Giáo trình Cơ học lượng tử

91 trang phuongnguyen 40

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Cơ học lượng tử", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_co_hoc_luong_tu.pdf

Nội dung text: Giáo trình Cơ học lượng tử

 Giáo trình Cơ học lượng tử
1 MỞ ĐẦU MỞ ĐẦU Học phần cơ học lượng tử nâng cao là môn học bắt buộc đối với học viên cao học chuyên ngành Phương pháp Giảng dạy Vật lý và chuyên ngành Vật lý Lý thuyết-Vật lý Toán, nó nhằm bổ sung và nâng cao một số kiến thức cơ học lượng tử như các phương pháp tính gần đúng trong cơ học lượng tử, lý thuyết tán xạ lượng tử, cơ học lượng tử tương đối tính, Các kiến thức này là cơ sở để học viên tiếp thu các kiến thức về Vật lý thống kê, Vật lý chất rắn, Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, Với mục tiêu như trên, nội dung của môn học được xây dựng trong 4 chương. Chương I khái quát lại các cơ sở của cơ học lượng tử (cơ sở toán học, các tiên đề của cơ học lượng tử, nguyên lý bất định Heisenberg, phương trình Schrõdinger, sự biến đổi theo thời gian của giá trị trung bình các đại lượng vật lý, ). Chương II trình bày các phương pháp gần đúng để giải phương trình Schrõdinger thường được sử dụng trong cơ học lượng tử. Chương III trình bày lý thuyết tán xạ lượng tử. Chương IV trình bày khái quát cơ học lượng tử tương đối tính, bao gồm một số phương trình cơ bản (Phương trình Klein-Gordon, phương trình Dirac, phương trình Pauli, ), một số khái niệm cơ bản (Mật độ xác suất tương đối tính và mật độ dòng xác suất tương đối tính, spin và mômen từ của hạt vi mô, ). Ngoài ra, các học viên cao học Vật lý Lý thuyết -Vật lý Toán còn có 15 tiết để khảo sát sâu hơn về cấu trúc các trạng thái nguyên tử, lý thuyết lượng tử về bức xạ, hiệu ứng Zeemann dị thường, các trạng thái năng lượng âm, tính bất biến của phương trình Dirac. Để giúp học viên nắm chắc các kiến thức của môn học, số thời gian dành cho học viên rèn luyện các kỹ năng vận dụng và giải các bài tập, xêmine chiếm 1/4 thời lượng của môn học.
2 Mục lục 1 Cơ sở của cơ học lượng tử 4 1.1 Cơ sở toán học của cơ học lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Toántử: 4 1.1.2 Các phép tính trên toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Hàm riêng, trị riêng và phương trình trị riêng của toán tử 6 1.1.4 Toán tử tự liên hợp tuyến tính (toán tử hermitic) . . . 6 1.1.5 Các tính chất của toán tử hermitic . . . . . . . . . . . 8 1.2 Các tiên đề của cơ học lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Tiên đề 1: Trạng thái và thông tin . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Tiên đề 2: Các đại lượng động lực . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Tiên đề 3: Phép đo các đại lượng động lực . . . . . . . 10 1.2.4 Giá trị trung bình của biến số động lực . . . . . . . . . 11 1.2.5 Tính hệ số phân tích ci 11 1.3 Sự đo đồng thời hai đại lượng vật lý . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Sự đo chính xác đồng thời hai đại lượng vật lý . . . . . 12 1.3.2 Phép đo hai đại lượng động lực không xác định đồng thời. Nguyên lý bất định Heisenberg. . . . . . . . . . . 13 1.4 Phương trình Schrõdinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.1 Phương trình Schrõdinger phụ thuộc thời gian . . . . . 15 1.4.2 Mật độ dòng xác suất. Sự bảo toàn số hạt . . . . . . . 16 1.4.3 Phương trình Schrõdinger không phụ thuộc thời gian. Trạng thái dừng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Sự biến đổi theo thời gian của các đại lượng động lực . . . . . 19 1.5.1 Đạo hàm của toán tử động lực theo thời gian . . . . . 19 2 Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 22 2.1 Nhiễu loạn dừng trong trường hợp không suy biến . . . . . . . 23 2.2 Lý thuyết nhiễu loạn dừng trong trường hợp có suy biến . . . 26
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 3 2.2.1 Lý thuyết nhiễu loạn khi có hai mức gần nhau . . . . . 26 2.2.2 Lý thuyết nhiễu loạn dừng khi có suy biến: . . . . . . . 31 2.3 Hiệu ứng Stark trong nguyên tử Hydro . . . . . . . . . . . . . 35 2.4 Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.5 Sự chuyển dời lượng tử của hệ vi mô sang các trạng thái mới dưới ảnh hưởng của nhiễu loạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.6NguyêntửHêli 44 2.7 Phương pháp trường tự hợp Hartree-Fok . . . . . . . . . . . . 48 2.7.1 Nguyên lý biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.7.2 Phương pháp trường tự hợp Hartree-Fok . . . . . . . . 52 3 Lý thuyết tán xạ lượng tử 57 3.1 Biên độ tán xạ và tiết diện tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.1.1 Tiết diện tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.1.2 Biên độ tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.1.3 Tán xạ đàn hồi của các hạt không có spin . . . . . . . 60 3.2 Tán xạ đàn hồi trong phép gần đúng Born . . . . . . . . . . . 65 3.3 Phương pháp sóng riêng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4 Cơ học lượng tử tương đối tính 74 4.1 Phương trình Klein-Gordon (K-G) . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2 Phương trình Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.3 Mật độ xác suất và mật độ dòng xác suất trong lý thuyết Dirac 81 4.4 Nghiệm của phương trình Dirac đối với hạt chuyển động tự do 83 4.5 Spin của hạt được mô tả bằng phương trình Dirac . . . . . . . 85 4.6 Chuyển từ phương trình Dirac sang phương trình Pauli. Mô- mentừcủahạt 87
4 Chương 1 Cơ sở của cơ học lượng tử 1.1 Cơ sở toán học của cơ học lượng tử 1.1.1 Toán tử: a) Định nghĩa: Toán tử là một phép toán tác dụng vào một hàm này thì biến đổi thành một hàm khác. Ta gọi Aˆ là một toán tử nếu Aψˆ (x)=φ(x). (1.1) Ví dụ: Các toán tử : + Phép nhân với x2 Aψˆ (x)=x2ψ(x), trong trường hợp này Aˆ phụ thuộc biến số x. + Phép lấy đạo hàm với biến số x: dψ(x) Aψˆ (x)= dx + Phép nhân với một số phức C: Aψˆ (x)=Cψ(x), ởđây,Aˆ không phụ thuộc vào biến x và phép lấy đạo hàm theo x. Đặc biệt nếu: C =0 :Aψˆ (x)=0, Aˆ là toán tử không, C =1 :Aψˆ (x)=ψ(x), Aˆ là toán tử đơn vị. + Phép lấy liên hiệp phức: Aψˆ (x)=ψ∗(x).
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 5 b) Toán tử tuyến tính: Toán tử Aˆ được gọi là toán tử tuyến tính nếu nó thoả mãn tính chất sau: Aˆ(c1ψ1 + c2ψ2)=c1Aψˆ 1 + c2Aψˆ 2. (1.2) Trong hệ thức trên, ψ1 và ψ2 là hai hàm bất kỳ, c1 và c2 là hai hằng số bất kỳ. Ví dụ: Aˆ =(d/dx) là toán tử tuyến tính vì d dψ dψ (c ψ + c ψ )=c 1 + c 2 . dx 1 1 2 2 1 dx 2 dx Còn toán tử lấy liên hiệp phức không phải là toán tử tuyến tính vì ˆ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ˆ ∗ ˆ A(c1ψ1 + c2ψ2)=(c1ψ1 + c2ψ2) = c1ψ1 + c2ψ2 = c1Aψ1 + c2Aψ2 =6 c1Aψˆ 1 + c2Aψˆ 2. 1.1.2 Các phép tính trên toán tử Cho ba toán tử A,ˆ B,ˆ C.ˆ ta định nghĩa các phép tính toán tử sau: a) Tổng hai toán tử: Sˆ được gọi là tổng của hai toán tử A,ˆ Bˆ, ký hiệu là Sˆ ≡ Aˆ + Bˆ nếu ∀ψ(x), Sψˆ (x)=Aψˆ (x)+Bψˆ (x). (1.3) b) Hiệu hai toán tử: Dˆ được gọi là hiệu hai toán tử A,ˆ Bˆ, ký hiệu Dˆ ≡ Aˆ − Bˆ nếu ∀ψ(x), Dψˆ (x)=Aψˆ (x) − Bψˆ (x). (1.4) c) Tích hai toán tử: Pˆ ≡ AˆBˆ là tích của hai toán tử Aˆ và Bˆ nếu Pψˆ (x)=(AˆBˆ)ψ(x)=Aˆ Bψˆ (x) . (1.5) Tích của hai toán tử nói chung là không giao hoán, nghĩa là AˆBˆ =6 BˆA.ˆ Chẳng hạn, cho d Aˆ = , Bˆ = x dx thì ta có d dψ(x) AˆBψˆ (x)= (xψ(x)) = ψ(x)+x , dx dx còn dψ(x) dψ(x) BˆAψˆ (x)=x =6 AˆBψˆ (x)=ψ(x)+x , dx dx
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 6 rõ ràng BˆAˆ =6 AˆBˆ, nên A,ˆ Bˆ không giao hoán nhau. Nếu Aˆ = x2, Bˆ = x thì AˆBψˆ (x)=x3ψ(x)=BˆAψˆ (x) hai toán tử A,ˆ Bˆ giao hoán nhau. d) Giao hoán tử của hai toán tử Aˆ và Bˆ được định nghĩa là [A,ˆ Bˆ] ≡ AˆBˆ − BˆA.ˆ Nếu Aˆ và Bˆ giao hoán thì AˆBˆ = BˆAˆ, do đó giao hoán tử của chúng bằng không, nghĩa là [A,ˆ Bˆ]=0. Nếu hai toán tử không giao hoán thì [A,ˆ Bˆ]=AˆBˆ − BˆAˆ =06 hay [A,ˆ Bˆ] =06 . 1.1.3 Hàm riêng, trị riêng và phương trình trị riêng của toán tử Xét một toán tử Aˆ, khi cho Aˆ tác dụng lên một hàm ψ(x) nào đó, ta có thể thu được chính hàm đó nhân với một hằng số: Aψˆ (x)=aψ(x). (1.6) (1.6) là một phương trình, dạng của ψ(x) có thể thu được từ việc giải phương trình trên. Ta bảo ψ(x) là hàm riêng với trị riêng a của toán tử Aˆ. Và việc giải phương trình (1.6) có thể cho ta biết các hàm riêng và trị riêng của toán tử Aˆ. Nếu có s hàm riêng có cùng một trị riêng a, thì ta bảo toán tử Aˆ có trị riêng suy biến bậc s. Các trị riêng có thể biến thiên gián đoạn hoặc liên tục. Trong cơ học lượng tử, hàm riêng phải thoả mãn các điều kiện chuẩn sau: - Hàm ψ(x) phải tồn tại, xác định trên toàn miền biến thiên của các biến độc lập. - Trong miền tồn tại, hàm ψ(x) và đạo hàm bậc nhất của nó dψ(x)/dx phải hữu hạn, liên tục (trừ một số điểm đặc biệt). - Hàm ψ(x) phải xác định đơn trị 1.1.4 Toán tử tự liên hợp tuyến tính (toán tử hermitic) Toán tử tuyến tính Aˆ+ được gọi là toán tử liên hợp tuyến tính với toán tử tuyến tính Aˆ nếu: ∗ Z ∗ ˆ Z ˆ+ ∀ψ1(x),ψ2(x), ψ1(x)Aψ2(x)dx = A ψ1(x) ψ2(x)dx. (1.7) V V
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 7 Nếu Aˆ+ = Aˆ thì ta bảo Aˆ là toán tử tự liên hợp tuyến tính, hay toán tử hermitic, nghĩa là: ∗ Z ∗ ˆ Z ˆ ψ1(x)Aψ2(x)dx = Aψ1(x) ψ2(x)dx. (1.8) V V Nếu ta đưa ra ký hiệu mới về tích vô hướng hai hàm sóng Z ∗ hψ1(x)|ψ2(x)i = ψ1(x)ψ2(x)dx, (1.9) V theo đó (1.8) được viết lại như sau: hψ1(x)|Aψˆ 2(x)i = hAψˆ 1(x)|ψ2(x)i. Ví dụ 1: Aˆ =(d/dx) có phải là toán tử hermitic không? Muốn biết, ta tính +∞ +∞ dϕ Z ψ∗Aϕdxˆ = Z ψ∗ dx. −∞ −∞ dx Đặt u = ψ∗,dv =(dϕ/dx).dx, thì +∞ +∞ ∗ Z ∗ ˆ ∗ x=+∞ Z dψ ψ Aϕdx = ψ ϕ|x=−∞ − ϕ dx, −∞ −∞ dx ∗ x=+∞ vì các hàm ψ(x),ϕ(x) → 0 khi x →±∞nên ψ ϕ|x=−∞ =0, +∞ +∞ dψ∗ +∞ dψ ∗ +∞ ∗ Z ψ∗Aϕdxˆ = − Z ϕ dx =6 Z ϕ dx = Z Aψˆ ϕdx. −∞ −∞ dx −∞ dx −∞ Vậy Aˆ =(d/dx) không phải là toán tử hermitic. Ví dụ 2: Aˆ = i(d/dx) có phải là toán tử hermitic không? Ta có: +∞ +∞ dψ∗ +∞ dψ∗ +∞ dψ ∗ Z ψ∗Aϕdxˆ = −i Z ϕ dx = Z ϕ −i dx = Z ϕ i dx, −∞ −∞ dx −∞ dx −∞ dx +∞ +∞ ∗ Z ψ∗Aϕdxˆ = Z Aψˆ ϕdx. −∞ −∞ Vậy Aˆ = i(d/dx) là toán tử hermitic.
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 8 1.1.5 Các tính chất của toán tử hermitic a) Trị riêng của toán tử hermitic là số thực. Giả thiết toán tử hermitic Aˆ có trị riêng gián đoạn với phương trình trị riêng Aψˆ n = anψn. Ta có: hψn|Aψˆ ni = hAψˆ n|ψni vì Aˆ hermitic, nghĩa là: ∗ ∗ anhψn|ψni = a hψn|ψni =⇒ (an − an)hψn|ψni =0. ∗ Vì hψn|ψni6=0nên an = an: an là số thực. b) Hàm riêng tương ứng với hai trị riêng phân biệt thì trực giao với nhau. Thực vậy, theo định nghĩa của toán tử hermitic thì: hψ1|Aψˆ 2i = hAψˆ 1|ψ2i =⇒ a2hψ1|ψ2i = a1hψ1|ψ2i, =⇒ (a2 − a1)hψ1|ψ2i =0, vì a2 =6 a1 nên (a2 − a1) =06 .Vậy: hψ1|ψ2i =0: ψ1,ψ2 trực giao với nhau. Tóm lại, nếu các hàm riêng của toán tử hermitic Aˆ được chuẩn hoá thì ta có: Phổ trị riêng gián đoạn : hψm|ψni = δmn, (1.10) 0 Phổ trị riêng liên tục : hψa0 |ψai = δ(a − a). (1.11) 0 Trong đó, δmn,δ(a − a) là các hàm Dirac. c) Các hàm riêng của toán tử hermitic lập thành một hệ hàm cơ sở trực giao và đủ trong không gian Hilbert các hàm sóng, nghĩa là với một hàm sóng bất kỳ ψ(x) trong không gian Hilbert, ta có: Đối với phổ trị riêng gián đoạn : ψ(x)=X cnψn(x). (1.12) n Z Đối với phổ trị riêng liên tục : ψ(x)= caψa(x)da. (1.13) a
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 9 1.2 Các tiên đề của cơ học lượng tử Trong cơ học lượng tử, hạt không được hình dung như là một chất điểm chuyển động theo một quỹ đạo xác định mà nó được hình dung như là một bó sóng định xứ trong một miền của không gian tại một thời điểm và bó sóng thay đổi theo thời gian. Tại một thời điểm ta chỉ có thể nói về xác suất để tìm thấy hạt trong một phần tử thể tích của không gian, hay nói khác đi là xác xuất để toạ độ của hạt có giá trị nằm trong khoảng nào đó. Nói chung về các biến số động lực khác cũng vậy, ta chỉ có thể nói về xác suất để một biến số động lực có giá trị nằm trong khoảng nào đó chứ không thể nói về giá trị xác định của biến số động lực tại một thời điểm như trong cơ học cổ điển. Vì có sự khác biệt nói trên nên trong cơ học lượng tử biến số động lực không phải được mô tả bằng một số như trong cơ học cổ điển. Chúng ta phải tìm một cách mô tả khác thể hiện được những đặc tính của các quy luật lượng tử. Những nghiên cứu về toán tử cho thấy có thể dùng công cụ toán học này để mô tả biến số động lực trong cơ học lượng tử. Chúng ta thừa nhận một số giả thiết về nội dung cách mô tả như những tiên đề. Những tiên đề ấy không có mâu thuẩn nhau và cho các kết quả phù hợp với thực nghiệm. 1.2.1 Tiên đề 1: Trạng thái và thông tin " Trạng thái vật lý của một hệ lượng tử thì tương ứng với một hàm sóng chuẩn hoá." Ta ký hiệu ψ(x, t) là hàm sóng của hệ lượng tử ở thời điểm t và tại vị trí toạ độ x ( hay ứng với biến động lực x). Hàm sóng được chuẩn hoá khi hψ(x, t)|ψ(x, t)i = Z ψ(x, t)∗ψ(x, t)dx =1. (1.14) V Như vậy, ψ(x, t) và cψ(x, t) cùng chung một trạng thái nếu c∗c = |c|2 = 1. 1.2.2 Tiên đề 2: Các đại lượng động lực " Tương ứng với một đại lượng động lực A trong cơ học lượng tử là một toán tử hermitic Aˆ."
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 10 Vì giá trị bằng số của biến động lực là thực nên trị riêng của toán tử tương ứng với biến động lực đó phải thực, do đó toán tử tương ứng với biến động lực phải hermitic. Toán tử Aˆ hermitic nên có một hệ đủ các vectơ riêng trực giao chuẩn hoá {ψi(x, t)} tương ứng với phổ các trị riêng thực {ai}, i =1, 2, , n. Theo đó, một trạng thái bất kỳ của hệ lượng tử sẽ được khai triển theo các hàm riêng như sau: n ψ(x, t)=X ciψi(x, t). (1.15) i=1 1.2.3 Tiên đề 3: Phép đo các đại lượng động lực Nếu hệ lượng tử ở trạng thái biểu diễn bởi hàm sóng ψ(x) thì xác 2 suất để khi đo biến động lực A thu được giá trị ai sẽ là |ci| = pi. Rõ ràng n n 2 X pi = X |ci| =1 (1.16) i=1 i=1 được suy từ tính chất trực giao, chuẩn hoá của các hàm riêng. Như vậy phép đo làm nhiễu loạn trạng thái. Nếu ψ(x)=ψi(x), ta có 2 Aψˆ (x)=Aψˆ i(x)=aiψi(x) với xác suất |ci| = pi =1. Chú ý rằng theo tiên đề 3 thì (i) Không thể tiên đoán chính xác kết quả phép đo một đại lượng động lực của hệ vi mô có trạng thái ψ(x) hoàn toàn xác định. (ii) Nếu tiến hành hai phép đo riêng biệt nhưng giống nhau trên cùng một hệ có trạng thái ban đầu trước mỗi lần đo là ψ(x) hoàn toàn giống nhau thì kết quả hai lần đo này không nhất thiết phải trùng nhau. Ta chấp nhận “tính không tiên đoán được” và tính “không đồng nhất” của quá trình đo như là một thuộc tính vốn có của tự nhiên. Trong trường hợp phổ trị riêng liên tục thì Z ψ(x)= c(a)ψa(x)da (1.17) a và xác suất dW (a) để đại lượng A có giá trị trong khoảng từ a đến a + da là dW (a)=|c(a)|2da. (1.18)
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 11 1.2.4 Giá trị trung bình của biến số động lực Xét biến số động lực A có toán tử hermitic tương ứng Aˆ, trị trung bình A của nó ở trạng thái ψ(x) ứng với trường hợp phổ trị riêng gián đoạn {ai} n n 2 Z ∗ A = X piai = X ai|ci| = ψ (x)Aψˆ (x)dx (1.19) i=1 i=1 V vì Z ∗ ˆ Z ∗ ∗ ˆ ψ (x)Aψ(x)dx = X X ci ψi (x)Acjψj(x)dx V V i j ∗ Z ∗ ˆ = X X ci cj ψi (x)Aψj(x)dx i j V ∗ Z ∗ = X X ci cjaj ψi (x)ψj(x)dx i j V ∗ = X X ci cjajδij i j 2 = X |ci| ai. i Trường hợp phổ trị riêng liên tục, ta có A = Z adW (a)=Z |c(a)|2ada a a 1.2.5 Tính hệ số phân tích ci Theo tiên đề 3, muốn tính xác suất để đo A được giá trị ai thì ta phải xác định cho được hệ số phân tích ci. Muốn vậy, ta nhân lượng liên hiệp phức ∗ của hàm riêng ψi(x) là ψi (x) với hàm sóng ψ(x) rồi lấy tích phân theo biến số x, ta được Z ∗ Z ∗ ψi (x)ψ(x)dx = X ψi (x)ckψk(x)dx = X ckδik = ci, (1.20) V k V k giá trị này của ci hoàn toàn xác định với sai kém hằng số nhân.
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 12 1.3 Sự đo đồng thời hai đại lượng vật lý 1.3.1 Sự đo chính xác đồng thời hai đại lượng vật lý Xét hai biến số động lực L và M được biểu diễn bởi hai toán tử Lˆ và Mˆ . Hệ ở trạng thái được biểu diễn bởi hàm sóng ψ mà ở đây để cho đỡ rườm rà ta hiểu ngầm là hàm theo biến số x. Chúng ta sẽ xét trong điều kiện nào hai biến động lực có thể đo được chính xác đồng thời. Theo tiên đề 3, muốn cho biến động lực L có giá trị xác định thì ψ = ψL,k là hàm riêng của Lˆ ứng với trị riêng Lk. Nghĩa là Lψˆ = Lψˆ L,k = LkψL,k. Ta đo đồng thời đại lượng M với L, tức là lúc hệ ở trạng thái ψ = ψL,k. Muốn cho M cũng có giá trị xác định Mk thì ψ phải là hàm riêng của Mˆ , nghĩa là ψ = ψM,k. Theo đó Mψˆ = Mψˆ M,k = MkψM,k. Như vậy, hai toán tử Lˆ và Mˆ phải có chung hàm riêng: ψ = ψL,k = ψM,k. Đây chính là điều kiện để đồng thời đo được chính xác hai đại lượng động lực L và M. Và ta có thể rút ra định lý sau: “Điều kiện ắt có và đủ để hai đại lượng động lực đo được đồng thời là toán tử tương ứng của chúng giao hoán với nhau.” Chúng ta sẽ chứng minh định lý này sau đây. a) Điều kiện ắt có: Nếu L,ˆ Mˆ có chung hàm riêng ψk thì hai toán tử L,ˆ Mˆ giao hoán được với nhau. Ta có LˆMψˆ k = Lˆ Mψˆ k = MkLψˆ k = MkLkψk, Mˆ Lψˆ k = Mˆ Lψˆ k = LkMψˆ k = LkMkψk. Suy ra ˆ ˆ ˆ ˆ LMψk = MLψk, hay LˆMˆ − Mˆ Lˆ ψk =0 =⇒ LˆMˆ − Mˆ Lˆ =0 =⇒ LˆMˆ = Mˆ L.ˆ
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 13 Rõ ràng Lˆ và Mˆ giao hoán với nhau. a) Điều kiện đủ: Nếu hai toán tử giao hoán thì chúng có chung hàm riêng. Gọi ϕ là hàm riêng của Lˆ, nghĩa là Lϕˆ = Lϕ, Mˆ Lˆ ϕ = Mˆ Lϕˆ = Mˆ (Lϕ)=L Mϕˆ . Vì Mˆ và Lˆ giao hoán nên Mˆ Lˆ ϕ = LˆMˆ ϕ = L Mϕˆ . Rõ ràng ψ ≡ Mϕˆ là một hàm riêng của toán tử Lˆ với trị riêng L. Như vậy, ψ và ϕ đều là hàm riêng của Lˆ với cùng trị riêng L. Khi không có suy biến thì chúng trùng nhau, nhưng vì hàm riêng của các toán tử hermitic được xác địng sai kém nhau một hằng số nhân nên ψ = hằng số.ϕ, hay Mϕˆ = hằng số.ϕ = M.ϕ, nghĩa là ϕ cũng là hàm riêng của toán tử Mˆ . 1.3.2 Phép đo hai đại lượng động lực không xác định đồng thời. Nguyên lý bất định Heisenberg. Trong trường hợp tổng quát nếu hai toán tử L,ˆ Mˆ theo thứ tự biểu diễn hai đại lượng động lực L, M không giao hoán được với nhau thì không thể đo được chính xác đồng thời L và M. Bây giờ ta xét xem nếu đo đồng thời hai biến động lực ấy thì độ chính xác đạt đến mức nào. Do Lˆ và Mˆ là những toán tử hermitic không giao hoán được với nhau nên hL,ˆ Mˆ i = iP,ˆ (1.21) trong đó Pˆ là một toán tử hermitic, Pˆ =06 . Gọi L và M là trị trung bình của L và M ở trạng thái ψ(x). Xét độ lệch ∆L = L − L;∆M = M − M (1.22) Những đại lượng này theo thứ tự được biểu diễn bởi các toán tử hermitic ∆L = Lˆ − L; ∆M = Mˆ − M (1.23) d d
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 14 Ta có giao hoán tử h∆L, ∆Mi = hLˆ − L, Mˆ − Mi = hL,ˆ Mˆ i = iP.ˆ (1.24) d d Xét tích phân: I(α)=Z | α∆L − i∆M ϕ|2dx ≥ 0 (1.25) V d d trong đó α là một thông số thực, tích phân lấy trong toàn bộ miền biến thiên V của x. ∗ I(α)=Z h(α∆L − i∆M)ϕi (α∆L − i∆M)ϕdx V d d d d = Z ϕ∗(α∆L − i∆M)+(α∆L − i∆M)ϕdx V d d d d + + vì tính chất hermitic, ∆L = ∆L , ∆M = ∆M , do đó (α∆L − i∆M)+ = d d d d d d α∆L + i∆M, nên d d I(α)=Z ϕ∗ α∆L + i∆M)(α∆L − i∆M ϕdx V d d d d 2 2 I(α)=Z ϕ∗ hα2∆L − iα ∆L∆M − ∆M∆L + ∆M i ϕdx V d d d d d d 2 2 I(α)=Z ϕ∗ α2∆L − iα h∆L, ∆Mi + ∆M ϕdx V d d d d theo (1.24), thì 2 2 I(α)=Z ϕ∗ α2∆L + αPˆ + ∆M ϕdx, suy ra V d d I(α)=α2∆L2 + αP + ∆M 2 ≥ 0. Muốn cho I(α) ≥ 0 thì tam thức bậc hai theo α trên phải có biệt thức 2 ∆=P − 4 ∆L2∆M 2 ≤ 0, nghĩa là 2 2 hL,ˆ Mˆ i P ∆L2∆M 2 ≥ hay ∆L2∆M 2 ≥ . (1.26) 4 4
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 15 Đây là công thức cho độ bất định khi đo đồng thời hai biến động lực L và M, nó được gọi là hệ thức bất định Heisenberg. Đặt ∆L = p∆L2, ∆M = p∆M 2, (1.27) hệ thức bất định có thể viết dưới dạng khác hL,ˆ Mˆ i P ∆L.∆M ≥ hay , ∆L.∆M ≥ . (1.28) 2 2 Ví dụ: Nếu chọn Lˆ =ˆx = x : toán tử toạ độ, ∂ Mˆ =ˆp = −i~ : toán tử xung lượng theo phương x. x ∂x thì [ˆx, pˆx]=i~, suy ra hệ thức bất định Heisenberg cho toạ độ và xung lượng ~ ∆x.∆p ≥ . (1.29) x 2 Như vậy ta không thể đồng thời đo chính xác toạ độ và xung lượng của một hạt vi mô. Sai số mắc phải khi đo tuân theo hệ thức bất định Heisenberg (1.29). Ý nghĩa vật lý: Việc không đo được chính xác đồng thời toạ độ và xung lượng của hạt vi mô chứng tỏ rằng nó lưỡng tính sóng hạt. Hạt vi mô không có quỹ đạo xác định. Đó là một thực tế khách quan do bản chất của sự vật chứ không phải vì khả năng hiểu biết sự vật của ta bị hạn chế hoặc máy đo kém chính xác. Và hệ thức bất định là biểu thức toán học của lưỡng tính sóng hạt của hạt vi mô. 1.4 Phương trình Schrõdinger 1.4.1 Phương trình Schrõdinger phụ thuộc thời gian Trong cơ học lượng tử, do lưỡng tính sóng hạt của các đối tượng vi mô nên trạng thái của hạt được đặc trưng bởi hàm sóng ψ(~r, t).Vì vậy, cần có phương trình mô tả diễn biến của hàm trạng thái theo thời gian. Phương
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 16 trình này được Schrõdinger đưa ra năm 1926 và được gọi là phương trình Schrõdinger phụ thuộc thời gian ∂ψ(~r, t) i~ = Hψˆ (~r, t), (1.30) ∂t trong đó Hˆ là Hamiltonian của hệ ~2 Hˆ = Tˆ + Uˆ = − ∇2 + U(~r, t) (1.31) 2m Đây là phương trình vi phân hạng hai theo không gian và hạng nhất theo thời gian. Về nguyên tắc để tìm nghiệm của phương trình, ta phải biết được hàm sóng tại thời điểm t0 (điều kiện đầu) và biết được hai điều kiện dψ(x,t) 0 biên liên quan đến toạ độ ψ(x0,t0)=ψ0, và = ψ0 . dx x=x0 1.4.2 Mật độ dòng xác suất. Sự bảo toàn số hạt Để đơn giản, ta sẽ viết tắt ψ,ψ∗ theo thứ tự thay cho ψ(~r, t),ψ∗(~r, t). Từ phương trình (1.30), ta suy ra phương trình liên hiệp phức của nó ∂ψ∗ −i~ = Hψˆ ∗ Hˆ = Hˆ + . (1.32) ∂t Nhân ψ∗ cho hai vế của (1.30) về phía trái và nhân ψ cho hai vế của (1.32) cũng về phía trái rồi trừ cho nhau vế theo vế, ta được ∂ψ ∂ψ∗ i~ ψ∗ + ψ = ψ∗Hψˆ − ψHψˆ ∗. (1.33) ∂t ∂t Thay Hˆ = − ~2/2m ∇2+Uˆ và lưu ý (∂/∂t)(ψ∗ψ)=ψ∗(∂ψ/∂t)+ψ(∂ψ∗/∂t), ta có 2 ∂ ∗ ~ ∗ ∗ i~ (ψψ )=− ψ ∇2ψ − ψ∇2ψ , (1.34) ∂t 2m mà ∇ (ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗)=∇ψ∗∇ψ + ψ∗∇2ψ −∇ψ∇ψ∗ − ψ∇2ψ∗, nên ta có thể viết lại (1.34) như sau ∂ i~ (ψψ∗)+ ∇ (ψ∇ψ∗ − ψ∗∇ψ)=0. (1.35) ∂t 2m Đặt ρ ≡ ψ∗ψ = |ψ|2 (1.36)
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 17 là mật độ xác suất tìm thấy hạt ở toạ độ ~r tại thời điểm t.Và i~ ~j(~r, t)= (ψ∇ψ∗ − ψ∗∇ψ) (1.37) 2m là vectơ mật độ dòng xác suất. Độ lớn của ~j(~r, t) có ý nghĩa như là dòng hạt trung bình qua một đơn vị diện tích đặt vuông góc với phương chuyển động trong một đơn vị thời gian. Theo đó phương trình (1.35) có dạng của phương trình liên tục mô tả định luật bảo toàn số hạt vi mô: ∂ρ ∇~j + =0. (1.38) ∂t 1.4.3 Phương trình Schrõdinger không phụ thuộc thời gian. Trạng thái dừng. Ta xét một hạt vi mô chuyển động trong trường thế Uˆ(~r) không biến thiên theo thời gian và do đó có năng lượng không thay đổi theo thời gian. Gọi E là giá trị năng lượng của hạt và ta ký hiệu ψE(~r) là hàm sóng ứng với trạng thái có năng lượng E. Ta có thể viết phương trình trị riêng của năng lượng như sau Hψˆ E(~r)=EψE(~r) (1.39) với Hˆ =(−~2/2m)∇2 + Uˆ(~r) nên ta có thể viết (1.39) dưới dạng khác: ~2 − ∇2 + Uˆ(~r) ψ (~r)=Eψ (~r) (1.40) 2m E E Trong trường hợp này hàm sóng ψE(~r, t)=ψE(~r).f(t) được viết dưới dạng phân ly biến số. Theo đó, phương trình Schrõdinger (1.30), với lưu ý Hˆ không phụ thuộc tường minh vào thời gian t, được viết lại ∂f ˆ ∂f i~ ∂t HψE(~r) ψE(~r)i~ = f(t)Hψˆ E(~r) ⇔ = = E, ∂t f(t) ψE(~r) Như vậy, ta có hai phương trình độc lập ∂f i~ = E.f(t), (1.41) ∂t Hψˆ E(~r)=E.ψE(~r). (1.42)
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 18 Phương trình (1.41) cho ta nghiệm − i Et f(t)=Ce ~ . (1.43) Còn (1.42) chính là phương trình cho ta hàm riêng và trị riêng của toán tử năng lượng. Giả sử năng lượng của hệ có giá trị gián đoạn En,n=0, 1, 2, , lúc đó ta viết lại (1.42) như sau ˆ Hψn(~r)=En.ψn(~r). (1.44) trong đó ψn(~r) là viết tắt của ψEn(~r). Như vậy, nghiệm riêng đầy đủ của hạt vi mô ứng với trạng thái dừng có năng lượng hoàn toàn xác định En là i − Ent ψn(~r, t)=ψn(~r)e ~ . (1.45) Nghiệm tổng quát của phương trình Schrõdinger ở trạng thái dừng trong trường hợp phổ gián đoạn i i − Ent − Ent ψ(~r, t)=X cne ~ ψn(~r)=X Cn(t)ψn(~r), với Cn(t) ≡ cne ~ . n n (1.46) Trường hợp phổ trị riêng liên tục, hàm sóng có dạng Z − i Et Z − i Et ψ(~r, t)= cEe ~ ψE(~r)dE = CE(t)ψE(~r)dE, với CE(t) ≡ cEe ~ . (1.47) Các hệ số cn,cE có thể được xác định từ điều kiện đầu. Nói tóm lại, một hệ lượng tử ở trạng thái dừng có các tính chất sau: a) Hàm sóng phụ thuộc thời gian của trạng thái dừng xác định đơn trị bởi giá trị năng lượng của trạng thái đó. b) Ở trạng thái dừng, mật độ xác suất và mật độ dòng xác suất không phụ thuộc vào thời gian. c) Ở trạng thái dừng, trị trung bình của một đại lượng động lực có toán tử tương ứng không phụ thuộc rõ rệt vào thời gian thì không đổi theo thời gian. d) Xác suất đo giá trị của một đại lượng động lực ở trạng thái dừng không phụ thuộc thời gian. Nghiệm của phương trình Schrõdinger không phụ thuộc thời gian có các tính chất cơ bản sau: a) Hàm ψ(~r, t) phải đơn trị.
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 19 b) Hàm ψ(~r, t) phải liên tục. Trong trường hợp thế năng U(~r) gián đoạn thì hàm sóng ψ(~r, t) và đạo hàm của nó vẫn liên tục tại những điểm gián đoạn đó. Tuy nhiên, ở những miền mà thế năng U →∞thì hàm sóng và đạo hàm của nó gián đoạn. c) Nếu thế năng U không tiến đến vô cùng thì hàm sóng ψ(~r) phải hữu hạn trong toàn bộ không gian. Điều này cũng được thoả mãn trong trường →∞ ∼ 1 ≤ hợp U tại một điểm nào đó nhưng không quá nhanh (U rs ,s 2). 1.5 Sự biến đổi theo thời gian của các đại lượng động lực 1.5.1 Đạo hàm của toán tử động lực theo thời gian Ta có trị trung bình của một đại lượng động lực L ở trạng thái ψ(x) L = Z ψ∗(x)Lψˆ (x)dx, (1.48) trong đó x bao gồm tất cả các biến số khả dĩ và ψ(x) đã được chuẩn hoá. Toán tử Lˆ có thể phụ thuộc thời gian nên L cũng có thể phụ thuộc thời gian. Ta tính đạo hàm của trị trung bình L theo thời gian dL ∂Lˆ ∂ψ∗(x) ∂ψ(x) = Z ψ∗(x) ψ(x)dx + Z Lψˆ (x)dx + Z ψ∗(x)Lˆ dx. (1.49) dt ∂t ∂t ∂t Lưu ý rằng, theo phương trình Schrõdinger (1.30), ta có ∂ψ(x) i ∂ψ∗(x) i = − Hψˆ (x) và = Hψˆ ∗(x), (1.50) ∂t ~ ∂t ~ do đó phương trình (1.49) có thể viết lại dL ∂Lˆ i i = Z ψ∗(x) ψ(x)dx+Z Hψˆ ∗(x) Lψˆ (x)dx+Z ψ∗(x)Lˆ − Hψˆ (x) dx, dt ∂t ~ ~ dL ∂Lˆ i ∗ = Z ψ∗(x) ψ(x)dx + Z Hψˆ (x) Lψˆ (x)dx − Z ψ∗(x)LˆHψˆ (x)dx , dt ∂t ~ dL ∂Lˆ i = Z ψ∗(x) ψ(x)dx + Z ψ∗(x) Hˆ Lˆ − LˆHˆ ψ(x)dx , dt ∂t ~
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 20 dL (∂Lˆ i ) = Z ψ∗(x) + hH,ˆ Lˆi ψ(x)dx. (1.51) dt ∂t ~ Ta định nghĩa đạo hàm toán tử Lˆ theo thời gian dL/dtˆ là toán tử được xác định sao cho dL dL dLˆ ! = = Z ψ∗(x) ψ(x)dx. (1.52) dt dt dt Đối chiếu (1.52) với (1.51), ta thu được công thức của đạo hàm toán tử theo thời gian, được gọi là phương trình Heisenberg: dLˆ ∂Lˆ i = + hH,ˆ Lˆi . (1.53) dt ∂t ~ Trong cơ học cổ điển, tích phân chuyển động là một đại lượng không thay đổi trong quá trình chuyển động. Trong cơ học lượng tử cũng có tích phân chuyển động, đó là khi (dL/dtˆ )=0, đại lượng L không thay đổi theo thời gian và là tích phân chuyển động. Dựa vào phương trình Heisenberg (1.53), nếu L là tích phân chuyển động thì ∂Lˆ i + hH,ˆ Lˆi =0. (1.54) ∂t ~ Trường hợp đặc biệt đáng chú ý: khi Lˆ không phụ thuộc tường minh vào thời gian, ta có (∂L/∂tˆ )=0, phương trình (1.54) trở thành hH,ˆ Lˆi =0, (1.55) nghĩa là khi toán tử Lˆ không phụ thuộc rõ rệt vào thời gian và giao hoán với toán tử năng lượng Hˆ thì đại lượng động lực L tương ứng là tích phân chuyển động. Theo (1.52), nếu L là tích phân chuyển động thì (dL/dt)=0hay L = const.: trị trung bình của tích phân chuyển động không phụ thuộc thời gian. Ta có thể chứng minh xác suất p(Ln,t) để tích phân chuyển động L có giá trị bằng Ln không phụ thuộc vào thời gian. Thực vậy, L,ˆ Hˆ giao hoán với nhau nên chúng có hàm riêng chung ψn(x) Lψˆ n(x)=Lnψn(x) và Hψˆ n(x)=Enψn(x),
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 21 i i − Ent − Ent ψ(x, t)=X Cn(t)ψn(x), trong đó Cn(t)=cne ~ = Cn(0)e ~ . n Theo tiên đề 3 của cơ học lượng tử 2 2 p(Ln,t)=|Cn(t)| = |Cn(0)| = const. Đây là điều phải chứng minh.
22 Chương 2 Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử Bài toán trong cơ học lượng tử là giải phương trình Schrõdinger ~2 Hψˆ = Eψ ⇔ − ∇2 + U(~r, t) ψ = Eψ 2m để tìm nghiệm E và ψ. Nghiệm chính xác của phương trình chỉ có thể tìm được trong một số tương đối nhỏ các trường hợp đơn giản nhất. Sự phức tạp của việc giải phương trình phụ thuộc vào dạng của thế năng và số chiều không gian trong bài toán cần giải. Phần lớn các bài toán của cơ học lượng tử dẫn tới những phương trình rất phức tạp về dạng toán học, và không thể giải được chính xác. Do đó phải ứng dụng những phương pháp gần đúng để giải bài toán, nghĩa là phải tìm một cách giải gần đúng các hàm riêng và trị riêng của nó. Gần đây, do có xuất hiện máy tính điện tử nên các phương pháp giải gần đúng bằng số các bài toán cơ học lượng tử có tầm rất quan trọng. Trong chương này, chúng ta sẽ khảo sát một phương pháp gần đúng thường được dùng trong cơ học lượng tử, đó là lý thuyết nhiễu loạn. Thuật ngữ “nhiễu loạn” được vay mượn trong thiên văn học để chỉ ảnh hưởng của một hành tinh này lên quỹ đạo của một hành tinh khác. Nội dung của phương pháp nhiễu loạn lần lượt được khảo sát như sau. Giả sử Hamiltonian của hệ vi mô đang xét có dạng Hˆ = Hˆ0 + V,ˆ (2.1) trong đó Vˆ là toán tử hiệu chính nhỏ (toán tử nhiễu loạn) cho toán tử “không nhiễu loạn” Hˆ0. Điều kiện để coi Vˆ là “nhỏ ” so với Hˆ0 sẽ nói sau. Để xác (0) định, ta xét trường hợp phổ gián đoạn. Giả thiết bài toán tìm hàm riêng ψn ,
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 23 (0) ˆ trị riêng En của toán tử không nhiễu loạn H0 từ phương trình ˆ (0) (0) (0) H0ψn = En ψn (2.2) đã được giải chính xác. Bây giờ cần phải tìm nghiệm gần đúng của phương trình Hψˆ = Hˆ0 + Vˆ ψ = Eψ, (2.3) nghĩa là phải tìm các biểu thức gần đúng cho các hàm riêng ψn và các trị riêng En của toán tử Hˆ . 2.1 Nhiễu loạn dừng trong trường hợp không suy biến Trong tiết này, giả thiết tất cả các trị riêng của Hˆ là không suy biến, chúng ta tìm nghiệm của (2.3) dưới dạng khai triển theo các hàm riêng trực giao chuẩn hoá của toán tử Hˆ0 (0) ψ = X Ckψk . (2.4) k Thay (2.4) vào (2.3), có xét đến (2.2), ta thu được (0) ˆ (0) (0) X Ck Ek + V ψk = X CkEψk . k k (0)∗ Nhân hai vế của đẳng thức mới tìm được với ψm và lấy tích phân theo toàn miền của các biến độc lập, đồng thời xét đến tính trực giao chuẩn hoá của (0) các hàm ψk , thì ta được (0) Cm E − Em = X VmkCk,m=1, 2, 3, (2.5) k trong đó Z (0)∗ ˆ (0) Vmk = ψm (x)Vψk (x)dx (2.6) V là phần tử ma trận của toán tử nhiễu loạn được tính theo các hàm sóng của bài toán không nhiễu loạn. Hệ phương trình (2.5) hoàn toàn tương đương với phương trình (2.3). Nó chính là phương trình Schrõdinger trong biểu diễn năng lượng. Bây giờ, ta sử dụng giả thiết coi toán tử Vˆ là nhỏ theo nghĩa là các mức năng lượng và hàm sóng trong bài toán nhiễu loạn sẽ gần với các giá
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 24 trị tương ứng của bài toán không nhiễu loạn. Vì thế, ta sẽ tìm chúng dưới dạng chuỗi với tham số bé 1. (0) (1) 2 (2) En = En + En + En + (2.7) (0) (1) 2 (2) Cm = Cm + Cm + Cm + (2.8) và Vmn = vmn, Vˆ = vˆ (2.9) Chúng ta tìm hiệu chính cho mức năng lượng thứ n và hàm sóng tương ứng của bài toán nhiễu loạn. Ta xét gần đúng cấp không, tức là không nhiễu loạn (0) (Vˆ =0), ta có Hˆ = Hˆ0 và =0, hàm sóng ψn = ψn , nghĩa là (0) (0) (0) (0) (0) ψn = ψn = X Ck ψk = ψn =⇒ Ck = δkn (2.10) k (0) (0) (1) 2 (2) và E = En = En , do đó En = En + En + En + (2.11) Thay (2.10) và (2.11) vào (2.5) với lưu ý E = En, ta có (1) 2 (2) (0) (0) (1) 2 (2) δmn + Cm + Cm + En − Em + En + En + = (1) 2 (2) X vmk δkn + Ck + Ck + , k (2.12) Hay (0) (0) h (1) (1) (0) (0) i δmn En − Em + δmnEn + Cm En − Em − vmn " # 2 (2) (1) (1) (2) (0) (0) (1) + δmnEn + Cm En + Cm En − Em − X vmkCk + =0. k Suy ra, ta có các phương trình (1) (1) (0) (0) δmnEn + Cm En − Em − vmn =0, (2.13) (2) (1) (1) (2) (0) (0) (1) δmnEn + Cm En + Cm En − Em − X vmkCk =0. (2.14) k Phương trình (2.13) cho (1) Khi m = n, ta thu được En = vnn, (2.15)
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 25 v Khi m =6 n, ta thu được C(1) = mn . (2.16) m (0) (0) En − Em Phương trình (2.14) cho ta khi m = n (2) (1) (1) (1) (1) (1) En = Cn vnn − En +X vnkCk = X vnkCk vì theo (2.15) vnn = En . k=6 n k=6 n Vận dụng (2.15) và (2.16), ta suy ra v v |v |2 E(2) = X nk kn = X nk . (2.17) n (0) (0) (0) (0) k=6 n En − Ek k=6 n En − Ek Còn khi m =6 n, (2.14) cho (2) (0) (0) (1) (1) (1) Cm En − Em = −Cm En + X vmkCk . k Lưu ý (2.15) và (2.16), ta thu được v v C(1)v v v (2) − nn mn n mn mk kn Cm = 2 + + X . (0) (0) (0) − (0) (0) (0) (0) (0) En − Em En Em k=6 n En − Em En − Ek (1) (2) Bây giờ ta tìm giá trị của Cn và Cn . Chúng có thể thu được từ điều kiện chuẩn hoá có xét đến (2.4) Z ∗ 2 ψ (x)ψ(x)dx =1 ⇔ X |Ck| =1. (2.18) V k Thay khai triển (2.7) và (2.8) vào (2.18), ta thu được (1) 2 (2) 2 X |δkn + Ck + Ck | =1. k (1)∗ 2 (2)∗ (1) 2 (2) X δkn + Ck + Ck δkn + Ck + Ck =1. k n (1)∗ (1) 2 h (2)∗ (2) (1) 2io X δkn + δkn Ck + Ck + δkn Ck + Ck + |Ck | =1. k Cân bằng các đại lượng cùng cấp độ bé ở vế trái và vế phải sẽ rút ra được (1)∗ (1) (2)∗ (2) (1) 2 Cn + Cn =0 và Cn + Cn + X |Ck | =0. (2.19) k
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 26 Từ các hệ thức (2.19), suy ra các phần tử ảo của các hệ số khai triển (1) (2) Cn ,Cn là các đại lượng tuỳ ý. Do đó, không hạn chế tính tổng quát, ta có thể chọn chúng là thực và có giá trị 1 1 |v |2 (1) (2) − | (1)|2 − kn Cn =0 và Cn = X Ck = X 2 . (2.20) 2 2 (0) (0) 6 k k=n En − Ek (2) Theo đó giá trị của Cm trở thành v v v v (2) − nn mn mk kn Cm = 2 + X . (2.21) (0) (0) (0) (0) (0) (0) En − Em k=6 n En − Em En − Ek Như vậy năng lượng của hệ nhiễu loạn được viết đến mức độ chính xác cấp hai là |v |2 (0) 2 X nk En = En + vnn + (0) (0) , (2.22) k=6 n En − Ek dựa vào (2.9), ta có |V |2 (0) X nk En = En + Vnn + (0) (0) . (2.23) k=6 n En − Ek Còn hàm sóng nếu viết đến mức độ chính xác cấp một sẽ là v V (0) X kn (0) (0) X kn (0) ψn = ψn + (0) (0) ψk = ψn + (0) (0) ψk . (2.24) k=6 n En − Ek k=6 n En − Ek Biểu thức (2.24) cho thấy rằng số hạng hiệu chính cấp một thật sự bé nếu (0) (0) ˆ (|Vkn|/|En − Ek |) 1, nghĩa là điều kiện về “toán tử V nhỏ” là (0) (0) |Vkn||En − Ek |,n=6 k. (2.25) 2.2 Lý thuyết nhiễu loạn dừng trong trường hợp có suy biến 2.2.1 Lý thuyết nhiễu loạn khi có hai mức gần nhau Từ các công thức (2.23) và (2.24), ta thấy rằng nếu trong số các trị (0) riêng En của Hˆ0 có hai mức năng lượng gần bằng nhau thì các hiệu chính
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 27 (0) cho hàm sóng và các mức năng lượng En sẽ lớn và ta không dùng được các công thức đó. Tuy nhiên, nếu số các trị riêng gần nhau lân cận mức n của Hˆ0 không nhiều thì có thể thay đổi phương pháp tính sao cho cả trong trường hợp này vẫn có thể khử được sự xuất hiện các số hiệu chính lớn. Chúng ta chỉ xét trong trường hợp đơn giản là có hai mức năng lượng gần nhau. ˆ (0) (0) Giả sử H0 có hai trị riêng E1 và E2 gần nhau, tương ứng với các (0) (0) hàm riêng ψ1 và ψ2 , còn tất cả các trị riêng khác ở xa chúng. Trong phép tính gần đúng cấp không, ta tìm nghiệm dưới dạng (0) (0) (0) ψ = aψ1 + bψ2 (2.26) Thay giá trị này của ψ(0) vào trong phương trình (0) (0) Hψˆ = Eψ , Hˆ = Hˆ0 + V,ˆ chúng ta thu được ˆ (0) ˆ (0) (0) (0) aHψ1 + bHψ2 = E aψ1 + bψ2 . (2.27) (0)∗ Nhân (2.27) với ψ1 và lấy tích phân, ta được Z (0)∗ ˆ (0) Z (0)∗ ˆ (0) aH11 + bH12 = aE; H11 = ψ1 Hψ1 dx, H12 = ψ1 Hψ2 dx (2.28) V V (0)∗ Tương tự với ψ2 , ta được Z (0)∗ ˆ (0) Z (0)∗ ˆ (0) aH21 + bH22 = bE; H21 = ψ2 Hψ1 dx, H22 = ψ2 Hψ2 dx. (2.29) V V Ta có: Z (0)∗ ˆ (0) (0) Hmn = ψm Hψn dx = En δmn + Vmn. (2.30) V Hai phương trình (2.28) và (2.29) được biến đổi thành ((H − E)a + H b =0 11 12 (2.31) H21a +(H22 − E)b =0 Để cho hệ phương trình có nghiệm không tầm thường (a =06 ,b =0)6 , thì định thức của nó phải bằng không, nghĩa là 2 E − (H11 + H22) E + H11H22 − H12H21 =0. (2.32)
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 28 Giải phương trình ta thu được các nghiệm  1 q 2 2 E1 = H11 + H22 + (H11 − H22) +4|H12|  2   (2.33)  1 q 2 2 E2 = H11 + H22 − (H11 − H22) +4|H12| ,  2 ∗ ˆ trong đó ta lưu ý H12 = H21 do H là toán tử hermitic. Ta xét hai biểu thức của (2.33) trong hai trường hợp giới hạn 1. Nếu H11 − H22 |H12|, thì theo (2.30) có nghĩa là (0) − (0) ≈ (0) − (0) | | E1 + V11 E2 + V22 E1 E2 V12 . Như vậy, điều kiện (2.25) được thoả mãn và lý thuyết nhiễu loạn trong tiết trước có thể ứng dụng được. Nếu trong phép gần đúng ta có thể bỏ qua 2 4|H12| trong số hạng dưới căn số bậc hai ở (2.33), thì ta sẽ có giá trị gần đúng cấp một trong phép nhiễu loạn thông thường: (0) (0) E1 = H11 = E1 + V11; E2 = H22 = E2 + V22. √ Trong phép gần đúng chính xác hơn, nghĩa là 1+ ≈ 1+/2, ta thu được 2 1 2|H12| E1 = H11 + H22 + H11 − H22 + , 2 H11 − H22 2 2 |H12| (0) |V12| E1 = H11 + = E1 + V11 + (1) (1) . (2.34) H11 − H22 E1 − E2 Tương tự, ta có |V |2 E = E(0) + V − 21 , (2.35) 2 2 22 (1) (1) E1 − E2 (1) (0) trong đó Ei = Ei + Vii,i=1, 2. 2. Nếu H11 − H22 |H12|, trong trường hợp này, với độ chính xác đến các số hạng có độ bé cấp một 2 H11 + H22 ( (H11 − H22) ) E1,2 = ± |H12| + . (2.36) 2 8|H12|
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 29 Chúng ta nghiên cứu xem hiệu các giá trị năng lượng xác định bởi các công thức (2.33) và hiệu H11 − H22 có quan hệ với nhau như thế nào. Muốn vậy, đặt: H11 = H0 + γx; H22 = H0 − γx (2.37) Trong đó γ là một hệ số không đổi, x là biến độc lập. Theo đó: H11 − H22 =2γx và H11 + H22 =2H0. Tiến hành những phép thay thế tương ứng trong (2.33), kết quả thu được như sau: 2 2 2 (E1 = H0 + pγ x + |H12| (2.38) 2 2 2 E2 = H0 − pγ x + |H12| . Trên hình vẽ 2.1 có biểu diễn các đồ thị của các hàm trong (2.38) (đường liền nét) và các hàm (2.37) (đường chấm chấm) ứng với một giá trị cố định nào đó của |H12|. Hiệu các tung độ của các đường liền nét và các đường chấm chấm gần nhất cho ta hiệu chính cấp hai của các giá trị năng lượng. Để ý rằng, hiệu chính cấp hai bao giờ cũng làm tăng khoảng cách giữa các mức. Vì thế đôi khi người ta gọi là “sự đẩy của các mức”, được hiểu là làm tăng khoảng cách giữa các mức gần nhau, xuất hiện do có xét đến các số hạng bị bỏ qua trong Hamiltonian ở bài toán đã đơn giản hoá hơn. Trong hình 2.1, ta nhận thấy rằng ngay cả khi hiệu H11 − H22 =0thì E1 − E2 =2|H12| =2|V12|. Bây giờ ta tìm hàm sóng ψ tương ứng với các năng lượng E1 và E2. Muốn vậy, cần xác định các hệ số a và b trong công thức (2.26). Từ (2.31), ta có a H = 12 b E − H11
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 30 Thế các giá trị của E bằng E1 và E2 được xác định ở các biểu thức (2.33) a 2H = 12 , (2.39) b 1,2 ( 2) r 2H12 (H11 − H22) −1 ± 1+h i H11−H22 các chỉ số 1 và 2 theo thứ tự ứng với dấu + và − đứng trước dấu căn. Đặt 2H tg2α = 12 , (2.40) H11 − H22 công thức (2.39) có dạng mới a tg2α = . b 1,2 −1 ± p1+tg22α Từ đó rút ra a a = cotgα, = −tgα. (2.41) b 1 b 2 Hệ thức chuẩn hoá cho hàm sóng ở (2.26) yêu cầu a2 + b2 =1, (2.42) hai phương trình (2.41) và (2.42) cho ta rút ra a1 = cos α, b1 = sin α; a2 = − sin α, b2 = cos α. (2.43) Thay các kết quả này vào công thức (2.26), ta thu được các hàm sóng chuẩn hoá tương ứng với các giá trị năng lượng E1 và E2: (0) (0) (ψ1 = ψ1 cos α + ψ2 sin α (0) (0) (2.44) ψ2 = −ψ1 sin α + ψ2 cos α. Theo (2.40) khi bất đẳng thức H11 − H22 |H12|, được nghiệm đúng thì tg2α ≈ 0, do đó (0) (0) ψ1 = ψ1 , còn ψ2 = ψ2 , nghĩa là các hàm mới trùng với các hàm ban đầu. Khi bất đẳng thức H11 − H22 |H12|, được thoả mãn thì tg2α ≈∞, nghĩa là α = π/4, công thức (2.44) trở thành ψ = √1 ψ(0) + ψ(0)  1 2 1 2 ψ = −√1 ψ(0) − ψ(0) .  2 2 1 2
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 31 (0) (0) Từ điều nói trên, suy ra rằng trong số các giá trị năng lượng E1,E2,E3 ,E4 , sẽ không có các giá trị gần nhau. Do đó có thể dùng các giá trị này cùng các (0) (0) hàm tương ứng của chúng ψ1,ψ2,ψ3 ,ψ4 , làm các đại lượng gần đúng cấp không khi cần tính các hàm sóng ψ theo công thức (2.24) trong phép tính gần đúng cấp một và các hiệu chính cho năng lượng trong phép gần đúng cấp hai theo công thức (2.23). Phương pháp này cũng có thể dùng được khi E1 = E2, nghĩa là khi có (0) (0) mức suy biến bậc hai với hai hàm ψ11 và ψ12 . Tất cả các công thức này vẫn (0) (0) (0) (0) còn đúng, nếu hiểu ψ1 là ψ11 và ψ2 là ψ12 . 2.2.2 Lý thuyết nhiễu loạn dừng khi có suy biến: Để đơn giản, ta xét trực tiếp trường hợp suy biến bội hai. Cụ thể là một mức năng lượng En của hệ tương ứng với hai hàm sóng ψn1 và ψn2 độc lập tuyến tính với nhau. Ta có thể chọn sao cho ψn1,ψn2 trực chuẩn. Với n xác định, ta giả thiết Z ∗ ψnαψnβdx = δαβ. (2.45) V Gọi Hˆ là Hamiltonian của hệ, Hˆ = Hˆ0 + V.ˆ (2.46) Ta cần tìm trị riêng E và hàm riêng ψ của Hˆ , nghĩa là phải tìm nghiệm của phương trình Hψˆ = Eψ. (2.47) Do có suy biến bội hai nên phương trình (2.47) có thể viết (Hˆ ψ(0) = E(0)ψ(0) 0 n1 n n1 (2.48) ˆ (0) (0) (0) H0ψn2 = En ψn2 . Ta tìm E và ψ với điều kiện trực chuẩn (2.45). Biểu diễn hàm ψ dưới dạng tổ hợp tuyến tính (ψ = C ψ(0) + C ψ(0) 1 n1 2 n2 (2.49) (0) (1) E = En + E . Thay (2.49) vào (2.47) và vận dụng (2.46), (2.48), ta được ˆ ˆ (0) (0) (0) (1) (0) (0) H0 + V C1ψn1 + C2ψn2 = En + E C1ψn1 + C2ψn2 ,
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 32 ˆ (0) ˆ (0) (1) (0) (1) (0) C1Vψn1 + C2Vψn2 = C1E ψn1 + C2E ψn2 . (0)∗ Nhân hai vế đẳng thức trên với ψnα ,vớiα =1, 2, rồi lấy tích phân trên toàn miền giá trị của x, ta được Z (0)∗ ˆ (0) Z (0)∗ ˆ (0) (1) Z (0)∗ (0) (1) Z (0)∗ (0) C1 ψnα Vψn1 dx+C2 ψnα Vψn2 dx = C1E ψnα ψn1 dx+C2E ψnα ψn2 dx, V V V V hay (1) (1) Vα1C1 + Vα2C2 = C1E δα1 + C2E δα2,α=1, 2. (0)∗ ˆ (0) lưu ý rằng Vαβ = RV ψnα Vψnβ dx, ta suy ra (1) (V11 − E C1 + V12C2 =0 (2.50) (1) V21C1 + V22 − E C2 =0. Hệ phương trình (2.50) có nghiệm khác không khi định thức lập bởi các hệ số của các ẩn C1,C2 bằng không, nghĩa là (1) V11 − E V12 =0 V V − E(1) 21 22 Khai triển định thức sẽ thu được một phương trình bậc hai theo E(1). Giải phương trình, ta được hai nghiệm 1 E(1) = V + V ± q(V + V )2 − 4(V V − V V ) 1,2 2 11 22 11 22 11 22 12 21 1 E(1) = V + V ± q(V − V )2 +4|V |2 . (2.51) 1,2 2 11 22 11 22 12 Tóm lại, đối với hệ không nhiễu loạn Hˆ = Hˆ0, chỉ có một mức năng lượng (0) (0) (0) ˆ ˆ ˆ En cho hai hàm sóng ψn1 và ψn2 . Khi hệ có nhiễu loạn H = H0 + V , mức năng lượng của hệ tách thành hai mức (0) (1) (E1n = En + E1 (0) (1) (2.52) E2n = En + E2 Xét trường hợp đặc biệt khi V11 = V22,V12 = V21, thì (1) (1) E1 = V11 + |V12|; E2 = V11 −|V12|. (2.53)
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 33 (1) (1) Ứng với hai giá trị E1 và E2 sẽ có hai cặp giá trị cho C1 và C2. (1) a)Với E1 = V11 + V12, hệ phương trình (2.50) trở thành (−V12C1 + V12C2 =0 V12C1 − V12C2 =0. Kết hợp với điều kiện chuẩn hoá hàm sóng, ta suy ra 1 C1 = C2 = √ , 2 (1) như vậy hàm sóng ứng với mức năng lượng E1 là 1 (0) (0) ψn1 = √ ψ + ψ . 2 n1 n2 (1) b)Với E2 = V11 − V12, hệ phương trình (2.50) trở thành (V12C1 + V12C2 =0 V12C1 + V12C2 =0. Trong trường hợp này ta tìm được 1 C1 = −C2 = √ , 2 (1) hàm sóng tương ứng với mức năng lượng E2 là 1 (0) (0) ψn2 = √ ψ − ψ . 2 n1 n2 Mức năng lượng không còn suy biến nữa. Như vậy nhiễu loạn đã làm mất suy biến. Bây giờ ta xét lý thuyết nhiễu loạn khi có suy biến bội n ≥ 2. Cụ thể là đặt vấn đề như sau: Cần tìm nghiệm của phương trình Hψˆ = Eψ (2.54) trong đó ˆ ˆ ˆ ˆ (0) (0) (0) H = H0 + V ; H0ψp = E ψp ,p=1, 2, , n. (2.55)
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 34 (0) (0) Một mức E ứng với n hàm ψp . Giới hạn tìm các hiệu chính năng lượng trong phép gần đúng cấp một và các hàm sóng trong phép gần đúng cấp không, nghĩa là E = E(0) + E(1),) (0) (2.56) ψ = Pp Cpψp . Thay (2.56) vào (2.54) và vận dụng (2.55), (2.56), ta viết được : ˆ ˆ (0) (0) (1) (0) H0 + V X Cpψp = E + E X Cpψp , hay p p ˆ (0) (1) (0) X CpVψp = E X Cpψp , (2.57) p p (0)∗ nhân hai vế của (2.57) với ψm , rồi lấy tích phân trên toàn miền giá trị của biến x, ta được n (1) X Cp Vmp − E δmp =0, (2.58) p=1 cho m =1, 2, , n, ta thu được hệ n phương trình dạng (2.58) với n ẩn số C1,C2, , Cn. Muốn cho các nghiệm không tầm thường thì định thức lập bởi các hệ số của các ẩn đó phải bằng không (1) V11 − E V12 V13 V1n (1) V21 V22 − E V23 V2n =0 (2.59) V V V V − E(1) n1 n2 n3 nn Khai triển định thức (2.59), ta có một phương trình bậc n của E(1). Phương trình trên gọi là phương trình thế kỷ (thuật ngữ mượn trong thiên văn học). Nó có n nghiệm thực. Nếu tất cả các nghiệm của phương trình thế kỷ đều khác nhau thì mức năng lượng E(0) bội n của bài toán suy biến sẽ tách thành (0) n mức năng lượng khác nhau Ep ,p=1, 2, , n (0) (1) Ep = E + Ep , (2.60) mỗi mức Ep ứng với một hàm sóng (0) ψp = X Ckψpk . (2.61) k
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 35 Trong trường hợp này suy biến bội n bị mất hoàn toàn. Nếu một hay một số nghiệm của phương trình thế kỷ (2.59) là nghiệm bội s thì suy biến bội n bị mất một phần. Các hàm sóng ψpk với các nghiệm bội Epk,k =1, 2, , s, của phương trình (2.59) không được xác định đơn trị bởi các phương trình. Tuy nhiên, bao giờ cũng có thể chọn chúng sao cho chúng được trực giao với nhau. Các hàm sóng ứng với các nghiệm khác nhau của phương trình (2.59) cũng trực giao với nhau. Trong phần này, ta nhận thấy rằng nhiễu loạn đã làm mất suy biến. Thông thường khi có nhiễu loạn, các trị riêng của toán tử Hˆ0 sẽ không suy biến hoặc độ bội suy biến giảm đi. Điều này có liên quan mật thiết đến tính đối xứng của Hamiltonian đối với một lớp xác định các phép biến đổi toạ độ của hệ. Thông thường, nhiễu loạn Vˆ không có cùng tính đối xứng với Hˆ0, do đó Hamiltonian tổng hợp ˆ ˆ ˆ H = H0 + V sẽ không có tính đối xứng như trước và mức năng lượng của nó sẽ không suy biến. Như vậy, nhiễu loạn đã làm mất sự suy biến. 2.3 Hiệu ứng Stark trong nguyên tử Hydro Khi nguyên tử được đặt trong một điện trường thì các vạch quang phổ của nó sẽ bị tách ra. Hiện tượng này đã được Stark phát hiện vào năm 1913. Hiệu ứng Stark chỉ có thể giải thích bằng cơ học lượng tử. Trong phần này, ta giới hạn khảo sát ở hiệu ứng Stark bậc nhất, đặc trưng cho nguyên tử đồng dạng Hydro. Đối với các nguyên tử này, các mức năng lượng không những suy biến theo m mà còn suy biến theo ` nữa. Chính sự suy biến theo ` đã gây ra hiệu ứng Stark bậc nhất. Còn đối với các nguyên tử không phải đồng dạng Hydro, sự suy biến theo ` nói chung không có, do đó không quan sát được hiệu ứng Stark bậc nhất. Với mức năng lượng thứ nhất (n =1,` =0) không có suy biến nên không có sự tách mức, do đó ta sẽ xét sự tách mức năng lượng thứ hai của nguyên tử Hydro (n =2). Do điện trường ngoài E trong các thí nghiệm vào khoảng 104−106V/cm, 2 nhỏ hơn rất nhiều so với điện trường gây bởi hạt nhân Enh = e/a ≈ 5.109V/cm, trong đó a là bán kính quỹ đạo Bohr thứ nhất, nên ta có thể dùng lý thuyết nhiễu loạn để khảo sát hiệu ứng Stark. Ở đây, toán tử nhiễu loạn là toán tử thế năng của điện tử trong điện trường ngoài Vˆ Vˆ = eEz. (2.62)
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 36 Ở trạng thái không nhiễu loạn, điện tử có mức năng lượng R~ E(0) = − , (2.63) 2 4 trong đó R là hằng số Rydberg. Mức năng lượng này (n =2)tương ứng với n2 =4, hàm sóng (0) 1 ψ = ψ200 = R20(r)Y00 = √ R20(r), (2.64) 1 4π r 3 ψ(0) = ψ = R (r)Y = R (r) cos θ, (2.65) 2 210 21 10 4π 21 r 3 ψ(0) = ψ = R (r)Y = R (r) sin θeiϕ, (2.66) 3 211 21 11 8π 21 r 3 ψ(0) = ψ = R (r)Y = R (r) sin θe−iϕ. (2.67) 4 21−1 21 1−1 8π 21 Thay các biến bằng toạ độ Descartes, các hàm sóng có dạng (0) 1 ψ = f1(r)=√ R20(r), (2.68) 1 4π r 3 R (r) ψ(0) = zf (r); f (r)= 21 , (2.69) 2 2 2 4π r Do rsinθexp(iϕ)=px2 + y2exp(iϕ)=x + iy; rsinθexp(−iϕ)=px2 + y2exp(−iϕ)=x − iy nên (0) x + iy ψ = f2(r) √ , (2.70) 3 2 (0) x − iy ψ = f2(r) √ . (2.71) 4 2 (0) Hàm sóng tổng quát nhất ứng với mức năng lượng E2 là 4 (0) ψ = X Ckψk . (2.72) k=1
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 37 Trong trường hợp này, độ bội suy biến là 4 nên để xác định các hệ số Ck và (1) các hiệu chính bậc nhất E2 cho mức năng lượng E2 của trạng thái nhiễu loạn, ta áp dụng (2.58) để tìm được hệ 4 phương trình sau: (1) V11 − E C1 +V12C2 +V13C3 +V14C4 =0 2    (1)  V21C1+ V22 − E C2 +V23C3 +V24C4 =0 2   V C +V C + V − E(1) C +V C =0 31 1 32 2 33 2 3 34 4    (1)  V C +V C +V C + V − E C =0 41 4 42 2 43 3 44 2 4  (2.73) trong đó Z (0)∗ ˆ (0) Z (0)∗ (0) Vij = ψi Vψj dV = eE ψi zψj dV. (2.74) V V Chỉ các phần tử ma trận V12 = V21 là khác không vì chúng là các hàm chẵn của cả ba toạ độ x,y,z Z 2 V12 = V21 = eE f1(r)f2(r)z dV, (2.75) V còn các phần tử ma trận V khác đều triệt tiêu vì biểu thức dưới dấu tích phân của chúng đều là hàm lẻ đối với ba toạ độ x, y và z. Thay vào (2.75) các hàm f1(r),f2(r) lấy từ (2.68) và (2.69) với lưu ý rằng 1 r −r R20(r)=√ 1 − exp , 2a3 2a 2a   (2.76) 1 r −r R21(r)= √ exp . 6a3 2a 2a  Ta tính tích phân (2.75) trong toạ độ cầu với dV = r2 sin θdrdθdϕ, eE ∞ π 2π −r r exp −r r Z Z Z − 2a 2 2 V12 = 3 exp 1 z r sin θdθdrdϕ, 8πa 0 0 0 2a 2a r 2a mà π 2π π 2π 4π Z Z z2 sin θdθdϕ = r2 Z Z cos2 θ sin θdθdϕ = r2. 0 0 0 0 3
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 38 Đưa vào biến mới ξ = r/a, ta thu được ∞ eEa Z ξ 4 V21 = V12 = exp(−ξ) 1 − ξ dξ = −3eEa. (2.77) 12 0 2 Để cho các nghiệm C1,C2,C3,C4 không tầm thường thì định thức (1) E E2 3ae 00 (1) 3aeE E 00 2 =0 (2.78) 00E(1) 0 2 (1) 000E2 (1) Khai triển định thức, ta thu được phương trình bậc bốn của E2 2 2 (1) (1) 2 2 2 E2 E2 − 9a e E =0. (2.79) Và tìm được 4 nghiệm của phương trình (2.79) (1) (1) (1) (1) E21 = −3aeE; E22 =3aeE; E23 = E24 =0. (2.80) Mỗi nghiệm tương ứng với một bộ hoàn toàn xác định của các hệ số (1) E21 ↔ C11 = C21,C31 = C41 =0, (1) ↔ −  E22 C12 = C22,C32 = C42 =0, (1) (2.81) E23 ↔ C13 = C23 =0,C33 =0;6 C43 =06 , (1)  E24 ↔ C14 = C24 =0,C34 =0;6 C44 =06 . Như vậy ứng với mức năng lượng (0) (1) (0) E21 = E2 + E21 = E2 − 3aeE (2.82) ta có hàm sóng trong phép gần đúng cấp không (0) (0) ψ1 = C11ψ1 + C21ψ2 = C11 (ψ200 + ψ210) . (2.83) Điều kiện chuẩn hoá hàm sóng cho Z ∗ ψ1ψ1dV =1, V
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 39 √ ta tìm được C11 =1/ 2,vậy 1 ψ1 = √ (ψ200 + ψ210) . (2.84) 2 Tương tự mức năng lượng (0) (1) (0) E22 = E2 + E22 = E2 +3aeE (2.85) tương ứng với hàm sóng trong phép gần đúng cấp không 1 ψ2 = √ (ψ200 − ψ210) . (2.86) 2 (0) Các mức năng lượng E23 = E24 = E2 tương ứng với trạng thái ψ3 = ψ211 (m =1),hayψ4 = ψ21−1 (m = −1), hay tổ hợp tuyến tính của chúng vì C13 = C23 = C14 = C24 =0. Còn C33,C34,C43 và C44 vẫn chưa xác định. (0) Như vậy sự suy biến bị khử một phần, vì mức năng lượng ban đầu E2 chỉ tách thành ba mức khác nhau. Sơ đồ minh hoạ được trình bày ở hình 2.2. 2.4 Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian Xét một hệ có năng lượng phụ thuộc thời gian. Ta ký hiệu toán tử nhiễu loạn là một hàm của thời gian Vˆ (t). Hamiltonian của hệ trong trường hợp này có dạng Hˆ = Hˆ0 + Vˆ (t). (2.87) Trong trường hợp này, năng lượng của hệ không bảo toàn, do đó không có các trạng thái dừng.
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 40 Phương trình Schrõdinger của hệ có dạng ∂ψ(x, t) i~ = Hˆ ψ(x, t)+Vˆ (t)ψ(x, t). (2.88) ∂t 0 Ta sẽ giải phương trình bằng phương pháp biến thiên hằng số do Dirac đưa ra năm 1926. Gọi − i (0) (0) (0) ~ En t ψn (x, t)=ψn (x)e (2.89) là các hàm sóng ở trạng thái dừng đã biết của hệ không nhiễu loạn. Các hàm này thoả mãn phương trình không nhiễu loạn ∂ψ(0)(x, t) i~ n = Hˆ ψ(0)(x, t)=E(0)ψ(0)(x, t). (2.90) ∂t 0 n n n Giả sử có một nhiễu loạn nhỏ Vˆ (t) tác dụng lên hệ. Hàm sóng cần tìm ψ(x, t) của hệ nhiễu loạn thoả mãn phương trình (2.88). Dạng tổng quát của hàm sóng (0) ψ(x, t)=X Ck(t)ψk (x, t). (2.91) k (0) Vì các hàm sóng ψk (x, t) tạo thành một hệ đủ các hàm riêng của toán tử hermitic Hˆ0, nên một khai triển như trên bao giờ cũng thực hiện được. Các hệ số khai triển Ck(t) chỉ phụ thuộc thời gian và không phụ thuộc toạ độ. Thay (2.91) vào (2.88) và chú ý đến (2.90), ta có dC (t) i~ X ψ(0)(x, t) k = X C (t)Vˆ (t)ψ(0)(x, t). k dt k k k k (0)∗ Nhân bên trái hai vế với ψm (x, t) rồi lấy tích phân theo toạ độ, ta được dC (t) i~ m = X V (t)C (t), (2.92) dt mk k k trong đó i (0)− (0) ∗ (0) ~ (Em Ek )t Z (0) ˆ iωmkt Vmk(t)=e ψm (x)V (t)ψk (x)dx = e vmk(t), V 1 (0) (0) Z (0)∗ ˆ (0) ωmk = Em − Ek ; vmk(t)= ψm (x)V (t)ψk (x)dx, (2.93) ~ V
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 41 với Vmk(t) là các phần tử nhiễu loạn bao gồm cả thừa số thời gian. Hệ phương trình (2.92) là hệ phương trình chính xác. Nó tương đương với phương trình (2.88), vì tập hợp các hệ số Ck(t) xác định hoàn toàn hàm sóng ψ(x, t). Tuy nhiên, giải phương trình (2.92) không đơn giản hơn giải phương trình xuất phát (2.88). Để đơn giản hoá phương trình (2.92), ta cần dùng tính chất nhiễu loạn Vˆ (t) là nhỏ. Giả thiết rằng ban đầu khi t ≤ 0,hệ (0) ở trạng thái riêng ψn , theo đó Ck(0) = δkn. (2.94) Bắt đầu từ t =0, hệ chịu tác dụng của một nhiễu loạn nhỏ, do đó hàm sóng (0) ψn của trạng thái ban đầu phụ thuộc ít vào thời gian. Vì thế, các hệ số Ck(t) tại thời điểm t>0 được tìm dưới dạng (1) (2) Ck(t)=δkn + Ck (t)+Ck (t)+ (2.95) (1) Hiệu chính Ck (t) có cùng cấp độ bé với phần tử nhiễu loạn Vmk(t) (hay (2) vmk(t)), Ck (t) là bậc hai đối với phần tử nhiễu loạn, Thay khai triển (2.95) vào (2.92), ta tìm được các phương trình cùng bậc nhiễu loạn: - Bậc nhất (1) dCm (t) i~ = X v (t)eiωmktδ = v (t)eiωmnt, (2.96) dt mk nk mn k khi đó ta đã bỏ qua tất cả các số hạng có cấp độ bé cấp hai và cao hơn của nhiễu loạn. Lấy tích phân (2.96), ta được 1 t (1) Z iωmnt Cm (t)= vmn(t)e dt. (2.97) i~ 0 - Bậc hai: (2) dCm (t) (1) i~ = X v (t)eiωmktC . (2.98) dt mk k k Giải phương trình này bằng cách thế kết quả ở (2.97) vào vế phải của (2) phương trình (2.98), ta thu được Cm (t). Tiếp tục lặp lại cho phương trình nhiễu loạn bậc 3, bậc 4, Khi nhiễu loạn Vˆ (t) đủ nhỏ thì ta có thể giới hạn ở phép tính gần đúng bậc nhất.
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 42 2.5 Sự chuyển dời lượng tử của hệ vi mô sang các trạng thái mới dưới ảnh hưởng của nhiễu loạn Một trong những bài toán quan trọng nhất của cơ học lượng tử là việc tính xác suất chuyển dời của hệ từ trạng thái lượng tử này sang trạng thái (0) lượng tử khác. Giả sử có một hệ ở trạng thái năng lượng xác định En và (0) được mô tả bởi một hàm sóng xác định ψn . Nếu khi t ≤ 0, hệ chịu tác dụng của một nhiễu loạn Vˆ (t), thì tại thời điểm t>0, hệ sẽ nằm trong một trạng thái mới mô tả bởi hàm sóng (0) ψ(x, t)=X Ck(t)ψk . k Điều này có nghĩa là tại thời điểm t>0 hệ có thể ở một trạng thái bất kỳ nào đó trong số các trạng thái dừng khả dĩ của nó. Theo các quy luật tổng quát của cơ học lượng tử, xác suất tìm thấy hệ trong trạng thái lượng tử m 2 2 được xác định bằng |Cm| . Vì tại t =0hệ ở trạng thái dừng n nên |Cm(t)| xác định xác suất chuyển dời của hệ từ trạng thái n sang trạng thái m trong 2 2 khoảng thời gian t,wmn(t)=|Cm(t)| ≡|Cmn(t)| . Ở đây chỉ số thứ hai ký hiệu trạng thái đầu. Như vậy nhiễu loạn là nguyên nhân gây ra sự dời chuyển của hệ từ một trạng thái lượng tử này sang một trạng thái khác. Nét đặc trưng của quá trình này không có sự tương tự trong vật lý cổ điển. Đó là nhiễu loạn đã gây ra sự dời chuyển từ một trạng thái dừng với năng lượng xác định sang một trạng thái mới, trong đó năng lượng không có giá trị xác định. Trạng thái cuối của hệ được mô tả bởi hàm sóng ψ(x, t) và là một trạng thái xác định (theo định nghĩa của cơ học lượng tử). Sự dời chuyển này không được thực hiện bằng bước nhảy mà diễn ra theo thời gian. Từ (2.97), ta dễ dàng tính được xác suất dời chuyển của hệ (0) (0) từ trạng thái dừng ψn (x) sang trạng thái dừng ψm (x), (m =6 n) trong khoảng thời gian từ 0 → t có nhiễu loạn tác động trong gần đúng bậc nhất 1 t 2 (1) 2 Z iωmnt wmn(t)=|C (t)| = vmn(t)e dt (2.99) mn ~2 0 (1) Lưu ý rằng (2.99) chỉ đúng khi vmn(t),tđủ nhỏ để hiệu chính Cmn nhỏ so với đơn vị. a) Ta xét trường hợp đặc biệt khi nhiễu loạn không phụ thuộc thời
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 43 gian, nghĩa là Vˆ (t)=Vˆ (0), theo đó vmn(t)=vmn(0), nên t i E(0)−E(0) t 1 e ~ ( m n ) − 1 C(1) (t)= v (0) Z eiωmntdt = −v (0) (2.100) mn mn mn (0) (0) i~ 0 Em − En 2 h t (0) − (0)i sin 2~ Em En | (1) |2 | |2 wmn(t)= Cmn(t) =4vmn(0) 2 (2.101) (0) (0) Em − En Nếu tìm xác suất chuyển từ trạng thái ban đầu n đến tất cả các trạng thái khác thì ta lấy tổng mọi giá trị của m 2 h t (0) − (0)i sin 2~ Em En | (1) |2 | |2 wn(t)=X wmn(t)=X Cmn(t) =4X vmn(0) 2 . (0) (0) m m m Em − En (2.102) Nếu các trạng thái cuối có phổ liên tục thì dấu tổng thay bằng dấu tích phân (0) (0) theo biến vi phân ρ Em dEm (0) (0) ∞ 2 h t − i sin 2~ Em En | |2 Z (0) (0) wn(t)=4vmn(0) 2 ρ Em dEm , (2.103) −∞ (0) (0) Em − En (0) (0) trong đó ρ Em là hàm mật độ trạng thái trong khoảng năng lượng Em → (0) (0) 2 (0) Em + dEm . Khi tính tích phân, ta xem |vmn(0)| và ρ Em không đổi và dùng công thức ∞ 2 Z sin (αx) 2 dx = πα −∞ x thì sẽ thu được xác suất chuyển dời từ trạng thái n đến tất cả các trạng thái khác 2πt w (t)= |v (0)|2ρ E(0) . (2.104) n ~ mn m b) Một trường hợp quan trọng khác là nhiễu loạn tuần hoàn đơn sắc: Vˆ (t)=Vˆ0 exp(−iωt). (2.105) Xác suất chuyển dời lượng tử có dạng 2 h t (0) − (0) − i sin 2~ Em En ~ω | (1) |2 | |2 wmn(t)= Cmn(t) =4vmn(0) 2 , (2.106) (0) (0) Em − En − ~ω
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 44 khi (0) (0) ~ω = Em − En (2.107) thì xác suất có giá trị cực đại. Rõ ràng nếu năng lượng ~ω của năng lượng (0) (0) kích thích bằng hiệu hai mức năng lượng Em − En thì xác suất chuyển dời từ trạng thái n đến trạng thái m của hệ lượng tử có giá trị cực đại. Đó là tính chất cộng hưởng của sự kích thích bằng bức xạ. Việc khảo sát hàm 2 t (0) − (0) − (0) sin [2~ (Em En ~ω)] fm(Em ,t)= 2 1 (0) − (0) − 2~ (Em En ~ω) πt cho ta điều kiện ~ ∆E(0) ≈ m t Lưu ý rằng từ yêu cầu độ bất định năng lượng của trạng thái cuối (0) ∆Em phải nhỏ so với năng lượng ~ω của trường kích thích, ta rút ra bất đẳng thức 1 ~ t , ∆E(0).∆t ≥ (2.108) ω m 2 (0) nghĩa là ∆Em ~ω nếu thời gian tác động của nhiễu loạn lớn so với chu kỳ của nhiễu loạn. Khi t →∞thì dựa vào công thức sin2 ξt lim = δ(ξ):hàm delta Dirac, t→∞ πξ2t (0) (0) với ξ =(Em − En − ~ω)/(2~) và lưu ý tính chất δ(ax)=δ(x)/a, ta suy ra 2π w (t)= |v (0)|2 tδ E(0) − E(0) − ~ω . (2.109) mn ~ mn m n Như vậy khi xét trong một thời gian dài thì chỉ có chuyển dời lượng tử nếu đối số của hàm delta Dirac bằng không, tức là năng lượng bức xạ kích thích ~ω đúng bằng hiệu hai mức năng lượng. 2.6 Nguyên tử Hêli Nguyên tử Hêli gồm hạt nhân dương mang điện tích +2e và hai điện tử chuyển động xung quanh hạt nhân. Chọn hệ quy chiếu có gốc toạ độ ở hạt
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 45 nhân Hêli, do đó hạt nhân đứng yên trong hệ quy chiếu này. Ta viết được Hamiltonian của hệ hai điện tử dưới dạng 2 2 2 2 2 ~ 2 ~ 2 2e 2e e − ∇1 − ∇2 − − + ψ = Eψ, (2.110) 2m 2m r1 r2 r12 trong đó r1,r2 theo thứ tự là khoảng cách giữa hạt nhân Hêli với hai điện tử và r12 là khoảng cách giữa hai điện tử. Hai số hạng thứ ba, thứ tư mô tả thế năng tương tác giữa hai điện tử với hạt nhân, số hạng cuối cùng mô tả năng lượng tương tác Coulomb giữa hai điện tử. Trong biểu thức của Hamiltonian nêu trên, ta đã bỏ qua một số hiệu ứng gây bởi mômen từ spin và mômen từ quỹ đạo của điện tử, Do đó nghiệm của phương trình (2.110) cần được tìm dưới dạng tích của các hàm toạ độ ϕ (~r1,~r2) và hàm spinơ χ (σ1,σ2) ψ = ϕ (~r1,~r2) χ (σ1,σ2) . (2.111) Để thu được các hàm sóng và năng lượng của trạng thái cơ bản của Hêli trong phép gần đúng tạm gọi là thoả đáng, ta dùng phương pháp nhiễu loạn. 2 Khi đó tương tác giữa hai điện tử e /r12 trong (2.110) được xem như một nhiễu loạn. Theo đó, trong phép gần đúng cấp không, phương trình (2.110) có dạng 2 2 2 2 ~ 2 ~ 2 2e 2e (0) (0) (0) − ∇1 − ∇2 − − ψ = E ψ , (2.112) 2m 2m r1 r2 Bằng phương pháp phân ly biến số với sự bỏ qua tương tác giữa hai điện tử như trên, ta viết lại Hamiltonian của hệ 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ~ 2 2e ˆ ~ 2 2e H = H1 + H2; H1 = − ∇1 − ; H2 = − ∇2 − . (2.113) 2m r1 2m r2
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 46 Gọi ϕ1 (~r1) ,ϕ2 (~r2) theo thứ tự là hàm sóng của chỉ điện tử 1, 2. Ta viết được ϕ1 (~r1)=ϕ(n, `, m, sz)1; ϕ2 (~r2)=ϕ(n, `, m, sz)2 (2.114) và Hˆ1ϕ1 (~r1)=E1ϕ1 (~r1); Hˆ2ϕ2 (~r2)=E2ϕ2 (~r2) . (2.115) Hàm ψ và năng lượng E của hệ gồm cả hai hạt trong trường hạt nhân sẽ là ψ = ϕ1 (~r1) ϕ2 (~r2)=ϕ(n, `, m, sz)1ϕ(n, `, m, sz)2; E = E1 + E2. Thực vậy Hψˆ = Hˆ1 + Hˆ2 ϕ1 (~r1) ϕ2 (~r2) = Hˆ1ϕ1 (~r1) ϕ2 (~r2)+Hˆ2ϕ1 (~r1) ϕ2 (~r2) = E1ϕ1 (~r1) ϕ2 (~r2)+E2ϕ1 (~r1) ϕ2 (~r2) =(E1 + E2) ϕ1 (~r1) ϕ2 (~r2) , rõ ràng Hψˆ = Eψ. Ta có thể ký hiệu tập hợp các số lượng tử (n, `, m, sz)i ≡ ni,dođó ϕi(~ri)=ϕni (~ri), Tổng quát, trạng thái của cả hệ có toạ độ không gian là ~r 1,~r2, sẽ là chồng chất các trạng thái trên ψ (~r1,~r2)=X C(n1,n2)ϕn1 (~r1)ϕn2 (~r2). (2.116) n1,n2 là dạng tổng quát của hàm sóng của hệ tại một toạ độ không gian xác định. 2 Bây giờ nếu coi tương tác Vˆ = e /r12 giữa hai điện tử với nhau là nhiễu loạn thì e2 Hˆ = Hˆ1 + Hˆ2 + = Hˆ0 + V.ˆ (2.117) r12 Khi Vˆ =0, năng lượng của hệ là E0 và ψ0 là hàm sóng tương ứng khi không có nhiễu loạn. Trong phép gần đúng cấp một của nhiễu loạn, mức năng lượng ở trạng thái cơ bản được cho bởi công thức (1) (1) E = E0 + E = En + Em + E . (2.118) En,Em là các mức năng lượng của điện tử 1 và điện tử 2 lần lượt ở trạng thái ϕn và ϕm được xác định bởi (0) (0) ψ = ψ1 = ϕn(~r1)ϕm(~r2), (2.119)
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 47 (0) (0) ψ = ψ2 = ϕn(~r2)ϕm(~r1). (2.120) (0) (0) Như vậy theo nguyên lý không phân biệt các hạt đồng nhất , ψ1 và ψ2 đều thoả mãn các phương trình ˆ (0) (0) ˆ (0) (0) H0ψ1 = E0ψ1 ; H0ψ2 = E0ψ2 . Đây là trường hợp suy biến cấp hai. Khi có toán tử nhiễu loạn Vˆ =06 , ta có: Hψˆ = Eψ, Hˆ = Hˆ0 + V.ˆ (2.121) Ta sẽ tìm hàm sóng ψ trong phép gần đúng cấp không và mức năng lượng trong phép gần đúng cấp một. Ta viết được (0) (0) (0) (1) ψ = X Ckψk = C1ψ1 + C2ψ2 ,E= E0 + E . (2.122) k Với lưu ý 2 ZZ (0)∗ ˆ (0) ZZ (0)∗ e (0) Vij = Vji = ψi Vψj dVidVj = ψi ψj dVidVj, r12 theo đó: ∗ ∗ V11 = V22; V12 = V21 = V12 = V21. (2.123) ta tìm E(1) bằng cách cho định thức sau bằng không (1) V11 − E V12 =0. (2.124) V V − E(1) 21 22 Vận dụng kết quả (2.123), ta suy ra hai nghiệm (1) (1) E1 = V11 + V12; E2 = V11 − V12. Cuối cùng, suy ra năng lượng hệ E1 = E0 + V11 + V12  (2.125) E2 = E0 + V11 − V12 với E0 = En + Em. Đặt V11 = V22 ≡ K; V12 = V21 ≡ A, là các đại lượng thực. (2.126)
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 48 1,2 = E1,2 − E0 = K ± A, (2.127) (1) với E = E0 + E , theo (2.50) ta có hệ phương trình (E0 + V11 − E) C1 + V12C2 =0  (2.128) V12C1 +(E0 + V22 − E) C2 =0. Từ đó suy ra (K − ) C1 + AC2 =0  (2.129) (K − ) C2 + AC1 =0. √ Thay = K + A, ta thu được C1 = C2 =1/ √2. Thay = K − A, ta thu được C1 = −C2 =1/ 2. Suy ra hàm sóng đối xứng 1 (0) (0) ψs (~r1,~r2)=√ ψ + ψ ,Es = En + Em + K + A, (2.130) 2 1 2 hàm sóng phản xứng 1 (0) (0) ψa (~r1,~r2)=√ ψ − ψ ,Ea = En + Em + K − A. (2.131) 2 1 2 Phương pháp này không cho độ chính xác cao, so với thực nghiệm thì vào khoảng 20%. Ta sẽ xét bài toán này theo phương pháp khác có độ chính xác cao hơn, đó là phương pháp trường tự hợp Hartree-Fok. 2.7 Phương pháp trường tự hợp Hartree-Fok 2.7.1 Nguyên lý biến phân Phương trình Schrõdinger dưới dạng tổng quát Hψˆ = Eψ có thể thu được từ nguyên lý biến phân δ Z ψ∗ Hˆ − E ψdq =0. (2.132) Thực vậy, trị trung bình của năng lượng ở trạng thái dừng ψ là E = Z ψ∗Hψdqˆ (2.133)
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 49 Với điều kiện chuẩn hoá cho hàm ψ là R ψ∗ψdq =1, ta cần tìm các hàm ψ sao cho E đạt cực trị. E là một đại lượng phụ thuộc vào ψ và được gọi là phiếm hàm. Ta tìm cực trị của phiếm hàm này. Đây là một bài toán biến phân có điều kiện. Muốn vậy, ta dùng phương pháp thừa số bất định Lagrange. Nội dung phương pháp này sau: Giả sử cần tìm cực trị của phiếm hàm f = f(x1,x2, , xn) với điều kiện ϕi(x1,x2, , xn)=0,i=1, 2, , n. Lagrange đưa bài toán tìm cực trị f có điều kiện về bài toán tìm cực trị không có điều kiện của hàm F = f + Pi λiϕi, trong đó λi được gọi là các thừa số bất định Lagrange. Ta tìm cực trị của các hàm F với biến x. Khi đó các điểm mà F đạt cực trị cũng là những điểm mà f đạt cực trị với điều kiện nào đó. Hàm F đạt cực trị khi biến phân của nó δF =0. Chuyển bài toán (2.132) về bài toán cực trị của F F = Z ψ∗Hψdqˆ − E Z ψ∗ψdq − 1 . (2.134) Trong đó số hạng thứ nhất và thứ hai đóng vai trò của f và Pi λiϕi, còn E là thừa số bất định Lagrange. Phép tính biến phân cho ta δF = δ Z ψ∗Hψdqˆ − δE Z ψ∗ψdq = δ Z ψ∗ Hˆ − E ψdq =0. (2.135) Lấy biến phân ψ và ψ∗ độc lập với nhau, ta được Z δψ∗ Hˆ − E ψdq =0, (2.136) Z ψ∗ Hˆ − E δψdq =0=Z δψ Hˆ − E ψ∗dq, (2.137) (2.137) với δψ lấy tuỳ ý là khác không, suy ra Hˆ − E ψ∗ =0; hay Hψˆ ∗ = Eψ∗, (2.138) (2.136) với δψ∗ lấy tuỳ ý, nên suy ra Hˆ − E ψ =0; hay Hψˆ = Eψ, (2.139) Tóm lại, bài toán biến phân (2.135) không có điều kiện tương ứng với bài toán biến phân có điều kiện δ Z ψ∗Hψdqˆ =0, (2.140)
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 50 Z ψ∗ψdq =1. (2.141) Giá trị cực tiểu của (2.140) với điều kiện (2.141) là giá trị đầu tiên của năng lượng, tức là mức năng lượng cơ bản E0. Ta sẽ chứng minh phiếm hàm Z ∗ ˆ I(ψ0)= ψ0Hψ0dq = E0 là trị riêng cực tiểu của Hˆ . Thực vậy, khai triển ψ theo hệ hàm riêng đủ và trực chuẩn {ψn} của Hˆ : ∞ ψ = X anψn n=0 và dùng điều kiện (2.141), ta thu được ∞ ∞ Z ∗ 2 2 ψ Hψdqˆ = X |an| En ≥ E0 X |an| = E0 = min{En} (2.142) n=0 n=0 Như vậy, việc tính năng lượng E0 trong trạng thái cơ bản quy về việc tính cực tiểu của phiếm hàm. Hàm sóng ψ thực hiện việc tính cực tiểu đó là hàm sóng ψ0 ở trạng thái cơ bản Từ điều kiện cực tiểu (2.140), ta xét tiếp các đại lượng ψ1,E1,ψ2,E2, Các hàm sóng của các trạng thái dừng kích thích ψn tiếp sau không những chỉ thoả mãn điều kiện chuẩn hoá mà còn phải thoả mãn điều kiện trực giao Z ∗ ψ ψndq =0. (2.143) Các hàm ψn này thực hiện các cực trị, chứ không phải cực tiểu. Ta cụ thể hoá điều kiện (2.143): Hàm ψ1 buộc phải trực giao với ψ0, Hàm ψ2 buộc phải trực giao với ψ0,ψ1 , Hàm ψ3 buộc phải trực giao với ψ0,ψ1,ψ2 , , Hàm ψn buộc phải trực giao với ψ0,ψ1, , ψn−1. Như vậy biết được các hàm ψ0,ψ1, , ψn−1 ta tìm tiếp các trạng thái ψ tiếp theo sau và buộc chúng phải thoả mãn Z 2 Z |ψ| dq =1, ψψmdq =0,m=0, 1, 2, , n − 1.
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 51 Thực tế việc tính E0 quy về việc tìm các hàm ψ, được gọi là các hàm thử. Các phương án cụ thể trong phương pháp biến phân này khác nhau ở cách chọn các hàm thử. Thông thường người ta chọn hàm thử phụ thuộc vào các thông số α, β, Tìm cực tiểu của phiếm hàm J(α, β, ) J(α, β, )=Z ψ∗(q,α,β, )Hψˆ (q,α,β, )dq. Để tìm α, β, ta tính ∂J ∂J = = =0 ∂α ∂β và thu được α0,β0, Ta tìm được hàm thử E = J(α0,β0, ) rất gần E0 và hàm sóngψ0(q, α0,β0, ) rất gần với ψ0. Ta tiếp tục tìm E1,ψ1,E2,ψ2 khi đã biết E0,ψ0 Z ∗ ˆ E1 = min ψ1Hψ1dq, 2 ∗ với điều kiện R |ψ1| dq =1, R ψ1ψ0dq =0. Z ∗ ˆ E2 = min ψ2Hψ2dq, 2 ∗ ∗ với điều kiện R |ψ2| dq =1, R ψ2ψ1dq = R ψ2ψ0dq =0. Để cụ thể, ta xét thí dụ sau: Dùng phương pháp biến phân để tìm trị riêng và hàm riêng của toán tử Hˆ của dao động điều hoà một chiều ~2 d2 mω2 Hˆ = − + x2, 2m dx2 2 ta tìm hàm thử. Trước hết có nhận xét là hàm thử phải thoả mãn các điều kiện chuẩn, trong đó có điều kiện ψ → 0 khi x →±∞. Hàm sóng của trạng thái cơ bản không có mút (xem phần dao động điều hoà) có dạng 1 ψ(x, α)=A exp − αx2 2 Điều kiện R |ψ|2dq =1cho ta A =(α/π)1/4,vậy 1 ~2α mω2 J(α)=Z ψ∗Hψdxˆ = + . 4 m α
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 52 ∂J(α) mω =0=⇒ α = ∂α 0 ~ Trong trạng thái cơ bản E0 = J(α0)=(~ω)/2 và hàm sóng mω 1/4 mωx2 ψ = ψ(x, α )= exp − . 0 0 π~ ~ Tìm tiếp E1,ψ1. Hàm ψ1 phải trực giao với ψ0. Chọn 1 ψ (x, β)=Bxexp − βx2 , 1 2 √ 2 3/2 2 trong đó B =(2/ π)β , do điều kiện chuẩn hoá R |ψ1| dx =1. Còn Z ∗ ˆ J(β)= ψ1Hψ1dx, với điều kiện cực tiểu ∂J(β) mω =0=⇒ β = . ∂β 0 ~ Cuối cùng ta thu được 3 E = J(β )= ~ω, 1 0 2 2 1/2 mω 3/4 mωx2 ψ = √ x exp . 1 π ~ 2~ 2.7.2 Phương pháp trường tự hợp Hartree-Fok a) Phương pháp trường tự hợp Hartree: Để nghiên cứu hệ nhiều điện tử, người ta dùng rộng rãi phương pháp trường tự hợp. Nội dung phương pháp này như sau: Trong phép gần đúng cấp không, tất cả các điện tử được coi như chuyển động độc lập với nhau trong trường hạt nhân. Dựa vào các hàm sóng trong phép gần đúng cấp không, ta tìm được mật độ điện tích và trường tĩnh điện trung bình gây ra bởi tất cả các điện tử. Trong phép gần đúng tiếp theo, mỗi điện tử được coi như chuyển động trong trường hạt nhân và trường gây bởi các điện tử còn lại. Nghiệm của phương trình Schrõdinger trong trường này cho ta hàm sóng trong phép gần đúng cấp một.
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 53 Để thu được phương trình Schrõdinger trong trường tự hợp, người ta dùng phương pháp biến phân. Để cụ thể, ta xét nguyên tử Hêli và giả thiết rằng mỗi điện tử đều ở trạng thái s. Ta cũng không yêu cầu phải đối xứng hoá hệ hàm sóng của hệ các điện tử. Trong phép gần đúng cấp không, cả hai điện tử được mô tả bằng các hàm sóng thực ψ1(~r1) và ψ2(~r2), còn hàm sóng của nguyên tử có dạng ψ = ψ1(~r1)ψ2(~r2). (2.144) Trong phép gần đúng (2.144), ta lấy biến phân các hàm ψ1 và ψ2 độc lập với nhau. Phép tính cho ˆ R δψ1 hR ψ2 H − E ψ1ψ2dV2i dV1 =0,   (2.145) ˆ R δψ2 hR ψ1 H − E ψ1ψ2dV1i dV2 =0.  Do tính tuỳ ý của các biến phân, ta suy ra ˆ R ψ2 H − E ψ1ψ2dV2 =0,   (2.146) ˆ R ψ1 H − E ψ1ψ2dV1 =0.  Thay Hˆ từ (2.110), ta đi tới các phương trình sau, gọi là phương trình tự hợp Hartree h− ~2 ∇2 − 2e2 2 e2 i  2m 1 r + R ψ2 r dV2 ψ1 = E1ψ1, 1 12   (2.147) h ~2 2 2e2 2 e2 i − ∇2 − + R ψ1 dV1 ψ2 = E2ψ2, 2m r2 r12  ở đây ta ký hiệu E1 = E − H22,E2 = E − H11 và 2 2 Z ~ 2 2e Hii = ψi − ∇i − ψidVi,i=1, 2, 2m ri trong đó E là năng lượng toàn phần của hệ hai điện tử trong trường hạt nhân, E1,E2 là năng lượng của các điện tử riêng lẻ. Các phương trình (2.147) chứng tỏ trong thế năng của mỗi điện tử có xuất hiện các số hạng bổ sung 2 Z 2 e Z ρ2(~r2) g1(~r1)= ψ2 dV2 = e dV2, (2.148) r12 r12
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 54 2 Z 2 e Z ρ1(~r1) g2(~r2)= ψ1 dV1 = e dV1, (2.149) r12 r12 2 trong đó ρi = e|ψi| ,i =1, 2 là mật độ điện tích gây ra bởi một điện tử tại điểm có toạ độ ~r i. Năng lượng toàn phần của hệ bằng E = Z ψHψdV,ˆ 2 2 2 2 2 Z ~ 2 ~ 2 2e 2e e E = ψ1ψ2 − ∇1 − ∇2 − − + ψ1ψ2dV1dV2 2m 2m r1 r2 r12 E = E1 + E2 − G. (2.150) Trong đó 2 2 2 Z ψ1ψ2 Z ρ1ρ2 G = e dV1dV2 = dV1dV2 (2.151) r12 r12 là năng lượng tương tác tĩnh điện giữa các điện tử. Từ (2.147), ta nhận thấy trong biểu thức của E1,E2 đều có mặt năng lượng tương tác giữa các điện tử, do đó trong tổng E1 + E2, năng lượng này được tính đến hai lần. Như vậy năng lượng E của hệ phải là E1 + E2 − G. Nếu hệ gồm N điện tử, bằng lập luận tương tự, ta thu được phương trình tự hợp Hartree cho điện tử thứ i trong trạng thái lượng tử ni: " ~2 |ψ |2 # − ∇2 Z nk i + U(~ri)+X ei ek dVk ψni = Eni ψni . (2.152) 2m |~r i − ~r k| k a) Phương pháp trường tự hợp Hartree-Fok Phương pháp trường tự hợp có xét đến sự đối xứng hay phản xứng của hàm sóng được gọi là phương pháp trường tự hợp Hartree-Fok. Trong trường hợp đơn giản nhất của hệ hai điện tử, tất cả phép tính trên đều được chuyển dễ dàng cho hàm sóng đã đối xứng hoá 1 ψs(1, 2) = √ [ψ1(1)ψ2(2) + ψ2(1)ψ1(2)] , (2.153) 2 1 ψa(1, 2) = √ [ψ1(1)ψ2(2) − ψ2(1)ψ1(2)] . (2.154) 2 Trong phép gần đúng cấp không, ở trạng thái cơ bản của nguyên tử Hêli, hai điện tử ở trạng thái đồng dạng Hydro 1s. Trạng thái này được ký
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 55 hiệu ngắn gọn dưới dạng (1s)2. Trong ( ) có nêu trạng thái điện tử, còn số mũ nêu số các điện tử ở trong trạng thái đó. Một sự biểu diễn như thế được gọi là cấu hình điện tử. Trạng thái kích thích thứ nhất của nguyên tử Hêli sẽ 1 1 tương ứng với cấu hình (1s) (2s) . Các hàm sóng ψs(1, 2) và ψa(1, 2) thuộc về sơ đồ Young [2] và [1,1]. Hàm sóng toàn phần (tích của hàm toạ độ và hàm spinơ) phải là phản xứng, do đó hàm toạ độ đối xứng ψs phải ứng với trạng thái có các spin đối song (spin toàn phần bằng không), đó là các para trạng thái; còn hàm sóng toạ độ phản xứng ψa ứng với trạng thái spin có các spin song song (spin toàn phần bằng 1), do đó là các ortho trạng thái. Trong phép gần đúng cấp không, các para và ortho trạng thái với cấu hình (1s)1(2s)1 có cùng năng lượng. Tuy nhiên, nếu xét đến tương tác giữa các điện tử, thì năng lượng của các trạng thái này sẽ khác nhau: năng lượng của para trạng thái ψpara hơi lớn hơn năng lượng của ortho trạng thái ψorth. Có thể thấy được điều đó từ những nhận định định tính đơn giản: Từ dạng ψpara(1, 2) và ψorth(1, 2), suy ra rằng khi hai điện tử có toạ độ trùng nhau thì hàm ψorth(1, 2) = 0 còn hàm ψpara(1, 2) cực đại. Như vậy trong trạng thái ψorth(1, 2), các điện tử thường ở xa nhau hơn so với khi chúng ở trong trạng thái ψpara(1, 2). Do đó năng lượng đẩy Coulomb trung bình của các điện tử trong trạng thái ψorth(1, 2) bé hơn năng lượng ở trong trạng thái ψpara(1, 2). Thế thì sự khác nhau về năng lượng của các trạng thái para và ortho của cấu hình (1s)1(2s)1 là hệ quả của sự tương giao trong chuyển động của các điện tử, xuất hiện từ các điều kiện về tính đối xứng của các hàm sóng đối với sự hoán vị các toạ độ không gian. Nếu không xét đến tính đối xứng của các hàm sóng, thì không có sự khác biệt năng lượng như trên. Chọn hàm ψa (có spin toàn phần S=1) làm hàm thử sao cho hàm này là gần đúng tốt nhất với hàm thực. Dùng nguyên lý biến phân, ta xét min Z ψ∗HψdVˆ với Z ψ∗ψdV =1. Bài toán rút về ZZ ∗ δ ψ Hˆ − E ψdV1dV2 =0, ZZ ∗ δψ Hˆ − E ψdV1dV2 =0, Thay ψ = ψa và Hˆ bằng biểu thức trong (2.110) rồi lấy biến phân độc lập
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 56 δψ1,δψ2, ta thu được hai phương trình ~2 2e2 − ∇2 − E − + H + G ψ (~r) − [H + G ] ψ (~r)=0, (2.155) 2m r 22 22 1 21 12 2 ~2 2e2 − ∇2 − E − + H + G ψ (~r) − [H + G ] ψ (~r)=0, (2.156) 2m r 11 11 2 12 12 1 với 2 Z e Gik(~r1)= ψi(~r2)ψk(~r2) dV2, r12 ~2 2e2 H = Z ψ − ∇2 − ψ dV. ik i 2m r k các phương trình (2.155), (2.156) thu được bằng phương pháp trường tự hợp Hartree-Fok. So sánh chúng với các phương trình tự hợp Hartree (2.147), ta nhận thấy trong các phương trình Hartree-Fok có thêm các tích phân trao đổi, là các tích phân dạng Gik. Phương pháp trường tự hợp được ứng dụng rộng rãi để tính hàm riêng và năng lượng của các nguyên tử phức tạp và cho kết quả rất phù hợp với thực nghiệm. Tuy nhiên, việc giải phương trình Hartree-Fok phải dùng phương pháp tính số và sử dụng máy tính.
57 Chương 3 Lý thuyết tán xạ lượng tử Sự tán xạ là sự va chạm của các hạt. Đây là một quá trình rất cơ bản trong vật lý vi mô. Ở đây va chạm được hiểu là tương tác trong quá trình dịch chuyển đối với nhau. Ở trạng thái ban đầu hai hạt từ khoảng cách rất xa tiến lại gần nhau, trong quá trình ấy tương tác làm thay đổi trạng thái chuyển động của chúng. Sau quá trình, hai hạt lại chuyển động rời xa nhau ra cho tới lúc tương tác giữa chúng trở thành không đáng kể. Ta gọi trạng thái này là trạng thái cuối cùng của quá trình tán xạ. Nếu các hạt ở trạng thái cuối cùng chỉ khác với trạng thái đầu về xung lượng mà không có thay đổi về loại hạt cũng như trạng thái bên trong thì tán xạ gọi là tán xạ đàn hồi. Nếu có sự thay đổi về loại hạt hoặc về trạng thái bên trong thì tán xạ được gọi là tán xạ không đàn hồi. Thông thường, để thuận tiện, thay cho diễn biến của quá trình tán xạ theo thời gian, người ta xét bài toán dừng tương đương với giả thiết cho rằng có một dòng liên tục các hạt bay từ vô cực đến tương tác với tâm tán xạ, sau đó biến thành một dòng các hạt tán xạ từ tâm bay ra mọi phía. Mật độ trong dòng phải đủ nhỏ để có thể bỏ qua tương tác giữa các hạt tới. Trong bài toán tán xạ dừng, nếu biết được trường lực tán xạ, ta sẽ tính được dòng các hạt tán xạ (tại khoảng cách vô cùng so với tâm tán xạ) như là hàm của dòng các hạt tới. 3.1 Biên độ tán xạ và tiết diện tán xạ 3.1.1 Tiết diện tán xạ Sự tán xạ được đặc trưng bằng tiết diện tán xạ vi phân dσ(θ, ϕ) dN (θ, ϕ) dσ(θ, ϕ)= tx , (3.1) jt
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.3: Lý thuyết tán xạ lượng tử 58 trong đó dNtx(θ, ϕ) là số các hạt tán xạ trong một đơn vị thời gian trong góc khối dΩ(θ, ϕ) lấy theo phương (θ, ϕ); jt là mật độ dòng các hạt tới. Ta chọn trục z theo phương chuyển động của các hạt tới (hình 3.1). Gọi jtx(r, θ, ϕ) là mật độ dòng các hạt tán xạ tại các khoảng cách r lớn so với tâm tán xạ, ta có: dNtx(θ, ϕ)=jtx(r, θ, ϕ)dS, trong đó dS là diện tích vi cấp vuông góc với bán kính vectơ vạch từ tâm tán xạ dưới các góc (θ, ϕ). Độ lớn của dS và phần tử góc khối tương ứng dΩ có mối liên hệ dS = r2dΩ. (3.2) Do đó, tiết diện tán xạ vi phân được xác định bằng công thức j j dσ = tx dS = tx r2dΩ. (3.3) jt jt Trong cơ học lượng tử, jtx và jt theo thứ tự được gọi là mật độ dòng xác suất tán xạ và mật độ dòng xác suất tới. Từ (3.3), ta thu được đại lượng 1 I Φtx σ = jtx(r, θ, ϕ)dSr = . (3.4) jt Sr jt 2 được gọi là tiết diện tán xạ hiệu dụng toàn phần. Trong đó, dsr = r dΩ là độ lớn của phần tử diện tích vi cấp tại khoảng cách r so với tâm tán xạ ứng với
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.3: Lý thuyết tán xạ lượng tử 59 góc khối dΩ; Φtx = H jtxdSr là dòng hạt tán xạ qua một mặt kín bao quanh tâm tán xạ, mặt lấy tích phân được giả thiết ở cách tâm tán xạ, do đó có thể coi tại mỗi điểm của mặt này, các hạt tán xạ bay theo phương xuyên tâm. Theo (3.4), tiết diện tán xạ hiệu dụng toàn phần là tỷ số giữa xác suất tán xạ toàn phần của hạt (trong một đơn vị thời gian) và mật độ dòng xác suất trong chùm hạt tới. Khi tương tác giữa các hạt chỉ phụ thuộc vào khoảng cách giữa chúng, thì bài toán về chuyển động của hai hạt có thể quy về hai bài toán chuyển động một hạt: Một bài toán xét chuyển động của một hạt với khối lượng rút ∗ gọn m = m1m2/(m1 + m2) đối với tâm quán tính. Còn bài toán thứ hai xét chuyển động tự do của tâm quán tính. Nghiệm của bài toán thứ nhất cho ta góc tán xạ θ trong hệ tâm quán tính. Việc chuyển từ hệ tâm quán tính sang hệ phòng thí nghiệm được thực hiện bằng các công thức m2 sin θ π − θ tgθ1 = ,θ2 = , (3.5) m1 + m2 cos θ 2 trong đó θ1 là góc tán xạ của hạt thứ nhất, θ2 là góc giật lùi của hạt thứ hai được xác định trong hệ phòng thí nghiệm, còn θ là góc lệch của hạt thứ nhất trong hệ tâm quán tính. Trong chương này, ta chỉ khảo sát sự tán xạ trong hệ tâm quán tính của các hạt va chạm. 3.1.2 Biên độ tán xạ Chúng ta xét bài toán tán xạ dừng của hạt tán xạ tại tâm của trường lực. Chọn tâm tán xạ cố định tại gốc toạ độ. Trục z hướng theo phương của các dòng hạt tới. Ở xa tâm lực, hạt tới chuyển động tự do, do đó năng lượng của hạt bao giờ cũng dương, có phổ liên tục do không bị lượng tử hoá, hàm sóng của hạt có dạng sóng phẳng ikz ψt = e . (3.6) Tương tác của hạt với tâm lực có thể được mô tả bằng hàm thế Uˆ(r), giả thiết rằng hàm này chỉ khác không trong một miền không gian hữu hạn có r ≤ a , mà ta gọi là miền tác dụng lực. Trong miền này, hạt bị tán xạ, do đó hàm sóng của hạt thay đổi. Tuy nhiên, sau đó hạt tán xạ lại bay ra xa khỏi tâm lực, nó lại chuyển động tự do. Vì dòng hạt tán xạ bao giờ cũng có phương đi qua tâm tán xạ, nên chuyển động của hạt tán xạ phải được mô tả bằng một sóng cầu phân
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.3: Lý thuyết tán xạ lượng tử 60 kỳ ei~k~r ψ = A(θ, ϕ) , (3.7) tx r trong đó r, θ, ϕ là các toạ độ cầu; A(θ, ϕ) được gọi là biên độ tán xạ, nói chung phụ thuộc vào góc θ, ϕ. Trong tán xạ đàn hồi, k có giá trị như nhau trong các biểu thức (3.6) và (3.7). 3.1.3 Tán xạ đàn hồi của các hạt không có spin Ở trong miền tác dụng của lực chuyển động (r ≤ a), hạt tán xạ tuân theo phương trình ~2 − ∇2ψ(~r)+Uˆ(~r)ψ(~r)=Eψ(~r), (3.8) 2m0 2 trong đó m0 là khối lượng của hạt tán xạ. Chia hai vế (3.8) cho ~ /(2m0) và chuyển vế số hạng thứ nhất bên phải của phương trình, đặt 2m E ~p2 k2 = 0 = , (3.9) ~2 ~2 ta suy ra dạng mới của (3.8) 2m0 ∇2 + k2 ψ(~r)= Uˆ(~r)ψ(~r). (3.10) ~2 Nghiệm của phương trình (3.10) tại các khoảng cách xa so với tâm tán xạ (r a ⇒ Uˆ(~r)=0), bằng tổng các hàm ψt và ψtx ei~k~r ψ = eikz + A(θ, ϕ) . (3.11) r Trong biểu thức (3.11), số hạng thứ nhất bên phải được viết trong toạ độ Descartes, mô tả chuyển động của hạt tới; còn số hạng thứ hai được viết trong hệ toạ độ cầu mô tả chuyển động của các hạt tán xạ. Mật độ dòng của các hạt tới ~ ∗ ∗ jt = (ψt ∇ψt − ψt∇ψt ) . (3.12) 2m0i Do chỉ phụ thuộc vào z nên nếu gọi ~e z là vectơ đơn vị theo phương z, thì ∗ ~ ~ ~~e z ∗ ∂ψt ∂ψt ~k jt = ψt − ψt = = ~v 0, (3.13) 2m0i ∂z ∂z m0
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.3: Lý thuyết tán xạ lượng tử 61 trong đó ~v 0 là vận tốc hạt tới. Rõ ràng hàm sóng ψt được chuẩn hoá sao cho mật độ dòng các hạt tới về trị số bằng vận tốc của hạt tới ở vô cực. Gradient trong hệ toạ độ cầu được xác định bằng công thức ∂ψ 1 ∂ψ 1 ∂ψ ∇ψ = ~e + ~e + ~e . (3.14) ∂r r r ∂θ θ r sin θ ∂ϕ ϕ Ta chỉ xét thành phần xuyên tâm ~jr của dòng hạt tán xạ, nên ∗ ~ ~ ∗ ∗ ~~e r ∗ ∂ψtx ∂ψtx jr = (ψtx∇ψtx − ψtx∇ψtx)= ψtx − ψtx . (3.15) 2m0i 2m0i ∂r ∂r i~k~r Thay ψtx = A(θ, ϕ)e /r, ta thu được ~~k ~ | |2 jr = 2 A(θ, ϕ) . (3.16) m0r Thế kết quả tính được ở (3.13) và (3.16) vào (3.3), ta thu được biểu thức cho tiết diện tán xạ vi phân dS dσ(θ, ϕ)=|A(θ, ϕ)|2 = |A(θ, ϕ)|2 dΩ. (3.17) r2 Như vậy việc xác định tiết diện tán xạ vi phân quy về việc tìm biên độ tán xạ. Việc tính biên độ tán xạ thường được tiến hành như sau: Tìm nghiệm của phương trình Schrõdinger cho chuyển động của hạt trong trường của tâm tán xạ. Tại các khoảng cách xa tâm, nghiệm có dạng (3.11). Khi đó hệ số của nhân tử exp i~k~r/r cho ta biên độ tán xạ cần tìm. Dựa vào phương pháp hàm Green, có thể viết nghiệm của phương trình (3.10) dưới dạng 2m ψ = ψ + Z G(~r,~r0) 0 U(~r0)ψ(~r0)d3r0, (3.18) 0 ~2 0 trong đó G(~r,~r ) là hàm Green mà ta sẽ xác định sau, còn ψ0 là nghiệm của phương trình không có vế sau 2 ~ 2 ∇ + k ψ0 =0, nghiệm của phương trình này có dạng sóng phẳng exp(i~k~r) = exp(ikz). Đặt 2 F (~r)=(2m0U/~ )ψ(~r), phương trình (3.10) trở thành ∇2 + ~k2 ψ(~r)=F (~r), (3.19)
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.3: Lý thuyết tán xạ lượng tử 62 Đặt Z 3 ψ(~r)= A~qϕ~qd q, (3.20) V~q trong đó ei~q~r ϕ (~r)= . (3.21) ~q (2π)3/2 3 Coi ~q là một vectơ nào đó với các thành phần qx,qy,qz còn d q = dqxdqydqz. Hệ hàm ϕ~q (~r) là một hệ hàm trực chuẩn, nghĩa là Z ∗ 3 0 ϕ~q0 (~r)ϕ~q(~r)d r = δ(~q − ~q ). (3.22) Để tìm A~q, ta thay (3.21) vào vế trái của (3.19) 2 ~ 2 Z 3 Z 2 2 3 ∇ + k A~q ϕ~q d q = ∇ (A~q ϕ~q (~r)) + k A~qϕ~q (~r) d q. (3.23) Dùng (3.19) và chú ý rằng dòng tán xạ xuyên tâm nên ∂2 ∇2 ei~q~r = ei~q~r = −q2ei~q~r, ∂~r2 2 2 2 toán tử ∇ =(∂ )/(∂~r ) không tác dụng lên A~q (θ, ϕ), ta viết lại (3.23) 1 ∇2 + ~k2 Z A ϕ d3q = Z ∇2 + ~k2 A ei~q~rd3q. (3.24) ~q ~q (2π)3/2 ~q Theo đó phương trình (3.19) trở thành 1 Z 2 2 i~q~r 3 A~q k − q e d q = F (~r). (3.25) (2π)3/2 ∗ 1 − 0 3 Nhân hai vế (3.25) với ψ~q 0(~r)=(2π)3/2 exp( i~q ~r ) rồi lấy tích phân theo d r trên toàn vùng giá trị của ~r , ta được 1 Z 2 2 i(~q −~q0)~r 3 3 1 Z −i~q0~r 3 A~q k − q e d qd r = F (~r)e d r, (2π)3 (2π)3/2 1 Z 2 2 i(~q −~q0)~r 3 3 Z 2 2 1 Z i(~q −~q0)~r 3 3 A~q k − q e d qd r = A~q k − q e d r d q, (2π)3 (2π)3 Z 2 2 0 3 = A~q k − q δ (~q − ~q ) d q,
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.3: Lý thuyết tán xạ lượng tử 63 2 02 = A~q0 k − q , Theo đó (3.25) trở thành 2 02 1 Z −i~q0~r 3 A~q 0 k − q = F (~r)e d r, (2π)3/2 hay 1 1 Z −i~q0~r 3 A 0 = F (~r)e d r, ~q (2π)3/2 k2 − q02 chuyển ~q 0 thành ~q ta có biểu thức cho biên độ tán xạ 1 1 A = Z F (~r)e−i~q~rd3r (3.26) ~q (2π)3/2 k2 − q2 Thay kết quả tính được này vào (3.20) và lưu ý (3.21), ta có i~q~r 1 1 0 e ψ(~r)=ZZ F (~r0)e−i~q~r d3qd3r0, (3.27) (2π)3/2 k2 − q2 (2π)3/2 Lưu ý rằng ~r 0 trong R d3r0 là biến tích phân, còn ~r trong ψ(~r) là toạ độ của hàm ψ. Từ (3.27), ta viết được 1 ei~q(~r −~r0) ψ(~r)=Z F (~r0) Z d3q d3r0. (3.28) (2π)3 k2 − q2 Đặt 1 ei~q(~r −~r0) G(~r,~r0)= Z d3q, (3.29) (2π)3 k2 − q2 thì (3.28) có thể viết lại thành ψ(~r)=Z F (~r0)G(~r,~r0)d3r0. (3.30) Bây giờ ta xét ý nghĩa hàm Green. Dạng của ψ(~r) tuỳ thuộc vào dạng của số hạng F (~r0), còn hàm Green G(~r,~r0) là một hàm có thể tính được. Cụ thể nếu cho 0 0 F (~r )=δ(~r0 − ~r ), thì Z 0 0 3 0 ψ(~r)= δ(~r0 − ~r )G(~r,~r )d r = G(~r,~r0).
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.3: Lý thuyết tán xạ lượng tử 64 Như vậy, hàm Green G(~r,~r0) là nghiệm của phương trình 2 2 ∇ + k ψ(~r)=δ(~r − ~r 0) Biểu thức của hàm Green theo (3.29) có dạng 1 ei~q(~r −~r0) G(~r,~r0)= Z d3q, (2π)3 k2 − q2 vectơ ~q thể hiện ở biến tích phân, ~r , ~r 0 là hai bán kính vectơ tuỳ ý. Ta chọn 0 3 2 thành phần ~q z trùng phương với ~r − ~r , còn d q = q dq sin θdθdϕ ~q(~r − ~r 0)=q|~r − ~r 0| cos θ = qχ cos θ, trong đó ta đặt χ = |~r − ~r 0|. Do đó 1 eiqχ cos θ eikχ G(~r,~r0)= ZZZ q2 sin θdqdθdϕ = − , (2π)3 k2 − q2 4πχ eik|~r −~r0| G(~r,~r0)=− . (3.31) 4π|~r − ~r 0| Vậy (3.30) bây giờ có thể viết 1 eik|~r −~r0| ψ (~r)=− Z F (~r0) d3r0. (3.32) r 4π |~r − ~r 0| Đây là nghiệm riêng của phương trình Schrõdinger có vế sau. Nghiệm tổng quát của phương trình là tổng của hai nghiệm 1 eik|~r −~r0| ψ(~r)=eikz + ψ (~r)=eikz − Z F (~r0) d3r0. (3.33) r 4π |~r − ~r 0|
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.3: Lý thuyết tán xạ lượng tử 65 Xét trường hợp miền tác dụng của lực là một hệ có kích thước nhỏ |~r 0||~r |, tại miền đó U(~r0) =06 , ngoài miền đó U(~r0)=0. Từ hình vẽ 3.2, ta có |~r − ~r 0| = r − r0 cos α vì ~r . ~r0 ~r . ~r0 r0 cos α = nên |~r − ~r 0|≈r − r r Do đó 0 ikr− ~r . ~r 1 e r ψ(~r)=eikz + ψ (~r)=eikz − Z F (~r0) d3r0. (3.34) r 4π − ~r .~r 0 r r 0 ~ ~ Nếu ta xem |~r − ~r |≈r và gọi ~n = ~r / r , k.(~r/r)=k~n = kr là vectơ sóng hướng theo phương bán kính vectơ, nó đặc trưng cho phương truyền 0 sóng của sóng cầu phân kỳ. Vì tán xạ đàn hồi nên |~kn| = k. Thay F (~r )= 2 0 (2m0U/~ )ψ(~r ) và các khai triển trên vào (3.33), ta được i~k~r 0 e 2m U(~r ) 0 ψ(~r)=eikz − Z 0 ψ(~r0)e−i~k~r d3r0, (3.35) 4πr ~2 hay ei~k~r ψ(~r)=eikz + A(θ, ϕ) , (3.36) r trong đó m ~ 0 A(θ, ϕ)=− 0 Z U(~r0)ψ(~r0)e−ik~r d3r0. (3.37) 2π~2 Về mặt lý thuyết, nếu biết được biên độ tán xạ A(θ, ϕ), ta sẽ tính được tiết diện tán xạ hiệu dụng. Mặt khác, trong A(θ, ϕ) có thế năng tương tác U(~r), do đó nếu biết được U(~r) ta sẽ tính được A(θ, ϕ) và tính được tiết diện vi phân dσ. Về mặt thực nghiệm, ta đo được dσ, nên tính được biên độ tán xạ A(θ, ϕ), từ đó tính được thế năng U(~r). Đó là phương pháp thực nghiệm để khảo sát những thế năng tương tác U(~r) chưa biết. 3.2 Tán xạ đàn hồi trong phép gần đúng Born Tuy đã tìm được biểu thức tiệm cận của hàm sóng, nhưng vẫn chưa thu được dạng cụ thể của biên độ tán xạ. Thực vậy, theo công thức (3.37), biên độ tán xạ lại được biểu diễn qua hàm sóng ψ(~r). Việc giải chính xác phương trình Schrõdinger và việc tìm A(θ, ϕ) trong phần lớn các bài toán
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.3: Lý thuyết tán xạ lượng tử 66 đều gặp khó khăn về mặt toán học. Do đó, trong lý thuyết nhiễu loạn người ta dùng rộng rãi các phương pháp gần đúng. Một trong những phép gần đúng quan trọng nhất là phương pháp gần đúng Born. Giả thiết cơ bản của phương pháp này là ở chỗ coi thế năng tương tác U của hạt tán xạ với tâm trường lực là nhỏ. Do đó có thể coi thế năng tương tác U như một nhiễu loạn nhỏ, theo đó chuyển động ban đầu của hạt ít thay đổi, phương trình tích phân (3.35) có thể giải được dễ dàng bằng phương pháp gần đúng liên tiếp. Trong phép gần đúng cấp không, ta bỏ qua số hạng của hàm sóng có chứa thế năng: ~ ikz ik0~r ψ0(~r)=e = e , (3.38) trong đó ~k0 = k~n0 = k~ez. Trong phép gần đúng cấp một, thay cho hàm sóng ở vế phải của (3.35), ta đưa vào hàm sóng ở cấp không ψ0(~r). Nghĩa là: i~k~r m0e ~ ~ 0 ψ(~r)=eikz − Z U(~r0)ei(k0−k)~r d3r0, (3.39) 2π~2r Trong phép gần đúng cấp một này, biên độ tán xạ bằng m 0 A(θ, ϕ)=− 0 Z U(~r0)ei~ρ~r d3r0, (3.40) 2π~2 trong đó ta ký hiệu ~ ~ ρ~ = k0 − k. (3.41) Từ hình vẽ 3.3, môđun của vectơ va chạm ~ρ được xác định bằng hệ thức θ 2m v θ ρ = k|~n − ~n | =2k sin = 0 sin . (3.42) 0 2 ~ 2
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.3: Lý thuyết tán xạ lượng tử 67 Một cách tương ứng, vectơ P~ = ~~ρ được gọi là vectơ truyền xung lượng. Nếu thế năng không phụ thuộc vào các góc, nghĩa là U = U(r) thì trong (3.40) có thể thực hiện phép lấy tích phân theo các góc ∞ π 2π m 0 − 0 Z 0 02 0 Z iρr cos θ Z A(θ, ϕ)= 2 U(r )r dr e sin θdθ dϕ, 2π~ 0 0 0 2m ∞ sin(ρr0) − 0 Z 0 02 0 A(θ, ϕ)= 2 U(r ) 0 r dr . (3.43) ~ 0 ρr Trong phép gần đúng cấp một, biên độ tán xạ được xác định bằng thế năng luỹ thừa một. Trường hợp đang xét có thế năng đối xứng cầu, biên độ tán xạ không phụ thuộc vào góc ϕ. Thay biểu thức (3.40) vào (3.17), ta có biểu thức của tiết diện tán xạ vi phân được gọi là công thức Born: 2 ∞ 2 2 m0 Z 0 i~ρ~r 0 3 0 dσ = |A(θ, ϕ)| dΩ= U(r )e d r dΩ 4π2~4 0 2 ∞ 0 2 4m0 Z 0 sin(ρr ) 02 0 dσ = U(r ) r dr dΩ. (3.44) ~4 ρr0 0 Công thức này được ứng dụng nhiều trong vật lý hạt nhân. Trường hợp giá trị nhỏ của góc tán xạ thì 2 ∞ 2 4m0 Z 0 02 0 dσ = U(r )r dr dΩ (3.45) ~4 0 không phụ thuộc vào vận tốc hạt. Tiếp tục các phép tính gần đúng kế tiếp, nghĩa là thay (3.39) vào vế phải của (3.35), ta có thể tìm được hàm sóng và biên độ tán xạ trong phép gần đúng cấp hai, được xác định bởi tích phân của bình phương thế năng tương tác. Một cách tương tự, ta có thể tìm được các hiệu chính với các cấp tiếp theo. Bây giờ, ta xét điều kiện để có thể ứng dụng được công thức Born. Thế năng tương tác của hạt tán xạ với trường tán xạ trong phép gần đúng Born được giả thiết là nhỏ và có thể xem như là một nhiễu loạn. Từ (3.10), ta có thể chứng minh được rằng thế năng Uˆ(~r) được xem là nhiễu loạn nếu một trong hai điều kiện sau được thực hiện: ~2 | | ≤ U 2 (với ka 1) (3.46) m0a
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.3: Lý thuyết tán xạ lượng tử 68 hay ~v ~2 | | U = 2 ka (với ka 1), (3.47) a m0a trong đó a là bán kính tương tác của trường U, còn U có cấp độ lớn của trường trong miền tồn tại cơ bản của nó. 2 2 Biểu thức ~ /(m0a ) về cấp độ lớn bằng độ sâu cực tiểu của giếng thế bán kính a, tại đó có xuất hiện mức năng lượng. Từ đó rút ra ý nghĩa đơn giản của điều kiện để có thể ứng dụng được phép gần đúng Born cho các hạt tán xạ chậm. Cụ thể từ điều kiện (3.46), suy ra rằng năng lượng tương tác trung bình phải nhỏ so với thế năng cực tiểu của hạt trong giếng thế, tại đó có hình thành trạng thái liên kết. Khi điều kiện (3.46) được thực hiện, phép gần đúng Born được ứng dụng cho tất cả các vận tốc. 3.3 Phương pháp sóng riêng phần Ngoài lý thuyết gần đúng đã khảo sát, người ta còn phát triển một lý thuyết tán xạ chính xác gọi là lý thuyết tán xạ pha hay lý thuyết tán xạ các sóng riêng phần. Trong lý thuyết này, người ta không có một giả thiết nào cho thế năng tương tác U. Vì vậy, nó được ứng dụng với mọi giá trị năng lượng của các hạt tán xạ. Sơ đồ chung của lý thuyết tán xạ các sóng riêng phần không khác với sơ đồ đã mô tả trong các tiết trước. Hàm sóng của hạt tán xạ ở xa tâm có dạng ei~k~r ψ(~r)=eikz + A(θ) , (3.48) r do trường tán xạ đối xứng xuyên tâm theo phương z nên biên độ tán xạ không thể phụ thuộc vào góc ϕ. Cả hàm sóng ψ cũng không phụ thuộc vào ϕ.TuyU(~r)=U(r), nhưng nghiệm ψ của phương trình Schrõdinger của hệ khác với nghiệm của hàm sóng trong trường xuyên tâm ở chổ là ở đây chúng ta chỉ xét chuyển động vô hạn và các nghiệm phải thoả mãn các điều kiện biên sao cho dáng điệu của nghiệm (với r →∞) phải được xác định bởi công thức (3.48). Ta đã biết trong trường đối xứng xuyên tâm, nghiệm tổng quát của phương trình Schrõdinger có dạng ψ(r, θ, ϕ)=X b`mR`(r)Y`m(θ, ϕ), (3.49) `,m
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.3: Lý thuyết tán xạ lượng tử 69 trong đó b`m là các hệ số không đổi xác định bằng các điều kiện biên và điều kiện chuẩn hoá. Do không phụ thuộc vào góc ϕ nên hàm sóng chỉ còn lại các số hạng trong tổng có m =0, nghĩa là chỉ có các hàm cầu r2` +1 Y (θ)= P (cos θ), (3.50) `0 4π ` trong đó P`(x) là đa thức Legendre xác định bởi công thức ` 1 d 2 ` P`(x)= (x − 1) . (3.51) `!2` dx` Do đó công thức (3.49) trở thành ψ(r, θ)=X b`R`(r)P`(cos θ). (3.52) ` Mỗi số hạng trong tổng (3.52) được gọi là sóng riêng phần thứ `. Như vậy, mọi nghiệm của phương trình (3.10) trong trường hợp này có thể được biểu diễn dưới dạng chồng chất các hàm sóng của phổ liên tục (chuyển động vô hạn), tương ứng với chuyển động trong trường đã cho của các hạt có năng 2 2 lượng (~ k )/(2m0) với các giá trị ` khác nhau của mômen quỹ đạo có hình chiếu m =0. Dạng tiệm cận của ψ(r, θ) khi r →∞là ∞ a sin (kr + δ − π`/2) ψ(r →∞,θ) ≈ X b P (cos θ) ` ` . ` ` r `=0 Đưa ký hiệu b`a` = C`/k, công thức trên trở thành ∞ sin (kr + δ − π`/2) ψ(r →∞,θ) ≈ X C P (cos θ) ` . (3.53) ` ` kr `=0 Khai triển hàm exp(ikz) trong (3.48) theo các đa thức Legendre, ta có ∞ ikz ikr cos θ e = e = X f`(r)P`(cos θ). (3.54) `=0 Để tính được f`(r), ta đổi biến số x = cos θ, (3.54) trở thành ∞ ikz ikrx e = e = X f`(r)P`(x). (3.55) `=0
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.3: Lý thuyết tán xạ lượng tử 70 Nhân P`0(x) với (3.55) rồi lấy tích phân theo x, ta có 1 ∞ 1 ∞ ikrx 2 2 Z 0 Z 0 0 0 e P` (x)dx = X f`(r) P` (x)P`(x)dx = X f`(r) δ`` = f` (r) 0 . − − 2` +1 2` +1 1 `=0 1 `=0 Suy ra: 1 2` +1Z ikrx f`(r)= P`(x)e dx. (3.56) 2 −1 Phép tính vế phải của (3.56) với r lớn cho ta kết quả 2` +1 ei(kr−`π/2) − e−i(kr−`π/2) f (r)= ei`π/2 , ` 2 ikr sin(kr − `π/2) f (r)=i`(2` +1) . (3.57) ` kr Như vậy ∞ sin(kr − `π/2) eikz = X i`(2` +1) P (cos θ). (3.58) kr ` `=0 Trong số hạng thứ hai vế phải của biểu thức hàm sóng (3.48), ta khai triển biên độ tán xạ A(θ) theo các đa thức Legendre. Khai triển có dạng: ∞ A(θ)=X g`P`(cos θ), (3.59) `=0 trong đó g` là các hằng số. Thay các biểu thức (3.58) và (3.59) vào (3.48), ta thu được công thức tiệm cận sau đây cho hàm ψ của hạt tán xạ ∞ ∞ sin(kr − `π/2) ei~k~r ψ(r, θ)=X i`(2` +1) P (cos θ)+X g P (cos θ) . (3.60) kr ` ` ` r `=0 `=0 Biểu diễn hàm sin trở lại hàm e mũ và i` = exp(i`π/2) rồi cân bằng hai biểu thức (3.60) và (3.53), ta tính được 2` +1 2iδ` g` = e − 1 , (3.61) 2ik trong đó δ` là góc pha ứng với sóng riêng phần thứ `. Cuối cùng, thay biểu thức (3.61) vào (3.59), ta được công thức cho biên độ tán xạ ∞ 1 2iδ` A(θ)= X(2` +1)e − 1 P`(cos θ), (3.62) 2ik `=0
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.3: Lý thuyết tán xạ lượng tử 71 và suy ra tiết diện tán xạ vi phân ∞ 2 1 dσ(θ)= X(2` +1) e2iδ` − 1 P (cos θ) dΩ. (3.63) 2 ` 2k `=0 Tiết diện tán xạ hiệu dụng toàn phần σ thu được bằng cách lấy tích phân (3.62) theo toàn bộ góc khối 4π.Với dΩ=2π sin θdθ = −2πd(cos θ), ta có ∞ 4π 1 ( ) Z Z 2iδ` σ = dσ = X(2` +1)e − 1 P`(cos θ) × 4k2 0 `=0 ( ∞ ) 0 −2iδ 0 × X(2` +1)e ` − 1 P`0 (cos θ) 2π [−d(cos θ)] `0=0 2 ∞ π(2i) 0 σ = X (2` + 1)(2` +1)e2iδ` − 1 × k2 `,`0=0 −1 −2iδ 0 Z × e ` − 1 (−2π) P`(x)P`0 (x)dx 1 Đối với các đa thức Legendre, ta có tính chất 1 Z 2 P`(x)P`0(x)dx = δ``0 . −1 2` +1 Nên kết quả trên có thể viết lại ∞ π 2iδ −2iδ 0 σ = X(2` +1)e ` − 1e ` − 1 , k2 `=0 ∞ π(2i)2 eiδ` (eiδ` − e−iδ` )e−iδ` (e−iδ` − eiδ` ) σ = X(2` +1) . k2 (2i)2 `=0 Chuyển sang hàm sin, ta được công thức ∞ 4π σ = X(2` + 1) sin2 δ . (3.64) k2 ` `=0
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.3: Lý thuyết tán xạ lượng tử 72 Ta gọi tiết diện tán xạ riêng phần 4π σ = (2` + 1) sin2 δ , (3.65) ` k2 ` thì tiết diện tán xạ toàn phần là tổng của các tiết diện tán xạ riêng phần ∞ σ = X σ`. (3.66) `=0 Giá trị cực đại của tiết diện tán xạ riêng phần của hạt có mômen ` 4π (σ ) = (2` +1). (3.67) ` max k2 Việc tính pha thường rất khó khăn. Tính thực tế của các công thức (3.64) và (3.65) càng rõ rệt khi số các số hạng của chuỗi theo ` giữ vai trò chủ yếu càng ít, nghĩa là các chuỗi hội tụ càng nhanh. Khi năng lượng của hạt tăng lên thì mômen của các hạt tán xạ tăng. Như vậy, số số hạng của chuỗi giữ vai trò chủ yếu càng ít khi năng lượng hạt tán xạ càng bé (tăng chậm). Do đó, lý thuyết tán xạ các sóng riêng phần đặc biệt quan trọng cho việc nghiên cứu các hạt tán xạ chậm. Còn về hàm sóng, thay (3.61) vào (3.60), ta thu được biểu thức tiệm cận (r →∞) cho hàm sóng ψ ∞ sin(kr + δ` − `π/2 ψ(r, θ)=X(2` +1)ei(δ`+`π/2)P (cos θ) , ` kr `=0 ∞ −ikr ikr 1 ` e 2iδ e ψ(r, θ)= X(2` +1)P (cos θ) (−1) − e ` . (3.68) 2k ` r r `=0 Số hạng thứ nhất trong dấu ngoặc vuông của công thức (3.68) biểu diễn sóng cầu hội tụ với biên độ (−1)`, còn số hạng thứ hai biểu diễn sóng cầu phân 2iδ` kỳ với biên độ S` = e . Môđun của cả hai biên độ đều bằng đơn vị. Do đó, hàm ψ mô tả tán xạ đàn hồi có dạng sóng đứng tạo bởi chồng chất các sóng cầu hội tụ và sóng cầu phân kỳ. Theo công thức của hàm sóng như trên, ta thu được mật độ dòng xác suất tương ứng với sóng hội tụ bằng ~ eikr e−ikr e−ikr eikr −~k ~ | − `|2 ∇ − ∇ jsđ = ( 1) = 2~e r, (3.69) 2mi r r r r 2m0r
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.3: Lý thuyết tán xạ lượng tử 73 trong đó ~e r là vec tơ đơn vị của bán kính vec tơ ~r . Tương tự, ta thu được biểu thức cho mật độ dòng xác suất tương ứng với sóng phân kỳ bằng ~ ~k jpk = 2~e r. (3.70) m0r Rõ ràng hai vec tơ mật độ dòng ~jsđ,~jpk chỉ khác nhau về hướng. Do đó, dòng xác suất tương ứng với hàm sóng (3.68) gửi qua một mặt bất kỳ , kể cả qua mặt cầu bán kính R đều bằng không. Điều đó nói lên rằng, trong tán xạ đàn hồi số hạt bay đi từ tâm tán xạ bằng số hạt bay hướng về tâm đó.
74 Chương 4 Cơ học lượng tử tương đối tính Các chương trước nghiên cứu những tính chất của các hạt vi mô có khối lượng nghỉ khác không và chuyển động với vận tốc rất nhỏ so với vận tốc của ánh sáng c trong chân không. Các vi hạt này tuân theo phương trình Schrõdinger. Đó là phương trình cơ bản của cơ học lượng tử cổ điển. Nhờ các máy gia tốc hiện đại, vận tốc của các vi hạt có khối lượng nghỉ được tăng tốc đến vận tốc gần vận tốc ánh sáng. Trong trường hợp này, cơ học lượng tử cổ điển với phương trình Schrõdinger không còn sử dụng được nữa. Hơn nữa, một thiếu sót của phương trình Schrõdinger là không xét đến spin của các vi hạt. Trong cơ học lượng tử cổ điển, phương trình Schrõdinger cho hạt chuyển động tự do có khối lượng m0 được suy từ mối tương quan cổ điển: p2 H = . (4.1) 2m0 Nếu thay ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ H → Hˆ = i~ ; ~p → ~pˆ = −i~ = −i~ ~i + ~j + ~k . (4.2) ∂t ∂~r ∂x ∂y ∂z Ta tìm được phương trình Schrõdinger ∂ψ ~2 i~ = − ∇2ψ. (4.3) ∂t 2m0 Từ phương trình này, ta suy ra được phương trình liên tục cho vectơ mật độ dòng xác suất ∂w + ∇~j =0, (4.4) ∂t trong đó i~ w = |ψ|2 ≥ 0 và ~j = (ψ∇ψ∗ − ψ∗∇ψ) (4.5) 2m0