Giáo trình Toán cao cấp (Phần 1)

86 trang phuongnguyen 4430

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán cao cấp (Phần 1)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_toan_cao_cap_phan_1.pdf

Nội dung text: Giáo trình Toán cao cấp (Phần 1)

LỜI NÓI ĐẦU Môn học Toán cao cấp là một môn học có ở hầu hết các trường đại học kỹ thuật và kinh tế nói chung. Đây là môn học cần thiết cho các sinh viên ở những năm đầu đại học. Trong nhiều năm qua, trường Đại học Lâm nghiệp đều có các bài giảng về môn học này, nó được biên soạn trên cơ sở yêu cầu các nội dung tiên quyết cần thiết để tiếp tục học các môn cơ sở, chuyên ngành tiếp theo. Do vậy, đã có các bài giảng: Toán cao cấp C cho nhóm ngành Kinh tế , Kế toán , Quản lý đất đai ; bài giảng Toán cao cấp B cho nhóm ngành Lâm học, Quản lý tài nguyên, Công nghệ sinh học Cho đến hiện nay, trường Đại học Lâm nghiệp chưa có một giáo trình Toán cao cấp phù hợp với nội dung của các chuyên ngành đào tạo nói trên. Vì vậy, để có một giáo trình Toán cao cấp thống nhất cho nội dung bài giảng cũng như cần có một tài liệu cho sinh viên học tập, chúng tôi biên soạn cuốn giáo trình Toán cao cấp nhằm phục vụ tất cả các đối tượng giảng dạy và học tập thuộc các ngành trên. Nội dung giáo trình Toán cao cấp này gồm 6 chương : Chương 1 : HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC- GIỚI HẠN - SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM Chương 2 : PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN Chương 3 : PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Chương 4 : MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Chương 5 : HÀM HAI BIẾN Chương 6 : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Do nhiệm vụ của môn học Toán cao cấp ở đây là giúp cho sinh viên tiếp thu cũng như sử dụng tốt một số các ứng dụng tính toán cho các môn chuyên ngành, nên cách trình bày trong giáo trình thiên về công nhận các kết quả đã có trong toán học để đưa ra các kỹ thuật tính toán các ứng dụng. Trong giáo trình cũng có nhiều các nhận xét, các chú ý khi sử dụng các kết quả của lý thuyết để giải các bài tập hoặc là các thao tác khi tính toán. Mặc dù giáo trình được biên soạn trên cơ sở các bài giảng đã được sử dụng trong nhiều năm qua, nhưng không thể tránh được các sai sót trong cách hành văn, trong in ấn; vì vậy rất mong được sự góp ý của độc giả. Nhân đây, chúng tôi xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong Bộ môn Toán của Trường Đại học Lâm nghiệp đã có nhiều đóng góp quý báu để tác giả hoàn thành được giáo trình này. Tác giả.
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 1 CHƯƠNG 1 HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC- GIỚI HẠN - SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM. 1.1 Hàm số 1.1.1 Định nghĩa hàm số và các phương pháp cho hàm số. 1.1.1.1 Các tập hợp số thực Tập các số tự nhiên (được ký hiệu là N ) là tập các số { 0 , 1 , 2 , } Tập các số nguyên (được ký hiệu là Z ) là tập các số { 0 , ± 1 , ± 2 , } p Tập các số hữu tỷ ( được ký hiệu là Q ) là tập các số có dạng với p, q (q ≠ 0 ) . q là các số nguyên Số hữu tỷ còn có thể định nghĩa theo cách khác : số hữu tỷ là các số thập phân hoặc thập phân vô hạn tuần hoàn. 23 1 23 Ví dụ : 2,3 ; 0,33333 0,(3) ; 0, 02323 = 0,0 (23) = 10 3 990 21 21 56 2135 2,(),() 1 56 0 0 56 10 10 990 990 2456 567 2454111 2,456 ( 567) = 2,456 + 0,000(567) = 1000 999000 999000 Số vô tỷ : là các số thập phân vô hạn không thuần hoàn : số pi ; 2 ; 5 , Số thực : là tập hợp tất cả các số hữu tỷ và vô tỷ, được ký hiệu là R Biểu diễn số thực trên trục số : Khoảng số thực : Các khoảng hữu hạn : - Khoảng mở ( sau này gọi là khoảng ) : ( a , b ) - là tập các giá trị thực x sao cho a < x < b - Khoảng đóng ( sau này gọi là đoạn ) : [a , b ] - là tập các giá trị thực x sao cho a x b
2 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy - Nửa khoảng : (a , b ] - là tập các giá trị thực x sao cho a 0 , x0 là một số thực Người ta gọi :  - lân cận điểm x0 là một khoảng số thực ( x0 -  , x0 +  ) và được ký hiệu là U (x0 ) , tức là bao gồm các giá trị x : x x0  Như vậy U (x0 ) = { x : x x0  } hoặc U (x0 ) = { x : x ( x0 -  , x0 +  ) } 1.1.1.2 Định nghĩa hàm số Cho hai tập hợp X, Y  R. Nếu ứng mỗi số thực x X mà cho duy nhất một số thực y Y theo một quy luật f thì khi đó nói rằng y là hàm số của x xác định trên X Kí hiệu f: X Y hay X x y f (x) Y hay y = f(x), trong đó : X: Tập xác định (miền xác định ) của hàm số f. x X: đối số ( biến số, biến độc lập ) y = f(x), x X: hàm số ( biến phụ thuộc ) f(X) = {y Y: y = f(x), x X }: miền giá trị của f Ta có f(X)  Y Chú ý : Nếu cho hàm số y = f(x) mà không nói gì đến miền xác định thì hiểu miền xác định của hàm số là tập tất cả các giá trị thực x sao cho khi thay các giá trị x này vào biểu thức của f(x) thì đều tính được. Ví dụ: y 1 x 2 là một hàm số có miền xác định x2 ≤ 1 hay -1 ≤ x ≤ 1 1 y là hàm số có miền xác định : x 2 x 2
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 3 1.1.1.3 Các phương pháp cho hàm số. a) Phương pháp bảng số. Hàm số được cho bởi một bảng liệt kê các giá trị tương ứng giữa x và y x x1 x2 x3 x4 x5 xn y y1 y2 y3 y4 y5 yn b) Phương pháp đồ thị . Hàm số được cho bởi một tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ ( thường là một đường cong trong mặt phẳng ). Hệ tọa độ ở đây có thể là hệ tọa độ Đề - Các vuông góc : Oxy ( hình 1.a) hoặc có thể là hệ tọa độ cực ( hình 1.b) Hình 1.a : Đồ thị trong hệ tọa độ Đề-các Hình 1.b : Đồ thị trong hệ tọa độ cực c) Phương pháp cho bằng biểu thức: Hàm số được cho bởi một hay nhiều biểu thức Ví dụ: f(x) = x2 + x – 3: hàm số được cho bởi 1 biểu thức . 2x 1 khi x 0 f x 1 hàm số được cho bởi 2 biểu thức x3 khi x 0 x 1.1.1.4 Hàm hợp và hàm ngược. a. Hàm số hợp Cho các tập hợp X, Y, Z  R và các hàm số g: X Y, f : Y Z . Khi đó hàm số h: X Z định nghĩa bởi : x h(x) = f(g(x)) được gọi là hàm số hợp của hàm số g và hàm số f. Thường ký hiệu hàm số hợp h : h(x) = f [g(x)] hay h(x) = (f.g)(x).
4 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy Chú ý : Điều kiện tồn tại hàm hợp của hai hàm g và f là : miền giá trị của g là tập con của miền xác định hàm f. Ví dụ : Cho X , Y , Z  R , Xét các hàm số: z = f(y) = y2 + 2 ; y = g(x) = 3x + 1 Khi đó: z = f(g(x)) = [g(x)]2 + 2 = (3x+1)2 + 2 Chú ý: f(g(x)) g(f(x)) Ví dụ : Cho Y , Z  R ; X = [2, + ) Xét các hàm số: f : x sin x ; g : x ln(x 2) Khi đó: f(g(x)) = sin( ln( x-2 )) ; g(f(x)) = ln(sinx -2): không tồn tại vì sinx -2 x = (y) thì quy luật là ngược của quy luật f. Khi đó nói rằng hàm số f với tập xác định là X và tập giá trị Y sẽ có hàm ngược , được ký hiệu là f 1, như vậy quy luật f 1 chính là quy luật . Ví dụ : Cho hàm số y = f(x) = x2 với tập xác định X= [ 0 , 2 ] và tập giá trị Y = [0, 4] khi đó với mỗi giá trị y Y đều cho duy nhất một giá trị x = y [0, 2], như vậy x (y) y => f 1  tức là f 1(x) x với tập xác định là [ 0 , 4] và tập giá trị là [0 , 2]. Chú ý Để có hàm số ngược thì ngoài việc phụ thuộc vào tính chất của quy luật f thì còn cần phụ thuộc vào các tập xác định và tập giá trị Ví dụ : Cho hàm số y = f(x) = x2 với tập xác định X  [ -1 , 2 ] và tập giá trị Y  [0, 4], khi đó nếu y = 0,09 thì sẽ có 2 giá trị x tương ứng là x1 = -0,3 và x2 = 0,3, như vậy x không thể là hàm của y, do đó quy luật hàm f (x) = x2 với các tập xác định và tập giá trị như trên sẽ không có hàm ngược.
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 5 Vẫn quy luật hàm số trên : y = f(x) = x2, nhưng tập xác định là X = [0 , 2] và Y = [0 , 4], khi đó ta có hàm ngược : f 1(x) x Nếu hàm y = f(x) đồng biến hoặc nghịch biến trên (a , b) thì f(x) được gọi là đơn điệu trên (a , b) Nếu y = f(x) đơn điệu trên (a, b) thì sẽ tồn tại f 1 Đồ thị hàm số y = f(x) và y = f 1(x) đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất trong hệ tọa độ đề - các 0xy 1.2 Hàm số sơ cấp 1.2.1 Các hàm số sơ cấp cơ bản - Hàm luỹ thừa: y = x ( R) - Hàm số mũ: y = ax ( a> 0, a 1). - Hàm logarit: y = logax (a > 0, a 1). - Hàm lượng giác: y = sinx, cosx, tgx, cotgx. - Hàm lượng giác ngược: y = arcsinx, arccosx, arctgx, arccotgx. 1.2.1.1 Hàm luỹ thừa: y = x ( R) Miền xác định của hàm phụ thuộc vào số mũ , nhưng với mọi hàm số luôn xác định với x > 0. Ví dụ : y = x2 miền xác định với mọi x thuộc R. y = x miền xác định x 0. y = x 1 miền xác định x 0. Tính chất: Xét trên miền [0,+ ) X 0 + y = x , > 0 + 0 y = x , < 0 + 0
6 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy Đồ thị một số hàm lũy thừa: 1.2.1.2 Hàm mũ: y = ax (a > 0, a 1) Miền xác định: R x - + Miền giá trị: R+ y = ax , a > 1 + Đồng biến với a > 1 y = ax , a 0, a 1). Miền xác định: R+ , x 0 + Miền giá trị: R y = logax ; a >1 + Đồng biến với a > 1 + Nghịch biến với a < 1 y = log x ; a < 1 a x Hàm y = logax có hàm ngược là hàm y = a . Đồ thị hai hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 7 1.2.1.4 Các hàm lượng giác ( hàm vòng ) và các hàm luợng giác ngược (vòng ngược ) a) Hàm y = sinx và y = arcsinx. Hàm y = sinx Hàm y = arcsinx -Miền xác định: R X ét hàm y = sinx với tập xác định -Miền giá trị: [-1,1] , là một hàm đơn điệu nên  hàm 2 2 -Tính chất: ngược : y = arcsinx +) Hàm lẻ, tuần hoàn chu kỳ 2 -Miền xác định: [-1,1] -Miền giá trị: , 2 2 +) Đơn điệu tăng trên , 2 2 -Tính chất: Đơn điệu tăng b) Hàm y = cosx và y = arccosx. Hàm y = cosx Hàm y = arccosx - Miền xác định: R Xét hàm y = cosx với tập xác định 0,  , là một - Miền giá trị: [-1,1] hàm đơn điệu nên  hàm ngược : y = arccosx -Tính chất: -Miền xác định: [-1,1] +) Hàm chẵn, tuần hoàn chu kỳ 2 -Miền giá trị : 0,  +) Đơn điệu giảm trên 0,   -Tính chất: Đơn điệu giảm
8 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy c) Hàm y = tgx và y = arctgx. Hàm y = tgx Hàm y = arctgx  - Miền xác định: R - Miền xác định: R\ k ,k 0,1, 2,  2  - Miền giá trị: , - Miền giá trị: R 2 2 -Tính chất: +) Hàm lẻ, tuần hoàn chu kỳ -Tính chất: Đơn điệu tăng +) Đơn điệu tăng trên , - Tiệm cận ngang y = - và y = 2 2 2 2 +) Tiệm cận đứng x = k , k 0, 1, 2, 2 d). Hàm y = cotgx và y = arcotgx Hàm y = cotgx ( hoặc y = ctgx ) Hàm y = arccotgx + Miền xác định: R\ k,k 0, 1, 2,  + Mi ền xác định : R + Miền giá trị: R + Miền giá trị: 0, + Tính chất: - Hàm lẻ, tuần hoàn chu kỳ + Tính chất: Đơn điệu giảm - Đơn điệu giảm trên 0, + Tiệm cận ngang y = 0 và y = - Tiệm cận đứng : x k với k 0, 1, 2,
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 9 1.2.2. Các hàm sơ cấp : Hàm số sơ cấp là hàm có được từ các hàm số sơ cấp cơ bản và các hằng số qua một số hữu hạn các phép toán tổng, hiệu, tích, thương và hàm số hợp Các hàm số không phải là các hàm sơ cấp được gọi là các hàm siêu việt : Ví dụ : y = | x| - là hàm siêu việt vì nó không biểu diễn được qua các hàm sơ cấp cơ bản nhờ các phép toán tổng, hiệu, tích, thương và hàm hợp 1.3 Giới hạn hàm số Nghiên cứu giới hạn của hàm số y = f(x) là nghiên cứu quá trình biến thiên của giá trị y khi giá trị của đối số x a ( hữu hạn ) hoặc khi x . Trong hai quá trình biến thiên của đối số x như trên thì giá trị của y có thể tiến đến giá trị L (giới hạn hữu hạn) hoặc tiến đến (giới hạn vô cực), hoặc không có giới hạn (  giới hạn ) 1. 3.1 Các định nghĩa về giới hạn của hàm số 1. 3.1.1 Giới hạn hữu hạn của hàm số khi x a Định nghĩa : Giả sử hàm số y = f (x) xác định trong lân cận của điểm a (có thể không xác định tại a ). Giá trị L được gọi là giới hạn của f(x) khi x dần tới a (ký hiệu limf ( x ) L ) x a nếu:   > 0 ( nhỏ bao nhiêu tùy ý) sẽ luôn   > 0 để cho  x : 0 x a  thì có được f (x) L  Nhận xét: Nếu hàm sơ cấp f(x) xác định tại a và trong lân cận của a thì limf ( x ) f ( a ) . x a 1 3 xsin khi x 0 Ví dụ : cho hàm f (x) x Chứng minh lim f (x) 3 x 0 1 khi x 0  Theo định nghĩa khi cho trước  > 0 ta phải tìm được một số  > 0 để  x :0 x a  thì có được f (x) 3  (1). Để thực hiện được điều này ta xuất 1 phát từ điều kiện phải thỏa mãn (1) tức là f (x) 3  | 3 + x sin - 3 | x sin  x . sin  x 0  (2) , vì vậy ta x x
10 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy lấy  =  . Như vậy : với  > 0 cho trước , luôn   =  > 0 để cho x :0 x 0  khi đó sẽ thỏa mãn (2) vì vậy sẽ thỏa mãn (1). Do đó, theo định nghĩa lim f (x) 3 x 0 1.3.1.2 Giới hạn vô cực của hàm số khi x a Định nghĩa : Giả sử hàm số y = f (x) xác định trong lân cận của điểm a (có thể không xác định tại a ). Hàm f(x) được gọi là giới hạn + khi x dần tới a ( ký hiệu lim f (x) ) nếu: x a M > 0 ( lớn bao nhiêu tùy ý) sẽ luôn   > 0 để cho  x : 0 x a  thì có được f (x) M Hàm f(x) được gọi là giới hạn - khi x dần tới a ( ký hiệu lim f (x) ) nếu: x a M 0 để cho  x : 0 x a  thì có được f (x) M 1.3.1.3 Giới hạn hữu hạn của hàm số khi x Định nghĩa : Giả sử hàm số y = f(x) xác định  x >a . Giá trị L được gọi là giới hạn của f(x) khi x dần tới + ( ký hiệu lim f (x) L ) nếu:   > 0 ( nhỏ tùy ý cho trước) x , luôn  N > 0 để  x > N thì f (x) L  Giả sử hàm số y = f(x) xác định  x 0 ( nhỏ tùy ý cho trước) , x luôn  N a . Hàm f(x) được gọi là có giới hạn vô cực khi x dần tới + ( ký hiệu lim f (x) ) nếu:  M > 0 ( lớn tùy ý cho x trước) , luôn  N > 0 để  x > N thì f (x) M
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 11 Giả sử hàm số y = f(x) xác định tại  x 0 ( lớn tùy ý cho x trước) , luôn  N > 0 để  x a. Nếu giới hạn đó tồn tại ( được ký hiệu là f(a + 0) hoặc f(a+) ) thì gọi là giới hạn phải của hàm f(x ) ( khi x dần tới a từ bên phải. Ký hiệu: limf (x) = f(a + 0) hay lim f (x) = f(a + 0) x a x a 0 1.3.2.2 Giới hạn trái Xét giới hạn của hàm số f(x ) khi x a và luôn thoả mãn x 0 thì f(x) > 0 trong một lân cận đủ nhỏ của a. Nếu L < 0 thì f(x) < 0 trong một lân cận đủ nhỏ của a.
12 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy 5. limf ( x ) L Mọi dãy {xn}  a thì lim f (xn ) L x a n n Chú ý: Nếu chỉ ra được hai dãy {un} và {vn} a mà lim f (un ) lim f (vn ) (hoặc n n không tồn tại chỉ một trong hai giới hạn trên) thì  lim f (x) x a 1.3.4. Các phép toán về hàm có giới hạn Định lí 1: Giả sử: limf ( x ) L , limg ( x ) L . ( L1 và L2 là hữu hạn ) , khi đó x a 1 x a 2 ta có: lim(f ( x ) g ( x )) L L x a 1 2 lim(f ( x ) g ( x )) L L x a 1 2 f() x L1 lim (nếu g(x) 0 và L2 0) x a g() x L2 Định lí 2: (Giới hạn hàm hợp) Xét hàm số hợp y = f(u(x)). Nếu tồn tạo giới hạn hữu hạn: limu ( x ) b , lim f ( u ) L , thì limf ( u ( x )) L . x a u b x a Ví dụ: limsin 5x 1 sin16 x 3 Chú ý: Cả hai định lí trên chưa khẳng định được trong các trường hợp sau (về mặt hình thức): + LL1 2 + LL1. 2 0. L 0 L + 1 hoặc 1 L2 0 L2 g() x Khi tìm giới hạn dạng limf ( x ) thì ta gặp các dạng: x a   L2 L2 L2 0 L1 1 hoặc L1 0 hoặc L1 0 Các trường hợp trên gọi là các dạng vô định.
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 13 Khi gặp các dạng vô định , muốn tìm giới hạn ta phải tìm cách để khử dạng vô định. Sau đây sẽ là một số kết quả cơ bản cho phép có thể khử được các dạng vô định đó. 1.3.5 Hai tiêu chuẩn tồn tại giới hạn 1.3.5.1 Tiêu chuẩn 1: (Nguyên lý kẹp giới hạn) Định lí: Giả sử 3 hàm số: f(x), g(x), h(x) xác định tại lân cận của điểm x = a (không cần xác định tại a ) và thoả mãn: f(x) g(x) h(x)  x thuộc lân cận của a. Khi đó nếu limf ( x ) lim h ( x ) L thì limg ( x ) L . x a x a x a Áp dụng: Từ định lí trên, người ta chứng minh được công thức giới hạn cơ bản: sin x lim 1 x 0 x ln(1 ex ) Ví dụ: Tính lim = 1 x x (Gợi ý : ex 1 < 1 x x Sau đây là một số ví dụ áp dụng kết quả trên. tgx sinx 1 sinx 1 1) lim lim lim lim 1.1 1; x 0x x 0 xcos x x 0 xx 0 c os x 2 2 x x 2sin sin 1-cosx2 1 2 1 2) lim2 lim2 lim . ; x 0x x 0x x 0 2x 2 4. 4 2 sinm x sin m x mx n x m 3) lim lim . ; x 0sin nx x 0 m x nx sin nx n 1.3.5.2 Tiêu chuẩn 2: Định lí : Giả sử hàm số f(x) xác định trên R. Nếu f(x) đơn điệu tăng và bị chặn trên thì tồn tại limf ( x ) . x Nếu f(x) đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì tồn tại limf ( x ) . x
14 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy - Hàm f(x) được gọi là đơn điệu tăng (hoặc đơn điệu giảm ) trên khoảng (a , b) nếu x1 x 2 (a,b) thì f(x1) f(x2) ) - Hàm f(x) được gọi là bị chặn trên ( hoặc bị chặn dưới) trên khoảng (a , b) nếu M để f(x) M ) x (a,b) Áp dụng: x 1 Xét hàm f(x) = 1 , hàm f(x) là hàm đơn điệu tăng khi x và f(x) bị x x 1 chặn trên , do đó  lim 1 e, số e là một số vô tỷ, có giá trị e 2,78 x x Nhận xét: 1 Từ giới hạn của số e ta cũng có lim 1 e 0 Có thể vận dụng giới hạn trên để tính giới hạn có dạng 1 Xét lim u(x)v(x) với lim u(x) 1; lim v(x) khi đó có x x0 x x0 x x0 1 (u(x) 1).v(x)  u ( x ) 1  lim [u(x) 1].v(x) v(x) [u(x) 1].v(x) x x lim u(x) lim  1 (u(x) 1)  lim e e 0 x x x x x x 0 0  0 Ví dụ: Tính các giới hạn : x2 x 2 x x 2x 2  2 2 2 2 (1) lim 1 lim 1 lim 1  e ; x x x x x x  2x2 2 2 2 2 x 1 22 x 1 x 1 2 x . .x 2x2 1 2 x 1 2 2 2 (2) ; lim 2 lim 1 2 lim 1 2 e x x 1 x x 1 x x 1 1.3.6 Một số công thức giới hạn cơ bản Các công thức giới hạn sau được suy ra từ các hai công thức giới hạn cơ bản trên. sin x tgx arcsin x 1 cosx 1 lim 1; lim 1 ; lim 1 ; lim x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x2 2
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 15 x 1 1 ex 1 a x 1 lim 1 lim 1 e ; lim 1; lim ln a ; x x 0 x 0 x x 0 x (1 x) 1 ln(1 x ) lim ; lim 1 x 0 x x 0 x 1.4 Vô cùng bé và vô cùng lớn 1.4.1 Vô cùng bé. 1.4.1.1. Định nghĩa Đại lượng α(x) được gọi là một vô cùng bé ( VCB ) trong quá trình nào đó nếu trong quá trình ấy lim (x) 0 1 Ví dụ: sinx là VCB khi x→0 ; x2 là VCB khi x→0 ; là VCB khi x→ x Nhận xét: +) Phát biểu một đại lượng là VCB phải gắn vào một quá trình cụ thể của đối số . +) Một số có giá trị cụ thể tuyệt đối bé bao nhiêu cũng không là một VCB. +) Số 0 là VCB trong mọi quá trình. 1.4.1.2 Tính chất: Tổng, hiệu, tích của hữu hạn các VCB trong cùng một quá trình sẽ là một VCB trong quá trình ấy. Tức là: nếu 1(x); 2 (x); ; m x là các VCB thì: 1(x) 2 (x) m x và 1(x). 2 (x) m x là các VCB. Nếu trong cùng một quá trình nào đó (x) là một VCB và hàm f(x) là một hàm bị chặn thì cũng trong quá trình ấy (x).f (x)cũng là một VCB. ( hàm f(x) được gọi là bị chặn nếu  M để |f(x)| < M trong quá trình ấy) 1 Vídụ : Chứng minh: lim x.cos 0 x 0 x2 1 Giải: Khi x dần tới 0 thì ta có x là một VCB. Mặt khác cos 2 từ đó suy ra x2 1 lim x.cos 0. x 0 x2
16 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy 1.4.1.3. So sánh hai VCB. Giả sử (x) và (x)là các VCB trong cùng một quá trình. Nếu trong quá trình ấy tồn tại (x) lim k thì khi đó: (x) Nếu k = 0 thì (x)là VCB cấp cao hơn (x)trong quá trình ấy. Nếu k = 1 thì (x)và (x)là các VCB tương đương, kí hiệu: (x) ~  (x). Nếu k 0, k 1 ( k - hữu hạn) thì (x) và (x) là các VCB ngang cấp Nếu k thì (x)là VCB cấp thấp hơn (x) Nếu không tồn tại k, thì (x) và  (x) là hai VCB không so sánh được. Ví dụ: sinx 1) sin x x khi x 0 do lim 1. x 0 x 2) tg5x và sin2x là VCB ngang cấp khi x 0 do tg5x tg5x 2x 5 5 lim lim . . x 0sin2x x 0 5 x sin22 x 2 3) 1 – cos4x là VCB bậc cao hơn e3x 1 khi x 0 do: 2 1os4 c x 2sin22 x sin2 x 3 x 4 x 2 lim3x lim 3 x lim2 3 x . 0 x 0e 1 x 0 e 1 x 0 2 x e 1 3 x 4) ln 1 2x là VCB có bậc thấp hơn 1 x2 1 khi x 0 do: ln 1 2x ln 1 2 x x2 2 x 2 lim lim .1 . lim x 0 2 2 x 02x2 x x 0 x 1 x 1 1 x 2 1 1 5) xsin và x là hai VCB không so sánh được khi x 0 x 1 xsin 1 vì limx limsin ; không tồn tại giới hạn này. x 0x x 0 x
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 17 1.4.1.4. Các cặp VCB tương đương cơ bản. . sinx x (khi x 0) . tgx x(khi x 0) . arcsinx x(khi x 0) . arctgx x(khi x 0) . ex 1  x (khi x 0) . ax 1  xlna (khix 0) . ln1 x  x (khix 0) x . log1x  (khix 0) a lna . 1x 1 x(khix 0) x2 . 1 cosx  (khix 0) 2 x3 . x sinx  (khix 0) 6 x3 . tgx x  (khix 0) 3 Giả sử lim u x 0. Khi đó, từ bảng trên ta có được : x a u3 (x) u(x) sinu(x)  (khix a) 6 u3 (x) tg(u(x)) u(x)  (khix a) 3 1.4.2 Vô cùng lớn. 1.4.2.1 Định nghĩa: Hàm số α(x) được gọi là một vô cùng lớn ( VCL ) trong quá trình x→x0 (hữu hạn hoặc vô cùng) nếu lim (x) x x0 Ví dụ: x3 là VCL khi x→ nhưng x3 không là VCL khi x→1. 1 là VCL khi x→2. x 2 Nhận xét: Khi nói một đại lượng là VCL phải gắn vào một quá trình cụ thể của đối số.
18 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy 1.4.2.2 Liên hệ giữa VCB và VCL 1 Nếu trong một quá trình nào đó (x)là một VCB thì cũng trong quá trình ấy là một (x) 1 VCL. Ngược lại, nếu (x)là một VCL thì cũng trong quá trình ấy là một VCB (x) Ví dụ: x là VCB trong quá trình x → 0 thi 1 là VCL trong quá trình x → 0. x 1.4.2.3 Quy tắc so sánh hai VCL Giả sử (x) ;  (x) là các VCL trong cùng một quá trình. Nếu trong quá trình ấy tồn tại (x) lim k thì: (x) - Nếu k = 0 thì x là VCL cấp thấp hơn  x - Nếu k = 1 thì x là VCL tương đương  x . - Nếu k 0;k 1 thì x ,  x là các VCL ngang cấp. - Nếu k thì x là VCL cấp cao hơn  x . Nếu không tồn tại k thì x ,  x là các VCL không so sánh được. 1 x Ví dụ 1: Khi x 2 thì là VCL ngang cấp với vì x 2 x 2 2 1 x 2 2 x 2 1 limx 2 lim lim x 2x x 2x x 2 x 2 x x 2 x 2 2 8 x 2 2 Ví dụ 2: Khi x thì x3 2 x 2 1 là VCL có cấp cao hơn x2 1 1 3 2 x 2 x 2 x 1 2 vì lim lim x . x 2 x 1 x 1 1 x2
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 19 Ví dụ 3: Khi x thì 3x3 là VCL tương đương với 3x3 2 x 1 2 1 3 3 3x 2 x 12 3 3 vì lim limx x 1. x 3x3 x 3 3 0 1.4.3 Ứng dụng của VCB và VCL trong việc tìm giới hạn dang vô định ; . 0 1.4.3.1 Quy tắc thay thế VCB (VCL) tương đương Giả sử trong quá trình nào đó ta có (x) và (x) là hai VCB (VCL) tương đương có (x) và (x) là hai VCB (VCL) tương đương, khi đó cũng tring quá trình đó ta có : (x) (x) lim lim và lim (x).  (x) lim (x).  (x) (x)  (x) sin 5x 5 x 5 Ví dụ 1 lim lim x 0tg7 x x 0 7 x 7 ln 1 3x3 3x3 6 Ví dụ 2: lim lim x 0 x 0 1 2 1 c os5 x sinx 5x x 25 2 ex e x e x 1 e x 1 x x 1 1 Ví dụ 3: lim lim lim lim lim 1 x 0arcsin2 x x 0 2 x x 0 2 x x 0 2 x x 0 2 x 22 1 2 2 x 5 1 x 1 1 Ví dụ 4: lim lim 5 x 0tg sin 2 x x 0 x2 5 Chú ý: Chỉ được thay thế các VCB tương đương trong các dạng tích và thương. Không được thay thế trong các dạng tổng và hiệu. Khi tìm giới hạn với quá trình x a, a 0, ta có thể đổi biến t = x – a, để chuyển quá trình x a bằng quá trình t 0 vì trong quá trình này ta có nhiều dạng VCB tương đương.
20 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy 1 2 tgx sinxtgx 1 cos x x.( x ) 1 Ví dụ 5: lim lim lim 2 x 0x3 x 0 x 3 x 0 x 3 2 Như vậy, rõ ràng trong ví dụ này ta không thể thay thế tgx sinx bởi x – x = 0. sinmx Ví dụ 6: lim . Trong bài này, ta không thể thay simmx bằng mx vì x sinnx mx m , m 0 . Để tiếp tục ta có thể đổi biến: Đặt x = t + , khi x , t 0 . sinmt 1sin(mt) m 1 m n mt 1 m n m Khi đó: I lim lim lim . x sinn t t 0 1 n sin(nt) t 0 nt n 1.4.3.2 Quy tắc ngắt bỏ các VCB cấp cao Giả sử trong cùng một quá trình nào đó có các đại lượng VCB 1(x), 2 (x), , m (x) và 1(x),  2 (x), ,  n (x) . Khi đó: (x) (x) x (x) lim1 2 m lim 1(x)  2 (x)  n (x  (x) trong đó (x);  (x) là các VCB cấp thấp nhất ở tử thức, mẫu thức ( chú ý: so sánh với toàn bộ tử thức, toàn bộ mẫu thức). Áp dụng: Tính các giới hạn sau: x sin2 x tg 3 x Ví dụ 1: lim x 0 2x 3x5 5x 7 Giải: Trong quá trình x 0, ta có: sin2x  x2 ; tg3x  x3. Vậy x là VCB có bậc thấp nhất trên tử thức. 2x là VCB có bậc thấp nhất dưới mẫu thức. x sin2 x tg 3 x x 1 Theo qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao, ta có: lim lim x 02x 3 x5 5 x 7 x 0 2 x 2
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 21 arcsin5x sin2 7 x Ví dụ 2: lim . x 0 tg2 x ln 1 7 x Giải: Trong quá trình x 0, ta có: arcsin5x  5x , sin27x  (7x)2 , tg2x  x2 , ln(1 + 7x )  7x Từ trên ta có arcsin5x là VCB có bậc thấp nhất trên tử thức và ln(1 + 7x) là VCB có bậc thấp nhất dưới mẫu thức nên theo qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao ta có: arcsin5x sin2 7 x arcsin5 x 5 x 5 lim lim lim . x 0tg2 x ln 1 7 x x 0 ln 1 7 x x 0 7 x 7 2 x3 ex 1 cos2 x 1 2 Ví dụ 3: lim x 0 3artg3 x ln 1 7 x sinx Giải: Trong quá trình x 0, ta có: 2 1 (ex 1)2  x2 ; ( cos2x - 1)2  (2x)2 4x 4 2 3arctg3x  3x3 ; ln(1 + 7xsinx)  7xsinx  7x2 2 Như vậy e x 1 và ln 1 7x sinx lần lượt là các VCB bậc thấp nhất trên tử thức và dưới mẫu thức. 22 2 x3 ex 1 cos2 x 1 e x 1 x2 1 Do đó lim lim lim . x 03artg3 x ln 1 7 x sinx x 0 ln 1 7 x sinx x 0 7 x 2 7 tgsinx 2 xln1 2x x 3 Ví dụ 4: lim . x 0 ( 1 4x2 1) (x sinx) Giải: Trong quá trình x 0, ta có: tg(sin2x)  sin2x  x2 ; xln(1+ 2x)  x . 2x  2x2 1 1 x 3 14x 2 1 14x 2 2 1 4x 2 2x 2 ; x sin x  2 6
22 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy Vậy tg(sin2x) và xln(1 + 2x) là hai VCB cùng bậc và có bậc thấp nhất trên tử thức. 1 4x2 1 là VCB có bậc thấp nhất dưới mẫu thức. Do đó: tgxx sin2 ln12 xx 3 tgxx sin 2 ln12 x lim lim x 0(14 x2 1) (sinx) x x 0 (14 x 2 1) tg sin 2 x xln 1 2 x x2 x 2 x 1 2 3 lim lim lim lim . x 02 x 0 2 x 01 x 0 1 ( 1 4x 1) ( 1 4 x 1) 4x2 4 x 2 2 2 2 2 2 1.4.3.3 Quy tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp. Giả sử 1(x), 2 (x), , m (x) và 1(x),  2 (x), ,  n (x) là các VCL trong cùng (x) (x) (x) (x) một quá trình. Khi đó: lim1 2 m lim 1(x)  2 (x)  n (x)  (x) trong đó (x) ;  (x) là các VCL cấp cao nhất ở tử thức và mẫu thức. Chú ý: n n 1 Đa thức Pn x a n x a n 1 x a 1 x a o , ở đây k, n nguyên dương, ai n hằng số, an khác 0. Trong quá trình x→ + thì: Pn(x) ≈ an x . Khi x→ + , ta có thể xắp xếp các VCL sau theo thứ tự bậc cao dần như sau: 1 2 x x lnx,x, x ,a,a1 2 . trong đó ( 2 1 0 ; a 2 a 1 1) Với mọi > 0 ta luôn có x là VCL cấp cao hơn lnx trong quá trình x→ + Áp dụng Tính các giới hạn sau: 2x3 4x 5 2x3 Ví dụ 1 : lim lim 2 . x x3 6x2 8x 1 x x3 n n 1 n 2 n 3 n4 1 Ví dụ 2: lim lim . n 3n4 2 n 2 1 n 3 n 4 3
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 23 4n5 1 3 n 2 2 4 n 5 1 4 n 5 1 Ví dụ 3: lim lim lim lim 0 n 5 4 3 n 3 n 3 n 1 n 1 n 2 n 2 n n 4 3x 4 x 4 x 1 Ví dụ 4: lim lim . x 2x 5.4 x x 5.4 x 5 3x x3 ln x 3 x 1 Ví dụ 5: lim lim . x x2 2ln x 5.3x x 5.3 x 5 1.5 Hàm số liên tục 1.5.1 Hàm số liên tục 1.5.1.1. Liên tục tại một điểm. Giả sử hàm số f(x) xác định tại x0 và trong lân cận của x0. Hàm số f(x) gọi là liên tục tại x0 nếu limf ( x ) f ( x0 ) . Khi đó điểm x0 gọi là điểm liên tục của hàm số f(x). x x0 Ví dụ: f(x) = sinx liên tục trên R. 1 f (x) không liên tục tại x = 2 (vì f(x) không xác định tại x = 2) x 2 Kết quả cần nhớ : Hàm số sơ cấp liên tục tại mọi điểm mà nó xác định 1.5.1.2 Liên tục một phía. + Liên tục phải: Nếu limf ( x ) f ( x ) thì f(x) gọi là liên tục phải tại x . 0 0 x xo + Liên tục trái: Nếu limf ( x ) f ( x ) thì f(x) gọi là liên tục trái tại x . 0 0 x xo Định lý: Hàm số f(x) liên tục tại x khi và chỉ khi limf () x lim f () x f ( x ) 0 0 x xo x x o Ví dụ 1: Xác định a để hàm số liên tục trên miền xác định của nó: x 2e khi x 0 1) f (x) a 2x khi 0 x 1 cos3x khi x 0 2) f() x x2 a khi x 0
24 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy Giải: 1) Có f(x) liên tục tại mọi x ≠ 0 vì các biểu thức xác định f(x) là các hàm số sơ cấp xác định tại mọi x ≠ 0. - Tại x = 0: f(0 0) lim 2 ex 2; f(00) lim a 2 x a f (0). x 0 x 0 Vậy để f(x) liên tục tại x = 0 thì: f(0 0) f 0 0 f 0 a 2. Kết luận : với a = 2 thì hàm số đã cho liên tục trên R. 2) Với x ≠ 0, có f(x) là hàm số sơ cấp nên liên tục. 1 2 1 c os3 x 3x 9 - Xét tại x = 0 có limf x lim lim2 ; f 0 a => f(x) liên tục x 0 x 0x2 x 0 x 2 2 9 9 tại x = 0 khi và chỉ khi a = . Vậy với a = thì hàm số đã cho liên tục trên R. 2 2 Ví dụ 2: Xác định các hằng số a, b để các hàm số sau đây liên tục  x: 3 2 x 1 khi x 1 2 x 1 x +2 khi x 1 1) f(x) ax2 b khi -1 x 0 2) f(x) ax b khi 1 0 nên liên tục tại các điểm này. - Tại x = -1: f 1 0 lim (a x2 b) a b f 1 x 1 3 2 x 1 2 x 1 f ( 1 0) lim lim x 1 x 1 2 x 1 x 1 3 2 x 3 2 x 1 1 1 lim x 1 2 32 x 3 2 x 1 3 1 Để f(x) liên tục tại x = -1 thì f 1 0 f 1 0 f 1 a b (1) 3
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 25 - Tại x = 0: f 0 0 lim( a x2 b ) b f 0 x 0 e3x 1 3 x f 0 0 lim lim 3. x 0 3 x 0 x Vậy f(x) liên tục tại x = 0 khi và chỉ khi b = 3 (2). 8 Kết hợp (1) và (2) suy ra a = . 3 8 Vậy với a = và b = 3 thì hàm số đã cho liên tục trên R. 3 2) f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại mọi x 2 nên liên tục tại các điểm này. - Tại x = 1: f10 lim(x2 2) 5 f1 f10 lim(ax b) a b x 1 x 1 => f(x) liên tục tại x = 1 khi và chỉ khi a + b = 5 (1). - Tại x = 2: 4 4 f 2 0 lim(a x b) 2a b f (2) . f 2 0 lim 2 x 2 x 2 x 2 Vậy để f(x) liên tục tại x = 2 thì 2a + b = 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra a = -3; b = 8. Kết luận: với a = -3; b = 8 thì hàm số đã cho liên tục trên R. 1.5.1.3 Liên tục trên một khoảng, đoạn. Hàm số f(x) liên tục trong khoảng (a, b) nếu f(x) liên tục tại mọi x (a, b). Ký hiệu f (x) C(a , b ) Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] nếu f(x) liên tục trong (a, b) và liên tục phải tại a, liên tục trái tại b. Ký hiệu f (x) C[a , b ] Ý nghĩa hình học: Nếu hàm f() x Ca, b thì đồ thị y = f(x) là một đường liền nét đi từ A(a, f(a)) đến B(b, f(b)).
26 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy 1.5.2 Tính chất của hàm liên tục trên một đoạn 1.5.2.1 Tính chất 1: (Tính bị chặn) Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì f(x) bị chặn trên [a, b]. Tức là:  M > 0 :  x [a, b] : f x M 1.5.2.2 Tính chất 2: Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì f(x) đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên [a, b]. Tức là:  x1, x2 [a, b]: f() x1 min f ();( x f x 2 ) m ax f () x [a,b] [a,b] 1.5.2.3 Tính chất 3: Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì f(x) đạt mọi giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của nó trên [a,b]. Tức là: nếu m min f (x);M max f (x); Thì :m  M  x0 [a,b]:f(x) 0  [a,b] [a,b] Hệ quả: Nếu f (x) C[ ,  ]. cho a,b ( ,  ) sao cho a < b và f(a).f(b) < 0 khi đó tồn tại 1 điểm c [a,b] sao cho f(c)=0. Áp dụng : Phương pháp chia đôi liên tiếp : Giải bằng gần đúng phương trình f(x) = 0 Để giải gần đúng phương trình f(x) = 0 theo phương pháp chia đôi liên tiếp thì hàm f(x) cần thỏa mãn điều kiện : f(x) liên tục trên [a , b ] và f(a) . f(b) < 0 a) b) Quy ước : - các ký hiệu a, b , c là địa chỉ chứa các giá trị a , b , c - ký hiệu a : = b là gán giá trị ở địa chỉ b vào địa chỉ a Cần tìm nghiệm gần đúng f(x) = 0 với sai số là 
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 27 Thuật giải: a b Bước 1. c : = 2 Bước 2. Nếu f(c) . f(a) 0 thì a : = c - trường hợp b) tức là thay [a , b ] bởi [c , b ] Bước 3. a b Nếu c  thì quay về bước 1 2 a b a b Nếu c  thì dừng tính toán và nghiệm gần đúng x0 = 2 2 1.5.3 Điểm gián đoạn của hàm số 1.5.3.1. Định nghĩa: Hàm số f(x) gọi là gián đoạn tại điểm x0 nếu f(x) không liên tục tại x0. Khi đó điểm x0 gọi là điểm gián đoạn của hàm số. 1.5.3.2. Các trường hợp gián đoạn. Điểm x0 là điểm gián đoạn của f(x) nếu thuộc một trong các trường hợp sau: Hàm số f(x) không xác định tại x0 1 Ví dụ: f (x) có điểm gián đoạn x = 0 do không xác định tại x = 0 x limf x lim f x x x0 x x 0 1 ex 1 khi x 1 Ví dụ : f (x) có điểm gián đoạn là x = 1 vì 1 khi x 1 1 1 f( 1 - 0) = lime x 1 0 ; f(1+ 0) = lim e x 1 => f(1- 0) f(1+ 0) x 1 0 x 1 0 limf x lim f x f ( x ) 0 x x0 x x 0 sin x khi x 0 Ví dụ: f (x) x 3 khi x 0 có điểm gián đoạn x = 0 vì f(0+ 0) = f(0 - 0) = 1 f(0) = 3
28 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy 1.5.3.3 Phân loại điểm gián đoạn. Giả sử điểm x0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x). Điểm x0 gọi là điểm gián đoạn loại 1 của hàm số f(x) nếu tồn tại giới hạn trái và giới hạn phải hữu hạn của hàm số f(x) tại x0 . Khi đó: h f(x0 0) f(x 0 0) gọi là bước nhảy của f(x) tại x = x0. Khi h = 0 thì x0 là điểm gián đoạn có thể khử được bằng cách bổ sung giá trị của hàm số tại điểm x0 chính bằng giá trị giới hạn đó. sin x Ví dụ: f (x) gián đoạn tại x = 0 x sinx khi x 0 do đó đặt f (x) x thì f(x) liên tục tại x = 0 1 khi x 0 Các điểm gián đoạn của hàm số khác loại 1 thì gọi là điểm gián đoạn loại 2. Ví dụ 1 1 cosx 2 khi x 0 Xét tính liên tục và phân loại điểm gián đoạn của hàm số: f (x) x 1 khi x 0 Giải Nhận thấy hàm f(x) liên tục với mọi x 0. 2 2 x x 2sin sin 1 cosx 1 1 Xét tại x = 0 có lim f (x) lim lim2 lim 2 2 2 x x 0 x 0x x 0 x x 0 2 2 4 1 vậy f(0-0) = f(0+0) = f(0) = 1 , do đó x = 0 là điểm gián đoạn loại 1 với bước 2 nhảy h = 0 ax2 x b khi x 1 Ví dụ 2 Cho hàm số : f(x) = (x 1) 4 khi x 1 Tìm các giá trị a và b để hàm số f(x) có x =1 là điểm gián đoạn: a) loại 1 , b) loại 2
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 29 Giải Với x 1 , hàm f(x) liên tục và ax2 x b ax(x -1) a(x1) a b a b f(x) = ax a (x 1) (x 1) x 1 a b Nếu a + b 0 thì lim f (x) = 2a + lim = x 1 x 1 x 1 => x =1 là gián đoạn loại 2 Nếu a + b = 0 thì lim f (x) = 2a => f(1- 0) = f(1 + 0) = 2a x 1 => để x = 1 là điểm gián đoạn loại 1 thì 2a f(1) = 4 a 2 Kết luận: Điều kiện để x = 1 là điểm : * gián đoạn loại 1 là : a = - b 2 * gián đoạn loại 2 là : a + b 0 ax2 bx 4 khi x 2 Ví dụ 3 Cho hàm số : f(x) = (x 2) 4 khi x 2 Tìm các giá trị của a và b để hàm số trên liên tục với mọi x. Giải Với x 2 , hàm f(x) liên tục và ax2 bx 4 ax(x -2) (2a b).(x 2) 4a 2b 4 f(x) = (x 2) (x 2) 4a 2b 4 = ax 2a b x 2 Để f(x) liên tục tại x =2 cần có : 4a 2b 4 0 4a 2b 4 limf(x) f(2) 4 x 2 lim(ax 2a b) 4 4a b 4 x 2 => b = - 8 và a = 3 ax2 bx 4 khi x 2 vậy với a = 3 và b = -8 thì hàm số f(x) = (x 2) 4 khi x 2 sẽ liên tục với mọi x.
30 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy BÀI TẬP CHƯƠNG I Bài 1 Tìm các hàm ngược của các hàm số : 1) y = x3 với miền xác định x 2 x 2 3) y = ln( x2 - 1) với miền xác định x < -1 Bài 2 Tìm các giới hạn sau : 4x3 2x 2 x x2 5x 6 2x 1 3 a) lim 2 , b) lim 2 c) lim , x 0 3x 2x x 2 x 12x 20 x 4 x 2 2 3 x 1 ax b x d) lim . e) limx x ,(a b;c d) x 1 x 1 x 0 c d Bài 3 Tìm các giới hạn sau : ln(1 x) ln(1 e ) 1 a) lim b) lim , c) lim x(ax 1) x 0 x x e x e  x e x e  x d) lim , (  ) e) lim ; (  ). x 0 x x 0 sin x sin  x Bài 4 Xét tính liên tục và phân loại điểm gián đoạn của các hàm số sin x 1 khi x 0 xsin khi x 0 1) f (x) x 2) f (x) x 1 khi x 0 0 khi x 0 x x2 khi 0 x 1 cos khi x 1 3) f (x) 4) f (x) 2 2-x khi 1 x 2 x-1 khi x 1 Bài 5. Tìm các giá trị a và b để hàm số sau là hàm liên tục với mọi x 3 2 x 1 2 khi x 1 x ax b x 1 khi x 1 a) f (x) x 1 b) f (x) ax2 b khi -1 x 0 2 khi x 1 e3x 1 khi 0 < x x
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 31 CHƯƠNG 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN 2.1. Đạo hàm cấp 1 2.1.1. Định nghĩa đạo hàm 2.1.1.1. Đạo hàm tại một điểm. Định nghĩa Giả sử hàm số f(x) xác định tại điểm x0 và lân cận của x0 . Cho x0 số gia x , khi đó nhận được số gia tương ứng của hàm số: f = f(x0 + x ) – f (x0 ) f Nếu tồn tại lim = A (hữu hạn) thì A được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x0. x 0 x f Ký hiệu: f ’(x0) = A , tức là f ’(x0) = lim x 0 x Ví dụ 1 : Cho f(x) = x2 + 1. Tính f ’(1). Cho x0 = 1 số gia x. 2 2 Số gia tương ứng của hàm số: y = (1 + x ) + 1 – (1+1) = 2 x + ( x ) y Ta có: lim = 2 , Vậy f ’(1) = 2 x 0 x Ví dụ 2 : Cho f(x) = sinx , tính f ’(x) = ? Do f(x) = sinx xác định tại mọi giá trị x nên thỏa mãn giả thiết để có thể tính được f ’(x). x x Cho x số gia x => f = sin(x + x) - sinx = 2cos x sin 2 2 do đó x x x 2cos x sin sin f 2 2 x 2 lim lim lim cos x cosx x 0 x x 0 x x 0 2 x 2 Vậy sin x cos x
32 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy Ý nghĩa của đạo hàm :  Nếu hàm f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì đường cong y = f(x) sẽ có tiếp tuyến tại điểm M0(x0 , f(x0) ) và đường cong được gọi là trơn tại x0. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M0 sẽ là y = f ’(x0) ( x - x0) + f(x0)  Nếu hàm f(x) có f ’(x) > 0 trên (a , b ) thì hàm số đồng biến ( đơn điệu tăng) trên (a , b), còn nếu f ’(x) < 0 trên (a , b ) thì hàm số nghịch biến ( đơn điệu giảm) trên (a , b). Như vậy dựa vào dấu hiệu của đạo hàm ta có thể khảo sát được chiều biến thiên của hàm số. 2.1.1.2. Đạo hàm trái, phải. Định nghĩa Giả sử hàm số f(x) xác định tại điểm x0 và lân cận trái của x0 ( tức là với x < x0 ) . Cho x0 số gia x < 0 , khi đó nhận được số gia tương ứng của hàm số: f = f(x0 + x ) – f (x0 ) f Nếu tồn tại lim hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm trái của hàm số f(x) x 0 x f tại x0. Ký hiệu: f ’(x0 - 0). Vậy f ’(x0 - 0) = lim x 0 x f Tương tự ta định nghĩa đạo hàm phải: f ’(x0 + 0) = lim x 0 x Định lý: Hàm số f(x) có đạo hàm tại xo khi và chỉ khi tồn tại f ’(x0 - 0) = f ’(x0 + 0). Nhận xét:  Nếu f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0. Điều ngược lại chưa đúng. Ví dụ f(x) = /x/ liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại x = 0  Nếu tồn tại f ’(x0 - 0) f’(x0 + 0) mà f(x) liên tục tại x0 thì tại điểm M(x0, f(x0)) đường cong y = f(x) có hai tiếp tuyến với f ’(x0 + 0) là hệ số góc tiếp tuyến bên phải và f ’(x0 - 0) là hệ số góc tiếp tuyến bên trái. Ví dụ: y x có f ’(0- 0) = -1 và f ’( 0 + 0) = 1.
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 33 2.1.1.3. Đạo hàm trên một khoảng, một đoạn Hàm số f(x) có đạo hàm trên (a, b) nếu f(x ) có đạo hàm tại mọi x (a, b). Hàm số f(x) có đạo hàm trên [a, b] nếu f(x) có đạo hàm trong (a, b) và có đạo hàm phải tại a, có đạo hàm trái tại b. Đạo hàm của hàm số f(x) trên một khoảng, một đoạn nếu tồn tại là một hàm số ký hiệu là f ’(x) hoặc y’. Ví dụ: f(x ) = x2 + 1 có f ’(x ) = 2x với x R. 2.1.2. Các phương pháp tính đạo hàm 2.1.2.1. Tính đạo hàm theo định nghĩa. Bảng các đạo hàm cơ bản y = C ( C là hằng số) ==> y’= 0 y = xm (m R) ==> y’= m xm-1 y = sinx ==> y’= cosx y = cosx ==> y’= - sinx 1 y = tgx ==> y’= ; ( = 1 + tg2x ) cos2 x 1 y = cotgx ==> y’= ; ( = - 1 - ctg2x ) sin2 x y = ex ==> y’= ex y = ax ==> y’= ax lna 1 y = lnx ==> y’= x 1 y = logax ==> y’= xlna 1 y = arcsinx ==> y’= 1-x2 1 y = arccosx ==> y’= - 1-x2 1 y = arctgx ==> y’ = 1+x 2 1 y = arccotgx ==> y’ = - 1+x 2
34 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy 2.1.2.2. Tính đạo hàm theo quy tắc. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương. Giả sử f(x), g(x) có đạo hàm trên (a, b). Khi đó: [f(x) + g(x)]’ = f ’(x) + g’(x) [f(x) - g(x)]’ = f ’(x) - g’(x) [K. f(x)]’ = K. f ’(x) với K là hằng số [f(x)g(x)]’ = f ’(x)g(x) + f(x)g’(x) f(x) f'(x)g(x) f(x)g'(x) ' , (g(x) 0). 2 g(x) g (x) Đạo hàm của hàm hợp. Xét hàm hợp: y = f(u(x)) . Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm tại x0. Hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u0 = u(x0). Khi đó hàm hợp y = f(u(x)) có đạo hàm tại x0 với: y(x) 0 f(u).u(x) u 0 x 0 Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số: y = f(u(x)) = 2sin x2 2 2 2 gọi u(x) = x 2 có y' = f 'u. u'x = 2.cos u. u 'x = 2.cos x 2 . u 'x 1 x y' = 2.cos x2 2 . .(2x) = 2.cos x2 2 . 2 2 2. x 2 2. x 2 Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau y = sin(2x+1) y’= (2x + 1)’.cos(2x + 1) = 2.cos(2x +1) 1 y = cos(lnx) y’= - sin (lnx) .(lnx)’ sin(ln x) x x 2 1 x x 1 2 y ln(x x2 1) y x 1 x x2 1 x x 2 1 x 1 2 2 2 x1 x 1 x12x(x1) x2x+1 y arctg 2 y 2 2 2 2 2 2 2 x1 x 1 (x1)(x1) (x1)(x1) 1 2 x 1
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 35 Đạo hàm của hàm ngược Giả sử hàm y = f(x) có đạo hàm tại x0 và f ’(x0) 0. Nếu f(x ) có hàm ngược x = g(y) thì 1 g(y) cũng có đạo hàm tại y0 = f(x0) với: g '(y0 ) f '(x0 ) 1 Tổng quát: g '(y) y y0 f '(x) x x0 Ví dụ : Hàm f(x) = x2 với miền xác định x > 0 => có hàm x = g(y) = y . Ta tính : 1 1 1 1 1 g (y) . Tính trực tiếp ta cũng được g '(y) y 9 f '(x) 2x 6 y 9 2 y 6 x 3 x 3 y 9 2.2. Vi phân 2.2.1. Định nghĩa Giả sử hàm số y = f(x) xác định tại x0 và lân cận của x0. Cho x0 số gia x , khi đó nhận được số gia tương ứng của hàm số f = f(x0 + x ) – f (x0 ) Nếu f biểu diễn được dưới dạng f = A. x + ( x) , trong đó A là hằng số chỉ phụ thuộc x0 và ( x) là VCB cấp cao hơn x khi x → 0. thì biểu thức A. x được gọi là vi phân của f(x) tại x0 và ký hiệu: df = A. x và khi đó ta nói f(x) khả vi tại x0 Nhận xét : Nếu hàm số f(x) khả vi tại x0 với df = A. x thì f(x) có đạo hàm tại x0 và f ’(x0) = A. Ngược lại nếu f(x) có đạo hàm tại x0 thì khả vi tại x0 và df = f ’(x0) x. Như vậy tính có đạo hàm và tính khả vi của hàm số luôn đi cùng nhau. Xét hàm số f(x) = x có f ’(x) = 1 với  x nên df = dx = 1. x => x = dx Do đó ta có biểu thức vi phân của hàm số f(x): df (x) df = f’(x)dx => f '(x) dx 2.2.2. Ứng dụng vi phân tính gần đúng Giả sử hàm số f(x) khả vi tại x0 và f ’(x0) 0. Ta có: f = f(x0 + x ) – f (x0 ) = f ’(x0) x + ( x) Với x rất nhỏ thì do bỏ qua VCB cấp cao ( x) nên f(x0 + x ) – f (x0 ) f ’(x0) x Suy ra: f(x0 + x ) f (x0 ) + f ’(x0) x
36 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy Ví dụ: 3 3 1  Tính 1,02 , đặt f(x) = x , lấy x0 = 1, x = 0,02 , có f '(x) . 33 x2 3 3 1 2 302 => f(x0 + x ) = 1,02 = f (x0 ) + f ’(x0) x = 1 .0,02 1 33 12 300 300 302 Vậy 3 1,02 300  Tính sin290, đặt f(x) = sinx , 290 = 300 - 10 ; có 300 = và 10 = ; 6 180 lấy x0 = , x = - , x = - ; f '(x) = cosx 6 180 6 180 1 3 180 3 => sin300 = sin( - ) sin - .cos = . 6 180 6 180 6 2 180 2 360 2.3. Ứng dụng đạo hàm để tìm giới hạn ở các dạng vô định 2.3.1. Quy tắc Lopital 1 ( xét cho quá trình x x0 hữu hạn ) Định lý 1: Giả sử các hàm f(x ), g(x ) liên tục tại x0 , khả vi ở lân cận x0 , thỏa mãn các điều kiện : f(x0) = g(x0) = 0 và g’(x) 0 ở lân cận x0. f '(x) f (x) khi đó nếu lim A thì lim A x x0 g'(x) x x0 g(x) Chứng minh định lý : Để chứng minh định lý ở đây ta áp dụng định lý Lagrange : Định lý Lagrange: Giả sử hàm f(x) liên tục trên đoạn [a, b] khả vi trên khoảng (a, b). Khi đó có ít nhất một f (b) f (a) điểm c ( a, b) sao cho: f ' (c) . b a Hình 2.1
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 37 f (b) f (a) Bằng cách mô tả trên hình 2.1 ta có tg f (c) b a f (x) f (x) f (x0 ) x x 0 Do lim lim mà f(x) và g(x) liên tục trên [ x , x0] x x0 x x 0 g(x) x x0 g(x) g(x) 0 (hoặc trên [x0 , x]), khả vi trên (x , x0) ( hoặc trên (x ,x0 )) , áp dụng Lagrange ta được f (x) f (x0 ) x x 0 f (c) lim lim với c ( x , x0 ), do đó nếu x x0 x x 0 x x0 g(x) g(x) 0 g(c) f (x) f (c) f (x) lim A thì lim A và vì vậy lim A x x0 g (x) x x0 g (c) x x0 g(x) Ví dụ: sin 3x 0 sin3x 3cos3x sin3x 1) lim có dạng , xét lim lim 3 , vậy lim 3 x 0 x 0 x 0 x x 0 1 x 0 x ln(1 2x) 0 2) lim có dạng , x 0 x 0 ln(1 2x) 2 ln(1 2x) xét lim lim 2 , vậy lim = 2 x 0 x x 0 1 2x x 0 x 2 2 x tgx 0 x tgx 1 1 tg x tg x 1 3) lim có dạng , xét lim lim lim 3 2 2 x 0 x 0 x 0 x3 x 0 3x x 0 3x 3 x tgx 1 vậy lim x 0 x3 3 Định lý 2: Giả sử các hàm f(x ), g(x ) khả vi ở lân cận x0 (trừ điểm x0), thỏa mãn các điều kiện sau: lim f (x) ; lim g(x) và g’(x) 0 ở lân cận x0. x x 0 x x 0 f '(x) f (x) Nếu lim A thì lim A x x0 g'(x) x x0 g(x) ln x Ví dụ: lim x .ln x ; ( 0) . Có lim x .ln x lim , có dạng x 0 x 0 x 0 1 x ln x 1 x Xét lim lim lim = 0, vậy lim x .ln x 0 ; ( 0) x 0 x 0 1  x 0 1  x. x  x 0  x
38 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy 2.3.2. Quy tắc Lopital 2 ( xét cho quá trình x ) Định lý 1: Giả sử các hàm f(x ), g(x ) khả vi x a (x a ) , thỏa mãn các điều kiện : lim f (x) lim g(x) 0 và g’(x) 0 x a (x a ) x x (x ) (x ) f '(x) f (x) khi đó nếu lim A thì lim A x g'(x) x g(x) (x ) (x ) Ví dụ : arctgx 0 lim x.( arctgx) lim 2 có dạng , xét : x 2 x 1 0 x arctgx 2 1 x2 x2 lim lim lim 1 Vậy lim x.( arctgx) 1 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 2 x Định lý 2: Giả sử các hàm f(x ), g(x ) khả vi x a (x a ), thỏa mãn các điều kiện : lim f (x) ; lim g(x) và g’(x) 0 x a (x a ) x x (x ) (x ) f '(x) f (x) khi đó nếu lim A thì lim A x g'(x) x g(x) (x ) (x ) Ví dụ ex ex ex ex 1) lim có dạng , xét lim lim , vậy lim x x x x x 1 x x ln x 2) lim ( với  > 0 ) có dạng , x x ln x 1 1 ln x xét lim lim lim 0 , vậy lim 0 , ( với  > 0 ) 1 x x x x.x x .x x x
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 39 Chú ý Trong các phát biểu trên A có thể là giá trị hữu hạn hoặc vô cực Quy tắc Lopital có thể được áp dụng liên tiếp nhiều lần x sin x 0 Ví dụ : lim có dạng nên ta áp dụng Lôpital : x 0 x3 0 x sin x 1 cos x 0 xét lim lim , đến đây lại có dạng , tiếp tục áp dụng x 0 x 0 2 0 x3 3x x sin x 1 Lôpital ta được kết quả giới hạn lim x 0 x3 6 f (x) Quy tắc Lôpital chỉ là điều kiện đủ để kết luận sự tồn tại của lim x x 0 g(x) (x ) khi giới hạn này ở dạng 0 hoặc . 0 f (x) f (x) ( Tức là khi  lim nhưng vẫn có thể  lim ) x x x x 0 g(x) 0 g(x) (x ) (x ) f (x) Chính vì vậy trong khi trình bày ta phải xét giới hạn lim nếu tồn tại thì x x 0 g(x) ( x ) f (x) mới có kết luận sự tồn tại của lim x x 0 g(x) (x ) Ví dụ: Ta có lim x sin x 1 và có dạng nhưng nếu áp dụng Lopital x x x sin x 1 cosx lim lim không tồn tại. x x x 1 2 1 x sin x 1 Ta có limx lim x.sin 0, nhưng nếu áp dụng Lopital sẽ có x 0sin x x 0 sin x x 1 1 1 1 x2 sin 2x.sin x2 cos x 2 1 lim lim x x x 0 lim cos x 0 sin x x 0 cosx x 0 x 1 Nhưng limcos không tồn tại x 0 x
40 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy 2.3.3. Các giới hạn dạng vô định : 0. ; 0 ; 1 0 Dạng 0. : Biến đổi về một trong hai dạng ; rồi áp dụng Lô-pi-tal 0 ln x Ví dụ lim x.ln x lim ( đưa về dạng ) x 0 x 0 1 x Dạng 0 ; 1 Để tính giới hạn các dạng này ta áp dụng phương pháp loga hóa để đưa về dạng 0. 0 rồi tiếp tục đưa về một trong hai dạng ; 0 Ví dụ : 1 1 1 1) Tìm giới hạn sau : I = lim x x . Đặt A(x) = x x => lim ln A(x) lim ln x x x x x ln x 1 khi đó giới hạn có dạng , áp dụng quy tắc Lô-pi-tal : xét lim lim 0 x x x x 1 vậy limlnA(x) lim lnx 0 => lnlimA(x) 0 I limA(x) e0 1 x x x x x 1 2) Tìm giới hạn I = lim cos x sin x - Giới hạn có dạng vô định 1 x 0 Chú ý : Dạng vô định 1 ngoài phương pháp loga hóa ta có thể sử dụng giới hạn dạng t 1 1 lim(1 ) e hoặc lim 1 e 0 t t Ví dụ : 1 1 cos x 1 2 1) lim(cos x)x lim 1 (cos x 1)cosx 1 x2 x 0 x 0 cosx 1 cosx 1 1 1 2 lim x 2 lim 1 (cos x 1)cos x 1 ex 0 x e 2 x 0 
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 41 x x x2 3x 1 x 2 3x 1 2) lim 2 lim 1 ( 2 1) x x x x x x x2 x (2x 1).x 2 (2x 1).x 2x 1 x lim 2x 1 x x2 2 lim 1 2 = e e x x x Chú ý : Nến kết hợp việc thay thế các VCB tương đương với việc sử dụng quy tắc Lô-pi-tal để tìm giới hạn dạng vô định : 3 ex 1 x 3 0 Ví dụ 1 lim ; có dạng x 0 sin6 2x 0 3 3 ex 1 x 3 e x 1 x 3 (2x) 6 Giải Có lim lim x 0sin2x6 x 0 2x 6 6 sin2x 6 3 ex 1 x 3 e t 1 t lim lim x 026 x 6 t 0 2 6 t 2 t e 1 t ' et 1 1 I lim lim t 026 (t 2 )' t 0 2 6 . 2 t 2 7 x.lncosx 0 Ví dụ 2 lim có dạng x 0 x sinx 0 x.lncosxx ln 1 (cosx 1) 6(c osx 1) Giải Có lim lim lim x 0x sinx x 0x3 x 0 x2 6 6(cosx 1) 6s inx Xét lim lim 3 x 0 x 0 x2 2x x.lncosx Vậy lim = - 3 x 0 x sinx 2.4. Đạo hàm cấp cao 2.4.1 Định nghĩa đạo hàm cấp cao Giả sử hàm f(x) có đạo hàm trên (a , b), khi đó f '(x) cũng là một hàm số trên (a , b). Nếu tồn tại đạo hàm [f '(x)]' tại x trên (a , b) thì [f '(x)]' được ký hiệu là f "(x) ( hay là f(2)(x) ) và được gọi là đạo hàm cấp 2 của f(x) tại x.
42 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy Bằng một cách tương tự ta dẫn đến khái niệm về đạo hàm cấp n của f(x) : df(n 1) (x) f(n)(x) = [ f(n - 1)(x)]' hay f(n) (x) dx Ví dụ : f(x) = x3 => f '(x) = 3x2 ; f(2)(x) = 6x ; f(3)(x) = 6 ; f(4)(x) = 0. f(x) = sinx => f '(x) = cosx ; f(2)(x) = - sinx ; f(3)(x) = - cosx ; f(4)(x) = sinx => f(2k) = (-1)ksinx ; f(2k -1)(x) = (-1)k +1cosx với k = 1 , 2 , 3 , Một số công thức đạo hàm cấp cao thường sử dụng : [ sinx](2k) = (-1)k sinx ; k = 1 , 2 , 3 , [ sinx](2k -1) = (-1)k +1cosx ; k = 1 , 2 , 3 , [cosx](2k) = (-1)k cosx ; k = 1 , 2 , 3 , [cosx](2k - 1 ) = (-1)k sinx ; k = 1 , 2 , 3 , [ex ](n) = ex (n) 1 n n! ( 1) n 1 ; a là hằng số x a (x a) (n) n 1 n n! k ( 1) n 1 ; ở đây k , a là các hằng số kx a (kx a) n (n) k (k) (n k) k n! u(x).v(x)  Cun .v với Cn k 0 k!(n k)! 4x2 3x 1 Ví dụ : Cho f(x) = ; tính f(10)(x) = ? x 3 1 Ta gọi u = 4x2 + 3x - 1 và v = ; x 3 như vậy ta có u(1) = 8x + 3 ; u(2) = 8 ; u(3) = 0 . Do vậy : 10 (10) k (k) (nk) 0 (0) (10) 1 (1) (9) 2 (2) (8) u(x).v(x)  Cun .v Cu.v 10 Cu.v 10 Cu.v 10 k 0 (10) (9) (8) 1 10! 1 9! 1 8! có 11 ; 10 ; 9 x 3 (x 3) x 3 (x 3) x 3 (x 3)
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 43 Thay vào ta được : 2 (10) 4x3x1 2 10! 10! 10! (4x 3x1) 11 (8x3) 10 4. 9 x 3 (x3) (x3) (x3) 2.4.2 Xấp xỉ một hàm số bằng một đa thức bậc cao - Công thức Taylo Giả sử f(x) là hàm số khả vi liên tục đến cấp n+1 trong một lân cận nào đó của điểm a. Công thức Taylo của hàm số f(x) cho phép tính gần đúng giá trị của hàm số tại các điểm lân cận của a có dạng một đa thức : n f(k) (a) f(x) f(a)  (x a)k k 1 k! f(n 1) (c) sai số mắc phải ở đây sẽ là (x a)n 1 , với c là điểm nào đó trong khoảng (a , x ) (n 1)! Nếu a = 0 ta được công thức Maclaurin ( Mắc - Lo - ranh) n f(k) (0) f(n 1) (c) f (x) f (0)  xk với sai số xn 1 k 1 k! (n 1)! Ví dụ Xấp xỉ các hàm số sau bằng các đa thức : x x2 x 3 x n ex 1 1! 2! 3! n! x x3 x 5 x 2k 1 sinx ( 1)k 1 1! 3! 5! (2k 1)! x2 x 4 x 2k cosx1 (1) k 2! 4! (2k)! Ví dụ Tính gần đúng giá trị của số e với sai số trong tổng trên cần tính đến số hạng thức n sao ec 3 cho (n+1)! > 3.106 (n 1)! (n 1)! => n + 1 = 10 => n = 9 . Vậy với sai số nhỏ hơn 10-6 thì giá rị số e là : 1 1 1 1 e 1 1! 2! 3! 9!
44 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy BÀI TẬP CHƯƠNG 2 1. Tính các đạo hàm sau : 1)y log(x2 sinx) 2)y lnx 1 x 2 3)y ln(lnx) 3 a a2 x 2 4)y x2 a 2 aln 5)yae x 6)yelnsinx x x 7)y ecos x sinx 8)y arccos(x) 2 9)y arcsin sinx arccos x 10) y earctgx 11) y 12) y (ar c osx ) x x 2 1 x sin khi x 0 2. Chứng minh hàm f (x) x 0 khi x 0 có đạo hàm tại mọi điểm và đạo hàm gián đoạn tại x = 0 n 1 x cos khi x 0 3. Cho hàm số f (x) x 0 khi x 0 Với giá trị nào của n thì hàm số f(x) a) Liên tục tại x = 0 b) Có đạo hàm tại x = 0 c) Có đạo hàm liên tục tại x = 0 4. Tính các giới hạn sau theo quy tắc Lô-pi-tal x arctgx x sin x 2arctgx 1) lim 2) lim 3) lim x 0x2 x 0 x tgx x 1 ln 1 x ax b x e x e x a x b x 4) limx x 5) lim 6) lim x 0c d x 0 sin x cos x x 0 x 1 x2 2 eetgx x e1s x in 2 x lnsin2x 7) lim 8) lim 9) lim x 0tgx x x 0 sin4 2x x 0 lnsin x
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 45 x ln(1 x) tg 10) lim2 11) lim [( 2arctgx)ln x] x 1 0cot g( x) x 1 1 x 1 12) lim cot gx 13) lim 14) lim x 0 x 1 0 x x 1 x cos ln(1 x) x 1 ln x 2 15) lim[x(e1/x 1)] 16) lim(tgx) 2x 17) lim(e x x) 1/x x x x 0 2 x tgx tg 1 sin x x 2a 18) lim 19) limx 20) lim 2 x 0 x x 0 x a a 2x 3cos x 5. Hãy chứng minh giới hạn lim tồn tại nhưng không áp dụng được quy x x 2sinx tắc Lô-pi-tal ( mặc dù giới hạn có dạng vô định ) 6. Tính đạo hàm cấp 10 của các hàm số sau : 3x3 2x 2 1 1) f(x) = ln(1 + x) 2) f(x) = 2x 3) 2 3x 7. Xấp xỉ theo công thức Taylo các hàm sau bằng một đa thức bậc n của (x - x0) : 1) f(x) = ln x tại lân cận x0 = 1 2) f(x) = x . ln (1 + x) tại lân cận x0 = 0 8. Tính gần đúng giá trị của các đại lượng sau : 1) sin 2 với sai số 10-6 2) cos3 với sai số 10-6
46 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy CHƯƠNG 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 3.1. Tích phân bất định 3.1.1. Nguyên hàm. 3.1.1.1. Định nghĩa. Giả sử hàm số f(x) xác định trên (a,b). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên (a, b) nếu F’(x) = f(x) với mọi x (a, b). Ví dụ: sinx là nguyên hàm của cosx trên R vì (sinx)’ = cosx. sinx +1 là nguyên hàm của cosx trên R. sinx + c0 là nguyên hàm của cosx trên R (với c0 là hằng số xác định) 3 x là nguyên hàm của x2 trên R. 3 Nhận xét :  Nguyên hàm của một hàm số là một hàm số xác định  Một hàm số có thể có nhiều các nguyên hàm khác nhau 3.1.1.2. Điều kiện tồn tại nguyên hàm. Định lí : Nếu hàm f(x) liên tục trên (a,b) thì f(x) có nguyên hàm trong khoảng đó. Chú ý:  Hàm f(x) có nguyên hàm nhưng chưa chắc đã liên tục : 1 1 1 sin 2xc os x 0. x2 cos x 0. Ví dụ: Hàm f(x) = x x có nguyên hàm là F(x) = x 0x 0. 0x 0. vì F’(x) = f(x) tại mọi x nhưng f(x) không liên tục tại x = 0.  Mọi hàm số sơ cấp đều tồn tại nguyên hàm trên tập xác định của nó. 1 Ví dụ: f(x) = xác định trên (-1, 1) và có một nguyên hàm là F(x) = arcsin x. 1 x2 3.1.1.3. Định lí tổng quát về nguyên hàm. Định lí : Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x) trên (a,b). Khi đó trên (a,b) ta có: Với mọi hằng số C0 xác định thì F(x) + C0 cũng là nguyên hàm của f(x) Mọi nguyên hàm khác của f(x) đều có dạng F(x) + Co với Co là hằng số nào đó.
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 47 Nhận xét:  Nếu hàm số f(x) có một nguyên hàm trong khoảng (a, b) thì nó sẽ có vô số nguyên hàm khác và các nguyên hàm này chỉ sai khác nhau 1 hằng số cộng  Nếu F(x) và G(x) là hai nguyên hàm khác nhau của cùng một hàm f(x) thì luôn tồn tại một hằng số C0 xác định để F(x) = G(x) + C0  Ta gọi F(x) + C là biểu thức nguyên hàm tổng quát của f(x) 3.1.2. Tích phân bất định 3.1.2.1. Định nghĩa. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng (a, b) thì biểu thức F(x) + C (với C là hằng số tùy ý) được gọi là tích phân bất định của f(x) trên khoảng (a, b). Kí hiệu: F(x) + C = f() x dx . Trong đó: dấu tích phân x biến lấy tích phân f(x) hàm dưới dấu tích phân f(x)dx biểu thức dưới dấu tích phân 1 Ví dụ: 2x dx = x2 + C ; cos3x dx = sinx + C 3 Nhận xét :  Khác với nguyên hàm ( là một hàm số xác định ) , tích phân bất định là một biểu thức , nó biểu thị một họ các hàm số là các nguyên hàm của hàm dưới dấu tích phân.  Ứng với một giá trị xác định của hằng số C, ta được một hàm số xác định – là nguyên hàm của hàm đưới dấu tích phân. Đồ thị của các hàm số này trên hệ tọa độ Oxy là các đường cong “ đồng dạng ” – tịnh tiến theo trục oy như hình 3.1 . Do đó mỗi điểm M(x,y) trên Oxy ( mà x (a , b) ) sẽ chỉ có một đường cong y = F(x) + C0 đi qua . Hình 3.1
48 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy 3.1.2.2. Các tính chất của tích phân bất định d f x dx f x dx ' f x dx f x d F x F x C Giả sử f(x) và g(x) đều có nguyên hàm . Khi đó với mọi ,R  thì  f(x)  g(x)dx f(x)dx  g(x)dx Nếu f (x)dx = F(x) + C thì f (u)du = F(u) + C với u = u(x). Ví dụ 1 1 *) Tính I = cos5xdx cos(5x)d(5x) sin 5x + C do có cosu du = sinu + C 5 5 2x d(x2 ) du *) Tính dx ln x2 1 C do có ln u 1 C x2 3 x 2 1 u 1 3.1.2.3. Bảng các tích phân bất định cơ bản. x 1 1 x dx C, 1 dx arcsinx +C= arccosx +C 2 1 1 x 1 dx 2 x C 1 2 dx arctgx +C arccotgx+C x x 1 1 1 dx ln x C dx ln x x2 b C 2 x x b ex dx e x C 1 1 x dx arctg C 2 2 x x a a a x a a dx C, a 0,a 1 1 x ln a dx arcsin C 2 2 a x a cosxdx = sinx +C 1 b x2 bdx x.x 2 b lnx x 2 bC sinxdx = cosx+C 2 2 2 1 2 21 2 2 a x a xdx x.a x arcsin C 2 dx = tgx +C cos x 2 2 a 1 dx 1 x a dx cotgx+C ln C sin2 x x2 a 2 2a x a
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 49 Ví dụ. Áp dụng công thức cơ bản tính các tích phân sau: (xx)(1x) xxx 7 1 6 13 6 7 1. dx dx xxdx6 6 x 6 xC 6 3 3 x x 13 7 dx 1 1 2. (x a) k dx . C (xa) k (1k)(xa) k 1 dx 1 1 1 1 a x 3. dx ln C 2 2 ax 2aaxax 2aax dx 1 1 4. dx tgx cotgx C 2 2 2 2 sin x cos x sin x cos x 3.1.3. Các phương pháp tính tích phân bất định. 3.1.3.1. Phương pháp đổi biến số. Đổi biến t = (x) với (x) là hàm khả vi liên tục. Phương pháp : Giả sử ta cần tính f x dx - Đổi biến t = (x). - Lấy vi phân dt = ’(x)dx và biểu diễn f(x)dx theo t và dt. Giả sử f(x)dx = g(t)dt. - Khi đó : f x dx g() t dt Ví dụ 1: 1) I = x2 x 3 1.dx đặt x3+1 = t => dt = 3x2 dx 1 2 2 I = t.dt ttC (x3 1) 3 C 3 9 9 2 1 1 1 2 2) I = ex 1 xdx đặt x2 – 1 = t => 2x dx = dt => I = et dt e t C e x 1 C 2 2 2 sin 2xdx 3) I = đặt t = cos2 x => dt = 2sinx cosx dx = sin2x dx cos4 x 1 dt I arctg t C => I = arctg(cos2x) + C t2 1 26 2 5 4 1 2x 1 2x 4) Tính I = 1 2x2 x 3 dx , đặt t = 1 – 2x2 => IC 48 40
50 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy 7 3 x x e2 x 4 1 e 4 4 1 e 4 5) Tính dx , đặt t = 4 1 ex => IC 4 1 ex 7 3 dx dx 6) I = đặt t = ln(x+ x2 1 ) => dt = 2 2 x 1 x 1 => I = dt = t + C = ln(x + x2 1 ) + C dx Công thức áp dụng ln x + x2 b C x2 b Đổi biến x = (t) Phương pháp: - Đặt x = (t) trong đó (t) là hàm đơn điệu, khả vi liên tục đối với t trên một khoảng (a, b) nào đó. Khi đó ta có hàm ngược t = (x) - Lấy vi phân hai vế dx = ’(t)dt. - Khi đó f x dx f  t  ' t dt = G(t) + C - Thay t = (x) ta được f xdx G(  (x)) C Ví dụ: dx (1) (a>0) Đặt x = a.t x2 a 2 dx (2) (a> 0) Đặt x = a.sint, t [ , ] 2 2 a x 2 2 (3) a2 x 2 dx Đặt x = a.sint, t [ , ] 2 2 dx a (4) dx Đặt x = t 0, , 2 2 x x a cost 2 2 a hoặc x = , t ,0  0, sint 2 2 dx (5) Đặt x = a.tgt, t ( , ). 3/2 x2 a 2 2 2 a x (6) dx Đặt x = a.cos2t, t [ 0, ] a x 2
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 51 Nhận xét: - Sau khi đổi biến ta phải quay trở lại biến ban đầu. - Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có chứa các căn thức a2 x 2 , x2 a 2 thì sử dụng các phép đổi biến tương ứng: x = a.sint, t [ , ] (hay x = acost); 2 2 a a x = , t 0,  , hoặc x = , t ,0  0, ; cost 2 2 sint 2 2 - Nếu biểu thức dưới dấu tích phân chứa căn thức dạng a2 x 2 thì có thể đổi biến dạng et e t e t e t x = a.tgt, t ( , ) hoặc x = a. sh(t) ; ( hàm sh(t) ;ch(t) ; và 2 2 2 2 luôn có ch2t - sh2t = 1 , (sht)’ = cht , (cht)’ =sht ) - Nếu hàm dưới dấu tích phân là f(x)= R ex ,e 2x , ,e nx thì có thể đổi biến t = ex. (ở đây R là hàm hữu tỉ ) 3.1.3.2. Phương pháp tích phân từng phần. Nội dung: Giả sử u(x), v(x) là các hàm có đạm hàm liên tục thì ta có: udv = u.v – vdu Phương pháp: - Giả sử cần tính f x dx - Chọn u = u(x) và từ đó suy ra v. Tính du và biểu diễn f(x)dx = udv. - Áp dụng công thức tích phân từng phần Một số trường hợp sử dụng phương pháp tích phân từng phần: Nhóm 1: gồm những tích phân mà hàm dưới dấu tích phân có chứa thừa số là một trong các hàm sau: lnx, arcsinx, arccosx, arctgx, (arctgx)2, (arccosx)2, ln(φ (x)) . Khi đó ta chọn u là một trong các hàm số đã chỉ ra còn dv là phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân.
52 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy Nhóm 2: gồm những tích phân mà hàm dưới dấu tích phân có dạng Pn(x)cosbx hoặc ax Pn(x)sinbx, hoặc Pn(x)e trong đó Pn(x) là đa thức bậc n, còn a và b là hằng số. Khi đó ta đặt u = Pn(x) và dv là phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân. Sau mỗi lần tích phân từng phần thì bậc đa thức sẽ giảm đi một đơn vị. Nhóm 3: gồm những tích phân mà hàm số dưới dấu tích phân có dạng: eaxsinbx, eaxcosbx, sin(lnx), cos(lnx) . Có thể chọn u = eax hoặc u = sinax, u = cosbx, u = sin(lnx) Sau hai lần tích phân từng phần ta lại thu được tích phân ban đầu với hệ số nào đó, và sẽ dẫn đến phương trình tuyến tính với ẩn là tích phân cần tìm. Ví dụ 1: Tính x. arctg( x)dx Giải: Tích phân đã cho thuộc nhóm 1. 1 dx 2 3 Đặt u = arctg x , dv = xdx . Khi đó du = . , v x 2 . x 12 x 3 23 1 x 23 1 1 Do đó I = x2 .arctg x dx = x2 .arctg x 1 dx 3 3 1 x 3 3 1 x 23 1 = x2 .arctg x x ln 1 x C 3 3 Ví dụ 2: Tính I = arcos2 xdx 2arccosx Giải: Đặt u = arccos2x, dv = dx. Khi đó: du = dx,v x . Áp dụng công thức 1-x 2 tích phân từng phần ta có: xarccosx I = x.arccos2 x 2 dx x.arccos 2 x 2.J 2 1-x xdx Để tính tích phân J ta đặt u = arccosx, dv = . Khi đó: 1 x 2 dx xdx d(1 x2 ) du = , v 1 x2 C 2 2 2 1 x 1 x 2 1 x và ta chỉ cần lấy v = - 1 x2 . Vậy J = 1 x2 arcosx- dx 1 x 2 arcosx-x C' Vậy I = x.arccos2 x 2 1 x 2 arccosx-2x+C'
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 53 Ví dụ 3: Tính I = x2 sin3xdx . Giải: Tích phân đã cho thuộc nhóm 2. 1 Đặt u = x2, dv = sin3xdx. Khi đó: du = 2xdx, v = cos3x . Áp dụng công thức: 3 1 2 1 2 I = x2 cos3x+ xcos3xdx x 2 cos3x+ J . 3 3 3 3 1 Tính J = xcos3xdx : Đặt u = x, dv = cos3x. Khi đó: du = dx, v = sin3x . Vậy 3 12 2 1 1 1 2 2 2 I = xcos3x+ xsin3x sin3xdx xcos3x+ xsin3x cos3x+C . 3 3 3 3 3 9 27 Ví dụ 4: Tính I = e2x cos3xdx 1 Đây là tích phân thuộc nhóm 3, ta đặt u = e3x ( hoặc u = cos3x ) => I = e2x d(sin 3x) 3 1 1 1 2 => I = e2x sin3x sin3xd(e 2x ) e 2x sin3x e 2x sin3xdx 3 3 3 3 1 2 1 2 => I = e2x sin3x e 2x d(cos3x) e 2x sin3x e 2x cos3x cos3xd(e 2x ) 3 9 3 9 1 2 4 => I = e2x sin3x e 2x cos3x cos3x.e 2x dx 3 9 9 1 2 4 13 1 2 => I = e2x sin3x e 2x cos3x I => I e2x sin3x e 2x cos3x 3 9 9 9 3 9 e2x => I = 3sin3x 2cos3x + C 13 Ví dụ 5: Tính I = sin ln x dx Đặt u = sin(lnx) và dv = dx => I = x . sin(lnx) - xd(sin(lnx)) 1 => I = x . sin(lnx) - xcos(lnx). dx x . sin(lnx) - cos(ln x)dx x => I = xsin(ln x) x cos(ln x) xd(cos(ln x))
54 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy => I = x sin(lnx) - xcos(lnx) - sin ln x dx = x sin(lnx) - xcos(lnx) - I xsin(lnx) xcos(lnx) => I = + C 2 Ví dụ 6: xdx dx a) Tính I = đặt u = x và dv = . Khi đó du = dx và v = - cotgx. sin2 x sin2 x d(sin x) => I = - x cotgx + cotgxdx xcotgx = - xcotgx + ln| sinx| + C sin x dx * 1 b) Tính In = ; n N , a > 0 . Đặt u(x) = , dv = dx. (x2 a 2 ) n (x2 a 2 ) n x x2 dx Khi đó: In = + 2n. (x2 a 2 ) n (x2 a 2 ) n 1 x dx dx = + 2n a 2 2 2 n 2 2 n 2 2 n 1 (x a ) (x a ) (x a ) x 2 = + 2n.In – 2na . In+1 (x2 a 2 ) n 1 x 1 2n Vậy I.I n 12na2 (x 2 a 2 ) n 2na 2 n dx x Áp dụng công thức truy hồi tính In qua I2n-1, , I2 qua I1 với I1= = arctg + C x2 a 2 a Chú ý: Đối với các tích phân dạng: P(x)e x dx, e x Mcos x+Nsin  xdx, ngoài phương pháp n tích phân từng phần, ta có thể tính dựa theo nhận xét sau: +) P (x)e x dx có dạng P (x)e x dx = Q (x).e x C trong đó Q (x) là đa thức bậc n. n n n n +) e x Mcos x+Nsin  xdx có dạng e x Mcos x+Nsin  x dx e x Acos  x+Bsin  x + C. Để xác định các hệ số của đa thức Qn(x) và các hệ số A, B ta lấy đạo hàm hai vế của các đẳng thức và cân bằng hệ số của đa thức, của cosβx, và của sin βx ở cả hai vế.
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 55 Ví dụ 1: Tính I = e 2x cos3xdx . Giải: Ta có I = e 2x cos3xdx = .e 2x Acos3x + Bsin3x + C Đạo hàm hai vế theo x: e 2x cos3x = 2.e 2x Acos3x + Bsin3x e 2x ( 3Asin3x 3Bcos3x) C cos3x = 2 Acos3x + Bsin3x ( 3A sin3x 3Bcos3x) 2 A 2A 3B 1 13 Cân bằng hệ số của cos3x, sin3x ở hai vế, ta có hệ: 3A 2B 0 3 B 13 2 3 Vậy I = e 2x ( cos3x+ sin3x) C 13 13 Ví dụ 2: Tính I = x2 .e 3x dx Giải : Ta có I = x2 .e 3x dx = ax2 bx c e 3x C. Đạo hàm hai vế, ta có: 2 3x 2 3x 3x 2 xe [ax bx c.e] e 3ax 3b 2ax b 3c Cân bằng hệ số hai vế ta có a = 1/3, b = -2/9, c = 2/27. 2 3x 12 2 2 3x Vậy I = x .e dx = x x e C 3 9 27 3.1.4. Tích phân một số hàm số sơ cấp. 3.1.4.1. Tích phân các hàm phân thức hữu tỉ. Định nghĩa 1: Các phân thức hữu tỷ cơ bản là các phân thức có dạng A 1) A, a : const, k N* x a k Alnx a C khi k 1 A Khi đó dx A (x a)k (x a)1 k C khi k 1 1-k A 2) với p2 - 4q < 0 x2 px q p 4q p2 Khi đó ta viết x2 + px + q = (x + )2 +2 với ,  2 2
56 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy A dx A x Vậy dx A arctg C x2 px q (x ) 2  2   Mx N 3) với p2 - 4q 1) (x2 px q) k Ax B p p2 Đối với Ik = dx thì ta đổi biến t = x + , a q khi đó tích (x2 px q) k 2 4 dt phân được đưa về dạng Ik = . (t2 a 2 ) k t 1 2k 3 Sử dụng công thức truy hồi : II k2a(k2 1)(t 2 a) 2 k 1 a 2 2k 2 k 1 dt 1 t Với I arctg C . Trong chương trình học ta chỉ xét đến k = 2. 1 t2 a 2 a a Định nghĩa 2: Phân thức hữu tỉ chính quy ( tối giản) Pn (x) Phân thức hữu tỉ gọi là chính quy ( tối giản) nếu n < m trong đó Pn(x) là đa Qm (x) thức bậc n, còn Qm(x) là đa thức bậc m. 2 Ví dụ: x 3x 7 x3 2x2 2x 3 Định lý : Mọi đa thức Qm(x) đều có thể phân tích ra tích các thừa số là các đa thức bậc nhất và bậc hai ( tức là các đa thức có dạng x + a và x2 + px + q với p2 – 4q < 0 ). Ví dụ :  x2 + 4x - 5 = ( x – 1) ( x + 5)  x3 + 2x2 - 3x - 4 = ( x + 1 )( x2 + x - 4 ) 5  2x3 - 3x2 + x + 6 = 2( x + 1) ( x2 - x + 3 ) 2
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 57 Định lý: Mọi phân thức hữu tỷ chính quy đều phân tích được thành tổng hữu hạn các phân thức hữu tỷ cơ bản Do đó việc tính tích phân các phân thức chính quy trở về tính tích phân các phân thức đơn giản dạng 1) , 2) , 3) , 4) Ví dụ: 2x 5 A B  dx dx dx (x 1)( x 2) x+1 x 2 (2x2 x 1) A B C  dx dx dx dx (x1)(x 2 2) (x1) (x1) 2 (x 2) (2x 1) A Bx C  dx dx dx (x1)(x 2 1) (x1) x 2 1 (2x3) A BxC DxE  dx dx dx dx (x1)(x 2 1) 2 (x1) x 2 1 (x 2 1) 2 Các hệ số A,B,C . được xác định bằng phương pháp cân bằng hệ số các lũy thừa hai vế. Phân thức hữu tỷ Pn () x Là phân thức có dạng Trong đó: Pn(x) là đa thức bậc n , Qm(x) đa thức bậc m Qm () x + Nếu n là phân thức chính quy Pn()() x R k x + Nếu n > m => Thực hiện phép chia đa thức ta có : En m () x , với Qm()() x Q m x k < m. Như vậy việc tính tích phân các phân thức hữu tỉ trở về việc tính tích phân các phân thức đơn giản. 3.1.4.2. Tích phân một số hàm vô tỉ. m1 m 2 mp ax b ax b k ax b Tích phân dạng R x,k1 , k 2 , p dx , cx d cx d cx d * trong đó ki N ,mi Z. ax b Phương pháp: Gọi k = BCNN (k1, k2, ,kp) đặt t = k . cx d
58 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy Ví dụ: (1) x3 1 xdx đặt t = 1 x x x 1 (2) dx đặt t = x 1 x 1 x 1 x 1 (3) 3 dx đặt t = 3 (x 1)2 x 1 x 1 x 3 x2 6 x (4) dx đặt t = 6 x (3 x 1)x dx Tích phân dạng hoặc ax2 bx cdx 2 ax bx c Phương pháp: Hàm ax2 bx c có thể đưa về 1 trong 2 dạng sau: (1) u 2  khi a > 0. (2) 2 u 2 khi a < 0 Khi đó hai tích phân trên trở về một trong 4 dạng tích phân sau dx ln x x2  C x2  dx x arcsin C 2 2 x x x 2   x2  ln(x x 2  ) C 2 2 x 2 x 2 2 x 2 x 2 arcsin C 2 2 Ví dụ: Tính các tích phân sau: dx dx1 d (2 x 3) 1) = 2 2 2 2 2 2 4x 12 x 5 (2)x 2.2.3 x 3 5 3 2x 3 4 1 = ln2x 3 4x2 12x 5 C 2
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 59 dx dx1 d (2 x 1) 2) = 2 2 2 2 2 8 4x 4 x (2x ) 2.2 x 1 1 8 3  .2x 1 1 2x 1 = arcsin C 2 3 1 2 3) 9x2 12x 5dx (3x) 2 2.3x.2 2 2 2 2 5dx 3x 2 1d(3x 2) 3 1 3x 22 1 1 2 = 3x2  1 ln3x2  3x2  1 C = 3 2 3 2 3x 2 1 = 9x2 12x 5 ln3x 2 9x 2 12x 5 C 6 6 2 2 3 9 9 4) 74x 6xdx 2x 2.2x. 7dx 2 4 4 2 1 37 3 3 = 2x d 2x 2 4 2 2 37 3 2 2x 1 3 37 3 2 = 2x 2x 4 arcsin C 4 2 4 2 2 37 2 4x 3 37 4x 3 = 74x 2 6x arcsin C 8 8 37 P x Tích phân dạng n dx, P x là đa thức bậc n 1. 2 n ax bx c Phương pháp: Để tính tích phân trên ta có thể sử dụng công thức: P x dx n dx Q x ax2 bx c  (*) 2n 1 2 ax bx c ax bx c Trong đó Qn-1 là đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của Pn(x) một bậc và  là hằng số chưa biết. Để xác định các hệ số của Qn-1 , và  ta thực hiện như sau:  Lấy đạo hàm hai vế của (*), ta có:
60 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy Pn x 2 2ax + b  Q'n 1 x ax bx c Q n 1 (x). 2 2 2 axbxc 2axbxcaxbxc 2 b HayP(x)n Q' n 1 x.ax bx c Q n 1 (x).ax+  ( ) 2  Cân bằng các hệ số của x ở hai vế ta tìm được các hệ số của đa thức Qn-1 và  .Bài toán trở về tính tích phân dạng 2.2 Ví dụ: 5x 3 dx 1) dx a. x2 2x 5  2 2 x 2x 5 x 2x 5 Đạo hàm hai vế dẫn đến : 5x + 3 = a(x + 1) +  => a = 5 ;  = -2 5x 3 dx vậy dx 5 x2 2x 5 2 x2 2x 5 x 2 2x 5 12x16x9x23 2 dx 2) dx ax2 bx c 4x 2 4x 2  2 2 4x 4x 2 4x 4x 2 Đạo hàm hai vế dẫn đến : 3 2 2 2 12x + 16x + 9x + 2 = (2ax + b).(4x + 4x + 2) + (ax + bx + c).( 4x + 2) +  3 2 3 2 12x + 16x + 9x + 2 = 12a x + (10a + 8b) x + (4a + 6b + 4c) x + 2b + 2c +  => a = 1 ; b = 3/4 ; c = 1/8 ;  = 1/4 3 2 12x16x9x2 2 31 2 1 dx vậy dx x x 4x 4x 2 4x2 4x 2 4 8 4 4x 2 4x 2 dx Tích phân dạng m 2 (x ) ax bx c 1 Phương pháp: Đặt x – = ta đưa tích phân trên về dạng 2.3. t dx Ví dụ: Tính 1) (x 3) 5x2 2x 1 dx 2) 2 2 (x 2) x 2x 5
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 61 Tích phân dạng I = P(x) ax2 bx cdx n Phương pháp chung : 2 Pn (x). ax bx c Q (x) + Ta có I = P(x)axbxcdx2 dx = n 2 dx n 2 2 ax bx c ax bx c Q (x) + Áp dụng công thức tính cho n 2 dx 2 ax bx c Ví dụ: Tính các tích phân sau 1) I = (5x 1) 4x2 4x 5dx (5x 1) 4x2 4x 5 20x3 24x 2 29x 5 => I = dx dx 2 2 4x 4x 5 4x 4x 5  => I = (ax2 bxc)4x 2 4x5 dx 2 4x 4x 5 đạo hàm 2 vế => 20x3 24x 2 29x 5 ax2 bx c (8x 4)  (2ax b) 4x2 4x 5 4x4x52 24x4x5 2 4x4x5 2 => 20x3 + 24x2 + 29x + 5 = (2ax + b) ( 4x2 + 4x + 5) + (ax2 + bx + c) ( 4x + 2) +  Quy đồng mẫu số và cân bằng các hệ số lũy thừa hai vế dẫn đến : 12a = 20 10a + 8b = 24 10a + 6b + 4c = 29 5b + 2c +  = 5 => a = 5/3 ; b = 11/12 ; c = 41/24 ;  = - 59/3 1 1 d(2x 1) 1 với dx ln|2x14x4x5|C 2 4x2 4x5 2 (2x1) 2 4 2 2) I = (3x 2) 4x2 4xdx 3 3 Ta có : I = (8x 4) 4x2 4xdx 4x 2 4xdx = 8 2
62 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy 3 23 3 1 2 = . 4x2 4x 2 1 2x1d(2x1) = 8 3 2 2 3 12 3 2x 12 1 = 4x 4x 2 1 2x 1 arcsin(2x 1) C 4 4 2 2 8x2 14x 3 3 = 4x2 4x arcsin(2x 1) C 8 8 3.1.4.3. Tích phân các hàm lượng giác dạng: R(sinx, cosx)dx Phương pháp chung x 2dt 2t 1 t 2 Đặt t = tg => dx ; sin x ; cos x 2 t2 1 1 t 2 1 t 2 Ví dụ: dx x 1 t2 2dt dt x a) I = . Đặt t = tg => I ln | t | C => I = ln|tg | + C sin x 2 2t t2 1 t 2 2 dx x 2 dt b) I = . Đặt t = tg => 1 t dt ln | t 1| C 2sin x cos x 1 2 2t 1 t 2 t 1 1 1 t2 1 t 2 x Vậy I = ln |tg + 1| + C 2 Một số trường hợp đặc biệt  R(sinx, cosx) là hàm lẻ đối với sinx, tức là R(-sinx, cosx) = - R(sinx, cosx) khi đó đặt t = cosx Ví dụ: t3 cos 3 x a) I = sinx.cos2xdx , đặt t = cosx => I = - t2dt = - CC 3 3 cos2 x 1 t2 1 2 b) I = dx , đặt t = cosx => I = dt 1 dt 2 2 sin x 1 t 1 t 1 1 => I = t dt = t + ln|1-t| - ln|1+t| + C 1 t 1 t 1 cos x vậy I = cosx + ln + C 1 cos x
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 63  R(sinx,cosx ) là hàm lẻ đối với cosx tức là R(sinx,- cosx) = - R(sinx, cosx) khi đó đặt t = sinx Ví dụ: cos3 x 1) dx đặt t = sinx sin2 x sin x.cos x 2) dx đặt t = sin2x + 4 > 0 => dt = 2sinxcosxdx sin2 x 4  R(sinx, cosx) là hàm chẵn đối với sinx và cosx tức là R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx), khi đó đặt t = tgx (hoặc t = cotgx) Ví dụ: sin2 x dx t3 1) I = dx đặt t = tgx => dt = => I = t2 dt C cos4 x cos2 x 3 tg3 x Vậy I = C 3 sin3 x dx 2) I = dx đặt t = tgx => dt = => I = t3 1 t 2 dt cos7 x cos2 x t4 t 6 tg4 x tg 6 x => I = C Vậy I = C 4 6 4 6  R(sinx, cosx) = sinmx. cosnx trong đó m, n chẵn và m.n > 0 Ta dùng công thức hạ bậc 1cos2x 1cos2x 1 cosx2 ;sinx 2 ;cosxsinx sin2x 2 2 2 Ví dụ: 1 1 1 1 sin2 xcos 2 xdx sin 2 2xdx (1 cos4x)dx x sin 4 x C 4 8 8 32  Dạng 1 + sinax.cosbxdx  sin(a b)x sin(a b)x dx 2 1 + sinax.sinbxdx  cos(a b)x cos(a b)x dx 2 1 + cosax.cosbxdx  cos(a b)x cos(a b)x dx 2 Ở đây ta dùng công thức biến đổi tích thành tổng
64 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy BÀI TẬP : PHẦN TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Bài 1. Dùng bảng tích phân bất định cơ bản tính các tích phân sau: 2 2 (1 x ) x x 2 (1 x ) mdx 1. dx 2. (a b ) dx 3. dx 4. 2 x x x(1 x ) 3 ()a bx 2 dx dx 5. 6. (x 0) dx 1x 1 1 2 1 sin x 7. 4 (ĐS: ln arctgx + C ). x x 1 x 1 4x 1 2 2 1 2x 1 3x 8. dx (ĐS: arctgx- C ). x 2 2 22x 1 2 2 2 x 1 x x 9. dx (ĐS: 2 2 C ) x 2 ln 2 3 2 2 dx 1 lnx 1 x 1 x 11. (ĐS: arctg C ) 10. dx 2 4 1 x x 2 ln x 2 2 (ĐS: arcsinx+ln x+ 1+x2 C ) 1 x2 1 x 2 3ln 2 x 3 5 12. dx 13. dx (ĐS: ln 3 x ) 4 x 1 x 5 (ĐS: lnx x2 1 ln x x 2 1 C ) ex e2 x 15. dx (ĐS: ex 2 ln e x 1 C ) 1 ex x4 x 4 2 1 14. dx (ĐS: ln x C ) 3 4 1 x x 4x 17. dx (ĐS: tg C ) 23x 1 e2x 1 c osx 2 16. dx (ĐS: ex 1 C ) ex 1 2 ex dx 1 18. (ĐS: ln(1 + ex)+C). 19. dx 1 ex sinx c osx 2 x 1 sinx 1 x 20. sin dx (ĐS: x C ) (ĐS: ln tg C ) 2 2 2 2 2 8 21. cot g2 xdx (ĐS: - x – cotgx + C). 1 c osx 1 22. dx (ĐS: C ) 3 2 (x sinx) 2 x sinx 23. 1 sin 2xdx , x 0; 2 sin 2x 1 2 24. dx (ĐS: 1 4sin x C ) 2 2 (ĐS: -cosx + sinx + C 1 4sin x cosx cosx sinx 25. e sinxdx (ĐS: e C ) 26. dx 2 1-2sin x 27. ex. c ose x dx (ĐS: sin ex C ) (ĐS: lnc osx+ 1+cos2 x C )
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 65 Bài 2. Sử dụng phương pháp đổi biến số hãy tính các tích các tích phân sau 1. sin(2 3x ) dx e2x 4 16. dx( I 3 ex 44 ( e x 1)3 C ) , 4 x e 1 21 2. x3 (1 2 x 4 ) 3 dx Hướng dẫn: Đặt ex +1 = t4. dx 3. 1 ln x (x 1) x 17. dx( I 21ln x lnln x 2ln1ln x 1 C ) xln x xdx 4. arctg x dx 2 x4 1 18. . (IC arctg x ) . x 1 x sin 4xdx 5. 2 cos2 2x 4 19. e3x e 2 x dx( I ( e x 1) 3/ 2 C ) 3 3x 5 dx 6. dx 20. (IC 2arctg ex 1 ) x x e 1 7. tg3 xdx 2x arcsin2x 21. dx() I C x 3 2 ln 2 8. x a x dx 1 4 x2 x dx 1 x 9. dx 22. (I sin arctg C) 3 3/2 2 (x 2) x2 a 2 a a x 1 dx 10. 2 x 1 x HD: Đặt x = atgt, t ; 2 2 dx 11. ;(x sint)2 2 dx x 1 x x 23. ; (I C) Đặt u 2 3/2 2 2 (x 1)dx x 1 x 1 x 1 12. ; (t 1 xex ) x x(1 xe ) 2 2 x dx ax x 2 2 2 24. (I arcsin a x C ) x 1 2 2 13. dx a x 2 a 2 x4 1 dx HD: Đặt x = a.sin t 14. 1 ex dx 25. x2 a 2 x 2 dx HD: Đặt Đặt x = a.sin t 15. , 3/2 1 x 2 a x a x 26. dx , HD: Đặt t = (I tg (arcsinx) C ) a x a x 3 x dx 2 HD: Đặt x = sin t, t ; 27. , HD: Đặt t = 2 x . 2 2 2 2 x
66 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy Bài 3. Dùng phương pháp tích phân từng phần tính các tích phân sau: 1) xarctgxdx2 2) ( x 2 2 x 3)cos3 xdx 3) x 3 ln 2 xdx 4) ( x 3 2 x 2 1) edx 2x arcsin x arctgx 5)dx 6) e 2x (cos3 x sin 4 xdx ) 7) sin3 xdx 8) dx x2 x 2(1 x 2 ) xearctgx xln( x 1 x2 ) arcsin x 9)dx 10) x2 sin(ln x ) dx 11) dx 12) 3 2 2 3 (1 x2 ) 2 1 x (1 x ) Bài 4 .Tính tích phân các hàm hữu tỉ sau: 2x2 x 3 5x3 17 x 2 18 x 5 x 1 1) dx 2) dx 3) dx x3 3 x 2 3 x 2 (x 1)3 ( x 2) (x2 1)( x 2 9) 2xdx xdx (3x 1) dx 4) 5) 6) 2 2 2 2 (1 x )(1 x ) x 1 x 1 x x2 1 3x2 5 x 12 3x 5 7) dx 8) dx 2 2 2 x 3 x 1 x2 2 x 2 Bài 5. Tính tích phân các hàm lượng giác sau dx cos2 xdx sin2x 1) 2) 3) dx 3 5sinx 3cos x sin2 x 4sin x cos x cos3x sin 2 x 1 cos5 x dx dx 4) dx 5) 6) sin x 3sinx+4cosx+5 3 c os5x sin5 x Bài 6. Tính tích phân các hàm vô tỷ 1 4 x 6 x dx 1) dx 2) dx 3) 1 x 1 3 x 1 2x 4 1 2 x 1 x dx dx dx 4) 5) 6) 2 1 x x (1 x ) x3 x 2 1 5x 1 4x 2 7) dx 8) dx 9) 3x 7 x2 4 x 5 dx 2 4x 4 x 2 9x2 12 x 3 3x3 2 x 1 4x3 5 x 2 3 x 1 10) 3x 4 4 x2 4 xdx 11) dx 12) dx x2 4 x 13 4x2 4 x dx dx 13. 14.) x 2 x2 4 x 3 (x 1)2 x 2 x 1
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 67 3.2 Tích phân xác định 3.2.1. Định nghĩa tích phân xác định 3.2.1.1. Bài toán diện tích hình thang cong Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên [a,b]. Giả sử y = f(x) không âm trên [a,b]. Xét hình thang cong AabB là hình giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) trên [a,b], các đường thẳng x = a, x = b và trục ox. Ta xây dựng công thức tính diện tích hình thang cong đó. Chia [a,b ] thành n đoạn nhỏ tuỳ ý bởi các điểm chia: xo = a < x1 < x2 < < xn-1 < xn = b. Trên mỗi đoạn nhỏ [x i-1 , x i ] lấy điểm tuỳ ý i x i 1 , x i ; i 1 , n Diện tích của hình chữ nhật có hai cạnh: xi x i x i 1 và f(i ) với i 1 , n là Si f (i ). x i . Khi đó diện tích S của hình thang cong xấp xỉ bằng tổng diện tích các hình chữ nhật Si. n n S  Si  f (  i ). x i i 1 i 1 n Nếu số điểm chia n sao cho max x i 0 thì tổng f (i ). x i sẽ dần tới diện i 1 tích S - diện tích hình thang cong. n Vậy S lim f ( i ). x i n  i 1
68 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy 3.2.1.2. Định nghĩa tích phân xác định Cho hàm số y = f(x) xác định trên [a,b ].  Chia [a,b ] thành n đoạn nhỏ tuỳ ý bởi các điểm chia: a = xo < x1 < x2 < < xn-1 < xn = b.  Gọi tên và độ dài đoạn [xi-1 , xi ] là xi  x ,x i 1,n  Trên mỗi đoạn nhỏ [xi-1, xi] lấy điểm tuỳ ý i i 1 i Mỗi phép chia đoạn [a, b] và cách lấy điểm i như vậy được gọi là phép phân hoạch đoạn [a, b] n  Lập tổng In  f (  i ). x i - In được gọi là tổng tích phân thứ n của f(x) i 1 Nếu lim I I và không phụ thuộc phép phân hoạch [a, b] thì I được gọi là tích n n (max xi 0) b phân xác định của hàm f(x) trên [a, b], ký hiệu là: f (x)dx = I a b n 1 f (x)dx lim In lim f (  i ). x i n n  a i 0 (maxx i 0) (maxx i 0) Khi đó hàm f(x) là hàm khả tích trên [a, b] [a, b]: Khoảng lấy tích phân a: cận dưới b: cận trên x: biến lấy tích phân Định lí: (Điều kiện khả tích) Mọi hàm số liên tục trên đoạn [a, b] đều khả tích trên đó 2 Ví dụ: Dùng định nghĩa tích phân tính xdx 1 Giải: 2 Có f(x) = x liên tục [1,2] f(x) = x khả tích trên [1,2]. Vậy tồn tại xdx 1 Chia đều [1, 2] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia:
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 69 i 1 x 1 i 0 , n => x x x Chọn   x i n i i 1 i n i i n n 1 i11 1 2 n1 n(n - 1) I f().x  1 . 1(1 )(1 ) (1 ) 1 n i i  2 i 1 i 0 n n n n n n 2n n 1 3 2 3 Suy ra limIn lim(1 ) Vậy xdx n n 2n 2 1 2 3 1 Ví dụ Tính I dx 2 1 x 1 Giải : do hàm 2 liên tục trên [1 , 3] => khả tích trên [1 , 3 ] => tồn tại lim In => chọn x n một cách chia đoạn [1 , 3 ] và cách lấy các điểm i thuận lợi : 2i 2 Chia đều [1 , 3] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm xi = 1 + => x n i n Chọn các điểm i = xi 1 .x i => i [xi-1 , xi] 2n 1 2 n 1 2 n 1 1 1 Lập tổng In = 2   ni 1i n i 1 x i 1 x i n i 1 x i 1 x i x i x i 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 In =  = i 1 xi 1 x i x0 x 1 x 1 x 2 x n 1 x n 1 1 1 2 2 3 1 2 I = - = 1 - => limI = vậy dx n n 2 x0 x n 3 3 n 3 1 x 3 Chú ý: Nếu hàm f(x) xác định trên [a, b] và có một số hữu hạn điểm gián đoạn loại 1 trong [a, b] thì f(x) khả tích trên [a,b]. Các hàm số sơ cấp đều khả tích trên mọi đoạn con thuộc miền xác định của nó. 3.2.1.3. Tính chất của tích phân xác định. b 1. f (x)dx 0, a b b 2. f (x)dx = f (t)dt a a b c b 3. Với bất kì c (a, b) ta có: f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx a a c
70 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy a b 4. f (x)dx = f (x)dx b a b b b 5. [ f (x) g(x)]dx = f (x)dx + f (x)dx với , là các hằng số, f(x), g(x) là các a a a hàm khả tích trên [a, b]. 6. Giả sử f(x), g(x) là những hàm khả tích trên [a, b]. Nếu f(x) g(x) với  x [a, b] b b thì f (x)dx g(x)dx a a 7. Giả sử f(x) liên tục trên đoạn [a,b]. min f (x) m, Max f (x) M. Khi đó: [a,b] [a,b] b m(b-a) f (x)dx M(b-a) a 8. (Định lý giá trị trung bình). Giả sử f(x) liên tục trên đoạn [a,b]. Khi đó tồn tại ít nhất 1 điểm  [a,b] sao cho: b f (x)dx = f  (b-a) a 3.2.2. Các phương pháp tính tích phân xác định 3.2.2.1. Tích phân xác định với cận trên thay đổi x Định lý : Nếu hàm f(x) liên tục trên [a , b ] thì hàm (x) f (t) dt sẽ là một a nguyên hàm của f(x) trên [a , b ] ( tức là  (x) = f(x)  x [a , b] ) 3.2.2.2. Công thức Newton- Leibnit. Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên [a, b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên b b [a, b] thì: f (x)dx = F(b) - F(a) := F x a a Chú ý Điều kiện về tính liên tục của f(x) không thể thiếu trong khi áp dụng công thức Newton- Leibnit Ví dụ:
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 71 4 /4 2 1) Tính cos xdx = sinx 0 = 0 2 1 1 1 2) Tính dx arctgx 2 0 0 1 x 4 1 1 12 1 1 2 1 3) Tính x 2 x2 dx (2 x 2 ) 13 0 260 26 26 26 1 1xdx ln(x2 x 1) 1 1 dx 4) Tính 2 x x 1 2 2 12 3 1 1 1 (x ) 2 4 1 ln3 1 2x 1 ln3 ln3 = - arctg 2 3 3 1 2 3 3 6 3 2 6 3 Nhận xét: + Nếu f(x) có hữu hạn điểm gián đoạn loại 1 trong đoạn lấy tích phân, khi đó áp dụng tính chất thứ 3 ta dẫn về tổng của các tích phân trên các đoạn nhỏ mà trên các đoạn đó hàm dưới dấu tích phân liên tục, nên áp dụng công thức Newton – Leibnitz cho từng tích phân. + Cần phân biệt hai khái niệm: tích phân bất định là một họ hàm số, còn tích phân xác định là một giá trị xác định. 3.2.2.3. Phương pháp tích phân từng phần. Công thức: Giả sử hàm u = u(x), v = v(x) là hai hàm khả vi liên tục trên [a, b]. Khi đó: b b udv= uv b - vdu a a a Ví dụ: Tính các tích phân sau: e 2 3 3 x 1) ln x dx ; 2) x cos xdx ; 3) xarctgxdx ; 4) arcsin dx ; 1/e 0 0 0 1 x 3.2.2.4 Phương pháp đổi biến số. Phương pháp đổi biến t = (x) trong đó (x) thoả mãn là hàm khả vi liên tục, đơn điệu trên [a, b]. Khi đó: b (b) f ( (x)) (x)dx = f (t)dt a (a) Ví dụ.
72 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy 9 1) Tính: x.3 1 xdx . Đặt t = 3 1 x 1 2 1 x 2) Tính dx . Đặt t = tg 0 3 cosx 2 1 dx 3) Tính Đặt t = x2 1 2 2 x x 1 1 4) Tính x15. 1 3 x 8 dx Đặt t = 1 3x8 0 3/4 dx 1 5) Tính Đặt t = . 2 0 x 1 x 1 x 1 Chú ý : Điều kiện đơn điệu của hàm f(x) là không thể thiếu trong phương pháp đổi biến t = (x) 2 Ví dụ : Tính I cosxsin2 xdx 4 Nếu đặt t = cosx ( không thỏa mãn tính đơn điệu trên , ) , khi đó 4 2 0 10 1 1 1 I t 1 t2 dt (1 t 2 ) 3 ( kết quả không đúng ) 1 31 3 6 2 2 2 Nếu đặt t = sinx - thỏa mãn tính đơn điệu trên , khi đó 4 2 2 1 1 1 1 1 1 I cosxsin2 xdx t 2 dt t 3 = ( kết quả đúng ) 1 3 1 3 6 2 4 2 2 Phương pháp đổi biến x = (t) Xét phép đổi biến x = (t) trong đó (t)là hàm thỏa mãn các điều kiện ( ) a + (t)có đạo hàm liên tục trên [ , ] với () b + Khi t biến thiên trên [α , β ] thì x biến thiên trên [a, b]. b (b) Khi đó: f (x)dx = f ((t)) (t)dt a (a)
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 73 Ví dụ 1: Tính các tích phân sau : 4 1 dx 1) 4 x2 dx . Đổi biến x = 2sint 2) . Đặt x = tgt 3/ 2 0 0 1 x2 Ví dụ 2 : Chứng minh rằng : a) Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và nếu : a a f(x) là hàm số chẵn thì f x dx 2 f x dx a 0 a f(x) là hàm số lẻ thì f x dx 0 a a T T b) Nếu f(x) là hàm số tuần hoàn chu kì T > 0 thì f x dx f x dx a 0 3.2.3. Ứng dụng của tích phân xác định. 3.2.3.1. Tính diện tích hình phẳng. *) Diện tích hình thang cong. Hình thang cong giới hạn bởi các đường x = a, x = b, (a < b) y = 0, y = f(x) với f(x) là hàm liên tục trên [a,b] khi đó hình thang cong có diện tích tính bởi công thức: b S = f (x) dx a * Diện tích hình phẳng: - Hình phẳng giới hạn bởi các đường: x = a, x = b với a < b y = f1(x); y = f2(x) với f1(x), f2(x) là những hàm liên tục trên [a,b] khi đó hình phẳng sẽ có diện tích S được tính bởi công thức: b S = f1 (x) f 2 (x) dx a Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
74 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy y 2x 2 3x 4 x y 0 y2 8x (1) 1) 2) 3) 2 2 y 3x y 2x x x 4y (2) 1 4) y = ln x , y = 0, x = , x = e 5) y = -3x2 +12x - 9, y = 2x2 - 8x + 6 e Giải 1): Xác định hoành độ giao điểm hai đường cong trên chính là các giá trị cận trên , dưới trong công thức tính diện tích hình phẳng . Có 2x2 - 3x + 4 = 3x 2x2 - 6x + 4 = 0 => x1 = 1 và x2 = 2 => diện tich hình phẳng là 2 2 S 2x2 6x4dx 2x 2 6x4dx 1 1 2 23 2 1 x 3x 4x (đvdt) 3 1 3 Giải 3) Xác định tọa độ giao điểm hai đường cong trên qua việc giải hệ phương trình : 2 y 8x (1) => lấy (2) thay vào (1) => x 4 = 16 . 8 x => các hoành độ 2 x 4y (2) 3 3 3 giao điểm x1 = 0 và x2 = 4 2 => có các giao điểm M1(0 , 0) và M2( 4 2 , 4 4 ) 2 y 8x (1) Từ hệ 2 x 4y (2) mà biến x trong khoảng [0 , 43 2 ] , và biến y trong khoảng [0 , 43 4 ] x 2 do đó từ y2 = 8x => y = 8x và x2 = 4y => y 4 áp dụng công thức tính diện tích của hình phẳng : 4 2 43 2 2 4 3 2 2 3 x x 2 8 1 3 S 8x dx 8x dx x2 x 04 0 4 3 12 0 3 4 23 1 3 32 2 = (4.2) (4.2) 24 1 ( đvdt) 3 12 3
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 75 Chú ý : Có thể tính diện tích hình phẳng lấy tích phân theo biến y : phương trình đường cong (1) x = y2 / 8 , do x trong khoảng [0 , 43 2 ] nên phương trình đường cong (2) là x = 2 y 43 4y 2 => công thức tính diện tích hình phẳng : S 2 y dy 4 8 3.2.3.2. Thể tích vật thể tròn xoay  Một vật thể tròn xoay tạo ra khi quay xung quanh trục ox hình phẳng được giới hạn bởi các đường x = a, x = b ; ( a < b ) ; y = f(x), y = 0 Khi đó thể tích của nó được tính bởi công thức: b V= f 2 (x)dx a  Tương tự: Một vật thể tròn xoay tạo ra khi quay xung quanh trục oy một hình phẳng được giới hạn bởi các đường x = g(y), x = 0, y = a, y = b ( a < b) b Khi đó thể tích của nó được tính bởi công thức: V = g2 (y)dy . a  Vật thể tròn xoay được tạo bởi khi quay quanh Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f1(x), y = f2(x), ( 0 ≤ f1(x) ≤ f2(x)), x = a, x = b được tính bởi công thức: b V = [f2 (x) f 2 (x)]dx 2 1 a
76 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy Ví dụ 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh Ox hình phẳng giới hạn bởi: y = 3x, y = 3, x = 0 1 Có thể tích của vật tròn xoay : V 32 3 2x dx 0 y = x2 - 4x + 3, y = 0, x = 0. Có thể tích của vật tròn xoay : 3 2 V x2 4x 3 dx 0 y = x2 - 6x + 8, y = 0. y = 2x – x2, y = 0 y x2; y 12 4 x ; y 0 ; x 0 y 9 x2 ; 9 x 2 y 18 0 Ví dụ 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo ra khi quay quanh trục 0x hình phẳng được giới hạn bởi các đường : y = 0 ; y = sinx, x = 0 ; x = 1 cos2x 2 Giải Có V sin2 x dx dx ( đvtt) 0 0 2 2 Ví dụ 3 Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo ra khi quay quanh trục 0y hình phẳng được giới hạn bởi 1 1 các đường x = 0 ; x y2 ln y ; y = 1 ; y = e 4 2 e2 e 12 1 1 4 1 2 1 2 Giải Có V y lnydy y lny ylnydy 1 4 2 1 16 4 4 e y5 ylny 2 ylnyy ylny 3 y 3 e1e 5 e 3 19 (đvtt) 80 4 2 2 12 36 8041836 1
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 77 3.2.3.3. Độ dài đường cong - Giả sử cung đường cong AB có phương trình y = f(x) với f(x) liên tục và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a,b]. Khi đó độ dài cung AB là: b 2 LAB = 1 f (x)dx . a x x t - Giả sử cung đường cong AB có phương trình dạng tham số ,,t    . y y t  2 2 Khi đó độ dài đường cong AB là: LAB = x '(t) y' t dx . 2 2 Có s = x y => vi phân cung ds dx2 dy 2 2  Nếu đường cong cho bởi phương trình tham số => ds = x '(t) 2 y' t dt  Nếu đường cong cho bởi phương trình: y = f(x) - khi đó coi như dạng tham số : 2 x = t ; y = f(t) => ds = 1 y' x dx  2 2 Do đó độ dài của cung AB là LAB = ds => LAB = x '(t) y' t dx . AB Ví dụ : Tính độ dài dây cung cong của đường cong sinh bởi các đường: ex 1 1 a) y ex ; 0 x 1. b) y ln , 0 x . ex 1 2 1 1 c) x y2 y , 1 y e d) x a.cost;3 y sint, 3 a 0, 0 t 2 4 2 3.2.3.4. Diện tích xung quanh của mặt tròn xoay. - Xét mặt tròn xoay sinh ra do cung đồ thị hàm số y = f(x), x [a,b] quay xung quanh trục ox trong đó f(x) là h/s liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a,b]. Khi đó diện tích xung quanh của mặt tròn xoay là: b S = 2 f (x) 1 f 2 (x)dx a
78 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy - Tương tự, diện tích mặt tròn xoay sinh ra do cung đồ thị hàm số x = φ(y), y [c,d] b quay quanh trục Oy là: S= 2 (y) 1 '(y)dy2 a 3.3. Tích phân suy rộng với cận vô hạn.(Tích phân suy rộng loại 1) 3.3.1. Định nghĩa. a. Khoảng lấy tích phân là [a, + ) Giả sử hàm số f(x) khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a,b],(a < b) b Nếu tồn tại lim f (x)dx hữu hạn thì giới hạn đó gọi là tích phân suy rộng loại b a 1 của hàm số f(x) trong khoảng [a,+ ) và ký hiệu là f (x)dx . a b Khi đó f (x)dx được gọi là hội tụ và f (x)dx = lim f (x)dx . b a a a b Nếu không tồn tại lim f (x)dx hữu hạn thì f (x)dx được gọi là phân kỳ. b a a b. Khoảng lấy tích phân là ( - , a] a a Tương tự: f (x)dx = lim f (x)dx b b c. Khoảng lấy tích phân là ( - , + ) a f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx (a R) a f (x)dx hội tụ khi và chỉ khi cả 2 tích phân suy rộng ở vế phải đều hội tụ.
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 79 Chú ý : - Tích phân suy rộng là giới hạn của tích phân xác định hiểu theo nghĩa thông thường khi cho cận lấy tích phân dần tới vô cùng. Do vậy muốn tính tích phân suy rộng ta có thể dùng công thức Newton – Leibnitz để tính, sau đó cho cận lấy tích phân dần tới vô cùng. Công thức Newton – Leibnitz cho tích phân suy rộng: b b f(x)dx lim f(x)dx limFx limFb Fa : Fx b b a b a a a Tương tự: a a f(x)dx Fa limFb: Fx ; f(x)dx F F :Fx b Đối với tích phân suy rộng ta cũng có thể thực hiện phép đổi biến số và qui tắc tích phân từng phần. Ví dụ 1: 1) e x dx e x e 1 1 Hội tụ 0 0 dx 2) ln x = + Phân kỳ. 1 1 x dx b1 1 b 1 1 3) lim ; x 1 1 b 1 1 1 1 dx +) Nếu 1 thì = + Phân kỳ. 1 x dx 1 +) Nếu > 1 thì = Hội tụ. 1 x 1 dx Vậy hội tụ nếu > 1 và phân kỳ nếu 1. 1 x dx Ví dụ 2: Tính : I 2 2 x x 2 Giải: dx  x   b  1 2 Ta có I ln lim ln( ) I ln 4 ln 2. b  (x )(x )  x    b  3 3 Ví dụ 3: Tính I = 3x2 1 e 3x dx . ( hướng dẫn : Tích phân từng phần hai lần) 1 1 Ví dụ 4: Tính I = dx (hướng dẫn: Đặt t = x2 3 ) 2 1 x x 3
80 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy Chú ý: Một số tích phân suy rộng sau khi đổi biến số trở thành tích phân xác định arctgx Ví dụ 5: Tính I dx 3 0 (1 x 2 ) 2 2 Giải: Đặt arctgx = z ta có I zcos zdz z sin z cos z 2 1 0 0 2 dx Ví dụ 6: Tính: I 5 10 1 x 1 x x 1 Giải: Đặt t = . Khi x = 1 thì t = 1, khi x thì t 0 . x5 Vậy ta có : 1 1 d 5 0 1x 1 dt 1 1 2 I ln t t t 1 = 5 2 5 2 5 2 1 1 1 1 t t 1 0 5 5 1 x x 1 3 3 1 2 ln 3 ln ln 1 5 2 2 5 3 3.3.2. Tính chất của tích phân suy rộng loại 1 Tính chất 1: Nếu f (x)dx hội tụ thì lim f (x) = 0 x a Nhận xét: Nếu không thỏa mãn điều kiện lim f (x) = 0 thì f (x)dx phân kỳ. x a Ví dụ: 2x 1 2x 1 2 dx phân kỳ vì lim 0 x 1 3x 2 3x 2 3 sin x dx phân kỳ vì không tồn tại lim sinx x 1 Tính chất 2: Nếu f(x) khả tích trên đoạn [a , a'] thì sự hội tụ hay phân kì của các tích phân f (x)dx và f (x)dx (với a’ > a) là như nhau. a a '
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 81 Tính chất 3:  Nếu f (x)dx , g(x)dx hội tụ thì .f(x)  .g(x) dx hội tụ a a a và .f(x)  .g(x) dx . f(x)dx  . g(x)dx a a a  Nếu trong hai tích phân f (x)dx , g(x)dx có một tích phân hội tụ, một tích phân a a phân kì thì f (x) g(x) dx phân kì. a 3.3.3. Ý nghĩa hình học của tích phân suy rộng Nếu f (x)dx hội tụ thì trị số của nó là diện tích của hình thang cong vô hạn được giới a hạn bởi y = f(x), y = 0, x = a 3.3.4. Các tiêu chuẩn so sánh. 3.3.4.1.Tiêu chuẩn 1: Giả sử hai hàm số f(x), g(x) xác định trên [a,+ ), khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a,b] và thoả mãn: 0 f(x) g(x)  x a. Khi đó: +) Nếu g(x)dx hội tụ thì f (x)dx hội tụ. a a +) Nếu f (x)dx phân kỳ thì g(x)dx phân kỳ. a a Ví dụ dx 1 1 dx 1. hội tụ vì . , x 1và hội tụ. 3 3 3 3 1 x ln x x ln x x 1 x
82 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy ln xdx 1 ln x dx 2. phân kỳ vì lnx > 1  x 3 nên 0 mà là phân kì. 1 x x x 1 x ln xdx 3. hội tụ . 2 1 x Hướng dẫn : Sử dụng bất đẳng thức :   0 cho trước ta luôn có lnx < x với x có giá 1 1/2 ln x 1 dx trị đủ lớn. Chọn  = , ta có lnx < x nên 2 3/2 , mà 3 hội tụ . Vậy tích 2 2 x x 1 x phân đã cho hội tụ. 3.3.4.2. Tiêu chuẩn 2: Giả sử f(x), g(x) xác định trên [a,+ ), khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a,b] và thoả f (x) mãn f(x) 0, g(x) 0  x a. Nếu lim k (0 < k < ) thì sự hội tụ phân kỳ của x g(x) các tích phân suy rộng f (x)dx , g(x)dx là như nhau. a a Hệ quả: Nếu f(x) và g(x) là các VCB tương đương trong quá trình x thì sự hội tụ, phân kỳ của các tích phân suy rộng f (x)dx , g(x)dx là như nhau. a a Qui tắc thực hành: 1 Nếu f(x) và ( 0) là hai VCB cùng bậc trong quá trình x thì f (x)dx hội tụ x a với 1và phân kì với 1. Ví dụ: Xét sự hội tụ hay phân kì của tích phân : dx     . Khi x → + , ta có ~           x  x  x  x x x dx dx Vì  hội tụ nên tích phân hội tụ.     x   x  x x  x  dx x   dx . Ta có ~ (khi x Vì phân kì nên dx      x  x x  x   x phân kì dx Chú ý: Thường dùng để so sánh với các tích phân cần xét 1 x
Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 83 3.3.5. Hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ . 3.3.5.1 Định nghĩa Nếu f (x) dx hội tụ thì ta nói f (x)dx hội tụ tuyệt đối. a a Nếu f (x)dx hội tụ mà f (x) dx phân kỳ thì ta nói f (x)dx bán hội tụ. a a a 3.3.5.2 Định lý : Nếu f (x) dx hội tụ thì f (x)dx cũng hội tụ a a Ví dụ: cos x cos x 1 cos x 1) dx hội tụ tuyệt đối vì ,  x nên dx hội tụ. 2 2 2 2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 ( 1)[x] 1 ( 1)[x] 1 1 2) I = dx hội tụ nhưng dx dx phân kỳ 1 x 1x 1 x ( 1)[x] 1 do vậy dx bán hội tụ 1 x ( ở đây [x] là phần nguyên của x , chẳng hạn [ 2,34] = 2 ; [ 4] = 4, )