Giáo trình Toán rời rạc - Chương 1: Cơ sở Logic

Nội dung text: Giáo trình Toán rời rạc - Chương 1: Cơ sở Logic

1. Chương 1: Cơ Sở Logic Suu Tam: HoanG Danh Long Email: ngokdhv@yahoo.com
2. Tài liệu tham khảo Tốn rời rạc, Gs.Ts Nguyễn Hữu Anh Michael P.Frank ‘s slides Nguyễn Minh Trung ‘s slides Tốn rời rạc, Ts. Trần Ngọc Hội
3. CƠ SỞ LOGIC Mathematical Logic is a tool for working with complicated compound statements. It includes: A language for expressing them. A concise notation for writing them. A methodology for objectively reasoning about their truth or falsity. It is the foundation for expressing formal proofs in all branches of mathematics.
4. Propositional Logic Propositional Logic is the logic of compound statements built from simpler statements using so-called Boolean connectives. George Boole Some applications in computer science: (1815-1864) Design of digital electronic circuits. Expressing conditions in programs. Queries to databases & search engines. Chrysippus of Soli (ca. 281 B.C. – 205 B.C.)
5. Mệnh đề và chân trị Khái niệm về mệnh đề: Mệnh đề tốn học là khái niệm cơ bản của tốn học khơng được định nghĩa mà chỉ được mơ tả. Mệnh đề tốn học(gọi tắt là mệnh đề) là một khẳng định cĩ giá trị chân lý xác định(đúng hoặc sai, nhưng khơng thể vừa đúng vừa sai).
6. Mệnh đề và chân trị Ví dụ: “Số 123 chia hết cho 3” là 1 mệnh đề đúng “Thành phố Hồ Chí Minh là thủ đơ của nước Việt Nam” là một mệnh đề sai. “Bạn cĩ khỏe khơng ? ” khơng phải là một mệnh đề tốn học vì đây là một câu hỏi khơng thể phản ánh một điều đúng hay một điều sai
7. Examples of Propositions “It is raining.” (In a given situation.) “Beijing is the capital of China.” • “1 + 2 = 3” But, the following are NOT propositions: “Who’s there?” (interrogative, question) “La la la la la.” (meaningless interjection) “Just do it!” (imperative, command) “Yeah, I sorta dunno, whatever ” (vague) “1 + 2” (expression with a non-true/false value)
8. Mệnh đề và chân trị Kiểm tra xem các khẳng định sau cĩ là mệnh đề khơng? Nếu cĩ, đĩ là mệnh đề đúng hay sai? Mơn Tốn rời rạc là mơn bắt buộc chung cho ngành tin học. 97 là số nguyên tố. N là số nguyên tố
9. Mệnh đề và chân trị Ký hiệu mệnh đề : Người ta thường dùng các ký hiệu : P, Q, R, Chú ý: Mệnh đề phức hợp là mệnh đề được xây dựng từ các mệnh đề khác nhờ liên kết của chúng lại bằng các liên từ(và, hay, nếu thì ) hoặc trạng từ “khơng” Ví dụ : Nếu trời tốt thì tơi đi dạo.
10. Mệnh đề và chân trị Chân trị của mệnh đề: Theo khái niệm, một mệnh đề chỉ cĩ thể đúng hoặc sai, khơng thể đồng thời vừa đúng vừa sai. Khi mệnh đề p đúng ta nĩi p cĩ chân trị đúng, ngược lại ta nĩi p cĩ chân trị sai. Chân trị đúng và chân trị sai sẽ được ký hiệu lần lượt là 1 và 0
11. Phép tính mệnh đề Mục đích của phép tính mệnh đề: Nghiên cứu chân trị của một mệnh đề phức hợp từ chân trị của các mệnh đề đơn giản hơn và các phép nối những mệnh đề này biểu hiện qua liên từ hoặc trạng từ “khơng”
12. Operators / Connectives An operator or connective combines one or more operand expressions into a larger expression. (E.g., “+” in numeric exprs.) Unary operators take 1 operand (e.g., −3); binary operators take 2 operands (eg 3 4). Propositional or Boolean operators operate on propositions or truth values instead of on numbers.
13. Some Popular Boolean Operators Formal Name Nickname Arity Symbol Negation operator NOT Unary ¬ Conjunction operator AND Binary  Disjunction operator OR Binary  Exclusive-OR operator XOR Binary  Implication operator IMPLIES Binary → Biconditional operator IFF Binary ↔
14. Phép tính mệnh đề
15. Phép tính mệnh đề The unary negation operator “¬” (NOT) transforms a prop. into its logical negation. E.g. If p = “I have brown hair.” then ¬p = “I do not have brown hair.”
16. Phép tính mệnh đề p p T F F T
17. Phép tính mệnh đề Phép nối liền(phép hội; phép giao): Mệnh đề nối liền của hai mệnh đề P, Q được kí hiệu bởi P  Q (đọc là “P và Q”), là mệnh đề được định bởi : P  Q đúng P và Q đồng thời đúng
18. Phép tính mệnh đề Ví dụ: Mệnh đề “Hơm nay, cơ ấy đẹp và thơng minh ” chỉ được xem là mệnh đề đúng khi cả hai điều kiện “cơ ấy đẹp” và “cơ ấy thơng minh” đều xảy ra. Ngược lại, chỉ 1 trong 2 điều kiện trên sai thì mệnh đề trên sẽ sai.
19. Phép tính mệnh đề Mệnh đề “Hôm nay, An giúp mẹ lau nhà và rửa chén” chỉ đúng khi hôm nay An giúp mẹ cả hai công việc lau nhà và rửa chén. Ngược lại, nếu hôm nay An chỉ giúp mẹ một trong hai công việc trên, hoặc không giúp mẹ cả hai thì mệnh đề trên sai.
20. The Conjunction Operator The binary conjunction operator “” (AND) combines two propositions to form ND their logical conjunction. E.g. If p=“I will have salad for lunch.” and q=“I will have steak for dinner.”, then pq=“I will have salad for lunch and I will have steak for dinner.” Remember: “” points up like an “A”, and it means “ND”
21. Conjunction Truth Table Operand columns Note that a p q conjunction pq F F F p1  p2   pn of n propositions F T F will have 2n rows T F F in its truth table. T T T Also: ¬ and  operations together are suffi- cient to express any Boolean truth table!
22. Phép tính mệnh đề
23. Phép tính mệnh đề Phép nối rời(phép tuyển; phép hợp) Mệnh đề nối rời của hai mệnh đề P, Q được kí hiệu bởi P  Q (đọc là “P hay Q”), là mệnh đề được định bởi : P  Q sai P và Q đồng thời sai
24. Phép tính mệnh đề Ví dụ: Mệnh đề “Tơi đang chơi bĩng đá hay bĩng rổ”. Mệnh đề này chỉ sai khi tơi vừa khơng đang chơi bĩng đá cũng như vừa khơng đang chơi bĩng rổ. Ngược lại, tơi chơi bĩng đá hay đang chơi bĩng rổ hay đang chơi cả hai thì mệnh đề trên đúng.
25. The Disjunction Operator The binary disjunction operator “” (OR) combines two propositions to form their logical disjunction. p=“My car has a bad engine.”  q=“My car has a bad carburetor.” pq=“Either my car has a bad engine, or After the downward- my car has a bad carburetor.” pointing “axe” of “” splits the wood, you Meaning is like “and/or” in English. can take 1 piece OR the other, or both.
26. Disjunction Truth Table Note that pq means p q pq that p is true, or q is F F F true, or both are true! F T T Note So, this operation is T F T difference from AND also called inclusive or, T T T because it includes the possibility that both p and q are true. “¬” and “” together are also universal.
27. Phép tính mệnh đề
28. Phép tính mệnh đề Chú ý : Cần phân biệt “hay” và “hoặc”. Đưa ra phép tốn để thể hiện trường hợp loại trừ Ký hiệu :  P Q sai P và Q đồng thời cùng đúng hoặc cùng sai.
29. The Exclusive Or Operator The binary exclusive-or operator “” (XOR) combines two propositions to form their logical “exclusive or” (exjunction?). p = “I will earn an A in this course,” q = “I will drop this course,” p  q = “I will either earn an A for this course, or I will drop it (but not both!)”
30. Exclusive-Or Truth Table Note that pq means p q pq that p is true, or q is true, but not both! F F F F T T This operation is T F T called exclusive or, T T F Note because it excludes the difference possibility that both p and q are true. from OR. “¬” and “” together are not universal.
31. Phép tính mệnh đề Phép kéo theo: Mệnh đề P kéo theo Q của hai mệnh đề P và Q, kí hiệu bởi P → Q(đọc là “P kéo theo Q” hay “Nếu P thì Q” hay “P là điều kiện đủ của Q” hay “Q là điều kiện cần của P”) là mệnh đề được định bởi: P → Q sai P đúng và Q sai
32. Phép tính mệnh đề Ví dụ: Xét mệnh đề sau : “Nếu tơi đẹp trai thì tơi cĩ nhiều bạn gái” Ta cĩ các trường hợp sau: Tơi đẹp trai và cĩ nhiều bạn gái : Mệnh đề rõ ràng đúng Tơi đẹp trai và khơng cĩ nhiều bạn gái : Mệnh đề rõ ràng sai Tơi khơng đẹp trai mà vẫn cĩ nhiều bạn gái : Mệnh đề vẫn đúng Tơi khơng đẹp trai và khơng cĩ nhiều bạn gái : Mệnh đề vẫn đúng
33. Phép tính mệnh đề Mệnh đề “Chiều nay, nếu rảnh tôi sẽ ghé thăm bạn” chỉ sai khi chiều nay tôi rảnh nhưng tôi không ghé thăm bạn. Ngược lại, nếu chiều nay tôi bận thì dù tôi có ghé thăm bạn hay không, mệnh đề trên vẫn đúng. Ngoài ra, tất nhiên nếu chiều nay tôi có ghé thăm bạn thì mệnh đề trên đúng (dù tôi có rảnh hay không!).
34. The Implication Operator antecedent consequent The implication p → q states that p implies q. I.e., If p is true, then q is true; but if p is not true, then q could be either true or false. E.g., let p = “You study hard.” q = “You will get a good grade.” p → q = “If you study hard, then you will get a good grade.” (else, it could go either way)
35. Implication Truth Table p → q is false only when p q p→q p is true but q is not true. F F T p → q does not say F T T The that p causes q! T F F only p → q does not require T T T False case! that p or q are ever true! E.g. “(1=0) → pigs can fly” is TRUE!
36. Examples of Implications “If this lecture ends, then the sun will rise tomorrow.” True or False? “If Tuesday is a day of the week, then I am a penguin.” True or False? “If 1+1=6, then Bush is president.” True or False? “If the moon is made of green cheese, then I am richer than Bill Gates.” True or False?
37. Phép tính mệnh đề Chú ý: Liên hệ phép kéo theo và cú pháp If P then Q trong ngơn ngữ lập trình P,Q là 2 mệnh đề P là mệnh đề, Q là dãy dịng lệnh Ngơn ngữ hằng ngày, cĩ sự nhầm lẫn giữa phép kéo theo và phép kéo theo hai chiều. “Giáo viên khoa Tốn dạy nghiêm túc”
38. Phép tính mệnh đề
39. Phép tính mệnh đề Phép kéo theo hai chiều: Mệnh đề P kéo theo Q và ngược lại của hai mệnh đề P và Q, ký hiệu bởi P  Q (đọc là “P nếu và chỉ nếu Q” hay P khi và chỉ khi Q” hay “P là điều kiện cần và đủ của Q”), là mệnh đề được định bởi: P  Q đúng P và Q có cùng chân trị,
40. Phép tính mệnh đề
41. Phép tính mệnh đề
42. The biconditional operator The biconditional p  q states that p is true if and only if (IFF) q is true. p = “Bush wins the 2004 election.” q = “Bush will be president for all of 2005.” p  q = “If, and only if, Bush wins the 2004 election, Bush will be president for all of 2005.” I’m still here! 2004 2005
43. Biconditional Truth Table p  q means that p and q p q p  q have the same truth value. F F T Note this truth table is the exact opposite of ’s! F T F p  q means ¬(p  q) T F F p  q does not imply T T T p and q are true, or cause each other.
44. Boolean Operations Summary We have seen 1 unary operator (out of the 4 possible) and 5 binary operators (out of the 16 possible). Their truth tables are below. p q p pq pq pq p→q pq F F T F F F T T F T T F T T T F T F F F T T F F T T F T T F T T
45. Some Alternative Notations Name: not and or xor implies iff Propositional logic:     →  Boolean algebra: p pq +  C/C++/Java (wordwise): ! && || != == C/C++/Java (bitwise): ~ & | ^ Logic gates:
46. Dạng mệnh đề Một dạng mệnh đề là một biểu thức được cấu tạo từ: Các hằng mệnh đề, tức là các mệnh đề đã xét ở trên. Các biến mệnh đề, tức là các biến lấy giá trị là các mệnh đề, thông qua các phép toán mệnh đề đã xét ở mục trên theo một trình tự nhất định nào đó, thường được chỉ rõ bởi các dấu ngoặc.
47. Dạng mệnh đề Với E là một dạng mệnh đề các biến mệnh đề p, q, r ứng với mỗi giá trị cụ thể P, Q, R (là các mệnh đề) của p, q, r thì ta cĩ duy nhất một mệnh đề E(P, Q, R). Ta viết E = E(p, q, r). Bảng chân trị là bảng ghi tất cả các trường hợp chân trị cĩ thể xảy ra đối với mệnh đề E theo chân trị của các biến mệnh đề p, q, r. Nếu cĩ n biến, bảng này sẽ cĩ 2^n dịng, chưa kể dịng tiêu đề.
48. Dạng mệnh đề
49. Tautologies and Contradictions A tautology is a compound proposition that is true no matter what the truth values of its atomic propositions are! Ex. p  p [What is its truth table?] A contradiction is a compound proposition that is false no matter what! Ex. p  p [Truth table?] Other compound props. are contingencies.
50. Logical Equivalence Compound proposition p is logically equivalent to compound proposition q, written p q, IFF the compound proposition pq is a tautology. Compound propositions p and q are logically equivalent to each other IFF p and q contain the same truth values as each other in all rows of their truth tables.
51. Proving Equivalence via Truth Tables Ex. Prove that pq (p  q). p q ppqq pp qq pp  qq ((pp  qq)) F F F T T T F F T T T F F T T F T F T F T T T T F F F T
52. Dạng mệnh đề 1. Quy tắc thay thế thứ 1: Trong dạng mệnh đề E, nếu ta thay thế biểu thức con F bởi một dạng mệnh đề tương đương logic thì dạng mệnh đề thu được vẫn cịn tương đương logic với E. 2. Quy tắc thay thế thứ 2: Giả sử dạng mệnh đề E(p,q,r ) là một hằng đúng. Nếu ta thay thế những nơi p xuất hiện trong E bởi một F(p’,q’,r’) thì dạng mệnh đề nhận được theo các biến q,r ,p’,q’,r’, vẫn cịn là 1 hằng đúng.
53. Dạng mệnh đề Các luật logic : Với p, q, r là các biến mệnh đề, 1 là một hằng đúng và 0 là một hằng sai, ta cĩ các tương đương logic sau đây: 1) Luật lũy đẳng p  p p và p  p p
54. Dạng mệnh đề
55. Dạng mệnh đề 16) Luật về phép kéo theo: p → q p  q 17) Luật rút gọn: p q → p 1(*) p → (p q) p→ q p  q →q p→ q p → (p  q) 1(*)
56. Equivalence Laws - Examples Identity: pT p pF p Domination: pT T pF F Idempotent: pp p pp p Double negation: p p Commutative: pq qp pq qp Associative: (pq)r p(qr) (pq)r p(qr)
57. More Equivalence Laws Distributive: p(qr) (pq)(pr) p(qr) (pq)(pr) De Morgan’s: (pq) p  q (pq) p  q Trivial tautology/contradiction: Augustus De Morgan p  p T p  p F (1806-1871)
58. Defining Operators via Equivalences Using equivalences, we can define operators in terms of other operators. Exclusive or: pq (pq)(pq) pq (pq)(qp) Implies: p→q p  q Biconditional: pq (p→q)  (q→p) pq (pq)
59. An Example Problem Check using a symbolic derivation whether (p  q) → (p  r) p  q  r. (p  q) → (p  r) [Expand definition of →] (p  q)  (p  r) [Defn. of ] (p  q)  ((p  r)  (p  r)) [DeMorgan’s Law] (p  q)  ((p  r)  (p  r)) [associative law] cont.
60. Example Continued (p  q)  ((p  r)  (p  r)) [ commutes] (q  p)  ((p  r)  (p  r)) [ associative] q  (p  ((p  r)  (p  r))) [distrib.  over ] q  (((p  (p  r))  (p  (p  r))) [assoc.] q  (((p  p)  r)  (p  (p  r))) [trivail taut.] q  ((T  r)  (p  (p  r))) [domination] q  (T  (p  (p  r))) [identity] q  (p  (p  r)) cont.
61. End of Long Example q  (p  (p  r)) [DeMorgan’s] q  (p  (p  r)) [Assoc.] q  ((p  p)  r) [Idempotent] q  (p  r) [Assoc.] (q  p)  r [Commut.] p  q  r Q.E.D. (quod erat demonstrandum) (Which was to be shown.)
62. Dạng mệnh đề Chứng minh dạng mệnh đề ta cĩ 3 cách sau: Lập bảng chân trị. Lập bảng chân trị mở rộng. Sử dụng phép thay thế.
63. Qui Tắc Suy Diễn Trong các chứng minh tốn học,xuất phát từ một số khẳng định đúng p, q, r (tiên đề), ta áp dụng các qui tắc suy diễn để suy ra chân lí của một mệnh đề h mà ta gọi là kết luận. Nĩi cách khác, dùng các qui tắc suy diễn để chứng minh: ( p  q  r  ) → h là một khẳng định đúng.
64. Qui Tắc Suy Diễn Khẳng định (1) cĩ dạng: ((tiên đề 1)  (tiên đề 2)  ) → kết luận Do đĩ nếu chứng minh được dạng mệnh đề trên là một hằng đúng thì khẳng định (1) chắc chắn là đúng. Ta thường mơ hình hĩa (2): tiên đề (1) tiên đề(2)  kết luận Aristotle (ca. 384-322 B.C.)
65. p1 p2 p12 p   pn → q (2) pn q Aristotle (ca. 384-322 B.C.)
66. Qui Tắc Suy Diễn QUI TẮC MODUS PONENS(Phương pháp khẳng định) Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng: ( p→ q)  p → q Hoặc dưới dạng sơ đồ pq→ p q
67. •Nếu An học chăm thì An học tốt. •Mà An học chăm Suy ra An học tốt •Hình vuơng là hình bình hành •Mà hình bình hành cĩ hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Suy ra hình vuơng cĩ hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (r s) →(  u  t) rs ( ut  ) Aristotle (ca. 384-322 B.C.)
68. Qui Tắc Suy Diễn QUI TẮC TAM ĐOẠN LUẬN(Syllogism) Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng: ( p→ q) ( q → r) →( p → r) Hoặc dưới dạng sơ đồ pq→ qr→ →( pr) Aristotle (ca. 384-322 B.C.)
69. •Hai tam giác vuơng cĩ cạnh huyền và 1 cặp gĩc nhọn bằng nhau thì chúng ta cĩ một cạnh bằng nhau kèm giữa hai gĩc bằng nhau. •Nếu hai tam giác cĩ cạnh bằng nhau kèm giữa hai gĩc bằng nhau thì chúng bằng nhau Suy ra hai tam giác vuơng cĩ cạnh huyền và 1 cặp gĩc nhọn bằng nhau thì bằng nhau. •Một con ngựa rẻ là một con ngựa hiếm •Cái gì hiếm thì đắt Suy ra một con ngựa rẻ thì đắt (☺)
70. Qui Tắc Suy Diễn QUI TẮC MODUS TOLLENS PHƯƠNG PHÁP PHỦ ĐỊNH Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng: ( p→ q)   q →  p Hoặc dưới dạng sơ đồ pq→ q p Aristotle (ca. 384-322 B.C.)
71. Xét chứng minh Ta suy luận pr→ pr→ rs→ rs→ ts st→ tu tu→ u u p p Aristotle (ca. 384-322 B.C.)
72. Qui Tắc Suy Diễn QUI TẮC TAM ĐOẠN LUẬN RỜI Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng: ( p q)   q → p ( p q)   p → q Ý nghĩa của qui tắc: nếu trong hai trường hợp cĩ thể xảy ra, chúng ta biết cĩ một trường hợp sai thì chắc chắn trường hợp cịn lại sẽ đúng
73. Qui Tắc Suy Diễn QUI TẮC MÂU THUẪN CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG Ta cĩ tương đương logic ( p1 p 2 pnn) → q ( p 1 → p 2 p q) 0 Ta cần chứng minh vế trái cũng là một hằng đúng hay nĩi cách khác chứng minh khi thêm phủ định của q vào các tiền đề ta được một mâu thuẫn.
74. VÍ DỤ Hãy chứng minh: Cm bằng phản chứng. pr→ pr→ →pq →pq qs→ q rs → s 0 Aristotle (ca. 384-322 B.C.)
75. Qui Tắc Suy Diễn CHỨNG MINH THEO TRƯỜNG HỢP Dựa trên hằng đúng: ( p→ r) ( q → r) → ( p  q) → r Ý nghĩa: nếu từ p và q cĩ thể suy ra r thì từ dạng p hay q cũng cĩ thể suy ra r.
76. VÍ DỤ Chứng minh rằng: (nn3 − 43) Aristotle (ca. 384-322 B.C.)
77. Một số luật thêm p Rule of Addition(Phép thêm)  pq pq Phép đơn giản nối liền  p p Luật về phép nối q  pq Aristotle (ca. 384-322 B.C.)
78. VÍ DỤ TỔNG HỢP 1. Nếu nghệ sĩ Trương Ba p:Nghệ sĩ Trương Ba trình diễn. khơng trình diễn hay số q:số vé bán ra ít hơn 100. vé bán ra ít hơn 100 thì r:đêm diễn bị hủy bỏ. đêm diễn sẽ bi hủy bỏ và ơng bầu sẽ rất buồn. s: ơng bầu buồn. 2. Nếu đêm diễn bị hủy bỏ t:trả lại vé cho người xem thì vé phải trả lại cho người xem. p  q → r  s 3. Nhưng vé đã khơng trả rt→ lại cho người xem. t Vậy cĩ kết luân gì?  p
79. Qui Tắc Suy Diễn PHẢN VÍ DỤ Để chứng minh một phép suy luận là sai hay p12 p   pn → q khơng là một hằng đúng. Ta chỉ cần chỉ ra một phản ví dụ.
80. VÍ DỤ Ơng Minh nĩi rằng nếu p:ơng Minh được tăng khơng được tăng lương thì lương. ơng ta sẽ nghỉ việc. Mặt q: ơng Minh nghỉ việc. khác, nếu ơng ấy nghỉ việc và vợ ơng ấy bị mất việc thì r:vợ ơng Minh mất việc. phải bán xe.Biết rằng nếu vợ s:gia đình phải bán xe. ơng Minh hay đi làm trễ thì t:vợ ơng hay đi làm trể. trước sau gì cũng sẽ bị mất việc và cuối cùng ơng Minh →pq s=0 đã được tăng lương. q→ r s t=1 Suy ra nếu ơng Minh khơng p=1 bán xe thì vợ ơng ta đã tr→ q=0 khơng đi làm trễ r=1 p st → 
81. Formal Proof Example Suppose we have the following premises: “It is not sunny and it is cold.” “Only if We will swim is it sunny.” “If we do not swim, then we will canoe.” “If we canoe, then we will be home early.” Given these premises, prove the theorem “We will be home early” using inference rules.
82. Proof Example cont. Let us adopt the following abbreviations: sunny = “It is sunny”; cold = “It is cold”; swim = “We will swim”; canoe = “We will canoe”; early = “We will be home early”. Then, the premises can be written as: (1) sunny  cold (2) swim → sunny (3) swim → canoe (4) canoe → early
83. Proof Example cont. Step Proved by 1. sunny  cold Premise #1. 2. sunny Simplification of 1. 3. swim→sunny Premise #2. 4. swim Modus tollens on 2,3. 5. swim→canoe Premise #3. 6. canoe Modus ponens on 4,5. 7. canoe→early Premise #4. 8. early Modus ponens on 6,7.
84. Qui Tắc Suy Diễn
85. Qui Tắc Suy Diễn
86. Qui Tắc Suy Diễn
87. Qui Tắc Suy Diễn
88. Qui Tắc Suy Diễn