›
›

Giải toán 12 trên máy tính

pdf 27 trang phuongnguyen 4790
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giải toán 12 trên máy tính", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiai_toan_12_tren_may_tinh.pdf

Nội dung text: Giải toán 12 trên máy tính

  1. TS Trần Văn Vuông Giải toán 12 trên máy tính đđđồđồ sơn ––– 2008 111.1. Giải toán 12 ttrênrên máy tính cầm tay
  2. 1.1.1. 11 1. ứứứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Bài toán 1.1.1. 1.1. 11 1. Xét sự biến thiên của hàm số y = x4 - 8x3 + 22x2 - 24x + 1. KQ: Hàm số đồng biến trên các khoảng (1; 2) và (3; + ∞), nghịch biến trên các khoảng (- ∞; 1) và (2; 3). Bài toán 1.1. 1. 1.1.1.2.2. Tìm gần đúng giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số y = x 4 -3x 2 + 2x +1. KQ: y CĐ ≈ 1,3481; y CT1 ≈ - 3,8481; y CT2 = 1. Bài toán 1.1. 1. 1.1.1.3.3. Tìm gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x−1 + 5 − 2 x . KQ: max y ≈ 2,1213; min y ≈ 1,2247. Bài toán 1.1.1. 1.1.1.4444 Tìm gần đúng toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y x2 −2 x + 3 = x2 + 7x - 5 và y = . x − 4 KQ: A(- 6,8715; - 5,8830), B(0,5760; - 0,6362), C(4,2955; 43,5198). Bài toán 1.1.1. 1.1.1.5555 Viết ph−ơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 – 2x 2 + 4x - 1 tại điểm A(2; 7 ). KQ: y = 8x - 9. Bài toán 1.1.1.1.6666 Viết ph−ơng trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 - 4x 2 + x - 2 đi qua điểm A(1; - 4). 1− 17 x KQ: y = - 4x ; y = . 4 1.1.1.2.1. 2. Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit 82ln5− 4lg7 Bài toán 1.1.1.2.11. 22 112.1 Tính gần đúng giá trị của biểu thức A = . 5lg8+ 9ln208 KQ: A ≈ 0,0136. Bài toán 1.1.1.2.21. 22 222.2 Giải ph−ơng trình 3 2x + 5 = 3 x + 2 + 2. KQ: x = - 2. Bài toán 1.1.1.21. 222 3333 Giải gần đúng ph−ơng trình 9x - 5 ì3 x + 2 = 0. KQ: x 1 ≈ 1,3814; x 2 ≈ - 0,7505. Bài toán 1.1.1.21. 222 4444 Giải ph−ơng trình 32− log 3 x = 81 x . 2
  3. 1 KQ: x = . 3 6 4 Bài toán 1.1.1.21. 222 5.5.5.5. Giải ph−ơng trình +2 = 3 . log2 2x log 2 x 1 KQ: x1 = 4; x 2 = . 3 2 2 Bài toán 1.1.1.2.6.1. 2.6. Giải gần đúng ph−ơng trình 8log2x− 5log 2 x − 7 = 0 . KQ: x 1 ≈ 2,4601; x 2 ≈ 0,6269. 1.1.1.31. 333 TíTícccchh phân và ứng dụng Bài toán 1.1.1.31. 333.1 1 1 1. Tính các tích phân: π 2 1 2 2 a) ∫ (4x3− 2 x 2 + 3 x + 1) dx ; b) ∫ x3 ex dx ; c) ∫ xsin xdx . 1 0 0 95 KQ: a) ; b) 0,5; c) 1. 6 Bài toán 1.1.1.31. 333.2 2. Tính gần đúng các tích phân: π 1 2 2 π 2x− 3 x + 1 2 xsin xdx a) ∫ 3 dx ; b) ∫ xcos 2 xdx ; c) ∫ 2 . 0 x +1 π 0 2+ cos x 6 KQ: a) 0,1771; b) - 0,8185; c) 1,3673. Bài toán 1.1.1.3 1. 333.3 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2x 2 + 5x - 2 và y = x 3 + 2x 2 - 2x + 4. KQ: S = 32,75. Bài toán 1.31.3 4444 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x 2 + 5x - 1 và y = x 3 + 4x2 + 5x - 5 quanh trục hoành. 729 π KQ: VVV === . 35 111.1 4444 SốSSS ố phức Bài toán 1.1.1.41. 444 1111 Tính 3+ 2i 1 − i (1+i )(5 − 6 i ) a) + ; b) . 1−i 3 − 2 i (2+ i ) 2 3
  4. 23+ 63 i 29− 47 i KQ: a) ; b) . 26 25 Bài toántoán1.1.1.1.4444 2222 Giải ph−ơng trình x 2 - 6x + 58 = 0. KQ: x1 = 3 + 7i ; x 2 = 3 - 7i. Bài toán 1.1.1.41. 444 3333 Giải gần đúng ph−ơng trình x 3 - x + 10 = 0. KQ: x1 ≈ - 2,3089; x 2 ≈ 1,1545 + 1,7316i; x 3 ≈ 1,1545 - 1,7316i. Bài toán 1.1.1.41. 444 4444 Giải gần đúng ph−ơng trình 2x 3 + 3x 2- 4x + 5 = 0. KQ: x1 ≈ - 2,62448; x 2 ≈ 0,5624 + 0,7976i; x 3 ≈ 0,5624 - 0,797i. 1.1.1.51. 555 Ph−ơng pháp toạ độ trong không gian Bài toán 1.1.1.5 1. 555.1 1. Viết ph−ơng trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; - 3; 2), B(5; 6; 1), C(- 4; -7; 4). KQ: 14x - 3y + 29z - 81 = 0. Bài toán 1.1.1.51. 555.2.2.2.2 Viết ph−ơng trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(2; 1; - 3), B(3; 5; 6), C(5; - 4; -7), D(9; 0; 1). 159 577 355 2142 KQ: xyz2+++ 2 2 x + y − z − = 0 . 13 13 13 13 Bài toán 1.1.1.51. 555 3333 Cho tam giác có các đỉnh A(1; - 3; 2), B(5; 6; 0), C(- 4; -7; 5). a) Tính gần đúng độ dài các cạnh của tam giác. b) Tính gần đúng các góc (độ, phút, giây) của tam giác. c) Tính gần đúng diện tích tam giác. KKQQKQ:KQ ::: a) AB ≈ 10,0499; BC ≈ 7,0711; CA ≈ 16,5831. 0  0 0 b) Â ≈ 150 44’ 45”; B ≈ 12 1’ 38”; Ĉ ≈ 17 13’ 37”. c) S ≈ 17,3638. Bài toán 1.1.1.51. 555 4444 Cho hai đ−ờng thẳng 2x3y6−+= 0  4x5y10 +−= 0 d:1  d:2  5y7z30+−=  xyz40 −++= a) Tính gần đúng góc (độ, phút, giây) giữa hai đ−ờng thẳng đó. b) Viết ph−ơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(10; 2; 1) và vuông góc với đ−ờng thẳng d 2. c) Tìm toạ độ giao điểm M của đ−ờng thẳng d 1 và mặt phẳng (P). 4
  5. 672 726 459  KQ: a) φ ≈ 620 23’ 0”; b) (P): 5x - 4y - 9z - 33 = 0; M ; ; −  . 139 139 139  Bài toán 1.1.1.5 1. 555 5555 Cho hình tứ diện có các đỉnh A(1; - 2; 3), B(- 2; 4; - 5), C(3; - 4; 7), D(5; 9; - 2).   a) Tính tích vô h−ớng của hai vectơ AB và AC .   b) Tìm tích vectơ của hai vectơ AB và AC . c) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.       KQ: a) AB . AC = - 50. b) AB, AC  = (8; - 4; - 6). c) V = 3. Bài toán 1.1.1.51. 555 6666 Cho hai đ−ờng thẳng x= 3 + 4t x= 1 − 2t   ∆: y =−+ 23t và d: y= 2 + 7t   z= 5t z= − 1 + t. a) Tính gần đúng góc (độ, phút, giây) giữa hai đ−ờng thẳng đó. b) Tính gần đúng khoảng cách giữa hai đ−ờng thẳng đó. KQ: a) φ ≈ 69 0 43’ 56”; b) 0,5334. 222.2. Giải toán 12 ttrênrên máy vi tính nhờ phần mềm Maple 8 Phần mềm Maple đ−ợc sản xuất đầu tiên ở Canađa cách đây vài thập kỷ. Hiện nay đã có phiên bản Maple 11. Chúng ta sử dụng phiên bản Maple 8 đ−ợc sản xuất năm 2002 vì nó có dung l−ợng thích hợp với việc giải toán phổ thông. Để sử dụng đ−ợc phần mềm này sau khi đã cài đặt nó vào máy tính, cần phải nhớ cách nhập các lệnh và các ký hiệu toán học. 2.1. ứứứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 2.1.1. Cho hàm số, tính giá trị của hàm số tại một số điểm thuộc tập xác định của hàm số đó, vẽ đồ thị của hàm số trên một hình chữ nhật của mặt phẳng toạ độ Cấu trúc lệnh cho hàm số nh− sau: f : =x - > hàm số; Chữ cái ký hiệu của hàm số có thể là chữ cái g, h, ϕ , chứ không nhất thiết là chữ cái f. Đối số cũng không nhất thiết là x mà có thể là chữ cái bất kỳ khác. Tại vị trí của “hàm số” ta phải nhập biểu thức của hàm số cần cho. Các dấu +, - đ−ợc nhập bình th−ờng. Dấu nhân đ−ợc nhập bằng *. Dấu chia đ−ợc nhập bằng /. Luỹ thừa đ−ợc nhập bằng ^. 5
  6. Nếu đã cho hàm số f(x) thì cấu trúc lệnh yêu cầu tính giá trị của hàm số tại điểm a thuộc tập xác định của nó là: f(a); Nếu đã cho hàm số f(x) thì cấu trúc lệnh vẽ đồ thị của hàm số trên một hình chữ nhật của mặt phẳng toạ độ với x từ a đến b và y từ c đến d nh− sau: plot(f(x),x =a b, y = c d); Bài toán 2.1.1.2.1.1.1.1.1.1. Cho hàm số y = x 3 - 6x 2 + 11x - 6. Tính giá trị hàm số tại x = 2, π m, và vẽ đồ thị hàm số đó với x từ - 5 đến 5, y từ - 5 đến 5. 3 > f:=x->x^3-6*x^2+11*x-6; f := x → x3 − 6 x2 + 11 x − 6 > f(2); 0 > f(m); m3 − 6 m2 + 11 m − 6 > f(Pi/3); 1 2 11 π3 − π2 + π − 6 27 3 3 > plot(f(x),x=-5 5,y=-5 5); Bài toán 2.1.1.2.1.1.2.2.2.2. Vẽ đồ thị của hai hàm số y = sin 2x và y = x4 - 3x 2 + 2 trên cùng một hệ trục toạ độ với x từ - 4 đến 4 và y từ - 2 đến 6. > plot({sin(2*x),x^4-3*x^2+2},x=-4 4,y=-2 6); 6
  7. 2.1.2. Tìm tập xác định của hàm số cho bằng biểu thức Tập xác định của hàm số cho bằng biểu thức th−ờng là tập nghiệm của bất ph−ơng trình hoặc hệ bất ph−ơng trình nào đó. 1 Bài toán 2.1.2.1. Tìm tập xác định của hàm số y = . 3− x 2 > solve(3-x^2>0,{x}); {}− 3 solve({x^2-3*x+2>=0,2*x+1>0},{x}); -1 {} < x, x ≤ 1, {2 ≤ x } 2 1  Vậy tập xác định đó là D =  −;1 ∪[ 2; ∞ ) . 2  2.1.2.1.3333 Tìm cực trị của hàm số Để tìm cực trị của một hàm số, tr−ớc hết ta phải tính đạo hàm của hàm số và tìm nghiệm của đạo hàm. Cấu trúc lệnh của đạo hàm nh− sau: diff(hàm số, đối số); Tại vị trí của “hàm số” ta phải nhập biểu thức của hàm số. Tại vị trí “đối`số” ta phải nhập chữ cái chỉ đối số. Cấu trúc lệnh tìm nghiệm của đạo hàm (của đối số x) là: solve(đạo hàm, {x}); Tại ví trí của đạo hàm ta phải nhập biểu thức của đạo hàm hoặc ký hiệu % nếu kết quả tính đạo hàm vừa mới có ở dòng trên liền kề. 7
  8. Sau đó, có thể tính đạo hàm cấp 2 và giá trị của đạo hàm cấp 2 tại nghiệm của đạo hàm rồi kết luận về cực trị. Cấu trúc lệnh của đạo hàm cấp 2 nh− sau: diff(hàm số, đối số, đối số); hoặc diff(hàm số, đối số$2); Bài toán 2.1.32.1.3.1 1. Tìm các cực trị của hàm số y = x 4 -3x 2 + 2x +1. > f:=x->x^4-3*x^2+2*x+1; f := x → x4 − 3 x2 + 2 x + 1 > diff(f(x),x); 4 x3 − 6 x + 2 > solve(%,{x}); 1 3 1 3 {}x = 1,, {x = − + } {}x = − − 2 2 2 2 > diff(f(x),x,x); 12 x2 − 6 > g:=x->12*x^2-6; g := x → 12 x2 − 6 > g(1); 6 > g(-1/2+1/2*3^(1/2)); 2  1 3  12  − +  − 6  2 2  > simplify(%); 6 − 6 3 > g(-1/2-1/2*3^(1/2)); 2  1 3  12  − −  − 6  2 2  > simplify(%); 6 + 6 3 > f(1); 1 > f(-1/2+1/2*3^(1/2)); 4 2  1 3   1 3  − +  − 3 − +  + 3  2 2   2 2  > simplify(%); 8
  9. 5 3 3 − + 4 2 > f(-1/2-1/2*3^(1/2)); 4 2  1 3   1 3  − −  − 3 − −  − 3  2 2   2 2  > simplify(%); 5 3 3 − − 4 2 Nh− vậy hàm số đã cho có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại. Các giá trị cực 1 3  533 1 3  533 tiểu là f(1) = 1 và f −−  =−− . Giá trị cực đại là f −+  =−+ . 22  42 22  4 2 Có thể yêu cầu vẽ đồ thị hàm số này để thấy các cực trị đó một cách trực quan. > plot(x^4-3*x^2+2*x+1,x=-3 3,y=-4 2); 2.1.42.1.4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Cấu trúc lệnh tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] nh− sau: maximize(f(x),x = a b); Cấu trúc lệnh tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] nh− sau: minimize(f(x),x = a b); Tại vị trí f(x) ta phải nhập biểu thức của hàm số đó. a và b phải là các số cụ thể chứ không phải chữ cái dùng thay số. Bài toán 2.1.4.1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + cos2x trên đoạn [0; 1]. > maximize(x+cos(2*x),x=0 1); 9
  10. π 3 + 12 2 > minimize(x+cos(2*x),x=0 1); 1 + cos ( 2 ) Bài toán 2.2.1.4.21.4.21.4.2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x− 1 + 5 − 2x . > > maximize(sqrt(x-1)+sqrt(5-2*x),x=1 5/2); 3 2 2 > minimize(sqrt(x-1)+sqrt(5-2*x),x=1 5/2); 6 2 2.1.2.1.5555 Tìm các đ−ờng tiệm cận của đồ thị hàm số x3− 2x 2 + 4x − 1 Bài toán 2.1.2.1.5555.1 1 1 1. Tìm các đ−ờng tiệm cận của đồ thị hàm số y = . x2 + x − 2 > (x^3-2*x^2+4*x-1)/(x^2+x-2)=convert((x^3-2*x^2+4*x- 1)/(x^2+x-2),parfrac,x); x3 − 2 x2 + 4 x − 1 25 2 = x − 3 + + x2 + x − 2 3 (x + 2 ) 3 (x − 1 ) Vậy đồ thị hàm số này có ba đ−ờng tiệm cận x = - 2, x = 1 và y = x – 3. 2.1.2.1.6666 Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số Đây là việc giải hệ ph−ơng trình. Bài toán 2.1.6.1. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = x 2 + 7x - 5 và y 8x2 + 9 x − 11 = . x +1 > solve({y=x^2+7*x-5,y=(8*x^2+9*x-11)/(x+1)}); { y = 3, x = 1 }, { x = 2, y = 13 }, { x = -3 , y = -17 } Vậy toạ độ ba giao điểm của hai đồ thị đã cho là A(1; 3), B(2; 13), C(- 3; - 17). Bài toán 2.1.6.22.1.6.2 Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = cosx và y = 2x. > solve({y=cos(x),y=2*x}); { x = RootOf ( 2 _Z − cos ( _Z ) ), y = 2 RootOf ( 2 _Z − cos ( _Z ) ) } > evalf(%); { x = 0.4501836113 , y = 0.9003672226 } 10
  11. Vậy toạ độ gần đúng (với 4 chữ số thập phân) của giao điểm của hai đồ thị đã cho là A(0,4502; 0,9004). 2.1.72.1.7 Viết ph−ơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm trên đồ thị đó hoặc đi qua điểm nào đó khi biết toạ độ của điểm đó Bài toán 2.1.7.1. Viết ph−ơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 – 2x 2 + 4x - 1 tại điểm A(2; 7 ). > diff(x^3-2*x^2+4*x-1,x); 3 x2 − 4 x + 4 > g:=x->3*x^2-4*x+4; g := x → 3 x2 − 4 x + 4 > g(2); 8 > expand(y=8*(x-2)+7); y = 8 x − 9 Bài toán 2.1.7.2. Viết ph−ơng trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 - 4x2 + x - 2 đi qua điểm A(1; - 4). > f:=x->k*(x-a)+b; f := x → k ( x − a ) + b > solve(f(1)=-4,{b}); { b = −k + k a − 4} > g:=k->k*(x-a)-k+k*a-4; g := k → k ( x − a ) − k + k a − 4 > diff(x^3-4*x^2+x-2,x); 3 x2 − 8 x + 1 > solve({x^3-4*x^2+x-2=k*x-k-4,3*x^2-8*x+1=k}); 3 -17 {}x = , k = ,,{}x = 1, k = -4 {x = 1, k = -4 } 2 4 > y=g(-17/4); 17 x 1 y = − + 4 4 > y=g(-4); y = −4 x 2.2. Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit 2.2.1. Tính giá trị của biểu thức, rút gọn biểu thức (số hoặc chữ) 11
  12. Bài toán 2.2.1.1. Rút gọn biểu thức A = 526+ + 526 − . > A:=sqrt(5+2*sqrt(6))+sqrt(5-2*sqrt(6)); A := 2 3 Bài toán 2.2.1.2. Rút gọn biểu thức B = 2log4 8a− log 8 3b . > B:=2^(ln(8*a)/ln(4)-ln(3*b)/ln(8));  ln (8 a ) ln (3 b )   −   ln() 4 ln() 8  B := 2 > B:=simplify(%); (2/3 ) 2 2 a 3 B := ()/13 3 b 2.2.2.2.2.2.2.2. Giải ph−ơng trình mũ Bài toán 2.2.2.1. Giải ph−ơng trình 3 2x + 5 = 3 x + 2 + 2. > solve(3^(2*x+5)=3^(x+2)+2,{x});   2      I   ln   + π  ln() 9  27   {}x = − ,  x =  ln() 3  ln() 3  > expand(%); ln ( 9 ) {}x = − ln() 3 > evalf(%); { x = -1.999999999 } Nếu ta đặt ẩn phụ rồi mới yêu cầu máy giải ph−ơng trình thì ta đ−ợc nghiệm đúng: > solve(3*t^2=t+2,{t}); -2 {}t = 1, {t = } 3 > solve(3^(x+2)=1,{x}); { x = -2 } Bài toán 22 222.2.2.2 2222 2.2.2.2. Giải ph−ơng trình 9x - 5 ì3 x + 2 = 0. > solve(t^2-5*t+2,{t}); 5 17 5 17 {}t = + , {}t = − 2 2 2 2 > solve(3^x=5/2+1/2*17^(1/2),{x});  5 17        ln  +    2 2    x =   ln() 3  12
  13. > solve(3^x=5/2-1/2*17^(1/2),{x});  5 17        ln  −    2 2    x =   ln() 3  2.2.2.2.3.2. 2.3. Giải hệ ph−ơng trình mũ 2x+ 3 y = 7 Bài toán 2.2.3.2.2.3.1.1. Giải hệ ph−ơng trình  4x+ 9 y = 25. > solve({2^x+3^y=7,4^x+9^y=25});       _Z        ln() 9ln (−eee + 7 )                 ln() 3      RootOf _Z ln() 4 − ln ( 2 ) ln −eee + 25    ln −eee + 7   y = ,  ln() 3 _Z      ln() 9ln (−eee + 7 )                                   ln() 3          RootOf _Z ln() 4 − ln ( 2 ) ln −eee + 25        ln() 9 ln −eee + 7           ln() 3    ln −eee + 25   x =  ln() 4  > evalf(%); { y = 1.261859507 , x = 1.584962503 } > s:=2^x;t:=3^y; s := 2x t := 3y > solve({s+t=7,s^2+t^2=25}); ln ( 4 ) ln ( 4 ) ln ( 3 ) {}y = 1, x = , {}y = , x = ln() 2 ln() 3 ln() 2 2.2.42.2.4 Giải bất ph−ơng trình mũ Bài toán 2.2.2.22. 222.4.4.4.4 1.1. Giải bất ph−ơng trình 4 x - 3 ì2x + 2 > 0. > solve(4^x-3*2^x+2>0,{x}); > t:=2^x; t := 2x > solve(t^2-3*t+2>0,{x}); { x solve(ln(x)/ln(2)+ln(2*x)/ln(4)=3,{x}); 13
  14. ln (2 ) ln (32 )    ln() 8  {}x = eee > simplify(%); (2/3 ) {}x = 2 2 2 Bài toán 2.2.5.2. Giải ph−ơng trình log 2 x + log 2 (3x) = 5. > solve((ln(x)/ln(2))^2+ln(3*x)/ln(2)=5,{x}); > 2 2 (−/12ln ( 2 ) + /12 21ln ( 2 ) − 4ln ( 2 ) ln ( 3 ) ) (−/12ln ( 2 ) − /12 21ln ( 2 ) − 4ln ( 2 ) ln ( 3 ) ) {}x = eee , {}x = eee > evalf(%); { x = 2.665541725 }, { x = 0.1875791309 } 2.2.6. Giải ph−ơng trình hỗn hợp x Bài toán 2.2.6.1. Giải ph−ơng trình 2 - log 3 (2x) = 4. > solve(2^x-ln(2*x)/ln(3)=4,{x}); { x = RootOf ()2_Z ln() 3 − ln ( 2 _Z ) − 4ln ( 3 ) } > evalf(%); { x = 2.444843682 } > plot(2^x-ln(2*x)/ln(3)-4,x=-1 3,y=-3 1); 2.2.2.32. 333 Nguyên hàm, ttíííícccchh phân và ứng dụng 2.3.1. Tính nguyên hàm Cấu trúc của lệnh tính nguyên hàm của một hàm số là: int (hàm số, đối số); 14
  15. Sau khi ghi đầy đủ lệnh trên, trong đó hàm số đ−ợc ghi bằng một biểu thức cụ thể và đối số đ−ợc ghi bằng một chữ cái thích hợp, và ấn phím Enter thì kết quả sẽ hiện ra nh−ng không kèm theo hằng số tích phân. Bài toán 2.3.1.1. Tính nguyên hàm của hàm số (x 2 - 2x + 3) 4. > int((x^2-2*x+3)^4,x); 1 36 52 214 81 x + x9 − x8 + x7 − x6 + x5 − 78 x4 + 108 x3 − 108 x2 9 7 3 5 Nếu muốn kết quả hiện ra có cả ký hiệu của nguyên hàm đó thì cần sửa lại cấu trúc của lệnh một chút: > Int((x^2-2*x+3)^4,x)=int((x^2-2*x+3)^4,x); ⌠ 4 1 36 52 214  2 9 8 7 6 5 4 3 2 ()x − 2 x + 3 dx = 81 x + x − x + x − x + x − 78 x + 108 x − 108 x ⌡ 9 7 3 5 Bài toán 2.3.1.22.3.1.2 Tính nguyên hàm của hàm số (x 2 + 2x - 1)e 2x - 3 . > Int((x^2+2*x-1)*exp(2*x-3),x)=int((x^2+2*x-1)*exp(2*x- 3),x); ⌠ 2 ()2 x − 3 1 ()2 x − 3 2 ()2 x − 3 9 ()2 x − 3 ()x + 2 x − 1eee dx = eee ()2 x − 3 + eee ()2 x − 3 + eee ⌡ 8 8 > Int((x^2+2*x-1)*exp(2*x-3),x)=int((x^2+2*x-1)*exp(2*x- 3),x); ⌠ 2 ()2 x − 3 1 ()2 x − 3 2 ()2 x − 3 9 ()2 x − 3 ()x + 2 x − 1eee dx = eee ()2 x − 3 + eee ()2 x − 3 + eee ⌡ 8 8 2.3.2. Tính tích phân 2 Bài toán 2.32.3 2.2.2.2.1.1.1.1. Tính ∫ (4x3− 2 x 2 + 3 x + 1) dx . 1 > Int(4*x^3-2*x^2+3*x+1,x=1 2)=int(4*x^3- 2*x^2+3*x+1,x=1 2); 2 ⌠ 3 2 95  4 x − 2 x + 3 x + 1 dx = ⌡ 6 1 1 2 Bài toán 2.32.3 2.222 222.2 Tính ∫ x3 ex dx . 0 > Int(x^3*exp(x^2),x=0 1)=int(x^3*exp(x^2),x=0 1); 1 2 ⌠ ()x 1  x3 e dx =  ee ⌡ 2 0 15
  16. π 2 Bài toán 2.32.3 2.322 332.3 Tính ∫ xsin xdx . 0 > Int(x*sin(x),x=0 pi/2)=int(x*sin(x),x=0 pi/2); π 2 ⌠  π  1  π   x sin ()xd x = sin   − π cos   ⌡  2  2  2  0     1 2x2 − 3 x + 1 Bài toán 2.32.3.2 2 2 2.4.4.4.4. Tính ∫ 3 dx . 0 x +1 > Int((2*x^2-3*x+1)/(x^3+1),x=0 1)=int((2*x^2- 3*x+1)/(x^3+1),x=0 1); 1 ⌠  x2 x  2 − 3 + 1 2 3 π  3 dx = − + 2ln ( 2 )  x + 1 9 ⌡ 0 π 2 Bài toán 2.32.3 2.522 552.5 Tính ∫ x2 cos 2 xdx . π 6 >Int(x^2*cos(2*x),x=Pi/6 Pi/2)=int(x^2*cos(2*x),x=Pi/6 Pi/ 2); π 2 ⌠ 2 7 1 2 1  x cos() 2 xd x = −π − π 3 + 3 ⌡ 24 144 8 π 6 π xsin xdx Bài toán 2.32.3 2.622 662.6 Tính ∫ 2 . 0 2+ cos x >Int(x*sin(x)/(2+cos(x)^2),x=0 Pi)=int(x*sin(x)/(2+cos(x)^2 ),x=0 Pi); π π ⌠ ⌠  x sin ()x  x sin ()x  dx =  dx  2 + cos (x )2  2 + cos (x )2 ⌡ ⌡ 0 0 > evalf(%); 1.367252148 = 1.367252148 πxsin xdxπ π sin xdx Nếu đổi biến số t = π - x thì ta có ∫2= ∫ 2 . 02+ cosx 2 0 2 + cos x 16
  17. >Int(x*sin(x)/(2+cos(x)^2),x=0 Pi)=int(Pi/2*sin(x)/(2+cos(x )^2),x=0 Pi); π ⌠  x sin ()x 1  2   dx = arctan   π 2  2 + cos (x )2 2  2  ⌡ 0 2.3.3. Tính diện tích hình phẳng nhờ tích phân Bài toán 2.32.3.3 3 3 3.1.1.1.1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2x 2 + 5x - 2 và y = x 3 + 2x 2 - 2x + 4. > f:=x->2*x^2+5*x-2; g:=x->x^3+2*x^2-2*x+4; f := x → 2 x2 + 5 x − 2 g := x → x3 + 2 x2 − 2 x + 4 > solve(f(x)=g(x),{x}); { x = 1}, { x = 2 }, { x = -3 } > S:=Int(abs(f(x)-g(x)),x=-3 2)=int(abs(f(x)-g(x)),x=- 3 2); 2 ⌠ 3 131 S :=  −7 x + 6 + x dx = ⌡ 4 -3 2.3.4. Tính thể tích vật thể tròn xoay nhờ tích phân Bài toán 2.32.3 4444 1.1.1.1. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x 2 + 5x - 1 và y = x 3 + 4x2 + 5x - 5 quanh trục hoành. > f:=x->x^2+5*x-1;g:=x->x^3+4*x^2+5*x-5; f := x → x2 + 5 x − 1 g := x → x3 + 4 x2 + 5 x − 5 > solve(f(x)=g(x),{x}); { x = 1}, { x = -2 }, { x = -2 } > V:=Int(Pi*(f(x)-g(x))^2,x=-2 1)=int(Pi*(f(x)-g(x))^2,x=- 2 1); 1 ⌠ 2 729 π  2 3 V :=  π ()−3 x + 4 − x dx = ⌡ 35 -2 22 442.4.2.4 . Số phức 2.2.2.4.1.2. 4.1. Rút gọn các biểu thức có chứa số phức 17
  18. 3+ 2i 1 − i Bài toán 2.4.1.1. Tính + . 1−i 3 − 2 i > (3+2*I)/(1-I)+(1-I)/(3-2*I); 23 63 + I 26 26 (1+i )(5 − 6 i ) Bài toán 2.4.1.22.4.1.2 Tính . (2+ i ) 2 > (1+I)*(5-6*I)/(2+I)^2; 29 47 − I 25 25 2.2.2.4.2.2. 4.2. Tìm môđun và acgumen của số phức (1+i )(5 − 6 i ) Bài toán 2.4.2.12.4.2.1 Tìm môđun và acgumen của số phức z = . (2+ i ) 2 > abs((1+I)*(5-6*I)/(2+I)^2); 122 5 > argument((1+I)*(5-6*I)/(2+I)^2); 47  −arctan   29  2.2.2.4.3.2. 4.3. Chuyển đổi số phức từ dạng đại số sang dạng l−ợng giác hoặc dạng mũ Bài toán 2.4.3.12.4.3.1 Chuyển đổi số phức z = 1 + 3 i sang dạng l−ợng giác và dạng mũ. > 1+sqrt(3)*I=convert(1+sqrt(3)*I,polar);  π  1 + 3 I = polar ,2   3  π π π  i Nh− vậy, ta có 1 + 3 i = 2 cos+ isin  = 2e 3 . 3 3  (1+i )(5 − 6 i ) Bài toán 2.4.32.4.3.2.2.2.2 Chuyển đổi số phức z = sang dạng l−ợng giác và (2+ i ) 2 dạng mũ. > convert( (1+I)*(5-6*I)/(2+I)^2, polar );  122 47  polar , −arctan    5 29  Nh− vậy, ta có 47 122 47 47  122 −iarctan z= cos arctan − isin arctan  = e29 . 5 29 295  18
  19. 2.4.42.4.4 Giải ph−ơng trình trên tập hợp số phức Bài toán 2.4.42.4.4.1.1.1.1 Giải ph−ơng trình x 2 - 6x + 58 = 0. > solve(x^2-6*x+58,{x}); { x = 3 + 7 I }, { x = 3 − 7 I } Bài toán 2.4.42.4.4.2.2.2.2 Giải ph−ơng trình x3 - x2 - 2x + 8 = 0. > solve(x^3-x^2-2*x+8,{x}); 3 1 3 1 {}x = -2,, {x = + I 7 } {x = − I 7 } 2 2 2 2 Bài toán 2.42.4.4.4.4.4.3.3.3.3 Giải ph−ơng trình x 3 - x + 10 = 0. > solve(x^3-x+10,{x});  (1/3 )   (1/3 )  ()135 + 3 2022 1   ()135 + 3 2022  x = − − ,  x =  3 ()/13   6  ()135 + 3 2022   1 + ()/13 2 (135 + 3 2022 )  (1/3 )   1  ()135 + 3 2022 1   + I 3 − + ,  x = 2  3 ()/13    ()135 + 3 2022   (1/3 ) ()135 + 3 2022 1 + 6 ()/13 2 (135 + 3 2022 )  (1/3)  1  ()135 + 3 2022 1  − I 3 − +  2  3 ()/13   ()135 + 3 2022  > evalf(%); { x = -2.308907320 }, { x = 1.154453660 − 1.731557033 I }, {}x = 1.154453660 + 1.731557033 I Bài toán 2.42.4 4444 4.4.4.4. Giải ph−ơng trình x4 + 5x2- 36 = 0. > solve(x^4+5*x^2-36,{x}); { x = -2 }, { x = 2}, { x = 3 I }, { x = -3 I } Bài toán 2.4.42.4.4.5.5.5.5 Giải ph−ơng trình x4 + x3 - 5x2 - 4 = 0. > solve(x^4+x^3-5*x^2-4,{x});  (1/3 )    ()324 + 12 633 4   {}x = 2 ,  x = − − − 1 ,  x =  6 ()/13    ()324 + 12 633   (1/3 ) ()324 + 12 633 2 + − 1 12 ()/13 ()324 + 12 633 19
  20.  (1/3 )   1  ()324 + 12 633 4   + I 3 − + ,  x = 2  6 ()/13    ()324 + 12 633   (1/3 ) ()324 + 12 633 2 + − 1 12 ()/13 ()324 + 12 633  (1/3)  1  ()324 + 12 633 4  − I 3 − +  2  6 ()/13   ()324 + 12 633  > evalf(%); { x = 2. }, { x = -2.893289196 }, { x = -0.0533554020 − 0.8297035535 I }, {}x = -0.0533554020 + 0.8297035535 I 2.2.2.52. 555 Ph−ơng pháp toạ độ trong không gian 2.5.1. Tính tích vô h−ớng, tích vectơ, góc giữa hai vectơ khi biết toạ độ của chúng   Bài toán 2.5.1.1. Cho hai vec tơ a =(3;7; − 5) và b =(4; − 2;9) .   a) Tính tích vô h−ớng của hai vectơ a và b .   b) Tìm tích vectơ của hai vectơ a và b .   c) Tính góc giữa hai vectơ a và b . > a:=Vector([3,7,-5]);  3     a :=  7    -5  > b:=Vector([4,-2,9]);  4     b :=  -2     9 > a.b; -47 > with(LinearAlgebra):c:=CrossProduct(a,b);  53      c := -47    -34  > VectorAngle(a,b);  47 83 101  π − arccos    8383  > evalf(%); 20
  21. 2.109858925 > evalf(%*180/Pi); 120.8860117 > (%-120)*60; 53.160702 > (%-53)*60; 9.642120 Vậy góc giữa hai vectơ này là ϕ ≈120 053’10”. 2.2.2.52. 555.2.2.2.2 Viết ph−ơng trình mặt phẳng đi qua ba điểm khi biết toạ độ của chúng Bài toán 2 2.5.2.1 5.2.1. Viết ph−ơng trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; - 3; 2), B(5; 6; 1), C(- 4; - 7; 4). > f:=(x,y,z)->a*x+b*y+c*z+1; f := ( x, y, z) → a x + b y + c z + 1 > solve({f(1,-3,2),f(5,6,1),f(-4,-7,4)}); -29 1 -14 {}c = ,,b = a = 81 27 81 > f:=(x,y,z)->a*x+b*y+c*z-81; f := ( x, y, z) → a x + b y + c z − 81 > solve({f(1,-3,2),f(5,6,1),f(-4,-7,4)}); { c = 29 , b = -3 , a = 14 } > 14*x-3*y+29*z-81=0; 14 x − 3 y + 29 z − 81 = 0 2.5.2.5.3333 Tìm toạ độ giao điểm của ba mặt phẳng khi biết ph−ơng trình của chúng Bài toán 2.5.32.5.3.1 1 1 1. Tìm toạ độ giao điểm của ba mặt phẳng có ph−ơng trình 13 2x - 5y + 7z - 8 = 0, x + y - 5z + 1 = 0, 12x - 51y - z - 3 = 0. 4 > solve({2*x-5*y+7*z-8,x+13/4*y-5*z+1,12*x-51*y-z-3}); 6789 1455 670 {}x = ,,z = y = 3406 1703 1703 2.2.2.5.2. 5.5.5.4444 Viết ph−ơng trình đ−ờng thẳng, tính góc giữa hai đ−ờng thẳng khi biết ph−ơng trình của chúng Bài toátoánn 2.5.4.1. Viết ph−ơng trình đ−ờng thẳng đi qua hai điểm A(2; - 5; 6) và B(- 4; 7; 8). > AB:=Vector([-4-2,7+5,8-6]); 21
  22.  -6      AB :=  12     2 > 1/2*AB;  -3       6    1 > (x-2)/(-3)=(y+5)/6,(y+5)/6=(z-6)/1; x 2 y 5 y 5 − + = + , + = z − 6 3 3 6 6 6 6 Bài toán 22 5.4.5.4.5.4.2222 Tính góc giữa hai đ−ờng thẳng đ−ờng thẳng có ph−ơng trình x= 7t x3− y1 + z  d: = = và ∆: y= 1 − 2t 4 5 3  z= 9 + 3t > a:=Vector([4,5,3]);b:=Vector([7,-2,3]);  4     a :=  5    3  7     b :=  -2     3 > with(LinearAlgebra):VectorAngle(a,b);  27 2 62  arccos    620  > evalf(%); 1.064508267 > evalf(%*180/Pi); 60.99183095 > (%-60)*60; 59.509857 > (%-59)*60; 30.591420 Vậy góc giữa hai đ−ờng thẳng này là ϕ ≈ 60 0 59’31”. 2.5.5. Tính khoảng cách giữa hai đ−ờng thẳng chéo nhau khi biết ph−ơng trình của chúng 22
  23. Bài toán 22 552.5.2.5 5555 1.1.1.1. Tính khoảng cách giữa hai đ−ờng thẳng x= 3 + 4t x= 1 − 2t   ∆: y =−+ 23t và d: y= 2 + 7t   z= 5t z= − 1 + t. > a:=Vector([4,3,5]);b:=Vector([-2,7,1]);c:=Vector([1- 3,2+2,-1-0]);  4     a :=  3    5  -2      b :=  7    1  -2      c :=  4    -1  > with(LinearAlgebra):m:=CrossProduct(a,b); -32      m := -14     34  > k:=abs(c.m/sqrt(m.m)); 13 66 k := 198 2.5.2.5.6666 Tìm toạ độ giao điểm của đ−ờng thẳng và mặt phẳng khi biết ph−ơng trình của chúng x1− y2 + z3 − Bài toán 2.5.62.5.6.1 1 1 1. Tìm toạ độ giao điểm của đ−ờng thẳng = = và 2 3− 4 mặt phẳng 5x - 6y + 7z - 9 = 0. > solve({(x-1)/2=(y+2)/3,(y+2)/3=(z-3)/(-4),5*x-6*y+7*z-9}); 47 5 -2 {}x = ,,y = z = 18 12 9 2.5.2.5.7777 Tìm toạ độ giao điểm của đ−ờng thẳng và mặt cầu khi biết ph−ơng trình của chúng x3− y4 − z1 − Bài toán 2.5.72.5.7 1111 Tìm toạ độ giao điểm của đ−ờng thẳng = = và 2 1− 1 mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 - 26 = 0. > solve({x^2+y^2+z^2-26,(x-3)/2=y-4,y-4=1-z}); 23
  24. { z = 4, y = 1, x = -3 }, { z = 1, x = 3, y = 4} x1− y2 + z3 − Bài toán 2.5.72.5.7 2222 Tìm toạ độ giao điểm của đ−ờng thẳng = = và 2 3− 4 mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 + 5x - 16y + 72z - 19 = 0. > solve({x^2+y^2+z^2+5*x-16*y+72*z-19,(x- 1)/2=(y+2)/3,(y+2)/3=(z-3)/(-4)}); { z = −6RootOf (29 _Z 2 − 258 _Z + 193 , label = _L7 ) + 5, x = 3RootOf (29 _Z 2 − 258 _Z + 193 , label = _L7 ), 9 7 y = RootOf()29 _Z 2 − 258 _Z + 193 , label = _L7 − } 2 2 > evalf(%); { z = 0.053193912 , x = 2.473403044 , y = 0.210104566 } > solve(29*t^2-258*t+193,{t}); 129 2 2761 129 2 2761 {}t = + , {}t = − 29 29 29 29 > t1:=129/29+2/29*2761^(1/2);t2:=129/29- 2/29*2761^(1/2);x1:=3*t1;y1:=-6*t1+5;z1:=9/2*t1- 7/2;x2:=3*t2;y2:=-6*t2+5;z2:=9/2*t2-7/2; 129 2 2761 t1 := + 29 29 129 2 2761 t2 := − 29 29 387 6 2761 x1 := + 29 29 629 12 2761 y1 := − − 29 29 479 9 2761 z1 := + 29 29 387 6 2761 x2 := − 29 29 629 12 2761 y2 := − + 29 29 479 9 2761 z2 := − 29 29 24
  25. 2.2.2.5.2. 5.5.5.8888 Viết ph−ơng trình mặt cầu đi qua bốn điểm khi biết toạ độ của chúng Bài toán 2.5.82.5.8.1 1 1 1. Viết ph−ơng trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(2; 1; - 3), B(3; 5; 6), C(5; - 4; - 7), D(9; 0; 1). > f:=(x,y,z)->x^2+y^2+z^2+a*x+b*y+c*z+d; f := ()x,, y z → x2 + y2 + z2 + a x + b y + c z + d > solve({f(2,1,-3),f(3,5,6),f(5,-4,-7),f(9,0,1)}); 577 -355 159 -2142 {}b = ,,,c = a = d = 13 13 13 13 > x^2+y^2+z^2+159/13*x+577/13*y-355/13*z-2142/13=0; 159 577 355 2142 x2 + y2 + z2 + x + y − z − = 0 13 13 13 13 2.2.2.5.2. 5.5.5.9999 Tính một số yếu tố của tam giác khi biết toạ độ các đỉnh của nó Bài toán 2.5.92.5.9.1 1 1 1. Cho tam giác có các đỉnh A(1; - 3; 2), B(5; 6; 0), C(- 4; - 7; 5). a) Tính độ dài các cạnh của tam giác. b) Tính các góc của tam giác. c) Tính diện tích của tam giác. > a:=sqrt((5+4)^2+(6+7)^2+(0-5)^2);b:=sqrt((1+4)^2+(- 3+7)^2+(2-5)^2);c:=sqrt((1-5)^2+(-3-6)^2+(2- 0)^2);A:=arccos((b^2+c^2-a^2)/2/b/c);B:=arccos((c^2+a^2- b^2)/2/c/a);C:=arccos((a^2+b^2- c^2)/2/a/b);p:=(a+b+c)/2;S:=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)); a := 5 11 b := 5 2 c := 101  31 2 101  A := π − arccos    505   163 101 11  B := arccos    5555   56 11 2  C := arccos    275  5 11 5 2 101 p := + + 2 2 2 25
  26.  5 11 5 2 101   5 11 5 2 101   5 11 5 2 101  S :=  + +  − + +   − +   2 2 2   2 2 2   2 2 2  ()/12  5 11 5 2 101   + −   2 2 2  > expand(%); 603 2 2 2.2.2.5.2. 5.5.5.10101010 Tính một số yếu tố của hình tứ diện khi biết toạ độ các đỉnh của nó Bài toán 2.5.10.1. Cho hình tứ diện có các đỉnh A(1; - 2; 3), B(- 2; 4; - 5), C(3; - 4; 7), D(5; 9; - 2).   a) Tính tích vô h−ớng của hai vectơ AB và AC .   b) Tìm tích vectơ của hai vectơ AB và AC . c) Tính thể tích khối tứ diện ABCD. d) Tính diện tích tam giác BCD. e) Tính đ−ờng cao hạ từ A của hình tứ diện ABCD. > AB:=Vector([-2-1,4+2,-5-3]);  -3      AB :=  6    -8  > AC:=Vector([3-1,-4+2,7-3]);  2     AC :=  -2     4 > AB.AC; -50 > with(LinearAlgebra):a:=CrossProduct(AB,AC);  8     a :=  -4     -6  > AD:=Vector([5-1,9+2,-2-3]);  4     AD :=  11     -5  26
  27. > V:=1/6*abs(AD.a); V := 3 > BC:=Vector([3+2,-4-4,7+5]);  5     BC :=  -8     12  > BD:=Vector([5+2,9-4,-2+5]);  7     BD :=  5    3 > S:=1/2*sqrt((BC.BC)*(BD.BD)-(BC.BD)^2); 3 2042 S := 2 > h:=3*V/S; 3 2042 h := 1021 27