Giáo trình Cơ học lượng tử - Nguyễn Duy Hưng

128 trang phuongnguyen 150

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Cơ học lượng tử - Nguyễn Duy Hưng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_co_hoc_luong_tu_nguyen_duy_hung.pdf

Nội dung text: Giáo trình Cơ học lượng tử - Nguyễn Duy Hưng

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏT F 7 G GIAÙO TRÌNH CÔ HOÏC LÖÔÏNG TÖÛ ThS. NGUYEÃN DUY HÖNG 1998
Cô hoïc löôïng töû - 1 - MUÏC LUÏC MUÏC LUÏC - 1 - LÔØI NOÙI ÑAÀU - 4 - BAØI MÔÛ ÑAÀU - 5 - §1 LÖÔÏC ÑOÀ TOÅNG QUAÙT CUÛA VAÄT LYÙ HOÏC - 5 - §2 BÖÙC TRANH THEÁ GIÔÙI CUÛA VAÄT LYÙ HOÏC COÅ ÑIEÅN - 5 - I/ Hai yù töôûng cô baûn cuûa vaät lyù hoïc coå ñieån : - 5 - II/ Hai boä phaän chuû yeáu cuûa vaät lyù hoïc coå ñieån : - 6 - III/ Hai daïng vaät chaát cô baûn cuûa vaät lyù hoïc coå ñieän : - 7 - IV/ Nhöõng quan nieäm cô sôû cuûa vaät lyù hoïc coå ñieån : - 7 - §3 NHÖÕNG BEÁ TAÉC CUÛA VAÄT LYÙ HOÏC COÅ ÑIEÅN VAØ NHÖÕNG YÙ TÖÔÛNG NÖÛA LÖÔÏNG TÖÛ - 8 - CHÖÔNG I. CÔ SÔÛ CUÛA CÔ HOÏC LÖÔÏNG TÖÛ - 10 - §1 CÔ SÔÛ VAÄT LYÙ CUÛA CÔ HOÏC LÖÔÏNG TÖÛ - 10 - I/ Theá giôùi vi moâ: - 10 - §2 HAI YÙ TÖÔÛNG CÔ BAÛN CUÛA CÔ HOÏC LÖÔÏNG TÖÛ - 12 - 1/ YÙ töôûng löôïng töû hoùa. - 12 - 2/ YÙ töôûng löôõng soùng haït - 13 - §3 CÔ SÔÛ TOAÙN HOÏC CUÛA CÔ HOÏC LÖÔÏNG TÖÛ - 16 - I/.Toaùn töû tuyeán tính : - 16 - II/ Giao hoaùn töû vaø phaûn giao hoaùn töû : - 17 - III/. Baøi toaùn trò rieâng cuûa toaùn töû tuyeán tính : - 18 - IV/. Moät soá toaùn töû ñaët bieät : - 19 - V/.Toaùn töû lieân hôïp vaø toaùn töû töï lieân hôïp (hecmitic) : - 24 - §4 THÍ NGHIEÄM QUAN TROÏNG TÍNH THOÁNG KEÂ CUÛA CÔ HOÏC LÖÔÏNG TÖÛ - 28 - I/ Thí nghieäm hai loã : - 28 - II/ Tính thoáng keâ cuûa CHLT: - 29 - §5 CAÙC BIEÁN ÑOÄNG LÖÏC TRONG CÔ HOÏC LÖÔÏNG TÖÛ - 30 - 1/.Caùc toaùn töû toïa ñoä : - 30 - 2/.Caùc toaùn töû xung löôïng : - 30 - 3/. Caùc toaùn töû Moment xung löôïng L vaø toaùn töû moment xung löôïng bình phöông L2 - 31 - 4/.Toaùn töû Hamilton H: - 32 - §6 CAÙC HEÄ THÖÙC BAÁT ÑÒNH - 34 - I/ YÙ Töôûng Löôõng Soùng Haït Vaø caùc Heä Thöùc Baát Ñònh: - 34 - II/ YÙ nghóa cuûa caùc heä thöùc baát ñònh: - 35 - III/ Moät soá keát quaû thu ñöôïc töø heä thöùc baát ñònh : - 37 - IV . Xaây döïng heä thöùc baát ñònh Heisenberg: - 39 - §7 HAØM SOÙNG . NGUYEÂN LYÙ CHOÀNG CHAÄP TRAÏNG THAÙI - 44 - I/. Haøm Soùng: - 44 - II/. Nguyeân lyù choàng chaäp traïng thaùi: - 45 - §8 PHÖÔNG TRÌNH SCHRODINGER - 46 - I/. Caùch “Thieát laäp” phöông trình: - 46 - ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 2 - §9 CAÙC PHÖÔNG TRÌNH CHUYEÅN ÑOÄNG LÖÔÏNG TÖÛ - 49 - I/ Nhaän xeùt chung : - 49 - II/ Caùc moùc Poisson löôïng töû : - 50 - III/ Ñaïo haøm theo thôøi gian cuûa caùc toaùn töû : - 52 - IV/ Caùc phöông trình chuyeån ñoäng löôïng töû . Ñònh lyù Ehrenfest - 54 - §10 SÖÏ LIEÂN HEÄ GIÖÕA CÔ HOÏC LÖÔÏNG TÖÛ VÔÙI CÔ HOÏC COÅ ÑIEÅN VAØ QUANG HOÏC - 56 - I/ Söï chuyeån töø phöông trình Schrodinger hieän ñaïi veà phöông trình Hamilton – Jacobi coå ñieån : - 56 - II/ Cô hoïc löôïng töû vaø quang hoïc : - 60 - §11 CAÙC CAÙCH PHAÙT BIEÅU CÔ HOÏC LÖÔÏNG TÖÛ - 61 - I/ Cô hoïc löôïng töû cuûa Schrodinger: - 61 - II/ Cô hoïc ma traän Heisenberg: - 62 - III/ Cô hoïc löôïng töû cuûa P.Dirac : - 62 - IV/ Cô hoïc löôïng töû cuûa R. Feynman : - 64 - §12 CAÙC CAÙCH MOÂ TAÛ SÖÏ PHUÏ THUOÄC THÔØI GIAN CUÛA HEÄ VI MOÂ.- 65 - 1/ Böùc tranh Schrodinger : - 66 - 2/ Böùc tranh Heisenberg: - 67 - 3/ Böùc tranh töông taùc : - 67 - 4/ So saùnh hai böùc tranh cô baûn: (böùc tranh Schrodinger vaø böùc tranh Heisenberg ) . - 67 - §13 CAÙC BIEÅU DIEÃN TRONG CÔ HOÏC LÖÔÏNG TÖÛ - 68 - I/ Cô hoïc löôïng töû trong Fˆ bieåu dieãn : - 68 - II/ Vaøi bieåu dieãn cuï theå: - 71 - CHÖÔNG II. MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN CÔ BAÛN CUÛA PHÖÔNG TRÌNH SCHRODINGER - 73 - § 1 CHUYEÅN ÑOÄNG TÖÏ DO - 73 - §2 BAØI TOAÙN MOÄT CHIEÀU - 75 - I/ Haït trong hoá theá ( gieáng theá ) saâu voâ haïn : - 75 - II/ Theá baäc thang: - 76 - III/ Söï truyeàn qua haøng raøo theá coù beà roäng höõu haïn: - 78 - IV/ Hoá theá naêng coù caùc thaønh cao höõu haïn - 79 - §3 DAO ÑOÄNG TÖÛ ÑIEÀU HOØA - 82 - §4 CHUYEÅN ÑOÄNG TRONG TRÖÔØNG XUYEÂN TAÂM. NGUYEÂN TÖÛ HYDRO - 84 - I/ Momen goùc : (Momen ñoäng löôïng ) - 84 - II/ Haït trong tröôøng ñoái xöùng caàu (chuyeån ñoäng xuyeân taâm) - 87 - III/ Nguyeân töû Hydrogen : - 89 - CHÖÔNG III. LYÙ THUYEÁT SPIN CUÛA PAULI - 92 - §1 SPIN CUÛA ELECTRON - 93 - 1/ Caùc toaùn töû spin : - 93 - 2. Caùc tính chaát cuûa caùc toaùn töû Pauli - 96 - 3. Vecto Spin - 96 - §2 PHÖÔNG TRÌNH PAULI - 100 - ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 3 - CHÖÔNG IV. PHÖÔNG PHAÙP NHIEÃU LOAÏN - 102 - §1 LYÙ THUYEÁT NHIEÃU LOAÏN DÖØNG KHOÂNG SUY BIEÁN . - 102 - §2 HIEÄU ÖÙNG ZEEMANN - 105 - §3 LYÙ THUYEÁT NHIEÃU LOAÏN DÖØNG COÙ SUY BIEÁN HIEÄU ÖÙNG STARK - 108 - I/ Lyù thuyeát nhieãu loaïn döøng coù suy bieán : - 108 - II/ Hieäu öùng Stark trong nguyeân töû Hydrogen : - 109 - CHÖÔNG V. HEÄ CAÙC HAÏT ÑOÀNG NHAÁT - 115 - §1 TOAÙN TÖÛ HOAÙN VÒ. NGUYEÂN LYÙ PAULI - 115 - 1/ Toaùn töû hoaùn vò - 115 - 2/ Caùc haït Bose vaø caùc haït Fermi (caùc boson vaø caùc Fermion) - 116 - 3/ Haøm soùng cuûa heä ñoàng nhaát khoâng töông taùc. Nguyeân lyù Pauli. - 116 - §2 NAÊNG LUÔÏNG TRAO ÑOÅI VAØ NGUYEÂN TÖÛ HELI - 118 - I/. Ñònh nghóa naêng löôïng trao ñoåi : - 118 - II/.Nguyeân töû Heli : - 118 - BAØI KEÁT - 122 - I/. Caùc nguyeân lyù vaø baøi toaùn cô baûn cuûa cô hoïc löôïng töû : - 122 - 1/. Ha øm Soùng Vaø Nguyeân Lyù Choàng Chaát Traïng Thaùi - 122 - 2/ Giaù Trò Trung Bình: - 123 - 3/ Baøi toaùn trò rieâng vaø caùc giaù trò ño ñöôïc cuûa caùc ñaïi löôïng vaät lyù trong thöïc nghieäm - 123 - 4/ Phöông trình cô baûn: - 123 - 5/ Nguyeân lyù khoâng phaân bieät caùc haït ñoàng nhaát: - 124 - II/ Nhöõng chaân trôøi môùi – hay laø söï phaùt trieån tieáp tuïc cuûa Cô hoïc löôïng töû:- 125 - Taøi lieäu tham khaûo: - 127 - ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 4 - LÔØI NOÙI ÑAÀU Caùc baïn sinh vieân Vaät Lyù thaân meán ! Cuoán giaùo trình cô hoïc löôïng töû naøy ñöôïc soaïn daønh cho caùc baïn. Ñaây laø söï chaét loïc töø haàu heát caùc giaùo trình cô hoïc löôïng töû ñaõ ñöôïc soaïn bôûi nhöõng nhaø vaät lyù noåi tieáng treân theá giôùi cuõng nhö ôû Vieät Nam. Bôûi leõ cô hoïc löôïng töû laø thaønh töïu vó ñaïi cuûa trí tueä nhaân loaïi theá kyû thöù 20,ñaõ vaø vaãn ñang laø cô sôû cuûa caùc muõi nhoïn cuûa vaät lyù hoïc thaäm chí ngay caû trong theá kyû 21 saép tôùi. Tuy nhieân do: Cô hoïc löôïng töû laø moân raát khoù, raát phöùc taïp thaäm chí “kyø quaëc”, neân vieäc soaïn moät giaùo trình cho deã hieåu saùng suûa trong khuoân khoå 100 trang giaáy laø ñieàu voâ cuøng khoù khaên thaäm chí laø ñieàu khoâng theå thöïc hieän – ít nhaát laø ñoái vôùi toâi. Khoâng nhöõng theá khuoân khoå cuûa giaùo trình naøy laø töông ñöông vôùi 60 tieát hoïc trong chöông trình hoïc cuûa khoa vaät lyù hieän nay. Vì vaäy maëc duø toâi ñaõ heát söùc coá gaéng vaø boû nhieàu coâng söùc cuoán saùch naøy khoâng theå ñöôïc xem laø moät giaùo trình hoaøn chænh vaø noù caøng khoâng theå thay theá cho vieäc nghe giaûng cuûa caùc baïn. Toâi xin löu yù caùc baïn ñoâi ñieàu veà ñaëc ñieåm cuûa giaùo trình naøy .Phaïm vi öùng duïng cuûa Cô hoïc löôïng töû laø voâ cuøng roäng raõi , ví duï nhö : Hoùa hoïc löôïng töû , Lyù thuyeát tröôøng Löôïng töû , Lyù thuyeát haït nhaân vaø Caáu truùc haït nhaân nguyeân töû, Lyù thuyeát chaát raén , Ñieän töû hoïc löôïng töû vaø coøn nhieàu ngaønh khaùc nöõa .Chính vì theá ñeå hieåu thaät söï ñaày ñuû veà Cô hoïc löôïng töû phaûi trình baøy trong nhöõng taøi lieäu khaù ñoà soä . Tuy nhieân do nhieàu lyù do xuaát phaùt töø thöïc tieãn hoïc taäp vaø giaûng daïy cuûa chuùng ta hieän nay , giaùo trình naøy chæ chuû yeáu traû lôøi cho caâu hoûi :”Cô hoïc löôïng töû ra ñôøi töø ñaâu ?”hay “Cô sôû cuûa Cô hoïc löôïng töû laø gì ?”(chöông I) . Coâng cuï toaùn hoïc cuûa Cô hoïc löôïng töû chæ ñöôïc giôùi thieäu nhöõng neùt cô sôû (toaùn töû tuyeán tính töï lieân hôïp )vaø nhöõng tính toaùn cho nhöõng vaán ñeà cuï theå ñöôïc xem laø thöù yeáu vaø ñoâi khi chæ trình baøy döôùi daïng giôùi thieäu noäi dung phöông phaùp chöù khoâng aùp duïng vaøo nhöõng baøi toaùn cuï theå (Phöông phaùp nhieãu loaïn ) Toâi thaät xuùc ñoäng khi nhöõng doøng cuoái cuøng cuûa giaùo trình naøy ñöôïc vieát vaøo ngaøy 20-11-1998- ngaøy maø töø nhieàu naêm nay caùc baïn thöôøng daønh cho toâi nhöõng lôøi chuùc möøng toát ñeïp, Vì theá toâi muoán caùc baïn xem giaùo trình naøy nhö laø lôøi caûm ôn cuûa toâi ñeán vôùi caùc baïn .Hôn theá nöõa toâi cuõng hy voïng raèng ñaây cuõng laø bieåu hieän cuûa loøng bieát ôn chaân thaønh vaø saâu saéc cuûa toâi ñoái vôùi bieát bao thaày coâ giaùo , nhöõng ngöôøi ñaõ thaép leân ngoïn löûa khaùt voïng tìm hieåu theá giôùi töï nhieân trong taâm hoán toâi maø trong soá ñoù coù khoâng ít ngöôøi maø vónh vieãn khoâng bao giôø toâi coù theå gaëp laïi ñöôïc nöõa . Chuùc caùc baïn gaët haùi nhieàu thaønh coâng trong hoïc taäp. Ngaøy 20-11-1998. Nguyeãn Duy Höng ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 5 - BAØI MÔÛ ÑAÀU §1 LÖÔÏC ÑOÀ TOÅNG QUAÙT CUÛA VAÄT LYÙ HOÏC Vaät lyù hoïc cho tôùi ngaøy nay döïa treân hai hoïc thuyeát vaät lyù lôùn ñoù laø :Thuyeát töông ñoái cuûa Einstein vaø lyù thuyeát löôïng töû. 1/ Lyù thuyeát töông ñoái cuûa Einstein ñöôïc ñaëc tröng bôûi haèng soá c laø vaän toác aùnh saùng trong chaân khoâng . Veà maët ñoä lôùn c = 300000 km/s. Trong lyù thuyeát töông ñoái c laø vaän toác truyeàn soùng ñieän töø vaø cho tôùi nay noù ñöôïc xem laø vaän toác giôùi haïn cuûa moïi chuyeån ñoäng . 2/ Lyù thuyeát löôïng töû (M.plank,N.Bohr) ñöôïc ñaëc töng bôûi haèng soá Plank . Haèng soá naøy duøng laøm ñoä ño söï phaân laäp caùc giaù trò khaû dó caùc ñaïi löôïng vaät lyù vaø laø caàu noái hai maët soùng haït cuûa chuyeån ñoäng cuûa vaät chaát . [h] = [naêng löôïng] × [thôøi gian] = [taùc duïng] Plank ñaõ goïi h laø löôïng töû taùc duïng . H = 6,62517.10-37 Js Döïa vaøo hai haèng soá naøy ta coù theå thieát laäp löôïc ñoà toång quaùt cuûa vaät lyù hoïc nhö sau . v<<c v≈c Cô hoïc coå ñieån Cô hoïc töông ñoái tính h=0 h=0 v<<c h_höõu haïn . v≈ c , h_höõu haïn. Cô hoïc löôïng töû khoâng töông ñoái Cô hoïc löôïng töû töông ñoái tính tính Lyù thuyeát tröôøng löôïng töû. Taøi lieäu naøy chæ ñeà caäp ñeán mieàn v<<c, h_höõu haïn,töùc laø phaàn cô hoïc löôïng töû khoâng töông ñoái tính . §2 BÖÙC TRANH THEÁ GIÔÙI CUÛA VAÄT LYÙ HOÏC COÅ ÑIEÅN I/ Hai yù töôûng cô baûn cuûa vaät lyù hoïc coå ñieån : Vaät lyù hoïc cho tôùi cuoái theá kyû 19 ñaàu theá kyû 20 - maø ngaøy nay thöôøng goïi laø vaät lyù hoïc coå ñieån - ñaõ xaây döïng moät böùc tranh haøi hoøa veà theá giôùi vaät chaát. Noù bao goàm hai lónh vöïc chuû yeáu ñoù laø : Cô hoïc cuûa Newton vaø ly thuyeát ñieän töø cuûa Maxwell. Taát caû nhöng kieán thöùc ñoù ñaõ cho pheùp nhaân loaïi giaûi thích ñöôïc moät soá löôïng khoång loà caùc hieän töôïng ,caùc söï kieän quan saùt ñöôïc töø theá giôùi vaät chaát . Cô sôû cuûa vaät lyù hoïc coå ñieån laø hai yù töôûng sau : ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 6 - - YÙ töôûng thöù nhaát laø yù töôûng nguyeân töû .Theo yù töôûng naøy thì vaät chaát ñöôïc caáu taïo töø nhöõng haït raát nhoû khoâng theå phaân chia ñöôïc vaø ñöôïc goïi laø nguyeân töû (Atomos). - YÙ töôûng thöù hai laø yù töôûng veà söï toàn taïi cuûa moät moâi tröôøng ñaøn hoài ñaëc bieät chöùa ñaày khaép nôi trong khoâng gian vaø nhôø ñoù maø caùc nguyeân töû töông taùc ñöôïc vôùi nhau . - YÙ töôûng nguyeân töû ñöôïc ñeà xuaát töø raát sôùm (theá kyû thöù IV tröôùc coâng nguyeân - Democrite)vaø cho tôùi theá kyû 20 ñaõ coù nhöõng baèng chöùng tuyeät ñoái khoâng phuû nhaän ñöôïc veà söï toàn taïi thöïc söï cuûa nguyeân töû vaø phaân töû . Con ngöôøi ñaõ coù nhöõng duïng cuï duøng ñeå ghi laïi ñöôïc nhöõng ion rieâng reõ - caùc oáng ñeám - vaø nhöõng duïng cuï quan saùt ñöôïc quyõ ñaïo cuûa caùc haït (buoàng Wilson) Thaäm chí quan saùt ñöôïc baèng maét vaø chuïp aûnh ñöôïc nhöõng phaân töû lôùn rieâng reõ cuûa moät vaøi hôïp chaát höõu cô . II/ Hai boä phaän chuû yeáu cuûa vaät lyù hoïc coå ñieån : 1/ Cô hoïc Newton : Cô hoïc Newton - döïa treân ba ñònh luaät cuûa Newton - laø moät boä phaän raát quan troïng cuûa vaät lyù hoïc coå ñieån . Trong ba ñònh luaät ñoù ñònh luaät thöù hai coù vai troø ñaëc bieät . Ñoù laø phöông trình : r r F = ma hay laø : Löïc = khoái löôïng × gia toác. Phöông trình naøy coù vai troø ñaëc bieät vì veá traùi laø löïc laø nguyeân nhaân gaây ra söï bieán ñoåi vaän ñoäng , veá phaûi coù khoái löôïng töùc laø thuoäc tính cuûa vaät chaát vaø gia toác töùc laø heä thöùc giöõa khoâng gian vaø thôøi gian .Ñieàu naøy coù nghóa laø phöông trình naøy thieát laäp moái quan heä giöõa vaät chaát,vaän ñoäng, Khoâng gian,thôøi gian vaø nguyeân nhaân gaây ra vaän ñoäng. Cuøng vôùi ñònh luaät haáp daãn, ba ñònh luaät treân ñaõ cho pheùp con ngöôøi giaûi thích ñöôïc moät caùch thoûa ñaùng chuyeån ñoäng cuûa nhöõng heä vó moâ trung hoøa ñieän 2/Lyù thuyeát ñieän töø Moät boä phaän chuû yeáu khaùc cuûa vaät lyù hoïc coå ñieån nghieân cöùu caùc hieän töôïng r r r r ñieän vaø töø . Caùc hieän töôïng naøy ñöôïc cho baèng caùc ñaïi löôïng ñieän töø E,D,B,H .Caùc ñaïi löôïng naøy ñöôïc heä thoáng nhôø heä phöông trình Maxwell : r r −∂B ∇*E = ∂t r r r ∂D ∇*H = J + ∂t r ∇D = ρ r ∇B = 0 r r r r r r D = εE, B = µH, J =σE Töø heä phöông trình naøy coù theå giaûi quyeát thoûa ñaùng taát caû caùc baøi toaùn ñieän töø ñaõ bieát . ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 7 - Hai boä phaän cuûa vaät lyù hoïc ñöôïc lieân heä vôùi nhau nhôø ñònh luaät Lorentz noùi raèng : Moät ñieän tích e chuyeån ñoäng vôùi vaän toác v trong ñieän töø tröôøng chòu taùc duïng cuûa moät löïc : r ⎡ r r r ⎤ F = e⎢E +(v B)⎥ ⎣ * ⎦ III/ Hai daïng vaät chaát cô baûn cuûa vaät lyù hoïc coå ñieän : a/ Daïng haït : Haït ñöôïc ñaëc tröng baèng tính ñònh xöù trong khoâng gian vaø söï toàn taïi quyõ ñaïo khi chuyeån ñoäng . Haït coøn coù nhöõng ñaëc tröng khaùc nhö khoái löôïng , xung löôïng , moment .v.v. b/ Daïng soùng : Soùng laø quaù trình lan truyeàn nhieãu loaïn trong khoâng gian vaø chuyeån ñoäng soùng laø chuyeån ñoäng cuûa traïng thaùi vaät chaát chöù khoâng phaûi laø chuyeån ñoäng cuûa chính vaät chaát . Chuyeån ñoäng soùng tuaàn hoaøn trong khoâng gian vaø thôøi gian . Ñaëc tröng quan troïng cuûa chuyeån ñoäng soùng laø soùng coù khaû naêng giao thoa vaø nhieãu xaï . Vaät lyù hoïc coå ñieån ñaõ nghieân cöùu hai loaïi soùng : - Soùng cô : laø söï lan truyeàn dao ñoäng cuûa caùc haït vaät chaát trong moâi tröôøng truyeàn soùng ,loaïi soùng naøy chæ coù theå lan truyeàn trong moâi tröôøng vaät chaát . - Soùng ñieän töø laø söï lan truyeàn nhöõng dao ñoäng ñieän töø ,Soùng ñieän töø coù theå lan truyeàn caû trong chaân khoâng . IV/ Nhöõng quan nieäm cô sôû cuûa vaät lyù hoïc coå ñieån : Vaät lyù hoïc coå ñieån döïa treân ba quan nieäm cô sôû sau : 1/ Söï bieán ñoåi lieân tuïc cuûa caùc ñaïi löôïng vaät lyù , hay roäng hôn laø tính lieân tuïc cuûa theá giôùi vaät chaát . Veà maët toaùn hoïc ñieàu naøy coù nghóa laø caùc haøm moâ taû caùc ñaïi löôïng vaät lyù laø caùc haøm soá lieân tuïc .Chính quan nieäm naøy laø cô sôû cuûa khaùi nieäm quyõ ñaïo cuûa chuyeån ñoäng . Moät thuoäc tính coá höõu cuûa chuyeån ñoäng trong vaät lyù hoïc coå ñieån . 2/ Quyeát ñònh luaän coå ñieån (Quyeát ñònh luaän Laplace).Quan nieäm naøy cho raèng neáu bieát ñöôïc traïng thaùi cuûa vaät ôû moät thôøi ñieåm naøo ñoù , bieát ñöôïc taát caû caùc löïc taùc duïng vaøo vaät thì coù theå tieân ñoaùn moät caùch chính xaùc tuyeät ñoái traïng thaùi cuûa vaät ôû thôøi ñieåm tieáp theo . quan nieäm naøy laø hình thöùc cô baûn cuûa nguyeân lyù nhaân quaû trong vaät lyù hoïc coå ñieån . 3/ Phöông phaùp phaân tích : Phöông phaùp cuûa vaät lyù hoïc coå ñieån ñeå xem xeùt, nghieân cöùu caùc hieän töôïng vaø söï vaät laø phöông phaùp phaân tích .Ñieàu naøy coù nghóa laø : Thöù nhaát : vaät coù theå ñöôïc taùch ra khoûi moâi tröôøng xung quanh vaø ñöôïc xem xeùt nhö laø moät vaät hoaøn toaøn ñoäc laäp. Thöù hai : trong nhöõng tröôøng caàn thieát vaät coù theå chia nhoû ra töøng phaàn ñeå nghieân cöùu vaø vieät chia nhoû ñoù khoâng caûn trôû vieäc ta hieåu bieát baûn chaát cuûa söï vaät . Noùi rieâng trong moïi tröôøng hôïp duïng cuï ño vaø ñoái töôïng ñöôïc quan saùt laø hoaøn toaøn ñoäc laäp vôùi nhau . ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 8 - §3 NHÖÕNG BEÁ TAÉC CUÛA VAÄT LYÙ HOÏC COÅ ÑIEÅN VAØ NHÖÕNG YÙ TÖÔÛNG NÖÛA LÖÔÏNG TÖÛ Maët duø giaûi quyeát ñöôïc moät soá löôïng raát lôùn caùc hieän töôïng cuûa theá giôùi vaät chaát , song cho tôùi cuoái theá kyû 19 vaät lyù hoïc coå ñieån ñaõ vaáp phaûi moät soá hieän töôïng maø trong khuoân khoå caùc ñònh luaät ñaõ coù vaät lyù hoïc coå ñieån khoâng theå giaûi quyeát ñöôïc . Ñoù laø caùc hieän töôïng sau : 1/ Böùc xaï cuûa vaät ñen tuyeät ñoái . 2/ Hieän töôïng quang ñieän . 3/ Hieäu öùng Compton. 4/ Caáu taïo nguyeân töû vaø lyù thuyeát nöõa löôïng töû cuûa Bohr. Ñeå giaûi quyeát nhöõng vaán ñeà treân vaät lyù hoïc phaûi ñöa ra nhöõng quan nieäm môùi vöôït xa khuoân khoå cuûa nhöõng quan nieäm tröôùc ñaây . Töông öùng vôùi nhöõng hieän töôïng treân,ñoù laø nhöõng quan nieäm sau ñaây : 1’/ Caùc nguyeân töû cuûa vaät chaát khoâng haáp thuï vaø böùc xaï naêng löôïng moät caùch lieân tuïc maø ngöôïc laïi haáp thuï vaø böùc xaï moät caùch giaùn ñoaïn caùc löôïng töû naêng löôïng . ε = hγ = hω h laø haèng soá phoå bieán -löôïng töû taùc duïng-haèngsoá Plank 2’/ Aùnh saùng laø moät chuøm haït- löôïng töû aùnh saùng- hay photon. Caùc photon coù naêng löôïng xaùc ñònh vaø xung löôïng xaùc ñònh. r r ε = hω , P = hk Heä thöùc naøy ñöôïc goïi laø heä thöùc Planck – Einstein. Nhö vaäy heä thöùc naøy ñaõ r r lieân heä caùc thoâng soá cuûa haït vôùi caùc thoâng soá cuûa soùng ( ε vaø P vôùi ω vaø k ). 3’/ Töø keát quaû thu ñöôïc cuûa hieäu öùng Compton: 2 θ ∆λ = 2λc sin 2 Trong ñoù: λc laø böôùc soùng Compton cuûa electron. Coâng thöùc treân coù nghóa laø: Söï thay ñoåi cuûa böôùc soùng chæ phuï thuoäc vaøo goùc taùn xaï maø khoâng phuï thuoäc vaøo taàn soá ban ñaàu (cuûa tia tôùi). Keát quaû naøy ñöôïc giaûi thích deã daøng töø söï va chaïm cuûa moät photon vôùi maët electron maø khoâng theå giaûi thích theo quan ñieåm soùng. 4’/ Caùc ñieän töû trong nguyeân töû khoâng chuyeån ñoäng treân nhöõng quó ñaïo baát kyømaø chæ coù theå ôû nhöõng quó ñaïo xaùc ñònh goïi laø quó ñaïo löôïng töû. Caùc quó ñaïo naøy ñöôïc nhaän sao cho moment xung löôïng M cuûa ñieän töû thoûa maõn heä thöùc: M = nh (n=1,2 . . .) Treân caùc quó ñaïo löôïng töû caùc electron coù naêng löôïng xaùc ñònh. Khi electron chuyeån töø quó ñaïo naøy sang quó ñaïo khaùc gaàn haït nhaân hôn nguyeân töû seõ phaùt ra ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 9 - moät photon vaø electron thöïc hieän moät böôùc nhaûy löôïng töû. Taàn soá cuûa photon phaùt ra ñöôïc tính theo coâng thöùc: En − Em = hω nm 5’/ Naêm 1927, C.Davison vaø L.Germer phaùt hieän hieän töôïng nhieãu xaï cuûa electron. Hieän töôïng naøy ñaõ ñöôïc DeBroglie tieân ñoaùn töø 1924. Hieän töôïng naøy chæ coù theå giaûi thích ñöôïc baèng nhöõng giaû thieát hoaøn toaøn môùi so vôùi nhöõng quan nieäm cuõ cuûa vaät lyù coå ñieån ñoù laø vieäc thöøa nhaän giaû thieát cuûa De Broglie: haït electron vaø vi haït noùi chung laø coù tính chaát löôõng nguyeân:hay löôõng tính soùng – haït. Cuï theå laø: r Moãi haït töï do coù naêng löôïng E vaø xung löôïng P xaùc ñònh ñöôïc bieåu dieãn bôûi r r moät soùng phaúng ñôn saéc coù taàn soá voøngω vaø vector soùng k lieân heä vôùi E vaø P bôûi heä thöùc gioáng nhö heä thöùc Planck- Eistein ñoái vôùi photon : r r E = hω , P = hk Soùng phaúng naøy coù daïng : i rr ⎡ rr ⎤ [pr −Et ] i⎢kr −ωt ⎥ r h ⎣ ⎦ ψ ()r,t = A.e = Ae vaø ñöôïc goïi laø soùng De Broglie . ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 10 - CHÖÔNG I. CÔ SÔÛ CUÛA CÔ HOÏC LÖÔÏNG TÖÛ §1 CÔ SÔÛ VAÄT LYÙ CUÛA CÔ HOÏC LÖÔÏNG TÖÛ I/ Theá giôùi vi moâ: 1/ Haït vi moâ: Caùc phaân töû, nguyeân töû, haït nhaân nguyeân töû vaø caùc haït cô baûn ñöôïc goïi laø caùc haït vi moâ. Danh saùch cuûa caùc haït cô baûn cho ñeán nay ñaõ trôû neân moät danh saùch khaù ñoà soä nhöng coù theå phaân thaønh ba loaïi laø: caùc löôïng töû cuûa tröôøng ñieän töø - caùc photon, caùc hardron vaø caùc lepton. Caùc hardron laø caùc haït tham gia töông taùc maïnh (töông taùc haït nhaân) vaø ngöôïc laïi caùc lepton bao goàm: caùc electron, caùc muon vaø caùc neutrion. Nhoùm caùc hardron ñoâng ñaûo hôn caû: chuùng bao goàm caùc nucleon (proton vaø neutron), caùc meson (caùc haït naøy nheï hôn proton) vaø caùc hyperon (caùc haït naëng hôn proton). Ngoaïi tröø tröôøng hôïp ñaëc bieät laø photon vaø moät vaøi meton trung hoøa caùc haït coøn laïi ñeàu coù phaûn haït. Thuoäc tính raát quen thuoäc cuûa haàu heát vi haït laø coù khoái löôïng nghæ. Ví duï khoái −28 löôïng nghæ m cuûa electron laø baèng:9,1.10 g , khoái löôïng cuûa photon laø 1836m, cuûa neutron laø: 1839m, cuûa muon laø 207m . Khoái löôïng nghæ cuûa photon vaø cuûa taát caû caùc neutrino ñeàu baèng khoâng. Khoái löôïng cuûa phaân töû, nguyeân töû vaø haït nhaân nguyeân töû baèng toång khoái löôïng cuûa caùc haït taïo thaønh tröø ñi ñoä huït khoái. Ñoä huït khoái baèng naêng löôïng duøng ñeå phaù vôõ vi haït thaønh nhöõng haït caáu thaønh (thöôøng ñöôïc goïi laø naêng löôïng lieân keát) chia cho bình phöông vaän toác aùnh saùng. Caùc nucleon trong haït nhaân coù naêng löôïng lieân keát lôùn nhaát- ñoä huït khoái cuûa moãi nucleon lôùn hôn 10m . Ñieän tích cuûa haït vi moâ baèng boäi nguyeân laàn ñieän tích cuûa electron, töùc laø −19 baèng boäi laàn 1,6.10 C .Ngoaøi nhöõng haït vi moâ tích ñieän coù nhieàu haït vi moâ trung hoøa veà ñieän. Ñieän tích cuûa haït vi moâ phöùc taïp baèng toång ñaïi soá caùc ñieän tích cuûa caùc haït thaønh phaàn. 2/ Spin cuûa vi haït. Spin laø moät trong nhöõng thuoäc tính quan troïng cuûa haït vi moâ. Spin coù theå ñöôïc 2 xem nhö laø moment cô rieâng cuûa haït. Bình phöông cuûa Spin baèng: h s(s +1) trong ñoù s coù theå laø soá nguyeân hay baùn nguyeân (s thöôøng ñöôïc goïi laø Spin), h laø haèng soá phoå bieán, ñoùng vai troø ñaëc bieät quan troïng trong cô hoïc löôïng töû, giaù trò cuûa h −34 baèng: 1,05.10 J.s . Spin cuûa photon baèng 1, Spin cuûa electron baèng 1 / 2 . Spin laø moät thuoäc tính ñaëc bieät cuûa vi haït. Vaø do ñoù noù khoâng theå coù moâ hình töông töï coå ñieån. Vieäc giaûi thích Spin nhö laø moment cô rieâng cuûa vi haït tuy thuaän tieän cho vieäc hình dung nhöng laø khoâng ñuùng vôùi thöïc teá vì khaùi nieäm”vi haït quay quanh noù” laø khoâng chaáp nhaän ñöôïc. ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 11 - Momemt goùc cuûa vi haït coù thuoäc tính khaùc thöôøng. Cuï theå hình chieáu treân phöông baát kyø cuûa noù chæ nhaän caùc giaù trò giaùn ñoaïn: hs ,h(s −1), , − hs ,töùc laø (2s + 1) giaù trò. Ñieàu naøy coù theå noùi laø vi haït coù (2s + 1) traïng thaùi Spin. Nhö vaäy söï toàn taïi Spin ñoái vôùi vi haït ñöa tôùi söï xuaát hieän baäc töï do trong ñeå moâ taû noù. 3/ Boson vaø Fermion: Treân cô sôû Spin ngöôøi ta chia vi haït thaønh hai nhoùm. Nhoùm moät laø caùc vi haït coù Spin nguyeân hoaëc baèng khoâng. Nhoùm hai laø caùc vi haït coù Spin baùn nguyeân. Nhoùm thöù nhaát coù ñaëc ñieåm laø chuùng coù theå coù voâ soá haït cuøng toàn taïi trong moät traïng thaùi löôïng töû, tuaân theo thoánh keâ Bose - Einstein vaø do ñoù nhoùm naøy thöôøng ñöôïc goïi taét laø caùc Boson. Nhö vaäy caùc meson vaø photon laø caùc Boson. Nhoùm thöù hai coù ñaëc ñieåm laø chuùng chæ toàn taïi nhieàu nhaát moät haït trong moãi traïng thaùi löôïng töû, tuaân theo thoáng keâ Fermi - Dirac vaø do ñoù caùc vi haït thuoäc nhoùm naøy ñöôïc goïi taét laø caùc Fermion. Caùc lepton - noùi rieâng laø caùc electron - caùc nucleon vaø caùc hyperon laø caùc Fermion. 4/ Tính khoâng beàn cuûa vi haït: Taát caû caùc haït cô baûn - töùc photon, electron, proton vaø neutrino ñeàu khoâng beàn. Ñieàu naøy coù nghóa laø caùc haït ñoù töï phaùt phaân raõ thaønh nhöõng haït vi moâ khaùc khoâng caàn moät taùc ñoäng naøo töø beân ngoaøi. Ví duï moät neutron töï phaân raõ thaønh moät proton, moät electron vaø moät neutrino: n → p + e− +γ e Chuùng ta khoâng theå tieân ñoaùn ñöôïc vaøo thôøi ñieåm naøo söï phaân raõ seõ xaûy ra nhöng töø thöïc nghieäm ngöôøi ta ñaõ tìm ñöôïc quy luaät phaân raõ. N()t = N exp()−t τ 0 trong ñoù τ laø haèng soá ñaëc tröng cuûa neutron- ñöôïc goïi laø thôøi gian soáng cuûa 3 neutron vaø baèng 10 s . Löôïng exp(−t τ ) xaùc ñònh xaùc xuaát cuûa neutron khoâng phaân raõ taïi thôøi ñieåm t . Caùc haït vi moâ khoâng beàn ñöôïc ñaëc tröng baèng thôøi gian soáng cuûa noù. Thôøi gian soáng cuûa moät haït caøng nhoû thì xaùc xuaát phaân huûy cuûa haït caøng lôùn. Ví duï: Thôøi −6 gian soáng cuûa muon laø 2,2.10 s , thôøi gian soáng cuûaπ - meson döông laø −8 −16 2,6.10 s , thôøi gian soáng cuûaπ - meson trung hoøa laø 10 s vaø cuûa hyperon laø −10 −22 10 s . Moät nhoùm haït khaùc coù thôøi gain soáng cöïc kyø ngaén vaøo khoaûng 10 s −23 ñeán 10 s . Caùc haït naøy ñöôïc goïi laø caùc haït coäng höôûng. Moät ñieàu löu yù laø: caùc meson vaø caùc hyperon coù theå phaân raõ theo nhieàu caùch khaùc nhau. Ví duï caùc π - meson döông coù theå phaân raõ theo kieåu nhö sau: + + π → µ +γ µ + + π → e +γ e + 0 + π →π +e +γ e Vôùi moät meson π baát kyø khoâng theå tieân ñoaùn ñöôïc vaøo luùc naøo cuõng nhö kieåu phaân raõ naøo seõ xaûy ra. Tính khoâng beàn khoâng phaûi chæ coù ñoái vôùi caùc haït cô baûn maø coøn ñuùng ñoái vôùi caùc vi haït khaùc. Hieän töôïng phoùng xaï cho thaáy raèng haït nhaân ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 12 - nguyeân töû laø khoâng beàn vöõng. Caùc nguyeân töûcuõng nhö caùc phaân töû khi ôû traïng thaùi kích thích cuõng khoâng heà, chuùng seõ töï phaùt trôû veà traïng thaùi ban ñaàu cuûa chuùng hay chuyeån sang traïng thaùi kích thích thaáp hôn. Nhöng caàn löu yù raèng tính khoâng beàn vöõng khoâng phaûi laø baûn chaát chung cuûa caùc vi haït bôûi vì ngoaøi caùc haït khoâng beàn coù moät soá haït vi moâ khaùc laø beàn. Ví duï nhö: photon, electron, proton, neutrion, caùc haït nhaân nguyeân töû beàn cuõng nhö caùc nguyeân töû vaø phaân töû ôû traïng thaùi cô baûn. Ngoaøi tính chaát ñaõ neâu treân haït cô baûn coøn coù moät ñaëc tính “kyø quaëc” theå hieän trong söï bieán ñoåi qua laïi cuûa chuùng. Tuy nhieân baïn ñoïc coù theå tìm hieåu theâm vaán ñeà ñoù qua caùc giaùo trình khaùc chi tieát hôn veà vaät lyù haït cô baûn. §2 HAI YÙ TÖÔÛNG CÔ BAÛN CUÛA CÔ HOÏC LÖÔÏNG TÖÛ 1/ YÙ töôûng löôïng töû hoùa. Baûn chaát cuûa yù töôûng löôïng töû hoùa laø: moät soá ñaïi löôïng vaät lyù moâ taû caùc ñoái töôïng vi moâ trong nhöõng ñieàu kieän thích hôïp chæ coù theå nhaän nhöõng giaù trò rôøi raïc xaùc ñònh. Khi ñoù ta noùi raèng caùc ñaïi löôïng aáy bò löôïng töû hoùa . YÙ töôûng naøy do M.Planck ñöa ra naêm 1900 khi nghieân cöùu böùc xaï cuûa vaät ñen tuyeät ñoái. Planck ñaõ giaû thuyeát raèng naêng löôïng cuûa böùc xaï ñieän töø do vaät phaùt ra khoâng phaûi laø lieân tuïc maø laø giaùn ñoaïn - theo töøng löôïng töû naêng löôïng, naêng löôïng cuûa moãi löôïng töû naøy baèng : ε = hω . Giaû thuyeát naøy ñaõ baûo ñaûm cho söï phuø hôïp cuûa lyù thuyeát vaø thöïc nghieäm, ñaëc bieät laø loaïi boû ñöôïc khoù khaên khi chuyeån lyù thuyeát ñeán vuøng taàn soá lôùn – maø ngöôøi ta goïi laø tai bieán töû ngoaïi . Tieáp theo Planck, Bohr ñaõ aùp duïng yù töôûng löôïng töû hoùa vaøo maãu haønh tinh nguyeân töû cuûa Rutherford ñeå xaây döïng maãu nguyeân töû môùi cuûa oâng, maãu nguyeân töû Bohr - hay maãu nguyeân töû nöõa löôïng töû. Maëc duø lyù thuyeát Bohr veà nguyeân töû vaãn coù nhöõng maâu thuaån noäi taïi song noù ñöôïc coi laø böôùc ñaàu tieân ñeå xaây döïng lyù thuyeát hoaøn chænh veà caáu truùc nguyeân töû. Ñeå hieåu noäi dung cuûa yù töôûng naøy ta xeùt ví duï caùc electron trong nguyeân töû. ÔÛ trong nguyeân töû naêng löôïng cuûa electron nhaän nhöõng giaù trò rôøi raïc – nhöõng giaù trò naøy taäp hôïp thaønh phoã naêng löôïng, nhö hình: Giaû söû ta chæ quan taâm ñeán E E hai möùc 1vaø 2 . Khi ñoù electron E E1 E chæ coù theå coù naêng löôïng laø 1 E hoaëc 2 chöù khoâng theå coù naêng E1 E E löôïng E thoûa maõn: 1<E < 2 . Ñaây laø ñieåm cô baûn cuûa cô hoïc ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 13 - E löôïng töû sau naøy. Electron coù theå chuyeån töø möùc naêng löôïng 1sang möùc E 2 hoaëc ngöôïc laïi, trong hai quaù trình ñoù electron nhaän vaø phaùt ra moät photon töông öùng. Quaù trình ñoù ñöôïc goïi laø pheùp chuyeån dôøi löôïng töû. Nhöng löu yù raèng: Naêng löôïng electron khoâng phaûi khi naøo cuõng bò löôïng töû hoùa. Chæ caùc electron ôû trong traïng thaùi lieân keát (ví duï electron trong nguyeân töû) thì naêng löôïng cuûa noù môùi bò löôïng töû hoùa. Caùc electron ôû traïng thaùi töï do thì naêng löôïng cuûa noù khoâng bò löôïng töû hoùa. Söï löôïng töû hoùa khoâng phaûi chæ xaûy ra vôùi naêng löôïng maø laø vôùi nhieàu ñaïi löôïng khaùc. Cuï theå moment xung löôïng cuûa vi haït cuõng bò löôïng töû hoùa. Khaùc vôùi naêng löôïng laø ñaïi löôïng chæ bò löôïng töû hoùa trong traïng thaùi lieân keát, moment xung löôïng luoân bò löôïng töû hoùa. Caùc giaù trò quan saùt ñöôïc cuûa bình phöông moment xung löôïngcuûa haït vi moâ ñöôïc cho bôûi coâng thöùc: 2 2 M = h l()l+1 trong ñoù l laø soá nguyeân, l = 0,1,2 Neáu ta xeùt moment goùc cuûa moät electron trong nguyeân töû ôû traïng thaùi döøng thöùn thì soá l nhaän giaù trò töø 0 ñeán (n-1). Ngöôøi ta thöôøng goïi Moment xung löôïng (hay moment goùc) moät caùch ñôn giaûn laø moment. Thöïc nghieäm chöùng toû raèng: hình chieáu cuûa momentcuûa vi haït leân moät phöông nhaát ñònh naøo ñoù (ta thöôøng goïi ñoù laø hình chieáu treân truïc oz cho tieän) nhaän caùc giaù trò: M z = hm trong ñoù m = −l,−l +1, ,l −1,l . Nhö vaäy vôùi moãi giaù trò cuûa l, soá m nhaän (2l +1) giaù trò giaùn ñoaïn ÔÛ phaàn treân ta ñaõ noùi veà Spin cuûa vi haït vaø coù theå coi Spin nhö laø “moment noäi taïi” cuûa vi haït. Ngöôøi ta goïi noù laø moment Spin ñeå phaân bieät moment thöôøng laø moment quõy ñaïo. Neáu s laø Spin cuûa vi haït thì hình chieáu cuûa moment Spin seõ nhaän caùc giaù trò hσ trong ñoù σ = −s,−s +1, , s −1, s . − h Nhö vaäy hình chieáu cuûa Spin cuûa moät electron seõ nhaän hai giaù trò: 2 vaø + h 2 . Caùc soá n,l,m,σ xaùc ñònh caùc giaù trò giaùn ñoaïn khaùc nhau cuûa caùc bieán ñoäng löïc löôïng töû hoùa vaø ñöôïc goïi laø caùc soá löôïng töû. n laø soá löôïng töû chính. l laø soá löôïng töû quõy ñaïo. m laø soá löôïng töû töø. σ laø soá löôïng töû Spin. 2/ YÙ töôûng löôõng soùng haït. Trong vaät lyù hoïc coå ñieån ngöôøi ta coi caùc khaùi nieäm soùng vaø haït laø loaïi tröø nhau. Haït ñöôïc ñaëc tröng baèng khoái löôïng, coù tính ñònh xöù trong khoâng gian vaø coù ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 14 - theå va chaïm vôùi nhau. Ngöôïc laïi soùng khoâng coù tính ñònh xöù nhöng coù khaû naêng gioa thoa, nhieãu xaï Song nhöõng quan nieäm quen thuoäc naøy khoâng theå chuyeån qua cô hoïc löôïng töû moät caùch tröïc tieáp ñöôïc. ÔÛ möùc ñoä caùc hieän töôïng vi moâ söï phaân ñònh roõ raøng hai daïng chuyeån ñoäng naøy bò phai môø ñi moät caùch caên baûn. Cuï theå laø: Chuyeån ñoäng cuûa vi haït ñoàng thôøi ñöôïc ñaëc tröng baèng caû tính soùng laãn tính haït. Coù theå noùi raèng caùc vi haït ôû möùc ñoä naøo ñoù gioáng nhö haït vaø ôû möùc ñoä naøo ñoù gioáng vôùi soùng. Caùc möùc ñoä ñoù phuï thuoäc vaøo ñieàu kieän maø ôû ñoù ta xeùt haït vi moâ. Neáu trong vaät lyù coå ñieån haït vaø soùng laø hai maët ñoái laäp loaïi tröø nhau- hoaëc laø haït hoaëc laø soùng – thì ñoái vôùi caùc ñoái töôïng vi moâ caùc maët ñoái laäp naøy keát hôïp vôùi nhau moät caùch bieän chöùng trong khuoân khoå moät ñoái töôïng vi moâ thoáng nhaát laø tính löôõng soùng haït. YÙ töôûng löôõng soùng haït ñöôïc Einstein aùp duïng cho böùc xaï ñieän töø ñeå giaûi thích hieän töôïng quang ñieän. Ñeán 1924 De Broglie ñaõ môû roäng yù töôûng löôõng soùng haït khoâng chæ cho böùc xaï ñieän töø maø cho moïi haït vi moâ noùi chung. Cuï theå moãi haït vi moâ ñoàng thôøi coù nhöõng ñaëc tröng haït (naêng löôïng vaø xung löôïng) vaø caû nhöõng ñaëc tröng soùng(taàn soá vaø böôùc soùng). Moái lieân heä giöõa nhöõng ñaëc tröng ñoù ñöôïc cho baèng heä thöùc Planck - Einstein: r r E = hω , P = hk (2.1) Nhö vaäy laø moät haït chuyeån ñoäng ñöôïc lieân heä vôùi moät soùng maø böôùc soùng ñöôïc xaùc ñònh theo coâng thöùc: h λ = p YÙ töôûng naøy ñaõ cho caùc giaû thieát cuûa Bohr moät cô sôû vöõng chaéc. Chuyeån ñoäng cuûa electron trong nguyeân töû Hydro luùc ñoù seõ beàn vöõng khi doïc theo caùc quõy ñaïo ñöôïc quy ñònh laø baèng moät soá nguyeân laàn böôùc soùng. Caùc soùng doïc theo quõy ñaïo ñöôïc quy ñònh laø caùc soùng döøng. Ñieàu naøy töông ñöông vôùi quy taéc löôïng töû cuûa Bohr: hω E = n 2 trong ñoùω laø taàn soá quay cuûa electron quanh haït nhaân,töùc laø soá voøng quay cuûa electron quanh haït nhaân. Thaät vaäy, theo De Broglie ñoä daøi cuûa quõy ñaïo baèng soá nguyeân laàn böôùc soùng: h h λ = = p nλ = 2πr , mv Töø ñoù suy ra : 2πrmv = nh hay nhaân caû hai veá vôùi ω vaø chia cho 2 ta coù: mv. πrω n 1 hω = 2 2 2 Nhöng ñeå yù raèng : 2πrω = v ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 15 - neân ta coù : mv2 = E = n 1 hω 2 2 ñaây chính laø quy taéc löôïng töû cuûa Bohr. Vaán ñeà ñaët ra laø vôùi caùc haït vi moâ – nhö haït buïi chaúng haïn – taïi sao ta khoâng nhaän thaáy tính löôõng soùng haït cuûa noù? Lyù do ñôn giaûn laø töø coâng thöùc De Broglie ta tính ñöôïc böôùc soùng cuûa noù nhoû hôn kích thöôùc raát nhieàu laàn. Do ñoù trong ñieàu kieän ñoù ta khoâng theå phaùt hieän thaáy tính soùng cuûa haït buïi. Coøn khi “haït” coù khoái löôïng caøng nhoû thì böôùc soùng De Broglie cuûa haït caøng lôùn khi ñoù haït caøng khaùc vôùi haït coå ñieån vaø cuõng vì theá haït vi moâ caøng gioáng vôùi moät soùng hôn. Chuù yù laø soùng De Broglie khaùc vôùi nhöõng soùng coù thöïc maø ta noùi ôû treân. Nhö vaäy ta hình dung quan heä soùng – haït nhö theá naøo ? . Coù hai caùch hình dung sai veà moái quan heä naøy. Caùch thöù nhaát : laø haït töïa treân soùng. Caùch naøy laø do chính De Broglie ñeà xuaát trong thôøi kyø ñaàu. Theo oâng thì haït töïa nhö ngoài treân soùng vaø soùng cuoán noù tôùi ñaâu thì haït tôùi ñoù- hay noùi ñôn giaûn laø soùng chuyeân chôû haït. Nhöng thöïc teá laø soùng coù theå toàn taïi cuøng haït ngay caû trong chaân khoânghoaøn toaøn nhö vaäy soùng coù theå laø saûn phaåm cuûa chính haït. Nhö vaäy haït taïo ra soùng nhö theá naøo? Soùng chia seû “soá phaän” cuøng vôùi haït nhö theá naøo khi haït töông taùc vôùi caùc haït khaùc vaø vôùi moâi tröôøng? Ñoù laø nhöõng caâu hoûi maø quan nieäm “soùng chuyeân chôû haït” khoâng traû lôøi ñöôïc. Caùch thöù hai : ñoù laø quan nieäm cho raèng haït laø saûn phaåm ñöôïc taïo neân töø caùc soùng, laø moät cô caáu raén ñaëc do caùc soùng keát laïi hay noùi caùch khaùc haït nhö laø boù soùng laø nôi choàng chaát caùc soùng coù böôùc soùng raát ngaén. Tuy nhieân thöïc teá cho thaáy caùc soùng tham gia hieän töôïng taùn saéc nhö vaäy neáu haït laø boù soùng thì haït phaûi bò tan raõ khi nhöõng ñieàu kieän cuûa söï taùn saéc xuaát hieän. Nhöng trong thöïc teá haït khoâng heà bò tan trong nhöõng ñieàu kieän ñoù. Nhö vaäy caû hai caùch hình dung treân laø hai caùch hình dung maùy moùc theo kieåu coå ñieån ñeàu khoâng chaáp nhaän ñöôïc. Caàn löu yù raèng tính löôõng soùng haït khoâng phaûi chæ coù khi xeùt moät taäp hôïp caùc haït maø ngay caû khi coù moät haït duy nhaát tính löôõng soùng haït cuûa haït vi moâ vaãn bieåu loä roõ reät. Coù nhieàu caùch giaûi thích yù nghóa cuûa soùng De Broglie nhöng chöa coù caùch naøo hoaøn chænh. Caùch giaûi thích cuûa Born coi ñoù laø “soùng xaùc xuaát” coù veû nhö ñöôïc nhieàu ngöôøi chaáp nhaän hôn caû. Nhöng soùng xaùc xuaát vaãn khoâng mang moät yù nghóa vaät lyù cuï theå nhö soùng cô hoïc (soùng aâm, soùng treân maët nöôùc )Coù caùch giaûi thích raèng haït vi moâ luùc thì mang tính soùng, luùc thì mang tính haït. Cuõng coù caùch giaûi thích raèng haït vi moâ ñoàng thôøi vöøa laø soùng vöøa laø haït. Ñaùng chuù yù hôn caû laø quan nieäm raèng : haït vi moâ khoâng phaûi laø soùng cuõng khoâng phaûi laø haït. Tính löôõng soùng haït cuûa vi haït ñöôïc hieåu nhö khaû naêng tieàm taøng cuûa theá giôùi vi moâ theå hieän nhöõng tính chaát khaùc bieät cuûa noù phuï thuoäc vaøo ñieàu kieän “beân ngoaøi” cuï theå laø ñieàu kieän quan saùt noù. ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 16 - §3 CÔ SÔÛ TOAÙN HOÏC CUÛA CÔ HOÏC LÖÔÏNG TÖÛ Baát cöù lyù thuyeát vaät lyù naøo cuõng laø söï keát hôïp giöõa caùc yù töôûng vaät lyù ñöa ra treân cô sôû thöïc nghieäm vaø moät coâng cuï toaùn hoïc nhaát ñònh . Trong giai ñoaïn xaây döïng lyù thuyeát vaät lyù coâng cuï toaùn hoïc coù theå laø chöa coù - nhö khi Newton xaây döïng lyù thuyeát cuûa oâng , nhöng khi xaây döïng cô hoïc löôïng töû thì coâng cuï toaùn hoïc töông öùng ñaõ ñöôïc xaây döïng töø tröôùc . Coâng cuï ñoù laø lyù thuyeát caùc toaùn töû tuyeán tính . I/.Toaùn töû tuyeán tính : a/ Toaùn töû vaø ví duï : Toaùn töû laø söï töông öùng giöõa caùc phaàn töû cuûa taäp X vôùi caùc phaàn töû cuûa taäp Y naøo .Caùc thuaät ngöõ ñoàng nghóa vôùi toaùn töû laù :aùnh xaï ,hay haøm .Neáu hai taäp X vaø Y laø hai taäp hôïp soá thì ngöôøi ta duøng khaùi nieäm haøm soá . Vaøi tröôøng hôïp ñaët bieät cuûa toaùn töû laø : - Moät toaùn töû töø moät khoâng gian X vaøo chính noù goïi laø moät pheùp bieán ñoåi . - Moät toaùn töû töø moät khoâng gian haøm soá voâ haïn chieàu vaøo moät taäp hôïp soá ñöôïc goïi laø moät phieám haøm . Vôùi moät toaùn töû Lˆ baát kyø taùc duïng trong khoâng gian X vaø Y ta thöôøng vieát : (toaùn töû laø chöõ in coù daáu muõ): ˆ Lψ (x) =ϕ(x),ψ (x)∈ X,ϕ(x)∈Y vaø noùi raèng : toaùn töû Lˆ taùc duïng leân haøm (hay vectô ) ϕ(x). Caùc ví duï veà toaùn töû nhö :Pheùp tích phaân ,vi phaân , pheùp laáy caên pheùp naâng leân luyõ thöøa b/ Toaùn töû tuyeán tính : Tröôøng hôïp ñaët bieät quan troïng cuûa caùc toaùn töû ñoù laø caùc toaùn töû tuyeán tính . Ñoù laø caùc toaùn töû thoõa maõn hai ñieàu kieän : Lˆ(ψ +ψ ) = Lˆψ + Lˆψ +/1 2 1 2 ˆ ˆ +/ L(λψ) = λLψ (Ñoøi hoûi tính tuyeán tính cuûa toaùn töû coù theå xem nhö bieåu hieän cuûa nguyeân lyù choàng chaäp trong cô hoïc löôïng töû ). Coù theå deå daøng thaáy raèng : Caùc toaùn töû ñaïo haøm , vi phaân , tích phaân laø caùc toaùn töû tuyeán tính , coøn caùc toaùn töû naâng leân thöøa ,toaùn töû khai caên vaø toaùn töû Logarit khoâng phaûi laø toaùn töû tuyeán tính . Vôùi caùc toaùn töû tuyeán tính ta coù moät soá pheùp toaùn sau ñaây: + Toaùn töû ñôn vò : Lˆ ñöôïc goïi laø toaùn töû ñôn vò neáu noù thoûa maõn ñieàu kieän: Lψ = ψ = 1.ψ. + Pheùp coäng caùc toaùn töû : Toång cuûa hai (hay nhieàu) toaùn töû vaø laø moät toaùn töû maø keát quaû taùc duïng cuûa noù baèng toång caùc keát quaû taùc duïng cuûa caùc toaùn töû thaønh phaàn , nghóa laø : ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 17 - ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ C = A+ B neáu Cψ = Bψ + Bψ . ˆ + Pheùp nhaân caùc toaùn töû : C ñöôïc goïi laø tích cuûa hai toaùn Aˆ vaø Bˆ töû vaø vieát ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ laø : C = A.B neáu coù :Cψ = A(Bψ ) . löu yù vôùi pheùp nhaân caùc toaùn töû thöù töï cuûa chuùng trong pheùp nhaân laø quan troïng . −1 + Toaùn töû nghòch ñaûo : Lˆ goïi laø nghòch ñaûo cuûa toaùn töû Lˆ neáu : ˆ −1 Lψ (x) =ϕ(x) thì L ϕ(x) =ψ (x) . * + Toaùn töû lieân hôïp phöùc : Toaùn töû Lˆ ñöôïc goïi laø toaùn töû lieân hôïp phöùc cuûa Lˆ neáu nhö : ˆ ˆ* * * Lψ (x) =ϕ(x) thì : L ψ (x) =ϕ (x) + Pheùp naâng leân luyõ thöøa : ˆn ˆ ˆ ˆ L = L.L L (n: laø thöøa soá ). II/ Giao hoaùn töû vaø phaûn giao hoaùn töû : Giao hoaùn töû cuûa hai toaùn töû Aˆ vaø Bˆ laø : Vôùi caùc toaùn töû coù hai baøi toaùn quan troïng caàn xeùt laø giao hoaùn töû vaø baøi toaùn trò rieâng ⎡AˆBˆ⎤ = AˆBˆ − BˆAˆ ⎣⎢ ⎦⎥ . Phaûn giao hoaùn töû cuûa hai toaùn töû Aˆ vaø Bˆ laø : ⎡ ˆ ˆ⎤ ⎧ ˆ ˆ⎫ ˆ ˆ ˆ ˆ ⎢AB⎥ = ⎨AB⎬ = AB + BA ⎣ ⎦ + ⎩ ⎭ . Löu yù laø giao hoaùn töû cuõng nhö phaûn giao hoaùn töû cuûa hai toaùn töû khoâng phaûi luoân baèng khoâng . Ví duï : cho d Bˆ = Aˆ =x, dx . Khi ñoù : d d ⎡AˆBˆ⎤ = AˆBˆ − BˆAˆ = x − x ⎣⎢ ⎦⎥ dx dx . Hay : ⎛ d d ⎞ dϕ d []A, Bψ = ⎜ x − x⎟ψ = x − (xϕ) ⎝ dx dx ⎠ dx dx dψ dψ dx = x − x −ψ = −ψ. dx dx dx ⎡ d ⎤ ⎡ d ⎤ ⎢x, ⎥ψ = −ψ ⎢x, ⎥ = −1 Vaäy: ⎣ dx⎦ hay ⎣ dx⎦ . ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 18 - III/. Baøi toaùn trò rieâng cuûa toaùn töû tuyeán tính : Giaû söû ta xeùt toaùn töû Lˆ , Neáu coù : ˆ Lψ (x) = λψ(x) (λ=const, ψ(x) ≠0). Thì ψ(x) ñöôïc goïi laø haøm rieâng vaø λ ñöôïc goïi laø caùc trò rieâng töông öùng cuûa toaùn töû Lˆ . Moãi toaùn töû coù theå coù nhieàu haøm rieâng vaø trò rieâng töông öùng ; khi ñoù ta vieát : Lˆψ (x) = λ ψ (x) n n n (n=0,1,2 ). Taäp hôïp caùc giaù trò {λn } ñöôïc goïi laø caùc phoå caùc trò rieâng cuûa toaùn töû tuyeán tính Lˆ . Nhö vaäy caùc haøm rieâng cuûa toaùn töû tuyeán tính Lˆ laø caùc haøm coù tính chaát ñaët bieät laø noù giöû khoâng ñoåi daïng döôùi taùc duïng cuûa toaùn töû ngoaøi pheùp nhaân vôùi moät trò soá (trò rieâng ). ∂ L = −i Ví duï : giaû söû ∂x . Ñieàu kieän laø haøm ψ(x) tuaàn hoaøn trong khoaûng [0,L]. Phöông trình trò rieâng coù daïng : ∂ψ (x) −i = λψ (x) ∂x . Hay chính xaùc hôn : ∂ψ (x) −i n = λ ψ (x) ∂x n n . Töø phöông trình ta coù ngay : iλnx ψ n (x) = Ae Töø ñieàu kieän tuaàn hoaøn ta coù : ψ n (x) =ψ n (X + L). Maët khaùc löu yù raèng : iλ L i2nπ e n =1= e Vaäy : 2nπ λn = ,(n = ±0,±1,±2 ) L . Nhö vaäy λn laäp thaønh moät taäp hôïp giaùn ñoaïn . khi L→∞ caùc λn caøng saùt laïi gaàn nhau hôn hay chính xaùc hôn khoaûng caùch giöûa caùc λn→0. khi ñoù caùc haøm rieâng trôû thaønh : iλx ψ λ (x) = Ae . Vôùi λ laø moät bieán lieân tuïc coù theå laáy baát cöù giaù trò naøo . töø ñaây ta cuõng neân löu yù moät ñieàu laø :caùc trò rieâng phuï thuoäc vaøo ñieàu kieän bieân cuûa nghieäm cuûa phöông trình trò rieâng , nghóa laø chuùng chæ xaùc ñònh khi cho caùc ñieàu kieän bieân . ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 19 - Ñeå xaùc ñònh thöøa soá A ta xeùt ñieàu kieän chuaån hoùa : L 2 ∫ψ *ψdx = A L =1 0 Töø ñoù ta suy ra : 1 A = L Vaäy cuoái cuøng ta coù : 1 2nπ ψ (x) = eiλnx ,λ = n n L L . Löu yù raèng phoå caùc trò rieâng cuûa moät toaùn töû tuyeán tính coù theå lieân tuïc , coù theå giaùn ñoaïn hay vöøa lieân tuïc vöøa giaùn ñoaïn . Moät ñieàu caàn löu yù laø :Vôùi moät trò rieâng coù theå coù S haøm rieâng töông öùng .Khi ñoù ta noùi raèng caùc haøm rieâng ñoù suy bieán baäc S IV/. Moät soá toaùn töû ñaët bieät : Caùc haøm ñaët bieät coù vai troø quan troïng trong vaät lyù coå ñieån .Trong cô hoïc löôïng töû caùc haøm ñaët bieät xuaát hieän trong khaù nhieàu baøi toaùn quan troïng . 1/ Toaùn töû LH : Trong lyù thuyeát caùc haøm ñaët bieät ta thöôøng xeùt caùc ña thöùc - ñöôïc goïi laø ña thöùc Hermite (phöông trình cho nghieäm laø ña thöùc Hermite ñöôïc goïi laø phöông trình Hermite hay phöông trình Hermite-Tsebusep)-coù daïng : 2 d n 2 H (x) = (−1)n e x e− x n dxn 2 H 0 (x)=1 , H1(x)=2x , H 2 (x)=−2+4x 3 H 3 (x)=−12x+8x + n − 2 n − 4 n n(n−1)(2x) n(n −1)(n−2)(n−3)(2x) H n (x)=(2x) − + + 1! 2! Caùc ña thöùc Hermite coù caùc tính chaát : 1 xH n ()x = nH n−1(x)+ H n+1(x) 2 + ∞ 2 e− x H (x) H (x)dx = π 2n n!δ . ∫ m n mn − ∞ Nhö vaäy neáu xeùt toaùn töû : ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 20 - d 2 d LH = 2 −2x dx dx Thì baèng caùch laáy ñaïo haøm tröïc tieáp ta coù keát quaû : L H (x) = −2nH (x) H n n (n=0,1,2 ) 2/Toaùn töû LP: Ta ñaõ bieát caùc ña thöùc Legendre. 1 d l P = (x2 −1), −1≤ x ≤1 l l 2l l dx 3 1 P (x) =1 , P (x) = x , P (x) = x2 − 0 1 2 2 2 5 3 35 15 3 P (x) = x3 − x , P (x) = x 4 − x2 + 3 2 2 4 8 4 8 63 35 15 P (x) = x5 − x3 + x. 5 8 8 8 P (−1) = (−1)l , P (1) =1 l l Caùc ña thöùc Legendre coù tính chaát : 1 2 a / P (x)P (x)dx = δ ∫ l m lm −1 2l +1 1 ∞ b / = ∑ P (x)r l. 2 l 1−2rx + r l = o c / ()1+ P (x)−(2 +1)xP (x)+ P (x) = 0. l l+1 l l l l−1 Neáu ñöa vaøo toaùn töû : 2 2 d d LP ≡ (1− x ) 2 −2x . dx dx Thì ta thaáy caùc ña thöùc Legendre lieân heä vôùi Lp nhö sau: L P (x) = − ( +1)P (x) P l l l l 3/ Toaùn töû Laplace : Trong lyù thuyeát caùc haøm ñaëc bieät caùc haøm caàu coù vai troø ñaëc bieät quan troïng . Ñoù laø caùc haøm : ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 21 - 1 (2 +1)( − m)! ∂ m Y m (θ,ϕ) = eimϕ (−1)m l l sin mθ P (cosθ ) l 2π 2(l + m)! (∂ cosθ )m l Vôùi m ≥ 0. Y m (θ,ϕ) = (−1)m (Y −m )* Vôùi m ≤ 0, haøm l l (daáu * chæ lieân hôïp phöùc ). Vôùi moãi giaù trò cuûa l=0,1,2,3 ta coù 2l+1 giaù trò cuûa m . m = -l,- l+1,- l+2, , l-2, l-1, l. Y m (θ,ϕ) Moät soá bieåu thöùc cuûa l vôùi l vaø m cuï theå : Y 0 = 1 , Y 0 = 3 cosθ 0 4π l 4π Y ±1 = ± 3 sinθ e±iϕ l 8π 0 5 ⎛ 3 2 1 ⎞ Y2 = ⎜ cos θ − ⎟ 4π ⎝ 2 2 ⎠ ±1 15 ±iϕ Y2 = ± sinθ cosθ e 8π ±2 1 15 2 ±iϕ Y2 = sin θ e 4 2π Caùc haøm caàu coù tính chaát : π 2π a / Y m (θ.ϕ)Y m' (θ,ϕ)sinθ dθ dϕ =δ δ ∫ ∫ l ' ' ' 0 0 l ll mm b / Cosθ Y m = aY m + bY m l l + 1 l − 1 c / eiϕ sinθ Y m = CY m + 1 + dY m + 1 l l + 1 l − 1 Trong ñoù a , b , c, d laø nhöõng haèng soá chæ phuï thuoäc l , m. Neáu ñöa vaøo toaùn töû : 1 ∂ ∂ 1 ∂ 2 Λ = (sinθ )+ sinθ ∂θ ∂θ 2 2 sin θ ∂ϕ Thì caùc haøm caàu lieân heä vôùi toaùn töû naøy nhö sau : ΛY m (θ,ϕ) = − ( +1)Y m (θ,m) l l l l 4/. Toaùn töû LL: Caùc ña thöùc Lagendre coù daïng: ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 22 - j j d Lk (x) = j Lk (x) , ( j ≤ k) dx Vôùi : d k L e x xk e−x k = k ( ) dx Ta coù moät soá ña thöùc cuï theå : L0 (x) =1 , L1(x) =1− x 2 L2 (x) = 2−4x + x L (x) = 6−18x +9x2 − x3,v v 3 Caùc ña thöùc Laguerre coù tính chaát : ∞ (k!)3 L j (x)L j (x)x je−xdx = δ ∫ k k' kk' 0 (k − j)! Neáu ñöa vaøo toaùn töû : d 2 d LL ≡ x 2 +( j +1− x) dx dx Thì ta coù lieân heä cuûa LL vôùi caùc ña thöùc Laguerre nhö sau L L j (x) = −(k − j)L j (x) ; ( j ≤ k) L k k 5/.Toaùn töû LF : Caùc haøm sieâu boäi suy bieán laø caùc haøm coù daïng : a a(a +1) a(a +1)(a + 2) F(a,b, z) =1+ z + z 2 + z 3 + b.1! b(b +1) b(b +1)(b + 2)3! Ta thaáy neáu a laø moät soá nguyeân aâm töùc laø a = -n (n laø soá nguyeân döông )thì haøm sieâu boäi F(-n,b,z)seõ laø moät ña thöùc cuûa z . Coù theå chöùng minh ñöôïc raèng : a−b z F(a,b, z) → cz e khi Rez→ ∞, c = const. − a F(a,b, z) → d(−z) khi Rez→ ∞, d = const. Hôn nöõa döïa vaøo bieåu thöùc ñònh nghóa cuûa haøm sieâu boäi , ña thöùc Hermite vaø ña thöùc Legendre ta coù caùc heä thöùc sau : ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 23 - (2n)! 1 H (x) = (−1)n F(−n, , x2 ) 2n n! 2 2(2n +1)! 3 H (x) = (−1)n. F(−n, , x2 ) 2n+1 n! 2 j (J + k +1)! Lk (x) = F(−k, j +1, x) ( j +1)! (k nguyeân ,khoâng aâm) Ngoaøi ra neáu caùc haøm Bessel vieát daïng : k p+2k ∞ (−1) ⎛ x ⎞ J (x) = ∑ ⎜ ⎟ P 2 k=1k!(k + p +1)!⎝ ⎠ thì ta coù heä thöùc :(n laø soá nguyeân): n 1 ⎛ x ⎞ 1 ⎜ ⎟ − ix J n (x) = ⎜ ⎟ e F( + n,1+ 2n,2ix) (n+1)!⎝ 2 ⎠ 2 Nhö vaäy neáu ñöa vaøo toaùn töû : d 2 d LF ≡ z 2 +(b− z) dz dz thì ta thaáy caùc haøm sieâu boäi suy bieán lieân heä vôùi toaùn töû LF nhö sau : L F(a,b, z) = aF(a,b, z) F (5) Neáu b khoâng phaûi laø moät soá nguyeân thì nghieäm thöù hai cuûa phöông trình (5) coù daïng: 1−b G(a,b, z) = z F(a −b −1,2−b, z) 6/.Toaùn töû Laplace toaùn phaàn : Trong giaùo trình phöông trình toaùn lyù ta ñaõ gaëp nhieàu laàn toaùn töû : (Trong heä toïa ñoäDescartes ) 2 2 2 2 ∂ ∂ ∂ ∆ ≡ ∇ ≡ 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z (6) Trong caùc heä toïa ñoä suy roäng q1, q2, q3: ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 24 - x =ϕ1(q1 ,q2 ,q3 ) y =ϕ 2 ()q1 ,q2 ,q3 z =ϕ q ,q ,q 3 ()1 2 3 Trong ñoù ϕ1, ϕ2, ϕ3 laø nhöõng haøm lieân tuïc vaø ñôn trò . Neáu ñaët : 2 2 2 ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ϕ ⎞ H 2 = ⎜ 1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ ; (i =1,2,3) i ⎜ ∂q ⎟ ⎜ ∂q ⎟ ⎜ ∂q ⎟ ⎝ i ⎠ ⎝ i ⎠ ⎝ i ⎠ vaø goïi laø caùc heä soá Lame ,thì ta coù : 1 ⎧ ∂ ⎛ H H ∂ ⎞ ∂ ⎛ H H ∂ ⎞ ∂ ⎛ H H ∂ ⎞⎫ ∆ = ⎪ ⎜ 2 3 ⎟ + ⎜ 3 1 ⎟ + ⎜ 1 2 ⎟⎪ ⎨ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎬ H1H 2 H 3 ⎩⎪∂q1 ⎝ H1 ∂q1 ⎠ ∂q2 ⎝ H 2 ∂q2 ⎠ ∂q3 ⎝ H 3 ∂q3 ⎠⎭⎪ Cuï theå vôùi heä toïa ñoä caàu q1 = r, q2 = θ, q3 = ϕ ta coù: H1 = 1, H2 = r, H3 = rsinθ. Do ñoù : 1 ∂ ⎛ ∂ ⎞ 1 ∂ ⎛ ∂ ⎞ 1 ∂ 2 ∆ = ⎜r 2 ⎟ + ⎜sinθ ⎟ + 2 ∂r ⎜ ∂r ⎟ 2 ∂θ ⎜ ∂θ ⎟ 2 2 2 r ⎝ ⎠ r sinθ ⎝ ⎠ r sin θ ∂ϕ Vôùi heä toïa ñoä truïc : q1 = r ,q2 = ϕ ,q3 = z. Ta coù : H1 = 1, H2 = r, H3 = 1. Nhö vaäy trong heä truï ta coù : 1 ∂ ⎛ ∂ ⎞ 1 ∂ 2 ∂ 2 ∆ = ⎜r 2 ⎟ + + 2 ∂r ⎜ ∂r ⎟ 2 2 ∂z r ⎝ ⎠ r ∂ϕ Nhôù laïi bieåu thöùc (3) ta coù : ∂ 2 2 ∂ Λ ∆ = + + 2 r ∂r 2 ∂r r V/.Toaùn töû lieân hôïp vaø toaùn töû töï lieân hôïp (hecmitic) : 1/ Tích voâ höôùng cuûa hai haøm : Giaû söû coù hai haøm ϕ(x) vaø ψ(x) naøo ñoù ,khi ñoù tích voâ höôùng cuûa hai haøm naøy ñöôïc ñònh nghóa bôûi: +∞ (ϕ,ψ ) = ∫ ϕ * (x)ψ (x)dx −∞ trong ñoù daáu * chæ lieân hôïp phöùc .(Noùi theâm : hai haøm ϕ(x) vaø ψ(x) phaûi baèng khoâng taïi voâ cuøng ). Bieåu thöùc : ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 25 - +∞ 2 ()ψ ,ψ = ∫ ψ dx −∞ ñöôïc goïi laø chuaån cuûa haøm ψ(x) Neáu vieát ψ(x) daïng coät : ⎛ψ (x) ⎞ ⎜ 1 ⎟ ⎜ψ (x)⎟ ψ (x) = ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ψ (x)⎟ ⎝ n ⎠ vaø ϕ(x) daïng ma traän haøng : ϕ * (x) = ϕ * (x),ϕ * (x) ϕ * (x) ( 1 2 n ) thì : +∞ * ()ϕ,ψ = ∑ ∫ ϕ n (x)ψ n (x)dx n −∞ . Neáu ψ1(x), ψ2(x) ψn(x) laø caùc haèng soá C1, C2 Cn.coøn ϕ * (x),ϕ * (x) ϕ * (x) b*,b* b* 1 2 n laø caùc haèng soá 1 2 n thì tích voâ höôùng (ϕ,ψ) ñöôïc cho baèng tích : * ()ϕ,ψ = ∑bi Ci I Tröôøng hôïp : ϕ = ϕ(x,y,z); ψ = ψ(x,y,z) thì : ()ϕ,ψ = ϕ * (x, y, z)ψ (x, y, z)dx dy dz ∫ Coù theå chöùng minh tích voâ höôùng ñònh nghóa nhö treân coù caùc tính chaát nhö sau : + / ()ϕ,ψ = ()ϕ,ψ * + / ()ϕ,ψ1 +ψ 2 = (ϕ,ψ1 )+ (ϕ,ψ 2 ) + / ()ϕ1 +ϕ 2 ,ψ = (ϕ1,ψ )+ (ϕ 2 ,ψ ) + / ()λϕ,ψ = λ* ()ϕ,ψ ; λ = const + / ()ϕ,λψ = λ()ϕ,ψ (Caùc chöùng minh naøy khoâng khoù khaên laém ,baïn ñoïc coù theå xem nhö moät baøi taäp ) 2/ Toaùn töû tuyeán tính lieân hôïp (Hecmitic)vaø toaùn töû Unita : Giaû söû Aˆ vaø Bˆ laø hai toaùn töû ñöôïc goïi laø lieân hôïp cuûa nhau (hay lieân hôïp vôùi + + nhau ),vaø kí hieäu laø: Aˆ = Bˆ ø vaø Bˆ = Aˆ , daáu + laø daáu lieân hôïp . Ví duï 1 : Ta xeùt vôùi toaùn töû C laø moät soá haõy tìm C+, theo ñònh nghóa ta coù : ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 26 - ϕ,Cψ = ϕ * (x)Cψ (x)dx, ()∫ C +ϕ,ψ = C +*ϕ * (x)ψ (x)dx ()∫ Hôn theá nöõa : C +*ϕ * (x)ψ (x)dx = ϕ * (x)Cψ (x)dx ∫ ∫ Nhö vaäy : C+*=C hay C+= C*. Nghóa laø toaùn töû lieân hôïp cuûa moät haèng soá laø lieân hôïp phöùc cuûa noù . Ví duï 2 :Ta xeùt toaùn töû nhaân vôùi U(x) . Haõy tìm toaùn töû U+(x). Laäp luaän töông töï nhö treân ñeå thaáy raèng : U+(x)= U*(x) Hay toång quaùt hôn : Neáu L laø moät toaùn töû nhaân thì : L+= L*. + ⎛ d ⎞ ⎜ ⎟ Ví duï 3 : Haõy tìm ⎝ dx ⎠ . * +∞ ⎡ + ⎤ +∞ ⎛ d ⎞ * ⎛ d ⎞ ∫ ⎢⎜ ⎟ ϕ(x)⎥ ψ (x)dx = ∫ ϕ (x)⎜ ⎟ψ (x)dx −∞ ⎢⎝ dx ⎠ ⎥ −∞ ⎝ dx ⎠ Ta coù : ⎣ ⎦ Tích phaân töøng phaàn veá phaûi ta ñöôïc : +∞ ⎛ d ⎞ +∞ +∞ dϕ *(x) ϕ * (x)⎜ ⎟ψ (x)dx =ϕ *(x)ψ (x) − ψ (x)dx ∫ ⎜ ⎟ −∞ ∫ −∞ ⎝ dx ⎠ −∞ dx Vì ϕ*(x) vaøψ(x) trieät tieâu taïi∞ neân ta coù : + ⎛ d ⎞ d ⎜ ⎟ = − ⎝ dx ⎠ dx Nhö vaäy ta coù : ⎛ dψ ⎞ ⎛ dϕ ⎞ ⎜ϕ, ⎟ = −⎜ ,ψ ⎟ ⎜ dx ⎟ ⎜ dx ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (Luoân phaûi löu yù raèng caùc haøm ϕ(x) vaøψ(x) trieät tieâu taïi ±∞).Hay toång quaùt hôn ta coù : ⎛ d nψ ⎞ ⎛ d nϕ ⎞ ⎜ϕ, ⎟ = (−1)n ⎜ ,ψ ⎟ ⎜ dxn ⎟ ⎜ dxn ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3/. Toaùn töû töï lieân hôïp (Hecmitic)vaø toaùn töû unita . a/ Toaùn töû töï lieân hôïp : Neáu Lˆ thoûa maõn ñieàu kieän : L = L+. nghóa laø : ϕ *Lψdx = (Lϕ)*ψ dx ∫ ∫ thì L laø toaùn töû töï lieân hôïp (Hay Hecmitic ) ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 27 - Toaùn töû Unita : Neáu L thoûa maûn : L L+ = L+L=1. Thì L goïi laø toaùn töû unita . Toaùn töû unita thöôøng ñöôïc kí hieäu laø U . d L = −i Coù theå chöùng minh raèng : dx laø töï lieân hôïp . b/. Caùc tính chaát cuûa toaùn töû töï lieân hôïp (Hecmitic) : Tính chaát 1 : Moät toaùn töû coù caùc trò rieâng thöïc khi vaø chæ khi noù laø toaùn töû Hecmitic . Chöùng minh : Töø baøi toaùn trò rieâng : Lψ(x)=λ ψ(x) Ta coù : ∫ϕ *Lψ (x)dx = λ∫ψ *(x)ψ (x)dx ϕ L*ψ *(x)dx = λ* ψ (x)ψ *(x)dx ∫ ∫ Tröø cho nhau : ψ *Lψdx − ψL*ψ *dx = (λ −λ* ) ψ *ψdx ∫ ∫ ∫ do ñoù : ψ * (L − L* )ψdx = (λ −λ* ) ψ *ψdx ∫ ∫ Nhö vaäy roû raøng λ=λ* khi vaø chæ khi L laø töï lieân hôïp L= L+. Tính chaát 2 : Caùc haøm rieâng cuûa moät toaùn töû Hecmitic öùng vôùi caùc trò rieâng khaùc nhau laø tröïc giao . Chöùng minh : Cuõng xuaát phaùt töø baøi toaùn : Lψ(x)=λ ψ(x) ta coù Lψn=λ nψn L*ψm*=λm ψm*. Hay vieát caùch khaùc : ψ * Lψ dx =λ ψ *ψ dx ∫ m n n ∫ m n Vaø : ψ L*ψ * dx =λ* ψ ψ * dx ∫ n m m ∫ n m Töø ñoù ta coù : ψ * (L − L+ )ψ dx =(λ −λ* ) ψ *ψ dx ∫ m n n m ∫ m n * Neáu L laø Hecmitic thì L= L+.(vaø do ñoù λn = λm ) khi ñoù : (λ −λ* ) ψ *ψ dx = 0 n m ∫ m n ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 28 - * Vì λn ≠ λm (chuùng ta giaû thieát caùc trò rieâng khaùc nhau )neân : ψ *ψ dx = 0 ∫ m n . Nghóa laø caùc ψn vaø ψm laø tröïc giao vôùi nhau . §4 THÍ NGHIEÄM QUAN TROÏNG TÍNH THOÁNG KEÂ CUÛA CÔ HOÏC LÖÔÏNG TÖÛ I/ Thí nghieäm hai loã : ”thí nghieäm maø ngöôøi ta nghó ra ñeå bao goàm ñöôïc moïi bí aån cuûa CHLTvaø daãn daét ta ñeán taát caû nhöõng nghòch lyù ,nhöõng bí maät , nhöõng ñieàu kyø la cuûa töï nhieân moät caùch ñaày ñuû .Chính trong thí nghieäm naøy chöùa ñöïng nhöõng ñieàu bí aãn caên baûn ”.Nhaän xeùt veà thí nghieäm naøy Feynman ñaõ töøng noùi nhö theá . 1/ nguoàn laø nhöõng vieân ñaïn : 1 N1. A Nguoàn 2 N2 N12 Sô ñoà thí nghieäm ñöôïc boá thí nhö hình veõ .Nguoàn A laø nguoàn phoùng ñaïn (ví duïsuùng tieåu lieân ) .Trong ñoù N1 laø soá ñaïn tôùi bia khi bòt kín loå 2 , N2 laø soá ñaïn tôùi bia khi bòt kín loå 1 vaø N12 laø soá ñaïn trung bình cuûa caû 1 vaø 2 ñeàu môû (trong moät ñôn vò thôøi gian). Keát quaû : N12= N1 + N2 2/ Nguoàn laø hai soùng (ví duï soùng nöôùc ): 1 I1. A 2 I2 I12 I12 Cöôøng ñoä soùng treân “bia” khi caû hai loå ñeàu môû I1 Cöôøng ñoä soùng treân “bia” khi loå 2 ñoùng . I2 Cöôøng ñoä soùng treân “bia” khi loå 1 ñoùng. Keát quaû : I12 ≠ I1 + I2 ( Coù giao thoa soùng ) ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 29 - 3/ Nguoàn laø chuøm electron : 1 N1. 2 N1 N12 Keát quaû : N12 ≠ N1 + N2 (coù giao thoa) Vôùi : I12 , I1 , I2 laø caùc xaùc xuaát tìm thaáy electron ôû “bia” khi ñoùng loã 2 , ñoùng loã 1, môû caû hai loã töông öùng . Toùm taét ba tröôøng hôïp Ñaïn Soùng Electron Giaùn ñoaïn . Khoâng giaùn ñoaïn Giaùn ñoaïn Xaùc xuaát tôùi ñöôïc ño: Cöôøng ñoä soùng ñöôïc Xaùc xuaát tôùi ñöôïc ño : N12 = N1 + N2 ño: I12 ≠ I1 + I2 N12 ≠ N1 + N2 Khoâng coù giao thoa Coù giao thoa Coù giao thoa Vôùi tröôøng hôïp chuøm electron :caùc electron ñi tôùi “bia” (hay maùy thu) theo töøng löôïng nhoû giaùn ñoaïn gioáng nhö ñoù laø nhöõng haït nhöng xaùc xuaát ñeå nhöõng haït ñoù tôùi “bia” laïi ñöôïc xaùc ñònh theo cuøng nhöõng quy luaät nhö quy luaät xaùc ñònh cöôøng ñoä cuûa soùng nöôùc .Vì vaäy coù theå noùi raèng caùc electron vöøa gioáng nhö chuøm haït vöøa gioáng nhö soùng . Noù ñoàng thôøi laø hai “ vaät” hoaøn toaøn khaùc nhau . II/ Tính thoáng keâ cuûa CHLT: Trong caùc ñieàu kieän beân ngoaøi cho tröôùc keát quaû cuûa söï töông taùc giöõa ñoái töôïng vi moâ vaø duïng cuï ño noùi chung khoâng theå tieân ñoaùn moät caùch chính xaùc , maø chæ coù theå döï kieán vôùi moät xaùc xuaát naøo ñoù .Taäp hôïp caùc keát quaû nhö vaäy ñöa ñeán thoáng keâ töông öùng vôùi phaân boá nhaát ñònh cuûa xaùc xuaát. Nhö vaäy ta phaûi ñöa yeáu toá xaùc xuaát vaøo caùch moâ taû ñoái töôïng vi moâ vaø traïng thaùi cuûa noù . Khaùi nieäm xaùc xuaát cuõng ñöôïc duøng trong VLCÑ nhöng vôùi moät yù nghóa khaùc .Trong VLCÑ xaùc xuaát ñöôïc ñöa vaøo chæ khi ñieàu kieän cuûa baøi toaùn khoâng ñöôïc bieát moät caùch ñaày ñuû vaø phaûi laáy trung bình theo caùc tham soá chöa bieát . Song ôû ñoù ñaõ giaû thieát raèng veà nguyeân taéc thì söï trung bình hoùa laø khoâng baét buoäc vaø luoân luoân coù theå chính xaùc hoùa caùc ñieàu kieän ñeå khaúng ñònh laø moät trong soá caùc keát quaû khaû dó ñöôïc xaõy ra hoaøn toaøn coøn caùc keát quaû khaùc seõ khoâng xaõy ra . Nhö vaäy , trong VLCÑ xaùc xuaát ñaõ phaûn aùnh söï phaùt bieåu khoâng ñaày ñuû baøi toaùn . Söï khoâng ñaày ñuû ôû ñaây laø khoâng theå traùnh ñöôïc nhöng veà nguyeân taét laø coù theå loaïi tröø ñöôïc . Trong vaät lyù coå ñieån nguyeân lyù quyeát ñònh luaän Laplace ñaõ loaïi boû yeáu toá ngaãu nhieân khi moâ taû daùng ñieäu cuûa töøng ñoái töôïng rieâng bieät do ñoù caùc ñònh luaät cuûa cô hoïc coå ñieån laø caùc ñònh luaät ñoäng löïc chöù khoâng phaûi laø caùc ñònh luaät thoáng keâ . Tính thoáng keâ chæ xuaát hieän khi nghieân cöùu moät taäp hôïp lôùn caùc haït vaø laø moät phöông phaùp coù tính thuû thuaät . ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 30 - Ngöôïc laïi trong Cô hoïc löôïng töû yeáu toá ngaãu nhieân coù maët trong daùng ñieäu cuûa töøng vi haït rieâng bieät . Yeáu toá ngaãu nhieân laø heä quaû cuûa söï höõu haïn cuûa haèng soá Planck vaø nguyeân lyù baát ñònh Heisenberg . Do ñoù cô hoïc löôïng töû laø moät lyù thuyeát thoáng keâ veà maët nguyeân taét . Vaø tính xaùc xuaát laø moät trong nhöõng ñaëc ñieåm cuûa noù . §5 CAÙC BIEÁN ÑOÄNG LÖÏC TRONG CÔ HOÏC LÖÔÏNG TÖÛ Trong vaät lyù hoïc coå ñieån traïng thaùi vaø bieán ñoäng löïc laø hai khaùi nieäm cô baûn. Caùc bieán ñoäng löïc nhö toïa ñoä, xung löôïng ,moment xung löôïng vaø naêng löôïng trong vaät lyù hoïc coå ñieån laø nhöõng haøm soá (thoâng thöôøng ). Nhöng trong cô hoïc löôïng töû vaán ñeà khaùc moät caùch cô baûn . Cuï theå laø : - Trong cô hoïc löôïng töû moãi bieán ñoäng löïc cuûa cô hoïc coå ñieån ñöôïc ñoái öùng vôùi moät toaùn töû Hecmitic . - Coù theå chuyeån caùc heä thöùc ñoäng löïc töø cô hoïc coå ñieån sang cô hoïc löôïng töû vôùi daïng nhö cuû nhöng trong ñoù phaûi thay caùc ñaïi löôïng vaät lyù baèng caùc toaùn töû Hecmitic töông öùng . Noùi caùch khaùc : Coâng cuï cuûa cô hoïc löôïng töû ñöôïc xaây döïng hoaøn toaøn töông töï nhö coâng cuï cô hoïc coå ñieån neáu ta thay caùc bieán ñoäng löïc cuûa cô hoïc coå ñieån (laø caùc haøm ) baèng caùc toaùn töû Hecmitic . 1/.Caùc toaùn töû toïa ñoä : r = (x, y, z) ≡ (x , x , x ) 1 2 3 Ñoù laø caùc toaùn töû nhaân haøm f treân ñoù caùc toaùn töû taùc duïng vôùi caùc löôïng xi(i=1,2,3). Pheùp nhaân hieåu theo nghóa thoâng thöôøng , caùc haøm f=f(x,y,z). Ta coù theå deå daøng tìm ñöôïc caùc giao hoaùn töû cuûa caùc toaùn töû toïa ñoä laø : [xi,xj]=0. (5.1) Ñeå yù raèng vì caùc löôïng xi laø thöïc neân caùc toaùn töû naøy ñeàu laø Hecmitic. 2/.Caùc toaùn töû xung löôïng : r P = (P , P , P ) = (P , P , P ) 1 2 3 x y z Caùc toaùn töû xung löôïng coù daïng : r ∂ P = −ih∇ , Pi = −ih ; (i = 1,2,3) ∂xi (5.2) Caùc giao hoaùn töû coù daïng : [P , P ]= 0 ; (i, j =1,2,3) i j (5.3) Ta cuõng coù theå tìm ñöôïc caùc giao hoaùn töû cuûa caùc toaùn töû naøy vôùi caùc toaùn töû toïa ñoä laø : [x , P ]= i δ ; (i, j =1,2,3) i j h ij (5.4) Caùc toaùn töû xung löôïng cuõng laø caùc toaùn töû Hecmitic . ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 31 - 3/. Caùc toaùn töû Moment xung löôïng L vaø toaùn töû moment xung löôïng bình phöông L2 . Ñònh nghóa :Toaùn töû L ñöôïc ñònh nghóa nhö sau : L=[r*p]. Nhö vaäy ta coù : ⎛ ∂ ∂ ⎞ L = x p − x p = −i ⎜ x − x ⎟ 1 2 3 3 2 h⎜ 2 3 ⎟ ⎝ ∂x3 ∂x2 ⎠ ⎛ ∂ ∂ ⎞ L = x p − x p = −i ⎜ x − x ⎟ 2 3 1 1 3 h⎜ 3 1 ⎟ ⎝ ∂x1 ∂x3 ⎠ ⎛ ∂ ∂ ⎞ L = x p − x p = −i ⎜ x − x ⎟ 3 1 2 2 1 h⎜ 1 ∂x 2 ∂x ⎟ ⎝ 2 1 ⎠ Caùc giao hoaùn töû : Tröôùc heát ta coù theå tìm giao hoaùn töû cuûa L vôùi caùc toaùn töû x ; cuï theå ta coù : L , x = x p − x p , x = x p , x − x p , x [ 1 2 ] [ 2 3 3 2 2 ] [ 2 3 2 ] [ 3 2 2 ] = x p , x + x , x p − x p , x − x , x p 2 []3 2 []2 2 3 3 [2 2 ][]3 2 2 = i x h 3 Hôn nöõa coù theå chöùng minh tröôøng hôïp toång quaùt : [Li x j ]= ih∑ε ijk xk k (5.5) Vôùi : ε = ε =ε =1,ε = ε =ε = −1 123 231 312 321 213 132 Caùc thaønh phaàn khaùc ñeàu baèng khoâng . r r Giao hoaùn töû cuûa L vôùi p baèng caùch tính tröïc tieáp ta coù : [Li , x j ]= ih∑εijk pk k (5.6) Giöõa caùc thaønh phaàn cuûa L ta coù : [L1, L2 ]= [L1, x3 p1 − x1 p3 ] = −[]L1, x1 p3 + []L1, x3 p1 = L x p + x L p − L x p − x L p []1 3 1 3 []1 1 [1 1 ]3 1[]1 3 −i x p +i x p = i L h 2 1 h 1 2 h 3 L , L = iL Vaäy: [ 1 2 ] 3 . Toång quaùt hôn ta coù : [Li , x j ]= ih∑ε ijk Lk k (5.7) ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 32 - Töø caùc toaùn töû L1,L2,L3 ta ñöa vaøo toaùn töû : L2 = L2 + L2 + L2 1 2 3 Goïi laø toaùn töû moment bình phöông . Ta coù theå tìm giao hoaùn töû : 2 2 2 2 2 2 2 [L ,L1]= [L1 +L2 +L1 ,L1]= [L1 ,L1]+[L2,L1]+[L3,L1] =0+L L ,L + L ,L L +L L ,L + L ,L L =0 2[]2 1 [2 1]2 3[]3 1 []3 1 3 Toång quaùt ta coù : ⎡ 2 ⎤ L , Li = 0 ; (i = 1,2,3) ⎣⎢ ⎦⎥ (5.8) Do caùc toaùn töû xi vaø pi laø Hecmitic ta deå daøng thaáy raèng caùc toaùn töû Li vaø L2 ñeàu Hecmitic . 4/.Toaùn töû Hamilton H: Töông öùng vôùi bieåu thöùc haøm Hamilton trong cô hoïc coå ñieån : pr 2 H = +U(x, y, z,t) 2M Ta ñöa vaøo toaùn töû Hamilton : 2 Hˆ = − h ∆ +U(x, y, z,t) 2m (5.9) Trong heä toïa ñoä caàu (r,θ,ϕ) toaùn töû hamilton coù daïng : ⎧ 2 ⎫ 2 ⎪ ∂ 2 ∂ Λ ⎪ Hˆ = − h ⎨ + + ⎬ +U 2m ⎪∂r 2 r ∂r r 2 ⎪ ⎩ ⎭ (5.10) Caùc giao hoaùn töû : Ta coù theå tính tröïc tieáp ñeå tìm caùc giao hoaùn töû cuûa H vaø xi vaø pi nhö sau : [H, xi ] ≠ 0 H, p ≠ 0 []i (i=1,2,3) Chæ khi U = 0 thì ta môùi coù : []H, pi = 0 . Caùc giao hoaùn töû cuûa H vôùi caùc toaùn töû moment xung löôïng Vaø moment xung löôïng bình phöông seõ ñöôïc xeùt trong tröông hôïp ñaút bieät khi U=U(r,t).Töùc laø töông öùng vôùi baøi toaùn chuyeån ñoäng trong tröôøng xuyeân taâm . Tröôùc heát ta tìm bieåu thöùc cuûa Li vaø L2 trong heä toïa ñoä caàu .Töø moái lieân heä giöõa hai toïa ñoä : x = r sinθ cosϕ y = r sinθ sinϕ z = r cosθ ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 33 - ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂ ∂ = + = x − y Ta coù : ∂ϕ ∂ϕ ∂x ∂ϕ ∂y ∂y ∂x Nghóa laø ta coù : ∂ L3 = −ih ∂ϕ (5.12) Ñeå tìm caùc bieåu thöùc cuûa L1 vaø L2 ta ñeå yù raèng : Ζ y r = x2 + y 2 + z 2 ; cosθ = ; tgϕ = r x . Töø ñoù ta ñöôïc : ∂r z ∂r = = cosθ, = sinθ sinϕ ∂z r ∂y ∂θ sinθ ∂θ cosθ sinϕ = − ; = ∂z r ∂y r ∂ϕ ∂ϕ cosϕ = 0; = ∂z ∂y r sinθ Töø bieåu thöùc ñònh nghóa : ⎡ ∂ ∂ ⎤ L1 = −ih⎢ y − z ⎥ ⎣ ∂z ∂y ⎦ ⎡ ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎜ ∂r ∂ ∂θ ∂ ∂ ⎟ = −ih⎢r sinθ sinϕ⎜ + + ⎟ ⎣⎢ ⎝ ∂z ∂r ∂z ∂θ ∂z ∂ϕ ⎠ ⎛ ∂ϕ ⎞⎤ ⎜ ∂r ∂ ∂θ ∂ ∂ ⎟ −r cosθ ⎜ + + ⎟⎥ = ⎝ ∂z ∂r ∂z ∂θ ∂z ∂ϕ ⎠⎦⎥ ⎡ ∂ = −ih⎢()r sinθ sinϕ cosθ −r cosθ sinθ sinϕ + ⎣ ∂r ∂ ∂ ⎤ + ()−sin 2 θ sinϕ −cos2 θ sinϕ + ()−cot gθ cosϕ ∂θ ∂ϕ ⎥ ⎦ Nhö vaäy ta coù : ⎡ ∂ ∂ ⎤ L = −i −sinϕ −cot gθ cosϕ 1 h⎢ ∂θ ∂ϕ ⎥ ⎣ ⎦ (5.13) Töông töï ta tính ñöôïc : ⎡ ∂ ∂ ⎤ L = −i cosϕ −cot gθ cosϕ 2 h⎢ ∂θ ∂ϕ ⎥ ⎣ ⎦ (5.14) Töø caùc keát quaû treân ta coù : ⎡ 1 ⎛ ∂ ⎞ 1 2 ⎤ 2 2 2 ⎢ ∂ ⎜ ⎟ ∂ ⎥ L = −h Λ = −h ⎜sinϕ ⎟ + ⎢sinϕ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ 2 ∂ϕ 2 ⎥ ⎣ sin θ ⎦ (5.15) Ta xeùt tröôøng hôïp ñaëc bieät khi U=U(r,t) .Khi ñoù ta kí hieäu : ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 34 - 2 H = − h ∆ +U(r,t) 0 2m . Töø bieåu thöùc naøy vaø caùc keát quaû treân ta coù : [H 0 , L3 ]= 0 H , L2 = 0 Vaø []0 (5.16) Caùc toaùn töû ñoäng löïc coù vai troø ñaëc bieät quan troïng trong cô hoïc löôïng töû bôûi leû noù lieân quan ñeán caùc giaù trò ño ñöôïc trong thöïc nghieäm . Pheùp chuyeån töø caùc toaùn töû tôùi caùc ñaïi löôïng ño ñöôïc (hay quan saùt ñöôïc ) trong thöïc nghieäm ñöôïc thöïc hieän nhôø baøi toaùn trò rieâng : Lψ n (x) = λnψ n (x). Moái lieân heä ñoù laø :Neáu heä ôû traïng thaùi ñöôïc moâ taû bôûi heä haøm rieâng ψn(x) cuûa toaùn töû ñoái xöùng vôùi bieán ñoäng löïc naøo ñoù thì khi ño ñaïi löôïng naøy ôû traïng thaùi ψn(x) ta seõ nhaän ñöôïc giaù trò λn naøo ñoù naèm trong phoå {λn }. §6 CAÙC HEÄ THÖÙC BAÁT ÑÒNH I/ YÙ Töôûng Löôõng Soùng Haït Vaø caùc Heä Thöùc Baát Ñònh: Ta xeùt taäp hôïp caùc soùng phaúng (coå ñieån) lan truyeàn treân truïc x. Ta giaû söû raèng caùc taàn soá soùng “raûi raùc” ôû moät khoaûng naøo ñoù ∆ω , coøn caùc giaù trò cuûa vector ∆k soùng ôû trong khoaûng x . Neáu chaäp taát caû caùc soùng phaúng naøy vôùi nhau thì chuùng ∆x ta seõ nhaän ñöôïc boù soùng nhö hình veõ. Vôùi boù soùng ñoù ngöôøi ta ñaõ tìm ñöôïc caùc heä thöùc: ∆ω.∆t ≥1 ∆k .∆x ≥1 x Nhöõng heä thöùc naøy raát quen thuoäc trong vaät lyù coå ñieån. Nhöõng ngöôøi ñaõ bieát veà kyõ thuaät radio ñeàu bieát raèng: ñeå taïo ra tín hieäu ñònh xöù hôn thì caàn phaûi laáy nhieàu soùng phaúng vôùi caùc taàn soá khaùc nhau hôn. Hay noùi caùch khaùc: Ñeå giaûm ∆x vaø ∆t thì phaûi taêng ∆k x vaø ∆ω . Moät caùch hình thöùc ta giaû thieát raèng caùc heä thöùc treân khoâng chæ ñuùng vôùi caùc soùng coå ñieån maø coøn ñuùng cho caû nhöõng ñaëc tröng soùng cuûa caùc vi haït (Nhöng löu yù ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 35 - raèng ñieàu naøy khoâng coù nghóa laø chuùng ta moâ hình hoùa vi haït döôùi daïng boù soùng naøo ñoù). Söû duïng caùc heä thöùc Planck – Einstein: r r E = hω , P = hk vaø chuyeån sang bieåu thöùc töông töï cho caùc ñaëc tính cuûa vi haït (cho naêng löôïng vaø xung löôïng cuûa haït) ta coù: ∆E.∆t ≥ h (6.2) ∆P .∆x ≥ x h (6.3) Caùc heä thöùc naøy ñöôïc Heisenberg ñöa ra laàn ñaàu tieân vaøo naêm 1927 vaø ñöôïc oâng goïi laø heä thöùc baát ñònh (ngaøy nay ta thöôøng goïi chuùng laø heä thöùc baát ñònh Heisenberg). Ngoaøi ra ta coù theå boå sung theâm heä thöùc döôùi ñaây: ∆M .∆ϕ ≥ x x h (6.4) trong ñoù ∆ϕ x laø ñoä baát ñònh cuûa toïa ñoä goùc cuûa ñoái töôïng vi haït (xeùt pheùp quay quanh truïc x), coøn ∆M x laø ñoä baát ñònh cuûa hình chieáu moment treân truïc x. Caùc heä thöùc treân cuõng coù theå môû roäng cho caùc tröôøng hôïp töông töï khaùc. Cuï theå laø ta coù theå vieát: ∆y.∆P ≥ y h ∆z.∆P ≥ z h ∆M .∆ϕ ≥ y y h ∆M .∆ϕ ≥ z z h II/ YÙ nghóa cuûa caùc heä thöùc baát ñònh: ∆p .∆x ≥ Ta xeùt heä thöùc: x h ∆p trong ñoù ∆x laø ñoä baát ñònh cuûa toïa ñoä x, x laø ñoä baát ñònh cuûa hình chieáu treân truïc x cuûa xung löôïng cuûa vi haït. Nhö vaäy neáu vi haït ñöôïc ñònh xöù taïi moät ñieåm xaùc ñònh x naøo ñoù thì hình chieáu cuûa xung löôïng cuûa vi haït treân truïc x coù ñoä baát ñònh tuøy yù. Nghóa laø vi haït phaûi tan ra treân toaøn truïc x. Ñieàu naøy coù nghóa laø trong cô hoïc löôïng töû vi haït khoâng theå coù ñoàng thôøi toïa ñoä xaùc ñònh vaø giaù trò hình chieáu xung löôïng xaùc ñònh treân truïc ñoù. Ñieàu naøy cho thaáy trong cô hoïc löôïng töû hoaøn toaøn khoâng coù khaùi nieäm quyõ ñaïo. Ñaây laø moät heä quaû quan troïng cuûa nguyeân lyù baát ñònh. Baây giôø ta xeùt heä thöùc: ∆E.∆t ≥ h Vôùi heä thöùc naøy coù nhieàu caùch giaûi thích khaùc nhau vì ∆t khoâng phaûi laø ñoä baát ñònh theo thôøi gian (vì thôøi gian laø moät tham soá chöù khoâng phaûi moät bieán ñoäng löïc). Cuï theå laø : ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 36 - - Neáu heä ôû traïng thaùi kích thích trong khoaûng thôøi gian ∆t thì khi ñoù heä khoâng theå coù naêng löôïng xaùc ñònh vaø ñoä baát ñònh cuûa naêng löôïng laø: ∆E ≥ h ∆t Tuy nhieân naêng löôïng coù ñoä baát ñònh khoâng coù nghóa laø naêng löôïng khoâng ñöôïc baûo toaøn. Bôûi vì neáu heä ôû traïng thaùi döøng thì naêng löôïng cuûa heä khoâng ñoåi theo thôøi gian vaø khi ñoù ta coù theå ño naêng löôïng trong khoaûng thôøi gian ∆t laâu tuøy yù. Nghóa laø neáu ∆t = ∞ thì ∆E = 0 laø khoâng coù söï sai leäch naøo veà trò soá cuûa naêng löôïng. Nhôø heä thöùc ∆E.∆t ≥ h ta coù theå suy ra thôøi gian soáng cuûa haït vi moâ, coùtheå töôûng töôïng ra nhöõng quaù trình aûo ñeå laøm coâng cuï giaûi thích nhöõng hieän töôïng maø khoâng vi phaïm ñònh luaät baûo toaøn naêng löôïng . Nhöõng ñieàu caàn löu yù: - Thöù nhaát: heä thöùc baát ñònh nhaán maïnh moät ñieàu laø: söï baát ñònh trong theá giôùi vi moâ khoâng phaûi laø nhöõng sai soá ngaãu nhieân cuûa pheùp ño hay söï khoâng hoaøn thieän cuûa caùc thieát bò kyõ thuaät maø xuaát phaùt töø baûn chaát löôõng soùng haït cuûa haït vi moâ hay noùi caùch khaùc vieäc khoâng theå xaùc ñònh ñoàng thôøi toïa ñoä vaø xung löôïng laø coù tính nguyeân taéc. - Thöù hai : Caùc ñaïi löôïng ñaëc tröng cho soùng (λ vaø γ ) khoâng phaûi laø caùc ñaïi löôïng ñònh xöù ñöôïc. Do ñoù xuaát phaùt töø heä thöùc De Broglie ta coù theå ruùt ra heä thöùc baát ñònh. Maët khaùc chuyeån ñoäng cuûa haït coù khoái löôïng m vaø vaän toác v lieân ñoái vôùi moät soùng coù böôùc soùng tính theo coâng thöùc: h λ = mv trong ñoù λ laø böôùc soùng. Ñaëc tröng cuûa soùng laø söï lan truyeàn voâ haïn trong khoâng gian cho neân böôùc soùng laø moät haøm soá cuûa daïng soùng chöù khoâng phaûi laø haøm soá cuûa moät ñieåm cuûa khoâng gian. Cuõng do heä thöùc De Broglie thì vaän toác cuûa haït cuõng khoâng phaûi laø haøm soá cuûa toïa ñoä cuûa haït. Noùi toùm laïi vaän toác vaø toïa ñoä cuûa haït khoâng theå ñoàng thôøi coù giaù trò xaùc ñònh. Heä thöùc baát ñònh laø moät heä thöùc cô baûn nhaát cuûa cô hoïc löôïng töû, moät trong nhöõng heä quaû quan troïng nhaát cuûa giaû thieát De - Broglie veà tính löôõng soùng haït cuûa vi haït. - Thöù ba: Nhìn caùc heä thöùc baát ñònh ta thaáy caáu truùc cuûa chuùng phaûi nhö theá naøo ñeå trong moïi heä thöùc goàm hai ñaïi löôïng lieân hôïp chính taéc vôùi nhau theo yù nghóa coå ñieån. Do ñoù ta coù theå suy ra raèng ñoái vôùi caùc caëp ñaïi löôïng chính taéc thì caùc heä thöùc töông töï vaãn ñuùng. Veà phöông dieän lyù thuyeát töông ñoái caùc heä thöùc baát ñònh Heisenberg coù tính chaát ñoái xöùng: cuï theå laø ba thaønh phaàn cuûa xung löôïng vaø (p , p , p , E) naêng löôïng x y z taïo thaønh moät vector 4 chieàu, coøn ba toïa ñoä vaø thôøi gian (x,y,z,t) taïo thaønh moät vector khaùc ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 37 - III/ Moät soá keát quaû thu ñöôïc töø heä thöùc baát ñònh : a/ Öôùc löôïng xaùc ñònh naêng löôïng cuûa traïng thaùi cô baûn cuûa nguyeân töû hiñro. Trong vaät lyù hoïc coå ñieån bieå thöùc naêng löôïng cuûa haït tích ñieän trong moät tröôøng coulomb laø : P 2 e2 E = − 2m r (6.5) trong ñoù m vaø e laø khoái löôïng vaø ñieän tích cuûa electron .Ñeå söû duïng coâng thöùc treân trong cô hoïc löôïng töû ta phaûi xem Pva r trong bieåu thöùc ñoù nhö laø xöï baát ñònh cuûa xung löôïng vaø toïa ñoä cuûa electron . Theo heä thöùc baát ñònh giöõa xung löôïng vaø toïa ñoä : ∆P * ∆x ≥ h ta ñi tôùi heä thöùc töông ñöông : p.r ≈ h hay ñôn giaûn hôn laø : p.r = h (6.6) Thay r tính ñöôïc töø (6.6) vaøo (6.5) ta coù : p2 e2 p E( p) = − 2m h (6.7) Töø keát quaû naøy ta deå daøng thaáy raèng E(p) coù moät cöïc tieåu taïi p=p1.Ta kyù hieäu naêng löôïng cöïc tieåu ñoù laø E1 .Löôïng E1chính laø naêng löôïng cuûa traïng thaùi cô r = h 1 p baûn cuûa nguyeân töû Hyñro coøn 1 laø kích thöôùc öôùc löôïng cuûa nguyeân töû (trong lyù thuyeát cuûa Bohr kích thöôùc öôùc löôïng cuûa nguyeân töû laø baùn kính cuûa quõy me2 p1 = ñaïo thöù nhaát trong nguyeân töû) . Coù theåù deã daøng xaùc ñònh ñöôïc h . Cuoái cuøng ta coù: 2 me4 1 h r = 2 , E1 = − 2 me 2h (6.8) Nhöõng keát quaû naøy hoaøn toaøn phuø hôïp vôùi nhöõng lyù thuyeát chính xaùc ,chaëc cheõ coå ñieån . b/ Öôùc löôïng naêng löôïng cuûa dao ñoäng taïi ñieåm khoâng cuûa moät dao ñoäng töû . Naêng löôïng cuûa moät dao ñoäng töû ñieàu hoøa moät chieàu coå ñieån ñöôïc cho baèng bieåu thöùc : P2 mx2ω 2 E = x + 2m 2 (6.9) Xem Px vaø x nhö laø söï baát ñònh cuûa xung löôïng vaø toïa ñoä cuûa vi haït dao ñoäng vaø söû duïng phöông trình : Px .x = h nhö laø moät tröôøng hôïp cuûa heä thöùc baát ñònh , ta coù : ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 38 - P2 mω 2 2 E(P ) = x + h x 2m 2 2Px Baèng caùch giaûi phöông trình : d E(Px ) = 0 dPx Ta tìm ñöôïc : Po = ± mhω laø giaù trò taïi ñoù E(Px)cöïc tieåu .Deå daøng töø ñoù suy ra : Eo = E(Po ) = hω (6.9) Ñaây laø moät keát quaû raát ñaùng ñeå yù . Bôûi leõ noù chöùng toû raèng : Trong cô hoïc löôïng töû naêng löôïng cuûa moät dao ñoäng töû khoâng theå trieät tieâu vaø coù giaù trò laø hω .Naêng löôïng naøy ñöôïc goïi laø naêng löôïng cuûa dao ñoäng khoâng cuûa dao ñoäng töû . Löu yù raèng öôùc löôïng (6.9) khaùc vôùi bieåu thöùc chính xaùc cuûa naêng löôïng cuûa dao 1 1 hω ñoäng khoâng cuûa dao ñoäng töû moät thöøa soá 2 (giaù trò chính xaùc laø : 2 ). Söû duïng keát quaû naøy vaøo caùc tính toaùn naêng löôïng cuûa chuyeån ñoäng ñieàu hoøa cuûa nguyeân töû trong moät tinh theå ngöôøi ta ñi ñeán moät keát quaû thuù vò baát ngôø laø : Naêng löôïng ñoù khoâng trieät tieâu ngay caû ôû ñoä khoâng tuyeät ñoái. Dao ñoäng khoâng cuûa moät dao ñoäng coù naêng löôïng khaùc khoâng chöùng toû moät söï kieän cô baûn laø : Khoâng theå tìm thaáy moät vi haït ôû ñaùy cuûa moät hoá theá hay noùi caùch khaùc haït vi moâ khoâng theå rôi xuoáng ñaùy cuûa moät hoá theá, duø cho hoá theá coù daïng nhö theá naøo. Sôû dó nhö vaäy laø do söï “rôi xuoáng ñaùy hoá theá cuûa vi haït ” laø khoâng cho pheùp do tính trieät tieâu cuûa xung löôïng , cuõng nhö tính baát ñònh cuûa toïa ñoä cuûa vi haït . c/ Giaûi thích taïi sao electron khoâng rôi vaøo haït nhaân . Khi ñöa ra giaû thuyeát veà traïng thaùi döøng trong lyù thuyeát nguyeân töû , Bohr khoâng giaûi thích vì sao caùc electron chuyeån ñoäng coù gia toác xung quanh haït nhaân laïi khoäng böùc xaï vaø rôi vaøo haït nhaân . Nhöng heä thöùc (6.3) laïi cho pheùp ta giaûi thích ñieàu naøy khaù deå daøng . Electron rôi vaøo haït nhaân ñoàng nghóa vôùi vieät thay ñoåi ñaùng keå toïa ñoä cuûa noù . Giaû söû tröôùc khi rôi vaøo haït nhaân electron caùch haït nhaân vaøo côõ 2 h −8 r1 = 2 ≈10 cm me .Khi “rôi vaøo nhaân” electron seõ naèm trong vuøng coù kích thöôùc côõ 10-12cm . Theo heä thöùc baát ñònh (6.3) tính ñònh xöù caøng cao thì xöï “nhoøe” cuûa xung löôïng caøng lôùn. Do ñoù tröôùc khi rôi vaøo haït nhaân xung löôïng cuûa electron phaûi taêng leân ñieàu naøy coù nghóa laø electron phaûi tieâu toán moät naêng löôïng .Thaønh thöû söï coá gaéng “giöõ”cho electron khoâng rôi vaøo haït nhaân laø söï ñònh xöù cho electron ôû vuøng raát gaàn haït nhaân. Trong khi xeùt dao ñoäng khoâng ôû treân ta thaáy raèng vi haït trong moät hoá theá luoân coù moät naêng löôïng cöïc tieåu khaùc khoâng Eo . Ñoä lôùn cuûa Eo noùi chung phuï thuoäc vaøo ñoä roäng cuûa gieáng .Söû duïng caùc keát quaû ñoù ta deå daøng coù theå suy ra laø : 2 E = h o 2 ma . Nhö vaäy neáu a giaûm thì Eo seõ taêng leân .Nhö vaäy vôùi a ñuû nhoû , naêng ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 39 - löôïng Eo coù theå trôû neân lôùn hôn ñoä saâu cuûa hoá theá. Roû raøng moät gieáng nhö theá seõ khoâng theå giöû noåi moät haït naøo trong noù . Söï rôi vaøo haït nhaân cuûa electron seõ töông ñöông vôùi söï giaûm beà roäng cuûa hoá 2 E h o ≈ 2 theá töø 10-8cm xuoáng 10-12cm .Thaäm chí thaáp hôn . Theo coâng thöùc : ma ,khi ñoù cöïc tieåu naêng löôïng Eo seõ taêng töø 10 ev ñeán109ev vaø thaäm chí hôn nöõa . keát quaû laø naêng löôïng toái thieåu cuûa electron ôû vaøo côû lôùn hôn naêng löôïng lieân keát cuûa caùc nucleon trong haït nhaân nguyeân töû (naêng löôïng lieân keát naøy vaøo côõ109 ev). Laäp luaän ôû ñaây khoâng nhöõng traû lôøi cho caâu hoûi “vì sao electron khoâng rôi vaøo haït nhaân “maø coøn traû lôøi cho moät caâu hoûi raát quan troïng laø : Vì sao trong haït nhaân nguyeân töû khoâng coù electron . IV . Xaây döïng heä thöùc baát ñònh Heisenberg: 1. Giaù trò trung bình: a/ Kyø voïng toaùn hoïc trong lyù thuyeát xaùc xuaát : Giaû söû ta coù moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân l coù nhaän caùc giaù trò λ1 , λ2 , λk cuøng vôùi xaùc xuaát töông öùng ; ω1 , ω2 , ωk vaø ω1 + ω2 + + = 1 Kyø voïng toaùn hoïc – hay trung bình thoáng keâ – cuûa ñaïi luôïng ngaãu nhieân l laø toång caùc tích cuûa töøng giaù trò naøy nhaân vôí xaùc xuaát xuaát hieän cuûa noù : = ω λ l ∑ K K Ñoái vôùi caùc ñaïi löôïng lieân tuïc nghóa laø löôïng l bieán ñoåi lieân tuïc ôû moät khoaûng naøo ñoù , Xaùc xuaát ñeå cho l naúm trong khoaûng λ vaø (λ + dλ) seõ phuï thuoäc vaøo λ vaø tyû leä vôùi dλ . Khi ñoù kyø voïng toaùn hoïc cuûa ñaïi löôïng l seõ coù daïng : = ω ()λ λ dλ l ∫ Trong ñoù : ω(λ) laø maät ñoä xaùc xuaát b/ kyø voïng toaùn hoïc trong Cô hoïc löôïng töû : Trong Cô hoïc löôïng töû traïng thaùi cuûa vi haït ñöôïc moâ taû bôûi haøm soùng Ψ . Neáu Ψ laø haøm rieâng cuûa toaùn töû L thì khi ñoù ñaïi löôïng baát kyø neáu nhaän ñöôïc giaù trò rieâng λ , ta coù theå bieåu dieãn λ baèng coâng thöùc: Ψ * LΨ dV λ = ∫ = Ψ * L ∫ Ψ Ψ dV . L Ψ Kyù hieäu chæ raèng cuûa ñaïi löôïng L trong traïng thaùi Ψ . Nhö vaäy vôùi bieán ñoäng löïc toïa ñoä ta coù : ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 40 - Ψ * xˆ Ψ dV x = ∫ * ∫ Ψ Ψ dV Neáu ta giaû söû coù heä thöùc : Ψ*ΨdV =1 ∫ thì khi ñoù : x = Ψ*xΨdV ∫ (6.12) Töông töï ta coù : * ˆ Px = ∫ Ψ (x)PX Ψ(X )dX dΨ(x) = h ∫ Ψ* dX i dx (6.13) Toång quaùt hoùa cho toaùn töû Fˆ baát kyø : F = Ψ*FˆΨdV ∫ (6.14) Vôùi ñieàu kieän haøm soùng chuaån hoùa veà ñôn vò . Giaù trò trung bình coù moät soá tính chaát nhö sau : +/ giaù trò trung bình cuûa caùc ñaïi luôïng chính xaùc baèng chính giaù trò cuûa ñaïi löôïng chính xaùc ñoù . Neáu trong traïng thaùi Ψ giaù trò cuûa toaùn töû L baèng λ thì ta coù : ˆ LΨ =λΨ = Ψ*LˆΨdV ≡λ l ∫ ˆ + Neáu trong cuøng moät traïng thaùi Ψ giaù trò trung bình cuûa Fˆ laø F , cuûa G laø G thì giaù trò trung bình cuûa toång thoûa maõn : F +G = Ψ* (Fˆ +Gˆ)ΨdV ∫ Ψ*FˆΨdV + Ψ*GˆΨdV = ∫∫ = F +G 2/ Ñieàu kieän ñeå hai toaùn töû F vaø G giao hoaùn vôùi nhau : moät vaán ñeà quan troïng cuûa Cô hoïc löôïng töû laø khaû naêng ño ñoàng thôøi caùc giaù trò cuûa caùc ñaïi löôïng vaät lyù gaén lieàn vôùi cô heä löôïng töû . vôùi vaán ñeà naøy ta coù ñònh lyù sau: Ñònh lyù : Muoán cho hai ñaïi löôïng F vaø G coù cuøng giaù trò xaùc ñònh trong moät Ψ (X ) traïng thaùi naøo ñoù moâ taû bôûi haøm soùng n thì haøm soùng naøy phaûi ñoàng thôøi laø haøm rieâng cuûa toaùn töû F vaø G . ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 41 - Chöùng minh : FΨ (X ) = λΨ (X ) n n taùc duïng tieáp leân ñoù toaùn töû G thì ta coù : GFΨ (X ) = λµΨ (X ) n n (a) Vôùi toaùn töû G : GΨ (X ) = µΨ (X ) n n Taùc duïng tieáp toaùn töû F leân ñoù ta ñöôïc : FˆGΨ (X ) = λµΨ (X ) n n (b) Laáy (a) tröø ñi (b) ta coù : ( GF − FG )Ψ (X ) = G, F Ψ (X ) = 0 n []n Ñieàu naøy coù nhgóa laø : Neáu hai ñaïi löôïng coù theå ñoàng thôøi coù caùc giaù trò xaùc ñònh thì hai toaùn töû töông öùng vôùi chuùng phaûi giao hoaùn vôùi nhau . Ñònh lyù ñaûo : Neáu hai toaùn töû F vaø G gia ohoaùn vôùi nhau thì chuùng coù chung moät heä haøm rieâng . Nghóa laø neáu : [ F , G] = 0 thì heä haøm Ψ1 (X) thoûa maõn : FΨ1 (X) =λ Ψ1 (X) Vaø heä haøm Ψ2 (X) thoûa maõn : GΨ2 (X) =µ Ψ2 (X) Seõ hoaøn toaøn truøng nhau . Nghóa laø : Ψ1 (X) ≡ Ψ2 (X) ≡ Ψ (X). Chöùnh minh ñònh lyù naøy khoâng khoù laém caùc baïn coù theå xem nhö baøi taäp ; hoaëc xem trong caùc taøi lieäu tham khaûo. 3/ khaùi nieäm taäp hôïp ñuû caùc ñaïi luôïng vaät lyù : Ta caàn laøm roõ hôn thuaät ngöõ “ cho tröôùc traïng thaùi cuûa heä” Trong Cô hoïc luôïng töû . Traïng thaùi cuûa heä ñaõ cho neáu cho bieát haøm soùng moâ taû heä . Song ta khoâng theå ño tröïc tieáp ñuôïc haøm soùng trong baát kyø ñieàu kieän naøo, chæ coù bình phöông modun haøm soùng coù yù nghóa vaät lyù nhö laø maät ñoä xaùc xuaát tìm thaáy haït ôû moät vò trí xaùc ñòng trong khoâng gian . Vì vaäy trong Cô hoïc löôïng töû ngöôøi ta quan nieäm raèng : Khi ta noùi raèng cho tröôùc traïng thaùi cuûa heä löôïng töû thì ñieàu ñoù coù nghóa laø cho tröôùc giaù trò cuûa taäp hôïp xaùc ñònh cuûa caùc ñaïi luôïng Cô hoïc löôïng töû . Taäp hôïc caùc ñaïi luôïng naøy ñöôïc goïi laø heä ñuû caùc ñaïi luôïng vaät lyù . Ví duï: Taäp hôïp ñuû caùc ñaïi luôïng vaät lyù xaùc ñònh traïng thaùi cuûa electron coù Spin ½ chaúng haïn coù theå laø moät trong ba taäp hôïp sau : x ,y ,z , σ Px , Py , Pz ,σ E , l , m , σ ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 42 - Trong ñoù : l , m , σ laø soá löôïng töû quó ñaïo , soá luôïng töû töø vaø soá luôïng töû Spin . Caùc toïa ñoä vaø caùc thaønh cuûa xung luôïng rôi vaøo hai taäp hôïp khaùc nhau vì caùc ñaïi luôïng naøy khoâng theå ño ñöôïc ñoàng thôøi . Do ñoù caùc heä thöùc trong vaät lyù coå ñieån : P 2 E = +u (rr) 2m r ⎡r r⎤ L = r X P ⎣⎢ ⎦⎥ Khoâng coù yù nghóa khi chuyeån sang Cô hoïc luôïng töû vì chöùa caû xung luôïng vaø toïa ñoä . 4/ Xaây döïng heä thöùc baát ñònh : Trong phaàn treân ta ñaõ tìm ñöôïc ñieàu kieän maø trong ñoù coù theå ño ñoàng thôøi hai ñaïi luôïng vaät lyù . Baây giôø giaû thieát ta coù hai ñaïi luôïng vaät lyù G vaø F khoâng coù ñoàng thôøi caùc giaù trò xaùc ñònh khi ñoù caùc toaùn töû naøy khoâng gia hoaùn vôùi nhau . Giaû thieát chuùng thoûa maõn heä thöùc : FG – GF = iB Trong ñoù B laø moät toaùn töû Hecmitic naøo ñoù . Neáu choïn G = PX , F = x , thì B = h vì : x PX - PX x = i h . Nhö vaäy vaán ñeà ñaët ra laø : Khi ñoàng thôøi ño hai ñaïi luôïng naøy thì söï khoâng chính xaùc ( hay sai soá ) seõ laø bao nhieâu ?. Ñeå giaûi quyeát vaán ñeà naøy ta phaûi xeùt theâm hai khaùi nieäm laø thaêng giaùn trung bình vaø thaêng giaùn toaøn phöông . Thaêng giaùn laø möùc ñoä sai leäch giöõa giaù trò trung bình vaø giaù trò thöïc . Möùc sai leäch giöõa giaù trò chính xaùc a vaø giaù trò trung bình a laø ∆a : ∆a = a - a trong ñoù : a = ∑ aiωi i Thaêng giaùng trung bình laø : ∆a . Löu yù raèng thaêng giaùng trung bình luoân baàng khoâng . Thaät vaäy : ∆a = ()a − a = ()a − a ω(a) da = ∫ = aω(a)da − a ω(a)da =a −a = 0 ∫ ∫ Maët duø vaäy caà löu yù laø coù theå a khaùc raát xa vôùi giaù trò chính xaùc a . Vì leõ ñoù phaûi ñöa vaøo moät ñaïi löôïng khaùc ñeå ñaùnh giaù möùc ñoä thaêng giaùng ñoù laø khaùi nieäm thaêng giaùng toaøn phöông . Thaêng giaùng toaøn phöông ñöôïc ñònh nghóa nhö sau : ∆a ≡TGTP = ()∆a 2 = a 2 −(a)2 Baây giôø ta tìm caùc suy ra heä thöùc baát ñònh moät caùch chaët cheõ . Xuaát phaùt töø baát ñaúng thöùc hieån nhieân : ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 43 - dψ (x) 2 α xψ + dx ≥0 ∫ dx trong ñoù α laø soá thöïc . Bieåu dieãn döôùi daáu tích phaân coù theå bieán ñoåi nhö sau : 2 * dψ ⎛ dψ ⎞ ⎛ dψ ⎞ α xψ + = ⎜α xψ + ⎟ ⎜α xψ + ⎟ = dx ⎜ dx ⎟ ⎜ dx ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ dψ * ⎞ ⎛ dψ ⎞ = ⎜α xψ * + ⎟ ⎜α xψ + ⎟ = ⎜ dx ⎟ ⎜ dx ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 d 2 dψ dψ =α 2 x2 ψ +αx ψ + dx dx dx . Neáu ñaët : 2 A= ∫ ψ x 2 dx, d 2 B = − x ψ dx ∫ dx dψ * dψ C = ∫ . dx dx dx thì bieåu thöùc treân coù daïng : Aα 2 − Bα +C ≥0 2 2 ∆ = B − 4ac≤ 0→ 4AC ≥ B Maët khaùc ñeå yù raèng : A= x 2 = x 2 ψ 2 dx = ψ * x 2ψ dx ∫ ∫ d 2 d B =− x ψ dx =− x (ψ *ψ )dx ∫ dx ∫ dx ∞ =− xψ *ψ + ∫ ()ψ *ψ dx =1 −∞ * + ∞ 2 dψ dψ dψ * d ψ C = ∫ dx =ψ * − ∫ψ dx dx dx dx 2 − ∞ dx 1 = P 2 2 X h Vaäy ta coù : 4 x 2.P 2 ≥1 2 X h ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 44 - hay : 2 2 2 h x .PX ≥ 4 Neáu ta choïn goác toïa ñoä taïi ñieåm vôùi toïa ñoä x thì x =0. Vaø giaû söû raèng heä P m P = 0 chuyeån ñoäng vôùi vaän toác X thì X . Nhö vaäy : 2 ∆x = x 2 −(x)2 = x 2 2 ∆P = P 2 −(P)2 = P 2 X X do ñoù ta coù : 2 2 2 h ∆x ∆PX ≥ 4 hay : h ∆x ∆PX ≥ 2 . Thoâng thöôøng heä thöùc naøy vieát goïn laø : h ∆x.∆PX ≥ 2 Ñaây laø bieåu thöùc chính xaùc cuûa heä thöùc baát ñònh maø yù nghóa cuûa noù ta ñaõ thaûo luaän ôû phaàn treân . §7 HAØM SOÙNG . NGUYEÂN LYÙ CHOÀNG CHAÄP TRAÏNG THAÙI. I/. Haøm Soùng: Thöïc chaát cuûa vieäc moâ taû moät cô heä naøo ñoù goàm hai noäi dung sau: - Moät laø: Moâ taû traïng thaùi cuûa heä cô ôû moät thôøi ñieåm coá ñònh ñaõ cho - Hai laø: Moâ taû söï bieán ñoåi cuûa traïng thaùi theo thôøi gian, hay noùi caùch khaùc laø moâ taû chuyeån ñoäng cuûa cô heä. Nhö vaäy cô hoïc coå ñieån thöïc chaát chuû yeáu chæ nghieân cöùu maët thöù hai cuûa cô heä, töùc laø nghieân cöùu chuyeån ñoäng cuûa noù, coøn khía caïnh thöù nhaát ñöôïc thöïc hieän baèng vieäc xaùc ñònh toïa ñoä (suy roäng) vaø vaän toác (suy roäng) cuûa noù. Tuøy baøi toaùn cuï theå maø vaän toác hay toïa ñoä ñöôïc xem xeùt moät caùch ñoäc laäp. Khaùc bieät vôùi cô hoïc coå ñieån, cô hoïc löôïng töû cho pheùp xem xeùt vaán ñeà thöù nhaát moät caùch kyõ löôõng hôn.(cuõng caàn löu yù raèng toïa ñoä vaø vaän toác trong cô hoïc coå ñieån laø caùc haøm do ñoù chuùng giao hoaùn vôùi nhau). Trong cô hoïc löôïng töû xaùc ñònh ñoàng thôøi toïa ñoä vaø xung löôïng laø khoâng theå ñöôïc do ñoù ñeå moâ taû traïng thaùi cuûa cô r hoïc löôïng töû ngöôøi ta duøng moät khaùi nieäm môùi ñoù laø haøm soùng ψ (r,t) . Khi ñoù |ψ|2 ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 45 - tyû leä vôùi maät ñoä xaùc xuaát tìm thaáy haït ôû choå xaùc ñònh naøo ñoù trong khoâng gian. Xaùc xuaát tìm thaáy haït taïi theå tích dV naøo ñoù chöùa ñieåm (x,y.z) dω (x,y,z)= ⎢ψ(x,y,z) ⎢2dxdydz Haøm soùng phaûi thoûa maõn boán ñieàu kieän sau: - Lieân tuïc - Höõu haïn - Ñôn trò +∞ 2 ∫ ψ dV =1 - chuaån hoùa baèng ñôn vò; nghóa laø: 0 Ñieàu naøy coù nghóa laø vieäc tìm thaáy haït trong toaøn khoâng gian laø chaéc chaén. II/. Nguyeân lyù choàng chaäp traïng thaùi: Nguyeân lyù choàng chaäp traïng thaùi laø moät trong soá caùc nguyeân lyù cô sôû cuûa vaät lyù hoïc. Trong vaät lyù coå ñieån- cuï theå trong lyù thuyeát soùng nhaát laø trong soùng ñieän töø- nguyeân lyù naøy coù vai troø ñaëc bieät quan troïng. Trong cô hoïc löôïng töû nguyeân lyù naøy coøn chieám moät vai troø quan troïng hôn lieân quan ñeán khaû naêng moâ taû cô heä löôïng töû, khaû naêng giaûi thích yù nghóa vaät lyù cuûa coâng cuï cuûa cô hoïc löôïng töû – lyù thuyeát caùc toaùn töû Hecmitic vaø tính ñoäc laäp cuûa cô heä löôïng töû vôùi duïng cuï ñoù. Noäi dung cuûa nguyeân lyù choàng chaäp laø: r Neáu toàn taïi caùc traïng thaùi moâ taû baèng caùc haøm soùng ψ n (r,t) thì cuõng toàn taïi traïng thaùi: ∞ ψ ()r,t = a ψ ()r,t ∑ n n n =1 ψ (rr,t) Söï löïa choïn taäp hôïp caùc haøm n gaén lieàn vôùi söï löïa choïn caùc ñaïi löôïng ñaëc tröng xaùc ñònh cuûa heä löôïng töû. Caùc heä soá an xaùc ñònh phaân boá xaùc xuaát cuûa caùc ñaïi löôïng töông öùng. Veà phöông dieän toaùn hoïc so vôùi vaät lyù coå ñieån nguyeân lyù choàng chaäp traïng thaùi löôïng töû hoaøn toaøn töông töï, nghóa laø phöông trình chuyeån ñoäng xaùc ñònh caùc traïng thaùi löôïng töû cuõng laø phöông trình tuyeán tính. Maëc duø vaäy, veà noäi dung nguyeân lyù choàng chaäp löôïng töû coù nhöõng khaùc bieät quan troïng,khaùc haún vôùi nguyeân lyù choàng chaäp trong vaät lyù coå ñieån. Ñeå thaáy roõ ñieàu naøy ta xeùt moät ví duï. Giaû söû haøm ψ1(x), ψ2(x) moâ taû traïng thaùi maø ôû ñoù chuùng ta ño ñaïi löôïng A vaø nhaän ñöôïc giaù trò xaùc ñònh A1 vaø A2 töông öùng. Choàng chaäp hai traïng thaùi naøy ta ñöôïc traïng thaùi môùi: ψ ()x = a ψ (x)+ a ψ (x) 12 1 1 2 2 Trong vaät lyù coå ñieån khi ño ñaïi löôïng A ôû traïng thaùi ψ12 (x) thì ta nhaän ñöôïc giaù trò (A1+A2 )/2 naøo ñoù nghóa laø giaù trò nhaän ñöôïc laø trung bình coäng cuûa caùc traïng thaùi thaønh phaàn. Trong cô hoïc löôïng töû tình traïng hoaøn toaøn khaùc: khi ta ño ñaïi löôïng A ôû traïng thaùi ψ12 (x) thì ta nhaän ñöôïc giaù trò hoaëc A1 hoaëc A2. Khoâng nhöõng theá ta coøn khoâng theå tieân ñoaùn chính xaùc giaù trò A1 hay A2 seõ xuaát hieän trong pheùp ñoù cuï theå ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 46 - a 2 maø ta chæ coù theå nhaän ñöôïc xaùc xuaát nhaän ñöôïc A1 hay A2 töông öùng laø 1 vaø a 2 2 Nhö vaäy coù nghóa laø: Söï phaân laäp caùc giaù trò cuûa caùc ñaïi löôïng vaät lyù vaø söï baát ñònh trong keát quaû ño laø ñaëc tröng cô baûn cuûa nguyeân lyù choàng chaäp löôïng töû. Giaûi thích ñaëc ñieåm traïng thaùi cuûa vi haït Bohr ñaõ phaùt bieåu nhö sau: “Traïng thaùi cuûa vi haït khoâng theå xeùt moät caùch taùch bieät vôùi phöông tieän quan saùt, maø phaûi keå ñeán ñieàu aáy, caùc traïng thaùi cuûa ñoái töôïng vi moâ ñöôïc nghieân cöùu nhaát thieát nhôù caùc thieát bò vó moâ maø chính caùc thieát bò aáy tuaân theo caùc ñònh luaät cuûa vaät lyù coå ñieån.” Cuõng noùi veà nguyeân lyù choàng chaäp traïng thaùi P. Dirac ñaõ vieát: “Khi töø boû quyeát ñònh luaän cuûa vaät lyù coå ñieån chuùng ta ñaõ phöùc taïp hoùa söï moâ taû thieân nhieân, song söï phöùc taïp hoùa nhö vaäy ñöôïc ñeàn buø moät caùch xöùng ñaùng bôûi söï ñôn giaûn hoùa do nguyeân lyù choàng chaäp traïng thaùi mang laïi .” §8 PHÖÔNG TRÌNH SCHRODINGER Phöông trình Schrodinger laø phöông trình cô baûn cuûa cô hoïc löôïng töû vai troø cuûa noù trong cô hoïc löôïng gioáng nhö vai troø cuûa phöông trình Newton trong cô hoïc coå ñieån. Phöông trình Schrodinger laø phöông trình coù daïng: ∂ψ ˆ ih = Hψ ∂t . trong ñoù: Hˆ laø toaùn töû Hamilton hay Hamiltonien. Phöông trình Schrodinger thieát laäp moái quan heä giöõa traïng thaùi vaø bieán ñoäng löïc-hai khaùi nieäm cô baûn cuûa cô hoïc löôïng töû. I/. Caùch “Thieát laäp” phöông trình: 1/. Phöông trình Schrodinger cho haït töï do: Töø daïng soùng moâ taû chuyeån ñoäng cuûa haït töï do: i − []prr − Et r h ψ ()r,t = Ae . (1) ∂ψ i ∂ψ = − Eψ → Eψ = ih Ta coù: ∂t h ∂t 2 2 2 ∂ ψ ∂ ψ ∂ ψ 1 2 2 2 2 + 2 + 2 = − 2 (Px + Py + Pz )ψ ∂x ∂y ∂z h P 2 E = töø heä thöùc naêng löôïng: 2m ta “suy ra” ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 47 - 2 ∂ψ h ih = − ∆ ∂t 2m (2) Phöông trình Schrodinger coù nhöõng tính chaát sau: +/ Phöông trình ñaïo haøm rieâng tuyeán tính (lieân quan ñeán nguyeân lyù choàng chaäp traïng thaùi). +/ Phöông trình chæ chöùa ñaïo haøm baäc nhaát theo thôøi gian vì noù gaén lieàn vôùi söï r r bieåu hieän cuûa nguyeân lyù nhaân quaû. (Töø ψ (r ,0) suy ra ψ (r,t) moät caùch ñôn trò). Nhöng löu yù raèng do yù nghóa cuûa haøm soùng chuùng ta chæ coù theå hieåu nguyeân lyù nhaân quaû theo nghóa thoáng keâ. Nghieäm cuûa phöông trình (2) coù daïng: i − Et r h ψ ()r,t =ϕ()r .e (3) thay (3) vaøo (2) ta coù phöông trình cho haøm chæ phuï thuoäc vaøo toïa ñoä laø: 2mE ∆ϕ()r + ϕ()r = 0 h (4) Phöông trình (4) xaùc ñònh haøm ϕ(r) cho haït töï do. 2/. Phöông trình Schrodinger cho haït chuyeån ñoäng trong tröôøng löïc: Thay E baèng (E-U) trong ñoù U laø theá naêng cuûa haït khi ñoù phöông trình (4) trôû thaønh: 2m ∆ϕ()r + []E −U(r)ϕ()r = 0 h (5) Phöông trình (5)laø phöông trình Schrodinger cho haït chuyeån ñoäng trong tröôøng theá tuøy yù khoâng phuï thuoäc thôøi gian. Toång quaùt hôn ta thay: ∂ E = ih ∂t vaøo phöông trình (5) vaø nhö vaäy ta coù phöông trình: 2 ∂ψ ⎡ h ⎤ r ih = ⎢− ∆ +U(r)⎥ψ ()r,t ∂t ⎢ 2m ⎥ ⎣ ⎦ (6) 2 Hˆ = − h ∆ +U Neáu ñaët : 2m thì phöông trình coù daïng goïn hôn laø: ∂ψ ˆ ih = Hψ ∂t (7) Phöông trình lieân hôïp phöùc cuûa (7) laø: * ∂ψ ˆ * −ih = Hψ ∂t 3/ Giaû thieát veà yù nghóa xaùc xuaát cuûa haøm soùng cuûa M.Born: Ñeå ñôn giaûn ta xeùt baøi toaùn moät chieàu: ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 48 - ∂ψ ()x,t ⎡ 2 ∂ 2 ⎤ i = ⎢− h +U ()x ⎥ψ (x,t) h ∂t ⎢ 2 ⎥ ⎣⎢ 2m ∂x ⎦⎥ * ⎡ 2 2 ⎤ ∂ψ ()x,t h ∂ * −ih = ⎢− +U ()x ⎥ψ (x,t) ∂t ⎢ 2m ∂x2 ⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ Nhaân phöông trình ñaàu vôùi ψ*(x,t) vaø phöông trình sau vôùi ψ(x,t) roài tröø ñi nhau ta coù: ⎛ * ⎞ 2 ⎡ 2 2 * ⎤ ⎜ * ∂ψ ∂ψ ⎟ h ⎢ * ∂ ψ ∂ ψ ⎥ ih⎜ψ +ψ ⎟ = − ψ −ψ ψ ()x,t ⎜ ⎟ 2m ⎢ 2 2 ⎥ ⎝ ∂t ∂t ⎠ ⎣⎢ ∂x ∂x ⎦⎥ 2 ⎛ * ⎞ ∂ 2 h ∂ ⎜ * ∂ψ ∂ψ ⎟ ih ψ = − ⎜ψ −ψ ⎟ ∂t 2m ∂x ⎜ ∂t ∂t ⎟ ⎝ ⎠ hay: ⎛ * ⎞ ∂ 2 h ∂ ⎜ * ∂ψ ∂ψ ⎟ ψ − ⎜ψ −ψ ⎟ = 0 ∂t 2mi ∂x ⎜ ∂x ∂x ⎟ ⎝ ⎠ Toång quaùt hoùa, trong tröôøng hôïp ba chieàu: ∂ 2 ⎡ ⎤ ψ +∇ h ()ψ *∇ψ −ψ∇ψ * = 0 ∂t ⎢2mi ⎥ ⎣ ⎦ (8) Nhö vaäy neáu ñaët:⎢ψ⎢2= ψ*ψ=ρ laø maät ñoä xaùc xuaát r j = h ()ψ *∇ψ −ψ∇ψ * Vaø: 2mi laø maät ñoä doøng xaùc xuaát thì (8) coù daïng heät nhö phöông trình lieân tuïc: ∂ρ r +∇j = 0 ∂t trong ñieän ñoäng löïc hoïc.(giaû thieát Born). Neáu ta chuaån hoùa: ∫ ⎢ψ⎢2dr=1 thì xaùc xuaát cuûa haït naèm trong dv laø: dω = ψ*(x,y,z,t)ψ (x,y,z.t)dv Moät ñieàu caàn löu yù laø trong traïng thaùi döøng maät ñoä xaùc xuaát khoâng phuï thuoäc vaøo thôøi gian. Cuõng töø caùc keát quaû naøy ta suy ra raèng: Cô hoïc löôïng töû chæ nghieân cöùu caùc quaù trình trong ñoù soá haït laø baûo toaøn. 4/ Phöông trình Schrodinger döøng: Ta xeùt tröôøng hôïp theá naêng U khoâng phuï thuoäc thôøi gian khi ñoù phöông trình: 2 ∂ψ ⎡ h ⎤ ih = ⎢− ∆ +U(r)⎥ψ ∂t ⎢ 2m ⎥ ⎣ ⎦ (9) coù theå ñöôïc giaûi baèng phöông phaùp phaân ly bieán soá. Thaät vaäy ñaët: r ψ (r,t)= A(t)ϕ(r) ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 49 - roài thay vaøo phöông trình ta coù theå taùch (9) thaønh hai phöông trình: Hˆϕ()r = Eϕ()r dA(t) ih = EA(t) dt trong ñoù E laø haèng soá taùch (-trò rieâng). Phöông trình theo thôøi gian coù nghieäm laø: − i Et h A(t) = Ce Phöông trình thöù nhaát cho caùc nghieäm (haøm rieâng) laø:ϕ1,ϕ2 ,ϕ3 ϕn vaø caùc trò rieâng töông öùng: E1,E2 En Nhö vaäy nghieäm cuûa (9) laø: i − E t n ψ ()rr,t =ϕ (r)e h n n . hay toång quaùt hôn laø haøm: i − E t n ψ ()r,t = C e h ϕ (x, y, z) n ∑ n n n Xaùc xuaát tìm thaáy haït taïi ñieåm naøo ñoù cuûa khoâng gian seõ khoâng phuï thuoäc thôøi gian vì ta coù: i − Ent e h =1 ω ()r,t = ψ ()r,t 2 =ω (r,0) n n n vì §9 CAÙC PHÖÔNG TRÌNH CHUYEÅN ÑOÄNG LÖÔÏNG TÖÛ I/ Nhaän xeùt chung : Ta bieát raèng vôùi Cô hoïc coù hai khaùi nieäm cô baûn ñoù laø traïng thaùi vaø caùc bieán ñoäng löïc . Hai khaùi nieän naøy gaén lieàn vôùi nhau moät caùch chaët cheõ cuï theå laø neáu ta bieát ñöôïc caùc ñaïi löôïng ñoäng löïc thì coù theå bieát ñöôïc traïng thaùi cuûa heä vaø ngöôïc laïi . Khi moâ taû söï tieán trieån cuûa heä theo thôøi gian ta coù theå duøng caùc phöông trình chuyeãn ñoäng vì vaäy caùc phöông trình chuyeãn ñoäng coù vai troø quan troïng . Trong Cô hoïc coå ñieån caùc phöông trình chuyeãn ñoäng ñöôïc vieát qua caùc bieán ñoäng laø caùc phöông trình Newton , phöông trình Hamilton – Jacobi , phöông trình chính taéc Hamilton vaø qua haøm traïng thaùi laø phöông trình Lagrange. Giaûi caùc phöông trình naøy chuùng ta seõ tìm ñöôïc caùc ñaïi löôïng ñoäng löïc – laø nghieäm cuûa caùc phöông trình ñoù – laø caùc haøm soá cuûa thôøi gian : r r r r r r r = r(t) , p = p(t) , E = E(t) , M = M (t) . ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 50 - r r Tuy nhieân ñeå yù raèng trong caùc bieán ñoäng löïc ñoù thì r vaø p coù vai troø cô baûn r r r hôn so vôùi E vaø M vì hai ñaïi löôïng sau coù theå bieåu dieãn qua hai ñaïi löôïng r vaø p , r r vì vaäy taäp hôïp (r, p) ñöôïc goïi laø traïng thaùi cuûa cô heä : Trong hình thöùc luaän Hamilton , maø cô sôû cuûa noù laø phöông trình chính taét Hamilton : dq ∂H dp ∂H i = ; i =− p q dt ∂ i dt ∂ i (9.1) (Neáu ñöa vaøo moùc Poisson thì ta coù theå vieát caùc phöông trình naøy döôùi daïng ñoái xöùng cho caû caùc toïa ñoä vaø caùc xung löôïng lieân hôïp ) Baây giôø ta xeùt ñeán Cô hoïc löôïng töû . r Trong Cô hoïc löôïng töû traïng thaùi ñöôïc moâ taû baèng haøm soùng ψ (r,t) . Bieát ñöôïc haøm soùng chuùng ta seõ thu ñöôïc giaù trò trung bình cuûa baát cöù ñaïi löôïng naøo töùc laø bieát ñöôïc ñaày ñuû veà heä . Phöông trình chuyeån ñoäng ñöôïc vieát qua haøm soùng chính laø phöông trình Schrodinger . Nhö ta ñaõ bieát : ∂ψ ih = Hψ ∂t Nhö vaäy xuaát hieän moät vaán ñeà laø : trong Cô hoïc löôïng töû coù theå vieát ñöôïc caùc phöông trình hoaøn toaøn töông töï nhö caùc phöông trình chuyeån ñoäng cuûa cô hoïc coå ñieån cho caùc bieán ñoäng löïc hay khoâng ? Caâu traû lôøi laø coù theå ñöôïc . Tuy nhieân ñeå laøm ñöôïc nhö vaäy tröôùc heát ta phaûi xaây döïng vaøi ñònh nghóa môùi ñoù laø caùc moùc Poisson löôïng töû vaø khaùi nieäm ñaïo haøm theo thôøi gian cuûa caùc toaùn töû . II/ Caùc moùc Poisson löôïng töû : 1/ Caùc moùc Poisson trong cô hoïc coå ñieån : Ñaïo haøm toaøn phaàn theo thôøi gian cuûa moät haøm F(q,p,t) naøo ñoù (phuï thuoäc toïa ñoä q , xung löôïng p vaø thôøi gian t ) trong vaät lyù hoïc coå ñieån coù daïng : dF ∂F ⎛ ∂F ∂q ∂F ∂p ⎞ = + ∑ ⎜ . K + . K ⎟ dt ∂t K ⎜ ∂q ∂t ∂p ∂t ⎟ ⎝ K K ⎠ (9.2) Neáu duøng caùc phöông trình chính taét Hamilton trong ñoù H = H(q.p) laø haøm Hamilton – naêng löôïng toaøn phaàn trong vaät lyù hoïc coå ñieån – bieåu dieãn qua xung löôïng vaø toïa ñoä , thì khi ñoù ta coù theå vieát : dF ∂F ⎛ ∂H ∂H ∂H ∂F ⎞ = + ∑ ⎜ . − . ⎟ = dt ∂t K ⎜ ∂p ∂q ∂q ∂p ⎟ ⎝ K K K K ⎠ dF dF = + (H, F) hay dt dt . Trong ñoù (H,F) laø kyù hieäu cuûa toång beân veá phaûi ñöôïc goïi laø moùc Poisson coå ñieån . ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 51 - Toång quaùt hôn moùc Poisson khoâng phaûi chæ coù theå ñònh nghóa cho H vaø F maø coù theå ñònh nghóa cho hai haøm baát kyø F(p , q) vaø G(p . q) – töùc laø cho caùc haøm phuï thuoäc vaøo xung löôïng vaø toïa ñoä nhö sau : ⎛ ∂F ∂G ∂G ∂F ⎞ (F,G) = ∑ ⎜− + ⎟ K ⎜ ∂q ∂p ∂q ∂p ⎟ ⎝ K K K K ⎠ (9.3) Neáu bieán ñoäng löïc F khoâng phuï thuoäc töôøng minh vaøo thôøi gian thì : dF dF = (H, F) (do : = 0) dt dt (9.4) Baàng kyù hieäu moùc Poisson ta coù theå vieát laïi phöông trình Hamilton coù daïng : dq dp K K = (H,qK ) =(H, pK ) dt dt (9.5) Ñeå yù raèng so vôùi (7.1) caùc phöông trình (6.5) hoaøn toaøn ñoái xöùng ñoái vôùi toïa ñoä vaø xung löôïng . Ta coøn coù vaøi moùc Poisson ñaëc bieät khaùc nöõa laø : (qi , qj) = 0 ; (pi , qj) = δij ; (pi , pj) = 0 (9.6) Töø ñònh nghóa moùc Poisson ta suy ra caùc heä quaû sau ñaây : a/ Tính phaûi xöùng : (F,G) = -(F,G) Töø ñoù suy ra : (F,F) = 0 b/ Neáu G = const thì : (F,G) = (F,C) = 0 c/ Tuyeán tính theo caùc phaàn töû : (F1+F2 , G) = (F1,G)F2 + F1(F2,G) d/ Tính phaân boá ñoái vôùi pheùp nhaân :(töông töï quy taéc laáy vi phaân moät tích ) . (F1F2 , G) = (F1,G)F2 + F1(F2,G) e/ Thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc Jacobi : (F,(G,H)) + (G,(H,F)) +(H,(F,G)) = 0 2/ Moùc Poisson löôïng töû : Ta vhuyeån sang baøi toaùn Cô hoïc löôïng töû . Ta ñònh nghóa moùc Poisson löôïng töû cuûa hai toaùn töû F vaø G nhö sau : i []F,G q = (FG −GF) h (9.7) Ñieàu naøy coù nghóa laø chuùng ta choïn giao hoaùn töû vôùi ñoä chính xaùc tôùi thöøa soá i h laøm moùc Poisson löôïng töû , ñôn vò aûo i laø ñeå ñaûm baûo tính Hecmetic cuûa caùc toaùn töû . Ñònh nghóa naøy ñöôïc suy ra töø nhöõng laäp luaän cô sôû laø : - Caùc moùc Poisson löôïng töû thoûa maõn taát caû caùc ñoàng nhaát thöùc cuûa caùc moùc Poisson coå ñieån . ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù
Cô hoïc löôïng töû - 52 - - Ta choïn caùc moùc Poisson löôïng töû sao cho giaù trò baèng soá cuûa chuùng truøng vôùi tröôøng hôïp coå ñieån ; ít nhaát laø khi chuùng chöùa caùc bieán chính taéc töông öùng nhau . (Caùc bieán ñoäng löïc töông öùng ) . Ví duï : Khi xeùt : q = x , p = px . Vôùi caùc moùc Poisson coå ñieån ta coù : (x,x) = 0 ; (Px, Px) = 0 ; (Px,x) = 1 . Vôùi caùc moùc Poisson löôïng töû ta coù : []x, x = 0 q (9.8a) []P , P = 0 x x q (9.8b) i []Px , x = [Px x − xPx ]=1 h (9.8c) Nhö vaäy caùc giaù trò cuûa moùc Poisson löôïng töû truøng vôùi giaù trò cuûa caùc moùc Poisson coå ñieån . Caùc moùc Poisson ñeå cho toå hôïp caùc toaùn töû – töùc laø tröôøng hôïp phöùc taïp hôn tröôøng hôïp xeùt ôû treân – coù theå nhaän ñöôïc moät caùch töông töï . Nhö vaäy töø ñaây ta thaáy raát nhieàu luaän ñieåm cô baûn cuûa Cô hoïc löôïng töû coù theå nhaän ñöôïc töø caùc luaän ñieåm cuûa cô hoïc coå ñieån baèng caùch söû duïng caùc moùc Poisson . Coù theå noùi theâm veà caùc heä thöùc (7.8) . Caùc heä thöùc naøy raát quan troïng cho Cô hoïc löôïng töû vaø coù theå coi chuùng nhö caùc ñieàu kieän löôïng töû hoùa thay cho caùc ñieàu kieän löôïng töû hoùa cuûa lyù thuyeát Bohr –Zommerfeld . Vôùi heä thöùc : h Px x − xPx = i ta ñeå yù raèng noù thoûa maõn nguyeân lyù töông öùng , cuï theå laø khi h →0 thì beân phaûi baèng khoâng vaø khi ñoù chuùng ta nhaän ñöôïc ñieàu kieän giao hoaùn ñaëc tröng cho caùc ñaïi löôïng cuûa cô hoïc coå ñieån . III/ Ñaïo haøm theo thôøi gian cuûa caùc toaùn töû : Ñeå thieát laäp caùc phöông trình chuyeãn ñoäng löôïng töû thì böôùc ñaàu tieân ta phaûi tìm ñöôïc ñaïo haøm theo thôøi gian cuûa caùc ñaïi löôïng ñoäng löïc . Deã daøng thaáy raèng ñònh nghóa ñaïo haøm theo thôøi gian nhö laø giôùi haïn theo tyû soá cuûa söï bieán ñoåi cuûa chính bieán ñoäng löïc vôùi khoaûng thôøi gian töông öùng trong cô hoïc löôïng töû laø khoâng theå ñöôïc vì trong Cô hoïc löôïng töû caùc ñaïi löôïng ñoäng löïc noùi chung khoâng coù giaù trò xaùc ñònh maø chæ coù caùc giaù trò trung bình cuûa caùc ñaïi löôïng ñoäng löïc laø coù giaù trò xaùc ñònh . Ñònh nghóa ñaïo haøm theo thôøi gian cuûa bieán ñoäng löïc : Ñaïo haøm theo thôøi gian cuûa moät bieán ñoäng löïc F laø moät ñaïi löôïng maø giaù trò trung bình cuûa noù baèng ñaïo haøm theo thôøi gian cuûa giaù trò trung bình cuûa noù . Ñieàu naøy coù nghóa laø : F& =F& (9.9) (daáu . chæ ñaïo haøm theo thôøi gian , daáu – phía treân chæ giaù trò trung bình ) . Vôùi ñaïi löôïng F bieåu thöùc cho giaù trò trung bình cuûa noù ñöôïc cho bôûi : ThS. Nguyeãn Duy Höng Khoa Vaät lyù