›
›

Đề án Ý nghĩa về việc đo lường và thử nghiệm

pdf 31 trang phuongnguyen 4860
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề án Ý nghĩa về việc đo lường và thử nghiệm", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfde_an_y_nghia_ve_viec_do_luong_va_thu_nghiem.pdf

Nội dung text: Đề án Ý nghĩa về việc đo lường và thử nghiệm

  1. Đề án Í nghĩa về việc đo lường và thử nghiệm
  2. CÁC PH ƯƠ NG PHÁP GI I PH ƯƠ NG TRÌNH HÀM THƯNG DÙNG Ph ươ ng pháp 1 : H s b t đnh. Nguyên t c chung: +) D a vào điu ki n bài tốn, xác đnh đưc d ng c a f(x), th ưng là f(x) = ax + b ho c f(x) = ax 2+ bx + c. +) ðng nh t h s đ tìm f(x). +) Ch ng minh r ng m i h s khác c a f(x) đu khơng th a mãn điu ki n bài tốn. Ví d 1: Tìm f: R→ R th a mãn: fxfy( ( ) +=+ x) xy fx( ) ∀ xy, ∈ R ( 1 ) . Li gi i: x =1 Thay  vào (18) ta đưc: ffy( ( ) +1) = yf + ( 1 ) ( a ) . y∈ R Thay y= − f (1) − 1 vào (a) suy ra: f( f(− f ()111 −+) ) =− 1 . ðt a= f( − f (1) −+ 1) 1 ta đưc: f( a ) = − 1. y= a Ch n  ta đưc: fxfa( ( ) + x) = xa + fx( ) ⇒ xa+ fx( ) = f (0) . x∈ R ðt f(0) = b⇒ fx( ) = − axb + . Th vào (1) và đng nh t h s ta đưc: a = 1 a2 =1   f() x= x ⇒  a = − 1 ⇒  . −ab − a =− a   f() x= − x b = 0 Vy cĩ hai hàm s c n tìm là f( x) = x và f( x) = − x . Ví d 2: Tìm f: R→ R th a mãn: ffx( ( ) += y) yfxfy( −( )) ∀∈ xyR,( 2 ) . Li gi i: Cho y=0; xR ∈ :(2)⇒ ffx( ( )) = 0 ∀ xRa ∈ ( ) . Cho xfy= ()(): (2)⇒ fffy( ( ) + yyf) = () 0 ( a ' ) . (a) + ( a' ) ⇒ fy( ) = yf (0). ðt f(0) = a⇒ fy( ) = ayyR ∀ ∈ . Th l i (2) ta đưc: ax2( 2+ y 2 ) + ayxy( −) =∀∈0 xyR , ⇔a = 0⇒ fx( ) = 0 ∀ xR ∈ . V y cĩ duy nh t hàm s f( x ) = 0 th a mãn bài tốn. Ví d 3: Tìm f, gR : → R th a mãn: 2fx( ) − gx( ) = fy( ) −∀∈ y xyR , ( a )  .  fxgxx()()()≥+1 ∀∈ xR b Li gi i: Cho x= y ∈ R khi đĩ (a) ⇒ fx( ) = gx( ) − x .Thay l i (a) ta đưc: 1
  3. gx( ) =−+2 x 2 ygy( ) ∀∈ xyR , (c). Cho y=0; x ∈ R : t (c) ta đưc: gx( ) =2 xg + ( 0 ) . ðt g(0) = a ta đưc: gx( ) =+2 xafx , ( ) =+ xa . Th vào (a), (b) ta đưc: 2xa+ = 2 xa + (a), (b) ⇔  ()∀x ∈ R ⇔2x2 +( 31 axa −) +−≥∀∈ 2 10 xR ()()xa+2 xa +≥+ x 1 ⇔()a −32 ≤⇔= 0 a 3 . V y fx( ) =+ x3; gx( ) =+ 23 x . Ví d 4: ða th c f(x) xác đnh v i ∀x ∈ ℝ và th a mãn điu ki n: 2()fx+ f (1 − x ) = x2 , ∀∈ x ℝ (1). Tìm f(x). Li gi i: Ta nh n th y v trái c a bi u th c d ưi d u f là b c nh t: x, 1 – x v ph i là b c hai x 2. Vy f(x) ph i cĩ d ng: f(x) = ax 2 + bx + c. Khi đĩ (1) tr thành: 2(ax 2 + bx + c) + a(1 – x) 2 + b(1 – x) + c = x 2 ∀x ∈ ℝ do đĩ: 3ax 2 + (b – 2a)x + a + b + 3c = x 2, ∀x ∈ ℝ  1 a = 3a = 1  3   2 ðng nh t các h s , ta thu đưc: b−=2 a 0 ⇔  b = 3 a+ b +3 c = 0    1 c = −  3 1 Vy: fx( )= ( x2 + 2 x − 1) 3 Th l i ta th y hi n nhiên f(x) th a mãn điu ki n bài tốn. Ta ph i ch ng minh m i hàm s khác f(x) s khơng th a mãn điu ki n bài tốn: Th t v y gi s cịn hàm s g(x) khác f(x) th a mãn điu ki n bài tốn. Do f(x) khơng trùng v i g(x) nên ∃x0 ∈ℝ :() gx 0 ≠ fx () 0 . Do g(x) th a mãn điu ki n bài tốn nên: 2()gx+ g (1 − x ) = x2 , ∀∈ x ℝ 2 Thay x b i x 0 ta đưc: 2gx (0 )+ g (1 − x 0 ) = x 0 2 Thay x b i 1 –x0 ta đưc: 2g (1− xgx0 ) + ( 0 ) =− (1 x 0 ) 1 T hai h th c này ta đưc: gx()= ( x2 + 2 x −= 1) fx () 03 00 0 ðiu này mâu thu n v i gx()≠ fx () 0 0 1 Vy ph ươ ng trình cĩ nghi m duy nh t là fx( )= ( x2 + 2 x − 1) 3 2
  4. Nh n xét: N u ta ch d đốn f(x) cĩ d ng nào đĩ thì ph i ch ng minh s duy nh t c a các hàm s tìm đưc. Ví d 5: Hàm s y = f(x) xác đnh, liên t c v i ∀x ∈ ℝ và th a mãn điu ki n: f(f(x)) = f(x) + x, ∀x ∈ ℝ Hãy tìm hai hàm s nh ư th . Li gi i: Ta vi t ph ươ ng trình đã cho d ưi d ng f(f(x)) – f(x) = x (1). V ph i c a ph ươ ng trình là m t hàm s tuy n tính vì v y ta nên gi s r ng hàm s c n tìm cĩ d ng: f(x) = ax + b. 2 Khi đĩ (1) tr thành: a( ax + b) + b – (ax + b) = x , ∀x ∈ ℝ hay (a –a )x + ab = x, ∀x ∈ ℝ 2 15+  15 − a− a = 1 a=  a = 1± 5 đng nh t h s ta đưc: ⇔ 2 ∨  2 ⇒ f( x )= x . ab = 0 2 b=0  b = 0   Hi n nhiên hai hàm s trên th a mãn điu ki n bài tốn (vi c ch ng minh s duy nh t dành cho ng ưi đc). Ví d 6: Hàm s f : ℤ→ ℤ th a mãn đng th i các điu ki n sau: affn) ( ( ))= n , ∀ n ∈ ℤ (1) bffn) ( (+ 2) + 2) = nn , ∀∈ ℤ (2) c) f (0)= 1 (3) Tìm giá tr f(1995), f(-2007). Li gi i: Cũng nh n xét và lý lu n nh ư các ví d tr ưc, ta đư a đn f(n) ph i cĩ d ng: f(n) = an +b. 2 Khi đĩ điu ki n (1) tr thành: an+ ab + b = n, ∀∈ n ℤ a2 =1 a=1  a = − 1 ðng nh t các h s , ta đưc: ⇔  ∨  ab+ b = 0 b=0 b = 0    a =1 Vi  ta đưc f(n) = n. Tr ưng h p này lo i vì khơng th a mãn (2). b = 0 a = − 1 Vi  ta đưc f(n) = -n + b. T điu ki n (3) cho n = 0 ta đưc b = 1. b = 0 Vy f(n) = -n + 1. Hi n nhiên hàm s này th a mãn điu ki n bài tốn. Ta ph i ch ng minh f(n) = -n +1 là hàm duy nh t th a mãn điu ki n bài tốn: Th t v y gi s t n t i hàm g(n) khác f(n) c ũng th a mãn điu ki n bài tốn. T (3) suy ra f(0) = g(0) = 1, f(1) = g(1) = 0. S d ng điu ki n (1) và (2) ta nh n đưc: g(g(n)) = g(g(n+2)+2) ∀n ∈ ℤ. 3
  5. do đĩ g(g(g(n))) = g(g(g(n+2)+2)) ∀n ∈ ℤ Hay g(n) = g(n+2)+2 ∀n ∈ ℤ. Gi s n 0 là s t nhiên bé nh t làm cho fn()0≠ gn () 0 Do f(n) c ũng th a mãn (4) nên ta cĩ: gn(−= 2) gn ()2 += fn ()2 += fn ( − 2) 0 0 0 0 ⇔gn(0 −= 2) fn ( 0 − 2) Mâu thu n v i điu ki n n 0 là s t nhiên bé nh t th a mãn (5). Vy f(n) = g(n), ∀n ∈ ℕ Ch ng minh t ươ ng t ta c ũng đưc f(n) = g(n) v i m i n nguyên âm. Vy f(n) = 1 – n là nghi m duy nh t. T đĩ tính đưc f(1995), f(-2007). BÀI T P Bài 1 : Tìm t t c các hàm s f : ℝ→ ℝ th a mãn điu ki n: 2 fxy(++−− ) fxy ( )2()(1 fxf += y )2(3 xyyx −∀∈ ), xy , ℝ . ðáp s : f(x) = x 3. Bài 2 : Hàm s f : ℕ→ ℕ th a mãn điu ki n f(f(n)) + f(n) = 2n + 3, ∀n ∈ ℕ. Tìm f(2005). ðáp s : 2006. Bài 3 : Tìm t t c các hàm f : ℕ→ ℕ sao cho: ffn( ( ))+ ( fn ( ))2 =++ n 2 3 n 3, ∀n ∈ ℕ. ðáp s : f(n) = n + 1. x−11 − x 8  2  Bài 4 : Tìm các hàm f : ℝ→ ℝ n u: 3f − 5 f   = , ∀∉− x  0, ,1,2  32x+ x − 21 x −  3  28x + 4 ðáp s: f( x ) = 5x Bài 5 : Tìm t t c các đa th c P(x) ∈ℝ[x] sao cho: P(x + y) = P(x) + P(y) + 3xy(x + y), ∀x, y ∈ ℝ ðáp s : P(x) = x 3 + cx. Ph ươ ng pháp 2 : ph ươ ng pháp th . 2.1. Th n t o PTH m i: 2x + 1  Ví d 1 : Tìm f: R\{2} → R th a mãn: f  = xxx2 +2 ∀≠ 1() 1 . x −1  2x + 1  Li gi i: ðt t=   ⇒ MGT t= R \{} 2 (t p xác đnh c a f). Ta đưc: x −1  x≠1 t +1 3t 2 − 3 x = th vào (1): f( t )= ∀ t ≠ 2 . Th l i th y đúng. t − 2 ()t − 2 2 4
  6. 3x2 − 3 Vy hàm s c n tìm cĩ d ng f( x ) = . ()x − 2 2 Nh n xét: + Khi đt t, c n ki m tra gi thi t MGT t⊃ D . V i gi thi t đĩ m i đm b o tính ch t: “ Khi x∈ D x t ch y kh p các giá tr c a t thì x = t c ũng ch y kh p t p xác đnh c a f ”.  3x2 − 3  2 ()x ≠ 2 + Trong ví d 1, n u f: R → R thì cĩ vơ s hàm f d ng: f( x ) = ()x − 2 (v i a ∈R  a() x = 2 tùy ý). Ví d 2 : Tìm hàm f : (−∞−; 1] ∪( 0;1 ] → R th a mãn: fxx(−2 −=+ 1) xx 2 −∀≥ 1 x 1() 2 . x− t ≥ 0 Li gi i: ðt txx= −2 −1 ⇔ x 2 − 1 = xt − ⇔  2 2 x−1 =() x − t x≥ t x≥ t  t 2 +1 t ≤ − 1 2 . H cĩ nghi m x t ⇔2 2 2 ⇔  t +1 ⇔ ≥ ⇔  x−=1 x − 2 xt + t x = 2t 0<t ≤ 1  2t ⇒ t ∈( −∞; − 1] ∪ ( 0;1 ]. V y MGT t= D =( −∞−; 1] ∪ ( 0;1 ]. x ≥ 1 1 1 Vi t= x − x 2 − 1 thì xx+2 −1 = ⇒ ft ( ) = th a mãn (2). t t 1 Vy f( x ) = là hàm s c n tìm. x 2  3x− 1  x + 1 Ví d 3 : Tìm f : R\ ;3  → R th a mãn: f  = ∀≠ x1, x ≠− 2 () 3 . 3  x+2  x − 1 3x − 1 2  2t + 1 t + 4 Li gi i: ðt t= ⇒ MGT t= R \ ;3  ⇒ x = th vào (4) ta đưc: f( t ) = x + 2x≠1  3  t t ()x≠2 3− 3− 2 x + 4 th a mãn (3). V y hàm s c n tìm là: f( x ) = . 3x − 2 Ví d 4 : Tìm f : (0;+∞) →( 0; +∞ ) th a mãn: xfxfy( ())= ffy (()) ∀∈+∞ xy ,( 0;) (4) . Li gi i: Cho y = 1, x ∈(0; + ∞ ) ta đưc: xfxf( (1))= ff ( (1)) . 1 1 Cho x = ta đưc: ff( (1)= 1⇒ xfxf ( (1))= 1 ⇒ f( x f (1)) = . ðt: f (1) x 5
  7. f(1) a txf= . (1)⇒ ft ( )= ⇒ ft ( ) = (v i a= f (1) ). Vì f(1)∈( 0; + ∞ ) ⇒ MGT t =( 0; + ∞ ) . t t x∈()0; +∞ a a Vy f( x ) = . Th l i th y đúng (a > 0) . Hàm s c n tìm là: f( x ) = v i (a > 0) . x x Ví d 5 : Tìm hàm f: (0;+∞) →( 0; +∞ ) th a mãn: 1 3   3  f(1)= ;() fxyfxf = ().  + fyf ().  ∀∈+∞ xy ,()() 0; 5 . 2 y   x  Li gi i: 1 Cho x = 1; y = 3 ta đưc: f ()3 = . 2 3  Cho x = 1; y ∈(0; + ∞ ) ta đưc: f() y= f   . Th l i (5) ta đưc: y  3 fxy()2()()= fxfy ∀∈+∞ xy ,( 0;) (5') . Thay y b i ta đưc: x 2 3  1 2 f()()3= 2 fxf ) ⇒  = () fx() . Th l i th y đúng. x 2 1 Vy hàm s c n tìm là: f() x= ∀ x > 0 . 2 Ví d 6 : Tìm hàm f: R → R th a mãn: ( xyfxy−) ( +−+) ( xyfxy) ( −=) 4 xyx( 2 + y 2 ) ∀∈ xyR ,( 6 ) . Li gi i: Ta cĩ: (6)⇔−( xyfxy) ( +−+) ( xyfxy) ( −=) 12 1 2  =+−−+++−()()()()xyxy  xyxy  ()() xyxy ++−  −()() xyxy +−−   4 4  u= x − y 1 2 2 ðt  ta đưc: vfu()()− ufv =+()()()() uvuv − uv +−− uv v= x + y 4 ( ) ⇒ vfu( ) − ufv( ) = uv3 − vu 3 ⇔vfu( ( ) −= u3) ufv( ( ) − v 3 ) + V i uv ≠ 0 ta cĩ: fuufvv( ) −3( ) − 3 fuu( ) − 3 = ∀uvR, ∈ * ⇒ = a⇒ fuauuu() = +3 ∀≠ 0 . u v u + V i u=0; v ≠ 0 suy ra: fuu( ) −=⇔30 fuu( ) = 3 ⇒ f ( 0) = 0 . Hàm f( u) = au + u 3 th a mãn f (0) = 0 . V y fu( ) = auu +3 ∀∈ uR Hàm s c n tìm là: fx( ) = ax + x3 ( a ∈ R ) . Th l i th y đúng. 2.2. Th n t o ra h PTH m i: 6
  8. Ví d 1 : Tìm hàm f: R → R th a mãn: fx( ) + xf( − x) =+∀∈ x1 xR ( 1 ). Li gi i: ðt t= − x ta đưc: fttft(−−) ( ) =−+ t1 ∀∈ tR ( 1 ) . Ta cĩ h :  fx( ) + xf( − x) =+ x 1  ⇒ f() x =1. Th l i hàm s c n tìm là: f( x ) =1. −xfx()() + f −=−+ x x 1 x −1  Ví d 2 : Tìm hàm s f: R \{ 0,1 } → R Th a mãn: fxf() +  =+1 xxR ∀∈ * () 2 . x  x −1 Li gi i: ðt x=,()()() 2 ⇔ fxfx + =+ 1 x . 1 x 1 x1 −1 1 ðt x2 = =,()()() 2 ⇔ fxfxx1 + 2 =+ 1 1 . x1 x −1 x2 −1 ðt x3= = x,()()() 2 ⇔ fxfx 2 + =+ 1 x 2 . x2  fx( ) + fx( ) =1 + x  1 1+x − x1 + x 2 1 1 1  Ta cĩ h  fxfx()()2+ 1 =1 + xfx 1 ⇒ () = =++ x  . Th l i th y  2 2x 1 − x   fx()()+ fx2 =1 + x 2 1 1 1  đúng. Vy hàm s c n tìm cĩ d ng: f() x= x + +  . 2x 1 − x  x −1  Ví d 3 : Tìm hàm s f: R \{ − 1;0;1 } → R th a mãn: xfxf() +2  =∀≠− 1 x 13() . x +1  Li gi i: x −1 ðt x= ,3()()()⇒ xfx+ 2 fx = 1 . 1 x +1 1 x1 −1 1 ðt x2= = − ,3()()()⇒ xfxfx 112+ 2 = 1 . x1 +1 x x2 −1 x +1 ðt x3 = = ,3()()()⇒ xfxfx2 2+ 2 3 = 1 . x2 +1 x − 1 x3 −1 ðt x4= = x,3()()()⇒ xfx 3 3 + 2 fx = 1 . x3 +1 xfx( ) +2 fx( ) = 1  1 2 xfx1()() 1+2 fx 2 = 1 4x− x + 1 Ta cĩ h  ⇒ f() x = . Th l i th y đúng. xfx2()() 2+2 fx 3 = 1 5x() x − 1  xfx3()() 3 +2 fx = 1 7
  9. 4x2 − x + 1 Vy hàm s c n tìm là: f() x = . 5x() x − 1 BÀI T P 1  1) Tìm f: R \{ 1 } → R th a mãn: f1+  = x2 + 1 ∀∈ xR . x  a  b− ax  x2 a 2) Tìm f: R \ −  → R th a mãn: f  = ∀≠− x (a, b là h ng s cho b  bx+ a  x4 + 1 b tr ưc và ab ≠ 0 ). 3) Tìm f: R→ R th a mãn: f(2002 xf−( 0)) = 2002 xxR2 ∀∈ . 1 1  4) Tìm f: R \{ 0 } → R th a mãn: fx() + f  =∀∈1 xR \{} 0;1 . 2x 1 − x  1− x  5) Tìm f: R \{ ± 1;0 } → R th a mãn: ()fxf()   =64 xxR ∀∈ \{} − 1 . 1+ x  2  2x  2 6) Tìm f: R \   → R th a mãn: 2fxf() +  = 996 xx ∀≠ . 3  3x − 2  3 x−3  x + 3  7) Tìm f: R \{ ± 1 } → R th a mãn: f + f  = xx ∀≠± 1. x+1  1 − x  8) Tìm f: R→ R th a mãn: 2fx( ) + f( 1 −= xx) 2 ∀∈ xR . 1  9) Tìm f: R→ R th a mãn: fxf() +  = x2008 ∀∈ xR * . x  1  x −1  1 10) Tìm f: R \ ±  → R th a mãn: fxf() +  =∀≠ xx . 3  1− 3x  3 a2  11) Tìm f: R→ R th a mãn: fxf() +  =∀≠ xxaa() > 0 . a− x   fx(2++ 122) gx( += 1) 2 x  12) Tìm fgR, : \1{ } → R th a mãn:  x  x  ∀x ≠ 1.  f + g  = x  x−1  x − 1  Ph ươ ng pháp 3 : Ph ươ ng pháp chuy n qua gi i h n. 2x  3 x Ví d 1 : Tìm hàm s f: R→ R liên t c, th a mãn: fxf() +  = ∀∈ xR () 1 . 3  5 Li gi i: 2x 3 ðt x= ;()()() 1 ⇒ fxfx+ = x . 1 31 5 2x 3 ðt x= 1 ;()()() 1 ⇒ fxfx+ = x . 23 121 5 8
  10. 2x 3 ðt x=n , nN ∈ * ;()()() 1 ⇒ fxfx+ = x . n+1 3n n+ 1 5 n  3  fx()()+ fx1 = x ()1  5 3  fx()()+ fx = x ()2 Ta cĩ h  1 25 1    3 fxfx()()+ = x() n + 1  n n+1 5 n Nhân dịng ph ươ ng trình th (i) v i (-1) i+1 r i c ng l i ta đưc: 2 n  n+2 322  2 fx()()()+−1 fxn+1 = x  1 −+ −+−⋯   () * . 533  3  ()f l.tơc Xét lim− 1n+2 fx  = lim fx  = fx lim = f 0 . ()()n+1  () n + 1  () n + 1 () n+2 Mt khác (1) suy ra f(0) = 0 nên lim()()− 1f x n+1 = 0 . 3 1 9 x Ly gi i h n hai v c a (*) ta đưc: f x= x = . Th l i th y đúng. () 2 51+ 25 3 9x Vy hàm s c n tìm là: f() x = . 25 Ví d 2 : Tìm hàm s f liên t c t i x o= 0 th a mãn: f: R→ R và 2f( 2 x) = fx( ) + x ∀∈ xR ( 2 ). Li gi i: t  t ðt t= 2 x ta đưc: 2ftf() =  + ∀∈ tR ()2 ' . 2  2  1 t= t, ∀ nN ∈ *  n+1 2 n Xét dãy:  . Thay dãy {t n} vào (2’) ta đưc: 1 t= t  1 2  1 1  ft() = ft()1 + t ()1  2 4 1 1  ft() = ft() + t ()2  12 2 4 1 . Th (n) vào (n−1) →( n − 2 ) → ⋯ ta đưc: ⋯⋯   1 1 ft() = ft() + t() n  n−12 n 4 n − 1 11 1 1 ' ft() =n ft()n + n+1 ft() n−1 + n ft() n − 2 ++⋯ 2 t ()* . 22 2 2 9
  11. 1  n 1 11 1  ’ đư " Thay tn =   t vào (* ) ta c: ft() =n ft()n + t 2 +++ 4⋯ 2 n  ()* . 2  2 22 2  1  ” t Vì f liên t c t i x o = 0 nên limf() t  = 0 . L y gi i h n 2 v (* ) suy ra: f() t = . Th 2n n  3 li th y đúng. Nh n xét: +) N u dãy {x n} tu n hồn thì ta gi i theo ph ươ ng pháp th r i quy v h pt hàm. +) N u dãy {x n} khơng tu n hồn nh ưng f liên t c t i x o = 0 và {x n} → 0 thì s d ng gi i h n nh ư VD1. + N u {x n} khơng tu n hồn, khơng cĩ gi i h n thì ph i đi bi n đ cĩ dãy {t n} cĩ gi i h n 0 và làm nh ư ví d 1. BÀI T P 1) Tìm f: R→ R th a mãn: a) f liên t c t i x o = 0, b) nfnx( ) = fx( ) + nx ∀∈ nNn, ≥∀∈ 2; xR . x  10 2) Tìm f: R→ R liên t c t i x o = 0, th a mãn: fxf()3 +  = x . 3  3 3) Tìm f: R→ R liên t c t i x o = 0, th a mãn: mfmx( ) − nfnx( ) =+( mnx) ∀∈ mn, N* , m ≠∀∈ n , x R . Ph ươ ng pháp 4 : Ph ươ ng pháp xét giá tr . +) ðây là ph ươ ng pháp c ơ s c a m i ph ươ ng pháp khác. +) Khi v n d ng ph ươ ng pháp c n chú ý s d ng k t qu v a cĩ đưc. (afx) ( ) ≥0 ∀ xR ∈ Ví d 1 : Tìm f: R→ R th a mãn:  . ()()()()bfxy+≥ fx + fy ∀∈ xyR, Li gi i: x = 0  f (0) ≥ 0 Cho  suy ra  ⇒ f ()0= 0 . y = 0  f()()0≥ 2 f 0 f(0) ≥ fxfx( ) +−( )  fxfx( ) +−≤( ) 0 Cho y= − x ⇒ ⇒  fx()()≥0, fx −≥ 0  fx()() ≥ 0, fx −≥ 0 ⇒ fx( ) = fx( −) =0 ∀∈ xR . V y f( x ) = 0 . Th l i th y đúng. Ví d 2 : Tìm f: R→ R th a mãn: 1 1 1 fxy() + fyz()()() − fxfyz ≥∀∈ xyzR, ,() 2 . 2 2 4 Li gi i: 10
  12. 2 2 1 1  1 Cho x= z, y = 1 ta đưc: fxfx()()−() ≥⇔ fx() −≤⇔  0 fx() = . Th l i th y 4 2  2 đúng. Ví d 3 : Tìm f: R→ R th a mãn: fx( ) = Max{ xyfy −( ) } ∀∈ xR ( 3 ) . y∈ R Li gi i:(3) ⇒ fx( ) ≥− xy fy( ) ∀∈ xy , R . t 2 Cho xytR= = ∈ ⇒ ft() = ∀ tRa ∈ () . 2 T (a) suy ra: 2 2 2 2 y x1 2 x x xy− f() y ≤−=− xy() x −≤ y ⇒ fxM()()=ax {} xyfy − ≤∀∈ xRb() 222 2 y∈ R 2 x2 ()()()a+ b⇒ fx = . Th l i th y đúng. 2 Ví d 4 : Tìm f: R→ R th a mãn: fxy( +≥) fxfy( ) ( ) ≥2008x+ y ∀∈ xyR ,( 4 ). Li gi i: 2 Cho xy= = 0⇒ f()() 0≥( f 01) ≥ ⇒ f () 01= . Cho 1 xyR= − ∈ ⇒10= f()()()()()() ≥ fxfx −≥ 1⇒ fxfx− = 1 ⇒ fx= ∀ xRa ∈ () . f()− x  f( x ) ≥2008x > 0 Cho yxRfx=0; ∈ ⇒ ≥ 2008 x ⇒  b . () − x ()  f()− x ≥2008 > 0 1 1 Theo ()()()abfx+ ⇒ = ≤ = 2008 x () c . (b) + ( c)⇒ fx( ) = 2008 x . Th l i f()− x 2008 −x th y đúng. Ví d 5 : Tìm f:[ ab ;] → [ ab ; ] th a mãn: fx( ) − fy( ) ≥−∀∈ xy xy,[ ab ; ] (a < b cho tr ưc) (5). Li gi i: Cho xayb=; = ⇒ fa( ) − fb( ) ≥−=− ab baa( ) . vì fa( ), fb( )∈[ ab ; ] nên fa( ) − fb( ) ≤−=− abbab ( ) . 11
  13.  f() a= a   f() b= b ()()()()a+ b⇒ fa− fb = ba − ⇔  .  f() a= b   f() b= a  f( a) = a +) N u  thì:  f() b= b Ch n ybx=; ∈ [ ab ;]⇒ fx( ) ≤ xc ( ). Ch n yax=; ∈ [ ab ;]⇒ fx( ) ≥ xd ( ) . (c) + ( d) ⇒ fx( ) = x .  f( a) = b +) N u  thì:  f() b= a Ch n y= bx; ∈ [ ab ; ] r i ch n y= ax; ∈ [ ab ; ] nh ư trên ta đưc: fx( ) = abx + − . Th li th y đúng. Nh n xét: +) T VD1 → VD5 là các BPT hàm. Cách gi i nĩi chung là tìm các giá tr đc bi t – cĩ th tính đưc tr ưc. Sau đĩ t o ra các B ðT “ ng ưc nhau ” v hàm s c n tìm đ đư a ra k t lu n v hàm s . +) Vi c ch n các tr ưng h p c a bi n ph i cĩ tính “ k th a”. T c là cái ch n sau ph i da vào cái ch n tr ưc nĩ và th các kh n ăng cĩ th s d ng k t qu v a cĩ đưc. Ví d 6 : Tìm f: R→ R th a mãn:  π  f()0= af ;   = bab() , chotr−íc  2  ()6 .   fxy()()()++−= fxy2 fx cos y ∀∈ xyR , Li gi i: π π  π  Cho y=; x ∈ R ta đưc: fx+  + fx −  = 0 () a . 2 2  2  Cho x=0; y ∈ R ta đưc: fy( ) + fy( −) = 2 a cos yb( ). π π  π  Cho x=; y ∈ R ta đưc: f++ yf  −= ybyc  2 cos (). 2 2  2  12
  14.  π  π   fx+  + fx −  = 0  2  2   π π  π ()()()abc+ + ⇒  fx−+ f −= xax2 cos  − .  2 2  2  π  π   fx+  + f −= xbx  2 cos  2  2  Gi i h ta đưc: fx( ) = acos xb + sin x . Th l i th y đúng. Ví d 7 : Tìm f: R→ R th a mãn: fxfy( ) ( ) =++ fxy( ) sinsin x y ∀∈ xyR ,( 7 ). Li gi i: Ta th y f( x) = cos x là m t hàm s th a mãn. 2  f (0) = 0 Cho xy= =0 ⇔() f() 0 = f () 0 ⇔  .  f ()0= 1 Nu f (0) = 0 thì: Cho y=0; xR ∈ ⇒ fx( ) =− f( 00) = ∀∈ xR . Th l i ta đưc: sinx sin y= 0 ∀ xyR , ∈ ⇒ vơ lý. V y f( x ) = 0 khơng là nghi m (7). Nu f (0) = 1 thì cho xyfxfx= − ⇒ ( ) (−=+−) 1( sin2 x) = cos 2 xfxfx⇒ ( ) (−) = cos 2 xa ( ) .  π   f   = 0 π 2  Cho x = ⇒  . 2  π   f −  = 0  2  π  π Nu f   = 0 thì: Cho x=; y ∈ R th vào (7) suy ra: 2  2 π  fy+  +sin y = 0⇒ fy() = cos yyR ∀ ∈ . Th l i th y đúng. 2  π  Nu f −  = 0 t ươ ng t nh ư trên ta đưc: fy( ) =cos yyR ∀ ∈ . 2  Vy hàm s c n tìm là: f( x) = cos x . Ví d 8 : Tìm fgR, : → R th a mãn: fx( ) − fy( ) =cos( xygxy +) ( −∀∈) xyR , ( 8 ) . Li gi i: π π  π Ch n x= − yyR; ∈ () 8⇒ f−− yfy() =⇔ 0 f  −= yfya()() . 2 2  2 π π  π Ch n x= + yyR; ∈ () 8⇒ f+ yfy −() =− sin2. yg  () b . 2 2  2 13
  15. π π  π ()()abf+ ⇒ + yf − − y =− sin 2 yg .  () c . 2 2  2 π  π  Theo (8): f+ yf  − − y  =− gyd()()2 . 2  2  π  ()()()cdgy+ ⇒ 2= sin2. yg  ∀ yRgxa ∈ ⇒ ()() 2= sin2 xgxax⇒ = sin ∀x ∈ R . 2  π  (v i a= g   cho tr ưc.) 2  a Cho y=0; xRfxf ∈ ⇒ ()()()()− 0cos. = xgx⇒ fx= sin2 xbbf += (() 0), ∀∈ xR . 2  a  fx() =sin 2 xb + Th l i 2 hàm s :  2 (V i a, b là h ng s cho tr ưc). Th a mãn (8).  gx() = asin x    f()()()− x =− fx ∀∈ xRa  Ví d 9 : Tìm f: R→ R th a mãn:  fx()()()+=1 fx +∀∈ 1 xRb .   1  f() x f  = ∀ x ≠ 0 () c  x  x 2 Li gi i: x +1  Ta tính f   đn f( x ) theo hai cách: x  x +1  1   1 f( x ) ff =11 +=+  f  =+ 1 ∀≠ xa 0 () . x  x   xx 2 x 1  f f 1−  2 x+1x+1 x + 1   x + 1 1  f = = = 1 +−=f  xx 2  x  2  x x +1      x+1   x + 1  x+12   1   x + 1 2 f() x +1  =1 +−f = 1 −  =     2  x  x+1   x ()x +1  x +1  2 1+ f() x  1−  ∀≠x 0, x ≠ 1 b .   2  () x  ()x +1  (a) + ( b)⇒ fxxx( ) =∀≠ 0; x ≠ 1 . Vi x= 0;( a)⇒ f ( 00) = th a mãn f( x) = x . Vi xaf=1;( ) ⇒ (− 1) = − f ( 1 ) : Cho xbf= 0;( ) ⇒ ( 11) = ⇒ f (− 11) = − th a mãn f( x) = x . 14
  16. Vy fx( ) = x ∀ x ∈ R . Th l i th y đúng . Ví d 10 : Tìm f: R \{ 0 } → R th a mãn:  f(1) = 1 ( a )   1  1   1  f = ff  .  ∀ xyb , ≠ 0 () .  xy+  x   y  ()()()()()()xyfxy++= xyfx fy ∀ xy ,tháamn xyxy +≠ 0 c Li gi i: 1   1 Cho x= y ∈ R*,( b ) ta đưc: f = 2 f  ⇒ fxfxx()()()= 22 ∀ ≠ 0* 2x   x 2 2 Cho x= y ∈ R*,( c ) ta đưc: 22xfxxfx()()=2 ( ) ⇔ 22 fxxfx()() =( ) ∀≠ x 0 (* ' ). 2 Th (*) vào (* ’) suy ra: fx()()= xfx( ) ( * " ) . * ” Gi s : ∃xo ≠1, x o ∈ R sao cho: f(xo) = 0. Thay x= 1 − xyxo ; = o vào (* ) ta đưc: f(1) = 0 trái v i gi thi t f(1) = 1. V y fx( ) ≠∀≠0 x 1; x ≠ 0 . 1 Vì f (1) = 1 ≠ 0 nên t (* ”) suy ra f() x= ∀ x ≠ 0 . Th l i th y đúng. x Ví d 11 : Tìm f: R→ R th a mãn:    f()()1= 1 a   fxy()()()()+= fx + fy +2 xyxyRb ∀∈ , .   1  f() x f  = ∀ x ≠ 0 () c  x  x 4 Li gi i: Cho xy==0,( b) ⇔ f ( 00) = Cho xyt==≠0,( b) ⇔ ft( 22) − ft( ) = 21 t 2 ( ) . 1 1  11  Cho xy==,() b ⇔ f − 2 f   = () * 2t t  2 tt  2 2 1ft( )  1 ft(2 ) ft( ) ft(2 ) 1 T ()c⇒ f=; f  = . Th vào (*) ta đưc: −2 = () 2 . t t4 2 t ()2t 4 t4()2t 4 2 t 2 (1) + ( 2)⇒ ft( ) = t2 ∀ t ≠ 0 . T f(0) = 0 ⇒ ftttR( ) =2 ∀ ∈ . Th l i th y đúng. Ví d 12 : Cho hàm s f :0;( +∞→) ( 0; +∞ ) th a mãn: f( x )  f  = yfyffx()()() ∀∈+∞ xy,()() 0; 12 . y  15
  17. Li gi i: Cho: xy= = 1⇒ ff( ( 1)) = fff( 1.) ( ( 1)) ⇒ f ( 11) = vì ff( (10)) ≠ ⇒ ff( ( 11)) = . 1  f   f ()1  y  xy=1; ∈() 0; +∞ ⇒ f  = yfyff()()() 1 =⇔= yfyfy()() () a . y  y Mt 1     f      y   1   f() y khác: ffy()() == f yfyff()    = yfyfyfy()()() = yfyf()   y   y   1        y  1 1  = yfy() f  ffy()() . y y  1 1  1 Vì f( f( y )) ≠ 0 nên yfy() f=1 ⇔ fyf()  = 1 () b . y y  y 1 ()()()ab+ ⇒ fy= ∀∈ y ()0; +∞ . Th l i th y đúng. y Ví d 13 : Tìm f: R→ R th a mãn:  1  f()0 = () a  2 .  ∃∈aRfayfx: ()()()()()() − +− faxfy =+∀∈ fxy xyRb, Li gi i: 1 Cho xy= = 0, ()() b⇒ fa = . 2 Cho y=0; x ∈ R ta đưc: fx( ) = fxfa( ).( ) + f( 0) . fax( − ) ⇒ fx( ) = faxc( − ) ( ) . 2 2 Cho y= a − xx; ∈ R ta đưc: fa()()=( fx) +( fax() − ) () d .  1  f() x = 2 1 ()()()c+ d⇒ 2() fx = ⇔  2 . 2 1  f() x = −  2 1 Nu ∃x ∈ R sao cho: f() x = − thì: o o 2 2 1 ()b xx   x x ()c   x  −==+=fxf() oo 2. f  o fa −= o  2 f  o  ≥ 0 ⇒ Vơ lí. 2o  222   2   2  1 Vy fx() = ∀ xR ∈ . Th l i th y đúng. 2 16
  18. Ví d 14 : (VMO.1995) 2 2 Tìm f: R→ R th a mãn: fxy(()−=−) x2 2 yfx()() +( fy) ∀∈ xyR ,() 14 . Li gi i: 2  f (0) = 0 Cho xy= = 0⇒ f()() 0=() f 0 ⇔  .  f ()0= 1 y = 0 Nu f (0) = 0 : Cho  ta đưc: fx( 2) = x 2 ⇒ ft( ) = tt ∀ ≥ 0 x∈ R 2 2 Cho x= y ∈ R ta đưc: f()()()0=− x2 2 xfx +( fx) ⇔( fxx() −=⇔) 0 fxx() = . Th l i th y đúng. y = 0 Nu f (0) = 1 : Cho  ta đưc: fx( 2) = x 2 +⇔1 ftt( ) =+∀≥ 1 t 0 . x∈ R 2 2 Cho x=0; y ∈ R ta đưc: fy( 2 ) = −2 yfy + ( ()) ⇒ ( fy()) = fy( 2 ) + 2 y  f( y) = y + 1 =y2 ++1 2 y =() y + 1 2 ⇒  .  f() y= − y − 1 Gi s ∃yo ∈ R sao cho: f( yo) = − y o − 1. Ch n x= y = y o ta đưc:  f y= y − 1 2 2 ( o) o 1=yooo − 2 yfy()() +() fy o ⇔  .  f() yo= y o + 1 Nu fyy( oo) = − 1⇒ − y o −= 1 y o − 1⇒ y o = 0v f ( 01() = − lo¹i) . Nu fyy( oo) = + 1⇒ − yy o −= 11 o + ⇒ y o = − 1⇒ f (− 10) = . Th a mãn: f( yo) = y o + 1. V y fy( ) = y +1 ∀∈ yR . Th l i th y đúng. Ví d 15 : (VMO.2005) Tìm f: R→ R th a mãn: ffxy( ( −=)) fxfy( ) ( ) − fx( ) + fy( ) −∀∈ xyxyR,( 15 ) . Li gi i: 2 Cho xy= = 0⇒ ff( () 0) = ( f () 0 ) . ðt f(0) = a ⇒ faa( ) = 2 . 2 2 Cho xyR= ∈ ⇒ ( fx()) = xfa2 + ()()⇒ ( fx) = xa 2 + 2 () * . 2 2  fx( ) = f( − x ) ⇒ ()fx() =() fx() − ⇒  .  fx()()= − f − x * Nu ∃xo ∈ R sao cho fx( o) = f( − x o ) : ⇒ + Ch n x=0; y = − xo ffx( ( o)) = afx( − o) −+ afxa( − o ) ( ) . 17
  19. ⇒ + Ch n y=0; x = − xo ffx( ( o)) = afx( o) + afxb − ( o ) ( ) . ⇒ (abafx) + ( ) ( ( o) −−− fx( o)) ( fx( o) +−+= fx( o )) 2 a 0 ( c ) . ()* ⇒ 2 22⇒ 2 22 ⇒ Vì fx( o) = f( − x o ) nên fx()o= a() fx() o = xa0 + axa= 0 + x o = 0 trái v i * gi thi t xo ∈ R . Vy fx( ) =− f( − x) ∀∈ xR . Ta th y (c) khơng ph thu c vào x o nên ta cĩ: afxfx( ( ) −−−( )) ( fxfx( ) +−+=( )) 2 a 0 ( c ) . Thay fx( ) = − f( − x ) suy ra: a = 0 a() f() x +1 = 0 ⇔  .  f() x = − 1 ()* 2  f( x) = x + N u a= 0⇒() fx() = x 2 ⇔  .  f() x= − x * Gi s t n t i xo ∈ R đ f( xo) = x o . Khi đĩ (b) suy ra: * xo= fx( o) = ax o +− ax oo⇒ x = 0 trái gi thi t xo ∈ R . Vy fx( ) =− xxR ∀ ∈ . Th l i th y đúng + N u fx( ) =−1 ∀ xR ∈ . Th l i ta đưc (15) ⇔xy =∀ 2 x , y ∈ R . Vơ lí. Vy hàm s c n tìm là: f( x) = − x . Nh n xét : Cĩ m t suy lu n hay nh m l n đưc s d ng các VD:  1   f() x =    2 1 2 2 2 f() y= y + 1 VD13 ()f() x = ⇔   ; VD14 ()f() y=() y +1 ⇔   ; 4  1   f() y= − y − 1  f() x = −     2    2  f() x= x VD15  f x= x 2 ⇔   , đĩ là hi u sai: ()()   f() x= − x   1  fx() = ∀ xR ∈ 2 1 2 ()f() x = ⇔  ; 4 1  fx() =− ∀∈ xR  2 2  fy( ) = y +1 ∀∈ xR ()f() y=() y +1 2 ⇔  ;  fy() =− y −1 ∀∈ xR 2  fx( ) = x ∀ xR ∈ ()f() x= x 2 ⇔  .  fx() =− x ∀ xR ∈ 18
  20. 2 1 Th c t th ưng là nh ư v y nh ưng v m t logic thì khơng đúng. ()f() x = thì f( x ) cĩ th 4 1  1  ()x ≥ 0  f() x = 2 2 1 2 là hàm khác n a nh ư f() x =  . Nh ư v y ()f() x = ⇔  ch 1 4 1 −()x < 0  f() x = −  2  2 1 đúng v i m i x c th ch khơng th k t lu n ch cĩ hai hàm s fx() = ∀ xR ∈ ho c 2 1 fx() =− ∀ xR ∈ . 2 1 1 ð gi i quy t v n đ này ta th ưng “ th ” fx() = ∀ xR ∈ ho c fx() =− ∀ xR ∈ vào đ 2 2 1 bài đ tìm hàm s khơng th a mãn (trong VD13 thì f() x = khơng th a mãn) sau đĩ l p 2 1 lu n ph đnh là ∃x: f() x = − đ d n đn vơ lí! o o 2 Ví d 16 : Tìm f : (0,1) → ℝ th a mãn: f(xyz) = xf(x) + yf(y) +zf(z) ∀x, y , z ∈ (0,1) . Li gi i: Chn x = y = z: f(x 3) = 3xf(x). Thay x, y, z b i x 2: f(x 6) = 3 x 2 f(x 2). Mt khác: f(x 6) = f(x. x 2 .x 3) = xf(x) + x 2 f(x 2) + x 3 f(x 3). ⇒ 3 x 2 f(x 2) = xf(x) + x 2 f(x 2) + 3x 4 f(x) ⇔ 2 x 2 f(x 2) = xf(x) + 3x 4 f(x) 3x3 + 1 ⇒ fx(2 )= fxx ( ), ∀ ∈ ℝ 2 Thay x b i x 3 ta đưc : 3x9 + 1 fx(6 )= fxx ( 3 ), ∀ ∈ ℝ 2 3x9 + 1 ⇒ 3xfx2 () 2 = 3(), xfxx ∀ ∈ ℝ 2 31x3+ 31 x 9 + ⇒ 3x2 fx ()= 3(), xfxx ∀ ∈ ℝ 2 2 ⇒ f( x )= 0, ∀ x ≠ 0 Vy f(x) = 0 v i m i x ∈(0; 1). BÀI T P 5 1) Tìm f: N→ R th a mãn: f()()0≠ 0; f 1 = ; 2 fxfy( ) ( ) = fxy( ++) fxy( −) ∀∈ xyNxy, , ≥ . 2) Tìm f: N→ R th a mãn: fmn( ++−=) fnm( ) f(3 n) ∀∈ mnNnm , , ≥ . 19
  21. 3) Tìm f: R→ R th a mãn: fxfy( ( )) = yfx( ) xy, ∈ R . 4) Tìm f: R→ R th a mãn: fx(( +1) fy( )) = yfx( ( ) + 1) xyR , ∈ . 5) Tìm f :0;( +∞) →( 0; +∞ ) th a mãn: fx( ) = Max xyyxfy2 +− 2 ( )  ∀∈+∞ x ( 0; ) . y∈()0; +∞   6) Tìm f: R→ R th a mãn: fxy( ) − fxy( −+) fxy( ++=++∀∈1) xy 21 x xyR , .  fxy( ) = fxf( ) ( y ) 7) Tìm f :[ 1;+∞) →[ 1; +∞ ) th a mãn:  ∀x, y ∈[ 1; +∞ ) .  ffx()() = x 8) Tìm f: R→ R th a mãn: fxy( ) = fxfy( ) ( ) −++∀∈ fxy( ) 1 xyR , . 9) Tìm f: R→ R th a mãn: ( fx( ) + fz( ))( fy( ) +=−++∀ ft( )) fxyzt( ) fxtzy( ) xyztR, , , ∈ . 10) Tìm f: R→ R th a mãn: fx( 2−= y 2 ) xfy( ) − yfx( ) ∀∈ xyR, . 11) Tìm f: N →[ 0; + ∞ ) th a mãn: 1 f()()()11;= fmnfmn ++−=() fmfn()() 22,, + ∀∈≥ mnNmn . 2 x+ y  fx( ) + fy( ) 12) Tìm f: Z→ R th a mãn: f  = ∀∈+ xyZxy, ;()⋮ 3 . 3  2 13) Tìm f: N→ N th a mãn: 3fn( ) − 2 ffn( ( )) =∀∈ n nN . 14) Tìm f: Z→ Z th a mãn: f(1;) =∈ aZfmn( ++−=) fmn( ) 2( fm( ) + fn( )) ∀∈ mnZ , . 15) Tìm f: R→ R th a mãn: fx( 3 +2 y) = fxy( ++) fxy( 31, ++∀∈) xyR . 16) Tìm f: R→ R th a mãn: xfx2 ( ) + f(1 −= x) 2 xx −4 ∀∈ xR . Ph ươ ng pháp 4 : S d ng tính ch t nghi m c a m t đa th c. Ví d 1 : Tìm P(x) v i h s th c, th a mãn đng th c: (x32+++ 3 x 3 x 2) Px ( −=−+− 1) ( x 32 3 x 3 x 2) Pxx ( ), ∀ (1) Li gi i: (1)⇔+ (x 2)( xxPx2 ++ 1) ( −=− 1) ( x 2)( xxPxx2 −+ 1) ( ), ∀ Ch n: x= − 2⇒ P (2)− = 0 x= − 1⇒ P (− 1) = 0 x= 0 ⇒ P (0)= 0 x=1 ⇒ P (1)= 0 Vy: P(x) = x(x – 1)(x + 1)(x + 2)G(x). 20
  22. Thay P(x) vào (1) ta đưc: (x+ 2)( xx2 ++−− 1)( x 1)( x 2) xxGx ( + 1) ( −=− 1) ( x 2)( xxxx2 −+ 1) ( −++ 1)( x 1)( xGxx 2) ( ), ∀ ⇒ ( xx2++1) Gx ( −=−+ 1) ( xx 2 1) Gxx ( ), ∀ Gx(− 1) Gx ( ) ⇔ =, ∀ x xx2−+1 xx 2 ++ 1 Gx(− 1) Gx ( ) ⇔ =, ∀ x (x−+−+ 1)2 ( x 1) 1 xx 2 ++ 1 G( x ) ðt R( x )= (x ≠ 0, ± 1, -2) x2 + x + 1 ⇒ Rx( )= Rx ( − 1) (x ≠± 0, 1, -2) ⇒ R( x )= C Vy Px( )= Cx (2 ++ x 1) xx ( − 1)( x + 1)( x + 2) Th l i th y P(x) th a mãn điu ki n bài tốn. Chú ý: N u ta xét P(x) = (x 3 + 1)(x – 1) thì P(x + 1) = (x 3 + 3x 2 + 3x + 2)x. Do đĩ (x 3 + 3x 2 + 3x + 2)xP(x) = (x 2 – 1)(x 2 – x + 1)P(x + 1). T đĩ ta cĩ bài tốn sau: Ví d 2 : Tìm đa th c P(x) v i h s th c, th a mãn đng th c: (x 3 + 3x 2 + 3x + 2)xP(x) = (x 2 – 1)(x 2 – x + 1)P(x + 1) v i m i x. Gi i quy t ví d này hồn tồn khơng cĩ gì khác so v i ví d 1. Tươ ng t nh ư trên n u ta xét: P(x) = (x 2 + 1)(x 2 – 3x + 2) thì ta s cĩ bài tốn sau: Ví d 3 : Tìm đa th c P(x) v i h s th c th a mãn đng th c: (4x2++ 4 x 2)(4 x 2 − 2 xPxx ) ( ) =+ ( 22 1)( xxPx −+ 3 2) (2 +∀∈ 1), x ℝ Các b n cĩ th theo ph ươ ng pháp này mà t sáng tác ra các đ tốn cho riêng mình. Ph ươ ng pháp 5 : S d ng ph ươ ng pháp sai phân đ gi i ph ươ ng trình hàm. 1. ðnh ngh ĩa sai phân: Xét hàm x(n) = x n: Sai phân c p 1 c a hàm x n là: △xn= x n+1 − x n 2 Sai phân câp 2 c a hàm x n là: △xxnn= △+1 −= △ xx nn + 2 −2 xx nn + 1 + k k i i Sai phân câp k c a hàm x n là: △ xn=∑ ( − 1) C knki x + − i=0 2. Các tính ch t c a sai phân: +) Sai phân các c p đu đưc bi u th qua các giá tr hàm s . +) Sai phân cĩ tính tuy n tính: ∆k(af + bg ) =∆ a k f +∆ b k g k +) N u x n đa th c b c m thì ∆ xn : Là đa th c b c m – k n u m > k. Là h ng s n u m = k. Là 0 n u m < k. 21
  23. 3. N i dung c a ph ươ ng pháp này là chuy n bài tốn ph ươ ng trình hàm sang bài tốn dãy s và dùng các ki n th c dãy s đ tìm ra các hàm s c n tìm. Ví d 1 : Tìm f: N → R tho mãn : f(1) = 1 và 2f(n).f(n+k) = 2f(k-n) + 3f(n).f(k) ∀ k, n ∈N, k ≥ n. Li gi i: 2  f (0)= 0 Cho n = k = 0 ta đưc: (f(0)) + 2f(0) = 0 ⇔  .  f (0)= − 2 + N u f(0) = 0 thì chn n = 0, k ∈ N ta đưc: f(k) = 0 trái gi thi t f(1) = 1. + N u f(0) = - 2 thì ch n n = 1, k ∈ N * ta đưc: 2.f(k+1) - 3.f(k) - 2.f(k-1) = 0. u= −2; u = 1 ðt u = f(k) ta đưc dãy s : 0 1 . k  * 2uk+1− 32 uu k − k − 1 =∀∈ 0 k ℕ 1 k T đây tìm đưc u k = f(k) = −2.( − ) ∀∈k N . Th l i th y đúng. 2 Ví d 2 (D tuy n IMO 1992): Cho a, b> 0. Tìm f: [0; + ∞) → [0; + ∞) tho mãn : f(f(x))+a.f(x) = b.(a+b).x ∀x∈ [0; + ∞) (2) Li gi i: C đnh x ∈ [0; + ∞) và đt u 0 = x, u 1 = f(x), u n+1 = f(u n). T (2) ta đưc : n n un+2 + a.u n+1 - b.(a + b).u n = 0. Gi i dãy s trên ta đưc: u n = c 1.b + c 2.(-a -b) (*). un b n n b Vì u n ≥ 0 ∀n∈N nên ta cĩ: 0≤ =c .( ) +− c .(1) . M t khác: 0 0 thì khi n l và n đ l n thì < 0 vơ lí !; cịn n u n→+∞ a+ b (a+ b ) n un c2 < 0 thì khi n ch n và n đ l n thì < 0 vơ lí !. V y c 2 = 0. Thay vào (*) ta đưc (a+ b ) n n un = c 1.b . T u 0 = x suy ra c 1 = x và f(x) = bx. Do đĩ f(x) = bx ∀x∈[0;+ ∞). Th l i th y đúng. Ví d 3 : Tìm t t c các hàm f : ℝ→ ℝ th a mãn: f(f(x)) = 3f(x) – 2x , ∀x ∈ ℝ Li gi i : Thay x b i f(x) ta đưc: f(f(f(x))) = 3f(f(x)) – 2f(x) , ∀x ∈ ℝ ffx( ( ))= 3 ffx ( ( )) − 2 ffx ( ( )) n+2 n + 1 n Hay fn+2() x= 3 fx n + 1 ()2 − fxn n (), ≥ 0 ðt x= fxn( ), ≥ 0 ta đưc ph ươ ng trình sai phân: x=3 x − 2 x n n n+2 n + 1 n Ph ươ ng trình đc tr ưng là: λλ2 −320 +=⇔ λλ =∨= 1 2 22
  24. n Vy xn = c1 + c 2 2 x= c + c = x Ta cĩ:  0 1 2 x1= c 1 +2 c 2 = fx ( ) T đĩ ta đưc c1=−2 xfxc ( ), 2 = fx ( ) − x Vy fx( ) = x + c 2 ho c fx( )= 2 xc − 1 Ph ươ ng pháp 6 : Ph ươ ng pháp s d ng ánh x . Ví d 1 : Tìm f: N *→ N * tho mãn: f(f(n)+m) = n+f(m+2007) ∀ m, n ∈N* (1). Li gi i: Tr ưc h t ta ch ng minh f là đơ n ánh. Th t v y: f(n 1) = f(n 2) ⇒ f(f(n 1)+1) = f(f(n 2)+1) ⇒ n 1 + f(1+2007) = n 2 + f(1+2007) ⇒ n1 = n 2. V y f là đơ n ánh. Mt khác t (1) suy ra: ∀ m, n ∈ N *, f(f(n) + f(1)) = n + f(f(1) + 2007) ⇒ f(f(n)+f(1)) = n + 1 + f(2007+2007) = f(f(n+1)+2007). Vì f là đơ n ánh nên ta cĩ: f(n) + f(1) = f(n+1) + 2007 ⇒ f(n+1) - f(n) = f(1) - 2007. ðt f(1) - 2007 = a. Khi đĩ ta cĩ f(n) = n.a + 2007. Thay l i (10) ta đưc a 2n = n ∀n∈N* ⇒ a 2 = 1 ⇒ a = 1 ⇒ f(n) = n+2007. Ví d 2 : Tìm f: R → R tho mãn: f(xf(x)+f(y)) = (f(x)) 2+y ∀ x, y ∈R (2). Li gi i: D ràng ch ng minh f là đơ n ánh. Mt khác, c đnh x thì ∀t∈R t n t i y = t - (f(x)) 2 đ f(xf(x) + f(y)) = t. V y f là tồn ánh, do đĩ f là song ánh. Suy ra t n t i duy nh t a ∈R sao cho f(a) = 0. Cho x = y = a ta đưc f(0) = a. Cho x = 0, y = a ta đưc f(0) = a 2 + a. V y a = a 2 + a hay a = 0 ⇒ f(0) = 0. Cho x = 0, y ∈R ta đưc f(f(y)) = y (a). Cho y = 0, x ∈R ta đưc f(x.f(x)) = (f(x)) 2 ⇒ f(f(x).f(f(x))) = (f(f(x))) 2. Theo (a) ta đưc f(f(x).x)) = x 2 ⇒ (f(x)) 2 = x 2 ⇒ f(x) = x ho c f(x) = -x. Gi s t n t i a, b ∈R* đ f(a) = a, f(b) = -b. Khi đĩ thay x = a, y = b thì t (2) suy ra: f(a 2 - b) = a 2 + b. Mà (a 2 + b) 2 ≠ (a 2 - b) 2 v i a, b ∈ R * trái v i kh ng đnh (f(x)) 2 = x 2. V y cĩ hai hàm s là f(x) = x, ∀x∈R ho c f(x) = -x ∀x∈R. Th l i th y đúng. Ph ươ ng pháp 7 : ph ươ ng pháp đim b t đng. 1. ðc tr ưng c a hàm: Nh ư ta đã bi t, ph ươ ng trình hàm là m t ph ươ ng trình thơng th ưng mà nghi m c a nĩ là hàm. ð gi i quy t t t v n đ này, c n phân bi t tính ch t hàm v i đc tr ưng hàm. Nh ng tính ch t quan tr c đưc t đi s sang hàm s , đưc g i là nh ng đc tr ưng hàm. +) Hàm tuy n tính f(x) = ax , khi đĩ f(x + y) = f(x) + f(y). Vy đc tr ưng hàm tuy n tính là: f(x + y) = f(x) + f(y) v i m i x, y. 23
  25. x+ y +) Hàm b c nh t f(x) = ax + b, khi đĩ f(x) + f(y) = 2 f ( ) . Vy đc tr ưng hàm đây là 2 xy+  fx() + fy () f  =, ∀ x , y ∈ ℝ 2  2 ðn đây thì ta cĩ th nêu ra câu h i là: Nh ng hàm nào cĩ tính ch t fxy(+= ) fx () + fy (), ∀∈ xy , ℝ . Gi i quy t v n đ đĩ chính là d n đn ph ươ ng trình hàm. Vy ph ươ ng trình hàm là ph ươ ng trình sinh b i đc tr ưng hàm cho tr ưc. k +) Hàm l ũy th a fx()= x , x > 0 ðc tr ưng là f(xy) = f(x)f(y). x +) Hàm m ũ fx( )= aa ( > 0, a ≠ 1) ðc tr ưng hàm là f(x + y) = f(x)f(y), ∀x, y ∈ ℝ +) Hàm Lơgarit f( x )= log x (a>0,a ≠ 1) ðc tr ưng hàm là f(xy) = f(x) + f(y). a +) f(x) = cosx cĩ đc tr ưng hàm là f(x + y) + f(x – y) = 2f(x)f(y). Hồn tồn t ươ ng t ta cĩ th tìm đưc các đc tr ưng hàm c a các hàm s f(x) =sinx, f(x) = tanx và v i các hàm Hypebolic: ex− e − x +) Sin hypebolic shx = 2 ex+ e − x +) cos hypebolic chx = 2 shx ex− e − x +) tan hypebolic thx = = chx ex+ e − x chx ex+ e − x +) cot hypebolic cothx = = shx ex− e − x +) shx cĩ TX ð là ℝ t p giá tr là ℝ chx cĩ TX ð là ℝ t p giá tr là [1,+∞ ) thx cĩ TX ð là ℝ t p giá tr là (-1,1) cothx cĩ TX ð là ℝ \{0} t p giá tr là (−∞− , 1) ∪ (1, +∞ ) Ngồi ra b n đc cĩ th xem thêm các cơng th c liên h gi a các hàm hypebolic, đ th c a các hàm hypebolic. 2. ðim b t đng: Trong s h c, gi i tích, các khái ni m v đim b t đng, đim c đnh r t quan tr ng và nĩ đưc trình bày r t ch t ch thơng qua m t h th ng lý thuy t. đây, tơi ch nêu ng dng c a nĩ qua m t s bài tốn v ph ươ ng trình hàm. Ví d 1 : Xác đnh các hàm f(x) sao cho: f(x+1) = f(x) + 2 ∀x ∈ ℝ. Li gii: Ta suy ngh ĩ nh ư sau: T gi thi t ta suy ra c = c + 2 do đĩ c = ∞ Vì v y ta coi 2 nh ư là f(1) ta đưc f(x + 1) = f(x) + f(1) (*) Nh ư v y ta đã chuy n phép c ng ra phép c ng. D a vào đc tr ưng hàm, ta ph i tìm a: f(x) = ax đ kh s 2. Ta đưc (*) ⇔ax( += 1) ax + 2 ⇔a = 2 Vy ta làm nh ư sau: ðt f(x) = 2x + g(x). Thay vào (*) ta đưc: 24
  26. 2(x + 1) + g(x + 1) = 2x + g(x) + 2, ∀x ∈ ℝ ðiu này t ương đươ ng v i g(x + 1) = g(x), ∀x ∈ ℝ Vy g(x) là hàm tu n hồn v i chu kì 1. ðáp s f(x) = 2x + g(x) v i g(x) là hàm tu n hồn v i chu kì 1. Nh n xét: Qua ví d 1, ta cĩ th t ng quát ví d này, là tìm hàm f(x) th a mãn: f(x + a) = f(x) + b, ∀x ∈ ℝ , a, b tùy ý. Ví d 2: Tìm hàm f(x) sao cho: f(x + 1) = - f(x) + 2, ∀x ∈ ℝ (2). Li gii: ta c ũng đư a đn c = -c + 2 do đĩ c = 1. vy đt f(x) = 1 + g(x), thay vào (2) ta đưc ph ươ ng trình: g(x + 1) = - g(x), ∀x ∈ ℝ  1 gx(+ 1) = − gx ( ) gx()=[] gx () − gx ( + 1) Do đĩ ta cĩ: ⇔  2 ∀ x ∈ ℝ (3). gx(+ 2) = gx ( ) gx(+ 2) = gx ( ) 1 Ta ch ng minh m i nghi m c a (3) cĩ d ng: gx()=[] hx () − hx ( +∀∈ 1),xℝ đĩ h(x) là 2 hàm tu n hồn v i chu kì 2. Nh n xét: Qua ví d này, ta cĩ th t ng quát thành: f(x + a) = - f(x) + b, ∀x ∈ ℝ , a, b tùy ý. Ví d 3 : Tìm hàm f(x) th a mãn: f(x + 1) = 3f(x) + 2, ∀x ∈ ℝ (3). Gi i: Ta đi tìm c sao cho c = 3c + 2 d th y c = -1. ðt f(x) = -1 + g(x). Lúc đĩ (3) cĩ d ng: g(x + 1) = 3g(x) ∀x ∈ ℝ Coi 3 nh ư g(1) ta đưc: g(x + 1) = g(1).g(x) ∀x ∈ ℝ (*). T đc tr ưng hàm, chuy n phép c ng v phép nhân, ta th y ph i s d ng hàm m ũ: ax+1 =3 a x ⇔ a = 3 x Vy ta đt: gx()= 3 hx () thay vào (*) ta đưc: h(x + 1) = h(x) ∀x ∈ ℝ . Vy h(x) là hàm tu n hồn chu kì 1. Kt lu n: fx()= − 13 + x hx () v i h(x) là hàm tu n hồn chu kì 1. Nh n xét: ví d 3 này, ph ươ ng trình t ng quát c a lo i này là: f(x + a) = bf(x) + c ∀x ∈ ℝ ; a, b, c tùy ý. +) V i 0< b ≠ 1: chuy n v hàm tu n hồn. +) V i 0< b ≠ 1: chuy n v hàm ph n tu n hồn. Ví d 4: Tìm hàm f(x) th a mãn f(2x + 1) = 3f(x) – 2 ∀x ∈ ℝ (4) Gi i: Ta cĩ: c = 3c – 2 suy ra c = 1. ðt f(x) = 1 + g(x). Khi đĩ (4) cĩ d ng: g(2x + 1) = 3g(x) ∀x ∈ ℝ (*) Khi bi u th c bên trong cĩ nghi m ≠ ∞ thì ta ph i x lý cách khác. T 2x + 1 = x suy ra x = 1. Vy đt x = -1 + t ta cĩ 2x + 1 = -1 + 2t. Khi đĩ (*) cĩ d ng: g(-1 + 2t) = 3g(-1 + t ) ∀t ∈ ℝ . m m ðt h(t) = g(-1 + 2t), ta đưc h(2t) = 3h(t) ( ). Xét 2t= t ⇔ t = 0 , (2)t= 3. t ⇔ m = log32 Xét ba kh n ăng sau: 25
  27. +) Nu t = 0 ta cĩ h(0) = 0. +) Nu t> 0 đt ht()= tlog2 3 ϕ () t thay vào (3) ta cĩ: ϕ(2)t= ϕ (), t ∀ t > 0 . ðn đây ta đư a v ví d hàm tu n hồn nhân tính. ϕ(2)t=− ϕ (), t ∀< t 0 +) Nu t < 0 đt ht()||= tlog2 3 ϕ () t thay vào (3) ta đưc ⇔  ϕ(4)t= ϕ (), t ∀ t < 0  1 ϕ()t=[] ϕ () t − ϕ (2), tt ∀< 0 ⇔  2 .  ϕ(4)t= ϕ (), t ∀ t < 0 Nh n xét: Bài tốn t ng quát c a d ng này nh ư sau: f(α x+= β ) faxb () + α ≠± 0,1 . Khi đĩ t ph ươ ng trình αx+ β = x ta chuy n đim b t đng v 0, thì ta đưc hàm tu n hồn nhân tính. +) Nu a = 0 bài tốn bình th ưng. +) Nu a = 1 ch ng h n xét bài tốn sau: “Tìm f(x) sao cho f(2x + 1) = f(x) – 2, ∀x ≠ -1 (1)”. Xét: 2x + 1 = x ⇔x = − 1 nên đt x = -1 + t thay vào (1) ta đưc: f(-1 + 2t) = f(-1 + t) + 2, ∀t ≠ 0 . ðt g(t) = f( - 1 + t) ta đưc: g(2t) = g(t) + 2 ∀t ≠ 0 (2). T tích chuy n thành t ng nên là hàm logarit. 1 Ta cĩ loga (2t )= log a t − 2 ⇔a = . V y đt gt( )= log1 tht + ( ) . Thay vào (2) ta cĩ 2 2 ht(2)= ht (), ∀ t ≠ 0 . ðn đây bài tốn tr nên đơ n gi n. Ph ương pháp 8 : ph ươ ng pháp s d ng h đm. Ta quy ưc ghi m = (b ibi-1 b 1)k ngh ĩa là trong h đm c ơ s k thì m b ng b ibi-1 b 1. Ví d 1 (Trích IMO n ăm 1988): Tìm f: N *→ N * tho mãn: f(1) = 1, f(3) = 3, f(2n) = f(n), f(4n+1) = 2f(2n+1) - f(n); f(4n+3) = 3f(2n+1) - 2f(n) ∀n∈N* (12). Li gi i: Tính m t s giá tr c a hàm s và chuy n sang c ơ s 2 ta cĩ th d đốn đưc: * “∀n∈N , n = (b ibi-1 b 1)2 thì f(n) = (b 1b2 b i)2” (*). Ta s ch ng minh (*) b ng quy n p. + V i n = 1, 2, 3, 4 d ki m tra (*) là đúng. + Gi s (*) đúng cho k < n, ta s ch ng minh (*) đúng cho n (v i n ≥ 4). Th t v y, ta xét các kh n ăng sau: • N u n ch n, n = 2m. Gi s m = (b ibi-1 b 1)2, khi đĩ n = 2m = (b ibi-1 b 10) 2 ⇒ f(n) = f((b ibi-1 b 10) 2) = f(2m) = f(m) = f((b ibi-1 b 1)2) = (b 1b2 b i)2 = (0b 1b2 b i)2 ⇒ (*) đúng. • N u n l và n = 4m + 1. Gi s m = (b ibi-1 b 1)2, khi đĩ n = (b ibi-1 b 101) 2 ⇒ f(n) = f((b ibi-1 b 101) 2) = f(4m+1) = 2.f(2m+1) - f(m) = 2.f((b ibi-1 b 11) 2) - f((b ibi-1 b 1)2) = (10) 2.(1b 1b2 b i)2 - ( b 1b2 b i)2 = (1b 1b2 b i0) 2 - ( b 1b2 b i)2 = (10b 1b2 b i)2 ⇒ (*) đúng. 26
  28. • N u n l và n = 4m + 3. Gi s m = (b ibi-1 b 1)2, khi đĩ n = (b ibi-1 b 111) 2 ⇒ f(n) = f((b ibi-1 b 111) 2) = f(4m+3) = 3f(2m+1) - 2f(m) = 3f((b ibi-1 b 11) 2) - 2f((b ibi-1 b 1)2) = (11) 2.(1b 1b2 b i)2 - (10) 2.(b 1b2 b i)2 = (11b 1b2 b i)2 ⇒ (*) đúng. Vy (*) đúng và hàm f đưc xác đnh nh ư (*). Ví d 2 (Trích đ thi c a Trung Qu c): Tìm hàm s f: N * → N * th a mãn: 1) f(1) =1; 2) f(2n) < 6f(n); 3) 3f(n)f(2n+1) = f(2n)(3f(n)+1) ∀n∈N*. Li gi i: Vì f(n) ∈N* nên (3f(n), 3f(n)+1) = 1. T 3) suy ra 3f(n) | f(2n). K t h p v i 2) suy ra f(2n) = 3f(n) và f(2n+1) = 3f(n)+1 ∀n∈N*. Th m t s giá tr ta th y f(n) đưc xác đnh nh ư sau: * “V i n = (b 1b2 b i)2 thì f(n) = (b 1b2 b i)3 ∀n∈N ” (*). Ta ch ng minh (*) b ng quy n p. + V i n = 1, 2, 3, 4 thì hi n nhiên (*) đúng. + Gi s (*) đúng cho k < n (v i n ≥ 4). Ta ch ng minh (*) đúng cho n. • N u n ch n: n = 2m. Gi s m = (c 1c2 c j)2 thì n = 2m = (c 1c2 c j0) 2. Khi đĩ: f(n) = f(2m) = 3f(m) = 3.f((c 1c2 c j)2) = (10) 3.(c 1c2 c j)3 = (c 1c2 c j0) 3 ⇒ (*) đúng cho n ch n. • N u n l : n = 2m + 1 ⇒ n = (c 1c2 c j1) 2. Khi đĩ: f(n) = f(2m+1) = 3f(m) + 1 = 3f((c 1c2 c j)2) + 1 = (10) 3.(c 1c2 c j)3 + 1 3 = (c 1c2 c j1) 3 ⇒ (*) đúng cho n l . Vy (*) đúng cho m i n ∈N* và f(n) đưc xác đnh nh ư (*). Ph ươ ng pháp 9 : ph ươ ng pháp s d ng đo hàm. Ví d 1 : Tìm f: R → R tho mãn: | f(x)- f(y)| 2 ≤ | x- y| 3 ∀x, y ∈R (14). Li gi i: C đnh y, v i x ∈R, x ≠ y t (14) ta đưc: 2 fxfy()()− fxfy ()() − ≤xy − ⇒ 0 ≤ ≤ xy − . Vì lim0= lim x − y = 0 nên suy ra xy− xy − xy→ xy → fx()− fy () lim= 0 ⇒ f’(y) = 0 ⇒ f(y) = c ∀y∈R (v i c là h ng s ). Th l i th y đúng. x→ y x− y Ví d 2 : Tìm f: R → R cĩ đo hàm trên R và tho mãn: f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy ∀x, y ∈R (15) Li gi i: + Cho x = y = 0 ta đưc f(0) = 0. 27
  29. fxy(+− ) fx () fy ()2 + xy fy () − f (0) + V i y ≠ 0, c đnh x ta đưc: = = + 2x (*). Vì f(x) y y y − 0 cĩ đo hàm trên R nên t (*), cho y → 0, suy ra f’(x) = f’(0) + 2x = 2x + c ⇒ f(x) = x 2+cx+b ∀x∈R; b, c là các h ng s th c. Th l i th y đúng. Ph ươ ng pháp 10 : ph ươ ng pháp đt hàm ph . Mc đích chính c a vi c đt hàm ph là làm gi m đ ph c t p c a ph ươ ng trình hàm ban đu và chuy n đi tính ch t hàm s nh m cĩ l i h ơn trong gi i tốn. Ví d 1 : Tìm f: R → R tho mãn: f(x) ≥ 2007x và f(x+y) ≥ f(x)+f(y) ∀x, y ∈R (1). Li gi i: D th y f(x) = 2007x là m t hàm s tho mãn (1). ðt g(x) = f(x) - 2007x và thay vào (1) ta đưc: g(x) ≥ 0 (a) và g(x+y) ≥ g(x) + g(y) (b) ∀x, y ∈R. + Cho x = y = 0, t (b) ta đưc g(0) ≤ 0, k t h p v i (a) suy ra g(0) = 0. + Cho x = -y, x ∈R, t (a) và (b) ta đưc g(x) ≥ 0, g(-x) ≥ 0, 0 ≥ g(x) + g(-x); suy ra : g(x) = g(-x) = 0 ⇒ h(x) = 2007x, ∀x∈R. Th l i th y đúng. Ví d 2: Tìm f: R → R liên t c trên R tho mãn: f(x+y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y) ∀x, y ∈ R (2). Li gi i: Xét ph ươ ng trình: λ = 2 λ + λ2 cĩ nghi m λ = -1 khác 0. ðt g(x) = f(x) - (-1) = f(x) + 1. Th vào (18) ta đưc: g(x+y) = g(x).g(y) ∀x, y ∈R (*). t Cho x = y = ta đưc g(t) ≥ 0 ∀t∈R. 2 Cho x = y = 0 ta đưc: g(0) = 0 ho c g(0) = 1. + N u g(0) = 0 thì (*) suy ra g(x) = 0 ∀x∈R ⇒ f(x) = -1 ∀x∈R. Th l i th y đúng. + N u g(0) = 1: Gi s t n t i a đ g(a) = 0 thì (*) suy ra g(x) = 0 ∀x∈R. Trái v i gi thi t g(0) = 1. V y g(x) > 0 ∀x∈R. ðt h(x) = lng(x) ta đưc : h(x+y) = h(x) + h(y) ( ). T f(x) liên t c trên R suy ra h(x) liên t c trên R. Theo ph ươ ng trình hàm Cơsi ta đưc h(x) = cx (v i c là h ng s ) ⇒ f(x) = e cx - 1 ∀x∈R. Khi c = 0 thì f(x) = -1. V y trong m i tr ưng h p f(x) = ecx - 1 ∀x∈R th l i th y đúng. Ph ươ ng pháp 11 : S d ng tính liên t c c a hàm s . S d ng tính liên t c c a hàm s cĩ 3 con đưng chính: Xây d ng bi n t N đn R, ch ng minh hàm s là h ng s , s d ng ph ươ ng trình hàm Cơsi. Ví d 1 (xây d ng bi n t N đn R): Tìm hàm f: R→ R th a mãn: 1) f(x) liên t c trên R; 2) f(1) = 2; 28
  30. 3) f(xy) = f(x)f(y) - f(x+y) +1 ∀x,y ∈R. Li gi i: Cho x = y = 0 ta đưc: f(0) = 1. Cho x = 1, y ∈R ta đưc: f(y+1) = f(y) +1 (a). T f(0) = 1, f(1) = 2 và (a) quy n p ta suy ra f(n) = n+1 ∀n∈N. Vi n ∈N, (a) ⇒ f(-n) = f(-n+1) - 1 = f(-n+2) - 2 = = f(0) -n = -n + 1. Vy f(z) = z +1 ∀z∈Z. 1 1 1 Vi ∀n∈N*, 2 = f(1) = fn(.)= fnf ()() −++ fn ( )1 (b). M t khác t (a) ta cĩ: n n n 1 1 1 1 fn(+ )1 =+ fn (1 −+ )2 =+ fn (2 −+ ) ==+ nf () . Th vào (b) ta đưc: n n n n 1 1 f ( )= + 1 . n n m m 1 1 1 Vi q∈ℚ, q = , m ∈ ℤ , n ∈ ℕ * ta cĩ: fq()== f () fm (.) = fmf ()() −++ fm ( )1 = n n n n n 1 1 = (m+ 1)( +− 1) f ( m ++ ) 1 (c). T (a) ta d dàng ch ng minh đưc: n n 1 1 fm(+ ) = mf + () . Th vào (c) ta đưc f(q) = q +1 ∀q∈Q. n n Vi r ∈R, t n t i dãy {r n} v i r n∈Q th a mãn lim rn = r . Khi đĩ, do f liên t c nên ta cĩ: f(r) = f(limr n) = limf(r n) = lim(r n+1) = limr n + 1 = r + 1. V y f(x) = x + 1 ∀x∈R. Th l i th y đúng. Ví d 2 (ch ng minh hàm s là h ng s ): 1 1 Tìm hàm f: [0; ] → [0; ] th a mãn: 2 2 1 1) f(x) liên t c trên [0; ] 2 1 1  2) fx( )= fx (2 + ) ∀∈ x 0; . 4 2  Li gi i: x= a 1  0 ; V i a ∈[0 ], xét dãy s :  2 1 . 2 xn+1 = x n + ∀∈ n ℕ  4 D ch ng minh {x n} khơng âm (a). 12 1 1 1 x≤ ⇒ x≤ x + ≤ . Quy n p suy ra x n ≤ (b). 02 1 0 4 2 2 29
  31. 1 xxx−=( − )2 ≥ 0 ⇒ xxn≥ ∀ ∈ ℕ (c). nnn+1 2 nn+ 1 1 1 T (a), (b), (c) suy ra x n∈[0 ; ] và {x n} cĩ gi i h n h u h n là limx = . 2 n 2 1 1 Vy v i m i a ∈[0 ; ], f(a) = f(x 1) = f(x 2) = = limf(x n) = f(limx n) = f( ) = c (c là h ng s ). 2 2 Th l i th y đúng. Ví d 3 (s d ng ph ươ ng trình hàm cơsi - VMO n ăm 2006(b ng B)): Tìm f: R → R liên t c trên R tho mãn: f(x-y).f(y-z).f(z-x)+8 = 0 ∀x, y, z ∈R (3). Li gi i: −8 Cho x = t, z = -t, y = 0, x∈ R ta đưc: f(t).f(t).f(-2t) = -8 ⇒ f(2)− t = 0). Th l i th y đúng. Ht 30