Giáo trình Toán cao cấp (A1)

138 trang phuongnguyen 7390

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán cao cấp (A1)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_toan_cao_cap_a1.pdf

Nội dung text: Giáo trình Toán cao cấp (A1)

SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP TOÁN CAO CẤP (A1) Biên soạn: TS. VŨ GIA TÊ Ths. ĐỖ PHI NGA
Giới thiệu môn học 0 1 2 GIỚI THIỆU MÔN HỌC 1. GIỚI THIỆU CHUNG: Toán cao cấp A1 là học phần đầu tiên của chương trình toán dành cho sinh viên các nhóm ngành thuộc khối kỹ thuật. Để học tốt môn Toán cao cấp theo phương thức Đào tạo từ xa, bên cạnh các học liệu: sách, giáo trình in, băng đĩa hình, , sách hướng dẫn cho người học toán cao cấp là rất cần thiết. Tập sách hướng dẫn này được biên soạn là nhằm mục đích trên. Tập sách được biên soạn theo chương trình qui định năm 2001 của Bộ Giáo dục Đào tạo và theo đề cương chương trình được Học viện Công nghệ BC-VT thông qua năm 2004. Sách hướng dẫn học toán cao cấp A1 bám sát các giáo trình của các trường đại học kỹ thuật, giáo trình dành cho hệ chính qui của Học viện Công nghệ BC- VT biên soạn năm 2001 và kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm của tác giả. Chính vì thế, tài liệu này có thể dùng để học tập và tham khảo cho sinh viên của tất cả các trường, các ngành đại học và cao đẳng. Cách trình bày trong sách thích hợp cho người tự học, đặc biệt phục vụ đắc lực trong công tác đào tạo từ xa. Trước khi nghiên cứu các nội dung chi tiết, người đọc nên xem phần hướng dẫn của mỗi chương để thấy được mục đích, yêu cầu chính của chương đó. Trong mỗi chương, mỗi nội dung, người đọc có thể tự đọc và hiểu được cặn kẽ thông qua cách diễn đạt và chứng minh rõ ràng. Sau các chương, người đọc phải tự trả lời được các câu hỏi ôn tập. Nhờ các ví dụ minh hoạ được đưa ra từ đơn giản đến phức tạp, người đọc có thể coi đó là bài tập mẫu để tự giải các bài tập có trong tài liệu. Người đọc có thể tự kiểm tra, đánh giá kiến thức, khả năng thu nhận dựa vào phần hướng dẫn và đáp số được cung cấp ở những trang cuối sách. Cũng cần nhấn mạnh rằng, nội dung chính của toán cao cấp là phép tính vi phân và phép tính tích phân mà nền tảng của nó là phép tính giới hạn của hàm số. Chính vì thế chúng tôi trình bày khá tỉ mỉ hai chương đầu của tài liệu để người học tự đọc cũng có thể có được các kiến thức vững vàng để đọc tiếp các chương sau. Trong quá trình tự đọc và học qua mạng, tuỳ theo khả năng tiếp thu, học viên có thể chỉ cần nhớ các định lý và bỏ qua phần chứng minh của nó. 2
Giới thiệu môn học Nhân đây tác giả cũng lưu ý rằng ở bậc trung học phổ thông của nước ta, chương trình toán cũng đã bao hàm các kiến thức về vi, tích phân. Tuy nhiên các nội dung đó chỉ mang tính chất giới thiệu do lượng thời gian hạn chế, do cấu tạo chương trình. Vì thế nếu không tự đọc một cách nghiêm túc các định nghĩa, định lý cũng sẽ vẫn chỉ nắm được một cách hời hợt và như vậy rất gặp khó khăn trong việc giải các bài tập toán cao cấp. Sách gồm 5 chương tương ứng với học phần gồm 60 đến 75 tiết: Chương I: Giới hạn của dãy số. Chương II: Hàm số một biến số. Chương III: Phép tính vi phân hàm số một biến số. Chương IV: Phép tính tích phân. Chương V: Lý thuyết chuỗi 2. MỤC ĐÍCH MÔN HỌC Học phần này sẽ cung cấp các kiến thức về phép tính vi, tích phân của hàm số một biến, số thực và phép tính vi phân của hàm nhiều biến số. Nội dung của học phần tuân thủ theo quy định về học phần Toán cao cấp A1 của Bộ GD-ĐT dành cho các Trường thuộc khối ngành công nghệ. 3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU MÔN HỌC Để học tốt môn học này, sinh viên cần lưu ý những vấn đề sau : 1- Thu thập đầy đủ các tài liệu : ◊ Bài giảng: Toán cao cấp A1.Vũ Gia Tê, Nguyễn Phi Nga, Học viện Công nghệ BCVT, 2005. ◊ Sách hướng dẫn học tập và bài tập: Toán cao cấp A1. Vũ Gia Tê, Nguyễn Phi Nga, Học viện Công nghệ BCVT, 2005. ◊ Bài giảng điện tử: Toán cao cấp A1. Học viện Công nghệ BCVT, 2005. Nếu có điều kiện, sinh viên nên tham khảo thêm: Các tài liệu tham khảo trong mục Tài liệu tham khảo ở cuối cuốn sách này. 3
Giới thiệu môn học 2- Đặt ra mục tiêu, thời hạn cho bản thân: 9 Đặt ra mục các mục tiêu tạm thời và thời hạn cho bản thân, và cố gắng thực hiện chúng Cùng với lịch học, lịch hướng dẫn của Học viện của môn học cũng như các môn học khác, sinh viên nên tự đặt ra cho mình một kế hoạch học tập cho riêng mình. Lịch học này mô tả về các tuần học (tự học) trong một kỳ học và đánh dấu số lượng công việc cần làm. Đánh dấu các ngày khi sinh viên phải thi sát hạch, nộp các bài luận, bài kiểm tra, liên hệ với giảng viên. 9 Xây dựng các mục tiêu trong chương trình nghiên cứu Biết rõ thời gian nghiên cứu khi mới bắt đầu nghiên cứu và thử thực hiện, cố định những thời gian đó hàng tuần. Suy nghĩ về thời lượng thời gian nghiên cứu để “Tiết kiệm thời gian”. “Nếu bạn mất quá nhiều thì giờ nghiên cứu”, bạn nên xem lại kế hoạch thời gian của mình. 3- Nghiên cứu và nắm những kiến thức đề cốt lõi: Sinh viên nên đọc qua sách hướng dẫn học tập trước khi nghiên cứu bài giảng môn học và các tài liệu tham khảo khác. Nên nhớ rằng việc học thông qua đọc tài liệu là một việc đơn giản nhất so với việc truy cập mạng Internet hay sử dụng các hình thức học tập khác. Hãy sử dụng thói quen sử dụng bút đánh dấu dòng (highline maker) để đánh dấu các đề mục và những nội dung, công thức quan trọng trong tài liệu. 4- Tham gia đầy đủ các buổi hướng dẫn học tập: Thông qua các buổi hướng dẫn học tập này, giảng viên sẽ giúp sinh viên nắm được những nội dung tổng thể của môn học và giải đáp thắc mắc; đồng thời sinh viên cũng có thể trao đổi, thảo luận của những sinh viên khác cùng lớp. Thời gian bố trí cho các buổi hướng dẫn không nhiều, do đó đừng bỏ qua những buổi hướng dẫn đã được lên kế hoạch. 5- Chủ động liên hệ với bạn học và giảng viên: Cách đơn giản nhất là tham dự các diễn đàn học tập trên mạng Internet. Hệ thống quản lý học tập (LMS) cung cấp môi trường học tập trong suốt 24 giờ/ngày và 7 ngày/tuần. Nếu không có điều kiện truy nhập Internet, sinh viên cần chủ động sử dụng hãy sử dụng dịch vụ bưu chính và các phương thức truyền thông khác (điện thoại, fax, ) để trao đổi thông tin học tập. 4
Giới thiệu môn học 6- Tự ghi chép lại những ý chính: Nếu chỉ đọc không thì rất khó cho việc ghi nhớ. Việc ghi chép lại chính là một hoạt động tái hiện kiến thức, kinh nghiệm cho thấy nó giúp ích rất nhiều cho việc hình thành thói quen tự học và tư duy nghiên cứu. 7- Trả lời các câu hỏi ôn tập sau mỗi chương, bài. Cuối mỗi chương, sinh viên cần tự trả lời tất cả các câu hỏi. Hãy cố gắng vạch ra những ý trả lời chính, từng bước phát triển thành câu trả lời hoàn thiện. Đối với các bài tập, sinh viên nên tự giải trước khi tham khảo hướng dẫn, đáp án. Đừng ngại ngần trong việc liên hệ với các bạn học và giảng viên để nhận được sự trợ giúp. Nên nhớ thói quen đọc và ghi chép là chìa khoá cho sự thành công của việc tự học! 5
Chương 1: Giới hạn của dãy số 1. 2. CHƯƠNG I: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1.1 MỤC ĐÍCH Trong nhiều vấn đề lý thuyết cũng như thực tế, người ta phải xét những đại lượng mà trong quá trình biến thiên đại lượng đó lấy những giá trị rất gần đến một hằng số a nào đấy. Trong quá trình này, ta gọi đại lượng đang xét là dần đến a hay có giới hạn là a. Như vậy đại lượng có giới hạn là a có thể đạt được giá trị a và cũng có thể không bao giờ đạt được giá trị a, điều này trong quá trình tìm giới hạn không cần quan tâm đến. Ví dụ: 1. Gọi x là biên độ của một con lắc tắt dần. Rõ ràng trong quá trình dao động, biên độ của nó giảm dần tới 0 và thực tế sau khoảng thời gian xác định con lắc dừng lại, ta nói rằng x có giới hạn là 0 trong quá trình thời gian trôi đi. n 2. Xét dãy số (un) có dạng u = . Quá trình n tăng lên mãi thì un tăng n n +1 dần về số rất gần 1. Nói rằng dãy số có giới hạn là 1 khi n tăng lên vô cùng. Giới hạn là một khái niệm khó của toán học. Khái niệm giới hạn được cho bởi từ “gần”, để mô tả định tính. Còn định nghĩa chính xác của nó cho bởi cụm từ “ bé hơn ε ” hoặc “lớn hơn M” để mô tả định lượng sẽ được giới thiệu trong chương này. Khi đã hiểu được khái niệm giới hạn thì sẽ dễ dàng hiểu được các khái niệm đạo hàm, tích phân. Bởi vì các phép toán đó đều xuất phát từ phép tính giới hạn. Trong mục thứ nhất cần hiểu được vai trò thực sự của số vô tỉ. Nhờ tính chất đầy của tập số thực mà người ta có thể biểu diễn tập số thực trên trục số - gọi là trục thực và nói rằng tất cả các số thực lấp đầy trục số. Nói khác đi có sự tương ứng 1-1 giữa các số thực và các điểm trên trục số. Cũng nên nhận xét được tập Q không có tính đầy. Học viên cần nắm chắc khái niệm trị tuyệt đối của một số thực và các phép tính về nó. Trong mục thứ hai cần hiểu được vai trò của số phức về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng sau này trong kỹ thuật. Thực chất một số phức z là một tương ứng 1-1 với cặp có thứ tự các số thực (x,y). Cần phải nắm vững khái niệm 7
Chương 1: Giới hạn của dãy số modul và acgumen của số phức và các dạng biểu diễn số phức: dạng đại số, dạng lượng giác, dạng hàm mũ. Từ đó có thể làm thông thạo các phép tính trên tập C, đặc biệt dùng công thức Moivre trong các ứng dụng vào lượng giác. Trong mục thứ ba cần nắm vững khái niệm hội tụ, có giới hạn và phân kỳ của dãy số. Nắm vững các tính chất: bị chặn, không bị chặn, đơn điệu của dãy số. Nhờ vào các tính chất này mà thiết lập được các điều kiện cần, điều kiện đủ để dãy số có giới hạn. Khái niệm dãy con của một dãy số cũng là một khái niệm khó. Người học phải đọc kỹ định nghĩa và cố gắng hình dung để hiểu rõ khái niệm này. Đôi khi sự hội tụ hay phân kỳ của một dãy số có thể nhận biết nhờ vào tính chất của vài dãy con. Đặc biệt phải nắm được khái niệm hai dãy kề nhau để từ đó có khái niệm về các đoạn lồng nhau được dùng trong chứng minh định lý Bolzano-Weierstrass. 1.2 TÓM TẮT NỘI DUNG 1.2.1 Số thực a. Các tính chất cơ bản của tập số thực. Tất cả các số hữu tỉ và số vô tỉ tạo thành tập hợp số thực. Kí hiệu tập số thực là R. Tập số vô tỉ là R\Q. 9 Tính chất 1: Tập R là một truờng giao hoán với hai phép cộng và nhân: (R, + , .). 1.∀a,,,. b ∈ R a + b ∈ R a b ∈ R 2.∀a, b , c ∈ R ,( a + b ) + c = a+ ( b+ c ),( a . b ) c= a ( bc ) 3.∀a,, b ∈ R a + b = b + a, ab= ba 4. R có phần tử trung hoà đối với phép cộng là 0 và đối với phép nhân là 1 ∀a ∈ R, a + 0= 0 +a = a a.1 = 1.a = a 5. Phân phối đối với phép cộng ∀a,,,() b c ∈ R a b + c = ab+ ac ()b+ c a = ba+ ca 6. Tồn tại phần tử đối của phép cộng ∀a ∈ R, ∃ (− a ), a+ ( − a ) = 0 Tồn tại phần tử nghịch đảo của phép nhân 8
Chương 1: Giới hạn của dãy số ∀a ∈ R , R = R \{0}, ∃ a−1 , a . a − 1 = 1 9 Tính chất 2: Tập R được xếp thứ tự toàn phần và đóng kín đối với các số thực dương. 1. ∀a,, b ∈ R a b ∀a,,, b c ∈ R a ≤ b ⇒ a+ c≤ b+ c 2. ∀a,,, b ∈ R c ∈ R+ a ≤ b ⇒ ac ≤ bc 3. ∀a,,, b ∈ R+ a + b ∈ R+ ab∈ R+ 9 Tính chất 3: Tập R là đầy theo nghĩa sau đây: Mọi tập con X không rỗng của R bị chặn trên trong R đều có một cận trên đúng thuộc R và mọi tập con không rỗng X của R bị chặn dưới trong R đều có một cận dưới đúng thuộc R. b. Tập số thực mở rộng Người ta thêm vào tập số thực R hai phần tử kí hiệu là − ∞ và + ∞ . Tập số thực mở rộng kí hiệu là R và RR= ∪{ − ∞, +∞}, các phép toán + và ., quan hệ thứ tự được định nghĩa như sau: x +()() +∞ =+ ∞ + x = +∞ 1. ∀x ∈ R x +()() −∞ = −∞ +x = −∞ ()()+∞ + +∞ = +∞ 2. ()()−∞ + −∞ = −∞ 3. ∀x ∈ R+, R + ={} x ∈ R, x > 0 x()()+∞ = +∞ x = +∞ x()()−∞ = −∞x = −∞ ∀x ∈ R−, R − ={} x ∈ R, x < 0 x()()+∞ =+ ∞ x = −∞ x()()−∞ = −∞x = +∞ (+∞ )( +∞ )= (−∞ )( −∞ ) =+ ∞ 4. (+∞ )( −∞ ) = ( −∞ )( +∞ ) = −∞ − ∞ <x <+ ∞ 5. ∀x ∈ R − ∞ ≤ −∞ + ∞ ≤ +∞ c. Các khoảng số thực Cho a, b∈ R và a≤ b.Trong R có chín loại khoảng sau đây: 9
Chương 1: Giới hạn của dãy số []a,; b={ x ∈ R a ≤ x ≤ b} được gọi là đoạn hay khoảng đóng bị chặn [a, b){= x ∈ R; a ≤ x < b} được gọi là khoảng nửa đóng hoặc nửa mở (a,; b] ={ x ∈ R a < x ≤ b} [a,+∞){ = x ∈ R; a ≤ x } (− ∞,a] ={} x ∈ R; x ≤ a (){a, b= x ∈ R; a < x < b} được gọi là các khoảng mở (){a,+∞ = x ∈ R; a < x } (){− ∞,a = x ∈ R; x < a} Các số thực a,b gọi là các mút của khoảng. d. Giá trị tuyệt đối của số thực 9 Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối của số thực x, kí hiệu x là một số thực không âm xác định như sau ⎧ ⎪x khi x ≥ 0 ⎪ x = ⎨ ⎪− x khi x ≤ 0 ⎩⎪ 9 Tính chất 1.∀x ∈ R, x = Max(,) x − x 2. x=0 ⇔ x = 0 3. ∀x,, y ∈ R xy= x y n n * ∀n ∈ N,,,,,, ∀ x1 x 2 x 3 K xn ∈ R∏ xi = ∏ xi i=1 i=1 ∀x ∈ R, xn = x n 1 1 4. ∀x ∈ R* , = x x 5. 10
Chương 1: Giới hạn của dãy số ∀x,, y ∈ R x + y ≤ x + y n n * ∀n ∈ N,,,,, ∀ x1 x 2 K xn ∈ R∑ xi ≤ ∑ xi i=1 i=1 6. 1 ∀x,,(,) y ∈ R Max x y=() x + y + x − y 2 1 Min(,) x y=() x + y − x − y 2 7. ∀x,, y ∈ R x − y ≤ x − y e. Khoảng cách thông thường trong R 9 Định nghĩa: Khoảng cách trong R là ánh xạ d: R× R → R ()x, ya x− y Đó là hình ảnh trực quan về khoảng cách giữa 2 điểm x và y trên đường thẳng trục số thực R. 9 Tính chất 1. d() x, y= 0 ⇔ x = y 2.∀x,,,, y ∈ R d() x y= d () y x 3. ∀xyz,,,,,, ∈ R dxz()≤ dxy ()( + dyz) 4. ∀xyz,,,,,, ∈ Rdxy()()− dxz ≤ dyz( ) 1.2.2 Số phức a. Định nghĩa: Cho ()x, y∈ R 2 ,một số biểu diễn dưới dạng z=x+iy,trong đó i 2 = −1 gọi là một số phức.Tập các số phức kí hiệu là C. Gọi x là phần thực của z, kí hiệu Rez =x y là phần ảo của z,kí hiệu là Imz =y Gọi môđun của z,kí hiệu z xác định bởi số thực không âm z= x2 + y 2 = r ≥ 0 11
Chương 1: Giới hạn của dãy số Gọi Acgumen của z ,kí hiệu Argz xác định bởi số thực ⎧ x y ⎪⎫ Argz=θ∈RR;⎨ θ ∈ ;cos θ = và sinθ = ⎬ , với z ≠ 0 ⎩ z z ⎭⎪ Như vậy Acgumen của z sai khác nhau k2π , k∈ Z và Arg0 không xác định. Vậy số phức z có các dạng viết: 1. z =x+iy gọi là dạng chính tắc hay dạng đại số của số phức z . 2. z =r(cosθ + i sinθ ) gọi là dạng lượng giác của số phức z. b. Các phép toán trên tập C 9 Phép so sánh bằng nhau ⎪⎧x= x ' ∀ x,,,, y x' y '∈ R 4 x+ iy = x'' + iy ⇔ () ⎨ ' ⎩⎪y= y 9 Phép lấy liên hợp Cho z= x + iy ∈ C ,liên hợp của z,kí hiệu z cho bởi z = x − iy 9 Phép lấy số phức đối Cho z=x+iy∈C,số phức đối của z, kí hiệu –z (đọc là trừ z ) được xác định: -z = -x-iy 9 Phép cộng Cho z = x+iy,z’= x’+iy’,tổng của z và z’,kí hiệu z+z’ xác định như sau: z+z’=(x+x’)+i(y+y’) 9 Phép nhân Cho z=x+iy và z’=x’+iy’,tích của z và z’,kí hiệu z.z’ xác định như sau: z.z’=(xx’-yy’) + i(xy’+x’y) 9 Phép trừ và phép chia Là các phép tính ngược của phép cộng và phép nhân z− z'(') = z+ − z z =z" ⇔ z = z '. z " z' 9 Phép luỹ thừa,công thức Moavrờ ( Moivre) Cho z= r()cosθ + i sinθ , ∀k∈ Z Gọi z k là luỹ thừa bậc k của z. Bằng qui nạp ,dễ chứng minh được zk= r k ()cos kθ+ isin k θ 12
Chương 1: Giới hạn của dãy số 9 Phép khai căn bậc n của z∈ C * . Cho n∈ N* , z = r() cosθ + i sin θ . Gọi ς ∈C * là căn bậc n của z, kí hiệu n z ,xác định như sau: ς n = z 1 ⎧ρ n = r Nếu gọi ρ = ς và Φ = Argς thì ⎨ hay là ρ = r n và ⎩nΦ =θ + 2 k π Φ=θ + 2kπ với k = 0,1,2, ,n − 1 . n Vậy số z có đúng n căn bậc n, đó là các số phức có dạng: 1 ⎛ θ+ 2k π θ+ 2k π ⎞ ς = r n ⎜cos + isin ⎟ k = 0,1,2, ,n − 1 ⎝ n n ⎠ c. Áp dụng số phức vào lượng giác 9 Khai triển cosnθ ,sin nθ , tgnθ Cho θ ∈R, n ∈ N * .Áp dụng công thức Moivre và công thức nhị thức Newton n n k n− k k k cos nθ+ isin n θ =()cos θ +i sin θ = ∑Cn cosθ . i sin θ k =0 1. cosnθ biểu diễn dưới dạng một đa thức của cosθ ,gọi đó là công thức Chebyshev loại 1. 2. sin nθ bằng tích của sinθ với một đa thức của cosθ ,gọi là đa thức Chebyshev loại 2. sin nθ sin nθ n C1 tgθ− C3 tg 3 θ + 3. tgnθ = =cos θ = n n L cosnθ 2 2 4 4 cosnθ 1−Cn tgθ + Cn tg θ −L cosn θ 9 Tuyến tính hoá cosp θ ,sinp θ ,cosp θ .sin q θ ⎧ 1 ⎪2cosθ= ω + ω = ω + * iθ ⎪ ω Cho θ ∈R,, p ∈ Nω = e ⇒ ⎨ 1 ⎪2i sinθ= ω − ω = ω − ⎩⎪ ω p p ⎛ 1 ⎞ p ⎛ 1 ⎞ Vậy 2p cos p θ=⎜ ω + ⎟ và ()2i sin p θ=⎜ ω − ⎟ ⎝ ω ⎠ ⎝ ω ⎠ Sử dụng công thức nhị thức Newton và xét các trường hợp sau đây: 13
Chương 1: Giới hạn của dãy số a. Trường hợp p=2 m , m ∈ N * 2m 2 m ⎛ 2m 1 ⎞ 1⎛ 2m− 2 1 ⎞ m 2 cos θ=⎜ ω + 2m ⎟ + C2m ⎜ω + 2m− 2 ⎟ +L + C2m ⎝ ω ⎠ ⎝ ω ⎠ 1 m−1 m = 2cos2mθ + 2 C2m cos 2( m − 1)θ ` +L + 2C2m cos 2θ + C2m m−1 2m −(2m − 1) ⎛ 1 m k ⎞ cosθ = 2 ⎜ C2m + ∑ C2m cos 2( m− k )θ ⎟ ⎝ 2 k=0 ⎠ 2m m2 m ⎛ 2m 1 ⎞ 1⎛ 2m− 2 1 ⎞ m m 2 (− 1) sin θ=⎜ ω + 2m ⎟ − C2m ⎜ω + 2m− 2 ⎟ +L +( − 1) C2m ⎝ ω ⎠ ⎝ ω ⎠ 1 m m = 2cos2mθ − 2 C2m cos2( m − 1)θ +L + ( − 1) C2m ⎛ (− 1)m m−1 ⎞ 2m −(2m − 1) m ⎜ m k k ⎟ sinθ = 2() − 1 ⎜ C2m +∑( − 1)C2m cos2( m− k )θ ⎟ ⎝ 2 k =0 ⎠ b.Trường hợp p=2 m + 1, m ∈ N ⎛ 1 ⎞ ⎛⎛ 1 ⎞⎞ ⎛ 1 ⎞ 22m+ 1 cos 2m+ 1 2m+ 1 C1 2m− 1 C m θ=⎜ ω + 2m+ 1 ⎟ + 2m+ 1⎜⎜ω + 2m− 1 ⎟⎟ +L +2m+ 1⎜ω + ⎟ ⎝ ω ⎠ ⎝⎝ ω ⎠⎠ ⎝ ω ⎠ 1 m =2cos(2m + 1)θ + 2 C2m+ 1 cos(2m − 1)θ +L + 2C2m+ 1 cosθ m 2m+ 1 −2m k cosθ = 2 ∑C2m+ 1 cos(2m+ 1 − 2 k )θ k=0 2m+ 1 m2 m+ 1 ⎛ 2m+ 1 1 ⎞ 1 ⎛ 2m+− 1 ⎞ 2i (− 1) sin θ=⎜ ω + 2m+ 1 ⎟ − C2m+ 1⎜ω − 2m− 1 ⎟ +L ⎝ ω ⎠ ⎝ ω ⎠ 1 m m = 2i sin(2 m+ 1)θ − 2 i . C2m+ 1 sin(2 m − 1)θ +L + 2i ( − 1) C2m+ 1 sinθ m 2m+ 1 −2m m k k sinθ = 2() − 1∑ ( − 1)C2m+ 1 sin(2 m+ 1 − 2 k )θ k =0 Để tuyến tính hoá cosp θ .sin q θ trước hết tuyến tính hoá từng thừa số cosp θ ,sin q θ , sau đó thực hiện phép nhân rồi cùng tuyến tính hoá các số hạng thu được. 1.2.3 Dãy số thực a. Các khái niệm cơ bản của dãy số thực 9 Định nghĩa Một dãy số thực là một ánh xạ từ N vào R,kí hiệu: u: N→ R hay đơn giản nhất,kí hiệu (un) 14
Chương 1: Giới hạn của dãy số Với n= n ∈ N xác định, u gọi là số phần tử thứ n của dãy,u thường là một 0 n0 0 n biểu thức phụ thuộc vào n gọi là phần tử tổng quát của dãy,chẳng hạn cho các n ⎛ 1 ⎞ ⎛⎛ 1 ⎞ ⎞ dãy sau đây: (1), (− 1)n+1 , ,⎜ 1+ ⎟ ()⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎝ n ⎠ ⎝⎝ n ⎠ ⎠ 9 Sự hội tụ, sự phân kì của dãy số 1. Dãy (un) hội tụ về a∈ R nếu ∀ε >0, ∃n0 ∈ N , ∀ n ∈ N , n > n0 ⇒ un − a ∀∈∃∈a R,ε 0,n N , n0 N , n0 > n , un −≥ a ε 4. Dãy (un) nhận +∞ làm giới hạn nếu ∀A > 0,∃ n0 ∈ N , ∀ n > n0 ⇒ un > A Kí hiệu lim un = +∞ , đôi khi nói rằng (un) tiến tới + ∞ n→∞ 5. Dãy (un) nhận -∞ làm giới hạn nếu ∀B n0 ⇒ un < B . Kí hiệu lim un = −∞ n→∞ Dãy có giới hạn là +∞ hoặc -∞ cũng gọi là phân kỳ. 9 Dãy số bị chặn 1. Nói rằng (un) bị chặn trên bởi số A ∈ R nếu ∀n∈ N, un ≤ A . 2. Nói rằng (un) bị chặn dưới bởi số B ∈ R nếu ∀n∈ N, un ≥ B . 3. Nói rằng (un) là dãy bị chặn nếu tồn tại MR∈ + sao cho ∀n ∈ N, un ≤ M . b. Tính chất của dãy hội tụ 9 Tính duy nhất của giới hạn Định lí: Dãy (un) hội tụ về a thì a là duy nhất 9 Tính bị chặn 1. Dãy (un) hội tụ thì bị chặn trong R. 2. Dãy (un) tiến đến +∞ thì bị chặn dưới. 15
Chương 1: Giới hạn của dãy số 3. Dãy (un) tiến đến -∞ thì bị chặn trên. 9 Tính chất đại số của dãy hội tụ 1. limun = a ⇒lim un = a . n→∞ n→∞ 2. limun = 0 ⇔ limun = 0 . n→∞ n→∞ 3. limun = a , lim vn = b ⇒ lim( un+ v n ) = a+ b . n→∞ n→∞ n→∞ 4. lim un = a ⇒ lim λ un = λ a . n→∞ n→∞ 5. limun = 0, (vn) bị chặn ⇒ lim(un v n )= 0 . n→∞ n→∞ 6. limun = a , lim vn = b ⇒ lim( un v n ) = ab . n→∞ n→∞ n→∞ un a 7. limun = a , lim vn = b ≠0 ⇒ lim = . n→∞ n→∞ n→∞ vn b 9 Tính chất về thứ tự và nguyên lý kẹp 1. Giả sử lim un = l ∈ (,) a b .Khi đó ∃n0 ,∀ n> n0 ⇒ a n0 có a≤ un ≤ b khi đó a≤ l ≤ b n→∞ 3. Giả sử 3 dãy (un),(vn),(wn) thoả mãn: ∃n0 , ∀ n > n0 ⇒ un ≤ v n≤ w n và limun = lim wn = a n→∞ n→∞ Khi đó lim vn = a n→∞ 4. Giả sử ∀n> n0 mà un≤ v n và lim un = +∞ .Khi đó lim vn = +∞ n→∞ n→∞ c. Tính đơn điệu của dãy số 9 Dãy đơn điệu 1. Dãy (un) tăng nếu ∀n∈ N, un≤ u n+1 , Dãy (un) tăng ngặt nếu ∀n∈ N, un u n+1 . 3. Dãy (un ) đơn điệu nếu nó tăng hoặc giảm. Dãy (un ) đơn điệu ngặt nếu nó tăng ngặt hoặc giảm ngặt Định lí 1: 16
Chương 1: Giới hạn của dãy số 1. Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ. 2. Mọi dãy giảm và chặn dưới thì hội tụ. Định lí 2: 1. Dãy (un) tăng và không bị chặn trên thì dần đến + ∞ . 2. Dãy (un) giảm và không bị chặn dưới thì dần đến − ∞ . 9 Dãy kề nhau Hai dãy (un),(vn) gọi là kề nhau khi và chỉ khi (un) tăng (vn) giảm và lim(vn− u n ) = 0 n→∞ Định lí: Hai dãy kề nhau thì hội tụ và có chung một giới hạn l, ngoài ra ∀n ∈ N, un ≤ u n+1 ≤ l≤ vn+1 < v n Hệ quả: (Định lí về các đoạn lồng nhau) Cho hai dãy (an),(bn) thoả mãn :∀n∈ N,,,, an≤ b n[][ a n+1 b n + 1 ⊂ an b n ] và lim(bn− a n ) = 0 n→∞ Khi đó tồn tại duy nhất số l sao cho [an, b n ] = { l} nI∈ N d. Dãy con Cho (u ),từ các số hạng của nó lập một dãy mới ()u với n < n < < n nk 1 2 nk < Gọi ()u là một dãy con của (u ).Chẳng hạn: nk n (u2n) và (u2n+1) là các dãy con của (un) u 2 ( n ) là các dãy con của (un) ()u 2 n− n không phải là dãy con của (un) vì số hạng u0 xuất hiện 2 lần ứng với n=0,n=1 Định lí : Nếu (un) hội tụ về a∈ R thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ về a Hệ quả: Để (un) hội tụ đến l điều kiện cần và đủ là hai dãy con (u2n) và (u2n+1) đều hội đến l . Định lí : (Định lí Bônzanô – Vâyơxtrase),(Bolzano -Weierstrass): Từ mọi dãy (un) bị chặn đều có thể lấy ra một dãy con hội tụ 17
Chương 1: Giới hạn của dãy số 1.3 CÂU HỎI ÔN TẬP Câu 1. Số thực là gì? Nêu các tính chất của số thực. Câu 2. Số hữu tỉ có tính đầy không? Cho ví dụ minh hoạ. Câu 3. Trục số là gì? Định nghĩa các loại khoảng số thực. Câu 4. Trị tuyệt đối của số thực là gì? Nêu các tính chất của nó. Câu 5. Số phức là gì? Tại sao trục hoành và trục tung có tên gọi là trục thực và trục ảo. Câu 6. Nêu các dạng số phức. Câu 7. Nêu các phép tính số phức. Câu 8. Phép khai căn số phức khác với phép khai căn số thực ở chỗ nào? Câu 9. Dãy số thực là gì? Câu 10. Định nghĩa sự hội tụ của dãy số thực. Từ đó có thể định nghĩa về sự hội tụ của dãy số phức? Câu 11. Thế nào là dãy số bị chặn? Câu 12. Thế nào là dãy số đơn điệu? Câu 13. Dãy số hội tụ thì bị chặn có đúng không? Ngược lại dãy bị chặn có hội tụ không? Tại sao? Câu 14. Các dãy không hội tụ có tính chất đại số giống như các dãy hội tụ không? Câu 15. Nêu điều kiện để một dãy đơn điệu hội tụ. Câu 16. Thế nào là hai dãy kề nhau? Thế nào là các đoạn lồng nhau? Nêu các tính chất của chúng. Câu 17. Thế nào là một dãy con? Nếu dãy phân kỳ thì các dãy con của nó có phân kỳ không? Câu 18. Phát biểu định lý Bolzano-Weierstrass. Nếu dãy không bị chặn thì có thể lấy ra một dãy con của nó hội tụ được không? 1.4 BÀI TẬP CHƯƠNG I SỐ THỰC: Câu 1. Chứng minh rằng 3 là số vô tỉ. Câu 2. Giải các phương trình sau với (x, y, z)∈ R 3 . 18
Chương 1: Giới hạn của dãy số a) 3x2 + y2 +z2 =2x(y + z). b) 3x2 + 4y2 +18z2 - 4xy - 12xz = 0 . Câu 3. Tìm cận trên đúng,cận dưới đúng (nếu tồn tại) của tập E sau đây 1+ ( − 1) n trên R E = { −n2 , n ∈ N * }. n Câu 4. Bằng định nghĩa hãy chứng minh sự hội tụ của các dãy cho bởi số hạng tổng quát tương ứng và tìm giới hạn của chúng n n+ 1 a) u = b . u = ). n n +1 n 4n+ 1 n 2 3+ ( − 3) n c) u = d . u = ). n n 3 +1 n 4 n Câu 5. Tìm giới hạn của các dãy cho bởi số hạng tổng quát dưới đây 2 a) xn = n − n −1 . b) xn = n(n + a) − n . 3 3 3 3 c) xn = n + 1 − n . d) n+ 1− n . Câu 6. Chứng minh sự hội tụ và xác định giới hạn của các dãy sau cho bởi số hạng tổng quát tương ứng n n ∑(3k + 1) 1 k =0 n a) ∑ . b) n . c) 3+ sin n . k =1 k( k + 1) ∑(2k + 3) k =0 3 2 Câu 7. Cho (a, b,c)∈ R và b - 4ac 0, b0 > 0 19
Chương 1: Giới hạn của dãy số a) Chứng tỏ rằng an >0, bn >0 ∀n∈ N . b) Biểu diễn xn+1 qua xn. c) Tính xn+1 - xn và chứng tỏ rằng (xn) đơn điệu. Hãy tìm limxn n→∞ Câu 10. Chứng tỏ rằng các dãy sau có giới hạn hữu hạn 1 1 1 1 x= 1 + + + x = + + a) n 2 L 2 . b) n L . 2 n 2! n! Câu 11. Chứng tỏ các dãy sau có giới hạn là +∞ 1 1 a) xn = 1 + +L + . 2 n 2 3 n+ 1 b) x= log +log + + log , a>1. n a 1 a 2 L a n Câu 12. Tìm giới hạn của dãy sau: 2 a) x n = + 1, x0 = 1 . x n− 1 b) xn = 1 + x n− 1 , x0 = 3 . c) xn(3 + xn-1) + 1 = 0, x0 = 1. d) xn = a + x n− 1 (n > 1), x1 = a , a >0. xn+ x n− 1 e) x = , x1 = 0, x2 = 1. n+ 1 2 2 1 x n− 1 1 f) x = + , x1 = . n 2 2 2 2 5+ x n− 1 g) x n = , x1 > 5. 2x n− 1 Câu 13. Chứng minh rằng một dãy đơn điệu có giới hạn nếu nó có một dãy con có giới hạn. Câu 14. Chứng minh rằng nếu ba dãy con (x2n), (x2n+1) và (x3n) hội tụ thì dãy (xn) hội tụ. Có thể thay số 2 bởi số tự nhiên k >2 được không?. x n+ 1 Câu 15. Nếu xn → a (hữu hạn hay vô hạn).Có thể nói gì về lim . n→∞ x n 20
Chương 1: Giới hạn của dãy số SỐ PHỨC Câu 1. Cho E,F,G,H⊂ R 2 , xác định bởi các hệ thức sau: x y E: x2− y 2 = . F: 2xy + = 3 . x2+ y 2 x2+ y 2 G: x3 - 3xy2 +3y = 1. H: 3x2y - 3x -y3 =0. Chứng minh E ∩ F = G ∩H. 2 Câu 2. Có tồn tại (z1 , z 2 )∈ C để thoả mãn các điều kiện dưới đây không? 2 2 3 3 z1 + z2 =1 , z1 + z2 = 2 , z1 + z2 = 3. Câu 3. Tìm tất cả các (,,)x y z∈ C 3 sao cho ⎧x, y , z Khác nhau từng đôi một ⎨ ⎩x( x− 1)2 + yz = y ( y − 1)2 + xz = z (1)2 z − + x Câu 4. Giải hệ phương trình với ẩn (x, y, z)∈ C3 xy = z , yz = x , zx = y. Câu 5. Cho ánh xạ f: CC→ thoả mãn ⎧∀x ∈ R,() f x = x ⎪ ⎨ 2 ⎧f(z+ z') = f(z) + f(z') ⎪∀(z , z ') ∈ C , ⎨ ⎩ ⎩ f( zz ')= f ( z ). f ( z ') f( z )= z ∀ z∈ C Chứng minh [ f( z )= z ∀ z ∈ C Câu 6. Giải phương trình với ẩn số z∈ C 2z + 6z= 3+ 2i Câu 7. Xác định tập các số phức z∈ C sao cho z = r0 z , r0∈R Câu 8. Với (a,b,c)∈C3 thoả mãn aa = bb = cc= 1 và a+b+c = 0. Chứng minh a3 = b3 =c3 Câu 9. Chứng minh ∀(z, z')∈ C 2 a. z+ z'2 + z − z'2 = 2(z2 + z')2 (Hằng đẳng thức hình bình hành). 2 b. zz'+ 1 + z − z'2 = (1 + z2 )(1 + z'2 ). 2 c. zz'− 1 − z − z'2 = (1 − z2 )(1 − z'2 ). 1 2 2 2 2 d. zz'=(z + z' − z − z' + iz + iz' − iz − iz') . 4 21
Chương 1: Giới hạn của dãy số n n * n Câu 10. Cho n ∈ N , (z1, ,zn) ∈C .Chứng minh ∑zk = ∑ zk khi và chỉ k =1 k =1 n khi ∃u ∈ C , ∃(α1 , , α n )∈R+ , zk =α k .u , k = 1, n Câu 11. Chứng minh ∀(a, b)∈ C 2 a. a+ b2 ≤ (1 + a2 )(1 + b2 ) . Khi nào xảy ra đẳng thức? b. 2 a b a− b ≥() a + b a b − b a d− a d− b Câu 12. Cho a,b,c,d∈ C khác nhau từng đôi một sao cho và là b − c c − a d− c những số thuần ảo. Chứng minh rằng cũng thuần ảo. a − b Câu 13. Xác định tập hợp các điểm M có toạ vị z thoả mãn điều kiện: a. z= 2 z − 1 . z 2 b. ∈iR . z+ i Câu 14. Tính Sup z3 − z + 2 z= 1 Câu 15. Với a ∈ R ,ẩn (x,y)∈ R 2 . Tìm nghiệm của hệ ⎧cos a+ cos(a+ x)+ cos(a+ y)= 0 ⎨ ⎩sin a+ sin(a + x) + sin(a + y) = 0 Câu 16. Giải các phương trình sau trên trường số phức: a. z2 - 2zcosθ +1 = 0 , θ∈ R . b. z3 - (1- 2i)z2 + (1-i)z -2i = 0, biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo. Câu 17. Giải các phương trình với ẩn số (x,y,z)∈C3 ⎧x= y 2 ⎧(x+ y)(x3 − y 3 ) = 819 ⎪ a. b. y= z 2 ⎨ 3 3 ⎨ ⎩(x− y)(x + y ) = 399 ⎪ 2 ⎩z= x Câu 18. Chứng minh với α ∈ R 1+ itgα 1+ itgnα a. ( ) n = . 1− itgα 1− itgnα 1 b. zm + z-m = 2cosmα nếu z + = 2cos α . z 22
Chương 1: Giới hạn của dãy số n Câu 19. Cho (n,x) ∈N * × R , tính S = ∑ cos3 kx . k= 0 Câu 20. Với (n , x )∈ N× ( R − 2π Z ) tính các tổng: n n ikx a. An (x)= ∑ e . b. Bn (x)= ∑ Ak (x) . k=− n k= 0 1.5 HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG I SỐ THỰC Câu 2. Rút gọn về dạng toàn phương bằng phương pháp Gauss a. (0,0,0). 3 b. ( 3z, z ,z) , z∈R hoặc (6t, 3t, 2t) ,t∈R . 2 Câu 3. Không tồn tại InfE , SupE = -1 = MaxE 1 Câu 4. a) 1; b) ; c) 0 ; d) 0 4 1 a Câu 5. a) ; b) ; c) 0 ; d) 0 2 2 3 Câu 6. a) 1; b) ; c) 1 ; 2 Câu 7. Hãy biểu diễn tam thức dưới dạng chính tắc, sau đó sử dụng nguyên lý kẹp. Câu 8. a) Dùng phương pháp phản chứng. b) Chứng minh (xn) tăng và không bị chặn trên. 2xn + 3 Câu 9. a) Dùng qui nạp. b) xn = xn + 2 ( 3− xn )( 3 + xn ) c) xn+1 - xn = xn + 2 Bằng qui nạp chứng minh: * Nếu x0 3 thì (xn) giảm và xn > 3 ∀n . Qua giới hạn sẽ có xn → 3 * Nếu x0 = 3 thì xn = 3 ∀n . Tóm lại lim x= 3 không phụ thuộc x0,tức là không phụ thuộc a0,b0. n→∞ n 23
Chương 1: Giới hạn của dãy số Câu 10. 1 1 1 a) Rõ ràng xn 1 1.2 (n− 1)n n b) Tương tự a) Câu 11. a) xn > n b) xn = loga (n+ 1) Câu 12. * a) Rõ ràng xn >1 ∀n ∈ N , ta có biểu diễn x n− 2 xn− 1 − 2 xn = + 1 và xn+1 - 2 = ,∀ n 2+ x n− 2 xn− 1 + 2 Suy ra : (x2n) tăng và bị chặn trên bởi số 2. (x2n+1) giảm và bị chặn dưới bởi số 2. Lý luận sẽ nhận được lim xn = 2 n→∞ b) Qui nạp sẽ nhận được dãy (xn) đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi số 0, suy ra 2 1 lim xn = a ≥ 0, ta có a = 1+ a ⇒a =(1 + 5) n→∞ 2 1 c) Bằng qui nạp chứng minh được −(3 − 5) <x < 0, ∀ n ≥ 1 ngoài ra 2 n xn− x n−1 xn+1 - xn = (3+xn−1 )(3 + xn ) Vậy (xn) đơn điệu giảm và bị chặn dưới do đó 1 lim xn = a = −(3 − 5) n→∞ 2 d) Bằng qui nạp chứng minh xn < xn+1 và xn < a +1 ∀n 1+ 1 + 4a Đặt limxn = b , b = n→∞ 2 x1+ x 0 x2+ x 1 e) x2 = , x3 = , 2 2 1 1 x2 - x1 = (x0 - x1), x3 - x2 = (x1 - x2), 2 2 k−2 x2− x 1 Bằng qui nạp chứng minh xk - xk-1 = (− 1) , k≥ 2 2k−2 24
Chương 1: Giới hạn của dãy số 1 1 (− 1)n−2 Cộng liên tiếp xn - x1 = (x2 -x1)[1− + + + ] 2 22 2n−2 x2− x 1 2 n-2 = (x2 - x1) - (-1) n− 2 3 3.2 2x2− x 1 n− 2 x2− x 1 xn = −( − 1) 3 3.2 n− 2 2 lim xn = n→∞ 3 f) Rõ ràng xn > 0 ∀n , bằng qui nạp chứng minh được (xn) đơn điệu tăng và 1 a 2 xn xn+1. Vậy tồn tại a = lim xn và n→∞ 2 xn−1 suy ra a = 5 . SỐ PHỨC Câu 1. Đặt z = x + iy, (x,y) ∈ R 2 2 2 y x 1 (x,y) ∈EF ∩ ⇔ x - y + i(2xy + ) = + 3i ⇔z 2 = + 3i x2+ y 2x 2+ y 2 z ⎪⎧x3 −3 xy2 + 3 y = 1 ⇔ ⇔(,)x y ∈ G ∩ H ⎨ 2 3 ⎩⎪3x y− 3 x − y = 0 Câu 2. Không Câu 3. Không tồn tại. ⎧xyz( xyz − 1) = 0 ⎪ ⎪ (0,0,0),(1,1,1) Câu 4. ⎨ ⎪xy= z, yz = x , zx = y ⇒ (1,-1,-1),(-1,1,-1) ⎩⎪ (− 1, − 1,1) 2 2 Câu 5. Xét (f(i)) = f(i ) = f(-1) =-1 ⇒ f(i) = ε i ε = {± 1} Xét (x,y)∈ R 2 ,f(x+iy) = f(x) +f(iy) = f(x) + f(i)f(y) = x + ε iy Kiểm tra f(z) = z hoặc f(z) = z thoả mãn. 3 1 Câu 6. z = − i 8 2 25
Chương 1: Giới hạn của dãy số Câu 7. z ∈R ∪ iR 1 1 1 bc+ ca+ ab Câu 8. a+ b + c =0 ⇒ + + = =0 ⇒a2 = − a() b + c = bc a b c abc ⇒a3 = abc Do tính đối xứng suy ra a3 = b3 = c3 2 Câu 9. Áp dụng:∀z ∈ C thì z= zz và các tính chất của phép lấy liên hợp. Câu 10. Qui nạp theo n. 2 Câu 11. a) Xét (1+ a2 )(1+ b2 ) − ab +2 =1 + ababab2 2 − − =1 − ab a 1−ab = 0 ⇔ a ≠ 0 và b = a 2 b) a = 0 hoặc b =0 đúng a − b Xét a≠0, b ≠ 0 : Đặt u = , v = . Bất đẳng thức đã cho tương a b đương với a b 1 u + v≥ u + v a+ b a+ b 2 a 1 1 Kí hiệu λ = ∈(0,1) m =(u + v ), d =()v − u a+ b 2 2 Vậy qui về m +(1 − 2λ )d ≥ m 1 2 2 Chú ý rằng Re(md)= Re( (uv− uv)) = 0 vì u= v = 1 4 d− a 1 Câu 12. Ta có = (d− a)(b − c) thuần ảo ⇒(d − a)(b − c) thuần b− c b− c 2 ảo. Mặt khác ta có số thuần ảo s = ( ba− ab)(cb − bc)(ac − ca) = (dabc− )( − ) + ( dbca − )( − ) + ( dcab − )( − ) Suy ra điều phải chứng minh. 4 2 Câu 13. a) Đường tròn tâm (0, ) và bán kính 3 3 2 2 z z() z− i 2 2 2 b) Biểu diễn = , Re(z (z -i))=x(x + y + 2y) z+ i z+ i 2 26
Chương 1: Giới hạn của dãy số Trục Oy và đường tròn tâm (0,-1) bán kính 1 bỏ đi điểm (0,-1) Câu 14. 13 ⎧1+ cosx + cos y = 0 Câu 15. ⎨ ⎩sinx+ sin y = 0 2π 2π (x,y) = (± + 2mπ , + 2nπ ), m , n∈ Z 3 m 3 Câu 16. a) z = e ±iθ b) Gọi z = ix là nghiệm thuần ảo ⇒ x = 1 z3 + (1-2i)z2 + (1 - i)z - 2i = (z -i).[z2+(1-i)z + 2] 1 z1 = i, z2,3 = {− 1 − 17 − 4 + (1 ± 17 + 4)i } 2 ⎧(x2− y 2 )( x + y )2 = 1029 Câu 17. a) Đưa về tương đương với ⎪ ⎨ 2 2 2 ⎩⎪(x− y )( x − y ) = 189 ⎧u= x − y 8 8 Đặt ⎨ ⇒u = 3 ⎩v= x + y (5,2), (-2 ω,− 5 ω ),(5i,2i),(− 2iω ,− 5iω ),(− 5,− 2),(2ω ,5ω ),(− 5i, − 2i),(2iω ,5iω ) π 2i 1+ i trong đó ω = e 8 = 2 b) Suy ra x = y2 = z4 = x8 ⇒ x = 0, x7 = 1 2ikπ 4 2 7 (0,0,0), (ωk, ω k , ω k ), k = 0,6 , ωk = e 1 Câu 19. cos3kx = (cos3kx + 3coskx) 4 * x∈ 2π Z thì S = n 3(n+ 1)x (n+ 1)x sin sin 1 3nx nx * x∉ 2π Z thì S = {cos 2 + 3cos 2 − 4} 3x x 4 2 sin 2 sin 2 2 (n + 1) sin x n nx 2 Câu 20. An(x) = -1 + 2 coskx = − 1 + 2cos ∑ 2 x k=0 sin 2 1 sin(n+ x) Biến đổi tiếp A (x) = 2 n x sin 2 27
Chương 1: Giới hạn của dãy số 2 ⎛ n +1 ⎞ n ⎜ sin ⎟ 1 1 2 Bn(x) = sin(k+ ) x =⎜ ⎟ x ∑ 2 ⎜ x ⎟ sin k=0 ⎜ sin ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ 28
Chương 2: Hàm số một biến số CHƯƠNG II: HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 2.1 MỤC ĐÍCH Mọi vật xung quanh ta đều biến đổi theo thời gian. Chúng ta có thể nhận thấy điều đó qua sự chuyển động cơ học của các vật thể: ô tô, máy bay; sự thay đổi của các đại lượng vật lý: nhiệt độ, tốc độ, gia tốc; sự biến động kinh tế trong một xã hội: Giá cổ phiếu, lãi suất tiết kiệm, Tất cả các loại hình đó được gán một tên chung là đại lượng hay hàm số, nó phụ thuộc vào đối số nào đó, chẳng hạn là thời gian. Xem xét hàm số tức là quan tâm đến giá trị, tính chất và biến thiên của nó. Việc đó đặt ra như một nhu cầu khách quan của con người và xã hội. Trong mục thứ nhất của chương này, người đọc cần nắm vững hàm số và ký hiệu hàm số. Lưu ý rằng ánh xạ f hay “quy luật” nêu trong định nghĩa có tính tổng quát, không nhất thiết phải là một công thức giải tích trên khoảng xác định của nó. Nó có thể biểu thị bằng nhiều công thức trong các khoảng con của tập xác định hoặc bằng số hoặc bằng đồ thị. Nắm vững các tính chất của hàm số là điều vô cùng quan trọng. Chẳng hạn nếu hàm chẵn hoặc lẻ trên khoảng (-a,a) thì chỉ cần xét trên khoảng (0,a), hàm tuần hoàn chu kỳ T, chỉ cần xét trên khoảng TT (− , ) là có thể biết toàn cảnh của hàm số đó. Tính chất này của hàm số sẽ 2 2 còn được xem xét ở các chương tiếp theo. Những hàm số thông dụng là các hàm số sơ cấp cơ bản, là hàm hữu tỉ luôn luôn được sử dụng trong các chương sau. Phải lưu ý đến tập giá trị của các hàm ngược của các hàm lượng giác. Khi xem xét các hàm sơ cấp cơ bản là phải phác thảo được đồ thị của chúng, có như thế chúng ta mới thấy được đặc tính của hàm số, đặc biệt đặc tính của hàm số ở lân cận x=0 và lân cận vô cùng (những điểm khá xa gốc toạ độ). Trong mục thứ hai khái niệm giới hạn của hàm số là bao hàm khái niệm giới hạn của dãy số thể hiện qua định nghĩa của nó, đặc biệt qua định lý về mối liên hệ với dãy số. Nhớ lại rằng giới hạn là một khái niệm khó nên các tính chất của hàm có giới hạn, các điều kiện cần, các điều kiện đủ phải hiểu chính xác. Ngoài ra cũng cần phải lưu ý khái niệm giới hạn một phía bởi vì các hàm thường được cho không phải luôn luôn dưới dạng sơ cấp. Tất cả các khái niệm 28
Chương 2: Hàm số một biến số trên người học phải minh hoạ được bằng đồ thị. Cuối cùng là các giới hạn đáng nhớ, chúng được coi là các giới hạn đi cùng với chúng ta suốt quá trình học tập. Trong mục thứ ba lớp các vô cùng bé, vô cùng lớn được đề cập một cách tự nhiên, bởi vì chúng có mối liên hệ trực tiếp với hàm số có giới hạn. Hơn nữa trong các tính toán thường hay gặp các đại lượng này. Cần nắm được các so sánh vô cùng bé, vô cùng lớn bởi vì nó rất có ích trong quá trình khử các dạng bất định, trong quá trình đánh giá, tính gần đúng và đặc biệt là cách mô tả sau này. Biết các vô cùng bé hoặc vô cùng lớn tương đương thực sự đã có kỹ năng kỹ xảo giải các bài tập sau này. Cuối cùng trong mục thứ tư chúng ta đề cập đến một lớp hàm số đặc biệt quan trọng bởi vì nó luôn luôn xuất hiện trong toán cao cấp A1, A3: Hàm số liên tục. Việc mô tả hình học hàm số liên tục tại x0, liên tục một phía tại x0, liên tục trên khoảng (a,b), trên đoạn [a,b] , là việc làm vô cùng cần thiết. Nó phản ánh sự hiểu thấu đáo về tính liên tục, tính gián đoạn của hàm số. Cũng nhờ tính chất log (1+ x ) liên tục của hàm số mà có thể khử được các dạng bất định đặc biệt : a , x a x −1 , [u ( x )]v() x . Khi đề cập đến hàm liên tục trên một đoạn kín là phải nghĩ x ngay đến tính trù mật, tính đạt được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của nó, tính liên tục đều. Những tính chất này làm cơ sở cho bài toán tìm giá trị bé nhất, lớn nhất, tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại số hay tính khả tích của nó. 2.2 TÓM TẮT NỘI DUNG 2.2.1 Các khái niệm cơ bản về hàm số a. Các định nghĩa cơ bản 9 Định nghĩa hàm số Cho X là tập không rỗng của R. Một ánh xạ f từ X vào R gọi là một f: X→ R hàm số một biến số xa f() x X gọi là tập xác định của f , f() X gọi là tập giá trị của f . Đôi khi ký hiệu y= f( x ), x∈ X x gọi là đối số, y gọi là hàm số. 9 Hàm chẵn, lẻ Cho X đối xứng với 0 tức là ∀x∈ X,− x∈ X 29
Chương 2: Hàm số một biến số Hàm số f (x) chẵn khi và chỉ khi f ()()x = f −x . Hàm số f (x) lẻ khi và chỉ khi f (x )= − f (−x ). 9 Hàm số tuần hoàn * Hàm số f (x) gọi là tuần hoàn trên X nếu tồn tại τ ∈ R+ sao cho ∀x∈ X thì x+τ ∈ X và f (x+τ )= f (x). Số T dương bé nhất trong các số τ gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn f(x). 9 Hàm số đơn điệu Cho f (x) với x∈ X. 1. Nói rằng f (x) tăng nếu ∀x1,, x 2 ∈ X x1≤ x 2 ⇒ f()() x1 ≤ f x2 . và f (x) tăng ngặt nếu ∀x1,, x 2 ∈ X x1 f x2 . 3. Nói rằng f (x) đơn điệu nếu nó tăng hoặc giảm. Nói rằng f (x) đơn điệu ngặt nếu nó tăng ngặt hoặc giảm ngặt. 9 Hàm số bị chặn 1. Hàm số f (x) bị chặn trên trong X nếu tồn tại số A sao cho : ∀x ∈ X,() f x ≤ A . 2. Hàm số f (x) bị chặn dưới trong X nếu tồn tại số B sao cho: ∀x ∈ X,() f x ≥ B 3. Hàm số f (x) bị chặn trong X nếu tồn tại các số A,B sao cho: ∀x ∈ X,() B≤ f x≤ A . 9 Hàm số hợp Cho f : XR→ và g: YR→ với f() X⊂ Y gọi ánh xạ g f: X→ R 0 xa g( f ( x )) Hay y = g( f (x)) là hàm số hợp của hai hàm f và g. 30
Chương 2: Hàm số một biến số Định lí: Nếu f,: g X→ R bị chặn trên thì f + g cũng bị chặn trên và Sup( f ( x )+ g ( x ))≤ Sup f ( x )+ Sup g ( x ) X X X 1. Nếu f,: g X→ R bị chặn trên và không âm thì f . g bị chặn trên và Sup( f ( x ). g ( x ))≤ Sup f ( x ). Sup g ( x ) X X X 2. Nếu f: X→ R bị chặn trên và λ ∈ R* thì λf bị chặn trên đồng thời Supλ.()() f x= λ Sup f x X X 3. Để f: X→ R bị chặn dưới, điều kiện cần và đủ là - f bị chặn trên và khi đó Inf f( x )= − Sup (− f ( x )) X X 9 Hàm số ngược Cho song ánh f:,, X→ Y X Y⊂ R Ánh xạ ngược f−1 : Y→ X gọi là hàm số ngược của f −1 ya x= f() y Thông thường đối số kí hiệu là x, hàm số kí hiệu là y, vậy hàm ngược của y= f() x là hàm số y= f−1() x . Vì thế trên cùng mặt phẳng toạ độ 0xy, đồ thị của hai hàm số f và f −1 là đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ I và III. b. Các hàm số thông dụng 9 Hàm luỹ thừa Choα ∈ R . Hàm luỹ thừa với số mũ α ,được kí hiệu là Pα , là ánh xạ từ * * α R+ vào R, xác định như sau ∀x ∈ R+ ,() Pα x= x Nếu α > 0, coi rằng Pα (0)= 0 Nếu α = 0, coi rằng P0 (0)= 1 9 Hàm mũ cơ số a * Xét a∈ R+ \ {1}. Hàm mũ cơ số a, kí hiệu là expa x , là ánh xạ từ R vào * x R+ , xác định như sau: ∀x ∈ R, expa x= a . 9 Hàm lôgarit cơ số a * Xét a∈ R+ \{1}. Hàm lôgarit cơ số a, kí hiệu là loga , là ánh xạ ngược * y với ánh xạ expa , như vậy ∀(,),x y ∈ R+ × R y =loga x ⇔ x = a 31
Chương 2: Hàm số một biến số Tính chất của hàm số lôgarit 1. loga 1= 0 loga xy= loga x+ loga y 2. ∀x,, y ∈ R* x + log= logx − log y a y a a α ∀α ∈ R loga x = α loga x * 3. ∀a, b ∈ R+ , logb x= logb a .loga x * 4. ∀x ∈ R+ , log1 x= −loga x a 9 Các hàm số lượng giác Các hàm số lượng giác: sinx, cosx, tgx, cotgx đã được xét kỹ trong chương trình phổ thông trung học. Dưới đây chúng ta chỉ nhắc lại một số tính chất cơ bản của chúng. Tính chất: - sinx xác định trên R, là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì T = 2π và bị chặn: − 1≤ sinx≤ 1,∀ x∈ R - cosx xác định trên R, là hàm số chẵn, tuần hoàn với chu kì T = 2π và bị chặn: − 1≤ cosx≤ 1,∀ x∈ R π - tgx xác định trên R\{ +kπ , k ∈ Z }, là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu 2 kỳ T = π và nhận giá trị trên khoảng (,)−∞ +∞ . - cotgx xác định trên R\{ kπ , k∈ Z }, là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = π và nhận giá trị trên khoảng (,)−∞ +∞ . 9 Các hàm số lượng giác ngược ⎡ π π ⎤ - Hàm arcsin là ánh xạ ngược của sin: ⎢− , ⎥ →[ −1,1] ⎣ 2 2 ⎦ ⎡ π π ⎤ Kí hiệu là arcsin:[]−1,1 →⎢ − , ⎥ . ⎣ 2 2 ⎦ ⎡ π π ⎤ Vậy ta có:∀x ∈[] −1,1, ∀y ∈⎢ − , ⎥ , y= arcsin x⇔ x = sin y ⎣ 2 2 ⎦ 32
Chương 2: Hàm số một biến số - Hàm arccos là ánh xạ ngược của cos :[ 0,π ] → [− 1,1] kí hiệu: arccos:[][− 1,1 → 0,π ] ∀x∈[] −1,1, ∀ y∈[ 0,π ] , y= arccos x⇔ x= cos y ⎛ π π ⎞ - Hàm actang là ánh xạ ngược của tg : ⎜− , ⎟ → R, kí hiệu: ⎝ 2 2 ⎠ ⎛ π π ⎞ arctg: R →⎜ − , ⎟ ⎝ 2 2 ⎠ ⎛ π π ⎞ Vậy ta có ∀x ∈ R, ∀ y ∈⎜ − , ⎟ y= arctgx ⇔ x = tgy ⎝ 2 2 ⎠ - Hàm accôtang là ánh xạ ngược của cotg: (0,π ) → R kí hiệu: ⎛ π ⎞ arccot g : R → ⎜ 0, ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ π ⎞ Vậy ta có ∀x ∈ R, ∀ y ∈⎜ 0, ⎟ y= arccot gx⇔ x = cot gy ⎝ 2 ⎠ Người ta gọi hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit, các hàm số lượng giác và các hàm số lượng giác ngược là các hàm số sơ cấp cơ bản. 9 Các hàm hypebôlic thuận - Hàm sinhypebôlic là ánh xạ sh: R→ R xác định như sau: 1 ∀x ∈ R, shx=() ex − e− x 2 - Hàm côsinhypebôlic là ánh xạ ch: R→ R xác định như sau: 1 ∀x ∈ R, chx=() ex + e− x 2 - Hàm tanghypebôlic là ánh xạ th: R→ R xác định như sau: shx e2x −1 ∀x ∈ R, thx = = chx e2x +1 - Hàm cotanghypebôlic là ánh xạ coth :RR* → , xác định như sau: chx 1e2x + 1 ∀x ∈ R*, coth x = = = shx thx e2x −1 Tính chất: - Shx,thx,cothx là các hàm số lẻ còn chx là chẵn và∀x ∈ R, chx > 0 33
Chương 2: Hàm số một biến số - ∀x,,,,, a b p q∈ R các hàm hypebôlic thoả mãn công thức sau đây: x 2 y 2 + ch2 x− sh 2 x =1 ⇒ Hyperbon − = 1 biểu diễn tham số sẽ là: a 2 b2 ⎧x= acht ⎨ ⎩y= bsht t∈ R + ch() ;() a+ b= cha chb+ sha shb sh a+ b= sha chb+ shb cha ch() ;() a− b = cha chb− sha shb sh a− b= sha chb− shb cha tha+ thb tha− thb th() a+ b = ; th() a− b = 1+ tha . thb 1− tha . thb + ch2 a= ch2 a + sh2 a =2 ch2 a − 1 = 1 + 2sh2 a . sh2 a= 2 sha . cha . 2tha th2 a = . 1+ th2 a 1 1 ch2 a=( ch 2 a + 1); sh2 a=( ch 2 a − 1) . 2 2 p+ q p− q + chp+ chq = 2 ch ch 2 2 p+ q p− q chp− chq = 2 sh sh 2 2 p+ q p − q shp+ shq = 2 sh ch 2 2 p+ q p − q shp− shq = 2 ch sh 2 2 9 Các hàm hypebôlic ngược 1. Hàm Acsinhypebôlic là ánh xạ ngược của sh:, R→ R kí hiệu: Argsh: R→ R haylà ∀(,),x y ∈ R2 y = Argshx⇔ x = shy 2. Hàm Accôsinhypebôlic là ánh xạ ngược của ch: R →[ 1, +∞], kí hiệu: Argch :[ 1,+∞) → R+ , tức là ∀x ∈[1,+∞) ,∀y∈ R+ , y= Argchx⇔ x= chy 3. Hàm Actanghypebôlic là ánh xạ ngược của th: R → ( − 1,1), kí hiệu: Argth : (− 1,1) → R , tức là ∀x ∈ (− 1,1),∀y∈ R , y= Argthx⇔ x = thy 34
Chương 2: Hàm số một biến số 4. Hàm Accôtanghypebôlic là ánh xạ ngược của coth :RR* → \[ − 1,1,] kí hiệu: Argcoth : R \[]− 1,1 → R* ,tức là ∀x ∈ R \[] − 1,1, ∀y ∈ R* , y = Argcoth x⇔ x = coth y 9 Đa thức, hàm hữu tỉ. 1. Ánh xạ P: XR→ được gọi là đa thức khi và chỉ khi tồn tại n∈ N n n+1 i và (a0 , a 1 , , an ) ∈ R sao cho ∀x ∈ X , P() x= ∑ ai x i=0 Nếu an ≠ 0 , gọi n là bậc của đa thức, kí hiệu degP(x)=n 2. Ánh xạ f : XR→ được gọi là hàm hữu tỉ khi và chỉ khi tồn tại hai đa thức P() x P,Q: XR→ sao cho ∀x ∈ X, Q ( x ) ≠ 0, f ( x ) = Q() x P() x Gọi f() x = là hàm hữu tỉ thực sự khi và chỉ khi: Q() x degP(x)<degQ(x) 3. Hàm hữu tỉ tối giản là các phân thức có dạng: A hoặc Bx+ C ()x− a k (x2 + px + q)k Trong đó k ∈ N* , a,,,,, p q A B C là các số thực và p2 − 4 q <0 Dưới đây ta đưa ra các định lí được chứng minh trong lí thuyết đại số Định lí 1: Mọi đa thức bậc n với các hệ số thực đều có thể phân tích k1 kl 2 β1 2 β m ra thừa số trong dạng: Pxax( )=n ( −α1 ) ( x−αl ) ( xpxq +1 + 1) ( xpxq+m + m ) Trong đó αi (i= 1, l ) là các nghiệm thực bội ki của đa thức còn pj,, q jβ j ∈ R l m 2 với j= 1,2, , m và ∑ki +2 ∑ β j = n , pj−4 q j < 0 ; j = 1, m i=1 j =1 Định lí 2: Mọi hàm hữu tỉ thực sự đều có thể phân tích thành tổng hữu hạn các hàm hữu tỉ tối giản. c. Hàm số sơ cấp Định nghĩa: Hàm số sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và các phép lấy hàm hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản và các hằng số. 35
Chương 2: Hàm số một biến số 2.2.2 Giới hạn của hàm số a. Khái niệm về giới hạn 9 Định nghĩa giới hạn Ta gọi δ − lân cận của điểm a∈ R là tập Ωδ ()(,)a= a−δ a + δ Gọi A- lân cận của + ∞ là tập ΩA ()(,)+∞ = A +∞ với A>0 và khá lớn. Gọi B- lân cận của − ∞ là tập ΩB ()(,)−∞ = −∞ −B với B>0 và khá lớn. Cho f xác định ở lân cận điểm a (có thể không xác định tại a). 1. Nói rằng f có giới hạn là l khi x dần đến a (gọi tắt: có giới hạn là l tại a) nếu ∀ε >0, ∃Ωη (a ) ⊂ X , ∀ x ∈ Ωη ( a ) \{ a}⇒ f ( x ) − l 0, ∃Ωη (a ) ⊂ X ,∀ x∈ Ωη ( a ) \{ a}⇒ f ( x ) > A . 3. Nói rằng f có giới hạn là − ∞ tại a nếu − f có giới hạn là + ∞ tại a. 4. Nói rằng f có giới hạn là l tại + ∞ nếu ∀ε >0, ∃ΩA ( +∞ ) ⊂X , ∀ x ∈ ΩA ( +∞ ) ⇒f ( x ) − l 0, ∃ΩB ( −∞ ) ⊂X , ∀ x ∈ ΩB ( −∞ ) ⇒f ( x ) − l 0, ∃ΩM (+ ∞ )⊂ X ,∀ x ∈ ΩM (+∞ )⇒f ( x ) > A . 7. Nói rằng f có giới hạn là − ∞ tại + ∞ nếu và chỉ nếu − f có giới hạn là + ∞ tại + ∞ . 8. Nói rằng f có giới hạn là + ∞ tại − ∞ nếu ∀A >0, ∃ΩM ( −∞ ) ⊂ X ,∀ x ∈ Ω M (−∞ )⇒f ( x ) > A . 9. Nói rằng f có giới hạn là − ∞ tại − ∞ khi và chỉ khi − f có giới hạn là + ∞ tại − ∞ Khi f() x có giới hạn là l tại a hoặc tại ± ∞ nói rằng f() x có giới hạn hữu hạn tại a hoặc tại ± ∞ . Ngược lại f() x có giới hạn là ± ∞ , nói rằng nó có giới hạn vô hạn. 36
Chương 2: Hàm số một biến số 9 Định nghĩa giới hạn một phía. 1. Nói rằng f có giới hạn trái tại a là l1 nếu ∀>∃>∃Ωε0, η 0 (η (a ) ⊂ X ), ∀ ∃>∀ε0, η 0 ,x , 0 <−<⇒ x aη f(). x −< l2 ε Kí hiệu f có giới hạn là l tại a thường là: limf ( x ) = l hoặc f() x⎯⎯⎯→ l x→ a x→ a Tương tự có các kí hiệu: limf ( x )= +∞ , −∞ ; lim= l ,+∞ ,−∞ x→ a x→±∞ Kí hiệu f có giới hạn trái tại a là l1 , thường dùng − limf ( x ) = f( a) = l1 x→ a − + Tương tự limf ( x ) = f( a) = l2 x→ a + Hệ quả: Điều kiện cần và đủ để limf ( x ) = l là f()(). a− = f a+ = l x→ a b. Tính chất của hàm có giới hạn. 9 Sự liên hệ với dãy số Định lí: Để f() x có giới hạn là l tại a điều kiện cần và đủ là mọi dãy ()un trong X hội tụ về a thì limf ( un ) = l n→∞ 9 Tính duy nhất của giới hạn Định lí: Nếu limf ( x ) = l thì l là duy nhất. x→ a 9 Tính bị chặn Định lí: Nếu limf ( x ) = l thì f() x bị chặn trong một lân cận của a. x→ a 9 Tính chất thứ tự của giới hạn và nguyên lí kẹp. Định lí 1: Cho limf ( x ) = l . Khi đó: x→ a 1. Nếu c < l thì trong lân cận đủ bé của a:() c< f x 2. Nếu l < d thì trong lân cận đủ bé của a:() f x< d 37
Chương 2: Hàm số một biến số 3. Nếu c 0 trong lân cận của a thì f( x ). g ( x ) ⎯x⎯→⎯ a→+∞ 9 Giới hạn của hàm hợp Cho f: X→ R , g : Y→ R và f ()X ⊂ Y 38
Chương 2: Hàm số một biến số Định lí: Nếu f() x⎯x⎯→⎯ a→ b và g() y⎯⎯y→⎯ b→ l thì g( f ( x )) ⎯x⎯→⎯ a→ l 9 Giới hạn của hàm đơn điệu Định lí 1: Cho f: ( a , b )→ R , a , b∈ R hoặc a, b∈ R và là hàm tăng. 1. Nếu f bị chặn trên thì limf ( x )= Sup f ( x ) − x→ b (,)a b 2. Nếu f không bị chặn trên thì limf ( x ) = +∞ x→ b− Định lí 2: Nếu f() x xác địn tại a và tăng ở lân cận của a thì luôn tồn tại một giới hạn trái và một giới hạn phải hữu hạn tại a và: limf ( x )≤ f ( a )≤ lim f ( x ) x→ a − x→ a + c. Các giới hạn đáng nhớ sin x x a. lim = lim = 1 x→0 x x→0 sin x x x ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ b. lim⎜ 1+ ⎟ =lim⎜ 1 + ⎟ = e x→+∞⎝ x ⎠ x→−∞⎝ x ⎠ c. lim lnx =+ ∞ , lim ln x = −∞ x→+∞ x→0+ d. Sự tồn tại giới hạn của các hàm sơ cấp Định lí: Hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì limf ( x )= f ( x0 ) x→ x0 2.2.3 Đại lượng vô cùng bé (VCB) và đại lượng vô cùng lớn (VCL) a. Đại lượng VCB 9 Định nghĩa: Ánh xạ α : XR→ , gọi là đại lượng VCB tại a nếu như α(x )⎯x⎯→⎯ a→ 0 , a có thể là + ∞ hoặc - ∞ 9 Hệ quả: Để tồn tại limf ( x ) = l điều kiện cần và đủ là hàm số x→ a α()()x= f x − l là VCB tại a. 9 Tính chất đại số của VCB: Dựa vào tính chất đại số của hàm có giới hạn, nhận được tính chất đại số của các VCB sau đây: n n 1. Nếu αi (x ), i= 1,2, , n là các VCB tại a thì tổng ∑αi ()x , tích ∏αi ()x i=1 i=1 cũng là VCB tại a 39
Chương 2: Hàm số một biến số 2. Nếu α()x là VCB tại a, f() x bị chặn trong lân cận của a thì α(x ). f ( x ) là VCB tại a. 9 So sánh các VCB: Cho α(x ),β ( x ) là các VCB tại a. α 1. Nếu ⎯⎯→⎯ 0 thì nói rằng α là VCB cấp cao hơn β tại a, kí hiệu β x→ a α = o()β tại a, cũng nói rằng β là VCB cấp thấp hơn α tại a. α 2. Nếu ⎯⎯→⎯c ≠ 0 thì nói rằng α, β là các VCB ngang cấp tại a. Đặc β x→ a biệt c = 1thì nói rằng α, β là các VCB tương đương tại a. Khi đó kí hiệu α ~ β tại a. Rõ ràng nếu α, β ngang cấp tại a thì α ~ cβ tại a. 3. Nếu γ= o() α k thì nói rằng γ là VCB có cấp cao hơn k so với VCB α tại a 4. Nếu γ~c α k (c≠ 0) thì nói rằng γ là VCB có cấp k so với VCB α tại a α α1 Hệ quả 1: Nếu γ ~α1 ,β ~ β1 tại a thì lim= lim x→ a x→ a β β1 Hệ quả 2: Nếu α = o()β tại a thì α + β ~ β tại a . Hệ quả 3: Qui tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: Nếu α * là VCB cấp thấp nhất * trong số các VCB αi , (i= 1, m) và β là VCB cấp thấp nhất trong số các VCB βi , (i= 1, n) tại a . Khi đó: m α ∑ i α * lim i=1 = lim x→ a n x→ a β * ∑ β j j =1 b. Đại lượng VCL 9 Định nghĩa: Ánh xạ A: XR→ gọi là đại lượngVCL tại a nếu như A() x ⎯x⎯→⎯ a→+∞ hoặc − ∞ (a có thể là + ∞ hoặc − ∞ ). 1 Hệ quả: Để A() x là VCL tại a thì cần và đủ là α()x = là VCB tại a. A() x 9 Tính chất của VCL 1. Nếu Ai ( x ), i= 1,2, , n là các VCL cùng dấu (+ ∞) hay (− ∞) tại a thì n tổng ∑ Ai ( x ) là VCL mang dấu đó tại a. i=1 40
Chương 2: Hàm số một biến số n Nếu Bi ( x ), i= 1,2, , n là các VCL tại a thì tích ∏ Bi () x là VCL tại a i=1 2. Nếu A() x là VCL tại a và f() x giữ nguyên dấu tại a và lân cận của nó thì A ( x ). f ( x ) là VCL tại a. 9 So sánh các VCL Cho A( x ), B ( x ) là các VCL tại a A() x 1. Nếu ⎯⎯→⎯ ∞ thì nói rằng A() x là VCL cấp cao hơn B() x tại a, B() x x→ a hay B là VCL có cấp thấp hơn A tại a A() x 2. Nếu ⎯⎯→⎯c ≠ 0 thì nói rằng AB, là VCL ngang cấp tại a. B() x x→ a Đặc biệt c = 1 thì nói rằng AB, là các VCL tương đương tại a, kí hiệu A ~ B tại a. A() x A1() x Hệ quả 1: Nếu AABB~1 , ~ 1 tại a thì lim = lim x→ a x→ a B() x B1() x Hệ quả 2: Nếu A() x làVCL cấp cao hơn B() x tại a thì A + B ~ A . Hệ quả 3: Qui tắc ngắt bỏ cácVCL cấp thấp: Nếu A* là các CVL cấp * cao nhất trong số các VCL Ai ( x ), i= 1,2, , m và B là VCL cấp cao nhất trong số các VCL Bj ( x ), j= 1,2, , n tại a thì ta có m A() x ∑ i A*() x lim i=1 = lim x→ a n x→ a B*() x ∑ Bj () x j =1 2.2.4 Sự liên tục của hàm số a. Các khái niệm cơ bản 9 Hàm liên tục tại một điểm Cho f: X→ R và a∈ X . Nói rằng f() x liên tục tại a nếu limf ( x )= f ( a ) hay limf ( x )= f (lim x ) x→ a x→ a x→ a Tức là ∀ε >0, ∃ η > 0, ∀x : x− a <η ⇒ f()() x − f a < ε 41
Chương 2: Hàm số một biến số 9 Hàm liên tục một phía tại a Cho f: X→ R , a ∈ X . Nói rằng hàm f liên tục bên trái tại a nếu limf ( x )= f ( a− ) = f ( a ) x→ a − Hàm f liên tục bên phải tại a nếu limf ( x )= f ( a+ ) = f ( a ) x→ a + Hệ quả: Để hàm f() x liên tục tại a điều kiện cần và đủ là: f()()() a− = f a+ = f a 9 Hàm liên tục trên một khoảng 1. Hàm f() x liên tục tại mọi điểm x∈ X thì nói rằng nó liên tục trên tập X . 2. Hàm f() x liên tục trên khoảng mở (a,b) và liên tục trái tại b,liên tục phải tại a nói rằng nó liên tục trên [a,b] 9 Hàm liên tục từng khúc Hàm f: [] a , b→ R , a , b∈ R . Nói rằng hàm f liên tục từng khúc trên [a, b] khi và chỉ khi ∃n ∈ N * và n+1 ()a0, a 1 , , an ∈ [] a , b sao cho a= a0< a 1 < < an = b và f liên tục trên tất cả các khoảng mở ()ai, a i+1 , i= 0,1, , n − 1 và có giới hạn phải hữu hạn tại ai , có giới hạn trái hữu hạn tại ai+1 9 Điểm gián đoạn của hàm số 1. Nếu f() x không liên tục tại a, nói rằng f() x có điểm gián đoạn tại x = a . 2. Nếu a là điểm gián đoạn và f( a− ), f ( a+ ) là các số hữu hạn thì gọi + − x = a là điểm gián đoạn loại 1 của hàm số và gọi hf ()()() a= f a − f a là bước nhảy củaf() x tại a. Hệ quả: Nếu f() x tăng (giảm) ở lân cận điểm a khi đó f() x liên tục tại a khi và chỉ khi hf ( a )= 0 . Điều này suy ra từ định lí 2 của hàm số đơn điệu. 3. Nếu a là điểm gián đoạn của f() x và không phải là điểm gián đoạn loại 1 thì nói rằng f() x có điểm gián đoạn loại 2 tại x = a . 42
Chương 2: Hàm số một biến số b. Các phép toán đại số của hàm liên tục Định lí 1: Cho f, g : X→ R , a∈ X,λ ∈ R 1. Nếu f() x liên tục tại a thì f() x liên tục tại a. 2. Nếu f( x ), g ( x ) cùng liên tục tại a thì f()() x+ g x liên tục tại a. 3. Nếu f() x liên tục tại a thì λf() x liên tục tại a. 4. Nếu f( x ), g ( x ) liên tục tại a thì f( x ). g ( x ) liên tục tại a. f() x 5. Nếu f( x ), g ( x ) liên tục tại a và g( x )≠ 0 thì liên tục tại a. g() x Định lí 2: Cho f: X→ R ; a∈ X , g : Y→ R và f(). X⊂ Y Nếu f() x liên tục tại a và g() y liên tục tại b= f() a thì hàm hợp g( f ( x )) liên tục tại a. Định lý 3: Mọi hàm số sơ cấp xác định tại x = a thì liên tục tại a. c. Tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn Cho f:, [] a b→ R là liên tục, a< b . 9 Tính trù mật của hàm số liên tục Định lí 1: Nếu f() x liên tục trên [a, b] và f( a ). f ( b )< 0 thì tồn tại c∈ ( a, b) để f( c )= 0 Định lí 2: Nếu f() x liên tục trên [a, b] khi đó f() x nhận giá trị trung gian giữa f() a và f() b nghĩa là: ∀γ ∈[]f( a ), f ( b ) ,∃ c∈[ a , b] , f ( c ) = γ 9 Tính bị chặn của hàm số liên tục Định lí 3: Hàm số f() x liên tục trên [a, b] thì đạt được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên [a, b] nghĩa là: ∃xm, x M ∈ [] a,, b ∀ x∈ [ a, b] có f()()() xm ≤ f x≤ f xM Hệ quả: Nếu f:, [] a b→ R liên tục thì f([ a,, b]) = [ m M] ⊂ R Trong đó m= Inf f( x ), M= Sup f() x []a, b []a, b 43
Chương 2: Hàm số một biến số d. Tính liên tục đều 9 A. Định nghĩa: Cho f: X→ R . Nói rằng f liên tục đều trên X nếu ∀ε >0, ∃ η > 0, ∀()x '," x ∈ X2 : x '"− x <η ⇒ f (') x − f (") x < ε 9 Hệ quả: Nếu f() x liên tục đều trên X thì liên tục trên X . 9 Định lí Hâyne (Heine) Nếu f() x liên tục trên đoạn đóng [a, b], a, b∈ R thì liên tục đều trên [a, b]. 2.3 CÂU HỎI ÔN TẬP Câu 1. Nêu các định nghĩa về hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn.Các hàm số tuần hoàn và đồng thời là chẵn; lẻ có tồn tại không? Cho ví dụ. Câu 2. Thế nào là hàm số đơn điệu trong khoảng (a,b)? Câu 3. Thế nào là hàm số bị chặn trong khoảng (a,b)? Câu 4. Thế nào là hàm số hợp? Câu 5. Thế nào là hàm số sơ cấp? Câu 6. Định nghĩa giới hạn của hàm số. Câu 7. Nêu các tính chất của hàm có giới hạn. Hàm số bị chặn trong lân cận điểm a thì có giới hạn tại a không? Câu 8. Nêu các phép tính về hàm số có giới hạn hữu hạn. Trong trường hợp hàm số không có giới hạn hữu hạn, các phép tính đó còn đúng không? sin x 1 lim =1, lim (1 +) x = e Câu 9. Chứng minh các giới hạn x→0 x x→∞ x . Câu 10. Thế nào là một VCB? Một hằng số bé bao nhiêu thì được coi là VCB? Vì sao? Câu 11. Nêu các tính chất đại số của VCB. Câu 12. Tổng vô hạn các VBC có phải là vô cùng bé không? Câu 13. So sánh các VCB: ngang cấp, tương đương, cấp cao hơn. Câu 14. Thế nào là một VCL? Một hằng số lớn bao nhiêu thì có thể được xem là VCL? Tại sao? Câu 15. Nêu mối quan hệ giữa VCB và VCL. 44
Chương 2: Hàm số một biến số Câu 16. Nêu mối quan hệ giữa VCB và hàm có giới hạn. Câu 17. Định nghĩa hàm liên tục tại một điểm x0, (a,b), [a,b]. Câu 18. Nêu các tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn kín. Tính chất đó còn đúng không nếu đoạn không kín? Câu 19. Nêu các phép toán đại số về hàm liên tục. 2.4 BÀI TẬP CHƯƠNG II 1 Câu 1. Cho hàm số f() x = Arccos(lgx) . Tính f( ), f (1), f (10) . 10 Câu 2. Tìm miền xác định và miền giá trị của các hàm số: 1 a. f( x )= 2 − x 2 , b. g() x = , x 2 +1 c. h() x= x2 − x , d. k( x )= 2 − x . Câu 3. Xét xem hàm số có chẵn hoặc lẻ không và phác hoạ đồ thị của nó. a. f() x= x , b. g( x )= x2 − 2 x + 1 , 1 c. h() x = − , d. k() x= x+ x − 2 . 4 − x 2 Câu 4. Xét xem hàm số nào tuần hoàn và tìm chu kì của nó a. f( x )= 10sin 3x , b. g( x )= sin 2 x , c. h() x= tgx , d. k( x )= sin x . Câu 5. Tìm hàm ngược của các hàm số sau: a. y =2x + 3 , b. y= x2 −1, x < 0 , x c. y=3 1 − x 3 , c. y = lg . 2 Câu 6. Cho f, g : R→ R sao cho ∀(,)xy ∈ R2 ,(){} fx− fygx ()(){ − gy ()} = 0 Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai ánh xạ là ánh xạ hằng. Câu 7. Tìm tất cả các ánh xạ f: R→ R sao cho: a. ∀x ∈ R, f ( x ) f ( x2 − 1) = sin x 45
Chương 2: Hàm số một biến số b. ∀x ∈ R, xf ( x )+ f (1 − x ) = x3 + 1 c. ∀(x , y ) ∈ R2 , f ( x+ y2 ) = f ( x2 ) + f ( y ) d. ∀(,)xyR ∈ 2 , fxyfxy (+ )( − − )2(3 = yxy2 + 2 ) 1 e. ∀(xyz , , ) ∈ R3 , fxy ( . )+ fxz ( . ) − 2 fxfyz ( ). ( . ) ≥ 2 Câu 8. Giải phương trình 18 10 x+ x = 544, x∈ R+ Câu 9. Cho f: R→ R sao cho ⎧ f( f ( x )) t¨ng ⎨ ⎩ f( f ( f ( x ))) gi¶mgi¶ m ngÆt ngÆt Chứng minh f() x giảm ngặt Câu 10. Tìm các giới hạn 20 ()x2 − x − 2 x+ x2 + + xn − n a. lim 10 b. lim x→2 (x3 −12 x + 16) x→1 x −1 x100 −2 x + 1 (xn− a n ) − nan−1() x − a c. lim d. lim x→1 x50 −2x + 1 x→ a ()x− a 2 Câu 11. Tìm các giới hạn x+ x + x x+3 x + 4 x a. lim b. lim x→+∞ x +1 x→+∞ 2x + 1 Câu 12. Tìm các giới hạn m 1+αx −n 1 + β x m 1+αx .n 1 + β x − 1 a. lim b. lim x→0 x x→0 x Câu 13. Tìm các giới hạn sinx− sin a 1+tgx − 1 + sin x a. lim b. lim x→ a x − a x→0 x3 1− cosx .cos2 x .cos3 x cosx− 3 cos x c. lim d. lim x→0 1− cos x x→0 sin 2 x Câu 14. Tìm các giới hạn x − 2 a. lim b. lim 3 x3+ x 2 −1 − x x→4 x2 −5x + 4 x→+∞ 46
Chương 2: Hàm số một biến số Câu 15. Tìm các giới hạn x 2 x−1 ⎛ 3x2 − x + 1⎞1− x ⎛ x2 −1⎞ x+1 lim ⎜ ⎟ lim⎜ ⎟ a. ⎜ 2 ⎟ b. ⎜ 2 ⎟ x→+∞⎝ 2x+ x + 1⎠ x→∞⎝ x +1⎠ 1 1 c. lim( 1− 2x)x d. lim( cos x )x x→0 x→0 e. lim() sin x tgx f. lim[ sin ln(x + 1)− sin ln x] π x→+∞ x→ 2 eαx− e β x g. lim h. lim n2 (n x− n+1 x) x > 0 x→0 sinαx− sin β x n→∞ 1 cot g2 x ⎛ 1+ tgx ⎞sin x i. lim() 1+ x2 j. lim⎜ ⎟ x→0 x→0⎝1+ sin x ⎠ ln( 2 + e3x ) k. lim x→∞ ln() 3 + e2x Câu 16. Tìm các giới hạn sau 1 a. limx cos b. lim sin sin sin x x→0 x n→∞ n dÊu sin ⎡1⎤ 2 c. lim x⎢ ⎥ d. limSgn[ sin ( nπ x )] x→0 ⎣ x⎦ n→∞ Câu 17. Xét sự liên tục của các hàm số sau: ⎧(x2 −4)( x − 2) x ≠ 2 a. f() x= x b. f() x = ⎨ ⎩A , x = 2 ⎧ 1 ⎪xn sin x≠0, n ∈ N * ⎧sinπx v ớ i x hữu tỉ c. f() x = ⎨ x d. f() x = ⎨ ⎩0 ⎩⎪0 x = 0 với x vô tỉ 2 ⎧1 với x hữu tỉ ⎪⎧x với x hữu tỉ e. f() x = f. f() x = ⎨ ⎨ 2 ⎩x với x vô tỉ ⎩⎪− x với x vô tỉ Câu 18. Chứng minh rằng nếu các hàm f() x và g() x liên tục thì các hàm ϕ(x ) = min{} f ( x ), g ( x ) ψ(x ) = max{} f ( x ), g ( x ) cũng là hàm liên tục 47
Chương 2: Hàm số một biến số Câu 19. Xét tính liên tục của hàm hợp f( g ( x )) và g( f ( x )) nếu a. f() x= Sgnx và g( x )= 1 + x2 b. f() x= Sgnx và g( x )= 1+ x− [ x] Câu 20. Tìm tất cả các hàm f() x thoả mãn: a. liên tục tại x = 0 và ∀x∈ R có f(3 x )= f ( x ) ⎛ x ⎞ b. liên tục tại x = 0 và ∀x∈ R có f() x= f ⎜ ⎟ ⎝1+ x2 ⎠ c. liên tục tại x = 1 và ∀x∈ R có f()() x= − f x2 ⎛ 1 ⎞ 1 Câu 21. Hàm f() x liên tục trên [0,1] và chỉ nhận giá trị hữu tỉ và f ⎜ ⎟ = . ⎝ 2 ⎠ 2 ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ Hãy tính f ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ Câu 22. Cho f() x và g() x là hai hàm số liên tục trên [a, b]và f()() x= g x tại mọi x là hữu tỉ. Chứng minh f()() x= g x trên [a, b] Câu 23. Chứng minh rằng mỗi phương trình đại số bậc lẻ có ít nhất một nghiệm thực 1 Câu 24. *Chứng minh hàm số f() x = liên tục trên (0,1) nhưng không liên x tục đều trên (0,1) Câu 25. *Chứng minh rằng hàm số π f( x )= sin x liên tục và bị chặn trên (0,1) nhưng không liên tục đều trên (0,1) Câu 26. *Chứng minh hàm số f() x= Sinx2 liên tục và bị chặn trên R nhưng không liên tục đều trên R Câu 27. *Chứng minh rằng nếu f() x liên tục trên [a,+∞) và tồn tại giới hạn hữu hạn limf ( x ) = c thì x→+∞ a. f() x bị chặn trên [a,∞). b. f() x liên tục đều trên [a,+∞) 48
Chương 2: Hàm số một biến số Câu 28. *Chứng minh rằng hàm số sin x f() x = x a. liên tục đều trên mỗi khoảng (− 1,0),(0,1) b. không liên tục đều trên (− 1,1) \{ 0} Câu 29. *Chứng minh rằng nếu hàm f() x đơn điệu bị chặn và liên tục trên (a, b) thì liên tục đều trên (,)a b Câu 30. *Cho f() x là hàm số tăng và liên tục trên [a, b],thoả mãn điều kiện f(),() a≥ a f b≤ b . Lấy x1 ∈ [ a, b] và xác định dãy số ()xn với xn+1 = f( xn ), n ≥ 1 * Chứng minh rằng tồn tại lim xn = x và f() x= x n→∞ Câu 31. *Cho f, g là các ánh xạ liên tục của [0,1] lên chính []0,1 . Chứng minh rằng tồn tại x0 ∈ [0,1] để có g( f ( x0 ))= f ( g ( x0 )) Câu 32. *Tồn tại hay không hàm liên tục f: R→ R thỏa mãn ⎧vx ∈ R\ Q víi x∈ Q f() x = ⎨ ⎩hx ∈ Q víi x∈ R\ Q Câu 33. *Cho λ ∈ R và f,:(,) g a b→ R Chứng minh rằng: a. Nếu f liên tục đều thì f liên tục đều. b. Nếu f, g liên tục đều thì λf+ g liên tục đều. 1 c. Nếu f liên tục đều và ∃c > 0 sao cho f(),, x≥ c∀ x∈ ( a b) thì liên tục f đều. d. Nếu f, g liên tục đều và tồn tại hàm hợp g0 f thì g0 f liên tục đều. 2.5 HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG II π Câu 1. 1. π; ;0 2 Câu 2. 2. a. R. b. R , c. (− ∞;0]∪ [1;+∞), d. (− ∞;2] 49
Chương 2: Hàm số một biến số Câu 3. a. Hàm chẵn, b. Hàm không chẵn, không lẻ, c. Hàm chẵn, d. Hàm không chẵn, không lẻ. 2π Câu 4. a. Tuần hoàn, T = , b. Tuần hoàn, T = π , 3 c. Tuần hoàn, T = π , d. Không tuần hoàn. 1 Câu 5. a. y=( x − 3), b. y= − x + 1, c. y=3 1 − x 3 , d. y = 2.10 x . 2 Câu 6. Giả sử tồn tại (a, b)∈ R2 sao cho f()() a≠ f b rõ ràng g()()()() a= g b ⇒ g x = g a ∀ x ∈ R . Câu 7. a. φ , b. f() x= x2 − x +1, c. f( x )= 0 , (thay liên tiếp x= 0 , y = 0 x= 0 , y= y x= − y2 , y = y ) d. f(). x= x3 + c c= const (Qui về ∀()X,,()() Y ∈ R2 f X− f Y = X3 − Y 3 1 e. § S : f() x = , 2 1 Cho x= y = z =1 ⇒ f (1) = 2 1 x= y =0, z = 1 ⇒ f (0) = 2 1 x=0, z = 0 ⇒ f ( y ) ≤ 2 1 y= z =1 ⇒ f ( x ) ≥ . 2 Câu 8. x = 2 . 10 ⎛ 3 ⎞ n( n + 1) 1 n( n − 1) Câu 10. a. ⎜ ⎟ ; b. ; c. 2 ; d. an−2 ⎝ 2 ⎠ 2 24 2 Câu 11. a. 1; b. 2 2 50
Chương 2: Hàm số một biến số α β α β − + Câu 12. a. m n ; b. m n . 1 1 − Câu 13. a. cosa ; b. 4 ; c. 14 ; d. 12 1 1 Câu 14. a. 12 ; b. 3 1 − Câu 15. a. 0 ; b.1 ; c. e−2 ; d. e 2 e. 1 ; f. 0 ; g. 1 ; h.ln x i. e ; j. 1 ; k. 3 2 Câu 16. a. 0 ; b. 0 ; c. 1 nếu x vô tỉ. 0 nếu x hữu tỉ và thuộc Z, không có giới hạn với x còn lại. Câu 17. a. liên tục trên R ; b. liên tục trên R với A=4, liên tục trên R\{2} với A ≠ 4; c. liên tục trên R ; d. liên tục trên Z; e. liên tục tại x=1 ; f. liên tục tại x =0. Câu 19. a. f( g ( x ))= 1 liên tục trên R ⎧2 x ≠ 0 g( f ( x )) = ⎨ liên tục trên R\{0} ⎩1 x = 0 b. f( g ( x ))= 1 liên tục trên R g( f ( x ))= 1 liên tục trên R Chú ý: x= [] x+ r , 0 ≤ r < 1 ⎛ x ⎞ Câu 20. a. f() x= f ⎜ ⎟ ∀ n ∈ N (Bằng qui nạp) ⎝ 3n ⎠ f() x= c = const ∀ x ∈ R 51
Chương 2: Hàm số một biến số b. f() c= c = const ∀ x ∈ R Chứng minh f( x )= f (ϕn ( x )) x ϕ ()()x = ϕ ϕ trong đó ϕ ()x = n n−1 1 1+ x2 c. f( x )= 0 . ∀x∈ R xét x= 0 f (0)= − f (0)2 ⇒ f (0)0 = ⎛ 1 ⎞ x0 f ( x ) ( 1)n f⎜ x2n ⎟ f( x ) 0 xét > = − ⎜ ⎟ ⇒ = ⎝ ⎠ Do f() x chẵn suy ra f( x )= 0 ∀x∈ R . ⎛ 2 ⎞ 1 ⎜ ⎟ Câu 21. f ⎜ ⎟ = ⎝ 2 ⎠ 2 Câu 32. φ . 52
Chương 3: Phép tính vi phân hàm số một biến số CHƯƠNG III: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 3.1 MỤC ĐÍCH Phép tính vi phân của hàm một biến số gắn liền với phép tính đạo hàm của hàm số. Khái niệm đạo hàm là một trong những tư tưởng quan trọng nhất của giải tích. Trong chương 2, chúng ta đã đặt vấn đề xem xét hàm số, nhưng vấn đề cốt lõi của hàm số là tốc độ biến thiên của nó chưa được xét đến. Nhờ vào khái niệm đạo hàm người ta có thể khảo sát toàn diện một đại lượng biến thiên. Khái niệm đạo hàm gắn liền với các đại lượng vật lý: vận tốc tại thời điểm t của một vật chuyển động, nhiệt dung của vật thể ở nhiệt độ to, cường độ dòng điện,v.v ; gắn liền với các hiện tượng hoá học: tốc độ phản ứng hoá học ở thời điểm t; gắn liền với các bài toán kinh tế xã hội: vấn đề tăng trưởng kinh tế, phương án tối ưu trong giao thông, trong sản xuất kinh doanh, v.v Trong mục thứ nhất của chương này cần phải nắm vững định nghĩa hàm số khả vi thể hiện qua việc tính đạo hàm của hàm số. Thực chất tính đạo hàm chính là việc khử dạng bất định 0 . Phải nắm chắc quy trình tính đạo hàm theo 0 định nghĩa. Lưu ý đến khái niệm đạo hàm một phía, các điều kiện cần, điều kiện cần và đủ để hàm khả vi. Bên cạnh đó cần nắm được ý nghĩa hình học, cơ học của đạo hàm, các phép tính đại số của hàm có đạo hàm, điều này cũng đã đề cập ở chương trình phổ thông trung học. Cần phải nắm vững ý nghĩa và công dụng phép tính đạo hàm của hàm hợp, hàm ngược, phép tính đạo hàm lôgarit. Nếu thuộc các phép tính trên và các công thức đạo hàm của các hàm thông dụng thì mọi bài toán tính đạo hàm đều có thể làm nhanh và không nhầm lẫn. Trong mục thứ hai vi phân của hàm số là biểu hiện định lượng của hàm số khả vi, cụ thể là phần chính bậc nhất của số gia hàm số. Chính vì thế người ta đã định nghĩa tính khả vi nhờ vào sự tồn tại đạo hàm. Điều này khác hẳn so với hàm số nhiều biến số được xem xét sau này. Đặc biệt công thức gần đúng của số gia hàm số hay được áp dụng vào các bài toán thực tiễn. Trong mục thứ ba cần nắm vững các phép tính về đạo hàm và vi phân cấp cao, đặc biệt công thức đạo hàm cấp cao của một tích (công thức Leibniz). Phải thuộc công thức tính các đạo hàm cấp cao của các hàm sơ cấp cơ bản: 1 ex ,sin x , cos x , bởi vì sau này thường xuyên dùng đến các kết quả đó. ax+ b 53
Chương 3: Phép tính vi phân hàm số một biến số Trong mục thứ tư trước hết cần hiểu kỹ về điều kiện cần của cực trị khi hàm số khả vi. Các định lý về giá trị trung bình được hiểu theo nghĩa sau đây : với những điều kiện nhất định của hàm số f(x) thì trong khoảng hở (a,b) tồn tại điểmξ nào đó, kéo theo giá trị f '()ξ , giá trị này có tính chất đặc biệt gọi chung là giá trị trung bình. Đặc điểm của các định lý này là không chỉ rõ được số lượng điểmξ , cũng như giá trị cụ thể của nó. Khi học các định lý này nên đưa ra các phản ví dụ để thấy rằng chỉ cần thiếu một trong các giả thiết của định lý là kết luận không còn đúng nữa. Mỗi định lý đều có thể minh hoạ hình học để kiểm tra lại kiến thức về tính chất của hàm số: hàm số liên tục, hàm số khả vi. Phân biệt công thức số gia hữu hạn và công thức số gia của hàm số biểu diễn nhờ vào vi phân của hàm số. Trong mục thứ năm những ứng dụng trực tiếp các định lý về giá trị trung bình và đạo hàm cấp cao được đưa ra. Trước hết cần phân biệt các khái niệm: đa thức Taylor, công thức Taylor của hàm số tại lân cận x0 . Phải nhớ và biết cách vận dụng công thức Maclaurin của các hàm thông dụng khi giải các bài toán tính gần đúng. Cuối cùng công thức L’Hospital cho ta điều kiện đủ để khử các dạng 0 ∞ bất định hoặc , và đương nhiên các dạng bất định khác 00 ,1∞ , ∞ 0 sau khi 0 ∞ dùng phương pháp lôgarit. Chính vì thế quy tắc này không phải là vạn năng. Trong mục thứ sáu những ứng dụng của hàm số khả vi, đặc biệt hàm khả vi bậc cao được trình bày. Lưu ý rằng bản thân tính đơn điệu hay cực trị của hàm số được mô tả không bắt buộc hàm số phải khả vi. Điều này học sinh thường hay nhầm lẫn. Tuy nhiên nhận biết các tính chất của hàm số sẽ đơn giản rất nhiều khi biết rằng hàm số khả vi. Trong mục thứ bảy người học phải phân biệt được khái niệm cực đại, cực tiểu với khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của hàm số. Cần nhớ là hàm số không bị chặn dưới (chặn trên) thì không có giá trị bé nhất (lớn nhất). Ngoài ra hàm bị chặn thì chưa chắc có được giá trị bé nhất và lớn nhất. Chính vì thế tính liên tục trên một đoạn kín [a,b] là điều quan trọng. Nắm được các bước để tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất, các giá trị đó thường đạt được ở biên. Trường hợp tập xác định không phải đoạn kín phải để ý đến giá trị của nó ở sát biên mới giải quyết được bài toán. Cần ý thức được rằng bài toán tìm giá trị bé nhất, giá trị lớn nhất có một vai trò rất lớn trong thực tế. Trong mục thứ tám khái niệm hàm lồi, lõm được đưa ra một cách chính xác nhờ vào bất đẳng thức toán học liên quan đến giá trị hàm số. Tuy nhiên khi 54
Chương 3: Phép tính vi phân hàm số một biến số hàm khả vi, thì điều kiện nhận biết đơn giản hơn nhiều. Đặc biệt hàm khả vi đến cấp hai thì chỉ để ý đến tính đổi dấu của đạo hàm cấp hai mà thôi. Người học chú ý đến điều kiện đủ để tìm điểm uốn khi hàm khả vi đến cấp hai. Trong mục thứ chín cho chúng ta cách tìm tiệm cận của đường cong. Nên nhớ rằng không thể có cùng tiệm cận ngang và tiệm cận xiên ở cùng một phía. Để nhận biết tiệm cận đứng phải đi tìm các cực điểm của hàm số. Để học tốt ∞ phần này phải nắm chắc cách khử các dạng bất định , ∞ − ∞ . ∞ Trong mục cuối cùng người học phải nắm vững sơ đồ tổng quát để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Đây là dịp vận dụng và tự kiểm tra các kiến thức đã học ở phần trên. 3.2 TÓM TẮT NỘI DUNG 3.2.1 Đạo hàm a. Đạo hàm tại một điểm 9 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm X Cho a∈ X,, a + h ∈ X f ∈ R . Nói rằng f khả vi tại a nếu tồn tại giới hạn f()() a+ h− f a lim hữu hạn h→0 h df ()a Giới hạn này thường kí hiệu f'() a hay dx gọi là đạo hàm của f tại a. f()()() a+ h − f a Δf a = Tỉ số h Δx gọi là tỉ số của các số gia hàm số và số gia đối số. 9 Định nghĩa đạo hàm một phía 1. Cho a∈ X, a+ h ∈ X . Nói rằng f khả vi phải tại a nếu tồn tại giới f()() a+ h− f a lim hạn hữu hạn h→0+ h f'() a Giới hạn này kí hiệu là p , gọi là đạo hàm phải của f tại a. 2. Cho a∈ X, a+ h ∈ X . Nói rằng f khả vi trái tại a nếu tồn tại giới f()() a+ h− f a lim hạn hữu hạn h→0− h 55
Chương 3: Phép tính vi phân hàm số một biến số f'() a Giới hạn này kí hiệu là t , gọi là đạo hàm trái của f tại a. b. Các phép tính đại số của các hàm khả vi tại một điểm 9 Định lí 1: Cho f và g khả vi tại a khi đó 1. f+ g khả vi tại a và (f+ g )'( a )= f '( a )+ g '( a ) 2. ∀λ ∈ R,λ f khả vi tại a và (λf )'( a )= λ . f '( a ) 3. f. g khả vi tại a và (fga . )'( )= faga '( ). ( )+ faga ( ). '( ) ' f ⎛ f ⎞ f'( a ). g ( a )− f ( a ). g '( a ) ⎜ ⎟ ()a = ⎜ ⎟ 2 4. Nếu g( a )≠ 0 thì g khả vi tại a và ⎝ g ⎠ g() a 9 Định lí 2: (Đạo hàm của hàm hợp). Cho a∈ X,:,: f X→ R g Y→ R với f() X⊂ Y . Nếu f khả vi tại a và g khả vi tại f() a thì hàm hợp gof khả vi tại a và (gof )'( a )= g '() f ( a ) . f '( a ). 9 Định lí 3: (Đạo hàm của hàm ngược). Giả sử f: X→ R đơn điệu ngặt và liên tục trên X khả vi tại a∈ X và f'( a )≠ 0 . Khi đó hàm ngược của ' 1 f−1 f() a −1 ( )()= f là f:() f X→ R khả vi tại f() a và f'() a c. Đạo hàm trên một khoảng (ánh xạ đạo hàm) X 9 Định nghĩa: Cho f∈ R khả vi tại mỗi điểm x∈ (,) a b⊆ R Kí hiệu ánh xạ f': ( a , b ) → R xa f'() x là ánh xạ đạo hàm hay đạo hàm của f() x trên (a,b) thường kí hiệu df (x ),∀ x ∈ ( a , b ) f'() x hay dx . Cũng nói rằng f() x khả vi trên (,)a b⊆ X 9 Các tính chất Định lí 1: Cho f,: g X→ R khả vi trên X , (tức là (,)a b= X ) khi đó. 1. f+ g khả vi trên X và (f+ g )'= f '+ g' 2. ∀λ ∈ R,λ f khả vi trên X và (λf )'= λ f ' 3. f. g khả vi trên X và (f . g )'= f ' g+ fg ' 56
Chương 3: Phép tính vi phân hàm số một biến số ' f ⎛ f ⎞ f'' g− fg ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 2 4. g( x )≠ 0 trên X thì g khả vi trên X và ⎝ g ⎠ g X Y Định lí 2: Cho f∈ R và g∈ R . Nếu f khả vi trên X và g khả vi trên f() X thì gof khả vi trên X và (gof )'= ( g ' of ) f ' X Định lí 3: Cho f∈ R đơn điệu ngặt trên X , khả vi trên X và 1 (f −1 )' −1 = f'( x )≠ 0 trên X khi đó f khả vi trên f() X và f ' 3.2.2 Vi phân của hàm số a. Định nghĩa vi phân tại một điểm X Cho f∈ R, f khả vi tại a∈ X . Vi phân của f tại a kí hiệu df() a xác định bởi công thức df( a )= f '( a ). h với h∈ R Vậy df() a là một hàm tuyến tính của h Xét hàm số f() x= x trên R , f'( x )= 1,∀ x∈ R vậy dx= 1. h Từ đó cũng thường kí hiệu df( a )= f '( a ). dx X Định lí : Nếu f, g∈ R và khả vi tại a∈ X thì 1. d( f+ g )( a )= df ( a )+ dg ( a ) 2. d(λ f )( a )= λ df ( a ) với λ ∈ R 3. d( f . g )( a )= f ( a ) dg ( a )+ g ( a ) df ( a ) ⎛ f ⎞ 1 d⎜ ⎟()a = g()()()() a df a− f a dg a ⎜ ⎟ 2 () 4. ⎝ g ⎠ g() a khi g( a )≠ 0 b. Vi phân trên một khoảng X Cho f∈ R khả vi trên (,)a b⊆ X . Vi phân của hàm số trên (,)a b được xác định theo công thức df( x )= f '( x ). h với x∈ (,) a b . Tương tự như định lí trên, ta nhận được định lí sau đây. Định lí: Nếu f, g khả vi trên (,)a b thì trên khoảng đó cũng thoả mãn các hê thức sau. 1. d( f+ g )( x ) = df ( x ) + dg ( x ) 2. d(λ f )( x )= λ df ( x ) 57
Chương 3: Phép tính vi phân hàm số một biến số 3. d( f . g )( x )= f ( x ) dg ( x )+ g ( x ) df ( x ) ⎛ f ⎞ 1 d⎜ ⎟()x = g()()()() x df x− f x dg x ⎜ ⎟ 2 () 4. ⎝ g ⎠ g() x khi g( x )≠ 0 3.2.3 Đạo hàm và vi phân cấp cao a. Đạo hàm cấp cao 9 Định nghĩa 1. Cho f khả vi trên X , nếu f'() x khả vi tại a∈ X thì nói rằng f có đạo hàm cấp 2 tại a và kí hiệu đạo hàm đó là f"( a ) . Tương tự đạo hàm ()n cấp n của f() x tại a, kí hiệu là f() a chính là đạo hàm của hàm (n− 1) f() x tại a. 2. Nói rằng f() x khả vi đến cấp n (hay n lần) trên X khi và chỉ khi ()n ()n (n− 1) tồn tại f() x trên X , n∈ N * trong đó f() x là đạo hàm của f() x 3. Nói rằng f() x khả vi vô hạn lần trên X khi và chỉ khi f() x khả vi (0) n lần trên X , ∀n∈ N . Sau đây thường kí hiệu f()() x= f x 9 Định lí * X Cho λ ∈R,,, n ∈ N f g∈ R khả vi n lần trên X , khi đó trên X có các hệ thức sau đây : ()n ()()n n 1. ()f+ g = f + g ()n ()n 2. ()λf= λ f n ()n k()() k n− k ()fg= ∑ Cn f g 3. k =0 gọi là công thức Leibnitz f 4. g( x )≠ 0 trên X thì g khả vi n lần trên X b. Vi phân cấp cao 9 Định nghĩa ()n n 1. Nếu f khả vi đến cấp n tại a∈ X thì biểu thức f( a ). h gọi là vi n n ()n n phân cấp n tại a kí hiệu là d f() a . Vậy là d f()() a= f a h hay n ()n n d f()() a= f a dx 58
Chương 3: Phép tính vi phân hàm số một biến số 2. Nếu f khả vi đến cấp n trên X thì vi phân cấp n của f trên n X được kí hiệu là d f( x ), x∈ X và xác định theo công thức sau n ()n n() n n ∀x ∈ X,()()() d f x= f x h= f x dx 9 Định lí: Nếu f, g khả vi đến cấp n trên X thì khi đó n n n 1. d() f+ g = d f + d g n n 2. Với λ ∈ R,() dλ f= λ d f n n k k n− k d(.) f g= ∑ Cn d f. d g 3. k =0 f 4. Nếu g( x )≠ 0 thì g có vi phân đến cấp n. c. Lớp của một hàm 9 Định nghĩa n 1. Cho n∈ N , Ta nói f thuộc lớp C n (kí hiệu f∈ C ) trên X nếu ()n f khả vi n lần trên X và f liên tục trên X . ∞ 2. Nói rằng f∈ C trên X nếu f khả vi vô hạn lần trên X . 0 3. Nói rằng f∈ C trên X nếu f liên tục trên X . 9 Định lí n Định lí 1: Nếu f, g∈ C trên X thì n 1. ()f+ g ∈ C trên X n 2. λf∈ C trên XR,λ ∈ n 3. fg∈ C trên X f ∈ C n 4. g trên X khi g( x )≠ 0 ∀ x∈ X X Y Định lí 2: Cho f∈ R và g∈ R,() f X⊂ Y . Nếu f và g thuộc lớp n C n thì gof∈ C trên X 59
Chương 3: Phép tính vi phân hàm số một biến số 3.2.4 Các định lý về giá trị trung bình a. Định lí Phéc ma (Fermat) 9 Điểm cực trị của hàm số X Cho f∈ R . Gọi hàm số đạt cực trị địa phương tại a∈ X khi và chỉ khi Ω ()a⊂ X ∀x ∈ Ω () a tồn tại δ , để δ thoả mãn f( x )− f ( a )≥ 0 hoặc f( x )− f ( a )≤ 0 Trường hợp thứ nhất xảy ra nói rằng f đạt cực tiểu địa phương tại a, trường hợp sau nói rằng f đạt cực đại địa phương tại a. Nếu chỉ có f( x )− f ( a ) > 0 hoặc f( x )− f ( a )< 0 nói rằng hàm số đạt cực trị địa phương ngặt tại a. 9 Định lí Fermat Định lí: Nếu f() x khả vi tại a và đạt cực trị địa phương tại a thì f'( a )= 0 b. Định lí Rôn (Rolle) []a, b 9 Định lí: Cho f∈ R thoả mãn. 1. f liên tục trên [a,b] 2. f khả vi trên (a,b) f()() a= f b khi đó tồn tại c∈ (,) a b sao cho f'( c )= 0 c. Định lí số gia hữu hạn. (định lí Lagơrăng (Lagrange)) []a, b 9 Định lí: Cho f∈ R thoả mãn: 1. Liên tục trên [a,b] 2. Khả vi trên (a,b), khi đó tồn tại c∈ (,) a b sao cho f()()()'() b− f a= b− a f c d. Định lí số gia hữu hạn suy rộng (Định lí Côsi(Cauchy)) []a, b 9 Định lí: Cho f, g∈ R thoả mãn: 1. f, g liên tục trên [a,b] 2. f, g khả vi trên (a,b) 3. g'( x )≠ 0 ∀ x ∈ ( a , b ) . 60
Chương 3: Phép tính vi phân hàm số một biến số f()() b− f a f'() c = Khi đó tồn tại c∈ (,) a b sao cho g()() b− g a g'() c 3.2.5 Ứng dụng các định lý về giá trị trung bình a Công thức Taylo(Taylor), công thức Maclôranh(McLaurin) 9 Định nghĩa n 1. Cho hàm f khả vi đến cấp (n+1) tại a∈ X tức là f∈ C tại lân cận P() x degP ( x ) ≤ n của a và có đạo hàm cấp n+1 tại a. Gọi đa thức n với n thoả mãn điều kiện P()k ()() a= f()k a k= 0, n n là đa thức Taylor của f() x tại lân cận điểm a, hay là phần chính qui của khai triển hữu hạn bậc n tại a của f() x P() x 2. Nếu a = 0 thì n gọi là đa thức McLaurin của f() x 9 Định lí P() x Nếu n là đa thức Taylor của f() x tại lân cận của a thì nó là duy f'( a ) f()n () a P()() x= f a +(x − a ) + + ()x− a n nhất và có dạng n 1! n! 9 Công thức Taylor P() x Cho n là đa thức Taylor của f() x tại lân cận của a r()()() x= f x − P x 1. Gọi n n là phần dư Taylor bậc n tại a của f() x 2. Gọi công thức n f()k () a f(n+ 1) ( a+θ ( x − a )) f() x = ∑ ()x− a k + ()x− a n+1 k =0 k! (n + 1)! là công thức Taylor bậc n , hay khai triển hữu hạn bậc n hàm f() x tại lân cận của a n f ()k (0) f(n+ 1) ()θ x f() x = ∑ xk + xn+1 3. Gọi công thức k =0 k! (n + 1)! là công thức McLaurin bậc n, hay khai triển hữu hạn bậc n của f() x tại lân cận của 0. 9 Công thức McLaurin của các hàm thường dùng x 1. f(), x= e ∀ x ∈ R . 61
Chương 3: Phép tính vi phân hàm số một biến số ∞ ()k Ta thấy f∈ C trên R và f (0)= 1 ∀k ∈ N n xk ex =∑ + 0(xn ) Suy ra k =0 k! ∞ 2. f( x )= sin x , ∀ x ∈ R , f ∈ C ⎛ π ⎞ kπ ⎧0 , k= 2 m f()k ( x )= sin x + k⇒ f ()k (0) = sin = ⎜ ⎟ ⎨ m ⎝ 2 ⎠ 2 ⎩(− 1) , k = 2 m + 1 n x2m+ 1 sinx =∑ ( − 1)m + 0(x2n+ 2 ) m=0 (2m + 1)! n x2m cosx =∑ ( − 1)m + 0(x2n+ 1 ) Tương tự m=0 (2m )! . α 3. f( x )= (1 + x ) , α ∈ R , x ∈ X , X phụ thuộc α . Với x ở lân cận của 0 ∞ thì f∈ C ()k α −k f( x )=α ( α − 1) ( α −k + 1)(1 + x ) ()k f (0)=α ( α − 1) ( α −k + 1) n α( α− 1) ( α −k + 1) (1+x )α = 1 + ∑ xk + 0( xn ) Suy ra k =1 k! . ∞ 4. f( x )= ln(1 + x ) , ở lân cận 0 thì f∈ C (n+ 1) n n! (n+ 1) n f( x )= ( − 1) n+1 ⇒ f (0)= ( − 1) .n ! (x + 1) x2 xn ln(1+x ) = x − + + ( − 1)n−1 + 0(xn ) 2 n 5. f(), x= arctgx ∀ x ∈ R ⎧0 nÕu k= 2 m f∈ C∞ , f ()k (0) = ⎨ m−1 ⎩(− 1) (2m − 2)!, nÕu k= 2 m + 1 x3 x 5 (− 1)m−1 arctgx= x − + + + x2m− 1 + 0( x2m ) Vậy 3 5 2m − 1 ∞ 6. f(), x= tgx f ∈ C ở lân cận của 0. 62
Chương 3: Phép tính vi phân hàm số một biến số Ta biểu diễn x3 x 5 x − + sin x x3 tgx = = 3! 5! =x + + 0(x3 ) cos x x2 x 4 3 1− + 2! 4! b. Qui tắc Lôpitan (L’Hospital) X Cho a∈ X,, f g ∈ R thoả mãn các điều kiện sau: Ω ()\a a 1. liên tục tại a và khả vi ở lân cận δ { } g'( x )≠ 0 ∀x ∈ Ω ()\ a a 2. δ { } f'() x lim = l 3. x→ a g'() x f()() x− f a lim = l Khi đó x→ a g()() x− g a . 3.2.6 Sự biến thiên của hàm số a. Tính đơn điệu của hàm khả vi []a, b 9 Định lí 1: Cho f∈ R thỏa mãn: 1. f liên tục trên đoạn [a,b] 2. f khả vi trên khoảng (a,b) 3. f'( x )= 0, ∀ x ∈ ( a , b ) khi đó f(x) không đổi trên [a,b] 9 Định lí 2: Cho f liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b). Để f tăng trên [a,b] thì cần và đủ là f'( x )≥ 0,∀ x∈ ( a , b ) 9 Định lí 3: Cho f liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b). Để f tăng ngặt trên [a,b], điều kiện cần và đủ là a. f'( x )≥ 0, ∀ x ∈ ( a , b ) b. Tập {x∈ ( a , b ), f '( x )= 0} không chứa bất kỳ một khoảng có phần trong không rỗng nào. b. Điều kiện hàm số đạt cực trị X Ω ()a⊂ X 9 Định lí 1: Cho f∈ R . Nếu tồn tại lân cận δ và f'( x )≥ 0 trên (,)a− δ a và f'( x )≤ 0 trên (,)a+ δ a thì f có một cực đại tại a. 63
Chương 3: Phép tính vi phân hàm số một biến số n Ω ()a 9 Định lí 2: Cho f∈ C tại lân cận δ và thỏa mãn điều kiện: (n− 1) ()n f'( a )= = f ( a )= 0, f ( a )≠ 0 Khi đó: a. Nếu n chẵn thì f(x) đạt cực trị tại a: đạt cực tiểu nếu ()n ()n f( a )> 0 , đạt cực đại nếu f( a )< 0 . b. Nếu n lẻ thì f(x) không đạt cực trị tại a. 3.2.7 Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất Bài toán: Cho hàm số f() x xác định trên tập X . Tìm giá trị bé nhất (GTBN) , giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số trên tập đó. f() x x∈ X Nói rằng hàm đạt GTBN là m tại 1 khi và chỉ khi : m= f( x1 )≤ f ( x ), ∀ x∈ X f() x x∈ X Nói rằng hàm đạt GTLN là M tại 2 khi và chỉ khi: M= f( x2 ) ≥ f ( x ), ∀ x∈ X a. Hàm liên tục trên đoạn kín [a,b] Theo tính chất liên tục của hàm số trên một đoạn kín bao giờ cũng tồn tại m,M. Theo định lý Fermat nếu hàm khả vi tại x0 và đạt cực trị tại đó thì f’(x0)=0. Vì cực trị có tính địa phương nên các điểm tại đó hàm đạt GTBN, GTLN chỉ có thể là hoặc các điểm tại đó hàm số không khả vi hoặc các điểm làm đạo hàm triệt tiêu hoặc các điểm a,b. Từ đó các quy tắc tìm m, M tương ứng x1, x2 như sau: 9 Tìm các giá trị f(a), f(b). 9 Tìm các giá trị của hàm số tại các điểm hàm số không khả vi. 9 Tìm giá trị của hàm số tại các điểm làm triệt tiêu đạo hàm f’(x). 9 So sánh các giá trị tìm được ở trên để tìm ra giá trị bé nhất, đó là m, tìm ra giá trị lớn nhất, đó là M. b. Hàm liên tục trên khoảng mở, khoảng vô hạn Trong trường hợp này, thay vì tính f(a), f(b), ta tìm giới hạn của hàm số khi x dần tới a, dần đến b, hoặc dần đến∞ . Tuy nhiên phải xem xét hàm số có đạt được giới hạn này không. Các bước tiếp theo thực hiệm như mục trên. 64
Chương 3: Phép tính vi phân hàm số một biến số 3.2.8 Hàm lồi a. Khái niệm về hàm lồi, hàm lõm và điểm uốn 9 Định nghĩa 1. Ánh xạ f: X→ R được gọi là lồi nếu ∀x, x ∈ X , ∀λ ∈ [0,1],f (λ x+ (1− λ ) x )≤ λ f ( x )+ (1− λ )f ( x ) 1 2 1 2 1 2 Nói rằng f là lõm khi và chỉ khi –f là lồi. X 2. Cho f∈ R . Giả sử X= [,][,] a b∪ b c mà f lồi (lõm) trên [a,b], f lõm (lồi) trên [b,c] . Khi đó điểm U(b,f(b)) gọi là điểm uốn của đồ thị Cf của hàm số. Như vậy điểm uốn là điểm phân biệt giữa các cung lồi và cung lõm của đồ thị hàm số. 9Định lí 1: Để f là lồi trên X điều kiện cần và đủ là ∀a∈ X , tỷ số gia tại a của f tăng trên X\{} a , tức là f()() x− f a τ ()x = a x − a tăng trên X\{} a . 9 Định lí 2 : ( Bất đẳng thức Jensen) X n∈ N* , x , x , , x∈ X ;λ , λ , , λ ∈ [0,1] Nếu f∈ R lồi , 1 2 n 1 2 n sao cho n ⎛ n ⎞ n f⎜ λ x ⎟ ≤ λ f() x ∑ λk = 1 ∑k k ∑ k k k =1 thì sẽ có ⎝ k=1 ⎠ k=1 b. Điều kiện hàm lồi 9 Định lí 1: Giả sử f là lồi trên X khi đó f khả vi phải và trái tại mọi điểm trong của X và ∀a,, b c∈ X sao cho a<b<c, ta có f()() b− f a f()() c− f b ≤f'()'() b ≤ f b ≤ b− a t p c− b X 9 Định lí 2: Cho f∈ R khả vi. Để f lồi trên X điều kiện cần và đủ là f’ tăng trên X 3.2.9 Tiệm cận của đường cong a. Khái niệm chung về tiệm cận: Đường thẳng ( Δ ) được gọi là tiệm cận của đường cong Cf nếu như khoảng M(,) x y∈ C 2 2 cách δ từ một điểm f đến ( Δ ) dần đến 0 khi x+ y → +∞ (Tức là M chạy ra vô cùng trên đường cong Cf). 65
Chương 3: Phép tính vi phân hàm số một biến số b. Phân loại và cách tìm tiệm cận 9 Tiệm cận đứng (Tiệm cận song song với trục tung): y= f() x Đường x=a là tiệm cận đứng của đường cong khi và chỉ khi limf ( x ) = ∞ x→ a − + Giới hạn trên có thể bao hàm cả trường hợp x→ a,, x → a y → −∞ , y → +∞ . Ứng với từng trường hợp sẽ nhận được tiệm cận đứng ở phía trên hoặc phía dưới, bên phải hoặc bên trái đường cong Cf. Số a chính là cực điểm của hàm số. 9 Tiệm cận ngang (Tiệm cận song song với trục hoành) Đường y=b là tiệm cận ngang của đường cong y= f() x khi và chỉ khi limf ( x ) = b x→∞ Tuỳ theo x → −∞ hay x →+ ∞ ta có tiệm cận ngang bên trái hay bên phải. 9 Tiệm cận xiên (Tiệm cận không song song với các trục toạ độ) Đường y=α x + β , α ≠ 0 là tiệm cận xiên của đường cong ⎧ f() x ⎪lim = α ⎨x→∞ x ⎪lim[]f ( x ) −α x = β y= f() x khi và chỉ khi ⎩x→∞ Tuỳ theo x → −∞ hay x →+ ∞ ta có tiệm cận xiên bên trái hay bên phải. Rõ ràng về phía nào đó khi đã có tiệm cận ngang y=b thì không thể f() x lim = 0 có tiệm cận xiên bởi vì khi đó x→∞ x và ngược lại. 3.2.10 Bài toán khảo sát hàm số Sơ đồ tổng thể để khảo sát hàm số gồm các bước dưới đây 1. Tìm miền xác định f (nếu như chưa cho) và các tính chất đặc biệt của hàm số như: chẵn, lẻ, tuần hoàn (nếu có) 2. Xét sự biến thiên của hàm số: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số. 3. Tìm cực trị (nếu có) 4. Xét tính lồi, lõm của hàm số, điểm uốn (nếu có) 5. Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có) 66
Chương 3: Phép tính vi phân hàm số một biến số 6. Lập bảng biến thiên 7. Vẽ đồ thị 3.3 CÂU HỎI ÔN TẬP Câu 1. Định nghĩa hàm số khả vi tại điểm x0, khả vi trong khoảng (a,b), khả vi trong đoạn [a,b], khả vi trong khoảng (,)a ∞ . Câu 2. Đạo hàm của hàm số tại x0 là gì? Vi phân của hàm số tại x0 là gì? Câu 3. Nêu ý nghĩa hình học của đạo hàm tại điểm x0. Câu 4. Điểm tại đó mà đạo hàm hai phía khác nhau thì tương ứng đồ thị có tiếp tuyến không? Câu 5. Điểm tại đó có đạo hàm là vô cùng thì tương ứng tiếp tuyến của đồ thị có tính chất gì? Câu 6. Vì sao nói rằng điều kiện liên tục của hàm số chỉ là điều kiện cần chứ không phải là điều kiện đủ của hàm khả vi? Câu 7. Nêu các tính chất đại số của hàm khả vi. Các tính chất đó còn đúng không đối với các hàm không khả vi? Câu 8. Nêu công thức tính gần đúng số gia của hàm số nhờ vào vi phân của hàm số. Độ chính xác trong phép tính đó phụ thuộc vào đại lượng nào? Câu 9. Định nghĩa đạo hàm cấp cao của hàm số tại điểm x0 Câu 10. Định nghĩa vi phân cấp cao của hàm số tại điểm x0 Câu 11. Hiểu thế nào là tính bất biến của vi phân cấp 1? Câu 12. Viết công thức tính đạo hàm cấp cao của tích hai hàm số. Câu 13. Định nghĩa cực trị của hàm số. Tại sao nói rằng cực trị có tính chất địa phương? Câu 14. Phát biểu định lý Fermat. Vì sao nói rằng đó là điều kiện cần của hàm khả vi? Ý nghĩa của định lý Fermat? Câu 15. Phát biểu và nêu ý nghĩa hình học của định lý Rolle. Nếu một trong các điều kiện của định lý Rolle không thoả mãn thì có tồn tại giá trị trung bình không? Câu 16. Phát biểu và nêu ý nghĩa hình học của định lý Largrange. Nếu một trong các điều kiện của định lý Largrange không thoả mãn thì có tồn tại giá trị trung bình không? 67
Chương 3: Phép tính vi phân hàm số một biến số Câu 17. Phát biểu định lý Cauchy. Chứng tỏ công thức Cauchy là tổng quát nhất về giá trị trung bình. Câu 18. Tại sao nói công thức Largrange là công thức số gia hữu hạn? Câu 19. Phần dư Taylor của hàm số f(x) có phải là một đa thức của x không? Tại sao? Câu 20. Nêu ý nghĩa của công thức Taylor, công thức McLaurin. Câu 21. Nêu các điều kiện đủ của cực trị. Câu 22. Nêu các điều kiện nhận biết hàm số tăng, giảm trên một khoảng. Câu 23. Định nghĩa hàm lồi, hàm lõm. Mô tả hình học. Câu 24. Nêu cách tìm điểm uốn, khoảng lồi, khoảng lõm của đường cong. Câu 25. Nêu quy tắc L’Hospital . Cho ví dụ chứng tỏ rằng quy tắc đó không mô tả điều kiện cần của sự tồn tại giới hạn. Câu 26. Trình bày cách tìm tiệm cận của đường cong. Câu 27. Trình bày sơ đồ tổng quát khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 3.4 BÀI TẬP CHƯƠNG III Câu 1. Dùng định nghĩa hãy tính các đạo hàm các hàm số a. f( x )= 2 x + 1 1 b. f() x= x + x 1+ x c. f() x = x d. f() x= x Câu 2. Tính các đạo hàm của các hàm số 2 ⎧x2 e−x , x ≤ 1 2 3 ⎪ a. y=( x − 1) ( x + 1) b. y = ⎨1 ⎪ , x > 1 ⎩e ⎧ 1 ⎪xn sin ,x≠ 0, n ∈ N * c. y = ⎨ x d. y= x. x ⎩⎪0 ,x = 0 68
Chương 3: Phép tính vi phân hàm số một biến số Câu 3. Chứng tỏ rằng nếu f (x) khả vi tại x=a thì x.()() f a− af x lim =f()'() a − af a x→ a x− a Câu 4. Chứng minh rằng hàm số f()() x= x− aϕ x trong đó ϕ()x là hàm số liên tục và ϕ(a )≠ 0 không khả vi tại x=a. Câu 5. Tính các đạo hàm fp’(0) và ft’(0) của các hàm số sau đây: a2− x 2 a. f( x )= sin x2 b. f( x )= arcsin a 2+ x 2 1 ⎧ x ⎧ − ,x ≠ 0 1 2 ⎪ 1 ⎪ ex , x≠ 0, n ∈ N c. f() x = x d. f() x = n ⎨1+ e x ⎨x ⎪ ⎪ ⎩0 ,x = 0 ⎩0 ,x = 0 Câu 6. Tính đạo hàm của các hàm số: x a. y= ln tg b. y=ln( x + x2 +1) 2 1 sin 2 2x2 c. y= e x d y = arcsin . 1+ x 4 3 ⎛ 1 ⎞ 1 2x e. y =⎜1 + ⎟ f y= arctg . ⎝ 3 x ⎠ 2 1− x2 xln x − 1 1 g. y = ln h. y = xln x + 1 2ax− x2 x2 1 y = ln y = i. k. 5 1− ax4 (1+ cos4x ) 1− x ⎛ 1 ⎞ l. y = cos2 m y=1 + tg .⎜ x + ⎟ 1+ x ⎝ x ⎠ 1− x n. y = arcsin o. y = log log log x 1+ x 2 3 5 Câu 7. Tính đạo hàm sau bằng phương pháp đạo hàm lôga: 2 a. y= x x b y= (sin x ) .cos x x (x+ 1)3 4 x − 2 ⎛ x ⎞ c. y = d. y = ⎜ ⎟ 5 (x − 3)2 ⎝1+ x ⎠ 69
Chương 3: Phép tính vi phân hàm số một biến số 2 2 sin x x( x + 1) e. y=( x + 1) f y = 3 . (x2− 1) 2 1 g. y= x x h y= x−x2 x . x2 x x i. y = (x ln x− x − 1) k. y = logcos x sin x e x Câu 8. Tính vi phân của hàm số cos x 1 x a. y = − lntg 2sin 2 x 2 2 b. Cho f( x )= x3 − 2 x + 1. Tính Δf(1), df (1) (a > 0) x c. Với x 0) 2a x d. Với x<< a n chứng minh n an + x ≈ a + nan−1 Áp dụng tính 10 103 =10 210 − 24 1 1 e. y =3 x + + 6 x tại x =1 và dx = 0,2 22x Câu 9. Tính đạo hàm của yx ' của các hàm cho theo tham số: a. x= acos3 ϕ , y= bsin3 ϕ b. x=ln(1 + t 2 ), y = t − arctgt 1+ t 3 t c. x = , y= t 2 −1 t 2 −1 d. x= a( t − sin t ), y= a(1− cos t ) Câu 10. Tính d d ⎛ sin x ⎞ d(sin x ) a. (x3− 2 x 6 − x 9 ) b. ⎜ ⎟ c. d() x3 d() x2 ⎝ x ⎠ d(cos x ) Câu 11. Chứng minh các hệ thức sau: 1+ t 3 2 a. x. y '3 = 1 + y ' với x = , y = + t 3 2t 3 t 1 1+ 1 + t 2 t b. y1+ y '2 = y ' với x = − ln , y = 1+ t 2 t 1+ t 2 70
Chương 3: Phép tính vi phân hàm số một biến số 1+ lnt 3+ 2lnt c. y. y '= 2 x . y '2 với x = , y = t 2 t Câu 12. Chứng minh các hệ thức sau: 1 a. Cho f( x )= ln . Chứng minh f()n (0)= ( n − 1)! 1− x x − (− 1)n .n .( n − 1) b. Cho f() x= x2 e a . Chứng minh f ()n (0) = a n−2 f'(1) f ()n (1) c. Cho f() x= xn . Chứng minh f (1) + + + = 2n 1! n! Câu 13. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số: a. y =2x + 2− x b. y= ln( ax+ b ) ax+ b c. y = y=c x . cx+ d 1+ x e. y= xn . x y =f . x Câu 14. Tính các đạo hàm cấp cao sau: a. y=( x2 + 1)sin x , tính y(20) e x b. y = , tính y(10) x c. y= ex .sin x , tính y(n) d. y= sin ax .sin bx , tính y(n) 1+ x e. y = , tính y(100) 1− x x f*. y = , tính y(n) 3 1+ x g*. y= eax sin( bx+ c ) , tính y(n) Câu 15. Chứng minh hàm số y= eα arcsin x thỏa mãn: (1)− x2 y (n+ 2) − (21) n + xy(n+ 1) − ( n 2 +α 2 ) y (n ) = 0, n ∈ N Câu 16. Chứng minh hàm số y=(1 − x )−α . e − αx thỏa mãn (1−x ) y(n+ 1) − ( n +α x ) y(n ) − nα y (n− 1) =0, n ∈ N * 71
Chương 3: Phép tính vi phân hàm số một biến số 1 1 (− 1)n Câu 17. Chứng minh hàm số y= xn−1 e x thỏa mãn y ()n = e x xn+1 1 2 m ()m Câu 18. Chứng minh đa thức Lơgiăng (Legendre) Pm() x =[(x − 1)] ,m = 0,1,2, 2m m ! 2 thỏa mãn phương trình (1−x ) Pm " − 2 xPm ' + m ( m + 1) Pm = 0 Câu 19. Chứng minh đa thức Trêbưsép- Hécmít ( Chebyshev – Hermite): m x2 x2 () m Hm ( x )= ( − 1) e ( − e ) , m = 0,1,2, thỏa mãn phương trình: Hm "− 2 xHm '+ 2 mH m = 0 Câu 20. Áp dụng đạo hàm tính các tổng sau: 2 n−1 a. An =1 + 2 x + 3 x + + nx 2 n−2 b. Bn =1.2 + 2.3.x + 3.4. x + + n ( n − 1) x 2 2 2 2 2n− 1 c. Cn =1 + 2x + 3 x + + n x Câu 21. Chứng minh rằng phương trình xn + px + q =0, n ∈ N * không có quá 2 nghiệm thực với n chẵn, không có quá 3 nghiệm thực với n lẻ. Câu 22. Chứng minh rằng ∀m phương trình x3 −3 x + m = 0 không thể có 2 nghiệm khác nhau trong [0,1]. Câu 23. Chứng tỏ rằng phương trình f’(x)=0 có 3 nghiệm thực biết rằng f( x )= x ( x+ 1)( x+ 2)( x + 3) Câu 24. Chứng minh rằng số nghiệm của phương trình f(x)=0 không nhiều hơn quá 1 đơn vị của số nghiệm của phương trình f’(x)=0 Câu 25. Cho f(x) khả vi trên [a,b] và có đạo hàm đến cấp hai trên (a,b). Chứng minh rằng ∀x ∈(,) a b có thể tìm được ít nhất số Cx ∈(,) a b sao cho f()() b− f a (x− a )( x− b ) f()() x− f a − ()x− a = f"( C ) b− a 2 x Câu 26. a. Không cần tìm đạo hàm của hàm số f( x )= ( x2 − 1)( x 2 − 4) . Hãy cho biết số nghiệm của phương trình f’(x)=0 và chỉ ra các khoảng chứa nghiệm đó. b. Cho f( x )= 1 + xm ( x − 1) n với m, n∈ N * chứng tỏ rằng f’(x)=0 có nghiệm trong khoảng (0,1). 72
Chương 3: Phép tính vi phân hàm số một biến số Câu 27. Cho hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b). Chứng tỏ rằng x f( x ) 1 nếu áp dụng định lí Rolle cho hàm số: F() x = b f( b ) 1 sẽ nhận a f( a ) 1 được định lí Lagrange Câu 28. Chứng minh các bất đẳng thức sau đây: a− b a a− b a. ≤ln ≤ ,(0<b ≤ a ) a b b α − β α − β π b. ≤tgα − tg β ≤ ,(0 <β ≤ α < ) cos2 β cos2 α 2 c. nbn−1() a− b ≤ an − b n ≤ na n−1( a − b ),( b < a ), n ∈ N d. arctga −arctgb ≤ a − b Câu 29. a. Tìm các hằng số a,b để tồn tại giới hạn hữu hạn của f(x) khi x → 0 1 1 a b f() x = − − − sin3x x 3x 2 x b. Tìm hằng số k để tồn tại giới hạn hữu hạn của hàm f(x) khi x → 0 1− x2 f() x = (arcsin x+ k) x Câu 30. Dùng qui tắc L’Hospital tìm các giới hạn sau: x xe 2 1− x ln(x− a ) a. lim b. lim c. lim x→∞ x x→1 π x→ a x a x + e 1− sin x ln(e− e ) 2 π π tg x ln x d. lim 2 e. lim f. lim x x→1− x→0+ x→0 π ln(1− x ) 1+ 2lnsin x cot g x 2 Câu 31. Tìm các giới hạn sau: ⎛ 1 1 ⎞ a. lim⎜ − ⎟ b. limlnx .ln( x − 1) x→0⎝ x e x −1⎠ x→1 1 − 2 ⎛ p q ⎞ c. lim ex x−100 d. lim⎜ − ⎟ x→0 x→1⎝1− x p 1− xq ⎠ 73
Chương 3: Phép tính vi phân hàm số một biến số ⎡ 1 1 ⎤ ⎛ π π ⎞ e. lim − f. lim ⎜ − ⎟ ⎢ 3 ⎥ π ⎜ ⎟ x→1⎣2(1− x ) 3(1− x )⎦ x→ ⎝ cotgx 2cos x ⎠ 2 Câu 32. Tìm các giới hạn sau: 1 a. lim(1+ x )ln x b. lim (tgx )2 cos x c. lim(x+ e2x ) x x→0 π x→0 x→ 2 1 1 1 x 2 ⎛ tgx ⎞ x 2 x ⎛ a− xln a ⎞ x d. lim⎜ ⎟ e. lim x ln(e − 1) f. lim⎜ ⎟ ⎜ x ⎟ x→0⎝ x ⎠ x→0 x→0⎝ b− xln b ⎠ Câu 33. Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của các hàm số sau: 3 a. y= x(1 + x ) b. y= xln x c. y=( x2 − 1) 2 ex d. y = e y= x ax . − x2 ,( a > 0) x Câu 34. Tìm cực trị các hàm số sau: 2 2 a. y= x2 (1 − x x ) b. y= x( x + 2) c. y= x3 +( x − 2) 3 x 2 − 1+ ln x x x d. y= xe 2 y =e . f. y =2 cos + 3cos x 2 3 g. y= sin x2 h. y=ln 1 + x2 − arctgx Câu 35. Chứng minh các đẳng thức sau: x a. arctgx = arcsin 1 + x 2 x b. arcsin x= arctg 1 − x 2 Câu 36. Chứng minh các bất đẳng thức sau: ⎛ π ⎞ a. sin x+ tgx ≥ 2 x , x ∈⎜0, ⎟ ⎝ 2 ⎠ 1 b. cosx> 1 − x2 , ∀x > 0 2 tgα tgβ π c. < , 0 <α < β < α β 2 74
Chương 3: Phép tính vi phân hàm số một biến số d. ex >1 + x , ∀x ≠ 0 x2 e. x − ≤ln(1 +x ) ≤ x , ∀x ≥ 0 2 x3 f. x − ≤sin x ≤ x , ∀x ≥ 0 6 x3 π g. tgx> x + , 0 3 − , ∀x >1 x i. 2x . arctgx ≥ ln(1 + x2 ) ∀x 2(x − 1) k. ln x > , ∀x >1 x +1 arctgx l. ln(1+x ) > , ∀x > 0 1+ x Câu 37. Chứng minh tính duy nhất nghiệm của các phương trình sau: a. 2x+ sin x + cos x = 0 2 b. x3−2 x 2 + 1 = 0, x ≤ 0 3 c. ax+ b x = c x , 0 0, b > 0 x 1− x π c. y=2 tgx − tg2 x , 0 ≤x < 2 1− x d. y= arctg , 0≤ x ≤ 1 1+ x 75
Chương 3: Phép tính vi phân hàm số một biến số Câu 39. Tìm các tiệm cận của các đường cong sin x a. y= x + ln x b. y = c. y= x2 e−x x 2 x2 ⎛ 1 ⎞ d. y= x −2 + e. y= xln⎜ e + ⎟ f. y= xe x +1 x2 + 9 ⎝ x ⎠ Câu 40. Xét tính lồi lõm và tìm điểm uốn của hàm số: x3 a. y = b. y=(1 + x2 ) e x x2 +12 a a c. y= a −5 () x − b 2 d. y = ln (a > 0) x x Câu 41. Khảo sát hàm số sau: 2 ln x 4 1 a. y=(2 + x2 ) e−x b. y = c. y = + x x x4 x 1 1 ⎛ 1 ⎞ d. y = e. y =⎜1 + ⎟ f. y= ex − x sinx+ cos x ⎝ x ⎠ 3.5 HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG III 1 1 Câu 1. a. f/ () x = , b. f/ ( x )= 1 − , 2x + 1 x 2 1 1 1 c. f/ () x = − − , d. f/ () x =,x ≠ 0 x 2 3 2 x 2x 2 ⎧ 2 −x 2 / 2 / ⎪2x (1− x ) e , x ≤ 1 Câu 2. a. y=( x − 1) x + 1(5 x − 1) b. y = ⎨ ⎩⎪0,x > 1 ⎧ n−2 ⎛ 1 1 ⎞ / ⎪x⎜ nx sin − cos ⎟,x≠ 0, n ≥ 2 / c. y = ⎨ ⎝ x x ⎠ d. y= 2 x ⎪ ⎩0,x = 0 2 2 Câu 5. a. f/ (0)= 1, f / (0) = − 1, b. f / (0) = − ,f / (0) = p t p a t a / / / c. fp (0)= 0, f t (0) = 1, d. f (0)= 0 76
Chương 3: Phép tính vi phân hàm số một biến số 1 1 1 1 sin 2 2 Câu 6. a. y / = b. y / = , c. y / = − e x sin , 2 sin x x 2 + 1 x x 2 4x 1 ⎛ 1 ⎞ 1 d. y / = , e. y / = −⎜1 + ⎟ , f. y / = , 1 + x 4 x x⎝ 3 x ⎠ x 2 + 1 2(lnx + 1) x− a g. y / = , h. y / = , 2 2 x lnx − 1 (2ax− x 2 ) 3 2 20sin 4x i. y / = , k. y / = , x − ax 5 (1+ cos 4x ) 6 ⎛1 − x ⎞ sin 2⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 / ⎝1 + x ⎠ / x − 1 l. y = , m. y = , 2 x(1+ x ) ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 2x2 cos 2 ⎜ x + ⎟ 1 +tg⎜ x + ⎟ ⎝x ⎠ ⎝x ⎠ 1 1 n. y / = , o. y / = (1+x ) 2 x (1 − x ) xlog5 x .log 3 (log 5 x ) ln 2.ln 3.ln 5 2 Câu 7. a. y/ = xx +1 (2ln x + 1) . ⎛ cos 2 x ⎞ / cos x ⎜ ⎟ b. y= (sin x ) ⎜ − sinx ln sin x⎟ , ⎝ sin nx ⎠ 57x2 − 302 x + 361 (x+ 1)2 4 x − 2 c. y / = . 20(x− 2)( x − 3) 5 (x − 3) 2 x ⎛ x ⎞ ⎛ 1 x ⎞ d. y / = ⎜ ⎟ ⎜ + ln ⎟. ⎝ x+ 1⎠ ⎝ x + 1 x + 1⎠ ⎡2x sin x ⎤ e. y/=( x 2 + 1) sin x + cosx ln( x 2 + 1) . ⎣⎢ x 2 + 1 ⎦⎥ 4 2 2 / x+6 x + 1 x( x + 1) f. y = 3 . 3x (1− x 4 ) (x 2− 1) 2 1− ln x g. y/ = y . x 2 77
Chương 3: Phép tính vi phân hàm số một biến số 2 h. y/ = y(ln 2 + −1 − lnx ) x 1 i. y / = xx+1 ln x (ln x − 1). e x 1 k. y / = (cotgx ln cos x+ tgxln sin x ). ln2 cos x dx Câu 8. a. dy = − . b. Δf(1) = Δ x + 3( Δ x )2 + ( Δ x )3 , df (1) = Δx . sin 2 x d. 10 103 ≈ 1,9955 e. dy(1)= 0,3466. b t Câu 9. a. y / = − tgϕ, b. y / = , x a x 2 2 / 1 + t / t c. y x = , d. yx = cot g . t(2+ 3 t − t 2 ) 2 1 ⎛ sin x ⎞ Câu 10. a. 1− 4x3 − 3 x 6 , b. ⎜cos x − ⎟, 2x 2 ⎝ x ⎠ c. − cot gx . (n− 1)! a n Câu 13. a. y ()n=[2 x + ( − 1)n 2− x] ln n 2, b. y ()n =( − 1) n−1 , ()ax+ b n n!( ad− bc )( − c ) n−1 (− 1)n−1 (2n − 3)!! c. y ()n = , d. y ()n = , n+1 ()cx+ d 2 nx 2 n− 1 (2n + 1)!! (− 1)n−1 (2n − 3)!! e. y ()n = x, f. y ()n = (x− 2 n + 1). 2 n 2n+ 1 2 n x 2 Câu 14. a. y(20)=( x 2 − 379)sinx− 40 x cos x . 10 n! b. y(10) = e x ( − 1) nC n . ∑ 10 n+1 n=0 x n ()n x k ⎛ kπ ⎞ c. y= e∑ Cn sin⎜ x + ⎟. k =0 ⎝ 2 ⎠ 78
Chương 3: Phép tính vi phân hàm số một biến số ()n 1 ⎧ n ⎡ nπ ⎤ n ⎡ nπ ⎤⎫ d. y=⎨( a − b ) cos⎢ ( a− b ) x + ⎥ −(a + b ) cos⎢ ( a+ b ) x + ⎥⎬. 2 ⎩ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 2 ⎦⎭ 197!!(399− x ) e. y (100) = . 2100 (1−x )100 1 − x (− 1)n+1 .1.4 (3n− 5)(3 n + 2 x ) f. . y ()n = . 1 n+ 3n (1+ x ) 3 ⎧ b sin ϕ = n ⎪ 2 2 ()n ax 2 2 ⎪ a+ b g. y= e( a + b )2 sin( bx+ c + nϕ) . ⎨ a ⎪cosϕ = ⎩⎪ a2+ b 2 Câu 26. a. x1 ∈ (− 2;− 1), x2 ∈(− 1;1), x3 ∈(1;2). b. f (0)= f (1) 1 Câu 29. a. a=0; b = , b. k = 0. 2 1 π 2 Câu 30. a. 0, b. ∞ , c. 1, d. ∞, e. , f. . 2 2 1 p− q 1 Câu 31. a. , b. 0, c. 0, d. , e. , f. –1 2 2 12 1 1 (ln2a− ln 2 b ) Câu 32. a. 1, b. 1, c. e3 d. e 3 e. e f. e 2 Câu 33. a. Tăng [0,+∞ ) không có cực trị. ⎛ 1⎤ ⎡1 ⎞ 1 b. Tăng ⎜0, , giảm ,+∞⎟ , xCĐ = . ⎝ e⎦⎥ ⎣⎢e ⎠ e c. Giảm (− ∞;− 1] , tăng [1;+∞). d. Giảm ()− ∞;0 ,( 0;1) , tăng [1;+∞), xCT = 1. ⎡3 ⎤ ⎡ 3 ⎤ 3 e. Giảm a; a , tăng 0; a , xCD = a. ⎣⎢4 ⎦⎥ ⎣⎢ 4 ⎦⎥ 4 ⎛ 2 6 4 ⎞ ⎜ 3 3 ⎟ Câu 34. a. min(0;0), max⎜2 ; ⎟. ⎝ 49 7 7 ⎠ b. min(0;0), max(− 1;1). c. min (0;3 4), min (2;3 4), max (1;2). 79
Chương 3: Phép tính vi phân hàm số một biến số ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ d. min⎜−1; − ⎟, max⎜1; ⎟. ⎝ e ⎠ ⎝ e ⎠ e. max(1;1). ⎡ ⎛ 1 ⎞ π ⎤ f. min ⎢12⎜k ± ⎟π;− 5cos ⎥, min[6(2k + 1)π ;1,] ⎣ ⎝ 5 ⎠ 5 ⎦ ⎡ ⎛ 2 ⎞ 2π ⎤ max(12kπ ;5), max ⎢12⎜k ± ⎟π;5cos ⎥. ⎣ ⎝ 5 ⎠ 5 ⎦ ⎛ 4n + 1 ⎞ ⎜ ⎟ g. min(0;0), max⎜± π ;1⎟ . ⎝ 2 ⎠ ⎛ 1 π ⎞ h. min⎜1; ln 2 − ⎟. ⎝ 2 4 ⎠ 1 π Câu 38. a. m = , M = 1. b. m=(). a + b 2 c. M = 1. d. m = 0, M = . 3 4 Câu 39. a. x = 0. b. y = 0 . c. y = 0. 1 1 d. y = −2, y =2(x − 1). e. x = − , y = x + . e e f. x=0, y=x Câu 40. a. xU ={0; ± 6} b. xU = {−1;− 3} . 3 2 c. φ. d. xU = ae . 80
Chương 4: Phép tính tích phân 3. 4. 5. CHƯƠNG IV: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 4.1 MỤC ĐÍCH Phép tính tích phân là phép tính cơ bản thứ hai của toán cao cấp. Đây là phép tính ngược của phép tính vi phân. Chính vì thế để tính tích phân nhanh chóng, chính xác cần thông thạo phép tính đạo hàm của hàm số. Trong mục thứ nhất của chương này cần nắm vững định nghĩa tích phân xác định. Bản chất của nó là phép tính giới hạn của một dãy số được tạo ra theo một nguyên tắc nhất định (lập tổng tích phân) từ hàm số f(x) xác định trên đoạn [a,b]. Sau khi hiểu được lớp các hàm khả tích sẽ thấy rõ khái niệm tích phân xác định học ở phổ thông trung học chỉ là một trường hợp riêng của khái niệm tích phân xác định được trình bày ở mục này. Cụ thể là công thức Newton-Leibnitz chỉ được áp dụng khi hàm dưới dấu tích phân liên tục trên đoạn [a,b]. Người học phải nắm được điều kiện cần của hàm khả tích để sau này phân biệt với tích phân suy rộng. Bên cạnh đó phải biết vận dụng các tính chất của tích phân xác định bởi vì nhờ có tính chất này và các tích phân cơ bản mà ta có thể tính được các tích phân phức tạp hơn. Cần hiểu được nguyên hàm của hàm số là gì và phân biệt tích phân xác định với tích phân bất định. Trong mục thứ hai cần nắm vững hai phương pháp cơ bản để tính tích phân xác định: Phương pháp tích phân từng phần và phương pháp đổi biến số. Cần hiểu rằng phần lớn các tích phân chỉ được tính bằng một phương pháp duy nhất. Do đó trước hết phải phân loại sau đó mới đi vào tính toán. Nắm chắc các điều kiện đối với hàm số khi thực hiện phép đổi biến số. Lưu ý rằng khi thực hiện phép đổi biến số thì cận của tích phân cũng biến đổi theo. Mục thứ ba trình bày phương pháp tính tích phân bất định. Ngoài hai phương pháp cơ bản cần phải thuộc cách đổi biến thích hợp cho từng trường hợp: hàm hữu tỉ, hàm hữu tỉ lượng giác, hàm vô tỉ, Mục thứ tư gồm các ứng dụng mang tính chất hình học của tích phân xác định: diện tích hình phẳng, thể tích vật thể, độ dài cung. Phải chú ý đến tính chất biên của các hình rồi mới áp dụng các công thức tính thích hợp: trong hệ tọa độ đề các, tọa độ cực. Sau này còn được biết nhiều ứng dụng rộng rãi của tích phân xác định. 81