›
›

Giáo trình Toán học ứng dụng đạo hàm

pdf 54 trang phuongnguyen 4960
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán học ứng dụng đạo hàm", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_toan_hoc_ung_dung_dao_ham.pdf

Nội dung text: Giáo trình Toán học ứng dụng đạo hàm

  1. GIÁO TRÌNH TỐN HỌC ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
  2. Chủ đề: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ℑ1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. Bài 1: Cho hàm số y =−xmxmx3233(21)1 + − +. a) Khảo sát hàm số khi m=1. b) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định. c) Định m để hàm số giảm trên (1,4). Bài 2: Cho hàm số y =−2xx2 a) Tính y’’(1) b) Xét tính đơn điệu của hàm số. mx −1 Bài 3: Cho hàm số y = 2x + m a) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m=2. b) Xác định m để đồ thi hàm số khơng cắt đường thẳng x=-1. c) Chứng minh rằng với mỗi giá trị m hàm số luơn đồng biến trên khoảng xác định của nĩ. ℑ2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU Bài 1: Cho hàm số yx=−42 +221 mxm − + (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=1/3. b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hồnh. c) Biện luận theo m số cực trị của hàm số (1). Bài 2: Cho hàm số y = 2x3 − 3(m +1)x 2 + 6mx − 2m a)Khảo sát hàm số khi m = 1 gọi đồ thị là (C). Chứng tỏ rằng trục hồnh là tiếp tuyến của (C). b) Xác định m để hàm số cĩ cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đĩ. c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;∞). 1 Bài 3: Định m để hàm số y =−+−++xmxmm322(1)1 x đạt cực tiểu tại x = 1. 3 Bài 4: Cho hàm số yfx==−+−() x32 3x 3 m x+3m-4 a) Tìm m để hàm số cĩ hai điểm cực trị lớn hơn m. b) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn cĩ hệ số gĩc lớn nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số ℑ3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Bài 1:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số: a) yx=+−23132 x trên [-2;-1/2] ; [1,3). b) y =+xx4 −2 . Trang 1
  3. 4 c) y = 2sinx- sin3 x trên đoạn [0,π] 3 d) yc= 2 os2x+4sinx x∈[0,π/2] e) yx=−+2 32 x trên đoạn [-10,10]. Chủ đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ Các bước khảo sát hàm số : Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ " Tập xác định " Tập xác định " Tìm y’ & sự biến thiên, cực trị " Tìm y’ & sự biến thiên, cực trị " Tìm y’’ & tính lồi lõm, điểm uốn, " Giới hạn & tiệm cận bảng xét dấu y’’. " Bảng biến thiên " Giới hạn " Giá trị đặt biệt " Bảng biến thiên " Đồ thị " Giá trị đặt biệt " Đồ thị Sự khác biệt : Hàm đa thức khơng cĩ tiệm cận, hàm hữu tỉ khơng cần xét đaọ hàm cấp hai. ™ Các dạng đồ thị hàm số: ) Hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) y y y y I I I • • I • • O x O x O x O x a > 0 a > 0 a 0 a 0 a < 0 Dạng 1: hàm số cĩ 3 cực trị ⇔ ? Dạng 2: hàm số cĩ 1 cực trị ⇔ ? Trang 2
  4. ax + b ) Hàm số nhất biến : y = (ad − bc ≠ 0) cx + d y y I I O x O x Dạng 1: hsố đồng biến Dạng 2: hsố nghịch biến Chủ đề: CÁC BÀI TỐN CĨ LIÊN QUAN Dạng 1: Dùng đồ thị biện luận phương trình: f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) (1) + Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát + Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đường thẳng thay đổi luơn cùng phương với trục Ox. Các bước giải Bước c: Biến đổi phương trình đã cho về dạng pt (1) và dùng 1 trong 3 bảng sau: Bước d: Dựa vào đồ thị ta cĩ bảng biện luận: m Số giao điểm của (C) & (d) Số nghiệm của pt (1) Bảng 1 g(m) m Số giao điểm của (C) & (d) Số nghiệm của pt (1) Bảng 2 f(m) m Số giao điểm của (C) & (d) Số nghiệm của pt (1) Bảng 3 Ví dụ 1: Trang 3
  5. 1 1. Biện luận phương trình x32− x = m ( dùng bảng 1) 3 1 2. Biện luận phương trình x32− x = 3m -2 ( dùng bảng 2) 3 1 1 3. Biện luận phương trình x32− x = mm32− ( dùng bảng 3) 3 3 Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật thể trịn xoay. Nhấn mạnh cho học sinh nhớ và vận dụng thành thạo các cơng thức: • Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b) b → Ta sử dụng cơng thức Sfxdx= ∫ () (I) a • Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (C): y = f(x), y = g(x) / [a;b] b → Ta sử dụng cơng thức Sfxgxdx=−∫ () () (II) a • Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra từ hình phẳng (H) giới hạn bởi (C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b), khi (H) quay quanh Ox. b 2 → Ta dùng cơng thức Vfxdx= π ∫[]() (III) a • Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra từ hình phẳng (H’) giới hạn bởi (C): x = g(y), trục Oy và 2 đường thẳng y = a, y = b ( a < b), khi (H’) quay quanh Oy. b 2 → Ta dùng cơng thức Vgydy= π ∫[]() (IV) a Ví dụ 4: (trích đáp án kì thi THPT khơng phân ban 2006 ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số y = ex, y = 2 và đường thẳng x = 1. Giải: (0,75 đ) Ta cĩ: ex = 2 ⇔ x = ln2 11 Diện tích hình phẳng cần tìm S = ∫∫edxexx−=22() − dx (0,25 đ) ln 2 ln 2 1 = exx −2(2)(22ln2)2ln24 =−−− e =+ e − (đvdt) (0,25đ + 0,25đ) ()ln 2 Trang 4
  6. Ví dụ 5: ( trích đáp án kì thi THPT phân ban 2006) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) : y = – x 3 – 3x2 và trục Ox. Giải: Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. 33 Từ đồ thị ta cĩ: Sxxdxxxdx=−+∫∫323(3) = −+ 32 00 3 4 ⎛⎞x 3 =−⎜⎟ +x = 27/4 ( đvdt) 4 ⎝⎠0 Bài tập : (cho dạng 1 và dạng 2) Bài 1: Cho hàm số y = x3 – mx + m + 2. cĩ đồ thị là (Cm) a) Khảo sát hàm số khi m = 3. b) Dùng đồ thị (C3), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3 – 3x – k +1 = 0 c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y = 3. Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 2x2 – (m - 1)x + m = 0 a) Xác định m để hàm số cĩ cực trị. b) Khảo sát hàm số trên. Gọi đồ thị là (C). c) Tiếp tuyến của (C) tại O cắt lại (C) tại một điểm A. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đoạn OA. Bài 3: Cho hàm số y = (x +1)2(x –1)2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm của phương trình : (x2 – 1)2 – 2n + 1 = 0 c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hồnh. (m −1)x + m Bài 4: Cho hàm số y = (m khác 0) và cĩ đồ thị là (Cm) x − m a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C2). b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C2), tiệm cận ngang của nĩ và các đường thẳng x = 3, x = 4. Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong : 1 1 y = x 2 ; y = − x 2 + 3x . 4 2 Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi 2 đường: x2 + y – 5 = 0; x + y – 3 = 0. Tính thể tích vật thể tạo ra do D quay quanh Ox. Bài 7: Tính thể tích vật thể trịn xoay khi phần mặt phẳng bị giới hạn bởi các đường: y = x2 và y = x quay quanh Ox. Trang 5
  7. Dạng 3: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x) Số giao diểm của hai đường cong (C1) y= f(x) và (C2) y=g(x) là số nghiệm của phương trình hồnhđộ giao điểm f(x) = g(x) (1) x +1 Ví dụ Cho hàm số y = và đường thẳng y= mx - 1 biện luận số giao điểm của hai x −1 đường cong. x +1 Giải : Số giao điểm của hai đường cong là số nghiệm của phương trình = mx −1 x −1 (điều kiện x khác 1) ⇔ mx 2 − (m + 2)x = 0 ⇔ x(mx − (m + 2)) = 0 +Nếu m = 0 hay m = -2: Phương trình cĩ một nghiệm x = 0 nên đường thẳng cắt đường cong tại một điểm +Nếu m ≠ 0 và m ≠ -2: Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x = m và m + 2 x = . Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt m (chú ý cả hai nghiệm đều khác 1) Kết luận: + m = 0 hay m = - 2 cĩ một giao điểm. + m ≠ 0 và m ≠ - 2 cĩ hai giao điểm. Bài tập: xx32 Bài 1: Biện luận số giao điểm của đồ thị (C): yx= +−2 và đường thẳng (T): 32 13 1 ymx−=() +. 12 2 27 27 KQ: 1 giao điểm ( m ≤ − ), 3 giao điểm ( m > − ) 12 12 34x + Bài 2: Định a để đường thẳng (d): y = ax + 3 khơng cắt đồ thị hàm số y = . x −1 KQ: -28 < a ≤ 0 Dạng 4: Cực trị của hàm số Yêu cầu đối với học sinh: ) Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình: " Hàm số bậc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) → khơng cĩ cực trị hoặc cĩ 2 cực trị. " Hàm số bậc 4 dạng : y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) → cĩ 1 cực trị hoặc 3 cưc trị. ax+b " Hàm số nhất biến dạng: y = → chỉ tăng hoặc chỉ giảm và khơng cĩ cực trị. cx+d Bài tập: Định tham số m để: 1 1). Hàm số y = x32+++−mx(6)1 m x cĩ cực đại và cực tiểu. 3 Trang 6
  8. Kết quả: m 3 3 2 2). Hàm số y = 2x – 3(2m + 1)x + 6m(m + 1)x + 1 cĩ cực đại và cực tiểu tại x1, x2 và khi đĩ x2 – x1 khơng phụ thuộc tham số m. Kết quả : ∀m và x2 – x1 = 1 3 2 3). Hàm số y = x – 3x + 3mx + 1 – m cĩ cực đại và cực tiểu. Giả sử M1(x1;y1), yy12− M2(x2;y2) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số. Chứng minh rằng : = 2. Kết ()(1)xxxx1212− − quả : m < 1 Dạng 4: Viết PTTT của đồ thị hàm số? Bài tập về pttt của đồ thị: Bài 1: Cho hàm số y = x2 – 2x + 3 cĩ đồ thị là (C)và (d): 8x – 4y + 1 = 0 a) CMR (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm A và B b) CMR các tiếp tuyến của (C) tại A,B vuơng gĩc nhau. Bài 2: Cho hàm số y = x3 + mx2 – m – 1, cĩ đồ thị (C). a) Tìm các điểm cố định của (Cm). b) Lập pttt tại các điểm cố định đĩ. Bài 3: Cho hàm số y = -x4 + 2mx2 – 2m + 1. Tìm m để các tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A(1;0), B(-1;0) vuơng gĩc nhau x + 2 Bài 4: Cho hàm số y = . Lập pttt của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm với x − 2 trục tung và trục hồnh x + 2 Bài 5: Cho hàm số y = . Viết pttt của (C) đi qua A(-6;5) x − 2 Bài 6) Cho hàm số y = x3 – 3x. Lập các pttt kẻ từ điểm A(-1;2) tới đồ thị hàm số 19 Bài 7) Cho hàm số y = 2x3 – 3x2 + 5. Lập pttt kẻ từ A( ;4) 12 Bài 8) Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 – 12x – 1. Tìm M ∈ đồ thị (C) của hàm số đã cho sao cho tiếp tuyến tại M đi qua gốc tọa độ O. Trang 7
  9. Chủ đề HÀM SỐ. 1. Cho hàm số : Gọi là đường thẳng đi qua điểm và cĩ hệ số gĩc là . Tìm để đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt. Phương trình đường thẳng Phương trình hồnh độ giao điểm của và là : Đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi cĩ 2 nghiệm phân biệt khác 3 2. Cho hàm số (1), cĩ đồ thị (C) và đường thẳng (d) cĩ phương trình . Tìm k để đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt, trong đĩ cĩ hai điểm cĩ hồnh độ dương. Phương trình hồnh độ giao điểm của (d) và (C): Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt trong đĩ cĩ 2 điểm cĩ hồnh độ dương thì (*) phải cĩ 2 nghiệm phân biệt dương. Đặt Ta cĩ : 3. Cho hàm số (C) Chứng minh đường thẳng luơn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, hãy tìm m để I nằm trên đường thẳng : y = 2x + 3. Phương trình hồnh độ giao điểm của (d) và (C) : (1) Phương trình này luơn cĩ 2 nghiệm phân biệt nên (d) luơn cắt (C) ở 2 điểm phân biệt A, B. Hồnh độ A, B chính là 2 nghiệm của phương trình (1) , nên do định lí Viet : và Vậy Trang 8
  10. 4. Cho hàm số Với những giá trị nào của m thì phương trình cĩ ba nghiệm phân biệt? Phương trình cĩ 3 nghiệm phân biệt cĩ 3 nghiệm phân biệt đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt (Các bạn tự vẽ hình) 5. Cho hàm số , a là tham số. Tìm tất cả các giá trị của a để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại một và chỉ một điểm . Hồnh độ giao điểm với trục hồnh là nghiệm phương trình . Đồ thị hàm số y = f(x) cắt Ox tại đúng 1 điểm đường thẳng y = a và đồ thị cĩ một điểm chung duy nhất. Ta cĩ : x -∞ 0 1 +∞ y' + || + 0 - y +∞ || - || 3 || -∞ || -∞ -∞ Trang 9
  11. Từ bảng biến thiên ta thấy các giá trị cần tìm là 6. Cho hàm số Với giá trị nào của m đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt. TXĐ: R Hàm số đạt cực đại tại Hàm số đạt cực tiểu tại Đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt khi các giá trị cực đại, cực tiểu nằm về hai phía trục hồnh Vậy với thì đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt 7. Cho hàm số ( m là tham số ) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 4. b. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt. a) Đồ thị hàm số khi m=4. Trang 10
  12. b) Phương trình hồnh độ giao điểm của (Cm) và trục hồnh y = 0 là : Đặt Để đồ thị hàm số (Cm) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt thì pt (*) phải cĩ 3 nghiệm phân biệt, tức là phương trình ( ) phải cĩ 2 nghiệm phân biệt và khác -1 8. Cho hàm số (C) a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) . b. Dựa vào đồ thị hàm số (C) biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình : a. Khảo sát hàm số * Tập xác định : D = R * Chiều biến thiên : Hàm số đồng biến trên và Hàm số nghịch biến trên ( - 1 ; 0) + + * Tính lồi lõm, điểm uốn : - Bảng biến thiên : x -∞ -1 0 +∞ y' + - 0 + y 0 +∞ -∞ - 1 Trang 11
  13. * Đồ thị : qua các điểm ( - 1; 0 ) , b. Biện luận số nghiệm của phương trình Phương trình (*) suy ra số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và . * , hoặc thì (*) cĩ 1 nghiệm . * hoặc thì (*) cĩ 2 nghiệm ( trong đĩ cĩ 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép ) * thì (*) cĩ 3 nghiệm phân biệt . 9. Cho hàm số a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng tity đi qua điểm A (-2 ; 0 ). c. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : với m là tham số dương. a. Khảo sát * TXĐ : | R * Sự biến thiên : Dấu y' : + / Hàm số đồng biến : , Hàm số nghịch biến : Trang 12
  14. +/ Hàm số đạt cực đại tại : ( - 1; 4) , cực tiểu tại (1 ; 0) +/ Điểm uốn : Đồ thị cĩ điểm tồn uốn tại (0 ; - 2) +/ Bảng biến thiên : x -∞ -1 1 +∞ y' - + 0 - y +∞ 0 4 -∞ * Đồ thị : +/ +/ b. Đường thẳng (d) đi qua điểm A ( - 2; 0) với hệ số gĩc k cĩ phương trình là : + (d) là tiếp tuyến của (C) hệ phương trình sau cĩ nghiệm Thế (2) vào (1) ta được : Trang 13
  15. + Với Vậy cĩ 2 tiếp tuyến với (C) đi qua A. c. Biện luận nghiệm Ta cĩ : (*) Nhận xét : Vế trái là hàm số cĩ đồ thị (C) vừa khảo sát . Vế phải là đường thẳng song song với trục Ox số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của (C) với đường thẳng . Từ đồ thị (C) ta thấy : + Với phương trình (*) cĩ 1 nghiệm . + Với phương trình (*) cĩ 2 nghiệm . + Với phương trình (*) cĩ 3 nghiệm phân biệt . 10. Cho hàm số (m là tham số ) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 6 b. Với những giá trị nào của m thì phương trình cĩ 3 nghiệm phân biệt . a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị -. TXĐ : R -. Sự biến thiên : Xét dấu y' hàm số đồng biến hàm số nghịch biến Hàm số cĩ cực đại tại x = - 3, Hàm số cĩ cực tiểu tại x = 1, Trang 14
  16. đồ thị hàm số lõm đồ thị hàm số lồi Đồ thị hàm số cĩ 1 điểm uốn U (- 1; 17) Bảng biến thiên x -∞ 1 3 +∞ y' + - 0 + y 1 +∞ -∞ 33 Đồ thị b. Tìm m Phương trình : cĩ 3 nghiệm phân biệt cĩ 3 nghiệm phân biệt Trang 15
  17. Đặt cĩ đồ thị vừa khảo sát (C) y = 6 - m cĩ đồ thị là đường thẳng (d) song song với Ox Để (*) cĩ 3 nghiệm phân biệt (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt 11. Cho hàm số a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 1) c. Dựa vào đồ thị (C) xác định m để phương trình sau cĩ 3 nghiệm phân biệt : a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số -. TXĐ : -. Chiều biến thiên : Xét dấu y' : y' > 0 trong khoảng hàm số đồng biến trong khoảng đĩ y' < 0 hàm số nghịch biến trong khoảng đĩ. CĐ (- 2; 6) , CT (0; 2) y'' đổi dấu qua nghiệm x = - 1 và U(- 1; 4) Bảng biến thiên : x -∞ -2 0 +∞ y' + - 0 + y 2 +∞ -∞ 6 Đồ thị : Trang 16
  18. b. Viết phương trình tiếp tuyến Đường thẳng (d) đi qua A(0; 1) với hệ số gĩc k cĩ phương trình y = k (x - 0) + 1 = kx + 1 Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) nếu hệ phương trình sau cĩ nghiệm : Với cĩ phương trình tiếp tuyến Với cĩ phương trình tiếp tuyến c. Tìm m để phương trình cĩ 3 nghiệm phân biệt Phương trình (*) Đặt cĩ đồ thị (C) y = m cĩ đồ thị là đường thẳng song song với Oy. Nhìn vào đồ thị (C) ta cĩ : Nếu thì cắt (C) tại 3 điểm phân biệt phương trình (*) cĩ 3 nghiệm phân biệt . 12. Cho hàm số : (1) (m là tham số ). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. b. Tìm k để phương trình cĩ ba nghiệm phân biệt . Trang 17
  19. a. TXĐ : . Bảng biến thiên x -∞ 0 2 +∞ y' - + 0 - y +∞ 0 4 -∞ Đồ thị b. Cách 1 : Ta cĩ Đặt . Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình : cĩ 3 nghiệm phân biệt Trang 18
  20. . Cách 2 : Ta cĩ cĩ 3 nghiệm phân biệt cĩ 2 nghiệm phân biệt khác k 13. Cho hàm số: a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. b) Tìm giá trị của để phương trình cĩ 6 nghiệm phân 14. Cho hàm số (*) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (*). 2. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm của phương trình sau : 15. Cho hàm số a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số . b. Với giá trị nào của m phương trình cĩ 3 nghiệm phân biệt . Trang 19
  21. MỘT SỐ BÀI TẬP ƠN TẬP TỔNG HỢP x + 3 Bài 1 : Cho hàm số y = gọi (C) là đồ thị hàm số đã cho x +1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm các điểm trên (C ) cĩ tọa độ là những số nguyên c) Chứng minh rằng đường thẳng D:y=2x+m luơn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt MN ;xác định m để đoạn MN cĩ độ dài nhỏ nhất d) Tìm những điểm trên trục hồnh từ đĩ vẽ đúng hai tiếp tuyến với (C) trường hợp vẽ được hai tiếp tuyến cĩ tiếp điểm là P;Q viết phương trình đường thẳng PQ e) Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho khoảng cách giửa chúng bé nhất f) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm I;J chứng minh rằng S là trung điểm của IJ g) Với giá trị m nào thì đường thẳng y=-x+m là tiếp tuyến của đường cong (C) Bài 2: Cho hàm số y = (x −1) 2 (4 − x) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số b) Chứng tỏ rằng đồ thị cĩ tâm đối xứng c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi qua điểm A(3;5) d) Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn bằng nhau e) Tìm m để phương trình sau cĩ ba nghiệm phân biệt xxx32−+−−=694 m 0 Bài 3: Cho hàm số y = 2x3 − 3(m +1)x 2 + 6mx − 2m a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m=1 chứng tỏ rằng trục hồnh là tiếp tuyến của (C) b) Xác định m để hàm số cĩ cực trị tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đĩ c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;∞) Bài 4 : 5 Cho hàm số yx=+-232 x + x 3 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x3-6x2-5x+m=0. c) Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) ở điểm M tìm tọa độ M. d) Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d cĩ phương trình y=kx. e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hồnh. f) Chứng minh rằng đồ thị cĩ tâm đối xứng. Trang 20
  22. HÀM SỐ BẬC BA Y=AX3+BX2+CX+D Bài 1. Cho hàm số y=f(x)=-x3-3x2+4. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Chứng minh đồ thị hàm số cĩ tâm đối xứng. c. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M(-1; 2). d. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hồnh. Trang 21
  23. Bài 2. Cho hàm số y=f(x)=x3+3x2-4. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Chứng minh đồ thị hàm số cĩ tâm đối xứng. c. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M(-3;-4). d. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hồnh. Trang 22
  24. Bài 3. Cho hàm số y=f(x)=x3-3x2+4. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Chứng minh đồ thị hàm số cĩ tâm đối xứng. c. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M(1; 2). d. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hồnh. Trang 23
  25. Bài 4. Cho hàm số y=f(x)=x3+6x2+9x+3 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Chứng minh đồ thị hàm số cĩ tâm đối xứng. c. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M(-2; 1). d. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hồnh. Trang 24
  26. AX + B HÀM SỐ PHÂN THỨC DẠNG Y = CX + D 3x + 4 Bài 5. Cho hàm số y = f(x) = . x + 2 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Chứng minh đồ thị cĩ tâm đối xứng. c. Tìm trên đồ thị những điểm mà tọa độ của nĩ đều là những số nguyên. d. Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị. Viết phương trình đường thẳng (d) là tiếp tuyến với đồ thị tại M. e. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận; A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) nĩi trên và hai tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và tam giác AIB cĩ diện tích khơng đổi. Trang 25
  27. x + 1 Bài 6. Cho hàm số y = f(x) = . x -1 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Chứng minh đồ thị cĩ tâm đối xứng. c. Tìm trên đồ thị những điểm mà tọa độ của nĩ đều là những số nguyên. d. Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị. Viết phương trình đường thẳng (d) là tiếp tuyến với đồ thị tại M. e. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận; A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) nĩi trên và hai tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và tam giác AIB cĩ diện tích khơng đổi. Trang 26
  28. 2 Bài 7. Cho hàm số y = f(x) = . x + 1 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Chứng minh đồ thị cĩ tâm đối xứng. c. Tìm trên đồ thị những điểm mà tọa độ của nĩ đều là những số nguyên. d. Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị. Viết phương trình đường thẳng (d) là tiếp tuyến với đồ thị tại M. e. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận; A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) nĩi trên và hai tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và tam giác AIB cĩ diện tích khơng đổi. Trang 27
  29. x Bài 8. Cho hàm số y = f(x) = . x + 2 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Chứng minh đồ thị cĩ tâm đối xứng. c. Tìm trên đồ thị những điểm mà tọa độ của nĩ đều là những số nguyên. d. Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị. Viết phương trình đường thẳng (d) là tiếp tuyến với đồ thị tại M. e. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận; A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) nĩi trên và hai tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và tam giác AIB cĩ diện tích khơng đổi. Trang 28
  30. 2x − 4 Bài 9. Cho hàm số y = f(x) = . x - 3 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Chứng minh đồ thị cĩ tâm đối xứng. c. Tìm trên đồ thị những điểm mà tọa độ của nĩ đều là những số nguyên. d. Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị. Viết phương trình đường thẳng (d) là tiếp tuyến với đồ thị tại M. e. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận; A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) nĩi trên và hai tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và tam giác AIB cĩ diện tích khơng đổi. Trang 29
  31. Chủ đề PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. Giải phương trình : . (1) Đặt Khi đĩ (1) trở thành : ( Vì t > 0). Vậy . Do đĩ nghiệm của phương trình là 2. Giải phương trình : Chia 2 vế của phương trình cho Ta cĩ: (1) Đặt , với (1) trở thành => => (Thoả mãn )=> => 3. Giải phương trình : Phương trình đã cho tương đương với : Đáp số : . 4. Giải phương trình: Đặt pt Trang 30
  32. Vậy phương trình cĩ 2 nghiệm x = 1 & x = -1 5. Giải phương trình: 6. Giải phương trình : ( chia hai vế cho ). Đặt ( điều kiện y > 0) 7. Giải phương trình: . Phương trình đã cho tương đương với : Giải phương trình Đặt Khi đĩ phương trình trở thành: (vì ) Giải phương trình Đặt ,phương trình đã cho trở thành Giải phương trình : Đặt ta cĩ : Giải khác TXD: D=R (1) Trang 31
  33. Giải phương trình : Đặt Giải phương trình sau: Nhận xét: là nghiệm Nhận xét: là nghịch biến trên Do đĩ cũng là hàm nghịch biến trên là nghiệm duy nhất của (*) Giải phương trình : Đặt Giải phương trình : Chia hai vế của phương trình trên cho ta được: Đặt 8. Giải phương trình Trang 32
  34. ( do ). 9. Giải phương trình sau : Vậy nghiệm của phương trình là 10. Giải phương trình sau : Vậy phương trình cĩ nghiệm . 11. Giải phương trình : 12. Giải phương trình Đặt thì phương trình tương đương với : 13. Giải phương trình : 14. Giải phương trình : Đặt thì phương trình . Chủ đề PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT 1. Giải phương trình . Tập xác định Phương trình Đặt Phương trình Trang 33
  35. Ta cĩ hệ Đáp số: . 2. Giải phương trình Điều kiện PT Đáp số: 3. Giải phương trình: Điều kiện: (*) So với điều kiện (*) thì chính là nghiệm . 4. Giải phương trình: Điều kiện tồn tại của Khi đĩ hay hay 5. Giải phương trình : Đk: và x # -2 6. Giải phương trình : Trang 34
  36. ( vì và ) 7. Giải phương trình sau: Điều kiện: Áp dụng: 8. Giải phương trình sau: Điều kiện: +) Trường hợp 1: Loại +) Trường hợp 2: Loại x= -8 Kết luận (*) cĩ 2 nghiệm 9. Giải phương trình : ĐKXĐ: pt Trang 35
  37. ( thoả mãn ĐKXĐ) Vậy pt cĩ nghiệm duy nhất x = 4 Khác ĐK: . Phương trình đã cho tương đương với: (TMĐK ) 10. Giải phương trình : Điều kiện Kết hợp với điều kiện ta cĩ nghiệm của phương trình là 11. Giải phương trình : Tập xác định : Phương trình : Vậy x=8 là nghiệm của phương trình Trang 36
  38. Chủ đề: TÍCH PHÂN. * Phương pháp trực tiếp. Bài 1. Tính các tích phân sau: π a. I = ∫()x + Sinx dx . 0 π π π I = ∫()x + Sinx dx+ = ∫∫xdx + Sinxdx 0 0 0 π 2 1 π π x 2 Cosx 2 = − 0 = + 2 0 2 2 b. I = ∫()x 2 + 2x - 3 dx . 1 2 2 2 ⎛ 1 3 2 ⎞ 7 I = ∫()x + 2x - 3 dx = ⎜ x + x − 3x⎟ = 1 ⎝ 3 ⎠ 1 3 * Phương pháp đổi biến số. Bài 2. Tính các tích phân sau: 2 a. I = ∫()2x −1 5 dx 1 1 Đặt t=2x-1⇒dt=2dx⇒ dx = dt . 2 ()2x −1 5 = t 5 . Đổi cận: x 1 2 t 1 3 2 3 3 5 1 1 182 I = ∫()2x −1 dx = ∫ t 5 . dt = t 6 = 1 1 2 12 1 3 π 6 b. I = ∫Cos3xdx . 0 1 Đặt t=3x⇒dt=3dx⇒ dx = dt . 3 Cos3x=Cost. Đổi cận: Trang 37
  39. π x 0 6 π t 0 2 π π π 6 2 1 1 2 1 I = ∫Cos3xdx = ∫Cost. .dt = Sint = 0 0 3 3 0 3 π π 4 4 Sinx c. I = ∫ tanxdx = ∫ dx . 0 0 Cosx Đặt t=Cosx⇒dt=-Sinxdx⇒ Sinxdx = -dt . 1 1 = Cosx t Đổi cận: π x 0 4 ⎛ π ⎞ 2 t Cos0=1 Cos⎜ ⎟ = ⎝ 4 ⎠ 2 π 2 4 Sinx 2 1 2 I = dx = − dt = − ln t 2 = ln()2 ∫ ∫ 1 0 Cosx 1 t π π 4 4 Cosx d. I = ∫Cotxdx = ∫ dx . π π Sinx 6 6 Đặt t=Sinx⇒dt=Cosxdx⇒ Cosxdx = dt . 1 1 = Sinx t Đổi cận: π π x 6 4 ⎛ π ⎞ 1 ⎛ π ⎞ 2 t Sin⎜ ⎟ = Sin⎜ ⎟ = ⎝ 6 ⎠ 2 ⎝ 4 ⎠ 2 π 2 6 2 2 Cosx 1 2 I = ∫ dx = ∫ dt = ln t 1 = ln()2 π Sinx 1 t 2 4 2 Trang 38
  40. π 2 Sinx e. I = ∫ dx . 0 1+ 3Cosx 1 Đặt t=1+3Cosx⇒dt=-3Sinxdx⇒ Sinxdx = − dt . 3 1 1 = 1+ 3Cosx t Đổi cận: π x 0 2 ⎛ π ⎞ t 1+ 3Cos0 = 4 1 + 3Cos⎜ ⎟ =1 ⎝ 2 ⎠ π 1 2 Sinx 1 1⎛ 1 ⎞ 1 1 I = ∫ dx = ∫ ⎜− ⎟dt = − ln t = ln4 0 1+ 3Cosx 4 t ⎝ 3⎠ 3 4 3 π 2 f. I = ∫eSinx .Cosx.dx . 0 Đặt t=1+Sinx⇒dt=Cosxdx⇒ Cosxdx = dt . eSinx = e t Đổi cận: π x 0 2 ⎛ π ⎞ t Sin0 = 0 Sin⎜ ⎟ =1 ⎝ 2 ⎠ π 2 1 I = ∫eSinx .Cosx.dx = ∫e t dt = e −1 0 0 Bài 3. Tính các tích phân sau: π 2 a. I = ∫Sin 2 xdx . 0 π π π π 2 2 1 − Cos2x 1 2 1 2 π I = ∫Sin 2 xdx = ∫ dx = ∫dx − ∫Cos2x.dx = − J . 0 0 2 2 0 2 0 4 π 1 2 Với J = ∫Cos2xdx . 2 0 Trang 39
  41. 1 Đặt t=2x⇒dt=2dx⇒ dx = dt . 2 Cos2x = Cost Đổi cận: π x 0 2 t 0 π 1 π 1 π J = ∫Costdt = Sint = 0 . 4 0 4 0 π Vậy I = 4 π 2 b. I = ∫Sin 3 xdx . 0 π π π 2 2 2 I = ∫Sin 3 xdx = ∫Sin 2 x.Sinxdx = ∫()1− Cos 2 x .Sinxdx 0 0 0 Đặt t=Cosx⇒dt=-Sinxdx⇒ Sinxdx = -dt . 1- Cos 2 x =1 − t 2 Đổi cận: π x 0 2 ⎛π ⎞ t Cos(0)=1 Cos⎜ ⎟ = 0 ⎝ 2 ⎠ π 0 2 0 2 2 ⎛ 1 3 ⎞ 2 I = ∫()1 − Cos x .Sinxdx = ∫()1− t (−1)dt = ⎜ t − t ⎟ = 0 1 ⎝ 3 ⎠ 1 3 Bài 4. Tính các tích phân sau: a 2 2 a. I = ∫ a − x dx, a > 0 . −a Đặt x=a.Sint ⇒ dx = a.Costdt . a 2 − x 2 = a Cost Đổi cận x -a a Trang 40
  42. π π t − 2 2 π π π π a 2 2 1 + Cos2t a 2 2 a 2 2 πa 2 a 2 I = ∫ a 2 − x 2 dx = ∫a 2Cos 2 tdt = a 2 ∫ dt = ∫dx + ∫Cos2t.dt = + J V −a π π 2 2 π 2 π 4 2 - − - - 2 2 2 2 π 2 ới J = ∫Cos2tdt = 0 . π − 2 πa 2 Vậy I = 4 a 1 b. I = dx, a > 0 . ∫ 2 2 −a a − x Đặt x=a.Sint ⇒ dx = a.Costdt . a 2 − x 2 = a Cost Đổi cận x -a a π π t − 2 2 π a 1 2 I = dx = dt = π ∫ 2 2 ∫ −a π a − x - 2 a 1 c. I = dx, a > 0 . ∫ 2 2 0 x + a 1 Đặt x = a.tant ⇒ dx = a. dt . Cos 2 t 1 x 2 + a 2 = a 2 ()1+ tan 2 t = a 2 . Cos 2 t Đổi cận x 0 a π t 0 4 Trang 41
  43. π a 1 1 4 π I = dx = dt = ∫ 2 2 ∫ 0 x + a a 0 4a a 1 d. I = dx, a > 0 . ∫ 2 2 -a x + a 1 Đặt x = a.tant ⇒ dx = a. dt . Cos 2 t 1 x 2 + a 2 = a 2 ()1+ tan 2 t = a 2 . Cos 2 t Đổi cận x -a a π π t − 4 4 π a 1 1 4 π I = dx = dt = ∫ 2 2 ∫ -a x + a a π 2a - 4 * Phương pháp đồng nhất thức. Bài 5. Tính các tích phân sau: 1 1 a. I = dx . ∫ 2 0 x + 3x + 2 Ta cĩ x2+3x+2=(x+1)(x+2) nên suy ra 1 1 A B (A + B)(x + 2A + B ) = = + = x 2 + 3x + 2 ()()x +1 x + 2 ()x +1 ()x + 2 ()()x +1 x + 2 ⎧A + B = 0 ⎧A =1 1 1 1 Suy ra ⎨ ⇒ ⎨ ⇒ 2 = − ⎩2A + B =1 ⎩B = −1 x + 3x + 2 ()x +1 ()x + 2 1 1 1 1 1 1 ⎛ 4 ⎞ Vậy I = dx = dx − dx = ln ∫ 2 ∫ ∫ ⎜ ⎟ 0 x + 3x + 2 0 ()x +1 0 ()x + 2 ⎝ 3 ⎠ 1 x b. I = dx . ∫ 2 0 x + 3x + 2 Ta cĩ x2+3x+2=(x+1)(x+2) nên suy ra x x A B (A + B)(x + 2A + B ) = = + = x 2 + 3x + 2 ()()x +1 x + 2 ()x +1 ()x + 2 ()()x +1 x + 2 ⎧A + B =1 ⎧A = −1 x 1 2 Suy ra ⎨ ⇒ ⎨ ⇒ 2 = − + ⎩2A + B = 0 ⎩B = 2 x + 3x + 2 ()x +1 ()x + 2 Trang 42
  44. 1 x 1 -1 1 2 ⎛ 9 ⎞ Vậy I = dx = dx + dx = ln ∫ 2 ∫ ∫ ⎜ ⎟ 0 x + 3x + 2 0 ()x +1 0 ()x + 2 ⎝ 8 ⎠ 1 x c. . I = ∫ 2 dx 0 ()x +1 -Cách 1. Đặt t=x+1 ⇒x=t-1; dx=dt Đổi cận: x 0 1 t 1 2 1 x 2 t −1 2 1 2 1 1 I = dx = dt = dt − dt = ln2 −1+ . ∫ 2 ∫ 2 ∫ ∫ 2 0 ()x +1 1 t 1 t 1 t 2 -Cách 2. x A B Bx + A + B = + = ()x +1 2 ()x +1 2 x +1 ()x +1 2 ⎧b =1 ⎧A = −1 x 1 1 Suy ra ⎨ ⇒ ⎨ ⇒ 2 = − 2 + ⎩A + B = 0 ⎩B =1 ()x +1 ()x +1 ()x +1 1 x 1 1 1 1 I = ∫ 2 dx = −∫∫2 + dx = ln2 −1+ 0 ()x +1 ()x +1 dx 0 x +1 2 * Phương pháp tích phân từng phần. Bài 6. Tính các tích phân sau: 1 a. I = ∫ x.e x .dx . 0 Đặt ⎧u = x ⎧du = dx ⎨ x ⇒ ⎨ x ⎩dv = e dx ⎩v = e 1 b 1 b 1 I = x.e x .dx = u.v − vdu = x.e x − e x dx =1 ∫ a ∫ 0 ∫ 0 a 0 e b. I = ∫lnx.dx . 1 Đặt ⎧ 1 ⎧u = lnx ⎪du = dx ⎨ ⇒ ⎨ x ⎩dv = dx ⎩⎪v = x Trang 43
  45. e b e b e I = lnx.dx = u.v − vdu = x.lnx − dx =1 ∫ a ∫ 1 ∫ 1 a 1 π c. I = ∫ x.Sinx.dx . 0 Đặt ⎧u = x ⎧du = dx ⎨ ⇒ ⎨ ⎩dv = Sinxdx ⎩v = −Cosx π b π b π I = x.Sinxdx = u.v − vdu = - x.Cosx + Cosxdx = π ∫ a ∫ 0 ∫ 0 a 0 π d. I = ∫e x .Sinx.dx . 0 Đặt ⎧u = Sinx ⎧du = Cosxdx ⎨ x ⇒ ⎨ x ⎩dv = e dx ⎩v = e π b π π b π I = e x .Sinxdx = u.v − vdu = e x .Sinx − e x Cosxdx = − e x Cosxdx ∫ a ∫ 0 ∫ ∫ 0 a 0 0 Đặt ⎧u = Cosx ⎧du = −Sinxdx ⎨ x ⇒ ⎨ x ⎩dv = e dx ⎩v = e π π π I = − e x Cosxdx = − e x Cosx − e x .Sinxdx = e π +1− I ∫ 0 ∫ 0 0 1 Vậy I = ()e π +1 2 π 4 x e. I = .dx. ∫ 2 0 Cos x Đặt ⎧u = x ⎪ ⎧du = dx ⎨ 1 ⇒ ⎨ dv = dx ⎩v = tanx ⎩⎪ Cos 2 x π π 4 b π 4 x b π I = .dx = u.v − vdu = x.tanx 4 − tanxdx = − J ∫ 2 a ∫ 0 ∫ 0 Cos x a 0 4 Trang 44
  46. π 4 Tính J = ∫ tanxdx = ln 2 . 0 π Vậy I= − ln()2 4 π 2 x I = .dx . f. ∫ 2 π Sin x 3 Đặt ⎧u = x ⎪ ⎧du = dx ⎨ 1 ⇒ ⎨ dv = dx ⎩v = −Cotx ⎩⎪ Sin 2 x π π 2 b π 2 x b π 3 I = .dx = u.v − vdu = −x.Cotx 2 + Cotxdx = + J ∫ 2 a ∫ π ∫ π Sin x a 3 π 9 3 3 π 2 3 Tính J = ∫Cotxdx = −ln . π 2 3 π 3 3 Vậy I= − ln 9 2 Bài 7. Tính các tích phân sau: π 2 a. I = ∫()2x -1 .Cosx.dx . 0 Đặt ⎧u = 2x -1 ⎧du = 2dx ⎨ ⇒ ⎨ ⎩dv = Cosxdx ⎩v = Sinx π π 2 b π 2 b π I = 2x -1 .Cosx.dx = u.v − vdu = (2x -1).Sinx 2 + 2 Sinxdx = − 3 ∫() a ∫ 0 ∫ 0 a 0 2 π b. I = ∫ x 3 .Sinx.dx . 0 Đặt ⎧u = x 3 ⎧du = 3x 2dx ⎨ ⇒ ⎨ ⎩dv = Sinxdx ⎩v = −Cosx Trang 45
  47. π b π b π I = x 3 .Sinx.dx = u.v − vdu = − x 3Cosx + 3 x 2Cosxdx = π 3 + J ∫ a ∫ 0 ∫ 0 a 0 π Với J = 3.∫ x 2Cosxdx . 0 Đặt ⎧u = x 2 ⎧du = 2xdx ⎨ ⇒ ⎨ ⎩dv = Cosxdx ⎩v = Sinx π π J = 3.∫ x 2Cosxdx = −6.∫ x.Sinxdx 0 0 Đặt ⎧u = x ⎧du = dx ⎨ ⇒ ⎨ ⎩dv = Sinxdx ⎩v = −Cosx π b π b π - 6 x.Sinxdx = u.v − vdu = 6x.Cosx − 6 Cosxdx = −6π ∫ a ∫ 0 ∫ 0 a 0 π Vậy I = ∫ x 3 .Sinx.dx = π3 − 6π . 0 1 c. I = ∫ x.ln()1+ x 2 dx . 0 Đặt ⎧ 2x 2 du = dx ⎧u = ln()1+ x ⎪ 1+ x 2 ⎨ ⇒ ⎨ dv = xdx 1 ⎩ ⎪v = x 2 ⎩⎪ 2 1 1 1 x 3 I = x.ln 1+ x 2 dx = ln2 − dx = ln 2 − J . ∫ () ∫ 2 ( ) 0 2 0 x +1 1 x 3 1 x 2 .x Với J = dx = dx ∫ 2 ∫ 2 0 x +1 0 x +1 Đặt 1 t=x2+1 ⇒ dt = 2xdx ⇒ xdx = dt 2 x2=t-1 Đổi cận: x 0 1 t 1 2 Trang 46
  48. 1 x 3 1 2 t -1 1 J = dx = dt = − ln 2 ∫ 2 ∫ 2 0 x +1 2 1 t 2 1 1 1 Vậy I = ∫ x.ln()1+ x 2 dx = ln()2 − + ln( 2)= ln2 − 0 2 2 e d. I = ∫ x 2 .lnxdx 1 Đặt ⎧ 1 du = dx ⎧u = lnx ⎪ x ⎨ ⇒ ⎨ dv = x 2dx 1 ⎩ ⎪v = x 3 ⎩⎪ 3 e 2 1 I = ∫ x 2 .lnxdx = e3 + 1 9 9 Chuyên đề: SỐ PHỨC  Số cĩ dạng , trong đĩ , gọi là số phức. Trong đĩ gọi là phần thực, cịn gọi là phần ảo của . - Số , gọi là số phức liên hợp của - , gọi là mơ đun của số phức  Cộng, trừ, nhânsố phức: Cho hai số phức . - Cộng, trừ số phức: - Nhân số phức: . Lưu ý: Ví dụ: , (Vì  Phép chia số phức: Ví dụ: 1) 2)  Số , gọi là số phức nghịch đảo của  Căn bậc hai của số thực âm: Cho số thực , khi đĩ số cĩ hai căn bậc hai là: và Trang 47
  49.  Điểm , biểu điễn trên mặt phẳng tọa độ với hệ trục được gọi là điểm biểu diễn của số phức .  Hai số phức bằng nhau: Cho hai số phức . Khi đĩ MỘT SỐ DẠNG TỐN I. Tính tốn trên số phức Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của Giải:  Ta cĩ Hay .  Suy ra số phức liên hợp của bằng Ví dụ 2: Tìm mơ đun của . Giải:  Ta cĩ Hay  Vậy, mơ đun của bằng II. Tìm căn bậc hai của số phức Ví dụ 4: Tìm căn bậc hai của . Giải:  Giả sử số là căn bậc hai của . Khi đĩ ta cĩ  Giải hệ này ta được hai nghiệm:  Vậy, số cĩ hai căn bậc hai dạng , với III. Khai triển lũy thừa Ví dụ 5: Tính Giải:  Ta cĩ  Lại cĩ . Trang 48
  50.  Suy ra  Vậy II. Các bài tốn về phương trình Bài 1. Giải các phương trình sau: a) b) c) Bài 2. a) Tìm các số thực để phương trình nhận làm nghiệm. Chứng minh khi đĩ nghiệm cịn lại là b) Cho phương trình , trong đĩ là số thực. 1. Tìm m để phương trình cĩ ít nhất một nghiệm thực. 2. Tìm để phương trình nhận l à nghiệm. Hướng dẫn giải Chú ý: 1. Cách giải phương trình bậc hai hệ số phức Bước 1. Đặt (hoặc ) Bước 2. Tìm một căn bậc hai của . Bước 3. Phương trình cĩ hai nghiệm và 2. Cách tìm căn bậc hai của . Tức là tìm sao cho Đặt . Ta cĩ Suy ra Ta tìm các số thực thỏa hệ (I) Bài 1. a) Ta đi tìm căn bậc hai của . Đặt , trong đĩ là các số thực. Khi đĩ ta cĩ hệ Từ Trường hợp 1: , thế vào (2) ta cĩ hoặc • Với thì • Với thì Trường hợp 2: thế vào (2) ta cĩ (khơng tồn tại vì Vậy phương trình cĩ hai nghiệm b) Ta cĩ Vậy phư ơng trình cĩ hai nghiệm c)Ta cĩ Ta đi tìm một căn bậc hai của Trang 49
  51. Đặt Khi đĩ ta cĩ hệ Thế vào , ta cĩ Với suy ra Với Chọn . Phương trình cĩ hai nghiệm Bài 2. a) Vì là nghiệm của phương trình nên ta cĩ . Hay Suy ra và Giải ra ta được Vậy phương trình trở thành Phương trình cĩ hai nghiệm b) Giả sử là một nghiệm thực của phương trình . Khi đĩ ta cĩ: Giải hệ ta được hoặc 2. Vì là nghiệm của phương trình nên ta cĩ: Ta cĩ nên khơng tồn tại để phương trình (1) nhận là nghiệm. II. Bài tập rèn luyện Bài 1. Giải các phương trình sau: a) b) c) Bài 2 Tìm các số phức thỏa a) b) Trang 50
  52. Bài 3. Tìm để phương trình cĩ một nghiệm phức là Bài tốn 1: Tìm số phức , biết: a) ; b) Cách giải 1: a) Rút gọn vế phải sau đĩ trừ hai vế cho ta được: Nhân hai vế cho (vì chưa sử dụng phép chia số phức nên ta chỉ dùng phép nhân), ta được: b) Làm tương tự câu a) ta được: . Chú ý rằng , do đĩ để cĩ được ta nhân 2 vế với , ta được: . Cách giải 2: b) Đặt , ta cĩ: Theo tính chất của 2 số phức bằng nhau ta cĩ: . Vậy a) Câu này giải tương tự. Bài tốn 2: Tìm biết : . Cách giải 1: Để cĩ được ở vế trái, chúng ta sử dụng tính chất . Vì vậy, chúng ta chỉ cần nhân cả hai vế của đẳng thức đã cho với , sau đĩ nhân tiếp với . Lời giải: Nhân cả 2 vế của đẳng thức đã cho với ta được: . Trang 51
  53. MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức : a) (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) ĐS : 1 và 1 b) (1 + i)2 – (1 – i)2 ĐS: 0 và 4 c) (2 + i)3 – (3 – i)3 ĐS: -16 và 37 3 − i 2 − i 3 − 3 2 2 −1− 3 d) − ĐS : và 1+ i i 2 2 Bài 2: Cho số phức z = x + yi. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức : a) z2 – 2z + 4i ĐS: x2 – y2 – 2x và 2(xy – y + 2) z + i − 2xy y 2 − x 2−1 b) ĐS: và iz −1 x 2 + (y +1) 2 x 2 + (y +1) 2 Bài 3: Giải các phương trình sau (ẩn z): 2 + i −1+ 3i 22 4 a) z = ĐS: + i 1− i 2 + i 25 25 1 b) [(2 − i)z + 3 + i](iz + ) = 0 ĐS: -1 + i ; 1/2 2i c) z + 2z = 2 − 4i ĐS: 2/3 + 4i 1 3 1 3 d) z 2 − z = 0 ĐS: 0, -1, + i, − i 2 2 2 2 e) z 2 + z = 0 ĐS: 0, i, -i f) z 2 + z 2 = 0 ĐS: bi (b∈ R) Bài 4: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau: a) z + z + 3 = 4 ĐS: x = 1/2 và x = -7/2 1± 3 b) z − z +1− i = 2 ĐS: y = 2 x 2 c) 2|z – i| = z − z + 2i ĐS: y = 4 4 ⎛ z + i ⎞ Bài 5: Tìm số phức z thỏa mãn : ⎜ ⎟ = 1 ĐS: 0, 1 , -1 ⎝ z − i ⎠ Bài 6: Phân tích ra thứa số : a) a2 + 1 ĐS: (a – i)(a + i) b) 2a2 + 3 ĐS: (a 2 − i 3)(a 2 + i 3) c) 4a4 + 9b2 ĐS: (2a – 3bi)(2a + 3bi) d) 3a2 + 5b2 ĐS: (a 3 − ib 5)(a 3 + ib 3) Trang 52
  54. Bài 7: Thực hiện phép tính : 3 3 6 1+ i a) ĐS: − i b) ĐS: i 1+ 2i 5 5 1− i m a + i a a −1 2 a c) ĐS: -i m d) ĐS: + i i m a − i a a +1 a +1 3 + i 4 3 (1+ 2i) 2 − (1− i) 2 21 9 e) ĐS: + i f) ĐS: + i (1− 2i)(1+ i) 5 5 (3 + 2i) 2 − (2 + i) 2 34 17 a + i b b g) ĐS: − i a h) (2 – i)6 ĐS: -117 – 44i i a a Bài 8: Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau : a) -1 + 4 3.i ĐS: ± ( 3 + 2.i) b) 4 + 6 5.i ĐS: ± (3 + 5.i) c) -1 - 2 6.i ĐS: ± ( 2 − 3.i) d) -5 + 12.i ĐS: ± (2 + 3i) Bài 9: Giải các phương trình sau trong C. 3 1 a) x 2 − 3.x +1 = 0 ĐS: ± i 2 2 6 b) 3 2.x 2 − 2 3.x + 2 = 0 ĐS: (1± i) 6 c) x2 – (3 – i)x + 4 – 3i = 0 ĐS: 2 + i ; 1 – 2i 123± i d) 320xx2 −+= ĐS: 6 66 e) 322320xx2 −+= ĐS: ± i 66 Trang 53