Điều khiển thích nghi

89 trang phuongnguyen 2150

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Điều khiển thích nghi", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

dieu_khien_thich_nghi.doc

Nội dung text: Điều khiển thích nghi

Điều khiển thích nghi
MỤC LỤC ĐIỀU KHIỂN THÍCH NGHI 99 Kết luận 99 Hình 2.1 Sơ đồ các ứng dụng 101 Hình 2.3 Mơ hình sai số 103 Hoặc 104 Ví dụ 2.1 - Hiệu chỉnh độ lợi nuơi tiến 105 e = G(p)uc = ym / 105  d = - ’yme/ 105 dt Ví dụ 2.2 MRAS cho hệ bậc nhất 105 dym = - amym + bmuc 105 dt Vài tính chất sau cần chú ý: 106 Mơ hình kèm theo 108 Hình 2.4 Hệ vịng kín với bộ điều khiển tuyến tính tổng quát 109 ’ T = A0B m 109 A0Am = AR1 + b0S 110 Hệ tuyến tính tổng quát 110 Ay = Bu 110 Amym = Bmuc 110 Sai số là: e = y - ym 110 + AR + BS A0AmB 111 Tương tự cho si và ti 111 Nhận xét: 112 Sai số và sự hội tụ tham số 112 Ví dụ 2.3 Hội tụ sai số 112 Hình 2.5 Mơ hình hội tụ sai số 113 Ví dụ 2.4 114 e ym = G(p)uc = 115   0 d e y   e  e m  e y với  115 dt   0 m  0 0 - Đầu tiên giả sử uc là hằng số uc 116 Luật hiệu chỉnh bổ sung 116
Phương pháp thứ hai của Lyapunov 117 Minh họa bằng đồ thị phương pháp Lyapunov 117 (c)Trạng thái cân bằng khơng ổn định 118 2 2 V(x) = x1 + x2 118 Hình 2.8 Các vịng trịn hằng số V và hai quĩ đạo ổn định 120 Ví dụ thiết kế MRAS dùng Lyapunov 120 Sai số : e = y - ym 120 de = -ame + (am – a – b s )y + (bt - bm)uc 121 dt 0 0 1 2 1 2 1 2 V(e, t , s ) = [e + (b s + a - am) + (bt – bm) ] 121 0 0 2 b 0 b 0 dV de 1 ds0 1 dt0 = e + (b s + a – am) + ( bt - bm) 121 dt dt  0 dt  0 dt d =  e 122 dt Ví dụ 2.7 122 1 V = [xTPx + ( -  0)2] 122 2 dV  = {[Ax + Bu ( -  0)]TPx + xTP[Ax + Bu ( -  0)]} 122 dt 2 c c Ví dụ hệ bậc hai MRAS 123 Hệ thống MRAS rời rạc 124 MRAS cho hệ thống chỉ biết được từng phần 124 Điều khiển thích nghi cho tay máy 124 Ví dụ:Tay máy hai khớp nối 125 Tay máy hai khớp nối với tải chưa biết 126 2.3.1 Đặt vấn đề 129 Các phương pháp thiết kế bộ điều khiển 129 Hình 2.9 Mơ hình tự chỉnh định 130 Tính hội tụ 132 Bài tốn thiết kế nền tảng cho những hệ thống biết trước 132 R1 và S là giải pháp cho phương trình Diophantine 133 Thuật tốn 2.1 - Bộ tự chỉnh định gián tiếp 133 Ví dụ 2.9 Bộ tự chỉnh định gián tiếp với nhiễu xác định 134
1 G(s) = 134 s(s 1) B 0 .107 q 0 .090 0.107(q 0.84) H(q) = = = 134 A q 2 1 .61 q 0 .61 (q 1)(q 0.61) 2 A0 = (q – 0.5) 134 Ví dụ 2.10 Bộ tự chỉnh định với nhiễu ngẫu nhiên : 135 t V(t) =  y 2 (i) 136 i 1 Tĩm tắt 136 R B R và S B S 137 A0Amy(t) = Ru(t) + Sy(t) +R1C.e(t) 139 * * * R = R 1.B 139 * * d * * A R 1 + q 0 S = C 139 * * - * * + * * A R + q d 0 B S = B C 140 Bộ tự chỉnh định thay đổi cực tiểu và trung bình di chuyển 141 Thuật tốn 2.4 - Thuật tốn tự chỉnh định trực tiếp cơ bản 141 Bước 1: Ước lượng các hệ số của đa thức R* và S* 141 Bước 2: Tính luật điều khiển 141 * -1 ' 1 ' k R (q ) = r 0 (1 + r1 q . . . rk q ) 141 Và sử dụng 141 Tính chất tiệm cận 142 Định lí 2.1 – Tính chất tiệm cận 142 Sử dụng luật điều khiển 142 Định lí 2.2 – Tính chất tiệm cận 2 143 * * * A y(t) = B u(t – d0) + C e(t) 143 Vì vậy 143 y R* và u S * 143 Hệ thống phương trình 2.49 cĩ bậc 144 Nếu 144 Chú ý rằng theo phương trình 2.50 thì 145 Ví dụ 2.11 - Bộ tự chỉnh định trực tiếp với thay đổi cực tiểu 145 Dự báo ngõ ra 146 Điều khiển khơng thay đổi theo thời gian: 147 n – 1 P(q) = A(q) [q Rd(1) + Rd (q) ] + Gd (q) B(q) 148
Bậc(P) = Bậc(A) + n - 1 = 2n – 1 148 n + d -1 n – 1 A(q) Rd (q) + Gd (q) B(q) = B(q) q - A(q)q Rd(q) 148 n – 1 n – 1 d P(q) = q A(q)Rd(1) + q [q B(q) - A(q)Rd(q)] 148 Nếu hệ thống ổn định thì các số hạng phía sau của 2.54 sẽ biến mất khi 148 Ví dụ 2.12 - Điều khiển dự báo 148 a d (a 1) P(q) = q – a + 149 a d 1 Nỗ lực điều khiển cực tiểu 149 2 2 * -1 2J = u(t) + . . .+ u(t + ) + 2[ym(t + d) - yd (t) - R d(q ) u(t + )] 150 n - 1 P(q) = A(q) [q  + Rd (q)] + Gd(q)B(q) 150 Ví dụ 2.13 - Điều khiển nỗ lực cực tiểu 151 1 a 2 a 2(d 1) b(a 2d 1) = b = 151 a d 1 a d 1 (a 2 1) Điều khiển dự báo tổng quát: 151 r0 0  0 r r  0 R = 1 0 153    rN 1 rN 2  r0 T T J(1, N, N) = E{( y – ym) (y – ym) + u u} 153 u (t + k – 1) = 0 với k > Nu 153 r0 0  0 r r  0 1 0    R1 = 154  r0   r r  r N 1 N 2 N Nu Hơn nữa, từ phương trình 2.62 , sử dụng phương trình 2.54 154 1 R * A* q d0 B*G * 1 1 * A + [ 1 . . . N]  155 1 * * d0 * * RN A q B GN
* * * (B A R1 )q * A + [ 1 . . . N]  155 * * * N (B A RN )q ri i = N 155 2  rj j 1 1. Phương pháp Zeigler – Nichols 157 Phương pháp đáp ứng nấc: 157 Những khĩ khăn đối với phương pháp Zeigler – Nichols: 158 Phương pháp diện tích: 158 Kết quả thực tế 160 Sự lặp lại trực tuyến 160 Đặc tính: hệ số tắt d và độ vọt lố o 160 Ví dụ các biến lịch trình 161 Hình 2.10 Mơ hình lịch trình độ lợi 161 Ưu, khuyết điểm của lịch trình độ lợi 162 Ví dụ 2.14 162 Hình (a) 163 Hình (b) 163 Hình (c) 164 Đặc điểm của van 165 Lịch trình cho ngõ ra bộ điều khiển 166 Lịch trình cho biến quá trình 166 Lịch trình cho biến ngồi 167 Động lực học của ơtơ trên đường: 167 Fkéo = Fcản lăn + Fcản khi động + Fcản leo dốc + Fcản quán tính 167 Mơ hình động lực học ơtơ trên đường 170 Hình 2.12 Đặc tính moment theo tốc độ và độ mở bướm ga của động cơ 171 Hình 2.13 Mơ hình động lực học ơtơ trên đường 171 Hình 2.14 Mơ hình lực cản trên đường 172 Hình 2.15 Mơ hình hệ thống truyền lực của ơtơ 172 Hình 2.16 Bộ điều khiển PID 173 B. Bộ điều khiển mờ thích nghi trực tiếp 173 1. Ngõ vào: 2 ngõ vào 173 2. Ngõ ra: 1 ngõ ra 173
Hình 2.17 Bộ điều khiển mờ thích nghi trực tiếp (DAF) 174 Bảng 2.1 Bảng luật hợp thành của bộ điều khiển mờ thích nghi trực tiếp 175 Hình 2.23.a 178 Hình 2.23.b 179 Nhận xét: 179 CÂU HỎI ƠN TẬP VÀ BÀI TẬP 181
ĐIỀU KHIỂN THÍCH NGHI 2.1 Khái niệm 2.1.1 Định nghĩa “Thích nghi là quá trình thay đổi thơng số và cấu trúc hay tác động điều khiển trên cơ sở lượng thơng tin cĩ được trong quá trình làm việc với mục đích đạt được một trạng thái nhất định, thường là tối ưu khi thiếu lượng thơng tin ban đầu cũng như khi điều kiện làm việc thay đổi” hay : “Điều khiển thích nghi là tổng hợp các kĩ thuật nhằm tự động chỉnh định các bộ điều chỉnh trong mạch điều khiển nhằm thực hiện hay duy trì ở một mức độ nhất định chất lượng của hệ khi thơng số của quá trình được điều khiển khơng biết trước hay thay đổi theo thời gian”. Hệ thống được mơ tả trong hình dưới đây gồm 2 vịng: - Vịng hồi tiếp thơng thường - Vịng hồi tiếp điều khiển thích nghi Kết luận 1. Điều khiển thích nghi liên quan đến: - Sự khác nhau trong các quá trình động học - Sự khác nhau trong các nhiễu 2. Các hệ thống thích nghi là phi tuyến 2.1.2 Nhận dạng hệ thống Làm thế nào để cĩ được mơ hình? - Vật lí (hộp trắng) - Kinh nghiệm (hộp đen)
- Kết hợp ( hộp xám) Kế hoạch hố thực nghiệm Chọn lựa cấu trúc mơ hình - Các hàm chuyển đổi - Đáp ứng xung - Các mơ hình trạng thái Tham số thích nghi - Thống kê - Các vấn đề nghịch đảo Sự hợp lí 2.1.3 Ước lượng tham số thích nghi thời gian thực 1. Giới thiệu 2. Bình phương cực tiểu và hồi qui 3. Hệ thống động 4. Các điều kiện thực nghiệm 5. Các ví dụ 6. Các kết luận 2.1.4 Phân loại Cĩ thể phân loại các hệ thích nghi theo các tiêu chuẩn sau : 1. Hệ thích nghi mơ hình tham chiếu ( MRAS ) 2. Bộ tự chỉnh định ( STR ) 3. Lịch trình độ lợi 4. Hệ tự học 5. Hệ tự tổ chức 2.1.5 Ứng dụng
Tự chỉnh định Lịch trình độ lợi Thích nghi liên tục Quá trình động học Biến đổi Hằng số Sử dụng bộ điều khiển với Sử dụng bộ biến đổi với các thơng số biến đổi các thơng số hằng Sự biến thiên Sự biến thiên khơng biết trước biết trước Sử dụng bộ điều Sử dụng lịch trình khiển thích nghi độ lợi Hình 2.1 Sơ đồ các ứng dụng 2.2 Hệ thích nghi mơ hình tham chiếu – MRAS
(Model Reference Adaptive Systems) 2.2.1 Sơ đồ chức năng Hệ thống thích nghi sử dụng mơ hình chuẩn là một trong những phương pháp chính của điều khiển thích nghi. Nguyên lí cơ bản được trình bày ở hình 2.2 ym Mơ hình Tham số điều khiển Cơ cấu hiệu chỉnh uc u y Bộ điều khiển Đối tượng Hình 2.2 Sơ đồ khối của một hệ thống thích nghi mơ hình tham chiếu Mơ hình chuẩn sẽ cho đáp ứng ngõ ra mong muốn đối với tín hiệu đặt (yêu cầu). Hệ thống cĩ một vịng hồi tiếp thơng thường bao gồm đối tượng và bộ điều khiển. Sai số e là sai lệch giữa ngõ ra của hệ thống và của mơ hình chuẩn e = y - ym. Bộ điều khiển cĩ thơng số thay đổi dựa vào sai số này. Hệ thống cĩ hai vịng hồi tiếp:hồi tiếp trong là vịng hồi tiếp thơng thường và vịng hồi tiếp bên ngồi hiệu chỉnh tham số cho vịng hồi tiếp bên trong. Vịng hồi tiếp bên trong được giả sử là nhanh hơn vịng hồi tiếp bên ngồi. Hình 2.2 là mơ hình MRAS đầu tiên được đề nghị bởi Whitaker vào năm 1958 với hai ý tưởng mới được đưa ra: Trước hết sự thực hiện của hệ thống được xác định bởi một mơ hình, thứ hai là sai số của bộ điều khiển được chỉnh bởi sai số giữa mơ hình chuẩn và hệ thống. Mơ hình chuẩn sử dụng trong hệ thích nghi bắt nguồn từ hệ liên tục sau đĩ được mở rộng sang hệ rời rạc cĩ nhiễu ngẫu nhiên.
Chương này tập trung vào ý tưởng cơ bản. Để vấn đề được trình bày một cách rõ ràng, ta chỉ tập trung vào cấu hình trong hình 2.2 được gọi là hệ MRAS song song . Đây là một trong nhiều cách cĩ thể xây dựng mơ hình chuẩn. Chương này đề cập chính đến hệ liên tục theo phương pháp trực tiếp cĩ nghĩa là tham số được cập nhật một cách trực tiếp. 2.2.2 Luật MIT (Massachusetts Institude Technology) ( MIT = Massachusetts Institute Technology : Viện cơng nghệ Massachusetts) e u y Khâu tích phân C e    u s Hình 2.3 Mơ hình sai số Hệ thống thích nghi mơ hình tham chiếu đầu tiên được đưa ra để giải quyết vấn đề: các đặc điểm của một mơ hình tham chiếu yêu cầu ngõ ra là quá trình lí tưởng cần cĩ đáp ứng đối với tín hiệu điều khiển như thế nào. Đồ thị minh họa trong hình 2.2. Trong trường hợp này, mơ hình tham chiếu mang tính song song hơn là nối tiếp, giống như cho SOAS (Self Oscillating Adaptive Systems). Bộ điều khiển cĩ thể được xem như bao gồm hai vịng: một vịng phía trong gọi là vịng hồi tiếp thơng thường cĩ quá trình và bộ điều khiển. Các thơng số của bộ điều khiển được chỉnh định bởi vịng ngồi sao cho sai số e giữa ngõ ra y và ngõ ra mơ hình ym là nhỏ nhất. Vì vậy vịng ngồi cịn được gọi là vịng chỉnh định. Vấn đề là xác định cơ cấu chỉnh định cho hệ thống ổn định, nghĩa là sai số bằng zero. Điều này khơng thể thực hiện được. Cơ cấu chỉnh định với thơng số sau được gọi là luật MIT, được sử dụng cho hệ MRAS đầu tiên: d e  e dt  Trong phương trình này e là sai số của mơ hình e = y – y m. Các thành phần của vector e/ là đạo hàm độ nhạy của sai số đối với các thơng số chỉnh định .Thơng số  xác định tốc độ thích nghi. Luật MIT cĩ thể được giải
thích như sau. Giả sử rằng các thơng số  thay đổi chậm hơn nhiều so với các biến khác của hệ thống. Để bình phương sai số là bé nhất, cần thay đổi các thơng số theo hướng gradient âm của bình phương sai số e2. Giả sử muốn thay đổi thơng số của bộ điều khiển sao cho sai số giữa ngõ ra của đối tượng và của mơ hình chuẩn tiến tới zero. Đặt e là sai số và  là thơng số hiệu chỉnh. Chỉ tiêu chất lượng : 1 J( ) = e2 (2.1) 2 để làm cho J() MIN thì cần phải thay đổi các thơng số theo hướng âm của gradient J, cĩ nghĩa là :  J e  e (2.2) t   Giả sử rằng các thơng số cần thay đổi  thay đổi chậm hơn nhiều so với các e biến khác của hệ thống. Vì vậy đạo hàm được tính với giả thiết  là  e hằng số. Biểu thức đạo hàm gọi là hàm độ nhạy của hệ thống. Luật điều  e chỉnh theo phương trình (2.2) với là độ nhạy thì cĩ liên hệ giống như  luật MIT. Cách chọn hàm tổn thất theo phương trình (2.1) cĩ thể là tuỳ ý. Nếu chọn J( ) = e (2.3) Khi đĩ luật hiệu chỉnh sẽ là : d e  sign(e) (2.4) dt  Hoặc d e  sign sign(e) dt  Đây gọi là giải thuật dấu - dấu. Hệ rời rạc sử dụng giải thuật này được ứng dụng trong viễn thơng nơi địi hỏi tính tốn nhanh và thực hiện đơn giản. Phương trình (2.2) cịn được áp dụng trong trường hợp cĩ nhiều thơng số e hiệu chỉnh, khi đĩ  trở thành một vector và là gradient của sai số đối 
với các thơng số tương ứng. Ứng dụng của luật MIT được biểu diễn bằng hai ví dụ sau : Ví dụ 2.1 - Hiệu chỉnh độ lợi nuơi tiến Xét vấn đề hiệu chỉnh độ lợi nuơi tiến với mơ hình và đối tượng đều cĩ hàm truyền là G(S). Sai số là: e = y – ym = G(p) uc – G(p) uc với uc là tín hiệu đặt, ym là ngõ ra mơ hình, y là ngõ ra đối tượng,  là thơng số hiệu chỉnh, và p = d/dt là tốn tử vi phân. Độ nhạy khi ấy bằng : e = G(p)uc = ym /  Luật MIT được cho : d = - ’yme/ dt Nếu dấu của  được biết, khi ấy đưa ra  = ’/ Sự thay đổi của tham số  tỉ lệ với tích sai số e và ngõ ra của mơ hình ym. Ví dụ trên khơng dùng việc xấp xỉ : Khi luật MIT được áp dụng vào những vấn đề phức tạp hơn thì cần phải cĩ xấp xỉ để tính được độ nhạy. Ví dụ 2.2 MRAS cho hệ bậc nhất Xét hệ thống được mơ tả bởi phương trình: dy ay bu (2.5) dt với u là biến điều khiển, y là ngõ ra được đo lường. Giả sử mong muốn cĩ được hệ vịng kín được mơ tả bởi: dym = - amym + bmuc dt Mơ hình kèm theo hồn hảo cĩ thể đạt được với bộ điều khiển : u(t) = t0 uc(t) – s0 y(t) (2.6) với tham số t0 = bm / b ; s0 = (am – a)/b Chú ý hồi tiếp sẽ là dương nếu a m < a, nghĩa là mơ hình mong muốn thì chậm hơn quá trình. Để áp dụng luật MIT , sử dụng sai số e = y – y m , với y là ngõ ra hệ kín.
Theo phương trình (2.5) và (2.6) thì: bt0 y = u c p a bs0 với p là tốn tử vi phân. Độ nhạy cĩ thể tính được bằng cách lấy đạo hàm riêng phần theo tham số của bộ điều khiển s0 và t0 : e b = u c t0 p a bs0 2 e b t0 b = -u 2 c = -y s0 ( p a bs0 ) p a bs0 Các cơng thức này khơng thể dùng vì thơng số đối tượng a và b chưa biết. Vì vậy cần phải làm xấp xỉ để cĩ được luật hiệu chỉnh tham số thực tế. Để thực hiện điều này, đầu tiên cần quan sát với giá trị tối ưu của tham số bộ điều khiển, ta cĩ : p + a + bs0 = p + am Hơn nữa cần chú ý là b cĩ thể được bao gồm trong hệ số tốc độ thích nghi . Bởi vì nĩ xuất hiện trong tích b, điều này địi hỏi dấu của b phải được biết. Sau khi xấp xỉ, luật cập nhật các tham số điều khiển cĩ được là: dt 1 0  uc e dt p am (2.7) ds0 1  y e dt p am Ví dụ trên chỉ cách sử dụng luật MIT để tạo được luật hiệu chỉnh thơng số. Bài tập về nhà (dùng làm bài tập trong phần Câu hỏi ơn tập và bài tập ở cuối chương): Mơ phỏng bằng Matlab hệ MRAS trong ví dụ 2.2 (Ví dụ 4.2 TLTK[1]) với a = 1, b = 0.5, am = 2 và bm = 2. Tín hiệu vào là sĩng vuơng với biên độ bằng 1 và  = 2. Vài tính chất sau cần chú ý:
1. Khơng cần thiết địi hỏi một mơ hình kèm theo hồn hảo. Các thủ tục cĩ thể được áp dụng cho hệ phi tuyến. Phương pháp này cũng cĩ thể được dùng để điều khiển cho hệ biết trước một phần. e 2. Cấu trúc như hình 2.3 cĩ một phép nhân giữa e và .  Lấy tích phân phương trình (2.7) sẽ cho ra các tham số và được truyền đến bộ điều khiển sử dụng phép nhân thứ hai. 3. Sự xấp xỉ là cần thiết để cĩ được luật điều khiển hiệu chỉnh tham số thực tế. Luật MIT cĩ thể thực hiện tốt nếu độ lợi thích nghi  là nhỏ. Độ lớn  tuỳ thuộc vào biên độ của tín hiệu chuẩn và độ lợi của đối tượng. Vì vậy khơng thể cĩ một giới hạn cố định đảm bảo an tồn do đĩ luật MIT cĩ thể cho một hệ vịng kín khơng an tồn. Luật hiệu chỉnh bổ sung cĩ thể được dùng bằng lí thuyết ổn định. Những luật này tương tự luật MIT nhưng các hàm độ nhạy thì đương nhiên là khác. Ý này được trình bày nhiều hơn trong mục 2.2.4 2.2.3 Nội dung, phương pháp thiết kế MRAS Cĩ ba phương pháp cơ bản để phân tích và thiết kế hệ MRAS : Phương pháp tiếp cận Gradient Hàm Lyapunov Lý thuyết bị động Phương pháp gradient được dùng bởi Whitaker đầu tiên cho hệ MRAS. Phương pháp này dựa vào giả sử tham số của bộ hiệu chỉnh thay đổi chậm hơn các biến khác của hệ thống. Giả sử này thừa nhận cĩ sự ổn định giả cần thiết cho việc tính tốn độ nhạy và cho cơ cấu hiệu chỉnh thích nghi. Phương pháp tiếp cận gradient khơng cho kết quả cần thiết cho hệ thống kín ổn định. Bộ quan sát được đưa ra để áp dụng lý thuyết ổn định Lyapunov và lí thuyết bị động được dùng để bổ sung cho cơ cấu thích nghi. Đối với hệ thống cĩ tham số điều chỉnh được như trong hình 2.2, phương pháp thích nghi sử dụng mơ hình chuẩn cho một cách hiệu chỉnh tham số tổng quát để cĩ được hàm truyền hệ thống vịng kín gần với mơ hình. Đây gọi là vấn đề mơ hình kèm theo. Một câu hỏi đặt ra là chúng ta làm cho sai lệch nhỏ như thế nào, điều này phụ thuộc bởi mơ hình, hệ thống và tín hiệu
đặt. Nếu cĩ thể làm cho sai số bằng 0 đối với mọi tín hiệu yêu cầu thì gọi là mơ hình kèm theo hồn hảo. Mơ hình kèm theo Vấn đề mơ hình kèm theo cĩ thể được giải quyết bằng thiết kế phân số cực (miêu tả ngắn gọn về thiết kế phân cực được cho trong phụ lục A (TLTK[1])). Mơ hình kèm theo là cách đơn giản để thiết lập hay giải một vấn đề điều khiển tuỳ động. Mơ hình sử dụng cĩ thể là tuyến tính hay phi tuyến. Các tham số trong hệ thống được hiệu chỉnh để cĩ được y càng gần với ym càng tốt đối với một tập các tín hiệu vào. Phương pháp thích nghi là một cơng cụ thiết kế hệ MRAS, vấn đề này được trình bày trong mục 2.2.4. Mặc dù mơ hình kèm theo hồn hảo chỉ cĩ thể đạt được trong điều kiện lý tưởng nhưng phân tích trường hợp này sẽ cho hiểu biết sâu sắc vào vấn đề thiết kế. Xét hệ 1 đầu vào,1 đầu ra cĩ thể là liên tục hay rời rạc cĩ phương trình: B y(t) = u(t) (2.8) A với u là tín hiệu điều khiển, y là ngõ ra. Kí hiệu A, B là những đa thức theo biến S hay Z. Giả sử bậc của A bậc của B nghĩa là hệ thống là hợp thức (đối với hệ liên tục) và nhân quả đối với hệ rời rạc. Giả sử hệ số bậc cao nhất của A là 1.Tìm bộ điều khiển sao cho quan hệ giữa tín hiệu đặt uc và tín hiệu ra mong muốn ym được cho bởi : Bm ym uc (t) (2.9) Am với Am, Bm cũng là những đa thức theo biến S hoặc Z. Luật điều khiển tổng quát được cho bởi : Ru Tuc Sy (2.10) với R, S, T là các đa thức. Luật điều khiển này được xem như vừa cĩ thành phần hồi tiếp âm với hàm truyền –S/R và thành phần nuơi tiến với hàm truyền T/R. Xem hình 2.4
Bộ điều khiển Quá trình u C u y B Ru TuC Sy A Hình 2.4 Hệ vịng kín với bộ điều khiển tuyến tính tổng quát Khử u ở 2 phương trình (2.8) và (2.10) được phương trình sau cho hệ thống vịng kín : (AR BS)y BTuc (2.11) Để đạt được đáp ứng vịng kín mong muốn, thì AR + BS phải chia hết cho Am, các zero của đối tượng, khi cho B = 0, sẽ là zero của hệ kín nếu khơng bị khử bởi cực vịng kín. Bởi vì các điểm zero khơng ổn định khơng thể bị khử nên cĩ thể phân tích thành B = B+B-, trong đĩ B + chứa những thành phần cĩ thể khử đi, B - là thành phần cịn lại. Theo phương trình (2.11) AR + BS là đa thức đặc trưng của hệ thống được phân tích thành ba thành phần : khử zero của đối tượng:B+ ; cực mong muốn của mơ hình được cho bởi Am; các cực của bộ quan sát A0. Vì thế : + AR + BS = B A0Am (2.12) gọi là phương trình Diophantine ( hay là phương trình nhận dạng Benzout). Vì B+ cĩ thể khử nên : (2.13) R B R1 Chia phương trình (2.12) cho B+ sẽ được: - A .R1 + B .S = A0Am (2.14) Vì yêu cầu là phải giống đáp ứng mong muốn nên tử số (2.11) phải chia hết cho Bm, nếu khơng thì sẽ khơng cĩ lời giải cho bài tốn thiết kế. Vì vậy : - ’ Bm = B .B m (2.15) ’ T = A0B m Điều kiện để đảm bảo tồn tại lời giải là : + bậc( A0) 2 bậc(A) - bậc( Am) - bậc(B ) - 1
bậc( Am) - bậc (Bm) bậc( A) - bậc(B) Những điều kiện này được cho trong phụ lục A (TLTK[1]). Giả sử tất cả các zero đều bị khử, khi đĩ cĩ thể viết (2.14) lại như sau : A0Am = AR1 + b0S Nhân 2 vế cho y và dùng thêm phương trình (2.8) ta được : A0.Am.y = BR1u + b0Sy = b0(Ru + Sy) (2.16) Các thơng số ở vế trái đã biết, vế phải chưa biết. Đa thức T cĩ được trực tiếp từ phương trình (2.15). Các tham số mơ hình của phương trình (2.16) bây giờ cĩ thể được dùng để ước lượng các tham số chưa biết của bộ điều khiển (chương 3 TLTK[1]). Điều này dẫn đến hệ MRAS trực tiếp. Lời giải tổng quát được trình bày trong chương 4 TLTK[1]. Hệ tuyến tính tổng quát Hệ SISO được mơ tả bởi phương trình sau: Ay = Bu Với đặc tính hệ thống mong muốn đạt được là: Amym = Bmuc Bộ điều khiển: Ru = Tuc - Sy (*) Hệ vịng kín được mơ tả: BT y u AR BS C Thay y vào (*) ta tính được: AT u u AR BS C Sai số là: e = y - ym Bây giờ cần phải xác định các đạo hàm riêng của sai số đối với từng tham số hiệu chỉnh để tìm luật chỉnh định thơng số các hàm độ nhạy. Đặt ri , si , ti là các hệ số của đa thức R, S, T. Các hàm độ nhạy được cho bởi:
BT BmuC e uC AR BS Am e BTAp k i Bp k i 2 uC u i = 1,. . , k ri (AR BS) AR BS e BTBp l i Bp l i 2 uC y si (AR BS) AR BS i 0,,l e Bp m i uC i = 0, ,m ti AR BS Trong đĩ k = bậc(R), l = bậc(S), m = bậc(T). Vế phải các phương trình trên cịn chứa A, B là các thơng số chưa biết nên khơng tính được các hàm độ nhạy. Một cách xấp xỉ để cĩ được luật cập nhật cĩ thực tế là: + AR + BS A0AmB Suy ra các hàm độ nhạy: e B p k i u ri A0 Am Tương tự cho si và ti Tuy nhiên vế phải vẫn cịn B- là chưa biết. Nếu tất cả các zero đều được - khử, khi đĩ ta cĩ B = b0. Nếu dấu của b0 biết được thì cĩ thể thực hiện được luật cập nhật thơng số. Thành phần b0 cĩ thể được bao gồm trong cả . Nên cĩ thể suy ra luật cập nhật hiệu chỉnh các thơng số như sau: dr p k i i e u i = 1, , k = bậc(R ) dt A0 Am ds p l i i e y i 0, ,l = bậc(S) dt A0 Am m i dti p e uC i 0, ,m = bậc(T) dt A0 Am
Nhận xét: 1 - Cần phải xây dựng 3 trạng thái của bộ lọc cho luật hiệu chỉnh trên. A0 Am 1 - Sự thay đổi các tham số này tỉ lệ với tích sai số e và tín hiệu bộ lọc A0 Am - Để cĩ được luật điều chỉnh các tham số trên cần phải giả sử các zero phải ổn định và dấu của b0 phải được biết. - Cĩ thể tránh được giả sử này bằng cách sử dụng các thuật tốn phức tạp hơn như ước lượng trạng thái Tiêu chuẩn cực tiểu hố - Luật MIT cĩ thể được sử dụng cho các hàm tổn thất khác. - Luật hiệu chỉnh các thams số cĩ thể đạt được bằng cách tính gradient hàm tổn thất đối với các tham số và sự thay đổi các tham số phải ngược dấu với gradient. - Phương pháp này cần biết các tham số của mơ hình đối tượng để tính tốn độ nhạy. Tuy nhiên điều này là khơng cĩ thực và do đĩ cĩ thể sử dụng phương pháp xấp xỉ hay bằng các bộ ước lượng thơng số. Sai số và sự hội tụ tham số Hệ thống thích nghi sử dụng mơ hình chuẩn dựa vào ý tưởng là làm cho sai số e = y – ym tiến tới zero. Điều này khơng cĩ nghĩa là các tham số điều khiển tiến tới giá trị đúng của nĩ (ví dụ như trường hợp tín hiệu = 0). Ví dụ 2.3 Hội tụ sai số Giả sử hệ thống cĩ sơ đồ như hình 2.5: Ngõ ra: y = u Luật điều khiển: u =  uc 0 Mơ hình: ym =  uc 0 0 Sai số: e = y – ym = uc -  uc = ( -  )uc Luật hiệu chỉnh tham số theo phương pháp gradient:
d e e u 2 (  0 ) dt  c Lời giải cho phương trình vi phân ở trên là:  (t)  0 [ (0)  0 ] e It (*) t 2 Trong đĩ: I t uc ( )d 0  (0) là giá trị ban đầu của . Và vì vậy sai số e trở thành: 0 It e(t) = uc(t)[ (0)  ] e Do It >0 nên khi t thì e(t) 0 ngay cả khi tín hiệu điều khiển uc(t) 0. Mơ hình ym 0G(s) -  e - s   Đối tượng + y uc u G(s) Hình 2.5 Mơ hình hội tụ sai số Giá trị giới hạn của  phụ thuộc vào tính chất của uc() (hội tụ hoặc phân kì) ( do (t) tính theo biểu thức (*) ). Ví dụ trên cho biết được sai số e 0 tuy nhiên tham số  khơng tiến đến giá trị đúng của nĩ. Đây là tính chất của hệ thống thích nghi sử dụng mơ hình chuẩn. Điều kiện chính xác để hội tụ tham số là tín hiệu kích thích phải luơn tồn tại.
Ổn định của vịng điều khiển thích nghi Ở ví dụ trên độ biến thiên tham số  tỉ lệ với bình phương tín hiệu điều khiển uc. Điều này hợp lí trong một số trường hợp là khi tín hiệu điều khiển uc càng lớn thì càng dễ phát hiện giá trị bị sai của . Tuy nhiên độ thay đổi của tham số điều chỉnh phụ thuộc vào biên độ của tín hiệu điều khiển cĩ thể dẫn đến khơng ổn định. Ví dụ sau đây cho luật điều khiển khơng phụ thuộc vào uc: Ví dụ 2.4 Giả sử hệ thống cĩ mơ hình ở hình 2.6: ym 0 G - Mơ hình Gm e  uc y + G   - s Cơ cấu hiệu chỉnh Hình 2.6 Hệ thống thích nghi mơ hình tham chiếu cho việc chỉnh định độ lợi nuơi tiến Vấn đề là điều chỉnh   0. Giả sử hàm truyền được cho bởi: 1 G(s) 2 s a1s a2 0 Sai số e = G(p)(  -  ) uc
Trong đĩ p biểu thị cho phép lấy đạo hàm. Vì vậy: e ym = G(p)uc =   0 Điều chỉnh tham số theo luật MIT: d e y   e  e m  e y với  dt   0 m  0 Hệ thống điều khiển thích nghi vì vậy biểu diễn được bởi các phương trình vi phân sau: d 2 y dy m a m a y  0u (I) dt 2 1 dt 2 m c d 2 y dy a a y  u (II) dt 2 1 dt 2 c d  e y  (y y )y (III) dt m m m Phương trình (I) cĩ thể giải được nếu cho sẵn hàm uc , xem như biến ym biết trước Đạo hàm (II) ta được: d 3 y d 2 y dy d du a a u  (t) c dt 3 1 dt 2 2 dt dt c dt Thay (III) vào ta được: d 3 y d 2 y dy du a a  (y y )y u  (t) c dt 1 dt 2 dt m m c dt du  y (t)u (t)y(t)  y 2 (t)u  (t) c m c m c dt Suy ra: d 3 y d 2 y dy du a a u (t)y (t)y(t)  (t) c u (t)y 2 (t) dt 3 1 dt 2 2 dt c m dt c m Đây là phương trình vi phân tuyến tính biến thiên theo thời gian. Để hiểu được hệ thống, ta thực hiện cách thử như sau: 0 - Đầu tiên giả sử uc là hằng số uc
0 - Ngõ ra mơ hình khi đĩ sẽ cĩ giá trị cân bằng là ym . Giả sử cơ cấu hiệu chỉnh thích nghi được nối vào khi đạt đến điểm cân bằng (trạng thái cân bằng). Khi đĩ phương trình (II) ở trên sẽ cĩ các hệ số hằng và cĩ lời giải trạng thái cân bằng là: 0 0 0 y(t) ym  uc / a2 0 0  0 2 ổn định nếu a1a2 > uc ym (uc ) a2 Luật hiệu chỉnh bổ sung Những hiểu biết cĩ được từ việc tính tốn trong ví dụ 2.3 chỉ ra rằng cần phải bổ sung cho luật MIT. Luật MIT là phương pháp gradient cơ bản. Độ giảm cĩ được bằng luật MIT được quyết định bởi tham số , số này là do người dùng chọn. Cĩ thể đạt được phương pháp gradient bổ sung mà tỉ lệ hiệu chỉnh khơng phụ thuộc vào biên độ của tín hiệu (đặt) yêu cầu. Một khả năng là làm chuẩn hố và thay thế luật MIT bởi: e e d   T dt e e   Tham số > 0 được đưa vào để tránh trường hợp chia cho 0. Cĩ thể nhận thấy rằng tỉ lệ hiệu chỉnh tham số phụ thuộc vào biên độ của tín hiệu yêu cầu một lượng nhỏ bởi vì do nhiễu đo lường. 2.2.4 Thiết kế MRAS dùng lý thuyết ổn định của Lyapunov Với luật hiệu chỉnh tham số cĩ được từ phương pháp Gradient được trình bày trong mục 2.2.3 lấy gần đúng là để cĩ được luật hiệu chỉnh tham số dựa vào kinh nghiệm cĩ vẻ hợp lí rồi chúng ta thử chỉ ra rằng sai số mơ hình sẽ tiến đến 0. Một khả năng khác để cĩ được vịng ngồi của hệ thống thích nghi sử dụng mơ hình chuẩn là tìm ra luật hiệu chỉnh mà đảm bảo sai số tiến về 0. Những nghiên cứu cho luật hiệu chỉnh như vậy đã được thực hiện trong một khoảng thời gian dài. Ý tưởng cơ bản để thiết kế luật hiệu chỉnh dựa vào lý thuyết ổn định được trình bày trong mục này và được thể hiện theo lịch sử phát triển.
Để tập trung vào vấn đề chính tránh những chi tiết khơng cần thiết, tự hiệu chỉnh độ lợi nuơi tiến của hệ thống được biết trước được dùng trong mục này. Hệ thống dùng ở đây giống như ở hình 2.6 nhưng cơ cấu thích nghi thì khác. Vấn đề là tìm luật hồi tiếp để bảo đảm sai số e = y – y m trong hình 2.6 tiến đến 0, cần biết rằng vấn đề điều khiển hệ thống với đặc tính động học biết trước và hệ số độ lợi chưa biết thì khơng quá khĩ. Vấn đề riêng biệt được chọn để trình bày ý tưởng hơn là trình bày một vấn đề thực tế. Một khi ý tưởng cơ bản được phát triển, sự mở rộng đến những cấu hình tổng quát thì tương đối dễ hiểu hơn, chi tiết được trình bày trong TLTK[1]. Phương pháp thứ hai của Lyapunov Minh họa bằng đồ thị phương pháp Lyapunov Hình 2.7 (a), (b) và (c) biểu diễn các trạng thái cân bằng và những đường cong tiêu biểu tương ứng đối với hệ thống ổn định, ổn định tiệm cận và khơng ổn định. Trong hình 2.7 (a), (b) hoặc (c), vùng S() giới hạn cho trạng thái ban đầu x0, và vùng S() tương ứng với giới hạn cho qũi đạo xuất phát tại x0. Chú ý rằng những định nghĩa đã được đề cập trước đây khơng chỉ ra chính xác vùng của điều kiện cho phép ban đầu. Vì vậy các định nghĩa áp dụng cho vùng lân cận của trạng thái cân bằng (là trạng thái tại đĩ mọi đạo hàm đều triệt tiêu), trừ khi S() tương ứng với trạng thái ban đầu của đối tượng. Chú ý là trong hình 2.7 (c), đường cong rời vùng S() và dẫn đến trạng thái cân bằng khơng ổn định. Tuy nhiên, chúng ta khơng thể nĩi rằng đường cong sẽ đi đến vơ tận bởi vì nĩ cĩ thể đến gần một vịng trịn giới hạn phía ngồi vùng S(). (Nếu một hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian là khơng ổn định, các đường cong bắt đầu gần với trạng thái cân bằng khơng ổn định đi đến vơ cực. Nhưng trong trường hợp của hệ thống phi tuyến, điều này thật sự khơng cần thiết). Sự hiểu biết về các định nghĩa đã nĩi ở trên là yêu cầu tối thiểu để hiểu việc phân tích ổn định của các hệ thống tuyến tính và phi tuyến cĩ mặt trong phần này. Chú ý rằng những định nghĩa này khơng chỉ hạn chế ở các khái niệm về sự ổn định của một trạng thái cân bằng. Thực ra, những cách định nghĩa khác cũng được sử dụng.Chẳng hạn, trong các lí thuyết điều khiển thơng thường hoặc kinh điển, chỉ cĩ các hệ thống ổn định tiệm cận mới được gọi là hệ thống ổn định, cịn các hệ thống khác ổn định theo Lyapunov, nhưng khơng ổn định tiệm cận, được gọi là khơng ổn định.
S() S() S() S() S() S() x0 x0 x0 (a) (b) (c) Hình 2.7 (a) Trạng thái cân bằng ổn định (b)Trạng thái cân bằng tiệm cận (c)Trạng thái cân bằng khơng ổn định Ví dụ 2.5 Xét hệ thống được mơ tả bởi phương trình trạng thái sau: 2 2 x1 = x2 - x1(x1 + x2 ) 2 2 x2 = - x1 - x2(x1 + x2 ) Trạng thái cân bằng (đạo hàm = 0) tại gốc tọa độ (x1 = 0, x2 = 0). Nếu chúng ta định nghĩa một hàm vơ hướng V(x) như sau: 2 2 V(x) = x1 + x2 là hàm xác định dương, sao cho đạo hàm theo thời gian hàm V(x) theo một đường cong bất kì V (x) = 2 x 2 x 1 x1 + 2 x2 2 2 2 = -2(x1 + x2 ) là hàm xác định âm. Điều này cho thấy rằng V(x) tăng liên tục theo đường cong bất kì; vì vậy V(x) là hàm Lyapunov. Hàm V(x) trở thành vơ hạn với độ lệch vơ hạn từ trạng thái cân bằng, trạng thái cân bằng ở gốc của hệ thống là ổn định tiệm cận trong vùng rộng. Chú ý rằng nếu chúng ta để V(x) nhận giá trị hằng số 0, C1, C2,. . . (0 < C1 < C2 <. . . ), thì V(x) = 0 tương ứng với gốc của trạng thái đối tượng và V(x) = C1, V(x) = C2, . . .mơ tả những vịng trịn khơng so sánh kèm theo gốc của trạng thái đối tượng, như minh họa ở hình 2.8. Cũng cần chú ý rằng V(x) là bán kính vơ tận, hoặc V(x) khi x .
Khi vịng trịn V(x) = Ck nằm hồn tồn trong vịng trịn V(x) = C k+1, một đường cong đại diện đi qua vùng biên giới của các đường viền V từ ngồi vào trong. Từ đây, biểu diễn hình học của hàm Lyapunov cĩ thể được phát biểu như sau: V(x) là thước đo khoảng cách của biến trạng thái x từ gốc toạ độ của trạng thái trung gian. Nếu khoảng cách giữa gốc và biến trạng thái tức thời x(t) tăng liên tục khi t tăng {V[x(t)] < 0 } thì x(t) 0. Quỹ đạo (1) trên hình 2.8 là chuyển động ổn định tiệm cận về gốc tọa độ, song khơng thoả tiêu chuẩn ổn định thứ 2 của Lyapunov: hàm V(x khơng) phải là hàm xác định âm với mọi biến trạng thái x. Tiêu chuẩn ổn định thứ 2 của Lyapunov là điều kiện đủ, khơng phải là điều kiện cần để đánh giá tính ổn định của nghiệm phương trình vi phân phi tuyến. Nếu thoả tiêu chuẩn thì hệ ổn định. Nếu khơng thoả, vấn đề kết luận về tính ổn định cịn bỏ ngõ, phụ thuộc vào: 1.Chọn hàm V(x) 2.Chọn biến trạng thái x x (2) 2 (1) V=C3 V=C2 V=C 1 x1 V tăng Hình 2.8 Các vịng trịn hằng số V và hai quĩ đạo ổn định
Ví dụ thiết kế MRAS dùng Lyapunov Giả sử tất cả các biến trạng thái của hệ thống đều đo lường được, định lý về ổn định của Lyapunov cĩ thể dùng để thiết kế luật điều khiển thích nghi đảm bảo sự ổn định cho hệ thống vịng kín, ví dụ sau trình bày ý tưởng này. Ví dụ 2.6 Hệ MRAS bậc nhất dựa vào lý thuyết ổn định. Xét bài tốn như trong ví dụ 2.2. Khi tham số của đối tượng được biết luật điều khiển theo phương trình 2.6 cho kết quả mong muốn. Một hệ thích nghi sử dụng mơ hình chuẩn mà cĩ thể tìm ra các hệ số t 0 và s0 khi tham số a, b khơng được biết cĩ thể đạt được như sau : Sai số : e = y - ym Lấy đạo hàm và sử dụng phương trình 2.5, 2.14 và mơ hình mong muốn để khử đạo hàm y và ym , ta được : de = -ame + (am – a – bs )y + (bt - bm)uc dt 0 0 Chú ý rằng sai số e sẽ tiến đến 0 nếu các tham số này bằng với giá trị mong muốn. Bây giờ ta cần cố gắng xây dựng một cơ cấu hiệu chỉnh tham số sao cho các thơng số t0 và s0 tiến đến giá trị mong muốn. Sử dụng cho mục đích này, hàm Lyapunov cĩ dạng : 1 2 1 2 1 2 V(e, t ,s ) = [e + (bs + a - am) + (bt – bm) ] 0 0 2 b 0 b 0 Hàm này sẽ bằng 0 khi e = 0 và các tham số bộ điều khiển bằng với giá trị tối ưu. Đạo hàm của V là : dV de 1 ds0 1 dt0 = e + (bs + a – am) + ( bt - bm) dt dt  0 dt  0 dt 2 1 ds0 1 dt0 = -ame + (bs + a – am )( - ye ) + (bt – bm )( + uce )  0 dt  0 dt Nếu các tham số được cập nhập bởi: dt0 = -uce (2.17) dt
ds 0 = ye dt ta được dV a e 2 dt m Như vậy: Hàm V sẽ giảm khi e khác 0. Vì vậy cĩ thể kết luận là sai số e sẽ tiến về 0. Tuy nhiên cần chú ý là các tham số t0 và s0 sẽ hội tụ đến giá trị cân bằng nếu khơng cĩ các điều kiện khác tác động vào. Vì vậy luật này tương tự như luật MIT nhưng độ nhạy được thay đổi bởi tín hiệu khác. Luật hiệu chỉnh các thơng số làm ổn định cho hệ thống mà các biến trạng thái cĩ thể đo lường được xây dựng bằng sự tổng quát hố trực tiếp của kĩ thuật dùng trong ví dụ sau . Luật hiệu chỉnh theo phương trình 2.17 đạt được bằng cách áp dụng lý thuyết ổn định tương tự như bằng luật MIT ( so sánh với ví dụ 2.2) trong cả hai trường hợp, luật hiệu chỉnh cĩ thể viết như sau : d =  e dt T với  là vector các tham số , = [-uc y] khi sử dụng luật theo Lyapunov và T = [-uc y] /(p + am) nếu sử dụng luật MIT vector cĩ thể được giải thích như là giá trị âm của gradient hàm tổn thất. Phương pháp Lyapunov bây giờ được áp dụng cho việc hiệu chỉnh hệ độ lợi nuơi tiến. Ví dụ 2.7 Ở đây chỉ xét vấn đề hiệu chỉnh độ lợi nuơi tiến. Sai số được cho bởi 0 e = G(p)(  -  )uc giới thiệu một khơng gian trạng thái biểu thị cho hàm truyền G. Quan hệ giữa tham số  và sai số e được viết bởi: dx Ax B(  0 )u (2.18) dt c e = Cx
Nếu hệ đồng nhất x = Ax là ổn định tiệm cận và cĩ tồn tại 2 ma trận P và Q xác định dương sao cho: AT P PA Q (2.19) Chọn hàm Lyapunov như sau : 1 V = [xTPx + ( -  0)2] 2 Đạo hàm V và sử dụng phương trình sai phân 2.18 được : dV  dxT dx d = (Px xT P ) (  0 ) dt 2 dt dt dt Sử dụng phương trình 2.18 ta được : dV  = {[Ax + Bu ( -  0)]TPx + xTP[Ax + Bu ( -  0)]} dt 2 c c d +( -  0) dt  d = - xTQx + ( -  0)( + u BTPx) 2 dt c Nếu luật hiệu chỉnh tham số được chọn là : d u BT Px (2.20) dt c thì đạo hàm của hàm Lyapunov sẽ âm khi x 0. Với luật hiệu chỉnh theo phương trình 2.20 vector trạng thái x và cả sai số e = Cx vì vậy sẽ tiến đến khơng.Tuy nhiên chú ý là sai số tham số  -  0 khơng cần thiết là phải tiến đến khơng. Ví dụ hệ bậc hai MRAS K Ví dụ 2.8 Xét G(s) = s(s a) Bm  2 và mơ hình là Gm(s) = = Am s 2 2s  2
đa thức A0, R, S và T được chọn bởi : A0(s) = s + a0 R(s) = s + r1 S(s) = s0 s + s1 T(s) = t0 s + t1 Phương trình Diophantine 2.7 cho lời giải sau : r1 = 2 + a0 - a 2 s0 = (2 a0 +  - a r1 )/K 2 s1 = a0 / K 2 t0 =  / K 2 t1 = a0 / K để đơn giản hĩa, ta chọn : Q(s) = A0(s).Am(s) P1(s) = Am(s) P2(s) = A0(s) Bài tập về nhà (dùng làm bài tập trong phần Câu hỏi ơn tập và bài tập ở cuối chương): Mơ phỏng bằng Matlab hệ bậc hai MRAS trong ví dụ 2.8 (Ví ˆ dụ 4.8) với  = 1,  = 0.7,  = 1, a0 = 2, a =1 và K = 2.Giả sử rằng b0 b0 . Hệ thống MRAS rời rạc Hệ MRAS đã được thực hiện cho hệ liên tục khơng cĩ nhiễu, nhưng cĩ thể thực hiện được MRAS cho hệ rời rạc. Thuật giải ở trên cĩ thể được dùng cho trường hợp hệ rời rạc. Bộ ước lượng cĩ thể dựa vào chuẩn bình phương tối thiểu. Phần này để dành trình bày trong bộ điều khiển tự chỉnh định trong phần 2.3 MRAS cho hệ thống chỉ biết được từng phần Trong phần trước ta đã giả sử tất cả mơ hình của đối tượng là chưa biết.Trong một số trường hợp đặc tính động học của hệ thống được biết một phần, cịn lại là khơng biết. Sự biết trước này cĩ thể được kết hợp vào hệ MRAS. Điều này cĩ thể thực hiện tuỳ thuộc chủ yếu vào tham số và cấu trúc của mơ hình đối tượng. Phương pháp này được minh họa bằng ví dụ .
Điều khiển thích nghi cho tay máy Giả sử các biến trạng thái được đo lường đầy đủ, cĩ thể tìm được một biến sai số tuyến tính đối với các tham số, điều này làm dễ dàng trong việc xây dựng hệ thích nghi sử dụng mơ hình chuẩn ổn định. Điều này được minh họa bằng việc điều khiển tay máy khi mà đặc tính động học là phi tuyến. Một thao tác trực tiếp được mơ tả bởi mơ hình : H(q)q + C(q,q )q + G(q) = T (2.21) với q là vector tọa độ tổng quát. H là ma trận quán tính, C là ma trận tắt, G là vector trọng trường. Biến điều khiển là moment đặt vào cơ cấu chấp hành.Phương trình mơ tả tay máy cĩ tính chất : 1 d ( q THq ) = q TH( q )q + q TC( q,q )q = q T( T – G ) (2.21a) 2 dt Điều này được giải thích là đạo hàm của động năng q THq bằng với cơng suất được cung cấp bởi cơ cấu chấp hành và moment trọng lực. Ví dụ:Tay máy hai khớp nối Xét tay máy hai khớp nối với tải chưa biết trong hình dưới đây. Khớp nối thứ hai với tải chưa biết được xem như là cĩ thêm một khớp nối với 4 tham số chưa biết: khối lượng me, moment quán tính Ie, khoảng cách từ trọng tâm đến khớp nối thứ hai lce , gĩc  e so với khâu liên kết thứ hai. Hệ thống được mơ tả bởi phương trình (2.21) với 1 23 cos q2 2 4 sin q2  2 3 cos q2  4 sin q2 H  2 3 cos q2  4 sin q2  2 3Y1  4Y2 (1  2 e1 )e2 cos q1 G 3Y3  4Y4 với: 2 Y1 2sin(q2 )q1q2 sin(q2 )q2 2 Y2 2cos(q2 )q1q2 cos(q2 ) Y sin(q )q 2 e cos(q q ) 3 2 1 2 1 2 2 Y4 cos(q2 )q1 e2 sin(q1 q2 ) 2 e1 m1l1lc1 m1lc1 e2 g / l1
e l ce me l1 m 1 l c1 q1 Tay máy hai khớp nối với tải chưa biết với g là gia tốc thường và bốn tham số chưa biết 1 ,  , 4 là những hàm cĩ các tham số vật lý chưa biết. 2 2 2 1 I1 m1lc1 I e melce mel1  I m l 2 2 1 e ce 3 mel1lce cos e  4 mel1lce sin e Bốn tham số chưa biết me , I e , lce và  e được xác định duy nhất bởi 1 ,  , 4 . Hệ thống cĩ thể được viết lại: T (q,q,q) T với T được cho bởi:
q1 e q2 e 2cos(q2 )q1 cos(q2 )q2 Y1 2sin(q2 )q1 sin(q2 )q2 Y2 0 q1 q2 cos(q2 )q1 Y3 sin(q2 )q1 Y4 T  1 ,  2 , 3 ,  4  1 e1e2 cos(q1 ) T  2 với e e2 cos(q1 ) và  1 ,  2 là các moment tác dụng vào. Đặc tính động học cĩ thể được viết dưới dạng tuyến tính theo các tham số với giả sử là tất cả các trạng thái và gia tốc cĩ thể đo lường được. Ví dụ cĩ thể được tổng quát hố và phương trình (2.21) cĩ thể được viết thành: T H (q)q C (q,q)q G (q) T (q,q,q) 0 với H , C , G và là biết trước hay cĩ thể đo lường được. Dù là mơ hình khơng tuyến tính, nĩ vẫn tuyến tính theo các tham số cĩ thể thay đổi. Một điều quan trọng là kiến thức biết trước được dùng và hệ thống đĩ khơng xem như là mơ hình hộp đen với tham số thay đổi theo thời gian. Mơ hình thì vẫn cịn chưa thoả mãn bởi vì gia tốc phải được đo cùng với vị trí và vận tốc. Đặt quĩ đạo tham khảo cho vị trí và vận tốc là qm và qm . Đưa ra phương trình Lyapunov như sau: 1 ~ ~ V q~ T H (q)q~ q~T K q~  T  2 p ~ ~ ~ 0 Trong đĩ: q q qm , q q qm ,    ; K p và  là những ma trận xác định dương. Lấy vi phân V , sử dụng phương trình (2.21a) cho ta: 1 ~ ~ V q~ T H q~ q~ T H q~ q~ T K q~  T  2 p ~ T ~ ~ ~T ~ q (H q H qm Cq K p q)   ~ T ~ ~T ~ q (T G H qm Cqm K p q)   Đưa ra luật điều khiển: ~ ~ T H qm C qm G K p q K d q (2.21b)
Luật điều khiển bao gồm thành phần nuơi tiến từ thành phần đã biết của mơ hình và thành phần tỉ lệ và hồi tiếp vận tốc, nghĩa là:  ~ T ~ ~ ~ ~ ~T ~ V q (H qm Cqm G K d q)   Trong đĩ: ~ H (q) H (q) H (q) ~ C(q,q) C (q,q) C(q,q) ~ G(q) G (q) G(q) Đặt: ~ ~ ~ T ~ H qm Cqm G m Đặt được như vậy là do mơ hình tuyến tính đối với các tham số. Hơn nữa m m (q, q, qm , qm ) cĩ nghĩa là chỉ cĩ gia tốc của mơ hình phải được biết, khơng phải là gia tốc thực. Dẫn đến:  ~ T ~ ~T ~ T ~ V q K d q  ( m q) đề nghị cập nhật thơng số:  ~ 1 T ~ 1 T    m q  m (q qm ) (2.21c) Hàm V thoả tính chất của hàm Lyapunov là xác định dương và đạo hàm:  ~ ~ V qK d q là bán xác định âm. Điều này cĩ nghĩa là hệ vịng kín ổn định và vận tốc khi xác lập bằng khơng. Bộ điều khiển cũng cĩ thể được bổ sung để đảm bảo là sai số vị trí bằng 0. Luật điều khiển theo phương trình (2.21b) và tham số được cập nhật theo phương trình (2.21c) là các hàm của biến q, q, qm , qm và qm , nhưng gia tốc của khớp nối khơng cần thiết phải đo được. Để ý rằng luật điều khiển là trường hợp đặc biệt của hệ MRA tổng quát với e q qm . 2.2.5 Kết luận Các ý tưởng cơ bản dựa trên MRAS đã được trình bày trong phần này bao gồm :
1. Phương pháp gradient 2. Thiết kế theo Lyapunov và siêu ổn định 3. Số gia sai số Trong mọi trường hợp luật cập nhật tham số cho dưới dạng : d =   (2.22) dt hay dưới dạng chuẩn hố : d  =  (2.23) dt T Trong phương pháp gradient, vector là giá trị âm của gradient sai số theo các tham số. Ước lượng thơng số hay xấp xỉ cĩ thể được dùng trong phương pháp gradient. Trong những trường hợp khác là vector lùi cĩ được bằng cách lọc ngõ vào, ra và tín hiệu đặt. Số hạng  là số gia sai số được giải thích là sai số dự báo của vấn đề ước lượng.Thường dùng số gia sai số tuyến tính theo các thơng số. Phương pháp gradient linh hoạt và đơn giản để áp dụng vào mọi cấu trúc hệ thống. Cách tính tốn địi hỏi phải xác định được hàm độ nhạy bởi vì luật hiệu chỉnh dựa vào việc tính gradient, cĩ thể khẳng định là phương pháp sẽ hội tụ, được cho bởi độ lợi thích nghi  được chọn là đủ nhỏ. Hơn nữa, giá trị ban đầu của tham số phải chọn để hệ thống vịng kín là ổn định. Phương pháp này sẽ gây khơng ổn định nếu hệ số độ lợi thích nghi lớn. Vấn đề là khĩ tìm được giới hạn ổn định trước. Hệ MRAS tổng quát được đưa ra dựa vào việc thiết kế mơ hình kèm theo. Thuật giải này bao gồm những trường hợp đặc biệt của việc thiết kế MRAS đã được trình bày trong các phần trên. Việc ước lượng tham số cĩ thể được thực hiện với nhiều cách khác so với phương trình 2.22 và 2.23. 2.3 Bộ tự chỉnh định (STR – Self Tuning Regulator) 2.3.1 Đặt vấn đề Sự tương đương chắc chắn Thơng số ước lượng Phương pháp gradient Bình phương cực tiểu Các phương pháp thiết kế bộ điều khiển
PID Vị trí cực LQG (Linear Quadratic Gaussian) Bộ tự chỉnh định (STR) dựa trên quan điểm phân tích, đánh giá các thơng số chưa biết. Ý tưởng cơ bản được minh hoạ trong hình 2.9 . Các thơng số chưa biết được đánh giá trực tuyến (on-line) bằng cách dùng phương pháp ước lượng đệ qui. Các thơng số ước lượng được xem như là thơng số thực, độ khơng tin cậy của các ước lượng là bỏ qua. Đây gọi là qui tắc tương đồng nhất định (certainty equivalence principle). Bộ tự chỉnh định Đặc tính Các tham số quá trình Thiết kế bộ Sự thích nghi điều khiển Các tham số bộ điều khiển Tham chiếu Bộ điều khiển Quá trình Ngõ ra Ngõ vào Hình 2.9 Mơ hình tự chỉnh định Nhiều phương pháp ước lượng khác nhau cĩ thể được vận dụng như xấp xỉ ước đốn, bình phương tối thiểu Khối ‘design’ ở hình 2.9 tượng trưng
cho bài giải trực tuyến các bài tốn thiết kế hệ thống với các thơng số chưa biết trước. Đây là bài tốn thiết kế cơ bản. Điển hình cho phương pháp này là phương pháp khác biệt cực tiểu, bình phương tuyến tính, đặt cực, model – following. Phương pháp thiết kế được lựa chọn phụ thuộc vào đặc tính của hệ thống vịng kín. Mục tiêu của mục này là đưa ra quan điểm cơ bản và tính chất của các bộ tự chỉnh định. Bộ tự chỉnh định ban đầu chỉ áp dụng cho các hệ thống lấy mẫu dữ liệu, nhưng các thuật tốn liên tục và hỗn hợp (hybrid) cũng được phát triển. Trong mục này, giả sử hệ thống là SISO : A(q)y(t) = B(q)u(t) + C(q)e(t) (2.24) y : đầu ra u : đầu vào {e(t)} : chuỗi phân bố Gausse A, B, C : các đa thức theo q (tốn tử sai phân tới). Giả thiết bậcA = bậcC = n và bậcA - bậcC = d 0. Quá trình điều khiển thường được mơ tả ở dạng tốn tử q-1. Đa thức đặc tính cĩ dạng: A* (z) z n A(z 1 ) n = bậcA. Khi đĩ mơ hình (2.24) được mơ tả như sau: * 1 * 1 * 1 A (q )y(t) B (q )u(t d 0 ) C (q )e(t) Bộ tự chỉnh định dựa trên quan điểm ước lượng các thơng số của quá trình. Phương pháp dễ hiễu là ước lượng các thơng số của hàm truyền của quá trình và nhiễu (thuật tốn thích nghi gián tiếp). Các thơng số của bộ chỉnh định sẽ khơng được cập nhật trực tiếp mà là gián tiếp thơng qua ước lượng mơ hình của hệ thống. Bộ điều khiển thích nghi loại này dựa trên phương pháp bình phương tối thiểu và điều khiển bám theo (Kalman 1958). Phương pháp này khơng dựa vào đặc tính vịng kín của hệ thống. Các thơng số của bộ chỉnh định cũng cĩ thể ước lượng trực tiếp gọi là thuật tốn thích nghi trực tiếp. Cả 2 phương pháp trực tiếp và gián tiếp đều gọi là điều khiển tự chỉnh định. 2.3.2 Bộ tự chỉnh định gián tiếp Trong phần này, giả sử mơ hình của hệ thống cĩ phương trình 2.24. Cách dễ dàng nhất là tạo bộ tự chỉnh định theo như phần 2.3.1 để ước lượng các thơng số của đa thức A, B, C.
Xét trường hợp xác định (e(t) = 0). Nhiều phương pháp đệ qui đã đề cập cĩ thể được sử dụng để ước lượng các thơng số của A, B. T  = [b0 b1 bm a1 an ] T (t – 1) = [u( t – d0) u(t – d0 – m ) – y(t – 1) – y(t – n)] trong đĩ n m d 0 . Khi đĩ bộ ước lượng bình phương cực tiểu được cho bởi: ˆ(t) ˆ(t 1) K(t) (t) (2.25)  (t) y(t) T (t 1)ˆ(t 1) (2.26) 1 K(t) P(t 1) (t 1) T (t 1)P(t 1) (t 1) (2.27) P(t) I K(t) T (t 1)P(t 1) /  (2.28) Trong trường hợp nhiễu là ngẫu nhiên, phương pháp bình phương tối thiểu cho ra các ước lượng sai lệch nếu C(q) qn. Lúc này, chúng ta phải dùng các phương pháp như cực đại đệ qui, bình phương cực tiểu tổng quát. Tính hội tụ Nếu tín hiệu đầu vào được kích thích đầy đủ và cấu trúc của mơ hình cần ước lượng thích hợp thì các ước lượng sẽ hội tụ đến một giá trị thực nếu hệ thống vịng kín ổn định. Điều kiện hội tụ cho các phương pháp khác nhau là khác nhau. Trong cả 2 trường hợp nhiễu xác định (e(t) = 0) và nhiễu ngẫu nhiên (e(t) khơng ) thì điều kiện hội tụ phụ thuộc tín hiệu đầu vào, quá trình và nhiễu của hệ thống. Tín hiệu điều khiển u(t) được phát đi qua khâu hồi tiếp. Điều này làm phức tạp việc phân tích nhưng nĩ cần thiết để yêu cầu hệ thống vịng kín phải ổn định. Trong MRAS việc phân biệt tính hội tụ sẽ được đề cập rõ hơn ở chương 6 (TLTK[1]). Bài tốn thiết kế nền tảng cho những hệ thống biết trước Nhiều phương pháp thiết kế được sử dụng trong các bộ tự chỉnh định phụ thuộc vào đặc tính của hệ thống vịng kín. Phương pháp thiết kế thường sử dụng là đặt cực (pole placement). Phương pháp dựa theo mơ hình mẫu (mode – following) và phương pháp đặt cực đã được đề cập ở phần 2.2 và phụ lục A (TLTK[1]).
Xét mơ hình của hệ thống cĩ phương trình 2.24 và đáp ứng của hệ thống vịng kín mong muốn là : Am(q).y(t) = Bm(q).uc(t) (2.29) Bộ điều khiển là: R(q)u(t) T (q)uc (t) S(q)y(t) (2.30) R1 và S là giải pháp cho phương trình Diophantine AR1 B S A0 Am (2.31) trong đĩ B B B (2.32) Bm B Bm (2.33) T A0 Bm (2.34) R B R1 (2.35) Một vài điều kiện phải thoả mãn để chắc rằng bộ điều khiển là nhân quả (causal) (xem phụ lục A TLTK[1] ). Các phương trình ở trên là cơ bản cho nhiều bài tốn thiết kế khác nhau. Một kiểu mẫu cho một bộ tự chỉnh định gián tiếp Bộ tự chỉnh định gián tiếp dựa trên thiết kế đặt cực cĩ thể biểu diễn trong thuật tốn sau: Thuật tốn 2.1 - Bộ tự chỉnh định gián tiếp Dữ liệu : Hàm truyền đáp ứng xung vịng kín mong muốn B m/Am và đa thức quan sát mong muốn A0 được cho trước. Bước 1: Ước lượng các hệ số của đa thức A, B, C trong phương trình (2.24) dùng phương pháp bình phương tối thiểu từ các phương trình (2.25) – (2.28) Bước 2: Thay A, B, C bằng các ước lượng đạt được ở bước 1 và giải phương trình (2.31) để tìm R1, S. Tính R bằng phương trình (2.35) và T bằng phương trình (2.34). Bước 3 : Tính tín hiệu điều khiển từ phương trình (2.30) Lặp lại bước 1, 2, 3 ở mỗi chu kì lấy mẫu.
Một số vấn đề cần chú ý với thuật tốn này : + Bậc của các đa thức ở phương trình 2.24 hoặc giới hạn bậc cao nhất phải biết trước. + Thừa số chung của các ước lượng A, B cĩ khả năng giải được phương trình 2.31 + Phải đảm bảo hệ thống vịng kín là ổn định. + Các tín hiệu nên kích thích liên tục để đảm bảo sự hội tụ của các thơng số. . Ví dụ 2.9 Bộ tự chỉnh định gián tiếp với nhiễu xác định Xét hệ thống cĩ hàm truyền : 1 G(s) = s(s 1) Hàm truyền này được xem như là mơ hình cơ bản của động cơ. Hàm truyền đáp ứng xung với chu kì lấy mẫu h = 0.5 là : B 0 .107 q 0 .090 0.107(q 0.84) H(q) = = = A q 2 1 .61 q 0 .61 (q 1)(q 0.61) Hệ thống được lấy mẫu cĩ 1 zero = -0.84 bên trong vịng trịn đơn vị với hệ số tắt nhỏ. Giả sử hệ thống vịng kín mong muốn là : Bm 0.18 = 2 Am q 1.32q 0.50 Điều này tương ứng với hệ thống cĩ tần số dao động tự nhiên 1 rad/sec và hệ số tắt  = 0.7 Giả sử đa thức quan sát là : 2 A0 = (q – 0.5) Bài tập về nhà (dùng làm bài tập trong phần Câu hỏi ơn tập và bài tập ở cuối chương) Ứng dụng Matlab mơ phỏng hệ thống trong ví dụ 2.9 (Ví dụ 5.1 (TLTK[1]).Kết quả nhận được được mơ tả ở hình (5.2), (5.3) và (5.4) trong TLTK[1]. Hình 5.2 biểu diễn tín hiệu đầu ra và tín hiệu điều khiển của hệ thống thực khi một bộ tự chỉnh định gián tiếp được sử dụng với phương pháp bình phương cực tiểu và zero z = - 0.84 của hệ thống thực bị khử.
Hình 5.3 chỉ ra việc ước lượng các thơng số của hệ thống hội tụ nhanh đến các thơng số của mơ hình thực.Cĩ sự dao động lớn của tín hiệu điều khiển do việc khử zero. Dao động này là kết quả của sự chọn lựa kém trong bài tốn thiết kế cơ bản chứ khơng phải phụ thuộc vào bộ tự chỉnh định. Dao động này cĩ thể tránh được bằng cách thay đổi thiết kế mà khơng khử zero của hệ thống thực ( chẳng hạn Bm = B). Hình 5.4 chỉ ra kết quả khi thay đổi thiết kế khơng cĩ zero nào bị khử. Đáp ứng của hệ thống vịng kín bây giờ đã được thoả mãn. Ví dụ 2.10 Bộ tự chỉnh định với nhiễu ngẫu nhiên : Xét hệ thống được mơ tả như sau : y(t) + ay(t – 1) = bu(t – 1) + e(t) + c e(t – 1) với a = - 0.9, b = 3, c = -0.3. Bài tốn thiết kế cơ bản được sử dụng là điều khiển sai lệch cực tiểu. Bộ điều khiển sai lệch cực tiểu được cho như sau : c a u(t) = - y(t) = - 0.2y(t) b Điều này dẫn đến hệ thống vịng kín : y(t) = e(t) Phương pháp cực đại đệ qui được sử dụng để ước lượng các thơng số chưa biết a, b và c. Các ước lượng đạt được từ phương trình 2.25 – 2.28 với :  T [b a c] T (t 1) [u(t 1) y(t 1) (t 1)]  (t) y(t) T (t 1)ˆ(t 1) Bộ điều khiển là: u(t) sˆ0 (t)y(t) cˆ(t) aˆ(t) sˆ0 (t) bˆ(t) Bài tập về nhà (dùng làm bài tập trong phần Câu hỏi ơn tập và bài tập ở cuối chương): Ứng dụng Matlab mơ phỏng bộ tự chỉnh định trong ví dụ 2.10 (Ví dụ 5.2 TLTK[1]). Xem kết quả mơ phỏng trong hình (5.5), (5.6) và (5.7) của TLTK[1]. Hình 5.5 chỉ ra kết quả của mơ phỏng thuật tốn này. Hình 5.6 biểu diễn hàm chi phí :
t V(t) =  y 2 (i) i 1 Khi sử dụng bộ điều khiển sai lệch cực tiểu tối ưu và bộ tự chỉnh định gián tiếp. Đường cong cho tổn hao tích luỹ của STR gần với đường cong tối ưu. Điều này cĩ nghĩa bộ tự chỉnh định gần như tối ưu ngoại trừ khoảng t quá độ khi khởi động. Hình 5.7 biểu diễn thơng số của bộ điều khiển sˆ0 (t) . Tĩm tắt Thuật tốn tự chỉnh định gián tiếp là những ứng dụng đơn giản của ý tưởng tự chỉnh định. Chúng cĩ thể được áp dụng tới nhiều phương pháp thiết kế bộ điều khiển và ước lượng thơng số. Cĩ 3 khĩ khăn chính với phương pháp này. Phân tích tính ổn định là phức tạp bởi vì các thơng số chỉnh định phụ thuộc vào các thơng số đã ước lượng. Thường thì cần phải giải các phương trình tuyến tính trong các thơng số bộ điều khiển. Lộ trình từ các thơng số quá trình đến các thơng số tự chỉnh cĩ thể cĩ các điểm kì dị. Điều này xảy ra trong các phương pháp thiết kế dựa vào phương pháp đặt cực, chẳng hạn, nếu mơ hình đã ước lượng cĩ chung cực và zero. Các cực và zero chung cần phải loại bỏ trước khi tiến hành phương pháp đặt cực. Do đĩ việc phân tích tính ổn định chỉ thực hiện trong một số ít trường hợp. Để đảm bảo các thơng số hội tụ đến các giá trị chính xác thì cấu trúc của mơ hình phải chính xác và tín hiệu đầu vào phải kích thích liên tục. 2.2.3 Bộ tự chỉnh định trực tiếp Khối lượng tính tốn cho các thuật tốn ở phần trước tốn nhiều thời gian và tính ổn định rất khĩ để phân tích. Nhiều thuật tốn khác được đề xuất để việc tính tốn thiết kế đơn giản hơn. Ý tưởng là dùng các đặc tính, các cực và zero mong muốn để viết lại mơ hình hệ thống sao cho các bước thiết kế là khơng đáng kể. Điều này dẫn tới việc thơng số hố lại mơ hình. Nhân phương trình Diophantine (2.31) với y(t) và dùng mơ hình cĩ phương trình 2.24 thì : A0 Am y(t) R1 Ay(t) B Sy(t) R1Bu(t) B Sy(t) R1Ce(t) (2.36) B Ru(t) Sy(t) R1Ce(t) Chú ý rằng phương trình 2.36 cĩ thể được xem như là một mơ hình của hệ thống được thơng số hố trong B-, R và S. Việc ước lượng các thơng số này tạo ra các đa thức R và S của bộ chỉnh định một cách trực tiếp. Kết hợp
phương trình 2.34 , tín hiệu điều khiển được tính từ phương trình 2.30 . Lưu ý mơ hình ở phương trình 2.36 là phi tuyến trừ phi B- là hằng số. Cách khác để thơng số hố là viết mơ hình ở phương trình 2.36 như: A0 Am y Ru Sy R1Ce (2.37) trong đĩ R B R và S B S Chú ý đa thức R ở phương trình (2.36) là monic (đa thức cĩ hệ số ở bậc cao nhất bằng 1) nhưng R ở phương trình (2.37) thì khơng phải monic. Các đa thức R và S cĩ một thừa số chung tượng trưng cho các zero tắt kém. Thừa số chung này nên khử bỏ trước khi tính tốn luật điều khiển. Thuật tốn 2.2 - Bộ tự chỉnh định trực tiếp : Bước 1: Ước lượng các hệ số của đa thức R và S ở mơ hình phương trình (2.37). Bước 2: Khử các thừa số chung trong R và S để đạt được R và S. Bước 3: Tính tín hiệu điều khiển từ phương trình 2.30 mà R và S cĩ được ở bước 2. Lặp lại bước 1, 2, 3 ở mỗi chu kì lấy mẫu. Thuật tốn này tránh việc ước lượng phi tuyến nhưng cần phải ước lượng nhiều thơng số hơn khi dùng phương trình 2.36 vì các thơng số của đa thức B- được ước lượng 2 lần. Bước 2 do đĩ rất khĩ thực hiện. Vì việc ước lượng các thơng số ở phương trình 2.36 tương đối khĩ nên ta xét trường hợp đặc biệt B - là hằng số. Giả sử tất cả các zero cĩ thể bị khử ( B b0 ) A0 Am y(t) b0 Ru(t) Sy(t) R1Ce(t) (2.38) Đáp ứng mong muốn như sau: Am ym (t) b0Tuc (t) Trong đĩ: bậc(A) = n và A0 chia hết cho T. Sai số (t) = y(t) - ym được cho bởi:
b0 R1C  (t) Ru(t) Sy(t) Tuc (t) e(t) A0 Am A0 Am Bây giờ ta xem xét các trường hợp khác nhau. Đầu tiên giả sử e = 0. Đa thức quan sát cĩ thể được chọn tự do, khi dùng mơ hình liên tục theo thời gian thì điều cần thiết phải giả sử b0/(A0Am) là SPR (Strictly Positive Real = Thực dương chặt) để đạt được một MRAS ổn định. Ta cũng cần lưu ý rằng hàm truyền cĩ các hệ số là số thực dương thoả điều kiện cần để ổn định được gọi là PR (Positive Real). Hàm là SPR nếu nĩ ổn định với độ dự trữ  dương nhỏ tuỳ ý. Một điều kiện tương tự cũng là cần thiết cho các mơ hình rời rạc theo thời gian. Viết lại mơ hình như sau: u(t) y(t) uc (t)  (t) b0 [R S T ] A0 Am A0 Am A0 Am * * * b0 [R u f (t d 0 ) S y f (t d 0 ) T ucf (t d 0 )] trong đĩ 1 u f (t) * 1 * 1 u(t) A0 (q )Am (q ) 1 y f (t) * 1 * 1 y(t) A0 (q )Am (q ) 1 ucf (t) * 1 * 1 uc (t) A0 (q )Am (q ) Điều này tương ứng với trường hợp P = Q = A 0Am ở phần 2.2 . Tính hội tụ bây giờ sẽ phụ thuộc vào dấu của b0. Điều này chỉ ra mối liên hệ giữa MRAS và STR. Thuật tốn 2.3 - Bộ tự chỉnh trực tiếp với nhiễu xác định Dữ liệu : Cho trước giới hạn thấp nhất của thời gian trễ d 0 và dấu của b 0, * đáp ứng xung hàm truyền vịng kín mong muốn b 0/A m và đa thức quan sát mong muốn A0. Bước 1 : Ước lượng các hệ số của đa thức R*, S*, và T* ở phương trình 2.38 dùng phương pháp ước lượng đệ qui. Bước 2 : Tính tín hiệu điều khiển từ : * * * R u(t) = - S y(t) + T uc(t)
Lặp lại các bước 1, 2 ở mỗi chu kì lấy mẫu. Thuật tốn này tương ứng với bộ điều khiển thích nghi dùng mơ hình chuẩn ở phần 2.2 . Chú ý thuật tốn yêu cầu b 0 phải biết trước. Nếu khơng biết trước b0 thì cũng cĩ thể ước lượng được bằng cách thay phương trình 2.38 bằng : A0Amy(t) = Ru(t) + Sy(t) +R1C.e(t) mà R bây giờ khơng phải là monic. Các bộ điều khiển thay đổi cực tiểu và mức trung bình di chuyển (Minimum – Variance and Moving – average) Các thuật tốn điều khiến trong trường hợp nhiễu ngẫu nhiên cho hệ thống được mơ tả bởi phương trình 2.24 sẽ được xem xét. Đầu tiên giả sử mơ hình biết trước, e là một nhiễu ngẫu nhiên và u c = 0. Đa thức của bộ quan sát tối ưu cho mơ hình ở phương trình 2.24 là A 0 = C. Tiêu chuẩn thiết kế là thay đổi cực tiểu hoặc trung bình di chuyển. Nếu quá trình là cực tiểu pha, bộ chỉnh định thay đổi cực tiểu được cho bởi: R*(q -1)u(t) = - S*(q -1)y(t) (2.39) Trong đĩ R* và S* là nghiệm cĩ bậc cực tiểu của phương trình Diophantine A* (q -1)R* (q -1) + q – d 0 B* (q -1)S*(q -1) = B* (q-1)C* (q -1) (2.40) với d0 = Bậc (A) - Bậc (B). Bộ điều khiển thay đổi cực tiểu tương ứng với * mơ hình mong muốn với một khoảng trễ d0 bước, A m = 1. Từ phương trình 2.40 thì R* phải chia hết cho B* : * * * R = R 1.B Trong đĩ : Bậc(R1) = d0 – 1. Phương trình 2.40 được viết lại : * * d * * A R 1 + q0 S = C * * * * C y(t) = A R 1y(t) + S y(t – d0) * * * * * = B R 1u(t – d0) + S y(t – d0) + R 1C e(t) * * * * = R u(t – d0) + S y(t – d0) + R 1C e(t) phương trình này cĩ thể được viết lại : 1 * * * y(t + d0) = [R u(t) + S y(t)] + R 1e(t + d0) (2.41) C *
với bộ điều khiển ở phương trình 2.39 thì đầu ra của hệ thống vịng kín trở thành : * -1 y(t) = R 1(q ).e(t) Ngõ ra vì vậy là một trung bình di chuyển với bậc (d 0 -1). Trong strưm (1970) chỉ ra rằng bộ chỉnh định sẽ cực tiểu sự thay đổi ngõ ra. Một đặc điểm quan trọng là ngõ ra trở thành một trung bình di chuyển bậc (d 0 – 1). Chú ý số tự nhiên d0 được diễn tả như là số mẫu trơi qua để đầu ra thay đổi khi đầu vào thay đổi. Bộ điều khiển thay đổi cực tiểu cĩ hạn chế là tất cả các zero của quá trình đều bị khử. Điều này cĩ nghĩa sẽ là khĩ khăn nếu B cĩ các zero bên ngồi vịng trịn đơn vị. Các khĩ khăn này sẽ tránh được ở bộ điều khiển trung bình di chuyển. Bộ điều khiển này làm cho ngõ ra cĩ bậc lớn hơn (d 0 – 1). Bộ điều khiến được đề xuất như sau: thừa số B+ và B- trong B với B+ cĩ các zero tắt nhanh ( zero well – damped). Xác định R* và S* từ : A*R* + q- d 0 B*S* = B+ *C* Phương trình 2.41 cho ta: 1 * * * y(t + d) = [R u(t) + S y(t)] + R 1e(t + d) (2.42) C * Trong đĩ: * * R R1 B Vì ngõ ra được điều khiển là một quá trình trung bình di chuyển với bậc (d – 1) nên chúng ta gọi là điều khiển trung bình di chuyển. Chú ý khơng cĩ zero nào bị khử nếu B+ * = 1, cĩ nghĩa d = bậc (A) = n. Cả 2 luật điều khiển thay đổi cực tiểu và trung bình di chuyển dẫn đến mơ hình tương đương của phương trình 2.41 và 2.42 . Sự khác nhau duy nhất là ở giá trị của d mà sẽ điều khiển số zero của quá trình bị khử. Với d = d 0 = Bậc(A) - Bậc(B) : tất cả zero bị khử. Với d = Bậc(A) : khơng cĩ zero nào bị khử. * Lọc với A 0 trong phương trình 2.38 cũng cĩ thể tạo ra mơ hình của phương trình 2.42 : * A0 * * * y(t + d) = [R uf(t) + S yf(t)] + R 1e(t + d) (2.43) C * Nếu B+ chứa tất cả các zero ổn định của hệ thống thì nĩ sẽ tương ứng như bộ điều khiển thay đổi cực tiểu cận tối ưu trong strưm (1970)
Bộ tự chỉnh định thay đổi cực tiểu và trung bình di chuyển Thuật tốn 2.4 - Thuật tốn tự chỉnh định trực tiếp cơ bản Dữ liệu : Cho trước khoảng dự báo d. Gọi k và l tương ứng là số thơng số trong R* và S*. Bước 1: Ước lượng các hệ số của đa thức R* và S* * -1 * -1 y(t + d) = R (q )uf(t) + S (q )yf(t) + (t + d) (2.44) * -1 -1 –k trong đĩ : R (q ) = r0 + r1q +. . . + rkq * -1 -1 –l S (q ) = s0 + s1q + . . . + slq Và 1 uf (t) = * 1 u(t) A0 (q ) 1 yf (t) = * 1 y(t) A0 (q ) sử dụng các phương trình 2.25 – 2.28 với * * T ˆ (t) = y(t) - R uf (t – d) – S yf (t – d) = y(t) - (t – d) (t – 1) T 1 = * 1 [u(t) . . . u(t – k) y(t) . . . y(t – l)] A0 (q ) T  = [r0. . . rk s 0 . . .sl] Bước 2: Tính luật điều khiển R* (q 1 )u(t) S * (q 1 )y(t) (2.45) Với R* và S* được thay bằng các ước lượng tương ứng trong bước 1. Lặp lại các bước 1 và 2 ở mỗi chu kì lấy mẫu. Chú ý: Thơng số r 0 cĩ thể ước lượng hoặc giả sử biết trước. Ở các trường hợp sau để thuận lợi ta viết R* như sau: * -1 ' 1 ' k R (q ) = r 0 (1 + r1 q . . . rk q ) Và sử dụng T ˆ (t) = y(t) – r0 uf(t – d) - (t – d) (t – 1)
T 1 * 1 [r0u(t 1)  r0u(t k) y(t)  y(t l) A0 (q ) T ' '  [r1 . . . rk s0 . . . sl ] Tính chất tiệm cận Mơ hình ở phương trình 2.41 và 2.42 được diễn tả như là việc thơng số hố lại mơ hình ở phương trình 2.24 . Chúng tương đồng với mơ hình ở phương trình 2.44 trong thuật tốn 2.4 nếu A 0 được chọn bằng C. Vector hồi qui khơng tương quan với sai số và phương pháp ước lượng bình phương tối thiểu sẽ hội tụ tới thơng số thật. Một kết quả đáng kinh ngạc là cũng tự chỉnh định chính xác khi A0 C. Kết quả sau chỉ ra các thơng số tự chỉnh định chính xác cĩ gía trị tương đồng với thuật tốn 2.4 khi A0 C. Định lí 2.1 – Tính chất tiệm cận * Xét thuật tốn 2.4 với A 0 = 1 dùng phương pháp ước lượng bình phương cực tiểu. Thơng số b 0 = r0 cĩ thể cố định hoặc được ước lượng. Giả sử vector hồi qui cĩ giới hạn, và các ước lượng là hội tụ. Hệ thống vịng kín đạt được trong điều kiện giới hạn cĩ đặc điểm y(t  )y(t) 0  d,d 1, ,d l (2.46) y(t  )u(t) 0  d,d 1, ,d k trong đĩ dấu gạch chỉ giá trị trung bình theo thời gian; k, l là số các thơng số ước lượng trong R* và S*. Chứng minh: Mơ hình của phương trình 2.44 cĩ thể được viết lại: y(k + d) = T(k) + (k + d) và luật điều khiển trở thành: T (k)ˆ(k d) 0 Tại một trạng thái cân bằng, các thơng số ước lượng ˆ là những hằng số. Hơn nữa, chúng thoả mãn các phương trình chuẩn, trong trường hợp này được viết lại như sau: 1 t 1 t  (k)y(k d)  (k) T (k)ˆ(t d) t k 1 t k 1 Sử dụng luật điều khiển
1 t 1 t lim (k)y(k d) lim (k) T (k)[ˆ(t d) ˆ(k d)] t  t  t k 1 t k 1 Nếu thơng số ước lượng ˆ(t) hội tụ khi t , và các vector hồi qui bị giới hạn thì vế phải sẽ tiến tới zero. Phương trình 2.46 bây giờ kéo theo * A0 1và xác định về sự hồi qui vector trong thuật tốn 2.4 Định lí 2.2 – Tính chất tiệm cận 2 Giả sử thuật tốn 2.4 với phương pháp ước lượng bình phương cực tiểu được áp dụng cho phương trình 2.24 và: min(k, l) n – 1 (2.47) Cĩ nghĩa tín hiệu ra là quá trình cĩ mức trung bình di chuyển bậc (d -1). Nếu các ước lượng tiệm cận của R và S liên quan với nhau, nghiệm trạng thái cân bằng là: y(t  )y(t) = 0  = d, d + 1, (2.48) Chứng minh: Hệ thống vịng kín được mơ tả như sau: R*u(t) Sy(t) * * * A y(t) = B u(t – d0) + C e(t) Vì vậy (A*R* + q d0 B*S*)y = R*C*e (A*R* + q d0 B*S*)u = S *C *e Tín hiệu  được định nghĩa (A*R* + q d0 B*S*) = C*e (2.49) Vì vậy: y R* và u S * Điều kiện của phương trình 2.46 đưa đến R(t  )y(t) = 0  = d, d + 1, , d l S(t  )y(t) = 0  = d, d + 1, , d k Đặt
Cy ( ) (t  )y(t) các phương trình trên cĩ thể được viết lại: r0 r1 r2  rk 0  0 0 r r r  r 0 1 2 k       Cy (d k l) 0  0 r r r  r 0 1 2 k  = 0 s s s  s 0  0 0 1 2 l Cy (d) 0 s0 s1 s2  sl       0  0 s0 s1 s2  sl Cy( ) = 0  = d, d + 1, . . . , d + k + l Hàm tương quan thoả mãn phương trình: * -1 F (q )Cy( ) = 0  0 Hệ thống phương trình 2.49 cĩ bậc n + k = n + max(k,l) Nếu k + l + 1 n + max(k, l) hoặc tương đương với min(k, l) n – 1 dẫn đến Cy( ) = 0  = d, d + 1, là điều cần chứng minh. 2.3.4 Kết nối giữa MRAS và STR Các hệ thống thích nghi dùng mơ hình chuẩn trực tiếp đã được đề cập trong phần 2.2. Trong phụ lục A (TLTK[1]) cũng chỉ ra mơ hình kèm theo và đặt cực là liên quan với nhau. Bây giờ chúng ta sẽ chứng tỏ bộ chỉnh định trực tiếp dùng phương pháp đặt cực ở thuật tốn 2.2 là tương đương với một MRAS. Trong trường hợp nhiễu xác định, khi B - là hằng số, mơ hình của quá trình được viết lại như sau:
T y(t) = f (t d 0 ) Trong thuật tốn gián tiếp, các thơng số được ước lượng bằng các thơng số của bộ chỉnh định. Phương pháp bình phương cực tiểu được sử dụng cho việc ước lượng và (t) được viết lại: T ˆ (t) = y(t) - yˆ(t) = y(t) f (t d 0 ) (2.50) Thơng số cập nhật cĩ thể được viết lại: ˆ ˆ T  (t)  (t 1) P(t) f (t d 0 ) (t) (2.51) Chú ý rằng theo phương trình 2.50 thì T f (t d 0 ) grad  (t) T Vector f (t d 0 ) diễn tả như là đạo hàm của độ nhạy. Việc cập nhật thơng số ở phương trình 2.51 là một phiên bản rời rạc theo thời gian của luật MIT. Sự khác biệt chính là sai số mơ hình e(t) = y(t) - y m(t) được thay bằng giá trị thặng dư (t) và độ lợi  ở MRAS được thay bằng ma trận P(t) cho ở phương trình 2.28. P làm thay đổi hướng của gradient và tạo ra một chiều dài bước thích hợp. Ngược lại, luật MIT cũng cĩ thể xem như là một thuật tốn gradient để cực tiểu e 2, phương trình 2.51 dược xem như là một phương pháp Newton để cực tiểu  2(t). Giá trị thặng dư  được xem như số gia sai số. Chú ý rằng trong các kĩ thuật nhận dạng như các bộ tự chỉnh định chúng ta thường cố gắng đạt được một kiểu mẫu tương tự với T y(t) f  Với phương pháp mơ hình chuẩn thì thường xuyên chỉ cĩ thể đạt một mơ T hình kiểu y(t) G( p)( f  ) Với G(p) là SPR. Ví dụ 2.11 - Bộ tự chỉnh định trực tiếp với thay đổi cực tiểu Mơ hình của quá trình ở phương trình 2.44 là : y(t + 1) = r0u(t) s0 y(t)  (t 1) Giả sử r0 cố định tới giá trị rˆ0 = 1. Chú ý điều này khác với giá trị thật là bằng 3. Thơng số s0 được ước lượng dùng phương pháp bình phương cực tiểu. Luật điều khiển trở thành:
sˆ u(t) 0 y(t) rˆ0 Bài tập về nhà (dùng làm bài tập trong phần Câu hỏi ơn tập và bài tập ở cuối chương): Dùng Matlab mơ phỏng cho ví dụ 2.11 (Ví dụ 5.3 TLTK[1]). Xem kết quả mơ phỏng ở hình 5.8 và 5.9 trong TLTK[1]. Hình 5.8 biểu diễn tỉ số sˆ0 / rˆ0 , nĩ nhanh chĩng hội tụ đến một giá trị của bộ điều khiển thay đổi cực tiểu tối ưu thậm chí rˆ 0khơng bằng giá trị thật của nĩ. Hình 5.9 biểu diễn hàm tổn hao khi dùng bộ tự chỉnh định và bộ điều khiển thay đổi cực tiểu tối ưu. 2.3.5 Điều khiển dự báo thích nghi Thuật tốn 2.4 là cách để thực hiện một bộ điều khiển với tầm dự báo thay đổi. Bài tốn điều khiển cơ bản là bộ điều khiển trung bình di chuyển. Bộ điều khiển trung bình di chuyển cũng cĩ thể áp dụng được cho các hệ thống khơng cực tiểu pha như được minh họa ở phần “Bộ chỉnh định trực tiếp”. Nhiều cách khác để cĩ điều khiển dự báo sẽ được đề cập trong tài liệu, một vài trong số này sẽ được thảo luận và phân tích. Cũng như đối với các thuật tốn trước, xác định bài tốn điều khiển cơ bản là rất quan trọng để hiểu rõ các tính chất tiệm cận của thuật tốn. Trước tiên ta sẽ phân tích trường hợp các thơng số là biết trước. Thuật tốn điều khiển dự báo dựa trên một mơ hình của quá trình giả thuyết và các tín hiệu điều khiển ở tương lai. Điều này tạo ra một chuỗi các tín hiệu điều khiển. Chỉ cĩ một tín hiệu đầu tiên là được áp dụng cho quá trình và một chuỗi các tín hiệu điều khiển mới được tính tốn khi thực hiện phép đo đạc mới. Đây gọi là bộ điều khiển lùi tầm (receding – horizon controller). Dự báo ngõ ra Ý tưởng cơ bản trong các thuật tốn điều khiển dự báo là viết lại mơ hình quá trình để cĩ được một biểu thức rõ ràng cho ngõ ra ở một thời điểm tương lai. Xét mơ hình : * -1 * -1 A (q ) y(t) = B (q ) u(t – d0) (2.52) * -1 * -1 –d * -1 1 = A (q )F (q ) + q G d(q ) (2.53) trong đĩ * bậc( F d ) = d – 1 * bậc( G d) = n – 1
Chỉ số d là tầm dự báo với d bước. Giả sử d d 0. Việc đồng nhất đa thức ở phương trình 2.52 được sử dụng để dự báo ngõ ra ở d bước phía trước. Vì vậy : * * * * * * y(t + d) = A F d y(t + d) + G d y(t) = B F d u(t + d – d0) + G d y(t) * -1 * -1 * -1 – (d - d + 1) * -1 B (q )F d (q ) = R d (q ) + q 0 R d (q ) * Bậc(R d) = d – d0 * Bậc( R d) = n – 2 * Các hệ số của R d là những giới hạn d – d 0 + 1 đầu tiên của đáp ứng xung của hệ thống vịng hở. Điều này cĩ thể thấy như sau: * - d * * - d * * d Gd q 0 B /A = q 0 B (F d + q ) A* * 1 * 1 d * 1 * B (q )Gd (q ) = q 0 R (q ) + q – ( d + 1) R (q -1) + q – (d + d 0 ) (2.54) d d A* (q 1 ) * 1 * -1 * – 1 y( t + d) = Rd (q ) u(t + d – d0) + Rd (q ) u(t – 1) + G d (q ) y(t) * 1 = Rd (q ) u(t + d – d0) + yd (t) (2.55) * 1 Rd (q ) u(t + d – d0) phụ thuộc vào u(t), . . . , u(t + d – d 0), yd (t) là hàm của u(t – 1), u(t – 2), và y(t), y(t -1) Biến yd (t) được hiểu như là điều kiện dự báo của y(t + d) với giả sử u(t) và các tín hiệu điều khiển tương lai là zero. Ngõ ra ở thời điểm (t + d) vì vậy phụ thuộc vào các tín hiệu điều khiển tương lai ( nếu d > d 0), tín hiệu điều khiển, các ngõ vào và ngõ ra ở thời điểm trước. Cũng cĩ thể giả sử tín hiệu điều khiển duy trì hằng số: u(t) = u(t + d) = = u(t + d – d0) (2.56) Cách khác để xác định luật điều khiển là mang y(t + d) đến một giá trị mong muốn trong khi cực tiểu mục tiêu điều khiển theo tầm dự báo: t d u(k) 2 (2.57) k t Điều khiển khơng thay đổi theo thời gian: Chọn ngõ ra được dự báo bằng với ngõ ra mong muốn y m và giả sử vẫn giữ phương trình 2.56 : * -1 * -1 * – 1 [R d(1) + q Rd (q )]u(t) + G d (q ) y(t) = ym(t + d)
Luật điều khiển là: * 1 ym (t d) Gd (q )y(t) u(t) = * * 1 1 (2.58) Rd (1) Rd (q )q Tín hiệu điều khiển này sẽ được sử dụng cho quá trình. Ở lần lấy mẫu kế tiếp, một phép đo mới đạt được và luật điều khiển ở 2.58 dược sử dụng tiếp. Chú ý giá trị của tín hiệu điều khiển thay đổi theo thời gian chứ khơng phải cố định. Ở đây ta sử dụng qui tắc điều khiển lùi tầm. Chú ý luật điều khiển là khơng đổi ngược với bộ điều khiển LQ cố định tầm. Bây giờ chúng ta sẽ phân tích hệ thống vịng kín khi sử dụng phương trình 2.58 để điều khiển quá trình 2.52.Việc thực hiện các phép tính ở tốn tử sai phân tới là cần thiết để cĩ thể quan sát các cực ban đầu. Phương trình 2.53 dược viết lại theo tốn tử sai phân tới như sau: n + d - 1 q = A(q)Fd(q) + Gd(q) (2.59) Đa thức đặc tính của hệ thống vịng kín là: n – 1 P(q) = A(q) [q Rd(1) + Rd (q) ] + Gd (q) B(q) Bậc(P) = Bậc(A) + n - 1 = 2n – 1 Phương trình thiết kế 2.59 cĩ thể được sử dụng để viết lại hàm P(q): n + d - 1 B(q)q = A(q) B(q)Fd(q) + Gd (q) B(q) n -1 = A(q)[q Rd (q) + Rd (q)] + Gd (q) B(q) Vì vậy : n + d -1 n – 1 A(q) Rd (q) + Gd (q) B(q) = B(q) q - A(q)q Rd(q) Cho ta : n – 1 n – 1 d P(q) = q A(q)Rd(1) + q [q B(q) - A(q)Rd(q)] Nếu hệ thống ổn định thì các số hạng phía sau của 2.54 sẽ biến mất khi d . Do đĩ: n -1 lim P(q) = q A(q)Rd(1) nếu A(z) là một đa thức ổn định. d Ví dụ 2.12 - Điều khiển dự báo Xét quá trình : y(t + 1) = ay(t) + bu(t) Phương trình 2.59 cho ta :
d d – 1 d – 2 q = (q – a)(q + f1q + . . . + fd – 1) + g0 Vì vậy: F(q) = q d – 1 + aq d – 2 + a2q d – 3 +. . . + a d – 1 G(q) = a d Rd(q) = bF(q) Rd (q) = 0 và khi ym = 0, luật điều khiển trở thành: a d a d (a 1) u(t) = - y(t) = - y(t) b(1 a a d 1 ) b(a d 1) Phương trình đặc tính của hệ thống vịng kín là: a d (a 1) P(q) = q – a + a d 1 cĩ cực: a d a pd = a d 1 Vị trí của cực được cho bởi: 0 pd 1 ( hệ thống khơng ổn định) Cực vịng kín với các giá trị khác nhau của a và b được chỉ ở hình 5.16 (TLTK[1]). Ví dụ cũng cho thấy để việc quan sát là đầy đủ thì tầm dự báo phải từ 5 – 10 mẫu. Cũng cĩ thể tổng quát hố kết quả ở ví dụ 2.12 cho các hệ thống bậc cao hơn. Đối với các hệ thống thay đổi chậm hoặc khơng ổn định thì đáp ứng vịng kín của nĩ sẽ rất chậm khi tăng tầm dự báo. Vì vậy giới hạn ở 2.56 khi đĩ sẽ là khơng hữu ích. Nỗ lực điều khiển cực tiểu Thuật tốn điều khiển là sẽ mang y(t + d) tới y m(t + d) trong khi cực tiểu phương trình 2.57 . Phương trình 2.55 được viết lại:
* -1 y(t + d) = R d(q )u(t + d – d0) + yd (t) = r u(t + ) + . . .+ r u(t) + y (t) d 0 d d  = d – d0. Giới thiệu hàm Lagrange: 2 2 * -1 2J = u(t) + . . .+ u(t + ) + 2[ym(t + d) - yd (t) - R d(q ) u(t + )] Cho đạo hàm riêng đối với các biến u(t), . . . ,u(t + ) và  bằng 0 ta được: u(t) = rd . . . u(t + ) =  rd 0 ym(t + d) - yd (t) = rd 0 u(t + ) + . . . + rd u(t) Các phương trình này cho ta: y (t d) y (t) u(t) = m d  trong đĩ:  2  rdi  = i 0 rd Sử dụng định nghĩa yd (t) cho ta: * * u(t) = ym(t + d) - Rd u(t – 1) - Gd y(t) hoặc * ym (t d) Gd y(t) ym (t d n 1) Gd (q)y(t) u(t) = 1 * = n 1 (2.60)  q Rd q Rd (q) Sử dụng phương trình 2.60 và mơ hình của phương trình 2.52 cho đa thức đặc tính vịng kín: n - 1 P(q) = A(q) [q  + Rd (q)] + Gd(q)B(q) Phương trình này cĩ dạng như 2.58 với Rd(1) được thay bằng . Điều này cĩ nghĩa các cực vịng kín tiến gần tới zero của q n – 1A(q) khi A(q) là ổn định
và khi d . Điều gì sẽ xảy ra khi hệ thống khơng ổn định Hãy xét ví dụ sau đây: Ví dụ 2.13 - Điều khiển nỗ lực cực tiểu Xét hệ thống tương tự như ví dụ 2.12 . Bộ điều khiển nỗ lực cực tiểu trong trường hợp này được cho bởi: 1 a 2 a 2(d 1) b(a 2d 1)  = b = a d 1 a d 1 (a 2 1) cho ta ( khi ym = 0) a d a 2d 1 (a 2 1) u(t) = - y(t) = - y(t)  b(a 2d 1) Cực của hệ thống vịng kín là: a 2d 1 (a 2 1) a 2d 1 a pd = a - = a 2d 1 a 2d 1 cho ta: lim pd = a  a  1 (hệ thống ổn định) d lim pd = 1/a  a  > 1 (hệ thống khơng ổn định) d Ở ví dụ này, bộ điều khiển nỗ lực cực tiểu sẽ tạo ra một hệ thống vịng kín tốt hơn nếu điều khiển tương lai được giả sử là hằng số. Điều khiển dự báo tổng quát: Các bộ điều khiển dự báo đề cập từ trước chỉ xem xét giá trị ngõ ra chỉ ở một thời điểm ở tương lai. Nhiều tổng quát hố khác nhau của điều khiển dự báo được đề xuất mà trong đĩ hàm tổn hao là cực tiểu: N2 Nu 2 2 J(N1, N2, Nu) = E [y(t k) ym (t k)]  u(t k 1)  (2.61) k N1 k 1 Trong đĩ = 1 – q -1 là tốn tử vi phân. Sự lựa chọn các giá trị khác nhau của N1, N2, Nu sẽ đưa ra các phương pháp khác nhau. Phương pháp điều khiển dự báo tổng quát được minh hoạ bằng cách dùng hàm tổn hao 2.60 và mơ hình quá trình: * * -1 A (q)y(t) = B (q )u(t – d0) + e(t) / (2.62)
Mơ hình này được gọi là CARIMA ( Controlled AutoRegressive Intergrating Moving Average). Nĩ cĩ thuận lợi là bộ điều khiển bản thân sẽ chứa một khâu tích phân. Giống như phương trình 2.53 ta cĩ đồng nhất: * * - 1 -1 –d * – 1 1 = A (q)F d(q )(1 – q ) + q G d (q ) (2.63) Cơng thức này được sử dụng để xác định ngõ ra ở d bước kế tiếp: * * * * y(t + d) = F dB u(t + d – d0) + G dy(t) + F de(t + d) * F d cĩ bậc d -1. Bộ dự báo với sai số quân phương tối ưu với ngõ ra được đo đạc đến thời điểm t và chuỗi ngõ vào bất kì là: * * * yˆ(t d) = F dB u(t + d – d0) + G dy(t) (2.64) Giả sử đầu ra mong muốn y m(t + k), k = 1, 2, là cĩ sẵn. Hàm tổn hao ở 2.61 sẽ được cực tiểu để cho ra một chuỗi các tín hiệu điều khiển ở tương lai. Chú ý giá trị mong đợi ở 2.61 sẽ cĩ được tương ứng với dữ liệu cĩ được tới thời điểm t với giả sử các đo đạc ở tương lai khơng cĩ sẵn. Điều này cĩ nghĩa chỉ cĩ thừa số đầu tiên của chuỗi điều khiển là được sử dụng. Các phép tốn sẽ lặp lại khi cĩ được một đo đạc mới. Bộ điều khiển với kết quả như thế gọi là điều khiển hồi tiếp tối ưu vịng hở. Như tên của nĩ, giả sử sử dụng hồi tiếp nhưng nĩ chỉ được tính tốn chỉ dựa vào thơng tin cĩ sẵn ở thời điểm hiện tại. Dùng phương trình 2.55 : * – 1 * y(t + 1) = R 1(q ) u(t + 1 – d0) + y1 (t) + F1 e(t + 1) * – 1 * y(t + 2) = R 2(q ) u(t + 2 – d0) + y2 (t) + F2 e(t + 2) . . . * – 1 * y(t + N) = R N(q ) u(t + N – d0) + y N (t) + FN e(t + N) Mỗi giá trị ngõ ra bao gồm các tín hiệu điều khiển ở tương lai ( nếu d > d 0), ngõ vào đo được và tín hiệu nhiễu ở tương lai. Các phương trình ở trên cĩ thể được viết lại: y = R u + y + e trong đĩ: y = [y(t + 1) . . . y(t + N)]T T u = [ u(t + 1 – d0) . . . u(t + N – d0)] T y = [ y 1(t) . . . y N(t)]
* * T e = [F1 e(t + 1) . . . FN e(t + N)] * Từ phương trình 2.54 ta thấy các hệ số của R d chính là (d – d0 + 1) số hạng –d * * đầu của đáp ứng xung q 0 B / (A ) và cũng giống như (d – d0 +1) số hạng đầu của đáp ứng bước q –d 0 B*/ A*. Do đĩ ma trận R là ma trận tam giác dưới: r0 0  0 r r  0 R = 1 0    rN 1 rN 2  r0 Nếu hệ thống cĩ thời gian trễ (d0 > 1) thì (d0 – 1) hàng đầu của R sẽ là zero. Gọi: T ym = [ym(t + 1) . . . ym(t + N)] Giá trị mong đợi của hàm tổn hao được viết lại: T T J(1, N, N) = E{( y – ym) (y – ym) + u u} T T = (R u + y - ym) (R u + y - ym) + u u Cực tiểu hố biểu thức này theo u ta được: T – 1 T u = (R R + I ) R (ym - y ) (2.65) Thành phần đầu trong u là u(t) là tín hiệu điều khiển ứng dụng cho hệ thống. Chú ý bộ điều khiển tự động cĩ một khâu tích phân. Điều này là cần thiết để bù cho số hạng nhiễu sai lệch ở phương trình 2.62 Việc tính tốn phương trình 2.65 liên quan tới ma trận nghịch đảo NxN, mà N là tầm dự báo của hàm tổn hao. Để giảm khối lượng tính tốn thì ta cĩ thể giới hạn các tín hiệu điều khiển ở tương lai. Chẳng hạn, ta giả sử việc tăng tín hiệu điều khiển là bằng zero sau Nu bước (Nu Nu Điều này cĩ nghĩa tín hiệu điều khiển sau N u bước sẽ là hằng số. So sánh với điều kiện khống chế ở phương trình 2.57 . Luật điều khiển ( phương trình 2.65) sẽ thay đổi: T – 1 T u = (R1 R1 + I ) R1 (ym - y ) (2.66) R1 là ma trận NxNu
r0 0  0 r r  0 1 0    R1 =  r0   r r  r N 1 N 2 N Nu Ma trận lấy nghịch đảo bây giờ cĩ bậc N uxNu. Ngõ ra và các tầm điều khiển được chọn như sau: N1: Nếu thời gian trễ biết trước thì N1 = d0, ngược lại chọn N1 = 1. N2: Tầm ngõ ra cực đại N 2 được chọn sao cho N 2h cĩ giá trị bằng với thời gian lên của hệ thống, trong đĩ h là thời gian lấy mẫu của bộ điều khiển. Nu: Thường Nu = 1 sẽ cĩ được kết quả tốt đối với những hệ thống đơn giản. Đối với các hệ thống phức tạp, N u ít nhất phải bằng với số cực khơng ổn định hoặc số cực gây dao động tắt yếu. Để bộ điều khiển dự báo tổng quát cĩ khả năng thích nghi thì điều cần thiết là phải ước lượng A* và B* ở mỗi bước thời gian. Các giá trị dự báo ứng với các tầm dự báo khác nhau sẽ được tính tốn và tính tín hiệu điều khiển ở phương trình 2.66 . Bộ điều khiển dự báo thích nghi vì vậy sẽ là một thuật tốn điều khiển gián tiếp. Phương trình 2.64 được tính bằng cách đệ qui để đơn giản khối lượng tính tốn.Cuối cùng, N u thường cĩ giá trị nhỏ để ma trận nghịch đảo cĩ bậc thấp. Tín hiệu điều khiển u(t) từ phương trình 2.66 là: T – 1 T u = [ 1 0 . . . 0] [R1 R1 + I ] R1 [ym - y ] = [ 1 . . . N] [ym - y ] Hơn nữa, từ phương trình 2.62 , sử dụng phương trình 2.54 * * R A 1 1 d0 * * * * q G1 R1 u (t 1) G1 y(t) B y =  =  y(t) * * * * R u (t 1) G y(t) R A 1 N N N q d0 G * B* N Hệ thống vịng kín cĩ phương trình đặc tính:
1 R * A* q d0 B*G * 1 1 * A + [ 1 . . . N]  1 * * d0 * * RN A q B GN Đồng nhất phương trình 2.63 cho ta: * * * * – d * * B = A B F d + q Gd B * * d * * * – (d - d 0 + 1) = A [Rd + q Rd ] + q Gd B Điều này cho ta phương trình đặc tính: * * * (B A R1 )q * A + [ 1 . . . N]  * * * N (B A RN )q N * i * * * = A +  i q (B A Ri ) (2.67) i 1 Phương trình 2.67 cho ra một biểu thức của phương trình đặc tính vịng kín nhưng vẫn cịn khĩ khăn để đưa ra một kết luận tổng quát về tính chất của hệ thống vịng kín ngay cả khi quá trình đã biết trước. Nếu Nu = 1 thì: ri i = N 2  rj j 1 Nếu đủ lớn, hệ thống vịng kín sẽ khơng ổn định khi hệ thống vịng hở khơng ổn định. Tuy nhiên nếu cả 2 tầm điều khiển và tầm dự báo đều tăng thì bài tốn sẽ tương tự như bài tốn điều khiển LQ với tầm cố định và do đĩ nĩ sẽ cĩ đặc tính ổn định tốt hơn. 2.3.6 Kết luận Trong phần này chúng ta đã xem xét nhiều bộ tự chỉnh định khác nhau. Ý tưởng cơ bản là ước lượng các thơng số chưa biết của hệ thống và thiết kế bộ điều khiển. Các thơng số ước lượng giả sử bằng với thơng số thực khi thiết kế bộ điều khiển. Thỉnh thoảng cũng bao gồm các ước lượng chưa chắc chắn vào trong thiết kế. Bằng cách kết hợp các phương pháp ước lượng khác
nhau và các phương pháp thiết kế khác nhau ta sẽ cĩ được các bộ tự chỉnh với các tính chất khác nhau. Trong phần này ta chỉ đề cập ý tưởng cơ bản và các tính chất tiệm cận. Tính hội tụ của ước lượng và tính ổn định của hệ thống sẽ được thảo luận trong chương 6 (TLTK[1]). Khía cạnh quan trọng nhất của các bộ tự chỉnh định là đưa ra các thơng số hố. Một thơng số hố lại cĩ thể đạt được bằng cách sử dụng mơ hình hệ thống và đáp ứng vịng kín mong muốn. Mục tiêu của việc thơng số hố lại là để thực hiện ước lượng trực tiếp các thơng số của bộ điều khiển sao cho mơ hình mới tuyến tính với các thơng số. Chỉ cĩ vài thuật tốn tự chỉnh định được đề cập và giải quyết trong phần này. Việc kết hợp các phương pháp ước lượng khác nhau và vấn đề thiết kế cơ bản sẽ tạo ra các thuật tốn với các tính chất khác nhau. Mục tiêu của phần này là đưa ra một cảm nhận cách phát triển và phân tích các thuật tốn. Khi thực hiện một bộ tự chỉnh thì việc lựa chọn bài tốn thiết kế cơ bản là rất quan trọng. Một phương pháp thiết kế mà khơng phù hợp cho hệ thống biết trước thì cũng sẽ khơng tốt hơn khi hệ thống chưa biết trước. Bộ tự chỉnh định cũng cĩ khả năng áp dụng cho các hệ thống MIMO. Trường hợp MIMO là rất khĩ để phân tích. Khĩ khăn chính là xác định được kiến thức đầu tiên cần thiết trong hệ MIMO là gì. Cũng tương đối đơn giản khi đưa ra một thuật tốn tự chỉnh tương ứng với bộ tự chỉnh định trực tiếp tổng quát ở các trường hợp hạn chế khi các ma trận tương tác của hệ thống đã biết trước. 2.4 Chỉnh định tự động và lịch trình độ lợi 2.4.1 Giới thiệu 1. Chỉnh định và thích nghi 2. Kiến thức đầu tiên 3. Giá trị ban đầu của bộ điều khiển thích nghi 4. Điều khiển PID 5. Các vấn đề vận hành 6. Giao tiếp điều khiển Một loại đặc biệt của thích nghi vịng hở hay sự thay đổi các tham số bộ điều chỉnh được đề cập trong phần này. Trong nhiều trường hợp, cĩ thể biết được sự thay đổi động học của quá trình theo các điều kiện vận hành. Nguồn gốc của sự thay đổi động học cĩ thể là tính phi tuyến. Cĩ thể thay đổi tham số của bộ điều khiển bằng cách giám sát các điều kiện vận hành
của quá trình. Khái niệm này gọi là lịch trình độ lợi, vì mơ hình đầu tiên được sử dụng chỉ để điều chỉnh độ lợi của quá trình. 2.4.2 Kỹ thuật chỉnh định 1. Phương pháp Zeigler – Nichols Luật điều khiển PID: 1 t de u(t) K e(t) e(s)ds T c d Ti 0 dt 2. Phương pháp đáp ứng quá độ Mơ hình 3 thơng số: k G(s) e sL 1 sT Phương pháp đáp ứng nấc: k 0.63k a Thời gian L T Phương pháp Zeigler – Nichols:
Bộ điều khiển aKc Ti / L Td / L Tp / L P 1 4 PI 0.9 3 5.7 PID 1.2 2 0.5 3.4 Những khĩ khăn đối với phương pháp Zeigler – Nichols: - Khĩ xác định các thơng số - Tắt quá chậm - Hai thơng số thì khơng đủ Phương pháp diện tích: k A0 A1 L + T A T L 0 k eA T 1 k 3. Phương pháp đáp ứng tần số Ý tưởng: Cho chạy bộ điều khiển tỉ lệ, tăng độ lợi cho đến khi hệ thống bắt đầu dao động. Quan sát “Độ lợi Ku giới hạn” và “Chu kỳ giới hạn Tu ”. Lặp lại: Xác định đặc tính đáp ứng tần số.
1 N( ) G(j) Các thơng số bộ điều khiển: Bộ điều khiển Kc / Ku Ti / Tu Td / Tu Tp / Tu P 0.5 1 PI 0.4 0.8 1.4 PID 0.6 0.5 0.12 0.85 Thực nghiệm: PID A u y  Quá trình T Relay -1
Kết quả thực tế - Thơng tin biết trước? - Bắt đầu thực nghiệm như thế nào? - Hồi tiếp đến biên độ giới hạn của dao động. - Hiệu chỉnh luật Zeigler – Nichols: Thay đổi các giá trị trong bảng. Sử dụng 3 thơng số: Ku, Tu và Kp. - Làm sao để đương đầu với nhiễu được Nhiễu tải Nhiễu đo Từ trễ Sự lặp lại trực tuyến Ý tưởng: Tìm các nét đặc trưng của đáp ứng trực tuyến đối với điểm đặt hoặc các nhiễu tải. Hiệu chỉnh bộ điều khiển dựa trên các đặc tính quan sát được. e1 e3 e2 Tp Đặc tính: hệ số tắt d và độ vọt lố o e e e d 3 2 o 2 e1 e2 e1 Bộ điều khiển hiệu chỉnh dựa trên luật thử và sai. Dễ dàng đối với PI và khĩ khăn hơn đối với PID.
Thơng tin biết trước Tiền chỉnh định 2.4.3 Lịch trình độ lợi Ví dụ các biến lịch trình Tốc độ sản xuất Tốc độ máy Số tỉ lệ và áp lực động Thỉnh thoảng cĩ thể tìm thấy những biến đổi phụ cĩ tương quan tốt với những thay đổi của quá trình động học. Vì thế cĩ thể làm giảm ảnh hưởng của tham số biến động chỉ đơn giản bằng việc thay đổi tham số của bộ điều chỉnh như các hàm của các biến phụ (xem hình 2.10) Các thơng số bộ điều khiển Lịch trình độ lợi Điều Tín hiệu kiện vận vào hành Bộ điều khiển Quá Ngõ ra trình Tín hiệu điều khiển Hình 2.10 Mơ hình lịch trình độ lợi Lịch trình độ lợi cĩ thể được xem như hệ thống điều khiển hồi tiếp mà độ lợi hồi tiếp được chỉnh bởi bộ bù được cung cấp trước.
Ưu, khuyết điểm của lịch trình độ lợi Mặt hạn chế của lịch trình độ lợi là bù vịng hở. Khơng cĩ hồi tiếp để bù cho sai số lịch trình. Hạn chế khác của lịch trình độ lợi là việc thiết kế tốn nhiều thời gian. Tham số bộ điều chỉnh phải được chọn cho nhiều điều kiện vận hành và đặc tính kĩ thuật phải được kiểm tra bằng nhiều quá trình mơ phỏng. Những khĩ khăn này tránh được nếu lịch trình dựa vào các phép chuyển đổi phi tuyến. Lịch trình độ lợi cĩ ưu điểm là các tham số bộ điều chỉnh cĩ thể đáp ứng rất nhanh với sự thay đổi của quá trình. Khi khơng cĩ ước lượng tham số, nhân tố giới hạn phụ thuộc vào tốc độ đáp ứng các phép đo phụ với sự thay đổi của quá trình. 2.4.4 Xây dựng lịch trình Lựa chọn các biến lịch trình Hồn thiện việc thiết kế điều khiển cho những điều kiện vận hành khác nhau. Sử dụng việc chỉnh định tự động. Sự biến đổi. Thật khĩ để tìm luật chung cho việc thiết kế bộ điều chỉnh theo lịch trình độ lợi. Vấn đề chính là việc quyết định các biến sử dụng làm biến lịch trình. Rõ ràng các tín hiệu phụ phải phản ánh điều kiện vận hành của đối tượng. Sẽ cĩ những trình bày lí tưởng đơn giản cho các tham số bộ điều chỉnh liên quan đến các biến lịch trình. Vì thế cần cĩ kiến thức tốt về hệ động học của quá trình nếu lịch trình độ lợi được sử dụng. Các khái niệm tổng quát sau cĩ thể phục vụ cho mục đích này. - Tuyến tính hố cơ cấu dẫn động phi tuyến. - Lập trình độ lợi dựa vào đo đạc các biến phụ - Vận hành dựa vào hiệu suất - Các phép biến đổi phi tuyến. Các khái niệm này được minh hoạ trong các ví dụ sau. Ví dụ 2.14 Xem hệ thống với 1 valse phi tuyến.Tính phi tuyến được giả sử là: v = f(u) = u4 , u 0
Quá trình yr y  PI c fˆ 1 u f v -1 Hình (a) v 20 15 fˆ 10 f 5 u 0 0.5 1 1.5 2 Hình (b) Đặt fˆ 1 là hàm ngược xấp xỉ của đặc tính valse. Để bù cho tính phi tuyến, ngõ ra của bộ điều chỉnh được cung cấp thơng qua hàm này trước khi nĩ được áp vào valse (xem hình (a)). ta cĩ quan hệ : v = f(u) = f [fˆ 1 (c)] Với c là ngõ ra của bộ điều chỉnh PI. Hàm f [fˆ 1 (c)] cĩ độ lợi ít thay đổi hơn hàm f. Nếu fˆ 1 chính xác là hàm ngược của f thì : v = c. Giả sử f(u) = u 4 được xấp xỉ bởi 2 đường thẳng: một đường nối từ điểm (0 , 0) đến điểm (1.3 , 3) và đường thẳng thứ hai nối giữa 2 điểm (1.3 , 3) và (2 , 16), được vẽ trong hình (b) . Khi đĩ:
0.433c , 0 c 3 1 fˆ (c) = 0.0538c 1.139 , 3 c 16 yr 0.3 y 0.2 0 20 40 60 80 100 yr 1.1 1 0 20 40 60 80 100 yr 5.1 y 5 0 20 40 60 80 100 Hình (c) Hình (c) cho thấy sự thay đổi trong tín hiệu chuẩn tại 3 điều kiện vận hành khác nhau khi sử dụng hàm fˆ 1 như hình (a) . So sánh với hệ thống trong hình 2.2 (TLTK[1]) . Ta thấy cĩ sự cải thiện trong đặc tuyến của hệ thống vịng kín. Dùng hàm ngược fˆ 1 trong hệ thống sẽ cho đáp ứng bằng phẳng hơn trong các bài tốn điều khiển valse phi tuyến. Ví dụ trên đã cho thấy tính đơn giản và tiện dụng trong việc bù cho hệ thống phi tuyến tĩnh biết trước. Trong thực tế thường xấp xỉ hệ phi tuyến
bằng một vài đoạn thẳng (nhiều hơn 2). Cĩ nhiều bộ điều khiển vịng đơn thương mại sử dụng phương pháp bù này. Trong ví dụ trên khơng cĩ sự đo đạc nào của điều kiện vận hành ngồi trừ việc điều chỉnh ngõ ra. Trong các trường hợp khác, tính phi tuyến được xác định từ sự đo đạc một vài biến số. 2.4.5 Ứng dụng Lịch trình độ lợi là phương pháp rất hữu dụng. Nĩ yêu cầu phải cĩ kiến thức tốt về quá trình và các biến phụ cĩ thể được đo đạc. Một thuận lợi lớn của phương pháp này là bộ điều chỉnh thích nghi (đáp ứng) nhanh khi các điều kiện thay đổi. Một số ứng dụng như: định hướng cho tàu, kiểm sốt nồng độ pH, kiểm sốt khí đốt, điều khiển động cơ và điều khiển bay. Đặc điểm của van Dịng chảy Mở nhanh tuyến tính Mở tính theo % Vị trí Đặc tính van phụ thuộc vào việc cài đặt. A B C
Lịch trình cho ngõ ra bộ điều khiển FIC FT Lịch trình cho biến quá trình LIC LT
Lịch trình cho biến ngồi TIC TT FT 2.4.6 Kết luận Lịch trình độ lợi là cách tốt để bù cho đặc tính phi tuyến biết trước. Bộ điều chỉnh cĩ thể phản ứng nhanh với sự thay đổi của các điều kiện. Mặt hạn chế của kĩ thuật này là thiết kế tốn nhiều thời gian nếu khơng dùng phép chuyển đổi phi tuyến và tự động chỉnh định. Mặt hạn chế khác là các tham số điều khiển được thay đổi trong vịng hở, khơng cĩ hồi tiếp từ đặc tính làm việc của hệ thống. Phương pháp này khơng thể dùng được nếu đặc tính động học của quá trình hoặc nhiễu khơng được biết trước đầy đủ, chính xác. 2.5 Bài tập ứng dụng Matlab 1.Mơ hình: Hệ thống ga tự động trên ơtơ Động lực học của ơtơ trên đường: Ơtơ vận hành trên đường nhờ moment sinh ra từ động cơ, thơng qua hệ thống truyền động, chuyển thành lực kéo tiếp tuyến tại các bánh xe chủ động đẩy ơtơ dịch chuyển lên phía trước. Lực kéo tiếp tuyến này luơn cân bằng với các lực cản tác động vào ơtơ theo định luật I Newton: Fkéo = Fcản lăn + Fcản khi động + Fcản leo dốc + Fcản quán tính
Tổng các lực cản đối với ơtơ khơng phụ thuộc tuyến tính vào vận tốc của ơtơ và các thành phần lực cản này cĩ những hệ số phụ thuộc vào điều kiện làm việc của ơtơ như loại đường, độ mấp mơ, độ nghiêng của mặt đường, loại lốp xe, nhiệt độ mơi trường, giĩ, tải trọng của xe, tình trạng của động cơ, của hệ thống truyền động, độ mịn của lốp Các điều kiện làm việc này khơng cố định mà thay đổi mỗi khi ơtơ vận hành và trong lúc ơtơ vận hành. Fcản khí động Fkéo  Fcản lăn bánh trước Fcản lăn bánh sau Hình 2.11 Động lực học của ơtơ trên đường 2.Phương trình trạng thái: Đối tượng vận hành trên đường là một đối tượng phi tuyến chỉ bao gồm một tín hiệu điều khiển vào là độ mở cánh bướm ga của động cơ ( hay vị trí bàn đạp ga trên ơtơ), và một đầu ra là vận tốc ơtơ. Các trạng thái của đối tượng là vận tốc và gia tốc. Đặc tính của đối tượng này cĩ thể được biểu diễn bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính bậc 2 ở dạng chính tắc: x1 vxe x2 x1 x2 f (x1 , x2 ) b. , (b 0) y x1 với f (x1 , x2 ) là hàm phi tuyến chưa biết và b > 0 là giá trị chưa biết, là độ mở bướm ga của động cơ. Cả f (x1 , x2 ) và b phụ thuộc vào điều kiện làm việc, chế độ vận hành, tình trạng của động cơ, hệ thống truyền động của ơtơ. Luật điều khiển đối tượng:
Luật điều khiển đối tượng dựa trên tuyến tính hố hồi tiếp để ngõ ra y của đối tượng bám sát ngõ ra mong muốn ym cĩ dạng 1 u*  f (x) y(n) K T E (2.68) b m với: - E R nx1 là vector sai số: e e E  (n 1) e Trong đĩ, sai số ngõ ra: e ym y ym x1 T nx1 -K (kn ,,k1 ) R là vector cĩ các giá trị sao cho phương trình n n 1 s k1s  kn 0 cĩ tất cả các nghiệm nằm bên trái trục ảo của mặt phẳng phức. Với luật điều khiển u * , các thành phần phi tuyến của đối tượng bị triệt tiêu. Thành phần K T E được đưa vào để đảm bảo sai số ngõ ra vẫn hội tụ về 0 trong trường hợp trạng thái ban đầu của đối tượng khơng làm cho ngõ ra y bám ngay ngõ ra mong muốn ym . Do thành phần f(x) và b chưa xác định nên luật điều khiển u * cho đối tượng được xem là chưa biết. Trong bộ điều khiển mờ thích nghi trực tiếp, một hệ thống mờ được sử dụng để tìm ra hay xấp xỉ luật điều khiển mong muốn u * chưa biết này. Thiết kế luật thích nghi (luật cập nhật, chỉnh định thơng số) Với bộ điều khiển mờ thích nghi trực tiếp, luật chỉnh định thơng số để * vector thơng số  hội tụ về vector thơng số lí tưởng  (nghĩa là uD(X, ) hội * * tụ về uD(X,  ) là xấp xỉ của u với sai số xấp xỉ nhỏ nhất ), được xác định theo tiêu chuẩn ổn định Lyapunov. Xét biểu thức Lyapunov cho hệ thống mờ thích nghi trực tiếp uD(X, ) dùng cho đối tượng được mơ tả trong phương trình sau:
1 b V (E) E T PE ( *  )T ( *  ) 2 2 với: -  > 0 là một hằng số, được gọi là hệ số cập nhật hay hằng số hội tụ. - P R n x n là ma trận thực, đối xứng, xác định dương thoả mãn phương trình: T P P Q Trong đĩ, Q R n x n là ma trận thực, dương, được chọn trước. Theo tiêu chuẩn ổn định Lyapunov, với V (E) xác định dương và V(E) xác định âm thì sai số E sẽ tiến về 0, hay giá trị ngõ ra y sẽ bám theo giá trị ngõ  T ra ym mong muốn, khi đĩ xác định được luật thích nghi:  E pn (X ) Mơ hình động lực học ơtơ trên đường Đặc tính động học của ơtơ trên đường được mơ tả qua phương trình sau: mxe ie J e axe M e  Fload (Vxe ) g rW Trong đĩ: - mxe G0 Gt là trọng lượng tồn bộ của ơtơ, [N]. 2 - axe là gia tốc ơtơ, [m/s ]. - Vxe là vận tốc ơtơ, [m/s]. - ne là tốc độ động cơ, [rpm] (vịng/phút). - là vị trí (độ mở) cánh bướm ga, [%]. - ie = i4i0 là tỉ số truyền lực của hệ thống truyền động. - Me là moment xoắn cĩ ích do động cơ sinh ra, [N.m]. -  Fload Froadload Floss Fslope là tổng các lực cản đối với hệ thống truyền động của ơtơ, [N]. 2 -Froadload F2Vv F1Vv F0 là tổng các lực do chuyển động trên đường, bao gồm lực cản lăn giữa lốp và mặt đường, lực cản khí động, [N].
- F F V 3 F V 2 F V F là lực cản do tổn thất cơ giới loss l3 v l2 v l1 v l0 trong hệ thống truyền động, [N]. - Fslope mxe .g.sin(Grade) là lực cản leo dốc, [N]. Hình 2.12 Đặc tính moment theo tốc độ và độ mở bướm ga của động cơ 1 Throttle Position 1 Throttle Position Traction Force -K- 3.6 1 s Vehicle Velocity Vehicle Velocity Vehicle Integrator m/s to km/h Power Train Model Inertia Vehicle Velocity Road Load Road Load Model Hình 2.13 Mơ hình động lực học ơtơ trên đường
1 0 f(u) s Integrator Gain Climbing Load Lookup Table 1 Road Load 1 1/3.6 f(u) Vehicle Velocity Road_Load km/h to m/s 0 1/3.6 Wind km/h to m/s2 Hình 2.14 Mơ hình lực cản trên đường ( lực cản lăn, lực cản khí động, và lực cản leo dốc) 2-D T(u) 1 Engine Engine Torque Throttle Position -K- -K- 1 Speed Traction Force -K- Engine Age Transmission 1 Saturation km/h to rpm Engine Power Train Loss Torque 2 1/3.6 f(u) -K- Vehicle Velocity Power Train Loss km/h to m/s Transmission 2 Hình 2.15 Mơ hình hệ thống truyền lực của ơtơ 3. Hai bộ điều khiển hệ thống ga tự động trên ơ tơ Vận tốc ban đầu của ơtơ là 40km/h, ơtơ sẽ được điều khiển đạt vận tốc ổn định 60km/h sau 20s bằng bộ điều khiển PID và bộ điều khiển mờ thích nghi trực tiếp (DAF – Direct Adaptive Fuzzy).
Cả 2 bộ điều khiển được xây dựng với giả thiết đã cĩ bộ điều khiển độ mở cánh bướm ga lí tưởng, điều khiển chính xác độ mở cánh bướm ga với thời gian quá độ rất bé. A. Bộ điều khiển PID: KP = 2 ; KI = 1.2 ; KD = 5 2 P Part 1 1 1.2 1 s Demand Velocity Throttle Position Integrator I Part Saturation1 2 Actual Velocity du/dt 5 Derivative D Part Hình 2.16 Bộ điều khiển PID B. Bộ điều khiển mờ thích nghi trực tiếp Bộ điều khiển mờ thích nghi trực tiếp cĩ những đặc điểm sau: 1. Ngõ vào: 2 ngõ vào a. Actual Velocity - Tầm giá trị: 0 120km/h - 5 tập mờ như hình 2.18 b.Acceleration - Tầm giá trị: -4 4m/s2. - 5 tập mờ như hình 2.19 2. Ngõ ra: 1 ngõ ra - Tên biến ngơn ngữ: Trottle Position - Tầm giá trị: 0 100% - 25 tập mờ dạng singleton, là các thơng số được điều chỉnh của hệ thích nghi.
Hình 2.17 Bộ điều khiển mờ thích nghi trực tiếp (DAF)
3. Bảng luật hợp thành với giá trị ban đầu của các thơng số Biến ngơn ngữ ACCELERATION 1 2 3 4 5 2 x 2 2 x 2 2 x 2 2 x 2 2 x 2 1 1 1 1 1 1 1 x1 2 x 15 15 15 15 15 Biến ngơn 1 1 ngữ 3 30 30 30 30 30 1 x1 ACTUAL 4 48 48 48 48 48 VELOCITY 1 x1 5 100 100 100 100 100 1 x1 Bảng 2.1 Bảng luật hợp thành của bộ điều khiển mờ thích nghi trực tiếp 0 1 4. Chọn ma trận  0.01 0.1 10 0 5. Chọn ma trận Q 0 10 6. Chọn hệ số  = 1. i i Hình 2.18 5 tập mờ 1 (x) , i =1 5, của Hình 2.19 5 tập mờ 2 (x), i = ngõ vào Actual Velocity 1 5, của ngõ vào Acceleration
100 ) % ( n 80 o i t i s o 60 p e l t t 40 o r h t e 20 n i g n E 0 4 2 120 100 0 80 60 -2 40 20 -4 0 Acceleration (m/s2) Vehicle velocity (km/h) Hình 2.20 Đặc tính làm việc của bộ điều khiển mờ thích nghi trực tiếp khi mới được khởi tạo 4. So sánh kết quả điều khiển 1. Trường hợp 1: Age = 100%, Gt = 100kg, vwind = 0 km/h, ơtơ đi trên đường bằng Grade = 0 (xem hình 2.21). 2. Trường hợp 2: Age = 100%, Gt = 500kg, vwind = 0 km/h, ơtơ đi trên đường bằng Grade = 0 (xem hình 2.22). 3. Trường hợp 3: Age = 100%, Gt = 100kg, vwind = 30 km/h, ơtơ đi trên đường bằng Grade = 0. 4. Trường hợp 4: Age = 100%, Gt = 500kg, vwind = 30 km/h, ơtơ đi trên đường bằng Grade = 0. 5. Trường hợp 5: Age = 85%, Gt = 100kg, vwind = 0 km/h, ơtơ đi trên đường bằng Grade = 0. 6. Trường hợp 6: Age = 85%, Gt = 500kg, vwind = 0 km/h, ơtơ đi trên đường bằng Grade = 0. 7. Trường hợp 7: Age = 85%, Gt = 100kg, vwind = 30 km/h, ơtơ đi trên đường bằng Grade = 0.
8. Trường hợp 8: Age = 85%, Gt = 500kg, vwind = 30 km/h, ơtơ đi trên đường bằng Grade = 0. 9. Trường hợp 9: Age = 100%, Gt = 300kg, vwind = 30 km/h, ơtơ lên và xuống dốc Grade = 5. 10. Trường hợp 10: Age = 85%, Gt = 300kg, vwind = 30 km/h, ơtơ lên và xuống dốc Grade = 5. VEHICLE VELOCITY (km/h) vs. TIME (s) VEHICLE VELOCITY (km/h) vs. TIME (s) 100 100 Demand velocity Demand velocity 90 Result with DAF controller 90 Result with DAF controller Result with PID controller Result with PID controller 80 80 ) 70 ) 70 h h / / m m k k ( 60 ( 60 y y t t i i c c o 50 o 50 l l e e v v e e 40 40 l l c c i i h h e e 30 30 V V 20 20 10 10 0 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 Time (s) Time (s) Hình 2.21.a Hình 2.22.a ENGINE THROTTLE POSITION (%) vs. TIME (s) ENGINE THROTTLE POSITION (%) vs. TIME (s) 110 110 Result with DAF controller Result with DAF controller 100 100 Result with PID controller Result with PID controller 90 90 ) ) % 80 % ( 80 ( n n o o i 70 i t 70 t i i s s o o p 60 p 60 e e l l t t t 50 t o 50 o r r h h t t 40 e 40 e n n i i g 30 g n 30 n E E 20 20 10 10 0 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 Time (s) Time (s) Hình 2.21.b Hình 2.22.b
100 100 ) ) % % ( ( n 80 n 80 o o i i t t i i s s o 60 o 60 p p e e l l t t t 40 t 40 o o r r h h t t e 20 e 20 n n i i g g n n E 0 E 0 4 4 2 120 2 120 100 100 0 80 0 80 60 60 -2 40 -2 40 20 20 -4 0 -4 0 Acceleration (m/s2) Vehicle velocity (km/h) Acceleration (m/s2) Vehicle velocity (km/h) Hình 2.21.c Hình 2.22.c Trường hợp 1 (hình 2.21) và 2 (hình 2.22), vận tốc ơtơ (a), độ mở bướm ga (b) và đặc tính làm việc của bộ điều khiển sau khi xác lập VEHICLE VELOCITY (km/h) vs. DISTANCE (m) 100 Result with DAF controller 90 Result with PID controller 80 ) 70 h / m k ( 60 y t i c o 50 l e v e 40 l c i h e 30 V 20 10 0 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 Distance (m) Hình 2.23.a