›
›

Đề thi chọn học sinh giỏi giải Toán trên máy tính Casio Lớp 12 THPT - Năm học 2009-2010

pdf 60 trang phuongnguyen 2830
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề thi chọn học sinh giỏi giải Toán trên máy tính Casio Lớp 12 THPT - Năm học 2009-2010", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfde_thi_chon_hoc_sinh_gioi_giai_toan_tren_may_tinh_casio_lop.pdf

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi giải Toán trên máy tính Casio Lớp 12 THPT - Năm học 2009-2010

  1. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT Điểm của toàn bài thi Các giám khảo Số phách Bằng số Bằng chữ (Họ, tên và chữ ký) (Do Chủ tịch Hội đồng chấm thi ghi) Giám khảo 1: Giám khảo 2: Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy. 2x2 5 x 3 Bài 1 : Cho hàm số y f() x 3x2 x 1 Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho. Cách giải Kết quả AB Bài 2 : Tính gần đúng hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số : 3 2 32 3 3 (C1 ) : y f ( x ) 2 x x 3 x 1 và (C2 ) : y g ( x ) x 2 2 x 3 x 1 . Cách giải Kết quả x1 x2 x 3 Bài 3 Cho hai dãy số ()un và ()vn có : u1 1; v 1 2; un 1 22 v n 15 u n ; v n 1 17 v n 12 u n ,( n 1) . a/ Tính u5,,,,,,, u 10 u 15 u 18 v 5 v 10 v 15 v 18 b/ Lập quy trình ấn phím.
  2. Cách giải Kết quả Quy trình ấn phím : Bài 4 Tìm số tự nhiên thứ 2010 sau dấu phẩy khi chia 1 cho 23 Cách giải Kết quả Bài 5 : Cho hàm số y f( x ) 2 x3 3( a 3) x 2 18 ax 8 . Tìm a để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành. Cách giải Kết quả Bài 6 : Người ta cắt một tờ giấy hìnhvuông cạnh bằng 1 để gấp thành một hình chóp tứ giác đều sao cho bốn đỉnh của hình vuông dán lại thành đỉnh của hình chóp .Tính cạnh đáy của khối chóp để thể tích lớn nhất.
  3. Cách giải Kết quả Bài 7 : Một người được lĩnh lương khởi điểm là 700.000đ/tháng. Cứ ba năm anh ta lại được tăng lương thêm 7%. Hỏi sau 36 năm làm việc anh ta được lĩnh tất cả bao nhiêu tiền (Lấy chính xác đến hàng đơn vị). Cách giải Kết quả
  4. CÁCH GIẢI, ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN CHO ĐIỂM Điểm Điểm Bài Cách giải Đáp số từng toàn phần bài 13x2 22x 8 11 17 * y' 2 ; y' 0 x 3x x 1 13 11 17 11 17 0,75x * ShiftSTOA, ShiftSTOB 1 13 13 AB 1,4184 2 1,5 * f(A)ShiftSTOC, f(B)ShiftSTOD *AB (ALPHA A ALPHA B)2 (ALPHA C ALPHA D) 2 * Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình : 3 23 2 3 3 2x x 3 x 1 x 2 2 x 3 x 1 x1 1,6180 0.25 * 2ALPHA X SHIFT x3– ALPHA X x2 – 3ALPHA X 2 3 2 x 0,6180 1.25 1.5 – 1 ALPHA = SHIFT ALHA X x + 2  – SHIFT 1 3 ALHA X SHIFT x3 – 3 ALPHA X +1 x 0,5 1 * 1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B 1 SHIFT STO X u5 767 ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1 ALPHA : u 192547 0,5 ALPHA C ALPHA = 22 ALPHA B – 15 ALPHA A 10 ALPHA : ALPHA D ALPHA = 17 ALPHA B -12 u15 47517071 0,25x ALPHA A ALPHA : ALPHA X ALPHA = ALPHA u18 1055662493 4 3 1.5 X + 1 ALPHA : ALPHA A ALPHA = 22 ALPHA D v 526 – 15 ALPHA C ALPHA : ALPHA B ALPHA = 17 5 ALPHA D -12 ALPHA C CALC = = = đến khi v10 135434 X = X + 1 bằng một trong các giá trị 5; 10; 15; 18 thì v5 34219414 ấn thêm : = = = rồi ghi kết quả v5 673575382 1 * 0,(0434782608695652173913) 23 Số thập phân thứ 0,5x2 4 1.0 * 2010 ≡ 8 (mod 22) 2010 sau dấu phẩy * số cần tìm là 8 là 8
  5. * ĐTHS tiếp xúc Ox k.v.c.k hpt sau có nghiệm : 2x3 3(a 3)x 2 18ax 8 0 a 1 0,5 2 a 1,2963 6x 6(a 3)x 18a 0 0,5x2 a 8,8990 2x3 3(a 3)x 2 18ax 8 0 5 a 0,8990 1.5 x 3 x a 27a 35 0 3 2 a 9a 8 0 2 * Gọi cạnh đáy hình chóp là x, x (0; ) . 2 Chiều cao của hình chóp là : 2 2 2 x x 1 x 2 h 2 2 2 2 Thể tích của khối chóp : 4 5 12 1 x 2 1 x x 2 6 V x 1.5 3 2 3 2 2 * Xét hàm số : y x4 x 5 2 trên (0; ) 0,75x 2 2 x 0 (l) 3 4 y' 4x 5x 2;y' 0 2 2 Cạnh đáy khối chóp x (n) là : x 0,5657 . 5 BBT : x 2 2 2 0 5 2 y’ ║ + 0 - ║ y ║ ║ ║ ║ 2 2 Vậy khi x thì khối chóp đạt GTLN 5
  6. * Từ đầu năm thứ 1 đến hết năm thứ 3, anh ta nhận được : u1 700.000x36 đ * Từ đầu năm thứ 4 đến hết năm thứ 6, anh ta nhận 0 được : u2 700.000(1 70 )x36 đ * Từ đầu năm thứ 7 đến hết năm thứ 9, anh ta nhận 450788972 đ 0,75x được : u 700.000(1 70 )2 x36 đ 3 0 2 7 1.5 * Từ đầu năm thứ 34 đến hết năm thứ 36, anh ta nhận 0 11 được : u12 700.000(1 70 ) x36 đ Vậy sau 36 năm anh ta nhận được tổng số tiền là : u1 u 2 u 3 u 12 = 1 (1 70 )12 700000x36x0 450788972 đ 0 1 (1 70 )
  7. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy Bài 1. ( 5 điểm) Cho các hàm số f() x 2008 x 5 3 x 2009 x 2 2007,( x 0) . Tính các giá trị sau: f(1);f( 2) ;f( 2009);f( 2008 2009 ) Cách giải Kết quả Bài 2. ( 5 điểm) 1) Tính gần đúng nghiệm của phương trình: 7x2+ 8y 2 = 2360 . Cách giải Kết quả 1 2 99 100 2) Tính tổng S . Lấy nguyên kết quả hiện trên màn hình. 2 3 3 4 100101 101102 Cách giải Kết quả Bài 3. ( 5 điểm) Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình: sin2 2x 4(sin x cos x ) 3 Cách giải Kết quả Bài 4. ( 5 điểm) Cho 2 dãy số un  và vnvới : u1 1; v 1 2 un 1 22 v n 15 u n với n = 1, 2, 3, , k, vn 1 17 v n 12 u n
  8. 1. Tính u5,,,,;,,,, u 10 u 15 u 18 u 19 v 5 v 10 v 15 v 18 v 19 2. Viết quy trình ấn phím liên tục tính un 1 và vn 1 theo un và vn . Cách giải Kết quả Bài 5. ( 5 điểm) 1) Xác định các hệ số a, b, c của hàm số f(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 biết rằng f(x) chia cho (x – 16) 10873 có số dư là 29938 và chia cho (x2 – 10x + 21) có biểu thức số dư là x 3750 . 16 2) Tính chính xác giá trị của biểu thức số: P = 3 + 33 + 333 + + 33 33 13 chữ số 3 Cách giải và quy trình bấm phím Kết quả 1) 2) Bài 6. ( 5 điểm) 1. Tìm chữ số tận cùng của số: 20092008 . 2. Tìm UCLN của 40096920 , 9474372 và 51135438. Cách giải Kết quả 1) 2) Bài 7. ( 5 điểm) 1) Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có ba chữ số là abc sao cho abc a3 b 3 c 3 . Có còn số nguyên nào thỏa mãn điều kiện trên nữa không ? Nêu sơ lược cách tìm. 2) Cho dãy số có số hạng tổng quát : un sin(2 sin(2 sin(2  sin2) (n lần chữ sin) Tìm n0 để với mọi n n0 thì un gần như không thay đổi (chỉ xét đến 10 chữ số thập phân), cho biết u giá trị n0 . Nêu qui trình bấm phím.
  9. Cách giải và quy trình bấm phím Kết quả 1) abc 2) Bài 8. ( 5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A(-1; 3) cố định, còn các đỉnh B và C di chuyển trên đường thẳng đi qua 2 điểm M(-3 ; -1), N(4 ; 1). Biết rằng góc ABC 300 . Hãy tính tọa độ đỉnh B. Cách giải Kết quả Bài 9. ( 5 điểm) Cho hình ngũ giác đều nội tiếp trong đường tròn (O) có bán kính R = 3,65 cm. Tính diện tích (có tô màu) giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính AB là cạnh của ngũ giác đều và đường tròn (O) (hình vẽ). Cách giải Kết quả 3 1 Bài 10. ( 5 điểm) Cho tam giác ABC có các đỉnh A(9; 3) , B ; và C 1; 7 . 7 7 1) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn, biết tiếp tuyến đi qua điểm M 4;1 . Cách giải Kết quả Hết
  10. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT Thí sinh làm trực tiếp vào bản đề thi này, nếu không có yêu cầu gì thêm hãy làm tròn với năm chữ số thập phân. Câu 1: Cho đa thức f(x) bậc 3 với hệ số của x3 là k, k nguyên dương thỏa mãn: f(2009) = 2010; f(2010) = 2011 Chứng minh rằng: f(2011) – f(2008) là số lẻ. Cách giải Kết quả a 0 1 Câu 2: Tìm a2009 biết n( n 1) an 1 ( a n 1) ; n N * (n 2)( n 3) Cách giải Kết quả Câu 3: Tính chính xác ƯCLN và BCNN của hai số a = 24614205, b = 10719433
  11. Cách giải Kết quả Câu 4: Tìm tất cả các số có 6 chữ số thỏa mãn hai tính chất sau: 1) Số tạo thành bởi ba chữ số cuối lớn hơn số tạo thành bởi ba chữ số đầu 1 đơn vị. 2) Là số chính phương. Cách giải Kết quả Câu 5: Tính diện tích phần gạch chéo(được giới hạn trong 4 cung tròn như hình vẽ), biết ABCD là hình vuông cạnh 5,35 cm; M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
  12. A N B M P D Q C Cách giải Kết quả  3  Câu 6: Cho sinx 0,3 0 x ; cos y 0,3  y 2 2 Tính gần đúng giá trị của biểu thức sau tan5 (x 2 2 y 2 ) cot 5 ( x 2 2 y 2 ) P sin7 (x y ) cos 7 ( x y ) Cách giải Kết quả
  13. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Điểm Điểm Bài Cách giải Đáp số toán TP bài - Tìm đa thức phụ: đặt g(x) = f(x) + (ax + b). Tìm a, b để g(2009) = g(2010) = 0. Ta được g(x) = f(x) – x – 1. 1 - Tính giá trị của f(x) ta được 5 f(x) = k(x – 2009)(x – 2010)(x – x0) + x + 1 Từ đó tính được f(2011) – f(2008) = 3(2k + 1) là số lẻ với mọi k nguyên dương - Tính vài số hạng đầu bằng quy trình: 1SHIFT STO A 0 SHIFT STO B ANPHA C ANPHA ANPHA A( ANPHA A 1 ) ( (ANPHA A 2 ) ( ANPHA A 3 ) ) 2.5 (ANPHA B 1 ) ANPHA : ANPHA A ANPHA ANPHA A 1) ANPHA : ANPHA B ANPHA ANPHA C 1 7 27 11 13 9 2 Ta được dãy: , , , , , , 5 6 20 50 15 14 8 n 1 2 n 1 Dự đoán số hạng tổng quát a , n 10 n 1 chứng minh bằng quy nạp. 401,5001 2.5 2008.4019 Từ đó ta được a 2009 20100 Dùng thuật toán Euclide ƯCLN(24614205, 10719433) = 21311 21311 2.5 3 BCNN(24614205, 10719433) = 5 24614205.10719433 12380945115 12380945115 2.5 21311 - Gọi số cần tìm là: n a1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 - Đặt x a1 a 2 a 3 . Khi ấy x a4 a 5 a 6 x 1 và 2 183184, n 1000 x x 1 1001 x 1 y hay 328329, 5 4 y 1 y 1 7.11.13 x . Vậy hai trong ba số 528529, nguyên tố 7, 11, 13 phải là ước của một trong hai 715716 thừa số của vế trái và số còn lại phải là ước của thừa số còn lại của vế trái. Diện tích hình gạch chéo MNPQ bằng diện tích hình vuông ABCD trừ 4 lần diện tích của một 5 phần tư hình trong bán kính a/2. 6,14cm2 5 1  a 2 a2 4  S a2 4. . MNPQ 4 4 4
  14. tan5 (x 2 2 y 2 ) cot 5 ( x 2 2 y 2 ) P sin7 (x y ) cos 7 ( x y ) SHIFTsin 0.3 SHIFT STO A SHIFTcos ( 0.3 ) 2 SHIFT 2 2 (( tan (ANPHA A X 2 ANPHA B X ) ^5 5 6 978,7071 ( tan (ANPHA A X2 2 ANPHAB X 2 ) ^ 5)  ( ( sin (ANPHA A ANPHA B ) ) ^ 7 ( cos (ANPHA A ANPHA B ) ^ 7
  15. ĐỀ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT Nếu không có yêu cầu gì thêm, hãy tính chính xác đến 4 chữ số thập phân. Bài 1: (3 điểm) Tính gần đúng các nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình 3(sinx cos x ) 5sin x cos x 2 Bài 2: (3 điểm) Tính gần đúng giá trị của a và b nếu đường thẳng y ax b đi qua điểm A(5;2) và là tiếp x2 y 2 tuyến của Elip 1 16 9 Bài 3: (3 điểm) Cho biết tanx = tan350.tan360.tan370 .tan520.tan530 và 00 < x < 900 tan2x (1 c os 3 x ) cot 2 x (1 sin 3 x ) Tính M (c os3 x sin 3 x )(1 c osx + sinx) Bài 4: (3 điểm) Một số tiền 58000 đồng được gửi tiết kiệm theo lãi kép. Sau 25 tháng được cả vốn lẫn lại là 84155 đ. Tính lãi suất/tháng. 2sinx 3cos x 1 Bài 5: (3 điểm) Tính gần đúng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y cosx + 2 2x2 3 x 5 2sin x Bài 6: (3 điểm) Cho các hàm số f();() x g x . x2 1 1 cos 4 x Hãy tính giá trị của các hàm hợp g( f ( x )) và f( g ( x )) tại x 3 5 . Bài 7: (5 điểm) Cho dãy số un xác định bởi: u1 1; u 2 2; u 3 3; ; un 1 u n 2 u n 1 3 u n 2 n 3 a) Tính giá trị của u4,,, u 5 u 6 u 7 b) Viết quy trình bấm phím để tính un 1? c) Sử dụng quy trình bấm phím trên để tính u10,,, u 21 u 25 u 28 Bài 8: (3 điểm) Tính tổng diện tích hình nằm giữa hình thang và ngoài hình tròn (phần màu đậm) biết chiều dài hai đáy hình thang là 3m và 5m, diện tích hình thang bằng 20m2. 2x2 7 x 4 3 Bài 9: (3điểm) Cho hàm số y = . Tính y(5) tại x = x2 5 x 6 5 Bài 10: (3 điểm) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB =7 2 , BC = 6 2 ,CD = 5 2 ,BD= 4 2 và chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng (BCD) là trọng tâm của tam giác BCD. Tính VABCD. x Bài 11: (5 điểm) Cho phương x log6 47 6 m 1 a) Tìm các nghiệm gần đúng của phương trình khi m = 0,4287 b) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của m để phương trình (1) có nghiệm 2 3 15 Bài 12: (3 điểm) Cho đa thức P x 1 x 21 x 31 x 151 x 2 15 Được viết dưới dạng P x a0 a 1 x a 2 x a 15 x . Tìm hệ số a10 Hết 1
  16. ĐÁP ÁN Bài 1: Tính gần đúng các nghiệm ( độ, phút, giây ) của phương trình 3(sinx cos x ) 5sin x cos x 2 Cách giải Kết quả Điểm Đặt t sin x cos x 2 sin( x 450 ), t 2 0.5 x 270 26'32,75" k 360 0 t 2 1 1 Suy ra sinx .cos x 2 0 0 3 14 x 62 33'27,25" k 360 t1 2 1 2 5 Pt 5t 6 t 1 0 3 14 t2 0 0 5 x3 51 1'14,2" k 360 0 3 14 sin(x 45 ) 1 5 2 0 0 x 141 1'14, 2" k 360 3 14 4 sin(x 450 ) 5 2 0.5 Bài 2: Tính gần đúng giá trị của a và b nếu đường thẳng y ax b đi qua điểm A(5;2) và là tiếp tuyến của x2 y 2 Elip 1 16 9 Cách giải Kết quả Điểm Do điểm A(5;2) thuộc đường thẳng 1 (d): y ax b , a 2,44907 1 nên ta có 5a + b = 2 (1) b1 10, 24533 Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Elip: a 0, 22684 1 A2 a 2 B 2 b 2 C 2 16 a 2 9 b 2 (2) 2 2 b2 3,13422 Thay (1) vào 2) : 9a 20 a 5 0 (*) Vào Equation giải phương trình bậc hai (*) ta 1 được kết quả. Bài 3: (3 điểm) Cho biết tanx = tan350.tan360.tan370 .tan520.tan530 và 00 < x < 900 tan2x (1 c os 3 x ) cot 2 x (1 sin 3 x ) Tính M (c os3 x sin 3 x )(1 c osx + sinx) Cách giải Kết quả Điểm tanx = tan350 tan360 1 x = 26,96383125 M= 2,483639682 2 Bài 4: (3 điểm) Một số tiền 58000 đồng được gửi tiết kiệm theo lãi kép. Sau 25 tháng được cả vốn lẫn lại là 84155 đ. Tính lãi suất/tháng. 2
  17. Cách giải Kết quả Điểm A: số tiền có được sau n tháng, a: số tiền 1 gửi ban đầu, r: lãi suất và n: số tháng 1,5% Suy ra công thức lãi kép A = a( 1+ r)n. Từ đây suy ra 1 A r n 1. Bấm máy ta được kết quả a 1 Bài 5: 2sinx 3cos x 1 (3 điểm) Tính gần đúng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y cosx + 2 Cách giải Kết quả Điểm 2sinx 3cos x 1 4, 270083225 y 0,936749892 1 Ta biến đổi y về cosx + 2 phương trình: 2sinx + (3 – y)cosx =2y + 1 Vậy pt có nghiệm khi 2 2 1 22 3 y 2 y 1 . Suy ra: 5 61 5 61 y 3 3 1 Bài 6: 2x2 3 x 5 2sin x (3 điểm) Cho các hàm số f();() x g x . x2 1 1 cos 4 x Hãy tính giá trị của các hàm hợp g( f ( x )) và f( g ( x )) tại x 3 5 . Cách giải Kết quả Điểm Đổi đơn vị đo góc về Radian 2sinY 1 g() Y 2XX2 3 5 4 Gán 3 5 cho biến X, Tính Y , ta được giá 1 cos Y X 2 1 g( f ( x )) 1.997746736 trị Y 1,523429229 và lưu vào bộ nhớ Y (STO Y), Tính 1 f( g ( x )) 1,784513102 2sinY g() Y 4 g (()) f x 1.997746736. 1 cos Y Làm tương tự ta cũng được: 1 f( g ( x )) 1,784513102 Bài 7: (5 điểm) Cho dãy số un xác định bởi: u1 1; u 2 2; u 3 3; ; un 1 u n 2 u n 1 3 u n 2 n 3 a) Tính giá trị của u4,,, u 5 u 6 u 7 b) Viết quy trình bấm phím để tính un 1? c) Sử dụng quy trình bấm phím trên để tính u10,,, u 21 u 25 u 28 Cách giải Kết quả Điểm 3
  18. 1 a) u1 10; u 2 22; u 6 51; u 7 125 u1 10; u 2 22; a) b) Quy trình bấm phím u 51; u 125 Nhập biểu thức: 6 7 X = X + 1 : D = C + 2B + 3A :A= = B: B = C: C = D u 1657; u 22383417; 10 21 1 Với các giá trị ban đầu: X = 3; A = 1; B = 2; C c) u 711474236; = 3 25 u28 9524317645 1 Bài 8: (3 điểm) Tính tổng diện tích hình nằm giữa hình thang và ngoài hình tròn (phần màu đậm) biết chiều dài hai đáy hình thang là 3m và 5m, diện tích hình thang bằng 20m2. Cách giải Kết quả Điểm Diện tích hình thang: 20m2. 7.4378cm2 1 2 Diện tích một quạt lớn: Squạt lớn = 4.2919 m . 2 Diện tích một quạt nhỏ: Squạt nhỏ = 1.9829 m . 1 Diện tích phần cần tìm: S = Shình thang – 2(Squạt lớn + Squạt nhỏ) 1 2x2 7 x 4 3 Bài 9: Cho hàm số y = . Tính y(5) tại x = x2 5 x 6 5 Cách giải Kết quả Điểm 3x 16 AB 3 1 y = 2 = 2 . y(5)( ) - 154,97683 (x 2)( x 3) (x 2) ( x 3) 5 Suy ra 3x – 16 = (A + B)x – (3A + 2B) A = 10, B = -7. 1 10 7 Do đó y = 2 + . x 2 x 3 n! n! Suy ra y(n) = ( -1)n+1.7. + ( -1)n.10. 1 (x 3)n 1 (x 2) n 1 Bài 10: (5 điểm) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB =7 2 , BC = 6 2 ,CD = 5 2 ,BD= 4 2 và chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng (BCD) là trọng tâm của tam giác BCD. Tính VABCD. Cách giải Kết quả Điểm Đặt a = AB = 7 2 ; b = CD = 5 2 ; 1 c = BD = 4 2 ; d = BC = 6 2 Ta có nửa chu vi tam giác BCD: p = (b + c + d)/2 và S = p( p b)( p c)( p d) 1 1 Trung tuyến BB’ = 2c 2 2d 2 b 2 2 VABCD 59,32491 (đvdt) 1 4
  19. 2 1 BG = BB’ = 2c 2 2d 2 b 2 3 3 AG = AB 2 BG 2 . 1 Vậy V = S.AG 3 Bài 11: x Cho phương x log6 47 6 m 1 a) Tìm các nghiệm gần đúng của phương trình khi m = 0,4287 b) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của m để phương trình (1) có nghiệm Cách giải Kết quả Điểm x a) Đặt XX 6 0 a) 1 x 2,4183; x 1,7196 2 m 1 2 Quy về: XX 47 6 0 (2) Giải ra được: XX1 46,9541; 2 0,04591 1 b) (1) có nghiệm (2) có nghiệm X > 0 Lập bảng biến thiên suy ra b) m = 3 2 m 47 1 6 m 3,523910966 4 2 3 15 Bài 12: Cho đa thức P x 1 x 21 x 31 x 151 x 2 15 Được viết dưới dạng P x a0 a 1 x a 2 x a 15 x . Tìm hệ số a10 Cách giải Kết quả Điểm 10 0 1 10 10 1 10 1 x 10 C C x C x a0 63700 10 10 10 11 1 x 11 11 C0 C 1 x C 10 x 10 C 11 x 11 11 11 11 11 12 10 10 121 x 12 C12 x 1 13 10 10 131 x 13 C13 x 14 10 10 141 x 14 C14 x 15 10 10 1 15 1 x 15 C15 x 10 10 10 10 10 a10 10 C 10 11 C 11 12CCC12 13 13 14 14 10 15C15 63700 5
  20. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới 5 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy 3 x 3 x Bài 1. ( 10 điểm) Cho hàm số : f() x 2 . Tính tổng: log3 x 12 S = f(cot21) + f(cot22) + f(cot23) + + f(cot220) Bài 2. (10điểm) Tính gần đúng nghiệm (theo đơn vị độ, phút, giây) của phương trình: sinx.sin2x + sin3x = 6cos3x Bài 3. (10 điểm) Tính gần đúng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 2cos2 x (x 2 1).sinx 3 f(x) trên [0;1] x2 x 1 x x x 2 6 Bài 4. (20 điểm) a) Tìm x biết : A13 C 23 Px 1 x (2 x 3) 33772562 với Pn là số hoán vị của n k k phần tử, An là số chỉnh hợp chập k của n phần tử, Cn là số tổ hợp chập k của n phần tử. 1 b) Tìm hệ số của các số hạng chứa x8 và x19 trong khai triển nhị thức Niutơn của () x 5 n , biết x3 n 1 n rằng: C16 C 15 7( n 3) ( n: nguyên dương, x > 0) Bài 5. ( 30điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và AB = 3,54 cm; AD = 4,35 cm; SA = 5,22 cm. Lấy các điểm B’, D’ theo thứ tự thuộc SB, SD sao cho AB’ vuông góc với SB, AD’ vuông góc với SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Bài 6. ( 10điểm) Tính giá trị của biểu thức: N = 20 12 20122001 20 12 20122002 20 12 20122008 20 12 20122009 Bài 7.( 10điểm) Tính gần đúng đạo hàm cấp 30 của hàm số: f(x) = sin2x tại x = 201209 5 Hết
  21. ĐÁP ÁN (Dành cho máy FX- 570ES) Bài 1. ( Chế độ: Rad) 2 1 1 2 tan(X ) 3 ( ) 3 tan(X ) Cách 1: X = X + 1: A = A + 2 2 1 log 12 3 tan(X ) CALC 0 X, 0 A = = cho đến khi X nhận giá trị 20 thì dừng, đọc kết quả ở biến B Kết quả: S 160,0595 2 1 1 2 tan(X ) 3 X 20 ( ) 3 tan(X )  2 Cách 2: Khai báo : 2 X 1 1 log 12 3 tan(X ) Bài 2. Biến đổi phương trình: sinx.sin2x + sin3x = 6cos3x thành: 0 0 tanx 1,732050808 x 60 k .180 3 2 0 0 4tan x- 2tan x – 3tanx + 6 = 0 t anx 2 x 63 26'6'' k .180 tanx 1,732050808 0 0 x 60 k .180 Bài 3. ( RAD, TABLE) 2cos2 X (X 2 1).sinX 3 Nhập hàm: f() X = XX2 1 Start? 0 = End? 1 = Step? 0,04 = Suy ra minf ( x ) f (0) 5 [0;1] AC Start? 0,44 = End? 0,56 = Step? 0,005 = AC Start? 0,48 = End? 0,5 = Step? 0,001 = Suy ra maxf ( x ) 6,7389 [0;1] Bài 4. a) Điều kiện: n nguyên dương, n 13. XXX 2 6 Khai báo : X = X + 1: ACPXX13 2XX 1 1 (2 3) 33772562 CALC 0 A = = cho đến khi biểu thức bằng 0, ứng với X = 11 b) Điều kiện: n nguyên dương, n 15. YY 1 * Khai báo: Y = Y + 1 : CCY16 15 7( 3) CALC 0 Y = = cho đến khi biểu thức bằng 0, ứng với Y =12 = n
  22. 5 11k 1 12 12 36 ()()(). x5 12 Ck x 3 12 k x2 k C k x 2 * 3 12  12 x k 0 k 0 11k 44.2 -36+ 8 k 8 .Hệ số của x8 là: C8 495 2 11 12 11k 55.2 -36+ 19 k 10 .Hệ số của x19 là: C10 66 2 11 12 Bài 5. +Chứng minh và tính toán: * Đặt: AB = a,AD = b, SA = c * Dựng C’:Trong (ABCD), gọi: O = AC BD S Trong (SBD), gọi: I = SO B’D’ C' Trong (SAC): AI  SC = C’ B' * BC AB, AB (ABCD) SA  BC BC  (SAB) D' I c BC AB’, mà: AB’SB AB’ (SBC) AB’SC (1) Tương tự AD’ SC (2) a (1) & (2) SC (AB’C’D’) SC AC’ A B b VS.'' AB C SB'' SC VS.'' AC D SC'' SD * . ; . O VS. ABC SB SC VS. ACD SC SD 1 1 D C * VS.ABC= SA. SABC = abc=VS.ACD 3 6 SA. AB ac * SAB vuông tại A có: SB = SA2 AB 2 a 2 c 2 và SA.AB=Ab’.SB AB' SB a2 c 2 2 2 4 2 2 2 2 a c c c SB’ = SA AB' c 2 2 2 2 a c a c a2 c 2 c2 c2 *Tương tự: SD’ = ; SC’ = b2 c 2 a2 b 2 c 2 Do đó: SB'' SC abc5 SC'' SD abc5 VS.AB’C’ = VS.ABC. . VS.AC’D’ = VS.ACD. . SB SC6( a2 c 2 )( a 2 b 2 c 2 ) SC SD6( a2 b 2 c 2 )( b 2 c 2 ) abc5 1 1 abc 5 ( a 2 b 2 2 c 2 ) Vậy: VS.AB’C’D’= VS.AB’C’ +VS.AC’D’ = 2222222 2222222 6(abcacbc ) 6( abcacbc )( )( ) A. BC5 ( A 2 B 2 2 C 2 ) + Khai báo: 6(ABCACBC2 2 2 )( 2 2 )( 2 2 ) 3 CALC 3,54 A; 4,35 B;5,22 C +Kết quả: VS.AB’C’D’ 7,9297 (cm ) Bài 6. Khai báo: A = A – 1: B = 20 12 AB CALC 20122010 A, 0 B = = cho đến khi A = 20122001 thì dừng, đọc kết quả ở B Kết quả: 2088,5103 Bài 7. f’(x) = 2sinx.cosx = sin2x; f’’(x) = 2cos2x = 2sin(2x + ) 2 f’’’(x) = 22.cos(2x + ) = 22.sin(2x + 2. ); f(30) (x) = 229.sin(2x + 29. ) 2 2 2 f(30) (201209 ) = 229.sin(2.201209 + 29. ) 165902235,9 5 5 2
  23. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT ( Làm tròn 4 chữ số thập phân ) Bài 1: Tìm các số nguyên dương x và y sao cho x2 + 2y2 = 2009. sinx Bài 2: Cho hàm số f() x .Tính f(f( f(f(2)) )) (có 2009 chữ f). x x2 2 x 3 Bài 3: Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số y cách đều hai trục toạ độ. 4x 2 5 Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi bình phương số đó ta được số tự nhiên có dạng 2009 2009 . Bài 5: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Biết rằng P(1) = 8, P(2) = 18, P(3) = 32, P(4) = 50, P(5) = 72. Tính P(30). Bµi 6: Tìm các nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình: 3 3sinx cosx 2 . 3sinx cos x Bài 7: Cho dãy số (un) thoả mãn điều kiện sau: u1 1 u2 1 un 2 2 u n 1 3 u n Hãy tính tổng 22 số hạng đầu tiên của dãy số (un). x2 y 2 Bài 8: Cho điểm A nằm tuỳ ý trên elíp (E): 1 và điểm B nằm tuỳ ý trên đường 16 9 thẳng 5x – 7y – 35 = 0.Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB. Bài 9: Ông A gửi tiết kiệm 100 triệu đồng với lãi suất không đổi r = 0,7% một tháng. Mỗi tháng ông A phải rút ra 1 triệu đồng để trả chi phí sinh hoạt. a) Hỏi số tiền ông A có được sau 1 năm là bao nhiêu? b) Hỏi sau bao nhiêu tháng (kể từ khi gửi tiền) thì ông A không thể rút ra được số tiền lớn hơn 90 triệu đồng? Bài 10: Cho tứ diện ABCD có AB = 1cm, AC = 2cm, AD=5cm. Và 2 1 0 BAC  CAD  BAD 40 . 3 2 Tính giá trị gần đúng thể tích của khối tứ diện ABCD.
  24. CÁCH GIẢI, ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN CHO ĐIỂM Bài Cách giải Đáp số Điểm x2 2009 2 y 2 0 0 y 31 0 Y 1 x = 21 2,0 Y 2 Y Y 1:X= (2009 2 ) y = 28 Mode Mode Mode Mode 2 (sử dụng đơn vị radian) sin 2 X 2 sin X 2 X 0.8767 2,0 X Bấm dấu = nhiều lần (17 lần) cho đến khi được một số không đổi 0.876726215 x2 2 x 3 Giả sử M(x:y) ĐTHS y cách đều hai trục toạ 4x2 5 2 x 2 x 3 M1(0,7024;0,7024) 3 độ, tức là 2 x 2,0 4x 5 M2(-0,4127;0,4127) Dùng lệnh SHIFT SOLVE (gán X=1 và gán X = 0.5) Bước 1: Tìm 4 chữ số tận cùng của số cần tìm x sao cho Có 6 số: 2 x 2009 . 3253,8253,1747, 4 Bước 2: Chèn vào giữa 2009đầu và 2009 cuối các số 0 rồi các 2997,6747,7997. 2,0 số 9(số các số 0 bằng số các số 9) Bước 3: Thử lại chỉ có 448253 thoả mãn bài toán Kết quả: 448253 P(1) = 8 =2.(1+1)2, P(2) =18 = 2(2+1)2, P(3) = 32 = 2(3+1)2, 5 P(4) = 50 = 2(4+1)2, P(5) = 72 = 2(5+1)2 P(30) = 14252522 2,0 Suy ra P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + 2(x+1)2 2 t 1 Đặt t 3sin x cos x thì t 2 t 3 0 t 3 Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là 0 0 x 180 k 360 0 0 Khi t = 1 thì 3sinx cos x 1 x 180 k 360 , 6 x 360 52'12" k 360 0 2,0 x 360 52'12" k 360 0 x 900 k 360 0 0 0 Khi t = -3 thì 3sinx cos x 3 x 90 k 360 , 0 0 x 53 7'48" k 360 x 530 7'48" k 360 0 2 DABX ,1 , 1 ,0 7 S 4092 2,0 DDABABABXXAB 2 : 2 3 : 2 3 : 22
  25. Vì đường thẳng :5x – 7y – 35 = 0 cắt tia Ox và tia Oy’ nên điểm A thuộc góc phần tư thứ tư. 3 2 Gỉa sử A( xAAAAA ; y ) ( E ), x 0, y 16 x 4 AB ngắn nhất khi B là hình chiếu vuông góc của A lên nên 5x 7 y 35 AB d(,) A AA 1,0 52 ( 7) 2 21 5x 16 x 2 35 AA4 74 21 2 Xét hàm số f( x ) 5 x 16 x 35,0 x 4 8 4 Ta có 21x 1,0 f'( x ) 5 0 4 16 x2 (vì x >0) 80 x 29 ABmin 0.6975 21x 80 SHIFT d/dx 5 , ) 3,4565 0 4 16 x 2 29 f(0) = -14, f(80/29) = -6, f(4) = -15 nên 15 f () x 6,  x (0;4] 6 Do đó AB nhỏ nhất bằng 0,6975 74 Sau n tháng ông A có số tiền là: C A(1 r )n (1 r ) n 1 (1 r ) n 2 (1 r ) 2 (1 r ) n n n (1 r ) 1 =A(1+r) (1 r ) 1 (1 r ) 1 a) Sau 1 năm số tiền của ông A là: 9 n 1,0 n (1 r ) 1 98,2651 triệu đồng C12 =A(1+r) (1 r ) 1 98,2651 (1 r ) 1 b) n 36 tháng 1,0 n (1 r ) 1 A(1+r) (1 r )190 n 35,4 (1 r ) 1
  26. Lấy M là trung điểm của AC và lấy điểm N trên cạnh AD sao cho AN = 1. Ta có AB = AM = AN = 1 nên hình chiếu vuông góc của điểm A lên mp(BMN) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN. ^ BM AB2 AM 2 2 ABAM . .cos BAM 2sin 20 0 BN 2sin 400 , MN 2sin30 0 1 BM BN MN p 2 S p( p BM )( p BN )( p MN ) BMN 10 BM BN MN OB , 4.S 2,0 BMN AK d( A ,( BMN )) AB2 OB 2 1 Thể tích khối chóp A.BMN là V'. AK S 3 BMN Gọi V là thể tích khối tứ diện ABCD thì 3 V' AB AM AN 1 1 1 0,0086 cm . . 1. . V AB AC AD 2 5 10 V' V 0,0086 10 Hết
  27. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT Bài 1: Tìm các số nguyên dương x và y sao cho x2 + 2y2 = 2009. sinx Bài 2: Cho hàm số f() x .Tính f(f( f(f(2)) )) (có 2009 chữ f). x Bài 3: Tìm điểm M trên trục hoành cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số x2 2 x 3 y . 4x 2 5 Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi bình phương số đó ta được số tự nhiên có dạng 2009 2009 . Bài 5: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Biết rằng P(1) = 8, P(2) = 18, P(3) = 32, P(4) = 50, P(5) = 72. Tính P(30). Bài 6: Tìm các nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình: 3 3sinx cosx 2 . 3sinx cos x Bài 7: Cho dãy số (un) thoả mãn điều kiện sau: u1 1 u2 1 un 2 2 u n 1 3 u n Hãy tính tổng 22 số hạng đầu tiên của dãy số (un). x2 y 2 Bài 8: Cho điểm A nằm tuỳ ý trên elíp (E): 1 và điểm B nằm tuỳ ý trên đường 16 9 thẳng 5x – 7y – 35 = 0.Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB. Bài 9: Ông A gửi tiết kiệm 100 triệu đồng với lãi suất không đổi r = 0,7% một tháng. Mỗi tháng ông A phải rút ra 1 triệu đồng để trả chi phí sinh hoạt. a) Hỏi số tiền ông A có được sau 1 năm là bao nhiêu? b) Hỏi sau bao nhiêu tháng (kể từ khi gửi tiền) thì ông A không thể rút ra được số tiền lớn hơn 90 triệu đồng? Bài 10: Cho tứ diện ABCD có AB = 1cm, AC = 2cm, AD=5cm. Và 2 1 0 BAC  CAD  BAD 40 . 3 2 Tính giá trị gần đúng thể tích của khối tứ diện ABCD.
  28. ĐÁP ÁN Bài Cách giải Đáp số Điểm x2 2009 2 y 2 0 0 y 31 0 Y 1 x = 21 2,0 Y Y 1:X= (2009 2Y 2 ) y = 28 Mode Mode Mode Mode 2 (sử dụng đơn vị radian) sin 2 X 2 sin X 2 X 0.8767 2,0 X Bấm dấu = nhiều lần (17 lần) cho đến khi được một số không đổi 0.876726215 7 129 2 x 2(4x 7 x 5) 8 y' 0 2 2 (4x 5) 7 129 x 8 7 129 7 129 A( ; y ), B ( ; y ) 3 8AB 8 2,0 x2 2 x 3 x 2 2 x 3 y AABB, y AB4x2 5 4 x 2 5 AB Giả sử điểm M(xM;0) Ox cách đều hai điểm A, B khi 2 2 2 2 xABAB x y y M( -1,58 ; 0 ) MA MB xM 1,58 xAB x Bước 1: Tìm 4 chữ số tận cùng của số cần tìm x sao cho Có 6 số: 2 x 2009 . 3253,8253,1747, 4 Bước 2: Chèn vào giữa 2009đầu và 2009 cuối các số 0 rồi các 2997,6747,7997. 2,0 số 9(số các số 0 bằng số các số 9) Bước 3: Thử lại chỉ có 448253 thoả mãn bài toán Kết quả: 448253 P(1) = 8 =2.(1+1)2, P(2) =18 = 2(2+1)2, P(3) = 32 = 2(3+1)2, 5 P(4) = 50 = 2(4+1)2, P(5) = 72 = 2(5+1)2 P(30) = 14252522 2,0 Suy ra P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + 2(x+1)2
  29. 2 t 1 Đặt t 3sin x cos x thì t 2 t 3 0 t 3 Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là 0 0 x 180 k 360 0 0 Khi t = 1 thì 3sinx cos x 1 x 180 k 360 , 0 0 6 x 36 52'12" k 360 0 0 2,0 x 36 52'12" k 360 x 900 k 360 0 0 0 Khi t = -3 thì 3sinx cos x 3 x 90 k 360 , 0 0 x 53 7'48" k 360 x 530 7'48" k 2 DABX ,1 , 1 ,0 7 S 4092 2,0 DDABABABXXAB 2 : 2 3 : 2 3 : 22 Vì đường thẳng :5x – 7y – 35 = 0 cắt tia Ox và tia Oy’ nên điểm A thuộc góc phần tư thứ tư. 3 2 Gỉa sử A( xAAAAA ; y ) ( E ), x 0, y 16 x 4 AB ngắn nhất khi B là hình chiếu vuông góc của A lên nên 5x 7 y 35 AB d(,) A AA 1,0 52 ( 7) 2 21 5x 16 x 2 35 AA4 74 21 2 Xét hàm số f( x ) 5 x 16 x 35,0 x 4 8 4 Ta có 1,0 21x f'( x ) 5 0 2 4 16 x 80 (vì x >0) x 29 ABmin 0.6975 21x 80 SHIFT d/dx 5 , ) 3,4565 0 4 16 x 2 29 f(0) = -14, f(80/29) = -6, f(4) = -15 nên 15 f () x 6,  x (0;4] 6 Do đó AB nhỏ nhất bằng 0,6975 74
  30. Sau n tháng ông A có số tiền là: n n 1 n 2 2 Cn A(1 r ) (1 r ) (1 r ) (1 r ) (1 r ) (1 r )n 1 =A(1+r)n (1 r ) 1 (1 r ) 1 9 a) Sau 1 năm số tiền của ông A là: 98,2651 triệu đồng 1,0 n (1 r ) 1 C=A(1+r)n (1 r ) 1 98,2651 12 (1 r ) 1 n n (1 r ) 1 1,0 b) A(1+r) (1 r )190 n 35,4 (1 r ) 1 36 tháng Lấy M là trung điểm của AC và lấy điểm N trên cạnh AD sao cho AN = 1. Ta có AB = AM = AN = 1 nên hình chiếu vuông góc của điểm A lên mp(BMN) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN. ^ BM AB2 AM 2 2 ABAM . .cos BAM 2sin 20 0 BN 2sin 400 , MN 2sin30 0 1 BM BN MN p 2 S p( p BM )( p BN )( p MN ) BMN 10 BM BN MN OB , 4.S 2,0 BMN AK d( A ,( BMN )) AB2 OB 2 1 Thể tích khối chóp A.BMN là V'. AK S 3 BMN Gọi V là thể tích khối tứ diện ABCD thì 3 V' AB AM AN 1 1 1 0,0086 cm . . 1. . V AB AC AD 2 5 10 V' V 0,0086 10
  31. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT Qui ước:Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 5 chữ số thập phân. Bài 1(1,5 điểm):Tìm số dư của phép chia 17659429 cho 293 Bài 2(1,5 điểm):Tìm số dư của phép chia 24728303034986074 cho 2006 Bài 3(1,5 điểm): Tính giá trị của biểu thức: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 . 1 1 2 2 3 2 3 4 2 3 4 20 Bài 4(1,5 điểm): Cho u1 = 4, u2 = 7, u3 = 5 & un = 2un-1 – un-2 + un -3 ( 4 n N ).Tính u30 2006 Bài 5(1,5 điểm):Dãy số {un} được cho bởi công thức: un = n + ,với mọi n nguyên n 2 dương.Tìm số hạng nhỏ nhất của dãy số đó. 2x 2 7x 4 3 Bài 6(1,5 điểm):Cho hàm số y = .Tính y(5) tại x = x 2 5x 6 5 Bài 7(1,5 điểm):Đường tròn x2 + y2 + ax + by + c = 0 đi qua ba điểm A(5;2), B(3;- 4), C(4;7).Tính giá trị của a,b,c. Bài 8(1,5 điểm)Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình: cos x3 + cos (20x2 +11x +2006 ) = 0 Bài 9(1,5 điểm)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy,cho ABC.Biết A(2; - 4), B(- 4;-1), C(6;4).Gọi D và E là chân các đường phân giác góc A trên đường thẳng BC.Tính diện tích ADE Bài10(1,5 điểm)Cho tứ giác ABCD có A(10;1),B nằm trên trục hoành ,C(1;5); A và C 1 đối xứng nhau qua BD;M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD; BM = BD 4 a)Tính diện tích tứ giác ABCD. b) Tính độ dài đường cao đi qua đỉnh D của của ABD Bài 11(1,5 điểm):Cho ABC cân tại A và nội tiếp trong đường tròn bán kính R = 2006 Tính giá trị lớn nhất của đường cao BH Bài 12(1,5 điểm):Cho hàm số y = 24x – cos12x – 3sin8x .Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên [- ; ] 6 6 2 n – 2 Bài 13(1 điểm): Hãy rút gọn công thức:Sn(x)= 2 + 2.3x + 3.4x + + n(n-1)x . Hãy tính S17( - 2 ) Bài 14(1 điểm):Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2sin x 3cos x 1 y = f(x)= sin x 2 Bài 15(1.5 điểm):Tìm nghiệm gần đúng( độ,phút ,giây) của phương trình: 2sin2x + 9sinx.cosx – 4cos2x = 0
  32. ĐÁP ÁN ĐỀ THI GIẢI TOÁN BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI LỚP 12. Bài 1: 74 Bài 2: 1254 Bài 3 Gán A = 0, B = 0 Khai báo: A = A + 1 : B = B + 1 A :C + C. B Kết quả: 17667,97575 Bài 4: u30 = 20 929 015 2006 Bài 5:f(x) = x + , x [1; + ) x 1 3 4012 + x 2 4012 x3 4012 f’(x) = 1 - ; f’(x) - 0 + x3 x3 f’(x) = 0 x = 3 4012 f(x) Vậy: min f (x) f (3 4012) n 16 CT 1; n! n! Bài 6:y(n) = ( -1)n+1.7. + ( -1)n.10. (x 3)n 1 (x 2) n 1 3 y(5)( ) - 154,97683 5 49 19 323 Bài 7 :a = ; b= - ; c = - 4 4 4 Bài 8: * Khai báo hàm số: cos ( shift alpha X x2 ) + cos ( shift ( 20 alpha X x2 + 11 alpha X + 2006 ) ) + Bấm CALC: Lần lượt thay : 0,1, f(0) = 2 , f(1) = - 2 nghiệm thuộc ( 0;1) * Khai báo pt: cos ( shift alpha X x2 ) + cos ( shift ( 20 alpha X x2 + 11 alpha X + 2006 ) ) alpha = 0 + Bấm phím SHIFT SOLVE, X ? Khai báo: X = 0,2 = và bấm phím SHIFT SOLVE được: x 0,07947 2 8 Bài 9: Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác ,tính được: D ( ; ),E(-34;-36) 7 7 1 720 S ADE = AE.AD = 2 7 25 19 1 194 Bài 10: B( ;0) , D ( ;12); SABCD = BD.AC = 6 2 2 3 1 Bài 11:Đặt BAC = 2x ( 0 < x < ). ABC cân tại A nên: B = C = ( - 2x)= -x 2 2 2 * Theo định lý cosin trong ABC thì : AB = 2R AB = 2R.sinC = 2R.sin( -x) = 2R.cosx sin C 2 * ABH vuông tại H có: BH = AB.sin2x= 2R.cosx.sin2x BH = 4R.sinxcos2x = = 4R.sinx.(1 – sin2x) Đặt t = sinx ( 0 < t < 1) và y = BH
  33. 1 y = 4Rt(1 – t2 )= 4R(- t3 +t), 0 < t < 1; y’ = 4R(- 3t2 + 1); y’ = 0 t = 3 1 Lập bảng biến thiên x 0 + 3 y’ + 0 - y CĐ 1 8R 3 8.2006. 3 suy ra: max y y( ) 3088,43904 (0;1) 3 9 9 Bài 12:GTLN 14,16445; GTNN - 16,16445 2 3 n-1 ’ 2 3 4 n ’ Bài 13:Sn(x) = ( 2x + 3x + 4x + + n.x ) = [(x+x +x +x + + x )’-1] =[(x+x2+x3 +x4+ + xn )’]’ x n 1 n.x n (n 1)x n 1 = [(x. )’ ]’ = [ ]’ x 1 (x 1) 2 n(n 1)x n 1 2(n 2 1)x n n(n 1)x n 1 2 = (x 1)3 S17( - 2 ) - 26108,91227 Bài 14:GTLN 1,07038; GTNN - 3,73703 0 ’ ’’ 0 0 ’ ’’ 0 Bài 15: x1 22 10 22 + k.180 ; x2 78 28 57 + k.180
  34. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT Câu I: 2 log x2 1 3 Cho hàm số f x . 2log x 1 Tính giá trị của tổng S f 1 f 2 f 3 f 100 . Cách giải Kết quả Câu II: Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của các phương trình sau a) 2sinx 7cos x 4 0 , với 2700 x 450 0 ; b) 2 siny cos y sin y .cos y 1 0 , với 90o y 360 o . Cách giải Kết quả
  35. Câu III: u 2 1 Cho dãy số u xác định bởi : 1 n u 3 u n 1 2 n 1. Tính 12 số hạng đầu của dãy đã cho. 2. Tính tổng 20 số hạng đầu của dãy số. 3. Viết quy trình bấm phím thực hiện việc tính liên tiếp 20 số hạng đầu và tổng của 20 số hạng đó. Cách giải Kết quả Câu IV: Tính gần đúng tọa độ giao điểm của đường thẳng d đi qua hai điểm A 1;2 , B 3;5 x 1 và đồ thị C hàm số y . 3x 7 Cách giải Kết quả
  36. Câu V: Chị Hoa vay ngân hàng 20.000.000 đồng để kinh doanh với lãi suất 1,5% /tháng. Trong 2 năm đầu chị Hoa chỉ trả lãi hàng tháng theo lãi suất của ngân hàng, những năm còn lại chị Hoa trả 500.000 đồng/tháng. Hỏi sau bao nhiêu tháng chị Hoa sẽ trả hết nợ. Cách giải Kết quả Câu VI: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, đáy ABC là tam giác cân tại A có trung tuyến AD 5 cm . Cạnh SB tạo với đáy một góc 450 và tạo với mặt phẳng SAD một góc 150 . Tính cạnh SB . Cách giải Kết quả
  37. Câu VII: Biết P x đa thức bậc bốn, có hệ số của x4 bằng 1 và P x chia cho các nhị thức x 1, x 2 , x 1, x 2 lần lượt có dư là 2, 4, 11, 6. 1. Hãy tìm đa thức P x 2. Tính PP 500 200 . Cách giải Kết quả Câu VIII: 1. Tính gần đúng giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y 3 x 5cos 2 x trên đoạn 0;  ? 30 5 10 2 2. Tìm tổng của các hệ số của các số hạng chứa x, x trong khai triển x . 3 x Cách giải Kết quả
  38. Câu IX: Tính gần đúng diện tích phần chung của hai hình tròn có bán kính 6cm và 7cm , biết khoảng cách giữa hai tâm của chúng bằng 8cm . Cách giải Kết quả Câu X: 3 3 x y 6 xy Tính gần đúng các nghiệm của hệ phương trình 2 2 x y x y 5 Cách giải Kết quả
  39. ĐÁP ÁN Câu I: Quy trình bấm phím: Trên máy (570 ES) Alpha X + 1 Shift STO X  : Alpha A + 2  ( log ( Alpha X ^ 2 + 1 ) + 3 )  ( 2 ^ log ( X ) + 1 ) Shift STO A =  CALC {Máy hỏi X ?} 0 = {Máy hỏi A ?} 0 = {Máy báo Syntax ERROR} {Nhấn tiếp}  = = = {Ghi kết quả} Quy trình bấm phím: Trên máy (570 MS) 0 Shift STO X 0 Shift STO A Alpha X Alpha = Alpha X + 1 Alpha : Alpha A Alpha = Alpha A + 2  ( log ( Alpha X ^ 2 + 1 ) + 3 )  ( 2 ^ l og ( X ) + 1 ) = = = Học sinh nêu sơ lược cách giải, hoặc trình bày quy trình bấm phím đúng: 2 điểm Kết quả đúng: 3 điểm S 123,946919486 Câu II: Chọn Mode vào chế độ Deg. 7 2 4 1). 2sinx 7cos x 4 0 cosx sin x 22 7 2 7 2 2 2 53 7 Đặt sin 53 4 4 7 Ta có cos x x arccos k 360o , với arccos . 53 53 53 7 4 Nghiệm phương trình x arccos arccos k 360o 53 53 Nhập vào máy tính: Shift Cos ( 7  53 ) + Shift Cos ( 4  53 ) = 72o 36 59 Nghiệm này nếu cộng thêm 3600 sẽ vượt ra ngoài bài toán yêu cầu. Nhấn  sửa lại : Shift Cos ( 7  53 ) – Shift Cos ( 4  53 ) = {Kq: 40o 43 33 } + 3600 = 377o 23 . Kết quả: x 319o 16 27 Bài này cũng có thể dùng hàm Solve để giải ! 2). Đặt t sin y cos y 2.cos y 450 , t2 1 2sin y .cos y t2 1 Ta có : 2t 1 0 t2 4 t 1 0 . 2 Giải được t 2 3; t 2 3 (loại)
  40. 3 2 3 2 Suy ra: cosy 450 y 450 arccos k 360o 2 2 3 2 y 450 arccos k 360o . 2 o o Tính được hai nghiệm thỏa yêu cầu: y1 145 55 18 ; y2 304 4 42 . Câu III: 5 11 23 47 95 191 383 767 1535 1) . u ;;;;; u u u u u ; u ;;; u u 22 3 4 4 6 5 16 6 32 7 64 8126 9 256 10 512 u11 2,9990234; u 12 2,999511719; u 13 2,999755859 2). S20 58,00000191 3). Quy trình bấm phím: Alpha X + 1 Shift STO X  Alpha : Alpha ( 3 + Alpha A )  2 Shift STO A =  Alpha : Alpha A + Alpha B Shift STO B = =  CALC {Máy hỏi X?} 1 = {Máy hỏi A?} 2 = {Máy hỏi B?} 2 = {Máy báo Syntax ERROR}  = = = {Bấm cho đến khi X+1 X có giá trị bằng 20} Ghi kết quả: S BAB Câu IV: a 3 a b 2 4 Đường thẳng d : y ax b với 3a b 5 b 11 4 x 1 3 x 11 Giải phương trình 9x2 8 x 81 0 3x 7 4 x1 3.4772 y1 0.1421 x2 2.5883 y2 4.6912 Kết luận: Có hai giao điểm MN 3.4772;0.1421 , 2.5883;4.6912 Câu V: Số nợ chị Hoa còn ở ngân hàng cần phải trả: - Sau năm thứ hai (sau 24 tháng): 2.107 1 0,015 24 2.10.0,015 7 24 2.10 7 - Tính từ năm thứ ba trở đi : Gọi m là số tiền chị HOA trả thêm hàng tháng, sau n tháng số tiền chị HOA còn nợ ngân hàng là 7 7 - Sau tháng thứ nhất: x1 2.10.1 0,015 m 2.10. q m (Đặt q 1,015 ) 7 7 2 - Sau tháng thứ hai: x2 2.10 . q m . q m 2.10 . q mq m 7 2 7 3 2 - Sau tháng thứ ba: x3 2.10. qmqmqm 2.10. qmqq 1 n 7n n 1 n 2 7 n q 1 - Sau tháng thứ n: xn 2.10. q m q q q 1 2.10. q m q 1
  41. qn 1 Chị HOA sẽ trả hết nợ nếu x 0 2.107 .qn m 0 n q 1 7 n 7 n 2.10 q 1 m . q m 0 m m 2.10 q 1 . q m m qn n log 7q 7 m 2.10 q 1 m 2.10 q 1 Nhập máy: Ta tính được n 61,5430573 Do n nguyên dương suy ra n 62 tháng. Kết quả: 86 tháng Câu VI: Hai tam giác vuông SAB, SAC bằng nhau (vì có cạnh SA S chung và AB AC ), suy ra SB SC . SD  BC o BC  SAD 15 SB, SAD BSD 15o SB, ABC SBA 45o C 2 2 2 2 2 2 Ta có SB SA AB SA AD BD A 5cm 2 2 45 o SB2 SB.sin 45o 25 SB .sin15 o D 25 Suy ra SB2 57,73503 B 1 sin2 45 sin 2 15 Kết quả: SB 7,59836 cm Câu VII: 1. Từ giả thiết có PPPP 1 11, 2 6, 1 2, 2 4 . Xét đa thức bậc bốn Q x thỏa QQQQ 1 2 3 4 0 . Giả sử Px Qx ax. 3 bx 2 cxd , ta có hệ 11 a b c d b 23 6 8a 4 b 2 c d 2b 2 d 13 6 2 a b c d 8b 2 d 10d 31 3 4 8a 4 b 2 c d 5 37 a ; c 3 6 Kết quả: 5 23 37 31 P x x2 1 x 2 4 x 3 x 2 x 3 6 6 3 2. Tính P 500 62708788574 , P 200 1613405424 Và PP 500 200 61095383150
  42. Câu VIII: 1. Đạo hàm f x 3 10sin 2 x ; 3 3 3 f x 0 sin 2 x 2 x arcsin k 2 hoặc 2x arcsin k 2 10 10 10 1 3 1 3 Hay x arcsin k ; x arcsin k 2 10 2 2 10 Bấm máy tìm giá trị x thuộc 0; : x1 2,989246 , x2 0,152346 Nhập f x 3 x 5cos 2 x . Tính f 0 5; f 14,424778 ;f x1 13,73743; f x 2 5, 22673 Kết luận: maxf x f 14, 424778;min f x f 0 5 0;  0;  k 30 k k 90 5k 30 k 2 2. Số hạng tổng quát của khai triển: Ck x. 2 k . C k . x 2 3 2kC k . x 6 30 3 30 30 x 90 5k Với x5 : 5 k 12 6 90 5k Với x10 : 10 k 6 6 12 12 6 6 Vậy các hệ số cần tìm là: 2 .C30 354276249600; 2 .C30 38001600 . Tổng của chúng bằng: 354314251200 Câu IX: Đặt BIJ ;  BJI . B Theo định lý cosin: IB2 JI 2 BJ 2 17 cos J 2IB . JI 32 I 1,010721 (rad) 2 2,021442 (rad) A 2 .IB2 Diện tích quạt IAB bằng : S 36,38596 (cm2 ) q1 2 1 Diện tích tam giác IAB: S IA. IB .sin 2 16, 202988 cm2 IAB 2 Tương tự: 2 Diện tích quạt JAB bằng: Sq2 39,82502 cm 2 Diện tích tam giác JAB: SJAB 24, 463336 cm Diện tích cần tìm: 2 S Sq1 S q 2 S IAB S JAB 35,544656 cm Câu X:
  43. 3 3 x y x y2 3 xy 6 xy x y 6 xy x2 y 2 x y 5 2 x y 2 xy x y 5 S3 3 PS 6 P Đặt S x y; P xy ta có hệ 2 SSP 2 5 SSSS2 5 2 5 SS3 3 6 SSS3 4 2 14 7 0 2 2 Giải được: SSS1 6,37022; 2 1,73795; 3 0,632275 Ba nghiệm tương ứng của P là: P1 14,60474 , PP2 0,12079; 3 1,983977 2 Giải phương trình t St P 0 ứng với các cặp SPj; j trên ta được các nghiệm của hệ x 1,80487 x 0,06692 x 1,12744 x 1,75972 ; ; ; y 0,06692 y 1,80487 y 1,75972 y 1,12744
  44. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT Chú ý: Nếu không có yêu cầu gì thêm thì kết quả làm tròn đến 4 chữ số thập phân. Câu 1: Tìm GTNN và GTLN của hàm số y x 1 5 2x Max y 2,1213 Min y 1,2247 Câu 2: Cho tan x = 2 (2 x 3 ) và 2siny + 3cosy = 1 (0 y ). Tính gần đúng sin2 x cos3 x tan2(x2 y) cot2(x y2) a) A b) B 2 2 4 2 2tan2 x 3cot4 x sin (x y) cos (x y ) A 0,0867 B 649,2957 Câu 3: Tìm một số tự nhiên x biết x2 có bốn chữ số tận cùng 2009 và bốn chữ số đầu tiên cũng là 2009 x là một trong các số : 44323253; 44822997; 44828253; 44826747; 44827997; x3 Câu 4: Cho hàm số f (x) 6 x3 3 Tính tổng S = f(1) + f(2) + +f(100) S 6745,4225 Câu 5: Cho hình chóp thập diện đều có đáy nội tiếp trong đường tròn bán kính r = 3,5cm, chiều cao h = 8cm. Tính diện tích xung quanh của hình chóp và thể tích của khối chóp. Sxq 93,7159 cm2 V 96,0041 cm3
  45. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT Chú ý: Nếu không có yêu cầu gì thêm thì kết quả làm tròn đến 4 chữ số thập phân. Câu 1: Tìm GTNN và GTLN của hàm số y x 1 5 2x Max y 2,1213 Min y 1,2247 Câu 2: Cho tan x = 2 (2 x 3 ) và 2siny + 3cosy = 1 (0 y ). Tính gần đúng sin2 x cos3 x tan2(x2 y) cot2(x y2) a) A b) B 2 2 4 2 2tan2 x 3cot4 x sin (x y) cos (x y ) A 0,0867 B 649,2957 Câu 3: Tìm một số tự nhiên x biết x2 có bốn chữ số tận cùng 2009 và bốn chữ số đầu tiên cũng là 2009 x là một trong các số : 44323253; 44822997; 44828253; 44826747; 44827997; x3 Câu 4: Cho hàm số f (x) 6 x3 3 Tính tổng S = f(1) + f(2) + +f(100) S 6745,4225 Câu 5: Cho tam giác ABC, E là trung điểm của BC, trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD=3DC. Tính số đo (độ, phút, giây ) các góc < BCA và < EAC < BCA y 1200 39’ 10” < EAC y 240 51’ 8”
  46. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT Quy ước: Khi tính gần đúng lấy kết quả 4 chữ số thập phân. Bài 1: Tìm ước nguyên tố lớn nhất của số 2152 + 3142 Kết quả Bài 2: Tìm các số lớn nhất và nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng 1x2y3z4 mà chia hết cho 13 Kết quả GTLN GTNN Bài 3: Tính các giá trị của biểu thức sau: 2 3 3 4 4 8 8 9 9 Kết quả Bài 4: Cho parabol y = ax2 +bx+c đi qua các điểmA(1;3), B(-2;6), C(-3;-5) và đường thẳng y = (m+ 1)x+m2 +2 a. Tìm toạ độ các giao điểm của(P) với đường thẳng khi m =1. b. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (P) và đường thẳng có điểm chung. Cách giải Kết quả Bài 5: Cho tam giác vuông với các cạnh bên có độ dài là 4 3 và 3 4 . hãy tính tổng các binh phương của các trung tuyến. Cách giải Kết quả Bài 6: Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2 ) của phương trình: 3c os3x-4x+2=0 Cách giải Kết quả Bài 7:
  47. Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ hộp (sắt tây) là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Em hãy cho biết diện tích toàn phần của lon khi ta muốn có thể tích của lon là 314 cm3 Cách giải Kết quả Bài 8: Một người muốn có 1000000 đồng sau 15 tháng thì mỗi tháng người đó phải gởi vào ngân hàng bao nhiêu nếu lãi suất là 0.6% /tháng?
  48. ĐÁP ÁN Bài 1: Tìm ước nguyên tố lớn nhất của số 2152 + 3142 Kết quả 1493 là ước nguyên tố lớn nhất của 2152 + 3142 Bài 2: Tìm các số lớn nhất và nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng 1x2y3z4 mà chia hết cho 13 7 Kết quả GTLN 1929304 GTNN 1020344 Bài 3: Tính các giá trị của biểu thức sau :A = 2 3 3 4 4 8 8 9 9 Kết quả A = 1,9116 Bài 4:.Cho parabol y = ax2 +bx+c đi qua các điểmA(1;3), B(-2;6), C(-3;-5) và đường thẳng y = (m+ 1)x+m2 +2 c. Tìm toạ độ các giao điểm của(P) với đường thẳng khi m =1. d. Tìm tất cả các gia trị của m sao cho (P) và đường thẳng có điểm chung. Kết quả a. M( x1;y1) N(x2;y2) X1 ≈ 0,7728 x2 ≈ -2,7728 Y1 ≈ 4,5456 y2 ≈ - 2,5456 Bài 5: Cho tam giác vuông với các cạnh bên có độ dài là 4 3 và 3 4 . hãy tính tổng các binh phương của các trung tuyến. Kết quả 2 2 2 ma + mb +mc 6,3778 Bài 6: Cách giải Kết quả Ghi vào màn hình: 3c os3x-4x+2=0 X=0.5161 Ấn SHIFT SOLVE Máy hỏi X? Ấn 2 = Ấn SHIFT SOLVE Kết quả x=0.5161 Bài 7 Gọi r và h theo thứ tự là bán kính và chiều cao hộp 157 r 3 3,6834 sữa. Khi ấy thể tích hộp sữa là V r2 h và diện tích
  49. vỏ hộp là S 2 r2 2 r h . Từ đây, bằng phép thế, 628 2 628 ta có S 2 r 2 và đạt giá trị nhỏ nhất khi S 2 r 255,7414 r r 628 S ' r 0 , tức là khi 4 r 0 r 2 Câu 8: Cách giải KẾT QUẢ Gán A=0, 63530 B=0 Ghi vào màn hình: A=A+1:B=B+1.006^A Ấn = đến khi A=15,ấn tiếp = Ghi 1000000:B và ấn =
  50. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới 5chữ số phần thập phân sau dấu phẩy Bài 1 (5 điểm). Tính gần đúng nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình 3sin2x 5cos2 x 1. Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 2 (5 điểm). Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f( x ) 3 x 2 4 3 x2 . Tóm tắt cách giải: Kết quả:
  51. Bài 3: (5 điểm)Tính giá trị của a,,, b c d nếu đồ thị của hàm số y ax3 bx 2 cx d 3 qua các điểm A(1; 3), B(0; ), y chia cho x – 2 dư 1, y chia cho x – 2.5 dư -1.2. 5 Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 4 (5 điểm). Cho tam giác ABC có các đỉnh ABC(1; 2), (3;4), (0; 5) . a) Tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. b) Xác định tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 5 (5 điểm). Tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình
  52. 2 y log3 x 4 8 y log2 x 2 2 Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 6 (5 điểm). Tính gần đúng giá trị của a , b nếu đường thẳng y ax b đi qua điểm A 1;2 và là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 2 x2 3 x 4 . Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 7 (5 điểm).
  53. Tính gần đúng bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có các cạnh AB = AC = AD = 7cm, BC = 6cm, CD = 5cm, BD = 4cm Tóm tắt cách giải: Kết quả: 2 Bài 8 (5 điểm). Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình 2x 3 x 1 0. Xét n n dãy số: un x1 x 2 n N . a) Tính giá trị của u1,,,,, u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 . b) Lập công thức truy hồi tính un 1 theo un và un 1 . Tính chính xác u7 . Kết quả là hỗn số hoặc phân số. Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 9 (5 điểm).
  54. Tính gần đúng thể tích của hình chóp S.ABCD biết rằng đáy ABCD là hình bình hành, cạnh bên SA vuông góc với đáy, AB = 10cm, AC = 11cm, SD = 12cm và góc ABC 800 các nghiệm của phương trình: 2 3x4 4 3 x 2 3 x 3 3 0. Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 10 (5 điểm). Tính gần đúng tọa độ hai giao điểm của đường elip có phương trình x2 y 2 1 và đường thẳng 2x 3 y 1 0 . 25 16 Tóm tắt cách giải: Kết quả: Hết
  55. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Bài 1: 5 1 c os2x 3sin 2x 5cos2 x 1 3sin 2 x 1 2 6 5 7 6sin 2x 5 c os2x 7 sin 2 x c os2x 61 61 61 6 7 sin2xc os c os2 x sin sin với cos ; sin 61 61 0 0 0 0 x1 5144'17" k 180 ; x 2 784'3'' k 180 Bài 2: 2 2 2 f( x ) 3 x 2 4 3 x có tập xác định là: D ; 3 3 f'( x ) 0 x 1 Dùng chức năng CALC tính: 2 2 f 5.4641; f 1.4641; f 1 2 3 3 2 Vậy: Max f( x ) f 1 2; M inf( x ) f 5.4641. D D 3 Bài 3: Thay tọa độ các điểm lần lượt vào biểu thức hàm số và biến đổi ta được hệ phương trình: a b c d 3 8a 4 b 2 c d 1 2.53a 2.5 2 b 2.5 c d 1.2 3 d 5 6 73 127 3 Giải hệ ta được: a ;;; b c d 25 25 25 5 Bài 4: a) AB 210; AC 10; BC 52; p 8.2790 S Ta có diện tích tam giác ABC là: S 10, r 1.2079 . p abc abc b) Ta có công thức: S R 3.5355 ( cm ) 4RS 4 1 3 I(;) 2 2
  56. Bài 5: Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm là: x 0 Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất: (x ; y ) 20.1150; 0.4500 Bài 6: Đường thẳng d: y ax b đi qua điểm M(1; 2) nên b 2 a , phương trình của đường thẳng d trở thành: y ax a 2 0 a1 3.8284 a 2 1.8284 ; b1 1.8284 b 2 3.8284 Bài 7: R 3.5162 Bài 8: 3 17 3 17 Ta có hai nghiệm của phương trình x2 8 x 5 0 là x ; x 14 2 4 u1 1.5 ; u 2 3.25 ; u 3 5.625 ; u 4 10.0625; u 5 17.90625; u 6 31.890625; un 1 1.5 u n 0.5 u n 1 7269 u 1.5 u 0.5 u 7 6 5 128 Bài 9: 1 Thể tích của hình chóp: V dt( ABCD ) h 221.1042 (đvtt) 3 Bài 10: Tọa độ giao điểm của đường elip và đường thẳng nghiệm của hệ phương trình: x2 y 2 1 25 16 2x 3 y 1 0 Giải hệ phương trình ta được hai giao điểm của đường thẳng và đường elip có tọa độ gần đúng là: MN 3.6283; 2.7522 , 5.3882; 3.2588 .
  57. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT Điểm toàn bài Các giám khảo Bằng số Bằng chữ Quy ước: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả 4 chữ số thập phân. Câu 1:( 5 điểm) : Tìm nghiệm gần đúng ( độ, phút, giây) của phương trình : sinxcosx + 3( sinx + cosx) = 2. Cách giải Kết quả o X1 ≈ + 2 k180 o X2 ≈ + 2k180 Câu 2: ( 5 điểm) Tính giá trị gần đúng ( chính xác đến 5 chu số thập phân ) biểu thức sau: 1 2 3 19 A ( 3)2 ( 5) 2 ( 7) 2 ( 39) 2 2 3 4 20 Kết quả Câu 3:( 5 điểm). Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f (x) 2x 3 3x x2 2 Kết quả Câu 4: (5 điểm) Tìm UCLN của 40096920 ; 9474372 và 51135438 Kết quả
  58. Câu 5: (5 điểm) Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là 100 USD. Biết lãi suất hàng tháng là 0,35%. Hỏi sau 1 năm, người ấy có bao nhiêu tiền? Kết quả Câu 6:( 5 điểm) Tính gần đúng toạ độ giao điểm của đường Parabol (P): y2 2 x và Hyperbol (H): x2 y 2 1. 16 36 Kết quả Câu 7:( 5điểm) Tính gần đúng giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số y=x3+x2-2x-1. Kết quả Câu 8: (10 điểm) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x;y) biết x,y có 2 chữ so^2 và thỏa mãn phương trình: x3-y2=x.y Cách giải Kết quả Câu 9: (5 điểm) Cho hình thang ABCD; AD 900 ; AB = 4 cm, CD = 8 cm, AD = 3 cm. Tính độ dài cạnh BC và số đo các góc B và C của hình thang? Cách giải Kết quả
  59. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT Bài 1. Tính gần đúng giá trị của biểu thức A = 1 + 2cos + 3cos2 + 4cos3 nếu là góc nhọn mà sin + cos 6 = 5 Bài 2. Một của hàng sách thống kê số tiền (đơn vị: nghìn đồng) mà 60 khách hàng mua sách ở của hàng này trong một ngày. Số liệu được ghi trong bảng phân bố tần số sau: Lớp Tần số [40;49] 3 [50;59] 6 [60;69] 19 [70;79] 23 [80;89] 9 N = 60 Tính gần đúng số trung bình và độ lệch chuẩn. Bài 3. Cho đa thức f(x) = x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a. Tìm a khi f(x) chia hết cho nhị thức x + 6. Bài 4. Tìm chữ số thập phân thứ 105 sau dấu phẩy trong phép chia 17:13 Bài 5. Tìm chữ số thập phân thứ 13 sau dấu phẩy của 2 . Bài 6. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình: sinxcosx - 3(sinx + cosx) = 1 Bài 7. Phân số nào sinh ra số thập phân tuần hoàn 0,(123). Bài 8. n n 5 7 5 7 Cho dãy số u với n = 1, 2, 3, n 2 7 a) Tính u1,u2,u3,u4 ,u5 . b) Lập công thức truy hồi tình un 2 theo un 1 và un Bài 9. Cho hình thang vuông ABCD có: AB = 12,35; BC = 10,55 và góc ADC = 570 a) Tính chu vi của hình thang vuông ABCD b) Tính diện tích của hình thang vuông ABCD Bài 10. Cho tam giác ABC có: góc B = 1200, AB = 6,25; BC = 12,5 và phân giác trong của góc B cắt AC ở D. a) Tính BD b) Tính tỷ lệ diện tich giữa tam giác ABD và tam giác ABC.
  60. ĐÁP ÁN, THANG ĐIỂM Câu Cách giải, Kết quả Điểm 1 KQ: A 9,4933; A 1,6507. 2 điểm 2 KQ: x 69,3333; s 10,2456 2 điểm 3 f(-6) = -222 + a = 0; a = 222 2 điểm 4 KQ: 7 2 điểm 5 KQ: 1 2 điểm 6 KQ: x -6409’28” + k3600; 2 điểm x 15409’28” + k3600 7 KQ: 41/333 2 điểm 8 u1 = 1;u2 = 10; u3 = 82; u4 = 640; u5 = 4924; 2 điểm un 2 = 10un 1 - 18un 9 Chu vi: 2p = 54,6807; 2 điểm Diện tích: S = 166,4328. 10 KQ: BD 4,1667; 2 điểm KQ: dt(ABD):dt(ABD) =1/3.