›
›

Đề thi tuyển sinh sau Đại học môn thi Cơ bản năm 2000

pdf 15 trang phuongnguyen 3180
Download
Bạn đang xem tài liệu "Đề thi tuyển sinh sau Đại học môn thi Cơ bản năm 2000", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfde_thi_tuyen_sinh_sau_dai_hoc_mon_thi_co_ban_nam_2000.pdf

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh sau Đại học môn thi Cơ bản năm 2000

  1. èõi hπc Quèc gia Hµ Néi §Ò thi tuyÓn sinh sau ®¹i häc n¨m 2000 M«n thi c¬ b¶n: §¹i sè Thêi gian lèm bèi: 180 phøt Câu I. M lµ tËp h–p c†c ma tr∞n cØp n (n ≥ 1), th⁄c, khû ngh¡ch. 1. ChŸng minh r¢ng M lù nh≈m ú i vœi ph¥p nhón ma tr∞n. 2. C ∈ M c ú¡nh. ChŸng minh r¢ng †nh x° f : M → M, f(A) = C −1AC lù mÀt ú«ng cØu nh≈m. Tªm Im f, Ker f (hay chŸng minh r¢ng f lù ú£ng cØu). ? 3. ChŸng minh rùng †nh x° f1 : M → R , f1 (A) = |A| lù ú«ng cØu nh≈m. Tªm Im f1, Ker f1. C©u II. ChŸng minh r¢ng C? lù nh≈m ú i vœi ph¥p nhón thông th­êng. XÐt c¸c ¸nh x° f : C? → C?, f(α)= α, g : C? → C?, g(α)= kαk lù ®ång cÊu nhãm, ®¬n cÊu, toµn cÊu hay kh«ng? T×m Im f, Ker f. C©u III. Chøng minh r»ng c¸c phÐp biÕn ®æi trùc giao trªn kh«ng gian Euclid E lµm thµnh mét nhãm ®èi víi phÐp nh©n (phÐp hîp thµnh), ký hiÖu G. Gi¶ sö g ∈ G. §Æt ¸nh x¹ ϕ : G → G, ϕ(f)= g−1fg. Chøng minh r»ng ϕ lµ ®¼ng cÊu nhãm. C©u IV. C[x] lµ vµnh. §Æt ¸nh x¹ ϕ : C [x] → C [x] , f (x) → f (x) n (®­îc hiÓu lµ a0 + a1x + + anx ). 1. Chøng minh r»ng ϕ lµ ®ång cÊu nhãm. 2. Chøng minh r»ng R[x] lµ vµnh con mµ kh«ng idean. C©u V. 1. Chøng minh r»ng c¸c ma trËn ®èi xøng cÊp n lËp thµnh nhãm aben ú i vœi ph¥p céng, kfi hi∫u nh≈m nùy lù M. 2. ChŸng minh r¢ng †nh x° f : M → M, f(A) = A0 (chuy∑n v¡ c“a A) lù ú«ng cØu nh≈m. Tªm Im f, Ker f. 3. ChŸng minh r¢ng t∞p M c†c ma tr∞n ú i xŸng th⁄c cØp n l∞p thùnh R-không gian v¥c tö (hay R-không gian v¥c tö con c“a không gian c†c ma tr∞n vuông cØp n). 4. T lù ma tr∞n khû ngh¡ch (không nhØt thiπt ú i xŸng). ChŸng minh r¢ng †nh x° f : M → M, f(A) = T −1AT lù ú«ng cØu (tŸc lù †nh x° tuyπn t¿nh).
  2. èõi hπc Quèc gia Hµ Néi §Ò thi tuyÓn sinh sau ®¹i häc n¨m 2000 M«n thi c¬ b¶n: §¹i sè Thêi gian lèm bèi: 180 phøt 3 Câu I. T×m h°ng c“a h∫ v¥c tö a1,a2,a3 ∈ R theo tham s a a1 = (1,a, 1) , a2 = (1, 1,a) , a3 = (a, 1, 1) . Tªm ph¨n b— tr⁄c tiπp c“a L = {a1,a2,a3} khi a = −2 ho´c a = 1. 2 C©u II. Biπt R5 [x] lù không gian c†c úa thŸc c≈ b∞c nh√ hön 5. Cho f (x)=1+ x + x3 + x4. ChŸng minh r¢ng (1) vù (2) lù c†c cö sÕ c“a n≈ 1. 1, x, x2, x3, x4. 2. f (4) (x), f (3) (x), f 00 (x), f 0 (x), f (x). Tªm ma tr∞n chuy∑n cö sÕ (1) sang (2). Tªm to° úÀ c“a f(x) = 34+33x+16x 2+5x3+x4 trong cö sÕ (2). C©u III. Ph¥p biπn ú»i tuyπn t¿nh f tròn không gian phŸc c≈ ma tr∞n lù 3 0 0 A =  1 0 1  . 2 −1 0   c≈ ch¥o ho† úõ–c không? C≈ t«n t°i ph¥p biπn ú»i tuyπn t¿nh ngh¡ch úûo f −1? Tªm v¥c tö riòng vù gi† tr¡ riòng c“a f −1. C©u IV. ChŸng minh r¢ng t∞p h–p c†c ma tr∞n th⁄c c≈ d°ng a b A = .  2b a  vœi a,b ∈ R l∞p thùnh vùnh con c“a vùnh Mat(2, R), h√i n≈ c≈ lù idean không?
  3. èõi hπc Quèc gia Hµ Néi §Ò thi tuyÓn sinh sau ®¹i häc n¨m 2001 M«n thi c¬ b¶n: §¹i sè Thêi gian lèm bèi: 180 phøt Câu I. Chøng minh r»ng 1. TËp S1 c¸c s phŸc c≈ mô úun b¢ng 1 lù mÀt nh≈m con c“a nh≈m nhón c†c s phŸc kh†c 0. 2. ¸nh x° f : R → S1 cho bÕi f(x) = cos(πx)+ i sin(πx) lù mÀt ú«ng cØu t÷ nh≈m cÀng c†c s th⁄c R vùo S1. C©u II. 1. ChŸng minh r¢ng m i không gian con L c“a không gian v¥c tö hÿu h°n chi∂u V ú∂u c≈ b— tuyπn t¿nh. Ph¨n b— tuyπn t¿nh c“a L c≈ duy nhØt không? 2. Tªm s chi∂u, mÀt cö sÕ vù ph¨n b— tuyπn t¿nh c“a không gian con c“a không 4 gian R sinh bÕi h∫ v¥c tö {u1 = (1, −2, −1, 1), u2 = (−1, 3, 0, 2), u3 = (2, −5, −1, −1), u4 = (2, −4, −2, 2)}. C©u III. X¥t ma tr∞n th⁄c a d 0 A =  d b d  .  0 −d c  1. Nπu ϕ lù mÀt ph¥p biπn ú»i tuyπn t¿nh trong không gian R3 c≈ ma tr∞n ú i vœi cö sÕ ch¿nh t•c lù A thª ϕ c≈ ch¥o ho† úõ–c không? Vª sao? 2. Vœi a = 3, b = 4, c = 5 vù d = 2 hüy tªm ma tr∞n tr⁄c giao Q sao cho B = QT AQ lù ma tr∞n úõÃng ch¥o. C©u IV. Ph¥p biπn ú»i tuyπn t¿nh ϕ g∆i lù lu› linh b∞c p nπu p lù mÀt s nguyòn dõöng sao cho ϕp−1 =6 0 vù ϕp = 0. Giû s◊ ϕ lù mÀt ph¥p biπn ú»i tuyπn t¿nh lu› linh b∞c p trong không gian v¥c tö n-chi∂u V . ChŸng minh r¢ng 1. Nπu x lù mÀt v¥c tö sao cho ϕp−1(x) =6 0 thª h∫ v¥c tö − x, ϕ (x) , ϕ2 (x) , ,ϕp 1 (x)  úÀc l∞p tuyπn t¿nh. 2. p ≤ n. 3. ϕ chº c≈ mÀt gi† tr¡ riòng λ = 0. 4. Nπu E − A lù ma tr∞n c“a ph¥p biπn ú»i ϕ ú i vœi cö sÕ nùo ú≈ thª ma tr∞n A khû ngh¡ch (E lù ma tr∞n úön v¡).
  4. èõi hπc Quèc gia Hµ Néi §Ò thi tuyÓn sinh sau ®¹i häc n¨m 2001 M«n thi c¬ b¶n: §¹i sè Thêi gian lèm bèi: 180 phøt Câu I. 1. Chøng minh r»ng tËp O(n) c¸c ma trËn trùc giao cÊp n lµ mét nhãm ú i vœi ph¥p nh©n ma trËn. 2. Cho Q ∈ O(n), xÐt ¸nh x¹ f : O(n) → O(n) cho bëi f(A) = QT AQ trong ®ã QT lµ chuyÓn vÞ c“a Q. ChŸng minh r¢ng f lù mét ®¼ng cÊu nhãm. C©u II. XÐt phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh ϕ : R3 → R3 cho bëi ϕ (x1,x2,x3)=(x1 − 3x2 + 4x3, 4x1 − 7x2 + 8x3, 6x1 − 7x2 + 7x3) . 1. T×m gi¸ trÞ riªng, vÐc t¬ riªng cña ϕ. 2. Trong kh«ng gian vÐc t¬ R3 cã tån t¹i hay kh«ng mét c¬ së sao cho ú i vœi cö sÕ ®ã ma trËn c“a ϕ c≈ d°ng ®­êng chÐo. C©u III. Trong kh«ng gian Euclid R4 xÐt kh«ng gian con L sinh bëi hÖ vÐc t¬ {(1, 1, 1, 1) , (1, 2, 2, −1) , (1, 0, 0, 3)} . 1. T×m c¬ së trùc chuÈn c“a không gian con L vù cö sÕ tr⁄c chuÈn c“a ph¨n b— tr⁄c giao L⊥. 2. Giû s◊ x = (4, −1, −3, 4). Tªm v¥c tö y ∈ L vù v¥c tö z ∈ L⊥ sao cho x = y+z. C©u IV. 2 n−1 1. ChŸng minh r¢ng h∆ 1,x − a, (x − a) , , (x − a) vœi a ∈ R lù mÀt cö n o sÕ c“a không gian Rn [x] c†c úa thŸc h∫ s th⁄c c≈ b∞c nh√ hön n. 2. Tªm to° úÀ c“a f(x) ∈ Rn [x] ú i vœi cö sÕ ú≈. C©u V. 1. Giû s◊ f1, f2 lù c†c d°ng tuyπn t¿nh tròn K-không gian v¥c tö V . ChŸng minh r¢ng †nh x° ϕ : V × V → K cho bÕi ϕ(x, y) = f1(x)+ f2(y) lù mÀt d°ng song tuyπn t¿nh tròn V . Tªm úi∂u ki∫n c¨n vù ú“ ú∑ ϕ lù d°ng song tuyπn t¿nh ú i xŸng. 2. Giû s◊ V lù K-không gian v¥c tö hÿu h°n chi∂u. ChŸng minh r¢ng d°ng song tuyπn t¿nh ϕ c≈ h°ng b¢ng 1 khi vù chº khi ϕ =6 0 vù c≈ hai d°ng tuyπn t¿nh f1, f2 sao cho ϕ(x, y) = f1(x)+ f2(y) vœi m∆i x, y ∈ V .
  5. èõi hπc Quèc gia Hµ Néi §Ò thi tuyÓn sinh sau ®¹i häc n¨m 2002 M«n thi c¬ b¶n: §¹i sè Thêi gian lèm bèi: 180 phøt Câu I. 1. Gi¶ sö h lµ mét ®ång cÊu vµnh tõ vµnh K vµo vµnh K0, vµ A lµ vµnh con cña vµnh G. Chøng minh r»ng h(A) lµ mét vµnh con c“a vùnh K 0. 2. Tròn t∞p c†c s nguyòn Z x¥t hai ph¥p to†n x†c ú¡nh bÕi a ⊕ b = a + b − 1 a ◦ b = a + b − ab. ChŸng minh r¢ng (Z, ⊕, ◦) lù mÀt vùnh giao ho†n c≈ úön v¡. C©u II. Trong không gian v¥c tö R3 x¥t ph¥p biπn ®æi tuyÕn tÝnh g x¸c ®Þnh bëi g(u) =(8x − y − 5z, −2x + 3y + z, 4x − y − z) víi u = (x,y,z). 1. T×m c¸c gi¸ trÞ riªng vµ vÐc t¬ riªng cña g. 2. T×m mét c¬ së c¶ kh«ng gian R3 sao cho ®èi víi c¬ së ®ã ma trËn B c“a ph¥p biπn ®æi g cã c¸c phÇn tö ë phÝa trªn ®­êng chÐo chÝnh b»ng 0. ViÕt ma trËn B. C©u III. Trong kh«ng gian vÐc t¬ Euclide E xÐt hÖ vÐc t¬ {u1, ,un}, vµ ma trËn G = ((ui,uj))n×n. Chøng minh r»ng hÖ vÐc t¬ {u1, ,un} ®éc lËp tuyÕn tÝnh khi vµ chØ khi det G =6 0. C©u IV. Gi¶ sö f lµ mét d¹ng song tuyÕn tÝnh h¹ng r trªn K-kh«ng gian vÐc t¬ V n-chiÒu. XÐt c¸c tËp con Vr = y thuéc V : f (x, y) = 0 ®èi víi mäi x thuéc V , Vl = y thuéc V : f (y,x) = 0 ®èi víi mäi x thuéc V .  Chøng minh r»ng Vr, Vl lµ c¸c kh«ng gian con vµ dim Vr = dim Vl = n − r.
  6. èõi hπc Quèc gia Hµ Néi §Ò thi tuyÓn sinh sau ®¹i häc n¨m 2002 M«n thi c¬ b¶n: §¹i sè Thêi gian lèm bèi: 180 phøt Câu I. 1. Gi¶ sö h lµ mét ®ång cÊu tõ nhãm G vµo nhãm G0, vµ H lµ nhãm con cña nhãm G. Chøng minh r»ng h(H) lµ mét nhãm con c“a nh≈m G 0. 2. X¥t †nh x° f t÷ nh≈m tuyπn t¿nh t»ng qu†t GL(n, R) vùo nh≈m nh©n R? c¸c s th⁄c kh†c 0 x†c ú¡nh bÕi f(A) = det A. ChŸng minh r¢ng f lù mÀt toùn cØu. X†c ®Þnh nhãm con f(O(n)), víi O(n) lµ nhãm c¸c ma trËn trùc giao. C©u II. 1. Gi¶ sö L lµ mét kh«ng gian con p-chiÒu cña kh«ng gian vÐc t¬ Euclide E n-chiÒu. Chøng minh r»ng tËp L∗ = {x ∈ E : (x, y) = 0, ∀y ∈ L}, lµ mét kh«ng gian con (n − p)-chiÒu vµ E = L L L?. 4 2. XÐt kh«ng gian con L c“a không gian v¥c tö Euclide R sinh bÕi h∫ v¥c tö u1 = (1, 0, 2, 1), u2 = (2, 1, 2, 3), u3 = (0, 1, −2, 1). X†c ®Þnh mét c¬ së trùc chuÈn cña kh«ng gian con L∗. C©u III. VÕt c“a ma tr∞n A cØp n tròn trõÃng K lù t»ng c†c ph¨n t◊ tròn ®­êng chÐo chÝnh, úõ–c kfi hi∫u lù Tr(A). ChŸng minh r¢ng 1. Tr(AB) = Tr(BA). 2. Vπt c“a ma tr∞n c“a mÀt ph¥p biπn ú»i tuyπn t¿nh không ph’ thuÀc vùo vi∫c ch∆n cö sÕ c“a không gian. C©u IV. 1. H°ng c“a ma tr∞n A =(aij)m×n úõ–c kfi hi∫u lù r(A). ChŸng minh r¢ng r(A + B) ≤ r(A)+ r(B). 2. T¿nh r(A) vœi A = (min{i, j})m×n.
  7. èõi hπc Quèc gia Hµ Néi §Ò thi tuyÓn sinh sau ®¹i häc n¨m 2003 M«n thi c¬ b¶n: §¹i sè Thêi gian lèm bèi: 180 phøt Câu I. 1. Chøng minh r»ng tÝch c¸c ®ång cÊu vµnh lµ mét ®ång cÊu vµnh. 2. XÐt ®ång cÊu nhãm f : G → G0. Chøng tá r»ng nÕu G lµ mét nhãm giao ho¸n th× Im(f) còng lµ mét nhãm giao ho¸n Cho mét vÝ dô chøng tá ®iÒu ng­îc l¹i nãi chung kh«ng ®óng. C©u II. 1. Gi¶ sö L lµ kh«ng gian con cña kh«ng gian vÐc t¬ R3 sinh bëi hÖ vÐc t¬ {u1 = (2, 3, 5) ,u2 = (3, 7, 8) ,u3 = (1, −6, 1)} . Víi gi¸ trÞ nµo c“a tham s a thª v¥c tö u = (7, −1,a) thuÀc không gian con L. 2. ChŸng minh r¢ng trong không gian c†c hùm s th⁄c liòn t’c C (a,b) h∫ v¥c tö {1, cos x, cos2 x, , cosn x} úÀc l∞p tuyπn t¿nh. C©u III. X¥t ma tr∞n th⁄c ú i xŸng 3 2 0 A =  2 4 −2  . 0 −2 5   Tªm ma tr∞n tr⁄c giao Q sao cho QT AQ lù ma tr∞n úõÃng ch¥o. Viπt ma tr∞n úõÃng ch¥o ú≈. C©u IV. Giû s◊ u lù mÀt v¥c tö c“a không gian Euclid E. 1. ChŸng minh r¢ng vœi m i v¥c tö x thuÀc E c≈ th∑ bi∑u di∏n duy nhØt dõœi d°ng x = au + v trong ú≈ v¥c tö v tr⁄c giao vœi v¥c tö u. 2. Cho E = R4, u = (2, −1, 0, 2), x = (1, 1, 1, −1). T¿nh a vù v.
  8. èõi hπc Quèc gia Hµ Néi §Ò thi tuyÓn sinh sau ®¹i häc n¨m 2003 M«n thi c¬ b¶n: §¹i sè Thêi gian lèm bèi: 180 phøt Câu I. Trong nhãm G xÐt ¸nh x° h : G → G x†c ®Þnh bëi h(a) = a−1, ∀a ∈ G. Chøng minh r»ng ¸nh x¹ h lµ mét tù ®¼ng cÊu khi vµ chØ khi G lµ mét nhãm Aben. C©u II. Trong kh«ng gian vÐc t¬ Euclide R4 xÐt kh«ng gian con L cho bëi hÖ ph­¬ng tr×nh 2x1 + x2 + x3 + 3x4 = 0  3x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 0 x1 + 2x2 + 2x3 − 9x4 = 0 1. T×m s chi∂u vù mét c¬ së c“a ph¨n b— tr⁄c giao L? c“a không gian con L. 2. Cho v¥c tö x = (7, −4, −1, 2). Tªm v¥c tö y ∈ L, z ∈ L? sao cho x = y + z. C©u III. X¥t †nh x° tuyπn t¿nh g : R4 → R3 úõ–c cho bÕi g((x1,x2,x3,x4))= (x1 − 2x2 + x4,x1 + x3 − x4, 2x2 + x3 − 2x4). 1. Tªm dim Ker g, dim Im g. 2. Vœi gi† tr¡ nùo c“a tham s a thª v¥c tö y = (−1, 2,a) thuÀc không gian con Im g. C©u IV. Giû s◊ f lù mÀt ph¥p biπn ú»i tuyπn t¿nh lu› linh b∞c n (tŸc lù f n−1 =6 0, f n = 0) trong K-không gian v¥c tö V . ChŸng minh r¢ng 1. Nπu x ∈ V : f k(x) =6 0 thª h∫ v¥c tö {x, f(x), ,f k(x)} úÀc l∞p tuyπn t¿nh. 2. n ≤ dim V . 3. Nπu n = dim V thª úa thŸc ú´c trõng c“a ph¥p bi∑n ú»i f c≈ d°ng p(λ) = (−1)nλn.
  9. èõi hπc Quèc gia Hµ Néi §Ò thi tuyÓn sinh sau ®¹i häc n¨m 2004 M«n thi c¬ b¶n: §¹i sè Thêi gian lèm bèi: 180 phøt Câu I. Gi¶ sö (G, ◦) lµ mét nhãm cã h÷u h¹n phÇn tö, ®¬n vÞ e. Chøng minh r»ng 1. ï i vœi m i ph¨n t◊ a ∈ G t«n t°i s nguyòn k ≥ 1 sao cho ak = e (s nguyòn dõöng nh√ nhØt c≈ t¿nh chØt ú≈ g∆i lù cØp c“a ph¨n t◊ a). 2. Nπu a lù ph¨n t◊ cØp n thª A = {a,a2, ,an} lù mÀt nh≈m con c“a nh≈m (G, ◦). C©u II. X¥t ma tr∞n th⁄c  1 a b + c  A = 1 b a + c .   1 c a + b 1. ChŸng t√ ma tr∞n A không khû ngh¡ch. 2. T¿nh h°ng c“a ma tr∞n A theo gi† tr¡ c“a c†c tham s a, b, c. C©u III. Ph¥p biπn ú»i tuyπn t¿nh f trong không gian v¥c tö R3 úõ–c cho bÕi f(x,y,z)= (4x − 5y + 2z, 5x − 7y + 3z, 6x − 9y + 4z). 1. Tªm c†c gi† tr¡ riòng, v¥c tö riòng c“a f. 2. Ph¥p biπn ú»i f c≈ ch¥o ho† úõ–c không? Vª sao? Tªm mÀt cö sÕ c“a không gian R3 sao cho ma tr∞n c“a f ú i vœi cö sÕ ú≈ lù ma tr∞n tam gi†c. C©u IV. ChŸng minh r¢ng t∞p con kh†c r ng L c“a không gian v¥c tö Rn lù mÀt khôn gian con khi vù chº khi L lù t∞p nghi∫m c“a mÀt h∫ phõöng trªnh tuyπn t¿nh thu¨n nhØt tròn R.
  10. èõi hπc Quèc gia Hµ Néi §Ò thi tuyÓn sinh sau ®¹i häc n¨m 2004 M«n thi c¬ b¶n: §¹i sè Thêi gian lèm bèi: 180 phøt Câu I. Gi¶ sö X lµ mét vµnh. Chøng minh r»ng 1. ï i vœi m i s nguyòn n ≥ 0, t∞p nX = a = nx = x + x + + x : x ∈ X   n l¨n | {z } lù mÀt idean c“a vùnh X (vœi quy õœc 0x = 0). 2. C†c t∞p d°ng nZ vœi n = 0, 1, 2, lù tØt cû c†c idean c“a vùnh s nguyòn Z. C©u II. 1. Trong không gian R4 x¥t không gian con L sinh bÕi h∫ v¥c tö {u1 = (1,a, −1, −2) ,u2 = (2, −1,a, 5) ,u3 = (1, 10, −6, 1)} . T¿nh dim L theo tham s a. 2. Giû s◊ h∫ v¥c tö {u1,u2, ,un} lù mÀt cö sÕ c“a K-không gian v¥c tö V . ï´t vk = uk + + un vœi k = 1, 2, ,n. ChŸng minh r¢ng h∫ {v1, v2, ,vn} lù mÀt cö sÕ c“a không gian V . C©u III. Ph¥p biπn ú»i tuyπn t¿nh g trong không gian Euclid R3 úõ–c cho bÕi g((x1,x2,x3)) =(x1 − 3x2 − x3, −3x1 + x2 + x3, −x1 + x2 + 5x3). 1. ChŸng t√ r¢ng g lù mÀt ph¥p biπn ú»i ú i xŸng. 2. Tªm mÀt cö sÕ tr⁄c chu≠n c“a không gian v¥c tö Euclid R3 lù c†c v¥c tö riòng c“a g. C©u IV. Giû s◊ f lù mÀt d°ng song tuyπn t¿nh h°ng k tròn K-không gian v¥c tö Kn. X¥t c†c t∞p con n n Vr = y ∈ K : f (x, y) = 0 ú i vœi m∆i x ∈ K , n n Vl = y ∈ K : f (y,x) = 0 ú i vœi m∆i x ∈ K .  ChŸng minh r¢ng Vr, Vl lù c†c không gian con vù dim Vr = dim Vl = n − k.
  11. èõi hπc Quèc gia Hµ Néi §Ò thi tuyÓn sinh sau ®¹i häc n¨m 2005 M«n thi c¬ b¶n: §¹i sè Thêi gian lèm bèi: 180 phøt Câu I. Trong nhãm G xÐt ¸nh x° f : G → G cho bÕi f(x)= x2 vœi m∆i x ∈ G. 1. ChŸng minh r¢ng f lù mét tù ®ång cÊu c“a nh≈m G khi vù chº khi G lù nh≈m aben. 2. Cho mÀt v¿ d’ sao cho f lù t⁄ ú£ng cØu vù mÀt v¿ d’ sao cho f lù mÀt t÷ ú«ng cØu nhÿng không phûi lù t⁄ ®¼ng cÊu. 4 3 C©u II. XÐt ¸nh x° tuyπn t¿nh h : R → R x†c ®Þnh bëi: víi u = (x1,x2,x3,x4) th× h (u)=(x1 + ax2 − x3 + 2x4, 2x1 − x2 + ax3 + 5x4,x1 + 10x2 − 6x3 + x4) 1. X¸c ®Þnh dim Im h, dim Ker h theo tham s a. 2. Vœi a = 3, vœi gi† tr¡ nùo c“a b thª v¥c tö u = (1, −2,b) thuÀc Im h. C©u III. X¥t ma tr∞n th⁄c  1 2 2  A = 2 1 2 .   2 2 1 1. Tªm c†c gi† tr¡ riòng, v¥c tö riòng c“a A. 2. Tªm ma tr∞n tr⁄c giao Q sao cho B = QT AQ lù ma tr∞n úõÃng ch¥o. Viπt ma tr∞n B. C©u IV. 1. Giû s◊ F lù mÀt không gian con c“a K-không gian v¥c tö n-chi∂u V . ChŸng minh r¢ng nπu dim F <n thª trong không gian V c≈ cö sÕ {u1,u2, ,un} sao cho ui 6∈ F , i = 1, 2, ,n. 2. ChŸng minh r¢ng ú i vœi m i d°ng tuyπn t¿nh ϕ tròn không gian v¥c tö Euclid hÿu h°n chi∂u E t«n t°i duy nhØt mÀt v¥c tö u? ∈ E sao cho ? ϕ (x)=(u .x) vœi m∆i x ∈ E.
  12. èõi hπc Quèc gia Hµ Néi §Ò thi tuyÓn sinh sau ®¹i häc n¨m 2005 M«n thi c¬ b¶n: §¹i sè Thêi gian lèm bèi: 180 phøt Câu I. XÐt ®ång cÊu vµnh f : K → K?. Chøng minh r»ng 1. NÕu A lµ mét vµnh con cña vµnh K th× f(A) lµ mét vµnh con c“a K ?. 2. Nπu B lù mÀt idean c“a vùnh K 0 thª f −1(B) lù mÀt idean c“a vùnh K. C©u II. 1. X†c ú¡nh s chi∂u c“a không gian nghi∫m N c“a h∫ phõöng trªnh tuyπn t¿nh thu¨n nhØt sau úóy theo tham s a x1 + ax2 − x3 + 2x4 = 0, 2x1 − x2 + ax3 + 5x4 = 0, x1 + 10x2 − 6x3 + x4 = 0. 2. Vœi a = 3, tªm cö sÕ tr⁄c giao c“a ph¨n b— tr⁄c giao N ? c“a N trong không gain v¥c tö Euclid R4. C©u III. X¥t ma tr∞n th⁄c 8 −1 −5 A =  −2 3 1  . 4 −1 −1   1. Tªm c†c gi† tr¡ riòng, v¥c tö riòng c“a A. 2. Tªm mÀt mÀt ma tr∞n tam gi†c ú«ng d°ng vœi ma tr∞n A. C©u IV. X¥t d°ng toùn phõöng ω tròn không gian v¥c tö Euclid Rn cho bÕi n ω (x) = aijxixj , x = (x1,x2, ,xn) . i,jX=1 ChŸng minh r¢ng 1. Nπu d°ng ω x†c ú¡nh dõöng thª aii > 0 vœi m∆i i = 1, 2, ,n. 2. D°ng ω x†c ú¡nh dõöng khi vù chº khi t«n t°i ma tr∞n khû ngh¡ch S sao cho T (aij )n×n = S S.
  13. èõi hπc Quèc gia Hµ Néi §Ò thi tuyÓn sinh sau ®¹i häc n¨m 2006 ®ît 1 M«n thi c¬ b¶n: §¹i sè Thêi gian lèm bèi: 180 phøt Câu I. 1. Chøng minh r»ng giao c¸c idean c“a mÀt vùnh lù mÀt idean. 2. Giû s◊ S lù t∞p con kh†c rçng c“a vùnh K giao ho†n c≈ úön v¡. ChŸng minh r¢ng t∞p n (S)= (x = aisi : si ∈ S, ai ∈ K, i = 1, 2, ,n) Xi=1 lù idean nh√ nhØt chŸa t∞p S. C©u II. X¥t ph¥p biπn ®æi tuyÕn tÝnh f : R3 → R3 cho bëi f ((x1,x2,x3))= (x1 + ax2 + x3, 2x1 + ax2 + bx3, −x1 +(b − 1) x3) 1. Víi gi¸ trÞ nµo c“a c†c tham s a, b thª f lù mÀt t⁄ ú£ng cØu. 2. Tªm dim Im f, dim Ker f vœi a = b = 1. C©u III. X¥t ma tr∞n ú i xŸng th⁄c 1 2 2 A =  2 1 2  . 2 2 1   1. Tªm c†c gi† tr¡ riòng, v¥c tö riòng c“a A. 2. D°ng toùn phõöng ω tròn không gian v¥c tö Euclid R3 cho bÕi T ω (x)= x1 x2 x3 A x1 x2 x3 , x = x1 x2 x3 .    Tªm mÀt cö sÕ tr⁄c chu≠n c“a không gian R3 lù cö sÕ ch¿nh t•c c“a ω. Viπt d°ng ch¿nh t•c c“a ω tõöng Ÿng vœi cö sÕ ú≈. C©u IV. Giû s◊ E lù không gian v¥c tö Euclid n-chi∂u. 1. ChŸng minh r¢ng nπu {u1,u2, ,un} lù mÀt cö sÕ tr⁄c chu≠n c“a E thª m i v¥c tö x thuÀc E ú∂u c≈ th∑ bi∑u di∏n dõœi d°ng n x = (x.ui) ui. Xi=1 2. Giû s◊ L, M lù c†c không gian con c“a E vù dim L< dim M. Chõng minh r¢ng t«n t°i v¥c tö u ∈ M, u =6 0 sao cho (u.y) = 0 vœi m∆i y ∈ L.
  14. èõi hπc Quèc gia Hµ Néi §Ò thi tuyÓn sinh sau ®¹i häc n¨m 2006 ®ît 2 M«n thi c¬ b¶n: §¹i sè Thêi gian lèm bèi: 180 phøt Câu I. XÐt vµnh ®a thøc R[x] Èn x hÖ s th⁄c. ChŸng minh r¢ng 1. ï i vœi m i úa thŸc f(x) thuÀc R[x] t∞p f (x) R [x]= {g (x)= f (x) h (x) : h (x) ∈ R [x]} lù mÀt idean c“a vùnh R[x]. 2. ï i vœi m i idean I =6 {0} c“a vùnh R [x] t«n t°i duy nhØt úa thŸc d°ng chu≠n p (x) sao cho I = p (x) R [x]. C©u II. Trong không gian Euclid R4 x¥t h∫ v¥c tö u1 = (1,a, 2, 1) , u2 = (1, 1,b, 0) , u3 = (1,b, 2, 1) . 1. Vœi nhÿng gi† tr¡ nùo c“a c†c tham s a, b thª h∫ {u1,u2,u3} úÀc l∞p tuyπn t¿nh, ph’ thuÀc tuyπn t¿nh. 2. Tªm mÀt cö sÕ c“a ph¨n b— tr⁄c giao L? c“a không gian con L sinh bÕi h∫ {u1,u2,u3} vœi a = b = 1. C©u III. X¥t ph¥p biπn ú»i tuyπn t¿nh f trong không gian v¥c tö R3 x†c ú¡nh bÕi f ((x,y,z)) = (8x − y − 5z, −2x + 3y + z, 4x − y − z) . 1. Tªm c†c gi† tr¡ riòng, v¥c tö riòng c“a f, c“a f n, n > 0. 2. Tªm mÀt cö sÕ c“a không gian R3 sao cho ma tr∞n B c“a f ú i vœi cö sÕ ú≈ lù ma tr∞n tam gi†c. Viπt ma tr∞n B. C©u IV. X¥t d°ng song tuyπn t¿nh g tròn K-không gian v¥c tö n-chi∂u V thoû mün úi∂u ki∫n g(x,x)= vœi m∆i x thuÀc V . ChŸng minh r¢ng 1. g(x, y) = −g(y,x) vœi m∆i x, y thuÀc V . 2. Nπu g không suy biπn thª m i v¥c tö u thuÀc V , v =6 {0}, luôn luôn t«n t°i v¥c tö v thuÀc V sao cho g(u, v) = 1.
  15. èõi hπc Quèc gia Hµ Néi §Ò thi tuyÓn sinh sau ®¹i häc n¨m 2007 ®ît 1 M«n thi c¬ b¶n: §¹i sè Thêi gian lèm bèi: 180 phøt Câu I. Ph¨n t◊ a thuéc nhãm (G, ◦,e) gäi lµ cã cÊp h÷u h°n p nπu p lù s nguyòn dõöng nh√ nhØt sao cho ap = e. Giû s◊ G lù mÀt t∞p h–p hÿu h°n c≈ n ph¨n t◊. ChŸng minh r¢ng 1. M i ph¨n t◊ a thuÀc nh≈m (G, ◦,e) ú∂u c≈ cØp hÿu h°n. 2. Vœi m∆i a, b thuÀc nh≈m (G, ◦,e) c†c ph¨n t◊ a ◦ b vù b ◦ a c≈ cØp b¢ng nhau. C©u II. 1. X†c ú¡nh s chi∂u c“a không gian nghi∫m N0 c“a h∫ phõöng trªnh tuyπn t¿nh thu¨n nhØt sau úóy theo tham s th⁄c a x1 + ax2 − x3 + 2x4 = 0, 2x1 − x2 + ax3 + 5x4 = 0, x1 + 10x2 − 6x3 + x4 = 0. 4 2. Cho a = 3, tªm ph¨n b— tr⁄c tiπp c“a N0 trong không gian v¥c tö R . C©u III. Trong không gian v¥c tö Euclid R3 x¥t ph¥p biπn ú»i tuyπn t¿nh f cho bÕi f ((x1,x2,x3)) = (3x1 + 2x2, 2x1 + 4x2 − 2x3, −2x2 + 5x3) . 1. ChŸng minh r¢ng f lù ph¥p biπn ú»i ú i xŸng. 2. Tªm cö sÕ tr⁄c chu≠n c“a không gian v¥c tö Eucild R3 lù c†c v¥c tö riòng c“a f vù cho biπt ma tr∞n c“a f ú i vœi cö sÕ ú≈. C©u IV. X¥t d°ng song tuyπn t¿nh không suy biπn g tròn K-không gian v¥c tö n-chi∂u V . Giû s◊ r¢ng d°ng song tuyπn t¿nh g1 tròn không gian v¥c tö con r-chi∂u F cho bÕi g1(x, y) = g(x, ) vœi m∆i x, y thuÀc F lù mÀt d°ng không suy biπn. X¥t t∞p F ? = {x ∈ V : g (x, y) = 0 vœi m∆i y ∈ F } . ChŸng minh r¢ng 1. F ? lù mÀt không gian con vù F ? ∩ F = {0}. 2. V = F ⊕ F ?.