Giáo trình Toán 1

pdf

180 trang phuongnguyen 6700

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán 1", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_toan_1.pdf

Nội dung text: Giáo trình Toán 1

CHƯƠNG 1 KHÁI NIM V TP HP VÀ ÁNH X §1. TP HP 1.1 CÁC KHÁI NIM CƠ BN Trong ngôn ng hàng ngày, ta thưng dùng ñn khái nim tp hp : tp hp các sinh viên có mt trong mt lp hc, tp hp các câu hi ôn thi ñây ta không ñnh nghĩa tp hp mà ch mô t nó bng mt du hiu hay mt tính cht nào ñó cho phép ta nhn bit ñưc tp hp ñó và phân bit nó vi các tp hp khác. Ta coi tp hp là mt khái nim nguyên thu cũng ging như khái nim ñim, ñưng thng, mt phng trong hình hc. Các ñi tưng lp nên tp hp ñưc gi là các phn t ca tp hp. Nu a là mt phn t ca tp hp A thì ta ký hiu: a∈ A (ñc: a thuc A) Nu a không phi là mt phn t ca tp hp A thì ta ký hiu: a∉ A (ñc: a không thuc A) Ví d: Nu A là tp hp các s nguyên chn thì 2∈A ,10 ∈ A nhưng 15 ∉ A. Mt tp hp ñưc gi là hu hn nu nó gm mt s nht ñnh phn t. Ví d: Tp hp các sinh viên ca mt lp hc là hu hn, s phn t ñây là s sinh viên ca lp ñó. Tp hp các nghim ca phương trình x2 −3 x + 2 = 0 là hu hn, nó gm hai phn t là 1 và 2. Có nhng tp hp ch có ñúng mt phn t, chng hn tp hp các nghim sin x = 1 π dương nh hơn 2 ca phương trình 2 ch có mt phn t là 6 . ð ñưc thun tin, ngưi ta cũng ñưa vào loi tp hp không cha mt phn t nào và gi nó là tp hp rng , ký hiu là ∅. Ví d: Tp hp các nghim thc ca phương trình x 2 +1 = 0 là rng, vì không tn ti s thc nào mà bình phương li bng −1. Tp hp gm vô s phn t gi là tp hp vô hn . Ngưi ta phân bit: B môn KHCB 1 Giáo trình toán cao cp 1
Tp hp vô hn ñm ñưc là tp hp tuy s lưng phn t là vô hn song ta có th ñánh s th t các phn t ca nó (tc là có th bit ñưc phn t ñng lin trưc và ñng lin sau ca mt phn t bt kỳ). Ví d: Tp hp các nghim ca phương trình sinx = 1 là vô hn ñm x=π + 2 k π ñưc, vì các phn t ca nó có dng k 2 ; vi k =0, ± 1, ± 2, ± 3, chúng ñưc ñánh s theo s nguyên k . Tp hp vô hn không ñm ñưc là tp hp có vô s phn t và không có cách nào ñánh s th t các phn t ca nó. Ví d: Tp hp các ñim trên ñon thng [0,1] . Tp hp con: Cho hai tp hp A và B . Nu bt kỳ phn B t nào ca tp hp A cũng là phn t ca tp hp A B thì ta nói A là tp hp con ca B và ký hiu A⊂ B (ñc: A bao hàm trong B ). E Như vy ta có: AB⊂ ⇔ xA ∈ ⇒ xB ∈ Hình 1. A⊂ B (ký hiu ⇔ ñc là “khi và ch khi”, nó có nghĩa ca ñiu kin cn và ñ, ký hiu ⇒ ñc là “suy ra” hay “kéo theo”). Ví d: Gi A là tp hp các nghim ca phương trình x2 −3 x + 2 = 0 , B là tp hp các s nguyên dương thì A⊂ B vì 1 và 2 cũng là các s nguyên dương. Quan h bao hàm gia các tp hp có tính cht bc cu nghĩa là: nu A⊂ B và B⊂ C thì A⊂ C . Tp hp bng nhau: Nu A⊂ B ñng thi B⊂ A thì ta nói hai tp hp A , B là bng nhau . Ta cũng ký hiu A= B . Như vy: A= B ⇔ A ⊂ B và B⊂ A Ngưi ta quy ưc rng : Tp hp rng ∅ là tp hp con ca bt kỳ tp hp nào . Tht vy, nu A⊂ B thì bt kỳ phn t nào không thuc B cũng không thuc A và như vy ∅ ⊂ B vì không có phn t nào thuc tp hp rng. ð tin li cho vic xét các tp hp, ta thưng coi tp các tp hp ñưc kho sát là các tp hp con ca mt tp hp E “ñ ln” nào ñó , chng hn B môn KHCB 2 Giáo trình toán cao cp 1
trong chương trình toán hc Trung hc khi xét tp hp các nghim ca phương trình, ta ñu coi chúng là tp hp con ca tp hp s thc. 1.2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TP HP Gi s A, B , C , là các tp hp con ca mt tp hp E nào ñó. Ta có th xây dng các tp hp mi da trên các tp hp ñó bng các phép toán sau: a) Phép hp: Hp ca hai tp hp A và B B là mt tp hp cha các phn t thuc ít nht A mt trong hai tp hp A hoc B . Ta cũng nói hp ca A, B , là tp hp cha các phn t hoc thuc A hoc thuc B . Ta ký hiu hp ca hai Hình 2. A ∪ B tp hp A và B là: A∪ B . Như vy: x∈ AB ∪ ⇔ x ∈ A hoc x∈ B Ví d: Nu A là tp hp các s thc nh hơn 1, B là tp hp các s thc ln hơn 2 thì tp hp các nghim thc ca bt phương trình x2 −3 x + 2 > 0 là A∪ B . b) Phép giao: Giao ca hai tp hp A và B A B là mt tp hp cha các phn t thuc c A ln c B . Ta ký hiu giao ca hai tp hp A và B là A∩ B . Hình 3. A∩ B Như vy: x∈ AB ∩ ⇔ x ∈ A và x∈ B Ví d: A là tp hp các s thc nh hơn 2 , B là tp hp các s thc ln hơn 1 thì tp hp các nghim ca phương trình x2 −3 x + 2 < 0 là A∩ B . Nu A∩ B = ∅ thì ta nói các tp hp A và B không giao nhau hay ri nhau. Ví d: A là tp hp các ñim trên ñưng thng y= x + 1, B là tp hp các ñim trên Parabol y= − x 2 thì A∩ B = ∅ (hai ñưng không giao nhau.) c) Phép tr: Hiu ca hai tp hp A và B là mt tp hp cha các phn t thuc A mà không B A thuc B. Ta ký hiu hiu ca hai tp hp A và B là A\ B . Hình 4. A \ B Như vy: x∈ AB\ ⇔ x ∈ A và x∉ B B môn KHCB 3 Giáo trình toán cao cp 1
Ví d: R là tp hp s thc, B là tp hp gm hai s thc 1 và 2 thì tp x hp xác ñnh ca phân thc 1 + là R\ B . x2 −3 x + 2 ðc bit, hiu E\ A ñưc gi là phn bù (hay b xung ) ca A trong E , ký hiu là CE A , hay nu tp E ñã bit thì có th ký hiu ñơn gin là A. Các tính cht ca các phép toán trên: Gi s A, B , C là các tp con ca mt tp hp E . Các phép toán hp, giao, b xung có các tính cht sau: 1. A= A 2. A∪ A = A A∩ A = A 3. A∪ A = E A∩ A = ∅ 4. A∪ E = E A∩ E = A 5. A∪ ∅ = A A ∩ ∅ = ∅ 6. A∪ B = B ∪ A A∩ B = B ∩ A 7. ()AB∪ ∪ C =∪ A () BC ∪ ()AB∩ ∩ C =∩ A () BC ∩ 8. ABC∪( ∩) =( AB ∪) ∩∪( AC ); ABC∩( ∪) =( AB ∩) ∪∩( AC ) 9. A∪ B = A ∩ B A∩ B = A ∪ B Tính cht cui cùng còn ñưc gi là quy tc ð moocgăng : Khi ly phn bù ca hp hay giao hai tp hp, thì mi tp hp ñưc thay bng phn bù ca nó, phép hp ñưc thay bng phép giao, phép giao thay bng phép hp. Vic chng minh các tính cht trên da vào vic chng minh s bng nhau ca hai tp hp. Ta nhc li: T= P khi và ch khi T⊂ P và P⊂ T . Ta chng minh tính cht 9.1 : ðt T= A ∪ B và P= A ∩ B . ðu tiên chng minh T⊂ P : Ly x∈ T tc là x∈ A ∪ B . Theo hình v 2, x thuc phn bù ca A∪ B tc là x phi không thuc A và không thuc B : x∉ Ax, ∉ B . Nhưng x∉ A tc là x∈ A . Cũng như vy, tc là x∈ B . Vy x∈ A và x∈ B hay x∈ A ∩ B . Ta ñã chng minh nu x∈ A ∪ B thì x∈ A ∩ B . T ñó ta có: B môn KHCB 4 Giáo trình toán cao cp 1
A∪ B ⊂ A ∩ B . (1) Bây gi ta chng minh P⊂ T . Ly y∈ P tc là y∈ A ∩ B . Theo ñnh nghĩa phép giao ta có y∈ A và y∈ B tc là y∉ A và y∉ B . Khi ñó y phi thuc phn bù ca A∪ B tc là ta có y∈ A ∪ B . Như vy: A∩ B ⊂ A ∪ B (2) T (1) và (2) ta suy ra: A∪ B = A ∩ B Phương pháp chng minh các tính cht khác cũng tương t. 1.3 CÁCH CHO MT TP HP Ngưi ta thưng cho tp hp bng cách: a) Lit kê các phn t ca nó Ví d: Bng danh sách các thí sinh trúng tuyn vào mt trưng ñi hc. Nu s các phn t ca tp hp ít, ta có th vit tên các phn t ca tp hp gia hai du {} , chng hn A = {1,2,3,4} ; thì A là tp có 4 phn t là 1,2,3,4 b) Cho quy tc ñ nhn bit các phn t ca nó Ta vit: A= { xPx : ( )} và hiu: A là tp hp gm các phn t x sao cho tính cht P ñúng vi x . Ví d: A=∈{ xRx:2 −+= 3 x 20 } hiu: A là tp hp các s thc x là nghim ca phương trình x2 −3 x + 2 = 0 tc là A = {1,2} §2. ÁNH X 2.1 KHÁI NIM V ÁNH X Cho hai tp hp A và B . Ta nói rng f y có mt ánh x f t A vào B nu vi mi x phn t x∈ A có tương ng theo mt quy tc nào ñó mt phn t duy nht y∈ B Ta ký hiu: f: A→ B (ñc: f là ánh A B x t A vào B ) A là tp ngun , B là tp Hình 5 ñích . B môn KHCB 5 Giáo trình toán cao cp 1
Phn t y∈ B tương ng vi phn t x∈ A bi ánh x f , ñưc gi là nh ca x qua f và ñưc ký hiu là f( x ) . Nu vi bt kỳ phn t x nào ca A, nh f( x ) ca nó ñưc xác ñnh thì A còn ñưc gi là tp xác ñnh ca ánh x f . Nu A là tp xác ñnh ca ánh x f thì nh ca tp hp A bi ánh x f ñưc ñnh nghĩa bi: fA(){= y ∈ B : ∃∈ x Ay , = fx ()} Ví d: Xét ánh x f t tp hp s thc R vào chính nó xác ñnh bi f( x ) = 1 thì tp xác ñnh ca nó là R \{ 0 } còn tp hp nh ca nó là tp hp x 2 mi s thc dương R+ . Ánh x bng nhau: Cho ánh x f: A→ B và g: A′→ B ′ . Nu A= A ′ và vi mi x∈ A ta có fx()= gx () thì ta nói hai ánh x f và g là bng nhau , ta vit f= g . Ví d: Cho tp hp A ={ − 1,0,1} và các ánh x: f: A→ R xác ñnh bi f( x )= x + 1 ; g: A→ R xác ñnh bi gx()=− x3 + 21 x + . Ta có: f= g (Nu xét các ánh x f và g t R vào R thì ta li có f≠ g ). 2.2 CÁC LOI ÁNH X Cho ánh x f t A vào B . a) Ánh x f ñưc gi là ñơn ánh nu nh ca các phn t khác nhau là khác nhau . Nói cách khác, vi mi x1, x 2 ∈ A , nu x1≠ x 2 thì fx()1≠ fx () 2 . b) Ánh x f ñưc gi là toàn ánh nu f( A ) = B . Nói cách khác, vi bt kỳ y thuc B , tn ti ít nht phn t x thuc A sao cho: f( x ) = y . c) Ánh x f ñưc gi là song ánh nu nó va là toàn ánh va là ñơn ánh. Ta chú ý rng nu f là song ánh t A f lên B thì do tính cht toàn ánh nên vi mi y∈ B có tương ng mt x∈ A ñ f( x ) = y , y và do tính cht ñơn ánh nên phn t x ñó x phi duy nht (nu trái li, gi s phn t f1 y∈ B tương ng vi hai phn t khác nhau A B Hình 6 B môn KHCB 6 Giáo trình toán cao cp 1
x1≠ x 2 mà fx()1= fx () 2 = y , trái tính cht ñơn ánh). Như vy, nu f là song ánh t A lên B thì ta li có mt ánh x t B lên A, ánh x này ñưc gi là ánh x ngưc ca ánh x f , nó cũng là song ánh . Ánh x ngưc ca ánh x f ký hiu là f −1 . Vi song ánh f: A→ B xác ñnh bi y= f( x ) thì ánh x ngưc ca nó là f−1 : B→ A xác ñnh bi x= f−1( y ) . Các ví d: x Ánh x f: R→ R xác ñnh bi f( x ) = a là ñơn ánh, vì vi x1≠ x 2 ta có ax1≠ a x 2 Ánh x g: R → [ − 1,1] xác ñnh bi g( x )= sin x là toàn ánh vì vi s thc p bt kỳ thuc khong [−1,1 ] ta luôn luôn tìm ñưc s thc x sao cho sin x= p . Ánh x h: R→ R xác ñnh bi h( x ) = x 3 là song ánh, vì nó va là ñơn ánh va là toàn ánh. 2.3 ÁNH X HP Gi s f và g là hai ánh x sao cho tp hp xác ñnh ca g trùng vi tp hp nh ca f . Khi ñó ta có th vit dãy liên tip các ánh x fA:→ BgB ; : → C . Như vy ta có th xác ñnh mt ánh x mi h: A→ C bi hx()= gfx [()] , trong ñó f( x ) ∈ B là nh ca x∈ A bi ánh x f ; gfx[ ( )] ∈ C là nh ca f( x ) ∈ B bi ánh x g . Ánh x h xác ñnh như trên ñưc gi là ánh x hp ca ánh x f và ánh x g , ñưc ký hiu là g f . Như vy hx()= ( gfx )() = gfx [()] . Ví d: Cho f: R→ R xác ñnh bi f() x= 2 x + 1 ; g: R→ R xác ñnh bi g( x ) = x 2 ; Ta có: (gfxgfx )()= [()] = [()] fx2 =+=++ [2 x 1] 2 4 x 2 4 x 1 . Chú ý : Khi ánh x hp g f ñưc xác ñnh thì chưa chc ánh x f g ñã xác ñnh. Ngay c trong trưng hp f g xác ñnh thì nói chung ta có B môn KHCB 7 Giáo trình toán cao cp 1
gf≠ f g . Chng hn trong Ví d trên ta có (fgx )()= fgx [()] = 2() gx +=+ 1 2 x 2 1. §3§3§3 TP HP S THC 3.1 ðNH NGHĨA TRƯNG Cho mt tp hp E . Ta coi ñã xác ñnh ñưc mt phép toán hai ngôi trong E hay mt lut hp thành trong E nu vi mi cp phn t (a , b ) ca E ta cho tương ng vi mt phn t c cũng ca E . Ta ký hiu phép toán ñó bi du * và ta vit a* b= c vi abc, , ∈ E . (Nu phép toán là phép cng ta dùng du + như thưng l, nu là phép nhân ta dùng du × hay du i ). Phép toán * ñưc gi là có tính cht kt hp nu vi abc, , ∈ E ta có: (*)*ab c= a *(*) bc Phép toán * ñưc gi là có tính cht giao hoán nu vi a, b ∈ E ta có: a* b= ba * Phn t e∈ E ñưc gi là phn t trung hoà ñi vi phép toán * nu vi mi a∈ E ta có: ae*= ea * = a . (Vi phép cng phn t trung hoà là s 0, vi phép nhân ñó là s 1). Phn t a′ ∈ E sao cho vi a∈ E ta có aa*′= aa ′ * = e vi e là phn t trung hoà ca phép toán *, ñưc gi là phn t ngưc ca a ñi vi phép toán *. Ta ký hiu phn t ngưc ca phn t a là a−1 (vi phép cng, phn t ngưc ca a chính là s ñi −a , vi phép nhân ñó chính là s nghch ño 1 a ,a ≠ 0 ). Tp hp E ñưc gi là có cu trúc trưng , hay nói gn hơn, là mt trưng nu trong E có xác ñnh hai phép toán: + Phép toán th nht ñưc gi là phép cng , nó tha mãn các tính cht sau: A1 – Phép cng có tính cht giao hoán : ∀ab, ∈ Ea , +=+ b b a A2 – Phép cng có tính cht kt hp : ∀abc,, ∈ Ea ,( ++=++ b ) c a ( b c ) A3 – Phép cng có phn t trung hoà trong E , ký hiu là 0: ∀∈aEa, += 0 a A4 Mi phn t trong E ñu có phn t ngưc ký hiu là −a : a+− a = 0 + Phép toán th hai ñưc gi là phép nhân , nó tho mãn các tính cht sau: B môn KHCB 8 Giáo trình toán cao cp 1
B1 – Phép nhân có tính cht giao hoán : ∀ab, ∈ Eab ,. = ba . B2 – Phép nhân có tính cht kt hp : ∀abc,, ∈ Eabc ,(.). = abc .(.) B3 Phép nhân có phn t trung hòa, ký hiu là 1: ∀∈aEa; .1 = 1. aa = B4 Mi phn t a∈ E, a ≠ 0 ñu có phn t ngưc ñi vi phép nhân là phn 1 t nghch ño a cũng thuc E . + Gia phép cng và phép nhân có tính cht: C – phép nhân có tính cht phân phi ñi vi phép cng : ∀abc,, ∈ Eab :.( +=+ c ) ab . ac . p Ví d: Tp hp các s hu t, tc là tp các s có dng q ,(,p q )= 1 , có cu trúc trưng: cng hai s hu t, nhân hai s hu t ta ñưc mt s hu t, c hai phép toán ñó ñu tho mãn 8 tính cht trên. Tp hp các s nguyên không có cu trúc trưng vì nghch ño ca mt s nguyên khác không không phi là mt s nguyên. Chú ý : Trong trưng ta có th ñnh nghĩa phép chia cho mt s khác không: b a b a 1 nu ≠ 0 thì := .()b . 3.2 CÁC TÍNH CHT CƠ BN CA TRƯNG S THC Tp hp s thc R vi hai phép toán cng và nhân có cu trúc trưng, nghĩa là cng hai s thc ta ñưc mt s thc, nhân hai s thc ta ñưc mt s thc. Phép cng và phép nhân có các tính cht giao hoán, kt hp; phép nhân có tính cht phân phi ñi vi phép cng; phn t trung hoà ca phép cng là s 0, ca phép nhân là s 1; phn t ngưc ñi vi phép cng ca s a là s ñi −a , 1 ñi vi phép nhân ca s a ≠ 0 là s nghch ño a . Trong tp hp s thc R ta xét mt tp hp con ký hiu là R+ và ta ñnh nghĩa R− là tp hp nhng s ñi ca x nu x∈ R + (tc là −x ∈ R − ) sao cho: 1)R+∩ R − = ∅ ; 2)R+∪ R − ∪ {0} = R ; 3)∀∈ab , R+ : a +∈ b Rab + , . ∈ R + B môn KHCB 9 Giáo trình toán cao cp 1
Khi ñó ta nói rng trưng s thc R là mt trưng có th t . Các s thc thuc R+ ñưc gi là các s thc dương , các s thc thuc R− ñưc gi là các s thc âm. Ta xác ñnh trên R mt quan h th t ký hiu a (ñc b ln hơn a ). Nu a là s thc âm thì ta vit a 0 . Trưng s thc còn là trưng có th t Acsimet : Vi hai s thc tuỳ ý a, b ; a > 0 bao gi cũng tìm ñưc mt s t nhiên n sao cho na> b . Nói cách khác, dù s thc dương a có nh ñi bao nhiêu chăng na và dù s thc b có ln ñi bao nhiêu chăng na thì tng ca mt s ñ ln a s vưt quá b . Tính cht trên cho phép ngưi ta có th xp x tuỳ ý mt s thc bi mt s thp phân (gn ñúng thiu hoc gn ñúng tha), và như vy trong thc hành ngưi ta có th thc hin ñưc các phép tính trên các s thc. 3.3 GIÁ TR TUYT ðI CA MT S THC Vi mi s thc x ta ñnh nghĩa giá tr tuyt ñi ca x , ký hiu x như sau:   x khi x > 0  x= 0 khi x = 0  −x khi x < 0  Ta có các tính cht sau: a) x= 0 ⇔ x = 0; b) x= − x ; cxy) .= xy ; dx)+ y ≤ x + y ; ex)− y ≥ x − y . Ta chng minh mt trong các tính cht, tính cht d)chng hn: B môn KHCB 10 Giáo trình toán cao cp 1
T ñnh nghĩa ta có: −x ≤ x ≤ x −y ≤ y ≤ y ; T ñó: −(x + y ) ≤+≤ xyx + y ; Hay: x+ y ≤ x + y . 3.4 TP S THC SUY RNG Ta thêm vào tp s thc R hai phn t khác nhau, ký hiu là +∞ và −∞ (ñc là dương vô cùng và âm vô cùng), không thuc R , và vi mi s thc x ta ñt: −∞ 0: x.(+∞=+∞ )( ). xx =+∞ ;.( −∞=−∞ )( ). x =−∞ ; ()()+∞ + +∞ =+∞ ;()() −∞ + −∞ =−∞ ; (+∞ ).( +∞ ) =+∞ ;( −∞ ).( −∞ ) =+∞ ; Tp hp s thc R cùng vi hai phn t +∞; − ∞ có các tính cht trên gi là tp hp s thc suy rng. Có th biu din hình hc tp hp s thc nh trc s: ðó là ñưng thng x′ Ox , ñim gc O ng vi s không, các s thc dương thuc na ñưng thng Ox , các s thc âm thuc na ñưng thng Ox ′ , mi s thc a ng vi mt ñim A trên ñưng thng sao cho ñ dài OA= a . §§§4 TP HP S PHC Ta đã bi t r ng n u ch h n ch trong tr ưng s thc thì có nhng phương trình vô nghim, chng hn phương trình bc hai x 2 +1 = 0 . Trong phn này ta s tìm cách m rng trưng s thc sang mt tp hp s mi sao cho tp hp s thc là tp con ca tp s mi này và trong tp s mi ñó mi phương trình bc hai ñu có nghim. B môn KHCB 11 Giáo trình toán cao cp 1
4.1 ðNH NGHĨA S PHC VÀ CÁC PHÉP TÍNH TRÊN S PHC Xét tp hp C mà các phn t z∈ C là các cp s thc (a , b ) : C=={ z(,), aba ∈ R,b ∈ R } Phn t z∈ C ñưc gi là s phc. Hai sè phøc z=(,); abz′ = (,) ab ′ ′ ®−îc coi l b»ng nhau khi v chØ khi: a= ab′; = b ′ Trong tp hp s phc C ta xác ñnh hai phép tính: Phép cng hai s phc: vi hai s phc z=( a , b ) và z′=( a ′ , b ′ ) thì tng ca chúng ñưc xác ñnh bng: z+ z′ =( aabb + ′ , + ′ ) . Phép nhân hai s phc: vi hai s phc z=( a , b ) và z′=( a ′ , b ′ ) thì tích ca chúng ñưc xác ñnh bng: zz.′= (. aa ′ − bbab .,. ′′ + ba .) ′ Có th kim chng rng các phép toán cng và nhân trên có các tính cht giao hoán, kt hp, phép nhân có tính cht phân phi ñi vi phép cng, phn t trung hoà ca phép cng là s phc (0,0) , ca phép nhân là s phc (1,0) ; phn t ngưc ca s phc z=( a , b ) ñi vi phép cng là (−a , − b ) , ñi vi phép nhân (vi ñiu kin a≠0, b ≠ 0 ) là s phc 1 = (a ,− b ) z a2+ ba 22 + b 2 Như vy, tp hp s phc có cu trúc mt trưng, ta gi nó là trưng s phc. 4.2 CÁC CHÚ Ý 1) Có th ñng nht s phc (a ,0) vi s thc a vì ta có: (,0)(,0)(aa+=+′ aa ′ ,0) l sè thùc aa + ′ ; (,0).(,0)aa′= (.,0) aa ′ l sè thùc aa .; ′ Như vy có th coi tp hp s thc là tp con ca tp s phc R⊂ C . Sau này ta s vit a thay cho (a ,0) 2) Có th vit s phc (a , b ) dưi dng tng: (ab , )= ( a ,0) + ( b ,0).(0,1) S (a ,0) ñưc vit bng a , s (b ,0) ñưc vit bng b . Ta ñt i =(0,1) thì ta có i2 =(0,1).(0,1) =− ( 1,0) =− 1 . B môn KHCB 12 Giáo trình toán cao cp 1
Như vy, s phc (a , b ) ñưc vit dưi dng: z=(,) ab =+ abi víi i 2 =− 1 . a ñưc gi là phn thc, b ñưc gi là phn o ca s phc z , s phc i=(0,1) m i 2 = − 1 ñưc gi là ñơn v o. Trong thc t ngưi ta thưng vit s phc dưi dng a+ bi 3) Khi vit s phc dưi dng a+ bi thì ta có th thc hin các phép tính theo các quy tc thông thưng ca s thc (do có cùng cu trúc trưng) và vi chú ý rng i2 = − 1 (abi+ )( + a′′ + bi )( =+ aa ′ )( ++ bbi ′ ); ().().a+ bi a′′ +=+++ bi aa ′′′′ abi bai bbi2 =−++ ( aa ′′ bb )( ab ′′ bai ) ð tìm s phc ño ca s phc z= a + bi ta làm như sau: 1== 1 a− bi ==− a − bi a bi z a+ bi (abiabi+− )( ) a22 + b a 22 + b a 22 + b T ñó, phép chia s phc z cho s phc z′ ≠ 0 ñưc thc hin theo quy tc z.(1 ) . z′ S phc a− bi ñưc gi là s phc liên hp ca s phc a+ bi . 4) Ta tìm nghim ca phương trình x 2 +1 = 0 trong trưng s phc. Ta có th vit x2= −1 = i 2 ; t ñó, x= ± i . Trong trưng s phc mi phương trình bc hai vi h s thc ñu có nghim. 2 Tht vy, ta có: ax2++=+ bx c ax(b )( 2 − b− 4 ac )0(*) = 2a 4a2 ðt =b2 − 4 ac thì: ≥ 0 x = −b ± + Nu phương trình bc hai có nghim thc 2a 2 + Nu < 0 ñt α=−b β 2 = 4 acb − thì (*) tr thành: 2a 4a 2 ax.([ −αβ )2 + 2 ] =⇒=± 0 xi αβ Ví d: Xét phương trình x2 −2 x + 4 = 0 Ta có =−12 = 12 i2 t ñó phương trình có hai nghim phc: x=1 ± i 3 4.3 DNG LƯNG GIÁC CA S PHC B môn KHCB 13 Giáo trình toán cao cp 1
Cho s phc z= x + yi . Có th biu din hình hc s phc ñó trên mt phng s phc: ñó là mt phng trên ñó có hai trc x′ Ox và y′ Oy vuông góc vi nhau. Ta cho tương ng s phc z= x + yi vi ñim M có to ñ (x , y ) trên mt phng ñó (hay vi véc tơ OM ); Các ñim trên trc x′ Ox tương ng vi các s (x ,0) , ñó là các s thc x ; các ñim trên trc y′ Oy tương ng vi các s (0,y ) , ñó là các s phc có dng iy . ð dài r ca véc tơ OM ñưc gi là mô ñun ca s phc z , ta ký hiu là r= z . Góc ϕ gia véc tơ OM và Ox ñưc gi là argumen ca s phc z , ký hiu là ϕ = Argz . Góc ϕ ñưc xác ñnh chính xác ñn 2kπ , ngưi ta thưng chn giá tr chính ca nó trong khong [−π ; π ] . 2 2 y Ta có: xr=cos;ϕ yr = sin( ϕ hayr =+= x ytg ; ϕ x ) Khi ñó ta có th vit s phc z= x + yi dưi dng lưng giác: z= r.(cosϕ + i sin ϕ ) Ví d: Vit các s phc (1,0),i ,1 + i dưi dng lưng giác. Vi s (1,0) ta có x =1; y = 0 nên r =1, tg ϕ=0 ⇒ ϕ = 0 . Vy (1,0)= cos0 + i sin0 i x=0, y = 1 nªn r = 1 tg ϕ=∞⇒ ϕ = π Vi s ta có , 2 i=cosπ + i sin π Vy 2 2 1+i = 2 cosπ + i sin π Tương t ( 4 4 ) Khi vit s phc dưi dng lưng giác thì các phép tính nhân, chia, lu tha các s phc ñưc tin hành thun li. Ta có các quy tc: Nu zr111=.( cosϕϕ + i sin 122) ; zr = .( cos ϕϕ 2 + i sin 2 )thì a) zzrr1212.= .cos[ (ϕϕ 12 ++) i sin( ϕϕ 12 + )] ; z1 r 1 b) =[]cos()()ϕϕ12 −+i sin ϕϕ 12 − ; z 2 ≠ 0 z2 r 2 B môn KHCB 14 Giáo trình toán cao cp 1
n n c) zr11=[cos( nϕ 1) + in sin ( ϕ 1 )] Ta chng minh cho a): 2 zzrr1. 2= 1 . 2 [ cosϕϕ12 .cos + i sin ϕϕ 12 .sin + i (cos ϕϕ 1 .sin2 + sin ϕϕ 1 .cos 2 ) ] = 2 =rr1. 2 [] cos()()ϕϕ12 ++ i sin ϕϕ 12 + ; do i =− 1. Chng minh tương t cho (b). Phép chng minh (c) ñưc suy ra t (a) bng quy np. Dùng kt qu trên có th chng t ñưc rng: Trong trưng s phc căn bc n ca ñơn v [sô phc (1,0) ] có n giá tr khác nhau. Tht vy, ta vit (1,0) dưi dng lưng giác: (1,0) = cos 0 + i sin 0. Gi căn bc n ca (1,0) là z , tc là z n =(1,0) . Gi s s phc z có dng lưng giác là z= r.( cosϕ + i sin ϕ ) Khi ñó: zrcn= n [ osn( ϕ) + i sinn( ϕ )] =+ cos0 i sin0. T ñó suy ra: n  r = 1  r = 1  ⇒  cosnϕ= cos 0;sin n ϕ = sin 0  nkϕ=;⇒=2 π ϕ 2kπ k = 0,1,2 n − 1   n Vy căn bc n ca s phc ñơn v có n giá tr khác nhau, gi các căn bc n ñó là 2kπ 2 k π εk,k= 0,1, n − 1. Ta có: εk =cosn + i sin n ; k = 0,1, , n − 1. B môn KHCB 15 Giáo trình toán cao cp 1
BÀI TP 1.1 Ta ký hiu các khong ñóng, na khong ñóng, na ñóng (hoc na m), m trên tp hp s thc R như sau: ab,  = x ∈ Ra ,≤x ≤ b ;   { } ab,= x ∈ Ra , ≤< x b ;  ){} ab, = x ∈ Ra , <≤ x b ; ({} (ab,) ={ x ∈ Ra , << x b } . Tìm A∪ BA, ∩ BA ,\,\ BB A trong các trưng hp sau: a, A= 3,5 , B =  2,4 ;   b, A= 3,5 , B = 2,4 ;  )() c, A= 3,5 , B =  2,4 . ( )  ) 1.2 Cho AxRx=∈{ ,||5; ≥} BxR =∈−≤<{ ,6 x 0.} Xác ñnh các tp hp: A∪ BA, ∩ BA ,\,\, BB AA và biu din chúng trên trc s. 1.3 Chng minh các ñng thc tp hp sau: ABC∪∩=∪∩∪( ) ( AB) ( AC); ABC ∩∪=∩∪∩( ) ( AB) ( AC ) ; ABC\()∪=∩( AB \\;\) ( AC) ABC() ∩=∪( AB \\;) ( AC ) 1.4 Trong 100 sinh viên có 28 ngưi hc ting Anh, 30 ngưi hc ting ðc, 42 ngưi hc ting Pháp, 8 ngưi hc c ting Anh và ting ðc, 10 ngưi hc c ting Anh và ting Pháp, 5 ngưi hc c ting ðc và ting Pháp, 3 ngưi hc c 3 th ting. Hi có bao nhiêu ngưi không hc ngoi ng nào? Có bao nhiêu ngưi ch hc mt ngoi ng? 1.5 Cho A, B là các tp hp, f là ánh x. Chng minh rng: afA,( ∪ B) = fA( ) ∪ fB( ) ; bfA,()()∩ B ⊂ fA ∩ fB() ; c, Nu f là ñơn ánh thì fA( ∩ B) = fA( ) ∩ fB( ). 1.6 Chng minh rng các ánh x sau là song ánh và xác ñnh ánh x ngưc ca chúng. B môn KHCB 16 Giáo trình toán cao cp 1
af, : R→ R xác ñnh bi f() x= 2 x − 1 b, g :[ 0,1] → [ 0,1 ] xác ñnh bi g( x )= 1 − x 2 1.7 Cho các ánh x fA:→ Rfx ;()2 =− x2 1;: gA → Rgx ;()13; =− x Tìm tp hp A ñ f= g . 1.8 Cho R là tp các s thc, R+ là tp các s thc không âm. Xét hai ánh x: fRR:→+ x¸c ®Þnh bëi fx ( ) = x 2 gRR:→+ x¸c ®Þnh bëi gx ()1 = x 2 + a, f có là ñơn ánh không? Có là toàn ánh không ? Ti sao ? b, Cũng câu hi trên cho ánh x g fR: \ {1}→ R x¸c ®Þnh nh− sau: fx ( ) = 4x − 5 1.9 Cho ánh x x −1 a, f có phi là ñơn ánh, toàn ánh không? ti sao? b, Cho A=[0,3]\ {1}; B = [2,3] . Tìm fA(), f−1 ( B ) p 1.10 S hu t là s có dng q trong ñó p và q là hai s nguyên t cùng nhau. Dùng ñnh nghĩa ñó hãy chng minh s 2 không phi là s hu t (chng minh bng phn chng). 1.11 Các s aba, ,′ , b ′ là hu t, c không phi là hu t. Chng minh rng nu a+ bc = a' + bc ' thì a= ab′, = b ′ . Dùng kt qu y hãy tìm các s x và y sao cho x+ y 2 = 17 + 122 . Nguyên lý quy np : Nhiu mnh ñ toán hc ñưc chng minh bng nguyên lý quy np sau: Nu P là mt tính cht nào ñó ñưc xác ñnh trên tp hp các s t nhiên N sao cho: a, Tính cht P ñúng vi s t nhiên 1. b, Nu tính cht P ñã ñúng cho s t nhiên n thì nó cũng ñúng cho s t nhiên n+1. Khi ñó tính cht P s ñúng cho mi s t nhiên n. Sơ ñ chng minh theo quy np như sau: ðu tiên ta chng t tính cht P ñúng cho n =1. B môn KHCB 17 Giáo trình toán cao cp 1
Sau ñó ta gi s tính cht P ñúng cho n và tìm cách chng minh nó cũng ñúng cho n +1. Ta kt lun tính cht P ñúng cho mi n . n( n + 1) Ví d P=1 + 2 + + n = : Chng min tng: n 2 vi n là s t nhiên bng phương pháp quy np. 1( 1+ 1 ) n =1 P = = 1 Vi ta có 1 2 công thc ñúng. n( n + 1) P = . Ta gi s công thc ñúng cho n, tc là: n 2 T ñó ta s chng (n+1)( n + 2 ) n +1 P = minh công thc ñúng cho tc là phi chng minh: n+1 2 . nn( +1) ( nn + 1)( + 2 ) PPn=++=()1 ++= n 1 Ta có n+1 n 2 2 . Vy công thc ñúng cho mi s t nhiên n. 1.12 Dùng nguyên lý quy np hãy chng minh: a,1( + a)n ≥+ 1 na , a >− 1 b,12 ( +++ n)2 = 13 + 2 3 ++ n 3 . c, Nu mt tp hu hn có n phn t thì s tt c các tp hp con ca nó là 2n ab);)1 1−i ;) c 2 ;)3 d− i 2 . 1.13 Tính: i 1+i 1 − 3 i ( ) 1.14 Vit các s phc i,− 8,1 − i dưi dng lưng giác, t ñó hãy tính: 3 i,3 − 8, 1 − i . 1.15 Tìm min cha ñim phc z nu: az,| |5;> bz ,| + 2|2 i ≥ B môn KHCB 18 Giáo trình toán cao cp 1
CHƯƠNG 2 KHÔNG GIAN VÉC TƠ Trong chương trình toán hc ph thông Trung hc, ta ñã hc các véc tơ trong mt phng và trong không gian. Ta ñã biu din các véc tơ ñó theo ta ñ và ñã bit cách cng các véc tơ và nhân mt véc tơ vi mt s theo các ta ñ ca chúng. Trong chương này ta s m rng khái nim véc tơ hình hc sang véc tơ tng quát, nó có liên quan ñn nhiu vn ñ trong toán hc và trong thc t. §1 KHÔNG GIAN VÉC T Ơ 1.1 ðNH NGHĨA Không gian véc tơ V trên trưng s thc R là mt tp không rng các phn t ñưc gi là các véc tơ trong ñó có xác ñnh hai phép tính: Phép tính th nht là phép cng hai véc tơ: Nu x và y là hai phn t ca V thì tng x+ y cũng là phn t ca V . Phép tính th hai là phép nhân mt véc tơ vi mt s thc : Nu x là mt phn t ca V và α là mt s thc thì α.x cũng là mt véc tơ. Các phép tính ñó phi tha mãn 8 tiên ñ: V1 Phép cng có tính giao hoán : ∀xyVx, ∈ : +=+ y y x . V2 Phép cng có tính kt hp : ∀xyzVx,, ∈ :( ++=++ y ) z x ( y z ). V3 Tn ti phn t không : ∃∈0:V ∀∈ xVx ,0. += x V4 Tn ti phn t ñi : ∀∈xV, ∃−∈ xVx :()0 +− x = V5 Phép nhân vi mt s có tính cht kt hp : ∀,∈∀∈αβRxV, :()( αβ . x =.) αβ x . V6 Tính cht ca s thc 1: ∀xV ∈:1. x = x . V7 Phép nhân vi mt s có tính cht phân phi ñi vi phép cng véc tơ: ∀xyV,, ∈∀∈α Rxy :() α +=+ αα x y . V8 Phép nhân có tính cht phân phi ñi vi phép cng s thc : ∀∈∀,∈xV,αβ R :( αβ + ) xxx = α + β . T các tiên ñ trên suy ra: B môn KHCB 19 Giáo trình toán cao cp 1
a,Phn t không ca V là duy nht Tht vy gi s trong V có hai phn t không là 01 v 0 2 . Theo V 3, vi 01 là phn t không: 01+ 0 2 = 0 2 ; vi 02 là phn t không: 01+ 0 2 = 0; 1 Dùng V 1 ta suy ra 01= 0 2 . b,Phn t ñi ca x∈ V là duy nht Tht vy, gi s trong V có hai phn t ñi ca x là −x1 v − x 2 . T các tiên ñ V 3, V 4, V 2 ta có: −xx22 =− +=−0 xxx 2 ++− ()( 12 =− xxx + )()0() +− 1 =+− xx 11 =− . 1.2 CÁC VÍ D 1. Tp các véc tơ hình hc lp thành mt không gian véc tơ 2. Không gian véc tơ Rn Xét tp hp Rn mà mi phn t ca nó ñưc xác ñnh bng mt b n s thc sp th t: x=( xx1 , 2 , , x n ) Ta ñnh nghĩa phép cng như sau: NxxxÕu =(,, ,),12 xyyyn = (,, ,) 12 y n th× xyxyxy +=+++ ( 1122 , , , xyn n ). Phép nhân mt s thc vi mt phn t trong R n ñưc xác ñnh bng: NxxxxÕu =(,, ,1 2 n ),α ∈ R th× ααα x = ( xx1 , 2 , , α x n ). Dùng tính cht ca tp hp s thc có th chng t rng tp hp Rn tho mãn c 8 tiên ñ ca mt không gian véc tơ. Phn t không trong Rn là (0,0, ,0) , phn t ñi ca phn t x là phn t −=−x( xx1 , − 2 , , − x n ) . Vy tp hp Rn lp thành mt không gian véc tơ trên trưng s thc. 3. Không gian các ña thc Xét tp hp các ña thc vi h s thc có bc không vưt quá n : n n −1 Pxn()= ax0 + ax 1 ++ axan− 1 + n Tng hai ña thc có bc không vưt quá n cũng là mt ña thc có bc không vưt quá n ; tích mt ña thc có bc không vưt quá n vi mt s thc B môn KHCB 20 Giáo trình toán cao cp 1
cũng là mt ña thc có bc không vưt quá n . C 8 tiên ñ nêu trên cũng ñưc tho mãn. ða thc không là ña thc có mi h s bng không. Vy tp hp các ña thc có bc không vưt quá n lp thành mt không gian véc tơ trên trưng s thc. 4. Không gian các hàm. Xét tp hp các hàm s thc f( x ) liên tc trên mt khong (a , b ) nào ñó. Ta có tng các hàm liên tc là hàm liên tc, tích mt hàm liên tc vi mt s thc là hàm liên tc. Hàm không là hàm ñng nht bng không vi mi giá tr ca x . Hàm ñi ca hàm f( x ) là hàm −f( x ) . 8 tiên ñ ñã nêu cũng ñưc tho mãn. Vy tp hp các hàm s liên tc trên mt khong lp thành mt không gian véc tơ trên trưng s thc. 5. Không gian các s phc Xét tp hp C các s phc z= a + bi , vi a, b∈ R , i là ñơn v o: i2 =− 1. Ta ñã bit phép cng hai s phc, phép nhân mt s phc vi mt s thc. Ta có th nghim li 8 tiên ñ ca mt không gian véc tơ cho tp hp s phc. Vy tp hp s phc là mt không gian véc tơ trên trưng s thc. §§§2. CƠ S CA MT KHÔNG GIAN VÉC TƠ Theo ñnh nghĩa ca mt không gian véc tơ, nu v1, v 2 , , v n là các véc tơ thuc không gian véc tơ V và α1, α2 , , α n là các s thì α11v+ α 22 v + + α n v n cũng là mt véc tơ thuc V . 2.1 S ðC LP TUYN TÍNH VÀ PH THUC TUYN TÍNH ðnh nghĩa 1. Biu thc α11v+ α 22 v + + α n v n ñưc gi là t hp tuyn tính ca các véc tơ v1, v 2 , , v n vi các h s α1, α2 , , α n . ðnh nghĩa 2. Các véc tơ v1, v 2 , , v n ca không gian véc tơ V ñưc gi là ñc lp tuyn tính nu mi t hp tuyn tính ca chúng là véc tơ không khi và ch khi mi h s ca t hp ñó bng không: αα1122v+ v ++ αn v n =⇔=== 0 αα 12 α n 0. Trong trưng hp trái li, nu có ít nht mt αi ≠0,i = 1,2, , n thì các véc tơ v1, v 2 , , v n ñưc gi là ph thuc tuyn tính . B môn KHCB 21 Giáo trình toán cao cp 1
Nu các véc tơ v1, v 2 , , v n ph thuc tuyn tính thì mt véc tơ trong chúng s là t hp tuyn tính ca các véc tơ còn li. Tht vy, t α11v+ α 22 v ++ α n v n = 0 và gi s α1 ≠ 0 ta suy ra: α2 α n v1=− v 2 − − v n . α1 α 1 Ví d: Trong không gian các véc tơ hình hc, hai véc tơ ñng phương, ba véc tơ ñng phng là ph thuc tuyn tính. Tht vy, t v1= kv 2 ta suy ra v1− kv 2 = 0 vi h s ca v1 là 1≠ 0 . T ba véc tơ ñng phng thì: v1= kv 2 + lv 3 ta suy ra v1− kv 2 − lv 3 = 0 vi h s ca v1 là 1≠ 0 . Hai véc tơ không ñng phương, ba véc tơ không ñng phng thì ñc lp tuyn tính. Gi s kv1+ lv 2 = 0 ta suy ra k= l = 0 . Tht vy, k v1 v v v nu ≠ 0 thì ta có 1= − k 2 tc là 1, 2 ñng phương, trái gi thit. Tương t cho l . 2.2 CƠ S CA KHÔNG GIAN VÉC TƠ ðnh nghĩa 3 . Mt h các véc tơ v1, v 2 , , v n ca không gian véc tơ V ñưc gi là mt cơ s ca V nu: • Chúng ñc lp tuyn tính. • Mi véc tơ ca V ñu ñưc biu din bng mt t hp tuyn tính ca các véc tơ cơ s v1, v 2 , , v n H các véc tơ v1, v 2 , , v n sao cho vi mi v∈ V ta có: vvv=α11 + α 22 ++ α n v n ñưc gi là h các phn t sinh hay gi tt là h sinh ca V . Như vy, mt cơ s ca không gian véc tơ V là mt h sinh gm các véc tơ ñc lp tuyn tính ca V . Các ví d: Hai véc tơ không ñng phương lp thành mt cơ s trong mt phng. Ba véc tơ không ñng phng lp thành mt cơ s trong không gian hình hc Trong không gian các ña thc có bc không vưt quá 2 các ña thc 1,t , t 2 lp thành mt cơ s. B môn KHCB 22 Giáo trình toán cao cp 1
Tht vy, các ña thc 1,t , t 2 là ñc lp tuyn tính: α.1+ β .t + γ . t 2 = 0 (ña thc không) khi và ch khi α= β = γ = 0 . Mi ña thc có bc không vưt quá 2 ñu ñưc biu din tuyn tính qua 1,t , t 2 .P( t ) = a + bt + ct 2 n Trong không gian véc tơ R n véc tơ e1, e 2 , , e n vi: e1=(1,0,0, ,0), e 2 = (0,1,0, ,0), , e n = (0,0, ,0,1) lp thành mt cơ s Ta chng t các véc tơ e1, e 2 , , e n ñc lp tuyn tính: Xét t hp tuyn tính: αα1122e+++ e αn e n = (,, ,)0 ααα 12 n =⇒=== αα 12 α n 0 Hơn na ∀∈=vVv, (,, ,) aa12 an =+++ ae 11 ae 22 ae n n . Cơ s: e1=(1,0,0, ,0), e 2 = (0,1,0, ,0), , e n = (0,0, ,0,1) ñưc gi là cơ s chính tc ca không gian Rn . Chú ý: Nu v1, v 2 , , v n là mt cơ s ca không gian véc tơ V thì mi véc tơ ca V ñưc biu din mt cách duy nht bng mt t hp tuyn tính ca v1, v 2 , , v n Tht vy, gi s có hai cách biu din ca v∈ V theo cơ s v1, v 2 , , v n : vvv=α11 + α 22 ++ α n v n ; vvv=β11 + β 22 ++ β n v n ; T ñó: 0=−=vv (αβ1 − 11 )( v + αβ 2 − 22 ) ( v ++ αβn − n ) v n , do v1, v 2 , , v n ñc lp tuyn tính ta suy ra: αβαβ1−= 1 2 −== 2 αβn − n = 0 0 tc là α1= βα 12; = β 2 ; ; αn = β n , hai cách biu din ñó trùng nhau. ðnh nghĩa 4 . Nu v1, v 2 , , v n là mt cơ s ca không gian véc tơ V và vVv∈, =αα1122 v + v ++ αn v n th× c¸c sè ααα 12 ,, , n ñưc gi là các to ñ ca véc tơ v theo cơ s v1, v 2 , , v n . 2.3 S CHIU CA KHÔNG GIAN VÉC TƠ Ta chú ý rng nu mt không gian véc tơ V có mt cơ s gm n véc tơ thì n là s ln nht các véc tơ ñc lp tuyn tính có trong V . Ta có ñnh lý sau: B môn KHCB 23 Giáo trình toán cao cp 1
ðnh lý. Gi s v1, v 2 , , v n là mt h sinh ca không gian véc tơ V và gi s vv1, 2 , , vrr ; ≤ n là s ln nht các véc tơ ñc lp tuyn tính ca h. Khi ñó h các véc tơ v1, v 2 , , v r lp thành mt cơ s ca V . Ta ch còn phi chng minh v1, v 2 , , v r là mt h sinh ca V . Vì r là s ln nht các véc tơ ñc lp tuyn tính ca h nên nu thêm mt véc tơ vi, i> r vào h thì các véc tơ vv1, 2 , , vvr , i s ph thuc tuyn tính: αα11vv+++ 22 ααrr vv += ii 0 víi α i ≠ 0 . α1 α2 α r T ñó: vi = v1 + v 2 ++ v r −αi − α i α i Do các véc tơ v1, v 2 , , v n là mt h sinh ca không gian véc tơ V nên vi mi v∈ V ta có: vvv=β11 + β 22 ++ β n v n . Ta ch vic thay các vi, i> r theo biu thc trên vào v ri sát nhp các h s ca v1, v 2 , , v r vào vi nhau thì s biu din ñưc mi véc tơ ca V bng t hp tuyn tính các véc tơ v1, v 2 , , v r . Vy h v1, v 2 , , v r là h sinh ca V và do chúng ñc lp tuyn tính nên chúng lp thành mt cơ s ca V . Như vy, mt cơ s ca không gian véc tơ V là mt h gm s ln nht các véc tơ ñc lâp tuyn tính có trong V . ðnh nghĩa 5. S ln nht các véc tơ ñc lp tuyn tính ca không gian véc tơ V ñưc gi là s chiu ca không gian V . Như vy s chiu ca không gian V chính là s véc tơ trong cơ s ca V . Nu s chiu ca không gian V là n thì ta vit dim V= n . Ta cũng nói V là không gian n chiu. Ta chú ý rng có th chn các cơ s khác nhau trong mt không gian véc tơ. Nu V là không gian n chiu thì mi cơ s ca nó ñu phi cha n véc tơ ñc lp tuyn tính. Các to ñ ca cùng mt véc tơ trong các cơ s khác nhau s khác nhau. Ví d: Xét không gian các ña thc có bc không vưt quá hai. B môn KHCB 24 Giáo trình toán cao cp 1
Nu chn cơ s B= {1, t , t 2 } thì ña thc P( t ) = a + bt + ct 2 có to ñ là (a , b , c ) . Nu chn cơ s B′ ={1, t − 1, tt ( − 1)} (hãy kim tra li các ñiu kin ca mt cơ s) thì P( t ) s ñưc biu din bng: abtct++2 =αβ.1 + (1) t −+ γ tt (1)( −=−+− αββγγ )( ) tt + 2 Ta có: αβ−=a; βγ −= b ; γ = c ; T ñó α=++abc; β =+ bc ; γ = c ; Vy to ñ ca P( t ) trong cơ s B′ là (a+ b + cb , + cc ,) Ta có th vit: Pt( )=++++ abc ( bct )( −+ 1) ctt ( − 1). §3§3§3 KHÔNG GIAN VÉC TƠ CON 3.1 ðNH NGHĨA Ta gi không gian véc tơ con ca không gian véc tơ V là mt tp con V ′ ca V tho mãn hai tính cht sau: NÕu xyV, ∈′ th× x + yV ∈ ′ NxVÕu ∈′ v α l mét sè th× α xV ∈ ′ Ta chú ý rng không gian con V ′ ca V cũng là mt không gian véc tơ vì hai phép tính nêu trên tho mãn c 8 tiên ñ ca mt không gian véc tơ. Tht vy, phn t không cũng thuc V ′ : NxVÕu ∈′ th× 0 = 0 xV ∈ ′ . Phn t ñi ca x∈ V ′ là −=−x( 1) x ∈ V ′ . Các tiên ñ V 1, , V 8 ñã ñúng cho V thì cũng ñúng cho V ′ . 3.2 CÁC VÍ D 1. Xét không gian hình hc R3 . Tp hp mi véc tơ nm trong mt phng ñi qua gc to ñ lp thành mt không gian véc tơ con ca R3 . Tp hp mi véc tơ nm trên ñưng thng ñi qua gc to ñ cũng là mt không gian con ca R3 . 2. Xét không gian véc tơ V . Gi s vv12, , , vn∈ V v α 12 , α , , α n là các s. Tp hp V ′ , mi t hp tuyn tính α11v+ α 22 v + + α n v n ca các véc tơ trên lp thành mt không gian con ca V . B môn KHCB 25 Giáo trình toán cao cp 1
Tht vy, tng hai t hp tuyn tính ca các véc tơ v1, v 2 , , v n cũng là t hp tuyn tính ca các véc tơ ñó, tích mt s thc vi mt t hp tuyn tính ca các véc tơ ñó cũng là mt t hp tuyn tính ca chúng: NvvÕu αα1122+ ++ αn vVvv n ∈′ ; ββ 1122 +++ β n vV n ∈ ′ th× ( αβ1+ 11)v ++ ( αβ 2 22 ) v +++ ( αβn n ) vV n ∈ ′ V Víi mäi sè thùc kkvv:(αα1122+++ αn vkvkv n ) = αα 11 + 22 ++ kvV α n n ∈ ′ . Vy V ′ là mt không gian con ca V . Không gian con V ′ các t hp tuyn tính ca v1, v 2 , , v n còn ñưc gi là không gian véc tơ sinh bi các véc tơ v1, v 2 , , v n . Ta tha nhn rng nu không gian V có s chiu là n thì mi không gian con ca V có s chiu là n′ víi n ′ ≤ n . B môn KHCB 26 Giáo trình toán cao cp 1
BÀI TP 2.1 Chng t rng vi mi véc tơ v trong không gian véc tơ V và vi s thc k tùy ý nu kv = 0 thì hoc k = 0 hoc v = 0 . 2.2 Chng minh hai tính cht sau ca không gian véc tơ V : a) Vi uvw, , ∈ V thì t u+ w = v + w ta suy ra u= v . b) Vi u, v∈ V và k là s thc khác không thì t ku= kv ta suy ra u= v . 2.3 Cho a, b , c là ba s thc tùy ý. Xét tp V mi b có th t ba s thc (,x y , z ) sao cho ax+ by + cz = 0. Chng t rng V là mt không gian véc tơ trên trưng s thc. 2.4 Tp hp mi ña thc bc n có lp thành mt không gian véc tơ không? Gii thích ti sao? 2.5 Cho các véc tơ v1 =(1,1) và v2 =( − 3,2) . Chng t rng chúng ñc lp tuyn tính và lp thành mt cơ s ca R2 . Tìm ta ñ ca véc tơ v =(1,0) theo cơ s ñó. 2.6 Chng minh rng trong không gian R3 : a, Các véc tơ v1=(2,1,1), v 2 = (1,3,1), v 3 =− ( 2,1,3) ñc lp tuyn tính. b, Các véc tơ v1=(1,0,3), v 2 = (0,1,2), v 3 =− (2, 3,0) ph thuc tuyn tính. 2.7 Chng minh rng các véc tơ: v1=(0,1,1,1), v 2 = (1,0,1,1), v 3 = (1,1,0,1), v 4 = (1,1,1,0) lp thành mt cơ s ca không gian R4 . Tìm các ta ñ ca véc tơ v =(1,1,1,1) theo cơ s ñó. 2.8 Trong không gian P các ña thc có bc không vưt quá 4 ta xét các ña thc có nghim là x= ax, = b vi a≠ b . Chng t rng tp hp ñó là mt không gian con ca không gian P . Tìm mt cơ s ca không gian ñó. 2.9 Trong không gian F các hàm s mt bin s thc t hãy chng t rng các hàm s t,sin t , e t là ñc lp tuyn tính. Chng t rng mi hàm s có dng ft()=++ at b sin t cet víi abc ,, ∈ R lp thành mt không gian con ca không gian F . B môn KHCB 27 Giáo trình toán cao cp 1
2.10 Chng minh rng hai s phc a+ bi v c + di to thành mt cơ s ca không gian véc tơ C các s phc khi và ch khi ad≠ bc . 2.11 Cho không gian véc tơ E; F v G là hai không gian con ca E . Ta gi H là tp hp các z∈ E sao cho z= x + y vi x∈ Fy, ∈ G . 1) Chng minh H là mt không gian véc tơ con ca E . 2) Chng minh rng ñ F∩ G = {0} thì cn và ñ là z ñưc biu din mt cách duy nht bi z=+ xy, víi xFyG ∈ , ∈ . T ñó suy ra rng mi hàm s mt bin s thc xác ñnh trên [−a , a ] có th ñưc phân tích mt cách duy nht thành tng hai hàm, mt hàm chn và mt hàm l. B môn KHCB 28 Giáo trình toán cao cp 1
CHƯƠNG 3 MA TRN VÀ ðNH THC §§§1 PHÉP TÍNH MA TRN 1.1 ðNH NGHĨA MA TRN Cho m , n là hai s nguyên dương. Mt ma trn loi m× n là mt bng hình ch nht gm m. n s thc ñưc trình bày theo m hàng và n ct: a11 a 12 a 1 n    a a a   21 22 2 n  A =   (1)     am1 a m 2 a mn  Các s aij ;1≤≤ im ,1 ≤≤ jn ñưc gi là các phn t ca ma trn A (phn t nm hàng i và ct j ca ma trn). Ma trn loi 1×n là ma trn hàng: nó ch có mt hàng. Ma trn loi m×1 là ma trn ct: nó ch có mt ct. Gi s ta có ma trn A. Bây gi ta lp mt ma trn mi, nó có các hàng là các ct ca ma trn A còn các ct là các hàng ca ma trn A (vn gi nguyên th t các hàng và các ct). Ma trn mi này ñưc gi là ma trn chuyn v ca ma trn A, ta ký hiu nó là At . Như vy, nu A là ma trn cho bi (1) thì ta có: a a a 11 21m 1    a12 a 22 a m 2  t   A =       a1n a 2 n a mn  Nu A là ma trn loi m× n thì At là ma trn loi n× m . Ma trn loi n× n là ma trn vuông cp n ; nó có n hàng và n ct. Các phn t ca ma trn vuông có ch s hàng bng ch s ct a11; a 22 ; ; a nn là các phn t nm trên ñưng chéo chính. Ma trn vuông ñưc gi là ma trn ñi xng nu các phn t v trí ñi xng qua ñưng chéo chính là bng nhau. Vi ma trn ñi xng ta có: aij= a ji ij ≠ B môn KHCB 29 Giáo trình toán cao cp 1
Ma trn vuông ñưc gi là ma trn chéo nu mi phn t nm ngoài ñưng chéo chính ñu bng không Ma trn không là ma trn có mi phn t ñu bng không. Hai ma trn là bng nhau nu chúng cùng loi và có các phn t tương ng bng nhau. Các Ví d: 1 0  1 2 3    t   A= ; A =  2 5  0 5 4        3 4      5− 1 0  1 0 0      B = 3 8 2  C = 0 4 0  Ma trn vuông:  ; Ma trn chéo       0 6 4  0 0− 2     1 0 5    D = 0 3 7  Ma trn ñi xng     5 7 2  1.2 CÁC PHÉP TÍNH TRÊN MA TRN Phép cng hai ma trn Gi s Aa=( ij); Bb = ( ij ) là hai ma trn cùng loi m× n . Tng hai ma trn A và B là mt ma trn C cùng loi vi A v B . Phn t cij (hàng i , ct j ) ca ma trn C là tng các phn t v trí tương ng ca A và B cij= a ij + b ij Ta ký hiu: C= A + B . Có th nghim li rng phép cng các ma trn tha mãn 4 tiên ñ ca phép cng véc tơ ñã nêu trong chương hai, ma trn ñi ca A là ma trn có các phn t là các phn t ñi ca các phn t tương ng ca ma trn A. Phép nhân mt ma trn vi mt s thc B môn KHCB 30 Giáo trình toán cao cp 1
Tích ca mt ma trn A vi mt s thc α là mt ma trn cùng loi vi A có phn t v trí (i , j ) là tích ca α vi phn t aij ca ma trn A. Ta vit: αA= ( α a ij ) Có th nghim li rng phép nhân mt ma trn vi mt s thc tha mãn hai tiên ñ 5, 6 ca phép nhân mt véc tơ vi mt s thc; phép nhân và phép cng tha mãn c hai tiên ñ 7, 8 ca mt không gian véc tơ. Vy tp hp các ma trn cùng hai phép tính nêu trên lp thành mt không gian véc tơ trên trưng s thc. 123  20− 4     Ví d: Cho A=; B =   . 054  352−  321−   246     Ta có: A+ B =; 2 A =   306   0108  Phép nhân hai ma trn Phép nhân mt ma trn hàng vi mt ma trn ct. Gi s: uuu= ( 1 2 u n ) ; v1    v   2 v =       v  u là ma trn hàng loi (1×m ) , v là ma trn ct loi (n× 1) . Tích ca u v v ñưc xác ñnh bi: uv=( uv11 + uv 22 ++ uvn n ) . b, Phép nhân hai ma trn. ðiu kin ca phép nhân: Mun nhân ma trn A vi ma trn B thì s ct ca ma trn A phi bng s hàng ca ma trn B . Tích ca ma trn A loi (m× p ) và ma trn B loi (p× n ) là mt ma trn C . C là ma trn loi (m× n ) có phn t v trí (i , j ) bng tích ca hàng i ca ma trn A vi ct j ca ma trn B : cij= abi 1 1 j + ab i 2 2 j ++ ab in nj . Ta ký hiu C= AB. . B môn KHCB 31 Giáo trình toán cao cp 1
Ví d: Cho các ma trn: 1 3 0 0  3 1 4       A= ; B =  1100; Tìm ma trn tích C= AB. . 2 0 5        0 0 1 1  C s là ma trn loi (2× 4) vi: c11 =×+×+×=311140 4; c 12 =×+×+×= 331140 10 c13 =×+×+×=301041 4; c 14 =×+×+×= 301041 4; c21 =×+×+×=210150 2; c 22 =×+×+×= 230150 6; c23 =×+×+×=2000515; c 24 =×+×+×= 2000515. 4 10 4 4    Ma trn tích: C =   2 6 5 5   Ta có th nghim li rng: Nu các ma trn A, B , C tha mãn ñiu kin nhân: A là ma trn loi (m× p ) , B là ma trn loi (p× q ) , C là ma trn loi (q× n ) thì tích ABC. . có tính kt hp: ABC(.)= (.) ABC Nhưng ta cn chú ý rng phép nhân hai ma trn không có tính cht giao hoán. Nu ma trn A nhân ñưc vi ma trn B thì chưa chc B ñã nhân ñưc vi A (không tha mãn ñiu kin nhân); ngay c khi tích B. A tn ti thì chưa chc ta có AB.= BA . . 11   10 2 0       Ví d: Cho A=; B =   . Khi ñó AB =   còn 00   10  0 0  1 1    BA =   1 1  Nu A và B tha mãn ñiu kin nhân thì Bt và At cũng tha mãn ñiu kin nhân và ta có: (AB . ) t= BA t t Chuyn v ca ma trn tích bng tích các ma trn chuyn v nhưng ly theo th t ngưc li. Ta cũng cn chú ý rng trong phép nhân ma trn thì h thc AB = 0 chưa chc ñã kéo theo hoc A = 0 hoc B = 0. 0 0  0 1  0 0        Chng hn, cho A= ; B =   Nhưng AB =  . 0 1   0 0  0 0   B môn KHCB 32 Giáo trình toán cao cp 1
Bây gi ta xét ma trn vuông cp n là ma trn chéo có các phn t nm trên ñưng chéo chính bng 1. Ta ký hiu ma trn ñó là I Khi ñó mi ma trn vuông A cp n ta có: AI= IA = A Ma trn I ñưc gi là ma trn ñơn v cp n . §§§2 ðNH THC 2.1 HOÁN V VÀ NGHCH TH Cho tp hp hu hn E= {1,2, , n } . Xét mt hoán v ca các phn t ca E (ñó là mt song ánh P t E vào chính nó): 1 2 n    P   α1 α 2 α n  vi α1, α 2 , , α n ∈ E . Ly hai s αi, α j trong mt hoán v ca E . Nu αi> α j vi i> j thì ta nói các s αi, α j lp thành mt nghch th. Ví d: Trong hoán v 3214 ca 4 s 1234 thì có 3 cp to thành nghch th, ñó là (3,2),(3,1),(2,1) ð αi, α j lp thành mt nghch th thì (αι − α j )(i − j )0 < . Ta ký hiu I (α1, α 2 , , α n ) là tng s tt c các nghch th ca hoán v (α1, α 2 , , α n ). Trong ví d trên ta có: I(3,2,1,4)= 3 . ðnh nghĩa 1. Mt hoán v ca E ñưc gi là hoán v chn nu tng s các nghch th ca nó là chn hoc bng không , hoán v là l nu tng s các nghch th ca nó là l. Xét mt hoán v (α1, α 2 , , α n ). Nu ta ñi ch hai phn t αi, α j cho nhau còn các phn t khác vn gi nguyên thì ta nói ñã thc hin mt phép chuyn v . Phép chuyn v làm thay ñi tính chn l ca hoán v. Ví d: Xét hoán v 3,2,1,4 ca bn s 1,2,3,4 . Ta có I(3,2,1,4)= 3 . Nu ta ñi ch 2 và 1 cho nhau (thc hin mt phép chuyn v), khi ñó I(3,1,2,4)= 2 . Bây gi ta xét thêm mt ví d ñ minh ha mt tính cht khác ca hoán v. B môn KHCB 33 Giáo trình toán cao cp 1
Cho E = {1,2,3,4,5} và xét mt hoán v ca E là 5,3,4,2,1 . 1 2 3 4 5    PE: → EP   5 3 4 2 1  Nó có 9 nghch th (hoán v l). Ta sp xp li các ct ca ma trn trên ñ ñưa hàng 2 v th t t nhiên bng cách thc hin phép ñi ch các ct cnh nhau. ði ch ct 5 cho ct 4 ri cho ct 3, ct 2 ri cui cùng ct 1, tc là thc hin 4 phép chuyn v. 5 1 2 3 4    P   1 5 3 4 2  Tip tc ñưa ct 5 ca ma trn mi ñn v trí ct 2 , tc là thc hin 3 5 4 1 2 3    phép chuyn v: c5→ c 4 → c 3 → c 2   1 2 5 3 4   ði ch ct 4 cho ct 3, thc hin mt phép chuyn v: 5 4 2 1 3      1 2 3 5 4   Cui cùng ñi ch ct 5 cho ct 4 , thc hin mt phép chuyn v: 5 4 2 3 1      1 2 3 4 5   Như vy ñ ñưa hàng 2 v th t t nhiên ta ñã bin ñi ma trn xut phát bng ñúng 9 phép chuyn v hai ct cnh nhau (bng s nghch th hàng 2 ca ma trn xut phát). Sau mi phép chuyn v ñó hàng 1 thêm mt nghch th, hàng 2 bt ñi mt nghch th. Như vy hàng 1 ca ma trn cui cùng có cùng s nghch th vi hoán v P Có th coi hàng ñó như mt hoán v ngưc ca P ; ta biu din nó bng P −1 . Phương pháp trình bày như trên có th áp dng cho bt kỳ hoán v nào ca tp hp E= {1,2, , n } . Ta có kt qu tng quát sau: ðnh lý : Nu mt hoán v tùy ý P: E→ E có k nghch th thì hoán v ngưc P −1 cũng có k nghch th . B môn KHCB 34 Giáo trình toán cao cp 1
1 2 n  β β β     1 2 n Ma trn:   ñưc ñưa v dng:   bng k phép α1 α 2 α n   1 2 n  ñi ch hai ct cnh nhau. 2.2 ðNH NGHĨA ðNH THC a a 11 12  Cho ma trn vuông cp 2 A =  . Ta gi ñnh thc ca ma trn 2 a21 a 22  là ñnh thc cp 2, ký hiu det(A ) , là mt s xác ñnh như sau: det(A ) = aa11 22 − aa 12 21 . a11 a 12 Ta cũng ký hiu ñnh thc cp hai bi . a21 a 22 Giá tr ca det(A ) là tích ca phn t nm trên ñưng chéo chính tr ñi tích các phn t nm trên ñưng chéo kia. Nói cách khác, ñó là hiu ca hai s hng, mi s hng là tích ca hai phn t: mi phn t nm trên ñúng mt hàng và ñúng mt ct, ch s th nht ch hàng ch s th hai ch ct, ñó là hai hoán v ca hai s 1 và 2 : ñó là (1,2) và (2,1) . Hoán v sau có mt nghch th, nó là l; s hng ng vi phn t ñó có du tr.   a11 a 12 a 13    3 A=  a a a  A Xét ma trn vuông cp :  21 22 23 . ðnh thc ca ma trn là   a31 a 32 a 33   ñnh thc cp 3, ñó là s: a11 a 12 a 13 det(A ) = a a a =++− aaa aaa aaa 21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 (1) a31 a 32 a 33 −aaa13 22 31 − aaa 12 21 33 − aaa 11 23 32 Ta nhn xét rng mi s hng ca ñnh thc cp 3 gm tích ca 3 phn t, mi phn t nm trong ñúng mt ct và ñúng mt hàng. Các tha s trong mi s hng ñưc vit theo quy tc sau: ðu tiên là phn t hàng mt ri ñn hàng hai, hàng ba. Ch s các ct ca các tha s ñó lp thành mt hoán v ca ba s 1,2,3 . S các hoán v ca ba s là 3!= 6 va bng s các s hng vit trong (1). Trong 6 hoán v ca 1,2,3 thì các hoán v 1,2,3; 2,3,1; 3,1,2 là chn, chúng ng B môn KHCB 35 Giáo trình toán cao cp 1
vi các s hng mang du + biu thc ca ñnh thc vit trong (1), còn các hoán v 3,2,1; 2,1,3; 1,3,2 là l, chúng ng vi các s hng mang du − (1). I(,α1 α 2 , α 3 ) Vì vy ta có th vit: det(A )=∑ ( − 1) aaa1α1 2 α 2 3 α 3 Tng ñưc ly theo mi hoán v ca 123 . Da vào nhn xét trên ta có ñnh nghĩa ñnh thc cp n . ðnh nghĩa 2. Xét ma trn vuông A cp n . ðnh thc ca ma trn A là mt s, ký hiu là det(A ) , s ñó ñưc xác ñnh bng: I(α1 , α 2 , , α n ) det()A=∑ (1) − aaa1α1 2 α 2 n α n (2) trong ñó α1, α 2 , , α n là mt hoán v ca n s 1,2, , n , I(α1 , α 2 , , α n ) là tng các nghch th ca hoán v ñó, tng ∑ ñưc ly theo mi hoán v ca n s 1,2, , n (có tt c n! hoán v nên tng ñó cha n! s hng). Ta cũng ký hiu ñnh thc cp n ca ma trn A bng: a11 a 12 a 1 n a21 a 22 a 2 n A det( ) = an1 a n 2 a nn 2.3 CÁC TÍNH CHT CA ðNH THC Xét mt ñnh thc cp n . ð thun tin cho vic phát biu các tính cht ca ñnh thc ta ký hiu A1, A 2 , , A n là các ct ca ñnh thc và ta vit DAA( 1, 2 , A n ). Tính cht 1. Nu mt ñnh thc có mt ct ñưc phân tích thành tng ca ' '' hai véc tơ ct, chng hn Aj= A j + A j thì ta có th phân tích ñnh thc thành tng ca hai ñnh thc: ' '' ' '' DAA( 1, 2 , , Ajjn+ A , A) = DAA( 12 , , , A jn , , A) + DAA( 12 , , , A jn , A ) Tht vy trong biu thc ca ñnh thc (2), mi s hng trong tng ñu có cha mt phn t nm ct th j , ta ch vic thay phn t ñó bng tng aij′+ a ij ′′ , sau ñó ta tách tng toàn b thành hai tng: mt ng vi các s hng có cha aij′ mt ng vi các s hng có cha aij′′ . B môn KHCB 36 Giáo trình toán cao cp 1
Tính cht 2. Có th ñưa tha s chung ca mt ct ra ngoài du ñnh thc: DA( 1, , kAjn , A) = kDA( 1 , , A jn , , A ) . Mi s hng ñu cha k do ñó ta ch vic ñưa k ra ngoài du tng. Tính cht 3. ði ch hai ct thì ñnh thc ñi du. DA( 1, , Aijn , , AA , ) = − DA( 1 , , A jin , , AA , ) Vic ñi ch làm thay ñi tính chn l ca hoán v, do ñó trong biu thc (2) các s hng mang du + s chuyn thành − và các s hng mang du − s chuyn thành + . H qu. ðnh thc có hai ct ging nhau thì bng không. Tht vy, ñi ch hai ct ging nhau thì ñnh thc không thay ñi nhưng theo tính cht 3 thì ñnh thc ñi du, ta có D=− D ⇒ D = 0 . Tính cht 4. Nu mt ct ca ñnh thc là t hp tuyn tính ca các ct khác thì ñnh thc bng không. Ch vic áp dng tính cht 1 ñ phân tích ñnh thc thành tng nhiu ñnh thc, sau ñó áp dng tích cht 2 ta s ñưa v các ñnh thc có hai ct ging nhau, chúng ñu bng không. H qu. Nu thêm vào mt ct ca mt ñnh thc mt t hp tuyn tính các ct khác thì ñnh thc không thay ñi: DAA( 1, ,j+∑ αι AA in , ,) = DAA( 1 , , jn , , A ) . Tính cht 5. ðnh thc ca ma trn chuyn v ca ma trn A bng ñnh thc ca ma trn A: det(At ) = det ( A ). Nói cách khác, giá tr ca ñnh thc không thay ñi khi ta chuyn hàng thành ct, chuyn ct thành hàng, vn gi nguyên th t. Gi các phn t ca ma trn A là aij , ta có: I (α1, α 2 , , α n) det(A) =∑() − 1 aaa1α1 2 α 2 n α n (2) t Gi các phn t ca ma trn chuyn v A là bij tc là bij= a ji ta có: I (βββ1, 2 , , n) I ( βββ1, 2 , , n ) det()A=−∑() 1 bbb1βββ1 2 2 n n =− ∑ () 1 aaa βββ11 2 2 n n (3) B môn KHCB 37 Giáo trình toán cao cp 1
Mi tích trong (3), chưa k du, cũng là mt tích trong (2) vì tích ñó cha các phn t thuc ñúng mt hàng và ñúng mt ct, du ca chúng cũng như nhau vì 1 2 n  β β β     1 2 n hai hoán v:  ;   có cùng s nghch th. α1 α 2 α n  1 2 n  T ñó ta có: det(At ) = det ( A ). Tính cht 5 cho ta mt kt qu quan trng: trong mt ñnh thc vai trò ca ct và hàng là như nhau, các tính cht ñã ñúng cho ct thì cũng ñúng cho hàng , trong các phát biu ca các tính cht 1, 2, 3, 4 ta ch vic thay t ct bng t hàng. 2.4 KHAI TRIN MT ðNH THC Công vic tính ñnh thc cp hai rt ñơn gin. Vì vy ta tìm cách ñưa các ñnh thc cp cao v các ñnh thc cp hai. 1. ðnh thc con. Phn bù ñi s Cho ma trn vuông A cp n. Ta gi ñnh thc con ca phn t aij ca ma trn A là ñnh thc Dij ca ma trn nhn ñưc t ma trn A bng cách xóa ñi hàng i ct j . Như vy Dij là ñnh thc cp n −1. Xét ñnh thc cp 3 ca ma trn A. a11 a 12 a 13 det(A ) = a a a =++− aaa aaa aaa 21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 a31 a 32 a 33 −aaa13 22 31 − aaa 1123 32 − aaa 12 21 33 Nhóm các s hng có cha a11 li ta ñưc: aaa11( 22 33− aa 23 32) = aD 11 11 vi D11 là ñnh thc con ca phn t a11 . Như vy: Tng các s hng cha a11 ca ñnh thc bng tích ca a11 vi ñnh thc con D11 ca nó. Tính cht trên cũng ñúng vi ñnh thc cp n . B ñ. Trong ñnh thc ca ma trn vuông A cp n có cha (n − 1)! s hng cha a11 làm tha s. Tng ca (n − 1)! s hng ñó bng tích a11 D 11 vi D11 là ñnh thc con ca phn t a11 . B môn KHCB 38 Giáo trình toán cao cp 1
I (α1, α 2 , , α n) Ta có: det(A) =∑() − 1 aaa1α1 2 α 2 n α n (2) Tng ñưc ly theo mi hoán v ca n s (1,2, ,n ) . Mt s hng tùy ý cha a11 làm tha s khi và ch khi α1 = 1, còn li (α2, , α n ) là mt hoán v ca n −1 s và như vy có (n − 1)! hoán v tc là có (n − 1)! s hng cha a11 . Vì s nghch th ca (α2, , α n ) cũng bng s nghch th ca (1,α2 , , α n ). Khi cho α1 = 1 trong (2) ta có: I (1,α2 , , α n) I (α2, , α n) a11∑(1)− aaa 2αα2 n n =− 11 ∑ () 1 aaaD 2 αα2 n n = 1111 (tng sau cùng theo ñnh nghĩa chính là ñnh thc D11 ). Ta có mt kt qu tng quát hơn: Trong ñnh thc ca ma trn vuông A cp n có (n − 1)! s hng cha phn i+ j t aij làm tha s. Tng ca (n − 1)! s hng ñó bng (−1) aij D ij vi Dij là ñnh thc con ca phn t aij . Tht vy, xét mt phn t aij nào ñó. Ta ln lưt chuyn hàng i ca ñnh thc lên hàng mt bng i −1 phép ñi ch hai hàng liên tip, ñnh thc nhn ñưc có phn t ai1 nm góc trái trên cùng. Bây gi ta li chuyn ct j (có cha phn t aij ) lên v trí ct 1 bng j −1 phép ñi ch hai ct liên tip. Như vy trong ñnh thc cui cùng này, ta gi nó là det (A′), phn t aij s nm góc trái trên cùng (v trí 1.1). ðnh thc cui cùng det (A′), ñưc suy t ñnh thc xut phát, det (A), bng i+ j − 1 ln ñi ch, mi ln ñi ch ñnh thc ñi du mt ln, do ñó: det(A) =−( 1)ij+ −2 det( A′) =−( 1) ij + det ( A ′ ) Theo b ñ trên, các s hng cha aij s bng aij nhân vi ñnh thc con nhn ñưc t A′ bng cách b ñi hàng 1 và ct 1, ñnh thc con ñó cũng chính là ñnh thc con ca phn t aij trong A. Vy tng các s hng cha aij trong i+ j det(A) là: (−1) aij D ij . ðnh nghĩa. Phn bù ñi s ca phn t aij trong ma trn A là ±Dij , ly du cng khi tng ch s hàng và ct ca aij là chn, du tr nu tng ñó l. i+ j Ký hiu phn bù ñi s ca aij là Aij ta có: Aij=( − 1) D ij . 2. ðnh lý khai trin B môn KHCB 39 Giáo trình toán cao cp 1
Vi ma trn vuông A cp n ta có: det(AaAaA) =i11 i + i 22 i ++ aAi in in ; = 1,2, , n (khai trin theo hàng i) det(AaAaA) =+++11jj 22 jj aA njnj ; j = 1,2, , n (khai trin theo ct j) ðnh lý này là kt qu ca b ñ trên khi ta nhóm các s hng có cha ai1, a i 2 , , a in (hoc a1j, a 2 j , , a nj ) trong biu thc ca ñnh thc. Ví d 1: Tính ñnh thc bng cách dùng ñnh lý khai trin: 3 1 5 D = − 1 2 1 . −2 4 3 Ta khai trin theo hàng mt: 24− 11 − 12 D =3 − + 5 =−−−++−+= 364()()() 325447 . 13− 23 − 24 Dùng các tính cht ca ñnh thc ta có th bin ñi sao cho trong ñnh thc có cha mt hàng hoc mt ct gm nhiu s không, sau ñó ta ch vic khai trin theo hàng hoc ct ñó. Ví d 2: Tính li ñnh thc D trong ví d 1. Ly hàng mt cng vi 3 ln hàng hai ri ly hàng ba tr ñi hai ln hàng hai ta ñưc: 0 7 8 0 7 D =−121 = = 7 (khai trin theo hàng ba) −1 2 0 0 1 2− 406 4− 567 Ví d 3: Tính ñnh thc cp 4: D = 3 0 12 −2 2 80 ðem ct mt tr ñi ba ln ct ba, sau ñó ñem ct bn tr ñi hai ln ct ba: B môn KHCB 40 Giáo trình toán cao cp 1
2− 40 6 2− 4 6 −14 − 56 − 5 D = =−−−=1 14 5 5 0 01 0 −26 2 − 16 −26 2 8 − 16 2 0 0 −33 37 =−−14 3337 = 2 =− 392. −50 62 −26 − 50 62 (trong ñnh thc cp ba ta ly ct hai cng hai ln ct mt và ct ba tr ba ln ct mt). 3. ðnh thc ca ma trn tích aa bb 11 12   11 12  Cho các ma trn vuông cp hai: A= ; B =  a a    21 22  b21 b 22  ab1111+ ab 1221 ab 1112 + ab 1222 Tính tích AB. . T ñó ta có: det ()AB = . ab2111+ ab 2221 ab 2112 + ab 2222 Ta có th tách ñnh thc trên thành bn ñnh thc: a11 a 11 ðnh thc 1 = b11 b 12 = 0; a21 a 21 a11 a 12 ðnh thc 2 = bb1122= det () Abb 1122 ; a21 a 22 a12 a 11 ðnh thc 3 = bb21 12= − det () Abb 21 12 a22 a 21 a12 a 12 ðnh thc 4 = b21 b 22 = 0. a22 a 22 Cui cùng ta có: det(AB) = det( Abb)( 11 22 − bb 21 12 ) = det( A) det( B ) . Kt qu trên cũng ñúng cho trưng hp A, B là các ma trn vuông cp n: ðnh thc ca ma trn tích bng tích các ñnh thc ca tng ma trn. B môn KHCB 41 Giáo trình toán cao cp 1
§§§3.§3. MA TRN NGHCH ðO Xét các ma trn vuông cp n . ðnh nghĩa. Ma trn A là kh nghch nu tn ti ma trn B cùng cp sao cho: AB.= BA . = I (1) Vi I là ma trn ñơn v cùng cp. Khi ñó ma trn B ñưc gi là ma trn nghch ño ca ma trn A, ta ký hiu nó bng A−1 . Ta có: AA.−1= AA − 1 . = I Ta s xét xem vi ñiu kin nào ca A thì nó là kh nghch? ðnh lý. ð ma trn A là kh nghch thì ñiu kin cn và ñ là ñnh thc ca ma trn A phi khác không. A kh¶ nghÞch ⇔det A ≠ 0 * ðiu kin cn. Gi s A kh nghch, khi ñó tn ti ma trn A−1 ñ: AA. −1 = I . Theo ñnh lý v ñnh thc ca tích hai ma trn ta có: det(.AA−1 )= det AA .det( − 1 ) = det() I =≠⇒ 1 0; det() A ≠ 0 * ðiu kin ñ. Gi s det(A )≠ 0 . Ta phi ñi tìm mt ma trn B tha mãn (1). Ta vn gi aij là các phn t ca ma trn A và Aij là phn bù ñi s ca phn t aij trong ma trn A. t Chuyn v ma trn A ta ñưc ma trn A . Như vy nu A= ( a ij ) thì t A= ( a ji ) t Thay trong ma trn A các phn t a ji bi phn bù ñi s Aji ca chúng ta ñưc mt ma trn mi, ta gi ma trn ñó là ma trn ph hp ca ma trn A và ɶ ɶ ký hiu nó là A. Như vy A= ( A ji ). Bây gi ta xét tích AA.ɶ và AAɶ. . Ly hàng i trong ma trn A nhân vi ct k trong ma trn Aɶ ta ñưc phn t cik v trí i, k trong ma trn tích. Các phn t trong hàng i ca ma trn A là ai1, a i 2 , , a in ; ɶ Các phn t trong ct k ca ma trn A là Ak1, A k 2 , , A kn ; (2) B môn KHCB 42 Giáo trình toán cao cp 1
Nu k= i thì các phn t cii s là các phn t nm trên ñưng chéo chính ca ma trn tích. Ta có: caAaAii= ii11 + ii 22 ++ aA inin = det() A (khai trin theo hàng i ). Nu k≠ i ta xét ma trn A′ là ma trn nhn ñưc t A bng cách thay hàng k bi hàng i , các hàng khác không thay ñi. Như vy ma trn A′ có hàng k là: ai1, a i 1 , , a in (3). còn các hàng khác ging như các hàng tương ng ca ma trn A. Vì vy khi ta gch hàng k ct j ca ma trn A′ thì các phn t còn li ca ma trn A′ cũng ging như các phn t còn li ca ma trn A khi ta gch hàng k ct j . T ñó suy ra các phn bù ñi s ca các phn t nm trên hàng k ct j ca A và A′ là như nhau: Akj= A kj′ . Thay vào (2) ta ñưc: cik= aA ik11′ + aA ik 22 ′ ++ aA inkn ′ ; ik ≠ . ðó chính là công thc khai trin ca det(A′ ) theo hàng k [ñ ý ti (3)]. Nhưng det(A′ ) có hai hàng ging nhau (các phn t ca hàng k và hàng i cùng là ai1; a i 2 , , a in ) do ñó det(A′ )= 0 tc là cik = 0 vi i≠ k . ɶ Tóm li, các phn t cik ca ma trn tích AA. là: det(A) , khi i= k  cik =  0 khi i≠ k  Ma trn AA.ɶ khi ñó là ma trn chéo có các phn t nm trên ñưng chéo chính bng det(A), t ñó ta có: AA.ɶ = det( AI ).   Vì det(A )≠ 0 nên: A. 1 Aɶ = I det (A)     Tương t ta cũng chng minh ñưc:  1 Aɶ A= I det (A)   Vy ma trn nghch ño ca ma trn A là: A−1 = 1 A ɶ. det (A) Tóm li, ñ tìm ma trn nghch ño ca ma trn A ta thc hin các bưc sau: B môn KHCB 43 Giáo trình toán cao cp 1
• Tính det(A ) . Nu det(A )= 0 ma trn A không kh nghch (không có ma trn nghch ño), còn nu det(A )≠ 0 , ma trn A kh nghch. • Chuyn v ma trn A ri thay các phn t ca At bng các phn bù ñi s ca chúng ta ñưc ma trn ph hp Aɶ . • Cui cùng ta có A−1 = 1 A ɶ det (A) Ví d 1. Chng t rng ma trn A dưi ñây là kh nghch và tìm ma trn nghch ño ca nó:   1 2− 1    A = 3 0 2      4− 2 5  1 2− 1 Ta có det()A = 3 0 2 = − 4. Ma trn A là kh nghch. 4− 2 5    1 3 4    A At = 2 0 − 2  Chuyn v ma trn ta ñưc:     −1 2 5   Thay các phn t ca At bng các phn bù ñi s ca chúng ta ñưc ma trn ph hp:    4− 8 4    Aɶ = −7 9 − 5      −6 10 6  Vy ma trn nghch ño ca ma trn A là:   −1 2 − 1      A−1 =1 A ɶ =  795−  det ()A  4 4 4     3− 5 3   2 2 2   B môn KHCB 44 Giáo trình toán cao cp 1
  1 1 1    Ví d 2. A =1 2 − 1  det(A )= 0 Ma trn   có nên không có ma trn   1 0 3  nghch ño. §4. HNG CA MA TRN 4.1 ðNH NGHĨA HNG CA MA TRN Cho A là ma trn loi m× n . Nu ta ly ra k hàng và k ct thì các phn t nm trên giao ñim ca các hàng và các ct ly ra ñó lp thành mt ma trn vuông cp k . ðnh thc ca ma trn vuông ñó ñưc gi là ñnh thc con cp k trích t ma trn A. Mt ma trn loi m× n có rt nhiu ñnh thc con các cp khác nhau, mi phn t ca A là mt ñnh thc con cp mt, cp ln nht ca ñnh thc con trích t A là s nh nht trong hai s m, n . ðnh nghĩa. Cp ln nht ca các ñnh thc con khác không trích t ma trn A ñưc gi là hng ca ma trn A. Hng ca ma trn A ñưc ký hiu bng r( A ) . Ví d. Tìm hng ca các ma trn: 1 2 7  1 7   A =  . Hng ca A ln nht là 2. Ta có = −15 ≠ 0. Vy 2 4− 1  2− 1 r( A )= 2 . 1 2− 3      −1 − 2 3  B =  . Hng ca B ln nht bng 3. ðnh thc  4 8− 12       0 0 0   1 2− 3 −1 − 2 3 = 0 vì có hai hàng t l. Các ñnh thc cp ba khác cùng bng 4 8− 12 không vì cha mt hàng gm toàn phn t không. Mi ñnh thc cp hai cũng ñu bng không do có hai hàng t l. Vy hng ca B bng 1. 4.2 CÁC PHÉP BIN ðI SƠ CP TRÊN MA TRN B môn KHCB 45 Giáo trình toán cao cp 1
ðnh nghĩa . Các phép bin ñi sơ cp trên ma trn là các phép bin ñi sau: Phép chuyn v ma trn. Phép ñi ch các hàng hoc các ct. B khi ma trn mt hàng hoc mt ct gm toàn phn t không. B khi ma trn mt hàng hoc mt ct là t hp tuyn tính ca các hàng hoc ct khác. Nhân mt hàng hoc mt ct vi mt s khác không. Cng vào mt hàng hoc mt ct mt t hp tuyn tính ca các hàng hoc ct khác. Dùng các tính cht ñã bit ca ñnh thc ta có th chng t ñưc rng: thc hin các phép bin ñi sơ cp trên ma trn không làm thay ñi hng ca ma trn. Vì vy ta có th dùng các phép bin ñi sơ cp ñ tìm hng ca ma trn.   1 3 5 4    Ví d. A =2 − 13 1  Tìm hng ca ma trn     8 3 19 11   Thc hin các phép bin ñi sơ cp ln lưt như sau: ðem hàng hai tr hai ln hàng mt, hàng ba tr tám ln hàng mt; B hàng ba vì nó t l vi hàng hai; ñem hàng hai chia cho −7 13 5 4    1 3 5 4     Hng A = Hng 0− 7 − 7 − 7  = Hng  . Có mt ñnh   0 1 1 1      0 21 21 21   thc cp hai bng 1. Vy hng A bng 2. B môn KHCB 46 Giáo trình toán cao cp 1
BÀI TP 1 2 3  −1 5 − 2      3.1 Cho các ma trn A =   và B =  . −1 0 2    1 1− 1  T×m A+ B,3, BA + 2, BABt , t . 3 4  215  13    3.2 Cho các ma trn A=, B =− 12, C =   . 132   − 11 −     2 1  Tìm AB. ; BC . . Chng t rng (.).AB C= ABC .(.) 21  13     3.3 Cho các ma trn A=, B =   . Hãy nghim li rng 31  − 11 −  (.)ABt= BA t . t .    310  010     A=030, J =  000  3.4 Cho các ma trn    .    003   000  1) Chng minh rng A=3 I + J vi I là ma trn ñơn v cp ba. 2 n n 2) Tính J và bng phương pháp quy np hãy chng minh rng A=3 + an J n vi an là mt s có th xác ñnh ñưc. Vit ma trn A .    0 1 0    A = − 1 2 0  3.5 Cho ma trn      1 0− 1   1) Tính A2 và A3 . Nghim li rng ta có A3− A 2 − AI + = 0 vi I là ma trn ñơn v cp ba. 2) Chng t rng ma trn A là kh nghch. Hãy suy ra A−1 t h thc trên. 3.6 Cho ma trn A là ma trn vuông cp ba mà mi phn t thuc ñưng chéo chính bng không, các phn t khác bng 1. 1) I là ma trn ñơn v cp ba. Xác ñnh các s thc a, b sao cho ma trn P= aA + bB tha mãn h thc P2 = I . 2) Tìm ma trn I . B môn KHCB 47 Giáo trình toán cao cp 1
3.7 Xét các ma trn vuông cp n . Chng minh rng nu A kh nghch thì h thc AB.= 0 kéo theo B = 0 và nu B kh nghch thì t h thc ñó ta suy ra A = 0 . T ñó suy ra rng nu AB.= 0 thì hoc A = 0 hoc B = 0 hoc c hai không kh nghch. Tìm ma trn kh nghch A sao cho A2 = A . 3.8 Tính các ñnh thc: x 1 1 1 2 3 0 1 1 a a 1x 1 1 1) 1 2 5 ; 2) ; 3) 1 b b 2 1 1x 1 −1 4 2 2 1 1 1 x 1 c c 3.9 Dùng các tính cht ca ñnh thc chng t rng: 84 35 62 2 3 1 1) 8 3 6= 0; 2) 2 7 8 chia ht cho 15. 452 550 3.10 Tìm x ñ các véc tơ (,xaa , ),(, axb , ),(,, bbx ) thuc không gian R3 là ph thuc tuyn tính. 3.11 Chng minh rng các véc tơ: V1=(0,1,2,3), V 2 = (1,2,3,4), V 3 = (2,3,4,0), V 4 = (3,4,0,1) thuc không gian R4 là ñc lp tuyn tính. 3.12 Chng t rng các ma trn sau ñây là kh nghch và tìm ma trn nghch ño ca chúng: 1−a 0 0  1 1 1      0 1−a 0      1)A= 1 2 4 ; 2) B =     0 0 1 −a     1 3 9    00 0 1  3.13 Tìm hng ca các ma trn: 1 3− 21    1− 2 − 5 − 8   2 5 2 1        1)A=  ; 2) B = − 1 1 1 5   1 1 6 13           1 2 11 4   −2 − 6 8 10  B môn KHCB 48 Giáo trình toán cao cp 1
3.14 Chng minh rng tp hp M các ma trn vuông cp hai vi các phn t là a c    s thc   là mt không gian con ca không gian các ma trn vuông cp b d  hai. Tìm mt cơ s và s chiu ca không gian con ñó. 3.15 Tính các ñnh thc: −a b c d a+ baba2 + b 2 b− ad c 1)b+ c bc b2 + c 2 ; 2) c d− ab c+ a ca c2 + a 2 d c b− a cosα− sin α    3.16 Cho ma trn: A =  . sinα cos α  1) Tính tích AA. t . Suy ra rng A là kh nghch và tìm A−1 . 2) Tính Ak vi k là s nguyên bt kỳ. 3) Suy ra công thc ca cos 3αtheo cos α . B môn KHCB 49 Giáo trình toán cao cp 1
CHƯƠNG 4 H PHƯƠNG TRÌNH TUYN TÍNH §1 H CRAMER 1.1 ðNH NGHĨA Xét mt h n phương trình tuyn tính n n: axax+ ++ ax = b  111 122 1n n 1  axax21 1+ 22 2 ++ ax 2n n = b 2  (1)   axax+ ++ ax = b  n11 n 22 nn n Các s thc x1; x 2 ; ; x n là các n, các s thc aij là các h s ca n , các s bi là các s hng t do. Nghim ca h là mt b n s thc x1; x 2 ; ; x n tho mãn mi phương trình ca h. H (1) ñưc gi là h Cramer nu ñnh thc các h s ca n khác không. a11 a 12 a 1 n a21 a 22 a 2 n A =det() = ≠ 0 an1 a n 2 a nn 1.2 QUY TC CRAMER Xét h véc tơ ct ca các h s ca các n tc là các ct ca ma trn A: n A1, A 2 , , A n thuc không gian R . Nu các véc tơ ñó ph thuc tuyn tính thì s có mt trong chúng là t hp tuyn tính ca các véc tơ còn li tc là mt ct ca ñnh thc là t hp tuyn tính ca các ct khác do ñó det(A )= 0 . Vy nu det(A )≠ 0 thì các véc tơ n A1, A 2 , , A n phi ñc lp tuyn tính, chúng lp thành mt cơ s ca R . Véc tơ ct B các s hng t do cũng là mt véc tơ thuc Rn nên nó ñưc phân tích mt cách duy nht theo cơ s ñã chn A1, A 2 , , A n B= xA11 + xA 22 ++ xAn n (2) B môn KHCB 50 Giáo trình toán cao cp 1
Các ta ñ ca véc tơ Bxx( 1, 2 , , x n ) tho mãn h phương trình (1) nên là nghim ca h ñó. Như vy ta ñã chng t h Cramer (h có det(A )≠ 0 ) luôn luôn có nghim duy nht. Bây gi ta tìm công thc biu din nghim ca h. Ta ký hiu li ñnh thc det(A ) dưi dng DAA( 1, 2 , , A n ) . Ta xét ñnh thc: i = DAA( 12, , , A iin− 1 , BA , + 1 , , A ) . Thay B bi (2) ri dùng tính cht ca ñnh thc ta có th phân tích i thành n ñnh thc mà trong ñó có n −1 ñnh thc có hai ct t l, chng hn ñnh thc DA( 1, , Ai− 111 , xAA , i + 1 , , A n ) . Các ñnh thc ñó bng không, ta ch còn li mt ñnh thc có dng: DA( 1, , Ai− 1 , xAA iii , + 1 , , A n ). Nó bng xidet ( A) = x i . Như vy ta có =x ≠0ta suy ra x =i ; i = 1,2, ,. n i i . Do i Ta có kt qu quan trng sau: H phương trình tuyn tính (1) là h Cramer nu nó tho mãn ñiu kin ñnh thc các h s ≠ 0. Khi ñó h có nghim duy nht ñưc cho bi công thc: x=i ; i = 1,2, , n . (3) i trong ñó ñnh thc là ñnh thc các h s ca n, i là ñnh thc nhn ñưc t bng cách thay ct th i bng ct h s t do nm v phi ca (1), tc là thay ct Ai bi ct B . Ví d: Gii h phương trình:  x1+ x 2 + x 3 = 6  2x1− x 2 + x 3 = 3  x− x +2 x = 5  1 2 3 1 1 1 Ta tÝnh =2 − 11 =− 5. ®ã l hÖ Cramer, nã cã nghiÖm d uy nhÊt. 1− 1 2 B môn KHCB 51 Giáo trình toán cao cp 1
Ta tÝnh c¸c ®Þnh thøc i,i = 1,2,3. 611 161 116 =1 3 − 11 =− 5; =2 231 =− 10; =3 2 − 13 =− 15; 512− 152 115− VËy nghiÖm cña hÖ l: x==11; x == 2 2; x == 3 3. 1 2 3 Chú ý: Nu ta ký hiu A là ma trn các h s ca h (1), X là ma trn ct các n, B là ma trn ct các s hng t do thì dng ma trn ca h (1) là: AX= B . Vi h Cramer, det(A )≠ 0 nên ma trn A là kh nghch, tn ti ma trn nghch ño A−1 , t ñó ta có: AAX−1= AB − 1 ⇒ X = AB − 1 Ta có th tìm nghim ca h Cramer bng cách tìm ma trn nghch ño A−1 ca ma trn A ri tính tích ca hai ma trn A−1 và B . §§§2§222. H PHƯƠNG TRÌNH TUYN TÍNH TNG QUÁT 2.1 ðIU KIN TƯƠNG THÍCH Xét h phương trình tuyn tính tng quát m phương trình n n:  axax+ ++ ax = b  111 122 1n n 1   axax21 1+ 22 2 ++ ax 2n n = b 2  (4)   axax+ ++ ax = b  m11 m 22 mn n m Nghim ca h là mt b n s thc (x1 , x 2 , , x n ) tho mãn mi phương trình ca h. H (4) ñưc gi là tương thích nu nó có ít nht mt nghim. Ta s tìm xem vi ñiu kin nào thì h (4) là tương thích? Gi A là ma trn các h s ca h, A là ma trn loi (m× n ) . A là ma trn nhn ñưc t A bng cách thêm ct các s hng t do vào ct cui, ta gi nó là ma trn m rng ca A. B môn KHCB 52 Giáo trình toán cao cp 1
a a a aa abn  11 12 1 n   11 12 1 1      a a a n  aa ab   21 22 2   21 22 2n 2  A= ; A =               am1 a m 2 a mn      aam1 m 2 ab mnm  ðiu kin tương thích (Kronecker Capelli). ð h (4) là tương thích thì cn và ñ là hng ca ma trn A bng hng ca ma trn m rng A Tht vy, gi s h (4) là tương thích, tc là tn ti nghim (,, ,)xx12 xn ®Ó: BxAxA= 1122 + ++ xAn n Ta thy rng ct cui cùng ca ma trn A khi ñó là t hp tuyn tính ca các ct còn li, do ñó khi b ct ñó ñi thì hng ca ma trn không thay ñi, nhưng khi ñó ma trn còn lai chính là ma trn A, vy hng ca A bng hng ca A. ðo li, nu h¹ng(A) = h¹ng( A ) = r thì trong A s cha ít nht mt ñnh thc cp r khác không. Bng cách ñi ch các hàng và các ct ca A (không làm thay ñi hng ca nó) ta có th gi thit rng ñnh thc khác không ñó nm v trí r hàng ñu và r ct ñu. Khi ñó r véc tơ ct A1, A 2 , , A r là ñc lp tuyn tính và ta coi chúng là các véc tơ cơ s. Vì h¹ng (A ) = r nên các véc tơ ct B là t hp tuyn tính ca A1, A 2 , , A r : BAA=α11 + α 2 2 ++ α r A r Ta ñt: xx12=α12, = α , , xxxrrr = α , ++ 12 === r x n 0. B n s thc (α1, α2 , α r ,0, ,0 ) s là mt nghim ca h (4). Vy h (4) là tương thích. 2.2 CÁCH GII H PHƯƠNG TRÌNH TUYN TÍNH TNG QUÁT. Gi s h (4) tương thích và có hng là r . Khi ñó ma trn A ca nó cha r ct ñc lp tuyn tính A1, A 2 , , A r . Do ta chn các ct A1, A 2 , , A r làm các véc tơ cơ s nên các n x1, x 2 , , x r tương ng vi chúng ñưc gi là các n cơ s. Nu r< n thì h có vô s B môn KHCB 53 Giáo trình toán cao cp 1
nghim. Ta có th gán cho các n xr+1, x r + 2 , , x n các giá tr tuỳ ý (ta gi chúng là các n t do ). Khi ñó h vi các n là x1, x 2 , , x r s là mt h Cramer (vì có ñnh thc các h s khác không). Ta có th tìm các n ñó theo quy tc Cramer. Nu r= n thì h có nghim duy nht. Ví d 1: Xét h:  x+ y + z = 1   x y z  +2 − =− 1   x+3 z = 3  2x+ y + 4 z = 4  Ma trn các h s A và ma trn m rng A ñu có hng 2 và do ñnh thc cp hai góc trái khác không, nên ta gi li hai phương trình ñu và các n x, y làm các n cơ s còn n z là tuỳ ý. Ta có h Cramer:  x+ y =1 − z  Tõ ®ã: x=33; − zy =−+ 22; zz tuú ý. x+2 y =−+ 1 z  Ví d 2: Xét h:  x+2 y − z = 1  2x+ y + 2 z = 2  x−4 y + 7 z = 3  1 2 ðnh thc các h s det(A )≠ 0 . ðnh thc cp hai góc trái ≠ 0 2 1 nên hng ma trn A bng 2. Ma trn m rng A cha ñnh thc cp 3: 1− 1 1 2 2 2= 8. 1 7 3 Vy hng ma trn A = 3. H ñã cho không tương thích. 2.3 H PHƯƠNG TRÌNH TUYN TÍNH THUN NHT 1. ðnh nghĩa. Nu ct s hng t do v phi ca (4) bng không, tc là: b1= b 2 = = b n = 0 thì ta có h thun nht. B môn KHCB 54 Giáo trình toán cao cp 1
Như vy, mt h phương trình tuyn tính thun nht có dng: ∑axij j =0, i = 1,2, , m . (5) Do ma trn m rng cha mt ct gm toàn phn t không nên hng ca nó luôn bng hng ca ma trn A. Vy h (5) là tương thích. Ta thy ngay mt nghim ca nó là x1=0, x 2 = 0, , x n = 0 . Ta gi nghim này là nghim tm thưng. 2. ðiu kin ñ h thun nht có nghim khác nghim tm thưng Ta xét h phương trình tuyn tính thun nht có s phương trình bng s n tc là m= n . Khi ñó, nu det(A )≠ 0 , nó là h Cramer. Nghim duy nht ca nó là nghim tm thưng. Như vy, ñ h thun nht có nghim khác tm thưng thì ñnh thc các h s ca n phi bng không : det(A )= 0 Khi ñó hng ca ma trn A= r < n và ta s gii h theo r n cơ s như ñã trình bày trên. Ví d: Tìm nghim khác không ca h thun nht:  2x+ y − z = 0  x+2 y + z = 0  3x+ y − 2 z = 0  2 1 Ta có det()A = 0 v = 3 nên h có hng 2. Ta chn x và y làm n 1 2 cơ s và cho z = α tuỳ ý ta ñưc: x=α, y =−, α z = αα víi tuú ý. §§§3. GII H PHƯƠNG TRÌNH TUYN TÍNH BNG PHƯƠNG PHÁP GAUSS Ta xét h m phương trình n n:  axax+ ++ ax = b  111 122 1n n 1   axax211+ 222 ++ ax 2n n = b 2  (4)   axax+ ++ ax = b  m11 m 22 mn n m B môn KHCB 55 Giáo trình toán cao cp 1
Gi s h s a11 ≠ 0 (nu không ta ch vic ñi ch các phương trình). Ta s dùng phương trình ñu ñ kh n x1 t m −1 phương trình sau. Khi ñó ta nhn ñưc mt h m −1 phương trình vi n −1 n (không có n x1 ). Ta li dùng phương trình ñu ca h mi nhn ñưc này ñ kh n x2 các phương trình ñng sau (gi thit h s ca n x2 ca phương trình ñó là khác không), ta s ñưc mt h m − 2 phương trình vi n − 2 n (không có n x1v x 2 ). Ta c tip tc như vy ñ kh dn dn các n cho ñn khi ch còn mt phương trình. Ta dùng phương trình này ñ tìm n (có th là mt hoc nhiu n), sau ñó tìm các n còn li t các phương trình ñng trên. Trong quá trình kh n có th xy ra các tình hung sau: a) Mi h s ca n ñu bng không, v phi cũng bng không. Khi ñó ta b phương trình ñó ñi vì nó là h qu ca các phương trình khác (ñó chính là b mt hàng cha toàn phn t không ca ma trn). b)Mi h s ca n ñu bng không, v phi khác không. Khi ñó h ñã cho là không tương thích vì nó cha mt phương trình không ñưc tho mãn vi bt kỳ giá tr nào ca n (ñó là trưng hp hng ma trn các h s khác hng ma trn m rng ). Cách kh liên tip các n ñưc tin hành như sau: Ta có h:  axax+ ++ ax = b  111 122 1n n 1   axax211+ 222 ++ ax 2n n = b 2  (4)   axax+ ++ ax = b  m11 m 22 mn n m Gi s a11 ≠ 0 (nu không ch vic ñi ch các phương trình ri ñánh s li). Bưc 1: Chia c hai v ca phương trình ñu cho a11 . Ly phương trình th hai tr ñi phương trình ñu mi sau khi ñã nhân nó vi a21 Ly phương trình th ba tr ñi phương trình ñu mi sau khi ñã nhân nó vi a31 Ta ñưc h: B môn KHCB 56 Giáo trình toán cao cp 1
xbx+ ++ bx = b ′  1122 1n n 1   bx222+ + bx 2n n = b 2′     bx+ + bx = b ′  m2 2 mn n m a1j b1 trong ®ã: b1i =, j = 1,2, ,; nb 1 ′ = ; a11 a 11 bij=− a ij abbiji11,′ =− babi i i 11 ′ , = 2,3, , mj ; = 2,3, ,n ; Bưc 2: Ta li gi thit b22 ≠ 0 và li áp dng thut toán trên ñ kh n x2 t m − 2 phương trình sau ta s ñi ti h: xbxbx1122+ + 133 ++ bx 1n n = b 1 ′   xcx+ ++ cx = b ′′  2233 2n n 2   cx33 3+ + cx 3n n = b 3′′     cx+ + cx = b ′′  m3 3 mn n m Ta lp li thut toán ñó cho các bưc tip theo cui cùng s ñi ti ma trn các h s có dng hình thang hoc hình tam giác trên. Vì ta ch thc hin các phép bin ñi trên các h s nên khi trình bày các bưc liên tip ta ch cn vit các h s ca n. Ví d: Cho h phương trình:  xxx−−−3 x + x = 1  12 3 4 5  xx xx x  12+−5 34 −+ 7 5 = 2   −+x1222 x 2 + x 3 + xx 45 + = 0  −+xxxxx5 − 4 + 9 + 7 = a  1 2 3 4 5 Ta vit li bng các h s ca n và ct s t do: 1− 1 − 1 − 311 1 1− 5 − 172 −1 2 2 210 −2 5 − 4 97 a Bưc 1: Gi nguyên hàng ñu (vì a11 ñã bng 1); ðem nhân hàng hai tr hàng ñu, ñem hàng ba cng hàng ñu, ñem hàng tư cng hàng ñu nhân vi 2: B môn KHCB 57 Giáo trình toán cao cp 1
1− 1 − 1 − 311 0 2− 4 261 0 1 1− 121 0 3− 6 39a + 2 Bưc 2: ðem hàng hai chia cho 2 ri ñem hàng ba tr ñi hàng hai mi nhn ñưc và hàng tư tr ñi 3 ln hàng hai nói trên: 1− 1 − 1 − 3 1 1 0 1− 2 1 3 1/2 0 0 3− 2 − 1 1/2 0 0 0 0 0 a + 1/2 0 =a + 1 dòng cui cùng ta có: 2 . Nu a ≠ − 1/2 h ñã cho vô nghim. Nu a = 1/2 ta b dòng cui cùng ñi. Như vy dòng th ba có nghĩa là: 3x3− 2 x 4 + x 5 = 1/2; Ta coi x4 v x 5 là các n tuỳ ý, x3, x 2 v x 1 là các n cơ s, ta có: x=1 + 2 x + 1 x ; 36 3 4 3 5 Dòng th hai có nghĩa là: x2−2 xx 3 + 4 + 3 x 5 = 1/2. Ta thay giá tr ca x 3 va tính ñưc trên và rút ra x2 : x=5 + 1 x − 7 x ; 26 3 4 3 5 Dòng ñu có nghĩa là: xxx12−− 3 −3 x 4 + x 5 = 1. Thay giá tr ca x2 và x 3 va tính ñưc ri rút ra x1 : x1=2 + 4 x 4 − 3. x 5 Tóm li, vi a ≠ 1/2 h ñã cho vô nghim; vi a = 1/2 h ñã cho có nghim là: B môn KHCB 58 Giáo trình toán cao cp 1
x1=2 + 4 x 4 − 3; x 5 5 1 7 x2= + x 4 − x 5 ; 6 3 3 x=1 + 2 x + 1 x ; 36 3 4 3 5 x4 v x5 l tuú ý Chú ý: Trong vic gii h phương trình tuyn tính Cramer bng phương pháp Gauss ta ñã ñưa phương trình ma trn AX= B v phương trình A′ X= B ′ trong ñó A′ là ma trn tam giác trên (tc là ma trn có mi phn t nm dưi ñưng chéo chính bng không). Sau khi tìm ñưc n xn ta li phi dùng các phép bin ñi ñ tìm dn các n ñng trên. ðiu ñó có nghĩa là ta ñã dùng các phép bin ñi ñ ñưa ma trn A′ v ma trn ñơn v. Các phép bin ñi ñó chính là các phép bin ñi sơ cp trên các hàng ca ma trn A′ . ðưa ma trn A v ma trn I có nghĩa là ñã nhân bên trái ca A vi ma trn nghch ño A−1 . Ta ñưc: AAX−1= AB − 1 hay X = AB − 1 . Như vy phép bin ñi nói trên ñã ñưa ma trn B v ma trn nghim. Ta thc hin các phép bin ñi ñó theo trình t sau: ðu tiên ta vit ma trn A các h s và ma trn B ct s t do: A B Bng phương pháp Gauss ta bin ñi c hai ma trn sao cho ma trn A tr thành ma trn tam giác trên A′ . Sau ñó ta ly hàng n −1 ca A′ tr ñi hàng n ca nó ñưc nhân vi mt s thích hp sao cho phn t th n ca hàng ñó bng không. Ta li ly hàng n − 2 tr ñi mt t hp tuyn tính ca các hàng n −1 và n ñ làm cho mi phn t trên hàng n − 2 , tr phn t nm trên ñưng chéo chính, ñu bng không và c th tip tc cho các hàng trên ñn khi ta ñưa ñưc A′ v ma trn ñơn v. Ta có th áp dng phương pháp trên ñ tìm ma trn ñơn v. Mun vy ta s vit trên cùng mt hàng 3 ma trn: A, I , B ri bng các phép bin ñi sơ cp ta ñưa v 3 ma trn: I, A−1 , X . A I B A−1 AA − 1 IA − 1 B I A−1 X B môn KHCB 59 Giáo trình toán cao cp 1
Ví d: Gii h phương trình có kt hp tìm ma trn nghch ño ca ma trn các h s A.  x1+ x 2 + x 3 = 6  2x1− x 2 + x 3 = 3  x− x +2 x = 5  1 2 3 Ta vit 3 ma trn A, I , B : 111 100 6 2− 11 010 3 1− 12 001 5 ðem hàng hai tr hai ln hàng mt, hàng ba tr hàng mt: 111 100 6 031−− − 21 − − 9 021− − 101 − 1 ðem hàng hai chia cho 3, hàng ba cng hai ln hàng hai mi: 111 100 6 011 2− 1 03 3 3 3 005 1− 2 15 3 3 3 Nhân hàng ba vi 3/5: 111 100 6 011 2− 1 03 3 3 3 1 2 3 0015− 5 5 3 ðn ñây ta ñã ñưa ma trn A v dng tam giác trên A′ ; ta tip tc bin ñi ñ ñưa ma trn A′ v ma trn ñơn v I : ðem hàng hai tr 3 ln hàng mt, hàng mt tr hàng ba: 1104 2− 3 3 5 5 5 3 1 1 0105− 5 − 5 2 1 2 3 0015− 5 5 3 B môn KHCB 60 Giáo trình toán cao cp 1
ðem hàng mt tr hàng hai, khi ñó ma trn A′ s tr thành ma trn ñơn v I : 1001 3− 2 1 5 5 5 3 1 1 0105− 5 − 5 2 1 2 3 0015− 5 5 3 Như vy ta có nghim ca h là: x1=1; x 2 = 2; x 3 = 3. Ma trn nghch ño A−1 ca ma trn A các h s ca phương trình là ma trn ngăn gia. B môn KHCB 61 Giáo trình toán cao cp 1
BÀI TP 4.1 Gii h phương trình tuyn tính sau: 2x−−− y z t =− 1 324x+ y + z = 1   x y z t   −2 ++ =− 2 2x− y + z = 0    x+− y2 z + t = 4 x+2 y + 3 z = 1    x++− y z2 t =− 8  4.2 Gii h phương trình:  2x− y + 3 z = 1   x y z −4 + 2 + = 3  −2x ++ y 4 z = 4  10x− 5 y − 6 z =− 10  4.3 Gii và bin lun theo tham s m h phương trình sau:  xy++−(1 mz ) = m + 2  (1+mx ) −+ y 2 z = 0   2x−+ my 3 z = m + 2  4.4 Gii h phương trình sau bng phương pháp Gauss  2xx12−+ 26 x 4 − x 5 = 0  xx2+− 33 x 4 + 2 x 5 = 6    xx x x  2xx−+ 26 x − x = 4  2+− 33 4 + 2 5 = 0  12 4 5   6x1− 3 x 2 + 7 x 4 − 10 x 5 = 0  63x1− x 2 + 7 x 4 − 10 x 5 =− 8   2xxx13+++ 4 12 x 5 = 0  2x+++ x x 12 X = 15  134 5 4.5 Bng các phép bin ñi sơ cp hãy tìm ma trn nghch ño ca các ma trn:    131  112−     −140  121 −        211  − 211  4.6 Kho sát theo các giá tr ca tham s thc a hng và tính kh gii (có li gii) ca h: B môn KHCB 62 Giáo trình toán cao cp 1
 ax+ y + z + t = 1  xayzt+ ++ = a  x++ yaz + t = a 2  4.7 Bin lun và gii h: ax+ y + z = α  x+ ay + z = β  x+ y + az = γ  Trong ñó a,α, β , γ là các s cho trưc. B môn KHCB 63 Giáo trình toán cao cp 1
CHƯƠNG 5 ÁNH X TUYN TÍNH DNG TOÀN PHƯƠNG §§§1. ÁNH X TUYN TÍNH 1.1 ðNH NGHĨA Cho E v F là hai không gian véc tơ trên cùng mt trưng K . Mt ánh x f t E vào F ñưc gi là tuyn tính nu nó tho mãn ñiu kin sau: L1 : Vi mi u, v∈ E ta có fu(+ v ) = fu () + fv (); L2 : Vi mi α ∈ K , vi mi u∈ E ta có: fu()α= α fu () T L1 ta suy ra: vi 0 ∈ E ta có f(0)= 0, (0 ∈ F ) Tht vy: fu( )= fu ( += 0) fu ( ) + f (0) ⇒ f (0) = 0. Ta có th vit gp hai ñiu kin L1 , L2 thành: Ánh x f: E→ F là tuyn tính ⇔∀vvE1, 2 ∈∀ ,α1 , α 2 ∈ K ta có: fv(αα1212+ v ) = α 1 fv () 1 + α 2 fv () 2 Mt cách tng quát hơn, ta có: ∀∈∀∈vEi,αι Kf ,(∑ α ι v i ) = ∑ α ι fvi (), i = 1,2, ,. n ðiu kin trên nói lên rng ánh x tuyn tính bo toàn t hp tuyn tính ca các véc tơ. Ví d 1: Cho ánh x f: R2 → R xác ñnh bi fxy(,)= 3 x − 2; y ∀ (,) xy ∈ R 2 . Hãy chng t rng ánh x f là tuyn tính. LÊy uvRu,∈=2 , (,), abv = (,) cd v α ∈ R ta cã: fuv(+= ) facbd ( ++= , )3( ac +−+=−+−= )2( bd )(3 a 2)(3 b cd 2) fu () + fv () fufab()α= (,)3 αα = ααα a − 2 b =(−)= 32 ab α fu (). C hai ñiu kin L1 , L2 ñu tho mãn, vy ánh x f là tuyn tính. Ví d 2: Xét không gian P các ña thc có bc không vưt quá n . Cho ánh x f: P→ P xác ñnh bi f( v ) = v ′ (ño hàm ca v ), vi v∈ P . Ta thy rng ánh x f là tuyn tính. B môn KHCB 64 Giáo trình toán cao cp 1
Víi uvP,∈ ta cã fuv ()() +=+=+= uv′ u ′ v ′ fu ()(). + fv Víi α∈Rfu,()() α = α u′ == αα u ′ fu (). C hai ñiu kin L1 , L2 ñu tho mãn. 1.2 NHÂN VÀ NH CA MT ÁNH X TUYN TÍNH Cho E và F là hai không gian véc tơ trên mt trưng K , f là mt ánh x tuyn tính t E vào F . ðnh nghĩa 1. Ta gi nhân ca ánh x f là tp hp các véc tơ v ca E sao cho f( v )= 0 . Ta ký hiu nhân ca f là ker f . Như vy: kerf={ vv , ∈ Efv :() = 0 } Tp hp ker f là mt không gian con ca E . Tht vy, tp ker f không rng vì ít nht nó cũng cha phn t không f(0)= 0 ; hơn na nu u, v∈ ker f , tc là fu()= 0,() fv = 0 , do f là tuyn tính nên fu(+= v ) fu () + fv ()0 = , t ñó suy ra u+ v ∈ ker f . Ví d: Xét không gian V các véc tơ hình hc. Cho trưc mt véc tơ u∈ V , vi mi mt véc tơ v∈ V ta xét ánh x f: V→ R xác ñnh bi fv( )= uv . (tích vô hưng ca hai véc tơ u và v). Chng t rng f là ánh x tuyn tính và tìm ker f . Theo tính cht ca tích vô hưng ta có: fv(12+= v )( uv 12 +=+= v ) uv 12 uv fv ()(); 1 + fv 2 fv()()α= uv αα =()= uv α fv () Vy f là ánh x tuyn tính. Bây gi ta ñi tìm nhân ca ánh x f . f()0 v= ⇔ uv = 0 ⇔ các véc tơ phi vuông góc vi véc tơ u ñã cho. Vy ker f là tp hp mi véc tơ vuông góc vi véc tơ u ñã cho. ðnh lý 1. Ánh x tuyn tính f là ñơn ánh khi và ch khi nhân ca f ch cha phn t không. f ®¬n ¸nh ⇔ker f = { 0 } Ta nhc li ánh x f là ñơn ánh nu x≠ y th× fx() ≠ fy () . Do ñó vi v ≠ 0 ta có fvf( )≠ (0), nh−ng f (0) = 0 tc là vi mi phn t v ≠ 0 ta có f( v )≠ 0 , ta suy ra v∉ ker f , ker f ch cha phn t không. B môn KHCB 65 Giáo trình toán cao cp 1
ðo li, gi s kerf = { 0 }. Gi u và v là các phn t ca E sao cho ta có fu()= fv () . Ta phi chng minh f là ñơn ánh tc là phi chng minh u= v . Tht vy, do ánh x f là tuyn tính nên: fu(−= v ) fu () − fv () = 0 . Ta suy ra u− v ∈ ker f . Nhưng vì kerf = { 0 } nên u− v = 0 tc là u= v . Vy f là ñơn ánh. ðnh lý 2. Gi s f là mt ánh x tuyn tính t E vào F , nhân ca f ch cha phn t không. Khi ñó, nu v1, v 2 , , v n là các véc tơ ñc lp tuyn tính ca E thì fv(1 ), fv ( 2 ), , fv (n ) cũng ñc lp tuyn tính trong F . Ngưc li, to nh ca mt h ñc lp luôn ñc lp. Chng minh: Gi s α1, α 2 , , α n là các s sao cho: α1fv()1+ α 2 fv () 2 ++ α n fv () n = 0 . Ta phi chng minh α1= α 2 = = α n = 0 (xem ñnh nghĩa h véc tơ ñc lp tuyn tính chương 2). Theo tính tuyn tính ca f ta có: f(α1 v1 + + α n v n )0 = T ñnh nghĩa ca nhân f ta suy ra: α1v1 + + α n v n ∈ ker f Theo gi thit kerf = { 0 } nên α1v 1 + + α n v n = 0 Vì v1, v 2 , , v n ñc lp tuyn tính nên t h thc trên ta suy ra α1= α 2 = = α n = 0 . Vy fv(1 ), fv ( 2 ), , fv (n ) ñc lp tuyn tính trong F . Ngưc li: Gi s fv(1 ), fv ( 2 ), , fv (n ) ñc lp tuyn tính trong F . Xét t hp α11v+ α 22 v ++ α n v n = 0 . Qua ánh x tuyn tính f ta có: fvv(αα1122+++ αn v n) =⇒ 0 αα 1122 fv( ) + fv( ) ++ α n fv( n ) = 0 . Do h fv(1 ), fv ( 2 ), , fv (n ) ñc lp tuyn tính trong F nên ta có α1= α 2 = = α n = 0 hay h v1, v 2 , , v n ñc lp tuyn tính. ðnh nghĩa 2. nh ca mt ánh x tuyn tính f là tp hp các véc tơ w∈ F sao cho tn ti phn t v∈ E ñ f( v ) = w . Ta ký hiu nh ca f là Im f . Imf={ ww , ∈∃∈ F : v Efv ,() = w } . B môn KHCB 66 Giáo trình toán cao cp 1
Ta có tp Im f là mt không gian con ca F . Tht vy, tp Im f không rng, nó cha phn t không ( f(0)= 0 ). Nu w1, w 2 ∈ Im f thì tn ti v1, v 2 ∈ ker f sao cho fv()1= wfv 12 ,() = w 2 . T ñó: fv(12+= v )()() fv 1 + fv 2 =+ w 12 w , tc là: w1+ w 2 ∈ Im f Nu: w∈ Im f thì có v∈ Efv, ( ) = w . T ñó: fv()α= α fv () = α w . Vy αw∈ Im f ðnh lý 3 (ñnh lý nhân nh). Gi s f là ánh x tuyn tính t không gian véc tơ E vào không gian véc tơ F . Nu s chiu ca E là n , s chiu ca nhân f là q và s chiu ca nh f là s thì ta có: n= q + s . Nói cách khác: dimE= dimker f + dimIm f . Chng minh : Gi s w1, w 2 , , w s là mt cơ s ca Im f . Khi ñó có các véc tơ vv1, 2 , , vs ∈ E sao cho fv(i )= wi i , = 1,2, , s . Gi u1, u 2 , , u q là mt cơ s ca ker f . Ta s chng t h véc tơ: vv12, , , vuus , 12 , , , u q lp thành mt cơ s ca E . Vi v∈ E thì f( v )∈ Im f , ta biu din f( v ) theo cơ s w1, w 2 , , w s ca Im f : fv()= xw11 + xw 22 ++ xws s = =xfv1122() + xfv () ++ xfvs () s = fxv ( 1122 +++ xv xvs s ). T: fv(− xv11 − xv 22 −− xvs s )0 = , ta suy ra: vxvxv−11 − 22 −− xvs s ∈ ker f . Ta biu din phn t ñó ca ker f theo cơ s u1, u 2 , , u q ca ker f : vxv−1122 − xv −− xvss = yu 11 + yu 22 ++ yu qq hay: v= xv11 + xv 22 ++ xvss + yu 11 + yu 22 ++ yu qq H các véc tơ vv12, , , vuus , 12 , , , u q là mt h các phn t sinh ca E . ð chng minh chúng lp thành mt cơ s ca E ta ch còn phi chng minh chúng ñc lp tuyn tính. Xét t hp tuyn tính: B môn KHCB 67 Giáo trình toán cao cp 1
αα11vv+ 22 ++ αββss vuu + 11 + 22 ++ β qq u = 0 (1) Tác ñng ánh x f vào nó và ñ ý ti tính tuyn tính ca f ta có: αα1122fv()+ fv () ++ αββs fv () s + 1122 fu () + fu () ++ β q fu ()0 q = Vì uu1, 2 , , uq ∈ ker f nên fu()1= fu () 2 == fu ()q = 0 , ta có : α1fv() 1 + + α s fv () s = 0 . Thay wi = f ( v i ) vào h thc trên ta ñưc: α1w 1 + + α s w s = 0 Vì w1, w 2 , , w s là cơ s nên chúng ñc lp tuyn tính, do ñó ta suy ra: α1= α 2 = = α s = 0 (2) Thay vào (1) ta ñưc: β11u+ β 22 u ++ β q u q = 0 Vì u1, u 2 , , u q là cơ s nên chúng ñc lp tuyn tính, t h thc trên ta suy ra: β1= β 2 = = β q = 0 (3) Các kt qu (2), (3) cùng vi (1) chng t các véc tơ vv12, , , vuus , 12 , , , u q lp thành mt cơ s ca E . ðiu ñó chng t dimEsq=+= dimker f + dimIm f . ðnh lý ñã ñưc chng minh. 1.3 MA TRN VÀ ÁNH X TUYN TÍNH a11 a 12 a 1 n    a a a   21 22 2 n  Cho ma trn A loi (m× n ) : A =       am1 a m 2 a mn  Xét các không gian véc tơ Rn v R m . Ta biu din các véc tơ ca không gian ñó bng các véc tơ ct. Vi mi v∈ R n ta xác ñnh ánh x: fR:n→ R m x¸c ®Þnh bëi fvAv ( ) = (khi nhân mt ma trn loi (m× n ) vi ma trn ct loi (n × 1) (ñó là mt phn t ca Rn ), ta ñưc mt ma trn ct loi (m × 1) (ñó là mt phn t ca Rm )). Bng phép tính ma trn ta thy rng ánh x f là tuyn tính: B môn KHCB 68 Giáo trình toán cao cp 1
Vi u, v∈ R n ta có: fu(+= v )( Au += v ) Au + Av = fu ()(); + fv Vi s α ta có: fu()()α= Au αα = Au = α fu () n Gi x1, x 2 , , x n là các to ñ ca véc tơ v trong R ; y1, y 2 , , y m là các to ñ ca véc tơ f( v ) trong Rm theo các cơ s ñã chn trưc trong các không gian ñó ta có th vit biu thc fv( ) = Av dưi dng ma trn: y1 aa 1112 a 1n  x 1      y  aa a   x  2  2122 2n   2  =   ×              ym  aa m1 m 2 a mn   x n  Như vy, cho mt ma trn A loi (m× n ) ta có th xác ñnh ñưc mt ánh x tuyn tính t mt không gian m − chiu vào mt không gian n − chiu, ánh x ñó ñưc xác ñnh bi fv( ) = Av , vi v là véc tơ ct thuc Rn . Ma trn A ñưc gi là ma trn ca ánh x tuyn tính f trong các cơ s ñã chn ca Rn và Rm . Ngưc li, cho mt ánh x tuyn tính f: Rn→ R m thì ta có th tìm ñưc ma trn ca ánh x ñó trong các cơ s ñã chn ca Rn và Rm . n Gi s: (e1 , e 2 , , e n ) là mt cơ s ca R ; (f1 , f 2 , , f m ) là mt cơ s ca Rm . n Vi v∈ R ta có: v= xe11 + xe 22 ++ xen n Do f là ánh x tuyn tính nên: fv()= fxe (1122 +++ xe xen n ) = xfe 11 () + xfe 22 () ++ xfen () n (4) m Vì fe(1 ), fe ( 2 ), , fe (n ) là các véc tơ thuc R nên ta có th biu din chúng theo cơ s (f1 , f 2 , , f m ) : fe()1= af 111 + af 212 ++ afm 1 m fe()2= af 121 + af 222 ++ afm 2 m fe()n= afaf11 n + 22 n ++ af mn m Thay các giá tr va nhn ñưc vào v phi ca (4) ta ñưc: B môn KHCB 69 Giáo trình toán cao cp 1