toạ độ 0x,0y,0z (H.3.13) 78