›
›

Giáo trình Giải thuật - Nguyễn Văn Linh

pdf 109 trang phuongnguyen 3030
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Giải thuật - Nguyễn Văn Linh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_giai_thuat_nguyen_van_linh.pdf

Nội dung text: Giáo trình Giải thuật - Nguyễn Văn Linh

  1. Th.s. NGUYỄN VĂN LINH GIẢI THUẬT Được biên soạn trong khuôn khổ dự án ASVIET002CNTT ”Tăng cường hiệu quả đào tạo và năng lực tự đào tạo của sinh viên khoa Công nghệ Thông tin - Đại học Cần thơ” ĐẠI HỌC CẦN THƠ - 12/2003
  2. LỜI NÓI ÐẦU N. Wirth, một nhà khoa học máy tính nổi tiếng, tác giả của ngôn ngữ lập trình Pascal, đã đặt tên cho một cuốn sách của ông là “Cấu trúc dữ liệu + Giải thuật = Chương trình”. Ðiều đó nói lên tầm quan trọng của giải thuật trong lập trình nói riêng và trong khoa học máy tính nói chung. Vì lẽ đó giải thuật, với tư cách là một môn học, cần phải được sinh viên chuyên ngành tin học nghiên cứu một cách có hệ thống. Môn học “Giải thuật” được bố trí sau môn “Cấu trúc dữ liệu” trong chương trình đào tạo kỹ sư tin học nhằm giới thiệu cho sinh viên những kiến thức cơ bản nhất, những kỹ thuật chủ yếu nhất của việc PHÂN TÍCH và THIẾT KẾ giải thuật. Các kỹ thuật được trình bày ở đây đã được các nhà khoa học tin học tổng kết và vận dụng trong cài đặt các chương trình. Việc nắm vững các kỹ thuật đó sẽ rất bổ ích cho sinh viên khi phải giải quyết một vấn đề thực tế. Giáo trình này được hình thành trên cơ sở tham khảo cuốn sách “Data Structure and Algorithms” của A.V Aho, những kinh nghiệm giảng dạy của bản thân và các bạn đồng nghiệp. Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong quá trình biên soạn nhưng chắc chắn còn nhiều thiếu sót, rất mong nhận được sự đóng góp của quý bạn đọc. Cần thơ, ngày 8 tháng 12 năm 2003 Nguyễn Văn Linh
  3. Giải thuật Mục lục MỤC LỤC PHẦN TỔNG QUAN i Chương 1: KĨ THUẬT PHÂN TÍCH GIẢI THUẬT 1 1.1 TỔNG QUAN 1 1.2 SỰ CẦN THIẾT PHẢI PHÂN TÍCH GIẢI THUẬT 2 1.3 THỜI GIAN THỰC HIỆN CỦA GIẢI THUẬT 2 1.4 TỶ SUẤT TĂNG VÀ ÐỘ PHỨC TẠP CỦA GIẢI THUẬT 3 1.5 CÁCH TÍNH ÐỘ PHỨC TẠP 4 1.6 PHÂN TÍCH CÁC CHƯƠNG TRÌNH ÐỆ QUY 7 1.7 TỔNG KẾT CHƯƠNG 1 16 BÀI TẬP CHƯƠNG 1 16 Chương 2: SẮP XẾP 18 2.1 TỔNG QUAN 18 2.2 BÀI TOÁN SẮP XẾP 19 2.3 CÁC PHƯƠNG PHÁP SẮP XẾP ÐƠN GIẢN 20 2.4 QUICKSORT 25 2.5 HEAPSORT 31 2.6 BINSORT 39 2.7 TỔNG KẾT CHƯƠNG 2 44 BÀI TẬP CHƯƠNG 2 44 Chương 3: KĨ THUẬT THIẾT KẾ GIẢI THUẬT 45 3.1 TỔNG QUAN 45 3.2 KĨ THUẬT CHIA ÐỂ TRỊ 45 3.3 KĨ THUẬT “THAM ĂN” 50 3.4 QUY HOẠCH ÐỘNG 56 3.5 KĨ THUẬT QUAY LUI 63 3.6 KĨ THUẬT TÌM KIẾM ÐỊA PHƯƠNG 78 3.7 TỔNG KẾT CHƯƠNG 3 82 BÀI TẬP CHƯƠNG 3 82 Chương 4: CẤU TRÚC DỮ LIỆU VÀ GIẢI THUẬT LƯU TRỮ NGOÀI 85 4.1 TỔNG QUAN 85 4.2 MÔ HÌNH XỬ LÝ NGOÀI 85 4.3 ÐÁNH GIÁ CÁC GIẢI THUẬT XỬ LÝ NGOÀI 86 4.4 SẮP XẾP NGOÀI 87 4.5 LƯU TRỮ THÔNG TIN TRONG TẬP TIN 93 4.6 TỔNG KẾT CHƯƠNG 4 103 BÀI TẬP CHƯƠNG 4 104
  4. Giải thuật Tổng quan PHẦN TỔNG QUAN 1. Mục đích yêu cầu Môn học giải thuật cung cấp cho sinh viên một khối lượng kiến thức tương đối hoàn chỉnh về phân tích và thiết kế các giải thuật lập trình cho máy tính. Sau khi học xong môn học này, sinh viên cần: - Nắm được khái niệm thời gian thực hiện của chương trình, độ phức tạp của giải thuật. Biết cách phân tích, đánh giá giải thuật thông qua việc tính độ phức tạp. - Nắm được các giải thuật sắp xếp và phân tích đánh giá được các giải thuật sắp xếp. - Nắm được các kĩ thuật thiết kế giải thuật, vận dụng vào việc giải một số bài toán thực tế. - Nắm được các phương pháp tổ chức lưu trữ thông tin trong tập tin và các giải thuật tìm, xen, xoá thông tin trong tập tin. 2. Đối tượng sử dụng Môn học giải thuật được dùng để giảng dạy cho các sinh viên sau: - Sinh viên năm thứ 3 chuyên ngành Tin học. - Sinh viên năm thứ 3 chuyên ngành Điện tử (Viễn thông, Tự động hoá ) - Sinh viên Toán-Tin. 3. Nội dung cốt lõi Trong khuôn khổ 45 tiết, giáo trình được cấu trúc thành 4 chương - Chương 1: Kĩ thuật phân tích đánh giá giải thuật. Chương này đặt vấn đề tại sao cần phải phân tích, đánh giá giải thuật và phân tích đánh giá theo phương pháp nào. Nội dung chương 1 tập trung vào khái niệm độ phức tạp thời gian của giải thuật và phương pháp tính độ phức tạp giải thuật của một chương trình bình thường, của chương trình có gọi các chương trình con và của các chương trình đệ quy. - Chương 2: Sắp xếp. Chương này trình bày các giải thuật sắp xếp, một thao tác thường được sử dụng trong việc giải các bài toán máy tính. Sẽ có nhiều giải thuật sắp xếp từ đơn giản đến nâng cao sẽ được giới thiệu ở đây. Với mỗi giải thuật, sẽ trình bày ý tưởng giải thuật, ví dụ minh hoạ, cài đặt chương trình và phân tích đánh giá. - Chương 3: Kĩ thuật thiết kế giải thuật. Chương này trình bày các kĩ thuật phổ biến để thiết kế các giải thuật. Các kĩ thuật này gồm: Chia để trị, Quy hoạch động, Tham ăn, Quay lui và Tìm kiếm địa phương. Với mỗi kĩ thuật sẽ trình bày nội dung kĩ thuật và vận dung vào giải các bài toán khá nổi tiếng như bài toán người giao hàng, bài toán cái ba lô, bài toán cây phủ tối thiểu - Chương 4: Cấu trúc dữ liệu và giải thuật lưu trữ ngoài. Chương này trình bày các cấu trúc dữ liệu được dùng để tổ chức lưu trữ tập tin trên bộ nhớ ngoài và các giải thuật tìm kiếm, xen xoá thông tin trên các tập tin đó. 4. Kiến thức tiên quyết Để học tốt môn học giải thuật cần phải có các kiến thức sau: - Kiến thức toán học. - Kiến thức và kĩ năng lập trình căn bản.
  5. Giải thuật Tổng quan - Kiến thức về cấu trúc dữ liệu và các giải thuật thao tác trên các cấu trúc dữ liệu. Trong chương trình đào tạo, Cấu trúc dữ liệu là môn học tiên quyết của môn Giải thuật. 5. Danh mục tài liệu tham khảo [1] A.V. Aho, J.E. Hopcroft, J.D. Ullman; Data Structures and Algorithms; Addison-Wesley; 1983. [2] Jeffrey H Kingston; Algorithms and Data Structures; Addison-Wesley; 1998. [3] Đinh Mạnh Tường; Cấu trúc dữ liệu & Thuật toán; Nhà xuất bản khoa học và kĩ thuật; Hà nội-2001. [4] Đỗ Xuân Lôi; Cấu trúc dữ liệu & Giải thuật; 1995. [5] Nguyễn Đức Nghĩa, Tô Văn Thành; Toán rời rạc; 1997. [6] Trang web phân tích giải thuật: [7] Trang web bài giảng về giải thuật: [8] Trang tìm kiếm các giải thuật:
  6. Giải thuật Kĩ thuật phân tích giải thuật CHƯƠNG 1: KĨ THUẬT PHÂN TÍCH GIẢI THUẬT 1.1 TỔNG QUAN 1.1.1 Mục tiêu Sau khi học chương này, sinh viên cần phải trả lời được các câu hỏi sau: - Tại sao cần phân tích đánh giá giải thuật? - Tiêu chuẩn nào để đánh giá một giải thuật là tốt? - Phương pháp đánh giá như thế nào? (đánh giá chương trình không gọi chương trình con, đánh giá một chương trình có gọi các chương trình con không đệ quy và đánh giá chương trình đệ quy). 1.1.2 Kiến thức cơ bản cần thiết Các kiến thức cơ bản cần thiết để học chương này bao gồm: - Kiến thức toán học: Công thức tính tổng n số tự nhiên đầu tiên, công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân, phương pháp chứng minh quy nạp và các kiến thức liên quan đến logarit (biến đổi logarit, tính chất đồng biến của hàm số logarit). - Kĩ thuật lập trình và lập trình đệ quy. 1.1.3 Tài liệu tham khảo A.V. Aho, J.E. Hopcroft, J.D. Ullman. Data Structures and Algorithms. Addison- Wesley. 1983. (Chapters 1, 9). Jeffrey H Kingston; Algorithms and Data Structures; Addison-Wesley; 1998. (Chapter 2). Đinh Mạnh Tường. Cấu trúc dữ liệu & Thuật toán. Nhà xuất bản khoa học và kĩ thuật. Hà nội-2001. (Chương 1). Trang web phân tích giải thuật: 1.1.4 Nội dung cốt lõi Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu các vấn đề sau: • Sự cần thiết phải phân tích các giải thuật. • Thời gian thực hiện của chương trình. • Tỷ suất tăng và độ phức tạp của giải thuật. • Tính thời gian thực hiện của chương trình. • Phân tích các chương trình đệ quy. Nguyễn Văn Linh Trang 1
  7. Giải thuật Kĩ thuật phân tích giải thuật 1.2 SỰ CẦN THIẾT PHẢI PHÂN TÍCH GIẢI THUẬT Trong khi giải một bài toán chúng ta có thể có một số giải thuật khác nhau, vấn đề là cần phải đánh giá các giải thuật đó để lựa chọn một giải thuật tốt (nhất). Thông thường thì ta sẽ căn cứ vào các tiêu chuẩn sau: 1.- Giải thuật đúng đắn. 2.- Giải thuật đơn giản. 3.- Giải thuật thực hiện nhanh. Với yêu cầu (1), để kiểm tra tính đúng đắn của giải thuật chúng ta có thể cài đặt giải thuật đó và cho thực hiện trên máy với một số bộ dữ liệu mẫu rồi lấy kết quả thu được so sánh với kết quả đã biết. Thực ra thì cách làm này không chắc chắn bởi vì có thể giải thuật đúng với tất cả các bộ dữ liệu chúng ta đã thử nhưng lại sai với một bộ dữ liệu nào đó. Vả lại cách làm này chỉ phát hiện ra giải thuật sai chứ chưa chứng minh được là nó đúng. Tính đúng đắn của giải thuật cần phải được chứng minh bằng toán học. Tất nhiên điều này không đơn giản và do vậy chúng ta sẽ không đề cập đến ở đây. Khi chúng ta viết một chương trình để sử dụng một vài lần thì yêu cầu (2) là quan trọng nhất. Chúng ta cần một giải thuật dễ viết chương trình để nhanh chóng có được kết quả , thời gian thực hiện chương trình không được đề cao vì dù sao thì chương trình đó cũng chỉ sử dụng một vài lần mà thôi. Tuy nhiên khi một chương trình được sử dụng nhiều lần thì thì yêu cầu tiết kiệm thời gian thực hiện chương trình lại rất quan trọng đặc biệt đối với những chương trình mà khi thực hiện cần dữ liệu nhập lớn do đó yêu cầu (3) sẽ được xem xét một cách kĩ càng. Ta gọi nó là hiệu quả thời gian thực hiện của giải thuật. 1.3 THỜI GIAN THỰC HIỆN CỦA CHƯƠNG TRÌNH Một phương pháp để xác định hiệu quả thời gian thực hiện của một giải thuật là lập trình nó và đo lường thời gian thực hiện của hoạt động trên một máy tính xác định đối với tập hợp được chọn lọc các dữ liệu vào. Thời gian thực hiện không chỉ phụ thuộc vào giải thuật mà còn phụ thuộc vào tập các chỉ thị của máy tính, chất lượng của máy tính và kĩ xảo của người lập trình. Sự thi hành cũng có thể điều chỉnh để thực hiện tốt trên tập đặc biệt các dữ liệu vào được chọn. Ðể vượt qua các trở ngại này, các nhà khoa học máy tính đã chấp nhận tính phức tạp của thời gian được tiếp cận như một sự đo lường cơ bản sự thực thi của giải thuật. Thuật ngữ tính hiệu quả sẽ đề cập đến sự đo lường này và đặc biệt đối với sự phức tạp thời gian trong trường hợp xấu nhất. 1.3.1 Thời gian thực hiện chương trình. Thời gian thực hiện một chương trình là một hàm của kích thước dữ liệu vào, ký hiệu T(n) trong đó n là kích thước (độ lớn) của dữ liệu vào. Ví dụ 1-1: Chương trình tính tổng của n số có thời gian thực hiện là T(n) = cn trong đó c là một hằng số. Nguyễn Văn Linh Trang 2
  8. Giải thuật Kĩ thuật phân tích giải thuật Thời gian thực hiện chương trình là một hàm không âm, tức là T(n) ≥ 0 ∀ n ≥ 0. 1.3.2 Ðơn vị đo thời gian thực hiện. Ðơn vị của T(n) không phải là đơn vị đo thời gian bình thường như giờ, phút giây mà thường được xác định bởi số các lệnh được thực hiện trong một máy tính lý tưởng. Ví dụ 1-2: Khi ta nói thời gian thực hiện của một chương trình là T(n) = Cn thì có nghĩa là chương trình ấy cần Cn chỉ thị thực thi. 1.3.3 Thời gian thực hiện trong trường hợp xấu nhất. Nói chung thì thời gian thực hiện chương trình không chỉ phụ thuộc vào kích thước mà còn phụ thuộc vào tính chất của dữ liệu vào. Nghĩa là dữ liệu vào có cùng kích thước nhưng thời gian thực hiện chương trình có thể khác nhau. Chẳng hạn chương trình sắp xếp dãy số nguyên tăng dần, khi ta cho vào dãy có thứ tự thì thời gian thực hiện khác với khi ta cho vào dãy chưa có thứ tự, hoặc khi ta cho vào một dãy đã có thứ tự tăng thì thời gian thực hiện cũng khác so với khi ta cho vào một dãy đã có thứ tự giảm. Vì vậy thường ta coi T(n) là thời gian thực hiện chương trình trong trường hợp xấu nhất trên dữ liệu vào có kích thước n, tức là: T(n) là thời gian lớn nhất để thực hiện chương trình đối với mọi dữ liệu vào có cùng kích thước n. 1.4 TỶ SUẤT TĂNG VÀ ÐỘ PHỨC TẠP CỦA GIẢI THUẬT 1.4.1 Tỷ suất tăng Ta nói rằng hàm không âm T(n) có tỷ suất tăng (growth rate) f(n) nếu tồn tại các hằng số C và N0 sao cho T(n) ≤ Cf(n) với mọi n ≥ N0. Ta có thể chứng minh được rằng “Cho một hàm không âm T(n) bất kỳ, ta luôn tìm được tỷ suất tăng f(n) của nó”. Ví dụ 1-3: Giả sử T(0) = 1, T(1) = 4 và tổng quát T(n) = (n+1)2. Ðặt N0 = 1 và C = 4 thì với mọi n ≥1 chúng ta dễ dàng chứng minh được rằng T(n) = (n+1)2 ≤ 4n2 với mọi n ≥ 1, tức là tỷ suất tăng của T(n) là n2. Ví dụ 1-4: Tỷ suất tăng của hàm T(n) = 3n3 + 2n2 là n3. Thực vậy, cho N0 = 0 và C = 5 ta dễ dàng chứng minh rằng với mọi n ≥ 0 thì 3n3 + 2n2 ≤ 5n3 1.4.2 Khái niệm độ phức tạp của giải thuật Giả sử ta có hai giải thuật P1 và P2 với thời gian thực hiện tương ứng là T1(n) = 100n2 (với tỷ suất tăng là n2) và T2(n) = 5n3 (với tỷ suất tăng là n3). Giải thuật nào sẽ thực hiện nhanh hơn? Câu trả lời phụ thuộc vào kích thước dữ liệu vào. Với n 20 thì ngươc lại do số mũ của 100n2 nhỏ hơn số mũ của 5n3 (2 20 vì khi n<20 thì thời gian thực hiện của cả P1 và P2 đều không lớn và sự khác biệt giữa T1 và T2 là không đáng kể. Nguyễn Văn Linh Trang 3
  9. Giải thuật Kĩ thuật phân tích giải thuật Như vậy một cách hợp lý là ta xét tỷ suất tăng của hàm thời gian thực hiện chương trình thay vì xét chính bản thân thời gian thực hiện. Cho một hàm T(n), T(n) gọi là có độ phức tạp f(n) nếu tồn tại các hằng C, N0 sao cho T(n) ≤ Cf(n) với mọi n ≥ N0 (tức là T(n) có tỷ suất tăng là f(n)) và kí hiệu T(n) là O(f(n)) (đọc là “ô của f(n)”) Ví dụ 1-5: T(n)= (n+1)2 có tỷ suất tăng là n2 nên T(n)= (n+1)2 là O(n2) Chú ý: O(C.f(n))=O(f(n)) với C là hằng số. Ðặc biệt O(C)=O(1) Nói cách khác độ phức tạp tính toán của giải thuật là một hàm chặn trên của hàm thời gian. Vì hằng nhân tử C trong hàm chặn trên không có ý nghĩa nên ta có thể bỏ qua vì vậy hàm thể hiện độ phức tạp có các dạng thường gặp sau: log2n, n, nlog2n, n2, n3, 2n, n!, nn. Ba hàm cuối cùng ta gọi là dạng hàm mũ, các hàm khác gọi là hàm đa thức. Một giải thuật mà thời gian thực hiện có độ phức tạp là một hàm đa thức thì chấp nhận được tức là có thể cài đặt để thực hiện, còn các giải thuật có độ phức tạp hàm mũ thì phải tìm cách cải tiến giải thuật. Vì ký hiệu log2n thường có mặt trong độ phức tạp nên trong khôn khổ tài liệu này, ta sẽ dùng logn thay thế cho log2n với mục đích duy nhất là để cho gọn trong cách viết. Khi nói đến độ phức tạp của giải thuật là ta muốn nói đến hiệu quả của thời gian thực hiện của chương trình nên ta có thể xem việc xác định thời gian thực hiên của chương trình chính là xác định độ phức tạp của giải thuật. 1.5 CÁCH TÍNH ÐỘ PHỨC TẠP Cách tính độ phức tạp của một giải thuật bất kỳ là một vấn đề không đơn giản. Tuy nhiên ta có thể tuân theo một số nguyên tắc sau: 1.5.1 Qui tắc cộng Nếu T1(n) và T2(n) là thời gian thực hiện của hai đoạn chương trình P1 và P2; và T1(n)=O(f(n)), T2(n)=O(g(n)) thì thời gian thực hiện của đoạn hai chương trình đó nối tiếp nhau là T(n)=O(max(f(n),g(n))) Ví dụ 1-6: Lệnh gán x:=15 tốn một hằng thời gian hay O(1), Lệnh đọc dữ liệu READ(x) tốn một hằng thời gian hay O(1).Vậy thời gian thực hiện cả hai lệnh trên nối tiếp nhau là O(max(1,1))=O(1) 1.5.2 Qui tắc nhân Nếu T1(n) và T2(n) là thời gian thực hiện của hai đoạn chương trình P1và P2 và T1(n) = O(f(n)), T2(n) = O(g(n)) thì thời gian thực hiện của đoạn hai đoạn chương trình đó lồng nhau là T(n) = O(f(n).g(n)) 1.5.3 Qui tắc tổng quát để phân tích một chương trình: - Thời gian thực hiện của mỗi lệnh gán, READ, WRITE là O(1) Nguyễn Văn Linh Trang 4
  10. Giải thuật Kĩ thuật phân tích giải thuật - Thời gian thực hiện của một chuỗi tuần tự các lệnh được xác định bằng qui tắc cộng. Như vậy thời gian này là thời gian thi hành một lệnh nào đó lâu nhất trong chuỗi lệnh. - Thời gian thực hiện cấu trúc IF là thời gian lớn nhất thực hiện lệnh sau THEN hoặc sau ELSE và thời gian kiểm tra điều kiện. Thường thời gian kiểm tra điều kiện là O(1). - Thời gian thực hiện vòng lặp là tổng (trên tất cả các lần lặp) thời gian thực hiện thân vòng lặp. Nếu thời gian thực hiện thân vòng lặp không đổi thì thời gian thực hiện vòng lặp là tích của số lần lặp với thời gian thực hiện thân vòng lặp. Ví dụ 1-7: Tính thời gian thực hiện của thủ tục sắp xếp “nổi bọt” PROCEDURE Bubble(VAR a: ARRAY[1 n] OF integer); VAR i,j,temp: Integer; BEGIN {1} FOR i:=1 TO n-1 DO {2} FOR j:=n DOWNTO i+1 DO {3} IF a[j-1]>a[j]THEN BEGIN{hoán vị a[i], a[j]} {4} temp := a[j-1]; {5} a[j-1] := a[j]; {6} a[j] := temp; END; END; Về giải thuật sắp xếp nổi bọt, chúng ta sẽ bàn kĩ hơn trong chương 2. Ở đây, chúng ta chỉ quan tâm đến độ phức tạp của giải thuật. Ta thấy toàn bộ chương trình chỉ gồm một lệnh lặp {1}, lồng trong lệnh {1} là lệnh {2}, lồng trong lệnh {2} là lệnh {3} và lồng trong lệnh {3} là 3 lệnh nối tiếp nhau {4}, {5} và {6}. Chúng ta sẽ tiến hành tính độ phức tạp theo thứ tự từ trong ra. Trước hết, cả ba lệnh gán {4}, {5} và {6} đều tốn O(1) thời gian, việc so sánh a[j-1] > a[j] cũng tốn O(1) thời gian, do đó lệnh {3} tốn O(1) thời gian. Vòng lặp {2} thực hiện (n-i) lần, mỗi lần O(1) do đó vòng lặp {2} tốn O((n-i).1) = O(n-i). Vòng lặp {1} lặp có I chạy từ 1 đến n-1nên thời gian thực hiện của vòng lặp {1} và cũng là độ phức tạp của giải thuật là n− 1 n(n− 1) T(n)=∑ (n − i) = = O(n2). i= 1 2 Chú ý: Trong trường hợp vòng lặp không xác định được số lần lặp thì chúng ta phải lấy số lần lặp trong trường hợp xấu nhất. Ví dụ 1-8: Tìm kiếm tuần tự. Hàm tìm kiếm Search nhận vào một mảng a có n số nguyên và một số nguyên x, hàm sẽ trả về giá trị logic TRUE nếu tồn tại một phần tử a[i] = x, ngược lại hàm trả về FALSE. Nguyễn Văn Linh Trang 5
  11. Giải thuật Kĩ thuật phân tích giải thuật Giải thuật tìm kiếm tuần tự là lần lượt so sánh x với các phần tử của mảng a, bắt đầu từ a[1], nếu tồn tại a[i] = x thì dừng và trả về TRUE, ngược lại nếu tất cả các phần tử của a đều khác X thì trả về FALSE. FUNCTION Search(a:ARRAY[1 n] OF Integer;x:Integer):Boolean; VAR i:Integer; Found:Boolean; BEGIN {1} i:=1; {2} Found:=FALSE; {3} WHILE(i<=n)AND (not Found) DO {4} IF A[i]=X THEN Found:=TRUE ELSE i:=i+1; {5} Search:=Found; END; Ta thấy các lệnh {1}, {2}, {3} và {5} nối tiếp nhau, do đó độ phức tạp của hàm Search chính là độ phức tạp lớn nhất trong 4 lệnh này. Dễ dàng thấy rằng ba lệnh {1}, {2} và {5} đều có độ phức tạp O(1) do đó độ phức tạp của hàm Search chính là độ phức tạp của lệnh {3}. Lồng trong lệnh {3} là lệnh {4}. Lệnh {4} có độ phức tạp O(1). Trong trường hợp xấu nhất (tất cả các phần tử của mảng a đều khác x) thì vòng lặp {3} thực hiện n lần, vậy ta có T(n) = O(n). 1.5.4 Ðộ phức tạp của chương trình có gọi chương trình con không đệ qui Nếu chúng ta có một chương trình với các chương trình con không đệ quy, để tính thời gian thực hiện của chương trình, trước hết chúng ta tính thời gian thực hiện của các chương trình con không gọi các chương trình con khác. Sau đó chúng ta tính thời gian thực hiện của các chương trình con chỉ gọi các chương trình con mà thời gian thực hiện của chúng đã được tính. Chúng ta tiếp tục quá trình đánh giá thời gian thực hiện của mỗi chương trình con sau khi thời gian thực hiện của tất cả các chương trình con mà nó gọi đã được đánh giá. Cuối cùng ta tính thời gian cho chương trình chính. Giả sử ta có một hệ thống các chương trình gọi nhau theo sơ đồ sau: A B B1 B11 C B2 B12 Hình 1-1: Sơ đồ gọi thực hiện các chương trình con không đệ quy Chương trình A gọi hai chương trình con là B và C, chương trình B gọi hai chương trình con là B1 và B2, chương trình B1 gọi hai chương trình con là B11 và B12. Ðể tính thời gian thực hiện của A, ta tính theo các bước sau: Nguyễn Văn Linh Trang 6
  12. Giải thuật Kĩ thuật phân tích giải thuật 1. Tính thời gian thực hiện của C, B2, B11 và B12. Vì các chương trình con này không gọi chương trình con nào cả. 2. Tính thời gian thực hiện của B1. Vì B1 gọi B11 và B12 mà thời gian thực hiện của B11 và B12 đã được tính ở bước 1. 3. Tính thời gian thực hiện của B. Vì B gọi B1 và B2 mà thời gian thực hiện của B1 đã được tính ở bước 2 và thời gian thực hiện của B2 đã được tính ở bước 1. 4. Tính thời gian thực hiện của A. Vì A gọi B và C mà thời gian thực hiện của B đã được tính ở bước 3 và thời gian thực hiện của C đã được tính ở bước 1. Ví dụ 1-9: Ta có thể viết lại chương trình sắp xếp bubble như sau: Trước hết chúng ta viết thủ tục Swap để thực hiện việc hoàn đổi hai phần tử cho nhau, sau đso trong thủ tục Bubble, khi cần ta sẽ gọi đến thủ tục Swap này. PROCEDURE Swap (VAR x, y: Integer); VAR temp: Integer; BEGIN temp := x; x := y; y := temp; END; PROCEDURE Bubble (VAR a: ARRAY[1 n] OF integer); VAR i,j :Integer; BEGIN {1} FOR i:=1 TO n-1 DO {2} FOR j:=n DOWNTO i+1 DO {3} IF a[j-1]>a[j] THEN Swap(a[j-1], a[j]); END; Trong cách viết trên, chương trình Bubble gọi chương trình con Swap, do đó để tính thời gian thực hiện của Bubble, trước hết ta cần tính thời gian thực hiện của Swap. Dễ thấy thời gian thực hiện của Swap là O(1) vì nó chỉ bao gồm 3 lệnh gán. Trong Bubble, lệnh {3} gọi Swap nên chỉ tốn O(1), lệnh {2} thực hiện n-i lần, mỗi lần tốn O(1) nên tốn O(n-i). Lệnh {1} thực hiện n-1 lần nên n− 1 n(n− 1) T(n)=∑ (n − i) = = O(n2). i= 1 2 1.6 PHÂN TÍCH CÁC CHƯƠNG TRÌNH ÐỆ QUY Với các chương trình có gọi các chương trình con đệ quy, ta không thể áp dụng cách tính như vừa trình bày trong mục 1.5.4 bởi vì một chương trình đệ quy sẽ gọi chính bản thân nó. Có thể thấy hình ảnh chương trình đệ quy A như sau: A Hình 1-2: Sơ đồ chương trình con A đệ quy Nguyễn Văn Linh Trang 7
  13. Giải thuật Kĩ thuật phân tích giải thuật Với phương pháp tính độ phức tạp đã trình bày trong mục 1.5.4 thì không thể thực hiện được. Bởi vì nếu theo phương pháp đó thì, để tính thời gian thực hiên của chương trình A, ta phải tính thời gian thực hiện của chương trình A và cái vòng luẩn quẩn ấy không thể kết thúc được. Với các chương trình đệ quy, trước hết ta cần thành lập các phương trình đệ quy, sau đó giải phương trình đệ quy, nghiệm của phương trình đệ quy sẽ là thời gian thực hiện của chương trình đệ quy. 1.6.1 Thành lập phương trình đệ quy Phương trình đệ quy là một phương trình biểu diễn mối liên hệ giữa T(n) và T(k), trong đó T(n) là thời gian thực hiện chương trình với kích thước dữ liệu nhập là n, T(k) thời gian thực hiện chương trình với kích thước dữ liệu nhập là k, với k 0 chương trình phải gọi đệ quy Giai_thua(n-1), việc gọi đệ quy này tốn T(n-1), sau khi có kết quả của việc gọi đệ quy, chương trình phải nhân kết quả đó với n và gán cho Giai_thua. Thời gian để thực hiện phép nhân và phép gán là một hằng C2. Vậy ta có Nguyễn Văn Linh Trang 8
  14. Giải thuật Kĩ thuật phân tích giải thuật C1 nêu n = 0 T(n) = T(n -1) + C2 nêu n > 0 Ðây là phương trình đệ quy để tính thời gian thực hiện của chương trình đệ quy Giai_thua. Ví du 1-11: Chúng ta xét thủ tục MergeSort một cách phác thảo như sau: FUNCTION MergeSort (L:List; n:Integer):List; VAR L1,L2:List; BEGIN IF n=1 THEN RETURN(L) ELSE BEGIN Chia đôi L thành L1 và L2, với độ dài n/2; RETURN(Merge(MergeSort(L1,n/2),MergeSort(L2,n/2))); END; END; Chẳng hạn để sắp xếp danh sách L gồm 8 phần tử 7, 4, 8, 9, 3, 1, 6, 2 ta có mô hình minh họa của MergeSort như sau: 7 4 8 9 3 1 6 2 7 4 8 9 3 1 6 2 7 4 8 9 3 1 6 2 7 4 8 9 3 1 6 2 4 7 8 9 1 3 2 6 4 7 8 9 1 2 3 6 1 2 3 4 6 7 8 9 Hình 1-3: Minh hoạ sắp xếp trộn Hàm MergeSort nhận một danh sách có độ dài n và trả về một danh sách đã được sắp xếp. Thủ tục Merge nhận hai danh sách đã được sắp L1 và L2 mỗi danh sách có n độ dài , trộn chúng lại với nhau để được một danh sách gồm n phần tử có thứ tự. 2 Nguyễn Văn Linh Trang 9
  15. Giải thuật Kĩ thuật phân tích giải thuật Giải thuật chi tiết của Merge ta sẽ bàn sau, chúng ta chỉ để ý rằng thời gian để n Merge các danh sách có độ dài là O(n). 2 n Gọi T(n) là thời gian thực hiện MergeSort một danh sách n phần tử thì T( ) là thời 2 n gian thực hiện MergeSort một danh sách phần tử. 2 Khi L có độ dài 1 (n = 1) thì chương trình chỉ làm một việc duy nhất là return(L), việc này tốn O(1) = C1 thời gian. Trong trường hợp n > 1, chương trình phải thực n hiện gọi đệ quy MergeSort hai lần cho L1 và L2 với độ dài do đó thời gian để gọi 2 n hai lần đệ quy này là 2T( ). Ngoài ra còn phải tốn thời gian cho việc chia danh 2 sách L thành hai nửa bằng nhau và trộn hai danh sách kết quả (Merge). Người ta xác đinh được thời gian để chia danh sách và Merge là O(n) = C2n . Vậy ta có phương trình đệ quy như sau: C1 nêu n = 1 T(n) = n 2T( ) + C n nêu n > 1 2 2 1.6.2 Giải phương trình đệ quy Có ba phương pháp giải phương trình đệ quy: 1.- Phương pháp truy hồi 2.- Phương pháp đoán nghiệm. 3.- Lời giải tổng quát của một lớp các phương trình đệ quy. 1.6.2.1 Phương pháp truy hồi Dùng đệ quy để thay thế bất kỳ T(m) với m 1 được thay thế bởi biểu thức của các T(1) hoặc T(0). Vì T(1) và T(0) luôn là hằng số nên chúng ta có công thức của T(n) chứa các số hạng chỉ liên quan đến n và các hằng số. Từ công thức đó ta suy ra T(n). C nêu n = 0 Ví dụ 1-12: Giải phương trình T(n) = 1 T(n -1) + C2 nêu n > 0 Ta có T(n) = T(n-1) + C2 T(n) = [T(n-2) + C2] + C2 = T(n-2) + 2C2 T(n) = [T(n-3) + C2] + 2C2 = T(n-3) + 3C2 T(n) = T(n-i) + iC2 Quá trình trên kết thúc khi n - i = 0 hay i = n. Khi đó ta có T(n) = T(0) + nC2 = C1 + n C2 = O(n) Nguyễn Văn Linh Trang 10
  16. Giải thuật Kĩ thuật phân tích giải thuật C1 nêu n = 1 Ví dụ 1-13: Giải phương trình T(n) = n 2T( ) + C n nêu n > 1 2 2 n Ta có T(n) = 2T( ) + 2C n 2 2 n n n T(n) = 2 [ 2T( ) + C ] + C n = 4T( ) + 2C n 4 2 2 2 4 2 n n n T(n) = 4 [ 2T( ) + C ] + 2C n = 8T( ) + 3C n 8 2 4 2 8 2 . n T(n) = 2i T( ) +i C n 2i 2 n Quá trình suy rộng sẽ kết thúc khi = 1 hay 2i = n và do đó i = logn. Khi đó ta có: 2i T(n) = nT(1) + lognC2n = C1n + C2nlogn = O(nlogn). 1.6.2.2 Phương pháp đoán nghiệm Ta đoán một nghiệm f(n) và dùng chứng minh quy nạp để chứng tỏ rằng T(n) ≤ f(n) với mọi n. Thông thường f(n) là một trong các hàm quen thuộc như logn, n, nlogn, n2, n3, 2n, n!, nn. Ðôi khi chúng ta chỉ đoán dạng của f(n) trong đó có một vài tham số chưa xác định (chẳng hạn f(n) = an2 với a chưa xác định) và trong quá trình chứng minh quy nạp ta sẽ suy diễn ra giá trị thích hợp của các tham số. C1 nêu n = 1 Ví dụ 1-12: Giải phương trình đệ quy T(n) = n 2T( ) + C n nêu n > 1 2 2 Giả sử chúng ta đoán f(n) = anlogn. Với n = 1 ta thấy rằng cách đoán như vậy không được bởi vì anlogn có giá trị 0 không phụ thuộc vào giá trị của a. Vì thế ta thử tiếp theo f(n) = anlogn + b. Với n = 1 ta có, T(1) = C1 và f(1) = b, muốn T(1) ≤ f(1) thì b ≥ C1 (*) Giả sử rằng T(k) ≤ f(k), tức là T(k) ≤ aklogk + b với mọi k < n (giả thiết quy nạp). Ta phải chứng minh T(n) ≤ anlogn + b với mọi n. n Giả sử n ≥ 2, từ phương trình đã cho ta có T(n) = 2T( ) + C n 2 2 n Áp dụng giả thiết quy nạp với k = < n ta có: 2 n n n T(n) = 2T( ) + C n ≤ 2[a log + b] + C n 2 2 2 2 2 Nguyễn Văn Linh Trang 11
  17. Giải thuật Kĩ thuật phân tích giải thuật T(n) ≤ (anlogn - an + 2b) + C2n T(n) ≤ (anlogn + b) + [b + (C2 - a)n] . Nếu lấy a ≥ C2 + b ( ) ta được T(n) ≤ (anlogn + b) + [b +(C2 - C2 - b )n ] T(n) ≤ (anlogn + b) + (1-n) b T(n) ≤ anlogn + b = f(n). (do b>0 và 1-n<0) Nếu ta lấy a và b sao cho cả (*) và ( ) đều thoả mãn thì T(n) ≤ an logn + b với mọi n. ⎧ b≥ C 1 b = C Ta phải giải hệ ⎨ Ðể đơn giản, ta giải hệ 1 ⎩a≥ C2 + b a = C2 + b Dễ dàng ta có b = C1 và a = C1 +C2 ta được T(n) ≤ (C1 + C2)nlogn +C1 với mọi n. Hay nói cách khác T(n) là O(nlogn). 1.6.2.3 Lời giải tổng quát cho một lớp các phương trình đệ quy Khi thiết kế các giải thuật, người ta thường vận dụng phương pháp chia để trị mà ta sẽ bàn chi tiết hơn trong chương 3. Ở đây chi trình bày tóm tắt phương pháp như sau: Ðể giải một bài toán kích thước n, ta chia bài toán đã cho thành a bài toán con, mỗi n bài toán con có kích thước . Giải các bài toán con này và tổng hợp kết quả lại để b được kết quả của bài toán đã cho. Với các bài toán con chúng ta cũng sẽ áp dụng phương pháp đó để tiếp tục chia nhỏ ra nữa cho đến các bài toán con kích thước 1. Kĩ thuật này sẽ dẫn chúng ta đến một giải thuật đệ quy. Giả thiết rằng mỗi bài toán con kích thước 1 lấy một đơn vị thời gian và thời gian để n chia bài toán kích thước n thành các bài toán con kích thước và tổng hợp kết quả b từ các bài toán con để được lời giải của bài toán ban đầu là d(n). (Chẳng hạn đối với ví dụ MergeSort, chúng ta có a = b = 2, và d(n) = C2n. Xem C1 là một đơn vị). Tất cả các giải thuật đệ quy như trên đều có thể thành lập một phương trinh đệ quy tổng quát, chung cho lớp các bài toán ấy. n Nếu gọi T(n) là thời gian để giải bài toán kích thước n thì T( ) là thời gian để giải b n bài toán con kích thước . Khi n = 1 theo giả thiết trên thì thời gian giải bài toán b kích thước 1 là 1 đơn vị, tức là T(1) = 1. Khi n lớn hơn 1, ta phải giải đệ quy a bài n n toán con kích thước , mỗi bài toán con tốn T( ) nên thời gian cho a lời giải đệ b b n quy này là aT( ). Ngoài ra ta còn phải tốn thời gian để phân chia bài toán và tổng b hợp các kết quả, thời gian này theo giả thiết trên là d(n). Vậy ta có phương trình đệ quy: Nguyễn Văn Linh Trang 12
  18. Giải thuật Kĩ thuật phân tích giải thuật 1 neu n = 1 n T(n) = aT( ) + d(n) neu n > 1 (I.1) b Ta sử dụng phương pháp truy hồi để giải phương trình này. Khi n > 1 ta có n T(n) = aT( ) + d(n) b n n n n T(n)= a[aT( ) + d( ) ] + d(n) = a2 T( ) + ad( ) + d(n) b 2 b b 2 b n n n n n n T(n)= a2 [a T( ) + d ( ) ] + ad ( ) + d(n) = a3 T ( ) + a2 d ( ) + ad ( ) + d(n) b3 b 2 b b3 b2 b = 1-i i n j a = a T( i ) +‡” a d( j ) b j=0 b Giả sử n = bk, quá trình suy rộng trên sẽ kết thúc khi i = k. n Khi đó ta được T( ) = T(1) = 1. Thay vào trên ta có: b k 1-k T(n) = ak +‡” aj d() b k- j (I.2) j=0 1.6.2.3.1 Hàm tiến triển, nghiệm thuần nhất và nghiệm riêng Trong phương trình đệ quy (I.1) hàm thời gian d(n) được gọi là hàm tiến triển (driving function) k log a Trong công thức (I.2), a = n b được gọi là nghiệm thuần nhất (homogeneous solutions). Nghiệm thuần nhất là nghiệm chính xác khi d(n) = 0 với mọi n. Nói một cách khác, nghiệm thuần nhất biểu diễn thời gian để giải tất cả các bài toán con. 1-k Trong công thức (I.2), ‡”aj d( b k- j )được gọi là nghiệm riêng (particular solutions). j=0 Nghiệm riêng biểu diễn thời gian phải tốn để tạo ra các bài toán con và tổng hợp các kết quả của chúng. Nhìn vào công thức ta thấy nghiệm riêng phụ thuộc vào hàm tiến triển, số lượng và kích thước các bài toán con. Khi tìm nghiệm của phương trình (I.1), chúng ta phải tìm nghiệm riêng và so sánh với nghiệm thuần nhất. Nếu nghiệm nào lớn hơn, ta lấy nghiệm đó làm nghiệm của phương trình (I.1). Việc xác định nghiệm riêng không đơn giản chút nào, tuy vậy, chúng ta cũng tìm được một lớp các hàm tiến triển có thể dễ dàng xác định nghiệm riêng. Nguyễn Văn Linh Trang 13
  19. Giải thuật Kĩ thuật phân tích giải thuật 1.6.2.3.2 Hàm nhân Một hàm f(n) được gọi là hàm nhân (multiplicative function) nếu f(m.n) = f(m).f(n) với mọi số nguyên dương m và n. Ví dụ 1-13: Hàm f(n) = nk là một hàm nhân, vì f(m.n) = (m.n)k = mk.nk = f(m) f(n) Tính nghiệm của phương trình tổng quát trong trường hợp d(n) là hàm nhân: Nếu d(n) trong (I.1) là một hàm nhân thì theo tính chất của hàm nhân ta có d(bk-j) = [d(b)]k-j và nghiệm riêng của (I.2) là a [ ]k - 1 1-k 1-k 1-k a d(b) ‡”aj d( b k- j ) = ‡”aj [d(b)] k- j = [d(b)]k ‡”[ ] j = [d(b)]k d(b) a j=0 j=0 j=0 - 1 d(b) ak - [d(b)]k Hay nghiệm riêng = (I.3) a 1 - - 1 d(b) Xét ba trường hợp sau: 1.- Trường hợp 1: a > d(b) thì trong công thức (I.3) ta có ak > [d(b)]k, theo quy tắc k log a lấy độ phức tạp ta có nghiệm riêng là O(a ) = O(n b ). Như vậy nghiệm riêng và log a nghiệm thuần nhất bằng nhau do đó T(n) là O(n b ). Trong trương hợp này ta thấy thời gian thực hiện chỉ phụ thuộc vào a, b mà không phụ thuộc vào hàm tiến triển d(n). Vì vậy để cải tiến giải thuật ta cần giảm a hoặc tăng b. 2.- Trường hợp 2: a ak, theo quy tắc k log d(b) lấy độ phức tạp ta cónghiệm riêng là O([d(b)] ) = O(n b ). Trong trường hợp này log d(b) nghiệm riêng lớn hơn nghiệm thuần nhất nên T(n) là O(n b ). Ðể cải tiến giải thuật chúng ta cần giảm d(b) hoặc tăng b. Trường hợp đặc biệt quan trọng khi d(n) = n . Khi đó d(b) = b và logbb = 1. Vì thế nghiệm riêng là O(n) và do vậy T(n) là O(n). 3.- Trường hợp 3: a = d(b) thì công thức (I.3) không xác đinh nên ta phải tính trực tiếp nghiệm riêng: 1-k a 1-k Nghiệm riêng = [d(b)]k ‡”[ ] j = ak ‡”1 = akk (do a = d(b)) j=0 d(b) j=0 k k log a log a Do n = b nên k = logbn và a = n b . Vậy nghiệm riêng là n b logbn và nghiệm log a này lớn gấp logbn lần nghiệm thuần nhất. Do đó T(n) là O(n b logbn). Chú ý khi giải một phương trình đệ quy cụ thể, ta phải xem phương trình đó có thuộc dạng phương trình tổng quát hay không. Nếu có thì phải xét xem hàm tiến triển có phải là hàm nhân không. Nếu có thì ta xác định a, d(b) và dựa vào sự so sánh giữa a và d(b) mà vận dụng một trong ba trường hợp nói trên. Nguyễn Văn Linh Trang 14
  20. Giải thuật Kĩ thuật phân tích giải thuật Ví dụ 1-14: Giải các phương trình đệ quy sau với T(1) = 1 và n 1/- T(n) = 4T( ) + n 2 n 2/- T(n) = 4T( ) + n2 2 n 3/- T(n) = 4T( ) + n3 2 Các phương trình đã cho đều có dạng phương trình tổng quát, các hàm tiến triển d(n) đều là các hàm nhân và a = 4, b = 2. Với phương trình thứ nhất, ta có d(n) = n => d(b) = b = 2 d(b) = b2 = 4 = a, áp dụng trường hợp 3 ta có log a log4 2 T(n) = O(n b logbn) = O(n logn) = O(n logn). Với phương trình thứ 3, ta có d(n) = n3 => d(b) = b3 = 8 > a, áp dụng trường hợp 2, log d(b) log8 3 ta có T(n) = O(n b ) = O(n ) = O(n ). 1.6.2.3.3 Các hàm tiến triển khác Trong trường hợp hàm tiến triển không phải là một hàm nhân thì chúng ta không thể áp dụng các công thức ứng với ba trường hợp nói trên mà chúng ta phải tính trực tiếp nghiệm riêng, sau đó so sánh với nghiệm thuần nhất để lấy nghiệm lớn nhất trong hai nghiệm đó làm nghiệm của phương trình. Ví dụ 1-15: Giải phương trình đệ quy sau : T(1) = 1 n T(n) = 2T( ) + nlogn 2 Phương trình đã cho thuộc dạng phương trình tổng quát nhưng d(n) = nlogn không phải là một hàm nhân. log a log2 Ta có nghiệm thuần nhất = n b = n = n Do d(n) = nlogn không phải là hàm nhân nên ta phải tính nghiệm riêng bằng cách xét trực tiếp 1-k 1-k 1-k k( k +1) Nghiệm riêng = ‡”aj d() b k- j = ‡”2j 2k- j log2 k- j = 2k‡” (k - j) = 2 k = O(2kk2) j=0 j=0 j=0 2 k Theo giả thiết trong phương trình tổng quát thì n = b nên k = logbn, ở đây do b = 2 nên 2k = n và k = logn, chúng ta có nghiệm riêng là O(nlog2n), nghiệm này lớn hơn nghiệm thuần nhất do đó T(n) = O(nlog2n). Nguyễn Văn Linh Trang 15
  21. Giải thuật Kĩ thuật phân tích giải thuật 1.7 TỔNG KẾT CHƯƠNG 1 Trong chương này, chúng ta cần phải nắm vững các ý sau: 1.- Sự phân tích, đánh giá giải thuật là cần thiết để lựa chọn giải thuật tốt, hoặc để cải tiến giải thuật. 2.- Sử dụng khái niệm độ phức tạp và ký hiệu ô lớn để đánh giá giải thuật. 3.- Đối với các chương trình không gọi chương trình con, thì dùng quy tắc cộng, quy tắc nhân và quy tắc chung để phân tích, tính độ phức tạp. 4.- Đối với các chương trình gọi chương trình con, thì tính độ phức tạp theo nguyên tắc “từ trong ra”. 5.- Đối với các chương trình đệ quy thì trước hết phải thành lập phương trình đệ quy, sau đó giải phương trình đệ quy, nghiệm của phương trình đệ quy chính là độ phức tạp của giải thuật. 6.- Khi giải một phương trình đệ quy không thuộc dạng phương trình tổng quát thì sử dụng phương pháp truy hồi hoặc phương pháp đoán nghiệm. 7.- Khi giải một phương trình đệ quy thuộc dạng phương trình tổng quát, nếu hàm tiến triển d(n) là một hàm nhân thì vận dụng công thức nghiệm của môt trong ba trường hợp để xác định nghiệm, còn nếu d(n) không phải là hàm nhân thì phải tính trực tiếp nghiệm riêng và so sánh với nghiệm thuần nhất để chọn nghiệm. BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Bài 1: Tính thời gian thực hiện của các đoạn chương trình sau: a) Tính tổng của các số {1} Sum := 0; {2} for i:=1 to n do begin {3} readln(x); {4} Sum := Sum + x; end; b) Tính tích hai ma trận vuông cấp n C = A*B: {1} for i := 1 to n do {2} for j := 1 to n do begin {3} c[i,j] := 0; {4} for k := 1 to n do {5} c[i,j] := c[i,j] + a[i,k] * b[k,j]; end; Bài 2: Giải các phương trình đệ quy sau với T(1) = 1 và a) T(n) = 3T(n/2) + n b) T(n) = 3T(n/2) + n2 c) T(n) = 8T(n/2) + n3 Bài 3: Giải các phương trình đệ quy sau với T(1) = 1 và a) T(n) = 4T(n/3) + n b) T(n) = 4T(n/3) + n2 Nguyễn Văn Linh Trang 16
  22. Giải thuật Kĩ thuật phân tích giải thuật c) T(n) = 9T(n/3) + n2 Bài 4: Giải các phương trình đệ quy sau với T(1) = 1 và a) T(n) = T(n/2) + 1 b) T(n) = 2T(n/2) + logn c) T(n) = 2T(n/2) + n d) T(n) = 2T(n/2) + n2 Bài 5: Giải các phương trình đệ quy sau bằng phương pháp đoán nghiệm: a) T(1) = 2 và T(n) = 2T(n-1) + 1 với n > 1 b) T(1) = 1 và T(n) = 2T(n-1) + n với n > 1 Bài 6: Cho một mảng n số nguyên được sắp thứ tự tăng. Viết hàm tìm một số nguyên trong mảng đó theo phương pháp tìm kiếm nhị phân, nếu tìm thấy thì trả về TRUE, ngược lại trả về FALSE. Sử dụng hai kĩ thuật là đệ quy và vòng lặp. Với mỗi kĩ thuật hãy viết một hàm tìm và tính thời gian thực hiện của hàm đó. Bài 7: Tính thời gian thực hiện của giải thuật đệ quy giải bài toán Tháp Hà nội với n tầng? Bài 8: Xét công thức truy toán để tính số tổ hợp chập k của n như sau: 1 nêu k = 0 hoac k = n k Cn = 1-k k C1-n + C1-n nêu 0 < k < n a) Viết một hàm đệ quy để tính số tổ hợp chập k của n. b) Tính thời gian thực hiện của giải thuật nói trên. Nguyễn Văn Linh Trang 17
  23. Giải thuật Sắp xếp CHƯƠNG 2: SẮP XẾP 2.1 TỔNG QUAN 2.1.1 Mục tiêu Chương này sẽ trình bày một số phương pháp sắp xếp. Với mỗi phương pháp cần nắm vững các phần sau: - Giải thuật sắp xếp. - Minh họa việc sắp xếp theo giải thuật. - Chương trình sắp xếp. - Đánh giá giải thuật. 2.1.2 Kiến thức cơ bản cần thiết Các kiến thức cơ bản cần thiết để học chương này bao gồm: - Cấu trúc dữ liệu kiểu mẩu tin (record) và kiểu mảng (array) của các mẩu tin. - Kiểu dữ liệu trừu tượng danh sách và thủ tục xen một phần tử vào danh sách (insert). - Kĩ thuật lập trình và lập trình đệ quy. 2.1.3 Tài liệu tham khảo A.V. Aho, J.E. Hopcroft, J.D. Ullman. Data Structures and Algorithms. Addison-Wesley. 1983. (Chapter 8). Jeffrey H Kingston; Algorithms and Data Structures; Addison-Wesley; 1998. (Chapter 9). Đinh Mạnh Tường. Cấu trúc dữ liệu & Thuật toán. Nhà xuất bản khoa học và kĩ thuật. Hà nội-2001. (Chương 9). Đỗ Xuân Lôi. Cấu trúc dữ liệu & Giải thuật. 1995. (Chương 9). 2.1.4 Nội dung cốt lõi Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu các vấn đề sau: • Bài toán sắp xếp. • Một số giải thuật sắp xếp đơn giản. • QuickSort • HeapSort • BinSort Nguyễn Văn Linh Trang 18
  24. Giải thuật Sắp xếp 2.2 BÀI TOÁN SẮP XẾP 2.2.1 Tầm quan trọng của bài toán sắp xếp Sắp xếp một danh sách các đối tượng theo một thứ tự nào đó là một bài toán thường được vận dụng trong các ứng dụng tin học. Ví dụ ta cần sắp xếp danh sách thí sinh theo tên với thứ tự Alphabet, hoặc sắp xếp danh sách sinh viên theo điểm trung bình với thứ tự từ cao đến thấp. Một ví dụ khác là khi cần tìm kiếm một đối tượng trong một danh sách các đối tượng bằng giải thuật tìm kiếm nhị phân thì danh sách các đối tượng này phải được sắp xếp trước đó. Tóm lại sắp xếp là một yêu cầu không thể thiếu trong khi thiết kế các phần mềm. Do đó việc nghiên cứu các phương pháp sắp xếp là rất cần thiết để vận dụng trong khi lập trình. 2.2.2 Sắp xếp trong và sắp xếp ngoài Sắp xếp trong là sự sắp xếp dữ liệu được tổ chức trong bộ nhớ trong của máy tính, ở đó ta có thể sử dụng khả năng truy nhập ngẫu nhiên của bộ nhớ và do vậy sự thực hiện rất nhanh. Sắp xếp ngoài là sự sắp xếp được sử dụng khi số lượng đối tượng cần sắp xếp lớn không thể lưu trữ trong bộ nhớ trong mà phải lưu trữ trên bộ nhớ ngoài. Cụ thể là ta sẽ sắp xếp dữ liệu được lưu trữ trong các tập tin. Chương này tập trung giải quyết vấn đề sắp xếp trong còn sắp xếp ngoài sẽ được nghiên cứu trong chương IV. 2.2.3 Tổ chức dữ liệu và ngôn ngữ cài đặt Các đối tượng cần được sắp xếp là các mẩu tin gồm một hoặc nhiều trường. Một trong các trường được gọi là khóa (key), kiểu của nó là một kiểu có quan hệ thứ tự (như các kiểu số nguyên, số thực, chuỗi ký tự ). Danh sách các đối tượng cần sắp xếp sẽ là một mảng của các mẩu tin vừa nói ở trên. Mục đích của việc sắp xếp là tổ chức lại các mẩu tin sao cho các khóa của chúng được sắp thứ tự tương ứng với quy luật sắp xếp. Ðể trình bày các ví dụ minh họa chúng ta sẽ dùng PASCAL làm ngôn ngữ thể hiện và sử dụng khai báo sau: CONST N = 10; TYPE KeyType = integer; OtherType = real; RecordType = Record Key : KeyType; OtherFields : OtherType; end; VAR a : array[1 N] of RecordType; Nguyễn Văn Linh Trang 19
  25. Giải thuật Sắp xếp PROCEDURE Swap(var x,y:RecordType); VAR temp : RecordType; BEGIN temp := x; x := y; y := temp; END; Cần thấy rằng thủ tục Swap lấy O(1) thời gian vì chỉ thực hiện 3 lệnh gán nối tiếp nhau. 2.3 CÁC PHƯƠNG PHÁP SẮP XẾP ÐƠN GIẢN Các giải thuật đơn giản thường lấy O(n2) thời gian để sắp xếp n đối tượng và các giải thuật này thường chỉ dùng để sắp các danh sách có ít đối tượng. Với mỗi giải thuật chúng ta sẽ nghiên cứu các phần: giải thuật, ví dụ, chương trình và phân tích đánh giá. 2.3.1 Sắp xếp chọn (Selection Sort) 2.3.1.1 Giải thuật Ðây là phương pháp sắp xếp đơn giản nhất được tiến hành như sau: • Ðầu tiên chọn phần tử có khóa nhỏ nhất trong n phần tử từ a[1] đến a[n] và hoán vị nó với phần tử a[1]. • Chọn phần tử có khóa nhỏ nhất trong n-1phần tử từ a[2] đến a[n] và hoán vị nó với a[2]. • Tổng quát ở bước thứ i, chọn phần tử có khoá nhỏ nhất trong n-i+1 phần tử từ a[i] đến a[n] và hoán vị nó với a[i]. • Sau n-1 bước này thì mảng đã được sắp xếp. Phương pháp này được gọi là phương pháp chọn bởi vì nó lặp lại quá trình chọn phần tử nhỏ nhất trong số các phần tử chưa được sắp. Ví dụ 2-1: Sắp xếp mảng gồm 10 mẩu tin có khóa là các số nguyên: 5, 6, 2, 2, 10, 12, 9, 10, 9 và 3 Bước 1: Ta chọn được phần tử có khoá nhỏ nhất (bằng 2) trong các phần tử từ a[1] đến a[10] là a[3], hoán đổi a[1] và a[3] cho nhau. Sau bước này thì a[1] có khoá nhỏ nhất là 2. Bước 2: Ta chọn được phần tử có khoá nhỏ nhất (bằng 2) trong các phần tử từ a[2] đến a[10] là a[4], hoán đổi a[2] và a[4] cho nhau. Tiếp tục quá trình này và sau 9 bước thì kết thúc. Bảng sau ghi lại các giá trị khoá tương ứng với từng bước. Nguyễn Văn Linh Trang 20
  26. Giải thuật Sắp xếp Khóa a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] a[7] a[8] a[9] a[10] Bước Ban đầu 5 6 2 2 10 12 9 10 9 3 Bước 1 2 6 5 2 10 12 9 10 9 3 Bước 2 2 5 6 10 12 9 10 9 3 Bước 3 3 6 10 12 9 10 9 5 Bước 4 5 10 12 9 10 9 6 Bước 5 6 12 9 10 9 10 Bước 6 9 12 10 9 10 Bước 7 9 10 12 10 Bước 8 10 12 10 Bước 9 10 12 Kết quả 2 2 3 5 6 9 9 10 10 12 Hình 2-1: Sắp xếp chọn 2.3.1.2 Chương trình: PROCEDURE SelectionSort; VAR i,j,LowIndex: integer; LowKey: KeyType; BEGIN {1} FOR i := 1 TO n-1 DO BEGIN {2} LowIndex := i; {3} LowKey := a[i].key; {4} FOR j := i+1 TO n DO {5} IF a[j].key < LowKey THEN BEGIN {6} LowKey := a[j].key; {7} LowIndex := j; END; {8} Swap(a[i],a[LowIndex]); END; END; 2.3.1.3 Ðánh giá: Phương pháp sắp xếp chọn lấy O(n2) để sắp xếp n phần tử. Trước hết ta có thủ tục Swap lấy một hằng thời gian như đã nói ở mục 2.2.3. Các lệnh {2}, {3} đều lấy O(1) thời gian. Vòng lặp for {4} – {7} thực hiện n-i lần, vì j chạy từ i+1 đến n, mỗi lần lấy O(1), nên lấy O(n-i) thời gian. Do đó thời gian tổng cộng là: 1-n n(n -1) T(n) = ‡”(n - i) = tức là O(n2). i=1 2 2.3.2 Sắp xếp xen (Insertion Sort) 2.3.2.1 Giải thuật Trước hết ta xem phần tử a[1] là một dãy đã có thứ tự. Nguyễn Văn Linh Trang 21
  27. Giải thuật Sắp xếp • Bước 1, xen phần tử a[2] vào danh sách đã có thứ tự a[1] sao cho a[1], a[2] là một danh sách có thứ tự. • Bước 2, xen phần tử a[3] vào danh sách đã có thứ tự a[1], a[2] sao cho a[1], a[2], a[3] là một danh sách có thứ tự. • Tổng quát, bước i, xen phần tử a[i+1] vào danh sách đã có thứ tự a[1],a[2], a[i] sao cho a[1], a[2], a[i+1] là một danh sách có thứ tự. • Phần tử đang xét a[j] sẽ được xen vào vị trí thích hợp trong danh sách các phần tử đã được sắp trước đó a[1],a[2], a[j-1] bằng cách so sánh khoá của a[j] với khoá của a[j-1] đứng ngay trước nó. Nếu khoá của a[j] nhỏ hơn khoá của a[j-1] thì hoán đổi a[j-1] và a[j] cho nhau và tiếp tục so sánh khoá của a[j-1] (lúc này a[j-1] chứa nội dung của a[j]) với khoá của a[j-2] đứng ngay trước nó Ví dụ 2-2: Sắp xếp mảng gồm 10 mẩu tin đã cho trong ví dụ 2-1. Bước 1: Xen a[2] vào dãy chỉ có một phần tử a[1] ta được dãy hai phần tử a[1] a[2] có thứ tự. Việc xen này thực ra không phải làm gì cả vì hai phần tử a[1], a[2] có khoá tương ứng là 5 và 6 đã có thứ tự. Bước 2: Xen a[3] vào dãy a[1] a[2] ta được dãy ba phần tử a[1] a[3] có thứ tự. Việc xen này được thực hiện bằng cách : so sánh khoá của a[3] với khoá của a[2], do khoá của a[3] nhỏ hơn khoá của a[2] (2<6) nên hoán đổi a[3] và a[2] cho nhau. Lại so sánh khoá của a[2] với khoá của a[1], do khoá của a[2] nhỏ hơn khoá của a[1] (2<5) nên hoán đổi a[2] và a[1] cho nhau. Tiếp tục quá trình này và sau 9 bước thì kết thúc. Bảng sau ghi lại các giá trị khoá tương ứng với từng bước. Khóa a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] a[7] A[8] a[9] a[10] Bước Ban đầu 5 6 2 2 10 12 9 10 9 3 Bước 1 5 6 Bước 2 2 5 6 Bước 3 2 2 5 6 Bước 4 2 2 5 6 10 Bước 5 2 2 5 6 10 12 Bước 6 2 2 5 6 9 10 12 Bước 7 2 2 5 6 9 10 10 12 Bước 8 2 2 5 6 9 9 10 10 12 Bước 9 2 2 3 5 6 9 9 10 10 12 Hình 2-2: Sắp xếp xen 2.3.2.2 Chương trình PROCEDURE InsertionSort; VAR i,j: integer; Nguyễn Văn Linh Trang 22
  28. Giải thuật Sắp xếp BEGIN {1} FOR i := 2 TO n DO BEGIN {2} J := i; {3} WHILE (j>1) AND (a[j].key < a[j-1].key) DO BEGIN {4} swap(a[j], a[j-1]); {5} j := j-1; END; END; END; 2.3.2.3 Ðánh giá: Phương pháp sắp xếp xen lấy O(n2) để sắp xếp n phần tử. Ta thấy các lệnh {4} và {5} đều lấy O(1). Vòng lặp {3} chạy nhiều nhất i-1 lần, mỗi lần tốn O(1) nên {3} lấy i-1 thời gian. Lệnh {2} và {3} là hai lệnh nối tiếp nhau, lệnh {2} lấy O(1) nên cả hai lệnh này lấy i-1. Vòng lặp {1} có i chạy từ 2 đến n nên nếu gọi T(n) là thời gian để sắp n phần tử thì ta có n n(n -1) T(n) = ∑(i -1) = tức là O(n2). i= 2 2 2.3.3 Sắp xếp nổi bọt (Bubble Sort) 2.3.3.1 Giải thuật Chúng ta tưởng tượng rằng các mẩu tin được lưu trong một mảng dọc, qua quá trình sắp, mẩu tin nào có khóa “nhẹ” sẽ được nổi lên trên. Chúng ta duyệt tòan mảng, từ dưới lên trên. Nếu hai phần tử ở cạnh nhau mà không đúng thứ tự tức là nếu phần tử “nhẹ hơn” lại nằm dưới thì phải cho nó “nổi lên” bằng cách đổi chỗ hai phần tử này cho nhau. Cụ thể là: • Bước 1: Xét các phần tử từ a[n] đến a[2], với mỗi phần tử a[j], so sánh khoá của nó với khoá của phần tử a[j-1] đứng ngay trước nó. Nếu khoá của a[j] nhỏ hơn khoá của a[j-1] thì hoán đổi a[j] và a[j-1] cho nhau. • Bước 2: Xét các phần tử từ a[n] đến a[3], và làm tương tự như trên. • Sau n-1 bước thì kết thúc. Ví dụ 2-3: Sắp xếp mảng gồm 10 mẩu tin đã cho trong ví dụ 2-1. Bước 1: Xét a[10] có khoá là 3, nhỏ hơn khoá của a[9] nên ta hoán đổi a[10] và a[9] cho nhau. Khoá của a[9] bây giờ là 3 nhỏ hơn khoá của a[8] nên ta hoán đổi a[9] và a[8] cho nhau. Khoá của a[8] bây giờ là 3 nhỏ hơn khoá của a[7] nên ta hoán đổi a[8] và a[7] cho nhau. Khoá của a[7] bây giờ là 3 nhỏ hơn khoá của a[6] nên ta hoán đổi a[7] và a[6] cho nhau. Khoá của a[6] bây giờ là 3 nhỏ hơn khoá của a[5] nên ta hoán đổi a[6] và a[5] cho nhau. Khoá của a[5] bây giờ là 3 không nhỏ hơn khoá của a[4] nên bỏ qua. Khoá của a[4] là 2 không nhỏ hơn khoá của a[3] nên bỏ qua. Khoá của a[3] là 2 nhỏ hơn khoá của a[2] nên ta hoán đổi a[3] và a[2] cho nhau. Khoá của a[2] bây giờ là 2 nhỏ hơn khoá của a[1] nên ta hoán đổi a[2] và a[1] cho nhau. Đến đây kết thúc bước 1 và a[1] có khoá nhỏ nhất là 2. Nguyễn Văn Linh Trang 23
  29. Giải thuật Sắp xếp Bước 2: Xét a[10] có khoá là 9, nhỏ hơn khoá của a[9] nên ta hoán đổi a[10] và a[9] cho nhau. Khoá của a[9] bây giờ là 9 không nhỏ hơn khoá của a[8] nên bỏ qua. Khoá của a[8] là 9 nhỏ hơn khoá của a[7] nên ta hoán đổi a[8] và a[7] cho nhau. Khoá của a[7] bây giờ là 9 nhỏ hơn khoá của a[6] nên ta hoán đổi a[7] và a[6] cho nhau. Khoá của a[6] bây giờ là 9 không nhỏ hơn khoá của a[5] nên bỏ qua. Khoá của a[5] bây giờ là 3 không nhỏ hơn khoá của a[4] nên bỏ qua. Khoá của a[4] là 2 nhỏ hơn khoá của a[3] nên ta hoán đổi a[4] và a[3] cho nhau. Khoá của a[3] bây giờ là 2 nhỏ hơn khoá của a[2] nên ta hoán đổi a[3] và a[2] cho nhau. Đến đây kết thúc bước 2 và a[2] có khoá là 2. Tiếp tục quá trình này và sau 9 bước thì kết thúc. Bảng sau ghi lại các giá trị khoá tương ứng với từng bước. Khóa a[1] a[2] a[3] A[4] a[5] a[6] a[7] a[8] a[9] a[10] Bước Ban đầu 5 6 2 2 10 12 9 10 9 3 Bước 1 2 5 6 2 3 10 12 9 10 9 Bước 2 2 5 6 3 9 10 12 9 10 Bước 3 3 5 6 9 9 10 12 10 Bước 4 5 6 9 9 10 10 12 Bước 5 6 9 9 10 10 12 Bước 6 9 9 10 10 12 Bước 7 9 10 10 12 Bước 8 10 10 12 Bước 9 10 12 Kết quả 2 2 3 5 6 9 9 10 10 12 Hình 2-3: Sắp xếp nổi bọt 2.3.3.2 Chương trình PROCEDURE BubbleSort; VAR i,j: integer; BEGIN {1} FOR i := 1 to n-1 DO {2} FOR j := n DOWNTO i+1 DO {3} IF a[j].key < a[j-1].key THEN {4} Swap(a[j],a[j-1]); END; 2.3.3.3 Ðánh giá: Phương pháp sắp xếp nổi bọt lấy O(n2) để sắp n phần tử. Dòng lệnh {3} lấy một hằng thời gian. Vòng lặp {2} thực hiện (n-i) bước, mỗi bước lấy O(1) nên lấy O(n-i) thời gian. Như vậy đối với toàn bộ chương trình ta có: n−1 n(n− 1) T(n)= ∑ (n− i) = = O(n2). i=1 2 Nguyễn Văn Linh Trang 24
  30. Giải thuật Sắp xếp 2.4 QUICKSORT Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu một giải thuật sắp xếp được dùng một cách phổ biến là Quick Sort do A.R. Hoare phát minh vào năm 1960. Quick Sort đã được cải tiến để trở thành phương pháp được chọn trong các ứng dụng sắp xếp thực tế khác nhau. 2.4.1 Ý tưởng Chúng ta vẫn xét mảng a các mẩu tin a[1] a[n]. Giả sử v là 1 giá trị khóa mà ta gọi là chốt (pivot). Ta phân hoạch dãy a[1] a[n] thành hai mảng con "bên trái" và "bên phải". Mảng con "bên trái" bao gồm các phần tử có khóa nhỏ hơn chốt, mảng con "bên phải" bao gồm các phần tử có khóa lớn hơn hoặc bằng chốt. Sắp xếp mảng con “bên trái” và mảng con “bên phải” thì mảng đã cho sẽ được sắp bởi vì tất cả các khóa trong mảng con “bên trái“ đều nhỏ hơn các khóa trong mảng con “bên phải”. Việc sắp xếp các mảng con “bên trái” và “bên phải” cũng được tiến hành bằng phương pháp nói trên. Một mảng chỉ gồm một phần tử hoặc gồm nhiều phần tử có khóa bằng nhau thì đã có thứ tự. 2.4.2 Thiết kế giải thuật 2.4.2.1 Vấn đề chọn chốt Chọn khóa lớn nhất trong hai phần tử có khóa khác nhau đầu tiên kể từ trái qua. Nếu mảng chỉ gồm một phần tử hay gồm nhiều phần tử có khóa bằng nhau thì không có chốt. Ví dụ 2-5: Chọn chốt trong các mảng sau Cho mảng gồm các phần tử có khoá là 6, 6, 5, 8, 7, 4, ta chọn chốt là 6 (khoá của phần tử đầu tiên). Cho mảng gồm các phần tử có khoá là 6, 6, 7, 5, 7, 4, ta chọn chốt là 7 (khoá của phần tử thứ 3). Cho mảng gồm các phần tử có khoá là 6, 6, 6, 6, 6, 6 thì không có chốt (các phần tử có khoá bằng nhau). Cho mảng gồm một phần tử có khoá là 6 thì không có chốt (do chỉ có một phần tử). 2.4.2.2 Vấn đề phần hoạch Ðể phân hoạch mảng ta dùng 2 "con nháy" L và R trong đó L từ bên trái và R từ bên phải, ta cho L chạy sang phải cho tới khi gặp phần tử có khóa ≥ chốt và cho R chạy sang trái cho tới khi gặp phần tử có khóa R. Khi đó L sẽ là điểm phân hoạch, cụ thể là a[L] là phần tử đầu tiên của mảng con “bên phải”. Nguyễn Văn Linh Trang 25
  31. Giải thuật Sắp xếp 2.4.2.3 Giải thuật QuickSort Ðể sắp xếp mảng a[i] a[j] ta tiến hành các bước sau: • Xác định chốt. • Phân hoạch mảng đã cho thành hai mảng con a[i] a[k-1] và a[k] a[j]. • Sắp xếp mảng a[i] a[k-1] (Ðệ quy). • Sắp xếp mảng a[k] a[j] (Ðệ quy). Quá trình đệ quy sẽ dừng khi không còn tìm thấy chốt. Ví dụ 2-4: Sắp xếp mảng gồm 10 mẩu tin có khóa là các số nguyên: 5, 8, 2, 10, 5, 12, 8, 1, 15 và 4. Với mảng a[1] a[10], hai phần tử đầu tiên có khóa khác nhau là là a[1] và a[2] với khoá tương ứng là 5 và 8, ta chọn chốt v = 8. Để phân hoạch, khởi đầu ta cho L := 1 (đặt L ở cực trái) và R := 10 (đặt R ở cực phải). Do a[L] có khoá là 5 nhỏ hơn chốt nên L := L+1 = 2 (di chuyển L sang phải), lúc này a[L] có khoá là 8 = chốt nên dừng lại. Do a[R] có khoá là 4 nhỏ hơn chốt nên R cũng không chuyển sang trái được. Tại các điểm dừng của L và R ta có L R (L=6 và R=5) nên ta đã xác định được điểm phân hoạch ứng với L = 6. Tức là mảng đã cho ban đầu được phân thành hai mảng con bên trái a[1] a[5] và mảng con bên phải a[6] a[10]. Hình ảnh của sự phân hoạch này được biểu diễn trong hình sau: Chỉ số 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Khoá 5 8 2 10 5 12 8 1 15 4 Ban đầu 4 1 10 8 v = 8 Cấp 1 5 4 2 1 5 12 8 10 15 8 Hình 2-4 : Chọn chốt và phân hoạch mảng a[1] a[10] Trong bảng trên, dòng chỉ số ghi các chỉ số của các phần tử của mảng (từ 1 đến 10). Nguyễn Văn Linh Trang 26
  32. Giải thuật Sắp xếp Trong dòng khoá ban đầu, các giá trị khoá ở dòng trên (5, 8, 2, 10, 5, 12, 8, 1, 15 và 4) là các giá trị khoá của mảng đã cho ban đầu, các giá trị khoá ở dòng dưới (4, 1, 10 và 8) là các giá trị khoá mới sau khi thực hiện hoán đổi a[2] với a[10] và a[4] với a[8]. Giá trị chốt là v = 8. Dòng cấp cấp 1, biểu diễn hai mảng con sau khi phân hoạch. Mảng bên trái từ a[1] đến a[5] gồm các phần tử có khoá là 5, 4, 2, 1 và 5. Mảng con bên phải từ a[6] đến a[10] gồm các phần tử có khoá 12, 8, 10, 15 và 8. Tiếp tục sắp xếp đệ quy cho mảng con bên trái và mảng con bên phải. Với mảng con bên trái a[1] a[5], hai phần tử đầu tiên có khóa khác nhau là là a[1] và a[2] với khoá tương ứng là 5 và 4, ta chọn chốt v = 5. Để phân hoạch, khởi đầu ta cho L := 1 (đặt L ở cực trái) và R := 5 (đặt R ở cực phải). Do a[L] có khoá là 5 bằng chốt nên không thể di chuyển L. Do a[R] có khoá là 5 bằng chốt nên di chuyển R sang trái (R := R-1 = 4). Khoá của a[R] bây giờ là 1 nhỏ hơn chốt nên dừng lại. Tại các điểm dừng của L và R ta có L R (L=4 và R=3) nên ta đã xác định được điểm phân hoạch ứng với L = 4. Tức là mảng bên trái phân thành hai mảng con bên trái a[1] a[3] và mảng con bên phải a[4] a[6]. Hình ảnh của sự phân hoạch này được biểu diễn trong hình sau: Chỉ số 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Khoá 5 8 2 10 5 12 8 1 15 4 Ban đầu 4 1 10 8 v = 8 5 4 2 1 5 12 8 10 15 8 Cấp 1 1 5 v = 5 Cấp 2 1 4 2 5 5 Hình 2-5 : Chọn chốt và phân hoạch mảng a[1] a[5] Tiếp tục sắp xếp cho các mảng con của cấp 1 và mảng con bên phải của mảng ban đầu cho đến khi dừng (các mảng không có chốt). Cuối cùng ta có mảng được sắp thứ tự. Hình sau biểu diễn toàn bộ quá trình sắp xếp. Nguyễn Văn Linh Trang 27
  33. Giải thuật Sắp xếp Chỉ số 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Khoá 5 8 2 10 5 12 8 1 15 4 Ban đầu 4 1 10 8 v = 8 5 4 2 1 5 12 8 10 15 8 Cấp 1 1 5 8 12 v = 5 v = 12 1 4 2 5 5 8 8 10 15 12 Cấp 2 2 4 12 15 v = 4 xong v = 10 v =15 Cấp 3 1 2 4 8 8 10 12 15 v = 2 xong xong xong xong xong Cấp 4 1 2 xong xong Kết quả 1 2 4 5 5 8 8 10 12 15 Hình 2-6 : QuickSort 2.4.3 Cài đặt giải thuật 2.4.3.1 Hàm FindPivot Ta thiết kế hàm FindPivot để xác định trong dãy a[i] a[j] có hay không hai phần tử có khóa khác nhau. Nếu không tìm thấy hai phần tử có khóa khác nhau thì trả về giá trị 0 (không tìm thấy chốt), ngược lại hàm trả về giá trị là chỉ số của phần tử có khóa lớn hơn trong hai phần tử có khóa khác nhau đầu tiên. Khóa lớn hơn này sẽ trở thành phần tử chốt mà ta sẽ xác định trong thủ tục QuickSort. Ðể tiện so sánh ta sử dụng biến FirstKey để lưu giữ khóa của phần tử đầu tiên trong mảng a[i] a[j] (FirstKey chính là a[i].key). Ta sẽ dùng một chỉ số k để dò tìm trong mảng a[i] a[j], kể từ vị trí i+1 đến hết mảng, một phần tử a[k] mà a[k].key j THEN FindPivot := 0 ELSE Nguyễn Văn Linh Trang 28
  34. Giải thuật Sắp xếp {5} IF a[k].key > FirstKey THEN FindPivot := k ELSE FindPivot := i; END; Trong hàm FindPivot các lệnh {1}, {2}, {3} và {4} nối tiếp nhau, trong đó chỉ có lệnh WHILE là tốn nhiều thời gian nhất do đó thời gian thực hiện của hàm FindPivot phụ thuộc vào thời gian thực hiện của lệnh này. Trong trường hợp xấu nhất (không tìm thấy chốt) thì k chạy từ i+1 đến j, tức là vòng lặp thực hiện j-i lần, mỗi lần O(1) do đó tốn j-i thời gian. Đặc biệt khi i=1 và j=n, thì thời gian thực hiện là n-1 hay T(n) = O(n). 2.4.3.2 Hàm Partition Hàm Partition nhận vào ba tham số i, j và Pivot để thực hiện việc phân hoạch mảng a[i] a[j] theo chốt Pivot và trả về giá trị L là chỉ số đầu tiên của mảng “bên phải”. Hai con nháy L, R sẽ được sử dụng để thực hiện việc phân hoạch như đã trình bày trong phần 2.4.2.3. FUNCTION Partition(i,j:integer; pivot :KeyType):integer ; VAR L,R : integer; BEGIN {1} L := i; {Ðặt con nháy L ở cực trái} {2} R := j; {Ðặt con nháy R ở cực phải} {3} WHILE L = pivot DO R := R-1; {6} IF L < R THEN Swap(a[L],a[R]); END; {7} Partition := L; {Trả về điểm phân hoạch} END; Trong hàm Partition các lệnh {1}, {2}, {3} và {7} nối tiếp nhau, trong đó thời gian thực hiện của lệnh {3} là lớn nhất, do đó thời gian thực hiện của lệnh {3} sẽ là thời gian thực hiện của hàm Partition. Các lệnh {4}, {5} và {6} là thân của lệnh {3}, trong đó lệnh {6} lấy O(1) thời gian. Lệnh {4} và lệnh {5} thực hiện việc di chuyển L sang phải và R sang trái, thực chất là duyệt các phần tử mảng, mỗi phần tử một lần, mỗi lần tốn O(1) thời gian. Tổng cộng việc duyệt này tốn j-i thời gian. Vòng lặp {3} thực chất là để xét xem khi nào thì duyệt xong, do đó thời gian thực hiện của lệnh {3} chính là thời gian thực hiện của hai lệnh {4} và {5} và do đó là j-i. Đặc biệt khi i=1 và j=n ta có T(n) = O(n). 2.4.3.3 Thủ tục QuickSort Bây giờ chúng ta trình bày thủ tục cuối cùng có tên là QuickSort và chú ý rằng để sắp xếp mảng A các record gồm n phần tử của kiểu Recordtype ta chỉ cần gọi QuickSort(1,n). Ta sẽ sử dụng biến PivotIndex để lưu giữ kết quả trả về của hàm FindPivot, nếu biến PivotIndex nhận được một giá trị khác 0 thì mới tiến hành phân hoạch mảng. Nguyễn Văn Linh Trang 29
  35. Giải thuật Sắp xếp Ngược lại, mảng không có chốt và do đó đã có thứ tự. Biến Pivot sẽ được sử dụng để lưu giữ giá trị chốt và biến k để lưu giữ giá trị của điểm phân hoạch do hàm Partition trả về. Sau khia đã phân hoạch xong ta sẽ gọi đệ quy QuickSort cho mảng con “bên trái” a[i] a[k-1] và mảng con “bên phải” a[k] a[j]. PROCEDURE Quicksort(i,j:integer); VAR Pivot : KeyType; PivotIndex, k : integer; BEGIN PivotIndex := FindPivot(i,j); IF PivotIndex 1 Giải phương trình này bằng phương pháp truy hồi Ta có T(n) = T(n-1) + T(1) +n = T(n-1) + (n+1) = [T(n-2) + T(1) +(n-1)] + (n+1) = T(n-2) + n + (n+1) = [T(n-3) + T(1) +(n-2)] + n + (n+1) = T(n-3) +(n-1) + n + (n+1) . . . . . . . . . . . . . . . . . n+1 T(n) = T(n-i) + (n-i+2) + (n-i+3) + + n + (n+1) = T(n-i) + ‡”j j=n-i+2 Nguyễn Văn Linh Trang 30
  36. Giải thuật Sắp xếp n+1 n+1 Quá trình trên kết thúc khi i = n-1, khi đó ta có T(n) = T(1) + ‡”j= 1 + ‡”j j=3 j=3 n+1 n2 + 3n - 2 = ‡”j - 2 = = O(n2) j=1 2 Trong trường hợp tốt nhất khi ta chọn được chốt sao cho hai mảng con có kích thước bằng nhau và bằng n/2. Lúc đó ta có phương trình đệ quy như sau: 1 nêu n = 1 T(n) = n 2T( ) + n nêu n > 1 2 Giải phương trình đệ quy này ta được T(n) = O(nlogn). 2.5 HEAPSORT 2.5.1 Ðịnh nghĩa Heap Cây sắp thứ tự bộ phận hay còn gọi là heap là cây nhị phân mà giá trị tại mỗi nút (khác nút lá) đều không lớn hơn giá trị của các con của nó. Ta có nhận xét rằng nút gốc a[1] của cây sắp thứ tự bộ phận có giá trị nhỏ nhất. Ví dụ 2-5: Cây sau là một heap. 2 6 3 6 5 9 7 7 6 9 Hình 2-7: Một heap Nguyễn Văn Linh Trang 31
  37. Giải thuật Sắp xếp 2.5.2 Ý tưởng (1) Xem mảng ban đầu là một cây nhị phân. Mỗi nút trên cây lưu trữ một phần tử mảng, trong đó a[1] là nút gốc và mỗi nút không là nút lá a[i] có con trái là a[2i] và con phải là a[2i+1]. Với cách tổ chức này thì cây nhị phân thu được sẽ có các nút trong là các nút a[1], ,a[n DIV 2]. Tất cả các nút trong đều có 2 con, ngoại trừ nút a[n DIV 2] có thể chỉ có một con trái (trong trường hợp n là một số chẵn). (2) Sắp xếp cây ban đầu thành một heap căn cứ vào giá trị khoá của các nút. (3) Hoán đổi a[1] cho cho phần tử cuối cùng. (4) Sắp lại cây sau khi đã bỏ đi phần tử cuối cùng để nó trở thành một heap mới. Lặp lại quá trình (3) và (4) cho tới khi cây chỉ còn một nút ta sẽ được mảng sắp theo thứ tự giảm. 2.5.3 Thiết kế và cài đặt giải thuật 2.5.3.1 Thủ tục PushDown Thủ tục PushDown nhận vào 2 tham số first và last để đẩy nút first xuống. Giả sử a[first], ,a[last] đã đúng vị trí (giá trị khoá tại mỗi nút nhỏ hơn hoặc bằng giá trị khoá tại các nút con của nó) ngoại trừ a[first]. PushDown dùng để đẩy phần tử a[first] xuống đúng vị trí của nó trong cây (và có thể gây ra việc đẩy xuống các phần tử khác). Xét a[first], có các khả năng có thể xẩy ra: • Nếu a[firrst] chỉ có một con trái và nếu khoá của nó lớn hơn khoá của con trái (a[first].key > a[2*first].key) thì hoán đổi a[first] cho con trái của nó và kết thúc. • Nếu a[first] có khoá lớn hơn con trái của nó (a[first].key > a[2*first].key) và khoá của con trái không lớn hơn khoá của con phải (a[2*first].key a[2*first+1].key ) và khoá của con phải nhỏ hơn khoá của con trái (a[2*first+1].key < a[2*first].key) thì hoán đổi a[first] cho con phải a[2*first+1] của nó, việc này có thể gây ra tình trạng con phải sẽ không đúng vị trí nên phải tiếp tục xem xét con phải để có thể đẩy xuống. • Nếu tất cả các trường hợp trên đều không xẩy ra thì a[first] đã đúng vị trí. Như trên ta thấy việc đẩy a[first] xuống có thể gây ra việc đẩy xuống một số phần tử khác, nên tổng quát là ta sẽ xét việc đẩy xuống của một phần tử a[r] bất kỳ, bắt đầu từ a[first]. Nguyễn Văn Linh Trang 32
  38. Giải thuật Sắp xếp PROCEDURE PushDown(first,last:integer); VAR r:integer; BEGIN r:= first; {Xét nút a[first] trước hết} WHILE r a[last].key THEN swap(a[r],a[last]); r:=last; {Kết thúc} END ELSE IF (a[r].key>a[2*r].key)and(a[2*r].key a[2*r+1].key)and(a[2*r+1].key<a[2*r].key) THEN BEGIN swap(a[r],a[2*r+1]); r := 2*r+1 ; {Xét tiếp nút con phải } END ELSE r := last; {Nút r đã đúng vị trí } END; Thủ tục PushDown chỉ duyệt trên một nhánh nào đó của cây nhị phân, tức là sau mỗi lần lặp thì số nút còn lại một nửa. Nếu số nút lúc đầu là n, trong trường hợp xấu nhất (luôn phải thực hiện việc đẩy xuống) thì lệnh lặp WHILE phải thực hiện i lần sao cho 2i = n tức là i = logn. Mà mỗi lần lặp chỉ thực hiện một lệnh IF với thân lệnh IF là gọi thủ tục Swap và gán, do đó tốn O(1) = 1 đơn vị thời gian. Như vậy thủ tục PushDown lấy O(logn) để đẩy xuống một nút trong cây có n nút. 2.5.3.2 Thủ tục HeapSort • Việc sắp xếp cây ban đầu thành một heap được tiến hành bằng cách sử dụng thủ tục PushDown để đẩy tất cả các nút trong chưa đúng vị trí xuống đúng vị trí của nó, khởi đầu từ nút a[n DIV 2], lần ngược tới gốc. • Lặp lại việc hoán đổi a[1] cho a[i], sắp xếp cây a[1] a[i-1] thành heap, i chạy từ n đến 2. PROCEDURE HeapSort; VAR i:integer; BEGIN {1} FOR i := (n div 2) DOWNTO 1 DO {2} PushDown(i,n); {3} FOR i := n DOWNTO 2 DO BEGIN {4} swap(a[1],a[i]); {5} pushdown(1,i-1); END; END; Nguyễn Văn Linh Trang 33
  39. Giải thuật Sắp xếp Ví dụ 2-6: Sắp xếp mảng bao gồm 10 phần tử có khoá là các số nguyên như trong các ví dụ 2.1: Chỉ số 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Khoá ban đầu 5 6 2 2 10 12 9 10 9 3 Mảng này được xem như là một cây nhị phân ban đầu như sau: 5 1 6 2 2 3 2 4 10 5 12 6 9 7 10 8 9 9 3 10 Hình 2-8: Cây ban đầu Trong cây trên, giá trị ghi trong các nút là khoá của các phần tử mảng, giá trị ghi bên ngoài các nút là chỉ số của các phần tử mảng. Việc sắp xếp cây này thành một heap sẽ bắt đầu từ việc đẩy xuống nút a[5] (vì 5 = 10 DIV 2) Xét nút 5 ta thấy a[5] chỉ có một con trái và giá trị khóa tương ứng của nó lớn hơn con trái của nó nên ta đổi hai nút này cho nhau và do con trái của a[5] là a[10] là một nút lá nên việc đẩy xuống của a[5] kết thúc. 5 1 5 1 6 2 2 3 6 2 2 3 2 4 10 5 12 6 9 7 2 4 3 5 12 6 9 7 10 8 9 9 3 10 10 8 9 9 10 10 Hình 2-9: Thực hiện đẩy xuống của nút 5 Nguyễn Văn Linh Trang 34
  40. Giải thuật Sắp xếp Nút 4 và nút 3 đã đúng vị trí nên không phải thực hiện sự hoán đổi. Tại nút 2, giá trị khóa của nó lớn hơn khoá con trái và khoá của con trái nhỏ hơn khoá của con phải nên ta hóan đổi nút 2 cho con trái của nó (nút 4), sau khi hoán đổi, ta xét lại nút 4, thấy nó vẫn đúng vị trí nên kết thúc việc đẩy xuống của nút 2. 5 1 5 1 6 2 2 3 2 2 2 3 2 4 3 5 12 6 9 7 6 4 3 5 12 6 9 7 10 8 9 9 1 10 10 8 9 9 10 10 0 Hình 2-10: Thực hiện đẩy xuống của nút 2 Cuối cùng ta xét nút 1, ta thấy giá trị khoá của nút 1 lớn hơn khoá của con trái và con trái có khoá bằng khoá của con phải nên hóan đổi nút 1 cho con trái của nó (nút 2). Sau khi thực hiện phép hóan đổi nút 1 cho nút 2, ta thấy nút 2 có giá trị khoá lớn hơn khoá của con phải của nó (nút 5) và con phải có khoá nhỏ hơn khoá của con trái nên phải thực hiện phép hoán đổi nút 2 cho nút 5. Xét lại nút 5 thì nó vẫn đúng vị trí nên ta được cây mới trong hình 2-11. 2 1 3 2 2 3 6 4 5 5 12 6 9 7 10 8 9 9 10 10 Hình 2-11: Cây ban đầu đã đựoc tạo thành heap Cây này là một heap tương ứng với mảng Nguyễn Văn Linh Trang 35
  41. Giải thuật Sắp xếp Chỉ số 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Heap 2 3 2 6 5 12 9 10 9 10 Từ heap đã có ở trên, hoán đổi a[1] cho a[10] ta có a[10] là nút có khóa nhỏ nhất, cắt bỏ nút a[10] ra khỏi cây. Như vậy phần cuối mảng chỉ gồm một phần tử a[10] đã được sắp. Thực hiện việc đẩy a[1] xuống đúng vị trí của nó trong cây a[1] a[9] ta được cây: 10 1 2 1 3 2 2 3 3 2 9 3 6 4 5 5 12 6 9 7 6 4 5 5 12 6 1 7 0 10 8 9 9 2 10 10 8 9 9 Hình 2-12: Hoán đổi a[1] cho a[10] và đẩy a[1] xuống trong a[1 9] Hoán đổi a[1] cho a[9] và cắt a[9] ra khỏi cây. Ta được phần cuối mảng bao gồm hai phần tử a[9] a[10] đã được sắp. Thực hiện việc đẩy a[1] xuống đúng vị trí của nó trong cây a[1] a[8] ta được cây 9 1 3 1 3 2 9 3 5 2 9 3 6 4 5 5 12 6 1 7 6 4 9 5 12 6 1 7 0 0 10 8 2 9 10 8 Hình 2-13: Hoán đổi a[1] cho a[9] và đẩy a[1] xuống trong a[1 8] Tiếp tục quá trình trên ta sẽ được một mảng có thứ tự giảm. Nguyễn Văn Linh Trang 36
  42. Giải thuật Sắp xếp Trình bày heapsort bằng mảng Như trong phần ý tưởng đã nói, chúng ta chỉ xem mảng như là một cây. Điều đó có nghĩa là các thao tác thực chất vẫn là các thao tác trên mảng. Để hiểu rõ hơn, ta sẽ trình bày ví dụ trên sử dụng mô hình mảng. Mảng của 10 mẩu tin, có khoá là các số nguyên đã cho là: Chỉ số 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Khoá ban đầu 5 6 2 2 10 12 9 10 9 3 Mặc dù không vẽ thành cây, nhưng ta vẫn tưởng tượng mảng này như là một cây nhị phân với nút gốc là a[1], các nút a[i] có con trái là a[2i] và on phải là a[2i+1]. Chỉ có các nút từ a[1] đến a[5] là nút trong, còn các nút từ a[6] đến a[10] là nút lá. Từ mảng ban đầu, chúng ta sẽ tạo thành heap bằng cách áp dụng thủ tục PushDown từ a[5] đến a[1]. Xét a[5], nút này chỉ có một con trái là a[10] và khoá của a[5] lớn hơn khoá của a[10] (10 > 3) nên đẩy a[5] xuống (hoán đổi a[5] và a[10] cho nhau). Xét a[4], nút này có hai con là a[8] và a[9] và khoá của nó đều nhỏ hơn khoá của hai con (2 2) và khoá của con trái nhỏ hơn khoá của con phải (2 2) và khoá của con trái bằng khoá của con phải (2 = 2) nên đẩy a[1] xuống bên trái (hoán đổi a[1] và a[2] cho nhau). Tiếp tục xét con trái a[2]. Nút này có con trái là a[4] và con phải là a[5]. Khoá của a[2] bây giờ là 5 lớn hơn khoá của con phải a[5] (5 > 3) và khoá của con phải a[5] nhỏ hơn khoá của con trái a[4] (3 < 6) nên đẩy a[2] xuống bên phải (hoán đổi a[2] và a[5] cho nhau). Tiếp tục xét con phải a[5]. Nút này chỉ có một con trái là a[10] và khoá của a[5] nhỏ hơn khoá của a[10] nên không phải đẩy a[5] xuống. Quá trình đến đây kết thúc và ta có được heap trong bảng sau: Chỉ số 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 6 2 2 10 12 9 10 9 3 Ban đầu 2 2 5 3 6 3 5 10 Heap 2 3 2 6 5 12 9 10 9 10 Hình 2-14: Mảng ban đầu đã tạo thành heap Trong bảng trên, dòng Ban đầu bao gồm hai dòng. Dòng trên ghi các giá trị khoá ban đầu của mảng. Dòng dưới ghi các giá trị khoá sau khi đã có một sự hoán đổi. Nguyễn Văn Linh Trang 37
  43. Giải thuật Sắp xếp Thứ tự ghi từ trái sang phải, tức là số bên trái là giá trị khoá sau khi thực hiện việc hoán đối đầu tiên trong quá trình PushDown. Sau khi đã có heap, ta bắt đầu quá trình sắp xếp. Ở bước đầu tiên, ứng với i = 10. hoán đổi a[1] và a[10] cho nhau, ta được a[10] có khóa nhỏ nhất. Để đẩy a[1] xuống trong cây a[1] a[9], ta thấy khóa của a[1] bây giờ lớn hơn khóa của con phải a[3] (10 > 2) và khóa của con phải a[3] nhỏ hơn khóa của con trái a[2] (2 < 3) do đó đẩy a[1] xuống bên phải (hoán đổi a[1] và a[3] cho nhau). Tiếp tục xét a[3], khóa của a[3] lớn hơn khóa của con phải a[7] và khóa của con phải nhỏ hơn khóa của con trái, do đó ta đẩy a[3] xuống bên phải (hóan đổi a[3] và a[7] cho nhau) và vì a[7] là nút lá nên việc đẩy xuống kết thúc. Ta có bảng sau: Chỉ số 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ban 5 6 2 2 10 12 9 10 9 3 đầu 2 2 5 3 6 3 5 10 2 3 2 6 5 12 9 10 9 10 Heap 10 2 10 9 10 2 i = 10 2 3 9 6 5 12 10 10 9 2 Hình 2-15: Hoán đổi a[1] với a[10] và đẩy a[1] xuống trong a[1 9] Với i = 9, ta hoán đổi a[1] và a[9] cho nhau. Để đẩy a[1] xuống trong cây a[1] a[8], ta thấy khóa của a[1] bây giờ lớn hơn khóa của con trái a[2] và khóa của con trái nhỏ hơn khóa của con phải a[3] nên đẩy a[1] xuống bên trái (hoán đổi a[1] và a[2] cho nhau). Tiếp tục xét a[2], khóa của a[2] lớn hơn khóa của con phải a[5] và khóa của con phải nhỏ hơn khóa của con trái a[4] nên đẩy a[2] xuống bên phải (hoán đổi a[2] và a[5] cho nhau) và vì a[5] là nút lá (trong cây a[1] a[8]) nên việc đẩy xuống kết thúc. Ta có bảng sau Chỉ số 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ban 5 6 2 2 10 12 9 10 9 3 đầu 2 2 5 3 6 3 5 10 2 3 2 6 5 12 9 10 9 10 Heap 10 2 10 9 10 2 2 3 9 6 5 12 10 10 9 2 i = 10 9 3 9 5 9 2 i = 9 3 5 9 6 9 12 10 10 2 Hình 2-16: Hoán đổi a[1] với a[9] và đẩy a[1] xuống trong a[1 8] Với i = 8, ta hoán đổi a[1] và a[8] cho nhau. Để đẩy a[1] xuống trong cây a[1] a[7], ta thấy khóa của a[1] bây giờ lớn hơn khóa của con trái a[2] và khóa của con trái nhỏ hơn khóa của con phải a[3] nên đẩy a[1] xuống bên trái (hoán đổi a[1] và a[2] cho nhau). Tiếp tục xét a[2], khóa của a[2] lớn hơn khóa của con trái a[4] và khóa của con trái nhỏ hơn khóa của con phải a[5] nên đẩy a[2] xuống bên trái (hoán đổi a[2] và a[4] cho nhau) và vì a[4] là nút lá (trong cây a[1] a[7]) nên việc đẩy xuống kết thúc. Ta có bảng sau Nguyễn Văn Linh Trang 38
  44. Giải thuật Sắp xếp Chỉ số 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ban 5 6 2 2 10 12 9 10 9 3 đầu 2 2 5 3 6 3 5 10 2 3 2 6 5 12 9 10 9 10 Heap 10 2 10 9 10 2 2 3 9 6 5 12 10 10 9 2 i = 10 9 3 9 5 9 2 3 5 9 6 9 12 10 10 2 i = 9 10 5 10 6 10 3 i = 8 5 6 9 10 9 12 10 3 Hình 2-17: Hoán đổi a[1] với a[8] và đẩy a[1] xuống trong a[1 7] Tiếp tục quá trình trên và giải thuật kết thúc sau bước 9, ứng với bước i =2. 2.5.4 Phân tích HeapSort Thời gian thực hiện của HeapSort là O(n logn) Như đã phân tích trong mục 2.5.3.1, thủ tục PushDown lấy O(logn) để đẩy một nút xuống trong cây có n nút. Trong thủ tục HeapSort dòng lệnh {1}-{2}) lặp n/2 lần mà mỗi lần PushDown lấy O(logn) nên thời gian thực hiện {1}-{2} là O(n logn). Vòng lặp {3}-{4}-{5} lặp n- 1 lần, mỗi lần PushDown lấy O(logn) nên thời gian thực hiện của {3}-{4}-{5} là O(n logn). Tóm lại thời gian thực hiện HeapSort là O(n logn). 2.6 BINSORT 2.6.1 Giải thuật Nói chung các giải thuật đã trình bày ở trên đều có độ phức tạp là O(n2) hoặc O(nlogn). Tuy nhiên khi kiểu dữ liệu của trường khoá là một kiểu đặc biệt, việc sắp xếp có thể chỉ chiếm O(n) thời gian. Sau đây ta sẽ xét một số trường hợp. 2.6.1.1 Trường hợp đơn giản: Giả sử ta phải sắp xếp một mảng A gồm n phần tử có khoá là các số nguyên có giá trị khác nhau và là các giá trị từ 1 đến n. Ta sử dụng B là một mảng cùng kiểu với A và phân phối vào phần tử b[j] một phần tử a[i] mà a[i].key = j. Khi đó mảng B lưu trữ kết quả đã được sắp xếp của mảng A. Ví dụ 2-7: Sắp xếp mảng A gồm 10 phần tử có khoá là các số nguyên có giá trị là các số 4, 7, 1, 2, 5, 8, 10, 9, 6 và 3 Ta sử dụng mảng B có cùng kiểu với A và thực hiện việc phân phối a[1] vào b[4] vì a[1].key = 4, a[2] vào b[7] vì a[2].key = 7, a[3] vào b[1] vì a[3].key = 1, Hình sau minh họa cho việc phân phối các phần tử của mảng a vào mảng b. Nguyễn Văn Linh Trang 39
  45. Giải thuật Sắp xếp Mảng a a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] a[7] a[8] a[9] a[10] Khóa 4 7 1 2 5 8 10 9 6 3 Khóa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Mảng b b[1] B[2] b[3] b[4] b[5] b[6] b[7] b[8] b[9] b[10] Hình 2-18: Phân phối các phân tử a[i] vào các bin b[j] Ðể thực hiện việc phân phối này ta chỉ cần một lệnh lặp: for i:=1 to n do b[a[i].key] := a[i] Ðây cũng là lệnh chính trong chương trình sắp xếp. Lệnh này lấy O(n) thời gian. Các phần tử b[j] được gọi là các bin và phương pháp sắp xếp này được gọi là bin sort. 2.6.1.2 Trường hợp tổng quát Là trường hợp có thể có nhiều phần tử có chung một giá trị khóa, chẳng hạn để sắp một mảng A có n phần tử mà các giá trị khóa của chúng là các số nguyên lấy giá trị trong khoảng 1 m với m <= n. Trong trường hợp này ta không thể sử dụng các phần tử của mảng B làm bin được vì nếu có hai phần tử của mảng A có cùng một khoá thì không thể lưu trữ trong cùng một bin. Ðể giải quyết sự đụng độ này ta chuẩn bị một cấu trúc có m bin, mỗi bin có thể lưu trữ nhiều hơn một phần tử. Cụ thể là bin thứ j sẽ lưu các phần tử có khóa là j (1 ≤ j ≤ m) sau đó ta sẽ nối các bin lại với nhau để được một dãy các phần tử được sắp. Cách tốt nhất là ta thiết kế mỗi bin là một danh sách liên kết của các phần tử mà mỗi phần tử có kiểu RecordType. Ta sẽ gọi kiểu của danh sách này là ListType. Ta có thể tạo kiểu ListType bằng cách ghép RecordType với một con trỏ để trỏ tới phần tử kế tiếp. Lấy B là một mảng kiểu Array[KeyType] of ListType. Như vậy B là mảng các bin, mỗi bin là một danh sách. B được đánh chỉ số bởi KeyType, như thế có ít nhất một bin cho mỗi giá trị khoá. Ta vẫn sẽ phân phối phần tử a[i] vào bin b[j] nếu j = a[i].key. Dĩ nhiên mỗi bin b[j] có thể chứa nhiều phần tử của mảng A. Các phần tử mới sẽ được đưa vào cuối danh sách b[j]. Sau khi tất cả các phần tử của mảng A đã được phân phối vào trong các bin, công việc cuối cùng là ta phải nối các bin lại với nhau, ta sẽ được một danh sách có thứ tự. Ta sẽ dùng thủ tục concatenate(L1,L2) để nối hai danh sách L1, L2. Nó thay thế danh sách L1 bởi danh sách nối L1L2. Việc nối sẽ được thực hiện bằng cách gắn con trỏ của phần tử cuối cùng của L1 vào đầu của L2. Ta biết rằng để đến được phần tử cuối cùng của danh sách liên kết L1 ta phải duyệt qua tất cả các phần tử của Nguyễn Văn Linh Trang 40
  46. Giải thuật Sắp xếp nó. Ðể cho có hiệu quả, ta thêm một con trỏ nữa, trỏ đến phần tử cuối cùng của mỗi danh sách, điều này giúp ta đi thẳng tới phần tử cuối cùng mà không phải duyệt qua toàn bộ danh sách. Hình sau minh họa việc nối hai danh sách. L1 Header L1 End L2 Header L2 End NIL Hình 2-19: Nối các bin Sau khi nối thì header và end của danh sách L2 không còn tác dụng nữa. Ví dụ 2-8: Sắp xếp mảng A gồm 10 phần tử có khoá là các số nguyên có giá trị là các số 2, 4, 1, 5, 4, 2, 1, 4, 1, 5. A a[1] a[2] A[3] a[4] a[5] a[6] a[7] a[8] a[9] a[10] Khoá của A 2 4 1 5 4 2 1 4 1 5 Ta thấy các giá trị khoá nằm trong khoảng 1 5. Ta tổ chức một mảng B gồm 5 phần tử, mỗi phần tử là một con trỏ, trỏ đến một danh sách liên kết. a[3] a[7] a[9] 1 a[1] a[6] 2 3 z a[2] a[5] a[8] 4 a[4] a[10] 5 Hình 2-20: Binsort trong trường hợp tổng quát Nguyễn Văn Linh Trang 41
  47. Giải thuật Sắp xếp Chương trình sử dụng cấu trúc danh sách liên kết làm các bin VAR a: ARRAY[1 n] OF RecordType; b: ARRAY[keytype] OF ListType; {Ta giả thiết keytype là kiểu miền con 1 m } PROCEDURE BinSort; VAR i:integer; j: KeyType; BEGIN {1}FOR i:=1 TO n DO Insert(A[i], END(B[A[i].key]), B[A[i}.key]); {2}FOR j:= 2 TO m DO Concatenate(B[1], B[j]); END; 2.6.2 Phân tích Bin Sort Bin sort lấy O(n) thời gian để sắp xếp mảng gồm n phần tử. Trước hết thủ tục INSERT cần một thời gian O(1) để xen một phần tử vào trong danh sách. Do cách tổ chức danh sách có giữ con trỏ đến phần tử cuối cùng nên việc nối hai danh sách bằng thủ tục CONCATENATE cũng chỉ mất O(1) thời gian. Ta thấy vòng lặp {1} thực hiện n lần, mỗi lần tốn O(1) = 1 nên lấy O(n) đơn vị thời gian. Vòng lặp {2} thực hiện m-1 lần, mỗi lần O(1) nên tốn O(m) đơn vị thời gian. Hai lệnh {1} và {2} nối tiếp nhau nên thời gian thực hiện của BinSort là T(n) = O(max(n,m)) = O(n) vì m ≤ n. 2.6.3 Sắp xếp tập giá trị có khoá lớn Nếu m số các khoá không lớn hơn n số các phần tử cần sắp xếp, khi đó O(max(n,m)) thực sự là O(n). Nếu n > m thì T(n) là O(m) và đặc biệt khi m = n2 thì T(n) là O(n2), như vậy Bin sort không tốt hơn các sắp xếp đơn giản khác. Tuy nhiên trong một số trường hợp, ta vẫn có thể tổng quát hoá kĩ thuật bin sort để nó vẫn lấy O(n) thời gian. Giả sử ta cần sắp xếp n phần tử có các giá trị khoá thuộc 0 n2-1. Nếu sử dụng phương pháp cũ, ta cần n2 bin (từ bin 0 đến bin n2-1) và do đó việc nối n2 bin này tốn O(n2), nên bin sort lấy O(n2). Để giải quyết vấn đề này, ta sẽ sử dụng n bin b[0], b[1], b[n-1] và tiến hành việc sắp xếp trong hai kì. Kì 1: Phân phối phần tử a[i] vào bin b[j] mà j = a[i].key MOD n. Kì 2: Phân phối các phân tử trong danh sách kết quả của kỳ 1 vào các bin. Phần tử a[i] sẽ được phân phối vào bin b[j] mà j = a[i].key DIV n. Chú ý rằng trong cả hai kỳ, ta xen các phần tử mới được phân phối vào cuối danh sách. Nguyễn Văn Linh Trang 42
  48. Giải thuật Sắp xếp Ví dụ 2-9: Cần sắp xếp mảng gồm 10 phần tử có khoá là các số nguyên: 36, 9, 10, 25, 1, 8, 34, 16, 81 và 99. Ta sử dụng 10 bin được đánh số từ 0 đến 9. Kì một ta phân phối phần tử a[i] vào bin có chỉ số a[i].key MOD 10. Nối các bin của kì một lại với nhau ta được danh sách có khóa là: 10, 1, 81, 34, 25, 36, 16, 8, 9, 99. Kì hai sử dụng kết quả của kì 1 để sắp tiếp. Phân phối phần tử a[i] vào bin có chỉ số a[i].key DIV 10. Nối các bin của kì hai lại với nhau ta được danh sách có thứ tự. Kì một Kì hai Bin Bin 0 10 0 1 8 9 1 1 81 1 10 16 2 2 25 3 3 34 36 4 34 4 5 25 5 6 36 16 6 7 7 8 8 8 81 9 9 99 9 99 Hình 2-21: Sắp xếp theo hai kỳ Theo sự phân tích giải thuật Bin Sort thì mỗi kì lấy O(n) thời gian, hai kì này nối tiếp nhau nên thời gian tổng cộng là O(n). 2.6.3.1 Chứng minh giải thuật đúng Ðể thấy tính đúng đắn của giải thuật ta xem các các giá trị khóa nguyên từ 0 đến n2- 1 như các số có hai chữ số trong hệ đếm cơ số n. Xét hai số K = s.n + t (lấy K chia cho n được s , dư t) và L = u.n + v trong đó s, t, u, v là các số 0 n-1. Giả sử K < L, ta cần chứng minh rằng sau 2 kì sắp thì K phải đứng trước L. Vì K < L nên s ≤ u. Ta có hai trường hợp là s < u và s = u. Trường hợp 1: Nếu s < u thì K đứng trước L trong danh sách kết quả vì trong kì hai, K được sắp vào bin b[s] và L được sắp vào bin b[u] mà b[s] đứng trước b[u]. Chẳng hạn trong ví dụ trên, ta chọn K = 16 và L = 25. Ta có K = 1 x 10 + 6 và L = 2 x 10 + 5 (s = 1, t = 6, u = 2 và v = 5; s < u). Trong kì hai, K = 16 được sắp vào bin 1 và L = 25 được sắp vào bin 2 nên K = 16 đứng trước L = 25. Trường hợp 2: Nếu s = u thì t < v (do K < L). Sau kì một thì K đứng trước L, vì K được sắp vào trong bin b[t] và L được sắp vào trong bin b[v]. Ðến kì hai, mặc dù cả K và L đều được sắp vào trong bin b[s], nhưng K được xen vào trước L nên kết quả Nguyễn Văn Linh Trang 43
  49. Giải thuật Sắp xếp là K đứng trước L. Chẳng hạn trong ví dụ trên ta chọn K = 34 và L = 36. Ta có K = 3 x 10 + 4 và L = 3 x 10 + 6. Sau kì một thì K = 34 đứng trước L = 36 vì K được sắp vào bin 4 còn L được sắp vào bin 6. Trong kì hai, cả K và L đều được sắp vào bin 3, nhưng do K được xét trước nên K đứng trước L trong bin 3 và do đó K đứng trước L trong kết quả cuối cùng. Chú ý: Từ chứng minh trên ta thấy để sắp các phần tử có khóa là các số nguyên (hệ đếm cơ số 10) từ 0 đến 99 ta dùng 10 bin có chỉ số từ 0 đến 9. Ðể sắp các phần tử có khóa là các số nguyên từ 0 đến 9999 ta dùng 100 bin có chỉ số từ 0 đến 99 2.7 TỔNG KẾT CHƯƠNG 2 Các giải thuật sắp xếp đơn giản có giải thuật đơn giản nhưng kém hiệu quả về mặt thời gian. Tất cả các giải thuật sắp xếp đơn giản đều lấy O(n2) để sắp xếp n mẩu tin. Các giải thuật QuickSort và HeapSort đều rất hiệu quả về mặt thời gian (độ phức tạp O(nlogn)), do đó chúng thường được sử dụng trong thực tế, nhất là QuickSort. BinSort chỉ sử dụng được cho dữ liệu đặc biệt. BÀI TẬP CHƯƠNG 2 Bài 1: Sắp xếp mảng gồm 12 phần tử có khóa là các số nguyên: 5, 15, 12, 2, 10, 12, 9, 1, 9, 3, 2, 3 bằng cách sử dụng: a) Sắp xếp chọn. b) Sắp xếp xen. c) Sắp xếp nổi bọt. d) QuickSort. e) HeapSort (Sắp thứ tự giảm, sử dụng mô hình cây và sử dụng bảng). Bài 2: Viết thủ tục sắp xếp trộn (xem giải thuật thô trong chương 1). Bài 3: Viết lại hàm FindPivot để hàm trả về giá trị chốt và viết lại thủ tục QuickSort phù hợp với hàm FindPivot mới này. Bài 4: Có một biến thể của QuickSort như sau: Chọn chốt là khóa của phần tử nhỏ nhất trong hai phần tử có khóa khác nhau đầu tiên. Mảng con bên trái gồm các phần tử có khóa nhỏ hơn hoặc bằng chốt, mảng con bên phải gồm các phần tử có khóa lớn hơn chốt. Hãy viết lại các thủ tục cần thiết cho biến thể này. Bài 5: Một biến thể khác của QuickSort là chọn khóa của phần tử đầu tiên làm chốt. Hãy viết lại các thủ tục cần thiết cho biến thể này. Bài 6: Hãy viết lại thủ tục PushDown trong HeapSort bằng giải thuật đệ quy. Bài 7: Hãy viết lại thủ tục PushDown trong HeapSort để có thể sắp xếp theo thứ tự tăng. Nguyễn Văn Linh Trang 44
  50. Giải thuật Kĩ thuật thiết kế giải thuật CHƯƠNG 3: KĨ THUẬT THIẾT KẾ GIẢI THUẬT 3.1 TỔNG QUAN 3.1.1 Mục tiêu Nắm vững các kĩ thuật thiết kế giải thuật: chia để trị, quy hoạch động, tham ăn, quay lui, cắt tỉa alpha-beta, nhánh cận và tìm kiếm địa phương. Với mỗi kĩ thuật cần nắm được: • Nội dung kĩ thuật. • Vận dụng kĩ thuật vào giải các bài toán thực tế. • Đánh giá được giải thuật. 3.1.2 Kiến thức cơ bản cần thiết Các cấu trúc dữ liệu, đặc biệt là cấu trúc cây và đồ thị. 3.1.3 Tài liệu tham khảo A.V. Aho, J.E. Hopcroft, J.D. Ullman; Data Structures and Algorithms; Addison- Wesley; 1983. (Chapter 10). Jeffrey H Kingston; Algorithms and Data Structures; Addison-Wesley; 1998. (Chapter 12). Đinh Mạnh Tường; Cấu trúc dữ liệu & Thuật toán; Nhà xuất bản khoa học và kĩ thuật; Hà nội-2001. (Chương 8). Nguyễn Đức Nghĩa, Tô Văn Thành; Toán rời rạc; 1997 (Chương 3, 5). 3.1.4 Nội dung cốt lõi Nói chung khi thiết kế một giải thuật chúng ta thường dựa vào một số kĩ thuật nào đó. Chương này sẽ trình bày một số kĩ thuật quan trọng để thiết kế giải thuật như: Chia để trị (Divide-and-Conquer), quy hoạch động (dynamic programming), kĩ thuật tham ăn (greedy techniques), quay lui (backtracking) và tìm kiếm địa phương (local search). Các kĩ thuật này được áp dụng vào một lớp rộng các bài toán, trong đó có những bài toán cổ điển nổi tiếng như bài toán tìm đường đi ngắn nhất của người giao hàng, bài toán cây phủ tối tiểu 3.2 KĨ THUẬT CHIA ÐỂ TRỊ 3.2.1 Nội dung kĩ thuật Có thể nói rằng kĩ thuật quan trọng nhất, được áp dụng rộng rãi nhất để thiết kế các giải thuật có hiệu quả là kĩ thuật "chia để trị" (divide and conquer). Nội dung của nó là: Ðể giải một bài toán kích thước n, ta chia bài toán đã cho thành một số bài toán con có kích thưóc nhỏ hơn. Giải các bài toán con này rồi tổng hợp kết quả lại để được lời giải của bài toán ban đầu. Ðối với các bài toán con, chúng ta lại sử dụng kĩ Nguyễn Văn Linh Trang 45
  51. Giải thuật Kĩ thuật thiết kế giải thuật thuật chia để trị để có được các bài toán kích thước nhỏ hơn nữa. Quá trình trên sẽ dẫn đến những bài toán mà lời giải chúng là hiển nhiên hoặc đễ dàng thực hiện, ta gọi các bài toán này là bài toán cơ sở. Tóm lại kĩ thuật chia để trị bao gồm hai quá trình: Phân tích bài toán đã cho thành các bài toán cơ sở và tổng hợp kết quả từ bài toán cơ sở để có lời giải của bài toán ban đầu. Tuy nhiên đối với một số bài toán, thì quá trình phân tích đã chứa đựng việc tổng hợp kết quả do đó nếu chúng ta đã giải xong các bài toán cơ sở thì bài toán ban đầu cũng đã được giải quyết. Ngược lại có những bài toán mà quá trình phân tích thì đơn giản nhưng việc tổng hợp kết quả lại rất khó khăn. Trong các phần tiếp sau ta sẽ trình bày một số ví dụ để thấy rõ hơn điều này. Kĩ thuật này sẽ cho chúng ta một giải thuật đệ quy mà việc xác định độ phức tạp của nó sẽ phải giải một phương trình đệ quy như trong chương I đã trình bày. 3.2.2 Nhìn nhận lại giải thuật MergeSort và QuickSort Hai giải thuật sắp xếp đã được trình bày trong các chương trước (MergeSort trong chương I và QuickSort trong chương II) thực chất là đã sử dụng kĩ thuật chia để trị. Với MergeSort, để sắp một danh sách L gồm n phần tử, chúng ta chia L thành hai danh sách con L1 và L2 mỗi danh sách có n/2 phần tử. Sắp xếp L1, L2 và trộn hai danh sách đã được sắp này để được một danh sách có thứ tự. Quá trình phân tích ở đây là quá trình chia đôi một danh sách, quá trình này sẽ dẫn đến bài toán sắp xếp một danh sách có độ daì bằng 1, đây chính là bài toán cơ sở vì việc sắp xếp danh sách này là “không làm gì cả”. Việc tổng hợp các kết quả ở đây là “trộn 2 danh sách đã được sắp để được một danh sách có thứ tự”. Với QuickSort, để sắp xếp một danh sách gồm n phần tử, ta tìm một giá trị chốt và phân hoạch danh sách đã cho thành hai danh sách con “bên trái” và “bên phải “. Sắp xếp “bên trái” và “bên phải” thì ta được danh sách có thứ tự. Quá trình phân chia sẽ dẫn đến các bài toán sắp xếp một danh sách chỉ gồm một phần tử hoặc gồm nhiều phần tử có khoá bằng nhau, đó chính là các bài toán cơ sở, vì bản thân chúng đã có thứ tự rồi. Ở đây chúng ta cũng không có việc tổng hợp kết quả một cách tường minh, vì việc đó đã được thực hiện trong quá trình phân hoạch. 3.2.3 Bài toán nhân các số nguyên lớn Trong các ngôn ngữ lập trình đều có kiểu dữ liệu số nguyên (chẳng hạn kiểu integer trong Pascal, Int trong C ), nhưng nhìn chung các kiểu này đều có miền giá trị hạn chế (chẳng hạn từ -32768 đến 32767) nên khi có một ứng dụng trên số nguyên lớn (hàng chục, hàng trăm chữ số) thì kiểu số nguyên định sẵn không đáp ứng được. Trong trường hợp đó, người lập trình phải tìm một cấu trúc dữ liệu thích hợp để biểu diễn cho một số nguyên, chẳng hạn ta có thể dùng một chuỗi kí tự để biểu diễn cho một số nguyên, trong đó mỗi kí tự lưu trữ một chữ số. Để thao tác được trên các số nguyên được biểu diễn bởi một cấu trúc mới, người lập trình phải xây dựng các phép toán cho số nguyên như phép cộng, phép trừ, phép nhân Sau đây ta sẽ đề cập đến bài toán nhân hai số nguyên lớn. Xét bài toán nhân hai số nguyên lớn X và Y, mỗi số có n chữ số. Nguyễn Văn Linh Trang 46
  52. Giải thuật Kĩ thuật thiết kế giải thuật Đầu tiên ta nghĩ đến giải thuật nhân hai số thông thường, nghĩa là nhân từng chữ số của X với số Y rồi cộng các kết quả lại. Việc nhân từng chữ số của X với sô Y đòi hỏi phải nhân từng chữ số của X với từng chữ số của Y, vì X và Y đều có n chữ số nên cần n2 phép nhân hai chữ số, mỗi phép nhân hai chữ số này tốn O(1) thì phép nhân cũng tốn O(n2) thời gian. Áp dụng kĩ thuật "chia để trị" vào phép nhân các số nguyên lớn, ta chia mỗi số nguyên lớn X và Y thành các số nguyên lớn có n/2 chữ số. Ðể đơn giản cho việc phân tích giải thuật ta giả sử n là luỹ thừa của 2, còn về khía cạnh lập trình, ta vẫn có thể viết chương trình với n bất kì. X = A10n/2 + B và Y = C10n/2 + D Trong đó A, B, C, D là các số nguyên lớn có n/2 chữ số. Chẳng hạn với X = 1234 thì A = 12 và B = 34 bởi vì X = 12 *102 + 34. Khi đó tích của X và Y là: XY = AC10n+(AD + BC)10n/2 + BD (III.1) Với mỗi số có n/2 chữ số, chúng ta lại tiếp tục phân tích theo cách trên, quá trình phân tích sẽ dẫn đến bài toán cơ sở là nhân các số nguyên lớn chỉ gồm một chữ số mà ta dễ dàng thực hiện. Việc tổng hợp kết quả chính là thực hiện các phép toán theo công thức (III.1). Theo (III.1) thì chúng ta phải thực hiện 4 phép nhân các số nguyên lớn n/2 chữ số (AC, AD, BC, BD), sau đó tổng hợp kết quả bằng 3 phép cộng các số nguyên lớn n chữ số và 2 phép nhân với 10n và 10n/2. Các phép cộng các số nguyên lớn n chữ số dĩ nhiên chỉ cần O(n). Phép nhân với 10n có thể thực hiện một cách đơn giản bằng cách thêm vào n chữ số 0 và do đó cũng chỉ lấy O(n). Gọi T(n) là thời gian để nhân hai số nguyên lớn, mỗi số có n chữ số thì từ (III.1) ta có phương trình đệ quy: T(1) = 1 T(n) = 4T(n/2) + cn (III.2) Giải (III.2) ta được T(n) = O(n2). Như vậy thì chẳng cải tiến được chút nào so với giải thuật nhân hai số bình thường. Ðể cải thiện tình hình, chúng ta có thể viết lại (III.1) thành dạng: XY = AC10n + [(A-B)(D-C) + AC + BD] 10n/2+ BD (III.3) Công thức (III.3) chỉ đòi hỏi 3 phép nhân của các số nguyên lớn n/2 chữ số là: AC, BD và (A-B)(D-C), 6 phép cộng trừ và 2 phép nhân với 10n. Các phép toán này đều lấy O(n) thời gian. Từ (III.3) ta có phương trình đệ quy: T(1) = 1 T(n) = 3T(n/2) + cn Giải phương trình đệ quy này ta được nghiệm T(n) = O(nlog3) = O(n1.59). Giải thuật này rõ ràng đã được cải thiện rất nhiều. Giải thuật thô để nhân hai số nguyên lớn (dương hoặc âm) n chữ số là: FUNCTION Mult(X, Y: Big_integer; n:integer) : Big_integer; Nguyễn Văn Linh Trang 47
  53. Giải thuật Kĩ thuật thiết kế giải thuật VAR m1,m2,m3,A,B,C,D: Big_integer; s: integer;{Lưu trữ dấu của tích xy} BEGIN s := sign(X)*sign(Y); x := ABS(X);{Lấy trị tuyệt đối của x} y := ABS(Y); IF n = 1 THEN mult := X*Y*s ELSE BEGIN A := left(X, n DIV 2); B := right(X, n DIV 2); C := left(Y, n DIV 2); D := right(Y, n DIV 2); m1 := mult(A,C, n DIV 2); m2 := mult(A-B,D-C, n DIV 2); m3 := mult(B,D, n DIV 2); mult := (s * (m1 * 10n + (m1+m2+m3)* 10 n DIV 2 + m3)); END END; Hàm Mult nhận vào ba tham số, trong đó X và Y là hai số nguyên lớn (kiểu Big_integer), n là số chữ số của X và Y và trả về một số nguyên lớn là tích XY. A, B, C, D là các biến thuộc kiểu Big_integer, lưu trữ các số nguyên lớn trong việc chia đôi các số nguyên lớn X và Y. m1, m2 và m3 là các biến thuộc kiểu Big_integer lưu trữ các số nguyên lớn trung gian trong công thức (III.3), cụ thể là m1 = AC, m2 = (A-B)(D-C) và m3 = BD. Hàm sign nhận vào một số nguyên lớn X và cho giá trị 1 nếu X dương và -1 nếu X âm. Hàm ABS nhận vào một số nguyên lớn X và cho kết quả là giá trị tuyệt đối của X. Hàm Left nhận vào một số nguyên lớn X và một số nguyên k, cho kết quả là một số nguyên lớn có k chữ số bên trái của X. Tương tự như thế cho hàm Right. 3.2.4 Xếp lịch thi đấu thể thao Kĩ thuật chia để trị không những chỉ có ứng dụng trong thiết kế giải thuật mà còn trong nhiều lĩnh vực khác của cuộc sống. Chẳng hạn xét việc xếp lịch thi đấu thể thao theo thể thức đấu vòng tròn 1 lượt cho n đấu thủ. Mỗi đấu thủ phải đấu với các đấu thủ khác, và mỗi đấu thủ chỉ đấu nhiều nhất một trận mỗi ngày. Yêu cầu là xếp một lịch thi đấu sao cho số ngày thi đấu là ít nhất. Ta dễ dàng thấy rằng tổng số trận n(n -1) đấu của toàn giải là . Như vậy nếu n là một số chẵn thì ta có thể sắp n/2 cặp 2 thi đấu trong một ngày và do đó cần ít nhất n-1 ngày. Ngược lại nếu n là một số lẻ thì n-1 là một số chẵn nên ta có thể sắp (n-1)/2 cặp thi đấu trong một ngày và do đó ta cần n ngày. Giả sử n = 2k thì n là một số chẵn và do đó cần tối thiểu n-1 ngày. Lịch thi đấu là một bảng n dòng và n-1 cột. Các dòng được đánh số từ 1 đến n và các cột được đánh số từ 1 đến n-1, trong đó dòng i biểu diễn cho đấu thủ i, cột j biểu diễn cho ngày thi đấu j và ô(i,j) ghi đấu thủ phải thi đấu với đấu thủ i trong ngày j. Nguyễn Văn Linh Trang 48
  54. Giải thuật Kĩ thuật thiết kế giải thuật Chiến lược chia để trị xây dựng lịch thi đấu như sau: Ðể sắp lịch cho n đấu thủ, ta sẽ sắp lịch cho n/2 đấu thủ, để sắp lịch cho n/2 đấu thủ, ta sẽ sắp lịch cho n/4 đấu thủ Quá trình này sẽ dẫn đến bài toán cơ sở là sắp lịch thi đấu cho 2 đấu thủ. Hai đấu thủ này sẽ thi đấu một trận trong một ngày, lịch thi đấu cho họ thật dễ sắp. Khó khăn chính là ở chỗ từ các lịch thi đấu cho hai đấu thủ, ta tổng hợp lại để được lịch thi đấu của 4 đấu thủ, 8 cấu thủ, Xuất phát từ lịch thi đấu cho hai đấu thủ ta có thể xây dựng lịch thi đấu cho 4 đấu thủ như sau: Lịch thi đấu cho 4 đấu thủ sẽ là một bảng 4 dòng, 3 cột. Lịch thi đấu cho 2 đấu thủ 1 và 2 trong ngày thứ 1 chính là lịch thi đấu của hai đấu thủ (bài toán cơ sở). Như vậy ta có Ô(1,1) = “2” và Ô(2,1) = “1”. Tương tự ta có lịch thi đấu cho 2 đấu thủ 3 và 4 trong ngày thứ 1. Nghĩa là Ô(3,1) =“4” và Ô(4,1) = “3”. (Ta cố thể thấy rằng Ô(3,1) = Ô(1,1) + 2 và Ô(4,1) = Ô(2,1) + 2 ). Bây giờ để hoàn thành lịch thi đấu cho 4 đấu thủ, ta lấy góc trên bên trái của bảng lắp vào cho góc dưới bên phải và lấy góc dưới bên trái lắp cho góc trên bên phải. Lịch thi đấu cho 8 đấu thủ là một bảng gồm 8 dòng, 7 cột. Góc trên bên trái chính là lịch thi đấu trong 3 ngày đầu của 4 đấu thủ từ 1 đến 4. Các ô của góc dưới bên trái sẽ bằng các ô tương ứng của góc trên bên trái cộng với 4. Ðây chính là lịch thi đấu cho 4 đấu thủ 5, 6, 7 và 8 trong 3 ngày đầu. Bây giờ chúng ta hoàn thành việc sắp lịch bằng cách lấp đầy góc dưới bên phải bởi góc trên bên trái và góc trên bên phải bởi góc dưới bên trái. 2 đấu thủ 4 đấu thủ 8 đấu thủ 1 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 2 1 2 1 4 3 2 1 4 3 6 5 8 7 3 4 1 2 3 4 1 2 7 8 5 6 4 3 2 1 4 3 2 1 8 7 6 5 5 6 7 8 1 2 3 4 6 5 8 7 2 1 4 3 7 8 5 6 3 4 1 2 8 7 6 5 4 3 2 1 Hình 3-1: Lịch thi đấu của 2, 4 và 8 đấu thủ 3.2.5 Bài toán con cân bằng (Balancing Subproblems) Ðối với kĩ thuật chia để trị, nói chung sẽ tốt hơn nếu ta chia bài toán cần giải thành các bài toán con có kích thước gần bằng nhau. Ví dụ, sắp xếp trộn (MergeSort) phân chia bài toán thành hai bài toán con có cùng kích thước n/2 và do đó thời gian của nó chỉ là O(nlogn). Ngược lại trong trường hợp xấu nhất của QuickSort, khi mảng bị phân hoạch lệch thì thời gian thực hiện là O(n2). Nguyên tắc chung là chúng ta tìm cách chia bài toán thành các bài toán con có kích thước xấp xỉ bằng nhau thì hiệu suất sẽ cao hơn. Nguyễn Văn Linh Trang 49
  55. Giải thuật Kĩ thuật thiết kế giải thuật 3.3 KĨ THUẬT “THAM ĂN” 3.3.1 Bài toán tối ưu tổ hợp Là một dạng của bài toán tối ưu, nó có dạng tổng quát như sau: • Cho hàm f(X) = xác định trên một tập hữu hạn các phần tử D. Hàm f(X) được gọi là hàm mục tiêu. • Mỗi phần tử X ∈ D có dạng X = (x1, x2, xn) được gọi là một phương án. • Cần tìm một phương án X ∈D sao cho hàm f(X) đạt min (max). Phương án X như thế được gọi là phương án tối ưu. Ta có thể tìm thấy phương án tối ưu bằng phương pháp “vét cạn” nghĩa là xét tất cả các phương án trong tập D (hữu hạn) để xác đinh phương án tốt nhất. Mặc dù tập hợp D là hữu hạn nhưng để tìm phương án tối ưu cho một bài toán kích thước n bằng phương pháp “vét cạn” ta có thể cần một thời gian mũ. Các phần tiếp theo của chương này sẽ trình bày một số kĩ thuật giải bài toán tối ưu tổ hợp mà thời gian có thể chấp nhận được. 3.3.2 Nội dung kĩ thuật tham ăn Tham ăn hiểu một cách dân gian là: trong một mâm có nhiều món ăn, món nào ngon nhất ta sẽ ăn trước và ăn cho hết món đó thì chuyển sang món ngon thứ hai, lại ăn hết món ngon thứ hai này và chuyển sang món ngon thứ ba Kĩ thuật tham ăn thường được vận dụng để giải bài toán tối ưu tổ hợp bằng cách xây dựng một phương án X. Phương án X được xây dựng bằng cách lựa chọn từng thành phần Xi của X cho đến khi hoàn chỉnh (đủ n thành phần). Với mỗi Xi, ta sẽ chọn Xi tối ưu. Với cách này thì có thể ở bước cuối cùng ta không còn gì để chọn mà phải chấp nhận một giá trị cuối cùng còn lại. Áp dụng kĩ thuật tham ăn sẽ cho một giải thuật thời gian đa thức, tuy nhiên nói chung chúng ta chỉ đạt được một phương án tốt chứ chưa hẳn là tối ưu. Có rất nhiều bài toán mà ta có thể giải bằng kĩ thuật này, sau đây là một số ví dụ. 3.3.3 Bài toán trả tiền của máy rút tiền tự động ATM. Trong máy rút tiền tự động ATM, ngân hàng đã chuẩn bị sẵn các loại tiền có mệnh giá 100.000 đồng, 50.000 đồng, 20.000 đồng và 10.000 đồng. Giả sử mỗi loại tiền đều có số lượng không hạn chế. Khi có một khách hàng cần rút một số tiền n đồng (tính chẵn đến 10.000 đồng, tức là n chia hết cho 10000). Hãy tìm một phương án trả tiền sao cho trả đủ n đồng và số tờ giấy bạc phải trả là ít nhất. Gọi X = (X1, X2, X3, X4) là một phương án trả tiền, trong đó X1 là số tờ giấy bạc mệnh giá 100.000 đồng, X2 là số tờ giấy bạc mệnh giá 50.000 đồng, X3 là số tờ giấy bạc mệnh giá 20.000 đồng và X4 là số tờ giấy bạc mệnh giá 10.000 đồng. Theo yêu cầu ta phải có X1 + X2 + X3 + X4 nhỏ nhất và X1 * 100.000 + X2 * 50.000 + X3 * 20.000 + X4 * 10.000 = n. Nguyễn Văn Linh Trang 50