Giáo trình Hình học đại số - Ngô Bảo Châu

pdf

176 trang phuongnguyen 4970

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Hình học đại số - Ngô Bảo Châu", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_hinh_hoc_dai_so_ngo_bao_chau.pdf

Nội dung text: Giáo trình Hình học đại số - Ngô Bảo Châu

Giáo trình hình học đại số Ngô Bảo Châu Tháng 8 năm 2003
Gi¡o tr¼nh h¼nh håc ¤i sè Ngæ B£o Ch¥u b£n th¡ng 8 n«m 2003
2 Líi mð ¦u Trong h¼nh håc ¤i sè, c¡c èi t÷ñng h¼nh håc ÷ñc mæ t£ b¬ng mët ngæn ngú ¤i sè thu¦n tuþ. B¶n ngo i trüc quan h¼nh håc v ¤i sè h¼nh thùc câ v´ èi lªp nhau, sü ph¡t triºn cõa h¼nh håc ¤i sè trong th¸ k 20 ¢ chùng minh i·u ng÷ñc l¤i : mët ngæn ngú ¤i sè phò hñp câ kh£ n«ng di¹n ¤t trüc quan h¼nh håc mët c¡ch r§t ch½nh x¡c. V o cuèi th¸ k 19 h¼nh håc ¤i sè ¢ ph¡t triºn m¤nh ð Italia vîi nhúnh t¶n tuèi nh÷ Castelnuovo hay Severi, g°t h¡i ÷ñc nhi·u k¸t qu£ µp ³ v· c¡c èi t÷ñng t÷ìng èi cö thº nh÷ ÷íng cong v m°t ¤i sè. Do thi¸u mët n·n t£ng ¤i sè vúng chc, c¡c nh to¡n håc Italia cán dòng nhi·u cæng cö gi£i t½ch v æi khi mc ph£i nhúng ngë nhªn h¼nh håc d¨n ¸n nhúng chùng minh khæng ¦y õ. Ph£i ¸n Zariski v Weil, ¤i sè giao ho¡n mîi trð th nh cæng cö ch½nh trong h¼nh håc ¤i sè. V o nhúng n«m giúa thªp k 20, h¼nh håc ¤i sè câ th¶m mët l¦n lët x¡c. Nhông ng÷íi i ti¶n phong trong giai o¤n n y l Serre v Grothendieck. Grothendieck sû döng lþ thuy¸t ph¤m trò v o h¼nh håc ¤i sè mët c¡ch câ h» thèng. Þ t÷ðng cõa æng coi a t¤p ¤i sè nh÷ mët h m tû l mët þ t÷ðng then chèt trong lþ thy¸t l÷ñc ç. Mët c¡i hay cõa ngæn ngú h¼nh håc ¤i sè l , m°c dò ph¤m trò v h m tû l nhúng kh¡i ni»m r§t trøu t÷ñng, nâ cho ph²p ta di¹n ¤t mët c¡ch trong s¡ng nhúng trüc quan h¼nh håc cö thº nh§t v thªt sü gióp ta hiºu th¶m v· nhúng èi t÷ñng cö thº v½ dö nh÷ ÷íng cong, m°t Nh÷ng â công çng thíi l c¡i khâ cho ng÷íi håc h¼nh håc ¤i sè v cho ng÷ái vi¸t gi¡o tr¼nh h¼nh håc ¤i sè. Xem c¡c gi¡o tr¼nh ti¸ng n÷îc ngo i ¢ câ, nêi ti¸ng nh¡t l c¡c cuèn cõa Hartshorne, Mumford, Shafarevich, ta th§y c¡c cuèn n y câ nëi dung r§t kh¡c nhau, h¦u nh÷ ½t câ ph¦n giao nhau. Ng÷íi vi¸t cuèn n y công ph£i lüa chån mët tuy¸n ÷íng ri¶ng, º d¨n dt b¤n åc tham quan xù sð di»u ký cõa h¼nh håc ¤i sè. Theo quan iºm s÷ ph¤m ri¶ng, tuy¸n ÷íng ÷ñc chån l c¡c ¤i lë ch½nh, câ thº khæng câ g¼ thªt ngo¤n möc, nh÷ng nâ gióp ta di xa hìn v câ thº tr¡nh cho ng÷íi tham quan câ c£m gi¡c bà l¤c ÷íng. Nëi dung quyºn gi¡o tr¼nh n y t§t nhi¶n khæng câ g¼ mîi. N¸u câ g¼ mîi th¼ nâ n¬m trong c¡ch tr¼nh b y v thù tü sp x¸p c¡c kh¡i ni»m. Trong tøng ph¦n ri¶ng r³, chc chn l ng÷íi vi¸t câ vay m÷ñn tø c¡c s¡ch ¢ câ, chõ y¸u tø cuèn cõa Hartshorne v cõa Mumford. Ng÷íi vi¸t công khæng h· ng¦n ng¤i l÷ñc bît i ho n to n mët sè chùng minh qu¡ rc rèi ho°c ch¿ tr¼nh b y chùng minh trong mët tr÷ìng hñp °c bi»t nh÷ng °c thò. C¡c
3 chùng minh chi ti¸t v ¦y õ th¼ b¤n åc n¸u c¦n câ thº tham kh£o s¡ch cõa Hartshorne. Ð ¥y, tæi ch¿ mong muèn b¤n åc n®m ÷ñc c¡ch t½nh to¡n cö thº trong mët sè tr÷ìng hñp cö thº v hiºu ÷ñc nëi dung cõa ành lþ thæng qua c¡c t½nh to¡n â.
Ph¦n I ¤i sè 5
7 Möc ½ch cõa ch÷ìng n y l iºm l¤i mët sè kh¡i ni»m cì b£n cõa ¤i sè giao ho¡n v lþ thuy¸t ph¤m trò. T¡c gi£ khæng câ tham vång vi¸t ch÷ìng n y th nh mët t i li»u tham kh£o. Möc ½ch cõa nâ l iºm l¤i mët sè kh¡i ni»m cì b£n cõa ¤i sè giao ho¡n v lþ thuy¸t ph¤m trò m theo chõ quan cõa m¼nh, t¡c gi£ cho l khæng thi¸u ÷ñc cho ng÷íi bt ¦u håc h¼nh håc ¤i sè. Nhi·u chùng minh ch¿ ÷ñc tr¼nh b y vn tt, ho«c thªm ch½ bä qua. N¸u c£m th§y c¦n thi¸t, ng÷íi åc câ thº tham kh£o cuèn s¡ch kinh iºn v· ¤i sè giao ho¡n cõa Matsumura hay l cuèn cõa Atyah v Macdonald. Ta chó þ °c bi»t ¸n ph¤m trò c¡c v nh giao ho¡n v c¡c h m tû tø ph¤m trò n y v o ph¤m trò c¡c tªp hñp. Kh¡i ni»m àa ph÷ìng ho¡ trong ¤i sè giao ho¡n v kh¡i ni»m h m tû biºu di¹n ÷ñc cõa lþ thuy¸t ph¤m trò ÷ñc nh§n m¤nh.
Ch÷ìng 1 Sì l÷ñc v· ¤i sè giao ho¡n 1.1 V nh giao ho¡n Trong tªp hñp c¡c sè nguy¶n Z ta câ hai ph²p to¡n cì b£n l ph²p cëng v ph²p nh¥n. C¡c ph²p to¡n n y thäa m¢n mët sè t½nh ch§t nh÷ t½nh giao ho¡n, t½nh k¸t hñp v t½nh ph¥n phèi. Ph²p cëng câ mët ph¦n tû ìn và l 0, ph²p nh¥n câ mët ph¦n tû ìn và l 1. V nh giao ho¡n l c§u tróc ¤i sè trøu t÷ñng, mæ phäng c¡c t½nh ch§t cõa ph²p cëng v ph²p nhn sè nguy¶n. ành ngh¾a 1 V nh giao ho¡n l mët tªp hñp R còng vîi (+, 0, ×, 1) tho£ m¢n - tªp R, còng vîi ph²p cëng + v ph¦n tû 0 ∈ R l ph¦n tû ìn và èi vîi +, t¤o th nh mët nhâm Abel. -tªp R còng vîi ph²p nh¥n × v ph¦n tû 1 ∈ R ìn và vîi ph²p ., t¤o th nh mët nûa nhâm Abel, tùc l nh÷ mët nhâm Abel ch¿ thi¸u ti¶n · l måi ph¦n tû ·u nghàch £o ÷ñc. -ph²p + v ph²p nh¥n tho£ m¢n t½nh ch§t ph¥n phèi x × (y + z) = x × y + x × z. T§t nhi¶n v½ dö cì b£n nh§t cõa v nh giao ho¡n ch½nh l v nh c¡c sè nguy¶n Z. Tªp hñp c¡c sè húu t¿ Q, c¡c sè thüc R, hay c¡c sè phùc công t¤o n¶n mët v nh. Tªp c¡c a thùc mët bi¸n vîi h» sè nguy¶n Z[x], h» sè húu t¿ Q[x], hay h» sè phùc C[x] rã r ng công t¤o n¶n mët v nh. V½ dö suy bi¸n v t¦m th÷íng l v½ dö mët v nh vîi 0 = 1. Khi â ta chùng minh ÷ñc l v nh n y ch¿ câ óng mët ph¦n tû. 9
10 CH×ÌNG 1. SÌ L×ÑC V I SÈ GIAO HON ành ngh¾a 2 çng c§u v nh giúa R v R0 l mët ¡nh x¤ φ : R → R0 t÷ìng th½ch vîi c¡c c§u tróc (+, 0, ×, 1) cõa R v R0. Ta l÷u þ tîi kh¯ng ành hiºn nhi¶n sau ¥y. M»nh · 3 Vîi måi v nh giao ho¡n R, tçn t¤i duy nh§t mët çng c§u v nh φR : Z → R. Vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n, φR bt buëc ph£i gûi n l¶n ph¦n tû 1+···+1, n l¦n, cõa R. Cán n¸u n l nguy¶n ¥m, ta ph£i gûi n l¶n −φR(−n). D¹ th§y ¡nh x¤ ành ngh¾a nh÷ tr¶n l mët çng c§u v nh. ành ngh¾a 4 Mët ph¦n tû x ∈ R ÷ñc gåi l kh£ nghàch n¸u tçn t¤i y ∈ R sao cho xy = 1. Ta kþ hi»u R× t¥p hñp c¡c ph¦n tû kh£ nghàch cõa v nh R. V nh R ÷ñc gåi l mët tr÷íng n¸u nh÷ R× = R − {0}. V½ dö nh÷ v nh Q c¡c sè húu t¿, hay R, C ·u l tr÷íng, nh÷ng Z th¼ khæng. Tªp hñp c¡c lîp çng d÷ modulo mët sè nguy¶n tè p l mët tr÷íng m ng÷íi ta th÷íng kþ hi»u l Fp. C¡c tr÷íng húu h¤n Fp vîi p nguy¶n tè, v Q ÷ñc gåi l tr÷íng nguy¶n thu, t÷ìng tü nhu Z l v nh nguy¶n thu, do m»nh · sau ¥y. Ta câ thº chùng minh nâ còng mët kiºu nh÷ m»nh · 3. M»nh · 5 Mët tr÷íng k b§t ký ho°c l chùa Q, ho°c l chùa mët trong c¡c tr÷íng húu h¤n Fp. Trong tr÷íng hñp ¦u, ta nâi k l tr÷íng câ °c sè 0, trong tr÷íng hñp sau, k câ °c sè p. H¼nh håc ¤i sè tr¶n Q li¶n quan ¸n vi»c t¼m nghi»m húu t¿ cõa ph÷ìng tr¼nh ¤i sè. H¼nh håc ¤i sè tr¶n Fp th¼ gièng nh÷ vi»c gi£i ph÷ìng tr¼nh çng d÷ modulo p. ành ngh¾a 6 Mët ph¦n tû x ∈ R ÷ñc gåi l ÷îc sè cõa 0 n¸u tçn t¤i mët ph¦n tû y ∈ R kh¡c 0 sao cho xy = 0. Mët ph¦n tû x ∈ R gåi l luÿ linh n¸u tçn t¤i n ∈ N sao cho xn = 0. Mët v nh R ÷ñc gåi l mi·n nguy¶n n¸u R khæng chùa c¡c ph¦n tû kh¡c khæng m l¤i l ÷îc sè cõa khæng. V nh R ÷ñc gåi l rót gån n¸u R khæng chùa ph¦n tû kh¡c khæng m l¤i l lôy linh.
1.2. MOUN TRN MËT VNH 11 1.2 Moun tr¶n mët v nh ành ngh¾a 7 Moun tr¶n mët v nh R l mët nhám Abel M còng vîi mët ph²p nh¥n væ h÷îng R × M → M kþ hi»u l (α, x) 7→ αx tho£ m¢n c¡c t½nh ch§t -(α + β)x = αx + βx v α(x + y) = αx + αy, -(αβ)x = α(βx) v 1.x = x çng c§u R-moun l mët ¡nh x¤ b£o to n c§u tróc R-moun. V½ dö ìn gi£n nh§t l tªp R m ta câ thº xem nh÷ mët moun tr¶n R. Cho hai R-moun b§t ký M1,M2, t½ch trüc ti¸p M1 × M2 câ mët c§u tróc R-moun hiºn nhi¶n α(x1, x2) = (αx1, αx2). Ta gåi nâ l têng trüc ti¸p cõa M1 v M2 v kþ hi»u l M1 ⊕ M2. Mët R-moun l moun tü do c§p n n¸u nâ ¯ng c§u vîi Rn = R ⊕ · · · ⊕ R, n l¦n. ành ngh¾a 8 M l mët moun húu h¤n sinh n¸u tçn t¤i mët çng c§u to n ¡nh Rn → M tø mët moun tü do c§p húu h¤n v o M. Nâi mët c¡ch kh¡c, M l húu h¤n sinh n¸u tçn t¤i mët sè húu h¤n ph¦n tû x1, . . . , xn ∈ M sao cho måi ph¦n tû x ∈ M ·u câ thº vi¸t ÷ñc d÷îi d¤ng x = α1x1 + ··· + αnxn. ành ngh¾a 9 M l mët moun x¤ £nh n¸u tçn t¤i mët R-moun M 0 sao cho M ⊕ M 0 l mët moun tü do c§p húu h¤n. Mët moun tü do húu h¤n sinh l³ d¾ nhi¶n l mët moun x¤ £nh. M»nh · ng÷ñc l¤i th¼ khæng óng nh÷ ta s³ th§y ð nhúng ch÷ìng sau khi nghi¶n cùu c¡c ph¥n thî vectì. 1.3 I¶an, i¶an nguy¶n tè v phê Mæun con cõa mët R-moun M l mët tªp con N ⊂ M, âng âi vîi ph²p cëng v ph²p nh¥n væ h÷îng. N¸u N l mët mæun con cõa M, th÷ìng M/N tü ëng câ mët c§u tróc R-moun. ành ngh¾a 10 Ta x²t R nh÷ l mët moun tr¶n ch½nh nâ. Mët i¶an cõa R÷ l mët mæun con I cõa R.
12 CH×ÌNG 1. SÌ L×ÑC V I SÈ GIAO HON N¸u I l mët i¶an cõa R, moun th÷ìng R/I tü ëng câ mët c§u tróc v nh gåi l v nh c¡c d÷ cõa R moulo I. Thªt vªy lîp çng d÷ modulo I cõa têng hay t½ch hai ph¦n tû x, y ∈ R ch¿ phö thuëc v o c¡c lîp çng d÷ cõa x v y modulo I÷. Trong tr÷íng hñp I = R ta câ v nh suy bi¸n ch¿ câ mët ph¦n tû. ành ngh¾a 11 I¶an I ÷ñc gåi l nguy¶n tè n¸u R/I l mët mi·n nguy¶n. I¶an I ÷ñc gåi l tèi ¤i n¸u R/I l mët tr÷íng. èi t÷ñng h¼nh håc thæng döng ùng vîi mët v nh giao ho¡n R, l tªp phê Spec(R) c¡c i¶an nguy¶n tè cõa R. Tªp phê n y cán ÷ñc trang bà nhi·u c§u tróc kh¡c núa nh÷ c§u tróc tæpæ v c§u tróc bâ v nh m chóng ta s³ xem x²t kÿ ð ch÷ìng sau. Hi»n t¤i ta t¤m coi Spec(R) ch¿ nh÷ mët tªp hñp, c¡c ph¦n tû cõa nâ ÷ñc gåi l iºm. Ta còng nhau kh£o s¡t tªp n y trong mët sè tr÷íng hñp ìn gi£n. N¸u R = Z, tªp Spec(Z) bao gçm duy nh§t mët i¶an nguy¶n tè m khæng tèi ¤i l i¶an {0}. C¡c i¶an nguy¶n tè kh¡c ·u câ mët ph¦n tû sinh l mët sè nguy¶n tè p n o â. iºm t÷ìng ùng vîi i¶an {0} gåi l iºm têng qu¡t. Ta câ thº h¼nh dung Spec(Z) nh÷ mët ÷íng cong vîi méi iºm l mët sè nguy¶n tè, cëng th¶m vîi mët iºm têng qu¡t. V nh C[x] câ phê l mët ÷íng cong quen thuëc hìn. Nâ công chùa mët duy nh§t mët i¶an nguy¶n tè khæng tèi ¤i l i¶an {0}. C¡c i¶an tèi ¤i ÷ñc sinh bêi mët ìn thùc ð d¤ng x − α vîi α l mët sè phùc n o â. Nh÷ vªy, phê cõa C[x] l tªp c¡c sè phùc C câ bê sung th¶m mët iºm têng qu¡t. Nâi chung, n¸u R l mët mi·n nguy¶n, i¶an {0} l mët i¶an nguy¶n tè. iºm t÷ìng ùng vîi nâ trong phê cõa R gåi l iºm têng qu¡t. M»nh · 12 Vîi måi çng c§u v nh φ : R → R0, t¤o £nh p cõa mæt i¶an nguy¶n tè p0 b§t ký cõa R0 công l mët i¶an ngu¶n tè. T¤o £nh p cõa mæt i¶an tèi ¤i p0 b§t ký cõa R0 công l mët i¶an tèi ¤i. Do p l t¤o £nh cõa p0, çng c§u v nh R/p → R0/p0 c£m sing tø φ, l mët ìn ¡nh. Do R0/p0 l v nh nguy¶n vµn n¶n R/p công ph£i l v nh nguy¶n vµn. T÷ìng tü nhu vªy, n¸u R0/p0 l mët tr÷íng th¼ R/p công ph£i l mët tr÷íng. Nh÷ vªy méi çng c§u v nh R → R0 cho ta mët ¡nh x¤ Spec(R0) → Spec(R) tø phê cõa R0 v o phê cõa R.
1.4. TCH TENXÌ 13 1.4 T½ch tenxì Cho M v N l hai R-moun. Ta câ thº inh ngh¾a t½ch tenxì M ⊗R N nh÷ sau. Chån hai h» sinh {xi|i ∈ I} cõa M v {yj | j ∈ J} cõa N. Ì ¥y M, N khæng nh§t thi¸t ph£i húu h¤n sinh n¶n c¡c tªp I,J khæng nh§t thi¸t l tªp húu h¤n. X²t R-moun tü do V vîi cì sð l c¡c ph¦n tû kþ hi»u l xi ⊗ yj vîi tªp ch¿ sè l I × J. X²t R-moun con W sinh bði c¡c ph¦n tû ð d¤ng P - ho°c l vîi mët ch¿ sè cè ành n o â, v vîi c¡c i∈I αixi ⊗ yj j ∈ J h» sè b¬ng khæng vîi h¦u h¸t ngo¤i trø mët sè húu h¤n c¡c ch¿ sè , sao Pαi i cho α x = 0, i∈I i Pi - ho¤c l vîi mët ch¿ sè cè ành n o â, v vîi c¡c j∈J αjxi ⊗ yj i ∈ I h» sè b¬ng khæng vîi h¦u h¸t ngo¤i trø mët sè húu h¤n c¡c ch¿ sè , sao Pαj j cho . j∈J αjyj = 0 Ta °t M ⊗ N = V/W . R P Måi ph¦n tû x ∈ M, y ∈ N ta câ thº vi¸t d÷îi d¤ng x = α x v P i∈I i i vîi b¬ng khong vîi h¦u h¸t c¡c ch¿ sè ngo¤i trø mët y = j∈J βjyj αi, βj sè húu h¤n c¡c ch¿ sè . Ta d¹ d ng kiºm tra ÷ñc r¬ng £nh cõa ph¦n tû P i, j P α β x y ∈ V trong V/W khæng phö thuëc v o c¡ch vi¸t x = α x i,j i Pj i j i∈I i i v m ch¿ phö thuëc v o b£n th¥n v . Nh÷ vªy ta câ mët y = j∈J βjyj x y ¡nh x¤ φ : M × N → M ⊗R N m ta câ thº kiºm tra d¹ d ng l mët ¡nh x¤ song tuy¸n t½nh. C°p (M ⊗R N, φ) tho£ m¢n mët t½nh ch§t phê döng. M»nh · 13 Cho ψ : M × N → L l mët ¡nh x¤ song tuy¸n t½nh. Tçn t¤i 0 0 duy nh§t mët ¡nh x¤ tuy¸n t½nh ψ : M ⊗R N → L sao cho ψ = ψ ◦ φ. Nhí v o t½nh ch§t phê döng, ta th§y r¬ng c°p (M ⊗R N, φ) ÷ñc x¡c ành duy nh§t vîi sai kh¡c l mët ¯ng c§u duy nh§t. Nh÷ vªy nâ khæng phö thuëc g¼ v o h» sinh {xi} v {yj} m ta chån trong c¡ch x¥y düng. Düa theo c¡ch x¥y düng ð tr¶n ta th§y vi»c t½nh to¡n t½ch tenxì khæng khâ. V½ dö : I J I×J - n¸u M = R v N = R l c¡c moun tü do th¼ M ⊗R N = R , I - n¸u M l mët moun tü do R th¼ M ⊗R N ch¿ l têng trüc ti¸p ⊗i∈I Ni vîi méi Ni l mët phi¶n b£n cõa N, - n¸u M = R/p vîi p l mët i¶an cõa R th¼ M ⊗ N = N/pN vîi pN l moun con cõa N sinh bði c¡c ph¦n tû câ d¤ng αy vîi α ∈ p v y ∈ N.
14 CH×ÌNG 1. SÌ L×ÑC V I SÈ GIAO HON ành ngh¾a 14 Cho R l mët v nh giao ho¡n b§t ký. Mët R-¤i sè l mët v nh giao ho¡n R0 còng vîi mët çng c§u v nh φ : R → R0. çng c§u giúa hai R-¤i sè (φ1,R1) v (φ2,R2) l mët çng c§u v nh ψ : R1 → R2 sao cho ψ ◦ φ1 = φ2. 0 0 Cho R l mët R-¤i sè v M l mët R-moun. Ta x²t t½ch tenxì M ⊗R R 0 0 0 vîi R ch¿ xem nh÷ l R-moun. D¹ th§y M ⊗R R câ mët c§u tróc R -moun cho bði β(m ⊗ α) = m ⊗ (αβ) vîi måi m ∈ M v α, β ∈ R0. N ¸u M l mët 0 R-moun tü do, ho°c l húu h¤n sinh, ho°c l x¤ £nh, th¼ M ⊗R R công l mët moun tü do, ho°c l húu h¤n sinh, ho°c l x¤ £nh. Câ mët t½nh ch§t bc c¦u ¡ng l÷u þ l vîi måi R-moun M, R-¤i sè R0 v R0-¤i sè R00, ta câ 0 00 00 (M ⊗R R ) ⊗R0 R = M ⊗R R . Cho R0 v R00 l hai R-¤i sè. Xem chóng nh÷ l c¡c R-moun, ta câ 0 00 0 0 0 00 thº x²t R ⊗R R . Ta câ hai c§u çng c§u R-¤i sè φ : R → R ⊗R R v 00 00 0 00 0 0 0 00 00 00 φ : R → R ⊗R R ÷ñc x¡c ành bði φ (x ) = x ⊗ 1 v φ (x ) = 1 ⊗ x . 0 00 0 00 Bë ba (R ⊗R,R ; φ , φ ) công tho£ m¢n mët t½nh ch§t phê döng. M»nh · 15 Cho mët R-¤i sè S v hai çng c§u R-¤i sè ψ0 : R0 → S v 00 00 0 00 ψ : R → S. Khi â tçn t¤i duy nh§t mët çng c§u R-¤i sè ψ : R ⊗R R → S sao cho ψ0 = ψ ◦ φ0 v ψ00 = ψ ◦ φ00 0 00 0 00 Vi»c t½nh to¡n t½ch tenxì R ⊗R R vîi R v R -l R-¤i sè công khæng 0 câ g¼ l khâ kh«n. Ch¯ng h¤n n¸u R = R[x1, . . . , xn]/hf1, . . . , fmi l v nh c¡c a thùc n-bi¸n chia cho mæt i¶an húu h¤n sinh n o â, th¼ 0 00 00 R ⊗R R = R [x1, . . . , xn]/hf1, . . . , fmi. 1.5 àa ph÷ìng ho¡ v v nh àa ph÷ìng Kh¡i ni»m àa ph÷ìng ho¡ l mët kh¡i ni»m then chèt trong h¼nh håc ¤i sè. Ph²p to¡n ng÷ñc còa nâ l ph²p d¡n cho ph²p ta chuyºn tø ¤i sè giao ho¡n sang h¼nh håc ¤i sè. Tuy l ph²p to¡n ng÷ñc nh÷ng ph²p d¡n công ÷ñc x¥y düng tr¶n cì sð cõa ph²p àa ph÷ìng ho¡. Cho mët v nh giao ho¡n R, mët tªp con S cõa R ÷ñc gåi l mët tªp nh¥n n¸u 1 ∈ S v vîi måi x, y ∈ S, ta câ xy ∈ S.
1.5. ÀA PH×ÌNG HO V VNH ÀA PH×ÌNG 15 ành ngh¾a 16 àa ph÷ìng ho¡ cõa v nh R èi vîi tªp nh¥n S l tªp c¡c lîp t÷ìng ÷ìng S−1R = {(x, s) ∈ R × S}/ ∼ vîi (x1, s1) ∼ (x2, s2) n¸u tçn t¤i s ∈ S sao cho s(x1s2 − x2s1) = 0. Kþ hi»u lîp t÷ìng ÷ìng cõa (x, s) l x/s. Tçn t¤i tr¶n tªp S−1R mët c§u tróc v nh duy nh§t sao cho x1/s1 + x2/s2 = (x1s2 + x2s1)/s1s2 v (x1/s1)(x2/s2) = x1x2/s1s2. Ph¦n thù hai cõa ành ngh¾a tr¶n thªt ra l mët m»nh ·. Ta c¦n kiºm tra r¬ng ph²p cëng v ph²p nh¥n cho nh÷ tr¶n x¡c ành duy nh§t mët c§u tróc v nh tr¶n tªp c¡c lîp t÷ìng ÷ìng S−1R. B¤n åc c©n thªn câ thº d¹ d ng tü kiºm tra kh¯ng ành n y v c£ m»nh · sau ¥y. M»nh · 17 Tçn t¤i duy nh§t mët çng c§u v nh φ : R → S−1R vîi φ(x) = x/1 ∈ S−1R. çng c§u φ tho£ m¢n t½nh ch§t : £nh φ(s) cõa måi ph¦n tû s ∈ S l kh£ nghàch trong S−1R. Ng÷ñc l¤i, måi çng c§u v nh φ0 : R → R0 sao cho φ(s) ∈ R0 kh£ nghàch vîi måi s ∈ S, ·u ph¥n t½ch ÷ñc mët c¡ch duy nh§t th nh φ0 = ψ ◦ φ vîi ψ : S−1R → R0 l mët çng c§u v nh. Ta câ thº d¹ d ng mæ t£ phê cõa v nh àa ph÷ìng ho¡ S−1R nh÷ mët tªp con cõa phê cõa R. M»nh · 18 çng c§u v nh φ : R → S−1R c£m sinh mët ¡nh x¤ chu©n tc Spec(S−1R) → Spec(R). nh x¤ n y l ìn ¡nh, £nh cõa nâ l tªp c¡c iean nguy¶n tè cõa R khæng chùa b¥t ký mët ph¦n tû n o cõa S. Cho p l mët i¶an nguy¶n tè b§t ký cõa R. Tªp con p0 cõa S−1R c¡c ph¦n tû câ d¤ng x/s vîi x ∈ p v s ∈ S l mët moun con cõa S−1R xem nh÷ moun con tr¶n ch½nh nâ. Nâ b¬ng ch½nh S−1R n¸u v ch¿ n¸u p ∩ S 6= ∅. Trong tr÷íng hñp ng÷ìc l¤i, p0 nh§t thi¸t l mët i¶an nguy¶n tè v φ−1(p0) = p. Ta x²t hai v½ dö m ta s³ cán g°p l¤i ð c¡c ch÷ìng sau. Cho f ∈ R l mët ph¦n tû b§t ký cõa v nh R. °t S = {1, f, f 2, } l tªp nh¥n tèi thiºu chùa f. Khi â tçn t¤i mët song ¡nh chu©n tc giúa tªp Spec(S−1R) v tªp con cõa Spec(R) bao gçm c¡c i¶an nguy¶n tè cõa R khæng chùa ph¦n tû f. Trong v½ dö thù hai ta l§y mët i¶an nguy¶n tè p b§t ký v l§y S l ph¦n bò S = R − p. V¼ p l mët i¶an nguy¶n tè cho n¶n S l mët tªp nh¥n.
16 CH×ÌNG 1. SÌ L×ÑC V I SÈ GIAO HON Phê cõa v nh S−1R l tªp c¡c i¶an cõa R khæng câ giao vîi S. Nâi mët c¡ch kh¡c Spec(S−1R) l tªp c¡c i¶an cõa R bà chùa trong p. Iean p cõa R t÷ìng ùng vîi i¶an tèi ¤i duy nh§t cõa S−1R. V nh S−1R l mët v nh àa ph÷ìng theo ngh¾a sau ¥y. ành ngh¾a 19 Mët v nh l v nh àa ph÷ìng n¸u nâ câ duy nh§t mët i¶an tèi ¤i. Nâi chung t§t c£ c¡c v nh àa ph÷ìng ·u ÷ñc x¥y düng b¬ng c¡ch àa ph÷ìng ho¡ nh÷ ð tr¶n. àa ph÷ìng ho¡ theo tªp nh¥n S l ph¦n bò cõa mët i¶an nguy¶n tè p, ta nhªn ÷ñc mët v nh àa ph÷ìng vîi i¶an tèi ¤i l i¶an sinh bði £nh cõa p. Ng÷ñc l¤i, n¸u p ¢ l i¶an tèi ¤i cõa mët v nh àa ph÷ìng R rçi, måi ph¦n tû cõa R − p ·u nghàch £o ÷ñc cho n¶n àa ph÷ìng ho¡ theo R − p khæng l m thay êi v nh R. Tø gií trð i, vîi måi v nh R, vîi måi i¶an nguy¶n tè p, ta s³ kþ hi»u Rp l v nh àa ph÷ìng x¥y düng b¬ng c¡ch àa ph÷ìng ho¡ R theo t¤p nh¥n R − p. Trong mët v nh nguy¶n vµn R, i¶an {0} l mët i¶an nguy¶n tè, t÷ìng ùng vîi iºm têng qu¡t cõa Spec(R). Vªy n¶n tªp R − {0} l mët tªp nh¥n. àa ph÷ìng hâa R theo tªp nh¥n n y cho ta mët tr÷íng v¼ måi ph¦n tû kh¡c 0 cõa R ·u trð n¶n nghàch £o ÷ñc. Ng÷íi ta gåi tr÷íng n y l tr÷íng c¡c th÷ìng cõa R v kþ hi»u l K(R). B¤n åc câ thº tü kiºm tra m»nh · sau ¥y. M»nh · 20 Cho p l mët i¶an nguy¶n tè cõa mët v nh giao ho¡n R b§t ký. V nh c¡c th°ng d÷ R/p l v nh nguy¶n vµn, kþ hi»u K(R/p) l tr÷íng c¡c th÷ìng cõa R/p. Kþ hi»u (p) l i¶an tèi ¤i cõa v nh àa ph÷ìng Rp. Khi â ta câ Rp/(p) = K(R/p). Nh÷ vªy méi i¶an nguy¶n tè p cõa R cho ta mët áng c§u v nh tø R v o tr÷íng Rp/(p). Ng÷ñc l¤i, n¸u ta câ mët çng c§u φ : R → K tø R v o mët tr÷íng K, t¤o £nh cõa {0} l mët i¶an nguy¶n tè. L³ d¾ nhi¶n, K ch¿ chùa chù khæng nh§t thi¸t ph£i b¬ng Rp/(p). Ta câ thº h¼nh dung c¡c ph¦n tû cõa R nh÷ c¡c h m sè tr¶n tªp Spec(R). Cho mët iºm p ∈ Spec(R) v f ∈ R, gi¡ trà cõa f t¤i R l £nh cõa f qua çng c§u R → Rp/(p). Kh¡c vîi c¡c h m sè thæng th÷íng, ð ¥y tªp c¡c gi¡ trà l mët tr÷íng bi¸n thi¶n theo p.
1.6. MOUN TRN MËT VNH ÀA PH×ÌNG 17 Ta công nhªn x²t th¶m l n¸u f l mët ph¦n tû lôy linh cõa R, £nh cõa f qua måi çng c§u v nh φ : R → K v o mët tr÷íng K, ·u b¬ng 0. Vªy n¶n n¸u ch¿ x²t R nh÷ tªp c¡c h m sè tr¶n tªp phê nh÷ tr¶n ¥y, ta bà m§t c¡c thæng tin v· c¡c ph¦n tû lôy linh. Ta i ¸n kh¡i ni»m àa ph÷ìng ho¡ cõa mët moun. Cho M l mët R-moun, S l mët tªp nh¥n cõa R. C¡ch ngn gån nh§t º ành ngh¾a l °t àa ph÷ìng ho¡ S−1M cõa M theo tªp nh¥n S b¬ng −1 −1 S M = M ⊗R S R. Ta công câ thº ành ngh¾a S−1M nh÷ l tªp c¡c lîp t÷ìng ÷ìng (m, s) ∈ M × S theo quan h» (x1, s1) ∼ (x2, s2) n¸u tçn t¤i s ∈ S sao cho s(x1s2 − x2s1) = 0. ành ngh¾a ¦u tuy câ k²m cö thº nh÷ng d¹ nhî v d¹ sû döng hìn. Ch¯ng h¤n, ch¿ qua cæng thùc ành ngh¾a, ta th§y ngay S−1M l S−1R-moun. N¸u p l mët i¶an nguy¶n tè, ta kþ hi»u Mp l àa ph÷ìng ho¡ cõa M theo tªp nh¥n R − p. Ta cán câ M(p) = Mp ⊗Rp (Rp/(p)) l mët khæng gian vectì tr¶n tr÷íng (Rp/(p)). Ta câ thº h¼nh dung M nh÷ mët hå c¡c khæng gian vectì M(p) bi¸n thi¶n theo p ∈ Spec(R). H¼nh dung nh÷ vªy ta v¨n nm ÷ñc måi thæng tin v· M, trø c¡c thæng tin câ li¶n quan ¸n c¡c ph¦n tû lôy linh cõa R. 1.6 Moun tr¶n mët v nh àa ph÷ìng Cho R l mët v nh àa ph÷ìng. Ta kþ hi»u m l i¶an tèi ¤i cõa R v k l tr÷íng c¡c d÷ R/m. ành lþ sau, m ng÷íi ta th÷íng gåi l bê · Nakayama bt ch§p sü ph£n èi cõa nh to¡n håc Nhªt n y, âng mët vai trá cì b£n trong h¼nh håc ¤i sè. ành lþ 21 Cho M l mët moun húu h¤n sinh tr¶n v nh àa ph÷ìng R. ¯ Chån mët cì sð x¯1, , x¯m cõa k-khæng gian vectì M ⊗R k. Chån c¡c ph¦n ¯ m tû x1, . . . , xm cõa M sao cho £nh cõa xi trong M l x¯i. Gåi φ : R → M l c§u x¤ x¡c ành bði x1, . . . , xn. Khi â φ l mët to n c§u. N¸u M l mët moun tü do th¼ φ l mët ¯ng c§u.
18 CH×ÌNG 1. SÌ L×ÑC V I SÈ GIAO HON Kþ hi»u N l £nh cõa c§u x¤ φ : Rn → M v N 0 = M/N. Ta c¦n chùng minh r¬ng N 0 = 0. V¼ M l mët moun húu h¤n sinh n¶n th÷ìng cõa nâ 0 công l húu h¤n sinh. Chån 0 0 l mët h» sinh cõa 0. Chån c¡c N y1, . . . , yn N ph¦n tû cõa sao cho £nh cõa trong 0 l 0. °t l £nh y1, . . . , yn M yi N yi y¯i ¯ ¯ cõa yi trong M. Vi¸t nâ theo cì sð x¯1, , x¯n cõa M ta câ : Xm y¯i = α¯ijx¯j. j=1 Chån αij ∈ R câ £nh l α¯ij ∈ k. Ta câ Xm yi − αijxj ∈ mM. j=1 0 0 nh cõa ph¦n tû n y trong N l y¯i v¼ xj ∈ N, cho n¶n y¯i thuëc mN . Vªy n¶n ta câ thº vi¸t y¯i d÷îi d¤ng Xn y¯i = βijy¯j j=1 vîi c¡c h» sè βij ∈ m. Ta câ ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh Idny¯ = βy¯ vîi β l ma trªn βij, vîi y¯ l vectì cët (¯y1, , y¯n). Nhªn x²t r¬ng ành thùc cõa ma trªn Idn − β l mët ph¦n thû trong R vîi £nh b¬ng 1 trong tr÷íng c¡c d÷ k, cho n¶n nâ l mët ph¦n tû kh£ nghàch cõa R. Theo cæng thùc Cramer th¼ b£n th¥n ma trªn 0 Idn − β l ma trªn kh£ nghàch. Vªy n¶n vectì y¯ b¬ng khæng v v¼ th¸ N công b¬ng khæng. M»nh · thù hai cõa ành lþ công chùng minh t÷ìng tü nh÷ vªy. Gi£ sû M l mët R-moun tü do vîi cì sð l v1, . . . , vr. Rã r ng l c¡c £nh ¯ ¯ v¯1, , v¯r trong M l mët cì sð cõa khæng gian vectì M, cho n¶n r = n. n C§u x¤ φ : R → M x¡c ành bði c¡c ph¦n tû x1, . . . , xn câ thº vi¸t d÷îi d¤ng mët ma trªn vuæng φij vîi Xn xi = φijvj. j=1 Rã r ng l c§u x¤ c£m suy φ¯ : kn → M¯ l mët ¯ng c§u giúa c¡c khæng gian vectì cho n¶n ành thùc cõa φ¯ l det(φ¯) ∈ k×. Vªy det(φ) ∈ R× v v¼ th¸ φ l mët ma trªn kh£ nghàch, hay nâi c¡ch kh¡c φ : Rn → M l mët ¯ng c§u.
1.7. VNH NOETHER V I SÈ DNG HÚU HN 19 H» qu£ 22 Måi moun x¤ £nh húu h¤n sinh M tr¶n v nh àa ph÷ìng R ·u l moun tü do. V¼ M l x¤ £nh n¶n theo ành ngh¾a, tçn t¤i mët moun M 0 sao cho M ⊕ 0 n ¯ ¯ 0 0 M ¯ng c§u vîi mët moun tü do R . °t M = M ⊗R k v M = M ⊗R k. ¯ ¯ 0 n ¯ Ta câ M ⊕ M = k . Chån x1, . . . , xm ∈ M sao vîi £nh x¯1, , x¯m ∈ M l mët cì sð cõa ¯ . T÷ìng tü ta chån 0 0 0 sao vîi £nh M x1, . . . , xm0 ∈ M 0 0 ¯ 0 l mët cì sð cõa ¯ 0. C¡c ph¦n tû n y x¡c ành c¡c c§u x¯1, , x¯m0 ∈ M M x¤ φ : Rm → M v φ0 : Rm0 → M 0 m ta bi¸t theo bê · Nakayama ð tr¶n, l nhúng c§u x¤ to n ¡nh. Ta cán bi¸t l φ ⊕ φ0 : Rm+m0 → Rn l mët ¯ng c§u, v¼ th¸ c£ φ v φ0 ·u l ìn ¡nh. Vªy n¶n φ l mët ©ng c§u. 1.7 V nh Noether v ¤i sè d¤ng húu h¤n º x²t c¡c v§n · câ t½nh ành t½nh, ng÷íi ta hay c¦n ¸n mët sè t½nh ch§t húu h¤n. Mët trong nhúng kh¡i ni»m quan trång nh§t l kh¡i ni»m v nh Noether. ành ngh¾a 23 Mët v nh R l v nh Noether n¸u måi d¢y t«ng c¡c i¶an cõa R I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ In ⊂ · · · ·u l d¢y døng. M»nh · 24 Cho M l mët moun húu h¤n sinh tr¶n mët v nh Noether R. Khi â, måi moun con M 0 ⊂ M công »u l húu h¤n sinh. °c bi»t vîi M = R, måi i¶an I cõa mët v nh Noether R, xem nh÷ R-moun, ·u l húu h¤n sinh. Tr÷îc h¸t ta x²t tr÷íng hñp °c bi»t M = R. N¸u tçn t¤i mët i¶an I khæng húu h¤n sinh, ta câ thº x¥y d÷ng ÷ñc mët d¢y t«ng m khæng døng c¡c i¶an con cõa I, m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t Noether cõa R. Tron tr÷íng hñp têng qu¡t, do M l húu h¤n sinh, tçn t¤i mët çng c§u to n ¡nh Rn → M v ta câ thº quy v· tr÷íng hñp «c bi»t c¡c moun tü do M = Rn. Tr÷íng hñp M = Rn l¤i câ v· quy v· tr÷íng hñp M = R b¬ng qui n¤p. H¦u h¸t c¡c v nh giao ho¡n quen thuëc ·u l v nh Noether. Mët tr÷íng b§t ký hiºn nhi¶n l v nh Noether bði v¼ nâ câ mët i¶an duy nh§t l i¶an
20 CH×ÌNG 1. SÌ L×ÑC V I SÈ GIAO HON {0}. V nh Z c¡c sè nguy¶n công l v nh Noether. C¡c v nh a thùc công l v nh Noether nhí v o ành lþ cì b£n sau ay cõa Hilbert. ành lþ 25 (Hilbert) N¸u R l mët v nh Noether th¼ v nh R[x1, . . . , xn] c¡c a thùc n bi¸n vîi h» sè trong R công l v nh Noether. Chùng minh ành lþ Hilbert t÷ìng èi d i v v÷ñt qu khuæn khê cõa ch÷ìng n y. B¤n åc câ thº tham kh£o trong c¡c s¡ch kh¡c º t¼m hiºu c¡ch chùng minh cõa nâ. M»nh · 26 Cho R l mët v nh Noether, I l mët i¶an cõa R. Khi â R¯ = R/I công l mët v nh Noether. Cho S l mët tªp nh¥n cõa R. Khi â àa ph÷ìng hâa S−1R công l v nh Noether. ¯ ¯ ¯ ¯ Kþ hi»u φ : R → R = R/I. Mæt d¢y t«ng I1 ⊂ I2 ⊂ · · · c¡c i¶an cõa R −1 ¯ cho ta mët d¢y t«ng I1 ⊂ I2 ⊂ · · · c¡c i¶an cõa R vâi Ii = φ (Ii). Do φ ¯ −1 l to n c§u, Ii = φ(φ (Ii)). Do R l Noether, d¢y Ii l d¢y døng, vªy n¶n ¯ d¢y Ii công ph£i l d¢y døng. Kþ hi»u 0 −1 v 0. Cho 0 0 l mët d¢y t«ng R = S R φ : R → R I1 ⊂ I2 ⊂ · · · 0 c¡c i¶an cõa R , ta câ mët d¢y t«ng I1 ⊂ I2 ⊂ · · · c¡c i¶an cõa R vîi −1 0 . D¹ th§y 0 −1 . Do l d¨y døng n¶n 0 công ph£i l d¢y Ii = φ (Ii) Ii = S Ii Ii Ii døng. ành ngh¾a 27 Mët R-¤i sè R0 ÷ñc gåi l câ d¤ng húu h¤n n¸u tçn t¤i 0 mët çng c§u R-¤i sè to n ¡nh ψ : R[x1, . . . , xn] → R tø mët v nh a thùc vîi húu h¤n bi¸n v o R0. Gi£ sû R l mët v nh Noether. Theo inh lþ Hilbert c¡c v nh a thùc 0 R[x1, . . . , xn] công s³ l Noether. Vªy n¶n måi th÷ìng R = R[x1, . . . , xn]/I công l Noether. Nhªn x²t th¶m r¬ng i¶an I bt buëc l húu h¤n sinh, cho n¶n R0 ph£i câ d¤ng 0 R = R[x1, . . . , xn]/hf1, . . . , fmi vîi hf1, . . . , fmi l i¶an sinh bði c¡c ph¦n tû f1, . . . , fm ∈ R.
Ch÷ìng 2 Sì l÷ñc v· lþ thuy¸t ph¤m trò Ph¤m trò ìn gi£n nh§t l ph¤m trò c¡c tªp hñp. Nh÷ng n¸u l§y tªp hñp cõa t§t c£ c¡c tªp hñp, ta câ thº rìi v o váng lu©n qu©n cõa lægic. º tr¡nh c¡i váng lu©n qu©n n y, ng÷íi ta ¢ ÷a ra kh¡i ni»m tªp hñp "nhä" èi vîi mët vô trö n o â. Tªp c¡c tªp hñp nhä th¼ khæng cán l nhä núa. Kh¡i ni»m vô trö do Grothendieck v÷ñt ra ngo i ph¤m vi cõa cuæn gi¡o tr¼nh n y v ra ngo i t¦m hiºu bi¸t cõa ng÷íi vi¸t, vªy n¶n ta s³ ng¦m qui ÷îc vîi nhau v· sü tçn t¤i cõa mët vô trö m trong â ta câ th· nâi ¸n ph¤m trò c¡c tªp hñp m khæng rìi v o láng lu©n qu©n. 2.1 Ph¤m trò, h m tû v c§u x¤ giúa c¡c h m tû Lþ thuy¸t ph¤m trò câ ba kh¡i ni»m ch½nh l ph¤m trò, h m tû giúa hai ph¤m trò v c§u x¤ giúa hai h m tû. ành ngh¾a 1 Cho mët ph¤m trò C l cho c¡c dú ki»n thäa m¢n c¡c t½nh ch§t nh÷ sau. 1. Ta câ mët tªp hñp Ob(C) c¡c vªt cõa C v mët tªp hñp Hom(C) c¡c çng c§u cõa C. Ta câ mët ¡nh x¤ s × b : Hom(C) → Ob(C) × Ob(C), trong â ¡nh x¤ thù nh§t s : Hom(C) → Ob(C) gåi l ¡nh x¤ nguçn v ¡nh x¤ thù hai b : Hom(C) → Ob(C) gåi l ¡nh x¤ 21
22 CH×ÌNG 2. SÌ L×ÑC V LÞ THUYT PHM TRÒ ½ch. Vîi måi A, B ∈ Ob(C), °t HomC(A, B) l tªp c¡c çng c§u φ ∈ Hom(C) vîi nguçn l A v ½ch l B. 2. Vîi méi A ∈ Ob(C) ta câ mët ph¦n tû idA ∈ HomC(A, A) gåi l çng c§u ìn và cõa A. Vîi måi A, B, C ∈ Ob(C) ta câ mët ¡nh x¤ HomC(A, B) × HomC(B, C) → HomC(A, C) gåi l ph²p hñp th nh kþ hi»u l (φ, ψ) 7→ ψ ◦ φ thäa m¢n hai t½nh ch§t sau : a) cho Ai ∈ Ob(C) vîi i = 0, 1, 2, 3 v cho φi ∈ HomC(Ai−1,Ai), ta câ (φ2 ◦ φ1) ◦ φ0 = φ2 ◦ (φ1 ◦ φ0), b) cho φ ∈ HomC(A, B) ta câ φ ◦ idA = idB ◦ φ = φ. V½ dö iºn h¼nh l ph¤m trò Set m vªt l c¡c tªp hñp v èng c§u l c¡c ¡nh x¤ tªp hñp. Ta cán câ ph¤m trò Ring m vªt l c¡c v nh giao ho¡n v çng c§u l c¡c çng c§u v nh. T÷ìng tü nh÷ vªy, vîi måi v nh R ta câ ph¤m trò R − Alg m vªt l c¡c R-¤i sè v çng c§u l c¡c çng c§u R-¤i sè. Cho mët ph¤m trò C v cho mët tªp con Ob(C0) cõa tªp Ob(C), ta s³ câ 0 0 mët ph¤m trò mîi C m vªt l c¡c ph¦n tû cõa Ob(C ) v vîi HomC0 (A, B) = HomC(A, B); c¡c çng c§u ìn và idA v ph²p hñp th nh công c£m sinh tø C. C¡c ph¤m trò nh÷ vªy gåi l ph¤m trò con ¦y cõa C. V½ dö nh÷ ph¤m trò c¡c tªp hñp húu h¤n l ph¤m trò con ¦y cõa Set, nh÷ng ph¤m trò Ring khæng l ph¤m trò con ¦y cõa Set v¼ mët ¡nh x¤ giúa hai v nh giao ho¡n khæng nh§t thi¸t l mët çng c§u v nh. ành ngh¾a 2 Cho mët h m tû F tø mët ph¤m trò C v o mët ph¤m trò C0 l cho c¡c dú ki»n thäa m¢n c¡c t½nh ch§t nh÷ sau : 1. Ta câ mët ¡nh x¤ Ob(C) → Ob(C0) kþ hi»u l A 7→ FA. 2. Vîi måi A, B ∈ Ob(C) ta câ mët ¡nh x¤ HomC(A, B) → HomC0 (F A, F B) kþ hi»u l φ 7→ F (φ) tháa m¢n : a) F (φ ◦ ψ) = F (φ) ◦ F (ψ). b) F (idA) = idFA.
2.1. PHM TRÒ, HM TÛ V CU X GIÚA CC HM TÛ 23 V½ dö t¦m th÷íng nh§t l h m tû ìn và idCC → C cho ùng vîi méi vªt cõa C ch½nh vªt §y v cho ùng vîi méi çng c§u cõa C ch½nh çng c§u §y. Ta cán câ mët h m tû hiºn nhi¶n Ring → Set ùng vîi méi v nh R l tªp R bä i c§u tróc v nh, ùng v÷âi méi çng c§u v nh l ¡nh x¤ giúa hai tªp hñp. T÷ìng tü nh÷ vªy vîi måi v nh R, ta công câ h m tû R−Alg → Ring. C¡c h m tû nh÷ tr¶n câ t¶n chung l h m tû qu¶n. Ta câ mæt v½ dö thó và hìn nh÷ sau. Cho C l mët ph¤m trò b§t ký v cho A l mët vªt cõa C. Ta câ mët h m tû hA : C → Set ùng vîi méi vªt B ∈ Ob(C) l tªp hA(B) = HomC(A, B), ùng vîi méi çng c§u φ : B → C l ¡nh x¤ HomC(A, B) → HomC(A, C) cho bði ψ 7→ φ ◦ ψ. ành ngh¾a 3 Mët h m tû F : C → C0 ÷ñc gåi l chung thõy n¸u vîi måi A, B ∈ Ob(C) ¡nh x¤ HomC(A, B) → HomC0 (F A, F B) l ìn ¡nh. N¸u ¡nh x¤ n y luæn luæn l song ¡nh th¼ h m tû F ÷ñc gåi l h m tû ¦y v chung thõy. ành ngh¾a 4 Cho F, F 0 l hai h m tû tø ph¤m trò C v o ph¤m trò C0. Cho mët c§u x¤ f : F → F 0 l cho mët çng c§u f(A): F (A) → F 0(A) vîi méi A ∈ Ob(C), thäa m¢n t½nh ch§t sau. Vîi måi φ ∈ HomC(A, B) ta câ mët sì ç giao ho¡n : f(A) FA −−−→ F 0A     F (φ) y y F 0(φ) FB −−−→ F 0B f(B) 0 V½ dö t¦m th÷íng nh§t l l§y F = F . Khi â ta câ c§u x¤ ìn và idF cho ùng vîi méi vªt A ∈ Ob(C) l çng c§u idF (A) = idFA : FA → FA. ành ngh¾a 5 Mët c¨u x¤ h m tû f : F → F 0 l mæt ¯ng c§u n¸u tçn t¤i 0 0 0 0 f : F → F sao cho f ◦ f = idF 0 v f ◦ f = idF . Mët h m tû F : C → C0 l mët t÷ìng ÷ìng ph¤m trò n¸u tçn t¤i mët 0 0 0 0 h m tû F : C → C sao cho F ◦ F ¯ng c§u vîi h m tû on và idC0 v F ◦ F ¯ng c§u vîi idC.
24 CH×ÌNG 2. SÌ L×ÑC V LÞ THUYT PHM TRÒ Xin l÷u þ r¬ng trong ành ngh¾a t÷ìng ÷ìng ph¤m trò, ng÷íi ta khæng 0 0 ái häi F ◦ F = idC m ch¿ ái häi mët mët c¡i y¸u hìn l F ◦ F ¯ng c§u idC. ¥y l mët trong nhúng iºm kh¡c nhau cì b£n giúa lþ thuy¸t ph¤m trò v lþ thuy¸t tªp hñp. 2.2 Ph¤m trò èi ành ngh¾a 6 Cho C l mët ph¤m trò. Ph¤m trò èi Copp cõa C l ph¤m trò m c¡c vªt v¨n l c¡c vªt cõa C nh÷ng c¡c çng c§u th¼ bà êi chi·u câ ngh¾a l HomCopp (A, B) = HomC(B, A). Ph²p hñp th nh trong Copp l ph²p hñp th nh trong C m ta ch¿ ©o thù tü c¡c çng c§u. Cho φ ∈ HomCopp (A, B) v ψ ∈ HomCopp (B, C) th¼ hñp th nh ψ ◦ φ trong Copp l hñp th nh φ ◦ ψ trong C. Kh¡i ni»m ph¤m trò èi qu£ l væ và n¸u nâ khæng ph£n ¡nh sü èi ng¨u cì b£n giúa ¤i sè v h¼nh håc. Nh÷ ta s³ th§y ð ch÷ìng sau, ph¤m trò c¡c l÷ñc ç aphin câ thº coi nh÷ ph¤m trò èi cõa ph¤m trò Ring c¡c v nh giao ho¡n. Vîi måi v nh giao ho¡n A, phê Spec(A) câ thº xem nh÷ vªt t÷ìng ùng vîi A trong ph¤m trò Ringopp. 2.3 ành lþ Yoneda Ta i ¸n mët iºm then chèt cõa lþ thuy¸t ph¤m trò. Cho C l mët ph¤m trò b§t ký. X²t ph¤m trò F(C) m c¡c vªt l c¡c h m tû F : C → Set. Cho 0 0 F, F : C → Set hai vªt cõa F(C) ta °t HomF(C) l tªp c¡c c§u x¤ f : F → F 0 tø h m tû F v o h m tû F . Trong F(C) ta câ c¡c çng c§u ìn và idF hiºn nhi¶n v ph²p hñp th nh hiºn nhi¶n. Nh÷ ta « th§y trong c¡c v½ dö h m tû, vîi måi vªt A ∈ ObC, ta câ mët h m tû hA : C → Set cho bði B 7→ HomC(A, B). N¸u ta câ mët çng c§u 0 φ : A → A th¼ ta câ mët c§u x¤ h m tû theo chi·u ng÷ñc l¤i hA0 → hA. Thªt vªy, vîi måi B ∈ ObC ta câ mët ¡nh x¤ 0 HomC(A ,B) → HomC(A, B).
2.3. ÀNH LÞ YONEDA 25 cho bði ψ 7→ ψ ◦ φ. º kiºm tra r¬ng c¡c ¡nh x¤ n y cho ta mët c§u x¤ h m tû, nâi c¡ch kh¡c l kiºm tra t½nh giao ho¡n cõa c¡c sì ç câ d¤ng Hom (A0,B) −−−→ Hom (A, B) C C   y y 0 0 0 HomC(A ,B ) −−−→ HomC(A, B ) ta dòng t½nh k¸t hñp cõa ph²p hñp th nh. Nh÷ vªy ta câ mët h m tû h : Copp → F(C). opp ành lþ 7 (Yoneda) H m tû h : C → F(C) cho bði A 7→ hA x¥y düng nh÷ ð tr¶n, l mët h m tû ¦y v nguy¶n thu. Ta c¦n chùng minh r¬ng vîi måi A, A0 ∈ Ob(C), ¡nh x¤ 0 h : HomC(A, A ) → HomF(C)(hA0 , hA) l mët song ¡nh. Tr÷îc h¸t ta chùng minh nâ l ìn ¡nh. Cho φ, φ0 ∈ 0 0 0 0 HomC(A, A ). L§y B = A v φ = idA0 ∈ HomC(A ,A ). Ta câ h(φ)(idA0 ) = φ 0 0 0 0 v h(φ )(idA0 ) = φ . N¸u h(φ) = h(φ ) th¼ t φ v φ ph£i b¬ng nhau. Chùng minh nâ l to n ¡nh công t÷ìng tü nh÷ vªy. Cho f : hA0 → hA l 0 mët c§u x¤ h m tû b§t ký. Ta °t φ ∈ HomC(A, A ) l ph¦n tû φ = f(idA0 ). D¹ d ng kiºm tra ÷ñc l h(φ) = f. ành ngh¾a 8 Mët h m tû F : C → Set ÷ñc gåi l biºu di¹n ÷ñc n¸u tçn t¤i mët vªt A ∈ ObC v mët ¯ng c§u h m tû f : hA → F. C°p (A, f) ð trong ành ngh¾a tr¶n khæng nh§t thi¸t l duy nh§t, nh÷ng n¸u tçn t¤i mët c°p (A0, f 0) th¼ f −1f 0 l mët ¯ng c§u giúa Y(A) → Y(A). Theo inh lþ Yoneda, h¦m tû h l mët h m tû ¦y v chung thu cho n¶n −1 0 0 ¯ng c§u f f : hA0 → hA x¡c ành duy nh§t mët ¯ng c§u φ : A → A sao cho h(φ) = f −1f 0. Vªy ta câ thº nâi l n¸u h m tû F : C → Set l biºu di¹n ÷ñc, th¼ c¡i c°p (A, f) biºu di¹n nâ l duy nh§t vîi sai kh¡c l mët ¯ng c§u duy nh§t. º ti¸t ki»m kþ hi»u thi ng÷íi ta th÷íng lí i f m ch¿ nâi r¬ng F biºu di¹n ÷ñc bði A trong â A ÷ñc x¡c ành vîi sai kh¡c l mët ¯ng c§u duy nh§t, dò nh÷ th¸ khæng ÷ñc ch½nh x¡c lm.
26 CH×ÌNG 2. SÌ L×ÑC V LÞ THUYT PHM TRÒ 2.4 V½ dö h m tû biºu di¹n ÷ñc X²t h m tû A1 : Ring → Set cho ùng vîi méi v nh giao ho¡n R l tªp hñp R bà t÷îc m§t c§u tróc v nh. H m tû n y biºu di¹n ÷ìc bði v nh Z[t] c¡c a thùc vîi mët bi¸n t. Thªt vªy, mët çng c§u v nh φ : Z[t] → R ÷ñc xac ành duy nh§t bði £nh φ(t) ∈ R vªy n¶n ta câ mët «ng c§u h m tû hA → F vîi A = Z[t].Ð ¥y A1 khæng h¯n l v nh Z[t], m ch½nh x¡c hìn l vªt ùng vîi v nh n y trong ph¤m trò Ringopp nhóng v o trong F(Ring). Vªy n¶n ta câ thº vi¸t A1 ' Spec(Z[t]). T÷ìng tü, vîi méi v nh giao ho¡n R h m tû F : R − Alg → Set cho ùng vîi méi R-¤i sè R0, tªp R0, câ thº biºu di¹n ÷ñc bði v nh R[t]. Ta gåi h m tû n y l ÷íng th£ng aphin tr¶n , kþ hi»u l 1 . R AR ' Spec(R[t]) × X²t h m tû Gm : Ring → Set cho ùng vîi méi v nh R tªp R c¡c ph¦n tû kh£ nghàch cõa R. Ta câ thº kiºm tra d¹ d ng kiºm tra l h m tû n y câ thº biºu di¹n ÷ñc bìi v nh Z[x, y]/hxy − 1i. Thªt vªy, mët çng c§u φ : Z[x, y]/hxy−1i → R ho n to n ÷ñc x¡c ành bði £nh α = φ(x) v β = φ(y), vîi α v β l hai ph¦n tû trong R thäa m¢n αβ = 1. V¼ th¸ ph¦n tû α l mët ph¦n tû kh£ nghàch cõa R v trong tr÷íng hñp n y α công x¡c ành luæn β. Vªy n¶n Gm ' Spec(Z[x, y]/hxy − 1i). N¶u mët v½ dö thó và kh¡c l ham tû µn : Ring → Set vîi n ∈ N. Nâ cho ùng vîi måi v nh R tªp hñp c¡c c«n b¤c n cõa ìn và n µn(R) = {x ∈ R | x = 1}. C¡c ph¦n tû cõa µn(R) t÷ìng ùng 1-1 vîi c¡c çng c§u v nh Z[x]/hxn − 1i → R. n Vªy n¶n µn = Spec(Z[x]/hx − 1i). 2.5 Giîi h¤n quy n¤p v giîi h¤n x¤ £nh Cho mët tªp sp thù tü bë phªn J . Cho mët h» qui n¤p trong ph¤m trò tªp hñp vîi tªp ch¿ sè J l cho c¡c dú ki»n nh÷ sau. Vîi méi ph¦n tû j ∈ J, ta cho mët tªp hñp Sj ; vîi mët c°p i ≤ j trong J ta cho mët ¡nh x¤ sji : Si → Sj sao cho sii = 1 v skj ◦ sji = ski vîi måi i ≤ j ≤ k.
2.5. GIÎI HN QUY NP V GIÎI HN X NH 27 Cho mët h» x¤ £nh trong ph¤m trò tªp hñp vîi tªp ch¿ sè J l cho c¡c dú ki»n nh÷ sau. Vîi méi ph¦n tû j ∈ J, ta cho mët tªp hñp Sj ; vîi mët c°p i ≤ j trong J ta cho mët ¡nh x¤ sij : Sj → Si sao cho sii = 1 v sij ◦ sjk = sik vîi måi i ≤ j ≤ k. Ta công câ thº coi J l mët ph¤m trò vîi c¡c vªt l ph¦n tû cõa J, vîi HomJ (i, j) l tªp vîi duy nh¥t mët ph¦n tû hay l tªp réng tuý theo i ≤ j hay khæng. Ng÷ñc l¤i n¸u ta câ mët ph¤m trò sao cho tªp c¡c çng c§u giúa hai vªt ch¿ câ khæng ho°c mët ph¦n tû, khi â tªp c¡c vªt câ mët quan h» thù tü : i ≤ j khi v ch¿ khi HomJ (i, j) kh¡c réng. Khi â mët h» quy n¤p c¡c tªp hñp l mët h m tû tø J v o Set. ành ngh¾a 9 Vîi mët ph¤m trò C b§t ký, mët h» quy n¤p trong C vîi ch¿ sè trong J l mët h m tû S tø J v o C. T÷ìng tü nh÷ vªy h» x¤ £nh trong mët ph¤m trò C b§t ký vîi ch¿ sè trong J l mët h m tû S tø J v o Copp. Giîi h¤n quy n¤p cõa mët h» quy n¤p trong C l mët vªt C cõa C còng vîi c¡c çng c§u cj : Sj → C sao cho v÷îi måi i ≤ j, ta câ ci = cj ◦ sji sao cho vîi måi 0 0 tho£ m¢n còng mët t½nh ch§t nh÷ , tçn (C ;(cj)j∈J ) (C, (cj)j∈J ) t¤i duy nh§t mët çng c§u 0 sao cho 0 , nâi c¡ch kh¡c l b : C → C cj = b ◦ cj c°p (C, (cj)j∈J ) l c°p phê döng cho t½nh ch§t n y. Giîi h¤n x¤ £nh cõa mët h» x¤ £nh trong C l mët vªt C còng vîi c¡c çng c§u cj : C → Sj sao cho ci = sij ◦ cj vîi måi i ≤ j v sao cho c°p (C, (cj)j∈J ) l c°p phê döng. Bê · 10 Måi h» quy n¤p (hay x¤ £nh) vîi gi¡ trà trong trong ph¤m trò tªp hñp Set ·u câ giîi h¤n quy n¤p (hay x¤ £nh). Cho C l mët ph¤m trò b§t ký. Kh¯ng ành tr¶n v¨n cán óng vîi ph¤m trò c¡c h m tû tø C v o Set. Kh¯ng ành thù hai suy ra ÷ñc tø kh¯ng ành thù nh§t. Ta l§y giîi h¤n quy n¤p (ho°c x¤ £nh) cõa hå h m tû Fj : C → Set b¬ng c¡ch l§y giîi h¤n qui n¤p (ho¤c x¤ £nh) cho hå tªp hñp Fj(C) cho tøng èi t÷ñng C ∈ ob(C). Cho mët h» quy n¤p (Sj, sji) trong Set. Ta x¥y düng giîi h¤n quy n¤p cõa nâ nh÷ sau : tªp C l tªp c¡c lîp t÷ìng ÷ìng c¡p c°p (j, x) vîi j ∈ J 0 0 v x ∈ Sj, theo quan h» t÷ìng ÷ìng (j, x) ∼ (j , x ) n¸u tçn t¤i i lîn hìn 0 0 c£ j v j sao cho sij(x) = sij0 (x ) ; vîi måi j ∈ J , ¡nh x¤ cj : Sj → C l ¡nh x¤ g¡n vîi méi ph¦n tû x ∈ Sj lîp t÷ìng ÷ìng cõa (j, x). Cho mët h» x¤ £nh (Sj, sij) trong Set. Ta x¥y düng giîi h¤n x¤ £nh cõa nâ nh÷ sau : tªp C l tªp c¡c d¢y (xj)j∈J vîi xj ∈ Sj tho£ m¢n sij(xj) = xi vîi måi i ≤ j. Tªp hñp C l giîi h¤n x¤ £nh ta c¦n. ¤
28 CH×ÌNG 2. SÌ L×ÑC V LÞ THUYT PHM TRÒ Ta xem x²t hai v½ dö sau. Thù nh§t l h» x¤ £nh bao gçm ba tªp hñp X, Y, Z v hai ¡nh x¤ f : Y → X v g : Z → X. Giîi h¤n x¤ £nh cõa h» n y l t½ch ph¥n thî Y ×X Z tªp c¡c c°p (y, z) vîi y ∈ Y v z ∈ Z sao cho f(y) = g(z). Trong tr÷íng hñp X câ óng mët ph¦n tû, t½ch ph¥n thî l t½ch Descartes. Ta câ thº coi t½ch theo thî nh÷ mët t½ch Descartes phö thuëc mæt bi¸n x ∈ X. V½ dö thù hai l h» qui n¤p bao gçm ba tªp hñp X, Y, Z v hai ¡nh x¤ f : X → Y v g : X → Z. Giîi h¤n qui n¤p cõa h» n y l tªp Y +X Z F th÷ìng cõa hñp ríi Y Z cõa Y v Z chia cho quan h» t÷ìng ÷ìng sinh bði y ∼ z n¸u tçn t¤i x ∈ X sao cho y = f(x) v z = g(y). Ta câ thº h¼nh dung Y +X Z nh÷ l d¡n Y v Z theo X. Ph²p to¡n n y ÷ñc gåi l têng hén hñp. Ng÷íi åc công n¶n chó þ l kþ hi»u têng hén hñp Y +X Z dòng ð ¥y khæng ph£i l mët kþ hi»u phê bi¸n nh÷ kþ hi»u t½ch ph¥n thî Y ×X Z. Mët tr÷íng hñp °c bi»t cõa têng hén hñp l ph²p d¡n. Cho hai tªp hñp X, Y v hai ¡nh x¤ f1, g2 : X → Y . Dú ki»n nh÷ vªy gåi l mët quan h» t÷ìng ÷ìng tr¶n Y n¸u quan h» hai ngæi y1 ∼ y2 ⇔ ∃x ∈ X sao cho y1 = f1(x) v y2 = f(x2) l mët quan h» t÷ìng ÷ìng. Khi â têng hén hñp Y +X Y gåi l d¡n Y the quan h» t÷ìng ÷ìng X. 2.6 T½ch theo thî Cho ba tªp hñp X, Y, Z v hai ¡nh x¤ f : Y → X v g : Z → X, ta ¢ ành ngh¾a t½ch theo thî cõa Y v Z tr¶n X nh÷ sau Y ×X Z = {(y, z) ∈ Y × Z | f(y) = g(z)}. Cho mët ph¤m trò C b§t ký. Ta câ thº mð rëng kh¡i ni»m t½ch theo thî ra ph¤m trò F(C) c¡c h m tû F : C → Set nh÷ sau. Cho X, Y, Z l ba h m tû tø mët ph¤m trò C v o Set. Cho hai c§u x¤ h m tû f : X → Y v g : Z → X. H m tû t½ch theo thî Y ×X Z cho ùng vîi méi vªt A cõa C, tªp hñp Y (A) ×X(A) Z(A).
2.6. TCH THEO THÎ 29 Kh¡i ni»m t½ch theo thî cho ta mët ngæn ngú m·m d´o, ÷ñc sû döng kh¡ uyºn chuyºn trong h¼nh håc ¤i sè. Mët m°t, ta câ thº h¼nh dung nâ mæt c¡ch r§t trüc quan nh÷ tr¶n nh÷ t½ch theo thî trong ph¤m trò tªp hñp. Mæt m°t kh¡c, nâ t÷ìng ÷ìng vîi kh¡i ni»m t½ch tenxì trong ¤i sè giao ho¡nn¶n công kh¡ thuªn lñi v· ph÷ìng di»n t½nh to¡n. M»nh · 11 Cho A, B, C l c¡c v nh giao ho¡n v cho φ : A → B v ψ : A → C l c¡c dçng c§u v nh. °t hφ : hB → hA v hψ : hC → hA l c¡c l c¡c çng c§u h m tû t÷ìng ùng. Khi â ta câ mët ¯ng c§u chu©n tc giúa t½ch theo thî hB ×hA hC ' hB⊗AC . Cho R l mët v nh giao ho¡n. Cho hai ph¦n tû x ∈ hB(R) v y ∈ hC (R) c£m sinh ra còng mët ph¦n tû cõa hA(R) t÷ìng ÷ìng vîi vi»c cho mët A-¤i sè R v hai çng c§u A-¤i sè x : B → R v y : C → R. Nh÷ ta ¢ th§y trong möc v· t½ch tenxì, cho x, y nh÷ vªy t÷ìng ÷ìng vîi vi»c cho mët çng c§u A-¤i sè x ⊗ y : B ⊗A C → R. Nh÷ vªy ta câ mët ¯ng c§u giúa hai h m tû hB ×hA hC → hB⊗AC v m»nh · ÷ñc chùng minh. ¤ Nh÷ vªy kh¡i ni»m t½ch ph¥n thî tr¶n h m tû Ring → Set khæng l m ta v÷ñt ra khäi £nh Yoneda cõa ph¤m trò èi cõa ph¤m trò Ring. Nh÷ ta s³ th§y ð c¡c ch÷ìng sau, ph²p d¡n hay têng hén hñp v÷ñt ra ngo i khuæn khê n y. â l b÷îc chuyºn tø l÷ñc ç aphin sang l÷ñc ç têng qu¡t.
30 CH×ÌNG 2. SÌ L×ÑC V LÞ THUYT PHM TRÒ
Ch÷ìng 3 Sì l÷ñc v· ¤i sè çng i·u 3.1 Ph¤m trò c¡c moun tr¶n mët v nh Cho A l mët v nh giao ho¡n. Ph¤m trò A-Mod c¡c A-moun câ mët sè t½nh ch§t °c bi»t. Vîi måi M, N ∈ Ob(A-Mod) l hai A-moun tªp c¡c çng c§u HomA-Mod(M, N) l mët nhâm abel. Thªt vªy ta câ thº cëng hai çng c§u A-moun f, g : M → N º ÷ñc mët çng c§u f + g : M → N v vîi måi æng c§u moun ta câ çng c§u èi . T§t nhi¶n l f : M → N −f : M → N HomA-Mod(M, N) cán câ c£ c§u tróc A-moun núa, nh÷ng trong thüc t¸ ta ½t quan t¥m ¸n c§u tróc bê sung n y. Vîi måi çng c§u f : M → N ta câ h¤ch, èi h¤ch, £nh, èi £nh l c¡c vªt kh¡c cõa A-Mod. H¤ch ker(f) = ker[f : M → N] ∈ Ob(A-Mod) l tªp c¡c ph¦n tû m ∈ M sao cho f(m) = 0 l mët A-moun. nh im(f) = im[f : M → N] ∈ Ob(A-Mod) l tªp c¡c ph¦n tû n ∈ N sao cho tçn t¤i m ∈ M vîi f(m) = n công l mët A-moun. èi h¤ch l moun th÷ìng coker(f) = N/im(f) cán èi £nh l moun th÷ìng coim(f) = M/ker(f). 31
32 CH×ÌNG 3. SÌ L×ÑC V I SÈ ÇNG IU Ta câ mët sè t½nh ch§t hiºn nhi¶n cõa h¤ch, èi h¤ch, £nh v èi £nh. M»nh · 1 (H¤ch-èi h¤ch) Cho f : M → N l mët çng c§u A-moun. 1. Vîi måi c°p (P, g) vîi P ∈ Ob(A-Mod) v g ∈ Hom(P, M) sao cho f ◦ g = 0 tçn t¤i duy nh§t g0 ∈ Hom(P, ker(f)) sao cho g = ι ◦ g0 vîi ι : ker(f) → M l nhóng hiºn nhi¶n ker(f) v o M. 2. Vîi måi c°p (P, g) vîi P ∈ Ob(A-Mod) v g ∈ Hom(N, P ) sao cho g ◦ f = 0, tçn t¤i duy nh§t g0 : coker(f) → P sao cho g = g0 ◦ π vîi π : N → coker(f) l çng c§u th÷ìng hiºn nhi¶n. Cho mët çng c§u g : P → M sao cho f ◦ g = 0, vîi måi p ∈ P , g(p) n¬m trong h¤ch cõa f vªy n¶n g ph¥n t½ch mët c¡ch duy nh§t qua h¤ch cõa f. Cho mët çng c§u g : N → P sao cho g ◦ f = 0, hai ph¦n tû n, n0 ∈ N sao cho n − n0 ∈ im(f) ta câ g(n) = g(n0). Vªy n¶n g ph¥n t½ch mët c¡ch duy nh§t qua coker(f). ¤ M»nh · 2 (nh-èi £nh) Vîi måi ta câ mët f ∈ HomA-Mod(M, N) çng c§u chu©n tc coim(f) → im(f) l ¯ng c§u. M»nh · 3 (Têng trüc ti¸p) Vîi måi A-moun M, N têng trüc ti¸p M ⊕ N ÷ñc trang bà c¡c c§u x¤ πM : M ⊕ N → N v πN : M ⊕ N → N ιM : M → M ⊕ N v ιN : N → M ⊕ N thäa m¢n πM ◦ ιM = 1M , πN ◦ ιN = 1N v ιM ◦ πM + ιN ◦ πN = 1M⊕N . Ph¤m trò c¡c moun tr¶n mët v nh A cán câ mët sè t½nh ch§t °c bi»t èi vîi h m tû Hom v h m tû ⊗. Ta nâi mët d¢y f g 0 → M 0−−−→M−−−→M 00 → 0 l d¢y khîp A-moun, n¸u nh÷ M 0 → M l ìn ¡nh, M → M 00 l to n ¡nh v im(f) = ker(g). D¢y tr¶n ch¿ l khîp tr¡i n¸u ta bä i i·u ki»n M → M 00 to n ¡nh, ch¿ l khîp ph£i n¸u ta bä i i·u ki»n M 0 → M ìn ¡nh.
3.1. PHM TRÒ CC MOUN TRN MËT VNH 33 M»nh · 4 (Hom khîp tr¡i) 1. D¢y 0 → M 0 → M → M trong A-Mod l khîp tr¡i khi v ch¿ khi vîi måi A-moun N, d¢y 0 → Hom(N, M 0) → Hom(N, M) → Hom(N, M 00) l d¢y khîp tr¡i trong Ab. 2. D¢y M 0 → M → M → 0 trong A-Mod l khîp ph£i khi v ch¿ khi vîi måi A-moun N, d¢y 0 → Hom(M 00,N) → Hom(M, N) → Hom(M 0,N) l d¢y khîp tr¡i trong Ab. Mët çng c§u α0 : N → M 0 x¡c ành hiºn nhi¶n mët çng c§u α : N → M, v α = 0 khi v ch¿ khi α0 = 0. Vªy n¶n Hom(N, M 0) → Hom(N, M) l ìn ¡nh. Mët çng c§u α : N → M x¡c ành mët çng c§u α00 : N → M. α00 b¬ng khæng khi v ch¿ khi £nh cõa α n¬m trong ker[M → M 00] = M 0 vªy n¶n α00 = 0 khi v ch¿ khi α c£m sinh tø α0 : N → M 0. Vªy n¶n d¢y thù nh§t l khîp tr¡i. D¢y thù hai khîp tr¡i công chùng minh t÷ìng tü. ¤ M»nh · 5 (⊗ khîp ph£i) Cho mët d¢y khîp ph£i A-moun M 0 → M → M 00 → 0. Khi â vîi måi A-moun N, ta câ d¢y khîp ph£i 0 00 M ⊗A N → M ⊗A N → M ⊗A N → 0. Theo m»nh · Hom khîp tr¡i, ta ch¿ c¦n chùng minh r¬ng vîi måi A- moun P , d¢y 00 0 → Hom(M ⊗A N, P ) → Hom(M ⊗A N, P ) → Hom(M ⊗A N, P ) l khîp tr¡i. Theo ành ngh¾a cõa ⊗, ta câ Hom(M ⊗A N, P ) = Bil(M × N, P ) vîi Bil(M × N, P ) l tªp c¡c ¡nh x¤ song tuy¸n t½nh M × N → P . D¢y 0 → Bil(M 00 × N, P ) → Bil(M × N, P ) → Bil(M 0 × N, P ) hiºn nhi¶n l khîp. ¤
34 CH×ÌNG 3. SÌ L×ÑC V I SÈ ÇNG IU 3.2 Ph¤m trò abel Ph¤m trò abel l c¡c ph¤m trò câ c§u tróc mæ phäng c¥u tróc cõa ph¤m trò c¡c moun tr¶n mët v nh giao ho¡n. ành ngh¾a 6 Ph¤m trò Abel l mët ph¤m trò A ÷ñc trang bà th¶m c¡c c§u tróc sau 1. Vîi måi vªt M, N ∈ Ob(A), HomA(M, N) ÷ñc cho mët c§u tróc nhâm Abel. sao cho vîi måi vªt M, N, P cõa A, ¡nh x¤ hñp th nh HomA(M, N) × HomA(N, P ) → HomA(M, P ) l ¡nh x¤ song tuy¸n t½nh. 2. Vîi måi ¡nh x¤ f : M → N, ta cho mët vªt ker(f) còng vîi mët çng c§u ι : ker(f) → M thäa m¢n f ◦ ι = 0 v phê döng èi vîi t½nh ch§t n y nh÷ trong m»nh · h¤ch-èi h¤ch. 3. Vîi måi ¡nh x¤ f : M → N ta cho mët vªt coker(f) còng vîi måt çng c§u π : N → coker(f) thäa m¢n π ◦ f = 0 v phê döng èi vîi t½nh ch§t n y nh÷ trong m»nh · h¤ch-èi h¤ch. 4. Vîi ι l ph²p nhóng cõa ker(f) v π l ph²p chi¸u xuèng coker(f) nh÷ tr¶n, °t coim(f) = coker(ι) v im(f) = ker(π). Khi â, çng c§u chu©n tc coim(f) → im(f) l mët ¯ng c§u nh÷ trong m»nh · £nh-èi £nh. 5. Tçn t¤i têng trüc ti¸p M ⊕ N tùc l mët vªt cõa A còng vîi c¡c çng c§u πM , πN v ιM , ιN nh÷ trong m»nh · têng trüc ti¸p. Tçn t¤i mët vªt 0 trong A thäa m¢n c¡c t½nh ch§t hiºn nhi¶n. Ta c¦n ph¥n t½ch kÿ l¤i n«m ti¶n · cõa ph¤m trò Abel. 1. Ti¶n · 1 câ thº di¹n ¤t måt c¡ch kh¡c nh÷ sau : vîi måi M ∈ Ob(A), h m tû P 7→ HomA(M, P ) l mët h m tû tø ph¤m trò A v o ph¤m trò Ab c¡c nhâm Abel. Mët vªt M l b¬ng khæng n¸u nh÷ h m tû li¶n k¸t A → Ab l h m tû khæng.
3.2. PHM TRÒ ABEL 35 2. Ti¶n · 2 nâi l vîi måi çng c§u f : M → N, h m tû f◦_ P 7→ ker[HomA(P, M)−−−→HomA(P, N)] biºu di¹n ÷ñc b¬ng mët vªt kþ hi»u l ker(f) : ta câ f◦_ Hom(P, ker(f)) = ker[HomA(P, M)−−−→HomA(P, N)] vîi idker(f) t÷ìng ùng vîi nhóng h¤ch ι : ker(f) → M sao cho f ◦ ι = 0 v ι câ t½ch ch§t phê döng. Theo m»nh · Hom khîp tr¡i, ker theo ngh¾a h m tû nh÷ ð tr¶n, tròng vîi ker theo ngh¾a thæng th÷íng trong tr÷íng hñp ph¤m trò A-Mod. 3. Ti¶n · 3 nâi l vîi måi çng c§u f : M → N, h m tû _◦f P 7→ ker[HomA(N, P )−−−→HomA(M, P )] biºu di¹n ÷ñc b¬ng mët vªt kþ hi»u l coker(f). Vªt n y ÷ñc trang bà mët çng c§u π : N → coker(f) gåi l ph²p chi¸u xuèng èi h¤ch. Theo m»nh · Hom khîp tr¡i, coker theo ngh¾a h m tû nh÷ ð tr¶n, tròng vîi coker theo ngh¾a thæng th÷íng trong tr÷íng hñp ph¤m trò A-Mod. 4. Ta c¦n b n kÿ l¤i xem çng c§u chu©n tc coim(f) → im(f) l çng c§u n o ? V¼ hñp th nh f M−−−→N−−−→π coker(f) l b¬ng khæng cho n¶n f ph¥n t½ch qua im(f) := ker(π). Ta câ mët çng c§u chu©n tc f 0 : M → im(f) sao cho f : M → N ph¥n t½ch qua nâ f = ι0 ◦ f 0 vîi ι0 : ker(ι) → N l ph²p nhóng cõa h¤ch cõa π. X²t çng c§u nhâm Abel ι0◦_ HomA(ker(f), ker(pi))−−−→HomA(ker(f),N ành ngh¾a b¬ng c¡ch hñp th nh vîi α0. Theo ành ngh¾a cõa ker(π) f◦_ nh÷÷ èi t÷ñng biºu di¹n h m tû P 7→ ker[HomA(P, M)−−−→HomA(P, N)], æng c§u kº tr¶n nh§t thi¸t l ìn ¡nh. V¼ f ◦ ι = 0 cho n¶n ta suy ra f 0 ◦ ι : ker(f) → M → N
36 CH×ÌNG 3. SÌ L×ÑC V I SÈ ÇNG IU l b¬ng khæng. Theo t½nh phê döng cõa coker(ι), ta th§y f 0 : M → im(f), ta câ mët çng c§u chu©n tc coim(f) → im(f). Ti¶n · cuèi còng cõa ph¤m trò Abel nâi l çng c§u n y ph£i l ¯ng c§u. çng c§u coim(f) → im(f) l mët çng c§u vîi ker v coker b¬ng khæng. V¼ vªy ti¶n · 4 t÷ìng ÷ìng vîi ái häi måi f : M → N vîi ker v coker b¬ng khæng, f câ thº nghàch £o ÷ñc. 5. Cho M, N ∈ Ob(A). X²t hai h m tû, mët hi»p bi¸n, mët nghàch bi¸n S1 : P → HomA(P, M) ⊕ HomA(P, N) S2 : P → HomA(M, P ) ⊕ HomA(N, P ) Sü tçn t¤i cõa vªt M ⊕ N còng c¡c æng c§u πM , πN , ιM v ιN nh÷ trong m»nh · têng trüc ti¸p t÷ìng ÷ìng vîi vi»c tçn t¤i mët vªt M ⊕ N v c¡c ¯ng c§u h m tû S1(P ) ' HomA(P, M ⊕ N) S2(P ) ' HomA(M ⊕ N, P ) thäa m¢n c¡c t½nh ch§t hiºn nhi¶n khi ta l§y P = M, N hay M ⊕ N. ph¥n t½ch kÿ th¶m M»nh · 7 Vîi måi v nh giao ho¡n A, ph¤m trò A-Mod c¡c A-moun l mët ph¤m trò abel. H¦u h¸t nhúng g¼ ta câ thº l m tr¶n ph¤m trò moun ta ·u câ thº l m tr¶n mët ph¤m trò abel b§t ký : v½ dö nh÷ l§y h¤ch, èi h¤ch, £nh, èi £nh v têng trü ti¸p. C¡i ta khæng ÷ñc l m trong mët ph¤m trò b§t ký l l§y mët ph¦n tû trong mët vªt v¼ i·u n y khæng câ ngh¾a. Tuy nhi¶n, thay v¼ vi»c l§y mët ph¦n tû trong mët vªt M, ta câ thº l§y mët ph¦n tû cõa Hom(P, M) vîi P bi¸n thi¶n. ¥y l c¡ch ta ¢ dòng º ành ngh¾a h¤ch v èi h¤ch trong mët ph¤m trò abel trøu t÷ñng. ¥y công l mët ph÷ìng ph¡p º chuyºn c¡c chùng minh trong c¡c ph¤m trò cö thº nh÷ ph¤m trò Ab hay A-Mod sang c¡c ph¤m trò abel tr¼u t÷ñng. V½ dö cì b£n c¡c ph¤m trò Abel m khæng ph£i l ph¤m trò c¡c mædun tr¶n mët v nh l v½ dö ph¤m trò c¡c bâ nhâm Abel v bâ c¡c moun tr¶n
3.3. DY KHÎP V HM TÛ KHÎP 37 mët khæng gia tæpæ hay tr¶n mët l÷ñc ç. i·u n y khæng câ g¼ ¡ng ng¤c nhi¶n v¼ ngay kh¡i ni»m ph¤m trò Abel công ÷ñc ÷a ra chõ y¸u º h¼nh thùc hâa c¡c t½nh ch§t chung nh§t giúa ph¤m trò c¡c nhâm Abel v ph¤m trò c¡c bâ c¡c nhâm Abel tr¶n mët khæng gian tæpæ. Chóng ta s³ quay l¤i nghi¶n cùu kÿ c ng c¡c bâ ð ph¦n sau cõa s¡ch. Nh÷ vªy ta ph£i g¡c l¤i sau c¡c v½ dö thó và nh§t cõa ph¤m trò abel º chí mët sè chu©n bà v· tæpæ. Ta k¸t thóc möc n y b¬ng mët v½ dö hìi ký cöc. Cho A l mët ph¤m trò abel. Khi â ph¤m trò èi Aopp công l mët ph¤m trò abel. Thªt vªy HomAopp (M, N) = HomA(N, M) n¶n câ thº ÷ñc trang bà còng mët c§u tróc nhâm abel. Vîi måi f opp ∈ opp opp HomAopp (N, M) t÷ìng ùng vîi f ∈ HomA(M, N), h¤ch cõa f trong A l èi h¤ch cõa f trong A ker(f opp) = coker(f). Nh÷ vªy ph¤m trò èi cõa ph¤m trò Ab công l mët ph¤m trò abel nh÷ng qu£ l khæng d¹ h¼nh dung cho lm. 3.3 D¢y khîp v h m tû khîp Cho A l mët ph¤m trò Abel, M, N ∈ Ob(A) v f ∈ HomA(M, N). Ta nâi f l ìn ¡nh n¸u nh÷ ker(f) = 0 v f l to n ¡nh n¸u nh÷ coker(f) = 0. Theo ành ngh¾a cõa ker v coker ta th§y • f l ìn ¡nh n¸u nh÷ vîi måi P ∈ Ob(A), ¡nh x¤ HomA(P, M) → HomA(P, N) l ìn ¡nh. • f l to n ¡nh n¸u nh÷ vîi måi P ∈ Ob(A), ¡nh x¤ HomA(N, P ) → HomA(M, P ) l ìn ¡nh.
38 CH×ÌNG 3. SÌ L×ÑC V I SÈ ÇNG IU ành ngh¾a 8 Cho mët d¢y khîp ngn trong A l cho f g 0 → M−−−→N−−−→P → 0 vîi M, N, P ∈ Ob(A), f ∈ HomA(M, N) v g ∈ HomA(N, P ) sao cho f l ìn ¡nh, g l to n ¡nh v im(f) = ker(g). D¢y tr¶n gåi l khîp tr¡i n¸u ta bä i i·u ki»n g to n ¡nh ; gåi l khîp ph£i n¸u ta bä i i·u ki»n f ìn ¡nh. Kh¡i ni»m gi¢y khîp ngn t÷ìng ÷ìng vîi kh¡i ni»m moun con v moun th÷ìng trong ph¤m trò c¡c moun tr¶n mët v nh, v¼ vªy nâ l mët kh¡i ni»m m§u chèt trong vi»c mæ t£ c§u tróc nëi t¤i cõa mët ph¤m trò Abel. ành ngh¾a 9 Cho A v B l hai ph¤m trò Abel. Khi ta nâi ¸n h m tû ph¤m trò abel tø A v o B ta hiºu l mët h m tû F : A → B sao cho • vîi måi M, N ∈ Ob(A), ¡nh x¤ HomA(M, N) → HomB(F (M),F (N)) l mët æng c§u nhâm abel. • F b£o to n têng trüc ti¸p F (M ⊕ N) = F (M) ⊕ F (N). F gåi l khîp n¸u nâ bi¸n d¢y khîp ngn th nh d¢y khîp ngn, gåi l khîp tr¡i n¸u nâ bi¸n d¢y khîp tr¡i th nh d¢y khîp tr¡i, gåi l khîp ph£i n¸u nâ bi¸n d¢y khîp ph£i th nh d¢y khîp ph£i. Nh÷ ta ¢ nh§n m¤nh trong ch÷ìng tr÷îc, v½ dö cì b£n nh§t cõa h m tû l c¡c h m tû Hom. èi vîi c¡c ph¤m trò Abel, c¡c h m tû Hom ·u khîp tr¡i. Vªy n¶n c¡c h m tû ta hay g°p nh§t l c¡c h m tû khîp tr¡i. M»nh · 10 Cho A l mët ph¤m trò abel v P ∈ Ob(A) l mët vªt b§t ký cõa A. Khi â h m tû M 7→ HomA(P, M) l mët h m tû khîp tr¡i.
3.3. DY KHÎP V HM TÛ KHÎP 39 Cho mët d¢y khîp tr¡i f0 f1 0 → M0−−−→M1−−−→M2 l cho M0 = ker(f1). Theo ành ngh¾a cõa vªt ker(f1), vîi måi P ∈ Ob(A) f1◦_ HomA(P, ker(f1)) = ker[HomA(P, M1)−−−→HomA(P, M2)]. Vªy n¶n h m tû M 7→ HomA(P, M) l h m tû khîp tr¡i. ¤ Th÷íng th¼ h m tû M 7→ Hom(P, M) ch¿ khîp tr¡i chù khæng khîp ph£i. V½ dö ìn gi£ nh§t l vîi ph¤m trò Ab c¡c nhâm Abel v P = Z/nZ. X²t d¢y khîp ngn 0 → Z−−−→×n Z → Z/nZ → 0. p döng h m tû Hom(Z/nZ, _) v o d¢y khîp n y ta câ d¢y 0 → Hom(Z/nZ, Z) → Hom(Z/nZ, Z) → Hom(Z/nZ, Z/nZ) ch¿ khîp tr¡i chù khæng khîp ph£i bði v¼ Hom(Z/nZ, Z) = 0 v trong khi â th¼ Hom(Z/nZ, Z/nZ) = Z/nZ. ành ngh¾a 11 Vªt P cõa ph¤m trò abel A gåi l vªt x¤ £nh n¸u nh÷ h m tû M 7→ HomA(M, P ) l h m tû khîp, tr¡i v ph£i. Vªt P ∈ Ob(A) gåi l nëi x¤ n¸u nh÷ h m tû nghàch bi¸n M 7→ Hom(M, P ) l h m tû khîp tø Aopp → Ab. X²t tr÷íng hñp A = Ab l ph¤m trò c¡c nhâm abel. Khi â Z l mët vªt x¤ £nh. Thªt vªy, vîi måi nhâm abel M, ta câ M = Hom(Z,M), v¼ th¸ n¶n hiºn nhi¶n h m tû M 7→ Hom(Z,M) l h m tû khîp. T÷ìng tü nh÷ vªy trong ph¤m trò c¡c A-moun, vªy A xem nh÷ A-moun l vªt x¤ £nh. Ta d¹ dang kiºm tra r¬ng têng trüc tiºp cõa hai vªt x¤ £nh v¨n l x¤ £nh, v h¤ng tû trüc ti¸p cõa mët vªt x¤ £nh v¨n l x¤ £nh cho n¶n ta câ : M»nh · 12 Cho M l mët A-moun l h¤ng tû trüc ti¸p cõa mët A-moun tü do, tùc l sao cho tçn t¤i M 0 sao cho M ⊕ M 0 ' A⊕n, n câ thº l væ h¤n. Khi â M l mët vªt x¤ £nh cõa ph¤m trò A-Mod. Ng÷ñc l¤i måi vªt x¤ £nh l h¤ng tû trüc ti¸p cõa mët moun tü do.
40 CH×ÌNG 3. SÌ L×ÑC V I SÈ ÇNG IU V¼ l ta khæng h¼nh dung ÷ñc l ph¤m trò èi cõa Ab l nh÷ th¸ n o n¶n vi»c x¡c ành c¡c vªt nëi x¤l vi»c khâ hìn nhi·u. M»nh · 13 Trong ph¤m trò Ab c¡c nhâm abel, Z khæng ph£i l vªt nëi x¤nh÷ng tªp c¡c sè húu t¿ Q l mët vªt nëi x¤. L¤i x²t d¢y khîp ngn 0 → Z−−−→×n Z → Z/nZ → 0. Ap döng h m tû Hom(_, Z) v o d¢y khîp n y ta câ d¢y 0 → Hom(Z/nZ, Z) → Hom(Z, Z)−−−→×n Hom(Z, Z) → 0 l khîp tr¡i chù khæng khîp ph£i. Vªy n¶n Z khæng ph£i l vªt nëi x¤. º chùng ming r¬ng Q l vªt nëi x¤ta c¦n chùng minh r¬ng vîi måi çng c§u ìn ¡nh M → N giúa hai nhâm abel M, N, måi çng c§u nhâm iM : M → Q, câ thº k²o d i th nh mët çng c§u nhâm iN : N → Q. º ìn gi£n kþ hi»u ta câ thº gi£ sû l M v N l c¡c nhâm abel d¤ng húu h¤n. Dòng ành lþ mæ t£ c¡c nhâm abel d¤ng húu h¤n, ta câ thº ÷a v· tr÷íng hñp M = Z, N = Z v M → N l çng c§u x 7→ xn. Cho iM : M → Q l cho mët sè húu t¿ qM . Muèn th¡c triºn iM th nh mët çng c§u iN : N → Q ta c¦n mët sè húu t¿ qN sao cho qM = nqN . V¼ qN ∈ Q thäa m¢n t½nh ch§t n y luæn tçn t¤i cho n¶n Q l mët vªt nëi x¤. T÷ìng tü nh÷ vªy Q/Z công l vªt nëi x¤cõa Ab. ¤ V½ dö cì b£n cõa h m tû khîp ph£i l h m tû t½ch tenxì vîi mët mædun cho tr÷îc. Nhc l¤i m»nh · ⊗ khîp ph£i. Cho P l mët A-moun. H m tû M 7→ M ⊗A P l mët h m tû khîp ph£i tø ph¤m trò c¡c A-moun v o ch½nh nâ. N¸u B l mët A-¤i sè th¼ h m tû M 7→ M ⊗ B l mët h m tû khîp ph£i tø ph¤m trò c¡c A-moun v o ph¤m trò c¡c B-moun. ành ngh¾a 14 Mët A-moun P ÷ñc gåi l ph¯ng n¸u nh÷ h m tû M 7→ M ⊗A P l h m tõ khîp. 3.4 Phùc, phùc gi£i v h m tû d¨n xu§t Cho A l mët ph¤m trò abel. Mët phùc M • trong A l d ··· M i−−−→di M i+1−−−→·i+1 · ·
3.4. PHÙC, PHÙC GII V HM TÛ DN XUT 41 i i i+1 • vîi M ∈ Ob(A) v di ∈ HomA(M ,M ) sao cho di+1 ◦ di = 0. Phùc M gåi l phùc khîp n¸u nh÷ vîi måi i ta câ im(di) = ker(di+1). Cho M • l mët phùc trong A. èi çng i·u cõa M • l c¡c vªt i • H (M ) = ker(di)/im(di−1). Phùc M • l khîp khi v ch¿ khi Hi(M •) = 0 vîi måi i ∈ Z. Cho hai phùc M • v N • trong A. Mët çng c§u phùc f • : M • → N • i i i l mët hå f ∈ HomA(M ,N ) sao cho ta câ c¡c biºu ç giao ho¡n dM M i −−−→i M i+1     fi y y fi+1 N i −−−→ N i+1 N di C§u c¤ phùc f • : M • → N • c£m sinh ra c¡c çng c§u M N v M N ker(di ) → ker(di ) im(di−1) → im(di−1) cho n¶n nâ c£m sinh mët çng c§u Hi(f •):Hi(M •) → Hi(N •). M»nh · 15 N¸u ta cho vîi méi i ∈ Z mët çng c§u hi : M i → N i−1, v ta l§y i i i+1 f = di−1 ◦ h + h ◦ di th¼ hå f • l mët çng c§u phùc. çng c§u phùc x¥y düng nh÷ tr¶n c£m sinh ra c¡c çng c§u Hi(f •) = 0. C¡c çng c§u phùc f • x¥y düng nh÷ tr¶n gåi l çng lu¥n. ành ngh¾a 16 Ph¤m trò C(A) l ph¤m trò vîi vªt l c¡c phùc trong A v • • • vîi tªp c¡c çng c§u HomC(A)(M ,N ) l nhâm c¡c çng c§u phùc tø M v o N • chia cho nhâm c¡c çng lu¥n. Ph¤m trò C(A) gåi l ph¤m trò c¡c phùc vîi sai kh¡c çn lu¥n. Ta kþ hi»u CI (A) l ph¤m trò con ¦y cõa C(A)
42 CH×ÌNG 3. SÌ L×ÑC V I SÈ ÇNG IU C¡c vªt nëi x¤câ mët và tr½ °c bi»t trong c¡c ph¤m trò abel. º nghi¶n cùu c¡c h m tû khîp tr¡i, ng÷íi ta th÷÷íng ph£i thay mët vªt b¬ng c¡i gåi l gi£i nëi x¤. Cho mët vªt M ∈ Ob(A). Gi£i nëi x¤ cõa M l mët phùc I• ··· 0 → I0 → I1 → · · · vîi c¡c th nh ph¦n Ii l c¡c vªt nëi x¤v sao cho Hi(I•) = 0 vîi måi i 6= 0, vîi i = 0, ta câ mët ¯ng c§u cho tr÷îc H0(M •) ' M ành ngh¾a 17 Mët ph¤m trò abel A ÷ñc gåi l õ nëi x¤n¸u vîi måi vªt M trong A tçn t¤i mët v¥t nëi x¤I còng vîi mët çng c§u f : M → I vîi ker(f) = 0. ành lþ 18 Cho A l mët ph m trò õ nëi x¤. Khi â måi vªt M cõa A ·u câ gi£i nëi x¤. Hai gi£i nëi x¤b§t ký I• v J • cõa M câ mët ¯ng c§u g : I• ' J • 0 • 0 • c£m sinh ra ¯ng c§u ìn và 1M :H (I ) → H (J ). Hìn núa, hai ¯ng c§u nh÷ vªy sai kh¡c nhau mët çng lu¥n vªy n¶n ¯ng c§u l duy nh§t trong ph¤m trò CI (A). Hìn núa, ta câ mët h m tû R : A → CI (A) ùng vîi méi vªt trong A gi£i nëi x¤cõa nâ trong ph¤m trò c¡c phùc on £nh vîi sai kh¡c çng lu¥n. Cho 0 → M 0 → M → M 00 → 0 l mët d¢t khîp ngn ð trong A. Khi â tçn t¤i c¡c gi£i on £nh I0•,I• v I00• cõa M 0,M v M 00 còng vîi c¡c c§u x¤ phùc I0• → I• → I00•, c£m sinh ra d¢y khîp ¢ cho M 0 → M → M 00 tr¶n H0, v sao vîi måi i ∈ N, d¢y 0 → I0i → Ii → I00i → 0 l khîp.
3.4. PHÙC, PHÙC GII V HM TÛ DN XUT 43 B¤n åc câ thº xem chùng minh trong [Cartan-Eilenberg, V 1.1 v 2.2]. ð â c¡c t¡c gi£ x²t c¡c gi£i x¤ £nh trong ph¤m trò moun nh÷ng c¡ch chùng minh trong tr÷íng hñp gi£i nëi x¤trong måt ph¤m trò abel b§t ký công khæng câ g¼ kh¡c. B¥y gií, ta câ thº x¥y düng c¡c h m tû d¨n xu§t nh÷ sau. Cho A v B l hai ph¤m trò abel v gi£ thi¸t r¬ng ph¤m trò A câ õ nëi x¤. Cho F : A → B l mët h m tû khîp tr¡i. Khi â ta x¥y düng c¡c h m tû d¨n xu§t cõa F theo c¡c b÷îc nh÷ sau. Cho M l mët èi t÷ñng cõa A • 1. l§y I = R(M) l mët èi t÷ñng cõa ph¤m trò CI (A) c¡c phùc on £nh vîi sai kh¡c çng lu¥n, 2. l§y F (I•) l phùc · · · → F (I0) → F (I1) → · · · l mët èi t÷ñng cõa ph¤m trò C(B), 3. l§y èi çng i·u Hi(F (I•) v gåi chóng l c¡c h m tû d¨n xu§t RiF (M) := Hi(F (I•)) vîi måi i = 0, 1, C¡ch x¥y düng tr¶n ¡p döng ÷ñc cho c£ c¡c çng c§u træng A v¼ M 7→ R(M) l mët h m tû. T½nh ch§t cì b£n nh§t cõa c¡c h m tû ¨n xu§t l ta câ mët d¢y khîp d i. ành lþ 19 Cho F : A → B mët h m tû khîp tr¡i tø mët ph¤m trò abel õ nëi x¤A v o mët ph¤m trò abel B. Gåi RiF l c¡c h m tû d¨n xu§t cõa F . Khi â vîi måi day÷ khîp ngn trong A 0 → M 0 → M → M 00 → 0 ta câ mët d¢y khîp d i trong B 0 → F (M 0) → F (M) → F (M 00) → R1F (M 0) → R1F (M) → · · ·
44 CH×ÌNG 3. SÌ L×ÑC V I SÈ ÇNG IU Ta thay th¸ d¢y khîp 0 → M 0 → M → M 00 → 0 b¬ng c¡c d¢y khîp 0 → I0• → I• → I00• → 0 cõa gi£i nëi x¤. V¼ l I0i l vªt nëi x¤, sau khi ¡p döng h m tû F , ta v¨n cán c¡c d¢y khîp ngn 0 → F (I0•) → F (I•) → F (I00•) → 0. Tø d¢y khîp ngn giúa c¡c phùc, ta suy ra d¢y khîp d i c¡c èi çng i·u : 0 → H0(F (I0•)) → H0(F (I•)) → H0(F (I00•)) → H1(F (I0•)) → · · · v suy ra i·u ph£i chùng minh.
Ph¦n II L÷ñc ç 45
47 Ta câ thº quan ni»m l÷ñc ç theo hai c¡ch r§t kh¡c nhau. Nâ câ thº xem nh÷ mët h m tû tø ph¤m trò c¡c v nh giao ho¡n v o ph¤m trò c¡c tªp hñp. V½ dö nh÷ n¸u ta câ mët h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè, ta câ thº x²t tªp c¡c nghi»m cõa h» n y trong mët v nh giao ho¡n bi¸n thi¶n. Nâ công câ thº xem nh÷ mët khæng gian tæpæ ÷ñc trang bà th¶m mët c§u tróc bao gçm t§t c£ c¡c h m ¤i sè x¡c ành tr¶n mët tªp mð õ nhä. Tªp c¡c h m ¤i sè tr¶n tªp mð bi¸n thi¶n cõa khæng gian tæpæ ÷ìc gåi l bâ v nh c§u tróc. Chóng ta s³ còng nhau nghi¶n cùu lþ thuy¸t l÷ñc ç æng thíi tø gâc ë èi lªp nh÷ vªy.
Ch÷ìng 4 L÷ñc ç aphin 4.1 Tªp ¤i sè Trong möc n y, ta xem x²t kh¡i ni»m r§t thæ sì l kh¡i ni»m tªp ¤i sè. Nâ cho ph²p ta ti¸p cªn mët c¡ch ¶m ¡i vîi kh¡i ni»m ch½nh qui cõa h¼nh håc ¤i sè l kh¡i ni»m l÷ñc ç, v çng thíi cho ph²p ta hiºu ÷ñc t¤i sao ng÷íi ta c¦n ÷a ra kh¡i ni»m rc rèi n y. Möc n y câ t½nh giîi thi»u cho c¡c möc sau. C¡c möc sau khæng phö thuëc v· m°t logic v o möc n y. Ng÷ñc l¤i v÷îi kh¡i ni»m l÷ñc á r§t tên qu¡t, kh¡i ni»m tªp ¤i sè ch¿ câ gi¡ trà tr¶n mët tr÷íng âng ¤i sè. Cho k l mët tr÷íng âng ¤i sè. Ta x²t tªp V c¡c nghi»m n α = (α1, . . . , αn) ∈ k cõa mët h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè f1(α1, . . . , αn) = 0 ··· fm(α1, . . . , αn) = 0 vîi f1, . . . , fm ∈ k[x1, . . . , xn] l m a thùc n bi¸n. Mët tªp V nh÷ vªy gåi l mët tªp ¤i sè trong khæng gian aphin kn. Cho mët tªp V ⊂ kn, ta câ thº häi r¬ng li»u nâ câ ph£i l mët tªp ¤i sè hay khæng. Muèn tr£ líi c¥u häi n y, ta x²t i¶an I = {f ∈ k[x1, . . . , xn] | f(α) = 0 ∀α ∈ V }. 49
50 CH×ÌNG 4. L×ÑC Ç APHIN Id¶an I cõa ÷v nh A = k[x1, . . . , xn] thäa m¢n t½nh ch§t vîi måi f ∈ A sao cho √ tçn t¤i n ∈ N vîi f n ∈ I th¼ f ∈ I, ta câ thº vi¸t gån l¤i l I = I. Mët i¶an thäa m¢n t½nh ch§t n y gåi l i¶an c«n. I¶an I c¡c a thùc nhªn gi¡ trà khæng tr¶n mët tªp con V ⊂ kn l mët i¶an c«n. Theo ành ngh¾a cõa I, vîi måi α ∈ V , vîi måi f ∈ I ta câ f(α) = 0. Muèn cho V l mët tªp ¤i sè trong kn ta ph£i câ m»nh · £o, tùc l vîi måi α ∈ kn sao cho f(α) = 0 vîi måi f ∈ I ta câ α ∈ V . ành ngh¾a 1 Tªp con ¤i sè cõa kn l tªp c¡c khæng iºm cõa mët i¶an I ⊂ k[x1, . . . , xn]. Ta câ thº °t c¥u häi li»u mët tªp ¤i sè ành ngh¾a nh÷ tr¶n câ l tªp c¡c khæng iºm cõa mët h» húu h¤n c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤i sè hay khæng. C¥u tr£ líi l câ v¼ theo ành lþ Hilbert, v nh a thùc k[x1, . . . , xn] l mët v nh Noether cho n¶n måi i¶an I cõa nâ l hún h¤n sinh. Tçn t¤i f1, . . . , fm ∈ I sao cho vîi måi f ∈ I tçn t¤i g1, . . . , gm ∈ A sao cho f = f1g1 + ··· + fmgm. n Vªy n¶n n¸u α ∈ k sao cho fi(α) = 0 vîi måi i = 1, . . . , n th¼ f(α) = 0 vîi måi f ∈ I. Tªp c¡c khæng iºm cõa h» ph÷ìng tr¼nh f1(α) = ··· = fm(α) = 0 công l tªp c¡c khæng iºm cõa c£ i¶an I. N¸u ta khæng cho tr÷îc mët h» sinh cõa I, th¼ dò nâ luæn tçn t¤i, vi»c ch¿ ra t÷íng minh mët h» sinh l vi»c khæng d¹. H÷on núa, ngay khi câ mët h» sinh cö thº công r§t ½t hi¸m khi thªt sü l câ ½ch. V¼ th¸ ng÷íi ta th÷íng ch¿ x²t c¡c tªp ¤i sè nh÷ tªp khæng iºm cõa mët i¶an chù khæng t¼m kiºm mët h» ph÷ìng tr¼nh cö thº trø khi h» ph÷ìng tr¼nh n y ÷ñc cho tr÷îc trong mët b i to¡n cö thº. ành lþ 2 Cho k l mët tr÷íng âng ¤i sè, I l mët i¶an cõa A = k[x1, . . . , xn]. Ta câ mët song ¡nh giúa tªp hñp V (I) = {α ∈ kn | f(α) = 0 ∀f ∈ I} v tªp Spm(A/I) c¡c i¶an cüc ¤i cõa A/I.
4.1. TP I SÈ 51 Nhc l¤i l mët i¶an p cõa R l cüc ¤i khi v ch¿ khi th÷ìng R/p l mët tr÷íng. Cho α ∈ kn. Ta câ mët çng c§u k-¤i sè to n ¡nh evα : A = k[x1, . . . , xn] → k cho bði evα(f) := f(α). N¸u α ∈ V (I), vîi måi f ∈ I ta câ evα(f) = 0. Tù÷c l çng c§u evα ph¥n t½ch qua v nh th÷ìng A/I. çng c§u evα : A/I → k công s³ l to n ¡nh. H¤ch cõa nâ l mët i¶an cüc ¤i cõa A/I. Nh÷ vªy ta ¢ x¥y düng mët ¡nh x¤ V (I) → Spm(A/I) m ta muèn x¥y düng mët ¡nh x¤ nghàch £o. º x¥y düng ¡nh x¤ nghàch £o ta c¦n sû döng gi£ thi¸t tr÷áng k l tr÷íng âng ¤i sè v bê · sau ¥y. Bê · 3 Cho k l mët tr÷íng âng ¤i sè. Cho k0 l mët tr÷íng chùa k v l mët k-¤i sè húu h¤n sinh. Khi â k0 = k. B¤n åc câ thº xem cuèn Mumford, xon 1 º xem c¡ch chùng minh cõa ành lþ n y sû döng ành lþ chu©n hâa cõa Noether v ành lþ Cohen- Seidenberg. Sau ¥y l mët c¡ch chùng minh ngn gån hìn trong tr÷íng hñp k = C l tr÷íng c¡c sè phùc. Nhc l¤i l nâi k0 l mët k-¤i sè d¤ng húu h¤n câ ngh¾a l tçn t¤i mët çng c§u to n ¡nh 0 k[x1, . . . , xn] → k tø mët v nh a thùc v o k0. Nh÷ v¥y k-khæng gian vectì k0 câ mët cì sð vîi nhi·u nh§t l ¸m ÷ñc c¡c ph¦n tû. Ta sch¿ c¦n chùng minh khæng gian vectì n y câ chi·u húu h¤n tr¶n k v¼ khi â do k l âng ¤i sè n¶n k0 t ph£i b¬ng k. Muèn th¸, ta ch¿ c¦n chùng minh l vîi måi i = 1, . . . , n £nh cõa 0 fi : k[xi] → k l mët k-¤i sè húu h¤n. N¸u khæng fi ph£i l ìn ¡nh m khi â c¡c ph¦n tû ½ ¾ 1 | α ∈ k ⊂ k0 fi(xi) − α ph£i l c¡c ph¦n tû ëc lªp tuy¸n t½nh trong k0. V¼ k = C n¶n tªp n y l tªp khæng ¸m ÷ñc, nâ m¥u thu¨n vîi vi»c k0 câ mët cì sð ¸m ÷ñc tr¶n k. ¤
52 CH×ÌNG 4. L×ÑC Ç APHIN Cho mët i¶an cüc ¤i p cõa R = A/I, ta câ mët çng c§u to n ¡nh R → R/p = k0 vîi k0 l mët tr÷íng. L§y hñp th nh vîi A → R, ta câ mët çng c§u to n ¡nh φ : A → k0 cho n¶n theo bê ·, k0 = k. Vîi måi i = 1, . . . , n, °t αi = φ(xi) ∈ k v α = (α1, . . . , αn). Ta câ ngay vîi måi f ∈ I, f(α) = φ(f) trong k = A/I cho n¶n f(α) = 0. Vªy ta ¢ x¥y düng ÷ñc ¡nh x¤ nghàch £o Spm(A/I) → V (I). B¤n åc tü kiºm tra r¬ng hai ¡nh x¤ x¥y düng ð tr¶n l nghàch £o cõa nhau. ¤ Ta ph£i nhªn x²t ngay l n¸u bä i gi£ thi¸t tr÷íng k âng ¤i sè th¼ kh¯ng ành khæng cán óng nú÷a. X²t v½ dö k = Fp l tr÷ìng húu h¤n câ p ph¦n tû. L§y A = Fp[x] v I = 0. Khi â V (I) = Fp ch¿ câ p ph¦n tû trong khi â tªp c¡c i¶an cüc ¤i cõa Fp[x] l tªp c¡c a thùc b§t kh£ qui vîi h» sè ¦u b¬ng 1 n¶n câ væ h¤n ph¦n tû. Mët tªp câ húu h¤n ph¦n tû khæng ther cè song ¡nh vîi mët tªp câ væ h¤n ph¦n tû. Trong v½ dö n y ta công th§y l tªp Fp l qu¡ nhä º coi l tªp c¡c iºm cõa ÷íng th¯ng aphin tr¶n Fp. Tªp c¡c i¶an cüc ¤i Spm(Fp[x]) câ v´ tèt hìn. Tªp c¡c i¶an cüc ¤i câ mët ÷u iºm núa l nâ ch¿ phö thuëc v o v nh R = A/I chù khæng phö thuëc v o c¡ch biºu di¹n R nh÷ l th÷ìng cõa mët v nh a thùc. Nh÷ vªy ta ¢ ho n th nh b÷îc x¶ dàch quan iºm thù nh§t : thay v¼ x²t tªp c¡c nghi»m cõa mët h» ph÷ong tr¼nh trong kn, ta xem x²t tªp c¡c i¶an cüc ¤i cõa mët k-¤i sè húu h¤n sinh R. Sau n y ta s³ th§y ng÷ái ta x²t tîi tªp Spec(R) t§t c£ c¡c i¶an nguy¶n tè chù khæng ph£i ch¿ Spm(R) c¡c i¶an cüc ¤i. Nh÷ng b÷îc n y ch¿ mang t½nh kÿ thuªt chù khæng câ t½nh c¡ch m¤ng. Vîi R l c¡c k-¤i sæ d¤ng húu h¤n thi Spec(R) khæng câ g¼ hay hìn so vîi Spm(R) nh÷ng t©t nhi¶n l èi vîi mët v nh b§t ký, ch¯ng h¤n nh÷ mët v nh àa ph÷ìng th¼ Spec(R) gi u câ hìn nhi·u so vîi Spm(R) ch¿ câ méi mët iºm trong tr÷íng hñp v nh àa ph÷ìng. ành ngh¾a 4 Cho k l mët tr÷íng âng ¤i sè. Cho mët a t¤p aphin tr¶n k l cho mët k-¤i sè d¤ng húu h¤n R. Cho mët iºm cõa nâ l cho mët ph¦n tû cõa Spm(R).
4.1. TP I SÈ 53 M»nh · 5 Cho R l mët k-¤i sè húu h¤n sinh vîi k l mët tr÷íng âng ¤i sè. Khi â ta câ mët song ¡nh chu©n tc giúa tªp Homk−Alg(R, k) c¡c æng c§u k-¤i sè tø R v o k v tªp c¡c i¶an cüc ¤i Spm(R) cõa R. Cho mët çng c§u k-¤i sè φ : R → k, ÷φ t ph£i l to n ¡nh v¼ R chùa k. H¤ch cõa nâ l mët i¶an cüc ¤i cõa R. Ng÷ñc l¤i n¸u ta cho mët i¶an cüc ¤i p cõa R, tr÷íng R/p l mætk k-¤i sè d¤nh húu h¤n n¶n t ph£i b¬ng k. Vªy çng c§u th÷ong R → R/p cho ta mët ph¦n tû cõa Homk−Alg(R, k). Ta d¢ x¥y düng hai ¡nh x¤ nghàch £o giúa Homk−Alg(R, k) v tªp Spm(R). ành ngh¾a 6 Cho R l mët k-¤i sè d¤ng húu h¤n. Cho mët nhóng (âng) cõa a t¤p aphin Spm(R) t÷ìng ùng vîi R v o khæng gian aphin l cho mët çng c§u to n ¡nh A = k[x1, . . . , xn] → R tø v nh a thùc v o R. Mët çng c§u to n ¡nh nh÷ tr¶n φ : A → R công l mët biºu di¹n R nh÷ th÷ìng cõa mët v nh a thùc R = A/I vîi i¶an I l h¤ch cõa φ. Vîi måi iºm ψ ∈ Homk−Alg(R, k) ta câ thº cho ùng vîi mët iºm ψ ◦ φ ∈ Homk−Alg(A, k). V¼ th¸ ta câ mët ¡nh x¤ ìn ¡nh tø Homk−Alg(R, k) → Homk−Alg(A, k) vîi £nh l c¡c çng c§u A → k b¬ng khæng tr¶n i¶an I. V¼ ta bi¸t r¬ng vîi c¡c k-¤i sè d¤ng húu h¤n tr¶n tr÷íng âng ¤i sè k, Homk−Alg(R, k) = Spm(R) cho n¶n ta công câ mët ¡nh x¤ ìn ¡nh Spm(R) → Spm(A). ành ngh¾a 7 Cho hai k-a t¤p aphin ùng vîi hai k-¤i sè d¤ng húu h¤n R v R0. Ta gåi mët çng c§u k-¤i sè R0 → R l mët c§u x¤ tø a t¤p aphin t÷ìng ùng vîi R÷ v o a t¤p aphin t÷ìng ùng vîi R0. C§u x¤ n y gåi l mët nhóng âng n¸u nh÷ çng c§u R0 → R l to n ¡nh. T÷ìng tü nh÷ ð tr¶n, n¸u cho mët çng c§u R0 → R, ta câ mët ¡nh x¤ 0 Homk−Alg(R, k) → Homk−Alg(R , k). Công t÷ìng tü nh÷ tr¶n , trong tr÷íng hñp ta x²t, R, R0 l c¡c k-¤i sè d¤ng húu h¤n, cho n¶n
54 CH×ÌNG 4. L×ÑC Ç APHIN 0 0 Homk−Alg(R, k) = Spm(R) v Homk−Alg(R , k) = Spm(R ) cho n¶n ta cúng câ mët ¡nh x¤ Spm(R) → Spm(R0). Ta câ thº kiºm tra ÷ñc l ¡nh x¤ n y cho ùng vîi i¶an cüc ¤i p cõa R, i¶an p0 t¤o £nh cõa p trong R0. Nâi chung cho mët çng c§u v nh φ : R0 → R, cho mët i¶an nguy¶n tè p cõa R th¼ t¤o £nh p0 = φ−1(p) cúng l mët i¶an nguy¶n tè v¼ khi â R0/p0 l mët v nh con cõa R/p m v nh con cõa mët v nh nguy¶n vµn t ph£i l mët v nh nguy¶n vµn. Nh÷ng m v nh con cõa mët tr÷íng th¼ khæng nh§t thi¸t l mët tr÷íng cho n¶n t¤o £nh cõa mët i¶an cüc ¤i khæng nh§t thi¸t l mët i¶an cüc ¤i vªy cho n¶n n¸u R, R0 khæng ph£i l c¡c k-¤i sè d¤ng húu h¤n, ta khæng câ ¡nh x¤ Spm(R) → Spm(R0) m ch¿ câ ¡nh x¤ Spec(R) → Spec(R0). èi vîi c¡c k-¤i sè d¤ng húu h¤n, ta câ thº coi iºm l c¡c i¶an cüc ¤i, cán èi vîi mët v nh b§t ký th¼ ta ph£i coi iºm l c¡c i¶an nguy¶n tè. Nhªn x²t cuèi còng, v l nhªn x²t r§t quan trång l : cho çng c§u 0 0 φ : R → R, ta khæng ch¿ câ ¡nh x¤ Homk−Alg(R, k) → Homk−Alg(R , k) m ta câ ¡nh x¤ φ 7→ ψ ◦ φ 0 Homk−Alg(R, S) → Homk−Alg(R ,S) vîi måi v nh S. Trong tr÷íng hñp k = Fp ta ¢ th§y ch¿ mët tªp iºm Hom(R, k) khæng õ º x¡c ành R nh÷ng khi cho v nh S bi¸n thi¶n th¼ theo ành lþ Yoneda, h m tû S 7→ Hom(R, S) ho n to n x¡c ành R. Tâm l¤i, ta câ ¢ tr¼nh bèn c¡ch mæ t£ h¼nh håc cõa mët k-¤i sè d¤ng húu h¤n R tr¶n mët tr÷íng k âng ¤i sè, 1. Sau khi chån mët c¡ch biºu di¹n R d÷îi d¤ng R = A/I vîi A = k[x1, . . . , xn] l mët v nh a thùc v I = hf1, . . . , fmi l i¶an sinh bði c¡c a thùc f1, f2, . . . , fm, ta l§y èi t÷ñng h¼nh håc ùng vîi R l tªp n ¤i sè c¡c iºm α ∈ k sao cho f1(α) = ··· = fm(α) = 0. Tªp b y hiºn nhi¶n công b¬ng tªp Homk−Alg(R, k). Tªp Homk−Alg(R, k) th¼ khæng phö thuë÷c núa v o c¡ch biºu di¹n R th nh th÷ìng R = A/I. 2. Mæ t£ b¬ng tªp c¡c iean cüc ¤i Spm(R). 3. Mæ t£ b¬ng tªp c¡c i¶an nguy¶n tè Spec(R). 4. Mæ t£ b¬ng h¡m tû k − Alg → Set ùng vîi méi k-¤i sè S l tªp Homk−Alg(R, S).
4.2. PHM TRÒ ÈI CÕA PHM TRÒ CC VNH 55 Trong tr÷íng hñp k âng ¤i sè hai c¡ch mæ t£ ¦u t÷ìng ÷ìng vîi nhau. Trong tr÷ìng hñp têng qu¡t ta c¦n thay tªp c¡c nghi»m Homk−Alg(R, k) vîi gi¡ trà trong k b¬ng tªp c¡c nghi»m vîi gi¡ trà trong mët v nh bi¸n thi¶n S, v thay tªp c¡c i¶an cüc ¤i b¬ng tªp c¡c i¶an nguy¶n tè. 4.2 Ph¤m trò èi cõa ph¤m trò c¡c v nh Nh÷ ¢ ph¥n t½ch ð möc tr÷îc, vîi méi v nh giao ho¡n A ta câ mët h m tû hA tø ph¤m trò c¡c v nh giao ho¡n Ring v o ph¤m trò c¡c tªp hñp, cho bði hA(R) = HomRing(A, R). ành ngh¾a 8 L÷ñc ç aphin l mët h m tû F : Ring → Set sao cho tçn t¤i mët v nh giao ho¡n A v mët ¯ng c§u h m tû F → hA. Ta câ v½ dö cì b£n sau ¥y ¢ n¶u ð möc tr÷îc trong tr÷íng hñp °c bi»t. Cho R l mët v nh b§t ký. Cho f1, . . . , fr ∈ R[x1, . . . , xn] l r a thùc n bi¸n vîi h» sè trong R. X²t h m tû F : Ring → Set cho 0 0 ùng vîi méi v nh R tªp c¡c bë (φ; α1, . . . , αn) vîi φ : R → R l mët çng 0 c§u v nh v α1 . . . , αn ∈ R sao cho φ(fi)(α1, . . . , αn) = 0 vîi måi i = 1, . . . , r. Ì ay a thùc φ(fi) l £nh cõa a thùc φi qua çng 0 c§u hiºn nhi¶n R[x1, . . . , xn] → R [x1, . . . , xn] c£m sinh tø φ. Ta câ thº chùng minh tçn t¤i mët ¯ng c§u ham tû F ' hA vîi A = R[x1, . . . , xn]/hf1, . . . , fri. Thªt vªy, cho mët ph¥n tû (φ; α1, . . . , αn) ∈ 0 0 F (R ) ta câ mët çng c§u v nh tø v nh c¡c a thùc R[x1, . . . , xn] v o R ; 0 nâ gûi R v o R qua φ v gûi méi bi¸n xi l¶n ph¦n tû αi. a thùc fi ÷ñc 0 gûi l¶n ph¦n tû φ(fi)(α1, . . . , αn) = 0 trán R cho n¶n £nh cõa i¶an sinh ra 0 bði c¡c a thùc n y l {0}. Vªy n¶n çng c§u R[x1, . . . , xn] → R ph£i ph¥n t½ch qua th÷ìng R[x1, . . . , xn]/hf1, . . . , fri v cho ta mët ph¦n tû 0 α ∈ HomRing(R[x1, . . . , xn]/hf1, . . . , fri,R ). Ng÷ñc l¤i n¸u ta câ çng c§u α nh÷ tr¶n, h¤n ch¸ v o R cho ta φ, v £nh α(xi) cho ta l¤i c¡c ph¦n tû αi.
56 CH×ÌNG 4. L×ÑC Ç APHIN V½ dö n y cho ta th§y quan ni»m h m tû r¥t g¦n vîi c¡ch hiºu ng¥y thì nh§t v· h¼nh håc ¤i sè tùc l nghi¶n cùu nghi»m cõa c¡c h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè. 4.3 Khæng gian tæpæ Spec(A) Cho A l mët v nh giao ho¡n. Nh÷ ð möc 1.3, tªp phê Spec(A) l tªp c¡c i¶an nguy¶n tè cõa A. Tr¶n tªp n y câ mët c§u tróc tæpæ gåi l tæpæ Zariski ành ngh¾a nh÷ sau. Vîi méi A-moun con I cõa A, tùc l I l mët i¶an cõa A ho°c I = A, ta °t V (I) l tªp c¡c i¶an nguy¶n tè p cõa A chùa I, °t U(I) ph¦n bò cõa V (I) trong Spec(A), tùc l tªp c¡c i¶an nguy¶n tè p khæng chùa I. N¸u I = A rã rang V (I) l tªp trèng v U(I) l to n bë Spec(A). Ng÷ñc l¤i, n¸u I = {0} ta câ V (I) = Spec(A) cán U(I) l tªp trèng. ành ngh¾a 9 Tæpæ Zariski tr¶n Spec(A) câ hå c¡c tªp âng l c¡c tªp V (I) v hå c¡c tªp mð l cac tªp U(I) ch¿ sè ho¡ bði c¡c A-moun con I cõa A. Ta l§y v½ dö A = k[t] l v nh c¡c a thùc mët bi¸n tr¶n mët tr÷íng k âng ¤i sè. Ta bi¸t tªp Spec(A) bao gçm mët iºm têng qu¡t t÷ìng ùng vìi i¶an nguy¶n tè {0}, c¡c iºm kh¡c cõa nâ câ d¤ng ht − αi v t÷ìng ùng mët mët vîi c¡c ph¦n tû α ∈ k. Mët i¶an b§t ký I 6= {0} cõa A câ d¤ng I = hfi. I¶an tèi ¤i t÷ìng ùng vîi α ∈ k thuëc v o tªp âng V (I) khi v ch¿ khi f(α) = 0. Nh÷ vªy mët tªp con âng cõa Spec(A) ho°c l c£ Spec(A) ho°c ch¿ chùa mët sè húu h¤n c¡c iºm d¤ng ht − αi. Tªp con cõa Spec(A) vîi óng mët ph¦n tû l iºm têng qu¡t, khæng ph£i l mët tªp âng. º cho ành ngh¾a 2 câ ngh¾a, ta c¦n kiºm tra r¬ng hå c¡c tªp âng V (I) v hå c¡c tªp mð U(I) tho£ m¢n c¡c ti¶n · cõa mët tæpæ. Bê · 10 Cho I1,I2 l hai A-moun con cõa A. Ta câ V (I1) ∩ V (I2) = V (I1 + I2) vîi I1 + I2 l tªp c¡c ph¦n tû cõa A câ thº vi¸t ÷ñc d÷îi dang α1 + α2 vîi α1 ∈ I1 v α2 ∈ I2. Ta công câ V (I1) ∪ V (I2) = V (I1I2)
4.3. KHÆNG GIAN TÆPÆ SPEC(A) 57 vîi I1I2 l i¶an sinh ra bði c¡c ph¦n tû câ d¤ng α1α2 vîi α1 ∈ I1 v α2 ∈ I2. Ta câ c¡c ¯ng thùc t÷ìng tü cho tªp mð U(I1) ∪ U(I2) = U(I1 + I2) v U(I1) ∩ U(I2) = U(I1I2). N¸u p ∈ V (I1) ∩ V (I2) th¼ theo ành ngh¾a I1 ⊂ p v I2 ⊂ p. M I1 + I2 l A-moun nhä nh§t chùa c£ I1 v I2 cho n¶n I1 + I2 ⊂ p. Ng÷ñc l¤i n¸u I1 + I2 ⊂ p th¼ hiºn nhi¶n ta câ I1 ⊂ p v I2 ⊂ p. N¸u p ∈ V (I1) ∪ V (I2) th¼ p ph£i chùa ho°c I1 ho°c I2. Trong c£ hai tr÷íng hñp, p ·u chùa I1I2. Ng÷ñc l¤i n¸u I1 6⊂ p v I2 6⊂ p th¼ ta co thº chån x1 ∈ I1 − p v x2 ∈ I2 − p. V¼ p l mët i¶an nguy¶n tè n¶n t½ch x1x2 ∈/ p. Vªy m x1x2 ∈ I1I2 cho n¶n I1I2 6⊂ p. Ta câ thº nhªn x²t l , trong chùng minh tr¶n, giao mët sè væ h¤n c¡c tªp âng V (Ij) v¨n l mët tªp âng câ d¤ng V (I) vîi I l A-moun con nhä nh§t trong A chùa t§t c£ c¡c Ij. Ng÷ñc l¤i th¼ hñp mët sè væ h¤n c¡c V (Ij) câ thº khæng cán câ d¤ng V (I) núa. Th¥t vªy, l§y A = Z v x²t hñp cõa mët sè væ h¤n c¡c tªp t÷ìng ùng vîi c¡c sè nguy¶n tè . N¸u I(hpji) T pj hñp n y câ d¤ng th¼ i¶an ph£i n¬m trong giao m giao n y V (I) I jhpji b¬ng khæng n¸u tªp c¡c sè nguy¶n tè {pj} ta chån l tªp væ h¤n. Vªy n¶n I = {0}. i·u n y công væ lþ v¼ iºm têng qu¡t {0} n¬m trong V (I) m khæng h· n¬m trong hñp c¡c Y (hpji). Bê · 11 (Ph¥n ho¤ch ìn và) Cho I1 v I2 l hai i¶an sao cho U(I1 + I2) = Spec(A). Khi â tçn t¤i α1 ∈ I1 v α2 ∈ I2 sao cho α1 + α2 = 1. Tø ¯ng thùc thù nh§t ta suy ra n¸u hñp cõa hai tªp mð U(I1) v U(I2) l Spec(A) th¼ U(I1 + I2) = Spec(A). Th¸ câ ngh¾a l I1 + I2 khæng bà chùa trong b§t ký mët i¶an nguy¶n tè hay mët i¶an tèi ¤i n o. i·u n y ch¿ câ thº x£y ra n¸u I1 + I2 = A, tùc l tçn t¤i α1 ∈ I1 v α2 ∈ I2 sao cho α1 + α2 = 1. Bê · 12 (Nullstellensatz y¸u) Cho I l mët i¶an cõa v nh A. Khi â U(I) = ∅ khi v ch¿ khi måi ph¦n tû cõa I l luÿ linh. N¸u α l mët ph¦n tû luÿ linh, tùc l αn = 0 vîi n ≥ 1 n o â, th¼ vîi måi i¶an nguy¶n tè p ta câ α ∈ p v¼ αn ∈ p. V¼ th¸ n¸u måi ph¦n tû cõa I l luÿ linh th¼ I ⊂ p vîi måi i¶an nguy¶n tè p, tùc l U(I) = ∅. N¸u ng÷ñc l¤i cho α l mët ph¦n tû cõa I, α ∈ p vîi måi i¶an nguy¶n tè p. Ta c¦n chùng minh α l mët ph¦n tû luÿ linh. X²t v nh a thùc mët
58 CH×ÌNG 4. L×ÑC Ç APHIN bi¸n A[x] v ph¦n tû 1 − αx trong v nh n y. Vîi måi i¶an nguy¶n tè p˜ cõa A[x], giao p = p˜ ∩A l mët i¶an nguy¶n tè cõa A. V¼ α ∈ p cho n¶n αx ∈ p˜. Ta suy ra 1 − αx∈ / p˜. Ph¦n tû 1 − αx khæng n¬m trong b§t ký mët i¶an nguy¶n tè n o n¶n nâ l ph¦n tû kh£ nghàch trong A[x]. Tùc l tçn t¤i mæt a thùc n β0 + β1x + ··· + βnx ∈ A[x] sao cho n (1 − αx)(β0 + β1x ··· + βnx ) = 1. n n+1 çng nh§t c¡c h» sè ð hai v¸, ta câ β0 = 1, β1 = α, . . . , βn = α v α = 0. Vªy n¶n α l mët ph¦n tû luÿ linh. ành ngh¾a 13 Mët khæng gian tæpæ X gåi l li¶n thæng n¸u khæng tçn t¤i hai tªp con âng Y1 v Y2 c£ hai còng kh¡c réng sao cho Y1 ∩ Y2 = ∅ v Y1 ∪ Y2 = X. Trong inh ngh¾a n y ta câ thº thay tªp con âng b¬ng tªp con mð. Khæng gian tæpæ X gåi l b§t kh£ qui n¸u khæng tçn t¤i hai tªp con âng Y1 v Y2 c£ hai còng kh¡c réng sao cho Y1 ∪ Y2 = X. Bê · 14 Khæng gian phê Spec(A) l li¶n thæng khi v ch¿ khi khæng tçn t¤i ph¦n tû α ∈ A tho£ m¢n α(1 − α) = 0. Gi£ A l mët v nh rót gån, tùc l mët v nh khæng câ ph¦n tû luÿ linh kh¡c khæng. Khæng gian phê Spec(A) l b§t kh£ qui khi v ch¿ khi khæng tçn t¤i α1, α2 ∈ A kh¡c khæng m α1α2 = 0. N¸u tçn t¤i α ∈ A vîi α(1 − α) = 0 th¼ ta câ thº l§y I1 = hαi v I2hα2i l c¡c i¶an sinh bði α v bði 1 − α. V¼ I1 + I2 = A cho n¶n hñp cõa U(I1) v U(I2) l Spec(A). V¼ I1I2 = 0 cho n¶n giao cõa U(I1) v U(I2) l tªp réng. Vªy n¶n Spec(A) khæng li¶n thæng. Gi£ sû Spec(A) khæng li¶n thæng tùc l tçn t¤i hai i¶an I1 v I2 sao cho hai tªp mð U(I1) v U(I2) câ giao b¬ng réng v hñp b¬ng Spec(A). Khi â tçn t¤i α1 ∈ I1 v α2 ∈ I2 sao cho α1+α2 = 1. V¼ giao U(I1)∩U(I2) = U(I1I2) l réng cho n¶n t½ch α1α2 l mët ph¦n tû luÿ linh. N¸u A l rót gån th¼ ta câ ngay α1α2 = 0. N¸u khæng ta ch¿ bi¸t r¬ng tçn t¤i n ≥ 1 sao cho n n . Nh÷ng v¼ n v n cho n¶n hñp α1 α2 = 0 U(hα1 i) = U(hα1i) U(hα2 i) = U(hα2i) n n v¨n l c£ . Theo bê · ph¥n ho¤ch ìn và, tçn U(hα1 i) ∪ U(hα2 i) Spec(A) t¤i n v n sao cho . Rã r ng l bëi cõa β1 ∈ hα1 i β2 ∈ hα2 i β1 + β2 = 1 β1β2 n n cho n¶n . α1 α2 β1β2 = 0
4.4. BÂ CU TRÓC 59 4.4 Bâ c§u tróc Ta bà m§t mët sè thæng tin khi chuyºn tø v nh A sang khæng gian tæpæ Spec(A), ch¯ng h¤n nh÷ c¡c thæng tin v· luÿ linh. º b£o to n måi thæng tin v· A, ng÷íi ta trang bà th¶m cho Spec(A) mët bâ c§u tróc. Ta câ thº hiºu næm na bâ c§u tróc tr¶n Spec(A) nh÷ sau. Ta cho ùng vîi måi tªp mð U cõa Spec(A), v nh O(U) t§t c£ c¡c h m ¤i sè tr¶n U, t§t nhi¶n ta c¦n l m ch½nh x¡c hìn th¸ n o l h m ¤i sè sau. N¸u U 0 l mët tªp mð con cõa U, th¼ ta câ thº h¤n ch¸ mët h m tr¶n U v o mët h m tr¶n U 0. Nh÷ vªy ta câ mët h m tû tø ph¤m trò c¡c tªp mð cõa Spec(A) v o ph¤m trò c¡c v nh. H m tû n y thäa m¢n mët t½ch ch§t °c bi»t l n¸u hå c¡c tªp mð {Ui}i ∈ I phõ mët tªp mð U th¼ mët h m f tr¶n U ho n to n bà x¡c ành bði c¡c h¤n ch¸ fi cõa nâ v o c¡c tªp mð Ui, va hìn núa mët hå c¡c h m fi tr¶n Ui câ thº d¡n l¤i ÷ñc th nh mët h m f tr¶n U khi v ch¿ khi . C¡c h m tû nh÷ vªy gåi l c¡c bâ. Tr÷îc khi t¼m fi|Ui∩Uj = fj|Ui∩Uj hiºu bâ c§u tróc, ta dduwa ra ành ngh¾a têng qu¡t th¸ n o l mët bâ. Cho X l mët khæng gian tæpæ. Ti·n bâ tr¶n X l mët quy tc g¡n cho méi tªp mð U cõa X mët tªp hñp F(U) n o â v g¡n cho méi c°p hai tªp mð U ⊂ V mët ¡nh x¤ F(V ) → F(U) n o â sao cho - èi vîi c°p U = V , ¡nh x¤ t÷ìng ùng F(V ) → F(U) l ¡nh x¤ ìn và, - n¸u U ⊂ V ⊂ W , hñp th nh cõa F(W ) → F(V ) v F(V ) → F(U) l ¡nh x¤ F(W ) → F(U) t÷ìng ùng vîi c°p U ⊂ W . Ta câ thº di¹n ¤t kh¡i ni»m ti·n bâ mët c¡ch sóc t½ch hìn nh÷ sau. X²t ph¤m trò U vîi vªt l c¡c tª÷p mð U cõa X v vîi Hom(U, V ) l tªp réng n¸u U 6⊂ V , l tªp hñp vîi óng mët ph¦n tû n¸u U ⊂ V . Khi â mët ti·n bâ l mët h m tû F tø ph¤m trò U opp v o ph¤m trò Set. T÷ìng tü nh÷ vªy, ti·n bâ nhâm, ti·n bâ v nh, l mët h m tû tø U opp v o ph¤m trò c¡c nhâm hay ph¤m Ab trò c¡c v nh Ring. Mët ph¦n tû f ∈ F(V ) gåi l mët lîp ct cõa F tr¶n V . N¸u U ⊂ V , £nh cõa f ∈ F(V ) trong F(U) ÷ñc kþ hi»u l f|U , v gåi l h¤n ch¸ cõa f v o U. ành ngh¾a 15 Bâ (nhâm, v nh) tr¶n mët khæng gian tæpæ X l mët ti·n bâ (nhâm, v nh) tho£ m¢n t½nh ch§t d¡n ÷ñc. Cho U, V l hai tªp mð cõa X, khi â b¬ng c¡ch h¤n ch¸ v o U v V , tªp F(U ∪ V ) câ thº çng nh§t vîi tªp con cõa F(U) × F(V ) c¡c c°p (f, g) ∈ F(U) × F(V ) tho£ m¢n f|U∩V = g|U∩V . Têng qu¡t hìn n¸u U l hñp cõa mët hå câ thº væ h¤n
60 CH×ÌNG 4. L×ÑC Ç APHIN Q khi â câ thº çng nh§t vîi tªp con cõa t½ch c¡c (Ui)i∈I F(U) i∈I F(Ui) ph¦n tû sao cho vîi måi c°p ta câ . (fi)i∈I i, j ∈ I fi|Ui∩Uj = fj|Ui∩Uj Trong tr÷íng hñp Noether th¼ ta ch¿ c¦n x²t tîi c¡c hå phõ húu h¤n. Trong sè c¡c tªp mð cõa Spec(A) câ mët h» cì sð °c bi»t ti»n lñi cho vi»c t½nh to¡n trong c¡c bâ m ta s³ gåi l tªp mð ch½nh. Méi ph¦n tû f ∈ A sinh ra mët i¶an ch½nh hfi. Tªp mð ch½nh U(f) l tªp mð t÷ìng ùng vîi i¶an ch½nh hfi hay nâi c¡ch kh¡c l tªp c¡c i¶an nguy¶n tè p cõa A sao cho f∈ / p. Nh÷ ta ¢ bi¸t, tªp mð ch½nh U(f) câ thº çng nh§t vîi tªp c¡c i¶an nguy¶n tè cõa A[f −1] ; khæng gian tæpæ c£m sinh l¶n U(f) công ¯ng c§u chu©n tc vîi khæng gian tæpæ Spec(A[f −1]. Bê · 16 Giao hai tªp mð ch½nh l mët tªp mð ch½nh. Vîi måi iºm x ∈ Spec(A) v vîi måi tªp mð U chùa iºm n y, tçn t¤i mæt tªp mð ch½nh U(f) sao cho x ∈ U(f) v U(f) ⊂ U. Kh¯ng ành thù nh§t l hiºn nhi¶n v¼ U(f1) ∩ U(f2) = U(f1f2). Kh¯ng ành sau công ch¿ l vi¸t l¤i c¡c ành ngh¾a. Gi£ sû iºm x t÷ìng ùng vîi i¶an nguy¶n tè p v tªp mð U t÷ìng ùng vîi i¶an I. Gi£ thi¸t x∈ / U t÷ìng ÷ìng vîi I 6⊂ p. Vªy n¶n tçn t¤i mët ph¦n tû f ∈ I m f∈ / p. Khi â hiºn nhi¶n x ∈ U(f) v U(f) ⊂ U. Bê · 17 Måi tªp mð U cõa Spec(A) ·u câ thº phõ ÷ñc bði mët hå, khæng nh§t thi¸t húu h¤n, c¡c tªp mð ch½nh. N¸u A l v nh Noether, måi tªp mð U cõa Spec(A) ·u câ thº phõ ÷ñc bði mët hå húu h¤n c¡c tªp mð ch½nh. N¸u l tªp mð t÷ìng ùng vîi i¶an v n¸u sing bði måt hå c¡c U S I I ph¦n tû , khi â . N¸u l v nh Noether, måi i¶an (fi)i∈I U = i∈I U(fi) A I câ mët h» sinh bao gçm mët sè húu h¤n c¡c ph¦n tû f1, . . . , fn khi â U = U(f1) ∪ · · · ∪ U(fn). ành lþ 18 Cho A l mët v nh giao ho¡n b§t ký. Tçn t¤i duy nh§t, vîi sai kh¡c l mët ¯ng c§u duy nh§t, mët bâ v nh O tr¶n Spec(A) g¡n vîi méi tªp mð ch½nh U(f) v nh A[f −1] l v nh àa ph÷ìng ho¡ cõa A theo tªp nh¥n {1, f, f 2, }. Bâ v nh O gåi l bâ v nh c§u tróc cõa Spec(A).
4.4. BÂ CU TRÓC 61 Ta câ thº phõ måi tªp mð cõa b¬ng mët hå c¡c tªp mð ch½nh S U Spec(A) . Giao công l mæt tªp mð ch½nh. U = i∈I U(fi) U(fi) ∩ U(fj) = U(fifj) Th¸ cho n¶n v nh c¡c lîp ct cõa tr¶n nh§t thi¸t ph£i b¬ng v nh c¡c Q O U bë −1 sao cho vîi måi c°p ch¿ sè , £nh cõa v (ai)i∈I ∈ i∈I A[fi ] i, j ∈ I ai ð trong −1 −1 b¬ng nhau. aj A[fi fj ] Ta c¦n ph£i chùng minh r¬ng O(U) ành ngh¾a nh÷ tr¶n khæng phö thuëc v o phõ bði c¡c tªp mð ch½nh m ta chån. Muèn vªy ta ph£i x²t mët phõ U S kh¡c cõa rçi x²t t½nh ch§t d¡n èi vîi phõ cõa bði U = j∈J U(gj) U(fi) c¡c tªp mð vîi . Thay b¬ng −1 ta qui v· chùng U(fi) ∩ U(gj) j ∈ J A A[fi ] ming bê · sau ¥y. Bê · 19 Gi£ sû câ thº phõ ÷ñc b¬ng mët hå c¡c tªp mð ch½nh S Spec(A) U(g ). Khi â h¤n ch¸ v o c¡c U(g ) cho ph²p ta çng nh§t A vîi j∈J j Q j v nh con cõa −1 c¡c ph¦n tû sao cho £nh cõa v trong j∈J A[gj ] (aj) ai aj −1 −1 b¬ng nhau. A[gi gj ] S V¼ , theo bê · ph¥n ho¤ch ìn và, tçn t¤i mët sè Spec(A) = j∈J U(gj) húu h¤n c¡c ch¿ sè sao cho vîi c¡c j = 1, . . . , n ∈ J 1 = b1g1 +S··· + bngn ph¦n tû n o â. Khi â ta câ n v ta câ b1, ··· , bn ∈ A Spec(A) = j=1 U(gj) thº qui v· tr÷íng hñp tªp ch¿ sè J húu h¤n. Gi£ sõ cho −1 sao cho £nh cõa v trong −1 −1 b¬ng aj ∈ A[gj ] ai aj A[gi gj ] nhau. Chån m¨u sè th½ch hñp cho ph²p ta vi¸t ð d¤ng cj vîi mët aj aj = N gj sè tü nhi¶n N õ lîn èi vîi måi aj, v sao cho N N cigj = cjgi vîi måi c°p i, j ∈ {1, . . . , n}. V¼ N cho n¶n theo bê · ph¥n ho¤ch ìn và ta câ thº t¼m U(fj ) = U(fj) ÷ñc b1, . . . , bn sao cho N N b1g1 + ··· + bngn = 1. °t a = b1c1 + ··· + bncn ∈ A. Ta muèn chùng minh r¬ng £nh cõa a trong −1 b¬ng . Thªt vªy A[gj ] aj N Pn N agj = i=1 bicigj Pn N = cj i=1 bigi = cj
62 CH×ÌNG 4. L×ÑC Ç APHIN Nh÷ vªy ta ¢ chùng minh ÷ñc t½nh to n ¡nh. T½nh ình ¡nh công chùng minh t÷ìng tü nh÷ vªy. Cho a ∈ A vîi £nh trong c¡c àa ph÷ìng ho¡ −1 b¬ng . Tùc l tçn t¤i õ lîn sao cho vîi måi A[gj ] 0 N ta câ N . L¤i dòng bê · ph¥n ho¤ch ìn và ta câ j = 1, . . . , n agj = 0 a = 0. ¤ M»nh · 20 Cho A l mët mi·n nguy¶n v gåi K l tr÷íng c¡c th÷ìng cõa A. Vîi måi tªp mð U cõa Spec(A), O(U) l v nh con cõa K bao gçm c¡c ph¦n tû f ∈ K sao cho vîi måi i¶an nguy¶n tè x ∈ U ⊂ Spec(A), ta câ f ∈ Ax, vîi Ax xem nh÷ l mët v nh con cõa K \ O(U) = Ax. x∈U Cho mët tªp mð U cõa Spec(A) v cho mët phõ cõa U bði c¡c tªp mð ch½nh U(gi) vîi c¡c ch¿ sè i ch¤y trong mët tªp I, khæng nh§t thi¸t húu h¤n. Theo c¡ch x¥y düng cõa bâ c§u tróc O, mët ph¦n tû f ∈ O(U) l mët hå −1 , sao cho . V¼ fi ∈ A[gi ] fi|U(gigj ) = fj|U(gigj ) l mi·n nguy¶n cho n¶n c¡c v nh −1 ·u câ thº coi l v nh con A A[gi ] cõa . i·u ki»n t÷ìng ÷ìng vîi vi»c £nh cõa c¡c K fi|U(gigj ) = fj|U(gigj ) fi trong K ±u nh÷ nhau. Vªy n¶n \ −1 O(U) = A[gi ]. i∈I Cho mët iºm x ∈ U, tçn t¤i i ∈ I sao cho x ∈ U(gi) tùc l gi khæng n¬m trong i¶an nguy¶n tè , . Khi â −1 v ta suy ra x gi(x) 6= 0 A[gi ] ⊂ Ax \ O(U) ⊂ Ax. x∈U T Ng÷ñc l¤i vîi måi , vîi måi , câ thº vi¸t d÷îi d¤ng f ∈ x∈U Ax x ∈ U f f = cx/gx vîi cx, gx ∈ A v gx ∈/ x. Nh¥n th¶m gx vîi mët h m b¬ng khæng tr¶n ph¦n bò cõa U, ta câ thº gi£ sû U(gx) ⊂ U. Nh÷ vªy ta câ mët phõ cõa b¬ng hå c¡c tªp mð ch½nh v h m −1 theo xx¥y düng U U(gx) f ∈ A[gx ] cõa bâ c§u tróc O l mët ph¥n tû cõa O(U). ¤ Bâ O tr¶n Spec(A) x¥y düng nh÷ tr¶n gåi l bâ c§u tróc cõa Spec(A). V nh c¡c lîp ct cõa O tr¶n Spec(A) l¤i l A cho n¶n c°p (Spec(A), O), ch¿ phö thuëc v o A, v công chùa måi thæng tin v· A. Nâi c¡ch kh¡c l nâi
4.5. THÎ CÕA BÂ V THÎ CÕA BÂ CU TRÓC 63 ho n to n t÷ìng ÷ìng vîi A. Ta câ thº °t c¥u häi r¬ng t¤i sao ta l¤i i mët con ÷íng væ còng rc rèi º ¸n mët k¸t qu£ ho n to n t÷ìng ÷ìng vîi iºm xu§t ph¡t. C¥u tr£ líi l iºm ta ¸n n¬m trong mët th¸ giîi kh¡c, th¸ giîi cõa h¼nh håc. C¡i ta thu l÷ñm ÷ñc l mët èi t÷ñng h¼nh håc th¥n thi»n hìn so vîi èi t÷ñng ¤i sè mët l v nh giao ho¡n. 4.5 Thî cõa bâ v thî cõa bâ c§u tróc ành ngh¾a 21 Cho X l mët khæng gian tæpæ, F l mët bâ tr¶n X. Cho x ∈ X. Thî cõa F ð tr¶n X l tªp hñp c¡c lîp t÷ìng ÷ìng (U, f) vîi U l mët tªp mð chùa x v f ∈ F(U) l mët lîp ct cõa F ð tr¶n U ; (U, f) 0 0 0 t÷ìng ÷ìng vîi (U , f ) n¸u f|U∩U 0 = f |U∩U 0 . Ta kþ hi»u Fx thî cõa F t¤i iºm x. Ta câ thº ành ngh¾a thî cõa mët bâ nh÷ mët giîi h¤n quy n¤p. X²t tªp J c¡c tªp mð U chùa iºm x ∈ X. Ta x²t quan h» thù tü U 0 ≤ U n¸u U ⊂ U 0. Ta câ mët h» quy n¤p c¡c tªp F(U) vîi ch¿ sè trong J vîi c¡c ¡nh x¤ chuyºn ti¸p F(U 0) → F(U) l ¡nh x¤ h¤n ch¸. Dá l¤i c¡ch x¥y düng giîi h¤n quy n¤p, ta nhªn th§y giîi h¤n cõa h» quy n¤p F(U), tròng vîi ành ngh¾a cõa thî cõa F t¤i x. Rã r ng n¸u F l mët bâ nhâm Abel ho°c l mët bâ v nh th¼ c¡c thî cõa nâ công s³ l nhâm Abel ho°c l v nh. Ta công nhªn x²t l thay v¼ vi»c x²t t§t c£ c¡c l¥n cªn cõa iºm x, ta ch¿ c¦n x²t mët cì sð l õ. V¼ th¸ n¶n thî cõa h¤n ch¸ cõa mët bâ F tr¶n X v o mët tªp mð U cõa X, công v¨n l thî cõa F t¤i iºm n y. Vîi méi v nh A, ta ¢ x¥y düng mët khæng gian tæpæ Spec(A) v mët bâ v nh OSpec(A). Ta s³ t¼m hiºu xem thî cõa nâ l g¼. M»nh · 22 Cho A l mët v nh giao ho¡n, Spec(A) l khæng gian tæpæ c¡c iean nguy¶n tè cõa A, OSpec(A) bâ v nh c§u tróc tr¶n Spec(A). Vîi måi p ∈ Spec(A), thî cõa OSpec(A) ð iºm p l v nh àa ph÷ìng ho¡ Ap cõa A theo tªp nh¥n S = A − p. °c bi»t, måi thî cõa OSpecA ·u l v nh àa ph÷ìng. Cho mët tªp mð b§t ký U cõa A, ta khæng bi¸t c¡ch vi¸t t÷íng minh v nh OSpec(A)(U). Tuy vªy, trong t½nh to¡n giîi h¤n quy n¤p, ta ch¿ c¦n x²t c¡c tªp mð ch½nh l õ v¼ c¡c tªp mð ch½nh chùa iºm p « cho, t¤o n¶n
64 CH×ÌNG 4. L×ÑC Ç APHIN mët cì sð trong sè c¡c l¥n cªn cõa p. N¸u p n¬m trong mët tªp mð ch½nh U(f) th¼ hiºn nhi¶n f∈ / p v ta câ −1 OSpec(A)(U(f)) = A[f ]. Vªy n¶n ta c¦n t¼m giîi h¤n quy n¤p cõa c¡c v nh d¤ng A[f −1] ¡nh sè bði c¡c ph¦n tû f ∈ S = A − p x¸p thù tü theo quan h» chia h¸t. Dá theo ành ngh¾a, ta nhªn th§y giîi h¤n n y ch½nh l v nh Ap v¼ Ap l v nh "nhä nh§t" chùa A m trong â måi ph¦n tû f ∈ S ·u kh£ nghàch. ¤ Qua hai m»nh · 20 v 22, ta th§y l nâi chung ta câ thº x¥y düng l¤i bâ tø c¡c thî cõa nâ : c¡c thî cõa mët bâ cæ ång c¡c thæng tin v· bâ. §y l mët lþ do v¼ sao ½t khi ng÷íi ta ngh¾ v· bâ nh÷ l mët h m tû, mët h m tû qu£ l khâ h¼nh dung, m ch¿ ngh¾ xem t¤i mët iºm ¢ cho, thî cõa nâ l g¼. 4.6 C§u x¤ giúa hai l÷ñc ç aphin M»nh · 23 Cho φ : A → B l mët çng c§u v nh b§t ký. Khi â ¡nh x¤ c£m sinh f : Spec(B) → Spec(A) l mët ¡nh x¤ li¶n töc. −1 Vîi måi i¶an nguy¶n tè pB cõa B ta câ f(pB) l i¶an nguy¶n tè φ (pB). Cho IA l mët i¶an cõa A v U(IA) l tªp mð t÷ìng ùng cõa Spec(A). T¤o −1 −1 £nh f (U(IA)) l tªp c¡c i¶an nguy¶n tè pB cõa B sao cho IA 6⊂ φ (pB), −1 tùc l φ(IA) 6⊂ pB. Vªy n¶n t¤o £nh f (U(IA)) l tªp mð U(φ(IA)). ¤ ành ngh¾a 24 Cho (X, OX ) v (Y, OY ) l hai khæng gian tæpæ vîi bâ v nh. Cho mët c§u x¤ f :(Y, OY ) → (X, OX ) l cho - mët ¡nh x¤ li¶n töc f : Y → X, - vîi méi c°p tªp mð U ⊂ X v V ⊂ Y sao cho V ⊂ f −1(U), cho mët çng c§u v nh φU,V : OX (U) → OY (V ) t÷ìng th½ch èi vîi U v V , tùc l , vîi måi U 0 ⊂ U v V 0 ⊂ V th¼ l÷ñc ç sau ph£i giao ho¡n φ O (V ) −−−→U,V O (U) Y X   y y φ 0 U0,V 0 0 OY (V ) −−−→ OX (U ) Ì d¥y, hai môi t¶n i xuèng l c¡c çng c§u h¤n ch¸.
4.6. CU X GIÚA HAI L×ÑC Ç APHIN 65 Cho f :(Y, OY ) → (X, OX ) l mët c§u x¤ giúa hai khæng gian tæpæ vîi bâ v nh. Cho y ∈ Y v x = f(y) ∈ X. V÷îi måi l¥n cªn U cõa x, f −1(U) l mët l¥n cªn cõa x th¸ n¶n ta câ mët çng c§u v nh −1 φf −1(U),U : OX (U) → OY (f (U)). −1 N¸u hñp th nh vîi çng c§u tø OY (f (U)) v o OY,y giîi h¤n quy n¤p cõa h» c¡c v nh OY (V ) vîi y ∈ V , th¼ ta câ mët çng c§u v nh OX (U) → OY,y. N¸u l§y giîi h¤n theo U th¼ ta câ mët çng c§u v nh φx,y : OX,x → OY,y. M»nh · 25 Vîi måi çng c§u vanh φ : A → B ta câ mët c§u x¤ (Spec(B), OSpec(B)) → (Spec(A), OSpec(A)). Vîi måi i¶an nguy¶n tè y ∈ Y = Spec(B) vîi £nh l x ∈ X = Spec(A), çng c§u v nh φx,y : OX,x → OY,y l mët çng c§u àa ph÷ìng, tùc l , n¸u my l i¶an tèi ¤i cõa v nh àa ph÷ìng OY,y v mx l i¶an tèi ¤i cõa v nh àa ph÷ìng th¼ −1 . OY,x φx,y(my) = mx Ta ¢ x¥y düng mët ¡nh x¤ li¶n töc f : Y → X gûi mët i¶an nguy¶n tè −1 pB cõa B l¶n i¶an nguy¶n tè φ (pB). Ta cán c¦n x¥y düng c¡c çng c§u v nh φU,V . L§y mët l¥n cªn U cõa x ∈ X v V cõa y ∈ Y sao cho V ⊂ f −1(U). −1 Ta c¦n x¥y düng φU,V : OX (U) → OY (V ). V¼ V ⊂ f (U) n¶n ta ¢ −1 câ çng c§u v nh h¤n ch¸ OY (f (U)) → OY (V ). V¼ vªy ta câ thº gi£ sû V = f −1(U). Công nh÷ trong chùng minh ành lþ 11, ta câ thº quy v± tr÷íng hñp U l tªp mð ch½nh U = Spec(A[a−1]) vîi a ∈ A n o â. Nh÷ng khi â f−1(U) = Spec(B[φ(a)−1]) v ta câ mët çng c§u hiºn nhi¶n −1 −1 φU,f −1(U) : A[a ] → B[φ(a) ]. º træng quen mt, ta kþ hi»u px l i¶an nguy¶n tè cõa A t÷ìng ùng vîi iºm x ∈ X. T÷ìng tü nh÷ vªy, ta câ i¶an nguy¶n tè py cõa B t÷ìng ùng vîi iºm −1 y ∈ Y . Ta câ φ (py) = px. V¼ n¸u h¤n ch¸ φx,y : OX,x → OY,y v o A ta t¼m l¤i φ : A → B cho n¶n £nh ng÷ñc cõa i¶an tèi ¤i my cõa OY,y sinh bði py l i¶an mx sinh bði px. Vªy n¶n φx,y l mët çng c§u àa ph÷ìng. ¤
66 CH×ÌNG 4. L×ÑC Ç APHIN Méi çng c¡u v nh φ : A → B c£m sinh mët c§u x¤ giúa hai l÷ñc ç aphin f :(Y, OY ) → (X, OX ). Ta câ thº °t c¥u häi r¬ng vîi i·u ki»n n o th¼ c§u x¤ f câ thº c£m sinh tø mët çng c§u v nh φ. Ta bi¸t i·u ki»n àa ph÷ìng nh÷ trong ph¡t biºu m»nh · 17, l i·u ki»n c¦n. Ta s³ chùng minh nâ công l i·u ki»n õ. M»nh · 26 Cho Y = Spec(B) vîi bâ c§u tróc OY . Cho X = Spec(A) vîi bâ c§u tróc OX . Cho f :(Y, OY ) → (X, OX ) mët c§u x¤ giúa hai khæng gian tæpæ vîi bâ v nh sao cho vîi måi y ∈ Y v x = f(y) ∈ X, çng c§u thî OX,x → OY,y l çng c§u àa ph÷ìng. Th¸ th¼ f l c§u x¤ c£m sinh tø çng c§u v nh A = OX (X) → OY (Y ) = B. Cho y ∈ Y v x = f(y) ∈ X. Kþ hi»u py l i¶an nguy¶n tè cõa B t÷ìng ù÷ng vîi iºm y, px l i¶an nguy¶n tè cõa A t÷ìng ùng vîi iºm x. Ta câ sì ç giao ho¡n φ A −−−→ B     α y y β Ax −−−→ By φx,y vîi α v β l c¡c çng c§u àa ph÷ìng ho¡. °t mx l i¶an tèi ¤i cõa Ax, −1 −1 my l i¶an tèi ¤i cõa By. Ta câ α (mx) = px v β (my) = py. Theo gi£ thi¸t v· t½nh àa ph÷ìng cõa , ta câ −1 . Ta suy ra −1 . f φx,y(my) = mx φ (py) = px V¼ vªy ¡nh x¤ li¶n töc f : Y → X bt buëc ph£i l ¡nh x¤ c£m sinh tø φ. Ta cán c¦n kiºm tra l c¡c çng c§u v nh φU,V l c¡c çng c§u v nh ÷ñc x¥y düng trong chùng minh m»nh · 17. Ta l¤i câ thº qui v· tr÷íng hñp U = Spec(A[a−1]) l mët tªp mð ch½nh cõa X, V = f −1(U). V¼ ta ¢ chùng minh l ¡nh x¤ li¶n töc f : Y → X l ¡nh x¤ c£m sinh tø çng c§u v nh φ : A → B cho n¶n −1 V = Spec(B[φ(a) ]). çng c§u v nh φU,V bt buëc ph£i l çng c§u v nh x¥y düng trong chùng minh m»nh · 17, v¼ theo t½nh ch§t phê döng cõa àa ph÷ìng ho¡ ch¿ tçn t¤i duy nh§t mët çng c§u v nh ψ : A[a−1] → B[φ(a)−1] sao cho sì dç sau giao ho¡n : φ A −−−→ B     α y y β A[a−1] −−−→ B[φ(a)−1] ψ M»nh · 18 « ÷ñc chùng minh. ¤
Ch÷ìng 5 L÷ñc ç v c§u x¤ 5.1 inh ngh¾a l÷ñc ç b¬ng c¡ch d¡n c¡c l÷ñc ç aphin Cho X l mët khæng gian tæpæ vîi bâ v nh OX tr¶n X. Vîi måi tªp mð U ⊂ X, tr¶n U câ mæt c§u tróc tæpæ c£m sinh tø X v mët bâ v nh l h¤n ch¸ cõa OX v o khæng gian tæpæ U. ành ngh¾a 1 Mët c°p bao gçm mët khæng gian tæpæ v mët bâ (X, OX ) S X v nh l mët l÷ñc ç n¸u tçn t¤i mët phõ mð sao cho vîi OX X = j∈J Uj måi c°p ¯ng c§u vîi vîi mët v nh j ∈ J (Uj, OX |Oj ) (Spec(Aj), OSpec(Aj )) Aj n o â. Ta câ mët i·u ki»n c¦n hiºn nhi¶n º mët c°p (X, OX ) l mët l÷ñc ç. M»nh · 2 N¸u (X, OX ) l mët l÷ñc ç th¼ vîi måi iºm x ∈ X thî cõa OX t¤i iºm l mët v nh àa ph÷ìng. Thªt vªy, vîi måi x ∈ X, tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa X sao cho (U, OX |U ) ¯ng c§u vîi (Spec(A), OSpec(A)). N¸u diºm x t÷ìng ùng vîi mët i¶an nguy¶n tè p cõa A th¼ thî cõa OX t¤i iºm x ¯ng c§u vîi v nh àa ph÷ìng Ap. ¤ M»nh · 3 Cho (X, OX ) la mët l÷ñc ç. Khi â tçn t¤i mët cì sð cõa khæng gian tæpæ X ch¿ bao gçm c¡c l÷ñc ç aphin. 67
68 CH×ÌNG 5. L×ÑC Ç V CU X Vîi måi x ∈ X, tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa x sao cho (U, OX |U ) l mët l÷ñc ç÷ aphin. Ta l¤i bi¸t l trán mët l÷ñc ç aphin c¡c tªp mð ch½nh t¤o n¶n mët câ sð cõa khæng gian tæpæ, m c¡c tªp mð ch½nh công l l÷ñc ç aphin. Vªy n¶n khæng gian tæpæ X câ mët cì sð ch¿ bao gçm l÷ñc ç aphin. ¤ 5.2 V½ dö : x¥y düng ÷íng th¯ng x¤ £nh V½ dö cì b£n nh§t l c¡ch x¥y düng ÷íng th¯ng x¤ £nh b¬ng c¡ch d¡n hai ÷íng th¯ng aphin. Cho k l mët tr÷íng, A1 = k[x1] v A2 = k[x2] l v nh c¡c a thùc vîi h» sè trong k v vîi mët bi¸n sè x1 ho°c x2. Ta câ hai ÷íng th¯ng aphin U1 = Spec(A1) v U2 = Spec(A2). Trong U1 ta câ tªp mð ch½nh −1 . T÷ìng tü trong ta câ tªp mð ch½nh U1(x1) = Spec(k[x1, x1 ]) U2 −1 . ¯ng c§u v nh U2(x2) = Spec(k[x2, x2 ]) −1 −1 φ : k[x1, x1 ] → k[x2, x2 ] x¡c ành bði −1 v −1 , c£m sinh mët ¯ng c§u giúa hai khæng x1 7→ x2 x1 7→ x2 gian tæpæ f : U1(x1) → U2(x2). ¯ng c§u f cho ph²p ta d¡n U1 v U2 dåc theo tªp mð U1(f1) = U2(f2). X²t tªp hñp X l tªp c¡c lîp t÷ìng ÷ìng trong U1 ∪ U2 èi vîi quan h» t÷ìng ÷ìng u1 ∼ f(u1). Ta câ thº çng nh§t U1 v U2 vîi hai tªp con cõa X vîi giao l U1 ∩ U2 = U1(x1) = U2(x2). C§u tróc tæpæ tr¶n X ÷ñc x¡c ành nh÷ sau : U ⊂ X l mët tªp mð n¸u U ∩ U1 l mët tªp mð cõa U1 v U ∩ U2 l mët tªp mð cõa U2. Tçn t¤i duy nh§t tr¶n mët bâ v nh sao cho v X OX OX |U1 = OU1 . Thªt vªy, cho l mët tªp mð b§t ký cõa , ta câ OX |U2 = OU2 U X U ∩ U1 l mët tªp mð cõa U1 v U ∩ U2 l mët tªp mð cõa U2. Ta ¢ cho h¤n ch¸ cõa OX v o U1 v U2 v¼ th¸ c¡c v nh OX (U ∩ U1), OX (U ∩U2) v OX (U ∩U1∩U2) còng vîi c¡c çng c§u h¤n ch¸, vªy n¶n OX (U) ÷ñc x¡c ành duy nh§t nh÷ l tªp c¡c c°p (f1, f2) ∈ OX (U∩U1)×OX (U∩U2) tho£ m«n . Ta kiºm tra ÷ñc l h m tû f1|U∩U1∩U2 = f2|U∩U1∩U2 U 7→ OX (U) xac ành nh÷ tr¶n l bâ v nh duy nh§t tr¶n X sao cho h¤n ch¸ nâ v o U1 th¼ ta câ , h¤n ch¸ nâ v o th¼ ta câ . OU1 U2 OU2 º câ trüc gi¡c tèt hìn èi vîi kh¡i ni»m t÷ìng èi trøu t÷ñng l kh¡i ni»m bâ, ta c¦n thüc hi»n mët sè t½nh to¡n cö thº.
5.3. DN TRONG TR×ÌNG HÜP TÊNG QUT 69 Bê · 4 Cho X l ÷íng th¯ng x¤ £nh tr¶n tr÷íng k vîi bâ v nh c§u tróc OX x¥y düng nh÷ tr¶n. Khi â v nh c¡c lîp ct cõa OX tr¶n X l OX (X) = k. Ta c¦n x¡c ành c¡c c°p (f1, f2) vîi f1 ∈ k[x1] v f2 ∈ k[x2] sao cho . çng c§u −1 x¡c ành bði −1 cho f1|U1∩U2 = f2|U1∩U2 k[x2] → k[x1, x1 ] x2 7→ x1 ph²p ta çng nh§t vîi v nh con −1 cõa −1 . Nh÷ vªy k[x2] k[x1 ] k[x1, x1 ] OX (X) l giao −1 k[x1] ∩ k[x1 ] ð trong −1 . Xem nh÷ -khæng gian vectì −1 l khæng gian væ k[x1, x1 ] k k[x1, x1 ] h¤n chi·u vîi tªp n l cì sð. Khæng gian con câ n {x1 | n ∈ Z} k[x1] {x1 | n ∈ N} l cì sð cán −1 câ −n l cì sð. Vªy th¼ giao −1 câ k[x1 ] {x1 | n ∈ N} k[x1] ∩ k[x1 ] vectì 1 l cì sð ; ta câ OX (X) = k. ¤ 5.3 D¡n trong tr÷ìng hüp têng qu¡t 5.4 C§u x¤ giúa hai l÷ñc ç ành ngh¾a 5 Cho (X, OX ) v (Y, OY ) l hai l÷ñc ç. Cho mët c§u x¤ f :(Y, OY ) → (X, OX ) l • cho mët ¡nh x¤ li¶n töc f : Y → X, • vîi måi tªp mð U ⊂ X v¤ V ⊂ Y sao cho V ⊂ f −1(U), ta cho mët æng c§u v nh φU,V : OX (U) → OY (V ) sao cho t÷ìng th½ch èi vîi U v V , tùc l , vîi måi U 0 ⊂ U v V 0 ⊂ V th¼ l÷ñc ç sau ph£i giao ho¡n φ O (V ) −−−→U,V O (U) Y X   y y φ 0 U0,V 0 0 OY (V ) −−−→ OX (U ) Ì ¥y hai môi t¶n i xuèng l c¡c çng c§u h¤n ch¸. C¡c çng c¡u φU,V ph£i tho£ m¢n i·u ki»n àa ph÷ìng sau ¥y : Vîi måi y ∈ Y v x = f(y) ∈ X, çng c§u v nh φx,y : OX,x → OY,y c£m sinh tø c¡c φU,V l mët çng c§u àa ph÷ìng giúa hai v nh àa ph÷ìng.
70 CH×ÌNG 5. L×ÑC Ç V CU X S Chån mët phõ aphin X = U cõa X vîi U = Spec(A ). Vîi måi i∈I i S i i , ta l¤i câ mët phõ aphin −1 vîi . i ∈ I f (Ui) = j∈J Vj Vj = Spec(Bj) Theo m»nh · 3.18, h¤n ch¸ cõa f v o Vj c£m sinh tø mët çng c§u v nh φi,j : Ai → Bj. Ta câ thº coi f nh÷ l tªp c¡c çng c§u v nh φi,j d¡n l¤i vîi nhau theo tæpæ Zariski. i·u ki»n φx,y l çng c§u àa ph÷ìng t÷ìng ÷ìng vîi vi»c trong mët l¥n cªn õ nhä, f c£m sinh tø mët çng c§u v nh. Ta ành ngh¾a ph¤m trò Sch vîi vªt l c¡c l÷ñc ç v vîi çng c§u l c¡c c§u x¤ ành ngh¾a nh÷ tr¶n. Mët c¡ch nh¼n kh¡c v· l÷ñc ç l xem nâ khæng ph£i nh÷ mët khæng gian tæpæ ÷ñc trang bà mët bâ v nh m xem nh÷ l mët h m tû. Ta cho ùng vîi méi l÷ñc ç X = (X, OX ), h m tû Y(X): Ring → Set g¡n cho méi v nh A tªp c¡c c§u x¤ tø l÷ñc ç aphin Spec(A) v o X Y(X)(A) = HomSch(Spec(A),X). M»nh · sau chùng tä ta câ thº thay X bði h m tû Y(X) m khæng m§t b§t ký thæng tin n o. M»nh · 6 H m tû X 7→ Y(X) tø ph¤m trò Sch c¡c l÷ñc ç v o ph¤m trò F(Ring) c¡c h m tû tø Ring v o Set, l mët h m tû ¦y v chung thu. S Cho mët c§u x¤ l÷ñc ç b§t ký. Chån mët phõ aphin . Y Y = j∈J Vj 0 S Vîi mét j, j ∈ J , chån mët phõ aphin cõa giao Vj ∩Vj0 = Ui. Vîi måi i∈Ij,j0 l÷ñc ç X, cho mët c§u x¤ f : Y → X l cho mët bë c¡c c§u x¤ fj : Vj → X 0 sao cho vîi måi 0 ta câ . Tø ¥y ta suy ra tªp c¡c c§u x¤ i ∈ Ij,j fj|Ui = fj|Ui Y → X l tªp c¡c c§u x¤ tø h m tû Y(Y ) v o h m tû Y(X). ¤ 5.5 iºm : têng qu¡t ho¡ v °c bi»t ho¡ Trong h¼nh håc ¤i sè, kh¡i ni»m iºm l mët kh¡i ni¶m t÷ìng èi khâ nm bt v¼ thªt ra câ hai kh¡i ni»m iºm kh¡c nhau : iºm nh÷ ph¦n tû trong khæng gian tæpæ hay l iºm câ gi¡ trà trong mët v nh cho tr÷îc. Kh¡i ni»m têng qu¡t ho¡ v °c bi»t ho¡ công thay êi tuý theo ta nâi v· lo¤i iºm n o. Vi»c ngay ¸n nh÷ kh¡i ni»m t÷ðng nh÷ ìn gi£n nh÷ mët iºm nh÷ vªy m công rc rèi ¸n nh÷ vªy ch½nh l c¡i khâ nh÷ng công l c¡i hay cõa h¼nh håc ¤i sè. Nâ ph£n ¡nh c¡i èi ng¨u cì b£n giúa quan iºm coi c¡c
5.5. IM : TÊNG QUT HO V C BIT HO 71 èi t÷ñng h¼nh håc nh÷ c¡c khæng gian tæpæ ÷ñc trang bà mët bâ v nh v quan iºm coi c¡c èi t÷ñng h¼nh håc nh÷ mët h m tû. Khi åc c¡c t i li»u tham kh£o v· h¼nh håc ¤i sè, ng÷íi åc c¦n luæn quan t¥m ¸n xem ng÷íi ta ang nâi v· lo¤i iºm n o. Cho (X, OX ) l mët l÷ñc ç. Khi ng÷íi ta nâi ¸n iºm trong khæng gian tæpæ X th¼ ch¿ ìn gi£n l c¡c ph¦n tû x ∈ X. Vîi måi x ∈ X nh÷ vªy, ta câ mët v nh àa ph÷ìng Ox,X v mët tr÷íng c¡c d÷ κ(x) cõa OX,x. Chån mët l¥n cªn mð aphin U = Spec(A) cõa x, ta câ mët çng c§u v nh A → κ(x). Vîi måi h m f x¡c ành tr¶n l¥n cªn U = Spec(A) cõa x, tùc l f ∈ A, ta câ thº l§y gi¡ trà f(x) ∈ κ(x) l £nh cõa f trong κ(x). Vîi kh¡i ni»m iºm khæng gian tæpæ, c¡c iºm thuëc v o mët tªp hñp cè ành, nh÷ng c¡c gi¡ trà f(x) th¼ l¤i thuëc v o mët tr÷íng bi¸n thi¶n κ(x). M»nh · 7 Vîi måi x ∈ X ta câ mët c§u x¤ kþ hi»u l x : Spec(κ(x)) → X. C§u x¤ n y ph¥n t½ch qua Spec(OX,x). Nh÷ ta ¢ ph¥n t½ch ð tr¶n : ta câ mët l¥n cªn mð aphin U = Spec(A) cõa x ∈ X. C§u x¤ x : Spec(κ(x)) → X ph¥n t½ch qua U v üoc cho bði mët çng c§u A → κ(x) vîi h¤ch l i¶an nguy¶n tè px cõa A. çng c§u n y hiºn nhi¶n l ph¥n t½ch qua v nh àa ph÷ìng . Apx = OX,x ¤ Chó þ l kh¡c vîi c¡c khæng gian tæpæ thæng th÷íng, mët iºm trong khæng gian tæpæ Zariski câ thº khæng ph£i l mët tªp âng. V¼ vªy vîi méi iºm ta câ thº l§y bao âng cõa nâ. Bao âng cõa mët iºm l tªp âng nhä nh§t chùa iºm â. Cho X = Spec(A) vîi A l mët v nh nguy¶n vµn. Cho η l iºm t÷ìng ùng vîi i¶an (0) cõa A gåi l iºm tæng qu¡t. Khi â bao âng cõa η l to n bë Spec(A). M»nh · 8 sau ¥y chùng minh mët kh¯ng ành têng qu¡t hìn. ành ngh¾a 8 Cho mët l÷ñc ç (X, OX ) v hai iºm x, y trong khæng gian tæpæ X. Khi â x l mët °c bi»t ho¡ cõa y, hay y l mët têng qu¡t ho¡ cõa x n¸u nh÷ x n¬m trong bao âng cõa y. M»nh · 9 Cho X = Spec(A) l mët l÷ñc ç aphin. Cho hai iºm x, y ∈ Spec(A) t÷ìng ùng vîi hai i¶ann nguy¶n tè px, py cõa A. Khi â x l mët °c bi»t ho¡ cõa y khi v ch¿ khi px ⊃ py. Nhc l¤i l c¡c tªp âng trong khæng gian tæpæ Zariski cõa Spec(A) ·u câ d¤ng Y (I) vîi Y (I) l tªp c¡c iºm x t÷ìng ùng vîi i¶an nguy¶n tè px ⊃ I. V¼ vªy n¶n bao âng cõa y l tªp c¡c i¶an nguy¶n tè px ⊃ py. ¤