Giáo trình Toán cao cấp C1

148 trang phuongnguyen 2600

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán cao cấp C1", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_toan_cao_cap_c1.pdf

Nội dung text: Giáo trình Toán cao cấp C1

ĐẠIHỌCQUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH KHOA KINH TẾ NGUYỄN THÀNH LONG NGUYỄN CÔNG TÂM TOÁN CAO CẤPC1 Lưu hành nộibộ THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2004
0 LỜI NÓI ĐẦU Đây là giáo trình Toán Cao cấp C1 dành cho sinh viên Khoa Kinh Tế, ĐạihọcQuốc gia Tp. Hồ Chí Minh. Giáo trình gồm3đơnvị họctập(45tiết) cả lý thuyết và bài tập. Giáo trình gồm5chương: Chương I trình bày nội dung về phép tính vi phân hàm mộtbiến. Chương II trình bày nội dung về phép tính vi phân hàm hai biến. Chương III trình bày nội dung về phép tính tích phân hàm mộtbiến. Chương IV trình bày sơ lượcvề phương trình vi phân ( cấp 1 và 2). Chương V trình bày nội dung về lý thuyết chuỗi. Trong mỗichương đềucóvídụ kèm theo cùng vớiphần bài tậpvới độ khó khác nhau để sinh viên rèn luyệnkỹ năng tính toán. Mộtsốđịnh lý khó chỉđược phát biểu mà không chứng minh và thay vào đólàphần minh họa ý chính của định lý. Giáo trình sẽ không tránh khỏinhững thiếu sót. Các tác giả rất mong nhận được các ý kiến đóng góp củabạn đọcgầnxađể giáo trình được hoàn thiệnhơn. Tp. Hồ Chí Minh tháng 9 năm 2004. Các tác giả Nguyễn Thành Long, Nguyễn Công Tâm.
1 CHƯƠNG I. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘTBIẾN §1. Khái niệmvề hàm số 1.1. Định nghĩa Cho tậphợp D  ., ánh xạ f : D  . đượcgọilàmột hàm số xác định trên tập D.Tập D đượcgọilàmiền xác định của hàm số f.Tập fx : x  D đượcgọilàmiền giá trị của hàm số f. Vậymột hàm f xác định trên D là một phép tương ứng vớimỗisố thực x  D vớimộtsố thực xác định duy nhấtmàtakýhiệunólàfx .Taviết f : x fx . Ta cũng gọi fx là giá trị của f tại x. Nếu đặt y fx ,thì ta có thể biểudiễn hàm f như sau: f : x y fx hay gọnhơn y fx . Ta gọi x là biến độclập hay đốisố, y là biếnphụ thuộc (hay là hàm). Đốivớimột hàm đã xác định thì các ký hiệu để chỉ các biến rõ ràng là không quan trọng. Chẳng hạn, các ánh xạ t t2,   2, w u w2, y x y2, xác định cùng một hàm, vì trong tấtcả các trường hợp trên phép tương ứng là như nhau: ứng vớimỗisố là bình phương của nó. Để chỉ các hàm khác nhau ta dùng các chữ khác nhau y fx , y gx , y x , Trị của hàm f tại x a đượckýhiệulàfa hay fx |x a và đọclà"f tại a". Xét hàm y fx xác định trên D  Chọn trong mặtphẳng mộthệ trụctọa độ vuông góc Oxy và biểudiễnbiến độclập x trên trục hoành, còn biếnphụ thuộc y trên trục tung.Ta gọitập tấtcả các điểmcủamặtphẳng có dạng x,fx : x  D là đồ thị của hàm số f. Hình 1
2 1.2. Các hàm số sơ cấpcơ bản Các hàm sau đây đượcgọi là các hàm số sơ cấpcơ bản: Hàm lũythừa x, hàm mũ x a ,Hàm logarit logax, các hàm lượng giác cosx, sinx, tgx, cotgx và các hàm lượng giác ngược. Tấtcả các hàm nầy, ngoạitrừ các hàm lượng giác ngược, đều đãhọc ở phổ thông nên ởđây chỉ nhắclạinhững tính chấtchủ yếucủa chúng, riêng các hàm lượng giác ngượcsẽđ ược trình bày kỹ hơn.  Hàm lũythừa y x,  là mộtsố thực. Miền xác định củanóphụ thuộc vào . Ví dụ: - Các hàm y x, y x2, y x3, xác định tạimọi x. - Các y x1, y x2, y x3, xác định tạimọi x 0. - Hàm y x1/2 x xác định khi x 0. - Hàm y x1/2 1 chỉ xác định khi x 0. x - Hàm y x1/3 3 x xác định tạimọi x. Chú ý rằng nếu  vô tỉ tì ta qui ướcchỉ xét hàm y x tạimọi x 0nếu  0vàtạimọi x 0nếu  0. Đồ thị củatấtcả các hàm y x đều đi qua điểm 1,1 , chúng đi qua gốctọa độ nếu  0và không đi qua gốctọa độ nếu  0. Hình 2 Hình 3  Hàm mũ y ax, a 0vàa 1. Số a đượcgọilàcơ số của hàm mũ. Hàm mũ xác định tại mọi x và luôn luôn dương. Nó tăng nếu a 1vàgiảmnếu0 a 1. Ngoài ra ta luôn có a0 1.  Hàm logarit. Hàm mũ y ax là một song ánh từ . lên khoảng 0,  , nên nó có hàm ngượcmàtakýhiệu là x logay (đọc là logarit cơ số a của y). Như vậy x y a x logay
3 a 1 0 a 1 Hình 4 Hình 5 Với qui ước, dùng chữ x để chỉ là biến độclập, chữ y đểchỉ hàm thì hàm ngượccủa hàm mũ x y a là y logax. x Đồ thị của hàm y logax là đốixứng của đồ thị của hàm y a qua đường phân giác thứ nhất. Hàm y logax chỉ xác định khi x 0, nó tăng khi a 1vàgiảmnếu0 a 1. Ngoài ra ta luôn có loga1 0. Với a 10, ta ký hiệu lgx log10x và gọi nó là hàm logarit thập phân. Hàm logarit còn có các tính chất sau: logaAB loga|A| loga|B|, AB 0 , A loga B loga|A|  loga|B|, AB 0 ,   logaA loga|A|, A 0 ,    loga A  loga|A|, A 0, 0 . Mọisố dương N đềucóthể viếtdướidạng mũ N alogaN.  Các hàm lượng giác y cosx, y sinx, y tgx, y cotgx. Các hàm nầy được xác định trên vòng tròn lượng giác (vòng tròn đơnvị)như sau OP cosx, OQ sinx, AT tgx, BC cotgx, Hình 6 trong đó, x được đóbằng radian. Hai hàm y sinx và y cosx xác định tạimọi x, có giá trị thuộc 1,1 ,tuần hoàn với chu kỳ 2.
4 y sinx Hình 7 y cosx Hình 8   Hàm y tgx xác định tạimọi x 2k 1 2 ,k nguyên , là hàm tăng trên từng khoảng, tuần hoàn với chu kỳ .  Hàm y cotgx xác định tạimọi x k,k nguyên , là hàm giảm trên từng khoảng, tuần hoàn với chu kỳ . y tgx y cotgx Hình 9 Hình 10  Các hàm lượng giác ngược.      y arcsinx. Hàm y sinx với 2  x  2 là một song ánh từđoạn  2 , 2 lên đoạn 1,1 nên nó có hàm ngượcmàtakýhiệulà x arcsiny (x bằng sốđocủa cung mà sin của nó bằng y). Vậy y sinx, x arcsiny.   2  x  2 Với qui ước dùng chữ x để chỉ là biến độclập, chữ y đểchỉ hàm, thì hàm ngượccủa hàm   y sinx với 2  x  2 là y arcsinx.   Đồ thị của hàm đósẽđốixứng với đồ thị của hàm y sinx, 2  x  2 qua đường phân giác thứ nhất.
5 Hàm y arcsinx xác định và tăng trên 1  x  1.  y arccosx.Cũng như trên, hàm y cosx với0 x   có hàm ngượclà x arccosy ( x bằng sốđocủa cung mà cosin củanóbằng y). Vậy y cosx, x arccosy. 0  x   Đồ thị của hàm y arccosx đốixứng với đồ thị của hàm y cosx,0  x   qua đường phân giác thứ nhất. Hàm y arcsinx xác định và giảm trên 1  x  1. Ta có đẳng thức sau  arcsinx arccosx 2 . y arcsinx y arccosx Hình 11 Hình 12    y arctgx. Hàm y tgx với 2 x 2 có hàm ngượclà x arctgy ( x bằng sốđocủa cung mà tg củanólày). Vậy y tgx, x arctgy.   2 x 2   Đồ thị của hàm y arctgx đốixứng với đồ thị của hàm y tgx, 2 x 2 qua đường phân giác thứ nhất.  y arccotgx. Hàm y cotgx với0 x  có hàm ngượclà x arccotgy ( x bằng sốđo của cung mà tg củanólày). Vậy y cotgx, x arccotgy. 0 x  Đồ thị của hàm y arccotgx đốixứng với đồ thị của hàm y cotgx,0 x  qua đường phân giác thứ nhất. Ta có đẳng thức sau  arctgx arccotgx 2 .
6 y arctgx y arccotgx Hình 13 Hình 14 §2. Giớihạncủa dãy số thực 2.1. Định nghĩa dãy số,giớihạncủa dãy số  Định nghĩa: Cho hàm số x :  Các giá trị của x tại n 1,2, lập thành một dãy số (gọitắt là dãy) x1 , x2 , x3 , Nếu đặt xn xn ,tacóthể viết dãy sốđónhư sau x1,x2, ,xn, hay xn. Các số x1,x2, ,xn, đượcgọi là các số hạng của dãy, xn đượcgọi là các số hạng tổng quát của dãy, còn n đượcgọilàchỉ số của nó. 1 n Ví dụ: Cho xn n , xn a, xn 1 , thì các dãy tương ứng sẽ là 1 1 1 1, 2 , 3 , , n , a,a,a, ,a, 1,1,1, ,1 n,  Định nghĩa: Cho dãy số xn.Ta nói xn hộitụ nếu, tồntạimộtsố thực a sao cho, vớimọi  0 cho trước, tồntạisố tự nhiên N sao cho n N |xn  a| . Ta có thể nghiệmlạirằng, nếu dãy xn hộitụ thì số thực a trong định nghĩa ở trên là duy nhất ( xem tính chất 1), ta gọi a là giớihạncủa dãy xn và ký hiệunólà a lim xn hay xn  a khi n  . n Dùng các ký hiệu logic ta có thể diễn đạt định nghĩa trên như sau: lim xn a  0,N  : n  ,n N |xn  a| . n Chú ý rằng, số N tồntại trên đây nói chung phụ thuộc vào ,dođótacóthể viết N N . Hơncũng không cần thiết N phảilàsố tự nhiên.  Định nghĩa: Dãy không hộitụđượcgọilàphân kỳ. 1 Ví dụ: Cho xn,với xn n .Tacólim xn 0. n
7 Thậtvậy 1 1 |xn  0| | n  0| n 1 1 |xn  0|  n  n  . Rõ ràng, nếuchọn N 1/ 1, ta có n N |xn  0| . 2.2. Các tính chất và các phép tính về giớihạncủa dãy số  Tính chất1.Giả sử dãy xn hộitụ. Khi đósố thực a trong định nghĩa ở trên là duy nhất. Chứng minh:Giả sử có hai số thực a,a như trong định nghĩa ở trên. Ta chứng minh rằng   1  a a.Thậtvậy, giả sử ngượclại: a a.Chọn  3 |a  a| 0, ta có: N1  : n  ,n N1 |xn  a| ,(bởivì xn  a và   N2  : n  ,n N2 |xn  a| ,(bởivì xn  a . Chọnsố tự nhiên n maxN1,N2,tacó:   3 |a  a|  |a  xn | |xn  a|   2. Điềunầy mâu thuẫn. Vậy tính chất1đượcchứng minh.  Tính chất2.Giả sử dãy xn hộitụ về a.Nếu a p (tương ứng với a p), thì N  : n  ,n N xn p (tương ứng với xn p Chứng minh:Chọn0  a  p thì a   p.Vớisố  đó thì N : n N a   xn a  xn p.  Tính chất3.Giả sử dãy xn hộitụ về a và ta có xn  p xn q vớimọi n, thì a  p a q . N  : n  ,n N xn p (tương ứng với xn p Chứng minh:Giả sử ngượclại a p a q . Khi đó theo tính chất 2 thì N : n N xn p xn q .Điềunầy mâu thuẫnvớigiả thiết. Vậy tính chất3được chứng minh.  Tính chất4.Giả sử dãy xn hộitụ. Khi đónóbị chận, nghĩalà: M 0:|xn |  M n  . Chứng minh:Chọn  1,N  : n N |xn  a| 1, từđó |xn |  |xn  a| |a| 1 |a|  max1 |a|,|x1 |,|x2 |, ,|xN | M vớimọi n.  Định lý 1. Cho hai dãy hộitụ xn và yn.Nếu xn yn n  , thì lim xn lim yn. n n Chứng minh: Đặt a lim xn, b lim yn.Giả sử ta có a b.Lấymộtsố r sao cho n n a r b. Khi đó theo tính chất2 / / N  : n  ,n N xn r. Mặt khác, // // N  : n  ,n N yn r.
8 / // Đặt N maxN ,N . Khi đó n N xn r yn. Điềunầy mâu thuẫnvớigiả thiết. Do đó a b.  Định lý 2. Cho ba dãy xn,yn và zn thỏa i xn  yn  zn n  , ii lim xn lim zn a. n n Khi đó dãy yn cũng hộitụ và lim yn a. n Chứng minh: Theo định nghĩagiớihạn / /  0, N  : n N a   xn a , // // N  : n N a   zn a . / // Đặt N maxN ,N .Tacó n N a   xn  yn  zn a , hay |yn  a| .Vậy lim yn a. n  Định lý 3. Nếu các dãy xn và yn hộitụ thì dãy xn yn cũng hộitụ và lim xn yn lim xn lim yn. n n n Chứng minh:Giả sử lim xn a, lim yn b. Theo định nghĩagiớihạn,  0, n n / / N  : n N |xn  a| /2, // // N  : n N |yn  b| /2. Đặt N maxN/,N//.Tacó n N |xn yn  a b |  |xn  a| |yn  b| /2 /2 . Vậy lim xn yn a b lim xn lim yn. n n n  Định lý 4. Nếu các dãy xn và yn hộitụ thì dãy xnyn cũng hộitụ và lim xnyn lim xn lim yn. n n n Chứng minh:Giả sử lim xn a, lim yn b. Khi đ ó  0, n n N1  : n N1 |xn  a| , N2  : n N2 |yn  b| . Đặt N maxN1,N2, xn  a n, yn  b n.Tacó |xnyn  ab| |a n b n  ab| |nb na nn |  |n ||b| |n ||a| |n ||n | |xn  a||b| |yn  b||a| |xn  a||yn  b|  |b| |a| M |b| |a| M . Vì yn  b  0 nên nó bị chậnbởihằng số dương M Vậy đánh giá trên cho ta lim xnyn ab lim xn lim yn. n n n  Hệ quả. Nếu dãy xn hộitụ,vàk là mộtsố tùy ý, thì dãy kxn cũng hộitụ
9 và lim kxn k lim yn. n n xn  Định lý 5. Nếu các dãy xn và yn hộitụ,và yn 0 n, lim yn 0 thì dãy  yn  cũng n limxn hộitụ và lim xn n . yn limyn n n Chứng minh:Giả sử lim xn a, lim yn b 0. Đặt xn  a n, yn  b n,tacó n n b a b a xn  a n n  | ||n | | ||n | . yn b bb n |b||b n | 1 Lấy0  2 |b| thì N1  : n N1 |n | , N2  : n N2 |n | . Đặt N maxN1,N2.Tacó 1 1 |b n | |b|  |n | |b|   |b|  2 |b| 2 |b|. xn a 2|b| |a| Khi đó n N1 . yn  b b2  limxn Vậy lim xn a n . yn b limyn n n §3. Giớihạncủa hàm số 3.1. Các định nghĩagiớihạn Định nghĩa1.Xét hàm y fx xác định ở lân cận giá trị hữuhạn x0, không nhất thiết xác định tại x0.Trong lân cận đótacóthể lấy được dãy xn, sao cho xn x0 và lim xn x0. n Ta nói rằng số L là giớihạn của hàm số y fx khi x tiếndầnvề x0,nếu đốivới dãy xn bất kỳ như trên, dãy tương ứng các giá trị của hàm fxn  luôn luôn hộitụ và có giớihạnlàL. Khi đ ótakýhiệu lim fx L hay fx  L khi x  x0. xx0 1 Ví dụ. Xét hàm y xsin x trong khoảng 1,1 \0.Tacónếu xn, xn 0 là dãy hộitụ đến 0, thì 1 0  |fxn | |xn ||sin xn |  |xn |. 1 Vì lim xn 0, nên lim fxn 0. Vậy lim fx lim xsin x 0. n n x0 x0 1 Ví dụ. Xét hàm y sin x trên khoảng 1,1 . Hàm đó không có giớihạn khi x tiếndầnvề 0. 1 Thậtvậy đặt xn n ta được dãy xn hộitụđến 0, dãy tương ứng fxn  sinn 0 hộitụđến0. / 2 / Nếu đặt xn ta được dãy xn hộitụđến 0, dãy tương ứng 4n 1    /  fxn  sin 2 2n  1 hộitụđến1. 1 Vậy hàm y sin x không có giớihạn khi x dầnvề 0. Định nghĩa2.Ta gọisố L là giớihạn của hàm số y fx khi x tiếnvề x0,nếu  0, 0:0 |x  x0 |  |fx  L| . Nói chung số  phụ thuộc vào . Nói một cách khác, lim fx L nếu các giá trị của hàm fx xx0
10 gần L một cách tùy ý khi các giá trị củabiến x đủ gần x0 nhưng khác với x0. Ta công nhận định lý sau. Định lý. Hai định nghĩagiớihạn ở trên là tương đương. Ví dụ. Chứng minh lim 2x 1 5. Thậtvậy, ta có vớimọi  0, x2 |2x 1  5| 2|x  2| khi |x  2| /2, nghĩalànếulấy  /2 thì |2x 1  5|  khi |x  2| . Đpcm. Ví dụ. Xét giớihạncủa hàm x24 khi x 2. Hàm nầy không xác định khi x 2, nhưng khi x2  x 2tacó x24 x2 x 2 x 2. x2 x2 Do đó khi x 2tacó x24 4 x 2 4 x 2, nên x24 4 , khi x 2và x2     x2   x 2 .Vậy lim x24 4. |  |   x2 xx0 Định nghĩa. Ta gọisố L là giớihạn của hàm số y fx khi x tiếnravôcực, nếu  0,N 0:|x| N |fx  L| . Nói chung số N phụ thuộc vào .Takýhiệu lim fx L. xn 1 Ví dụ. Chứng minh lim x .Thậtvậy, xx0 1 1 1 1 1 | x  0| |x| khi |x|  , nên  0,N  : |x| N | x  0| . 3.2. Các tính chấtcủa hàm số có giớihạn Rõ ràng ta có mộtsố tính chất đơngiản sau đây: i) Nếu fx C là hằng số thì lim fx C,lim fx C. xx0 x ii) Một hàm fx nếucógiớihạn ( khi x  x0 hay x   thì chỉ có duy nhấtmộtgiớihạn. iii) Một hàm fx nếucógiớihạndương (âm) khi x  x0 thì luôn luôn dương (âm) tạimọi x x0,vàđủ gần x0. iv) Nếu hàm fx 0 ở lân cận x0 và có giớihạn khi x  x0 thì giớihạn ấyphải 0. Nếu hàm fx 0 ở lân cận x0 và có giớihạn khi x  x0 thì giớihạn ấyvẫn 0. 3.3. Các phép toán giớihạncủa hàm số Dựa vào định nghĩagiớihạncủa hàm ta dễ dàng chứng minh được: Định lý. Giả sử lim fx L, lim gx M. Khi đó xx0 xx0 i) Tổng fx gx cũng có giớihạn, và lim fx gx L M. xx0 ii) Tích fx gx cũng có giớihạn, và lim fx gx LM. xx0 fx fx L iii) Nếu M 0 thì thương g x cũng có giớihạn, và lim g x M .  xx0  Chú thích: Định lý trên cũng đúng với quá trình x   thay vì quá trình x  x0. Định lý. Xét hàm hợp f  u : x fux . Giả sử lim fx L, lim gx M.Nếu xx0 xx0 a) lim ux u0, xx0
11 b) fu xác định trong một khoảng chứa u0 và lim fu fu0 . uu0 Khi đó, ta có lim fux fu0 flim ux . xx0 xx0 Chứng minh: Theo b)  0, 0:0 |u  u0 |  |fu  fu0 | . Với  ấy, theo a), ta lạicó  0:0 |x  x0 |  |ux  u0 | . Do đó  0, 0:0 |x  x0 |  |fu  fu0 | . Vậy lim fux fu0 . xx0 Ta công nhậnkếtquả sau: Định lý. Nếu hàm sơ cấp fx xác định trong một khoảng chứa x0 thì lim fx fx0 . xx0 3.4. Các giớihạncơ bản Ta có các giớihạncơ bản sau: sinx i) lim x 1, x0 1 n ii) lim 1 n e, n Với e là mộtsố vô tỉ, e 2,71828 Ngườitachứng minh đượcrằng lim 1 x 1/x e. x0 Ký hiệu ln là lôgarit cơ số e, hay lôgarit tự nhiên hay lôgarit Néper. ex1 iii) lim x 1, x0 ln1 x iv) lim x 1. x0 §4. Vô cùng bé (VCB) và vô cùng lớn (CVL) 4.1. Vô cùng bé 4.1.1. Định nghĩa. Hàm x đượcgọilàvô cùng bé (VCB) khi x  x0 nếu lim x 0. xx0 Chú thích:Tacũng có khái niệm VCB cho quá trình x   thay vì quá trình x  x0. Trở lại định nghĩavề giớihạncủa hàm, ta có thể phát biểu định nghĩa VCB khi x  x0 như sau Hàm x đượcgọi là VCB khi x  x0 nếu  0, 0:0 |x  x0 |  |x | . Từđịnh nghĩagiớihạn ta có ngay: Định lý. lim fx L x fx  L là VCB khi x  x0 xx0 Chú thích: Định lý nầyvẫn đ úng cho quá trình x   thay vì quá trình x  x0. Ta cũng thấy ngay tính chất sau đây của VCB:  Tính chất1.Nếu x là VCB khi x  x0 và C là mộthằng số thì cũng là Cx cũng là VCB khi x  x0.  Tính chất2.Nếu 1x , ,nx là mộtsố hữuhạn các VCB khi x  x0 thì tổng 1x nx và tích của chúng 1x nx cũng là các VCB khi x  x0.
12  Tính chất3.Nếu x là một VCB khi x  x0 và fx là hàm bị chận trong một lân cận: 0 |x  x0 | , thì thì tích x fx cũng là các VCB khi x  x0. Thậyvậy, theo giả thiết M 0:0 |x  x0 |  |fx |  M. Mặt khác   0,1 0:0 |x  x0 | 1 |x | M . / / Đặt  min,1. Khi đó, nếu0 |x  x0 |  ,tacó  |x fx | |x ||fx | M .M . Đpcm. Chú thích: Các tính chất1-3vẫn đ úng cho quá trình x   thay vì quá trình x  x0. 4.1.2. So sánh các vô cùng bé Xét hai VCB x , x trong cùng một quá trình x  x0 hay x   (ta cũng viết chung là x  x0 với x0  . hoặc x0  . x i) Nếu lim x k  ., k 0 : thì ta nói x , x là hai VCB ngang cấp. xx0  x ii) Nếu lim x 1 : thì ta nói x , x là hai VCB tương đương.Takýhiệu x ~ x . xx0  x iii) Nếu lim x 0 : thì ta nói x là VCB cấp cao hơn x , hay x là VCB cấpthấp xx0  hơn x .Takýhiệu x o x . x iv) Nếu không tồntại lim x thì ta nói x , x là hai VCB không so sánh đượcvới nhau. xx0  v) Nếu x là VCB ngang cấpvới kx ,k 0 : thì ta nói x là VCB cấpksovới VCB x . Ví dụ: i) 1  cosx và x2 là hai VCB ngang cấp khi x  0, và do đó1 cosx cũng là VCB cấp hai 2sin2 x 2 1cosx 2 1 so với x ,vìlim 2 lim 2 2 . xx0 x xx0 x ii) sinx~x,ln1 x ~x, ex  1~x, khi x  0 2sin2 x iii) 1  cosx là VCB cấp cao hơn x khi x  0, vì lim 1cosx lim 2 0. xx0 x xx0 x 4.1.3. Khử dạng vô định x x  Tính chất1.Nếu x ~x và x ~x khi x  x0 thì lim x lim . xx0  xx0 x Thậtvậy x x x x x x x x x lim x lim x x lim x . lim . lim x 1. lim .1 lim . xx0  xx0  x  xx0  xx0 x xx0  xx0 x xx0 x Ví dụ: lim ln1 2x lim 2x 2 . e3x1 3x 3 x0 x0  Tính chất2.Nếu x ox khi x  x0 thì x x ~x khi x  x0. Thậtvậy
13 x x x lim x lim  x 1 1. xx0  xx0  Như vậytổng của hai VCB tương đương với VCB có cấpthấphơn.  Tính chất3.Qui tắcngắtbỏ VCB cấp cao. Giả sử x và x là hai VCB khi x  x0, trong đó x và x đềulàtổng củamộtsố hữu x hạn các VCB khi x  x0. Khi đó, lim x lim củatỷ số hai VCB cấpthấpnhất ở tử số và xx0  xx0 mẫusố. x sin2x tg3x Ví dụ: lim lim x 1 . 2x x3 4x5 2x 2 x0 x0 4.2. Vô cùng lớn 4.2.1. Định nghĩa. Cho hàm fx xác định ở lân cậncủa x0, không nhất thiết xác định tại x0.Ta nói hàm fx là vô cùng lớn (VCL) khi x  x0 nếu lim |fx | . xx0 Tương tự,tacũng có khái niệm VCL cho các quá trình x  ,x   thay vì quá trình x  x0. 4.2.2. Liên hệ giữa VCB và VCL. Định lý. Giả sử fx 0 trong một lân cậncủa x0. Khi đó 1 f x là (VCB) là (VCL), khi x x0,  fx  1 f x là (VCL) là (VCB), khi x x0.  fx  1 Ví dụ: sinx là (VCL), khi x  0, 1 x là (VCB), khi x  . 4.2.3. So sánh các vô cùng lớn Giả sử Ax , Bx là hai VCL khi x  x0(ta cũng viết chung là x  x0 với x0  . hoặc x0  . Ax i) Nếu lim B x k  ., k 0 : thì ta nói Ax , Bx là hai VCL ngang cấp. xx0  Ax ii) Nếu lim B x 1 : thì ta nói Ax , Bx là hai VCL tương đương.Takýhiệu Ax ~ Bx . xx0  Ax iii) Nếu lim B x 0 : thì ta nói Ax là VCL cấpthấphơnBx , hay Bx là VCL cấp cao xx0  hơnAx . Ax iv) Nếu là hai VCL khi x x0 thì ta nói A x là VCL cấp cao hơnB x , hay B x là Bx     VCL cấpthấphơnAx . Ax Ax v) Nếu không tồntại lim B x và B x cũng không là VCL khi x  x0 thì ta nói Ax , Bx xx0   là hai VCL không so sánh đượcvới nhau. Từ ii) ta có các tính chất sau: j) Giả sử Ax , Ax ,Bx và Bx là các VCL khi x  x0.Nếu Ax ~Ax và Bx ~Bx thì Ax Ax lim B x lim . xx0  xx0 Bx jj) Nếu Ax là VCL cấp cao hơn VCL Bx khi x  x0, thì Ax Bx ~Ax khi x  x0.
14 Thậtvậy Ax Bx Bx lim A x lim 1 A x 1. xx0  xx0  Ví dụ: Khi x  , thì x3 1 là VCL cấp cao hơn VCL x2,vì x3 1 1 lim 2 lim x lim 2 . x x x x x Ví dụ: Khi x  , thì 3x4 x~3x4.  4.2.4. Khử dạng vô định  ,,0 . * Qui tắcngắtbỏ VCL cấpthấp. Giả sử Ax và Bx là hai VCL khi x  x0, trong đó Ax và Bx đềulàtổng củamộtsố hữu Ax hạn các VCL khi x  x0. Khi đó, lim B x lim củatỷ số hai VCL cấp cao nhất ở tử số và xx0  xx0 mẫusố.  3x22x 2 3x2 3 Ví dụ:(Dạng  . lim 2 lim 2 4 . x 4x 4x5 x 4x Ví dụ:(Dạng  . Xét lim  x4 3x2  x4  1 . Khi x  , thì x4 3x2   và x4  1  , nên ta x gặpdạng vô định .Muốnkhử nó ta nhân và chia nó vớibiểuthức liên hợp x4 3x2 x4  1 . 4 2 4 4 2 4 lim  x4 3x2  x4  1 lim  x 3x  x 1  x 3x x 1 x x x4 3x2 x41 2 lim 3x 1 x x4 3x2 x41 3 1 lim x2 ( chia tử và mẫu cho x2) x 1 3 1 1 x2 x2 3 2 . Ví dụ:(Dạng 0   . Xét lim x x2 1  x . x  Ta có 2 2 lim  x2 1  x lim  x 1 x  x 1 x lim 1 0. x  x  x2 1 x x  x2 1 x Vậygiớihạn đã cho có dạng vô định   0. Muốnkhử nó, ta biến đổinhư trên thì được lim x x2 1  x lim x x  x  x2 1 x lim 1 ( chia tử và mẫu cho x) x  1 1 1 x2 1 2 . §5. Hàm số liên tục
15 5.1. Các định nghĩavề hàm số liên tụctạimột điểm * Cho D  ., điểm x0  D đượcgọilàđiểmtụ của D nếutồntạimột dãy xn  D\x0 sao cho xn  x0. Điểm x0  D không phảilàđiểmtụ của D đượcgọilàđiểmcôlập của D. * Cho D  ., f : D  . và x0  D. Nếu x0 đượcgọilàđiểmcôlập của D. Ta nói f liên tục tại x0. Nếu x0 đượcgọilàđiểmtụ của D. Ta nói f liên tục tại x0. D nếu lim fx fx0 . xx0 Trong trường hợp, x0  D là điểmtụ của D.Tacũng có f liên tụctại x0  0, 0: x  D,|x  x0 |  |fx  fx0 | . Vẫnlàx0  D là điểmtụ của D.Tacũng có các định nghĩa khác liên quan đến liên tụcmột phía như sau: *Ta nói f liên tục bên phải tại x0. D nếu lim fx fx0 ,tứclà, xx0  0, 0: x  D, x0  x x0  |fx  fx0 | . *Ta nói f liên tục bên trái tại x0. D nếu lim fx fx0 ,tứclà, xx0  0, 0: x  D, x0   x  x0 |fx  fx0 | . Hiển nhiên, điềukiệncầnvàđủđểhàm f liên tụctại x0 là f liên tục bên phải và bên trái tại x0. 5.2. Định nghĩa trong khoảng, trên đoạn * Hàm f : a,b  . đượcgọilàliên tục trong khoảng a,b nếu f liên tụctạimọi điểm x0. a,b . * Hàm f : a,b  . đượcgọilàliên tục trên đoạn a,b nếu f liên tục trong khoảng a,b và liên tục bên phảitại a, liên tục bên trái tại b. 5.3. Các phép toán trên các hàm số liên tụctạimột điểm Áp dụng các phép toán đơngiảnvề các hàm số có giớihạntacómộtsố kếtquả sau đây: Định lý. Nếu hàm f là liên tụctại điểm x0 thì hàm |f| cũng liên tụctại x0. Định lý. Nếu các hàm f và g liên tụctại điểm x0 thì các hàm f g, fg, Cf C là hằng số) |f| cũng liên tụctại x0. f Ngoài ra, nếu các hàm gx0 0 thì hàm g liên tụctại x0. Định lý. Giả sử I,J  . và f : I  J,g : J  Nếu hàm f liên tụctại điểm x0 và g liên tục tại điểm y0 fx0  J, thì hàm hợp g  f : I  . cũng liên tụctại x0. 5.4. Điểm gián đoạn. Phân loại Định nghĩa. Hàm f đượcgọilàgián đoạn tại x0 nếu f không liên tụctại điểm x0.Lúc đó x0 điểm gián đoạn của f.Nếu f gián đoạntại x0 thì đồ thị của hàm y fx không liềntại điểm M0x0,fx0 ,màbị ngắtquảng tại M0. Căncứ vào định nghĩatathấyrằng hàm f gián đoạntại x0 nếugặpmột trong các trường hợp sau: i) Nếu các giớihạn bên phải fx0 0 lim fx ,giớihạn bên trái fx0  0 lim fx tồntại xx0 xx0 và ba số thực fx0 ,fx0 0 ,fx0  0 không đồng thờibằng nhau, thì ta nói x0 là điểm gián
16 đoạnloạimột. j) Nếu fx0 0 fx0  0 fx0 , thì ta nói x0 là điểm gián đoạnbỏđược. jj) Nếu fx0 0 fx0  0 , thì ta nói x0 là điểmnhảy. Hiệusố fx0 0  fx0  0 được gọilàbướcnhảy. ii) Điểm gián đoạn không thuộcloạimột đượcgọilàđiểm gián đoạnloại hai. Ví dụ: Xét hàm x 1, nếu x 0, fx x  1, nếu x 0. Ta có: f 0 lim fx 1, f0 lim fx 1. x 0 x0 Vậy x 0làmột điểmnhảy, vớibướcnhảylàf 0  f0 2. Ví dụ: Xét hàm sinx ,nếu x 0, fx x 2, nếu x 0. Vì lim fx lim fx 1 f0 2, nên gián đoạnloạimộttại x 0. Hơnnữa, x 0là x 0 x0 một điểm gián đoạnbỏđược. Nếu xét hàm sinx ,nếu x 0, f x x 1, nếu x 0. thì f sẽ liên tụctại x 0, điềunầygiải thích từ ”bỏđược”. 1 1 1 Ví dụ: Hàm fx x có điểm gián đoạnloại hai tại x 0, vì lim x , lim x . x 0 x0 5.5. Tính liên tụccủa các hàm sơ cấp Ta sẽ chỉ ra rằng các hàm sơ cấp đều liên tục trên tập xác định của chúng. n n1 1/ Đathức Pnx a0x a1x an1x an. Vì hàm số y C hằng và hàm số y x liên tục trên . nên hàm số x axk axx x k thừasố trong đó a là mộtsố tực không đổivàk là mộtsố tự nhiên, liên tục trên Dođó hàm Pnx là tổng hữuhạn các hàm thuộcdạng trên cũng liên tục trên P Hàm hữutỉ Q , trong đó P và Q là các đathức, liên tụctạimọi điểm x  . tại đó Qx 0. 2/ Hàm mũ y ax a 0 liên tục trên x x xx Giả sử x0  Vớimọi x  .,tacóa a 0 a 0 . xx x x x Khi x  x0 ta có x  x0  0và a 0  1. Do đó lim a a 0 .Vậy hàm y a liên tụctại xx0 điểm x0.Tacó: lim ax  và lim ax 0với a 1, x  x lim ax 0vàlim ax  với0 a 1. x  x
17 Tập các giá trị của hàm số y ax là khoảng 0,  . 3/ Hàm số Lôgarit y logax a 0,a 1 liên tục trên 0,  .(Xem mục 5.5) x Giả sử x0 0. Vớimọi x  ., ta có logax logax0 loga x0 . x x Khi x  x0 ta có x0  1 và loga x0  0. Do đó lim logax logax0.Vậy hàm y logax liên xx0 tụctại điểm x0.Tacó: lim logax  và lim logax  nếu a 1, x 0 x  lim logax  và lim logax  nếu0 a 1. x 0 x  4/ Hàm số lũythừa y x   . liên tục trên 0,  .Vìx elnx nên theo định lý về tính liên tụccủa hàm số hợp, hàm số lũythừa liên tục trên 0,  . 5/ Các hàm số lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng. Thậtvậy, Giả sử x0  Vớimọi x  .,tacó x x0 xx0 xx0 |sinx  sinx0 | 2 cos 2 sin 2  2 sin 2  |x  x0 |. Từđó suy ra lim sinx sinx0. xx0 Vậy hàm số y sinx liên tụctại điểm x0,tức là liên tục trên  Vì cosx sin 2  x vớimọi x  ., nên theo định lý về tính liên tụccủa hàm số hợp, suy ra hàm số y cosx liên tục trên sinx Cũng theo tính chất hàm liên tụctacóhàmsố y tgx cosx liên tụctạimọi điểm x  . mà  cosx 0, tứclàx 2 k,k   tập các số nguyên. cosx Hàm số y cotgx sinx liên tụctạimọi điểm x  . mà sinx 0, tứclàx k,k  . 6/ Ngườitachứng minh đượcrằng các hàm lượng giác ngược liên tục trên tập xác định của chúng. (xem mục 5.5). Cụ thể là   Hàm số y arcsinx liên tụcvàtăng trên từ 1,1 lên  2 , 2 . Hàm số y arccosx liên tụcvàgiảm trên từ 1,1 lên 0, .   Hàm số y arctgx liên tụcvàtăng trên từ . lên  2 , 2 . Hàm số y arccotgx liên tụcvàgiảm trên từ . lên 0, . 5.6. Tính chấtcủa hàm liên tục trên một đoạn  Ý nghĩa hình họccủa khái niệm liên tục Hình 15 Hình 16 Giả sử hàm y fx liên tụctại x0. Xét điểm P0x0,y0 , y0 fx0 trên đồ thị. Khi
18 x x  x0  0 thì f fx  fx0  0, nên khi x  x0, thì trên đồ thị, điểm Px,y chạy đến điểm P0 không bị ngắt quãng. Từđó suy ra rằng nếu hàm y fx liên tục trên đoạn a,b thì đồ thị củanólàmột đường liềnnối điểm Aa,fa với điểm Bb,fb . Dựa vào ý nghĩa hình họccủa hàm y fx liên tục trên đoạn a,b ta rút ra mộtsố tính chất của nó mà không chứng minh:  Đường cong liền đitừđiểm A đến điểm B không thể chạyravôtận, nên ta có: Định lý. Nếu hàm fx liên tục trên đoạn a,b thì nó bị chận trên đoạn đó, tứclà M 0:|fx |  M x  a,b .  Đường cong liền đitừđiểm A đến điểm B bao giờ cũng có ít nhấtmột điểm cao nhấtvàmột điểmthấpnhất, nên ta có: Định lý. Nếu hàm fx liên tục trên đoạn a,b thì ít nhấtmộtlầnnóđạt giá trị lớnnhấtvàmột lầnnóđạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn a,b ,tứclà c1,c2  a,b : fc1  fx  fc2 x  a,b . (xem hình 17) Hình 17 Hình 18 Hình 19  Nếu hai điểm A và B ở hai phía củatrục ox thì đường cong liền đitừđiểm A đến điểm B phảicắttrục ox ít nhấtmộtlần, nên ta có: Định lý. Nếu hàm fx liên tục trên đoạn a,b và nếu các giá trị fa và fb trái dấu nhau thì fx triệt tiêu tạiítnhấtmộtlần trong khoảng a,b ,tứclà,tồntạiítnhấtmột giá trị c  a,b sao cho fc 0.(xem hình 19)  Nếuvẽ một đường thẳng song song vớitrục Ox trong khoảng giữa điểmthấpnhấtvàđiểm cao nhấtcủa đường cong nốiliền A đến B bao giờđường thẳng ấycũng cắt đường cong ấyít nhấtmộtlần, nên ta có: Định lý. Nếu hàm fx liên tục trên đoạn a,b và  là một giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớnnhấtcủa f thì  là giá trị của f tạiítnhấtmột điểm trên đoạn a,b ,tứclà, nếu max fx    min fx thì tồntạiítnhấtmột giá trị c  a,b sao cho  fc .(xem axb axb hình 18) Cuối cùng ta có: Định lý. Giả sử f : a,b  . là một hàm số liên tụcvàtăng(giảm) trên đoạn a,b . Khi đó f là một song ánh từ a,b lên fa ,fb ( fb ,fa ) và hàm số ngược f1 : fa ,fb  a,b f1 : fb ,fa  a,b của hàm f là liên tụcvàtăng(giảm).
19 Một hàm f : a,b  . đượcgọilàtăng (giảm) trên đoạn a,b ,nếu x,x/  a,b , x x/ fx fx/ tương ứng fx fx/ . Một hàm f : a,b  . đượcgọilàkhông giảm (không tăng) trên đoạn a,b ,nếu x,x/  a,b , x x/ fx  fx/ tương ứng fx fx/ . §6. Đạo hàm 6.1. Các khái niệm đạo hàm 6.1.1. Các định nghĩa Định nghĩa fx fx0 Xét hàm số f : a,b và x0  a,b .Giớihạn lim xx0 nếutồntại đượcgọilàđạo hàm xx0 / dfx0 của hàm số f tại x0 và ta ký hiệugiớihạn đólàf x0 hay dx . / Đặt x x  x0 thì đạo hàm f x0 được định nghĩalàgiớihạn(nếucó) f / x lim fx fx0 lim fx0 x fx0  0 xx0 x xx0 x0 Ví dụ: Cho fx x2. Tính f /2 . Ta có 2 2 2 / 2 x 2 4x x f 2 lim x lim x x0 x0 lim 4 x 4. x0 Vậy f / 2 x2 / 4.   |x 2 6.1.2. Ý nghĩacủa đạo hàm  Tiếp tuyếncủa đường cong Hình 20 Xét đường cong L có phương trình y fx và một điểmcốđịnh M trên L có toạđộ Mx0,y0 , y0 fx0 . Xét cát tuyến MN.Nếu khi điểm N chạy trên đường cong L tới điểm M mà cát tuyến MN dần đếnmộtvị trí giớihạn MT thì đường thẳng MT đượcgọilàtiếp tuyến của đường L tại M.Vấn đề đặt ra là khi nào đường L có tiếp tuyếntại M và nếu có thì hệ số góc củatiếp tuyến ấy được tính như thế nào? Gọi hoành độ của N là x0 x.Hệ số góc của cát tuyến MN là PN yy0 fx0 x fx0 tg MP x x . Bây giờ cho điểm N chạy trên tới điểm M trên đường L , lúc đó x  0nếutỉ sốởvế f phải x có giớihạn thì tg ở vế trái cũng có giớihạn ấy, do đó góc  tiếntớimột góc xác định
20 mà ta gọilà, nghĩalàcáttuyến MN dần đếnmộtvị trí giớihạn MT nghiêng vớitrục ox một góc .Vậyhệ số góc tg củatiếp tuyến MT nếu có chính là fx0 x fx0 / tg lim x f x0 . x0 Suy ra ý nghĩa hình họccủa đạo hàm: Nếu hàm f có đạo hàm tại x0 thì đồ thị của hàm y fx có tiếp tuyếntại Mx0,y0 , trong đó y0 fx0 và hệ số góc củatiếp tuyếnlà / k tg f x0 . Do đóphương trình củatiếp tuyếntại M0 là / y  fx0 f x0 x  x0 và phương trình của pháp tuyếntại M0 là 1 y  fx0 / x  x0 . f x0  Vậntốc chuyển động thẳng Hình 21 Xét mộtvật chuyển động trên một đường thẳng tạithời điểm t0 nó ở M0 với hoành độ st0 ,tại thời điểm t nó ở M với hoành độ st .Vậy trong khoảng thời gian t  t0 t nó đi được quãng s st st0 đường s s t s t0 .Tỉ số là vậntốc trung bình củavật chuyển động trong     t tt0 s khoảng thời gian trên. Khi t  0 (hay t  t0 nếutỉ số t có giớihạn thì giớihạn đ ótagọi là vậntốctứcthờicủavật chuyển động tạithời điểm t0.Vậy theo định nghĩa s st st0 / v t0 lim lim s t0 .  t tt0  t0 tt0 Suy ra ý nghĩacơ họccủa đạo hàm: Đạo hàm của hoành độ st đốivớithời gian t chính là / vậntốctứcthờicủavật chuyển động thẳng tạithời điểm t0 : vt0 s t0 . 6.1.3. Liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục Định lý. Nếu hàm f có đạo hàm tại x0 thì nó liên tụctại x0. Thậtvậy, ta có f / lim x f x0 . t0 Do đó f / x f x0 ,với   0 khi x  0. Suy ra / f f x0 x x. Vậy f  0 khi x  0, nghĩalàf liên tụctại x0. Chú thích. Điềungượclại nói chung không đúng, nghĩalàmột hàm liên tụcchưachắc đãcó đạo hàm tại đó. liên tụctại x0. Ví dụ: Các hàm y |x| và y 3 x liên tụctại x0 0 mà không có đạo hàm tại đ ó.
21 6.2. Các qui tắc tính đạo hàm Định lý. ( Đạo hàm củatổng, tích thương) u Nếu hàm ux và vx đềucóđạo hàm đốivới x thì tổng u v, tích uv,thương v của chúng cũng có đạo hàm đốivới x và u v / u/ v/, uv / u/v uv/, u / u/vuv/ với v x 0.  v v2  / fx x fx f Chứng minh:Vìf x lim x lim x nên để tính đạo hàm ta nhận xét khi cho x x0 x0 số gia x thì số gia tương ứng của hàm f là f fx x  fx nên ta có fx x fx f f f. i/ Bây giờ cho f u v,tacó f u u v v  u v u v. f u v / / x x x  u v khi x  0. Từđó suy ra u v / u/ v/. ii/ Nếu f uv, thì ta có f u u v v  uv uv vu uv. f v u v / / x u x v x u x  uv vu khi x  0. Từđó suy ra uv / uv/ vu/. u iii/ Nếu f v , thì ta có f u u u vuuv .  v v  v vv v u v v  u  / / f x x vu uv khi x 0,nếu v x 0. x vv v  v2    Từđó suy ra u / vu/uv/ .  v v2 Hệ quả. / / CC 1/ Nếu u C  hằng thì đạo hàm u 0, vì u lim x 0. x0 2/ Cu / Cu/, 3/ u  v / u/  v/, / / / 4/ u1 un u1 un, 5/ C / Cv/ với v 0.  v v2 Định lý. ( Đạo hàm của hàm hợp) Xét hàm hợp y yux .Nếu hàm y yu có đạo hàm đốivới u và u ux có đạo hàm / / / đốivới x thì hàm hợp y yux cũng có đạo hàm đốivới x và yx yuux. Chứng minh. Cho x số gia x thì u có số gia u, ứng vớisố gia ấy y có số gia y.Nếu u 0 thì / y yuu u,với   0 khi u  0. Từđó y / u u / / u u x x y x  x  y u khi x  0.
22 Suy ra Đpcm. Định lý. ( Đạo hàm của hàm ngược) / 1 Giả sử hàm y fx có đạo hàm tại x0 sao cho f x0 0.Nếu hàm x f y là hàm ngược 1 của hàm y fx liên tụctại y0 thì f y cũng có đạo hàm tại y0 fx0 và 1 / 1 f y0 / . f x0 1 1 1 Chứng minh.Vì x f f y0 y  f y0 nên khi y 0, ta có x 0. Như vậy khi y 0, ta có x 1 y y . x 1 Cho y  0, vì hàm x f y liên tụctại y0 nên x  0, do đó y / x  f x0 0. 1 / x 1 1 Vậy, tồntại f y0 lim y / . y lim f x0 y0 x xy0 6.3. Bảng các đạo hàm cơ bản 1/ Nếu fx C thì f/x 0. 2/ Nếu fx x thì f/x 1. f x x x x Thậtvậy x x x 1  1 khi x  0. 3/ Nếu fx sinx thì f/x cosx. x x Thậtvậy f sinx x  sinx 2cosx 2 sin 2 sin x f sinx x sinx x 2 x x cosx 2 x  cosx khi x  0. 2 Tương tự ta có cos /x sinx. 4/ Nếu fx ex thì f/x ex. Thậtvậy f ex x  ex exex  1 . f ex xex x ex1 x x x e x  e khi x  0. / 1 5/ Nếu fx lnx x 0 thì f x x . x x x Thậtvậy f lnx x  lnx ln x ln1 x . x x f lnx x lnx ln1 x 1 ln1 x 1 x x x x x  x khi x  0.    x 6/ Nếu fx x x 0 thì f/x x1. Thậtvậy, ta có lnfx lnx. Suy ra / f x  hay f/ x fx x1. fx x   x  7/ Nếu f x tgx thì f/ x 1 1 tg2x.   cos2x sinx Vì tgx cosx nên / / tg / x sin x cosxsinxcos x cos2x sin2x 1 1 tg2x.   cos2x cos2x cos2x 8/ Nếu f x cotgx thì f/ x 1 1 cotg2x .   sin2x  Thậtvậy, ta có / / cotg / x cos / x cos x sinxcosxsin x sin2xcos2x 1 1 cotg    sin  sin2x sin2x sin2x  9/ Nếu fx arcsinx thì f/x 1 . 1x2   Đặt y arcsinx thì x siny xy , 2  y  2 .Tacó
23 / 1 1 1 1 y x / cosy . x y 1sin2y 1x2 10/ Nếu fx arccosx thì f/x 1 . 1x2 Đặt y arccosx thì x cosy xy ,0  y  .Tacó / 1 1 1 1 y x / siny . x y  1cos2y 1x2 11/ Nếu fx arctgx thì f/x 1 . 1 x2   Đặt y arctgx thì x tgy xy , 2 y 2 .Tacó y/x 1 1 1 1 . x/y tg /y 1 tg2y 1 x2 Tương tự ta có arccotg /x 1 . 1 x2 Bảng các công thức đáng nhớ Hàm sốĐạo hàm Hàm sốĐạo hàm C 0 tgx 1 1 tg2x cos2x x x1, cotgx 1 1 cotg2x    . sin2x  ex ex arcsinx 1 1x2 ax lna, ax arccosx 1 a 0, a 1 1x2 ln|x| 1 , x 0 arctgx 1 x 1 x2 1 , x 0, xlna 1 loga|x| arccotgx 2 a 0, a 1 1 x sinx cosx ln x x2 a 1 x2 a cosx sinx 6.4. Đạo hàm cấp cao Ta thấynếu hàm fx có đạo hàm tạimọi điểm thuộc khoảng nào đ ó thì đạo hàm f/x là một hàm mớicủa x xác định trên khoảng ấy. Đạo hàm f/x ấy đượcgọilàđạo hàm cấpmột. Đạo hàm của đạo hàm cấpmột f/x ,nếucó,đượcgọilàđạo hàm cấp hai của fx và đượckýhiệu là f//x : f//x f/x /. Bằng qui nạp, giả sửđạo hàm cấp n  1 được xác định và đượckýhiệulàfn1 x ,tađịnh nghĩa đạo hàm cấp n đượckýhiệulàfn x ,vàđược xác định bởi / fn x fn1 x . Các đạo hàm cấp hai trở lên đượcgọilàđạo hàm cấp cao. Ví dụ: y xn (n nguyên dương) y/ nxn1, y// nn  1 xn2, , yn n! trong đó n! 1.2 n.
24 Ví dụ: y sinx, /  y cosx sinx 2 , //   y cosx 2 sinx 2 2 , , n  y sinx n 2 . 1 1 Ví dụ: y x a x a , y/ 1 x a 2, y// 1 2 x a 3,, , n yn 1 2 n x a n 1 1 n! . x a n 1 Định lý. (Leibnitz) Giả sử u và v là hai hàm số có đạo hàm cấp n tại x0. Khi đó hàm số uv có đạo hàm cấp n tại x0 và n n k k nk uv Cnu x0 v x0 , k 0 ởđây Ck n! . n k!nk ! §7. Vi phân 7.1. Định nghĩa vi phân Cho hàm số f : a,b và x0  a,b .Lấy x khá bé sao cho x0 x  a,b .Nếusố gia f fx0 x  fx0 của hàm có dạng f A.x ox , trong đó A độclậpvới x (chỉ phụ thuộc vào x0 , ox là VCB cấp cao hơn x, thì ta nói fkhả vi tại x0 và biểuthức A.x đượcgọilàvi phân của hàm f tại x0 và đượckýhiệulàdf A.x. Chú thích. 1/ Biểuthứccủa vi phân A.x là tuyến tính đốivới x nên nói chung nó đơngiảnhơn f. 2/ Nếu A 0 thì vi phân df là VCB tương đương vớisố gia f : f~df. 2 Ví dụ: Tính vi phân của hàm fx x tại điểm x0. Ta có 2 2 2 f x0 x  x0 2x0x x . 2 Vì x là VCB VCB cấp cao hơn x, nên dfx0 2x0x. 7.2. Liên hệ giữa vi phân và đạo hàm Định lý. / i/ Nếu hàm f khả vi tại x0 thì nó có đạo hàm tại x0 và f x0 A. / ii/ Ngượclại, nếu f có đạo hàm tại x0 thì nó khả vi tại x0 và df f x0 x. Chứng minh. i/ Theo giả thiếttacó f A.x ox , suy ra f ox ox / x A x . Cho x  0 và chú ý x  0, ta được f x0 A. f / ii/ Theo giả thiếttacó x  f x0 khi x  0. Do đó f / x f x0 ,   0 khi x  0. Ta suy ra / / f f x0 x x f x0 x ox .
25 / Vì ox là VCB VCB cấp cao hơn x.Vậy f khả vi tại x0 và dfx0 f x0 x. Do đó công thức tính vi phân của f tại x là dfx f/x x. Chú thích.Nếu fx 1 thì f/x 1, do đó df dx 1.x x và ta có dfx f/x dx. Từđó suy ra / df f x dx . 7.3. Tính bấtbiếncủabiểuthức vi phân Bây giờ ta xét hàm hợp y fx , x t , trong đó t là biến độclập. Vậy y f t .Ta có / / / dy f t tdt f x t dt. Nhưng vì dx /t dt nên dy f/x dx. Vậydạng vi phân của hàm f không thay đổidùx là biến độclập hay là hàm khả vi theo một biến độclập khác. Người ta nói đólàtính bấtbiến củabiểuthức vi phân (cấpmột). 7.4. Các qui tắc tính vi phân Vì df f/x dx, ta có các qui tắc sau đây: du v du dv, duv udv vdu, dCu Cdu, C  là hằng số, d u vduudv , v 0.  v v2 Dựa vào bảng đạo hàm ta có bảng vi phân tương ứng 7.5. Vi phân cấp cao Xét hàm f khả vi tạimọi x thuộcmột khoảng nào đó. Vi phân df f/x dx đượcgọi là vi phân cấpmộttại x.Nólàmột hàm của x, trong đ ó dx không đổi. Vi phân của vi phân cấpmột được gọi là vi phân cấp hai và đượckýhiệulàd2f.Tacó d2f ddf df/x dx f//x dxdx f//x dx 2  f//x dx2. Vậy d2f f//x dx2. Vi phân của vi phân cấp hai đượcgọi là vi phân cấpbavàđượckýhiệulàd3f.Cũng như trên ta có d3f dd2f f///x dx 3  f///x dx3. Bằng qui nạp, giả sử vi phân cấp n  1 được xác định và ký hiệunólà dn1f,tađịnh nghĩavi phân cấp n đượckýhiệulà dnf,vàđược xác định bởi dnf ddn1f fn x dx n fn x dxn. Các vi phân cấp hai trở lên đượcgọi là vi phân cấp cao của f.Tacó n n d f f x dxn . 7.6. Các định lý về giá trị trung bình Giả sử hàm số f : D  . xác định trên D  ., x0  D. Ta nói rằng hàm số f đạtcựctiểu (cực đại) tại điểm x0  D,nếutồntạimột khoảng a,b  D sao cho x0  a,b và
26 fx fx0 fx  fx0 vớimọi x  a,b . x0 gọilàđiểmcựctiểu(cực đại) của hàm f nói chung gọilàđiểmcựctrị của hàm f . Định lý (Fermat) / Nếu hàm số f : a,b  . đạtcựctrị tại điểm x0  a,b .Nếu f khả vi tại x0 thì f x0 0. Chứng minh.Giả sử hàm f đạtcựctiểutại điểm x0  a,b . Khi đótồntạimột khoảng ,  a,b sao cho x0  , và có fx fx0 vớimọi x  , . fx fx0  x0 x ,tacó xx0 0. Do đó / fx fx0 f x0 lim xx0 0. xx0 fx fx0   x x0,tacó xx0  0. Do đó / fx fx0 f x0 lim xx0  0. xx0 / Suy ra f x0 0. Định lý (Rolle) Giả sử hàm số f : a,b  . thỏa i) Liên tục trên a,b , ii) Khả vi trong a,b , iii) fa fb . Khi đótồntạiítnhấtmột điểm c  a,b sao cho f /c 0. Chứng minh.Vìf liên tục trên đoạn a,b nên hàm f đạt giá trị lớnnhất M và giá trị nhỏ nhất m trên đoạnnầy.  Nếu m M thì fx m M vớimọi x  a,b .Dođó f /x 0vớimọi x  a,b .Có thể lấy c là một điểmbấtkỳ của a,b .  Nếu m M thì fa m hoặc fa M.Giả sử fa fb m.Theo tính chất hàm liên tục trên một đoạn, tồntạiítnhấtmột điểm c  a,b sao cho fc m ( chú ý c a và c b .Theo định lý Fermat, ta có f /c 0. Định lý (Lagrange) Giả sử hàm số f : a,b  . thỏa i) Liên tục trên a,b , ii) Khả vi trong a,b , Khi đótồntạiítnhấtmột điểm c  a,b sao cho fb  fa f /c b  a . Chứng minh.Taápdụng định lý Rolle. Xét hàm số x f x f a fb fa x a , x a,b .      ba     Dễ thấyrằng thỏa mãn các giả thiếtcủa định lý Rolle:  liên tục trên a,b , khả vi trong a,b , / x f / x fb fa ,      ba  a b 0. Do đótồntạiítnhấtmột điểm c a,b sao cho / c f / c fb fa 0. Suy ra công      ba thứccầnchứng minh.
27 Chú thích. Khi fa fb ta nhận được định lý Rolle từđịnh lý Lagrange. Đặt a x0, b x0 h. Khi đó c x0 h, trong đó0  1 và công thức Lagrange đượcviếtdưới / dạng fx0 h  fx0 hf x0 h . Định lý Lagrange còn đượcgọilàđịnh lý về các số gia hữuhạn. Hệ quả. Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn a,b và khả vi trong a,b . Khi đó i) Nếu f /x 0vớimọi x  a,b thì f là một hàm hằng trên a,b . ii) Nếu f /x 0(f /x 0) vớimọi x  a,b , thì f là một hàm tăng( giảm) trên a,b . Chứng minh.i)Giả sử a  x x/  b. Theo định lý Lagrange, tồntạiítnhấtmột điểm c  x,x/ sao cho fx  fx/ f/c x  x/ 0vìf /c 0. Do đó fx fx/ . ii) Tương tự. Định lý (Cauchy) Giả sử hàm số f,g : a,b  . thỏa i) f,g liên tục trên a,b , ii) f,g khả vi trong a,b , iii) g/x 0vớimọi x  a,b . / Khi đótồntạiítnhấtmột điểm c  a,b sao cho fb fa f c . gb ga g/c Chú thích. Trong định lý trên, nếutalấy gx x thì ta được định lý Lagrange. Chứng minh.Trướchếttađể ýrằng hàm số g thỏa mãn các giả thiếtcủa định lý Lagrange. Do đótồntạiítnhấtmột điểm   a,b sao cho gb  gb g/ b  a .Vìg/ 0 nên từđó ta suy ra gb  gb 0. Xét hàm số x f x f a fb fa g x g a , x a,b .      gb ga       Dễ thấyrằng hàm số thỏa mãn các giả thiếtcủa định lý Rolle:  liên tục trên đoạn a,b , khả vi trong khoảng a,b , / x f/ x fb fa g/ x ,      gb ga   a b 0. Do đótồntạiítnhấtmột điểm c a,b sao cho / c f/ c fb fa g/ c 0. Suy ra      gb ga  Đpcm. §8. Mộtsốứng dụng của đạo hàn và vi phân 8.1. Qui tắc L’Hopital Các qui tắc L’Hopital mà ta sẽ xét trong mụcnầylàmột công cụ tiệndụng giúp ta khử các 0  dạng vô định 0 và  . Định lý. Giả sử f,g : x0,b  . thỏakhả vi trong x0,b và i) lim fx lim gx 0, xx0 xx0 / ii) g x 0 x  x0,b , f/x iii) lim / L L  . hay L  , xx0 g x / Khi đó lim fx L lim f x . gx / xx0 xx0 g x Chứng minh. Đặt fx0 gx0 0. Vớimỗi x  x0,b , các hàm số f và g liên tục trên
28 / x0,x và khả vi trong x0,x . Ngoài ra từ giả thiết ii/ trong định lý suy ra g t 0vớimọi t  x0,x với x đủ gần x0. Theo định lý Cauchy tồntạiítnhấtmột điểm c  x0,x sao cho / fx fb fx0 f c . gx gb gx0 g/c Khi x  x0 x x0 , thì c  x0.Vậy / lim fx lim f c L. gx / xx0 cx0 g c Chú thích. i/ Trường hợp x  x0 hay x  x0 định lý vẫn đúng. ii/ Định lý vẫn đúng trong trường hợp x0 .Thậtvậygiả sử f,g : a,   . thỏakhả vi trong x0,b và lim fx lim gx 0 và thoả ii) với x0 . x  x  1 Đặt t x . Khi đó x0   t  0. Đặt 1 Ft f t fx , 1 Gt g t gx , ta có lim Ft lim Gt 0, t 0 t 0 F/ t f/ 1 1 ,   t t2 G/ t g/ 1 1 .   t t2 Do đó / f/ 1 / lim F t lim t lim f x L. G/t g/ 1 g/x t 0 t 0 t x  Theo định lý ta suy ra lim Ft L.Dođó lim fx L. Gt gx t 0 x  Định lý. Giả sử các hàm f,g : x0,b  . thỏakhả vi trong x0,b và i) lim fx , lim gx , xx0 xx0 f/x ii) lim / L L  . hay L  , xx0 g x Khi đó / lim fx L lim f x . gx / xx0 xx0 g x Ta công nhận định lý nầy. Chú thích. i/ Định lý vẫn đúng cho các trường hợp x  x0 ,x  x0 hay x  . ii/ Có thể áp dụng qui tắc L’Hopital nhiềulần. Ví dụ. lim x3 lim 3x2 lim 6x 6. xsinx 1cosx sinx x0 x0 x0 lnx  Ví dụ. lim x ,  0. Giớihạnnầycódạng  . x  lnx 1/x 1 1 lim x lim 1  lim x 0. x  x  x x  Vậy khi x  ,lnx là một VCL bậcthấphơnmọi x, 0 . Ví dụ.Vớimọisố nguyên n 1tacó ex ex lim xn lim n1 . x  x  nx Áp dụng qui tắc L’Hopital n ta được
29 ex ex lim xn lim n! 0. x  x  Vậy khi x  , ex là một VCL bậc cao hơnmọilũythừa nguyên dương của x. Áp dụng qui tắc L’Hopital để khử các dạng vô định khác.  lnx Ví dụ. lim x lnx,  0 . Đây là giớihạnnầycódạng 0  .Taviếtlại A lim 1 x0 x0 x  và bây giờ có dạng  . Dùng qui tắc L’Hopital ta có 1/x x A lim lim   0. x0  x0 x 1 Ví dụ. Tính A lim x 1 .Giớihạnnầycódạng .Tabiến đổinhư sau x1  lnx  x1 A lim xlnxx 1 và bây giờ có dạng 0 . Dùng qui tắc L’Hopital, ta được x1 lnx 0 x1 lnx 11 lnx 1/x 1 A lim x1 lim 1 lim 1 1 2 . lnx x lnx 1 x x x1 x1 x1 x2 Ví dụ. Tính A lim xx.Giớihạnnầycódạng 00.Lấy lôgarit hai vế,tađược x0 lnA ln lim xx lim lnxx x0 x0 lnx lim xlnx lim 1/x x0 x0 lim 1/x lim x 0. 1/x2 x0 x0 Vậy lim xx A 1. x0 Ví dụ. Tính A lim cotgx 1/lnx.Giớihạnnầycódạng 0.Lấy lôgarit hai vế,tađược x0 lnA ln lim cotgx 1/lnx lim lncotgx 1/lnx x0 x0 lncotgx lim  lnx . x0  Đólàgiớihạncódạng  . Dùng qui tắc L’Hopital, ta được 1 cotgx. sin2x x lnA lim 1/x lim sinxcosx 1. x0 x0 Vậy 1 1 A e e . sinx 1/x2  Ví dụ. Tính A lim  x .Giớihạnnầycódạng 1 .Lấy lôgarit hai vế,tađược x0 sinx 1/x2 lnA ln lim  x x0 sinx lim ln sinx 1/x2 lim ln x .  x x2 x0 x0 0 Đólàgiớihạncódạng 0 . Dùng qui tắc L’Hopital, ta được cosx  1 lnA lim lnsinx lnx lim sinx x x2 2x x0 x0 1 lim xcosxsinx 2 x2 sinx x0 1 lim cosxxsinxcosx 2 2xsinx x2 cosx x0
30 1 lim sinx 2 2sinx xcosx x0 1 lim cosx 2 2cosx cosxxsinx x0 1 1 1 2 3 6 Vậy A e1/6 1 . 6 e 8.2. Tính gần đúng Cho hàm số f khả vi tại x0.với x bé, ta có / fx0 x  fx0 f x0 x ox Nếubỏ phần VCB cấp cao ox ta có công thứcgần đúng / fx0 x fx0 f x0 x với x bé. Ví dụ. Tính gần đúng 10 1000 . Ta có 10 1000 10 1024  24 10 210  24 10 24 3 10 2 1 2 10 1 .   210  27 3 Chọn hàm f x 2 10 x , x0 1, x .    27 Ta có f/x 1 1 , f/1 1 . 5 10 x9 5 Vậy 10 1000 2.1 1 . 3 1,9955.  5 27
31 BÀI TẬPCHƯƠNG I 1. Tìm miền xác định của các hàm sau đây 1/ y x 1 2/ y 3 x 1 3/ y 1 4x2 4/ y x2  2 5/ y x  x2 6/ y x 1 2 x 7/ y x  x3 8/ y lg 2 x 2x 9/ y lg x23x 2 x 1 10/ y arccos 2x x 1 x 11/ y arcsin lg 10 2. Tìm miền xác định và miền giá trị của hàm y sin2x. 3. Cho hàm f : a,a  Hàm f đượcgọilàhàm chẵn nếu fx fx vớimọi x  a,a . Hàm f đượcgọilàhàm lẻ nếu fx fx vớimọi x  a,a . Trong các hàm sau đây, hàm nào chẵn, hàm nào lẻ. 1 x x 1/ fx 2 a a 1 x x 2/ fx 2 a  a 3/ fx 1 x x2  1  x x2 4/ f x lg 1 x  1x 5/ fx lgx 1 x2 4. Cho hàm f : D  Nếutồntạisố a 0 sao cho fx a fx vớimọi x  D, thì f đượcgọilàhàm tuần hoàn. Số dương T bé nhất thoảđẳng thức trên đượcgọilàchu kỳ của f. Trong các hàm sau đây, hàm nào là hàm tuần hoàn? Hãy tìm chu kỳ T củamỗi hàm tuần hoàn đó. 1/ fx 10sin3x 2/ fx asinx bcosx 3/ fx tgx 4/ fx sin2x 5/ fx sin x . 5. Tìm hàm ngượccủa các hàm sau đây. 1/ y 2x 3 2/ y x2  1với x  0 3/ y 3 1  x3
32 x 4/ y lg 2 . 6. Đặt Ck n! với n ,0 k n.Chứng minh n k!nk !    0 n 1/ Cn Cn 1, n  , k nk 2/ Cn Cn , n  ,0  k  n k k1 k 3/ Cn Cn Cn 1, n  ,1  k  n. k Suy ra rằng Cn  , n  ,0  k  n. 7. Chứng minh rằng vớimọi n  , ta luôn có 1  n 1 n  1. (Bất đẳng thức Bernuoully). 8. Chứng minh rằng 1 1/ Với p 0tacólim np 0 n 2/ Với p 0tacólim n p 1 n 3/ Với p 0tacólim n n 1 n n 4/ Với p 0và  . ta có lim 1 p n 0 n  5/ Với |x| 1tacólim xn 0. n 9. Tìm các giớihạn sau đây 1/ lim 4x32x2 x 3x2 2x x0 2/ lim x25x 6 x212x 20 x2 3/ lim 2x 1 3 x 2 2 x4   3 4/ lim x 1 . x 1 x1 10. Tìm các giớihạn sau đây 1/ lim x2 x1 2x 5 x 3x22x1 2/ lim 3 x x 4 2 3/ lim x 3 x  3 x3 1 2 4/ lim x 1 x 1 x  2 5/ lim x 1 . x 1 x 11. Tìm các giớihạn sau đây 1/ lim 1  3 1x 1x3 x1 2/ lim x2 1  x2  1 . x 12. Áp dụng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau 1/ fx cotgx  x 2/ fx 3 x2 3/ fx ex2
33 4/ f x 1 .  ex 1 13. Tìm đạo hàm của các hàm số sau 1/ y x3arctgx arcsinx 2/ y x x 3/ y lntg 2 4/ y ln x x2 1 5/ y ln 2sinx 1 2sinx  1 2 6/ y arctgsin 2x 1 x4 7/ y exarctgex  ln 1 e2x 1 2 8/ y 2 tg  x ln cos x . 14. Tìm đạo hàm của các hàm số sau 1/ y xx2 , x 0, 2/ y sinx tgx. 15. Viếtphương trình củatiếp tuyến và pháp tuyếnvới đường cong y x3  3x2  x 5tại điểm 3,2 . 3 16. Viếtphương trình củatiếp tuyến và pháp tuyếnvới đường cong y 8a tại điểmcó 4a2 x2 hoành độ x 2a. 17. Tìm vi phân của các hàm số sau 1/ y a2  x2 5 2/ y x2 1 3/ y ex3 4/ y xex 5/ y ln x x2 a 1 6/ y arccoss |x| sinx 7/ y x . 18. Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau 1/ y lnx 2/ y 2x 3/ y sin2x 4/ y cos3x 5/ y sin2x 6/ y sin3x 7/ y sinaxsinbx 8/ y sin4x cos4x 9/ y xcosax 10/ y ln a bx abx 11/ y xex. 19. Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau 1/ Cho y x2 sin2x. Tìm y100 2/ Cho y x2e2x. Tìm y20 3/ Cho y x2 . Tìm y8 . 1x 20. Chứng minh các bất đẳng thức sau 1/ |sinx  siny|  |x  y|, x,y  . 2/ |arctgx  arctgy|  |x  y|, x,y  .
34 ab a ab 3/ a  ln b  b với0 b a. 21. Tìm giớihạncủa các hàm số sau 1/ lim x21 lnx exe x1 2/ lim xsinx x3 x0 3/ lim xex/2 x ex x  4/ lim x2 lnx x 0 5/ lim 1 1 x  ex1 x0 6/ lim xxx lnxx 1 x1 1 100 7/ lim x e x2 x0 tg x 8/ lim 2  x 2 x1 9/ lim tgx tg2x   x 4 10/ lim tg x 1/x  2x 1 x  1 x 1/xe 11/ lim x x0 arcsinx 1/x2 12/ lim  x x0 arctgx 1/x2 13/ lim  x x0 14/ lim sinx x x 0 15/ lim tgx 2cosx x/2 16/ lim 1 x lnx. x 0 22. Tính gần đúng 1/ 3 28 2/ Diện tích hình tròn, bán kính R 3,02m.
35 CHƯƠNG 2. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM HAI BIẾN §1. Các khái niệm 1.1. Miềnphẳng Trong mặtphẳng .2 .  . ta chọnmộthệ trụctọa độ Descertes vuông góc Oxy.Trục ngang ox đượcgọilàtrục hoành. Trụcthẳng đứng OyOx đượcgọilàtrục tung. Mỗi điểm M  .2 là mộtcặpthứ tự hai số thực M a,b , a,b  Tagọitậphợpphẳng là tậphợp 2 các điểm cùng nằm trong mộtmặtphẳng. Cho Aa1,a2 và Bb1,b2 thuộc . . Khi đó khoảng cách giữa A và B,kýhiệulàAB cho bởi 2 2 AB b1  a1 b2  a2 . Hình 22 Hình 23 Ta gọi   lân cận của điểm M0 trong mặtphẳng là tậphợptấtcả các điểm M củamặtphẳng sao cho khoảng cách MM0 .Nói cách khác,   lân cậncủa điểm M0 là hình tròn ( dĩa tròn) mở tâm M0 bán kính .Tacũng ký hiệu 2 BM0 M  . : MM0  để chỉ dĩa tròn mở tâm M0 bán kính . Điểm M0   đượcgọilàđiểm trong của  nếutồntạimột hình tròn mở BM0 tâm M0 bán kính  sao cho BM0  . Tậphợp  đượcgọilàmở nếumọi điểmcủanóđềulàđiểm trong. 2 Điểm M0  . đượcgọilàđiểm biên của  nếumọi lân cậncủa M0 đềuchứa các điểmcủa  đồng thờichứa các điểm không thuộc . 2 nghĩalà,BM0    và BM0  . \ ,  0. Điểm biên của  có thể thuộc  và cũng có thể không thuộc .Tậphợptấtcả các điểm biên của  đượcgọilàbiên của .Tậphợp  đượcgọilàđóng nếunóchứamọi điểm biên của nó.
36 Hình 24 Hình 25 1.2. Định nghĩa hàm hai biến Xét tích .2 .  . và tậphợp G  .2.Tagọi ánh xạ f : G  . là một hàm hai biến xác định trên G. G đượcgọilàmiền xác định của hàm f.Vậymột hàm hai biến f xác định trên G là một phép tương ứng sao cho mỗicặpthứ tự các số thực x,y  G ta có mộtsố thực xác định duy nhấtmàtakýhiệulàfx,y .Taviết f : x,y z fx,y , hay gọnhơnlà z fx,y , trong đó x,y đượcgọi là các biến độclập, z đượcgọi là các biếnphụ thuộc. Để chỉ những hàm khác nhau ta dùng các chữ khác nhau z fx,y , z gx,y , z x,y , Ta qui ướcrằng nếu hàm được xác định bởimộtbiểuthức nào đóvànếu không nói gì thêm thì miền xác định là tậphợptấtcả các điểmtương ứng vớimóbiểuthức đã cho có nghĩa. 1.3. Biểudiễn hình học Hình 26 Giả sử cho hàm hai biến f : x,y z fx,y , x,y  G.Nhưng mỗicặp x,y đều đượcbiểudiễnbởimột điểm Mx,y trong mặtphẳng Oxy, nên ta có thể xem hàm hai biến fx,y là hàm của điểm Mx,y : f : M z fM có thể biểudiễn hình họcmột hàm hai biếnnhư sau: Vẽ hệ trụctọa độ Descartes vuông góc Oxyz.Vớimỗi điểm x,y  G ứng vớimột điểm P trong không gian vớitọa độ là Px,y,f x,y .Tậphợp Px,y,fx,y : x,y  G đượcgọilàlàđồ thị của hàm z f x,y xác định trên G. Đồthị của hàm hai biến nói chung là mộtmặt cong trong không gian ba chiều. Ví dụ: Hàm z x2 y2 có đồthị là mộtmặt paraboloid tròn xoay. Miền xác định là toàn bộ mặtphẳng.
37 Ví dụ: Hàm z 1  x2  y2 có đồ thị là nửamặtcầu đơnvị, tâm tạigốctọa độ,nằmvề phía z 0.Miền xác định là tậpnhững điểm x,y sao cho 1  x2  y2 0 hay x2 y2  1.Đólà hình tròn đơnvịđóng tâm O. Ví dụ: Hàm z lnx y chỉ xác định với các giá trị x,y sao cho x y 0 hay y x. Đólà nửamặtphẳng nằm phía trên đường phân giác thứ hai. Hình 27 2  Định nghĩa: Dãy điểm xn,yn  . đượcgọilà hộitụ đến x0,y0 ,nếu 2 2 lim xn,yn  x0,y0  lim xn  x0 yn  y0 0 n n §2. Giớihạnvàsự liên tụccủa hàm hai biến 2.1. Định nghĩa 2 2 Cho hàm hai biến f : G  .  . và x0,y0  . .Ta nói rằng số thực L là giớihạn của hàm số fx,y khi x,y tiếnvề x0,y0 ,nếu  0, 0: x,y  G : 2 2 0 x,y  x0,y0  x  x0 y  y0  |fx,y  L| . Khi đótakýviết lim fx,y L hay lim fx,y L. x,y x0,y0 x  x0 y  y0  Chú ý rằng trong định nghĩagiớihạncủa hàm nhiềubiếncũng như mộtbiếnlàđiểm x0,y0 không nhất thiết thuộcmiền xác định G của f. Điểm x0,y0 đượcgiả sử là điểmtụ của G, nghĩalà,tồntạimột dãy xn,yn  G và xn,yn x0,y0 vớimọi n, sao cho xn,yn hội tụ về x0,y0 .  Định nghĩa: 2 Cho f : G  .  . và x0,y0  G. i) Ta nói rằng hàm f liên tụctại điểm x0,y0 ,nếu  0, 0: x,y  G : x,y  x0,y0   |fx,y  fx0,y0 | . ii) Ta nói rằng hàm f liên tục trên G,nếu f liên tụctạimọi điểm thuộc G.
38 Ví dụ: Xét hàm fx,y x,y  x2 y2 .(chuẩncủa x,y ) 2 Với x0,y0  . cho trước. Từ bất đẳng thức tam giác ta có 2 2 2 2 |fx,y  fx0,y0 | x y  x0 y0 2 2 2  x  x0 y  y0 vớimọi x,y  . . Do đóvớimỗi  0, chọn  , thì vớimọi x,y  .2 : 2 2 x  x0 y  y0  |fx,y  fx0,y0 | , 2 nghĩalàf liên tụctại điểm x0,y0 và do đó, liên tục trên . . Ví dụ: Xét các phép chiếu pr1x,y x, pr2x,y y. Từ các bất đẳng thức 2 2 |x  x0 |  x  x0 y  y0 , 2 2 |y  y0 |  x  x0 y  y0 , ta có ứng với  0, chọn  , thì vớimọi x,y  .2 : 2 2 x  x0 y  y0  |pr1x,y  pr1x0,y0 | , và |pr2x,y  pr2x0,y0 | . 2 Vậy pr1 và pr2 là các hàm liên tục trên . .  Định lý 2 Cho f : G  .  . và x0,y0  G là điểmtụ của G. Khi đó, f liên tụctại x0,y0 Vớimọi dãy xn,yn  trong G hộitụ về x0,y0 , ta có dãy tương ứng fxn,yn  luôn luôn hộitụ về fx0,y0 . Chứng minh. Chiều thuận: Do f liên tụctại x0,y0 , nên với  0, ta chọn được  0 sao cho vớimọi x,y  G, x,y  x0,y0   |fx,y  fx0,y0 | . Mặt khác, Vớimọi dãy xn,yn  trong G hộitụ về x0,y0 ,tacón0  sao cho vớimọi n n0, thì xn,yn  x0,y0  ,vàdođó |fxn,yn  fx0,y0 | . Tóm lại,  0,n0  : n  ,n n0 |fxn,yn  fx0,y0 | , nghĩalàfxn,yn  fx0,y0 khi n  . Chiều đảo: Dùng phảnchứng, giả sử f không liên tụctại x0,y0 , nghĩalà 0 0:  0,x,y  G : x,y  x0,y0   và |fx,y  fx0,y0 | 0.
39 1 Chọn  n ,n  , ta có dãy xn,yn   G sao cho vớimọi n  , 1 xn,yn  x0,y0  n và |fxn,yn  fx0,y0 | 0.Rõ ràng xn,yn  x0,y0 nhưng fxn,yn  fx0,y0 khi n  .Vôlý. Vớimộtchứng minh hoàn toàn tương tự ta có  Định lý 2 2 Cho f : G  .  . và x0,y0  . là điểmtụ của G. Khi đó, lim fx,y L Vớimọi dãy xn,yn  trong G\x0,y0  hộitụ về x0,y0 , ta có dãy x,y x0,y0 fxn,yn  hộitụ về L. Từ các định lý trên ta nhận đượcsự liên hệ giữa khái niệm liên tụcvàgiớihạncủa hàm hai biếnnhư sau:  Định lý 2 2 Cho f : G  .  . và x0,y0  . là điểmtụ của G. Khi đó, f liên tụctại x0,y0 lim fx,y fx0,y0 . x,y x0,y0  Định lý 2 2 Cho f,g : G  .  . và x0,y0  . là điểmtụ của G.Giả sử lim fx,y a, lim fx,y b.Khi đó, x,y x0,y0 x,y x0,y0 i) lim fx,y gx,y a b, x,y x0,y0 ii) lim fx,y gx,y ab, x,y x0,y0 iii) lim kfx,y ka, k  ., x,y x0,y0 iv) lim fx,y a ,nếu b 0. gx,y b x,y x0,y0 2.2. Định lý 2 Cho f,g : G  .  . và x0,y0  G.Tacónếu f liên tụctại x0,y0 ( trên G), thì, i) f g liên tụctại x0,y0 ( trên G), ii) fg liên tụctại x0,y0 ( trên G), iii) kf ( k là hằng số), liên tụctại x0,y0 ( trên G), f iv) Nếu gx0,y0 0(gx,y 0vớimọi x,y  G), thì g liên tụctại x0,y0 ( trên G). Ta phát biểu mà không chứng minh mộtsố tính chấtcủa hàm liên tục trên mộtsố miền đặc biệt. 2 Tập G  . đượcgọilàbị chặn nếutồntạimột hình tròn(dĩa tròn) BM sao cho G  BM.Điều nầycũng tương vớitồntạimộthằng số dương M sao cho: x,y  x2 y2  M vớimọi x,y  G. Định lý Cho f : G  .2  . là một hàm liên tục trên tập đ óng và bị chận G. Khi đó i) f là một hàm bị chận trên G, nghĩalà: M 0:|fx,y |  M x,y  G. ii) f đạt được giá trị lớnnhấtvànhỏ nhất trên G,tứclà,tồntạiítnhất hai điểm x1,y1 ,x2,y2  G sao cho
40 fx1,y1  fx,y  fx2,y2 x,y  G.  Định nghĩa: Hàm f : G  .2  . đượcgọilàliên tục đều trên G,nếu  0, 0: x,y ,x/,y/  G : x,y  x/,y/   |fx,y  fx/,y/ | . Định lý Nếu f : G  .2  . là một hàm liên tục trên tập đ óng và bị chận G, thì f liên tục đều trên G. §3. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần 3.1. Đạo hàm riêng cấpmột, cấp cao, đạo hàm của hàm hợp Định nghĩa 2 Cho tậpmở G  . và hàm f : G  Cho x0,y0  G,vàlấy x,y  . khá bé sao cho x0 x,y0 , x0,y0 y  G. Khi đógiớihạn(nếucó) fx0 x,y0 fx0,y0 lim x x0 đạo hàm riêng theo biếnx( biếnthứ nhất)của hàm số f tại x0,y0 ,kýhiệu f / x ,y hay D f x ,y hay D f x ,y hay fx x ,y hay gọnhơn f x ,y . x  0 0 1  0 0 x  0 0  0 0 x 0 0 Tương tự giớihạn(nếucó) fx0,y0 y fx0,y0 lim y y0 đạo hàm riêng theo biếny( biếnthứ hai)của hàm số f tại x0,y0 ,kýhiệu f / x ,y hay D f x ,y hay D f x ,y hay fy x ,y hay gọnhơn f x ,y . y  0 0 2  0 0 y  0 0  0 0 y 0 0 Ví dụ: Cho hàm f x,y x3y. Tính f , f .  x y 3 3 f lim fx x,y fx,y lim x x yx y lim y 3x2 3x x x 2 3x2y. x x x    x0 x0 x0 3 3 f lim fx,y y fx,y lim x y0 y x y x3. y y y y0 y0 3.2. Vi phân riêng, vi phân toàn phần Định nghĩa (Vi phân riêng).Tagọi vi phân riêng của hàm z fx,y đốivớixtại điểm x0,y0 ,kýhiệulàdxfx0,y0 được xác định bởi d f x ,y f x ,y x f x ,y dx. x  0 0 x  0 0  x  0 0 Tương tự,tagọi vi phân riêng của hàm z fx,y đốivớiytại điểm x0,y0 ,kýhiệulà dyfx0,y0 được xác định bởi d f x ,y f x ,y y f x ,y dy. y  0 0 y  0 0  y  0 0 2 Định nghĩa (Vi phân toàn phần). Cho tậpmở G  . và hàm f : G  Cho x0,y0  G, và lấy x,y  . khá bé sao cho x0 x,y0 y  G.Nếusố gia toàn phần f fx0 x,y0 y  fx0,y0
41 có thể biểudiễn đượcdướidạng f Ax By x y, trong đ ó A,B là những số thực độclậpvới x,y (phụ thuộc vào x0,y0 , còn   0,   0, khi x,y  0,0 , thì ta nói rằng hàm fkhả vi tại x0,y0 , biểuthức Ax By đượcgọilàvi phân toàn phầncủa hàm z fx,y tại điểm x0,y0 ,ký hiệulàdfx0,y0 Ax By. Đẳng thức trên còn đượcviếtdướidạng 2 2 fx0 x,y0 y  fx0,y0 Ax By o ,với  x y , trong đó o là một vô cùng bé bậc cao hơn . Nếu A và B không đồnthờibằng không thì khi x 2 y 2  0, thì f~df. Nếu hàm f khả vi tạimọi điểm thuộc G thì ta nói rằng nó khả vi trên G. Chú thích.Nếu hàm f khả vi tại điểm x0,y0 , thì f liên tụctại x0,y0 . Thậtvậytừđịnh nghĩatacó f Ax By o  0 khi  x 2 y 2  0. Định lý.Nếu hàm f khả vi tại điểm x0,y0 , thì tại điểm ấy hàm f có các đạo hàm riêng f x ,y , f x ,y và ta có x  0 0 y  0 0 df x ,y f x ,y x f x ,y y.  0 0 x  0 0  y  0 0  Chứng minh. Từ giả thiếttacó 2 2 fx0 x,y0 y  fx0,y0 Ax By ox y . Cho y 0tađược fx0 x,y0  fx0,y0 Ax ox . Do đó fx0 x,y0 fx0,y0 ox lim x lim A x A. x0 x0 Vậytồntại đạo hàm riêng f x ,y ,vàcó f x ,y A. x  0 0 x  0 0 Tương tự ta cũng có f x ,y ,vàcó f x ,y B. y  0 0 y  0 0 Vì vậy df x ,y A x B y f x ,y x f x ,y y.  0 0   x  0 0  y  0 0  Định lý.Nếu hàm f có các đạo hàm riêng f , f trong mộtlậncậncủa x ,y và các đạo x y  0 0 hàm riêng f , f liên tụctại điểm x ,y , thì hàm f khả vi tại điểm x ,y . x y  0 0  0 0 Chứng minh. Ta có f fx0 x,y0 y  fx0,y0 y fx0,y0 y  fx0,y0 Áp dụng công thức Lagrange ta được
42 f x x,y y f x ,y y f x x,y y x,  0  0    0 0  x  0 1 0   và f x ,y y f x ,y f x ,y y y,  0 0    0 0 y  0 0 2  trong đó0 1, 2 1. Vì các đạo hàm riêng f , f liên tụctại điểm x ,y , nên x y  0 0 f x x,y y f x ,y , x  0 1 0  x  0 0  f x ,y y f x ,y , y  0 0 2 y  0 0  trong đó   0,   0, khi x  0, y  0. Vậy f f x ,y x f x ,y y x y,  x  0 0  y  0 0    tứclàf khả vi tại điểm x0,y0 . Đạo hàm của hàm hợp Cho z fu,v , trong đó u,v là hai hàm theo hai biến độclập x,y : u ux,y ,v vx,y . Khi đ ó ta nói rằng z là một hàm hợpcủa x,y thông qua hai biến trung gian u,v : z fux,y ,vx,y . Định lý. Nếu hàm f khả vi và nếu u,v có các đạo hàn riêng u , u , v , v liên tục thì tồntại các đạo x y x y hàm riêng z , z và ta có x y z f u f v , x u x v x z f u f v . y u y v y Chứng minh. Nếu cho x mộtsố gia x và giữ y không đổi thì u,v,z có số gia tương ứng là các số gia riêng xu,xv,xz. Khi đó, z z u z v u v, x u x v x x x trong đó   0,   0, khi xu  0, xv  0. Do đó xz z xu z xv xu xv , x u x v x  x  x lim xu u lim xv v . Nhưng x x x x Từđó qua giớihạn khi x  0tađược x0 x0 z f u f v . x u x v x Tương tự ta có đẳng thứcthứ hai trong định lý. Đạo hàm riêng cấp cao
43 Cho hàm hai biến z f x,y . Các đạo hàm riêng z , z thường đượcgọi là các đạo hàm riêng  x y cấpmột. Chúng lại là các hàm theo hai biến x,y và có thể có các đạo hàm riêng. Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng đạo hàm cấpmột đượcgọi là các đạo hàm cấp hai của z. Ta có 4 đạo hàm riêng cấp hai: 2  f  f //  f 2 x,y , x x x2 x 2  f  f // fxy x,y ,(lần đầulấy đạo hàm riêng theo biến x,lầnthứ hai lấy đạo y  x xy  hàm riêng theo biến y). 2  f  f // fyx x,y ,(lần đầulấy đạo hàm riêng theo biến y,lầnthứ hai lấy đạo x  y yx  hàm riêng theo biến x). 2  f  f //  f 2 x,y , y y y2 y Ngườitacũng định nghĩa đạo hàm riêng cấp n 3một cách tương tự. Mộtvấn đề đặtralà:kếtquả việclấy đạo hàm riêng có phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm riêng theo từng biến không? Ta có kếtquả sau đây: Định lý (Schwartz) Cho hàm hai biến fx,y có các đạo hàn riêng đếncấp hai vá chúng liên tục trong tậpmở U. Khi đó 2 2  f  f . xy yx Chúng minh. Cho x,y  U,vàlấy x,y  . khá bé sao cho x x,y y  U. Xét biểuthức Hx,y fx x,y y  fx x,y  fx,y y fx,y . Đặt gx fx,y y  fx,y . Theo định lý giá trị trung bình ta có c x x,0  1, sao cho gx x  gx g/c x. Ta có g/ c f c,y y f c,y .  x    x  / Mặt khác g c là một hàm theo y,vậytồntại c1 y 1y,0 1 1, sao cho g/ c  f c,c y.  y  x  1  Chú ý rằng Hx,y gx x  gx ,tacó 2 H x, y g/ c x  f c,c y x  f c,c y x.     y  x  1   xy  1   2 Cho x, y 0,0 ,tacó c,c x,y , do tính liên tụccủa  f ,tacó      1   xy 2 lim Hx,y  f x,y . xy xy  x,y 0,0 Tương tự, xét g1y fx x,y  fx,y ,tacó
44 2 H x, y g y y g y g/ c y  f c ,c x y,   1   1 1 2  yx  3 2   với c2 y 2y, c3 x 3x,0 2, 3 1. Ta suy ra 2 lim Hx,y  f x,y . xy yx  x,y 0,0 Tóm lại 2 2  f x,y  f x,y lim Hx,y . xy  yx  xy x,y 0,0 Ví dụ: Cho hàm fx,y x2y  xy4.Tacó f 2xy y4, f x2 4xy3, x  y  2  f   f  2xy  y4 2y, x2 x x x 2  f  f  2xy y4 2x 4y3, xy y  x y    2  f  f  x2 4xy3 2x 4y3, yx x  y x    2  f   f  x2  4xy3 12xy2. y2 y y y 2 2 Ta thấyrằng  f  f . xy yx 3.3. Ứng dụng vi phân toàn phần để tính gần đúng Do định nghĩa, nếu hàm f khả vi tại điểm x0,y0 ,tứclà f x x,y y f x ,y f x ,y x f x ,y y o x 2 y 2 .  0  0   0 0 x  0 0  y  0 0    Khi x,y  0,0 , thì ox 2 y 2 là vô cùng bé bậc cao hơn x 2 y 2 , nghĩalà ox 2 y 2 lim 0, 2 2 x,y 0,0 x y do đó f x x,y y f x ,y f x ,y x f x ,y y  0  0   0 0 x  0 0  y  0 0  Ví dụ. Tính gần đúng A 3,012 2 3,997 2 . 2 2 Xét hàm fx,y x y .Chọn x0,y0 3,4 , x 0,012, y 0,003. Khi đó A f x x,y y f x ,y f x ,y x f x ,y y.  0  0   0 0 x  0 0  y  0 0  Ta có: 2 2 fx0,y0 3 4 5, f x0 3 x0,y0 , x 2 2 5 x0 y0
45 f y0 4 x0,y0 , y 2 2 5 x0 y0 Vậy 3 4 A 5 5  0,012 5  0,003 5,0048. §4. Cựctrị của hàm hai biến 4.1. Cựctrị không điềukiện( cựctrị tự do) 4.1.1. Định nghĩa 2 Cho hàm hai biến f : G  .  . và cho M0x0,y0  G. Ta nói rằng hàm f đạtcực tiểu(địaphương) tại M0 nếucómộttậpmở   G sao cho M0x0,y0   và fx,y fx0,y0 x,y  . Tương tự, ta nói rằng hàm f đạtcực đại(địaphương) tại M0 nếucómộttậpmở   G sao cho M0x0,y0   và fx,y  fx0,y0 x,y  . Nếu hàm f đạtcựctiểu hay cực đại(địaphương) tại M0 thì ta nói hàm f đạtcựctrị (địa phương) tại M0. Hình 28 4.1.2. Qui tắc tìm cựctrị không điềukiện Định lý (Điềukiệncần) Nếu hàm f đạtcựctrị (địaphương) tại M0x0,y0  G và nếu f có các đạo hàm riêng tại M0x0,y0 thì f x ,y f x ,y 0. x  0 0 y  0 0 Chứng minh.Giả sử hàm f đạtcựctiểutại M0x0,y0 . Xét hàm gx fx,y0 , thì gx fx,y0 gx0 fx0,y0 , / với x trong một khoảng nào đóchứa x0.Dođótacóg x0 0. Mặt khác g/ x f x ,y .Vậy f x ,y 0.  0 x  0 0 x  0 0 Tương tự, f x ,y 0. Điểm x ,y mà tại đó f x ,y f x ,y 0, đượcgọilà y  0 0  0 0 x  0 0 y  0 0 điểmdừng. Định lý (Điềukiện đủcủacựctrị)
46 Giả sử hàm hai biến f có các đạo hàm riêng đếncấp hai liên tục trong lân cậncủa điểmdừng M0x0,y0 . Đặt: 2f 2f 2f A x0,y0 , B x0,y0 , C x0,y0 . x2 xy y2 Khi đó 2 a) Nếu B  AC 0vàA 0 (hay C 0) thì f đạtcựctiểutại M0, 2 b) Nếu B  AC 0vàA 0 (hay C 0) thì f đạtcực đạitại M0, 2 c) Nếu B  AC 0 thì f không đạtcựctrị tại M0, d) Nếu B2  AC 0tachưakếtluậnvàcầnphải xét cụ thể. Ta công nhận định lý nầy. Ví dụ. Tìm cựctrị của hàm số z x3 y3  3xy. / 2 zx 3x  3y 0, Giảihệ / 2 zy 3y  3x 0. ta được hai điểmdừng M11,1 và M20,0 .Tacó // // // zxx 6x, zxy 3, zyy 6y. 2 Tại M11,1 ta có: A 6, B 3, C 6, B  AC 27 0. Vậy hàm z đạtcựctiểutại M1 và zmin z1,1 1. 2 Tại M20,0 ta có: A 0, B 3, C 0, B  AC 9 .Vậy hàm z không đạtcựctrị tại M2. Ví dụ. Tìm cựctrị của hàm số z x4 y4  x2  2xy  y2. / 3 zx 4x  2x  2y 0, Giảihệ / 3 zy 4y  2x  2y 0. ta đượcbađiểmdừng M10,0 , M21,1 và M31,1 . Ta có // 2 // // 2 zxx 12x  2, zxy 2, zyy 12y  2. 2 Tại M1 ta có: A 2, B 2, C 2, B  AC 0. Trường hợpnầycầnphảikhảo sát thêm 1 bằng phương pháp khác. Ta có zM1 0. Với x y n ,tađược z 1 , 1 2 2 2 0với n 2.  n n n2  n2  1 1 2 Mặt khác, ta có z , 0. Vậy trong lân cậncủa M1 0,0 hàm sốđổidấu, hàm số  n n n4  không đạtcựctrị tại M10,0 . Tại hai điểmdừng còn lại: M21,1 và M31,1 ,tacóA 10, B 2, C 10, B2  AC 96 0. Vậy hàm z đạtcựctiểutại M2 và M3; zmin 2. 4.2. Cựctrị có điềukiện( cựctrị ràng buộc) 4.2.1. Định nghĩa Ta nói rằng hàm fx,y với điềukiện x,y 0 đạt cựctiểu tại điểm M0x0,y0 nếutồntại một lân cận  của M0x0,y0 sao cho fx,y fx0,y0 x,y   thỏa x,y 0. Thông thường phương trình x,y 0làphương trình của đường cong C .Như vậytachỉ so
47 sánh fM0 với fM khi M nằm trên C . Hình 29 Ta cũng định nghĩa cực đạicóđiềukiện một cách tương tự.Cựctiểucóđiềukiệnvàcực đại có điềukiện đượcgọi chung là cựctrị có điềukiện. 4.2.2. Các phương pháp tìm cựctrị có điềukiện - Đưavề bài toán tìm cựctrị của hàm mộtbiến Ví dụ. Tìm cựctrị của hàm z fx,y 1  x2  y2 với điềukiện x y  1 0. Giải.Từđiềukiện trên ta rút ra y 1  x. Thay vào biểuthứccủa z 1  x2  1  x 2 2 x  x2 . Đây là hàm mộtbiến, xác dịnh khi x  x2 0, tứclà khi 0  x  1. Ta có dz 2 12x . dx 2 xx2 dz 1 dx 0 khi x 2 .Talậpbảng biến thiên 1 x 0 2 1 dz dx 0  2 z 0  2  0 1 1 2 Vậy z đạtcực đạicóđiềukiệntại điểm M 2 , 2 và giá trị cực đạilàzmax 2 . -Phương pháp nhân tử Lagrange. Điềukiệncầncủacựctrị có điềukiện Xét bài toán: Tìm cựctrị của hàm z fx,y với điềukiện x,y 0. Điểm M0x0,y0 đượcgọilàđiểmkỳ dị của đường cong C : x,y 0nếu  x ,y  x ,y 0. x  0 0 y  0 0 Định lý (Nhân tử Lagrange). Cho điểm M0x0,y0 thỏa điềukiện i) Điểm M0 không là điểmkỳ dị của đường cong C . ii) Các hàm số fx,y , x,y và các đạo hàm riêng cấpmộtcủa chúng liên tục trong lân cận của M0. iii) Hàm fx,y đạtcựctrị có điềukiệntại M0. Khi đótồntạimộtsố thực  sao cho x0,y0, là nghiệmcủahệ phương trình f x ,y  x ,y 0, x  0 0  x  0 0 f x ,y  x ,y 0, y  0 0  y  0 0 x0,y0 0. Số thực  đượcgọilànhân tử Lagrange. Hàm Lx,y, fx,y  x,y đượcgọilàhàm
48 Lagrange. Chúng minh.VìM không là điểmkỳ dị của C , nên ta có thể giả sử rằng  x ,y 0. 0  y  0 0 Ngườitachứng minh đượcrằng tồntạimột hàm ẩn y yx xác định trong một khoảng nào đóchứa x0. Thay vào hàm fx,y ta được z fx,yx . Hàm nầy đạtcựctrị tại x0, nên dzx0 0, tứclà f x ,y x dx f x ,y x dy 0. x  0  0 y  0  0 Nhưng yx0 y0,vậy f x ,y dx f x ,y dy 0. x  0 0 y  0 0 Mặc khác lấy vi phân điềukiệntại x0,y0 ,tađược  x ,y dx  x ,y dy 0. x  0 0 y  0 0 Nhân hai vế của đẳng thứcnầy cho  rồicộng với đẳng thức trên, ta được f x ,y  x ,y dx f x ,y  x ,y dy 0.  x  0 0  x  0 0  y  0 0  y  0 0 f x0,y0 Lấy  sao cho   y . Khi đ ótacũng được  x ,y y 0 0 f x ,y  x ,y 0. x  0 0  x  0 0 Cùng vớiphương trình x0,y0 0tanhận đượchệ phương trình nêu trong định lý. Định lý chỉ cho ta điềukiệncầncủacựctrị. Tuy vậy, trong nhiều bài toán cụ thể có thể xác định được M0x0,y0 có phảilàđiểmcựctrị hay không. Ví dụ.- Đưavề bài toán tìm cựctrị của hàm mộtbiến Ví dụ. Tìm cựctrị của hàm z 3x 4y với điềukiện x2 y2 1. Giải. Ta có hàm Lagrange Lx,y, 3x 4y x2 y2  1 . / Lx 3 2x 0, / Giảihệ phương trình Ly 4 2y 0, / 2 2 L x y  1 0. Từ hai phương trình đầu ta rút ra: x 3 , y 2 , sau đó thay vào phương trình cuối, ta được 2  3 2 2 2 1 0. Do đó: 5 .  2     2 5 3 4 3 4 Với 1 2 : x1 5 , y1 5 , M1 5 , 5 . 5 3 4 3 4 Với 2  2 : x2 5 , y2 5 , M2 5 , 5 . Vì hàm z 3x 4y là hàm liên tục trên tập đóng và bị chận x,y : x2 y2 1 ( đường tròn đơnvị) nên nó đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớnnhất trên đó. Theo định lý nó chỉđạttại M1 hoặctại M21,1 . Suy ra zmin zM1 5, zmax zM2 5. x2 y2 Ví dụ. Tìm cựctrị của hàm z xy với điềukiện 8 2 1. x2 y2 Giải. Ta có hàm Lagrange Lx,y, xy  8 2  1 .
49 / x Lx y 4 0, / Giảihệ phương trình Ly x y 0, / x2 y2 L 8 2  1 0. Từ phương trình thứ hai ta rút ra: x y, sau đó thay vào phương trình đầu, ta được 2   y y  4 y 4 . y 2 Do đó 4   4 0, tứclày 0 hay  2.  Nếu y 0 thì x 0: Không thỏaphương trình thứ ba. Ta loạitrường hợpnầy.  Nếu  2 thì x 2y, thay vào phương trình cuối, ta được: 2y 2 y2 8 2  1 0 hay y 1. Vậy ta có hai điểmdừng M12,1 , M22,1 .  Nếu  2 thì x 2y.Tương tự ta có thêm hai điểmdừng M32,1 , M42,1 . Tính các giá trị: zM1 zM2 2, zM3 zM4 2. x2 y2 Vì hàm z xy liên tục trên tập đóng và bị chận x,y : 8 2 1 (làđường ellip tâm O) nên nó đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớnnhất trên đó. Theo định lý nó chỉđạt các giá trị trên tại các điểmdừng nói trên. Suy ra zmin zM1 zM2 2, zmax zM3 zM4 2. Chú thích. Trong trường hợptổng quát, tậphợp x,y : x,y 0 có thể là tập không bị chận, nên ta cầnphảisử dụng điềukiện đủcủacựctrị có điềukiện - Điềukiện đủ củacựctrị có điềukiện Giả sử các hàm số fx,y , x,y , M0x0,y0 thỏa mãn định lý nhân tử Lagrange.( Điểm M0x0,y0 đượcgọilàđiểmdừng của bài toán cựctrị có điềukiện). Ta chuyển bài toán cựctrị hàm fx,y có điềukiện x,y 0 sang bài toán cựctrị không điềukiệncủa hàm Lagrange Lx,y fx,y  x,y . Giả sử thêm rằng các hàm số fx,y , x,y và các đạo hàm riêng cấp hai của chúng liên tục trong lân cậncủa M0 và  là giá trị tương ứng với x0,y0 . Xét vi phân cấp hai của hàm Lx,y tại x0,y0 : 2 // 2 // // 2 d Lx0,y0 Lxxx0,y0 dx dy 2Lxyx0,y0 dxdy Lyyx0,y0 dy , nhưng các vi phân dx, dy không phảitự do, mà bị ràng buộcbởi điềukiện / / xx0,y0 dx yx0,y0 dy 0, dx 2 dy 2 0. Khi đó, 2 Nếu d Lx0,y0 0, thì hàm f đạtcựctiểucóđiềukiện. 2 Nếu d Lx0,y0 0, thì hàm f đạtcực đạicóđiềukiện. 2 Nếu d Lx0,y0 thay đổidấu, thì hàm f không đạtcựctrị có điềukiện. Ví dụ. Tìm cựctrị của hàm z x y với điềukiện xy 1. Giải. Ta có hàm Lagrange Lx,y, x y xy  1 .
50 / Lx 1 y 0, / Giảihệ phương trình Ly 1 x 0, / L xy  1 0, ta được x y 1,  1. Ta có một điểmdừng M01,1 tương ứng với  1. // // // 2 Mặt khác Lxx 0, Lxy 1, Lyy 0, d L1,1 2dxdy. Hơnnữa, từđiềukiện ràng buộc xy  1 0, ta có dx dy 0 hay dy dx. Vậy d2L1,1 2dx 2 0nếu dx 2 dy 2 0. Vậy hàm z đạtcựctiểucóđiềukiệntại M01,1 và zmin z1,1 2. Chú thích.Tacóthể giải bài toán trên bằng cách đưavề bài toán tìm cựctrị của hàm mộtbiến như sau. 1 Từ phương trình xy 1(x, y 0) suy ra y x (x 0). Thay vào hàm z ta có 1 zx x x , x 0. z/ x 1 1 .Vậy z/ x 0 x 1.   x2  Lậpbảng biến thiên x 01  z/x   0  zx  2    Suy ra zmin z1,1 2. 4.3. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớnnhất trên mộtmiền đóng và bị chận Xét bài toán: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớnnhất( còn gọilàcựctrị tuyệt đối) củamột hàm liên tục f trên mộtmiền đóng và bị chận G  .2. Giả sử G D  C trong đó D là mộttậpmở và C là một đường cong trơn(khả vi). Giả sử thêm rằng hàm f có các đạo hàm riêng cấpmột liên tục trên D.Dođó để tìm các giá trị nầy, ta làm theo các bước sau: - Dùng định lý Weierstrass về sự tồntạicựctrị của hàm liên tục trên D  C. - Xét bài toán tìm cựctrịởtrong D bằng cách giảihệ / fxx,y 0, / fyx,y 0. - Xét bài toán tìm cựctrịởtrên C bằng định lý nhân tử Lagrange. - Sau đólấy giá trị nhỏ nhất hay lớnnhấttại các điểm tính ra từ hai bước trên. Ví dụ. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớnnhấtcủa hàm số z fx,y x2y2  x  y trong tam giác đóng G giớihạnbởi các đường thẳng: x 0, y 0, x y 6.
51 Giải.Tacó G x,y : x 0, y 0, x y  6 là tập đóng và bị chận. Đây là một tam giác đóng có ba đỉnh O0,0 , A6,0 , B0,6 , D x,y : x 0, y 0, x y 6 là phần trong của G. -Trướchếttatìmđiểmdừng trong D bằng cách giảihệ / zx xy4  3x  2y 0, / 2 zy x 2  x  2y 0. Hình 30 1 Vì x 0, y 0 nên ta được x 1, y 2 . 1 1 Điểm M01, 2  D, zM0 4 . - Xét trên biên Trên OA và OB thì z 0. Trên AB thế y 6  x vào hàm đã cho ta được z 4x26  x ,0 x  6. / z x 12xx  4 0 x1 0, x2 4. Tương ứng ta có hai điểm trên AB là: M10,6 , M24,2 . Tại điểm M10,6  B đã xét. Tại điểm M24,2 , zM2 z4,2 128. 1 1 Vậy giá trị nhỏ nhấtlàzM2 z4,2 128, giá trị lớnnhấtlàzM0 z1, 2 4 .
52 BÀI TẬPCHƯƠNG II 1. Tìm miền xác định của các hàm sau đây 2 1/ z 1 x2 y  a2  b2 2/ z 1 R2x2y2 3/ z 1 1 x y xy 4/ z lnxy y1 5/ z arcsin x 6/ z 1 1 x y 7/ z R2  x2  y2 x2 y2  r2 ,0 r R 2. Các hàm số sau đây có giớihạntại 0,0 không? 2 2 1/ z x y x2 y2 2/ z x x2 y2 4 2 3/ z x y x4 y2 xy 4/ z x y 2 5/ z x x2y xy2 6/ z 3/2 x2 y2 7/ z x2 y2 sin 1 x2 y2 ey sinx 8/ z x 3. Tính các giớihạn sau đây 1/ lim x y x2 y2 x,y 0,1 2 2/ lim xy x2 y2 x,y 0,0 2 2 1 3/ lim x y sin xy x,y 0,0 4/ lim x y x2 y2 x,y  ,  5/ lim x2 y2 ex2y2 x,y  ,  2 2 6/ lim x y . x4 y4 x,y 0,0 4. Tìm các đạo hàm riêng của các hàm số sau đây 1/ z x3y  xy3 3 3 2/ z x y x2 y2 x y 3/ z y x 4/ z ln x x2 y2 y 5/ z arctg x 6/ z xy
53 7/ z 1 xy y 8/ z x2 y2 . 5. Tính đạo hàm của các hàm hợp sau x2y 3 dz 1/ z e , x sint, y t . Tính dt 3 dz 2/ z arcsinx  y , x 3t, y 4t . Tính dt 3/ z x2 lny, x u , y 3u 2v. Tính z , z v  u v 4/ z x3 sin xy , x ucosv, y usinv. Tính z , z  u v 6. Tính vi phân của các hàm số sau 1/ z xy3 2/ z exy 3/ z lny x2 y2 x 4/ z lncos y 5/ Tính df1,1 nếu fx,y x y exy. 7. Tính gần đúng các giá trị sau đ ây nhờ vi phân cấp1 1/ 4,05 2 3,07 2 2/ 2,01 3,03 biếtln2 0,69 0 0   3/ sin28 cos61 biếtrằng cos 6 0,87 và 180 0,017. 8. Tìm các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau đây 1/ z x2 y2 2/ z ln x x2 y2 xy 3/ z x y 4/ z 1 x2 y2 5/ z lnx2 y2 y 6/ z arctg x 7/ z ey ey sinx 9. Tìm cựctrị của các hàm sau đ ây 1/ z 4x  y  x2  y2 2/ z x2 xy y2 x  y 1 3/ z x y  xey 4/ z 2x4 y4  x2  2y2 5/ z x2 y2 ex2y2 2 1 3 6/ z x  2xy 3 y  3y 7/ z xy  x2 8/ z x2 2y2  6x 8y  1 9/ z x2y  2xy 2y2  15y 10/ z x3  6x2  3y2 11/ z x3 y3  6xy 12/ z x3  12xy 8y3 1 1 13/ z x y xy 14/ z x2  ey2 15/ z y  2 lnxy 16/ z exy 17/ z ysinx.
54 10. Tìm cựctrị của hàm fx,y với điềukiện ràng buộc đã cho 1/ fx,y 4x  y  x2  y2,nếu x2 y2 1; (a, b 0) 2/ fx,y x2 12xy 2y2,nếu4x2 y2 25 3/ fx,y x2 y2,nếu x2  2x y2  4y 0 2 4/ f x,y xy,nếu x2 y 1; (a, b 0)  a2 b2 5/ fx,y xy,nếu x y 1 6/ f x,y 1 1 ,nếu 1 1 1 ;(a 0)  x y x2 y2 a2 1 1 7/ fx,y x y,nếu x y 1 8/ fx,y x y,nếu xy 1; (x 0, y 0) 9/ fx,y x  3 2 y2,nếu y  x2 0. 11. Tìm các giá trị nhỏ nhấtvàlớnnhấtcủa các hàm số sau 1/ z x2  y2 trong miền x2 y2  4 2/ z x2 2xy  4x 8y trong miền0 x  1, 0  y  2   3/ z sinx siny sinx y trong miền0 x  2 ,0 y  2 4/ z x2 y trong miền |x|  1, |y|2  1 5/ z 1 trong miền x  2 2 y2  1 x2 y2 6/ z x  x2 y2 trong miền0 x  2, 0  y  1 7/ z x2 y2  12x 16y trong miền x2 y2  25 8/ z x2 y2  xy x y trong miền x  0, y  0, x y 3 9/ z x3 y3  3xy trong miền x 0, y 0, x y  3 10/ z xy2 trong miền x2 y2  1 11/ z x2 2y2  x trong miền x2 y2  1 12/ fx,y x2  xy y2 trong miền |x| |y|  1.
55 CHƯƠNG 3. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘTBIẾN §1. Tích phân bất định 1.1. Nguyên hàm 1.1.1. Định nghĩa Trong thưctế, ta xét bài toán ngượcvới bài toán tìm đạo hàm củamột hàm cho trước. Cho hàm fx xác định trong một khoảng nào đó. Hãy tìm tấtcả những hàm Fx sao cho F/x fx . Định nghĩa. Hàm Fx đượcgọilàmột nguyên hàm của fx trong khoảng a,b nếu F/x fx vớimọi x  a,b . Ví dụ. sinx là một nguyên hàm của cosx trên . vì sinx / cosx x  1.1.2. Định lý. Nếu hàm fx có một nguyên hàm Fx trong khoảng a,b thì i) Fx C, trong đó C là mộthằng số tùy ý, cũng là một nguyên hàm của fx . (ii) Mọi nguyên hàm của fx đềucódạng Fx C với C là mộthằng số. Chứng minh. i) Vì Fx C / F/x 0 F/x fx nên Fx C là một nguyên hàm của fx . ii) Giả sử x cũng là một nguyên hàm của fx .Khi đó  x  Fx / /x  F/x fx  fx 0. Do đó x  Fx C,với C là mộthằng số. Vậy x Fx C. Từđịnh lý ta thấyrằng nếumột hàm có một nguyên hàm thì nó có vô số nguyên hàm và các nguyên hàm đó sai khác nhau mộthằng số cộng. 1.2. Định nghĩa và tính chấtcủa tích phân bất định 1.2.1. Định nghĩa Nếu hàm Fx là một nguyên hàm fx thì biểuthức Fx C, trong đó C là mộthằng số tùy ý, đượcgọilàtích phân bất định của hàm fx và đượckýhiệulà fx dx.Vậy.  fx dx Fx C nếu F/x fx . Dấu  đượcgọilàdấu tích phân, fx đượcgọilàhàm dướidấu tích phân, fx dx đượcgọilà biểuthứcdướidấu tích phân và x gọilàbiến tích phân. 1.2.2. Các tính chấtcủa tích phân bất định / Tính chất1.  fx dx fx , d  fx dx fx dx. Thậtvậy, ta có /  fx dx Fx C / F/x fx . / Suy ra d  fx dx  fx dx dx fx dx. Tính chất2. Giả sử Fx có đạo hàm là fx thì  dFx Fx C. Thậtvậy, ta có dFx fx dx suy ra  dFx  fx dx Fx C. Tính chất3. Nếu C là mộthằng số thì
56  Cfx dx C  fx dx. Thậtvậy, ta có / / C  fx dx C  fx dx Cfx . Đpcm. Tính chất4. Nếu các hàm fx , gx đều có nguyên hàm thì fx gx dx  fx dx  gx dx. Thậtvậy, ta có / / /  fx dx  gx dx  fx dx  gx dx fx gx . Đpcm. Tính chất5. Nếu  fx dx Fx C và u x khả vi liên tục, thì  fu du Fu C. 1.3. Bảng các tính phân cơ bản Từ bảng các công thức đáng nhớ của đạo hàm ta suy ra bảng các tính phân cơ bản sau: 1/  1dx x C 2/ xdx x 1 C,( 1)   1   dx 3/  x ln|x| C x ax 4/  a dx lna C,(a 0, a 1) 5/  exdx ex C 6/  cosxdx sinx C 7/  sinxdx cosx C 8/ dx tgx C  cos2x 9/ dx cotgx C  sin2x  10/  dx arcsinx C arccosx C 1x2 11/  dx arctgx C arccotgx C 1 x2 12/  dx ln x x2 a C. x2 a 1.4. Hai phương pháp tính tích phân bất định 1.4.1. Phương pháp đổibiếnsố Phương pháp đổibiếnsố dựa vào định lý sau Định lý Nếu  fx dx Fx C thì  f t /t dt F t C, với t là một hàm khả vi liên tục. Chứng minh. F t C / F/ t /t f t /t .
57 Ví dụ. (Ghi vào bảng tích phân) x 13/ dx d a arcsin x C.  2 2  x 2 a a x 1 a Ví dụ. (Ghi vào bảng tích phân) x dx 1 d a 1 x 14/  2 2 a  x 2 a arctg a C. x a  a 1 1.4.2. Phương pháp tích phân từng phần Định lý Giả sử ux và vx có các đạo hàm liên tục. Khi đó ta có công thức  udv uv   vdu hay  ux v/x dx ux vx   vx u/x dx. Chứng minh. Ta có duv udv vdu. Suy ra udv duv  vdu. Lấy tích phân hai vế của đẳng thứcnầytađược công thức nêu trên, công thứcnầy đượcgọilà tích phân từng phần. Ví dụ. (Ghi vào bảng tích phân) 15/ I  a2  x2 dx. Áp dụng công thức tích phân từng phần, ( u a2  x2 , v x ), ta có 2 2 2 I  a2  x2 dx xa2  x2   x dx xa2  x2   a x dx a2  dx a2x2 a2x2 a2x2 2 2 2 2 2 x 2 2 2 x xa x  a  x dx a arcsin a 2C xa x  I a arcsin a 2C. I Vậy 2 2 1 2 2 1 2 x  a  x dx I 2 xa x 2 a arcsin a C. Ví dụ. (Ghi vào bảng tích phân) 16/ J  x2 b dx. Áp dụng công thức tích phân từng phần, ( u x2 b , v x ), ta có 2 2 J  x2 b dx xx2 b   x dx xx2 b   x b dx b  dx x2 b x2 b x2 b xx2 b  J bln x x2 b 2C. Vậy 2 1 2 1 2  x b dx J 2 xx b 2 bln x x b C. dx Ví dụ. Tính In  . x2 a2 n Dùng phương pháp tích phân từng phần, đặt u 1 , du 2nxdx , x2 a2 n x2 a2 n 1 dv dx, v x. Ta có
58 x x2 In 2n  dx x2 a2 n x2 a2 n 1 2 2 2 x 2n  x a a dx x2 a2 n x2 a2 n 1 x 2n  dx  a2  dx x2 a2 n x2 a2 n x2 a2 n 1 x 2 2nIn  a In 1 . x2 a2 n Suy ra x 2n1 In 1 In. 2na2x2 a2 n 2na2 Vì dx 1 x I1  arctg C x2 a2 a a nên theo công thức qui nạp trên ta có thể lầnlượt tính In. §2. Tích phân xác định 2.1. Định nghĩa Cho hàm fx xác định trên đoạn a,b . Chia tùy ý đoạn a,b thành n đoạnnhỏ bởi các điểm a x0 x1 xi xn1 xn b. Phép như vậygọilàmột phân hoạch của đoạn a,b . Đặt xi xi  xi1 và trên mỗi đoạn xi1,xi ta lấymột điểm i tùy ý, ( i 1,2, ,n ). Lậptổng n fi xi i 1 đượcgọilàtổng tích phân của hàm f trên đoạn a,b . Cho sốđiểm chia xi tăng vô hạn (n  ) sao cho  max xi  0, Nếu có mộtgiớihạn xác định (hữuhạn) I không phụ 1in thuộc vào cách chia đoạn a,b và cách lấy điểm i, thì ta gọi I là tích phân xác định của hàm fx trên đoạn a,b và ký hiệunólà b  fx dx. a Khi đótacũng nói hàm fx khả tích trên đoạn a,b . Như vậy  0,  0: Vớimọi phân hoạch của đoạn a,b và nếu  max xi  |  I| , 1in vớimọi cách chọn điểm i  xi1,xi . Ta viết
59 b n I  fx dx lim fi xi. 0 a  i 1 b Chú thích 1. Tích phân  fx dx (nếucó)chỉ phụ thuộc vào hàm f dướidấu tích phân, các a cận a và b, không phụ thuộc vào biến tích phân, tứclà b b  fx dx  ft dt. a a Chú thích 2. Khi định nghĩa tích phân xác định ta giả thiết a  b.Nếu b a ta định nghĩa b a  fx dx   fx dx. a b a và khi a b thì ta định nghĩa  fx dx 0. a Định lý i) Nếu hàm fx liên tục trên đoạn a,b thì nó khả tích trên đoạn a,b . ii) f : a,b  . là một hàm bị chận, liên tục ngoạitrừ mộtsốđiểm gián đoạnloạimột thì nó khả tích trên đoạn a,b . Ta công nhận định lý nầy. 1 Ví dụ. Tính  x2dx. 0 Vì hàm fx x2 liên tục trên đoạn 0,1 nên nó khả tích trên đoạn 0,1 .Dođótacó b n 2 2  x dx lim i xi. maxx 0 a i i 1 Ta chia đoạn 0,1 thành n đoạnnhỏ bằng nhau và lấy các điểm i là các đầu mút bên phảicủa mỗi đoạnnhỏ, khi đó, ta có 1 i xi n , i xi n , i 1,2, ,n, và max xi  0tương đương với n  . 1in Do đó b n n 2 i 2 1 1 2  x dx lim  n n lim 3 i n n n a i 1 i 1 nn 1 2n 1 1 lim 3 3 . n 6n b Ví dụ. Tính  sinxdx. a Vì hàm fx sinx liên tục trên đoạn a,b nên nó khả tích trên đoạn a,b .Dođótacóthể
60 chia đoạn a,b thành n phầnbằng nhau và lấy các điểm i là các đầu mút bên trái củamỗi đoạnnhỏ, khi đó, ta có ba xi xi  xi1 n h, max xi h, i xi1 a i  1 h, i 1,2, ,n. 1in Ta có b n  sinxdx lim sini xi h 0 a  i 1 lim hsina sina h sina n  1 h . h0 Đặt n sina sina h sina n  1 h . h Nhân hai vế của đẳng thứcnầy cho 2sin 2 ,tađược h h h 2 n sin 2 2sinasin 2 2sina h sin 2 h 2sina n  1 h sin 2 h h h h cosa  2  cosa 2 cosa 2  cosa 3 2 3 1 cosa n  2 h  cosa n  2 h . Vậy h 1 cosa 2 cosa n 2 h n h . 2sin 2 Nhưng a nh b,dođótacó b h h h  sinxdx lim h cosa  2  cosb  2 cosa  cosb. 2sin 2 a h0 2.2. Các tính chấtcủa tích phân xác định Giả sử các hàm dướidấu tích phân đềukhả tích trên đoạnlấy tích phân b b Tính chất1. Nếu C là mộthằng số thì  Cfx dx C  fx dx. a a b b b Tính chất2.  fx gx dx  fx dx  gx dx. a a a b c b Tính chất3. Vớibasố thực a,b,c tùy ý ta có  fx dx  fx dx  fx dx. a a c b Tính chất4. Nếu fx C là hàm hằng thì  Cdx Cb  a . a
61 b b Tính chất5. Nếu fx  gx trên a,b và a b thì  fx dx   gx dx. a a Tính chất6. Nếu m và M là các giá trị nhỏ nhấtvàlớnnhấtcủa f trên a,b và a b thì b mb  a   fx dx  Mb  a . a Tính chất7. Nếu hàm f khả tích trên đoạn a,b thì |f| cũng khả tích trên a,b ,giả sử a b, khi đó b b  fx dx   |fx |dx. a a Định lý (Về giá trị trung bình). Nếu hàm f liên tục trên đoạn a,b thì trên đoạn đócóítnhất một điểm c sao cho b  fx dx fc b  a . a Chứng minh.Vìfx liên tục trên đoạn a,b nên ta có m  fx  M x  a,b , với m và M lầnlượt là các giá trị nhỏ nhấtvàlớnnhấtcủa f trên a,b . Theo tính chất 6 ta có ( a b). b mb  a   fx dx  Mb  a a hay b m 1 f x dx M.  ba    a Vì hàm f liên tục trên đoạn a,b thì trong đoạn đócóítnhấtmột điểm c sao cho b f c 1 f x dx,  ba   a do đó b  fx dx fc b  a . a b Giá trị f c 1 f x dx đượcgọilàgiá trị trung bình của hàm f trên đoạn a,b .  ba    a 2.3. Công thức Newton-Leibnitz Ta đặt
62 x x  ft dx, a  x  b. a Định lý. Nếu hàm f liên tục trên đoạn a,b thì hàm x có đạo hàm trên đoạn đóvà b / d i) x dx  ft dt fx , a x b. a ii) /x 0 fa , iii) /x  0 fb . Chứng minh.Talấy x  a,b .Lấy x đủ nhỏ sao cho x x  a,b . Khi đótacó x x x  x x  x  ft dt   ft dt a a x x x x  ft dt  ft dt   ft dt a x a x x  ft dt. x Theo định lý giá trị trung bình, tồntạimột điểm c nằm trong khoảng giữa x và x x sao cho x x  ft dt fc x, x  Do đó  fc x hay x fc . Cho x  0, khi đó c  x và vì hàm f liên tụctại x nên fc  fx .Dođótacó  lim x lim fc fx . x0 x0 Vậytồntại /x fx . Mặt khác, tại các điểm nút x a, x b cũng chứng minh tương tự như trên ta được /x 0 fa , /x  0 fb . Từđịnh lý trên, ta suy ra ngay Hệ quả.Mọi hàm liên tục trên đoạn a,b đều có nguyên hàm trên đoạn đó. Chú thích.Nếu các cận tích phân là các hàm theo x thì theo qui tắc đạo hàm của hàm hợpta có thể chứng minh được công thức sau Bx d / / dx  ft dt fBx B x  fAx A x , Ax trong đó f là hàm liên tục trên đoạn a,b và các hàm A, B có đạo hàm trên đoạn a,b sao cho a  Ax , Bx  b vớimọi x  a,b .
63 Định lý. Nếu f liên tục trên đoạn a,b và Fx là một nguyên hàm của nó trên đoạn đó thì b  fx dx Fb  Fa . a Công thứcnầy đượcgọilàcông thức Newton-Leibnitz. Chứng minh. Theo giả thiết Fx là một nguyên hàm của fx trên đoạn a,b và theo định lý x trên thì x  ft dt,cũng là một nguyên hàm của fx trên đoạn a,b .Dođó Fx và a x chỉ khác nhau mộthằng số cộng, tứclà x Fx C vớimọi x  a,b . a Cho x a,tacó a Fa C,nhưng a  ft dt 0, do đó C Fa .Vậy a x x  ft dt Fx  Fa , a  x  b. a a Cho x b,tacó a Fa C,nhưng a  fx dx 0, do đó C Fa .Vậy a b  ft dt Fb  Fa a hay b  fx dx Fb  Fa . a b Ngườitathường ký hiệu Fb  Fa Fx |a,như vậy công thức Newton-Leibnitz đượcviết lại thành b b  fx dx Fx |a Fb  Fa . a e ln2x Ví dụ. Tính  x dx.Tacó 1 e e ln2x dx ln2xd lnx 1 ln3x e 1 ln3e ln31 1 .  x   3 1 3   3 1 1 2 Ví dụ. Tính  |1  x|dx.Tacó 0
64 2 1 2  |1  x|dx  1  x dx  x  1 dx 0 0 1 2 1 2 2 1x x1 2 0 2 1 1 1 0  2  2  0 1. Ví dụ. Tính giá trị trung bình của hàm fx sin2x trên đoạn 0,2 . Ta có 2 2 1 sin2xdx 1 1 cos2x dx 2  4    0 0 1 x sin2x 2 1 . 4  2 0 2 2.4. Hai phương pháp tính tích phân xác định 2.4.1. Phương pháp đổibiếnsố Định lý b Xét tích phân  fx dx với fx là hàm liên tục trên đoạn a,b .Giả sử hàm x t thoả mãn a các điềukiện a) : ,  a,b , b) t có đạo hàm liên tục trên , , c)  a,  b. Khi đó b   fx dx  f t /t dt. a  Chứng minh. Giả sử Fx là một nguyên hàm của f trên đoạn a,b . Khi đó F t là một nguyên hàm của f t /t trên đoạn , .Từ công thức Newton-Leibnitz, ta có b  fx dx Fb  Fa , a  /   f t t dt F t |  F   F  Fb  Fa . Suy ra Đpcm. Chú thích. Sau khi tính tích phân xác định bằng phương pháp đổibiến, ta không cầntrở lại biếncũ như khi tính tích phân bất định.
65 2 Ví dụ. Tính I  4  x2 dx. 0 Đặt x 2sint.Tacódx 2costdt,4 x2 2|cost| và 2sin 0, 2sin 2. Suy ra  0,   , |cost| cost,0 t   .Dođó  2  2 2 2  I 4 cos2tdt 2 1 cos2t dt 2t sin2t 2 .    2 0  0 0 Ví dụ.Chứng minh rằng nếu fx liên tục trên a,a thì a 0, nếu f là hàm lẻ, a  fx dx 2  fx dx,nếu f là hàm chẳn. a 0 Thậtvậy, ta có a 0 a  fx dx  fx dx  fx dx. a a 0 Trong tích phân thứ nhất ở v61 phải, ta đặt x t và có 0 0 a a  fx dx   ft dt  ft dt  fx dx. a a 0 0 a a Do đó  fx dx  fx fx dx. a 0 Vậy, nếu f là hàm lẻ,tứclàfx fx hay fx fx 0, do đó a  fx dx 0. a Nếu f là hàm chẳn, tứclàfx fx hay fx fx 2fx ,dođó a a  fx dx 2  fx dx. a 0 2.4.2. Phương pháp tích phân từng phần Định lý. Giả sử ux và vx là các hàm có các đạo hàm liên tục trong đoạn a,b . Khi đó b b b  udv uv |a   vdu a a hay
66 b b / b /  ux v x dx ux vx |a   vx u x dx. a a Công thứcnầy đượcgọilàtích phân từng phần. Chứng minh. Ta có duv udv vdu. Lấy tích phân hai vế của đẳng thứcnầy trên đoạn a,b ta được b b b  duv  udv  vdu. a a a b b Nhưng  duv uv |a,dođótacó a b b b  udv uv |a   vdu a a e Ví dụ. Tính  lnxdx. 1 Ta có e e e  lnxdx xlnx|1   dx 1 1 elne  1ln1 e  1 1.  2 n Ví dụ. Tính In  sin xdx,(n 0,1,2, ) 0 Ta có   2 2 n n1 In  sin xdx  sin xdcosx . 0 0 Đặt u sinn1x, du n  1 sinn2xcosxdx, dv dcosx , v cosx. Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có
67   2 2  n n1 2 n2 2 In  sin xdx sin xcosx|0  n  1 sin xcos xdx 0 0  2 n  1  sinn2x1  sin2x dx 0   2 2 n  1  sinn2xdx  n  1  sinnxdx 0 0 n  1 In2  n  1 In hay In n  1 In2  n  1 In Từđó ta có công thức qui nạp sau n1 In n In2. Ta tính các tích phân sau:  2  I0  dx 2 , 0  2  2 I1  sinxdx cosx|0 1. 0 Vậy  n1 n3 3.1  2 ,nếu n chẳn, nn2 4.2 2  sinnxdx n1 n3 4.2 ,nếu n lẻ. 0 nn2 3.1 Nếukýhiệu tích của k số lẻđầu tiên là 1.3.5 2k  1 2k  1 !! và tích của k số chẳn đầu tiên là 2.4.6 2k 2k !! thì  n1 !! 2  ,nếu n chẳn, sinnxdx n!! 2  n1 !! 0 n!! ,nếu n lẻ.  2 n Ví dụ. Tính Jn  cos xdx,(n 0,1,2, ) 0  Đặt x 2  t,tacó  0 2 n  n Jn   cos  2  t dt  sin tdt In.  2 0 Vậy
68   n1 !! 2 2  ,nếu n chẳn, sinnxdx cosnxdx n!! 2   n1 !! 0 0 n!! ,nếu n lẻ. Chẳng hạn   2 2 4 4 3!!  1.3  3  sin xdx  cos xdx 4!! 2 2.4 2 16 . 0 0   2 2 5 5 4!! 2.4 8  sin xdx  cos xdx 5!! 1.3.5 15 . 0 0 2.5. Ứng dụng của tích phân xác định  Diện tích hình thang cong. Ta gọi hình thang cong là hình phẳng giớihạnbởitrục Ox, hai đường thẳng x a, x b và một đường cong có phương trình y fx đơntrị trên a,b .Giả sử fx 0 và liên tục. Ta chia tùy ý đoạn a,b thành n đoạnnhỏ bởi các điểm chia a x0 x1 xi xn1 xn b. Từ các điểm đó, ta dựng những đường thẳng song song vớitrục Oy. Khi đó hình thang cong aABb được chia thành n hình thang cong nhỏ.( như hình vẽ). Hình 31 Trong mỗi đoạnnhỏ xi1,xi ( i 1,2, ,n ), ta lấymột điểm i tùy ý, khi đ ó tung độ yi ứng với hoành đội là yi fi . Nếu ứng vớimỗi đoạnnhỏ xi1,xi ta xây dựng một hình chữ nhật có kích thướclàxi  xi1 và fi , thì diện tích củanólà fi xi  xi1 .Dođótổng diện tích của n hình chữ nhật đólà n fi xi i 1 trong đó xi xi  xi1. Nếutổng (tổng tích phân của hàm f trên đoạn a,b )cómộtgiớihạn xác định S khi số điểm chia xi tăng vô hạn(n  ) sao cho max xi  0, thì S đượcgọilàdiện tích hình thang 1in cong aABb.Vậydiện tích hình thang cong aABb là n S lim fi xi maxxi0 1in i 1
69 hay b S  fx dx. a Nếu fx  0vớimọi x  a,b thì b S   fx dx. a Trong mọitrường hợptacó b S  |fx |dx. a Nếumiềnphẳng có dạng: D x,y : f1x  y  f2x , a  x  b, (hình 32) ( f1, f2 liên tục), thì diện tích củanólà b S  f2x  f1x dx. a Hình 32 Hình 33 Nếumiềnphẳng có dạng: D x,y : 1y  x  2y , c  y  d, (hình 33) ( 1, 2 liên tục), thì diện tích củanólà d S   2y  1y dy. c Nếu đường cong cho bởiphương trình tham số x xt , y yt , / với xt , yt , x t liên tục trong đoạn t1,t2 ,với a xt1 , b yt2 , thì diện tích củanólà t2 S  |yt |x/t dt. t1 Ví dụ. Tính diện tích của hình ellip
70 2 x,y : x2 y 1, (a 0, b 0)  a2 b2  Vì hình ellip nhận các trụctoạđộlàm trục đốixứng nên diện tích củanólà a a b 2 2 S 4  yx dx 4  a a  x dx. 0 0 Đổibiến x asint,tacódx acostdt.  Khi x 0, thì t 0, khi x a, thì t 2 , 2 2  a  x a|cost| acost với0 t  2 . Vậy   2 2 4b 2 2 S a  a cos tdt 2ab  1 cos2t dt 0 0  2abt sin2t 2 ab. 2 0   Diện tích hình quạt cong. Ngườitagọi hình quạt cong là một hình phẳng giớihạnbởi hai tia đi qua cựcvàmột đường cong mà mọi tia qua cựccắt đường cong ấy ở không quá một điểm. Giả sử hình quạt cong giớihạnbởi hai tia ,  với   và cung AB đicủa đường cong r r , trong đó r là hàm liên tục đơntrị trên đoạn , . Ta chia góc AOB thành n góc nhỏ mà ta ký hiệulà i ( i 1,2, ,n ), như thế hình quạt cong đó được chia thành n hình quạt cong nhỏ có diện tích là Si ( i 1,2, ,n )( như hình vẽ 34). Hình 34 Hình quạt cong nhỏ thứ i có diện tích xấpxỉ bằng diện tích hình quạt tròn có cùng góc ở tâm  i và có bán kính là r i với i  i  i  i 1 2 Si 2 r  i  i. Do đódiện tích hình quạt đã cho xấpxỉ bằng n 1 2 2 r  i  i. i 1 Vậy n 1 2 S lim 2 r  i  i maxxi0 1in i 1 hay