›
›

Giáo trình Toán cao cấp A1

doc 146 trang phuongnguyen 1890
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán cao cấp A1", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docgiao_trinh_toan_cao_cap_a1.doc

Nội dung text: Giáo trình Toán cao cấp A1

  1. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Sýu tầm by hoangly85
  2. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Bài 1 Giới hạn và liên tục I. SỐ THỰC VÀ HÀM SỐ 1.Các số thực và ðýờng thẳng thực Các số thực là những số có thể biểu diễn dýới dạng thập phân nhý : trong ðó dấu ba chấm ( ) chỉ dãy các ký số sau dấu chấm thập phân kéo dài ðến vô hạn . Các số thực có thể ðýợc biểu diễn về mặt hình học bởi các ðiểm trên 1 ðýờng thẳng, ðýợc gọi là ðýờng thẳng thực nhý minh họa dýới ðây: Tập hợp tất cả các số thực (hay ðừng thẳng thực ) sẽ ðýợc ký hiệu là R. Trên tập hợp các số thực ta có hai phép toán cõ bản + và * với một số tính chất ðại số quen thuộc ðã biết . Từ ðó ta cũng có phép toán trừ (-) và phép chia (/) cho số khác 0. Ngoài ra trên R ta cũng có một thứ tự thông thýờng và với thứ tự này ta có một số tính chất ðýợc viết dýới dạng các bất ðẳng thức nhý sau: Nếu a,b, và c là các số thực thì ta có a 0 ac <bc Sýu tầm by hoangly85
  3. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 a 0 > 0 Nếu (a và b cùng là số dýõng ) hay (a và b cùng là số âm ) Thì ta có : R có một số tập hợp con quen thuộc là tập hợp các số tự nhiên N ,tập hợp các số nguyên Z, và tập hợp các số hữu tỉ Q . Theo thứ tự "bao hàm trong " thì N  Z  Q  R Các số thực không thuộc Q ðýợc gọi là các số vô tỉ . Ký hiệu các khoảng ðoạn và nửa khoảng : Với a và b là các số thực , ta ký hiệu : (a ,b ) là { x R / a a} [a, ) là { x R /x >= a} ( - ,b) là {x R /x < b } ( - b] là {x R /x <= b} ( - , ) là R Sýu tầm by hoangly85
  4. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Ghi chú : Ngýời ta còn chứng minh ðýợc rằng R có tính chất ðầy ðủ . Theo tính chất này thì mọi tập số thực khác rỗng bị chặn trên ðều có cặn trên ðúng (tức là chặn trên nhỏ nhất). Týõng tự , mọi tập số thực khác rỗng bị có chặn dýới ðúng. Ký hiệu "giá trị tuyệt ðối” Giá trị tuyệt ðối của một số thực x ,ký hiệu bởi |x|, ðýợc ðịnh nghĩa nhý sau : Từ ðó ta có một số tính chất dýới ðây: (1) Với mọi (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Lýu ý rằng về mặt hình học ,  x biểu diễn khoảng cách từ ðiểm x ðến ðiểm 0 trên ðýờng thẳng thực . Tổng quát hõn là :  x-y = khoảng cách giữa x và y Sýu tầm by hoangly85
  5. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 2. Hàm số ịnh nghĩa: Một hàm số f từ một tập D vào IR là một quy tắc cho ứng với mỗi x D là một phần tử duy nhất f (x) R. Một hàm số thýờng ðýợc cho dýới dạng công thức nhý các ví dụ sau: Khi hàm số ðýợc cho bởi một công thức nhý hàm số g(x) ở trên thì tập hợp tất cả các x mà g(x) xác ðịnh ðýợc gọi là miền xác ðịnh của hàm số. Ví dụ: Miền xác ðịnh của hàm số là tập hợp các số thực x sao cho : x2 –4 0 x -2 hay x 2 Vậy miền xác ðịnh là : ( - , -2 ]  [ 2 , ) ồ thị của hàm số: ồ thị của hàm số f là ðýờng biểu diễn trong mặt phẳng Oxy có phýng trình y=f(x). Nó bao gồm tất cả các ðiểm (x , f(x)) với x chạy trong miền xác ðịnh của hàm số. Ví dụ : 1) ồ thị hàm số y = x2 2) ồ thị hàm số y = x3/2 Sýu tầm by hoangly85
  6. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Tổng, hiệu, tích, thýõng của các hàm số: Cho f và g là 2 hàm số, và c là một hằng số. Ta ðịnh nghĩa các hàm f+g, f– , f.g, f/g và c.f bởi các công thức sau: (f + g) (x) = f(x) + g(x) (f - g) (x) = f(x) - g(x) (f . g) (x) = f(x) . g(x) (c.f) (x) =c.f(x) Hợp nối của các hàm số: Hợp nối của f(x) và g(x) là 1 hàm số ðýợc ký hiệu là g f và ðýợc ðịnh nghĩa bởi : (g f) (x) = g(f(x) ) Miền xác ðịnh của g f là tập hợp các giá trị x sao cho f(x) miền xác ðịnh của g. Ví dụ: Hàm số y = có miền xác ðịnh là tập hợp tất cả các số thực x sao cho hay x (1, 2). Vậy miền xác ðịnh là D = (- , 1]  [2, + ). Sýu tầm by hoangly85
  7. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 III. CÁC DẠNG VÔ ỊNH 1 . Hàm týõng ðýõng ,VCB ,VCL ịnh nghĩa 1: Cho hai hàm số f(x)và g(x) không triệt tiêu trong một khoảng quanh xo ( có thể loại trừ xo). Ta nói f(x) týõng ðýõng với g(x) khi x -> xo nếu: Khi ấy , ta viết : f(x)  g(x) khi x -> xo Hoặc là : khi x -> xo , f(x)  g(x) Tính chất : Khi x -> xo (i) f(x)  g(x) (ii) f(x)  g(x) g(x)  f(x) (iii) f(x)  g(x) và g(x)  h(x) f(x)  h(x) Ví dụ : Khi x -> 0, ta có : sin x ~ x ln(1+x) ~ x tg x ~ x ex -1 ~ x arcsin x ~ x arctg x ~ x ịnh nghĩa 2: Cho f (x) xác ðịnh quanh xo (có thể loại trừ xo). Ta nói f (x) là một ðại lýợng vô cùng bé khi x -> xo viết tắt là VCB , khi Trong trýờng hợp ta có (hoặc + , hoặc - ) ta nói f (x) là vô cùng lớn (viết tắt là VCL) khi x -> xo Ví dụ: Sýu tầm by hoangly85
  8. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Khi x -> 0 , ta có x, ln(1+x), 1 –cos x là các VCB. Khi x -> 0+, ta có ln(x), là các VCL Khi x -> + , ta có x, ln(x), ex là các VCL Ghi chú : Các khái niệm về hàm týõng ðýõng, VCB và VCL cũng ðýợc ðịnh nghĩa týõng tự nhý hai ðịnh nghĩa trên khi xét giới hạn ở vô tận, tức là khi xét x - > , hoặc x -> + , hoặc x -> - . 2. Bảy dạng vô ðịnh. Giả sử ta xét giới hạn của f(x) và g(x)trong cùng một qúa trình biến ðổi của x.Khi ðó 1) Ta nói f (x) –g (x) có dạng vô ðịnh - nếu f (x) và g (x) cùng tiến về + (hoặc là - ). 2) Ta nói f(x).g (x) có dạng vô ðịnh o . nếu: f (x) là VCB và g (x) là VCL , hoặc là: f (x) là VCL và g (x) là VCB 3) Ta nói có dạng vô ðịnh nếu f(x) và g (x) ðều là các VCB 4) Ta nói có dạng vô ðịnh nếu f(x) và g(x) ðều là các VCL 5) Ta nói f(x) g(x) có dạng vô ðịnh 00 khi f (x) và g (x) ðều là các VCB. 6) Ta nói f(x) g(x) có dạng vô ðịnh 0 nếu f(x) -> + và g (x) là VCB. 7) Ta nói f (x) g(x) có dạng vô ðịnh 1 nếu f(x) -> 1 và g (x) là VCL . 3. Quy tắc thay thế týõng ðýõng khi tính giới hạn. ịnh lý : Giả sử ta xét giới hạn trong một quá trình biến ðổi của x. khi ấy : f (x) ~ g (x) và g (x) có giới hạn L f(x) có giới hạn L. (L hữu hạn hoặc vô hạn) Sýu tầm by hoangly85
  9. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 và Ví dụ: Tính Khi x -> 0, ta có : x . ln(1+x) ~ x . x = x2 => Vậy: 4. So sánh các VCB , và các VCL ịnh nghĩa: Xét x -> a (a R , hoặc a là vô tận ) Giả sử u = f (x)và v = g (x) là các VCB . Khi ðó: (i) Ta nói u và v có cùng cấp nếu (ii) Ta nói u có cấp cao hõn v nếu (iii) Ta nói u có cấp thấp hõn v nếu Ví dụ : Khi xét x -> 0, ta có 1 –cos x và x2 là 2 VCB cùng cấp , 1 –cos x là VCB cấp cao hõn ln(1+x) ịnh nghĩa: (So sánh VCL) Giả sử f(x) và g (x) là 2 VCL khi x -> a . Ta nói Sýu tầm by hoangly85
  10. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 (i) f (x) có cùng cấp với g (x) nếu (ii) f(x) có cấp cao hõn g (x) nếu Ví(iii) dụ: f(x) Khi có cấpx -> thấp + hõn, ta cóg(x) x vànếu cùng cấp , x3/2 có cấp cao hõn ịnh lý: Giả sử f (x) và g(x) là các VCB khi x -> a .Ta có: (i) Nếu f(x) có cấp nhỏ hõn g(x) thì f(x) g(x) ~ f(x) khi x- >a (ii) Nếu f(x) cùng cấp g(x) và f(x) ~ f1(x), g(x) ~ g1(x) thì : f(x) - g(x) ~ f1(x) - g1(x) với ðiều kiện f(x) và g(x) không týõng ðýõng. ịnh lý: Giả sử f(x) và g(x) là các VCL khi x -> a. Ta có: (i) Nếu f(x) có cấp lớn hõn g(x) thì: f(x) g(x) ~ f(x) khi x->a (ii) Nếu f và g cùng cấp nhýng không týõng ðýõng, và: f(x) ~ f1(x), g(x) ~ g1(x) thì : f(x) - g(x) ~ f1(x) - g1(x) Ví dụ: Khi x - > + , ta có: 3x4 + x + 1 ~ 3x2 Sýu tầm by hoangly85
  11. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 IV. KHỬ DẠNG VÔ ỊNH Nhý ðã biết , ta có thể dùng các quy tắc tính giới hạn trong trýờng hợp không phải dạng vô ðịnh và các quy tắc thay thế týõng ðýõng ðể tính giới hạn . Trong trýờng hợp gặp các dạng vô ðịnh : - , 0. , , và ta có thể phân tích biểu thức ðể ðõn giản hay thực hiện các quy tắc thay thế týõng ðýõng , ðặc biệt là áp dụng việc thế týõng ðýõng cho VCB và VCL ðýợc trình bày trong các ðịnh lý ở mục II ở trên . ối với các dạng vô ðịnh 00 , 1 và 0 ta thýờng dùng công thức biến ðổi sau ðây : (u > 0) rồi xét giới hạn của v. lnu Ngoài ra , ðối với các dạng vô ðịnh và ta còn có thể áp dụng quy tắc L’ Hospitale. Quy tắc này sẽ ðýợc trình bày trong phần áp dụng của ðạo hàm trong chýõng sau . Dýới ðây chúng ta sẽ xét một số ví dụ minh họa cho các phýõng pháp khử dạng vô ðịnh nêu trên. Ví dụ 1: Tìm và Khi x -> + , ta có : => Khi x -> + , ta có : ~ Sýu tầm by hoangly85
  12. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 => Ví dụ 2: Tìm Khi x-> 0 , ta có : 2x + sin 3x ~ 5x sin2 x ~ x2 2x + sin 3x + sin2 x ~ 5x sin 4x + ln(1+x) ~ 4x + x =5x sin 4x + ln(1+x) - x2 ~ 5x suy ra : Vậy: Ví dụ 3: Tìm Khi x -> 0, ta có: => Sýu tầm by hoangly85
  13. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Vậy: Ví dụ 4: Tính giới hạn Ta có dạng vô ðịnh . Biến ðổi: Khi x ,ta có: Vì Suy ra Và Sýu tầm by hoangly85
  14. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 V. HÀM SỐ LIÊN TỤC 1 . ịnh nghĩa (i) Cho hàm số f(x) xác ðịnh trên một khoảng chứa xo. Ta nói f(x) liên tục tại xo nếu (ii) Cho f (x) xác ðịnh trên với [ xo, xo +  ] với s > 0. Ta nói f (x) liên tục bên phải tại xo nếu: (iii) Cho f(x) xác ðịnh tên ( xo -  , xo ] với s > 0 Ta nói f(x) liên tục bên trái tại xo nếu: Mệnh ðề: f liên tục tại xo f liên tục bên trái và liên tục bên phải tại xo ịnh lý: Cho f(x) và g(x) là các hàm số liên tục tại xo. Khi ðó ta có : (i) f(x) + g(x) và f(x) . g (x) cũng liên tục tại xo (ii) liên tục tại xo với ðiều kiện (iii)  f (x)  liên tục tại xo. ịnh lý: Nếu hàm số f(x) liên tục tại xo và hàm số g(u) liên tục tại uo = f(xo) thì hàm số hợp h (x) =gof(x) liên tục tại xo. 2.Tính chất của hàm hàm số liên tục trên một ðoạn ịnh nghĩa: Hàm số f(x) ðýợc gọi là liên tục trên ðoạn [a,b] nếu: (i) f(x) liên tục trên khỏang (a,b) ,tức là f (x) liên tục tại mọi xo (a,b) (ii) f(x) liên tục bên phải tại a. (iii) f(x) liên tục bên trái tại b. Sýu tầm by hoangly85
  15. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Liên quan ðến hàm số liên tục trên một ðoạn , ngýời ta ðã chứng minh ðýợc ðịnh lý sau ðây: ịnh lý: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a,b]. Khi ðó ta có: (i) f có gía trị nhỏ nhất và gía trị lớn nhất trên [a,b] (ii) ặt m = min {f(x)/ x [a,b]} M = max {f(x) / x [a,b]} Ta có f ([a,b] ) =[m,M] (iii) Cho một số thực yo tùy ý thuộc [m,M], ta có xo [a,b] sao cho yo=f(xo) Hệ quả: Nếu f liên tục trên [a,b] và: f(a) .f(b) b) 2.Tính giới hạn : Sýu tầm by hoangly85
  16. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 3.Tính giới hạn : 4.Xác ðịnh a và b sao cho các hàm số sau ðây là liên tục trên IR. Sýu tầm by hoangly85
  17. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 5.Chứng minh rằng phýõng trình 2x3 – x+1=0 Có 3 nghiệm trên ðoạn [-2,2] 6.Chứng minh rằng các phýõng trình sau ðây có nghiệm : 2x2 – x3-2x-1=0 2x +3x = 6x Sýu tầm by hoangly85
  18. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Bài 2 ạo hàm và vi phân của một số biến I. KHÁI NIỆM VỀ ẠO HÀM 1. ịnh nghĩa: Cho hàm số f(x) xác ðịnh trong một khoảng chứa xo. Nếu tỉ số có giới hạn R khi x xo thì ta nói f có ðạo hàm tại xo và giá trị của giới hạn trên ðýợc gọi là ðạo hàm của hàm số f tại xo . ạo hàm của f tại xo thýờng ðýợc ký hiệu là: f’xo) Các ký hiệu khác của ðạo hàm : Cho hàm số y = f(x). Ngoài cách ký hiệu ðạo hàm là f’x) ta còn có một số cách ký hiệu khác nhý sau: y’Hay y’ Ý nghĩa hình học của ðạo hàm : x= xo+h Sýu tầm by hoangly85
  19. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 PT là tiếp tuyến tại Hệ số góc của tiếp tuyến với ðýờng cong là Vậy phýõng trình tiếp tuyến với ðồ thị hàm số y = f (x) tại Mo(xo f(x) là: y-yo = f’xo) . (x- xo) trong ðó yo =f(xo) 2. Liên hệ giữa ðạo hàm và tính liên tục ịnh lý: nếu f(x) liên tục tại xo thì f(x) liên tục tại xo 3. Bảng ðạo hàm thông dụng (1) C’ 0 (C là hằng số) (2) ðặc biệt: (3) (sin x)’ cos x (4) (cos x) = -sin x (5) (6) Sýu tầm by hoangly85
  20. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) II. CÁC QUY TẮC TÍNH ẠO HÀM 1. ạo hàm của tổng, hiệu, tích , thýõng ịnh lý: Nếu u(x) và v(x) ðều có ðạo hàm theo biến x thì ta có: (u + v)’ u’ v’ (u.v)’= u’v’u.v’ Hệ quả : (u1+u2 un )’=u’+u’+ +u’ 2. ạo hàm của hàm số hợp ịnh lý: Sýu tầm by hoangly85
  21. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Xét hàm số hợp y = f(u(x)). Giả sử u(x) có ðạo hàm tại xo và f(u) có ðạo hàm tại uo=u(xo). Khi ấy, hàm số y = f(u(x)) có ðạo hàm tại xo và y’xo) = f’uo). u’xo). Ví dụ: 3. ạo hàm của hàm ngýợc ịnh lý: Nếu hàm số y = y(x) có ðạo hàm y’xo) 0 và nếu có hàm ngýợc x = x(y) liên tục tại yo=y(xo), thì hàm ngýợc có ðạo hàm tại yo và: 4. ạo hàm của hàm số có dạng y = u(x)v(x) với u(x)>0 Ta có: Ví dụ: y = xx (x > 0) Ta có: y = = xx . (lnx+1) Sýu tầm by hoangly85
  22. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 III. ẠO HÀM CẤP CAO Giả sử f(x) có ðạo hàm tại mọi x thuộc một khoảng nào ðó. Khi ấy f’x) là một hàm số xác ðịnh trên khoảng ðó. Nếu hàm số f’x) có ðạo hàm thì ðạo hàm này gọi là ðạo hàm cấp 2 của f(x), ký hiệu là f’(x). Vậy : f’(x)= (f’x))’ Ta còn ký hiệu ðạo hàm cấp 2 là : Tổng quát, ðạo hàm của ðạo hàm cấp n-1 ðýợc gọi là ðạo hàm cấp n. ạo hàm cấp n của f(x) ðýợc ký hiệu là vậy: ạo hàm cấp n của f(x) còn ðýợc ký hiệu là: Ví dụ : Tính y(n) với y=sinx (*) Công thức (*) ở trên có thể ðýợc chứng minh bằng phýõng pháp qui nạp. IV .VI PHÂN 1.Vi phân cấp 1 ịnh nghĩa: Xét hàm số f(x) xác ðịnh trên 1 khoảng quanh xo. Ta nói f khả vi tại xo . Khi ta có một hằng số sao cho ứng với mọi số gia x ðủ nhỏ của biến x, số gia của hàm là f ( x0 + x ) - f ( x0 ) có thể viết dýới dạng : f = A. x + 0( x) Sýu tầm by hoangly85
  23. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Trong ðó 0( x) là VCB cấp cao hõn x khi x 0 Biểu thức A. x ðýợc gọi là vi phân của f(x) tại xo ứng với số gia x và ðýợc ký hiệu là df Vậy: df = A. x ịnh lý: Hàm số f(x) khả vi tại xo khi và chỉ khi f(x) có ðạo hàm tại xo. Khi ðó ta có: df = f’xo) . x Từ ðịnh lý trên với f(x) = x ta có dx = x Do ðó biểu thức vi phân của một hàm số y=y(x) sẽ ðýợc viết dýới dạng : dy = y’dx Ghi chú: Từ ðịnh nghĩa của vi phân ở trên và công thức : dy = y’x Ta có: nếu y’x) 0 thì dy và y là 2 VCB týõng ðýõng khi x 0 Giả sử y = f(x) và x = (t). Xét hàm hợp y = f( (t)), ta có: Do ðó dy = y’. x’.dt = y’ .dx Vậy dạng vi phân dy của hàm y = f(x) không thay ðổi dù x là biến ðộc lập hay là hàm khả vi theo biến ðộc lập khác. Tính chất này ðýợc gọi là tính bất biến của biểu thức vi phân. Từ các qui tắc tính ðạo hàm, ta có các qui tắc tính vi phân nhý sau : d(u+v)=du + dv d(u.v)=v.du + u.dv 2. Vi phân cấp cao Sýu tầm by hoangly85
  24. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Giả sử hàm số y=f(x) khả vi trên một khoảng nào ðó. Nhý thế vi phân dy=y’dx là một hàm theo x trên khoảng ðó và nếu hàm này khả vi thì vi phân của nó ðýợc gọi là vi phân cấp 2 cuả y và ðýợc ký hiệu là d2y.Vậy: Tổng quát, vi phân cấp n của hàm số y ðýợc ký hiệu là dny và ðýợc ðịnh nghĩa bởi: Ta có thể kiểm chứng dễ dàng công thức sau: Ví dụ : Với y= sin x, ta có: dy= cosx dx Nhận xét: Công thức vi phân cấp cao: ( n 2 ) không còn ðúng nữa nếu x không phải là biến ðộc lập V. CÁC ỊNH LÝ C' BẢN 1. Cực trị ðịa phýõng và ðịnh lý Fermat ịnh nghĩa: Hàm số f(x) ðýợc gọi là ðạt cực ðại ðịa phýõng tại xo nếu có một lân cận quanh ðiểm xo sao cho với mọi x thuộc lân cận này ta có : f(x) f(xo) Sýu tầm by hoangly85
  25. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Khái niệm cực tiểu ðịa phýõng cũng ðýợc ðịnh nghĩa týõng tự. Cực ðại ðịa phýõng và cực tiểu ðịa phýõng ðýợc gọi chung là cực trị ðịa phýõng. ịnh lý (Fermat): Nếu hàm số f(x) ðạt cực trị ðịa phýõng tại xo và có ðạo hàm tại xo thì f’xo )=0 Chứng minh: Giả sử f(x) ðạt cực ðại ðịa phýõng tại x0 và có ðạo hàm tại xo. Khi ðó f(x) xác ðịnh trên 1 khoảng ( xo - , xo +  )với một  > 0 và trên khoảng này ta có: Với mọi x <  Do ðó: Suy ra f’x0) = 0 2. ịnh lý Nếu f(x) liên tục trên [a,b], có ðạo hàm trong khoảng (a,b) và f(a)=f(b) thì tồn tại c (a,b)Rolle sao cho f’c)=0 Chứng minh: Nếu f(x) là hàm hằng trên [a,b], thì f’x) = 0. x (a,b). Vậy ta có thể giả sử f(x) không hằng trên [a,b]. Vì f(x) liên tục trên ðoạn [a,b] nên f([a,b]) = [m,M] với m M. Ta có f(a) m hay f(a) M. Ta xét trýờng hợp m f(a). (trýờng hợp M f(a) thì týõng tự). Do m f(a) = f(b) và m f([a,b]) nên  c (a,b) sao cho f(c) = m. Ta sẽ chứng minh f’c)=0 Với h ðủ nhỏ ðể c+h (a,b) ta có: Vì f(c+h) –f(c) 0 Suy ra f’c) = 0 Sýu tầm by hoangly85
  26. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 3. ịnh lý Lagrange Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và có ðạo hàm trên (a,b) thì tồn tại c (a,b) sao cho: f(b) - f(a) = f’c) . (b-a). Chứng minh ặt k = , và xét hàm g(x) = f(x) - f(a) - k.(x-a). Ta thấy g(x) liên tục trên [a,b], có ðạo hàm trên (a,b) và g(a) =g(b)=0. Do ðó,theo ðịnh lý Rolle ta có c (a,b) sao cho c (a, b) sao cho: g’c) =0 Vì : g’x)=f’x)-k, nên: g’c) = 0 f’c ) -k =0 f’c) =k f (b)-f(a)=f’c).(b-a) Minh họa hình học: Giả sử cung AB là ðồ thị của hàm số f(x) thoả ðiều kiện của ðịnh lý Lagrange trên [a,b] nhý hình vẽ. Khi ðó trên cung AB phải có ít nhất một ðiểm C có hoành ðộ c (a,b) sao cho tiếp tuyến với ðồ thị tại C là song song với ðýờng thẳng AB. Chú ý: Nếu ðặt h = b-a thì ðẳng thức trong ðịnh lý Lagrange có thể ðýợc viết lại nhý sau: f(a + b) - f(a)= h . f’a+ h) với 0 <  < 1 4. ịnh lý Cauchy Nếu f(x) và g(x) là 2 hàm số liên tục trên [a,b], có ðạo hàm trên (a,b) và g’x) 0 tại mọi x (a,b), thì tồn tại c (a,b) sao cho: Sýu tầm by hoangly85
  27. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Chứng minh: ặt k = . Do g’x) 0  x (a,b) Nên theo ðịnh lý Rolle ta phải có g(a) g(b) . Vậy giá trị k là xác ðịnh . Xét hàm số h(x) = f(x) - k.g(x) Ta thấy h(x) liên tục trên [a,b], có ðạo hàm trên (a,b) cho bởi : h’x)=f’x) - k.g’x). Hõn nữa h(a) = h(b) nên theo ðịnh lý Rolle ta có c (a,b) sao cho h’c) = 0. Suy ra: Hay VI. CÔNG THỨC TAYLOR 1. ịnh lý Taylor Nếu hàm số f(x) có ðạo hàm ðến cấp n+1 trong một khoảng chứa xo và x thì ta có công thức Taylor sau ðây : trong ðó c là một số nằm giữa xo và x Trong công thức trên ta gọi: là phần dý Lagrange trong công thức Taylor Chú ý: 1) Số c trong công thức Taylor còn ðýợc viết dýới dạng: Sýu tầm by hoangly85
  28. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 c = xo +  (x- xo) với 0 0. Khai triển hàm y=sin x Ta có , nên: Sýu tầm by hoangly85
  29. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Vậy: Với 0 -1 với 0 <  < 1 Sýu tầm by hoangly85
  30. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Khai triển và với 0< <1 Khai triển arctg x Sýu tầm by hoangly85
  31. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 BÀI TẬP CHÝ'NG 2 1. Tính ðạo hàm của 2. Tính gần ðúng chính xác ðến 0,0001 3.Dùng công thức gần ðúng: ðể tính ln (1,5) và ðánh giá sai số. 4. Tìm giới hạn của các hàm số sau ðây khi x 0: 5. Tìm giới hạn của các hàm số sau ðây khi x : Sýu tầm by hoangly85
  32. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 6. Áp dụng ðịnh lý Lagrange ðể chứng minh. Với x (0,1) Với x>0 7. Khảo sát và vẽ ðồ thị các hàm số : 8. Viết công thức khai triển Taylor của hàm số f(x) tại xo ðến cấp n 9. Tìm hiện của các ðýờng cong theo hàm số : Sýu tầm by hoangly85
  33. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 10. Phân tích 8 thành tổng của 2 số dýõng sao cho tổng lập phýõng của 2 số ðó lớn nhất . Sýu tầm by hoangly85
  34. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Bài 3 Ứng dụng của ðạo hàm VII .ỨNG DỤNG:TÍNH XẤP XỈ VÀ TÍNH GIỚI HẠN 1.Tính gần ðúng (hay tính xấp xỉ ) và tính giới hạn Ta thýờng dùng khai triển Taylor và khai triển Maclaurin ðể tính xấp xỉ giá trị của hàm f(x) sau khi chọn n ðủ lớn ðể phần dý Rn(x) có giá trị tuyệt ðối không výợt quá sai số cho phép. Ví dụ: Tính số e chính xác ðến 0,00001. Trong công thức khai triển Maclaurin của hàm số ex : Với 0 <  < 1 ta lấy x=1 và n=8 thì phần dý R8 thỏa: Vậy ta có thể tính e chính xác ðến 0,00001 bằng công thức xấp xỉ sau Ta còn có thể dùng khai triển Maclaurin ðể tính giới hạn có dạng vô ðịnh nhý trong ví dụ sau ðây : Ví dụ: 1) Tìm Ta có: Sử dụng khai triển Maclaurin của sinx ðến cấp 4, ta có thể viết sinx dýới dạng: Với Sýu tầm by hoangly85
  35. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Suy ra Khi x 0 Vậy: 2) Tìm Áp dụng khai triển Maclaurin của các hàm sinx và cosx ta có : trong ðó Khi x 0 Vậy 2. Quy tắc L’ ospitale Sýu tầm by hoangly85
  36. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Nhờ ðịnh lý Cauchy, ngýời ta ðã chứng minh ðýợc các ðịnh lý dýới ðây mà ta gọi là quy tắc L’ ospitale. Quy tắc này rất thuận lợi ðể tìm giới hạn của các dạng vô ðịnh và ịnh lý: (Quy tắc L’ ospitale 1) Giả sử f(x) và g(x) có ðạo hàm trong khoảng (a,b) và g’ 0 trong khoảng ðó. Khi ấy, nếu: thì ịnh lý vẫn ðúng khi thay cho quá trình x a+, ta xét quá trình x b- hoặc x c với c (a,b). Trýờng hợp a= - , b= + ðịnh lý vẫn ðúng. ịnh lý: (Quy tắc L’ ospitale 2) Giả sử f(x) và g(x) có ðạo hàm trong (a,b) và g’x) 0 trong khoảng ðó. Khi ấy nếu : (i) f(x) và g (x) là các VLC khi x -> a+ ,và (hữu hạn hoặc vô tận) thì ịnh lý cũng ðúng cho các quá trình x b-, x c (a,b) và cho các trýờng hợp a = - và b = + Chú ý: 1) Khi xét trong quy tắc l’ ospitale, nếu thấy vẫn có dạng vô ðịnh hoặc thì ta lại có thể áp dụng tiếp quy tắc l’ ospitale Sýu tầm by hoangly85
  37. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 2) Quy rắc l’ ospitale chỉ là ðiều kiện ðủ ðể có giới hạn của không phải là ðiều kiện cần. Do ðó, nếu không tồn tại giới hạn của thì ta chýa có kết luận gì về giới hạn của Ví dụ: 1) Tìm ặt và g(x) = x - sin x Xét qúa trình x 0 ta có: có dạng vô ðịnh cũng có dạng vô ðịnh cũng có dạng vô Vậy sau 3 lần áp dụng quy tắc l’ ospitale ta suy ra: ðịnh 2) Sýu tầm by hoangly85
  38. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 3) Tìm Giới hạn này có dạng vô ðịnh - . Ta có thể biến ðổi giới hạn về dạng vô ðịnh ðể áp dụng quy tắc l’ ospitale nhý sau: 4) Tìm Giới hạn này có dạng vô ðịnh . Ta biến ðổi nhý sau: Ta có: Suy ra VIII. ỨNG DỤNG :KHẢO SÁT HÀM SỐ 1. Chiều biến thiên và cực trị ðịa phýõng ịnh lý: Sýu tầm by hoangly85
  39. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 iều kiện cần và ðủ ðể f(x) hằng trên khoảng (a,b) là f’x) = 0 với mọi x (a,b) ịnh lý: Giả sử f có ðạo hàm trên khoảng (a,b) . Khi ðó ðiều kiện cần và ðủ ðể hàm số tãng trên (a,b) là f(x) 0 với mọi x (a,b). Týõng tự , ðiều kiện cần và ðủ ðể hàm số f(x) giảm trên (a,b) là f'(x) 0. Từ ðịnh lý này, ðể xét sự biến thiên của hàm số f(x) ta tính ðạo hàm f'(x)và xét dấu ðạo hàm. Việc xét dấu ðạo hàm cũng cho ta biết cực trị ðịa phýõng của hàm số theo ðịnh lý sau ðây: ịnh lý: ( ðiều kiện ðủ ðể có cực trị ðịa phýõng) Giả sử f(x) liên tục tại xo và có ðạo hàm trong một khoảng quanh xo (có thể trừ ðiểm xo). Khi ðó ta có: (i) Nếu khi x výợt qua xo mà f’x) ðổi dấu từ –sang + thì f(x) ðạt cực tiểu ðịa phýõng tại xo (ii) Nếu khi x výợt qua xo mà f'(x) ðổi dấu từ + sang –thì f(x) ðạt cực ðại ðịa phýõng tại xo (iii) Nếu khi x výợt qua xo mà f'(x) không ðổi dấu thì không có cực trị ðịa phýõng tại xo Ngoài cách khảo sát cực trị ðiạ phýõng bằng việc xét dấu ðạo hàm cấp 1 f'(x), ta còn có thể xét dấu của ðạo hàm cấp 2 f''(x) tại ðiểm xo, nhờ vào ðịnh lý sau : ịnh lý : Giả sử f(x) có ðạo hàm cấp 2 liên tục f''(xo) và f'(xo)=0. Khi ðó: (i) Nếu f''(xo) > 0 thì f(x) ðạt cực tiểu ðịa phýõng tại xo (ii) Nếu f''(xo) 0 thì f(x) ðạt cực tiểu tại xo nếu f(n)(xo) < 0 thì f(x) ðạt cực ðại tại xo (ii) Nếu n lẻ thì f(x) không ðạt cực trị tại xo Sýu tầm by hoangly85
  40. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Một vấn ðề có liên quan ðến cực trị là tìm gía trị nhỏ nhất và gía trị lớn nhất của một hàm số f(x) liên tục trên ðoạn [a,b]. ể tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của f(x) trên ðoạn [a,b] ta chỉ cần so sánh các gía trị của f tại 3 loại ðiểm : (1) Các ðiểm dừng ( tức là f' tại ðó bằng 0) (2) Các ðiểm kỳ dị ( tức là f' không tồn tại ở ðó) (3) Hai ðầu nút a và b. Ví dụ: 1) Tìm các khoảng tãng giảm của hàm số và tìm cực trị ðịa phýõng: Ta có: y’= 0 tại tại x = 1 và y’không xác ðịnh tại x = 0 Bảng xét dấu của ý nhý sau: Vậy hàm số giảm trong khoảng(- ,1) và tãng trong (1,+ ). Hàm số y ðạt cực tiểu tại x=1. Với y(1) = -3. 2) Tìm giá trị nhỏ nhất cuả hàm số. với Ta có: Sýu tầm by hoangly85
  41. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Nhận xét rằng trên khoảng thì và . Do tãng ngặt từ – lên 1 trong tính liên tục của nghiêm nên có duy nhất sao cho: Khi ðó ta có bảng xét dấu của L’ )nhý sau: Suy ra gía trị nhỏ nhất của L( ) trên khoảng là: 2.Tính lồi, lõm và ðiểm uốn ịnh nghĩa: Hàm số f (x) liên tục trên khoảng (a,b) ðýợc gọi là lồi trên (a,b) nếu với mọi x1 , x2 (a,b) và mọi x1 ,x2 (a,b) và mọi [0,1] ta có: Hàm số f(x) ðýợc gọi là lõm trên (a,b) nếu – (x) là lồi trên (a,b). Sýu tầm by hoangly85
  42. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Hàm số f(x) là lồi Hàm số f(x) là lõm Về mặt hình học, hàm số f(x) là lồi trên 1 khoảng nghĩa là mọi cung AB của ðồ thị hàm số ðều nằm dýới dây cung AB. Lýu ý: Trong một số giáo trình khác, ngýời ta có thể dùng thuật ngữ lồi và lõm theo nghĩa ngýợc với ở ðây. ịnh nghĩa ðiểm uốn: iểm phân cách giữa khoảng lồi và khoảng lõm của hàm số y=f(x) ðýợc gọi là ðiểm uốn. ịnh lý dýới ðây cho ta cách dùng ðạo hàm ðể khảo sát tính lồi, lõm và tìm ðiểm uốn. ịnh lý: (i) Giả sử f(x) có ðạo hàm cấp 2 f’(x) trong khoảng (a,b). Khi ðó hàm số f là lồi (týõng ứng lõm) trên khoảng (a,b) nếu và chỉ nếu f’(x) 0 (týõng ứng, f’(x) 0) trên (a,b). (ii) Nếu f’(x) ðổi dấu khi x výợt qua xo thì ðiểm (xo,f(xo)) trên ðồ thị của hàm số f(x) là một ðiểm uốn. Ví dụ: Xét tính lồi, lõm và tìm ðiểm uốn cho hàm số : Miền xác ðịnh của hàm số là D = R \ {-1, +1}. Tính ðạo hàm : Sýu tầm by hoangly85
  43. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Bảng xét dấu của y’ : Vậy hàm số y lõm trên các khoảng (- , -1) và (-1,0); lồi trên các khoảng (0,1) và (1,+ ). Từ ðó, ðồ thị hàm số có 1 ðiểm uốn là M(0,0). 3. Sõ ðồ khảo sát hàm số 1) Tìm miền xác ðịnh của hàm số y =f(x) ðồng thời nhận xét về tính chẳn lẻ, tính tuần hoàn cuả hàm số ðể rút gọn miền khảo sát. 2) Khảo sát sự biến thiên của hàm số và tìm các cực trị ðịa phýõng. Tính một số giới hạn quan trọng và lập bảng biến thiên của hàm số. 3) Khảo sát tính lồi lõm và ðiểm uốn. 4) Tìm các ðýờng tiệm cận. 5) Vẽ ðồ thị. ể vẽ ðýợc ðồ thị chính xác ta cần xác ðịnh các ðiểm cực trị , ðiểm uốn, giao ðiểm với các trục toạ ðộ và có thể xác ðịnh cả tiếp tuyến tại các ðiểm ðó. Chú ý: Cần lýu ý các trýờng hợp sau ðây khi tìm tiện cận . Thì ðýờng thẳng x = a là tiệm cận ðứng Thì ðýờng thẳng y = b là một tiệm cận ngang Nếu y = f(x) có dạng f(x) = ax + b + x Với Thì ðýờng thẳng y = ax + b là một tiện cận Trong trýờng hợp a 0, ta nói tiệm cận này là tiệm cận xiên . Lýu ý rằng các hệ số a,b cuả tiệm cận y = ax + b khi xét x (+ hay - ) có thể ðýợc tính bởi: Sýu tầm by hoangly85
  44. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Ví dụ : Khảo sát và vẽ ðồ thị hàm số Miền xác ðịnh : D = R \ {-1,+1}. Hàm số y là hàm số lẻ. Các ðạo hàm: Ta có y’cùng dấu với 1-x2 và: y’ cùng dấu với 2x và y’ triệt tiêu tại x = 0 Bảng biến thiên: Tiện cận ngang : y = 0 Tiện cận ðứng : x = 1 ; x = -1 ồ thị của hàm số nhý sau : Sýu tầm by hoangly85
  45. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 IX. ÝỜNG CONG THEO THAM SỐ VÀ ÝỜNG CONG TRONG TOẠ Ộ CỰC 1 . ýờng cong theo tham số Phýõng trình tham số của ðýờng cong trong mặt phẳng Oxy cho bởi hệ 2 hàm: Trong ðó t là tham số chạy trên một tập D R. Khi t thay ðổi ðiểm M( x(t),y(t) ) vạch nên một ðýờng cong trong mặt phẳng Oxy. Ví dụ: ellipse có phýõng trình tham số là: 9; ể khảo sát ðýờng cong theo tham số ta cũng tiến hành tiến các býớc nhý ðối với hàm số y = f(x). Tìm miền xác ðịnh , xét tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn nếu có. Khảo sát sự biến thiên của x và y bằng cách xét dấu các ðạo hàm x’ t) và y’t) theo t. Tìm các tiệm cận Vẽ ðồ thị 2. ýờng cong trong tọa ðộ cực Tọa ðộ cực: ể xác ðịnh vị trí của các ðiểm trong mặt phẳng, ngoài cách dùng tọa ðộ Descartes(x,y) ta còn có thể dùng tọa ðộ cực nhý sau : Sýu tầm by hoangly85
  46. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 r =  OM 0 Ta có sự liên hệ giữa (x,y) và (r, ) 9; Và 9; Phýõng trình của ðýờng cong trong tọa ðộ cực có thể ðýợc cho bởi hệ thức F(r, ) = 0 Hay r = f( ) Ví dụ: Phýõng trình r = a là phýõng trình ðýờng tròn tâm 0, và bán kính a. Phýõng trình là phýõng trình của nửa ðýờng thẳng (hay tia) lập với Ox một góc ể khảo sát ðýờng cong trong tọa ðộ cực ta cũng có thể thực hiện các býớc nhý thông thýờng. Sýu tầm by hoangly85
  47. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Bài 4 Nguyên hàm và tích phân bất ðịnh I. ỊNH NGHĨA & TÍNH CHẤT 1. ịnh nghĩa Ta gọi một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a,b) là một hàm F(x) mà F’x)= f(x) , x (a,b) Ví dụ: 1) là một nguyên hàm của f(x) = x trên R 2) F(x) = tgx là một nguyên hàm của hàm f(x) = 1 + tg2x trên các khoảng xác ðịnh của tgx. ịnh lý: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a,b) thì mọi nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a,b) ðều có dạng F(x) + C với C là một hằng số. ịnh nghĩa: Nếu F(x ) là một nguyên hàm f(x) thì biểu thức F(x) + C, trong ðó C là hằng số có thể lấy giá trị tùy ý, ðýợc gọi là tích phân bất ðịnh của hàm số f(x), ký hiệu là Vậy: Dấu ðýợc gọi là dấu tích phân, f(x) là hàm dýới dấu tích phân, f(x)dx là biểu thức dýới dấu tích phân và x là biến tích phân. 2.Các tính chất (1) (2) (3)3.Bảng các tích phân cõ bản 1) Sýu tầm by hoangly85
  48. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 2) ( -1 ) 3) 4) ( a > 0, a 1) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) (h là hằng số tùy ý) Ví dụ 1: Tính: Sýu tầm by hoangly85
  49. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Ví dụ 2: Tính: II. PHÝ'NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1.Phýõng pháp phân tích Tích phân f (x) dx có thể ðýợc tính bằng cách phân tích hàm số f(x) thành tổng của các hàm ðõn giản hõn hay dễ tính tích phân hõn : f(x) = f1(x) + f2(x) + +fn (x) Và áp dụng công thức : Ví dụ: 1) 2) 3) Tính Sýu tầm by hoangly85
  50. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Với n 2: Nhờ hệ thức này ta có thể tính In với n tùy ý. 2. Phýõng pháp ðổi biến Phýõng pháp ðổi biến trong tích phân bất ðịnh có 2 dạng sau ðây : Dạng 1: Giả sử biểu thức dýới dấu tích phân có dạng: F(u(x)) . u’x)dx Trong ðó u(x) là một hàm số khả vi. Khi ấy ta có thể ðổi biến bằng cách ðặt u=u(x),và có: Dạng 2: ặt x = (+) , trong ðó (t) là một hàm khả vi, ðõn ðiệu ðối với biến t, ta có : Ví dụ: Sýu tầm by hoangly85
  51. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 1) Tính: ặt: u = x2 + 1, du = 2xdx 2) , với u = sinx 3) Tính: ặt u = x2, du = 2xdx hay xdx = 4) Tính ặt u = ex. Ta có : du = exdx, và: Sýu tầm by hoangly85
  52. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 5) Tính ặt u = cos2x Ta có: du = -2cos x sinx dx = -sin 2xdx Suy ra: 6) Tính ặt: x = sint ; t = arcsin x, ( -1 x 1) Ta có: dx = cost dt Suy ra Sýu tầm by hoangly85
  53. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Mà và t = arcsin x Nên: 3.Phýõng pháp tích phân từng phần Giả sử u = u(x) và v = v(x) là các hàm số có ðạo hàm liên tục u’ u’x) và v’ v’x) : Ta biết: (u.v)’ u’ +u.v’ hay u.v’ (uv)’v.u’ Từ ðó suy ra công thức: Công thức này ðýợc gọi là công thức tích phân từng phần , và còn ðýợc viết dýới dạng : Công thức tích phân từng phần thýờng ðýợc áp dụng trong trýờng hợp hàm dýới dấu tích phân có dạng f(x) = u.v’mà hàm g = v.u’có tích phân dễ tính hõn. Trong một số bài toán, sau khi áp dụng công thức tích phân từng phần ở vế phải lại xuất hiện tích phân ðã cho ban ðầu với hệ số khác, tức là : Khi ðó ta tính ðýợc : Ví dụ: 1)Tính Sýu tầm by hoangly85
  54. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 ặt u = ln x v’ x Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có : 2) Tính ặt u = arctg x v’ x , Ta có : Suy ra : 3) Tính ặt u = sinx u’= cos x Sýu tầm by hoangly85
  55. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 v’ ex ; v = ex ể tính: ta ðặt: u1 = cos x u’= -sinx v’= ex v1 = ex Suy ra: Vậy: Suy ra: 4) Tính (a > 0) ặt v’= 1 v = x Suy ra: Ta có: Sýu tầm by hoangly85
  56. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Do ðó: Suy ra Vậy: 5) Tính ặt ; v’ 1 v = x Suy ra : Ta có: Suy ra: Sýu tầm by hoangly85
  57. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 6) Tìm công thức truy hồi ðể tính tích phân (a>0) Ta có: Với n 1, ðặt: v’= 1 v = x Suy ra: Ta có: Suy ra: Vậy: BÀI TẬP CHÝ'NG 3 1. Tính các tích phân: Sýu tầm by hoangly85
  58. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 2.Tính các tích phân: 3.Tính tích phân bằng phýõng pháp tích phân toàn phần: 4.Tính tích phân hàm hữu tỉ. 5. Tính tích phân hàm lýợng giác. 6. Tính tích phân hàm vô tỉ. 7. Tính các tích phân sau: Sýu tầm by hoangly85
  59. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 8. Tính tích phân: 9. Lập công thức truy hồi và tính tích phân: và tính I4 và tính I6, I7 10. Tính tích phân: Sýu tầm by hoangly85
  60. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Bài 5 Tích phân hàm hữu tỉ và hàm lýợng giác III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ Cho tích phân trong ðó là một phân thức hữu tỉ tối giản theo x. Nếu bậc của P(x) bậc của Q(x) thì bằng cách chia ða thức P(x) cho Q(x) ta viết ðýợc: P(x) = Q(x) . S(x) + R(x), với bậc R(x) < bậc Q(x) Do ðó: Vì S(x) là một ða thức theo x nên có thể tính ðýợc một cách dễ dàng. Nhý vậy ta chỉ cần tìm cách tính với bậc của R(x) < bậc của Q(x). Tích phân có thể ðýợc tính bằng cách phân tích phân thức hữu tỉ thành tổng của các phân thức hữu tỉ ðõn giản hõn dựa vào 2 mệnh ðề sau ðây. Mệnh ðề 1: Mọi ða thức Q(x) với hệ số thực ðều có thể phân tích thành tích của các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc 2 không có nghiệm thực : Trong ðó các tam thức x2+ px + q , ., x2 + p’ + q’không có nghiệm thực Mệnh ðề 2: Giả sử phân thức hữu tỉ có bậc của P(x)<bậc của Q(x) và Q(x) có dạng Trong ðó các tam thức (x2 + px + q), .,(x2 + p’ + q’ không có nghiệm thực. Khi ấy phân thức hữu tỉ có thể phân tích thành tổng của các phân thức ðõn giản hõn nhý sau: Sýu tầm by hoangly85
  61. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Trong ðó các hệ số A1, , Am, B1, ., Bk, M1, N1, ., Ml, Nl, , R1, S1, ,Rl’Sl’là các hằng số, và ta có thể tính ðýợc các hằng số này bằng phýõng pháp hệ số bất ðịnh, phýõng pháp trị riêng hay phýõng pháp phân tích từng býớc. (Các phýõng pháp này sẽ ðýợc minh họa qua các ví dụ bên dýới). Nhý vậy việc tính tích phân ðýợc ðýa về việc tính 2 loại tích phân sau : Và: với p2 - 4q < 0 ( Tức là x2 + px + q không có nghiệm thực). ể tính I1 ta chỉ cần ðặt u = x –a ể tính I2 ta có thể phân tích I2 dýới dạng: Tích phân ðýợc tính dễ dàng bằng cách ðặt: u = x2 + px + ối q. . Ta biến ðổi x2 + px + q = (x-b)2 + c2 và ðặt u = x –b với ðýa ðể mà ta ðã biết cách tính trong ví dụ 6 ), Mục II.3. về dạng: Ví dụ : Sýu tầm by hoangly85
  62. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 1) Tính x5 - x2 = x2(x3 –1) = x2 (x –1) (x2 + x + 1) Do ðó: Nhân 2 vế cho x5 –x2 ta ðýợc: Thay x = 0, rồi x = 1 vào ta ðýợc :1 = -B và 1 = 3c B=-1; C = ồng nhất các hệ số của x4, x3, x2 ở 2 vế của ðẳng thức trên (ðúng với mọi x) ta ðýợc: Thay B= -1 và C= vào, rồi giải hệ này sẽ ðýợc: Vậy: Ta có: Sýu tầm by hoangly85
  63. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Suy ra: 2) Tính Phân tích phân thức ta ðýợc: Ta có : Theo công thức truy hồi trong ví dụ 6) mục II,3, ta có Sýu tầm by hoangly85
  64. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Vậy 3) Tính Trýớc hết ta ðổi biến ðể ðõn giản hóa tính phân trên bằng cách ðặt u = x2 ,du = 2xdx IV. TÍCH PHÂN HÀM LÝỢNG GIÁC Xét tích phân I = R(sinx, cosx)dx, trong ðó R(u, v) là hàm hữu tỉ ðối với u và v. ể tính tích phân này ta có thể dùng các phýõng pháp ðổi biến sau : 1. Phýõng pháp chung ặt Sýu tầm by hoangly85
  65. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 hay Ta có: Suy ra: Tích phân này có dạng tích phân của phân thức hữu tỉ ðã xét trong mục III. Ví dụ: 1) Tính: ặt: #9; Suy ra: 2) Tính: ặt: 9; Suy ra: Sýu tầm by hoangly85
  66. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Phân tích phân thức hữu tỉ ta ðýợc: 2. Một số trýờng hợp ðặc biệt (1) Nếu R(-sinx, -cosx) = R(sinx,cosx) thì ðặt u=tgxhoặc u=cotgx (2) Nếu R(sinx, -cosx) = -R(sinx,cosx) thì ðặt u = sinx. (3) Nếu R(-sinx, cosx) = -R(sinx,cosx) thì ðặt u = cosx (4) Tích phân dạng sinmx cosnx dx với m và n là các số chẵn dýõng.Ta có thể ðổi biến bằng cách dùng công thức : Ví dụ : Sýu tầm by hoangly85
  67. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 1) Tính: ặt Suy ra: 2) Tính: ặt u = sinx du = cosx dx Suy ra: 3) Tính: ặt u = cosx du = -sinx dx. Sýu tầm by hoangly85
  68. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 4) Tính: Ta có: Suy ra: Chú ý: ối với các tích phân dạng ta dùng các công thức biến ðổi tích thành tổng: Sýu tầm by hoangly85
  69. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 V. TÍCH PHÂNHÀM HỮU TỈ ỐI VỚI X VÀ Xét tích phân , trong ðó R(u,v) là hàm hữu tỉ ðối với u và v và a2x + bx + c là một tam thức bậc 2 không có nghiệm kép. 1. Phýõng pháp tổng quát Tùy theo dấu của hệ số a ta ðýa tam thức a2x + bx + c về dạng tổng hay hiệu hai bình phýõng . Khi ðó tích phân I có một trong ba dạng sau: (a) ặt: với (b) ặt: , (c) ặt: Ví dụ : 1) Biến ðổi : x2 + 2x = (x+1)2 - 1 Sýu tầm by hoangly85
  70. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Xét trýờng hợp x+1 1 ặt Ta có: Do ðó: Mà: Trýờng hợp x + 1 < -1 ; công thức (*) ở trên vẫn ðúng vì ðạo hàm của hàm số ở vế phải (*) luôn bằng: 2) ặt Ta có dx = ( 1 + tg2 t) dt Sýu tầm by hoangly85
  71. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 ặt u = sin x du = cost dt. Khi ðó: Mà sint và tgt cùng dấu với 2.Tích phân dạng ể tính tích phân dạng này ta có thể ðặt : 3. Tích phân dạng ể tính các tích phân dạng ta biến ðổi tam thức ax2 + bx + c thành tổng hoặc hiệu của hai bình phýõng rồi ðổi biến ðể ðýa về các dạng tích phân ðã biết sau ðây: Sýu tầm by hoangly85
  72. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Ví dụ : Tính các tích phân: 1) Biến ðổi: x2 - 4x + 5 = (x-2)2 + 1 ặt u = x –2 du = dx Ta có : 2) Biến ðổi: 3 –4x –4x2 = 4 –(2x+1)2 ặt u = 2x + 1 du = 2dx Ta có: Sýu tầm by hoangly85
  73. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 BÀI TẬP CHÝ'NG 3 1. Tính các tích phân: 2.Tính các tích phân: 3.Tính tích phân bằng phýõng pháp tích phân toàn phần: 4.Tính tích phân hàm hữu tỉ. 5. Tính tích phân hàm lýợng giác. 6. Tính tích phân hàm vô tỉ. Sýu tầm by hoangly85
  74. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 7. Tính các tích phân sau: 8. Tính tích phân: 9. Lập công thức truy hồi và tính tích phân: và tính I4 và tính I6, I7 10. Tính tích phân: Sýu tầm by hoangly85
  75. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Bài 6 Một số dạng tích phân khác VI. MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN KHÁC 1. Tích phân dạng Trong ðó R là một hàm hữu tỉ và m, ,k là các số nguyên dýõng; a, b, c, d là các hằng số ể tính tích phân này ta gọi x là một bội số chung nhỏ nhất của m, ,k và ðặt: Từ ðó, tích phân sẽ ðýợc chuyển về dạng: Trong ðó R1 là một hàm hữu tỉ ðối với u Ví dụ: Tính ặt Ta có: Sýu tầm by hoangly85
  76. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 2. Tích phân hàm hữu tỉ ðối với eax Trong ðó R là một hàm hữu tỉ ðối và a 0 ể tính phân tích này ta ðặt : u = eax Khi ðó dx = và: Có dạng tích phân hàm hữu tỉ. Ví dụ: ặt: u = ex du = exdx 3.Các tích phân có dạng: Sýu tầm by hoangly85
  77. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Trong ðó p(x) là một ða thức theo biến x. ể tính các tích phân này ta dùng phýõng pháp tích phân toàn phần bằng cách ðặt : u = p(x) Ví dụ: ặt: Suy ra 4.Các tích phân có dạng : ể tính các tích phân này ta dùng phýõng pháp tích phân toàn phần bằng cách ðặt: dv= p (x) dx Ví dụ: Tính xarctgxdx ặt u = arctgx du= xdx , Suy ra Ta có Sýu tầm by hoangly85
  78. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Vậy: VII. MỘT SỐ TÍCH PHÂN KHÔNG BIỂU DIỄN ÝỢC DÝỚI DẠNG HÀM S' CẤP Nếu hàm số f(x) liên tục trên (a,b) thì f (x) luôn luôn có nguyên hàm trên khoảng ðó , tức là tích phân f(x) dv tồn tại . Tuy nhiên có một số tích phân không thể biểu diễn dýới dạng hàm sõ cấp , chẳng hạn các tích phân nhý sau ðây: Sýu tầm by hoangly85
  79. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Bài 7 Tích phân xác ðịnh I. ỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT 1. ịnh nghĩa Cho hàm f(x) trên ðoạn [a.b]. Chia ðoạn [a.b] một cách tùy ý thành n ðoạn nhỏ bởi các ðiểm a = xo b , ta ðịnh nghĩa : Sýu tầm by hoangly85
  80. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 (iii) Trýờng hợp a = b, ðịnh nghĩa (iv) Từ ðịnh nghĩa, ta thấy ngay hàm f(x) bị chặn trên [a,b] nếu f(x) khả tích trên [a,b]. Ý nghĩa hình học: Nếu f(x) 0 trên [a,b] và f(x) khả tích trên [a,b] thì chính là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi các ðýờng : x = a; x = b; y = f(x) và trục hoành y=0. 2.Các tính chất (1) (2) (3) Nếu Hệ quả: (4) Với c [a,b] ta có: (5) Giả sử f(x) khả tích trên [-a, a]. Khi ðó: Sýu tầm by hoangly85
  81. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 nếu f(x) là hàm số chẵn nếu f (x) là hàm số lẻ 3.Tổng Darboux & ðiều kiện khả tích Do hàm khả tích thì bị chặn nên ta chỉ xét các hàm bị chặn trên [a, b]. Mỗi phép chia nhỏ ðoạn [a,b] bởi các ðiểm a = xo < x1 < < xn ðýợc gọi là một phân hoạch của[a,b] , ký hiệu P = { xo, x1 . xn }. ặt: (cận trên ðúng cuả f(x) trên [ xi-1, xi ] ) (cận dýới ðúng cuả f(x) trên [ xi-1, xi ] ) Ta gọi U(f,P) và L(f,P) là các tổng (Darboux) trên và dýới của f ứng với phân hoạch P. Ngýời ta ðã chứng minh ðýợc một ðiều kiện khả tích ðýợc phát biểu trong ðịnh lý sau ðây : ịnh lý 1: iều kiện cần và ðủ ðể f khả tích là: Từ ðịnh lý này ta có thể chứng minh một số lớp hàm khả tích ðýợc phát biểu trong các ðịnh lý dýới ðây. ịnh lý 2: Hàm f(x) liên tục trên [a,b] thì khả tích trên [a,b]. ịnh nghĩa: Nếu hàm số f(x) xác ðịnh tại xo và không liên tục tại xo nhýng có giới hạn 2 phía tại xo thì ta nói xo là ðiểm gián ðoạn loại 1 tại xo. ịnh lý 3: Nếu f chỉ có hữu hạn ðiểm gián ðoạn loại 1 trên [a,b] thì f khả tích trên [a,b]. Sýu tầm by hoangly85
  82. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 ịnh lý 4: Hàm bị chặn và ðõn ðiệu trên [a,b] thì khả tích trên [a,b]. II- LIÊN HỆ GIỮA TÍCH PHÂN XÁC ỊNH VÀ NGUYÊN HÀM 1.Tích phân xác ðịnh nhý hàm của cận trên Cho f là một hàm khả tích trên [a ,b ]với x [ a , b ], Xác ðịnh và là một hàm số theo biến x. Hàm số này ðã ðýợc chứng minh là có những tính chất phát biểu trong mệnh ðề sau ðây: Mệnh ðề: (i) Nếu f khả tích trên [a,b] thì F(x)= là hàm liên tục trên [a,b]. (ii) Nếu f(t) liên tục tại t = xo (a,b), thì F(x) có ðạo hàm tại xo và F’xo)=f(xo). Nhận xét : Nếu f liên tục trên [a,b] thì hàm số là nguyên hàm của f trên [a,b]. 2. ịnh lý cõ bản ịnh lý : Giả sử f liên tục trên [ a,b]. Khi ðó : (i) là một nguyên hàm của f(x) trên [a,b]. (ii) Nếu G(x) là một nguyên hàm bất kỳ của f(x) trên [a,b] thì: (Công thức này ðýợc gọi là công thức Newton-Leibnitz) Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh phần (ii). Do F(x) và G(x) là các nguyên hàm của f(x) trên [a,b] nên ta có hằng số C sao cho F(x) = G(x) + C,  x [a,b]. Cho x = a ta ðýợc 0 = G(a) + C, suy ra: G(a) = - C Vậy F(b) = G(b) - G(a), tức là: Sýu tầm by hoangly85
  83. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Hiệu số G(b) - G(a) trong công thức Newton-Leibnitz của ðịnh lý trên thýờng ðýợc viết dýới các ký hiệu sau: , hay vắn tắt là hay vắn tắt là Ví dụ:Tính tích phân xác ðịnh : 1) 2)   3) Sýu tầm by hoangly85
  84. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 BÀI TẬP CHÝ'NG 4 1.Tính các tích phân : 2/ Tính các tích phân : 3. Tính tích phân suy rộng: 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ðýờng 5. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi: Sýu tầm by hoangly85
  85. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 6. Một hình cầu bán kính R và một nón tròn xoay có bán kính ðáy r và ðýờng cao h > R sao cho ðỉnh nón trùng với tâm cầu. Tìm thể tích phần giao của hai hình. 7. Tính ðộ dài ðýờng cong: 8. tính diện tích mặt tròn xoay: Sýu tầm by hoangly85
  86. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Bài 8 Phýõng pháp tính tích phân xác ðịnh III- ỔI BIẾN VÀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ỐI VỚI TÍCH PHÂN XÁC ỊNH Týõng tự nhý ðối với tích phân bất ðịnh, trong tích phân xác ðịnh ta cũng có thể ðổi biến hoặc dùng phýõng pháp tích phân từng phần. 1.Phýõng pháp ðổi biến Dạng 1: ặt x = (t) thỏa các ðiều kiện: a) (t) và ’t) liên tục trên [ ,  ] b) ( ) =a và ( ) = b c) Khi t biến thiên trong [ ,  ] thì x biến thiên trong [a.,b] Khi ðó: Dạng 2: Giả sử hàm u = u(x) khả vi liên tục trên [ a,b ] và hàm số g liên tục trên miền giá trị của u. Khi ðó: Ví dụ: 1) Tính: ặt u = sinx ta có du = cosx dx và: 2) Sýu tầm by hoangly85
  87. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 ặt 3) ặt Ta có và khi Thì 0 x 1. Vậy: 4) Chứng minh rằng: ặt Ta có du = - du 2. Phýõng pháp tích phân từng phần Sýu tầm by hoangly85
  88. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Giả sử các hàm số u = u(x) và v = v(x) có các ðạo hàm theo biến x: u’= u’x) và v’= v’x) có các ðạo hàm theo biến x: u’= u’x) và v’= v’x) liên tục trên [a,b]. Khi ðó ta có công thức tích phân từng phần sau ðây: Trong ðó : Ví dụ: Tính tích phân xác ðịnh: 1) ặt: Suy ra: 2) ặt: Suy ra: ể tính: ta lại ðặt: Sýu tầm by hoangly85
  89. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Suy ra: Vậy: 3) ặt: ể tính ta lại ðặt: Vậy: Sýu tầm by hoangly85
  90. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Bài 9 Tích phân suy rộng IV. TÍCH PHÂN SUY RỘNG 1. Tích phân suy rộng có cận vô tận ịnh nghĩa: a) Giả sử f(x) xác ðịnh trên [a,+ ] và khả tích trên[a,b] với mọi b [a, ]. Nếu tồn tại giới hạn là hữu hạn hoặc vô cùng thì giới hạn này ðýợc gọi là tích phân suy rộng của f(x) trên [a, ] ký hiệu là Vậy: Khi tích phân suy rộng là hữu hạn thì ta nói là tích phân suy rộng hội tụ, ngýợc lại, nếu tích phân suy rộng không tồn tại hoặc là vô cùng thì ta nói tích phân suy rộng là phân kỳ. b) Hoàn toàn týõng tự, ðối với các hàm số f(x) xác ðịnh trên (- ,a] và khả tích trên [c,a] với mọi c (- ,a] ta ðịnh nghĩa tích phân suy rộng của f(x) trên (- ,a] bởi: c) ối với hàm số f(x) xác ðịnh trên (- ,+ ) ta ðịnh nghĩa tích phân suy rộng bởi: và tích phân này hội tụ khi các tích phân suy rộng: và là hội tụ. Ví dụ: 1)Tính Sýu tầm by hoangly85
  91. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 2) Tính Cho b [o+ ), ta tính bằng phýõng pháp tích phân từng phần. ặt: Suy ra: Vậy Do ðó tích phân suy rộng là phân kỳ 3) Tính Ta có: Suy ra mà (áp dụng quy tắc l' hospitale) Sýu tầm by hoangly85
  92. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Vậy: 4) Xét sự hội tụ của phân tích suy rộng: Tích phân này ðýợc tính theo 3 trýờng hợp của nhý sau: =1 khi b + Vậy là phân kỳ >1 do nên Vậy tích phân hội tụ với >1 <1 Trong trýờng hợp này ta có Suy ra tích phân là phân kỳ 2.Tích phân của hàm số không bị chặn ịnh nghĩa: Giả sử f(x) khả tích trên [a.c],  c [a,b] và không bị chặn tại b (nghĩa là ). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn hay vô cùng) Sýu tầm by hoangly85
  93. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 thì giói hạn này sẽ ðýợc gọi là tích phân suy rộng của f(x) trên [a,b], ký hiệu là: Nếu giới hạn là hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng hội tụ, nếu giới hạn không tồn tại hoặc là vô cùng thì ta nói tích phân suy rộng này là phân kỳ. Vậy: Hoàn toàn týõng tự, nếu hàm số f(x) khả tích trên [c,b] với mọi c (a,b] và f không bị chặn tại a thì ta ðịnh nghĩa tích phân suy rộng của f(x) trên [a.b] bởi: Trýờng hợp f(x) không bị chặn tại một ðiểm c (a,b), ta ðịnh nghĩa tích phân suy rộng của f trên [a,b] bởi: Khi ðó tích phân suy rộng ðýợc xem là hội tụ .Khi cả hai tích phân và ðều hội tụ . Ví dụ: Khảo sát tính hội tụ của các tích phân suy rộng sau và tính giá trị týõng ứng trong trýờng hợp tích phân hội tụ 1) Ta có: ặt: và: Sýu tầm by hoangly85
  94. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Suy ra: 2) Ta có: Xét tích phân suy rộng: Ta có: J1 Phân kỳ và do ðó I2 cũng phân kỳ. 3) Ta có Sýu tầm by hoangly85
  95. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Vậy I3 hội tụ và 4) b > a và là tham số . Với = 1, ta có: Vậy tích phân I4 phân kỳ khi =1 Với 1, ta có: Suy ra: + Nếu 1 thì tích phân I4 phân kỳ . Vì I4 = + 3.Một số tiêu chuẩn hội tụ Trong phần này ta sẽ phát biểu một số tiêu chuẩn hội tụ của tích suy rộng ịnh lý 1: (i) Cho f(x) 0 trên [ a,+ ). Khi ðó tích phân hội tụ khi và chỉ khi có M > 0 sao cho: Sýu tầm by hoangly85
  96. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 (ii) Cho f(x) 0 trên [a,b] và . Khi ðó tích phân hội tụ khi và chỉ khi có M > 0 sao cho: ịnh lý 2: Giả sử f(x) và g(x) không âm và khả tích trên [a,b] với mọi b [a,+ ) và f(x) g(x) với x ðủ lớn. Khi ðó: (i) Nếu hội tụ hộiphân tụ kỳthì Giả sử f(x) và g(x) không âm(ii) Nếuvà khả tích trên [a,b] với mọi b [a, + ) và: phân kỳ thì ịnh lý 3: (i) Nếu l = 0 ta có hội tụ hội tụ, và: Phân kỳ ph ân kỳ (ii) Nếu l = + ta có: hội tụ ,và hội tụ phân kỳ phân kỳ (iii) Nếu l (0 ,+ ) ta có hai tích phân suy rộng và cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ . Sýu tầm by hoangly85
  97. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 ịnh lý 4: Cho f(x) và g(x) không âm và khả tích trên [a,c] với mọi c [a,b) . Giả sử f (x) g(x) ở một lân cận trái của b . Khi ðó ta có: (i) Nếu hội tụ thì hội tụ phân kỳ thì (ii)phân Nếu kỳ Giả sử f(x) và g(x) không âm và khả tích trênịnh lý[a,c] 5: với mọi c [a,b), và: (i) Nếu l= 0 ta có: hội tụ hôi tụ ph phân kỳ ân kỳ (ii) Nếu l=+ ta có: hội tụ hội tụ phân kỳ phân kỳ (iii) Nếu l (0, + ) Thì hai tích phân suy rộng và cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ Ví dụ: 1) Xét sự hội tụ của Với x > 1 ta có: Sýu tầm by hoangly85
  98. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Vì 2/3 < 1 nên phân ky ø Suy ra: cũng là phân kỳ 2) Xét sự hội tụ của Khi x + ta có: mà hội tụ Vậy cũng hội tụ 3) Xét sự hội tụ của Khi x 0, ta có: mà hội tụ nên tích phân suy rộng I cũng hội tụ Sýu tầm by hoangly85
  99. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Bài 10 Ứng dụng của tích phân V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ỊNH 1. Tính diện tích Diện tích hình thang cũng giới hạn bởi các ðýờng y= 0 ,y = f (x) 0 ,x = a , x = b ðýợc tính bởi công thức: Hình thang cong giới hạn bởi các ðýờng : y = f (x), y = g (x), x = a, x = b với f (x) g (x) trên [a ,b ] có diện tích ðýợc tính bởi công thức : Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ðýờng sau: 1) y = -x2 và y = - x - 2 Hoành ðộ giao ðiểm của 2 ðýờng y = - x2 và y = - x - 2 là nghiệm cuả phýõng trình. - x2 = - x - 2 x = - 1 , x = 2 . Trên [-1,2] ta có - x - 2 - x2 nên diện tích cần tính là : 2) và Hai ðýờng cong cắt nhau tại A(-2a, a) và B(2a, a). Sýu tầm by hoangly85
  100. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Hõn nữa ta có trên [-2a,2a]. Suy ra: 2.Tính thể tích Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các ðuờng : y = f(x), trục Ox x = a, x = b quay xung quanh trục Ox ðuợc cho bởi công thức : Týõng tự, thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các ðuờng : x = g(y), trục Oy y = c, y = d quay xung quanh trục Oy ðýợc cho bởi công thức : Ví dụ: Tính thể tích khối tròn xoay 1) Cho miền phẳng giới hạn bởi các ðuờng : , trục Ox , x= 0 , quay xung quanh trục Ox. Ta có : Sýu tầm by hoangly85
  101. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 ð.v.t.t 2) Do miền phẳng giới hạn bởi các ðýờng y2 = x - 4 và x = 0 quay quanh Oy. Ta có tọa ðộ giao ðiểm của ðýờng cong y2 = x –4 với trục Oy là nghiệm của hệ: Suy ra : 3.Tính ðộ dài cung ộ dài cung AB của ðýờng cong y=f(x) với A(a,f(a)), B(b,f(b)) và a<b ðýợc tính theo công thức : Ví dụ: Sýu tầm by hoangly85
  102. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Tính ðộ dài cung của ðýờng cong giữa hai giao ðiểm của ðýờng cong với trục hoành. ýờng cong cắt trục hoành tại 2 ðiểm và . Suy ra ðộ dài cung AB của ðýờng cong là: Lýu ý: (1) Nếu ðýờng cong cho bởi phýõng trình : x = g (y) với c y d thì ðộ dài của ðýờng cong là: (2) Trýờng hợp ðýờng cong có phýõng trình tham số: thì ðộ dài của ðýờng cong ðýợc tính bởi: (3) Trýờng hợp ðýờng cong trong tọa ðộ cực có phýõng trình r = r ( ) ,  thì ta có : (  ) Do ðó ðộ dài ðýờng cong là: Sýu tầm by hoangly85
  103. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 4.Diện tích mặt tròn xoay Cho ðýờng cong y=f(x) , khi ðýờng cong này quay quang trục Ox trong không gian sẽ tạo ra một mặt tròn xoay. Diện tích của mặt tròn xoay này ðýợc tính theo công thức. Ví dụ: Tính diện tích của vòng xuyến sinh bởi ðýờng tròn : quay quanh trục Ox. Diện tích S của vòng xuyến bằng tổng hai diện tích của hai mặt tròn xoay sinh bởi nửa ðýờng tròn trên có phýõng trình và nửa ðýờng tròn dýới có phýõng trình Khi chúng quay quanh trục Ox. Với cả 2 phýõng trình trên ta có : do ðó: Lýu ý : Khi ðýờng cong ðýợc cho bởi phýõng trình tham số Sýu tầm by hoangly85
  104. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 thì diện tích mặt tròn xoay sinh ra bởi ðýờng cong quay quanh Ox ðýợc tính bởi : Nếu ðýờng cong quay quanh Oy thì diện tích mặt tròn xoay là: Sýu tầm by hoangly85
  105. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Bài 11 Chuỗi số và tiêu chuẩn hội tụ I. KHÁI NIỆM CHUỖI SỐ 1. ịnh nghĩa: Cho dãy số thực un với n = 1, 2, 3, . Biểu thức tổng vô hạn ðýợc gọi là một chuỗi số, và un ðýợc gọi là số hạng tổng quát (thứ n) của chuỗi số. Tổng số ðýợc gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số. Nếu dãy các tổng riêng Sn có giới hạn là một số thực S khi n thì chuỗi số ðýợc gọi là hội tụ và S ðýợc gọi là tổng của chuỗi; trong trýờng hợp này ta viết Ngýợc lại, nếu dãy Sn không hội tụ thì chuỗi số ðýợc gọi là phân kỳ. Ví dụ: Xét chuỗi hình học có dạng trong ðó a là số khác 0. Ta có: = khi q 1. Nếu |q| < 1 thì . Suy ra Sýu tầm by hoangly85
  106. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Ta có chuỗi hội tụ và có tổng là Nếu |q| > 1 thì . Suy ra Ta có chuỗi phân kỳ. Trong trýờng hợp |q| = 1, ta dễ thấy rằng chuỗi phân kỳ. Kết luận: chuỗi hình học hội tụ khi và chỉ khi |q| < 1. Khi ðó 2. Các tính chất của chuỗi số: Trong mục này sẽ phát biểu một số tính chất của chuỗi số. Các tính chất này có thể kiểm chứng dễ dàng từ ðịnh nghĩa của chuỗi số. ịnh lý: Tính hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi số sẽ không ðổi khi ta bỏ ði một số hữu hạn số hạng ðầu của chuỗi số. Hệ quả: Tính hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi số sẽ không ðổi nếu ta bỏ ði hay thêm vào một số hữu hạn số hạng ở những vị trí bất kỳ. ịnh lý: Nếu chuỗi số hội tụ và có tổng bằng S thì vớc ta có chuỗi cũng hội tụ và = a S. ịnh lý: Nếu và là các chuỗi số hội tụ thì các chuỗi tổng và chuỗi hiệu sau ðây Sýu tầm by hoangly85
  107. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 và cũng là các chuỗi hội tụ. Hõn nữa: và 3.Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy: ịnh lý: iều kiện cần và ðủ ðể chuỗi số (*) hội tụ là với mọi  > 0 bất kỳ, tồn tại số N (phụ thuộc  ) sao cho với mọi n tùy ý lớn hõn N ðiều kiện sau ðâu ðýợc thỏa mãn: | an + an+1 + . . . + an+p | <  , với mọi p = 0, 1, 2, Từ ðịnh lý trên ta suy ra ðịnh lý về ðiều kiện cần cho sự hội tụ của một chuỗi số sau ðây. ịnh lý: Nếu chuỗi hội tụ thì Vậy chuỗi số phân kỳ nếu un không tiến về 0 khi n . Ví dụ: Chuỗi phân kỳ vì khác 0. Sýu tầm by hoangly85
  108. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Chuỗi phân kỳ vì không tồn tại. II.CHUỖI SỐ DÝ'NG Chuỗi số ðýợc gọi là chuỗi số dýõng nếu tất cả các số hạng của chuỗi số ðều là số dýõng. Trýờng hợp tất cả các số hạng ðều là số không âm thì chuỗi số ðýợc gọi là chuỗi số không âm. Lýu ý rằng khi xét tính hội tụ hay phân kỳ cũng nhý tính tổng của chuỗi số không âm ta có thể loại bỏ ra các số hạng bằng 0, nên chuỗi số không âm cũng thýờng ðýợc gọi là chuỗi số dýõng. Nhận xét rằng dãy các tổng riêng Sn của chuỗi số dýõng là dãy tãng nên chuỗi số hội tụ khi và chỉ khi dãy Sn bị chặn trên. 1.Các tiêu chuẩn so sánh ịnh lý: Giả sử hai chuỗi số dýõng và thỏa ðiều kiện un vn với n khá lớn (nghĩa là ứng với mọi n lớn hõn một số n0 nào ðó). Khi ðó hội tụ thì hội tụ. Nếu phâ ph Nếu n kỳ thì ân kỳ. Nhận xét: Hai chuỗi số dýõng và hội tụ khi và chỉ khi chuỗi hội tụ. Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số Sýu tầm by hoangly85
  109. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Với mọi n = 1, 2, 3, ta có: Vì chuỗi hình học có số hạng tổng quát hội tụ nên theo tiêu chuẩn so sánh phát biểu trong ðịnh lý trên chuỗi số ðýợc hội tụ. và với L là một số thực dýõng thì các chuỗi số cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. thì từ sựsẽ hội kéo theo sự hội tụ của Hệtụ của chuỗi , và từ sự phân kỳ của chuỗi quả: sẽ kéo theo sự phân kỳ của chuỗi Nếu tồn tại giới hạn dýõng Nếu chuỗi thì từ sự hội tụ của chuỗi , sẽ kéo theo sự hội tụ của Nếu và từ sự phân kỳ của chuỗi sẽ kéo theo sự phân kỳ của chuỗi chuỗi Ghi chú: Sýu tầm by hoangly85
  110. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Trong trýờng hợp ta nói un týõng ðýõng với vn (khi n ) và viết là un ~ vn . Vậy: nếu un ~ vn thì các chuỗi số dýõng hoặc cùng phân kỳ. và cùng hội tụ ể áp dụng các tiêu chuẩn so sánh ta phải ghi nhớ tính chất hội tụ hay phân kỳ của một số chuỗi thýờng gặp, chẳng hạn chuỗi hình học. Ở ðây ta công nhận kết quả sau ðây về sự( hội là thamtụ của số): chuỗi Chuỗi hội tụ > 1. Ví dụ: 1) Khảo sát sự hội Kếttụ của quả chuỗi này có số thể ðýợc chứng minh bằng cách áp dụng tiêu chuẩn tích phân Cauchy sẽ ðýợc trình bày sau. Ứng với trýờng hợp = 1 ta có chuỗi phân kỳ. Ta có: . Mà ~ chuỗi phân kỳ chuỗi và là một hằng số khác 0 nên cũng 2) Khảo sát sự hộiphân tụ của kỳ. chuỗi số Khi n , ta có 0 Sýu tầm by hoangly85
  111. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 ~ = chuỗi hội tụ nên theo tiêu chuẩn so ~ Vì chuỗi hình học có sốsánh hạng ta tổng có quát cũng hội tụ. 3) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số Khi n 0. ~ , ta có phân kỳ nên chuỗi cũng phân kỳ. Vì chuỗi 2. Tiêu chuẩn d’ lembert. ịnh lý: (Tiêu chuẩn d’ lembert) Xét chuỗi số dýõng ặt . Ta có: Nếu có một số q n0, Dn q thì chuỗi số hội tụ. Nếu có một số tự nhiên n0 sao cho  n > n0, Dn 1 Sýu tầm by hoangly85
  112. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 thì chuỗi số phân kỳ. Từ ðịnh lý trên ta rút ra hệ quả sau ðây, cũng ðýợc gọi là tiêu chuẩn hội tụ d’ lembert: Hệ quả: Cho chuỗi . Giả sử số dýõng =  . (i) Nếu  1 thì chuỗi số = 1 (*) thì ta chýa Lýu ý: kết luận ðýợc một cách chính xác Trong trýờng hợp chuỗi số hội tụ hay phân dýõng kỳ. Chuỗi là một ví dụ cho trýờng hợp chuỗi số dýõng phân kỳ thỏa mãn ðiều kiện (*), và chuỗi là một ví dụ cho trýờng hợp chuỗi số dýõng hội tụ thỏa mãn ðiều kiện (*). Các khẳng ðịnh (i) và (ii) trong hệ quả trên cũng ðúng cho chuỗi bất kỳ với giả thiết rằng =  . Ví dụ: Sýu tầm by hoangly85
  113. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 1) Xét chuỗi số với x là một số thực cho trýớc. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số. Số hạng thứ n của chuỗi số là . Nhận xét rằng với x = 0 thì các số hạng ðều bằng 0 nên chuỗi hội tụ. Xét trýờng hợp x 0, ta có: Suy ra = 0. Vậy chuỗi hội tụ với mọi x. 2) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số Số hạng thứ n của chuỗi số là . Ta có: = v à S > 1. u phân kỳ. y ra c h u 3. Tiêu chuẩn cãn thức Cauchy. ỗi Sýu tầm by hoangly85
  114. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 ịnh lý: (Tiêu chuẩn cãn thức Cauchy) Xét chuỗi số dýõng ặt Cn = Nếu có một số q n0, Cn q thì chuỗi số hội tụ. Nếu có một số tự nhiên n0 sao cho  n > n0, Cn 1 thì chuỗi số phân kỳ. Từ ðịnh lý trên ta rút ra hệ quả sau ðây, cũng ðýợc gọi là tiêu chuẩn cãn thức Cauchy: Hệ quả: Cho . Giả sử chuỗi số dýõng =  . Nếu  1 thì chuỗi số = 1 (*) thì ta chýa Lýu ý: kết luận ðýợc một cách chính xác Trong trýờng hợp chuỗi hội tụ hay phân số dýõng kỳ. Chuỗi là một ví dụ cho trýờng Sýu tầm by hoangly85
  115. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 hợp chuỗi số dýõng phân kỳ thỏa mãn ðiều kiện (*), và chuỗi là một ví dụ cho trýờng hợp chuỗi số dýõng hội tụ thỏa mãn ðiều kiện (*). Các khẳng ðịnh (i) và (ii) trong hệ quả trên cũng ðúng cho chuỗi bất kỳ với giả thiết rằng =  . Ví dụ: Xét chuỗi số với x là một số thực cho trýớc. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số. Số hạng thứ n của chuỗi số là . Ta có: = 0 khi n Từ tiêu chuẩn Cauchy ta suy ra chuỗi hội tụ với mọi x. Xét sự hội tụ của chuỗi số Số hạng thứ n của chuỗi số là . Ta có: phân kỳ theo = 2 khi n tiêu chuẩn Cauchy. Suy ra chuỗi số 4. Tiêu chuẩn tích phân Cauchy. ịnh lý: (tiêu chuẩn tích phân Sýu tầm by hoangly85 Cauchy)
  116. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Nếu chuỗi số có dạng , nghĩa là với mọi n; trong ðó f là một hàm số liên tục, không âm và giảm trên [1, + ) thì ta có: hội tụ hội tụ Ví dụ: 1) Xét sự hội tụ của chuỗi ðiều hòa mở rộng Trýớc hết ta thấy rằng nếu 0 thì ( 1) không hội tụ về 0 nên chuỗi phân kỳ. Xét trýờng hợp > 0. Dễ thấy rằng các tiêu chuẩn d’ lembert và tiêu chuẩn cãn thức Cauchy ðều không cho ta kết luận ðýợc về tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số. Hàm số f(x) = thỏa các ðiều kiện giả thiết trong tiêu chuẩn tích phân Cauchy. Do tích phân suy rộng hội tụ khi và chỉ khi > 1 nên chuỗi hội tụ khi và chỉ khi >1. Tóm lại ta có: hội tụ > 1. 2) Xét sự hội tụ của chuỗi Số hạng thứ n của chuỗi số là . Ta có: , với Hàm số f(x) thỏa các ðiệu kiện của tiêu chuẩn tích phân Cauchy. Xét tích phân Sýu tầm by hoangly85
  117. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 ổi biến: u = ln(x), thì ðýợc = = + Vậy chuỗi phân kỳ. Sýu tầm by hoangly85
  118. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 BÀI TẬP CHÝ'NG 5 1. Dùng ðịnh nghĩa ðể khảo sát sự hội tụ và tính tổng (nếu có) của chuỗi số: (a ) (b) (d) (c (b) (d) ) (f) 2. K 3. Sử hả dụng o tiêu sá chuẩn t cãn dự thức hộ Cauch i y khảo tụ sát sự củ hội tụ a của cá các c chuỗi ch số sau: uỗ i số . (a )(a (b) ) (c(d) ) (e4. Sử dụng tiêu chuẩn )d’(a lembert khảo sát sự hội) tụ của các chuỗi số (csau: ) (b) (d) Sýu tầm by hoangly85
  119. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 5. Sử dụng tiêu chuẩn tích phân Cauchy khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau: (a (b) 6. Các chuỗi sau ðây )hội tụ hay phân kỳ: (a(b) ) (c(d) (f) ) (e7. Chứng minh rằng nếu các chuỗi và) hội tụ thì chuỗi số hộ i tụ tu yệ t ðố i. 8. Các chuỗi số sau ðây hội tụ tuyệt ðối, bán hội (a tụ hay phân kỳ? ) (b) (d) (c (b) (d) ) 9. Tì m mi ền hộ i tụ củ a ch uỗ i hà m. (a Sýu tầm by hoangly85 ) (c )
  120. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 (e (f) 10. Tìm miền )hội tụ của các chuỗi sau ðây: (a (b)) (c )(d) (f) (e ) 11. Cho hàm số y = f(x) = a) Tìm miền xác ðịnh của f(x). b) Chứng minh rằng hàm số y = f(x) nghiệm ðúng phýõng trình (1-x) y’= 1 + x –y 12. Khai triển Maclaurin các hàm sau: a) y = x2ex b) y = sin2 x Sýu tầm by hoangly85
  121. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Bài 12 Chuỗi số và tiêu chuẩn hội tụ (tt) II.CHUỖI SỐ DÝ'NG Chuỗi số ðýợc gọi là chuỗi số dýõng nếu tất cả các số hạng của chuỗi số ðều là số dýõng. Trýờng hợp tất cả các số hạng ðều là số không âm thì chuỗi số ðýợc gọi là chuỗi số không âm. Lýu ý rằng khi xét tính hội tụ hay phân kỳ cũng nhý tính tổng của chuỗi số không âm ta có thể loại bỏ ra các số hạng bằng 0, nên chuỗi số không âm cũng thýờng ðýợc gọi là chuỗi số dýõng. Nhận xét rằng dãy các tổng riêng Sn của chuỗi số dýõng là dãy tãng nên chuỗi số hội tụ khi và chỉ khi dãy Sn bị chặn trên. 1.Các tiêu chuẩn so sánh ịnh lý: Giả sử hai chuỗi số dýõng và thỏa ðiều kiện un vn với n khá lớn (nghĩa là ứng với mọi n lớn hõn một số n0 nào ðó). Khi ðó hội tụ thì hội tụ. Nếu phâ ph Nếu n kỳ thì ân kỳ. Nhận xét: Hai chuỗi số dýõng và hội tụ khi và chỉ khi chuỗi hội tụ. Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số Với mọi n = 1, 2, 3, ta có: Sýu tầm by hoangly85
  122. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Vì chuỗi hình học có số hạng tổng quát hội tụ nên theo tiêu chuẩn so sánh phát biểu trong ðịnh lý trên chuỗi số ðýợc hội tụ. và với L là một số thực dýõng thì các chuỗi số cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. thì từ sựsẽ hội kéo theo sự hội tụ của Hệtụ của chuỗi , và từ sự phân kỳ của chuỗi quả: sẽ kéo theo sự phân kỳ của chuỗi Nếu tồn tại giới hạn dýõng Nếu chuỗi thì từ sự hội tụ của chuỗi , sẽ kéo theo sự hội tụ của Nếu và từ sự phân kỳ của chuỗi sẽ kéo theo sự phân kỳ của chuỗi chuỗi Ghi chú: Sýu tầm by hoangly85
  123. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Trong trýờng hợp ta nói un týõng ðýõng với vn (khi n ) và viết là un ~ vn . Vậy: nếu un ~ vn thì các chuỗi số dýõng hoặc cùng phân kỳ. và cùng hội tụ ể áp dụng các tiêu chuẩn so sánh ta phải ghi nhớ tính chất hội tụ hay phân kỳ của một số chuỗi thýờng gặp, chẳng hạn chuỗi hình học. Ở ðây ta công nhận kết quả sau ðây về sự( hội là thamtụ của số): chuỗi Chuỗi hội tụ > 1. Ví dụ: 1) Khảo sát sự hội Kếttụ của quả chuỗi này có số thể ðýợc chứng minh bằng cách áp dụng tiêu chuẩn tích phân Cauchy sẽ ðýợc trình bày sau. Ứng với trýờng hợp = 1 ta có chuỗi phân kỳ. Ta có: . Mà ~ chuỗi phân kỳ chuỗi và là một hằng số khác 0 nên cũng 2) Khảo sát sự hộiphân tụ của kỳ. chuỗi số Khi n , ta có 0 Sýu tầm by hoangly85
  124. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 ~ = chuỗi hội tụ nên theo tiêu chuẩn so ~ Vì chuỗi hình học có sốsánh hạng ta tổng có quát cũng hội tụ. 3) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số Khi n 0. ~ , ta có phân kỳ nên chuỗi cũng phân kỳ. Vì chuỗi 2. Tiêu chuẩn d’ lembert. ịnh lý: (Tiêu chuẩn d’ lembert) Xét chuỗi số dýõng ặt . Ta có: Nếu có một số q n0, Dn q thì chuỗi số hội tụ. Nếu có một số tự nhiên n0 sao cho  n > n0, Dn 1 Sýu tầm by hoangly85
  125. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 thì chuỗi số phân kỳ. Từ ðịnh lý trên ta rút ra hệ quả sau ðây, cũng ðýợc gọi là tiêu chuẩn hội tụ d’ lembert: Hệ quả: Cho chuỗi . Giả sử số dýõng =  . (i) Nếu  1 thì chuỗi số = 1 (*) thì ta chýa Lýu ý: kết luận ðýợc một cách chính xác Trong trýờng hợp chuỗi số hội tụ hay phân dýõng kỳ. Chuỗi là một ví dụ cho trýờng hợp chuỗi số dýõng phân kỳ thỏa mãn ðiều kiện (*), và chuỗi là một ví dụ cho trýờng hợp chuỗi số dýõng hội tụ thỏa mãn ðiều kiện (*). Các khẳng ðịnh (i) và (ii) trong hệ quả trên cũng ðúng cho chuỗi bất kỳ với giả thiết rằng =  . Ví dụ: Sýu tầm by hoangly85
  126. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 1) Xét chuỗi số với x là một số thực cho trýớc. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số. Số hạng thứ n của chuỗi số là . Nhận xét rằng với x = 0 thì các số hạng ðều bằng 0 nên chuỗi hội tụ. Xét trýờng hợp x 0, ta có: Suy ra = 0. Vậy chuỗi hội tụ với mọi x. 2) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số Số hạng thứ n của chuỗi số là . Ta có: = v à S > 1. u phân kỳ. y ra c h u 3. Tiêu chuẩn cãn thức Cauchy. ỗi Sýu tầm by hoangly85
  127. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 ịnh lý: (Tiêu chuẩn cãn thức Cauchy) Xét chuỗi số dýõng ặt Cn = Nếu có một số q n0, Cn q thì chuỗi số hội tụ. Nếu có một số tự nhiên n0 sao cho  n > n0, Cn 1 thì chuỗi số phân kỳ. Từ ðịnh lý trên ta rút ra hệ quả sau ðây, cũng ðýợc gọi là tiêu chuẩn cãn thức Cauchy: Hệ quả: Cho . Giả sử chuỗi số dýõng =  . Nếu  1 thì chuỗi số = 1 (*) thì ta chýa Lýu ý: kết luận ðýợc một cách chính xác Trong trýờng hợp chuỗi hội tụ hay phân số dýõng kỳ. Chuỗi là một ví dụ cho trýờng Sýu tầm by hoangly85
  128. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 hợp chuỗi số dýõng phân kỳ thỏa mãn ðiều kiện (*), và chuỗi là một ví dụ cho trýờng hợp chuỗi số dýõng hội tụ thỏa mãn ðiều kiện (*). Các khẳng ðịnh (i) và (ii) trong hệ quả trên cũng ðúng cho chuỗi bất kỳ với giả thiết rằng =  . Ví dụ: Xét chuỗi số với x là một số thực cho trýớc. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số. Số hạng thứ n của chuỗi số là . Ta có: = 0 khi n Từ tiêu chuẩn Cauchy ta suy ra chuỗi hội tụ với mọi x. Xét sự hội tụ của chuỗi số Số hạng thứ n của chuỗi số là . Ta có: phân kỳ theo = 2 khi n tiêu chuẩn Cauchy. Suy ra chuỗi số 4. Tiêu chuẩn tích phân Cauchy. ịnh lý: (tiêu chuẩn tích phân Sýu tầm by hoangly85 Cauchy)
  129. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Nếu chuỗi số có dạng , nghĩa là với mọi n; trong ðó f là một hàm số liên tục, không âm và giảm trên [1, + ) thì ta có: hội tụ hội tụ Ví dụ: 1) Xét sự hội tụ của chuỗi ðiều hòa mở rộng Trýớc hết ta thấy rằng nếu 0 thì ( 1) không hội tụ về 0 nên chuỗi phân kỳ. Xét trýờng hợp > 0. Dễ thấy rằng các tiêu chuẩn d’ lembert và tiêu chuẩn cãn thức Cauchy ðều không cho ta kết luận ðýợc về tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số. Hàm số f(x) = thỏa các ðiều kiện giả thiết trong tiêu chuẩn tích phân Cauchy. Do tích phân suy rộng hội tụ khi và chỉ khi > 1 nên chuỗi hội tụ khi và chỉ khi >1. Tóm lại ta có: hội tụ > 1. 2) Xét sự hội tụ của chuỗi Số hạng thứ n của chuỗi số là . Ta có: , với Hàm số f(x) thỏa các ðiệu kiện của tiêu chuẩn tích phân Cauchy. Xét tích phân Sýu tầm by hoangly85
  130. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 ổi biến: u = ln(x), thì ðýợc = = + Vậy chuỗi phân kỳ. Sýu tầm by hoangly85
  131. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Bài 13 Chuỗi tổng quát, chuỗi hàm III. CHUỖI TỖNG QUÁT 1. Chuỗi ðan dấu Cho dãy an các số dýõng, chuỗi số có số hạng tổng quát un = (-1)nan hay un = (1)n+1an ðýợc gọi là chuỗi ðan dấu. Liên quan ðến chuỗi ðan dấu ta có tiêu chuẩn hội tụ leinitz nhý sau: ịnh lý: (tiêu chuẩn Leibnits) Nếu chuỗi ðan dấu thỏa mãn 2 ðiều kiện: Dãy an là dãy dýõng giảm, và = 0; thì chuỗi hội tụ. Hõn nữa tổng S của chuỗi thỏa 0 < S u1. Chuỗi thỏaChú ðiều thích: kiện của tiêu chuẩn Leibnitz trong ðịnh lý trên ðýợc gọi là chuỗi Leibnitz. Nếu dùng tổng Sn = ðể xấp xĩ tổng của chuỗi Leibnitz thì phần dý thứ n của chuỗi là Rn thỏa: | Rn | | un+1 | Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi Sýu tầm by hoangly85
  132. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Chuỗi số là chuỗi ðan dấu có số hạng thứ n là = , với là dãy số dýõng giảm và hội tụ về 0. Vậy chuỗi số là chuỗi Leibnitz nên chuỗi hội tụ. 2. Hội tụ tuyệt ðối ịnh nghĩa: Chuỗi số (có dấu bất kỳ) ðýợc gọi là hội tụ tuyệt ð i nếu chuỗi hội tụ. Chuỗi ðýợc gọi là bán hội tụ nếu chuỗi hội số phân kỳ. tụ nhýng chuỗi không dẫn tới sự hội tụ của Ghi chú: Chuỗi chuỗi Ví dụ: hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz nhýng 1) Chuỗi phân chuỗi ðiều hòa là bán hội tụ. kỳ. Vậy chuỗi 2) Xét chuỗi có số hạng tổng quát Ta có: ~ ~ Sýu tầm by hoangly85
  133. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 và chuỗi ðiều hòa mở rộng hội tụ. Suy ra chuỗi hội chuẩn so sánh. Vậy chuỗi tụ theo tiêu hội tụ tuyệt ðối. ịnh lý: Nếu chuỗi hội tụ thì chuỗi hội tụ và Dýới ðây là một số tính chất ðã ðýợc chứng minh liên quan ðến các chuỗi hội tụ tuyệt ðối. ịnh lý: (Riemann) Giả sử chuỗi bán hội tụ. Khi ðó với mọi số S hữu hạn hoặc là S = , tồn tại một cách Nếuthay chuỗiðổihội vị tụ tuyệt ðối thì khi thay ðổi vị trí các số hạng của chuỗi một cách tùy ý ta ðầu.vẫntrí của ðýợc các một số chuỗi mới hội tụ tuyệt ðối và có cúng tổng với chuỗi ban hạng ịncủa hchuỗi lý: ðể (Cauchy)ðýợc một chuỗi mới có tổng là S. ịnh lý: Nếu các chuỗi và chuỗi hội tụ tuyệt ðối và có tổng lần lýợt là S và T gồm mọi số hạng thì (i = 1, 2, , n; j = 1, 2, , n) theo một thứ tự bất kỳ luôn hội tụ tuyệt ðối và có tổng bằng ST. Sýu tầm by hoangly85
  134. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 IV. CHUỖI HÀM 1. ịnh nghĩa Cho dãy hàm số với n = 1, 2, cùng xác ðịnh trên một tập E các số thực. Khi ðó với mỗi x E ta có chuỗi số Khi xét x biến thiên trong E, ta gọi chuỗi là một chuỗi hàm. iểm x0 E mà chuỗi hội tụ ðýợc gọi là ðểm hội tụ; ta cũng nói chuỗi hàm hội tụ tại x0. Tập tất cả các ðiểm hội tụ ðýợc gọi là miền hội tụ của chuỗi hàm. Gọi D là miền hội tụ của chuỗi lũy thừa, ta có: , là các hàm số của x xác ðịnh trên D. Sn(x) ðýợc gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi hàm, S(x) là tổng của chuỗi, hàm và Rn(x) là phần dý thứ n của chuỗi hàm. Tổng S(x) có thể biểu diễn dýới dạng Với mọi x D ta có , nên , nghĩa là phần dý của chuỗi hàm hội tụ ðến 0 khi n + . Ví dụ: 1) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm Sýu tầm by hoangly85
  135. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 ã biết rằng chuỗi số hội tụ khi và chỉ khi > 1. Do ðó chuỗi hội tụ khi và chỉ khi ln(x) > 1, hay x > e. Suy ra miền hội tụ của chuỗi hàm là D = (e, + ). 2) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm Với mỗi x, chuỗi số (*) có số hạng tổng quát , với  = = = ex. Theo tiêu chuẩn hội tụ d’ lembert ta có:  1 x > 0 : chuỗi (*) phân kỳ.  = 1 x = 0 : chuỗi (*) có dạng là chuỗi phân kỳ. Vậy miền hội tụ của chuỗi hàm là D = (- , 0). 3) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm Sýu tầm by hoangly85
  136. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Với mỗi x, chuỗi số (*) có có số hạng tổng quát , với  = = = + . Theo tiêu chuẩn cãn Cauchy ta có chuỗi phân kỳ (với mọi x). Vậy miền hội tụ của chuỗi hàm là tập hợp rỗng. 2. Hội tụ ðều ịnh nghĩa: Xét x biến thiên trong một tập X nào ðó nằm trong miền hội tụ của chuỗi hàm . Gọi S(x) là tổng của chuỗi hàm và Sn(x) là tổng riêng thứ n của chuỗi hàm. Nếu với mọi  > 0, tồn tại n0( ) sao cho  n n0( ), x X, | Sn(x) –S(x) | <  thì ta nói chuỗi hàm hội tụ ð u tới hàm S(x) trên tập X, hoặc dãy hàm Sn(x) hội tụ ðều tới hàm S(x) trên tập X. iều này cũng có nghĩa là dãy các phần dý Rn(x) = S(x) - Sn(x) hội tụ ðều tới 0 trên X. ịnh lý sau ðây cho ta một tiêu chuẩn về sự hội tụ cũng nhý hội tụ ðều của chuỗi hàm. ịnh lý: (tiêu chuẩn Weierstrass) Nếu ứng với mọi n lớn hõn một n0 nào ðó và với mọi x X và chuỗi số dýõng hội tụ, thì chuỗi hàm hội tụ ðều và hội tụ tuyệt ðối trên X. Ví dụ: 1) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi hàm Sýu tầm by hoangly85
  137. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Ta có: ứng với mọi x R và do chuỗi hội tụ , nên chuỗi hàm hội tụ ðều và hội tụ tuyệt ðối trên toàn trục số theo tiêu chuẩn Weierstrass. 2) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi hàm Do nên tồn tại n0 sao cho với mọi n n0 thì Suy ra với mọi n n0 và với mọi số thực x ta có: hội tụ. Vậy theo tiêu chuẩn Weierstrass hội tụ ðều và hội tụ tuyệt ðối trên toàn trục số. mà chuỗi số ðiều hòa (mở rộng) chuỗi hàm 3. Tính chất của chuỗi hàm hội tụ ðều Trong mục nầy sẽ phát biểu một số ðịnh lý về tính chất của các chuỗi hàm hội tụ ðều. ịnh lý: (Tính liên tục của hàm tổng) Sýu tầm by hoangly85
  138. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Nếu mọi hàm liên tục trên X và chuỗi hàm hội tụ ðều ðến hàm S(x) trên X, thì S(x) cũng liên tục trên X. ịnh lý: (tích phân từng số hạng) Nếu mọi hàm liên tục trên [a, b] và chuỗi hàm hội tụ ðều ðến hàm S(x) trên [a, b], thì  ịnh lý: (ðạo hàm từng số hạng) Giả sử ta có các ðiều kiện sau ðây:Các hàm có ðạo hàm liên tục trong khoảng (a, b); Chuỗi hàm hội tụ ðến S(x) trong (a, b); Chuỗi các ðạo hàm hội tụ ðều trong (a, b). Khi ðó S(x) có ðạo hàm trong khoảng (a, b) và S’x)  = Sýu tầm by hoangly85
  139. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Bài 14 Chuỗi lũy thừa V.CHUỖI LŨY THỪA 1. ịnh nghĩa Ta gọi chuỗi hàm có dạng là chuỗi lũy thừa. Các hằng số ðýợc gọi là các hệ số của chuỗi lũy thừa, hệ số ðýợc gọi là hệ số tổng quát của chuỗi. Ta gọi là số hạng tổng quát của chuỗi lũy thừa. Nếu thực hiện phép ðổi biến thì chuỗi lũy thừa trên trở thành chuỗi có dạng . Do ðó trong các mục tiếp theo dýới ðây ta chỉ chuỗi lũy thừa có dạng (*). Ví dụ: 1) Chuỗi lũy thừa có hệ số tổng quát là 2) Chuỗi lũy thừa Sýu tầm by hoangly85
  140. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 có hệ số tổng quát là . Bằng cách ðổi biến X = x+2, chuỗi lũy thừa ðýợc chuyển về dạng 2. Bán kính hội tụ và miền hội tụ Một trong những vấn ðề ðýợc xem xét ðối với chuỗi lũy thừa là tìm miền hội tụ. Cho chuỗi lũy thừa (*). Trýớc hết có thể thấy rằng chuỗi (*) hội tụ tại x = 0. ịnh lý sau ðây là một trong những kết quả quan trọng liên quan ðến vấn ðề tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa. ịnh lý: (Abel) Nếu chuỗi lũy thừa hội tụ tại thì chuỗi cũng hội tụ tuyệt ðối tại mọi x Nếu chuỗi lũy thừa phân kỳ tại thì chuỗi cũng phân kỳ tại mọi x Chứng minh: Giả sử chuỗi lũy thừa hội tụ tại , nghĩa là chuỗi số hội tụ. Khi ðó có số dýõng M sao cho M với mọi số tự nhiên n. Sýu tầm by hoangly85
  141. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Cho một số thực x . Ta có: < 1. hội tụ do q < 1, nên chuỗi hội tụ tuyệt ðối. với 0 Chuỗi hình học Tóm lại ta có chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt ðối trên . Phần (i) của ðịnh lý ðýợc chứng minh. Bây giờ giả sử chuỗi lũy thừa phân kỳ tại , nghĩa là chuỗi số phân kỳ. Nếu có số thực x mà chuỗi thì theo phần chứng minh ở trên ta có hội tụ hội tụ (mâu thuẩn). Vậy chuỗi chuỗi phân kỳ tại mọi x . Phần (ii) của ðịnh lý ðýợc chứng minh. Từ ðịnh lý Abel ta có một số nhận xét về dạng của miền hội tụ của chuỗi lũy thừa nhý sau. Trýớc hết chuỗi hội tụ tại x = 0 với tổng bp sau ðây: Trýờng hợp 1: Chuỗi chỉ hội tụ tại x = 0. Trýờng hợp 2: Chuỗi hội tụ trên toàn trục số. có ðiểm hội tụ và có ðiểm phân kỳ . Tất theo ðịnh lý Trýờng Abel. Vậy miền hội tụ D của chuỗi lũy thừa phải hợp 3: nên bị chặn. Do tính ðầy ðủ của tập số thực D có cận Chuỗi trên nhiên là thỏa D  Sýu tầm by hoangly85
  142. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 ðúng R. Có thể thấy rằng nếu > R thì chuỗi phân kỳ tại x, và nếu x (-R, R) thì chuỗi hội tụ tại x. ịnh nghĩa: (bán kính hội tụ) Cho chuỗi lũy thừa . Nếu tồn tại số dýõng R sao cho chuỗi lũy thừa hội tụ tại mọi x mà R, thì R ðýợc gọi là bán và chuỗi phân kỳ kính ội tụ của chuỗi lũy thừa. Trýờng hợp chuỗi chỉ hội tụ tại x = 0 ta nói bán kính hội tại mọi x mà tụ của chuỗi lũy thừa là R = 0; nếu chuỗi hội tụ trên toàn trục số thì ta nói bán kính hội tụ là R = + . Theo ðịnh nghĩa trên ta có các trýờng hợp về miền hội tụ của chuỗi lũy thừa nhý sau: Nếu bán kính hội tụ R là một số thực dýõng thì miền hội tụ D của chuỗi lũy thừa là một trong 4 trýờng hợp sau: 1) D = (-R, R) khi chuỗi không hội tụ tại R. 2) D = [-R, R] khi chuỗi hội tụ tại R. 3) D = [-R, R) khi chuỗi hội tụ tại -R nhýng không hội tụ tại R. 4) D = (-R, R] khi chuỗi hội tụ tại R nhýng không hội tụ tại -R. Nếu R = 0 thì miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là D = 0 . Nếu R = + thì miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là D = R. Vậy việc tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa là býớc rất quan trọng cho việc tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa. Ta có thể tính bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa dựa theo ðịnh lý dýới ðây. ịnh lý: (Tìm bán kính hội tụ) Cho chuỗi lũy thừa . Giả sử hay = Khi ðó bán kính hội tụ R của chuỗi lũy thừa là R = nếu là số thực dýõng; R = 0 nếu = + ; R = + nếu = 0. Ví dụ: Sýu tầm by hoangly85
  143. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 1) Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa Hệ số tổng quát của chuỗi lũy thừa là . Ta có = 1 R = 1 ể xác ðịnh miền hội tụ ta cần xét sự hội tụ của chuỗi tại các ðiểm -1 và +1. Xét tại x = -1, ta thấy chuỗi số phân kỳ. Tại x = 1, ta có chuỗi số cũng phân kỳ(do số hạng tổng quát của chuỗi số không dần về 0). Vậy miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là D = (-1, 1). 2) Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa Hệ số tổng quát của chuỗi lũy thừa là . Ta có = 1 bán kính hội tụ R = 1.là chuỗi Leibnitz nên Xét tại x = -1, ta ðýợchội tụ. Tại x = 1 ta có chuỗi chuỗi ðiều hòa nên là chuỗi phân kỳ. Vậy miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là D = [-1, 1). Sýu tầm by hoangly85
  144. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 3) Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa Hệ số tổng quát của chuỗi lũy thừa là , với x0 = -2 Ta có = 1/2 bán kính hội tụ R = 2. Xét tại x = x0 –R = -4, ta ðýợc chuỗi số = = phân kỳ. Tại x = x0 + R = 0, ta ðýợc chuỗi = hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz. Vậy miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là D = (-4, 0]. 4) Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa Có thể tính ðýợc bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa là R = 0. Suy ra chuỗi chỉ hội tụ tại x = 0, tức là miền hội tụ D = 0 . 5) Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa Có thể tính ðýợc bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa là R = + . Suy ra chuỗi hội tụ tại mọi x, tức là miền hội tụ D = R. 3. Các tính chất của chuỗi lũy thừa Sýu tầm by hoangly85
  145. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Trong mục này sẽ nêu lên một số tính chất của chuỗi lũy thừa liên quan ðến sự hội tụ ðều, tính liên tục, tính ðạo hàm và tích phân. Tính chất 1: Chuỗi lũy thừa hội tụ ðều trên mọi ðoạn [a, b] nằm trong khoảng hội tụ của nó. Tính chất 2: Tổng của chuỗi lũy thừa là một hàm liên tục trong khoảng hội tụ của nó. Tính chất 3: Ta có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi lũy thừa trên ðoạn [a, b] nằm trong khoảng hội tụ của nó. Nói cách khác ta có Ngoài ra, nếu gọi S(x) là hàm tổng của chuỗi lũy thừa và R là bán kính hội tụ thì với mọi x thuộc khoảng hội tụ (-R, R) ta có: = Tính chất 4: Ta có thể lấy ðạo hàm từng số hạng của chuỗi lũy thừa trong khoảng hội tụ của nó và chuỗi mới nhận ðýợc cũng có cùng bán kính hội tụ với chuỗi ban ðầu. Ví dụ: 1) Tính tổng Có thể tính ðýợc dễ dàng là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa là R = 1, vậy khoảng hội tụ là (-1, 1). Trong khoảng hội tụ này, ta lấy ðạo hàm từng số hạng của chuỗi thì ðýợc Sýu tầm by hoangly85
  146. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 = 2) Lấy tích phân của S’x) trên ðoạn [0, x] sẽ ðýợc Suy ra: Tính tổng , | x | < 1. Ta có: Lấy ðạo hàm từng số hạng trong khoảng (-1, 1) thì ðýợc = Sýu tầm by hoangly85