›
›

Giáo trình Cơ học lý thuyết II - Lý thuyết dao động

pdf 174 trang phuongnguyen 6330
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Cơ học lý thuyết II - Lý thuyết dao động", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_co_hoc_ly_thuyet_ii_ly_thuyet_dao_dong.pdf

Nội dung text: Giáo trình Cơ học lý thuyết II - Lý thuyết dao động

  1. Tr−ờng đại học thuỷ lợi Bộ môn cơ học ứng dụng [\ [\ GS.TS Nguyễn Thúc An PGS.TS Nguyễn Đình Chiều PGS.TS Khổng Doãn Điền Lý thuyết dao động Hμ Nội 2003
  2. Lời nói đầu Giáo trình “Cơ học Lý thuyết II – Lý thuyết Dao động” – Tác giả PGS. PTS Nguyễn Thúc An, PTS Nguyễn Đình Chiều, PTS Khổng Doãn Điền, xuất bản tại Tr−ờng Đại học Thủy lợi, năm 1989, đã đáp ứng yêu cầu giảng dạy cho sinh viên ngành Công trình, ngành Thuỷ điện và ngành Máy Xây Dựng những năm qua, trong đó đề cập đến các bài toán dao động của hệ một bậc tự do, hai bậc tự do, vô số bậc tự do và giải quyết nguyên lý của bộ tắt chấn động lực, triệt tiêu dao động của một vài tr−ờng hợp cụ thể và cách giải quyết khi hệ có nguy cơ xuất hiện hiện t−ợng cộng h−ởng. Để đáp ứng yêu cầu giảng dạy cho sinh viên ngành Máy Xây Dựng & TBTL và các học viên Cao học, Nghiên cứu sinh mà luận án có đề cập đến bài toán động lực, chúng tôi biên soạn và đ−a vào thêm: Ch−ơng IV (Va chạm của vật rắn vào thanh đàn hồi và áp dụng Lý thuyết va chạm vào bài toán đóng cọc); Ch−ơng V (Cơ sở của Lý thuyết dao động phi tuyến) và có đ−a vào những ví dụ gần với thực tế tính toán công trình cho ngành Thuỷ lợi. Tài liệu dùng để giảng dạy “ Lý thuyết dao động” cho sinh viên các ngành Công trình, Thuỷ điện, Cấp thoát n−ớc, Trạm bơm và giảng dạy môn “ Dao động kỹ thuật” cho sinh viên ngành Máy Xây Dựng & Thiết Bị Thuỷ Lợi. Tài liệu này cũng có thể dùng làm tài liệu ôn tập thi tuyển Cao học và Nghiên cứu sinh cho các ngành Công trình, Động lực và làm tài liệu học tập và tham khảo cho Nghiên cứu sinh các ngành có liên quan. Chúng tôi mong nhận đ−ợc những đóng góp ý kiến của đồng nghiệp và bạn đọc để bổ xung, sửa chữa cho tập giáo trình ngày một hoàn chỉnh hơn. Hà Nội, tháng 10 năm 2003. Các tác giả 1
  3. Ch−ơng mở đầu Đ1. Một vμi khái niệm vμ định nghĩa 1.1. Các quá trình thay đổi khác nhau của các đại l−ợng vô h−ớng đ−ợc chia thành hai dạng: Các quá trình dao động và các quá trình không dao động. Quá trình dao động đ−ợc đặc tr−ng bằng sự tăng hay giảm một cách luân phiên của các đại l−ợng biến đổi. Nó đ−ợc mô tả bằng các ph−ơng trình toán học. Dao động trong đó các ph−ơng trình vi phân mô tả chuyển động của nó là tuyến tính, gọi là dao động tuyến tính. Ng−ợc lại, gọi là dao động không tuyến tính (phi tuyến). 1.2. Chuyển động dao động đ−ợc đặc biệt quan tâm là những dao động có chu kỳ. Hàm f*(t) mô tả quá trình dao động có chu kỳ, nếu nh− tồn tại giá trị T > 0, thoả mãn điều kiện sau: f* (t)= f* (t± T)= f* (t± 2T)= = f* (t± nT) (1) Trong đó: T gọi là chu kỳ; n là số nguyên d−ơng. Một dạng đặc biệt của dao động có chu kỳ chiếm vị trí quan trọng trong thực tế là dao động điều hoà. Về mặt động học dao động điều hoà đ−ợc miêu tả bởi hệ thức: q= A sin(kt+ α ) (2) ở đây: q là toạ độ của điểm dao động tính từ vị trí trung bình của nó (chọn làm gốc toạ độ); A là toạ độ của q ứng với độ lệch lớn nhất của điểm về một phía và đ−ợc gọi là biên độ dao động; (kt+α) là Argument của sin gọi là pha dao động; α là pha ban đầu; k là tần số vòng (riêng) của dao động. Tần số riêng k liên quan với chu kỳ T bởi hệ thức: 2π k(t+ T)+ α = kt + α + 2π , từ đó: k = (rad / s) (3) T Số lần dao động trong một đơn vị thời gian đ−ợc tính theo công thức: 1 k f = = (4) T 2π f đ−ợc gọi là tần số; đơn vị th−ờng dùng là Hecz (Hz). Đ2. Động năng của hệ Xét hệ N chất điểm có n bậc tự do. Gọi toạ độ suy rộng xác định vị trí của hệ: q1, q2 , qn (qi, i = 1, n ). Với hệ chịu liên kết dừng, vị trí của một điểm Mk bất kỳ đ−ợc biểu diễn: rk= r k (q1 , q 2 , , qn ) 2
  4. n • d rk ∂ rk Từ đó: v k = = ∑ q i (5) dt i= 1 ∂q i n 1 2 Động năng của hệ xác định bằng biểu thức: T = ∑mk v k 2 k= 1 2 Thay (5) vào biểu thức trên với chú ý: vk = vk . v k 1 n •• Ta có: T = ∑Aij qi q j (6) 2 i,j= 1 ở đây: Aij = Aji là các hệ số chỉ phụ thuộc vào các tọa độ suy rộng. Khai triển chúng theo chuỗi lũy thừa tại lân cận vị trí cân bằng (qi = 0; i = 1,n) và chỉ giữ lại số hạng đầu, ta nhận đ−ợc biểu thức động năng của hệ đã tuyến tính hoá: 1 n •• T = ∑aij qi q j (7) 2 i,j= 1 Trong đó: aij= a ji = (Aij ) 0 gọi là các hệ số quán tính (thực tế là khối l−ợng hoặc mômen quán tính). 1 • 2 Nếu hệ có một bậc tự do (n = 1), ta có: T = a q , trong đó a = A(0) (8) 2 Nếu hệ có hai bậc tự do (n = 2), ta đ−ợc: 1 ⎛ • 2 •• • 2 ⎞ T =⎜a q + 2 a q q+ a q ⎟ (9) ⎜ 11 1 12 1 2 22 2 ⎟ 2 ⎝ ⎠ ở đây: a11 = (A);a11 0 12 = (A);a12 0 22 = (A)22 0 . Các hệ số của dạng toàn ph−ơng (7) thoả mãn điều kiện Xin-vec-trơ (xác định d−ơng), nghĩa là: a11 a 12 a 1n a11 a 12 a11 > 0; > 0; ; a21 a 22 a 2n > 0 a21 a 22 an1 a n2 a nn Đ3. Thế năng của cơ hệ. Với liên kết dừng, thế năng của hệ cũng là hàm của các toạ độ suy rộng: π = π(q1 , q 2 , , qn ) Trong hệ bảo toàn, tại vị trí cân bằng (qi = 0; i = 1, n) , thế năng của hệ có giá trị cực trị nên: 3
  5. ⎛ ∂π ⎞ ⎜ ⎟ = 0 Với i = 1, n (10) ∂q i ⎝ ⎠qi =0 Theo định lý Lagrăng-Điriclê thì: Tại vị trí cân bằng ổn định của hệ bảo toàn, thế năng của hệ cực tiểu. Khai triển π theo chuỗi luỹ thừa tại lân cận vị trí cân bằng ổn định (qi =0 ; i = 1 , n), ta có: n ⎛ ∂π ⎞ 1 n π =() π + ⎜ ⎟ q + c q q+ (11) 0 ∑∑⎜ q ⎟ i ij i j i== 1 ⎝ ∂ i ⎠0 2 i,j 1 Nếu chọn vị trí cân bằng ổn định của hệ làm gốc tính π thì (π )0 = 0 và do (10) nên số hạng thứ hai trong (11) bằng không. Mặt khác với hệ tuyến tính sẽ không chứa trong khai triển của thế năng các thành phần bậc cao hơn hai đối với toạ độ suy rộng. Do đó thế năng π của hệ khi tuyến tính hoá là dạng toàn ph−ơng sau: 1 n π = ∑cij q i q j (12) 2 i, j= 1 ⎛ ∂2 π ⎞ ở đây: c= c = ⎜ ⎟ gọi là các hệ số cứng. ij ji ⎜ ∂q ∂ q ⎟ ⎝ i j ⎠0 Nếu hệ có một bậc tự do (n = 1), ta có: 1 π = cq2 , c= π′′ (0) (13) 2 Nếu hệ có hai bậc tự do (n = 2), ta đ−ợc: 1 π =(c q2 + 2 c q q+ c q2 ) (14) 2 11 1 12 1 2 22 2 ⎛ ∂2 π ⎞ ⎛ ∂2 π ⎞ ⎛ ∂2 π ⎞ Trong đó: c = ⎜ ⎟ ; c = ⎜ ⎟ ; c = ⎜ ⎟ 11 ⎜ 2 ⎟ 12 ⎜ ∂q ∂ q ⎟ 22 ⎜ 2 ⎟ ⎝ ∂q1 ⎠0 ⎝ 1 2 ⎠0 ⎝ ∂q 2 ⎠0 T−ơng tự nh− phần Đ2, các hệ số cij của dạng toàn ph−ơng (12) thoả mãn điều kiện xác định d−ơng. Đ4. Hμm hao tán. Giả sử hệ chịu tác dụng lực cản (nhớt) phụ thuộc bậc nhất vào vận tốc: Rk = −β k . v k Trong đó: βk > 0 là hệ số cản (nhớt); vk là vận tốc của chất điểm thứ k thuộc hệ. Gọi toạ độ suy rộng của của hệ: qi (i= 1,n) . Các lực suy rộng t−ơng ứng với lực cản bằng: n n Φ ∂ rk ∂rk QRi = ∑ k = −∑ βk v k k= 1 ∂q i k= 1 ∂q i 4
  6. • ∂ rk ∂ rr Khi sử dụng đồng nhất thức Lagrăng: = • , ta có: ∂q i ∂ q i • • n ∂ r ∂ ⎛ n v 2 ⎞ ∂φ QΦ = − β r k = ⎜ β k ⎟ Hay: Q φ = − (15) i ∑ k k •• ⎜∑ k ⎟ i • k= 1 ⎝ k= 1 2 ⎠ ∂ qi∂ q i ∂ q i n 2 v k ở đây ta đặt: φ =∑ βk (16) k= 1 2 φ đ−ợc biểu diễn ở (16) gọi là hàm hao tán. Ta có thể viết φ giống nh− động năng T 1 n •• trong tọa độ suy rộng: φ = ∑ Bij qi q j (17) 2 i,j= 1 Trong đó: BBij= ji là các hàm chỉ của toạ độ suy rộng: qi (i= 1,n) . Khai triển chúng theo chuỗi luỹ thừa tại lân cận vị trí cân bằng qi = 0; (i = 1, n) và chỉ giữ lại số hạng đầu, ta nhận đ−ợc biểu thức của hàm hao tán đã tuyến tính hoá: 1 n •• φ = ∑ bij qi q j (18) 2 i, j= 1 ở đây: bij= b ji= (B ij ) 0 là các hệ số cản suy rộng. 1 • 2 Khi hệ có một bậc tự do (n = 1): φ = bq ; b= B(0) > 0 (19) 2 1 • 2 •• • 2 Khi hệ có hai bậc tự do (n = 2): φ =(b q + 2b q q+ b q ) (20) 2 1 1 12 1 2 22 2 Trong đó: b11 = (B);b11 0 12 = (B);b12 0 22 = (B)22 0 . Các hệ số bij của dạng toàn ph−ơng (18) cũng thoả mãn tiêu chuẩn xác định d−ơng. Đ5. Ph−ơng pháp thiết lập ph−ơng trình vi phân chuyển động. 5.1. Thiết lập ph−ơng trình vi phân chuyển động theo ph−ơng trình Lagrăng II. Cơ sở lý thuyết của nhiều công trình nghiên cứu dao động các hệ Hôlônôm nhiều bậc tự do là việc áp dụng ph−ơng trình Lagrăng loại II. Ph−ơng pháp thiết lập ph−ơng trình vi phân chuyển động của hệ dao động bằng cách sử dụng ph−ơng trình Lagrăng loại II gọi là ph−ơng pháp cơ bản. Đối với hệ Hôlônôm, có n bậc tự do, xác định bởi các toạ độ suy rộng độc lập: q1 , q 2 , qn (q i : i= 1 , n) , ph−ơng trình Lagrăng loại II có dạng: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T − =Q ; i = 1,n (21) ⎜ • ⎟ i dt ⎜ ⎟ ∂qi ⎝ ∂ qi ⎠ 5
  7. 5.1a. Nếu các lực tác dụng lên hệ chỉ là lực có thế. π ∂π Ta có: QQi= i = − ; i= 1,n ∂q i Ph−ơng trình (21) trở thành: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T ∂π − = − ; i= 1,n ⎜ • ⎟ (21a) dt ⎜ ⎟ ∂qi ∂ q i ⎝ ∂ q i ⎠ Đ−a vào hàm Lagrăng: LT= − π , ta đ−ợc: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂L ⎟ ∂L − =0; i = 1,n (21b) ⎜ • ⎟ dt ⎜ ⎟ ∂qi ⎝ ∂ q i ⎠ 5.1b. Nếu các lực tác dụng lên hệ bao gồm cả lực có thế và lực cản nhớt ta có: ∂π ∂φ QQQ=π + φ = − − ; i= 1,n i i i • ∂q i ∂ q i Ph−ơng trình (21) trở thành: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T ∂π ∂φ − = − − ; i= 1,n ⎜ • ⎟ • (22) dt ⎜ ⎟ ∂qi ∂ q i ⎝ ∂ q i ⎠ ∂ q i Khi chú ý đến hàm Lagrăng L: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂L ⎟ ∂L ∂φ − + =0; i = 1,n ⎜ • ⎟ • (22a) dt ⎜ ⎟ ∂q i ⎝ ∂ q i ⎠ ∂ q i 5.1c. Nếu lực tác dụng lên hệ ngoài các lực có thế, và lực cản nhớt còn có các ngoại lực khác (lực kích động) phụ thuộc vào thời gian t; lực suy rộng của nó ký hiệu P Qi , ta có: π φ P Qi= Q i + Q i + Q i ; i = 1 , n Và ph−ơng trình (21) viết ở dạng: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T ∂π ∂φ P − = − − +Q ; i = 1 , n (23) ⎜ • ⎟ • i dt ⎜ ⎟ ∂qi ∂ q i ⎝ ∂ q i ⎠ ∂ q i Thí dụ 1: Con lắc kép gồm hai thanh đồng chất: AB = BC = 2L, trọng l−ợng P1 = P2 = P nối với nhau bởi bản lề B. Con lắc thực hiện dao động nhỏ trong mặt phẳng thẳng đứng xung quanh vị trí cân bằng Ay; ngoài ra AB quay xung quanh trục A; BC quay xung quanh bản lề B (Hình 1). 6
  8. Bài giải Giả thiết các thanh rắn tuyệt đối ; hệ có hai bậc tự do. Ta chọn θ1, θ2 là các góc lệch của thanh với ph−ơng thẳng đứng Ay làm tọa độ suy rộng. Tại vị trí cân bằng thì θ1 = θ2 = 0. Ph−ơng trình Lagrăng II viết cho hệ khảo sát là: x d ⎛ ∂TT⎞ ∂ A ⎜ ⎟ − =Q ; i = 1,2 (a) dt ⎜ • ⎟ ∂θ i ⎝ ∂ θi ⎠ i θ1 Chọn hệ trục tọa độ Axy nh− hình vẽ. Động năng của hệ bằng: P 1 B 1 • 2 1 ⎛ ••2 2 ⎞ 1 • 2 TTT= + =J θ1 + m⎜ xD + y ⎟ +J θ2 D AB BC Az BC ⎜ D ⎟ Dz θ2 2 2 ⎝ ⎠ 2 C P2 1 P P 1 P Ta có: J = (2L)2 , m =,J = (2L) 2 Az 3 g BC g Dz 12 g y Hình 1 ⎧xD = L(2sin θ1 + sin θ2 ) ⎨ ⎩yD = L(2cos θ1 + cos θ2 ) 2PL2 ⎡ ••••2 2 ⎤ Ta có: T =⎢4 θ1 + θ2 + 3 θ1 θ 2 cos( θ1 − θ 2 )⎥ 3g ⎣ ⎦ Xét dao động nhỏ: cos(θ1 − θ 2 )≈ 1, ta nhận đ−ợc: 2PL2 ••••2 2 T =(4 θ1 + θ2 + 3 θ1 θ 2 ) (b) 3g Thế năng của hệ bằng công trọng l−ợng các thanh khi hệ chuyển dịch từ vị trí khảo sát (θ1; θ2) tới vị trí cân bằng thẳng đứng (θ1 = 0 ; θ2 = 0), ta có: π =PL(1 − cos θ1 ) + PL[ 2(1− cosθ1 )+ (1− cosθ2 )] Rút gọn: π =PL(4 − 3cosθ1 − cosθ2 ) θ2 θ2 Với θ, θ nhỏ: cosθ ≈ 1 − 1 ; cosθ ≈ 1 − 2 1 2 1 2 2 2 PL Ta có: π =(3 θ2 + θ2 ) (c) 2 1 2 Thay (b) và (c) vào (a), ta nhận đ−ợc ph−ơng trình vi phân dao động nhỏ của hệ: 16L •• 2L •• 2L •• 4L •• 3θ=− θ−1 θθ=−2 ; θ−1 θ 2 1 3g g 2 g 3g 7
  9. 5.2. Thiết lập ph−ơng trình vi phân chuyển động theo ph−ơng pháp Đalămbe. Theo nguyên lý Đalămbe: ở mỗi thời điểm các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ và các phản lực liên kết cân bằng với các lực quán tính. Từ đó: ⎧ FNFa + +qt = 0 ⎪∑ k ∑∑k k ⎪ k kk ⎨ (24) ⎪ ⎛ a ⎞ ⎛ qt ⎞ ∑∑∑mO⎜ F k ⎟ + mO() N k + mO⎜ F k ⎟ = 0 ⎩⎪ kkk⎝ ⎠ ⎝ ⎠ qt Trong đó: Fk = − mk W k 5.3. áp dụng ph−ơng pháp lực để lập ph−ơng trình vi phân dao động nhỏ (tr−ờng hợp riêng của ph−ơng pháp Đalămbe). Giả sử cho một dầm đàn hồi có gắn một số hữu hạn khối l−ợng tập trung m1 , m 2 , , m n . Để lập ph−ơng trình vi phân dao động (uốn) của dầm, thuận lợi hơn cả là dùng ph−ơng pháp lực. Khi này cần sử dụng khái niệm dịch chuyển đơn vị. Các dịch chuyển theo h−ớng i do lực đơn vị tác dụng theo h−ớng k gây ra gọi là dịch chuyển đơn vị, ký hiệu δik. Các dịch chuyển đơn vị δik còn gọi là các hệ số ảnh h−ởng (Hình 2). Pk = 1 m m m m 1 2 3 n i k δik Hình 2 Đối với các hệ đàn hồi, theo h−ớng k hệ chịu tác dụng của lực Pk thì dịch chuyển do nó gây ra theo h−ớng i sẽ tỷ lệ với lực, nghĩa là: yi = Pkδik. Do đó, d−ới tác dụng đồng thời của các lực P1, P2, , Pn dịch chuyển toàn phần xác định theo công thức: n yi =∑ Pk δik (25) k= 1 Công thức (25) là cơ sở để thiết lập ph−ơng trình vi phân dao động của hệ theo ph−ơng pháp lực. Theo kết quả trong giáo trình SBVL, ta có các công thức xác định hệ số ảnh h−ởng δik sau đây: 8
  10. 5.3a. Xác định δik khi uốn của thanh: Dùng công thức MO: L Mi .M k .dx δ = ∑ (26) ik ∫ EJ 0 Trong đó: EJ là độ cứng của thanh khi uốn; Mi (x) và Mk (x) là các mômen uốn do lực đơn vị Pi = 1 và Pk = 1 gây ra (Hình 3). P i = 1 P k = 1 M i =(x) M k =(x) x x Hình 3 5.3b. Sử dụng phép nhân biểu đồ Vêrêsaghin: * Ω M k δ = ∑ i (27) ik EJ * ở đây: Ωi là diện tích biểu đồ M,Mi k là tung độ của biểu đồ M k t−ơng ứng hoành độ trọng tâm của Ωi . Khi sử dụng công thức (27) cần chú ý chia chiều dài thanh sao cho trong mỗi đoạn của M k là đ−ờng thẳng. Theo định lý Macxoen ta luôn có: δik = δ ki Thí dụ 2: Xác định các hệ số ảnh h−ởng trong tr−ờng hợp dầm chịu các trọng tải tập trung nh− hình vẽ (Hình 4). m m m P1 = 1 5L L/6 L/3 L/3 L/6 36 M 1 L/6 5L/6 Hình 4 Hình 5a 9
  11. Bài giải: Để xác định các dịch chuyển đơn vị (hệ số ảnh h−ởng) δik (i, k = 1, 2, 3) ta xây dựng các biểu đồ Mômen uốn M,M,M1 2 3 t−ơng ứng với các lực đơn vị P1 = 1, P2 = 1, P3 = 1 và biểu diễn nh− trên hình vẽ (Hình 5a, b, c). P 2 = 1 P 3 = 1 L 5L 4 36 M 2 M 3 L/2 L/2 5L/6 L/6 Hình 5b Hình 5c Theo công thức nhân biểu đồ Vêrêsaghin, ta có: 1 ⎡⎛ 1 L 5 5 ⎞ ⎛ 1 5 5 5 ⎞⎤ δ11 = δ 33 = ⎢⎜ . . L. L⎟ + ⎜ . L. L. L⎟⎥ EJ ⎣⎝ 2 6 36 54 ⎠ ⎝ 2 6 36 54 ⎠⎦ 1 5 5 ⎛ 1 5 ⎞ 1 5 5 1 25L3 = . L. L⎜ L + L⎟ = ⋅ ⋅L ⋅ ⋅L ⋅ ⋅L = = 75k EJ 54 36 ⎝12 12 ⎠ EJ 54 36 2 3888EJ L3 ở đây ta đặt: k = 9.1296EJ 1 ⎛ 1 L L L 1 L L L ⎞ L3 L3 L3 δ22 = ⎜ . . . + . . . ⎟ =2. = = 243. = 243k EJ ⎝ 2 2 4 6 2 2 4 6 ⎠ 96EJ 48EJ 9.1296EJ Thực hiện tính toán một cách t−ơng tự, ta nhận đ−ợc: L3 L3 δ = δ = 51 =51k; δ = δ = δ = δ = 117 = 117k 13 31 9.1296EJ 12 21 32 23 9.1296EJ Đ6. Xác định độ cứng của hệ dao động. Các tính chất đàn hồi của hệ dao động trong mỗi tr−ờng hợp cụ thể đ−ợc đặc tr−ng bằng hệ số cứng C. 6.1. Thanh đàn hồi 6.1.1. Thanh đàn hồi không trọng l−ợng, chịu kéo nén (Hình 6). 10
  12. PL Ta có: ΔL = EF ở đây: E là môđun đàn hồi, F là diện tích tiết diện ngang. EF Từ đó: P =. Δ L = C. Δ L L L EF Vậy, ta có: C = (28) L 6.1.2. Thanh đàn hồi không trọng l−ợng chịu xoắn (Hình 7) thì: ML Δϕ = x GJ p Trong đó: G là môđun tr−ợt, JP là mômen quán tính độc cực của ΔL P mặt cắt ngang. Suy ra: Hình 6 GJ M =p Δϕ =.C Δϕ x L GJ Vậy, nhận đ−ợc: C = p (29) L Mx L L P f Hình 7 Hình 8 6.1.3. Thanh đàn hồi không trọng l−ợng chịu uốn. Khi này: Hệ số cứng C còn phụ thuộc vào điều kiện biên. Ta xét thanh chịu uốn bị ngàm ở một đầu (Hình 8). Độ võng f bằng: 1 PL3 3EJ f = , suy ra: P =f = Cf 3 EJ L3 3EJ ở đây: EJ là độ cứng chống uốn. Vậy độ cứng C bằng: C = (30) L3 11
  13. 6.2. Hệ các lò xo. 6.2.1. Đối với hệ lò xo mắc song song (Hình 9). Từ biểu thức tính lực đàn hồi, ta có: F= C x + C x = Cx C dh 1 2 C1 C2 Vậy, ta đ−ợc: C = C1 + C2. Nếu hệ có n lò xo mắc song song, t−ơng tự nhận đ−ợc: n CC= ∑ i (31) i= 1 Hình 9 6.2.2. Đối với hệ lò xo mắc nối tiếp (Hình 10). Biểu thức tính lực đàn hồi bằng: F= C x+ C x dh 1 1 2 2 C1 ở hệ thay thế t−ơng đ−ơng hệ số cứng C, lò xo C C2 dãn một đoạn: x= x1 + x 2 ; F dh = Cx F F F 1 1 1 Ta có: x =1 +2 =dh ⇒ = + C1 C 2 C C C1C 2 Hình 10 Nếu hệ có n lò xo mắc nối tiếp, thì hệ số cứng C của lò xo thay thế xác định bởi hệ thức: 1 n 1 = ∑ (32) C i= 1 Ci Nói chung độ cứng C đ−ợc tính toán theo lý thuyết với các giả thiết nhất định và có thể tra cứu trong các sổ tay kỹ thuật. Ta thống kê một số công thức ở một số dạng cơ bản th−ờng dùng trong tính toán (bảng 1). Bảng 1. Công thức xác định các hệ số cứng t−ơng đ−ơng STT Sơ đồ Hệ số C Gd 4 C = Với G: môđun tr−ợt của 1 8iD vật liệu; d: đ−ờng kính dây lò xo; i, D: số vòng và đ−ờng kính lò xo. C1 2 C = C1+ C2 C1 C2 C2 12
  14. CC1 2 3 C1 C = CC+ C2 1 2 EJ EJ 4 C= 3 L L3 3EJ(a+ b) 5 C = a b 2 2 a b 12EJ(a+ b)3 6 C = a b 3 2 a b (3a+ 4b) 3EJ(a+ b)3 7 C = a b 3 3 a b 3EJ 8 C = L b 2 (b+ L)b 12EJ 9 C = 2 L b (4b+ 3L)b 24EJ C = L3 10 L (EJ là độ cứng khi uốn của một trong hai lò xo phẳng) α3 EJsh α L C = , αLch α L− sh α L 11 N L N α = EJ α2 EJsh ( α L) C = L()α Lch α L− sh α L 12 N L N α = EJ 13
  15. Ch−ơng I Dao động tuyến tính của hệ một bậc tự do Đ1.1. Dao động tự do của hệ tuyến tính một bậc tự do 1.1.1. Dao động tự do không cản Xét hệ một bậc tự do, lực tác dụng lên hệ có thế. Toạ độ suy rộng xác định vị trí cơ hệ là q. Ph−ơng trình Lagrăng II có dạng: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T ∂π − = − dt ⎜ • ⎟ ∂q∂ q ⎝ ∂ q ⎠ 1 • 2 1 Với dao động nhỏ thì: T;= a q π = cq 2 : Thay vào ph−ơng trình trên và rút gọn, 2 2 •• ta đ−ợc: q+ k2 q = 0 (1-1) c Trong đó: k = gọi là tần số vòng (riêng) của dao động, đơn vị th−ờng dùng rad/s, a nó phụ thuộc vào tính chất của hệ (khối l−ợng và độ cứng). Ph−ơng trình (1-1) là ph−ơng trình vi phân mô tả dao động nhỏ tự do của hệ tuyến tính một bậc tự do. NTQ của (1-1) tìm đ−ợc ở dạng: q = C1coskt + C2sinkt (1-2) Đặt: C1 = Asinα; C2 = Acosα Ta viết đ−ợc nghiệm (1-2) d−ới dạng biên độ: q = Asin(kt +α) (1-3) 2 2 ở đây: ACC=1 + 2 là biên độ dao động; (kt +α) là pha dao động; α là pha ban đầu; k là tần số vòng (tần số dao động riêng) của hệ. 2π a Chu kỳ dao động T tính theo công thức: T = =2 π (1-4) k c Gọi f là số dao động trong một đơn vị thời gian (tần số dao động), khi đó: 1 k 1 c f = = = (1-5) T 2π 2π a Các hằng số A và α đ−ợc xác định từ các điều kiện ban đầu. Giả sử tại t = 0: q(0) = q0 • 2 • • 2 q 0 kq 0 và q(0)= q ta nhận đ−ợc: A= q 0 + và α = arctg . Do đó: 0 k 2 • q 0 14
  16. 2 ⎛ ⎞ 2 q 0 ⎜ kq 0 ⎟ q= q 0 + ⋅sin⎜ kt + arctg ⎟ (1-6) k 2 ⎜ • ⎟ ⎝ q 0 ⎠ Nh− vậy, dao động nhỏ tự do của hệ tuyến tính một bậc tự do là dao động điều hoà. Trong thực tế, việc xác định tần số riêng k là nhiệm vụ quan trọng của bài toán nghiên cứu dao động tự do. Bảng 2 thống kê một số công thức đối với k của một số hệ đơn giản. Bây giờ ta biểu diễn nghiệm của bài toán trên mặt phẳng pha (hệ tọa độ dịch chuyển - vận tốc). Tại mỗi thời điểm trạng thái của hệ đ−ợc đặc tr−ng bằng dịch chuyển q và vận tốc • v= q . Ta có trong tr−ờng hợp khảo sát: ⎪⎧q= Asin(kt + α ) ⎨ • (1-7) ⎩⎪v= q = Ak cos(kt+ α ) Tập hợp các ph−ơng trình này có thể khảo sát nh− quỹ đạo pha cho ở dạng thông số. Để nhận đ−ợc ph−ơng trình quỹ đạo pha cần khử t từ hệ (1-7) ta đ−ợc: q 2 v 2 + = 1 (1-8) A 2 A 2k 2 Nghĩa là ph−ơng trình Ellíp (Hình 11a). Điểm biểu diễn ban đầu (từ đó chuyển động • • đ−ợc bắt đầu) t−ơng ứng với điều kiện đầu q(0) = q0 và q(0)= q 0 . Khi thay đổi điều kiện ban đầu quỹ đạo pha biểu diễn trên Ellíp khác. Tập hợp trạng thái có thể của hệ đ−ợc mô tả bằng hệ các Ellíp (Hình11). Gốc toạ độ t−ơng ứng với trạng thái cân bằng của hệ (q0 =0 và • q0 = 0). Điểm này là điểm kỳ dị và gọi là tâm. v v q0, v0 q O q O Hình 11 Bảng 2: Tần số riêng của một số mô hình dao động Stt Mô hình dao động Ph−ơng trình k2 x •• C Hệ khối l−ợng lò C x+x = 0 C 1 m m xo đơn giản m (q = x) 15
  17. •• C C Hệ khối l−ợng lò y y+y = 0 C 2 m xo trọng tr−ờng M m (q = y) O •• g ϕ ϕ+ ϕ = 0 g 3 Con lắc toán học L L L m (q = ϕ) O a •• mga ϕ+ ϕ = 0 J mga 4 Con lắc vật lý ϕ O J O C m (q = ϕ ) •• C JO ϕ+ ϕ = 0 J C 5 Bàn quay C O J O (q = ϕ) r O JO •• 1 C y+ y= 0 1 C J m Hệ khối l−ợng vắt y 1 + O 1 6 2 J O m m1 m r 1 + 1 qua ròng dọc 1 2 C m1 r (q = y) m •• C− mgL ϕ ϕ+ ϕ = 0 C− mgL 7 Cơ cấu gõ nhịp J O L C J O O (q = ϕ) •• x 1 C x+ x= 0 1 C m J C m C 1 + 8 Hệ con lăn lò xo r 2 J m O JC mr 1 + C mr 2 (q = x) •• 1 g L ϕ+ ϕ = 0 m J L 1 g Con lăn trên quỹ ϕ 1 + C 9 r 2 J L C mr 1 + C đạo tròn 2 JC mr (q = ϕ) 16
  18. r C •• mgr ϕ+ C ϕ = 0 mgr Nửa đĩa tròn trên 2 C 10 m JC + m(r − rC ) 2 mặt phẳng C JC + (r − rC ) m ϕ r (q = ϕ) 1.1.2. Dao động tự do có cản. ở trên ta coi sự hao tán năng l−ợng trong dao động không xảy ra và thiết lập đặc tính không tắt dần của dao động tự do. Tuy nhiên các dao động gặp trong thực tế là tắt dần, do: ma sát trong các bộ phận giảm chấn, phanh hãm, tiếp xúc với môi tr−ờng xung quanh v.v Giả sử lực tác dụng lên hệ ngoài lực có thế còn có lực cản (nhớt) phụ thuộc bậc nhất vào vận tốc. Khi đó ph−ơng trình Lagrăng II có dạng: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T ∂π ∂φ − = − − dt ⎜ • ⎟ ∂q∂ q • ⎝ ∂ q ⎠ ∂ q 1 • 2 1 1 • 2 Với dao động nhỏ: T = a q ; π = cq 2 ; φ = bq . Thay vào ph−ơng trình và rút 2 2 2 gọn, ta đ−ợc: •• • q+2n q + k2 q = 0 (1-9) b c ở đây: 2n = , k 2 = a a Ph−ơng trình (1-9) là ph−ơng trình vi phân mô tả dao động nhỏ tự do tắt dần của hệ tuyến tính một bậc tự do. NTQ của (1-9) tìm đ−ợc d−ới dạng: q= eλt . Trong đó λ đ−ợc xác định từ ph−ơng trình đặc tr−ng sau: λ2 + 2nλ + k2 = 0 (1-10) Ph−ơng trình (1-10) cho hai nghiệm số: 2 2 λ1, 2 = −n ± n − k (1-11) Ta khảo sát ba tr−ờng hợp: 1.1.2a. Tr−ờng hợp 1: n < k (lực cản nhỏ). Trong tr−ờng hợp này ph−ơng trình đặc tr−ng có nghiệm phức: 2 2 2 λ1, 2 = −n ± ik1 ; k 1 = k − n ; i = −1 Tích phân tổng quát của ph−ơng trình (1-9) có dạng: −nt q= e( C1 cos k 1 t+ C 2 sin k 1 t) (1-12) −nt Hay viết ở dạng biên độ: q= Ae sin(k1 t + β) (1-13) 17
  19. • • Khi xét đến điều kiện đầu t = 0: q(0) = q0, q(0 )= q 0 Ta có: 2 ⎛ • ⎞ ⎜q+ nq ⎟ ⎛ ⎞ 0 0 C ⎜ q k2− n 2 ⎟ A=C2 + C2 = q 2 + ⎝ ⎠ ;β = arctg 1 = arctg 0 1 2 0 2 2 ⎜ • ⎟ k− n C 2 ⎜ ⎟ ⎝ q0 + nq 0 ⎠ 2 ⎛ • ⎞ ⎜q+ nq ⎟ ⎛ ⎞ 0 0 ⎜ q k2− n 2 ⎟ Vậy: q= q 2 + ⎝ ⎠ e−nt sin k t+ arctg 0 (1-14) 0 2 2 ⎜ 1 • ⎟ k− n ⎜ ⎟ ⎝ q0 + nq ⎠ 2 2 ở đây: k1 = k − n gọi là tần số dao động tắt dần. Chu kỳ dao động tắt dần đ−ợc xác định bằng: 2π 2π T1 = = (1-15) 2 2 k1 k− n Với n khá nhỏ ta viết đ−ợc: 2 2 T 2π ⎡ 1 ⎛ n ⎞ ⎤ ⎡ 1 ⎛ n ⎞ ⎤ T1 = ≈ ⎢1+ ⎜ ⎟ ⎥ =T⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ (1-16) 2 ⎛ n ⎞ k ⎣⎢ 2 ⎝ k ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ 2 ⎝ k ⎠ ⎦⎥ 1− ⎜ ⎟ ⎝ k ⎠ nt Nghiệm (1-13) của ph−ơng trình (1-9) chỉ ra rằng: Độ lệch A e của hệ có cản giảm theo thời gian với quy luật hàm số mũ. Nó tiệm cận tới không và do đó dao động là tắt dần (Hình 1-1). q y y 1 O t T1 T1 Hình 1-1 Trong thực tế để đặc tr−ng cho sự giảm biên độ ng−ời ta th−ờng dùng một đại l−ợng, ký hiệu δ và gọi là độ suy giảm Lôgarit của dao động: y 2π δ=ln ψ = ln =nT1 = (1-17) y 2 1 ⎛ k ⎞ ⎜ ⎟ −1 ⎝ n ⎠ Muốn xác định δ bằng thực nghiệm, ta dùng công thức gần đúng: 18
  20. 2 y y ⎡ Δy ⎛ Δy ⎞ ⎤ Δy δ =ln = ln =ln⎢1 + + ⎜ ⎟ + ⎥ ≈ (1-18) y y− Δ y y ⎜ y ⎟ y 1 ⎣⎢ ⎝ ⎠ ⎦⎥ 1.1.2b. Tr−ờng hợp 2: n > k (Lực cản lớn). Trong tr−ờng hợp này cả hai nghiệm của ph−ơng trình đặc tr−ng đều thực và âm: 2 2 λ1, 2 = −n ± k2 , k 2 = n − k Ph−ơng trình (1-9) có NTQ dạng: nt k2 t k2 t q= e (C1 e+ C2 e ) (1-19) Khi tính điều kiện ban đầu nh− tr−ờng hợp 1, ta có: • • q0 (k 2 + n) + q 0 q0 (k 2 − n) − q 0 C1 = ; C 2 = 2k 2 2k 2 ⎡ • • ⎤ q (k+ n) + q q (k− n) − q k2 t Từ đó: q= e−nt ⎢ 0 2 0 ek2 t + 0 2 0 e ⎥ (1-20) ⎢ 2k 2k ⎥ ⎣⎢ 2 2 ⎦⎥ Hệ qua vị trí cân bằng tại các thời điểm thoả mãn ph−ơng trình: ⎡ • • ⎤ q (k+ n) + q q (k− n) − q e −(k2 + n)t ⎢ 0 2 0 e 2k2 t + 0 2 0 ⎥ = 0 ⎢ 2k 2k ⎥ ⎣ 2 2 ⎦ Với giá trị của biểu thức trong dấu móc bất kỳ, vế trái của ph−ơng trình → 0 khi t → ∞. Ta có chuyển động không tuần hoàn tắt dần. 1.1.2c. Tr−ờng hợp 3: n = k (lực cản tới hạn). Trong tr−ờng hợp này nghiệm của ph−ơng trình đặc tr−ng là thực, âm và bằng nhau. NTQ của (1-9) có dạng: −nt q= e (C1 t + C 2 ) (1-21) Chuyển động của hệ là tắt dần, không dao động. Trong một số tài liệu kỹ thuật trình bày về dao động ng−ời ta còn sử dụng khái niệm độ cản Lehr - Độ cản Lehr ký hiệu là D, đ−ợc xác định bởi hệ thức: n b b D = = = (1-22) k 2ak 2 ac Ph−ơng trình (1-9) có thể viết d−ới dạng: •• • q+2Dk q + k2 q = 0 (1-23) Do k2− n 2 = k1 − D 2 , nên chuyển động của hệ đ−ợc phân ra các tr−ờng hợp: ƒ D 1: Độ cản lớn. ƒ D = 1: Độ cản tới hạn. 19
  21. Nh− thế, khi D < 1 chuyển động của hệ là dao động tắt dần. khi D ≥ 1 chuyển động của hệ là tắt dần không dao động. Giữa độ cản Lehr D với độ suy giảm Lôgarit δ, có liên hệ bằng hệ thức sau: D δ =2 π (1-24) 1− D 2 Thí dụ 1-1: Xét dao động nhỏ của con lắc toán học có độ dài L, khối l−ợng m (Hình 1-2). Lấy θ làm tọa độ suy rộng. Tọa độ của khối l−ợng m bằng: x = Lsinθ; y = Lcosθ. Do đó: 1 1 ⎛ ••2 2 ⎞ 1 • 2 2 ⎜ ⎟ 2 T=mv = m⎜ x + y⎟ = mL θ 2 2 ⎝ ⎠ 2 x O Thế năng của con lắc bằng công của trọng l−ợng P= m g thực hiện trên di chuyển của nó từ vị trí khảo sát θ (hình vẽ) tới vị trí cân bằng (thẳng đứng). L π =mgL(1 − cosθ ) 1 1 m Do θ bé, 1-cosθ ≈ θ2 nên: π =mgL θ2 2 2 y Thay các kết quả vào ph−ơng trình Lagrăng loại II: Hình 1-2 d ⎛ ∂TT⎞ ∂ ∂π ⎜ ⎟ − = − dt ⎜ • ⎟ ∂θ ∂θ ⎝ ∂ θ ⎠ Ta nhận đ−ợc ph−ơng trình dao động nhỏ của con lắc: •• g θ+ θ = 0 L g L Đó là dao động điều hoà với tần số riêng k = và chu kỳ T= 2 π . L g Thí dụ 1-2: Xét dao động xoắn nhỏ của đĩa gắn vào đầu mút d−ới của thanh đàn hồi không trọng l−ợng dài L. Mút trên của thanh bị ngàm (Hình 1-3). Gọi M là khối l−ợng của đĩa; ρ là bán kính quán tính của đĩa đối với trục thanh; G là môđun tr−ợt của vật liệu L thanh; JP là mômen quán tính độc cực của tiết diện ngang thanh. GJ Độ cứng của thanh khi xoắn bằng C = P . Lấy θ là góc L quay của đĩa đối với vị trí cân bằng ổn định. Động năng của đĩa θ 1 • 2 bằng: T =M ρ2 θ . Thế năng đàn hồi của nó khi θ nhỏ (tuân 2 Hình 1-3 20
  22. 1 theo định luật Hooke) là π =C θ2 . áp dụng ph−ơng trình LagrăngII nh− thí dụ 1-1, ta 2 nhận đ−ợc ph−ơng trình dao động nhỏ khi xoắn: • Mρ2 θ+C θ = 0 C Mρ2 Đó là dao động điều hoà với tần số riêng k = và chu kỳ T =2 π . Mρ2 C Thí dụ 1-3: Ng−ời ta treo tải trọng trọng l−ợng P bằng một thanh tuyệt đối cứng dài 2L. ở giữa thanh có gắn hai lò xo đàn hồi có cùng L ϕ độ cứng C. Tải trọng đ−ợc ngâm trong bình chứa chất lỏng nhớt. C C Trong quá trình tải trọng thực hiện dao động nhỏ tự do chất lỏng gây ảnh h−ởng làm giảm dao động lên hệ (Hình 1-4). Tìm hệ số L ma sát nhớt của hệ, nếu chu kỳ dao động tắt dần của hệ T1 = 1s; các tham số của hệ lấy các giá trị sau đây: P = 100 N; 2L = 30cm; Đ−ờng kính lò xo D = 2cm; đ−ờng kính dây cuốn lò xo d = 2mm; P Môđun tr−ợt của vật liệu làm lò xo G = 8.106 N/cm2; Số vòng của mỗi lò xo i = 6. Bài giải: Hình 1-4 Hệ có một bậc tự do. Chọn toạ độ suy rộng q = ϕ là góc lệch nhỏ của thanh so với ph−ơng thẳng đứng. Ph−ơng trình Lagrăng II áp dụng cho tr−ờng hợp này có dạng: d ⎛ ∂TT⎞ ∂ ∂π ∂φ ⎜ ⎟ − = − − dt ⎜ • ⎟ ∂ϕ ∂ϕ • ⎝ ∂ ⎠ ∂ ϕ 2 1 P 1 P ⎛ • ⎞ 2P • 2 Ta có: T=V 2 =⎜2L ϕ⎟ =L2 ϕ 2 g 2 g ⎝ ⎠ g Cλ2 π =P.2L(1 − cos ϕ ) + 2 ; λ = Lsinϕ là độ co dãn của lò xo so với vị trí cân bằng 2 ϕ2 thẳng đứng của thanh (khi lò xo chứa biến dạng), với ϕ nhỏ: 1- cosϕ ≈ ; sinϕ ≈ ϕ; 2 Do đó thế năng của hệ bằng: π =L(P + CL) ϕ2 Gọi β là hệ số ma sát nhớt của hệ (chất lỏng), hàm hao tán φ xác định bằng công thức: 1 • 2 φ = βϕ 2 Thay các giá trị tính đ−ợc vào ph−ơng trình Lagrăng II và rút gọn, ta nhận đ−ợc: •• βg • (P+ CL)g ϕ+ ϕ+ ϕ = 0 2PL 2PL 21
  23. 2π Chu kỳ dao động tắt dần là: T1 = (a) k2− n 2 P+ CL k là tần số dao động tự do (khi không có lực cản) bằng: k = .g (b) 2PL Gd 4 Gọi C là độ cứng lò xo và đ−ợc tính theo công thức sau: C = 8D3 i Thay số vào ta đ−ợc: C = 33,3 N/cm. Do đó, từ (b) sẽ tính đ−ợc: k=14rad/s. 2 2 4π Từ (a) giải đ−ợc: 2n= k − 2 ; thay số vào ta có: 2n = 12,5rad/s. T1 Hệ số cản chuyển động tìm từ điều kiện: βg 4nPL 2n = ⇒ β = . Thay số ta đ−ợc: β = 76,5 NS. 2PL g Đ1.2. Dao động c−ỡng bức của hệ tuyến tính một bậc tự do Dao động c−ỡng bức xảy ra khi hệ có tác dụng của các kích động ngoài. Các kích động này có thể tuần hoàn hoặc va chạm. Giả sử hệ khảo sát chịu tác dụng của các lực có thế, các lực cản (nhớt) phụ thuộc bậc nhất vào vận tốc và các lực kích động ngoài là hàm của thời gian t: P (t). Gọi QP là lực suy rộng của lực kích động ngoài. Ph−ơng trình Lagrăng II trong tr−ờng hợp này có dạng: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T ∂π ∂φ P − = − − + Q dt ⎜ • ⎟ ∂q∂ q • ⎝ ∂ q ⎠ ∂ q 1 • 2 1 1 • 2 Với dao động nhỏ: T =a q ; π =cq2 ; φ = b q 2 2 2 1 Đặt: Q(t) = Q P . Thay vào ph−ơng trình trên và rút gọn ta nhận đ−ợc: a •• • q+2 n q + k2 q = Q(t) (1-25) Ph−ơng trình (1-25) là ph−ơng trình vi phân mô tả chuyển động dao động nhỏ c−ỡng bức của hệ tuyến tính một bậc tự do. Trong tr−ờng hợp lực cản nhỏ (n < k), NTQ của (1-25 ) có dạng: −nt q= Ae sin(k1 + β ) + q (1-26) Trong đó q là NR của ph−ơng trình (1-25). Các hệ số A, β đ−ợc xác định từ điều kiện ban đầu. 22
  24. Ta tìm NR q ở dạng: q= e−nt Z(t) (1-27) Thay (1-27 ) vào (1-25). Ta nhận đ−ợc ph−ơng trình đối với hàm Z(t): •• 2 nt Z+ k1 Z = Q(t).e (1-28) Nghiệm của ph−ơng trình (1-28) đ−ợc tìm bằng ph−ơng pháp biến thiên hằng số Lagrăng, ta đặt: C = )1(t)sink 1t+ C 2(t)coskZt1t ( (1-29) Thay (1-29 ) vaò (1-28) ta suy ra: ⎧ • • ⎪ C1 (t)sin k1 t+ C2 (t) cos k1 t= 0 • • (1-30) ⎨ ⎛ ⎞ nt ⎪k⎜ C1 (t) cos k1 t− C2 (t)sin k1 t⎟ = e Q(t) ⎩ ⎝ ⎠ Dùng quy tắc Crame giải hệ (1-30) ta có: • ent Q(t) • ent Q(t) C1 (t) = cos k1 t; C2 (t) = − sin k1 t; k1 k1 Từ đó ta có: t enτ Q(τ ) t enτ Q(τ ) C (t) = cos kτ .d τ ; C (t) = − sin kτ .d τ (1-31) 1 ∫ 1 2 ∫ 1 0 k1 0 k1 Thay (1-31) vào (1-29) ta nhận đ−ợc nghiệm của ph−ơng trình (1-28): 1 t Z(t) = enτ Q(τ )sin k (t − τ )d τ (1-32) k ∫ 1 1 0 Vậy, NR q của ph−ơng trình (1-25) bằng: 1 t q= e−nt Z(t) = e−n(t −τ ) Q(τ )sin k (t − τ ).d τ (1-33) k ∫ 1 1 0 NTQ của ph−ơng trình (1-25) có dạng: 1 t q= Ae−nt sin(k t+ β ) + e−n(t −τ ) Q(τ )sin k (t − τ )d τ (1-34) 1 k ∫ 1 1 0 Tích phân theo vế phải của (1-34) dẫn ra theo biến τ. Vì vậy, khi tích phân coi t là hằng số. Sau khi hoàn thành việc thay cận tích phân ta nhận đ−ợc q là hàm của thời gian t. 1.2.1. Tính toán dao động c−ỡng bức không cản (n = 0). Giả sử lực kích động ngoài biến đổi theo quy luật điều hoà: Q(t) = P0sinpt. Ph−ơng trình (1-25) trở thành: •• 2 q+ k q = P0 sin pt (1-35) Khi p ≠ k, NTQ của (1-35) có dạng: 23
  25. P q= C cos kt+ C sin kt + 0 sin pt (1-36) 1 2 k2− p 2 • • Lấy điều kiện đầu t = 0: q(0) = q0; q(0 )= q 0 ta có: • q P p C = q ; C =0 − 0 (1-37) 1 0 2 k k(k2− p 2 ) • q pP P Từ đó: q= q cos kt + 0 sin kt + 0 sin kt + 0 sin pt (1-38) 0 k k(k2− p 2 ) k2− p 2 Trên cơ sở (1-38) ta có một số nhận xét sau: 1) . Hai số hạng đầu của (1-38) ứng với dao động tự do tần số riêng k. Khi • q(0 )= q( 0 ) = 0 , những dao động này không xảy ra. Số hạng thứ ba cũng là dao động điều hoà với tần số riêng k, nh−ng biên độ phụ thuộc vào lực kích động. Nó luôn xảy ra cùng dao động c−ỡng bức với điều kiện đầu tuỳ ý. 2) . Số hạng cuối của (1-38) ký hiệu là q : P q = 0 sin pt (1-39) k2− p 2 Biểu thị dao động c−ỡng bức thuần tuý. Ta chú ý một số tính chất sau: a). Dao động c−ỡng bức xảy ra với tần số lực kích động p. Nó không phụ thuộc vào điều kiện đầu của hệ. b). Khi k > p thì dấu của độ lệch q cùng dấu với lực kích động Q, ta nói nó cùng pha. Khi k < p chúng ng−ợc dấu nhau (ng−ợc pha). Ta có thể viết: P q = 0 sin(pt+ π ) k2− p 2 c. Tr−ờng hợp k = p, biểu thức (1-39) và số hạng thứ ba trong (1-38) sẽ mất ý nghĩa. Tuy nhiên nếu xét đồng thời thì có: P0 p P0 ⎡−psin kt + k sin pt ⎤ − 2 2 sin kt + 2 2 sin pt= P0 ⎢ 2 2 ⎥ k(k− p ) k− p ⎣ k(k− p ) ⎦ 0 Với k = p, nó có dạng . áp dụng quy tắc Lôpitan, lấy đạo hàm đối với p và cho 0 p → k, ta thu đ−ợc: ⎡−psin kt + k sin pt ⎤ ⎡−sin kt + kt cospt ⎤ P0 P0 t P0 ⎢ 2 2 ⎥ = lim P0 ⎢ ⎥ = − 2 sin kt − cos kt p→ k − 2 2 ⎣ k(k− p ) ⎦ k= p ⎣ kp ⎦ 2k k Tích phân tổng quát của (1-38) trở thành: • q P P t q= q cos kt +0 sin kt + 0 sin kt − 0 cos kt (1-40) 0 k 2k 2 2k 24
  26. Rõ ràng khi p = k các giá trị nguy hiểm của biên độ tăng theo quy luật tuyến tính với thời gian t và trong khoảng thời gian hữu hạn nó không tiến tới vô hạn (Hình 1-5). Sự trùng nhau giữa tần số của lực kích động p với tần số riêng của hệ k và các hiện t−ợng xảy ra tiếp sau q gọi là hiện t−ợng cộng h−ởng. Thực tế khi tính toán dao động c−ỡng bức không t cản th−ờng phân ra hai tr−ờng hợp: Tr−ờng hợp xa cộng O h−ởng (p ≠ k) và tr−ờng hợp gần cộng h−ởng (p ≈ k). Khi này nếu: p = k+2ε (ε là đại l−ợng vô cùng bé) ta có Hình 1-5 hiện t−ợng phách, còn p = k ta có hiện t−ợng cộng h−ởng. Đối với các máy đ−ợc thiết kế làm việc gần cộng h−ởng khi tăng vận tốc của máy qua vùng cộng h−ởng phải khẩn tr−ơng cho v−ợt qua đủ nhanh. Thí dụ 1-4: Động cơ điện đặt trên sàn m đ−ợc đỡ bởi lò xo xoắn, trọng l−ợng tổng cộng của sàn và động cơ bằng 327N. Lò xo có tính chất là: Chiều cao của nó ngắn đi 1 cm khi chịu l−c 300N. Ng−ời ta gắn vào trục động cơ một tải trọng m1 nặng 2N cách đ−ờng tim trục một khoảng r = 1,3cm. Vận tốc góc của động cơ p = 30 rad/s. Hãy viết ph−ơng trình dao động của sàn, giả thiết tại thời điểm đầu nó nằm yên; lấy g = 981 cm/s2 (Hình 1-6a). Bài giải: Sàn và động cơ chuyển động theo ph−ơng thẳng đứng. Gọi x là toạ độ khối tâm của sàn và động cơ tính từ vị trí cân bằng ổn định. Các lực tác dụng lên hệ dao động gồm: Lực đàn hồi của lò xo F = Cx; lực kích động 2 do lực quán tính ly tâm của khối l−ợng lệch tâm m1 gây ra theo ph−ơng Ox: Fx=m1rp cospt. •• Đặt lực quán tính lên khối l−ợng dao động Fqt = − m x (Hình 1-6b). r O O x m m 1 m r m1 pt 2 ϕ = m rp F 1 C x x a) b) Hình 1-6 25
  27. Theo nguyên lý Đa-lăm-be, ta có: •• 2 m x+ Cx = m1 rp cos pt •• m rp 2 C ⇒x + k2 x = 1 cos pt; k 2 = m m NTQ của p−ơng trình tìm ở dạng: x = C1sinkt+ C2coskt + Bcospt • => x = C1kcoskt - C2ksinkt - Bpsinpt. • Điều kiện đầu của bài toán: t = 0 thì x(0) = 0; x.()0= 0 m r2 p 2 Ta suy ra: C +B = 0; C = 0; B = 1 2 1 C− mp 2 Do đó ph−ơng trình dao động của sàn m là: m rp 2 x = 1 (cospt− cos kt) c− mp 2 C 300/ 1 Vì k 2 = = ≅ 302 rad / s2 ⇒ k = 30 rad / s= p m 327/ 981 Trong tr−ờng hợp này hệ có cộng h−ởng. Vì vậy nghiệm của bài toán viết ở dạng: 2m rp(cospt− cos kt) + m p2 rtsin pt limx= lim 1 1 p→ k p→ k 2mp Hay lim x = 0,12t.sinpt = 0,12t.sin30t (cm). p→ k 1.2.2. Tính toán dao động c−ỡng bức có cản (n ≠ 0). Xét lực cản (nhớt) phụ thuộc bậc nhất với vận tốc, lực kích động ngoài biến đổi theo quy luật điều hoà Q(t) = P0sinpt. Ph−ơng trình (1-25) trở thành: •• • 2 q+2 nq + k q = P0 sin pt. (1-41) Với lực cản nhỏ (n < k), NTQ của (1-41) có dạng: −nt 2 2 q= A e sin(k1 t+ β ) + q; k1 = k − n (1-42) Ta tìm nghiệm q d−ới dạng: q= Bsin(pt − ε ) (1-43) Chọn B, ε sao cho q thỏa mãn đồng nhất ph−ơng trình (1-42). 2 2 ⎧B(k− p ) = P0 cos ε Từ đó ta nhận đ−ợc: ⎨ (1-44) ⎩2Bnp= P0 sin ε 26
  28. P0 2np Giải hệ (1-44), ta có: B = ; tgε = 2 2 (1-45) (k2− p 2 ) 2 + 4 n 2 p 2 k− p Tích phân tổng quát ph−ơng trình (1-41) viết ở dạng: −nt P0 q= A e sin(k1 t+ β ) + sin(pt− ε ) (1-46) (k2− p 2 ) 2 + 4 n 2 p 2 Các hằng số A, β đ−ợc xác định từ điều kiện ban đầu. Từ (1-46) ta cũng có một số nhận xét sau: 1) . Số hạng đầu của (1-46) ứng với dao động tự do có cản. Thực tế nó tắt dần theo thời gian. Sau một khoảng thời gian nào đó có thể bỏ qua và xem hệ chỉ thực hiện dao động c−ỡng bức thuần tuý: P q = 0 sin(pt− ε ) (1-47) (k2− p 2 ) 2 + 4 n 2 p 2 Ph−ơng trình (1-47) xác định chế độ dao động bình ổn của hệ. 2) . Dao động c−ỡng bức kể cả khi có cản vẫn xảy ra với tần số lực kích động p. Biên độ của nó không phụ thuộc vào thời gian và không tắt dần vì lực cản. Khi xảy ra cộng h−ởng (p = k) biên độ này vẫn hữu hạn và không phải là giá trị lớn nhất trong các giá trị của biên độ. Ta tìm p để biên độ: P B = 0 đạt cực đại. (k2− p 2 ) 2 + 4n 2 p 2 ∂B Từ điều kiện = 0 , ta suy ra: p2 = k2 - 2n2 ∂p 2 2 2 Vậy B = Bmax khi p = k - 2n . Biên độ dao động c−ỡng bức đạt cực đại khi p nhỏ hơn k một chút (tr−ớc cộng h−ởng). 3) . Trong dao động c−ỡng bức của hệ có cản luôn xảy ra độ lệch pha giữa pha dao động với pha của lực kích động. Độ lệch pha ε xác định bằng công thức: 2np tgε = k2− p 2 π Độ lệch pha ε có giá trị cực đại khi cộng h−ởng (p = k) và bằng . 2 4) . Gọi độ lệch tĩnh của hệ là B0 (bằng tỷ số biên độ lực kích động với hệ số cứng của P0 hệ; ở đây B0 = ). Ta lập tỷ số giữa biên độ B và B0, ký hiệu là η . Hệ số η đ−ợc gọi là hệ k 2 số động lực và bằng: B 1 η = = (1-48) B 2 0 ⎛ p 2 ⎞ n2 p 2 ⎜1 − ⎟ + 4 ⎜ 2 ⎟ 4 ⎝ k ⎠ k 27
  29. 1 Khi không có cản (n = 0 ) hệ số động lực bằng: η = (1-49) p 2 1− k 2 η 2n/p=0 0,1 0,15 4 0,2 0,1 0,3 2n/p=0 3 0,4 η 0,5 2 2 1 1 p/k p/k 0 0,5 1,0 1,5 2,0 0 0,5 1,0 1,5 2,0 a) b) Hình 1-7 Trên hình vẽ (Hình 1-7a) ta có các đ−ờng cong cộng h−ởng. Những đ−ờng này biểu diễn quá trình biến đổi của giá trị tuyệt đối của hệ số động lực η phụ thuộc vào tần số của lực kích động với một vài giá trị của hệ số cản. Từ đồ thị rõ ràng là: Các lực cản (nhớt) có tác dụng rõ rệt trong vùng gần cộng h−ởng, ở các vùng này thì có thể lấy η= ηmax (Hình 1-7b). Do đó, mặc dù biên độ dao động c−ỡng bức khi có cản là hữu hạn; nh−ng các chi tiết của máy vẫn làm việc trong tr−ờng hợp này thì luôn xảy ra nguy cơ phá huỷ do ứng suất mỏi. Vì vậy, khi thiết kế cần chọn mối liên hệ các kích th−ớc và độ bền sao cho chế độ bình th−ờng nằm xa chế độ cộng h−ởng. Thí dụ 1-5: Để ghi các quá trình dao động khi có tác động ngẫu nhiên khác nhau (xô đập, va chạm) ng−ời ta th−ờng dùng C các chấn đồ tần số thấp có lắp thêm bộ giảm chấn (dạng m giảm chấn ma sát nhớt). Sơ đồ nguyên tắc của chấn đồ này đ−ợc mô tả trên hình vẽ (Hình 1-8). ở đây chuyển động của khối l−ợng m treo bằng lò xo với độ cứng C α đ−ợc hãm lại bằng lực cản tỉ lệ với vận tốc chuyển động • t−ơng đối của tải trọng, tức là bằng α y trong đó y là độ y1 lệch của khối l−ợng m đối với nền. Tìm giá trị độ lệch mà máy ghi lại nh− hàm của thời gian t, nếu nền chuyển Hình 1-8 động theo quy luật: y1= y 0 (sin ω t + 2sin10ω t) C α Khi giải bài toán lấy: k 2 = =0, 01 ω2 ; n = =0, 02 ω m 2m 28
  30. Bài giải: Chuyển động lên xuống của tải trọng m, nhờ ngòi bút gắn vào nó sẽ ghi những dao động của máy lên bảng chia độ (Hình 1-8). Chuyển động thẳng đứng y của tải trọng m là chuyển động t−ơng đối đối với khung chấn đồ gắn với bảng chia độ. Do móng và chấn đồ thực hiện chuyển động theo quy luật cho tr−ớc: y1= y 0 (sin ω t+ 2sin10ω t) Nên lực quán tính kéo theo tải của trọng m trong chuyển động này bằng: •• 2 −m y1 = my0 ω (sin ω t + 200sin10ω t) Ph−ơng trình vi phân mô tả dao động t−ơng đối của tải trọng m có dạng: •• • 2 2 y+ 2n y + k y = y0 ω (sin ω t + 200sin10ω t) α C Trong đó: y là dịch chuyển của khối l−ợng m đối với nền; 2n = ; k 2 = m m Nếu bỏ qua dao động tự do, nghiệm của ph−ơng trình trên trong trạng thái chuyển động bình ổn của tải trọng m là: 2 2 y 0ω 200y 0ω y = sin(ω t − α1 ) + sin(100ω t − α 2 ) (k2− ω 2 ) 2 +4 n 2 ω 2 (k2 −100 ω2 ) 2 +400 n 2 ω 2 2nω 20nω ở đây: tgα = ; tgα = 1 ω2 − k 2 2 100ω2− k 2 Thay: k2 =0, 01 ω2 ; n = 0 , 02 ω ta nhận đ−ợc dịch chuyển t−ơng đối của khối l−ợng m do máy ghi ra: y 0 y =sin( ω t − α1 ) + 2 y0 sin( 10ω t − α 2 ) 5 Thí dụ 1-6: Để đầm bê tông ở chân móng các công trình ng−ời ta th−ờng dùng một thiết bị đặc biệt: Đó là chấn tử lệch tâm gồm một đế nặng khối l−ợng m, trên đó đặt hai đĩa quay khối l−ợng mỗi đĩa bằng m1 . Các đĩa quay trong mặt phẳng thẳng đứng theo chiều ng−ợc nhau với vận tốc góc ω. Trên mỗi đĩa ng−ời ta gắn một tải trọng m0 cách trục quay một khoảng là e (Hình 1-9a). Sau một thời gian đầm, ta có thể mô tả các tính chất của móng bê tông một cách gần đúng bởi mô hình l−u biến nh− hình vẽ (Hình 1-9b). Hãy thiết lập ph−ơng trình dao động bình ổn của vỏ chấn tử. Tính biên độ dao động. Biết rằng trong quá trình làm việc vỏ chấn tử không bao giờ tách rời khỏi khối l−ợng đang đầm. Bài giải: Gọi x là toạ độ trọng tâm của vỏ chấn tử tính từ vị trí cân bằng tĩnh, áp dụng nguyên lý Đa-lăm-be. Lực ly tâm do các đĩa gắn khối l−ợng lệch tâm chuyển động ng−ợc nhau tác dụng theo ph−ơng chuyển động của vỏ chấn tử (theo ph−ơng x thẳng đứng) sẽ bằng: 29
  31. P(t)= 2m ω2 esin ω t 0 P(t) M e ϕ = ωt x m0 α C m1 ω ω m Hình 1-9 Mô hình tính hệ dao động đ−ợc mô tả trên hình 1-9. Ph−ơng trình vi phân chuyển động của vỏ chấn tử có dạng: •• • M x+ α x + Cx = P(t) ở đây: M= m+ 2 (m0+ m 1 ) , hay có thể viết: •• • 2mω2 e x+ 2n x + k2 x = 0 sinω t m+ 2(m0 + m 1 ) α α C C Trong đó: n = = , k 2 = = 2M 2 [m+ 2 (m0 + m 1 )] M m+2 (m0 + m 1 ) Nếu gọi A0 là độ lệch tĩnh của hệ do biên độ lực kích động tác dụng tĩnh lên hệ gây ra: 2mω2 e 2mω2 e A = 0 = 0 0 2 C k [m+ 2(m0 + m 1 )] Ta có biên độ dao động c−ỡng bức của vỏ chấn tử bằng: A A = 0 2 2 ⎛ ω2 ⎞ ⎛ 2nω ⎞ ⎜1− ⎟ + ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ k ⎠ ⎝ k ⎠ 1.2.3. Đệm đàn hồi của máy. Ta xét một mô hình áp dụng kỹ thuật của lý thuyết dao động c−ỡng bức. 1.2.3a. Các máy quay có bộ phận không cân bằng sẽ truyền các lực kích động có chu kỳ lên nền (móng) của nó, gây lên sự rung và tiếng ồn không mong muốn. Để giảm hiện t−ợng này th−ờng áp dụng đệm đàn hồi. Giả thiết máy có trọng l−ợng Q (Hình 1-10) và ký hiệu P là lực ly tâm xuất hiện do phần quay không cân bằng với vận tốc góc ω(rad / s) . Nh− đã chỉ trên hình vẽ (Hình 1-10a). Các lực kích động thẳng đứng, nằm ngang t−ơng ứng là: Psinω t và P cosω t . Nếu máy đ−ợc bắt chặt với nền cứng thì lực kích động sẽ truyền hoàn toàn xuống nền. Để giảm lực kích động lên nền (móng) ta đ−a vào đệm đàn hồi nh− hình vẽ (Hình 1-10b), ở đó ta hạn chế chuyển động ngang của máy bởi các liên kết. Khi này ta nhận đ−ợc dao động 30
  32. c−ỡng bức của vật Q đặt trên lò xo theo ph−ơng thẳng đứng với lực kích động P0 sinω t . Nếu chú ý đến biểu thức (1-39) ta có biên độ dao động c−ỡng bức khi này bằng: P P A = = η (1-50) ⎛ ω2 ⎞ C C⎜ 1 − ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ k ⎠ Q Q ωt ωt P P C a) b) Hình 1-10 ở đây: C là hệ số cứng, k là tần số riêng của hệ, η là hệ số động lực đ−ợc xác định theo (1-49 ). Khi ω > k 2 , hệ số η nhỏ hơn đơn vị và hiệu ứng động lực bị giảm yếu. Nh− vậy, để làm giảm lực kích động truyền vào nền (móng) máy cần đặt trên các lò xo mềm sao cho tần số riêng của hệ dao động nhỏ so với số vòng quay trong một đơn vị thời gian của máy. 1.2.3b. Trong phần trên ta mô tả đệm đàn hồi của máy P(t) với giả thiết không tồn tại lực cản. Điều này chỉ gần đúng trong tr−ờng hợp đối với các lò xo xoắn bằng thép. Nếu sử dụng các nhíp lá hoặc bản bằng cao su thì lực cản là đáng kể và không thể bỏ qua. Khi đó đệm đàn hồi máy quy đổi thành mô hình tính gồm lò xo độ cứng C và giảm chấn có hệ số cản b (hình 1-11). ứng lực động lực truyền cho nền biểu thị bằng: b Ci • R =Cq + bq (1-51) Thay (1-47) vào (1-51), ta tìm đ−ợc: Hình 1-11 2 2 RMax = B C + (b ω ) P 4n 2ω 2 1+ C k 2 Hay: R max = 2 ⎛ ω2 ⎞ 4n 2ω 2 ⎜1− ⎟ + ⎜ 2 ⎟ 4 ⎝ k ⎠ k P 4n 2ω 2 P Khi chú ý tới (1-48) ta có: R = η1 + = η* (1-52) max C k 2 C 31
  33. 4n 2ω 2 Trong đó: η* = η1 + , η* th−ờng * k 2 η gọi là hệ số động lực gia tăng. Sự phụ thuộc hệ 3 ω 2n n/p=0,1 số này với trong các giá trị khác nhau chỉ 0,2 k k 0,3 ra trên hình vẽ (Hình 1-12). 2 0,4 Tất cả các đ−ờng cong đi qua một điểm 0,5 có hoành độ 2 và tung độ bằng 1. Trong 1 0,5 ω 0,4 miền 2 với sự tăng 0 1 2 2 3 k của lực cản, hệ số truyền lực tăng. Vì vậy, trong Hình 1-12 các tr−ờng hợp: Khi chế độ làm việc nằm ở vùng sau cộng h−ởng lực truyền cho nền (móng) tăng do hệ quả của giảm chấn. ý nghĩa vật lý của hiện t−ợng này là ở chỗ: Các dao động truyền cho nền móng thực hiện bằng hai lực: Theo “con đ−ờng đàn hồi” và “con đ−ờng nhớt”. Khi lực kích động có tần số cao xảy ra vận tốc lớn và t−ơng ứng với lực cản nhớt tăng lên. 1.2.4. áp dụng phép biến đổi Laplace tính toán dao động c−ỡng bức 1.2.4a. định nghĩa phép biến đổi Laplace. Giải sử: f(t) là hàm liên tục từng khúc trên khoảng [0; +∞ ). Phép biến đổi Laplace là một phép biến đổi tích phân biến đổi hàm gốc f(t) của biến số thực thành hàm ảnh F(s) của biến số phức nhờ hệ thức: ∞ F(s)= L[f (t)] = ∫ e−st f (t)dt (1-53) 0 Trong đó ký hiệu: L gọi là toán tử Laplace. Phép biến đổi Laplace ng−ợc, ký hiệu theo toán tử L–1 sẽ đ−ợc xác định bởi hệ thức: f (t)= L−1 [F(s)] (1-54) Toán tử L và toán tử L-1 có tính chất: L−1{} L[] f (t)= f (t) (1-55) Trong bảng d−ới đây (bảng 3) ta giới thiệu một số hàm f(t) thông dụng và hàm ảnh F(s) của nó qua phép biến đổi Laplace. Thí dụ 1-7: Tìm các hàm ảnh của các hàm gốc f(t) =1, f(t) = e at bằng phép biến đổi Laplace. Bài giải: áp dụng công thức định nghĩa (1-53) ta lần l−ợt có: 32
  34. ∞ ∞ ∞ e −st 1 L[1 ]= ∫ e−st f(t)dt= ∫ e−st 1 dt = − = = F(s) 0 0 s0 s ∞ ∞ −1 ∞ 1 L[eat ]= ∫ e−st eat dt= ∫ e−(s − a)t dt = e −t(s − a) = ; (s> 0) 0 0 s− a 0 s− a 1.2.4b. Các tính chất của phép biến đổi Laplace Ta nêu một số tính chất cơ bản (không chứng minh) của phép biến đổi Laplace. a) . Định lý cộng tác dụng: Nếu L[f1(t)] = F1(s); L[f2(t)] = F2(s) thì: L[C1f1(t)+C2f2(t)] = C1F1(s)+C2F2(s) (1-56) ⎡ n ⎤ n Từ đó: L⎢∑ Ci f i (t)⎥ = ∑ Ci F i (s); Ci là các hằng số. ⎣ i=1 ⎦ i=1 b) . Định lý vi phân: Nếu L[y(t)]= Y(s) thì: • (n) n n-1 n-2 n-2 (n-2) (n-1) L[y (t)]=s Y(s) – s y0 – s y 0 – – s y0 – y0 (1-57) (k) (k) (k) (k) Trong đó: y(t) là đạo hàm bậc k của hàm y(t) theo t: y0 = y (0) = lim y (t) t→ 0+ t c) . Định lý đồng dạng: Nếu L[f(t)]=F(s) thì: L[f( )]= aF(as) (1-58) a d) . Định lý cản: Nếu L[f(t)]=F(s) thì: L [e-atf(t)]=F(s+a) (1-59) e) . Định lý trễ: Nếu L[f(t)]= F(s) thì: L[f(t-a)] =e-as F(s) (1-60) Một số công thức cơ bản của phép biến đổi Laplace đ−ợc trình bày trong Bảng 3. ơ Bảng 3 - Hàm f(t) và hàm ảnh F(s) qua phép biến đổi Laplace. ∞ STT f(t) F(s) = ∫ e−st f (t)dt Ghi chú 0 1 1 1/s 2 t 1/s2 1/(s+α) e−αt 3 n! n nguyên n−α t t e (s+ α ) n+ 1 1 1 4 (1− e−αt ) α s(s+ α ) 33
  35. e−α1t − e −α2t 1 5 α2 − α 1 (s+ α1 )(s + α 2 ) 1 1 6 (e−αt + α t −1 ) α 2 s2 (s+ α ) ω 7 sinωt s2+ ω 2 s 8 cos ωt s 2+ ω 2 ω 9 e−αt sinω t (s+ α )2 + ω 2 s + α 10 e−αt cosω t (s+ α )2 + ω 2 2ωs 11 tsinωt (s2+ ω 2 ) 2 s 2− ω 2 12 tcosωt (s2+ ω 2 ) 2 2ω2 13 sin2ωt s(s2+4 ω 2 ) s2+2 ω 2 14 cos2ωt s(s2+4 ω 2 ) β 15 shβt s 2− β 2 s 16 chβt s 2− β 2 2β s 17 tshβt (s2− β 2 ) 2 s 2+ β 2 18 tchβt (s2− β 2 ) 2 1.2.4c. áp dụng phép biến đổi Laplace tính dao động c−ỡng bức. Cho ph−ơng trình vi phân mô tả dao động c−ỡng bức ở dạng. •• • 1 q+2 n q + k2 q = f(t) (1-61) m Tìm nghiệm của ph−ơng trình (1-61) ứng với các điều kiện ban đầu t = 0: q(0) = q0, •• q(0)= q 0 . 34
  36. Để giải (1-61) bằng phép biến đổi Laplace, tr−ớc hết ta lập ph−ơng trình ảnh của ph−ơng trình (1-61), ta có: ⎡•• • ⎤ 1 L q+2 n q + k2 q = L[f(t)] ⎣⎢ ⎦⎥ m •• • 1 ⇒L[q] +2 nL[q] + k2 L[q] = L[f(t)] m • 1 ⇒[s2 Q(s) + sq − q ] + 2n[sQ(s)− q ] + k2 Q(s) = F(s) 0 0 0 m • F(s) ⇒(s2 + 2ns + k2 )Q(s) = sq + 2nq + q + (1-62) 0 0 0 m • 2 2 Đặt: D(s)= s +2ns +k ; N0 (s)= sq0 + 2nq0 + q 0 (1-63) Nghiệm của ph−ơng trình ảnh có dạng: N (s) F(s) Q(s) =0 + (1-64) D(s) mD(s) N (s) Dạng nghiệm (1-64) là tổng hai số hạng: Số hạng đầu 0 phụ thuộc vào các điều D(s) kiện ban đầu và t−ơng ứng với nghiệm của ph−ơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất; số F(s) hạng thứ hai phụ thuộc vào hàm lực kích động f(t) và t−ơng ứng với NR của ph−ơng mD(s) trình vi phân có vế phải. Nghiệm của ph−ơng trình vi phân gốc (1-61) sẽ có dạng: −1 −1 ⎡ N0 (s)⎤ −1 ⎡ F(s) ⎤ q(t)= L [Q(s)]= L ⎢ ⎥ + L ⎢ ⎥ (1-65) ⎣ D(s) ⎦ ⎣mD(s)⎦ Thí dụ 1-8: Trên hệ dao động tuyến tính có cản (Hình 1-13) tác dụng lực f(t) nh− sau: f(t) f(t) m P 0 C b ωt O π/2 π Hình 1-13 35
  37. ⎧ ⎪ 0 khi t ⎩⎪ ω Xác định dao động của hệ khi t > 0, biết rằng t ≤ 0 hệ đứng yên. Bài giải: Ph−ơng trình vi phân biểu thị dao động c−ỡng bức của hệ có dạng: •• • 1 q+2 n q + k2 q = f(t) . m b C ở đây ký hiệu: 2n = , k2 = m m • Từ điều kiện ban đầu t = 0: q(0) = 0 ; q()0= 0 . Do đó theo (1-63): N0(s)=0. Trong π miền 0 ≤t ≤ nghiệm của ph−ơng trình ảnh khi áp dụng công thức (1-64) có dạng: ω F(s) Q(s) = mD(s) P ω Trong đó: F(s)= L[f (t)] = P L[sin ω t] = 0 ; D(s)= s2 + 2ns + k 2 0 s 2+ ω 2 Đến đây nói chung có thể dùng bảng để tìm ảnh ng−ợc và khi đó có nghiệm q(t). ở đây ta dùng cách phân tích các phân thức vế phải để có nghiệm của bài toán. Giả sử trong tr−ờng hợp tổng quát hàm F(s) là phân thức dạng: N(s) )F(s) = 6 6 - 1 ( M(s) Khi đó nghiệm của ph−ơng trình ảnh là: N (s) N(s) N (s) N(s) Q(s) =0 + = 0 + (1-67) D(s) mM(s)D(s) D(s) mD(s) Với D(s) =M(s)D(s). Nếu D(s) và D(s) là những đa thức có nghiệm đơn. Ta gọi sk là nghiệm củ a D (s)=0 và s j là nghiệm của D(s) =0, khi đó có thể phân tích các phân thức N (s) N(s) 0 và thành các phân thức tối giản: D(s) D(s) N (s) N (s ) 1 N(s) N(sj ) 1 0 = 0 k ⋅ ; = ⋅ (1-68) ∑ ′ ∑ D(s) k= 1 D (sk ) s− s k mD(s) j= 1 mD′ (sj ) s− s j 36
  38. ở đây D′ (s) và D′ (s) là đạo hàm của D(s) và D(s) theo biến s. Vậy, nghiệm ph−ơng trình ảnh bây giờ có dạng: N (s ) 1 N(s j ) 1 Q(s) = 0 k ⋅ + ⋅ (1-69) ∑ ′ ∑ k= 1 D (sk ) s− s k j= 1 mD′ (sj ) s− s j áp dụng bảng, ta tìm đ−ợc nghiệm ph−ơng trình gốc: N (s ) N(sj ) q(t) = 0 k esk t + esj t (1-70) ∑ ′ ∑ k= 1 D (sk ) j= 1 mD′ (sj ) Trở lại bài toán đang xét, chú ý tới (1-66) ta có: 2 2 N(s)= P0 ω ; M(s) = s + ω Từ đó: D(s)= M(s)D(s)= (s2 + ω 2 )(s 2 +2 ns + k 2 ) 2 2 Ph−ơng trình D(s)= 0 có bốn nghiệm: s1, 2 = ± i ω ; s3, 4 = − (n ± i k − n ) s t P ω 4 e j Ta có biểu thức nghiệm q(t) theo (1-70) có dạng sau: q(t) = 0 ∑ m j= 1 D′ (s j ) thay sj (j= 1 , 4 ) vào, sau khi biến đổi, ta nhận đ−ợc: P ⎡−(1 − λ2 )sin ω t − 2D λ cos ω t q(t) = 0 ⎢ 2 2 2 2 C ⎣ (1− λ ) + 4D λ 1 − 2Dλ cos ω t − (1 − λ2 − 2D 2 )(1 − D2 )2 λ sin ω t ⎤ + 1 1 e −nt 2 2 2 2 2 ⎥ (1− λ − 2D) + 4D(1D) − ⎦ n ω Với: ω =k2 − n 2 ; D =; λ = 1 k k Trong miền t > π⁄ω hệ thực hiện dao động tự do có cản ứng với điều kiện đầu: • • q(t0 )= q( π / ω ); q(t0 ) = q( π / ω ) . Trong miền này ta có: • N0 (s)= sq( π / ω ) + 2nq( π / ω ) + q( π / ω ); N(s) = 0 Biểu thức nghiệm có dạng: ⎛ π ⎞ −n⎜ t − ⎟ e ⎝ ω ⎠ ⎧ ⎡ ⎛ π ⎞ ⎤ 1 • ⎛ π ⎞⎪⎫ q(t) = ⎨q()π /ω cos⎢ ω1 ⎜ t − ⎟ − α⎥ +q() π / ω sin ω1 ⎜ t − ⎟⎬ 1− D 2 ⎩ ⎣ ⎝ ω⎠ ⎦ k ⎝ ω ⎠⎭⎪ n Với tgα = . ω1 37
  39. Ch−ơng II Dao động tuyến tính của hệ nhiều bậc tự do Đ.2.1. Ph−ơng pháp chung thiết lập ph−ơng trình vi phân chuyển động 2.1.1. Hệ nhiều bậc tự do. Thực tế các hệ cần tính toán dao động phần lớn là các hệ đàn hồi phức tạp, nh−: dầm, thanh có tiết diện không đổi hoặc thay đổi, các trục thẳng có gắn các đĩa, các trục khuỷu của động cơ đốt trong, các cánh và đĩa tuốc bin v.v Để xác định đầy đủ biến dạng của hệ sinh ra do dao động, ta cần biết dịch chuyển của tất cả các điểm của nó, những hệ đàn hồi nh− thế có vô số bậc tự do. Tuy nhiên, trong nhiều tr−ờng hợp việc nghiên cứu dao động ở các hệ phức tạp vô số bậc tự do gặp nhiều khó khăn về toán học. Việc tính toán thực tế kỹ thuật phải đ−a vào các sơ đồ đơn giản để tính toán hệ dao động. Có nhiều cách đơn giản hoá khác nhau, một trong các cách đ−ợc sử dụng rộng rãi là: Thay hệ phức tạp bằng một hệ khác đơn giản hơn với khối l−ợng và độ cứng phân bố khác đi, nh−ng gần hệ đã cho ở chỗ: Giá trị tính toán không khác mấy giá trị thực. Hệ này đ−ợc gọi là hệ thu gọn (hay hệ t−ơng đ−ơng). Ph−ơng pháp này cho phép ta thay các hệ vô số bậc tự do bằng hệ hữu hạn bậc tự do t−ơng đ−ơng. Ta minh hoạ ý t−ởng trình bày trên bằng ví dụ đơn giản sau đây: Tải A trọng m đ−ợc treo vào điểm A cố định bằng lò xo AB (Hình 2-1). Nếu kể đến sự phân bố khối l−ợng của lò xo thì hệ sẽ có vô số bậc tự do. Nh−ng nếu khối B l−ợng của tải trọng m v−ợt xa khối l−ợng của lò xo và yêu cầu chỉ xác định tần q số dao động nhỏ nhất, ta có thể bỏ qua khối l−ợng lò xo và chỉ tính đến tính m đàn hồi của nó. Mặt khác chỉ xét đến dịch chuyển thẳng đứng của tải trọng m thì ta hoàn toàn có thể xem hệ có một bậc tự do, vị trí của hệ dao động đ−ợc Hình 2-1 xác định duy nhất bởi toạ độ suy rộng q. 2.1.2. Ph−ơng pháp chung thiết lập ph−ơng trình vi phân chuyển động. Việc lựa chọn ph−ơng pháp thiết lập ph−ơng trình vi phân dao động của hệ nhiều bậc tự do phụ thuộc vào mô hình cơ học của hệ. Đối với các cơ hệ gồm các chất điểm, các vật rắn, các lò xo bỏ qua khối l−ợng, các bệ giảm chấn ma sát, ng−ời ta th−ờng dùng ph−ơng trình Lagrăng loại II để thiết lập ph−ơng trình dao động. Đối với các kết cấu đàn hồi, nh− dao động uốn của dầm có khối l−ợng tập trung, , ng−ời ta th−ờng dùng ph−ơng pháp lực, Trong phần trình bày này, ta nêu cách áp dụng ph−ơng trình Lagrăng loại II để thiết lập ph−ơng trình vi phân dao động của hệ nhiều bậc tự do. Xét hệ N chất điểm, có n bậc tự do, chịu tác dụng của các lực có thế, các lực cản phụ thuộc bậc nhất vào vận tốc và các lực kích động là hàm bất kỳ của thời gian Pi(t) (i =1 n, ). 38
  40. π φ P Gọi q1, q2, qn (qi, i =1,n ) là các toạ độ suy rộng của hệ: Qi Q, ,i Qi là các lực suy rộng của các lực có thế, các lực cản và các lực kích động Pi(t), ph−ơng trình Lagrăng II viết cho hệ có dạng: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T − =QQQπ + φ + Pi ; i =1,n (2-1) ⎜ • ⎟ i i i dt ⎜ ⎟ ∂q i ⎝ ∂ q i ⎠ π ∂π φ ∂φ Pi ở đây: Q i = − ;Q i = − • ; Qi = Qi (t) ; i =1,n ∂q i ∂ q i Xét với dao động nhỏ, ta có: 1 n n •• T = ∑ ∑ aij qi q j (aij= a ji ) 2 i=1j = 1 1 n n π = ∑ ∑ cij q i q j (cij= c ji ) 2 i=1j = 1 1 n n •• φ = ∑ ∑ bij q i q j (bij= b ji ) 2 i=1j = 1 Các hệ số aij, cij, bij thoả mãn điều kiện xin-véc-trơ và là các hằng số. Thay các biểu thức trên vào ph−ơng trình Lagrăng II, ta nhận đ−ợc ph−ơng trình vi phân dao động của hệ: n •• n • n ∑aij qj ∑ bij qj + ∑ cij q j = Qi (t); i =1 , n (2-2) j=1 j=1 j=1 Viết cụ thể hệ (2-2) ta có: ⎧ •• •• •• • • • +++ ++ ++ ++++= ⎪a11 q1 a12 q2 a1n qn b11 q1 b12 q2 b1n qn c11 q 1 c 12 q 2 c1n q n Q1 (t) ⎪ •• •• •• • • • ⎪a q+++ a q a q ++ b q b q ++ b q ++++ c q c q c q = Q (t) ⎨ 21 1 12 2 2n n 21 1 22 2 2n n 21 1 22 2 2n n 2 ⎪ ⎪ •• •• •• • • • ⎪ ⎩an1 q1 + an2 q2 ++ ann qn ++ bn1 q1 bn2 q2 ++ bnn qn ++++= cn1 q 1 cn 2 q 2 cnn q n Q n (t) (2-2a) Hệ (2-2a) có thể viết d−ới dạng ma trận: •• • a11 a12 a1n q1 b11 b12 b1n q1 c11 c12 c1n q1 Q1 •• • a a a q b b b q c c c q Q 21 22 2n 2 + 21 22 2n 2 + 21 22 2n 2 = 2 (2-2b) •• • an1 an2 ann q n bn1 bn2 bnn q1 cn1 cn2 cnn q1 Qn 39
  41. Hoặc cho gọn ta biểu diễn nó d−ới dạng véctơ: •• • A q+ B q + C q = Q (t) (2-2c) 2.1.3. Những nguyên tắc giải ph−ơng trình dao động của hệ. Nếu những lực kích động ngoài thay đổi theo quy luật điều hoà hình sin có cùng tần số và pha thì đơn giản hơn cả là sử dụng ph−ơng pháp trực tiếp, nghĩa là tìm chuyển động ở dạng: qi = Aisin kt. Ph−ơng pháp này có thể áp dụng cho các bài toán phức tạp hơn, khi các lực kích động thay đổi theo chu kỳ. Trong tr−ờng hợp này, cần phân tr−ớc các lực kích động ra các thành phần điều hoà. Ph−ơng pháp tổng quát hơn là phân nghiệm theo các dạng riêng của dao động. Điều chủ yếu của ph−ơng pháp này là ở chỗ: Nhờ nó mà ta nhận đ−ợc nghiệm của bài toán với bất kỳ lực kích động đã cho. Ta trình bày một tr−ờng hợp tìm nghiệm của ph−ơng trình bằng ph−ơng pháp trực tiếp. Xét dao động tự do của hệ thanh bảo toàn (không cản), khi đó phần vế phải của ph−ơng trình (2-2a) bằng không: Qi =0 (i = 1 , n) và các hệ số bij =0 (i, j = 1 , n) . Ph−ơng trình vi phân dao động của hệ đ−ợc mô tả bằng hệ n ph−ơng trình vi phân th−ờng tuyến tính thuần nhất: ⎧ •• •• •• + + + + + + + = 0 ⎪a11 q1 a12 q2 a1n qn c11 q 1 c 12 q 2 c1n q n ⎪ •• •• •• ⎪a q+ a q + + a q + c q + c q + + c q = 0 (2-3) ⎨ 21 1 22 2 2n n 21 1 22 2 2n n ⎪ ⎪ •• •• •• ⎪ ⎩an1 q1 + an2 q2 + + ann qn + cn1 q 1 + cn 2 q 2 + + cnn q n = 0 Các tích phân riêng của hệ tìm ở dạng: qi= A i cos(kt+ α ); i = 1, n (2-4) Thay (2-4) vào (2-3) ta nhận đ−ợc: ⎧ 2 2 2 ⎪(c11− a 11 k )A1+ (c 12 − a 12 k )A2 + + (c1n − a 1 n k )A n = 0 ⎪(c− a k2 )A+ (c − a k2 )A+ + (c − a k2 )A = 0 (2-5) ⎨ 21 21 1 22 22 2 2n 2 n n ⎪ ⎪ 2 2 2 ⎩(cn1− a n 1 k )A1 + (cn2 − a n 2 k )A2 + + (cnn − a nn k )A n = 0 Điều kiện cần và đủ tồn tại các nghiệm Ai (i=1 , n) không tầm th−ờng là: 2 2 2 c11− a 11 k c12− a 12 k c1n− a 1 n k c− a k2 c− a k2 c− a k 2 21 21 22 22 2n 2 n = 0 (2-6) 2 2 2 cn1− a n 1 k cn2− a n 2 k cnn− a nn k (2-6) gọi là ph−ơng trình tần số. Nó là ph−ơng trình bậc n đối với k2. Khi giải (2-6) ta 2 nhận đ−ợc n tần số riêng k . Giả sử ta đ−ợc các tần số riêng khác nhau: k1 < k2 < < kn, khi đó ta có: 40
  42. ⎧q1= A 11 cos(k1 t+ α 1 ) + A12 cos(k2 t+ α 2 ) + + A1n cos(kn t+ α n ) ⎪ ⎪q2= A 21 cos(k1 t+ α 1 ) + A22 cos(k2 t+ α 2 ) + + A2n cos(kn t+ α n ) ⎨ (2-7) ⎪ ⎪ ⎩qn= A n1 cos(k1 t+ α 1 ) + An2 cos(k2 t+ α 2 ) + + Ann cos(kn t+ α n ) Ta đ−a ra hệ số phân phối: A ij 2 μ ij = =fi (c rs − a rs k j ); i, j= 1 , n (2-8) A sj Trong đó với Aij thì chỉ số đầu (i) chỉ số tọa độ suy rộng; chỉ số thứ hai (j) chỉ tần số riêng. Khi sử dụng (2-8) ta viết nghiệm của (2-3) ở dạng: ⎧q1= A 1 cos(k1 t+ α 1 ) + A 2 cos(k2 t+ α 2 ) + + An cos(kn t+ α n ) ⎪ ⎪q2= A 1μ 21 cos(k1 t+ α 1 ) + A 2μ 22 cos(k2 t+ α 2 ) + + Anμ 2n cos(kn t+ α n ) ⎨ (2-9) ⎪ ⎪ ⎩qn= A 1μ n1 cos(k1 t+ α 1 ) + A 2μ n2 cos(k2 t+ α 2 ) + + Anμ nn cos(kn t+ α n ) Các hằng số Aj và α j (tất cả có 2n hằng số) đ−ợc xác định từ các điều kiện ban đầu: • q i0 và q i0 . Đ.2.2. Dao động tuyến tính của hệ có hai bậc tự do. 2.2.1. Dao động tự do không có cản. 2.2.1a. Ph−ơng trình vi phân chuyển động Xét hệ dao động có hai bậc tự do, chịu tác dụng của các lực có thế. Gọi toạ độ suy rộng xác định vị trí của cơ hệ là: q1, q2. Ph−ơng trình Lagrăng II trong tr−ờng hợp này có dạng: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T ∂π − = − ; i=1 , 2 (a) ⎜ • ⎟ dt ⎜ ⎟ ∂qi ∂ q i ⎝ ∂ q i ⎠ 1 ⎛ • 2 •• • 2 ⎞ Với dao động nhỏ: T=⎜ a q + 2 a q q+ a q ⎟ ⎜ 11 1 12 1 2 22 2 ⎟ 2 ⎝ ⎠ 1 π =(c q2 + 2 c q q+ c q2 ) (b) 2 11 1 12 1 2 22 2 Thay (b) vào (a) và rút gọn ta nhận đ−ợc ph−ơng trình vi phân chuyển động của hệ dao động: ⎧ •• •• ⎪a11 q1 + a12 q2 + c11 q 1 + c 12 q 2 = 0 (2-10) ⎨ •• •• ⎪ ⎩a12 q1 + a22 q2 + c12 q 1 + c 22 q 2 = 0 41
  43. 2.2.1b. Tích phân ph−ơng trình vi phân chuyển động, ph−ơng trình tần số. Hệ (2-10) là hệ ph−ơng trình vi phân tuyến tính cấp II thuần nhất hệ số không đổi. Theo (2-4) ta tìm nghiệm của nó d−ới dạng: q1= A 1 sin(kt+ α ); q2= A 2 sin(kt+ α ) (2-11) Trong đó: k là tần số vòng (riêng); A1, A2 là các biên độ; α là pha ban đầu. Các đại l−ợng này đ−ợc xác định trong quá trình tính toán. Thay (2-11) vào (2-10) ta nhận đ−ợc hệ hai ph−ơng trình đại số tuyến tính thuần nhất đối với các biên độ A1 và A2: 2 2 ⎧A(c1 11− ak) 11 + A(c2 12 − ak) 12 = 0 ⎨ 2 2 (2-12) ⎩A(c1 12− ak)A(c 12 +2 22 − ak) 22 = 0 Hệ (2-12) chứa ba ẩn số A1, A2 và k. Ta bổ xung ph−ơng trình thứ ba bằng cách sau: Nếu loại trừ nghiệm tầm th−ờng A1 = A2 = 0, để hệ (2-12) có hai nghiệm số đối với A1, A2 khác không thì định thức của hệ phải bằng không. Ta có: 2 2 c11− a 11 k c12− a 12 k 2 2 = 0 c12− a 12 k c22− a 22 k 2 2 2 2 Hay: (c11 – a11k )( c22 – a22k )( c12 – a12k ) = 0 (2-13) Ph−ơng trình (2-13) gọi là ph−ơng trình tần số. Rõ ràng là chỉ với các giá trị của k thoả mãn ph−ơng trình tần số thì các giá trị A1, A2 và do đó mới tồn tại các đại l−ợng q1, q2 khác không. Ph−ơng trình (2-13) là ph−ơng trình trùng ph−ơng, trong tr−ờng hợp tổng quát có hai giá trị đối với k2. Điều kiện cần và đủ để hai nghiệm số với k2 là thực và d−ơng là: Dạng toàn ph−ơng của động năng, thế năng của hệ xác định d−ơng, nghĩa là: 2 a11 > 0; a22 > 0; (a11a22 – a 12) > 0 2 c11 > 0; c22 > 0; (c11c22 – c 12) > 0 (c) 2 Với các giá trị trên của k thì q1, q2 là hàm biểu diễn sự phụ thuộc của hàm sin vào thời gian t. Nếu các giá trị của k2 không thoả mãn điều kiện trên thì chuyển động của hệ không dao động. Ta xét hai tr−ờng hợp: a). Tần số bằng nhau: k1 = k2 = k trong tr−ờng hợp này các ph−ơng trình trong hệ (2-10) độc lập nhau. Nghiệm của chúng biểu thị bằng: q1=A1sin(kt + α1); q2 =A2sin(kt + α2) (2-14) Các hệ số A1, A2, α 1, α2 đ−ợc xác định từ điều kiện ban đầu t = 0; q1(0) = q10, q2(0) = q20; • •• • q1 (0 )= q10 ; q 2 (0 )= q 20 . Vậy, khi tần số nh− nhau hệ thực hiện dao động điều hoà, các hàm q1, q2 thay đổi theo quy luật hình sin độc lập nhau. 42
  44. b). Tần số khác nhau: Giả sử k1 < k2, trong đó k1 gọi là tần số cơ bản. Các dao động ứng với các tần số k1, k2 gọi là các dao động chính của hệ. Ph−ơng trình dao động chính thứ nhất (dao động cơ bản) có dạng: ()1 ()1 q1 = A11 sin(k1 t+ α 1 ); q 2 = A21 sin(k1 t + α 1 ) (2-15) Ph−ơng trình dao động chính thứ hai có dạng: ()2 ()2 q1 = A12 sin(k2 t+ α 2 ); q 2 = A22 sin(k2 t + α 2 ) (2-16) Tích phân tổng quát của hệ (2-10) đ−ợc biểu thị bằng: (1) (2) ⎪⎧q1= q 1 + q1 = A11 sin(k1 t+ α 1 ) + A12 sin(k2 t+ α 2 ) (2-17) ⎨ (1) (2) ⎩⎪q2= q 2 + q2 = A21 sin(k1 t+ α 1 ) + A22 sin(k2 t+ α 2 ) Khi chú ý tới (2-8), trong tr−ờng hợp khảo sát ta có: ()1 2 2 q 2 A 21 c11− a 11 k 1 c12− a 12 k 1 ⎫ μ 21 = = = − = − ⎪ q ()1 A c− a k 2 c− a k 2 ⎪ 1 11 12 12 2 22 22 1 ⎬ (2-18) q ()2 A c− a k 2 c− a k 2 μ =2 =22 = − 11 11 2 = − 12 12 2 ⎪ 22 ()2 2 2 ⎪ q1 A12 c12− a 12 k 2 c22− a 22 k 2 ⎭ Nghiệm tổng quát của ph−ơng trình (2-10) khi tính đến hệ số phân phối có dạng: q1= A 1 sin(k 1 t+ α 1 ) + A 2 sin(k2 t+ α 2 ) ⎫ ⎬ (2-19) q2= A 1μ 21 sin(k1 t+ α 1 ) + A 2μ 22 sin(k2 t+ α 2 )⎭ Các hằng số A1, A2, α1, α 2 đ−ợc xác định từ điều kiện ban đầu t = 0: q1(0) = q10; • •• • q2(0) = q20; q1 (0 )= q10 ; q 2 (0 )= q 20 . Vậy, khi tần số khác nhau, dao động nhỏ tự do của hệ hai bậc tự do đ−ợc tạo thành từ tổng hai dao động điều hoà chính với tần số k1, k2. 2.2.1c. Các toạ độ chính. Để biểu thị đơn giản hệ ph−ơng trình vi phân (2-10) và nghiệm của nó (2-19) ng−ời ta đ−a vào khái niệm các toạ độ chính. Các toạ độ suy rộng θ1, θ 2 đ−ợc chọn đặc biệt sao cho biểu thức động năng T của hệ chỉ chứa tổng bình ph−ơng của các vận tốc suy rộng • θi (i = 1 , 2 ) còn biểu thức thế năng π của hệ chỉ chứa tổng bình ph−ơng của các toạ độ suy rộng θi(i = 1, 2) thì các toạ độ suy rộng θ1, θ 2 đ−ợc gọi là các toạ độ chính của hệ. Với các toạ độ chính, thì các ma trận khối l−ợngvà các ma trận độ cứng từ hệ ph−ơng trình vi phân dao động đều có dạng đ−ờng chéo. Theo định nghĩa trên, ta có: Động năng, thế năng của hệ biểu thị bằng: • 2 • 2 1 ⎛ ⎞ 1 2 2 T =⎜a θ1 + a θ2 ⎟ ;π = c θ + c θ (2-20) ⎜ 1 2 ⎟ (1 1 2 2 ) 2 ⎝ ⎠ 2 43
  45. ở đây: a1, a2 là các hệ số quán tính; c1, c2 là các hệ số tựa đàn hồi. Ph−ơng trình vi phân dao động tuyến tính của hệ hai bậc tự do có dạng: ⎧ •• ⎪ a1 θ1 + c1 θ 1 = 0 ⎨ •• (2-21) ⎩⎪a2 θ2 + c 2 θ 2 = 0 Biến số trong các ph−ơng trình này độc lập, nên có thể thực hiện tích phân từng ph−ơng trình. NTQ của (2-21) có dạng: θ1 = B1sin(k1t+β1); θ2 = B2sin(k2t+β2) (2-22) c1 c 2 Trong đó: k1 = , k 2 = là các tần số của các dao động chính (tần số riêng) a1 a 2 của hệ. Các hằng số B1, B2, β1, β 2 đ−ợc xác định từ các điều kiện ban đầu đã biết. Vậy, khi viết theo toạ độ chính, ph−ơng trình vi phân dao động của hệ đ−a về hệ hai ph−ơng trình độc lập giống nh− trong tr−ờng hợp tần số bằng nhau. Thí dụ 2.1: Cho mô hình của hệ nh− hình vẽ (Hình 2-2). Hệ chuyển dịch không ma sát theo h−ớng ngang. Xác định chuyển động dao động của hệ, giả thiết rằng tại thời điểm ban đầu tải trọng m2 nhận đ−ợc vận tốc tức thời V0 h−ớng về bên phải. Tính tần số dao động chính và các hệ số phân phối trong tr−ờng hợp m1= m2 = m, C1= C2 = C. q1 q2 C1 C2 q m1 m2 Hình 2-2 Bài giải: Hệ có hai bậc tự do. Chọn q1, q2 là các toạ độ suy rộng xác định vị trí của hệ. Trong quá trình dao động, các lò xo chịu các lực đàn hồi là: F1 = C1q1, F2 = C2(q2 – q1). Thế năng và động năng của hệ bằng: C q2 C (q− q )2 1 • 2 1 • 2 π =1 1 + 2 2 1 ; T= m q + m q (1) 2 2 2 1 1 2 2 2 Thay các biểu thức trên vào ph−ơng trình Lagrăng II: 44
  46. ⎛ ⎞ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T ∂π − = − ; i= 1, 2 (2) ⎜ • ⎟ dt ⎜ ⎟ ∂qi ∂ q i ⎝ ∂ q i ⎠ ⎧ •• ⎪m1 q1 + C1 q 1 − C 2 (q 2 − q 1 ) = 0 Ta nhận đ−ợc: (3) ⎨ •• ⎪ ⎩m2 q2 + C2 (q 2 − q 1 ) = 0 Ta thử thỏa mãn ph−ơng trình (3) bằng các hàm: q1=A1sin(kt + α); q2 =A2sin(kt +α) (4) Thay (4) vào (3), ta nhận đ−ợc hệ: 2 ⎪⎧−C1 A 1 + C 2 (A 2 − A 1 ) = m 1 A 1 k (5) ⎨ 2 ⎩⎪−C2 (A 2 − A 1 ) = − m2 A 2 k Hệ (5) chứa ba ẩn số: Các biên độ A1, A2 và tần số k. Ta có ph−ơng trình tần số theo (2-13): C+ C − m k 2 − C 1 2 1 2 = 0 2 − C 2 C2− m 2 k 4 ⎛ CC1+ 2 C 2 ⎞ 2 CC1 2 Hay: k − ⎜ + ⎟k + = 0 (6) ⎝ m1 m 2 ⎠ m1 m 2 Giải (6), tìm đ−ợc: ⎧ 2 1 ⎛ CC+ C ⎞ 1 ⎛ CC+ C ⎞ CC ⎪k = ⎜ 1 2 + 2 ⎟ − ⎜ 1 2 + 2 ⎟ − 1 2 ⎪ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ 2 ⎝ m1 m 2 ⎠ 4 ⎝ m1 m 2 ⎠ m1 m 2 ⎨ (7) 2 ⎪ 1 ⎛ CC+ C ⎞ 1 ⎛ CC+ C ⎞ CC ⎪k = ⎜ 1 2 + 2 ⎟ + ⎜ 1 2 + 2 ⎟ − 1 2 ⎪ 2 2 ⎜ m m ⎟ 4 ⎜ m m ⎟ m m ⎩ ⎝ 1 2 ⎠ ⎝ 1 2 ⎠ 1 2 ⎧q1= A 11 sin(k1 t+ α 1 ) + A12 sin(k2 t+ α 2 ) NTQ có dạng: ⎨ (8) ⎩q2= A 21 sin(k1 t+ α 1 ) + A22 sin(k2 t+ α 2 ) Từ (3), ta có: a11 = m1 ; a22 = m2 ; a12 = 0; c11 = C1 + C2 ; c22 = C2 ; c12 = − C2; Nên các hệ số phân phối bằng: 2 2 C1+ C 2 − m 1 k 1 C1+ C 2 − m 2 k 2 μ 21 = ; μ 22 = (9) C 2 C 2 Do đó có thể viết NTQ (8) d−ới dạng: 45
  47. ⎧q1= A 1 sin(k 1 t+ α 1 ) + A 2 sin(k2 t+ α 2 ) ⎨ (10) ⎩q2= μ 21 A 1 sin(k 1 t+ α 1 ) + μ 22 A 2 sin(k2 t+ α 2 ) Chọn gốc tính q1, q2 tại vị trí cân bằng tĩnh các tải trọng (lò xo ch−a biến dạng). Điều kiện ban đầu t = 0, viết đ−ợc: • • • • q1(0) = q10 = 0; q2(0) = q20 = 0; q(0)1 = q10 = 0;q(0)2 = q20 = V0 Thay điều kiện ban đầu vào (10) và đạo hàm của nó, ta có hệ sau: ⎧A1 sinα 1 + A 2 sin α 2 = 0 ⎪ ⎪μ 21A 1 sin α 1 + μ 22A 2 sinα 2 = 0 ⎨ (11) ⎪A1 k 1 cosα 1 + A 2 k 2 cosα2 = 0 ⎪ ⎩μ 21A 1 k 1 cosα 1 + μ 22A 2 k 2 cosα2 = V 0 V0 V0 Giải (11) ta có: α1 = α2 = 0; A1 = ; A 2 = (12) k1 (μ 21 − μ 22 ) k2 (μ 22 − μ 21 ) Khi thay (7), (12) vào (10) ta nhận đ−ợc kết quả cuối cùng của bài toán. Tr−ờng hợp: m1 = m2 = m; C1 = C2 = C, từ (7) và (9) ta có: C ⎛ 3− 5 ⎞ C ⎛ 3+ 5 ⎞ 1+ 5 1− 5 k 2 = ⎜ ⎟ ; k 2 = ⎜ ⎟ ; μ = = 1,618 ; μ = = −0, 618 1 ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ 21 22 m ⎝ 2 ⎠ m ⎝ 2 ⎠ 2 2 2.2.2. Dao động c−ỡng bức không cản. 2.2.2a. Ph−ơng trình vi phân chuyển động. Xét dao động của hệ hai bậc tự do chịu tác dụng của các lực có thế và các lực kích động điều hoà hình sin. Gọi q1, q2 là các toạ độ suy rộng độc lập của hệ. Ph−ơng trình Lagrăng II có dạng: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T ∂π − = − +QP ; i =1 , 2 (a) ⎜ • ⎟ i dt ⎜ ⎟ ∂qi ∂ q i ⎝ ∂ q i ⎠ Trong tr−ờng hợp dao động nhỏ: 1 ⎛ • 2 •• • 2 ⎞ 1 T=⎜ aq + 2 aqqaq;+ ⎟ π = cq2 + 2 cqqcq+ 2 (b) ⎜ 11 1 12 1 2 22 2 ⎟ ()11 1 12 1 2 22 2 2 ⎝ ⎠ 2 Thay (b) vào (a) và giả thiết rằng: Các lực kích động điều hoà có cùng tần số p và pha P ban đầu δ. Các lực suy rộng t−ơng ứng của chúng bằng: Qi = Hisin(pt+δ), i = 1, 2. Khi đó ta nhận đ−ợc hệ ph−ơng trình vi phân dao động c−ỡng bức của hệ hai bậc tự do: ⎧ •• •• ⎪ a11 q1 + a12 q2 + c11 q 1 + c 12 q 2 = H 1 sin(pt+ δ ) ⎨ •• •• (2-23) ⎪ ⎩a21 q1 + a22 q2 + c21 q 1 + c 22 q 2 = H 2 sin(pt+ δ ) 46
  48. 2.2.2b. Tích phân ph−ơng trình vi phân chuyển động. Nghiệm tổng quát của hệ (2-23) đ−ợc tìm d−ới dạng tổng NTQ của ph−ơng trình thuần nhất t−ơng ứng và một NR của nó. Ta có: ⎪⎧q1= C 1 sin(k 1 t+ β 1 ) + C 2 sin(k2 t+ β 2 ) + q 1 ⎨ (2-24) ⎩⎪q2= μ 21 C 1 sin(k 1 t+ β 1 ) + μ 22 C 2 sin(k2 t+ β 2 ) + q 2 Trong đó: k1, k2 là các tần số dao động chính, đ−ợc xác định từ ph−ơng trình tần số (2-13) μ21, μ22 là các hệ số phân phối đ−ợc xác định theo công thức (2-18). Bây giờ ta tìm NR của hệ (2-23) xác định dao động c−ỡng bức thuần tuý d−ới dạng: qi= A iP sin(pt+ δ ); i = 1 , 2 (2-25) •• 2 Từ đó có: qi= A iP p sin(pt+ δ ); i = 1 , 2 (2-26) Thay (2-25), (2-26) vào (2-23) ta nhận đ−ợc hệ ph−ơng trình xác định AiP; i = 1, 2 2 2 ⎧ (c11− ap)A 11 1P + (c12 − ap)A 12 2P = H1 ⎨ 2 2 (2-27) ⎩(c12− ap)A 12 1P + (c22 − ap)A 22 2P = H 2 Giải (2-27) nhận đ−ợc: 2 2 ⎧ H(c1 22− ap)H(c 22 −2 12 − ap) 12 ⎪A1P = ⎪ (c− a p2 )(c− a p2 ) − (c − a p2 ) 2 ⎨ 11 11 22 22 12 12 (2-28) H(c− ap)2 − H(c − ap)2 ⎪A = 2 11 11 1 12 12 ⎪ 2P 2 2 2 2 ⎩ (c11− a 11 p )(c22− a 22 p ) − (c12 − a 12 p ) Thay (2-28) vào (2-25) ta đ−ợc ph−ơng trình xác định dạng dao động c−ỡng bức thuần túy của hệ. Ta có một số nhận xét sau: a). Dao động c−ỡng bức trong tr−ờng hợp khảo sát là điều hoà với tần số là tần số của lực kích động. b). Biên độ dao động c−ỡng bức không phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu và đ−ợc xác định chỉ bằng các tính chất của hệ (khối l−ợng và độ cứng) và các lực tác dụng lên hệ. Để có biểu thức cuối cùng nghiệm của bài toán, các hằng số C1, C2, β1, β2 trong NTQ đ−ợc xác định từ các điều kiện ban đầu. 2.2.2c. Hiện t−ợng cộng h−ởng. Các dao động c−ỡng bức của hệ trong tr−ờng hợp khảo sát thực hiện với biên độ biểu thị theo các biểu thức (2-28). Các mẫu số của chúng là đa thức bậc hai đối với p2. Mặt khác 2 2 từ ph−ơng trình tần số (2-13), ta có thể thấy: Các tần số k1 , k2 là nghiệm của đa thức trên. Do đó có thể biểu diễn: 47
  49. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (c11 – a11p )(c22 – a22p ) – (c12 – a12p ) = (a11a22 – a12 )(p – k1 )(p – k2 ) Các biểu thức (2-28) trở thành: 2 2 H(c1 22− ap)H(c 22 −2 12 − ap) 12 ⎫ A1P = ⎪ (a a− a2 )(p2 − k2 )(p2 − k2 ) ⎪ 11 22 12 1 2 ⎬ (2-29) H(c− ap)2 − H(c − ap)2 A = 2 11 11 1 12 12 ⎪ 2P 2 2 2 2 2 ⎪ (a11 a 22− a 12 )(p − k1 )(p − k2 ) ⎭ Với p = k1 hoặc p = k2 (tần số lực kích động bằng một trong các tần số riêng của hệ), các biên độ dao động cững bức theo (2-29) sẽ tăng vô hạn theo thời gian. Các giá trị trên của tần số lực kích động là các giá trị nguy hiểm (tới hạn). Ta có hiện t−ợng cộng h−ởng. Khi xảy ra cộng h−ởng, biểu thức (2-25) sẽ mất ý nghĩa. Để biểu diễn dao động c−ỡng bức thuần tuý (NR) trong tr−ờng hợp này, ta thử viết ph−ơng trình ở các toạ độ chính. Biểu thị q1, q2 qua các toạ độ chính θ1, θ 2 ở dạng sau: q1 = θ1 + θ2; q2 = μ21θ1 + μ22θ2 (2-30) Các lực suy rộng của các lực kích động ngoài theo các toạ độ chính đ−ợc xác định trên cơ sở biểu thức tính công ảo và có: P P P ⎧Q1* = Q1 +μ 21 Q 2 = (H1 + μ 21 H 2 )sin(pt+ δ ) ⎨ P P P (2-31) ⎩Q2* = Q1 +μ 22 Q 2 = (H1 + μ 22 H 2 )sin(pt+ δ ) Ph−ơng trình vi phân chuyển động của hệ dao động viết cho toạ độ chính có dạng: •• ⎧ 2 HH1+ μ 21 2 ⎪θ1 +k1 θ1 = sin(pt+ δ ) ⎪ a1 (2-32) ⎨•• 2 HH1+ μ 22 2 ⎪θ2 +k θ = sin(pt+ δ ) ⎪ 2 2 ⎩ a 2 Hệ (2-32) có thể tích phân độc lập. Ta xét các tr−ờng hợp sau đây: a). Khi p = k1: Ta tìm NR ứng với dao động c−ỡng bức thuần tuý ở dạng: θ1 = C1tcos(pt+δ); θ2 = C2sin(pt+δ) (2-33) Thay (2-33) vào (2-32) ta nhận đ−ợc hệ ph−ơng trình xác định C1, C2 và nhận đ−ợc: HH1+ μ 21 2 HH1+ μ 22 2 C1 = − ; C 2 = 2 2 2k1 a 1 a2 (k 2 − p ) ⎧ HH1+ μ 21 2 HH1+ μ 21 2 π ⎪θ1 = − t cos(pt+ δ ) = t sin(pt+ δ − ) ⎪ 2k1 a 1 2pa1 2 Do đó, ta có: ⎨ (2-34) HH+ μ ⎪θ = 1 22 2 sin(pt+ δ ) ⎪ 2 2 2 ⎩ a2 (k 2 − p ) 48
  50. Chuyển về toạ độ cũ q1, q2 ta đ−ợc: HH1+ μ 21 2 ⎛ π ⎞ HH1+ μ 22 2 q1 = t sin⎜ pt + δ − ⎟ + sin(pt+ δ ) 2pa ⎝ 2 ⎠ a (k2− p 2 ) 1 2 2 (2-35) μ21(H 1+ μ 21 H 2 ) ⎛ π ⎞ μ22(H 1+ μ 22 H 2 ) q 2 = t sin⎜ pt + δ − ⎟ + 2 2 sin(pt+ δ ) 2pa1 ⎝ 2 ⎠ a2 (k 2 − p ) b). Khi p = k2, một cách t−ơng tự, ta tìm đ−ợc: ⎧ HH+ μ θ = 1 21 2 sin(pt+ δ ) ⎪ 1 2 2 ⎪ a1 (k 1 − p ) ⎨ (2-36) HH+ μ π ⎪θ = 1 22 2 t sin(pt + δ − ) ⎪ 2 ⎩ 2pa 2 2 Do đó, ta có: HH1+ μ 21 2 HH1+ μ 22 2 ⎛ π ⎞ q1 = sin(pt+ δ ) + t sin⎜ pt + δ − ⎟ a (k2− p 2 ) 2pa ⎝ 2 ⎠ 1 1 2 (2-37) μ21(H 1+ μ 21 H 2 ) μ22(H 1+ μ 22 H 2 ) ⎛ π ⎞ q 2 = 2 2 sin(pt+ δ ) + t sin⎜ pt + δ − ⎟ a1 (k 1 − p ) 2pa 2 ⎝ 2 ⎠ Nh− vậy, hệ hai bậc tự do chịu tác dụng của các lực điều hoà cùng một tần số p và cùng một pha δ, có thể xảy ra hai trạng thái cộng h−ởng (vì tần số lực kích động có thể bằng một trong hai tần số riêng). Thực tế, việc xác định trạng thái cộng h−ởng xảy ra đối với hệ nhiều bậc tự do (kiểm tra hệ về cộng h−ởng) là một trong các bài toán quan trọng nhất của tính toán kỹ thuật về dao động. 2.2.3. Một vài bài toán ứng dụng. 2.2.3a. Bộ tắt chấn động lực không tính đến ma sát. a) Nhận xét: Nếu một trong số các lực kích động triệt tiêu, chẳng hạn: P P Q2 = 0, còn Q1 = H1sin (pt+δ): Các biên độ dao động c−ỡng bức theo (2-29) trở thành: 2 ⎧ H1 (c 22− a 22 p ) ⎪A1p = 2 2 2 2 ⎪ (c11− a 11 p )(c22− a 22 p ) − (c12 − a 12 p ) ⎨ (2-38) H (c− a p2 ) ⎪A = 1 12 12 ⎪ 2p 2 2 2 2 ⎩ (c11− a 11 p )(c22− a 22 p ) − (c12 − a 12 p ) 2 2 c22 Nếu chọn các tham số của hệ sao cho: c22 – a22p = 0 tức là p = thì: a 22 49
  51. H1 A1P= 0; A 2P = 2 (2-39) c12− a 12 p c Nh− vậy, khi p 2 = 22 thì dao động c−ỡng bức ứng với toạ độ suy rộng thứ nhất đ−ợc a 22 hoàn toàn dập tắt. Hiện t−ợng này gọi là sự tắt chấn động lực của dao động mà nó không có đ−ợc trong các hệ có một bậc tự do. b). Nguyên lý tạo ra bộ tắt chấn động lực không có ma sát. Giả sử ta có mô hình dao động nh− hình vẽ (Hình 2-3a), chịu tác dụng của lực kích động Q(t). Để làm tắt dao động c−ỡng bức của hệ này, ta đặt một khối l−ợng phụ m2 trên lò xo đàn hồi có độ cứng C2 (Hình 2-3b). Khi đó nguyên lý cơ bản tạo ra bộ tắt chấn động lực đ−ợc mô tả d−ới dạng sau: q2 m 2 Q(t) C2 q1 m1 m1 Q(t) C C1 1 a) b Hình 2-3 Hai khối l−ợng m1, m2 đặt trên các lò xo không khối l−ợng có độ cứng t−ơng ứng C1, C2. Cho lực kích động tác dụng lên khối l−ợng m1 mà lực suy rộng của nó biểu thị bằng: P Q1 = H1sin (pt + δ) P Còn trên khối l−ợng m2 không có lực kích động, tức là Q2 = 0. Hệ mô tả sẽ có hai bậc tự do với các toạ độ suy rộng là q1, q2 ta có: 1 ⎛ • 2 • 2 ⎞ 1 T= ⎜ mqmq;+ ⎟ π = cq2 + c(q − q) 2 ⎜ 1 1 2 2 ⎟ []1 1 2 2 1 2 ⎝ ⎠ 2 Và: a11= m1; a12 = 0; a22 = m2 c11 = C1+ C2; c12 = – C2; c22 = C2 Ph−ơng trình vi phân chuyển động của hệ dao động có dạng: ⎧ •• ⎪m1 q1 + (C1 + C 2 )q 1 − C 2 q 2 = H 1 sin(pt+ δ ) (2-40) ⎨ •• ⎪ ⎩m2 q2 − C2 q 1 + C 2 q 2 = 0 50
  52. Biểu thị qi= A iP sin(pt+ δ ); i = 1 , 2 ; còn AiP xác định theo (2-38). Nếu chọn tham số c C của hệ để có: p 2 =22 = 2 thì: a 22 m 2 ⎧q = 0 ⎪ 1 ⎨ H H (2-41) q = 1 sin(pt+ δ ) = − 1 sin(pt+ δ ) ⎪ 2 2 ⎩ c12− a 12 p C 2 Tức là dao động c−ỡng bức thứ nhất của tải trọng m1 đ−ợc dập tắt. Thật vậy, thay q 2 vừa tìm vào ph−ơng trình đầu của hệ (2-40) ta đ−ợc: •• CC1+ 2 q1+ q1 = 0 (2-42) m1 Ph−ơng trình (2-42) mô tả dao động tự do của khối l−ợng m1 với tần số: CC1+ 2 k1 = m1 Thực tế, để loại trừ hiện t−ợng xuất hiện biên độ lớn đáng kể của dao động khi thay đổi tần số lực kích động, th−ờng ng−ời ta đ−a vào bộ giảm chấn. 2.2.3b. Dao động của Ô-tô. Ta có thể khảo sát dao động của ô tô nh− một hệ của các vật rắn chịu liên kết đàn hồi (Hình 2-4). ở sơ đồ này vật 1 là thùng xe, các vật 2 ữ 5 là các bánh xe; khối l−ợng của chúng coi nh− tập trung. Mô hình nh− thế cũng thuận tiện khi khảo sát dao động của toa tầu, đầu máy xe lửa và các ph−ơng tiện vận tải khác thuộc loại này. Chuyển động của hệ nh− trên trong quá trình dao động đ−ợc đặc tr−ng bằng bảy toạ độ: Dịch chuyển thẳng đứng của trọng tâm thùng xe, các dịch chuyển thẳng đứng của trọng tâm của các bánh xe, các dịch chuyển quay của thùng xe đối với trục dọc và trục ngang. Hệ nh− thế có bảy bậc tự do. y l b a 4 1 5 y y C 2 C ϕ y1 Vị trí cân bằng tĩnh h x 2 3 L Hình 2-4 Hình 2-5 51
  53. Tuy nhiên trong quá trình tính toán sơ bộ, ta có thể xây dựng mô hình tính dao động của Ô-tô nh− hệ có hai bậc tự do. Trong tr−ờng hợp này ta giả sử rằng các lốp xe không biến dạng và khảo sát dao động của Ô-tô trong mặt phẳng dọc thẳng đứng. Hệ khảo sát trong tr−ờng hợp này có hai bậc tự do. Toạ độ suy rộng đ−ợc chọn: Dịch chuyển thẳng đứng yC của trọng tâm thùng xe và dịch chuyển quay ϕ của nó quanh trục ngang qua trọng tâm thẳng góc với mặt phẳng hình vẽ (Hình 2-5). Bây giờ ta xét Ô-tô đang chạy trên đ−ờng không bằng phẳng với vận tốc không đổi V. Quy luật nhấp nhô của mặt đ−ờng đ−ợc cho bởi hàm tuần hoàn sau: h ⎛ 2πx* ⎞ y* =⎜1 − cos ⎟ 2 ⎝ L ⎠ Ký hiệu: m là khối l−ợng của Ô-tô; JC là mômen quán tính của nó đối với trục đi qua khối tâm C vuông góc với mặt phẳng hình vẽ; C1, C2 là độ cứng lò xo (ứng với giảm xóc bánh tr−ớc và bánh sau), l là khoảng cách giữa hai bánh xe l = a+b. Động năng và thế năng của hệ đ−ợc tính theo biểu thức: 1 • 2 1 • 2 1 1 T= m y + J ϕ ; π = C Δ y2 + C Δ y 2 2 C 2 C 2 1 1 2 2 2 ở đây: Δy1 và Δy2 là các biến dạng của lò xo, ta có: Δy1 = yC - y1* - aϕ; Δy2 = yC - y2* + bϕ. 2πV Đặt Ω = , toạ độ các điểm tiếp xúc giữa lò xo và mặt đ−ờng bằng: L ⎧x1* = Vt ⎪ ⎨ h ⎛ 2πx1* ⎞ h ⎪y1* =⎜1 − cos ⎟ =()1 −cos Ω t ⎩ 2 ⎝ L ⎠ 2 ⎧x2* = Vt + l ⎪ ⎨ h ⎛ cos 2π x 2* ⎞ h ⎡ ⎛ 2πl ⎞⎤ ⎪y 2* =⎜1 − ⎟ =⎢1 − cos⎜ Ω t + ⎟⎥ ⎩ 2 ⎝ L ⎠ 2 ⎣ ⎝ L ⎠⎦ Thay các giá trị T và π vào ph−ơng trình Lagrăng II: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T ∂π − = − ; i = 1, 2; q = y ; q = ϕ. ⎜ • ⎟ 1 C 2 dt ⎜ ⎟ ∂qi ∂ q i ⎝ ∂ q i ⎠ Ta nhận đ−ợc ph−ơng trình vi phân dao động của Ô-tô: ⎧ •• h ⎪m yC + c11 y C + c 12 ϕ =()c11 − c 13 cos Ω t + c14 sin Ω t 2 (2-43) ⎨ •• h ⎪Jϕ+ c y + c ϕ =()c − c cos Ω t + c sin Ω t ⎩ C 21 C 22 2 21 23 24 52
  54. 2 2 Trong đó: c11 = C1+ C2 ; c21 = c12; c12 = C2b – C1a; c22 = C2(a +b ) ⎛ 2πl ⎞ ⎛ 2πl ⎞ c13 = C1 + C2cos⎜ ⎟ ; c23 = – C1a + C2bcos⎜ ⎟ (2-44) ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ ⎛ 2πl ⎞ ⎛ 2πl ⎞ c14 = C2sin⎜ ⎟ ; c24 = C2bsin⎜ ⎟ ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ Ph−ơng trình tần số có dạng: 2 c m+ c J c c− c 12 k4− k 2 22 11 C + 11 22 = 0 (2-45) mJC mJC 2 2 2 c22 m+ c11 J C ± (c22 m + c11 J C ) − 4mJC (c 11 c 22− c 12 ) Từ đó: k1,2 = (2-46) 2mJ C NR của hệ (2-43) tìm ở dạng: ⎪⎧ yC= A 0 + A 1 cos Ω t + A2 sin Ω t ⎨ (2-47) ⎩⎪ϕ =B0 + B 1 cos Ω t + B2 sin Ω t Thay (2-47) vào (2-43) và thực hiện đồng nhất ta nhận đ−ợc các ph−ơng trình đại số tuyến tính đối với A0, A1, A2, B0, B1, B2. Giải ph−ơng trình này ta có: ⎧ h A = ⎪ 0 2 ⎪ ⎪ h ⎛ c c− c (c −J) Ω 2 ⎞ A = ⎜ 23 12 13 22 c ⎟ ⎪ 1 2 ⎜ Δ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ h ⎛ −c c + c (c − J Ω 2 ) ⎞ ⎪A = ⎜ 24 12 14 22 c ⎟ ⎪ 2 ⎜ ⎟ ⎨ 2 ⎝ Δ ⎠ (2-48) ⎪B = 0 ⎪ 0 ⎪ h ⎛ c c− c (c − m Ω 2 ) ⎞ = ⎜ 13 12 23 11 ⎟ ⎪B1 ⎜ ⎟ ⎪ 2 ⎝ Δ ⎠ ⎪ 2 h ⎛ −c c + c (c − m Ω ) ⎞ ⎪ ⎜ 14 12 24 11 ⎟ B1 = ⎜ ⎟ ⎩⎪ 2 ⎝ Δ ⎠ 2 2 2 Với: Δ= (c11 – m Ω )(c22 – JCΩ ) – c12 . Ph−ơng trình xác định dao động c−ỡng bức của Ô-tô có dạng: ⎧ h ⎧ 1 2 1 2 ⎫ ⎪y C =⎨1 + []c23 c 12− c 13 (c 22 − J C Ω ) cos Ω t + []−c24 c 12 + c 14 (c 22 − J C Ω ) sin Ω t⎬ ⎪ 2 ⎩ Δ Δ ⎭ ⎨ h ⎪ϕ = {}[]c c− c (c − m Ω2 ) cos Ω t +[] − c c + c (c − m Ω2 ) sin Ω t ⎩⎪ 2Δ 13 12 23 11 14 12 24 11 (2-49) 53
  55. Hiện t−ợng cộng h−ởng xảy ra khi Ω = ki (i = 1, 2) Lk Ta có vận tốc giới hạn (V ) của Ô-tô là: V gh = i (i= 1, 2) (2-50) gh i 2π Thí dụ 2-2: Móng máy có trọng l−ợng P1 = 1000 KN đặt trên nền đất đàn hồi và dao động theo ph−ơng thẳng đứng d−ới tác dụng của lực kích động biến đổi theo quy luật: F = 100sinωt (KN). Để khử các dao động cộng h−ởng xuất hiện khi vận tốc gốc của trục máy ω = 100 rad/s, ng−ời ta đặt trên nền móng một bộ giảm rung có dạng một bệ nặng đặt trên các lò xo đàn hồi (Hình 2-6a). Hãy xác định trọng l−ợng P2 của hệ và độ cứng tổng cộng của các lò xo trong bộ giảm rung sao cho biên độ dao động c−ỡng bức của móng triệt tiêu khi trục máy quay với vận tốc góc cho ở trên, còn biên độ của bộ giảm rung không v−ợt quá A2 = 2 mm. Bài giải: P2 P2 q2 C P F(t) 1 P1 q1 C a) b Hình 2-6 Mô hình tính toán dao động của hệ chỉ ra trên hình vẽ (Hình 2-6b). T−ơng tự nh− cách thiết lập ph−ơng trình (2-40), ta có ph−ơng trình vi phân dao động của hệ là: ⎧ •• ⎪m1 q1 + (C1 − C 2 )q 1 + C 2 q 2 = − F 0 sin ω t, F0 = 100KN ⎨ •• ⎪ ⎩m2 q2 + C2 q 1 − C 2 q 2 = 0 Theo điều kiện bài ra, khi thiết kế bộ giảm rung đảm bảo điều kiện q1 = 0, nên ph−ơng trình trên trở thành: ⎪⎧C2 q 2= − F 0 sin ω t ⎨ •• ⎩⎪m2 q2 − C2 q 2 = 0 P •• Từ đó suy ra: 2 q= C q = − F sin ω t g 2 2 2 0 Do bộ giảm rung làm việc với biên độ A2 = 2 mm và tần số ω = 100 rad/s, nên nghiệm q2 ta lấy dạng: 54
  56. •• 2 q2 = A2sinωt ⇒q2 = −ω A2 sin ω t Nh− vậy, ta có: P 2 ω2 A sin ω t = − F sin ω t g 2 0 Trọng l−ợng P2 của bộ giảm rung phải bằng: F0 g 100. 981 P2 = 2 =4 = 49KN A 2 ω 0,. 2 10 C Khi xuất hiện cộng h−ởng ω =k = 2 nên độ cứng của lò xo đặt trên bộ giảm rung m 2 phải có: P ω2 F g ω2 F 100 = 2 = 0 =0 = = 500 C 2 2 KN / cm g A 2 ω g A,2 0 2 Đ.2.3. Dao động xoắn của trục mang các đĩa. 2.3.1. Ph−ơng trình cơ bản. Ph−ơng trình tần số. Khảo sát dao động xoắn của trục đàn hồi mang các đĩa rắn tuyệt đối coi nh− các khối l−ợng tập trung (Hình 2-7a). Ký hiệu J1, J2, , Jn là các mômen quán tính của các đĩa đối với trục; C1, C2, , Cn-1 là các hệ số cứng khi xoắn của các đoạn trục đàn hồi. Chọn toạ độ suy rộng là các góc quay của các đĩa quanh trục: ϕ1, ϕ2, , ϕn. Các mômen xoắn tác dụng ở các tiết diện trục phụ thuộc vào góc quay t−ơng đối giữa hai đĩa kề nhau và đ−ợc xác định t−ơng ứng bằng (Hình 2-7b): C1(ϕ2 - ϕ1), C2(ϕ3 - ϕ2), , Cn - 1 (ϕn - ϕn- 1) Jn-1 J2 J1 J3 Jn C1 C2 Cn-1 Hình 2-7a C1( ϕ2 − ϕ1) C2(ϕ3 − ϕ2 ) C (ϕ − ϕ ) n-1 n n-1 Hình 2-7b 55
  57. Ph−ơng trình vi phân dao động xoắn của hệ đ−ợc thiết lập trên cơ sở ph−ơng pháp trực tiếp có dạng: ⎧ •• C()Jϕ − ϕ = ϕ ⎪ 1 2 1 1 1 ⎪ •• ⎪C()C()J2ϕ 3 − ϕ 1 − 1 ϕ 2 − ϕ 1 = 2 ϕ 2 ⎪ •• ⎪C()C()Jϕ − ϕ − ϕ − ϕ = ϕ ⎨ 3 4 3 2 3 2 3 3 (2-51) ⎪ ⎪ •• ⎪C()C(ϕ − ϕ − ϕ − ϕ)J = ϕ ⎪ n1n− n1− n2n1− − n2− n1n1− − ⎪ •• ⎩−C n− 1() ϕ n − ϕ n− 1 =J n ϕ n Khi trục và đĩa quay đều nh− một vật rắn tuyệt đối, ph−ơng trình (2-51) thoả mãn nghiệm: ϕ1 = ϕ2 = = ϕn = ϕ0 + ωt (2-52) Nghiệm của ph−ơng trình (2-51) tìm d−ới dạng: ϕi = Aisin ( kt +α); i = 1,n (2-53) Thay (2-53) vào (2-51) ta sẽ nhận đ−ợc hệ ph−ơng trình đại số tuyến tính thuần nhất xác định các biên độ A1, A2, An. 2 ⎧C1 (A 2− A 1 ) = − J1 k A1 ⎪ 2 ⎪C(A2 3− A)C(A 2 − 1 2 − A) 1 = − JkA3 2 ⎪ 2 ⎪C(A− A)C(A − − A) = − JkA ⎨ 3 4 3 2 3 2 3 3 (2-54) ⎪ ⎪C(A− A)C(A − − A) = − JkA2 ⎪ n−1 n n−1 n−2 n − 1 n−2 n−1 n−1 ⎪ 2 ⎩−Cn−1 (A n − A n−1 ) = − Jn k A n Hệ (2-54) chứa (n+1) ẩn (n ẩn biên độ và 1 ẩn tần số riêng k). T−ơng tự nh− các phần trên, ta bổ xung ph−ơng trình để giải bài toán bằng ph−ơng trình tần số: Do hệ (2-54) là hệ ph−ơng trình tuyến tính thuần nhất nên để có nghiệm không tầm th−ờng của các biên độ thì định thức của hệ phải bằng không. Xét hệ có ba đĩa, điều kiện trên có dạng: 2 −C1 + J 1 k C1 0 2 C1 −C2 − C 1 + J 2 k C 2 = 0 2 0 C 2 −C2 + J 3 k Hay ph−ơng trình tần số trong tr−ờng hợp này là: ⎡JJJ ⎛ JJ+ JJ+ ⎞ ⎤ 2 1 2 3 4 ⎜ 2 3 2 3 ⎟ 2 k ⎢ k − ⎜ J1 + J3 ⎟ k+ J1 + J 2 + J 3 ⎥ = 0 (2-55) ⎣ CC1 2 ⎝ C1 C 2 ⎠ ⎦ 56
  58. NTQ cần viết d−ới dạng: ϕi = ϕ0 +ωt +Ai1sin(k1t + α1) + Ai2sin(k2t+α2)+ +Ai,n-1sin(kn-1t + αn -1); i = 1, n (2-56) Trong (2-56) còn chứa các hằng số ch−a biết. Để xác định chúng, t−ơng tự nh− tr−ớc đây cần dựa vào điều kiện ban đầu tại t = 0. 2.3.2. Ph−ơng trình dao động xoắn c−ỡng bức trục mang các đĩa. Dao động xoắn c−ỡng bức của trục là do các mômen quay biến đổi tác dụng lên nó. Các mômen này có đặc tính chu kỳ, nh−: áp lực khí trong các xilanh, các lực quán tính của các phần chuyển động. Ta khảo sát tr−ờng hợp khi các mômen biến đổi đã cho tác dụng lên các đĩa của hệ t−ơng đ−ơng (Hình 2-7) là M1(t), M2(t), Mn(t). Nếu bỏ qua các lực cản, ph−ơng trình vi phân dao động c−ỡng bức của trục có dạng: ⎧ •• ⎪M1 (t)+ C1 ( ϕ 2 − ϕ 1 ) = J 1 ϕ 1 ⎪ •• ⎪M(t)C(+ ϕ − ϕ )C( − ϕ − ϕ )J = ϕ ⎨ 2 2 3 1 1 2 1 2 2 (2-57) ⎪ ⎪ •• ⎪ ⎩Mn (t)− Cn−1 ( ϕ n − ϕ n−1 ) = J n ϕ n Thí dụ 2.3: Trên hình trụ tiết diện không đổi dài 2L = 50cm có một đầu bị ngàm đ−ợc gắn hai đĩa 2 nh− nhau, có một mômen quán tính J1 = J2 = J = 50 kgcm . Một trong hai đĩa đ−ợc gắn ở giữa trục, còn đĩa kia gắn ở đầu tự do (Hình 2-8 ). Mômen quán tính độc cực của tiết diện 4 6 2 trục Jρ = 602cm . Môđun tr−ợt của vật liệu làm trục G = 8,3.10 N/cm . Bỏ qua khối l−ợng trục. a). xác định tần số k1, k2 và dao động xoắn tự do các đĩa. b). xác định biên độ dao động xoắn c−ỡng bức của các đĩa khi tác dụng lên đĩa giữa mômen kích động M = 200sin(400t) (Nm). J1 ϕ1 J2 ϕ2 C1 C2 L L Hình 2-8 Bài giải: a). Hệ có hai bậc tự do. Chọn toạ độ suy rộng là các góc quay các đĩa ϕ1, ϕ2. Hệ số cứng khi xoắn của các đoạn trục đ−ợc tính theo công thức đã biết (SBVL). 57
  59. GJ 8, 3 106 602 CCC= = =ρ = = 2. 106 Nm 1 2 L 25 1 • 2 • 2 Động năng của hệ: T= (J ϕ + J ϕ )a ⇒ = J;a =0 ;a = J 2 1 1 2 2 11 1 12 22 2 1 Thế năng của hệ: π=[]c ϕ+ϕ−ϕ⇒=+2 c( )2 cCC;c =− C;c = C 2 1 1 2 2 1 11 1 2 12 2 22 2 2 2 2 Từ đó có ph−ơng trình tần số: (C1 + C2 – J1k )(C2 – J2k ) – C2 = 0 Thay C1 = C2 = C; J1 = J2 = J, ta có: C C 2 k4 −3 k 2 − = 0 J J 2 ⎧ (3− 5 )C C ⎪k = =0, 62 = 124rad / s ⎪ 1 2J J Giải ra, ta đ−ợc: ⎨ ⎪ (3+ 5 )C C ⎪k 2 = =1, 62 = 324rad / s ⎩ 2J J Các hệ số phân phối bằng: ⎧ 3− 5 C 2CJ− ⎪ 3− 5 1+ 5 ⎪μ = − 2 J =2 − = = 1, 62 ⎪ 21 − C 2 2 ⎨ 3+ 5 C ⎪ 2CJ− ⎪ 2 J 3+ 5 1− 5 ⎪μ 22 = − =2 − = = −0, 62 ⎩ − C 2 2 Khi biết μ21 và μ22 ta biểu thị đ−ợc các dao động chính. Trên hình vẽ (Hình 2-9) mô tả dao động chính khi cho biên độ dao động đĩa thứ nhất bằng đơn vị. a). Để xác định biên độ dao động c−ỡng bức của các đĩa cần tính tr−ớc hết lực suy rộng của lực kích động. A11 = 1 A21 = 1,62 A = 1 12 A22 = 0,62 A = 6.10-5 -5 1P A2P = 2.10 6,25cm Hì nh 2-9 58
  60. Ta có: Q1 = M; Q2 = 0 => H1 = M0 = 200; H2 = 0 Khi đó các biên độ dao động c−ỡng bức bình ổn, theo công thức (2-29) ta đ−ợc: M (C− Jp2 ) A = 0 = −6. 10−5 ; p = 400 1P (2 C− Jp2 )(C − Jp2 ) − C 2 MC A = 0 = 2. 10−5 2P (2 C− Jp2 )(C − Jp2 ) − C 2 Ph−ơng trình xác định dao động c−ỡng bức của đĩa có dạng: -5 ϕ1 = A1Psinpt = -6.10 sin 400t -5 ϕ2 = A2Psinpt = 2.10 sin 400t Đ 2.4. Dao động uốn của dầm có các khối l−ợng tập trung. 2.4.1. Ph−ơng trình cơ bản - Ph−ơng trình tần số. Trong tr−ờng hợp này, để thiết lập ph−ơng trình vi phân dao động ta dùng ph−ơng pháp lực. Xét dao động tự do mang các khối l−ợng tập trung: m1, m2, , mn. Dịch chuyển của chúng t−ơng ứng khi dao động y1, y2, , yn. Đặt các lực quán tính lên các khối l−ợng khảo •• •• •• sát: −m1 y1 , − m2 y2 , ,− mn y n . Theo (25) trong ch−ơng mở đầu, ta có: n •• yi = −∑ mk y k δik ; i = 1,n (2-58) k=1 Hệ (2-58 ) viết cụ thể có dạng: ⎧ •• •• •• ⎪y1 = − m1 y 1 δ 11 − m 2 y 2 δ 12 − − mn y n δ1 n ⎪ •• •• •• ⎪y= − m y δ − m y δ − − m y δ ⎨ 2 1 1 21 2 2 22 n n2 n (2-58a) ⎪ ⎪ •• •• •• ⎪ ⎩yn = − m1 y 1 δn 1 − m 2 y 2 δn 2 − − mn y n δ nn •• Hệ có một bậc tự do: y1 = − m1 y1 δ11 . Ph−ơng trình này t−ơng đ−ơng với: •• m1 y1 + Cy1 = 0 ; C = 1/ δ11. Nghiệm của hệ (2-58a) tìm đ−ợc ở dạng: y i = Aisin ( kt +α) (2-59) Thay (2-59) vào (2-58a) ta nhận đ−ợc hệ ph−ơng trình đại số tuyến tính thuần nhất đối với các biên độ Ai (i = 1, n ). 59
  61. 2 2 2 ⎧A1 (m 1δ 11 k −1 ) + A2 m 2 δ 12 k + + An m n δ1 n k = 0 ⎪ ⎪A mδ k2 + A (m δ k2 −1 ) + + A m δ k 2 = 0 ⎨ 1 1 21 2 2 22 n n2 n (2-60) ⎪ ⎪ 2 2 2 ⎩A1 m 1δn 1 k + A2 m 2 δn 2 k + + An (m n δ nn k −1 ) = 0 Cho định thức của hệ bằng không, ta nhận đ−ợc ph−ơng trình tần số bậc n đối với k2. 2 4 6 n 2n 1 – b1k + b2k – b3k + + (–1) bnk = 0 (2-61) 2 2 2 2 Ta ký hiệu n nghiệm thực d−ơng k của (2-61) theo thứ tự tăng dần: k1 , k 2, k n. NTQ của (2-58a) là: n yi = ∑ Aị sin(kj t+ α j ); i = 1, n (2-62) J=1 2.4.2. Ph−ơng trình dao động uốn c−ỡng bức của dầm có các khối l−ợng tập trung. Giả sử lực kích động tác dụng lên mỗi khối l−ợng tập trung là điều hoà: P = ) ksin pt P t ( (2-63) ở đây: Pk là các biên độ của lực, p là tần số của nó. Ph−ơng trình dao động uốn c−ỡng bức của dầm nhận đ−ợc bằng cách cộng bổ xung vào (2-58a) số hạng t−ơng ứng với dạng lực kích động. Ta có: ⎧ •• •• •• = − δ − δ − − δ + δ ⎪y1 m1 y1 11 m 2 y2 12 mn yn 1n P k1 k sin pt ⎪ •• •• •• ⎪y= − m y δ − m y δ − − m y δ + P δ sin pt ⎨ 2 1 1 21 2 2 22 n n2 n k2 k (2-64) ⎪ ⎪ •• •• •• ⎪ ⎩yn = − m1 y1 δn1 − m 2 y2 δn2 − − mn yn δnn + P k δ nk sin pt Phần dừng của nghiệm có dạng: yi = AiPsin pt (i = 1, n ) (2-65) Thay (2-65) vào (2-64) ta nhận đ−ợc hệ các ph−ơng trình để xác định các biên độ: 2 2 ⎧(1− m1 δ 11 p )A1P − m 2 δ 12 A 2P − − mn δ1 n p A nP = P k δ1 k ⎪ ⎪−m δ p2 A + (1 − m δ P2 )A− − m δ P2 A = P δ ⎨ 1 21 1P 2 22 2P n2 n nP k2 k (2-66) ⎪ ⎪ 2 2 2 ⎩−m1 δn 1 P A1P − m 2 δn 2 P A2P + + (1 − mn δ nn p )AnP= P k δ nk Thí dụ 2-4: Xác định quy luật chuyển động và mômen uốn lớn nhất ở ngàm đối với hệ chỉ ra trên hình vẽ (Hình 2-10a). 60
  62. • Tại thời điểm ban đầu tải trọng m có vận tốc thẳng đứng x2 (0 )= V0 và không có dịch chuyển ban đầu. Bỏ qua khối l−ợng của thanh. Độ cứng cả hai phần thanh bằng EJ theo chiều dài. Bài giải: L x L P1 =1 2/3L 1 P =1 x2 1.L 2 M1 M L L 2 2/3L 1.L 1.L Hình 2-10 Gọi dịch chuyển của tải trọng theo các h−ớng là x1, x2 ta có theo (2-58a). ⎧ •• •• ⎪x1 = − m x1 δ11 − m 2 x 2 δ12 ⎨ •• •• ⎩⎪x2 = − m x1 δ21 − m 2 x 2 δ 22 => a11 = mδ11; a12 = mδ12; a22 = mδ22; c11 = 1; c12 = 0; c22 = 1. Nếu lấy nghiệm riêng: xi = Aisin (kt +α); i = 1, 2. Sau khi thay vào ph−ơng trình ta nhận đ−ợc: 2 2 ⎪⎧x1 = mk x1 δ 11 + mk x 2 δ 12 2 ⎨ 2 2 ⎩⎪x2 = mk x1 δ 21 + mk x 2 δ 22 Để xác định các hệ số ảnh h−ởng, ta xây dựng các biểu đồ mômen uốn M1, M2 ứng với các lực đơn vị P1 = 1, P2 = 1 tác dụng theo các h−ớng x1, x2 (Hình 2-10b). áp dụng công thức nhân biểu đồ Vêrêsaghin, ta có: 3 1⎛ 1 2 2 ⎞ L δ11 = ⎜ .L . .L⎟ = ; EJ ⎝ 2 3⎠ 3EJ 3 1⎛ 1 2 ⎞ L δ12 = δ21 = ⎜ .L .L⎟ = ; EJ ⎝ 2⎠ 2EJ 3 1⎛ 1 2 2 2 ⎞ 4L δ22 = ⎜ .L . .L+ L .L⎟ = ; EJ ⎝ 2 3 ⎠ 3EJ ⎧Zx1= 2x 1 + 3x 2 6EJ Thay δik vào ph−ơng trình: ⎨ ;Z = 3 2 ⎩Zx2= 3x 1 + 8x 2 mL k 61
  63. 2− Z 3 Ph−ơng trình tần số: =0 ⇒ Z = 9,242; Z= 0,7574 3 8− Z 1 2 Do đó các tần số bằng: 6EJ 6EJ EJ Z1 =3 2 =9, 242 ⇒ k1 = 3 = 0, 807 3 mL k1 mL Z1 mL 6EJ 6EJ EJ Z 2 =3 2 =0, 7574 ⇒ k 2 = 3 = 2, 82 3 mL k 2 mL Z 2 mL mL3 6EJ 1− . c− a k 2 3EJ mL3 .9,242 Các hệ số phân phối: μ = − 11 11 1 = = 2,4140 21 c− a k 2 mL3 6EJ 12 12 1 − . 2EJ mL3 9,242 mL3 6EJ 1− . c− a k 2 3EJ mL3 .0 , 7574 μ = − 11 11 2 = − = 0, 4142 22 c− a k 2 mL3 6EJ 12 12 2 − . 2EJ mL3 0 , 7574 NTQ của bài toán viết ở dạng: x1 = A1sin(k1t + α1) + A2sin(k2t + α2) x2 = μ21A1sin(k1t + α1) + μ22A2sin (k2t + α2) • => x1 = k1A1cos(k1t + α1) + k2A2cos(k2t + α2) • x2 = μ21k1A1cos(k1t + α1) + μ22k2A2cos(k2t + α2) • • Thay điều kiện ban đầu t = 0: x1(0) = x2(0) = 0; x1 (0) = 0; x()02 = V0 vào trên ta đ−ợc: ⎧A1 sinα 1 + A 2 sin α 2 = 0 ⎪ ⎪μ 21A 1 sin α 1 + μ 22A 2 sinα 2 = 0 ⎨ ⎪k1 A 1 cosα 1 + k 2 A 2 cosα2 = 0 ⎪ ⎩μ 21k 1 A 1 cosα 1 + μ 22k 2 A 2 cosα2 = 0 V0 1 V0 1 Giải ra: α1 = α2 = 0; A1 = ; A 2 = k1μ 21− μ 22 k 2μ 22 − μ 21 Thay các giá trị đã tính vào, cuối cùng nhận đ−ợc: V0 V0 x1 = (0 , 354 sin k1 t− 0101 , sin k2 t) ; x 2 = (0 , 853 .sin k1 t+ 0 , 042 .sin k2 t) k1 k1 62
  64. V EJ = 0 0 785 − 0 469 Mô men uốn tại ngàm: M ngàm 2 ( , sin k1 t , sin k2 t) k1 L Ngàm V0 EJ Từ đó: M,max = 1 254 2 k1 L Thí dụ 2-5: Lực kích động P(t) = Psinωt tác dụng lên khối l−ợng giữa của hệ (Hình 2-11a). Xác định biên độ dịch chuyển của tất cả các khối l−ợng và xây dựng biểu đồ mômen uốn động lực. Cho biết: Mômen q uán tính của tiết diện ngang của dầm là J = 35520 cm4; Môđun đàn hồi của vật liệu E = 2,1.107N/cm2. Nhịp dầm dài L = 400 cm; khối l−ợng các trọng tải bằng m = 40,8 Ns2/cm; biên độ lực kích động: P = 6000 N; tần số lực kích động ω = 100 rad/s. Bài giải: Tr−ớc hết ta xác định các hệ số ảnh h−ởng δik. Theo kết quả thí dụ 2, ch−ơng mở đầu, ta có: δ11 = δ33 = 75k; δ22 = 243k; δ21 = δ12 = δ32 = δ23 = 117k; δ13 = δ31 = 51k; L3 ở đây đặt k = . 9.1 296EJ Thay số tính đ−ợc: k = 7,38.10-9 cm/N. -7 -7 δ 11 = δ 33 = 5,53.10 cm/ N; δ22 = 17,92.10 cm/N. -7 -7 δ21= δ12 = δ32 = δ23 = 8,64.10 cm/N; δ13 = δ31 = 3,76.10 cm/N. P(t ) m m m a) L/6 L/3 L/3 L/6 Psinωt b) 2 2 2 mA 1P ω mA2P ω mA3P ω 636.104 Ncm 328.104 Ncm c) PL/4=60.104 Ncm d) Hình 2-11 63
  65. Ph−ơng trình xác định biên độ: 2 2 2 ⎧(1−δω m11 )A1P −δω m12 A2P −δω m13 A3P =δ P. 12 ⎪ 2 2 2 ⎨−δωm21 A 1P +−δω (1 m22 )A2P −δω m23 A3P =δ P 22 ⎪ 2 2 2 ⎩−δωm31 A1P −δω m32 A2P +−δω (1 m33 )A3P =δ P 32 Thay số và giải ra: A1P = A3P = – 0,064cm; A2P = – 0,128cm Các dịch chuyển tĩnh t−ơng ứng với lực P2 tác dụng (P2 = P). -7 y1t = y3t = P2δ12 = 6000.8,64 .10 = 0,0052cm. -7 y2t = P2δ 22 = 6000.17,92.10 = 0,0107cm. Rõ ràng biên độ khi hệ dao động lớn hơn khoảng 10 lần dịch chuyển tĩnh t−ơng ứng. Để xây dựng biểu đồ mômen uốn động lực, cần khảo sát tải trọng tác dụng lên dầm do 2 các giá trị biên độ lực kích động P và các lực quán tính: mAiP ω . Các lực quán tính nằm ở pha ng−ợc với pha của lực kích động. Ta có: 2 2 2 mA1Pω = – 26100N; mA2Pω = – 52200N; mA3Pω = – 26100N Những điều trình bày đ−ợc biểu thị trên (Hình 2-11b, c, d) trong đó biểu đồ cuối (Hình 2-11d) biể u thị tác dụng tĩnh của biên độ lực kích động P. 64
  66. Ch−ơng III Dao động tuyến tính của hệ có vô số bậc tự do Hệ có khối l−ợng phân bố liên tục có vô số bậc tự do (tức là có vô số tần số riêng và dạng dao động riêng). Khác với hệ hữu hạn bậc tự do ph−ơng trình toán học mô tả quá trình dao động là hệ ph−ơng trình vi phân th−ờng, ở đây dẫn tới ph−ơng trình vi phân đạo hàm riêng. Do đó ngoài các điều kiện ban đầu, cần xét đến các điều kiện biên. Ta xét một số hệ liên tục đơn giản th−ờng gặp trong kỹ thuật. Đ.3.1. Dao động dọc của thanh tiết diện không đổi. 3.1.1. Ph−ơng trình vi phân dao động dọc của thanh. Khi xét dao động dọc của thanh thẳng ta coi tiết diện ngang của thanh phẳng và các phần tử của thanh không thực hiện dịch chuyển ngang mà chỉ dịch chuyển theo h−ớng dọc thanh. Cho thanh thẳng dài L. Chọn trục Ox h−ớng dọc thanh nh− hình vẽ (Hình 3-1). L U m n m n O X x dx dx ∂U U + dx ∂x m n ∂N N N dx ∂x Hình 3-1 Ký hiệu: ρ là khối l−ợng riêng của vật liệu thanh; E là Môđun đàn hồi của nó; F là diện tích tiết diện ngang của thanh. Xét phân tố giới hạn bởi hai mặt cắt m, n. Gọi U là dịch chuyển dọc của tiết diện ngang bất kỳ m có toạ độ x khi dao động. Dịch chuyển này sẽ là hàm của x và t: U = U(x,t). ∂U Khi đó dịch chuyển ở tiết diện lân cận n sẽ bằng: U + dx. Từ đó độ dãn dài tuyệt đối của ∂x ∂U ∂U phân tố thanh dx là dx; và độ dãn dài t−ơng đối của nó bằng: ε = (3-1) ∂x ∂x 65
  67. Lực dọc tác dụng tại tiết diện ngang m có toạ độ x đ−ợc tính theo biểu thức: ∂U N = EFε = EF (3-2) ∂x EF gọi là độ cứng của thanh khi kéo, nén. Lực dọc tác dụng tại tiết diện ngang lân cận có toạ độ (x + dx) bằng: ∂N N′ = N + dx. ∂x ∂ 2 U Khối l−ợng phân tố thanh khảo sát là: ρFdx, nên lực quán tính đặt lên nó là: − ρFdx . ∂t 2 áp dụng nguyên lý Đa-lăm-be đối với phân tố thanh, ph−ơng trình vi phân chuyển ⎛ ∂N ⎞ ∂ 2 U động trên trục Ox: −NN +⎜ + dx⎟ − ρ Fdx = 0 ⎝ ∂x ⎠ ∂t 2 ∂N ∂ 2 U Suy ra: = ρF (3-3) ∂x ∂t 2 ∂ 2 U ∂ 2 U Thay (3-2) vào (3-3) nhận đ−ợc: = a 2 (3-4) ∂t 2 ∂x 2 F Trong đó: a = là tốc độ truyền sóng dọc trong thanh; (3-4) là ph−ơng trình dao ρ động dọc của thanh tiết diện không đổi . 3.1.2. Giải ph−ơng trình (3-4) bằng ph−ơng pháp Furiê. Ph−ơng trình (3-4) là ph−ơng trình đạo hàm riêng cấp hai gọi là ph−ơng trình sóng. Hàm U = U(x,t). NR của (3-4) tìm d−ới dạng: U = X(x)T(t) (3-5) Nghĩa là tìm U ở dạng tích hai hàm. X(x) chỉ là hàm của x, T(t) chỉ là hàm của t. Thay (3-5) vào (3-4) ta có: •• a2 X ′′ T = X T Vế trái của đẳng thức chỉ phụ thuộc vào x, vế phải chỉ phụ thuộc t. Để đẳng thức đúng với mọi x, t thì chúng phải bằng hằng số. Ta ký hiệu hằng số này qua: - p2. Do đó: •• a2 X ′′ T = −p2 ; = −p 2 X T Ta có hai ph−ơng trình sau: 2 •• ⎛ p ⎞ T+ p2 T = 0; X ′′ + ⎜ ⎟ X= 0 (3-6) ⎝ a ⎠ Ph−ơng trình đầu của (3-6) có nghiệm: T = Asin(pt + α) (3-7) 66
  68. Nó đặc tr−ng cho quá trình dao động, ở đó p ch−a biết có ý nghĩa nh− tần số dao động tự do. Ph−ơng trình thứ hai của (3-6) có nghiệm: p p X= C sin x + D cos x (3-8) a a Nó xác định dạng riêng của dao động. Ph−ơng trình xác định đại l−ợng ch−a biết p đ−ợc thiết lập khi xét các điều kiện biên gọi là ph−ơng trình tần số. Nói chung ph−ơng trình này luôn là ph−ơng trình siêu việt và có vô số nghiệm pn (n = 1, 2 ). Nghiệm viết ở dạng (3-5) chỉ là một NR của ph−ơng trình sóng. NTQ của (3-4) nhận đ−ợc bằng cách hợp các NR: ∞ U= ∑ Xn (x)T n (t) (3-9) n=1 Hàm Xn (x) gọi là hàm riêng, mô tả dạng riêng của dao động, nó không phụ thuộc vào điều kiện đầu và thoả mãn điều kiện trực giao. Khi F = const, m ≠ n, ta có: L X (x).X (x)dx = 0 (3-10) ∫ m n 0 3.1.3. Các điều kiện biên của thanh, ph−ơng trình tần số. 2.1.3a. Thanh có hai đầu tự do (Hình 3-2). Trong tr−ờng hợp này lực dọc ở hai đầu L thanh bằng không, nên độ dãn dài t−ơng đối bằng X không x ∂U Ta có: = 0 khi x = 0 và x = L ∂x Hình 3-2 Hay: XT′ = 0 khi x = 0 và x = L Các điều kiện trên đ−ợc thực hiện nếu: dX dX = 0 và = 0 (3-11) dx x=0 dx x= L Từ (3-8) với C và D bất kỳ, nên điều kiện đầu của (3-11) đ−ợc thoả mãn khi đặt C = 0; pL điều kiện thứ hai đ−ợc thoả mãn nếu: sin = 0 (3-12) a (3-12) gọi là ph−ơng trình tần số. Nó cho phép xác định tần số riêng của dao động dọc thanh với các mút tự do. p L Ta có: n =n π ; n = 1, 2, 3 (3-13) a 67
  69. Khi n = 1, ta có tần số dao động cơ bản: aπ π E p = = (3-14) 1 LL ρ Chu kỳ t−ơng ứng bằng: 2π ρ T1 = = 2L (3-15) p1 E Nh− vậy, ta có vô số tần số dao động riêng, mỗi tần số t−ơng ứng với một dạng dao nπ x động riêng xác định bởi hàm riêng X (x) = cos . Vì thế, NTQ dao động tự do của thanh n L với hai đầu mút tự do đ−ợc biểu diễn ở dạng: ∞ ∞ nπ x U= ∑ Xn (x)T n (t)= ∑ cos .An sin(pn t+ α n ) n= 1 n= 1 L ∞ nπ x ⎛ nπ at nπ at ⎞ Hay: U= ∑ cos .⎜ an cos + bn sin ⎟ (3-16) n=1 L ⎝ L L ⎠ Các hằng số an, bn có thể chọn sao cho thoả mãn điều kiện đầu. Giả sử tại t = 0 thì • U= f(x); U= f1 (x) . Thay điều kiện này vào (3-16) ta đ−ợc: t=0 t=0 ∞ nπ x ∞ nπ a n π x f(x)= ∑ an cos ; f1 (x)= ∑ b n cos n=1 L n=1 L L 2 L nπ x 2 L nπ x Từ đó suy ra: a = f(x)cos dx; b = f (x)cos dx (3-17) n ∫ n ∫ 1 L 0 L nπ a 0 L 3.1.3b. Thanh một đầu ngàm chặt, một đầu tự do (Hình 3-3). Giả sử thanh bị ngàm ở đầu x = 0, đầu còn L lại x = L tự do. Điều kiện biên có dạng: X ∂U U = 0 v à= 0 x x=0 ∂x x= L Hình 3-3 Hay: XT = 0 khi x = 0 và XT′ = 0 khi x = L. Điều này đ−ợc thực hiện nếu: X;= 0 X′ = 0 (3-18) x=0 x= L T−ơng tự cách lý giải nh− 3.1.3a, để thoả mãn (3-18) phải có D = 0 và ta suy ra pL ph−ơng trình tần số: cos = 0 (3-19) a nπ a Giải ra ta có: p = ; n = 1, 3, 5 (3-20) n 2L 68
  70. πa π E Với n = 1 thì: p = = (3-21) 1 2LL 2 ρ NTQ dao động dọc của thanh trong tr−ờng hợp này có dạng: ∞ nπ x ⎛ nπ at nπ at ⎞ U= ∑ sin .⎜ an cos + bn sin ⎟ (3-22) n=1 , 3 , 5 2L ⎝ 2L 2L ⎠ Hằng số an, bn cũng đ−ợc xác định bằng điều kiện đầu tại t = 0. Giả sử thanh đ−ợc kéo bởi lực dọc P tại mút tự do. Tại t = 0 lập tức cắt bỏ lực P và thanh còn tự do. Ký hiệu ε là độ dãn dài t−ơng đối ban đầu thì ε = P/EF. Ta viết đ−ợc điều kiện đầu ở dạng: • U= ε x ; U = 0 t=0 t=0 Điều kiện này cho ta xác định an và bn. Khi đó ta có: 8εL n−1 b = 0 ; a= ()−1 2 n n n 2π 2 n−1 8εL()−1 2 nπ x n π at Do đó: U = sin cos (3-23) 2 ∑ 2 π n=1 , 3 , 5 n 2L 2L Tóm lại, từ các điều kiện biên ta sẽ xác định đ−ợc các tần số riêng và các hàm riêng. Bảng 4: Ta thống kê một số dạng cơ bản các điều kiện biên của bài toán khi xét dao động dọc của thanh. Bảng 4: Các điều kiện biên của vài dạng liên kết khi xét dao động dọc của thanh. Sơ đồ Dạng liên kết Điều kiện biên O X Ngàm U(0,t) = 0 ∂U(0 ,t) X Đầu tự do EF = 0 O ∂x N X ∂U(0 ,t) Lực dọc EF = N O ∂x C X ∂U(0 ,t) EF = CU O Liên kết đàn ∂x C hồi tuyến tính ∂U(L,t) X EF = −CU O ∂x X 2 m ∂U(0 ,t) ∂ U EF = m O 2 Đầu thanh gắn ∂x ∂t m khối l−ợng m 2 X ∂U(L,t) ∂ U EF = −m O ∂x ∂t 2 69
  71. Đ.3.2. Dao động xoắn của trục tròn tiết diện không đổi. 3.2.1. Ph−ơng trình cơ bản và nghiệm của nó. Về mặt toán học việc thiết lập ph−ơng trình vi phân dao động xoắn của trục tròn giống nh− khảo sát dao động dọc của thanh. Cho trục tròn dài L. Chọn trục Ox dọc trục nh− hình vẽ (Hình 3-4) Gọi ρ là mật độ khối l−ợng của vật liệu trục; G là môđun đàn hồi tr−ợt của nó; JP là mômen quán tính độc cực của tiết diện ngang trục; khi đó: GJP = C là độ cứng tiết diện ngang trục khi xoắn. L M m n m n O X x dx ∂M M + dx ∂x Hình 3-4 Xét yếu tố thanh giới hạn bởi hai mặt cắt m, n gần kề nhau. Mômen xoắn tác dụng ở ∂M hai tiết diện này t−ơng ứng bằng: M và M + dx ∂x ∂θ Gọi θ là góc xoay của tiết diện m có toạ độ x, khi đó biến dạng góc t−ơng đối là . ∂x Theo công thức đã biết trong SBVL, ta có: ∂θ J G = M (3-24) P ∂x ∂2 θ Lực quán tính tác dụng lên yếu tố của trục bằng: − ρJ dx P ∂t 2 áp dụng nguyên lý Đa-lăm-be, ph−ơng trình cân bằng mômen đối với trục Ox: ⎛ ∂M ⎞ ∂2 θ −MM +⎜ + dx⎟ − ρ JP dx = 0 ⎝ ∂x ⎠ ∂t 2 ∂M ∂2 θ Từ đó: = ρJ (3-25) ∂x P ∂t 2 Thay (3-24) vào (3-25) ta nhận đ−ợc: ∂2 θ ∂2 θ = a 2 (3-26) ∂t 2 1 ∂x 2 G Trong đó: a = là vận tốc truyền sóng tr−ợt. 1 ρ Ph−ơng trình (3-26) là ph−ơng trình vi phân dao động xoắn của trục tròn tiết diện không đổi. Nó có dạng giống ph−ơng trình (3-4). 70
  72. NTQ của (3-26) có dạng: ∞ θ = ∑ X n(x)T n (t) (3-27) n=1 pn x pn x Trong đó: Xn(x) = Cn sin + Dn cos (3-28) a1 a1 Tn(t) = An sin ( pnt + αn) Các hằng số An, α n đ−ợc xác định từ điều kiện đầu. Các tần số riêng và hàm riêng đ−ợc xác định từ các điều kiện biên. 3.2.2. Các điều kiện biên - ph−ơng trình tần số. 3.2.2a. Trục có hai đầu tự do (Hình 3-5). L X x Hình 3-5 Trong tr−ờng hợp này mômen xoắn ở hai đầu bằng không. Nên: ∂θ ∂θ = 0 và = 0 ∂x x=0 ∂x x= L Hay có thể viết: X′ = 0 vX′ à= 0 (3-29) x=0 x= L pL Để thoả mãn điều kiện (3-29), ta phải có: C = 0 và: sin = 0 (3-30) a1 (3-30) là ph−ơng trình tần số trong tr−ờng hợp khảo sát. Giải ra: p L n = nπ; n = 1, 2, 3 (3-31) a1 ∞ nπ x ⎛ nπ a1 t nπ a1 t ⎞ NTQ có dạng: θ = ∑cos ⎜an cos + bn sin ⎟ n= 1 L ⎝ L L ⎠ L 3.2.2b. Trục có gắn các đĩa (bánh đà) ở hai J1 J 2 đầu mút (Hình 3-6). O x Trong tr−ờng hợp này mômen xoắn ở các đầu trục bằng mômen các lực quán tính của các đĩa x (bánh đà). Hình 3-6 71
  73. ∂2 θ ∂θ Điều kiện biên khi này có dạng sau: J = GJ khi x = 0 1 ∂t 2 P ∂x ∂2 θ ∂θ J = −GJ khi x = L 2 ∂t 2 P ∂x 2 ⎪⎧J1 p X′ = GJP X′ khi x = 0 Hay: (3-32) ⎨ 2 ⎩⎪J2 p X′ = − GJP X′ khi x= L Khi cho thoả mãn các điều kiện trên ta nhận đ−ợc ph−ơng trình tần số: ⎛ pL pa J pL ⎞ p ⎛ pL pa pL ⎞ p2 ⎜ cos − 1 1 sin ⎟J = − GJ⎜ sin + 1 cos ⎟ (3-33) ⎜ ⎟ 2 P ⎜ ⎟ ⎝ a1 GJ P a1 ⎠ a1 ⎝ a1 GJ p a1 ⎠ pL J1 g J1 J 2 γLJ P Đặt: = β = =m; =n; J 0 = a1 γLJ P J 0 J 0 g Ph−ơng trình (3-33) đ−a về dạng: βn(1 – mβtgβ) = − (tgβ+ mβ) (m+ n) β Hay suy ra: tgβ = (3-34) mnβ2 −1 Nếu β1, β2, βn là nghiệm của ph−ơng trình (3-34) thì NTQ đối với tr−ờng hợp khảo sát là: ∞ ⎛ β n x β n x ⎞⎛ β n a1 t β n a1 t ⎞ θ = ∑⎜cos −m β n sin ⎟⎜an cos + bn sin ⎟ (3-35) n=1 ⎝ L L ⎠⎝ L L ⎠ Đ.3.3. Dao động uốn của dầm tiết diện không đổi. 3.3.1. Ph−ơng trình cơ bản. Giả sử dầm có mặt phẳng đối xứng và dao động xảy ra trong mặt phẳng này, nghĩa là dầm chỉ thực hiện dao động uốn theo ph−ơng y. Trong tr−ờng hợp mặt cắt dầm không đối xứng qua hai trục thì dầm sẽ thực hiện dao động xoắn và uốn đồng thời mà ta không xét ở đây. Mặt khác ta cũng giả thiết rằng: Các mặt cắt của dầm luôn luôn phẳng và vông góc với trục võng của dầm. Ta ký hiệu EJ là độ cứng của dầm khi uốn, q là khối l−ợng đơn vị trên chiều dài dầm, y là dịch chuyển của tiết diện dầm. Xét phân tố dầm dx giới hạn bởi hai mặt cắt kế nhau m và n (Hình 3-7). Mômen uốn và lực cắt tác dụng lên phân tố dầm ở hai mặt cắt m và n t−ơng ứng bằng: ∂M ∂Q M, M + dx và Q, Q + dx ∂x ∂x ∂ 2 y Lực quán tính tác dụng lên phân tố dầm khảo sát: qdx ∂t 2 72