Giáo trình môn Toán rời rạc

94 trang phuongnguyen 6720

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình môn Toán rời rạc", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_mon_toan_roi_rac.pdf

Nội dung text: Giáo trình môn Toán rời rạc

Chương 1: Đại số mệnh đề CHƯƠNG 1 : ĐẠI SỐ MỆNH ĐỀ 1.1. Tổng quan • Mục tiêu của chương 1 Học xong chương này, sinh viên phải nắm bắt được các vấn đề sau: - Thế nào là mệnh đề, chân trị của mệnh đề, các phép toán mệnh đề. - Thực hiện được các phép toán mệnh đề. - Hiểu được các ứng dụng của phép toán logic trong lập trình và trong đời sống hàng ngày. • Kiến thức cơ bản cần thiết Các kiến thức cơ bản trong chương này bao gồm: - Kiến thức về phép toán đại số, phép toán hình học cơ bản. - Có khả năng suy luận. - Biết lập trình bằng ngôn ngữ Pascal, C • Tài liệu tham khảo Phạm văn Thiều, Đặng Hữu Thịnh. Toán rời rạc ứng dụng trong tin học. Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội - 1997 (chương 1, trang 6 - 28). • Nội dung cốt lõi - Định nghĩa mệnh đề, biểu thức mệnh đề. - Các phép toán - Ví dụ ứng dụng - Giới thiệu một số thuật ngữ chuyên dùng - Tương đương logic và cách chứng minh. 1.2. Định nghĩa mệnh đề Mổi câu phát biểu là đúng hay là sai được gọi là một mệnh đề. (Definition proposition: Any statement that is either true or false is called a proposition.) Trang 5
Chương 1: Đại số mệnh đề Ví dụ 1: Các câu xác định dưới đây là một mệnh đề . 2 + 3 = 5 . 3*4 = 10 . . Tam giác đều có 3 cạnh bằng nhau . Washington D.C. là thủ đô của Hoa Kỳ . Toronto là thủ đô của Canada Câu xác định "2 + 3 = 5", "Tam giác đều có 3 cạnh bằng nhau" và "Washington D.C. là thủ đô của Hoa Kỳ" là các mệnh đề đúng. Còn các câu xác định "3*4 = 10" và "Toronto là thủ đô của Canada" là các mệnh đề sai. Như vậy, một mệnh đề có thể là mệnh đề đúng hoặc mệnh đề sai. Hay nói cách khác, một mệnh đề chỉ có thể lựa chọn 1 trong 2 giá trị là đúng hoặc là sai. Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai. Ví dụ 2: Xét các câu phát biểu sau . Hôm nay là thứ mấy ? . Một số thực âm không phải là số chính phương . Hãy đọc kỹ đọan này . x + 1 = 2 . x + y = z Câu "Hôm nay là thứ mấy ? " không là mệnh đề vì nó chỉ là một câu hỏi không có giá trị đúng, sai. Câu "Một số âm không phải là số chính phương" có chân trị là đúng nếu xét trên tập họp số thực R nhưng lại có chân trị sai khi xét trên tập họp số phức. Câu "x+1=2" và câu "x+y=z" không phải là mệnh đề vì chúng chẳng đúng cũng chẳng sai bởi các biến trong những câu đó chưa được gán cho một giá trị cụ thể nào. Giá trị đúng, sai của một mệnh đề được gọi là chân trị của mệnh đề đó. Chân trị của mệnh đề đúng ký hiệu là T (true), chân trị của mệnh đề sai ký hiệu là F (false). Bảng chân trị của mệnh đề bao gồm các trường hợp đúng, sai có thể xảy ra của mệnh đề đó. Mục đích của các họat động khoa học là phân biệt các mệnh đề để xác định chân trị của nó. Sự xác định chân trị này dựa vào thực nghiệm và lý luận. Lý luận ở đây là xác định chân trị của mệnh đề bằng cách kết hợp các mệnh đề mà ta đã biết Trang 6
Chương 1: Đại số mệnh đề chân trị. Các luật lệ chế ngự cách kết hợp mang tính chính xác của phép toán đại số. Vì thế, chúng ta cần nói đến "Đại số mệnh đề". 1.3. Các phép tính mệnh đề Trong phép tính mệnh đề, người ta không quan tâm đến ý nghĩa của câu phát biểu mà chỉ chú ý đến chân trị của các mệnh đề. Do đó, khi thực hiện các phép toán mệnh đề thông thường người ta không ghi rõ các câu phát biểu mà chỉ ghi ký hiệu. Các chữ cái sẽ được dùng để ký hiệu các mệnh đề. Những chữ cái thường dùng là P, Q, R, Mệnh đề chỉ có một giá trị đơn (luôn đúng hoặc sai) được gọi là mệnh đề nguyên từ ( atomic proposition ). Các mệnh đề không phải là mệnh đề nguyên từ được gọi là mệng đề phức hợp (compound propositions). Thông thường, tất cả mệnh đề phức hợp là mệnh đề liên kết (có chứa phép tính mệnh đề). Các phép tính mệnh đề được sử dụng nhằm mục đích kết nối các mệnh đề lại với nhau tạo ra một mệnh đề mới. Các phép toán mệnh đề được trình bày trong chương này bao gồm : phép phủ định, phép hội, phép tuyển, phép XOR, phép kéo theo, phép tương đương. 1.3.1. Phép phủ định (NEGATION) Cho P là một mệnh đề, câu "không phải là P" là một mệnh đề khác được gọi là phủ định của mệnh đề P. Kí hiệu : ¬ P ( P ). Ví dụ : P = " 2 > 0 " ¬ P = " 2 ≤ 0 " Bảng chân trị (truth table) p ¬p T F F T Qui tắc: Nếu P có giá trị là T thì phủ định P có giá trị là F. Trang 7
Chương 1: Đại số mệnh đề 1.3.2. Phép hội (CONJUNCTION) Cho hai mệnh đề P, Q. Câu xác định "P và Q" là một mệnh đề mới được gọi là hội của 2 mệnh đề P và Q. Kí hiệu P ∧ Q. Ví dụ : Cho 2 mệnh đề P và Q như sau P = " 2 > 0 " là mệnh đề đúng Q = " 2 = 0 " là mệnh đề sai P ∧ Q = " 2> 0 và 2 = 0 " là mệnh đề sai. Bảng chân trị p q p ∧q T T T T F F F T F F F F Qui tắc : Hội của 2 mệnh đề chỉ đúng khi cả hai mệnh đề là đúng. Các trường hợp còn lại là sai. 1.3.3. Phép tuyển (DISJUNCTION) Cho hai mệnh đề P, Q. Câu xác định "P hay (hoặc) Q" là một mệnh đề mới được gọi là tuyển của 2 mệnh đề P và Q. Kí hiệu P ∨ Q. Ví dụ : Cho 2 mệnh đề P và Q như sau P = " 2 > 0 " là mệnh đề đúng Q = " 2 = 0 " là mệnh đề sai P ∨ Q = " 2 ≥ 0 " là mệnh đề đúng. Bảng chân trị p q p∨q T T T T F T F T T F F F Trang 8
Chương 1: Đại số mệnh đề Qui tắc : Tuyển của 2 mệnh đề chỉ sai khi cả hai mệnh đề là sai. Các trường hợp còn lại là đúng. 1.3.4. Phép XOR Cho hai mệnh đề P và Q. Câu xác định "loại trừ P hoặc lọai trừ Q", nghĩa là "hoặc là P đúng hoặc Q đúng nhưng không đồng thời cả hai là đúng" là một mệnh đề mới được gọi là P xor Q. Kí hiệu P ⊕ Q. Bảng chân trị p q p⊕q T T F T F T F T T F F F 1.3.5. Phép toán trên bit Các máy tính dùng các bit để biểu diễn thông tin. Một bit có 2 giá trị khả dĩ là 0 và 1. Bit cũng có thể được dùng để biểu diễn chân trị. Thường người ta dùng bit 1 để biểu diễn chân trị đúng và bit 0 để biểu diễn chân trị sai. Các phép toán trên bit trong máy tính là các phép toán logic. Thông tin thường được biển diễn bằng cách dùng các xâu bit. Ta có định nghĩa xâu bit như sau: Định nghĩa : Một xâu bit (hoặc xâu nhị phân) là dãy có một hoặc nhiều bit. Chiều dài của xâu là số các bit trong xâu đó. Ví dụ : 101011000 là một xâu bit có chiều dài là 9 Có thể mở rộng các phép toán trên bit tới các xâu bit. Người ta định nghĩa các OR bit, AND bit và XOR bit đối với 2 xâu bit có cùng chiều dài là các xâu có các bit của chúng là ca1c OR, AND, XOR của các bit tương ứng trong 2 xâu tương ứng. Chúng ta cũng dùng các kí hiệu ∧, ∨, ⊕ để biểu diễn các phép tính OR bit, AND và XOR tương ứng. Trang 9
Chương 1: Đại số mệnh đề Ví dụ : Tìm OR bit, AND bit và XOR bit đối với 2 xâu sau đây (mỗi xâu được tách thành 2 khối, mỗi khối có 5 bit cho dễ đọc) 01101 10110 11000 11101 11101 11111 OR bit 01000 10100 AND bit 10101 01011 XOR bit 1.3.6. Phép kéo theo (IMPLICATION) Cho P và Q là hai mệnh đề. Câu "Nếu P thì Q" là một mệnh đề mới được gọi là mệnh đề kéo theo của hai mệnh đề P,Q. Kí hiệu P → Q. P được gọi là giả thiết và Q được gọi là kết luận. Ví dụ : Cho hai mệnh đề P và Q như sau P = " tam giác T là đều " Q = " tam giác T có một góc bằng 60°" Để xét chân trị của mệnh đề P → Q, ta có nhận xét sau : - Nếu P đúng, nghĩa là tam giác T là đều thì rõ ràng rằng P → Q là đúng. - Nếu P sai, nghĩa là tam giác T không đều và cũng không là cân thì dù Q là đúng hay sai thì mệnh đề P → Q vẫn đúng. Sau đây là bảng chân trị của ví dụ và cũng là bảng chân trị của mệnh đề P →Q. p q p→q T T T T F F F T T F F T Qui tắc : mệnh đề kéo theo chỉ sai khi giả thiết đúng và kết luận sai. Các trường hợp khác là đúng. Trang 10
Chương 1: Đại số mệnh đề Từ mệnh đề P → Q, chúng ta có thể tạo ra các mệnh đề kéo theo khác như là mệnh đề Q → P và ¬Q → ¬P được gọi là mệnh đề đảo và mệnh đề phản đảo của mệnh đề P → Q. Ví dụ : Tìm mệnh đề đảo và phản đảo của mệnh đề sau " Nếu tôi có nhiều tiền thì tôi mua xe hơi" Mệnh đề đảo là : " Nếu tôi mua xe hơi thì tôi có nhiều tiền" Mệnh đề phản đảo là : " Nếu tôi không mua xe hơi thì tôi không có nhiều tiền" 1.3.7. Phép tương đương (BICONDITIONAL) Cho P và Q là hai mệnh đề. Câu "P nếu và chỉ nếu Q" là một mệnh đề mới được gọi là P tương đương Q. Kí hiệu P ↔ Q. Mệnh đề tương đương là đúng khi P và Q có cùng chân trị. P ↔ Q = (P → Q) ∧ (Q → P) Đọc là : P nếu và chỉ nếu Q P là cần và đủ đối với Q Nếu P thì Q và ngược lại Bảng chân trị p q p↔q T T T T F F F T F F F T 1.4. Biểu thức mệnh đề (LOGICAL CONNECTIVES) Cho P, Q, R, là các mệnh đề. Nếu các mệnh đề này liên kết với nhau bằng các phép toán thì ta được một biểu thức mệnh đề. Trang 11
Chương 1: Đại số mệnh đề Chú ý : . Một mệnh đề cũng là một biểu thức mệnh đề . Nếu P là một biểu thức mệnh đề thì ¬P cũng là biểu thức mệnh đề Chân trị của biểu thức mệnh đề là kết quả nhận được từ sự kết hợp giữa các phép toán và chân trị của các biến mệnh đề. Ví dụ : Tìm P ¬ P Q R Q ∧ R ¬ P ∨(Q ∧ R) chân trị của biểu thức T F T T T T mệnh đề ¬P ∨ (Q ∧ R ) T F T F F F T F F T F F T F F F F F F T T T T T F T T F F T F T F T F T F T F F F T Do biêểu thức mệnh đề là sự liên kết của nhiều mệnh đề bằng các phép toán nên chúng ta có thể phân tích để biểu diễn các biểu thức mệnh đề này bằng một cây mệnh đề. Ví dụ : Xét câu phát biểu sau : " Nếu Michelle thắng trong kỳ thi Olympic, mọi người sẽ khâm phục cô ấy, và cô ta sẽ trở nên giàu có. Nhưng, nếu cô ta không thắng thì cô ta sẽ mất tất cả." Đây là một biểu thức mệnh đề và phép toán chính là phép hội. Có thể viết lại như sau : "Nếu Michelle thắng trong kỳ thi Olympic, mọi người sẽ khâm phục cô ấy, và cô ta sẽ trở nên giàu có. Nhưng, nếu cô ta không thắng thì cô ta sẽ mất tất cả. " Cả hai mệnh đề chính trong biểu thức mệnh đề này là mệnh đề phức hợp. Có thể định nghĩa các biến mệnh đề như sau: P: Michelle thắng trong kỳ thi Olympic Trang 12
Chương 1: Đại số mệnh đề Q: mọi người sẽ khâm phục cô ấy R: cô ta sẽ trở nên giàu có S: cô ta sẽ mất tất cả Biểu diễn câu phát biểu trên bằng các mệnh đề và các phép toán, ta có biểu thức mệnh đề sau : ( P → (Q ∧ R)) ∧ (¬P → S) Biểu diễn câu phát biểu trên thành một cây ngữ nghĩa như sau : Nếu Michelle thắng trong kỳ thi Olympic, mọi người sẽ khâm phục cô ấy, và cô ta sẽ trở nên giàu có. Nhưng, nếu cô ta không thắng thì cô ta sẽ mất tất cả. Nếu Michelle thắng trong kỳ thi Nếu cô ta không thắng thì cô ta sẽ Olympic, mọi người sẽ khâm phục AND mất tất cả. cô ấy, và cô ta sẽ trở nên giàu có. Michelle Mọi người sẽ Cô ta không Cô ta sẽ thắng trong khâm phục cô thắng mất tất cả. kỳ thi ấy, và cô ta sẽ Olympic trở nên giàu có. Mọi người sẽ khâm Cô ta sẽ trở Cô ta sẽ mất AND NOT phục cô ấy nên giàu có. tất cả. Trang 13
Chương 1: Đại số mệnh đề 1.5. Các ứng dụng của Logic (EVERDAY LOGICAL) Ngày nay, logic mệnh đề được ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực khác nhau như: - Viết - Nói - Tìm kiếm trên mạng (search engines) - Toán học - Các chương trình máy tính (logic in programming) Do đó, hiểu biết các qui tắc để sử dụng logic là rất hữu ích. Sau đây là một vài ví dụ để chỉ ra các ứng dụng đó. • Ví dụ 1: Logic trong tìm kiếm trên mạng Đặt vấn đề : Bạn muốn tìm tài liệu trên mạng có liên quan đến hai từ "disc golf". Nếu bạn gõ vào ô tìm kiếm hai từ "disc golf" này, bạn sẽ tìm thấy các tài liệu về disc và các tài liệu về golf nhưng không tìm thấy các các tài liệu về "disc golf". Cách giải quyết : Bạn chỉ cần gõ vào ô tìm kiếm là "disc AND golf" • Ví dụ 2 : Logic trong lập trình (Logic in programming) Đặt vấn đề : Bạn muốn đặt điều kiện là nếu 0 0 AND x < = 10 ) x++ ; • Ví dụ 3 : Logic trong cách nói ở gia đình Đặt vấn đề : Mẹ của bé An nói rằng : "Nếu con ngoan thì con có thể được ăn kem hoặc ăn bánh bông lan". Bé An hiểu rằng nếu nó ngoan thì nó sẽ được ăn kem và ăn bánh bông lan. Tuy nhiên, mẹ của bé An tức giận vì thật sự bà ta chỉ cho phép nó được ăn một trong hai thứ mà thôi. Cách giải quyết là mẹ của bé An phải nói như thế này :"Nếu con ngoan thì con sẽ được ăn hoặc là kem hoặc là bánh bông lan nhưng không được ăn cả hai". Trang 14
Chương 1: Đại số mệnh đề • Ví dụ 4 : Logic trong tính toán Đặt vấn đề : Bạn có 3 lần kiểm tra trong lớp học. Nếu bạn đạt được 2 lần điểm A, hoặc chỉ một lần điểm A nhưng không được có một lần nào rớt trong 3 lần kiểm tra đó thì bạn sẽ đạt điểm A cho toàn khóa học. Bạn là người không được siêng năng lắm, vậy thì bạn sẽ chọn cách nào để đạt điểm A cho toàn khóa học ? Cách giải quyết : Bởi vì điều kiện là OR nên cách giải quyết là bạn có thể đạt 2 điểm A và rớt lần 3, hay là chỉ cần đạt một điểm A và không rớt lần nào. Bạn sẽ lựa chọn đạt một điểm A và không rớt lần nào. • Ví dụ 5 : Logic trong đời sống Đặt vấn đề: Sau khi nướng 1 chiếc bánh cho 2 đứa cháu trai và 2 đứa cháu gái đến thăm, Dì Nellie lấy bánh ra khỏi lò nướng và để nguội. Sau đó, cô rời khỏi nhà để đến đóng cửa hàng ở gần đó. Lúc trở về thì có ai đó đã ăn 1/4 chiếc bánh và thậm chí còn đặt lại cái dĩa dơ bên phần bánh còn lại. Vì không còn ai đến nhà Dì ngày hôm đó trừ 4 đứa cháu nên Dì biết ngay là 1 trong 4 đứa đã ăn mà chưa được cho phép. Dì Nellie bèn hỏi 4 đứa thì được các câu trả lời như sau: - Charles : Kelly đã ăn phần bánh - Dawn : Con không ăn bánh - Kelly : Tyler ăn bánh - Tyler : Con không ăn, Kelly nói chơi khi bảo rằng con ăn bánh. Nếu chỉ 1 trong 4 câu trả lời trên là đúng và chỉ 1 trong 4 đứa cháu là thủ phạm, hãy tìm ra người mà Dì Nellie phải phạt ? Cách giải quyết : Vì chỉ 1 trong 4 câu trả lời trên là đúng nên chúng ta có thể dùng phép vét cạn để tìm lời giải. - Giả sử Charles nói đúng nghĩa là Kelly ăn bánh. Ba câu còn lại là sai. Dawn nói "Con không ăn bánh" là sai nghĩa là Dawn có ăn bánh. Vậy có đến 2 người ăn bánh, điều này mâu thuẩn giả thiết, giả sử không được chấp thuận. - Giả sử Dawn nói đúng nghĩa là Dawn không ăn bánh và 3 câu còn lại là sai. Nhận thấy có mâu thuẩn giữa Kelly và Tyler. Bởi vì Kelly nói "Tyler ăn bánh" là sai nghĩa là Tyler không ăn. Trong khi đó, Tyler lại nói rằng "Con không ăn " là sai, vậy thực tế là nó có ăn. Giả thuyết này là không chấp nhận được. Trang 15
Chương 1: Đại số mệnh đề - Giả sử Kelly nói đúng nghĩa là Tyler ăn bánh và 3 câu còn lại là sai. Như vậy, cũng có 2 thủ phạm là Kelly và Dawn. Mâu thuẩn giả thiết. - Giả sử sau cùng là Tyler nói đúng nghĩa là nó không ăn bánh và 3 câu còn lại là sai. Nhận thấy chỉ có một người ăn bánh chính là Dawn. Vậy giả thuyết này là hợp lý và thủ phạm chính là Dawn. • Ví dụ 6 : Logic trong toán học Đặt vấn đề : Tìm số tự nhiên a biết rằng trong 3 mệnh đề dưới đây có 2 mệnh đề là đúng và 1 mệnh đề là sai. 1/ a + 51 là số chính phương 2/ Chữ số tận cùng của a là 1 3/ a - 38 là số chính phương Cách giải quyết : Trước hết, chúng ta sẽ phải xác định xem 2 mệnh đề đúng và 1 mệnh đề sai là mệnh đề nào ? Sau đó từ 2 mệnh đề đúng để tìm ra số tự nhiên a. Số chính phương là số nguyên dương khi lấy căn bậc hai. Do đó, số chính phương có các chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9. - Nhận thấy giữa mệnh đề 1 và 2 có mâu thuẩn. Bởi vì, giả sử 2 mệnh đề này đồng thời là đúng thì a+51 có chữ số tận cùng là 2 nên không thể là số chính phương. Vậy trong 2 mệnh đề này phải có 1 mệnh đề là đúng và 1 là sai. - Tương tự, nhận thấy giữa mệnh đề 2 và 3 cũng có mâu thuẩn. Bởi vì, giả sử mệnh đề này đồng thời là đúng thì a-38 có chữ số tận cùng là 3 nên không thể là số chính phương. Vậy trong 3 mệnh đề trên thì mệnh đề 1 và 3 là đúng, còn mệnh đề 2 là sai. Với x > 0 và y > 0 . Đặt : a + 51 = x2 - a - 38 = y2 89 = 1.89 = x2 - y2 = ( x + y )( x - y ) Suy ra : x + y = 1 (loại vì x, y là nguyên dương nên không thể có x + y = 1) x - y = 89 Trang 16
Chương 1: Đại số mệnh đề Hay là : x + y = 89 x - y = 1 Giải hệ phuơng trình này ta được x = 45 và y = 44. Vậy a = 1974. Trên đây là vài ví dụ đơn giản. Hy vọng rằng các ví dụ này cho chúng ta thấy được sự quan trọng của logic không chỉ trong toán học, khoa học máy tính mà còn trong cuộc sống hàng ngày. 1.6. Các thuật ngữ chuyên ngành (SOME TERMINOLOGY) 1.6.1. Định nghĩa Hằng đúng (Tautologie): Một hằng đúng là một mệnh đề luôn có chân trị là đúng. Một hằng đúng cũng là một biểu thức mệnh đề luôn có chân trị là đúng bất chấp sự lựa chọn chân trị của biến mệnh đề. Ví dụ : xét chân trị của biểu thức mệnh đề ¬P ∨ P P ¬P ¬P∨P T F T F T T Vậy ¬P∨P là một hằng đúng. 1.6.2. Định nghĩa Hằng sai (Contradiction): Một hằng sai là một mệnh đề luôn có chân trị là sai. Một hằng sai cũng là một biểu thức mệnh đề luôn có chân trị là sai bất chấp sự lựa chọn chân trị của biến mệnh đề. Ví dụ : xét chân trị của biểu thức mệnh đề ¬P ∧ P P ¬P ¬P∧P T F F F T F Trang 17
Chương 1: Đại số mệnh đề Vậy ¬P∧P là một hằng sai. 1.6.3. Định nghĩa tiếp liên (Contingency): Một tiếp liên là một biểu thức mệnh đề không phải là hằng đúng và không phải là hằng sai. Ví dụ : Tìm chân trị của biểu thức mệnh đề (P ∧ Q ) ∨ ¬Q p q ¬q p ∧q (p∧q)∨¬ q T T F T T T F T F T F T F F F F F T F T Vậy (P ∧ Q ) ∨ ¬Q là một tiếp liên vì nó không phải là hằng đúng và cũng không phải là hằng sai. 1.7. Mệnh đề hệ quả Định nghĩa : Cho F và G là 2 biểu thức mệnh đề. Người ta nói rằng G là mệnh đề hệ quả của F hay G được suy ra từ F nếu F → G là hằng đúng. Kí hiệu F |→ G Ví dụ : Cho F = ( P → Q ) ∧ ( Q → R ) G = P → R Xét xem G có là mệnh đề hệ quả của F không ? P Q R P→Q Q→R F G F→G T T T T T T T T T T F T F F F T T F T F T F T T T F F F T F F T F T T T T T T T Trang 18
Chương 1: Đại số mệnh đề F T F T F F T T F F T T T T T T F F F T T T T T Vậy G là mệnh đề hệ quả của F Nhận xét : Nếu G là hệ quả của F thì khi F là đúng thì bắt bắt buộc G phải đúng. Ngược lại, nếu G là đúng thì chưa có kết luận gì vể chân trị của F. 1.8. Tương đương Logic (LOGICALLY EQUIVALENT) • Định nghĩa 1 : Mệnh đề P và mệnh đề Q được gọi là tương đương logic nếu phép tương đương của P và Q (P↔Q) là hằng đúng. • Định nghĩa 2 : Hai mệnh đề P và Q được gọi là tương đương logic nếu và chỉ nếu chúng có cùng chân trị. • Mệnh đề P và Q tương đương logic được kí hiệu là P ⇔ Q (hay P = Q) Ví dụ 1 : Cho F = P∨(Q∧R) G = (P∨Q) ∧ (P∨R) Xét xem hai mệnh đề trên là có tương đương logic không ? Trang 19
Chương 1: Đại số mệnh đề Vậy F và G là tương đương logic hay F=G. Ví dụ 2: Cho F = P → Q G = ¬ (P∨Q) Xét xem hai mệnh đề trên là có tương đương logic không ? p q p→q ¬p ¬p∨q T T T F T T F F F F F T T T T F F T T T Vậy F ⇔ G hay P → Q = ¬ (P∨Q) F G F↔G p q r q∧r p∨q p∨r T T T T T T T T T T T F F T T T T T T F T F T T T T T T F F F T T T T T F T T T T T T T T F T F F F T F F T F F T F F F T F T F F F F F F F F T Trang 20
Chương 1: Đại số mệnh đề Bảng các tương đương logic thường dùng Đặt T= hằng đúng, F = hằng sai Equivalence Name p∨ T ⇔ T Domination laws p∧F ⇔ F p∧T ⇔ p Identity laws p∨F ⇔ p Idempotent laws p∨p ⇔ p p∧p ⇔p ¬(¬p) ⇔p Double negation law p∨¬p ⇔ T Cancellation laws p∧¬p ⇔ F (Not an offical name) p∨q ⇔ q∨p Commutative laws p∧q ⇔ q∧p (p∨q)∨r ⇔ p∨(q∨r) Associative laws (p∧q)∧r ⇔ p∧(q∧r) p∨(q ∧r) ⇔ (p∨q)∧(p∨r) Distributive laws p∧(q ∨r) ⇔ (p∧q)∨(p∧r) ¬(p∧q) ⇔ ¬p∨¬q De Morgan’s laws ¬(p∨q) ⇔ ¬p∧¬q (p→q) ⇔ (¬p∨q) Implication law Lưu ý : Domination laws : luật nuốt Identity laws : luật đồng nhất Idempotent laws : luật lũy đẳng Trang 21
Chương 1: Đại số mệnh đề Double negation law : luật phủ định kép Cancellation laws : luật xóa bỏ Commutative laws : luật giao hoán Associative laws : luật kết hợp Distributive laws : luật phân bố De Morgan’s laws : luật De Morgan Ngoài các tương đương thường dùng trong bảng trên, có một tương đương logic khác mà chúng ta cũng sẽ hay gặp trong các chứng minh. Đó là : P ∨ ( P ∧ Q ) = P P ∧ ( P ∨ Q ) = P ( sinh viên tự chứng minh xem như bài tập ) • Ví dụ 1 : Không lập bảng chân trị, sử dụng các tương đương logic để chứng minh rằng (P ∧ Q) → Q là hằng đúng. ((p ∧ q) → q) ⇔ ¬(p ∧ q)∨ q ←Implication law ⇔(¬p∨¬q)∨q ←De Morgan’s Law ⇔ ¬p∨(¬q∨q) ←Associative law ←Cancellation Law ⇔ ¬ p ∨ T ⇔ T ←Domination Law • Ví dụ 2 : Chứng minh rằng ¬ (q → p ) ∨ (p ∧ q ) = q Trang 22
Chương 1: Đại số mệnh đề (¬(q→ p))∨(p∧q) ⇔(¬(¬q∨ p))∨(p∧q) ↓ Implication law ⇔(q∧¬p)∨(p∧q) ←Commutative law ⇔(q∧¬p)∨(q∧ p) ←Distributive law ⇔ q ∧ (¬p ∨ p) ←Cancellation law ⇔ q ∧ T ←Identity law ⇔ q • Ví dụ 3 : Áp dụng trong lập trình Giả sử trong chương trình có câu lệnh sau : while(NOT(A[i]!=0 AND NOT(A[i]>= 10))) Ta có thể viết lại câu lệnh này một cách đơn giản hơn bằng cách sử dụng công thức De Morgan. while( A[i]==0 OR A[i]>= 10) • Ví dụ 4: Giả sử trong chương trình có câu lệnh sau : while( (i 10) OR (i = 10))) Trước hết chúng ta sẽ áp dụng công thức De Morgan để biến đổi biểu thức sau cùng như sau : while( (i 10) OR (i = 10) ) Sau đó, chúng ta lại sử dụng công thức về tính phân bố của phép hội đối với phép tuyển để rút gọn biểu thức phía trước. Ta có câu lệnh sau cùng là : while( (i 10 OR A[i] = 10) ) 1.9. Tổng kết chương 1 Trong chương này sinh viên cần nắm vững định nghĩa mệnh đề cùng các phép toán logic. Ngoài ra, các thuật ngữ chuyên ngành cũng rất quan trọng. Sinh viên Trang 23
Chương 1: Đại số mệnh đề phải biết cách áp dụng các phép toán logic trong lập trình. Tuy nhiên, có vấn đề cần lưu ý khi áp dụng tính giao hoán. Trong một vài ngôn ngữ lập trình, ví dụ như C, Java, C++ thì việc sử dụng tính chất giao hoán có thể không là một ý tưởng hay. Ví dụ : Nếu A là một mảng có n phần tử thì câu lệnh : if(i 5 then n:=n+2 ; b/ if ((n+2 = 8) or (n-3=6)) then n:= 2*n + 1 ; c/ if ((n-3=16) and (n div 5=1)) then n:= n + 3 ; d/ if ((n<>21) and (n-7=15)) then n:= n - 4 ; e/ if ((n div 5 = 2) or (n+1=20)) then n:=n+1 ; Ban đầu biến nguyên n được gán trị là 7. Hãy xác định giá trị n trong các trường hợp sau : Trang 24
Chương 1: Đại số mệnh đề - Sau mỗi câu lệnh ( nghĩa là khi qua câu lệnh mới thì gán lại n = 7) - Sau tất cả các lệnh ( sử dụng kết quả của câu lệnh trước để tính toán cho câu sau) 4/ Cho đoạn chương trình sau : a/ if n-m = 5 then n:= n-2 ; b/ if ((2*m=n) and (n div 4 =1) then n:= 4*m - 3 ; c/ if ((n 1)) then m:= n ; g/ if m*n 0) and (y>0)) or ( not ((w>0) and (t=3)) ; Với mỗi cách gán giá trị biến như sau, hãy xác định trong trường hợp nào thì vòng lặp kết thúc. a/ x= 7, y= 2, w= 5, t= 3 b/ x= 0, y= 2, w= -3, t= 3 c/ x= 0, y= -1, w= 1, t= 3 d/ x= 1, y= -1, w= 1, t= 3 6/ Trong một phiên tòa xử án 3 bị can có liên quan đến vấn đề tài chánh, trước tòa cả 3 bị cáo đều tuyên thệ khai đúng sự thật và lời khai như sau : Anh A: Chị B có tội và anh C vô tội Chị B : Nếu anh A có tội thì anh C cũng có tội Anh C: Tôi vô tội nhưng một trong hai người kia là có tội Trang 25
Chương 1: Đại số mệnh đề Hãy xét xem ai là người có tội ? 7/ Cho các mệnh đề được phát biểu như sau, hãy tìm số lớn nhất các mệnh đề đồng thời là đúng. a/ Quang là người khôn khéo b/ Quang không gặp may mắn c/ Quang gặp may mắn nhưng không khôn khéo d/ Nếu Quang là người khôn khéo thì nó không gặp may mắn e/ Quang là người khôn khéo khi và chỉ khi nó gặp may mắn f/ Hoặc Quang là người khôn khéo, hoặc nó gặp may mắn nhưng không đồng thời cả hai. 8/ Cho a và b là hai số nguyên dương. Biết rằng, trong 4 mệnh đề sau đây có 3 mệnh đề đúng và 1 mệnh đề sai. Hãy tìm mọi cặp số (a, b) có thể có. 1/ a+1 chia hết cho b 2/ a = 2b + 5 3/ a+b chia hết cho 3 4/ a+7b là số nguyên tố 9/ Không lập bảng chân trị, sử dụng các công thức tương đương logic, chứng minh rằng các biểu thức mệnh đề sau là hằng đúng a/ (P∧Q)→P b/ P→(¬ P → P) c/ P→((Q→ (P∧Q)) d/ ¬ (P ∨ ¬Q)→¬ P e/ ((P→Q) ∧ (Q→R)) → (P→R) 10/ Không lập bảng chân trị, sử dụng các công thức tương đương logic, xét xem biểu thức mệnh đề G có là hệ quả của F không ? a/ F = P∧(Q∨R) G = (P∧Q)∨R b/ F = (P→Q)∧(Q→R) G = P→ (Q →R) c/ F = P∧Q G = (¬P→Q) ∨ (P→ ¬Q) 11/ Tương tự bài tập 9 và 10, chứng minh các tương đương logic sau đây: a/ (P∨Q)∧¬ (¬P∧Q) ⇔ P Trang 26
Chương 1: Đại số mệnh đề b/ ¬(¬((P∨Q)∧R) ∨ ¬Q) ⇔ Q∧R c/ ((P∨Q) ∧ (P ∨ ¬Q)) ∨ Q ⇔ P∨Q d/ ¬(P∨Q) ∨ ((¬P ∧Q) ∨ ¬Q) ⇔ ¬(Q∧P) e/ (P→Q) ∧ (¬Q ∧ (R ∨ ¬Q)) ⇔ ¬ (Q∨P) f/ P ∨ (P ∧ (P∨Q) ⇔ P g/ P ∨ Q ∨ (¬P ∧ ¬Q ∧ R) ⇔ P∨Q∨R h/ ((¬P ∨ ¬Q) → (P∧Q∧R ) ⇔ P∧Q i/ P ∧ ((¬Q → (R∧R)) ∨ ¬ (Q ∨ (R∧S) ∨ (R ∧ ¬S))) ⇔ P j/ (P∨Q∨R) ∧ (P ∨ S ∨ ¬Q) ∧ (P ∨ ¬S ∨ R) ⇔ P ∨ (R ∧ (S ∨ ¬Q) Trang 27
Chương 1: Đại số mệnh đề CHƯƠNG 1 : ĐẠI SỐ MỆNH ĐỀ 5 1.1. Tổng quan 5 1.2. Định nghĩa mệnh đề 5 1.3. Các phép tính mệnh đề 7 1.3.1. Phép phủ định (NEGATION) 7 1.3.2. Phép hội (CONJUNCTION) 8 1.3.3. Phép tuyển (DISJUNCTION) 8 1.3.4. Phép XOR 9 1.3.5. Phép toán trên bit 9 1.3.6. Phép kéo theo (IMPLICATION) 10 1.3.7. Phép tương đương (BICONDITIONAL) 11 1.4. Biểu thức mệnh đề (LOGICAL CONNECTIVES) 11 1.5. Các ứng dụng của Logic (EVERDAY LOGICAL) 14 1.6. Các thuật ngữ chuyên ngành (SOME TERMINOLOGY) 17 1.6.1. Định nghĩa Hằng đúng (Tautologie): 17 1.6.2. Định nghĩa Hằng sai (Contradiction): 17 1.6.3. Định nghĩa tiếp liên (Contingency): 18 1.7. Mệnh đề hệ quả 18 1.8. Tương đương Logic (LOGICALLY EQUIVALENT) 19 1.9. Tổng kết chương 1 23 1.10. Bài tập chương 1 24 Trang 28
Chương 2: Suy luận toán học & Các phương pháp chứng minh CHƯƠNG 2 : SUY LUẬN TOÁN HỌC & CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH 2.1. Tổng quan • Mục tiêu của chương 1 Học xong chương này, sinh viên phải nắm bắt được các vấn đề sau: - Khái niệm về suy luận toán học - Các phương pháp chứng minh và biết vận dụng các phương pháp này để chứng minh một bài toán cụ thể. • Kiến thức cơ bản cần thiết Các kiến thức cơ bản trong chương này bao gồm: - Các phép toán đại số, hình học cơ bản để có thể đưa ra ví dụ minh họa trong từng phương pháp. - Hiểu rõ qui tắc của phép kéo theo ở chương 1. • Tài liệu tham khảo Phạm văn Thiều, Đặng Hữu Thịnh. Toán rời rạc ứng dụng trong tin học. Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội - 1997 (chương 3, trang 208 - 228). • Nội dung cốt lõi - Khái niệm về suy luận toán học - Trình bày các phương pháp chứng minh bao gồm: . Chứng minh rỗng . Chứng minh tầm thường . Chứng minh trực tiếp . Chứng minh gián tiếp . Chứng minh phản chứng . Chứng minh qui nạp Trang 28
Chương 2: Suy luận toán học & Các phương pháp chứng minh 2.2. Suy luận toán học 2.2.1. Khái niệm Suy luận được xem là một trong những nền tảng xây dựng nên các ngành khoa học tự nhiên. Từ xưa đến nay, nhờ suy luận mà người ta có thể nhận thức được cái chưa biết từ những cái đã biết. Suy luận còn là cơ sở của sự sáng tạo. Từ các phán đoán, đưa đến các chứng minh để chấp nhận hay bác bỏ một vấn đề nào đó. Suy luận toán học dựa trên nền tảng của các phép toán mệnh đề, chủ yếu là phép kéo theo. Để chứng minh một vấn đề nào đó, thông thường người ta phải xác định điểm ban đầu (có thể gọi là giả thiết) và điểm kết thúc (gọi là kết luận). Quá trình đi từ giả thiết đến kết luận gọi là quá trình chứng minh và quá trình này đươc thực thi bằng cách nào thì gọi đó là phương pháp chứng minh. Các phương pháp chứng minh là rất quan trọng vì không những chúng thường được sử dụng trong toán học mà còn được áp dụng nhiều trong tin học. Ví dụ, sự kiểm tra tính đúng đắn của một chương trình, của một hệ điều hành, xây dựng các luật suy diễn trong lĩnh vực trí tuệ nhận tạo Do đó, chúng ta cần phải nắm vững các phương pháp chứng minh. Tuy nhên, có những phương pháp chứng minh đúng vì nó được dựa trên cơ sở của một mệnh đề đúng (hằng đúng) và có những phương pháp chứng minh sai. Các phương pháp chứng minh sai này là cố ý hoặc vô ý. Khi phương pháp chứng minh dựa trên một hằng sai thì sẽ mang lại kết quả sai nhưng người ta vẫn cho là đúng thì được gọi là cố ý. Đôi khi có những phương pháp chứng minh dựa trên một tiếp liên (có khi mệnh đề là đúng nhưng cũng có lúc sai) mà người ta tưởng lầm là hằng đúng nên cho là kết quả bao giờ cũng đúng thì trường hợp này gọi là vô ý (hay ngộ nhận). Sau đây, chúng ta sẽ đi tìm hiểu các qui tắc suy luận. 2.2.2. Các qui tắc suy luận Như đã giới thiệu ở trên, những suy luận có dùng các qui tắc suy diễn gọi là suy luận có cơ sở. Khi tất cả các suy luận có cơ sở là đúng thì sẽ dẫn đến một kết luận đúng. Một suy luận có cơ sở có thể dẫn đến một kết luận sai nếu một trong các mệnh đề đã dùng trong suy diễn là sai. Sau đây là bảng các qui tắc suy luận đúng. Trang 29
Chương 2: Suy luận toán học & Các phương pháp chứng minh Quy Tắc Hằng đúng Tên Luật P Cộng P→(P∨Q) ∴ P ∨ Q P ∧ Q Rút gọn (P∧Q)→P ∴ P P (P∧(P→Q))→Q Modus Ponens P → Q ∴Q ¬Q (¬Q∧(P→Q)) → ¬P Modus Tollens P → Q ∴¬P P → Q ((P→Q)∧(Q→R)) → Tam đoạn luận giả Q → R (P→R) định ∴ P → R P ∨ Q Tam đoạn luận tuyển (P∨Q) → Q ∴Q Trong các phân số của qui tắc thì các giả thiết được viết trên tử số, kết luận được viết dưới mẫu số. Kí hiệu ∴ có nghĩa là "vậy thì", "do đó", Ví dụ : Qui tắc suy luận nào là cơ sở của suy diễn sau : • " Nếu hôm nay trời mưa thì cô ta không đến, Nếu cô ta không đến thì ngày mai cô ta đến, Vậy thì, nếu hôm nay trời mưa thì ngày mai cô ta đến." Đây là suy diễn dựa trên qui tắc tam đoạn luận giả định. • "Nếu hôm nay tuyết rơi thì trường đại học đóng cửa. Hôm nay trường đại học không đóng cửa. Do đó, hôm nay đã không có tuyết rơi " Đây là suy diễn dựa trên qui tắc Modus Tollens • " Alice giỏi toán. Do đó, Alice giỏi toán hoặc tin" Đây là suy diễn dựa trên qui tắc cộng. Ngụy biện Trang 30
Chương 2: Suy luận toán học & Các phương pháp chứng minh Các phương pháp chứng minh sai còn được gọi là ngụy biện. Ngụy biện giống như qui tắc suy luận nhưng không dựa trên một hằng đúng mà chỉ là một tiếp liên. Đây chính là sự khác nhau cơ bản giữa suy luận đúng và suy luận sai. Loại suy luận sai này được gọi là ngộ nhận kết luận. Ví dụ : Xét xem suy diễn sau là có cơ sở đúng không ? " Nếu bạn đã giải hết bài tập trong sách toán rời rạc 2 này thì bạn nắm vững logic. Bạn nắm vững logic vậy thì bạn đã giải hết bài tập trong sách toán rời rạc 2 này". Nhận thấy suy diễn này là dựa trên mệnh đề sau : ((P→Q) ∧ Q) → P Trong đó: P = "Bạn đã giải hết bài tập trong sách toán rời rạc 2" Q = "Bạn nắm vững logic" Mệnh đề ((P→Q) ∧ Q) → P không phải là hằng đúng vì nó sẽ sai khi P là F và Q là T. Do đó, suy diễn này không hoàn toàn có cơ sở đúng. Bởi vì, khi Q là T nghĩa là bạn đã nắm vững logic nhưng không chắc là bạn đã giải hết bài tập trong sách toán rời rạc 2 này mà có thể giải sách khác (P là F). 2.3. Các phương pháp chứng minh Như đã giới thiệu trong phần trên, mỗi bài toán cần chứng minh thông thường đều có hai phần chính là giả thiết và kết luận. Việc chỉ ra được cái nào là giả thiết, cái nào là kết luận sẽ giúp cho việc chứng minh dễ dàng hơn thông qua việc sử dụng phương pháp chứng minh thích hợp. Do đó, các phương pháp chứng minh trong dạng bài toán này là có liên quan đến mệnh đề kéo theo. Vậy, trước khi tìm hiểu các phương pháp chứng minh, chúng ta hãy xem lại bảng chân trị của mệnh đề P kéo theo Q ( với P là giả thiết và Q là kết luận). Các trường hợp để cho mệnh đề P kéo theo Q là đúng cũng chính là các phương pháp để chứng minh bài toán đúng. p q p→q Trang 31
Chương 2: Suy luận toán học & Các phương pháp chứng minh T T T T F F F T T F F T Nhận thấy rằng, P→Q là đúng có 3 trường hợp. Các trường hợp này chính là các phương pháp chứng minh sẽ được trình bày dưới đây. Trước khi đi vào các phương pháp chứng minh, có một khái niệm mà chúng ta cần tìm hiểu, đó là khái niệm về "hàm mệnh đề". Hàm mệnh đề : ¾ Cho A là một tập họp không rỗng sao cho ứng với mỗi x∈A ta có một mệnh đề, ký hiệu là P(x). Bấy giờ ta nói P (hay P(x)) là một hàm mệnh đề theo biến x∈A. Như vậy, khi nói ứng với mỗi x∈A, ta có một mệnh đề P(x), nghĩa là khi đó tính đúng sai của P(x) được hoàn toàn xác định phụ thuộc vào từng giá trị của x∈A. Ví dụ : Cho hàm mệnh đề P(x) = { x là số lẻ } ; x∈N Ta có : P(1) là mệnh đề đúng P(2) là mệnh đề sai. ¾ Tổng quát, với các tập họp không rỗng A1, A2, , An, sao cho ứng với mỗi x1∈A1, x2∈A2, , xn∈An, ta có một mệnh đề, ký hiệu P(x1, x2, ,xn ). Ta nói P(x1, x2, ,xn ) là một hàm mệnh đề theo n biến x. Ví dụ : Cho hàm mệnh đề P(x,y,z) = { 2x + y - z = 0 } x,y,z∈Z Ta có : P(x,y,z) là mệnh đề đúng khi x = 1, y = -1, z = 1. P(x,y,z) là mệnh đề sai khi x = 1, y = 1, z = 1. 2.3.1. Chứng minh rỗng ( P là sai) Dựa vào 2 dòng cuối của bảng chân trị, nhận thấy rằng khi P sai, bất chấp kết luận Q thế nào thì mệnh đề P→Q là luôn đúng. Vậy, để chứng minh mệnh đề Trang 32
Chương 2: Suy luận toán học & Các phương pháp chứng minh P→Q là đúng, người ta chỉ cần chứng minh rằng P là sai. Phương pháp chứng minh này được gọi là chứng minh rỗng. Phương pháp chứng minh rỗng thường được sử dụng để chứng minh các trường hợp đặc biệt của định lý. Trường hợp tổng quát thì định lý này luôn đúng với mọi số n nguyên dương. Ví dụ : Cho hàm mệnh đề P(n) = " Nếu n>1 thì n2 >n " Chứng minh rằng P(1) là đúng. Giải : Ta có P(1) = { Nếu 1 >1 thì 12 >1 } Nhận thấy rằng giả thiết 1>1 là sai, bất chấp kết luận 12 >1 là đúng hay sai thì P(1) là đúng. 2.3.2. Chứng minh tầm thường (Q là đúng) Dựa vào dòng 1 và dòng 3 của bảng chân trị, nhận thấy rằng khi Q đúng, bất chấp giả thiết P là đúng hay sai thì mệnh đề P→Q là luôn đúng. Vậy, để chứng minh mệnh đề P→Q là đúng, người ta chỉ cần chứng minh rằng Q là đúng. Phương pháp chứng minh này được gọi là chứng minh tầm thường. Phương pháp chứng minh tầm thường cũng được sử dụng để chứng minh các trường hợp đặc biệt của định lý. Trường hợp tổng quát thì định lý này luôn đúng với mọi số n nguyên dương. Ví dụ : Cho hàm mệnh đề P(n) = { Nếu a và b là 2 số nguyên dương và a ≥ b thì an ≥ bn } Chứng minh rằng P(0) là đúng. Giải : Ta có a0 = b0 =1. Do đó a0 ≥ b0 là đúng. Vậy P(0) là đúng bất chấp giả thiết a≥b là đúng hay sai. 2.3.3. Chứng minh trực tiếp Trong dòng 1 của bảng chân trị, mệnh đề P kéo theo Q có thể được chứng minh bằng cách chỉ ra rằng nếu P đúng thì Q cũng phải đúng. Nghĩa là tổ hợp P đúng Q sai không bao giờ xảy ra. Phương pháp này được gọi là chứng minh trực tiếp. Vậy để thực hiện phương pháp chứng minh trực tiếp, người ta giả sử rằng P là đúng, sau đó sử dụng các qui tắc suy luận hay các định lý để chỉ ra rằng Q là đúng và kết luận P→Q là đúng. Trang 33
Chương 2: Suy luận toán học & Các phương pháp chứng minh Ví dụ 1: Chứng minh rằng { Nếu n là số lẻ thì n2 là số lẻ } Giải : Giả sử rằng giả thiết của định lý này là đúng, tức là n là số lẻ. Ta có n = 2k + 1 ( k=0,1,2, ) ⇒ n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k + 2k) + 1 là lẻ. Vậy nếu n là số lẻ thì n2 là số lẻ. Ví dụ 2 : Cho hàm mệnh đề P(n) = " Nếu n>1 thì n2 >n " Chứng minh rằng P(n) là đúng với n là số nguyên dương. Giải : Giả sử n > 1 là đúng, ta có : n = 1 + k ( k ≥ 1) ⇒ n2 = ( 1 + k )2 = 1 + 2k + k2 = (1 + k) + k + k2 > n Vậy Nếu n>1 thì n2 >n . 2.3.4. Chứng minh gián tiếp Vì mệnh đề P→Q ⇔ ¬Q → ¬P. Do đó, để chứng minh mệnh đề P→Q là đúng, người ta có thể chỉ ra rằng mệnh đề ¬Q → ¬P là đúng. Ví dụ : Chứng minh định lý { Nếu 3n + 2 là số lẻ thì n là số lẻ } Giải : Giả sử ngược lại kết luận của phép kéo theo là sai, tức n là chẳn. Ta có n = 2k ( k∈N ) ⇒ 3n + 2 = 3.2k + 2 = 2( 3k + 1 ) là số chẳn Vậy Nếu 3n + 2 là số lẻ thì n là số lẻ Nhận xét • Có những bài toán có thể sử dụng phương pháp chứng minh trực tiếp hay gián tiếp đều được cả. Tuy nhiên, có những bài toán không thể sử dụng phương pháp chứng minh trực tiếp được hoặc sử dụng trực tiếp thì bài giải sẽ dài dòng phức tạp hơn là sử dụng chứng minh gián tiếp ( hoặc ngược lại). Đây chính là sự khác biệt của chứng minh trực tiếp và chứng minh gián tiếp. Ví dụ 1 : Sử dụng chứng minh gián tiếp để chứng minh rằng " Nếu n>1 thì n2 >n " Giải : Giả sử ngược lại kết luận của phép kéo theo là sai, tức là n2 < n. Trang 34
Chương 2: Suy luận toán học & Các phương pháp chứng minh Vì n là nguyên dương nên ta có thể chia 2 vế cho n mà bất đẳng thức không đổi chiều. Ta có : n 1 thì n2 >n. Ví dụ 2 : Sử dụng chứng minh trực tiếp để chứng minh rằng " Nếu 3n + 2 là số lẻ thì n là số lẻ ". Giải : Giả sử 3n + 2 là số lẻ là đúng. Nhận thấy rằng vì 2 là số chẳn nên suy ra được 3n là số lẻ. Vì 3 là số lẻ do đó n là số lẻ. Vậy Nếu 3n + 2 là số lẻ thì n là số lẻ. Ở đây chúng ta phải chứng minh thêm định lý là tích của 2 số lẻ là một số lẻ thì bài giải chặt chẽ hơn. Do đó, trong bài toán này việc sử dụng chứng minh gián tiếp là hay hơn dùng trực tiếp. • Để chứng minh mệnh đề có dạng : (P1∨P2∨ ∨Pn) → Q Chúng ta có thể sử dụng hằng đúng sau : ((P1∨P2∨ ∨Pn) →Q) ↔ ((P1→Q)∧(P2→Q)∧ ∧(Pn→Q)) Cách chứng minh này gọi là chứng minh từng trường hợp. Ví dụ 3: Chứng minh rằng: " Nếu n không chia hết cho 3 thì n2 không chia hết cho 3". Giải : Gọi P là mệnh đề "n không chia hết cho 3" và Q là mệnh đề "n2 không chia hết cho 3". Khi đó, P tương đương với P1 ∨ P2. Trong đó: P1 = " n mod 3 =1" P2 = " n mod 3 =2" Vậy, để chứng minh P → Q là đúng, có thể chứng minh rằng: (P1 ∨ P2) → Q hay là (P1 → Q ) ∧ ( P2→ Q) Giả sử P1 là đúng. Ta có, n mod 3 = 1. Đặt n = 3k + 1 ( k là số nguyên nào đó). Suy ra n2 = ( 3k+1)2 = 9k2 + 6k + 1 = 3(3k2 + 2k) + 1 không chia chẳn cho 3. Do đó, P1 → Q là đúng. Trang 35
Chương 2: Suy luận toán học & Các phương pháp chứng minh Tương tự, giả sử P2 là đúng. Ta có, n mod 3 = 2. Đặt n = 3k + 2 ( k là số nguyên nào đó). Suy ra n2 = ( 3k+2)2 = 9k2 + 12k + 4 = 3(3k2 + 4k + 1) + 1 không chia chẳn cho 3. Do đó, P2 → Q là đúng. Do P1 → Q là đúng và P2 → Q là đúng, hay là (P1 → Q ) ∧ ( P2→ Q). Vậy (P1 ∨ P2) → Q. 2.3.5. Chứng minh phản chứng Chứng minh phản chứng thường được sử dụng để chứng minh mệnh đề P là đúng. Trước hết, người ta giả sử ngược lại rằng P là sai hay ¬P là đúng. Từ mệnh đề ¬P là đúng dẫn đến kết luận Q sao cho ¬P→Q phải đúng. Khi đó, người ta chỉ ra rằng Q là một mâu thuẩn, nghĩa là : Q = R ∧¬R. (Sở dĩ có mâu thuẩn này là do ta giả sử P là sai) Vì ¬P→Q phải đúng và Q là F, suy ra rằng ¬P = F ⇒ P = T. Phương pháp chứng minh phản chứng thường được sử dụng để chứng minh những vấn đề cơ bản và điều quan trọng trong kỹ thuật này là tìm ra được mâu thuẩn R∧¬R. Ví dụ 1: Chứng minh rằng " 2 là số vô tỉ ". Giải : Gọi P là mệnh đề " 2 là số vô tỉ ". Giả sử ngược lại ¬P là đúng. Vậy, 2 là số hữu tỉ ( vì tập số thực gồm 2 tập con là tập số vô tỉ và tập số hữu tỉ. Hai tập con này không có 3 giao nhau). Khi đó ∃a,b (a,b∈N) sao cho: a 2 = ( với a, b không có ước chung hay phân số này là tối giản (mệnh b đề R)) a 2 Bình phương hai vế : 2 = ⇒ 2b2 = a2 ⇒ a2 là số chẳn ⇒ a là số b 2 chẳn. Đặt a = 2c, c ∈ N. Ta có 2b2 = 4c2 ⇔ b2 = 2c2 ⇒ b2 là số chẳn ⇒ b là số chẳn. Vậy a, b đều có ước chung là 2 (mệnh đề ¬R). Trang 36
Chương 2: Suy luận toán học & Các phương pháp chứng minh Điều này mâu thuẩn vì a/b là tối giản. Từ ¬P→ R∧¬R. Sở dĩ có mâu thuẩn này là do ta giả sử 2 là số hữu tỉ. Vậy 2 phải là số vô tỉ. Ví dụ 2 : Một trong những cách giải bài toán tồn tại là dùng lập luận phản chứng. Cho 7 đoạn thẳng có độ dài lớn hơn 10 và nhỏ hơn 100. Chứng minh rằng luôn tìm được 3 đoạn để có thể ghép thành một tam giác. Giải : Trước hết sắp xếp các đoạn đã cho theo thứ tự tăng dần của độ dài a1, a2, , a7, và chứng minh rằng trong dãy đã xếp luôn tìm được 3 đoạn liên tiếp sao cho tổng của 2 đoạn đầu lớn hơn đoạn cuối (vì điều kiện để 3 đoạn có thể ghép thành một tam giác là tổng của 2 đoạn nhỏ hơn đoạn thứ ba). Giả sử điều cần chứng minh là không xảy ra, nghĩa là đồng thời xảy ra các bất đẳng thức sau: a1 + a2 ≤ a3 a2 + a3 ≤ a4 a3 + a4 ≤ a5 a4 + a5 ≤ a6 a5 + a6 ≤ a7 Từ giả thiết a1 , a2 có giá trị lớn hơn 10, ta nhận được a3 > 20 . Từ a2 >10 và a3 > 20 ta nhận được a4 > 30 , a5 > 50, a6 > 80 và a7 > 130. Điều a7 > 130 là mâu thuẩn với giả thiết các độ dài nhỏ hơn 100. Có mâu thuẩn này là do giả sử điểu cần chứng minh không xảy ra. Vậy, luôn tồn tại 3 đoạn liên tiếp sao cho tổng của 2 đoạn đầu lớn hơn đoạn cuối. Hay nói cách khác là 3 đoạn này có thể ghép thành một tam giác. 2.3.6. Chứng minh qui nạp Giả sử cần tính tổng n số nguyên lẻ đầu tiên. Với n = 1,2,3,4,5 ta có : n = 1: 1 = 1 = 12 n = 2: 1 + 3 = 4 = 22 n = 3: 1 + 3 + 5 = 9 = 32 n = 4: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 Trang 37
Chương 2: Suy luận toán học & Các phương pháp chứng minh n = 5: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 Từ các kết quả này ta dự đoán tổng n số nguyên lẻ đầu tiên là n2. Tuy nhiên, chúng ta cần có phương pháp chứng minh dự đoán trên là đúng. Qui nạp toán học là một kỹ thuật chứng minh rất quan trọng. Người ta dùng nó để chứng minh những kết quả đã có dựa trên sự suy luận nào đó như ví dụ trên. Tuy nhiên, qui nạp toán học chỉ dùng để chứng minh các kết quả nhận được bằng một cách nào đó chứ không là công cụ để phát hiện ra công thức. • Nguyên lý chứng minh qui nạp yếu Nhiều định lý phát biểu rằng P(n) là đúng ∀n nguyên dương, trong đó P(n) là hàm mệnh đề, ký hiệu ∀nP(n). Qui nạp toán học là một kỹ thuật chứng minh các định lý thuộc dạng trên. Nói cách khác qui nạp toán học thường sử dụng để chứng minh các mệnh đề dạng ∀nP(n). Nguyên lý chứng minh qui nạp yếu bao gồm 2 bước : - Kiểm tra P(x0) là đúng với x0 là giá trị đầu tiên của dãy số n - Giả sử rằng P(k) là đúng khi n=k. Từ đó suy ra rằng P(k+1) là đúng. Ta có cách viết của suy luận trên như sau: [P(x0) ∧ (P(k)→P(k+1))] → ∀nP(n) Ví dụ 1: Chứng minh rằng n n(n +1) ∑i = 1+ 2 + 3 + + n = i=1 2 ⎧ n n(n +1)⎫ Giải : Đặt P(n) = ⎨∑i = ⎬ ⎩ i=1 2 ⎭ 1(1+1) - Với n= 1 : 1 = P(1) là đúng 2 k k(k +1) - Giả sử P(k) là đúng khi n=k. Ta có : ∑i = i=1 2 Cần chứng minh rằng P(k+1) là đúng. Nghĩa là k+1 (k +1)(k + 2) ∑i = (điều phải chứng minh) i=1 2 Trang 38
Chương 2: Suy luận toán học & Các phương pháp chứng minh K +1 K k(k +1) (k +1)(k + 2) Ta có : ∑i = ∑i + (k +1) = + (k +1) = (đpcm) i=1 i=1 2 2 Vậy ∀nP(n). Ví dụ 2: Chứng minh rằng ⎧ n i 1 ⎫ P(n) = ⎨∑ = 1− ⎬ ⎩ i=1 (i +1)! (n +1)!⎭ 1 1 - Với n=1 : = 1− P(1) là đúng 2 2 - Giả sử P(k) là đúng khi n= k. Ta có : K i 1 ∑ = 1− i=1 (i +1)! (k +1)! Cần chứng minh rằng : K +1 i 1 ∑ = 1− i=1 (i +1)! (k + 2)! Ta có : K +1 i K i k +1 1 k +1 ∑ = ∑ + = 1− + i=1 (i +1)! i=1 (i +1)! (k + 2)! (k +1)! (k + 2)! (k + 2) − (k +1) 1 = 1− = 1− (đpcm) (k + 2)! (k + 2)! Vậy ∀nP(n) Ví dụ 3 : Chứng minh bất đẳng thức sau : n < 2n với n nguyên dương. - Khi n=1 : 1 < 2 mệnh đề đúng - Giả sử mệnh đề đúng khi n=k, ta có k < 2k . Cần chứng minh rằng k + 1< 2k+1 . Thật vậy, vì k < 2k ⇒ k +1 < 2k +1 < 2k + 2k = 2k+1. Do đó, n < 2n với n nguyên dương. • Chú ý 1: Trang 39
Chương 2: Suy luận toán học & Các phương pháp chứng minh Khi sử dụng nguyên lý chứng minh qui nạp, không được bỏ qua bước kiểm tra P(x) là đúng vì nếu chỉ có (P(n)→P(n+1)) là không đủ để kết luận rằng ∀nP(n) là đúng. Ví dụ : Xét ⎧ n (n + 3)(n − 2)⎫ P(n)= ⎨∑i = 0 +1+ 2 + 3 + + n = ⎬ ⎩ i=0 2 ⎭ Giả sử P(k) là đúng khi n=k. Ta có : K (k + 3)(k − 2) ∑i = 0 +1+ 2 + 3 + + k = i=0 2 Cần chứng minh: K +1 (k + 3)(k −1) ∑i = 0 +1+ 2 + 3 + + k + (k +1) = i=0 2 Ta có : K +1 K (k + 3)(k − 2) ∑i = ∑i + (k +1) = + (k +1) i=0 i=0 2 k 2 − 2k + 3k − 6 + 2k + 2 k 2 + 3k − 4 VT = = 2 2 (k −1)(k + 4) VT = = P(k +1) (đpcm) 2 Ta có P(k)→P(k+1) là đúng. Tuy nhiên, khi xét P(0): P(0) = {0 = 3} là mệnh đề sai. Vậy ∀nP(n) là sai. Trong trường hợp này ta có thể kết luận như sau : Nếu P(k) là đúng và nếu ∀n≥k(P(k)→P(k+1)) là đúng thì ∀n≥k, P(n) là đúng. • Chú ý 2 : Đôi khi chúng ta cần tính toán một biểu thức phụ thuộc vào n, bắt đầu là việc đoán ra kết quả, công việc này được làm bằng cách ít hay nhiều dựa vào kinh nghiệm. Sau đó, sử dụng nguyên lý chứng minh qui nạp để chứng minh rằng kết quả vừa tìm được là đúng. Trang 40
Chương 2: Suy luận toán học & Các phương pháp chứng minh Ví dụ 1: Tính tổng n số lẻ đầu tiên. n S = 1+3+5+7+ +(2n-1) = ∑(2i −1) i=1 Khi n=1 : S = 1 = 12 n=2 : S = 1+ 3 = 22 n=3 : S = 1+3 + 5 = 32 n=4 : S = 1+3+5+7 = 42 n=5 S = 1+3+5+7+9 = 52 n Vậy có thể dự đoán rằng S = ∑(2i −1) = n2 i=1 Sau đó sử dụng chứng minh qui nạp để chứng minh kết quả vừa tìm được. n ⎧ 2 ⎫ Đặt P(n) = ⎨∑(2i −1) = n ⎬ ⎩ i=1 ⎭ - Khi n=1 : 1 = 1 P(1) là đúng - Giả sử rằng P(k) là đúng khi n=k. Ta có : K ∑(2i −1) = k 2 i=1 cần chứng minh P(k+1) là đúng, nghĩa là : K +1 ∑(2i −1) = (k +1) 2 i=1 K Vế trái = ∑(2i −1) + (2(k +1) −1) = k 2 + (2k +1) = (k +1) 2 (đpcm) i=1 Vậy ∀nP(n). Ví dụ 2: Tổng trên có thể tính toán với một cách khác như sau : n ⎛ n n ⎞ ⎛ n(n +1) ⎞ S = ∑(2i −1) = 2⎜∑i − ∑1⎟ = 2⎜ − n⎟ = n(n +1) − n = n 2 i=1 ⎝ i=1 i=1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ Ví dụ 3: Tính tổng Trang 41
Chương 2: Suy luận toán học & Các phương pháp chứng minh n 1 S = ∑ i=1 i(i +1) 1 1 Khi n=1: S = = 2 1+1 1 1 3 +1 2 2 n=2: S = + = = = 2 2.3 2.3 3 2 +1 2 1 2.4 +1 3 3 n=3: S = + = = = 3 3.4 3.4 4 3 +1 3 1 3.5 +1 4 4 n=4: S = + = = = 4 4.5 4.5 5 4 +1 n Vậy có thể dự đoán tổng S = n +1 Sử dụng nguyên lý qui nạp để chứng minh công thức trên. ⎧ n 1 n ⎫ Đặt P(n) = ⎨∑ = ⎬ ⎩ i=1 i(i +1) n(n +1⎭ - Khi n=1 : 1/2 = 1/2 P(1) là đúng - Giả sử P(k) là đúng khi n=k. Ta có K 1 k ∑ = i=1 i(i +1) k +1 Cần chứng minh P(k+1) là đúng. Nghĩa là : K +1 1 k +1 ∑ = (đpcm) i=1 i(i +1) k + 2 K +1 1 K 1 1 k 1 Vế trái = ∑ = ∑ + = + i=1 i(i +1) i=1 i(i +1) (k +1)(k + 2) k +1 (k +1)(k + 2) k(k + 2) +1 (k +1) 2 k +1 = = = (đpcm) (k +1)(k + 2) (k +1)(k + 2) k + 2 Vậy ∀nP(n). • Nguyên lý chứng minh qui nạp mạnh Trang 42
Chương 2: Suy luận toán học & Các phương pháp chứng minh Cho P(n) là một đẳng thức có chứa biến n, nếu P(0) là đúng và nếu (P(0)∧ P(1)∧P(2)∧P(3)∧ P(k)) → P(k+1) là đúng thì P(n) là mệnh đề đúng ∀n (với 0 là phần tử đầu tiên). Chú ý rằng, để tạo ra giả thiết qui nạp với nguyên tắc qui nạp yếu, người ta chỉ giả thiết rằng P(k) là đúng tại n=k. Với nguyên tắc qui nạp mạnh, người ta chỉ ra rằng giả thiết đúng cho tất cả các mệnh đề P(0)∧ P(1)∧P(2)∧P(3)∧ P(k). Đây chính là sự khác biệt cơ bản của 2 nguyên tắc qui nạp với giả thiết yếu và giả thiết mạnh. Ví dụ 1: Chứng minh rằng tích của 3 số liên tiếp luôn chia hết cho 6. Giải : Đặt P(n) = {n.(n+1).(n+2) chia hết cho 6} (n nguyên dương) Ta có : P(1) = 1.2.3 chia hết cho 6. Mệnh đề đúng. P(2) = 2.3.4 chia hết cho 6. Mệnh đề đúng. P(3) = 3.4.5 chia hết cho 6. Mệnh đề đúng. Giả sử ∀n≤ k ta có P(k) là đúng. Nghĩa là : k.(k+1).(k+2) chia hết cho 6. Cần chứng minh rằng P(k+1) là đúng. Nhận thấy: (k+1)(k+2)(k+3) = k.(k+1).(k+2) + 3.(k+1).(k+2) Trong đó : k.(k+1).(k+2) chia hết cho 6. Và 3.(k+1).(k+2) chia hết cho 6 = 2.3 (vì (k+1).(k+2) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia chẳn cho 2). Vì tổng của 2 số chia hết cho 6 sẽ chia hết cho 6 (sinh viên tự chứng minh), do đó (k+1).(k+2)(k+3) chia hết cho 6. P(n) đúng với mọi n nguyên dương. Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu n là một số nguyên lớn hơn 1, khi đó n có thể được viết dưới dạng tích của các số nguyên tố. Giải : Đặt P(n) = { n = a.b c } (a, b, ,c là các số nguyên tố) Ta có P(2) = { 2= 2.1} P(3) = { 3= 3.1} P(4) = { 4= 2.4} P(18) = { 6.3= 3.2.3} Trang 43
Chương 2: Suy luận toán học & Các phương pháp chứng minh là các mệnh đề đúng. Giả sử P(n) đúng ∀n≥ 2 ta có P(k) là đúng. Cần chứng minh rằng P(k+1) là đúng. Với n = k+1 ta có 2 trường hợp xảy ra như sau: - k+1 là số nguyên tố : k+1 = (k+1).1 P(k+1) đúng - k+1 không là số nguyên tố (hợp số): k+1 = a.b ( a,b,∈ [2,k] ) Theo giả thiết qui nạp mạnh, a, b có thể là số nguyên tố hoặc là tích của các số nguyên tố. Vậy nếu k+1 là hợp số thì nó cũng sẽ được viết dưới dạng tích của các số nguyên tố. P(n) đúng vói mọi n ≥ 2. Ví dụ 3: Chứng minh rằng mọi bưu phí bằng hay lớn hơn 12 xu đều có thể tạo ra bằng các con tem 4 xu hay 5 xu. Giải : Đặt P(n) = { n = 4 + + 5+ } Ta có : P(12) = { 12 = 4 + 4 + 4} P(13) = { 13 = 4 + 4 + 5} P(14) = { 14 = 4 + 5 + 5} P(15) = { 15 = 5+ 5 + 5} P(16) = { 16 = 4 + 4 + 4 + 4 } P(17) = { 17 = 4 + 4 + 4 + 5 } Giả sử n > 15 và P(n) là đúng. Nhật thấy rằng để tạo ra bưu phí (n+1) xu ta chỉ cần dùng con tem n-3 xu và cộng thêm một tem 4 xu. 2.4. Tổng kết chương 2 Chúng ta đã mô tả các phương pháp khác nhau để chứng minh định lý. Có thể thấy rằng không thể đưa ra một phương pháp nào để chứng minh cho một bài toán nào. Nắm vững các phương pháp chứng minh là một chuyện, biết áp dụng chúng để chứng minh các bài toán là một kỹ thuật đòi hỏi người sử dụng phải thực tập nhiều lần bằng cách thử các trường hợp khác nhau. 2.5. Bài tập chương 2 1/ Quy tắc suy luận nào được dùng trong mỗi lập luận sau : Trang 44
Chương 2: Suy luận toán học & Các phương pháp chứng minh a. Những con kanguroo sống ở Australia là loài thú có túi. Do đó, kanguroo là loài thú có túi. b. Hoặc hôm nay trời nóng trên 100 độhoặc là sự ô nhiễm là nguy hại. Hôm nay nhiệt độ ngoài trời thấp hơn 100 độ. Do đó, ô nhiễm là nguy hại. c. Steve sẽ làm việc ở một công ty tin học vào mùa hè này. Do đó, mùa hè này anh ta sẽ làm việc ở một công ty tin học hoặc là một kẻ lang thang ngoài bể bơi. d. Nếu tôi làm bài tập này cả đêm thì tôi có thể trả lời được tất cả bài tập. Nếu tôi trả lời được tất cả bài tập thì tôi sẽ hiểu được tài liệu này. Do đó, nếu tôi làm bài tập này cả đêm thì tôi sẽ hiểu được tài liệu này 2/ Xác định xem các suy luận sau là có cơ sở không. Nếu một suy luận là có cơ sở thì nó dùng qui tắc suy luận nào. Nếu không hãy chỉ ra ngụy biện nào đã được sử dụng. a. Nếu n là một số thực lớn hơn 1 khi đó n2 > 1. Giả sử n2 > 1. Khi đó n > 1. b. Nếu n là một số thực và n > 3, khi đó n2 > 9. Giả sử n2 ≤ 9. Khi đó, n ≤ 3. c. Một số nguyên dương hoặc là số chính phương hoặc có một số chẳn các ước nguyên dương. Giả sử, n là một số nguyên dương có một số lẻ các ước nguyên dương. Khi đó, n là số chính phương. 3/ Chứng minh rằng bình phương của một số chẳn là một số chẳn bằng : a. Chứng minh trực tiếp b. Chứng minh gián tiếp c. Chứng minh phản chứng 4/ Chứng minh rằng tích của 2 số hữu tỷ là một số hữu tỷ. 5/ Chứng minh rằng một số nguyên không chia hết cho 5 thì bình phương của nó khi chia cho 5 sẽ dư 1 hoặc 4. 6/ Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương khi đó n là lẻ nếu và chỉ nếu 5n + 6 là lẻ. 7/ Có 2 giả thiết - Môn logic là khó hoặc không có nhiều sinh viên thích môn logic. - Nếu môn toán là dễ thi logic là không khó. Bằng cách chuyển các giả thiết trên thành các mệnh đề chứa các biến và các toán tử logic. Hãy xác định xem mỗi một trong các khẳng định sau là các kết luận có cơ sở của các giả thiết đã cho không : Trang 45
Chương 2: Suy luận toán học & Các phương pháp chứng minh a/ Môn toán là không dễ nếu nhiều sinh viên thích môn logic. b/ Không có nhiều sinh viên thích môn logic nếu môn toán là không dễ. c/ Môn toán là dễ hoặc môn logic là khó. d/ Môn logic là không khó hoặc môn toán là không dễ. e/ Nếu không có nhiều sinh viên thích môn logic khi đó hoặc là môn toán không dễ hoặc là logic không khó. 8/ Dùng nguyên lý qui nạp yếu, chứng minh các biểu thức tổng sau : n n(n +1)(n + 2) a. ∑i 2 = i=1 6 n n(n +1)(n + 2)(n + 3) b. ∑i(i +1)(i + 2) = i=1 4 n c. ∑i(i)!= (n +1)!- 1 i=1 n i 1 d. ∑ =1− i=1 (i +1) (n +1)! n 1 n(n + 3) e. ∑ = i=1 (i +1)(i + 2) 4(n +1)(n + 2) n f. ∑i.2i = 2 + (n −1).2n+1 i=1 n g. ∑2.3i−1 = 3n −1 i=1 n n(n +1)(2n + 7) h. ∑i(i + 2) = i=1 6 9. Tìm công thức tính các tổng sau và sử dụng nguyên lý qui nạp để chứng minh công thức vừa tìm được n a. ∑(2i −1) i=1 n b. ∑2i−1 i=1 n c. ∑i(3i −1) i=1 Trang 46
Chương 2: Suy luận toán học & Các phương pháp chứng minh n 1 d. ∑ i=1 i(i +1) n e. ∑(2i −1)2 i=1 n f. ∑i(i +1) i=1 n g. ∑xi i=1 10. Dùng nguyên lý qui nạp mạnh, chứng minh các bất đẳng thức sau: a. ∀n > 3 : 2n 4 : n2 9 : n2 = 6 : 4n 10 : n - 2 < (n2 - n)/12 Trang 47
Chương 2: Suy luận toán học & Các phương pháp chứng minh CHƯƠNG 2 : SUY LUẬN TOÁN HỌC & 28 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH 28 2.1. Tổng quan 28 2.2. Suy luận toán học 29 2.2.1. Khái niệm 29 2.2.2. Các qui tắc suy luận 29 2.3. Các phương pháp chứng minh 31 2.3.1. Chứng minh rỗng ( P là sai) 32 2.3.2. Chứng minh tầm thường (Q là đúng) 33 2.3.3. Chứng minh trực tiếp 33 2.3.4. Chứng minh gián tiếp 34 2.3.5. Chứng minh phản chứng 36 2.3.6. Chứng minh qui nạp 37 2.4. Tổng kết chương 2 44 2.5. Bài tập chương 2 44 Trang 48
Chương 3: Vị từ và lượng từ CHƯƠNG 3 : VỊ TỪ VÀ LƯỢNG TỪ 3.1. Tổng quan • Mục tiêu của chương 3 Học xong chương này, sinh viên phải nắm bắt được các vấn đề sau: - Thế nào là vị từ, không gian của vị từ, trọng lượng của vị từ. - Thế nào là lượng từ, lượng từ tồn tại, lượng từ với mọi. - Cách biểu diễn một câu thông thường thành biểu thức logic. • Kiến thức cơ bản cần thiết Các kiến thức cơ bản trong chương này bao gồm: - Các phép toán đại số, hình học cơ bản để xác định được giá trị đúng, sai của các phát biểu. - Có khả năng suy luận. - Nắm vững các phép toán logic trong chương 1. • Tài liệu tham khảo Phạm văn Thiều, Đặng Hữu Thịnh. Toán rời rạc ứng dụng trong tin học. Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội - 1997 (chương 1.3, trang 32 - 52). • Nội dung cốt lõi - Định nghĩa vị từ, không gian của vị từ, trọng lượng của vị từ. - Định nghĩa lượng từ, lượng từ với mọi, lượng từ tồn tại. - Dịch các câu thông thường thành biểu thức logic. 3.2. Các định nghĩa Trong toán học hay trong chương trình của máy tính, chúng ta thường gặp những câu có chứa các biến như sau : "x>3", "x=y+3", "x+y=z" Các câu này không đúng cũng không sai vì các biến chưa được gán cho những giá trị xác định. Trong chương này, chúng ta sẽ xem xét cách tạo ra những mênh đề từ những câu như vậy. Trang: 48
Chương 3: Vị từ và lượng từ 3.2.1. Định nghĩa vị từ (Prédicat) Một vị từ là một khẳng định P(x,y, ) trong đó có chứa một số biến x,y, lấy giá trị trong những tập họp A,B, cho trước, sao cho : - Bản thân P(x,y, ) không phải là mệnh đề. - Nếu thay x, y , bằng những giá trị cụ thể thuộc tập họp A, B, cho trước ta sẽ được một mệnh đề P(x, y, ), nghĩa là khi đó chân trị của P(x, y, ) hoàn toàn xác định. Các biến x, y, được gọi là các biến tự do của vị từ. Ví dụ 1: Các câu có liên quan đến các biến như: "x>3", "x + y = 5" rất thường gặp trong toán học và trong các chương trình của máy tính. Các câu này không đúng cũng không sai vì các biến chưa được cho những giá trị xác định. Nói cách khác, vị từ có thể xem là một hàm mệnh đề có nhiều biến hoặc không có biến nào, nó có thể đúng hoặc sai tùy thuộc vào giá trị của biến và lập luận của vị từ. Ví dụ 2: Câu {n là chẳn} là một vị từ. Nhưng, khi cho n là một số cụ thể là chẳn hay là lẻ ta được một mệnh đề: n = 2 :{2 là chẳn}: mệnh đề đúng. n = 5 :{5 là chẳn}: mệnh đề sai. Vị từ {n là chẳn} có 2 phần. Phần thứ nhất là biến x là chủ ngữ của câu. Phần thứ hai "là chẳn" cũng được gọi là vị từ, nó cho biết tính chất mà chủ ngữ có thể có. Ký hiệu: P(n) = {n là chẳn} Tổng quát, người ta nói P(n) là giá trị của hàm mệnh đề P tại n. Một khi biến n được gán trị thì P(n) là một mệnh đề. Ví dụ 3: Cho vị từ P(x) = {x>3}. Xác định chân trị của P(4) và P(2). Giải: P(4) = {4>3} : mệnh đề đúng. P(2) = {2>3} : mệnh đề sai. 3.2.2. Không gian của vị từ (Prédi cat) Người ta có thể xem vị từ như là một ánh xạ P, với mỗi phần tử x thuộc tập hợp E ta được một ảnh P(x)∈{∅, 1}. Tập hợp E này được gọi là không gian của vị từ. Không gian này sẽ chỉ rõ các giá trị khả dĩ của biến x làm cho P(x) trở thành mệnh đề đúng hoặc sai. Trang: 49
Chương 3: Vị từ và lượng từ 3.2.3. Trọng lượng của vị từ (Prédi cat) Chúng ta cũng thường gặp những câu có nhiều biến hơn. Vị từ xuất hiện cũng như một hàm nhiều biến, khi đó số biến được gọi là trọng lượng của vị từ. Ví dụ 1: Vị từ P(a,b) = {a + b = 5} là một vị từ 2 biến trên không gian N. Ta nói P có trong lượng 2. Trong một vị từ P(x1, x2, , xn) có trọng lượng là n. Nếu gán giá trị xác định cho một biến trong nhiều biến thì ta được một vị từ mới Q(x1, x2, xn) có trọng lượng là (n-1). Qui luật này được áp dụng cho đến khi n=1 thì ta có một mệnh đề. Vậy, thực chất mệnh đề là một vị từ có trọng lượng là ∅. Ví dụ 2: Cho vị từ P(x, y, z ) = {x + y = z}. Cho x = ∅ : Q(y,z) = P(∅, y, z) = {∅ + y = z} y = ∅ : R(z) = Q(∅, z) = P(∅, ∅, z) = {∅ + ∅ = z} z = ∅ : T = P(∅, ∅, 1) = {∅ + ∅ = 1} mệnh đề sai. Câu có dạng P(x1, x2, , xn) được gọi là giá trị của hàm mệnh đề P tại (x1, x2, , xn) và P cũng được gọi là vị từ. 3.2.4. Phép toán vị từ Phép toán vị từ sử dụng các phép toán logic mệnh đề và là sự mở rộng của phép toán mệnh đề để thể hiện rõ hơn các tri thức. Ví dụ 1: Cần viết câu "nếu hai người thích một người thì họ không thích nhau" dưới dạng logic vị từ. Trước khi viết câu trên ta hãy tìm hiểu các câu đơn giản được viết như sau: "Nam thích Mai" được viết theo phép toán vị từ là: thích (Nam, Mai). "Đông thích Mai" được viết theo phép toán vị từ là: thích (Đông, Mai). Tổng quát khẳng định trên được viết như sau: Thích (X, Z) AND thích (Y, Z) → NOT thích (X, Y) ⇔ (Thích (X, Z) ∧ thích (Y, Z) → ¬ thích (X, Y) Ví dụ 2: Cho vị từ "Quả bóng màu xanh". Phép toán vị từ cho phép mô tả theo quan hệ tri thức theo dạng: (quả bóng, xanh). Cách thể hiện này thuận tiện đối với việc dùng biến và hàm trong xử lý tri thức. Trong lĩnh vực trí tuệ nhân tạo, để lập trình trên các vị từ người ta sử dụng ngôn ngữ Trang: 50
Chương 3: Vị từ và lượng từ Prolog. Đó là một ngôn ngữ cấp cao có đặc điểm gần với ngôn ngữ tự nhiên, do ông C.Cameraller (Đại học Marseilles, Pháp) và nhóm đồng sự cho ra đời năm 1973. Ví dụ: Ta có tam đoạn luận sau: "Người ta ai cũng chết Socrates là người Vậy Socrates phải chết" Trong phần này chúng ta không đi sâu vào ngôn ngữ Prolog (vì sẽ học kỹ ở môn ngôn ngữ lập trình) mà chỉ giới thiệu các khái niệm trong lập trình Prolog có sử dụng các vị từ. a) Hằng: Là một giá trị xác định trong không gian của vị từ. các hằng được ký hiệu bởi các chữ thường dùng để đặt tên các đối tượng đặc biệt hay thuộc tính. b) Biến: Dùng để thể hiện các lớp tổng quát của các đối tượng hay các thuộc tính. Biến được viết bằng các ký hiệu bắt đầu là chữ in hoa. Vậy có thể dùng vị từ có biến để thể hiện các vị từ tương tự. Ví dụ: Vị từ "Quả bóng màu xanh" có thể viết lại: "X màu Y". Quả bóng xanh là các hằng được xác định trong không gian của vị từ. X, Y là biến. c) Các vị từ: Một sự kiện hay mệnh đề trong phép toán vị từ được chia thành phần. Vị từ và tham số. Tham số thể hiện một hay nhiều đối tượng của mệnh đề, còn vị từ dùng để khẳng định về đối tượng. Ví dụ: Câu "X thích Y" có dạng thích (X, Y). Thích là vị từ cho biết quan hệ giữa các đối tượng trong ngoặc. Đối số là các ký hiệu thay cho các đối tượng của bài toán. d) Hàm: Được thể hiện bằng ký hiệu, cho biết quan hệ hàm số. Ví dụ: Hoa là mẹ của Mai, Đông là cha của Cúc. Hoa và Đông là bạn của nhau. Ta co hàm số được viết để thể hiện quan hệ này. Mẹ (Mai) = Hoa Cha (Cúc) = Đông Trang: 51
Chương 3: Vị từ và lượng từ Bạn (Hoa, Đông) Các hàm được dùng trong vị tự là: Bạn (Mẹ (Mai), Cha (Cúc) 3.3. Các lượng từ Khi tất cả các trong môtk hàm mệnh đề điều được gán cho một giá trị xác định. Ta được chân trị của hàm mệnh đề. Tuy nhiên, còn có một cách khác để biến các vị từ thành mệnh đề mà người ta gọi là sự lượng hóa (hay lượng từ). 3.3.1. Lượng từ tồn tại ( ∃ ) Câu xác định "Tập hợp những biến x làm cho P(x) là đúng không là tập hợp rỗng" là một mệnh đề. Hay "Tồn tại ít nhất một phần tử x trong không gian sao cho P(x) là đúng" là một mệnh đề được gọi là lượng từ tồn tại của P(x). Ký hiệu: ∃x P(x) . 3.3.2. Lượng từ với mọi ( ∀ ) Câu xác định "Tập hơp những x làm cho P(x) đúng là tất cả tập hợp E" là một mệnh đề. Hay "P(x) đúng với mọi giá trị x trong không gian" cũng là một mệnh đề được gọi là lượng từ với mọi của P(x). Ký hiệu: ∀xP(x) Ví dụ: Cho vị từ P(x) = {số nguyên tự nhiên x là số chẵn}. Xét chân trị của hai mệnh đề ∀xP(x) và ∃xP(x). Giải: ∀x P(x) = {tất cả số nguyên tự nhiên x là số chẵn} là mệnh đề sai khi x = 5. ∃x P(x) = {hiện hữu một số nguyên tự nhiên x là số chẵn} là mệnh đề đúng khi x = 10. Chú ý: Cho P là một vị từ có không gian E. Nếu E = {e1, e2, en}, mệnh đề ∀xP(x) là đúng khi tất cả các mệnh đề P(e1), P(e2), P(en) là đúng. Nghĩa là ∀x P(x) ⇔ P(e1) ∧ P(e2) ∧ ∧ P(en) là đúng. Tương tự ∃xP(x) là đúng nếu có ít nhất một trong những mệnh đề P(e1), P(e2), P(en) là đúng. Nghĩa là ∃xP(x) ⇔ P(e1)∨ P(e2) ∨ ∨ P(en) là đúng. Trang: 52
Chương 3: Vị từ và lượng từ - Nếu không gian E là một tập trống thì ∀xP(x) và ∃xP(x) có chân trị như thế nào ? (Sinh viên tự giải đáp). Ví dụ: Cho P(a,b) = {cặp số nguyên tương ứng thỏa a + b = 5} Hãy xác định chân trị của các mệnh đề sau: ∀(a,b) P(a,b) {Tất cả cặp số nguyên tượng ứng F ∃(a,b) P(a,b) {Hiện hữu một cặp số nguyên tương ứng (a,b) sao cho a + b V = 5} ∃b∀a P(a,b) {Hiện hữu một cặp số nguyên tương ứng b sao cho cho mọi F số nguyên tương ứng a ta có a + b = 5} ∀a∃b P(a, b) {Mọi số nguyên tương ứng a, hiện hữu một số nguyên tưng V ứng b sao cho a + b = 5} ∃a∀b P(a,b) {Hiện hữu một cặp số nguyên tương ứng a sao cho cho mọi F số nguyên tương ứng b ta có a + b = 5} ∀b∃a P(a, b) {Mọi số nguyên tương ứng b, hiện hữu một số nguyên tưng V ứng a sao cho a + b = 5} Định lý 1: Cho vị từ P(a, b) có trọng lượng là 2. Khi đó: a) ∀a∀b P(a,b) và ∀b∀a P(a, b) là có cùng chân trị. Nghĩa là : ∀a∀b P(a,b) ↔∀b∀a P(a, b) Ký hiệu: ∀(a,b) P(a,b) b) ∃a∃b P(a,b) và ∃b∃a P(a, b) là có cùng chân trị. Nghĩa là: ∃a∃b P(a,b) ↔ ∃b∃a P(a, b) Ký hiệu: ∃(a,b) P(a,b) c) Nếu ∃a∀b P(a,b) là đúng thì ∀b∃a P(a,b) cũng đúng nhưng điều ngược lại chưa đúng. Nghĩa là : ∃a∀b P(a,b) → ∀b∃a P(a,b) d) Nếu ∃b∀a P(a,b) là đúng thì ∀a∃b P(a,b) cũng đúng nhưng điều ngược lại chưa đúng. Nghĩa là : ∃b∀a P(a,b) → ∀a∃b P(a,b) Trang: 53
Chương 3: Vị từ và lượng từ Định lý 2: 1. ¬ (∀ x P(x)) và ∃ x (¬ P(x) là có cùng chân trị. 2. ¬ (∃ x P(x)) và ∀ x (¬ P(x) là có cùng chân trị. Giải thích: 1. Phủ định với ∀x P(x) nói rằng tập hợp những x làm cho P(x) đúng không là tất cả tập hợp E. Vậy nói rằng hiện hữu ít nhất một phần tử x ∈ E mà ở chúng P(x) là sai hay nói rằng hiện hữu ít nhất một phần tử x ∈ E mà ở chúng P(x) là đúng. 2. ¬ ∃ x P(x) nói rằng tập hợp những x mà ở chúng P(x) là đúng là tập hợp trống. Nghĩa là, tập hợp những x mà ở chúng P(x) là sai là tập hợp E hay không có phần tử nào làm P(x) đúng. Ta có ∀ x (¬ P(x)). Ví dụ: Phủ định của "Mọi số nguyên n là chia chẵn cho 3" là "Tồn tại ít nhất một số nguyên n không chia chẵn cho 3" - Phương pháp ứng dụng. Để đạt được phủ định của một mệnh đề xây dựng bằng liên kết của những biến của vi từ với phương tiện định lượng, người ta thay thế những định lượng với mọi ∀ bởi tồn tại ∃, tồn tại ∃ bởi với với mọi ∀ và sau cùng thay thế vị từ bằng phủ định của vị từ đó. Định lý 3: Cho P và Q là hai vị từ có cùng không gian. 1. Mệnh đề ∀x (P(x) ∧ Q(x)) và (∀x (P(x) ∧ ∀x (Q(x)) là có cùng chân trị. 2. Nếu mệnh đề ∃x (P(x) ∧ Q(x)) là đúng thì ta có mệnh đề: (∃x P(x)) ∧ (∃xQ(x)) cũng đúng. 3. Mệnh đề ∃x (P(x) ∨ Q(x)) và (∃xP(x) ∨ ∃xQ(x)) là có cùng chân trị. 4. Nếu mệnh đề ∀x (P(x) ∨ Q(x)) là đúng thì ta có mệnh đề ∀xP(x) ∨ ∀xQ(x) là đúng, nhưng điều ngược lại không luôn luôn đúng. Chú thích: Nếu P và Q là hai vị từ có cùng không gian E. Ta có : - Tập họp A⊂ E : Tập hợp những phần tử x thuộc E mà ở chúng thì P(x) là đúng. - Tập họp B⊂ E: Tập hợp những phần tử x thuộc E mà ở chúng thì Q(x) là đúng. Trang: 54
Chương 3: Vị từ và lượng từ Khi đó người ta lưu ý rằng, A∧B là tập hợp những x thuộc E mà ở chúng mệnh đề P(x)∧Q(x) là đúng. Trong khi đó A∨B là tập hợp những x của E mà ở đó mệnh đề P(x)∨Q(x) là đúng. 3.4. Dịch các câu thông thường thành biểu thức logic Sau khi đã được giới thiệu về các lượng từ, chúng ta có thể biểu diễn được một tập hợp rộng lớn các câu thông thường thành các biểu thức logic. Việc làm này nhằm mục đích loại đi những điều chưa rõ ràng và người ta có thể sử dụng các câu suy luận này trong việc lập trình logic và trí tuệ nhân tạo. Ví dụ 1: Biểu diễn câu "Mọi người đều có chính xác một người bạn tốt nhất" thành một biểu thức logic. Giải: Giả sử B(x,y) là câu "y là bạn tốt của x". Để dịch câu trong ví dụ cần chú ý B(x,y) muốn nói rằng đối với mỗi cá nhân x có một cá nhân khác là y sao cho y là bạn tốt nhất của x, nếu z là một cá nhân khác y thì z không phải là bạn tốt nhất của x. Do đó, câu trong ví dụ có thể dịch thành: ∀x ∃y ∀z [B(x,y) ∧ ((z ≠ y) → ¬ B(x, z))] Ví dụ 2: Biểu diễn câu: "Nếu một người nào đó là phụ nữ và đã sinh con, thì người đó sẽ là mẹ của một người nào khác" thành một biểu thức logic: Giải: Giả sử F(x) = "x là phụ nữ" P(x) = "x đã sinh con" và M(x,y) = "x là mẹ của y" Vì trong ví dụ áp dụng cho tất cả mọi người nên ta có thể viết nó thành biểu thức như sau: ∀x (F(x) ∧ P(x)) → ∃y M(x,y) Ví dụ 3: Xét các câu sau. Hai câu đầu tiên là tiền đề và câu ba là kết luận. Toàn bộ tập hợp 3 câu này được gọi là một suy lý. "Tất cả sư tử Hà Đông đều hung dữ". "Một số sư tử Hà Đông không uống cà phê". "Một số sinh vật hung dữ không uống cà phê". Giải: Gọi P(x)= {x là sư tử hà đông} Q(x)= {x hung dữ} R(x)= {x uống cà phê} Giả sử rằng không gian là tập hợp toàn bộ các sinh vật, ta có cách suy diễn sau: Trang: 55
Chương 3: Vị từ và lượng từ ∀x ( P(x) → Q(x) ∃x ( P(x) ∧ ¬ R(x)) ∃x ( Q(x) ∧ ¬ R(x)) 3.5. Tổng kết chương 3 Có một số điều cần lưu ý trong việc phủ định các lượng từ trong định lý 2. Ví dụ : Hãy xét phủ định của câu sau đây : "Tất cả sinh viên trong lớp đều đã học môn Toán rời rạc 2" Câu này chính là câu sử dụng lượng từ với mọi như sau: ∀xP(x) Trong đó P(x) = { x đã học môn Toán rời rạc 2 }. Phủ định của câu này là : " Không phải tất cả các sinh viên trong lớp đều đã học môn Toán rời rạc 2". Điều này có nghĩa là :" Có ít nhất một sinh viên ở lớp này chưa học Toán rời rạc 2" . Đây chính là lượng từ tồn tại của phủ định hàm mệnh đề ban đầu được viết như sau : ∃x¬P(x). Ta có : ¬ ∀xP(x) ⇔ ∃x¬P(x) ¬ ∃xP(x) ⇔ ∀x¬P(x) Phép phủ định các lượng từ được minh họa rõ hơn trong bảng chú thích sau: Phủ định Mệnh để tương Khi nào phủ định là Khi nào sai đương đúng ¬ ∃xP(x) ∀x¬P(x) P(x) sai với mọi x Có một x để P(x) là ¬ ∀xP(x) ∃x¬P(x) Có một x để P(x) sai đúng P(x) đúng với mọi x 3.6. Bài tập chương 3 1. Cho 2 vị từ P(x) xác định như sau: P(x) = {x ≤ 3} Q(X) = {x+ 1 là số lẻ} Nếu không gian là tập số nguyên, hãy xác định chân trị của những mệnh đề sau: Trang: 56
Chương 3: Vị từ và lượng từ a) P(1) b) Q(1) c) ¬ P(3) d) Q(6) e) P(7)∧Q(7) f) P(3)∧Q(4) g) P(4) h) ¬ (P(-4)∨Q(-3) i) ¬ P(-4) ∧¬ Q(-3) 2. Các vị từ P(x), Q(x) được cho như bài tập 1. R(x) = {x > 0}. Nếu không gian vẫn là tập số nguyên. a) Xác định chân trị của những mệnh đề sau: 1. P(3) ∨ [Q(3)∨¬ R(3)] 2. ¬P(3) ∧ [Q(3) ∨ [Q(3) ∨ R(3)] 3. P(2) → [Q(2) → R(2)] 4. [P(2) ⇔ Q(2)] → R(2) 5. P(0) → [¬ Q(1) ⇔ R(1) 5. [P(-1) ⇔ Q(-2) ⇔ R(-3) b) Xác định tất cả các giá trị x sao cho [P(x) ∧ Q(x)] ∧ R(x) là một mệnh đề đúng. c) Tìm 5 giá trị nguyên dương nhỏ nhất cảu x sao cho vị từ. P(x) → [¬ Q(x) ∧ R(x) là mệnh đề đúng. 3. Cho vị từ P(x) được xác định như sau: P(x) = {x2 = 2x} trên không gian là tập hợp số nguyên. Xác định giá trị đúng, sai của những mệnh đề: a) P(0) b) P(1) c) P(2) d) P(-2) e) ∃x P(x) f) ∀x P(x) 4. Cho 2 vị từ 2 biến P(x,y) và Q(x,y) được xác định như sau: P(x,y) = {x2 ≥ y} Q(x,y) = {x+2 <y} Nếu không gian là tập số thực, xác định chân trị của các mệnh đề a) P(2,4) b) Q(1,π) 1 1 c) P(-3,8)∧Q(1,3) d) P( , )∨¬Q(-2,-3) 2 3 e) P(2,2)→Q(1,1) f) P(1,2)⇔¬Q(1,2) 5. Trong một chương trình Pascal, n là một biến nguyên và A là mảng chứa 20 giá trị nguyên A[1],A[2], A[20] được khai báo như sau: for n:=1 to 20 do A[n]:=n*n-n; Hãy viết dạng kí hiệu của những mệnh đề sau: nếu xem A[n] như vị từ một biến n trên không gian các số nguyên từ 1 đến 20: a) Mọi phần tử của mảng đều không âm. Trang: 57
Chương 3: Vị từ và lượng từ b) Số nguyên A[20] là phần tử lớn nhất trong mảng. c) Tồn tại 2 phần tử trong mảng A mà phần tử sau gấp 2 lần phần tử trước. d) Các phần tử trong mảng được xếp theo thứ tự tăng dần. e) Mọi phần tử trong mảng đều khác nhau. Chứng minh các mệnh đề trên. 6. Trên không gian là tập số nguyên, cho các vị từ sau: P(x) = {x>0) Q(x) = {x là số chẵn} R(x) = {x là số chính phương} S(x) = {x chia hết cho 4} T(x) = {x chia hết cho 5} a) Viết dạng ký hiệu của những mệnh đề sau: 1. Có ít nhất 1 số nguyên chẵn. 2. Tồn tại 1 số nguyên dương là số chẵn. 3. Nếu x chẵn, thì x không chia hết cho 5. 4. Không có số nguyên chẵn nào là chia hết cho 5. 5. Tồn tại 1 số nguyên chẵn chia hết cho 4. 6. Nếu x chẵn và x là số chính phương, thì x chia hết cho 4. b) Xác định chân trị của mỗi mệnh đề a). Với mỗi mệnh đề sai, hãy cho một dẫn chứng cụ thể. c) Viết thành lời các dạng ký hiệu sau: 1. ∀x [R(x) → P(x)] 2. ∀x [S(x) → Q(x)] 3. ∀x [S(x) → ¬T(x)] 4. ∃x [S(x) ∧¬ R(x)] 5. ∀x [¬ R(x) ∨¬ Q(x) ∨ S(x)] 7. Cho các vị từ trên không gian là tập số thực như sau: P(x) = {x ≥ 0) Q(x) = {x2 ≥ 0} R(x) = {x2 - 3x -4 = 0} S(x) = {x2 - 3 > 0} Xác định giá trị đúng, sai của những mệnh đề sau. Theo dẫn chứng hoặc giải thích cụ thể: Trang: 58
Chương 3: Vị từ và lượng từ a) ∃x [P(x) R(x)] b) ∀x [P(x) → Q(x)] c) ∀x [Q(x) → S(x)] d) ∀x [R(x) ∨ S(x)] e) ∀x [R(x) → P(x)] 8. Cho 3 vị từ P(x), Q(x), R(x) được xác định như sau: P(x) = {x2 - 8x + 15 = 0) Q(x) = {x là số lẻ} R(x) = {x > 0} Trên tập không gian là tất cả các số nguyên, hãy xác định giá trị đúng, sai của những mệnh đề sau. Cho dẫn chứng hoặc giải thích cụ thể: a) ∀x [P(x) → Q(x)] b) ∀x [Q(x) → P(x)] c) ∃x [P(x) → Q(x)] d) ∃x [Q(x) → P(x)] e) ∃x [R(x) ∧ P(x)] f) ∀x [P(x) → R(x)] g) ∃x [R(x) → P(x)] h) ∀x [¬ Q(x) →¬ P(x)] i) ∃x [P(x) → (Q(x) ∧ R(x))] j) ∀x [(P(x) ∨ Q(x) → R(x)] 9. Cho 3 vị từ P(x), Q(x), R(x) như sau: P(x) = {x2 - 7x + 10 = 0) Q(x) = {x2 - 2x -3 = 0} R(x) = {x < 0} a) Xác định giá trị đúng, sai của những mệnh đề sau, cho dẫn chứng hoặc giải thích cụ thể, nếu không gian là tập số nguyên. 1. ∀a [P(x) →¬ R(x)] 2. [Q(x) → R(x)] 3. ∃x [Q(x) → R(x)] 3. ∃x [P(x) → R(x)] b) Câu hỏi như phần a) nhưng không gian là tập Z' c) Câu hỏi như phần a) nhưng không gian chỉ gồm 2 số nguyên 2, 5. 10. Cho P(x) = {x học ở lớp hơn 5 giờ mỗi ngày trong tuần} Không gian là tập hợp các sinh viên. Hãy diễn đạt các lượng từ sau thành câu thông thường. a) ∃x P(x) b) ∀x P(x) c) ∃x ¬ P(x) d) ∀x ¬ P(x) Trang: 59
Chương 3: Vị từ và lượng từ 11. Cho vị từ P(x,y) = {x đã học môn y} với không gian của x là tập hợp tất cả các sinh viên lớp bạn và không gian của y là tập hợp tất cả các môn tin học của học kỳ mà bạn đang học. Hãy diễn đạt các lượng từ sau thành các câu thông thường: a) ∃x ∃y P(x,y) b) ∃x ∀y P(x,y) c) ∀x ∃y P(x,y) d) ∃y ∀x P(x,y) e) ∀y ∃x P(x,y) f) ∀x ∀y P(x,y) 12. Cho vị từ: P(x) = {x nói được tiếng anh} Q(x) = {x biết ngôn ngữ C++} Cho không gian là tập hợp các sinh viên lớp bạn. Hãy diễn đạt các câu sau bằng cách dùng P(x), Q(x), các lượng từ và các phép toán logic. a) Có một sinh viên ở lớp bạn nói được tiếng Anh và biết C++ b) Có một sinh viên ở lớp bạn nói được tiếng Anh nhưng không biết C++ c) Mọi sinh viên ở lớp bạn đều nói được tiếng Anh hoặc biết C++ d) Không có một sinh viên nào ở lớp bạn nói được tiếng Anh hoặc biết C++ 13. Cho tân từ: P(x) = {xl là sinh viên) Q(x) = {x là kẻ ngu dốt} R(x) = {x là kẻ vô tích sự} Bằng cách dùng các lượng từ, các phép toán logic và với các vị từ P(x), Q(x), R(x). Hãy diễn đạt các câu sau với không gian là toàn thể sinh viên: a) Không có sinh viên nào là kẻ ngu dốt b) Mọi kẻ ngu dốt đều là vô tích sự. c) Không có sinh viên nào là vô tích sự. Trang: 60
Chương 3: Vị từ và lượng từ CHƯƠNG 3 : VỊ TỪ VÀ LƯỢNG TỪ 48 3.1. Tổng quan 48 3.2. Các định nghĩa 48 3.2.1. Định nghĩa vị từ (Prédicat) 49 3.2.2. Không gian của vị từ (Prédi cat) 49 3.2.3. Trọng lượng của vị từ (Prédi cat) 50 3.2.4. Phép toán vị từ 50 3.3. Các lượng từ 52 3.3.1. Lượng từ tồn tại ( ∃ ) 52 3.3.2. Lượng từ với mọi ( ∀ ) 52 3.4. Dịch các câu thông thường thành biểu thức logic 55 3.5. Tổng kết chương 3 56 3.6. Bài tập chương 3 56 Trang: 61
Chương 4: Lý thuyết tập mờ & Logic mờ CHƯƠNG 4 : LÝ THUYẾT TẬP MỜ & LOGIC MỜ 4.1. Tổng quan • Mục tiêu của chương 4 Học xong chương này, sinh viên phải nắm bắt được các vấn đề sau: - Thế nào là khái niệm của tập mờ, mệnh đề mờ, suy diễn mờ. - Các phép toán trên tập mờ và logic mờ. • Kiến thức cơ bản cần thiết Các kiến thức cơ bản trong chương này bao gồm: - Nắm vững các phép toán logic trong chương 1. - Các suy luận ở chương 2. • Tài liệu tham khảo Nguyễn Hoàng Cương, Bùi Công Cường, Nguyễn Doãn Phước, Phan Xuân Minh, Chu Văn Hỷ, Hệ mờ và ứng dụng. Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội - 1998. • Nội dung cốt lõi - Giới thiệu khái niệm về tập mờ, các phép toán trên tập mờ. - Mệnh đề mờ và các phép toán logic mờ. - Suy diễn mờ. 4.2. Giới thiệu Như đã biết, trong những suy luận đời thường cũng như các suy luận khoa học, logic toán học đóng một vai trò rất quan trọng. Ngày nay, xã hội càng phát triển thì nhu cầu con người ngày càng cao. Do đó, sự tiến bộ của khoa học cũng rất cao. Suy luận logic mệnh đề đã giới thiệu trong chương 1 (tạm gọi là logic nguyên thủy hay logic rõ) với hai giá trị đúng, sai hay 1, 0 đã không giải quyết được hết các bài toán phức tạp nảy sinh trong thực tế. Trang 61
Chương 4: Lý thuyết tập mờ & Logic mờ Ví dụ: quần áo như thế nào được gọi là dầy, là mỏng để máy giặt biết được mà có chế độ tự động sấy khô cho hợp lý ? Hay trong thơ văn có câu: " Trăng kia bao tuổi trăng già? Núi kia bao tuổi gọi là núi non? " Khái niệm trăng già hay núi non là không được định nghĩa rõ ràng. Những bài toán như vậy ngày một nhiều hơn trong các lĩnh vực điều khiển tối ưu, nhận dạng hệ thống, nói chung là trong các quá trình quyết định nhằm giải các bài toán với các dữ liệu không đầy đủ, hoặc không được định nghĩa một cách rõ ràng (trong điều kiện thiếu thông tin chẳng hạn). Một cách tiếp cận mới đã mang lại nhiều kết quả thực tiễn và đang tiếp tục phát triển đó là cách tiếp cận của lý thuyết tập mờ (FUZZY SET THEORY), do giáo sư Lotfi Zadeh của trường đại học California - Mỹ đề ra năm 1965. Công trình này thực sự đã khai sinh một ngành khoa học mới là lý thuyết tập mờ và đã nhanh chóng được các nhà nghiên cứu công nghệ mới chấp nhận ý tưởng. Một số kết quả bước đầu và hướng nghiên cứu tiếp theo góp phần tạo nên những sản phẩm công nghiệp đang được tiêu thụ trên thị trường. Lý thuyết tập mờ ngày càng phong phú và hoàn chỉnh, đã tạo nền vững chắc để phát triển logic mờ. Có thể nói logic mờ (Fuzzy logic) là nền tảng để xây dựng các hệ mờ thực tiển, ví dụ trong công nghiệp sản xuất xi măng, sản xuất điện năng, các hệ chuyên gia trong y học giúp chuẩn đoán và điều trị bệnh, các hệ chuyên gia trong xử lý tiếng nói, nhận dạng hình ảnh, Công cụ chủ chốt của logic mờ là tiền đề hóa và lập luận xấp xỉ với phép suy diễn mờ. Trong chương này, mục đích chính là giới thiệu khái niệm tập mờ, logic mờ, tập trung đi vào các phép toán cơ bản và bước đầu đi vào lập luận xấp xỉ với phép suy diễn mờ. 4.3. Khái niệm tập mờ (fuzzy set) Như chúng ta đã biết, tập hợp thường là kết hợp của một số phần tử có cùng một số tính chất chung nào đó. Ví dụ : tập các sinh viên. Ta có : T = { t / t là sinh viên } Vậy, nếu một người nào đó là sinh viên thì thuộc tập T, ngược lại là không thuộc tập T. Tuy nhiên, trong thực tế cuộc sống cũng như trong khoa học kỹ thuật có Trang 62
Chương 4: Lý thuyết tập mờ & Logic mờ nhiều khái niệm không được định nghĩa một cách rõ ràng. Ví dụ, khi nói về một "nhóm sinh viên khá", thì thế nào là khá ? Khái niệm về khá không rõ ràng vì có thể sinh viên có điểm thi trung bình bằng 8.4 là khá, cũng có thể điểm thi trung bình bằng 6.6 cũng là khá ( dải điểm khá có thể từ 6.5 đến 8.5), Nói cách khác, "nhóm sinh viên khá" không được định nghĩa một cách tách bạch rõ ràng như khái niệm thông thường về tập họp. Hoặc, khi chúng ta nói đến một "lớp các số lớn hơn 10" hoặc " một đống quần áo cũ", , là chúng ta đã nói đến những khái niệm mờ, hay những khái niệm không được định nghĩa một cách rõ ràng. Các phần tử của nhóm trên không có một tiêu chuẩn rõ ràng về tính "thuộc về" ( thuộc về một tập họp nào đó). Đây chính là những khái niệm thuộc về tập mờ. Trong đối thoại hàng ngày chúng ta bắt gặp rất nhiều khái niệm mờ này. Ví dụ, một ông giám đốc nói: " Năm qua chúng ta đã gặt hái được một số thành tích đáng khen ngợi. Năm tới đây chúng ta phải cố gắng thêm một bước nữa". Đây là một câu chứa rất nhiều khái niệm mờ. Như vậy, logic rõ có thể biểu diễn bằng một đồ thị như sau Logic mờ cũng có thể biểu diễn bằng một đồ thị nhưng là đồ thị liên tục Định nghĩa tập mờ (Fuzzy set): Cho Ω là không gian nền, một tập mờ A trên Ω tương ứng với một ánh xạ từ Ω đến đoạn [0,1]. A : Ω → [0,1] được gọi là hàm thuộc về (membership function) Kí hiệu A = {(a, µA(a)) / a∈ Ω} Trang 63
Chương 4: Lý thuyết tập mờ & Logic mờ Trong đó, µA(a) ∈ [0,1] chỉ mức độ thuộc về (membership degree) của phần tử a vào tập mờ A. Khoảng xác định của hàm µA(a) là đoạn [0, 1], trong đó giá trị 0 chỉ mức độ không thuộc về, còn giá trị 1 chỉ mức độ thuộc về hoàn toàn. Ví dụ 1: Một sự biểu diễn tập mờ cho số "integer nhỏ". µ int Ví dụ 2: Một sự biểu diễn tập mờ cho các tập người đàn ông thấp, trung bình và cao. µ chiều cao Ví dụ 3: Cho Ω = {1, 2, 3, 4, 5}, tập mờ A trên Ω tương ứng với ánh xạ µA như sau: µA : 1 → 0 2 → 1 3 → 0.5 4 → 0.3 5 → 0.2 Ta có tập mờ A = {(1,0), (2,1), (3,0.5), (4,0.3), (5,0.2)} Cách viết trên là sự liệt kê các phần tử khác nhau cùng với mức độ thuộc về tập họp A. Từ định nghĩa trên chúng ta có thể suy ra: - Tập mờ A là rỗng nếu và chỉ nếu hàm thuộc về µA(a)= 0 ,∀a∈ Ω - Tập mờ A là toàn phần nếu và chỉ nếu µA(a) = 1 ,∀a∈ Ω - Hai tập mờ A và B bằng nhau nếu µA(x) = µB(x) với mọi x trong Ω. Trang 64
Chương 4: Lý thuyết tập mờ & Logic mờ Ví dụ 4: Cho Ω = {1, 2, 3, 4, 5}, tập mờ A trên Ω tương ứng với ánh xạ µA như ví du trên. A = {(1,0), (2,1), (3,0.5), (4,0.3), (5,0.2)} Tập mờ B trên Ω tương ứng với ánh xạ µB như sau: µB : 1 → 0 2 → 1 3 → 0.5 4 → 0.3 5 → 0.2 Ta có tập mờ B = {(1,0), (2,1), (3,0.5), (4,0.3), (5,0.2)} Nhận thấy, µA(x) = µB(x) với mọi x trong Ω. Vậy A= B. 4.4. Các phép toán về tập mờ Để có thể tiến hành mô hình hóa các hệ thống có chứa tập mờ và biểu diễn các qui luật vận hành của hệ thống này, trước tiên chúng ta cần tới việc suy rộng các phép toán logic cơ bản với các mệnh đề có chân trị trên đoạn [0, 1]. Cho Ω = {P1, P2, } với P1, P2, là các mệnh đề. Tập mờ A trên Ω tương ứng với ánh xạ v như sau: v : Ω → [0, 1] ∀Pi ∈Ω → v(Pi) Ta gọi v(Pi) là chân trị của mệnh đề Pi trên [0, 1]. 4.4.1. Phép bù Phép phủ định trong logic kinh điển là một trong những phép toán cơ bản cho việc xây dựng phép bù của 2 tập hợp. Để suy rộng phép này trong tập mờ chúng ta cần tới toán tử v(NOT P). Toán tử này phải thỏa các tính chất sau : - v(NOT P) chỉ phụ thuộc vào v(P). - Nếu v(P)=1 thì v(NOT P)=0 - Nếu v(P)=0 thì v(NOT P)=1 - Nếu v(P1) ≤ v(P2) thì v(NOT P1) ≥ v(NOT P2) Định nghĩa 1 : Trang 65
Chương 4: Lý thuyết tập mờ & Logic mờ Hàm n : [0,1] → [0, 1] không tăng thỏa mãn các điều kiện n(0) = 1, n(1) = 0, được gọi là hàm phủ định. Ví dụ : n(x) = 1 - x hay n(x) = 1 - x2 là các hàm phủ định. Ta có nhận xét : - Nếu v(P1) v(NOT P2) - v(NOT P) phụ thuộc liên tục vào v(P) - v(NOT (NOT P)) = v(P) Định nghĩa 2 (Phần bù của một tập mờ): c Cho n là hàm phủ định, phần bù A của tập mờ A là một tập mờ với hàm thuộc về được xác định bởi : µ C (a) A = n(µA(a)) , với mỗi a∈ Ω. Đồ thị của hàm thuộc về có dạng sau: x x c µA µA x x Hình a Hình b Hình a : Hàm thuộc về của tập mờ A Hình b : Hàm thuộc về của tập mờ Ac Ví dụ : với n(x) = 1 - x thì ta có : µ C (a) A = n(µA(a)) = 1-µA(a) , với mỗi a∈ Ω. Cho Ω = {1, 2, 3, 4, 5}, và A là tập mờ trong Ω như sau: A = {(1,0), (2,1), (3,0.5), (4,0.3), (5,0.2)} Ta có : c A = {(1,1), (2,0), (3,0.5), (4,0.7), (5,0.8)} Định nghĩa 3: a. Hàm phủ định n là nghiêm ngặt (strict) nếu nó là hàm liên tục và giảm nghiêm ngặt. Trang 66
Chương 4: Lý thuyết tập mờ & Logic mờ b. Hàm phủ định n là mạnh (strong) nếu nó là chặt và thỏa n(n(x)) = x , ∀x∈[0, 1]. Định nghĩa 4: Hàm ϕ = [a,b] → [a,b] gọi là một tự đồng cấu (automorphism) của đoạn [a,b] nếu nó là hàm liên tục, tăng nghiêm ngặt và ϕ(a) = a, ϕ(b) = b. Định lý 1: Hàm n:[0,1] → [0,1] là hàm phủ định mạnh khi và chỉ khi có một tự đồng cấu -1 ϕ của đoạn [0,1] sao cho N(x) = Nϕ(x) = ϕ (1 - ϕ(x)). Định lý 2 : Hàm n: [0,1] →[0,1] là hàm phủ định nghiêm ngặt khi và chỉ khi có hai phép tự đồng cấu ψ, ϕ của [0,1] sao cho n(x) = ψ (1- ϕ(x)). 4.4.2. Phép giao Phép hội AND trong logic kinh điển là cơ sở để định nghĩa phép giao của 2 tập mờ. AND thoả các tính chất sau : - v(P1 AND P2) chỉ phụ thuộc vào v(P1), v(P2). - Nếu v(P1)=1 thì v(P1 AND P2) = v(P2) , với mọi P2 - Giao hoán v(P1 AND P2) = v(P2 AND P1) - Nếu v(P1) ≤ v(P2) thì v(P1 AND P3) ≤ v(P2 AND P3), với mọi P3 - Kết hợp v(P1 AND (P2 AND P3 )) = v((P1 AND P2 )AND P3 ) Định nghĩa 5: Hàm T : [0,1]2 → [0,1] là phép hội (t-chuẩn) khi và chỉ khi thỏa các điều kiện sau: - T(1, x) = x, với mọi 0≤ x ≤1. - T có tính giao hoán, nghĩa là : T(x,y) = T(y,x), với mọi 0≤ x,y ≤1. - T không giảm theo nghĩa : T(x,y) ≤ T(u,v), với mọi x ≤ u, y ≤ v. - T có tính kết hợp : T(x,T(y,z)) = T(T(x,y),x), với mọi 0≤ x,y,z ≤1. Từ các tính chất trên có thể suy ra T(0,x) = 0. Ví dụ : T(x,y) = min(x,y) Trang 67
Chương 4: Lý thuyết tập mờ & Logic mờ T(x,y) = max(0,x+y-1) T(x,y) = x.y (tích đại số của x và y) Định nghĩa 6: Cho hai tập mờ A, B trên cùng không gian nền Ω với hàm thuộc về µA(a), µB(a), cho T là một phép hội . Ứng với phép hội T, tập giao của hai tập mờ A, B là một tập mờ trên Ω với hàm thuộc về cho bởi : µA∩B(a) = T(µA(a), µB(a)) ∀a∈Ω Với T(x,y)=min(x,y) ta có : µA∩B(a) = min(µA(a), µB(a)) Với T(x,y) = x.y ta có: µA∩B(a) = µA(a).µB(a) (tích đại số) Ta có thể biểu diễn phép giao của hai tập mờ qua hai hàm T(x,y)=min(x,y) và T(x,y) = x.y theo các đồ thị sau đây: - Hình a : Hàm thuộc về của hai tập mờ A và B - Hình b: Giao của hai tập mờ theo T(x,y) = min(x,y) - Hình c: Giao của hai tập mờ theo T(x,y) = x.y µ µ µ µB(x) µA(x) µB(x) µA(x) µB(x) µA(x) xx x Hình a Hình b Hình c Ví dụ : Cho Ω = {1, 2, 3, 4, 5}, và A, B là các tập mờ trong Ω như sau: A = {(1,0), (2,1), (3,0.5), (4,0.3), (5,0.2)} B = {(1,0), (2,0.5), (3,0.7), (4,0.2), (5,0.4)} Với T(x,y) = min(x,y), ta có : A∩B = {(1,0), (2,0.5), (3,0.5), (4,0.2), (5,0.2)} A∩Ac = {(1,0), (2,0.1), (3,0.5), (4,0.3), (5,0.2)} Trang 68
Chương 4: Lý thuyết tập mờ & Logic mờ 4.4.3. Phép hợp Phép tuyển OR trong logic kinh điển là cơ sở để định nghĩa phép hợp của 2 tập mờ. OR thoả các tính chất sau : - v(P1 OR P2) chỉ phụ thuộc vào v(P1), v(P2). - Nếu v(P1) = 0 thì v(P1 OR P2) = v(P2) , với mọi P2 - Giao hoán v(P1 OR P2) = v(P2 OR P1) - Nếu v(P1) ≤ v(P2) thì v(P1 OR P3) ≤ v(P2 OR P3), với mọi P3 - Kết hợp v(P1 OR (P2 OR P3 )) = v((P1 OR P2 ) OR P3 ). Định nghĩa 7: Hàm S :[0,1]2 → [0,1] được gọi là phép tuyển (t- đối chuẩn) nếu thỏa các tiên đề sau : - S(0, x) = x, với mọi 0≤ x ≤1. - S có tính giao hoán, nghĩa là : S(x,y) = S(y,x), với mọi 0≤ x,y ≤1. - S không giảm theo nghĩa : S(x,y) ≤ S(u,v), với mọi x ≤ u, y ≤ v. - S có tính kết hợp : S(x,S(y,z)) = S(S(x,y),x), với mọi 0≤ x,y,z ≤1. Từ các tính chất trên suy ra S(1,x) = 1. Ví dụ : S(x,y) = max(x,y) S(x,y) = min(1, x+y) S(x,y) = x + y - x.y Định nghĩa 8: Cho hai tập mờ A, B trên cùng không gian nền Ω với hàm thuộc về µA(a), µB(a). Cho S là phép tuyển , phép hợp của hai tập mờ A, B là một tập mờ trên Ω với hàm thuộc về cho bởi : µA∪B(a) = = S(µA(a), µB(a)) , ∀a∈Ω Với S(x,y) = max(x,y) ta có : µA∪B(a) = max(µA(a), µB(a)) ( xem hình a) Với S(x,y) = min(1, x+y) µA∪B(a) = min(1, µA(a) + µB(a)) (xem hình b) Với S(x,y) = x + y + x.y µA∪B(a) = µA(a) + µB(a) - µA(a).µB(a) (xem hình c) Trang 69
Chương 4: Lý thuyết tập mờ & Logic mờ Có thể biểu diễn giao của các tập mờ với các phép toán trên bằng các đồ thị sau : µ µ µ µB(x) µA(x) µB(x) µA(x) µB(x) µA(x) x x x Hình a: Hình b Hình c Ví dụ : Cho Ω = {1, 2, 3, 4, 5}, và A, B là các tập mờ trong Ω như sau: A = {(1,0), (2,1), (3,0.5), (4,0.3), (5,0.2)} B = {(1,0), (2,0.5), (3,0.7), (4,0.2), (5,0.4)} Ta có : A∪B = {(1,0), (2,1), (3,0.7), (4,0.3), (5,0.4)} A∪Ac = {(1,1), (2,1), (3,0.5), (4,0.7), (5,0.8)} 4.4.4. Một số qui tắc Trong logic rõ với hai giá trị đúng, sai, có nhiều qui tắc đơn giản mà chúng ta thường sử dụng xem như tính chất hiển nhiên. Ví dụ : với bất kỳ tập rõ A ⊂ Ω, ta có: A∩Ac = ∅ và A ∪Ac = Ω. Thực ra, những qui tắc này có được là nhờ vào sự xây dựng toán học trước đó. Chuyển sang lý thuyết tập mờ thì hai tính chất quen dùng này đã không còn đúng nữa. Do đó, chúng ta cần xem xét lại một số tinh chất. • Tính lũy đẳng (demportancy) Chúng ta nói T là lũy đẳng nếu T(x,x) = x, ∀x∈[0,1]. Tương tự, S là lũy đẳng nếu S(x,x) = x, ∀x∈[0,1]. • Tính hấp thu (absorption) Có hai dạng hấp thu : - T(S(x,y),x) = x , ∀x,y∈[0,1]. - S(T(x,y),x) = x , ∀x,y∈[0,1]. Trang 70
Chương 4: Lý thuyết tập mờ & Logic mờ • Tính phân phối (distributivity) Có hai biểu thức xác định tính phân phối: - S(x,T(y,z)) = T(S(x,y), S(x,z)), ∀x,y,z∈[0,1]. - T(x,S(y,z)) = S(T(x,y), T(x,z)), ∀x,y,z∈[0,1]. • Luật De Morgan Cho T là t-chuẩn, S là t-đối chuẩn, n là phép phủ định. Chúng ta có bộ ba (T,S,n) là một bộ ba De Morgan nếu : n(S(x,y)) = T(nx,ny) 4.4.5. Phép kéo theo Chúng ta sẽ xét phép kéo theo như một mối quan hệ, một toán tử logic. Ta có các tiên đề sau cho hàm v(P1 → P2) : - v(P1 → P2) chỉ phụ thuộc vào v(P1), v(P2). - Nếu v(P1) ≤ v(P3) thì v(P1 → P2) ≥ v(P3 → P2), ∀P2 - Nếu v(P2) ≤ v(P3) thì v(P1 → P2) ≤ v(P1 → P3), ∀P1 - Nếu v(P1) = 0 thì v(P1 → P) = 1 , ∀P. - Nếu v(P1) = 1 thì v(P → P1) = 1 , ∀P. - Nếu v(P1) = 1 và v(P2) = 0 thì v(P1 → P2) = 0. Tính hợp lý của những tiên đề này dựa vào logic kinh điển và những tư duy trực quan của phép suy diễn. Từ tiên đề ban đầu (v(P1 → P2) chỉ phụ thuộc vào v(P1), 2 v(P2)) khẳng định sự tồn tại của hàm số I(x,y) xác định trên [0,1] với mong muốn tính chân trị của phép kéo theo qua biểu thức v(P1 → P2) = I(v(P1), v(P2)) Định nghĩa 9: Phép kéo theo của một hàm số I : [0,1]2 → [0,1] thỏa các điều kiện sau : - Nếu x ≤ z thì I(x,y) ≥ I(z,y), ∀y∈[0,1]. - Nếu y ≤ u thì I(x,y) ≤ I(z,y), ∀x∈[0,1]. - I(0,x) = 1, ∀x∈[0,1]. - I(x,1) = 1, ∀x∈[0,1]. - I(1,0) = 0 Định nghĩa 10: Trang 71
Chương 4: Lý thuyết tập mờ & Logic mờ Cho T là t-chuẩn, A là t-đối chuẩn, n là phép phủ định. Hàm IS(x,y) xác định trên [0,1]2 bằng biểu thức : IS(x,y) = S(n(x),y) Ví dụ : Cho Ω = {1, 2, 3, 4, 5}, và A, B là các tập mờ trong Ω như sau: A = {(1,0), (2,1), (3,0.5), (4,0.3), (5,0.2)} B = {(1,0), (2,0.5), (3,0.7), (4,0.2), (5,0.4)} Với S(x,y) = max(x,y) và n(x) = 1 - x ta có : Is (0,0) = S(n(0),0) = 1 Is (1,0.5) = S(n(1),0.5) = 0.5 Is (0.5,0.7) = S(n(0.5),0.7) = 0.7 Is (0.3,0.2) = S(n(0.3),0.2) = 0.7 Is (0.2,0.4) = S(n(0.2),0.4) = 0.8 4.5. Logic mờ 4.5.1. Định nghĩa mệnh đề mờ Trong logic rõ thì mệnh đề là một câu phát biểu có giá trị đúng hoặc sai. Trong logic mờ thì mỗi mệnh đề mờ là một câu phát biểu không nhất thiết là đúng hoặc sai. Mệnh đề mờ được gán cho một giá trị trong khoảng từ 0 đến 1 để chỉ mức độ đúng (độ thuộc về) của nó. Ví dụ : " Nam trông khá đẹp trai" " Chiếc xe này chạy cũng được đấy". " Cô ấy sống tạm gọi là hạnh phúc". Cho Ω = {P1, P2, } với P1, P2, là các mệnh đề. Tập mờ A trên Ω tương ứng với ánh xạ v như sau: v : Ω → [0, 1] ∀Pi ∈Ω → v(Pi) Ta gọi v(Pi) là chân trị của mệnh đề Pi trên [0, 1]. Các phép toán trên mệnh đề mờ là các phép toán logic mờ dựa trên các tập mờ. Ký hiệu mức độ đúng (chân trị) của mệnh đề mờ P là v(P). Ta có : 0≤ v(P)≤ 1. Trang 72
Chương 4: Lý thuyết tập mờ & Logic mờ 4.5.2. Các phép toán trên logic mờ Các phép toán mệnh đề trong logic mờ được định nghĩa như sau: . Phép phủ định : v(P ) = 1 - v(P) . Phép tuyển : v(P1∨ P2) = max(v(P1), v(P2)) . Phép hội : v(P1∧ P2) = min(v(P1), v(P2)) Ví dụ 1: Cho P, Q, R là các mệnh đề mờ với : v(P) = 0.1, v(Q)= 0.9, v(R) = 0.8. Mệnh đề M = (P∧Q)∨R có chân trị (độ thuộc về) là : 0.8 . Phép kéo theo: v(P→Q) = v( P ∨Q) = max(v( P ), v(Q)) Ví dụ 2: Cho P, Q là các mệnh đề mờ với : v(P) = 0.1, v(Q)= 0.6 Mệnh đề v(P→Q) = v( P ∨Q) = max(v( P ), v(Q)) = max(1- 0.1, 0.6) = 0.9 4.6. Suy diễn mờ (Fuzzy inference) Suy diễn mờ hay còn gọi là suy luận xấp xỉ là quá trình suy ra những kết luận dưới dạng các mệnh đề mờ trong điều kiện của qui tắc "Nếu Thì ", với các dữ liệu đầu vào cho trước là không được rõ ràng. Thông thường, suy diễn mờ hay sử dụng luật Modus Ponnens hoặc Modus Tollen. Trong logic rõ, Modus Ponnen diễn đạt như sau: Mệnh đề 1 (Luật hoặc tri thức): P → Q Mệnh đề 2 (sự kiện): P đúng Kết luận : Q đúng Trong suy diễn mờ, luật được diễn đạt dưới dạng sau : Luật mờ : Nếu x=A thì y=B Sự kiện mờ : x=A' Kết luận : y=B' Trang 73
Chương 4: Lý thuyết tập mờ & Logic mờ trong đó A, A' là các tập mờ trên không gian nền U, B và B' là các tập mờ trên không gian nền V. Ví dụ : Luật mờ : Nếu góc tay quay ga lớn thì xe đi nhanh Sự kiện mờ : Góc tay quay khá lớn Kết luận : Xe đi khá nhanh Trong logic rõ Modus Tollen có dạng: Mệnh đề 1 (Luật hoặc tri thức): P → Q Mệnh đề 2 (sự kiện): ¬Q đúng Kết luận : ¬P đúng Trong suy diễn mờ, luật được diễn đạt dưới dạng sau : Luật mờ (hoặc tri thức mờ): P → Q Sự kiện mờ : ¬Q khá đúng Kết luận : ¬P khá đúng Ví dụ : Luật mờ : Nếu góc tay quay ga lớn thì xe đi nhanh Sự kiện mờ : Xe không đi nhanh lắm Kết luận : Góc tay quay không lớn lắm Để ứng dụng suy diễn mờ vào trong bài toán thực tế thì vấn đề mấu chốt mà chúng ta cần thực hiện đó là xây dựng cơ chế lập luận xấp xỉ. Sau đây, chúng tôi xin trình bày một ứng dụng suy luận xấp xỉ trong việc chẩn đoán bệnh lao phổi. Trong phạm vi của chương này, chúng tôi chỉ trình bày phần sơ lược về cách xây dựng suy luận xấp xỉ. Trước hết chúng ta hãy đi tìm hiểu về qui trình chẩn đoán. Hiện nay, khi một bệnh nhân đến khám tại một viện lao, bác sĩ tiến hành chẩn đoán theo các bước sau: Giai đoạn 1: khám lâm sàng - Khám ban đầu : nhìn bề ngoài (tóc, da, mắt, ) - Hỏi về tình trạng của cơ thể bệnh nhân để có thêm nhiều thông tin. - Từ các triệu chứng lâm sàng tiến hành chẩn đoán khẳng định khả năng mắc bệnh của bệnh nhân. Trang 74
Chương 4: Lý thuyết tập mờ & Logic mờ - Nếu hết giai đoạn này, bác sĩ không có nghi ngờ gì về bệnh lao, ông ta sẽ đưa ra câu trả lời phủ định bệnh lao và có thể gợi ý về khả năng bệnh nhân mắc một khác. Bệnh nhân sẽ được khuyên là nên quay lại nếu bệnh nặng hơn mà không rõ căn nguyên. - Ngược lại, nếu tới cuối giai đoạn lâm sàng bệnh nhân bị nghi là đã mắc bệnh lao thì giai đoạn chẩn đoán thứ hai sẽ được tiến hành để có kết luận chắc chắn. Giai đoạn 2: khám cận lâm sàng - Khám nghiệm đờm, - Chụp X quang. Hầu hết các triệu chứng cận lâm sàng đều có ảnh hưởng rất mạnh đến khả năng mắc bệnh của bệnh nhân. Vì vậy, bệnh trạng được khẳng định hoặc loại trừ một cách chắc chắn trong giai đoạn này. Sau đó, bác sĩ sẽ có kết luận và đưa ra một phương án điều trị thử. Nếu bệnh trầm trọng thì bệnh nhân được điều trị lao phổi thử, nếu không quá trầm trọng thi điều trị bắng kháng sinh. Bởi vì, nếu thực tế không phải là lao phổi mà chỉ bị viêm phổi thì điều trị kháng sinh sẽ đem lại kết quả tích cực. Ngược lại, nếu thực sự mắc bệnh lao phổi thì chỉ phương án điều trị lao phổi mới có tác dụng. Toàn bộ qui trình được thể hiện qua lược đồ sau: Trang 75
Chương 4: Lý thuyết tập mờ & Logic mờ Chẩn đoán lâm sàng Không bệnh lao phổi Nghi ngờ bệnh lao phổi Chẩn đoán cận lâm sàng Khẳng định lao phổi Loại trừ lao phổi Không có kết luận Điều trị lao phổi Điều trị thử Bệnh nặng Bệnh không quá nặng Thử Điều trị lao phổi Thử Điều trị kháng sinh không hiệu quả Hiệ u quả tốt không hiệu quả Hiệ u quả tốt Khẳng định và điều trị lao phổi Loại trừ lao phổi Trang 76
Chương 4: Lý thuyết tập mờ & Logic mờ Xây dựng suy diễn xấp xỉ : Có 3 đối tượng mà chúng ta cần quan tâm : 1. Bệnh nhân : ký hiệu là P (Patient) 2. Các triệu chứng : S (Symptom) Bao gồm : lâm sàng, cận lâm sàng, gọi chung là các triệu chứng. Ta có : S = {S1, S2, , Sn} 3. Bệnh cần chẩn đoán : lao phổi D (Disease) Nhận thấy giữa các đối tượng trên xuất hiện những quan hệ mờ : Quan hệ triệu chứng - bệnh nhân : RSP Quan hệ này được sử dụng làm thông tin đầu vào cho cơ chế lập luận trong quá trình chẩn đoán, được xác định bởi µSP ∈[0,1]. Giá trị này thể hiện mức độ xuất hiện của triệu chứng S trên bệnh nhân P. Nói cách khác, RSP là một tập mờ có hàm thuộc về xác định như sau: µSP : RSP → [0,1] Với µSP = 0 có nghĩa là chắc chắn bệnh nhân không có triệu chứng S. Với µSP = 1 có nghĩa là chắc chắn bệnh nhân có triệu chứng S. Với 0 < µSP < 1 có nghĩa là bệnh nhân có triệu chứng S với mức độ xuất hiện là µSP. Ví dụ : Giả sử để xem xét mức độ sốt của bệnh nhân để đưa ra liều luợng thuốc, có các phát biểu mờ (luật mờ) như sau : • IF sốt nhẹ THEN liều lượng asperine thấp • IF sốt THEN liều lượng asperine bình thường • IF sốt cao THEN liều lượng asperine cao • IF sốt rất cao THEN liều lượng asperine cao nhất Trang 77
Chương 4: Lý thuyết tập mờ & Logic mờ SN S SC SRC 37 38 38.7 39 40 41 oC TBT CCN 0 200 400 600 800 1000 mg Thông thường người ta sẽ thực hiện 3 bước: – Mờ hóa (fuzzyfication) giá trị nhập vào – Suy luận Mờ – Khử tính mờ (defuzzyfication) cho giá trị xuất ra Vậy nếu bệnh nhân sốt ở 38.7 độ => liều lượng kê đơn là 480mg Phần => là cả quá trình khử tính mờ (làm rõ hóa) chúng tôi không trình bày chi tiết ở đây, có thể dựa vào đồ thị để suy ra kết quả. Ngoài ra, đôi khi bác sĩ phải đi đến kết luận "không rõ" đối với một triệu chứng nào đó. Khi đó, µSP được định nghĩa là một giá trị rất bé như sau: µSP = ε ≈ 0 Kế tiếp, chúng ta phải xác định quan hệ bệnh nhân - bệnh lao phổi : RPD . Xác định mối quan hệ này cũng có nghĩa là đưa ra kết quả chẩn đoán về khả năng mắc bệnh của bệnh nhân. 4.7. Tổng kết chương 4 Tất cả những kiến thức trình bày trong chương này chỉ là phần cơ bản của lý thuyết tập mờ và logic mờ. Chúng tôi không đi sâu vào chi tiết mà chỉ nhằm mục đích trình bày các khái niệm và các phép toán để sinh viên nắm bắt được vấn đề là bên cạnh logic rõ còn có logic mờ. Sinh viên có thể tìm hiểu sâu hơn về logic mờ ở năm thứ tư trong phần ứng dụng logic mờ vào điều khiển tự động hóa (dành cho lớp điện tử) hay ứng dụng logic mờ trong trí tuệ nhân tạo. Tuy vậy, hy vọng rằng với các cơ sở kiến thức nền về logic mệnh đề, suy luận toán học, vị từ và lý thuyết tập mờ trong giáo trình này là hành trang hữu ích để đi vào các tri thức cao hơn. Trang 78
Chương 4: Lý thuyết tập mờ & Logic mờ 4.8. Bài tập chương 4 1. Cho Ω = {6, 2, 7, 4, 9}, các tập mờ A, B, C trên Ω tương ứng với ánh xạ µA , µB và µC như sau: A = {(6,0.2), (2,0.9), (7,0.5), (4,0.3), (9,0.2)} B = {(6,0), (2,1), (7,0.5), (4,0.6), (9,0.1)} C = {(6,0.3), (2,0.1), (7,1), (4,0), (9,0.5)} a/ Tính các tập AC, BC và CC với hàm thuộc về là 1-x b/ Tính A∩B, B∩C, A∩B∩C, A∩CC, A∩CC với T(x,y) = min(x,y) c/ Tính A∪B, B∪C, A∪B∪C, A∪CC, A∪CC với S(x,y) = max(x,y) 2. Cho các tập mờ A,B,C được định nghĩa trên nền số nguyên Ω = [0,5] với các hàm x 1 thuộc về như sau: µA = và µB = x + 2 x Hãy xác định các tập mờ sau ở dạng liệt kê và đồ thị : a/ Tính các tập AC, BC và CC với hàm thuộc về là 1-x b/ Tính A∩B, B∩C, A∩B∩C, A∩CC, A∩CC với T(x,y) = min(x,y) c/ Tính A∪B, B∪C, A∪B∪C, A∪CC, A∪CC với S(x,y) = max(x,y) 3. Thiết lập mô hình phân loại sinh viên qua các tập mờ sinh viên cần cù, sinh viên thông minh và sinh viên lười. 4. Cho A là tập mờ xác định trên nền X. Hãy chỉ ra rằng biểu thức A∩CC = X không đúng như đối với tập họp kinh điển. 5. Kiểm tra xem tập mờ A, B với các hàm thuộc về xác định ở bài tập 2 là thỏa hai công thức của De Morgan. Trang 79
Chương 4: Lý thuyết tập mờ & Logic mờ CHƯƠNG 4 : LÝ THUYẾT TẬP MỜ & LOGIC MỜ 61 4.1. Tổng quan 61 4.2. Giới thiệu 61 4.3. Khái niệm tập mờ (fuzzy set) 62 4.4. Các phép toán về tập mờ 65 4.4.1. Phép bù 65 4.4.2. Phép giao 67 4.4.3. Phép hợp 69 4.4.4. Một số qui tắc 70 4.4.5. Phép kéo theo 71 4.5. Logic mờ 72 4.5.1. Định nghĩa mệnh đề mờ 72 4.5.2. Các phép toán trên logic mờ 73 4.6. Suy diễn mờ (Fuzzy inference) 73 4.7. Tổng kết chương 4 78 4.8. Bài tập chương 4 79 Trang 80
Predicates and Quantiﬁers: Suggested Exercises 1. Write each of the following expressions so that negations are only applied to propositional functions (and not quantiﬁers or connectives). (a) ¢¡¤£¦¥¨§© £¢§© (b) ¡¦£¤¥¨§ £§©¥¨£¦ ¢¡¤§ £§© (c) ¢¡¤£¥¨§ £§©¡¤§© £¢§ (d) ¢¡¤£¦ ¥¨§! ¢¡¦"# £"¨ $%¥"¨ £§¦"¨ ¥"( §¦£"¨!) §¦"(£¦!* £¢§¤+"#-,#¥"¨ £¢"¨ (e) ¥¨£& ¢¡¤§!' £ § £ § 2. Let £§© =” likes ”, where the universe of discourse for and is the set of all people. For each of the following, translate the expression to English, and tell the truth value. (a) ¡¤£©¡¤§ £§© (b) ¡¤£¦¥¨§ £¢§© (c) ¡¤§©¥¨£¤ £¢§© (d) ¡¤£¤ £¢/.10©2¦354© (e) ¢¡¤£©¡¤§ £§© (f) ¡¤£¦ ¢¡¤§ £§© (g) ¡¤£¦ ¢¡¤§© £§© £(6879§6;: ¡!"= £¢§¤+"# (c) ¡¤£¦¥¨§©¥"= £¢§¤+"# (d) ¡¤£©¡¤§©¥"# £¢§¦"¨ (e) ¡¤£¦¥¨§=¡¦"# £¢§¦"¨ (f) ¥¨£¦¥¨§©¥"= £¢§¤+"# (g) ¥"# ?+@©+"# (h) ¥¨£¤¥§¨ £¢§¤/A> (i) ¥¨£¦¥¨§ £¢§¦@= 4. Write each of the following sentences using quantiﬁers and propositional functions (if it is possible). (a) All disc golfers play ultimate frisbee. (b) If all students in my class do their homework, then some of the students will pass. (c) If none of the students in my class study, then all of the students in my class will fail. (d) Not everybody knows how to throw a frisbee 300 feet. (e) Some people like ice cream, and some people like cake, but everybody needs to drink water. (f) Everybody loves somebody. (g) Everybody is loved by somebody. (h) Not everybody is loved by everybody. (i) Nobody is loved by everybody. (j) You can’t please all of the people all of the time, but you can please some of the people some of the time. (k) If only somebody would give me some money, I would buy a new house. (l) Nobody loves me, everybody hates me, I’m going to eat some worms. (m) Every rose has it’s thorn, and every night has it’s dawn.
Rules of Inference Tautology Rule p→(p∨q) Addition (p∧q)→p Simplification ((p)∧(q))→ (p∧q) Conjunction [p∧(p→q)]→q Modus Ponens [¬q∧(p→q)]→¬p Modus Tollens [(p→q)∧(q→r)]→(p→r) Hypothetical Syllogism [(p∨q) ∧¬p]→q Disjunctive Syllogism (p→q)→ (¬q→¬p) Contrapositive Rules of Inference for Quantifiers ∀x P(x) Universal instantiation ∴ P(c) if c∈U P(c) for arbitrary c∈U Universal generalization ∴ ∀x P(x) ∃x P(x) Existential instantiation ∴ P(c) for some c∈U P(c) for some c∈U Existential generalization ∴ ∃x P(x)
Equivalence Relations ¡ Deﬁnition: A relation on a set is called an equivalence relation if it is reﬂexive, symmetric, and transitive. Recall the deﬁnitions: ¢ ¡ ¤ ¤ ¨ ¦ reﬂexive: £¥¤ §©¨ for all . ¢ ¡ ¤ ¤ ¨ ¨ ¦ ¦ ¦ £ § symmetric: £¥¤ §©¨ when , for . ¢ ¤ ¤ ¨ ¨ ¦ ¦ ¦ £ § transitive: £ §©¨ and £ § implies , ¡ ¤ ¨ for ¦ ¦ . If two elements are related by an equivalence relation, they are said to be equivalent. 1