Giáo trình Hàm phức và phép biến đổi Laplace đại học - Ths Đoàn Vương Nguyên

Nội dung text: Giáo trình Hàm phức và phép biến đổi Laplace đại học - Ths Đoàn Vương Nguyên

1. Trường ĐH Nghiệp TP HCM GIÁO TRÌNH HÀM PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ĐẠI HỌC Biên soạn: Ths Đồn Vương Nguyên
2. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com HÀM PH C Tài li ệu tham kh ảo VÀ 1. Nguy ễn Kim Đính – Hàm ph ức và ứng d ụng PH ÉP BI N ĐI LAPLACE (ĐH K ỹ thu ật TP.HCM – 1998) 2. Nguy ễn Kim Đính – Phép bi ến đổ i Laplace Đ I H C (NXB Khoa h ọc và K ỹ thu ật – 1998) 3. Võ Đă ng Th ảo – Hàm ph ức và Tốn t ử Laplace PHÂN PH I CH ƯƠ NG TRÌNH (ĐH K ỹ thu ật TP.HCM – 2000 ) S ti t: 30 4. Phan Bá Ng ọc – Hàm bi ến ph ức và phép bi ến đổ i Laplace (NXB Giáo d ục – 1996) Ch ươ ng 1. S ố ph ức 5. Tr ươ ng V ăn Th ươ ng – Hàm s ố bi ến s ố ph ức Ch ươ ng 2. Hàm bi ến ph ức (NXB Giáo d ục – 2007) Ch ươ ng 3. Tích phân hàm ph ức 6. Đậ u Th ế C ấp – Hàm bi ến ph ức và phép tính Ch ươ ng 4. Chu ỗi và Thặng d ư Tốn t ử (NXB ĐH Qu ốc gia – 2006) Ch ươ ng 5. Phép bi ến đổ i Laplace 7. Nguy ễn V ăn Khuê – Lê M ậu H ải – Hàm bi ến ph ức
   Chương 1. S ph c (NXB Đạ i h ọc Qu ốc gia Hà N ội – 2006 ) §1. Số ph ức và các phép tốn. §2. D ạng l ượ ng giác của s ố ph ức, 8. Theodore. W. Gamelin – Complex Analysis cơng th ức Moivre, cơng th ức Euler. (Department of Mathematics UCLA) §3. Đườ ng và mi ền trong m ặt ph ẳng ph ức. 9. Tr ươ ng Thu ận – Tài li ệu Hàm ph ức và §1. SỐ PH ỨC VÀ CÁC PHÉP T ỐN phép bi ến đổ i Laplace 1.1. Các đị nh ngh ĩa (ĐH Cơng nghi ệp TP.HCM) • S ố ph ức là s ố cĩ d ạng z= x + iy , trong đĩ x, y ∈ ℝ. Biên so n: ThS. Đo àn V ươ ng Nguyên S ố i th ỏa i2 = − 1 đượ c g ọi là đơ n v ị ảo. Download Slide b ài gi ng Hàm ph c v à x đượ c g ọi là ph ần th ực c ủa s ố ph ức z , ký hi ệu Re z . Ph ép bi n đi Laplace Đi h c ti y đượ c g ọi là ph ần ảo c ủa s ố ph ức z , ký hi ệu Im z . dvntailieu.wordpress.com Đặ c bi ệt z= x + i 0 là s ố th ực, z= iy( y ≠ 0) là s ố thu ần ảo.
   Chương 1. S ph c
   Chương 1. S ph c VD 1. Re(2− 3i ) = 2 ; Im(2− 3i ) = − 3 . • Tập h ợp tất c ả các s ố ph ức đượ c ký hi ệu là ℂ. −3 =− 3 + i 0 ; i2= 0 + i 2 . ℂ==+{z x iyxy, ∈ ℝ }. Chú ý • Hai s ố ph ức z1= x 1 + iy 1 và z2= x 2 + iy 2 đượ c g ọi là  ℕ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ . bằng nhau n ếu x1= x 2 và y1= y 2 . x = − 2  z∈ℝ ⇔Im z = 0 .  VD 2. 2xi+ 3 = − 4 − iy ⇔   Khi x = ∞ ho ặc y = ∞, ta ký hi ệu z= x + iy = ∞. y = − 3.  Tập ℂ= ℂ ∪ { ∞ } đượ c g ọi là t ập s ố ph ức m ở r ộng. • S ố ph ức z= x − iy đượ c g ọi là số phức liên h ợp c ủa số ph ức z= x + iy , ngh ĩa là x+ iy = x − iy . 1.2. Các phép tốn trên s ố ph ức z x iy z x iy Cho hai s ố ph ức 1= 1 + 1 và 2= 2 + 2 , ta đị nh VD 3. −23 −i =− 23 + i ; i2= − i 2 ; −1 = − 1 . ngh ĩa các phép tốn nh ư sau: Hàm ph c & Phép bi n đi Laplace Đi h c 1
3. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com
   Chương 1. S ph c
   Chương 1. S ph c a) Phép c ộng và tr ừ s ố ph ức Chú ý • Do (x+ iy )( x + iy ) =xx + ixy + ixy + iyy2 (x+ iy )( ++ x iy )( =++ x x )( iy + y ), 1 12 2 12 12 21 12 11 22 12 12 =(xx − yy )( + ixy + xy ) , (x+ iy )( −+ x iy )( =−+ x x )( iy − y ). 12 12 12 21 11 22 12 12 nên ta nhân nh ư hai đa th ức và chú ý i 2 = − 1. • Phép nhân s ố ph ức cĩ các tính ch ất nh ư nhân s ố th ực. Chú ý . Phép c ộng s ố ph ức cĩ tính giao hốn và k ết h ợp. 2 VD 4. (2+i ) +−− (1 i ) = 1 ; −3i −−+ (1 5) i =− 1 8 i . VD 5. −i2(1) −+= iii 2 − 2 = 2 + i 2 ; i i iii2 i b) Phép nhân s ố ph ức (1− )(23) −+ =−+ 23 + 2 − 3 =+ 15 ; 2 (x1+ iyx 12 )( += iy 2 )( xx 12 −+ yy 12 )( ixy 12 + xy 21 ). (1− 2)(1i + 2) i =− 1 4 i = 5 .
   Chương 1. S ph c
   Chương 1. S ph c c) Phép chia s ố ph ức d) L ũy th ừa b ậc n c ủa s ố ph ức Gi ả s ử z ≠ 0, khi đĩ ta cĩ: 2 zn = zzzn (số z ). z1 zz 12( x 1+ iyx 12 )( − iy 2 ) z: z = = = . 2 3 4 2 2 1 2 z z z 2 2 VD 7. i = − 1; i= − i ; i=( i ) = 1 ; 2 2 2 x2+ y 2 (1)133−i3 =− iii + 2 − 3 =−− 22 i . 1−i (1 −− ii )(2 ) 1 − 3 i 1 3 e) C ăn b ậc n c ủa s ố ph ức VD 6. = = =− i; 2+i (2 + i )(2 − i ) 5 5 5 w=n z ⇔ zw = n . 3+ 2i (3 +− 2)( ii ) 2 − 3 i VD 8. Tính 3+ 4 i . = = =−2 3 i. i i(− i ) 1 VD 9. Tính 3 1.
   Chương 1. S ph c
   Chương 1. S ph c 1.3. Đị nh lý §2. D ẠNG L ƯỢ NG GIÁC C ỦA S Ố PH ỨC z x iy z x iy z x iy Cho = + , 1= 1 + 1 , 2= 2 + 2 , ta cĩ: CƠNG TH ỨC MOIVRE, CƠNG TH ỨC EULER 2 .1. Dạng l ượ ng giác c ủa s ố ph ức 1) z= zz;1 +=+ z 2 z 1 zzz 212 ; = zz 12 . 2) zz+=2Re z = 2; xzz −= 2Im iz = 2 iy . a) M ặt ph ẳng ph ức 3) zz.(=+ x iyx )( − iy ) =+≥ x2 y 2 0 . • Về m ặt hình h ọc, s ố ph ức z= x + iy đượ c bi ểu di ễn bằng điểm M( x ; y ) trong m ặt ph ẳng t ọa độ Descartes z  z 4)  1 1 z . vuơng gĩc Oxy .   =(2 ≠ 0) z  z 2 2 Khi đĩ, m ặt ph ẳng Oxy đượ c g ọi là mặt ph ẳng ph ức. n VD 10. Cho Pzn ()= a0 + az 1 + + azn là đa th ức b ậc • Trong m ặt ph ẳng ph ức, ta cĩ: n theo z v ới h ệ s ố ai ∈ℝ ( i = 0,1, , n ) . Imz= 0 ⇔ zOx ∈ ; Rez= 0 ⇔ zOy ∈ . Gi ả s ử Pn (2+ 3 i ) = 1 − i , tính Pn (2− 3 i ) . Hàm ph c & Phép bi n đi Laplace Đi h c 2
4. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com
   Chương 1. S ph c
   Chương 1. S ph c Do đĩ: y z= x + iy • Gĩc đị nh h ướ ng ϕ = Ox, OM cĩ tia đầ u Ox và tia  Trục hồnh Ox y • ( ) M đượ c g ọi là tr ục th ực. cu ối OM , đượ c g ọi là argument c ủa z . y  Trục tung Oy x • Argument ϕ c ủa z th ỏa mãn O x M • đượ c g ọi là tr ục ảo. −π < ϕ ≤ π b) Modul và argument c ủa s ố ph ức đượ c g ọi là argument chính , ϕ • Trong m ặt ph ẳng ph ức, y ký hi ệu là arg z . O x kho ảng cách r t ừ gốc t ọa độ y • M • Nếu z là s ố th ực d ươ ng thì argz = 0 , O đế n điểm M đượ c g ọi là r z là s ố th ực âm thì argz = π . modul c ủa z , ký hi ệu là |z | . O x x z = 0 thì argument c ủa z khơng xác đị nh. z Modul c ủa đượ c xác đị nh b ởi: • Ký hi ệu t ập h ợp t ất c ả argument c ủa z là Arg z . |z |== rOM = x2 + y 2 . Vậy Arg z=arg zk + 2,π k ∈ ℤ .
   Chương 1. S ph c
   Chương 1. S ph c Quy ướ c c) Dạng l ượ ng giác c ủa s ố ph ức Khi khơng nĩi rõ ϕ thu ộc kho ảng nào thì ta hi ểu ϕ là • Cho s ố ph ức z= x + iy cĩ |z | = r và arg z = ϕ.   argument chính. x y  Ta cĩ: zr= += i r(cosϕ + i sin ϕ ) .  r r   • Cách xác đị nh argument chính c ủa z = x + iy V ậy dạng l ượ ng giác c ủa s ố ph ức z là: z rϕ i ϕ
   Bướ c 1. Xác đị nh điểm M bi ểu di ễn z trên mp Oxy . =(cos + sin ). x y VD 2. Viết các s ố ph ức sau d ướ i dạng l ượ ng giác:
   Bướ c 2. arg z = ϕ th ỏa mãn cosϕ= ,sin ϕ = , r r a) z = − 4; b) z=1 − i 3 ; c) z= −2 + i 2 . −π < ϕ ≤ π và ph ụ thu ộc vào v ị trí c ủa M . Nh ận xét  Nếu z= r(cosϕ + i sin ϕ ) thì: VD 1. Xác đị nh modul và argument c ủa các s ố ph ức: zr=(cosϕϕ − i sin ) = r [cos( −+− ϕ ) i sin( ϕ )] . a) z= i ; b) z= −3 − i .  Nếu z ∈ ℝ , z= x + i 0 thì ||z= x2 + 0|| 2 = x .
   Chương 1. S ph c
   Chương 1. S ph c 2.2. Cơng th ức Moivre 2.3. Cơng th ức Euler • Cho s ố ph ức z=cosϕ + i sin ϕ . Ta cĩ: iin=4 kr+ =( iii kr ) 4 . = r (0 ≤≤ r 3) . Do đĩ: n Khi đĩ: z=cos ninnϕ + sin ϕ ( ∈≥ℤ , n 1). • in = 1 n ếu r = 0, ngh ĩa là n ⋮4; n • T ổng quát, cho s ố ph ức z= r(cosϕ + i sin ϕ ) . • i= i n ếu r = 1, ngh ĩa là n : 4 d ư 1; Khi đĩ: • in = − 1 n ếu r = 2, ngh ĩa là n : 4 d ư 2; n 1)zn= r n (cos nϕ + inn sin ϕ ), ∈ ℤ . • i= − i n ếu r = 3, ngh ĩa là n : 4 d ư 3.   Khai tri ển Maclaurin hàm eiϕ (ϕ ∈ ℝ ) , ta đượ c: n n ϕ+k2 π ϕ + k 2 π  2)zwr= = cos + i sin  k   ∞ n 2 4  3  n n  iϕ (iϕ ) ϕϕ ϕϕ  e = =−1 + −+ i  − +  ∑ n 2! 4!  1! 3!  (n∈ℤ, n ≥ 2, k = 0, n − 1) . n=0 !    =cosϕ + i sin ϕ . VD 3. Tính a) (1−i ) 100 ; b) 3 8 . Hàm ph c & Phép bi n đi Laplace Đi h c 3
5. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com
   Chương 1. S ph c
   Chương 1. S ph c
   Cơng th ức Euler 2) V ới m ọi z1=+ x 1 iyz 12, =+ x 2 iy 2 , ta g ọi iϕ e=cosϕ + i sin ϕ . |zz− |( = xx − )(2 +− yy ) 2 12 12 12 • D ựa vào cơng th ức Euler, s ố ph ức z cĩ z r và | | = là kho ảng cách gi ữa z1 và z2. arg z = ϕ cĩ th ể đượ c vi ết dướ i d ạng m ũ: Khi đĩ |z− a | = r hay z= a + re iϕ (ϕ ∈ [0;2 π ]) z= re iϕ . là ph ươ ng trình đườ ng trịn tâm a , bán kính r . Đặ c bi ệt, |z |= 1 hay z= e iϕ là ph ươ ng trình của VD 4. Vi ết các s ố ph ức sau d ướ i d ạng m ũ: đườ ng trịn đơ n v ị. a) z = − 3; b) z= − i ; c) z= −3 + i . • Cơng th ức c ần nh ớ i iϕ Nh ận xét ϕ 1 Với z= re , zre11= = r 11(cosϕ + i sin ϕ 1 ) , iϕ −iϕ 1) N ếu z= re thì z= re . iϕ2 zre22= = r 22(cosϕ + i sin ϕ 2 ) , ta cĩ:
   Chương 1. S ph c
   Chương 1. S ph c i(ϕ1+ ϕ 2 ) 1) zz12= rre 12 §3. ĐƯỜ NG VÀ MI ỀN TRONG M ẶT PH ẲNG PH ỨC =r12 r[cos(ϕϕ 12 ++ ) i sin( ϕϕ 12 + )] . 3.1. Đườ ng trong m ặt ph ẳng ph ức z r i(ϕ− ϕ ) 2) 1= 1 e 1 2 z r a) Ph ươ ng trình tham s ố 2 2 • Gi ả s ử xt( ), yt ( ) là các hàm th ực, xác đị nh và li ên t ục r =1 [cos(ϕϕ −+ )i sin( ϕϕ − )] . trên [a ; b ] c ủa đườ ng th ẳng th ực. Khi đĩ ph ươ ng trình: r 12 12 2 z= zt() = xt () + iyt (),a ≤≤ t b n nin ϕ 3) z= re, n ∈ ℤ. bi ểu di ễn tham s ố một đườ ng cong L trong mp ph ức. ϕ+k 2 π i 4) nzw== n re.n n ≥=− 2, k 0, n 1 . k ( ) • Các điểm za( ), zb ( ) ∈ L lần l ượ t đượ c g ọi là điểm đầ u và điểm cu ối c ủa đườ ng cong L.
   Chương 1. S ph c
   Chương 1. S ph c VD 1. a) Đườ ng trịn tâm O bán kính r cĩ ph ươ ng trình: b) Phân lo ại đườ ng cong zr=(cos ti +=+ sin t ) r cos tir . sin tt , ∈ [0; 2π ] . • Đườ ng cong cĩ điểm đầ u và điểm cu ối trùng nhau b) Đoạn th ẳng n ối điểm O và điểm (1+ i ) cĩ ph ươ ng đượ c g ọi là đườ ng cong đĩng (khép kín). trình là z= t + itt, ∈ [0;1]. • Đườ ng cong khơng cĩ điểm t ự c ắt đượ c g ọi là đườ ng VD 2. Xác đị nh đườ ng cong cĩ ph ươ ng trình: cong Jordan . Đườ ng cong Jordan đĩng cịn đượ c g ọi i z= t +(0 0 và y = . • Đườ ng cong L đượ c g ọi là tr ơn n ếu các hàm s ố x( t ) và t t y( t ) cĩ đạ o hàm liên t ục và khác 0 trên đoạn [a ; b ] , cĩ 1 Kh ử t , ta đượ c y=( x > 0) . ngh ĩa là m ọi điểm c ủa L đề u cĩ ti ếp tuy ến. x 1 V ậy đườ ng cong đã cho là nhánh hyperbol y = nằm • Đườ ng cong t ạo b ởi m ột s ố h ữu h ạn các đườ ng cong x tr ơn đượ c g ọi là đườ ng cong tr ơn t ừng khúc . ở gĩc ph ần t ư th ứ nh ất c ủa m ặt ph ẳng ph ức. Hàm ph c & Phép bi n đi Laplace Đi h c 4
6. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com
   Chương 1. S ph c
   Chương 1. S ph c 3.2. Mi ền trong m ặt ph ẳng ph ức VD 3. a) T ập Dz={ ∈ℂ :| z −− 0 c ủa z (≠ ∞ ) là hình trịn m ở tâm t ại z : { } { } 0 0 khơng là mi ền vì v ới a, b∈ D , ta cĩ th ể ch ỉ ra đượ c Uz()=∈ zℂ | zz − | ε. L khơng n ằm trong D . • Tập D ⊂ ℂ đượ c g ọi là m ột mi ền trong m ặt ph ẳng b) Biên và chi ều c ủa biên z D ph ức n ếu th ỏa hai điều ki ện sau: • Điểm 0 đượ c g ọi là điểm biên c ủa mi ền n ếu trong lân c ận b ất k ỳ c ủa z đề u cĩ ch ứa điểm thu ộc D và 1) V ới m ọi z0 ∈ D , t ồn t ại lân c ận Uε( z0 ) ⊂ D . 0 2) Với m ọi a, b∈ D , t ồn t ại đườ ng cong L⊂ D cĩ điểm khơng thu ộc D . • Tập h ợp các điểm biên c ủa mi ền D đượ c g ọi là biên điểm đầ u là a, điểm cu ối là b. của D , ký hi ệu là ∂D.
   Chương 1. S ph c
   Chương 1. S ph c • Nếu D là m ột mi ền thì D= D ∪ ∂ D đượ c g ọi là mi ền đĩng (hay mi ền kín). γ D γ • Q uy ướ c chi ều d ươ ng c ủa biên ∂D là chi ều mà khi ta 2 γ đi d ọc theo biên s ẽ th ấy mi ền D n ằm v ề phía tay trái. 1 c) Mi ền đơ n liên, mi ền đa liên γ ≡ ∂ D Nh ận xét • Xét mi ền D gi ới h ạn b ởi chu • Nếu ta bổ sung vào mi ền ∪ ∪ ∂D = γ γ1 γ 2 tuy ến γ. Mi ền này đượ c g ọi là D đa liên các đoạn th ẳng mi ền đơ n liên, γ chính là ∂D. l, l , thì mi ền s ẽ thành 1 2 γ D • Nếu D đượ c gi ới h ạn b ởi hai chu tuy ến γ, γ khơng l 1 2 mi ền đơ n liên. M ỗi đoạn 1 γ l 2 giao nhau, thì mi ền D đượ c g ọi là mi ền nh ị liên . Khi th ẳng đượ c tính hai l ần 2 γ1 D ∪ theo chi ều ng ượ c nhau. đĩ, ∂ = γ1 γ 2 . T ươ ng t ự, ta cĩ th ể đị nh ngh ĩa mi ền tam liên, t ứ liên,
   Chương 2. H àm bi n ph c
   Chương 2. H àm bi n ph c §1. Hàm bi ến ph ức. • N ếu m ỗi z∈ A ứng v ới m ột giá tr ị w= f( z ) ∈ ℂ thì f §2. Hàm gi ải tích. §3. Quan h ệ gi ữa hàm gi ải tích và hàm điều hịa. đượ c g ọi là hàm đơ n tr ị, n ếu m ỗi z∈ A ứng v ới nhi ều §4. Các hàm s ố s ơ c ấp. giá tr ị w= f( z ) ∈ ℂ thì f đượ c g ọi là hàm đa tr ị. §1. HÀM BI ẾN PH ỨC 1 (Complex variable function ) VD 1. f( z ) = là hàm đơ n tr ị cĩ MX Đ D = ℂ \ {0} . z 1.1. Hàm bi ến ph ức a) Đị nh ngh ĩa Trong D = ℂ \ {0} , w= fz( ) = z là hàm hai tr ị. • Quy t ắc f cho t ươ ng ứng m ỗi z∈ A ⊂ ℂ v ới m ột hay VD 2. Cho fz( )= z − 3 Im z . Tính: nhi ều giá tr ị w= f( z ) ∈ ℂ đượ c g ọi là m ột hàm bi ến f fif i . ph ức z . (1), (− 2 ), (1 − 2 ) A f 2 • T ập đượ c g ọi là mi ền xác đị nh (MX Đ) c ủa . VD 3. Cho fz( )= 3 z + z . Tính f(− 1 + 3) i . T ập B={ ww = fz( ), z ∈ A } t ập giá tr ị c ủa f . Hàm ph c & Phép bi n đi Laplace Đi h c 5
7. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com
   Chương 2. H àm bi n ph c
   Chương 2. H àm bi n ph c c*) Phép bi ến hình th ực hi ện b ởi hàm bi ến ph ức b) Ph ần th ực và ph ần ảo c ủa hàm bi ến ph ức Để bi ễu di ễn hình h ọc m ột hàm s ố th ực bi ến s ố th ực, ta • Với m ỗi z∈ A , w= f( z ) ∈ ℂ nên ta cĩ th ể vi ết: vẽ đồ th ị c ủa hàm s ố đĩ. Để bi ễu di ễn hình h ọc m ột hàm s ố ph ức, ta khơng th ể dùng ph ươ ng pháp đồ th ị w= fz() = uxy (,) + ivxy (,). đượ c n ữa. Ta thực hi ện nh ư sau: Các hàm uxy(, )= Re w và vxy(, )= Im w l ần l ượ t • Cho hàm bi ến ph ức w= f( z ) , z∈ A . Xét hai m ặt đượ c g ọi là ph ần th ực và ph ần ảo c ủa hàm f( z ) . ph ẳng ph ức Oxy (mp z ) và O′ uv (mp w). Ứng v ới m ỗi z A w f z w f z điểm 0 ∈ , hàm = ( ) xác đị nh điểm 0= ( 0 ) VD 4. Xác đị nh ph ần th ực và ảo c ủa wz=2 +(1 − iz ) . trong m ặt ph ẳng w. V ề m ặt hình h ọc, ta nĩi hàm w= f( z ) xác đị nh m ột 1 VD 5. Xác đị nh ph ần th ực và ảo c ủa f( z ) = z − . phép bi ến hình t ừ mp z vào mp w. z Điểm w0 đượ c g ọi là ảnh c ủa điểm z0 và điểm z0 đượ c w gọi là ngh ịch ảnh c ủa điểm 0 .
   Chương 2. H àm bi n ph c
   Chương 2. H àm bi n ph c y v arg w • Đườ ng cong Lzt:()= xt () + iyt () cĩ ảnh qua phép arg z bi ến hình w= fz() = uxy (,) + ivxy (,) là t ập h ợp điểm 2 ϕ w= z 2ϕ trong mp w v ới t ọa độ : O x O ′ u u= uxt((), yt ()); v = vxt ((), yt ()) . Hình câu 3) VD 6. Cho hàm f( z ) = z 2 . Tìm ảnh c ủa: w= z 2 1) Điểm z0 =3 + 2 i ; 2) Đườ ng trịn |z |= 2 ; π 3) Tia arg z = ϕ, 0 ∃>εδ0, 0:|zz − | ∃>0, 0:| − 0 Hàm ph c & Phép bi n đi Laplace Đi h c 6
8. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com
   Chương 2. H àm bi n ph c
   Chương 2. H àm bi n ph c • Hàm f( z ) đượ c g ọi là liên t ục trong mi ền B n ếu f( z ) §2. HÀM GI ẢI TÍCH liên t ục t ại m ọi điểm z∈ B . 2.1. Đạ o hàm c ủa hàm bi ến ph ức Nh ận xét a) Đị nh ngh ĩa z x iy • N ếu fz()= uxy (,) + ivxy (,) liên t ục t ại 0= 0 + 0 Cho hàm w= f( z ) xác đị nh trong mi ền D ch ứa điểm u x y v x y x y z= x + iy . Cho z m ột s ố gia z = x + iy . G ọi thì ( , ) và ( , ) liên t ục t ại (0 , 0 ) . • Các tính ch ất và phép tính gi ới h ạn t ươ ng t ự nh ư hàm w = fz( + z ) − fz () là s ố gia t ươ ng ứng c ủa f( z ) . th ực hai bi ến. w 2 2 N ếu t ỉ s ố d ần t ới m ột gi ới h ạn xác đị nh khi VD 8. a) lim (zi+ ) = (1 + iii ) += 3 . z z→1 + i 1 1 x− y z → 0 (theo m ọi cách) thì gi ới h ạn đĩ đượ c g ọi là b) Hàm ph ức f( z ) == = + i đạ o hàm c ủa w= f( z ) t ại điểm z . Ký hi ệu f′( z ) . z x+ iy x2+ y 2 x 2 + y 2 liên t ục trên ℂ \ {0} . w fz( +− zfz ) () Ta cĩ: f′( z )= lim = lim . z →0z z → 0 z
   Chương 2. H àm bi n ph c
   Chương 2. H àm bi n ph c Chú ý VD 2. Xét hàm f( z ) = z , ta cĩ:  f( z ) cĩ đạ o hàm t ại điểm z thì kh ả vi t ại điểm z . fz() = fz ( +− z ) fz () =+− z zz  f( z ) cĩ đạ o hàm t ại điểm z thì liên t ục t ại điểm z . =z = xiy + = xiy − .  Đạ o hàm c ủa hàm bi ến ph ức cĩ các tính ch ất và quy • N ếu z → 0 theo tr ục th ực thì y =0, z = x tắc tính t ươ ng t ự hàm bi ến s ố th ực. f( z ) x ⇒lim = lim = 1 . z →0 z → 0 2 z x VD 1. Xét hàm f( z ) = z , ta cĩ: • N ếu z → 0 theo tr ục ảo thì x =0, ziy = fz() = fz ( +− z ) fz ()2. = zz + () z 2 fz( ) − iy ⇒lim = lim =− 1 . f( z ) z →0 z → 0 ⇒lim = lim(2z +=⇒ z ) 2 zfz′ ( ) = 2 z . z i y z →0 z → 0 z Vậy hàm f( z ) = z khơng kh ả vi t ại m ọi điểm z ∈ ℂ.
   Chương 2. H àm bi n ph c
   Chương 2. H àm bi n ph c b) Điều ki ện kh ả vi Cauchy – Riemann (C – R) Nh ận xét Đị nh lý zz+ zz − Do x=, y = nên ta cĩ: • N ếu hàm fz()= uxy (,) + ivxy (,) kh ả vi t ại z= x + iy 2 2 i 1 1 thì các hàm hai bi ến th ực u( x , y ) và v( x , y ) cĩ các đạ o ′ ′′ ′′ ′ ′ fz= fx xzyz. + fy . = f x − f y hàm riêng tại (x , y ) và th ỏa điều ki ện C – R: 2 2 i 1 =[(u′ + iv ′ ) + iu ( ′ + iv ′ )] uv′′ và u ′ v ′ x x y y xy= y = − x . 2 1 • Ng ượ c l ại, n ếu các hàm hai bi ến th ực u x y và v x y ′′ ′′ ( , ) ( , ) =[(uxy −+ v ) iu ( yx + v )] . cĩ các đạ o hàm riêng liên t ục t ại (x , y ) và th ỏa điều 2 Vậy điều ki ện C – R t ươ ng đươ ng v ới: ki ện C – R thì hàm fz()= uxy (,) + ivxy (,) kh ả vi t ại z= x + iy và: ∂f =f ′ = 0. ′ ′ ′ z fz( )= ux + iv x . ∂z Hàm ph c & Phép bi n đi Laplace Đi h c 7
9. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com
   Chương 2. H àm bi n ph c
   Chương 2. H àm bi n ph c VD 3. Xét hàm w= z 2 , ta cĩ: u= x2 − yv 2 , = 2 xy . c) Hàm gi ải tích u′=2 x = v ′ Đị nh ngh ĩa Do  x y nên w= z 2 kh ả vi trên ℂ.  ′ ′ • Hàm w= f( z ) kh ả vi trong m ột lân c ận c ủa z đượ c uy=−2 y =− v x  gọi là gi ải tích (cịn g ọi là ch ỉnh hình) tại z . VD 4. Xét hàm fz( )= z .Re z , ta cĩ: Điểm z mà t ại đĩ hàm w= f( z ) khơng gi ải tích đượ c 2 2 fz( )=+ x ixy ⇒= u xv , = xy . gọi là điểm b ất th ườ ng c ủa f( z ) . uv′= ′ 2 xx =  x = 0 x y   • Hàm w= f( z ) kh ả vi t ại m ọi điểm z thu ộc mi ền D thì Điều ki ện C – R: ⇔  ⇔  . uv′=− ′ 0 =− yy  = 0 đượ c g ọi là gi ải tích trong mi ền D . y x   Vậy fz( )= z .Re z kh ả vi t ại z = 0 và Chú ý f′(0)= u ′ (0,0) + iv ′ (0,0) = 0 . w f z z z x x  Hàm = ( ) gi ải tích t ại điểm 0 thì kh ả vi t ại 0 , ng ượ c l ại nĩi chung là khơng đúng. VD 5 . Xét tính kh ả vi c ủa hàm w=3 Re z − z .
   Chương 2. H àm bi n ph c
   Chương 2. H àm bi n ph c Ch ẳng h ạn, hàm fz( )= zz . kh ả vi t ại z = 0 nh ưng §3. QUAN H Ệ GI ỮA HÀM GI ẢI TÍCH khơng gi ải tích t ại điểm đĩ. VÀ HÀM ĐIỀU HỊA 3.1. Hàm điều hịa  Hàm w= f( z ) gi ải tích trên mi ền m ở D khi và ch ỉ • Đị nh ngh ĩa khi f z kh ả vi trên D . ( ) Hàm hai bi ến th ực u( x , y ) đượ c g ọi là hàm điều hịa VD 6. a) Hàm w= z khơng gi ải tích t ại ∀z ∈ ℂ. trong mi ền D n ếu u( x , y ) th ỏa ph ươ ng trình Laplace: n ≡u u′′ + u ′′ = 0. b) Hàm w= z kh ả vi t ại ∀z ∈ ℂ nên gi ải tích trong ℂ. x2 y 2 z c) Hàm w = gi ải tích t ại ∀z ∈ℂ \ { ± i } . VD 1. a) Hàm u= x2 − y 2 là hàm điều hịa vì: z 2 + 1 u′′2+ u ′′ 2 =2 − 2 = 0 . Hai điểm z= ± i là điểm b ất th ườ ng c ủa hàm w. x y 2 2 b) Hàm u=ln( x + y ) là hàm điều hịa trong tồn mặt ph ẳng tr ừ g ốc t ọa độ .
   Chương 2. H àm bi n ph c
   Chương 2. H àm bi n ph c • Đị nh lý 3.2. Điều ki ện để hàm bi ến ph ức gi ải tích N ếu hàm fz()= uxy (,) + iyxy (,) là hàm gi ải tích trong • Nếu u( x , y ) và v( x , y ) là hai hàm điều hịa liên h ợp mi ền D thì u( x , y ) và y( x , y ) là các hàm điều hịa trong (ngh ĩa là th ỏa điều ki ện Cauchy – Riemann) trong D mi ền D . thì hàm fz()= uxy (,) + ivxy (,) gi ải tích trong D . VD 2. Hàm we=x (cos yi + sin y ) gi ải tích trong ℂ. Nh ận xét T a cĩ: ue=xcos yve , = x sin y • Cho tr ướ c m ột hàm điều hịa, ta cĩ th ể tìm đượ c hàm x x điều hịa liên h ợp v ới nĩ (sai khác 1 h ằng s ố). Vì v ậy, ⇒=u′′ ecos yu , ′′ =− e cos y ; x2 y 2 khi cho tr ướ c ph ần th ực ho ặc ph ần ảo c ủa m ột hàm v′′= exsin yv , ′′ = − e x sin y gi ải tích, ta cĩ th ể tìm đượ c hàm gi ải tích đĩ (sai khác x2 y 2 1 h ằng s ố). ⇒+=uu′′ ′′0; vv ′′ += ′′ 0 . x2 y 2 xy 22 VD 3. Tìm hàm gi ải tích f( z ) . Vậy ue=xcos, yve = x sin y là các hàm điều hịa. Cho bi ết ph ần th ực ux=2 − y 2 + 2 x và f (0)= 0 . Hàm ph c & Phép bi n đi Laplace Đi h c 8
10. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Chương 2. H àm bi n ph c
    Chương 2. H àm bi n ph c §4. CÁC HÀM SỐ SƠ C ẤP 4.2. Hàm m ũ và Logarit 4.1. Hàm h ữu t ỉ a) Hàm m ũ eez= xiy+ = e x (cos yiy + sin ). azn+ az n −1 + + a f( z )= 0 1 n . m m −1 • Tính ch ất bz0+ bz 1 + + b m  Nếu z= x thì ez= e x . Các tr ườ ng h ợp riêng c ủa hàm h ữu t ỉ  Hàm tuy ến tính: fz( ) = az + b , D = ℂ.  |ez |= | e x | > 0, ∀∈ z ℂ. n  ℤ D ℂ zz zz+ Hàm l ũy th ừa: fz( )= z , n ∈
    , = .  e12. e= e 12 .  Hàm đa th ức: fz azn az n −1 a , D ℂ. z ( )=0 + 1 ++ n =  Hàm w= e tu ần hồn v ới chu k ỳ 2πi . az+ b d  z z z  Hàm phân tuy ến tính: f( z ) = , D =ℂ \  −  .  Hàm w= e kh ả vi v ới m ọi z ∈ ℂ và (e )′ = e . cz+ d c 
    Chương 2. H àm bi n ph c
    Chương 2. H àm bi n ph c b) Hàm logarit w = Lnz 4.3 . Các hàm l ượ ng giác và hyperbol 1 • Đị nh ngh ĩa  Hàm cosin: cosz= ( eiz + e − iz ) . V ới zr=(cosϕ + i sin ϕ ) = re . iϕ , ta cĩ: 2 1 lnz=ln r ++ i (ϕ k 2),(0 π ≤≤ ϕπ 2) .  Hàm sin: sinz= ( eiz − e − iz ) . 2i Ch ọn k = 0 và ký hi ệu Lnz , ta đượ c: ez+ e − z Lnz=ln r + i ϕ , (0 ≤≤ ϕ 2 π ).  Hàm cosin hyperbolic: chz= = cos( iz ) . 2 ez− e − z • Tính ch ất  Hàm sin hyperbolic: shz= = − isin( iz ) .  Hàm Lnz là hàm đơ n tr ị xác đị nh trên ℂ \ {0} . 2  • Tất c ả c ác tính ch ất và cơng th ức l ượ ng giác đã bi ết Lnzz(12 . ) = Lnz 1 + Lnz 2 . 1 cũng đúng v ới các hàm l ượ ng giác ph ức.  Hàm w= Lnz kh ả vi ∀z ∈ ℂ \ {0} và (Lnz ) ′ = . Các hàm hyperbol xác đị nh và liên t ục trên ℂ. z
    Chương 3. T ích phân h àm ph c
    Chương 3. T ích phân h àm ph c §1. Tích phân đườ ng c ủa hàm ph ức. §2. Đị nh lý Cauchy. Trên m ỗi cung zk−1 z k ta ch ọn tùy ý điểm tk (k= 1, n ) §3. Tích phân b ất đị nh. Cơng th ức Newton – Leibnitz. n §4. Cơng th ức tích phân Cauchy. và l ập t ổng S= ftz()( − z ) . n∑ kkk −1 §1. TÍCH PHÂN ĐƯỜ NG C ỦA HÀM PH ỨC k=1 1.1. Đị nh ngh ĩa y • Nếu khi zk = z k − z k → 0, t ổng Sn d ần đế n gi ới • Cho đườ ng cong đị nh h ướ ng z −1 C n hạn là I ∈ ℂ (khơng ph ụ thu ộc vào cách chia và ch ọn Jordan C , tr ơn t ừng khúc, cĩ • điểm t ), thì I đượ c g ọi là tích phân c ủa f( z ) d ọc theo ph ươ ng trình: k • k zk zt()= xt () + iyt () , t: a→ b • ••t C h ướ ng t ừ z đế n z . Ký hi ệu f( z ) dz . z z k 0 n ∫ và hàm ph ức f( z ) xác đị nh 0 k−1 C liên t ục trên C . Chia C thành O x n Vậy fzdz()= lim ftzz − . n điểm chia liên ti ếp: ∫ ∑ ( k)( k k −1 ) maxzk → 0 C 1≤k ≤ n k=1 za()= zz0 , 1 , , zn = zb () . Hàm ph c & Phép bi n đi Laplace Đi h c 9
11. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Chương 3. T ích phân h àm ph c
    Chương 3. T ích phân h àm ph c • N ếu đườ ng cong cĩ điểm đầ u và cu ối l ần l ượ t là A, B  ∪ Nếu C= C1 C 2 và C1∩ C 2 = ∅ thì: thì ta ký hi ệu f z dz . ∫ ( ) fzdz()= fzdz () + fzdz () . ∫ ∫ ∫ AB C C C • N ếu đườ ng cong C cĩ điểm đầ u và cu ối trùng nhau thì 1 2 ta ký hi ệu ∫ f( z ) dz v ới chi ều c ủa C là chi ều d ươ ng.  ∫fzdz()= − ∫ fzdz () . C AB BA 1.2. Tính ch ất  Gọi L là độ dài c ủa đườ ng C và M= max f ( z ) , ta Tích phân đườ ng hàm ph ức d ọc theo C cĩ các tính ch ất z∈ℂ nh ư tích phân đườ ng lo ại 2: cĩ cơng th ức ướ c l ượ ng tích phân: fzdz()≤ fz () dz ≤ ML .  [()afz+ bgzdz ()] = a fzdz () + b gzdz () . ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ C C C C C
    Chương 3. T ích phân h àm ph c
    Chương 3. T ích phân h àm ph c 1.3. Ph ươ ng pháp tính b) Bi ểu di ễn tích phân theo ph ần th ực và ảo c ủa f(z) a) Đư a v ề tích phân xác đị nh Thay f()ξ= u () ξ + iv () ξ và z = x + iy vào Nếu ph ươ ng trình c ủa Czt:()= xt () + iyt (), ta : → b k k k k k k tổng Sn , ta đượ c: b n n fzdz()= fzt (()).(). ztdt′ S= f(ξ ) z =[()uξ + iv ()]( ξ + x iy ) thì: ∫ ∫ n∑ k k ∑ k k k k C a k=1 k=1 2 n n VD 1. Tính tích phân I= ( zdz ) , trong đĩ =[()uξξ −+ xv () yiv ] [() ξ + xu () ξ y ]. ∫ ∑kk kk ∑ kk kk C k=1 k = 1 C là đoạn th ẳng n ối từ g ốc t ọa độ O đế n điểm 1 + i. Qua gi ới h ạn, ta cĩ: VD 2. Tính tích phân I= ( zdz ) 2 , trong đĩ C là n ửa ∫ fzdz( )= udx −+ vdy i vdx + udy . C ∫ ∫ ∫ dướ i c ủa đườ ng trịn đơ n v ị n ối t ừ z = − 1 đế n z = 1. C C C
    Chương 3. T ích phân h àm ph c
    Chương 3. T ích phân h àm ph c §2. ĐỊNH LÝ CAUCHY VD 3. Tính tích phân I= ∫ zdz , trong đĩ C 2.1. Đị nh lý Cauchy cho mi ền đơ n liên C là đoạn th ẳng n ối từ điểm z=2 + i đế n điểm z = 0. a) Đị nh lý Nếu hàm f( z ) gi ải tích trên mi ền đơ n liên D và liên t ục VD 4. Tính tích phân I=∫ (1 + i − 2 zdz ) , trong đĩ trên biên C≡ ∂ D thì: C f( z ) dz = 0. 2 ∫ C là cung parapol y= x n ối z = 0 v ới z=1 + i . C z VD 1. Hàm f( z ) = gi ải tích trong D:| z |≤ 1 dz 2 VD 5. Tính tích phân I = , trong đĩ z + 4 ∫ z− a zdz C và liên t ục trên biên ∂D nên = 0. C là đườ ng trịn tâm a , bán kính r . ∫ 2 |z |= 1 z + 4 Hàm ph c & Phép bi n đi Laplace Đi h c 10
12. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Chương 3. T ích phân h àm ph c
    Chương 3. T ích phân h àm ph c b) Hệ qu ả Do f( z )= 2 z gi ải tích trong ℂ nên: • N ếu hàm f( z ) gi ải tích trong mi ền đơ n liên D và C là 1 đườ ng cong kín n ằm trong D thì ∫ f( z ) dz = 0 . I=∫2 zdz = ∫ 2( tit − 2 )(1 − 2 idt ) =−− 3 4 i . C OA 0 • N ếu hàm f( z ) gi ải tích trong mi ền đơ n liên D , thì tích 2.2. Đị nh lý Cauchy cho mi ền đa liên phân f( z ) dz v ới m ọi đườ ng cong C n ằm trong D ∫ a) Đị nh lý 1 C cĩ cùng điểm đầ u và điểm cu ối nh ận giá tr ị nh ư nhau. Cho mi ền D− n liên ( n > 1) cĩ biên ∂D g ồm C, C , , C , trong đĩ C bao các chu tuy ến khác và VD 2. Tính tích phân I= 2 zdz , trong đĩ 1 2 n 1 ∫ các chu tuy ến C, , C nằm ngồi nhau. N ếu f( z ) gi ải C 2 n C là cung y= x3 − 3 x 2 n ối z = 0 v ới z=1 − 2 i . tích trong D và liên t ục trong D= D∪ ∂ D thì: Giải. Đoạn th ẳng OA n ối z = 0 v ới z=1 − 2 i cĩ ∫fzdz()= ∫ fzdz () + + ∫ fzdz (). C C C ph ươ ng trình: zt()= t − 2,:0 itt → 1 . 1 2 n
    Chương 3. T ích phân h àm ph c
    Chương 3. T ích phân h àm ph c dz b ) Đị nh lý 2 VD 3. Kh ảo sát tích phân I = , trong đĩ n ∫ n V ới gi ả thi ết nh ư trong đị nh lý 1, ta cĩ: C (z− a ) C là đườ ng cong kín khơng đi qua điểm a và n ∈ ℤ. f() z dz = 0. ∫ Gi ải ∂D • Tr ườ ng h ợp 1: điểm a n ằm ngồi C . 1 Do hàm f z gi ải tích trong mi ền đĩng D H ệ qu ả (tính b ất bi ến khi bi ến d ạng chu tuy ến) ( ) = n (z− a ) C N ếu chu tuy ến 1 cĩ th ể bi ến d ạng liên t ục mà khơng y cĩ biên C nên In = 0 ( đị nh lý 2). vượ t qua b ất k ỳ điểm k ỳ d ị nào c ủa f( z ) để tr ở thành C chu tuy ến C thì: • Tr ườ ng h ợp 2 : điểm a n ằm trong C . r 2 Ta ch ọn r đủ bé để đườ ng trịn •a fzdz()= fzdz (). ∫ ∫ Cr tâm a , bán kính r nằm C C 1 2 trong C . O x
    Chương 3. T ích phân h àm ph c
    Chương 3. T ích phân h àm ph c iϕ Phtrình tham s ố của Cr là: z= a + re (ϕ ∈ [0;2 π ]) . §3. TÍCH PHÂN B ẤT ĐỊ NH Áp d ụng h ệ qu ả, ta đượ c: CƠNG TH ỨC NEWTON – LEIBNITZ dz2π irediϕ ϕ i 2 π I= = = ei(1− n ) ϕ d ϕ. 3.1. Tích phân b ất đị nh n ∫ n ∫ inϕ n −1 ∫ C (za− ) () re r r 0 0 • Hàm gi ải tích F( z ) đượ c g ọi là nguyên hàm c ủa hàm 2π gi ải tích f( z ) trong mi ền D n ếu Fz′()= fz () .  Với n = 1 thì Iid=ϕ = 2 π i . 1 ∫ Khi đĩ, F( z ) + C (v ới C là h ằng s ố ph ức) c ũng là 0 2π nguyên hàm c ủa f( z ) . ei(1− n ) ϕ  Với n ≠ 1 thì I = = 0. • T ập t ất c ả nguyên hàm c ủa f( z ) cĩ d ạng F( z ) + C và n rn−1(1− n ) 0 đượ c g ọi là tích phân b ất đị nh c ủa f( z ) .  dz 2πin , = 1 và a nằm trong C Ký h iệu là f( z ) dz . Vậy =  ∫ n  ∫ (z− a )  0, các trường hợp còn lại . C  Hàm ph c & Phép bi n đi Laplace Đi h c 11
13. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Chương 3. T ích phân h àm ph c
    Chương 3. T ích phân h àm ph c 3.2. Cơng th ức Newton – Leibnitz • Nếu hàm f( z ) gi ải tích trong mi ền đơ n liên D và F( z ) VD 1. Tính tích phân I= ∫ 3 zdz2 , trong đĩ là m ột nguyên hàm c ủa f( z ) trong D thì: C C là đườ ng cong n ối điểm z= i và z = 2. z2 z fzdz()= Fz ()2 = Fz () − Fz (), ∀∈ zz , D . ∫ z 2 2 12 1 z1 1+i 100 Chú ý VD 2. Tính tích phân I=∫ zz( − 1) dz . 1 • Tích phân hàm f( z ) d ọc theo đườ ng cong C ch ỉ đượ c áp d ụng cơng th ức Newton – Leibnitz n ếu C n ằm trong mi ền đơ n liên D và hàm f( z ) gi ải tích trong D . iπ VD 3. Tính tích phân I= zez dz . • Các ph ươ ng pháp tính tích phân đổ i bi ến và t ừng ph ần ∫ 0 đã bi ết v ẫn đúng cho tích phân ph ức.
    Chương 3. T ích phân h àm ph c
    Chương 3. T ích phân h àm ph c eiz dz §4. CƠNG TH ỨC TÍCH PHÂN CAUCHY VD 2. Tính tích phân I = , trong đĩ: ∫ 2 2 4.1. Đị nh lý (cơng th ức tích phân Cauchy ) C 4z − π a) C:| z − 1| = 1 ; b) C:| z− i | = 3 . Gi ả s ử hàm f( z ) gi ải tích trong mi ền gi ới n ội D và liên ∪ f z tục trong mi ền D= D ∂ D . Khi đĩ, giá tr ị (0 ) t ại y z D C điểm b ất k ỳ 0 ∈ đượ c bi ễu di ễn qua giá tr ị trên biên ∂D theo cơng th ức tích phân Cauchy: i 1f ( z ) C • C fz( )= dz . 1 2 0 2πi∫ z− z ∂D 0 • • π O π x dz − VD 1. Tính tích phân I = . ∫ 2 2 2 |z− i | = 1 z + 1
    Chương 3. T ích phân h àm ph c
    Chương 3. T ích phân h àm ph c 4.2. H ệ qu ả 1 z 4 VD 4. Tính tích phân I= dz . (cơng th ức Cauchy cho đạ o hàm c ủa hàm gi ải tích ) ∫ 3 |z |= 2 (z− i ) Gi ả s ử hàm f( z ) gi ải tích trong mi ền gi ới n ội D và liên tục trong mi ền D= D∪ ∂ D . Khi đĩ, hàm f( z ) cĩ đạ o 4.3. H ệ qu ả 2 (Đị nh lý Liouville ) hàm m ọi c ấp t ại điểm z b ất k ỳ trong mi ền D và đượ c 0 Nếu hàm f( z ) gi ải tích và b ị ch ặn trên tồn m ặt ph ẳng bi ễu di ễn qua cơng th ức tích phân Cauchy: ph ức ℂ thì f( z ) là hàm h ằng. n n! fzdz ( ) VD 5. Ch ứng minh hàm f( z )= sin z khơng b ị ch ặn. f( ) () z= , n = 1,2, 2πi ∫ z z n+1 ∂D (− 0 )   π Gi ải. Do f(0)= 0, f   = 1 nên f( z )= sin z khơng là sin πz 2  VD 3. Tính tích phân I= dz . ∫ 2 2 hàm h ằng. Vậy hàm f( z )= sin z khơng b ị ch ặn. |z− 1| = 1 (z − 1) Hàm ph c & Phép bi n đi Laplace Đi h c 12
14. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Chương 4. Chu i v à Th ng d ư
    Chương 4. Chu i v à Th ng d ư §1. Chu ỗi hàm ph ức. ∞ • N ếu t ại z z , chu ỗi s ố f z hội t ụ ( phân k ỳ) thì §2. Th ặng d ư. = 0 ∑ n (0 ) §3. Ứng d ụng c ủa th ặng d ư. n=1 z0 đượ c g ọi là điểm h ội t ụ ( phân k ỳ) c ủa chu ỗi (1). §1. CHU ỖI HÀM PH ỨC 1.1. Khái n iệm chung • T ập h ợp các điểm h ội t ụ z0 c ủa chu ỗi (1) đượ c g ọi là a) Các đị nh ngh ĩa mi ền hội t ụ của chu ỗi (1). • Cho dãy hàm ph ức fz1( ), fz 2 ( ), , fzn ( ), cùng xác • Tổng riêng th ứ n c ủa chu ỗi (1), ký hi ệu Sn ( z ) , là: ℂ đị nh trên mi ền D ⊂ . T ổng hình th ức: Sz()= fz () + fz () ++ fz () . ∞ n1 2 n fzfz fz fz (1) 1()+ 2 () ++ n () += ∑ n () n=1 • Trong mi ền h ội t ụ c ủa chu ỗi (1), ∃limSzn () = fz () . đượ c g ọi là chu ỗi hàm ph ức. n→∞
    Chương 4. Chu i v à Th ng d ư
    Chương 4. Chu i v à Th ng d ư Hàm f( z ) xác đị nh trong mi ền h ội t ụ c ủa chu ỗi (1) b*) Tính ch ất c ủa chu ỗi h ội t ụ đề u ∞ • Đị nh lý 1 ( tiêu chu ẩn Cauchy ) đượ c g ọi là t ổng c ủa chu ỗi (1), ta vi ết fz fz . ∑ n ()= () Chu ỗi (1) h ội t ụ đề u trong mi ền D khi và ch ỉ khi: n=1 ∀>∃=ε0,NN (): ε ∀> nNzDp , ∀∈ , ∀∈ ℕ Khi đĩ, Rz()= fz () − Sz () đượ c g ọi là ph ần d ư c ủa n n ⇒fzfz() + () ++ fz () ∃=ε0,NN (): ε ∀>∀∈⇒ nNzD , |()|. Rz 1 − | . Hàm ph c & Phép bi n đi Laplace Đi h c 13
15. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Chương 4. Chu i v à Th ng d ư
    Chương 4. Chu i v à Th ng d ư c) Bán kính h ội t ụ Nh ắc l ại • Mi ền h ội t ụ c ủa chu ỗi lũy thừa (2) luơn là hình trịn ∞ Tiêu chu ẩn h ội t ụ đố i v ới chu ỗi u (*). |z− a | 1 ⇒ (*) phân kỳ. Cơng th ức tính bán kính h ội t ụ n  • Ta s ử d ụng các tiêu chu ẩn d’Alembert ho ặc Cauchy để  Tiêu chu ẩn hội t ụ Cauchy: tìm bán kính h ội t ụ c ủa chu ỗi v ới c≠0, ∀ n > N . n  C N, c = 0 thì ta s ử d ụng tr ực Nếu lim n u= C thì  n n→∞ n C >1 ⇒ (*) phân kỳ. ti ếp tiêu chu ẩn h ội t ụ d’Alembert ho ặc Cauchy. 
    Chương 4. Chu i v à Th ng d ư
    Chương 4. Chu i v à Th ng d ư c 1.3. Chu ỗi Taylor  Tiêu chu ẩn d’Alembert: R = limn . a) Đị nh lý n→∞ c n+1 • Nếu hàm f( z ) gi ải tích trong hình trịn |z− a | R z z zz z 2) e =∑ =+++++1 đượ c g ọi là gi ải tích t ại ∞ n ếu f( z ) cĩ th ể k hai tri ển n=0 n! 1!2! n ! ∞ c c c ∞ 21n+ 357 thành chu ỗi dạng n =c +1 + 2 + n z zzz ∑ n 0 2 3) sinz=−∑ ( 1) =−+−+ z n=0 zz z n=0 (2n + 1)! 3! 5! 7! b) Ph ươ ng pháp khai tri ển Taylor ∞ z2n zzz 246  Áp d ụng cơng th ức (*) để tìm h ệ s ố c . 4) cosz =∑ (1) −n =−+−+ 1 n n=0 (2)!n 2! 4! 6!  Dựa vào tính ch ất c ủa f( z ) để th ực hi ện các phép bi ến đổ i đồ ng nh ất và áp d ụng các khai tri ển đã bi ết. Hàm ph c & Phép bi n đi Laplace Đi h c 14
16. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Chương 4. Chu i v à Th ng d ư
    Chương 4. Chu i v à Th ng d ư 1 VD 3. Khai tri ển Taylor c ủa hàm f z quanh: 1 ( ) = b) Đặ t t = , ta cĩ: 2 − z z a) điểm a= i ; b) điểm a = ∞. t 1 ∞ Gi ải fz( )= =− t . =− tt∑ (2 ) n , v ới |2t | 2 . f( z )= = . ∑ n+1 2−it − 2 − i t n=0 z 1− 2 −i 2 n VD 4. Khai tri ển Taylor c ủa f( z ) = e z−2 z quanh z = 1. 1 ∞ t  t =   , v ới r . Hàm ph c & Phép bi n đi Laplace Đi h c 15
17. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Chương 4. Chu i v à Th ng d ư
    Chương 4. Chu i v à Th ng d ư b) Ph ươ ng pháp khai tri ển chu ỗi Laurent Chú ý • Chu ỗi Taylor là tr ườ ng h ợp • Cách 1. Tìm h ệ s ố cn t ừ cơng th ức trong đị nh lý trên. riêng c ủa chu ỗi Laurent, trong y Tuy nhiên, cách này d ẫn đế n tính tốn ph ức t ạp. đĩ ph ần chính bị tri ệt tiêu. • Cách 2 . Đư a v ề khai tri ển Taylor để áp d ụng các khai G tri ển c ủa các hàm s ơ c ấp đã bi ết. r Gi ả s ử hàm f( z ) gi ải tích trong r r thì ta khai tri ển: z a khác nhau thì khai tri ển  f1( z ) thành chu ỗi l ũy th ừa c ủa (− ) ; Laurent cĩ th ể khác nhau. 1  f( z ) thành chu ỗi l ũy th ừa c ủa . 2 z− a
    Chương 4. Chu i v à Th ng d ư
    Chương 4. Chu i v à Th ng d ư 1 ∞  ∞ n+1 1 n 2− 1 n VD 7. Khai tri ển f( z ) = trong các mi ền: Vậy fz( )= 1 − z = z , |z | 2 . 1 b) Hàm f z gi ải tích trong z nên: 1 1 1( ) = | | 1 nên: 2 z −1 ∞n ∞ 11 1 1 z n +∞ −∞ f( z )=− . + =− + z . 11 1 1 n 1 ∑n ∑ f( z )=− . =− = − z , 3 . c) Trong mi ền |z |> 2 , ta cĩ 2 . Vậy edz= 2π i , v ới m ọi C bao quanh g ốc O . ∑n+1 ∑  n + 1  ∫ n=0z n =− 1 2  C Hàm ph c & Phép bi n đi Laplace Đi h c 16
18. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Chương 4. Chu i v à Th ng d ư
    Chương 4. Chu i v à Th ng d ư §2. TH ẶNG D Ư 2.1.2. Phân lo ại các điểm b ất th ườ ng cơ l ập 2.1. Điểm b ất th ườ ng cơ l ập c ủa hàm gi ải tích Gi ả s ử z= a ≠ ∞ là điểm b ất th ườ ng cơ l ập c ủa f( z ) . 2.1.1. Đị nh ngh ĩa Khi đĩ, hàm f( z ) cĩ khai tri ển Laurent trong hình vành Điểm z= a ≠ ∞ đượ c g ọi là điểm b ất th ườ ng cơ l ập +∞ kh ăn 0 0 và khơng gi ải tích t ại z = ∞. Hàm ph c & Phép bi n đi Laplace Đi h c 17
19. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Chương 4. Chu i v à Th ng d ư
    Chương 4. Chu i v à Th ng d ư 1 1  2.2. TH ẶNG D Ư Đặ t t = thì fz()= f  = gt () . z t  2.2.1. Đị nh ngh ĩa 1 1 c f z Khi đĩ g( t ) gi ải tích trong mi ền 0 r và z = ∞ 1  Res[(), f z∞ ] = − c −1 (h ệ s ố của trong khai tri ển là điểm b ất th ườ ng cơ l ập thì th ặng d ư tại vơ cùng z đượ c đị nh ngh ĩa là: f( z ) quanh điểm z = ∞). 1 Res[(),] f z∞ = − f (). z dz
    Cách 2 . Dùng cực điểm. 2πi ∫ C  Nếu a ≠ ∞ là cực điểm đơ n thì: Trong đĩ, C là đườ ng trịn |z | = R > r . Resfz[ ( ), a ]= lim[( z − afz ) ( )]. z→ a 2.2.2. Ph ươ ng pháp tính th ặng d ư
    Cách 1. Dùng đị nh ngh ĩa, ta cĩ:  Nếu a ≠ ∞ là cực điểm cấp m (m ≥ 2) thì: 1 1 m( m − 1)  Resfz[ (), a ] = c −1 (h ệ s ố của trong khai tri ển Resfza[ ( ), ]= lim[( zafz − ) ( )] . z− a (m − 1)! z→ a f( z ) quanh điểm z= a ).
    Chương 4. Chu i v à Th ng d ư
    Chương 4. Chu i v à Th ng d ư 1 Chú ý VD 9. Tính Res[ f ( z ), 1] c ủa f( z ) = . 2 h( z ) z( z − 1) 1) Nếu a ≠ ∞ là cực điểm đơ n và f( z ) = v ới g( z ) VD 10. Tính Res[ f ( z ),∞ ] c ủa các hàm: g( a )= 0 , h( a )≠ 0 , g′( a )≠ 0 thì: 2 3z 15 h( a ) a) f( z ) = e z ; b) g( z ) = . Res[(),] f z a = . z 8 g′( a ) + 1 ez 0 VD 11. Tìm th ặng d ư c ủa f( z ) = t ại các điểm 2) Khi tính gi ới h ạn cĩ d ạng , ta cĩ th ể dùng quy t ắc 2 0 z + 1 L’Hospital. bất thườ ng cơ l ập h ữu h ạn. 2 sinz + 1 z−2 z + 3 VD 12. Tìm th ặng d ư c ủa f( z ) = t ại các điểm VD 8. Tính Res[ f ( z ),2] c ủa f( z ) = . 4 z − 2 z bất th ườ ng cơ l ập h ữu h ạn. Hàm ph c & Phép bi n đi Laplace Đi h c 18
20. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Chương 4. Chu i v à Th ng d ư
    Chương 4. Chu i v à Th ng d ư §3. ỨNG D ỤNG C ỦA TH ẶNG D Ư  Đị nh lý 2 3. 1. Tính tích phân d ọc theo đườ ng cong kín N ếu f( z ) gi ải tích trong tồn m ặt ph ẳng ph ức tr ừ m ột  Đị nh lý 1 số h ữu h ạn điểm a, a , , a b ất th ườ ng cơ l ập thì: N ếu hàm f( z ) gi ải tích trong mi ền đĩng D gi ới h ạn b ởi 1 2 n đườ ng cong Jordan kín C tr ừ m ột s ố h ữu h ạn điểm n Resfz[(), a ]+ Resfz [(), ∞ ] = 0. a , a , , a b ất th ườ ng cơ l ập n ằm trong D thì: ∑ k 1 2 n k=1 n fzdz()= 2.π i Resfz [(), a ]. ∫ ∑ k dz C k=1 VD 3. Tính tích phân I = . z ∫ 4 e |z |= 2 z + 1 VD 1. Tính tích phân I= dz . ∫ 2 z + 1 4 |z |= 2 z VD 4. Tính tích phân I= dz . z + 2 5 VD 2. Tính tích phân I= dz . ∫ 2z − 1 ∫ 2 |z |= 1 |z− 1| = 1 (z− 1) ( z + 1)
    Chương 4. Chu i v à Th ng d ư
    Chương 4. Chu i v à Th ng d ư 3.2. Tính tích phân hàm l ượ ng giác • Khi t bi ến thiên t ừ 0 đế n 2π (ho ặc t ừ −π đế n π) thì z it  Dạng tích phân: bi ến thiên trên đườ ng trịn đơ n v ị ||z= | e | = 1 . 2π π Suy ra, các tích phân trên cĩ d ạng: I= R(cos t ,sin tdt )hoặc I = R (cos t ,sin tdt ) . n ∫ ∫ I= fzdz() = 2π i Resfz [(), a ]. 0 −π ∫ ∑ k Trong đĩ, R(cos t , sin t ) là hàm hữu t ỉ theo sin và cosin. |z |= 1 k=1 Trong đĩ a k= 1, n là các điểm b ất th ườ ng cơ l ập  Ph ươ ng pháp gi ải k ( ) dz • Đặt z= e it , ta cĩ: dz= iedtit ⇒ dt = , nằm trong hình trịn |z |< 1 . iz 2π eeit+− it()1 e it 2 + z 2 + 1 dt cos t = = = , VD 5. Tính tích phân I = . it ∫ t 0 2+ sin 22e 2 z π eeit−− it()1 e it 2 − z 2 − 1 dt sin t = = = . VD 6. Tính tích phân I = . it ∫ 3− cos t 2i2ie 2 iz 0
    Chương 4. Chu i v à Th ng d ư
    Chương 4. Chu i v à Th ng d ư 3.3. Tính tích phân suy r ộng • Ta v ẽ nửa trên c ủa đườ ng trịn y +∞ CR( ):| z | = R v ới R đủ l ớn D 3.3.1. D ạng suy r ộng ∫ f( x ) dx −∞ sao cho các điểm a, a , , a .a a) Bổ đề Jordan 1 1 2 n 2 .a thu ộc mi ền D gi ới h ạn b ởi .a n Gi ả s ử hàm f( z ) liên t ục trong lân c ận c ủa điểm ∞ và 1 x C( R ) v ới đoạn [−R ; R ] . th ỏa mãn limzf () z = 0 . Khi đĩ limf () z dz = 0 , −R O R z→∞ R→∞ ∫ • Áp d ụng th ặng d ư, ta cĩ: C( R ) R n với C( R ) là n ửa trên c ủa đườ ng trịn |z | = R . fxdx()+ fzdz () = 2π i Resfz [(),] a . ∫ ∫ ∑ k k=1 b) Ứng d ụng +∞ −R C( R ) Tính tích phân I= ∫ f( x ) dx v ới f( z ) gi ải tích trong Cho R → +∞ và áp d ụng b ổ đề 1, ta đượ c: −∞ +∞ n nửa m ặt ph ẳng trên (tr ừ m ột s ố h ữu h ạn điểm b ất fxdx( )= 2π i Resfz [ ( ), a ]. ∫ ∑ k a a a k=1 th ườ ng cơ l ập 1, 2 , , n ) và th ỏa b ổ đề 1. −∞ Hàm ph c & Phép bi n đi Laplace Đi h c 19
21. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Chương 4. Chu i v à Th ng d ư
    Chương 4. Chu i v à Th ng d ư 3.3.2 . D ạng suy r ộng: Nh ận xét P( x ) +∞ +∞ Nếu f( x ) = , v ới b ậc P( x ) ≤ (b ậc Q( x )+ 2 ) thì I= fx()cosα xdxI , = fx ()sin α xdx . Q( x ) 1∫ 2 ∫ +∞ −∞ −∞ tích phân f( x ) dx đượ c tính theo ph ươ ng pháp trên. ∫ a) B ổ đề Jordan 2 −∞ Gi ả s ử hàm f( z ) liên t ục trong lân c ận c ủa điểm ∞ và +∞ dx th ỏa mãn limf () z = 0 . Khi đĩ với m ọi α > 0, ta cĩ: VD 7. Tính tích phân I = . z→∞ ∫ x 4 + 1 limf () zeiα z dz = 0 . −∞ R→∞ ∫ C( R ) +∞ dx V ới C( R ) là n ửa trên c ủa đườ ng trịn |z | = R . VD 8. Tính tích phân I = . ∫ 2 2 −∞ (x + 1)
    Chương 4. Chu i v à Th ng d ư
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace b) Ứng dụng §1. Đị nh ngh ĩa phép bi ến đổ i Laplace. • Gi ả s ử α > 0 và hàm f( z ) th ỏa b ổ đề 2, ta cĩ: §2. Các tính ch ất c ủa phép bi ến đổ i Laplace. §3. Phép bi ến đổ i Laplace ng ượ c. +∞ n ixα izα §4. Các ứng d ụng của phép bi ến đổ i Laplace. I+ iI = fxedx() = 2π i Resfze [(),] a . 1 2 ∫ ∑ k −∞ k=1 §1. ĐỊ NH NGH ĨA PHÉP BI ẾN ĐỔ I LAPLACE Trong đĩ, a là các điểm b ất th ườ ng n ằm trong n ửa m ặt k 1.1. Đị nh ngh ĩa hàm g ốc ph ẳng trên. • Hàm g ốc là hàm ph ức đơ n tr ị f( t ) với bi ến s ố th ực t , • Cân b ằng ph ần th ực và ph ần ảo, ta cĩ I và I . 1 2 th ỏa mãn 3 điều ki ện: VD 9. Tính các tích phân sau: 1) f( t ) và các đạ o hàm c ấp cao c ủa nĩ liên t ục t ừng +∞ +∞ xxcos xx sin khúc (ngh ĩa là hàm liên t ục tr ừ m ột s ố điểm gián I= dxI, = dx . 1 ∫2 2 ∫ 2 đoạn h ữu h ạn mà t ại đĩ hàm cĩ gi ới h ạn trái và gi ới −∞ xx−+2 10−∞ xx −+ 2 10 hạn ph ải h ữu h ạn).
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace 2) f( t )= 0 khi t 0, ∃α ≥ 0 sao cho ∀t ≥0:| f ()| t ≤ Me 0 . 0,t 0.  0, t< T u( t− T ) = ⋅  Hàm g ốc f( t ) khi t → +∞ ho ặc là h ữu h ạn ho ặc t ăng 1, t ≥ T α .t  e 0 ra ∞, nh ưng khơng nhanh h ơn hàm m ũ . Hàm u( t− T ) là hàm g ốc. Hàm ph c & Phép bi n đi Laplace Đi h c 20
22. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace VD 3. Hàm l ọc đơ n v ị là hàm cĩ d ạng: Trong đĩ, ϕ(t ) là hàm s ố s ơ c ấp. Hàm xung cĩ th ể bi ểu ht()= ut ( − t1 ) − ut ( − t 2 ) di ễn qua hàm l ọc đơ n v ị: ft()= [( utt −−− ) utt ( )]()ϕ t = ht ()(). ϕ t 0, t α0 và là hàm Fs()= eutdt () = lim edt ∫b→+∞ ∫ gi ải tích trong mi ền đĩ. 0 0   1 1−sb  1 =lim  −e  = , v ới Re(s )> 0 . • Đị nh lý 2 b→+∞ s s  s N ếu hàm F( s ) là hàm ảnh c ủa hàm g ốc f( t ) v ới s ố m ũ Vậy: tăng α thì limF () s = 0 . 0 Re(s ) →∞ 1 Lut{()}= L (1) = ,Re() s > 0. s Hàm ph c & Phép bi n đi Laplace Đi h c 21
23. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace b) Hàm f(t) = e at , f(t) = e – a t ( a là h ằng s ố ph ức) c) Hàm f(t) = t +∞ b +∞ b −st − st −st at −( s − a ) t Ta cĩ: Fs( )= etdt = lim etdt Ta cĩ: Fs( )= eedt = lim e dt ∫b→+∞ ∫ ∫b→+∞ ∫ 0 0 0 0 −sb − sb  1 be e  1 = −lim +  . = , với Re(s )> Re( a ) . 2b→+∞  2  s− a s s s  at 1 1 Vậy: Le( )= , Re( s ) > Re( a ). Vậy: L( t )= , Re( s ) > 0. s− a s2 Thay a b ởi −a , ta đượ c: Tổng quát: 1 n n ! + Le(−at )= , Re( s ) > Re( − a ). Lt()= , n ∈ℤ ,Re() s > 0. s+ a sn+1
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace d ) Hàm l ượ ng giác f(t) = cos at, f(t) = sin at §2. TÍNH CH ẤT CỦA PHÉP BI ẾN ĐỔ I LAPLACE +∞1 +∞ 2.1. Tính ch ất tuy ến tính Ta cĩ: Fs()= e−st cos atdt = ee − stiat ( + e − iat ) dt ∫ ∫  Đị nh lý 1 02 0 1 1 1  Nếu Lft{ ( )}= Fs ( ) và Lgt{()}= Gs () thì:   = + , v ới Re(s )> 0 . 2 s− ia s + ia   Laft{.()+ bgt .()} = aFs () + bGs (). s Lat(cos )= , Re( s ) > 0. Trong đĩ, a và b là các h ằng s ố ph ức. Vậy: 2 2 s+ a 4 4 T ươ ng t ự: VD 1. Lt(3− 2) t = Lt (3) +− L (2) t 4 a =3.Lt ( ) − 2. Lt () Lat(sin )= , Re( s ) > 0. 2 2 4! 2 72− 2 s 3 s+ a =3. − = . s5 s 2 s 5
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace 2.2. Tính ch ất dời (dịch chuy ển ảnh) 2.3. Tính ch ất tr ễ (d ời theo t) (bi ến đổ i của hàm e−at f( t ) ) (bi ến đổ i c ủa hàm ut(− T ).( ft − T ) )  Đị nh lý 2  Đị nh lý 3 Nếu Lft{ ( )}= Fs ( ) , v ới a là h ằng s ố ph ức, thì: Nếu Lft{()}= Fs () thì v ới m ọi T > 0, ta cĩ: −sT Le{−at ft ()}= Fs ( + a ). Lut{(− Tft ).( − T )} = e Fs (). n ! 0, t< T VD 2. Do Lt()n = = Fs () nên: Trong đĩ u( t− T ) =  . n+1  s 1, t≥ T n !  Nh ận xét  Lte(n− at )= Fs ( + a ) = . (s+ a ) n+1 1) N ếu hàm g ốc f( t ) cĩ đồ th ị là (C ) thì đồ th ị c ủa hàm ut(− T ).( ft − T ) là (C ′ ) đượ c suy ra t ừ (C ) b ằng VD 3. Tìm bi ến đổ i Laplace c ủa các hàm: cách t ịnh ti ến theo tr ục hồnh sang ph ải m ột đoạn a) gt( )= e−2t cos 3 t ; b) gt()= e3t sin2 t . bằng T (tr ễ m ột kho ảng th ời gian T ). Hàm ph c & Phép bi n đi Laplace Đi h c 22
24. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace VD 4. Tìm bi ến đổ i Laplace c ủa các hàm:  sin(t− 2), t ≥ 2 a) f( t ) =  . 0,t 0.  a a  1 1 − VD 7. Tìm bi ến đổ i Laplace c ủa hàm: VD 8. Cho bi ết Lft{()}= es = Fs () , ta cĩ: s 3  t − 0,< 0   s  1s 1 3 e t, 0≤ t < 1 Lft{ (3 )} = F   = .  3 3  3 s f( t ) =  . 3 2−t ,1 ≤ t < 2 −    s+1  −t 1s+ 1  e 0,t ≥ 2 Vậy Left{ (3 )} = F   = .  3 3  s + 1
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace (n) 2.5. Bi ến đổ i Laplace của đạ o hàm f (t) VD 9. Tìm bi ến đổ i Laplace c ủa hàm:  Đị nh lý 5 gt()= yt′′ () − 3() yt ′ + 4() yt − 2 , Nếu Lft{()}= Fs () và hàm g ốc f( t ) cĩ đạ o hàm đế n với điều ki ện đầ u y(0)= − 1, y ′ (0) = 2 . cấp n và các đạ o hàm c ũng là hàm g ốc thì: Lft{()n ( )}= sFs n ( ) − sf n− 1 (0) − sf n − 2 ′ (0) − −sf(n− 2) (0) − f ( n − 1) (0). n ()k () k 2.6. Bi ến đổ i Laplace của hàm t f(t) Trong đĩ, f(0)= lim ftk (), = 0,1, , n − 1 . t→0+ Các trườ ng h ợp riêng:  Đị nh lý 6 Lft{′ ()}= sFs () − f (0), Nếu Lft{()}= Fs () thì: Lft{′′ ( )}= sFs2 ( ) − sf (0) − f ′ (0), Ltft{n ()}= (1) − n Fs( n ) (). Lft{′′′ ( )}= sFs3 ( ) − sf 2 (0) − sf ′ (0) − f ′′ (0). Hàm ph c & Phép bi n đi Laplace Đi h c 23
25. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace 1 t VD 10. a) Bi ết L(1) = , ta suy ra: 2.7. Bi ến đổ i Laplace của tích phân f( x ) dx s ∫ 0   (n ) n n 1 n !  Đị nh lý 7 L( t )= ( − 1)   = . s   s n+1 Nếu Lft{()}= Fs () thì: t  at 1   F( s ) b) Bi ết L( e ) = , ta suy ra: L fxdx( ) = . s− a ∫  s  0  n   nat n d1 n ! L( t e )= ( − 1)   = . dsns− a  sa n +1   (− ) VD 12. Tìm bi ến đổ i Laplace c ủa các hàm: t t VD 11. Tìm bi ến đổ i Laplace c ủa các hàm: a) gt( )= x sin2 xdx ; b) gt( )= cos2 2 xdx . 2 ∫ ∫ a) gt( )= t sin 3 t ; b) gt()= t cos4 t . 0 0
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace f( t ) 2.8. Bi ến đổ i Laplace của hàm t VD 13. Tìm bi ến đổ i Laplace c ủa:  Đị nh lý 8 e2t− e t a) hàm g ốc g( t ) = . f( t ) Nếu Lft Fs và thì: t {()}= () ∃ lim t t→0+ t sin x   +∞ b) hàm tích phân sin: Si(t ) = dx . f( t )  ∫ x L  = Fudu( ) . 0   ∫ t  s  Hệ qu ả Cho s → 0, ta đượ c: +∞ sin x VD 14. Tính tích phân suy r ộng I= dx . +∞ +∞ f( t ) ∫ x Fudu( )= dt . 0 ∫ ∫ t 0 0
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace 2.9. Bi ến đổ i Laplace của hàm tu ần hồn VD 16. Tìm bi ến đổ i Laplace c ủa đườ ng sin ch ỉnh l ưu bán sĩng chu k ỳ T = 2π sau:  Đị nh lý 9  Nếu f( t ) là hàm tu ần hồn v ới chu k ỳ T > 0 thì: sint , 0 0 đượ c mơ t ả b ằng đồ th ị sau: VD 15. Tìm bi ến đổ i Laplace c ủa hàm tu ần hồn v ới chu kỳ T = 4 nh ư sau:  2, 0<t < 3 f( t ) =  . 0, 3<t < 4  Hàm ph c & Phép bi n đi Laplace Đi h c 24
26. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace §3. PHÉP BI ẾN ĐỔ I LAPLACE NG ƯỢ C 3.2. Các ph ươ ng pháp tìm bi ến đổ i Laplace ng ượ c 3.1. Đị nh ngh ĩa 3.2.1. S ử d ụng các tính ch ất • Phép biến đổ i Laplace ng ượ c c ủa hàm F( s ) là hàm a) Tính ch ất tuy ến tính f( t ) liên t ục trên [0;+∞ ) và th ỏa Lft{()}= Fs () . −1 −1 − 1 L{ aFs12 ()+ bFs ()} = aL {()} Fs 1 + bL {()}. Fs 2 Ký hi ệu là: ft()= L−1 {()}. Fs 3 6 s VD 2. Cho F( s ) = − . Ta cĩ:   2 33!− 1 6  3 s + 2 s + 9 VD 1. Ta cĩ: Lt( ) = ⇒ L  = t . 4 4  s s     −1 − 11  − 1 s  LFs{ ( )}= 3 L − 6 L   . Chú ý   2  s + 2 s + 9  • Phép bi ến đổ i Laplace ng ượ c cĩ các tính ch ất t ươ ng t ự −1 − 2 t phép bi ến đổ i Laplace. V ậy ftLFs()= {()} = 3 e − 6cos3 t .
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace b) Tính ch ất d ời theo s    −1 − 2 s  1 3   −1 −at − 1 VD 6. Tìm bi ến đổ i L e  −   . LFs{ (+ a )} = eLFs { ( )}.    s−2 s + 1   2  VD 3. Tìm bi ến đổ i L−1   . d) Bi ến đổ i Laplace ng ượ c c ủa đạ o hàm 4  s  −1()n n n − 1 (− 1)  LFs{ ()}= (1) − tLFs {()},   −1  3s + 6  −1 (n ) VD 4. Tìm bi ến đổ i L  . −1 L{ F ()} s s2 +4 s + 13  L{()} F s = . (− 1) nt n c) Tính ch ất d ời theo t s  VD 7. Tìm bi ến đổ i L−1   . −1 − sT 2 2  L{ e Fs ()}= ut ( − Tft ).( − T ). (s + 4)  e−πs  s + 1  VD 5. Tìm bi ến đổ i L−1  . VD 8. Tìm bi ến đổ i L−1 ln .  2    s + 4   s −1 
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace e ) Bi ến đổ i Laplace ng ượ c c ủa tích phân  Phân th ức t ối gi ản lo ại II cĩ d ạng: +∞  Ms+ N −1 − 1   v ới M, N , a , k là các s ố th ực. L{()} Fs= tL . Fxdx ()  . 2 2 n ∫  [(s+ a ) + k ] s    −1 s + 1    VD 9. Tìm bi ến đổ i L . −1 2s + 5  2 2  VD 10. Tìm bi ến đổ i L  . s s   2 (+ 2 + 2)  s− s − 2  3.2.2. Phân tích ảnh thành t ổng   −1 2s − 1  VD 11. Tìm bi ến đổ i L  . các phân th ức t ối gi ản s2 −6 s + 13    Phân th ức t ối gi ản lo ại I cĩ d ạng: 1  1 VD 12. Tìm bi ến đổ i L−1   . , v ới a là s ố th ực. 2 2  (s+ a ) n s( s + 9)  Hàm ph c & Phép bi n đi Laplace Đi h c 25
27. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace   1−s 11 s + 4 −1 1 −s  Suy ra: = − . VD 13*. Tìm bi ến đổ i L   . 2 2 2 s( s+ 4)4s 4 s + 4 s( s + 4)  111s 12 1 −s A Bs + C =. − . − . . Gi ải. Ta cĩ: = + 4s 4s2+4 2 s 2 + 4 2s 2 s( s+ 4) s + 4   −1 1−s  11 1 (A+ Bs )2 + Cs + 4 A Vậy L  = −cos2 t − sin2 t . = . s( s 2 + 4)  4 4 2 2   s( s + 4) Đồ ng nh ất các h ệ s ố, ta đượ c: 1  VD 14*. Tìm bi ến đổ i L−1   .  2 A+ B = 0 s( s − 1)   1− 1 C=−1 ⇔= AB , = ,1 C =− . 1 A B C  4 4 Gi ải. Ta cĩ: = + + 4A = 1 2 2  s( s− 1) s s s −1
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace 2 s2−3 s 2 − 3 (B+ Cs )( +− A Bs ) − A Gi ải. Ta cĩ: = = . 3 s2( s − 1) s−7 s + 6 (s− 1)( s − 2)( s + 3) Đồ ng nh ất các h ệ s ố, ta đượ c: A B C = + + . A=−1, B =− 1, C = 1 . s−1 s − 2 s + 3 1 111 Suy ra: =− − + . Quy đồ ng và đồ ng nh ất các h ệ s ố, ta đượ c: 2 2 s( s− 1) s s s −1 1 1 3 A=, B = , C =   −1 1  t 2 5 10 Vậy L  =− t −1 + e . 2 2  s − 3 11 11 31 s( s − 1)  ⇒ =. + . + . . s3 −7 s + 6 2s− 15 s − 210 s + 3 s2 − 3  2  VD 15*. Tìm bi ến đổ i L−1  . −1  s − 3 11t2 t 3 − 3 t  3  Vậy L  = eee + + .   3  s−7 s + 6  s−7 s + 6  2 5 10
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace 3.2.3. S ử d ụng th ặng d ư 3.2.4. Sử d ụng tích ch ập f(t)∗g(t) Cho F( s ) là phân th ức th ực s ự và s (k= 1,2, , n ) là k a) Đị nh ngh ĩa tích ch ập các điểm b ất th ườ ng cơ l ập c ủa F( s ) . Khi đĩ: Tích ch ập c ủa hai hàm g ốc ft(), gt () đượ c đị nh ngh ĩa n LFs−1{()}= Res[ eFssst (), ]. và ký hi ệu là: ∑ k k=1 t   ft()∗=∗ gt () ( f gt )() = fxgt ()( − xdx ). −1  s −1  ∫ VD 16. Tìm bi ến đổ i L  . 0 s2 + 2 s   VD 19. Cho hai hàm g ốc f( t ) = t và g( t ) = e t . Ta cĩ: s  VD 17. Tìm bi ến đổ i L−1   . t t 2  tx− t − x t (s− 3) ( s + 5)  ()()fgt∗=∫ xedx = e ∫ xedx =−− e t 1 .   0 0 −1 1  VD 18. Tìm bi ến đổ i L   . at 3 VD 20. Xác đị nh tích ch ập t∗ e ? (s + 2)  Hàm ph c & Phép bi n đi Laplace Đi h c 26
28. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace b) Tính ch ất c ủa tích ch ập 1  VD 21. Tìm bi ến đổ i L−1   . 1) Tính giao hốn: f∗ g = gf ∗ . 2  s( s − 1)  2) Tính k ết h ợp: f∗( gh ∗ )( = fgh ∗ ) ∗ . 3) Tính phân ph ối: f∗( gh + ) =∗+∗ fg fh . 1  VD 22. Tìm bi ến đổ i L−1   . c) Ứng d ụng c ủa tích ch ập 2 2  (s + 1)   Đị nh lý Borel Nếu Lft{ ( )}= Fs ( ) và Lgt{()}= Gs () thì: Lft{()∗ gt ()} = FsGs (). ().   −1 1  Nh ận xét VD 23. Tìm bi ến đổ i L   . s3( s + 2)  −1 − 1 − 1   L{().()} FsGs= L {()} Fs ∗ LGs {()}.
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace  Cơng th ức Duamel 3.2.5*. Tìm g ốc b ằng khai tri ển chu ỗi Nếu Lft{()}= Fs () , Lgt{()}= Gs () và f′( t ) , g′( t )  Đị nh lý cũng là hàm g ốc thì: N ếu hàm ảnh F( s ) cĩ khai tri ển thành chu ỗi ∞ c −1 F( s ) = n , v ới |s |> R > 0 thì hàm g ốc c ủa L{ sFsGs ()()}= ft′ () ∗ gt () + f (0)(), gt ∑ n+1 n=0 s −1 L{ sFsGs ()()}= gt′ () ∗ ft () + g (0)(). ft ∞ t n F s cĩ d ạng f t c và hội t ụ v ới mọi t . ( ) ( ) = ∑ n > 0 n=0 n ! s  VD 24. Tìm bi ến đổ i L−1   . 2  (s+ 1)( s − 1)  1 VD 25. Tìm hàm g ốc c ủa F( s )= e s − 1 .
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace n ∞ ∞ 1 1 1.3 1.3.5 1 1  1 =−+ − + Gi ải. Ta cĩ: F( s )=  − 1 = 3 2 5 3 7 ∑  ∑ n s 2s 2.2! s 2.3! s n=0n! s   n = 1 n! s ∞ n  n−1 1 (− 1) (2n − 1)!! 1 ∞ 1 t  = + .  . ⇒=f() t .  , ∀> t 0 . ∑ n2 n + 1  ∑   s n=1 2n ! s n n! ( n − 1)!   =1   ∞ (− 1)n (2n − 1)!! t 2 n  1 Vậy f()1 t = +  .  ∑ n  VD 26. Tìm hàm g ốc c ủa F( s ) = . n=1 2n ! (2n )! 2   s + 1 n n ∞ (− 1) t 2 Gi ải. Ta cĩ: = . ∑ 2n 2 1 − n=0 2 (n !) 1 1 1  2 F( s )= = 1 +   2  s2 + 1 s  s   Hàm ph c & Phép bi n đi Laplace Đi h c 27
29. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace §4. ỨNG D ỤNG C ỦA PHÉP BI ẾN ĐỔ I LAPLACE VD 1. Gi ải ph ươ ng trình vi phân: 4.1. Gi ải ph ươ ng trình vi phân tuy ến tính y′ −=2 y 3 eyt ; (0) =− 1 . v ới h ệ s ố h ằng VD 2. Gi ải ph ươ ng trình vi phân:  Ph ươ ng pháp gi ải ′ −3t Xét ph ươ ng trình vi phân v ới nghi ệm c ần tìm là y( t ) . y+3 ye = ; y (0) = 2 . • Bướ c 1. Bi ến đổ i Laplace hai v ế c ủa ph ươ ng trình vi VD 3. Gi ải ph ươ ng trình vi phân: phân ta thu đượ c m ột ph ươ ng trình b ậc nh ất y′′+= yty; (0) = 1, y ′ (0) =− 2 . với hàm c ần tìm là Ys()= Lyt {()} . VD 4. Gi ải ph ươ ng trình vi phân: • Bướ c 2. Thay điều ki ện đầ u (nếu cĩ), tìm Y( s ) theo s . yyyey′′−+=3 ′ 2 42t ; (0) =− 3, y ′ (0) = 5 . • Bướ c 3. Nghi ệm c ần tìm là yt()= L−1 {()} Ys . Chú ý VD 5. Gi ải ph ươ ng trình vi phân: Để đơ n gi ản, ta vi ết Y thay cho Y( s ) ; y thay cho y( t ) . yy′′′+= ′1; y (0) = y ′ (0) = y ′′ (0) = 0 .
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace VD 6*. Gi ải ph ươ ng trình vi phân: y=sin2 t *sin2 t − cos2 t t yy′′+=4 2 sin 2 ty ; (0) = 0, y ′ (0) =− 1 . =−cos2t +∫ sin2 x sin2( txdx −− ) cos2 t 0 Gi ải. Ta cĩ: 1 1 4 =−cos2t + sin2 ttt − cos2 . sYsy2 −. (0) − y′ (0) += 4 Y 4 2 s2 + 4 4 1 22 1 4.2. Gi ải h ệ ph ươ ng trình vi phân tuy ến tính ⇒=Y −=. − . (4)s222+ s + 4 ss 2 ++ 4 2 4 s 2 + 4 v ới h ệ s ố h ằng 2 2  1 VD 7. Gi ải h ệ ph ươ ng trình vi phân: Vậy y= L−1.  − L − 1 2 2  2  s+4 s + 4  s + 4 x′ +3 x + y = 0    ;x (0)= 1, y (0) = 1 . y′ − x + y = 0 
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace
    Chương 5. Ph ép bi n đi Laplace Gi ải. Đặ t X= Lx( ), Y = Ly ( ) .  −2t − 2 t x= e − 2 te , L ấy b iến đổ i Laplace cả hai ph ươ ng trình, ta đượ c: Vậy nghi ệm c ủa h ệ là  −2t − 2 t y= e + 2 te .    sX− x(0) + 3 X += Y 0 (s+ 3) X + Y = 1  ⇒  . sY− y(0) − X + Y = 0 −+X( s + 1) Y = 1   VD 8. Gi ải h ệ phươ ng trình vi phân: Gi ải h ệ b ằng cơng th ức Cramer, ta đượ c:  x′ −2 y = 1  ; x (0)= 0, y (0) = 0 .  s 1 2 y′ +2 x = t X = = −   (s+ 2)2s + 2 ( s + 2) 2  . s + 4 1 2 Ht Y = = +  2 2  (s+ 2)s + 2 ( s + 2) Hàm ph c & Phép bi n đi Laplace Đi h c 28