›
›

Giáo trình Lý thuyết cơ học

pdf 238 trang phuongnguyen 9680
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Lý thuyết cơ học", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_ly_thuyet_co_hoc.pdf

Nội dung text: Giáo trình Lý thuyết cơ học

  1. Giỏo trỡnh Lý thuyết cơ học
  2. -1- phần mở đầu Cơ học nghiên cứu các quy luật cân bằng và chuyển động của vật thể d−ới tác dụng của lực. Cân bằng hay chuyển động trong cơ học là trạng thái đứng yên hay dời chỗ của vật thể trong không gian theo thời gian so với vật thể khác đ−ợc làm chuẩn gọi là hệ quy chiếu. Không gian và thời gian ở đây độc lập với nhau. Vật thể trong cơ học xây dựng d−ới dạng các mô hình chất điểm, cơ hệ và vật rắn. Cơ học đ−ợc xây dựng trên cơ sở hệ tiên đề của Niu tơn đ−a ra trong tác phẩm nổi tiếng " Cơ sở toán học của triết học tự nhiên" năm 1687 - chính vì thế cơ học còn đ−ợc gọi là cơ học Niu tơn. Cơ học khảo sát các vật thể có kích th−ớc hữu hạn và chuyển động với vận tốc nhỏ hơn vận tốc ánh sáng. Các vật thể có kích th−ớc vĩ mô, chuyển động có vận tốc gần với vận tốc ánh sáng đ−ợc khảo sát trong giáo trình cơ học t−ơng đối của Anhxtanh. Trong các tr−ờng đại học kỹ thuật, cơ học làm nền tảng cho các môn học kỹ thuật cơ sở và kỹ thuật chuyên ngành nh− sức bền vật liệu, nguyên lý máy, động lực học máy, động lực học công trình, lý thuyết tính toán máy nông nghiệp, lý thuyết ô tô máy kéo v.v Cơ học đã có lịch sử lâu đời cùng với quá trình phát triển của khoa học tự nhiên, bắt đầu từ thời kỳ phục h−ng sau đó đ−ợc phát triển và hoàn thiện dần. Các khảo sát có tầm quan trọng đặc biệt làm nền tảng cho sự phát triển của cơ học là các công trình của nhà bác học ng−ời ý Galilê (1564- 1642). Galilê đã đ−a ra các định luật về chuyển động của vật thể d−ới tác dụng của lực, đặc biệt là định luật quán tính. Đến thời kỳ Niutơn (1643- 1727) ông đã hoàn tất trên cơ sở thống nhất và mở rộng cơ học của Galilê, xây dựng hệ thống các định luật mang tên ông - định luật Niutơn. Tiếp theo Niutơn là Đalămbe (1717- 1783), ơle ( 1707 - 1783) đã có nhiều đóng góp cho cơ học hiện đại ngày nay.
  3. -2- ơle là ng−ời đặt nền móng cho việc hình thành môn cơ học giải tích mà sau này Lagơrăng, Hamintơn, Jaccobi, Gaoxơ đã hoàn thiện thêm. Căn cứ vào nội dung và các đặc điểm của bài toán khảo sát, ch−ơng trình cơ học giảng cho các tr−ờng đại học kỹ thuật có thể chia ra thành các phần: Tĩnh học, động học, động lực học và các nguyên lý cơ học. Tĩnh học nghiên cứu các quy luật cân bằng của vật thể d−ới tác dụng của lực. Động học chỉ nghiên cứu các quy luật chuyển động của vật thể đơn thuần về mặt hình học. Động lực học nghiên cứu các quy luật chuyển động của vật thể d−ới tác dụng của lực. Các nguyên lý cơ học là nội dung cơ bản nhất của cơ học giải tích. Cơ học giải tích chính là phần động lực học của hệ đ−ợc trình bày theo h−ớng giải tích hoá. Cơ học là khoa học có tính hệ thống và đ−ợc trình bày rất chặt chẽ . Khi nghiên cứu môn học này đòi hỏi phải nắm vững các khái niệm cơ bản và hệ tiên đề, vận dụng thành thạo các công cụ toán học nh− hình giải tích, các phép tính vi phân, tích phân, ph−ơng trình vi phân để thiết lập và chứng minh các định lý đ−ợc trình bày trong môn học. Ngoài ra ng−ời học cần phải th−ờng xuyên giải các bài tập để củng cố kiến thức đồng thời rèn luyện kỹ năng áp dụng lý thuyết cơ học giải quyết các bài toán kỹ thuật.
  4. -3- Phần I Tĩnh Học Ch−ơng 1 Các khái niệm cơ bản và hệ tiên đề của tĩnh học lý thuyết về mô men lực và ngẫu lực 1.1. các khái niệm cơ bản Tĩnh học nghiên cứu các quy luật cân bằng của vật rắn tuyệt đối d−ới tác dụng của lực. Trong tĩnh học có hai khái niệm cơ bản là vật rắn tuyệt đối và lực. 1.1.1. Vật rắn tuyệt đối Vật rắn tuyệt đối là vật thể có hình dạng bất biến nghĩa là khoảng cách hai phần tử bất kỳ trên nó luôn luôn không đổi. Vật thể có hình dạng biến đổi gọi là vật biến dạng. Trong tĩnh học chỉ khảo sát những vật thể là rắn tuyệt đối th−ờng gọi tắt là vật rắn. Thực tế cho thấy hầu hết các vật thể đều là vật biến dạng. Song nếu tính chất biến dạng của nó không ảnh h−ởng đến độ chính xác cần có của bài toán có thể xem nó nh− vật rắn tuyệt đối trong mô hình tính toán. 1.1.2. Lực và các định nghĩa về lực Lực là đại l−ợng đo tác dụng cơ học giữa các vật thể với nhau. Lực đ−ợc biểu diễn bằng đại l−ợng véc tơ có ba yếu tố đặc tr−ng: độ lớn (còn gọi là c−ờng độ), ph−ơng chiều và điểm đặt. Thiếu một trong ba yếu tố trên tác dụng của lực không đ−ợc xác định. Ta th−ờng dùng chữ cái có dấu véc tơ ở trên để ký hiệu các r r r véc tơ lực. Thí dụ các lực P , F1 , N . Với các ký hiệu này phải hiểu rằng các chữ cái không có dấu véc tơ ở trên chỉ là ký hiệu độ lớn của nó. Thí dụ độ lớn r r r của các lực P , F N là P, F, N. Độ lớn của các lực có thứ nguyên là Niu tơn hay bội số Kilô Niu tơn viết tắt là (N hay kN). Sau đây giới thiệu một số định nghĩa:
  5. -4- Hệ lực: Hệ lực là một tập hợp nhiều lực cùng tác dụng lên vật rắn. Lực t−ơng đ−ơng: Hai lực t−ơng đ−ơng hay hai hệ lực t−ơng đ−ơng là hai lực hay hai hệ lực có tác động cơ học nh− nhau. Để biểu diễn hai lực t−ơng đ−ơng hay hai hệ lực t−ơng đ−ơng ta dùng dấu t−ơng đ−ơng nh− trong toán học. r r r r r r r r Thí dụ hai lực F và P t−ơng đ−ơng ta viết F ∼ P . Hai hệ lực ( F1 , F2 , Fn ) và ( P1 , r r r r r r r r P2 , Pm ) t−ơng đ−ơng ta viết ( F1 , F2 Fn ) ∼ ( P1 , P2 , Pm ). Hợp lực: Hợp lực của hệ lực là một lực t−ơng đ−ơng với hệ lực đã cho. Thí r r r r r r r r dụ nếu có R ∼ ( F1 , F2 , Fn ) thì R đ−ợc gọi là hợp lực của hệ lực ( F1 , F2 , Fn ). Hệ lực cân bằng: Hệ lực cân bằng là hệ lực t−ơng đ−ơng với không (hợp r r r lực của nó bằng không). Thí dụ: hệ lực ( F1 , F2 Fn ) là cân bằng khi r r r ( F1 , F2 Fn ) ∼ 0. 1.2. Hệ tiên đề của tĩnh học Tĩnh học đ−ợc xây dựng trên cơ sở sáu tiền đề sau đây: Tiên đề 1: (Hệ hai lực cân bằng) Điều kiện cần và đủ để hai lực cân bằng là hai lực đó có cùng độ lớn, cùng r r r r ph−ơng, ng−ợc chiều và cùng đặt lên một vật rắn. Ta có ( F1 , F2 ) ∼ 0 khi F1 = - F2 . Tiên đề 2 : ( Thêm hoặc bớt một hệ lực cân bằng) Tác dụng của hệ lực lên vật rắn sẽ không đổi nếu ta thêm vào hoặc bớt đi một hệ lực cân bằng. r F r Tiên đề 3: ( Hợp lực theo nguyên tắc hình 2 R bình hành) Hai lực cùng đặt vào một điểm trên vật rắn r F có hợp lực đ−ợc biểu diễn bằng đ−ờng chéo của 1 hình bình hành mà hai cạnh là hai lực đã cho. Hình 1.1
  6. -5- r r Hình vẽ 1.1 Biểu diễn hợp lực của hai lực F1 , F2 . Về ph−ơng diện véc tơ có r r r thể viết: R = F1 + F2 . Tiên đề 4: ( Lực tác dụng t−ơng hỗ) Lực tác dụng t−ơng hỗ giữa hai vật rắn có cùng độ lớn, cùng ph−ơng nh−ng ng−ợc chiều. Tiên đề 5: (Tiên đề hoá rắn) Một vật không tuyệt đối rắn đang ở trạng thái cân bằng khi hoá rắn nó vẫn giữ nguyên trạng thái cân bằng ban đầu. Tiên đề 6: ( Giải phóng liên kết) Tr−ớc khi phát biểu tiên đề này cần đ−a ra một số khái niệm về: Vật rắn tự do, vật rắn không tự do, liên kết và phản lực liên kết. Vật rắn tự do là vật rắn có khả năng di chuyển theo mọi phía quanh vị trí đang xét. Nếu vật rắn bị ngăn cản một hay nhiều chiều di chuyển nào đó đ−ợc gọi là vật rắn không tự do. Những điều kiện ràng buộc di chuyển của vật rắn khảo sát gọi là liên kết. Trong tĩnh học chỉ xét liên kết do sự tiếp xúc của các vật rắn với nhau (liên kết hình học). Theo tiên đề 4 giữa vật khảo sát và vật liên kết xuất hiện các lực tác dụng t−ơng hỗ. Ng−ời ta gọi các lực tác dụng t−ơng hỗ giữa vật liên kết lên vật khảo sát là phản lực liên kết. Để khảo sát vật rắn không tự do ta phải dựa vào tiên đề giải phóng liên kết sau đây: Tiên đề:Vật rắn không tự do có thể xem nh− vật rắn tự do khi giải phóng các liên kết và thay vào đó bằng các phản lực liên kết t−ơng ứng. Xác định phản lực liên kết lên vật rắn là một trong những nội dung cơ bản của các bài toán tĩnh học. Sau đây giới thiệu một số liên kết phẳng th−ờng gặp và tính chất các phản lực của nó. Liên kết tựa (vật khảo sát tựa lên vật liên kết): Trong dạng này các phản
  7. -6- lực liên kết có ph−ơng theo pháp tuyến chung giữa hai mặt tiếp xúc. Tr−ờng hợp đặc biệt nếu tiếp xúc là một điểm nhọn tựa lên mặt hay ng−ợc lại thì phản lực liên kết sẽ có ph−ơng pháp tuyến với mặt tại điểm tiếp xúc. ( Hình vẽ 1.2, 1.3, 1.4). r N C N r N C r N B r A N A B Hình 1.2 Hình 1.3 Hình 1.4 Liên kết là khớp bản lề: Khớp bản lề di động ( hình 1.5) chỉ hạn chế chuyển động của vật khảo sát theo chiều vuồng góc với mặt phẳng tr−ợt do đó phản lực liên kết có ph−ơng vuông góc với mặt tr−ợt. Khớp bản lề cố định ( hình 1.6) chỉ cho phép vật khảo sát quay quanh trục của bản lề và hạn chế các chuyển động vuông góc với trục quay của bản lề. Trong tr−ờng hợp này phản lực có hai thành phần vuông góc với trục bản lề. ( hình 1.6). r R r N Y Yo O X X o Hình 1.5 Hình 1.6 Liên kết là dây mềm hay thanh cứng: (hình 1.7 và hình 1.8) Các liên kết dạng này chỉ hạn chế chuyển động của vật thể theo chiều dây hoặc thanh. Ph−ơng của phản lực liên kết là ph−ơng dọc theo dây và thanh.
  8. -7- r sr s B A r r r T T 1 T A B 2 sr Hình 1.7 Hình 1.8 Liên kết ngàm (hình 1.9). Vật khảo sát bị hạn chế không những di chuyển theo các ph−ơng mà còn hạn chế cả chuyển động quay. Trong tr−ờng hợp này phản lực liên kết có cả lực và mô men phản lực. ( Khái niệm mô men lực sẽ đ−ợc nói tới ở phần sau). Liên kết là gót trục: ( hình 1.10) Vật khảo sát bị hạn chế các chiều chuyển động theo ph−ơng ngang, ph−ơng thẳng đứng và chuyển động quay quanh các trục X và Y do đó phản lực liên kết có các thành phần nh− hình vẽ. z YA ZA mA A XA mX m Y YA y XA x Hình 1.9 Hình 1.10 Các hệ quả suy ra từ hệ tiên đề tĩnh học. Hệ quả 1: ( Định lý tr−ợt lực) Tác dụng của một lực lên vật rắn r r F r B F sẽ không đổi nếu ta tr−ợt lực đó dọc theo A A F'B B đ−ờng tác dụng đến đặt ở điểm khác. r Thật vậy: Cho lực F đặt tại A của r Hình 1.11 vật rắn ( FA ). Ta đặt vào điểm B trên đ−ờng r r r ′ tác dụng của F một cặp lực cân bằng ( FB , FB ) (hình 1.11). Theo tiên đề hai có
  9. -8- thể viết: r r r r ′ FA ∼ ( FA , FB , FB ). ở đây các chỉ số A, B đi theo các lực để chỉ điểm đặt các lực đó, các lực này có độ lớn bằng nhau và cùng ph−ơng . r r ′ Mặt khác theo tiên đề 1 hai lực ( FA , FB ) là cặp lực cân bằng vì thế theo tiên đề hai có thể bớt cặp lực đó trên vật, nghĩa là: r r r r ′ r FA ∼ ( FA , FB , FB ) ∼ FB r Nh− vậy ta đã tr−ợt lực F ban đầu đặt tại A dọc theo đ−ờng tác dụng của nó về đặt tại B mà tác dụng cơ học lên vật rắn vẫn không đổi. Hệ quả 2: Hệ lực cân bằng thì một lực bất kỳ trong hệ lấy theo chiều ng−ợc lại sẽ là hợp lực của các lực kia. r r r Chứng minh: Cho hệ lực cân bằng ( F1 , F2 , Fn ). Giả sử ta lấy ở trong hệ r một lực Fi và đổi chiều sau đó cho tác dụng lên vật rắn. Xét vật rắn chịu tác dung r của lực - Fi . Theo tiên đề 2 nếu thêm vào vật rắn hệ lực cân bằng đã cho, tác dụng lên vật rắn vẫn không đổi, nghĩa là: r r r r r r - Fi ∼ (- Fi , F1 , F2 Fi Fn ) r r Trong hệ (n+1) lực ở vế phải có hai lực cân bằng là ( Fi , - Fi ) theo tiên đề 2 r r ta có thể bớt Fi , và - Fi đi nghĩa là: r r r r r r - Fi ∼ ( F1 , F2 , Fi−1 Fi+1 Fn ) r r Biểu thức này chứng tỏ - Fi là hợp lực của hệ lực đã cho khi không có Fi . 1.3. Lý thuyết về mô men lực và ngẫu lực 1.3.1. Mô men lực đối với một tâm và đối với một trục 1.3.1.1. Mô men của lực đối với một tâm r r r Mô men của lực Fđối với tâm O là đại l−ợng véc tơ, ký hiệu mo (F) có:
  10. -9- r - Độ lớn bằng tích số: F.d, với F là độ lớn lực Fvà d là khoảng cách từ r tâm O tới đ−ờng tác dụng của F gọi là cánh tay đòn. - Ph−ơng vuông góc với mặt phẳng chứa tâm O và lực F (mặt phẳng tác dụng). r r - Chiều h−ớng về phía sao cho khi nhìn từ đỉnh của véc tơ mo (F) xuống r mặt phẳng tác dụng sẽ thấy véc tơ lực F chuyển động theo chiều mũi tên vòng quanh O theo ng−ợc chiều kim đồng hồ (hình 1.12). r r D−ạ vào hình vẽ dễ dàng thấy rằng độ lớn của véc tơ mo (F) bằng hai lần r diện tích tam giác OAB ( tam giác có đỉnh O và đáy bằng lực F). r Với định nghĩa trên có thể biểu diễn véc tơ mô men lực F đối với tâm O bằng biểu thức sau: r r r r r mo (F) = OA x F= r x F. r Trong đó r là véc tơ định vị của điểm đặt của lực F so với tâm O. Trong tr−ờng hợp mặt phẳng tác dụng của mô men lực đã xác định, để đơn r giản ta đ−a ra khái niệm mô men đại số của lực F đối với tâm O nh− sau: r Mô men đại số của lực F đối với tâm O là đại l−ợng đại số ký hiệu: mo = ± F.d r Lấy dấu d−ơng (+) khi nhìn vào mặt phẳng tác dụng thấy lực F quay theo chiều mũi tên vòng quanh O theo chiều ng−ợc kim đồng hồ (hình 1.13), lấy dấu trừ (-) trong tr−ờng hợp quay ng−ợc lại (hình 1.14). Mô men đại số th−ờng đ−ợc biểu diễn bởi mũi tên vòng quanh tâm O theo chiều của mô men.
  11. -10- z r B F r B F A A(x,y,z) d 900 A r r O m ( F) r 0 o 90 r d F O y O m (F)=F.d mo(F)= - F.d B o x Hình 1.12 Hình 1.13 Hình 1.14 1.3.1.2. Mô men của lực đối với một trục r r Mô men của lực F đối với trục OZ là đại l−ợng đại số ký hiệu mZ( F) tính r r theo công thức: mZ( F ) = ± F'.d' . Trong đó F' là hình chiếu của lực F trên mặt phẳng π vuông góc với trục Z. d' là khoảng cách tính từ giao điểm O của trục Z r với mặt phẳng π đến đ−ờng tác dụng của F' (hình 1.15). Lấy với dấu (+) khi nhìn từ h−ớng r B F'' d−ơng của trục OZ sẽ thấy hình chiếu F' Z quay quanh trục OZ ng−ợc chiều kim r B1 d r F Z đồng hồ. F' Lấy dấu (-) trong tr−ờng hợp (π) O A ng−ợc lại. Hình 1.15 Từ hình vẽ ta rút ra trị số mô men r của lực F đối với trục OZ bằng hai lần diện tích tam giác OAB1. r 1.3.1.3. Quan hệ giữa mô men lực F đối với tâm O và với trục đi qua O Trên hình 1.16 ta thấy: r mo( F ) = 2.diện tích (∆OAB). r mZ( F) = 2 diện tích (∆oa1b1)
  12. -11- Vì oa1b1 là hình chiếu của tam giác OAB trên mặt phẳng vuông góc với trục Z tại O. Nếu gọi α là góc hợp bởi giữa hai mặt phẳng OAB và mặt phẳng r r oa1b1 thì góc này cũng chính là góc hợp giữa véc tơ mô men mo (F) với trục OZ, ta có: Diện tích ∆oa b = diện tích r A z 1 1 F r B m z(F) ∆OAB. cosα. d mr (F) r r r o hay mZ( F) = mo (F) .cosα. α r a F Kết quả cho thấy mô men của lực r b F đối với trục OZ là hình chiếu véc tơ d' r mô men lực F lấy với điểm O nào đó trên trục OZ chiếu trên trục OZ đó. Hình 1.16 1.3.2. Lý thuyết về ngẫu lực 1.3.2.1 Định nghĩa và các yếu tố đặc tr−ng của ngẫu lực Định nghĩa: Ngẫu lực là hệ hai lực song song ng−ợc chiều cùng c−ờng độ. r r Hình 1.17 biểu diễn ngẫu lực ( F1 , F2 ) Mặt phẳng chứa hai lực gọi là mặt phẳng tác dụng. Khoảng cách d giữa đ−ờng tác dụng của hai lực gọi là cánh tay đòn. Chiều quay vòng của các lực theo đ−ờng khép kín trong mặt phẳng tác dụng gọi là chiều quay của ngẫu lực. Tích số m = d.F gọi là mô men mr của ngẫu lực. Tác dụng của ngẫu lực đ−ợc A d A2 d 2 A đặc tr−ng bởi ba yếu tố: A1 1 - Độ lớn mô men m - Ph−ơng mặt phẳng tác mr dụng Hình 1.17
  13. -12- - Chiều quay của ngẫu. Thiếu một trong ba yếu tố trên tác dụng của ngẫu lực ch−a đ−ợc xác định. Để biểu diễn đầy đủ ba yếu tố trên của ngẫu lực ta đ−a ra khái niệm về véc tơ mô men ngẫu lực mr . Véc tơ mô men mr có trị số bằng tích số d.F có ph−ơng vuông góc với mặt phẳng tác dụng, có chiều sao cho nhìn từ mút của nó xuống mặt phẳng tác dụng thấy chiều quay của ngẫu lực theo chiều ng−ợc kim đồng hồ. Với định nghĩa trên ta thấy véc tơ mô men mr của ngẫu lực chính là véc tơ mô men của một trong hai lực thành phần lấy đối với điểm đặt của lực kia. Theo hình 1.17 có thể viết: r r r r r r r m = m A1( F2 ) = m A2 ( F1 )= A1A2 x F2 = A2A1 x F2 1.3.2.2. Định lý về mô men của ngẫu lực Trong một ngẫu lực, tổng mô men của hai lực thành phần đối với một điểm bất kỳ là một đại l−ợng không đổi và bằng véc tơ mô men ngẫu lực. r r Chứng minh: Xét ngẫu lực ( F1 , F2 ) biểu diễn trên hình 1.18. Chọn một r r điểm O bất kỳ trong không gian, tổng mô men của hai lực F1 , F2 lấy với O có thể r r r r viết: mo (F1) + mo (F2 ) = A1 r r r = OA x F + OA x F ; F 1 1 1 2 2 r F 2 r r = OA x F - OA x F ; A2 1 1 2 2 o r = (OA1 - OA2) x F1 ; Hình 1.18 r r = A2A1 x F1 = m . Trong định lý trên vì điểm O là bất kỳ do đó có thể kết luận rằng tác dụng của ngẫu lực sẽ không thay đổi khi ta rời chỗ trong không gian nh−ng vẫn giữ nguyên độ lớn, ph−ơng chiều của véc tơ mô men mr . Cũng từ định lý trên rút ra hệ quả về các ngẫu lực t−ơng đ−ơng sau đây.
  14. -13- Hệ quả 1: Hai ngẫu lực cùng nằm trong một mặt phẳng có cùng trị số mô men m cùng chiều quay sẽ t−ơng đ−ơng. Hệ quả 2: Hai ngẫu lực nằm trong hai mặt phẳng song song cùng trị số mô men, cùng chiều quay sẽ t−ơng đ−ơng với nhau. Thật vậy trong hai tr−ờng hợp này các ngẫu lực đều đảm bảo có véc tơ mô men mr nh− nhau. 1.3.2.3. Hợp hai ngẫu lực r r Định lý: hợp hai ngẫu lực có mô men m 1 và m 2 cho ta một ngẫu lực có mô men M bằng tổng hình học các véc tơ mô men của hai ngẫu lực đã cho. Ta r r có M = m 1 + m 2 r r Chứng minh: Xét hai ngẫu lực có mô men m 1 và m 2 nằm trong hai mặt phẳng π1 và π1. Trên giao tuyến của hai mặt phẳng π1 và π2 lấy một đoạn thẳng r r r A1A2 ngẫu lực có mô men m thay bằng ngẫu lực ( F1 F2 ) nằm trong mặt phẳng π1 r r r và đặt vào A1A2. Ngẫu lực có mô men m 2 thay bằng ngẫu lực ( p 1 p 2) nằm trong mặt phẳng π2 và cùng đặt vào A1A2 (hình 1.19). mr r m 1 π mr 2 2 r r P r F 2 R 2 1 π1 r r F r P 1 2 R 1 Hình 1.19 r r r Tại A1 hợp hai lực F1 , P1 đ−ợc lực R 1 r r r Tại A2 hợp hai lực F2 P2 đ−ợc lực R 2 r r Do tính chất đối xứng dễ dàng nhận thấy hai véc tơ R 1 và R 2 song song
  15. -14- r r ng−ợc chiều và có cùng c−ờng độ. Nói khác đi hai lực R 1 R 2 tạo thành một ngẫu lực. Đó chính là ngẫu lực tổng hợp của hai ngẫu lực đã cho. r r r Gọi M là mô men của ngẫu lực ( R 1 R 2) ta có: r r r M = A1A2 x R 2 = A1A2 x R 1 r r r r r r Thay R 1 = F1 + P1 và R 2 = F2 + P2 , suy ra: r r r r r M = A1A2 x ( F2 + P2 ) = A1A2 x F2 + A1A2 x P2 , r r r r r r r M = m A1 ( F2 ) + m A1( P2 ) = m 1 + m 2. Tr−ờng hợp hai ngẫu lực cùng nằm trong một mặt phẳng. Khi đó các mô men của ngẫu lực đ−ợc biểu diễn bởi các mô men đại số. Theo kết quả trên, ngẫu lực tổng hợp trong tr−ờng hợp này cũng nằm trong mặt phẳng tác dụng của hai ngẫu lực đã cho và có mô men bằng tổng đại số 2 mô men của ngẫu lực thành phần: M = (m1 ± m2)
  16. -15- Ch−ơng 2 Lý thuyết về hệ lực Trong tĩnh học có hai bài toán cơ bản: thu gọn hệ lực và xác định điều kiện cân bằng của hệ lực. Ch−ơng này giới thiệu nội dung của hai bài toán cơ bản nói trên. 2.1 Đặc tr−ng hình học cơ bản của hệ lực Hệ lực có hai đặc tr−ng hình học cơ bản là véc tơ chính và mô men chính. 2.1.1. Véc tơ chính r r r Xét hệ lực ( F1 , F2 , Fn ) tác dụng lên vật rắn (hình 2.1a). Véc tơ chính của hệ lực là véc tơ tổng hình học các véc tơ biểu diễn các lực trong hệ (hình 2.1b) r r F F 1 2 r r b F F 2 3 c a r F 1 r F 3 O m r r F r R r n F n R n a/ H ình 2.1 b/ r r r r n r R = F1 + F2 + Fn = ∑F i (2-1) i=1 r Hình chiếu véc tơ R lên các trục toạ độ oxyz đ−ợc xác định qua hình chiếu các lực trong hệ: r n R x = x1 + x2 + + xn = ∑Xi; i=1
  17. -16- r n R y = y1 + y2 + + yn = ∑Yi; i=1 r n R z = z1 + z2 + +zn = ∑Zi. i=1 Từ đó có thể xác định độ lớn, ph−ơng, chiều véc tơ chính theo các biểu thức sau: r 2 2 2 R = R x + R y + R z ; R R R cos(R,X) = x ; cos(R,Y) = y ; cos(R,Z) = z . R R R Véc tơ chính là một véc tơ tự do. 2.1.2. Mô men chính của hệ lực Véc tơ mô men chính của hệ lực đối với tâm O là véc tơ tổng của các véc tơ mô men các lực trong hệ lấy đối với tâm O (hình 2.2). Nếu ký hiệu mô men r chính là M o ta có n r r r M o = ∑m o( F i) (2 -2) i=1 • m r A1 2 F 1 r r M 0 z1 r m 30 r m 20 r A2 z 2 r m 10 r F O 2 r z 3 A 3 r F 3 Hình 2.2 r Hình chiếu của véc tơ mô men chính M o trên các trục toạ độ oxyz đ−ợc xác định qua mô men các lực trong hệ lấy đối với các trục đó:
  18. -17- r r r n r Mx = mx( F1 ) + mx( F2 ) + + mx( Fn ) = ∑mx( F i); i=1 r r r n r My = my( F1 ) + my( F2 ) + + my( Fn ) = ∑my( F i); i=1 r r r n r Mz = mz( F1 ) + mz( F2 ) + +mz( Fn ) = ∑mz( F i). i=1 Giá trị và ph−ơng chiều véc tơ mô men chính đ−ợc xác định theo các biểu thức sau: 2 2 2 Mo = M x + M y + M z M x M y Mz cos(Mo,x) = ; cos(Mo,y) = ; cos(Mo,z) = . Mo Mo Mo r r Khác với véc tơ chính R véc tơ mô men chính M o là véc tơ buộc nó phụ thuộc vào tâm O. Nói cách khác véc tơ chính là một đại l−ợng bất biến còn véc tơ mô men chính là đại l−ợng biến đổi theo tâm thu gọn O. 2.2. Thu gọn hệ lực Thu gọn hệ lực là đ−a hệ lực về dạng đơn giản hơn. Để thực hiện thu gọn hệ lực tr−ớc hết dựa vào định lý rời lực song song trình bày d−ới đây. 2.2.1. Định lý 2.1 : Tác dụng của lực lên vật rắn sẽ không thay đổi nếu ta rời song song nó tới một điểm đặt khác trên vật và thêm vào đó một ngẫu lực phụ r F r A F' d B r F'' Hình 2.3
  19. -18- có mô men bằng mô men của lực đã cho lấy đối với điểm cần rời đến. r Chứng minh: Xét vật rắn chịu tác dụng lực F đặt tại A. Tại điểm B trên vật r r r r r r đặt thêm một cặp lực cân bằng ( F', F'') trong đó F' = F còn F'' = - F. (xem hình 2.3). r r r r Theo tiên đề 2 có: F ∼ ( F, F', F''). r r r r r Hệ ba lực (F, F', F'') có hai lực ( F, F'') tạo thành một ngẫu lực có mô r r men m = m B(F) (theo định nghĩa mô men của ngẫu lực). r r r r Ta đã chứng minh đ−ợc F ∼ F' + ngẫu lực ( F, F'') 2.2.2 Thu gọn hệ lực bất kỳ về một tâm a. Định lý 2.2: Hệ lực bất kỳ luôn luôn t−ơng đ−ơng với một lực bằng véc tơ chính đặt tại điểm O chọn tuỳ ý và một ngẫu lực có mô men bằng mô men chính của hệ lực đối với tâm O đó. r r r Chứng minh: Cho hệ lực bất kỳ ( F1 , F2 , , Fn ) tác dụng lên vật rắn. Chọn điểm O tuỳ ý trên vật, áp dụng định lý rời lực song song đ−a các lực của hệ về r r r đặt tại O. Kết quả cho ta hệ lực ( F1 , F2 , , Fn )o đặt tại O và một hệ các ngẫu lực r r r r r r r r r phụ có mô men là m 1 = m o( F1 ) , m 2 = m o( F2 ), m n = m o( Fn ) (hình 2.4). r r r Hợp từng đôi lực nhờ tiên đề 3 có thể đ−a hệ lực ( F1 , F2 , Fn )o về t−ơng r đ−ơng với một lực R . Cụ thể có: M = M r r r r r r A o ( F1 , F2 ) ∼ R 1 trong đó R 1 = F1 + F2 r 1 F 1 r r r r r r mr ( R 1, F 3 ) ∼ R 2 trong đó R 2 = R 1 + F 3 = 20 mr r r r r 30 m 10 F1 + F2 + F 3 r A2 F 2 r O F 1 r r r r r r R F 3 ( R , F ) ∼ R F (n-1) n A3 2 r F 3 Hình 2.4
  20. -19- r r r n r trong đó R = R (n-2) + Fn = ∑F i i=1 r r Hợp lực R của các lực đặt tại O là véc tơ chính R 0 của hệ lực. Các ngẫu lực phụ cũng có thể thay thế bằng một ngẫu lực tổng hợp theo cách lần l−ợt hợp từng đôi ngẫu lực nh− đã trình bày ở ch−ơng 1. Ngẫu lực tổng n r r r hợp của hệ ngẫu lực phụ có mô men M o = ∑m o( F i). Đây là mô men chính của i=1 hệ lực đã cho đối với tâm O Theo định lý 2.2, trong tr−ờng hợp tổng quát khi thu gọn hệ lực về tâm O bất kỳ ta đ−ợc một véc tơ chính và một mô men chính. Véc tơ chính bằng tổng hình học các lực trong hệ và là một đại l−ợng không đổi còn mô men chính bằng tổng mô men các lực trong hệ lấy đối với tâm thu gọn và là đại l−ợng biến đổi theo tâm thu gọn. Để xác định quy luật biến đổi của mô men chính đối với các tâm thu gọn khác nhau ta thực hiện thu gọn hệ lực về hai tâm O và O1 bất kỳ (hình 2.4a). Thực hiện thu gọn hệ về tâm O ta r r r R M r đ−ợc 0 và o. r R 0 R 01 M 0 r M Trên vật ta lấy một tâm O1 khác O 01 r sau đó rời lực R o về O1 ta đ−ợc O O1 r r r r R o ∼ R o1 + ngẫu lực ( R o , R 'o1). r R ' r r r 01 Suy ra ( R o, M o) ∼ R o1 + ngẫu lực Hình 2.4a r r r ( R o , R 'o1) + M o r r Nếu thu gọn hệ về O1 ta đ−ợc M o1 và R o1 . Điều tất nhiên phải có là : r r r r ( R o, M o) ∼ ( R o1 , M o1 ). Thay kết quả chứng minh ở trên ta có:
  21. -20- r r r r r ( R o, M o) ∼ Ro1 +( R o, R 'o1) + Mo ∼ ( R o +Mo1) r r r r hay M 01 ∼ M o + ( R o, R '01) (2.3) r r r Ngẫu lực ( R o, R 01) có mô men M ' =mo1.(Ro) Kết luận: Khi thay đổi tâm thu gọn véc tơ mô men chính thay đổi một đại l−ợng M' bằng mô men của véc tơ chính đặt ở tâm tr−ớc lấy đối với tâm sau. 2.2.3. Các dạng chuẩn của hệ lực Kết quả thu gọn hệ lực về một tâm có thể xẩy ra 6 tr−ờng hợp sau 2.2.3.1. Véc tơ chính và mô men chính đều bằng không r r R = 0 ; M o = 0 Hệ lực khảo sát cân bằng. 2.2.3.2. Véc tơ chính bằng không còn mô men chính khác không r r R = 0; M o ≠ 0 Hệ lực t−ơng đ−ơng với một ngẫu lực có mô men bằng mô men chính. 2.2.3.3. Véc tơ chính khác không còn mô men chính bằng không r r R ≠ 0; M o = 0 Hệ có một hợp lực bằng véc tơ chính. 2.2.3.4. Véc tơ chính và mô men chính đều khác không nh−ng vuông góc với nhau (hình 2.5) r r r r R ≠ 0; M o ≠ 0 và R ⊥ M o r r r Trong tr−ờng hợp này thay thế mô men chính M o bằng ngẫu lực ( R ', R '') với điều kiện: r r r r r r r R ' = R ; R '' = - R và M o = m o( R ') r M o r r O' R O' R r r M r n R o P R o o O O O d P' r O' R ' a) b)
  22. -21- r r r r r Ta có ( R , M o) ∼ ( R , R ', R '' ). r r Theo tiên đề 1 R o và R '' cân bằng do đó có thể bớt đi và cuối cùng hệ còn lại một lực bằng véc tơ chính nh−ng đặt tại O1. Nói khác đi hệ có một hợp lực đặt tại O1. 2.2.3.5. Hai véc tơ chính và mô men chính khác không nh−ng song song với nhau (hình 2.6). r r r r R o ≠ 0; M o ≠ 0 và R o // M o r r r Trong tr−ờng hợp này nếu thay M o bằng một ngẫu lực ( P P ') mặt phẳng r của ngẫu này vuông góc với véc tơ chính R . r Hệ đ−ợc gọi là hệ vít động lực. Nếu véc tơ R song song cùng chiều với r véc tơ M o hệ gọi là hệ vít động lực thuận (phải) và ng−ợc lại gọi là hệ vít động lực nghịch (trái). Hình 2.6 biểu diễn vít động lực thuận 2.2.3.6. Hai véc tơ chính và mô men chính khác không và hợp lực với nhau một góc ϕ bất kỳ (hình 2.7) Tr−ờng hợp này nếu thay thế r r r r véc tơ M o bằng một ngẫu lực ( P P ') M 0 r trong đó cólực P đặt tại O còn lực r r r P ' đặt tại O sao cho m (P) = M . O1 r 1 o o P R ' Rõ ràng mặt phẳng tác dụng của r P ' ϕ r r ngẫu lực ( P P ') không vuông góc với r r R 0 R o. Mặt khác tại O có thể hợp hai r r r lực P và R o thành một lực R '. Nh− Hình 2.7
  23. -22- r r vậy đã đ−a hệ về t−ơng đ−ơng với hai lực P ', R ' hai lực này chéo nhau. 2.2.4. Định lý Va ri nhông r r Định lý: Khi hệ lực có hợp lực R thì mô men của R đối với một tâm hay một trục nào đó bằng tổng mô men của các lực trong hệ lấy đối với tâm hay trục đó. n r r r r m o( R ) = ∑m o( F i) i=1 n r r r r m z( R ) = ∑m z( F i) (2.4) i=1 z r r r r F 1 Chứng minh: Cho hệ lực ( F1 , F2 , , Fn ) r F r 2 tác dụng lên vật rắn. Gọi R là hợp lực của hệ r (hình 2.8). R r y Tại điểm C trên đ−ờng tác dụng của R ' O r F n r r r x hợp lực R đặt thêm lực R ' = - R .Hệ lực đã r cho cùng với R ' tạo thành một hệ lực cân Hình 2.8 bằng: r r r r ( F1 , F2 , Fn , + R ') ∼ 0 Khi thu gọn hệ lực này về một tâm O bất kỳ ta đ−ợc một véc tơ chính và một mô men chính. Các véc tơ này bằng không vì hệ cân bằng, ta có: n r r r r r M o = ∑m o( F i) + m o( R ') = 0 i=1 r r Thay R ' = - R ta có: n r r r r ∑m o( F i) - m o( R ) = 0 i=1 n r r r Hay mo( R ) = ∑m o( F i) i=1 Chiếu ph−ơng trình trên lên trục oz sẽ đ−ợc:
  24. -23- r n r mz( R ) = ∑mz( F i) i=1 Định lý đã đ−ợc chứng minh 2.2.5. Kết quả thu gọn các hệ lực đặc biệt 2.2.5.1. Hệ lực đồng quy Hệ lực đồng quy là hệ lực có đ−ờng tác dụng của các lực giao nhau tại một điểm. Trong tr−ờng hợp hệ lực đồng quy nếu chọn tâm thu gọn là điểm đồng quy kết quả thu gọn sẽ cho véc tơ chính đúng bằng hợp lực còn mô men chính sẽ bằng không. R0 ≠ 0, Mo = 0 với O là điểm đồng quy. 2.2.5.2. Hệ ngẫu lực Nếu hệ chỉ bao gồm các ngẫu lực, khi thu gọn hệ sẽ đ−ợc một ngẫu lực tổng hợp có mô men đúng bằng mô men chính của hệ. n M = ∑mi ; mi là mô men của ngẫu lực thứ i và n là số ngẫu lực của hệ. i=1 2.2.5.3. Hệ lực phẳng Hệ lực phẳng là hệ có các lực cùng nằm trong một mặt phẳng. Nếu chọn tâm thu gọn nằm trong mặt phẳng của hệ thì kết quả thu gọn r r r vẫn cho ta một mô men chính M o và véc tơ chính R o. Véc tơ chính R nằm trong r mặt phẳng của hệ còn mô men chính M o vuông góc với mặt phẳng của hệ. Theo r kết quả thu gọn ở dạng chuẩn ta thấy: hệ lực phẳng khi có véc tơ chính R và mô r men chính M o khác không bao giờ cũng có một hợp lực nằm trong mặt phẳng của hệ. 2.2.5.4. Hệ lực song song Hệ lực song song là hệ lực có đ−ờng tác dụng song song với nhau. r Kết quả thu gọn về một tâm bất kỳ cho ta một véc tơ chính R và một mô r men chính M o . Véc tơ chính có đặc điểm song song với các lực của hệ.
  25. -24- 2.3. Điều kiện cân bằng và ph−ơng trình cân bằng của hệ lực 2.3.1. Điều kiện cân bằng và ph−ơng trình cân bằng của hệ lực bất kỳ trong không gian 2.3.1.1. Điều kiện cân bằng Điều kiện cân bằng của hệ lực bất kỳ trong không gian là véc tơ chính và mô men chính của nó khi thu gọn về một tâm bất kỳ đều bằng không. r n r R = ∑F 1 = 0 i=1 n r r r M o = ∑m o( F 1) = 0 (2-5) i=1 2.3.1.2. Ph−ơng trình cân bằng Nếu gọi Rx, Ry, Rz và Mx, My, Mz là hình chiếu của các véc tơ chính và mô men chính lên các trục toạ độ oxyz thì điều kiện (2-5) có thể biểu diễn bằng các ph−ơng trình đại số gọi là ph−ơng trình cân bằng của hệ lực bất kỳ trong không gian. Ta có: n n n Rx = ∑Xi = 0, Ry = ∑Yi =0, Rz = ∑Zi = 0 i=1 i=1 i=1 n r n r n r Mx = ∑mx( F i) = 0, My = ∑my( F i) = 0, Mz = ∑mz( F i) = 0. (2-6) i=1 i=1 i=1 Trong các ph−ơng trình trên Xi, Yi, Zi là thành phần hình chiếu của lực Fi; r r r r mx( F i), my( F i), mz( F i) là mô men của các lực F i đối với các trục của hệ tọa độ oxyz. Ba ph−ơng trình đầu gọi là ba ph−ơng trình hình chiếu còn 3 ph−ơng trình sau gọi là 3 ph−ơng trình mô men. 2.3.2. Ph−ơng trình cân bằng của các hệ lực đặc biệt 2.3.2.1 Hệ lực đồng quy r Nếu chọn tâm thu gọn là điểm đồng quy O thì mô men chính M o sẽ bằng không do đó 3 ph−ơng trình mô men luôn luôn tự nghiệm. Vậy ph−ơng trình cân bằng của hệ lực đồng quy chỉ còn:
  26. -25- n Rx = ∑Xi = 0 i=1 n Ry = ∑Yi =0 (2-7) i=1 n Rz = ∑Zi = 0 i=1 2.3.2.2. Hệ ngẫu lực r Khi thu gọn hệ ngẫu lực về một tâm ta thấy ngay véc tơ chính R 0 = 0 điều đó có nghĩa các ph−ơng trình hình chiếu luôn luôn tự nghiệm. Ph−ơng trình cân bằng của hệ ngẫu lực chỉ còn lại ba ph−ơng trình mô men sau: n r n Mx = ∑mx( F i) = ∑mix = 0, i=1 i=1 n r n My = ∑my( F i) = ∑miy = 0, (2-8) i=1 i=1 n r n Mz = ∑mz( F i) = ∑miz = 0. i=1 i=1 ở đây mĩx, miy, miz là hình chiếu lên các trục hệ tọa độ oxyz của véc tơ mô r men m i của ngẫu lực thứ i. 2.3.2.3. Hệ lực song song Chọn hệ toạ độ oxyz sao cho oz song song với các lực. Khi đó các hình chiếu Rx, Ry của véc tơ chính và Mz của mô men chính luôn luôn bằng không. Vì vậy ph−ơng trình cân bằng của hệ lực song song chỉ còn lại ba ph−ơng trình sau: n Rz = ∑Zi = 0; i=1 n r Mx = ∑mx( F i) = 0; (2-9) i=1
  27. -26- n r My = ∑my( F i) = 0 i=1 Trong đó ph−ơng trình đầu là ph−ơng trình hình chiếu còn hai ph−ơng trình cuối là ph−ơng trình mô men. 2.3.2.4. Hệ lực phẳng r r Cần l−u ý rằng trong hệ lực phẳng véc tơ chính R và mô men chính M r luôn luôn vuông góc với nhau, nghĩa là hệ lực phẳng luôn luôn có hợp lực R nằm trong mặt phẳng của hệ đã cho. Để đảm bảo điều kiện hợp lực của hệ bằng không tức là điều kiện cân bằng của hệ ta có thể viết ph−ơng trình cân bằng d−ới 3 dạng khác nhau. 1. Dạng hai ph−ơng trình hình chiếu một ph−ơng trình mô men: Để hệ lực cân bằng cũng nh− các tr−ờng hợp khác phải có R = 0 và Mo = 0. Nếu chọn hệ toạ độ oxy là mặt phẳng chứa các lực của hệ ta thấy ngay các n n n ph−ơng trình Rz = ∑ zi = 0; Mx = ∑ mx(Fi) = 0 và My = ∑my(Fi) = 0 là luôn luôn i=1 i=1 i=1 tự nghiệm vì vậy ph−ơng trình cân bằng chỉ còn : n Rx = ∑Xi = 0; i=1 n Ry = ∑Yi = 0; (2-10) i=1 n Mz = ∑mz(Fi). i=1 Hai ph−ơng trình đầu là ph−ơng trình hình chiếu còn ph−ơng trình thứ ba là ph−ơng trình mô men. Cần chú ý vì các lực cùng nằm trong mặt phẳng oxy do n đó Mz = ∑mz(Fi) chính là tổng mô men đại số của các lực đối với tâm O. i=1 n Mz = ∑ ± mz(Fi) i=1
  28. -27- 2. Dạng một ph−ơng trình hình chiếu và hai ph−ơng trình mô men r Điều kiện hợp lực R của hệ bằng không có thể biểu diễn bằng ba ph−ơng trình sau đây: n Rz = ∑ Xi = 0; i=1 n MA = ∑ ± mA(Fi) = 0; (2-11) i=1 n MB = ∑ ± mB(Fi) = 0 i=1 Với điều kiện trục x không vuông góc với AB. r Thạt vậy từ ph−ơng trình (1) cho thấy hợp lực R của hệ lực bằng không hoặc vuông góc với trục x. r Theo định lý Va ri nhông ,từ ph−ơng trình (2) ta thấy hợp lực R hoặc bằng không hoặc đị qua A. r Từ ph−ơng trình (3) ta cũng thấy hợp lực R của hệ bằng không hoặc đi qua B. Kết hợp cả ba ph−ơng trình ta thấy hợp lực của hệ hoặc bằng không hoặc phải đi qua hai điểm A,B và vuông góc với trục x (không vuông góc với AB). Điều kiện hợp lực vừa qua A, B và vừa vuông góc với trục x là không thực hiện đ−ợc vì trái với giả thiết. Nh− vậy nếu hệ thoả mãn ph−ơng trình (2-11) thì hợp lực của nó sẽ bằng không nghĩa là hệ lực cân bằng. 3. Dạng ba ph−ơng trình mô men đối với 3 điểm Ngoài hai dạng ph−ơng trình cân bằng trên hệ lực phẳng còn có ph−ơng trình cân bằng theo dạng sau: n r MA = ∑ ±mA( F i) = 0 i=1
  29. -28- n r MB = ∑ ±mB( F i) = 0 (2-12) i=1 n r MC = ∑ ±mo( F i) =0 i=1 Với điều kiện A, B, C không thẳng hàng. r Thật vậy, nếu hệ lực phẳng thoả mãn ph−ơng trình MA = ∑±mA( F) = 0 thì theo định lý Va ri nhông hợp lực của hệ sẽ bằng không hoặc đi qua A. Cũng lý luận t−ơng tự ta thấy để thoả mãn MB = 0 và Mc = 0 thì hợp lực phải bằng không hoặc phải đi qua B, đi qua C. Vì chọn 3 điểm A, B, C không thẳng hàng nên điều kiện để hợp lực qua 3 điểm là không thực hiện đ−ợc. Chỉ có thể hợp lực bằng không, có nghĩa là nếu thoả mãn hệ ba ph−ơng trình (2-12) hệ lực phẳng cho sẽ cân bằng. 2.4. Bài toán cân bằng của vật rắn Vật rắn cân bằng khi hệ lực tác dụng lên nó bao gồm các lực đã cho và phản lực liên kết cân bằng. Khi giải bài toán cân bằng của vật rắn có thể áp dụng ph−ơng pháp giải tích hoặc ph−ơng pháp hình học nh−ng phổ biến và có hiệu quả nhất là ph−ơng pháp giải tích. Giải bài toán cân bằng của vật th−ờng tiến hành theo các b−ớc sau: 1. Chọn vật khảo sát: vật khảo sát phải là vật rắn mà sự cân bằng của nó cần thiết cho yêu cầu xác định của bài toán. Nếu nh− bài toán tìm phản lực liên kết thì vật khảo sát phải là vật chịu tác dụng của phản lực liên kết cần tìm, nếu là bài toán tìm điều kiện cân bằng của vật thì vật khảo sát phải chính là vật đó. 2. Giải phóng vật khảo sát khỏi liên kết và xem đó là vật tự do d−ới tác dụng của các lực đã cho và phản lực liên kết. 3. Thiết lập điều kiện cân bằng cuả vật bởi các ph−ơng trình cân bằng của hệ lực tác dụng lên vật khảo sát bao gồm các lực cho và phản lực liên kết.
  30. -29- 4. Giải hệ ph−ơng trình cân bằng để xác định trị số và ph−ơng chiều của các phản lực liên kết hoặc thiết lập mối quan hệ giữa các lực để đảm bảo điều kiện cân bằng cho vật khảo sát . 5. Nhận xét các kết quả thu đ−ợc. Cần chú ý rằng chiều của các phản lực th−ờng ch−a đ−ợc xác định vì thế lúc đầu phải tự chọn chiều. Dựa vào kết quả giải hệ ph−ơng trình cân bằng ta có thể xác định chiều của các phản lực chọn đúng hay sai. Nếu các phản lực liên kết cho trị số d−ơng thì chiều chọn là đúng và nếu trị số âm thì chiều phải đảo lại . Mặt khác cũng cần l−u ý rằng bài toán có tr−ờng hợp giải đ−ợc (bài toán tĩnh định) khi số ẩn số cần xác định nhỏ hơn hoặc bằng số ph−ơng trình cân bằng. Có tr−ờng hợp không giải đ−ợc (bài toán siêu tĩnh) khi ẩn số cần tìm lớn hơn số ph−ơng trình cân bằng. Thí dụ 2.1. Cột điện OA chôn thẳng đứng trên mặt đất và đ−ợc giữ bởi hai sợi dây AB và AD hợp với cột điện một góc α = 300 (xem hình 2-8a) Góc giữa mặt phẳng AOD và mặt phẳng AOB là ϕ = 600. Tại đầu A của cột điện có hai nhánh dây điện mắc song song với trục ox và oy. Các nhánh dây này có lực kéo là P1 và P2 nh− hình vẽ. Cho biết P1 = P2 = P = 100kN. Xác định lực tác dụng dọc trong cột điện và trong các dây căng AD, AB. Bài giải: z Chọn vật khảo sát là đầu A của cột điện. r R 3 r r P 2 Liên kết đặt lên đầu A là hai sợi dây P 1 AB, AD và phần cột điện còn lại. α r R 1 Gọi phản lực liên kết trong dây AB là α r R 2 r r R1, trong dây AD là R 2 và lực dọc cột là R 3 với chiều chọn nh− hình vẽ 2-8. Khi giải O B ϕ y phóng điểm A khỏi liên kết điểm A sẽ chịu tác x D dụng của các lực P1, P2 và các phản lực R1R2 Hình 2.8a
  31. -30- r R 3. Điều kiện để đầu A cân bằng là hệ 5 lực tác dụng lên nó cân bằng. Ta có: r r r r r ( P 1, P 2, R 1, R 2 , R 3) ∼ 0. Hệ lực này đồng quy tại A do đó ph−ơng trình cân bằng thiết lập theo ph−ơng trình (2.7) Để tránh nhầm lẫn ta lập bảng (2-1) hình chiếu các lực lên 3 trục của hệ tọa độ oxyz nh− sau: Bảng 2-1 F1 P1 P2 R1 R2 R3 x1 0 -P 0 R2sinαsinϕ 0 y -P 0 R sinα 0 1 1 R2sinαcosϕ z1 0 0 α R3 -R1cos -R2cosα Ph−ơng trình cân bằng viết đ−ợc: ∑Xi =- P + R2sinαsinϕ = 0; (a) ∑Yi = - P + R1sinα + R2sinαcosϕ = 0 ( b) ∑Zi = -R1cosα - R2cosα + R3 = 0 (c) Hệ 3 ph−ơng trình trên chứa 3 ẩn số R1, R2, R3 nên bài toán là tĩnh định. Giải hệ ph−ơng trình trên đ−ợc: 1− cot gϕ P 1 R = P ; R = ; R = P cotgα(1-cotgϕ + ); 1 sin α 2 sin αsin ϕ 3 sinϕ Thay các trị số của α,ϕ và P ta nhận đ−ợc: R1 = 85kN; R2 = 231 kN; R3 = 273kN. Kết quả đều d−ơng nên chiều các phản lực chọn là đúng. Thí dụ 2.2: Một xe 3 bánh ABC đặt trên một mặt đ−ờng nhẵn nằm ngang. Tam giác ABC cân có đáy AB = 1m, đ−ờng cao OC = 1,5m, trọng l−ợng của xe là P KN đặt tại trọng tâm G trên đoạn OC cách O là 0,5m. Tìm phản lực của mặt đ−ờng lên các bánh xe (xem hình 2-9)
  32. -31- Bài giải: Khảo sát sự cân bằng của xe. z r Giải phóng xe khỏi mặt đ−ờng và N B B r thay bằng các phản lực của mặt đất P r r r r N C lên các bánh xe là N A, N B, N C. Vì xe đặt trên mặt nhẵn nên O G các phản lực này có ph−ơng vuông r C y N A góc với mặt đ−ờng. A Xe ở trạng thái cân bằng d−ới r r r r tác dụng của 4 lực P , N A, N B, N C. x Hình 2.9 Hệ 4 lực này là hệ lực song song. Nếu chọn hệ toạ độ oxyz nh− hình vẽ ph−ơng trình cân bằng của hệ lực trên theo (2-9) có dạng: ∑Zi = NA + NB + NC - P = 0 (a) ∑mx(Fi) = -P.0,5 + NC.1,5 = 0 (b) ∑my(Fi) = - NA.0,5 + NB.0,5 = 0 (c) Hệ ba ph−ơng trình trên chứa 3 ẩn số NA, NB, NC nên bài toán là tĩnh định. Giải ph−ơng trình trên xác định đ−ợc: NA = NB = NC = P/3 kN Kết quả cho các giá trị d−ơng nên chiều phản lực h−ớng lên là đúng. Thí dụ 2.3: Xà AB đ−ợc giữ nằm ngang nhờ liên kết nh− hình vẽ D (2.10). Tại A có khớp bản lề cố q E α C M định. Tại C đ−ợc treo bởi dây CD A B P đặt xiên một góc α so với xà. Tại B 21 1 2 G có dây kéo thẳng đứng nhờ trọng Hình 2.10
  33. -32- vật P buộc ở đầu dây vắt qua ròng rọc. Xà có trọng l−ợng G đặt tại giữa, chịu một ngẫu lực nằm trong mặt phẳng hình vẽ và có mô men M. Đoạn dầm AE chịu lực phân bố đều có c−ờng độ q. Xác định phản lực tại A, trong sợi dây CD cho biết G = 10kN, P = 5kN, M = 8 kNm; q = 0,5 kN/m; α = 300. Các kích th−ớc cho trên hình vẽ. Bài giải: Chọn vật khảo sát là xà AB. Giải phóng liên kết đặt lên xà ta có: r Liên kết tại A đ−ợc thay thế bằng phản lực R A nằm trong mặt phẳng hình r vẽ. Liên kết tại C đ−ợc thay thế bằng lực căng T h−ớng dọc theo dây. Liên kết tại r r B thay bằng lực căng đúng bằng P nh−ng có chiều h−ớng lên trên. Chiều của R A r và T chọn nh− hình vẽ. Nh− vậy xà AB ở trạng thái cân bằng d−ới tác dụng của r r r r r các lực ( G , M , R A, T , P ), các lực này nằm trong mặt phẳng thẳng đứng tức là mặt phẳng hình vẽ (hệ lực phẳng ). Chọn hệ toạ độ Axy nh− hình vẽ và lập ph−ơng trình cân bằng dạng (2-10) đ−ợc: 0 ∑Xi = XA - Tcos30 ; (a) 0 ∑Yi = YA - Q - G +T cos60 + P = 0; (b) r 0 ∑mA( F i) = - Q.1 - G.3 + T.4sin30 - M + 6P = 0. (c) Trong các ph−ơng trình trên Q = 2q là tổng hợp lực phân bố đều y đặt tại điểm giữa AE. 0 r 90 r P YA r T Ba ph−ơng trình trên chứa 3 Q M A XA α C x ẩn số X , Y , và T do đó bài toán là B A A 1 2 1 2 r tĩnh định. G Giải hệ ph−ơng trình trên ta Hình 2.11 đ−ợc: Q.1+ G.3 + M − p.6 1.1+10.3 + 8 − 5.6 T = = = 4,5 kN; 4.sin300 4.0,5
  34. -33- 0 XA = Tcos30 = 4,5.0,866 = 3,90kN; 0 YA = Q + G -T cos60 - P = 1 + 10 - 4,5.0,5 - 5 = 3,75, kN Kết quả cho các trị số của T, XA, YA đều d−ơng do đó chiều chọn ban đầu là đúng. Thí dụ 2.4: Trục truyền nằm ngang đặt trên hai gối đỡ bản lề cố định A và B (xem hình vẽ 2-12). Trục nhận chuyển động quay từ dây đai dẫn z đến bánh đai C có bán kính r = 20 ZA 1 a T2 cm và để nâng trọng vật P buộc vào C T1 Z b đầu dây cáp vắt qua ròng rọc K và B y a YA A cuốn trên trống tời có bán kính r2 = B 15cm. Cho biết hai nhánh dây đai x α YB có ph−ơng song song với trục oy và có lực căng T1 và T2 với T1 = 2T2; P Trọng vật P= 180kN; a = 40cm; b = Hình 2.12 60cm và α = 300. Xác định phản lực tại hai gối đỡ A và B. Bài giải: Chọn vật khảo sát là trục BC. r r r Liên kết lên trục là các ổ đỡ A, B. Các lực tác dụng cho là T 1, T 2 và F . r r Lực F tác dụng dọc theo dây cáp có trị số bằng P . Vì các ổ đỡ là khớp bản lề cố định nên phản lực liên kết tại A và B có hai thành phần theo trục oy và oz. Giải phóng liên kết đặt lên trục và thay bằng các phản lực liên kết khi đó trục AC chịu r r r r r tác động của các lực: T 1, T 2, F, R A, R B . Các lực này phân bố bất kỳ trong không gian. Ph−ơng trình cân bằng của hệ lực thiết lập theo (2- 6). Để tránh nhầm lẫn ta lập bảng hình chiếu và mô men của hệ lực đối với các trục toạ độ (bảng 2-2) .
  35. -34- Bảng 2-2 r r r r r r F 1 F T 1 T 2 R A R B X1 0 0 0 0 0 Y1 Fcosα Thép T2 YA YB Z1 -Fsinα 45 0 ZA ZB mx(F) 0 -T2r1 0 0 -F.r2 my(F) Fsinα.b T1r1 0 0 -ZB(a+b) m (F) 0 -T a 0 Y (a+b) z Fcosα.b 2 A -T1.a Các ph−ơng trình cân bằng thiết lập đ−ợc: ∑Yi = Pcosα + T1+T2 + YA + YB = 0; ∑Zi = Fsinα + ZA + ZB = 0; ∑Mx = F.r2 + T1r1 - T2r1 = 0; ∑My = Fsinα.b - ZB(a+b) = 0; ∑Mz = Fcosα.b - T1a- T2a + YB(a+b) = 0; Hệ 5 ph−ơng trình trên chứa 5 ẩn số là YA, ZA, YB, ZB và T1 nên bài toán là tĩnh định. Giải hệ ph−ơng trình trên tìm đ−ợc: P.r 180.15 T = 2 = = 135kN ; T = 2T = 270 kN; 2 r 20 1 2 b.Psin α 60.180.0,5 Z = = = 54 kN; B a + b 40 + 60 3 a.3T − Pb cos α 40.3.135 −180.60. Y = 2 = 2 = 69 kN B a + b 40 + 60 3 Y =- Pcosα-3T - Y = -180. -3.135- 69 ≈ -630KN A 2 B 2 ZA = Psinα - ZB = 180. 0,5 - 54 = 36kN.
  36. -35- Trong các kết quả tìm đ−ợc chỉ có giá trị YA mang dấu âm do đó chiều của nó ng−ợc với chiều đã chọn. Thí dụ 2.5: Cho hệ hai dầm AB và BE nối bằng khớp bản lề E tại B (xem hình vẽ 2-13). Trọng D l−ợng của dầm AB là Q đặt ở giữa r P AB. Trọng l−ợng của dầm BE là P A C B α đặt ở giữa BE. Tại đầu A có khớp bản lề cố định, còn tại các điểm r Q C, D là các điểm tựa nhọn. Xác định phản lực tại các Hình 2.13 gối đỡ A và các điểm tựa C,D. 1 1 Cho P = 40kN, Q = 20kN; CB = AB; DE = BE; α = 450. 3 3 Bài giải: Cần l−u ý rằng đây là bài toán cân bằng của hệ vật. Về nguyên tắc khi giải bài toán thuộc loại này phải tách riêng từng vật để xét. Trên hệ vật cần phân biệt hai loại vật chính và vật phụ. Vật chính là vật khi tách ra có thể đứng vững đ−ợc. Vật phụ là vật khi tách ra không thể đứng vững đ−ợc. Ta xét vật phụ tr−ớc sau đó xét vật chính sau. Cũng cần chú ý thêm khi tách vật tại các khớp nối sẽ đ−ợc thay thế bằng các lực tác dụng t−ơng hỗ, các lực này cùng ph−ơng cùng trị số nh−ng ng−ợc chiều. Đối với bài toán trên, hệ gồm hai dầm trong đó AB là dầm chính còn BE là dầm phụ. Tách BE để xét. Tại khớp nối có phản lực liên kết RB (lực tác dụng t−ơng hỗ của dầm chính lên dầm BE). Phản lực RB nằm trong mặt phẳng thẳng đứng ( mặt phẳng hình vẽ) và có hai thành phần XB và YB ( xem hình 2-14). Giải r r phóng liên kết tại D thay vào đó bằng phản lực N D ( N D vuông góc BE. Dầm BE r r r chịu tác dụng của các lực P , N D, R B. Hệ lực này cùng nằm trong mặt phẳng oxy do đó ph−ơng trình cân bằng viết đ−ợc: ∑X1 = XB - NDsinα = 0;
  37. -36- r N D E ∑Y10 = YB - P + NDcosα = 0; Y D 2 a B ∑m (F ) = N .a - P. cosα = 0. r B 1 D 3 2 P B Gải hệ ph−ơng trình trên tìm đ−ợc: XB 3 3 2 N = Pcosα = .40. ≈21,2 kN; Hình 2.14 D 4 4 2 Y 3 3 A XB = P sin2α = .40.1= 15kN; X X 8 8 A B A C 3 3 2 r Y Y = P(1- cos2α)= 40(1- )= 25kN. Q B B 4 4 4 Hình 2.15 Giá trị các phản lực đều d−ơng điều này chứng tỏ chiều của chúng nh− đã chọn là đúng. Tiếp theo xét đến dầm chính AB. Giải phóng các liên kết dầm sẽ ở trạng r r r r thái cân bằng d−ới tác dụng của hệ lực: Q , - R B, R A, N C. Các lực này cùng nằm trong mặt phẳng oxy. ( xem hình 2.15 ) Ph−ơng trình cân bằng của hệ lực viết đ−ợc: ∑X1 = XA - X'B = 0; 2 b ∑m (F) = - Y' .b + N b - Q. = 0; A B C 3 2 2b b b ∑m (F) = - Y . + Q - Y' . = 0; C A 3 6 B 3 Trong đó X'B = XB, Y'B = YB nh−ng có chiều ng−ợc lại. Giải hệ 3 ph−ơng trình trên tìm đ−ợc: XA = XB = 15kN; 1 1 Y = Q - Y = -7,5kN; A 4 2 B 3 3 Y = Q + Y = 52,5kN. C 4 2 B Kết quả cho giá trị của YA mang dấu âm có nghĩa chiều YA chọn là sai phải đảo lại.
  38. -37- Ch−ơng 3 Ma sát và bài toán cân bằng của vật khi có ma sát 3.1. Ma sát tr−ợt và bài toán cân bằng của vật khi có ma sát tr−ợt 3.1.1. Ma sát tr−ợt và các tính chất của ma sát tr−ợt Thực tiễn cho thấy bất kỳ vật nào chuyển động tr−ợt trên bề mặt không nhẵn của vật khác đều xuất hiện một lực cản lại sự tr−ợt của vật gọi là lực ma sát r tr−ợt ký hiệu F ms. Làm thí nghiệm biểu diễn trên hình 3.1. Vật A đặt trên mặt r tr−ợt nằm ngang và chịu tác dụng của lực P hợp với ph−ơng thẳng đứng một góc r r r r α. Phân tích P thành hai thành phần P 1 và P 2 nh− hình vẽ. Nhận thấy rằng P 1 r r luôn luôn cân bằng với phản lực pháp tuyến N . Còn lực P 2 là lực cần để đẩy vật A tr−ợt trên mặt. r Khi P không đổi ta nhận thấy góc α tăng thì r P 2 tăng. Trong giai đoạn đầu vật A đứng yên trên r N r r mặt B. Từ điều kiện cân bằng của vật A cho thấy P 2 P α r bằng lực ma sát nh−ng ng−ợc chiều. Nếu tiếp tục r P 1 r P 2 F ms tăng góc α đến một trị số ϕ thì vật A bắt đầu tr−ợt. r Lực ma sát lúc đó cũng tiến tới giới hạn F n. Hình 3.1 Trị số Fn = Ntgϕ (3.1) ở đây N = P1 là phản lực pháp tuyến của mặt tr−ợt. Góc ϕ gọi là góc ma sát; tgϕ = f gọi là hệ số ma sát. Từ (3.1) có thể kết luận: lực ma sát tr−ợt luôn luôn cùng ph−ơng nh−ng ng−ợc chiều với chuyển động tr−ợt, có trị số tỷ lệ thuận với phản lực pháp tuyến (áp lực) của mặt tr−ợt. Hệ số ma sát f đ−ợc xác định bằng thực nghiệm, nó phụ thuộc vào vật liệu và tính chất của bề mặt tiếp xúc. Bảng (3-1) cho ta trị số của hệ số ma sát tr−ợt đối với một vài vật liệu th−ờng gặp
  39. -38- Bảng 3-1 Tên vật liệu Hệ số ma sát Đá tr−ợt trên gỗ 0,46 ữ 0,6 Gỗ tr−ợt trên gỗ 0,62 Kim loại tr−ợt trên gỗ 0,62 Đồng tr−ợt trên gang 0,16 Đồng tr−ợt trên sắt 0,19 Thép tr−ợt trên thép 0,15 Lực ma sát xuất hiện trong giai đoạn vật ở trạng thái tĩnh gọi là ma sát tĩnh. Lực ma sát tĩnh tăng từ không đến trị số giới hạn Fn = f0N. Lực ma sát xuất hiện trong giai đoạn vật chuyển động tr−ợt ta gọi là lực ma sát động. Trong trạng thái tĩnh lực kéo (đẩy) vật luôn cân bằng với lực ma sát tĩnh còn trong trạng thái chuyển động lực kéo (đẩy) P2 vừa phải thắng ma sát động vừa phải d− một phần để tạo ra chuyển động của vật. Nếu gọi lực ma sát động của vật là Fmssd thì Fmsd = fdN, trong đó fd gọi là hệ số ma sát động. Qua nhiều thực nghiệm thấy rằng lực ma sát động th−ờng nhỏ hơn một chút so với ma sát tĩnh giới hạn. Hệ số ma sát động không những phụ thuộc vào vật liệu và tính chất bề mặt tiếp xúc của vật mà còn phụ thuộc vào vận tốc tr−ợt của vật. Trong phần lớn các tr−ờng hợp cho thấy khi vận tốc tăng thì hệ số ma sát động giảm và ng−ợc lại. Thí dụ hệ số ma sát động giữa bánh đai làm bằng gang với dây đai phanh bằng thép có thể xác định theo công thức: 1+ 0,0112v f = f d 1+ 0,006v t Trong đó v là vận tốc tr−ợt tính bằng km/h còn ft = 0,45 khi mặt tiếp xúc khô và ft = 0,25 khi mặt tiếp xúc −ớt. Trong tĩnh học vì chỉ xét bài toán cân bằng nên ma sát phải là ma sát tĩnh.
  40. -39- 3.1.2. Bài toán cân bằng của vật khi chịu ma sát tr−ợt Xét vật rắn đặt trên mặt tựa (mặt tr−ợt). Giả thiết vật chịu tác dụng của các r r r r lực F 1, F2 , Fn . Các lực liên kết bao gồm phản lực pháp tuyến N j và lực ma sát r F msj. Khi vật cân bằng ta có hệ lực sau: r r r r r ( F 1, F2 , Fn , N j, F msj) ∼ 0 j = 1 s là số bề mặt tiếp xúc Để vật cân bằng phải có các ph−ơng trình cân bằng nh− đã xét ở ch−ơng 2. Ngoài các ph−ơng trình cân bằng ra để đảm bảo vật không tr−ợt phải có các điều kiện: Fnj ≤ foNj. Fnj là lực đẩy tổng hợp. Trở lại sơ đồ (3.1) ta thấy khi không có tr−ợt thì F tgα = ms ≤ f = tgϕ N o Ta có thể phát biểu điều kiện không tr−ợt nh− sau: r Điều kiện để vật không tr−ợt là hợp lực P tác dụng lên vật nằm trong mặt nón có góc đỉnh 2ϕ ( ta gọi nón này là nón ma sát).Khi P nằm trên nón ma sát là lúc sắp xảy ra sự tr−ợt của vật A. Thí dụ 3.1: Xác định điều kiện để r r N cho vật A có trọng l−ợng P nằm cân bằng F ms trên mặt nghiêng so với ph−ơng ngang một góc β. Hệ số ma sát tĩnh là fo (hình 3.2) β Bài giải: Xét vật A nằm cân bằng trên mặt nghiêng d−ới tác dụng của các lực r r r ( P , N , F ms) Vì vật có xu h−ớng tr−ợt Hình 3.2 r xuống nên lực ma sát F ms luôn luôn h−ớng về phía trên nh− hình vẽ. Để vật cân bằng phải có:
  41. -40- r r r ( P , N , F ms) ∼ 0 và FN ≤ foN. Giả thiết rằng vị trí đang xét là vị trí giới hạn giữa cân bằng và tr−ợt thì lực ma sát Fms = Fn = foN. Điều kiện để hệ lực tác dụng lên hệ vật cân bằng là: Fn = Ntgβ Mặt khác vì Fn ≤ Nf0. Suy ra tgβ ≤ fo. Nh− vậy điều kiện để cho vật cân bằng phải là tgβ ≤ fo. Trị số của góc β = βo với tagβo = fo chính bằng góc ma sát ϕ. Thí dụ 3.2: Giá treo vật nặng có sơ đồ nh− hình vẽ 3-3. Vật treo có trọng l−ợng P, hệ số ma sát tr−ợt tại các điểm tựa A và B là fo. Kích th−ớc cho theo hình vẽ. Xác định điều kiện cân bằng cho giá. Bài giải: Khảo sát sự cân bằng y r r F của giá. Lực tác dụng lên giá ' Ry A l r ϕ r N ' A o A ngoài trọng l−ợng P của vật r h F h r A còn có phản lực pháp l R B ϕ tuyến và lực ma sát ở điểm r o B N B r r r r tựa A và B là: N , N ', F, F' x r r P P Nếu khoảng cách l là a) b) không đổi, điều kiện cân Hình 3.3 bằng của giá là: r r r r r ( P , N , N ', F, F') ∼ 0 và F ≤ foN; F' ≤ foN' Tại vị trí giới hạn nghĩa là lúc sắp xẩy ra sự tr−ợt của giá trên các điểm tựa ta có ph−ơng trình cân bằng nh− sau: N- N' = 0; (1) F=foN (4) F + F' -P = 0 (2) F' = foN' (5)
  42. -41- N.h - F.dgh - P = 0; (3) ở đây dgh là khoảng cách giới hạn của hai điểm tựa A và B cho phép ứng với lúc bắt đầu tr−ợt. Giải hệ ph−ơng trình trên ta đ−ợc: N = N' F = F'; P = 2foN; h h = fodgh + 2fol hay dgh = - 2l fo Khoảng cách d càng lớn áp lực N càng lớn và ma sát càng lớn, điều kiện cân bằng của giá viết đ−ợc: h dgh ≥ - 2l fo Thí dụ 3.3: Tìm điều kiện không tr−ợt của dây đai quấn trên bánh đai tròn có kể đến ma sát tr−ợt với hệ số fo (hình 3-4) , bỏ qua tính đàn hồi của dây đai. Bài giải: Tìm điều kiện không tr−ợt của dây đai có nghĩa là tìm điều kiện cân bằng r r của đoạn đai AB của đai d−ới tác dụng các lực T 1, T 2 (T2 > T1) các phản lực pháp tuyến N và các lực ma sát tr−ợt F phân bố liên tục trên cung AB. Khi dây đai sắp tr−ợt ta xét một cung nhỏ ED trên dây đai. Bên nhánh chủ r r động có lực tác dụng là T + ∆ T còn bên nhánh y r r dθ d N phụ động lực tác dụng là T . Gọi phản lực pháp r r r ( T +d T ) r D d F tuyến lên cung đai này là N và lực ma sát tr−ợt dθ R dθ r A T lên cung này là F ta sẽ có ph−ơng trình cân bằng: α θ r B T dθ dθ 2 - T cos + (T+dT)cos - F = 0 r 2 2 T 1 dθ - N - Tsin - (T- dT) = 0 2 Hình 3.4 Trong đó F = fN. Bỏ qua các vô cùng bé
  43. -42- bậc hai trở lên ta đ−ợc: F = dT và N = Tdθ. Thay giá trị trên vào biểu thức F =fN ta có dT = f.T.dθ. Tích phân hai vế t−ơng ứng với cận từ A đến B ta đ−ợc A A T2 lnT = foθ hay ln = f.α B B T1 α là góc chắn cung AB gọi là góc bao của đai. fα Suy ra: T2 = T1.e Lực kéo bên nhánh chủ động T2 càng lớn hơn bên nhánh bị động thì khả năng tr−ợt càng nhiều do đó điều kiện để dây không tr−ợt phải là: fα T2 ≤ T1.e Công thức này đ−ợc gọi là công thức ơle 3.2. Ma sát lăn và bài toán cân bằng của vật rắn khi có ma sát lăn Ma sát lăn là mô men cản chuyển động lăn của vật thể này trên vật thể khác. Xét một con lăn hình trụ bán kính R trọng l−ợng P lăn trên một mặt phẳng r ngang, nhờ lực Q đặt vào trục con lăn (xem hình 3.5). Trong tr−ờng hợp này con r r r r r r lăn chịu tác dụng của các lực: P , Q , N , F ms. Trong các lực đó hai lực Q và F ms tạo thành một ngẫu lực có tác dụng làm cho con lăn chuyển động lăn. Còn lại hai r r lực P và N trong tr−ờng hợp con lăn và mặt lăn là rắn tuyệt đối thì chúng trùng ph−ơng.Trong thực tế con lăn và mặt lăn là những vật biến dạng hai lực P và N không trùng ph−ơng luôn song song và cách nhau một khoảng cách k. Hai lực này tạo thành một ngẫu lực có tác dụng cản lại sự lăn của con lăn. Mô men của r r ngẫu ( P , N ) đ−ợc gọi là mô men ma sát lăn. Nếu ký hiệu mô men ma sát lăn là Mms thì Mms = kN. Gọi k là hệ số ma sát lăn. Khác với hệ số ma sát tr−ợt hệ số ma sát lăn k có thứ nguyên là độ dài.
  44. -43- Hệ số ma sát lăn đ−ợc xác định bằng thực nghiệm, nó cũng phụ thuộc vào tính chất vật liệu và bề mặt lăn, không phụ thuộc vào lực N. Sau đây là hệ số ma sát lăn của một vài vật th−ờng gặp. Vật liệu Hệ số k (cm) Gỗ lăn trên gỗ 0,05 ữ 0,08 Thép lăn trên thép 0,005 Gỗ lăn trên thép 0,03 ữ 0,04 Con lăn thép trên mặt thép 0,001 r r N r N r Q Q C C k r r F A F A B r r P P a) b) Hình 3.5 Bài toán cân bằng của vật khi có ma sát lăn ngoài điều kiện hệ lực tác dụng lên hệ kể cả các phản lực và lực ma sát cân bằng còn phải thêm điều kiện không có lăn biểu diễn bởi ph−ơng trình: M ≥ Q.R ms r N C r Thí dụ 3.4: Tìm điều kiện cân bằng của con lăn r P F 1 trọng l−ợng P, bán kính R nằm trên mặt phẳng nghiêng một α r góc α. Cho hệ số ma sát lăn là k. (xem hình 3-6) P 2 r P Bài giải: r Xét con lăn ở vị trí cân bằng. Phân tích P thành hai Hình 3.6 r r lực P 1, P 2 nh− hình vẽ (3-6). Ta có điều kiện để con lăn không lăn là:P1.R = R.P.sinα ≤ P2.k = P cosα k Hay R.P.sinα ≤ P.cosα. tgα ≤ R
  45. -44- k Nh− vậy điều kiện để con lăn cân bằng là: tgα ≤ R Thí dụ 3.5: Vật hình trụ có trọng l−ợng P bán kính R nằm trên mặt phẳng nghiêng một góc α. Khối trụ chịu tác dụng lực đẩy Q song song với mặt phẳng nghiêng. Tìm điều kiện khối trụ đứng yên trên mặt phẳng nghiêng và điều kiện để nó lăn không tr−ợt lên phía trên. Hệ số ma sát lăn là k và hệ số ma sát tr−ợt là f. y y r r Q Q O r x O r x N N r r P P r A M F ms M A r F ms α α a) b) Hình 3.7 Bài giải: Điêù kiện để khối trụ cân bằng trên mặt phẳng nghiêng là : r r r r r ( P , Q , N , F ms, M ms) ∼ 0 Mặt khác để khối trụ không lăn (hình3.7a ) không tr−ợt xuống phải có thêm điều kiện: Mms ≤ k.N; Fms ≤ f.N Nh− vậy phải thoả mãn các ph−ơng trình sau: ∑Xi = Q - Psinα + Fms = 0; (1) ∑Yi = - Pcosα +N = 0; (2) ∑mA = P.R.sinα - Q.R - Mms = 0 (3) Fms ≤ f.N (4) M ms≤ k.N (5)
  46. -45- Từ ba ph−ơng trình đầu tìm đ−ợc: N = Pcosα ; Fms = Psinα - Q ; Mms = R(Psinα - Q) Thay các kết quả vào hai bất ph−ơng trình cuối đ−ợc: P.sinα - Q ≤ f.Pcosα ; R(Psinα-Q) ≤ k.Pcosα Hay: Q ≥ P(sinα - f.cosα) k Q ≥ P(sinα - cosα) R k Th−ờng thì < f do đó điều kiện tổng quát là: R Q k ≥ sinα - cosα ≥ sinα - f.cosα P R Để vật lăn không tr−ợt lên ( hình3.7b ) phải có các điều kiện: ∑xi = Q-Psinα + Fms = 0; (1') ∑yi =- Pcosα +N = 0; (2') ∑mA = P.sinα - Q.R + Mms = 0; (3') Fms ≤ f.N (4') M ms≥ k.N (5') Bất ph−ơng trình (4') đảm bảo cho vật chuyển động có tr−ợt lên. Còn bất ph−ơng trình (5') đảm bảo cho con lăn có khả năng lăn lên trên. Từ 3 ph−ơng trình đầu ta đ−ợc: N = Pcosα; Fms = Q - Psinα ; Mms = R(Q-Psinα) Thay thế vào hai ph−ơng trình cuối ta đ−ợc: Q - Psinα ≤ f.P.cosα; R(Q-Psinα) ≥ kPcosα. Vậy điều kiện để khối trụ lăn không tr−ợt lên trên là: k Q sinα + cosα ≤ < sinα + f cosα. R P k Điều này nói chung có thể đ−ợc nghiệm vì th−ờng nhỏ hơn f.s R
  47. -46- Ch−ơng 4 Trọng tâm của vật rắn 4.1. Tâm của hệ lực song song r r r r Hệ lực song song ( F 1, F2 , Fn ) luôn có hợp lực R song song với các lực r đã cho. Theo lý thuyết về hệ lực, hợp lực R đ−ợc xác định bởi biểu thức: r r r r n r R = F 1 + F2 + Fn = ∑F i (4-1) i=1 Khi ta thay đổi ph−ơng của hệ lực ph−ơng của hợp lực cũng thay đổi theo. Chẳng hạn lúc đầu hệ lực có hợp lực là R song song với các lực đã cho , sau khi xoay hệ lực cho song song với trục oz ta sẽ đ−ợc hợp lực R' có độ lớn bằng R nh−ng có ph−ơng song song với trục oz. Mặc dù hợp lực thay đổi A2 z ph−ơng khi ph−ơng của hệ lực A 1 r ' r thay đổi nh−ng đ−ờng tác dụng 2 2 r r của chúng đều đi qua điểm C r '1 r 1 C điểm này gọi là tâm của hệ lực A4 song song đã cho. A3 r r zC r ' r y O 4 4 Để xác định vị trí của tâm C r r r '3 r 3 xC ta vận dụng định lý Va-ri-nhông. x yC r r r Cho hợp lực R ' nh− hình vẽ ta có: R ' R n n My(R') = ∑my(F i); i=1 Hình 4.1 n R.Xc = ∑Fixi; i=1 n ∑Fixi hay X = i=1 ; c R
  48. -47- Trong đó Xc là toạ độ của điểm C trên trục ox, xi là toạ độ của điểm Ai trên trục ox. Bằng cách xoay ph−ơng của hệ lực cho song song với trục ox và oy ta sẽ nhận đ−ợc các kết quả t−ơng tự với toạ độ của C trên hai trục oy và oz. Ta xác định hệ toạ độ của tâm C theo các biểu thức sau: n ∑Fixi X = i=1 ; c R n ∑Fi yi Y = i=1 ; (4-2) c R n ∑Fizi Z = i=1 . c R Nh− vậy có thể xác định hợp lực của hệ lực song song nhờ các biểu thức (4-1) và (4-2) 4.2. Trọng tâm của vật rắn r r r Coi vật rắn là tập hợp của n phần tử có trọng l−ợng P 1, P 2 P n. Các trọng lực Pi tạo thành một hệ lực song song. Tâm của hệ các trọng l−ợng phần tử này gọi là trọng tâm của vật. Nh− vậy gọi C là trọng tâm của vật thì toạ độ của điểm C đ−ợc xác định bằng các biểu thức sau: n ∑Pixi X = i=1 ; c P n ∑Piyi Y = i=1 ; (4-3) c P
  49. -48- n ∑Pizi Z = i=1 . c P r r Trong đó P i và P là trọng l−ợng của phần tử thứ i trong vật, và trọng l−ợng của cả vật, còn xi, yi, zi là toạ độ của phần tử thứ i. Nh− vậy trọng tâm của vật là một điểm C trên vật mà tổng hợp trọng l−ợng của cả vật đi qua khi ta xoay vật đó ở bất kỳ chiều nào trong không gian. 4.3. Trọng tâm của một số vật đồng chất 4.3.1. Vật rắn là một khối đồng chất Gọi trọng l−ợng riêng của vật là γ ( trọng l−ợng của một đơn vị thể tích) thì Pi = γ.vi và P = γ.v. Trong đó vi và v là thể tích của phần tử thứ i của vật và thể tích cả vật. Toạ độ trọng tâm của vật lúc này có thể xác định bởi các biểu thức: n n n ∑vixi ∑viyi ∑ vizi x = i=1 ; y = i=1 ; z = i=1 . c v c v c v 4.3.2. Vật rắn là một tấm mỏng đồng chất Gọi trọng l−ợng riêng của vật rắn là γ ( trọng l−ợng của một đơn vị diện tích) ta sẽ có Pi = γ.Si và P = γ.S ở đây Si và S là diện tích của phần tử thứ i của vật và diện tích toàn vật. Toạ độ trọng tâm của vật trong hệ toạ độ oxy chứa vật xác định theo biểu thức sau: n n ∑Sixi ∑Siyi x = i=1 ; y = i=1 ; c S c S 4.3.3. Vật rắn là một dây hay thanh mảnh đồng chất Gọi trọng l−ợng riêng của vật là γ ( trọng l−ợng của một đơn vị chiều dài vật) ta có Pi = γ.Li và P = γ.L. Trong đó Li và L là chiều dài của phần tử thứ i và chiều dài của cả vật. Toạ độ trọng tâm của vật lúc này có thể xác định bởi các biểu thức:
  50. -49- n n n ∑Lixi ∑Liyi ∑Lizi x = i=1 ; y = i=1 ; z = i=1 . c L c L c L 4.3.4. Vật rắn đồng chất có một tâm, một trục hay một mặt phẳng đối xứng Ta có nhận xét rằng trên vật bao giờ cũng tìm đ−ợc hai phần tử đối xứng có trọng l−ợng P1, P2 nh− nhau song song cùng chiều qua tâm đối xứng, trục đối xứng hay mặt phẳng đối xứng của vật và nh− vậy hợp lực của nó sẽ đi qua điểm đối xứng nằm trên trục đối xứng hay mặt phẳng đối xứng. Dễ dàng nhận thấy r rằng hợp lực của các P i ( i = 1 n), nghĩa là trọng l−ợng của vật bao giờ cũng đi qua tâm đối xứng, trục đối xứng hay nằm trong mặt phẳng đối xứng nếu nh− xoay vật sao cho mặt phẳng đối xứng đó ở vị trí thẳng đứng. Nói cách khác trọng tâm của vật trong tr−ờng hợp có một tâm đối xứng, có một trục đối xứng hay có một mặt phẳng đối xứng bao giờ cũng nằm trên tâm đối xứng, trục đối xứng hay mặt phẳng đối xứng đó. 4.3.5. Trọng tâm của vật có thể phân chia thành những vật nhỏ đơn giản Trong tr−ờng hợp này ta chia vật thành y C các phần có hình dạng đơn giản dễ xác định 3 trọng tâm, sau đó coi mỗi vật đó nh− một phần tử nhỏ của cả vật, mỗi phần tử này có trọng l−ợng đặt tại trọng tâm. Xác định đ−ợc trọng C2 l−ợng và trọng tâm các phần nhỏ của vật ta sẽ xác định đ−ợc trọng tâm của cả vật nhờ các C1 biểu thức xác định toạ độ trọng tâm ở trên. x Sau đây ta vận dụng những kết quả trên O để tìm trọng tâm của một số vật. Hình 4.2 Thí dụ 4.1: Xác định trọng tâm của tấm Bảng 4.1 tôn phẳng có hình dạng nh− hình vẽ (4-2). C1 C2 C3 xi -1 1 5 Biết rằng tấm tôn là đồng chất và kích yi 1 5 9 th−ớc của các cạnh tính bằng cm đã cho trên Si 4 20 12
  51. -50- hình. Bài giải: Tr−ớc hết chia vật thành 3 phần, mỗi phần là một hình chữ nhật nh− hình vẽ (4-2). Các hình này là các tấm phẳng và có tâm đối xứng là C1, C2 và C3. Toạ độ trọng tâm và diện tích của nó có thể xác định nh− bảng 4.1. Diện tích của cả vật là : 2 S = S1 + S2 + S3 = 36 (cm ) áp dụng công thức (4.5) ta có: x S + x S + x S − 4 + 20 + 60 1 x = 1 1 2 2 3 3 = = 2 cm c S 36 9 y S + y S + y S 4 +100 +108 8 y = 1 1 2 2 3 3 = = 5 cm c S 36 9 Trọng tâm C của vật hoàn toàn đ−ợc xác định. Thí dụ 4.2. Tìm toạ độ trọng tâm của tấm phẳng giới hạn bởi hai đ−ờng tròn bán kính R và r ( xem hình vẽ 4.3). Cho biết khoảng cách giữa hai tâm là c1c2 = a. Bài giải: Chọn hệ toạ độ nh− hình vẽ. Phân tích thành hai phần mỗi phần là một tấm tròn y nh−ng ở đây tầm tròn có bán kính r phải coi nh− vật có tiết diện âm. Cụ thể ta có: Phần 1 R a là một tấm tròn có bán kính R có toạ độ C trọng tâm là x1 = 0 và y1 = 0. Diện tích là S1 2 C C 2 1 = πR . Phần 2 là tấm tròn có bán kính r, toạ r độ trọng tâm là x2 = a, y2 = 0 và diện tích là 2 S2 = -πr .Diện tích cả vật là : 2 2 S = S1 + S2 = π(R - r ) Hình 4.3
  52. -51- Ta có thể tính đ−ợc toạ độ trọng tâm của vật. 2 x1S1 + x2S2 a.r xc = = - ; S R 2 − r2 y S + y S y = 1 1 2 2 = 0. c S Thí dụ 4-3. Tìm trọng tâm của một cung tròn AB bán kính R, góc ở tâm là AÔB = 2 α ( hình 4-4) Nếu chọn hệ toạ độ nh− hình vẽ ta thấy trục ox là trục đối xứng do đó trọng tâm C của chúng nằm trên trục ox có nghĩa là yc =0. ở đây chỉ còn phải xác định xc Ta chia cung AB thành N phần nhỏ, mỗi phần có chiều dài ∆lk, có toạ độ xk = Rcosϕk. Theo công thức (4.6) có: y n B ∑∆lkxk n i=1 1 xc = = ∑∆lkRcosϕk L L i=1 ∆lk Thay ∆lkcosϕk = ∆Yk ta có: ϕk x O x α k 1 n 1 Xc = R∑∆Yk= R.AB L i=1 L Thay L = R.2α và AB = 2R sinα ta đ−ợc: A Hình 4.4 R.2sin α sin α X = = R. (4-7) c R.2α α Thí dụ 4-4: Tìm trọng tâm của một tấm phẳng hình tam giác ABC đồng chất (hình 4-5). Bài giải: A Chia tam giác thành các dải nhỏ song song K với đáy BC. Mỗi dải nhỏ thứ i đ−ợc coi nh− một G C B E C Hình 4.5
  53. -52- thanh mảnh và trọng tâm của nó đặt tại giữa dải. Nh− vậy trọng tâm của các dải sẽ nằm trên đ−ờng trung tuyến AE và trọng tâm của cả tam giác cũng nằm trên AE. Chứng minh t−ơng tự ta thấy trọng tâm của tam giác phải nằm trên trung tuyến BG và trung tuyến CK. Rõ ràng trọng tâm của tam giác chính là giao điểm của ba đ−ờng trung tuyến của tam giác đó. Trong hình học ta đã biết điểm đó đ−ợc xác định theo biểu thức: 1 CE = AE 3 Thí dụ 4-5 Tìm trọng tâm của vật đồng nhất hình tứ diện ABDE nh− hình vẽ (4-6) . Bài giải: Ta chia hình thành các phần nhỏ nhờ các E mặt phẳng song song với đáy ABD. Mỗi tấm đ−ợc coi nh− một tấm phẳng đồng chất hình tam C2 C giác trọng tâm của mỗi phần đ−ợc xác định nh− A B ở thí dụ 4-4. Lớp sát đáy sẽ có trọng tâm là C1với K C1 1 C = BK (BK là trung tuyến của đáy ABD). D 1k 3 Nh− vậy tất cả các trọng tâm của các phần sẽ Hình 4.6 nằm trên đ−ờng EC1 và trọng tâm của cả vật cũng sẽ nằm trên EC1. T−ơng tự ta tìm thấy trọng tâm của vật nằm trên đ−ờng BC2 với C2 là trọng tâm tam giác EAD. Kết quả là trọng tâm C của hình vẽ nằm trên điểm C là giao điểm của EC1 và BC2. Theo hình vẽ ta có ∆CC1C2 đồng dạng với ∆ ECB mặt khác C1C2 = 1 1 BE và KC = KB từ đó suy ra: 3 1 3 CC C C 1 1 = 1 2 = CE BE 3
  54. -53- 1 1 Suy ra CC = CE = C E 1 3 4 1
  55. -54- Phần 2 Động học Động học nghiên cứu các qui luật chuyển động của vật thể đơn thuần về hình học, không đề cập đến khối l−ợng và lực. Những kết quả khảo sát trong động học sẽ làm cơ sở cho việc nghiên cứu toàn diện các qui luật chuyển động của vật thể trong phần động lực học. Trong động học vật thể đ−ợc đ−a ra d−ới hai mô hình: động điểm và vật rắn. Động điểm là điểm hình học chuyển động trong không gian, còn vật rắn là tập hợp nhiều động điểm mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong nó luôn luôn không đổi. Khi khảo sát các vật thực có kích th−ớc không đáng kể, có thể coi nh− mô hình động điểm. Chuyển động là sự thay đổi vị trí của vật trong không gian theo thời gian. Đơn vị đo độ dài là mét và ký hiệu m, đơn vị đo thời gian là giây viết tắt là s. Tính chất của chuyển động phụ thuộc vào vật chọn làm mốc để so sánh ta gọi là hệ qui chiếu. Trong động học hệ qui chiếu đ−ợc lựa chọn tuỳ ý sao cho việc khảo sát chuyển động của vật đ−ợc thuận tiện . Để có thể tính toán ng−ời ta còn phải chọn hệ toạ độ gắn với hệ qui chiếu. Thông th−ờng muốn hình vẽ đ−ợc đơn giản ta dùng ngay hệ toạ độ làm hệ quy chiếu. Tính thời gian thông th−ờng phải so sánh với mốc thòi điểm t0 chọn tr−ớc. Về nội dung, động học phải tìm cách xác định vị trí của vật và mô tả chuyển động của vật theo thời gian so với hệ quy chiếu đã chọn. Thông số xác định vị trí của vật so với hệ quy chiếu đã chọn là thông số định vị. Thông số định vị có thể là véc tơ, là toạ độ, là góc Qui luật chuyển động đ−ợc biểu diễn qua các biểu thức liên hệ giữa các thông số định vị với thời gian và đ−ợc gọi là ph−ơng trình chuyển động. Trong ph−ơng trình chuyển động thì thời gian đ−ợc coi là đối số độc lập. Khi khử đối số thời gian trong ph−ơng trình chuyển động ta đ−ợc biểu thức liên hệ giữa các thông số định vị và gọi là ph−ơng trình qũi đạo.
  56. -55- Để biểu thị tính chất của chuyển động ta đ−a ra các đại l−ợng vận tốc và gia tốc. Vận tốc là đại l−ợng biểu thị h−ớng và tốc độ chuyển động của điểm hay vật.Gia tốc là đại l−ợng biểu thị sự thay đổi của vận tốc theo thời gian. Gia tốc cho biết tính chất chuyển động đều hay biến đổi. Vận tốc và gia tốc là các đại l−ợng phụ thuộc vào thời gian. Căn cứ nội dung ng−ời ta chia động học thành hai phần: động học điểm và động học vật rắn. Khi khảo sát động học của vật rắn bao giờ cũng gồm hai phần: Động học của cả vật và động học của một điểm thuộc vật. Ch−ơng 5 Chuyển động của điểm 5.1. Khảo sát chuyển động của điểm bằng véc tơ 5.1.1. Thông số định vị và ph−ơng trình chuyển động Xét động điểm M chuyển động trong z hệ qui chiếu oxyz (hình 5-1). M (C) Vị trí động điểm M đ−ợc xác định nếu r r biết véc tơ r = OM . Véc tơ r là thông số định vị của động điểm. y O Khi động điểm chuyển động véc tơ r biến thiên liên tục theo thời gian t do đó ta viết đ−ợc: r = r (t) (5-1) x Nếu biết đ−ợc qui luật biến thiên (5-1) ta hoàn toàn xác định đ−ợc vị trí của động Hình 5.1 điểm ở bất kỳ thời điểm nào. Biểu thức (5-1) là ph−ơng trình chuyển động của động điểm M viết d−ới dạng véc tơ.
  57. -56- Trong quá trình chuyển động, động điểm vạch ra một đ−ờng gọi là quĩ đạo chuyển động của động điểm. Ph−ơng trình của đ−ờng quĩ đạo cũng chính là ph−ơng trình chuyển động (5-1) nh−ng viết d−ới dạng thông số. Nếu đ−ờng quĩ đạo là thẳng ta nói động điểm chuyển động thẳng, nếu đ−ờng quĩ đạo là cong ta nói chuyển động của điểm là chuyển động cong. 5.1.2. Vận tốc chuyển động của điểm Giả thiết tại thời điểm t vị trí của động điểm xác định bởi véc tơ định vị r . r Tại thời điểm t1 = t + ∆t động điểm đến vị trí M1 xác định bởi r 1, ta có MM 1 = r ∆r r - r = ∆r (xem hình 5-2). Gọi tỷ số là vận tốc trung bình của động điểm 1 ∆t r trong khoảng thời gian ∆t và ký hiệu là v tb . Khi ∆t càng nhỏ nghĩa là M1 càng r gần M thì v tb càng gần đến một giới hạn, giới hạn đó gọi là vận tốc tức thời tại thời v cp z điểm t. M1 v Nếu ký hiệu vận tốc tức thời của ∆r động điểm là vr thì: r1 M ∆vr dr r v = lim = (5.3) ∆t→0 ∆t dt O y Vận tốc tức thời của động điểm bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của véc tơ x định vị tại thời điểm đó. Hình 5.2 Về mặt hình học ta thấy véc tơ ∆ r nằm trên cát tuyến MM1 và h−ớng từ M đến M1 vì vậy khi tiến tới giới hạn véc tơ vận tốc vr sẽ tiếp tuyến với quĩ đạo ở tại vị trí M đang xét và h−ớng theo chiều chuyển động của điểm. Đơn vị để tính vận tốc là mét/giây viết tắt là m/s
  58. -57- 5.1.3. Gia tốc chuyển động của điểm r Giả thiết tại thời điểm t điểm có vận tốc v và tại thời điểm t1 điểm có vận ∆vr vr − vr tốc là vr . Tỷ số = 1 gọi là gia tốc trung bình của điểm trong thời gian 1 ∆t ∆t ∆t. Giới hạn tỷ số đó khi ∆t tiến tới không gọi là gia tốc tức thời wr của điểm. Ta có: M z ∆vr dvr d 2 r v wr = lim = = (5-3) 2 ∆v ∆t→0 ∆t dt dt ωr r M1 Nh− vậy gia tốc tức thời của điểm là ω cp v1 véc tơ đạo hàm bậc nhất theo thời gian cuả véc tơ vận tốc hay đạo hàm bậc hai theo O y thời gian của véc tơ định vị. Về mặt hình học véc tơ ∆ vr bào giờ cũng h−ớng về phía x lõm của đ−ờng cong (xem hình 5-3), do Hình 5.3 đó véc tơ gia tốc wr bao giờ cũng h−ớng về phía lõm của đ−ờng cong. Đơn vị để đo gia tốc là mét/giây2 viết tắt là m/s2 5.1.4. Tính chất của chuyển động Để xem xét chuyển động của điểm là thẳng hay cong ta căn cứ vào tích vr x wr = cr Nếu cr = 0 thì vr và wr cùng ph−ơng, nghĩa là vận tốc vr có ph−ơng không đổi. Chuyển động lúc đó là chuyển động thẳng. Nếu cr ≠ 0 thì vr và wr hợp với nhau một góc điều đó chứng tỏ véc tơ vr thay đổi ph−ơng và chuyển động sẽ là chuyển động cong. Để xét chuyển động của điểm là đều hay biến đổi ta căn cứ vào tích vô h−ớng vr . wr = B. d(vr)2 d(v2 ) Vì v2 = ( vr )2 nên = = 2 vr . wr dt dt Cho nên nếu B = 0 thì chứng tỏ vr là hằng số nghĩa là động điểm chuyển động đều.
  59. -58- Nếu B ≠ 0 thì vr là đại l−ợng biến đổi, chuyển động là biền đổi. Nếu B > 0 chuyển động nhanh dần và B < 0 chuyển động chậm dần. 5.2. Khảo sát chuyển động của điểm bằng toạ độ Đề các 5.2.1. Thông số định vị và ph−ơng trình chuyển động Xét động điểm M chuyển động theo z đ−ờng cong trong hệ trục toạ độ đề các oxyz M (hình 5-4). ở đây các toạ độ x,y,z là các thông số k r z định vị của điểm M. O J y Khi M chuyển động các toạ độ này thay i x đổi liên tục theo thời gian do đó ta có: x y x = x(t); Hình 5.4 y = y(t); (5-4) z = z(t). Các ph−ơng trình (5-4) là ph−ơng trình chuyển động của điểm và cũng là ph−ơng trình quĩ đạo của điểm viết d−ới dạng thông số trong toạ độ Đề các. 5.2.2. Vận tốc chuyển động của điểm r r r Nếu gọi các véc tơ đơn vị trên ba trục toạ độ là i, j , k thì véc tơ định vị và véc tơ vận tốc có thể viết: r r r r = x i + y j + z k . Suy ra dr d r r r dx r dy r dz r vr = = (x i + y j + z k ) = i + j + k dt dt dt dt dt (5.5) Biểu thức trên chứng tỏ: dx dy dz vx = = x& ; vy = = y& ; vx = = z& . (5.6) dt dt dt
  60. -59- Hình chiếu véc tơ vận tốc lên các trục toạ độ bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian các toạ độ t−ơng ứng. Dựa vào các biểu thức (5.6) dễ dàng xác định đ−ợc véc tơ vận tốc cả về độ lớn và ph−ơng chiều. 2 2 2 2 2 2 ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dz ⎞ v = v x + v y + v z = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ v v v cos(ox,v) = x ; cos(oy,v) = y ; cos(oz,v) = z . v v v 5.2.3. Gia tốc của điểm T−ơng tự nh− đối với vận tốc, dựa vào biểu thức (5.3) ta có thể tìm thấy: 2 dvx d x wx = = = &x& ; dt dt 2 2 dv y d y wy = = = &y& ; (5.7) dt dt 2 2 dvz d z wx = = = &z& . dt dt 2 Gia tốc chuyển động của điểm sẽ đ−ợc xác định về độ lớn và ph−ơng chiều theo các biểu thức sau: 2 2 2 2 2 2 w = w x + w y + w z = &x& + &y& + &z& w w w cos(ox,w) = x ; cos(oy,w) = y ; cos(oz,w) = z . w w w Khi biết vr và wr ta có thể xem xét đ−ợc tính chất chuyển động của điểm M. 5.3. Khảo sát chuyển động của điểm bằng toạ độ tự nhiên 5.3.1. Thông số định vị và ph−ơng trình chuyển động Giả thiết động điểm M chuyển động theo một đ−ờng cong AB trong hệ toạ độ oxyz. (xem hình vẽ 5.5). Trên quĩ đạo AB lấy điểm O làm gốc và chọn
  61. -60- chiều d−ơng cho đ−ờng cong. Thông th−ờng ta chọn chiều d−ơng của đ−ờng cong là chiều mà động điểm chuyển động. Rõ ràng nếu biết cung OM = s ta có thể biết vị trí của điểm M trên quĩ đạo. Nói khác đi cung OM = s là thông số định vị của động điểm, còn gọi là toạ độ cong. Khi điểm M chuyển động s sẽ biến đổi liên tục theo thời gian nghĩa là: s = s(t) (5.8) Biết đ−ợc quy luật biến thiên (5.8) ta có thể xác định vị trí của điểm M ở bất kỳ thời điểm nào. Biểu thức (5.8) đ−ợc gọi là ph−ơng trình chuyển động của điểm. Theo ph−ơng pháp này để xác định chuyển động của điểm phải biết: - Quĩ đạo chuyển động AB - Chiều chuyển động trên quĩ đạo - Quy luật chuyển động (5.8). 5.3.2. Vận tốc chuyển động của điểm Giả thiết động điểm chuyển động trên đ−ờng cong AB. Tại thời điểm t động điểm ở vị trí M xác định bằng toạ độ cong s. Tại thời điểm t1 = t + ∆t điểm ở vị trí M1 xác định bằng toạ độ cong s1 = s + ∆s. A -0+ ∆s s − s Tỷ số = 1 = v gọi là tốc độ trung ∆t ∆t tb s z M bình. 1 Giới hạn của tỷ số này khi ∆t tiến tới B O1 không gọi là tốc độ tức thời của điểm tại thời y1 x1 điểm t và ký hiệu là v. Hình 5.5 ∆s ds v= lim = = s& ∆t→0 ∆t dt -0+ M s 1 (5.8) ∆s v s1 Vận tốc có giá trị bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của quãng đ−ờng s, có ph−ơng tiếp Hình 5.6
  62. -61- tuyến với quĩ đạo, h−ớng theo chiều của chuyển động. ( xem hình 5.6). 5.3.3. Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến của điểm. 5.3.3.1. Hệ toạ độ tự nhiên Giả thiết chất điểm chuyển động theo v1 n v1n B đ−ờng cong AB nh− hình (5.7). M1 ∆ϕ a v τ Trên đ−ờng cong lấy hai điểm M1M1' 1 b lân cận hai bên điểm M. Vẽ mặt phẳng đi A τ qua ba điểm đó. Khi hai điểm M1M1' tiến M 1 M v gần đến M thì mặt phẳng trên tiến gần đến giới hạn của nó là mặt phẳng (π) gọi là mặt b phẳng mật tiếp. Trong mặt phẳng mật tiếp vẽ đ−ờng Mτ tiếp tuyến với quĩ đạo (trùng Hình 5.7 với véc tơ vận tốc ( vr ). Một trục khác vẫn nằm trong mặt phẳng mật tiếp và vuông góc với Mτ tại M ký hiệu là Mn gọi là pháp tuyến chính. Trục Mb vuông góc với hai trục kia gọi là trùng pháp tuyến. Ta chọn chiều của ba trục Mτnb tạo thành một tam diện thuận và gọi là hệ toạ độ tự nhiên. 5.3.2. Gia tốc tiếp tuyến và pháp tuyến của điểm Nh− trên đã biết: lim ∆vr lim vr − vr wr = = = = 1 ∆t ặ 0 ∆t ∆t ặ 0 ∆t Chiếu biểu thức này lên các trục toạ độ tự nhiên ta có: t t lim v 1 − v w t = = ; ∆t ặ 0 ∆t n1 n n lim v − v w = ∆;t ặ 0= ; ∆t wb = 0; r Trên hình (5.7) gọi cung MM1 = ∆s ; góc hợp bởi v và Mτ là ∆ϕ ta có:
  63. -62- ∆ϕ 1 lim = k = ∆t→0 ∆s ρ Tỷ số k gọi là độ cong còn ρ là bán kính cong của quỹ đạo tại M. r r Mặt khác khi chiếu véc tơ v và v 1 lên các trục ta đ−ợc: t t v = v v 1 = v1cos∆ϕ; n n v = 0 v 1 = v1sin∆ϕ; Thay thế kết quả tìm đ−ợc vào biểu thức của wt và wn sẽ đ−ợc: t v cos∆ϕ − v w = lim 1 ; ∆t→0 ∆t wn = sin ∆ϕ ; lim(v1 ) ∆t→0 ∆t Khi ∆t tiến tới 0, điểm M1 dần tới M và ∆ϕ tiến tới 0, ∆s tiến tới 0, v1 tiến tới v; cosϕ tiến tới 1. Thay các giá trị này vào biểu thức trên ta nhận đ−ợc: 2 v1 − v dv d s wt = lim = = = &s&; ∆t dt dt 2 sin ∆ϕ ∆ϕ ∆s v2 wn = lim(v . . ) = . 1 ∆t ∆s ∆t ρ Trong biểu thức (5.9) wt và wn là gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến của điểm tại thời điểm t. Gia tốc tiếp tuyến wr t có trị số bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của vận tốc hay bằng đạo hàm bậc hai theo thời gian của quãng đ−ờng đi s, có ph−ơng tiếp tuyến với quĩ đạo, cùng chiều với vr khi wt > 0 và ng−ợc chiều với vr khi wt <0. (hình 5.8). Gia tốc pháp tuyến wr n có giá trị bằng bình ph−ơng của vận tốc chia cho bán kính cong, luôn luôn h−ớng theo pháp tuyến Mn về phía lõm của đ−ờng cong. Gia tốc toàn phần của điểm M có thể xác định theo biểu thức :
  64. -63- 2 dv 2 ⎛ v2 ⎞ r2 n2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ w = w + w = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ (5.10) ⎝ dt ⎠ ⎝ ρ ⎠ Ph−ơng của wr luôn luôn h−ớng về phía lõm của đ−ờng cong và hợp với pháp tuyến một góc à. w t tgà = ; (5.11) w n n n ω ω ω n ω n à à τ M τ ωτ M ωτ -0+ a) -0+ b) t Khi wt > 0 Khi w 0 và ng−ợc chiều với vr khi wr <0. Cần chú ý khi chuyển động của điểm là thẳng ta mới có kết quả trên. 5.3.4.2. Chuyển động cong đều Ta gọi chuyển động cong đều là chuyển động có trị số vận tốc không đổi v = const. dv v2 Khi đó wt = = 0 và w = wn = dt ρ
  65. -64- Gia tốc toàn phần bằng gia tốc pháp tuyến cả về độ lớn và ph−ơng chiều. Trong chuyển động cong đều ph−ơng trình chuyển động có thể thiết lập nh− sau: ds Ta có: = v, ds = vdt. dt S t Tích phân hai vế ta có: ∫ds = ∫vdt, S0 t Hay s = s0 + v.t 5.3.4.3. Chuyển động thẳng biến đổi đều Trong tr−ờng hợp này wt = wn = 0 do đó w = 0. Suy ra ph−ơng trình chuyển động x = xo + v.t 5.3.4.4. Chuyển động cong biến đổi đều Chuyển động cong biến đổi đều là chuyển động có wt = const. dv Ta có: = w t ; dv= wtdt dt v t t t Lấy tích phân hai vế sẽ đ−ợc: ∫∫dv = w .dt, hay v = vo + w .t vo t Ph−ơng trình chuyển động viết đ−ợc: ds = v + w t .t suy ra : ds = v dt + wt.t.dt; dt o o w t t 2 Hay: s = s + v t + . o o 2 Sau đây là một số bài toán thí dụ. y Thí dụ 5.1: Xác định quỹ đạo, vận tốc A và gia tốc của điểm M nằm giữa tay biên AB v M của cơ cấu biên tay quay OAB, (xem hình ϕ w 5.9) cho biết OA = AB = 2a và thời điểm O x khảo sát t−ơng ứng với góc ϕ của cơ cấu, với B ϕ = ωt. Hình 5.9
  66. -65- Bài giải: Chọn hệ toạ độ oxy nằm trong mặt phẳng cơ cấu. Gọi toạ độ của điểm M là x,y ta có: x = 2acosϕ + a cosϕ = 3 acosϕ; y = a sinϕ. Đây chính là ph−ơng trình chuyển động của điểm trong toạ độ Đề các. Để xác định quỹ đạo của điểm, từ ph−ơng trình trên rút ra: x y cosωt = ; sinωt = ; 3a a x 2 y 2 suy ra + = 1. 9a 2 a 2 Đây chính là ph−ơng trình Enlip nhận các trục đối xứng là ox và oy ( xem hình vẽ 5.9). Để tìm vận tốc ta áp dụng biểu thức (5.6) có: dx v = = −3a sin ωt ; x dt dy v = = aωcos ωt . y dt Cuối cùng xác định đ−ợc vận tốc của điểm M nh− sau: 2 2 2 2 vM = v x + v y = 9sin ωt + cos ωt.a. r Ph−ơng chiều của v M nh− hình vẽ. Từ kết quả trên ta thấy vmin = aω và vmax = 3aω. Theo biểu thức (5.7) xác định đ−ợc gia tốc của điểm M: d 2 x w = = -3aω2cosωt = - ω2x; x dt 2 2 2 wy = -aω sinωt = - ω y;
  67. -66- Gia tốc toàn phần w = ω4 (x 2 + y 2 ) = ω2 r. Ph−ơng chiều của w đ−ợc xác định nhờ các góc chỉ ph−ơng nh− sau: w x w y y cos(w,ox) = x = − ; cos(w,oy) = = − . w r w r Từ kết quả trên cho thấy ph−ơng chiều wr luôn luôn h−ớng từ M về O. Thí dụ 5.2. Điểm M chuyển động theo ph−ơng trình: x= a sinωt ; y = a cosωt; z=ut. Trong đó a, ω và u là không đổi. Xác định quỹ đạo, vận tốc và gia tốc của điểm M. Bài giải: Từ hai ph−ơng trình đầu suy ra: sin2ωt + cos2ωt = a2 hay x2 + y2 = a2 (a) Kết hợp ph−ơng trình (a) với ph−ơng trình z = ut ta thấy điểm chuyển động trên mặt trụ bán kính a và trục là oz. Từ z = ut suy ra t = z/u và thay vào biểu thức của x ta đ−ợc: ω ω x = a sin .z; y = cos .z; u u Quỹ đạo của điểm M là một đ−ờng vít, có trục oz. Gọi T1 là chu kỳ của đ−ờng vít. T1 xác định từ biểu thức: 2π ωT = 2 π hay T = 1 ω Trong thời gian T1 động điểm quay quanh trục oz đ−ợc một vòng đồng 2uπ thời cũng tiến theo dọc trục oz một đoạn h =uT = ; h gọi là b−ớc của vít. 1 ω Để xác định vận tốc và gia tốc ta áp dụng ph−ơng pháp toạ độ Đề các.
  68. -67- vx = aω cosωt; vy = aω sinωt; vz = u. Từ đó xác định vận tốc v của điểm. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v = v x + v y + v z = a ω (cos ωt + sin ωt) + u ; = a ω + u Nh− vậy vận tốc v của điểm có trị số không đổi và ph−ơng tiếp tuyến với quỹ đạo (xem hình 5.10). T−ơng tự ta xác định đ−ợc: 2 wx = -aω sinωt 2 wx = -aω cosωt; wz = 0. z 2 2 2 và w = w x + w y = aω . a Gia tốc của điểm có độ lớn không đổi còn ph−ơng chiều đ−ợc xác định bằng các cosin chỉ ph−ơng. C ω y y w x O cos(w,x) = x = − sin ωt = ; x α β z w a x a w y cos(w,y) = y = − sin ωt = ; w a Hình 5.10 w cos(w,x) z = 0. w Mặt khác ta thấy: x y = cos α ; = cosβ. a a α và β biểu diễn trên hình vẽ. Nh− vậy gia tốc wr luôn luôn h−ớng theo bán kính từ động điểm vào trục oz.
  69. -68- Thí dụ 5.3: Một bánh xe bán kính R lăn không tr−ợt trên đ−ờng thẳng. Vận tốc tâm bánh xe v = v(t). Lập ph−ơng trình chuyển động của điểm M nằm trên vành bánh xe. Khảo sát vận tốc và gia tốc của điểm M đó. Khảo sát tính biến đổi chuyển động của điểm M trên quỹ đạo ứng với một vòng lăn của bánh xe khi V=Vo = cosnt. Bài giải: Chọn gốc toạ độ là điểm tiếp xúc O giữa M và mặt đ−ờng (xem hình 5.11). Đặt góc PCM = ϕ. Để xác định ph−ơng trình chuyển động ta tìm quan hệ giữa các toạ độ x.y của điểm với góc ϕ. y M v C C C 0 E R ϕ O P A x M0 H Hình 5.11
  70. -69- Trên hình có x = OH = OP - PH = Rϕ - R sinϕ; y = HM =R + Rsin(ϕ-900) = R - Rcosϕ = R(1 - cosϕ); t Vì bánh xe lăn không tr−ợt nên: OP = ∫ v (t) dt . 0 1 t Suy ra ϕ = ϕ(t) = v dt R ∫o (t) Ph−ơng trình chuyển động của điểm M có thể viết đ−ợc: x= R(ϕ- sinϕ); y= R(1- cosϕ); ϕ = ϕ(t). Đây là ph−ơng trình của đ−ờng Xycloit viết d−ới dạng thông số. Khảo sát chuyển động của điểm M trên cung OA. Vận tốc và gia tốc của điểm xác định nh− sau: v x = x& = Rϕ& (1 − cos ϕ); vr v y = y& = Rϕ& sin ϕ w = v = Rϕ 2 sin ϕ + Rϕ(1 − cos ϕ); r x & x & && w 2 w y = v& y = Rϕ& cos ϕ + Rϕ&& sin ϕ. Tại vị trí chạm đất O và A thì ϕ =0 và ϕ = 2π. Khi đó sinϕ = 0, cosϕ =1. và: vx = 0 ; vy = 0 suy ra v = 0; 2 wx = 0; wy = Rϕ > 0. wr lúc này khác không, do đó điểm chỉ dựng lại tức thời ở mặt đất. Trong tr−ờng hợp đặc biệt v = v0 = hằng số thì: 1 t v t ϕ = v dt = o ; R ∫o (o) R
  71. -70- v o t v o ϕ = ; ϕo = 0; ϕ& = ; ϕ&& = 0. R R Lúc này: vx = vo(1-cosϕ); vy = vosinϕ; 2 2 v o v o w = sin ϕ; w = cos ϕ. x R y R Để xét tính chất chuyển động của điểm trên cung OA ta có: 3 3 v o v o vr . wr = v .w + v .w = []sin ϕ()1 − cos ϕ + sin ϕ cos ϕ ; = sin ϕ. x x y y R R Nh− vậy vr . wr > 0 trong khoảng 0 < ϕ < π và vr.wr < 0 trong khoảng π < ϕ < 2π. Trên nửa cung đầu điểm chuyển động nhanh dần còn nửa cung sau điểm chuyển động chậm dần. r Ví dụ 5.4. Một vật rắn bắn ra theo ph−ơng ngang với vận tốc ban đầu v o 1 sau đó rơi xuống theo quy luật : x = v t; y = gt 2 o 2 Tìm quỹ đạo, vận tốc, gia tốc toàn phần, gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến, bán kính cong của quỹ đạo tại một thời điểm t bất kỳ. Bài giải: Khử thời gian t trong ph−ơng trình chuyển động ta đ−ợc ph−ơng trình quỹ g 2 đạo: y = 2 x . v o Đây là ph−ơng trình parabol. (xem hình 5.12). x O Vận tốc của vật xác định đ−ợc M dx ω vx = = v o ; n dt n ωτ ω τ y Hình 5.12
  72. -71- dy v = = gt; y dt 2 2 2 v = v o + g t . Gia tốc của điểm đ−ợc xác định nh− sau: d 2 x d 2 y w = = 0; w = = g. x dt 2 y dt 2 Suy ra w = g . Gia tốc của vật bằng gia tốc trọng tr−ờng. Để xác định gia tốc tiếp tuyến ta có: dv g 2 t g 2 t wt = = = . dt 2 2 2 v v o + g t 2 2 2 2 Theo kết quả ở trên v = vo + g t nên suy ra: 1 t = v 2 + v 2 . g o Thay vào biểu thức của wt ta đ−ợc: v2 wt = g 1 − 0 . v2 t Từ kết quả này ta thấy tại thời điểm ban đầu v = vo thì w = 0 Khi v → ∞ thì wt → g. Tiếp theo ta xác định gia tốc pháp tuyến căn cứ vào biểu thức: 2 2 2 w = w τ + w n ⎛ v 2 ⎞ v 2 Ta có: w2 = w2 - w2 = g2 + g2 ⎜1 − o ⎟ = g 2 o ; n τ ⎜ 2 ⎟ 2 ⎝ v ⎠ v v suy ra : w = g o . n v Tại thời điểm đầu v = vo do đó wn = g.
  73. -72- Từ biểu thức tìm đ−ợc của wn ta có thể xác định đ−ợc bán kính cong của quỹ đạo. v 2 v 2 v 3 wn = suy ra ρ = hay ρ = . ρ w n v 0 g v 2 Tại thời điểm đầu v = v ta có ρ = o . o g Khi v → ∞ thì ρ → ∞.
  74. -72- Ch−ơng 6 Chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay quanh một trục cố định của vật rắn Chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay quanh một trục cố định là hai chuyển động cơ bản của vật rắn. Sau này sẽ rõ, các chuyển động khác của vật rắn đều là kết quả tổng hợp của hai chuyển động nói trên. 6.1. Chuyển động tịnh tiến của vật rắn. 6.1.1. Định nghĩa Chuyển động của vật rắn gọi là tịnh tiến khi một đ−ờng thẳng bất kỳ gắn với vật có ph−ơng không đổi trong quá trình chuyển động . Cần phân biệt giữa chuyển động tịnh tiến với chuyển động thẳng. Trong chuyển động tịnh tiến quỹ đạo của một điểm cũng có thể là thẳng cũng có thể là cong. Thí dụ : Pít tông trong động cơ ô tô, máy kéo là vật rắn chuyển động tịnh tiến, mọi AB điểm trên nó có quỹ đạo là thẳng. C2 Khâu Ab trong cơ cấu hình bình hành OABO1 (hình 6.1) chuyển động tịnh tiến, mọi Hình 6.1 điểm trên nó có quỹ đạo là một đ−ờng tròn. 6.1.2. Tính chất của chuyển động tịnh tiến. Định lý 6.1: Khi vật rắn chuyển động Z B tịnh tiến mọi điểm trên vật có chuyển động B1 nh− nhau nghĩa là quỹ đạo, vận tốc và gia r A tốc nh− nhau. B A 1 r Chứng minh định lý : O A Z' a Giả tiết vật rắn chuyển động tịnh tiến Hình 6.2
  75. -73- trong hệ tọa độ oxyz (hình 6.2). Lấy hai điểm A và B bất kỳ trên vật. Tại thời r r điểm t hai điểm A và B có véc tơ định vị rA , rB . Theo hình vẽ ta có : r r rB = rA + AB (6.1) Trong quá trình chuyển động, theo định nghĩa AB là véc tơ không đổi. Suy ra quỹ đạo điểm B là tập hợp của các điểm nằm trên quỹ đạo điểm A đã rời đi một đoạn thẳng bằng về độ lớn và ph−ơng chiều của véc tơ AB . Nói khác đi nếu ta dời quỹ đạo AA1 của điểm A theo véc tơ AB thì AA1 sẽ trồng khít lên quỹ đạo BB1. Ta đã chứng minh đ−ợc quỹ đạo của điểm A và B nh− nhau. Từ biểu thức ( 6.1) dễ dàng suy ra : dr dr d(AB) AB vr = B = A + = vr , vì = 0 B dt dt dt A dt dvr dvr và B = A hay wr = wr dt dt A B Vì điểm A và B lấy bất kỳ do đó định lý đã đ−ợc chứng minh. Do tính chất trên của chuyển động tịnh tiến nên khi nói vận tốc và gia tốc một điểm nào đó trên vật chuyển động tịnh tiến cũng có thể hiểu đó là vận tốc và gia tốc của vật. 6.2. Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định. 6.2.1. Khảo sát chuyển động của cả vật. 6.2.1.1. Định nghĩa và ph−ơng trình chuyển động. Chuyển động của vật rắn đ−ợc gọi là chuyển động quay quanh một trục cố định khi trên vật tìm đ−ợc hai điểm cố định trong suốt thời gian chuyển động. Đ−ờng thẳng đi qua hai điểm cố định đó gọi là trục quay. Thí dụ : Cánh cửa quay quanh trục bản lề ; Phần quay của động cơ điện ; Ròng rọc cố định là các vật rắn chuyển động quay quanh một trục cố định .
  76. -74- Mô hình vật rắn quay quanh một trục cố định biểu diễn trên hình vẽ (6.3). Để xác định vị trí của một vật ta dựng hai mặt phẳng : mặt phẳng π1 chứa trục quay cố định trong không gian , mặt phẳng π2 cũng chứa trục quay nh−ng gắn với vật. Khi vật chuyển động mặt phẳng π2 chuyển động theo, nếu xác định đ−ợc góc ϕ hợp bởi Z B giữa π1 và π2 thì vị trí của vật đ−ợc xác định. Vì vậy ϕ π1 góc ϕ là thông số định vị của vật. C Khi vật quay góc ϕ biến đổi liên tục theo thời gian nghĩa là : ϕ = ϕ(t) (6.2) A π2 Ph−ơng trình (6.2) chính là ph−ơng trình Hình 6.3 chuyển động của vật rắn quay quanh một trục cố định. 6.2.1.2. Vận tốc góc và gia tốc góc của vật . Giả tiết trong khoảng thời gian ∆t = t1 - t0 vật rắn quay đ−ợc một góc : ∆ϕ = ϕ1 - ϕ0 ∆ϕ Ta gọi tỷ số là vận tốc góc trung bình của vật trong khoảng thời gian ∆t ∆t ký hiệu là ωtb . Lấy giới hạn của vận tốc góc trung bình khi ∆t dần tới không đ−ợc : ∆ϕ dϕ lim = = ω ∆t→0 ∆t dt ω gọi là vận tốc góc tức thời của vật. Nh− vậy vận tốc góc tức thời của vật rắn bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của góc quay ϕ. Dấu của ω cho biết chiều quay của vật. Nếu ω > 0 có nghĩa là vật quay theo chiều d−ơng đã chọn và nếu ω < 0 thì vật quay ng−ợc theo chiều d−ơng đã chọn. Trị số ω đ−ợc tính bằng rad/giây viết tắt là 1/s. Để biểu diển cả về tốc độ quay và ph−ơng chiều quay của vật ta đ−a ra
  77. -75- khái niệm véc tơ vận tốc góc ωr . Véc tơ ωr đ−ợc xác định nh− sau : độ lớn của nó tốc độ góc ω, h−ớng dọc theo trục quay về phía sao khi nhìn từ mút của ω sẽ thấy vật quay quanh trục theo ng−ợc chiều kim đồng hồ. r r ωr = ω. k với k là véc tơ đơn vị trên trục quay. (hình 6.4). Z Z B B ωr ωr r ε εr r r k k A A Hình 6.4a Hình 6.4b Vì vậy vận tốc góc cho biết tốc độ quay và chiều quay của vật do đó sự biến thiên của nó theo thời gian phản ánh tính biến đổi của chuyển động đó. Ta có định nghĩa gia tốc góc nh− sau : Gia tốc góc của vật ký hiệu là ε bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của vận tốc góc hay đạo hàm bậc hai theo thời gian của góc quay. dω d 2ϕ ε = = (6.4). dt dt 2 Đơn vị tính gia tốc là rad/(giây)2 viết tắt là 1/s2. Cũng nh− vận tốc, gia tốc có thể biểu diễn bằng một véc tơ εr xác định bằng đạo hàm theo thời gian của véc tơ ωr . Ta có : dωr dω r r εr = = .k = ε.k dt dt Nh− vậy véc tơ gia tốc góc εr cũng nằm trên trục quay, khi ε > 0 thì εr cùng chiều với ωr (hình 6.4a) và khi ε < 0 thì εr ng−ợc chiều với ωr (hình 6.4b).
  78. -76- 6.1.1.3. Chuyển động quay đều và biến đổi đều. Nếu chuyển động quay có vận tốc góc ω không đổi ta nói chuyển động quay là đều. Khi đó biểu thức (6.3) rút ra : dϕ = ωdt. Nếu tích phân hai vế theo các cận t−ơng ứng ta có : ϕ t ∫dϕ = ∫ωdt hay ϕ = ϕ0 + ω(t - t0) . ϕ0 t0 Với t0 = 0 thì ph−ơng trình chuyển động có thể viết : ϕ = ϕ0 + ωt . ở đây ϕ0 là góc quay ban đầu ứng với t = t0 = 0 . Nếu chọn ϕ0 = 0 thì ph−ơng trình còn lại là : ϕ = ωt . ở đây có thể tính đến vận tốc ω bằng biểu thức ϕ ω = (rad / s) . t Từ công thức này nếu tính vận tốc góc cho bằng n vòng/phút thì dễ dàng suy ra vận tốc góc tính theo radian/giây theo biểu thức : π.n ω = ≈ 0,1(rad/s) . 30 Nếu gia tốc ε là không đổi, chuyển động quay của vật gọi là chuyển động quay biến đổi đều.Từ biểu thức (6.4) suy ra : ϕ t ∫dω = ∫εdt hay ω = ω0 + εt. ϕ00t dϕ Mặt khác ta có : ω = nên có thể viết : dϕ = ω dt + εtdt. dt 0 εt 2 Lấy phân tích hai vế ta đ−ợc : ϕ = ϕ + ω t + 0 0 2
  79. -77- εt 2 Nếu chọn ϕ = 0 thì ϕ = ω t + 0 0 2 6.2.2. Khảo sát chuyển động của một điểm trên vật rắn chuyển động quay quanh một trục. Khảo sát điểm M nằm trên vật rắn quay Z quanh một trục cố định, cách trục quay một B đoạn h. Khi vật rắn quay điểm M vạch ra một C h đ−ờng tròn bán kính h nằm trong mặt phẳng VM M vuông góc với trục quay có tâm c nằm trên trục quayAZ. (Hình 6.5). ω Bằng ph−ơng pháp toạ độ tự nhiên ta có thể viết ph−ơng trình chuyển động của điểm M : A Hình 6.5 S= h . ϕ(t). S là cung mà điểm M đi đ−ợc, t−ơng ứng với góc quay ϕ(t) mà vật quay đ−ợc. Vì ϕ là hàm của thời gian nên S cũng là hàm của thời gian. Biểu thức (6.5) là ph−ơng trình chuyển động của điểm M. Vận tốc của điểm M dễ dàng xác định nhờ biểu thức (5.8) ta có : ds dϕ v = = h. = h.ω (6.6). dt dt Vận tốc điểm M có trị số bằng h.ω và có ph−ơng tiếp tuyến với quỹ đạo r (v M ⊥ MC) có chiều h−ớng theo chiều quay của vật (hình 6.5) và nằm trong mặt phẳng của quỹ đạo. Từ biểu thức (6.6) ta thấy vận tốc VB vr của điểm tỷ lệ với khoảng cách từ điểm ω A tới trục quay và có thể biểu diễn theo hình C B vẽ (6.6). VA Cũng theo ph−ơng pháp toạ độ tự Hình 6.6
  80. -78- nhiên ta có thể xác định đ−ợc gia tốc của điểm M. r r t r n w M = w M + w M . dv dω w t = = h = h.ε M dt dt v2 h 2ω2 w n = = = h.ω2 M ρ h r t r r t ở đây nếu ε > 0 chiều của w M cùng chiều với v , nếu ε < 0 thì w M r n ng−ợc chiều với v . Còn chiều của w M luôn h−ớng từ M về tâm c. Gia tốc điểm M xác định đ−ợc cả về độ lớn lẫn ph−ơng chiều. t2 n2 2 2 2 2 2 4 w M = w M + w M = h .ε + ω .h = h ε + ω r w M hợp với bán kính MC một góc à xác định bởi biểu thức : wr ε tgà = = (xem hình 6.7). w n ω2 N ε à C W W C W M A M W à v N W n W τ à A M M I à W I M M ε Hình 6.7 Hình 6.8 Từ biểu thức xác định wM ta thấy gia tốc của điểm M tỷ lệ bậc nhất với khoảng cách từ điểm tới trục quay. Có thể biểu diễn quy luật phân bố gia tốc các điểm nh− ở hình ( 6.8.) Thí dụ 6.1 : Một bánh đà đang quay với vận tốc n = 90 vòng/phút ng−ời ta hãm cho nó quay chậm dần đều cho đến khi dừng hẳn hết 40 giây. Xác định số
  81. -79- vòng quay bánh đà quay đ−ợc trong thời gian hãm đó. Bài giải: Ph−ơng trình chuyển động của bánh đà là : t 2 ϕ = ωt − ε ; ω = ω - εt. 2 0 0 ở đây ta chọn góc quay ban đầu ϕ0 = 0 . πn Tại thời điểm t = 0 ω = tại thời điểm t = t khi bánh đà dừng 0 0 30 1 hẳn ω = ω1 = 0. Suy ra : ω πn ω = 0 =ω - εt hay ε = 0 = 0 t 30t Thay vào trên ta tìm đ−ợc : πnt πn πn ϕ = 2πN = 1 − t = t , 30 60 1 60 1 nt hay N = 1 = 30 (vòng) 120 Từ khi bắt đầu phanh cho đến khi dừng hẳn bánh đà còn quay đ−ợc 30 vòng nữa. Thí dụ 6.2 : Trọng vật B rơi xuống truyền chuyển động quay cho trống có bán kính r trên đó lắp bánh răng 1 bán kính R1 ăn khớp với bánh răng 2, bán kính R2 nh− hình vẽ ( 6.9 ). Cho biết trọng vật đ−ợc thả xuống không vận tốc ban đầu và có gia tốc a không đổi. Xác định quy luật chuyển động của bánh răng 2, vận tốc và gia tốc của điểm M trên vành bánh răng 2 tại thời điểm t = 2 giây. Bài giải: Vì vật B chuyển động xuống theo quy luật nhanh dần với gia tốc a nên : VB = at. Điểm A có vận tốc bằng vận tốc điểm B
  82. -80- VA = ω1r = at. Trong đó ω1 là vận tốc góc của trục bánh răng 1. Suy ra : at ω = 1 r Để xác định vận tốc góc ω2 của bánh răng 2 căn cứ vào vận tốc điểm ăn khớp C của hai bánh răng, ta có : V = ω R = ω R , C 1 1 2 2 v R R at ω1 ω M Hay ω = 1 .ω = 1 . . r 2 2 1 A R 2 R 2 r C R1 R2 Vận tốc góc bánh răng 2 là hàm của thời gian. Dễ dàng tìm đ−ợc góc 2 1 quay của bánh răng 2. Ta có : B R1 at dϕ2 ω2 = . = Hình 6.9 R 2 r dt R1 hay dϕ2 = .atdt . rR 2 Chọn ϕ0 = 0 ứng với t0 = 0 và ϕ1 ứng với t = t1. Sau đó tích phân hai vế ta R1 2 đ−ợc : ϕ2 = .at . 2R 2r Đây chính là ph−ơng trình chuyển động của bánh răng 2. Vận tốc của điểm M trên vành bánh răng 2 bằng vận tốc của điểm C. Ta có : R V = V = ω R = 1 .at (m/s ) M c 1 1 r Khi t= 2 giây gia tốc của điểm M cũng nh− gia tốc điểm C. Ta có :
  83. -81- t dω dω2 R1 ƯWc = R 2 .ε = R 2 . 2 với = .a dt dt R 2r Thay vào biểu thức gia tốc tiếp tuyến và pháp tuyến của điểm C ta có : R w t = 1 .a C r R 2 a 2 t 2 R 2a 2 w n = R ω2 = R 1 . = 1 t 2 C 2 2 2. 2 2 2 R 2 r R 2 r Với t = 2 sẽ đ−ợc : 4R 2a 2 w n = 1 C 2 R 2 r Gia tốc toàn phần của điểm C là ; 2 2 4 4 2 2 R1 a 8R1 a R1a 16R1 a w c = R 2 2 2 + 2 2 = 1+ 2 2 R 2 .r R 2r r R 2r 6.2.3.Truyền chuyển động quay của vật rắn quanh các trục song song Khảo sát tr−ờng hợp rất phổ biến trong kỹ thuật cơ khí là sự truyền chuyển động quay của các bánh răng trụ . 6.2.3.1. Truyền chuyển động quay của các bánh răng trụ có trục quay cố định Tr−ớc hết ta xét hai bánh răng 1 và 2 quay quanh hai trục O1 và O2 cố định biểu diễn trên hình 6.10. Hình 6.10a là hai bánh răng ăn khớp ngoài còn hình 6.10.b là hai bánh răng ăn khớp trong. Nếu gọi A là điểm ăn khớp của hai bánh răng ta có nhận xét rằng vận tốc của điểm A trên hai bánh răng bằng nhau nghĩa là: ⏐ω1⏐.r1 = ⏐ω2⏐.r2
  84. -82- 1 2 Trong đó r1 và r2 là bán kính của hai bánh răng 1 và 2. Từ kết quả trên suy ra biểu A 0 1 0 2 ω ω2 thức sau: 1 ⎛ ω ⎞ r z ⎜ 1 ⎟ = - 2 = - 2 (6.11) ⎜ ⎟ ăn khớp ngoài Hình 6-10a ⎝ ω2 ⎠ r1 z1 ⎛ ω1 ⎞ r2 z2 ⎜ ⎟ ăn khớp trong = = (6.12) ⎝ ω2 ⎠ r1 z1 1 ω1 ω z1 và z2 là số răng của bánh răng 1 và 2. 2 A 01 02 Tiếp theo ta xét tr−ờng hợp hệ có nhiều 2 bánh răng trụ ăn khớp với nhau và có trục quay cố định (Hình 6.11). Hình 6-10b Tr−ớc hết khảo sát các bánh răng ăn khớp ngoài. Theo biểu thức (6.1) áp dụng cho các cặp bánh răng ω 2 0 2 tiếp theo ta có: ω 0 3 3 0 1 ω1 ω r ω r Hình 6 - 11 1 = − 2 ; 2 = − 3 ; ω2 r1 ω3 r2 ω r ; n−1 = ()−1 n−1 n ωn rn−1 ω r ω r ω r Hay 1 = − 2 ; 1 = 3 ; ; 1 = ()−1 n−1 n ω2 r1 ω3 r1 ωn r1 Một cách tổng quát ta có: ω r 1 = ()−1 k n (6.13) ωn r1 ở đây k là số cặp bánh răng ăn khớp ngoài. Nếu số cặp bánh răng ăn khớp
  85. -83- ngoài là chẵn thì ωn cùng chiều với ω1 và số cặp bánh răng ăn khớp ngoài là lẻ thì ωn ng−ợc chiều với ω1. Nói cách khác đi nếu n chẵn thì ωn ng−ợc chiều với ω1 và n lẻ thì ωn cùng chều với ω1. Trong tr−ờng hợp các bánh răng ăn khớp trong. Theo biểu thức (6.2) áp dụng cho các cặp bánh răng tiếp theo dễ dàng nhận đ−ợc kết quả: ω r 1 = n (6.14) ωn r1 Điều này chứng tỏ vận tốc góc của các bánh răng tiếp theo không đổi chiều và chỉ phụ thuộc vào tỷ số giữa hai bán kính r1 và rn. 6.2.3.2. Truyền chuyển động quay của các bánh răng trụ có trục quay nằm trên giá di động Khảo sát sự truyền chuyển động của các bánh răng cho trên hình (6.12) ở đây bánh răng 1 cố định còn bánh răng 2 và 3 có trục C và B nằm trên giá AB giá này quay quanh A với (2) (3) vận tốc góc ωAB. A (1) B ω Bài toán đặt ra là phải xác định AB vận tốc góc của 2 bánh răng 2 và 3. Để đ−a bài toán về tr−ờng hợp Hình 6-12 đã xét ở 6.2.3. ta phải tìm cách cố định giá AB. Muốn vậy ta cho toàn bộ hệ quay ng−ợc lại với vận tốc góc ωAB quanh A. Ph−ơng pháp này gọi là ph−ơng pháp Vilít. Khi đó các vận tốc góc t−ơng đối ωK' của các khâu sẽ là ωK' = ωk - ωAB. Trong đó ωK là vận tốc góc tuyệt đối. Rõ ràng lúc này giá AB sẽ có vận tốc là ωAB' = ωAB - ωAB = 0. Còn các bánh răng 1 và 2 có các vận tốc t−ơng đối là: ω1' = ω1 - ωAB và ω2' = ω2 - ωAB Với kết quả này ta có thể tính đ−ợc ω1' và ω2' theo kết quả đã khảo sát ở mục 6.2.3 và từ đó xác định đ−ợc ω2 và ω3.
  86. -84- Thí dụ6-3 : Khảo sát các bánh răng trên hình (6.12 ) cho biết bánh răng 1 có bán kính R1. Giá AB quay với vận tốc góc ωAB. Bánh răng 3 có bán kính R3. Xác định vận tốc của bánh răng 3. Bài giải: −ω AB ω′ Gọi vận tốc góc tuyệt đối của các ω′1 3 (2) (3) bánh răng là ω1, ω2, ω3. Vì bánh răng 1 A cố định nên ω1 = 0. (1) B ωAB áp dụng ph−ơng pháp Vilít vào hệ AB ta có: Hình 6-13 ω1' = 0 - ωAB; ω2' = ω2 - ωAB; ω3' = ω3 - ωAB còn ωAB' = 0 nghĩa là giá AB đứng yên. áp dụng công thức (6. 13) cho tr−ờng hợp này với k = 2 ta có: ' ω1 r3 − ωAB r3 ' = hay = ω3 r1 ω3 − ωAB r1 ⎛ r ⎞ ω ⎜1− 1 ⎟ ω Suy ra: 3 = ⎜ ⎟. AB ⎝ r3 ⎠ Nếu r1 r3 thì ω3 ng−ợc chiìu với ωAB và đặc biệt r1 = r3 thì ω3 = 0 bánh răng 3 sẽ chuyển động tĩnh tiến.
  87. -85- Ch−ơng 7 Chuyển động tổng hợp của điểm 7.1. Chuyển động tuyệt đối, chuyển động t−ơng đối và chuyển động kéo theo. Chuyển động tổng hợp của điểm là chuyển động đ−ợc tạo thành khi điểm tham gia hai hay nhiều chuyển động đồng thời. Ta xét bài toán trong mô hình sau đây : Khảo sát chuyển động của điểm M trên hệ toạ độ động o1x1y1z1 gắn trên vật A. Vật A lại chuyển động z trong hệ toạ độ cố định oxyz (xem M y1 z1 hình 7.1). z A 1 j Chuyển động của điểm M so 1 x1 k1 o1 r i với hệ cố định oxyz gọi là chuyển 1 y1 x ro 1 động tuyệt đối. Vận tốc và gia tốc của O y r chuyển động tuyệt đối ký hiệu là : v a x r và w a . Hình 7.1 Chuyển động của điểm M so với hệ động o1x1y1z1 gọi là chuyển động r r t−ơng đối ký hiệu là v r và w r . Chuyển động của hệ động (vật A) so với hệ cố định oxyz gọi là chuyển động kéo theo. Vận tốc và gia tốc của điểm thuộc vật A ( hệ động ) bị điểm M chiếm chỗ ( trùng điểm ) trong chuyển động kéo theo là vận tốc và gia tốc kéo r r theo của điểm M và ký hiệu là : ve và w e . Nh− vậy chuyển động tuyệt đối của điểm M là chuyển động tổng hợp của hai chuyển động t−ơng đối và kéo theo của nó. Thí dụ : Con thuyền chuyển động với vận tốc ur so với n−ớc. Dòng n−ớc chảy với vận tốc vr so với bờ sông. ở đây chuyển động của con thuyền so với bờ sông là chuyển động tuyệt đối . Chuyển động của con thuyền so với mặt n−ớc là r r chuyển động t−ơng đối với vận tốc vr = u. Chuyển động của dòng n−ớc so với
  88. -86- r r bờ là chuyển động kéo theo, vận tốc của chuyển động kéo theo ve = v . Theo định nghĩa trên ta thấy, để xét chuyển động t−ơng đối ta xem hệ động nh− cố định. Khi đó ph−ơng trình chuyển động viết d−ới dạng véc tơ nh− r r r r r sau : r1 = O1M = x1 i1 + y1 j1 + z1k1 . (7-1) r r r ở đây i1 , j1 , k1 là các véc tơ đơn vị trên các hệ động. Khi xét chuyển r r r động t−ơng đối nh− ở trên đã nói các véc tơ i1 , j1 , k1 đ−ợc xem nh− không đổi. Còn các toạ độ x1 , y1 , z1 là các hàm của thời gian. x1 = x1(t) ; y1 = y1(t) ; z1 = z1(t). Muốn xét chuyển động kéo theo của điểm ta chỉ cần cố định nó trong hệ động khi đó ph−ơng trình chuyển động của M so với hệ cố định oxyz là ph−ơng trình chuyển động kéo theo. Ta có : r r r r r r r r = OM = r0 + r1 = r0 + x1 i1 + y1 j1 + z1k1 (7-2). Trong ph−ơng trình (7.2) vì ta cố định điểm trong hệ động nên các toạ độ r r r x1 , y1 , z1 là không đổi, còn i1 , j1 , k1 là các véc tơ biến đổi theo thời gian. r r r r r r r r r0 = r0 (t) ; i = i(t) ; j = j(t) ; k = k(t) . 7.2. Định lý hợp vận tốc. Xét điểm M chuyển động t−ơng z đối trong hệ động o x y z với vận tốc c2 M y1 1 1 1 1 z v r 1 c1 r v r ; Hệ động chuyển động trong hệ cố r 1 v e v a định oxyz kéo theo điểm M chuyển r o r 1 động với vận tốc kéo theo ve (xem hình r o x1 7-2). Để xác định vận tốc tuyệt đối ta O y thiết lập ph−ơng trình chuyển động x tuyệt đối của điểm M. Ta có : Hình 7.2 r r r r r r r r = r0 + r1 (t) = r0 + x1 i1 + y1 j1 + z1k1 (7-3)
  89. -87- Ph−ơng trình này giống ph−ơng trình (7-2) nh−ng cần l−u ý là mọi tham số của ph−ơng trình đều là các hàm của thời gian. Đạo hàm bậc nhất theo thời gian ph−ơng trình (7-3) ta đ−ợc : r r r dr ⎛ dr di dj dk ⎞ ⎛ dx r dy r dz r ⎞ vr = = ⎜ 0 + x + y + z ⎟ + 1 i + 1 j 1 k a ⎜ 1 1 1 ⎟ ⎜ 1 1 1 ⎟ dt ⎝ dt dt dt dt ⎠ ⎝ dt dt dt ⎠ Trong kết quả tìm đ−ợc, nhóm số hạng thứ nhất r r r ⎛ dr di dj dk ⎞ ⎜ 0 + x + y + z ⎟ ⎜ 1 1 1 ⎟ ⎝ dt dt dt dt ⎠ chính là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của ph−ơng trình (7-2) (ph−ơng r trình chuyển động kéo theo ) là vận tốc kéo theo ve . Nhóm các số hạng còn lại : ⎛ dx1 r dy1 r dz1 r ⎞ ⎜ i1 + j1 k1 ⎟ ⎝ dt dt dt ⎠ là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của ph−ơng trình (7.1) (ph−ơng trình r chuyển động t−ơng đối ) do đó đ−ợc thay thế bằng vận tốc t−ơng đối v r . Thay các kết quả vừa tìm đ−ợc vào vận tốc tuyệt đối ta đựơc : r r r va = ve + vr . Định lý 7.1 : Trong chuyển động tổng hợp của điểm vận tốc tuyệt đối bằng tổng hình học vận tốc kéo theo và vận tốc t−ơng đối : r r r va = ve + vr . (7-4) 7.3. Định lý hợp gia tốc Để thiết lập biểu thức của gia tốc tuyệt đối ta đạo hàm bậc hai theo thời gian ph−ơng trình chuyển động tuyệt đối của điểm (ph−ơng trình 7.3). Ta có : r r r d 2 r dvr ⎛ d 2 r d 2 i d 2 j d 2k ⎞ ⎛ d 2 x r d 2 y r d 2z r ⎞ wr = = a = ⎜ 0 + x + y + z ⎟ + ⎜ 1 i + 1 j 1 k ⎟ a ⎜ 2 1 2 1 2 1 2 ⎟ ⎜ 2 1 2 1 2 1 ⎟ dt dt ⎝ dt dt dt dt ⎠ ⎝ dt dt dt ⎠