›
›

Giáo trình Lượng giác-Một số Chuyên đề và ứng dụng

pdf 200 trang phuongnguyen 4520
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Lượng giác-Một số Chuyên đề và ứng dụng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_luong_giac_mot_so_chuyen_de_va_ung_dung.pdf

Nội dung text: Giáo trình Lượng giác-Một số Chuyên đề và ứng dụng

  1. LƯỢNG GIÁC MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG TẬP 2 : PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH
  2. VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH LƯỢNG GIÁC MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG TẬP 2 : PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 8 – 2011
  3. LỜI NÓI ĐẦU Cuốn sách “LƯỢNG GIÁC – MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG” này được biên soạn với mục đích cung cấp, bổ sung kiến thức cho học sinh THPT và một số bạn đọc quan tâm đến mảng kiến thức này trong quá trình học tập và làm việc. Trong tập 2 “PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC” này, chúng tôi sẽ xoáy vào trọng tâm là “PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC”, một dạng toán quen thuộc trong các đề thi THPT, đặc biệt là đề thi tuyển sinh Đại Học. Ở các chương chính, chúng tôi chia làm 3 phần : - Phần I : Nêu lý thuyết cùng ví dụ minh họa ngay sau đó, giúp bạn đọc hiểu và biết cách trình bày bài. Đồng thời đưa ra các dạng toán cơ bản, thường gặp trong quá trình làm bài trên lớp của học sinh THPT. Ở phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số bài để bạn đọc có thể nắm vững hơn, tránh sai sót. - Phần II : Trong quá trình tham khảo và tổng hợp tài liệu, chúng tôi sẽ đưa vào phần này các dạng toán khó nhằm giúp cho các học sinh bồi dưỡng, rèn luyện kĩ năng giải LƯỢNG GIÁC thành thạo hơn khi gặp phải những dạng toán này. - Phần III : Chúng tôi sẽ đưa ra lời giải gợi ý cho một số bài, qua đó bạn đọc kiểm tra lại đáp số, lời giải hoặc cũng có thể tham khảo thêm. Trong quá trình biên soạn, mặc dù chúng tôi đã cố gắng bằng việc tham khảo một lượng rất lớn các tài liệu có sẵn và tiếp thu có chọn lọc ý kiến từ các bạn đồng nghiệp để dần hoàn thiện cuốn sách này, nhưng khó tránh khỏi những thiếu sót bởi tầm hiểu biết và kinh nghiệm còn hạn chế, chúng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu của bạn đọc gần xa. Chi tiết liên hệ tại : anhkhoavo1210@gmail.com minh.9a1.dt@gmail.com CÁC TÁC GIẢ VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH.
  4. LỜI CẢM ƠN Trong quá trình biên soạn, chúng tôi xin cám ơn đến những bạn đã cung cấp tài liệu tham khảo và vui lòng nhận kiểm tra lại từng phần của bản thảo hoặc bản đánh máy, tạo điều kiện hoàn thành cuốn sách này : - Ngô Minh Nhựt (ĐH Kinh Tế Tp.HCM) - Mai Ngọc Thắng (ĐH Kinh Tế Tp.HCM) - Nguyễn Thị Thanh Huyền (THPT Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai) - Nguyễn Huy Hoàng (THPT Chuyên Lê Hồng Phong Tp.HCM) - Trần Lam Ngọc (THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa Tp.HCM) - Vương Tuấn Phong (THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa Tp.HCM) - Lê Quang Hiếu (THPT Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai) - Hoàng Minh Quân (ĐH Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội) và một số thành viên diễn đàn MathScope.
  5. MỤC LỤC TẬP 2 : PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG 4 : SƠ LƯỢC VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC I. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC 1 II. BÀI TẬP VÍ DỤ VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC 2 CHƯƠNG 5 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 13 II. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 20 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 20 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 35 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO VÀ 41 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 50 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO VÀ 53 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 60 4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THUẦN NHẤT ĐỐI VỚI 61 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 67 5. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC 73 a. TỔNG HỢP 73 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 95
  6. b. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC 100 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 103 c. PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC 107 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 127 d. PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ 131 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 148 CHƯƠNG 6 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 154 I. TÓM TẮT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG GẶP 154 II. CÁC BÀI TẬP MINH HỌA 155 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 171 CHƯƠNG 7 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 175 I. TÓM TẮT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG GẶP 175 II. CÁC BÀI TẬP MINH HỌA 176 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 186 ĐỌC THÊM : TẢN MẠN VỀ SỐ PI 189 TÀI LIỆU THAM KHẢO 194
  7. Chương 4 : Sơ lược về hàm lượng giác ngược CHƯƠNG 4 SƠ LƯỢC VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC I. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC - Hàm số là hàm lượng giác ngược của hàm số , có một số tính chất cơ bản sau [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] { ( ) - Hàm số là hàm lượng giác ngược của hàm số , có một số tính chất cơ bản sau [ ] ( ) [ ] { ( ) [ ] ( ) - Hàm số là hàm lượng giác ngược của hàm số , có một số tính chất cơ bản sau ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) - Hàm số là hàm lượng giác ngược của hàm số , có một số tính chất cơ bản sau ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) 1
  8. Chương 4 : Sơ lược về hàm lượng giác ngược II. BÀI TẬP VÍ DỤ VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC √ ( ( )) √ √ { ( ) [ ] √ ( ) ( ) [ ] ( ) ậ ( ) Do đó, ( ) ( ) ( ) Ta thấy : ( ) Do đó, ( ) ( ) ( ) 2
  9. Chương 5 : Phương trình lượng giác CHƯƠNG 5 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN - CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 푣 푣 [ ( ) 푣 푣 푣 [ ( ) 푣 푣 푣 ( ) 푣 d 푣 ( ) - CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN ĐẶC BIỆT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) 3
  10. Chương 5 : Phương trình lượng giác √ [ ( ) √ ( ) [ ( ) ( ) √ [ ( ) √ ( ) Chú ý rằng: ) ươ ( [ ]) ộ ệ ộ [ ] ệ ệ ) ươ ( [ ]) ộ ệ ộ [ ] ệ ệ ) ươ ( ) ộ ệ ộ ( ) ệ ệ ) ươ ( ) ộ ệ ộ ( ) ệ ệ Chúng ta sử dụng các công thức biến đổi lượng giác đã nêu trong Chương 2, phân tích phương trình thành các nhân tử để xuất hiện các dạng phương trình trên. 4
  11. Chương 5 : Phương trình lượng giác Bài 1: Giải các phương trình sau √ d Giải: a. Ta có: ( ) b. Ta có: ( ) c. Ta có: √ { ( ) d. Ta có: { ( ) Bài 2: Giải các phương trình sau ( ) ( ) √ ( ) d ( ) √ 5
  12. Chương 5 : Phương trình lượng giác Giải: a. Ta có: ( ) [ [ ( ) b. Ta có: ( ) ( ) c. Ta có: ( ) √ { { ( ) d. Ta có: ( ) √ { { ( ) Bài 3: Giải các phương trình sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Giải: a. Ta có: ( ) ( ) { { ( ) b. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 6
  13. Chương 5 : Phương trình lượng giác { { ( ) c. Ta có: ( ) ( ) [ [ ( ) ( ) Bài 4: Giải các phương trình sau ( )( ) (Tuyển sinh khối D 2004) Giải: a. Điều kiện : ( ) ( ) Phương trình tương đương với [ ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. b. Điều kiện : { ( ) ( ) Phương trình tương đương với ( ) 7
  14. Chương 5 : Phương trình lượng giác Kết hợp với ( ) ta được nghiệm là ( ) c. Ta có: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) √ ( ) ( ) [ ( ) [ ( ) Bài 5: Giải các phương trình sau √ ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] (Tuyển sinh khối D 2002) Giải: a. Ta có: √ ( ) (với [ ]) √ ( ) { { ( ) Lại có: [ ] { { } Vậy nghiệm của phương trình là b. Ta có: ( ) ( ) (với [ ]) 8
  15. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( ) Lại có: [ ] { { } ậ ệ { } c. Ta có: (với [ ]) ( ) ( ) [ ( ạ ) ( ) Lại có: [ ] { { } ậ ệ ủ ươ { } Bài 6: Giải các phương trình sau ( ) ( ) [ ] ( ) √ Gi ải: a. Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) Như vậy, phương trình viết lại thành ( ) 9
  16. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( ) [ [ ] ệ ủ ươ { } b. Phương trình tương đương với √ ( ) √ | | Nếu ( ) thì nên ( ) ( ) Khi đó, { } Nếu ( ) thì nên ( ) ( ) Khi đó, { } ệ ủ ươ { } Bài 7: Giải các phương trình sau ( )( ) (Tuyển sinh khối D 2004) (Tuyển sinh khối B 2005) ( ) ( ển ố ) d ( ) ( ển ố ) ( ) Giải: a. Phương trình tương đương với ( )( ) ( ) ( )( ) 10
  17. Chương 5 : Phương trình lượng giác [ √ ( ) [ ( ) b. Phương trình tương đương với ( )( ) [ ( ) c. Đ ều kiện: { ( ) ( ) Ta thấy : Do đó, phương trình tương đương với [ ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. d. Điều kiện : { ( ) ( ) Phương trình tương đương với √ ( ) 11
  18. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( ) ( √ ) ( ) [ Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. Bài 8: Tìm tất cả các giá trị nguyên của thỏa mãn ( √ ) Giải: Phương trình tương đương với ( √ ) ( ) √ { ( ) { ( ) Do đó, là ước nguyên của 49. Ta được : Vì nên . Thay vào ( ), ta được 12
  19. Chương 5 : Phương trình lượng giác - BÀI TẬP TỰ LUYỆN 5.1.1. Giải các phương trình sau: √ d 5.1.2. Giải các phương trình sau: ( ) ( ) √ ( ) d ( ) √ [ ( )] √ 5.1.3. Giải các phương trình sau: ( ) ( ) d ( ) ( ) 5.1.4. Giải các phương trình sau: d ( )( ) 13
  20. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( ) 5.1.5. Giải các phương trình sau: [ ] [ ] 5.1.6. Giải các phương trình sau: ( ọc ện ) √ (Đ ại ữ ) (ĐH Ngoại Thương 1999) d ( ển ố ) ( ) ( ển ố ) - GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 5.1.1. Nghiệm của phương trình là : ( ) ( ) [ ( ) d [ ( ) ( ) 14
  21. Chương 5 : Phương trình lượng giác 5.1.2. Nghiệm của phương trình là : ( ) ( ) ( ) d [ ( ) ( ) 5.1.3. Nghiệm của phương trình là : [ ( ) [ ( ) [ ( ) d ( ) [ ( ) 15
  22. Chương 5 : Phương trình lượng giác 5.1.4. a. Sử dụng công thức nhân đôi sẽ đưa phương trình trở thành : ( ) b. Tương tự câu a, ta cũng sử dụng công thức nhân đôi sẽ đưa phương trình trở thành : ( ) c. Điều kiện : ( ) ( ) Phương trình tương đương với ( )( ) [ [ ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. d. Nghiệm của phương trình là : ( ) [ e. Điều kiện : ( ) Đặ Thay vào phương trình, ta được 16
  23. Chương 5 : Phương trình lượng giác [ [ [ ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. f. Để ý : và Phương trình có nghiệm ( ) g. Phương trình tương đương với ( )( ) [ ( ) h. Phương trình tương đương với : ( ) ( ) i. Điều kiện : ( ) Phương trình tương đương với ( ) ( ) ( ) 17
  24. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. 5.1.5. a. Ta có: ( [ ]) ( ) Lại có: [ ] { } ệ ủ ươ b. Ta có: ( [ ]) [ ( ) Lại có: { } [ ] [ { } [ } 5.1.6. a. Gợi ý : Đặ ệ ủ ươ ( ) 18
  25. Chương 5 : Phương trình lượng giác b. Điều kiện: { ( ) Phương trình tương đương với √ ( ) √ √ ( ) ( ) [ ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. c. Phương trình tương đương với ( )( ) [ ( ) d. Phương trình tương đương với ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ 19
  26. Chương 5 : Phương trình lượng giác e. Điều kiện : ( ) ( ) Phương trình tương đương với ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) [ ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. II. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI - Phương trình bậc hai theo các hàm số lượng giác là những phương trình có dạng sau: - Cách giải phương trình này thì ta sẽ coi các ẩn là các nghiệm của phương trình ( ), đồng thời lưu ý đến các điều kiện của . - Chúng ta cũng sử dụng những phép biến đổi lượng giác để đưa phương trình ban đầu về các phương trình loại này. Lưu ý các công thức lượng giác sau: 20
  27. Chương 5 : Phương trình lượng giác Bài 1: Giải các phương trình sau d Giải: a. Phương trình tương đương với [ ( ) ( ạ ) b. Ta có: [ [ ( ) c. Điều kiện: ( ) ( ) Phương trình tương đương với ( ) [ [ ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. d. Điều kiện: ( ) ( ) Phương trình tương đương với [ [ ( ) ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. 21
  28. Chương 5 : Phương trình lượng giác Bài 2: Giải các phương trình sau d Giải: a. Phương trình tương đương với [ ( ạ ) ( ) b. Phương trình tương đương với [ ( ) ( ) c. Điều kiện: { ( ) ( ) Phương trình tương đương với 22
  29. Chương 5 : Phương trình lượng giác Đây chính là câu b của bài này. Nghiệm của phương trình là: ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. d. Phương trình tương đương với [ ( ạ ) [ ( ) Bài 3: Giải các phương trình sau: ( ) ( ) d 23
  30. Chương 5 : Phương trình lượng giác Giải: a. Phương trình tương đương với ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ạ ) ( ) b. Phương trình tương đương với ( ) [ ( ạ ) ( ) c. Ta có: ( ) ( ) ( ) Khi đó, phương trình tương đương: ( ) 24
  31. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( ạ ) [ ( ) d. Phương trình tương đương với [ ( ạ ) ( ) ( ) ( ) [ e. Phương trình tương đương với [ [ 25
  32. Chương 5 : Phương trình lượng giác [ ( ) Bài 4: Giải các phương trình sau: √ π π ( ) ( ) √ ( ) √ √ d ( ) Giải: a. Điều kiện: ( )( ) Phương trình tương đương với √ √ √ [ √ ( ạ ) ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm ( ) 26
  33. Chương 5 : Phương trình lượng giác b. Phương trình tương đương với ( ) ( ) √ ( ) √ √ √ √ √ √ √ [ √ ( ạ ) [ ( ) c. Điều kiện: ( ) Phương trình tương đương với √ √ √ √ Đặ ươ ở √ √ √ [ Khi √ , ta có: √ √ 27
  34. Chương 5 : Phương trình lượng giác √ [ √ ( ạ ) ( ) [ ( ạ ) ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận các nghiệm trên là nghiệm của phương trình. d. Điều kiện: ( ) Phương trình tương đương với ( ) ( ) ạ d ( ) [ ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. 28
  35. Chương 5 : Phương trình lượng giác e. Điều kiện: ( ) Phương trình tương đương với ( ) [ [ ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. Bài 5: Giải các phương trình sau: ( ) ( ) (Đ G ộ ) ( ) ển ố ển ố d ( ) ( ) ển ố ( ) ển ố √ 29
  36. Chương 5 : Phương trình lượng giác Giải: a. Điều kiện : ( ) { { ( ) ( ) ( ) Phương trình tương đương với √ √ [ ( ) [ Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. b. Điều kiện : ( ) ( ) Phương trình tương đương với ( ) ( ) ( )( ) 30
  37. Chương 5 : Phương trình lượng giác [ ( ạ ) [ ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. c. Phương trình tương đương với ( ) [ ( ) ( ) d. Phương trình tương đương với ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 31
  38. Chương 5 : Phương trình lượng giác [ ( ạ ) ( ) e. Điều kiện : √ √ ( ) Phương trình tương đương với [ ( ạ ) ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. - BÀI TẬP TỰ LUYỆN 5.2.1. Giải các phương trình sau: √ √ d √ √ √ √ ( ) ( ) 32
  39. Chương 5 : Phương trình lượng giác 5.2.2. Giải các phương trình sau: ( ) ( ) d ( ) ( ) 5.2.3. Giải các phương trình sau: ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) √ 33
  40. Chương 5 : Phương trình lượng giác - GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 5.2.1. Nghiệm của phương trình là : [ ( ) ( ) [ ( ) d [ ( ) ( ) ( ) [ [ ( ) ( ) [ 5.2.2. a. Phương trình tương đương với ( ) ( )( ) 34
  41. Chương 5 : Phương trình lượng giác [ ( ạ ) ( ) b. Phương trình tương đương với [ ( )] √ √ ( ạ ) [ √ ( ) ( ) √ ( ) [ c. Điều kiện : ( ) ( ) Phương trình tương đương với 35
  42. Chương 5 : Phương trình lượng giác [ ( ạ ) ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. d. Phương trình tương đương với [ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ạ ) [ ( ) 5.2.3. a. Điều kiện : { ( ) Phương trình tương đương với ( ) 36
  43. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( ) [ ( ) ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. b. Điều kiện : ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) { Ta có: ( ) ( ) Khi đó, phương trình tương đương với [ ( ) 37
  44. Chương 5 : Phương trình lượng giác [ Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm ( ) c. Điều kiện : ( ) ( ) Đặ ớ ( ) ( ) ương trình tương đương với ( ) ( )( ) [ [ ( ) [ ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. 38
  45. Chương 5 : Phương trình lượng giác d. Điều kiện : { ( ) Phương trình tương đương với [ [ ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm ( ) e. Phương trình tương đương với ( ) ( ) [ ( ạ ) ( ) f. Phương trình tương đương với 39
  46. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( ệ ) g. Điều kiện : √ √ ( ) Phương trình tương đương với ( ) [ ( ạ ) ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. 40
  47. Chương 5 : Phương trình lượng giác 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO VÀ - Phương trình bậc nhất theo và là những phương trình có dạng tổng quát : ( ) ( ) Những trường hợp đặc biệt : ;( ) có dạng : ; ( ) có dạng : ; do không là nghiệm nên ( ) có dạng : Phương pháp giải : (trường hợp ) Chia 2 vế phương trình cho √ ta sẽ được phương trình: √ √ √ Ta thấy : ( ) ( ) √ √ Nên có góc thỏa mãn : √ { √ 41
  48. Chương 5 : Phương trình lượng giác ương trình trở thành : ( ) √ √ Phương trình ( ) có nghiệm khi và chỉ khi Khi đó, ta đặt √ Phương trình trở thành : ( ) [ ( ) Cách khác : Chia 2 vế phương trình cho , phương trình trở thành : ( ) Chia 2 vế phương trình cho , phương trình trở thành : ( ) Với ( ) thì ta đặt Khi đó, ( ) ( ) ( ) Giải rồi suy ra . 42
  49. Chương 5 : Phương trình lượng giác Một số công thức cần lưu ý : √ ( ) √ ( ) √ ( ) ( ) √ ( ) ( ) Bài 1: Giải các phương trình sau: √ √ √ d √ √ √ √ √ Gi ải: a. Ta có: √ √ √ ( ) [ ( ) b. Ta có: √ ( ) ( ) c. Ta thấy ( ) không là nghiệm của phương trình. 43
  50. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( ) ( ) ặ Phương trình trở thành: [ [ [ ỏ ( ) d. Ta thấy ( ) không là nghiệm của phương trình. ( ) ặ Phương trình trở thành: ( ) [ [ [ ( ) ( ) e. Ta có: √ √ ( ) √ ệ ủ ươ ( ) ặ Phương trình ( ) trở thành: 44
  51. Chương 5 : Phương trình lượng giác √ √ ( ) ( ) ( ) √ √ √ √ √ [ √ √ √ [ √ [ ( ) Bài 2: Giải các phương trình sau: √ π √ ( ) √ ( ) Giải: a. Điều kiện: ( ) ( ) Với điều kiện ( ), phương trình tương đương với : √ ( ) √ 45
  52. Chương 5 : Phương trình lượng giác √ √ ( ) [ ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. b. Ta có: √ ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ạ ) ( ) c. Ta có: √ ( ) √ √ ( ) √ √ √ Vì √ √ √ nên phương trình vô nghiệm. 46
  53. Chương 5 : Phương trình lượng giác Bài 3: Giải các phương trình sau: ( ) ( )( ) Giải: a. Phương trình tương đương với ( ) ( ) [ ( ) b. Phương trình tương đương với ( ) ( ) [ ( ) c. Điều kiện : ( ) ( ) Phương trình tương đương với 47
  54. Chương 5 : Phương trình lượng giác √ ( ) [ ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. Bài 4: Giải các phương trình sau: √ √ ể ố ( ) √ ể ố ( )( ) √ ( ) ể ố Giải: a. Phương trình tương đương với ( ) √ ( ) ( )( ) √ [ √ ( ) ( ) ( ) [ ( ) [ 48
  55. Chương 5 : Phương trình lượng giác b. Điều kiện : { ( ) Phương trình tương đương với √ √ √ √ √ √ √ √ ( ) ( ) [ ( ) Thay nghiệm vào ( ) ta sẽ có nghiệm của phương trình là: ( ) c. Phương trình tương đương với √ √ √ ( ) ( ) [ 49
  56. Chương 5 : Phương trình lượng giác - BÀI TẬP TỰ LUYỆN 5.2.4. Giải các phương trình sau: √ √ √ d ( ) √ ( ) √ 5.2.5. Giải các phương trình sau: √ √ √ 5.2.6. Giải các phương trình sau: √ ( ) √ ( ể ) ( ) √ ể ố - GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 5.2.4. Nghiệm của phương trình : ( ) [ ( ) 50
  57. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( ) d [ ( ) 5.2.5. a. Phương trình tương đương với ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) b. Điều kiện : ( ) ( ) Phương trình tương đương với √ √ √ √ ( ) ( ) [ ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. 51
  58. Chương 5 : Phương trình lượng giác c. Phương trình tương đương với ( )( ) √ ( ) [ ( ) √ ( ) [ ( ) 5.2.6. a. Điều kiện : ( ) ( ) Phương trình tương đương với √ ( ) [ ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm ( ) b. Phương trình tương đương với √ √ √ 52
  59. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( ) ( ) [ ( ) c. Phương trình tương đương với √ √ ( ) [ ( ) 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO VÀ Phương trình đối xứng theo và là phương trình có dạng sau : ( ) Phương pháp giải : Đặ √ ( ) ( ) [ √ √ ] Khi đó, 53
  60. Chương 5 : Phương trình lượng giác Thay vào phương trình, ta được : ( ) ( ) Ta giải ( ) tính ra so điều kiện và thay vào ( ) để tính . Ngoài ra, chúng ta còn một dạng có họ hàng với dạng ở trên : ( ) Phương pháp giải : Đặ √ ( ) ( ) [ √ √ ] Khi đó, Thay vào phương trình rồi làm tương tự như dạng trên. Bài 1: Giải các phương trình sau: √ ( ) √ ( ) √ ( ) d ( ) Giải: a. Đặ √ ( ) [ √ √ ] ( ) 54
  61. Chương 5 : Phương trình lượng giác Khi đó, phương trình trở thành ỏ ( ) √ ( ) ( ) [ b. Đặ √ ( ) [ √ √ ] ( ) Khi đó, phương trình trở thành √ ( ) √ √ √ [ ỏ ( ) √ √ ( ) [ ( ) ( ) [ c. Đặ √ ( ) [ √ √ ] ( ) Khi đó, phương trình trở thành ( ) 55
  62. Chương 5 : Phương trình lượng giác [ √ ( ạ ) √ ( ) ( ) [ d. Đặ √ ( ) [ √ √ ] ( ) Khi đó, phương trình trở thành ( ) [ √ ( ạ ) √ ( ) ( ) [ Bài 2: Giải các phương trình sau: ( )( ) √ ( ) d 56
  63. Chương 5 : Phương trình lượng giác Giải: a. Đặ √ ( ) [ √ √ ] ( ) Khi đó, phương trình trở thành [ √ ( ạ ) √ ( ) ( ) [ b. Phương trình tương đương với ( ) ( ) Đặ √ ( ) [ √ √ ] Khi đó, phương trình ( ) trở thành: [ √ ( ạ ) √ ( ) 57
  64. Chương 5 : Phương trình lượng giác [ ( ) c. Điều kiện : ( ) Ta biến đổi phương trình thành √ ( ) ( ) Đặ √ ( ) [ √ √ ] Phương trình ( ) trở thành: √ √ √ [ √ ( ệ ) ( ) ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. d. Phương trình tương đương với ( )( ) ( ) ( ) Đặ √ ( ) [ √ √ ] Khi đó, phương trình ( ) trở thành: ( ) ( ) 58
  65. Chương 5 : Phương trình lượng giác [ √ ( ạ ) √ ( ) √ ( ) [ ( ) [ e. Phương trình tương đương với ( )( ) ( )[ ( )( ) ] ( ) [ ( ) ( ) Với phương trình ( ) ta có nghiệm ( ) Với phương trình ( ), ta đặt √ ( ) [ √ √ ] Khi đó, phương trình trở thành [ ( ) Với thì ( ) ( ) 59
  66. Chương 5 : Phương trình lượng giác - BÀI TẬP TỰ LUYỆN 5.2.7. Giải các phương trình sau: √ | | 5.2.8. Giải các phương trình sau: d √ ( ) ( ) - GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 5.2.7. Nghiệm của phương trình là : √ ( ) √ √ [ √ ( ) [ ( ) 60
  67. Chương 5 : Phương trình lượng giác 5.2.8. Nghiệm của phương trình là : ( ) [ ( ) ( ) d ( ) [ ( ) 4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THUẦN NHẤT ĐỐI VỚI VÀ Phương trình bậc hai thuần nhất đối với và là phương trình có dạng : Phương pháp giải : Cách 1: Ta sử dụng công thức { S ó đưa phương trình về dạng: 61
  68. Chương 5 : Phương trình lượng giác Cách 2: Thay ( ); ta biến đổi đưa phương trình về dạng : - Nếu (hoặc ) : ta đặt (hoặc ) làm nhân tử chung, ta sẽ có phương trình tích. - Nếu , xét thấy không là nghiệm của phương trình, ta tiến hành chia 2 vế cho thì đưa phương trình về dạng ( ) Giải phương trình ( ) rồi so với điều kiện. Ngoài ra chúng ta cũng có một dạng phương trình tương tự : 푒 Phương pháp giải : Chúng ta sử dụng cách 2 đã nêu ở trên (chia 2 vế cho ). Bài 1: Giải các phương trình sau: √ √ d Giải: a. Vì không là nghiệm của phương trình nên chia 2 vế cho . Khi đó, phương trình trở thành: √ [ [ ( ) √ (thỏa điều kiện ) 62
  69. Chương 5 : Phương trình lượng giác b. Vì không là nghiệm của phương trình nên chia 2 vế cho Khi đó, phương trình trở thành: ( ) ( )( ) ( ) (thỏa điều kiện ) c. Phương trình tương đương với : √ Vì không là nghiệm của phương trình nên chia 2 vế cho . Khi đó, phương trình trở thành: √ √ [ √ ( ) [ (thỏa điều kiện ) d. Vì không là nghiệm của phương trình nên chia 2 vế cho . Khi đó, phương trình trở thành: ( ) ( )( ) 63
  70. Chương 5 : Phương trình lượng giác √ √ [ ( ) [ (thỏa điều kiện ) Bài 2: Giải các phương trình sau: ( ) ( ) d Giải: a. Điều kiện: ( ) ( ) Phương trình tương đương với ( ) [ [ ( ) 64
  71. Chương 5 : Phương trình lượng giác Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. b. Phương trình tương đương với Vì không là nghiệm của phương trình nên chia 2 vế phương trình cho . Khi đó, phương trình trở thành: ( ) ( ) ( )( ) √ [ √ ( ) [ (thỏa điều kiện ) c. Ta đưa phương trình về dạng Vì không là nghiệm của phương trình nên chia 2 vế phương trình cho Khi đó, phương trình trở thành: [ 65
  72. Chương 5 : Phương trình lượng giác [ √ √ [ ( ) (thỏa điều kiện ) d. Ta đưa phương trình về dạng Vì không là nghiệm của phương trình nên chia 2 vế phương trình cho . Khi đó, phương trình trở thành: ( ) ( )( ) [ √ √ [ ( ) ( ỏ ề ệ ) 66
  73. Chương 5 : Phương trình lượng giác - BÀI TẬP TỰ LUYỆN 5.2.9. Giải các phương trình sau: √ √ √ d ( ) √ 5.2.10. Giải các phương trình sau: d ( ) √ ( ) √ ( ) ( ) 67
  74. Chương 5 : Phương trình lượng giác - GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 5.2.9. Nghiệm của phương trình là : ( ) [ ( ) √ √ √ ( ) √ √ [ √ d [ ( ) [ ( ) [ ( ) [ ( ) 5.2.10. a. Phương trình tương đương với Vì không là nghiệm của phương trình nên chia 2 vế phương trình cho Khi đó, phương trình trở thành: 68
  75. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( ) [ [ ( ) ( ) (thỏa điều kiện ) b. Phương trình tương đương với Vì không là nghiệm của phương trình nên chia 2 vế phương trình cho Khi đó, phương trình trở thành: [ [ ( ) (thỏa điều kiện ) c. Điều kiện: Phương trình tương đương với 69
  76. Chương 5 : Phương trình lượng giác Vì không là nghiệm của phương trình nên chia 2 vế phương trình cho Khi đó, phương trình trở thành: ( ) ( )( ) (loại vì ) Vậy phương trình vô nghiệm. d. Điều kiện: ( ) ( ) Do nên chia 2 vế phương trình cho . Khi đó, phương trình trở thành: ( ) ( )( ) [ √ √ [ ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. e. Phương trình tương đương với 70
  77. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( ) Thay vào phương trình ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) (đúng) ậ ( ) ệ ủ ươ ( ) Khi đó phương trình trở thành: ( ) ( ) ( ) (thỏa điều kiện ) Vậy nghiệm của phương trình là: [ ( ) f. Phương trình tương đương với Vì không là nghiệm của phương trình nên chia 2 vế phương trình cho Khi đó, phương trình trở thành: ( ) ( )( ) ( ) (thỏa điều kiện ) 71
  78. Chương 5 : Phương trình lượng giác g. Phương trình tương đương với √ √ √ Vì không là nghiệm của phương trình nên chia 2 vế phương trình cho Khi đó, phương trình trở thành: √ √ ( ) √ √ √ √ [ ( ) [ (thỏa điều kiện ) 72
  79. Chương 5 : Phương trình lượng giác 5. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC a. TỔNG HỢP - Phương trình tổng hợp là những phương trình đưa về phương trình tích mà trong đó, các nhân tử là các dạng phương trình đã nêu ở trên. Bài 1: Giải các phương trình sau: ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) Giải: a. Phương trình tương đương với ( ) ( ) ( )( ) [ [ ( ) [ ( ) b. Phương trình tương đương với ( ) ( ) 73
  80. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( )( ) [ √ √ ( ) [ ( ) [ [ ( ) c. Điều kiện: { ( ) Phương trình tương đương với ( ) ( )( ) [ ] ( )( ) [( )( ) ( )( )] ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 74
  81. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( ) [ [ ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. d. Điều kiện: ( ) Phương trình tương đương với ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ( ạ ) √ √ [ [ ( ) ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. 75
  82. Chương 5 : Phương trình lượng giác Bài 2: Giải các phương trình sau: √ d Giải: a. Phương trình tương đương với √ √ [ √ √ [ √ ( ạ ) ( ) [ b. Điều kiện: ( ) Phương trình tương đương với ( ) 76
  83. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( ) ( )[ ( )] ( ) [ ] ( )( ) [ ( ) [ ( ) [ Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. c. Phương trình tương đương với ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ 77
  84. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( ) [ ( ) [ d. Phương trình tương đương với ( ) ( ) [( ) ] [( ) ] ( ) [ √ √ [ √ ( ) ( ) √ ( ) [ 78
  85. Chương 5 : Phương trình lượng giác Bài 3: Giải các phương trình sau: ( ) d Giải: a. ấ ệ ủ ươ ế , phương trình trở thành: [ ( ạ ) [ √ √ [ 79
  86. Chương 5 : Phương trình lượng giác √ ( ) √ [ b. Phương trình tương đương với ( ) ( ) ( ) [ ( ) [ ( )( ) [ ( ) ( ) [ ( ) [ ( ệ ) ( ) c. Phương trình tương đương với ( ) 80
  87. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( ) ( ) [ √ √ ( ạ ) [ ( ) √ [ d. Điều kiện: ( ) ( ) Khi đó, phương trình tương đương với ( )( ) [ ( ệ ) ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. 81
  88. Chương 5 : Phương trình lượng giác Bài 4: Giải các phương trình sau: ( )( ) ( ) √ ( ) √ √ d √ ( ) Giải: a. Điều kiện: ( ) ( ) Phương trình tương đương với ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) [ √ √ [ [ ( ) 82
  89. Chương 5 : Phương trình lượng giác Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. b. Điều kiện: ( ) ( ) Phương trình tương đương với √ ( ) √ [ √ √ ( )] √ ( ) [ √ ( ) Với phương trình ( ), ta có: ( ) ỏ ( ) Với phương trình ( ), ta có: Đặ √ ( ) [ √ √ ] Phương trình ( ) trở thành: √ √ √ √ ( ạ ) [ 83
  90. Chương 5 : Phương trình lượng giác √ ( ) √ ( ) √ [ Vậy nghiệm của phương trình là: √ √ ( ) [ c. Phương trình tương đương với ( ) ( ) √ √ ( ) ( ) √ √ √ √ √ √ ( ) √ [ √ [ ( ) [ ( ) 84
  91. Chương 5 : Phương trình lượng giác d. Phương trình tương đương với √ ( ) √ ( ) ( )( ) ( ) √ ( ) √ [ √ [ ( ) [ ( ) Bài 5: Giải các phương trình sau: | | d Giải: a. Phương trình tương đương với ( ) ( ) ( ) ( ) [ √ 85
  92. Chương 5 : Phương trình lượng giác √ ( ) √ [ b. Ta thấy : | | | | ( )| | Và ( ). Nên phương trình đã cho viết thành ( )| | ( ) ( ) [ | | ( ) Với phương trình ( ) có nghiệm là ( ) Với phương trình ( ) chỉ thỏa mãn . Trong điều kiện này, phương trình ( ) tương đương với [ [ ( ) | | c. Phương trình tương đương với ( )( )( ) ( ) ( )[ ( )( ) ] ( )[ ( )] Nghiệm của phương trình là: [ ( ) d. Phương trình tương đương với ( )( ) ( )( ) 86
  93. Chương 5 : Phương trình lượng giác Nghiệm của phương trình là: [ ( ) Bài 6: Giải các phương trình sau: (Tuyển sinh khối A 2005) (Tuyển sinh khối B 2005) (Tuyển sinh khối D 2006) ( ) ( ) d ( ể ) √ Giải: a. Phương trình tương đương với ( ) ( ) [( ) ] [( )( ) ] ( ) ( )( ) [ Nghiệm của phương trình là: ( ) b. Phương trình tương đương với 87
  94. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( ) ( ) ( )( ) [ ( ) Nghiệm của phương trình là: [ ( ) c. Phương trình tương đương với ( ) [ Nghiệm của phương trình là: [ ( ) √ d. Điều kiện: { { ( ) ( ) Phương trình tương đương với ( )( ) √ √ 88
  95. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( ) ( ) ( ) [ Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm [ ( ) - BÀI TẬP TỰ LUYỆN 5.2.11. Giải các phương trình sau: d ( ) 5.2.12. Giải các phương trình sau: ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) 89
  96. Chương 5 : Phương trình lượng giác 5.2.13. Giải các phương trình sau: ( ) d ( ) 5.2.14. Giải các phương trình sau: ( ) ( ) √ ( ) d √ - GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 5.2.11. a. Phương trình tương đương với ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 90
  97. Chương 5 : Phương trình lượng giác [ ( ) b. Phương trình tương đương với ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) c. Phương trình tương đương với ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) [ Qua các bài a, b và c thì ta thấy có cùng dạng phương trình là: 푒 ( ) Nguyên gốc phương trình trên là xuất phát từ phương trình này: ( )( 5 ) ( ) Từ phương trình ( ) người ta khai triển ra và thêm bớt vào để đưa về phương trình ( ). Cách giải thông thường là chúng ta sử dụng công thức và công thức hay xem cái nào có thể đưa phương trình ( ) phương trình ( ). 91
  98. Chương 5 : Phương trình lượng giác d. Điều kiện: ( ) ( ) Phương trình tương đương với ( ) ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm ( ) e. Phương trình tương đương với ( ) ( ) Nghiệm của phương trình là: ( ) 5.2.12. a. Phương trình tương đương với ( )( ) Nghiệm của phương trình là: 92
  99. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( ) [ b. Điều kiện: ( ) ( ) Phương trình tương đương với : ( )( ) [ ( )] ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm √ ( ) √ √ [ √ c. Điều kiện: { ( ) ( ) Phương trình tương đương với : ( ) ( ) ( ) ( ) 93
  100. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( )( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. √ √ ( ) [ d. Điều kiện: ( ) ( ) Phương trình tương đương với ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm ( ) √ [ √ 5.2.13. a. Phương trình tương đương với ( ) ( )( ) ( )( ) Nghiệm của phương trình là: 94
  101. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( ) [ b. Phương trình tương đương với ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] ( ) Nghiệm của phương trình là: ( ) c. Điều kiện: ( ) ( ) Phương trình tương đương với ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm [ ( ) d. Phương trình tương đương với ( ) ( ) 95
  102. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( )( )( ) ( ) ( )[( )( ) ] ( )( ) Nghiệm của phương trình là: [ ( ) e. Phương trình tương đương với ( ) ( ) Nghiệm của phương trình là: ( ) [ f. Phương trình tương đương với ( ) [( ) ( )] ( )( ) Nghiệm của phương trình là: ( ) [ 96
  103. Chương 5 : Phương trình lượng giác 5.2.14. a. Điều kiện: { ( ) ( ) Phương trình tương đương với ( ) ( ) ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm ( ) b. Phương trình tương đương với √ √ ( ) ( ) √ ( ) Nghiệm của phương trình là: ( ) [ 97
  104. Chương 5 : Phương trình lượng giác c. Phương trình tương đương với ( ) ( )( ) ( )( ) Nghiệm của phương trình là: ( ) [ d. Điều kiện: ( ) ( ) Phương trình tương đương với ( ) ( ) ( ) ( )( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm [ ( ) 98
  105. Chương 5 : Phương trình lượng giác e. Phương trình tương đương với ( ) ( ) ( ) ( ) Nghiệm của phương trình là: ( ) [ f. Phương trình tương đương với √ √ √ √ √ Nghiệm của phương trình là: ( ) [ 99
  106. Chương 5 : Phương trình lượng giác b. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC - Ở dạng phương trình chứa căn thức này, chúng ta thường áp dụng các công thức bên dưới. Sau khi giải đến phần so điều kiện thì chúng ta sẽ thử nghiệm trực tiếp. √ √ √ √ √ √ { √ √ √ √ √ √ Bài 1: Giải phương trình sau: √ Giải: Điều kiện: { ( ) Phương trình tương đương với √ ( ) ( ) √ ( )( ) √ √ ( ) ( ) { ( ỏ ( ) ) 100
  107. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( ) [ ( ) { ( ) Bài 2: Giải phương trình sau: √ Giải: Phương trình tương đương với √ { [ ( ạ ) ( ) ( ) Bài 3: Giải phương trình sau: ( ) √ (ĐH Kinh Tế Quốc Dân 2000) 101
  108. Chương 5 : Phương trình lượng giác Giải: Phương trình tương đương với ( ) ( ) { ( ) ( ) Ta giải phương trình ( ) : [ ( )] ( ) ( ) [ ( ) Kiểm tra điều kiện ( ), ta nhận nghiệm của phương trình là [ ( ) Bài 4: Giải phương trình sau: √ √ √ Giải: Điều kiện : Phương trình tương đương với √( )( ) √( ) √ Với , ta được ( ) Với và thì 102
  109. Chương 5 : Phương trình lượng giác √ √ √ √ √ √ √ ( ) [ ( ) ( ) Vậy nghiệm của phương trình là [ ( ) - BÀI TẬP TỰ LUYỆN 5.2.15. Giải phương trình sau: √ √ √ √ √ d √ √ √ 103
  110. Chương 5 : Phương trình lượng giác - GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 5.2.15. a. Phương trình tương đương với √ [ { [ ( ) [ ( ) b. Điều kiện : ( ) Phương trình tương đương với √ √ √ ( ) [ √ ( ) Với phương trình ( ) ta có { √ ( ) { ( ) ( ) √ ( ) Với phương trình ( ) ta có ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. 104
  111. Chương 5 : Phương trình lượng giác c. Điều kiện : { ( ) ( ) Phương trình tương đương với √ √ { √ { √ { √ { √ [ { √ √ √ {[ √ 105
  112. Chương 5 : Phương trình lượng giác [ ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. d. Đặ √ ( ) ( ) Khi đó, phương trình trở thành √ ( ế ợ ( )) [ Do đó, ( ) [ ( ) 106
  113. Chương 5 : Phương trình lượng giác c. PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC - Các phương trình không mẫu mực là các phương trình không có một cách giải cụ thể nào, thường là sử dụng các bất đẳng thức hoặc đạo hàm hàm số để đánh giá và tìm ra nghiệm. - Chúng thường sử dụng các bất đẳng thức sau: { Bài 1: Giải các phương trình sau: 5 5 Giải: a. Phương trình tương đương với ( ) ( ) Ta có: ( ) { ( ) ( ) ( ) Dấu xảy ra khi và chỉ khi: 107
  114. Chương 5 : Phương trình lượng giác [ ( ) [ b. Phương trình tương đương với 5 5 ( ) ( ) Ta có: ( ) { ( ) ( ) ( ) Dấu xảy ra khi và chỉ khi: [ ( ) [ 108
  115. Chương 5 : Phương trình lượng giác Qua 2 bài trên chúng ta thấy rằng với không đồng thời bằng 2, dạng phương trình: ( ) Chúng ta thường giải như sau: ( ) ( − ) ( − ) Khi đó, chúng ta sử dụng các đánh giá: − ⇒ ( ) { ⇒ ( − ) ( − ) ( − ) Đến đây, ta xét dấu xảy ra khi và chỉ khi: − − − [ − Ngoài ra, chúng ta cũng có thể làm như sau : { Đến đây, chúng ta cũng xét dấu xảy ra đối với phương trình ( ). 109
  116. Chương 5 : Phương trình lượng giác Bài 2: Giải các phương trình sau: √ √ 5 7 ( 5 ) Giải: a. Điều kiện: ( ) ( ) Phương trình tương đương với √ √ { √ √ √ √ { [ ( ) { ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. 110
  117. Chương 5 : Phương trình lượng giác b. Điều kiện: ( ) ( ) Phương trình tương đương với ( ) ( ) ( ) Ta có: ⇒ ( ) { ⇒ ( ) ( ) ( ) Dấu xảy ra khi và chỉ khi ( ) [ Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. c. Phương trình tương đương với 5 7 ( ) ( ) ( )( ) 111
  118. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( ) [ ( ) Với phương trình ( ) ta có nghiệm ( ) Với phương trình ( ), ta thấy { Do đó, [ ( ) Vậy nghiệm của phương trình là [ ( ) Bài 3: Giải các phương trình sau: √ ( ) √ Giải: a. Phương trình tương đương với ( ) √ ( ) √ { 112
  119. Chương 5 : Phương trình lượng giác { ( ) ( ) b. Phương trình tương đương với Ta có : (d ) { (d { ) Suy ra Dấu xảy ra khi và chỉ khi { ( ) Vậy nghiệm của phương trình là: ( ) c. Điều kiện : ( ) Phương trình đã cho có thể viết lại thành √ ( ) (√ ) ( ) √ √ √ ( ) [ √ ( ) Với phương trình ( ), ta có : 113
  120. Chương 5 : Phương trình lượng giác √ √ ( ) ( ) ( ) √ ( ) [ Với phương trình ( ), ta có : √ Mà với mọi , ta đều có {√ Do đó, √ ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm của phương trình là √ ( ) [ ( ) Bài 4: Giải các phương trình sau: √ √ √ √ Giải: a. Ta biến đổi phương trình trở thành ( ) ( ) Ta thấy : ( ) { ( ) ( ) ( ) 114
  121. Chương 5 : Phương trình lượng giác Dấu xảy ra khi và chỉ khi ( ) { ( ) { ( ) ( ) Vậy nghiệm của phương trình là: ( ) b. Ta biến đổi phương trình trở thành Ta thấy : { Dấu xảy ra khi và chỉ khi { ( ) ( ) Vậy nghiệm của phương trình là: ( ) 115
  122. Chương 5 : Phương trình lượng giác c. Phương trình tương đương với ( ) √ √ Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có √ √ Mặt khác : √ √ √ √ √ Do đó, phương trình trở thành ( ) { ( ) ( ) Phương trình ( ) cho nghiệm ( ) Phương trình ( ) cho nghiệm ( ) Suy ra ( ) ( ) Khi đó, ( ) Suy ra ( ) ( ) Nghiệm này chỉ thỏa mãn phương trình ( ) nếu chẵn. Do đó, nghiệm của phương trình ( ) Bài 5: Giải các phương trình sau: ( ) ( ) d ( ) ( ) 116
  123. Chương 5 : Phương trình lượng giác Giải: a. Điều kiện : { ( ) Ta có : ( ) { Vậy phương trình chỉ thỏa khi và chỉ khi { ( ) | | Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. b. Điều kiện : { ( ) Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : Suy ra ( ) Lại theo bất đẳng thức Cauchy, ta được : Nên . Mặt khác, ta thấy ( ) Do đó, phương trình chỉ thỏa khi và chỉ khi ( ) { ( ) ( ) ( ) Từ ( ) và ( ) ta có Kết hợp với ( ) ta được { ( ) { ( ) Thử lại với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. 117
  124. Chương 5 : Phương trình lượng giác c. Điều kiện : { ( ) ( ) Ta có : ( ) ( ) ( ) Ta thấy : ( ) ( ) ( ) ( ) Nên ( ) ( ) ( ) Vậy phương trình chỉ thỏa khi và chỉ khi ( ) { ( ) ( ) √ { { [ Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. d. Điều kiện : ( ) Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Mặt khác, Do đó, phương trình chỉ thỏa khi và chỉ khi { { ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. 118
  125. Chương 5 : Phương trình lượng giác Bài 6: Giải các phương trình sau: ( ) (Đề nghị Olympic 30-4, 2006) 975 975 7 7 (Đề nghị Olympic 30-4, 2007) (Đề nghị Olympic 30-4, 2008) Giải: a. Điều kiện: ( ) Ta đặt : { Phương trình đưa về dạng ( ) Mà ta có : ( ) Do đó, ( ) ( ) ( ) ⏟( ) Thay vào ( ), ta được : ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. b. Nhận xét không là nghiệm của phương trình vì nếu thì phương trình không thỏa mãn. Tương tự, không là nghiệm của phương trình. 119
  126. Chương 5 : Phương trình lượng giác ả ố ( ) 975 ( ) ( ) 7 ( ) 97 ớ ( ) ( ) Nên hàm số tăng trên mỗi khoảng xác định. Ngoài ra hàm số này với ( ) sẽ chỉ nhận giá trị âm và với ( ) chỉ nhận giá trị dương. Cho nên mỗi giá trị ( ) trên khoảng này không thể ứng với giá trị của ( ) trên khoảng kia. Cho nên phương trình ( ) ( ) tương đương với ( ). G ả ( ) ượ ệ ( ) c. Nếu ( ) Do đó, phương trình không có nghiệm . Nếu ( ). Ta nhân 2 vế phương trình cho , ta được ( ) [ ( ) ( ) [ ( ) [ 120
  127. Chương 5 : Phương trình lượng giác Bài 7: Giải các phương trình sau: ( ) (Đề nghị Olympic 30-4, 2008) 9 9 (Đề nghị Olympic 30-4, 2009) 2008√ ( )2008√ (Đề nghị Olympic 30-4, 2009) d ( ) ( ) ( ) (Đề nghị Olympic 30-4, 2010) Giải: a. Đặt | | . Ta có : √ Lại đặt √ . Ta có hệ Trừ 2 phương trình theo từng về, ta được ( ) ( ) ⏟( ) Từ đó suy ra Vậy ( ) b. Phương trình tương đương với 9 9 ( ) 9 ( ) 9 ( ) 121
  128. Chương 5 : Phương trình lượng giác Xét hàm số ( ) ( ) Do đó, ( ) đồng biến. Vậy ta suy ra ( ) c. Phương trình tương đương với 2008√ ( ) 2008√( ) Xét hàm số ( ) 2008√ ( ) 2008√ 2008√( ) 7 Do đó, ( ) đồng biến. Khi đó, phương trình tương đương với [ ( ) d. Ta có: ( ) ( ) ( )( ) Suy ra ( ) ( ) ( ) Đặ Phương trình ( ) trở thành: ( ) ( ) ( ) Do đó, phương trình đã cho trở thành ( ) 122
  129. Chương 5 : Phương trình lượng giác Bài 8: Giải các phương trình sau: 2 2 √ √ √ √ ( ) 푛 ( ) 푛 푛 푛 ℕ 푛 Giải: a. Ta xét các trường hợp : - thì . Suy ra 2 2 √ √ 2 2 √ √ √ √ Mặt khác : √ ( ) Do đó, phương trình vô nghiệm. - , chứng minh tương tự, ta được : 2 2 √ √ √ √ ( ) Do đó, phương trình vô nghiệm. - , ta thấy họ nghiệm thỏa mãn phương trình đã cho. Vậy phương trình có nghiệm ( ) 123
  130. Chương 5 : Phương trình lượng giác b. Điều kiện : ( ) - , phương trình đã cho trở thành ( ) Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : Dấu xảy ra khi và chỉ khi ( ) - , theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : | | (| | | |) Mặt khác : | | { | | | | | | Nên | | | | | | | | Dấu xảy ra khi và chỉ khi | | [ ( ) | | { | | | | | | | | { Ta thấy hệ trên vô nghiệm. Do đó, kết hợp với ( ), ta có nghiệm của phương trình : ( ) 124
  131. Chương 5 : Phương trình lượng giác c. Ta có : √ ( ) Do đó, phương trình luôn xác định. Khi đó, ta đưa phương trình trở thành ( ) ( ) Ta đặt Phương trình đưa về dạng Ta xét hàm số : ( ) ( ) Do đó, hàm số đồng biến trên ( ). Khi đó, ( ) ( ) ( )( ) [ [ ( ) Bài 9: Giải các phương trình sau: Giải: a. Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có : √( )( ) √ √ ( ) Dấu xảy ra khi và chỉ khi 125
  132. Chương 5 : Phương trình lượng giác { { Ta thấy, hệ này vô nghiệm. Do đó, phương trình vô nghiệm. b. Điều kiện : { ( ) Ta có : ( ) Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có : Dấu xảy ra khi và chỉ khi { ( ) Ta thấy, hệ trên vô nghiệm. Do đó, phương trình vô nghiệm. c. Điều kiện : ( ) Phương trình tương đương với Ta đặt thì . Khi đó, ( ) ( ) Ta xét hàm số : ( ) ( ) ( ) ( ) Do đó, hàm số đồng biến trên . Mà ta thấy ( ) nên là nghiệm duy nhất của phương trình ( ). Với thì 126
  133. Chương 5 : Phương trình lượng giác [ ( ) Kết hợp với ( ), nghiệm của phương trình là : ( ) - BÀI TẬP TỰ LUYỆN 5.2.16. Giải các phương trình sau: 5 5 d √ ( ) √ ( 7 ) 5.2.17. Giải các phương trình sau: √ √ √ ( ) d 127
  134. Chương 5 : Phương trình lượng giác - GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 5.2.17. a. Điều kiện: Khi đó, phương trình tương đương: √ √ √ ( ) √ ( ) Lại có: { √ ( ) Khi đó, ( ) { √ ( ) ( ) b. Điều kiện: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có: ( √ ) ( ) √ Lại có: ( ) 128
  135. Chương 5 : Phương trình lượng giác Khi đó, phương trình tương đương với √ { { ( ) ( ) Vậy nghiệm của phương trình là: ( ) c. Phương trình tương đương với ( ) ( ) Ta có: { Dấu xảy ra khi và chỉ khi: { ( ) Vậy nghiệm của phương trình là: ( ) 129
  136. Chương 5 : Phương trình lượng giác d. Điều kiện: ( ) Khi đó, phương trình tương đương với: ( ) [ Vậy phương trình vô nghiệm. e. Phương trình tương đương với ( ) Ta có: Dấu xảy ra khi và chỉ khi: ( ) Vậy nghiệm của phương trình là: ( ) 130
  137. Chương 5 : Phương trình lượng giác d. PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ - Ở những phương trình này, chúng ta có một số phương pháp thông dụng thường gặp như sau : Phương pháp lượng giác : . Phương trình có dạng ( ) ( ) ( ) có nghiệm khi và chỉ khi | | . . Phương trình có dạng ( ) ( ) ( ) có nghiệm khi và chỉ khi . . Chú ý : Nếu miền giá trị của ( ) không phải thì điều kiện trên chỉ là điều kiện cần. Phương pháp đại số : Cho phương trình lượng giác ( ) có chứa tham số, sơ đồ giải và biện luận có thể theo các thứ tự sau : . Biến đổi ( ) thành phương trình ( ) có thể đặt ẩn phụ, ở đây có thể xuất hiện điều kiện ( ). Nghiệm của phương trình ( ) cũng là nghiệm của phương trình ( ) với điều kiện ( ). . Xét phương trình ( ), đặt ẩn phụ để trở thành phương trình đại số ( ) kèm điều kiện của ẩn phụ là ( ). . Nếu điều kiện ( ) có thể biến đổi thành điều kiện ( ) tương đương trong ẩn phụ thì ta kết luận : Điều kiện cần và đủ để ( ) có nghiệm là ( ) ( ) ( ) có nghiệm. . Trong trường hợp ( ) không thể biến đổi thành điều kiện mới trong ẩn phụ, ta phải kiểm tra trực tiếp nghiệm của ( ) khi cần phải đối chiếu điều kiện ( ). . Bài toán sẽ ít phức tạp hơn nếu ta có không có điều kiện ( ), nghĩa là ( ) tương đương ( ). Phương pháp dùng miền giá trị : . Phương pháp này chỉ dùng được sau khi biến đổi phương trình lượng giác thành phương trình đại số chỉ có bậc nhất hoặc bậc hai. Bằng phương pháp đạo hàm hay phương pháp bất đẳng thức, ta không cần vẽ đồ thị hàm số mà chỉ cần miền giá trị khi cần tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. - Nhắc lại công thức so sánh nghiệm : Cho phương trình bậc hai , với , kí hiệu là ( ), có hai nghiệm và hai số . Ta có khi và chỉ khi ( ) 131
  138. Chương 5 : Phương trình lượng giác khi và chỉ khi ( ) { khi và chỉ khi ( ) { khi và chỉ khi ( ) { ( ) khi và chỉ khi ( ) { ( ) khi và chỉ khi ( ) { ( ) khi và chỉ khi ( ) ( ) { Bài 1: Định m để phương trình sau có nghiệm: ( ) ( ) ( ) 132
  139. Chương 5 : Phương trình lượng giác Giải: a. Ta xét 2 trường hợp Khi thì ( ). Khi thì Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi b. Đưa phương trình về dạng ( ) Khi thì ( ) Khi thì Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi [ c. Ta biến đổi phương trình trở thành Khi đó, để phương trình có nghiệm thì ( ) √ √ 133
  140. Chương 5 : Phương trình lượng giác Bài 2: Cho phương trình ( ) G ả ươ ể ươ ệ ả ( ) Giải: Ta biến đổi phương trình trở thành ( ) [ ( ) a. ở ( ) [ ( ) ( ạ ) b. ( ) [ ) Khi đó, [ ) ( ạ ) ( ) [ Ta có : [ ) [ ) 134
  141. Chương 5 : Phương trình lượng giác Bài 3: Cho phương trình sau: ( ) G ả ể ề ơ ộ ệ ( ) Giải: Điều kiện: ( ) ( ) Phương trình tương đương với ( ) ( ) ( )[ ( ) ] [ ( ) ( ) a. ( ) Kết hợp với ( ), ta nhận nghiệm trên là nghiệm của phương trình. b. ( ) ( ) Ta có: 135
  142. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( ) ( ) [ Khi đó, yêu cầu bài toán tương đương với { { Bài 4: Cho phương trình G ả ể ệ ệ [ ] Giải: Phương trình đưa về dạng a. Khi , phương trình trở thành [ ( ạ ) ( ) b. [ ] [ ] Đặt ( ) Khi đó, yêu cầu bài toán tương đương với 136
  143. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( ) ( ) { Bài 5: Tìm để phương trình sau có nghiệm √ √ (Đề nghị Olympic 30-4, 2008) Gi ải: Không mất tính tổng quát, ta chỉ cần xét nghiệm trên [ ] Điều kiện: [ ] Ta có : { ( ) √ √ ( ) Đặt . √ ớ [ ] [ √ ] Mặt khác, ta lại có : . Do đó, ( ) √ Xét hàm số √ ( ) √ [ √ ] ( ) √ √ − √ ( ) √ ( ) √ 137
  144. Chương 5 : Phương trình lượng giác Từ bảng biến thiên, ta kết luận rằng phương trình có nghiệm khi và chỉ khi {√ √ √√ √√ Bài 6: Xác định để phương trình ( ) (ĐH Y Dược Tp.HCM 1999) Gi ải: Phương trình tương đương với ( ) ( ) ( ) [ ( ) Với phương trình ( ), ta có nghiệm ( ) ( ) Với phương trình ( ), ta đặt | | . Khi đó : ( ) ( ) Do phương trình ( ) có 2 nghiệm phân biệt với mọi , nên ta cần xác định để phương ( ) ( ) { } Khi đó, phương trình ( ) có 2 nghiệm thỏa điều kiện 138
  145. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( ) { ( ) { ( ) Bài 7: Cho phương trình tham số ( ) G ể ấ [ ] (ĐH Sư Phạm Tp.HCM 2001) Gi ải: Phương trình tương đương với ( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) Với phương trình ( ), ta có nghiệm ( ) Với phương trình ( ), ta đặt | | √ . Khi đó, phương trình ( ) trở thành ( ) a. Khi thì ( ) [ ( ) √ ( ) ( ) [ Vậy phương trình có nghiệm 139
  146. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( ) [ b. Ta có : √ ( ) [ ] Do đó, ta cần xác định để phương trình ( ) có nghiệm [ ]. Xét hàm số : ( ) [ ] ( ) Hàm số đồng biến trên [ ]. Ta có : ( ) { ( ) Khi đó, yêu cầu bài toán tương đương với Bài 8: Giải và biện luận phương trình theo tham số Giải: Điều kiện : { ( ) Phương trình tương đương với Khi đó, ta đặt [ ]. Ta đưa phương trình về dạng ( ) ( ) 140
  147. Chương 5 : Phương trình lượng giác Tuy nhiên, do điều kiện ( ) ta được ( ] { } Do đó, để phương trình đã cho có nghiệm thì | | { | | √ { Ta thấy, từ phương trình ( ), ta có thể suy ra nghiệm của phương trình là ( ) Bài 9: Định để phương trình sau có nghiệm ( ) Giải: Ta có : Nên ta có điều kiện của bài toán là { ( ) Phương trình đưa về dạng ( ) Đặt | | , phương trình ( ) trở thành ( ) ( ) Ta thấy, không là nghiệm của phương trình ( ) nên 141
  148. Chương 5 : Phương trình lượng giác Tuy nhiên, do điều kiện ( ) ta được { } Khi đó, điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm là { { Do đó, ta tìm được giá trị của thỏa yêu cầu bài toán là ( ) { } Bài 10: Cho phương trình chứa tham số Khi phương trình có bao nhiêu nghiệm nằm trong đoạn [ ] (ĐH Cần Thơ 1998) Giải: Điều kiện : { ( ) Phương trình tương đương với ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ( ) ( )] 142
  149. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( ) [ ( ) ( ) √ Với phương trình ( ), ta có nghiệm ( ) Với phương trình ( ), phương trình có nghiệm khi và chỉ khi | | √ √ | | Do đó, phương trình ( ) vô nghiệm. Mặt khác, ta thấy nghiệm của phương trình ( ) thỏa mãn điều kiện ( ) khi , ta xét : { } Như vậy, phương trình đã cho có 5 nghiệm nằm trong đoạn [ ]. Bài 11: Cho phương trình chứa tham số ( ) Xác định để phương trình vô nghiệm. (ĐH Giao Thông Vận Tải 1995) Giải: Điều kiện : ( ) Phương trình tương đương với ( ) Đặt | | . Khi đó, phương trình trở thành 143
  150. Chương 5 : Phương trình lượng giác Xét hàm số ( ) | | ( ) ( ] [ ) ( ) ( ) Dựa vào bảng biến thiên, giá trị của thỏa yêu cầu bài toán là : Bài 12: a. Giải phương trình : ( ) b. Tìm tất cả các giá trị của để phương trình ( ) tương đương với phương trình ( | |) ( ) (ĐH Thái Nguyên 2000) Giải: a. Phương trình tương đương với ( ) [ ( ) [ b. Phương trình ( ) tương đương với ( | |) 144
  151. Chương 5 : Phương trình lượng giác [ ( | |) ] [ ( | |) ( ) - Điều kiện cần : Phương trình ( ) và ( ) tương đương thì phương trình ( ) phải được thỏa bởi phương trình Điều này tương đương với ( | |) | | - Điều kiện đủ : Với thì ( ) [ ( ) [ Như vậy, phương trình ( ) và ( ) tương đương với nhau khi và chỉ khi [ | | {[ 145
  152. Chương 5 : Phương trình lượng giác Bài 13: Xác định để hai phương trình sau tương đương ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Giải: Phương trình ( ) tương đương với ( ) Phương trình ( ) tương đương với ( ) ( ) [ Với thì phương trình ( ) và ( ) tương đương với nhau. Với thì phương trình ( ) tương đương [ Do đó, phương trình ( ) và ( ) tương đương khi và chỉ khi { [ [ | | { Từ các giá trị trên, ta có giá trị thỏa yêu cầu bài toán là 146
  153. Chương 5 : Phương trình lượng giác Bài 14: Cho phương trình chứa tham số 5 5 Tìm tất cả các nghiệm của phương trình thỏa mãn bất phương trình ằ Giải: Phương trình tương đương với ( )( ) ( ) ( ) Với thì ( ) trở thành [ ( ) ( ) Bất phương trình tương đương với √ ( ) [ √ ( ) Họ nghiệm vừa tìm được thỏa mãn ( ) khi √ { Họ nghiệm vừa tìm được thỏa mãn ( ) khi 147
  154. Chương 5 : Phương trình lượng giác √ { Do đó, ta có được nghiệm của phương trình thỏa yêu cầu bài toán là - BÀI TẬP TỰ LUYỆN 5.2.18. Cho phương trình: ( ) G ả ươ ể ươ ệ 5.2.19. Cho 2 phương trình sau: ( )( ) Tìm để 2 phương trình tương đương. (ĐH Y Dược Tp.HCM 1998) 5.2.20. Cho phương trình sau: ( ) ( ) a. Giải phương trình khi . b. Tìm để phương trình có nghiệm. 5.2.21. Cho phương trình sau: ( ) Tìm để phương trình có nghiệm. 148
  155. Chương 5 : Phương trình lượng giác 5.2.22. Tìm để hai phương trình sau tương đương 7 ( ) ( ) ( ) (Đề nghị Olympic 30-4, 2007) 5.2.23. Tìm tất cả các giá trị để phương trình có đúng 2 nghiệm ệ [ ] (Đề nghị Olympic 30-4, 2007) - GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 5.2.18. Điều kiện: ( ) Phương trình trở thành ( ) a. ( ) ở Ta đặt { Khi đó, phương trình trở thành: 149
  156. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( ) ( ) ( ) ( ) b. Yêu cầu bài toán tương đương với ( ) ( ) ( ) ( ) 5.2.19. Ta đặt ( ) { ( )( ) ( ) Ta có: ( ) [ Lại có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] 150
  157. Chương 5 : Phương trình lượng giác ( ) ( ) [ Yêu cầu bài toán tương đương với [ [ 5.2.20. Khi ta có: ( ) Vậy khi thì không là nghiệm của phương trình. Khi ấy, ta chia 2 vế phương trình cho . Khi đó, phương trình trở thành: ( ) ( ) a. Khi thì ta có ( ) ( ) b. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi [ [ 151
  158. Chương 5 : Phương trình lượng giác 5.2.21. Đặ √ ( ) [ √ √ ] Phương trình trở thành Đặt ( ) với [ √ √ ] Suy ra ( ) với [ √ √ ] Nên ( ) đồng biến trên khoảng [ √ √ ] Khi đó tập giá trị của ( ) là [ √ √ ] [ √ √ ] Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi ( ) có nghiệm [ √ √ ] [ √ √ ] 5.2.22. Ta đặt 7 ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) Phương trình ( ) luôn có nghiệm là ( ) Vậy phương trình ( ) tương đương với phương trình ( ) thì điều kiện cần là phương trình ( ) phải có nghiệm ( ) Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) [ Khi thay vào 2 phương trình và giải ra 2 tập nghiệm không trùng nhau nên loại . Khi và thay vào 2 phương trình và giải ra 2 tập nghiệm trùng nhau nên nhận . 152
  159. Chương 5 : Phương trình lượng giác Vậy [ thỏa yêu cầu bài toán. 5.2.23. Chứng minh được là một nghiệm của phương trình. ớ ( ] ( ) ( ] ố ( ) ( ) ả ( ] ứ ượ ( ) ị ế ( ] ( ) ( ) ( ) Thế nên điều kiện cần và đủ để thỏa yêu cầu bài toán là ( ) có đúng một nghiệm ( ] 153
  160. Chương 6 : Hệ phương trình lượng giác CHƯƠNG 6 HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. TÓM TẮT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG GẶP 1. PHƯƠNG PHÁP THẾ - Phương pháp thế là một phương pháp cơ bản trong việc giải hệ phương trình lượng giác. Thông thường, ta có ba cách sử dụng ở phương pháp này : thế trực tiếp, biến đổi rồi thế sau, giải tìm nghiệm của một phương trình rồi thế vào phương trình còn lại. 2. PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ - Trong phương pháp này ta sẽ có một số loại cơ bản cần nắm : 훼 훽 i. Loại 1 : { 훼 훽 훼 훽 ii. Loại 2 : { 훼 푛 훽 훼 훽 iii. Loại 3 : { 훼 푛 훽 훼 훽 iv. Loại 4 : { 훼 훽 훼 훽 v. Loại 5 : { 훽 훼 - Ở những loại này ta thường có ba bước giải : đổi 훼 훽 thành 훼 훽 ; cộng và trừ hai phương trình của hệ để được một hệ phương trình mới cơ bản hơn; giải hệ vừa có để tìm nghiệm. 3. PHƯƠNG PHÁP KHỬ SAU KHI BÌNH PHƯƠNG - Có hai dạng đặc trưng trong phương pháp này : ( ) 훼 ( ) 훼 { ặ { ( ) 훼 ( ) 훼 - Phương pháp này cũng thường gồm ba bước giải : bình phương hai vế hai phương trình của hệ; cộng lại thì được một phương trình một ẩn số; giải phương trình vừa tìm được rồi thế nghiệm vào hai phương trình ban đầu để kiểm tra. 4. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC - Ngoài ra, ta còn có nhiều phương pháp khác, chẳng hạn như : đặt ẩn phụ; sử dụng bất đẳng thức cổ điển, dùng đạo hàm 154
  161. Chương 6 : Hệ phương trình lượng giác II. CÁC BÀI TẬP MINH HỌA Bài 1: Giải hệ phương trình sau: ( ) { Giải: Ta có ( ) { { { ( ) { ( ) Bài 2: Giải hệ phương trình sau : ( ) { √ Giải: Ta có ( ) { √ [ ( ) ( )] 155
  162. Chương 6 : Hệ phương trình lượng giác { √ ( ) { ( ) { ( ) Bài 3: Giải hệ phương trình sau: √ ( ) √ (ĐH Y Dược Tp.HCM 1997) Giải: Ta có ( ) { √ ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) { 156
  163. Chương 6 : Hệ phương trình lượng giác { ( ) Bài 4: Giải hệ phương trình sau: ( ) { Giải: Điều kiện: Ta có: ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) { ( ) { ( ) { ( ) ( ) { ( ) ( ) Bài 5: Giải hệ phương trình sau : ( ) { ( ) (ĐH Ngoại Ngữ Tin Học Tp.HCM 1997) 157
  164. Chương 6 : Hệ phương trình lượng giác Giải: Lấy ( ) ( ) theo từng vế, ta có : ( ) Thế ( ) vào ( ), ta được ( ) Với thì , khi đó { ( ) Bài 6: Giải hệ phương trình sau : √ ( ) √ (ĐH Sư Phạm Vinh 1997) Giải: ( ) ( ) { ( ) Lấy ( ) ( ) theo từng vế, ta có : ( ) ( ) - Nếu thì √ ( ) ( ) Vậy nghiệm của hệ là : { ( ) 158
  165. Chương 6 : Hệ phương trình lượng giác - Nếu thì √ ( ) ( ) √ { Vậy nghiệm của hệ là : { ( ) ( ) Bài 7: Giải hệ phương trình sau : ( ) { Giải: ( ) ( ) { ( ) Lấy ( ) ( ) theo từng vế, ta có : [ ( ) ( ạ ) Khi đó, ( ) ( ) Thử lại, ta nhận nghiệm của hệ là : ( ) 159
  166. Chương 6 : Hệ phương trình lượng giác Bài 8: Giải hệ phương trình sau : ( ) { ( ) Giải: Điều kiện : ( ) Ta có : ( ) { ( ) ( ) ( ) { ( ) Suy ra ( ) [ [ [ ( ) [ Ứng với và điều kiện bài toán, ta có nghiệm của hệ là : ( ) ( ) { { ( ) 160
  167. Chương 6 : Hệ phương trình lượng giác Bài 9: Giải hệ phương trình sau : ( ) { Giải: Điều kiện : { ( ) Ta có : ( ) { { ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) { 161
  168. Chương 6 : Hệ phương trình lượng giác { ( ) { [ Với thì . Do đó, kết hợp với điều kiện bài toán, nghiệm của hệ là { { ( ) Bài 10: Giải hệ phương trình sau : { Giải: Ta đặt √ ( ) { [ √ √ ] ( ) √ ( ) Khi đó, hệ phương trình tương đương với { ( ) ( ) { ( ) 162
  169. Chương 6 : Hệ phương trình lượng giác { √ ( ) √ { √ ( ) √ √ ( ) { √ [ ( ) [ { Bài 11: Giải hệ phương trình sau : ( ) { ( ) Giải: Điều kiện : { ( ) ( ) Ở phương trình ( ) ta có : Do đó, ta sẽ khảo sát hàm số ( ) 163
  170. Chương 6 : Hệ phương trình lượng giác ( ) Vậy hàm số nghịch biến. Do đó, Thay vào ( ) ta được : ( ) [ [ ( ) Từ đó, kết hợp với điều kiện ( ), ta nhận được nghiệm của hệ là : { { { ( ) Bài 12: Giải hệ phương trình sau : ( ) ( ) { ( ) ( ) Giải: Điều kiện { ( ) ( ) Ta có : | | | | | | { ( ) 164
  171. Chương 6 : Hệ phương trình lượng giác Nên ( ) tương đương với ( ) ( ) ( ) ( ) Giải ( ) : ( ) { ( ) Nghiệm trên thỏa điều kiện của hệ, ta thế vào ( ): ( ) ( ) ( ) Do đó, nghiệm trên không là nghiệm của hệ. Giải ( ) : ( ) { ( ) Nghiệm trên thỏa điều kiện của hệ, ta thế vào ( ): ( ) ( ) ế ẵ ( ) ( ) ế Do đó, kết hợp với điều kiện ( ), ta nhận được nghiệm của hệ là 165
  172. Chương 6 : Hệ phương trình lượng giác ( ) { ( ) Bài 13: Giải hệ phương trình sau : ( ) ( ) { | | | | Giải: ( ) { | | | | ( ) { ặ ( ) { | | | | | | | | Giải ( ) : { ( ) | | | | Vì | | | | | | | | nên . Suy ra { | | | | Do đó, nghiệm của hệ là : ( ) {( ) ( )} Giải ( ) : { ( ) | | | | | | | | { ( ) [ { ( ) | | | | 166
  173. Chương 6 : Hệ phương trình lượng giác Đánh giá tương tự như trên, ta có nghiệm của hệ là : ( ) {( ) ( ) ( ) ( )} Bài 14: Giải hệ phương trình sau : √ √ √ { √ Giải: Vì hàm số có chu kỳ tuần hoàn và ta thấy đều không là nghiệm của hệ nên ta xét hệ trên ( ). Đặt ̅̅ ̅̅ ̅. Khi đó ( ) và hệ tương đương với √ ( ) √ ( ) √ ( ) √ ( ) { Cộng theo vế các phương trình của hệ, ta được √ ∑ ∑ √ ∑ ( ) √ ế ì ở ươ ì ( ) đượ ì à ù dấ ( ) ê 167
  174. Chương 6 : Hệ phương trình lượng giác ươ ự ậ đượ ( ) Mặt khác, ta xét hàm số : √ ( ) √ ( ) Do đó, hàm số nghịch biến. Kết hợp với ( ), suy ra : √ ∑ ( ) ( ) ươ ự ớ ườ ợ đượ √ ∑ ( ) ( ) { ỏ ệ ươ ậ ệ Khi đó, Bài 15: Giải hệ phương trình sau : ( ) ( ) { ( ) Giải: Ta có : ( ) [ ( ) ( )] ( ) 168
  175. Chương 6 : Hệ phương trình lượng giác [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) { { ( ) ( ) { { ( ) { { [ [ ( ) ( ) ( ) ( ) { { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ { [ { Bài 16: Giải hệ phương trình sau : ( ) { 169
  176. Chương 6 : Hệ phương trình lượng giác Giải: ( ) ( ) { ( ) Lấy ( ) ( ) theo từng vế, ta được ( ) ( ) ( ) { ( ) Giải ( ) : [ ( ) Với , ta thay vào ( ) : ( ) ( ) [ ( ) ( ) [ Do đó, ta có : ( ) ( ) { ( ) { ( ) Lần lượt thay ( ) ( ) vào ( ) ta nhận ( ) là nghiệm của hệ. 170
  177. Chương 6 : Hệ phương trình lượng giác Với thay vào ( ), ta được : ( ) ( ) [ ( ) Do đó, ta có : ( ) ( ) { ( ) { Lần lượt thay ( ) ( ) vào ( ) ta nhận ( ) là nghiệm của hệ. - BÀI TẬP TỰ LUYỆN 6.1.1. Giải các hệ phương trình sau √ √ { { { 171
  178. Chương 6 : Hệ phương trình lượng giác d { √ 6.1.2. Giải các hệ phương trình sau { √ { √ { √ d [ ] [ ] { 6.1.3. Giải các hệ phương trình sau { ( ) ( ) { ( ) { ( ) 172
  179. Chương 6 : Hệ phương trình lượng giác − d √ ( ) ( ) { 6.1.4. Cho { ừ ộ Giải hệ phương trình sau : { - GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 6.1.1. Nghiệm của hệ phương trình là: { ( ) { ( ) { ( ) d { { ( ) 173
  180. Chương 6 : Hệ phương trình lượng giác 6.1.2. Nghiệm của hệ phương trình là: ( ) { ( ) { ( ) { { ( ) d ệ 6.1.3. Nghiệm của hệ phương trình là: { ( ) ( ) { { ( ) ( ) ( ) { ( ) d √ √ 6.1.4. Nghiệm của hệ phương trình là: ( ) { ( ) ( ) 174
  181. Chương 7 : Bất phương trình lượng giác CHƯƠNG 7 BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. TÓM TẮT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG GẶP - Để giải một bất phương trình lượng giác, ta thường dùng hai phương pháp sau : 1. Phương pháp 1 : Đưa bất phương trình về các dạng cơ bản như : Thông thường ta dùng đường tròn lượng giác để tìm các họ nghiệm tương ứng. 2. Phương pháp 2 : Viết bất phương trình về tích hoặc thương các hàm số lượng giác dạng cơ bản. Xét dấu các thừa số từ đó chọn nghiệm thích hợp. CÁC BẤT PHƯƠNG TRÌNH CẦN NẮM - Nếu , bất phương trình vô nghiệm. Nếu , bất phương trình có nghiệm là : ( ) Nếu , bất phương trình có nghiệm là : ( ) Nếu , bất phương trình có vô số nghiệm. - Nếu , bất phương trình vô nghiệm. Nếu , bất phương trình có nghiệm là : ( ) Nếu , bất phương trình có nghiệm là : ( ) Nếu , bất phương trình có vô số nghiệm. 175
  182. Chương 7 : Bất phương trình lượng giác - có nghiệm là : ( ) - có nghiệm là : ( ) II. CÁC BÀI TẬP MINH HỌA Bài 1: Giải bất phương trình sau : Giải: Bất phương trình tương đương với ( )( ) ( ) ( ) ( ) Bài 2: Giải bất phương trình sau : | | Giải: Ta đặt : [ ] Bất phương trình tương đương với ( ) | | | | 176
  183. Chương 7 : Bất phương trình lượng giác { { [ [ { [ [{ [ [ [ ( ) Bài 3: Giải bất phương trình sau : √ Giải: Điều kiện : { ( ) ( ) 177
  184. Chương 7 : Bất phương trình lượng giác Bất phương trình tương đương với √ √ ( ) √ ( ) √ ( ) ( ) ỏ ( ) Bài 4: Giải bất phương trình sau : √ Giải: Điều kiện : ( ) ( ) Bất phương trình tương đương với √ ( ) √ ( ) √ ( ) √ √ 178
  185. Chương 7 : Bất phương trình lượng giác ( ) ỏ ( ) Bài 5: Giải bất phương trình sau : Giải: Điều kiện : [ ( ) ( ) Bất phương trình tương đương với ( ) ( )( ) ( ) [ ( )] ( ) √ ( ) Kết hợp với ( ) ta có nghiệm của bất phương trình là ( ) { 179
  186. Chương 7 : Bất phương trình lượng giác Bài 6: Giải bất phương trình sau : √ Giải: Điều kiện : ( ) ( ) Bất phương trình tương đương với √ ( ) √ √ ( ) Kết hợp với ( ) ta có nghiệm của bất phương trình là ( ) Bài 7: Tìm nghiệm của bất phương trình √ √ ( ) Thỏa mãn bất phương trình ( ) ( ) Giải: Bất phương trình ( ) tương đương với √ ( ) √ √ √ 180
  187. Chương 7 : Bất phương trình lượng giác √ ( ) ( ) Bất phương trình ( ) tương đương với Do đó, nghiệm của bất phương trình đã cho là Bài 8: Giải bất phương trình sau : Giải: Điều kiện : ( ) ( ) Đặt . Khi đó, bất phương trình tương đương với [ Với thì ( ) Với thì ( ) So với điều kiện ( ), ta nhận 2 nghiệm trên là nghiệm của bất phương trình. 181
  188. Chương 7 : Bất phương trình lượng giác Bài 9: Giải bất phương trình sau : ( ) (ĐH Kinh Tế Tp.HCM 1997) Giải: Bất phương trình tương đương với ( )[ ( ) ] Đặt ( ) ( )[ ( ) ] Do hàm số tuần hoàn có chu kỳ nên ta chỉ cần xét dấu của ( ) trên [ ]. Ta có : ( ) ( ) [ ( ) ( ) Với ( ) : √ ( ) [ Với ( ), ta đặt | | √ : [ ( ạ ) Suy ra ( ) [ √ Lập bảng xét dấu của ( ) trên [ ] ta thấy 182
  189. Chương 7 : Bất phương trình lượng giác 7 0 ( ) 0 0 0 0 0 Như vậy, ta có trong 1 chu kỳ nghiệm của bất phương trình là [ Do đó, nghiệm của bất phương trình là [ ( ) Bài 10: Giải bất phương trình sau : Giải: Đặt ( ) Do hàm số tuần hoàn có chu kỳ nên ta chỉ cần xét dấu của ( ) trên [ ]. Ta có, bất phương trình tương đương với { Lập bảng xét dấu trên [ ] ta thấy 183
  190. Chương 7 : Bất phương trình lượng giác 7 9 0 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Suy ra nghiệm của bất phương trình là ( ) [ Bài 11: Giải bất phương trình sau : √ −√ Giải: Điều kiện : ( ) Bất phương trình tương đương với √ −√ Đặt , ta đưa bất phương trình trở thành √ −√ Ta xét hàm số ( ) √ 184
  191. Chương 7 : Bất phương trình lượng giác ( ) [ √ ] √ ( ) Do đó, ( ) đồng biến trên [ ) Ta xét thêm hàm số ( ) −√ ( ) −√ √ Do đó, ( ) nghịch biến trên [ ) Suy ra với mọi [ ) ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) [ ) Như vậy, ta có : ( ) ( ) Khi đó, ( ) ỏ ( ) Bài 12: Giải bất phương trình sau : √ ( ) √ ( ) (Đề nghị Olympic 30-4, 2006) Giải: Điều kiện : ( ) Bất phương trình tương đương với √ √ 185
  192. Chương 7 : Bất phương trình lượng giác Đặt . Ta đưa bất phương trình trở thành √ √ Ta xét hàm số ( ) √ ( ) [ √ ] √ ( ) Do đó, ( ) đồng biến trên [ ). Suy ra : ( ) √ √ Như vậy, √ ( ) ỏ ( ) - BÀI TẬP TỰ LUYỆN 7.1.1. Giải các bất phương trình sau : √ ( ) 7.1.2. Giải các bất phương trình sau : 186
  193. Chương 7 : Bất phương trình lượng giác 7.1.3. Giải các bất phương trình sau : √ √ √ 7.1.4. Giải các bất phương trình sau : √ - GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 7.1.1. Nghiệm của bất phương trình là : ( ) ( ) ( ) 7.1.2. Nghiệm của bất phương trình là : ( ) [ ố ệ [ ( ) 187
  194. Chương 7 : Bất phương trình lượng giác 7.1.3. Nghiệm của bất phương trình là : [ ( ) ( ) ( ) 7.1.4. Nghiệm của bất phương trình là : [ ( ) [ ( ) { ( ) 188
  195. Đọc thêm : Tản mạn về số pi Đọc Thêm TẢN MẠN VỀ SỐ PI Số là một trong những hằng số độc đáo và đặc biệt nhất của Toán học, và luôn hấp dẫn các nhà khoa học nói chung và nhà Toán học nói riêng bởi ở hầu hết các lĩnh vực đều thấy sự xuất hiện của số . Cụ thể như số đóng vai trò là tỉ lệ của đường kính và chu vi đường tròn, hay là một số siêu việt, tức là số không là nghiệm của bất kì phương trình đại số với hệ số nguyên nào Đã hàng nghìn năm nay, con người luôn cố gắng tính toán nhiều hơn nữa các chữ số sau dấu phẩy thập phân của số . Chẳng hạn như Archimedes đã tính giá trị bằng đánh giá xuất phát từ cách tăng số cạnh của đa giác nội tiếp vòng tròn Cách xấp xỉ trên của Archimedes có độ chính xác đến 3 chữ số sau dấu phẩy. Còn Ptomely vào năm 150 sau Công Nguyên đã tính xấp xỉ bằng . Và cuộc đua này 189
  196. kết thúc bởi kết quả của Ludolf van Ceulen (1540-1610), người đã tốn 10 năm, tính cạnh của - giác đều để tìm được số với độ chính xác 35 chữ số sau dấu phẩy. Về mặt lý thuyết, phương pháp xấp xỉ của Archimedes có thể kéo dài vô hạn, nhưng với phát minh về phép tính vi phân, phương pháp của người Hy Lạp không được dùng đến nữa. Thay vào đó, các chuỗi tích và liên phân số vô hạn hội tụ đã được sử dụng để xấp xỉ số . Từ cuối thế kỷ 17, các dãy vô hạn và chuỗi trở thành những đối tượng chủ yếu trong nghiên cứu của các nhà Toán học. Một trong những kết quả đầu tiên theo hướng này là chuỗi Leibnitz được Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716) tìm ra vào năm 1673. Chuỗi Leibnitz là một trường hợp riêng của một chuỗi tổng quát hơn, được tìm ra bởi James Gregory (1638-1675) vào năm 1670. 5 7 9 ( ) (| | ) Nếu như trong chuỗi Gregory, ngoài việc thay để được chuỗi Leibnitz thì ta có thể thay với các giá trị khác nhỏ hơn, để được một chuỗi khác có tốc độ hội tụ cao hơn rất nhiều. Abraham Sharp (1651-1742) đã sử dụng kết quả trên để đạt được kết quả kỷ lục vào năm 1699 với 71 chữ số sau dấu phẩy. √ ( ) Tiếp theo đó, các nhà Toán học đã thông qua việc tìm nhưng tổ hợp các ( ) mà mỗi trong chúng được biểu diễn bởi các chuỗi hội tụ nhanh hơn chuỗi Leibnitz. 190
  197. Đọc thêm : Tản mạn về số pi Chúng ta có thể kiểm tra dễ dàng các đẳng thức này bẳng cách sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác : ( ) ( ) (| | ) Việc khai triển này cho ta được một chuỗi thuận tiện hơn rất nhiều cho việc tính toán. Và giúp John Machin (1680-1751) tính được 100 chữ số sau dấu phẩy vào năm 1706. Thành công của John Machin đã khởi lên cho các nhà Toán học khác tiếp tục tham gia cuộc chạy đua mà nó đã bắt đầu từ thời Archimedes. Sử dụng phương pháp của Abraham Sharp, De Lagny (1660-1734) đã tính được 127 chữ số sau dấu phẩy vào năm 1719. Không lâu sau đó, Leonard Euler (1707-1783) bằng một phương pháp khác kiểm tra kết quả của De Lagny và tìm ra sai sót ở chữ số thứ 113. Năm 1841, William Reserford (không rõ năm sinh, năm mất) đã tìm ra 208 chữ số sau dấu phẩy và được kiểm tra lại bởi Johan Martin Zacharias Dase (1824-1861) sai ở chữ số 153. Năm 1847, Thomas Clausen (1801-1885) tiến thêm đến 250 chữ số sau dấu phẩy, trong đó có 248 chữ số tính đúng. Năm 1853, William Reserford tăng thành tích của mình lên 440 chữ số sau dấu phẩy. Và kỷ lục của thời kỳ này được thiết lập bởi William Shanks (1812-1882) với 530 chữ số (trong đó 527 chữ số tính đúng). Về sau, William Shanks đã phải làm việc cật lực để tính tiếp các chữ số tiếp theo, đưa kỷ lục lên đến 707 chữ số tính đúng. Đến thế kỷ 20, cuộc cách mạng máy tính đánh dấu những thành tựu vĩ đại của trí tuệ con người. Những kiểm tra đầu tiên trên máy tính điện tử vào năm 1945 đã phát hiện William Shanks đã sai ngay từ chữ số thứ 528. Điều này khiến nhà Toán học Harold Scott MacDonald Coxeter (1907-2003) phải thốt lên rằng : “Không thể không buồn khi nghĩ rằng, những tính toán mà Shanks tội nghiệp đã phải bỏ ra một phần lớn của cuộc đời để tính, thì máy tính điện tử hiện đại có thể thực hiện trong vài giây như là để khởi động vậy”. Và như vậy, sự xuất hiện của máy tính điện tử làm cho tốc độ cuộc đua tìm những chữ số sau dấu phẩy càng tăng nhanh. 191
  198. Năm 1949, John Von Neumann (1903-1957) cùng các cộng sự đã tính được 2037 chữ số sau dấu phẩy trên một trong những máy tính điện tử đầu tiên ENIAC. Ngưỡng 10000 chữ số đạt được vào năm 1958 bởi Fredrick Jenuine (1908-1973) với sự trợ giúp của máy tính IBM 704. Và 100.000 chữ số sau dấu phẩy của số được tính vào năm 1961 bởi Daniel Shanks (1917-1996) cùng với máy tính IBM 7079. Năm 1973, Jan Gyiu và M. Buet (không rõ năm sinh, năm mất) đã lập kỷ lục với mức 1 triệu chữ số sau dấu phẩy, sử dụng gần một ngày làm việc của máy CDC-7600. Đến cuối thế kỷ 20, người ta đã tính được số với độ chính xác đến chữ số thứ 200 tỉ. Và cho tới hiện tại, mới đây nhất là kỷ lục của Fabrice Bellard (1972) khi tính chính xác đến chữ số thứ 2.7 tỉ tỉ của số . Mất đến 131 ngày để tính toán, nhưng đây là một kết quả cực kỳ ấn tượng vì Fabrice Bellard chỉ sử dụng máy tính để bàn thông thường để xử lý số liệu cùng với việc phát triển một phần mềm xử lý thuật toán mạnh hơn 20 lần so với những sản phẩm tương tự trước đó. Tưởng như là kỷ nguyên của máy tính điện tử đã loại bỏ con người ra khỏi cuộc chơi một cách dứt khoát, máy tính nào có tốc độ xử lý nhanh hơn thì máy đó thắng. Nhưng sự thực thì không như vậy, chính con người đã khởi xướng cuộc chạy đua không tiền khoán hậu này và tạo nên nhiều thuật toán nhân nhanh giúp máy tính điện tử xử lý hiệu quả hơn. Trở lại con số 200 tỉ đã được thiết lập vào cuối thế kỷ 20 Năm 1987, Jonathan và Peter Borwein (1953) đã tìm ra một chuỗi đáng ngạc nhiên : ( ) ( ) ∑ [ √ ( ) ( ) [ √ ] √ ] Dãy các số hạng dưới dấu tính tổng với bổ sung thêm khoảng 25 chữ số sau dấu phẩy cho số ứng với mỗi số hạng. Chỉ riêng số hạng đầu tiên ( ) cho giá trị gần đúng đến 24 chữ số sau dấu phẩy. Thậm chí, Jonathan và Peter Borwein còn đưa ra thuật toán giúp tính toán các chữ số sau dấu phẩy của số , có hiệu quả thần kỳ. Mỗi một bước tính của thuật toán này làm tăng thêm độ dài các chữ số sau dấu phẩy được tính đúng lên 4 lần. Dưới đây là mô tả của thuật toán này : Ta đặt √ và √ , các số hạng tiếp theo được tính theo số hạng trước đó bởi công thức 192
  199. Đọc thêm : Tản mạn về số pi √ √ Dãy số { } được xây dựng bởi công thức ( ) ( ) Khi càng tăng thì ta có đánh giá 2 − Nói cách khác, → Cơ sở của phát minh ra thuật toán này là những nghiên cứu trong lĩnh vực tích phân elliptic và hàm theta. Thuật toán kỳ diệu này lấy ý tưởng của nhà Toán học thiên tài người Ấn Độ Srinivasa Ramanujan (1887-1920). Và con số 200 tỉ đã xuất hiện từ đó Có thể nói thêm rằng, một trong những phương pháp gây tò mò nhất để tính số là của Count Buffon vào thế kỷ 18 cùng với Bài toán chiếc kim của ông. Trên một mặt phẳng, ta k các đường thẳng song song cách đều nhau đơn vị chiều dài. Thả chiếc kim có độ dài nhỏ hơn lên mặt phẳng đó. Nếu chiếc kim rơi lên trên đường k thì lần thả đó được coi là thành công. Khám phá đầy bất ngờ của Buffon là tỉ lệ số lần thả thành công so với không thành công là một biểu thức chứa số . Nếu chiều dài kim bằng đơn vị thì xác suất thả thành công là Số lần thả càng nhiều thì xấp xỉ cho số càng chính xác. Trong một phương pháp xác suất khác để tính số là vào năm 1904, R. Chartes đã tìm ra xác suất để hai số nguyên được viết ngẫu nhiên nguyên tố cùng nhau và xác suất để một số nguyên được chọn ngẫu nhiên mà nó không chia hết cho số chính phương đều mang chung giá trị tuyệt vời là 193
  200. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Nho, Nguyễn Văn Thổ, Chuyên đề Lượng giác, NXB Tổng hợp Tp.HCM, 2007. [2] Võ Giang Giai, Tuyển tập 400 bài toán lượng giác, NXB Đại học Sư Phạm, 2007. [3] Phạm Tấn Phước, Các chuyên đề Lượng giác, NXB Tp.HCM, 1999. [4] Huỳnh Công Thái, Đào Khải, Phương pháp giải toán Lượng giác THPT, NXB Đại học Sư Phạm, 2004. [5] Trần Văn Toàn, Võ Hữu Phước, Luyện Thi Cấp Tốc Toán Học, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2009. [6] Doãn Minh Cường, Giới thiệu Đề Thi Tuyển Sinh Vào Đại Học môn Toán (từ 1997-1998 đến 2004-2005), NXB ĐHQG Hà Nội, 2004. [7] Huỳnh Công Thái, Các dạng toán điển hình : Phương Trình, Hệ Phương Trình Lượng Giác, NXB ĐHQG Hà Nội, 2006. [8] Theoni Pappas, Niềm vui Toán Học, NXB Kim Đồng, 2009. [9] Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, Lần XII – 2006, Toán học, NXBGD, 2006. Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, Lần XIII – 2007, Toán học, NXBGD, 2007. Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, Lần XIV – 2008, Toán học, NXBGD, 2008. Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, Lần XV – 2009, Toán học, NXBGD, 2009. 194