›
›

Giáo trình Toán cao cấp (A2)

pdf 126 trang phuongnguyen 2930
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán cao cấp (A2)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_toan_cao_cap_a2.pdf

Nội dung text: Giáo trình Toán cao cấp (A2)

  1. id11470750 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ýu tầm by hoangly85 1 S
  2. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 íếNG I: PHẫP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN CH ẬP HỢP RN À HÀM NHIỀU BIẾN I. T V n à cỏc tập con 1. R v ớộốýừờệỞn ðýợðểỉậợấảộố V ựậ ờ ýờọỞn ậựấềềẩộốự th , x , ) v l 1 ờ2 ðýợnðặỳếầ (x1, x2, n) ờ P(x1, x2, n) ọộðểỞn V . ðểỳậ ờ ẵậ ờ n ảữðể Cho 2 , x , ) v , y , ) trong R , kho ẵờệ12ậỳờẵấnðýợðị12 ĩởn P v i: d(P, Q) = ảỏấðẳứðầ Kho ≤ậỳờ d(P, Q) R) + d(R, Q) ớĩðểỳờẵờỞề v éểỳậ ờ ðýợếọýớạụậ ờ ớụậ ờ , x , ) c , x , ) v , x , ụậ1 2 ờn ảữðý1ợ2ếởnầ 1 2 xn) v 1, y2, n), kho – | x y |= ốựýừờậợ ðýợ Cho v B(P, r) = { | d(P, Q) < r} ọầởỳờậủỳề g ậợừỞn ðýợọịặếễế ớẫ T , v ðểẫậếờếờ ờếấề àm nhiếu biến 2. H ộốớ≥ịề∞ộýừứầỞn ðýợọộ Cho n l R ếềậợðể ậỳấðịðýợọềðịủề n bi m ệềðịủắậấề k ụầ V ýu tầm by hoangly85 2 S
  3. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ầỞ2 1) H R (x, y) f(x, y)= ộịếềðịậợấảðểỳậờấ L 2 2 ậắậấụửậếờịấờầởẫịỞ2 4-x -y >0. V . 3 ớậờờấụ2 ộ ếềðị 2) g : R R v +(y+z)/2 l 3 bi D(g)=R3. ỉểểễọờằẽðồịờịếụậờấề Ta ch éồịủịếậợðểỞ3 ðầ sau G(f)={(x, y, f(x, y)) | } éộặĩềớệọðộắẫề ụầðồịủụ ửủặầẫữ V l ĩềẫề trong kh ỚI HẠN VÀ TÍNH ấN TỤC II. GI LI éịnh nghĩa giới hạn 1. ếụậ ờ ðịộậ ủộ Cho h 1, x2, n) x h r c ể ểðịạỳềụậ ờ ếề di v , x , ) ti ớạỡấềẩ∞ậ ờ ầðếỳế1ớ2ọồnễếýớờ (hay c , x , ) d ồạọễếầ 1 2 n t ọụễậ∞ấ– ồề 0 < d (P, M) < L | < ðếầ Khi ýờợịếụậờấớạểðýợếầ Trong tr ểếầ Hay c ýu tầm by hoangly85 3 S
  4. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ýừựýðốớộếờũðịĩớạ T ớạởậýầ gi ụầ V 1). 2). 3). 4). ự liờn tục 2. S éịĩầ ốụậ ờ ðýợọụạðể s 1, x2, n) khi: ụầậờấụ ụạọðểậ ậếờếấề V li o, yo) kh ýừựýộếụộ ðạ ũấðạ T , ta c ịớấỏấữềðịặề gi éẠO HÀM VÀ VI P ÂN III. H éạo hàm riờng 1. éểðừảệờởð ẽðạủịếềéố ta s ớếýừựề v ýu tầm by hoangly85 4 S
  5. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 éịĩầịếụậờấềéạếạðểậ , y ) l ớạậếấðầ o o gi ðạếðýợệ ắ ắ ’ v hay v t x (xo, yo). Ta ểệðạở’ c x (xo, yo) hay (xo, yo). éạếủụậờấạậ ðýợðịĩýừ ự , y ) g t ởầ o o b = ậầểấằ ’ Nh f x (xo, yo) = ừðểạếạậ ằụ ằ T , y ) b l ốðạủộếậờ ạụo o ýừựờðểðạo s ) t . T ếạậ ðạoủo ộếậờ ạụ ri , y ) ta t ) t (xem ằốấề o o o o x = xo l ụầ V ’ ’ 2 1). Cho z = x y. T x v y ýằốðạế ’ Xem y nh ta c x = 2xy. ýừựờýằốðạếầ’ T y = x2. ’ ’ ’ ýằốờầ 2) . T z x, z y v z x(4, ). Xem y nh ýu tầm by hoangly85 5 S
  6. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ýằốờ ầ Xem x nh ta c éạo hàm riờng cấp cao 2. ðạ ’ ’ ủ ðýợọðạấữề C z v z c z = f(x,y) éạấịxủyộðạậấ ủðạấữ p 1) c ủðềổịế ốðạấịðầ c z = f(x, y) c 1) éạấịðýợệằ ýầ nh 2) éạấịðýợệởầ 3) éạấịðýợệởầ 4) ðýợệ c . ýu tầm by hoangly85 6 S
  7. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ýừựũðị ĩệðạ Ho ngh ấừềũẳạờ c hay ðạấĩ hay v ðýợế c . ụầ V 4 4 – 3 3 ầ 1) z = x + y 2x y . Ta c ’ 3 – 3 z x = 4x 4xy ’ 3 – 2 2 z y = 4y 6x y 2 – 3 z"xx = 12x 4y 2 – 2 z"yy = 12y 12x y 2 z"xy = -12y 2 z"yx = -12 y ố 2) X ờớậ ≠ậếờếấ Ta c x, y) YjWҥ i (0, 0) th f(0, 0) = 0. ð ạậ ≠ậếờếấ Do t x, y) ýu tầm by hoangly85 7 S
  8. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 v suy ra ýừựờðýợầ Ho ạậờấ≠ậếờếấ t v ụấðạếýứự Qua v ảờũằ ðịOờ ððӅ kh . Tuy nhi sau u Ӌ ÿӇFi ðҥ Kj Yj ҵ ki n c o m ri z"xy z"yx b ng nhau. éӏ Oờ Ӄ ðạ ộậủðểậ nh : N u f(x, y) c f" v f" trong m x , y ) xy xy 0 0 th ằðị ũởộðѭӧ ðạấừề ch r c ra cho c ếừề bi õn toàn phần 3. Vi ph éịnh nghĩa: ố ðýợọảạậ ếố ầ H z = f(x, y) x0, y0) n n ph ố ủế ạậ ểðýợếýớạ theo c x, y c x, y t x0, y0) c ð ằốậụộ  trong A, B l x, y) v 0, 0 khi x 0, y 0. ýu tầm by hoangly85 8 S
  9. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ểứ ðýợọủố ạậ ệ Bi f t x0, y0), k df(x0, y0). éịnh lý: ế ảạậ ðạấữạð (i) N f(x, y) kh x0, y0) th f c ế ðạữậủậ ’ ’ (ii) N f(x, y) c x , y ) v f , f li ụạậ ảạậ 0 0 x y t x0, y0) th x0, y0). ằ ýờợðặệ ầ Ch c tr f(x, y) = x v g(x, y) = y ta c dx = ðứấữủ ðýợếýớạ x v dy = y. Do f(x, y) c ’ ’ df = f x.dx + f y.dy ðýợọầủ v f(x, y). ụầ ớ ầ V V , ta c ậ v ớnh chất: ýừựýðốớộếấðủ T T ầ ph d(f + g) = df + dg d(f.g) = g.df + f.dg ớ (v g 0). ýu tầm by hoangly85 9 S
  10. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 Ứụðểầðầ ảử ảạậ ðờðịĩủ Gi z = f(x, y) kh x , y ). Khi ểầð ởầ 0 0 th f(x, y) b ớậ ầậ v x, y) g x0, y0). ớ dụ: ầð V T ố ầð X f(x, y) = , ta t ýầ A = f(1,02; 1,97) nh ’ ’ f(1,02; 1,97) f(1, 2) + f x(1, 2).(1,02 - 1) + f y(1, 2).(1,97 - 2) ớ v f(1, 2) = = 3 Suy ra õn cấp cao 4. Vi ph ịếụậờấề Cho h ả ũộịếờ B c ểủềỷếậờấððýợọ ấ th i l ủậờấờệ2 ắắ2 ậầ 2 c f (x, y) hay v f. V d2f = d(df) ổờấậếấủðýợðịĩởầ T ýu tầm by hoangly85 10 S
  11. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ứ ấịủụậờấầ C c ảếằờðạỗợụầ Gi ðầ v ầ hay ta c ýờệỹừộứðểếạứấị Ng ýớạầ d ýừựờứấủụậờấểðýợếýớạầ T ứũðýờợ ềếừề v hi éẠO HÀM CỦA HÀM ỢP IV. H ýờng hợp một biến ộc lập 1. Tr ảửụậờấờạầụậấờụậấềậậấụậậấờậấấ Gi ữếềéạủậấếðýợứðầ l ýu tầm by hoangly85 11 S
  12. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ụầ V ế ðụờụề T n , trong ế ðụ T n trong ýờng hợp ều biến ộc lập 2. Tr nhi ảửụậờấờạếờềẩððểðạ Gi ủợậậờấờậờấấũứýừựý ri ðốớộếðầ ụầ V ếụậờấðụềụ T v n Ta c , , v . ð Do ýu tầm by hoangly85 12 S
  13. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ðụậấờụậấề Cho z = f(x,y,t), trong ðạủợầ T z(t) = f (x(t), y(t), t). ầ Ta c = = éẠO HÀM CỦA HÀM Ẩ V. N àm ẩn một biến 1. H ảửộệứữếờạ Gi F(x,y) = 0 ð≠ậờấịếðịộậởắủậ ≠ậ trong 0, y0) v 0, ảếằốýừ ấậờ y ) = 0. Gi y duy nh 0 ≠ậờấụếề y) D v ýậốụậấðịảậ – ỏ≠ậờậấấ Nh 0 s, x0 + s) v th ốụậấðýợọẩế = 0 . H ðịởýừ≠ậờấụếề ọýờọðịẩðị ẳðịựồạ Trong to h l ủẩðạủềắýớððịừảẩộếề c éịnh lý: ảử≠ậờấỏịðềệầ Gi ụ ởửậỳờồấỳậ ồờớ≠ậ (i) F li g h 0, y0) b 0, y0) = 0; ồạðạụ ồấ ≠ếề (ii) T trong B(P, (x0, y0) ðồễếýừ≠ậờấụếðịộẩậấả Khi ụậ – vi li 0 s, x0 + s) v ýu tầm by hoangly85 13 S
  14. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 . ận xột: ếừậựồạủẩðạủứ Nh N ðạủẩðịểễừứðạ ủợầ c ’ ’ ’ 0 = F(x, y(x)) = F x + F y . y ’ụ => y - ụầ ðạủẩ ạðểậữờðấ V T t ếề– x ðề n e .sin y = ờấðạýừ ðýợ Coi y l tr ’– x – x ’ụế y + x.y e siny e cosy. y ạậờấụậữờðấầ T ðự’ựề’ụế ’ậữấụ Suy ra y ỳ: éểðạấị’’ủẩờừệứ Ghi ch ’ự≠’ề’ 0 = F ểếụấðạðýợầ ta c ’ựậ≠ộ ’ấề’ự≠’ 0 = F"xx + F"xy.y yx + F"yy. y y.y". ừðẽ”ề T àm ẩn 2 biến 2. H ýừựýýờợẩữếờớộốảếýừ T ýu tầm by hoangly85 14 S
  15. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 F(x,y) = 0 ẽðịộẩụậờấịếờề s éịnh lý : ảử≠ậờờấỏðềệ Gi n ụầởửậỳ ồấỳ ồ (i). F li 0, 0(x0, y0,z0) b F(x0,y0,z0) = 0; ồạðạụ≠’ ’ ’ ồấ≠’ (ii) T F , F trong B(P (x ,y z ) ≠ếề x, y z 0, z 0 0, 0 ðồạọễếýừ≠ậờờấụếðịộẩ Khi n ậửậậ ủðểậ ừữẩụậờấ trong l ,y ), s) c , y ). H ðạ00ậầ 0 0 ; 9; ỳ éịểðýợởộýờợẩềếừ Ghi ch : ờ ðịởýừầ = z(x1,x2, n) x ờ F(x1,x2, n, z) = 0 ớ dụ: V ẩụậờấðịởýừz Cho h = x + y + z ’ờ T x x" v xy". éạýừếðýợầ ’ụz ’ụễ ’ụ 1 + zx . zx x ếụấðạðýợầ Ti z ’ấ2 z zxx" = e . (zx + e . zxx" ; z ’ề ’ựz zxy" = e . zy x . zxy" Suy ra: zxx" = ýu tầm by hoangly85 15 S
  16. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 zxy" = ’ýừựýệ ’ờầ T y x ’ụ zy ð Do zxy" = ỰC TRỊ VI. C éịnh nghĩa và iều kiện cần 1. ụậờấềéểỳ ðýợọðểựðạậðịýừấủ X (x,y) ọễếậ0 ờấ≤ậ ớọậờấ ọấề f(x,y) khi c 0,y0) v B(P0, ýờợ Tr  ọấ ỳ ðểựðạậðị F(x,y) < f(x ,y ) (x,y) B(P , \ {P }th l ýừấặ00ủậờấề 0 0 0 ph ệựểậðịýừấðýợðịĩýừựềũựðạðị Kh ýừựểðịýừðýợọựịðịýừề ph éịnh lý: (Fermat) ếậờấðạựịðịýừạậ ðạ ạð N ,y ) v m ri ’ậ ’ậ 0 0 fx 0,y0) = fy 0,y0) = 0. éểạððạủðềằếðýợọðểừủề ằðịỉðềệầðểựịờðểừý Ch ắðểựịềéịð ðềệðủðểựịề ch éịnh lý (iều kiện ủ): ảửụậờấậậ ộðểừờậờấðạấị Gi y ) l ụộậ0, ủ0ậ éặ li x0, y0). A = fxx"(x0,y0), B = fxy"(x0,y0), C = fyy"(x0,y0), ýu tầm by hoangly85 16 S
  17. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 2 – v = B A.C ðầ Khi ế ốðạựịạậ (i). N > 0 th 0,y0). ế ốðạựịặạậ (ii). N < 0 th 0,y0). ừữầ H ðểựðạồ≥ (x0,y0) l 0; ðểựểồễếề (x0,y0) l ế ýếậðýợốậờấðạựịạậ (iii). N = 0 th ,y ) ề 0 0 hay kh ừðịểựịủụậờấýớðầ T ýớữầðạ B ýớịầðểừằảệýừầ B ýớĩầỨớỗðểừậ ðặ B 0,y0), A = fxx"(x0,y0), B = fxy"(x0,y0), C = fyy"(x0,y0),  2 = B - AC ấủ ủồðểếậề X v ýu ý éểếậðầðủềựịảýờợðểừ L : ạð ðểạð ồạðạấữấ m = 0 v ng t 2. ớ dụ: V ựịủốụ3 2 – 1) T + 3xy 15x -12y ’ụĩ2 2 – Ta c x + 3y 15, ’ụẳ– zy 12 zxx" = 6x, zxx" = 6y, zyy "= 6x ýu tầm by hoangly85 17 S
  18. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 éểðểừờảệýừầ ệýừởệờởðểừầ H M1(1, 2); M2(2, 1); M3(-1, -2); M4(-2, -1). ạ∞ T 1(1, 2): A = zxx"(1, 2) = 6 2 – B = zxy"(1, 2) = 12 => = B AC >0 C = zyy"(1, 2) = 6 ốðạựịạ∞ H 1(1, 2). ạ∞ T 2(2,1): A = zxx"(2, 1) = 12 2 – B = zxy"(2, 1) = 6 => = B AC 0 ốðạựểạ∞ ớ H 2(2, 1), v min = z(2, 1) = -28 ạ∞ T 3(-1, -2): A = zxx"(-1, -2) = -6 2 – B = zxy"(-1, -2) = -12 => = B AC >0 C = zyy"(-1, -2) = -6 ốðạựịạ∞ H 3(-1, -2). ạ∞ T 4(-2, -1): 9; ốðạựðạạ∞ ớ H 4(-2, -1) v max = z(-2,-1) = 28 ýu tầm by hoangly85 18 S
  19. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ảựịủụ4 4 – 2 – – 2 2) Kh + y x 2xy y ầ Ta c ảệýừðểðểừầ Gi ệýừĩệ ðểừầ H 3 P1(0, 0); P2(-1, -1); P3(1,1) ðạ ấịầ T h ạỳữậếờếấầ T 9; ýếậềựịạỳ ảảựếềậếờếấụ Ta ch 1 m ớ 0, v th ýừấ (n nguy ớ éềấằ V th . ọậủỳ ốðềịýừịềậỳ m h (0, 0) ảðể1 ựị 1 kh ạỳ ỳ ồụữếờửụ 2 – ạỳị T (-1, -1) v (1, 1) ta c -2, C = 10, =B AC = -96. Suy ra t ỳĩ2ốðạ3ựểặớầ v ýu tầm by hoangly85 19 S
  20. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 zmin = z(P2) = z(P3) = -2 ỰC TRỊ Cể éIỀU ỆN VII. C KI éịnh nghĩa 1. ốụ ớðềệộầ X (x, y), v (x, y) = 0 (*) ầ Ta n  ðạựðạặạậ ớðềệậảấ (x, y) , y ) v ếậ ỏậảấớọ0ậờ0ấỏậảấầậ   n 0, y0) th 0,y0) ta c (x, y) (x0, y0)  ðạựịặạậ ớðềệậảấ (x, y) , y ) v ế ðạựðạặ0ự0ểạậ ớðềệậảấ n (x, y) 0,y0) v ýừng phỏp nhõn tử Lagrange 2. Ph éịnh lý: ðềệầủựịðềệấ ( ảửầ Gi  ðạấữụộậ C (x, y) v (x, y) c ủðểậ ớ c 0,y0) v (x0, y0) = 0 hay . ðờế ðạựịạậ ớðềệ ồạ Khi (x, y) ,y ) v (x ,y )=0 th ốự 0 0 0 0 s sao cho: ốỡậờờ   ðýợọ éị H ) = (x, y) + (x,y) Lagrange. ððềệðủủựịðềệề éịnh lý: (iều kiện ủ của cực trị cú iều kiện) ýu tầm by hoangly85 20 S
  21. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ảử ðạấị ụộậủậ Gi (x, y) v (x,y) c li ,y ) ớ ậ  ðểừủỡềẩðầ 0 0 v (x0,y0) = 0, v 0,y0, ) l ế N ðịýừộềờỏộầ x 2 2  ðạự v +dy 0, th (x, y) ểặạậ ớðềệ ti 0,y0) v (x0,y0) = 0. ế2  ðịữềờỏộý N L(x ,y , ) x  0 0 ðạựðạặạậ ớðềệ tr (x, y) 0,y0) v (x0,y0) = 0. ế2  ðịấềự N L(x ,y , ) kh ị ðề0ệ0ạậ tr c 0,y0). ừðịểựịðềệýừửỡ T ýầ nh ýớữầỡậỡ B    L = (x, y) + (x,y) ( R) ýớịầ B ảệýừððểðểừậ ớ v ,y ) c ị ýừứề 0 0 gi 0 t ýớĩầấịủỡụỡậờấ B ộầ v ( ) ýu tầm by hoangly85 21 S
  22. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớỗðểừậ   ðýợýớịờ ồụ V 0,y0) v = 0 t x 2 ụộấề d L(x0,y0) (ph ếồễếớọờðồờằếỏộậảảấ N ốðạựểðềệạậ th 0,y0). ếồ≥ếớọờðồờằếỏộậảảấ N ốðạựðạðề ệạậ th u ki 0,y0). ếấủồðịðồờằ N ỏộậảảấốðạựịạậ 0 th 0,y0). ớ dụ: V ự ịủụ2 2 ớðềệựụở T r + y v ậỡầ L 2 2  L(x,y) = x + y + (x + y - 4) ầ Ta c ðểừằảệầ T ộðểừ∞ậịờịấứớ Ta c = -4. ðạấịủỡậờấầ T , , 2 2 2 d L = 2dx + 2dy . ậ2 ạ∞ậịờịấốðạựểậðềệấạðớ V L > 0 t min = z(2,2) = 8. ýu ý: ýờợừệứ L Trong tr (x,y) = 0 ểðýợữếếờẳạểụ ằ ta c (x) th ếụ ểýữếầ c (x) v th  z = z(x, (x)) ýu tầm by hoangly85 22 S
  23. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ðểựịủýữếề Khi ạụờấầ X – x + y = 4 y = 4 x Suy ra z = x2 + y2 = x2 + (4-x)2. ữếầ Xem z l ’ậấụị– – z 2(4 - x) = 4x 8 ’ậấụế z x = 2 ậảếờầ L X - 2 + ’ậấ Z - 0 + Z 8 ậụ2 2 ðạựểậớðềệựụởấạ∞ậịờịấớ V + y min = 8 Á TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT VIII. GI   2 éểỳậờấ ðýợọộðểủ ồ ạộ Cho D . D D khi t n t ầởửậỳờ ðềứðểộ ðểộ ậợ h ) D v D . T ðểủ ðýợọủ ề ðýợịềð ứ D D. Mi D D ch ọðểủề m ểịớấịỏấủ ộềð Ta c (x,y) tr ịặ ýầ v D nh ýớữầ ’ ’ềỨảệýừ B tr ðểðểừởầủD ýớịầðểạð ðạ B c ýu tầm by hoangly85 23 S
  24. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ýớĩầịớấủ ủ ðếựị B (x,y) tr D (li ðềệấ c ýớởầịủốạðểðýợởýớữờýớ B ớịớấỏấậởýớĩấðểịớấ 2 v ỏấủốề v ớ dụ: ịớấỏấủố V T 2 2 – z = x + y xy + x + y ề ớạỡầ tr D gi 0, y 0, x + y -3 ầ Ta c ảệầ Gi x = -1, y = -1 ðýợữðểừ∞ậ ớậ Ta t -1,-1) D, v -1,-1) = -1 ủề ồĩðạẳẫồờẫửồửề Bi D g ẫồầ Tr x = 0, -3 < y < 0 z = y2 ’ụịựữụế z y = ộðểựịẫồ ớ m v ýừựờ T ẫửựịạ ớ tr v ồửựịạ ớ tr v . ạðểẫờồử ầ T ta c ýu tầm by hoangly85 24 S
  25. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 z(0,0) = 0; z(0,-3) = 6; z(-3,0) = 6 ậịớấỏấủ ầýợẳ V D l ịụ ớ ịớấủẳạồậếờ So s -1, z=6 v ta suy ra gi - ửậ ịỏấủ– ạ∞ậ 3) v -3, 0); g 1 t -1, -1). ÀI TẬP CHíếNG 01 B ềðịủốầ 1-T a) b) c) d) ðạủốầ 2-T e) f) g) h) ðạạ ủ ầ a) T c h ðạạậếờếấủầ b) T ýu tầm by hoangly85 25 S
  26. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ầủ ốầ 3-T h i) j) ấịủố 4- T k) l) m) n) ộếảềéặụậ2 2 ứỏằả 5-Cho f(t) l -y ). Ch ýừầ ph ứầ Ch ớ a) v ớ b) v ựịủốầ 6- T o) p) ýu tầm by hoangly85 26 S
  27. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 q) r) s) t) ựịðềệầ 7-T ớðềệ a) v ớðềệ b) v ịớấỏấủốầ 8- T ớạởðýờ c) trong tam gi ớạởðýờ ụ d) trong h v ho ớạởðýờ e) trong h ðạủợ 9-T ớ ð f) v trong v ớ ð g) v v trong v ầðầ 10-T h) i) ðạ’ủẩụậấðịởýừầ 11-T ýu tầm by hoangly85 27 S
  28. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 j) k) ẩụậờấðịởýừ 12-Cho h T v ýu tầm by hoangly85 28 S
  29. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 íếNG II: TÍCH PHÂN BỘI CH Đ1. Tớch phõn kộp éỊNH NGHĨA VÀ CÁC ÍNH CHẤT I. T éịnh nghĩa 1. ðịềðờịặ ề ảờ Cho h f(x,y) x D. Chia mi D th ệầýợ ỗả ấ nhau D , D , , D c S S , , S . Trong m D , l 1ộð2ể n ậổậọổ1, 2n ủ i t Mi(xi, yi). L c f(x,y)) ọ ảớấữðể ếồạớạ G d(Di) l Di. N ữạờụộề ọðể h D v M (x ,y ), th ọảề ọủ i i iề f(x,y) g D, v S g f(x,y) tr D, ệ k ế ảề ụộề N f(x,y) kh D, th ðờề ởðýờẳớụọðộềẩðờ D. Do D b  à dS = dx . dy Si = x y v ậểế V ýờứðýợằầổ ụộềðờịặ Ng f(x,y) li D ảềðề th ớnh chất: T ệủ a) (di D) ýu tầm by hoangly85 29 S
  30. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 b) c) ế    d) N D = D1 D2 , D1 D2 = th ế  e) N f(x,y) g(x,y) (x,y) D th ế  ∞ằốờ f) N f(x,y) M (x,y) D, m v ế ụềðờịặ ồạðể g) N f(x,y) li D th M(x ,y ) sao cho éị00ềịấề ( éạýợ ọịủ g f(x,y) tr D. í nghĩa hỡnh học 2. ầộểủậể ớạýớởề  ớ Ta x to gi D (Oxy), gi ạởặýừ ớạởặ h z = f(x,y) 0 v ụðýờớẫðýờẩủắộề tr ểủ ằýừầðề Ta t b ýu tầm by hoangly85 30 S
  31. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ề ảờ ệ ấ Chia mi D th D ,D , ,D c S , S , , S . L ỗảỏðờựụ12ðnýờ1 2ớ n ặ m Oz, m ớạởặ tr z = f(x,y). ụứầð ấữðể∞ ểụ X D , L (x ,y ). ta c ứ i i i i th Vi f(xi,yi). Si ểầðủ Th : ấỉếớả ðýờ Ph D c ỏậ ðýờủ i nh d(Di): Di ) ậ V ÁCH TÍNH TÍCH P ÂN Kẫ II. C H P éýa về tớch phõn lặp 1. ế N th ýu tầm by hoangly85 31 S
  32. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ế N th ớ dụ 1: ðịậủ ớề ðịở V X v D x ðýờ y = 0, y = x, x = 2 y = 0, y = x2, x + y = 2 ải: Gi ểễ C D: ặ ho ð Do ịểễ C D: ýu tầm by hoangly85 32 S
  33. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớ dụ 2: ớạởðýờ – 2 V T , D gi y = x 4, y = 2x ải: ðộðểầ Gi Ho ðờề ðýợểễ Do D ậ V éổi biến trong tớch phõn kộp 2. éổi biến tổng ỏt a. qu ảử ðạụề Gi x = x(u,v), y = y(u,v) l ðờịặ ọ Duv. G ế ả ðịứỹ N f(x,y) kh Dxy v tr Duv th ýu tầm by hoangly85 33 S
  34. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớ dụ 3: ớ ớạởðýờ V T v D gi ải: ðýờẳếạ Gi C éặ – u = x + y, v = 2x y th ậ V ớch phõn kộp trong tọa ộ cực b. T ứệọðộ C x = r.cos y = r.sin ầ Ta c ậầ Do v ớ dụ 4: ớắớạởầậ– 2 2 V T , v 1) + y 1, y 0 ải: Gi ýu tầm by hoangly85 34 S
  35. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 R ậ– 2 2 ðýợụị Thay x = rcos , y = rsin v 1) + y = 1, ta ậ V ðầ Do ớ dụ 5: ớắ2 2 2 V T v + y R . ải: ểệọðộựờầ Gi Chuy ðầ Do ÀI TẬP B 1 -T a) b) c) ýu tầm by hoangly85 35 S
  36. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 d) 2-T 2 a) , D: 0 x 2; x y 2x b) , D: 0 x 2; -1 y 1 c) , D: xy = 1; y = ; x = 2 éổứựếấ 3- a) b) c) d) 4- T d) , D: ; y = 0 e) , D: y = x; ; y = 0 2 2 f) , D: x + y 1 g) , D: ; a, b > 0 ýu tầm by hoangly85 36 S
  37. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 h) , D: – i) , D: y = x + 1; y = x 3; ệềắớạở 5-T j) D: y = x2; y = x + 2 2 – 2 k) D: y = x; y = 2x x l) D: ; x = 1; y = -1 m) D: y = 2x; y = -2x; y = 4 Đ2 Tớ õn bội 3 ch ph éỊNH NGHĨA VÀ TÍNH C ẤT I. H éịnh nghĩa 1. ố ðịềðờớộ ủẫề Cho h (x,y,z) x c ề ềỏể ờ ấộðể Chia mi th V , V . L ềỏứề 1 n Mi(xi,yi,zi) trong mi ậổ L ếớạ ữạờụộề N : h , ∞  ọảề ỗọộĩủ v , th (x,y,z) g , v i ệ tr , k ýừựýờệộĩýờ T ế vi ýu tầm by hoangly85 37 S
  38. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ầỷế ểủ Ch (x,y,z) = 1 th (th ). ớnh chất 2. T ế N th ế   N (x,y,z) g(x,y,z) (x,y,z) th ế ụềð ịặ ồạðểậ N (x,y,z) li ng, b th ,y ,z )  0 0 0 sao cho éịềịấ ( ÁCH TÍNH TÍCH P ÂN BộI 3 II. C H ớch phõn bội 3 trong hệ tọa ộ Descartes 1. T  ớạỡầ Cho gi ặầụ M 2(x,y) ặýớầụ M 1(x,y) ặụðýờớụẫðýờ Xung quanh: m ẩủềắộặẳẫềậắếủ chu  ốặẳẫấề xu ð Khi ýu tầm by hoangly85 38 S
  39. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ếề N th ớ dụ 1 ềÙớạởặầụếờụếờụếờựựịụịề V : Cho mi ếộĩ ứựầ Vi theo c a). dxdydz b). dxdzdy c). dydzdx ải: Gi ế ủÙốặẳẫề a). H c ớạủÙầ Gi ớạýớủÙầ Gi ậầ V ýu tầm by hoangly85 39 S
  40. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ếủÙốặẳẫề b). H ớạủÙầ Gi ớ ạýớủÙầ Gi h ậầ V ế ủốặẳẫ c). H c ớạủ ầụị Gi l -y-2z ớạýớủ ầụế Gi l ậ V ớ dụ 2  ềớạởặầ V : T , l z = x2+y2; z = 4; x = 0; y = 0. ải: Gi ýu tầm by hoangly85 40 S
  41. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ếủềÙ ốặẳẫ ầ H u h ặủÙầụởờ M ặýớủÙầụ2 2 M +y . ậ V y: ớnh tớch phõn bội 3 trong hệ toạ ộ trụ 2. T ýu tầm by hoangly85 41 S
  42. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ạðộụủðể∞ậờờấộốậờửờấờớậờửấạðộựủế To ủ∞ốặẳẫậổẽấ c ầ≥ếủế≤ử≥ịðủ ∞≥≥ự∞ề Ta lu - ốệữạðộắạðộụ M ử x = r cos ử y = r sin z = z ầ Ta c ớ dụ 3 ớÙềớạởụ2 2 V : T v +y ; z = 4 ải: Gi ếủÙốặẳẫ2 2 ≤ở H +y ểạðộụ Chuy ýu tầm by hoangly85 42 S
  43. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 Ùớạởầ≤ử≥ịðủế≤≤ịủ2 ≤≤ởề ậầ V ớnh tớch phõn bội 3 trong hệ toạ ộ cầu 3. T ạðộầủộðể∞ậờờấộĩốậờốờử ớụẫ∞ờốữụ To ), v ửữụẫ ớ∞’ ếủ∞ốặ Oz v , , v chi ẳẫề ph ầớọðể∞≥ếủế≤ố≤ðủế≤ử≤ịð Ta c ốệữạðộắạðộầầ M ốử x = r sin ốử y = r sin ố z = r cos ứệạðộầ C ớ dụ 1 ớÙềớạởặầ V : T v x2+y2+z2 = 1; x2+y2+z2 = 4. ểệạðộầờầ Chuy ềÙðịởữ≤≤ịủế≤ố≤ðủế≤ử≤ịðề Mi ậầ V ýu tầm by hoangly85 43 S
  44. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớ dụ 4 ớÙềớạở2 2 2 ≤ề V : T v +y +z ểệạðộầầ Chuy ềÙðịởế≤≤ốủế≤ố≤ ≤ử≤ịðề Mi ; 0 ậầ V Đ3 Ứng dụng của tớch phõn bội ỨNG DỤNG HèNH HỌC I. ớnh diện tớch hỡnh phẳng 1. T ệủềắặẳẫ Di ể tớch vật thể 2. Th ậểÙẫầ V ếÙớạởặụ ớạýớởặụ ớạ N (x,y) , gi (x,y) v ởặụðýờ2ớẫðýờ1ẩ xung quanh b ủềắặẳẫ c ớ dụ 1 ểầ ằặầ2 2 2 V : T n +y +z = 4 ải: Gi ýu tầm by hoangly85 44 S
  45. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ọÙậể ằầ2 2 2 ≤ở G n +y +z ểệạðộầ Chuy ềớạởế≤≤ịủế≤ố≤ ≤ử≤ịðề Mi ; 0 ậ V ớ dụ 2 ểầỞ V : T ải: Gi ểầầ Ta c ầÙầ2 2 2 ≤Ở2 H +y +z ểệạðộầ Chuy , ềÙầế≤≤Ởờế≤ố≤ðờế≤ử≤ịð V ậầ V ỨNG DỤNG Cế HỌC II. ýu tầm by hoangly85 45 S
  46. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớnh khối lýợng 1. T ốýợủ ậểÙốýợạðể∞ậờờấậờờ a. Kh v ầ z) th ếảẳắặẳẫốýợậờấ b. N : ỏn tớnh của vật thể Ù với khối lýợng riờng ủ(x, y, z) ối với 2. Momem qu ụẫầ c. tr ụẫầ d. tr ụẫầ e. tr ðýờẳỡầ ả f. , r(x, y, z) l ừðể∞ậờờấðếỡ t ặẫầ g. M ặẫầ h. M ặẫầ i. M ốọðộầ j. G ĩnh của Ù với khối ýợng riờng ủ(x, y, z) ối với 3. Momen t l ặẫầ a) M ýu tầm by hoangly85 46 S
  47. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ặẫầ b) M ặẫầ c) M ọng tõm của Ù với khối lýợng riờng ủ(x, y, z) là 4. Tr ÀI TẬP B ớÙ 1- T v ớạởế≤≤ữủữ≤≤ịủị≤≤ĩề a) gi ớạởặầựựụữủụếờụếờụếề b) gi ầ 2-T Ùầụ2 2 ấề≥ếờ≥ếấề a) , + y ; z = 4, x = 0, y = 0 (l Ùầụ2 b) , , y + z = 1, z = 0. ầ 3- T Ùầụ2 2 2 2 a) , + y ; x + y = 4; z = 0. Ùầ2 2 b) , + z = 1, y = 0, y = 1. Ùầ 2 2 c) , , z = x + y . Ùầầ ứấủốầðừịề d) , th Ùầ2 2 2 e) , + y + z = 2; . ýu tầm by hoangly85 47 S
  48. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 Ùầ2 2 2 ≤Ở2 ≤ếề f) , + y + z , x ểậớạởầ 4-T 2 2 – 2 – 2 a) z = x + 3y , z = 8 x y – 2 ặẳọðộằầứấ b) y + z = 2; x = 4 y , c c) x2 + y2 + z2 = 2z, x2 + y2 = z2. – 2 – 2 ặẳọðộằầứấề d) z = 4 x y , c ðốớụẫờẫờẫủốữậðồấ¿ầ 5- T ọðộọủậểðồấớạởặụếờ2 a) T + y2 + z2 = 4. ọðộọủửầ2 2 2 ≤2 ≥ếếố b) T + y + z , z ýợạỗðểỷệớảừðểððếốọðộề l ýu tầm by hoangly85 48 S
  49. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 íếNG III: TÍCH PHÂN éíỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT CH ÍCH PHÂN éíỜNG L ẠI MỘT I. T O éịnh nghĩa 1. ậ∞ấðịồửềũ ầ ởðể Cho h th t ≥ồụửềéặ ðộồồ ồồ ấ A = Ao < A < li l v l ộðể∞1ờụữờịờ ờề -1 -1 m ữềữấ (H ậổầ L ếớạữạỗ ụ N sao cho max{ li } 0 v ộồồ ọ∞ờ ỗðýợọ thu -1 v ðýờạữủ ðýợệầ a f(M) tr v ậầ V ýu tầm by hoangly85 49 S
  50. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ðậ∞ấảồửề Khi ế ộặẳịếậờấệầ N thu ờậờờấệ Trong kh í nghĩa thực tế: ậấạỡậðộốýợậ∞ấụộðể Xem 1 d ờốýợủậấầ M tr ðýờạữềứụự ếờðýợởụỗề≤ T c t éịnh lý tồn tại 2. ếậ∞ấụọừ ðýờạữồạề N th ỏc tớnh chất 3. C ðýờạữụộýớủờĩ T ầ l ếờảồửằốựũảầ N ếảồửũữðểồử N ầ th ếậ∞ấ ảồửầ N 0 kh ýu tầm by hoangly85 50 S
  51. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ếảồử ũảồử N c ầ v ýu ý: ếồửừừậĩồửểữốữ L N ạừấậ∞ấụồửðịồạấ h ẫðề tr éịnh lý (về giỏ trị trung bỡnh) 4. ếậ∞ấụừồửðộỡềẩðồạðể ộ N thu ỏầ AB th ụng thức tớnh tớch phõnýờng loại 1 trờn mặt phẳng 5. C ú phýừng trỡnh tham số : a) Cung c ốậờấụừ ýừ Cho h , v c r ốầ tham s ðạởðểầ Chia [a,b] th ≥ụề a = to < t1< . ðồửðýợýừứởðểồậậấờ Khi ềờềðịịầ y(tk)), k= 0,1,2 ấðểữ∞ậậấờậấấổầ L ýu tầm by hoangly85 51 S
  52. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ếảổðịờớạờðýợầ V ú phýừng trỡnh: y = y(x), a b) Cung c x b : ðừứờầ Khi ú phýừng trỡnh tọa ộ cực c) Cung AB c ế ốờầ N l ậầ V ụng thức tớnh tớch phõn ýờng loại 1 trong khụng gian 6. C ốậờờấụừồửềũ Cho h c ýừốầ ph ýừựýầỗềỏềờầ Ho ỏc thớ dụ 7. C ýu tầm by hoangly85 52 S
  53. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớ dụ 1: ớũðýờạðỉẫậếờếấờ a) Th T V A(1,0), B(0,1) ữềịấ (H ầ Ta c ầ Tr : y=0, dl = dx n ầ Tr : x=0, dl = dy n Tr : y= 1-x ậầ V ýu tầm by hoangly85 53 S
  54. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớ dụ 2: ớũðýờýừầ b) Th T V ửụọðộựầ S ậầ V ớ dụ 3: ớ ýừầụờụờụờ c) Th T V c 0 t 3 ốờầ Xem t l ớ dụ 4: d) Th ớðýờỡầọðộứấủế T v ữặỳýừụị 2 2 ặụ gi - x -2y v 2 ừðểậếờữờếấðếậữờếờữấ z = x t ốụờầ D ýu tầm by hoangly85 54 S
  55. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ỡằọðộứấờðýợýừốầ V ðầ Do ậầ V Ứ ụng của tớch phõn ýờng loại 1 8. ng d ối lýợng 1 cung: a). Kh ảửậấềỡốýợụộðể∞ Gi  ðớữỏồồ ầ d (M). Khi +1, c ậầ V ớạðýợầ Qua gi ĩnh (moment thu nhất), ọng tõm cung phẳng : b). Moment t tr ẳ ộặẳờốýợụộ Cho 1 cung ph thu ðể∞ậờấ ðịĩừọờ (x,y). Theo ýu tầm by hoangly85 55 S
  56. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ứủ ðốớụẫ∞ðốớụẫ ta c ∞ầ l ừðọốýợủồửðýợðịởầ T ế ðồấờ ằốờầ∞ụ ề N l (x,y) = h .L (L l ọðộọẽầ cung AB), v ũớằầ ắụẫụẫ C kh ệặẳðạầ di ừứạðộọờầ T ớ dụ 5 ọủửẫỞề Th : T ảầ ửồửếềắðốứọậờấả Gi X ằụẫậ ửồửụẫðýợ n ). Khi n ảầệặầầụở 2 ðộửồửỡụ qu R , v ậọðộầ R. V ĩnh (moment thứ nhất), trọng tõm cung trong khụng gian: c). Moment t ýu tầm by hoangly85 56 S
  57. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ế ớốýợ  ýừự N trong kh ri (x,y,z) th ýờợẳốýợĩồửðốớ tr ặọðộếờếờếầ c ọốýợủ ứầ V cung c ếồửðồấậ ằốấ ầ N =h v ớ dụ 6 ửằðặặẳ0 ýừ Th : Cho n z c 2 2 ế ốýợ – ố tr + z = 1, z 0. Bi t kh (x,y,z) = 2 z. H ýợọủửðề l ữềĩấ (H ửằặẳờọụếề Do n Ngo ðốứốýợốðốứðốụẫọ ýừốủửầụếờụờụờế y=0. Ph t ậầ V ýu tầm by hoangly85 57 S
  58. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ỏn tớnh (moment thứ hai) d). Moment qu ứ ớốýợ ðố Ta c v (x,y,z) ớụạðộầ v ổờðốớðýờẳ ðýợởầ T ớậờờấầảừðể ðếðýờẳ V m M(x,y,z) ẳệứýừựề Khi cung l ện tớch mặt trụ e). Di ộ ớ ếố Cho m trong kh 0 c ặẳế ặụớðýờụẫ m Xem m z, ðýờẩũắớạũắờớạýớởồửờớạ ởðýờẳồũờửắ 2 b ýu tầm by hoangly85 58 S
  59. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ữềởấ (H ảửũắýừụậ∞ấờ∞ Gi AB ầởðểồụồờồ ờồụử Chia cung AB th 1, ðặụũðýợýừứặụỏờặụứ Khi ớðồồ ệðýợầð ệữậ v c ng di ð +1 ềậ∞ấờớ∞ ụ c i = AiAi+1 chi AiAi+1 l i x f(Mi). ðệặụệầðầ Khi ớ ạờầ Qua gi h ớ dụ 7 ệầặụ2 2 2 ằữặụế Th : T + y = R n ở z= 0 , y 0. ải: ặụớạởðýờụ ớạýớở Gi Do m , gi 2 2 2 ặẳờýừầụỞ v + y = R trong m s t, y = Rsin t , 0 t /2 ậầ V ầ Ta c ýu tầm by hoangly85 59 S
  60. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ÍCH PHÂN II. T éíỜNG LOẠI HAI éịn ĩa tớch phõn ýờng loại hai trong mặt phẳng 1. h ngh ỳậờấờẵậờấðị ộặẳềũ Cho 2 h thu ầởðểồụồ≥ồ ≥ồụửờớồậờấ th < ỗ ấộðể∞ậờấ1ờụữờịờ ờðặ – m AiAi l xi = x –+1 i+1 xi , yi = yi+1 yi ậổầ L ếớạữạỗ ớ ðộ N sao cho max{ li } 0 v li l ụộðạ ồồ ọ cung AiAi v v ỗðý+1ợọ ðýờạịủậ∞ấồ-1 ửðýợệ Mi, th h ph ầ l ậầ V éịnh lý 2. ế ỳậờấờẵậờấụộềởứồửừừ N u c ðýờạị ồạề kh lu ớnh chất 3. T ðổýớ ổ – a). Do khi th th xi = x xi , – ðýợằ ðýờạịịðổiấ+1ề yi = yi yi - xi , - yi n ầ +1 c ýu tầm by hoangly85 60 S
  61. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ððýờấðýờũờýớýớýừũ Do ýớðọũ ềịặởũằềổýớýợ l mi ạýớềýớýừðýợệầ l ịềữấ (h ếỳậờấờẵậờấả ðýợị b). N , v ỳờẵũảịðờ , th : ụng thức tớnh tớch phõn ýờng loại 2 trờn mặt phẳng 4. C ú phýừng trỡnh tham số : a). Cung AB c ốỳậờấờẵậờấụềởắứừ Cho h . Cung c ýừốầụậấờụậấờ ứớðểồụ ứớ ph t b, t=a b ðểửề ừðịĩể ổủịệ T l ớạủịấầ (gi ýu tầm by hoangly85 61 S
  62. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ðạởðểầụ≥ ≥ụềẩðồử Chia [a,b] th < ðýợýừứởðể1ồậậấờậấấờụếờữờị ềờề ðịỡầ ỏầ th ấðểữ∞ậậấờậấấầ L ýừựầ T ýậứðýờạịðýợ Nh ðịầ ế ýừụậấờ N c t b th ỳ ý : ứẫð ừừề Ch C tr ài toỏn cừ học dẫn tới tớch phõn ýờng loại 2: cụng do một lực sinh ra trờn 5. B ột cung m ự ọ X to sinh ra d . ếự ðổðýợếầ N kh ýờợổờ ởðểồụồ≥ồ ≥ồụ Trong tr b 1 < ỗồồ ấộðể∞ ờớụữờịờ ờềỷế B. Tr -1 l t ểấỉðạẳồồ ự ðổấỉ AiAi+1 kh +1 v l ýu tầm by hoangly85 62 S
  63. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ở ð ồồ ðýợấỉở b . Khi g sinh ra tr +1 ðờầồồ ≠ậ∞ấềồồ . Khi = xi + yi. v = P(x,y) +1 -1 xi + Q(x,y). yi ýậồửðýợấỉởổầ V ếớạữạỗ ớ ðộ N sao cho max{ li } 0 v li l ụộðạồ ồ ọ∞ờ cung AiAi v v ỗðýợ-1ọðýờạịủậ∞ấồử-1ðýợệ ầ th l ếảổðýờạịủốỳậờấờẵậờấọ V ớạðýợầ cung AB. Qua gi ừðýờạịọằề T ựếũẫớệớạẫớệðýờ b ạịề lo ột số thớ dụ tớch phõn ýờng loại 6. M 2 ớ dụ 1 ðýờạịầ ớồậếờếấờửậữờữấềũ Th : T v ðýờầ AB l éạẳồửýừụờế a). x 1. éýờỳụ2 b). . ải: Gi ớồửầụờế ầ a). V x 1 th ýu tầm by hoangly85 63 S
  64. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớồửầụ2 ầ b). V , 0 x 1 th ụ ấðýờạịụộðểðầ V y cho th ốồờửụộðýờốịðểðầố cu ớ dụ 2 ðýờạịầ ớũẫậếờếấ Th : T v ữờýừầụờụờế b t 2 ậầ V ớ dụ 3 ởự ọ Th : T d : x = t, 2 y = t , 0 t 1 ầ Ta c ớch phõn ýờng loại 2 trong khụng gian 7. T ốỳậờờấờẵậờờấờỞậờờấụềởắứừ Cho h , ýừựý ặẳờðịĩðýờạ th tr ầ kh ế ýừầụậấờụậấờụậấờ ứớðểồ N c t b, t=a ụứớðểửờðạụậồửừấờ v ứầ th ýu tầm by hoangly85 64 S
  65. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ự ọ ðýợởầ C d ớ dụ 4: ỳụờẵụờỞụọ ýừ Th T c ầụờụờ tr z = 3t , 0 t 2 ờn hệ giữa 2 loại tớch phõn ýờng loại 1 và loại 2 8. Li ảửồửýừốầụậấờụậấờụậấờ ớ Gi t b, v ðộềỡðừầ ừế l vect ðừịềẩðếọ   ủðốớụọðộẫờẫờẫ , , l ýừứờầ t ’ậấụ ’ậấụ ’ậấụ x s , y , z ậðýờạðýợằầ V ýu tầm by hoangly85 65 S
  66. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớch phõn ýờng khụng phụ thuộc tham số của cung lấy tớch phõn. 9. T ảửồử ýừốậấụậấựậấựậấờ Gi ph t b, t=a ứớðểồụứớðểửềỷốụ ệữ (s) li ốờớ   ðồửýừ tham s s , a= ( ), b= ( ). L ốầỞậấụ s r( (s) ). ậðýờạủừ≠ồửðýợởứầ V ðềấðýờụộốủấề ễNG THỨC GREEN III. C éịnh Lý Green 1. ềðớộặẳũðýờừừề Cho D l ỳậờấờẵậờấðạủụềởứ C ðứỨầ D. Khi ðầðýờạịởếấýớýừ Trong ếũểồềếũữờũịờũĩờ ềẩðềắ Ch : Chu tuy ọðờỗềếũọữầề∞ềắ g ọðừếỉữầề g ýu tầm by hoangly85 66 S
  67. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ĩềữấầðừ (h ĩềữấầð (h ớ dụ 1 ớỳậờấụ– ớắẫậếờếấữề Th : V y ; Q(x,y) = x. V ũýừầụờụờế Bi t 2 . ðầ Khi ầ v ýu tầm by hoangly85 67 S
  68. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 Ứng dụng éịnh Lý Green ể tớnh diện tớch phẳng 2. ứỨờấỳụ ầ Trong c -y, Q= x, ta c ậệềắũầ V ớ dụ 2 ệừầ Th : T ếừðýờừýừầụờụờế Ta bi t 2 ứỨờầ Theo c ớ dụ 3 ệẳằðýờọðộựề Th : T ầụậ Ta c ) cos ; y= r( ) sin ầụ’ậ ’ậ N ) cos - r( ) sin d ; dy= dr ) sin - r( ) sin d ðừứỨệềắầ Khi éIỀU KIỆN éỂ TÍC ÂN éíỜNG LOẠI 2 ễNG PHỤ IV. H PH KH ỘC éíỜNG LẤY TÍCH ÂN THU PH ụ≤ấðýờạ ữụộ Th kh ðểồờửụộốịðểồờửềéịếðề c ệðểðýờạỉụộðểðầờðểố ki ụộốịðểðề ph ýu tầm by hoangly85 68 S
  69. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 éịnh lý 1 1. ỳậờấờẵậờấðạấộủụ Cho c ộềởðừắềũệðềýừðýừầ m ụộðýờừừốồờử i) T kh h ồạữậờấểứỳậờấựẵậờấ ii) T ầủờĩịầụỳậờấựẵậờấ ph iii) trong D ớọếừừắ vi) v ýu ý éịểểềðềụấắềị L : ờóằ ữðồẫờỞ li gi , R . X ầ 1 2 ph ấịðểồờửịốũ ýởềữ L 1, C2 nh ởềữấ (H ũụũữựậ ềắờầ ỏậéẩấ Ta c -C2 ). Trong mi th ủéịữ c ýầ Nh ýu tầm by hoangly85 69 S
  70. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ĩụộðýờấề C ỏch tớnh tớch phõn của ịnh lý 1 2. C ảửỳậờấờẵ ỏðịữờậ ỉụộồờ a). Gi (x,y) th ch ửểếýớạầ v ảửồậ ðểðýờạịðýờðừ Gi ,y ) B(x ,y ). Khi ảấ0ốị0 ðể1ồ1ờửðýờấớụọðộờụ gi ấũậ ấðýờồũờũửề l 1,y0) v ởềịấ (H ðầ Khi ớ dụ 1 Th : T ỳụờẵụ ặẳềợầ Ta c trong to ýu tầm by hoangly85 70 S
  71. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớ dụ 2 Th : T ðýờắðýờẳựụếờầ Theo ậợầ V ếỳờẵảðịữờếðýợỏụỳựẵ b). N ầ ta c ậậ ảửồửýừầụậấờụậấờ ấ Th y , gi t b. Khi ầ c ớ dụ 3 Th : T ậấầựụềậậầ Ta nh ớ dụ 4 Th : T ầ Ta c ýu tầm by hoangly85 71 S
  72. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ậầ V ớch phõn ýờng loại 2 trong khụng gian 3. T ờ ýừựðịữầ Trong kh t éịnh Lý 2 : 3.1 ỳậờờấờẵậờờấờỞậờờấðạấộủ Cho c ụộềởðừắềũệðềýừðýừầ t ụộðýờừừ i) T kh ốồờử D n ồạữậờờấểứỳậờờấựẵậờờấự ii) T ầủờĩầ R(x,y,z)dz l dU = P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz iii) Trong D ta c ớọếừừắ vi) v ỳ ý : Ch ỏðịịðýợỏðề Khi P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) th ệờðầ ki ếýếậờờấðýờể ðýờ N ấụọðộềỨảửờðểồậ g ,y z ), B(x ,y z ) th ấịðểũậ 0 0, 0 1 1, 1 l 1,y0, z0), D(x1,y1,z0) ýu tầm by hoangly85 72 S
  73. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ởềĩấ (h ðầ v ớ dụ 5 Th : T ầựựụậấ Ta c ậầ V ớ dụ 6 Th : T ầỳụựờẵụ ỏðềệấ Ta c - exsiny, R = xy+z th ủéịịầ c ýếụðịịờồạầ Nh ’ ’ ’ U x = y, U y = x, U z = 4 ýu tầm by hoangly85 73 S
  74. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ừ’ T x = y -> U(x,y,z) = yx+ f(y,z) ớ’ ầ’ ’ụ ’ C y = x c y = x + f -> f y = 0 ụộ f kh ph -> f= h(z) -> U(x,y,z) = yz+h(z) ớ’ ’ậấụở c z = 4 h h(z) =4z+ C ậậờờấụựởựũ V ệảỏầụế V ’ yx + 4z = C ÍCH PHÂN MẶT LOẠ V. T I 1 éịnh nghĩa 1. ốậờờấðịặềũ ặ ờ Cho h th S , S , Sn ồệýừứủặũ1ệ2 kh S , ờ ỗặ ấộðể∞ậờờấấỳềỡậổ1 S , Sn . Trong m Si l 2 ầ ph ðýờủặ ếổ Khi cho max {d( Si) } -> 0 (d( Si) : Si ), n ếớữịữạụộ ặ ấðể∞ Sn ti h chia m ớạðọặạữậọặệủ th ậờờấặấệầ h ðảề Khi ặðýợọặừếừế ụ ế M li v ềéứðýợằầếậờờấụặừ tr ặạữủậờờấồạề ph ớnh chất 2. T ừðịĩấầ T ýu tầm by hoangly85 74 S
  75. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ếờảờựũảầ N ếðýợịầụ ầ N 1+S2 th ệặðýợ Di : ỏch tớnh tớch phõn mặt loại 1 3. C ảửặýừụậờấờớậờấụðạ Gi ụềởứếắủ ốặẳề ri S xu ầð ằảẳếýừứậýừữấầ g Si b ð ệếủ ốặẳềỷýậ Trong Di l Si xu ổặạữầ t ếảổờớạầ V ýậặạữðýợểễởạếề Nh ấụữạứệặởýừữ Khi l ớ dụ 1 ặậể 2 2 Th : T S l : x +y z 1 ậể ờồịặụữựịờðữụặ V l ờịầặðủờữờịếặ n ầ2 2 ếầ tr + y 1. V ớặữầụ V ýu tầm by hoangly85 75 S
  76. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớặðịầụữờụờ V ậầỗụ V ớ dụ 2 ặậýừầế Th : T S l x 1, 0 y 1, 0 z 1 ỏềữấ (H ẳặủậýừờýụếĩặằĩặ Do S l ẳọðộậờờấờỉầặấờấờấ ph ỏềữấầ (h ặấầụữờắầầế ặờầ M x,y 1 trong m ýừựầ T ýu tầm by hoangly85 76 S
  77. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ậỗụ V Ứng dụng của tớch phõn mặt loại 1 4. ặốýợệ ạðểậờờấềẩðầ Cho m (x,y,z) t ốýợủặầ Kh ĩðốớặọðộủặầ Moment t ốýợủặðểọðộầ T ðốớụẫờẫờẫờớẫðýờẳ ầ Moment qu l ðậờờấảừðể∞ậờờấớðýờẳ Trong . ớ dụ 3 ọủửặầẫậếềếờếấờớốýợ Th : T  ằốề ri = h ýu tầm by hoangly85 77 S
  78. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ọ∞ậờờấọủửặầẫậếềếờếấềẩð G ýừặầầịựịựịụịờ ðốứụếờ ph 0. Do t ỉầứ =0. ta ch c ệửặầầụị 2 ắờ S l a , v ếủặầặẳ chi ọọðộầậ Tr ÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2 VI. T éịnh nghĩa mặt ịnh hýớng 1. ặậợðể∞ậờờấỏ ýừầ≠ậờờấụế Xem m h ặọặừỉ≠ậờờấðạ≠’ ’ ’ M , F , F ụðồờằờừỨ x y z li F(x,y,z) = ’ ’ ’ ụếặề (F x, F y, F z) li ýu tầm by hoangly85 78 S
  79. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ýờợặýừốầ Trong tr x=x(u,v) , y=y(u,v) , z=z(u,v) ừầụậờấụậờấựậờấựậờấ X ðặọừếậờấảụậứồạðạ Khi ’ ’ ụấ’  ’ ri u, r v li u r v 0 éể ằặýờởýừầụậờấ éýờợủạ –  F(x,y,z) = f(x,y) z = 0 c ’ ’ F(x,y,z) = (f x, f y , -1) ặũểýờợủýừốầ Ho ’ ’ ’ ’ ’  ’ x= x , y=y, z= f(x,y) c = (1,0,f ) , r = (0,1,f ) v r ’ ’ x x y y x y = (-f x, -f y , 1) ðặặừỉðạ’ờ’ụậ V ừ ’  ’ ếấ vect F(x,y,z), r x r y lu ặừọặðịýớðýợặờếạỗð ể∞ủ M i ðịðýợộừếðừị ừ ụ x , v l n ýằừếðừịể ếðọữ S. L , - , v ừ ðịờụọ ððịýớặề∞ặớừ vect c th ếðừị ðọðýợọặðịớờ ọừ ph g ếýừềỨớ ð ọờýừýừứủặ ph h ðứởðờừ ýớừớðầềỳýợạọ ph h ề ýậộặðịýớặừð ðịýờừếðừị Nh x ịềẩểðềậớýừủ , v ặềẩặờðểðếýớðọ ủặẽ m c ýớýừấýớậýớấềẩặờðểðếýớðọ (h ủặẽậýớýừấậýớấề c ộặðịýớũðịðýợýớðýờủ M a ềéýớðýớởýừủặððýờ n ởềổẳềữấặðịýớðýờỡữờỡịớ lu ýớðýợðịề h ýu tầm by hoangly85 79 S
  80. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ẳềữấ (H ũýữặểðịýớðýợờụ∞ềỡ∞ C ểạằấộữậồửũắậằấấðặ c ữậðểịạồắớạũửậồũờắửấềẩðếấữ h ừếậ∞ấạữðể∞ặểờ vect ờðộềðể∞ðầ ýớýợớ qua bi c ắðầểềớặðịýớạữðểểịừế b ýợýớềế∞ểặðịýớỉặộề ng ẳềịấ (H ểởộệặðịýớýờợừừề Ta c ặừừọặðịýớðýợếứịầừủố M ớọðýờũðềðịýớũýợềẩðừ v ế ởầẽỉềữủặềụ ph ýu tầm by hoangly85 80 S
  81. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ậ ýừồẳặừốạề∞ặðýợðịýớýớặ l ph ếạðịýớừặ ngo ẳềĩấ (H éịnh nghĩa tớch phõn mặt loại 2. 2 ỳậờờấờẵậờờấờỞậờờấðịặðịýớừ Cho c ếðừị   ph (cos , cos , cos ). ặạữ T ðýợọặạịủỳờẵờỞặðịýớề ðýợệầ tr ỏch tớnh tớch phõn mặt loại 2: ýa về tớch phõn kộp 3. C ảửầ Gi (1) ðặýừ ụậờấậừặừừấớừ Trong ng tr ếðịýớậặạớýớýừụẫữ ph ọấ g ếảủậữấớạủổặạữ Do v ýu tầm by hoangly85 81 S
  82. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 (2) ũếậýừữấ Ta c (3) ớ ệả ệếả V Si : di Si , Di l Si ốặẳ ừế ạớụẫọ xu xy, th t >0 v ấấýừềậĩấậịấớạðýợầ i Di l ðắếủốặẳề Trong ếðổýớặứ ấấầ N i < 0 v Di l ýừự ầ T c ðắ ếủốặẳờýừứờọ Trong , D l ấự1ấ–2  ọề d t v l ýu ý: ừứậ ấằếặữầặụðýờ L T 2) th ụẫ ẫớ song song tr i = 0 , d ớ dụ 1 ớầặớạậể2 2 2 Th : T v + y R , x 0, y 0, 0 z b ýu tầm by hoangly85 82 S
  83. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ẳềởấ (H ặðýợỏặầðữờịờ ặĩờởằ M hai m ặẳậụếấờậụếấýừứặụỏ m ầ Ta c ốụếặụðýờ ụẫề Ba t tr ặ ầ Tr 1 , do z= 0, n ặ ầ Tr 2 , do z=h, n ậỗụ V ớ dụ 2 ớầặủửặầ Th : T v 2 2 2 2 x + y + z = R , z 0 ầ Ta c ýu tầm by hoangly85 83 S
  84. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ðầụ ầứớ ầứớ Trong + S v l 0, S l 0. ýằ1ể2 ề1ử2ặẳ L th : ấấýừờ ấấờýớấạ l l ẵ l ýừựầỗ T 2 = ậỗụ V ớ dụ 3 ớầặủặầ2 2 2 2 Th : T v + y + z = R ọ ửặầứớ G 1 , S2 l 0 v 0. ầ Tr 1 ta c ầ ðýềấấ Tr ta c v 2 ừếýớ ốýớấờầ (do vect xu ýu tầm by hoangly85 84 S
  85. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ậầ V ấN HỆ GIỮA TÍ ÂN KẫP VÀ TÍCH ÂN VII. LI CH PH PH éíỜNG ẠI éỊNH Lí STOKES LO HAI: ứỨốệữðýờạ C ðýờủềấềũứýớðựởộ tr ứỨýờợềặề c éịnh ý Stokes 1. l ặðịýớừừớếũừừ Cho m ựắậếðừảấềỨảửỳờẵờỞðạ kh ấộụộềởứềẩðầ c ðýớủếũðýợấýớýừứớặðịýớ Trong S. ỳ ý ứýờởạệữðýờạ Ch : C ặạộề v ớ ừếðừịứớủặ v : vect ớ dụ 2. Th ýu tầm by hoangly85 85 S
  86. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớũðýờặầầ2 2 2 2 T v + y + z = R ặẳựựụếýớýợềðồồếừýớ v ýừủụẫ d ọớ ðýờũềðịầ G bi   ỉýớủừếủặẳự cos , cos , cos : l ầ y + z = 0. Ta c ậỗụ V ễNG THỨC CHUYỂN TÍCH PHÂN BỘI BA Ề TÍCH VIII. C V ÂN MẶT THEO BIấN : éỊNH Lí GAUSS – PH OSTROGRATSKI éịðứểộềặặ ềũứềứụựễề bi éịnh lý Gauss – 1. Ostrogratski  ềðờịậờớặ ừừậ Cho l S tr ểữạặừấềũỳờẵờỞðạấộụ th ềởứ ðứỨ trong mi . Khi -Ostrogratski: ýu ý ờứỨ– ểểằ L : Nh Ostrogratski, ta c ặếấỳụờẵụờỞụềẩðứởầ ph ậầ V ớặủ ấ V l ýu tầm by hoangly85 86 S
  87. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớ dụ 2. Th ð ặầầ T Trong ph x2 + y2 + z2 = R2 . ðịỨ– ầ Theo Ostrogratski, ta c ểọðộầờðýợầ Chuy ÀI TẬP CHíếNG 3 B ớch phõn ýờng loại 1 I. T ðýờạữầ T ởỗ ủ ốậếờếấ C : cung c n ðýờủậờờấụự 2 ốịðểậếờếờếấ 6) T n -z theo cung n ậữờữờữấðýờầ v ýu tầm by hoangly85 87 S
  88. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ầ 7) T ốýợ 8) Cho H C 9) Cho cung ọề T 10) Cho ọ T 2 2 2 ặẳờ 11) Cho C: x +y = a trong m = const. T ðốớẫ ặẳờ 12) Cho trong m = const. ðốớụọðộề T ðộầụ ừồậếờếờếấðế 13) T cos t , y = aet sint, z = aet t B(a,0,a) ýớẫầồứớ ớ (H 1 = - , B v 2 = 0 ) ọủụậ 14) T -sint), y = a(1-cost) 0 t , = const ớch phõn ýờng loại 2 II. T ðýờạịðầ T ðýờẳốồậữờữấðếửậĩờởấ theo  ðýờấốẫậếờếấờồậịờếấờửậởờịấề : ýu tầm by hoangly85 88 S
  89. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2  – ầụị– 2 ằụẫ ph x n ềðồồ chi  ếớạở2 2 ềýợ : Chu tuy = x, x = y, Theo chi ềðồồ chi  ốồậữờếấửậ ðýờầ : cung n -1,0) theo c ử2 2 N + y = 1 éýờẳốồờử éýờấừồờũậếờ ðếử -1)  ủụ2 ụừðểậếờếờếấðếậữờữờữấ : giao c v  – ủẫờằởỗờýợ cung c ềðồồề chi ớnh cụng sinh ra bởi lực ọc theo ýờng  ú phýừng trỡnh III. T d c ýu tầm by hoangly85 89 S
  90. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ụng thức Green IV. C T h c ðịởụếờụếờựụữ C : l ứớởðỉồậữờếấờửậếờữấờũậ l -1,0), D(0,1) ềớạụ2 ụạ C: bi v ðạụầ 6) Cho f(x,y) c ứ ớọếũửụðýợứ Ch v Green Ứng dụng Cụng thức Green tớnh diện tớch miền phẳng V. ớạởụờụ2 ởỗ 2) D gi ớạởụờ 3) D: gi ýu tầm by hoangly85 90 S
  91. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ệềắờ ðộọềắớạở 4) Cho S l l ðýờðừảừừũềũứằầ – ðốớụẫủềắởềũứ 5) Cho Iy m minh: ớch phõn khụng phụ thuộc ýờng lấy tớch phõn VI. T ðýờạịðầ T h ọðạẳốậếờếờếấậếờĩờởấ T ểểứảầằỷếð 8) Ki ầủ ph n ph ýu tầm by hoangly85 91 S
  92. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớch phõn mặt loại 1 VII. T ệặ2 2 – ắởụị 1) T + y z = 0 c ệầặẳ ắởụ2 ụị 2 2) T x + 2y + 2z = 5 c v - y ệầặầ2 2 2 ắở 3) T + y + z = 2 c ệầặ2 2 ắở ặẳụế 4) T + y + x = t c m ặủậýừế 5) T S : m x,y,z a ặủộầế 6) T S : m x a , 0 y b , 0 z c ầặẳịựịựụịằởầ 7) T S : ph ứấ t ầặ2 ắởặẳ 8) T S : ph + 4z =16 c = 0, x = 1, z = 0 ọủặầ2 2 2 2 ằởỗ 9) T + y + z = a n ọủầặ2 2 ắởụếờụĩ 10) T + z = 9, z 0 c ọðốớụẫủặ2 2 2 11) T + y - z = 0 ắởụữờụị c ỗủặầở2 2 2 ắở2 2 12) T + 4y - z =0, z 0 c + y = 2x ớch phõn mặt loại 2 VIII. T ýu tầm by hoangly85 92 S
  93. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ặầ2 2 2 2 ởầýứỗậấ 1) T S : m + y + z = a ốữ 2) T S : gi ốữ 3) T S:gi ầặụở– 2 ớạởụ 4) T S : ph y gi ấ 0,x = 1,z = 0 (ph ặậýừ 5) T S : m ởế≤ờờ≤ề b ủặỏầ2 2 2 6) T S : ph +y +z ≤ịỏ ắởụĩềậầ≥ĩấ c éịnh lý Stokes IX. 2 2 ừốũề 1) T C: x + y = 4, z = 0 Nh ýợềðồồề ng 2) T ừýớýừụẫýợềðồồ Nh 3) T C: ừýớýừụẫýợềðồồề Nh ýu tầm by hoangly85 93 S
  94. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ðýờủớðỉậữờếờếấờ 4) T C : – ừốếýợềðồồề (0,1,0),(0,0,1) nh ýở 5) T C : nh 2 2 ừốẫýợề 6) T C : x + y = 1, z = 1 Nh ðồồề kim 2 2 ừốẫýợ 7) T C: x + y = 1, z = y+1 nh ềðồồ chi 2 2 2 – ừốẫ ýợ 8) T x + y + z = 6z, z = x 3 nh g ềðồồ chi ủớðỉ 9) T C : bi ừốẫýợềðồồề (2,0,0), (0,3,0), (0,0,6) nh 2 2 2 2 2 ừốẫýợ 10) T C: x + y + z = a ,z = y nh ềðồồề chi 2 2 2 ừốẫ ýợ 11) T C: x + y = 1, z = y Nh g ềðồồề chi ụng thức Gauss – X. C Ostrogratski ặạịầ T ặ 1) S : ph ậýừ ≤ờờ≤ữ l -1 ủặủ 2 2 ≤ 2) S : Ph : x + y ≤≤2 2 4, 0 + y ầặầẫờịờở 3) S : ph ỗờề g ýu tầm by hoangly85 94 S
  95. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ủề 4) S - bi ằởỗớạở2 2 ề n +y = 4 , z = 3 , ph ủ ≤ 5) S : bi : 1 ≤ịờ ủ ≤ 6) S : bi : 1 ≤ởờ ủ ≤ 7) S : bi : 1 ≤ởờ ờằứ 8) , ph ằựếề Gauss-Ostrogratski v ýu tầm by hoangly85 95 S
  96. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 íếNG IV: PHíếNG TRèNH VI PHÂN CH ÁI NIỆM VỀ PHíế èNH VI PHÂN I. KH NG TR ỏi niệm 1. Kh ọờýừộểờầ Trong to ọềứụựếựọỹậờếềéể tr ớệýừộốẫớệế l ậýừ ýớðề l g tr ột số bài toỏn dẫn tới phýừng trỡnh vi phõn 2. M ớ dụ 1 ộậốýợừựềỨảửứả Th : Cho m ỉệớậốừậấờờðểớệốỉệễếề kh v(t). ậừựụậồầựủðấ Ta c ựảủậấềắððịậỷờầụ≠ l ớố ủậừềỷĩýừầ v c hay éýừðể ậấề m h ớ dụ 2 ộạðýợðếệðộĩếếo ðýợðặ Th : Cho m , v ýờðủộớệðộðổĩếo ệðộỏ ừ trong 1 m (v ra t ạðổệðộýờấềậấệðộạ kim lo ạờðểề t ậỷốðộảệủạậ ỉệớ Theo quy lu ) t ệệðộủậểậấệðộýờĩếo ðầ’ậấụ hi . Do - – k( T(t) 30o ) éýừðểậấờðễếệốỉệ ðềệðầủề T(0) = 300 l ớ dụ 3 ýừụậấủộðýờếằếếạ Th : T ỗðểẽắụạðểðộằầðộếðểề m ýu tầm by hoangly85 96 S
  97. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ếằýừ ếếớðýờụậấạðể∞ậờấ Bi ti ạạầ ’ậấậ t - yo = f - xo ) ðểủếếớụậụếấðộầ Giao ’ậấậấ y1 = yo - f ảếầ ừðýừầụ’ậấậấ Theo gi 1 = 2 yo, t ớðể∞ậờấấỳờýừầ V éịnh nghĩa phýừng trỡnh vi phõn – ệm, nghiệm tổng quỏt, nghiệm 3. Nghi ờng, nghiệm kỳ dị của phýừng trỡnh. ri éịĩừảýừ 3.1 ýừýờậọắýừấểứệữ Ph ộếðộậờảðạ ủề m m c ếýừứềếðộậớủếầả N ðạủếọðýừ t ðạậọắýừðạấề ýừỉ ýừầậýờấềũấậậấủ Trong ch c ýừấấủðạýừềụ ph ýừởụỗềịýừấộề ph ổýừấ ộạầ T p m ’ấụế F(x,y,y ’ụậờấ hay y ð≠ðộậĩếờðộậịếề Trong ộổờýừấạầ M ’ờ ờ(n) F(x,y,y )=0 ặ(n) ’ờ ềềờ(n-1) ho = f(x,y,y ) ớ dụ 4 Th : ýừýừấữầ’2 a) C + siny = 0 ýừ ýừấị’’ụĩ’ựịự b) C au l ýu tầm by hoangly85 97 S
  98. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ệ ệổ ủýừ 3.2. Nghi - nghi c ệm: 3.2.1. Nghi ệủýừộụ ặạ Nghi (x) ( ho (x,y) = 0 ) m ýừộðồ ấứềẩððồịủụ khi thay v nh ặẳðýợọðýờủýừ (x) trong m ớ dụ 5 ốụịệủýừ Th : H ờụũờớằốũấỳờũệủýừ Ngo ềếðặðềệệậấụậọ ph ðềệðầấỉữệỏụũớ ứỉữ , t ðýờððể∞ậờấ ệm tổng quỏt – ệm riờng – ệm kỳ dị 3.2.2. Nghi nghi nghi ụỏởấệủộýừểạụ Qua th ớũằốờọðệổề (x,C) , v ớỗũộệụ ọộệềỷệ V (x,Co), v ủýừệậừệổằốũ ri ộịụểề m ểữệủýừậðýợừ Tuy nhi ệổờọð ệỳịề nghi i ớ dụ 6 ýừ ệổụậựũấờýụữ Th : ph c ẫữệủýừýậðýợệổề v ềặọờộệổộọðồịủặ V ẳờọọðýờề ph ài toỏn Cauchy éịnh lý tồn tại duy nhất nghiệm 4. B - ụðấộýừểệờặ Hai th ệổề kh ớ dụ 7 ýừầ’2 ệựề Th : Ph = -1 kh ýừầ ệổỉấụế Ph kh ýu tầm by hoangly85 98 S
  99. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớðềệðầờọũờðị Tuy nhi ềựồạ ấệề v uy nh éịồạấệậéịỳấ 4.1. ếậờấụộềữậắầ ∞ậờấ N x b, c y d v ữðể ủắềẩðũầ l m trong c ỏầ’ụậờấỏðềệụấộệụ ả t (x) kh ụộảởứề li ế’ũụắậểộảởứềỏừấ Ngo ệðấ th i ớ dụ 8 ũầ Th : Xem b ệầụế ựềệấờýậỏ C (th ấờ ụ ậðểậếờếấ t kh g l ớ dụ 9 ũầ Th : Xem b ớ ữệ ấụũờ V 0 c nh ớụếờ ệðýờụũểð V 0 kh ớ ð ụạậếờấềũạậếờếấ (0, yo) v 0 . Khi kh ạốệờấảðýờðềðậếờếấ b íếNG TRèNH VI ÂN CẤP 1 II. PH PH ýừng trỡnh tỏch biến (hay biến phõn ly) 1. Ph ýừạầ ’ụế a) L 1(x) + f2(y).y 1(x)dx + f2(y)dy = 0 (1) ảầỡấýừậữấầ b) C hay ýu tầm by hoangly85 99 S
  100. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớ dụ 1 ảýừầ‘ụậữự2 Th : Gi ). ex ýừðýợðýềạầ Ph ýầ c) L ýừầ Ph 1(x) g1(y) dx + f2(x) g2(y). dy = 0 (2) ế ểðý ýừềạýừ N (y)f (x) 0 th a ph ế1ằ2ịế ðýợầ t 1(y)g2(x) ta (3) ế ụệủậịấềỷế ụệ N (y) = 0 th (x) = 0 th ủậịấềũ1 ệðặệứ2ệổủ c ýừậĩấ ph ớ dụ 2 ảýừầậ2 2 Th : Gi - 1) dx - ( x + 1) y dy = 0 ớ2 ầ V - 1 0 ta c ệổậấịệầụữ Ngo = -1 ýừng trỡnh ẳng cấp cấp 1 2. Ph ýừạầ a). L (4) ýu tầm by hoangly85 100 S
  101. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ừậởấầụ ’ụự’ề T > y ếậởấầự’ụậấ Th ểðýềạ ýừếầ c ng ph (5) ýu ý: ảýừậỏấậðýợệổậấ– ế L Khi gi u 0. N – ạụệụề f(u) u = 0 t ớ dụ 3 ảýừầ Th : Gi éặụờýừầ ậấụ ệầụ Ngo tg u = 0 u = k x, n ớụếờ ề x, v 1, 2, ớ dụ 4 ảýừầ Th : Gi ảửẫủếả2 ðýợầ Chia c ta éặụầ ấầ L ýu tầm by hoangly85 101 S
  102. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ế ðýợầ th , ta ớðềệðầầụữờụữờðýợệầ3 2 V + 3xy = 4 ỳ ý ýừ ầ b). Ch : ph ng tr (6) ểðýềạýừðẳấýầ c ếịðýờẳ ắạ b1) N x + b y + c = 0 , v x + b y + c = 0 c ðặụ 1 1 1 ýừ2 2ậẳấð2ýợðýềạầ (x1, y1), th - x1, Y = y - y1 , th ếịðýờẳ b2) N 1x + b1y + c1 = 0 , v 2x + b2y + c2 = 0 song song ðầ ýừậẳấðýợðýềạầ nhau, khi n (7) ððặụ ýừậứấởýừếề khi , ph ớ dụ 5 ảýừầ Th : Gi ảệýừầ Gi ầ ta c 1=1, y1=2 éặụ ầ - 1, Y = y - 2 , th ýu tầm by hoangly85 102 S
  103. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 éặụ ầ , ta c ầ2 – 2 hay l + 2xy y + 2x + 6y = C ýừng trỡnh vi phõn toàn phần 3. Ph ýừạầ a). L P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 (8) ếếầủộốậờấờĩầậờấụỳậờấ N dx + Q(x,y) dy ýừĩờỗềữềờðề ệầðủầ (theo ch ki ) ðừậ≤ấờậạấầậờấụế Khi ếếậấệủậ≤ấậờậấấụếầậờậấấụũậạấ V ýợạếậấỏ ằấðạậạấậ≤ấề Ng a (9) th ýậậờấụũệủýừậ≤ấ Nh ảứấầ b). C ảửỳờẵậ≤ấỏ ỏầ Gi , ta c dU(x,y) = P(x,y) dx + Q(x,y) dy ýu tầm by hoangly85 103 S
  104. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ấểứ ðýợằ ốầ L , th g s (10) ðũậấấỳếềỡấðạểứậữếấế trong ðýợầ y v , ta ừýừũậấ t ớ ụ 6 ảýừầậ2 2 Th d : Gi + y ) dx + (2xy + cos y) dy = 0 ầ Ta c ậẽậờấỏầ , v ấệứứấờầ L ấðạểứờớ ầịự L th ’ậấụịự C ’ậấụ C C(y) = sin y + C ýu tầm by hoangly85 104 S
  105. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ậệủýừầ V ảứậðýờạịấầ c). C ậờấụỳậờấựẵậờấ V ýừĩờỗềữềờ ðềệầðủầ (theo theo ch th ) ầ N (11) ớ dụ 7 Th : ảýừầậựựữấựậ– 2 Gi y + 3) dy = 0 ầ Ta c ậẽậờấỏầ , v ửụứậữếấậớụếờụếấờầ S ậệủýừầ V ýu tầm by hoangly85 105 S
  106. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ýừng trỡnh vi phõn tuyến tớnh cấp một 4. Ph ýừạầ’ựậấụậấậữữấ a). L ðậấờậấụề trong ếậấụếờầ’ựậ N x) y = 0 (12) ýừậữịấọýừếầấề Ph ảầ b). C ớýừậữịấờ V (13) ớýừậữữấờểảằýừếằốứ V ệủởạậữĩấýũốờạầ l (14) ấðạậữởấờậữữấờầ L hay : ừðờầ t ậầ V (15) ứ ớờốấầớýớ C (15) n ủýừếằốðểặạề c ớ dụ 8 ảýừầ’– Th : Gi y.cotg x = 2x.sinx ýừầấệầ Ph ýu tầm by hoangly85 106 S
  107. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ệýừầấởạầụũậấề T ếýừðầờðýợầ Th ’ậấựũậấ– C C(x) cos x = 2x sin x ’ậấụị 2 C C(x) = x + C ậầụ2 V sin x + C sin x ớ dụ 9 ảýừầ’– 2 Th : Gi 3y = x éýềạẩầ ệổýừầấầ Nghi ệởạụũậấ3 ếýừðầầũ’ậấ3 T . Th 2 – 2 + 3C(x) x 3C(x) x = x ậầ V ỳ ý: ếốế ýừếðốớố Ch N th ạầ c ớ dụ 10 ảýừ ầ Th : Gi r ýừếềếờế Ph : éạýừếðốớềỷệổ ủýừầấạầ c ýu tầm by hoangly85 107 S
  108. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ệủýừ ầấạầ ðý T kh , ýừðầờầ v ậầụũ– – V 2siny 2 ýừng trỡnh Bernoulli 5. Ph ýừạầ’ựậấụậấ a). L , 1 (16) ảầéýềạầ- ’ựậấ1- b). C y = f(x) éặụ1- ðýợ’ụậữ - ’ờýừậữẳấạếầ , ta - ) y y ầ’ựậữ hay l - )P(x) z = (1- )f(x) ớ dụ 11: ảýừầ Th Gi éýừửớ ềũịế ðýợầ = ta ớ dụ 12 ảýừầ Th : Gi ýừếềếờế ầ Ph c éặ ếýừờầ , th ýu tầm by hoangly85 108 S
  109. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ệổủýừầấýừứằầ Nghi ệýừầấạầụũậấề 2 T x ếầ Th íếNG TRèNH VI ÂN CÂP HAI GIẢM CẤP éíỢC III. PH PH ỏc khỏi niệm cừ bản về phýừng trỡnh cấp hai 1. C ýừấạầ 1.1. Ph ’ờ’’ấụế’’ụậờờ’ấ F(x,y,y ũủýừấệủýừ B ỏðềệðầầậấụờ tr ’ậấụ’ y o ớ dụ 1 ảýừầ Th : Gi ’’ụựờếậếấụữờ’ậếấụĩ y ầ Ta c ’ậếấụĩờũ ậệầ Cho x =0 , y =1 => C2 =1. Cho y 1 = 3. V ụữấýừấýờụộ ố Th ai tham s ðýợðịờ C , C , v 1ðề2ệðầề ýu tầm by hoangly85 109 S
  110. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 éịồạấệũ 1.2. ầ ’’ụậờờ’ấậữấ B y ’ậấụ’ y(xo) = yo , y o (2) ếậờờ’ấậĩếờờ’ấðạ ụềĩ N li ề ậờờ’ ộðể ðũ ấ chi , v ) l . Khi nh ộệụ oðịụờầảộảậờấứ m (x) x ốụộằốụ ọệổủýừ H (x,C , C ) g ấậề ế12ỏýừấớ tr ) n ọ ằốũ ộộậợðấýợạớọðểậờờ’ m i h , C (thu )  ðềạ1ạ2ấũ ệủ o trong , Co sao cho y = (x, Co , Co ) l ũớðềệðầề1 2 1 2 to ýậừệổụ ịụểũ ’ờũ ’ Nh (x,C , C ) cho c r =C =C ệầụ ’ờũ ’ấ 1 2 1 1 2 2 c (x,C1 2 ýu ý: ếệổởạẩ ệ L N (x,y,C ,C ) = 0 th ũởạẩ ’ờũ ’ấụế 1 2 c (x,y,C1 2 ýừng trỡnh cấp hai giảm cấp ýợc 2. Ph ýừạầ’’ụậấ Ph ễ ðýợệủýừầấ D d ớ dụ 2 ảýừầ’’ụự Th : Gi ầ Ta c ýu tầm by hoangly85 110 S
  111. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ýừng trỡnh khuyết y 3. Ph ýừạầ≠ậờ’ờ’’ấụế Ph ảầéặụ’ýừấ ộ≠ậờờ’ấụếờảụ C m ðầ (x,C1) v ớ dụ 3 ảýừ ầ’’ự’ụ2 Th : Gi r éặụ’ ’ụ’’ờầ p ðýừếềỨảðýợầ ðờầ Qua ýừng trỡnh khuyết x 4. Ph ýừạầ≠ậờ’ờ’’ấụế Ph ảầéặụ’ờếờố ếềầ C bi ýậýừạấữầ Nh ớ dụ 4 ảũầ Th : Gi ’’ự’2 ’ậữấụ yy = 0, y(1) =2 , y éặ ðýợầ , ta ýu tầm by hoangly85 111 S
  112. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ừðịýờợầ T ĩ’ụếềỷệỏðềệðầờỏ p = 0 , ngh d(py) = 0 yp = C1 ậụũ V 1 ’ụầ Khi x = 1 , y =2, y ầ Ta c ðýợũ Cho x= 1, y =2 ta 2= 1. ạệảầ T íếNG TRèNH TUYẾN TÍNH CẤP HAI IV. PH ỏi niệm chung 1. Kh ýừếấạầ 1.1. Ph ’’ựậấ’ựậấụậấậữấ y ớốậấờậấờậấðịụảậờấềẩấớọ v ọịờ’ ũðềệðầầậấụờ xo (a,b) v ta c ’ậấụ’ o y o ệấậờấ c ýừ’’ựậấ’ựậấụếậịấ Ph éýợọ ýừầấýừứủýừậữấ l ýu tầm by hoangly85 112 S
  113. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 éịữầ ềệổủỳýừầấấ 1.2. (V ệổủýừ ầấậữấạầụự Nghi thu ðệổủýừầấýừứậịấữ trong ệðủýừậữấ nghi ýừng trỡnh thuần nhất, nghiệm tổng quỏt 2. Ph éịịầ 2.1. ế ệủýừầấậịấụũ N (x), y (x) l y (x) + C y (x) ũ12ệủýừậịấ 1 1 2 2 c ứng minh: ậậờầ Ch Th ’’ựậấ’ựậấụũ ’’ựũ ’’ựậấũ ’ựũ ’ữ’ựậấũ y 1y1 2y2 1y1 2y2 1y1+ C2y2] ’’ựậấ ’ựậấ ’’ựậấ ’ựậấ = C1[y1 1 1 ] + C2[y2 2 2] = 0 + 0 = 0 ệủậịấểứủểứốằếấ (do y1(x), y2(x) l ậụũ ữệủậịấ V 1y1(x) + C2y2(x) l éịĩầ 2.2. ðýợọðộậếảậờấếồ C (x), y (x) ạằ1ố 2 ðồờằếầ t 1, 2 kh ậờấ 1y1(x) + 2y2(x) = 0 tr éềýừðýừớầ ậờấấ ( tr ớ dụ Th 1: 2 ðộậế + C 1(x) = x , y2(x)= x l ụộế + C 1(x)= ex, y2(x)= 3 ex l éịĩầ 2.3. ýu tầm by hoangly85 113 S
  114. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ệ ủýừầấậịấềẩð Xem c (x), y (x) l c ðộậ1ế2ớỉðịứầ ch ðịứọðịứấ ( éịởầ ấệủýừầấấ 2.4. (C ế ệðộậếủýừầ N (x), y (x) l ấậịấờầ 1 2 nh ớằốấỳũ ẽệổủ y = C y (x) + C y (x) v , C s ýừ11ð2ề 2 1 2 ph ớ dụ 2 ứỏằýừ’’– ệổụũ 2x Th : Ch 4y = 0 c 1e + -2x C2 e ậ ậờểựếễấằ 2x -2x ệủ Th t v 1 = e v 2 = e l ýừề∞ặờ ðộậếềậầụ ph n 2x -2x C1e + C2 e ệổủýừề l ếộệủậịấờệứðộậếớ 2.5. Bi n ảử ộệủýừầấậịấề ðể Gi (x), l Khi ệ1ứịðộậếớ ởạầ ðậấ nghi 1(x) 2(x) = u(x) y1(x), trong const . ớ dụ 3 ếýừ’’– ’ựụếữệ ệứ Th : Bi 2y = ex. T ðộậếớ 1 hai 1(x). ệểạ ữệễề Vi 1 = ex l 2(x) = u(x) ex ’ ’ờ’’ ’ựị ’’ y 2 = ex u + ex u 2 = ex u + 2ex u u ýừðờầ Thay v ’’ựị’ựấ ’ấự ex (u - 2ex (u + u ex u = 0 ’’ụếờ’’ụếờụũ 2ex u 1x + C2 ầ ểấũ ĩụờ V const, n 1 = 1 , C2 = 0, ngh 2 = x ex ýu tầm by hoangly85 114 S
  115. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ệổạầụũ Nghi 1ex + C2x ex ýừng phỏp biến thiờn hằng số tỡm nghiệm riờng 3. Ph éểảýừầ ấầảếệổủýừ nh ầấừểởụịềỷầữệủ tr ểởạốýệổủýừầấờứ n ởạầụũ l 1y1(x) + C2 y2(x) (3) ð ðộậếờýũ ốũ trong 1(x), y2(x) 1, C2 l 1(x), C2(x). éểễũ ðýðềệầ 1(x), C2(x) ta ’ ’ C 1(x) y1(x) + C 2(x) y2(x) = 0 (4) ớðềệậởấờấðạậĩấờðýợầ V ’ụũ ’ ’ y 1y 1(x) + C2 y 2(x) (5) ’’ụũ ’’ ’’ậấựũ’ ’ ’ ’ y 1y1 ( x) + C2 y2 1y 1(x) + C 2 y 2(x) (6) ậữấờầ Thay (3), (5),(6) v ’’ậấựũ ’’ậấựũ’ ’ ’ ’ ’ ’ C1y1 2 y2 1y 1(x) + C 2 y 2(x) + p[C1y 1(x) + C2 y 2(x) ] + q[C1y1(x) + C2 y2(x) ] = f(x) Hay: ’’ậấựũ ’ ’’ậấự’ C [ y y (x) + qC y (x) ] C [ y (x) + q y (x) ] + ’1 ’1 ’ ’1 1 1 1 2 2 2 2 C 1y 1(x) + C 2 y 2(x) = f(x) ệủậữấầ Do y1, y2 l ’ ’ ’ ’ C 1y 1(x) + C 2 y 2(x) = f(x) (7) ýậũ’ ’ ỏệầ Nh 1 , C 2 th ớ dụ 4 ảýừ2 ’’ự’ 2 Th : Gi y - y = x éýềạắầ ýớếýừ ầấýừứầ Tr hu ýu tầm by hoangly85 115 S
  116. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ểðýợữệủ ệứðộậế C = x. Nghi ớạầ 1 v 2 = xu(x) ’ ’ờ’’ ’ự’’ y 2 = u + xu 2 = 2u ế ýừầấờðýợầ th o ph éýừấảấðýợằðặụ’ðýợầ ầ Cho n ỉầữệọũ Do u const v 1=1, n ậệổủýừầấ . V ạầ c ệạầộệủýừầấ Vi ằýừằốờạầ b ớũ ỏầ V 1, C2 th ýu tầm by hoangly85 116 S
  117. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ỉầọữệờểọụể ậ V 1 = 0 , c2 = 0. v ầ , cho n ýậệổủýừðầầ v ýu ý: ếếảủýừạổủị ốậấụ L N s (x) ðểảýừớếảừ 1 ðể + f (x), th (x), f (x) 2ệ ốễểạầệủ1 ýừ2 t , yr . Cu ðầụ 1 2 ồấệấề ban 1, yr2 (theo nguy íếNG TRèNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ ẰNG V. PH H ỏi niệm chung 1. Kh (n) (n-1) (n-2) ềựụậấậữấ y + a1y + a2y + ð ềềờằố trong 1, a2, ầỹýừấề Trong ph ýừng trỡnh cấp hai thuần nhất 2. Ph ýừầ’’ự’ựụậấậịấ X ðờằố trong ệủởạầụậĩấ Ta t ếậĩấậịấầậ2 Th + pk +q) ekx = 0 (k2 + pk +q) = 0 (4) ýu tầm by hoangly85 117 S
  118. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ýừậởấọýừðặýủýừậịấờũừậ Ph 4) ấụệủậịấỉệủậởấềắðự cho th ệảýừậịờảóầ vi ýừðặýậởấịệệ ðịệ a). Ph 1,k2 ( > 0): Khi 1x 2x ị ệủậịấờ ịệ y1 = ek , y2 = ek l nghi n ðộậếềậðệổủậịấẽầụũ 1x ri 1ek + 2x C2ek ýừðặýậởấữ ệậ ðệ b). Ph hi = 0). Khi = ekx l ệủậịấờệứðộậếớ1 ạụ 1 nghi = u(x).y1 u(x).ekx ’ụềềậấự’ậấề y2 ’’ụ2 ’ậấềựềậấ’’ y2 .ekx.u(x) + 2ku ếýừậịấ ầ Th c 2 ’ự’’ấựậự’ấựụế (k .u + 2ku ’’ựậịựấ’ựậ2 u + pk + q)u = 0 ệủậởấầ Do k l ậ2 k = -p/2 2k +p = 0 v + pk + q) =0 ừðầ’’ụế t u = C1x + C2 ỉầọữệấũ ýếầ Do ch 1 = 1, C2 =0 , v h 2 = x ekx ệổủậịấầụậũ V 1+ C2x) ekx ýừðặýậởấịệứệ   c). Ph = , 0 ( < 0). ðịệủậịấạầ 1,2 Khi ðầ Khi ýu tầm by hoangly85 118 S
  119. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ũịệủậịấ ðộậếề c n ừðệổủậịấầụậũ   x T 1cos x + C2 sin x) e ớ dụ 1 ảýừầ’’ựĩ’– Th : Gi 4y = 0 ýừðặýýừứạầ Ph 2 k + 3k -4 = 0 k1 =1 , k2= -4 ậệổủýừầấầụũ -4x V 1ex + C2e ớ dụ 2 ảýừầ’’ựở’ựởụế Th : Gi ýừðặýýừứạầ Ph 2 k + 4k +4 = 0 k1,2 =2 ậệổủýừầụậũ 2x V 1 + C2 x)e ớ dụ 3 ảýừầ’’ựẳ’ựữĩụế Th : Gi ýừðặýýừứạầ Ph 2 k + 6k +13 = 0 k1,2 =-3 2 i ậệổủýừầấầ V -3x y = ( C1 cos 2x + C2 sin 2x)e ýừng trỡnh cấp hai khụng thuần nhất vế phải cú dạng ặc biệt 3. Ph ýừấệốằầấầ X ’’ự’ựụậấậỏấ y ệệổủýừấầấýừ Qua vi ứờựðịịờụỗỗềữằằðểệổủậỏấầ ðýợữệủậỏấề ýừếằốðờýớðýừ Ngo ệốấðịðểộệậỏấếả ạðặệýờ h c ặề g ýu tầm by hoangly85 119 S
  120. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ếảậấụ 3.1 V x Pn(x) ðỳậấðứấờ ộốựề trong l ðệủậỏấởạầụậấẵậấậẳ Khi ) ớẵậấðứấậựữấệốðýợðịằậẳấậỏấ v ðồấịếậựữấýừðạốếðểậựữấệốềổ ạụểầ u(x) c ế ệðừủýừðặýậởấờậấ x a). N l = xe v ðầụ x Qn(x) ế ệủýừðặýậởấờậấụ2 x b). N l e v ðầụ2 x e Qn(x) ế ệủýừðặýậởấờậấụ x c). N kh v ðầụ x Qn(x) ớ dụ 4 ảýừầ’’ ’ựĩụĩ2x Th : Gi -4y ýừðặýýừứạầ Ph 2 ệ k - 4k +3 = 0 c 1 =1 , k2= 3 ệổủýừầấýừ ứầụũ 3x n 1ex + C2e ặố ệủýừðặýờệ M = 2 kh ởạụồ2x ðứậếấờýừðầ (do Pn(x) =3 4Ae2x - 8Ae2x + 3Ae2x = 3e2x A = -3 ậệổủýừ ầ V ng tr 3x – 2x y = C1ex + C2e 3e ớ dụ 5 ảýừầ’’ựụựĩ-x Th : Gi ýừðặýýừứạầ Ph 2 2 k +1 = 0 k1,2 = i ệổủýừầấýừứầụũ n ghi 1cos x C2 sin x ếảổủị -x ầýợệủ Do v = xex , f = 2e n ýừầýợứớ1ếả2 ph 1, v 2 : ýu tầm by hoangly85 120 S
  121. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớ ệủýừðặýờỳậấụ + V = xex th = 1 kh ghi 1ệạầ x n 1 = (Ax+B)ex ớ -x ũệủýừðặýờ + V 2 = 2e th = -1 c ệạầ -x Pn(x) = 2 n 2 = Ce ếồờệủ ýừððýợởạầ Theo nguy h yr = (Ax+B)ex + Ce-x ’ụậồựửấ -x yr - Ce + Aex ’’ụậồựửấ -x yr + Ce + 2Aex ếýừðờầ Th 2Axex + (2A+2B)ex + 2Ce-x = xex + 2e-x ừðờầịồụữờịồựịửụếờịũụị T ậệổủýừầ V ếảậấụ   3.2. V x [ Pn(x) cos x +Qm(x) sin x ] ðỳậấờẵậấðứậờýừứờ  ốựề Trong , l ðệủậỏấởạầ Khi   yr = u(x) [ Rs(x) cos x + Hs(x) sin x ] (7)  ẽýừứýờợðởấờớụờờỞậấờổậấð ( = 0 s ứậớịậựữấðýợðịằậứấậỏấðồấịế th ýừðạốếðểệốềổậấạụể c : ế  ệủýừðặýýừứờậấụ x a). N l v ðụ x   khi [ Rs(x) cos x + Hs(x) sin x ] ế  ệủýừðặýýừứờậấụ b). N kh x ðầ xe v x   yr = e [ Rs(x) cos x + Hs(x) sin x ] ớ dụ 6 ảýừầ’’ựụ Th : Gi ýu tầm by hoangly85 121 S
  122. ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ýừðặýýừứạầ Ph 2 ệ 2 k +1 = 0 c 1,2 = i ệổủýừ ầấýừứầụũ n tr 1cos x C2 sin x Ởð   ệủýừðặýề∞ặờ = 0, =1, n i = i l ụếềậệổðýợởạầụ do n =m=0, cho n x(Acosx+Bsinx) ’ụậ yr -Asinx + Bcosx) + (Acosx+Bsinx) ’’ụịậ yr -Asinx + Bcosx) + x( -Acosx - Bsinx) ’ựụ yr -2Asinx + 2Bcosx = sinx -2A = 1, 2B =0 A= -1/2 , B = 0 ậệầ V ệổ ầ V t l ýu tầm by hoangly85 122 S